авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

№ 445

СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОЛОГИЧЕСКИХ НАУК

Издается с 1958

года

ВОПРОСЫ ГЕОФИЗИКИ

В ы п у с к 45

Ответственные редакторы

В. Н. Троян, Н. И. Успенский, А. К. Сараев

УДК 550.34/38/83: 551.24

ББК 26.2

В74

Р е ц е н з е н т д-р физ.-мат. наук Ю. А. Копытенко (С.-Петерб. ф-л Ин-та земного магнетизма, ионо сферы и распространения радиоволн РАН) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета физического факультета С.-Петербургского государственного университета Вопросы геофизики. Вып. 45 / под ред. В. Н. Трояна, Н. И. Успенского, В74 А. К. Сараева. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2013. — 119 с. — (Ученые записки СПбГУ;

№ 445).

Настоящий сборник включает статьи с результатами сейсмических и геоэлектрических ис следований и изучения магнитных свойств горных пород. Рассматриваются вопросы теории, экспериментального обоснования и применения геофизических методов.

Сборник предназначен научным сотрудникам, специалистам-производственникам, аспиран там и студентам геофизических специализаций.

ББК 26. Problems of geophysics. Issue 45 / Editors-in-chief V. N. Troyan, N. I. Uspen sky, A. K. Saraev. — SPb.: St. Petersburg University Press, 2013. — 119 p. — (The sci entic papers of SPbSU;

N 445).

This issue contains papers, in which results of seismic and geoelectric investigations and rocks mag netic properties studies are considered. Questions of theory, experimental basement and application of geophysical methods are analyzed.

The issue is designed for the scientists, specialists of industrial organizations, post-graduate stu dents and students of geophysical specialties.

c Авторы сборника, c С.-Петербургский государственный университет, Вопросы геофизики. Выпуск 45. СПб., 2012 — (Ученые записки СПбГУ;

№ 445) Т. Б. Яновская, Т. Ю. Королева, Е. Л. Лыскова СТРОЕНИЕ ВЕРХНЕЙ МАНТИИ В ОКРЕСТНОСТИ ЛИНИИ ТОРНКВИСТА—ТЕССЕЙРА ПО ДАННЫМ ШУМОВОЙ ПОВЕРХНОСТНО-ВОЛНОВОЙ ТОМОГРАФИИ Введение В последнее десятилетие для изучения горизонтальных вариаций строения земной коры широко используется поверхностно-волновая томография, основанная на корре ляционных свойствах «внешнего» сейсмического шума [1–6]. Этот метод основан на том, что кросс-корреляционная функция (ККФ) случайного волнового поля, зареги стрированного в двух точках, определяет функцию Грина между этими точками [7–9].

Если предположить, что «внешний шум» содержит поверхностные волны, создаваемые случайно распределенными по поверхности источниками, то ККФ шума дает возмож ность определить функцию Грина поверхностной волны от источника в точке располо жения одной станции и зарегистрированного на другой станции. В работах [5, 6] было показано, что такой подход можно использовать для исследования строения не толь ко коры, но и верхней мантии, поскольку дисперсионные кривые поверхностных волн, построенные по ККФ шума, согласуются с теми, которые получаются по данным зем летрясений в диапазоне достаточно больших периодов (до 100–140 с). В то же время оставалось непонятным, что является источником шума на таких периодах, и почему такие источники можно рассматривать как равномерно распределенные по поверхно сти. Дальнейшие исследования [10, 11] показали, что источниками длиннопериодного шума в действительности являются землетрясения. А поскольку эпицентры землетря сений распределены по поверхности Земли неравномерно, и, более того, в некоторые периоды времени они сосредоточены в узко локализованных зонах, что обычно имеет место после сильных землетрясений (афтершоки), то в ряде случаев ККФ оказывают ся искаженными, и соответственно получаемые по ним дисперсионные кривые нельзя использовать в процедуре поверхностно-волновой томографии. В работе [12] дисперси онные кривые волны Рэлея, построенные по корреляции вертикальных компонент шума на станциях, расположенных на Восточно-Европейской платформе (ВЕП) и некоторых станциях Западной Европы, были использованы для оценки строения верхней мантии ВЕП и ее обрамления с запада и юга. При этом приходилось отбирать такие записи шу ма, которые давали достаточно устойчивые ККФ (более или менее симметричные и не сильно искаженные помехами), но и это не давало гарантии адекватности построенных по ним дисперсионных кривых. При этом в ряде случаев не удавалось вообще построить дисперсионную кривую из-за существенной асимметрии и зашумленности корреляци онной функции. Тем не менее в этой работе удалось выявить существенное различие в строении верхней мантии по обе стороны линии Торнквиста—Тессейра (ТТ). Для уточ нения результатов, полученных в [12], необходимо было, во-первых, усовершенствовать методику построения корреляционных функций, в которой было бы снижено влияние землетрясений, и во-вторых, по возможности добавить данные по трассам, пересекаю щим зону ТТ.

c Т. Б. Яновская, Т. Ю. Королева, Е. Л. Лыскова, Т. Б. Яновская, Т. Ю. Королева, Е. Л. Лыскова В настоящей работе показано, что наиболее эффективным методом построения кор реляционной функции является использование данных за те годы, когда отсутствовали скопления землетрясений в узких областях, и суммирование ККФ за эти годы. Это поз волило добавить к использованным ранее данные еще по 50 межстанционным трассам, при этом были добавлены данные двух станций, расположенных к западу от линии ТТ, и одной станции на юге.

Методика Нами была использована стандартная методика построения дисперсионной кривой волны Рэлея по кросс-корреляционной функции сейсмического шума на парах станций [13]. Методика включает: вычисление ККФ за периоды, равные одним суткам, сум мирование суточных ККФ за длительный период (1 год), фильтрацию ККФ набором узкополосных фильтров, определение моментов времени, соответствующих максиму мам огибающих фильтрованных ККФ, и, наконец, вычисление групповых скоростей по полученным значениям времен. Для подавления сигналов от землетрясений исполь зовалась амплитудная нормализация записей на скользящее среднее [13]. Длительность интервала, в котором вычислялось скользящее среднее [5], 70 с.

Применение такой методики к записям станций на ВЕП в диапазоне периодов от до 100 с и более показало, что во многих случаях ККФ оказывается не симметричной, какой она должна была быть в случае, если источники шума были бы распределены равномерно по поверхности Земли. Более того, как было показано в [11], максимумы огибающих ККФ в некоторых случаях появляются на более ранних временах. В ка честве примера на рис. 1 приведена ККФ записей шума за 2005 г. на станциях OBN и ARU и результаты ее полосовой фильтрации. Левая часть ККФ обусловлена шу мом, пришедшим с востока, а правая — с запада. Соответственно, левая часть отра жает функцию Грина для источника в точке ARU, а правая — для источника в точке OBN. Видно, что в интервале периодов 30–70 с на левой части ККФ появляются весьма интенсивные сигналы на ранних временах. Такой факт объясняется большим количе ством землетрясений вблизи Суматры в 2005 г. после катастрофического землетрясения 26 декабря 2004 г. На рис. 1, б изображена условная плотность числа землетрясений.

Казалось бы, магнитуда землетрясений не существенна из-за амплитудной нормализа ции, используемой в процедуре вычисления ККФ, и при вычислении плотности можно было бы просто подсчитывать число событий независимо от магнитуды. Однако оче видно, что, несмотря на амплитудную нормализацию, сильные землетрясения вносят бо ьший вклад в ККФ, так как из-за высокой амплитуды после нормализации в остав л шейся записи «шум» будет на достаточно длительном промежутке обусловлен только колебаниями от землетрясения, тогда как в случае слабых землетрясений, во-первых, такой промежуток короче, а во вторых, за счет небольшой интенсивности колебаний от землетрясения оставшийся «шум» может только частично содержать вклад от зем летрясения. Поэтому при расчете условной плотности землетрясений принималось во внимание не только их число, но и магнитуда. Средняя амплитуда колебаний А от зем летрясения определялась как корень квадратный из энергии землетрясения, которая в свою очередь вычислялась по магнитуде М по формуле Гутенберга:

log E = 1.5M + 11.8.

Строение верхней мантии в окрестности линии Торнквиста—Тессейра...

Рис. 1. Кросс-корреляционная функция шума между станциями OBN и ARU, результаты ее полосовой фильтрации (а) и условная плотность землетрясений (б) за 2005 г. цифры у кривых — значения периодов в секундах, соответствующие средним частотам фильтров Т. Б. Яновская, Т. Ю. Королева, Е. Л. Лыскова Соответственно при расчете «числа» землетрясений каждому землетрясению при давался вес, пропорциональный амплитуде. При этом условно считалось, что событие с магнитудой M = 5 имеет вес, равный единице. Из рис. 1, б видно, что от земле трясений в районе Суматры разность времен прихода волн на станции OBN и ARU должна быть меньше, чем обусловленная волнами, приходящими от источников, рас положенных вдоль линии, проходящей через станции. Оценка этой разности времен хорошо согласуется с временем появления первого максимума на левой части ККФ на периодах 30–70 с, отвечающих максимуму колебаний в поверхностных волнах.

В работе [11] предложено два способа подавления эффекта землетрясений, приво дящего к искажению ККФ.

Один способ заключался в том, чтобы при вычислении ККФ исключать из записей (занулять) промежутки времени, в которые приходят волны от достаточно сильных землетрясений. Такими принимались землетрясения с M 5. Это приводило к ис ключению примерно 10 % записей, что при суммировании за год представлялось не слишком большим. Уменьшение этого порога привело бы к исключению значительной части записей, поскольку число таких землетрясений в соответствии с законом Гутен берга резко возрастает с уменьшением магнитуды. Проверка этого способа в целом ряде случаев показала, что в годы, когда имело место скопление землетрясений в ограни ченной по размерам зоне, этот способ хотя и ослабляет вклад землетрясений в ККФ, но не исключает его. Рис. 2, a, б иллюстрирует некоторое уменьшение влияния земле трясений на искажение ККФ. Наличие максимума плотности землетрясений в районе Суматры на рис. 2, б, хотя и менее выраженного, чем на рис. 1, б, свидетельствует о том, что и сравнительно слабые землетрясения вносят вклад в шум.

Суть другого способа ослабления влияния землетрясений на ККФ шума в том, что бы при расчетах ККФ использовать записи шума за такие годы, когда отсутствуют отчетливые скопления землетрясения, как это имело место, например, в 2005 г. Ана лиз распределения условной плотности землетрясений за 2000–2007 гг. показал, что такими годами являются 2001, 2002 и 2003 гг. В работе [11] путем численного моде лирования было показано, что и в случае неравномерного распределения источников шума (кластеризации источников в отдельных областях) можно снизить вызываемый этим эффект путем суммирования ККФ за достаточно длительный промежуток вре мени, в котором даже при наличии отдельных кластеров распределение источников более близко к равномерному. На основании этого был сделан вывод, что для полу чения ККФ, отражающих функцию Грина и, соответственно, годных для построения дисперсионных кривых на межстанционных трассах, следует использовать записи за указанные годы (2001–2003) и суммировать ККФ за все 3 года. Пример такого построе ния приведен на рис. 3, на котором для той же пары станций OBN–ARU показаны ККФ (рис. 3, а) и распределение условной плотности землетрясений за 1 год (рис. 3, б) для сопоставления с рис. 1, б и 2, б. Здесь уже распределение источников более или менее приближается к равномерному, а на фильтрованных ККФ четко выделяются макси мумы как слева, так и справа, по которым можно уверенно построить дисперсионную кривую.

Приведенный анализ привел нас к выводу о том, что для получения дисперсионных кривых на трассах, пересекающих исследуемый регион, следует строить ККФ по за писям 2001–2003 гг. путем суммирования по возможности за все 3 года (на некоторых станциях записи за отдельные период времени отсутствовали).

Строение верхней мантии в окрестности линии Торнквиста—Тессейра...

Рис. 2. То же, что и рис. 1, но из данных исключены участки записи с землетрясениями M 5;

при расчете условной плотности землетрясений также исключены землетрясения с M Рис. 3. То же, что и рис. 1, но по данным 2001–2003 гг.

Т. Б. Яновская, Т. Ю. Королева, Е. Л. Лыскова Строение верхней мантии в окрестности линии Торнквиста—Тессейра... Для решения задачи поверхностно-волновой томографии по дисперсионным кривым групповых скоростей на трассах, пересекающих область исследования, использовался метод, предложенный в работах [14, 15], основанный на условии гладкости латерального распределения скорости.

Исходные данные На рис. 4 изображены межстанционные трассы, на которых определялись кросс корреляционные функции и дисперсионные кривые в интервале периодов 10–100 с. К данным, использованным в работе [12], были добавлены данные по 49 трассам, кото рые включали станции RUE ( = 52.47, = 13.78 ), RGN( = 54.54, = 13.32 ), ISP( = 37.84, = 30.50 ). Всего выборка содержала данные по 226 трассам. Добав ление данных станций RGN и RUE позволило существенно увеличить разрешающую способность данных в окрестности линии Торнквиста—Тессейра. Разрешающая способ ность данных оценивалась двумя способами.

Рис. 4. Схема трасс между станциями, по которым определялись кросс-корреляционные функции. Жирной линией обозначена линия Торнквиста—Тессейра. Пунктир — профиль АА, вдоль которого вычис лялся вертикальный скоростной разрез Первый способ — это широко применяемый в зарубежных исследованиях так назы ваемый «тест шахматной доски» (checkerboard test). Суть его в том, что выбирается модель распределения латеральных неоднородностей в виде чередования положитель ных и отрицательных аномалий в ячейках некоторого выбранного размера аналогично Т. Б. Яновская, Т. Ю. Королева, Е. Л. Лыскова Рис. 5. Иллюстрация оценки разрешающей способности данных: а, б — тест «шахматной доски»:

а — модельное распределение аномалий скорости, б — результат восстановления аномалий по синте тическим данным, рассчитанным по трассам, изображенным на рис. 4. Жирной линией оконтурена область, внутри которой могут быть разрешены неоднородности, имеющие линейный размер порядка 800 км, в — распределение радиуса эффективной области сглаживания, рассчитанного по методу [14, 15] шахматной доске. Для такой модели рассчитываются времена пробега волн по трассам, используемым в реальных данных. Далее тем же методом, который применяется для решения томографической задачи по реальным данным, задача решается по данным, рассчитанным для модели. Область, в которой выявляются аномалии, считается той, в которой могут быть разрешены аномалии размером с выбранные ячейки. На рис. 5, а изображена модель, средний размер ячеек 800 км;

на рис. 5, б — результат восстановле ния распределения скорости в модели по синтетическим данным. Линия оконтуривает область, в которой аномалии такого размера могут быть выявлены.

Второй способ предложен в работах [14, 15]. Он заключается в оценке радиуса эф фективной области сглаживания, который определяется одновременно с нахождением решения. Распределение эффективного радиуса области сглаживания R изображено на рисунке 5, в. Из рисунка видно, что область, внутри которой R 400 км, практически совпадает с той, в которой согласно тесту «шахматной доски» могут быть разреше ны аномалии размером 2R. Поэтому построение решения проводилось внутри такой области так, чтобы можно было с уверенностью говорить о том, что если в решении выделяются аномалии такого (или большего) размера, то они не являются артефак тами.

Результаты томографии По дисперсионным кривым, построенным вдоль трасс, изображенных на рис. 4, строились латеральные распределения групповых скоростей для периодов 10–100 с (рис. 6).

По полученным картам распределения групповых скоростей можно было построить локальные дисперсионные кривые в отдельных точках области. Дисперсионные кривые Строение верхней мантии в окрестности линии Торнквиста—Тессейра... Рис. 6. Латеральное распределение скоростей рэлеевских волн для периодов 10, 30, 50 и 80 с внутри области допустимого разрешения определялись с шагом 3 по широте и по долготе внутри области допустимого разреше ния. По этим дисперсионным кривым путем решения 1D-обратной задачи вычислялись вертикальные разрезы скоростей поперечных волн, на основе которых можно было по строить латеральные распределения скоростей на отдельных глубинах. Примеры карт латерального распределения скоростей в мантии на глубинах 50–300 км с шагом 50 км приведены на рис. 7.

Из рисунка отчетливо видно различие структур по разные стороны линии Торквиста—Тессейра. Обращает на себя внимание резкое понижение скорости с за пада от ТТ на глубинах 100–150 км, и, наоборот, повышение скорости на глубинах 250–300 км. Эта особенность была отмечена и в работе [12], но из-за меньшего объема данных она не проявилась столь отчетливо. В то же время на глубине 50 км (факти чески непосредственно под Мохо) соотношение скоростей с запада и с востока от ТТ прямо противоположное. Это могло бы быть следствием того, что при решении обрат ной задачи мощность коры принималась одной и той же на всей территории. Однако и расчеты при разной мощности коры (35 км с запада от зоны ТТ и 42 км с востока) не изменили результата. Дело в том, что исходные данные о дисперсии дают недостаточ ную информацию о строении коры и подстилающей толщи — она содержится только в данных для периодов 10 и 15 с. В то же время средняя скорость в коре (в предполо жении ее неизменной мощности) согласуется с известными данными, в том числе и с наилучшей на настоящий момент моделью crust2.0, построенной путем обобщения всех известных данных [16] (рис. 8). Полученное в настоящей работе распределение средней Т. Б. Яновская, Т. Ю. Королева, Е. Л. Лыскова Рис. 7. Восстановленное распределение скорости поперечных волн на глубинах 50–300 км скорости в коре является более сглаженным по сравнению с моделью crust2.0, но в то же время в нем более четко выявляется различие в величине скорости по разные стороны линии ТТ.

Полученные распределения скоростей позволяют строить и разрезы в вертикаль ных сечениях. На рис. 9 приведен разрез в вертикальном сечении по профилю АА, перпендикулярному линии ТТ. Этот профиль указан на рис. 4 пунктирной линией. Он отчетливо иллюстрирует различие структур с разных сторон зоны ТТ.

Обсуждение результатов Известно, что вдоль линии Тессейра—Торнквиста проходит зона контакта лито сферы асейсмичной докембрийской Восточно-Европейской платформы и сравнительно молодой тектонически активной литосферы Западной Европы (ЗЕ). Различие меж ду структурами по разные стороны зоны ТТ было обнаружено, в частности, в рабо те [17], однако большие расстояния между станциями не позволили добиться хороше го разрешения. Проведенные вдоль этой линии сейсмические исследования в рамках программы EUROPROBE [18] (POLONAISE–97, CELEBRATION–2000, TOR) выяви Строение верхней мантии в окрестности линии Торнквиста—Тессейра... Рис. 8. Латеральное распределение средней скорости поперечной волны в коре: а — полученное в настоящей работе, б — по модели crust2. Рис. 9. Распределение скорости поперечной волны в вертикальном сечении, проходящем через профиль АА, обозначенный на рис. Т. Б. Яновская, Т. Ю. Королева, Е. Л. Лыскова ли яркие особенности в структуре коры. По результатам проектов POLONAISE–97, CELEBRATION–2000 методами ГСЗ было показано, что при переходе через границу ТТ на территории Польши от ВЕП к ЗЕ мощность коры уменьшается от 40–45 до 30–35 км и скорость в ней резко понижается. Строение верхней мантии в окрестности зоны ТТ до сих пор изучено слабо ввиду недостаточного числа землетрясений на тер ритории ЗЕ и их отсутствия на ВЕП. Известны лишь результаты по проекту TOR, в котором по данным сети временных сейсмостанций было проведено исследование глу бинной структуры (200–300 км) территории от Северной Германии через Данию до Южной части Швеции вкрест простирания зоны ТТ при использовании нелинейно го телесейсмического томографического алгоритма [19]. Исследование показало, что в рассматриваемой части зоны ТТ толщина литосферы (120 км) подстилается низко скоростной астеносферой, существенно отличаясь как от тонкой литосферы Северной Германии, так и от толстой (более 200 км) литосферы Балтийского щита без явных признаков астеносферного слоя [20, 21]. Однако проект TOR покрыл лишь небольшую (северную) часть зоны ТТ, где была развернута сеть временных станций.

Из анализа горизонтальных срезов вариации скорости, полученных в данном иссле довании и приведенных на рис. 7, и вертикального скоростного разреза (рис. 9) четко прослеживается различие в скоростном строении на запад и восток от зоны ТТ. Сред няя скорость в коре уменьшается с востока на запад в направлении, перпендикулярном линии ТТ, от 3.6 до 3.3 км/с (рис. 8). Область высоких скоростей на срезе для 50 км на запад от зоны ТТ согласуется с данными сейсмического скоростного разреза через зону ТТ по профилю 4 POLONAISE–97. В этом районе наблюдается поднятие границы Мохо (35–40 км) и влияние более высокоскоростной подстилающей мантии.

Что касается подкоровой мантии, то на глубине около 100 км как к западу от ТТ, так и к югу прослеживается низкоскоростная астеносфера, тогда как под ВЕП скорости на этих глубинах достаточно высокие. Подобное понижение скорости S-волн было от мечено в работе [22] на глубинах 80 и 140 км, где распределение скорости определялось инверсией волновых форм на записях землетрясений. Однако на глубинах более 200 км соотношение между скоростями изменяется — под палеозойской платформой ЗЕ скоро сти оказываются выше, чем под ВЕП. В [22] повышение скорости S-волн отмечается на глубинах более 300 км, хотя разрешающая способность данных на этих глубинах до вольно низкая. В работе [23] приводится сводный скоростной разрез продольных волн, построенный по сейсмологическим данным для Западной Европы [24] и по данным сверхдлинных сейсмических профилей на территории России [25] вдоль профиля от Атлантики до Сибирской платформы. На этом разрезе также видно повышение скоро сти (более 300 км) при переходе через линию ТТ. Но разрешение данных на глубинах уже более 100 км крайне низкое.

Скоростной разрез верхней мантии по профилю AA, идущему из Северной Ита лии через Прибалтику, Ладожское и Онежское озера в район Северной Двины (рис. 9), в целом согласуется с общепринятыми моделями [24, 26, 27]. Так, скорости в верх ней мантии за небольшим исключением закономерно убывают с востока на запад. К западу от ТТ под фанерозойской Западной Европой видна низкоскоростная, разуп лотненная верхняя мантия. Поверхность перехода от верхней мантии к нижней к за паду от ТТ расположена выше, чем к востоку от ТТ под докембрийской ВЕП. Вы явленная структура верхней мантии подтверждается и данными по тепловому пото ку: в Западной Европе он в среднем на 10–30 мВт/м2 выше, чем в Восточной [28].

Строение верхней мантии в окрестности линии Торнквиста—Тессейра... Поэтому более горячая разуплотненная мантия под Западной Европой характеризует ся меньшими скоростями по сравнению с более холодной высокоскоростной мантией под ВЕП.

Таким образом, полученная в настоящей работе картина распределения скоростей в верхней мантии в окрестности линии Торнквиста—Тессейра, не противоречит резуль татам исследований других авторов и демонстрирует эффективность «шумовой» по верхностно-волновой томографии для изучения строения верхней мантии.

Работа поддержана грантом РФФИ 11–05–0335а.

Указатель литературы 1. Lobkis O. I., Weaver R. L. On the emergence of the Green’s function in the correlations of a diuse eld // J. Acoust. Soc. Am. 2001. Vol. 110 P. 3011–3017.

2. Shapiro N. M., Campillo M. Emergence of broadband Rayleigh waves from correlation of the ambient seismic noise // Geophys. Res. Lett. 2004. Vol. 31. L07614.

3. Shapiro N. M., Campillo M., Stehly L., Ritzwoller M. H. High-resolution surface-wave tomog raphy from ambient seismic noise // Science. 2005. Vol. 307. P. 1615–1618.

4. Stehly L., Campillo M., Shapiro N. M. A study of the seismic noise from its long range correlation properties // J. Geophys. Res. 2006. Vol. 111. P. B10306(1)–B10306(12).

5. Королева Т. Ю., Яновская Т. Б., Патрушева С. С. Использование сейсмического шума для определения структуры верхней толщи Земли // Физика Земли. 2009. № 5. C. 3–14.

6. Королева Т. Ю., Яновская Т. Б., Патрушева С. С. Строение верхней мантии Восточ но-Европейской платформы по данным сейсмического шума // Вестник СПбГУ. 2009.

Сер. 4. № 2. C. 62–71.

7. Weaver R. L., Lobkis O. I. Diuse elds in open systems and the emergence of the Green function (L) // J. Acoust. Soc. Am. 2004. Vol. 116. P. 2731–2734.

8. Larose E., Derode A., Campillo N., Fink M. Imaging from one-bit correlations of wideband diuse waveelds // J. Appl. Phys. 2004. Vol. 95. P. 8393–8399.

9. Gouedard P. et al. Cross-correlation of random elds: mathematical approach and applications // Geophys. Prospecting. 2008. Vol. 56. P. 375–393. doi:10.1111/j.1365–2478.00684.x 10. Королева Т. Ю., Яновская Т. Б., Патрушева С. С. Скоростное строение верхней мантии Восточно-Европейской платформы по данным сейсмического шума // Физика Земли.

2010. № 10. C. 38–47.

11. Яновская Т. Б., Королева Т. Ю. О влиянии землетрясений на кросс-корреляционную функцию сейсмического шума // Физика Земли. 2011. № 9. С. 1–10.

12. Яновская Т. Б., Королева Т. Ю. Скоростное строение верхней мантии в зоне перехода от Восточно-Европейской платформы к Западной Европе по данным сейсмического шума // Физика Земли. 2012. № 6. С. 1–7.

13. Bensen G.D., Ritzwoller M.H., Barmin P. et al. Processing seismic ambient noise data to obtain reliable broad-band surface wave dispersion measurements // Geophys. J. Int. 2007.

Vol. 169. P. 1239–1260.

14. Дитмар П. Г., Яновская Т. Б. Обобщение метода Бэйкуса-Гильберта для оценки гори зонтальных вариаций скорости поверхностных волн // Изв. АН СССР. Физика Земли.

1987. № 6. С. 30–40.

15. Yanovskaya T. B., Ditmar P. G. Smoothness criteria in surface wave tomography // Geophys.

J. Int. 1990. Vol. 102. P. 63–72.

16. Laske G., Masters G., Reif C. A new Global Crustal Model at 2x2 Degrees // http://iggweb.ucsd.edu/ gabi/crust2.html (update 2011).

17. Zielhuis A., Nolet G. Deep seismic expression of an ancient plate boundary in Europe // Science. 1994. Vol. 265. P. 79–81.

18. Guterch A., Grad M., Thybo H., Keller G. R. The POLONAISE Working Group.

POLONAISE–97 — an international seismic experiment between Precambrian and Variscan Europe in Poland.

Т. Б. Яновская, Т. Ю. Королева, Е. Л. Лыскова 19. Shomali Z. H., Roberts R. G. and TWG. Non-linear body wave teleseismic tomography along TOR array // Geophys. J. Int. 2002. Vol. 148. P. 562–574.

20. Санина И. А., Ризниченко О. Ю. Томографический эксперимент SVEKALAPKO // Строение и динамика литосферы Восточной Европы. ГЕОКАРТ. ГЕОС. М., 2006.

Вып. 2. С. 70–78.

21. Bruneton M., Pedersen H. A., Farra V. and the SSTW Group. Complex lithospheric structure under the central Baltic Shield from surface wave tomography // J. Geophys. Res. 2004.

Vol. 109. B10303. doi:10.1029/2003JB00294. P. 1–15.

22. Marquering H., Snieder R. Shear-wave velocity structure beneath Europe, the northeastern Atlantic and western Asia from waveform inversions including surface-wave mode coupling // Geophys. J. Int. 1996. Vol. 127. P. 283–304.

23. Павленкова Н. И. Основные результаты изучения тектоносферы Восточной Европы и нерешенные проблемы // Строение и динамика литосферы Восточной Европы. ГЕО КАРТ. ГЕОС. М., 2006. Вып. 2. С. 659–672.

24. England P., Kennet B., Wortington M. A comparison of the upper mantle structure beneath Eurasia and North Atlantic and Arctic oceans // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1978. Vol. 54.

P. 575–585.

25. Павленкова Н. И. Изучение верхней мантии Сибирского кратона по данным сверхдлин ных сейсмических профилей // Геология и геофизика. 2006. № 5. C. 36–47.

26. Павленкова Н. И. Структура земной коры и верхней мантии и механизм движения глу бинного вещества // Проблемы глобальной геодинамики / под ред. Д. В. Рунквиста.

РАН. М., 2003. Вып. 2. C. 168–182.

27. Павленкова Г. А., Павленкова Н. И. Результаты сейсмических исследований верхней мантии на территории России // Сейсмические исследования земной коры: сборник докладов Международной научной конференции. г. Новосибирск, Академгородок, 23– 25 ноября 2004 / под ред. С. В. Гольдина и др. СО РАН. Новосибирск, 2004. С. 237–243.

28. Hurtig E. (ed.) Geothermal atlas of Europe. IASPEI International Heat Flow Commission.

1994. (Modied by V. Cermak).

Вопросы геофизики. Выпуск 45. СПб., 2012 — (Ученые записки СПбГУ;

№ 445) Ал. А. Ковтун ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОРИСТОГО СЛОЯ БИО МЕЖДУ УПРУГИМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВАМИ При интерпретации данных межскважинного сейсмического просвечивания часто возникает необходимость рассмотрения задачи на распространение волн внутри неко торого целевого продуктивного горизонта и вмещающей среде. Простейшая модель сре ды для таких исследований может состоять из флюидонасыщенного упруго-пористого слоя и вмещающей чисто упругой среды. Для выделения и исследования волн в такой модели необходимо найти корни дисперсионного уравнения среды для интересуемого диапазона сейсмических частот. На свойства волнового поля, обусловленного харак тером распределения корней дисперсионного уравнения, существенное влияние могут оказывать условия контакта на границе слоя с вмещающей средой. Выполнение указан ных исследований на начальном этапе требует построения и анализа соответствующих дисперсионных уравнений. Этим задачам и посвящена настоящая статья.

В работе рассматривается симметричная модель среды, состоящая из флюидонасы щенного пористого слоя, зажатого между одинаковыми упругими полупространствами.

Упруго-пористая среда описывается уравнениями теории Био [1]. На границах пористо го слоя ставятся граничные условия типа жесткого контакта, а также условия контакта с проскальзыванием. Для указанных моделей выводятся дисперсионные уравнения в терминах переменных интегральных представлений метода Лемба [2]. В начале урав нения флюидонасыщенной пористой среды рассматриваются без учета какого-либо ме ханизма диссипации. Получаемые при этом дисперсионные уравнения затем обобща ются на случай диссипационной модели, предложенной в работе [3]. Настоящая работа частично дополняет результаты статьи [4] Л. А. Молоткова, в которой дисперсионные уравнения для аналогичной модели среды с граничными условиями контакта с про скальзыванием выводятся в терминах представлений метода контурных интегралов и затем на основе полученных уравнений аналитически исследуются низкочастотные нормальные волны. В случае симметричной модели среды с одинаковыми упругими полупространствами волновое поле может быть представлено в виде суммы симмет ричной и антисимметричной частей, каждой из которых соответствует свое дисперси онное уравнение. Для построения симметричного и антисимметричного дисперсионных уравнений используется подход, применяемый в работе [4], который приводит к менее громоздким аналитическим вычислениям, чем при стандартном выводе этих уравне ний.

1. Симметричные и антисимметричные дисперсионные уравнения в случае граничных условий контакта с проскальзыванием Рассмотрим плоскую задачу. В декартовой системе координат {, z } задана «трех x слойная» среда ( = 0, 1, 2), состоящая из пористого слоя Био ( = 1) мощностью 2h (h z +h) и двух примыкающих к нему одинаковых полупространств: = ( h) и = 2 ( +h). Упругие блоки среды = 0, 2 характеризуются скоро z z c Ал. А. Ковтун, Ал. А. Ковтун стями vp0, vs0 продольной и поперечной волн, упругими коэффициентами Ламе 0, и плотностью 0. Для описания поля в упругих полупространствах = 0, 2 вводятся потенциалы 0 и 0, удовлетворяющие волновым уравнениям 1 2 0 1 2 0 = 0, = 0. (1) 2 vp0 t2 vs0 t Составляющие векторов смещений и напряжений в упругих блоках = 0, 2 выража ются через потенциалы формулами 0 0 0 ux =, uz = +, x z z x 2 0 2 0 2 tz x = 2 +, (2) x2 z z x 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 tzz = 0 + (0 + 20 ) + 20 = 0 2 + 20.

x2 z2 x z x z x t Пористая среда Био при отсутствии диссипации описывается уравнениями движе ния [1] 2u 2w (c + )( · u) + u + ( · w) = + f 2, t2 t 2w u C( · u) + M ( · w) = f 2 + m 2. (3) t t Здесь u — вектор смещения твердой фазы в пористой среде;

w — смещение жидкой фазы относительно твердой фазы;

c,, H = c + 2;

C, M — упругие параметры пористой среды Био;

— средняя плотность пористой среды;

f — плотность флюида;

c m = f m — параметр, имеющий размерность плотности и связанный с извилистостью пор cm ;

— коэффициент пористости среды.

Для учета волнового поля в пористом слое Био целесообразно использовать потен циалы p1, p2 и [5], удовлетворяющие волновым уравнениям 1 2 i 1 i = 0, i = 1, 2, = 0, (4) 2 vpi t2 vs1 t где скорости vpi, i = 1, 2, быстрой и медленной продольной волн и скорость vs1 попе речной волны в среде Био определяются равенствами (M + m H 2f C)2 4(HM C 2 )(m 2 ) M + m H 2f C ± f vpi =, 2(m 2 ) f m vs1 =. (5) m f Компоненты векторов смещений u, w и полного напряжения в пористой среде Био выражаются через потенциалы 1, 2 и следующими равенствами [5]:

1 2 1 2 1 2 f ux = + +, uz = + +, wz = B1 + B2, x x z z z x x x m z Дисперсионные уравнения для пористого слоя Био между упругими полупространствами 2 1 2 2 2 zx = 2 +2 +, 2 z z x z x x 2 1 2 2 zz = (H + CB1 )1 + (H + CB2 )2 2 + = x2 x z x 2 2 2 2 1 2 1 2 = ( + B1 f ) 2 + ( + B2 f ) 2 2 (6) +, 2 x x z x t t где 2 vi f C H vi Bi = (7) =2, i = 1, 2.

M vi m vi f C Условия на границах z = ±h между чисто упругой и упруго-пористой средами даются соотношениями типа контакта с проскальзыванием [4]:

() () () uz = uz, wz = 0, tzz = zz, tz x = 0, zx = 0, = 0, 2. (8) Эти условия выражают непрерывность на границе нормальных компонент смещения и напряжения и равенство нулю касательных составляющих напряжения как в пористой, так и чисто упругой средах. Второе равенство в (8) означает отсутствие фильтрации флюида через границу.

Рассмотрим область z 0, в которой волновое поле представлено в виде суммы симметричной и антисимметричной частей. Для нахождения каждой из этих частей достаточно рассмотреть область z 0. В область z 0 поля могут быть продолжены при использовании свойств симметрии (вида ux () = ux (), uz () = uz ()) и ан z z z z тисимметрии (ux (vz) = ux (vz), uz () = uz ()) относительно срединной плоскости z z ( = 0) слоя.

z При использовании метода Лемба представления для потенциалов в полупростран стве = 0, как в симметричном, так и антисимметричном случаях, строятся в форме интегралов Фурье вида 1v F (i h )ei d, v = Re = 1, 2, (9) 2 h2 где X0 e(z+h)0 + X0 e(z+h) eix d.

= (10) (z+h) (z+h) 0 i Y0 e + Y0 e Здесь вместо физических переменных t, x, z введены безразмерные переменные, x, z, v = th, x = x/h, z = z /h, (11) а также безразмерный частотный параметр = h/v. Функция F (i) в (9) определяет ся частотным спектром источника. В (10) величины X0 и Y0 — известные амплитудные коэффициенты источника, конкретный вид которых не влияет на дисперсионное урав нение.

Потенциалы в слое Био в симметричном случае определяются равенствами v j j F (i h )ei d, v = Re 2 = 1, 2, (12) 1 h Ал. А. Ковтун j Xj cosh(zj ) ix = e d, j = 1, 2. (13) 1 iY sinh(z) В антисимметричном случае потенциалы в слое Био определяются равенствами (12), в которых выражения (13) заменяются на j Xj sinh(zj ) ix = e d, j = 1, 2. (14) 1 iY cosh(z) В выражениях (10), (13), (14) используются обозначения:

g = 2 2 0, 2 2 0, 2 0, 0 = 0 = 0 = v/vp0, 0 = v/vs0, g1 = 2 2 1, 2 2 2 1, 2 2, 2 1, 1 = 2 = = 1 = v/v1, 2 = v/v2, 1 = v/vs. (15) В безразмерных координатах (11) рассматриваемые потенциалы удовлетворят волно вым уравнениям 2 j 2 j 2 i 2 i 2 i 2 j = + = (j = 0, 1, 2), + (i = 0, 1).

2 2 2 2 2 x z x z Поскольку параметр v в (11) и (15) допускает некоторый произвол определения (обычно это наименьшая скорость в среде), то для того чтобы в безразмерных координатах потенциалы j (j = 0, 1, 2) и i (i = 0, 1) удовлетворяли прежним волновым уравнениям (1) и (4), а также оставались справедливыми формулы (6), (7), содержащие величины Bi (i = 1, 2), в дальнейшем будем полагать v = 1.

В симметричном случае граничные условия (8) при z = h, в которых компоненты смещений и напряжений в средах = 0 и = 1 выражаются через потенциалы посред ством равенств (2) и (6), приводят к следующей системе алгебраических уравнений:

0 X0 + Y0 + 1 sinh(1 )X1 + 2 sinh(2 )X2 + sinh()Y = 0 X0 Y0, 0 g0 X0 + 20 0 Y0 [21 2 + ( + B1 f )] cosh(1 )X [21 2 + ( + B2 f )] cosh(2 )X2 21 Y cosh()Y = 0 g0 X0 + 20 0 Y0, 20 X0 + g0 Y0 = 20 X0 g0 Y0, B1 1 sinh(1 )X1 + B2 2 sinh(2 )X2 f /m Y sinh()Y = 0, 21 sinh(1 )X1 + 22 sinh(2 )X2 + g1 sinh()Y = относительно неизвестных амплитудных коэффициентов X0, Y0, X1, X2, Y. Функции X0 и Y0 в правых частях равенств, отвечающие источнику, полагаются известными.

Матрица этой системы имеет вид 0 1 sinh(1 ) 2 sinh(2 ) sinh() 0 g0 20 0 (21 2 + + B1 f ) (21 2 + + B2 f ) 21 cosh() cosh(1 ) cosh(2 ).

20 g0 0 0 0 f /m sinh() 0 B1 1 sinh(1 ) B2 2 sinh(2 ) 0 0 21 sinh(1 ) 22 sinh(2 ) g1 sinh() Дисперсионные уравнения для пористого слоя Био между упругими полупространствами Определитель этой матрицы представляется следующим выражением:

sym = 0 2 (21 2 + + B1 f )(2f /m 2 + B2 g1 )(2 2 g0 ) cosh(1 ) sinh(2 ) sinh() + +0 1 (21 2 + + B2 f )(2f /m 2 + B1 g1 )(2 2 g0 ) sinh(1 ) cosh(2 ) sinh() 4 2 1 (B1 B2 )(2 2 g0 )0 1 2 sinh(1 ) sinh(2 ) cosh(1 ) 0 (2 2 g1 )(B1 B2 )(40 0 2 g0 )1 2 sinh(1 ) sinh(2 ) sinh().

(16) Учитывая равенство 2 2 gi = i (i = 0, 1) и вводя обозначение R0 = 40 0 2 g0, 2 дисперсионное уравнение для симметричного случая запишем в виде (21 2 + + B1 f )(2f /m 2 + B2 g1 )/(B1 B2 ) coth(1 )/ (21 2 + B2 f )(2f /m 2 + B1 g1 )/(B1 B2 ) coth(2 )/2 + 2 R +41 2 coth() + 0 1 = 0. (17) 0 В антисимметричном случае граничные условия при z = h для той же модели приводят к системе уравнений 0 X0 + Y0 1 cosh(1 )X1 2 cosh(2 )X2 cosh()Y = 0 X0 Y0, 0 g0 X0 + 20 0 Y0 + (21 2 + + B1 f ) sinh(1 )X1 + +(21 2 + + B2 f ) sinh(2 )X2 + 21 Y sinh()Y = 0 g0 X0 + 20 0 Y0, 20 X0 + g0 Y0 = 20 X0 g0 Y0, B1 1 cosh(1 )X1 + B2 2 cosh(2 )X2 f /m Y cosh(1)Y = 0, 21 cosh(1 )X1 + 22 cosh(2 )X2 + g1 cosh()Y = 0.

Матрица системы принимает вид 1 cosh(1 ) 2 cosh(2 ) cosh() 0 0 g0 20 0 (21 2 + + B1 f ) 21 sinh() (21 2 + + B2 f ) sinh(1 ) sinh(2 ).

20 g0 0 0 0 f /m cosh() 0 B1 1 cosh(1 ) B2 2 cosh(2 ) 0 0 21 cosh(1 ) 22 cosh(2 ) g1 cosh() Определитель этой матрицы asym = +0 2 (21 2 + + B1 f )(2f /m 2 + B2 g1 )(2 2 g0 ) sinh(1 ) cosh(2 ) cosh() 0 1 (21 2 + + B2 f )(2f /m 2 + B1 g1 )(2 2 g0 ) cosh(1 ) sinh(2 ) cosh() + +4 2 0 1 2 1 (B1 B2 )(2 2 g0 ). cosh(1 ) cosh(2 ) sinh() + +0 1 2 (2 2 g1 )(B1 B2 )(40 0 2 g0 ) cosh(1 ) cosh(2 ) cosh().

Ал. А. Ковтун Антисимметричное дисперсионное уравнение запишем в виде (21 2 + + B1 f )(2f /m 2 + B2 g1 )/(B1 B2 ) tanh(1 )/ (21 2 + + B2 f )(2f /m 2 + B1 g1 )/(B1 B2 ) tanh(2 )/2 + 1 R +41 2 tanh() + 0 = 0. (18) 0 Построим теперь уравнения, имеющие особые корни, для предельного случая 0.

Для этого рассмотрим симметричное дисперсионное уравнение вида sym /2 = 0, где sym определяется равенством (16). При 0 левая часть этого уравнения после некоторых преобразований принимает вид lim sym /2 (21 2 + + B1 f )(2f /m 2 + B2 g1 )/ (21 2 + + B2 f )(2f /m 2 + B1 g1 )/2 + 41 2 (B1 B2 ) = 0. (19) Далее преобразуем дисперсионные уравнения (17)–(19) к такому виду, при котором величины B1 и B2 выражаются через параметры пористой среды. Проведем вычисле ния с применением равенств (7):

2 (M f Cm )(vp1 vp2 ) B1 B2 = 2;

(M m vp1 )(M m vp2 ) Hf C 21 2 + + Bi f = 21 2 +, i = 1, 2;

(20) vpi f C m 2f /m 2 + B1 g1 = 2 2 f /m + B1 B f = 1 m (M f Cm ) Hf C 21 2 + =, 1 m (M m vp2 ) vp1 f C m 2f /m 2 + B2 g1 = 2 2 f /m + B2 B f = 1 m (M f Cm ) Hf C 21 2 + 2. (21) = 1 m (M m vp1 ) vp2 f C Последние две формулы выводятся при использования тождества (C f vp1 )(f vp2 C)(m 2 ) = (Hf C)(Cm M f ), 2 f доказанного в [6] на основе применения теоремы Виетта:

HM C Hm + M 2Cf 2 2 vp1 + vp2 =, vp1 vp2 = m 2 m f f для корней vp1 и vp2 уравнения (m 2 )v 4 (Hm + M 2Cf )v 2 + HM C 2 = 0.

f Дисперсионные уравнения для пористого слоя Био между упругими полупространствами В результате уравнения (17), (18) заменяются соответственно на Hf C 2 coth( ) (M vp1 m ) 21 2 + vp1 f C Hf C 2 coth( ) (M v2 m ) 21 2 + + vp2 f C 1 R +42 m (vp1 vp2 ) 2 coth() + 0 1 m (vp1 vp2 ) 2 2 2 =0 (22) 1 0 и Hf C 2 tanh( ) (M vp1 m ) 21 2 + vp1 f C Hf C 2 tanh( ) (M vp2 m ) 21 2 + + vp2 f C 1 R +42 m (vp1 vp2 ) 2 tanh() + 0 1 m (vp1 vp2 ) 2 2 2 = 0. (23) 1 0 Уравнение (19) после подстановки выражений (20), (21) и использования формул (15) преобразуется к виду Hf C Hf C 2 1 (M vp1 m ) 21 2 + 2 (M vp2 m ) 21 2 + 2 + 2 2 vp1 f C vp2 f C vp2 vp 1 +42 m (vp1 vp2 ) 2 2 2 = 0.

1 2 vp1 vp Введем обозначения 2 Mi = M vpi m, Ci = vpi f C, H = Hf C i = 1, 2, и перепишем это уравнение:

M1 M2 M1 M2 42 (M1 M2 ) 6 42 2 2 4 41 H 1 1 vp2 vp1 C1 C 1 2 M M M1 M2 M1 M 2 + H2 2 2 H2 2 2 2 2 + 41 H 2 2C 1 2 vC v C1 C2 vp2 C1 vp1 C p2 p 2 v1 + v2 4 +42 m (vp1 vp2 ) 2 2 (24) 2 v2 + v2 v2 = 0.

vp1 p2 p1 p После громоздких вычислений с использованием формул 2 2 2 vp1 vp2 HM C 2 vp1 vp2 Hm Cf M1 M2 M1 M = 2 2 2 = 2,, vp1 vp2 Hm C vp1 vp2 Hm C C1 C2 vp2 C1 vp1 C vp1 vp2 m 2 2 2 vp1 vp2 HM C M1 M2 M1 M2 f 2 = 2 2 2 2 = H 2,, vp1 vp2 (Hm C)2 vp1 vp2 (Hm C) 2 2 C1 C2 vp2 C1 v1 C Ал. А. Ковтун в результате которых сокращаются члены при 6, правая часть (24) приводится к ра венству 2 vp1 vp pl = 0, 2 vp1 vp дающему искомое уравнение pl 41 (1 M +HM C 2 ) 4 [41 (1 m +Hm Cf )+(HM C 2 )] 2 +H(m 2 ) = 0.

f (25) Вещественные корни уравнения (25) имеют смысл квадратов «обратных» скоростей z 2 v12, i = 1, 2, где величины vi, i = 1, 2 суть скорости пластинчатых волн при усло i вии закрытости пор на границах. Если в (25) совершить переход от переменной ме тода Лемба к переменной в методе контурных интегралов при помощи соотношения = i, то получится уравнение пластинчатых волн, выведенное Л.А. Молотковым в [4]. В этой работе доказано, что для скоростей vp1, vp2, v1, v2 всегда выполняются соот ношения vp1 v1 vp2 v2.

Антисимметричное уравнение (18) в предельном случае при 0 дает равенство 2 = 0, из которого вытекает известное уравнение (R0 4 2 0 0 g0 = 0) рэлеев 0 1 R ской волны для чисто упругих полупространств. Это уравнение имеет корень = 1/vR, который определяет величину обратной скорости vR рэлеевской волны. В работе [4] показано, что между скоростями v1, v2 и vR могут выполняться три возможных соот ношения: v1 v2 vR, v1 vR v2, vR v1 v2.

2. Дисперсионные уравнения для модели среды с граничными условиями типа жесткого контакта Построим теперь дисперсионные уравнения для этой же модели среды в случае существования на границах z = ±h пористого слоя условий типа жесткого контакта, которые даются соотношениями [5] u(0) = u(1), u(0) = u(1), (1) t(0) = zx, (1) t(0) = zz.

(1) wz = 0, (26) x x z z zx zz Матрица системы уравнений относительно функциональных коэффициентов, вы текающей из граничных условий (26) и описывающих симметричную часть волнового поля, имеет вид (w) sym = cosh(1 ) cosh(2 ) 1 cosh(1 ) 0 1 sinh(1 ) 2 sinh(2 ) sinh(1 ) 0 f /m sinh(1 ) 0 B1 1 sinh(1 ) B2 2 sinh(2 ).

20 0 1 g1 sinh(1 ) 0 g0 21 1 sinh(1 ) 21 2 sinh(2 ) 0 g0 20 0 (21 2 + + B1 f ) (21 2 + + B2 f ) 21 1 cosh(1 ) cosh(1 ) cosh(2 ) Дисперсионные уравнения для пористого слоя Био между упругими полупространствами Определитель этой матрицы det(sym ) = 2 1 ( 2 0 0 )P1 G2 2 2 (B2 + f /m )R0 + (w) +0 1 2 (20 0 g0 )G2 + 0 2 (20 0 g0 )(f /m + B2 )P cosh(1 ) sinh(2 ) sinh(1 ) 1 1 ( 2 0 0 )P2 G1 2 2 (f /m + B1 )R0 + 0 1 2 (20 0 g0 )G1 + +0 2 (20 0 g0 )(f /m + B1 )P2 sinh(1 ) cosh(2 ) sinh(1 ) + +1 2 1 (B1 B2 ) 42 2 ( 2 0 0 ) + 40 1 2 (20 0 g0 ) 2 R 1 sinh(1 ) sinh(2 ) cosh(1 ) + +0 0 B2 2 1 ( + B1 f )(2 2 g0 ) cosh(1 ) sinh(2 ) cosh(1 ) 0 0 B1 1 1 ( + B2 f )(2 2 g0 ) sinh(1 ) cosh(2 ) cosh(1 ) + +0 2 0 2 /m (B1 B2 )(2 2 g0 ) cosh(1 ) cosh(2 ) sinh(1 ) f +0 1 0 1 2 (B1 B2 )(2 2 g1 )(2 2 g0 ) sinh(1 ) sinh(2 ) sinh(1 ).

Здесь использованы обозначения Pi = 21 2 + + f Bi, Gi = 2 2 f /m + g1 Bi и ранее введенное R0 = 4 2 0 0 g0.

Симметричное дисперсионное уравнение запишем в следующем виде:

0 1 2 (20 0 g0 )G2 + 1 ( 2 0 0 )P1 G2 2 2 (B2 + f /m )R0 + coth(1 ) +0 2 (20 0 g0 )(f /m + B2 )P1 0 1 2 (20 0 g0 )G1 + 1 ( 2 0 0 )P2 G1 2 2 (f /m + B1 )R0 + coth(2 ) +0 2 (20 0 g0 )(f /m + B1 )P2 + +(B1 B2 ) 42 2 ( 2 0 0 ) + 40 1 2 (20 0 g0 ) 2 R0 1 coth(1 ) + 1 coth(1 ) coth(2 ) B1 ( + B2 f ) +0 0 0 B2 ( + B1 f ) 1 coth(1 ) + 1 coth(1 ) coth(2 ) +0 0 2 /m (B1 B2 ) 2 2 + 0 1 0 1 (B1 B2 )0 = 0.

f 1 В антисимметричном случае матрица системы уравнений принимает вид (w) asym = 0 sinh(1 ) sinh(2 ) 1 sinh(1 ) 0 cosh(1 ) 1 cosh(1 ) 2 cosh(2 ) 0 f /m cosh(1 ) 0 B1 1 cosh(1 ) B2 2 cosh(2 ).

20 0 1 g1 cosh(1 ) 21 1 cosh(1 ) 21 2 cosh(2 ) 0 g 0 g0 21 1 sinh(1 ) (21 2 + + B1 f ) (21 2 + + B2 f ) 20 sinh(1 ) sinh(2 ) Ал. А. Ковтун Дисперсионное уравнение для антисимметричного случая имеет вид 1 ( 2 0 0 )P1 G2 + 0 1 2 (20 0 g0 )G2 2 2 (B2 + f /m )R0 + tanh(1 ) +0 2 (20 0 g0 )(B2 + f /m )P1 1 ( 2 0 0 )P2 G1 + 0 1 2 (20 0 g0 )G1 2 2 (B1 + f /m )R0 + tanh(2 ) +0 2 (20 0 g0 )(B1 + f /m )P2 + +(B1 B2 ) 40 1 2 (20 0 g0 ) + 42 2 ( 2 0 0 ) 2 R0 1 tanh(1 ) + 1 tanh(1 ) tanh(2 ) B1 ( + B2 f ) +0 0 0 B2 ( + B1 f ) 1 tanh(1 ) + 2 tanh(1 ) tanh(2 ) +0 0 2 /m (B1 B2 ) 2 2 2 + 0 0 1 1 0 (B1 B2 ) = 0.

f 1 Симметричное и антисимметричное дисперсионные уравнения для условий жест кого контакта на границах пористого слоя более сложны и громоздки в сравнении с уравнениями (17) и (18), полученными в случае граничных условий проскальзывания.

Здесь имеется аналогия с моделью упругого (непористого) слоя, исследованного в [7] для случаев жесткого и скользящего контактов. В частности, в случае чисто упругой модели с контактом проскальзывания симметричное дисперсионное уравнение дается равенством 41 1 2 coth(1 ) g1 coth(1 ) + 0 /1 1 /0 1 /0 R0 = 0, 2 а в случае той же модели с жестким контактом симметричное дисперсионное уравнение принимает вид coth(1 ) 0 /1 2 R0 + 1 /0 g1 ( 2 0 0 ) + + 40 2 ( 2 0 0 ) + 0 /1 R0 1 coth(1 ) coth(1 ) 22 0 1 1 0 coth(1 ) + 1 0 0 = 0.

3. Случай пористого слоя Био с диссипацией Рассмотрим упруго-пористую среду с механизмом диссипации Био–Столл, описы ваемую в частотной области уравнениями [1, 3]:

(c + )( · u) + + ( · w) + 2 + 2 f w = 0, u u i ( · u) + M ( · w) + 2 f u + 2 (m F ())w = 0, (27) где — вязкость флюида;

— проницаемость пористой среды;

F () — комплексная функция, T () F () =, 4[1 + (2i/)T ()] Дисперсионные уравнения для пористого слоя Био между упругими полупространствами f =a (a — некоторая константа). Функция T () определяется равенством ber () + ibei () T () =, ber() + ibei() где ber(z), bei(z) — функции Кельвина.

Выразим векторы смещений u и w через потенциалы 1, 2, 1 = j1 :

u = 1 + 2 + rot 1, f w = B1 1 + B2 2 + rot 1, (28) (m F ) i которые являются решениями соответственно уравнений i + i = 0, i = 1, 2, 1 + 1 = 0. (29) c2 c s pi Подстановка представлений (28) в уравнения (27) после некоторых преобразований приводит к системе (H + C B1 ) + 2 ( + B1 f ) 1 + (H + C B2 ) + 2 ( + B2 f ) 2 = 0, (H + M B1 ) + 2 (f + B1 m ) 1 + (H + C B2 ) + 2 (f + B2 m ) 2 = 0. (30) Для скалярных потенциалов 1 и 2 и отдельного уравнения m 1 = f, m для векторного потенциала 1 = j1, где 1/ m = m i F ( ). (31) Для удовлетворения системы (30) коэффициенты B1 и B1 должны выбираться так, чтобы выполнялись условия C + Bi M H + Bi C c2 = =, i = 1, 2, (32) pi f + Bi m + Bi f где cpi — комплексные скорости двух продольных мод в среде Био. Комплексные скоро сти продольных и поперечной мод вычисляются по формулам (5), в которых параметр m заменяется на комплексную функцию m из (31). Из (32) следуют соотношения C + f c 2 H c i i Bi = =, i = 1, 2, m c2 M f c2 C pi pi которые формально совпадают с равенствами (7), но содержат теперь комплексные частотно-зависимые скорости ci = ci () и функцию m = m ().

Ал. А. Ковтун В пространственной области z 0 потенциалы 0 и 0 для полупространства = будем задавать в безразмерных координатах (11) в виде плоско-волновых представле ний X e(z+h)0 + X0 e(z+h) = 0 (z+h)0 eix, (z+h) 0 i Y0 e + Y0 e и потенциалы j (j = 1, 2), 1 для среды = 1 определять равенствами j Xj cosh(zj ) ix = e, iY sinh(z) в симметричном случае, и j Xj sinh(zj ) ix = e.

iY cosh(z) в антисимметричном случае.

Проведение дальнейших вычислений в случаях граничных условий контакта с про скальзыванием (8) и жесткого контакта (26) приводят к дисперсионным уравнениям, которые формально имеют такой же вид, как полученные ранее симметричные и анти симметричные уравнения для моделей пористого слоя Био без диссипации. Однако в случае диссипационной модели эти уравнения будут содержать комплексные и частот но-зависимые коэффициенты. В результате этого особые корни дисперсионных уравне ний не будут иметь вещественных значений, за исключения случая, а связанные с ними волновые моды получат некоторое дополнительное затухание.


Исследования известных частотно-зависимых механизмов диссипации в рамках мо дели Био [11] показывают, что в области сейсмических частот в пористой среде Био рас пространяются только быстрая продольная и поперечная волны, а вторая продольная мода является диффузионной. Она становится распространяющейся волной только на достаточно высоких частотах ( 10 кГц). Поэтому можно ожидать, что в области низ ких частот волновые поля, возбуждаемые в модельных средах, содержащих пористый слой Био с диссипацией, и «эквивалентных» чисто упругих средах, будут иметь в основ ном одинаковые волновые элементы и их особенности. Близость характера волнового поля в случае модели чисто упругого слоя и упруго-пористого слоя Био между упру гими полупространствами иллюстрируется результатами численного моделирования.

Модельные расчеты волновых полей выполнены для «трехслойной» среды = 0, 1, 2, состоящей из упруго-пористого слоя Био ( = 1), описываемого уравнениями (27), при выполнении на границах с упругими полупространствами ( = 0, 2) условий контак та проскальзывания (8), либо жесткого контакта (26). Для характеристики пористого слоя Био задавались следующие величины: модуль всестороннего сжатия флюида (во ды) Kf = 2.25 ГПа, модуль всестороннего сжатия частиц материала каркаса Kr = 31. ГПа, модуль всестороннего сжатия пористого вещества K = 4.58 ГПа, модуль сдвига каркаса = 3.17 ГПа, плотность флюида f = 1 г/см3, плотность вещества каркаса s = 2.2 г/см3, коэффициент пористости = 0.25, проницаемость = 2.5·1015 м2, вяз кость жидкости = 0, 001 кг/(м·с). Параметры H, C и M уравнений Био вычисляются по формулам [5] 1 K/Kr Kr H = (1 K/Kr )C + K + 4/3.

M=, C=, 1 K/Kr + (K/Kr 1) M Дисперсионные уравнения для пористого слоя Био между упругими полупространствами При таких параметрах пористого слоя скорости поперечной и быстрой продольной волн на частоте 40 Гц составляют vs1 1260 м/с, vp1 2700 м/с. Для полупро странств = 0, 2 задавались следующие параметры: vp = 2600 м/с, vs = 1200 м/с, = 2.2 г/см3.

Для сейсмической практики могут представлять интерес резонансные явления в волновом поле, связанные с особенностями поведения корней дисперсионных уравне ний рассматриваемой модели среды в случае наличия контакта с проскальзыванием.

Упомянутые резонансные явления в чисто упругих средах ранее исследовались в ра ботах [7–9]. Одной из особенностей, рассмотренной в [7, 8], является возможность воз буждения в упругом слое колебаний типа стоячих волн, которые описываются про стым дисперсионным уравнением sin n = 0 и испытывают резонанс на частоте отсечки 2h n ns = n, n = 1, 2, 3,... [7, 9]. Такие волновые колебания образуются в слое при v расположении источника возбуждения на достаточно большом (по сравнению с дли ной волны) удалении по вертикали H0 до кровли слоя и регистрации поля в области относительно малых горизонтальных удалений (r H0 ). Возбуждение подобных коле баний в пористом слое Био иллюстрируется на рис. 1, где представлены сейсмограммы вертикальной и горизонтальной компонент волнового поля, регистрируемые во внут ренних точках среды вдоль вертикального профиля наблюдения. Источник расположен в верхнем полупространстве на удалении по вертикали до кровли слоя H0 = 1000 м и на расстоянии до профиля наблюдения r =500 м;

мощность слоя 2h = 30 м. При вы числениях использовался импульс с доминирующей частотой f = 40 Гц. Для удобства Рис. 1. Сейсмограммы вертикальной (а) и горизонтальной (б ) компонент волнового поля, реги стрируемые во внутренних точках среды вдоль вертикального профиля наблюдения Ал. А. Ковтун Рис. 2. Вертикальная компонента поля отраженных продольных волн (а) и горизонтальная ком понента поля поперечных волн (б ) интерпретации полного волнового поля отдельно на рис. 2 представлены его составля ющие: вертикальная компонента поля отраженных продольных волн (рис. 2, а) и гори зонтальная компонента поля поперечных волн (рис. 2, б ). Из такого расчленения видно, что интерференционные колебания формируются внутри слоя за счет поля поперечных (обменных) волн, и это поле может переизлучаться во вмещающую среду посредством обмена на границах слоя в поле продольных волн. На рис. 3 показаны кривые ампли тудных спектров поперечной составляющей отраженного волнового поля, вычисленные для горизонтальных удалений r, равных 10, 500 и 1000 м. Относительные интенсивно сти модулей амплитудного спектра составляют соответственно 0.005 (r=10 м), 0. (r=500 м) и 0.015 (r=1000 м). Пики на кривых амплитудных спектров при минималь ном удалении (r=10 м) указывают значения частот вступления колебаний первых трех мод, описываемые формулой fn = nvs, n = 1, 2, 3,...

2h Другой из отмеченных в [8, 9] особенностей является возбуждение источником, рас положенным внутри слоя с проскальзыванием на границах, волн типа Kr. Теоретиче ское описание этих волны было дано в работах П. В. Крауклиса [11, 12]. Образование волн типа Kr в рассматриваемой модели пористого слоя Био с контактом проскальзы вания на границах показано на рис. 4, где приводятся сейсмограммы горизонтальной (рис. 4, а) и вертикальной (рис. 4, б ) компонент волнового поля, регистрируемые в точ ках вертикального профиля наблюдения. Расчеты выполнены для случая расположе ния точечного источника на срединной плоскости слоя при удалении r вертикального профиля наблюдения на 500 м. Дополнительно на рис. 5 и 6 представлены сейсмограм Дисперсионные уравнения для пористого слоя Био между упругими полупространствами Рис. 3. Кривые амплитудных спекторов поперечной составляющей отраженного волнового поля, вычисленные для горизонтальных удалений r : а — 10 м;

б — 500 м;

в — 1000 м Рис. 4. Сейсмограммы горизонтальной (а) и вертикальной (б ) компонент волнового поля, реги стрируемые в точках вертикального профиля наблюдения Ал. А. Ковтун Рис. 5. Сейсмограммы вертикальной (а) и горизонтальной (б ) компонент продольных волновых полей Рис. 6. Сейсмограммы вертикальной (а) и горизонтальной (б ) компонент поперечных отраженных волновых полей Дисперсионные уравнения для пористого слоя Био между упругими полупространствами мы вертикальной и горизонтальной компонент продольных и поперечных отраженных волновых полей соответственно. Значения резонансных частот, связанных с форми (Kr) s1 2, n = 1, 2,..., где nv рованием Kr-мод, определяются формулой [11]: fn = 2h = vs1 /vp1. Частота вступления первой моды Kr при заданных значениях параметров (Kr) слоя fn=1 48.3 Гц согласуется с положением пиков на кривых амплитудных спектров (рис. 7), вычисленных по полю отраженных поперечных волн (см. рис. 6, б ). В случае жесткого контакта на границах, как пористого, так и непористого слоя, волновые яв ления, подобные указанным выше, не возникают.

Рис. 7. Положение пиков на кри вых амплитудных спектров, вычис ленные по полю отраженных попе речных волн Приведенные результаты вычислений волновых полей хорошо (качественно) согла суются с данными моделирования для аналогичных чисто упругих моделей сред в рабо тах [8, 9] и свидетельствуют о том, что в области низких частот модель с диссипативным пористым слоем Био проявляет в целом те же свойства, что и чисто упругая модель.

Указатель литературы 1. Biot M. A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media // J. Acoust. Soc. Amer. 1962. Vol. 34, N 9. P. 1254–1264.

2. Петрашень Г. И., Решетников В. В. Разработка инженерных подходов к изучению ин терференционных волновых полей, возбуждающихся в пачках тонких упругих слоев. (I).

(Возбуждение волновых полей типа SV и обсуждение рациональных методов их коли чественной оценки) // Записки научных семинаров ПОМИ. 1999. T. 253. С. 12–136.

3. Santos J. E., Corbero J. M., Ravazzoli C. L., Hensley J. L. Reection and transmission coef cients in uid-saturated porous media // J. Acoust. Soc. Am. 1992. Vol. 91. P. 1911–1923.

Ал. А. Ковтун 4. Молотков Л. А. Исследования низкочастотных нормальных волн в слое Био, окружен ном упругой средой // Записки научных семинаров ПОМИ. 2009. T. 369. С. 110–126.

5. Молотков Л. А. Исследования распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред. СПб.: Наука, 2001. 347 с.

6. Молотков Л. А. Распространение волн в пористом слое Био с закрытыми порами на границах // Записки научных семинаров ПОМИ. 2008. T. 354. С. 173-189.

7. Решетников В. В., Ковтун Ал. А. Исследования корней дисперсионных уравнений эта лонных моделей слоистых упругих сред с контактом проскальзывания на границах // Вопросы геофизики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2011. Вып. 43. С. 18-42.

8. Ковтун А. А. Численные исследования волновых полей в моделях сред, содержащих границы разделов с контактом проскальзывания // Вопросы геофизики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. Вып. 41. С. 3–19.

9. Ковтун А. А. Об особенностях сейсмического волнового поля в области низких частот в случае тонкослоистых упругих сред с контактом проскальзывания на границах // Вопросы геофизики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. Вып. 42. С. 28-40.

10. Muller T., Gurevich B., Lebedev M. Seismic wave attenuation and dispersion resulting from wave-induced ow in porous rocks — A review // Geophisics. 2010. Vol. 75, N 5. P. 75A147– 75A164.

11. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Об одном типе волн в средах, содержащих поверхно сти ослабленного механического контакта // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1988.

T. 173. С. 113–122.

12. Крауклис П. В., Крауклис А. П., Фатьянов А. Г. Резонансные волны в средах с ослаб ленными границами // Записки научных семинаров ПОМИ. 2008. T. 354. С. 150–156.

Численное моделирование восстановления локальных неоднородностей... Ю. В. Киселев, В. Н. Троян ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЕЙСМИЧЕСКОГО И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ Введение Геофизическая дифракционная томография является методом восстановления па раметров среды, использующим в качестве исходных данных полное волновое поле.


Метод позволяет восстанавливать пространственное распределение искомых парамет ров среды с высоким разрешением [2, 3]. Сейсмические и электромагнитные волны, используемые в качестве зондирующего поля, могут нести информацию о сейсмиче ских параметрах и электрической проводимости подземной среды [2, 5, 6].

В работе рассматриваются результаты численного моделирования восстановления модуля сдвига и электрической проводимости, при этом в качестве зондирующих волновых полей используются нестационарные упругие поперечные волны и низко частотные электромагнитные волны соответственно. Восстановление параметров осу ществляется методом дифракционной томографии в приближении Борна первого по рядка с применением итерационного подхода, что позволяет повысить точность вос становления искомых параметров. Прямые задачи на распространение упругих и элек тромагнитных волн в низкочастотном приближении решаются для двумерных задач конечно-разностным методом.

Метод дифракционной томографии при восстановлении параметров Ламе, массовой плотности (и скоростей распространения упругих волн) с использованием упругого зон дирующего волнового поля, в приближении Борна первого порядка позволяет восста навливать не слишком слабоконтрастные неоднородности размером порядка домини рующей длины зондирующего сигнала [1]. При этом относительная ошибка восстанов ления оказывается приближенно равной отношению величины возмущения параметра к величине такого параметра для опорной среды. В [1] максимальная контрастность неоднородности по скорости распространения продольных волн равна 0.5.

Примеры численного моделирования восстановления локальных неоднородностей электрической проводимости методом дифракционной томографии представлены в [5].

При этом восстановление возмущения электрической проводимости = 104 См/м в опорной среде с таким же значением электрической проводимости с использованием нестационарного зондирующего сигнала с частотой 10 Гц приводит к ошибке восста новления порядка 50 %.

1. Постановка задачи и алгоритм численного моделирования Восстановление упругой неоднородности. В качестве модели среды рассмот рим неоднородное полупространство со свободной поверхностью. В случае двумерной SH-задачи в декартовой системе координат (x, y, z;

e 1, e2, e 3 ) компонента (x, z, t) c Ю. В. Киселев, В. Н. Троян, Ю. В. Киселев, В. Н. Троян x xe волнового поля (x, t) = (x, t)e 2 внутри областей с гладким изменением модуля сдвига и массовой плотности удовлетворяют уравнению + ( · ) + f = 2 (f f(xs, zs, t) = (x xs )(z zs )f (t)), (1) t где (xs, zs ) — положение источника;

f (t) — временная зависимость источника волнового поля. Граничное условие на свободной поверхности = 0. (2) z z= Введем разности (x ) = (x ) rf (x ) и (x ) = (x ) rf (x ) величин (x ) и (x ) x x x x x x x x для искомой среды, в которой распространяется волновое поле L = f, L + ( · ) (3) t x x и величин rf (x ) и rf (x ) для известной опорной среды, в которой распространяется волновое поле rf 2 rf Lrf rf = f, Lrf rf rf rf + ( rf · rf ) rf. (4) t В предположении малости величин и можно записать приближенное равенство Lrf Lrf, (5) где = rf — разностное поле. Правая часть (5) 2 rf Lrf = ( rf ) (6) t может рассматриваться как источник разностного поля. Запишем выражение для раз ностного поля в точке наблюдения x = x r в виде out (x, x r, t )Lin (x, x s, )d dx, x x x x (x s, x r, t) = (7) S где S — область среды, подлежащая восстановлению;

in, out — решения уравнений Lrf in = f, Lrf out = fout (fout = (x xr )(z zr )(t)). (8) x x Введем томографические функционалы p (x, x s, x r, t) и p (x, x s, x r, t):

= out (x, xr, t ) x x x p (x, xs, x r, t) in (x, xs, )d, = out (x, xr, t ) in (x, xs, ) d.

x x x p (x, xs, x r, t) (9) Численное моделирование восстановления локальных неоднородностей... Теперь запишем (7) в виде x x x x x x (x s, x r, t) = [(x )p (x, x s, x r, t) + (x )p (x, x s, x r, t)]dx. (10) S В предположении линейной зависимости = c между и (если известно c) (x s, xr, t) x [p (x, xs, xr, t) + p (x, x s, xr, t)c](x )dx.

x x xx (11) S После дискретизации интегрального уравнения (11) систему линейных уравнений для определения величин (вектор ) запишем в виде P =, (12) где — дискретное представление рассеянного волнового поля.

Окончательно система линейных уравнений после введения регуляризации имеет следующий вид:

[P P + 1 (Bx Bx + Bz Bz ) + 2 C C + 3 D D] = P, (13) где 1, 2, 3 — коэффициенты регуляризации. Матрицы Bx и Bz — конечно-разностные аналоги частных производных второго порядка по переменным x и z соответственно;

C — штрафная матрица на отличные от нуля значения искомого параметра в гранич ных точках области восстановления;

S, D — штрафная матрица на отличные от нуля значения искомого параметра вблизи граничных точек области восстановления.

Итерационный алгоритм состоит в последовательном вычислении величин. На каждом шаге предполагается известной опорная среда. Решение прямых задач на рас пространение волн в опорной среде позволяет построить томографический функцио нал (9). Искомые величины находятся решением системы линейных уравнений (13).

Теперь итерационный процесс может быть остановлен, если, например, найденные ве личины могут рассматриваться как малые, или продолжен. В случае продолжения, величины используются для создания новой опорной среды и выполняется следую щий шаг итерационного процесса.

Восстановление неоднородности электрической проводимости. Численное моделирование восстановления локальных неоднородностей электрической проводимо x сти = (x ), расположенной в однородном пространстве (электрическая проводимость =const, диэлектрическая проницаемость = 0 =const, магнитная проницаемость = 0 =const), выполнено для случая низкочастотного зондирующего сигнала. Элек x x трическое E = E (x, t) и магнитное H = H (x, t) поля в проводящей среде, возбужденные x x точечным током с плотностью j ex = j ex (x, t), расположенным в точке (x = x s ) декар eee товой системы координат (e 1,e 2,e 3 ), описываются уравнениями Максвелла:

H H E =, H = j + j ex, j = E.

E.

t x Электрическое поле E = E (x, t) в среде, содержащей локальную неоднородность x = (x ), может быть получено как решение следующего дифференциального уравне ния в частных производных:

E 1 E LE = LE E + E E j ex,.

t t Ю. В. Киселев, В. Н. Троян Опорная среда предполагается известной (rf ), и электрическое поле E rf удовлетворяет уравнению E 1 E rf Lrf E rf = j ex, Lrf E rf E rf + rf.

t t Предположим, что величина возмущения = rf такова, что можно написать приближенное равенство Lrf E LE rf, E E где E = E E rf — разностное поле. Таким образом, выражение E E E rf E LE rf = t можно рассматривать как источник разностного поля. Компоненты разностного поля Ei (i = 1, 3) запишем в виде E i (x, x r, t ) · LE (x, x s, )d dx.

x x Ex x Ei (x s, x r, t) = S x x Волновые поля E (x, x s, t) и E i (x, x r, t) удовлетворяют соответственно следующим уравнениям:

Lrf E = f = (z zs )f (t)e 1 и Lrf E i = f i e (i = 1, 3), (14) где источник f i определяется следующей формулой:

f f i f i (xr, zr, t) = (x xr )(z zr )(t)e i.

e Вводя томографические функционалы E i (x, x r, t ) · p (x, x r, x s, t) = ix x x E (x, x s, )d, (15) компоненты разностного поля запишем в виде Ei (x s, x r, t) Ei = p dx.

x ix (16) S После дискретизации (16) получим систему линейных уравнений P d = dE (17) x для нахождения вектора d, элементы которого являются искомыми величинами (x ).

Здесь d E — дискретные по времени компоненты волнового поля, рассеянного неодно родностью. Окончательный вид системы линейных уравнений после введения регуля ризации совпадает с системой линейных уравнений (13).

Итерационный алгоритм состоит в последовательном вычислении величин. На каждом шаге предполагается известной опорная среда. Используя опорную среду, вы числяем томографический функционал (15). Решая систему линейных уравнений (17) (после приведения ее к виду, аналогичному (13)), находим. Найденные поправки Численное моделирование восстановления локальных неоднородностей... позволяют получить новую модель среды, которую можно использовать в качестве опорной на следующем шаге итерационного алгоритма при продолжении итерационно го процесса.

2. Результаты численного моделирования Восстановление упругой неоднородности. Рассмотрим результаты численного моделирования на восстановление локальных неоднородностей с использованием ите рационного алгоритма. Результаты восстановления модуля сдвига для двумерной задачи на распространение упругих волн сдвига представлены на рис. 1–3. Кажущаяся частота зондирующего сигнала (импульс Риккера) 25 Гц, при этом доминирующая дли на волны сейсмических колебаний, распространяющихся в опорной среде со скоростью vs = / = 1 км/с, равна 0.04 км. Восстановление неоднородностей с контрастностью 0.44–1.25 для модуля сдвига (0.2–0.5 для vs соответственно) выполнено по данным Рис. 1. Восстановление неоднородности размером порядка длины зондирующего сигнала и кон трастностью 20 % для скорости поперечных волн vs :

а — модель среды, содержащей неоднородность;

б, г — результаты восстановления после первого и тре тьего шагов соответственно;

в — разность приращения модуля сдвига µs на третьем и втором шагах Ю. В. Киселев, В. Н. Троян Рис. 2. Восстановление протяженной неоднородности с контрастностью 50 % для vs :

а — модель среды, содержащей неоднородность;

б,г — результаты восстановления после первого и чет вертого шагов соответственно;

в — разность приращения модуля сдвига µs на четвертом и третьем шагах обратного рассеяния. Источники и точки наблюдения расположены на свободной по верхности (z = 0), на линии наблюдений, совпадающей с осью x декартовой системы ко ординат. Источник и точки наблюдения расположены в точках, равных 0.5, 0.7, 0.9 км.

Для восстановления неоднородностей используется девять пар источник-приемник.

На рис. 1 представлены результаты восстановления неоднородности размером по рядка длины волны зондирующего сигнала (после 1-го и 3-го шагов итерационной про цедуры). После 2-го и 3-го шагов итерационного процесса относительная ошибка восста новления модуля сдвига не превышает 0.2, но после 3-го шага (рис. 1, г) положение максимума неоднородности ближе к его положению для модельной неоднородности, чем после первого (рис. 1, б).

Результаты первой и четвертой итераций при восстановлении протяженной неодно родности представлены на рис. 2. После первого (четвертого) шага итерационного ал горитма относительная ошибка восстановления неоднородности модуля сдвига = 0. (0.24). После добавления к рассеянному неоднородностью волновому полю гауссовского Численное моделирование восстановления локальных неоднородностей... Рис. 3. Восстановление неоднородности со сложной геометрией с контрастностью 20 % для скорости поперечных волн vs :

а — модель среды, содержащей неоднородность;

б,г — результаты восстановления после первого и чет вертого шагов соответственно;

в — разность приращения модуля сдвига µs на четвертом и третьем шагах шума со стандартным отклонением 0.1 от максимальной величины рассеянного поля относительная ошибка восстановления после четвертого шага возрастает до 0.34.

Восстановление неоднородности со сложной геометрией представлено на рис. 3.

Восстановление неоднородности электрической проводимости. Рассмотрим результаты восстановления неоднородности электрической проводимости в двумерном случае после одного шага определения величины возмущения опорной среды. Источ ник из правой части уравнения (14) генерирует нестационарную плоскую волну с кажу щейся частотой 10 Гц и с отличной от нуля компонентой электрического поля E1. Мо дель среды и результаты восстановления представлены на рис. 4. Зондирующее плоское волновое поле распространяется в однородном пространстве с электрической проводи мостью = 104 См/м, содержащем неоднородность с максимальной электрической проводимостью и = 104 См/м и 10 км соответственно (рис. 4, а). Центр неоднород ности расположен в точке с координатами x = 0 км, z = 10 км, при этом расстояние Ю. В. Киселев, В. Н. Троян Рис. 4. Восстановление неоднородности электрической проводимости:

а — модель неоднородности электрической проводимости;

б–г — результаты восстановления с исполь зованием 7 точек наблюдения (x = 7.5, 5.0, 2.5, 0.0, 2.5, 5.0, 7.5 км) центра неоднородности от линии наблюдения (z = 0 км) равно 10 км. Восстановление с использованием метода дифракционной томографии и двух компонент (E1 и E3 ) элек трического поля (рис. 4, б) дает ошибку восстановления порядка 50 %. Восстановление с использованием E1 и E3 компонент представлено на рис. 4, в и рис. 4, г соответственно.

Результаты восстановления в одномерном случае с использованием итерационного алгоритма представлены на рис. 5. Восстановление выполнено с тем же самым зондиру Численное моделирование восстановления локальных неоднородностей... Рис. 5. Восстановление электрической проводимости с использованием итерационной процедуры при различной контрастности относительно опорной среды:

1 — модель неоднородности;

2–6 — кривые с номерами, равными числу итераций + ющим сигналом, что и предыдущее численное моделирование. Электрическая проводи мость опорной среды = 104 См/м. Наблюдение проводилось в точке z = 0. На рис. представлены результаты восстановления неоднородностей с различным контрастом относительно опорной среды. Ошибка восстановления после пяти шагов итерационной процедуры менее 10 %.

Указатель литературы 1. Киселев Ю. В., Троян В. Н. Численное моделирование в задачах дифракционной томо графии // Вопросы геофизики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. Вып. 35. С. 25–38.

2. Рыжиков Г. А., Троян В. Н. Томография и обратные задачи дистанционного зондиро вания. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1994. 220 с.

3. Devaney A. J. Reconstructive tomography with diracting wave elds // Inverse Problems.

Vol. 2. 1986. P. 161–183.

4. Kiselev Yu. V., Troyan, V. N. Numerical study of restoration of local elastic inhomogeneities by iterative approaches based on the diraction tomography method. Proc.: of the Interna tional Seminar «Day on Diraction 2004», St. Petersburg, Russia, June 29 – July 2, 2004.

SPbU. 2004. P. 127–131.

5. Troyan V., Hayakawa M., Kiselev Yu. Restoration of seismic parameters and electrical con ductivity by the diraction tomography method // Physics and Chemistry of the Earth.

Vol. 31, Issue 4–9. 2006. P. 268–272.

6. Zhdanov M. S. Electromagnetic geophysics: Notes from the past and the road ahead // Geo physics. Vol. 75. 2010. P. 75A49–75A66.

Вопросы геофизики. Выпуск 45. СПб., 2012 — (Ученые записки СПбГУ;

№ 445) А. Б. Проневич, С. Дель, Б. М. Каштан ПОСТРОЕНИЕ МИГРАЦИОННЫХ ФОРМУЛ В ОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ Введение Дифрагированные волны несут важную информацию о структурных особенностях среды, представляющих большой интерес для сейсморазведки. Эту информацию мож но использовать при построении сейсмических изображений геологических сред, в том числе изображений небольших объектов, а также можно получить подробную скорост ную модель среды. Но до настоящего времени при построении сейсмических изобра жений (при миграции) зачастую полагалось, что рассматриваемая среда изотропна.

Однако большинство изучаемых объектов включают анизотропию. Поэтому её необхо димо учитывать при обработке и интерпретации сейсмических данных.

Наиболее часто используемым уравнением для расчета годографа дифрагированной волны является классическое уравнение «двойного квадратного корня (DSR equation)».

Уравнение «двойного квадратного корня» получено в приближении, что проекция точ ки дифракции на поверхность совпадает с координатой точки прихода наибыстрого лу ча. Но такое упрощение не всегда верно для многих геологических моделей. На рис. показаны точки дифракции в сильно анизотропной среды. Пунктирной линии соответ ствует дифракционный отклик в случае однородной изотропной среде. Как видно из рисунка, время хода наибыстрого луча совпадает с вертикальным и картинка симмет рична относительно вертикальной оси. Сплошной линии соответствует дифракционный отклик в однородной эллиптически анизотропной среде. В этом случае время хода наи быстрого луча не совпадает с вертикальным. Наибыстрый луч приходит на поверхность под углом 35 град. Это указывает на то, что вершина годографа дифрагированной вол ны сдвинута вбок относительно положения точки дифракции.

Несмотря на то, что нет приближенного уравнения для годографа дифрагирован ной волны в анизотропной среде, в качестве последнего чаще всего используется вы ражение, полученное в [2] для годографа рефрагированной волны. Это приближение представляет собой обычное уравнение «двойного квадратного корня», разложенное до члена 4-го порядка. Однако это уравнение выведено в предположении, что наибыстрый луч совпадает с вертикальным. Но такое допущение, как говорилось выше, не всегда верно.

Мы предлагаем параметризовать уравнение годографа дифрагированной волны че тырьмя параметрами: лучевым углом, соответствующим наибыстрому лучу, лучевой скоростью вдоль этого луча, первыми и вторыми производными лучевой скорости по отношению к их углу. Этих четырех независимых параметров достаточно для описа ния времен прихода дифрагированных волн в произвольной однородной анизотропной среде. Полученное приближение можно использовать также для параметризации опе ратора временной миграции.

c А. Б. Проневич, С. Дель, Б. М. Каштан, Построение миграционных формул в однородной упругой анизотропной среде Рис. 1. График времени хода, когда точка дифракции находится в сильно анизотропной среде с вертикальной осью симметрии 1. Теория Рассмотрим случай произвольной однородной анизотропной среды по схеме наблю дений, представленной на рис. 2, где x и z определяют положение дифрактора, нахо дящегося под дневной поверхностью, x0 — точка измерения на поверхности, куда луч приходит с наименьшим временем, и x1, x2 — координаты источника и приемника на дневной поверхности соответственно. Применив теорему Пифагора, получим время хо да луча от источника к приемнику, т. е. от точки x1, z = 0 через x, z до x2, z = 0:

r1 r +, (1) t= (1 ) (2 ) где r1 и r2 — расстояние от дифрактора до источника и приемника соответственно;

(1,2 ) — лучевые скорости, соответствующие лучевым углам 1,2. Введем смещение:

x = x0 x.

Расстояния r1 и r2 выразим в следующем виде:

t2 (x x1 )2 + z 2 = + (x0 x1 )2 2x(x0 x1 ), r1 = t2 (x2 x)2 + z 2 = + (x2 x0 )2 + 2x(x2 x0 ).

r2 = (2) Разложим лучевую скорость в ряд Тейлора в окрестности луча с наибольшей ско ростью по отношению к его углу. Для вычисления скорости прямого и обратного хода луча получим выражение:

1 (1 0 )2, (1 ) (0 ) + (1 0 ) + 2 0 А. Б. Проневич, С. Дель, Б. М. Каштан Рис. 2. Схема наблюдений 1 (2 0 )2.

(2 ) (0 ) + (2 0 ) + (3) 2 0 Введем обозначения:

1 (0 ) = 0, A=, B=, 20 0 0 получаем следующее выражение для лучевых скоростей:

(1 ) 0 (1 + A(1 0 ) + B(1 0 )2 ), (2 ) 0 (1 + A(2 0 ) + B(2 0 )2 ), (4) которое подставляем в уравнение (1):

(x x1 )2 + z t= + 0 (1 + A(1 0 ) + B(1 0 )2 ) (x2 x)2 + z +. (5) 0 (1 + A(2 0 ) + B(2 0 )2 ) Полученное приближение зависит от координат точки дифракции, находящейся под дневной поверхностью (x, z), координат источника и приемника (x1, z = 0), (x2, z = 0), первой и второй производной лучевой скорости по углу (A и B) изменения угла 0, и лучевой скорости наибыстрого луча 0. Но это приближение сложно реализовать на практике при обработке сейсмических данных. Поэтому введем временное приближение для годографа дифрагированной волны.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.