авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 ||

«Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ П. А. Жилин ...»

-- [ Страница 15 ] --

Пример: диада mn, где один вектор полярен, а другой — аксиален. Встреча ются, но, видимо, не описаны в алгебре объекты и других типов. Например, второй метрический тензор b = n не является ни полярным, ни акси альным. Будем называть его n-ориентированным, поскольку он зависит от выбора ориентации на прямой, натянутой на вектор нормали n. Дискрими нантный тензор c = a n назовем аксиальным n-ориентированным. Он J.6. Связи между двумерными и трехмерными характеристиками зависит от выбора двух ориентаций: в трехмерном пространстве и на пря мой ±n. В данном случае полярными (не зависящими от выбора ориентации) тензорами являются:, K, U, W, u, V,, T0, T, a, C1, C3,, 2.

Аксиальными (зависящими от выбора ориентации в трехмерном про странстве) тензорами будут:,, M, M0, C2, 1, b · c = n n и т. д.

Полярными n-ориентированными являются: = e · n;

N = T · n;

N0, 1.

Заметим, что zb — полярен, а zc — аксиален, ибо z есть n-ориентированный скаляр. Тип тензора играет важную роль при определении его группы сим метрии.

Определение 1. Ортогональным преобразованием S тензора k-го ранга S называется:

k а) S Q · S Sm1 ···mk Q · em1 · · · Q · emk, если S полярен;

k б) S (det Q) Q · S, если S аксиален;

k в) S Q · S, если S n-ориентирован;

k г) S (det Q) Q · S, если S аксиален и n-ориентирован.

Здесь ek — базис в трехмерном пространстве;

= 1, если Q не ме няет ориентации на прямой ±n;

= 1, если Q меняет ориентацию на упомянутой прямой. В дальнейшем будут встречаться только такие ор тогональные тензоры Q, которые не “поворачивают” n : Q · n = ±n.

Поэтому в пунктах в) и г) можно принять = n · Q · n.

Определение 2. Группой симметрии (ГС) тензора S называется мно жество Qs ортогональных решений уравнений S = S, где S задан, а ищут ся тензоры Q : Q · QT = QT · Q = E.

J.6. Связи между двумерными и трехмерными характеристиками Простая оболочка является моделью, в которой кинематические и дина мические переменные вводятся априорно. Однако их можно выразить, хотя и неединственным образом, через характеристики трехмерной среды.

Стандартным образом устанавливаются формулы T = 1 ·, M = 1 · · cz, где — тензор напряжений в трехмерной среде.

Приложение J. Неклассическая теория упругих оболочек Перемещения и повороты можно найти как решения системы (u + T · ) = u ;

( 1 · u + 2 · ) = u z · c, (J.23) где u — вектор смещения частиц трехмерной среды.

Если продифференцировать (J.23) по времени, то в левых частях (J.23) будут стоять соответственно плотности количества движения и кинетическо го момента для модели, а в правых частях — то же для трехмерной среды.

Наконец, формулы для F и L имеют вид F = F + + + + ;

+ ;

;

n n z=+h/2 z=h/ h n (+ + ), L = n F z + n n где F — вектор массовых сил в трехмерной среде;

+ и — векторы напря n n жений, приложенные к верхней и нижней стороне оболочки.

J.7. Определение тензоров упругости и “начальных” напряжений J.7.1. Группа симметрии простой оболочки.

Принцип Кюри–Неймана Практически вся информация о физических свойствах простой оболоч ки заключена в энергии деформации W(, k, ). Поэтому локальной группой симметрии (ЛГС) простой оболочки уместно назвать множество ортогональ ных преобразований тензоров деформации, оставляющих W неизменной, W(, k, ) = W(, k, ), (J.24) где тензоры, k, имеют вид = Q · · QT ;

k = (det Q)Q · k · QT ;

= (n · Q · n)Q ·. (J.25) Ортогональные преобразования (J.25) даны в соответствии с типом рас сматриваемых объектов. Согласно (J.24) и (J.17) определением ЛГС простой оболочки является множество ортогональных решений системы уравнений 4 4 Q · C1 = C1 ;

(det Q) Q · C2 = C2 ;

Q · C3 = C3 ;

1 1 Q · · QT = ;

(n · Q · n) Q · 1 = 1 ;

(J.26) (n · Q · n)(det Q) Q · 2 = 2.

J.7. Определение тензоров упругости и “начальных” напряжений Предположим, что тензоры упругости известны, тогда можно установить ЛГС. И наоборот, если известна ЛГС, то по (J.26) можно найти структу ру тензоров упругости. Задача состоит в установлении хотя бы отдельных элементов ЛГС. В данном случае существенную помощь оказывает прин цип Кюри–Неймана [151]: группа симметрии причины является подгруппой группы симметрии следствия.

В данном случае ГС “следствия” содержит ГС “причины”, т. е. пересечение групп симметрии: 1) материала, из которого изготовлена оболочка;

2) гео метрической формы срединной поверхности в данной точке;

3) внутреннего строения оболочки по толщине (многослойность и т. п.).

Установим сначала ЛГС срединной поверхности в рассматриваемой точ ке. Поскольку поверхность определяется с точностью до жестких движений заданием первого a и второго b метрических тензоров, то ЛГС поверхности находится как множество ортогональных решений системы уравнений Q · a · QT = a;

(n · Q · n)Q · b · QT = b. (J.27) В общем случае поверхности решениями (J.27) являются только следую щие ортогональные тензоры:

n n e 1 e 2 + e2 e 1 ;

n n + e 1 e 2 e2 e 1 (J.28) E;

и их возможные произведения, где e1 и e2 — главные оси b. Множество (J.28) содержит весьма мало элементов, в то же время ЛГС “причины” не может быть шире, чем (J.28). Допустим, что (J.28) принадлежит к группе симмет рии материала и внутреннего строения. Тогда по принципу Кюри–Неймана (J.28) принадлежит к ЛГС простой оболочки. Это, в свою очередь, возможно только в том случае, когда 1 = 0;

2 = 0. Принадлежность (J.28) к группе симметрии тензоров C1, C2, C3,, конечно, упрощает их структуру, но они остаются достаточно сложными. Таким образом, только соображения сим метрии оказываются недостаточными для эффективного определения тензо ров упругости при сохранении необходимой общности.

J.7.2. Структура тензоров упругости для “тонких” простых оболочек Простая оболочка моделирует трехмерные тела, толщина h которых мала в сравнении с радиусами кривизны срединной поверхности. Ранее малость h в рассуждениях не использовалась. Теперь это стало необходимостью. Тензо ры упругости зависят от ряда размерных и безразмерных параметров. Если Приложение J. Неклассическая теория упругих оболочек материал оболочки изотропен, то они зависят от модуля Юнга E (или от модуля сдвига G = E/[2(1 + )]) и коэффициента Пуассона. Кроме то го, они зависят от h и тензора b · c (можно вместо b · c использовать b — это не меняет результата, но усложняет построения). Можно было бы так же предположить зависимость от, 1, 2, но легко доказать обратное.

Таким образом, в рассматриваемом случае тензоры упругости есть функции Ci = Ci (E,, h, b · c), = (E,, h, b · c), i = 1, 2, 3. Другие аргументы в Ci и не входят. Используя -теорему [225], легко доказываем представления Eh Eh C (hb · c, );

C (hb · c, );

C1 = C2 = 1 1 12(1 2) (J.29) Eh C (hb · c, );

= Gh (hb · c, ).

C3 = 12(1 2) Безразмерные множители (1 2 )1 и числовые коэффициенты введены для удобства. Безразмерный тензор-аргумент hb · c в (J.29) мал по норме:

h2 h ||f || f · · f T ;

||hb · c||2 = + 1, R2 R 1 где R1, R2 — радиусы главных кривизн.

Примем теперь допущение, что переход от “искривленной” оболочки к пластине совершается непрерывно. Тогда в окрестности нуля нормы тензора hb · c возможны следующие разложения:

Eh (0) (1) C1 = C1 + C1 · · (hb · c) + O(||hb · c||2 ) ;

(J.30) 1 Eh2 (0) (1) C2 = C2 + C2 · · (hb · c) + 12(1 2 ) (J.31) (2) + (hb · c) · · C2 · · (hb · c) + O(||hb · c|| ) ;

Eh3 (0) (1) C3 = C3 + C3 · · (hb · c) + 12(1 2 ) (J.32) (2) + (hb · c) · · C3 · · (hb · c) + O(||hb · c|| ) ;

= Gh (0) + (1) · · (hb · c) + O(||hb · c||2 ), (J.33) (k) где тензоры Ci, (k) (i = 1, 2, 3;

k = 0, 1, 2) зависят только от коэффициен та Пуассона. В разложения (J.30)–(J.33) вошли только целые степени hb · c, J.7. Определение тензоров упругости и “начальных” напряжений ибо только целые степени аксиального тензора имеют физический смысл. Эти допущения менее ограничительны, чем принятые в литературе [226, 227]. В дальнейшем поправками O(||hb · c||2 ) по сравнению с единицей будем прене брегать, если это не противоречит физическим соображениям. В (J.32) тензор · · (2) · (hb· c)· · C3 · · (hb· c) дает слагаемые, выходящие за пределы принятой точ ности;

его назначение — обеспечение положительности энергии деформации.

(k) Тензоры Ci зависят только от материала и строения простой оболочки в данной точке-частице, поэтому их группы симметрии существенно расши ряются. Действительно, в данном случае отпадает необходимость рассматри вать уравнения (J.27), определяющие ЛГС срединной поверхности. Допустим теперь, что материал оболочки трансверсально-изотропен (n — ось изотро пии), а ее строение таково, что при b 0 касательная плоскость к срединной поверхности является плоскостью симметрии. Тогда группа симметрии “при (k) чины”, порождающей тензоры Ci, (k), но не сами тензоры Ci,, содержит Q = ±n n + q;

q · qT = a;

q · n = n · q = 0, (J.34) которые по принципу Кюри–Неймана принадлежат к группе симметрии (k) “следствия” тензоров Ci, (k). Рассмотрим тензор Q = n n + q, содер (1) (0) (2) (1) жащийся в (J.34). Аксиальные тензоры C1, C2, C2, C3, (1) допускают этот тензор своим элементом симметрии только в том случае, если они равны нулю.

(1) Например, для тензора C1 имеем 6 (1) (1) (1) (det Q) Q · C1 = C1 C1 = 0 (det Q = 1).

Таким образом, доказаны равенства (1) (0) (2) (1) (1) = 0.

C1 = 0;

C2 = 0;

C2 = 0;

C3 = 0;

Поэтому тензоры C1, C3, с ошибкой O(||hb · c||2 ) могут быть найдены из экспериментов с пластинами. Тензор C2 может быть определен только из экспериментов с “искривленными” оболочками. Рассмотрим теперь тензор Q = n n + cos a sin (e1 e2 e2 e1 ), (J.35) где ортонормированные векторы e1, e2, n образуют правый трехгранник. Тен зор (J.35) осуществляет поворот вектора m (m · n = 0) на угол вокруг n;

он содержится в (J.34) и, следовательно, принадлежит группе симметрии Приложение J. Неклассическая теория упругих оболочек (0) (1) (0) (2) евклидовых тензоров C1, C2, C3, C3, (0). Это означает, что они удовле творяют уравнениям 4 4 (0) (0) (0) (0) (2) (2) Q · C1 = C1 ;

Q · C3 = C3 ;

Q · C3 = C3 ;

1 1 (J.36) 6 (1) (1) (0) (0) Q · Q· ·Q = = C2 ;

T C2, где Q определяется формулой (J.35). Тензоры, удовлетворяющие условиям типа (J.36), называются трансверсально-изотропными. Нахождение решения уравнений (J.36) при условии (J.35) не содержит принципиальных трудно стей, но требует сравнительно громоздких вычислений. Поэтому ограничим ся только окончательными формулами Eh C1 = A1 a a + A2 (r r r r + 1 + r a r a a) + A3 c c ;

Eh C2 = B1 hHa c + B2 hH(r c r + c r a r ) + 6(1 2) + B3 ha (b · c Hc) + B4 h(b · c Hc) a + B5 h(b Ha) c ;

(J.37) Eh C3 = C1 c c + C2 (r r r r + 12(1 2) + r a r a a) + (C3 + h2 H2 C4 )a a ;

1 = Gh0 a;

2H1 = +.

R1 R При выводе этих формул допускалась погрешность O(||hb · c||2 ) и учиты валось, что тензоры C1, C3, — симметричны. Поскольку C1 удовлетворяет условию аполярности (J.22), то A3 = 0. Модуль C3 может быть найден из экспериментов с пластинами, но для них M = a · z · c M · · a = · · cz = 0 C3 = 0.

Дальнейшее упрощение (J.37), видимо, невозможно. Для однослойных оболочек модули A1, A2, C1, C2, C4, 0, B1,..., B5 зависят только от коэф фициента Пуассона, а для многослойных симметричного строения оболочек они могут зависеть от относительных модулей упругости материала и отно сительных толщин слоев.

J.7. Определение тензоров упругости и “начальных” напряжений J.7.3. Структура тензоров “начальных” напряжений В линейной теории свободная энергия является квадратичным функци оналом, а тензоры T0, M0, N0 — линейными функционалами от внешних нагрузок. В локальной теории они могут зависеть только от поверхностных и двух первых моментов объемных нагрузок в данной точке-частице простой оболочки. Приходим к следующим линейным зависимостям общего вида:

P k = Lk1 · + + Lk2 · + Lk3 · F + Lk4 · F z ;

n n (J.38) P 1 T0 ;

P 2 M0 ;

P 3 N0 ;

(k = 1, 2, 3), где Ls — тензоры третьего, а L3s — тензоры второго ранга, удовлетворяющие условиям n · Lps = 0;

n m · · Ls = 0;

(J.39) p = 1, 2, 3;

= 1, 2;

s = 1, 2, 3, 4;

вектор m — ортогонален n.

С ошибкой O(||hb · c||2 ) тензоры Lps можно определить из экспериментов с пластинами. Пониженная точность при их определении оправдывается тем, что, как правило, поправка, вносимая T0, M0 и N0 в полные тензоры T · a, M, N, сама является малой. В принципе, не составляет труда найти и более точные формулы для Lps, если использовать технику преобразований, из ложенных ранее. Поскольку материал оболочки трансверсально-изотропен, то такими же должны быть и тензоры Lps (с ошибкой O(||hb · c||2 )). Общее выражение таких тензоров с учетом (J.39) имеет вид L1s = L1s a n;

L2s = L2s c n;

L3s = L3s a. (J.40) Дальнейшее упрощение структуры тензоров T0, M0 и N0 достигается следующим образом. Произведем отражение от касательной плоскости и за пишем закон (J.38) для отражения величин. Он должен остаться тем же, но место + займет ( ), а место — ( + ). Тогда n n n n T0 = L11 · ( ) + L12 · ( + ) + L13 · F + L14 · F z.

n n Используя первое определение ортогонального преобразования и учиты вая, что отражение производится тензором Q = n n + a, получаем ( ) Q · ;

+ Q · ;

T 0 = Q · T 0 · QT = T 0 ;

n n n n Q · F ;

F z Q · F z ;

(J.41) F T0 = L11 · L12 · + L13 · F + L14 · F z.

n n Приложение J. Неклассическая теория упругих оболочек В данном случае было учтено, что тензоры L1s имеют вид (J.40). Доби ваясь совпадения (J.41) с первой формулой (J.38), получим L11 = L12 L11 = L12 ;

L1s = 0 L13 = 0.

Аналогичные рассуждения проводятся и для остальных величин. Таким образом, окончательный вид тензоров “начальных” напряжений T0 = hL1 a[n · ( + )] + L a F · nz ;

n n M0 = h2 L2 c[n · ( + )] + h2 L F · n c;

n (J.42) n N0 = hL3 a · ( + ) + L a · F n, n n где Li и L — безразмерные “модули”, зависящие для многослойных оболочек i только от коэффициента Пуассона. Все они могут быть найдены из экспери ментов с пластинами.

J.7.4. Некоторые частные случаи Важное для приложений значение имеет простейшая теория оболочек, описывающаяся наименьшим числом отличных от нуля упругих модулей, при которых энергия деформаций остается положительно определенной функци ей. Необходимыми условиями положительности являются неравенства (J.43) A1 0;

A2 0;

C1 0;

C2 0;

0 0.

Если все остальные модули в (J.37) принять равными нулю, то условия (J.43) будут достаточными. Для однослойных оболочек из изотропного мате риала справедливы формулы A1 + A2 = C1 + C2 = 1;

A1 A2 = C1 C2 = ;

(J.44) (1) (2) = /12;

= 5/(6 ).

0 (1) Здесь приведены два значения для 0 : 0 рекомендуется как стандарт ное, но в задачах с ярко выраженным изгибом целесообразнее использовать (2) 0. Если принять 0, то простейшая теория пластин переходит в тео рию Койтера–Сандерса.

Приведем значения упругих модулей для тонких трехслойных оболочек симметричного строения. Примем обозначения: h1, E1, 1, G1 = E1 /2(1+) — полутолщина и модули упругости материала внутреннего слоя (заполнителя);

J.7. Определение тензоров упругости и “начальных” напряжений h2, E2, 2, G2 = E1 /2(1 + ) — толщина и модули одного внешнего слоя;

2h = 2(h1 + h2 ) — толщина трехслойного пакета, h1 = h;

h2 = (1 )h.

Тогда модули трехслойной оболочки можно определить по формулам Eh E1 h1 E2 h2 Eh E1 h1 E2 h A1 = + ;

A2 = + ;

(J.45) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 + 1 1 + E2 (h3 h3 ) Eh3 E1 h C= + ;

1 2) 12(1 3(1 1 ) 3(1 2 ) (J.46) E2 (h3 h3 ) Eh3 E1 h C= + ;

1 2) 12(1 3(1 + 1 ) 3(1 + 2 ) 2 Eh [Gh0 ] = 2 (J.47) C2, h 12(1 2 ) где — положительный корень уравнения G2 sin[(1 )] sin[] G1 cos[(1 )] cos[] = 0.

В (J.45)–(J.47) выражения, стоящие в квадратных скобках, следует пони мать как единые символы — только они входят в (J.37).

Модуль Gh0 удовлетворяет неравенству 2 G1 h1 G2 h2 [Gh0 ] (G1 h1 + G2 h2 ). (J.48) 6 4G1 h1 + G2 h2 Левая часть этого неравенства представляет собой жесткость на попе речный сдвиг, вычисленную по схеме последовательного включения слоев, а правая — по схеме параллельного включения. Если Gh0 близка правой ча сти (J.48), то для всего пакета слоев (h — мало) можно применять обычные кинематические гипотезы. В противном случае — нельзя.

Если однослойную оболочку нельзя считать тонкой (h/R 0, 1 0, 7), следует учитывать все модули, входящие в (J.37) и (J.42). Они определяются равенствами L1 = ;

L2 = ;

L3 = 1 0 ;

C4 = ;

2(1 ) 12(1 ) (J.49) (1 + ) 1+ 1 B1 = ;

B2 = 0;

B3 = ;

B4 = ;

B5 =.

2(1 ) 2 4 Кроме того, к ним следует присоединить формулы (J.44). Приняв (J.44), (J.49), энергия деформации будет положительно определена при выполнении Приложение J. Неклассическая теория упругих оболочек неравенств 1 12 ) 12(1 2 );

1 ;

h R1 R2 2 2 1 + h h2 h 1 1 1 1 1 1 + 1 2.

1 12 R1 R2 R1 R2 12 R1 R При 2 1/2 эти неравенства практически не налагают ограничений на параметры оболочки.

J.8. Уравнения неразрывности В работах [68,228] введены тензоры деформации (J.19), для которых полу чены уравнения неразрывности. Однако последние при наличии ограничений (J.12) становятся неудобными, поскольку в этом случае тензоры деформации приобретают вид (J.20). Уравнения неразрывности для тензоров, k, име ют вид · c · [ · (c · )] + tr b · c · [k + (c · )] = 0;

· (c · k) · a b · c · · (c · ) + (b · c)2 · = 0;

· (c · ) + tr (k + b · c · ) = 0.

Вследствие принятия гипотез типа Кирхгофа–Лява ( = 0) эти уравне ния переходят в общепринятые.

Жилин Павел Андреевич РАЦИОНАЛЬНАЯ МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД Учебное пособие Редактор Е. А. Пряникова Технический редактор А. И. Колодяжная Дизайн обложки Т. М. Ивановой Оригинал-макет подготовлен редакционной коллегией Свод. темплан 2010 г.

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, т. 2;

953005 — учебная литература Подписано в печать 14.11.2011. Формат 70100/16.

Усл. печ. л. 47,0. Тираж 100. Заказ 8332 b.

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет.

Издательство Политехнического университета, член Издательско-полиграфической ассоциации университетов России.

Адрес университета и издательства:

195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29.



Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.