авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ П. А. Жилин ...»

-- [ Страница 7 ] --

Между тем, этот случай в приложениях встречается относительно редко, если не считать случая одного симметричного тензора. Значительно чаще встре чаются случаи, когда, например, один вектор системы является полярным, а другой аксиальным, как это имеет место в электродинамике. В теории обоб щенного континуума Коссера рассматривается ситуация, когда одна мера де формации является полярным тензором, а вторая — аксиальным тензором.

Чтобы включить эти случаи в рассмотрение, необходимо модифицировать существующую теорию симметрии, что и сделано в данной главе. Подход, использованный здесь, является в известной мере новым, хотя отдельные ас пекты теории ранее рассматривались в теории непрерывных групп. В основе построений лежит новое определение инварианта тензора, которое для ев клидовых тензоров переходит в классическое. Далее выводится уравнение в частных производных первого порядка, интегралы которого дают все инва рианты рассматриваемой системы тензоров. Сформулирована теорема о ми нимальном числе функционально независимых инвариантов, составляющих функциональный базис на множестве инвариантов. Приведены примеры кон кретных систем тензоров.

Глава Микрополярная теория бинарной среды с приложением к течению волокнистой суспензии Введение При изготовлении формованием термопластиков, усиленных короткими волокнами, в стадии заливки наблюдается течение с фазовыми переходами.

Механические свойства конечного продукта существенно зависят от обуслов ленных течением распределения и ориентации частиц. Поэтому создание мо дели течения, которая дала бы возможность предсказать формирование во локнистой микроструктуры, имеет большое значение, в частности, для ана лиза и конструирования несущих нагрузку элементов.

Данная глава посвящена анализу существующих моделей, описывающих поведение волокнистых суспензий, а также построение модели, в которой про цесс заливки трактуется как течение бинарной среды, состоящей из частиц жидкости (жидкая компонента) и взвешенных частиц-фибр (твердо-жидкая компонента), при наличии фазовых переходов. Чтобы принять во внимание явление прилипания частиц жидкости к фибрам, плотность частиц и плот ность массы рассматриваются как независимые функции. Жидкая компо нента считается неполярной вязкой жидкостью с несимметричным тензором напряжений. Состояние твердо-жидкой компоненты описывается антисим метричным тензором напряжений и антисимметричным тензором моментных Материал этой главы основан на двух статьях [94, 95]: H.

Altenbach, K. Naumenko, P. A. Zhilin “A Micro-polar theory for binary media with application to ow of ber suspensions” (Proceedings of XXX Summer School – Conference “Advanced Problems in Mechanics”. — St. Petersburg, Russia, 2003. — P. 39–62), H. Altenbach, K. Naumenko, P. A. Zhilin “A micro polar theory for binary media with application to phase-transitional ow of ber suspensions” (Continuum Mechanics and Thermodynamics. — 2003. Vol. 15, N 6. — P. 539–570). Обе статьи написаны на английском языке. Перевод с английского Е. А. Ивановой. (Примеч. ред.) Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды напряжений. Учитываются силы вязкого трения между компонентами. Что бы учесть явление прилипания, уравнения движения формулируются для открытой физической системы. Химический потенциал вводится исходя из приведенного уравнения баланса энергии. Второй закон термодинамики фор мулируется посредством двух неравенств в предположении, что компоненты могут иметь различные температуры2. Чтобы принять во внимание фазовые переходы типа жидкость–твердое тело, происходящие в процессе течения, предлагается модель сжимаемой жидкости и определяющее уравнение для давления. В заключение формулируется система основных уравнений, чис ленное решение которых должно смоделировать процесс заливки. Обсужда ются частные случаи предложенной системы, которые получаются посред ством принятия ограничивающих предположений.

5.1. Современное состояние вопроса 5.1.1. Экспериментальные факты В последние годы во многих отраслях промышленности, таких как ав томобилестроение, производство насосов и так далее, существенно увеличи лось использование термопластиков, усиленных короткими фибрами (длина фибры около 0,1–1 мм, диаметр фибры около 0,01 мм, объем фракции фибр 15–40 %) [96–99]. Различные несущие нагрузку элементы (обычно тонкостен ные конструкции) изготавливаются из этих материалов методом литьевого формования.

Производственный процесс вызывает особый интерес благодаря высокой автоматизации, относительно короткому времени цикла и низкой стоимости продукции. Кроме того, главное преимущество этого процесса перед другими методами производства композитов заключается в возможности серийного производства предметов с заданной геометрией любой сложности.

Следует отметить, что механические свойства материалов, усиленных ча стицами, значительно уступают механическим свойствам материалов, уси ленных континуальными фибрами. Кроме того, жесткость и прочность уси ленных короткими фибрами композитов и тонкостенных конструкций, из Взгляды П. А. Жилина на второй закон термодинамики существенно менялись, и все нюансы его отношения ко второму закону термодинамики нашли отражение в данной книге. Помимо данной главы, о втором законе термодинамики см. также в первой главе (разд. 1.8), во второй главе (подразд. 2.5.3) и третьей главе (разд. 3.4), где отражены взгляды последних лет (2000–2005 гг.), в шестой главе (подразд. 6.5.6), время написания которой в точности не известно. (Примеч. ред.) 5.1. Современное состояние вопроса а) б) Полость формы Загрузочная воронка Шнек Барабан в) г) Изложница Рис. 5.1. Основные стадии производственного цикла литьевого формования:

а — стадия заливки;

б — стадия консервирования;

в — стадия охлаждения;

г — извлечение (подробности см. [97, 103]) готовленных из этих материалов, в значительной степени зависят от ори ентации и распределения частиц. Как показывают многочисленные экспе риментальные наблюдения, микроструктура ориентации фибр, полученная в результате литьевого формования, существенно меняется по пространству внутри детали (см., например, [99–101]). Ориентация фибр и распределение их плотности зависят от многих факторов, включая тип материала, усло вия производственного процесса и геометрию полости литейной формы (см., например, [102]). Поэтому ключевой шаг в предварительном моделировании несущих нагрузку элементов конструкции заключается в том, чтобы пред сказать ориентацию фибр, которая должна получиться в образце при данных производственных условиях.

Рисунок 5.1 схематично иллюстрирует основные элементы машины ли тьевого формования и основные стадии производственного цикла. Во время стадии заливки (рис. 5.1, а) вращающийся шнек движется вперед и толкает расплав в полость литейной формы. После полной заливки формы прикла дывается давление и держится посредством шнека на протяжении некоторого периода времени для того, чтобы скомпенсировать усадочную деформацию Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды полимера (стадия консервирования;

рис. 5.1, б). Во время стадии охлаждения (рис. 5.1, в) литейная форма охлаждается и материал затвердевает. В это же время шнек движется назад, а новая порция материала в гранулированной форме помещается в барабан из загрузочной воронки. Внутри нагретого бара бана материал плавится и вращающийся шнек превращает его в однородную массу. После охлаждения формы изложница открывается и деталь извлека ется (рис. 5.1, г). Следующий шаг заключается в закрытии изложницы и на чале следующего цикла. Детальное описание машины литьевого формования, включая ее различные модификации, можно найти в монографиях [97, 103].

Микроструктура ориентации фибр, главным образом, формируется во время стадии заливки и остается неизменной после затвердевания. Можно считать, что начальная ориентация фибр является случайной, так как в ли тейную форму помещается полимерный расплав, ставший однородным внут ри барабана.

Во время стадии заливки поток вязкого полимерного расплава пере мещает и вращает взвешенные частицы. Микроснимки поперечных сече ний деталей, изготовленных методом литьевого формования (см., напри мер, [100,101]), показывают, что ориентация фибр имеет слоистую структуру.

В слое, находящемся в серединнной поверхности (центральном слое), фиб ры в основном выстроены в линию перпендикулярно направлению потока. В слоях, граничащих с боковыми стенками (скин-слоях), фибры, наоборот, ле жат в основном параллельно потоку. Вдобавок, для слоев внешней поверхно сти (оболочечных слоев) обычно обнаруживается более низкая концентрация фибр и их случайная ориентация. Как отмечалось во многих работах (на пример [100, 102, 104]), такая микроструктура ориентации фибр обусловлена характером поведения потока расплава.

Во время заливки внутри геометрически сложной литейной формы на блюдается нерегулярный, неизотермический поток с движущейся свободной поверхностью. Для того чтобы качественно объяснить течение суспензии, рас смотрим пример радиального ламинарного течения между двумя параллель ными пластинами. Представленный на рис. 5.2 эскиз и последующие ком ментарии отчасти основаны на опубликованных в [104–107] результатах мо делирования заливки формы в виде диска с отверстием в центре, а также на наблюдении потока, вызванного микроструктурой фибр [100,104]. Поскольку толщина формы обычно намного меньше других размеров, формально мож но выделить три области течения [106]: область потока в отверстии, область смазки и область фронта потока. Внутри предполагаемой области смазки (см. рис. 5.2) можно пренебречь компонентами скорости в направлении тол 5.1. Современное состояние вопроса Входное отверстие Замороженный слой Область потока в отверстии Область смазки Ориентация фибр Профиль скоростей Фронт потока Рис. 5.2. Эскиз радиального ламинарного течения между двумя параллельными пластинами (поток рассматривается как двумерный) щины и рассматривать поток как двумерный. Предполагая параболический профиль скоростей, можно оценить кинематику движения частиц. В слое срединной поверхности области смазки элементы жидкости находятся в рас ширяющемся потоке с максимальной скоростью деформации в направлении вдоль окружности. Поэтому можно предположить, что фибра с произвольной ориентацией, оказавшись в форме, переориентируется в направлении, перпен дикулярном потоку. С другой стороны, элементы жидкости, граничащие со стенками формы, подвергаются сдвиговому течению в плоскостях радиаль ных поперечных сечений. Эти сдвиговые движения переориентируют фибры в радиальном направлении.

Ситуация намного сложнее в окрестности фронта потока. Во-первых, как отмечалось во многих работах (например [106, 108]), поведение в области свободной поверхности определяется фонтанным потоком, который перено сит элементы жидкости из центральной зоны к стенкам формы. Во-вторых, вследствие более низкой температуры стен формы, за свободной поверхно стью (см. рис. 5.2) происходит формирование замороженного (не текущего) слоя. Замороженный слой распространяется в направлении фронта потока.

В-третьих, можно предположить, что в зоне свободной поверхности концен трация фибр ниже, чем где бы то ни было внутри области потока. Характер поведения потока в области свободной поверхности ведет к формированию поверхностных слоев с более низкой концентрацией фибр и их случайной Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды ориентацией. Обсуждаемые процессы дают принципиальное объяснение ме ханизма, отвечающего за формирование короткофибровой микроструктуры.

Дальнейшие подробности, касающиеся поведения потока в сложных формах, например, влияние скачкообразного изменения геометрии формы, форми рование соединенных линий и так далее, обсуждаются, в частности, в ста тьях [108–110].

Для того чтобы сосредоточиться на теоретической подоплеке процесса заливки, суммируем некоторые важнейшие свойства поведения потока:

поток неизотермический с фазовыми переходами;

поток нестационарный со свободной поверхностью;

средняя доля объема фибр во взвеси лежит в диапазоне 15–40 % (локаль ная концентрация фибр зависит от потока и может изменяться внутри об ласти потока, поэтому обычно используемые концепции разбавленной, по луразбавленной или концентрированной суспензий вообще не подходят для описания реального процесса);

полости литейных форм обычно тонкие, так что стенки формы имеют существенное влияние на движение фибр.

Перечисленные факторы могут существенно влиять на формирование со здаваемой потоком микроструктуры, которая определяется распределением и ориентацией фибр. Поэтому эти факторы необходимо учитывать в теории, позволяющей описать стадию заливки. Однако, насколько нам известно, в настоящее время нет общей теории, которая способна учесть все перечис ленные выше свойства потока суспензии. Наша цель заключается в обсужде нии теоретической концепции для предсказания микроструктуры ориентации фибр. В этом разделе содержится краткий обзор моделей, предложенных в последнее время для описания потока волокнистых суспензий. Далее разра батывается и обсуждается новая теория, согласно которой процесс заливки представляет собой течение бинарной среды с фазовыми переходами.

5.1.2. Моделирование потока, обусловленного волокнистой микроструктурой Движение эллипсоидальных частиц, погруженных в вязкую жидкость, впервые было рассмотрено Дж. Б. Джеффри в [111]. В литературе по взве сям чаще всего используется именно результат Дж. Б. Джеффри. Однако, применяя этот результат к литьевому формованию суспензий, следует при нимать во внимание ряд важных ограничений. Без обсуждения процедуры 5.1. Современное состояние вопроса решения напомним главный результат, полученный Дж.Б. Джеффри. В даль нейшем будет использоваться так называемое прямое тензорное исчисление, которое является стандартным во многих книгах по механике и реологии (см., в частности, [24, 26, 34, 50, 112, 113]).

Согласно предположению Дж. Б. Джеффри, невозмущенный поток (по ток без частиц) удовлетворяет следующим ограничениям:

V0 (x) = const, tr · V0 (x) = 0 V0 = r0 ·, = d E, d V0 + V0, T (5.1) tr d = 0, V0, V0 · V0 = 0 или · = 0, где V0 — поле скоростей, r0 = xk ik, ik · is = ks, и базисные векторы ik неподвижны в системе отсчета. Отметим, что в ра боте Дж. Б. Джеффри два последних ограничения из (5.1) в явной форме не сформулированы. Однако эти ограничения следуют непосредственно из уравнений Навье–Стокса V p + · = + r0 · · t (5.2) p = p0 = const, r0 · · = 0, где p — давление;

и — соответственно вязкость и плотность жидкости.

Только подчеркнутые слагаемые в уравнениях (5.2) не являются тождествен ным нулем. Принимая во внимание, что давление p должно быть ограничено в пространстве, получаем упомянутые выше ограничения. Зададим эллипсо идальные частицы посредством тензора второго ранга A A1 = a2 i1 i1 +b2 i2 i2 +c2 i3 i3, A0 = a2 i1 i1 +b2 i2 i2 +c2 i3 i3 где числа a, b, c — полуоси эллипсоида. Пусть ik — тройка базисных векторов (ik · is = ks ), жестко связанных с частицей. Введем тензор поворота P(t) и вектор угловой скорости (t) эллипсоидальной частицы P(t) ik (t) ik, P(t) = (t) P(t) (5.3) m(t) = (t) m(t), Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды где m(t) P(t) · m0 ;

m0 — произвольный вектор, фиксированный отно сительно эллипсоида A0. В этом случае вращающийся эллипсоид задается тензором A(t) = P(t) · A0 · PT (t). (5.4) Поверхность S вращающегося эллипсоида определяется уравнением r · A1 (t) · r = 1;

r = xk ik ;

r(t) = P(t) · r0. (5.5) Дж. Б. Джеффри рассматривал следующую задачу: найти решение ква зистатического уравнения Навье–Стокса p + V = 0, (5.6) удовлетворяющее граничным условиям V(t)|S = (t) rS (t) и V(t) V0, когда |r|. (5.7) Дж. Б. Джеффри решил уравнения (5.6), (5.7) и вычислил момент, дей ствующий на частицу. Полагая этот момент равным нулю, Дж. Б. Джеффри определил угловую скорость частицы в следующей форме:

= + tr(A) E A · (A · d). (5.8) Это инвариантная форма уравнений (36) из работы Дж. Б. Джеффри [111]. Подчеркнем, что постоянный вектор и постоянный тензор d определе ны через вектор V0 посредством уравнений (5.1). Однако тензор A содержит неизвестный тензор поворота P(t). Для того чтобы найти P(t), необходимо решить левую задачу Дарбу (см. Приложение C, разд. C.3) · (A · d) P.

P = + tr(A) E A Домножив это уравнение на вектор m0, получим формулировку резуль тата Дж. Б. Джеффри через произвольный вектор m(t), жестко связанный с эллипсоидом m(t) = + tr(A) E A · (A · d) m(t). (5.9) Более привычную форму уравнения (5.9) можно получить в случае, когда тензор A(t) трансверсально изотропный и вектор m(t) — ось симметрии 5.1. Современное состояние вопроса тензора A. Положив a = b = c, получаем A = c2 m m + a2 (E m m) 1 tr(A) E A = mm+ 2 (E m m) ;

c + a 2a (A · d) = (c2 a2 )m d · m ;

c2 a tr(A) E A · (A · d) = 2 m d · m.

c + a С учетом этих соотношений уравнение (5.9) можно переписать следую щим образом:

c2 a m= + 2 m d · m m. (5.10) c + a Воспользовавшись уравнением (5.1) и исключив вектор из уравнения (5.10), получим самую популярную форму результата Дж. Б. Джеффри c2 a m = (d ) · m + 2 m2 d · m (m · d · m)m. (5.11) c +a где m = |m|. При m = 1 вместо уравнения (5.11) получим c2 a m = (d ) · m + 2 (d · m (m · d · m)m), c + a2 (5.12) V0, 2d = + T.

Это точно та форма уравнения Дж. Б. Джеффри, которая используется во многих работах по волокнистым суспензиям (см., например, [105, 109, 110, 114–116]). Заметим, что вектор V0 удовлетворяет очень строгим ограниче ниям, перечисленным в (5.1), и нет доказательств того, что уравнение (5.12) можно использовать в других случаях. Соблюдая точность, следует отме тить, что (5.9)–(5.12) не представлены в статье Дж. Б. Джеффри. Однако необходимая теоретическая основа для вывода этих уравнений была хорошо известна в начале XIX столетия. В выводе уравнений (5.9)–(5.12) есть один существенный результат, а именно выражение (5.8) для угловой скорости, которое было получено Дж. Б. Джеффри. Таким образом, уравнения (5.9)– (5.12) можно рассматривать как уравнения Дж. Б. Джеффри.

Далее мы можем перейти к обсуждению приложений результата Дж. Б.

Джеффри в литературе по рассматриваемому вопросу. Во-первых, вместо Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды уравнений (5.12) используются уравнения c2 a m = (d ) · m + (d · m (m · d · m)m) ;

c2 + a2 (5.13) V;

2d = + T, где предполагается, что вектор V — актуальная скорость потока без каких либо ограничений, кроме · V = 0. Во-вторых, предполагается, что решением уравнения (5.13) с начальным условием |m(0)| = 1 является единичный век тор (см., например, [116], с. 257). Однако легко доказать, что эти допущения справедливы не для любого случая. Ограничение m · m = 1 должно быть связано с уравнением (5.13) как дополнительное условие.

В пионерских работах по моделированию литьевого формования (см., на пример, [104]) направления фибр определяются путем численного интегри рования уравнения Дж. Б. Джеффри для известного поля скоростей. При этом градиент скорости вычисляется посредством решения задачи течения ньютоновской жидкости. Такой подход базируется на предположении, что взаимодействие между частицами пренебрежимо мало. В работе [110], с. 165, Тукер и Адвани указали, что во взаимодействии между частицами слож ной структуры эффекты “не джеффриевского” типа наиболее значительно проявляются в задачах о реальных композитных материалах. Общий под ход к моделированию процесса заливки заключается в том, чтобы течение волокнистой суспензии рассматривать как течение однокомпонентной ани зотропной текучей среды (см., например, [109, 110]). При следовании этому подходу главная проблема состоит в нахождении реологического уравнения, связывающего напряжение, создаваемое движением жидкости, с локальными характеристиками движения. Для вязкой несжимаемой жидкости Дж. Бэт челор [117] ввел следующее определяющее уравнение:

= pE + · ·, = V, (5.14) где — тензор напряжений;

— тензор вязкости четвертого ранга, опреде ляемый локальным состоянием жидкости. Предложены различные подходы к нахождению частных форм определяющих уравнений. В работе Дж. Бэт челора [117] обсуждается процедура объемного усреднения для суспензий.

Важным пунктом в рассуждении Дж. Бэтчелора является предположение, что силы инерции, связанные с флуктуациями около среднего движения, ма лы по сравнению с вязкими силами и уравнение движения жидкости при водится к линейному квазистатическому уравнению Стокса. Дж. Бэтчелор 5.1. Современное состояние вопроса получил следующее выражение для объемного напряжения в суспензии:

= pE + ( + T ) + p.

(5.15) Для того чтобы получить парциальное напряжение фракции частиц p в уравнении (5.15), следует вычислить поле локальной скорости и поле на пряжений в жидкости вокруг частицы. Дж. Бэтчелор обсуждал процедуру усреднения для разбавленных суспензий, т. е. предполагая, что течение во круг каждой частицы не подвержено влиянию других присутствующих ча стиц. Основываясь на решении Дж. Б. Джеффри для эллипсоидальной ча стицы, он получил явное выражение для p. В конечном счете, Дж. Бэтчелор вычислил тензор вязкости в уравнении (5.14) для случая частиц, ориен тированных в одном направлении, а также для случайно ориентированных частиц посредством усреднения по всем ориентациям.

Описание современного состояния вопроса о реологии волокнистых сус пензий содержится в обзорах [109, 110, 118]. В литературе по реологии раз личают разбавленные, полуразбавленные и концентрированные суспензии.

Пусть погруженные частицы являются тонкими телами вращения с разме рами a и c и отношением размеров ap = c/a 1, а — объем фибровой фракции. Суспензию считают разбавленной, когда a2 1, полуразбавлен p ной, когда 1 ap ap, и концентрированной, когда a2 ap. В основе этой p классификации лежит тип взаимодействия между частицами, осуществляе мого посредством потока волокнистой суспензии (см., например, [109,110]). В первом случае предполагается отсутствие взаимодействия, во втором — взаи модействие гидродинамической природы и в третьем случае взаимодействие может иметь как гидродинамическое, так и непосредственно механическое происхождение. Фактически, концепции разбавленной или неразбавленной суспензий являются скорее интуитивными предположениями, чем аппрок симациями какой-либо общей определяющей модели. Такая модель не суще ствует. Единственный известный факт — это то, что коммерческие материалы являются неразбавленными (см., например, [110]).

Для того чтобы принять во внимание взаимодействие между фибрами, а также учесть случайный характер ориентации фибр в зоне входного от верстия, обычно используется подход, связанный с ориентационным осред нением. В качестве примера рассмотрим модель, предложенную Динхом и Армстронгом [119]. Отправной точкой является выражение (5.15) для объ емного напряжения. Для того чтобы избежать вычисления полей локального течения вокруг каждой частицы, авторы рассмотрели одиночное тонкое тело, подвергнутое действию частиц в эффективной континуальной среде. Они ис Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды пользовали ориентационную функцию плотности вероятности (m), где m — единичный вектор, связанный с контрольной частицей, а затем учли воздей ствие окружающей среды на контрольную частицу посредством поверхност ной силы, определенной из трансверсально изотропного закона сопротивле ния. Получившееся в результате выражение можно представить следующим образом:

nl = pE + ( + T ) · · (4) E + p a4 ;

(5.16) a4 = (m) m m m m dS.

(S) Здесь n — число частиц в единице объема;

l — длина частицы;

p — коэффициент сопротивления, определяемый формулой 2l p =, ln(2h/d) где d — диаметр фибры;

h = (nl)1/2 для систем, выстроенных в линию, h = (nl2 )1 для случайных систем. В формуле (5.16) тензор (4) E обознача ет единичный тензор четвертого ранга, тензор a4 представляет собой тензор структуры четвертого ранга, который характеризует актуальное состояние ориентации фибр, dS — дифференциальный элемент на единичной сфере.

Для того чтобы сформулировать эволюционное уравнение для тензора струк туры, необходимо иметь уравнение для функции плотности вероятности.

Предположение о том, что механизм взаимодействий между фибрами обу словлен вращательным броуновским движением (см., например, [110]), поз воляет применить уравнение типа Смолуховского, (см., например, [120, 121]) + s · ( Dr s ) = 0;

= m m. (5.17) Здесь точка над буквой обозначает материальную производную;

Dr — коэффициент вращательной диффузии и (...) s (...) = ek ;

m · m = 1, ijk mi mj где ijk — символ перестановки. Для моделирования течения волокнистых суспензий уравнение (5.17) модифицируется, исходя из предположения, что Dr — скалярная функция d (см., например, [110]). Кроме того, в уравнении (5.17) трактуется как угловая скорость одиночной частицы. Следуя методу, изложенному в работе [114], подставим результат Дж. Б. Джеффри (5.11) 5.1. Современное состояние вопроса в уравнение (5.17). Воспользовавшись представлением (m) в виде ряда по сферическим гармоникам и введя в рассмотрение моменты (m), получим (m)mn dS, an = n = 2, 4,..., (S) где an называются тензорами структуры n-го ранга и (...)n обозначает n диадных произведений. Заменим уравнение (5.17) системой пар эволюцион ных уравнений для an [114]. При моделировании литьевого формования обыч но решаются эволюционные уравнения для a a2 = (a2 · w w · a2 ) + (d · a2 + a2 · d 2a4 · · d) Dr (6a2 2E), (5.18) w = d, тогда как для a4 используется приближение, чтобы замкнуть систему. Раз личные типы замыкающих систему приближений можно найти в [109, 114, 122–124]. Заметим, что модель (5.16) в связи с эволюционным уравнением типа (5.18) широко используется при моделировании литьевого формования (см., например, [115, 125]). Тензор a2 (а в некоторых случаях и тензор a4 ) предоставляет информацию об актуальном состоянии ориентации фибр.

В заключение обсудим модели анизотропной жидкости, разработанные в рамках континуальной механики. Основываясь на инвариантности условий Эриксена [126], обоснуем простейшую форму структурной модели для транс версально изотропной однокомпонентной несжимаемой жидкости = pE + 2d + (1 + 2 m · d · m)m m + + 23 [m (d · m) + (d · m) m];

(5.19) m m w · m = (d · m (m · d · m)m);

m · m = 1.

Здесь и, 1, 2, 3 — константы;

m — единичный вектор;

“” обозна чает производную по времени в системе координат, вращающейся вместе с элементарным объемом. Концепция жидкости Эриксена ассоциируется с ани зотропным поведением жидкости с осью анизотропии m, изменяющейся со временем согласно второму уравнению в (5.19). Заметим, что при условии = (c2 a2 )/(c2 + a2 ) второе уравнение системы (5.19) формально совпадает с уравнение Дж. Б. Джеффри (5.13) для одиночной частицы. Однако следует отметить, что уравнения (5.19) и (5.13) выводятся на основании разных рас суждений. Кроме того, в континуальной механике структурная модель (5.19) должна вводиться вместе с законами сохранения [127]. Эринген [128,129] раз работал микрополярную теорию анизотропных жидкостей и применил ее к Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды течению волокнистых суспензий. Важная особенность его теории заключает ся в модифицированном законе баланса для тензора инерции, отвечающем за явление прилипания жидкости к взвешенным частицам. Предположив, что тензор инерции трансверсально изотропен, Эринген вывел эволюционное уравнение (уравнение (6.4) в [128]), которое совпадает с уравнениями (5.13) и (5.19).

За последние два десятилетия появилось большое количество работ, в которых рассматривается моделирование процесса литьевого формования.

Для обзора существующих моделей и их численных реализаций мы сошлемся на [108]. Помимо того, разработано разнообразное коммерческое программное обеспечение, например Moldow [130], имеющее целью моделирование все го цикла литьевого формования и оптимизацию условий процесса. Несколь ко лет назад коммерческое программное обеспечение процесса заливки было расширено модулями, позволяющими предсказывать микроструктуру ориен тации фибр. Эти модули основаны на обсуждавшихся ранее реологических уравнениях состояния и вычислении ориентации фибр посредством тензоров структуры. Современное состояние исследований, связанных с моделирова нием течения волокнистых суспензий, представлено в [109,110], где обсужда ется ряд открытых вопросов. Относительно теоретического подхода можно заметить, что нет унифицированной концепции в моделировании взвешен ных жидкостей и, как указано в [129], с. 117, “в настоящее время ни одна из частных теорий не является общепризнанной”.

5.1.3. Особенности предлагаемого подхода Для того чтобы обрисовать суть нашего подхода, введем следующие опре деления. Пусть 1 (x, t) — плотность частиц жидкости и 2 (x, t) — плотность твердых частиц в данной точке x инерциальной системы отсчета. Определив d N1 и d N2 как число частиц для первой и второй компоненты в контрольном объеме d V, можно записать d N1 = 1 (x, t)d V, 1 0;

d N2 = 2 (x, t)d V, 2 0.

Функции 1 (x, t) и 2 (x, t) — основные неизвестные в теории смесей.

Функция 2 (x, t) особенно важна, поскольку она характеризует распределе ние твердых частиц в жидкости. Это распределение будет оказывать влия ние на механические свойства материала после завершения процесса. Силь ное различие между свойствами двух компонент приводит к необходимости введения разных моделей для каждой из них. Первая компонента — это сово 5.1. Современное состояние вопроса купность частиц жидкости, характеризуемая плотностью частиц 1 и массо вой плотностью 1. В дальнейшем эта компонента будет называться жидкой компонентой. Вторая компонента — это совокупность твердых частиц, харак теризуемая плотностью частиц 2 и массовой плотностью 2. Далее, делая предположения относительно определяющих уравнений, мы исключим воз можность формирования из твердых частиц твердого деформируемого тела.

Таким образом, мы предположим, что компонента частиц-фибр ведет себя по добно жидкости. В дальнейшем вторая компонента будет называться твердо жидкой компонентой.

Жидкую компоненту можно рассматривать как вязкую жидкость с неко торыми дополнительными свойствами. Например, тензор напряжений жид кости в нашей модели будет несимметричным. Для твердо-жидкой компонен ты необходимо принять во внимание не только трансляционное движение, но также и вращения. Многокомпонентные смеси изучались во многих работах (см., например, [131, 132], а также цитируемые в них работы). В физико химической гидродинамике диффузионные процессы играют существенную роль [132]. Именно диффузия определяет относительные скорости компонент посредством законов Фика. В нашем случае эти скорости определяются внеш ними условиями и вязкими свойствами жидкости. Диффузией можно прене бречь.

Далее кратко обрисуем рассматриваемый круг задач и отличительные особенности нашего подхода:

1) для того чтобы принять во внимание явление прилипания частиц жид кости к твердым частицам, предполагается, что плотность частиц и массовая плотность — независимые функции. Следовательно, уравнения баланса ча стиц и уравнения баланса массы независимы друг от друга;

2) жидкая компонента считается неполярной вязкой жидкостью, но с несимметричным тензором напряжений;

3) состояние твердо-жидкой компоненты описывается посредством анти симметричного тензора напряжений и антисимметричного тензора момент ных напряжений;

4) пусть векторы V1 (x, t) и V2 (x, t) — скорости частиц жидкой и твердо жидкой компонент, соответственно. Предполагается, что V1 (x, t) = V2 (x, t), т. е. в нашем подходе компоненты могут скользить друг относительно друга, поэтому учитываются силы трения между компонентами;

5) уравнения движения формулируются для открытых физических си стем и содержат дополнительные слагаемые, которые ответственны за явле ние прилипания;

Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды 6) химический потенциал вводится на основе так называемого приведен ного уравнения баланса энергии. Наше определение химического потенциа ла отличается от определений, предложенных в [131, 132]. Если пренебречь прилипанием частиц жидкости к фибрам, химический потенциал будет со храняться;

7) предполагается, что компоненты могут иметь разные температуры, что может быть важным, если необходимо произвести материал с желаемыми ме ханическими свойствами. Соответственно, температурные поля, вообще гово ря, не являются непрерывными. В этом случае традиционная форма второго закона термодинамики, например неравенство Клаузиуса–Дюгема, неприме нима. Поэтому предлагается альтернативная формулировка второго закона термодинамики в виде системы двух неравенств. Обсуждается задача моде лирования теплообмена;

8) главная цель нашего подхода — описать реальный технологический процесс, в котором смесь имеет стадию затвердевания. Затвердевание имеет место не только в финальной стадии процесса, но также во время заливки вблизи стенок формы. Поэтому для описания процесса не подходят методы, основанные на моделировании суспензий анизотропной несжимаемой вязкой жидкостью. Далее обсуждается модель сжимаемой жидкости с фазовыми пе реходами типа жидкость–твердое тело, причем фазовые переходы описы ваются посредством предлагаемого определяющего уравнения для давления.

5.2. Кинематические соотношения Кажется, должно быть очевидно, что в общем случае сплошную среду нельзя моделировать гладким дифференцируемым многообразием. Действи тельно, как известно из экспериментов, частицы, которые были соседями в некоторый момент времени, не обязательно будут занимать соседние положе ния в любой последующий момент времени. В такой среде можно предпола гать возникновение разрывов в направлении касательной к траектории дви жения или зарождение пор. Для многокомпонентной среды ситуация более сложная, так как различные компоненты могут проскальзывать друг относи тельно друга и взаимодействовать, при этом взаимодействие происходит меж ду частицами различного вида. Пусть, например, A1, B1, C1,... — некоторые части первой компоненты и пусть A2, B2, C2,... — части второй компоненты.

Предположим, что в некоторый момент времени взаимодействуют части A и A2. Тогда в другой момент времени могут контактировать другие две ча сти, например A1 и B2. Из этого следует, что материальное описание, которое 5.2. Кинематические соотношения предполагает, что соседние частицы всегда должны оставаться соседними, в общем случае не применимо для многокомпонентной среды. Единственно воз можный путь к созданию теории для такой среды связан с использованием чисто пространственного описания. Это означает, что в отличие от матери ального описания все основные операторы в теории должны определяться прямо в системе отсчета, а не посредством дифференцируемого многообра зия. Введение этих операторов обсуждалось в подразделе 3.2.1.

В бинарных смесях обычно предполагается, что одна точка системы от счета может быть одновременно занята частицами обоих видов (см., напри мер, [132]). Смесь, рассматриваемая в данной работе, состоит из двух компо нент. Первая компонента включает частицы вязкой жидкости. Вторая компо нента построена из маленьких твердых тел — фибр, которые можно рассмат ривать как эллипсоиды вращения. Вектор скорости частицы-фибры V2 (x, t) будем трактовать как вектор скорости ее центра масс. Заметим, что в теориях смесей обычно предполагается V1 (x, t) = V2 (x, t) [132].

Вычисляя материальную производную вектора скорости V1 (x, t), полу чаем вектор ускорения частиц жидкости d dx(t) W1 (x(t), t) = V1 (x(t), t) + V1 (x(t), t) · V1 (x(t), t).

dt dt В результате вычисления материальной производной вектора скорости V2 (x, t) получаем вектор ускорения центра масс частицы-фибры d dx(t) W2 (x(t), t) = V2 (x(t), t) + V2 (x(t), t) · V2 (x(t), t).

dt dt Здесь мы использовали определение (3.3), предполагая, что точка наблю дения движется.

Предположим, что частица жидкости и частица-фибра, занимающие в данный момент времени t точку x, при t0 t располагались в x0 и x, соответственно. Векторы перемещений u1 (x, t) = x x0 и u2 (x, t) = x x определяются из скоростей с помощью следующих соотношений:

d Vi (x, t) =ui (x, t) + Vi (x, t) · ui (x, t) dt (5.20) d ui (x, t) = Vi (x, t) · gi (x, t), dt где использовано обозначение gi (x, t) E ui (x, t);

det gi (x, t) 0. (5.21) Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды Вычисляя градиент обеих частей второго уравнения (5.20) и принимая во внимание перестановочность оператора градиента и полной производной по времени, получаем d ui (x, t) + Vi · ui (x, t) = Vi (x, t) · gi (x, t) dt (5.22) d Vi (x, t) = ui (x, t) + Vi · ui (x, t) · gi (x, t).

dt Уравнения, подобные (5.22), можно найти в [24]. Последнее уравнение может быть переписано в эквивалентной форме d Vi (x, t) = gi (x, t) + Vi · gi (x, t) · gi (x, t). (5.23) dt Уравнения (5.23) будут использоваться позже при формулировке приве денного уравнения баланса энергии.

До настоящего момента мы не делали никакого различия между ча стицами жидкости и частицами-фибрами. Введем в рассмотрение поворо ты частиц-фибр, которые будут задавать их ориентацию в системе отсче та. Определение этой ориентации является одной из главных целей данной теории. Допустим, что в каждой точке x системы отсчета задан репер dk :

dk · dm = km. Введем в рассмотрение собственно ортогональный тензор P(x, t), который описывает поворот частицы-фибры, расположенной в мо мент времени t в точке x, относительно репера dk. Затем, воспользовавшись определением (3.8), вычислим угловую скорость твердой частицы d dx(t) P(x(t), t) + V2 (x(t), t) · P(x, t) = dt dt (5.24) = (x(t), t) P(x(t), t).

Здесь индексы для тензора поворота и угловой скорости опущены, по скольку эти величины определены только для частиц-фибр. Подробнее об определении вектора угловой скорости при пространственном описании см. в подразделе 3.2.1.

5.3. Уравнения баланса частиц и баланса массы Рассмотрим три различных случая. В первом случае мы предполагаем, что полное число частиц в обеих компонентах остается неизменным. Кажется 5.3. Уравнения баланса частиц и баланса массы очевидным, что такое сильно ограничивающее предположение в реальности не удовлетворяется. Во втором случае мы предполагаем, что полное число фибр остается постоянным, тогда как масса фибр может изменяться благо даря прилипанию к ним частиц жидкости. В этом случае число частиц жид кости изменяется, т. е. плотность частиц жидкости 1 не константа. С дру гой стороны, плотность частиц-фибр 2 остается постоянной, в то время как массовая плотность частиц-фибр изменяется. Наконец, в третьей ситуации как плотность частиц жидкости, так и плотность частиц-фибр изменяется.

Это означает, что не только частицы жидкости могут прилипать к фибрам, но также и фибры могут прилипать друг к другу. Прилипание фибр может привести к формированию гранул-кластеров, которые следует рассматривать как новые частицы. Очевидно, что последний случай более реалистичен для концентрированных суспензий. Трудно проконтролировать, насколько важ ны для кратковременных процессов эффекты, связанные с прилипанием. Ка жется, что влияние на процесс течения эффектов прилипания не должно быть значительным в количественном отношении. Тем не менее обсудим все три ситуации отдельно.

Жидкая и твердо-жидкая компоненты имеют постоянный со став. Пусть V — контрольный объем в системе отсчета и граница V есть замкнутая поверхность S = V. Тогда для каждой из введенных в рассмот рение компонент можно сформулировать следующие уравнения баланса ча стиц:

d 1 (x,t) dV = 1 n · V1 dS = · (1 V1 ) dV, (5.25) dt (V) (S) (V) где V1 (x, t) — скорость частиц жидкости, d 2 (x,t) dV = 2 n · V2 dS = · (2 V2 ) dV, (5.26) dt (V) (S) (V) где V2 (x, t) — скорость частиц-фибр.

Заметим, что в случае движущейся точки наблюдения в уравнениях (5.25) dx и (5.26) следует Vi заменить на Vi.

dt В локальной форме уравнения (5.25) и (5.26) записываются следующим образом:

d1 d + · (1 V1 ) = 0;

+ · (2 V2 ) = 0. (5.27) dt dt Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды Аналогично уравнениям (5.27) можно сформулировать уравнения балан са массы d1 d + · (1 V1 ) = 0;

+ · (2 V2 ) = 0, (5.28) dt dt где 1 и 2 — массовые плотности жидкой и твердо-жидкой компонент, соот ветственно.

Введем следующие обозначения для материальных производных:

1 f df dx 2 f df dx + V1 · f, + V2 · f, (5.29) t dt dt t dt dt где f — произвольная скалярная функция (или любая тензорнозначная функ ция). С учетом введенных обозначений уравнения (5.27) и (5.28) принимают следующий вид:

1 1 2 + 1 · V1 = 0;

+ 2 · V2 = 0;

(5.30) t t 1 1 2 + 1 · V1 = 0;

+ 2 · V2 = 0. (5.31) t t Жидкая компонента имеет переменный состав. В этой ситуации плотность жидкой компоненты в выбранной системе отсчета может изме няться не только благодаря течению, но и в результате прилипания частиц жидкости к частицам-фибрам. Частицы жидкости, присоединенные к фиб рам, уже нельзя рассматривать как частицы жидкости. Их следует относить к массе фибр. Плотность частиц-фибр может изменяться только вследствие их движения.

Уравнение баланса частиц для жидкой компоненты (5.25) должно быть модифицировано следующим образом:

d 1 (x,t) dV = 1 (x,t) dV 1 n · V1 dS = dt (V) (V) (S) (5.32) = 1 (x,t) · (1 V1 ) dV, (V) где функция 1 — скорость производства (уничтожения) частиц жидкости в данной точке системы отсчета.

Уравнение баланса частиц для фибр остается неизменным. Следователь но, уравнения (5.30) принимают вид 1 1 2 + 1 · V1 = 1 ;

+ 2 · V2 = 0. (5.33) t t 5.3. Уравнения баланса частиц и баланса массы Уравнения баланса массы должны быть модифицированы следующим об разом:

1 1 2 + 1 · V1 = 1m ;

+ 2 · V2 = 2m, (5.34) t t где функции 1m и 2m характеризуют скорости производства (уничтожения) массы частиц жидкости и частиц-фибр, соответственно. Поскольку полная плотность массы = 1 + 2 изменяется только за счет деформации, уравне ние баланса массы для рассматриваемой бинарной среды может быть запи сано в интегральной форме d (x,t) dV = n · Vm dS = · (Vm ) dV;

dt (5.35) (V) (S) (V) Vm = 1 V1 + 2 V2.

Локальная форма уравнения (5.35) имеет вид m m f df dx + · Vm = 0;

+ Vm · f. (5.36) t t dt dt Здесь точка наблюдения x(t) выбрана одной и той же для обеих компо нент. Если мы сложим уравнения (5.34) и затем вычтем из результата урав нение (5.35), то получим 2m = 1m, (5.37) т. е. количество массы, приобретенной за единицу времени твердо-жидкой компонентой, равно количеству массы, утраченной за единицу времени жид кой компонентой.

Жидкая и твердо-жидкая компоненты имеют переменный со став. Уравнения баланса частиц можно сформулировать согласно обсуждав шейся ранее методике 1 1 2 + 1 · V1 = 1, + 2 · V2 = 2, (5.38) t t где функция 2 характеризует скорость производства частиц-фибр. Уравне ния баланса массы остаются такими же 1 1 2 + 1 · V1 = 1m, + 2 · V2 = 2m, 2m = 1m. (5.39) t t Подчеркнем, что введенные в рассмотрение плотности частиц и массо вые плотности — независимые функции. Вследствие этого уравнения (5.38) и Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды (5.39) являются независимыми. Однако можно предположить, что функции 1 и 1m связаны посредством уравнения 1m = m 1, где m характеризует массу одной частицы жидкости. Последнее предположение очевидно, так как частицы жидкости не могут формировать кластеры.

Перепишем уравнения (5.38) и (5.39) в скалярной форме, проведя для этого необходимые преобразования. Из уравнений (5.23) следует i · Vi (x, t) = gi (x, t) · · gi (x, t). (5.40) t Преобразовав уравнение (5.40) с использованием формулы (3.22), которая справедлива для любого несингулярного тензора gi, получим 1 i I3 (gi ) · Vi = ;

I3 (gi ) = det gi (i = 1, 2), (5.41) I3 (gi ) t где не подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу. Восполь зовавшись формулами (5.41), запишем уравнения баланса частиц (5.38) и уравнения баланса массы (5.39) в следующем виде:

i i i i i im = ;

= (i = 1, 2). (5.42) I3 (gi ) I3 (gi ) I3 (gi ) I3 (gi ) t t В дальнейшем, главным образом, будем обсуждать вторую ситуацию, предполагая, что число частиц жидкости не сохраняется, тогда как число твердых частиц остается постоянным. Это означает, что мы будем исполь зовать уравнения (5.33), (5.34). В этом случае необходимо сформулировать определяющие уравнения для функций 1, 1m, 2m. Функции 1 и 1 связа ны соотношением m1 = 1, где m — масса одной частицы жидкости. Таким образом, имеем m 1, 1m, 2m, 2 = 0.

В результате, три независимых уравнения из (5.33), (5.34) принимают вид 1 1 2 2 2 + 1 · V1 =, + 2 · V2 = 0, + 2 · V2 =, t t t или 1 1 2 2 2 + 1 · V1 =, + 2 · V2 = 0, =. (5.43) ln t t t 2 Отношение 2 /2 имеет смысл изменения массы одной частицы-фибры.

5.4. Законы динамики Эйлера 5.4. Законы динамики Эйлера Фундаментальные законы при пространственном описании должны фор мулироваться для открытых систем, т. е. для систем, которые обмениваются с окружающей средой массой, количеством движения, кинетическим момен том, энергией и т. д. Количество движения частиц в контрольном объеме V определяется следующим образом3 :

K1 = (1 (x, t) V1 (x, t) + 2 (x, t) V2 (x, t)) dV (x) = (V) (5.44) = (x, t) Vm (x, t) dV (x).

(V) Первый закон динамики Эйлера утверждает: “Скорость изменения количества движения произвольной физической системы равна внешней си ле, действующей на систему, плюс внешний подвод количества движения в систему ”.

Математическая форма первого закона динамики имеет вид d Vm dV = FdV + T(n) dS dt (V) (V) (S) (5.45) 1 (n · V1 ) V1 + 2 (n · V2 ) V2 dS, (S) где последний интеграл в правой части выражает внешний подвод количества движения в контрольный объем V.

Используя стандартные аргументы, можно ввести в рассмотрение тензор напряжений T и получить формулы Коши T(n) = n · T T(n) dS = · T dV. (5.46) (S) (V) В подразделе 3.2.3 дано более общее определение количества движения (см. фор мулы (3.39)), справедливое для частиц, обладающих дополнительным тензором инерции, кинетическая энергия которых содержит перекрестное слагаемое. В данной главе подра зумевается, что тензор инерции B, отвечающий за перекрестное слагаемое в кинетической энергии, равен нулю. (Примеч. ред.) Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды При использовании (5.46) уравнение (5.45) приводится к виду d (Vm ) F + · (1 V1 V1 + 2 V2 V2 ) · T dV = 0.

dt (V) Приняв во внимание (5.34), можно получить локальную форму уравнения (5.45) 1 V1 2 V · T + F = 1 + 2 + 1m (V1 V2 ). (5.47) t t Кроме того, массовую плотность внешней силы F представим в виде сум мы F = 1 F1 + 2 F2, где плотности сил F1 и F2 могут иметь различную природу. Например, твер дые частицы могут быть заряженными.

Удобно переписать уравнение (5.47) в форме двух уравнений 1 V · T + 1 F1 + Q = 1 + 1m V1, t (5.48) 2 V · T + 2 F2 Q = 2 + 2m V2, t где Q — сила взаимодействия между жидкой и твердо-жидкой компонентами и постулируется равенство T=T +T. (5.49) Предположение V1 = V2 = Vm V, позволяет получить стандартную форму уравнения (5.47) V · T + F = (5.50).

t Второй закон динамики Эйлера был установлен в 1771 г. и в настоя щее время известен как следующее утверждение: “Скорость изменения кине тического момента для произвольной физической системы равна внешнему моменту, действующему на систему, плюс внешний подвод кинетического момента в систему ”.

5.4. Законы динамики Эйлера Введем в рассмотрение кинетический момент бинарной среды K K2 = K 2 dV = x (1 V1 + 2 V2 ) + 2 J · dV, (5.51) (V) (V) где 2 J — объемная плотность тензора инерции твердых частиц в актуальном положении. Подчеркнутое слагаемое в уравнении (5.51) называется моментом количества движения.

В интегральной форме второй закон динамики может быть записан сле дующим образом:

d K K 2 dV = (x F + 2 L) dV + x T(n) + M(n) dS dt (V) (V) (S) (5.52) n · 1 V1 (x V1 ) + 2 V2 (x V2 + J · ) dS.

(S) В уравнениях (5.51) и (5.52) K 2 и L обозначают плотности кинетического момента и внешнего момента, соответственно.

Введя в рассмотрение тензор моментных напряжений M и получив для него формулы Коши M(n) = n · M M(n) dS = · M dV, (5.53) (S) (V) а также приняв во внимание первый закон динамики (5.47), можно получить следующую локальную форму второго закона:

· M + T + 2 L = 2 (J · ) + 2m J ·, (5.54) t где J — массовая плотность тензора инерции в актуальном положении.

Пусть J0 — массовая плотность тензора инерции в отсчетной конфигура ции. Тогда J(x, t) = P(x, t) · J0 · PT (x, t). (5.55) Предположим, что в отсчетной конфигурации все частицы-фибры транс версально изотропны и имеют одинаковые инерционные свойства.

В подразделе 3.2.3 дано более общее определение кинетического момента (см. фор мулы (3.40), (3.41)), справедливое для частиц, обладающих дополнительным тензором инерции B, который в данной главе считается равным нулю. (Примеч. ред.) Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды Соответственно, можно принять J0 = e e + (E e e), (5.56) где константы и — моменты инерции твердых частиц, а единичный вектор e определяет ось изотропии частиц в системе отсчета.

Вектор e, определяющий направление оси изотропии в отсчетной конфи гурации, выбирается произвольно и может быть одинаковым во всех точках системы отсчета, включая точки, которые не заняты частицами-фибрами при t = 0. Тогда начальное распределение тензоров инерции твердых частиц мож но представить в виде J(x0, 0) = P0 (x0 ) · J0 · PT (x0 ), P0 (x0 ) P(x0, 0). (5.57) Здесь тензор поворота P0 (x0 ) определяет начальную ориентацию твердых частиц.

Заметим, что для рассматриваемого производственного процесса распре деление начальных ориентаций — случайная функция. Поэтому после реше ния детерминистической задачи для данного распределения тензора P0 (x0 ) следует решить задачу статистического усреднения результатов.


Воспользовавшись уравнением (5.56), соотношение (5.55) можно перепи сать в форме e (x, t) P(x, t) · e.

J(x, t) = E + ( ) e e ;

(5.58) Обсудим характер поведения в процессе течения объемной плотности тен зора инерции 2 (x, t)J(x, t). Если принимается во внимание явление при липания частиц жидкости к фибрам, то этот тензор изменяется. Есть две причины, приводящие к изменению тензора 2 (x, t)J(x, t). Главной причи ной является изменение массовой плотности 2 (x, t). Однако с теоретической точки зрения можно предположить, что изменяется также массовая плот ность тензора инерции J(x, t), включая и свойства симметрии, и моменты инерции. Кажется очевидным, что этот второй фактор не очень важен для рассматриваемого технологического процесса.

В дальнейшем будем предполагать, что объемная плотность тензора инер ции 2 (x, t)J(x, t) может изменяться только благодаря изменению массовой плотности 2 (x, t). В таком случае, согласно уравнениям (5.55) и (5.24), по лучаем J(x, t) = (x, t) J(x, t) J(x, t) (x, t). (5.59) t 5.5. Уравнение баланса энергии Другой подход обсуждается в работах Эрингена [128, 129], где вместо уравнения (5.59) предлагается использовать уравнение J(x, t) = (x, t) J(x, t) J(x, t) (x, t) + f (x, t), t где функция f (x, t) отвечает за прилипание частиц жидкости к твердым частицам. Эта функция должна быть задана определяющим уравнением. В данной работе мы предпочитаем уравнение (5.59), которое широко применя ется в динамике твердого тела и, по существу, было установлено Эйлером.

Заметим, что учесть явление прилипания возможно, даже используя уравне ние (5.59).

5.5. Уравнение баланса энергии Каждый фундаментальный закон вводит новое понятие. Первый закон динамики вводит понятие сил, второй закон дает трактовку понятию мо ментов, которые, в общем случае, не определяются через понятие сил. Тре тий фундаментальный закон механики — это уравнение баланса энергии. В рамках континуальной механики этот закон играет исключительно важную роль, но его формулировка намного труднее по сравнению с первым и вто рым законами. Посредством уравнения баланса энергии вводится много но вых понятий. Самое важное из них — понятие внутренней энергии. Общая формулировка уравнения баланса энергии включает новое понятие полной энергии. Однако полную энергию удобно представить в виде суммы кине тической энергии, которая уже определена, и внутренней энергии, которая поглощает все новые понятия, содержащиеся в концепции полной энергии.

Одно из принципиальных предположений в континуальной механике за ключается в утверждении, что полная энергия системы является аддитив ной функцией массы и, согласно теореме Радона–Никодима из теории мно жеств [133], может быть представлена в виде интеграла по массе, где масса рассматривается как мера. Кинетическая энергия является, согласно ее опре делению, аддитивной функцией массы. Следовательно, аддитивность полной энергии ведет к аддитивности внутренней энергии.

Вообще говоря, аддитивность внутренней энергии обеспечивается толь ко для абсолютно непрерывных систем. Однако известный физический мир дискретен. В связи с этим предположение об аддитивности внутренней энер гии является серьезным ограничением. Попытки смягчить это ограничение обычно базируются на концепции поверхностной энергии или энергии связи.

Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды В этой главе мы будем следовать традиционному предположению об ад дитивности внутренней энергии5. В этом случае полную энергию бинарной системы можно представить в виде 1 E= (1 V1 · V1 + 2 V2 · V2 ) + 2 · J · + 1 U1 + 2 U2 + U12 dV, 2 (V) где U1 и U2 — массовые плотности внутренней энергии жидкой и твердо жидкой компонент, соответственно;

U12 — энергия взаимодействия между компонентами бинарной смеси.

Уравнение баланса энергии, или первый закон термодинамики, утверждает: «Скорость изменения полной энергии в любой физической си стеме равна мощности внешних воздействий на систему плюс скорость подвода энергии “не механической” природы, обычно в форме тепла ». Труд но дать общее и строгое определение понятию энергии “не механической” природы. Поэтому ограничимся неопределенным утверждением, что энергия “не механической” природы — это та часть энергии, которая подводится в систему не через мощность внешних воздействий.

Уравнение баланса энергии можно сформулировать следующим образом:

dE = 1 F1 · V1 + 2 F2 · V2 + 2 L · + q dV + dt (V) + T(n) · V1 + T(n) · V2 + M(n) · + h(n) dS (5.60) (S) n · 1 V1 V1 · V1 + U1 + (S) 1 + 2 V2 V2 · V2 + · J · + U2 + Vm U12 dS, 2 В данной главе П. А. Жилин следует традиционному подходу, считая внутреннюю энергию аддитивной функцией массы. Это существенно отличается от трактовки, приня той в третьей главе (см. подразд. 3.2.6), где внутренняя энергия считается аддитивной функцией числа частиц (см. формулу (3.49) и следующие за ней пояснения). Фактически, только в том случае, когда массовая плотность и плотность частиц связаны между собой тривиальным соотношением = m (постоянная величина m имеет смысл массы одной частицы), принятие для внутренней энергии аксиомы аддитивности по массе ведет к таким же следствиям, что и принятие аксиомы аддитивности по числу частиц. В принципе, все формулы данной главы можно переписать исходя из аксиомы аддитивности внутренней энергии по числу частиц. Используя методологию третьей главы, читатель может сделать это самостоятельно. (Примеч. ред.) 5.5. Уравнение баланса энергии где q — скорость производства энергии в точке x системы отсчета;

h(n) — скорость подвода энергии через поверхность S и, кроме того, использовано разложение полного вектора усилий T(n) = T(n) + T(n) = n · T + n · T.

Скорость подвода энергии через поверхность можно записать с использо ванием правила Стокса h(n) = n · h, (5.61) где h — вектор потока энергии, содержащий в себе все виды энергии, которые не включены в мощность внешних сил и моментов. Заметим, что во многих работах вместо вектора h используется вектор (h).

Приняв во внимание уравнения (5.34), (5.36), (5.48) и (5.54), можно полу чить локальную форму уравнения баланса энергии (5.60) 1 U1 2 U2 m U + 2 + = t t t = T T · · ( V1 + E ) + T · · ( V2 + E ) + T (5.62) + M · · + Q · (V2 V1 ) + · h + q + T 1 1 + 1m V1 · V1 U1 + 2m V2 · V2 + · J · U2.

2 2 Правая часть уравнения (5.62) содержит мощность сил и моментов6.

Часть этой мощности идет на изменение внутренней энергии. Остальная часть частично сохраняется в теле в форме тепла, а частично излучается во внешнюю среду. Для того чтобы разделить эти части, введем в рассмотрение следующие разложения:

T = Te + Tf, T = Te + Tf, (5.63) M = Me + M f, Q = Qe + Qf, где индекс “e ” обозначает часть, которая не зависит от скоростей, и индекс “f ” обозначает остальную часть. В дальнейшем величинами с индексом “e ” Вывод формулы (5.62) аналогичен выводу формулы (3.54), который можно найти в Приложении D, подраздел D.2.1. Отличие заключается только в том, что при выводе формулы (5.62) используются уравнения баланса массы, содержащие источниковые чле ны. (Примеч. ред.) Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды будут обозначены упругие напряжения. Эти упругие напряжения всегда ока зывают влияние на внутреннюю энергию. Величины с индексом “f ” могут иметь влияние на внутреннюю энергию, но только посредством дополнитель ных параметров, подобных энтропии. Эти параметры будут введены позже.

Подставив уравнения (5.63) в уравнение (5.62) получим 1 U1 2 U2 m U + 2 + = t t t = TeT · · ( V1 + E ) + Te T · · ( V2 + E ) + + MT · · + Qe · (V2 V1 ) + e (5.64) + TfT · · ( V1 + E ) + Tf T · · ( V2 + E ) + + MT · · + Qf · (V2 V1 ) + · h + q + f 1 1 +1m V1 · V1 U1 + 2m V2 · V2 + · J · U2.

2 2 Такая форма уравнения баланса энергии бесполезна. Далее мы преобразу ем уравнение (5.64) с целью получить так называемое приведенное уравнение баланса энергии. Идея такого преобразования обсуждалась в разделе 3.3.

5.6. Основные материальные предположения Предположим, что давление является средним, т. е. не будем рассматри вать ни супервысоких, ни супернизких давлений. Это означает, что исключа ются из рассмотрения фазовые переходы из одного твердотельного состояния в другое и фазовые переходы типа жидкость–газ. Однако мы должны при нять во внимание фазовые переходы типа жидкость–твердое тело. В таком случае можно предположить Te = p1 (x, t)E;

Te = p2 (x, t)E;

Me = 0;

Qe = 0. (5.65) Согласно этому допущению твердые частицы не способны формировать твердые деформируемые тела без влияния сильных внешних нагрузок. В про тивном случае необходимо принять во внимание девиаторную часть тензо ра напряжений. Таким образом, в рамках сделанных допущений компонента частиц-фибр ведет себя подобно жидкости.

5.6. Основные материальные предположения С интуитивной точки зрения первые три допущения (5.65) кажутся вполне разумными. Последнее допущение (5.65) связано с упругим взаи модействием между жидкой и твердо-жидкой компонентами. Заметим, что уравнение (5.62) включает величину Q = Qe + Qf. Сила Qe характеризует упругое взаимодействие, и ее надо определить таким образом, чтобы удовле творялось уравнение dP Qe · (V1 V2 ) = (5.66), dt т. е. упругая сила должна иметь потенциал. Упругое взаимодействие при сутствует в природе рассматриваемого явления. Действительно, связанное с движением частиц поле движущих сил следует трактовать, используя урав нение типа (5.66).

В случае бинарной среды правая часть уравнения (5.66) должна выра жаться через две различные материальные производные, относящиеся к ско ростям V1 и V2. Эта проблема требует дополнительного исследования. В данном случае мы пренебрежем упругим взаимодействием, положив Qe = 0.

Воспользовавшись допущениями (5.65) и приняв во внимание уравнения (5.43), приведем уравнение баланса энергии (5.64) к виду 1 U1 2 U2 m U12 p1 1 1 p2 2 2 2 z + 2 + = + + 2 + t t t 1 t 2 t t (5.67) + · h + q + TfT · · ( V1 + E ) + + Tf T · · ( V2 + E ) + MT · · + Qf · (V2 V1 ).


f Величины и z в формуле (5.67) определяются следующим образом:

1 1 p2 1 p V2 · V2 + · J · U2 V1 · V1 U1, 2 2 2 2 (5.68) 2 z ln 0 2, 2 где 0 и 0 — отсчетная плотность частиц-фибр и отсчетная массовая плот 2 ность частиц-фибр, соответственно.

Кроме того, необходимо сформулировать предположения относительно структуры определяющих уравнений для сил и моментов вязкого трения.

Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды Используем условные обозначения 1 1 d= V1 + V1 ;

D= V1 + V1 ( · V1 )E.

T T 2 2 Для тензора Tf постулируем следующее определяющее уравнение:

Tf = 2 · · D + t E, t = 2 1 · V1.

(5.69) Здесь вектор t характеризует вязкое трение между твердыми частицами и жидкостью. В первом уравнении (5.69) тензор вязкости четвертого ранга должен удовлетворять следующим ограничениям:

a · · · · a 0, a · · = · · a, (5.70) c · · = 0, E · · = 0, a, c, где c = c. T Здесь a и c — тензоры второго ранга. Кроме того, если плотность частиц 2 устремить к нулю, тензор должен стать изотропным. В большинстве работ по суспензиям тензор предполагается трансверсально изотропной функцией e и D, где вектор e определяется уравнением (5.58). Более того, традиционный подход предполагает, что различие между суспензией и обыч ной жидкостью лежит в структуре тензора (см. введение к данной главе).

Допустима возможность того, что тензор может зависеть от e и D. Одна ко такая зависимость не является ключевой в данном случае. С физической точки зрения кажется разумным предположить, что тензор изотропен.

Тензор вязкости второго ранга 1 в уравнении (5.69) должен удовлетво рять ограничениям a · 1 · a 0, a · 1 = 1 · a, a : |a| = 0, (5.71) где a — вектор. Кроме того, если плотность частиц 2 устремить к нулю, вектор t должен стать нулевым. Далее предположим, что тензор 1 транс версально изотропен 1 = 1 e e + 2 (E e e ), 1 0, 2 0, (5.72) 1 1 1 где вектор e определяется уравнением (5.58).

Определяющее уравнение для вязких напряжений в твердо-жидкой ком поненте можно записать следующим образом:

Tf = t E, t = 2 2 · V2, (5.73) 5.7. Уравнение теплопроводности. Второй закон термодинамики где тензор второго ранга 2 имеет такую же структуру, как и тензор 1 (см.

уравнение (5.72)). Вектор t описывает вязкое трение между твердыми ча стицами. Очевидно, что вектор t должен обращаться в нуль при 2 = 0.

Определяющее уравнение для тензора вязких моментных напряжений можно принять в простой форме Mf = m E;

m = 2 3 ( ) ;

3 0. (5.74) Наконец, примем следующее определяющее уравнение для силы Qf :

Qf = 22 12 · (V2 V1 ) ;

12 = 1 e e + 2 (E e e ) ;

12 (5.75) 0, 0.

1 12 Подстановка выражений (5.69)–(5.75) в уравнение (5.67) приводит к сле дующей форме уравнения баланса энергии:

1 U1 2 U2 m U12 p1 1 1 p2 2 2 2 z + 2 + = + + 2 + t t t 1 t 2 t t + · h + q + 2D · · · · D + 22 (V2 V1 ) · 12 · (V2 V1 ) + (5.76) 1 Vi · i · Vi + 2 3 | |2.

+ 2 i= 5.7. Уравнение теплопроводности.

Второй закон термодинамики Для того чтобы сформулировать так называемое приведенное уравнение баланса энергии, необходимо определить понятия температуры, энтропии и химического потенциала. Как правило, все эти понятия предполагаются хо рошо известными [34]. Однако фактически в континуальной механике для них нет удовлетворительных определений. Проблема в том, что невозмож но доказать, что температура, введенная в термодинамике и статистической физике, совпадает с температурой в континуальной механике. То же самое можно сказать в отношении энтропии и химического потенциала. В даль нейшем будем использовать подход, обсуждавшийся в третьей главе. Введем новые переменные 1, 2, H1 и H2 такие, что Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды · h + q + 2D · · · · D + + 22 (V2 V1 ) · 12 · (V2 V1 ) + 2 3 | |2 + 1 1 (5.77) + 2 Vi · i · Vi = 2 i= 1 H1 2 H = 1 1 + 2 2, t t где параметры 1 и 2 назовем температурами жидкой и твердо-жидкой фракций, соответственно, а параметры H1 и H2 назовем энтропиями этих фракций. Предполагается, что функции 1 и 2 могут быть измерены посред ством некоторой экспериментальной процедуры. Функции H1 и H2 должны быть заданы посредством определяющих уравнений таким образом, чтобы температуры, найденные теоретически, совпадали с температурами, изме ренными в результате эксперимента. Из этого следует, что энтропия сама по себе не имеет смысла какой-либо объективной (измеримой) величины. Если мы изменим смысл температуры, то смысл энтропии также изменится. Таким образом, очевидно, что уравнение (5.77) — это скорее достоверное равенство, чем дополнительное предположение. В некотором смысле можно сказать, что правая часть уравнения (5.77) — это обозначение для левой части уравнения (5.77). Уравнение (5.77) называется уравнением теплопроводности.

Воспользовавшись разложениями h=h +h ;

q = 1 q1 + 2 q2, перепишем уравнение (5.77) в эквивалентной форме · h + 1 q1 + Q + 2D · · · · D + 2 (V2 V1 ) · 12 · (V2 V1 ) + 1 H 1 + 2 V1 · 1 · V1 = 1 1 ;

2 2 t · h + 2 q2 Q + 2 (V2 V1 ) · 12 · (V2 V1 ) + (5.78) 1 + 2 V2 · 2 · V2 + 2 2 H + 2 3 | |2 = 2 2, t 5.7. Уравнение теплопроводности. Второй закон термодинамики где величина Q имеет смысл теплового обмена между жидкой и твердо жидкой компонентами.

Уравнение (5.77) следует из уравнений (5.78). Эквивалентность уравне ния (5.77) и системы (5.78) обусловлена наличием неопределенной величины Q. Заменив уравнение (5.77) системой двух уравнений (5.78), можно сформу лировать второй закон термодинамики в форме двух неравенств.

Количество теплоты, которое накапливается в каждой компоненте, регу лируется тепловым обменом Q. Тепловые потоки подчиняются закону Фурье– Стокса h = 1 1 ;

h = 2 2 ;

(5.79) Q = (1 2 ) ;

1 0, 2 0, 0, где 1, 2 и — коэффициенты теплопроводности.

Неравенства (5.79) не противоречат второму закону термодинамики7, ко торый можно сформулировать в форме системы двух неравенств Клаузиуса– Дюгема (см. разд. 3.4), Q h d 1 q 1 H1 dV + dV n· 1 V1 H1 dS 0;

(5.80) dt 1 2 (V) (V) (S) Q h d 2 q 2 H2 dV dV n· 2 V2 H2 dS 0. (5.81) dt 2 1 (V) (V) (S) В локальной форме неравенства (5.80), (5.81) записываются следующим Отношение П. А. Жилина ко второму закону термодинамики со временем изменя лось. Все трактовки второго закона термодинамики, относящиеся к различным временным периодам, отражены в данной книге. В первой главе (разд. 1.8), во второй главе (под разд. 2.5.3) и в третьей главе (разд. 3.4) изложены взгляды последних лет (2000–2005 гг.), которые существенно отличаются от общепринятых. В шестой главе (подразд. 6.5.6), вре мя написания которой в точности не известно, развивается подход К. Трусделла, основан ный на использовании второго закона термодинамики в форме неравенства Клаузиуса– Дюгема. В плане отхода от традиционных трактовок данная глава занимает некоторое промежуточное положение. Здесь для получения соотношений Коши–Грина используется тот же подход, что и в третьей главе. Второй закон термодинамики формулируется в виде неравенств Клаузиуса–Дюгема, но, в отличие от традиционного подхода, эти неравенства не используются для получения определяющих уравнений. (Примеч. ред.) Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды образом:

1 H1 1 1 ( · h + 1 q1 + Q) + Q t 1 1 (5.82) 2m H1 + 2 h · 1 0;

2 H2 1 1 ( · h + 2 q2 Q) + Q + t 2 1 (5.83) + 2m H2 + 2 h · 2 0.

Воспользовавшись уравнениями (5.78), получим 1 1 2D · · · · D + 2 V1 · 1 · V1 + 1 2 + 2 (V2 V1 ) · 12 · (V2 V1 ) + (5.84) 1 1 +Q 2m H1 + 2 h · 1 0, 1 2 2 (V2 V1 ) · 12 · (V2 V1 ) + 1 + 2 V2 · 2 · V2 + 2 3 | |2 + (5.85) 2 1 1 + 2m H2 + 2 h · 2 0.

+Q 1 2 Неравенства (5.84) и (5.85) являются необходимыми ограничениями. Они должны выполняться всегда и для всех процессов.

Если пренебречь прилипанием частиц жидкости к твердым частицам, т. е.

положить = 0, то введенные ранее ограничения (5.70), (5.71) и (5.74) для вязкостей, а также (5.79) для теплопроводностей являются достаточными условиями выполнения неравенств (5.84) и (5.85).

В случае = 0 неравенства (5.84) и (5.85) содержат слагаемые H1 и H2. С формальной точки зрения неочевидно, что эти неравенства всегда удовлетворяются. Тем не менее даже в этом случае неравенства (5.84) и (5.85) должны выполняться без существенных ограничений.

5.8. Приведенное уравнение баланса энергии. Соотношения Коши–Грина 5.8. Приведенное уравнение баланса энергии.

Соотношения Коши–Грина Воспользовавшись уравнением (5.77), приведем уравнение (5.76) к виду 1 U1 2 U2 m U + 2 + = t t t (5.86) 1 H1 2 H p1 1 1 p2 2 2 2 z = + + 1 1 + 2 2 + 2.

1 t 2 t t t t Уравнение баланса энергии, записанное в форме (5.86), называется приве денным уравнением баланса энергии. Из уравнения (5.86) становится ясным, как можно задать внутренние энергии U1, U2 и U12. Простейшая форма со ответствующих определяющих уравнений имеет вид U1 = U1 (1, H1 );

U2 = U2 (2, H2, z);

U12 = const. (5.87) Подстановка выражений (5.87) в уравнение (5.86) позволяет получить со отношения Коши–Грина U1 U p1 = 2 ;

p2 = 2 ;

1 1 (5.88) U1 U2 U 1 = ;

2 = ;

=.

H1 H2 z Согласно последнему уравнению (5.88) функция играет роль химиче ского потенциала8. Заметим, что представление функции в виде производ ной от внутренней энергии фактически является ограничением, наложенным Функция, которая согласно последнему уравнению (5.88) играет роль химическо го потенциала, отличается от химического потенциала, используемого в литературе по теории смесей. Она также отличается от химического потенциала, который был введен в третьей главе (см. разд. 3.3). Различие подходов к определению химического потенциа ла, развитых в третьей и пятой главах, означает не изменение взглядов П. А. Жилина на данный вопрос, а его убежденность в том, что химический потенциал можно вводить разными способами. Химический потенциал, так же как энтропия и внутренняя энер гия, является неизмеримой величиной. Поэтому никакие физические эксперименты не позволят ответить на вопрос о том, какой способ введения химического потенциала яв ляется правильным. Можно обсуждать только целесообразность использования того или иного определения химического потенциала при построении конкретной модели среды. В третьей главе химический потенциал определен как величина, сопряженная плотности частиц ;

физический смысл такого химического потенциала ассоциируется с причиной изменения числа частиц. Химический потенциал, введенный в рассмотрение в пятой Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды на зависимость внутренней энергии от переменной z. Действительно, соглас но уравнениям (5.68) и (5.88), имеем U2 1 1 U = V2 · V2 + · J · 2 U z 2 2 (5.89) 1 U V1 · V1 1 U1.

2 Уравнение (5.89) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных для внутренней энергии. Его можно переписать в сле дующей эквивалентной форме:

U2 U2 1 + = V2 · V2 + · J · U z x 2 (5.90) 1 U1 V1 · V1 1 U1, x ln 0.

2 1 Вводя новые переменные z+x zx 2 0 2 2 ;

= = ln 0 = = ln ;

z = ln 0 2, (5.91) 2 2 2 2 2 2 вместо уравнения (5.90) получаем U2 1 1 1 U = V2 · V2 + · J · U2 V1 · V1 1 U1. (5.92) 2 2 2 Соотношения Коши–Грина (5.88) принимают вид U1 U p1 = 2 ;

p2 = 2 ;

1 (5.93) U1 U2 1 U2 1 U 1 = ;

2 = ;

= +, H1 H2 2 где внутреннюю энергию U2 следует считать функцией,, H2. Кроме того, эта функция должна удовлетворять условию (5.92).

главе, является сопряженным величине z и ассоциируется с причиной изменения массы частиц-фибр;

он относится к твердо-жидкой компоненте. В принципе, при построении мо дели бинарной среды можно было бы использовать определение химического потенциала, данное в третьей главе. В этом случае химический потенциал относился бы к жидкой компоненте и имел бы смысл причины изменения числа частиц жидкости. (Примеч. ред.) 5.8. Приведенное уравнение баланса энергии. Соотношения Коши–Грина Введем вместо внутренних энергий свободные энергии F1 (1, 1 ) = U1 1 H1 ;

F2 (2, 2, z) = U2 2 H2. (5.94) Тогда приведенное уравнение баланса энергии (5.86) примет вид 1 F1 2 F2 p1 1 1 p2 2 2 1 1 2 2 2 z +2 = + 1 H1 2 H2 +2, (5.95) t t 1 t 2 t t t t а соотношениям Коши–Грина (5.88) можно придать форму F1 F p1 = 2 ;

p2 = 2 ;

1 1 (5.96) F1 F2 F H1 = ;

H2 = ;

=.

1 2 z В соответствии с последними уравнениями (5.88) и (5.96) энтропия H2 не зависит от переменной z. Фактически, имеем 2 H F2 U2 H = = =0 = 0.

z z z z Соотношения Коши–Грина (5.93), записанные через свободную энергию, для величин p1, H1 и H2 имеют вид (5.96), а для величин p2 и выглядят следующим образом:

F2 1 F2 1 F p2 = 2 ;

= + (5.97).

2 Напомним, что давление p2 характеризует взаимодействие между фибра ми. Для рассматриваемых суспензий9 можно принять p2 = 0. В этом случае, согласно уравнениям (5.93), (5.97), U2 и F2 не зависят от. Следователь но, внутреннюю энергию U2 можно найти из уравнения (5.92) следующим образом:

1 1 1 U V2 · V2 + · J · V1 · V1 U2 = U1. (5.98) 2 2 2 Уравнения, полученные ранее, представляют собой общую теорию, применимую к очень широкому классу бинарных сред. При использовании этой теории применительно к смеси конкретных веществ необходимо дополнить ее физическими гипотезами, отража ющими свойства компонент смеси и характер их взаимного влияния. Далее рассматрива ются волокнистые суспензии с небольшой концентрацией частиц-фибр;

принимается ряд справедливых для этого вида суспензий физических допущений, позволяющих существен но упростить и конкретизировать теорию. (Примеч. ред.) Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды Кроме того, соотношения Коши–Грина принимают вид F1 F1 F2 1 F p1 = 2 ;

p2 = 0;

H1 = ;

H2 = ;

=. (5.99) 1 1 2 Здесь функция имеет точный смысл химического потенциала. Напом ним, что химический потенциал обычно определяется как производная от свободной энергии (или от какого-либо другого термодинамического потен циала) по числу частиц в рассматриваемой системе. Однако согласно уравне ниям (5.68) и (5.98) химический потенциал равен нулю10. Поэтому эффект прилипания частиц жидкости к фибрам можно проигнорировать. Конечно, такое заключение справедливо только в рамках предположения, что твер дые частицы не могут формировать деформируемые тела. Это означает, что расстояния между фибрами слишком велики, так что силы межчастичного взаимодействия можно не принимать во внимание. Таким образом, можно принять следующие представления:

F1 = F1 (1, 1 ), F2 = F2 (2 ). (5.100) Введем новую переменную 0 1 =, = 1 b, b 1 0, 7 0, 9;

=0 (5.101) 1 где b — эмпирическая константа;

— верхний предел массовой плотности первой компоненты и 0 — соответствующая равновесная массовая плотность при p = 0 и 1 = 0. Конечно, не принимаются во внимание квантовые эф фекты. Это означает, что в рассматриваемом случае температура далека от абсолютного нуля. С использованием переменной определяющие уравнения (5.99) можно записать следующим образом:

0 F1 F1 F p1 = 1, p2 = 0, H1 = H2 = = 0. (5.102),, 1 Параметр 0 будет подробно обсуждаться в следующем разделе. В за ключение подчеркнем, что исходя из полученных результатов, функцию в уравнении (5.43) можно не учитывать.

Равенство нулю химического потенциала является непосредственным следствием предположения p2 = 0. (Примеч. ред.) 5.9. Определяющее уравнение для давления 5.9. Определяющее уравнение для давления Определяющее уравнение для давления внутри жидкости должно быть сформулировано на основании известных экспериментальных фактов. Обыч но при моделировании течения суспензий в процессе заливки использует ся подход, основанный на применении условий несжимаемости (см., напри мер, [105,106,109,110,115,125]). Кроме того, в работах теоретического харак тера стадия отвердевания не исследовалась.

Для того чтобы учесть возможность отвердевания, необходимо моди фицировать модель несжимаемой жидкости. Отправным пунктом является определяющее уравнение для давления, предложенное в подразделе 3.8.2, m n 1b 1b n m c n/(mn) p = p0 + ;

mn n k (5.103) 1 k n m, p0 0, где p p1 — давление в компоненте 1, а параметры p0, m, n, k, c, b (посто янные величины) следует определять экспериментально. С физической точки зрения ясно, что константы m, n, k должны быть нечетными целыми числа ми.

p 1 = 1b p Рис. 5.3. Качественное изменение давления в твердой фазе Обсудим главные свойства определяющего уравнения (5.103). Во-первых, если температура 1 = 0, то при давлении p = 0 имеет место равенство = 1 b или, что то же самое, 1 = 0 (рис. 5.3). Таким образом, массовая Глава 5. Микрополярная теория бинарной среды плотность 0 соответствует устойчивому равновесному состоянию материала в твердой фазе. Смысл константы p0 в уравнении (5.103) следует из выраже ния pmin = p0, 1 = 0.

Таким образом, p0 — это предел прочности на разрыв материала в твер дом состоянии при низкой температуре. Важно отметить, что у рассматрива емого материала есть конечный предел прочности на разрыв. При давлении ниже ( p0 ) материал разрушается. При давлении выше ( p0 ) материал мо жет существовать только в твердом состоянии.

Исследуем случай, когда 0 1 (температура будет введена позже). Диаграмма давления, соответствующая уравнению (5.103), представ лена на рис. 5.4. Здесь мы имеем два равновесных состояния с безразмер ными плотностями 1 и 2, обозначенные точками A и B, соответственно, (1 b 1 2 ). Величины 1 и 2 определяются как корни уравнения m n 1b 1b n m c n/(mn) + = 0, p mn n k (5.104) 0 1.

Первый корень 1 соответствует устойчивому равновесному состоянию материала в твердой фазе. Второй корень 2 соответствует неустойчивому равновесному состоянию материала. Первая зона на рис. 5.4 соответствует устойчивой твердой фазе материала. Давление в этой зоне определяется урав нением состояния (5.103), причем зависимость давления от плотности должна быть проверена экспериментально. Вторая зона на рис. 5.4 соответствует так называемому метастабильному состоянию материала. В этой зоне поведение материала определяется скорее уравнениями движения, а не уравнением со стояния. Подчеркнем, что в этой зоне нет статических решений или, что то же самое, есть бесконечно много статических решений. Кроме того, в этой зоне имеется смесь двух фазовых состояний материала — жидкого и твердо го. Третья зона на рис. 5.4 соответствует устойчивой жидкой фазе материала.

В этой фазе материал может существовать только при давлениях, лежащих в интервале 0 p p1, где p1 отмечено на рис. 5.4.

Предположим, что диаграмма, представленная на рис. 5.4, соответствует температуре полимеризации p при давлении p1. Пусть температура p бу дет постоянной, а давление p меньше, чем p1. В таком случае имеется три равновесных состояния, обозначенных на рис. 5.4 точками C, D и E. Два 5.9. Определяющее уравнение для давления p Мета стабильное жидко твердое состояние 0 p E D C A B 0 1b p Стабильное твердое Стабильное жидкое состояние 0 p p состояние Рис. 5.4. Качественное изменение давления для 0 из этих состояний (точки C, E ) являются устойчивыми, третье равновесное состояние (точка D ) неустойчиво. Будет ли реализовываться одно из двух устойчивых состояний, и какое именно, или будет смесь двух фаз — зависит от начальных условий.

Если температура 1 возрастает от 0 до значения 1, тогда предел прочности материала на разрыв p убывает до значения m n mk 1b nk 1b nm n/(mn) p = p0, (5.105) mn s (1 ) mn s (1 ) kn где s (1 ) — наименьший корень уравнения, m n 1b 1b n m c n/(mn) n +k = 0, p0 m mn n k s s s (5.106) 0 1.

Предел прочности материала на разрыв p должен находиться экспери ментально. Полимеризация жидкой взвеси возможна только при 1.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 15 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.