авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 21 |

«А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Избранные труды Том 1 ГЕОМЕТРИЯ и ПРИЛОЖЕНИЯ Новосибирск «Наука» 2006 ...»

-- [ Страница 10 ] --

11) В двумерном случае теоремы, аналогичные теоремам 1–3, не имеют места. На пример, в теореме 1 в этом случае речь шла бы о преобразованиях, переводящих друг в друга пары полупрямых |x x0 | = c(t t0 ). Такое преобразование вовсе не обязано быть линейным, так как, очевидно, может включать любые неравномерные растяжения и сжатия, сохраняющие направления этих полупрямых.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ, В. В. ОВЧИННИКОВА S S K K K P Рис. Рассмотрим теперь другой конус K3. Если он пересекает конус K1 так же, как конус K2, то точка A должна быть самой нижней точкой пересечения конусов K1 и K3. Поэтому сфера S3, по которой плоскость P пересекает конус K3, также касается сферы S1 в точке A.

Если, в частности, сферы S1 и S2 лежат по одну сторону от касатель ной плоскости в точке A, то конусы K1 и K3 касаются вдоль образующей, идущей через точку A. Если же сферы S1 и S2 лежат по разные стороны, то касаются друг друга конусы K1 и K2. Так или иначе конус K3 касается одного из конусов K1 или K2, т. е. не пересекает его. Стало быть, никакой конус K3 не может пересекать конус K1 так же, как конус K2, и лемма доказана.

Лемма 2. Преобразование, переводящее конусы (1) в такие же конусы, переводит их образующие в образующие, а вершины в вершины.

Доказательство. Возьмем какой-либо из рассматриваемых конусов K и его образующую L. Продолжим эту образующую за вершину конуса и возьмем на ее продолжении две точки A1, A2 так, что A2 лежит дальше от вершины конуса K. Возьмем конусы K1, K2 с вершинами в точках A1, A (рис. 2). Так как конусы K, K1, K2 имеют одинаковые растворы и направ ления осей, то они касаются друг друга, и общей частью как конусов K, K1, так и конусов K, K2 будет как раз образующая L.

После преобразования конусы перейдут в такие же конусы K, K1, K2, и вследствие взаимной однозначности преобразования общая часть как кону сов K, K1, так и конусов K, K2, т. е. образующая L, переходит в общую часть L. Следовательно, общая часть конусов K, K1 совпадает с общей частью K, K2.

ЗАМЕЧАНИЯ К ОСНОВАМ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Для конусов K, K1 есть три априорные воз можности расположения: 1) вершина одного ле жит на другом, и тогда их общая часть есть образующая одного из них;

2) вершина одно го лежит внутри другого, и тогда конусы не имеют общих точек;

3) вершина каждого из L конусов лежит вне другого, и тогда конусы K пересекаются.

K Для конусов K, K1 вторая возможность ис K ключена, так как они имеют общую часть L.

Третья возможность также исключается, так как по лемме 1 никакие три конуса K, K1, K2 A не могут пересекаться так, чтобы K и K1 име A ли ту же общую часть, что K и K2.

Таким образом, остается только первая воз Рис. можность, и тогда общая часть L конусов K, K есть образующая одного из них и соответственно бесконечная часть обра зующей другого. Следовательно, L является если не целой образующей конуса K, то, по крайней мере, полупрямой, составляющей часть образую щей конуса K. Этим доказано, что любая образующая L конуса K перехо дит либо в целую образующую, либо в полупрямую, составляющую часть образующей конуса K.

Однако любые две образующие L и M конуса K имеют общую точку — вершину конуса. Поэтому после преобразования они переходят в полупря мые L и M, которые также должны иметь общую точку. Это возможно только в том случае, если обе линии L и M являются целыми образующими конуса K, а не их частями.

Итак, образующая переходит в целую образующую;

вершина, как един ственная общая точка образующих, переходит в вершину. Лемма доказана.

Лемма 3. Любая прямая, имеющая направление какой-нибудь образу ющей рассматриваемых конусов, переходит при рассматриваемом преобра зовании в такого же рода прямую.

Доказательство. Если прямая M имеет направление образующей, то любая ее полупрямая L, идущая в ту же сторону, как и образующая, явля ется сама образующей одного из конусов. Поэтому, как следует из леммы 2, при преобразовании она переходит в одну из образующих L.

Проведем прямую M вдоль L. Так как полупрямую L можно провести из любой точки прямой M, то ясно, что после преобразования все точки пря мой M попадают на прямую M. Иными словами, вся прямая M переходит в прямую M, имеющую направление образующей, или в часть прямой M.

Остается доказать, что прямая M переходит именно в целую прямую M.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ, В. В. ОВЧИННИКОВА Для доказательства возьмем на прямой M любую точку A, и пусть A — та точка, которая переходит при данном преобразовании в точку A. Возьмем конус K с вершиной в точке A;

при преобразовании он перейдет в конус K с вершиной в точке A (так как по лемме 2 вершина переходит в вершину).

Так как вершина конуса K лежит на прямой M, то он имеет образую щую N, идущую вдоль M. Пусть N — образующая конуса K, переходящая в указанную образующую N. (Такая образующая существует, потому что по условию конус K переходит в целый конус K и по лемме 2 образующие переходят в образующие.) Образующая N, несомненно, содержит хотя бы часть полупрямой L, вдоль которой проведена прямая M. Но L соответствует образующей L, лежащей на прямой M, и потому вследствие взаимной однозначности пре образования образующая N должна содержать соответствующую часть L.

Это значит, что образующая N, а вместе с ней и точка A, лежит на пря мой M. Этим доказано, что любая точка A прямой M отвечает некоторой точке A прямой M.

Таким образом, прямая M переходит в целую прямую M, что и требо валось доказать.

3. Все двумерные плоскости по отношению к конусам разбиваются на три класса. Пусть P — произвольная плоскость пространства и K — какой-либо конус с вершиной на плоскости P. Будем называть P плоскостью первого рода, если она пересекает конус K по двум образующим, второго рода, если не пересекает конус K, и третьего рода, если соприкасается с конусом K.

Очевидно, что это деление не зависит от выбора конуса K с вершиной в плоскости P.

Лемма 4. Двумерные плоскости первого рода при преобразовании пе реходят снова в двумерные плоскости.

Доказательство. Рассмотрим в пространстве произвольную двумер ную плоскость P первого рода и конусы, вершины которых лежат на ней.

Эта плоскость пересечет все конусы по пересекающимся образующим. Вся плоскость будет покрыта сетью прямых, имеющих направление образую щих, причем все они разбиваются на два семейства. Все прямые одного семейства параллельны, а через каждую точку плоскости проходят две пря мые из разных семейств. Эти прямые, имеющие направление образующих наших конусов, мы назовем просто прямыми, так как о других прямых у нас не будет речи.

В результате преобразования конусы перейдут в конусы, указанные пря мые перейдут, согласно лемме 3, в такие же прямые, так что плоскость P перейдет в какое-то множество, покрытое двумя семействами прямолиней ных образующих.

Рассмотрим две произвольные прямые на плоскости P из одного семей ЗАМЕЧАНИЯ К ОСНОВАМ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ства. При преобразовании возможны только два случая: либо прямые оста лись параллельными, и тогда плоскость, очевидно, перешла в целую плос кость, как того требует лемма, либо они перешли в пару скрещивающихся прямых.

Пусть две прямые из одного семейства перешли в пару скрещивающихся прямых. Последние определяются четырьмя точками. Но четыре точки, не лежащие в одной двумерной плоскости, определяют в четырехмерном пространстве некоторую трехмерную плоскость, которая есть не что иное, как обычное трехмерное евклидово пространство. А так как любая прямая другого семейства должна пересекать обе эти прямые, то она также лежит в этом трехмерном пространстве, и образ P можно рассматривать в простом трехмерном пространстве.

Возьмем три прямые L1, L2, L3 одного семейства. Если хотя бы две из них перешли в параллельные прямые, то лемма справедлива. Покажем, что перейти в попарно скрещивающиеся прямые они не могли. Пусть образы L1, L2, L3 этих прямых попарно скрещиваются. Тогда возможны два случая:

прямые L1, L2, L3 либо лежат в параллельных плоскостях, либо не лежат.

Первый случай невозможен по следующим соображениям. Прямые L1, L2, L3, согласно лемме 3, идут вдоль образующих конусов. Параллельные друг другу плоскости Q1, Q2, Q3, в которых лежат эти прямые, проходя через вершины параллельных конусов равного раствора, пересекают эти конусы по двум семействам прямых, так что прямые каждого семейства параллельны друг другу. Поэтому хотя бы две из прямых L1, L2, L3 должны быть в этом случае параллельны, что противоречит их скрещиванию.

В невозможности второго случая можно убедиться следующим образом.

Проведем через L1 и L2 параллельные друг другу плоскости Q1 и Q2. Пря мая L3, не будучи параллельна этим плоскостям, пересечет Q1 в некоторой точке A. Пусть A — перешедшая в A точка плоскости P. Через точку A в плоскости P проходит прямая M второго семейства, пересекающая все прямые L1, L2, L3. Образ M прямой M является прямой, проходящей че рез A и некоторую точку прямой L1. Поэтому M целиком лежит в Q1, но тогда M не может пересечь прямую L2, которая лежит в Q2. Это противо речит наличию пересечения M с L2.

Лемма 4 доказана.

4. Лемма 5. Любая прямая преобразуется в прямую.

Доказательство. Возьмем произвольную прямую L и на ней точку.

Пусть эта точка будет вершиной конуса K. Проведем через прямую L две плоскости так, чтобы каждая из них пересекала конус K по двум образую щим. (Достаточно провести одну плоскость через прямую L и ось конуса K, а другую — через прямую L под малым углом к оси конуса K.) В результате преобразования построенные плоскости перейдут в плоско А. Д. АЛЕКСАНДРОВ, В. В. ОВЧИННИКОВА сти, так как это плоскости первого рода, а прямая L — в прямую как их пересечение.

Следовательно, преобразование, переводящее наши конусы в такие же конусы, переводит любую прямую в прямую.

Как уже было сказано, взаимно однозначные преобразования, переводя щие прямые в прямые, являются линейными. Следовательно, преобразова ние, которое мы рассматриваем, линейно и теорема 1 доказана.

5. Теорема 2 доказывается совершенно так же. Разница состоит в том, что неполные конусы (1) заменяются полными конусами (2) и образующие их являются уже целыми прямыми, а не полупрямыми. Леммы 1 и 2 для этого случая формулируются дословно так же. Однако в их доказатель ствах появляются некоторые изменения.

Два полных конуса (2) всегда пересекаются, если только они не касаются по образующей. Для их пересечения возможны два случая: первый, когда вершина каждого из двух конусов лежит вне другого (этот случай соответ ствует тому, когда пересекаются неполные конусы), и второй, когда вершина одного конуса лежит внутри другого (этот случай соответствует тому, когда неполные конусы не пересекаются). Оба эти случая должны быть учтены в лемме 1. Воспроизводить доказательство леммы 1 для полных конусов мы не считаем нужным;

оно может быть проведено аналогично доказательству для случая неполных конусов.

Доказательство леммы 2 теперь крайне просто. Мы берем три конуса, касающихся вдоль образующей. Теперь, когда речь идет о полных конусах, эта образующая есть общая часть любых двух из них. После преобразова ния это свойство должно сохраниться, а по лемме 1 это невозможно, если конусы стали пересекаться. Следовательно, они остались касающимися, так что их общая образующая перешла в образующую.

Этим доказано, что образующие переходят в образующие, и так как те перь образующая — это целая прямая, то лемма 3 оказывается лишней: она заключается в лемме 2. После этого остается дословно повторить выводы п. 3 и 4 (леммы 4 и 5), и теорема 2 доказана.

6. Теорема 3 может быть сведена к теореме 1 благодаря следующей лемме.

Лемма 6. Преобразование, переводящее телесные конусы (3) в такие же конусы, переводит их поверхности в поверхности.

Поверхность телесного конуса (3) есть не что иное, как конус (1), так что преобразование, переводящее телесные конусы (3) в такие же конусы, переводит конусы (1) в такие же конусы.

Таким образом, задача сводится к доказательству леммы 6.

Докажем сначала, что при преобразовании, переводящем телесные кону сы (3) в такие же конусы, вершина конуса переходит в вершину.

Пусть K0 — телесный конус (3) и A — его точка, отличная от вершины.

ЗАМЕЧАНИЯ К ОСНОВАМ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Телесный конус K1 с вершиной A содержится в K0. После преобразования конусы K0 и K1 перейдут в конусы K0 и K1, причем K1 будет содержаться в K0. Поэтому никакая точка конуса K1 и, в частности, точка A, получа ющаяся из точки A, не может быть вершиной конуса K0. Этим доказано, что любая точка A конуса, не являющаяся его вершиной, не переходит при преобразовании в вершину. Но в таком случае в вершину конуса K0 может перейти только вершина конуса K0. А так как конус K0 переходит в це лый конус K0, то тем самым его вершина неизбежно переходит в вершину конуса K0.

Докажем теперь, что любая точка, лежащая на поверхности конуса K0 и отличная от вершины, переходит в точку на поверхности конуса K0.

Пусть точка A лежит на поверхности конуса K0 и отлична от его верши ны. Рассмотрим все конусы (3), содержащие точку A и содержащиеся в K0, и назовем их конусами K. Очевидно, они все касаются поверхности конуса K0 вдоль образующей, идущей через точку A, и последовательно вложены один в другой;

т. е. если K1 и K2 — любые два из этих конусов, то либо K1 содержится в K2, либо K2 содержится в K1. После преобразования это свойство сохраняется, так что конусы K переходят в конусы K, так же последовательно вложенные друг в друга.

Допустим, что после преобразования точка A перешла во внутреннюю точку A конуса K0. Тогда, как очевидно, существуют конусы, содержащи еся в K0, содержащие точку A, но не содержащиеся один в другом. Поэтому по крайней мере один из них не будет конусом K. Иными словами, если точка A лежит внутри конуса K0, то существует содержащий ее конус Q, содержащийся в K0 и не являющийся конусом K.

Пусть B — вершина конуса Q и B — точка, переходящая в B при данном преобразовании. Если Q — конус с вершиной B, то он как раз переходит в конус Q, поскольку вершина переходит в вершину.

Вместе с тем, так как конус Q содержит точку A, то конус Q содержит точку A, т. е. является одним из конусов K. А тогда конус Q есть один из конусов K, что противоречит, однако, его выбору.

Полученное противоречие показывает, что точка A не может переходить во внутреннюю точку конуса K0, т. е. каждая точка поверхности конуса K остается при преобразовании на поверхности.

Остается теперь доказать, что поверхность конуса K0 переходит во всю поверхность конуса K0. Так как конус K0 переходит в целый конус K0, то это равносильно тому, что никакая точка изнутри конуса K0 не может перейти на поверхность.

Но если точка A лежит внутри конуса K0, то можно указать содержащие ее конусы Q1 и Q2, содержащиеся в K0, но не содержащиеся один в другом.

После преобразования эти конусы перейдут в конусы Q1 и Q2 с тем же свой А. Д. АЛЕКСАНДРОВ, В. В. ОВЧИННИКОВА ством. Если бы точка A попала после преобразования на границу конуса K0, то из любых двух содержащих ее конусов, лежащих в K0, один содер жался бы в другом. Стало быть, точка A не может попасть на поверхность конуса K0.

Таким образом, доказано, что точки поверхности конуса K0 (и только они) переходят в точки поверхности конуса K0, т. е. вся поверхность конуса K0 переходит во всю поверхность конуса K0. Лемма 6 доказана, и вместе с этим теорема 3 сведен к теореме 1.

а ЛИТЕРАТУРА 1. Weyl H. Mathematische Analyse des Raumproblems. Berlin: Springer, 1923.

2. Паули В. Теория относительности. М.;

Л.: Гостехиздат, 1947.

3. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: ГИТТЛ, 1953.

4. Курс физики / Под ред. Н. Д. Папалекси. М.;

Л.: ГИТТЛ, 1947. Т. 2: Электричество.

Оптика. Физика атомного ядра.

5. Эйнштейн А. О специальной и общей теории относительности / Пер. 5-го нем. изд.

С. И. Вавилова. Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. (Обл. загл.: Эйн штейн А. Принцип относительности.) 6. Александров А. Д. О сущности теории относительности // Вестн. ЛГУ. 1953. № 8.

Сер. математики, физики и химии. Вып. 3. С. 103–128.

7. Умов Н. А. Условия инвариантности волнового уравнения // Журн. Русского физ. хим. о-ва, часть физ. 1912. Т. 44, № 6. С. 349–354.

8. Фок В. А. Против идеализма и путаницы в понимании квантовой механики // Вестн.

ЛГУ. 1949. № 4. С. 48–68.

9. Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия. М.: Гостехиздат, 1949. Т. 1.

О заполнении пространства многогранниками Вестн. ЛГУ. 1954. № 2. Сер. математики, физики и химии. Вып. 1. С. 33– В работе «Об одном классе евклидовых многогранников» [1] Б. А. Вен ков 1) исследовал заполнение n-мерного евклидова пространства равными и параллельно расположенными выпуклыми многогранниками, приклады ваемыми друг к другу по целым граням, и нашел необходимые и достаточ ные условия того, чтобы такое заполнение было возможно без взаимных налеганий многогранников, т. е. чтобы многогранники были параллелоэд рами. В настоящей статье мы обобщаем результат Б. А. Венкова и даем более простой его вывод: он оказывается следствием той известной теоре мы топологии, что односвязное пространство (или полиэдр) не имеет на крывающего, кроме самого себя [2]. В своем изложении мы даем необхо димые определения, так что для понимания дальнейшего ссылки на работу Б. А. Венкова не будут нужны.

§ 1. Постановка вопроса Мы будем рассматривать заполнение многогранниками n-мерного, одно связного, полного пространства Rn постоянной кривизны, т. е. либо евкли дова пространства, либо пространства Лобачевского.

Говоря наглядно, речь идет о следующем построении. Пусть дано конеч ное число n-мерных многогранников Pi. Берем в Rn многогранник, равный одному из Pi, к нему по всем его целым (n 1)-мерным граням прикладыва ем многогранники, равные каким-то из многогранников Pi, и т. д. На каж дом шаге можно некоторые из (n 1)-мерных граней просто отождествлять друг с другом, вместо того чтобы прикладывать к ним новые многогранни ки, если только эти грани целиком налегали друг на друга и принадлежали многогранникам, лежавшим вблизи этих граней по разные стороны от их плоскости.

1) С работой Б. А. Венкова я имел возможность ознакомиться в рукописи.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Не исключается, что многогранники при таком построении пересекают ся 2). Дадим следующее строгое определение.

Пусть дан комплекс K n, образованный n-мерными многогранниками. Пред полагается, что каждому многограннику принадлежат все его грани. Ком плекс рассматривается абстрактно, т. е. хотя каждый его многогранник есть многогранник из данного пространства Rn (евклидова, сферического или пространства Лобачевского), тем не менее комплекс K n не считается погруженным в Rn, а образует сам по себе соответствующий полиэдр K n.

Предполагается, что комплекс K n обладает следующими свойствами.

1) Среди многогранников комплекса K n есть только конечное число су щественно различных, т. е. геометрически не равных друг другу.

2) Каждая (n 1)-мерная грань любого многогранника P K n является вместе с тем гранью одного и только одного другого многогранника P K n.

3) (Условие «сильной связности»). Если P и P — любые два многогран ника из K n, то существует соединяющая их цепь. Здесь мы называем це пью конечную последовательность многогранников, в которой каждые два соседних смежны по (n 1)-мерной грани и говорим, что цепь соединяет многогранники P, P, если они суть ее первый и последний многогранники.

4) Если Qk есть k-мерная (0 k n2) грань многогранника P из Rn, то она считается принадлежащей вместе с тем многограннику P тогда и толь ко тогда, когда существует соединяющая P и P цепь, в которой каждые два соседних многогранника смежны по (n 1)-мерной грани, содержащей Qk.

Заметим, что комплекс может быть бесконечным и даже локально беско нечным, т. е. отдельные его грани Qk (0 k n 2) могут принадлежать бесконечному числу многогранников комплекса.

Кроме комплекса K n, предполагаем заданным непрерывное отображение соответствующего полиэдра K n в данное Rn, удовлетворяющее условиям:

1) для каждого многогранника это отображение является конгруэнтным (изометричным);

2) если многогранники P и P смежны по грани Qn1, то их образы P, P n грани Qn1 по разные стороны от него.

лежат в окрестности образа Q (Если многогранники выпуклы, то они вообще лежат по разные стороны n от плоскости грани Q, но если они не выпуклы, то это требуется лишь n.) Таким образом, многогранники погружаются в Rn.

в окрестности Q 2) Обобщение в сравнении с постановкой вопроса Б. А. Венковым состоит в том, что мы не ограничиваемся только равными и параллельно располагаемыми выпуклыми мно гогранниками в евклидовом пространстве. Наше построение можно осуществить, исходя, например, из любого многогранника P следующим образом: помещаем в Rn многогран ник P0, равный P ;

отражая его в плоскости какой-нибудь грани, получим многогран ник P1 и т. д. В результате получаем совокупность равных многогранников, смежных по целым (n 1)-мерным граням, но допускающих, может быть, пересечения.

О ЗАПОЛНЕНИИ ПРОСТРАНСТВА МНОГОГРАННИКАМИ Мы докажем две основные теоремы.

Теорема 1. Образ полиэдра K n в Rn есть все Rn, или, иными словами, описанный выше процесс прикладывания многогранников по целым граням приводит к заполнению всего пространства, причем для любой ограничен ной части пространства найдется конечное число многогранников комплек са K n, образы которых уже покрывают эту часть пространства.

Более глубокий вопрос состоит в отыскании условий, при которых это заполнение будет осуществляться без взаимных пересечений многогранни ков, т. е. отображение полиэдра K n в Rn будет взаимно однозначным. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы указанное отображение полиэдра K n в Rn было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вза имно однозначным вокруг каждой (n 2)-мерной грани комплекса K n, т. е.

чтобы сходящиеся в такой грани многогранники при отображении не пере крывались в сколь угодно малой ее окрестности. Иными словами, для того чтобы заполнение пространства многогранниками осуществлялось в целом без перекрытий, достаточно чтобы оно осуществлялось без перекрытий «ло кально» вокруг каждой (n 2)-мерной грани. Необходимость условия три виальна, и речь должна идти о доказательстве его достаточности.

Значение этой теоремы состоит в том, что она сводит вопрос о возможно сти однозначного заполнения всего пространства в целом к вопросу о воз можности его локального однозначного заполнения вокруг (n 2)-мерных граней. В частности, она легко приводит к простой геометрической харак теристике параллелоэдров, установленной Б. А. Венковым 3).

3) Известно, что каждый n-мерный параллелоэдр (как нормальный, так и ненормаль ный) обладает следующими свойствами: 1) он имеет центр симметрии;

2) каждая его (n 1)-мерная грань имеет центр симметрии;

3) для каждой (n 2)-мерной грани па раллельные ей (n 1)-мерные грани образуют замкнутую шести- или четырехгранную зону. Теорема Б. А. Венкова утверждает, что эти условия также достаточны для то го, чтобы выпуклый многогранник был нормальным параллелоэдром, т. е. допускал однозначное заполнение пространства путем параллельного прикладывания по целым граням. (Ненормальным параллелоэдром называется выпуклый многогранник, допус кающий аналогичное заполнение пространства без соблюдения условия прилегания по целым граням.) Доказательство очевидно из теоремы 2. В самом деле, из условий 1– ясно, что (n 1)-мерные грани зоны, отвечающей какой-либо (n 2)-мерной грани Qn2, ограничивают при бесконечном продолжении вдоль Qn2 либо шести-, либо четырех гранную призму с центром симметрии. Эти призмы при параллельном прикладывании, очевидно, однозначно заполняют окрестность грани Qn2. Таким образом, условие тео ремы 2 выполнено, и многогранник со свойствами 1–3 однозначно заполняет простран ство при параллельном прикладывании по целым граням, т. е. является нормальным параллелоэдром. Вместе с тем (так как условиям 1–3 удовлетворяют и ненормальные параллелоэдры) из доказанного следует другая теорема Б. А. Венкова: Каждый ненор мальный параллелоэдр является также нормальным.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Из этой теоремы вытекает, например, что для того чтобы правильным многогранником можно было однозначно заполнить пространство Rn, при кладывая его по целым граням, необходимо и достаточно, чтобы его дву гранные углы, т. е. углы между (n 1)-мерными гранями, смежными по (n 2)-мерным граням, составляли целую часть 2. Это, в частности, при ложимо к правильному делению n-мерной сферы. Точно так же, очевидно, получается условие однозначного заполнения пространства многогранника ми, получаемыми из данного многогранника P последовательными отра жениями в (n 1)-мерных гранях. Это условие состоит в том, что каждый двугранный угол многогранника P должен составлять целую часть 2, и ес ли такой угол при грани Qn2 есть нечетная часть 2, то P должен иметь плоскость симметрии, проходящую через грань Qn2.

Заметим еще, что, как можно видеть из последующего изложения, усло вия прилегания многогранников по целым граням и наличия только ко нечного числа неравных среди них не являются совершенно необходимыми и могут быть ослаблены. Можно, во-первых, сами куски граней, по которым смежны многогранники, считать гранями, а, во-вторых, вместо условия ко нечности числа неравных многогранников достаточно требовать, чтобы су ществовало такое число a 0, что у каждого многогранника каждые две несмежные грани любых измерений удалены не менее чем на a. Мы, одна ко, не будем вдаваться в обоснование возможности подобных обобщений — она представляется достаточно очевидной.

§ 2. Построение специальных окрестностей в полиэдре K n Доказательство теорем 1 и 2 будем вести индукцией по числу измерений пространства. Индукция осуществляется на основе следующего замечания.

Возьмем на какой-либо грани Qk (k = 0) комплекса K n внутреннюю по отношению к ней точку A. Если многогранник P K n содержит точку A, то строим в нем шаровой сектор V с центром в A, не пересекающий никаких граней кроме самой Qk и тех граней размерности, бльшей k, которые при о легают ко всей грани Qk. Так как среди многогранников P только конечное число неравных, то можно указать такое r 0, что в каждом многогранни ке P, содержащем точку A, содержится такого рода сектор V радиуса r. Все эти секторы образуют в сумме окрестность точки A, которую назовем шаро вой окрестностью Ш(A, r) точки A в полиэдре K n. (В дальнейшем термин шаровая окрестность употребляется только в смысле этого определения.) Поверхность шаровой окрестности Ш(A, r) состоит из (n1)-мерных сфе рических многогранников, вырезаемых на сфере секторами V. Эти много гранники образуют некоторый комплекс K n1. Из условий 1–4, которые были наложены на комплекс K n в § 1, непосредственно следует, что ком О ЗАПОЛНЕНИИ ПРОСТРАНСТВА МНОГОГРАННИКАМИ плекс K n1 удовлетворяет тем же условиям (конечно, с заменой n на n 1).

В частности, условие 3 сильной связности комплекса вытекает из того, что по условию 4 грань Qk, а стало быть и точка A, является общей для мно гогранников P и P тогда и только тогда, когда существует цепь, соединя ющая P и P, в которой каждые два соседних многогранника смежны по (n 1)-мерной грани, содержащей грань Qk.

Полиэдр K n1, образуемый многогранниками комплекса K n1, есть не что иное, как поверхность окрестности Ш(A, r).

Далее, непрерывное отображение полиэдра K n в Rn, естественно, опре деляет непрерывное отображение полиэдра K n1, и так как отображение полиэдра K n конгруэнтно на каждом многограннике, то полиэдр K n1 отоб ражается в (n 1)-мерную сферу радиуса r вокруг точки A, являющейся образом точки A;

это отображение, очевидно, удовлетворяет тем двум усло виям, которые сформулированы в § 1.

Таким образом, для комплекса K n1 выполнены все условия, поставлен ные в § 1 для комплекса K n. А так как число измерений комплекса K n есть n 1, то это дает основание для проведения индукции.

Заметим еще, что если точка A лежит внутри какого-либо многогран ника P комплекса K n, то она тем самым имеет шаровую окрестность, ле жащую в P. Если же точка A лежит на (n 1)-мерной грани, по которой смежны многогранники P и P, то она имеет шаровую окрестность, состо ящую из двух полушарий, так что в этом случае комплекс K n1 состоит просто из двух полусфер. Полученный результат можно коротко выразить в виде следующей леммы.

Лемма 1. Каждая точка A полиэдра K n имеет в нем шаровую окрест ность Ш(A, r). Если точка A лежит на грани, то поверхность K n1 окрест ности Ш(A, r) состоит из (n 1)-мерных сферических многогранников, об разующих комплекс K n1, для которого выполнены условия, вполне анало гичные условиям для данного комплекса K n.

Докажем еще одну лемму.

Лемма 2. Для каждого комплекса K n существует число a 0 со следу ющим свойством. У любой точки A из K n есть a-окрестность (т. е. окрест ность радиуса a), содержащаяся в некоторой шаровой окрестности с цен тром, вообще говоря, в некоторой другой точке B.

Доказательство. Пусть P1, P2,..., Pm — такие многогранники, что каждый многогранник из K n равен одному из них. В силу конгруэнт ных отображений многогранников P1,..., Pm на многогранники комплек са K n, каждая точка полиэдра K n служит образом одной (или многих) точек многогранников P1,..., Pm ;

и обратно, каждая из точек многогран ников P1,..., Pm имеет образы в K n.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Возьмем в одном из многогранников Pi (внутри или на границе) какую либо точку A и рассмотрим все соответствующие ей точки A полиэдра K n.

По лемме 1 вокруг каждой точки A есть шаровая окрестность Ш(A, rA ).

Мы утверждаем, что существует такое rA 0, что вокруг всех точек A есть шаровые окрестности Ш(A, rA ) одного и того же радиуса rA.

Если точка A лежит внутри многогранника Pi, то утверждение очевидно;

за rA можно взять радиус окрестности точки A в самом многограннике Pi.

Пусть точка A лежит на границе многогранника Pi внутри какой-то его грани Qk (0 k n 1). Шаровая окрестность любой соответствующей точки A в полиэдре K n состоит из шаровых секторов V, лежащих каждый в одном многограннике комплекса K n. Но все многогранники комплек са K n равны многогранникам P1,..., Pm, а в каждом из многогранников P1,..., Pm имеется конечное число точек, отвечающих точке A 4), и для каждой из них есть свой радиус шарового сектора, умещающегося в со ответствующем многограннике. Достаточно выбрать из всех этих радиу сов наименьший и получится как раз такое rA, что вокруг каждой точки A K n, отвечающей точке A, есть шаровая окрестность радиуса rA.

Опишем теперь вокруг каждой точки A из многогранников P1,..., Pm окрестность радиуса rA /2. Для внутренней точки это будет шар, для гра ничной — шаровой сектор. По известной лемме Бореля многогранники по крываются конечным числом таких окрестностей с центрами в каких-то точках A1, A2,..., Ap. Пусть a есть наименьший радиус таких окрестно стей.

В силу конгруэнтного отображения многогранников P1,..., Pm на мно гогранники комплекса K n, весь полиэдр K n будет покрыт образами этих окрестностей.

Если точка A лежит на границе многогранника Pi, то ее окрестность в Pi представляет собой только сектор V радиуса rA /2. Но если A — соответ ствующая точка в полиэдре K n, то прилегающий к ней сектор V можно дополнить до целой шаровой окрестности, так как вокруг A есть целая шаровая окрестность радиуса rA (и тем более радиуса rA /2).

Таким образом, весь полиэдр K n покрывается шаровыми окрестностями Ш(Ai, rA /2) радиусов rA /2.

Пусть теперь M — любая точка полиэдра K n и Ш(Ai, rA /2) — содержа щая ее шаровая окрестность с центром в какой-то точке A.

По определению числа rA вокруг точки A есть шаровая окрестность 4) ТочкаA лежит внутри грани Qk. Равные Qk грани у многогранников P1,..., Pm имеются лишь в конечном числе, и для каждой из них есть лишь конечное число воз можных конгруэнтных отображений на грань Qk. Точек, соответствующих A при таких отображениях, имеется, стало быть, лишь конечное число.

О ЗАПОЛНЕНИИ ПРОСТРАНСТВА МНОГОГРАННИКАМИ Ш(Ai, rA ) радиуса rA. По определению числа a оно не больше rA /2, так что rA 2a. И так как точка M Ш(Ai, rA /2), то a-окрестность точки M полностью содержится в шаровой окрестности Ш(Ai, rA ).

Таким образом, указанное число a обладает требуемым свойством: каж дая точка M K n имеет a-окрестность, содержащуюся в некоторой шаро вой окрестности. Лемма доказана.

§ 3. Доказательство теоремы Обратимся непосредственно к доказательству теоремы 1 о том, что об раз полиэдра K n покрывает все пространство Rn и что всякая конечная часть Rn уже покрывается образами конечного числа многогранников из K n.

Доказательство будем вести индукцией по числу измерений n. Начать мож но с n = 1. В этом случае речь идет попросту о покрытии окружности или прямой прикладываемыми друг к другу отрезками. Очевидно, что здесь теорема верна. (Правда, в случае n = 1 теорема, строго говоря, отлична от сформулированной в § 1 теоремы 1, хотя бы потому, что окружность не односвязна. Но это, как легко видеть, не играет в данном случае роли.) Итак, мы будем предполагать, что теорема верна для (n 1)-мерных пространств. На этом основании мы докажем следующее.

Если точка A Rn покрыта образом полиэдра K n, то целый шар ра диуса a вокруг нее уже покрывается конечным числом образов некоторых многогранников комплекса K n, причем a не зависит от точки A и является тем числом a, которое определено в лемме 2.

В самом деле, пусть A K n — прообраз точки A (любой из ее прооб разов, если их несколько). По лемме 2 точка A имеет окрестность данного радиуса a, заключенную в шаровой окрестности Ш(C, r) некоторой точки C.

Поверхность окрестности Ш состоит из (n 1)-мерных сферических много гранников, образующих комплекс K n1, для которого, как утверждает лем ма 1, выполнены такие же условия, как для комплекса K n. Полиэдр K n n (поверхность окрестности Ш) отображается в поверхность S шара Ш вокруг той точки C Rn, которая служит образом точки C.

Так как по предположению теорема 1 верна для (n 1)-мерного случая, n то образ K n1 покрывает всю сферу S и даже некоторое конечное число многогранников из K n1 уже ее покрывает.

Но отображение полиэдра K n в Rn конгруэнтно на каждом многогран нике. Поэтому и шар Ш покрывается конечным числом образов тех шаро вых секторов, которые образуют окрестность Ш(C, r). Короче, шар Ш уже покрывается конечным числом многогранников из K n, что и требовалось доказать.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Докажем теперь первое утверждение теоремы 1, а именно, что образ по лиэдра K n покрывает все пространство Rn.

Пусть A — любая точка из Rn. Возьмем какую-либо точку B Rn, покрытую образом полиэдра K n, и проведем отрезок A B. Отрезок A B покроем конечным числом отрезков длины a: A A1, A1 A2,..., Ap B.

Так как точка A покрыта образом K n, то по доказанному шар радиуса a вокруг нее тоже покрыт образом K n. Следовательно, точка A1 покрыта образом K n. Теперь точно так же убеждаемся, что точка A2 тоже покры та образом K n, и т. д. Дойдя до точки B, убеждаемся, что она покрыта образом K n, а так как она любая, то тем самым доказано, что все про странство Rn покрыто образом K n.

Докажем теперь второе утверждение теоремы 1, а именно, что любая ограниченная часть пространства уже покрывается образами некоторого конечного числа многогранников из комплекса K n.

В самом деле, ограниченная часть пространства покрывается конечным числом шаров радиуса a, а по доказанному каждый такой шар покрыва ется образами конечного числа многогранников из K n. Отсюда и следует доказываемое утверждение. Теорема 1 доказана полностью.

В дополнение можно доказать, что любой отрезок в Rn заведомо покры вается конечной «цепью» многогранников из K n, т. е. последовательностью многогранников, в которой каждые два соседних смежны по (n 1)-мерной грани.

Пусть A B — отрезок в Rn. Будем двигаться от конца A подобно тому, как это делалось при доказательстве первой части теоремы 1. Пусть мы дошли до точки C отрезка A B. Если она лежит внутри некоторого мно гогранника, то двигаемся дальше до его границы. Если точка C лежит на k грани Q многогранника P и отрезок A B идет вдоль этой грани, то двига емся до того места, где отрезок A B выходит из многогранника P. Остается последний случай, когда отрезок A B за точкой C выходит из многогран ника P. Пусть P — прообраз многогранника P, т. е. многогранник из K n, и C — прообраз точки C в многограннике P. Точка C имеет a-окрестность, лежащую в шаровой окрестности Ш(D, rD ) некоторой точки D. Все много гранники, пересекаемые окрестностью Ш, сходятся в некоторой грани Qk, которой принадлежит точка D. Образ окрестности Ш покрывает окрест ность точки C, и, следовательно, среди указанных многогранников есть многогранник P, в образ P которого входит точка отрезка A B при дви жении от A к B за точку C. По условию 4, наложенному на комплекс K n, многогранники P и P соединяются цепью многогранников, содержащих грань Qk. Эту цепь мы присоединяем к уже пройденной до точки C цепи многогранников.

О ЗАПОЛНЕНИИ ПРОСТРАНСТВА МНОГОГРАННИКАМИ Наше построение дает, таким образом, цепь многогранников, все мно гогранники которой имеют общие точки с отрезком A B и постепенно его покрывают. То, что это построение доводит нас до точки B, явствует из су ществования длины a, на которую мы всегда можем продвинуться за любую точку C. Таким образом, отрезок A B действительно покрывается конечной цепью многогранников, каждый из которых имеет с отрезком A B хотя бы одну общую точку.

§ 4. Доказательство теоремы Докажем теперь следующее утверждение.

Лемма 3. Если при отображении полиэдра K n на пространство Rn каж дая шаровая окрестность отображается взаимно однозначно, то и весь по лиэдр K n отображается на Rn взаимно однозначно.

Доказательство. Пусть A — любая точка полиэдра K n и A — ее образ в Rn. По лемме 2 вокруг точки A есть окрестность U (A, a) радиуса a, заключенная в шаровой окрестности Ш(B, r) некоторой точки B.

Согласно лемме 1, поверхность K n1 окрестности Ш состоит из (n 1) мерных сферических многогранников, образующих комплекс K n1, удовле творяющий тем же условиям, что комплекс K n. Полиэдр (поверхность) K n1 отображается в поверхность шара Ш вокруг точки B (образа точ ки B) и по теореме 1 полностью ее покрывает. А так как окрестность Ш со стоит из соответствующих шаровых секторов, которые отображаются в Rn конгруэнтно, то и образ Ш полностью покрывает шар Ш.

Так как по условию отображение шаровой окрестности взаимно однознач но, то отображение Ш на Ш конгруэнтно в целом. Но окрестность U (A, a) точки A содержится в Ш и, стало быть, отображается конгруэнтно на шар радиуса a вокруг точки A.

Таким образом, каждая окрестность U (A, a) вокруг любой точки A отоб ражается конгруэнтно на шар U в Rn 5).

Отсюда ясно, что отображение полиэдра K n на пространство Rn есть так называемое отображение накрытия: полиэдр K n накрывает Rn.

В самом деле, отображение накрытия определяется, как известно, тремя требованиями:

1. В каждую точку M Rn отображается хотя бы одна точка полиэдра K n.

Это условие выполнено, так как по теореме 1 образом K n является всЁ Rn.

2. Пусть точки M1, M2,... отображаются в точку M. Тогда существу ют некоторые «отмеченные» окрестности U (M ) и U (M1 ), U (M2 ),... такие, 5) Из этого следует, что исходный комплекс K n был локально конечным, т. е. каждая его точка принадлежала конечному числу многогранников комплекса.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ что U (M1 ), U (M2 ),... отображаются на U (M ) топологически, т. е. взаимно однозначно и взаимно непрерывно.

Это условие выполнено, так как за «отмеченные» окрестности можно взять окрестности радиуса a, которые, как доказано, отображаются в Rn конгруэнтно.

3. Всякая точка N полиэдра K n, отображающаяся в какую-то точку N из «отмеченной» окрестности U (M ), принадлежит хотя бы одной из «отме ченных» окрестностей U (M1 ), U (M2 ),....

Это условие также выполнено. В самом деле, вокруг точки N есть окрест ность U (N, a), отображающаяся в Rn конгруэнтно. Если образ N точки N лежит в отмеченной окрестности U (M, a), то тем самым M лежит в образе окрестности U (N, a). Но отображение этой окрестности в Rn конгруэнтно и, стало быть, U (N, a) содержит один из прообразов Mi точки M, а окрест ность U (Mi, a) содержит точку N. А это и значит, что точка N принадлежит отмеченной окрестности U (Mi, a), т. е. условие 3 выполнено.

Итак, полиэдр K n накрывает пространство Rn. Но пространство Rn по условию односвязно, а потому, в силу известной теоремы, отображение K n на Rn является топологическим, что и требовалось доказать. Более того, в наших условиях отображение комплекса K n на Rn оказывается, очевидно, конгруэнтным.

Обратимся теперь к самой теореме 2. Для того чтобы отображение по лиэдра K n в Rn было взаимно однозначным, достаточно, чтобы оно было взаимно однозначным вокруг каждой (n 2)-мерной грани.

Доказательство. Теорема верна для n = 2. В самом деле, в этом слу чае условие теоремы означает, что отображение полиэдра K 2 в R2 взаимно однозначно вокруг каждой вершины. Кроме того, вокруг каждой внутрен ней точки многогранника (в данном случае многоугольника комплекса K 2 ) или вокруг каждой внутренней точки стороны оно взаимно однозначно по самим условиям, наложенным на это отображение.

Таким образом, шаровая (в данном случае круговая) окрестность каждой точки из K 2 отображается в R2 взаимно однозначно. По лемме 3 отсюда следует, что отображение K 2 на R2 взаимно однозначно в целом.

Допустим теперь, что теорема верна для (n 1)-мерного случая, и дока жем ее для n-мерного комплекса K n.

Пусть A — точка полиэдра K n ;

Ш — ее шаровая окрестность, а K n1 — соответствующий комплекс (n 1)-мерных многогранников, образующих поверхность K n1 окрестности Ш. Полиэдр K n1 отображается на поверх ность S n1 шара Ш вокруг точки A Rn.

Каждая ((n 1) 2)-мерная грань комплекса K n1 есть не что иное, как пересечение некоторой (n 2)-мерной грани комплекса, подходящей к точ О ЗАПОЛНЕНИИ ПРОСТРАНСТВА МНОГОГРАННИКАМИ ке A, со сферой с центром в точке A. По условию теоремы отображение по лиэдра K n на Rn взаимно однозначно вокруг каждой (n 2)-мерной грани.

Поэтому отображение полиэдра K n1 на S n1 взаимно однозначно вокруг каждой ((n 1) 2)-мерной грани. Это значит, что для комплекса K n выполнено условие теоремы;

и так как мы считаем ее для (n 1)-мерных комплексов верной, то отображение полиэдра K n1 на сферу S n1 взаим но однозначно. Вместе с этим очевидным образом оказывается взаимно однозначным и отображение шаровой окрестности Ш на шар Ш. Значит, отображение всякой шаровой окрестности взаимно однозначно, а тогда, в силу леммы 3, оказывается взаимно однозначным отображение всего поли эдра K n на пространство Rn. Теорема доказана.

Статья поступила в редакцию 10.XI. ЛИТЕРАТУРА 1. Венков Б. А. Об одном классе евклидовых многогранников // Вестн. ЛГУ. 1954. № 2.

Сер. математики, физики и химии. Вып. 1. С. 11–31.

2. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. М.;

Л.: ОНТИ, 1938.

Некоторые теоремы о дифференциальных уравнениях в частных производных второго порядка Вестник ЛГУ. 1954. № 8. Сер. математики, физики и химии. Вып. 3. С. 3– § 1. Введение Мы будем рассматривать дифференциальные уравнения в частных про изводных второго порядка общего вида F (x1,..., xn ;

z, z1,..., zn, z11, z12,..., znn ) = 0, (1) где xi — независимые переменные;

z — неизвестная функция;

zi = z/xi, zik = 2 z/xi xk. Достаточно предполагать, что функция F непрерывна по всей совокупности аргументов и непрерывно дифференцируема по аргумен там z, z1,..., znn, а допустимые функции z(x1,..., xn ), в частности решения уравнения (1), определены в некоторой области G изменения переменных xi и дважды непрерывно дифференцируемы в этой области. Ради кратко сти совокупность значений xi, отвечающих какой-либо точке области G, мы обозначаем просто X, а левую часть уравнения — F (X;

z) или просто F.

Говорим, что выражение F эллиптично для данной функции z = u(X), если при подстановке в частные производные Fik = F /zik этой функции и ее производных оказывается, что для всех X G квадратичная форма 2 F11 1 + F12 1 2 +... + Fnn n (2) положительно определенная. (Это определение несколько отлично от обыч ного. Оно фиксирует знак квадратичной формы, тогда как обычно эллип тичность определяют условием, что форма (2) знакоопределенная, положи тельная или отрицательная — безразлично.) Мы докажем следующую «основную теорему».

Теорема А. Уравнение (1) не может иметь двух различных решений u(X), v(X), удовлетворяющих следующим условиям:

1) если в некоторой точке u = v, ui = vi, то в этой точке выражение F эллиптично для функции z = (1 t)u + tv при всех 0 t 1, так что, в частности, оно эллиптично для z = u(X) и z = v(X);

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 2) разность u v имеет где-нибудь внутри области G минимум (макси мум), равный нулю. Под минимумом (максимумом) здесь и в дальнейшем подразумевается наименьшее (наибольшее) значение функции в области ее определения.

Эта теорема приложима прежде всего к уравнениям, для которых сто ящее в левой части выражение естественно назвать «абсолютно эллиптич ным», подразумевая под этим, что F эллиптично для любой функции z = = u(X). В этом случае условие 1) сформулированной теоремы выполняется автоматически.

Можно еще ввести понятие об «эллиптически выпуклых» уравнениях (1), подразумевая такие, для которых выполнено следующее условие.

Если для двух решений u, v уравнения F = 0 выражение F эллиптично, то во всех точках, где u = v, ui = vi, это выражение эллиптично также для всякой функции z = (1 t)u + tv при 0 t 1.

В этом случае наша теорема сводится к следующей.

Теорема Б. Эллиптично выпуклое уравнение (1) не может иметь двух различных решений, для которых выражение F эллиптично и разность ко торых имела бы в области G минимум (максимум), равный нулю.

Примером эллиптично выпуклого уравнения может служить любое урав нение, квадратичное относительно вторых производных. В этом случае производные Fik линейны относительно вторых производных, поэтому, ес ли квадратичная форма (2) положительно определенная для z = u(X) и z = v(X), она будет положительно определенной и для w = (1 t)u + tv всюду, где u = v, ui = vi.

Теорему А мы докажем сначала для линейных уравнений. В данном случае производные Fik вовсе не зависят от функции z = u(X), поэтому здесь речь может идти только об абсолютной эллиптичности. Кроме то го, разность решений линейного уравнения есть решение соответствующего однородного уравнения. Поэтому дело сводится к следующей теореме:

Теорема В. Линейное однородное уравнение эллиптического типа не до пускает отличного от нуля решения, имеющего равный нулю минимум (мак симум).

Эта теорема была установлена Е. Хопфом [1] 1), однако наше доказатель ство, которое дается в § 2, основано на совсем других соображениях.

В § 3 мы докажем общую теорему А, сведя ее посредством известного приема к теореме о линейных уравнениях, а в § 4 рассмотрим, как из теоре мы А можно получить теоремы единственности для решения краевой зада чи. Указанный в § 4 прием для установления единственности решения за 1) В этой работе содержится также часть полученных нами результатов для нелиней ных уравнений.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ дачи Дирихле допускает ряд приложений к задачам теории поверхностей.

Особое внимание стоит обратить на следующее обстоятельство.

Как известно, уже давно Г. Дарбу свел задачу изгибания поверхности к исследованию уравнения типа Монжа — Ампера — «уравнения Дарбу», которое для поверхностей положительной кривизны принадлежит эллипти ческому типу. Вопрос об однозначной определенности поверхности, т. е. о единственности (с точностью до положения в пространстве) поверхности с данным линейным элементом при тех или иных условиях сводится к вопро су о единственности решения уравнения Дарбу.

Между тем в классической проблеме однозначной определенности за мкнутых выпуклых поверхностей, которой долго занимались многие гео метры, это естественное соображение не нашло применения. Это можно объяснить тем, что известные теоремы единственности для дифференци альных уравнений оказывались здесь неприменимыми.

Теперь наша теорема А восполняет этот пробел. Посредством одного про стого геометрического приема, разработанного Е. П. Сенькиным и мною, удается свести однозначную определенность замкнутых выпуклых поверх ностей к теореме А. Этот прием применим также в ряде других задач теории поверхностей. Будучи выражен в общей аналитической форме, он и дает тот метод установления единственности решения задачи Дирихле, который мы рассмотрим в § 4.

Что касается геометрических приложений, то о них мы будем говорить только в общей форме. Их изложение будет дано в последующих публика циях Е. П. Сенькина и моих.

Я хотел бы поблагодарить В. А. Залгаллера, указавшего мне на сущест венную неточность, содержавшуюся в первоначальном варианте выводов § 2.

§ 2. Теорема о линейных уравнениях 1. Сформулированная в § 1 теорема о линейных уравнениях оказывается следствием следующего предложения.


Лемма 1. Пусть u(X) u(x1,..., xn ) — дважды дифференцируемая функция, определенная в некоторой области и в сферической окрестности U некоторой точки Q, удовлетворяющая следующим условиям:

1) во всех точках X U u(X) 0, тогда как u(Q) = 0, так что u(X) имеет в точке Q минимум, равный нулю;

2) через точку Q проходит такая плоскость P, что в одной из ограни ченных ею половин U1 окрестности U u(X) 0, а на самой плоскости P точка Q — единственная, где u(X) = 0.

Утверждается, что при этих условиях в U1 сколь угодно близко к точке Q существуют точки X 0 со следующими свойствами:

1) второй дифференциал d2 u в точке X 0 есть неотрицательная форма;

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ uii (X 0 ) или, что вследствие неотрица 2) сумма вторых производных тельности d u равносильно, хотя бы одна из вторых производных в точке X в любое заранее указанное число раз превосходит модуль любой из первых производных uk (X 0 ), а также функцию u(X 0 ).

Прежде чем дать доказательство этой леммы, покажем, как из нее сле дует теорема о линейных дифференциальных уравнениях.

Теорема 1. Пусть имеется дифференциальное уравнение L(z) aik zik + bi zi + cz = 0, (1) где aik, bi, c — функции x1,..., xn, определенные и ограниченные в некото рой области G, а z, z1,..., znn — неизвестная функция и ее первые и вторые производные.

Пусть в каждой точке области G квадратичная форма aik i k = (2) положительно определенная и пусть, кроме того, в окрестности каждой точ ки собственные значения aii формы ограничены снизу положительным числом. (Если aik непрерывны, то это дополнительное условие, конечно, выполнено. Но непрерывность aik, bi, c не обязательна.) Утверждение теоремы состоит в том, что при этих условиях никакое от личное от тождественного нуля дважды дифференцируемое решение урав нения (1) не может иметь минимума (максимума), равного нулю.

Доказательство. Допустим вопреки доказываемому, что уравнение (1) допускает отличное от тождественного нуля решение u(X), имеющее в неко торой точке минимум, равный нулю. Тогда имеется точка X 1, где u(X 1 ) = 0, и вокруг точки X 1 такой n-мерный шар K1, что в этом шаре u(X) 0 и в какой-то точке u(X 2 ) 0.

В таком случае можно построить шар K2, заключенный в K1 и такой, что в нем всюду u(X) 0, кроме одной какой-то точки Q на его границе, где u(Q) = 0. (Такой шар можно построить, например, следующим обра зом. Берем точку X 2, где u(X 2 ) 0, и пусть Q — ближайшая к ней точка множества, где u(X) = 0. Если теперь внутри отрезка X 2 Q взять точку X 3, достаточно близкую к Q, то шар с центром в X 3, проходящий через точку Q, будет обладать требуемыми свойствами.) Произведем теперь преобразование обратных радиусов, которое оставит точку Q на месте, а поверхность шара K2 переведет в некоторую плос кость P.

Так как такое преобразование обратных радиусов регулярно в окрестно сти точки Q, то условия, наложенные на уравнение (1), не нарушатся. Для преобразованного уравнения мы оставим те же обозначения (1).

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ В результате приходим к следующему положению.

Имеется уравнение эллиптического типа вида (1) и некоторое его дважды дифференцируемое решение u(X) со следующими свойствами:

1) в точке Q функция u(Q) = 0, а в некотором шаре K с центром Q везде u(X) 0;

2) через точку Q проходит такая плоскость P, что по крайней мере в одной из ограничиваемых ею половин этого шара u(X) 0, а на самой плоскости P (в пределах шара K) точка Q — единственная, в которой u(X) обращается в нуль.

Таким образом, решение u(X) удовлетворяет в окрестности точки Q усло виям леммы 1.

Кроме того, вследствие условий, наложенных на коэффициенты уравне ния, мы можем считать, что в шаре K выполнены неравенства |bi |, |c| B + (i = 1,..., n) (3) и aii A 0, (4) где aii — собственные значения формы.

Согласно лемме 1, в шаре K найдется такая точка, что в ней второй диф ференциал d2 u неотрицателен и сумма вторых производных uii во сколько угодно раз больше производных ui и самой функции u. Поэтому, очевидно, найдется такая точка X 0, в которой будет выполнено неравенство |ui | + |u|.

A uii B (5) Так как формы с коэффициентами aik (X 0 ) и uik (X 0 ) неотрицательны и собственные значения первой из них больше A, то в точке X aik uik A uii. (6) В самом деле, путем поворота осей, т. е. ортогонального преобразования переменных xi, можно добиться того, что в преобразованном уравнении коэффициенты aik при i = k в точке X 0 исчезнут, т. е. форма приведется в точке X 0 к каноническому виду. Тогда в точке X 0 будем иметь aik uik = aii uii. (7) Но так как все aii A и по неотрицательности d2 u все uii 0, то aik uik A uii. (8) НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ При ортогональном преобразовании переменных второй дифференциал пре образуется как квадратичная форма, поэтому сумма диагональных членов его матрицы не изменяется, так что uii = uii. (9) Используя это равенство, убеждаемся, что неравенство (8) равносильно неравенству (6), которое, таким образом, доказано.

Теперь оценим левую часть уравнения (1) в точке X 0 :

L(u) bi ui + cu aik uik aik uik + bi ui + cu (10) или, вследствие неравенств (6) и (3), uii B |ui | + |u|.

L(u) A (11) Но, согласно неравенству (5), правая часть здесь положительна, так что L(u) 0. (12) Тем самым в точке X 0 уравнение не выполняется. Стало быть, оно не может иметь решения u(X) с предположенными свойствами. Теорема доказана.

Совершенно так же можно доказать следующую известную теорему.

Теорема 2. При условиях теоремы 1 и при дополнительном условии, что c 0, никакое отличное от постоянной, дважды дифференцируемое решение уравнения (1) не может иметь ни положительного максимума, ни отрицательного минимума.

В самом деле, пусть, например, v(X) — решение уравнения (1), имеющее в точке X 1 отрицательный минимум, равный m. Тогда функция u(X) = v(X) m имеет в точке X 1 минимум, равный нулю, и удовлетворяет уравнению L(u) = L(v) L(m) = cm.

Так как c 0, m 0, то L(u) 0. Но по неравенству (12), вывод которого дословно применим к функции u(X), найдется точка X 0, где L(u) 0.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Переменой знака получаем, что при c 0 решение не может иметь отри цательных максимумов и положительных минимумов.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ В случае, когда c меняет знак, также можно прийти к некоторым выво дам. Так, можно доказать следующее.

Теорема 3. Если в условиях теоремы 1 c меняет знак, причем уравнение c = 0 определяет непрерывно изогнутую поверхность C, то ни в какой точке X 1 этой поверхности C никакое дважды дифференцируемое решение урав нения (1) не может иметь ни максимума, ни минимума, если этот максимум или минимум не достигается также в сколь угодно близких к X 1 точках, не лежащих на C.

Если, например, решение v(X) имеет в точке X 1 минимум, равный m, то u(X) = v(X) m имеет в X 1 минимум, равный нулю, и удовлетворяет уравнению L(u) = cm.

Тогда, применяя рассуждения доказательства теоремы 1, найдем с той сто роны от поверхности C, где cm 0 и, стало быть, L(u) 0, такую точку, где L(u) 0. Полученное противоречие доказывает высказанную теорему.

2. Теперь докажем лемму 1. При этом сформулируем ее утверждение несколько более точно 2).

Лемма 1а. Пусть дважды дифференцируемая функция u(X) в сфери ческой окрестности U некоторой точки Q удовлетворяет двум условиям:

1) во всех точках X U u(X) 0, тогда как u(Q) = 0;

2) через точку Q проходит такая плоскость P, что в одной из ограни ченных ею половин U1 окрестности U u(X) 0, а на самой плоскости P точка Q — единственная, где u(X) = 0.

Утверждается, что при этих условиях в U1 сколь угодно близко от Q существуют точки X 0, где 1) d2 u неотрицателен;

2) если u11 (X 0 ) — вторая производная в направлении, перпендикулярном плоскости P (ось x1 мы считаем перпендикулярной P ), а x1 — соответству ющая координата точки X 0, то 1 u11 (X 0 ) u1 (X 0 ) и u11 (X 0 ) 2 u(X 0 );

(13) x1 x 3) u2 (X 0 ) =... = un (X 0 ) = 0.

Легко видеть, что эти утверждения включают утверждения леммы 1. В самом деле, так как в точке X 0 второй дифференциал неотрицателен, то все uii (X 0 ) 0, поэтому неравенства (13) тем более должны иметь место для 2) Лемма 1а в таком виде не верна, как это отмечено А. Д. Александровым в примеч. 1) к статье «Теоремы единственности для поверхностей «в целом». I». См. с. 336 настоя щего издания, где указаны также корректная формулировка и необходимые изменения в доказательстве. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ суммы производных uii (X 0 ). Вместе с тем при ортогональном преобразова нии переменных эта сумма (как сумма диагональных членов матрицы uik ) остается неизменной. Поэтому аналогичные неравенства должны иметь ме сто при любых направлениях осей x1,..., xn. А это значит, что утверждение леммы 1 верно.

Итак, докажем лемму 1а. Для этого рассмотрим в (n + 1)-мерном евкли довом пространстве поверхность S, определяемую в прямоугольных коор динатах x1,..., xn, z уравнением:

z = u(X) u(x1,..., xn ).

При этом мы ограничиваемся только пределами указанной в лемме сфери ческой окрестности U точки Q, так что поверхность S расположена целиком над этой окрестностью. Мы считаем, что окрестность U замкнутая. Поверх ность S имеет границу, проектирующуюся в границу окрестности U. Точку Q без ограничения общности можно считать началом (0, 0,..., 0).

Условия, наложенные на функцию u(X), означают, что:

1) поверхность S лежит в полупространстве z 0, касаясь плоскости z = 0 в начале координат Q;

2) через ось z проходит такая n-мерная плоскость T, что в одном из огра ниченных ею замкнутых полупространств R1 поверхность S имеет с плос костью z = 0 единственную общую точку Q. Эта плоскость T пересекает плоскость z = 0 по той (n 1)-мерной плоскости P, которая фигурирует в условии леммы 1a.


Мы будем считать, что ось x1 направлена перпендикулярно плоскости T, тогда плоскость T есть плоскость x1 = 0.

Ограничимся рассмотрением только той части S1 поверхности S, которая лежит в полупространстве R1. Спроектируем поверхность S1 на двумерную плоскость x1 z. В проекции получим некоторую фигуру, ограниченную со стороны оси x1 кривой L, касающейся оси x1 в единственной точке Q, а в остальном расположенной в полуплоскости z 0.

Поверхность S1 имеет с плоскостью z = 0 только одну общую точку Q и, стало быть, на границе удалена от плоскости z = 0 на положительное рас стояние. Поэтому проекции граничных точек поверхности S1 удалены от оси x1 также на положительное расстояние и вблизи точки Q, где проекция поверхности S1 касается оси x1, нет проекций граничных точек. Это озна чает, что достаточно близко к точке Q никакая точка кривой L не является проекцией граничной точки поверхности S1.

Ограничимся рассмотрением только такого отрезка кривой L вблизи точ ки Q, где нет проекций граничных точек поверхности S1. Соответственно ограничимся частью поверхности S, достаточно близкой к плоскости T. Эти А. Д. АЛЕКСАНДРОВ части кривой L и поверхности S мы будем обозначать также L и S1, что не поведет к недоразумениям.

Натянем теперь на L выпуклую кривую L. Это осуществляется, напри мер, так. Строим выпуклую оболочку кривой L, тогда часть границы по лученной таким образом выпуклой области, обращенная к оси x1, и будет выпуклой кривой L, натянутой на L. Как известно и очевидно само по себе, кривая L слагается из замкнутого множества точек, где она касается кривой L, и открытых отрезков, имеющих концы в точках касания L и L.

Если z = f (x1 ) есть уравнение кривой L, то (верхняя) вторая производ ная f (x1 ) может быть положительной только в точках, где L касается L.

Исходя из того, что поверхность S дважды дифференцируема, можно было бы заключить, что кривая L гладкая и что хотя вторая производная f (x1 ) может и не существовать в некоторых точках, тем не менее верхняя вторая производная всюду ограничена. В этом, однако, нет надобности, так как для f (x1 ) можно допустить бесконечные значения.

Пусть M — конечная или бесконечная точная верхняя граница (верхней) второй производной f (x1 ). Тогда, как очевидно, при всяком x M x2.

|f (x1 )| M x1, |f (x1 )| (14) Вместе с тем найдется такое значение x1, для которого f (x1 ) сколь угод но близка к верхней границе M (сколь угодно велика или бесконечна, ес ли M = ). Отсюда и из неравенств (14) легко заключить, что существует такое значение x1 = x1, что |f (x1 )| f (x1 )x1, |f (x1 )| f (x1 )(x1 )2. (15)3) 1 11 1 1 Соответствующую точку кривой L обозначим A1. Так как здесь f (x1 ) 0, то в точке A1 кривая L касается кривой L.

Построим теперь выпуклый цилиндр C с (n 1)-мерными образующими, перпендикулярными плоскости x1 z и с кривой L в качестве направляющей.

Проекция этого цилиндра на плоскость x1 z и есть кривая L. Точки, где L касается кривой L, будут, очевидно, проекциями тех точек, где цилиндр C касается поверхности S1. Поэтому, в частности, точка A1 (где верны нера венства (15)) есть проекция некоторой точки A, в которой касаются цилиндр C и поверхность S1. Пусть X 1 — соответствующая точка в плоскости z = 0.

3) Если f (x ) не постоянна, то в (14) имеет место строгое неравенство и тогда, беря x1 так, что f (x1 ) достаточно близка к M, получим (15). Если же f (x1 ) постоянна, то 1 (15) превращаются в равенства, верные для всех x1.

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Очевидно, ее первая координата x1 есть как раз то x1, которое фигурирует 1 в неравенствах (15).

Убедимся теперь, что точка X 1 обладает требуемыми свойствами, т. е. в ней d2 u — неотрицательная форма, и для второй производной в направлении оси x1, т. е. для u11, выполняются неравенства (13).

Поверхность S1 лежит над цилиндром C, а цилиндр C — выпуклый;

по этому во всех точках, где S1 касается C, второй дифференциал d2 u неотри цателен. Стало быть, он неотрицателен, в частности в точке X 1.

Если через точку A провести двумерную плоскость, параллельную плос кости x1 z, то она пересечет цилиндр C по такой же кривой M, как L. Та же плоскость пересечет поверхность S1 по некоторой кривой M, располо женной над кривой M и касающейся L в точке A. Поэтому в точке A или, вернее, в точке X 1 вторая производная функции u(X) в направлении это го сечения, т. е. в направлении x1, будет не меньше второй производной функции f (x1 ), задающей кривую L, т. е.

u11 (X 1 ) f (x1 ). (16) Наконец, так как в точке A цилиндр C и поверхность S1 касаются друг друга и образующие цилиндра C перпендикулярны плоскости x1 z, то u(X 1 ) = f (x1 ), u1 (X 1 ) = f (x1 ), (17) 1 u2 (X 1 ) =... = un (X 1 ) = 0. (18) Используя теперь в неравенствах (15) соотношения (16), (17), получаем 1 u11 (X 1 ) u1 (X 1 ), u11 (X 1 ) u(X 1 ), (19) x1 (x1 ) 1 что вместе с (18) и дает нам утверждение леммы.

3. В доказательствах леммы 1 и теорем 1, 2 непрерывность производных uik не играла роли, важно было лишь существование второго дифферен циала. Легко заметить, что все те же рассуждения можно провести, если иметь в виду обобщенный второй дифференциал и соответственно обобщен ные вторые производные, понимая их как коэффициенты в тейлоровском разложении функции u:

u(X) = u(X 0 ) + ui (X 0 ) xi + uik (X 0 ) xi xk +, где — выше второго порядка.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Оценки (13) леммы 1а показывают, что требования (3), (4) ограниченно сти коэффициентов bi, c и ограниченности снизу положительным числом собственных значений aii формы можно заменить более слабыми 4). Если r — расстояние от данной точки X 0 до X, то достаточно требовать, чтобы rbi (X), r 2 c(X) стремились к нулю при X X0. Аналогично можно тре бовать, чтобы собственные значения aii не обращались в нуль «слишком быстро».

Далее можно перейти к бльшим обобщениям и ограничиваться требо о ванием, чтобы уравнение и все условия, налагаемые на функции aik, bi, c, u, имели место с точностью до множества меры нуль, так что можно по нимать уравнение в обобщенном смысле. Это, однако, требует некоторых дополнений в доказательствах, на чем мы не будем останавливаться.

§ 3. Теорема об уравнениях общего вида и некоторые ее частные случаи 1. Теорема 1. Пусть дано уравнение F (X;

z) F (x1,..., xn ;

z;

z1,..., zn ;

z11, z12,..., znn ) = 0, (1) где функция F непрерывна по всем аргументам и непрерывно дифферен цируема по z, z1,..., znn 5).

Уравнение (1) не может иметь двух, определенных в одной области G, различных решений u(X), v(X), для которых выполнялись бы два условия:

a) разность v u имеет внутри G минимум (максимум), равный нулю;

б) во всякой точке, где u = v, ui = vi (i = 1,..., n), выражение F эллип тично для z = (1 t)u + tv при всяком t [0, 1].

Доказательство. Допустим, что u, v — два решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям а), б). Положим w = v u. (2) Из уравнения (1) известным приемом можно получить линейное уравне ние для w. Это осуществляется следующим образом.

Подставляя z = u + tw в F (X;

z), превратим F в функцию t: f (t) = = F (X;

u+tw). Эта функция дифференцируема, так как по условию F диф ференцируема по переменным z, zi, zik. По теореме Лагранжа f (1) f (0) = = f (), т. е.

F (X;

u + w) F (X;

u) = Ft (X;

u + w), (3) где 0 1.

4) См. примеч. 3) на с. 460 настоящего издания, относящееся к статье Алексан дров А. Д. Исследования о принципе максимума. I // Изв. вузов. Математика. 1958.

№ 5. С. 126–157. — Прим. ред.

5) Следуя формулировке теоремы 1 § 2 и замечаниям п. 3 § 2, легко заменить эти тре бования непрерывности более слабыми.

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Но так как u + w = v, а v и u суть решения уравнения F = 0, то это равенство сводится к Ft (X;

u + w) = 0. (4) Вычисляя стоящую здесь производную, получаем F F F Ft = w+ wi + wik, z zi zik где в производных F /z, F /zi, F /zik нужно подставлять z=u + w.

Они оказываются поэтому определенными непрерывными функциями пере менных x1,..., xn. В результате равенство (4) дает для w уравнение F F F wik + wi + w = 0. (5) zik zi z Воспользуемся теперь условиями а), б) теоремы.

По условию а) w = v u имеет минимум, равный нулю. Пусть он дости гается в точке X0.

Тогда u(X0 ) = v(X0 ), ui (X0 ) = vi (X0 ) (i = 1,..., n). (6) Поэтому применимо условие б), т. е. выражение F эллиптично в точке X для z = (1 t)u + tv = u + tw, при всяком t [0, 1]. Но это значит, что квадратичная форма F i k, (7) zik положительно определенная в точке X0, а тогда, по непрерывности произ водных F /zik, она положительно определенная и в окрестности точки X0.

Это значит, в свою очередь, что уравнение (5) эллиптично в окрестности точки X0.

В результате оказывается, что функция w в окрестности точки X0 удовле творяет уравнению эллиптического типа (5) и имеет в этой точке минимум, равный нулю. По теореме 1 § 2 это возможно лишь тогда, когда w 0 в окрестности X0. Это, как очевидно, и доказывает нашу теорему 6).

6) В самом деле, если w = u v не обращается в нуль тождественно во всей области G, то множество E, где w = 0, имеет в G границу и оно замкнуто, так как w непрерывна.

Приняв за точку X0 любую точку на границе E, убедимся, повторяя только что прове денное рассуждение, что и в окрестности X0 w = 0, т. е. что точка X0 лежит внутри E.

Противоречие показывает, что E = G, т. е. w = 0 в G.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ 2. Как уже было отмечено в § 1, в доказанной теореме содержится сле дующая теорема.

Теорема 2. Если выражение F (X;

z) эллиптично выпукло (т. е. если из его эллиптичности для z = u и z = v следует, что оно эллиптично для z = (1 t)u + tv, 0 t 1, во всех точках X, где u = v, ui = vi ), то уравнение F = 0 не допускает двух различных решений, для которых вы ражение F эллиптично и разность которых имела бы минимум (максимум), равный нулю.

В качестве примера можно отметить следующий содержащийся здесь ре зультат.

Теорема 3. Пусть выражение F (X;

z) эллиптично выпукло, уравнение F = 0 допускает в качестве решения любую постоянную и при z = const выражение F эллиптично. Тогда всякое отличное от постоянной решение, для которого F эллиптично, не имеет внутри области своего существования ни максимума, ни минимума.

В самом деле, если u — решение уравнения F = 0 и c есть максимум u, то разность c u имеет в точке максимума функции u минимум, равный нулю.

Но так как v c есть по условию решение уравнения, то по теореме 2 это невозможно, что и доказывает теорему 3.

Примером уравнения, удовлетворяющего условиям теоремы 3, может слу жить уравнение вида aik zii zkk + bik zik + c = 0, где aik, bik, c не содержат вторых производных zik и при всех zi = 0 квад bik i k положительно определенная, а c = 0.

ратичная форма Если Fz 0, то линейное уравнение (5) для разности w решений урав нения F = 0 имеет неположительный коэффициент при w. Его решение тогда, как известно, не допускает положительных максимумов и отрица тельных минимумов. Отсюда, подобно теоремам 1–3, вытекает Теорема 4. Если F эллиптично выпукло и Fz 0, то разность двух решений уравнения F = 0, для которых F эллиптично, не может иметь положительных максимумов и отрицательных минимумов.

3. Теорема 2 связана с одной, высказанной С. Кон-Фоссеном [2], гипоте зой относительно выпуклых поверхностей. Именно С. Кон-Фоссен высказал предположение, что две изометричные выпуклые поверхности не могут ка саться, не пересекая друг друга.

Известно, что r(u, v) — расстояние точки поверхности от начала как функция гауссовых координат на поверхности — удовлетворяет уравнению Дарбу, определяемому только линейным элементом поверхности. Для по верхности положительной кривизны уравнение Дарбу эллиптично. Поэтому НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ из теоремы 2 следует, что для двух изометричных поверхностей положи тельной кривизны разность расстояний r1 (u, v) r2 (u, v) для соответствую щих по изометрии точек не может иметь равного нулю минимума (максиму ма). А это значит, что две такие неравные поверхности не могут касаться так, чтобы в окрестности точки касания r1 r2 не меняло своего знака.

Аналогичное имеет место и для расстояний от какой-либо фиксированной плоскости. Связь этого результата с утверждением Кон-Фоссена очевидна, хотя мы и не можем доказать тем не менее, что из него следует невозмож ность касания поверхностей без пересечения.

Вместе с тем уравнения эллиптического типа для тех или иных функ ций, связанных с выпуклой поверхностью, например для координат точки поверхности, получаются также при различных условиях, налагаемых на кривизну. В этом случае мы получаем аналогичные результаты и можно было бы привести целый ряд примеров.

§ 4. Теоремы единственности 1. Теоремы единственности решения задачи Дирихле для эллиптиче ского уравнения F = 0 получаются обычно в предположении, что Fz 0.

Установленные в § 2, 3 результаты позволяют получать некоторые теоремы единственности и без этого предположения. Для выяснения применяемых соображений обратимся, однако, к тому частному случаю, когда Fz = 0, т. е. когда F не содержит z. Тогда имеет место Теорема 1. Если F эллиптично выпукло и Fz = 0, то уравнение F = не допускает более одного решения задачи Дирихле, для которого F эллип тично.

Доказательство. Так как Fz = 0, то уравнение F = 0 допускает вместе с решением u также решение u + c, где c — любая постоянная;

причем если F эллиптично для z = u, то оно эллиптично и для z = u + c.

Допустим теперь, что u, v — два различных решения, для которых F эл липтично и которые принимают одинаковые значения на границе некоторой конечной области G. Тогда разность u v имеет внутри G по крайней мере один максимум или минимум. Пусть, например, u v имеет во внутренней точке X0 максимум max(u v) = c. Тогда всюду в G u (v + c) 0 и в точке X0 u (v + c) = 0. Но так как v + c есть также решение уравнения F = 0, то оказывается, что разность двух решений u, v + c, для которых F эллиптично, имеет внутри области G максимум, равный нулю. По теоре ме 2 § 3 это возможно лишь тогда, когда эти решения совпадают, т. е. когда u = v + c. Но так как u и v принимают на границе одинаковые значения, то, следовательно, c = 0 и тем самым u = v. Случай, когда разность u v имеет внутри G минимум, рассматривается аналогично.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ В доказанной теореме содержится, например, теорема Реллиха [3], где речь идет об уравнениях Монжа — Ампера эллиптического типа, не содер жащих саму функцию z;

при данных условиях, утверждает теорема, задача Дирихле не может иметь более двух решений, но эти решения, если их два, Fzik i k по различаются тем, что для одного квадратичная форма = ложительна, для другого — отрицательна. Так как мы в наших формули ровках имеем в виду только случай положительности формы, а случай ее отрицательности вполне ему эквивалентен (достаточно изменить знак F ), то и наша теорема 1 может быть высказана в той же форме, что и тео рема Реллиха. Тогда тем более очевидно, что эта последняя есть частный случай теоремы 1.

В доказательстве теоремы 1, кроме, конечно, ссылки на теорему 2 § 3, решающую роль играет переход от решения v к бльшему решению v + c. В о таком переходе от данного решения ко всюду бльшему (меньшему) и состо о ит суть предлагаемого приема для доказательства единственности решения краевой задачи. Так, например, мы получаем для линейных уравнений сле дующую теорему.

Теорема 2. Если однородное линейное уравнение эллиптического типа L(u) = 0 допускает в области G неотрицательное решение, не обращающееся в нуль на границе G, то задача Дирихле для уравнения L(u) = 0, а также, конечно, и для L(u) = f (X), имеет для области G не более одного решения.

Доказательство. Заметим прежде всего, что так как по теореме 1 § отличное от нуля решение уравнения L(u) = 0 не может иметь внутри G равного нулю минимума, то неотрицательное его решение, не равное тож дественно нулю, необходимо положительно внутри G. Таким образом, мы можем считать, что наше уравнение имеет решение u0, которое положитель но всюду в замкнутой области G.

Достаточно доказать, что единственное решение уравнения L(u) = 0, об ращающееся в нуль на границе, есть тождественный нуль. Допустим, одна ко, что имеется другое такое решение u: не ограничивая общности, можно, конечно, считать, что оно имеет внутри G положительный максимум.

Так как в G везде u0 0, то при достаточно больших u0 u 0 в G.

Пусть теперь 0 есть точная нижняя граница таких. Тогда 0 u0 u в G, причем, в силу линейности уравнения, 0 u0 u также является его решением. Оно не обращается в нуль на границе G, так как там u 0, а u0 0. Вместе с тем из определения 0 ясно, что оно должно обращаться в нуль где-то внутри G.

Таким образом, мы получаем решение 0 u0 u, имеющее внутри G ми нимум, равный нулю. По теореме 1 § 2 это невозможно;

следовательно, невозможно, чтобы наше уравнение имело отличное от нуля решение u с нулевыми значениями на границе. Теорема доказана.

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Эту теорему можно дополнить утверждением, которое показывает, что условие о существовании положительного решения является также необхо димым для единственности решения задачи Дирихле.

Теорема 3. Если задача Дирихле для уравнения L(u) = 0 допускает не более одного решения для всякой области, заключающейся в G, считая и саму G, и к тому же разрешима при каких-то положительных значениях на границе G, то уравнение L(u) = 0 имеет решение, всюду положительное в замкнутой области G.

В самом деле, пусть u есть решение, принимающее положительное значе ние на границе G. Если бы оно принимало в G отрицательные значения, то в некоторой частичной области G1 оно давало бы отличное от нуля решение, обращающееся в нуль на ее границе. В таком случае задача Дирихле для G1 не имела бы единственного решения, вопреки условию. Следовательно, решение u должно быть всюду неотрицательным. Но и в нуль оно не мо жет обращаться, так как тогда, вопреки теореме 1 § 2, оно имело бы внутри G равный нулю минимум. Следовательно, оно всюду положительно, что и требовалось доказать.

2. Теперь мы формулируем общий метод установления единственности решения краевой задачи, вытекающий из теоремы 2 § 3 и включающий как частные случаи выводы теорем 1, 2.

Теорема 4. Пусть выражение F (X;

z) эллиптично выпукло;

уравнение F = 0 имеет в области G решение u(X), а вместе с ним также монотон ную совокупность решений u(X;

), для которых F эллиптично, причем u(X;

0) = u(X), а при ± u(X;

) ± для всех X.

Тогда уравнение F = 0 не допускает помимо u(X) никакого другого ре шения, для которого F эллиптично и которое принимает те же значения на границе G.

Доказательство. Допустим, вопреки доказываемому, что уравнение F = 0 имеет отличное от u(X) решение v(X), принимающее те же значения на границе G. Пусть в области G1 G v(X) u(X), а на границе G v(X) = u(X).

Пусть 0 — точная нижняя граница таких, для которых u(X;

) v(X) в области G1. То же 0 можно определить как точную верхнюю границу тех, для которых хоть где-нибудь в области G1 v(X) u(X;

). Очевид но, что 0 0 и в G1 u(X;

0 ) v(X), тогда как, хотя бы в одной точке X0, u(X0 ;

0 ) = v(X0 ).

Вместе с тем если 0 = 0, то u(X;

0 ) v(X) на границе G1. Поэтому разность решений u(X;

0 )v(X) имеет в G1 равный нулю минимум. Это по теореме 2 § 3 невозможно. Следовательно, 0 = 0, а тогда u(X;



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 21 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.