авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 21 |

«А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Избранные труды Том 1 ГЕОМЕТРИЯ и ПРИЛОЖЕНИЯ Новосибирск «Наука» 2006 ...»

-- [ Страница 13 ] --

Теорема 4. Пусть на поверхностях Sr = rS1 (r = = p) (Sr, x) = h(r), где h(r) — неубывающая функция r. Пусть на поверхности S (S, x) — не возрастающая функция r, причем на S r достигает абсолютных максимума и минимума a и b, и в окрестностях точек касания S с поверхностями Sa и Sb удовлетворяются условия A, тогда S лежит на одной из поверхностей Sr.

Совершенно такое же утверждение имеет место с заменой r на p.

Эта теорема вполне аналогична теореме 4 в [3] (ср. также теоремы 8, 9 в [3]) и доказательство ее точно такое же. Она содержит, между прочим, теорему 2 из [1].

Статья поступила в редакцию 22.III. ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А. Д. Теоремы единственности для поверхностей «в целом». I // Вестн.

ЛГУ. 1956. № 19. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 4. С. 5–17.

2. Александров А. Д. То же. II // Там же. 1957. № 7. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 2. С. 15–44.

3. Александров А. Д. То же. III // Там же. 1958. № 7. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 2. С. 14–26.

4. Харди Г., Литтлвуд Д., Пойа Г. Неравенства. М.: Иностр. лит., 1948.

5. S ss W. Uber Kennzeichnungen der Kugeln und Ansphren durch Herrn K.-P. Grote u a meyer // Arch. Math. 1952. Bd 3, No. 4. S. 311–313.

Теоремы единственности для поверхностей «в целом». V Вестн. ЛГУ. 1958. № 19. Сер. математики, мех. и астрон. Вып. 4. С. 5– 1. Теорема. Пусть (k1,..., kn ) — непрерывно дифференцируемая функция, определенная для k1... kn, удовлетворяющая условиям /ki 0 (i = 1,..., n). Пусть в (n + 1)-мерном пространстве постоянной кривизны имеется дважды дифференцируемая замкнутая поверхность S без самопересечений и с ограниченными главными кривизнами. Если на по верхности S функция от ее главных кривизн k1... kn имеет во всех точках одно и то же значение, то S есть сфера.

Эта теорема была сформулирована мною в [1, § 3 и 4, п. 3]. Там же смотри ссылки на литературу по этому вопросу.

Простейший пример представляет поверхность в трехмерном евклидовом пространстве с k1 + k2 = const. В этом случае теорема утверждает, что за мкнутая поверхность без самопересечений с постоянной средней кривизной есть сфера. Известно, что поверхность мыльного пузыря имеет постоянную кривизну и, конечно, не имеет самопересечений. Поэтому данный частный результат можно выразить следующим образом: единственно возможная форма мыльного пузыря — сферическая.

Говоря о пространстве постоянной кривизны, мы имеем в виду либо ев клидово пространство, либо пространство Лобачевского, либо сферическое пространство. В последнем случае предполагается, что поверхность S ле жит целиком в одной полусфере.

Если поверхность S предполагается выпуклой с кривизнами ki k0 = = const 0, то функцию достаточно рассматривать лишь для значений 2 ki k0. Например, можно взять = k1 +... + kn, так что /ki 0 лишь для ki 0.

2. Докажем нашу теорему.

Пусть S — рассматриваемая поверхность, на которой = const. Так как S не имеет самопересечений, то она ограничивает некоторое тело G.

(Если речь идет о сферическом пространстве, то G — та его часть, огра ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ «В ЦЕЛОМ». V ниченная S, которая лежит в полусфере. В доказательстве мы говорим о прямых, плоскостях и пр., что легко интерпретируется для сферического пространства.) Проведем прямую l и плоскость P, опорную к телу G, перпендикуляр ную l. Будем двигать P, оставляя ее перпендикулярной l, и так, чтобы она пересекала тело G. При каждом положении плоскости P она отрезает от G некоторую «горбушку» H.

Мы строим «отраженную горбушку» H, получаемую из «горбушки» H отражением в отрезающей ее плоскости P. Заранее, конечно, не исключено, что H состоит из отдельных кусков.

Во всяком случае при каждом положении плоскости P, пересекающей тело G, мы имеем некоторую, опирающуюся на P, «отраженную горбуш ку» H. При этом при малых смещениях плоскости из ее начального поло жения «горбушка» H, очевидно, содержится в теле G.

Вместе с тем также очевидно, что при движении плоскости P должен наступить момент, когда «отраженная горбушка» H начнет выступать из тела G. Как раз в этот момент поверхность S «горбушки» H коснется поверхности S изнутри. Пусть это произошло в некоторой точке X.

Точка X лежит либо внутри поверхности S, либо на ее краю.

3. В первом случае поверхности S, S имеют одностороннее касание в точ ке X и при подходящем выборе координат x1,..., xn, xn+1 = z они пред ставляются в окрестности точки X уравнениями z = z(x1,..., xn ), z = z(x1,..., xn ), причем z =zz и в точке X z = 0.

Так как на поверхности S (k1,..., kn ) = const, то в точках поверх ностей S, S с одинаковыми x1,..., xn будет =. Поэтому согласно тео реме, доказанной в [2], z удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка, которое вследствие условий /ki 0 име ет эллиптический тип. (Так как /ki непрерывны и ki ограничены, то /ki const 0. Из вывода теоремы 1 работы [2] легко заключить, что в случае, когда на S все ki k0 = const 0, достаточно требовать /ki (i = 1,... n) для ki k0.) Согласно же теореме, доказанной в [3, 4], функция z 0, удовлетворя ющая эллиптическому уравнению и достигающая нуля где-нибудь внутри области, есть тождественный нуль. (Это есть не что иное, как известная теорема Э. Хопфа [5] с той лишь разницей, что не требуется непрерывности коэффициентов уравнения.) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Таким образом, z 0, т. е. поверхность S налегает на S в окрестности точки X.

4. Из данного рассуждения, очевидно, следует, что вся связная компо нента S поверхности S, содержащая точку X, целиком лежит на поверхно сти S. В самом деле, пусть E — множество общих точек поверхностей S, S.

Оно замкнуто. Поэтому, если бы S не лежала целиком на S, то можно бы ло бы взять точку Y на границе E и внутри S. Применяя тогда к окрест ности Y те же рассуждения, что и выше, мы убедились бы, что вопреки предположению S налегает на S всюду в окрестности Y.

Таким образом, S целиком лежит на S. Но так как S опирается на плоскость P, то и часть поверхности S, совпадающая c S, опирается на ту же плоскость P. Из построения поверхности S ясно, что S симметрична той части S, которая лежит с другой стороны от плоскости P.

Таким образом, эта часть поверхности S вместе с S образует замкнутую поверхность, которая тем самым и исчерпывает поверхность S.

Кроме того, оказывается, что P есть плоскость симметрии поверхности S.

Но направление плоскости P было выбрано произвольно. В случае неев клидова пространства можно говорить о плоскости, перпендикулярной лю бой данной прямой. Поэтому из нашего вывода следует, что поверхность S имеет плоскость симметрии любого направления. Тем самым S есть сфера.

5. Рассмотрим теперь тот случай, когда точка X, где поверхность S коснулась поверхности S, лежит на краю S.

Проведем через X касательную плоскость к S и, выбрав в ней координаты x,..., xn, примем за xn+1 = z расстояние от этой плоскости, отсчитываемое в сторону внутренней нормали к S.

Так как S лежит в теле G, то снова будет z = z z 0, а в точке X z = 0.

Кроме того, по построению поверхности S она симметрична той части поверхности S, которая лежит по другую сторону плоскости P. Отсюда ясно, что в точке X поверхность S касается S так, что в X не только z = 0, но также z zi = (i = 1,..., n).

= xi По той же причине плоскость T, касательная к S в точке X, перпенди кулярна плоскости P, ограничивающей S. Поэтому функция z(x1,..., xn ), задающая S в окрестности X, определена в такой области U на плоско сти T, которая ограничена вблизи точки X (n 1)-мерной плоскостью — пересечением T с P.

Точно так же, как выше, ссылаясь на [1], мы убеждаемся, что в области U функция z удовлетворяет эллиптическому уравнению. Кроме того, как уже доказано, z 0 и в точке X z = zi = 0 (i = 1,..., n).

ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ «В ЦЕЛОМ». V Отсюда согласно теореме, доказанной в [4] и цитированной в [1] как тео z 0, т. е. поверхность S налегает на S всюду рема А, следует, что в U в некоторой окрестности точки X. А тогда повторение прежних рассужде ний приводит нас к доказательству того, что S есть сфера.

Таким образом, наша теорема доказана.

6. В доказательстве было существенно, что поверхность есть граница некоторого тела. Это может иметь место и тогда, когда поверхность каса ется сама себя. Таким образом, можно допускать касания поверхности са мой с собой. Требование отсутствия самопересечений можно еще несколько ослабить, допуская, в частности, некоторые в известном смысле небольшие самопересечения.

Кроме того, ссылаясь на более общую теорему о дифференциальныx уравнениях, можно заменить требование ограниченности вторых производ ных условием Липшица на первые производные с одной и той же постоянной Липшица на всей поверхности.

Но мы не будем заниматься здесь этими обобщениями.

Статья поступила в редакцию 6.V. ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А. Д. Теоремы единственности для поверхностей «в целом». I // Вестн.

ЛГУ. 1956. № 19. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 4. С. 5–17.

2. Александров А. Д. То же. II // Там же. 1957. № 7. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 2. С. 15–44.

3. Александров А. Д. Некоторые теоремы о дифференциальных уравнениях в частных производных второго порядка // Там же. 1954. № 8. Сер. математики, физики и химии. Вып. 3. С. 3–17.

4. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума. I // Изв. вузов. Математика.

1958. № 5. С. 126–157.

5. Hopf E. Elementare Bemerkungen uber die Lsungen partieller Dierentialgleictiungen zwei o ter Ordnung vom elliptischen Typus // Sitzungsberichte Akad. Berlin. 1927. S. 147–152.

Теоремы единственности для поверхностей «в целом». VI Вестн. ЛГУ. 1959. № 1. Сер. математики, мех. и астрон. Вып. 1. С. 5– В теоремах единственности, доказанных в предыдущих статьях [1–5], фи гурируют функции от главных кривизн и других величин, связанных с поверхностями.

В настоящей статье мы покажем, что этим теоремам, по крайней мере для некоторого вида функций, наиболее важного в конкретных случаях, можно придать такие формулировки, в которых ни о каких функциях не говорится, а речь идет лишь о более геометричных соотношениях между поверхностями.

§ 1. Сведение функции к линейной 1. Мы рассматриваем n-мерные поверхности в (n+1)-мерном евклидовом или вообще римановом пространстве.

Пусть между двумя поверхностями S 0, S 1 установлено взаимнооднознач ное соответствие, так что обе они могут считаться отображенными на одно и то же параметрическое многообразие, точку которого обозначаем x. Это x может быть, например, совокупностью первых n пространственных коорди нат x1,..., xn или единичным вектором нормали, если точки поверхностей сопоставлены по параллелизму нормалей, и др.

Поверхности могут задаваться уравнениями, которые можно написать в общей форме: z = z(x), где z может быть координатой xn+1 или опорной функцией и др. Под zi подразумеваются производные функции z(x) по параметрам, определяющим x, например z/xi.

Под ki, ki понимаются главные кривизны поверхностей S 0, S 1 в их соот 0 ветственных точках, перенумерованные в порядке убывания: k1... kn.

Предполагается, что поверхности ориентированы и что ki всюду определе ны. В евклидовом пространстве под ki можно подразумевать относительные главные кривизны по отношению к какой-либо фиксированной «условной ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ «В ЦЕЛОМ». VI сфере» (см. [4]). В некоторых случаях удобнее вместо главных кривизн брать главные радиусы кривизны.

Мы будем рассматривать функции = (1,..., n ;

x) n численных пе ременных i и «параметрической точки» x.

Каждой точке X(x) поверхности S сопоставляется значение (S;

x) функ ции по правилу следующего типа. В простейшем случае берется значе ние при i = ki ;

вообще же i = fi (z, z1,..., zn ;

x)ki (i = 1,..., n). (1) Таким образом, (S;

x) = (f1 k1,..., fn kn ;

x). (2) 0 2. При фиксированном x пусть i, i обозначают значения i, соотнесен 0 ные поверхностям S, S согласно (1). Предполагается, конечно, что при каждом данном x определена для этих значений i. Кроме того, предпо лагается, что удовлетворяет при каждом данном x следующим условиям, 0 в которых имеются в виду лишь те i, для которых i = i.

0 (A) определена для всех значений i, заключенных между i, i ;

(B) она непрерывно дифференцируема по всем i в определенной услови ем (A) замкнутой области их значений;

0 (C) если положить i = (1 t)i + ti, то t t t (1,..., n ;

x) C dt c 0, (3) t i где постоянные C, c не зависят ни от x, ни от i.

Это условие выполнено, если C /i c 0, но оно может быть выполнено и при более слабых требованиях.

Сформулированные условия не отличаются существенно от тех, которые налагаются на функцию в предыдущих статьях [1–5] и, поскольку мы ограничиваемся функциями вида (2), являются лишь несколько более об щими.

3. Обозначим = (S 1 ;

x) (S 0 ;

x). (4) t, и из определения i очевидно, что Из условий, наложенных на 1 n t t d (1,..., n ;

x) dt = ai (x) i, = (5) dt i= А. Д. АЛЕКСАНДРОВ где t t (1,..., n ;

x) 1 i = i i, ai (x) = dt. (6) t i Если i = 0, то ai (x) не определено, но тогда, не нарушая равенства (5), будем полагать ai (x) = 1.

Отсюда ясно, что имеет место следующее простое предложение.

Лемма 1. Соотношения 0, 0 для общей функции = 0, равносильны таким же соотношениям для функции, линейной относитель но i, т. е.

n ai (x)i.

= (7) i= При этом условие (3) равносильно тому, что C ai (x) c 0. (8) При i = fi ki речь идет о функции n ai (x)fi (z, z1,..., zn ;

x)ki.

= (9) i= Если существуют такие постоянные M, m, что M fi m 0 (i = 1,..., n), (10) то при условии (8) коэффициенты при ki в формуле (9) оказываются за ключенными между некоторыми положительными постоянными H, h, т. е.

H h 0. (11) ki Наконец, если fi (z, z1,..., zn ;

x) непрерывно дифференцируемы по z, z1,..., zn при каждом x, то функция (9) также непрерывно дифференци руема по этим переменным.

Таким образом, мы оказываемся в условиях доказанных в [2] теорем о представлении в виде эллиптического дифференциального выраже ния относительно z = z 1 (x) z 0 (x). (Случай относительных кривизн см. также в [4].) Поэтому, не повторяя деталей теорем статьи [2], мы можем сформулировать следующий результат.

Теорема 1. При функции определенного выше типа и при указанных условиях на fi представляется в виде эллиптического дифференциаль ного выражения относительно z = z 1 (x) z 0 (x):

= Aik zik + B i zi + C z. (12) ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ «В ЦЕЛОМ». VI § 2. Наглядный смысл условий на 1. Введем для рассматриваемой пары поверхностей S 0, S 1 величины + = + (x), = (x) следующим образом. При каждом данном x + 1 (x) есть либо наибольшая из положительных разностей i = i i, либо нуль, если все i 0. Аналогично (x) есть либо модуль наи меньшей из отрицательных разностей i, либо нуль, если все i 0.

В простейшем случае, когда i = ki, речь идет, стало быть, о разностях главных кривизн.

Лемма 2. То условие, что для поверхностей S 0, S 1 всюду, при некоторой функции определенного в § 1 п. 2 типа, 0, равносильно существова нию такой постоянной A 0, что при всех x + (x) A (x). (1) Аналогично условие 0 равносильно + (x) A (x), (2) и, следовательно, условие = 0 равносильно + + (x) (x) A (x). (3) A Более наглядно условие (1) означает, очевидно, следующее. При каж дом x либо все i = 0, либо есть i 0, и если при переменном x + (x) 0, то (x) 0 по крайней мере с той же скоростью. Анало гично условие (3) означает, что при каждом x либо все i = 0, либо среди них есть как положительные, так и отрицательные, и отношение крайних из них заключено в конечных пределах, так что если при переменном x + (x) или (x) стремится к нулю, то это происходит для них одновре менно и с одинаковой скоростью.

В простейшем случае, когда i = ki, указанные условия приобретают осо бенно наглядный характер. Для выпуклых поверхностей их можно сфор мулировать, воспользовавшись индикатрисой Дюпена.

Тогда то условие, что при данном x все ki = 0 или все ki 0 ( ki = 1 = ki ki ), означает соответственно, что индикатрисы поверхностей мож но совместить или что индикатриса поверхности S 1 может быть помещена в индикатрису поверхности S 0. Условие же, что среди ki есть как поло жительные, так и отрицательные, означает, что ни одну из двух индикатрис нельзя поместить в другую: они всегда выступают одна из другой. Наконец, условия о скорости обращения в нуль величин +, сводятся к условиям А. Д. АЛЕКСАНДРОВ о скорости исчезновения выступов индикатрис. Так, условие (3) означает, что если при изменении x индикатрисы стремятся к слиянию, то выступы одной исчезают с такой же скоростью, как выступы другой. Условие же (1) означает, что выступы индикатрисы поверхности S 1 (из индикатрисы по верхности S 0 ) исчезают не медленнее, чем выступы индикатрисы поверхно сти S 0.

2. Доказательство леммы 2. Докажем сначала, что из условий 0, 0, = 0 следуют соответственно неравенства (1), (2), (3).

0. Согласно лемме 1 это соотношение равносильно следую Пусть щему:

ai (x) i 0, (4) где C ai (x) c 0 (i = 1,..., n). (5) Если все i 0, то неравенство (1) выполнено тривиальным образом.

Поэтому допустим, что при данном x есть i 0. Тогда из (4) и (5) следует, что при данном x есть также i 0.

Согласно определению величин +, наибольшая из разностей i равна + (x), а наименьшая — (x).

Заменим в левой части неравенства (4) все разности i, кроме наимень шей, на +, а коэффициенты при них — на их верхнюю границу C. При наименьшей же разности, равной, заменим коэффициент на нижнюю границу c. В результате неравенство может только усилиться и мы получим + (n 1)C c 0.

Это и есть неравенство (1) с постоянной A = (n 1)C/c.

0 следует (1). То, что из Таким образом доказано, что из следует (2), доказывается совершенно так же, причем значение для A полу чается то же самое. Отсюда оказывается также доказанным, что из = следует (3).

3. Покажем теперь, что при выполнении (1) существует такая функция 0.

с требуемыми свойствами, что При данном x обозначим соответственно через N + (x), N (x) суммы по ложительных и модулей отрицательных i ;

если же положительных или отрицательных i нет, то определяем соответственно N + (x)=0, N (x)=0.

Сравнивая это определение с определением величин +,, замечаем, что имеют место неравенства + N+ n + N n,. (6) ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ «В ЦЕЛОМ». VI Предполагая теперь, что выполнено неравенство (1), определим искомую функцию следующим образом:

n ai (x)i, = (7) i= где N (x) N + (x), i 0, 1+ если ai (x) = (8) i 0.

1, если В силу этого определения, если все i = 0, то все ai = 1, так что = 1 +... + n и = 0. Если же не все i = 0, то в силу (1) заведомо есть i 0, так что N + (x) = 0. Тогда из определения величин N +, N и коэффициентов ai непосредственно следует, что N N + N = N + 0.

ai i = = 1+ N+ 0. Остается показать, что коэффици Таким образом, при всех x енты ai удовлетворяют неравенствам (5).

Из их определения формулами (8) следует, что при i 0, ai (x) = 1 и вообще ai (x) 1 (i = 1,..., n). (9) + i = 0, то в силу (1), Если не все = 0, так что (1) равносильно A.

+ А так как, в силу неравенств (6), N + +, N n, то N n nA.

N+ + i Таким образом, из (8) следует, что при N 1 + nA.

ai = 1 + (10) N+ Следовательно, коэффициенты ai удовлетворяют неравенствам (5) с по стоянными c = 1, C = 1 + nA;

построенная функция удовлетворяет всем требуемым условиям.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ 4. То, что при выполнении неравенства (2) существует функция, для 0, доказывается вполне аналогично. Мы определяем ее той которой же линейной формулой (7) с коэффициентами N + (x), i 0, 1+ если N (x) ai (x) = (11) i 0.

1, если Проверка того, что она удовлетворяет требуемым условиям, осуществля ется совершенно так же, как и выше.

5. Если же выполнены неравенства (3), то существует функция, для которой = 0. Эту функцию мы определяем той же формулой (7), ком бинируя определения (8), (11) коэффициентов ai (x), т. е. мы полагаем 1, i = 0, если N (x) N + (x), i 0, ai (x) = 1 + если (12) + N (x), i 0.

1+ если N (x) Тогда из определения величин N +, N непосредственно следует, что N N+ N+ 1 + N = 0.

ai i = = 1+ N+ N Далее, из (12) очевидно, что если все i = 0, то все ai = 1. Вообще же ai (x) 1. Если же не все i = 0, то из неравенства (3) следует, что + и отличны от нуля. Поэтому из неравенств (3) и (6) легко выводится, что ai 1 + nA.

Этим лемма 2 полностью доказана.

§ 3. Некоторые теоремы единственности 1. Полученные выводы позволяют придать теоремам единственности ста тей [1–5] формулировки, обходящиеся без всяких функций.

В следующих формулировках имеются в виду дважды дифференциру емые, ориентированные, n-мерные поверхности с ограниченными вторыми производными 1). В [5] была доказана следующая теорема.

1) В случае координатного задания поверхностей это означает ограниченность кри визн ki, в случае же задания их опорной функцией — ограниченность радиусов кривиз ны Ri.

ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ «В ЦЕЛОМ». VI Если на замкнутой поверхности S без самопересечений в пространстве постоянной кривизны некоторая функция (k1,..., kn ) постоянна, то S есть сфера.

Здесь под можно подразумевать функцию описанного в п. 2 § 1 типа, определенную для всех значений ki, между sup ki и inf ki на S. Под про странством постоянной кривизны мы разумеем либо евклидово простран ство, либо пространство Лобачевского, либо (n + 1)-мерную полусферу.

Теперь мы можем утверждать несколько иную, по крайней мере внешне, более общую и геометричную теорему.

Теорема 2. Пусть на замкнутой поверхности S без самопересечений в пространстве постоянной кривизны выполнено следующее условие. Пусть x, x — какие-либо две точки поверхности S и ki, k i — главные кривизны в этих точках. Тогда либо все ki = ki ki = 0, либо есть ki разных знаков. Кроме того, если при переменных x, x все ki 0, то отношение наибольшей и наименьшей разностей ki остается ограниченным, т. е. для i = ki выполнено условие (3) леммы 2.

В таком случае S есть сфера.

(Если заранее дано, что поверхность S выпуклая, то поставленное усло вие можно формулировать, пользуясь индикатрисами Дюпена, как указано в п. 1 § 2.) Доказательство. Повторяя рассуждение, приведенное в [5], мы пересе каем S плоскостью P и отрезанную от S «горбушку» отражаем в этой плос кости. Мы перемещаем плоскость P внутрь S до тех пор, пока отраженная «горбушка» S не начнет выступать из тела, ограниченного поверхностью S.

В этот момент она касается S изнутри.

Тогда можно ввести координаты x1,..., xn, xn+1 так, что вблизи точки касания поверхности S и S представляются уравнениями (x (x1,..., xn )) xn+1 = z(x), xn+1 = z(x) и z = z(x) z(x) 0.

Тогда, сопоставляя здесь точки поверхностей S, S с одинаковыми x, мы, в силу условия теоремы, можем сослаться на лемму 2, т. е. можем опреде лить такую функцию ai (x)ki = с условием (5) § 2, что = 0. А тогда, ссылаясь на теорему 1, приведем вопрос к той же теореме о дифференциальных уравнениях, на которую мы ссылались в [5] (см. теорему 10 работы [6]).

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ После этого доказательство теоремы 2 завершается буквально так же, как доказательство теоремы в работе [5].

Заметим, что заранее вовсе не ясно, будет ли условие теоремы 2 рав = const для некоторой функции (k1,..., kn ) также на неза носильно мкнутой поверхности. В этом смысле теорема 2 несколько сильнее теоремы работы [5].

2. Пользуясь результатами § 1, 2, можно соответственно перефразиро вать теоремы, доказанные в [3, 4], ограничиваясь функциями вида (f1 k1,..., fn kn ;

x).

Это ограничение особенно естественно, например, тогда, когда речь идет о поверхностях в евклидовом пространстве, представимых уравнениями ви да r = r(x), где r — расстояние от начала O и x — единичный вектор из O. Тогда, если fi (r, r1,..., rn ;

x) — однородные первой степени относи тельно r, r1,..., rn, например fi = r или fi = p, где p — расстояние от O до касательной плоскости, то (f1 k1,..., fn kn ;

x) не меняется при подобном преобразовании поверхности относительно центра O. Поэтому, например, согласно теореме 2 из работы [3], если на двух замкнутых поверхностях не меняет знака, то они подобны относительно начала O 2).

В [3] были доказаны также теоремы, дающие характеристики сферы в пространстве постоянной кривизны по свойствам функции, зависящей от меньшего, чем n, числа переменных. Соответственно мы можем рассмат ривать функции (1,..., m ;

x), где m n, с теми же условиями (A)–(С) § 1. Эти функции также можно заменить линейными и далее получить для них результаты, аналогичные выводам § 2. Мы не будем приводить здесь соответствующих выводов. Получить их и соответственно перефразировать теоремы § 4 из работы [3] не представляет труда.

Это относится также к аналогичным теоремам работы [4], дающим усло вия совпадения поверхности с «условной сферой» по свойствам функции, в которой берутся уже относительные кривизны.

3. Рассмотрим только один пример, относящийся к выпуклым поверхно стям в евклидовом пространстве.

Пусть S 0, S 1 — две замкнутые выпуклые поверхности, содержащие внут ри начало O. Предположим, что на поверхности S 0 кривизна всюду строго положительна. Точки поверхностей сопоставляем по параллельности нор малей.

Фиксировав пару соответственных точек, мы можем, путем подобного преобразования одной из поверхностей, привести в совпадение касательные 2) Предполагается, что хотя бы у одной из поверхностей нет касательных, проходящих через O. Условия (A)–(C) § 1, налагаемые на, несколько отличаются от условий, фи гурирующих в [3, 4]. Это, однако, не существенно, так как можно заменить линейной относительно fi ki.

ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ «В ЦЕЛОМ». VI плоскости в этих точках. После этого параллельным переносом одной из поверхностей совмещаем самые точки.

В результате точки совпадут, а индикатрисы Дюпена D 0, D 1 поверхно стей S 0, S 1 как-то налягут одна на другую.

Допустим, что выполнено следующее условие.

Если существуют такие пары точек, для которых индикатриса D 1 вы ступает из индикатрисы D 0, то там же D 0 выступает из D 1. И если при изменении таких пар точек выступы индикатрисы D 1 исчезают, то выступы индикатрисы D 0 исчезают по крайней мере с той же скоростью.

Теорема 3. При сформулированных условиях поверхности S 0 и S 1 по добны относительно начала O.

Строгая формулировка условия, касающегося скорости исчезновения вы ступов индикатрис, получается, если ввести относительные кривизны ki 1 поверхности S по отношению к поверхности S, которая тем самым при нимается за условную сферу. На S 0 все ki 1. To, что индикатриса D выступает из D 0, означает, что имеются ki 1, а то, что D 0 выступает 1 из D, означает, что имеются ki 1.

1 Так как мы нумеруем кривизны в порядке убывания, то k1 1 и kn суть соответственно наибольшая и наименьшая разности кривизн поверх ностей S 1 и S 0.

Условие о выступах индикатрис сводится тогда к тому, что для каждой пары соответственных точек (после подобного преобразования, приводяще го в совпадение касательные плоскости!) оказывается 1 |kn 1| A(k1 1), где постоянная A одна и та же для всех таких пар точек.

Вследствие первого утверждения леммы 2 сформулированные условия = (S 1 ;

x) равносильны существованию такой функции, что всюду (S 0 ;

x) 0. Поэтому теорема 3 оказывается только иной формулировкой теоремы, доказанной в [4] (см. § 4, теорему 2). Так же можно перефразиро вать другие доказанные там теоремы, обходясь вовсе без функций или, а говоря только о свойствах взаимного расположения индикатрис.

4. Условия, касающиеся ограничений отношения + к, было бы же лательно ослабить или снять вовсе, что сделало бы формулировки теорем уже совершенно наглядными. Это удается сделать, однако, только в немно гих случаях (см. [7–9]). Значение этого условия состоит в том, что оно обес печивает строгую эллиптичность и ограниченность коэффициентов выра жения (10) § 1 для и тем самым позволяет применить соответствующие теоремы о принципе максимума для дифференциальных уравнений.

В работе [6] показано, что принцип максимума имеет место и при более слабых ограничениях. Поэтому для наших теорем единственности требова А. Д. АЛЕКСАНДРОВ ние ограниченности отношения / + можно заменить более слабым. До статочно, грубо говоря, чтобы оно обращалось в бесконечность (или в нуль) не слишком быстро. Точную формулировку мы не даем. Ее легко вывести из условий, налагаемых на коэффициенты уравнений в [6, § 5, п. 6]. Вме сте с тем из результатов, полученных в [6], следует, что без такого рода условий принцип максимума, вообще говоря, уже не имеет места. Поэто му без всяких ограничений на отношение / + этим принципом нельзя воспользоваться.

Статья поступила в редакцию 31.VII. ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А. Д. Теоремы единственности для поверхностей «в целом». I // Вестн.

ЛГУ. 1956. № 19. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 4. С. 5–17.

2. Александров А. Д. То же. II // Там же. 1957. № 7. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 2. С. 15–44.

3. Александров А. Д. То же. III // Там же. 1958. № 7. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 2. С. 14–26.

4. Александров А. Д., Волков Ю. А. То же. IV // Там же. 1958. № 13. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 3. С. 27–34.

5. Александров А. Д. То же. V // Там же. 1958. № 19. Сер. математики, механики и астрономии. Вып. 4. С. 5–8.

6. Александров А. Д. Исследования о принципе максимума. I // Изв. вузов. Математика.

1958. № 5. С. 126–157.

7. Александров А. Д. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей // Докл.

АН СССР. 1939. Т. 22. № 3. С. 99–102.

8. Александров А. Д. Выпуклые многогранники. М.;

Л.: Гостехиздат, 1950.

9. Погорелов А. В. Распространение общей теоремы единственности А. Д. Александрова на случай неаналитических поверхностей // Докл. АН СССР. 1948. Т. 63. № 3.

С. 297–299.

Задача Дирихле для уравнения I Det zij = (z1,..., zn, z, x1,..., xn ).

Вестн. ЛГУ. 1958. № 1. Сер. математики, мех. и астрон. Вып. 1. С. 5– § 1. Постановка задачи 1. Наша цель — рассмотреть вопрос о существовании и единственности решений уравнения, входящего в название статьи, где Det zij — определи тель из вторых производных неизвестной функции z;

z1,..., zn — ее первые производные;

x1,..., xn — независимые переменные и функция 0.

По причинам, которые выясняются ниже, оказывается выгодным рас сматривать уравнение в несколько иной форме. Введем следующие обо значения: совокупность значений переменных x1,..., xn будем обозначать x, а совокупность значений производных z1,..., zn —, или, что по суще ству равносильно, = grad z(x). Применяя введенные обозначения, будем рассматривать уравнение вида (1.1)1) f (, z, x) Det zij = h(x).

Здесь предполагается, что h и f 0. Остальные налагаемые на них условия будут указаны ниже.

Фактически мы будем искать обобщенные решения этого уравнения в классе выпуклых функций, для чего само уравнение заменим уравнением в некоторых функциях множества. После мы вернемся к уравнению (1) в его исходном виде.

Заметим, что в случае двух переменных при f и h 0 решение урав нения (1) заведомо представляется выпуклой поверхностью. В случае же 1) В обозначениях формул первое число означает номер параграфа, второе — номер формулы в нем. При ссылках на формулы внутри того же параграфа указывается только второе число.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ бльшего числа переменных это не может быть гарантировано, так как опре о делитель из вторых производных может быть положительным и тогда, ко гда его собственные значения, соответственно главные кривизны поверхно сти, имеют разные знаки, лишь бы отрицательные встречались попарно.

Тем не менее мы ограничиваемся только выпуклыми решениями и ника ких других решений вовсе не будем рассматривать.

2. Мы будем пользоваться геометрическими методами и соответственно используем естественные геометрические представления в (n+1)-мерном ев клидовом пространстве, где введены прямоугольные координаты x1,..., xn, xn+1 = z. Плоскость z = 0 обозначим X, точка этой плоскости обозначается x, так же как совокупность ее координат. Точка пространства обозначается по ее координатам (z, x). Направление оси z будем называть вертикальным и соответственно будем говорить, что точка (z1, x) лежит ниже точки (z2, x), если z1 z2 и т. п.

Под областью D, если явно не оговорено противное, будет пониматься ограниченная область в плоскости X.

Под поверхностью S, если явно не оговорено противное, будет пониматься выпуклая поверхность, однозначно проектирующаяся на данную область D и обращенная выпуклостью вниз. Пользуясь геометрическим языком, мы будем говорить, скорее, не о функции z(x), а о поверхности S с уравнением z = z(x), удовлетворяющей уравнению (1).

Далее мы вводим вспомогательную плоскость (n-мерное пространство) Z, где введены прямоугольные координаты. Точку этой плоскости, или вектор, идущий в нее из начала, обозначаем. Если задана дифференцируемая функция z(x), то каждому x сопоставляется вектор = grad z(x).

Интеграл по множеству M на плоскости X — кратный интеграл Лебе га от какой-либо функции g(x), так же как интеграл по множеству N на плоскости Z от функции g(), мы будем обозначать просто g(x) dX, g() dZ.

M N Всякая рассматриваемая функция предполагается измеримой и суммируе мой на всяком ограниченном замкнутом подмножестве области ее опреде ления.

Наконец, функцией множества будем называть неотрицательную, вполне аддитивную функцию множества, определенную для всех борелевских мно жеств M, содержащихся вместе со своими замыканиями в какой-либо дан ной области D. Подразумевается, что эта функция имеет конечное значение для таких множеств. Ее, конечно, можно распространить на все борелев ские множества M D, но для тех M, замыкания которых не заключаются в D, она может иметь бесконечные значения.

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) 3. Во всем дальнейшем будет фигурировать функция f (, z, x), связанная с какой-либо данной областью D и подчиненная следующим условиям.

I. f (, z, x) определена для всех и z и для всех x D;

кроме того, f и для нее можно допускать также бесконечные значения.

II. Для всякой замкнутой ограниченной области R изменения перемен ных, z, x существует суммируемая функция f0 () такая, что для всех (, z, x) R f (, z, x) f0 ().

III. Существует такое z0 и такая функция f1 () 0, что f1 () dZ Z (не исключая, что этот интеграл имеет бесконечное значение) и при всех x D и z z f (, z, x) f1 ().

IV. При почти всех функция f (, z, x) непрерывна по z, x.

Условия II–IV заведомо выполнены, например, если f (, z, x) 0, непре рывна и существует f1 () f (, z, x) такая, что ее интеграл по Z больше 0.

4. Введем важное для дальнейшего понятие нормального отображения S области D X в плоскость Z, определенного данной поверхностью S.

Пусть S — поверхность, проектирующаяся на область D. Пусть zi — коэф фициенты в уравнении ее опорной плоскости в какой-либо точке, коэффи циенты при «текущих координатах» xi, если уравнение решено относитель но z. Если опорная плоскость касательная, то zi — производные z по x.

В соответствии с принятыми обозначениями мы можем сказать, что каж дой опорной плоскости P поверхности S отвечает точка = (z1,..., zn ) в плоскости Z. Так как вполне определяет направление плоскости P, то мы будем говорить, что плоскость P имеет направление.

Каждому множеству Q S отвечает на плоскости Z множество (Q), именно множество всех тех точек, которые соответствуют опорным плос костям к S, проходящим через точки множества Q. Этим определяется «нормальное» отображение поверхности S в плоскость Z, вполне анало гичное сферическому отображению. Связь обоих отображений очевидна.

Достаточно провести плоскость, касающуюся гауссовой сферы в полюсе, и продолжить радиусы сферы до их пересечения с этой плоскостью, как сфе рическое изображение перейдет в нормальное. Ничто не мешало бы нам по этому пользоваться сферическим изображением вместо нормального, вводя вместо единичные нормали n. Однако = (z1,..., zn ) ближе анализу, чем нормаль, и проще связано с обычным видом дифференциальных уравнений.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Пусть теперь M — множество в области D, а Q — множество на по верхности S, имеющее M своей проекцией. Тогда нормальное отображение множества Q определяет, естественно, отображение множества M в плос кость Z. Это отображение мы обозначим S и будем его называть также нормальным.

Таким образом, данная поверхность S определяет «нормальное» отобра жение S области D в плоскость Z. (Это отображение, так же как ему обратное, вообще говоря, неоднозначно. Однако, как известно, нарушение однозначности может происходить лишь на множестве меры нуль.) 5. Пусть заданы область D и функция f (, z, x), подчиненная условиям I–IV п. 3. Исходя из этой функции, определим для каждой поверхности S, проектирующейся в D, некоторую функцию множества f (M ;

S). Пусть x(), z() — координаты той точки поверхности S, через которую проходит опорная плоскость с направлением. Кстати, отображение [x(), z()] как раз и есть обратное нормальному. Функции x(), z() неоднозначны для таких, для которых опорная плоскость с направлением касается поверхности не в одной только точке. Однако известно, что множество таких имеет меру нуль.

Таким образом, при почти всех оказывается однозначно определенная функция f (, z(), x()).

Определяем теперь функцию f (M ;

S), полагая для каждого данного M D f (M ;

S) = f (, z(), x()) dZ, (1.2) S (M ) т. е. интеграл от f по нормальному изображению S (M ) множества M.

В силу условий I, II, наложенных на функцию f, функция f оказыва ется, очевидно, неотрицательной и, кроме того, конечной для всякого за мкнутого M D. В самом деле, при всяком замкнутом M D в точ ках поверхности S, лежащих над M, нет опорных плоскостей, сколь угодно близких к вертикальным. Поэтому множество S (M ) ограничено и, вслед ствие условия II, наложенного на функцию f, интеграл (2) имеет конечное значение.

Заметим, между прочим, что при f = (1 + 2 )(n+1)/ f (M ;

S) оказывается ни чем иным, как площадью сферического изобра жения того множества на поверхности S, которое имеет проекцией множе ство M. В связи с этим функцию f (M ;

S) можно назвать условной кри визной, или отнесенной к плоскости X условной интегральной кривизной поверхности S.

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) 6. Преобразуем теперь уравнение (1) к функциям множеств.

Пусть некоторая регулярная поверхность S, проектирующаяся на область D, удовлетворяет этому уравнению. Тогда для всякого множества M D мы, очевидно, имеем f (, z, x) Det zij dX = h(x) dX. (1.3) M M Но Det zij есть не что иное, как якобиан преобразования (x1,..., xn ) (z1,..., zn ), т. е. нормального отображения S. Поэтому в наших обо значениях Det zij dX = dZ и равенство (3) оказывается равносильным следующему:

f (, z(), x()) dZ = h(x) dX. (1.4) S (M ) M Принимая теперь во внимание определение (2) функции f (M ;

S) и за меняя интеграл от h функцией множества (M ), получаем f (M ;

S) = (M ). (1.5) Это и есть нужное нам уравнение в функциях множества.

Так как функция f определена для любой выпуклой поверхности S, то здесь нет надобности предполагать поверхность S сколько-нибудь регуляр ной. Точно так же под (M ) можно понимать любую функцию множества.

Поэтому задача решения уравнения (5) может быть сформулирована сле дующим образом.

Найти поверхность S, для которой функция f (M ;

S) совпадает с данной функцией множества (M ).

Если вместе с тем поверхность S, решающая эту задачу, окажется до статочно регулярной, то она даст решение уравнения (1), так как входящая в него функция h определяется функцией (M ) как соответствующая ей «плотность» — производная по площади.

7. Как уже было отмечено, в частном случае f = (1 + 2 )(n+1)/2 (1.6) f (M ;

S) оказывается площадью сферического изображения (интегральной кривизной) того множества на поверхности S, которое имеет проекцию M.

Если же вообще f зависит только от, так что f = f (), то, как легко видеть, f (M ;

S) представляет собою площадь сферического изображения с весом () = f ()(1 + 2 )(n+1)/2.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Т. е. мы можем представлять себе гауссову сферу, снабженную «плотно стью» () = (n), где n — точка сферы, соответствующая точке плоскости Z. Тогда интеграл от этой плотности по сферическому изображению мно жества Q S с проекцией M и дает значение f (M ;

S) 2).

Еще в моих работах [1–4] были доказаны теоремы о существовании и единственности выпуклой поверхности с данной интегральной кривизной.

Среди этих результатов содержались соответственно теоремы существова ния и единственности решения уравнения (5), а также обобщенного решения уравнения (1) для случая функции f вида (4).

И. Я. Бакельман [5] заметил, что применявшиеся там методы дословно переносятся на более общий случай f = f (). Принятые в [5] предположения о том, что f () непрерывна и ограничена, совершенно не существенны, так как методы работ [1–4] с этим вовсе не связаны.

В настоящей работе мы применяем аналогичные методы к общему слу чаю функции f (, z, x), подчиненной указанным выше условиям I–V. Кроме того, мы получим также результаты, касающиеся решения задачи Дирихле, новые и для указанных частных случаев.

8. Наш метод доказательства существования решения уравнения (5) основан на приближении поверхностей многогранниками и соответственно приближении функций множества функциями, «состоящими из конечного числа точечных нагрузок». В соответствии с этим мы доказываем прежде всего, в § 2, теоремы, обеспечивающие применимость этого метода.

Далее, в § 3, доказывается существование решения уравнения (5) при некотором общем условии, налагаемом на функцию (M ). В отличие от метода работ [1, 2, 6] мы пользуемся при доказательстве теоремы существо вания для многогранников изящным приемом, введенным А. В. Погорело вым [7]. Его преимущество состоит не только в бльшей простоте, но и в о том, что он не требует теорем единственности и, кроме того, по существу содержит в себе эффективный метод приближенного нахождения решения.

Из теоремы существования для уравнения (5) сразу вытекает теорема су ществования обобщенного решения уравнения (1). О степени регулярности этого решения при достаточно регулярных функциях f и h мы ничего не можем сказать в общем случае n переменных. В случае двух переменных 2) Казалось бы, можно снабдить сферу или, что равносильно, плоскость Z некоторым распределением «масс», задавая на ней функцию множества (N ), и определить для поверхности S функцию (M ;

S) = (S (M )). Однако если M1 M2 =, то тем не менее может быть S (M1 )S (M2 ) =. Поэтому функция (M ;

S) может оказаться не аддитивной. Вместе с тем известно, что при M1 M2 = множество S (M1 ) S (M2 ) имеет меру нуль, так что аддитивность функции будет обеспечена, если (N ) = для всякого N меры нуль. При этом (N ) оказывается неопределенным интегралом от соответствующей ей плотности. Следовательно, представимость (N ) в виде такого интеграла необходима и достаточна для аддитивности функции.

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) мы можем сослаться на работы [7–10], которые дают в этом случае важные, однако не исчерпывающие результаты.

В § 4 устанавливаются некоторые общие достаточные условия разреши мости задачи Дирихле для уравнения (5) и соответственно (1).

В § 5 при дополнительных условиях, налагаемых на функцию f (, z, z), сводящихся к требованию, что она есть невозрастающая функция, дока зывается единственность решения задачи Дирихле.

В § 6 будут получены результаты, аналогичные результатам § 3–5, отно сящиеся к решению уравнений (5), (1) в бесконечных областях.

Во всех случаях выясняется до некоторой степени необходимость вводи мых условий существования и единственности решения.

Настоящая статья включает только § 1–3, вторая часть работы (§ 4–6) будет опубликована в следующем номере этого журнала 3).

§ 2. Теоремы компактности 1. Пусть на плоскости X фиксирована область D. Пусть также задана функция f (, z, x), удовлетворяющая условиям I–IV, указанным в § 1 п. 3.

Согласно условию III существуют такое z0 и такая функция f1 (), что при всех x D и z z f (, z, x) f1 () и f1 () dZ 0.

Z Мы определяем величину A(f ) = sup f1 () dZ, Z где супремум берется по всем возможным z0 и функциям f1 (). Не исклю чается, что интеграл от f1 и, следовательно, величина A(f ) могут равняться бесконечности.

Величина A(f ) играет важную роль в условиях разрешимости нашего основного уравнения (1.5). Эта ее роль определяется следующей теоремой.

3) Обсуждаемая публикация не была осуществлена. Основные результаты А. Д. Алек сандрова в этой области позже вошли в статьи «Исследования о принципе максимума.

I–VI» (см. с. 451–571 настоящего издания), «О принципе максимума» (см. с. 577–596), «Условия единственности и оценки решения задачи Дирихле» (см. с. 597–626) и некото рые другие. — Прим. ред.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Теорема 1. Выпуклые поверхности S, проектирующиеся на область D и имеющие общий край L, ограничены в совокупности, если для них выпол нено неравенство f (D;

S) C A(f ) (C = const). (2.1) Доказательство. Из определения величины A(f ) ясно, что при данном C A(f ) существует такое z0 и соответствующая функция f1 (), что f (, z, x) f1 () 0 (z z0, x D) (2.2) и f1 () dZ C. (2.3) Z Можно, конечно, считать z0 таким, что край L рассматриваемых поверх ностей S лежит над плоскостью z = z0. Тогда эта плоскость отрезает от каждой достаточно «большой» поверхности «шапку» S. Достаточно дока зать, что эти шапки ограничены в совокупности.

Обозначая проекцию шапки S через D, мы, очевидно, имеем f (D;

S) f (D;

S). (2.4) Вместе с тем, вследствие определения функции f и неравенства (2), f (, z, x) dZ f (D;

S) = f1 () dZ, (2.5) S (D) S (D) где S (D) — нормальный образ шапки S.

Так как край поверхностей S фиксирован, то по мере роста поверхно сти S, а вместе с нею и шапки S, нормальный образ шапки увеличивается, распространяясь в пределе на всю плоскость Z. Поэтому в силу неравен ства (3) для достаточно большой шапки оказывается f1 () dZ C. (2.6) S (D) Сопоставляя теперь неравенства (6), (5), (4), убеждаемся, что они про тиворечат неравенству (1). Этим доказано, что при условиях теоремы не может быть сколь угодно больших шапок S, так что поверхности S ограни чены в совокупности.

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) 2. В уточнение полученного вывода легко получить явную оценку воз можной высоты шапок S и тем самым высоты поверхности S.

Пусть z0 и f1 () имеют тот же смысл. Пусть Z — шар радиуса в плоскости Z с центром в точке = 0, а () = f1 () dZ. (2.7) Z Пусть, наконец, d — диаметр области D. Тогда, если для поверхности S выполнено неравенство (1), то для высоты p шапки S, отрезаемой от по верхности S плоскостью z = z0, имеет место неравенство p C.

(2.8) d Это неравенство и дает оценку для высоты шапки, а вместе с тем и высоты поверхности 4).

Для доказательства неравенства (8) возьмем на шапке S точку A, наибо лее удаленную от плоскости z = z0. Проектируя из этой точки край шапки, получим конус K. Нормальное изображение конуса K, очевидно, содер жится в нормальном изображении шапки S, а это последнее содержится в нормальном изображении поверхности S. Таким образом, (K) (S) S (D). (2.9) Пусть D — область, вырезаемая на плоскости z = z0 шапкой S и, ста ло быть, также конусом K. Ее диаметр, очевидно, не больше диаметра области D. Поэтому область D заведомо содержится в сфере (круге) D радиуса d, описанной на плоскости z = z0 вокруг точки A1, являющейся 4) Так как функция f1 () неотрицательна, то функция () монотонна, а потому, обо значая обратную функцию через 1, неравенство (8) можно переписать в виде p 1 (C)d.

Если теперь p1 — наибольшее расстояние точек края поверхности S от плоскости z = z1, то для высоты p самой поверхности S получаем оценку p 1 (C)d + p1.

Условие, что C A(f ), неявно используется здесь, так как, по определению величины A(f ), заведомо () A(f ) и потому 1 (C) определена только в том случае, когда C A(f ).

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ проекцией точки A. Проектируя эту сферу D0 из точки A, получим прямой круговой (шаровой) конус K0. Нормальное изображение конуса K0 содер жится в нормальном изображении конуса K и представляет собой шар Zp/d радиуса p/d на плоскости Z. Таким образом, Zp/d = (K0 ) (K).

Вместе с (9) это дает Zp/d S (D), а поэтому f1 () dZ f1 () dZ. (2.10) S (D) Zp/d Принимая во внимание равенство (7) и неравенство (1), получаем отсюда неравенство (8), которое, таким образом, доказано.

3. Теперь мы выясним, в каком смысле условные кривизны f (M ;


Sm ) поверхностей Sm сходятся к f (M ;

S), когда поверхности Sm сходятся к S.

При этом, говоря, что поверхности Sm, проектирующиеся на область D, сходятся к поверхности S, мы подразумеваем просто то, что функции Zm (x), задающие поверхности Sm, сходятся к функции Z(x), задающей S.

Будем говорить, что функции множества n (M ), определенные для мно жеств M D, слабо сходятся внутри D к функции (M ), если для всякой непрерывной функции g(x), отличной от нуля только на некотором множе стве G, содержащемся в D вместе со своим замыканием G, g(x)m (dM ) = g(x)(dM ).

lim (2.11) m D D Существенно, что функция, к которой данные функции n слабо схо дятся внутри D, единственна 5).

5) Пусть G — открытое множество с G D;

— множество непрерывных функций g(x) таких, что 0 g(x) 1 и {x : g(x) 0} G. Тогда, поскольку мы ограничива емся неотрицательными функциями множества, (G) = sup g(x)(dM ), а для любого DG D M (M ) = inf (G). Значит, функция однозначно определена значениями указан GM ных интегралов. По этому поводу и по поводу слабой сходимости см. [11]. Согласно введенному там определению n слабо сходятся к, если (11) имеет место для любых непрерывных и ограниченных g(x), определенных на D. Легко видеть на примерах, что в следующей ниже теореме 2 нельзя заменить слабую сходимость внутри D просто сла бой сходимостью в D. Дело в том, что при Sm S функции f (M ;

Sm ) могут иметь «ускользающую нагрузку». Согласно [11], для слабой сходимости последовательности функций множества в D необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность слабо сходилась внутри D и не содержала ускользающей нагрузки. Заметим, что теорема в случае f, зависящей только от, оказывается, по существу, следствием одной общей теоремы, доказанной в [11].

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) Теорема 2. Если поверхности Sm, проектирующиеся на данную об ласть D, сходятся к поверхности S, то их условные кривизны f (M ;

Sn ) слабо сходятся внутри D к f (M ;

S).

Доказательство. В силу определения (11) речь идет о том, что при Sn S g(x)f (dM ;

Sn ) g(x)f (dM ;

S) (2.12) D D для всякой непрерывной g(x), отличной от нуля только на некотором G с G D. Фиксируем такую функцию g(x).

Покажем, что g(x)f (dM ;

Sn ) = g(x())f (, z(), x()) dZ. (2.13) S (D) D Здесь в правой части при каждом данном, в согласии с определением f (M ;

S), x = x(), z = z() представляют собой координаты той точки по верхности S, через которую проходит опорная плоскость с направлением.

Так как функция g(x) отлична от нуля лишь на G, то левый интеграл J в формуле (13) можно вычислять только по G;

и так как g(x) непрерывна, то его можно определять по Риману, разбивая D на «малые» множества M.

Поэтому J= g(x)f (dM ;

S) = lim g(xi )f (Mi ;

S).

i G Далее, пользуясь определением функции f (M ;

S), получаем J = lim g(xi ) f (, z, x) dZ. (2.14) i S (Mi ) Как отмечено в § 1 при определении функции f, функции x(), z() почти везде однозначны, а поэтому при определении интеграла можно пре небрегать множеством тех, где однозначность их нарушается. Поэтому, в частности, можно считать, что в интегралах по S (Mi ) x Mi.

Далее из (14) легко получаем [g(xi ) g(x)]f (, z, x) dZ. (2.15) J= g(x)f (, z, x) dZ + lim i S (M ) S (Mi ) Здесь второе слагаемое равно нулю. В самом деле, функция g(x) непре рывна, а потому, при измельчении множеств Mi, разности [g(xi ) g(x)] А. Д. АЛЕКСАНДРОВ стремятся к нулю (так как можно считать в них x Mi ). Кроме того, по условию II § 1 п. 2, наложенному на функцию f (, z, x), можно считать f (, z, x) f0 (), где f0 () суммируема во всякой ограниченной области.

Множества же S (Mi ) все содержатся в S (G). А так как G D, то мно жество S (G), очевидно, ограничено.

Из сказанного вытекает, что второе слагаемое в формуле (15) исчезает и тем самым требуемое равенство (13) доказано.

Вполне аналогичное равенство верно, конечно, и для функций f (M ;

Sm ).

Таким образом, вместо (12) нам нужно доказать, что g(xm ())f (, zm(), xm ()) dZ g(x())f (, z(), x()) dZ. (2.16) Sm (G) S (G) 4. Итак, докажем соотношение (16). Для этого введем функцию (), определенную для всех на всей плоскости Z следующим образом:

g(x())f (, z(), x()), если S (G), () = если S (G).

0, Аналогично определяем функции n (). Тогда (16) сводится к n () dZ () dZ. (2.17) Z Z Для доказательства (17) покажем, что почти везде n () ().

Будем различать два случая:

1) S (G), когда = gf ;

2) S (G), когда () = 0.

Рассмотрим первый случай. По условию IV, наложенному на функцию f (, z, x), она непрерывна по z, x при почти всех. Поэтому можно рас сматривать такое 0 S (G), что f (0, z, x) непрерывна по z, x.

Множество направлений опорных плоскостей, которые касаются данной поверхности более чем в одной точке, имеет меру нуль. Поэтому можно взять 0 еще и таким, что опорная плоскость P0 с направлением 0 касается поверхности S в единственной точке A. Проекция этой точки, конечно, принадлежит G.

В таком случае плоскостью P, параллельной P0, можно отрезать от по верхности S шапочку S, которая также будет проектироваться в область G.

Так как Sm S, то при достаточно больших m плоскость P отсекает от поверхностей Sm шапочки, также проектирующиеся в G. На каждой такой шапочке есть точка Am, где проходит опорная плоскость, параллельная P.

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) Этим доказано, что при указанном выборе 0 на поверхностях Sm доста точно большого номера есть такие точки Am, проектирующиеся в G, через которые проходят опорные плоскости с направлением 0. Тем самым при больших m определены координаты xm (0 ), zm (0 ), причем xm (0 ) G, так что 0 Sm (G).

Мы можем ограничиться теми m, при которых это имеет место.

Как известно, когда опорная плоскость P0 касается поверхности S в един ственной точке A, то на поверхностях Sm, сходящихся к S, точки Am, где проходят параллельные опорные плоскости, заведомо сходятся к точке A.

Это значит, что при нашем выборе xm (0 ) x(0 ), zm (0 ) z(0 ). (2.18) Так как 0 S (G) и Sm (G), то (0 ) = g(x(0 ))f (0, z(0 ), x(0 )), m (0 ) = g(xm (0 ))f (0, zm (0 ), xm (0 )).

По выбору 0, f (0, z, x) непрерывна по z, x, а g(x) непрерывна по усло вию. Поэтому из (18) следует, что m (0 ) (0 ).

Так как здесь 0 S (G) любое с точностью до некоторого множества меры нуль, то тем самым доказано, что m () сходятся к () почти везде на S (G).

Теперь рассмотрим тот случай, когда S (G), так что () = 0.

Если данное 0 S (G) не принадлежит также Sm (G), то по опреде лению функции m будет m (0 ) = 0. А если это имеет место для всех достаточно больших m, то тем самым m (0 ) (0 ). Поэтому остается рассмотреть такое 0 S (G), что 0 Sm (G) для некоторых сколь угод но больших m. Можно дальше ограничиться только такими m, так что полагаем 0 S (G), 0 Sm (G). (2.19) Кроме того, поскольку нас интересует сходимость лишь почти везде, а функции xm (), zm () почти везде однозначны, то достаточно рассмат ривать такое 0, при котором это имеет место. В таком случае при каждом данном m точка xm () единственна и из второго соотношения (19) следует, что xm (0 ) G.

Покажем, что множество точек xm (0 ) не имеет точек сгущения в об ласти G. Допустим противное, и пусть x0 — такая точка сгущения, что xmi (0 ) x0 G. На поверхностях Smi точкам xmi (0 ) отвечают какие-то точки Ami. Вследствие того, что Smi S, точки Ami сходятся к некоторой точке A поверхности S, причем A проектируется в x0 G.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ В точках Ami проходят опорные плоскости к поверхностям Smi с направ лением 0. Поэтому и в предельной точке A проходит опорная плоскость поверхности S с тем же направлением 0. Но так как x0 G, то 0 S (G), вопреки условию (19).

Таким образом, множество точек xm (0 ) не имеет точек сгущения в об ласти G. Поэтому с ростом m они все приближаются к ее границе. Функ ция же g(x) по условию непрерывна и исчезает на границе G. Поэтому g(xm (0 )) 0. Так как 0 любое, удовлетворяющее условиям (19), за выче том множества меры нуль, то, стало быть, при почти всех с условием (19) g(xm ()) 0.

В силу определения функций m отсюда очевидно, что при почти всех та ких точно так же m () 0. А так как при рассматриваемых () = 0, то m () ().

Этим возможные случаи выбора исчерпаны и, таким образом, доказано, что почти везде m () ().

Покажем теперь, что все функции m () мажорируются одной и той же суммируемой функцией 0 ().

Так как G D и поверхности Sm сходятся, то над областью G на них за ведомо нет точек, где опорные плоскости сколь угодно близки к вертикаль ному положению. Поэтому в плоскости Z существует такое ограниченное множество U, что при всех m Sm (G) U.

В силу определения функций m () отсюда следует, что заведомо при U.

m () = 0 (2.20) Далее, из условия II § 1 п. 2, наложенного на функцию f, легко следу ет, что существует такая функция f0 (), суммируемая во всякой конечной области, что при всех m f (, xm (), zm ()) f0 ().

Поэтому в силу определения m () имеем m () Bf0 (), (2.21) где B = sup g(x).

Положим теперь Bf0 (), если U, 0 () = если U.

0, Эта функция суммируема на всей плоскости Z, а из (20) и (21) следует, что m () 0 ().

Итак, почти везде m () () и функции m мажорируются сумми руемой функцией. Отсюда, в силу известной теоремы, следует сходимость интегралов этих функций, т. е. соотношение (17).

Этим теорема 2 доказана.

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) § 3. Существование решения 1. Пусть D — выпуклая область в плоскости X и — ее граница. Не всякая замкнутая (n 1)-мерная поверхность, проектирующаяся на, мо жет быть краем выпуклой поверхности S, проектирующейся на D. (Край поверхности S есть не что иное, как множество не принадлежащих S ее пре дельных точек.) Поверхность L, могущую быть краем какой-либо поверх ности S, мы назовем допустимой или допустимым краем поверхности S.


Допустимость поверхности L есть, конечно, необходимое условие для раз решимости задачи Дирихле. Легко сформулировать необходимое и доста точное условие для того, чтобы поверхность L была допустимой.

Пусть C — замкнутый цилиндр с вертикальными образующими и направ ляющей. Пусть L — замкнутая (n 1)-мерная поверхность, проектиру ющаяся на и тем самым лежащая на цилиндре C. Она разбивает C на две части: «верхний цилиндр» C1 и «нижний» — C2. Построим выпуклую оболочку верхнего цилиндра C1. Ее боковая поверхность может содержать некоторую часть цилиндра C, не принадлежащую C1. В этом случае по верхность L не будет границей боковой поверхности указанной выпуклой оболочки. Тогда, как очевидно из свойств выпуклой оболочки, L вообще не может быть краем никакой поверхности S, т. е. выпуклой поверхности, проектирующейся на D и обращенной выпуклостью вниз.

С другой стороны, если боковая поверхность построенной выпуклой обо лочки сводится к C1, то L оказывается границей этой боковой поверхности.

Остальная часть поверхности выпуклой оболочки представляет собой вы пуклую поверхность SL нулевой кривизны, т. е. с нулевой площадью сфери ческого изображения, проектирующуюся на D и обращенную выпуклостью вниз. Ее край и будет L. Мы говорим, что поверхность SL натянута на L снизу.

Итак, для того чтобы L была допустимым краем поверхностей S, необ ходимо и достаточно, чтобы на нее можно было натянуть снизу поверх ность SL нулевой кривизны.

Заметим, что если область D существенно выпукла, т. е. каждая ее опор ная плоскость касается ее границы лишь в одной точке, то всякая за мкнутая (n 1)-мерная поверхность L, однозначно проектирующаяся на, будет допустимой. Однако однозначная проектируемость на не необхо дима: L могла бы содержать, например, вертикальные отрезки и все же быть допустимой. На языке анализа это означает, что краевые условия, представляемые поверхностью L, могут не быть непрерывными.

2. Обратимся теперь к нашему основному уравнению f (M ;

S) = (M ). (3.1) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Предполагается, что фиксирована выпуклая область D и задана функция f (, z, x), удовлетворяющая условиям I–IV § 1 п. 3;

A(f ) — величина, опре деленная в начале § 2.

Теорема 3. Пусть D — многогранная выпуклая область в плоскости X и L — допустимая (n1)-мерная многогранная поверхность, проектирующая ся на границу области D. Пусть (M ) — функция множества, определенная на D и состоящая из точечных нагрузок 6). Тогда, если (D) A(f ), (3.2) то существует выпуклая многогранная поверхность S с краем L, удовлетво ряющая уравнению (1) с данной правой частью (M ).

Более наглядно эту теорему можно сформулировать следующим образом.

Пусть нагрузки функции (M ) сосредоточены в точках x1,..., xm и рав ны соответственно 1,..., m. Тогда условие (2) сводится к тому, что m i A(f ). (3.3) i= Рассмотрим многогранные поверхности S, не имеющие вершин, кроме мо жет быть проектирующихся в точки x1,..., xm. Площадь нормального изоб ражения всякого множества, не содержащего вершин, равна нулю. Поэтому функция f (M ;

S) также состоит только из точечных нагрузок f (xi ;

S).

Если zi — координата z вершины Ai, проектирующейся в xi, то по опреде лению (1.2) функции f f (xi ;

S) = f (, zi, xi ) dZ. (3.4) S (xi ) Существенно, что в этом интеграле zi, xi — постоянные. Поэтому f (xi ;

S) есть не что иное, как «площадь» нормального изображения вершины Ai (zi, xi ) с «весом» f (, zi, xi ).

Пусть D и L имеют смысл, указанный в теореме 3. Тогда утверждение теоремы 3 можно уточнить следующим образом.

При условии (3) среди рассматриваемых многогранных поверхностей S существует такая, что для всех i = 1,..., m f (xi ;

S) = i, (3.5) причем S проектируется на D и имеет край L.

6) Мы говорим, что (M ) состоит из точечных нагрузок, сосредоточенных в точках x1, x2,..., xm, если (M ) = 0 для всякого M, не содержащего ни одной из этих точек xi, и вместе с тем для каждой xi (xi ) = 0.

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) Доказательство. Натянем на L снизу поверхность SL. Она будет, очевидно, многогранной поверхностью с краем L и вовсе не имеющей вер шин. Можно сказать поэтому, что она не имеет вершин, кроме, может быть, проектирующихся в данные точки x1,..., xm, и для нее f (xi ;

SL ) = (i = 1,..., m).

Рассмотрим теперь все многогранные поверхности S с краем L, не имею щие других вершин, кроме может быть проектирующихся в данные точки x1,..., xm, и такие, что f (xi ;

S) i (i = 1,..., m). (3.6) Вследствие условия (3) из теоремы 1 § 2 вытекает, что все эти поверхности ограничены в совокупности. Поэтому среди них существует поверхность S 0, для которой zi, т. е. сумма координат ее вершин, имеет наименьшее значение. Докажем, что S 0 и есть искомая.

7) Допустим, что это не так. Тогда для некоторой точки окажется f (xk ;

S 0 ) k. (3.7) Пусть Ak — точка на S 0, проектирующаяся в точку xk ;

априори Ak может и не быть вершиной в собственном смысле слова. Сдвинем точку Ak вниз по вертикали на малое расстояние Ak Ak. Построим выпуклую оболочку точки Ak, вершин поверхности S 0 и краевой поверхности L. Обращенная вниз часть поверхности этой выпуклой оболочки будет выпуклой много гранной поверхностью S с краем L и с вершинами Ai, проектирующимися в точки xi.

Покажем, что при достаточно малом смещении Ak Ak на S выполнены неравенства (6), так что она оказывается одной из поверхностей рассматри ваемой совокупности.

Пусть Ai — какая-либо ее вершина, отличная от Ak. Из построения по верхности S видно, что Ak является одновременно вершиной Ak поверхно сти S 0, а многогранный угол при ней на поверхности S включает много гранный угол на поверхности S 0 (не исключая, что эти углы совпадают).

Поэтому для их нормальных изображений имеем обратное включение, так что S (xi ) S (xi ).

7) Строго говоря, из ограниченности поверхностей S следует только то, что существует предельная для них поверхность S 0, на которой zi достигает минимума. Очевидно, од нако, что она будет многогранной поверхностью с тем же краем L и что на ней выполнены соотношения (6).

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Применяя теперь формулу (4) для f (xi ;

S) и замечая, что координаты zk, xk в обоих случаях одинаковы, получаем f (xi ;

S ) f (xi ;

S 0 ), так что, в силу (6), f (xi ;

S ) i. (3.8) Может априори случиться, что точка Ai на S, проектирующаяся в xi, не является вершиной. Но тогда f (xi ;

S ) = 0 и (8) заведомо выполняется.

Рассмотрим теперь саму сдвинутую вершину Ak. Согласно (4) ее услов ная кривизна есть f (xk ;

S ) = f (, zk, xk ) dZ. (3.9) S (xk ) Покажем, что она изменяется непрерывно при непрерывном смещении точки Ak из ее исходного положения Ak. Область интегрирования S (xk ) есть нормальное изображение вершины Ak, оно представляет собой выпук лый многогранник в плоскости Z и при непрерывном смещении точки Ak изменяется непрерывно. Ее нормальное изображение представляет собой выпуклый многогранник в плоскости Z и при непрерывном ее смещении изменяется непрерывно. Далее, по условию IV, наложенному на функцию f (, z, x), она непрерывна по z, x при почти всех. Поэтому при непре рывном смещении точки Ak f (, zk, xk ) изменяется непрерывно при почти всех. Наконец, по условию II, наложенному на функцию f, f (, zk, xk ) мажорируется некоторой функцией f0 (), суммируемой во всякой конеч ной области.

Из этих замечаний, согласно известной теореме о сходимости интегралов Лебега, следует, что интеграл (9), а стало быть, и f (xk ;

S ) действитель но зависит от положения точки Ak непрерывно. Поэтому при достаточно малом смещении Ak Ak f (xk ;

S ) будет достаточно мало отличаться от f (xk ;

S 0 ), а тогда в силу (7) будет также f (xk ;

S ) k. (3.10) Итак, f (xi ;

S ) i для всех xi. Но так как Ak лежит ниже Ak, то zi zj. Это противоречит определению поверхности S 0. И тем самым доказано, что она и есть искомая.

Из проведенного доказательства легко видеть, что поверхность S 0 ха zi достигает минимума, но что рактеризуется не только тем, что для нее координата zi каждой вершины в отдельности достигает минимума.

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) 3. Теорема 4. Пусть D — выпуклая область на плоскости X и f (, z, x), A(f ) имеют обычный смысл. Тогда для всякой функции множества (M ) на D, удовлетворяющей неравенству вида (2) (D) A(f ), существует выпуклая поверхность S, удовлетворяющая уравнению (1).

Доказательство. Пусть Di (i = 1, 2,... ) — многогранные выпуклые области, заключенные в D и сходящиеся к ней. Пусть L — какая-либо (n 1)-мерная поверхность, допустимая в качестве края поверхностей S, проектирующихся на D, а Li — сходящиеся к ней многогранные поверх ности, допустимые соответственно для областей Di. Легко доказать, что такие Li существуют.

Данная функция f (, z, x) определена для x Di и с таким ограниче нием области определения мы обозначим ее fi. Соответственно определим величины A(fi ). Легко видеть, что A(fi ) A(f ). (3.11) В самом деле, по определению A(f ) = sup f1 () dZ, Z где супремум берется по всем f1 () таким, что f (, z, x) f1 () при всех z, меньших какого-либо z1, и при всех x D. Поэтому при замене области D на меньшую D эта величина может только увеличиваться.

Построим последовательность бесконечно измельчающихся разбиений Rj области D на дизъюнктные множества Mjs и в каждом из них возьмем по точке xjs. Исходя из данной функции множества (M ), определим для каждого разбиения Rj функцию множества j (M ), состоящую из точечных нагрузок, равных (Mjs ) и сосредоточенных в точках xjs. Очевидно, эти функции слабо сходятся к (M ) внутри D.

Определим в каждой области Di функцию множества i (M ), полагая i (M ) = i (M ) для M Di.

Тогда во всякой области G, содержащейся в D вместе со своим замы канием G, определены функции i достаточно большого номера, причем функции i и i слабо сходятся к внутри G.

Кроме того, i (Di ) (D) и потому вследствие (2) и (11) существует такое C, что при всех i i (Di ) C A(fi ). (3.12) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Поэтому на основании теоремы 3 можно утверждать, что для каждой обла сти Di существует многогранная поверхность Si с краем Li, удовлетворяю щая уравнению fi (M ;

Si ) = i (M ). (3.13) Вследствие (12) на основании теоремы 1 § 2 можно утверждать, что все эти поверхности Si ограничены в совокупности. Поэтому из них можно выбрать сходящуюся последовательность. Обозначим поверхности из этой последовательности также через Si, а предельную поверхность — через S.

Она будет удовлетворять уравнению (1).

В самом деле, пусть G — какая-либо область с G D. При достаточно больших i поверхности Si имеют части Si, проектирующиеся на G, причем Si S, где S — часть поверхности S, проектирующейся на G. Поэтому, в силу теоремы 2 § 2, функции fi (M ;

Si ) слабо сходятся внутри G к (M ).

Вместе с тем функции i (M ) слабо сходятся к (M ) внутри G. А так как f = i, то f (M ;

S) = (M ).

И так как область G — любая, то точно так же f (M ;

S) = (M ) и теорема доказана.

4. В теореме 4 не утверждалось, что полученная поверхность S будет иметь заранее данный допустимый край L. Это и нельзя гарантировать, хотя согласно проведенному доказательству, S оказывается пределом по верхностей Si, края которых сходятся к L.

Дело в том, что поверхности Si вблизи края могут становиться все более и более наклонными. Тогда поверхность, являющаяся их пределом в гео метрическом смысле (т. е. в смысле топологического предела множеств), может иметь вертикальный пояс, так что ее часть S, проектирующаяся на область D, не будет иметь край L;

ее край будет расположен ниже. То му можно указать простые примеры, даже в простейшем случае, когда L совпадает с границей области D.

Все это значит, иными словами, что условия теоремы 4 еще не гаранти руют разрешимости задачи Дирихле для уравнения (1) в области D.

В § 4 мы рассмотрим это явление более обстоятельно и дадим достаточные условия для того, чтобы поверхность S заведомо имела данный допустимый край L.

5. Обратимся теперь к дифференциальному уравнению (1.1) f (, z, x) Det zij = h(x). (3.14) ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) Всякая функция множества почти везде дифференцируема по площади, так что для любой данной (M ) почти везде можно определить d h(x) =.

dX Точно так же почти везде существует производная от f (M ;

S). Кроме того, всякая выпуклая функция почти везде дважды дифференцируема и почти везде производная от f (M ;

S) равна df = f (, z, x) Det zij dX (см. [6], откуда легко получить этот результат).

Из сказанного следует, что поверхность S, удовлетворяющая уравнению f (M ;

S) = (M ), почти везде удовлетворяет дифференциальному уравне нию (14) с правой частью h = d/dX. Этот результат имеет, однако, мало смысла. При присоединении к данной функции (M ) точечных, линейных и т. п. нагрузок ее производная остается почти везде неизменной. Поэтому разные поверхности, удовлетворяющие существенно различным уравнениям в функциям множества, будут удовлетворять почти везде тому же самому дифференциальному уравнению.

Нужно требовать по крайней мере, чтобы функции множества однознач но определялись своими производными, т. е. были абсолютно непрерывны ми.

Из определения (1.2) функции f (M ;

S) видно, что требование ее аб солютной непрерывности равносильно требованию абсолютной непрерыв ности площади нормального изображения S (M ) как функции множества M D. Это равносильно абсолютной непрерывности площади сфериче ского изображения как функции множества на поверхности S. Площадь нормального изображения есть, конечно, не что иное, как 1 (M ;

S), так как она дается интегралом (1.2) при f = 1.

Соответственно сказанному мы вводим следующее определение обобщен ного решения дифференциального уравнения (14).

Функция z(x) называется обобщенным решением уравнения (14), если поверхность S с уравнением z = z(x) выпукла и имеет абсолютно непре рывную площадь нормального изображения 1 (M ;

S).

Это определение равносильно другому, которое формулируется чисто ана литически. Возможность такой замены дается следующей леммой.

Лемма. Пусть поверхность S задана уравнением z = z(x) (x D) и пусть 1 (D;

S) имеет конечное значение. Для того чтобы при этом усло вии 1 (M ;

S) была абсолютно непрерывной, необходимо и достаточно, что бы существовала такая последовательность регулярных выпуклых функций А. Д. АЛЕКСАНДРОВ z (n) (x), сходящихся к z(x), и такая последовательность расширяющихся за мкнутых областей Gp D, исчерпывающих D (т. е. Gp = D), что для каждой Gp (n) Det zij dX = Det zij dX.

lim (3.15) n Gp Gp В самом деле, вообще 8) Det zij dX 1 (M ;

S), M а для абсолютной непрерывности 1 (M ;

S) в области G необходимо и доста точно 1 (G;

S) = Det zij dX. (3.16) G (n) Так как поверхности S регулярны, то для них выполнены равенства (16) для всех Gp. Вместе с тем из известных свойств слабой сходимости площади нормального (или сферического) изображения следует, что обла сти Gp можно всегда выбрать так, чтобы для каждой из них было lim 1 (Gp ;

S (n) ) = 1 (Gp ;

S).

n Отсюда вместе с условием (16) абсолютной непрерывности 1 (M ;

S) сле дует, что условие леммы действительно необходимо и достаточно для абсо лютной непрерывности 1 (M ;

S).

Теперь мы можем высказать теорему существования обобщенного реше ния дифференциального уравнения (14), непосредственно вытекающую из его определения и теоремы 4.

Теорема 5. Пусть обозначения D, f (, z, x), A(f ) имеют тот же смысл, что и в предыдущих теоремах. Тогда для всякой определенной на D функ ции h(x) такой, что h(x) 0 и h(x) dX A(f ), (3.17) D уравнение (14) имеет в D обобщенное решение.

8) По поводу интегрального представления площади нормального (сферического) изоб ражения см., напр. [5], а по поводу слабой сходимости — [1, 3, 11].

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Det zij =(z1,...,zn,z,x1,...,xn ) Полагая (M ) = h(x) dX, M мы видим, что (17) равносильно условию (D) = A(f ) и потому теорема непосредственно следует из теоремы 4.

Вопрос о существовании и единственности решения при данных краевых условиях будет рассмотрен в следующих параграфах.

6. Если функции f (, z, x) и h(x) регулярны, то встает вопрос о степени регулярности решения уравнения (14). По этому поводу в случае n перемен ных (n 2) нам ничего неизвестно. Неизвестно даже условие гладкости, т. е. однократной дифференцируемости решения.

В случае двух переменных известно, что решение будет гладким, если h(x) ограничена в каждой замкнутой области G D. Это непосредственно вытекает из теоремы о гладкости выпуклой поверхности с ограниченной кривизной [10].

Подобный результат, при числе переменных n 2, заведомо не имеет места, как можно показать на примерах.

Далее, в случае n = 2 результаты, касающиеся регулярности решения уравнения (14) некоторых частных видов, можно найти в [7–9, 12]. По видимому, полученные там результаты без особого труда могут быть рас пространены при n = 2 на уравнение (14) общего вида при условии, что fz (, z, x) 0.

7. В теоремах 3–5 фигурирует одно и то же достаточное интегральное условие (D) A(f ) существования решения. В общем случае о степени его необходимости едва ли можно что-нибудь заключить. Однако при более жестких условиях, налагаемых на функцию f (, z, x), в частности когда она зависит только от, вопрос, в известном смысле, может быть решен.

Этот вопрос мы рассмотрим далее, в § 5 9).

Статья поступила в редакцию 25.VI. ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А. Д. Применение теоремы об инвариантности области к доказатель ствам существования // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1939. № 3. С. 243–255.

2. Александров А. Д. Существование и единственность выпуклой поверхности с данной интегральной кривизной // Докл. АН СССР. 1942. Т. 35, № 5. С. 143–147.

3. Александров А. Д. Аддитивные функции области в теории выпуклых поверхностей // Учен. зап. ЛГУ. 1948. № 96. Сер. мат. наук. Вып. 15. С. 82–100.

4. Александров А. Д. Выпуклые многогранники. М.;

Л.: Гостехиздат, 1950.

9) § 5 3) не был опубликован. См. подстрочное примечание на с. 433. — Прим. ред.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ 5. Бакельман И. Я. Обобщенные решения уравнения Монжа — Ампера // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114, № 5. С. 1143–1145.

6. Александров А. Д. Существование почти везде второго дифференциала выпуклой функции и некоторые связанные с ним свойства выпуклых поверхностей // Учен.

зап. ЛГУ. 1939. № 37. Сер. мат. наук. Вып. 6. С. 3–35.

7. Погорелов А. В. Регулярность выпуклой поверхности с данной гауссовой кривизной // Мат. сб. 1952. Т. 31, вып. 1. С. 88–103.

8. Бернштейн С. Н. Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа // Сообщения Харьков ского мат. о-ва, втор. сер. 1908–1909. Т. 11. С. 1–164.

9. Бакельман И. Я. Априорные оценки и регулярность обобщенных решений уравнений Монжа — Ампера // Докл. АН СССР. 1957. Т. 116, № 5. С. 719–722.

10. Александров А. Д. Гладкость выпуклой поверхности с ограниченной гауссовой кри визной // Докл. АН СССР. 1942. Т. 36, № 7. С. 211–216.

11. Alexandro A. D. Additive set-functions in abstract spaces. IV // Мат. сб. 1943. Т. 13, вып. 2–3. С. 169–243.

12. Погорелов А. В. Изгибание выпуклых поверхностей. М.;

Л.: Гостехиздат, 1951.



Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 21 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.