авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 21 |

«А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Избранные труды Том 1 ГЕОМЕТРИЯ и ПРИЛОЖЕНИЯ Новосибирск «Наука» 2006 ...»

-- [ Страница 3 ] --

= c, (1) v v Мы будем рассматривать векторы в таких вращающихся осях и считать, что вектор z(u) зависит только от u, если составляющие его на a, b, c не зависят от v, т. е. если поле векторов z на поверхности переходит само в себя при вращениях вокруг оси.

Пусть на поверхности вращения задано изгибающее поле z(u, v). Возь мем на ней спрямляемую кривую x(s), на ней индуцировано изгибающее поле z(s). Вращая изгибающее поле вокруг оси, мы будем получать снова изгибающие поля z(u, v v ), где v — угол поворота. Это ясно из того, что при вращениях вокруг оси поверхность переходит сама в себя. Таким обра зом, мы получим семейство изгибающих полей на кривой x(s). Оно удовле творяет, конечно, тому условию, которое было сформулировано в конце § 1, а потому, например, z(u, v v ) cos kv dv z k (u, v) = будет изгибающим полем. Сделав подстановку v v = v, легко получить, что z k (u, v) = k (u) cos kv + k (u) sin kv, (2) где k (u) и k (u) — коэффициенты Фурье функции z(u, v).

4) Heжесткие поверхности — это те, на которых можно задать нетривиальное изгиба ющее поле. Они вовсе не обязаны допускать непрерывные регулярные изгибания. Так, Э. Рембс показал, что кусок аналитической поверхности с параболическим кругом таких изгибаний не допускает, хотя он нежесткий [6].

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Точно так же будет изгибающим полем и z (u, v) = z(u, v v ) sin kv dv, k z (u, v) = k (u) sin kv k (u) cos kv. (3) k Таким образом, если на поверхности вращения можно задать изгибаю щее поле, то из него можно получить поля вида (2) и (3). Возможность разложить всякую функцию, удовлетворяющую условию Липшица, един ственным образом в ряд Фурье обеспечивает нам право ограничиться ис следованием полей вида (2) и (3). Вычисления, как обычно, упрощаются, если взять z k (u, v) ± iz (u, v) = ( k (u) i k (u))e±ikv = ±k (u)e±ikv. (4) k Стоящие в правой части члены представляют k-й и k-й члены ряда Фурье + k (u)eikv, z(u, v) = k= каждый член которого представляет изгибающее поле. Положим вектор, описывающий поверхность, x(u) = au + br(u) (5) и k (u) = ak (u) + bk (u) + ck (u). (6) Подставим в уравнения изгибания xu z u = xv z v = xu z v + xv z u = 0, (7) вместо x выражение (5) и вместо z k (u)eikv и получим, применяя соотношение (1), k (u) + r (u)k (u) = 0, (8) k (u) + ikk (u) = 0, (9) ikk (u) + r (u)[ikk (u) k (u)] + r(u)k (u) = 0. (10) О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЯХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Воспользовавшись уравнением (9), можно исключить k (u) и получить k (u) = ikr (u)k (u), (11) ikk (u) + (k 1)r (u)k (u) + r(u)k (u) = 0. (12) В случаях k = 0, 1, 1 эти уравнения легко интегрируются, если r(u) = r (u) du, и можно убедиться, что соответствующие изгибающие поля будут представ лять движения поверхности и притом такие, что любое движение представ ляется их комбинацией. Поэтому собственно изгибания получаются при |k| 2 (см. [5]).

В полюсах скорость имеет определенное значение, а потому там должно быть k = k = k = 0 при |k| 2.

Для того чтобы судить о k и k на параболическом круге, примем за независимую переменную r, тогда уравнения (11), (12) перепишутся в форме u (r)k (r) = ikk (r), (11 ) iku (r)k (r) + (k 1)k (r) + rk (r) = 0. (12 ) Если изгибающее поле удовлетворяет условию Липшица, то k (r) должна быть конечна в окрестности параболического круга, а в случае выпуклого меридиана u (r) монотонно стремится к нулю при приближении к парабо лическому кругу. Отсюда и на основании уравнения (11 ) ясно, что k (r) стремится к нулю при приближении к этому кругу. Поэтому из уравнения (12 ) заключаем, что k = 0 на параболическом круге, если k 2 1 = 0.

Итак, мы получили, что на концах промежутка изменения u k (u) = при |k| 2.

Из (12) следует, что u ikk (u) + (k 2 1)r (u)k (u) k (u) = du, r(u) и так как r(u), k (u), k (u) непрерывны, а r (u) монотонна, то подынте гральное выражение при всяком u имеет определенные предельные значе ния слева и справа. (Исключение могут представлять только концы про межутка, где возможно r(u) = 0 и r (u) =.) Отсюда на основании из вестной теоремы мы заключаем, что k (u) имеет при всех u определенные А. Д. АЛЕКСАНДРОВ односторонние производные, которые везде удовлетворяют уравнению (12), если в нем под r (u) понимать соответствующую одностороннюю производ ную. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением, скажем, производ ных справа, и для них уравнение (12) будет иметь место всюду. По тем же соображениям то же относится и к уравнению (11).

Введя обозначение u) f (u) = f (u + f (u), можно при любом u и u 0 получить из (12) ik k (u) + (k 2 1)r (u) k (u) + (k 2 1)k (u + u) r (u) + + k (u) r(u) + r(u + u) k (u) = 0. (13) Из уравнения (11) следует, что k (u) = k (u) u + u = ikr (u)k (u) u + u. (14) Вместе с тем k (u) = k (u) u + u (15) и r(u) = r (u) u + u. (16) Подставляя (14)–(16) в (13) и приводя подобные члены, получим (k 2 1)k (u + u) r (u) + r(u + u) k (u) = u, (17) где = ik(k 2 1)r (u)k (u) стремится к нулю при u, стремящемся к нулю.

Так как меридиан выпуклый, то r (u) 0, r(u + u) 0, и, положив для определенности k (u) 0, получим, что при достаточно малых u u) 0 5).

k (u + Если r (u)/ u остается меньше некоторого отрицательного числа, то k (u)/ u 0. Если r (u)/ u стремится к нулю по мере приближения u к нулю по какому-нибудь закону, то и k (u)/ u стремится к нулю.

Следовательно, k (u) lim 0. (18) u u+ 5) Берем вещественную или мнимую часть.

О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЯХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Так как u 0 и речь идет о правой производной, то мы не получаем ничего о скачках k (u). Но пусть r (u) терпит разрыв в точке u0. (Из (12) ясно, что в точках непрерывности r (u) k (u) непрерывна.) Тогда, взяв уравнение (12) для правых производных в u0 и для левых в той же точке и вычитая второе из первого, получим для скачков r (u0 ) и k (u) (k 2 1)k (u0 ) r (u0 ) + r(u0 ) k (u0 ) = 0 (19) r (u0 ) 0, то, предполагая k (u0 ) 0, и так как k (u0 ) 0. (20) Поскольку левая производная является в данном случае предельным зна чением слева правой производной, то (20) показывает, что во всякой точ ке, где k (u) претерпевает скачок, величина скачка положительна, если k (u) 0. Отсюда и из (18) следует, что k (u) — неубывающая функция, если k (u) 0.

В левом конце промежутка изменения u k (u) = 0. Пусть где-нибудь в промежутке k (u) 0, тогда имеется такая точка u0, где k (u0 ) 0 и k (u0 ) 0. Так как k (u) не убывает, то k (u) k (u0 ), если u u0, и, следовательно, k (u) не может обращаться в нуль в правом конце промежут ка изменения u, что противоречит установленному выше. Таким образом, k (u) = 0 везде при |k| 2 и на основании (10) и (9) k (u) = k (u) = 0, т. е.

собственно изгибания невозможны.

Не останавливаясь подробно на доказательстве нежесткости выпуклых поверхностей вращения, являющихся замкнутыми множествами и отлич ных от поверхностей трех указанных выше типов, отметим только, что оно основано на следующих замечаниях:

1. Для того чтобы система линейных дифференциальных уравнений в разрешенной относительно производных форме имела решения с абсолютно интегрируемыми производными при любых начальных значениях, необхо димо и достаточно, чтобы коэффициенты системы были абсолютно инте грируемы. Эту лемму следует применить к уравнениям для k (u) и k (u), получающимся из (11) и (12).

2. Существование решений, обращающихся в нуль в полюсе или на па раболическом круге, можно доказать, если взять решения k (u) и k (u), не удовлетворяющие этому условию, и искать требуемые решения в том виде, в каком по известным формулам выражаются линейно независимые от них решения. Именно, если y = py + qz, z = ry + sz и y1, z1 — одна система решений, то другая получается в виде x x (p+s) dx q q e (p+s) dx (p+s) dx y2 = y1 2e dx, z2 = z1 2e dx +.

y1 y1 y 0 А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Любопытно отметить, что из этих замечаний следует возможность по строения ограниченного поля скоростей, удовлетворяющего уравнению dxdz = 0 на поверхностях с полюсом и одним параболическим кругом или с двумя такими кругами, если r(u)2 имеет конечный интеграл в промежутке, заключающем то значение u, которому соответствует один из параболиче ских кругов. Это, вообще говоря, возможно, хотя там r (u)2 =. (Напри мер, тогда, когда кривизна меридиана достаточно быстро обращается там в бесконечность.) Отсюда, однако, вовсе не следует изгибаемость такого рода поверхностей.

Пример того же обстоятельства представляют острия, получающиеся при вращении выпуклой дуги вокруг касательной в одном из ее концов. На та ких остриях можно задать непрерывное и ограниченное поле скоростей, удо влетворяющее уравнению dxdz = 0. Но по условию, установленному в § 2, если s — дуга параллельного круга, z 1 z M.

= s r v Если z(u, v) = [ak (u) + bk (u) + ck (u)]eikv, то из написанного неравен ства следует, что |k (u)| M r(u).

u Если r(u) — аналитическая функция, то, переходя к пределу при в уравнении (17), получим r (u) k (u) + (k 2 1) k (u) = 0.

r(u) Полагая в самом острие u = 0, получим r (u) a = 2 (1 + f (u)), r(u) u где f (u) — аналитическая функция, исчезающая при u = 0, a 1. Полагая, как обычно, k (u) = u an un, n= получим для уравнение ( 1) + (k 2 1)a = 0, О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЯХ ПОВЕРХНОСТЕЙ из которого видно, что при |k| 2 комплексно и вещественная часть его равна 1/2, так что k (u) убывает при u, стремящемся к нулю, как u.

Вместе с тем r(u) = u2 cn un, n= а потому при достаточно малых u получим |k (u)| M r(u), что противоречит установленному выше неравенству. Таким образом, рас смотренные острия представляют любопытный пример хотя и сколь угодно малых, но жестких поверхностей.

Статья поступила в редакцию 1.XII. ЛИТЕРАТУРА 1. Lebesgue H. Intgrale, longueur, aire // Annali di Mat. Ser. 3. 1902. T. 7. P. 231–359.

e 2. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. М.;

Л.: Гостехиздат, 1934.

3. Валле-Пуссен Ш. Ж. Курс анализа бесконечно малых. Т. 2. М.;

Л.: Гостехиздат, 1933.

4. Rademacher H. Uber partielle und totale Dierenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Vari ablen und uber die Transformation der Doppelintegrale. II // Math. Ann. 1920. Bd 81.

S. 52–63.

5. Cohn-Vossen St. Unstarre geschlossene Flchen // Math. Ann. 1929. Bd 102. S. 10–29.

a 6. Rembs E. Verbiegungen hherer Ordnung und ebene Flchenrinnen // Math. Zeitschr.

o a 1932. Bd 36. S. 110–121.

Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках (Представлено академиком И. М. Виноградовым) Известия Академии Наук СССР. Серия мат. 1937. № 4. С. 597– Дается элементарное доказательство теоремы Минковского о том, что выпук лый многогранник вполне определяется площадями и направлениями своих граней.

Кроме того, доказывается, что выпуклый многогранник также вполне определяет ся направлениями и периметрами своих граней.

Г. Минковский во вступлении к своей работе «Allgemeine Lehrstze uber a die konvexen Polyeder» [1] писал:

«Der vorliegende Aufsatz entstand bei Gelegenheit von Versuchen den folgenden Satz zu beweisen, den ich seit lngerer Zeit vermutete und dessen elementare Fas a sung nicht auf die Schwierigkeiten seiner Verizierung schliessen lsst: Wenn aus a einer endlichen Anzahl von lauter Krpern mit Mittelpunkt, die unter einander o nur in den Begrenzungen zusammenstossen, sich ein konvexer Krper aufbaut, o so hat dieser stets ebenfalls einer Mittelpunkt».

Г. Минковский получил эту теорему как следствие другой, более общей тео ремы, являющейся основным результатом его упомянутой работы о много гранниках:

Выпуклый многогранник однозначно, с точностью до параллельного пе реноса, определяется заданием направлений и площадей его граней. На правление грани означает здесь направление внешней нормали к ней.

Доказательство этой теоремы, данное Г. Минковским, основано на нера венстве Брунна, установление которого требовало далеко не элементарных и довольно сложных рассуждений. Это обстоятельство, отмеченное Г. Мин ковским в цитированной выше фразе, ставило его теорему в особое положе ние среди других результатов теории многогранников. Поэтому оставалась потребность в таком ее доказательстве, которое по своей элементарности вполне соответствовало бы ее формулировке.

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МИНКОВСКОГО В предлагаемой работе эта задача решается тем более неожиданным об разом, что, основываясь на результатах, уже давно известных в теории многогранников, мы элементарным путем доказываем даже более общую теорему, из которой теорема Минковского получается как частный случай, правда, только для трехмерных многогранников.

Связь теоремы Минковского с неравенством Брунна оказывается обрати мой: воспользовавшись теоремой Минковского, мы доказываем неравенство Брунна для выпуклых многогранников.

§ 1. Основные элементы применяемого метода В основании теории многогранников лежит известная теорема Эйлера.

Опираясь на некоторое ее расширение, О. Коши доказал другую замеча тельную топологическую теорему о многогранниках, которую он применил к доказательству теоремы о равенстве выпуклых многогранников, одинако во составленных из равных граней.

Теорема Коши, о которой идет речь, состоит в следующем: невозможно сопоставить каждому ребру выпуклого многогранника положительный или отрицательный знак, или нуль так, чтобы хоть одно ребро получило опреде ленный знак (а не нуль) и чтобы при обходе вокруг каждой грани, на ребрах которой не стоят сплошь нули, получалось не менее четырех перемен знака [2] 1).

Эта теорема и служит главной основой применяемого мною метода. Та ким образом, идея О. Коши еще раз обнаруживает свою силу как средство доказательств, а потому я буду говорить о ней как о «принципе Коши».

Другой важный элемент моих рассуждений представляет смешение вы пуклых многогранников или многоугольников. Эта операция, введенная Г. Брунном, состоит в следующем. Пусть имеются два выпуклых многогран ника H1 и H2 (или два выпуклых многоугольника в параллельных плоско стях). Соединим каждую точку одного из них (включая и внутренние точ ки) с каждой точкой другого прямолинейным отрезком и возьмем геометри ческое место середин этих отрезков. Оно будет выпуклым многогранником (или многоугольником, лежащим в плоскости, параллельной плоскостям смешиваемых многоугольников), который обозначается 1 (H1 + H2 ) [4, 5].

Основное свойство операции смешения, которое нам понадобится, состоит в том, что каждый элемент огранения — грань, ребро, вершина — много гранника 1 (H1 + H2 ) получается в результате смешения элементов огране 1) Сам О. Коши не дал, как известно, исчерпывающего доказательства этой теоремы.

Полное доказательство см., напр., [3, с. 39–40]. Теорема Коши формулируется обычно иначе: вместо обхода вокруг граней говорят об обходе вокруг вершин, что не составляет разницы, как это видно, если перейти от данного многогранника к дуальному.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ ния, лежащих на многогранниках H1 и H2 в параллельных опорных плоско стях. (Здесь и в дальнейшем параллельность опорных плоскостей, опорных прямых, граней и т. п. мы понимаем в смысле параллельности внешних нормалей к ним.) Грань на 1 (H1 + H2 ) может получаться от смешения па ры параллельных граней, от смешения грани с ребром или с вершиной либо от смешения пары непараллельных ребер, лежащих в параллельных опор ных плоскостях на H1 и H2. Ребро на 1 (H1 + H2 ) получается от смешения пары параллельных ребер или ребра и вершины, лежащих на H1 и H2 в параллельных опорных плоскостях.

При смешении многоугольников P1 и P2 получается многоугольник (P1 + P2 ), стороны которого суть полусуммы параллельных сторон много угольников P1 и P2. При этом если стороне одного из них не соответствует параллельная сторона на другом, то считается, что она есть, только имеет длину нуль. Это условие мы будем далее иметь в виду без специальных оговорок.

§ 2. Одна теорема о выпуклых многоугольниках Мы будем говорить, что многоугольник P1 помещается в многоуголь нике P2, если все точки P1 лежат в P2. Если, кроме того, хотя бы одна сторона P1 попадает внутрь P2, то будем говорить, что P1 помещается внут ри P2. При рассмотрении сторон двух многоугольников будем сравнивать только стороны с параллельными внешними нормалями (помня условие о сторонах нулевой длины), поэтому для краткости будем опускать указание на это. Наконец, будем еще говорить, что стороны l1, l2,..., ln больше сто рон l1, l2,..., ln, если l1 l1,..., ln ln и хотя бы для одной пары li li.

Теорема. Если два выпуклых многоугольника P1, P2 не могут быть по мещены один в другом путем параллельного переноса, то разности длин их сторон меняют знак не менее четырех раз при обходе вокруг любого из них.

Лемма А. Если у P1 все стороны, кроме одной l0, меньше, чем у P2, то P1 может быть параллельным переносом помещен внутри P2.

Возьмем на P1 и P2 соответственные вершины A1 и A2, через кото рые проходят опорные прямые с внешними нормалями, антипараллельными нормали к l0, и совместим P1 и P2 этими вершинами. Вершина A1 и сторона l0 разделяют на P1 две ломаные P1 и P1. Аналогично на P2 будут две лома ные P2 и P2. P1 не выходит из P2 через P2. Иначе, как легко усмотреть, на P1 была бы сторона большая, чем на P2. Таким образом, и P1 не выходит из P2 через P2. Поэтому P1 оказывается внутри P2.

Лемма В. Пусть у двух многоугольников P1 и P2 есть пара общих опор ных прямых, пересекающихся в точке O. Пусть P1 и P2 — части границ P и P2, обращенные выпуклостью в сторону O. Если какой-нибудь луч из O пересекает P1 раньше P2, то на P1 есть сторона меньшая, чем на P2.

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МИНКОВСКОГО Для доказательства будем подобно сжимать P2 к O. В тот момент, когда P2 окажется уже в области угла с вершиной O, ограниченной P1, но будет еще соприкасаться с P1, любая их общая сторона будет на P2 не меньше, чем на P1. Этим лемма доказана.

Пусть теперь P1 и P2 — многоугольники, удовлетворяющие условиям тео ремы. Если все стороны на P1 меньше, чем на P2, то P1 можно поместить в P2. Поэтому разности длин их сторон меняют знак не менее двух раз.

Допустим, что имеются всего две перемены знака. Можно, конечно, пред положить, при заданном направлении отсчета углов, что углы между нор малями к крайним сторонам, большим на P1, чем на P2, меньше (иначе переменим номера у многоугольников). Разобьем границы P1 и P2 на части P1, P1 и P2, P2 такие, что стороны на P1 меньше, чем на P2, а на P1 и P наоборот.

Из леммы А следует, что P1 можно поместить внутри P2. Однако по условию теоремы P1 будет выходить из P2. Возьмем на P1 точку, где есть опорная прямая, не пересекающая P2. Двигая эту точку по P1 и поворачи вая вместе с тем опорную прямую сперва в одну, а потом в другую сторону, мы получим пару общих опорных прямых a и b к P1 и P2, касающихся P1 в точках, принадлежащих P1.

Так как угол между нормалями к крайним сторонам на P1 меньше, то P1 обращено выпуклостью к точке пересечения O прямых a и b. Точки касания опорных прямых a и b к P2 лежат от O дальше, чем точки их касания к P1. Вместе с тем эти точки касания принадлежат P2. (Это, как легко усмотреть, следует из того, что стороны P1 и P2 параллельны и P лежит внутри P2.) Отсюда, по лемме В, на P2 есть стороны больше, чем на P1. Теорема доказана.

Замечание. Наша теорема вместе с ее доказательством, очевидно, обоб щается на произвольные замкнутые выпуклые кривые. Возьмем такую кри вую P и на единичной окружности E дугу. Пусть l() — длина дуги на P, состоящей из всех тех точек, через которые проходят опорные прямые с внешними нормалями, направленными в, если они проведены из центра E. Обобщение нашей теоремы гласит:

Если две замкнутые выпуклые кривые P1 и P2 не могут быть помещены одна в другой параллельными переносами, то единичная окружность раз бивается минимум на четыре такие дуги k, что l1 (k ) l2 (k ) меняет знак при переходе от одной дуги к соседней (l1 (k ) — длина дуги P1, l2 (k ) — длина дуги P2 ).

В случае дважды дифференцируемых кривых l() есть интеграл от ради уса кривизны по d. Поэтому из указанной теоремы сразу следует известная «теорема о четырех вершинах» (Vierscheitelsatz).

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ § 3. Доказательство теоремы Минковского Теорема. Если у двух выпуклых многогранников грани одного соответ ствует грань другого с параллельной внешней нормалью и обратно, и если их соответственные грани не могут быть помещены одна внутри другой па раллельными переносами, то многогранники равны и параллельно располо жены. (Здесь можно даже считать, что если на одном из многогранников нет грани с той же внешней нормалью, что и на другом, то она есть, но вырождается в ребро, лежащее в соответствующей опорной плоскости.) Пусть H1 и H2 два многогранника, удовлетворяющие условиям теоремы.

Построим многогранник H = (H1 + H2 ).

Каждое ребро многогранника H возникает или в результате смешения пары параллельных ребер, лежащих в параллельных опорных плоскостях на H1 и H2, или в результате смешения ребра одного из многогранников H1 и H2 с вершиной другого, причем смешивающиеся ребро и вершина лежат в параллельных опорных плоскостях. Во втором случае можно также считать, что ребро на H возникает при смешении ребер на H1 и H2, но только одно из них имеет длину нуль. При этом условии можно сказать, что каждому ребру многогранника H соответствует по ребру на H1 и H2, результатом смешения которых оно является.

Отнесем каждому ребру многогранника H знак плюс или минус, в зави симости от того, длиннее или короче соответствующее ребро на H1, чем на H2 ;

в случае же равенства этих ребер относим ребру на H нуль. (Помним условие о ребрах длины нуль.) Докажем, что при обходе вокруг каждой грани многогранника H, хоть одно ребро которой снабжено знаком, мы должны получить не менее четы рех перемен знака.

Грани многогранника H будут двух родов. Грани первого рода получа ются при смешении параллельных граней многогранников H1 и H2, второ го — при смешении пар непараллельных ребер, лежащих в параллельных опорных плоскостях на H1 и H2. (Другие возможности исключены из-за попарной параллельности граней H1 и H2.) Так как параллельные грани многогранников H1 и H2 имеют равные площади, то по теореме § 2 мы заключаем, что при обходе вокруг каждой грани первого рода будет не менее четырех перемен знака, если хоть одно ее ребро снабжено знаком.

Каждая грань P второго рода, как результат смешения двух непарал лельных ребер, является параллелограммом. Пусть L1 ребро на H1 и L ребро на H2, дающие при смешении такую грань P. В плоскости, опорной ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МИНКОВСКОГО к H2 и параллельной плоскости грани P, нет ребра, параллельного L1, ина че там имелась бы целая грань, потому что там уже есть ребро L2. Ребро L1 смешивается с двумя вершинами, являющимися концами ребра L2, и да ет две противоположные стороны параллелограмма P. То же относится к ребру L2. Отсюда видно, что при обходе вокруг каждой грани второго рода мы имеем ровно четыре перемены знака.

Теперь, воспользовавшись принципом Коши, мы убеждаемся в том, что всем ребрам многогранника H должен соответствовать нуль. Это значит, что параллельные грани многогранников H1 и H2 равны, а потому сами эти многогранники также равны и параллельно расположены.

Если у многогранников H1 и H2 соответственно параллельные грани име ют равные площади, то они не могут быть помещены одна в другую. Поэто му теорема Минковского есть частный случай нашей теоремы. Точно так же получается, например, следующая теорема.

Если каждой грани одного выпуклого многогранника соответствует грань другого с параллельной внешней нормалью и с тем же периметром и обратно, то такие многогранники равны и параллельно расположены.

§ 4. Жесткость выпуклого многогранника при стационарности направлений и площадей его граней Возьмем в плоскости начало и проведем из него n лучей так, чтобы они не были направлены в одну полуплоскость. Прямые, перпендикулярные этим лучам и пересекающие их, ограничат выпуклый многоугольник. Мы назовем эти прямые ограничивающими этот многоугольник.

Лемма. Если прямые, ограничивающие данный многоугольник, пре терпевают бесконечно малые смещения так, что площадь многоугольника стационарна (т. е. не изменяется с точностью до величин второго поряд ка малости), то изменения длин его сторон не менее четырех раз меняют знак при обходе вокруг него, если только получающаяся деформация много угольника не сводится к бесконечно малому переносу. При этом считается, что если на многоугольнике возникает новая сторона, то она удлиняется.

Новая сторона может возникнуть, если какая-нибудь из ограничивающих прямых соприкасалась с исходным многоугольником в вершине, но не по стороне.

Пусть dli (i = 1,..., n) — изменения длин сторон многоугольника. Допу стим, что dli только дважды меняют знак при обходе вокруг многоугольни ка. Пусть вершины A1 и A2 разделяют удлиняющиеся стороны от укорачи вающихся. Возьмем начало на пересечении двух опорных прямых, прохо дящих через эти вершины. Тогда опорные числа многоугольника hi меняют знак при переходе через A1 и A2, а произведения hi dli вовсе не меняют А. Д. АЛЕКСАНДРОВ знака. Поэтому n hi dli (1) i= равна нулю только тогда, когда все dli равны нулю. Но сумма (1) есть диф ференциал площади многоугольника и, следовательно, по условию равна нулю 2). Поэтому или все dli = 0 и многоугольник не деформируется, а лишь смещается, или dli меняют знак более 2, а значит не менее 4 раз.

Теорема. Если плоскости граней выпуклого многогранника испыты вают бесконечно малые смещения, так что площади граней стационарны, то сам многогранник претерпевает только бесконечно малое параллельное смещение.

Прямые, получающиеся в пересечении плоскости данной грани P с плос костями других граней, являются ограничивающими для грани P. При бес конечно малых смещениях граней они также смещаются, и если при этом грань P не испытывает просто параллельный перенос и площадь ее стацио нарна, то по предыдущей лемме изменения длин ее ребер не менее четырех раз меняют знак при обходе вокруг нее. (Условие о вновь возникающих ребрах то же, что и в лемме.) Если отнести удлиняющемуся ребру знак плюс, укорачивающемуся — минус, а неизменяющемуся — нуль, то по принципу Коши всем ребрам дол жен быть отнесен нуль. Это значит, что длины всех ребер стационарны и, следовательно, многогранник испытывает только бесконечно малый парал лельный перенос.

Доказанная таким образом теорема также относится к теореме Минков ского, как теорема о жесткости выпуклого многогранника при неизменности его граней относится к теореме Коши о равенстве выпуклых многогранни ков, одинаково составленных из равных граней 3).

§ 5. Неравенство Брунна — Минковского для выпуклых многогранников Пусть H и L — два выпуклых многогранника. Соединив каждую точку одного из них с каждой точкой другого прямолинейным отрезком и взяв геометрическое место точек, делящих эти отрезки в отношении : (1 ) (0 1), получим выпуклый многогранник K = (1 )H + L.

n n n 2) Площадь многоугольника S = 1 1 i=1 hi li ;

dS = 2 i=1 hi dli + 2 i=1 li dhi. Вместе n с тем dS = li dhi, так как li dhi есть площадь, зачерчиваемая i-й стороной при i= смещении dhi. Отсюда dS = n hi dli.

i= 3) Соответствующая теорема о жесткости многогранника при стационарности перимет ров и направлений его граней не отличается от теоремы, сформулированной в конце § 3, так как изменения периметров зависят от смещений граней линейно, почему условие их стационарности равносильно их точной неизменности.

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МИНКОВСКОГО Как показал Г. Минковский, объем этого многогранника равен V (K ) = (1 )3 V (H, H, H) + 3(1 )2 V (H, H, L) + + 3(1 ) 2 V (H, L, L) + 3 V (L, L, L), (1) где V (H, H, H) и V (L, L, L) — объемы H и L, а V (H, H, L) и V (H, L, L) — их так называемые смешанные объемы, равные V (H, H, L) = Li Fi (H), (2) V (H, L, L) = Hi Fi (L). (3) Здесь Li — расстояние от начала до опорной плоскости к L, параллельной плоскости i-й грани многогранника H, площадь которой есть Fi (H).

Аналогичный смысл имеют Hi и Fi (L).

Если мы покажем, что имеют место два неравенства Минковского:

V (H, H, L)3 V (H, H, H)2 V (L, L, L), (4) V (H, L, L)3 V (H, H, H) V (L, L, L)2, где знаки равенства стоят только при гомотетичности H и L, то тем самым, как сразу видно из (1), будет доказано, что если объемы H и L равны, то объем K не меньше объема каждого из них и равен ему только тогда, когда H и L равны и параллельно расположены. А это и есть неравенство Брунна с дополнением Г. Минковского.

Пусть H — заданный выпуклый многогранник и L — переменный много гранник, имеющий, однако, только грани, параллельные граням H. Пусть L1,..., Li,..., Ln — опорные числа L, т. е. расстояние плоскостей его граней от начала. Они, конечно, его вполне определяют.

Рассмотрим функцию опорных чисел Li V (H, H, L).

(L) = (5) V (L, L, L) Это — однородная функция нулевой степени в силу (2). Поэтому она одина кова для всех гомотетичных друг другу многогранников L, так что ее доста точно рассматривать для многогранников, имеющих один и тот же объем.

Если i-е опорное число L неограниченно растет, то в силу формулы (2) V (H, H, L) также неограниченно растет, а по условию V (L, L, L) остается постоянным. Отсюда следует, что (L) достигает минимума для конечного многогранника L.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Минимум (L) не может достигаться для таких многогранников L, у ко торых хоть одна грань вырождается в ребро или вершину. Пусть i-я грань вырождается таким образом. Сдвинем ее плоскость внутрь многогранника L на маленький отрезок Li. Изменение объема V (L, L, L) будет порядка Li Fi (L), где Fi (L) — площадь возникшей при этом грани. Поэтому объем уменьшается на величину не ниже второго порядка малости. А между тем уменьшение V (H, H, L) будет равно Li Fi (H) (как видно из (2)) и, следова тельно, будет первого порядка малости. Отсюда видно, что при проделан ном сдвиге плоскости исчезающей грани (L) убывает.

Следовательно, минимум (L) достигается для многогранника L, име ющего все невырождающиеся грани, параллельные граням H. Поэтому в точке минимума (L) имеет частные производные по всем опорным числам Li и все они должны равняться нулю. Как известно, V (L, L, L) = Fi (L), (6) Li а по формуле (2) V (H, H, L) = Fi (H). (7) Li (L) Вычисляя производные и приравнивая их нулю, получим Li Fi (L) = Fi (H) (i = 1,..., n), (8) где V (L, L, L) =. (9) V (H, H, L) Равенства (8) означают, что площади параллельных граней многогранни ков H и L пропорциональны. Поэтому, на основании теоремы Минковского, многогранники H и L гомотетичны. В этом случае V (H, H, L) = V (H, H, H)2, (L) = V (L, L, L) а так как это есть минимум (L), то V (H, H, L)3 V (H, H, H)2 V (L, L, L).

Это неравенство доказано нами пока только для случая, когда много гранник L имеет те же грани, что и многогранник H.

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ МИНКОВСКОГО Если взять два любых многогранника H и L, то при всяком (0 1) многогранники (1 )H + L и H + (1 )L будут иметь соответственно параллельные грани. Поэтому для таких многогранников неравенства (4) справедливы. Но они перейдут в те же неравенства для самих H и L, если устремить к нулю.

Если в неравенствах (4) стоит знак равенства, то, как видно из формулы (1), при равенстве объемов H и L все многогранники K имеют тот же объем. При 1 2 многогранник 2 K = K1 + K 2 1 2 и его объем равен объемам K1 и K2. Эти последние имеют соответствен но параллельные грани, а значит, должны быть гомотетичными. Отсюда следует, что и многогранники H и L должны быть гомотетичными.

Статья поступила в редакцию 28.IV. ЛИТЕРАТУРА 1. Minkowski H. Allgemeine Lehrztze uber die konvexen Polyeder // Gtt. Nachr. 1897.

a o S. 198–219. (Русский перевод: Минковский Г. Общие теоремы о выпуклых многогран никах // Успехи мат. наук. 1936. Вып. 2. С. 55–71.) 2. Cauchy A. Sur les polygones et les poly`dres. Second mmoire // J. Ecole Polytchnique.

e e e 1813. T. 9. P. 87–98.

3. Кон-Фоссен С. Э. Изгибаемость поверхностей в целом // Успехи мат. наук. 1936.

Вып. 1. С. 33–76.

4. Minkowski H. Theorie der konvexen Krper, insbesondere Begr ndung ihres Oberchen o u a begris // Gesammelte Abhandlungen. Leipzig;

Berlin: Teubner, 1911. Bd 2. S. 131–229.

5. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Krper. Berlin: Springer, 1934. (Русский o перевод: Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002.) К теории смешанных объемов выпуклых тел. I:

Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел 1) Математический сборник. 1937. Т. 2, № 5. С. 947– Обзор содержания В настоящей работе мы будем заниматься выпуклыми телами в n-мерном евклидовом пространстве, n всегда будет обозначать число измерений про странства.

Выпуклым телом называется замкнутое ограниченное множество, содер жащее вместе с любой парой своих точек и весь соединяющий их отрезок.

Согласно этому определению, выпуклое тело может и не иметь внутренних точек;

в этом случае мы будем говорить, что оно вырождается.

Г. Брунн и вслед за ним Г. Минковский ввели в теорию выпуклых тел операцию смешения, определяемую следующим образом.

Пусть H1,..., Hm — выпуклые тела и 1,..., m — неотрицательные чис ла. Выберем начало координат и будем проводить из него в точки тел H1,..., Hm векторы x1,..., xm. Когда концы этих векторов независимо друг от друга зачерчивают каждый свое выпуклое тело, то конец векто ра 1 x1 +... + m xm опишет некоторое множество точек. Легко доказать, что оно будет выпуклым телом. Это записывается так:

H = 1 H1 +... + m Hm.

Если числа 1,..., m изменяются, оставаясь неотрицательными, то тело H также изменяется;

при этом, как показал Г. Минковский, его объем будет однородным многочленом степени n относительно переменных 1,..., m :

V (H) = k1... kn Vk1,...,kn, k1,...,kn 1) Подзаголовок добавлен в настоящем издании. — Прим. ред.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I где сумма берется по всем индексам k1,..., kn, пробегающим независимо все значения от 1 до m. Коэффициенты Vk1,...,kn определяются при этом так, чтобы они не зависели от порядка индексов. Полагая все равными нулю, кроме входящих в данное произведение k1... kn, убеждаемся, что Vk1,...,kn зависит только от тел Hk1,..., Hkn. Поэтому естественно записы вать его в виде V (Hk1,..., Hkn ). Эти коэффициенты называются смешан ными объемами. Из указанного ясно, что, вообще говоря, смешанный объем выпуклых тел в n-мерном пространстве зависит от n тел. Таким образом, определен функционал, зависящий от n выпуклых тел, — их смешанный объем V (H1,..., Hn ).

В дальнейшем мы будем предполагать известными основные свойства выпуклых тел и их смешанных объемов и не будем каждый раз оговаривать, где было дано Г. Минковским их доказательство [1, 2].

Исходя из неравенства Брунна, Г. Минковский вывел ряд неравенств между смешанными объемами и показал, что они дают решение некото рых экстремальных задач о выпуклых телах. Кроме того, Г. Минковский, основываясь на том же неравенстве Брунна, доказал единственность выпук лого многогранника с заданными площадями граней и нормалями к ним, а также единственность выпуклого тела с заданной как функция внешней нормали гауссовой кривизной его поверхности [3–5]. Тем самым Г. Минков ский указал новый сильный метод исследования в теории выпуклых тел.

Интересно, например, отметить, что доказательство жесткости выпуклых многогранников и регулярных замкнутых выпуклых поверхностей, данное Вейлем, основано на применении результатов, относящихся к смешанным объемам. Естественно выделить круг вопросов, связанных с понятиями и методами Минковского, как теорию смешанных объемов выпуклых тел.

Настоящая работа ставит своей целью дальнейшее развитие этой теории.

Она разбита мною на четыре части, первая из которых следует ниже, а три остальные появятся в последующих номерах Математического сборни ка. Содержание этих частей сводится, в общих чертах, к следующему.

Часть I. Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел До сих пор многие теоремы о выпуклых телах доказывались или для мно гогранников, или для тел с достаточно регулярной поверхностью. Однако и, так сказать, более «скверные» выпуклые тела заслуживают внимания.

Поэтому представляется рациональным так видоизменить и расширить по нятия о гауссовой кривизне и о функции кривизны вообще (Kr mmungs u funktion — элементарно-симметрическая функция главных радиусов кри визны), чтобы они годились не только для регулярных, но и для любых выпуклых тел.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Это и является основной целью первой части работы. Результаты двух следующих частей доказываются и формулируются во введенных общих понятиях, благодаря чему они простираются на любые выпуклые тела.

Часть II. Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения Здесь доказывается неравенство между смешанными объемами V (H1,..., Hn )2 V (H1,..., Hn1, Hn1 ) V (H1,..., Hn2, Hn, Hn ).

Исходя из него получается ряд дальнейших неравенств. Для смешанных объемов V (H,..., H, E,..., E) = Vm (H), m где E — единичный шар, получается теорема, аналогичная теореме Брунна — Минковского.

Если H = (1 )H0 + H1 (0 1), то (1 ) m Vm (H0 ) + m Vm (H1 ), m Vm (H ) () причем для тел H0 и H1, имеющих внутренние точки, знак равенства стоит здесь тогда и только тогда, когда H0 и H1 гомотетичны.

Vm (H) есть с точностью до множителя среднее всех проекций тела H на m-мерные плоскости;

Vn1 (H) есть деленная на n площадь поверхности тела H.

Доказывается единственность выпуклого тела с заданной любой функцией кривизны и, наконец, устанавливаются новые экстремальные свой ства шара, непосредственно вытекающие из неравенства ().

Часть III. Распространение двух теорем Минковского о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела Эта часть непосредственно примыкает к работе Г. Минковского «Общие теоремы о выпуклых многогранниках» [5].

Воспользовавшись результатами части I, удается обобщить прежде всего теорему о существовании многогранника с заданными нормалями и площа дями граней, непосредственно перенося рассуждения Г. Минковского в про странство непрерывных функций. В результате получается возможность ре ализовать любую абсолютно аддитивную неотрицательную функцию мно жеств на поверхности шара посредством выпуклой поверхности. Помимо этого получаются и некоторые другие результаты.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I Часть IV. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы Устанавливаются некоторые свойства инвариантов пучка квадратичных форм, которые мы называем смешанными дискриминантами;

в частности, в случае положительных форм доказываются неравенства, совершенно анало гичные неравенствам между смешанными объемами. Эти результаты при лагаются к задачам теории выпуклых тел.

I. РАСШИРЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ § 1. О площади выпуклых поверхностей Выпуклой поверхностью называется кусок границы или, как мы будем говорить, поверхности выпуклого тела. Если выпуклое тело, о котором идет речь, не имеет внутренних точек, то оно вырождается в плоскую область.

В этом случае вопрос о площади любого куска его поверхности решается так же, как для плоских областей. Поэтому мы отбросим этот случай как тривиальный и ограничимся рассмотрением кусков поверхностей выпуклых тел с внутренними точками.

Пусть H — данное выпуклое тело с внутренними точками. Возьмем на чало O внутри тела H и опишем вокруг него единичный шар E. Каждый луч, исходящий из O, протыкает поверхность E, а также поверхность H в одной точке. Таким образом, между точками поверхностей E и H устанав ливается взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. Это соответствие мы назовем «радиальным, с началом O». (Точно так же мож но установить радиальное соответствие между поверхностями любых вы пуклых тел, содержащих начало внутри. При этом между множествами на поверхностях этих тел также устанавливается радиальное соответствие или, как мы еще будем говорить, множество 1 на поверхности H1 радиаль но отображается на множество 2 на поверхности H2.) Построим последовательность выпуклых многогранников H1, H2,..., со держащих H (а следовательно, и начало) и сходящихся к H. Пусть — множество точек поверхности тела H;

пусть — множество точек на E, радиально соответствующее, и пусть 1, 2,... — множества точек на H1, H2,..., также радиально соответствующие, а значит, и 2). Площадь, или, что то же, меру множества, мы определим как предел площадей 1, 2,..., которые имеют смысл, если множества 1, 2,... не «слишком скверные», а при развертывании многогранников H1, H2,... на плоскость дают измеримые множества.

2) Здесь и в дальнейшем выражение «на H» значит «на поверхности H».

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Пусть R, R1, R2,... — расстояния точек поверхностей H, H1, H2,... от начала. Пусть, 1, 2,... — углы между радиусами, идущими из начала в точки поверхностей H, H1, H2,..., и нормалями к опорным плоскостям тел H, H1, H2,... в этих точках. В силу радиального соответствия между E, с одной стороны, и H, H1, H2,... — с другой, указанные величины будут функциями точки на единичном шаре E. Обычным путем нетрудно, ко нечно, убедиться в том, что площадь F (k ) многогранной поверхности k, радиально соответствующей области на E, может быть выражена следу ющим образом:

n Rk F (k ) = d, (1) cos k где d, так же как и всюду далее, — элемент поверхности единичного шара.

Если принять стоящий в (1) интеграл за меру множества k и в том случае, когда — любое измеримое множество, то определенная таким образом мера будет обладать всеми требуемыми от этого понятия свойства ми. Кроме того, она, конечно, совпадает с мерой развертки множества k на плоскость. Нам нужно путем предельного перехода распространить это понятие меры, или площади F (), на множества на поверхности любого выпуклого тела.

Здесь, как и на протяжении всей работы, мы будем обозначать точку тем же символом x, что и вектор, проведенный в нее из начала. Мы будем говорить, что в точке x на теле H есть нормаль n к телу H, если через x проходит плоскость, опорная к H с внешней нормалью n.

Лемма I. Пусть последовательность выпуклых тел H1, H2,... сходится к H и пусть x1, x2,... — сходящаяся последовательность точек, лежащих на поверхностях H1, H2,.... Предельная точка x этой последовательности лежит на поверхности H. Пусть n1, n2,... — последовательность нормалей к H1, H2,... в точках x1, x2,.... Всякая сходящаяся подпоследовательность из этой последовательности сходится к нормали к H в точке x.

Пусть последовательность nk1, nk2,... сходится к n. Пусть P1, P2,... — опорные плоскости к Hk1, Hk2,... в точках xk1, xk2,... с нормалями nk1, nk2,.... Они сходятся к плоскости P, проходящей через точку x и име ющей нормаль n. Так как Hk лежит по одну сторону от P, то и предельное тело H лежит по ту же сторону от предельной плоскости P. Следовательно, плоскость P — опорная для тела H и проходит через его точку x. Отсюда следует наше утверждение.

Лемма II. Множеству тех точек на H, в которых есть более одной нор мали (т. е. таких, где нет касательной плоскости), радиально соответствует множество меры нуль на E.

Доказательство этой известной леммы мы опускаем (см. [6]).

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I Из этих двух лемм сразу следует, что введенные нами выше углы 1, 2,... сходятся к почти везде на E. Если все тела H1, H2,... заключаются в шаре радиуса A и содержат шар радиуса a, оба с центрами в начале, то n An Rk.

cos k a Следовательно, подынтегральные функции в формуле (1) равномерно огра ничены и почти везде на E сходятся к Rn1 / cos. Поэтому при любом измеримом существует предел интегралов в формуле (1), а значит, и пре дел площадей F (k ), который и принимается за площадь F () множества на H, радиально соответствующего.

Так как каждому замкнутому (открытому) множеству на H радиально соответствует замкнутое (открытое) множество на E, то, в частности, всякое замкнутое (открытое) множество на выпуклом теле имеет площадь (меру).

На основании этих результатов можно утверждать следующее.

Лемма III. Вся теория меры и измеримых функций на шаре может быть перенесена на любые выпуклые тела. Конкретно это может быть произведе но посредством радиального отображения поверхности шара на поверхность данного выпуклого тела.

Благодаря этому за основное тело (Eichkrper) может быть принят не o единичный шар, а любое выпуклое тело.

Пусть H1 и H2 — выпуклые тела, а 1 и 2 — радиально соответствующие друг другу измеримые множества на их поверхностях.

n Rk F (k ) = d (k = 1, 2). (1) cos k n Так как почти везде Rk / cos k является производной от своего неопреде ленного интеграла, то n R2 cos F (2 ) = dF (1 ). (2) n R1 cos Лемма IV. Если последовательность выпуклых тел H1, H2,... сходится к H и 1, 2,... — измеримые множества на H1, H2,..., радиально соответ ствующие множеству на H, то F () = lim F (k ).

k Эта лемма есть непосредственное следствие того, что из сходимости по n чти везде функций Rk / cos k следует сходимость их интегралов.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ § 2. Поверхностная функция выпуклого тела Пусть на поверхности единичного шара E задано множество. Обозна чим через () множество всех тех точек поверхности заданного выпуклого тела H, в которых есть нормали n такие, что, будучи отложены из цен тра E, они оказываются направленными в. Про так определенное множе ство () будем говорить, что оно сферически отображается на. Всем тем множествам, для которых () измеримы, будут соответствовать числа F (()), равные площадям (). Таким образом, мы определили некоторую функцию множества на единичном шаре, которую будем называть поверх ностной функцией тела H и обозначать F (H, ). Наша задача — выделить класс тех множеств, для которых поверхностная функция любого выпук лого тела оказывается определенной, и установить основные свойства этой функции 3).

Лемма I. Пусть x1, x2,... — последовательность точек поверхности вы пуклого тела H, сходящаяся к точке x. Пусть n1, n2,... — последователь ность нормалей к H в точках x1, x2,.... Всякая сходящаяся последователь ность из n1, n2,... сходится к нормали в точке x.

Можно представить себе, что тело H есть последовательность совпадаю щих друг с другом тел H1, H2,..., сходящихся к H. На теле H1 в точке x взята нормаль n1, на теле H2 в точке x2 — нормаль n2 и т. д. Таким образом, эта лемма сводится к лемме, доказанной в предыдущем параграфе.

Лемма II. Если замкнуто, то и () замкнуто.

Пусть x1, x2,... — последовательность точек, принадлежащих (), схо дящаяся к точке x. Нам нужно показать, что x также принадлежит ().

Возьмем в точках x1, x2,... нормали такие, что соответствующие им точ ки на E попадают в. Выделим из полученной последовательности норма лей сходящуюся подпоследовательность. Предел этой последовательности, по лемме I, есть нормаль в точке x, а по замкнутости ей соответствует на E точка, лежащая в. Следовательно, x принадлежит ().

В § 1 было показано, что всякое замкнутое множество на поверхности выпуклого тела измеримо. Поэтому при любом H поверхностная функция F (H, ) определена для всех замкнутых множеств.

Лемма III. Если 1 и 2 не имеют общих точек, то пересечение множеств (1 ) и (2 ) имеет меру нуль.

Пусть (1 ) и (2 ) имеют общие точки и пусть x — одна из таких точек.

(Если (1 ) и (2 ) не имеют общих точек, то утверждение, высказанное в лемме, тривиально.) Тогда в x есть нормаль n1, идущая в 1, и нормаль n2, идущая в 2 4). Следовательно, в x есть разные нормали. Но, по лемме II § 1, 3) О функциях множеств см., напр., [7, гл. VIII].

4) «Идущая в » значит: конец n попадает в, если n проведена из центра E.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I множество всех таких точек на H имеет меру нуль5). Поэтому и пересечение (1 ) (2 ) имеет меру нуль.

Лемма IV. (1 2 ) = (1 ) (2 ).

Действительно, если x принадлежит (1 ), то в ней есть нормаль, иду щая в 1, а значит, и в 1 2. То же верно и для точек (2 ). Если x принадлежит (1 2 ), то нормаль в ней, идущая в 1 2, идет или в 1, или в 2, а значит, x принадлежит или (1 ), или (2 ) (или обоим вместе).

Пусть — открытое множество и пусть означает полную поверхность \ замкнуто и не имеет с общих единичного шара E. Множество точек. Поэтому пересечение () ( \ ) имеет меру нуль. Кроме того, ( \ ) () = ( ). Множества () и ( ) измеримы как замкнутые.

(( ) есть просто вся поверхность H.) Поэтому множество ( \ ) также измеримо и F (()) = F (( )) F (( \ )).

Таким образом, функция F (H, ) оказывается определенной для всех от крытых множеств.

Пусть 1 и 2 — два множества без общих точек, для которых функция F (H, ) имеет смысл. Покажем, что тогда F (H, 1 2 ) также имеет смысл и F (H, 1 2 ) = F (H, 1 ) + F (H, 2 ). (1) Поскольку (1 ) и (2 ) измеримы, то и (1 ) (2 ) = (1 2 ) изме римо, и, следовательно, F (H, 1 2 ) имеет смысл. А так как пересечение (1 ) (2 ) имеет меру нуль (поскольку 1 и 2 не имеют общих точек), то мера их суммы равна сумме их мер. Отсюда и следует (1).

Лемма V. Если множества 1, 2,..., k,..., для которых определе на F (H, ), образуют исчезающую последовательность (т. е. k k+1 и k = ), то k= lim F (H, k ) = 0.

k Из того, что k k+1, следует (k ) (k+1 ). Если пересечение всех (k ) пусто, то предел их мер равен нулю. Пусть (k ) = не пусто, k= и пусть точка x. В точке x есть нормали n1, n2,... (необязательно различные), идущие в множества 1, 2,.... Все эти нормали не могут совпадать, так как тогда получающаяся таким образом нормаль шла бы во все k и пересечение их не было бы пустым. Значит, в точке x есть разные 5) Из формулы (1) § 1 ясно, что множеству меры нуль на E радиально соответствует множество меры нуль на H.


А. Д. АЛЕКСАНДРОВ нормали. Множество всех таких точек имеет меру нуль, а потому F () = 0.

Как известно, если (k ) (k+1 ), то lim F ((k )) = F (k ), k k= и так как F ((k )) = F (H, k ), то lim F (H, k ) = 0, что и требовалось k доказать.

Пусть k — множества без общих точек, F (H, ) определена для k и 0 = k.

k= Множества m (m) = 0 \ k k= lim F (H, (m) ) = 0.

образуют исчезающую последовательность, а значит, m m F (H, (m) ) = F (H, 0 ) F (H, k ), k= так что F (H, 0 ) = F (H, k ).

k= Полученный результат можно формулировать так.

Теорема. Поверхностная функция выпуклого тела есть неотрицатель ная абсолютно аддитивная функция множеств на поверхности единичного шара, определенная для объединений замкнутых и открытых множеств.

Если H — многогранник, то F (H, ) = 0 при условии, что в не идет ни одна из нормалей к его граням. Если же в идут нормали к граням с площадями F1, F2,..., Fm, то F (H, ) = F1 + F2 +... + Fm. Про такую функцию F (H, ) можно сказать, что она «дискретна». Пусть H имеет в каждой точке своей поверхности положительную гауссову кривизну K.

Тогда F (H, ) абсолютно непрерывна и ее производная в любой точке n на шаре F (H, ), lim = K(n) n mes () где K(n) — гауссова кривизна той точки поверхности H, нормаль в которой есть n.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I § 3. Выражение смешанного объема через поверхностную функцию Г. Минковский доказал, что смешанный объем любого выпуклого тела L и выпуклого многогранника H может быть выражен следующим образом:

N V (L, H,..., H) = L(n ) F, (1) n = где n — нормали к граням H, a F — их площади;

L(n) — опорная функция тела L 6).

Мы обобщим этот результат, доказав такую лемму.

Лемма I. Смешанный объем V (L, H,..., H) любых двух выпуклых тел L и H выражается формулой V (L, H,..., H) = L(n) F (H, d). (2) n Стоящий здесь интеграл есть интеграл Стилтьеса — Радона. Он имеет смысл, так как L(n) непрерывна, a F (H, ) абсолютно аддитивна.

Доказательство этой леммы проводится путем предельного перехода от многогранников к любому выпуклому телу H, как это обычно делается в подобных случаях. При этом, естественно, конечная сумма переходит в интеграл. Однако строгое проведение такого доказательства оказалось бы, пожалуй, слишком громоздким и скучным.

Если тело H вырождается и не имеет внутренних точек, то или F (H, )=0, когда оно менее чем (n 1)-мерное, и тогда V (L, H,..., H) = 0, или H — (n 1)-мерное, и если n и n — нормали к плоскости, в которой оно лежит, a F — его (n 1)-мерный объем, то V (L, H,..., H) = (L(n) + L(n)) F. (3) n Эта формула верна, если H — (n 1)-мерный многогранник.

Построим последовательность H1, H2,..., Hk,... таких многогранников, лежащих в той же плоскости, что и H, сходящихся к H. Тогда по непре рывной зависимости смешанных объемов от входящих в них тел получим, 6) L(n), H(n) будут обозначать опорные функции «на единичном шаре» тел L, H.

Опорная функция определяется по Г. Минковскому для всех векторов. Здесь же она берется только для единичных векторов n, т. е. для соответствующих точек на единичном шаре. L(n) есть расстояние от начала до опорной плоскости к телу L с внешней нормалью n. Оно считается положительным в направлении n и отрицательным в противоположном направлении.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ что V (L, Hk,..., Hk ) сходятся к V (L, H,..., H). С другой стороны, (n 1) мерные объемы многогранников Hk сходятся к (n 1)-мерному объему H.

Отсюда получаем формулу (3). То, что она является частным случаем (2), ясно, так как, если в идет n, но не идет n, или наоборот, то F (H, ) = F, а если в не идет ни n ни n, то F (H, ) = 0.

Положим теперь, что H имеет внутренние точки. Построим последова тельность выпуклых многогранников, заключающих H и сходящихся к H.

Возьмем 0 и выделим из построенной последовательности многогран ников такую подпоследовательность H1, H2,..., чтобы было при всех k |V (L, H,..., H) V (L, Hk,..., Hk )|. (4) Это возможно в силу непрерывности смешанных объемов 7).

Возьмем еще 0 столь малое, чтобы при |n1 n2 | было |L(n1 ) L(n2 )|, (5) 8A где A — верхняя граница площадей поверхностей H1, H2,..., Hk,....

Разобьем поверхность единичного шара на области 1,..., N такие, что если n1 и n2 идут в любую из этих областей, то |n1 n2 | (n1, n2 ). (6) Множествам 1,..., N соответствуют сферически на них отображенные множества 1,...,,..., N на поверхности H.

Возьмем начало внутри H, а значит, и внутри всех H1, H2,..., Hk,....

Установим между всеми этими телами радиальное соответствие. Множество на Hk, радиально соответствующее какому-нибудь множеству на H, обо значим k. Пусть — грани многогранника Hk ;

— множества 1,..., N k k k и — множества, радиально им соответствующие на Hk ;

наконец, — k k пересечение и.

Вспомним рассуждения § 1. Каждому направлению r радиусов, идущих из начала, соответствует по одной точке на телах H, H1, H2,.... Норма ли n, n1, n2,... в этих точках суть функции r, а значит, функции точки x 7) «Непрерывность смешанных объемов» есть краткое выражение того, что если тела (k) (k) H1,..., Hn сходятся соответственно к телам H1,..., Hn, то и их смешанный объем (k) (k) V (H1,..., Hn ) сходится к смешанному объему предельных тел.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I на H. При этом n1, n2,... почти везде на H сходятся к n. Поэтому по теореме Егорова можно на поверхности H выделить совершенное множе ство, отличающееся по мере от всей поверхности H не более чем на любое заданное 0, и такое, что на нем n1, n2,... сходятся к n равномерно.

n Rk cos (обозначения § 1), тогда Пусть C — верхняя граница для всех n R cos k по формуле (2) § 1 мера множества, радиально соответствующего на Hk, будет при всех k меньше чем на C отличаться от площади всей поверхности Hk. Возьмем =.

8C max |L(n)| Пересечения всех введенных выше множеств с или с радиально соответ ствующими ему множествами на Hk будем отмечать черточкой сверху. В силу выбора все множества с черточками отличаются по мере от множеств без черточек не более чем на C =.

8 max |L(n)| Теперь приступим к оценкам. В силу выбора размеров областей 1,..., N, 1 L(n) F (H, d) L(n ) F ( ), (7) n n где n идет в и F ( ) — мера, равная F (H, ).

В силу выбора множества, |F ( ) F ( )|, 8 max |L(n)| поэтому 1 L(n ) F ( ) L(n ) F ( ) (8) n n и 1 L(n) F (H, d) L(n ) F ( ). (9) n n Так как по формуле (1) L nk F k V (L, Hk,..., Hk ) = (10) n А. Д. АЛЕКСАНДРОВ и в силу выбора множества F F k k, 8 max |L(n)| то V (L, Hk,..., Hk ) L nk F k ;

(11) n или, так как k = k, то V (L, Hk,..., Hk ) L nk F k. (12) n, В силу равномерной сходимости nk (x) к n(x) на найдется такое m, что при всяком k m и при всякой x, принадлежащей, будет ( имеет смысл формулы (5)) nk (x) n(x). (13) В частности, нормаль к грани Hk nk будет отличаться не более чем на / от нормали n в соответствующей точке на H. Если эта точка принадлежит, то по выбору областей 8) |n n | /2 и так как n nk, то nk n, (14) если точка с нормалью nk принадлежит k, а n идет в. Следовательно, при этом условии L nk L (n ). (15) 8A Благодаря этому при k m получаем 1 L nk F k L (n ) F k. (16) n n,, 8) не содержит тех точек, где есть более одной нормали. Поэтому, если x, то в x есть только одна нормаль, и она идет в.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I Суммируя во втором члене по и принимая во внимание неравенство (12), получим (так как k = k ) V (L, Hk,..., Hk ) L(n ) F ( ). (17) n Теперь, соединяя неравенства (9) и (17), получим V (L, Hk,..., Hk ) L(n) F (H, d). (18) n Наконец, обратившись к неравенству (4), получим из (18) V (L, H,..., H) L(n) F (H, d), (19) n и так как произвольно, то формула (2) доказана. Если в формуле (2) положить L = H, то V (L, H,..., H) будет объемом тела H, так что объем выпуклого тела может быть выражен формулой V (H) = H(n) F (H, d). (20) n Лемма II. Поверхностная функция выпуклого тела удовлетворяет усло вию n F (H, d) = 0. (21) (Интеграл от вектора, как всегда, есть вектор, составляющие которого суть интегралы составляющих.) Формула (21) имеет следующий наглядный смысл. Представим себе по верхность единичного шара, нагруженную массами так, что масса области равна F (H, ). Тогда формула (21) означает, что центр тяжести такой системы лежит в центре шара.

Если тело H параллельно переносится вдоль вектора a, то к его опорной функции на единичном шаре прибавляется слагаемое (a n). Объем тела не изменяется при параллельном переносе, а потому при всяком a (a n) F (H, d) = 0, (22) откуда и следует (21).

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Лемма III. Площадь проекции 9) выпуклого тела H в направлении n равна |n0 n| F (H, d). (23) |n0 n| есть абсолютная величина косинуса угла между n0 и n.

Эта формула известна и доказывается элементарно, если H — много гранник. Тогда интеграл сводится к сумме членов, каждый из которых представляет площадь проекции грани H в направлении n0.

Легко также убедиться в том известном факте, что |n0 n|/2 есть опорная функция (на единичном шаре) единичного отрезка L с серединой в начале и параллельного n0. Поэтому интеграл, стоящий в (23), равен умноженному на n смешанному объему V (L, H,..., H). Если теперь построить последова тельность многогранников, сходящихся к H, то, с одной стороны, площади их проекций будут сходиться к площади проекции H в том же направлении, а с другой — смешанные объемы их с L будут сходиться к V (L, H,..., H).


Таким образом в пределе получим (23).

Если H имеет внутренние точки, то существует шар, помещающийся в H.

Поэтому площади всех проекций H будут ограничены снизу площадью про екции этого шара. Из этого замечания следует Лемма IV. Поверхностная функция выпуклого тела с внутренними точ ками удовлетворяет условию: при всяком n |n0 n| F (H, d) a 0, (24) где a — одна и та же постоянная для всех n0.

§ 4. Определение смешанных поверхностных функций Пусть H1, H2,..., Hn1 — данные выпуклые тела и L — переменное вы пуклое тело. Смешанный объем V (L, H1,..., Hn1 ) есть аддитивный и непре рывный функционал, определенный в области всех выпуклых тел, или, что то же самое, в области всех положительно-однородных выпуклых функций L(u) 10). Действительно, V (L, H1,..., Hn1 ) зависит от L непрерывно и при 9) Проекция в направлении n — это ортогональная проекция на плоскость с норма лью n. — Прим. ред.

10) Как, собственно говоря, показал еще Г. Минковский [2, § 2], для того чтобы функция векторов L(u) была опорной функцией выпуклого тела, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно-однородной первой степени, т. е. L(n) = L(n) при 0, и выпуклой, т. е. L((1 )u + v) (1 )L(u) + L(v) или, принимая во внимание условие однородности, L(u + v) L(u) + L(v).

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I 1, 2 0, V (1 L1 + 2 L2, H1,..., Hn1 ) = = 1 V (L1, H1,..., Hn1 ) + 2 V (L2, H1,..., Hn1 ). (1) Мы будем рассматривать функции, заданные на единичном шаре. Та кую функцию называем выпуклой, если она представляет значения опор ной функции выпуклого тела на единичном шаре. Распространим функ ционал V (L, H1,..., Hn1 ), определенный в области выпуклых функций L(n), на функции Z(n), являющиеся разностями выпуклых функций. Пусть Z(n) = L1 (n) L2 (n), где L1 (n), L2 (n) — выпуклые. Положим V (Z, H1,..., Hn1 ) = V (L1, H1,..., Hn1 ) V (L2, H1,..., Hn1 ). (2) Это определение однозначно. Действительно, пусть Z(n) = L1 (n) L2 (n), тогда L1 (n) + L2 (n) = L1 (n) + L2 (n), но тогда V (L1, H1,..., Hn1 ) + V (L2, H1,..., Hn1 ) = = V (L1, H1,..., Hn1 ) + V (L2, H1,..., Hn1 ), т. е.

V (L1, H1,..., Hn1 ) V (L2, H1,..., Hn1 ) = = V (L1, H1,..., Hn1 ) V (L2, H1,..., Hn1 ), что и требовалось доказать.

Лемма I. Функционал V (Z, H1,..., Hn1 ) — линейный.

Пусть Z = Z + Z и Z = L1 L2, Z = L1 L2, тогда Z = (L1 + L1 ) (L2 + L2 ).

Функции L1 (n) + L1 (n) и L2 (n) + L2 (n) — выпуклые. Применяя к ним фор мулу (2) и используя аддитивность смешанных объемов V (L, H1,..., Hn1 ), получим V (Z + Z, H1,..., Hn1 ) = V (Z, H1,..., Hn1 ) + V (Z, H1,..., Hn1 ). (3) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Пусть Z = L1 L2 и 0. Тогда, воспользовавшись формулой (2) для Z и принимая во внимание однородность V (L, H1,..., Hn1 ), получим V (Z, H1,..., Hn1 ) = V (Z, H1,..., Hn1 ). (4) Если же 0, то Z = ||L2 ||L1. Поэтому точно так же получим тот же результат и для отрицательных.

Г. Минковский показал, что если L — любое выпуклое тело и H1,..., Hn1 — выпуклые многогранники, то N V (L, H1,..., Hn1 ) = L(n ) F (H1,..., Hn1 ), (5) n = где F (H1,..., Hn1 ) — смешанные объемы (т. е. смешанные площади) гра ней многогранников H1,..., Hn1, лежащих в параллельных плоскостях с нормалями n. При этом речь идет о гранях всех измерений n 1.

Если Z(n) = L1 (n) L2 (n) и H1,..., Hn1 — многогранники, то из (5) и (2) получим N V (Z, H1,..., Hn1 ) = Z(n ) F (H1,..., Hn1 ). (6) n = Отсюда следует, во-первых, что при Z(n) V (Z, H1,..., Hn1 ) 0, (7) и во-вторых, что n |V (Z, H1,..., Hn1 )| F (H1,..., Hn1 ) max |Z(n)|. (8) n = Если E обозначает единичный шар, то N F (H1,..., Fn1 ) = V (E, H1,..., Hn1 ), (9) n = откуда |V (Z, H1,..., Hn1 )| V (E, H1,..., Hn1 ) max |Z(n)|. (10) Если наши многогранники сходятся к любым выпуклым телам, то при за данной Z(n) = L1 (n) L2 (n) значения функционалов V (Z, H1,..., Hn1 ) К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I сходятся к значению такого же функционала для предельных тел, так как этим свойством обладают смешанные объемы V (L1, H1,..., Hn1 ) и V (L2, H1,..., Hn1 ).

Следовательно, результаты (7) и (10) могут быть перенесены на случай лю бых выпуклых тел H1,..., Hn1.

Формулы (3), (4), (10) показывают, что функционал V (Z, H1,..., Hn1 ) — линейный.

Лемма II. Всякую непрерывную функцию на единичном шаре можно равномерно с любой степенью точности аппроксимировать разностью вы пуклых функций.

Из теоремы Вейерштрасса об аппроксимируемости непрерывных функций полиномами следует, конечно, что всякую непрерывную функцию на единичном шаре можно равномерно, с любой точностью, аппроксимиро вать дважды непрерывно дифференцируемой функцией. А мы покажем, что всякая такая функция есть разность выпуклых.

Пусть Z(n) — дважды непрерывно дифференцируемая функция на еди ничном шаре. Распространим ее на все пространство, полагая u Z(u) = |u| Z, |u| где |u| — длина вектора u, так что вектор u/|u| — единичный.

Второй дифференциал функции Z(u) d2 Z(u) будет квадратичной фор мой, все собственные значения которой являются непрерывными функция ми всюду кроме точки u = 0 и положительно-однородными минус первой степени (так как Z(u) — положительно-однородная первой степени). По этому найдется такое число C, что Cd2 |u| d2 Z(u) = d2 (C|u| Z(u)) будет при всех u = 0 положительной формой. Но тогда, как известно, положительно-однородная первой степени функция H(u) = C|u| Z(u) яв ляется опорной функцией некоторого выпуклого тела 11). Переходя обратно от всего пространства на шар, получим Z(n) = C H(n), где H(n) — выпуклая функция на единичном шаре.

11) Из условия d2 H(u) 0 легко выводится выпуклость функции H(u). Функция C|u| есть опорная функция шара радиуса C.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Пусть теперь Z(n) — произвольная непрерывная функция на единичном шаре и пусть Z1 (n),..., Zm (n),... — последовательность разностей выпук лых функций, равномерно сходящаяся к Z(n). Тогда при любом найдется M такое, что при m M и при всяком k |Zm+k (n) Zm (n)|.

Поэтому при m M из неравенства (10) следует, что |V (Zm+k, H1,..., Hn1 ) V (Zm, H1,..., Hn1 )| V (E, H1,..., Hn1 ), где H1,..., Hn1 — все те же заданные выпуклые тела. Отсюда видно, что распространенные смешанные объемы V (Zm, H1,..., Hn1 ) сходятся к некоторому пределу, который мы положим равным значению функционала V (Z, H1,..., Hn1 ) для данной непрерывной функции Z(n). Определение это единственное, так как если Z1 (n), Z2 (n),... и Z1 (n), Z2 (n),... — две по следовательности разностей выпуклых функций, сходящиеся к Z(n), то по следовательность Z1 (n), Z1 (n), Z2 (n), Z2 (n),... обладает тем же свойством.

То, что определенный таким образом для всех непрерывных функций функ ционал V (Z, H1,..., Hn1 ) будет линейным, доказывается очевидным обра зом. Неравенство (10) в пределе сохранится, и, значит, наш функционал непрерывен. Норма его, как показывает неравенство (10), равна V (E, H1,..., Hn1 ).

По теореме Ф. Рисса линейный функционал, определенный для всех непре рывных функций Z(n), может быть представлен как интеграл Стилтьеса — Радона от непрерывной функции Z(n) по однозначно определенной абсо лютно аддитивной функции множеств на единичном шаре. Так как из на ших рассуждений видно, что функционал V (Z, H1,..., Hn1 ) вполне опре деляется заданием выпуклых тел H1,..., Hn1, то V (Z, H1,..., Hn1 ) = Z(n) F (H1,..., Hn1 ;

d), (11) n где F (H1,..., Hn1 ;

) — функция множеств на единичном шаре, одно значно определяемая заданием выпуклых тел H1,..., Hn1. Эту функцию мы называем смешанной поверхностной функцией выпуклых тел H1,..., Hn1. Так как при Z(n) 0 V (Z, H1,..., Hn1 ) 0 (см. (7)), то 12) F (H1,..., Hn1 ;

) 0. (12) 12) Пусть Z1, Z2,... — последовательность неотрицательных функций, сходящихся к единице в точках n и к нулю во всех остальных точках на единичном шаре. При всех m V (Zm, H1,..., Hn1 ) 0. По определению F (H1,..., Hn1 ;

) = lim V (Zm, H1,..., m Hn1 ) и, следовательно, F (H1,..., Hn1 ;

) 0.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I Пусть Z(n) = a n есть опорная функция точки, являющейся концом век тора a. Тогда, как известно, V (Z, H1,..., Hn1 ) = 0.

Подставляя в (11) Z(n) = a n и замечая, что вектор a — произвольный, получим nF (H1,..., Hn1 ;

d) = 0. (13) § 5. Геометрический смысл смешанных поверхностных функций 1. В § 3 было найдено выражение смешанного объема V (L, H,..., H) через поверхностную функцию тела H:

V (L, H,..., H) = L(n) F (H, d). (1) n Отсюда следует, что если Z(n) есть разность выпуклых функций, то V (Z, H,..., H) = Z(n) F (H, d). (2) n Так как всякую непрерывную функцию можно равномерно аппроксимиро вать разностью выпуклых, то эта формула верна и для любой непрерывной функции Z(n), если под V (Z, H,..., H) понимать определенный в § 4 функ ционал. Сравнивая (2) с формулой (11) § 4 при H1 = H2 =... = Hn1 = H, получим F (H,..., H;

d) = F (H, ), (3) т. е. абстрактно определенная нами функция F (H,..., H;

d) есть не что иное, как поверхностная функция тела H.

2. Из формулы (11) § 4, полагая Z = Hn, получаем для смешанного объема тел H1,..., Hn :

V (H1,..., Hn ) = Hn (n) F (H1,..., Hn1 ;

d). (4) n Заменив в формуле (11) § 4 тело H1 на Hn, a Z(n) на H1 (n), получим V (H1,..., Hn ) = H1 (n) F (H2,..., Hn ;

d). (5) n А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Принимая еще во внимание неизменность V (Z, H1,..., Hn1 ) при переста новках тел H1,..., Hn1, можно утверждать, что в выражении (4) для сме шанного объема тела H1,..., Hn можно произвольно переставлять. Это важное свойство смешанных поверхностных функций можно, по естествен ной аналогии, назвать их самосопряженностью.

3. Пусть H1 = H + H, тогда V (H1,..., Hn ) = V (H, H2,..., Hn ) + V (H, H2,..., Hn ) (6) и по формуле (6) V (H1,..., Hn ) = Hn (n) F (H,..., Hn1 ;

d) + n + Hn (n) F (H,..., Hn1 ;

d). (7) n Из рассуждений предыдущего параграфа следует, что в этой формуле Hn (n) может быть заменена любой непрерывной функцией и, так как V (Z, H1,..., Hn1 ) = Z(n) F ( H + H, H2,..., Hn1 ;

d), (8) n то F ( H + H, H2,..., Hn1 ;

) = = F (H, H2,..., Hn1 ;

) + (H, H2,..., Hn1 ;

). (9) Положим m H= k Hk, k= тогда, применяя последовательно формулу (9) к функции F (H,..., H;

) = = F (H, ), получим, что она является однородным многочленом степени n 1 относительно k, а именно m F k Hk, k1... kn1 F (Hk1,..., Hkn1 ;

), = (10) k=1 k1,...,kn где индексы k1,..., kn1 независимо друг от друга пробегают все значения от 1 до m.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I Эта формула дает геометрическую интерпретацию смешанных поверх ностных функций и оправдывает их название по аналогии со смешанными объемами. Так как поверхностная функция (как ясно из ее определения) не изменяется при переносе тела H, то и смешанные поверхностные функции не изменяются при переносах входящих в них тел.

Теперь резюмируем все полученные результаты.

Теорема. Поверхностная функция линейной комбинации выпуклых тел m F ( k=1 k Hk, ) есть однородный многочлен степени n 1 относительно коэффициентов k. Именно m F k Hk, k1... kn1 F (Hk1,..., Hkn1 ;

), = k=1 k1,...,kn где индексы k1,..., kn1 пробегают независимо друг от друга все значения от единицы до m. Коэффициент F (Hk1,..., Hkn1 ;

) зависит только от тел Hk1,..., Hkn1 и не зависит от других тел, входящих в рассматриваемую линейную комбинацию. Он определяется так, что не изменяется при пере становках тел Hk1,..., Hkn1. Эти коэффициенты называются смешанными поверхностными функциями.

Смешанные поверхностные функции обладают следующими свойствами:

1) они являются неотрицательными и абсолютно аддитивными функция ми множеств на единичном шаре, определенными для объединений замкну тых и открытых множеств;

2) они не изменяются при параллельных переносах тех тел, к которым они относятся;

3) если все тела H1,..., Hn1 равны и параллельны одному и тому же H, то F (H1,..., Hn1, ) есть поверхностная функция тела H;

4) смешанный объем выражается через смешанную поверхностную функцию V (H1,..., Hn ) = Hn (n) F (H1,..., Hn1 ;

d), n причем здесь тела H1,..., Hn можно произвольно переставлять;

5) они всегда удовлетворяют условию nF (H1,..., Hn1 ;

d) = 0;

6) если одно из тех тел, к которым относится данная смешанная поверх ностная функция, является линейной комбинацией каких-то тел, т. е. если m k H (k), H1 = k= А. Д. АЛЕКСАНДРОВ то m k F (H (k), H2,..., Hn1 ;

), F (H1,..., Hn1 ;

) = k= т. е. является такой же точно линейной комбинацией соответствующих сме шанных поверхностных функций. Следовательно, и вообще при m k H (k), H= k= F (H,..., H, H1,..., Hnp1 ;

) = k1... kp F H (k1 ),..., H (kp ), H1,..., Hnp1 ;

, = k1,...,kp где индексы k1,..., kp пробегают независимо друг от друга все значения от 1 до m.

Если тела H1,..., Hn1 — многогранники, то F (H1,..., Hn1 ;

) дискрет на и имеет следующий смысл. Пусть n — нормали к (n1)-мерным граням многогранника H1 + H2 +... + Hn1. Грани эти являются линейными ком бинациями граней (любого числа измерений) многогранников H1,..., Hn1, лежащих в их опорных плоскостях с нормалями n. Обозначим такие гра ни через H1,..., Hn1, а их (n 1)-мерные смешанные объемы — через F (H1,..., Hn1 ).

Если содержит точку, соответствующую нормали n, и не содержит других подобных точек, то F (H1,..., Hn1 ;

) = F H1,..., Hn1. (11) Если же вовсе не содержит точек, соответствующих нормалям n, то F (H1,..., Hn1 ;

) = 0.

Другой специальный случай, для которого наша теорема является из вестной, представляют регулярные выпуклые тела (см. [2, § 8, п. 37, 38]).

Смешанную поверхностную функцию F (H,..., H, E,..., E;

) будем на m зывать m-й функцией кривизны тела H и обозначать Fm (H;

). В частно сти, (n 1)-я функция кривизны есть поверхностная функция.

Пусть H — многогранник. Возьмем на единичном шаре область и об ласть () на H, сферически отображаемую на. Построим тело H + E, параллельное H, и рассмотрим на нем область (), сферически отобра жаемую на, получающуюся из () так, что в каждой точке () вос станавливаются всевозможные нормали в ней, идущие в и по длине рав ные. Над кусками (n 1)-мерных граней, принадлежащих (), получим К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I такие же точно плоские куски, и сумма их площадей будет Fn1 (H;

). Над кусками (n 2)-мерных граней, принадлежащих (), получим цилиндри ческие поверхности, сумма площадей которых, очевидно, пропорциональна и будет равна Fn2 (H;

)(n 1). Над кусками (n 3)-мерных граней получатся цилиндрические поверхности с (n 3)-мерными образующими и т. д. Наконец, над вершинами мы получим сферические секторы, поверхно сти которых дадут, очевидно, площадь n1. Итак, в этом простом случае все функции кривизны имеют совершенно наглядный смысл и формула n k Cn1 Fnk1 (H, ), k Fn1 (H + E, ) = (12) k= являющаяся частным случаем общей формулы, указанной в свойстве 6, вы водится, как видно, совсем просто.

Пусть тело H — регулярное, т. е. имеет в каждой точке своей поверх ности определенные и нигде не равные нулю главные радиусы кривизны R1, R2,..., Rn1, которые являются непрерывными функциями нормали n.

Площадь области (), сферически отображаемой на, представляется для такого тела известной формулой Fn1 (H, ) = R1... Rn1 d. (13) Главные радиусы кривизны на поверхности параллельного тела H + E будут, как известно, равны Ri +. Поэтому площадь области на H + E, соответствующей (), будет Fn1 (H + E, ) = (R1 + )... (Rn1 + ) d. (14) Разлагая по степеням, получим в качестве коэффициента при k элемен тарную симметрическую функцию Snk1 (R1,..., Rn1 ) степени nk 1 от R1,..., Rn1. Эта элементарно-симметрическая функция радиусов кривиз ны называется обычно (n k 1)-й функцией кривизны [2, § 8, п. 38]. При нятое нами изменение смысла этого термина представляется обоснованным тем, что обычные функции кривизны имеют смысл только для регуляр ных тел, в то время как наши функции кривизны определены для любого выпуклого тела.

Из формулы (14) получаем n k Fn1 (H + E, ) = Snk1 (R1,..., Rn1 ) d, (15) k=0 А. Д. АЛЕКСАНДРОВ и так как n k Cn1 Fnk1 (H, ), k Fn1 (H + E, ) = (16) k= то Fm (H, ) = Sm (R1,..., Rn1 ) d. (17) m Cn Это замечание устанавливает связь наших общих понятий с хорошо извест ными понятиями дифференциальной геометрии.

§ 6. Некоторое обобщение введенных понятий Понятия смешанного объема и смешанной поверхностной функции, опре деленные для выпуклых тел, легко распространяются на разности выпук лых функций на единичном шаре 13). Для этого достаточно повторить рас суждения, которые привели нас в § 1 к определению функционала V (Z, H1,..., Hn1 ) для разностей выпуклых функций Z(n).

Пусть мы уже определили «смешанный объем» V (Z1,..., Zm, H1,..., Hnm ), где Z1 (n),..., Zm (n) — данные разности выпуклых функций. Пусть Zm+1 (n) = Hnm (n) Hnm (n).

Положим V (Z1,..., Zm+1, H1,..., Hnm1 ) = = V (Z1,..., Zm, H1,..., Hnm ) V (Z1,..., Zm, H1,..., Hnm ). (1) Единственность этого определения доказывается так же, как и раньше.

Таким образом, будет определен функционал V (Z1,..., Zn ), где Z1 (n), Z2 (n),..., Zn (n) — разности выпуклых функций. Он симметричен относи тельно функций Z1,..., Zn. Точно так же, как и раньше, легко доказыва ются его однородность и аддитивность относительно каждой из функций Z1 (n),..., Zn (n) в отдельности, т. е.

V ( Z + Z, Z1,..., Zn1 ) = = V (Z, Z1,..., Zn1 ) + V (Z, Z1,..., Zn1 ). (2) Непрерывность V (Z, Z1,..., Zn1 ) относительно Z(n) при заданных Z1 (n),..., Zn1 (n) легко устанавливается следующим рассуждением. Пусть 0 1 0 Z1 (n) = H1 (n) H1 (n),..., Zn1 (n) = Hn1 (n) Hn1 (n).

13) Определение дано в § 5.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I Разлагая V (Z, Z1,..., Zn1 ), получим i i ik V (Z, H11,..., Hn1 ), n V (Z, Z1,..., Zn1 ) = (1) (3) где сумма берется по всем комбинациям индексов i1,..., in1, принимаю щих значения 0 и 1. Беря в этой сумме все члены по модулю и пользуясь доказанным ранее неравенством |V (Z, H1,..., Hn1 )| V (E, H1,..., Hn1 ) max |Z(n)|, (4) получим i |V (Z, Z1,..., Zn1 )| max |Z(n)| i V (E, H11,..., Hn1 ), n или, короче, |V (Z, Z1,..., Zn1 )| A · max |Z(n)|, (5) что и требовалось доказать.

Таким образом, приходим к результату:

Существует единственный функционал V (Z1,..., Zn ), определенный для разностей выпуклых функций, линейный относительно каждой из функций Z1 (n),..., Zn (n) и равный смешанному объему выпуклых тел H1,..., Hn, когда Z1 (n) = H1 (n),..., Zn (n) = Hn (n) суть опорные функции этих тел.

Точно так же, как и раньше, можно при заданных Z1,..., Zn1 рас пространить функционал V (Z, Z1,..., Zn1 ) на произвольные непрерывные функции Z(n) на единичном шаре. Видно, что он однозначно представля ется в виде V (Z, Z1,..., Zn1 ) = Z(n) F (Z1,..., Zn1 ;



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 21 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.