авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 21 |

«А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Избранные труды Том 1 ГЕОМЕТРИЯ и ПРИЛОЖЕНИЯ Новосибирск «Наука» 2006 ...»

-- [ Страница 4 ] --

d), (6) n и если 0 1 0 Z1 (n) = H1 (n) H1 (n),..., Zn1 (n) = Hn1 (n) Hn1 (n), то i i ik F (H11,..., Hn1 ;

), n F (Z1,..., Zn1 ;

) = (1) (7) где сумма берется по всем комбинациям индексов i1,..., in1, принимающих значения 0 и 1.

Этим самым однозначно определены «смешанные поверхностные функ ции» F (Z1,..., Zn1 ;

) для разностей выпуклых функций. Нет надобности доказывать, что они обладают всеми свойствами смешанных поверхностных функций выпуклых тел, кроме, конечно, свойства неотрицательности.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Введенное нами формальное распространение смешанных объемов и по верхностных функций на разности выпуклых функций преследует следую щую цель. Г. Минковский, а также Д. Гильберт показали, что ряд вопросов теории выпуклых тел решается путем сведния их на вариационные зада е чи. Сюда относятся в первую очередь знаменитая теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника с заданными площадями гра ней и метод, данный Д. Гильбертом, для доказательства неравенств между смешанными объемами. Допустим, что какая-нибудь задача сведена нами на изучение экстремума некоторого функционала f (H), определенного для выпуклых тел. Допустим также, что существование экстремума доказано, как это удается сделать без особого труда в ряде вопросов, относящихся к выпуклым телам. Однако для исследования этого экстремума формальные правила вариационного исчисления оказываются, вообще говоря, неприло жимыми. Для возможности их приложения необходимо, чтобы функцио нал имел смысл как для H(n) + H(n), так и для H(n) H(n). Между тем разность H(n) H(n), вообще говоря, не будет выпуклой функцией, когда H(n) и H(n) + H(n) — выпуклые функции. Если же наш функ ционал определен для разностей выпуклых функций и допускает первую вариацию, то это затруднение отпадает. Во втором сообщении мы восполь зуемся возможностью прилагать к распространенному смешанному объему V (Z, Z, H1,..., Hn1 ) правила вариационного исчисления при доказатель стве однозначной определяемости выпуклого тела заданием его функции кривизны. Конечно, можно было бы пользоваться линейными комбинаци ями смешанных объемов и поверхностных функций выпуклых тел, дава емыми формулами (3) и (7), но это сделало бы вычисления и результаты слишком громоздкими.

Те же общие соображения обусловливают другое распространение по нятия об объеме на положительные непрерывные функции на единичной сфере, даваемое в третьем сообщении. Оно позволяет дать широкое обоб щение теоремы Минковского о многогранниках, не отступая, по существу, от простой идеи ее доказательства.

Пусть Z(n), Z1 (n),..., Znm (n) — данные разности выпуклых функций.

По определению V (Z + tZ,... ) V (Z,... ) V (Z,..., Z, Z1,..., Znm ) = lim, (8) t t где Z(n) — также разность выпуклых функций.

V (Z + tZ,..., Z + tZ, Z1,..., Znm ) = m tk Cm V (Z,..., Z, Z,..., Z, Z1,..., Znm ).

k = (9) k= k К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. I Поэтому V (Z,..., Z, Z1,..., Znm ) существует и равна m V (Z, Z,..., Z, Z1,..., Znm ). (10) С точностью до множителя найденная вариация является распространен ным смешанным объемом. Поэтому, следуя методу § 1, ее можно распро странить, и притом единственным образом, на произвольные непрерывные функции Z(n) на единичном шаре. Из формулы (10) следует, что V (Z,..., Z, Z1,..., Znm ) = Z(n) F (Z,..., Z, Z1,..., Znm ;

d).

n (11) Если эта вариация определена, то и F (Z,..., Z, Z1,..., Znm ;

) также опре делена, потому что по теореме Ф. Рисса линейный функционал, определен ный для всех непрерывных функций Z(n), допускает единственное пред ставление в виде интеграла от Z(n) по абсолютно аддитивной функции множеств.

Докажем еще одну лемму, которая нам впоследствии понадобится.

(1) (2) (m) Лемма. Если последовательности выпуклых тел H1, H1,..., H1, (1) (2) (m)...,..., Hn1, Hn1,..., Hn1,... сходятся к телам H1,..., Hn1, то при вся кой непрерывной Z(n) (m) (m) V (Z, H1,..., Hn1 ) = lim V Z, H1,..., Hn1. (12) m Иными словами, из сходимости указанных последовательностей выпук (m) (m) лых тел следует слабая сходимость функционалов V (Z, H1,..., Hn1 ).

Аппроксимируем данную непрерывную функцию Z(n) разностью выпук лых Z (n) так, чтобы имели место неравенства (как обычно, — произволь ное положительное число) |V (Z, H1,..., Hn1 ) V (Z, H1,..., Hn1 )| (13) и при всяком m (m) (m) (m) (m),..., Hn1 V Z, H V Z, H1,..., Hn1. (14) Это возможно сделать, так как при любых H1,..., Hn |V (Z, H1,..., Hn1 ) V (Z, H1,..., Hn1 )| max |Z Z | V (E, H1,..., Hn1 ). (15) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Поэтому достаточно выбрать Z (n) так, чтобы было |Z(n) Z (n)|, 3B (m) (m) где B — верхняя грань V (E, H1,..., Hn1 ).

Пусть Z (n) = H (n) H (n). По непрерывности смешанных объемов (m) (m) (m) найдется такое M, что при m M V (H, H1,..., Hn1 ) и V (H, H1, (m)..., Hn1 ) будут отличаться от своих предельных значений столь мало, что (m) (m) для их разности, т. е. для V (Z, H1,..., Hn1 ) будем иметь (m) (m),..., Hn1 ) V (Z, H1,..., Hn1 ) V(Z, H1. (16) Из неравенств (13), (14) и (16) сразу следует, что при m M (m) (m) V (Z, H1,..., Hn1 ) V (Z, H1,..., Hn1 ).

Отсюда следует утверждение леммы.

В заключение можно заметить, что полученные результаты могут быть перенесены на тот случай, когда в духе геометрии Минковского за основное тело принимается не шар, а любое выпуклое тело с внутренними точками.

Тогда n-мерное пространство, в котором мы рассматриваем выпуклые тела, будет уже не евклидово, а любое линейное и нормированное, с необязательно симметричной метрикой.

Статья поступила в редакцию 31.III. ЛИТЕРАТУРА 1. Minkowski H. Volume und Oberche // Math. Ann. 1903. Bd 57. S. 447–495.

a 2. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Krper. Berlin: Springer, 1934. (Русский o перевод: Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002.) 3. Делоне Б. Н. Доказательство неравенства Брунна — Минковского // Успехи мат. наук.

1936. Вып. 2. С. 37–45.

4. Люстерник Л. А. Применение неравенства Брунна — Минковского к экстремальным задачам // Там же. С. 46–54.

5. Минковский Г. Общие теоремы о выпуклых многогранниках // Там же. С. 55–71.

6. Reidemeister K. Uber die singulren Randpunkte eines konvexen Krpers // Math. Ann.

a o 1921. Bd 83. S. 116–118.

7. Гливенко В. И. Интеграл Стилтьеса. М.;

Л.: ОНТИ, 1936.

К теории смешанных объемов выпуклых тел. II:

Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения 1) Математический сборник. 1937. Т. 2, № 6. С. 1205– Г. Минковский, опираясь на теорему Брунна, доказал для смешанных объемов двух выпуклых тел неравенство V (H1,..., H1, H2 )2 V (H1,..., H1 ) V (H1,..., H1, H2, H2 ).

Мы же, опираясь на этот результат Г. Минковского, докажем:

Теорема. Пусть H1, H2,..., Hn1 — выпуклые тела в n-мерном про странстве и Z — разность выпуклых функций на единичной сфере 2) ;

тогда V (H1,..., Hn1, Z)2 V (H1,..., Hn1, Hn1 ) V (H1,..., Hn2, Z, Z).

В частности, если Z = Hn есть опорная функция на единичной сфере выпуклого тела Hn, то V (H1,..., Hn )2 V (H1,..., Hn1, Hn1 ) V (H1,..., Hn2, Hn, Hn ).

Если выпуклые тела H1,..., Hn1 имеют внутренние точки, то V (H1,..., Hn1, Hn1 ) 0;

поэтому если Z удовлетворяет условию V (H1,..., Hn1, Z) = 0, то V (H1,..., Hn2, Z, Z) 0.

§ 1. Аналогичные многогранники Мы будем рассматривать выпуклые невырождающиеся (т. е. имеющие внутренние точки) многогранники в n-мерном пространстве. Так как ни о каких других многогранниках речи не будет, то прилагательные «выпук лые» и «невырождающиеся» мы будем опускать.

1) Первую часть этой работы «Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел»

см. в [1]. В дальнейшем мы предполагаем известными результаты части I.

2) Согласно определению, данному в [1], выпуклой функцией на сфере мы называем опорную функцию выпуклого тела, взятую только для единичных векторов.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Два многоугольника назовем аналогичными друг другу, если каждой сто роне одного соответствует параллельная ей сторона другого и обратно 3).

Два многогранника будут называться аналогичными, если каждой (n 1) мерной грани одного соответствует параллельная и аналогичная ей грань другого и обратно. Многогранники в любом числе называются аналогич ными друг другу, если все они попарно аналогичны между собой.

Лемма I. Если многогранники H1 и H2 аналогичны друг другу, то они имеют одинаковые хабитусы 4), т. е.

1) каждой грани на H1 соответствует параллельная и аналогичная грань на H2 и обратно;

2) соответственные грани соприкасаются друг с другом по соответствен ным граням;

3) каждой вершине многогранника H1 соответствует вершина многогран ника H2 и обратно;

в соответственных вершинах грани обоих многогран ников образуют гомотетичные, т. е. равные и параллельно расположенные многогранные углы.

Соответственные грани и вершины многогранников H1 и H2 будем раз личать индексами 1 и 2, поставленными сверху. Многогранные углы будем для краткости называть просто углами.

1. По определению аналогичности (n 1)-мерные грани H1 аналогичны параллельным им граням H2. Поэтому, опять-таки по определению, грани этих граней параллельны и аналогичны и т. д.

(1) (1) 2. Пусть Pi, Pk — (n 1)-мерные грани на H1, соприкасающиеся по (1) (2) (2) (n 2)-мерной грани Pik. Если грани Pi, Pk на H2 не соприкасаются (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) по Pik, то к Pi по Pik прилегает Pk. Пусть нормали к Pi, Pk, Pj будут ni, nk, nj. Они параллельны одной и той же двумерной плоскости, (2) (1) перпендикулярной Pik, а значит, и Pik. Спроектируем H1 и H2 на эту (2) (2) плоскость. Проекции Pi и Pj будут сходиться в вершине, являющей (2) ся проекцией Pik. Напротив, на проекции H1 соответствующие стороны не будут сходиться в одной вершине, а в одной вершине будут сходиться стороны с нормалями ni и nk. При таком положении вещей проекция, по крайней мере одного из многогранников H1 и H2, не может быть выпуклой.

(2) (2) Следовательно, наше предположение неверно и Pi соприкасается с Pk (2) по Pik. Это рассуждение можно продолжить для граней меньшего числа измерений.

3) Под параллельностью понимается параллельность внешних нормалей.

4) Хбитус а — то же, что гбитус (лат. — habitus): совокупность внешних признаков, а внешний вид живого организма, кристалла. — Прим. ред.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II 3. Третья часть леммы очевидна для многоугольников. Допустим, что она верна для (n 1)-мерных многогранников, т. е. для граней n-мерных многогранников. Пусть A(1) — вершина многогранника H1, в которой схо (1) (1) дятся (n 1)-мерные грани P1, P2,.... Пусть A(2) — соответствующая вершина на H2. Перенесем H2 параллельно так, чтобы A(2) совпала с A(1).

(2) (1) При этом угол при вершине A(2) на P1 совпадет с углом при A(1) на P1, (2) так как, по предположению, лемма верна для граней. Если грань P2 при (2) (2) (2) (1) легает к P1 по P12, то (так как угол на P12 совпал с углом на P12 ) и (2) (1) углы на P2 и P2 при вершинах A(2) и A(1) также совпадут. Продолжая (2) (2) это рассуждение, получим, что углы на всех гранях P1, P2,... совпали (1) (1) с углами на гранях P1, P2,..., а значит, совпали и углы при A(2) и A(1) на самих многогранниках.

Лемма II. Если вершины многогранников H1 и H2 можно попарно со поставить так, что многогранные углы при соответственных вершинах го мотетичны, то многогранники H1 и H2 аналогичны друг другу.

Для многоугольников лемма очевидна, так как из гомотетичности их уг лов вытекает попарная параллельность их сторон. Допустим, что лемма верна для (n 1)-мерных многогранников.

Пусть A(1) и A(2) — поставленные в соответствие вершины многогранни ков H1 и H2. Так как углы при A(1) и A(2) гомотетичны, то, во-первых, в них сходятся соответственно параллельные грани H1 и H2, так что каждой гра ни на H1 соответствует параллельная ей грань H2 и обратно, а во-вторых, углы при вершинах A(1) и A(2) на этих гранях также гомотетичны. Сле довательно, параллельные грани H1 и H2 аналогичны, т. е. H1 и H2 сами аналогичны.

Лемма III. Пусть H1,..., Hm — данные, не обязательно невырождаю щиеся, многогранники и 1,..., m — переменные положительные числа.

Тогда все многогранники H = 1 H1 +... + m Hm аналогичны между собой, если они не вырождаются 5).

На многограннике H = 1 H1 +... + m Hm (n 1)-мерные грани получа ются как такие же линейные комбинации граней, лежащих на H1,..., Hm в параллельных опорных плоскостях. Пусть (n 1)-мерная грань на H будет P = 1 P (1) +... + m P (m). Она получается тогда и только тогда, когда в P (1),..., P (m) можно провести n 1 отрезков, не параллельных одной, менее чем (n 1)-мерной, плоскости 6). Если это невозможно, то парал 5) Эталемма доказана еще Г. Минковским [2, § 19].

6) Плоскостью без указания числа измерений мы называем (n 1)-мерное линейное подпространство. В других случаях будет указываться число измерений.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ лельными переносами P (1),..., P (m) можно будет поместить в одну такую плоскость, в которой окажется и результат их смешения — грань P, ко торая, следовательно, менее чем (n 1)-мерная. Если же это возможно и a1,..., an1 — нужные нам отрезки, то, как ясно из определения сме шения, P будет содержать (n 1)-мерный параллелепипед со сторонами i1 a1, i2 a2,..., in1 an1, если a1 лежит в P (i1 ), a2 — в P (i2 ) и т. д. Поэто му, если все 1,..., m 0, то грань P будет на всех многогранниках H, когда она есть хоть на одном из них.

Отсюда сразу следует, что наша лемма верна для многоугольников. Пусть она верна для менее чем (n 1)-мерных многогранников. Так как (n 1) мерные грани на многогранниках H получаются в результате смешения граней многогранников H1,..., Hm, то по предположению они аналогичны.

Поэтому и сами многогранники (n 1) аналогичны друг другу.

Лемма IV. Любое конечное число аналогичных многогранников можно сколь угодно малыми смещениями плоскостей их (n 1)-мерных граней сделать примитивными, оставив их аналогичными между собой.

Примитивным называется многогранник, в вершинах которого сходится не более чем по n (n 1)-мерных граней. Все грани примитивного много гранника также примитивны. Число (n 1)-мерных граней, сходящихся в данной вершине, мы будем называть ее кратностью.

Нашу лемму достаточно, конечно, доказать для пары аналогичных мно гогранников, которые мы обозначим H1 и H2. Пусть A(1) и A(2) — соответ ственные вершины H1 и H2. По лемме I кратности их одинаковы. Предполо жим, что кратность их больше n. Сместим плоскости двух соответственных граней, сходящихся в A(1) и A(2), в направлении внешней нормали. Если смещение достаточно мало, то кратности вершин многогранников H1 и H не увеличатся. Кратность вершин A(1) и A(2) уменьшится. Кроме того, появятся новые вершины и новые грани. Новых (n 1)-мерных граней, понятно, не появится, и при достаточно малом смещении ни одна из них не исчезнет. Новые вершины получаются в результате «расщепления» тех вершин, которые принадлежат смещенным граням. Поэтому при достаточ но малом смещении новые вершины будут лежать вблизи старых. Так как углы при старых вершинах были гомотетичны, то углы при новых верши нах также будут гомотетичны. Следовательно, после проделанной операции многогранники H1 и H2 останутся аналогичными. Но, повторяя эту опера цию с разными гранями достаточно большое число раз, мы придем, наконец, к тому, что кратности всех вершин станут минимальными, т. е. равными n.

Лемма V. Любое конечное число выпуклых тел можно с любой точно стью аппроксимировать аналогичными друг другу примитивными много гранниками.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Пусть дано m выпуклых тел. Аппроксимируем их невырождающимися многогранниками H1,..., Hm, что, как известно, возможно. Затем, взяв достаточно малое 0, построим многогранники H1 + H2 +... + Hm, H1 + H2 +... + Hm,..., H1 +... + Hm1 + Hm, которые будут, соглас но лемме III, аналогичными между собой. После этого, воспользовавшись леммой IV, сделаем их примитивными.

§ 2. Смешение аналогичных примитивных многогранников Мы будем рассматривать примитивные многогранники, аналогичные между собой. Системы внешних нормалей n1,..., nN к их (n 1)-мерным граням одинаковы, т. е. все они имеют одну и ту же систему внешних нор малей. Расстояния плоскостей (n 1)-мерных граней многогранника H от начала (положительные в направлении внешней нормали и отрицательные в противоположную сторону) назовем опорными числами H1,..., HN. Си стему произвольных чисел Z1,..., ZN, отнесенных к нормалям n1,..., nN, обозначим Z. При этом Z будет обозначать систему чисел Z1,..., ZN, a Z + Y — систему чисел Z1 + Y1,..., ZN + YN. Если H — многогранник, то H обозначает также систему его опорных чисел. Очевидно, что задание системы опорных чисел при заданной системе нормалей вполне определяет многогранник.

Лемма I. Если H — примитивный многогранник и Z — произвольная система чисел, отнесенных к его нормалям, то при достаточно малых H + Z будет многогранником, аналогичным H.

Переход от H к H + Z состоит в смещении плоскости каждой (n 1) мерной грани на расстояния Zi в направлении нормали. Если доста точно мал, то кратность вершин при этом не увеличится и новых вершин о не появится, так как кратности всех вершин многогранника H наимень шие возможные. Поэтому у H + Z будут те же вершины, что и у H, и в соответственных вершинах будут сходиться соответственно параллельные грани. Отсюда по лемме II § 1 следует, что H + Z аналогичен H. Заметим еще, что многогранник, аналогичный примитивному, сам примитивный, как это явствует из гомотетичности углов аналогичных многогранников.

Лемма II. Если многогранники H (1),..., H (m) аналогичны между собой, то при любых неотрицательных 1,..., m, не равных одновременно нулю, многогранник H = 1 H (1) +... +m H (m) будет аналогичен им.

В параллельных опорных плоскостях к многогранникам H (1),..., H (m) лежат параллельные и аналогичные друг другу грани 7). Поэтому (n 1) 7) Это следует из леммы I § 1. Из гомотетичности углов вытекает, что параллельные опорные плоскости содержат только соответственные вершины, а значит, и соответствен ные грани.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ мерные грани на H получаются только от смешения соответственных (n1) мерных граней многогранников H (1),..., H (m). Отсюда следует, во-первых, что (n 1)-мерные грани многогранника H соответственно параллельны та ким же граням многогранников H (1),..., H (m), а во-вторых, что наша лемма верна для многоугольников. Будем считать ее верной для граней многогран ников (т. е. для менее чем n-мерных многогранников). Тогда, так как грани на H получаются от смешения аналогичных граней на H (1),..., H (m), то H аналогичен H (1),..., H (m).

Опорное число Hi есть не что иное, как значение опорной функции мно гогранника, т. е.

Hi = H(ni ).

Опорная функция многогранника H = 1 H (1) +... + m H (m) есть такая же линейная комбинация опорных функций многогранников H (1),..., H (m).

Поэтому и для его опорных чисел получаем (1) (m) Hi = 1 Hi +... + m Hi.

Так как на H нет граней, не параллельных граням многогранников H (1),..., H (m), то этим исчерпывается система его опорных чисел. Таким образом, смешение аналогичных многогранников сводится к такому же линейному комбинированию их опорных чисел.

Лемма III. Пусть H (1),..., H (n) — переменные многогранники, остаю щиеся неизменно аналогичными одному и тому же данному многограннику.

Тогда их смешанный объем V (H (1),..., H (n) ) есть однородный многочлен n-й степени относительно их опорных чисел. (Коэффициенты многочлена, конечно, постоянные. Они изменяются, если H (1),..., H (n) перестают быть аналогичными данному многограннику.) Известно, что V (H (1),..., H (n) ) = H (1) (ni )Fi (H (2),..., H (n) ), (1) n i где Fi (H (2),..., H (n) ) — смешанный (n 1)-мерный объем граней много гранников H (2),..., H (n), лежащих в опорных плоскостях с нормалями ni.

Когда H (2),..., H (n) аналогичны между собой, то (n 1)-мерные грани на многограннике, получающемся в результате их смешения, получаются в результате смешения соответственных граней многогранников H (2),..., H (n). Поэтому Fi (H (2),..., H (n) ) = 0 тогда и только тогда, когда ni — нор маль к i-м (n 1)-мерным граням этих многогранников. В этом случае К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II (1) H (1) (ni ) = Hi есть i-е опорное число многогранника H (1). Таким образом, для аналогичных многогранников N 1 (1) V (H (1),..., H (n) ) = Hi Fi (H (2),..., H (n) ). (2) n i= Пусть угол между ni и nk будет ik 8). Примем за начало O в плоскости i-й грани многогранника H проекцию на нее начала в пространстве. Расстояние от O до пересечения плоскостей i-й и k-й граней будет Hk Hi cos ik Hik =, (3) sin ik как это показывает совершенно элементарное вычисление. Число Hik будет опорным числом i-й грани, если только соответствующее пересечение плос костей действительно дает на этой грани какую-то (n 2)-мерную грань.

Применяя формулу (2) к смешанному объему Fi (H (2),..., H (n) ) граней многогранников H (2),..., H (n), получим 1 (2) Fi (H (2),..., H (n) ) = Hik Fik (H (3),..., H (n) ), (4) n k где Fik (H (3),..., H (n) ) — смешанные (n 2)-мерные объемы граней мно гогранников H (3),..., H (n). Так как грани аналогичных многогранников аналогичны, то к формуле (4) применимо замечание, сделанное нами от носительно формулы (1). Поэтому в формуле (4) Fik (H (3),..., H (n) ) = тогда и только тогда, когда на всех многогранниках H (3),..., H (n) есть ik-е (n 2)-мерные грани, т. е. тогда и только тогда, когда (2) (2) Hk Hi cos ik (2) Hik = sin ik суть опорные числа i-й грани многогранника H (2).

Продолжая это рассуждение по отношению к смешанным объемам гра ней все меньшего и меньшего числа измерений, мы дойдем, наконец, до ребер. При этом, как видно из формулы (3), каждый раз опорные чис ла (k 1)-мерных граней будут линейно выражаться через опорные числа k-мерных граней, а значит, и через опорные числа данных многогранников.

8) Система нормалей у нас все время заданная.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Коэффициенты в этих линейных выражениях зависят только от направле ний n1,..., nN. В выражениях для смешанных объемов k-мерных граней (типа формулы (4)) коэффициенты Fik...p будут обращаться в нуль всегда для одних и тех же комбинаций индексов i, k,..., p, если только переменные многогранники H (1),..., H (n) остаются аналогичными данному многогран нику. Наконец, длина q-го ребра, принадлежащего какой-нибудь двумерной грани с опорными числами h1,..., hr и с углами 12,..., rl между норма лями к соседним ребрам, будет hq1 hq cos q1,q hq+1 hq cos q,q+ lq =, + (5) sin q1,q sin q,q+ как это следует из формулы (3).

Подставляя все получающиеся таким образом выражения в формулу (2), получим V (H (1),..., H (n) ) в виде однородного многочлена n-й степени от носительно опорных чисел многогранников H (1),..., H (n). Как показали наши рассуждения, коэффициенты этого многочлена действительно будут оставаться постоянными, когда многогранники H (1),..., H (n) остаются ана логичными данному многограннику. В определенный таким способом мно гочлен можно вместо систем опорных чисел H (1),..., H (n) подставить лю бые системы чисел Z (1),..., Z (n).

Все проведенные рассуждения с таким же успехом приложимы к соответ ственным граням наших многогранников, так как они сами суть аналогич ные многогранники. Поэтому Fi (H (2),..., H (n)) будет однородным много членом (n 1)-й степени относительно опорных чисел i-x граней, а в силу формулы (3) — однородным многочленом (n 1)-й степени относительно опорных чисел многогранников H (2),..., H (n). Таким образом, понятно, что мы будем понимать под Fi (Z (2),..., Z (n) ).

Лемма IV. Многочлены V (Z (1),..., Z (n) ) и Fi (Z (2),..., Z (n) ) удовлетво ряют следующим условиям:

1) они не изменяются при перестановках систем чисел Z (k) ;

1 N (1) 2) V (Z (1),..., Z (n) ) = Z Fi (Z (2),..., Z (n) );

n i=1 i 3) V (Z+Y, Z (2),..., Z (n) ) = V (Z, Z (2),..., Z (n) ) +V (Y, Z (2),..., Z (n) ) и то же для Fi (Z (2),..., Z (n) ).

1) и 3) следуют из таких же свойств смешанных объемов, а 2) — из фор мулы (2).

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II § 3. Доказательство основного неравенства Теорема. Если многогранники H (1),..., H (n1) примитивны и аналогич ны друг другу и Z — произвольная система чисел, отнесенных к нормалям этих многогранников, то V (H (1),..., H (n1), Z) V (H (1),..., H (n1), H (n1) )V (H (1),..., H (n2), Z, Z), (1) причем знак равенства стоит здесь тогда и только тогда, когда Z — система опорных чисел многогранника, гомотетичного H (n1) 9).

Покажем прежде всего, что эта теорема равносильна следующей:

Пусть H (1),..., H (n1) имеют тот же смысл и, кроме того, Z удовлетво ряет условию V (H (1),..., H (n1), Z) = 0, (2) тогда V (H (1),..., H (n2), Z, Z) 0 (3) и равно нулю тогда и только тогда, когда Z есть система опорных чисел одной точки. Мы будем доказывать именно это утверждение.

Прежде всего напомним, что многогранник, гомотетичный H, представ ляется в виде H + a, где — коэффициент подобного преобразования, ко торому подвергается H, и a — вектор переноса. Поэтому система опорных чисел многогранника, гомотетичного H, представляется в виде Hi + a ni, где a ni — не что иное, как опорные числа точки a. Верно также и обратное:

многогранник с той же системой нормалей, что и H, и с опорными числами Hi + a ni гомотетичен H. Систему опорных чисел точки a для краткости обозначим A. Применяя это обозначение, можем сказать, что, как известно, V (H (1),..., H (n1), A) = 0. (4) Так как V (H (1),..., H (n1), H (n1) ) 0, то из (1) при условии (2) действи тельно следует неравенство (3).

Пусть теперь Z произвольно. Выберем так, чтобы V (H (1),..., H (n1), Z) = V (H (1),..., H (n1), H (n1) ). (5) 9) Идеядоказательства этой теоремы опубликована в [3]. Там, однако, опущено усло вие примитивности многогранников, а требуется только их аналогичность. Поэтому фи гурирующие там Z — не произвольные системы чисел, а разности систем опорных чисел многогранников, аналогичных данным.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Такое есть, так как V (H (1),..., H (n1), H (n1) ) 0. Положим Z H (n1) = Z, (6) тогда V (H (1),..., H (n1), Z ) = 0. (7) Если верна наша вторая теорема, то V (H (1),..., H (n2), Z, Z ) 0. (8) Подставляя сюда Z = Z H (n1), разлагая по степеням (см. п. 3 лем мы IV из § 2), после очевидных преобразований получим неравенство (1).

Знак равенства в нем будет стоять только тогда, когда он стоит в (8), т. е., со гласно утверждению, тогда, когда Z = A, т. е. тогда, когда Z = H (n1) +A.

Таким образом, для того чтобы доказать нашу теорему, действительно достаточно доказать вторую, ей равносильную.

Лемма I. В случае, когда H (1) =... = H (n1) = H, наша теорема равносильна утверждению, что в неравенстве Минковского V (H,..., H, H )2 V (H,..., H)V (H,..., H, H, H ), (9) где H и H примитивны и аналогичны друг другу, знак равенства стоит тогда и только тогда, когда H и H гомотетичны.

То, что из нашей теоремы следует это утверждение, получается, если в формуле (1) заменить Z на H, а H (1),..., H (n1) на H. Пусть теперь верно наше утверждение относительно знака равенства в неравенстве Минковско го. Пусть Z удовлетворяет условию V (H,..., H, Z) = 0. (10) Возьмем = 0 столь малое, что H = H + Z будет многогранником, анало гичным H. Так как Z = H H, то из условия (10) вытекает, что V (H,..., H, H ) = V (H,..., H). (11) При этом условии из неравенства Минковского (9) получаем V (H,..., H, H ) V (H,..., H, H, H ). (12) Вычитая в этом неравенстве из правой части левую и имея в виду, что H H = Z, получим V (H,..., H, H, Z) 0. (13) К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Вычитая отсюда умноженное на равенство (10), получим V (H,..., H, Z, Z) 0. (14) Вынося и сокращая положительный множитель 2, получаем, наконец, V (H,..., H, Z, Z) 0, (15) где равенство будет тогда, когда оно будет в (12), т. е. в неравенстве Мин ковского.

Лемма II. Наша теорема верна для многоугольников.

Действительно, в этом случае знак равенства в неравенстве Минковского V (H, H )2 V (H, H) V (H, H ) стоит только при гомотетичных H и H, поэтому из леммы I получаем лем му II.

Основываясь на этом, мы можем доказывать нашу теорему по индукции, т. е. будем предполагать, что для граней многогранников она верна.

Как следует из леммы IV § 2, V (H (1),..., H (n2), Z, Z) представляет собой квадратичную форму переменных Z1,..., ZN. Доказательство нашей теоремы построим на изучении собственных значений этой формы.

Лемма III. Квадратичная форма V (H (1),..., H (n2), Z, Z) имеет при всяких примитивных и аналогичных друг другу H (1),..., H (n2) n-кратное нулевое собственное значение, к которому относятся собственные «векто ры» Z, представляющие системы опорных чисел точек.

Линейно независимых систем опорных чисел точки при заданной системе нормалей n1,..., nN всегда имеется n и только n, где n, как всегда, — число измерений пространства. Действительно, если A — система опорных чисел точки a, то Ai = a ni и так как в n-мерном пространстве есть всего n линейно независимых векторов a, то и линейно независимых систем чисел Ai всегда n и только n.

Собственные векторы Z формы V (H (1),..., H (n2), Z, Z), принадлежа щие ее нулевому собственному значению, представляют решение системы уравнений V (H (1),..., H (n2), Z, Z) = 0. (16) Zi Обращаясь к п. 2 леммы IV § 2, мы можем переписать эти уравнения в виде Fi (H (1),..., H (n2), Z) = 0 (i = 1,..., N ). (17) Fi (H (1),..., H (n2), Z) — линейная форма, имеющая тот же смысл для i-x граней, какой имеет V (H (1),..., H (n1), Z) для самих многогранников.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Поэтому, считая нашу теорему верной для граней, получим, благодаря (17), что Fi (H (1),..., H (n3), Z, Z) 0. (18) (k) Мы будем неизменно предполагать, что все Hi 0. Этого можно до биться, перенося наши многогранники параллельно так, чтобы начало ока залось внутри их всех. Так как параллельные переносы многогранников не влияют на их смешанные объемы, то это допущение не ограничивает общности наших рассуждений.

(n2) Поскольку Hi 0, то, умножая на них соответствующие неравенства (18) и суммируя, получим (см. п. 2 леммы IV § 2) V (H (1),..., H (n2), Z, Z) 0 (19) и равно нулю тогда и только тогда, когда во всех неравенствах (18) стоит знак равенства.

Но точно так же, умножая (15) на Zi и суммируя по i, получим V (H (1),..., H (n2), Z, Z) = 0. (20) Следовательно, во всех неравенствах (18) стоит знак равенства. Согласно предположению индукции, это возможно только тогда, когда Z дает в плос кости каждой из (n1)-мерных граней систему опорных чисел одной точки, которую мы обозначим для i-й грани через Z(i). Поскольку многогранник H (n2) примитивный, то при достаточно малом H (n2) + Z также бу дет многогранником, аналогичным H (n2). При сложении опорных чисел многогранников складываются и опорные числа граней, как это видно из линейной зависимости этих последних от первых (см. формулу (3) § 2). То же верно, конечно, и для сложения произвольных систем чисел, так как им точно так же относятся системы чисел Z(i) в плоскостях граней. Числа си стемы Z(i) относятся к нормалям к (n2)-мерным граням i-й (n1)-мерной грани. Поэтому в наших обозначениях (n2) (H (n2) + Z)(i) = H(i) + Z(i). (21) Так как Z(i) суть системы опорных чисел точек, то грани многогранника H (n2) + Z равны и параллельны граням многогранника H (n2). Сле довательно, эти многогранники сами равны и параллельно расположены.

Значит, Z — система опорных чисел одной точки (конца вектора, пред ставляющего перенос от H (n2) к H (n2) + Z, увеличенного в 1/ раз и отложенного из начала).

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Лемма IV. Наша теорема равносильна утверждению, что квадратич ная форма V (H (1),..., H (n2), Z, Z) имеет только одно положительное соб ственное значение и n-кратное нулевое собственное значение, указанное в лемме III.

Будем рассматривать приведение формы V (H (1),..., H (n2), Z, Z) к сум ме квадратов преобразованиями, сохраняющими неизменной форму N Fi (H (1),..., H (n1) ) 1 Zi, (22) (n1) n Hi i= которая положительно-определенная, так как (n1) и Fi (H (1),..., H (n1) ) 0.

Hi Поставленная задача приводит к системе уравнений (см. п. 2 леммы IV § 2) Fi (H (1),..., H (n1) ) Fi (H (1),..., H (n2), Z) = Zi. (23) (n1) Hi При = 1 эта система допускает очевидное решение Z = H (n1). Поэто му условие N Fi (H (1),..., H (n1) ) 1 (n1) V (H (1),..., H (n1), Z) = Hi Zi = 0 (24) (n1) n Hi i= представляет не что иное, как условие «нагруженной» ортогональности до пустимых Z к H (n1), т. е. к собственному вектору, относящемуся к соб ственному значению = 1. Если V (H (1),..., H (n2), Z, Z) не имеет других положительных собственных значений, то при условии (24) она неположи тельна и равна нулю тогда, когда Z относится к собственному значению нуль. Обратно, если V (H (1),..., H (n2), Z, Z) при условии (24) неположи тельна и равна нулю только тогда, когда Z — система опорных чисел одной точки, то = 1 есть ее единственное положительное собственное значение, так как если бы Z относилось к такому собственному значению, то условие ортогональности (24) было бы выполнено, а сама форма была бы положи тельна.

Таким образом, для того чтобы доказать нашу теорему, осталось дока зать следующее.

Лемма V. Квадратичная форма V (H (1),..., H (n2), Z, Z) имеет только одно положительное собственное значение.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ В лемме I, исходя из неравенства Минковского, мы показали, что при V (H,..., H, Z) = 0 (25) V (H,..., H, Z, Z) 0. (26) Так как при условии ортогональности (25) квадратичная форма (26) неполо жительна, то она имеет единственное положительное собственное значение = 1, найденное при доказательстве предыдущей леммы.

Построим семейства многогранников H (1), (1 )H (1) + H (2),..., (1 )H (1) + H (n2). Когда растет от 0 до 1, многогранники эти непре рывно переходят от H (1) к H (1), H (2),..., H (n2). При этом, как показывает лемма II § 2, они остаются аналогичными H (1). Коэффициенты формы V (H (1), (1 )H (1) + H (2),..., (1 )H (1) + H (n2), Z, Z) также будут изменяться непрерывно, поэтому и собственные значения ее будут изменяться непрерывно. Но по лемме III ни одно из них не может пройти через нуль (исключая случай, когда оно было, а значит, и остается равным нулю). В результате число положительных собственных значений остается при этом постоянным. При = 0 оно равно единице, следователь но, и при = 1 оно тоже равно единице, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, наконец, основное неравенство между сме шанными объемами для аналогичных, примитивных многогранников. Оста ется распространить его на общий случай. Для этого нам послужит, конеч но, лемма IV § 1, согласно которой любое конечное число выпуклых тел может быть с любой степенью точности аппроксимировано примитивными и аналогичными между собою многогранниками.

Пусть H1,..., Hn1 — произвольные выпуклые тела и Z — разность вы пуклых функций: Z = Hn Hn+1. Аппроксимируем тела H1,..., Hn+1 при митивными и аналогичными друг другу многогранниками H (1),..., H (n+1).

Для них по доказанной теореме имеем V (H (1),..., H (n1), H (n) H (n+1) ) V (H (1),..., H (n1), H (n1) ) V (H (1),..., H (n) H (n+1), H (n) H (n+1) ).

При уточнении сделанных приближений H (1),..., H (n1) стремятся к H1,..., Hn1, а H (n) H (n+1) стремится к Z, поэтому стоящие в последнем неравенстве смешанные объемы стремятся к соответствующим смешанным объемам и в пределе получается V (H1,..., Hn1, Z) V (H1,..., Hn1, Hn1 ) V (H1,..., Hn2, Z, Z).

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II § 4. Неравенства между смешанными объемами выпуклых тел Из основного неравенства между смешанными объемами V (H1,..., Hn1, Z)2 V (H1,..., Hn1, Hn1 ) V (H1,..., Hn2, Z, Z), (1) выведенного в предыдущем параграфе, можно получить целый ряд инте ресных неравенств между смешанными объемами выпуклых тел. Вывод этих неравенств носит уже формальный характер, а потому мы остановим ся только на тех неравенствах, которые будут важны для приложений.

Полагая в основном неравенстве (1) Z = Hn, получим неравенство между смешанными объемами выпуклых тел:

V (H1,..., Hn )2 V (H1,..., Hn1, Hn1 ) V (H1,..., Hn2, Hn, Hn ). (2) Закрепим тела H1, H2,..., Hnm и построим линейное семейство тел H = (1 )H 0 + H 1 ( 1), соединяющее данные выпуклые те ла H 0 и H 1. Рассмотрим смешанный объем V () = V (H,..., H, H1,..., Hnm ). (3) m Имеет место следующее обобщение неравенства Брунна:

(1 ) m V (0) + m V (1).

m V () (4) Для доказательства рассмотрим функцию V () (1 ) m V (0) m V (1).

m () = (5) Она обращается в нуль на границах промежутка 0 1. Поэтому для доказательства ее неотрицательности (а значит, и (4)) достаточно показать, что ее первая производная вначале неотрицательна и потом убывает, т. е.

достаточно показать, что () 0. Для этого же достаточно показать, что 0. Действительно, пусть 1 — данное значение параметра, при (0) котором мы хотим вычислить вторую производную (). Часть семейства тел H при 1 можно опять представить в виде линейного семейства, соединяющего тела H 1 и H 1. Положим для этого = (0 1) (6) 1 А. Д. АЛЕКСАНДРОВ H = H, тогда и при H = (1 )H 1 + H 1. (7) Этому семейству соответствует функция ( ), отличающаяся от () на линейное слагаемое, и 10) d2 (0) d2 (1 ) = (1 1 )2, (8) d 2 d так что если (0) 0, то и (1 ) 0. Вспомним, что V (H,..., H, H1,..., Hnm ) = m (1 )mk k Cm V (H 0,..., H 0, H 1,..., H 1, H1,..., Hnm ), k = (9) k= mk k или в очевидных, более кратких, обозначениях m (1 )mk k Cm Vk.

k V () = (10) k= При этом V (0) = V0 и V (1) = Vm.

Вычисляя теперь (0), получим V0 V2 V (0) = (m 1). (11) 21/m V В знаменателе здесь стоит положительная величина. V0 могло бы равняться нулю, если бы рассматриваемые тела вырождались. Однако этот случай мы отбросим, так как для него обобщенное неравенство Брунна (4) получается тривиальным предельным переходом от тел невырождающихся (имеющих внутренние точки) к телам вырождающимся. В числителе дроби (11) стоит V0 V2 V12. Эта величина неположительная, так как, полагая в основном неравенстве (2) Hn = H 1, Hnm+1 =... = Hn1 = H 0, получим V12 V0 V2. (12) Следовательно, (0) 0.

10) () + (1 ) m V (0) + m V (1) (1 ) m V (1 ) + m V (1).

( ) = К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Положим в основном неравенстве (2) из m последних тел первые k рав ными H 1 и остальные m k равными H 0. Тогда получится неравенство, которое в наших сокращенных обозначениях будет иметь вид Vk2 Vk1 Vk+1. (13) k здесь может меняться от 1 до m 1. Все такие неравенства мы назовем промежуточными квадратичными неравенствами. Допустим, что в обоб щенном неравенстве Брунна стоит знак равенства. Тогда m V () = (1 ) m V (0) + m V (1). (14) Разлагая правую часть по формуле бинома Ньютона и сравнивая ее с вы ражением V () через смешанные объемы Vk (см. формулу (10)), получим Vk = V0mk Vm.

m k (15) В этом случае во всех промежуточных квадратичных неравенствах (13) бу дет стоять знак равенства.

Резюмируем полученные результаты.

Теорема. Пусть H1,..., Hnm, H 0, H 1 — данные выпуклые тела и H = = (1 )H 0 + H 1 (0 1). Имеет место следующее обобщение нера венства Брунна:

(1 ) m V (0) + m V (1), m V () где для краткости положено V () = V (H,..., H, H1,..., Hnm ), m (1 )mk k Cm Vk.

k V () = k= Имеют место промежуточные квадратичные неравенства Vk2 (k = 1,..., m 1), Vk1 Vk+ и если в обобщенном неравенстве Брунна стоит знак равенства, то он стоит также во всех этих неравенствах.

Укажем на один специальный случай обобщенного неравенства Брунна, который будет играть в приложениях основную роль. Положим H1 =... = = Hnm = E, где E — единичный шар (это обозначение единичного шара А. Д. АЛЕКСАНДРОВ будет неизменно употребляться далее). Вспоминая результаты § 2 части I, можно написать, что V (H,..., H, E,..., E) = Vm (H) = Fm (H, d), (16) n m так как E(n) = 1, если начало взято в центре единичного шара E. Короче:

Vm (H) = Fm (H, ) n ( — полная поверхность единичного шара), Fm (H, ) = F (H,..., H, E,..., E;

) m есть m-я функция кривизны тела H и для регулярного тела представляет интеграл от функции кривизны в обычном смысле (т. е. от элементарно симметрической функции главных радиусов кривизны), взятый по обла сти. Таким образом, Vm (H) представляют с точностью до множителя интеграл кривизны тела H. В частности, при m = n 1 Vn1 (H) есть деленная на n площадь поверхности тела H.

Смешанные объемы Vm (H) имеют еще другой геометрический смысл.

Назовем m-мерной поперечной мерой тела H m-мерный объем его проек ции на какую-нибудь m-мерную плоскость. Тогда Vm (H) представляет с точностью до постоянного множителя среднюю m-мерную поперечную ме ру тела H или m-й интеграл поперечных мер (m-tes Quermassintegral [4, § п. 32 и § 8 п. 38]).

Из обобщенного неравенства Брунна при H1 =... = Hnm = E мы по лучаем: если тела H 0 и H 1 имеют равные m-е интегралы кривизны (или, что то же самое, равные средние m-мерные поперечные меры), то у тела H = (1 )H 0 + H 1 тот же интеграл кривизны не меньше, чем у них 11).

Дальше мы покажем, что он всегда больше, кроме того случая, когда тела H 0 и H 1 равны и параллельно расположены (исключая, конечно, случай m = 1, при котором всегда V1 (H ) = (1 )V1 (H 0 ) + V1 (H 1 ), а также слу чай вырождающихся тел). (Заметим, что объем тела H можно трактовать как n-й интеграл кривизны. Тогда только что формулированная теорема включает и теорему Брунна.) 11) Эта теорема для частных случаев m = n 1 и m = 2 была доказана еще Г. Мин ковским [2, § 7]. Однако вопрос о знаке равенства оставался открытым.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Обратимся снова к функции () = m V () (1 ) m V (0) m V (1).

Мы доказали, что она неотрицательна, а так как (0) = 0, то ее первая производная также должна быть неотрицательной при = 0 и равной нулю тогда и только тогда, когда () = 0, т. е. когда в обобщенном неравен стве Брунна стоит знак равенства. Обращаясь к выражению V () через смешанные объемы Vk, получим V1 V0 1/m 1/m Vm + V (0) = 0, (17) 11/m V откуда V0m1 Vm, V1m (18) или в развернутом виде V (H 0,..., H 0, H 1, H1,..., Hnm )m m V (H,..., H, H1,..., Hnm )m1 V (H 1,..., H 1, H1,..., Hnm ).

0 m m Здесь m может быть любое от 2 до n.

Докажем теперь, что имеет место следующее общее неравенство, охваты вающее, в частности, неравенства (2) и (18):

m m V (H1,..., Hn ) V (Hk,..., Hk, Hm+1,..., Hn ). (19) k=1 m При m = 2 оно сводится к неравенству (2). Предположим, что оно верно для m, и докажем, что оно верно и для m + 1. Для этого заметим, что неравенство (18) можно переписать, беря вместо m m + 1, в виде V (Hk,..., Hk, Hm+1,..., Hn )m+ V (Hk,..., Hk, Hm+2,..., Hn )m V (Hm+1,..., Hm+1,..., Hn ) (20) для 1 k m.

Возведем неравенство (19) в (m + 1)-ю степень. Тогда, воспользовавшись неравенствами (20) и извлекая корень m-й степени, получим m+ V (H1,..., Hn )m+1 V (Hk,..., Hk, Hm+2,..., Hn ). (21) k= Тем самым наше общее неравенство доказано.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Как видно из доказывающих его рассуждений, знак равенства в нем сто ит тогда и только тогда, когда он стоит в неравенствах вида (20), или, что то же самое, в соответствующих им обобщенных неравенствах Брунна ви да (4).

В частном случае m = n неравенство (19) дает n V (H1,..., Hn )n V (Hk,..., Hk ), (22) k= т. е. n-я степень смешанного объема больше или равна произведению объе мов входящих в него тел.

Для приложений нам понадобится неравенство между интегралами кри визны, получающееся из (19). Если в (19) положить H1 =... = Hk = H (k m), Hk+1 =... = Hn = E, то получим Vk (H)m Vm (H)k V (E)mk, (23) где 1 k m n, V (E) — объем единичного шара и Vm (H), Vk (H) имеют смысл, указанный выше (см. формулу (16)).

Знак равенства в этом неравенстве будет стоять тогда и только тогда, когда он стоит во всех неравенствах вида l l l (1 ) Vl (H) + Vl (E), Vl (H ) где H = (1 )H + E и l m. Это непосредственно следует из только что сделанного замечания относительно знака равенства в общем неравен стве (19).

Вопрос об условиях наличия знака равенства в полученных нами общих неравенствах представляет большие трудности для окончательного реше ния. Он не решен даже для квадратичного неравенства Минковского в трех мерном пространстве. Можно видеть, что все сводится к изучению условий равенства в основном неравенстве. Относительно него мы докажем лемму, которая пригодится нам впоследствии и, может быть, позволит также пойти еще дальше в установлении условий равенства в общих неравенствах между смешанными объемами.

Лемма. Для того чтобы в основном неравенстве V (H1,..., Hn1, Z)2 V (H1,..., Hn1, Hn1 )V (H1,..., Hn2, Z, Z) стоял знак равенства, необходимо и достаточно, чтобы функция Z удовле творяла уравнению F (H1,..., Hn1 ;

) = F (H1,..., Hn2, Z;

), (24) 12) где = V (H1,..., Hn1, Z), = V (H1,..., Hn1, Hn1 ).

12) Об употребляемых здесь обобщенных смешанных объемах V (H,..., H n2, Z, Z) и смешанных поверхностных функциях F (H1,..., Hn2, Z;

) см. [1, § 6].

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Достаточность. Интегрируя Z(n) по функциям множеств, стоящим в уравнении (24), получим Z(n)F (H1,..., Hn1 ;

d) = Z(n)F (H1,..., Hn2, Z;

d), или, деля на n, V (H1,..., Hn1, Z)2 = V (H1,..., Hn1, Hn1 ) V (H1,..., Hn2, Z, Z). (25) Необходимость. Пусть имеет место равенство (25). Так как для любой разности выпуклых функций на единичной сфере верно основное неравен ство (1), то функция Z(n), удовлетворяющая условию (25), дает минимум разности V (H1,..., Hn1, Z)2 V (H1,..., Hn1, Hn1 )V (H1,..., Hn2, Z, Z). (26) Из природы обобщенных смешанных объемов вытекает, что они являют ся дифференцируемыми функционалами, т. е. допускают первую вариацию.

При Z, удовлетворяющей условию (25), вариация разности (26) должна рав няться нулю. Выполняя варьирование, получим Z(n)F (H1,..., Hn1 ;

d) = Z(n)F (H1,..., Hn2, Z;

d). (27) Согласно указанию, сделанному в § 6 части I этой работы, Z(n) может рассматриваться здесь как произвольная непрерывная функция. Поэтому из равенства (27) следует F (H1,..., Hn1 ;

) = F (H1,..., Hn2, Z;

).

Прежде чем приступить к приложениям полученных общих результатов, докажем две вспомогательные леммы, которые нам дальше понадобятся.

§ 5. Две леммы о проекциях выпуклых тел Лемма I. Если проекции двух выпуклых тел при любом направлении проектирования равны и параллельно расположены, то и сами тела рав ны и параллельно расположены 13). (Речь идет о телах в не менее чем 13) Лемма эта впервые доказана В. Зюссом [5]. Приведенное здесь изящное доказатель ство этой леммы принадлежит И. М. Либерману, студенту Ленинградского университета.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ трехмерном пространстве, так как лемма заведомо неверна для выпуклых областей на плоскости.) Пусть H1 и H2 — два выпуклых тела с равными и параллельно распо ложенными проекциями (в n-мерном пространстве). Возьмем два взаимно перпендикулярных направления проектирования n1, n2. Перенесем тело H2 так, чтобы проекция его в направлении n1 совпала с соответствующей проекцией тела H1. После этого тело H2 может перемещаться только в направлении n1. Передвинем его вдоль этого направления так, чтобы про екция тела H2 в направлении n2 совпала с соответствующей проекцией те ла H1. Это возможно сделать, так как проекция тела H2 в направлении n2 имеет тот же проектирующий цилиндр, что и соответствующая проек ция тела H1, с образующими, параллельными n1. А так как совмещаемые проекции равны и параллельно расположены, то движением одной из них в этом цилиндре можно привести их к совпадению. Покажем, что после этого все проекции тел H1 и H2 также совпадают друг с другом. Возьмем какое-нибудь направление проектирования n, не параллельное плоскости, определяемой направлениями n1 и n2. Тогда у тел H1 и H2 найдется по n 1 опорных плоскостей, параллельных n1 и n или n2 и n и находящихся в общем расположении 14). Эти опорные плоскости будут также опорными для проекций в направлениях n1 или n2. Так как упомянутые проекции у обоих тел совпадают, то и рассматриваемые опорные плоскости совпада ют. Но рассматриваемые опорные плоскости параллельны n, а значит, они будут опорными для проекций в направлении n. Таким образом, у двух равных и параллельно расположенных проекций n 1 опорных плоскостей, находящихся в общем расположении, совпадают. Значит, и самые проекции совпадают. Они отличаются только расположением их в плоскости. Вектор переноса от одной из них до другой имеет нулевые проекции на нормали к n 1 опорным плоскостям, находящимся в общем расположении. Поэтому и сам этот вектор равен нулю.


После того как совпадение проекций доказано для всех направлений, не параллельных плоскости направлений n1 и n2, его можно доказать и для любого направления в этой плоскости. Для этого достаточно взять за n и n2 направления, уже не параллельные этой плоскости. Всякая опорная плоскость выпуклого тела опорная и для какой-нибудь его проекции. По этому из совпадения всех проекций двух выпуклых тел следует совпадение всех их опорных плоскостей, а значит, и совпадение самих тел.

Лемма II. Пусть H1,..., Hn1 — данные выпуклые тела и H1,...

..., Hn1 — их проекции в направлении n0. Смешанный объем проекций 14) n 1 плоскостей находятся в общем расположении, если они не параллельны ни какой двумерной плоскости. Тогда нормали к ним не помещаются в менее чем (n 1) мерную плоскость.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II выражается через смешанную поверхностную функцию проектируемых тел в виде |n0 n| F (H1,..., Hn1 ;

d), V (H1,..., Hn1 ) = (1) где |n0 n| — абсолютная величина косинуса угла между n0 и n.

Еще в § 3 части I было показано, что площадь проекции тела H в направ лении n |n0 n| F (H,..., H;

d) V (H,..., H ) = (2) [1, § 3, формула (23)]. Положим n H= i Hi.

i= Так как проекция линейной комбинации выпуклых тел есть такая же ли нейная комбинация их проекций в том же направлении, то n H= i Hi.

i= По формуле (2) получим n1 n1 n |n0 n| F V i Hi,..., i Hi i Hi,... ;

d).

= (3) i=1 i=1 i= Развертывая правую и левую части этого равенства по произведениям чисел 1, 2,..., n1 и сравнивая коэффициенты при произведении 1 2... n1, получим формулу (1).

Мы уже упоминали, что смешанный объем выпуклого тела H и единич ного шара E Vm (H) пропорционален m-му интегралу кривизны тела H, а именно Vm (H) = Fm (H, ), (4) n где, как всегда, — полная поверхность единичного шара. Поэтому не воз никает недоразумений, если называть Vm (H) m-м интегралом кривизны тела H, как это и будет делаться в дальнейшем. Из доказанной только что леммы следует важный для дальнейшего результат: если у двух тел m-е функции кривизны Fm (H;

) равны, то и m-е интегралы кривизны их проекций тоже равны.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ § 6. Предварительные замечания о вырождающихся телах Мы ставим перед собой две задачи: 1) найти необходимые и достаточные условия наличия знака равенства в обобщенном неравенстве Брунна для интегралов кривизны и 2) установить, в какой мере задание какой-нибудь функции кривизны определяет выпуклое тело. Уже из доказательства Мин ковского теоремы о единственности многогранника с заданными нормалями и площадями граней можно усмотреть теснейшую связь обеих задач. Мы будем их решать одновременно, путем сведения друг на друга. Первая за дача полностью была решена до сих пор только для неравенства Брунна для объемов (n-х интегралов кривизны). Вторая — для (n 1)-й и первой функций кривизны, но только для функций кривизны в обычном смысле, т. е. только в случае регулярных тел, и еще для (n 1)-й функции кривизны многогранников [2;

4, § 13;

6]. Благодаря введенному нами общему понятию смешанных поверхностных функций, в частности функций кривизны, мы сможем решить поставленные задачи в полном объеме, без каких бы то ни было предположений регулярности и т. п. Прежде всего рассмотрим слу чаи, относящиеся к слишком сильно вырождающимся телам, для которых обе поставленные задачи оказываются, по существу, тривиальными. Пер вые интегралы кривизны следует вовсе исключить из рассмотрения, потому что всегда V1 ((1 )H0 + H1 ) = (1 )V1 (H0 ) + V1 (H1 ).

Для того чтобы смешанный объем V (H1,..., Hn ) не равнялся нулю, необхо димо и достаточно, чтобы в телах H1,..., Hn можно было провести отрезки a1,..., an, не параллельные одной плоскости. Этот легко доказываемый факт был установлен еще Г. Минковским [2, § 21, 22;

4, § 7 п. 29].

Мы будем рассматривать, как всегда, выпуклые тела в n-мерном про странстве. Какое-нибудь тело H назовем m-мерным, если оно помещается, самое меньшее, в m-мерной плоскости. Из только что приведенного условия неравенства смешанного объема нулю следует: Vm (H) 0 тогда и только тогда, когда тело H не менее чем m-мерное. Поэтому, если в обобщенном неравенстве Брунна при H = (1 )H0 + H m (1 ) m m Vm (H ) Vm (H0 ) + Vm (H1 ), (1) одно из тел H0 и H1 менее чем m-мерное, то неравенство тривиально. Пусть именно H1 менее чем m-мерное, тогда Vm (H1 ) = 0. (2) К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Вместе с тем m (1 )k mk Cm V (H0,..., H0, H1,..., H1, E,..., E), k Vm (H ) = (3) k= k mk следовательно, всегда (1 )m Vm (H0 ), Vm (H ) (4) а это и доказывает наше утверждение. Кроме того, из разложения (3) вы текает, что в неравенстве (4) будет стоять знак равенства тогда и только тогда, когда (k = 0, 1,..., m 1).

V (H0,..., H0, H1,..., H1, E,..., E) = 0 (5) k mk Отсюда, на основании приведенного выше условия равенства смешанного объема нулю, легко заключить:

Если в обобщенном неравенстве Брунна (1) тело H1 менее чем m-мерное, то знак равенства стоит там тогда и только тогда, когда H1 — точка и H0 — любое или, если H1 — не точка, когда оба тела H0 и H1 можно поместить (путем параллельного переноса) в одной менее чем m-мерной плоскости 15).

Пусть тело H менее чем m-мерное. Тогда, как ясно из условия равенства смешанного объема нулю, при всяком выпуклом теле L и для всех k m V (L, H,..., H, E,..., E) = 0. (6) k Из определения смешанного объема для любых непрерывных функций от сюда следует, что V (Z, H,..., H, E,..., E) = Z(n)Fk (H, d) = 0, (7) n k откуда, в силу произвольности Z(n), Fk (H, ) = 0. (8) 15) Иначе в H и H можно выбрать m отрезков, не параллельных никакой менее чем 0 m-мерной плоскости, и тогда хоть одно из равенств (5) невозможно.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Следовательно, если выпуклое тело менее чем m-мерное, то все его функции кривизны, порядка бльшего или равного m, тождественно равны нулю.

о Пусть теперь тело H m-мерное. Вспомним наглядный смысл функций кривизны для многогранников, установленный нами в § 5 части I. Постро им тело H + E, параллельное H. Тогда та часть поверхности этого тела, которая представляет собой цилиндр с образующими H и направляющей поверхностью (n m)-мерного шара, будет по величине пропорциональна nm. Площадь куска этого цилиндра, сферически отображаемого на об ласть, и будет представлять значение m-й функции кривизны. Площадь этого куска пропорциональна m-мерному объему H. Опорные плоскости к нему параллельны той m-мерной плоскости, в которой лежит H, и только нормали к этим опорным плоскостям определяют ту область на единичной сфере, в которой m-я функция кривизны не равна нулю, т. е. если не имеет общих точек с этой областью, то Fm (H, ) = 0. Указанная область на еди ничной сфере есть сечение ее (nm)-мерной плоскостью, перпендикулярной той плоскости, в которой лежит H. Если — та часть области, кото рая принадлежит этому сечению, то площадь сферически отображаемого на куска нашей цилиндрической поверхности будет пропорциональна.

Следовательно, m-я функция кривизны m-мерного выпуклого тела вполне определяется заданием его m-мерного объема и той m-мерной плоскости, в которой тело лежит.

В случае m = n1 все эти соображения становятся тривиальными. Здесь мы имеем (n 1)-мерное тело, и его (n 1)-я функция кривизны, т. е.

поверхностная функция, дискретна. Если n — нормаль к той плоскости, где лежит наше тело, то его поверхностная функция сводится к двум точечным «нагрузкам» в точках n, n на поверхности единичного шара. Полученный результат можно, конечно, формулировать еще так:

У двух m-мерных выпуклых тел m-е функции кривизны равны тогда и только тогда, когда оба тела имеют равные m-мерные объемы и лежат в параллельных m-мерных плоскостях.

§ 7. Единственность выпуклого тела с данной функцией кривизны После того как мы рассмотрели случаи, по существу, тривиального ре шения вопроса о знаке равенства в обобщенном неравенства Брунна и об определяемости выпуклого тела его функцией кривизны, обратимся к то му случаю, когда поставленный вопрос имеет уже полное содержание. Мы докажем две теоремы.

Теорема I. Если два не менее чем m-мерных выпуклых тела имеют оди наковые (m 1)-е функции кривизны, то они равны и параллельно распо ложены.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Теорема II. Пусть H0 и H1 — два не менее чем m-мерных выпуклых тела и H = (1 )H0 + H1. В обобщенном неравенстве Брунна для m-х интегралов кривизны (1 ) m Vm (H0 ) + m Vm (H1 ) m Vm (H ) (1) знак равенства стоит тогда и только тогда, когда H0 и H1 гомотетичны.

Лемма I. Для того чтобы в обобщенном неравенстве Брунна (1) сто ял знак равенства, необходимо и достаточно, чтобы тела H0 и H1 имели пропорциональные (m 1)-е функции кривизны.

Необходимость. В § 4 мы доказали, что если в обобщенном неравенстве Брунна стоит знак равенства, то он стоит также во всех промежуточных квадратичных неравенствах, т. е. при наличии равенства в (1) имеет место ряд равенств:

V (H0,..., H0, H1,..., H1, E,..., E)2 = k mk = V (H0,..., H0, H1,..., H1, E,..., E) V (H0,..., H0, H1,..., H1, E,..., E), (2) k1 mk1 k1 mk+ где k меняется от 1 до m 1.

В § 4 была доказана лемма, дающая условие наличия равенства в основ ном неравенстве между смешанными объемами. Полученный там результат приложим, конечно, к нашему частному случаю (2) основного неравенства.


Таким образом мы получаем ряд уравнений16):

k F (H0,..., H0, H1,..., H1, E,..., E;

) = k mk = k+1 F (H0,..., H0, H1,..., H1, E,..., E;

), (3) k1 mk где k = V (H0,..., H0, H1,..., H1, E,..., E).

k mk Эти равенства образуют целую цепь равенств при k, меняющемся от 1 до m 1. Каждое из них указывает на пропорциональность смешанных по верхностных функций. Поэтому крайние члены этой цепи также пропор циональны между собой. Они получаются при k = 0 и k = m 1, а это и будут (m 1)-е функции кривизны тел H0 и H1.

16) Здесь мы пользуемся тем, что H и H не менее чем m-мерны. Иначе все = 0, 0 1 k и равенства (3) хотя и верны, но теряют смысл.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Достаточность. Пусть (m 1)-е функции кривизны двух тел H0 и H пропорциональны:

Fm1 (H0, ) = Fm1 (H1, ). (4) m Увеличив H0 подобно в раз, получим два тела с равными функциями кривизны. Эти тела мы также обозначим H0 и H1. «Дифференцируя» ра венство (4), умножая на H0 и интегрируя по поверхности единичного шара, получаем Vm (H0 ) = V (H0,..., H0, E,..., E) = V (H0, H1,..., H1, E,..., E), (5) m m так как теперь = 1.

В § 4 из обобщенного неравенства Брунна было выведено обобщенное неравенство Брунна — Минковского (см. формулу (18) § 4), которое для нашего частного случая имеет вид V (H0, H1,..., H1, E,..., E)m Vm (H1 )m1 Vm (H0 ). (6) m Пользуясь равенством (5), получим Vm (H0 ) Vm (H1 ). (7) Но так как тело H1 ничем не хуже H0, то должно иметь место и обратное неравенство, а значит, Vm (H0 ) = Vm (H1 ), (8) и в обобщенном неравенстве Брунна — Минковского стоит знак равенства.

В том же § 4 было показано, что отсюда следует наличие знака равенства в обобщенном неравенстве Брунна (1). То, что мы заменили первоначально данное тело H0 ему гомотетичным, ничего не меняет, так как при умноже нии H0 на любое 0 равенство в неравенстве (6) сохранится.

Мы сейчас, собственно, показали, что если у двух тел H0 и H1 (m 1)-е функции кривизны равны, то их m-е интегралы кривизны равны (см. фор мулу (8)), а кроме того, в обобщенном неравенстве Брунна стоит в этом случае знак равенства. Отсюда следует Лемма II. Если у тел H0 и H1 (m1)-е функции кривизны равны, то все тела H = (1 )H0 + H1 имеют одинаковые m-е интегралы кривизны.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Если мы выделим из всего семейства (1 )H0 + H1 подсемейство для 1, то, конечно, и для крайних тел H1, H1 этого подсемейства будет иметь место знак равенства в обобщенном неравенстве Брунна. Поэтому у тел H1, H1 (m 1)-е функции кривизны пропорциональны:

Fm1 (H1, ) = Fm1 (H1, ). (9) Отсюда, как и раньше, получим Vm (H1 ) = V (H1, H1,..., H1, E,..., E), (10) а из равенства в обобщенном неравенстве Брунна — Минковского (6), заме няя H0 на H1, найдем Vm (H1 )m1 = m Vm (H1 )m1. (11) Так как тела H1 и H1 имеют одинаковые m-е интегралы кривизны, то = 1. Поэтому из формулы (9) получается:

Лемма III. Если у тел H0 и H1 (m 1)-е функции кривизны равны, то все тела H = (1 )H0 + H1 имеют те же самые (m 1)-е функции кривизны.

Лемма IV. Если у двух тел первые функции кривизны равны, то эти тела равны и параллельно расположены.

Пусть H — выпуклое тело с дважды непрерывно дифференцируемой опорной функцией H(u). Представим все векторы u отложенными из на чала. Пусть r — радиус, проведенный из начала, т. е. r = |u|, и пусть n — переменный единичный вектор или, что то же самое, точка на единичной сфере:

u = nr. (12) В силу положительной однородности опорной функции, H(u) = rH(n). (13) Как известно, сумма главных радиусов кривизны тела H, т. е. его первая функция кривизны в обычном смысле, получается, если применить к H(u) оператор Лапласа n = (14) u2k k= и в результате положить r = |u| = 1, см. [4, § 8] или [7, § 94]. Введя сфери ческие координаты, получим элемент длины в виде ds2 = dr 2 + r 2 d 2, (15) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ где d — элемент длины на единичной сфере. Поэтому в сферических ко ординатах оператор Лапласа 1 1 r n1, = + (16) r r n1 r r где — «оператор Лапласа на единичной сфере», не содержащий произ водных по r. Благодаря этому сумма главных радиусов кривизны тела H будет ( rH(n) при r = 1) равна H(n) + (n 1)H(n). (17) Следовательно, если тело H имеет дважды непрерывно дифференцируемую опорную функцию, то его первая функция кривизны 17) H(n) + (n 1)H(n)] d.

F1 (H, ) = [ (18) Если теперь Z(n) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция на единичной сфере, то, как показано в § 4 части I, она представ ляется как разность опорных функций на единичной сфере:

Z(n) = H (n) H (n), и, по определению, данному для смешанных поверхностных функций, для любых таких функций Z(n) F1 (Z, ) = F1 (H, ) F1 (H, ) = Z(n) + (n 1)Z(n)] d.

[ (19) Пусть теперь H1 и H2 — два выпуклых тела с равными первыми функ циями кривизны F1 (H1, ) = F1 (H2, ) (20) и пусть Yl (n) — шаровая функция (на n-мерной единичной сфере). Из ра венства (20) получим Yl (n)F1 (H1, d) = Yl (n)F1 (H2, d) (21) 17) Согласно формуле (17) § 5 части I, интеграл в (18) следовало бы делить на n 1, но ради краткости мы опускаем этот несущественный коэффициент.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II или, воспользовавшись свойством самосопряженности смешанных поверх ностных функций, — H1 (n)F1 (Yl, d) = H2 (n)F1 (Yl, d). (22) Так как шаровые функции дважды непрерывно дифференцируемы, то мы можем воспользоваться равенством (19) и получим H1 (n)[ Yl (n)+(n1)Yl(n)] d = H2 (n)[ Yl (n)+(n1)Yl(n)] d. (23) Шаровые функции на n-мерном единичном шаре удовлетворяют уравнению Yl (n) + l(l + n 2)Yl (n) = 0 (24) или, полагая l(l + n 2) + (n 1) = l, Yl (n) + (n 1)Yl (n) = l Yl (n). (25) При l = 0, т. е. при l = 1, получаем шаровые функции первого порядка:

Y1 (n) = (a n), (26) где a — произвольный вектор. Это представляет то слагаемое, которое по лучает опорная функция на единичной сфере H(n) тела H при переносе его на вектор a 18).

Благодаря равенству (25) мы можем переписать формулу (23) в виде l H1 (n)Yl (n) d = l H2 (n)Yl (n) d. (27) 18) Всеуказанные свойства шаровых функций на n-мерном шаре получаются сразу из их определения: если Pl (u) — гармонический полином степени l, то Pl (u) = rl Yl (n).

Полнота системы шаровых функций доказывается, как известно, сразу, если заметить, что всякий однородный многочлен степени l представим в виде U1 (u) = Pl (u) + r2 Pl2 (u) + r4 Pl4 (u) +..., а этот факт доказывается простым подсчетом числа произвольных коэффициентов в обеих частях написанного равенства.

Идея применения шаровых функций к доказательству единственности выпуклого тела с заданной суммой главных радиусов кривизны принадлежит А. Гурвицу [8].

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Следовательно, при l = 0 все коэффициенты Фурье функций H1 (n) и H2 (n) соответственно равны друг другу. Так как система шаровых функций за мкнута, то это возможно только в том случае, когда H1 (n) и H2 (n) отли чаются на собственную функцию, относящуюся к собственному значению l = 0, а эта собственная функция представляет параллельный перенос от одного тела к другому.

Таким образом, наши две теоремы доказаны соответственно для первых функций кривизны и вторых интегралов кривизны. Остается доказать их для функций и интегралов кривизны более высокого порядка. Для этого заметим, что так как для плоских выпуклых областей существуют функ ции кривизны только первого порядка, то для них обе теоремы доказаны в полном объеме. Поэтому предположим, что обе теоремы верны для тел в (n 1)-мерном пространстве, и докажем их для тел в n-мерном простран стве.

Пусть тела H0 и H1 имеют равные m-е функции кривизны, где m 1.

Тогда по лемме III то же верно для всех тел семейства H = (1)H0 +H1.

В § 5 было доказано, что в таком случае m-е интегралы кривизны их проек ций в одних и тех же направлениях тоже равны. Проекции тел линейного семейства (1 )H0 + H1 образуют такие же линейные семейства, и для этих семейств в обобщенном неравенстве Брунна для интегралов кривизны m-го порядка стоит знак равенства. Наши тела H0 и H1 мы предпола гаем, конечно, более чем m-мерными (раз речь идет о их m-х функциях кривизны). Поэтому их проекции не менее чем m-мерные, так что по пред положению индукции знак равенства в неравенстве Брунна для них стоит только тогда, когда они гомотетичны (заметим, что m 1), а кроме того, m-е интегралы кривизны у них равны. Значит, проекции тел H0 и H1 при одинаковых направлениях проектирования равны и параллельно располо жены. Отсюда на основании леммы I § 1 следует, что и сами тела H0 и H равны и параллельно расположены.

Мы доказали, таким образом, теорему I. Но так как, благодаря лемме I, обе теоремы равносильны, то тем самым доказана и теорема II.

§ 8. Единственность центрально-симметричного выпуклого тела с данными поперечными мерами В этом параграфе мы дадим приложение общей теоремы единственности выпуклого тела с данной функцией кривизны.

Проекция выпуклого тела H на любую менее чем (n 1)-мерную плос кость P есть вместе с тем проекция его проекции на любую (n 1)-мерную плоскость, параллельную P. Поэтому, если все m-мерные поперечные ме ры выпуклого тела известны, то известны и средние m-мерные поперечные К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II меры всех его плоских проекций. При этом под средней (n 1)-мерной поперечной мерой плоской проекции мы подразумеваем ее площадь.

В дальнейшем плоские, т. е. (n 1)-мерные, проекции выпуклого тела будем называть просто проекциями. Проекцию тела H в направлении n обозначим Hn, m-е интегралы и функции кривизны тела H — Vm (H) и Fm (H, );

Vm (Hn ) будет m-м интегралом кривизны проекции Hn и при m = = n1 — ее площадью. Так как средние поперечные меры пропорциональны интегралам кривизны, то является несущественным, какие именно из этих величин мы рассматриваем.

Еще в § 5 было показано, что |nn |Fm (H, d ).

Vm (Hn ) = (1) Штрихами отмечены переменные и области, по которым производится ин тегрирование. Наша ближайшая задача — выяснить вопрос о том, в какой мере знание m-х интегралов кривизны проекций выпуклого тела определяет его m-ю функцию кривизны [9].

Лемма I. Интегральное уравнение |nn |Y (n ) d Y (n) = (2) имеет собственными функциями шаровые функции четных порядков.

Пусть Y2l (n ) — шаровая функция четного порядка. Закрепим на единич ной сфере точку n и примем ее за полюс. Тогда Y2l (n ) представится как линейная комбинация шаровых функций того же порядка, для которых n — полюс системы координат на сфере:

(n) Y2l (n ) = am Y2l,m (n ). (3) m Если — полярное расстояние от точки n и — точка на (n 1)-мерной сфере, получающейся в экваториальном сечении n-мерной сферы, то (n) Y2l,m (n ) = P2l,m ( )Ym ( ). (4) (Этот результат получается сразу, если как обычно выразить оператор Ла пласа на сфере в переменных и.) Здесь Ym ( ) — шаровая функция на (n 1)-мерной сфере. Поэтому при m = (n) Y2l,m (n) = P2l,m (0)Ym ( ) = 0, (5) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ так как иначе имелась бы многозначность в полюсе, и (n) Y2l (n) = a0 Y2l,0 (n). (6) Так как |n n | = | cos |, то при m = (n) |n n |Y2l,m (n ) d = 0 (7) и поэтому (n) |n n |Y2l (n ) d = a0 |n n |Y2l,0 (n ) d. (8) Стоящий здесь справа интеграл не зависит от выбора точки n. Положим 1 (n) |n n |Y2l,0 (n ) d =. (9) (n) l Y2l,0 (n) Тогда, сравнивая равенства (6) и (8), получим |n n |Y2l (n ) d, Y2l (n) = l (10) что и требовалось доказать.

Уравнение (2) не имеет других собственных функций, так как из четности его ядра (т. е. из |n n | = | n n |) следует, что все его собственные функции четные;

а шаровые функции четного порядка образуют полную систему в совокупности четных функций.

Умножим теперь равенство (1) на Y2l (n) и проинтегрируем, тогда |n n |Fm (H, d ).

Vm (Hn )Y2l (n) d = Y2l (n) d (11) Изменяя в правой части порядок интегрирования и замечая, что Y2l (n) удов летворяет уравнению (2), получим Vm (Hn )Y2l (n) d = Y2l (n)Fm (H, d). (12) Следовательно, как только Vm (Hn ) заданы, так стоящие здесь справа инте гралы известны.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Пусть теперь Z(n) — функция, равная единице в некоторой области и в симметричной ей области и равная нулю в остальных точках поверх ности единичного шара. Z(n) — функция четная, а потому можно постро ить последовательность сходящихся к ней линейных комбинаций шаровых функций четных порядков Zk (n):

Z(n) = lim Zk (n). (13) k Интегралы Zk (n)Fm (H, d) известны, а потому известен их предел, равный (предполагается, что и не имеют общих точек)19) Z(n)Fm (H, d) = Fm (H, ) + Fm (H, ). (14) Следовательно, задание m-х средних поперечных мер выпуклого тела опре деляет четную часть Fm (H, ) + Fm (H, ) его m-й функции кривизны, иными словами справедлива Лемма II. Если у двух выпуклых тел средние m-мерные поперечные меры их проекций равны, то четные части их m-х функций кривизны тоже равны, т. е.

Fm (H1, ) + Fm (H1, ) = Fm (H2, ) + Fm (H2, ). (15) Если тела H1 и H2 имеют центры симметрии, то их функции кривизны четные, и в таком случае Fm (H1, ) = Fm (H2, ). (16) Отсюда, на основании доказанной ранее теоремы единственности, следует Теорема. Если средние поперечные меры данного измерения всех про екций выпуклого тела с центром симметрии заданы, то такое тело, с точно стью до параллельного переноса, единственное.

19) Пусть замкнуто. Z(n) можно аппроксимировать равномерно ограниченными непрерывными функциями, так что они будут сходиться к Z(n) равномерно в и и будут исчезать за пределами некоторого множества и ( ). Эти непрерывные функции можно, в свою очередь, равномерно аппроксимировать линейными комбинаци ями шаровых функций четных порядков Zk (n). Тогда, как показывают тривиальные оценки, Zk (n)Fm (H, d) = Z(n)Fm (H, d).

lim k А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Например, если у двух тел с центрами симметрии площади проекций в параллельных направлениях равны, то такие тела равны и параллельно расположены.

Задание поперечных мер дает нам знание их средних для всех проекций.

Имеет ли место также и обратное для всех выпуклых тел — остается невы ясненным, кроме одного случая (исключая тривиальный, когда речь идет о (n 1)-мерных поперечных мерах, так как здесь среднее просто совпа дает с самой поперечной мерой). Это случай одномерных поперечных мер.

Из равенства средних одномерных поперечных мер всех проекций двух тел следует F1 (H1, ) + F1 (H1, ) = F1 (H2, ) + F1 (H2, ) (17) или, если положить B(n) = H(n) + H(n), F1 (B1, ) = F1 (B2, ), (18) откуда следует равенство B1 (n) = B2 (n).

§ 9. Экстремальные свойства шара В конце § 4 мы получили неравенство между интегралами кривизны Vk (H)m Vm (H)k V (E)mk. (1) Здесь 1 k m n.

Vm (H) = 0 тогда и только тогда, когда тело H не менее чем m-мерное.

Только при этом условии неравенство (1) не тривиально. Там же, в конце § 4, было показано, что знак равенства в неравенстве (1) стоит тогда и только тогда, когда он стоит в обобщенных неравенствах Брунна (1 ) l Vl (H) + l l Vl (H ) Vl (E), (2) где l m, H = (1 )H + E.

По теореме II, доказанной в § 6, знак равенства в этих обобщенных нера венствах Брунна может стоять тогда и только тогда, когда тело H гомо тетично E, если только оно не менее чем m-мерное, так как l меньше или равно m.

Таким образом, знак равенства в неравенстве (1) стоит тогда и только тогда, когда тело H — шар, если только оно не менее чем m-мерное. Но в этом случае получающееся равенство сводится к: нуль равен нулю.

Отсюда получается обобщение известного свойства шара иметь при за данном объеме наименьшую поверхность.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. II Теорема. Среди всех выпуклых тел с данным не равным нулю m-м ин тегралом кривизны наименьший интеграл кривизны любого порядка, мень шего m, имеет шар и только шар.

Мы уже упоминали, что m-й интеграл кривизны равен, с точностью до постоянного множителя, среднему m-мерных поперечных мер того же вы пуклого тела. Поэтому в доказанном экстремальном свойстве шара можно говорить о средних поперечных мерах. На основании этого замечания из доказанной теоремы очевидным образом вытекает такое следствие:

среди всех выпуклых тел с данной наименьшей m-мерной поперечной мерой наименьшую среднюю поперечную меру любого измерения, меньшего m, имеет шар и только шар.

Это следствие, как и саму теорему, можно, конечно, обратить и утвер ждать, что среди всех выпуклых тел с данной наибольшей m-мерной по перечной мерой наибольшую среднюю поперечную меру любого измерения, большего m, имеет шар и только шар. Например, среди всех выпуклых тел данного диаметра шар и только шар имеет наибольшую поверхность.

Во всех этих результатах под n-м интегралом кривизны, так же как под n-мерной поперечной мерой данного выпуклого тела, подразумевается его объем.

Доказанная теорема равносильна утверждению, что отношение Vk (H)m (k m) km (H) = (3) Vm (H)k имеет минимум, когда H — шар.

Этот результат можно уточнить, следуя методу Минковского, а именно, можно показать, что отношение интегралов кривизны km (H) монотонно убывает при перехо де от любого выпуклого тела H к параллельному телу H + E и остается постоянным только тогда, когда H — шар.

Это достаточно доказать для отношения Vm1 (H)m, m1,m (H) = (4) Vm (H)m потому что отношение km (H) при любом k m получается из умноже ния отношений l1,l (H), взятых в некоторых положительных степенях, при l, меняющемся от k + 1 до m 20).

20) Так, l+2 l+ l · l,l+2.

= l+1,l+ l,l+ Пользуясь этим легко проверяемым соотношением, меняя l от k до m 2, можно убедить ся в правильности сделанного утверждения. Соответствующий результат, выраженный формулой, получается слишком сложным, поэтому мы его не выписываем.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Рассмотрим семейство тел H = H + E (0 1), соединяющее дан ное выпуклое тело с ему параллельным. Из обобщенного неравенства Брун m Vm (H ) является выпуклой функцией и линейной толь на следует, что ко в том случае, когда H и H + E гомотетичны, т. е. тогда, когда H — шар.

m Vm (H ) будет монотонно убывающей функцией Поэтому производная от и постоянной только тогда, когда H — шар:

d d m Vm (H ) = V (H ). (5) 11/m d m d mVm (H ) Так как H = H + E, то m k Cm Vmk (H).

k Vm (H ) = (6) k= k k Дифференцируя по и замечая, что kCm = mCm1, получим m d k Cm1 Vmk1 (H).

k Vm (H ) = m (7) d k= Стоящая здесь сумма есть не что иное, как Vm1 (H ). Поэтому d Vm1 (H ) m m Vm (H ) = = m1,m (H ). (8) Vm (H )11/m d m Vm (H ) не возрастает, оставаясь постоянной Так как производная от только тогда, когда H — шар, то то же верно и для отношения m1,m(H +E).

Статья поступила в редакцию 17.IV. ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. I: Расширение неко торых понятий теории выпуклых тел // Мат. сб. 1937. Т. 2, № 5. С. 947–972.

2. Minkowski H. Volumen und Oberche // Math. Ann. 1903. Bd 57. S. 447–495.

a 3. Александров А. Д. Новые неравенства для объемов выпуклых тел // Докл. АН СССР.

1937. Т. 14, № 4. С. 155–157.

4. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Krper. Berlin: Springer, 1934. (Русский o перевод: Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002.) 5. S ss W. Zusammensetzung von Eikrpern und homothetische Eichen // Thoku Math. J.

u o a o 1932. V. 35. P. 47–50.

6. Christoel E. B. Uber die Bestimmung einer krummen Oberche // Ges. Abh. Bd 1.

a Leipzig;

Berlin: Teubner, 1910.

7. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М.;

Л.: ОНТИ, 1935.

8. Hurwitz A. Sur quelques applications gomtriques des sries de Fourier // Ann. de l’Ecole ee e Normale. 1902. T. 19. P. 357–408.

9. Blaschke W. Kreis und Kugel. Leipzig: Veit, 1916. (Русский перевод: Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967.) К теории смешанных объемов выпуклых тел. III:



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 21 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.