авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 21 |

«А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Избранные труды Том 1 ГЕОМЕТРИЯ и ПРИЛОЖЕНИЯ Новосибирск «Наука» 2006 ...»

-- [ Страница 5 ] --

Распространение двух теорем Минковского о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела 1) Математический сборник. 1938. Т. 3, № 1. С. 27– В этой статье мы дадим обобщение двух результатов, полученных Г. Мин ковским в его работе «Общие теоремы о выпуклых многогранниках» [3], а именно, теоремы о минимальном свойстве многогранников, описанных око ло шара, и теоремы о существовании и единственности выпуклого много гранника с заданными направлениями и площадями граней. При этом в доказательствах мы будем в точности следовать методу Минковского, что, надеемся, подчеркнет его изящество и силу.

§ 1. О выпуклых телах с данной областью задания опорной функции Так же, как и в предыдущих частях работы, мы будем рассматривать выпуклые тела в n-мерном пространстве, n всегда будет обозначать число измерений пространства. В пространстве мы раз и навсегда выберем начало и будем как точки, так и векторы, проведенные в них из начала, обозначать одним символом x. В пространстве у нас будет задан единичный шар E.

Каждому единичному вектору n будет соответствовать на E точка n — ко нец вектора, равного n и отложенного из центра E. Опорной функцией H(n) выпуклого тела H будем называть функцию единичных векторов n, даю щую расстояние от начала до опорной плоскости к H с внешней нормалью n.

(Расстояние это считается положительным в направлении n и отрицатель ным в обратном направлении.) Мы будем говорить, что в точке x на теле H есть нормаль n к телу H, если через x проходит плоскость, опорная к H с внешней нормалью n.

Возьмем на единичной сфере замкнутое множество, не лежащее в од ной полусфере. (К полусфере относится и ее граница.) Зададим на мно непрерывную положительную функцию H (n). Выбрав начало жестве 1) Первые две части этой работы см. в [1, 2].

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ координат, построим семейство плоскостей такое, что H (n) представляет собой расстояние от начала до плоскости с нормалью n, направленной от начала. В множестве можно выбрать (n+1) точек n1,..., nn+1 так, чтобы векторы n1,..., nn+1 не были направлены в одно полупространство. Плос кости нашего семейства с такими нормалями ограничат некоторый сим плекс. Поэтому все полупространства, определяемые неравенствами H (n) (n nx ), (1) дают в своем пересечении выпуклое тело H. Так как H (n) 0, то те ло H содержит начало внутри себя. Это выпуклое тело мы назовем телом с данной областью задания опорной функции. Если состоит из конеч ного числа точек n1,..., nN, то выпуклое тело с такой областью задания опорной функции будет многогранником с системой нормалей n1,..., nN к ограничивающим его плоскостям.

Лемма I. Через каждую точку поверхности тела H проходит хоть одна из плоскостей n x = H (n) (n ). (2) Тело H определяется как геометрическое место тех точек x, которые удо влетворяют всем неравенствам (1). Если для какой-нибудь точки x0 при всяком n, принадлежащем, n x0 H (n) (n ), то по непрерывности функции H (n) можно указать такое a 0, что x находится на расстоянии не меньшем a от любой из плоскостей (2). Тогда шар радиуса a с центром в x0 лежит внутри всех полупространств (1), так что точка x0 внутренняя для них, а значит, внутренняя и для тела H.

Обозначим H(n) опорную функцию тела H. Так как при всяком n на поверхности H есть точки x, для которых n x = H(n), а вместе с тем при n, принадлежащем, для всех точек тела H n x H (n), то H (n) (n H(n) ). (3) Лемма II. Если n0 не идет в, то в точке x0 поверхности H с норма лью n0 есть и другие нормали, т. е. такая точка x0 особая (n0 идет в, значит, конец вектора n0 попадает в, если его отложить из центра E).

Через точку x0 проходит опорная плоскость с нормалью n0, а по лемме I через нее же проходит одна из плоскостей (2), нормаль к которой идет в и, следовательно, отлична от n0.

Лемма III. Если при некоторой n0, идущей в, H(n0 ) H (n0 ), то точка x0 на поверхности H с нормалью n0 — особая.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. III Через точку x0 проходит опорная плоскость с нормалью n0. По лемме I через нее же проходит одна из плоскостей (2). Нормаль к этой плоскости отлична от n0, так как H(n0 ) H (n0 ), а это значит, что опорная плоскость с нормалью n0 проходит ближе к началу, чем параллельная ей плоскость из семейства (2).

Множество всех особых точек поверхности выпуклого тела имеет меру нуль. Мера множества точек с нормалями, идущими в область на еди ничной сфере, есть значение поверхностной функции F (H, ) для области.

Поэтому из леммы II получаем, что значение поверхностной функции те ла H для области, дополнительной к, равно нулю 2), т. е.

\ F (H, ) = 0. (4) Точно так же из леммы III следует, что для области 0, где H(n) H (n) (0 ), F (H, 0 ) = 0. (5) Вместе с тем во всех других точках n, принадлежащих, H(n) = H (n).

Поэтому H (n) F (H, d), H(n) F (H, d) = (6) \ и так как, кроме того, F (H, ) = 0, то H (n) F (H, d).

H(n) F (H, d) = (7) Отсюда непосредственно следует Лемма IV. Объем тела H, определяемого функцией H (n), заданной на, равен V (H ) = H (n) F (H, d). (8) n Лемма V. Если последовательность непрерывных функций H1 (n),..., заданных на, равномерно сходится к положительной функции H2 (n), H (n), то выпуклые тела H1, H2,..., определяемые функциями последова тельности, сходятся к телу H, определяемому предельной функцией.

2) И так как F (H, ) неотрицательна, то F (H, ) = 0, если \.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Для того чтобы последовательность выпуклых тел H1, H2,... сходилась к телу H (которое имеет внутренние точки), необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, любая внутренняя точка тела H была внутренней для всех тел Hm, как только m достаточно велико;

и во-вторых, любая точка, не принадлежащая H, также не принадлежала всем телам Hm с достаточно большими номерами [4, § 18].

Пусть точка x0 лежит внутри H и пусть a — минимум ее расстояний от опорных плоскостей. Тогда для всех n, принадлежащих, H (n) a H(n) a (n n x0 ). (9) Пусть M столь велико, что при m M a |H (n) Hm (n)| (n ), (10) тогда при всяком m M a n x0 Hm (n). (11) Значит, точка x0 лежит внутри тел Hm с номерами, большими M, как это видно из рассуждений, доказывающих лемму I.

Пусть точка x0 лежит вне тела H. Тогда найдется такое n0, принадле жащее, что n0 x0 = H (n0 ) + a, (12) где a 0 — расстояние от x0 до плоскости n0 x = H (n0 ). При достаточно больших m a |H (n0 ) Hm (n0 )|, (13) поэтому a n0 x0 Hm (n0 ) +. (14) Это значит, что точка x0 лежит вне тела Hm.

Определим, как это принято, вариацию объема тела, определяемого функцией H (n):

V (H + tH ) V (H ) V (H ) = lim. (15) t t Лемма VI. Объем тела, определяемого непрерывной положительной функцией H (n), заданной в области, имеет первую вариацию и V (H ) = H (n) F (H, d ), (16) где F (H, ) — поверхностная функция тела, определяемого функцией H (n).

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. III Пусть H (n) — данная непрерывная функция, заданная на.

При достаточно малых t функции H (n) + tH (n) будут положительны ми и будут поэтому определять некоторые выпуклые тела Ht. Из леммы V вытекает, что при t, стремящемся к нулю, тела Ht сходятся к телу H0, опре деляемому функцией H (n). Для определенности мы будем считать, что t стремится к нулю по положительным значениям. Если, напротив, t не при нимает положительных значений, то получаемые нами далее неравенства изменятся на обратные, и окончательный результат сохранит силу. А если при t, стремящемся к нулю по положительным или только по отрицатель ным значениям, предел в формуле, определяющей вариацию, получается один и тот же, то он будет тот же самый при любом законе стремления t к нулю. Поэтому мы смело можем считать t положительным.

Пусть Ht (n) — опорная функция тела Ht :

H (n) + tH (n) (n Ht (n) ). (17) \ Поэтому, принимая во внимание, что F (H0, ) = 0, получим [H (n) + tH (n)] F (H0, d) Ht (n) F (H0, d). (18) По лемме IV H (n) F (H0, d) = H0 (n) F (H0, d). (19) Вычитая это равенство из неравенства (18), получим H (n) F (H0, d) Ht (n) F (H0, d) t H0 (n) F (H0, d ). (20) Стоящие справа интегралы равны умноженным на n смешанному объему V (Ht, H0,..., H0 ) и объему тела H0.

Положим для краткости V (Ht,..., Ht, H0,..., H0 ) = Vm. (21) m Деля неравенство (20) на t и переходя к пределу при t 0, получим V1 V H (n) F (H0, d) n lim. (22) t t А. Д. АЛЕКСАНДРОВ По лемме IV [H (n) + tH (n)] F (Ht, d) = Ht (n) F (Ht, d). (23) Вместе с тем при n, идущем в, H (n) H0 (n) и так как F (Ht, \ ) = 0, то H (n) F (Ht, d) H0 (n) F (Ht, d). (24) Вычитая это неравенство из равенства (23), получим H (n)F (Ht, d) Ht (n) F (Ht, d) t H0 (n) F (Ht, d). (25) Непрерывную функцию H (n) можно распространить на всю поверхность единичного шара 3). При этом интеграл от нее по F (Ht, ) не изменится, так как F (Ht, \ ) = 0. Но тогда становится ясным, что интеграл, стоя щий в левой части (25), представляет собой обобщенный смешанный объем nV (H, Ht,..., Ht ). По лемме, доказанной в § 6 части I этой работы [1], в пределе, когда t 0, он превратится в nV (H, H0,..., H0 ) = H (n) F (H0, d). (26) Поэтому, если выразить стоящие в (25) справа интегралы через смешанные объемы и перейти к пределу при t 0, получится Vn Vn H (n) F (H0, d) n lim. (27) t t Из неравенства Брунна — Минковского V0n1 Vn V1n (28) путем вычитания V0n получим V1n V0n V0n1 (Vn V0 ), (29) 3) См., напр., теорему Брауэра — Урысона [5, § 25].

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. III а разлагая обычным образом разность n-х степеней и деля на V0n1, — n1 k V (V1 V0 ) Vn V0. (30) V k= Так как при t, стремящемся к нулю, тела Ht сходятся к H0, то lim V1 = V0.

t Поэтому, деля неравенство (30) на t и переходя к пределу, получим V1 V0 Vn V n lim.

lim (31) t t t0 t Совершенно аналогичные рассуждения, исходя из неравенства n n Vn1 Vn V0, (32) приводят к другому неравенству:

Vn Vn1 Vn V n lim.

lim (33) t t t0 t Это неравенство вместе с (31) дает V1 V0 Vn V0 Vn V0 Vn Vn n lim n lim.

lim lim (34) t t t t t0 t0 t0 t В то же время, сопоставляя полученные раньше неравенства (22) и (27), получим V1 V0 Vn Vn H (n)F (H0, d) n lim n lim. (35) t t t0 t Из сравнения этих двух рядов неравенств видно, во-первых, что существует Vn V, lim t t а он равен вариации объема;

во-вторых, что этот предел равен интегралу, стоящему во втором ряду неравенств. Поэтому V (H ) = H (n) F (H0, d), (36) что и требовалось доказать.

В § 3 нам понадобятся полученные здесь общие результаты для того слу чая, когда множество простирается на всю поверхность единичного шара.

Всякая положительная непрерывная функция на единичной сфере опреде ляет некоторое выпуклое тело. Его объем можно назвать объемом этой функции. Мы показали, что он зависит от этой функции непрерывно и даже допускает первую вариацию.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ § 2. Минимальное свойство тел, описанных вокруг шара Возьмем на единичной сфере замкнутое множество, не лежащее в од ной полусфере.

Лемма. Если H0 (n) и H1 (n) — две положительные непрерывные функ ции, заданные на множестве, то функции H (n) = (1 )H0 (n) + H1 (n) определяют выпуклое семейство выпуклых тел H, соединяющее тела H0 и H1, определяемые функциями H0 (n) и H1 (n) 4).

Выпуклое тело H определяется как пересечение полупространств (n nx H (n) ), (1) т. е. оно является геометрическим местом точек x, удовлетворяющих всем этим неравенствам.

Возьмем два значения параметра : 1 и 2. Соединим тела H1 и H линейным семейством (1 )H1 + H2. Каждое тело этого семейства есть геометрическое место точек x, удовлетворяющих неравенствам (1 )H1 (n) + H2 (n), nx (2) где n — любая точка на единичной сфере.

С другой стороны, тела H(1 )1 + 2 являются геометрическими места ми точек x, удовлетворяющих неравенствам (1 )H1 (n) + H2 (n) (n nx ), (3) где n — точка множества. Кроме того, на самом множестве H1 (n) H1 (n) и H2 (n) H2 (n).

Следовательно, каждая точка x, удовлетворяющая неравенствам (2), удо влетворяет и неравенствам (3). А это значит, что тело (1 )H1 + H содержится в теле H(1 )1 + 2, т. е. семейство H выпуклое.

Для всякого выпуклого семейства выполняется неравенство Брунна. По этому функция () = n V (H ) (4) — выпуклая. Здесь V (H ) — объем тела H.

4) Семейство тел H называют выпуклым, если при любых и тело H 1 (1 )1 + содержит тело (1 )H1 + H2, где 0 1, 0 1. В лемме подразумевается, что 0 1.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. III В § 1 было показано, что объем тела, определяемого функцией H (n), имеет первую вариацию. Поэтому функция () дифференцируема. Так как она выпуклая, то ее производная () является монотонно убывающей функцией и постоянной только тогда, когда тела H0 и H1 гомотетичны, так как только в этом случае в неравенстве Брунна стоит знак равенства.

положительную непрерывную функцию H (n).

Зададим на множестве Она определяет выпуклое тело H. Если H (n) = R — постоянная, то все опорные плоскости тела H, нормали к которым идут в, будут касаться шара радиуса R. Остальные опорные плоскости этого тела будут проходить через особые точки его поверхности, как это показывает лемма III § 1. Такое тело мы назовем описанным вокруг шара.

Пусть H0 — тело, определяемое функцией H (n). Рассмотрим семейство тел H, определяемых функциями H (n) + (0 1). Все тела H имеют одну и ту же область задания опорной функции.

Производная от () по будет равна F (H, ).

() = (5) nV (H )11/n Действительно, в данном случае (H (n) + ) = 1, а потому, на осно вании леммы VI § 1, получим формулу (5). Так как F (H, \ ) = 0, то F (H, ) = F (H, ), т. е. равно площади поверхности тела H.

Производная () монотонно убывает и остается постоянной только то гда, когда крайние тела семейства H0 и H1 гомотетичны. Поэтому отноше ние n-й степени поверхности тела H к (n1)-й степени его объема обладает тем же свойством. Можно от тела, определяемого функцией H (n) + 1, пе рейти точно так же к телу, определяемому функцией H (n)+2, и т. д. Полу чающиеся тела можно подобно преобразовывать так, чтобы все они имели один и тот же объем. При этом отношения n-х степеней поверхностей этих тел к (n 1)-м степеням их объемов не изменятся. Все полученные таким образом тела будут сходиться к телу, описанному вокруг шара, а указанные отношения будут убывать и оставаться постоянными только в том случае, когда исходное тело будет им всем гомотетично, а значит, будет гомотетично предельному телу, т. е. когда исходное тело описано около шара.

Этим доказана следующая теорема.

Теорема. Среди всех выпуклых тел с одной и той же областью задания опорной функции наименьшую поверхность при заданном объеме имеет те ло, описанное вокруг шара, и только такое тело обладает этим минималь ным свойством.

Эта теорема включает теорему ЛинделЁфа о том, что среди всех много гранников с заданной системой нормалей к их граням наименьшую поверх ность при заданном объеме имеет многогранник, описанный вокруг шара.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Она заключает также, например, и такой результат: среди всех прямых выпуклых цилиндров с данным объемом наименьшую поверхность имеет цилиндр, описанный вокруг шара. Можно, конечно, указать еще много частных случаев этой теоремы, имеющих простой наглядный смысл.

§ 3. Существование выпуклого тела с заданной поверхностной функцией Еще в первой части [1] этой работы было показано, что поверхностная функция F (H, ) выпуклого тела H, во-первых, неотрицательна, во-вторых, абсолютно аддитивна, в-третьих, удовлетворяет условию n F (H, d) = 0, в-четвертых, если тело H имеет внутренние точки, то при любом единичном векторе n |n0 n| F (H, d) 2a 0, где a — одна и та же постоянная для всех n0. Оказывается, что эти четыре условия не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы функция множеств на единичной сфере была поверхностной функцией некоторого выпуклого тела с внутренними точками.

Теорема. Пусть F () — неотрицательная и абсолютно аддитивная функция множеств на единичной сфере, удовлетворяющая двум условиям:

n F (d) = 0 (1) и при любом единичном векторе n |n0 n| F (d) 2a 0, (2) где a — одна и та же постоянная для всех n0 5). Тогда существует и притом только одно (с точностью до параллельного переноса) выпуклое тело с внут ренними точками, поверхностная функция которого есть данная функция F ().

5) Так |n0 n| F (d) является непрерывной функцией n0, то достаточно требовать как его положительности;

тогда найдется такое a, что (2) будет выполнено.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. III Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, сделаем два за мечания.

Условия (1) и (2) легко интерпретируются наглядно. Представим себе, что поверхность единичного шара нагружена массами так, что F () есть масса области. Это представление допустимо в силу неотрицательности и абсолютной аддитивности функции F (). Условие (1) требует, чтобы центр тяжести полученной таким образом системы масс находился в центре ша ра, а условие (2) — чтобы нагрузка не располагалась только по одному большому кругу или, в n-мерном случае, по одной (n 1)-мерной сфере, получающейся в сечении единичной сферы плоскостью, проходящей через центр. Это следует из того, что если принять n0 за полюс, то |n0 n| равно нулю только на экваторе.

Из формулированной теоремы вытекает возможность реализовать любую неотрицательную и абсолютно аддитивную функцию множеств на единич ной сфере посредством выпуклой поверхности. Для этого дополним данную такую функцию несколькими точечными нагрузками так, чтобы «дополнен ная» функция удовлетворяла условиям (1) и (2). Таких дополнительных точечных нагрузок можно всегда сделать не более n + 1, взяв их, напри мер, в вершинах правильного симплекса. Дополненная функция будет по верхностной функцией некоторого выпуклого тела. Добавленные точечные нагрузки представятся площадями некоторых плоских кусков на его поверх ности. Вырезав эти куски, получим выпуклую поверхность, обладающую следующим свойством: мера множества тех ее точек, через которые прохо дят опорные плоскости с нормалями, идущими в множество на единичной сфере, равна значению данной функции множеств для множества.

Теперь приступим к доказательству нашей теоремы.

Заметим прежде всего, что единственность выпуклого тела с внутренни ми точками, имеющего данную поверхностную функцию, уже была доказа на в части II этой работы [2]. Однако для данного частного случая вовсе нет надобности проходить весь длинный путь, который привел нас к доказа тельству общей теоремы единственности. Достаточно знать теорему Брунна и выражение смешанного объема через поверхностную функцию, найденное еще в части I [1]. Пусть выпуклые тела H1 и H2 имеют равные поверхност ные функции: F (H1, ) = F (H2, ). «Дифференцируя», умножая на H1 (n) и интегрируя по поверхности единичного шара, получим V (H1,..., H1 ) = V (H1, H2,..., H2 ). (3) Из неравенства Брунна — Минковского V (H1, H2,..., H2 )n V (H1,..., H1 )V (H2,..., H2 )n1 (4) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ получаем V (H1,..., H1 ) V (H2,..., H2 ). (5) Так как одно из тел H1 и H2 ничем не хуже другого, то здесь должен стоять знак равенства, т. е. должно быть равенство в неравенстве (4). Если тела H1 и H2 имеют внутренние точки, то это возможно только тогда, когда они гомотетичны. А так как их объемы равны, то они равны и параллельно расположены.

Для того чтобы доказать существование выпуклого тела с заданной по верхностной функцией F (), будем искать среди всех положительных не прерывных функций H (n) с «объемом», равным единице 6), V (H ) = 1, (6) такую, которая дает минимум интеграла H (n) F (d). (7) Заметим, во-первых, что этот минимум достаточно искать только для опорных функций выпуклых тел. Действительно, если H(n) — опорная функция тела H, определяемого функцией H (n), то по самому определе нию «объема» H (n) V (H ) = V (H), а кроме того, H(n) H (n), и пото му минимум интеграла (7), достигнутый в области опорных функций, будет также минимумом для всей области положительных непрерывных функций.

Во-вторых, мы можем ограничиться рассмотрением выпуклых тел, центры тяжести которых находятся в начале. Действительно, при параллельном переносе тела объем его не изменяется, а опорная функция приобретает слагаемое a n, где a — вектор переноса. Интеграл (7) для опорной функции перенесенного тела таков:

(H(n) + a n) F (d), (8) т. е. равен тому же интегралу для неперенесенного тела, так как по усло вию (1) a n F (d) = 0. (9) 6) Согласно определению § 1 «объем» H (n) есть объем определяемого ею выпуклого тела (см. заключительное замечание в § 1).

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. III Докажем теперь, что искомый минимум существует. Возьмем для этого какое-нибудь выпуклое тело с объемом единица, и пусть для него интеграл (7) равен M. Естественно, можно ограничиться рассмотрением тех выпук лых тел, для которых H(n) F (d) M. (10) Покажем, что все такие тела (с объемом единица и с центром тяжести в начале) ограничены в своей совокупности. Пусть r — длина отрезка, исхо дящего из начала в направлении n0 и лежащего целиком в одном из тел H, принадлежащем нашей совокупности. Опорная функция такого отрезка, как это известно и легко видеть непосредственно, будет равна r r |n0 n| + n0 n, 2 и так как отрезок лежит в теле H, то r r |n0 n| + n0 n H(n). (11) 2 По предположению функция F () неотрицательна, поэтому, воспользо вавшись еще условием (1) (см. формулу (9)), получим r |n0 n| F (d) H(n) F (d) M. (12) По условию, наложенному на F (), |n0 n| F (d) 2a 0, (13) а потому M r. (14) a Это значит, что длины отрезков, лежащих в рассматриваемых выпуклых телах, ограничены, а значит, и сами тела ограничены в своей совокупности.

Из теоремы выбора Бляшке следует существование минимума любого непрерывного функционала в ограниченной совокупности выпуклых тел7).

7) На языке функционального анализа теорема выбора Бляшке (Auswahlsatz) гласит:

Ограниченная совокупность выпуклых тел компактна. А на всяком компактном множе стве непрерывный функционал достигает минимума [4, § 18].

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Следовательно, интеграл (7) действительно достигнет своего минимума для некоторого тела H0 с объемом единица.

Мы пришли, таким образом, к следующему результату:

H (n) F (d) при дополнительном условии V (H ) = 1 достигает минимума для H (n) = = H0 (n), где H0 (n) — опорная функция выпуклого тела единичного объема с центром тяжести в начале. Раз H0 (n) 0, то, как показывает лемма V § 1, при H (n) = H0 (n) «объем H (n)» допускает первую вариацию и V (H ) = H (n) F (H0, d). (15) Поэтому мы можем применить метод вариационного исчисления и, следуя правилу множителей Лагранжа, получим H (n) F (d) = H (n) F (H0, d). (16) В силу произвольности непрерывной функции H (n) отсюда следует, что F () = F (H0, ).

n Если мы увеличим тело H0 подобно в раз, то его поверхностная функ n ция увеличится в раз и станет равной F (). Следовательно, тело H и есть искомое.

§ 4. К вопросу о существовании выпуклого тела с данной функцией кривизны Возникает естественный вопрос: нельзя ли обобщить теорему существо вания выпуклого тела с заданной поверхностной функцией на функции кри визны любого порядка. Если этого нельзя сделать, рассматривая функции кривизны общей природы, то может быть можно доказать, что если анали тическая положительная функция f (n) на единичной сфере удовлетворяет условию nf (n) d = 0, К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. III то существует выпуклое тело, для которого f (n) есть его m-я функция кри визны (m n 1). Оказывается, что данный вопрос имеет отрицательный ответ. Именно мы докажем такую теорему.

Теорема. Существует бесконечно много аналитических положительных функций f (n) на единичной сфере, удовлетворяющих условию nf (n) d = 0, (1) которые не являются m-ми функциями кривизны каких бы то ни было вы пуклых тел, если m n 1 (где n, как всегда, — число измерений про странства).

Эта теорема сама по себе, пожалуй, не очень интересна. Любопытно, од нако, то, что некоторые авторы настолько верили в правильность обратного, что даже утверждали в частных случаях соответствующую неверную тео рему как доказанную или пытались доказать ее [6–8]. Так, утверждалось, что если положительная функция f (n) удовлетворяет условию (1), то суще ствует выпуклое тело, для которого она является суммой главных радиусов кривизны. В том, что эта теорема неверна, можно убедиться на следую щем простом примере поверхности вращения в трехмерном пространстве.

Пусть расстояние от начала до касательной плоскости к этой поверхности с нормалью n будет H(n) = cos2, (2) где — полярное расстояние нормали n от оси поверхности. Сумма главных радиусов кривизны выражается, как известно, следующим образом:

1 2H 1 H R1 + R2 = sin + + 2H, (3) sin2 sin где — долгота. Подставляя сюда H = 3/2 cos2, получим R1 + R2 = 4 cos2 + 1 0. (4) Между тем рассматриваемая поверхность невыпуклая. Радиус кривизны ее меридиана может быть найден из известного соотношения d2 H R=H+, (5) d так как H зависит только от. Вычисляя, получим R = 3 cos2, (6) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ т. е. R = 1/2 при = /2 и R = 5/2 при = 0. А поскольку радиус кри визны меридиана меняет знак, то поверхность невыпуклая и имеет ребра возврата, когда R = 3 cos2 1/2 = 0. Тот факт, что никакая другая по верхность не имеет той же суммы главных радиусов кривизны, следует из единственности решения дифференциального уравнения (3) при заданной сумме R1 + R2 (единственности с точностью до слагаемого a n, представля ющего параллельный перенос).

Теперь дадим доказательство формулированной выше общей теоремы.

Это позволит несколько глубже заглянуть в природу того обстоятельства, что теорема существования выпуклого тела с заданной любой функцией кривизны оказывается неверной.

Будем говорить, что функция множеств F () имеет точечную нагрузку в точке n, если, приняв за область одну эту точку, мы получим F () = 0.

Лемма I. Функции кривизны порядка меньшего n1 не имеют точечных нагрузок.

Допустим противное, и пусть Fm (H, ) будет функция кривизны выпук лого тела H, имеющая точечную нагрузку в точке n0. Примем за область одну эту точку. Значение поверхностной функции тела H + E, параллель ного H, для этой области будет 8) :

n nk1 Cn1 Fk (H, 0 ) 0, k Fn1 (H + E, 0 ) = (7) k= так как по предположению Fm (H, 0 ) 0. Это значит, что на теле H + E есть целая грань с нормалью n0 и с площадью Fn1 (H + E, 0 ). Возвра щаясь от тела H + E к телу H, мы откладываем по нормалям к нему внутрь отрезки длиной. Все такие отрезки, начинающиеся на рассматри ваемой грани, будут параллельны друг другу, и их концы дадут поэтому на поверхности H точно такую же грань. Следовательно, Fn1 (H + E, 0 ) = Fn1 (H, 0 ), а значит, при m n 1.

Fm (H, 0 ) = Будем говорить, что последовательность функций точки f1 (n), f2 (n),...

слабо сходится к функции множеств F (), если при любой непрерывной Z(n) Z(n) fk (n) d = Z(n) F (d).

lim (8) k 8) Здесь и всюду далее E — единичный шар.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. III Лемма II. Для всякой неотрицательной и абсолютно аддитивной функ ции множеств на единичной сфере F (), удовлетворяющей условиям |n0 n| F (d) 2a 0, n F (d) = 0, (9) можно построить слабо сходящуюся к ней последовательность положитель ных аналитических функций fk (n), удовлетворяющих условию nfk (n) d = 0. (10) Если функция F () удовлетворяет поставленным условиям, то, как было показано, существует выпуклое тело H, для которого F () является поверх ностной функцией. Г. Минковский доказал, что всякое выпуклое тело мож но аппроксимировать с любой степенью точности регулярным выпуклым телом с аналитической опорной функцией. Построим последовательность таких тел H1, H2,..., сходящихся к H. Обратные гауссовы кривизны тел Hk дадут последовательность функций fk (n), удовлетворяющих поставленным условиям. Эти функции слабо сходятся к F (), так как Z(n)fk (n) d = V (Z, Hk,..., Hk ), (11) n а по лемме § 6 части I [1] этой работы lim V (Z, Hk,..., Hk ) = V (Z, H,..., H) = Z(n) F (d). (12) n k Допустим теперь, вопреки теореме, которую мы хотим доказать, что для всякой положительной аналитической и удовлетворяющей условию (1) функции f (n) на единичной сфере существует выпуклое тело, для которого f (n) есть его m-я функция кривизны в обычном смысле. Пусть F () — функция множеств с точечными нагрузками, удовлетворяющая условиям (9). Построим последовательность функций fk (n), слабо сходящихся к F ().

Пусть Hk — выпуклое тело с m-й функцией кривизны fk (n).

Докажем, что все тела Hk ограничены в совокупности. Можно, конечно, предполагать, что центры тяжести их всех лежат в начале. Интегралы fk (n) d ограничены в совокупности, так как в силу слабой сходимости fk (n) к F () fk (n) d = F ( ).

lim (13) k А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Вместе с тем fk (n) d = Vm (Hk ) = V (Hk,..., Hk, E,..., E), (14) n m так как fk (n) — m-я функция кривизны тела Hk. Неравенство между ин тегралами кривизны, доказанное в § 4 части II этой работы [2], дает Vm (Hk )m+1 Vm+1 (Hk )m V (E), (15) где V (E) — объем единичного шара. Поэтому из ограниченности всех Vm (Hk ) следует Vm+1 (Hk ) M. (16) Пусть r — длина отрезка, идущего из начала в направлении n0 и целиком лежащего в теле Hk. Опорная функция этого отрезка будет r r |n0 n| + n0 n Hk (n). (17) 2 Благодаря неравенству (17), воспользовавшись условием (10), получим r |n0 n|fk (n) d Hk (n)fk (n) d. (18) Стоящий здесь справа интеграл равен nVm+1 (Hk ), а потому на основании неравенства (10) r |n0 n|fk (n) d nM. (19) Так как функции fk (n) положительны и слабо сходятся к функции F (), удовлетворяющей условиям (9), то стоящий здесь слева интеграл ограничен снизу некоторым постоянным для всех n0 и k числом 2b 9). Поэтому из неравенства (19) следует, что nM r. (20) b 9) Это утверждение основано на лемме: Если Fk () абсолютно аддитивны и слабо сходятся к F0 () и K(n0, n) равностепенно непрерывна по n0 для всех n, то, положив K(n0, n) Fk (d) = k (n0 ), имеем, что k (n0 ) сходятся к 0 (n0 ) равномерно по n0.

Пусть Var Fk () M. Для всякого 0 найдется такое, что при |n0 n0 | будет |k (n0 ) k (n0 )| |K(n0, n) K(n0, n)| Var Fk (d) M.

Следовательно, k (n0 ) равностепенно непрерывны, а так как они сходятся к 0 (n0 ), то сходимость эта равномерная.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. III Это значит, что длины всех отрезков, помещающихся во всех телах Hk, равномерно ограничены, а следовательно, и сами тела Hk ограничены в совокупности.

Теперь на основании теоремы выбора Бляшке мы можем выбрать из всей совокупности тел Hk сходящуюся последовательность. Тела этой последо вательности также обозначим Hk.

Пусть H — предельное тело этой последовательности и Fm (H, ) — его m-я функция кривизны. Так как функции fk (n) суть m-е функции кри визны в обычном смысле тел Hk, то по лемме § 6 части I [1] при любой непрерывной Z(n) Z(n) Fm (H, d) = lim Z(n)fk (n) d. (21) k Вместе с тем по условию слабой сходимости fk (n) к F () Z(n) F (d) = lim Z(n)fk (n) d. (22) k Сопоставляя равенства (21) и (22) и замечая, что Z(n) — произвольная непрерывная функция, получим Fm (H, ) = F (). (23) Однако, если функция F () имеет точечные нагрузки, то при m n 1 это равенство невозможно, как показывает лемма I.

Получается противоречие, и следовательно, наша теорема доказана. Мы видим, что положительные функции f (n), так сказать, слишком близкие к функциям множеств F () с точечными нагрузками, не могут быть функ циями кривизны порядка, меньшего n 1, ни для какого выпуклого тела.

ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. I: Расширение неко торых понятий теории выпуклых тел // Мат. сб. 1937. Т. 2, № 5. С. 947–970.

2. Александров А. Д. То же. II: Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения // Мат. сб. 1937. Т. 2, № 6. С. 1205–1235.

3. Минковский Г. Общие теоремы о выпуклых многогранниках // Успехи мат. наук. 1936.

Вып. 2. С. 37–46.

4. Blaschke W. Kreis und Kugel. Leipzig: Veit, 1916. (Русский перевод: Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967.) 5. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: ОНТИ, 1937.

6. Favard J. Sur la dtermination des surfaces convexes // Bul. Acad. Bruxelles. 1933. Ser. 5.

e T. 19. P. 65–75.

7. S ss W. Bestimmung einer geschlossen kovexen Flche durch die Summe ihrer Haup u a tkr mmungsradien // Math. Ann. 1933. Bd 108. S. 143–148.

u 8. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Krper. Berlin: Springer, 1934. (Русский o перевод: Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002.) К теории смешанных объемов выпуклых тел. IV:

Смешанные дискриминанты и смешанные объемы 1) Математический сборник. 1938. Т. 3, № 2. С. 227– Эта статья посвящена прежде всего изучению инвариантов системы квад ратичных форм с n переменными, так называемых смешанных дискрими нантов этих форм, связь которых с вопросами теории выпуклых тел уста новлена уже работами Г. Минковского [4, 5] и Г. Вейля [6]. Алгебраическая часть работы (§ 1–3) излагается вне связи с выпуклыми телами, так как она может представлять самостоятельный интерес. Далее показывается каким образом, опираясь на полученные алгебраические результаты, можно полу чить основные теоремы теории смешанных объемов выпуклых тел, правда, ограничиваясь телами с дважды дифференцируемыми опорными функци ями. В § 4 само понятие о смешанном объеме и его свойства получают ся на основе применения смешанных дискриминантов. В § 5 доказывается единственность выпуклого тела с заданной функцией кривизны, вовсе не используя неравенств между смешанными объемами. В § 6 выводится ос новное неравенство между смешанными объемами, по методу Д. Гильберта [7, гл. 19]. Наконец, в § 7 дается обобщение двух теорем, доказанных во второй части [2] этой работы, о единственности выпуклого тела с заданной функцией кривизны и о знаке равенства в обобщенном неравенстве Брунна.

Этот последний параграф стоит несколько особняком и, скорее, примыкает ко второй части работы.

§ 1. Основные свойства смешанных дискриминантов Пусть f1, f2,..., fm — квадратичные формы n переменных:

n (k) fk = aij xi xj. (1) i,j= 1) Предыдущие части этой работы см. в [1–3].

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV Линейная комбинация их f = 1 f1 + 2 f2 +... + m fm (2) также будет квадратичной формой тех же n переменных, с коэффициентами (1) (2) (m) aij = 1 aij + 2 aij +... + m aij. (3) Дискриминант D(f,..., f ) формы f является однородным многочленом сте n пени n относительно 1,..., m :

D(f,..., f ) = k1 k2... kn D(fk1, fk2,..., fkn ). (4) k1,...,kn Здесь суммирование производится по всем индексам k1,..., kn, которые независимо друг от друга пробегают все значения от 1 до m. То, что ко эффициент при произведении k1 k2... kn зависит только от форм fk1, fk2,..., fkn, доказывается, если положить все остальные равными нулю.

Коэффициенты D(fk1, fk2,..., fkn ) выбираются так, чтобы они не зависели от порядка форм fk1, fk2,..., fkn. Эти коэффициенты назовем смешанными дискриминантами форм fk1, fk2,..., fkn.

Из разложения определителя (1) (m) D(f,..., f ) = |1 aij +... + m aij | (5) непосредственно получается, что D(f1,..., f1, f2,..., f2,..., fm,..., fm ) = p1 p2 pm (k ) (k ) (k ) a111 a121... a1n (k ) (k ) (k ) a212 a222... a2n p1! p2 !... pm !

................., = (6) n!

.................

(k ) (k ) (kn ) an1n an2n... ann где суммирование производится по всем размещениям индексов ki, которые p1 раз принимают значение 1, p2 раз — значение 2 и т. д.

Заметим, что введенное определение и все свойства смешанных дискри минантов, приведенные в этой работе, вместе с их доказательствами, без всяких изменений могут быть перенесены на тот случай, когда рассматри ваемые формы эрмитовы.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Смешанные дискриминанты обладают следующими свойствами:

1. Если все формы f1, f2,..., fn равны одной и той же форме f, то D(f1, f2,..., fn ) = D(f,..., f ) есть дискриминант формы f.

2. Пусть f = 1 f (1) + 2 f (2) +... + p f (p).

Тогда D(f,..., f, f1,..., fnm ), где f (1),..., f (p), f1,..., fnm — любые m квадратичные формы, будет однородным многочленом m-й степени отно сительно 1, 2,..., p, а именно D(f,..., f, f1,..., fnm ) = k1... km D(f (k1),..., f (km ), f1,..., fnm ), = (7) k1,...,km где суммирование производится по всем k1,..., km от 1 до p. Это свойство получается из формулы (4) путем сравнения коэффициентов.

3. Если все формы f1, f2,..., fn подвергаются одному и тому же линей ному преобразованию с определителем D, то D(f1,..., fn ) получает мно житель D 2. (Здесь, как и всюду далее, формы f1,..., fn необязательно различные;

n всегда будет обозначать число переменных.) Если все формы f1, f2,..., fn подвергаются одному и тому же преобра зованию, то, независимо от значений коэффициентов 1, 2,..., n, форма f = 1 f1 + 2 f2 +... + n fn претерпевает то же преобразование. Поэто му ее дискриминант получает множитель D 2, а значит, тот же множитель получают все коэффициенты многочлена (4).

Отсюда, в частности, следует, что одновременное унимодулярное пре образование форм f1,..., fn не изменяет их смешанного дискриминанта D(f1, f2,..., fn ). Этим обстоятельством мы будем часто пользоваться.

4. D(f1, f2,..., fn ) есть линейная форма коэффициентов каждой из форм f1,..., fn :

n (n) D(f1,..., fn ) = D(f1,..., fn1 )ij aij. (8) i,j= Здесь D(f1,..., fn1 )ij с точностью до несущественного множителя n равно смешанному дискриминанту форм, получающихся из f1, f2,..., fn путем вычеркивания всех коэффициентов с индексом i.

Полагая в формуле (6) все формы формально различными и разлагая (n) все стоящие там определители по элементам aij, убедимся в правильности нашего утверждения.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV 5. Если все формы f1,..., fn положительно-определенные, то D(f1,..., fn ) 0.

Для форм с одной переменной это утверждение тривиально. Предполо жим, что оно верно для форм с (n 1) переменными и докажем его для форм с n переменными.

Преобразуем все формы f1,..., fn так, чтобы fn превратилась в сумму квадратов. Новые формы отметим чертой сверху. Если преобразование ортогонально, то из свойств 3 и 4 получаем n (n) D(f1,..., fn ) = D(f 1,..., f n1 )ii aii, (9) i= где по предположению D(f 1,..., f n1 ) 0, так как при вычеркивании всех коэффициентов с индексом i из положительно определенных форм получа ются положительно определенные. Кроме того, из положительной опреде (n) ленности формы fn следует, что все aii 0. Отсюда D(f1,..., fn ) 0.

Хорошо известный пример смешанных дискриминантов представляют коэффициенты характеристического уравнения какой-нибудь квадратичной формы f. Если e = x2 + x2 +... + x2, то характеристическое уравнение фор 1 2 n мы f можно написать в виде n D(f e,..., f e) = (1)m m Cn D(f,..., f, e,..., e) = 0.

m m=0 nm m § 2. Об одной форме, связанной с n 1 формами Пусть f = 1 f1 + 2 f2 +... + n fn ;

F — матрица формы f. Опреде лители матриц обозначим символом матрицы, поставленным между парой вертикальных черточек. Элементы матриц обозначим символом матрицы в скобках с индексами, указывающими на место элемента в матрице.

Матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матри цы F, будет D(f,..., f )ik = |F | F 1. (1) n Если форма f при преобразовании с матрицей T переходит в форму f с матрицей F, то F = T F T, (2) где тильда указывает на транспонированную матрицу, = T 1 F 1 T 1.

F (3) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Поэтому = |T |2 T 1 |F | F 1 T 1.

D(f,..., f )ik = |F | F (4) Если |T | = 1, то D(f,..., f )ik = T 1 D(f,..., f )ik T 1 (5) и n (T 1 )(Tij )ki D(f,..., f )ji.

D(f,..., f )ik = (6) j,i= Эту формулу мы распространим на «смешанные миноры» D(f1,..., fn1 )ik, m f= q fq (7) q= и D(f,..., f ) = q1... qn D(fq1,..., fqn ). (8) q1,...,qn Из разложения D(f,..., f ) по минорам получим D(f,..., f )ik = q1... qn1 D(fq1,..., fqn1 )ik. (9) qi,...,qn Так как при одновременном преобразовании форм fq форма f испытыва ет то же преобразование, независимо от значений q, то, преобразуя все fq унимодулярным преобразованием с матрицей T, получим, благодаря (6) и (9), n (T 1 )ij (T 1 )kl D(f1,..., fn1 )jl.

D(f1,..., fn1 )ik = (10) l,j Рассмотрим квадратичную форму n D(f1,..., fn1 )ik xi xk. (11) i,k= Подвергнем ее унимодулярному преобразованию с матрицей S. Тогда ко эффициенты преобразованной формы будут n D (f1,..., fn1 )ik = (S)ji (S)lk D(f1,..., fn1 )jl. (12) j,l= К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV Поэтому, если S = T 1, то D(f1,..., fn1 )ik = D (f1,..., fn1 )ik. (13) Этим доказана Лемма I. Унимодулярное преобразование с матрицей S, производимое над формой n D(f1,..., fn1 )ik xi xk, i,k= приводит к тому же результату, что и преобразование с матрицей S 1, про изводимое над формами f1,..., fn1.

Поэтому всегда можно преобразовать формы f1,..., fn1 так, чтобы фор ма n D(f1,..., fn1 )ik xi xk i,k= превратилась в сумму квадратов, т. е. так, что D(f1,..., fn1 )ik = 0 при i = k.

Если формы f1,..., fn1 положительно определены и мы преобразуем их так, чтобы D(f1,..., fn1 )ik = 0 при i = k, то видно, что форма n D(f1,..., fn1 )ii x i i= положительно определена, так как D(f1,..., fn1 )ii 0 по доказанному в § 1. Но тот же результат получается при соответствующем преобразовании самой формы n D(f1,..., fn1 )ik xi xk.

i,k= Этим доказана Лемма II. Если формы f1,..., fn1 положительно определенные, то и форма n D(f1,..., fn1 )ik xi xk i,k= положительно определенная.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ § 3. Неравенства между смешанными дискриминантами Теорема. Пусть формы f1,..., fn1, n (m) (m = 1,..., n 1) fm = aik xi xk i,k= — положительно определенные и n g= bik xi xk i,k= — произвольная форма. Тогда D(f1,..., fn1, g)2 D(f1,..., fn1, fn1 ) D(f1,..., fn2, g, g), причем знак равенства стоит здесь тогда и только тогда, когда g = fn1, где — постоянная.

Так как D(f1,..., fn1, fn1 ) 0, то из этой теоремы следует, что если g удовлетворяет условию D(f1,..., fn1, g) = 0, (1) то D(f1,..., fn2, g, g) 0, (2) причем знак равенства стоит здесь тогда и только тогда, когда форма g тождественно равна нулю.

Покажем, что, обратно, из указанного следствия вытекает и сама теоре ма. Пусть форма g — произвольная и выбрано так, что D(f1,..., fn1, g) = D(f1,..., fn1, fn1 ). (3) Тогда, полагая g fn1 = g, получим D(f1,..., fn1, g ) = 0 (4) и D(f1,..., fn2, g, g ) 0. (5) Подставляя сюда g = g fn1, развертывая и беря значение из (3), получим D(f1,..., fn1, g) D(f1,..., fn2, g, g) 0. (6) D(f1,..., fn1, fn1 ) К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV Так как D(f1,..., fn1, fn1 ) 0, то отсюда и следует неравенство, указан ное в теореме.

Знак равенства в (6) может стоять только в том случае, когда он стоит в (5), т. е. когда, согласно предположению, g = g fn1 = 0, т. е. g = fn1.

Основываясь на этом замечании, будем доказывать не самую теорему, а указанное ее следствие. Рассмотрим сначала случай бинарных форм f и g. Форма f положительно определенная, поэтому обе формы f и g можно одновременно преобразовать в сумму квадратов, причем величины D(f, g) и D(g, g) не изменятся. Тогда условие (1) напишется в форме 2D(f, g) = a11 b11 + a22 b22 = 0, и так как a11, a22 0, то D(g, g) = b11 b22 и равно нулю тогда и только тогда, когда b11 = b22 = 0.

Теперь перейдем к случаю форм с n переменными и предположим, что теорема верна для форм с (n 1) переменными.

Из свойства 4 § 1 смешанных дискриминантов можно заключить, что D(f1,..., fn2, g, g) является квадратичной формой коэффициентов bik фор мы g. Эту квадратичную форму мы обозначим G:

n n G= D(f1,..., fn2, g)ik bik = D(f1,..., fn2 )ik,jl bik bjl. (7) i,k=1 i,k,j,l= Смысл коэффициентов D(f1,..., fn2 )ik,jl можно усмотреть из п. 4 § 1.

(i) (i) D(f1,..., fn2, g)ii есть смешанный дискриминант форм f1,..., fn2, g (i), получающихся из f1,..., fn2, g вычеркиванием коэффициентов с индек сом i;

D(f1,..., fn2 )ii,jj (i = j) есть смешанный дискриминант форм, по (i) (i) лучающихся из f1,..., fn2 вычеркиванием коэффициентов с индексом j.

Поэтому 0 при i = j, D(f1,..., fn2 )ii,jj (8) = 0 при i = j.

Будем рассматривать bik = bki как переменные и построим доказательство теоремы на изучении собственных значений формы G.

Для того чтобы форма G имела нулевые собственные значения, необхо димо и достаточно, чтобы система уравнений D(f1,..., fn2, g)ik = 0 (9) А. Д. АЛЕКСАНДРОВ относительно неизвестных bik допускала нетривиальное решение. Форму g с коэффициентами bik, являющимися решениями этой системы, будем назы вать собственной формой, относящейся к нулевому собственному значению формы G.

Подвергнем формы f1,..., fn2, g0 одному и тому же унимодулярному преобразованию. Тогда для преобразованных форм f1,..., fn2, g0 будет выполняться также система условий D(f1,..., fn2, g0 )ik = 0, (10) где индексы относятся уже к новым переменным x. Это непосредственно следует из формулы (10) § 2. Поэтому, если форма G = D(f1,..., fn2, g, g) имеет нулевое собственное значение, то его имеет и форма G = D(f1,..., fn2, g, g ), получающаяся из G при одновременном линейном преобразо вании форм f1,..., fn2, и соответствующие собственные формы g0 будут преобразованными собственными формами g0 формы G.

Лемма I. Форма G = D(f1,..., fn2, g, g) не имеет нулевых собственных значений.

Пусть g0 будет собственная форма, относящаяся к нулевому собственно му значению формы G. Преобразуем одновременно все формы f1,..., fn2, g0 так, чтобы fn2 и g0 превратились в суммы квадратов. Благодаря поло жительной определенности формы fn2 это, как известно, возможно. Для преобразованных форм получим уравнения D(f1,..., fn2, g0 )ii = 0 (i = 1, 2,..., n). (11) Замечая, что D(f1,..., fn2, g0 )ii есть смешанный дискриминант форм с n 1 переменными, и предполагая доказываемую нами теорему верной для таких форм, получим D(f1,..., fn3, g0, g0 )ii (i = 1,..., n) 0 (12) и тогда и только тогда равно нулю для всех i, когда форма g0 тождественно исчезает.

(n2) Умножая (12) на a ii и суммируя по всем i, получим n (n2) D(f1,..., fn3, g0, g0 )ii a ii = D(f1,..., fn2, g0, g0 ) 0, (13) i= (n2) (n2) так как a ii 0 и a ik = 0 при i = k.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV Но так как g0 — собственная форма, относящаяся к собственному значе нию нуль, то D(f1,..., fn2, g0, g0 ) = 0. (14) Следовательно, во всех неравенствах (12) стоит знак равенства и форма g тождественно равна нулю.

Лемма II. Форма G = D(f1,..., fn2, g, g) имеет только одно положи тельное собственное значение 2).

Пусть e = x2 + x2 +... + x2 и 1 2 n nD(e,..., e, g) = b11 +... + bnn = 0. (15) Так как n n n b2, bii bkk = bii 2 (16) ii i=1 i= ik= то n n(n 1) (bii bkk b2 ) D(e,..., e, g, g) = 0 (17) ik ik= и равно нулю тогда и только тогда, когда все bik — нули. При дополнитель b2 = 1 форма (17) достигает максимума при bik = 0 для ном условии ik i = k и b11 =... = bnn = 1/ n. Следовательно, максимальное собственное значение формы 21 n(n 1)D(e,..., e, g, g) равно 1/n. Условие (15) озна чает, таким образом, не что иное, как ортогональность допустимых систем значений bik к «собственному вектору», относящемуся к собственному зна чению 1/n (т. е. к системе чисел bii = 1/ n и bik = 0 при i = k). А так как при этом условии форма 21 n(n 1)D(e,..., e, g, g) не положительна, то 1/n есть ее единственное положительное собственное значение.

Пусть формы f1,..., fn2, как и раньше, положительно определенные.

Построим семейство форм (1 )e + f1,..., (1 )e + fn2. Когда па раметр непрерывно растет от 0 до 1, то формы семейства остаются по ложительно определенными и непрерывно изменяются, переходя от e к f1,..., fn2. При этом форма G = D((1 )e + f1,..., g, g), а значит, и ее собственные значения также меняются непрерывно. По лемме I ни одно из них не может пройти через нуль. Поэтому число положительных собственных значений формы G не изменяется. Так как при = 0 фор ма G0 = D(e,..., e, g, g) имеет только одно такое собственное значение, то и форма G1 = D(f1,..., fn2, g, g) также имеет лишь одно положительное собственное значение.

2) Всюду, где говорится о числе собственных значений, подразумевается, что кратные собственные значения считаются столько раз, какова их кратность.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Теперь мы можем доказать теорему, сформулированную в начале это го параграфа. Предположим, что форма fn2 представляет собой сумму квадратов. Форма G = D(f1,..., fn2, g, g) имеет только одно положитель ное собственное значение. Полагая при i = k все bik = 0, получим из G новую квадратичную форму переменных b11, b22,..., bnn. Эту новую форму также обозначим G:

n G = D(f1,..., fn2, g, g) = D(f1,..., fn2 )ii,kk bii bkk. (18) i,k= Она имеет не более одного положительного собственного значения, пото му что, как известно, число положительных собственных значений формы, получающейся из данной, если положить некоторые переменные равными нулю, не больше, чем у исходной формы.


Введенные ограничения сводятся к тому, что мы полагаем формы fn и g в каноническом виде. Однако, если докажем нашу теорему при этом предположении, то она будет доказана и для общего случая, так как бла годаря положительной определенности формы fn1 можно подвергнуть все формы f1,..., fn1, g (когда g задана) такому преобразованию, которое при ведет fn1 и g к каноническому виду. Пусть D(f1,..., fn1, g) = 0. (19) Возьмем квадратичную форму n D(f1,..., fn1 )ii b2.

E= (20) (n1) ii aii i= Так как (n1) D(f1,..., fn1 )ii 0, aii 0, то форма E положительно определенная. Поэтому можно формы E и G одновременно привести к каноническому виду. Это приведение сводится к решению уравнений n bii D(f1,..., fn2 )ii,kk bkk = D(f1,..., fn1 )ii. (21) (n1) aii k= Поскольку n (n1) D(f1,..., fn1 )ii = D(f1,..., fn2 )ii,kk akk, (22) k= К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV (n1) то при = 1 система уравнений (21) имеет решение bkk = akk. Значит, = 1 и есть единственное положительное собственное значение формы G.

Условие (19), которое можно переписать в виде n D(f1,..., fn1 )ii (n1) aii bii = 0, (23) (n1) aii i= означает «нагруженную» ортогональность допустимых систем значений bii (n1) к системе чисел aii, т. е. к собственному вектору формы G, относяще муся к ее единственному положительному собственному значению = 1.

Следовательно, при условии (19) форма G не положительна, и так как она не имеет нулевых собственных значений, то она отрицательна, если только g не равна тождественно нулю.

Таким образом, наша теорема доказана. Аналогия ее с результатом, по лученным во второй части [2] работы для смешанных объемов, очевидна.

Здесь положительно определенные формы играют ту же роль, какую игра ли там аналогичные многогранники. Поэтому точно так же, как это было сделано для смешанных объемов, можно из неравенства D(f1,..., fn )2 D(f1,..., fn1, fn1 ) D(f1,..., fn2, fn, fn ) (24) между смешанными дискриминантами положительно определенных форм получить два следствия:

1. Пусть f1,..., fnm, f (0), f (1) — данные положительно определенные формы n переменных и f () = (1 )f (0) + f (1). Положим D() = D(f (),..., f (), f1,..., fnm ). (25) Имеет место неравенство m (1 ) m m D() D(0) + D(1), (26) где знак равенства стоит тогда и только тогда, когда формы f (0) и f (1) пропорциональны, т. е. f (0) = f (1).

2. Пусть f1,..., fn — данные положительно определенные формы n пе ременных. Имеет место неравенство m m D(f1,..., fn ) D(fk,..., fk, fm+1,..., fn ), (27) k= где знак равенства стоит тогда и только тогда, когда все формы f1,..., fm друг другу пропорциональны.

В обоих случаях m — любое от 2 до n. В отличие от соответствующих теорем для смешанных объемов здесь указаны условия наличия равенства.

Это объясняется, конечно, тем, что нам известно условие равенства в ис ходном неравенстве (24).

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ § 4. Связь смешанных дискриминантов со смешанными поверхностными функциями и смешанными объемами Пусть H — выпуклое тело в n-мерном пространстве с дважды непрерывно дифференцируемой опорной функцией H(u);

x — точка на поверхности H и n — нормаль в ней. Направим n-ю ось координат по n, а остальные оси расположим перпендикулярно n. Координаты вектора n будут u1 =... = un1 = 0, un = 1.

При un 0, в силу положительной однородности опорной функции, имеем H(0,..., 0, un ) = H(0,..., 0, 1), (1) uk uk так как первые производные H(u) однородные нулевой степени. Поэтому 2 H(0,..., 1) 2 H(n) = = 0. (2) uk un uk un Благодаря этому при нашем выборе системы координат, которую мы будем называть нормальной, второй дифференциал H(u) при u = n будет n 2 H(n) d2 H(n) = dui duk. (3) uk ui i,k= Известно, что собственные значения этой квадратичной формы суть глав ные радиусы кривизны поверхности H в точке x и главные направления ее совпадают с главными направлениями на поверхности H в точке x. Поэто му, приведя форму (3) к главным осям, будем иметь n d2 H(n) = Ri du2, (4) i i= где Ri — главные радиусы кривизны. В силу выпуклости H, все они неот рицательны [6;

8, § 94].

В дальнейшем мы будем неизменно пользоваться нормальной системой координат. Так как тогда второй дифференциал опорной функции любо го выпуклого тела представляется в виде (3), то тривиальное нулевое соб ственное значение его мы будем отбрасывать и считать d2 H(n) формой n переменных du1, du2,..., dun1.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV Дискриминант D(H,..., H ;

n) формы d2 H(n) (в нормальной системе ко n ординат) равен произведению главных радиусов кривизны, как это видно из формулы (4). Поэтому, если d — элемент поверхности единичной сферы, то элемент площади поверхности H dS = R1... Rn1 d = D(H,..., H;

n) d. (5) Объем тела H выражается благодаря этому известной формулой V (H,..., H ) = H(n) D(H,..., H;

n) d, (6) n n где — полная поверхность единичного шара.

Если тело H есть результат смешения тел H1, H2,..., Hm, то m H(n) = i Hi (n) i= и m i d2 Hi (n).

d H(n) = i= В этом случае D(H,..., H;

n) есть однородный многочлен (n 1)-й степени относительно 1,..., m, а потому объем тела H есть однородный многочлен n-й степени относительно тех же 1,..., m :

V (H,..., H) = i1,..., in V (Hi1,..., Hin ), (7) i1,...,in где индексы i1,..., in независимо пробегают все значения от 1 до m. Коэф фициенты V (Hi1,..., Hin ) определяются так, что они не зависят от порядка индексов i1, i2,..., in. Это и есть смешанные объемы тел H1,..., Hm.

Пусть H и Hn — два заданных выпуклых тела. Объем тела H + Hn равен n m Cn V (H,..., H, Hn,..., Hn ).

m V (H + Hn,..., H + Hn ) = (8) m= nm m Построение тела H + Hn состоит в смещении опорных плоскостей тела H на расстояния Hn в направлении внешней нормали. (Hn (n) — расстояние от начала до опорной плоскости с внешней нормалью n к телу Hn.) Если А. Д. АЛЕКСАНДРОВ бесконечно мало, то вариация объема тела H будет при этом равна, как известно, Hn (n) dS = Hn (n) D(H,..., H;

n) d. (9) С другой стороны, из формулы (8) следует, что она равна nV (Hn, H,..., H).

Поэтому V (Hn, H,..., H) = Hn (n) D(H,..., H;

n) d. (10) n n i Hi, то, с одной стороны 3), Если H = i= V (Hn, H,..., H) = i1,..., in1 V (Hn, Hi1,..., Hin1 ), (11) i1,...,in а с другой — D(H,..., H;

n) = i... in1 D(Hi1,..., Hin1 ;

n), (12) i1,...,in где D(Hi1,..., Hin1 ;

n) — смешанный дискриминант форм d2 Hi1 (n),..., d2 Hin1 (n).

Поэтому, сравнивая коэффициенты при произведении 1 2... n1 в фор муле (10), куда подставлены выражения (11) и (12), получим V (Hn, H1,..., Hn1 ) = Hn (n) D(H1,..., Hn1 ;

n) d. (13) n Однако по определению смешанного объема он не зависит от порядка вхо дящих в него тел, так что, например, V (H1,..., Hn ) = V (Hn, H1,..., Hn1 ).

n 3) Для получения этого разложения достаточно в (8) взять H = i Hi и, разложив i= V (H + Hn,..., H + Hn ) по общей формуле (7), сравнить коэффициенты при.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV Поэтому в нашем выводе мы могли вместо Hn взять H1, а H положить n i Hi ;

тогда получилось бы равным i= V (H1,..., Hn ) = H1 (n) D(H2,..., Hn ;

n) d. (14) n Из сравнения формул (13) и (14) следует, что в выражении (14) для сме шанного объема тела можно произвольно переставлять.

Пусть Z(u) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая и положительно-однородная первой степени функция векторов u. Пусть d2 Z(n) — ее второй дифференциал в нормальной системе координат, взятый для единичного вектора n. Пусть D(Z,..., Z;

n) — дискриминант d2 Z(n).

Определив «объем Z(u)» как Z(n) D(Z,..., Z;

n) d n и рассмотрев линейные комбинации таких функций i Zi (u), можно точно так же, как для опорных функций выпуклых тел, ввести «сме шанный объем» V (Z1, Z2,..., Zn ) и показать, что V (Z1,..., Zn ) = Z1 (n)D(Z2,..., Zn ;

n)d, (15) n где D(Z2,..., Zn ;

n) — смешанный дискриминант вторых дифференциалов d2 Z2 (n),..., d2 Zn (n) в нормальной системе координат. В формуле (15) функции Z1 (n),..., Zn (n) можно произвольно переставлять.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ § 5. Единственность выпуклого тела с данной функцией кривизны Функцией кривизны (в обычном смысле) называется элементарно сим метрическая функция главных радиусов кривизны. Пусть H — данное вы пуклое тело с дважды дифференцируемой опорной функцией и E — единич ный шар. Из формулы (4) § 4 и из определения смешанных дискриминантов непосредственно следует, что элементарно-симметрическая функция степе ни m главных радиусов кривизны тела H, т. е. его m-я функция кривиз m ны, равна Cn1 D(H,..., H, E,..., E;

n). Она рассматривается как функция m внешней нормали n к поверхности H [6, § 8].

Теорема. Если два выпуклых тела с дважды непрерывно дифференци руемыми опорными функциями и нигде не равными нулю главными радиу сами кривизны имеют одинаковые функции кривизны данного порядка, то эти тела равны и параллельно расположены.

Пусть H1 и H2 — два тела, удовлетворяющие условиям теоремы, и пусть они имеют равные функции кривизны первого порядка, так что D(H1, E,..., E;

n) = D(H2, E,..., E;

n). (1) Положим H1 (u) H2 (u) = Z(u), где H1 (u) и H2 (u) — опорные функции тел H1 и H2. Тогда d2 Z(n) = d2 H1 (n) d2 H2 (n) и по свойству смешанных дискриминантов, указанному в § 1, D(Z, E,... E;

n) = 0. (2) В силу общего неравенства между смешанными дискриминантами отсюда следует, что D(Z, Z, E,..., E;

n) 0, (3) и равно нулю тогда и только тогда, когда d2 Z(n) тождественно исчезает.


Умножая (2) на Z(n) и интегрируя по поверхности единичного шара, получим E(n) D(Z, Z, E,..., E;

n) d = 0. (4) Точно так же, умножая (3) на E(n) = 1, т. е. на опорную функцию единич ного шара, получим E(n) D(Z, Z, E,..., E;

n) d 0 (5) и равно нулю тогда и только тогда, когда в (3) стоит знак равенства для всех n.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV Однако (см. § 4) интегралы (4) и (5) равны, поэтому в (3) стоит знак равенства и d2 Z(n) тождественно исчезает для всех n. В силу положитель ной однородности первой степени функции Z(n), отсюда следует, что она линейная, т. е.

Z(u) = a u, (6) где a — постоянный вектор, а это и есть то слагаемое, которое приобретает опорная функция выпуклого тела при переносе его на вектор a. Следова тельно, тела H1 и H2 равны и параллельно расположены.

Пусть теперь тела H1 и H2 имеют равные функции кривизны порядка m, так что D(H1,..., H1, E,..., E;

n) = D(H2,..., H2, E,..., E;

n). (7) m m Имея в виду смысл этих выражений как смешанных дискриминантов по ложительно определенных форм (потому что по условию главные радиусы кривизны тел H1 и H2 0), мы можем написать неравенство D(H1, H2,..., H2, E,..., E;

n)m m D(H1,..., H1, E,..., E;

n)D(H2,..., H2, E,..., E;

n)m1, (8) m m которое является частным случаем общего неравенства (27) § 3. Из нера венства (8), благодаря равенству (7), следует, что D(H1, H2,..., H2, E,..., E;

n) D(H1,..., H1, E,..., E;

n). (9) Можно, конечно, считать, что начало находится внутри тела H2, так что H2 (n) 0.

Умножая неравенство (9) на H2 (n) и интегрируя по поверхности единич ного шара, мы получим, в силу формулы (14) § 4, V (H1, H2,..., H2 ) V (H2, H1,..., H1, E,..., E). (10) m Но так как тела H1 и H2 играют совершенно одинаковую роль, то должно иметь место также и обратное неравенство. Следовательно, здесь стоит знак равенства. Поэтому знак равенства должен стоять в неравенстве (8) для всех n. На основании замечания в конце § 3 следует, что d2 H1 (n) и А. Д. АЛЕКСАНДРОВ d2 H2 (n) пропорциональны, а так как, кроме того, имеет место исходное равенство (7), то для всех n d2 H1 (n) = d2 H2 (n).

Отсюда непосредственно следует, что тела H1 и H2 равны и параллельно расположены.

Заметим, что доказательство теоремы Минковского о единственности вы пуклого тела с данной гауссовой кривизной проводится по нашему методу особенно просто, так как необходимое в этом случае неравенство между смешанными дискриминантами легко получается непосредственно.

Действительно, пусть f и g — две положительно определенные квадра тичные формы. Их можно одновременно привести к каноническому виду, так что n1 n ai x2, bi x2, f= g= i i i=1 i= а D(f,..., f ) = a1 a2... an1, D(g,..., g ) = b1 b2... bn1. (11) n1 n Поэтому неравенство D(g, f,..., f )n1 D(f,..., f )n2 D(g,..., g ) (12) n2 n1 n непосредственно следует из того известного факта, что при заданном про n изведении (b1 /a1 )(b2 /a2 )... (bn1 /an1 ) сумма bi /ai достигает минимума i= при равенстве всех чисел bi /ai.

Если у двух выпуклых тел H1 и H2 в точках с параллельными внешними нормалями произведения главных радиусов кривизны равны, то имеем D(H1,..., H1 ;

n) = D(H2,..., H2 ;

n), (13) а применяя неравенство (12), получим D(H2, H1,..., H1 ;

n) D(H2,..., H2 ;

n) (14) и, умножая на H1 (n) и интегрируя, V (H2, H1,..., H1 ) V (H1, H2,..., H2 ), (15) после чего повторяем уже приведенное простое рассуждение.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV Может быть, заслуживает внимания тот факт, что приведенное дока зательство теоремы о единственности выпуклого тела с данной функцией кривизны в трехмерном случае формально совпадает с известным доказа тельством жесткости замкнутых выпуклых поверхностей, данным В. Бляш ке. Действительно, если H — опорная функция такой поверхности, a Z — «опорная» функция соответствующей диаграммы вращений, то 4) D(H, Z;

n) = 0. (16) Вместе с тем, если у двух трехмерных выпуклых тел равны первые функции кривизны (суммы главных радиусов кривизны), то разность Z их опорных функций удовлетворяет уравнению D(E, Z;

n) = 0, (17) где E — единичный шар. Поэтому теорема Кристоффеля формально сов падает с теоремой о жесткости шара.

Если же у двух трехмерных выпуклых тел H1 и H2 равны вторые функ ции кривизны (обратные гауссовы кривизны), т. е.

D(H1, H1 ;

n) = D(H2, H2 ;

n), (18) то, полагая H1 (n) H2 (n) = Z(n), H1 (n) + H2 (n) = H(n), получим D(H, Z;

n) = 0, (19) а это и есть уравнение, которому удовлетворяет опорная функция диаграм мы вращений при изгибании поверхности H.

§ 6. Доказательство основного неравенства между смешанными объемами по методу Гильберта Неравенство между смешанными объемами, которое мы называем основ ным, имеет вид V (H1,..., Hn1, Z)2 V (H1,..., Hn1, Hn1 ) V (H1,..., Hn2, Z, Z), (1) 4) «Опорная» функция диаграммы вращений задает расстояния от начала до каса тельных плоскостей [5, с. 250–266;

9, с. 607–610].

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ где H1,..., Hn1 — выпуклые тела в n-мерном пространстве, a Z — разность опорных функций выпуклых тел 5).

Однако известно, что всякое выпуклое тело можно сколь угодно точно аппроксимировать выпуклым телом с аналитической опорной функцией и с нигде не равными нулю главными радиусами кривизны (такое тело мы будем называть регулярным). Поэтому основное неравенство (1) достаточно доказать для того случая, когда тела H1,..., Hn1 регулярны, а функция Z — аналитическая.

Совершенно аналогично тому, как это было сделано при выводе нера венства между смешанными дискриминантами (или при выводе основного неравенства между смешанными объемами аналогичных многогранников во второй части этой работы), установление неравенства (1) может быть сведено к следующей теореме.

Теорема. Пусть H1,..., Hn1 — регулярные выпуклые тела и Z(u) — дважды непрерывно дифференцируемая и положительно-однородная пер вой степени функция векторов u, удовлетворяющая условию V (H1,..., Hn1, Z) = 0. (2) Тогда V (H1,..., Hn2, Z, Z) 0 (3) и равно нулю тогда и только тогда, когда Z(u) есть опорная функция точки (т. е. Z(u) = a u).

Идея Д. Гильберта состоит в сведении доказательства этой теоремы к решению задачи об экстремумах функционала V (H1,..., Hn2, Z, Z) = Z(n) D(H1,..., Hn2, Z;

n) d (4) n при дополнительном условии D(H1,..., Hn1 ;

n) Z (n) d = 1. (5) n Hn1 (n) При этом без ограничения общности предполагается, что начало находится внутри тел H1,..., Hn1, так что H1 (n),..., Hn1 (n) 0. Вместе с тем, благодаря положительности вторых дифференциалов d2 H1 (n),..., d2 Hn1 (n), 5) Это неравенство впервые доказано В. Фенхелем [10, с. 647] и независимо мною [11].

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV их смешанный дискриминант положителен, а потому D(H1,..., Hn1 ;

n) 0. (6) Hn1 (n) Характер поставленной вариационной задачи выясняется из следующего предложения.

Лемма I. D(H1,..., Hn2, Z;

n) есть линейное самосопряженное диффе ренциальное выражение второго порядка эллиптического типа на единич ной сфере от функции Z(n).

Самосопряженность указанного выражения следует из того установлен ного в § 4 факта, что в выражении «смешанного объема»

V (H1,..., Hn2, Y, Z) = Y (n) D(H1,..., Hn2, Z;

n) d (7) n функции Z(n) и Y (n) можно менять местами. То, что рассматриваемое выражение — дифференциальное второго порядка и линейное, непосред ственно следует из его определения как смешанного дискриминанта вторых дифференциалов d2 H1,..., d2 Hn2, d2 Z. Остается доказать, что D(H1,..., Hn2, Z;

n) — эллиптического типа. Для этого возьмем в произвольной точ ке n0 на единичной сфере нормальную систему координат. D(H1,..., Hn2, Z;

n0 ) есть смешанный дискриминант форм n1 n 2 H1 (n0 ) 2 Z(n0 ) dui duk,..., dui duk.

ui uk ui uk i,k=1 i,k= В § 2 было показано, что можно так выбрать оси координат u1, u2,..., un1, что получится 2 Z(n0 ) D(H1,..., Hn2, Z;

n0 ) = D(H1,..., Hn2 ;

n0 )ii, (8) u2i где выражения D(H1,..., Hn2 ;

n0 )ii имеют тот же смысл, что и выражения D(f1,..., fn1 )ii в § 2. Поэтому D(H1,..., H2 ;

n0 )ii 0, (9) так как вторые дифференциалы d2 H1 (n0 ),..., d2 Hn2 (n) — положительно определенные формы.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Положим r = u2 +... + u2 и примем за переменные на единичной сфе 1 n ре в окрестности выбранной точки n0 1 = u1,..., n1 = un1. В точке n0 r = 1, 1 =... = n1 = 0. В силу однородности Z(u) Z(u) = Z(n).

r Вместе с тем i i (i = k).

= 1, = ui uk Поэтому 2 Z(n0 ) 2 Z(n0 ) +..., = (10) 2 ui i где точками отмечены уже несущественные для нас члены, не содержащие вторых производных. Таким образом, благодаря положительности коэффи циентов, мы убеждаемся в эллиптическом характере выражения D(H1,..., Hn2, Z;

n).

Теперь, когда лемма доказана, видно, что поставленная вариационная задача приводит к проблеме собственных значений и собственных функ ций самосопряженного линейного дифференциального уравнения второго порядка эллиптического типа:

D(H1,..., Hn1 ;

n) D(H1,..., Hn2, Z;

n) + Z(n) = 0. (11) Hn1 (n) Как показывает общая теория такого рода уравнений, уравнение (11) имеет замкнутую систему собственных функций и лишь конечное число отрица тельных собственных значений 6).

Лемма II. Уравнение (11) имеет собственное значение = 0, которо му принадлежат собственные функции Z(n) = a n, являющиеся опорными функциями точек.

Действительно, пусть D(H1,..., Hn2, Z;

n) = 0, (12) тогда D(H1,..., Hn3, Z, Z;

n) 0. (13) 6) Развитый в [7, гл. 18] «метод параметрисы» распространим на уравнения на n-мер ной сфере.

К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV Умножая на Hn2 (n) 0 (начало находится внутри тела Hn2 ) и интегри руя по поверхности единичной сферы, получим V (H1,..., Hn2, Z, Z) 0. (14) Вместе с тем, умножая (12) на Z(n) и точно так же интегрируя, получим, что в этом неравенстве стоит знак равенства. Следовательно, знак равен ства стоит и в неравенстве (13). По теореме § 3 отсюда следует, что d2 Z(n) тождественно исчезает, а потому положительно-однородная первой степени функция Z(u) линейна.

Лемма III. Уравнение (11) имеет единственное отрицательное собствен ное значение = 1 с собственной функцией Z(n) = Hn1 (n).

То, что при = 1 Hn1 (n) действительно удовлетворяет уравне нию (11), совершенно очевидно. Нужно доказать единственность этого от рицательного собственного значения. Для этого рассмотрим уравнение D(E,..., E, Z;

n) + Z(n) = 0, (15) которое представляет собой не что иное, как уравнение Лапласа на сфе ре, а потому его собственными функциями являются шаровые функции на n-мерной сфере 7). Поэтому, как известно, уравнение (15) имеет един ственное отрицательное собственное значение = 1 с собственной функ цией Z(n) = 1. Построим семейство тел H1 = (1 )E + H1,..., Hn1 = = (1 )E + Hn1. Когда растет от 0 до 1, уравнение (15) переходит в уравнение (11), проходя ряд уравнений того же типа:

D(H1,..., Hn1 ;

n) D(H1,..., Hn2, Z;

n) + Z(n) = 0. (16) Hn1 (n) При таком переходе собственные значения меняются непрерывно, а так как по лемме II кратность собственного значения = 0 всегда одна и та же (равна n), то число отрицательных собственных значений и их кратность не увеличиваются. Тем самым лемма доказана.

Из лемм II и III формулированная выше теорема вытекает непосредствен но. Действительно, условие V (H1,..., Hn1, Z) = 0, n 2 Z(n) 7) В (см. [6, § 8] или [2, нормальной системе координат D(E,..., E, Z;

n) = u i=1 i § 7]). D(E,..., E;

n) = 1, E(n) = 1.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ которое можно переписать в виде D(H1,..., Hn1 ;

n) Hn1 (n) Z(n) d = 0, (17) n Hn1 (n) выражает «нагруженную» ортогональность допустимых функций Z(n) к собственной функции Hn1 (n) единственного отрицательного собственного значения уравнения (11). Значит, при условии (2) V (H1,..., Hn1, Z, Z) 0, так как собственные значения уравнения (11) суть взятые с обратным зна ком экстремумы этого функционала. Знак равенства в неравенстве (3) стоит только тогда, когда Z(n) — собственная функция, относящаяся к собствен ному значению нуль, т. е. тогда и только тогда, когда Z(n) = a u.

§ 7. О знаке равенства в обобщенном неравенстве Брунна Настоящий параграф теснейшим образом примыкает к § 7 второй части этой работы [2]. Там были доказаны две теоремы, одна — о знаке равенства в некоторых обобщениях неравенства Брунна и другая — об однозначной определяемости выпуклого тела заданием его функции кривизны, рассмат риваемой в смысле нашего общего определения как функция области на единичной сфере. В этих теоремах роль основного тела (Eichkrper) играл o единичный шар. Здесь же за основные тела мы примем произвольные регу лярные выпуклые тела и речь будет идти об «относительных» функциях и интегралах кривизны. Доказательство получаемого таким образом обобще ния двух указанных теорем использует, по существу, те же рассуждения, а потому мы будем, там где это возможно, непосредственно ссылаться на рас суждения, приведенные в § 7 части II [2]. Все рассмотрения относятся, как всегда, к n-мерному пространству. Пусть E1, E2,..., En2 — регулярные выпуклые тела.

Теорема I. Если для двух не менее чем m-мерных выпуклых тел H и H1 выполняется равенство F (H0,..., H0, E1,..., Enm ;

) = F (H1,..., H1, E1,..., Enm ;

), (1) то эти тела равны и параллельно расположены.

Теорема II. В неравенстве m (1 ) m V (H0,..., H0, E1,..., Enm ) V (H0,..., H0, E1,..., Enm ) + m + V (H1,..., H1, E1,..., Enm ), (2) К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV где H0 и H1 — не менее чем m-мерные выпуклые тела и H = (1 )H0 + +H1 (0 1), знак равенства стоит тогда и только тогда, когда H0 и H1 гомотетичны.

Равносильность этих двух теорем доказывается точно так же, как равно сильность двух теорем, полученных в § 7 части II [2]. Поэтому так же, как и там, имеет место Лемма I. Если F (H0,..., H0, E1,..., Enm ;

) = F (H1,..., H1, E1,..., Enm ;

), (3) то для всех тел H = (1 )H0 + H также будет F (H,..., H, E1,..., Enm ;

) = F (H1,..., H1, E1,..., Enm ;

). (4) При доказательстве леммы IV § 7 части II (верность теоремы I для первых функций кривизны) для нас было существенно, что уравнение D(E,..., E, Z;

n) + Z(n) = 0 (5) имеет замкнутую систему собственных функций и что собственному значе нию нуль соответствуют собственные функции Z(n) = a n, представляющие параллельный перенос.

Однако при тех условиях, которые наложены на тела E1,..., En2, урав нение D(E1,..., En2, Z;

n) + D(E1,..., En2, E;

n) Z(n) = 0 (6) также имеет замкнутую систему собственных функций Zl (n), удовлетворя ющих условию ортогональности D(E1,..., En2, E;

n) Zl (n) Zk (n) d = 0 (l = k). (7) Точно так же собственному значению = 0 соответствуют собственные функции a n, представляющие параллельный перенос (см. § 5 и 6). Поэтому рассуждения, приведшие к доказательству леммы IV § 7 части II, сохраняют силу и можно утверждать:

Лемма II. Если F (H0, E1,..., En2 ;

) = F (H1, E1,..., En2 ;

), (8) то тела H0 и H1 равны и параллельно расположены.

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Остается обобщить рассуждение по индукции, которое привело в конце § 7 части II [2] к доказательству обеих теорем.

Из леммы II § 5 части II (см. формулу (1)) вытекает, что если все тела H = (1 )H0 + H1 имеют равные m-е «относительные» функции кри визны, то m-е «относительные» интегралы кривизны их проекций в одина ковых направлениях тоже равны. Считая теорему II верной для (n 1) мерного пространства, получим отсюда, что проекции тел H0 и H1 при оди наковых направлениях проектирования равны и параллельно расположены.

Вспоминая лемму I § 5 части II, видим, что и сами тела H0 и H1 равны и параллельно расположены.

Можно сделать еще один шаг в направлении обобщения двух доказан ных теорем в духе относительной дифференциальной геометрии Минков ского. Можно вместо поверхностной функции, определенной по отношению к единичному шару, рассматривать поверхностную функцию, определенную относительно не вырождающегося выпуклого тела En1 с началом внутри.

Такая относительная поверхностная функция тела H определяется из усло вия Z(n) V (Z, H,..., H) = FEn1 (n) (H,..., H;

d), (9) n En1 (n) т. е.

FEn1 (H,..., H;

) = En1 (n) F (H,..., H;

d). (10) Тогда можно будет определить относительные функции кривизны FEn1 (H,..., H, E1,..., Enm ;

) и доказать, что задание какой-нибудь из них определяет выпуклое тело с точностью до параллельного переноса. Это можно получить, опираясь на уже доказанные теоремы.

Статья поступила в редакцию 8.VII. ЛИТЕРАТУРА 1. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. I: Расширение неко торых понятий теории выпуклых тел // Мат. сб. 1937. Т. 2, № 5. С. 947–970.

2. Александров А. Д. То же. II: Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения // Мат. сб. 1937. Т. 2, № 6. С. 1205–1235.

3. Александров А. Д. То же. III: Распространение двух теорем Минковского о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела // Мат. сб. 1938. Т. 3, № 1. С. 27–44.

4. Minkowski H. Volumen und Oberche // Math. Ann. 1903. Bd 57. S. 447–495.

a К ТЕОРИИ СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ. IV 5. Weyl H. Uber die Starrheit der Eichen und konvexer Polyeder // Berl. Ber. 1917.

a S. 250–266.

6. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Krper. Berlin: Springer. 1934. (Русский o перевод: Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002.) 7. Hilbert D. Grundz ge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Leipzig:

u Teubner, 1924.

8. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М.;

Л.: ОНТИ, 1935.

9. Blaschke W. Ein Beweis f r die Unverbiegbarkeit geschlossener konvexer Flchen // Gtt.

u a o Nachr. 1912. S. 607–610.

10. Fenchel W. Ingalits quadratiques entre les volumes mixtes des corps convexes // C. R.

e e Acad. Sci., Paris. 1936. T. 203. P. 647–650.

11. Александров А. Д. Новые неравенства для объемов выпуклых тел // Докл. АН СССР. 1937. Т. 14, № 4. С. 155–157.

О поверхностной функции выпуклого тела:

Замечание к работе «К теории смешанных объемов выпуклых тел» 1) Математический сборник. 1939. Т. 6, № 1. С. 167– В своей работе «К теории смешанных объемов выпуклых тел» [1] я ввел поверхностную функцию выпуклого тела H F (H, ). По определению F (H, ) есть площадь множества на поверхности H, состоящего из точек, через которые проходят опорные плоскости с внешними нормалями, идущи ми в множество на единичной сфере, если их отложить из ее центра. В той же работе было доказано, что F (H, ) есть вполне аддитивная функция множества. Было установлено, что смешанный объем тела H и любого выпуклого тела L представляется как интеграл Радона по всей сфере :

V (L, H,..., H ) = L(n)F (H, d). (1) n n Здесь и в дальнейшем n — число измерений пространства;

n — единичная нормаль, или, если угодно, точка на сфере ;

L(n) — опорная функция тела L. На этом предложении основаны в большой степени понятия о смешанных поверхностных функциях и приложения этих понятий к задачам теории смешанных объемов.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 21 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.