авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени И.И. Мечникова На правах рукописи КОЗЬМА АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ ...»

-- [ Страница 2 ] --

t (1 i 0 Gi1 (t, v1, v2 )) I i 2 (t ) Принимая во внимание представления для (Yi 0 )t, (Yi1 )t и условия (3.3), (3.18), получим, что равномерно по (v1, v2 ) V0 справедливы равенства (t )(Yi 0 (t, v1, v2 )) (t )(Yi1 (t, v1, v2 )) = 1, lim t t = 0.

lim (3.20) Yi 0 (t, v1, v2 ) Yi1 (t, v1, v2 ) t t Таким образом, функции Yik (k = 0,1) обладают всеми свойствами (Y0, Y1,0) – решения, которые использовались при доказательстве леммы 2.1, и, следовательно, равномерно по (v1, v2 ) V0 имеем lim H i (t, v1, v2 ) 1, в котором t (3.21) p j (t ) j 0 (Yi 0 (t, v1, v2 )) j1 (Yi1 (t, v1, v2 )) m H i (t, v1, v2 ) i j [1 rj (t )], pi (t ) i 0 (Yi 0 (t, v1, v2 )) i1 (Yi1 (t, v1, v2 )) j Кроме того, поскольку функция i 0 обладает свойством S и справедливо первое из (3.20), то равномерно по (v1, v2 ) V0 выполняется предельное соотношение i 0 (Yi 0 (t, v1, v2 )) lim K i (t, v1, v2 ) 1, в котором K i (t, v1, v 2 ). (3.22) i 0 ( y 0 | (t ) |) t Теперь, применяя к уравнению (1.11) преобразование y ( k ) (t ) Yik (t, v1 ( x), v 2 ( x)) (k 0,1), x ln | (t ) |, (3.23) 1, если, 1, если, и учитывая, что вектор – функция (Yi 0 (t, v1 ( x ), v2 ( x)),Yi1 (t, v1 ( x), v 2 ( x ))) при t [t3, ) и (v1 ( x), v2 ( x )) V0 удовлетворяет соотношениям | y (t ) | i 0 y (t ) I (t ) = i 2 [1 v1 ( x)], (3.24) [1 v 2 ( x )], = i1 ( y (t )) y (t ) (t ) i получим систему дифференциальных уравнений вида v1 hi (t )[[1 v1 ] i (1 i 0 Gi1 (t, v1, v2 )) K i (t, v1, v2 ) H i (t, v1, v2 )[1 v2 ] i 0 ], (3.25) v [[1 v2 ] [1 v2 ] [1 v2 ]1 i i hi (t ) K i (t, v1, v 2 ) H i (t, v1, v2 ) ], 1 v (t ) I i2 (t ), t – функция, обратная к x = ln | (t ) |. Данную в которой hi (t ) = I i 2 (t ) систему рассмотрим на множестве [ x0,) V0, где x0 = ln | (t3 ) |.

Поскольку выполняются (3.18), (3.21) и (3.22), то имеют место равенства H i (t, v1, v2 ) = 1 Ri1 ( x, v1, v2 ), (3.26) Gi1 (t, v1, v2 ) = i1 Ri 2 ( x, v1, v2 ), K i (t, v1, v2 ) = 1 Ri 3 ( x, v1, v2 ), где функции Rik ( x, v1, v 2 ) (k = 1, 2, 3) стремятся к нулю при x равномерно по (v1, v2 ) V0.

Кроме того, допустимы представления 1 i [1 v2 ] i (3.27) = 1 i 0 v 2 R4 (v 2 ), = 1 v1 (1 i 0 )v 2 R5 (v1, v2 ), [1 v2 ] 1 v в которых функции и удовлетворяют предельным R4 (v2 ) R5 (v1, v2 ) соотношениям:

R5 (v1, v2 ) R4 ( v 2 ) = 0, = 0.

lim lim |v2 | 0 | v | |v1||v2 | 0 | v | | v | 2 1 Учитывая (3.

26) и (3.27), систему (3.25) можно переписать в виде v1 = hi (t )[ f1 ( x) c11 ( x )v1 c12 ( x)v 2 V11 ( x, v1, v 2 ) V12 ( x, v1, v 2 )], (3.28) v = [ f ( x ) c ( x )v c ( x )v V ( x, v, v ) V ( x, v, v )], 2 2 21 1 22 2 21 1 2 22 1 где f1 ( x) = 0, c11 ( x ) = 1, c12 ( x) = i 0, f 2 ( x) = i hi (t ), c21 ( x) = i hi (t ), c22 ( x) = 1 i (1 i 0 )hi (t ), i V11 ( x, v1, v2 ) = i [1 v2 ] ( Ri 2 ( x, v1, v2 ) K i (t, v1, v2 ) H i (t, v1, v2 ) (1 i 0 Gi1 (t, v1, v2 ))Ri3 ( x, v1, v2 ) Hi (t, v1, v2 ) (1 i 0 Gi1 (t, v1, v2 ))Ki (t, v1, v2 ) Ri1 ( x, v1, v2 )), V12 ( x, v1, v2 ) = i (1 i 0 Gi1 (t, v1, v2 )) K i (t, v1, v2 ) H i (t, v1, v2 ) R4 (v2 ), 1 i [1 v2 ] V21 ( x, v1, v2 ) = i hi (t )( Ri1 ( x, v1, v2 ) K i (t, v1, v2 ) Ri 3 ( x, v1, v2 ) H i (t, v1, v2 )), 1 v V22 ( x, v1, v2 ) = v2 i hi (t ) K i (t, v1, v2 ) H i (t, v1, v2 ) R5 (v1, v2 ).

В силу (3.3), (3.26), (3.27), определения i и замены независимой переменной имеют место предельные соотношения lim f 2 ( x) = 0, lim c21 ( x) = 0, lim c22 ( x) = 1, x x x а функции Vlk ( x, v1, v2 ) (l = 1,2;

k = 1,2) таковы, что lim Vl1 ( x, v1, v 2 ) = 0 (l = 1,2) равномерно по (v1, v2 ) V0, x Vl 2 ( x, v1, v2 ) = 0 (l = 1,2) равномерно по x [ x0 ;

).

lim |v1||v 2 |0 | v | | v | 1 Кроме того, имеем (t ( x)) I i2 (t ( x)) (t ) I i2 (t ) dx = h (t ( x))dx = dt =.

i I i 2 (t ) (t ) I i 2 (t ( x)) x0 x0 t Таким образом, для системы дифференциальных уравнений (3.28) выполнены все условия теоремы 2.1 работы [38]. Согласно данной теореме система (3.28) имеет хотя бы одно решение (v1, v2 ) : [ x1,) R ( где x1 x0 ), стремящееся к нулю при x. Этому решению с учётом преобразования (3.23) соответствует решение y (t ) уравнения (1.11), которое вместе со своей производной первого порядка допускают, в силу (3.24) и (3.2), асимптотические представления (3.4). Кроме того, из (3.17) и (3.4), (1.11), (3.3) следует, что данное решение является (Y0, Y1, 0) – решением уравнения (1.11).

Приведём теперь результат, который позволяет при некоторых дополнительных ограничениях на функцию i1 получить асимптотические представления при t для (Y0, Y1,0) – решений и их производных первого порядка в явном виде.

Теорема 3.2. Пусть соблюдаются условия теоремы 3.1 и, кроме этого, функция i1 обладает свойством S. Тогда при выполнении (3.1) – (3.3) каждое (Y0, Y1,0) – решение уравнения (1.11) и его производная первого порядка при t представимы в виде 1 i 0 i y (t ) ~ y 0 | (t ) | | (1 i 0 i1 ) I i 2 (t ) | i1 y10 | I i 2 (t ) |1 i 0 i, (3.29) 1 i 0 i y (t ) ~ y10 | (1 i 0 i1 ) I i 2 (t ) | i1 y10 | I i 2 (t ) |1 i 0 i 1, (3.30) где yk0 = sgn yk (k = 0,1) и определяются из условия (3.2).

y(t ( z )) Доказательство. Для начала покажем, что функция L( z ) =, где i | I i 2 (t ( z )) | i z = y10 | Ii 2 (t ) | и i = 1/(1 i 0 i1 ), является медленно меняющейся при z Y1 ( z 1 ) :

zL ( z ) = lim y10 | I i 2 (t ) | i 0 lim i z Y1 L( z ) I i2 (t ) sgn I i 2 (t ) y1 i | I i 2 (t ) | t z i i 1 I i2 (t ) sgn I i 2 (t ) | I i 2 (t ) | i y(t ) | I i 2 (t ) | y (t ) i | I i 2 (t ) | = 2 i y (t ) | I i 2 (t ) | 1 I (t ) y(t ) = lim i 2 1 = Ii2 (t ) y(t ) t i (справедливость последнего равенства вытекает из предельных соотношений (3.7), (3.8)).

Поскольку функция i1 обладает свойством S, то с учётом медленной изменяемости функции L при z Y1 ( z 1 ) и условия (3.1) получим i1 i1 ( y10 | I i 2 (t ) | i )[1 o(1)] i1 ( y (t )) =| y (t ) | при t.

Принимая во внимание данное соотношение, асимптотические представления (3.4) можно переписать в виде (3.29), (3.30).

§ 3.2. Условия существования и асимптотические представления (Y0, Y1,1) – решений Введём при i {1,...,m} вспомогательную функцию t I i 3 (t ) = p (s)ds, i I i где предел интегрирования I i 3 равен или a, или и выбран так, чтобы соответствующий интеграл стремился при t либо к бесконечности, либо к нулю.

Кроме того, обозначим y1 = sgn y1 и в случае, когда существует значение 1 i a [a, ) такое, что y | I i 3 ( s ) | 1 ( s [a, )), введём вспомогательную функцию 1 1 i t I i 4 (t ) = I i 3 ( s ) i1 y10 | I i 3 ( s ) | 1 i ds, I i0 где предел интегрирования I i 4 равен или a, или и выбран так, чтобы соответствующий интеграл стремился при t либо к бесконечности, либо к нулю.

Теорема 3.3. Пусть 0 = 1 и для некоторого i M при всех j M \ {i} соблюдается условие (2.1). Положим, кроме этого, что имеют место неравенства i 0 i1 1, i1 1 и функция i1 обладает свойством S. Тогда для существования у уравнения (1.11) (Y0,Y1,1) – решений необходимо и достаточно, чтобы 1 i, если lim | I i 3 (t ) | =, t Y1 = 1 i 0, если lim | I i 3 (t ) | = 0, t (3.31) 1 i, если lim | I i 4 (t ) |1 i 0 i1 =, t Y0 = 1 i 0 1 i 0 i, если lim | I i 4 (t ) | = 0, t при t (a, ) выполнялись неравенства (3.32) i (1 i1 ) I i 3 (t ) y1 0, (1 i1 )(1 i 0 i1 ) I i 4 (t ) y 0 y1 и имели место предельные соотношения (t ) I i3 (t ) (t ) I i4 (t ) = i1 1, lim = 0.

lim (3.33) I i 3 (t ) I i 4 (t ) t t Кроме того, каждое из таких решений допускает при t асимптотические представления 1 i | 1 i1 | y (t ) ~ y10 (1 i 0 i1 ) I i 4 (t ), 1 i 1 i ( i 0 ( y (t ))) (3.34) (1 i1 ) I i4 (t ) y (t ) ~.

y (t ) (1 i 0 i1 ) I i 4 (t ) Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ) 0 – произвольное (Y0, Y1,1) – решение уравнения (1.11). Поскольку выполняются условия (1.12) и (2.1), то из уравнения (1.11) с учетом леммы 2.1 следует, что y (t ) = i pi (t ) i 0 ( y(t )) i1 ( y (t ))[1 o(1)] t.

при (3.35) Покажем, учитывая условие i1 1, что имеет место асимптотическое представление y(t ) = i (1 i1 ) I i 3 (t )[1 o(1)] при t. (3.36) i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) Поскольку y (t ) ( y (t )) ( y (t )) = i0 i ( y (t )) 2 y(t ) i0 ( y (t )) y (t ) i1 ( y (t )) y (t ) = 1, i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) y (t ) y (t ) i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) то в силу (1.15) – (1.18) и (3.35) получим, что y (t ) ( y (t )) ( y(t )) = i (1 i1 ) pi (t )[1 o(1)] при t.

i0 i Интегрируя это соотношение от t0 до t (t (t0, )), имеем y (t ) = ci i (1 i1 ) I i 3 (t )[1 o(1)] при t, i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) где ci R. Если I i03 = t0, то справедливо (3.36). Покажем, что ci = 0 при I i03 =.

Предположим противное, тогда y (t ) t = ci o(1) при i 0 ( y(t )) i1 ( y (t )) и, в силу (3.35), 1 y (t ) = i pi (t ) o(1) при t.

y (t ) ci Интегрируя последнее соотношение от t0 до t (t (t0, )), находим, что 1 ln | y (t ) |= Ci i I i 3 (t ) o(1) при t, ci где Ci R. В данном соотношении левая часть при t стремится к бесконечности, а правая – к константе. Полученное противоречие доказывает справедливость (3.36) в случае, когда I i03 =. Из (3.36) следует, что имеют место первое из неравенств (3.32), а также (с учётом (3.35)) первое из условий (3.31) и первое из предельных соотношений (3.33).

| y(t ( z )) | 1 i Покажем теперь, что функция L( z ) =, где z = y | I i 3 (t ) |, 1 1 i | Ii 3 (t ( z )) | является медленно меняющейся при z Y1 ( z 1 ) :

1 1 i zL( z ) 1 i | I (t ) | = lim y10 | I i 3 (t ) | i1 i 3 lim i | y (t ) | z Y1 L ( z ) t y10 | I i 3 (t ) | i1 I i3 (t ) sgn I i 3 (t ) z i 1 i1 1 i 3 (t ) sgn I i 3 (t ) y (t ) y | I i 3 (t ) | (t ) | | y | I i 3 (t ) | Ii 1 i = | I i 3 (t ) | i1 I (t ) y(t ) = lim (1 i1 ) i 3 1 = I i3 (t ) y(t ) t (справедливость последнего равенства вытекает из предельных соотношений (3.35), (3.36)).

Поскольку функция i1 обладает свойством S, то с учётом медленной изменяемости функции L при z Y1 ( z 1 ) из соотношения (3.36) следует, что | y (t ) | i1 sgn y (t ) y 0 | I (t ) |1 i1 [1 o(1)] при t = i (1 i1 ) I i 3 (t ) i1 1 i i 0 ( y (t )) или 1 1 1 i y (t ) I i 3 (t ) i1 y10 | I i 3 (t ) | 1 i1 1 i = y10 | 1 i1 | [1 o(1)] при t. (3.37) 1 i ( i 0 ( y (t ))) Далее, применяя правило Лопиталя в форме Штольца, получим y (t ) ( ( y (t ))) 1 i y (t ) = lim i 0 = lim ( I i 4 (t )) t t 1 i I i 4 (t )(i 0 ( y (t ))) y (t ) i0 ( y (t )) y (t ) 1 1 i1 i 0 ( y (t )) 1 i ( i 0 ( y (t ))) = lim t 1 i y 0 | I (t ) |1 i I i 3 (t ) i1 1 i или, с учетом (1.15), (3.37) и неравенства i1 1, 1 i | 1 i1 | y (t ) = y10 (1 i 0 i1 ) I i 4 (t )[1 o(1)] при t. (3.38) 1 i 1 i ( i 0 ( y (t ))) Из данного соотношения вытекает справедливость второго из неравенств (3.32) и первого из асимптотических представлений (3.34). Кроме того, из (3.37), (3.38) следует, что имеют место второе из условий (3.31), второе из предельных соотношений (3.33) и второе из асимптотических представлений (3.34).

Достаточность. Пусть для некоторого i M соблюдаются условия теоремы и выполняются соотношения (3.31) – (3.33). Зафиксировав с помощью (3.31), (3.32) значения Yk и окрестности k (k = 0,1), докажем существование у уравнения (1.11) хотя бы одного (Y0, Y1,1) – решения, допускающего при t асимптотические представления (3.34).

Рассмотрим сначала систему соотношений вида i 1 i I (t ) y | 1 i1 | | y| | i (1 i1 ) | i 4 [1 v2 ], (3.39) | I i 4 (t ) | [1 v1 ], = y I i 4 (t ) | i | 1 i ( i 0 ( y )) в которой i = 1/(1 i 0 i1), и установим, что она однозначно определяет заданные на множестве D0 = [t2, ) V0, где непрерывно дифференцируемые t 2 [a, ), V0 = {(v1, v2 ) :| vk | 0,5 (k = 1, 2)} неявные функции y ( k ) = Yik (t, v1, v2 ) (k = 0,1) следующего вида Yi 0 (t, v1, v2 ) y0 | I i 4 (t ) |i (1 i 1 ) z1 (t, v1, v2 ), (3.40) z 2 ( t, v1, v2 ) 1 i Yi1 (t, v1, v2 ) y10 | I i 3 (t ) |, где y k0 = sgn y k, | z1 (t, v1, v2 ) | 0,5i (1 i1 ) и | z2 (t, v1, v2 ) | при (t, v1, v2 ) D0, 2(1 i1 ) lim zk 1 (t, v1, v2 ) = 0 равномерно по (v1, v2 ) V0. Для этого, полагая в (3.39) t z 1 i1 i (1 i1 ) z, y = y10 | I i 3 (t ) | y = y 0 | I i 4 (t ) |, (3.41) получим систему соотношений вида z1 i (1 i1 ) i 1 i1 ln | 1 i1 | i 0 y0 | I i 4 (t ) |i (1 i1 ) z1 1 i 1 [1 v1 ] | i |, ln | I i 4 (t ) | ln | I i 3 (t ) | z 2 ln | I i 4 (t ) | ( i i 0 z1 ) z2 1 i 0 1 i ln i (1 i1 ) i1 y1 | I i 3 (t ) | [1 v2 ].

Частично разрешая данную систему относительно z1,z2 (как линейную неоднородную), имеем z k = ak (t ) bk (t, v1, v2 ) Z k (t, z1, z 2 ) (k = 1,2), (3.42) где i1 ln | 1 i1 | (1 i1 ) ln | i | a1 (t ) = i, ln | I i 4 (t ) | i i 0 ln | I i 4 (t ) | i (1 i 0 ) ln | 1 i1 | i i 0 ln | i | a 2 (t ) =, ln | I i 3 (t ) | ln[1 v1 ] i (1 i1 ) ln[1 v1 ] ln[1 v2 ] b1 (t, v1, v2 ) = i (1 i1 ), b2 (t, v1, v2 ) =, ln | I i 4 (t ) | ln | I i 3 (t ) | (1 i1 ) z ln i 0 ( y0 | I i 4 (t ) | i ) Z1 (t, z1, z 2 ) = i, ln | I i 4 (t ) | 1 i z i ln i 0 ( y 0 | I i 4 (t ) | i i1 1 ) i1 y10 | I i 3 (t ) | i (1 ) z.

Z 2 (t, z1, z 2 ) = ln | I i 3 (t ) | Принимая во внимание условия (1.16) и (3.31) – (3.33), получим предельные соотношения lim ak (t ) = 0 ( k = 1,2), t lim bk (t, v1, v2 ) 0 ( k 1,2) равномерно по (v1, v2 ) V0, t (3.43) Z k (t, z1, z 2 ) lim Z k (t, z1, z 2 ) 0 и 0 ( k, l 1, 2) lim zl t t равномерно по ( z1, z 2 ) Z 0, где Z 0 = ( z1, z 2 ) : | z1 | 0,5 i (1 i1 ), | z 2 |.

2(1 i1 ) Поскольку выполняется (3.43), то существует число t0 [a, ) такое, что на множестве [t0, ) Z 0 V0 соблюдаются неравенства | ak (t ) bk (t, v1, v2 ) Z k (t, z1, z 2 ) | (k 1, 2) (3.44) где.

0 min | i (1 i1 ) |, 1 i и условия Липшица | Z k (t, z12, z 2 ) Z k (t, z1, z 1 ) | 1/3 | z k z 1 | (k = 1,2).

2 1 (3.45) 2 k k = Теперь обозначим через банахово пространство непрерывных и B ограниченных на множестве = [t0, ) V0 вектор-функций z = ( z1, z2 ) : R n с нормой 2 || z ||= sup | zk (t, v1, v2 ) |: (t, v1, v2 ).

k =1 Выберем из него подпространство B0 таких функций из B, для которых || z || 0 /2, и рассмотрим на B0, задав произвольное число (0,1), оператор = (1, 2 ), определённый соотношениями k ( z )(t, v1, v2 ) z k (t, v1, v2 ) | z k (t, v1, v2 ) ak (t ) bk (t, v1, v2 ) (3.46) Z k (t, z1 (t, v1, v2 ), z 2 (t, v1, v2 )) | ( k 1, 2).

Для любого z B0 в силу условия (3.44) при (t, v1, v2 ) имеем | k ( z )(t, v1, v2 ) | (1 ) | z k (t, v1, v 2 ) | (k = 1,2).

Поэтому на множестве 2 | k ( z )(t, v1, v2 ) | (1 ) | zk (t, v1, v2 ) | k =1 k = 0 (1 ) 0 0 = 0.

(1 ) || z || 2 2 2 Отсюда вытекает, что || ( z ) || 0 /2 и, следовательно, ( B0 ) B0.

Пусть теперь z1, z 2 B0. Тогда в силу (3.45) при (t, v1, v2 ) | k ( z 2 )(t, v1, v2 ) k ( z1 )(t, v1, v2 ) | (1 ) | zk (t, v1, v2 ) z1 (t, v1, v2 ) | k | Z k (t, z12, z2 ) Z k (t, z1, z1 ) | (1 ) | zk (t, v1, v2 ) z1 (t, v1, v2 ) | 2 1 2 k | z 2 (t, v1, v2 ) z 1 (t, v1, v2 ) | (k = 1,2).

Значит, на множестве ( z 2 )(t, v1, v2 ) k ( z1 )(t, v1, v2 ) | | k k = 2 2 (1 ) | z k (t, v1, v2 ) z 1 (t, v1, v2 ) | | z 2 (t, v1, v2 ) z 1 (t, v1, v2 ) | 1 || z 2 z 1 ||, k 3 k = откуда следует, что || ( z 2 ) ( z1 ) || 1 || z 2 z1 ||.

Таким образом показано, что оператор Ф отображает пространство B0 в себя и является на нём оператором сжатия. Тогда согласно принципу сжатых отображений существует единственная вектор-функция z B0 такая, что z = ( z ). В силу (3.46) эта непрерывная на множестве функция является единственным решением системы (3.42), удовлетворяющим условию || z || 0 /2. Из (3.42) с учётом (3.43) следует, что компоненты данного решения стремятся к нулю при t равномерно по (v1, v2 ) V0. Кроме того, поскольку для системы (3.42) якобиан i (1 i1 ) z1 (1 ) z i0 ( y0 | I i 4 (t ) | i i1 1 ) 0 1 i y0 | I i 4 (t ) | i (1 i1 ) z i 0 ( y0 | I i 4 (t ) | ) 1 z z 1 i1 2 y 0 | I (t ) |1 i1 i1 1 i y1 | I i 3 (t ) | 1 1 1 i1 z y 0 | I (t ) |1 i1 i1 1 i в силу представлений (3.41) и условий (1.16), (3.31), (3.32) отличен от нуля на множестве 1 = [t1, ) V0, где t1 [t0, ), то из известной локальной теоремы о существовании неявных функций, определённых системой соотношений, вытекает непрерывная дифференцируемость этого решения на 1. В силу замены (3.41) полученной вектор-функции ( z1, z2 ) соответствует вектор функция (Yi 0, Yi1 ) с компонентами вида (3.40), которая является решением системы (3.39), причём, с учётом (3.31), (3.32), справедливы утверждения lim Yik (t, v1, v2 ) Yk t равномерно по (v1, v2 ) V0 (k 0, 1), (3.47) Yik (t, v1, v2 ) k при (v1, v2 ) V0, t [t 2, ), где t 2 [t1, ) (k 0,1).

Рассмотрим некоторые свойства функций Yik (k = 0,1). В силу (3.47) и (1.15) j M, k = 0,1 равномерно по при имеют место предельные (v1, v2 ) V соотношения lim G jk (t, v1, v2 ) jk, в которых t (3.48) Yik (t, v1, v2 ) jk Yik (t, v1, v2 ) G jk (t, v1, v2 ).

jk Yik (t, v1, v2 ) y ( k ) = Yik (t, v1, v2 ) ( k = 0,1) Теперь положим в системе (3.39) и продифференцируем полученные соотношения по t. В результате имеем систему уравнений, линейных относительно (Yi 0 )t и (Yi1 )t (Yi 0 ) Gi 0 (t, v1, v2 ) t 1 1 i 1 i ( i 0 (Yi 0 (t, v1, v2 )) 1 i | 1 i1 | y10 I i4 (t )[1 v1 ], i (1 i1 ) (3.49) Yi1 (t, v1, v 2 ) (Yi 0 ) (Yi1 ) 2 t t Yi 0 (t, v1, v2 ) Yi 0 (t, v1, v2 ) I i4 (t ) I i 4 (t ) ( I i4 (t )) i (1 i1 ) [1 v2 ].

( I i 4 (t )) Определитель данной системы равен Gi 0 (t, v1, v2 ) 1, 1 i 1 i Yi 0 (t, v1, v2 )(i 0 (Yi 0 (t, v1, v2 ))) поэтому в силу вида функций Yik (k = 0,1), (3.48) и условия i 0 i1 1 найдётся t3 [t2, ) такое, что на множестве [t3, ) V0 у системы (3.49) существует единственное решение, заданное формулами I (t ) 1 i i 4 Yi 0 (t, v1, v2 ), (Yi 0 (t, v1, v2 )) = t 1 Gi 0 (t, v1, v2 ) i1 I i 4 (t ) I (t ) I (t ) Gi 0 (t, v1, v2 ) (Yi1 (t, v1, v2 )) = i 4 i 4 Yi1 (t, v1, v2 ), I (t ) 1 G (t, v, v ) I (t ) t i4 i0 1 2 i1 i Кроме того, поскольку i 1 1 i I i 3 (t ) i1 y10 | I i 3 (t ) | 1 i I i4 (t ) = sgn I i3 (t ) 1 i i 1 I i3 (t ) i1 y10 | I i 3 (t ) | 1 i1 y 0 | I (t ) | 1 i1 0 1 i sgn I i3 (t ) I i3 (t ) I (t ) i1 1 i 3 y | I (t ) | i3 1 1 i1 i, то в силу (1.16) и первого из (3.33) имеет место предельное соотношение (t ) I i3 (t ) (t ) I i4 (t ) = lim lim I i4 (t ) 1 i1 t I i 3 (t ) t 1 1 i y 0 | I (t ) | 1 i i1 1 i y1 | I i 3 (t ) | 1 = 1.

1 1 i1 y 0 | I (t ) |1 i i1 1 i Принимая во внимание данное предельное соотношение, представления для (Yi 0 ), (Yi1 ) и условия (3.33), (3.48) получим, что равномерно по (v1, v2 ) V t t справедливы равенства (t )(Yi 0 (t, v1, v 2 )) (t )(Yi1 (t, v1, v 2 )) = 0, lim t t = 1. (3.50) lim Yi 0 (t, v1, v 2 ) Yi1 (t, v1, v 2 ) t t Таким образом, функции Yik (k = 0,1) обладают всеми свойствами (Y0, Y1,1) – решения, которые использовались при доказательстве леммы 2.1, и, следовательно, равномерно по (v1, v2 ) V0 имеем lim H i (t, v1, v 2 ) 1, в котором t (3.51) p j (t ) j 0 (Yi 0 (t, v1, v 2 )) j1 (Yi1 (t, v1, v2 )) m H i (t, v1, v2 ) i j [1 r j (t )], pi (t )i 0 (Yi 0 (t, v1, v2 )) i1 (Yi1 (t, v1, v2 )) j Кроме того, поскольку функция i1 обладает свойством S, то в силу (3.31), (3.47) и (3.50) равномерно по (v1, v2 ) V0 выполняется предельное соотношение i1 (Yi1 (t, v1, v2 )) lim K i (t, v1, v2 ) 1, в котором K i (t, v1, v2 ). (3.52) t y 0 | I (t ) |1 i i1 1 i Теперь, применяя к уравнению (1.11) преобразование y ( k ) (t ) Yik (t, v1 ( x), v2 ( x)) (k 0,1), x ln | I i 3 (t ) |, (3.53) 1, если I i03 a, 1, если I i 3, и учитывая, что вектор-функция при (Yi 0 (t, v1 ( x), v2 ( x)),Yi1 (t, v1 ( x), v2 ( x))) t [t3, ) и (v1 ( x), v2 ( x)) V0 удовлетворяет соотношениям 1 i | 1 i1 | y (t ) = y10 I i 4 (t )[1 v1 ( x )], i (1 i1 ) 1 i (i 0 ( y(t ))) (3.54) I (t ) y (t ) i (1 i1 ) i 4 [1 v2 ( x)], y (t ) I i 4 (t ) получим систему дифференциальных уравнений вида v1 hi (t )[[1 v1 ] i (1 Gi 0 (t, v1, v2 ) i1 )[1 v1 ][1 v2 ]], I i4 (t ) I i 3 (t ) v I (t ) I (t ) hi (t ) [1 v2 ] i (1 i1 )hi (t )[1 v2 ] i4 (3.55) i [1 v2 ] i K i (t, v1, v2 ) H i (t, v1, v2 ), [1 v1 ]1 i 1 i I i4 (t ) I i 3 (t ) в которой hi (t ) =, t -функция, обратная к x = ln | Ii 3 (t ) |. Данную I i 4 (t ) I i3 (t ) систему рассмотрим на множестве [ x0, ) V0, где x0 = ln | I i 3 (t3 ) |.

Поскольку выполняются (3.48), (3.51) и (3.52), то имеют место равенства Gi 0 (t, v1, v 2 ) = i 0 Ri1 ( x, v1, v 2 ), (3.56) K i (t, v1, v 2 ) = 1 Ri 2 ( x, v1, v 2 ), H i (t, v1, v2 ) = 1 Ri 3 ( x, v1, v2 ), где функции Rik ( x, v1, v2 ) (k = 1,3) стремятся к нулю при x равномерно по (v1, v2 ) V0.

Кроме того, допустимы представления [1 v1 ][1 v2 ] = 1 v1 v2 R4 (v1, v2 ) и (3.57) i [1 v2 ] = 1 ( i1 1)v1 i1v2 R5 (v1, v2 ), 1 i [1 v1 ] Rk (v1, v2 ) (k = 4,5) в которых функции удовлетворяют предельным соотношениям:

Rk (v1, v2 ) = 0.

lim |v1||v2|0 | v | | v | 1 Учитывая (3.56) и (3.57), систему (3.55) можно переписать в виде v1 = hi (t )[ f1 ( x) c11 ( x)v1 c12 ( x)v 2 V11 ( x, v1, v2 ) V12 ( x, v1, v2 )], (3.58) v = [ f ( x) c ( x )v c ( x )v V ( x, v, v ) V ( x, v, v )], 2 2 21 1 22 2 21 1 2 22 1 где f1 ( x ) = 0, c11 ( x ) = 0, c12 ( x ) = 1, I i4 (t ) I i 3 (t ) f 2 ( x) = i (1 i1 )hi (t ) hi (t ) c21 ( x) = 1,, I i4 (t ) I i3 (t ) 1 i I i (t ) I i 3 (t ) i c22 ( x) = 2 i (1 i1 ) hi (t ) hi (t ), I i4 (t ) I i3 (t ) 1 i V11 ( x, v1, v2 ) = i Ri1 ( x, v1, v2 )[1 v1 ][1 v2 ], V12 ( x, v1, v2 ) = i (1 i 0 i1 ) R4 (v1, v2 ), 1 [1 v2 ] i V21 ( x, v1, v2 ) = ( Ri 2 ( x, v1, v 2 ) Ri 3 ( x, v1, v2 ) Ri 2 ( x, v1, v2 ) Ri 3 ( x, v1, v2 )), 1 i1 [1 v1 ]1 i V22 ( x, v1, v2 ) = i (1 i1 )hi (t )v2 R5 (v1, v2 ).

1 i В силу (3.33), (3.56), (3.57), определения i и замены независимой переменной имеют место предельные соотношения lim f 2 ( x) = 0, lim c21( x) = 1, lim c22 ( x) = 1, x x x а функции Vlk ( x, v1, v2 ) (l = 1,2;

k = 1,2) таковы, что lim Vl1 ( x, v1, v 2 ) = 0 (l = 1,2) равномерно по (v1, v 2 ) V0, x Vl 2 ( x, v1, v 2 ) = 0 (l = 1,2) равномерно по x [ x0 ;

).

lim |v1||v 2 |0 | v | | v | 1 Чтобы привести данную систему к почти треугольному виду, применим преобразование 1 (t ( x)) I i4 (t ( x)) v2 ( x) = w1 ( x), v1 ( x) = w2 ( x) w1 ( x), (3.59) 1 i1 I i 4 (t ( x)) в результате чего получим w1 = [ F1 ( x ) C11 ( x ) w1 C12 ( x ) w2 W11 ( x, w1, w2 ) W12 ( x, w1, w2 )], (3.60) w = h (t )[ F ( x) C ( x ) w C ( x ) w W ( x, w, w ) W ( x, w, w )], 2 i 2 21 1 22 2 21 1 2 22 1 где 1 (t ) I i4 (t ) F1 ( x) = f 2 ( x), C11 ( x) = c21 ( x) c22 ( x), C12 ( x) = c21 ( x), 1 i1 I i 4 (t ) 1 (t ( x )) I i4 (t ( x)) W1l ( x, w1, w2 ) = V2l x, w2 w1, w1 (l = 1,2), 1 i1 I i 4 (t ( x)) 1 (t ) I i4 (t ) C21 ( x) = c11 ( x) c12 ( x) 1 i1 I i 4 (t ) (t ) I i4 (t ) (t ) I i3 (t ) 1 (t ) I i3 (t ) c21 ( x ) c22 ( x) (1 i1 ) 2 1 i1 I i 3 (t ) I i 4 (t ) I i 3 (t ) 1 (t ) I i4 (t ) (t ) I i4 (t ) 1, 1 i1 I i 4 (t ) I i4 (t ) 1 (t ) I i3 (t ) C 22 ( x) = c11 ( x) c 21 ( x), 1 i1 I i 3 (t ) 1 (t ( x)) I i4 (t ( x)) 1 (t ) I i3 (t ) W2l ( x, w1, w2 ) = V1l x, w2 w1, w1 1 i1 I i 4 (t ( x)) I i 3 (t ) i 1 (t ( x)) I i4 (t ( x)) V2l x, w2 w1, w1 (l = 1,2).

1 i1 I i 4 (t ( x )) В силу свойств коэффициентов системы (3.58), преобразования (3.59) и второго из условий (3.33) имеют место предельные соотношения lim F1 ( x ) = 0, lim C11 ( x ) = 1, lim C12 ( x) = 1, x x x lim F2 ( x) = 0, lim C21 ( x ) = 0, lim C22 ( x ) = 1, x x x а функции Wlk ( x, w1, w2 ) (l = 1,2;

k = 1,2) таковы, что lim Wl1 ( x, w1, w2 ) = 0 (l = 1,2) равномерно по ( w1, w2 ) W x (где W0 определяется через V0 с помощью (3.59)), Wl 2 ( x, w1, w2 ) = 0 (l = 1,2) равномерно по x [ x0 ;

).

lim |w1||w2 | 0 | w | | w | 1 Кроме того, имеем I i4 (t ( x)) I i 3 (t ( x )) I (t ) I i 3 (t ) I i3 (t ) dx = i h (t ( x))dx = dt =.

i I i 4 (t ( x)) I i3 (t ( x )) I i 4 (t ) I i3 (t ) I i 3 (t ) x0 x0 t Таким образом, для системы дифференциальных уравнений (3.60) выполнены все условия теоремы 2.1 работы [38]. Согласно данной теореме система (3.60) имеет хотя бы одно решение (w1, w2 ) : [ x1,) R ( где x1 x0 ), стремящееся к нулю при x. Этому решению, с учётом преобразований (3.53) и (3.59), соответствует решение y (t ) уравнения (1.11), которое вместе со своей производной первого порядка допускают, в силу (3.54) и (3.32), асимптотические представления (3.34). Кроме того, из (3.47) и (3.34), (1.11), (3.33) следует, что данное решение является (Y0,Y1, 1) – решением уравнения (1.11).

Приведём теперь результат, который позволяет при некоторых дополнительных ограничениях на функцию i 0 получить асимптотические представления при t для (Y0, Y1,1) – решений и их производных первого порядка в явном виде.

Теорема 3.4. Пусть соблюдаются условия теоремы 3.3 и, кроме этого, функция i 0 обладает свойством S. Тогда при выполнении (3.31) – (3.33) каждое (Y0, Y1,1) – решение уравнения (1.11) и его производная первого порядка при t представимы в виде 1 i 1 i 0 i 0 1 i 0 i i 0 y 0 | I i 4 (t ) | i1 1 i y (t ) ~ y 0 | 1 i1 | | (1 i 0 i1 ) I i 4 (t ) |, 1 1 i y (t ) ~ y10 I i 3 (t ) i1 y10 | I i 3 (t ) | 1 i (3.61) 1 i 1 i 0 i | 1 |1 i 0 | (1 ) I (t ) | i 0 y 0 | I (t ) |1 i 0 i, i1 i0 i1 i4 i 0 i где y k = sgn y k (k = 0,1) и определяются из условия (3.32).

| y (t ( z )) | Доказательство. Для начала покажем, что функция L( z ) =, i (1 i1 ) | I i 4 (t ( z )) | i (1 i1 ) где z = y0 | I i 4 (t ) | и i = 1/(1 i 0 i1 ), является медленно меняющейся при z Y0 ( z 0 ) :

i (1 i1 ) zL ( z ) i (1 i1 ) | I i 4 (t ) | = lim y0 | I i 4 (t ) | 0 lim z Y0 L ( z ) | y (t ) | y 0 i (1 i1 ) | I i 4 (t ) | i i 0 I i4 (t ) sgn I i 4 (t ) t z i (1 i1 ) i i I i4 (t ) sgn I i 4 (t ) y 0 y (t ) | I i 4 (t ) | I i 4 (t ) y (t ) | y (t ) || I i 4 (t ) | i (1 i1 ) = = lim 2 i (1 i1 ) t I i4 (t ) y (t ) | I i 4 (t ) | (справедливость последнего равенства вытекает из предельных соотношений (3.37), (3.38)).

Поскольку функция i 0 обладает свойством S, то с учётом медленной изменяемости функции L при z Y0 ( z 0 ) и условия (3.31) получим [1 o(1)] при t.

i0 i (1 i1 ) i 0 ( y (t )) =| y (t ) | i 0 y0 | I i 4 (t ) | Принимая во внимание данное соотношение, асимптотические представления (3.34) можно переписать в виде (3.61).

§ 3.3. Пример уравнения с быстро и правильно меняющимися коэффициентами pi (t ) Для иллюстрации полученных в §§3.1 3.2 результатов исследуем вопрос об асимптотическом поведении (Y0, Y1,0) – решений и (Y0, Y1,1) – решений уравнения (1.19). При этом необходимо рассмотреть три возможных случая: =, = 1 и (0;

1) (1;

). Поскольку в уравнении (1.19) не задан конкретный вид функций i 0 и i1, возникают трудности при нахождении I i 2 (t ) и I i 4 (t ) соответственно. Поэтому придется потребовать от ik (k = 0,1) обладания свойством более жёстким, чем S Определение 3.1. Будем говорить, что функция ik ( z ) (i = 1,...,m;

k = 0,1) обладает свойством S, если имеет место предельное соотношение z ln | z | ik ( z ) = 0.

lim ik ( z ) z Yk z k Свойством обладает, например, функция ln | ln | z ||. Функция же S | ln | z || k (k 0) не обладает свойством (хотя обладает свойством S ).

S Отметим, что данное дополнительное ограничение на нелинейности не является необходимым и связано с достаточно общим видом уравнения (1.19).

Вначале получим условия существования и асимптотические представления (Y0, Y1,0) – решений.

а) Пусть t, тогда при имеют место следующие i = 1,..., m представления | (t ) | pi(t ) = it i i, pi (t ) ln t | ai | it i i 0 i ln t i 0 ( y0 t ) i 0, e t при i | ai | t 1 i i 0 ln i t i 0 ( y0 t ) при i 0, i i 0 1, I i 2 (t ) ~ 1 i i | ai | 1 i ln t i 0 ( y0 t ) при i 0, i i 0 1, i 1, 1 i (последнее представление для I i 2 (t ) получено при условии, что i 0 обладает свойством S ;

чтобы не накладывать ещё более сильные ограничения на функцию i 0, случай i = 0, i i 0 = 1, i 1 не рассматриваем), it при i 0, (t ) I i2 (t ) 1 i i 0 при i 0, i i 0 1, ~ I i 2 (t ) 1 i при i 0, i i 0 1, i 1.

ln t С учётом полученных представлений, леммы 2.1 и теорем 3.1, 3.2 имеют место Следствие 3.1. Пусть 0 = 0 и для некоторого i M при каждом j M \ {i} либо j i, либо j = i и j i i0 j0.

Предположим, кроме того, что имеет место неравенство i 0 i1 1 и функция i 0 обладает свойством S. Тогда при i 0 или i 0, i i 0 1 у уравнения (1.19) не существует (Y0, Y1,0) – решений.

Следствие 3.2. Пусть 0 = 0 и для некоторого i M при каждом j M \ {i} либо j i, либо j = i и j i i0 j0.

Предположим, кроме того, что имеет место неравенство i 0 i1 1 и функция i 0 обладает свойством S. Тогда при i = 0, i i 0 = 1, i 1 для существования у уравнения (1.19) (Y0, Y1,0) – решений необходимо и достаточно, чтобы, если (1 i )(1 i 0 i1 ) 0, Y1 = Y0 =, 0, если (1 )(1 ) 0, i i0 i и выполнялись неравенства i (1 i )(1 i 0 i1 ) y1 0, y0 y1 0.

t Кроме того, каждое из таких решений допускает при асимптотические представления | y(t ) | i 0 ai (1 i 0 i1 ) 1 ln i t i 0 ( y0 t )[1 o(1)], = i1 ( y(t )) 1 i y(t ) = [1 o(1)], y (t ) t которые в случае, когда функция i1 обладает свойством S, могут быть записаны в виде 1 i 0 i ai (1 i 0 i1 ) 1 1 i 0 i 0 ai 0 0 1 i ln i t i 0 ( y 0 t ) i1 y1 ln t i 0 ( y0 t ) y (t ) ~ y t, 1 i 1 i 1 i 0 i ai (1 i 0 i1 ) 1 1 i 0 i 0 ai 0 0 1 i y (t ) ~ y ln i t i 0 ( y0 t ) i1 y1 ln t i 0 ( y0 t ).

1 i 1 i б) Пусть t 1, тогда при i = 1,...,m имеют место следующие представления | (t ) | pi (t ) = (1 t ) i i i ~ i, pi ( t ) t t ln t | ai | i 1 i i 0 i 0 ( y0 (1 t )) при i i 0 1, 1 e (1 t ) i i I i1 (t ) ~ | a | e i ln(1 t ) ( y 0 (1 t )) при i i 0 1, i i0 (последнее представление для I i 2 (t ) получено при условии, что i 0 обладает свойством S ), 1 i i0 при i i 0 1, (t ) I i2 (t ) ~ I i 2 (t ) при i i 0 1.

ln(1 t ) С учётом полученных представлений, леммы 2.1 и теорем 3.1, 3.2 имеют место Следствие 3.3. Пусть 0 = 0 и для некоторого i M при всех j M \ {i} справедливо соотношение i 0 j 0 j i.

Положим, кроме того, что имеет место неравенство i 0 i1 1 и функция i 0 обладает свойством S. Тогда при i i 0 1 у уравнения (1.19) не существует 1 (Y0, Y1,0) – решений.

Следствие 3.4. Пусть 0 = 0 и для некоторого i M при всех j M \ {i} справедливо соотношение i 0 j 0 j i.

Положим, кроме того, что имеет место неравенство i 0 i1 1 и функция i 0 обладает свойством S. Тогда при i i 0 = 1 для существования у уравнения (1.19) 1 (Y0, Y1,0) – решений необходимо и достаточно, чтобы, если 1 i 0 i1 0, Y1 = Y0 = 0, если 1 0, i0 i и выполнялись неравенства i (1 i 0 i1 ) y1 0, y0 y1 0.

Кроме того, каждое из таких решений допускает при t асимптотические представления | y(t ) | i 0 =| ai e i (1 i 0 i1 ) | ln (1 t ) i 0 ( y0 (1 t ))[1 o(1)], i1 ( y(t )) y(t ) [1 o(1)], = y (t ) t которые в случае, когда функция i1 обладает свойством S, могут быть записаны в виде 0 y (t ) ~ y 0 (1 t ) ai (1 i 0 i1 )e i ln(1 t ) i 0 ( y0 (1 t )) 1 i 0 i i1 y10 ai e i ln(1 t ) i 0 ( y0 (1 t )) 1 i 0 i, y(t ) ~ y10 ai (1 i 0 i1 )e i ln (1 t ) i 0 ( y 0 (1 t )) 1 i 0 i i1 y10 ai e i ln (1 t ) i 0 ( y0 (1 t )) 1 i 0 i.

в) Пусть t, где (0;

1) (1;

), тогда при i = 1,..., m имеют место следующие представления | (t ) | pi(t ) = ( t ) i i i ~ 0, pi (t ) t t ln t | a i | i i i 1 i 0 1 e | ln | ( t ) i 0 ( y 0 ( t )) при i 0 i I i 2 (t ) ~ | a | e i i | ln | i ln( t ) ( y 0 ( t )) при i 0 1, i i0 (последнее представление для I i 2 (t ) получено при условии, что i 0 обладает свойством S ), 1 i0 при i 0 1, (t ) I i2 (t ) ~ I i 2 (t ) при i 0 1.

ln( t ) С учётом полученных представлений, леммы 2.1 и теорем 3.1, 3.2 имеют место Следствие 3.5. Пусть 0 = 0 и для некоторого i M при всех j M \ {i} справедливо соотношение i 0 j 0 0.

Предположим, кроме того, что имеет место неравенство i 0 i1 1 и функция i 0 обладает свойством S. Тогда при i 0 1 у уравнения (1.19) не существует (Y0, Y1,0) – решений.

Следствие 3.6. Пусть 0 = 0 и для некоторого i M при всех j M \ {i} справедливо соотношение i 0 j 0 0.

Предположим, кроме того, что имеет место неравенство i 0 i1 1 и функция i 0 обладает свойством S. Тогда при i 0 = 1 для существования у уравнения (1.19) (Y0, Y1,0) – решений необходимо и достаточно, чтобы, если 2 i1 0, Y1 = Y0 = 0, если 2 0, i и выполнялись неравенства i (2 i1 ) y1 0, y0 y1 0.

Кроме того, каждое из таких решений допускает при t асимптотические представления ( y (t )) 2 =| ai (2 i1 ) | e i i | ln | i ln ( t ) i 0 ( y0 ( t ))[1 o(1)], i1 ( y (t )) y(t ) [1 o(1)], = y (t ) t которые в случае, когда функция i1 обладает свойством S, могут быть записаны в виде 0 y (t ) ~ y 0 ( t ) ai Ai (2 i1 ) ln ( t ) i 0 ( y 0 ( t )) 2 i i1 y10 ai Ai ln ( t ) i 0 ( y0 ( t )) 2 i1, y (t ) ~ y10 ai Ai (2 i1 ) ln ( t ) i 0 ( y 0 ( t )) 2 i i1 y10 ai Ai ln ( t ) i 0 ( y0 ( t )) 2 i1, где Ai = e i i | ln | i.

Теперь получим условия существования и асимптотические представления (Y0, Y1, 1) – решений.

г) Пусть t, тогда при имеют место следующие i = 1,..., m представления | (t ) | pi(t ) = i t i i, pi (t ) ln t | a i | i t i i e t ln t при i 0, i | ai | 1 i i 1 t ln t при i 0, i 1, i I i 3 (t ) ~ | ai | ln1 i t при 0, 1, 1, i i i 1 i | ai | ln ln t при i 0, i 1, i 1, i t при i 0, 1 i при i 0, i 1, tI i3 (t ) ~ I i 3 (t ) 1 i при i 0, i 1, i 1, ln t при i 0, i 1, i 1, ln t ln ln t (из последнего представления, первого из предельных сотношений (3.33) и условия i1 1 теоремы 3.3 вытекает, что i = 0, i 1 ), i 1 i1 1 i1 i 1 i A (1 i1 ) ai 1 i y 0 A (ln t ) 1 i I i 4 (t ) ~ i (ln t ), где Ai = i1 1 i 1 i1 i 1 i t (представление для I i 4 (t ) получено при условии, что i1 обладает свойством S и i i1 1 ), tI i4 (t ) ~.

I i 4 (t ) ln t В силу этих представлений, леммы 2.1 и теорем 3.3, 3.4 для уравнения (1.19) имеет место Следствие 3.7. Пусть 0 = 1 и для некоторого i M при всех j M \ {i} либо j i, либо j = i и j i j 1 i1.

Предположим, кроме того, что имеют место неравенства i 0 i1 1, i1 1, i i1 1 и функция i1 обладает свойством S. Тогда для существования у уравнения (1.19) (Y0, Y1,1) – решений необходимо и достаточно, чтобы i = 0, i = i1 2,, если (1 i 0 i1 )(1 i1 i ) 0, Y0 = Y1 = 0, если (1 )(1 ) 0, i0 i1 i1 i и выполнялись неравенства i y1 0, (1 i 0 i1)(1 i1 i ) y0 y1 0.

Кроме того, каждое из таких решений допускает при t асимптотические представления i 1 i 1 i1 i 1 1 i 1 i 0 i y (t ) y 0 A (ln t ) 1 i1 1 i = y | ai | (ln t ) [1 o (1)], i1 1 i 1 i1 i t 1 i ( i 0 ( y (t ))) y(t ) 1 i1 i [1 o(1)], = y (t ) 1 i 0 i1 t ln t которые в случае, когда функция i 0 обладает свойством S, могут быть записаны в виде i 1 i (ln t ) 1 y (t ) ~ y 0 | 1 i1 || Ai Bi | i1 (ln t ) i1 i i1 y10 Ai t 1 i 0 i 1 i 0 i i 1 i 1 i 0 A (1 i1 ) 1 i 0 i1 (ln t ) Bi (ln t ) i1 y10 Ai i 0 y 0 i, 1 i1 i t i i 1 i 1 i1 1 i (ln t ) y 0 A (ln t ) y (t ) ~ y10 Ai i1 1 i t t i 1 i1 i 1 i 0 | 1 i1 | Ai Bi (1 i1 )(ln t ) i1 i i 1 i1 1 i 1 i i 0 y0 Ai (1 i1 ) 1 i 0 i (ln t ) i1 y10 Ai 1 i1 i t 1 i 0 i i 1 i 0 i 1 i (ln t ) Bi (ln t ) i1 y10 Ai, t 1 i 0 i где Bi =.

1 i1 i д) Пусть t 1, тогда при i = 1,..., m имеют место следующие представления | (t ) | pi (t ) = (1 t ) i i i ~ i, pi (t ) t t ln t | ai | i 1 i при i 1, 1 e (1 t ) i I i 3 (t ) ~ | a | e i ln(1 t ) при i 1, i 1 i при i 1, (t 1) I i3 (t ) ~ I i 3 (t ) при i 1, ln(1 t ) (из последнего представления, первого из предельных сотношений (3.33) и условия i1 1 теоремы 3.3 вытекает, что i 1 ), i y Ai 1 i 1 i ai e I i 4 (t ) ~ Ai ln (1 t ) i1 где Ai =,, 1t 1 i (t 1) I i4 (t ) ~.

I i 4 (t ) ln (1 t ) (представление для I i 4 (t ) получено при условии, что i1 обладает свойством S ).

С учётом полученных представлений, леммы 2.1 и теорем 3.3, 3.4 для уравнения (1.19) имеет место Следствие 3.8. Пусть 0 = 1 и для некоторого i M при всех j M \ {i} справедливо соотношение j1 i1 j i.

Предположим, кроме того, что имеют место неравенства i 0 i1 1, i1 и функция i1 обладает свойством S. Тогда для существования у уравнения (1.19) 1 (Y0, Y1,1) – решений необходимо и достаточно, чтобы 1 i = i1 1,,если (1 i1 )(1 i 0 i1 ) 0, Y0 = Y1 = 0, если (1 )(1 ) 0, i1 i0 i и выполнялись неравенства i y1 0, (1 i1 )(1 i 0 i1 ) y0 y1 0.

Кроме того, каждое из таких решений допускает при t 1 асимптотические представления y10 Ai 1 i 1 i 0 i y (t ) 1 i = y10 ln (1 t ) i1 | ai e i | [1 o (1)], 1 t 1 i1 1 i ( i 0 ( y (t ))) y(t ) 1 i1 [1 o(1)], = 1 i 0 i1 (1 t ) ln (1 t ) y (t ) которые в случае, когда функция i 0 обладает свойством S, могут быть записаны в виде | 1 i1 | i1 | (1 i 0 i1 ) Ai ln (1 t ) |1 i1 i1 y1 Ai y (t ) ~ y 1 t 1 i 1 i 0 i 1 1 i 0 i y A 1 i1 i 0 y0 Ai ln (1 t ) i1 1 i, 1 t y Ai y10 Ai 1 i i1 y (t ) ~ 1 t 1 t 1 i y A 1 i | 1 i1 | i 0 (1 i 0 i1 ) Ai ln (1 t ) i1 1 i 1 t 1 i 1 i 0 i 1 1 i 0 i y10 Ai 1 i1 i 0 y0 Ai ln(1 t ) i1.

1 t e) Пусть t, где (0;

1) (1;

), тогда при i = 1,..., m имеют место следующие представления | (t ) | pi (t ) = ( t ) i i i ~ 0, pi ( t ) t t ln t (t ) I i3 (t ) ~ 1, I i 3 (t ) ~| ai | e i i | ln | i (t ), I i 3 (t ) (t ) I i4 (t ) Ai ln ( t ) ~ I i 4 (t ) ~, где Ai =, y0 A ln ( t ) I i 4 (t ) | ai | e i i | ln | i i1 1 i t (представление для I i 4 (t ) получено при условии, что i1 обладает свойством S ).

С учётом полученных представлений, леммы 2.1 и теорем 3.3, 3.4 для уравнения (1.19) имеет место Следствие 3.9. Пусть 0 = 1 и для некоторого i M при всех j M \ {i} справедливо соотношение j1 i1 0.

Предположим, кроме того, что имеют место неравенства i 0 i1 1, i1 1 и функция i1 обладает свойством S. Тогда для существования у уравнения (1.19) (Y0, Y1,1) – решений необходимо и достаточно, чтобы i1 = 2,, если 1 i 0 0, Y0 = Y1 = 0, если 1 0, i и выполнялись неравенства i y1 0, (1 i 0 ) y0 y1 0.

Кроме того, каждое из таких решений допускает при t асимптотические представления ln ( t ) y(t )i 0 ( y (t )) = y10 Ai (1 i 0 ) [1 o(1)], y10 Ai i t y(t ) [1 o(1)], = (1 i 0 )( t ) ln( t ) y (t ) которые в случае, когда функция i 0 обладает свойством S, могут быть записаны в виде 1 i Ai (1 i 0 ) ln ( t ) y(t ) ~ y, 1 i y1 Ai y 0 Ai ln ( t ) i0 i1 t y10 Ai i1 t i 1 i y10 Ai Ai (1 i 0 ) ln ( t ) y (t ) ~.

y1 Ai i ( t ) i1 1 i t y1 Ai y 0 Ai ln( t ) i t i0 0 y10 Ai i1 t Выводы В главе III были получены следующие результаты:

1) При соблюдении условий Леммы 2.1 установлены необходимые и достаточные признаки существования (Y0, Y1,1) – решений и (Y0, Y1,0) – решений уравнения (1.11), а так же получены неявные асимптотические представления для таких решений и их производных первого порядка при t ;

2) Указаны дополнительные ограничения на нелинейности, которые позволяют записать данные представления в явном виде.

Все результаты проиллюстрированы на примере уравнения (1.19).

ГЛАВА IV АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ (Y0, Y1,) – РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ (1.11) Настоящая глава посвящена установлению условий существования и асимптотических представлений (Y0,Y1,) – решений уравнения (1.11) в случае, когда правая его часть на каждом таком решении асимптотически эквивалентна при t одному слагаемому.

§ 4.1. Некоторые априорные свойства (Y0, Y1,) – решений j M \ {i} Пусть 0 = и для некоторых i M и Лемма 4.1.

соблюдаются условия p j (t ) pi (t ) limsup | (t ) | (4.1) p j (t ) p i (t ) t и (4.2) ( i 0 j 0 i1 j1 ) (t ) 0, где 1 при 0 =, = 1 при 0 =.

Тогда для каждого (Y0, Y1,) – решения уравнения (1.11) выполняется предельное соотношение (2.2).

Пусть y : [t0, ) 0 – произвольное (Y0, Y1,) – Доказательство.

решение уравнения (1.11). Обозначим p j (t ) j 0 ( y (t )) j1 ( y(t )) z j (t ) =, pi (t )i 0 ( y(t ))i1 ( y(t )) тогда p j (t ) pi (t ) y (t ) j 0 ( y (t )) z j (t ) = z j (t ) j 0 ( y (t )) p j (t ) pi (t ) y (t ) j1 ( y (t )) y (t ) i0 ( y (t )) y (t ) i1 ( y (t )).

j1 ( y (t )) i1 ( y (t )) i 0 ( y (t )) Перепишем последнее соотношение в виде z j (t ) | (t ) | p j (t ) | (t ) | pi (t ) | (t ) | y (t ) z j (t ) = | (t ) | p j (t ) p i (t ) y (t ) y (t ) ( y(t )) y (t ) j 0 ( y(t )) y (t ) y (t ) y(t ) ( y (t )) y (t ) j1 ( y(t )).

i0 i i 0 ( y (t )) j1 ( y (t )) ( y(t )) i1 ( y (t )) j 0 ( y (t )) В силу условий (1.15) и (1.17) y ( k ) (t ) lk ( y ( k ) (t )) = lk, где k = 0,1;

l = 1,..., m. (4.3) lim lk ( y ( k ) (t )) t Кроме того, согласно условию (1.18) и лемме 1.1 имеют место предельные соотношения (t ) y ( k 1) (t ) y (t ) y (t ) = ( k = 0,1), = 1. (4.4) lim lim y ( k ) (t ) ( y (t )) t t Из (4.1) – (4.4) вытекает существование постоянных z j 0 и t1 [t0, ) таких, что выполняется неравенство z 0 z j (t ) j z j (t ) при t [t1, ), | (t ) | откуда следует z j (t ) (t ) z 0 sgn (t ) ln при t [t1, ).

ln j (t1 ) z j (t1 ) Поскольку выражение, стоящее справа, стремится к при t, то lim z j (t ) = 0.

t z j (t ) Из этого предельного соотношения и определения вытекает справедливость (2.2).

§ 4.2. Условия существования и асимптотические представления (Y0, Y1,) – решений Введём при i {1,...,m} вспомогательную функцию t I i 5 (t ) = I ( s) ds, i Ii где предел интегрирования I i 5 равен или a, или и выбран так, чтобы соответствующий интеграл стремился при t либо к бесконечности, либо к нулю;

Ii 3 (t ) – функция, определённая в главе III.

Теорема 4.1. Пусть 0 = и для некоторого i M при всех j M \ {i} соблюдаются условия (4.1), (4.2), а так же имеет место неравенство i 0 i1 1. Тогда для существования у уравнения (1.11) (Y0, Y1,) – решений необходимо, а если выполняется одно из двух условий i1 2;

i1 = 2 и i 0 1, (4.5) то и достаточно, чтобы, если lim | I i 3 (t ) |1 i 0 i1, t Yk (k 0,1), (4.6) 0, 1 i 0 i если lim | I i 3 (t ) | t выполнялись неравенства i y0 0, i (1 i 0 i1 ) I i 3 (t ) y1 0 при t (a, ) (4.7) и имело место предельное соотношение ( I i 3 (t )) = 1.

lim (4.8) t p (t ) I (t ) i i t Кроме того, каждое из таких решений допускает при асимптотические представления y (t ) i (1 i 0 i1 ) I i 3 (t )[1 o(1)], i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) (4.9) y (t ) pi (t ) [1 o(1)].

y (t ) 1 i 0 i1 I i 3 (t ) Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ) 0 – произвольное (Y0, Y1,) – решение уравнения (1.11). В силу выполнения условий (1.12), (4.1) и (4.2) из уравнения (1.11) с учетом леммы 4.1 получим y(t) = i pi (t)i0 ( y(t))i1 ( y(t))[1 o(1)] при t. (4.10) Покажем, учитывая условие i 0 i1 1, что имеет место асимптотическое представление y (t ) = i (1 i 0 i1 ) I i 3 (t )[1 o(1)] при t. (4.11) i 0 ( y(t )) i1 ( y(t )) Поскольку ( y (t )) 2 y(t ) i0 ( y(t )) y(t ) i1 ( y (t )) y(t ) y(t ) = ( y(t )) ( y (t )) ( y (t )) ( y(t )) y (t ) y (t ) ( y(t )) ( y(t )), i0 i1 i0 i1 i0 i то в силу (1.15) – (1.18) и (4.10) получим, что y(t ) ( y (t )) ( y (t )) = i (1 i 0 i1 ) pi (t )[1 o(1)] при t.

i0 i Интегрируя это соотношение от t0 до t (t (t0, )), имеем y(t ) = ci i (1 i 0 i1 ) I i 3 (t )[1 o(1)] при t, i 0 ( y (t )) i1 ( y(t )) где ci R. Если I i03 = t0, то справедливо (4.11). Покажем, что ci = 0 при I i03 =.

Предположим противное, тогда y (t ) = ci o(1) при t i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) и, в силу (4.10), y (t ) 1 = i pi (t ) o(1) при t.

y (t ) ci Интегрируя последнее соотношение от t0 до t (t (t0, )), находим, что 1 ln | y (t ) |= C i i I i 3 (t ) o(1) при t, ci где Ci R. В данном соотношении левая часть при t стремится к бесконечности, а правая – к константе. Полученное противоречие доказывает справедливость (4.11) в случае, когда I i03 =.

Из (4.10) и (4.11) следует, что y (t ) pi (t ) при t (4.12) [1 o(1)] = y (t ) (1 i 0 i1 ) I i 3 (t ) и, с учётом второго из условий (1.18), y (t ) pi (t ) при t. (4.13) [1 o(1)] = y (t ) (1 i 0 i1 ) I i3 (t ) Из (4.11) – (4.13) вытекает справедливость условий (4.6), неравенств (4.7) и асимптотических предсталений (4.9).

Далее, поскольку y (t ) i0 ( y (t )) y (t ) y (t ) y (t ) i1 ( y (t )) y (t ) y (t ) = ( y (t )) ( y (t )) ( y (t )) ( y (t )) 1 ( y (t )) ( y (t )) 2, i1 ( y (t )) i0 i1 i0 i1 i то рассуждая таким же образом, как при доказательстве соотношения (4.11), получим y (t ) = i (1 i 0 i1 ) 2 I i 5 (t )[1 o(1)] при t. (4.14) i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) Из (4.10), (4.11) и (4.14) с учётом второго из условий (1.18) следует, что имеет место предельное соотношение (4.8).

Достаточность. Пусть выполняются условия (4.5) – (4.8). Зафиксировав с помощью (4.6), (4.7) значения Yk и окрестности k (k = 0,1), докажем существование у уравнения (1.11) хотя бы одного (Y0, Y1,) – решения, допускающего при t асимптотические представления (4.9).

Рассмотрим сначала систему соотношений вида i y y i I i 3 (t )[1 v 2 ], 2 I i 5 (t )[1 v1 ], (4.15) i 0 ( y ) i1 ( y ) i i 0 ( y ) i1 ( y ) i в которой i = 1/(1 i 0 i1 ), и установим, что она однозначно определяет заданные на множестве D0 = [t2, ) V0, где непрерывно дифференцируемые t 2 [a, ), V0 = {(v1, v2 ) :| v k | 0,5 (k = 1,2)} неявные функции y ( k ) = Yik (t, v1, v2 ) (k = 0,1) следующего вида i z k 1 ( t,v1,v 2 ) Yik (t, v1, v2 ) = y k | I i 3 (t ) | ( k = 0,1), (4.16) lim zk 1 (t, v1, v2 ) = y k0 = sgn y k, где при и | z k 1 (t, v1, v2 ) || i | /2 (t, v1, v2 ) D t равномерно по (v1, v2 ) V0. Для этого, полагая в (4.15) i z k y ( k ) = y k | I i 3 (t ) | ( k = 0,1), (4.17) получим систему соотношений вида y 0 | I i 3 (t ) | (1 i1 )( i z2 ) i 0 ( i z1 ) i 2 I i 5 (t )[1 v1 ] ik ( y k | I i 3 (t ) | i zk 1 ), i k (4.18) y 0 | I (t ) | (1 i 0 )( i z1 ) i1 ( i z2 ) 1 i i I i 3 (t )[1 v2 ] ik ( y k | I i 3 (t ) | i zk 1 ).

i k Ii 5 (t ) =| I i 3 (t ) |1u (t ), где u (t ) – Поскольку в силу условия (4.8) имеем непрерывная функция, стремящаяся к нулю при t, то с учётом знаковых условий (4.7) систему (4.18) можно переписать в виде (1 i 0 ) z1 i1 z 2 u (t ) 1 v1 ln 2 ik ( yk | I i 3 (t ) |i zk 1 ) i k, ln | I i 3 (t ) | i 0 z1 (1 i1 ) z 2 (4.19) 1 v2 ik ( yk0 | I i3 (t ) |i zk 1 ) ln i k.

ln | I i 3 (t ) | z1, z Частично разрешая эту систему относительно (как линейную неоднородную), получим z k = ak (t ) bk (t, v1, v2 ) Z (t, z1, z 2 ) (k = 1,2), в которой 2 i1 1 i (1 i1 )u (t ) ln | i |, a 2 (t ) = i i 0 u (t ) ln | i |, a1 (t ) = i ln | I i 3 (t ) | ln | I i 3 (t ) | 1 i1 1 i ln | [1 v1 ] i1 [1 v2 ] | ln | [1 v1 ] i 0 [1 v2 ] | b1 (t, v1, v2 ) = i, b2 (t, v1, v2 ) = i, ln | I i 3 (t ) | ln | I i 3 (t ) | 1 z ln ik ( yk | I i 3 (t ) | i k 1 ) Z (t, z1, z 2 ) = i k = 0.

ln | I i 3 (t ) | В силу свойств функций u, I i 3 и условий (1.16), (4.6), (4.7) имеют место предельные соотношения lim a k (t ) 0 (k 1, 2), t lim bk (t, v1, v2 ) 0 (k 1, 2) равномерно по (v1, v2 ) V0, t (4.20) Z (t, z1, z 2 ) lim Z (t, z1, z 2 ) 0 и lim 0 (k 0,1) z k t t равномерно по ( z1, z 2 ) Z 0.

где Z 0 = {( z1, z2 ) :| zk || i | /2 ( k = 1,2)}.

Поскольку выполняется (4.20), то существует число t0 [a, ) такое, что на множестве [t0, ) Z 0 V0 соблюдаются неравенства | i | (4.21) | ak (t ) bk (t, v1, v2 ) Z (t, z1, z 2 ) | (k = 1,2) и условие Липшица | Z (t, z12, z 2 ) Z (t, z1, z 1 ) | 1/3 | z k z 1 |.

2 1 (4.22) 2 k k = Теперь обозначим через банахово пространство непрерывных и B ограниченных на множестве = [t0, ) V0 вектор-функций ( z1, z2 ) : R n с нормой 2 || z ||= sup | zk (t, v1, v2 ) |: (t, v1, v2 ).

k =1 Выберем из него подпространство B0 таких функций из B, для которых || z ||| i | /2, и рассмотрим на B0, выбрав произвольное число (0,1), оператор = (1, 2 ), определённый соотношениями k ( z )(t, v1, v2 ) z k (t, v1, v2 ) | z k (t, v1, v 2 ) a k (t ) bk (t, v1, v2 ) (4.23) Z (t, z1 (t, v1, v2 ), z 2 (t, v1, v2 )) | (k 1, 2).

Для любого z B0 в силу условия (4.21) при (t, v1, v2 ) имеем | i | | k ( z )(t, v1, v 2 ) | (1 ) | z k (t, v1, v 2 ) | (k = 1,2).

Поэтому на множестве 2 | i | | k ( z )(t, v1, v2 ) | (1 ) | zk (t, v1, v2 ) | k =1 k = | i | | | | i | | i | (1 ) i (1 ) || z || =.

2 2 2 Отсюда вытекает, что || ( z ) ||| i | /2 и, следовательно, ( B0 ) B0.

Пусть теперь z1, z 2 B0. Тогда в силу (4.22) при (t, v1, v2 ) | k ( z 2 )(t, v1, v2 ) k ( z1 )(t, v1, v2 ) | (1 ) | zk (t, v1, v2 ) z1 (t, v1, v2 ) | k | Z (t, z12, z 2 ) Z (t, z1, z 1 ) | (1 ) | z k (t, v1, v2 ) z 1 (t, v1, v2 ) | 2 1 2 k 2 | z k (t, v1, v2 ) z 1k (t, v1, v2 ) | (k = 1,2).

3 k = Значит, на множестве 2 | k ( z 2 )(t, v1, v 2 ) k ( z 1 )(t, v1, v 2 ) | 1 | z k2 (t, v1, v 2 ) z 1 (t, v1, v 2 ) | 1 || z 2 z 1 || k 3 k =1 k = откуда следует, что || ( z 2 ) ( z1 ) || 1 || z 2 z1 ||.

Таким образом показано, что оператор Ф отображает пространство B0 в себя и является на нём оператором сжатия. Тогда согласно принципу сжатых отображений существует единственная функция z B0 такая, что z = ( z).

В силу (4.23) эта непрерывная на множестве функция является единственным решением системы (4.19), удовлетворяющим условию || z ||| i | /2. Из (4.19) с учётом (4.20) следует, что компоненты данного решения стремятся к нулю при t равномерно по (v1, v2 ) V0. Кроме того, поскольку для системы (4.19) якобиан y 0 | I i 3 (t ) | i z1 i0 ( y 0 | I i 3 (t ) | i z1 ) y10 | I i 3 (t ) | i z2 i1 ( y10 | I i 3 (t ) | i z2 ) 0 1 i i z1 i z 0 i 0 ( y 0 | I i 3 (t ) | i1 ( y1 | I i 3 (t ) | ) ) в силу представлений (4.17) и условий (1.16), (4.6), (4.7) отличен от нуля на множестве 1 = [t1, ) V0, где t1 [t0, ), то из известной локальной теоремы о существовании неявных функций, определённых системой соотношений, вытекает непрерывная дифференцируемость этого решения на 1. В силу замены (4.17) полученной вектор-функции ( z1, z2 ) соответствует вектор функция (Yi 0, Yi1 ) с компонентами вида (4.16), которая является решением системы (4.15), причём, с учётом (4.6), (4.7) lim Yik (t, v1, v 2 ) Yk (k 0,1) t равномерно по (v1, v2 ) V0, (4.24) Yik (t, v1, v 2 ) k (k 0,1) при (v1, v2 ) V0, t [t 2, ), где t 2 [t1, ).

Рассмотрим некоторые свойства функций Yik (k = 0,1). В силу (4.24) и (1.15) j M, k = 0,1 равномерно по (v1, v2 ) V0 имеют место предельные при соотношения lim G jk (t, v1, v2 ) jk, в которых t (4.25) Yik (t, v1, v2 ) jk Yik (t, v1, v2 ) G jk (t, v1, v2 ).


jk Yik (t, v1, v2 ) y ( k ) = Yik (t, v1, v2 ) ( k = 0,1) Теперь положим в системе (4.15) и t.

продифференцируем полученные соотношения по В результате имеем систему уравнений, линейных относительно (Yi 0 )t и (Yi1 )t Yi 0 (t, v1, v 2 ) i1 (Yi1 (t, v1, v 2 )) (1 Gi 0 (t, v1, v 2 ))(Yi 0 ) (Yi1 ) t t i1 (Yi1 (t, v1, v 2 )) i 2 I i3 (t )[1 v1 ], i (4.26) Yi1 (t, v1, v 2 ) i0 (Yi 0 (t, v1, v 2 )) (Yi 0 ) (1 Gi1 (t, v1, v 2 ))(Yi1 ) t t i 0 (Yi 0 (t, v1, v 2 )) i pi (t )[1 v1 ].

i Определитель данной системы равен 1 Gi 0 (t, v1, v2 ) Gi1 (t, v1, v2 ), поэтому в силу (4.25) и условия 1 i 0 i1 0 найдётся t3 [t 2, ) такое, что на множестве [t3, ) V0 у системы (4.26) существует единственное решение, заданное формулами i I i 3 (t ) [ hi (t ) hi (t )Gi1 (t, v1, v2 ) Gi1 (t, v1, v2 )] (Yi 0 (t, v1, v2 )) = t 2i hi (t ) 1 Gi 0 (t, v1, v2 ) Gi1 (t, v1, v2 ) i 0 (Yi 0 (t, v1, v2 ))i1 (Yi1 (t, v1, v2 ))[1 v1 ], i [1 Gi 0 (t, v1, v2 ) hi (t )Gi 0 (t, v1, v2 )] (Yi1 (t, v1, v2 )) = pi (t ) t 1 Gi 0 (t, v1, v2 ) Gi1 (t, v1, v2 ) i i 0 (Yi 0 (t, v1, v2 ))i1 (Yi1 (t, v1, v2 ))[1 v2 ], ( I i 3 (t )) где hi (t ) =.

pi (t ) Ii 5 (t ) Кроме того, отметим, что из (4.8) вытекает выполнение следующих предельных соотношений (t ) pi (t ) (t ) I i 3 (t ) =, lim =. (4.27) lim I i 3 (t ) I i 5 (t ) t t Из этих предельных соотношений, (4.8) и представлений для (Yi 0 )t, (Yi1 )t следует, что равномерно по (v1, v2 ) V0 справедливы равенства (t )(Yik (t, v1, v2 )) (Y (t, v, v )) Y (t, v1, v2 ) t ( k 0,1), lim i1 1 2 t i lim 1. (4.28) t Y (t, v, v )(Y (t, v, v )) Yik (t, v1, v2 ) t i1 1 2 i0 1 2t Yik (k = 0,1) Таким образом, функции обладают всеми свойствами (Y0, Y1,) решения, которые использовались при доказательстве леммы 4.1, и, следовательно, равномерно по (v1, v2 ) V0 имеем lim H i (t, v1, v 2 ) 1, в котором t (4.29) p j (t ) j 0 (Yi 0 (t, v1, v 2 )) j1 (Yi1 (t, v1, v2 )) m H i (t, v1, v2 ) i j [1 r j (t )], pi (t )i 0 (Yi 0 (t, v1, v2 )) i1 (Yi1 (t, v1, v2 )) j Теперь, применяя к уравнению (1.11) преобразование y ( k ) (t ) Yik (t, v1 ( x), v2 ( x)) (k 0,1), x ln | I i 3 (t ) |, (4.30) 1, если I i03 a, 1, если I i 3, и учитывая, что вектор-функция (Yi 0 (t, v1 ( x), v2 ( x)),Yi1 (t, v1 ( x ), v 2 ( x))) при t [t3, ) и (v1 ( x), v2 ( x)) V0 удовлетворяет соотношениям y (t ) i y (t ) i I i 3 (t )[1 v2 ( x)] (4.31) 2 I i 5 (t )[1 v1 ( x)], i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) i i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) i получим систему дифференциальных уравнений вида v1 [hi (t )[1 v1 ] i hi (t )(1 Gi 0 (t, v1, v 2 ))[1 v 2 ] 1 v Gi1 (t, v1, v 2 ) H i (t, v1, v2 )], i 1 v (4.32) [1 v2 ] v [[1 v2 ] i hi (t )Gi 0 (t, v1, v2 ) 1 v i (1 Gi1 (t, v1, v 2 )) H i (t, v1, v 2 )], t – функция, обратная к x = ln | Ii 3 (t ) |. Данную систему в которой рассмотрим на множестве [ x0,) V0, где x0 = ln | I i 3 (t3 ) |.

Поскольку выполняются (4.25) и (4.29), то имеют место равенства Gik (t, v1, v2 ) ik Rik ( x, v1, v2 ) (k 0,1), (4.33) H i (t, v1, v2 ) 1 Ri 2 ( x, v1, v2 ), где функции Rik ( x, v1, v2 ) (k = 0,2) стремятся к нулю при x равномерно по (v1, v2 ) V0.

Кроме того, допустимы представления 1 v 1 v1 v2 R3 ( x, v1, v 2 ), 1 v (4.34) [1 v2 ] 1 v1 2v2 R4 ( x, v1, v2 ), 1 v в которых функции обладают свойством:

Rk (v1, v2 ) (k = 3,4) Rk (v1, v2 ) = 0 ( k = 3,4) равномерно по x [ x0 ;

).

lim |v1||v2 |0 | v | | v | 1 Учитывая (4.33) и (4.34), систему (4.32) можно переписать в виде v1 = [ f1 ( x ) c11 ( x )v1 c12 ( x)v 2 V1k ( x, v1, v 2 )], k = (4.35) v = [ f 2 ( x ) c21 ( x)v1 c22 ( x)v2 V2 k ( x, v1, v2 )], k = где f1 ( x) = hi (t ) i hi (t )(1 i 0 ) i i1, c11 ( x) = hi (t ) i i1, c12 ( x) = i hi (t )(1 i 0 ) i i1, f 2 ( x) = 1 i i 0 hi (t ) i (1 i1 ), c21 ( x) = i i 0 hi (t ), c22 ( x) = 1 2 i i 0 hi (t ), V11 ( x, v1, v2 ) = i hi (t ) Ri 0 ( x, v1, v2 )[1 v2 ] 1 v1 1 v Ri1 ( x, v1, v2 ) H i (t, v1, v2 ) i Gi1 (t, v1, v2 ) Ri 2 ( x, v1, v2 ), i 1 v2 1 v V12 ( x, v1, v2 ) = i R3 (v1, v2 )Gi1 (t, v1, v2 ) H i (t, v1, v2 ), [1 v2 ] V21 ( x, v1, v2 ) = i hi (t ) Ri 0 ( x, v1, v2 ) 1 v i Ri1 ( x, v1, v2 ) H i (t, v1, v2 ) i (1 Gi1 (t, v1, v2 ))Ri 2 ( x, v1, v2 ), V22 ( x, v1, v2 ) = i hi (t )Gi 0 (t, v1, v2 ) R4 (v1, v2 ).

В силу (4.8), (4.33), (4.34) и замены независимой переменной имеют место предельные соотношения lim f1 ( x) = 0, lim c11 ( x) = 1 i i1, lim c12 ( x) = i (1 i 0 i1 ), x x x lim f 2 ( x) = 0, lim c21 ( x) = i i 0, lim c22 ( x) = 1 2 i i 0, x x x а функции Vlk ( x, v1, v2 ) (l = 1,2;

k = 1,2) таковы, что lim Vl1 ( x, v1, v2 ) = 0 (l = 1,2) равномерно по (v1, v2 ) V0, x Vl 2 ( x, v1, v2 ) = 0 (l = 1,2) равномерно по x [ x0 ;

).

lim |v1||v2 | 0 | v | | v | 1 Таким образом, система (4.35) является квазилинейной системой дифференциальных уравнений с почти постоянными коэффициентами.

Характеристическое уранение для предельной матрицы коэффициентов линейной части имеет вид (1 i i1 ) i (1 i 0 i1 ) i i 0 (1 2 i i 0 ) или 2 i (2 i1 ) i = 0.

Поскольку выполняется условие (4.5), данное характеристическое уравнение не имеет корней с нулевой действительной частью. Таким образом, для системы дифференциальных уравнений (4.35) выполнены все условия теоремы 2.2 работы [38]. Согласно данной теореме система (4.35) имеет хотя бы одно решение (v1, v 2 ) : [ x1, ) R ( где x1 x0 ), стремящееся к нулю при x. Этому решению с учётом преобразования (4.30) соответствует решение y (t ) уравнения (1.11), которое вместе со своей производной первого порядка допускают, в силу (4.31) и (4.8), асимптотические представления (4.9). Кроме того, из (4.24) и (4.9), (1.11), (4.8) следует, что данное решение является (Y0, Y1,) – решением уравнения (1.11).

Теперь приведём результат, который позволяет при некоторых ik (k 0,1) дополнительных ограничениях на функции получить асимптотические представления при t для П (Y0, Y1, ) – решений и их производных первого порядка в явном виде.

Теорема 4.2. Пусть соблюдаются условия теоремы 4.1 и, кроме того, функции ik ( k 0,1) обладают свойством S (см. определение 1.1). Тогда при выполнении (4.5) – (4.8) каждое П (Y0, Y1, ) – решение уравнения (1.11) и его производная первого порядка при t представимы в виде 1 i 0 i 2 i 1 0 | (1 i 0 i1 ) I i 3 (t ) | y | I (t ) |1 i 0 i ik k i y (t ) ~ y0, (4.36) ( pi (t ))1 i1 k | (1 ) I (t ) | 1 i 0 i 1 i 0 y(t ) ~ y10 ik yk0 | I i 3 (t ) |1 i 0 i i0 i1 i, (4.37) ( pi (t )) i 0 k где y k sgn y k ( k 0,1) и определяются из условия (4.7).

| y (t ( z )) | Доказательство. Для начала покажем, что функция L0 ( z ), где | I i 3 (t ( z )) | i z y 0 | I i 3 (t ) | i и i 1 /(1 i 0 i1 ), является медленно меняющейся при z Y0 ( z 0 ) :

zL0 ( z) lim y0 | I i 3 (t ) |i lim i ( i 0 i1 ) L0 ( z) t y0 i | I i 3 (t ) | pi (t ) sgn I i3 (t ) z Y z y0 y (t ) | I i 3 (t ) |i | y(t ) | i | I i 3 (t ) | i ( i 0 i1 ) pi (t ) sgn I i 3 (t ) I i 3 (t ) | i | I i 3 (t ) |2 i | y(t ) | I (t ) y (t ) lim i i 0.

i t pi (t ) y (t ) Поскольку функция i 0 обладает свойством S, то с учётом медленной изменяемости функции L0 при z Y0 ( z 0 ) и условия (4.6) получим i 0 ( y (t )) | y (t ) | i 0 i 0 ( y0 | I i 3 (t ) | i )[1 o(1)] при t или, принимая во внимание второе из соотношений (4.9), | I i 3 (t ) | i | y (t ) | i 0 i 0 ( y 0 | I i 3 (t ) | i )[1 o(1)] при t. (4.38) i 0 ( y (t )) i0 i | i | ( pi (t )) | y (t ( z )) | z y10 | I i 3 (t ) | i, является Теперь докажем, что функция L1 ( z ) i, где | I i 3 (t ( z )) | медленно меняющейся при z Y1 ( z 1 ) :

zL1 ( z) lim y10 | I i 3 (t ) |i lim i ( i 0 i1 ) z Y1 L ( z ) y1 i | I i 3 (t ) | pi (t ) sgn I i3 (t ) t z y10 y (t ) | I i 3 (t ) | i | y (t ) | i | I i 3 (t ) | i ( i 0 i1 ) pi (t ) sgn I i 3 (t ) I i 3 (t ) | i | I i 3 (t ) | 2 i | y (t ) | I (t ) y(t ) lim i i 0.

i t pi (t ) y (t ) Так как функция i1 обладает свойством S, то с учётом медленной изменяемости функции L1 при z Y1 ( z 1 ) и условия (4.6) имеем i1 ( y (t )) | y (t ) | i1 i1 ( y10 | I i 3 (t ) | i )[1 o(1)] при t. (4.39) Принимая во внимание (4.38), (4.39) и (4.7), первое из соотношений (4.9) можно переписать в виде | I i 3 (t ) |1 i 0 y | y(t ) |1 i 0 i1 | I i 3 (t ) |i [1 o(1)], ik k | i |1 i 0 ( pi (t )) i 0 k откуда вытекает асимптотическое представление (4.37). В свою очередь, из (4.37) с учётом второго из соотношений (4.9) получаем, что имеет место асимптотическое представление (4.36).

§ 4.3. Пример уравнения с быстро и правильно меняющимися коэффициентами pi (t ) Для иллюстрации полученных в §§4.1 4.2 результатов исследуем вопрос об асимптотическом поведении (Y0, Y1,) – решений уравнения (1.19).

При этом необходимо рассмотреть три возможных случая: а) = ;

б) = 1 ;

в) (0;

1) (1;

).

а) Пусть t, тогда при i = 1,..., m имеют место следующие представления t t 1 t i | (t ) | pi (t ) t ( i e i t i ln i t e i i t i ln i t e i t i ln i 1 t ) i it i =, t pi (t ) ln t e i t i ln i t | a i | i t i i e t ln t при i 0, i | ai | 1 i i 1 t ln t при i 0, i 1, i I i 3 (t ) ~ | ai | ln1 i t при 0, 1, 1, i i i 1 i | ai | ln ln t при i 0, i 1, i 1, | ai | i t i i при i 0, e t ln t i | ai | 2 i i (1 )(2 ) t ln t при i 0, i R \ {2, 1}, i i | ai | ln1 i t при i 0, i 2, i 1, (1 i )(1 i ) I i 5 (t ) ~ | ai | ln ln t при i 0, i 2, i 1, 1 i | ai | t ln1 i t при i 0, i 1, i 1, 1 i | ai | t ln ln t при i 0, i 1, i 1, при i 0, 2 i при i 0, i R \ {2, 1}, 1 i при i 0, i 2, i 1, ln t I i23 (t ) ~ pi (t ) I i 5 (t ) при i 0, i 2, i 1, ln t ln ln t ln t при i 0, i 1, i 1, 1 i при i 0, i 1, i 1, ln t ln ln t В силу этих представлений, леммы 4.1 и теорем 4.1, 4.2 имеет место Следствие 4.1. Пусть 0 = и для некоторого i M при всех j M \ {i} соблюдаются условия j i, ( i 0 i1 j 0 j1 ) 0, а так же имеет место неравенство i 0 i1 1. Тогда для существования у уравнения (1.19) (Y0, Y1,) – решений необходимо, а если выполняется одно из двух условий i1 2;


i1 = 2 и i 0 1, то и достаточно, чтобы i 0, если i (1 i 0 i1 ) 0,, Yk ( k 0, 1), 0, если i (1 i 0 i1 ) и выполнялись неравенства ai y0 0, ai i (1 i 0 i1 ) y1 0.

Кроме того, каждое из таких решений допускает при t асимптотические представления y (t ) i y (t ) a t ~ ~ i (1 i 0 i1 )e i t i ln i t,, y (t ) 1 i 0 i i 0 ( y (t )) i1 ( y (t )) i которые в случае, когда функции ik (k = 0,1) обладают свойством S, могут быть записаны в виде 1 i 0 i 2 i 1 i 0 i 0 ai it i 0 1 i 0 i1 i t i e t ln i t ik y k y (t ) ~ y 0 e t ln i t, i i k = 1 i 0 i 1 i 1 i 0 i 0 ai i t i 0 1 i 0 i1 i t i e t ln i t ik y k y (t ) ~ y1 e t ln i t.

i i k = б) Пусть t 1, тогда при i = 1,..., m имеют место следующие представления | (t ) | pi (t ) = (1 t ) i i i ~ i, pi (t ) t t ln t | ai | i 1 i при i 1, 1 e (1 t ) i I i 3 (t ) ~ | a | e i ln(1 t ) при i 1, i | ai | i 2 i при i R \ {2, 1}, (1 )(2 ) e (1 t ) i i I i 5 (t ) ~ | ai | e i ln(1 t ) при i 2, | a | e i (1 t ) ln(1 t ) при i 1, i 2 i при i R \ {2, 1}, i I i23 (t ) ~ при i 2, pi (t ) I i 5 (t ) ln(1 t ) ln(1 t ) при i 1.

С учётом полученных представлений, леммы 4.1 и теорем 4.1, 4.2 имеет место Следствие 4.2. Пусть 0 = и для некоторого i M при всех j M \ {i} соблюдается условие ( i 0 i1 j 0 j1 ) 0, а так же имеет место неравенство i 0 i1 1. Тогда у уравнения (1.19) не существует 1 (Y0, Y1,) – решений.

в) Пусть t, где (0;

1) (1;

), тогда при i = 1,..., m имеют место следующие представления | (t ) | pi (t ) = ( t ) i i i ~ 0, pi ( t ) t t ln t i i | ln | i (t ), I i 3 (t ) ~| ai | e (t ) i i i | ln | I i 5 (t ) ~| ai | e, I i23 (t ) ~ 2.

pi (t ) I i 5 (t ) С учётом полученных представлений, леммы 4.1 и теорем 4.1, 4.2 имеет место Следствие 4.3. Пусть 0 = и для некоторого i M при всех j M \ {i} соблюдается условие ( i 0 i1 j 0 j1 ) 0, а так же имеет место неравенство i 0 i1 1. Тогда у уравнения (1.19) не существует (Y0, Y1, ) – решений.

Выводы В главе IV были получены следующие результаты:

1) Для произвольного i {1,...,m} приведены условия, при выполнении которых на любом (Y0, Y1,) – решении уравнения (1.11) правая его часть асимптотически эквивалентна при t i -му слагаемому;

2) При соблюдении этих условий установлены необходимые и достаточные признаки существования (Y0, Y1,) – решений, а так же получены неявные асимптотические представления для таких решений и их производных первого порядка при t ;

3) Указаны дополнительные ограничения на нелинейности, которые позволяют записать данные представления в явном виде.

Все результаты проиллюстрированы на примере уравнения (1.19).

ВЫВОДЫ r Уравнение Польвани, устанавливающее зависимость радиус-вектора t электрона от времени при движении под действием магнитного поля, положило начало исследованию дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих в правой части суммы слагаемых со степенными нелинейностями и непрерывными на полуоси коэффициентами. Уравнениям такого вида посвящены работы Л.А. Беклемишевой, А.В. Костина, В.М.

Евтухова и Е. В. Шебаниной, а так же других авторов. Были установлены условия существования и асимптотическое поведение различных классов решений таких уравнений. В случае же, когда нелинейности отличны от степенных, законченных результатов для уравнений данного вида получить не удавалось. Для двучленных уравнений следует отметить работы Д.В.

Изюмовой, И.Т. Кигурадзе, И.В. Каменева, Ю.А. Клокова, С.В. Олехника, Т.А. Чантурия, В. Марича (V. Maric), М. Томича (M. Tomic), С.Д. Талиаферро (S.D. Taliaferro), В.М. Евтухова, Л.А. Кирилловой, М.А. Белозёровой. В общем же случае заслуживают внимания работы В.М. Евтухова и В.А.

Касьяновой, в которых были установлены точные асимптотические формулы для некоторых типов монотонных решений уравнения, правая часть которого содержит слагаемые с правильно меняющимися относительно неизвестной функции нелинейностями.

Настоящая работа посвящена исследованию асимптотического поведения достаточно широкого класса монотонных решений (так называемых П (Y0, Y1, 0 ) – решений) дифференциального уравнения второго порядка (1.11), содержащего в правой части сумму слагаемых с правильно меняющимися как относительно неизвестной функции, так и её производной первого порядка нелинейностями. В рамках единого подхода были установлены условия существования и асимптотические представления как правильных, так и различных типов сингулярных решений (неограниченных или исчезающих в ). Отметим, что из монотонных решений уравнения П (Y0, Y1, 0 ) (1.11) – решения являются наиболее сложными для рассмотрения, поскольку при t и само решение, и его производная первого порядка стремятся либо к нулю, либо к бесконечности.

Работа содержит следующие новые результаты:

– установлены достаточные условия, при выполнении которых правая часть уравнения (1.11) на каждом П (Y0, Y1, 0 ) – решении асимптотически эквивалентна в окрестности одному слагаемому;

– при соблюдении указанных условий получены необходимые и достаточные признаки существования у уравнения (1.11) П (Y0, Y1, 0 ) – решений, а так же неявные асимптотические формулы для данных решений и их производных первого порядка в окрестности ;

– приведены дополнительные условия на нелинейности, при выполнении которых установлены явные асимптотические представления в окрестности для всех П (Y0, Y1, 0 ) – решений и их производных первого порядка.

Необходимо подчеркнуть, что вопрос о существовании у уравнения (1.11) П (Y0, Y1, 0 ) – решений при i1 1 (i 1,..., m) рассматривался в работах В.

А. Касьяновой [45, 46], а при m 1 – в работах М.А. Белозёровой [3, 4, 5]. В них были получены необходимые и достаточные условия существования таких решений, а так же их асимптотические представления в окрестности особой точки. Однако в этих работах накладывались более жёсткие ограничения на нелинейности, а именно все функции ik должны были быть дважды непрерывно дифференцируемы. Кроме того, у В.А. Касьяновой отдельно исследовалась асимптотика неограниченных и исчезающих в особой точке решений. В данной же постановке задача рассматривается впервые.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и разработанные в ней методы исследования могут быть использованы при изучении асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений более высоких порядков с правильно меняющимися нелинейностями. Кроме того, данные результаты могут быть применены для рассмотрения конкретных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, возникающих в различных областях естествознания.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Арипов М.М. Метод "эталонных" уравнений (ВКБ – метод) для нелинейных уравнений второго порядка / М.М. Арипов // Изв. АН УзССР.

Сер. Физ. – мат. – 1970. – № 4. – С. 3 – 8.

Арипов М.М. Асимптотическое поведение решений нелинейного 2.

n дифференциального уравнения y g ( x) y 0 / М.М. Арипов, Т. Каюмов // Изв. АН УзССР. – 1982. – 6. – С. 6 – 8.

3. Белозерова М.А. Асимптотические свойства одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст]/ М.А. Белозерова // Математичні студії. – 2008. – Т.29, №1. – С. – 62.

4. Білозерова М.О. Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з нелінійностями у деякому сенсі близькими до степеневих [текст]/ М.О. Білозерова // Науковий вісник Чернівецького університету. – Чернівці: "Рута". – 2008.– Вип.374. – С.34 – 43.

5. Белозерова М.А. Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями близкими к степенным [текст]/ М.А. Белозерова // Нелінійні коливання. – 2009. – Т.12, №1. – С.3 – 15.

6. Беклемишева Л.А. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений / Л.А. Беклемишева// Докл.

АН СССР. – 1956. – 111, №2. – С. 261 – 264.

7. Беклемишева Л.А. Некоторые свойства систем дифференциальных уравнений, близких к каноническим / Л.А. Беклемишева// Вестник МГУ. – 1960. – 4. – С. 26 – 36.

8. Беклемишева Л.А. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка/ Л.А. Беклемишева// Мат. сб. – 1962. – 56(98), № 2. – С.

207 – 236.

9. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман. – Пер. с англ. – М.: ИЛ, 1954. – 216 с.

10. Бурбаки Н. Функции действительного переменного / Н. Бурбаки. – М.:

Наука, 1965. – 424 с.

11. Васильева Н.С. Асимптотические свойства правильных решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка:

дис.... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Васильева Наталья Степановна. – Одесса, 1998. – 109 с.

12. Вишняков В.И. Распределение электростатического потенциала в сферически симметричной плазме / В.И. Вишняков, Г.С. Дpаган, В.М.

Евтухов, С. В. Маpгащyк. – Теплофизика высоких температур. – 1987. – Т.

25, № 3. – 620 С. – Деп. в ВИНИТИ 13.12.86, № 8791. – 17 с.

13. Даутов М.А. Асимптотическое представление решений полиномиального дифференциального уравнения первого порядка / М.А. Даутов, Л.М.

Муратов// Изв. вузов, Матем. – 1964. – 41, № 4.

Дрик H.Г.

14. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в особом случае/ Н.Г.

Дрик // Дифференц. уравнения. -- 1989. -- 25, № 1. -- С.~1071 – 1072.

15. Дрик H.Г. Асимптотическое поведение решений одного класса нелинейных дифференциальных ypавнений второго порядка: Дис.... канд.

физ. – мат. наук: 01.01.02-дифференциальные уравнения / Дрик Наталья Георгиевна. – Одесса. – 1992 – 122с.

16. Евтухов В.М. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка/ В.М. Евтухов // Докл. АН СССР. – 1977. – 233., № 4. – С. 531 – 534.

17. Евтухов В.М. Асимптотическое поведение решений одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка типа Эмдена - Фаулера:

дис.... канд. физ. – мат. наук: 01.01.02 / Евтухов Вячеслав Михайлович. – Одесса, 1980. – 154 с.

18. Евтухов В.М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М.

Евтухов // Сообщ. АН ГССР. – 1982. – 106, № 3. – С. 473 – 476.

19. Евтухов В.М. Асимптотические свойства решений одного класса дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов // Math.

Nachr. – 1984. – Bd. 115. – P. 215 – 236.

20. Евтухов В.М. Асимптотические свойства монотонных решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка / В.М.

Евтухов //Докл. расшир. заседаний семинара Ин-та пpикл. мат. им. И.H.

Векуа ТГУ. – 1988. – 3, № 3. – С. 62 – 65.

21. Евтухов В.М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М.

Евтухов, Н.Г. Дрик // Сообщ. АН ГССР. – 1989. – 133, № 1. – С. 29 – 32.

Евтухов В.М. Асимптотика решений одного полулинейного 22.

дифференциального уравнения второго порядка / В.М. Евтухов // Дифференц. уравнения. – 1990. – 26, N 5. – С. 776 – 787.

23. Евтухов В.М. Асимптотические представления монотонных решений нелинейного дифференциального уравнения типа Эмдена – Фаулера n-го порядка / В.М. Евтухов // Докл. АН России. – 1992. – 324, № 2. – С. 258 – 24. Евтухов В.М. Об одном классе монотонных решений нелинейного дифференциального уравнения n-го порядка типа Эмдена – Фаулера / В.М. Евтухов // Сообщ. АН Грузии. – 1992. – 145, № 2. – С. 269 – 273.

25. Евтухов В.М. Об асимптотике монотонных решений дифференциальных уравнений типа Эмдена – Фаулера / В.М. Евтухов // Дифференц.

уравнения. – 1992. – 28, № 6. – С. 1076 – 1078.

Евтухов В.М. Асимптотические представления решений одного 26.

нелинейного дифференциального уравнения второго порядка/ В.М.

Евтухов, Н.Г. Дрик // Reports of enlarged session of the seminar of I.N. Vekua inst. of appl. math. – 1992. – 7, № 3. – P. 39 – 42.

27. Евтухов В.М. Асимптотические представления правильных решений одного полулинейного дифференциального уравнения второго порядка/ В.М. Евтухов, Н.С. Васильева// Сообщ. АН Грузии. – 1995. – 152, № 2. – С. 228 –234.

28. Евтухов В.М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений: дис.... докт. физ.-мат.

наук: 01.01.02 / Евтухов Вячеслав Михайлович. – Киев, 1998. – 295с.

29. Евтухов В.М. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелинейностью/ В.М.

Евтухов, В.Н. Шинкаренко// Дифференц. уравнения. – 2001. – 37, № 11. – С. 1578 – 1579.

Евтухов В.М. О 30. решениях со степенной асимптотикой дифференциальных уравнений с экспоненциальной нелинейностью/ В.М.

Евтухов, В.Н. Шинкаренко// Нелiнiйнi коливання. – 2002. – 5, № 3. – С.

306 – 325.

31. Євтухов В.М. Асимптотичні зображення розв'язків істотно нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку/ В.М. Євтухов, В.О.

Касьянова// Міжнародна математична конференція ім. В.Я.

Скоробагатька, 27 вересня – 1 жовтня 2004р., м. Дрогобич: тези доповідей. – Львів. – 2004. – Стор. 79.

32. Евтухов В.М. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / В.М. Евтухов, Л.А. Кириллова // Дифференц.

уравнения. – 2005. – 41, №8. – С. 1053 – 1061.

33. Евтухов В.М. Асимптотическое поведение неограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. I/ В.М.

Евтухов, В.А. Касьянова// Укр. Мат. журнал. – 2005. – 57, №3. – С. 338 – 355.

34. Евтухов В.М. Асимптотическое поведение неограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. II/ В.М.

Евтухов, В.А. Касьянова// Укр. Мат. журнал. – 2006. – 58, №7. – С. 901 – 921.

35. Евтухов В.М. Условия колеблемости и неколеблемости решений одного класса полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка/ В.М. Евтухов, Н.С. Васильева// Укр. Мат. Ж. – 2007. – 59, № 4. – С. 458 – 466.

36. Евтухов В.М. Асимптотические представления решений двучленных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелинейностью/ В.М. Евтухов, В.Н. Шинкаренко// Дифференц. уравнения. – 2008. – 44, № 3. – С. 308 – 322.

37. Евтухов В.М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка [текст]/ В.М. Евтухов, М.А. Белозёрова // Укр. Мат. журнал – 2008. – Т. 60, № 3. – С. 310 – 331.

38. Евтухов В.М. Условия существования исчезающих в особой точке решений у вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений [текст]/ В.М. Евтухов, А.М. Самойленко // Укр. Мат. журнал – 2010. – Т. 62, № 1. – С. 52 – 80.

39. Евтухов В.М. Признаки существования и асимптотика некоторых классов решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст]/ В.М. Евтухов, А.А. Козьма // Укр. Мат. журнал – 2011. – Т. 63, № 7. – С. 924 – 938.

Еременко А.Э. О мероморфных решениях алгебраических 40.

дифференциальных уравнений 1-го порядка/ A.Э. Еременко// Функциональный анализ и его приложения. – 1984. – 18, вып. 3. – С. 78 – 79.

41. Изюмова Д.В. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Д.В.

Изюмова // Дифференц. уравнения. – 1966. – 11, № 12. – С. 1572 – 1586.

Изюмова Д.В. Заметки о колеблемости решений нелинейных 42.

дифференциальных уравнений второго порядка / Д.В. Изюмова // Сообщ.

АН ГССР. – 1967. – 17, № 1. – С. 19 – 24.

43. Изюмова Д.В. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка / Д.В. Изюмова // Тр. Тбилис. ун-та. – 1968. – Т. 129. – С. 157 – 178.

Изюмова Д.В. Некоторые замечания о решениях уравнения 44.

u a (t ) f (u ) 0 / Д.В. Изюмова, И.Т. Кигурадзе // Дифференц. уравнения.

– 1968. – 4, № 4. – С. 589 – 605.

45. Касьянова В.О. Асимптотичні зображення зникаючих розв'язків істотно нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку [текст]/ В.О.

Касьянова // Наук. вісник Чернів. ун-ту. Математика – 2004, – вип. 228 – С. 15 – 29.

46. Касьянова В.О. Асимптотичне поводження розв'язків істотно нелінійних неавтономних диференціальних рівнянь другого порядку [текст]/ В.О.

Касьянова // Наук. вісник Чернів. ун-ту. Математика – 2005, – вип. 239 – С. 66 – 81.

Квиникадзе Г.Г. О быстро растущих решениях нелинейных 47.

обыкновенных дифференциальных уравнений / Г.Г. Квиникадзе, И.Т.

Кигурадзе // Сообщ. АН ГССР. – 1982. – 106, № 3. – С. 465 – 468.

48. Квиникадзе Г.Г. Об исчезающих в бесконечности решениях задачи Кнезера / Г.Г. Квиникадзе // Сообщ. АН ГССР. – 1985. – 118, № 2. – С.

241 – 244.

49. Квиникадзе Г.Г. О кнезеровских решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Г.Г. Квиникадзе // Докл. расшир.

заседаний семинара Ин-та прикл. мат. им. И.Н. Векуа ТГУ. – 1985. – 1, № 3. – С. 47 – 53.

50. Кигурадзе И.Т. О колеблемости решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Т. Кигурадзе // Докл. АН СССР. – 1962.

– 144, № 1. – С. 33 – 36.

51. Кигурадзе И.Т. Об асимптотических свойствах решений уравнения u a(t )u n 0 / И.Т. Кигурадзе // Сообщ. АН ГССР. – 1963. – 30, № 2. – С.

129 – 136.

52. Кигурадзе И.Т. О колеблемости решений уравнения u ( n ) a(t ) | u |n sgn u / И.Т. Кигурадзе // Мат. сб. – 1964. – 65, № 2. – С. 172 – 187.

Кигурадзе И.Т.

53. О неколеблющихся решениях уравнения n u a(t ) | u | sgn u 0 / И.Т. Кигурадзе // Сообщ. АН ГССР. – 1964. – 35, № 1. – С. 15 – 22.

54. Кигурадзе И.Т. Асимптотические свойства решений одного нелинейного дифференциального уравнения типа Эмдена – Фаулера / И.Т. Кигурадзе // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1965. – 29, № 5. – С. 965 – 986.

55. Кигурадзе И.Т. Заметка об ограниченности решений дифференциальных уравнений / И.Т. Кигурадзе // Тр. Тбилис. ун-та. – 1965. – 110. – С. 103 – 108.

56. Кигурадзе И.Т. О монотонных решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка/ И.Т. Кигурадзе // Докл. АН СССР. – 1968. – 181, № 5. – С. 1054 – 1057.

57. Кигурадзе И.Т. О монотонных решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / И.Т. Кигурадзе // Изв. АH СССР. Сеp. мат. – 1969. – 33, № 6. – С. 1373 – 1398.

Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для 58.

обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Т. Кигурадзе – Тбилиси:

Изд-во Тбилис. ун-та. – 1975.

59. Кигурадзе И.Т. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений /И.Т. Кигурадзе, Т.А.

Чантурия. – М.: Наука, 1990. – 430 с.

60. Кириллова Л.О. Асимптотичні властивості розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку, які близькі до рівнянь типу Емдена – Фаулера / Л.О. Кирилова // Науковий вісник Чернівецького університету. – Чернівці: "Рута". – 2004. – 228. – С. 30 – 35.

61. Кириллова Л.А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Л.А. Кириллова // Нелінійні коливання. – 2005. – 8, №1. – С. 18 – 28.

62. Кириллова Л.А. Асимптотические представления решений нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка, асимптотически близких к уравнениям типа Эмдена – Фаулера: дис....

канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Кириллова Людмила Александровна. – Одесса, 2009.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.