авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

В.О. Гладышев

НЕОБРАТИМЫЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В ЗАДАЧАХ АСТРОФИЗИКИ

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ

ПРОБЛЕМЫ

Москва

Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана

2000

УДК 530.1

ББК 22.31

Г52

Рецензенты:

академик Академии транспорта РФ, профессор,

доктор технических наук Е.Ю. Барзилович;

профессор, доктор физико-математических наук А.Н. Морозов Гладышев В.О. Необратимые электромагнитные процессы в задачах Г52 астрофизики: физико-технические проблемы. – М.:Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2000. 276 с.

ISBN 5-7038-1571-1 Монография отражает современные методы изучения необратимых электромагнитных процессов при решении задач астрофизики.

Рассмотренные в книге электромагнитные процессы могут быть положены в основу новых методов регистрации гравитационного излучения, методов исследования взаимодействия электромагнитной волны с движущейся средой, определения кинематических характеристик удаленных вращающихся астрофизических объектов.

Предложенные методы описания электромагнитного излучения с учетом эффектов второго порядка могут найти применение при исследовании эффектов, возникающих в глобальных спутниковых системах навигации.

Книга предназначена для научных работников, аспирантов, работающих в области астрофизики и теории относительности, а также для специалистов, занимающихся проблемами предельных физических измерений.

Ил.47. Библиогр. 288 назв.

УДК 530. ББК 22. ISBN 5-7038-1571-1 Гладышев В.О., 170–летию МГТУ им. Н.Э. Баумана посвящается ПРЕДИСЛОВИЕ В монографии нашли отражение современные математические методы решения задач технической физики, электродинамики, теории относительно сти. Наряду с общими аналитическими подходами и использованием числен ных методов рассматриваемые автором задачи объединены детальным опи санием необратимых электродинамических процессов, являющихся основой для построения новых метрологических процедур.

Предсказание существования гравитационных волн было сделано А. Эйнштейном еще в 1916 году. Дж.Тейлор с коллегами в серии экспери ментальных работ на радиотелескопе в Аресибо объяснили уменьшение пе риода обращения двойными звездными системами вследствие потерь энер гии на гравитационное излучение. В настоящее время проблема регистрации гравитационного излучения находится в стадии разработки методов реги страции, математического моделирования источников и детекторов гравита ционного излучения.

В книге приведены результаты оригинальных исследований одного из наиболее перспективных технических устройств, способного осуществлять регистрацию гравитационного излучения, а именно свободномассового мно голучевого интерферометра Фабри–Перо.

Автором разработана классификация гравитационных антенн, отражаю щая особенности регистрации гравитационного излучения наземными, кос мическими и астрономическими гравитационными антеннами и показываю щая перспективы использования резонатора Фабри–Перо.

Подробно описаны и приведены результаты аналитических и численных расчетов уникального физического явления – низкочастотного оптического резонанса, возникающего в резонаторе Фабри–Перо при определенном соот ношении параметров резонатора и гравитационно–волнового сигнала. Сов местно с профессором А.Н.Морозовым впервые получено решение самосо гласованной системы дифференциальных уравнений, описывающих динами ку зеркал и трансформацию электромагнитного поля РФП в поле гравитаци онно-волнового возмущения.

Электродинамика движения сред появилась как результат развития рабо ты А. Эйнштейна "К электродинамике движущихся тел" (1905) и сегодня яв ляется мощным инструментом изучения взаимодействия электромагнитного поля с движущимися средами.

Известно, что описание электромагнитного излучения в средах со слож ным пространственным движением приводит к интегральным уравнениям, связывающим координаты волнового вектора электромагнитных волн с па раметрами среды. В книге приводятся аналитические и численные решения интегрального уравнения, описывающего трансформацию электромагнитно го излучения в движущейся среде, что позволяет предсказать существование эффекта искривления траектории волнового вектора в среде с вращением.

Автор показывает, что трансформация электромагнитного излучения имеет существенное значение при обсуждении космологического парадокса вслед ствие эффекта замедления времени распространения излучения в быстро движущихся удаленных областях Вселенной.

В книге приведен также оригинальный метод определения простран ственных кинематических характеристик вращающихся удаленных астрофи зических объектов на основе учета вариаций энергетической светимости в спектральных линиях излучения объектов. Приведенные результаты числен ного эксперимента убедительно показали возможность использования спек тральной аппаратуры существующего уровня чувствительности для проведе ния измерений таких параметров близких звезд, как экваториальная скорость вращения и наклон оси вращения в пространстве.

Следует отметить, что переход между инерциальными системами отсчета осуществляется преобразованиями пространства – времени, входящими в группу Лоренца и обладающими свойствами инвариантности. В то же время указанными свойствами могут не обладать частные дифференциалы для пе ременных, входящих в преобразования пространства – времени, что накла дывает дополнительные условия при описании физических процессов в про странстве-времени и именно эти условия учитывает автор.

В качестве примера, иллюстрирующего развиваемый подход, дана инте гральная форма преобразований пространства–времени и приведены приме ры построения измерительных процедур с учетом специальных релятивист ских эффектов в теории относительности.

Автор неоднократно успешно докладывал свои результаты в кругу специ алистов на заседаниях научного семинара секции "Проблемы воздушного транспорта РФ" Академии Наук России.

В обсуждениях на семинаре отмечалось, что широкий спектр задач, объ единенных наличием нелинейных электродинамических процессов, рассмот ренных автором, исследование новых физических явлений и методов их опи сания, позволяют предположить, что работы автора книги содержат новое научное направление, фундаментальные научные результаты. В этом убеж дает и чтение данной монографии.

Книга, безусловно, будет интересна для специалистов, занимающихся проблемами регистрации гравитационных волн, для астрофизиков, а также инженерно–технических работников, проводящих исследования в области математического моделирования сложных динамических систем с учетом специальных эффектов электродинамики и теории относительности.

Член бюро Научного Совета РАН по проблемам транспорта России, соруководитель – ответственный секретарь секции "Проблемы воздушного транспорта РФ", действительный член Академии транспорта РФ, д-р техн. наук, профессор Е.Ю. Барзилович ВВЕДЕНИЕ Одной из фундаментальных проблем XX века является проблема регистрации гравитационного излучения от удаленных космических объектов.

Возможное существование гравитационных волн было предсказано А.Эйнштейном в работе [1], посвященной решению уравнений общей теории относительности и расчету мощности гравитационного излучения. Расчеты показали, что изменение расстояния между пробными телами, вследствие воздействия гравитационной волны, очень мало, поэтому длительное время проблема регистрации гравитационного излучения оставалась предметом теоретических исследований.

Подтверждение существования гравитационного излучения было получено в экспериментальных исследованиях Taylor J.H., Weisberg J.M. и др. [2–3]. В этих работах проводилось изучение эффекта замедления периода двойной звездной системы PSR 1913+16 вследствие потерь энергии на гравитационное излучение. Полученные результаты совпали с расчетными значениями, полученными на основе решения уравнений общей теории относительности, с высокой точностью. На данном этапе особое значение приобретает регистрация гравитационных волн (ГВ) от космических источников излучения наземными гравитационными антеннами.

За годы, прошедшие после создания ОТО, были предложены различные методы регистрации гравитационного излучения, большая часть из которых осталась нереализованной либо из–за недостаточной чувствительности метода, либо вследствие сложности его технического воплощения.

В книге предложена классификация методов регистрации гравитационных волн, позволяющая систематизировать основные физические принципы регистрации.

В целом наиболее перспективными, с одной стороны, и достаточно технически обеспеченными – с другой, можно назвать проекты лазерных интерференционных гравитационных антенн (ЛИГА), находящихся в стадии строительства и обладающих резервами чувствительности [4–6].

Данный тип широкополосных гравитационных антенн (ГА) содержит массу возможностей по методам проведения регистрации ГВ, методам выделения сигналов, использованию квантовых невозмущающих измерений, включению в комбинированные ГА и в сеть ГА.

Основным элементом ЛИГА является многолучевой свободномассовый резонатор ФабриПеро (РФП), от свойств которого во многом зависит чувствительность и помехозащищенность ГА.

Давление света является нелинейным фактором, имеющим существенное значение в различных задачах физики [260]. Так как в антеннах нового поколения используются лазеры большой мощности, лазерное излучение может и здесь стать определяющим фактором.

Изучение динамических свойств многолучевого интерферометра Фабри– Перо с учетом силы давления оптического излучения и шумов проведено в первой главе.

В книге приведены результаты исследований фундаментальных свойств свободно–массового многолучевого интерферометра Фабри–Перо, полученные в соавторстве с А.Н.Морозовым [7–12]. Исследования выполнены на основе построенной самосогласованной системы уравнений, описывающих РФП в поле гравитационной волны и электромагнитной волны оптической накачки.

Исследование динамики РФП в поле сил светового давления приводит к необходимости учета нелинейного эффекта переноса низкочастотных колебаний зеркал в высокочастотную область спектра при описании РФП как элемента гравитационной антенны третьего поколения, что иллюстрируется во второй главе.

Расчеты мощности сигнала на выходе колебательной системы, образованной зеркалами РФП, с учетом нелинейной зависимости силы давления излучения от смещения зеркал и фазовой настройки резонатора позволили обосновать гетеродинный метод выделения затухающих гравитационно–волновых сигналов.

Найдено периодическое решение уравнений электромагнитного поля в РФП, указывающее на существование низкочастотного оптического резонанса по отношению к смещению зеркал, начальной фазе или амплитуде оптической накачки. Предложено использовать данные резонансные свойства РФ П для регистрации гравитационного излучения при модуляции амплитуды оптической накачки, что может обеспечить уменьшение размеров гравитационных антенн.

Основные результаты получены путем аналитического решения дифференциальных уравнений. Спектральные характеристики и численное решение самосогласованной системы дифференциальных уравнений являются дополнительной иллюстрацией аналитических результатов.

Подобный подход позволяет эффективно исследовать необратимые физические процессы в сравнительно сложных динамических системах, какой является свободномассовый многолучевой интерферометр Фабри– Перо.

На этапе детализации формального описания необратимых электромагнитных процессов существует возможность введения параметров движения сред распространения излучения.

Распространение электромагнитных волн в движущейся среде обладает рядом особенностей, которые могут быть корректно описаны в рамках электродинамики движущихся сред [13, 14]. В книге развивается подход, основанный на исследовании пространственных характеристик процесса распространения электромагнитной волны в среде со сложным движением при наличии тангенциального разрыва скорости на границе раздела двух сред. Основной проблемой здесь является поиск точных аналитических решений для траектории волнового вектора электромагнитной волны в движущейся среде.

Основу данного подхода составляет решение дисперсионного уравнения, описывающее волновой вектор электромагнитной волны в среде как функцию угла падения и параметров среды. Решение неоднократно проверялось в экспериментах, но сложность подобных исследований позволила изучить лишь те особенности трансформации электромагнитных волн, которые возникают при сравнительно простых законах движения сред по обе стороны от границы раздела [15].

Результаты этих экспериментов позволяют говорить о справедливости только той части решения дисперсионного уравнения, которая отвечает за нормальный разрыв скорости.

Однако в различных технических задачах реализуется измерительная процедура, построенная на прохождении электромагнитной волной среды с наличием сложного движения. К числу подобных задач относится и задача локации ЛА, так как движение среды является фактором, ограничивающим теоретический предел точности измерений.

Поэтому возникает необходимость такого описания процесса распространения электромагнитных волн в среде, которое позволило бы рассчитывать характеристики излучения, влияющие на результаты физических экспериментов при сложном движении среды.

Увлечение электромагнитной волны принято характеризовать величиной дрейфа фазовой скорости поля суперпозиции волны возбуждения и вторичных электромагнитных волн в движущейся среде. Также удобно использовать в качестве характеристики продольного увлечения электромагнитной волны разность фаз лучей, прошедших движущуюся среду в противоположных направлениях. В случае пространственного явления увлечения электромагнитной волны появляется дополнительный эффект – отклонение траектории волнового вектора суперпозиционной волны в среде.

Как показано в третьей главе, для описания данного явления можно использовать аналитические решения уравнения траектории волнового вектора в движущейся среде [16–18]. В соавторстве с М.И.Киселевым и др.

автор предлагает метод определения кинематических характеристик вращающихся объектов, свободный от влияния движения среды распространения электромагнитного излучения [153].

В качестве иллюстрации необходимости использования точного решения уравнения электродинамики движущихся сред показано, что учет эффекта увлечения электромагнитной волны движущейся межзвездной средой приводит к эффекту задержки времени распространения электромагнитного излучения в расширяющейся Вселенной и должен учитываться при расчете постоянной Хаббла.

Спектральные методы исследований удаленных вращающихся астрофизических объектов, включая анализ структуры профилей единичных спектральных линий, получили распространение сравнительно недавно, хотя первые теоретические работы в этой области были сделаны в 20–х годах [19].

В настоящее время в работах, посвященных анализу спектров звезд, приводятся достаточно точные значения лучевой скорости для звезд различных спектральных классов, полученные при определении величины размытия выбранных спектральных линий [20, 21].

Однако, несмотря на заметный рост разрешающей способности спектральных приборов, используемые в настоящее время методы спектральных исследований в большинстве случаев не позволяют определить реальную экваториальную скорость и наклон оси вращения астрофизического объекта в пространстве.

Исключение составляют случаи двойных систем, когда экваториальная плоскость совпадает с плоскостью орбиты системы. Кроме того, в работах Дж. Хатчингса [22, 23] предложен метод определения экваториальной скорости для ярких звезд верхней части главной последовательности, который основан на различии гравитационного потемнения между далекой ультрафиолетовой областью и видимым континуумом во вращающейся звезде, что приводит к более узким профилям линий в ультрафиолетовой области спектра. Данный метод обладает рядом недостатков, в том числе большой погрешностью измерений и отсутствием информации о пространственной ориентации оси вращения астрофизического объекта.

В четвертой главе обсуждается разработанный автором метод определения кинематических характеристик удаленных вращающихся астрофизических объектов по параллактическим вариациям профилей спектральных линий. Следует отметить, что данный метод при определенных условиях позволяет определить расстояние до астрофизического объекта на основе данных спектрометрических наблюдений, что представляет альтернативный канал определения расстояний до звезд [24–26].

Прогресс в области пространственно–временного описания физических процессов обычно связывается с расширением группы Лоренца, основанном или на специальном формализме с изучением инвариантных свойств уравнений частного вида, или с изучением математической допустимости возможных преобразований [27].

Вместе с тем в некоторых физических экспериментах могут проявляться известные неинвариантные свойства преобразований, например, для частных дифференциалов, что зависит от используемого метода измерений [28,29].

Здесь можно указать на эксперимент по измерению времени регистрации нейтринного всплеска от SN1987A нейтринными и гравитационно– волновыми детекторами, в котором была измерена аномально большая задержка времени регистрации сигнала разнесенными детекторами [30, 31].

Вспышка была зарегистрирована гравитационными антеннами в Мэриленде и Риме, а также нейтринным детектором в Монте–Бланке, имеющими привязку к всемирному времени. Показания детекторов имеют корреляцию в течение 2 ч. с отставанием сигнала, записанного нейтринным детектором, на 1,1 с. Вероятность случайного совпадения показаний составляет 10 5.

Измеренная задержка времени регистрации сигнала, распростра няющегося со скоростью света в вакууме в любой ИСО, не может быть объяснена временем запаздывания сигнала при распространении между детекторами и приводит к необходимости анализа адекватности используемой измерительной процедуры и соответствующих преобразований координат.

Необходимо указать на возможность случая, когда источником сигнала, зарегистрированного детекторами в Монте–Бланке, является не вспышка SN1987A, а другой физический источник. Поэтому в данной работе автор приводит расчет времени задержки регистрации вспышки сверхновой наземными детекторами как один из примеров рассмотрения измерительной процедуры, требующей учета неинвариантных свойств преобразований.

Используемая в данном эксперименте измерительная процедура построена на сравнении мгновенных значений собственных параметров физических процессов (собственного времени разнесенных часов) в различные моменты времени и основана на процедуре синхронизации удаленных часов. Это приводит к необходимости получения преобразований, которые могут применяться в случае процедуры сравнения мгновенных значений собственных параметров в различных движущихся ИСО в различные моменты времени.

В пятой главе предложен метод построения общих преобразований независимых переменных, основанный на использовании неинвариантных свойств частных дифференциалов для уравнений исходной группы [32–35].

Анализ показывает, что преобразования являются дополнительными для основной группы, на которой они строятся, и могут быть получены путем удержания временной и пространственной координат физически независимыми при переходе к произвольной ИСО. Подобные преобразования точно согласуются с результатами преобразований используемой группы относительно исходной ИСО, имеют согласие с известными экспериментами и могут быть использованы при расширении группы Лоренца.

Рассмотренные в книге электромагнитные процессы могут быть положены в основу методов регистрации гравитационного излучения, методов исследования особенностей взаимодействия электромагнитной волны с движущейся средой, методов определения кинематических характеристик и расстояния до удаленных астрофизических объектов, методов исследования специальных релятивистских эффектов, а также развития формализма теории относительности.

Подавляющая часть приведенных в книге результатов опубликована автором и обсуждалась на конференциях и научных семинарах в период с 1989 по 2000 гг.

Часть результатов, относящихся к исследованиям резонатора Фабри–Перо и методам регистрации гравитационных волн, опубликована в книге А.Н.Морозова [36] и совместной монографии [37].

Большая часть результатов, приведенных в книге, получена на основе численных расчетов и реализована в виде прикладных программ, которые могут быть предоставлены заинтересованным лицам или организациям.

В приложении приведены тексты нескольких компьютерных программ, позволяющие проводить расчеты отклика РФП на гравитационное излучение, вариации профилей спектральных линий вращающихся астрофизических объектов при движении спектральных приборов, а также расчеты параметров электромагнитного излучения во вращающихся средах.

Глава 1. НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ В МНОГОЛУЧЕВОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ ФАБРИ–ПЕРО Проблема регистрации гравитационного излучения во многом зависит от решения комплекса инженерно–физических задач, связанных с регистрацией сверхмалых смещений пробных тел, обусловленных искривлением простран ственно–временного континуума.

К числу прецизионных устройств, нашедших свое удачное применение во многих областях науки и техники, включая сравнительно молодую область гравитационно–волновой астрономии, можно отнести интерферометр Фаб ри–Перо, обладающий высокой чувствительностью к смещению зеркал.

Предметом данной главы является описание общей математической мо дели интерферометра с зеркалами на пробных телах, разработка математиче ского формализма, позволяющего упростить выкладки и численные расчеты, а также обсуждение некоторых результатов исследований новых физических явлений.

На основе полученной модели будут проведено исследование динамики РФП с учетом сил светового давления, а также изучены физические особен ности низкочастотного оптического резонанса, позволяющие использовать данное физическое явление для разработки новых методов регистрации гра витационного излучения.

Особенности регистрации гравитационных волн с использованием интер ферометра Фабри–Перо будут подробно обсуждены в следующей главе на основе анализа математической модели интерферометра.

Основные результаты, приведенные в данной главе, получены совместно А.Н.Морозовым и автором. Математическая модель, полученная в п.1.4., бы ла использована в качестве основы для компьютерного моделирования про цессов регистрации ГВ на квазигармонические возмущения. Решение систе мы дифференциальных уравнений, описывающих динамику зеркал РФП и эволюцию оптического отклика на ГВ сигнал, выполнено методами динами ческого моделирования (Приложение А). Результаты прямых численных рас четов подтвердили правильность аналитических выражений для РФП с высо кой точностью.

1.1. Особенности аналитического описания электромагнитного излучения в многолучевом интерферометре Фабри–Перо Рассмотрим многолучевой свободномассовый резонатор Фабри–Перо, ис точником излучения для которого является когерентный оптический излуча тель с частотой e = e / 2 и мощностью P0 (t ), создающий на входе в ре зонатор амплитуду световой волны E0 (t ). Пусть зеркало S1 установлено в положении с координатой x1 и характеризуется амплитудными коэффициен тами отражения R1, пропускания T1 и поглощения B1, а зеркало S 2, уста новленное в положении с координатой x 2, характеризуется соответственно амплитудными коэффициентами R2, T2, B2 (рис.1.1). Величина L0 = x 2 x1 является невозмущенной длиной РФП. Заметим, что зеркала под воздействием силы давления электромагнитной волны должны смещать ся, в результате чего длина резонатора L0 будет зависеть от параметров оп тической накачки.

Будем считать потери на зеркалах достаточно малыми, так что выполня ется условие Ri2 + Ti2 + Bi2 = 1, i = 1,2. (1.1) 1 Рис. 1.1. Многолучевой резонатор Фабри-Перо выполнен в виде двух плоских зер кал, подвешенных на тонких нерастяжимых нитях к единому основанию на расстоянии L0 друг от друга Пусть зеркала S1, S 2 обладают массами покоя M 1 и M 2 и испытыва ют произвольные воздействия, которые приводят к изменению положения зеркал по законам x1 (t ) и x2 (t ). Суммарное смещение зеркал относительно положений равновесия соответствует следующему выражению x(t ) = x 2 (t ) x1 (t ) L0.

Тогда для амплитуды плоской монохроматической электромагнитной волны, падающей на зеркало S1 от источника излучения в некоторый произ вольный момент времени t, имеет место следующее выражение E (t ) = E 0 (t ) exp[ i ( e t + 0 (t ) k e x1 (t ) )], (1.2) где e – частота электромагнитной волны оптической накачки в вакууме, 0 (t ) – начальная фаза электромагнитной волны, k e – волновой вектор элек тромагнитной волны. Для конкретности можно считать, что электромагнит ная волна является линейно поляризованной, однако, так как излучение рас пространяется в среде без оптической активности и вне источников суще ственного магнитного поля, вращение плоскости поляризации отсутствует.

Для амплитуды электромагнитной волны, прошедшей зеркало S1, а также для волны, прошедшей расстояние между зеркалами и падающей на S 2, можно соответственно записать E1(1) (t ) = E 0 (t )T1 exp[ i( e t + 0 (t ) + 1 k e x1 (t ) )], (1.3) E1( 2 ) (t ) = E 0 (t t 0 )T1 exp[ i ( e t + 0 (t t 0 ) + 1 k e ( L0 + x 2 (t ) )],(1.4) где 1 – сдвиг фазы при прохождении через зеркало S1, t 0 = L0 / c –время однократного прохождения электромагнитной волной расстояния между зер калами.

Для амплитуды электромагнитной волны, отраженной зеркалом S 2, и для амплитуды электромагнитной волны, прошедшей L0 и падающей на S1 по сле одного цикла отражений, можно записать E1 ( 2) (t ) = E 0 (t t 0 )T1 R2 exp[ i ( e t + 0 (t t 0 ) + 1 + (1.5) k e (L0 + x 2 (t ) ))], E1 (1) (t ) = E 0 (t 2t 0 )T1 R2 exp[ i ( e t + 0 (t 2t 0 ) + 1 + (1.6) k e (2 L0 + 2 x 2 (t t 0 ) x1 (t ) ))].

Здесь 2 – сдвиг фазы электромагнитной волны при отражении от зерка ла S 2.

Амплитуда электромагнитной волны, отраженной зеркалом S1 в направ лении источника излучения, амплитуда электромагнитной волны, отражен ной зеркалом S1 и прошедшей расстояние 2L0, а также амплитуда электро магнитной волны, прошедшей оба зеркала резонатора, имеют следующий вид:

E R 0 (t ) = E0 (t ) R1 exp[ i ( e t + 0 (t ) + 1 k e x1 (t ) )], (1.7) E R1 (t ) = E 0 (t 2t 0 )T12 R 2 exp[ i( e t + 0 (t 2t 0 ) + (1.8) + 2 1 + 2 k e (2 L0 + 2 x 2 (t t 0 ) x1 (t ) ))], ET 1 (t ) = E 0 (t t 0 )T1 T 2exp[ i( e t + 0 (t t 0 ) + (1.9) + 1 + 2 k e (L0 + x 2 (t )))].

Здесь 1 – сдвиг фазы при отражении от зеркала S1, 2 – сдвиг фазы при прохождении через зеркало S 2.

После n циклов переотражений от зеркал резонатора Фабри–Перо ампли туды электромагнитных волн, соответствующих выражениям (1.3)–(1.9), имеют следующий вид:

E n1) (t ) = E0 (t 2(n 1)t 0 )T1 ( R1 R2 ) n1 exp[ i ( e t + 1 + ( n x (t ) + + 0 (t 2(n 1)t 0 ) (n 1) k e 1 x 2 (t (1.10) m= n x1 (t 2(m 1)t 0 ), 2(m 1 / 2)t 0 ) m= E n2) (t ) = E0 (t 2(n 1 / 2)t 0 )T1 ( R1 R2 ) n1 exp[ i ( e t + 1 + ( n + 0 (t 2(n 1 / 2)t 0 ) (n 1) k e L0 k e x 2 (t ) + 2 x 2 (t (1.11) m = n x1 (t 2(m 1 / 2)t 0 ), 2mt 0 ) m= E n( 2) (t ) = E 0 (t 2(n 1 / 2)t 0 )T1 R2 ( R1 R2 ) n 1 exp[ i( e t + 1 + + 0 (t 2(n 1 / 2)t 0 ) + 2 (n 1) k e L0 k e ( x 2 (t ) + (1.12) n 1 n x1 (t 2(m 1 / 2)t 0 ), x 2 (t 2mt 0 ) m =1 m = E n(1) (t ) = E 0 (t 2nt 0 )T1 R2 ( R1 R2 ) n 1 exp[ i ( e t + 1 + n + 0 (t 2nt 0 ) 1 n k e 2 x 2 (t t 0 ) x1 (t ) + 2 x 2 (t (1.13) m = n x1 (t 2mt 0 ), 2(m + 1 / 2)t 0 ) m = E Rn (t ) = E 0 (t 2nt 0 )T1 R2 ( R1 R2 ) n 1 exp[ i ( e t + 2 1 + n + 0 (t 2nt 0 ) 1 n k e 2 x 2 (t t 0 ) x1 (t ) + 2 x 2 (t (1.14) m = n x1 (t 2mt 0 ), 2(m + 1 / 2)t 0 ) m = ETn (t ) = E0 (t 2( n 1 / 2)t0 )T1T2 ( R1 R2 ) n 1 exp[ i (e t + 1 + + 2 + 0 (t 2(n 1 / 2)t0 ) (n 1) k e L0 k e ( x 2 (t ) + (1.15) n 1 n + 2 x2 (t 2mt 0 ) 2 x1 (t 2( m 1 / 2)t0 ).

m =1 m = В уравнениях (1.10)–(1.15) принималось, что в общем случае фазовая настройка резонатора Фабри–Перо удовлетворяет следующему условию + 2N = 2k e L0, (1.16) где – суммарный сдвиг фазы при однократном переотражении от зеркал резонатора Фабри-Перо, – фазовая настройка резонатора, N – натураль ное число.

Амплитуда электромагнитного поля в момент времени t на зеркале S образуется из амплитуд всех интерферирующих волн, образующих оптиче ский отклик резонатора, поэтому результирующие уравнения должны вклю чать суммы амплитуд лучей, представленных уравнениями (1.10)–(1.15).

Получим уравнения для интенсивностей и фаз отраженного, прошедшего резонатор Фабри–Перо излучения, а также для излучения внутри резонатора для произвольных законов изменения мощности оптической накачки и начальной фазы электромагнитной волны на входе в резонатор Фабри–Перо.

В соответствии с принятыми обозначениями амплитуды электромагнит ных лучей после n циклов переотражений будут суммироваться следующим образом:

E (1) (1) (t ) = E n (t ), (1.17) n = E ( 2) ( 2) (t ) = E n (t ), (1.18) n = E ( 2) ( 2) (t ) = E n (t ), (1.19) n = (1) E n(1) (t ), (t ) = E (1.20) n = E E R (t ) = Rn (t ) + E R 0 (t ), (1.21) n = E ET (t ) = Tn (t ). (1.22) n = Поскольку уравнения для интерферирующих лучей (1.10)–(1.15), входя щие в уравнения (1.17)–(1.22), записаны для амплитуды электромагнитного поля, то уравнения для интенсивностей излучения будут иметь следующий вид:

I 0 (t ) = 0 cE (t ) E (t ), (1.23) I (1) (t ) = 0 cE (1) (t ) E (1) (t ), (1.24) I ( 2) (t ) = 0 cE ( 2) (t ) E ( 2) (t ), (1.25) I ( 2) (t ) = 0 cE ( 2) (t ) E ( 2) (t ), (1.26) I (1) (t ) = 0 cE (1) (t ) E (1) (t ), (1.27) 1 I R (t ) = 0 cE R (t ) E R (t ), (1.28) 1 0 cET (t ) ET (t ).

I T (t ) = (1.29) Здесь E (t ), E (1) (t ), E ( 2) (t ), E (1) (t ), E ( 2) (t ), E R (t ), ET (t ) комплексно сопряженные по отношению к действительным величинам E (t ), E (1) (t ), E ( 2) (t ), E (1) (t ), E ( 2) (t ), E R (t ), ET (t ).

Найдем уравнения для интенсивностей и фаз электромагнитного излуче ния в соответствии с формулами (1.23)–(1.29).

После подстановки (1.10) в (1.17) можно получить следующее уравнение E 0 (t 2(n 1)t 0 ) [( )], exp i e t + 1 + (1) (t ) (1) (t ) = T E (1.30) n (R1 R2 ) 1 n n = где (1) (t ) = 0 (t 2(n 1)t 0 ) (n 1) k e ( x1 (t ) + n n 1 n 1. (1.31) x1 (t 2(m 1)t 0 ) x 2 (t 2(m 1 / 2)t 0 ) + m =1 m = Вынесем часть экспоненты, которая не зависит от n, а оставшуюся часть экспоненты разложим по формуле Эйлера E (t 2(n 1)t (t ) = T1 exp[ i( e t + 1 )] )(R1 R2 )n (1) E 0. (1.32) n = [ ].

cos (1) (t ) i sin (1) (t ) n n Выражение в квадратных скобках под знаком суммы представляет собой комплексную функцию. Умножение E (1) (t ) на комплексно сопряженную величину E (1) (t ) позволяет избавиться от мнимой части уравнения ( )2 + (Y (1) (t ))2, E (1) (t ) E (1) (t ) = T12 X (1) (t ) (1.33) E (t 2(n 1)t )(R R ) n (1) cos (1) (t ), (t ) = X (1.34) 0 0 12 n n = E (t 2(n 1)t )(R R ) n (1) sin (1) (t ).

(t ) = Y (1.35) 0 0 12 n n = После подстановки выражений (1.33)–(1.35) в (1.24) можно получить окончательные уравнения для интенсивности суммы электромагнитных волн отраженных зеркалом S1, а также прошедших S1 и движущихся от S1 к S 2 :

( )2 + (Y (1) (t ))2, I (1) (t ) = 0 cT12 X (1) (t ) (1.36) E 0 (t 2(n 1)t 0 )(R1 R2 )n1 cos (1) (t ), X (1) (t ) = (1.37) n n = E (t 2(n 1)t )(R R ) n (1) sin (1) (t ), (t ) = Y (1.38) 0 0 12 n n = (1) (t ) = 0 (t 2(n 1)t 0 ) (n 1) k e ( x1 (t ) + n n 1 n 1 (1.39) x1 (t 2(m 1)t 0 ).

x 2 (t 2(m 1 / 2)t 0 ) + m =1 m = Нахождение интенсивностей электромагнитных волн в соответствии с формулами (1.23), (1.25)–(1.29) можно провести аналогично на основе прове денной процедуры преобразований. Полученные уравнения имеют следую щий вид:

I 0 (t ) = 0 cE0 (t ), (1.40) ( )2 + (Y (2) (t ))2, I ( 2) (t ) = 0 cT12 X ( 2) (t ) (1.41) E (t 2(n 1 / 2)t )(R R ) n ( 2) cos ( 2) (t ), (t ) = X (1.42) 0 0 12 n n = E 0 (t 2(n 1 / 2 )t 0 )(R1 R2 )n 1 sin ( 2) (t ), Y ( 2) (t ) = (1.43) n n = ( 2) (t ) = 0 (t 2(n 1 / 2 )t 0 ) (n 1) k e ( x2 (t ) + n n 1 (1.44) [x2 (t 2mt 0 ) x1 (t 2(m 1)t 0 )], + m = I ( 2) (t ) = R2 I ( 2) (t ), (1.45) ( )2 + (Y (1) (t ))2, I (1) (t ) = 0 cT12 R12 X (1) (t ) (1.46) X (1) = X (1) (t ) E0 (t ) cos( 0 (t ) k e x1 (t ) ), (1.47) Y (1) = Y (1) (t ) E0 (t ) sin ( 0 (t ) k e x1 (t ) ), (1.48) [ ] I R (t ) = 0 c ( X R (t ) )2 + (YR (t ) )2, (1.49) X R (t ) = T12 R11 X (1) (t ) + R1 E0 (t ) (1.50) cos( 0 (t ) + 1 2 1 k e x1 (t ) ), YR (t ) = T12 R11Y (1) (t ) + R1 E0 (t ) (1.51) sin ( 0 (t ) + 1 2 1 k e x1 (t ) ), I T (t ) = T22 I ( 2) (t ). (1.52) Уравнения записаны для произвольных законов изменения мощности и начальной фазы оптической накачки, а также произвольной формы возмуще ния расстояния между зеркалами, и могут быть использованы в общей си стеме уравнений, описывающих РФП.

Следует отметить, что полученные уравнения не учитывают влияние эф фекта Доплера на частоту электромагнитного излучения, циркулирующего в полости РФП. Однако, во–первых, величина данного эффекта на средних ча стотах колебаний зеркал весьма мала, и, во–вторых, качественное описание физических процессов, которые будут рассмотрены ниже, не требует учета данного явления.

1.2. Исследование динамики резонатора Фабри–Перо в поле сил светового давления 1.2.1. Давление света на зеркала РФП В свободномассовом интерферометре Фабри–Перо сила давления излу чения на зеркала является одним из источников нелинейных характеристик его работы. Как отмечалось в работах [5-7], мощная оптическая накачка мо жет привести к возникновению нестационарных режимов работы РФП.

Рассмотрим случай стационарного режима оптической накачки, для ко торого амплитуда электромагнитной волны E 0 (t ) и начальная фаза 0 (t ) являются постоянными. Для получения оценки величины силы светового давления на зеркала резонатора сделаем вывод формулы силы светового дав ления на зеркало S 2.

Уравнение (1.11) для амплитуды электромагнитного поля в момент t на зеркале S 2 S 2, которое образуется из суммы амплитуд всех интерферирую щих волн, может быть записано в следующем виде E T (R R ) exp[ i( e t + 1 + 0 + (n 1) n E (t ) = 01 n =. (1.53) n x (t ) + 2 ( x 2 (t 2mt 0 ) x1 (t (2m 1)t 0 )) ke m = Учитывая, что время, за которое изменение координат зеркал становится существенным, много больше, чем время одного переотражения в резонато ре, можно записать x(t ) = x 2 (t 2mt 0 ) x1 (t (2m 1)t 0 ) L0. (1.54) Использование данного условия при стационарном режиме оптической накачки позволяет записать уравнение (1.53) в следующем виде E (t ) = E 0T1 exp[i ( e t + 0 + 1 k e x 2 (t ) )]. (1.55) (R1R2 ) exp[ in( + 2k e x(t ) )] n n = После выполнения суммирования уравнение (1.55) приводится к виду exp[i( e t + 0 + 1 k e x 2 (t ) )] E (t ) = E 0T1. (1.56) 1 R1 R2 exp[ i ( + 2k e x(t ) )] Тогда выражения для интенсивности прошедшего и отраженного РФП света с учетом многократного переотражения лучей могут быть получены путем умножения E (t ) на комплексно сопряженную величину T1T2 I I T (t ) = (1.57), (1 R1 R2 ) + 4 R1 R2 sin ( / 2 + k e x(t ) ) 2 T12 I I R (t ) = (1 1 )I 0 + (1.58), (1 R1 R2 ) + 4 R1 R2 sin ( / 2 + k e x(t ) ) 2 0 cE 0.

I0 = (1.59) Здесь I 0 – интенсивность света на входе РФП, 0 – диэлектрическая по стоянная, 1 = 1 R1 T12, c – скорость света в вакууме.

Для силы давления оптического излучения на зеркало S 2 соответственно можно записать 2 P0 T1T Frad 2 (t ) =, (1.60) c (1 R1 R2 )2 + 4 R1 R2 sin 2 ( / 2 + k e x(t ) ) где P0 = I 0 S – мощность оптического излучения на зеркале площадью S.

При выполнении условий постоянства длины резонатора Фабри–Перо и при равенстве амплитудных коэффициентов отражения и пропускания зер кал, малости потерь на зеркалах, условии нормального падения излучения на поверхность зеркал выражение (1.60) упрощается и приводится к формуле Эйри [38].

Измерение малых сил и перемещений при реализации многолучевой ин терференции приводит к необходимости выполнения условия k e x(t ) + / 2 1, (1.61) где = 1 R (1.62) – средние энергетические потери на зеркалах резонатора, (1 1 )(1 2 ) R= (1.63) – средний коэффициент отражения зеркал.

Подбирая соответствующую фазовую настройку резонатора и параметры зеркал можно обеспечить выполнение (1.61). В этом случае выражение (1.60) имеет вид P Frad 2 (t ) =, x0 =. (1.64) ( x0 + x(t ) ) 2 2k e 2ck e Как следует из (1.60), сила давления оптического излучения существенно нелинейно зависит от смещения зеркал РФП и, следовательно, может изме нять характер движения зеркал в свободно–массовом многолучевом резона торе Фабри–Перо.

Уравнение движения зеркала резонатора Фабри–Перо представляет собой уравнение осциллятора с одной степенью свободы. Силы давления излуче ния на зеркала РФП должны входить в правые части уравнения и, следова тельно, уравнения движения становятся нелинейными. Зависимость силы давления излучения на зеркало S 2 от смещения зеркал x(t ) имеет период, равный, и в пределах периода имеет симметричные нелинейные участки.

Двукратное дифференцирование (1.60) позволяет найти область макси мальной нелинейности кривой. Ей соответствует соотношение между фазо вой настройкой резонатора и потерями на зеркалах 1 = / 2, 2 = / 2. (1.65) Величину силы давления на зеркала РФП в большебазном интерферомет ре можно оценить, подставляя в формулу (1.64) параметры, характерные для строящихся установок. Для параметров проекта VIRGO P0 = 100 Вт, k e = 10 7 м 1, = 0.01, = 10 3 можно получить, что сила давления излу чения составляет значительную величину – порядка 10 5 H [39].

В правую часть уравнения движения зеркала резонатора Фабри–Перо в поле электромагнитной волны наряду с силой давления оптического излуче ния на зеркала интерферометра Frad (t ) входит сила Fmec (t ), обусловленная шумовым механическим воздействием, а также сила FGW (t ), вызванная возмущающим резонатор сигналом, который необходимо зарегистрировать.

Ниже будет рассмотрено суммарное влияние Frad (t ) и Fmec (t ) на чувстви тельность свободно–массового многолучевого резонатора Фабри–Перо в по ле электромагнитной волны.

1.2.2. Уравнение Фоккера–Планка для движения зеркала РФП Для нелинейной системы, которой является рассматриваемый случай движущегося зеркала S 2 резонатора Фабри–Перо в поле электромагнитной волны, уравнение одномерного движения зеркала массы M с координатой x запишем в виде x + 0 x = (Frad (t ) + Fmec (t ) ), && + (1.66) x & Q M где 0 – собственная частота колебаний массы M, Q – коэффициент меха нической добротности колебаний, Frad (t ) соответствует выражению (1.64), Fmec (t ) – внешнее случайное шумовое воздействие, например, сейсмиче ский шум.

Если Fmec (t ) возможно аппроксимировать белым гауссовым шумом с интенсивностью 2 D, то для уравнения (1.66) можно записать уравнение Фоккера–Планка [40], характеризующее функцию распределения f ( x, p, t ) флуктуаций координаты x и импульса p = Mx пробной массы & p f Mb f f 2 f = D f, 2 p k e x + + (1.67) t M x ( x 0 + x ) 2 p p где = 0 / 2Q – коэффициент механического затухания колебаний проб ной массы, x0 = / 2k e – величина постоянного смещения зеркала.

Коэффициент b, характеризующий мощность оптической накачки и ка чество зеркал РФП, имеет вид P0T b= (1.68).

2 Mcke Уравнение (1.67) получено при малых потерях на S1, S 2 и выполнении условия высокого качества зеркал и оптимальной настройки резонатора Фабри–Перо (1.61).

В этом случае сила светового давления на зеркало S 2 имеет более про стой вид (1.65). Стационарное решение f ( x, p ) уравнения (1.67) представ ляет собой совместную плотность вероятности координаты x и импульса p пробного тела 2 M f ( p, x) = C exp H ( p, x ), (1.69) D где 2 M = exp C H ( p, x)dpdx, D x p 2 kx H ( p, x ) = + + V ( x), V ( x) = Frad ( x)dx.

2M При выполнении условия (1.61) для потенциальной энергии поля свето вого давления V (x ) можно записать Mb V ( x) = (1.70).

x0 + x Интегрирование функции f ( x, p ) по всем возможным значениям им пульса p позволяет получить выражение для стационарного распределения флуктуаций пробного тела по координате x 1 M 0 x V ( x), f 0 ( x) = S exp (1.71) W 2 1 M 0 x 1 V ( x), (1.72) = exp S W 2 x W = 2M / D. (1.73) Здесь W – средняя энергия случайных колебаний пробного тела.

Функция распределения (1.71) отличается от гауссовой, что связано с не линейным характером колебаний, описываемых уравнением (1.66). Из выра жения для f 0 ( x) следует возможность появления высокочастотных состав ляющих флуктуаций координаты пробного тела с зеркалом РФП.

На рис. 1.2 приведены графики функции распределения координаты цен тра масс зеркала РФП, полученные на основе численных расчетов по форму лам (1.70)–(1.73) в работе [7].

В расчетах использовались следующие параметры для пробных масс с установленными на них зеркалами РФП, которые используются в лазерных интерференционных гравитационных антеннах [41]: M =100 кг, 0 = 20 c 2 при значениях энергии случайных колебаний пробных тел W, соответствующих амплитуде сейсмического шума [42] в области низких ча стот. Также использовались параметры системы лазер–резонатор Фабри– Перо, применяемые в существующих и строящихся многолучевых интерфе рометрах [43].

f 0 ( x) флуктуаций координаты x центра масс Функция распределения Рис.1.2.

пробного тела с зеркалом РФП S 2 в поле плоской монохроматической электромагнитной волны при различных значениях W и b Таблица 1.1.

Характерные значения энергии случайных колебаний зеркал и параметра оптической накачки W, Дж b, Джм/кг № графика 10 15 10 10 16 10 10 15 10 10 14 10 10 15 10 Полученные графики соответствуют следующим значениям энергии слу чайных колебаний зеркал W и параметра оптической накачки b, которые представлены в таблице 1.1.

Из сравнения графиков следует, что при увеличении светового давления, характеризуемого параметром b, происходит смещение вправо положения равновесия пробного тела с зеркалом S 2 (графики 1,3,5), приводящее к из менению рабо чей точки резонатора Фабри–Перо на фазовой кривой. Повы шение энергии случайных колебаний, которые возмущают колебания под вешенных масс, вызывает уширение функции распределения и усиление ис кажений ее формы по сравнению с распределением Гаусса (графики 2,3,4).

1.2.3. Трансформация периода колебаний зеркала РФП при импульсном возмущении Для определения характера движения пробной массы, слабо связанной с основанием, на которой установлено зеркало РФП, при произвольном им пульсном механическом возмущении проведем расчет изменения периода колебаний пробного тела в пределе t T, где T = 2 / 0 – период соб ственных колебаний массы. Данный расчет был выполнен в работе [7] для параметров резонатора Фабри–Перо, используемого в качестве элемента ла зерного интерферометра для регистрации гравитационных волн внеземного происхождения.

Предположим, что после однократного импульсного возмущения, вы званного, например, прохождением сейсмической волны, пробное тело при обрело энергию W, диссипирующую за время t 1. В течение этого вре мени колебания массы считаем свободными. Это предположение на практи ке выполняется с высокой точностью, так как для снижения стандартного квантового предела колебательную систему изготавливают высокодобротной [44]. Тогда такая система будет являться нелинейной квазиконсервативной системой [45], и период колебаний, установившихся за время t, будет выра жаться формулой x 2M dx T (W ) = (1.74), W 0 ( x) x где 0 ( x) = M 0 x 2 / 2 V ( x) 2 (1.75) – суммарная потенциальная энергия пробного тела в полях силы тяжести и светового давления;

x1 и x 2 – значения координаты пробного тела с зерка лом РФП, при которых потенциальная энергия 0 ( x) становится равной W.

В этом случае, используя выражение (1.70), уравнение (1.74) приводится к виду x x0 + xdx T (W ) = 2 (1.76).

0 x 2 ( x 2( x0 + x)W / M + x) 2b x После раскрытия скобок и приведения к стандартному виду многочлена в знаменателе (1.76) получаем x x0 + xdx T (W ) = (1.77), 0 3 a1 x + a 2 x + a3 x + a x где введены следующие обозначения для коэффициентов кубического урав нения a1 = 1, a 2 = x0, a3 = 2W / M 0, 2(Mb Wx0 ) a4 =.

M Решение (1.77) может быть представлено в виде ( x0 + x 2 ) (, n, k ), T (W ) = (1.78) ( x1 + x0 )(x2 + x3 ) где x1, x 2, x3 – корни кубического уравнения в знаменателе (1.77), а (, n, k ) – эллиптический интеграл 3–го рода, n – параметр, k – модуль эллиптического интеграла.

Используя известное выражение эллиптического интеграла 3–го рода че рез эллиптические интегралы 1–го и 2–го рода [46] при условии, что x1 x x2 x0 x3, запишем 2 1 k 2 sin x0 + x ( k ) + T (W ) = ( x1 + x0 )( x2 + x3 ) k 2 sin 0 (1.79) (F (, k ) K (k ) E (, k ) K (k ) F (, k ) E (k ) + / 2)], где K (k ), E (k ) – полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода: E (, k ), F (, k ) – неполные связанные нормаль ные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода.

Параметру, модулю и дополнительному модулю эллиптических интегра лов первого и второго рода соответствуют выражения:

x x n + = arcsin, n= 2, 2 x1 x k (1.80) ( x1 x 2 )(x0 + x3 ) k = 1 k 2, k = ( x1 x0 )( x 2 x3 ) при выполнении условия 1 n k 2.

Корни кубического уравнения в знаменателе (1.77), которые входят в (1.79), (1.80), были найдены из тригонометрического решения кубического уравнения.

Для расчетов по формулам (1.79), (1.80) использовались таблицы эллип тических интегралов K (k ), E (k ), E (, k ), F (, k ) [47] при следую щих значениях параметров рассматриваемой системы: 0 = 4,5 рад/с, b = 10 26 Дж м/кг, W = 10 12 Дж, k e = 10 7 м 1, M = 100 кг, x0 = 5 10 9 м, = 0.1 рад. Амплитуда импульсного возмущения принима лась равной A0 = 5 10 9 м, что соответствует амплитуде сейсмических ко лебаний в НЧ области спектра [42].

Для указанных характерных значений системы зеркал РФП в поле элек тромагнитной волны накачки частота установившихся колебаний зеркал по сле импульсного возмущения становится равной = 2 / T (W ) = 9.6 рад/с, что более чем в два раза превышает собственную частоту 0 = 4.5 рад/с не возмущенных колебаний зеркала РФП. Полученная величина свидетель ствует о значительном изменении спектральных свойств свободно– массового резонатора Фабри–Перо в поле случайных возмущений, что мо жет привести к большим значениям амплитуд колебаний зеркал в той обла сти спектра, где необходимо проводить измерения.

В случае малых мощностей излучения обсуждаемые особенности дина мики зеркал РФП не могут играть существенного значения. Однако в случае регистрации гравитационного излучения мощность оптической накачки до статочно высока, что требует учета эффекта трансформации спектра колеба ний зеркал. Здесь следует отметить, что в ЛИГА будут доминировать в диа пазоне 35-100 Гц именно тепловые флуктуации [282], которые будут возни кать в подвесе зеркал, пробных массах.

Для выяснения вопроса о роли ВЧ составляющих спектра колебаний зер кал РФП на процесс регистрации гравитационно–волнового сигнала необхо димо провести расчет амплитуды ВЧ гармоник зеркал по отношению к начальной частоте и амплитуде шумового возмущения. Подобный расчет бу дет выполнен в следующей главе, посвященной особенностям регистрации ГВ на основе РФП.

1.3. Низкочастотный оптический резонанс в многолучевом интерферометре Фабри–Перо 1.3.1. Уравнения низкочастотного оптического резонанса Интерферометр Фабри–Перо обладает широкополосным характером от клика, что дает значительное преимущество при использовании его в каче стве базового элемента интерференционной гравитационной антенны [48].

При этом предполагается, что резонансный отклик интерферометра Фабри– Перо возникает только в случае, когда на длине резонатора укладывается це лое число длин полуволн возмущающего воздействия.

Учитывая, что для реально строящихся интерферометров этому соответ ствуют высокие частоты, на которых амплитуда ожидаемых сигналов незна чительна, данное резонансное свойство интерферометра практически не мо жет быть использовано.

Однако детальное изучение поведения стоячей электромагнитной волны в резонаторе Фабри–Перо приводит к выводу о наличии более низкочастотно го оптического резонанса, характер которого зависит от длины L0 и фазовой настройки резонатора, а также количества переотражений в нем.

Интенсивность вышедшего из многолучевого резонатора Фабри–Перо оп тического излучения зависит от параметров настройки интерферометра и ха рактеристик оптической накачки на входе в резонатор. Изменение с течением времени расстояния L0 между зеркалами, амплитуды E 0 или фазы 0 элек тромагнитной волны на входе в РФП приводит к изменению интенсивности прошедшего I T и отраженного I R света.

Если внешнее воздействие E0 (t ), 0 (t ) или x(t ) имеют характер гар монического сигнала с периодом, равным времени переотражений луча в РФП, то электромагнитная волна после некоторого количества переотраже ний в РФП может иметь фазу, совпадающую с фазой начальной волны. По этому, возможно, оптический отклик многолучевого резонатора на такие возмущения будет существенно выше, чем на воздействия, имеющие другую собственную частоту.

Анализ показывает, что возникновение низкочастотного резонансного от клика связано с возникновением интерференции лучей в РФП, претерпеваю щих многократное переотражение и имеющих одинаковую фазу.

Для исследования указанных низкочастотных резонансных свойств опти ческого отклика большебазного интерферометра Фабри–Перо проведем ана литическое изучение уравнений, содержащих суммы амплитуд и фаз интер ферирующих лучей.


Пусть на резонатор Фабри–Перо падает плоская электромагнитная волна с амплитудой E0 (t ) и фазой 0 (t ). Тогда на основе уравнений (1.49) и (1.52) для интенсивности прошедшего и отраженного резонатор излучения можно записать I T (t ) = 0 cT12T22Y (t ), (1.81) I R (t ) = (1 1 )I 0 (t ) + 0 cT14Y (t ), (1.82) 0 cE 0 (t ), I 0 (t ) = (1.83) где 1 E n (t ) Y (t ) = (1.84) T12 n =1 – представляет собой универсальную функцию, включающую квадрат суммы амплитуд всех интерферирующих в РФП электромагнитных волн.

Уравнение (1.84) можно представить в общем виде следующим образом E (t ) E (t ), Y (t ) = (1.85) T где E (t ) – сумма амплитуд интерферирующих лучей, E (t ) – комплексно сопряженная величина. Для функции E (t ) можно записать на основе (1.30) и (1.31) следующее уравнение exp[i ( e t + k e x 2 (t ) )]Z (t ), T1 E (t ) = (1.86) E (t 2nt )(R R ) [cos ], n Z (t ) = n (t ) i sin n (t ) (1.87) 0 0 n = n (t ) = 0 (t 2nt 0 ) n 2k e n (x (t 2lt ) x (t (2l 1)t )), (1.88) 2 0 1 l = здесь суммирование начинается с n = 0.

При подстановке (1.86) в (1.85) и умножении на комплексно сопряженную величину E (t ) экспоненты перед Z (t ) и Z (t ) сокращаются и уравнение (1.85) может быть записано в виде Y (t ) = Z (t ) Z (t ). (1.89) После подстановки (1.87) данное уравнение приводится к следующему виду 1 E 0 (t 2nt 0 )(R1 R2 ) cos n (t ) + n Y (t ) = 2 n =0 (1.90) 1 E 0 (t 2nt 0 )(R1 R2 )n sin n (t ).

+ 2 n =0 Возведем в квадрат выражения в квадратных скобках. Тогда уравнение (1.90) запишется следующим образом E (t 2nt 0 )(R1 R2 )2n cos 2 n (t ) + Y (t ) = n = E 0 (t 2nt 0 )(R1 R2 )n cos n (t ) + n = E (t 2lt )(R1 R2 )l cos l (t ) + 0 l = n + E 0 (t 2nt 0 )(R1 R2 )2 n sin 2 n (t ) + + (1.91) n = E (t 2nt )(R1 R2 )n sin n (t ) + 0 n = E (t 2lt )(R1 R2 )l sin l (t ).

0 l = n + Следует отметить, что суммирование в приведенном выражении произво дится по двум переменным: n, l.

Суммирование 1–го и 3–го членов приводит к упрощению выражения.

Далее, раскрывая произведения 2–го и 4–го слагаемых в (1.91) и приводя по добные члены, можно записать это уравнение в более простом виде E (t 2nt )(R R ) (t 2nt 0 )(R1 R2 ) 2n n Y (t ) = + E0 0 0 n =0 n = (1.92) E (t 2lt )(R R ) cos( l (t ) l +1 (t ) ).

l +n 0 0 l = n + В окончательном виде уравнение для Y (t ) можно записать после вынесе ния общего знака суммы за скобку и внесения множителя ( R1 R2 ) n под знак второй суммы в (1.92) 1 E 0 (t 2nt 0 )(R1 R2 ) + E 0 (t 2nt 0 ) 2n Y (t ) = n = (1.93) E 0 (t 2lt 0 )(R1 R2 ) cos( l (t ) l +1 (t ) ).

2 n + l = n + Для дальнейшего исследования свойств функции Y (t ) представим урав нение (1.93) в интегральной форме. В общем случае количество лучей, кото рые переотражаются в РФП, может быть велико и поэтому предел суммы можно рассматривать при n, стремящемся к бесконечности. Кроме того, функции, которые находятся под знаком суммы, ограничены, а сами суммы сходятся.

Уравнение (1.93) может быть представлено в виде интегрального уравне ния следующего вида t {E02 ( 1 )( t 1 ) + E 0 ( 1 ) E 0 ( 2 ) Y (t ) = R1 R2 2t 4t 0 t (1.94) 2t 1 ( ) cos 0 (t )d 2 }d 1 = Y1 (t ) + Y2 (t ), R1 R2 2t0 n 1 k x( 3 )d 3 + + 0 ( 1 ) 0 ( 2 ), 0 (t ) = e (1.95) n t0 2t 1 = t 2nt 0, 2 = t 2(n + 1)t 0, где приняты следующие обозначения 3 = t 2lt 0, а также использовано условие (1.54).

Для описания эволюционного процесса в оптическом отклике РФП полу чим дифференциальное уравнение, соответствующее (1.94). Для этого прове дем дифференцирование интегрального уравнения для Y (t ) по времени.

Для первого слагаемого в Y (t ) получим t 1 ln(R1 R2 ) t (R1 R2 ) t E0 ( 1 )d 1 + E0 (t ).

2 &1 (t ) = Y (1.96) 4t 0 t 0 Здесь и далее мы используем правило дифференцирования интеграла по па раметру b b d db da f (, t )d = f (b, t ) f (a, t ) + f (, t )d. (1.97) t dt dt dt a a Для второго слагаемого в Y ( t ) после дифференцирования двойного инте грала можно получить t 1 ln(R1 R2 ) 2t 1 E0 ( 1 ) E0 ( 2 )(R1 R2 ) 2t Y2 (t ) = & 4t 0 t (1.98) t t + E0 (t ) E0 ( 2 )( ) cos (t )d 2, cos 0 (t )d 2 d 1 R1 R2 2t n где t t k x( 3 )d 3 + 0 (t ) 0 ( 2 ) (t ) = e (1.99) t0 2t Как можно заметить, первые члены в (1.96) и (1.98) образуют функцию & Y ( t ), умноженную на постоянную величину, поэтому для Y ( t ) можно запи сать следующее дифференциальное уравнение 12 Y (t ) + Y (t ) = E 0 (t ) + 2 E 0 (t ) Z (t ), & (1.100) 4t 0 4t где ln( R1 R2 ) =, (1.101) t t t E0 ( 2 )(R1 R2 ) 2t0 cos (t )d 2.

Z (t ) = (1.102) В уравнение (1.100) входит величина Z (t ), которая имеет интегральный вид записи. Для того чтобы избавиться от интеграла, продифференцируем функцию Z (t ) и ее первую производную, используя (1.97). Получим для первой производной ln( R1 R2 ) Z (t ) = Z (t ) (t ) Z1 (t ) + E 0 (t ), & & (1.103) 2t t t E 0 ( 2 )(R1 R2 ) 2t0 sin (t )d 2.

Z1 (t ) = (1.104) Для второй производной ln(R1 R2 ) & & ln(R1 R2 ) && Z (t ) (t ) + (t ) Z1 (t ) Z (t ) = && 2t 0 2t (1.105) 2 (t ) Z (t ) + E0 (t ).

& & Произведем подстановку уравнения (1.103) в (1.105). Для этого выразим & функцию Z1 (t ) через Z (t ) и Z (t ) Z (t ) ln (R1 R2 ) Z (t ) E 0 (t ) & Z1 (t ) = + +. (1.106) (t ) 2t 0 (t ) (t ) & & & Подставим выражение для Z1 (t ) в (1.105). После приведения подобных членов это уравнение может быть записано в виде ln(R1 R2 ) (t ) & ln 2 (R1 R2 ) && Z (t ) + Z (t ) + + && (t ) & t 4t ln(R1 R2 ) (t ) & ) && + + (t ) Z (t ) = E 0 (t ) & (1.107) & (t ) 2t ln(R1 R2 ) (t ) && E (t ).

+ & (t ) 2t Таким образом, мы получили два дифференциальных уравнения (1.100) и (1.107), которые совместно описывают эволюцию оптического отклика РФП для произвольных законов изменения E 0 (t ) и 0 (t ). Они представляют со бой исходные уравнения для изучения физических свойств системы лазер – РФП на основе аналитического или численного решения этих уравнений.

1.3.2. Физические свойства периодического решения уравнений Дифференциальные уравнения, описывающие оптический отклик РФП во времени, имеют по крайней мере одно периодическое решение, которое представляет собой отклик на внешнее гармоническое возмущение.

Действительно, рассмотрим более подробно уравнения (1.100) и (1.107).

Первое из них описывает динамику величины Y (t ), представляющую собой квадрат суммы амплитуд всех интерферирующих лучей. Второе записано от носительно величины Z (t ), которая пропорциональна сумме амплитуд всех интерферирующих лучей. В этом можно убедиться, сравнивая уравнения (1.86)–(1.88) и (1.102).

Коэффициенты, которые стоят в левой части уравнения (1.107), имеют размерности затухания и квадрата частоты, поэтому перепишем уравнение для Z, введя соответствующие обозначения Z + 2Z + 0 Z = E0 (t ) + rE 0 (t ), && & & (1.108) где ln (R1 R2 ) (t ) && =, (1.109) 2 (t ) & 2t ln 2 (R1 R2 ) & 2 (t ) + ln(R1 R2 ) (t ), && = + (1.110) (t ) & 2 2t 4t ln (R1 R2 ) (t ) && r=. (1.111) (t ) & 2t (t ) k e x(t ) + 0 (t ), (t ) = + & & (1.112) 2t 0 t Как следует из уравнения (1.108) величина Z (t ) подчиняется уравнению осциллятора с одной степенью свободы. Если воздействие x(t ), E 0 (t ) или 0 (t ) имеют вид гармонического сигнала на частоте, совпадающей с соб ственной частотой осциллятора 0, возникает низкочастотный оптический резонанс, добротность которого обратно пропорциональна потерям на зерка лах.

Рассмотрим случай, когда по гармоническому закону изменяется только x(t ), (E 0 (t ) = E 0, 0 (t ) = 0 ). Тогда при выполнении условий, которые реализуются в многолучевом РФП при измерении малых перемещений, т.е.

при 1 и k e x(t ), из уравнений (1.109), (1.110) и (1.112) можно запи сать следующие ниже выражения для параметров низкочастотного оптиче ского резонанса.

Для резонансной частоты 0 = (1.113).

2t Для коэффициента затухания =. (1.114) 2t Для добротности низкочастотного оптического резонанса Q=. (1.115) Как следует из приведенных формул, для реальных параметров РФП, и t 0, используемых в многолучевых РФП, резонансная частота находится в диапазоне 10 1...10 6 Гц, что доказывает существование в такой широкополосной системе, как интерферометр Фабри–Перо, оптического ре зонанса на низких частотах.

Таким образом, для уравнений, описывающих эволюцию оптического от клика РФП на произвольное внешнее возмущение x(t ), E0 (t ) или 0 (t ), существует периодическое решение, аналогичное механическому резонансу маятника при внешнем гармоническом сигнале.

Физический механизм возникновения низкочастотного оптического резо нанса связан с тем, что электромагнитная волна после n переотражений в РФП, где n = / 2, имеет фазу, совпадающую с фазой начальной волны.

Поэтому если внешние воздействия x(t ), E0 (t ) или 0 (t ) имеют характер гармонического сигнала с периодом, равным времени переотражений луча в РФП, то оптический отклик многолучевого резонатора на такие возмущения будет существенно выше, чем на воздействия, имеющие другую частоту. То есть отклик РФП на указанные возмущения имеет четко выраженный резо нансный характер, а сам эффект представляет собой возбуждение колебаний амплитуды стоячей электромагнитной волны в резонаторе.

Добротность колебаний, описываемых уравнением (1.108), может дости гать 10...10 4 в зависимости от параметров РФП. Добротность любого резо натора Фабри–Перо больше единицы и зависит только от фазовой настройки и качества зеркал РФП. Поэтому, используя зеркала с потерями порядка = 10 3...10 5 [48], можно сравнительно легко на 2–3 порядка повысить чувствительность интерферометра Фабри–Перо в области резонанса к любо му из указанных выше сигналов.

Для точного расчета параметров резонанса необходимо использовать не приближенные формулы (1.113)–(1.115), а точные выражения (1.109)–(1.112), в которые входят первая и вторая производная фазы электромагнитной вол ны и производная функции смещения зеркал.

Уравнения (1.108)–(1.115) были получены в работе [10, 49], где были при ведены результаты аналитического и численного исследования низкочастот ного оптического резонанса.


Проведем сравнительную оценку полученных результатов.

В диссертации В.В.Кулагина [50] было показано, что для монохроматиче ской ГВ в отношение сигнал/шум входит величина, пропорциональная Q.

Исследование спектральных характеристик схемы с двойным рециклиро ванием было проведено в работе A.Krolak, J.A.Lobo, B.J.Meers [51]. Данная схема содержит два перекрещивающихся резонатора Фабри–Перо с дополни тельным полупрозрачным зеркалом, объединяющем оба резонатора в единую систему. В этой работе было получено выражение для спектральной плотно сти шума в случае узкополосного режима регистрации. Выражение оказыва ется одинаковым для РФП и оптической линии задержки при настройке на резонансную частоту, для которой получено выражение, аналогичное (1.113).

Авторами работы [51] также приведено выражение для полной ширины по лосы на уровне полумаксимума резонансной кривой, которое может быть приведено к формуле (1.114).

Однако в указанных работах [50, 51] анализировались уравнения, в кото рых возмущение фазы электромагнитной волны задавалось гармонической гравитационной волной, а амплитуда и начальная фаза электромагнитной волны оставались постоянными. Поэтому в этих работах не был обнаружен резонанс по отношению к амплитуде электромагнитной волны оптической накачки, как это следует из решения более общей задачи, проведенной нами выше.

Также стоит заметить, что в работе [51] получены приближенные выра жения для резонансной частоты и ширины полосы резонанса, которые не со держат информации о первой и второй производной фазы электромагнитной волны внутри резонатора, а также о производной функции смещения зеркал, что представляет несомненный интерес и в определенных случаях может из менять результаты расчетов.

Из проведенных нами расчетов следует, что усиление оптического откли ка, наблюдаемое в схеме с двойным рециклированием, и пропорциональное добротности резонанса, которую можно оценить по формуле (1.115), эквива лентно низкочастотному оптическому резонансу в РФП. Поэтому такое же усиление оптического отклика произойдет для единичного РФП без исполь зования схемы двойного рециклирования.

О возможности усиления оптического отклика на гармоническую ГВ так же было высказано предположение в статье B.J.Meers [52], в которой обсуж дался метод нерезонансного рециклирования, схема которого в дополнение к интерферометру Майкельсона с двумя РФП содержит полупрозрачное зерка ло между лазером и светоделителем, однако точных расчетов параметров ре зонанса не было сделано.

Следует отметить, что в общем случае при гармонических сигналах x(t ) или 0 (t ) в формулах для 0, и Q появляются дополнительные члены (t ), которые при подборе определенных параметров частоты и амплитуды && модуляции этих сигналов, а также параметров РФП могут существенно из менять эволюцию оптического отклика.

Сделаем оценку влияния тех членов в (1.109)–(1.112), которыми мы пре небрегали при получении приближенных выражений (1.113)–(1.115).

Прежде всего следует обратить внимание на то, что для оптимальной настройки резонатора = / 2 и выполняется неравенство & 2 = ln R1 R2, (1.116) 2 16t 0 4t что указывает на отклонение 0 от выражения (1.113). Однако стоит заме тить, что при 1 такая настройка РФП может быть затруднительной, т.к.

в этой рабочей точке интенсивность излучения на выходе РФП весьма мала.

Поэтому реальные величины могут быть больше, что снижает вклад пер вого члена в (1.110), тем не менее пренебрегать им нельзя.

Сделаем оценку вклада третьего члена в (1.110). Предположим, что на не котором интервале регистрации сигнала второй и третий члены в (1.110) имеют один знак и один порядок величины. Тогда можно записать ln R1 R2 && & = 0. (1.117) 2t Это однородное дифференциальное уравнение 2–го порядка с постоян ными коэффициентами, интегрируя которое, получим t (0, t0 t0 ), ln R1R 2 = t0 0.

&, 4t0 (t t0 ) (1.118) Здесь t0 – постоянная величина, t0 – малый параметр, определяемый из условия физической реализуемости максимальных значений. & Ограничения на переменную t, вытекающие из невозможности равенства нулю знаменателя, указывают на реальное воплощение закона (1.118) только для коротких, возможно, квазипериодических сигналов.

Для справедливо (1.112), поэтому с учетом (1.118) получим & (t ) k e 1 ln R1R x ( t ) + 0 (t ).

= + & (1.119) 2 t0 (t t0 ) 2t0 t Данное выражение указывает на необходимость существования дрейфа во времени по крайней мере одной из переменных в правой части (1.119).

Обратим внимание на то, что k e x(t ) / t 0 / 2t 0 для смещений зеркал, обусловленного приходом ГВ, но эти члены имеют один порядок для ампли o туды 1 A сейсмических колебаний.

Можно было бы предположить, что сейсмические колебания будут иметь достаточную амплитуду и на некотором интервале времени соответствую щую форму. Однако необходимо заметить, что если устройство снабжено активной сервосистемой, то подобные колебания могут быть устранены и в (1.119) остаются существенными только первый и третий члены.

Дрейф этих переменных также возможен, т.к. и фазовая настройка и начальная фаза не являются стабильными величинами.

Решая (1.119) относительно, x, 0, получим t (t ) = ln R1R2, t t t x (t ) = ln R1R2, t t0 (1.120) 2k e t 0 (t ) = ln R1R2, t t где 0 –некоторая постоянная.

Если предположить, что хотя бы одна из полученных зависимостей может быть реализована на интервале t (0, t0 t0 ), за который регистрируется сигнал, то 2–й и 3–й члены в (1.119) будут иметь один знак и порядок вели чин.

Таким образом, теоретически данный результат указывает на возмож ность вклада дополнительных членов в реальную величину 0. Аналогично можно провести анализ для коэффициента затухания. Следует заметить, что точное решение дифференциального уравнения может быть получено только с учетом переменного характера коэффициентов, поэтому наши расчеты яв ляются оценочными.

В качестве иллюстрации возможных решений для функции (t ) рас смотрим случай, когда в (1.111) отношение / является логарифмической && & функцией времени && = ln t.

(1.121) & Интегрируя, получим общее решение в виде = (ln 1) + C.

& (1.122) Найдем частное условие для t 0, при котором в (1.122) коэффициент C = 0. Из (1.118) можно записать (t t0 )ln R1R2.

= (1.123) t Пусть t = 0, тогда с учетом (1.118), (1.123) из уравнения (1.122) получим 1 t0 = 1 + 4.

ln ln (1.124) 2 t0 R1R2 16t При этом условии интегрирование (1.122) дает exp(1 + C 0 + exp t ).

(t ) = (1.125) Для постоянной интегрирования C 0 при t = 0 находим 1 t0 ln ln 2.

C0 = (1.126) 2 t0 R1R С учетом (1.126) частное решение будет иметь вид 1 1 + exp t.

(t ) = exp (1.127) 16t 4 2 0 Полученные оценочные результаты свидетельствуют о существовании возможного влияния на параметры НОР дополнительных членов, которые не учитывались при выводе (1.113)–(1.115). Таким образом, полученные резуль таты в первом приближении подтверждают результаты других авторов [53, 54], однако приведенный анализ указывает на необходимость учета дополни тельных членов.

Как отмечалось ранее, данный вклад может быть устранен, если в РФП отсутствует дрейф, x, 0. С точки зрения обработки результатов экспери ментов данный дрейф вполне допустим, т.к. сигнал может выделяться из электронных записей сервосистем, имеющих некоторую допустимую вели чину запаздывания вследствие инерционности элементов устройства.

В данном случае информация об изменении параметров НОР имеет суще ственное значение, т.к. даже при небольшом изменении одного из парамет ров в течение одного акта регистрации сигнала возможно существенное ис кажение реальной формы сигнала.

1.4. Математическая модель резонатора Фабри–Перо с зеркалами на свободных массах Система уравнений, описывающих интерферометр Фабри–Перо, зеркала которого установлены на пробных телах, слабо связанных с основанием, должна включать уравнения движения пробных тел с зеркалами РФП в поле сил светового давления, в поле возмущающего сигнала и при воздействии шумов различной природы.

Уравнение движения пробного тела с зеркалом резонатора, которое под вешено на тонкой нерастяжимой нити к основанию в гравитационном поле Земли, представляет собой уравнение осциллятора, в правую часть которого входит сумма всех внешних сил 1N G ( i ;

0i \ xi ) = Fni (t ), (1.128) M i n = где для удобства описания введен линейный оператор, действующий на пе ременную x 2 1 ( i ;

0i \ xi ) = d xi + 2 i d xi + 0i d xi, G dt 2 dt1 dt где i = 1,2 соответствует уравнениям для зеркал S1 и S 2, i – коэффициен ты затухания, 0i – собственные частоты пробных тел с зеркалами S i, M i – массы пробных тел с зеркалами, Fni (t ) – внешнее воздействие, N – нату ральное число.

Решение этих уравнений в общем виде должно быть совместным, так как в правые части уравнений входят взаимозависимые функции.

Рассмотрим более подробно интересующие нас силы, влияющие на рабо ту интерферометра и формирующие его результирующий отклик.

Правая часть уравнения (1.128) включает проекции на ось x сил, соот ветствующих гравитационно-волновому возмущению, действию оптического излучения и шумовой составляющей.

Гравитационно–волновой сигнал на фоне шумовых возмущений изменяет оптическую базу РФП по следующему закону x(t ) = L0 h(t ), (1.129) где h(t ) – изменение метрики пространства, обусловленное воздействием гравитационной волны [55].

Воздействие гравитационно-волнового сигнала на движение зеркал РФП может быть представлено в виде эквивалентной силы F1. Поскольку это воз действие одинаково для обоих зеркал и противоположно по направлению, оно имеет следующий вид d 2h M 1M F11 (t ) = L0 2 = F12 (t ). (1.130) M1 + M 2 dt В эти формулы входит только вторая производная возмущения метрики, массы зеркал M i и длина L0 РФП. Значение L0 может меняться на величи ну x (t ), однако, так как значение силы F1i (t ) чрезвычайно мало, ее прира щением за счет изменения величины L0 всегда можно пренебречь.

Силы светового давления на зеркала всегда отличны от нуля и при опре деленных уровнях мощности оптического излучения могут значительно смещать зеркала из положения равновесия. Для сил давления оптического излучения на зеркала РФП вдоль оси x в новых обозначениях можно запи сать [ ] S I 00 (t ) + R1 I 00 (t ) + T12 I 22 (t ) I11 (t ) I 21 (t ), F21 (t ) = (1.131) c [ ] S F22 (t ) = I12 (t ) + I 21 (t ) T2 I12 (t ), (1.132) c где S - площадь оптической поверхности зеркал, c - скорость света в вакуу ме, I ij - интенсивности электромагнитного излучения на зеркалах РФП (рис.1.3), i, j = 0,1, 2.

Эти выражения должны входить в правую часть уравнений движения зеркал и определять их динамику.

Источник когерентного оптического излучения характеризуется парамет рами E0 (t ), 0 (t ), k e.

В уравнения входят интенсивности света на входе РФП, внутри и на вы ходе резонатора, которые можно записать через амплитуды электромагнит ного поля Eij (t ) следующим образом I ij (t ) = 0 cEij (t ) Eij (t ), (1.133) где Eij (t ) – является комплексно сопряженной величиной.

Амплитуда электромагнитной волны, приходящей на зеркало S1 от ис точника излучения, в данных обозначениях имеет вид E00 (t ) exp[ i ( e t + 00 (t ) k e x1 (t ) )], E00 (t ) = (1.134) где 00 (t ) – начальная фаза электромагнитной волны.

Рис. 1.3. Свободномассовый многолучевой резонатор Фабри-Перо Подставив (1.134) в (1.133) получим I 00 (t ) = 0cE00 (t ).

(1.135) Интенсивность отраженного РФП излучения будет складываться из отра женного зеркалом S1 излучения и излучения, вышедшего из РФП I R (t ) = R12 I 00 (t ) + T12 I 22 (t ). (1.136) Электромагнитное поле внутри РФП будет складываться из амплитуд всех интерферирующих лучей E Eij (t ) = nij (t ), (1.137) n = где E nij (t ) – амплитуда n – го луча.

Подставляя выражение для E nij (t ) в (1.137) и выделяя в фазовом множи теле член, который не зависит от n, можно переписать выражение для E nij (t ) в развернутом виде ( i 0n11 (t )), E T exp[ i( e t + 1 k e x1 (t ) )] E11 (t ) = n11 exp (1.138) 2 n = (R1 R2 )n1 E00 (t 2(n 1)t 0 ) ), E n11 (t ) = 011 (t ) = 00 (t 2(n 1)t 0 ) (n 1) 2k e n n 1 n 1 x1 (t 2(m 1)t 0 ), x 2 (t 2(m 1 / 2)t 0 ) m =1 m = ( ) E T exp[ i ( e t + 1 k e x 2 (t ) )] exp i 012 (t ), E12 (t ) = (1.139) n12 n 2 n = (R1 R2 )n1 E00 (t 2(n 1 / 2)t 0 ) ), E n12 (t ) = 012 (t ) = 00 (t 2(n 1 / 2)t 0 ) (n 1) 2k e n n 1 n 1 x1 (t 2(m 1 / 2)t 0 ), x 2 (t 2mt 0 ) m =1 m = ( i 0n21 (t )), E T1 R exp[ i( e t + 1 + 2 k e x 2 (t ) )] E 21 (t ) = n 21 exp 2 n = (1.140) 0 = E n 21 (t ) E n12 (t ), 0 21 (t ) = 012 (t ), n n E 22 (t ) = T1 R1 exp[ i ( e t + 1 1 k e (2 x 2 (t t 0 ) x1 (t ) )] ( ), (1.141) E n 22 exp i 0 22 (t ) n n = (R1 R2 )n1 E00 (t 2nt 0 ), E n 22 (t ) = 0 22 (t ) = 00 (t 2nt0 ) n 2k e n n 1 n 1 x2 (t 2(m + 1 / 2)t0 ) x1 (t 2mt0 ).

m =1 m = Здесь i – потери фазы при прохождении через S1, 1 – потери фазы при отражении от S 2, – фазовая настройка РФП, удовлетворяющая соотноше нию + 2N = 2k e L0, N где = 1 + 2 – суммарные потери фазы при отражении от S1 и S 2.

При подстановке (1.138) – (1.141) в (1.133) фазовые члены перед знаками сумм сокращаются и формулу (1.133) можно записать в виде I ij (t ) = 0 caij ij (t ), (1.142) Здесь 1 T1T aij = 0 i, j = 0, 1, T1, T1 (1.143) T 2 R T1 R T1 R 1 2 2 + E nij (t ) sin nij (t ).

0 0 0 ij (t ) = E nij (t ) cos nij (t ) (1.144) n =1 n =1 При выводе использовано тригонометрическое представление экспонен циальных членов, а также введены обозначения E02 (t ) = T2 E12 (t ), (1.145) E 20 (t ) = T1 E 22 (t ). (1.146) Первое из этих равенств соответствует амплитуде электромагнитной вол ны, прошедшей через РФП в прямом направлении, а второе описывает часть электромагнитного излучения, выходящего из РФП в противоположном направлении, и входит в (1.136).

Выражения (1.145), (1.146) являются справедливыми для излучения, вы шедшего из РФП, благодаря тому, что дополнительные фазовые множители с 1, 2, появляющиеся в 012 и 0 22 при прохождении S1 и S 2, не зави n n сят от n и сокращаются при умножении на комплексно сопряженные вели чины.

Выражение (1.142) указывает на то, что интенсивность излучения в РФП определяется функцией Yij (t ), пропорциональной квадрату суммы амплитуд всех интерферирующих лучей внутри РФП на S1 или S 2.

В силу закона сохранения энергии интенсивность I 00 (t ) падающего на РФП света равна сумме интенсивностей прошедшего I 02 (t ) и отраженного I R (t ) излучения. Однако для произвольного закона I 00 (t ) это равенство яв ляется точным только на бесконечном временном интервале, так как в силу многолучевой интерференции часть энергии циркулирует внутри РФП. Сле довательно, в пренебрежении поглощением на зеркалах должно выполняться условие t 1 I 02 ( ) + I 20 ( ) d = 1.

lim t I 00 ( ) t Шумовые возмущения будут случайным образом смещать зеркала РФП, что также будет сказываться на оптическом отклике резонатора. Уравнения движения зеркал будут включать произвольные силы Fmec1(t) и Fmec2(t), ко торые в общем случае могут являться независимыми от гравитационно волнового сигнала, светового давления и друг от друга.

Уравнения движения зеркал (1.128), уравнения для силы гравитационно волнового воздействия (1.130), уравнения для сил давления излучения на зеркала РФП (1.131), (1.132), а также выражения для интенсивностей элек тромагнитного поля (1.142)—(1.144) представляют самосогласованную си стему уравнений свободно-массового большебазного многолучевого интер ферометра Фабри-Перо в полях плоской монохроматической электромаг нитной волны и гравитационного излучения.

Полученный формализм позволяет эффективно исследовать различные физические явления, возникающие в РФП для произвольных законов E00(t), 00(t), h(t) [56,57].

Использование различных правых частей в (1.128) позволяет проводить описание эволюции координат зеркал для различных источников гравитаци онного излучения.

Можно заметить, что при использовании данной системы уравнений су щественное значение имеет условие соотношения частоты сигнала и часто ты, определяемой временем прохождения луча между зеркалами. Если ча стота сигнала много меньше частоты переотражений, то в расчетах можно выбирать величину приращения времени, равную времени прохода луча от одного зеркала до другого.

Основным допущением являлось предположение, что источник излуче ния формирует идеальную плоскую электромагнитную волну, а зеркала РФП имеют равномерные коэффициенты Ri, Ti, Bi и идеальные плоскопарал лельные поверхности.

Выражения (1.138)-(1.141) получены для произвольных законов измене ния амплитуды E0(t) оптической накачки и начальной фазы 0(t) электро магнитной волны на входе в резонатор Фабри-Перо. Поэтому в общем случае давление света на зеркала резонатора и его поведение могут иметь нестацио нарные режимы. Результатом этого может быть усложнение структуры опти ческого отклика на заданное воздействие. Например, в работе [58] было по казано, что в ряде случаев необходимо учитывать задержку оптического от клика по времени.

Однако, как показывают предварительные оценки, существенное измене ние характера движения зеркал резонатора происходит даже при стационар ном режиме оптической накачки. При этом сила давления излучения на зер кала РФП остается практически постоянной, но влияние малых флуктуаций в положении зеркал, которые сами по себе могут не влиять на результат изме рения, приводит к описанию движения зеркал нелинейными уравнениями.

Исследованию стационарных режимов работы ГА с РФП посвящены ра боты [10-12, 281], в которых представлен метод динамического моделирова ния ЛИГА в реальном времени. В работах отмечается, что исследование свойств модели указывает на связь между физическими эффектами в одном РФП и полномасштабном интерферометре с двумя РФП.

Следует отметить, что со временем РФП находит более широкое приме нение в гравитационно-волновой астрономии. Во-первых, РФП используется в качестве основного крупномасштабного измерительного инструмента в ЛИГА, реагирующего на искривление пространственно-временного конти нуума, и, во-вторых, РФП применяется в качестве элемента управления по ложением зеркал большебазного РФП.

В работе [284] указывается на необходимость удержания теплового шума зеркал большебазного интерферометра ЛИГА на уровне меньше 10-21 м/Гц1/ Именно такой уровень смещений ожидается от коалесцирующих звезд или пульсаров.

Поэтому для контроля и управления положением зеркал большебазного РФП предлагается использование РФП с расстоянием между зеркалами мкм.

В следующей главе будут представлены результаты динамического моде лирования РФП в качестве элемента ЛИГА.

Результаты, которые будут получены, основаны на методе динамическо го моделирования, позволяющем в реальном времени проводить согласован ное описание механических и электромагнитных процессов в ГА.

В работе будут использованы универсальные методологические подходы, позволяющие строить адекватные математические модели изучаемых объек тов [275, 285], методы модельного представления процесса преобразования сигналов оптико-электронной системой [286], методы численной фильтра ции, методы построения разностных схем [276], методы исследования дина мических систем на плоскости [277].

Прямое численное решение уравнений, полученных в 1 главе, позволило предсказать новые оптические явления. Среди них можно назвать явление модуляции отклика РФП на частоте, являющейся промежуточной частотой между несущей частотой ГВ и частотой основной гармоники ГВ цуга, а так же эффект опережения максимума оптического отклика РФП максимумом ГВ всплеска при превышении чистоты ГВ сигнала резонансной частоты НОР.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.