авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

Д. РЮЭЛЬ

Термодинамический формализм

Перевод с английского Б. М. Гуревича

УДК 530.132, 514.74

Интернет-магазин • физика

• математика

• биология

• техника

http://shop.rcd.ru

Рюэль Д.

Термодинамический формализм. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотиче-

ская динамика», 2002, 288 стр.

Предлагаемая книга одного из создателей термодинамического формализма Д. Рюэля основывается на курсе лекций, прочитанных автором. В ней с математи ческой точки зрения обсуждаются как традиционные вопросы статистической ме ханики — распределение Гиббса, фазовые переходы и др., так и более современные вопросы, связанные с теорией динамических систем, топологической динамикой, исследованием инвариантных мер диффеоморфизмов.

В книгу также вошла более поздняя статья Д. Рюэля по динамическим дзе та-функциям.

Будет полезна физикам и математикам, специализирующимся в области стати стической механики и теории динамических систем.

ISBN 5-93972-115-X c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», http://rcd.ru Оглавление Предисловие редактора перевода................... Предисловие автора.......................... ГЛАВА 0. Введение........................... 0.1. Общие сведения.......................... 0.2. Описание термодинамического формализма.......... 0.3. Краткий обзор содержания.................... ГЛАВА 1. Теория гиббсовских состояний.............. 1.1. Пространство конфигураций................... 1.2. Взаимодействия.......................... 1.3. Гиббсовские ансамбли и термодинамический предел..... 1.4. Предложение............................ 1.5. Гиббсовские состояния...................... 1.6. Термодинамический предел гиббсовских ансамблей...... 1.7. Граничные члены......................... 1.8. Теорема............................... 1.9. Теорема............................... 1.10. Алгебра на бесконечности.................... 1.11. Теорема (Характеристика неразложимых гиббсовских состо яний)................................ 1.12. Операторы...........................   1.13. Теорема (критерий единственности гиббсовского состояния) 1.14. Замечание............................. Библиографические указания...................... Упражнения................................ ГЛАВА 2. Гиббсовские состояния: продолжение.......... 2.1. Морфизмы решетчатых систем.................. 2.2. Пример............................... 2.3. Взаимодействие F....................... 2.4. Лемма................................ 2.5. Предложение............................ 6 Оглавление 2.6. Замечание............................. 2.7. Системы условных вероятностей................ 2.8. Свойства гиббсовских мер.................... 2.9. Замечание............................. Послесловие............................... Упражнения................................ ГЛАВА 3. Трансляционная инвариантность. Теория равновесных состояний.............................. 3.1. Трансляционная инвариантность................. 3.2. Функция A............................ 3.3. Статистические суммы...................... 3.4. Теорема............................... 3.5. Инвариантные состояния..................... 3.6. Предложение............................ 3.7. Теорема............................... 3.8. Энтропия.............................. 3.9. Предел на бесконечности в смысле ван Хова.......... 3.10. Теорема............................... 3.11. Лемма................................ 3.12. Теорема............................... 3.13. Следствие.............................. 3.14. Следствие.............................. 3.15. Физическая интерпретация.................... 3.16. Теорема............................... 3.17. Следствие.............................. 3.18. Аппроксимация инвариантных состояний равновесными... 3.19. Лемма................................ 3.20. Теорема............................... 3.21. Сосуществование фаз....................... Библиографические указания...................... Упражнения................................ ГЛАВА 4. Связь между гиббсовскими и равновесными состояниями 4.1. Основные предположения.................... 4.2. Теорема............................... 4.3. Физическая интерпретация.................... 4.4. Предложение............................ 4.5. Замечание............................. 4.6. Строгая выпуклость давления.................. Оглавление 4.7. Предложение............................ 4.8. Z -решетчатые системы и Z -морфизмы............ 4.9. Предложение............................ 4.10. Следствие.............................. 4.11. Замечание............................. 4.12. Предложение............................ 4.13. Ограничение Z на подгруппу G................ 4.14. Предложение............................ 4.15. Неразрешимость и непериодичность.............. Библиографические указания...................... 4.16. Упражнения............................ Упражнения................................ ГЛАВА 5. Одномерные системы................... 5.1. Лемма................................ 5.2. Теорема............................... 5.3. Теорема............................... 5.4. Лемма................................ 5.5. Доказательство теорем 5.2 и 5.3................. 5.6. Следствия теорем 5.2 и 5.3.................... 5.7. Теорема............................... 5.8. Перемешивающие Z-решетчатые системы........... 5.9. Лемма................................ 5.10. Теорема............................... 5.11. Трансфер-матрица и оператор.................   5.12. Функция............................ 5.13. Предложение............................ 5.14. Оператор............................ 5.15. Лемма................................ 5.16. Предложение............................ 5.17. Замечание............................. 5.18. Экспоненциально убывающие взаимодействия......... 5.19. Пространство и связанные с ним пространства...... 5.20. Предложение............................ 5.21. Теорема............................... 5.22. Замечания............................. 5.23. Лемма................................ 5.24. Предложение............................ 5.25. Замечание............................. 8 Оглавление 5.26. Теорема............................... 5.27. Следствие.............................. 5.28. Дзета-функция........................... 5.29. Теорема............................... 5.30. Замечание............................. Библиографические замечания..................... Упражнения................................ ГЛАВА 6. Обобщение термодинамического формализма...... 6.1. Основные определения...................... 6.2. Разделимость траекторий..................... 6.3. Покрытия.............................. 6.4. Энтропия.............................. 6.5. Предложение............................ 6.6. Давление.............................. 6.7. Другие определения давления.................. 6.8. Свойства давления......................... 6.9. Действие a............................ 6.10. Лемма................................ 6.11. Лемма................................ 6.12. Теорема (вариационный принцип)................ 6.13. Равновесные состояния.............

......... 6.14. Теорема............................... 6.15. Замечание............................. 6.16. Коммутирующие непрерывные отображения.......... 6.17. Продолжение до Z -действия.................. 6.18. Результаты для Z -действий................... 6.19. Замечание............................. 6.20. Топологическая энтропия..................... 6.21. Относительное давление..................... 6.22. Теорема............................... 6.23. Следствие.............................. Библиографические замечания..................... Упражнения................................ ГЛАВА 7. Статистическая механика на пространствах Смейла.. 7.1. Пространства Смейла....................... 7.2. Пример............................... 7.3. Свойства пространств Смейла.................. 7.4. «Спектральное разложение» Смейла.............. Оглавление 7.5. Марковские разбиения и символическая динамика...... 7.6. Теорема............................... 7.7. Гельдеровские функции...................... 7.8. Давление и равновесные состояния............... 7.9. Теорема............................... 7.10. Следствие.............................. 7.11. Замечание............................. 7.12. Следствие.............................. 7.13. Следствие.............................. 7.14. Равновесные состояния для негельдеровских функций.... 7.15. Сопряженные точки и сопрягающие гомеоморфизмы..... 7.16. Предложение............................ 7.17. Теорема............................... 7.18. Гиббсовские состояния...................... 7.19. Периодические точки....................... 7.20. Теорема............................... 7.21. Изучение периодических точек методами символической ди намики............................... 7.22. Предложение............................ 7.23. Дзета-функции........................... 7.24. Теорема............................... 7.25. Следствие.............................. 7.26. Растягивающие отображения................... 7.27. Замечания............................. 7.28. Результаты для растягивающих отображений.......... 7.29. Марковские разбиения...................... 7.30. Теорема............................... 7.31. Приложения............................ Библиографические замечания..................... Упражнения................................ ГЛАВА 8. Введение в динамические дзета-функции........ § 1. Подсчет периодических орбит для отображений и потоков.. § 2. Подсдвиги конечного типа.................... § 3. Продакт-формула для отображений............... § 4. Продакт-формула для полупотоков............... § 5. Формула Лефшеца......................... § 6. Исторические замечания: от дзета-функции Римана к дина мическим дзета-функциям.................... 10 Оглавление § 7. Свойства динамических дзета-функций............. § 8. Трансфер-операторы........................ § 9. Следы и определители...................... § 10. Целые аналитические функции.................. § 11. Теория Фредгольма – Гротендика................. § 12. Линейные отображения, улучшающие аналитичность..... § 13. Нефредгольмовы ситуации.................... § 14. Термодинамический формализм................. § 15. Связи с другими областями математики............. ГЛАВА 9. Кусочно-монотонные отображения............ § 1. Определения............................ § 2. Построение новых систем.................... § 3. Функционал........................... § 4. Трансфер-оператор L....................... § 5. Дзета-функции........................... § 6. Термодинамический формализм................. § 7. Приложение: общее определение давления.............. Приложение A.1. Разнообразные определения и результаты A.1.1. Порядок............................. A.1.2. Массивные множества..................... A.1.3. Полунепрерывность сверху................... A.1.4. Субаддитивность........................ Приложение A.2. Топологическая динамика............ Приложение A.3. Выпуклость.................... A.3.1. Общие определения....................... A.3.2. Теорема Хана – Банаха..................... A.3.3. Теоремы отделимости...................... A.3.4. Выпуклые компакты....................... A.3.5. Крайние точки.......................... A.3.6. Касательные функционалы к выпуклым функциям..... A.3.7. Единственность касательного функционала......... Приложение A.4. Меры и абстрактные динамические системы.. A.4.1. Меры на компактных множествах............... A.4.2. Абстрактная теория меры.................... A.4.3. Абстрактные динамические системы............. A.4.4. Сдвиги Бернулли........................ Оглавление A.4.5. Разбиения............................ A.4.6. Теоремы об изоморфизме.................... Приложение A.5. Интегральные представления на выпуклых ком пактных множествах........................ A.5.1. Результант меры......................... A.5.2. Максимальные меры...................... A.5.3. Проблема единственности................... A.5.4. Максимальные меры и крайние точки............. A.5.5. Симплексы мер......................... A.5.6. Z -инвариантные меры..................... Приложение B. Нерешенные задачи................. B.1. Системы условных вероятностей (глава 2).......... B.2. Теория фазовых переходов (глава 3).............. B.3. Точка зрения абстрактной теории меры (глава 4)...... B.4. Одна теорема Добрушина (глава 5).............. B.5. Определение давления (глава 6)................ B.6. Гипотеза Шуба об энтропии (глава 6)............. B.7. Условие (SS3) (глава 7)..................... B.8. Гиббсовские состояния на пространствах Смейла (глава 7). B.9. Когомологическая интерпретация (глава 7).......... B.10. Потоки Смейла (глава 7 и приложение C).......... Приложение C. Потоки........................ C.1. Термодинамический формализм на метризуемом компакт ном множестве.......................... C.2. Специальные потоки...................... C.3. Специальный поток над пространством Смейла....... C.4. Проблемы............................ Литература............................... We haven’t seen everything yet, but when we do it won’t be for the rst time or the last, either.

You know us.

J. Vinograd 1 По сообщению автора, цитата взята из стихотворения "Bikers", опубликованного в поэти ческом сборнике Julia Vinograd. "Street Spices". Thorp Spring Press, Berkeley Cal., 1973. — Прим.

ред.

Предисловие редактора перевода В этом издании объединены переводы на русский язык двух моногра фий Рюэля. Одна из них — «Thermodynamic formalism» — опубликована в 1978 г., другая — «Dynamical zeta functions for piecewise monotone maps of the interval» — в 1994 г. Время выхода в свет оригиналов — не единственное, что разделяет эти книги. В первой излагается современный математический аппарат статистической физики, вторая, без сомнения, относится к теории динамических систем. По-видимому, необходимо объяснить читателю, по чему мы, тем не менее, считаем совместную публикацию названных книг целесообразной и почему первая из них, несмотря на ее солидный возраст, не кажется нам устаревшей. Для этого необходимо остановиться на том, чт принято сейчас понимать под термодинамическим формализмом.

о По аналогии с формализмом дифференциального и интегрального ис числения можно было бы думать, что термодинамический формализм — это совокупность соотношений между термодинамическими величинами, та ких, например, как уравнение состояния или вариационный принцип. Одна ко содержание книги Рюэля, который, вероятно, первым начал употреблять этот термин, показывает, что речь идет о математических методах стати стической физики, основанных на введенном в конце 60-х годов Р. Л. Доб рушиным и, независимо, О. Лэнфордом и Д. Рюэлем понятии гиббсовского состояния (синонимы: ДЛР-состояние, гиббсовская мера, гиббсовское слу чайное поле). Но и это еще не все: сегодня термодинамический формализм скорее воспринимается даже не как часть статистической физики, а как идеологически близкий к ней раздел теории динамических систем. Такое изменение произошло, в частности, под влиянием статьи Я. Г. Синая [4], опубликованной еще до книги Рюэля, да и содержание некоторых глав этой книги (особенно глав 6 и 7), как сможет убедиться читатель, во многом способствует такому восприятию.

С этой точки зрения, присоединение к монографии, излагающей термо динамический формализм, небольшой книги того же автора, посвященной анализу динамических дзета-функций для весьма популярного класса ди намических систем — одномерных отображений — уже не должно казаться чем-то странным — ведь понятие дзета-функции встречается уже в самой Предисловие редактора перевода этой монографии, что как раз и служит одним из признаков упомянутого «динамического» взгляда на термодинамический формализм.

«Термодинамический формализм» Рюэля не был первой монографией по статистической физике, основанной на понятии гиббсовского состояния:

несколькими годами раньше вышли книги Престона [1] и [2], в которых это понятие играло не менее важную роль. За прошедшие с тех пор два с лишним десятилетия появились и другие изложения этого круга идей (см., например, Синай [5], Келлер [1], Малышев и Минлос [1], Саймон [2], Израэль [3]). Особо отметим монографию Георги [3], вобравшую в себя значительную часть того, что было сделано к середине 80-х годов. Но и на этом фоне книга Рюэля не представляется лишь литературным памятником.

От всех перечисленных книг она отличается двумя особенностями. Одна из них — это уже упоминавшийся динамический подход, другая состоит в том, что рассматриваемые модели статистической физики на счетном мно жестве, в частности, на решетке, описываются вероятностными мерами, сосредоточенными, вообще говоря, не на всем пространстве конфигураций, а лишь на множестве «допустимых» конфигураций. Это обстоятельство, ко торое автор считает главным признаком общности модели (см. введение), равносильно тому, что потенциал взаимодействия, определяющий модель, принимает как действительные значения, так и значение +, или, на дру гом языке, что у частиц может быть твердая сердцевина. Стоит заметить, что именно модели с твердой сердцевиной, как правило, возникают при изучении динамических систем методами символической динамики, хотя теория таких моделей гораздо менее продвинута, чем теория моделей без твердой сердцевины. Таким образом, две упомянутые особенности подхода Рюэля связаны между собой.

Теперь сделаем несколько замечаний технического характера. При пе реводе мы старались в максимальной степени сохранить довольно свое образный стиль автора, в частности, нигде не употребляющего слово «до казательство». Другая особенность этого стиля — его лаконичность (здесь можно только согласиться с мнением Дж. Галловотти, редактора серии, в ко торой вышел «Термодинамический формализм»), и чтобы помочь читателю хотя бы на первых порах, мы сочли полезным кое-где поместить краткие подстрочные пояснения (в первых главах книги их больше, чем в последу ющих). Лишь в одном случае потребовался более длинный комментарий, который был включен непосредственно в текст и оговорен в примечании.

Книга о динамических дзета-функциях представлена в данном издании в виде последних двух глав — восьмой и девятой. В этих главах нумерация 16 Предисловие редактора перевода параграфов, теорем, лемм и т. д. отличается от оригинальной, так как при переводе она была включена в общую систему. Списки литературы, имев шиеся в обеих переводимых книгах, были объединены и полученный общий список несколько расширен (добавленная литература отмечена звездочкой).

Последнее относится и к алфавитному указателю.

Автор проявил интерес к русскому изданию его книг и прислал спи сок опечаток, обнаруженных в оригинальном издании «Термодинамическо го формализма» (некоторые другие опечатки в обеих книгах были устране ны при переводе), а также несколько дополнительных замечаний и ссылок на новые работы. Мы признательны профессору Рюэлю за эту информацию, которая была полностью включена в текст перевода.

В заключение необходимо сказать, что имя Давида Рюэля, одного из создателей современной математической физики, хорошо известно всем, кто имеет хотя бы некоторое отношение к этому предмету, а отечественный читатель знаком с русским переводом его «Статистической механики», вы шедшим около тридцати лет назад. Можно надеяться, что публикация на русском языке еще одной книги Рюэля окажется полезной как для студен тов, так и для специалистов.

Б. Гуревич Предисловие автора Эта монография основана на лекциях, прочитанных на математиче ских факультетах в Беркли (1973 г.) и Орсэ (1974–75 гг.). Моей целью было описать математические структуры, лежащие в основе термодинамического формализма равновесной статистической механики, для простейшего слу чая классических решетчатых спиновых систем.

Термодинамический формализм берет свое начало в физике, но он уже проник в топологическую и дифференциальную динамику, а среди его при ложений — изучение инвариантных мер диффеоморфизмов Аносова (Си най [3]) и вопрос о мероморфности дзета-функции Сельберга (Рюэль [7]).

Данный текст представляет собой введение как в эту проблематику, так и в более традиционные задачи статистической механики, такие как фазовые переходы. Я достаточно подробно развиваю общую теорию, обладающую значительным единством, но оставляю в стороне специальную технику, ко торая важна при обсуждении примеров фазовых переходов, но должна быть объектом отдельного изучения.

Статистическая механика переносится на системы гораздо более об щего вида, чем рассматриваемые здесь классические решетчатые спиновые системы (например на квантовые системы). Поэтому можно предвидеть, что теория, обсуждаемая в этой монографии, будет развита для существенно бо лее общих, с математической точки зрения (в частности, некоммутативных), ситуаций. Я надеюсь, что этот текст послужит толчком к созданию более общих теорий и к прояснению концептуальной структуры существующего формализма.

Давид Рюэль ГЛАВА Введение 0.1. Общие сведения Формализм равновесной статистической механики — в дальнейшем мы будем называть его термодинамическим формализмом — развивается с тех пор, как Гиббс описал свойства некоторого класса физических систем. Эти системы состояли из большего числа элементов (приблизительно 10 27 ), по добных молекулам одного литра газа или воды. Хотя физическое обосно вание термодинамического формализма остается пока недостаточным, этот формализм оказался чрезвычайно полезным при объяснении различных фи зических явлений.

Совсем недавно стало понятно, что термодинамический формализм скрывает очень интересные математические структуры: он натолкнул на прекрасные теоремы и в некоторой степени и на их доказательства. По мимо статистической механики термодинамический формализм и его ма тематические методы теперь интенсивно используются в конструктивной квантовой теории поля1 и при изучении некоторых дифференцируемых ди намических систем (среди последних наиболее известны диффеоморфизмы и потоки Аносова). В обоих случаях это применение происходит на доволь но абстрактном математическом уровне и, на первый взгляд, совсем не очевидно. Понятно, что изучение окружающего мира — мощный источник вдохновения для математики. То, что это вдохновение может действовать таким образом, является более нетривиальным фактом, который читатель может интерпретировать в соответствии со своими взглядами.

Основной физической проблемой, которую равновесная статистиче ская механика пытается объяснить, является проблема фазовых переходов.

Почему, когда понижают температуру воды, ее свойства изменяются снача ла достаточно гладко, а затем, при достижении точки замерзания, ситуация внезапно меняется? Хотя имеются некоторые общие соображения об этом и получено много специальных результатов, концептуальное понимание пока 1 См., например, Вило и Вайтман [1].

0.1. Общие сведения достаточно противоречиво2. Математическое исследование термодинами ческого формализма на самом деле еще не закончено;

эта теория является достаточно молодой, до сих пор в ней больше уделяется внимания новым идеям, чем технически сложным задачам. Данная ситуация напоминает до классические произведения искусства, в которых вдохновение не сдержи валось необходимостью следовать стандартным техническим формам. Мы надеемся, что в какой-то степени новизна предмета присутствует и в пред лагаемой монографии.

Физические системы, к которым применяется термодинамический фор мализм, всегда представляются бесконечными (например R, где при = мы имеем обычный окружающий нас мир). Такая идеализация необходима, так как только бесконечные системы допускают четко выраженный фазовый переход. Большая часть термодинамического формализма связана с изуче нием состояний бесконечных систем.

Для классических систем состояния являются вероятностными мерами на подходящем пространстве бесконечных конфигураций;

такие состояния еще могут быть рассмотрены как линейные функционалы на абелевых алге брах (например на алгебре непрерывных функций в случае радоновых мер).

Для квантовых систем состояниями являются линейные функционалы на неабелевых алгебрах. Благодаря своей простоте, классические системы ока зались изученными намного больше, чем квантовые. На самом деле, основ ное внимание сконцентрировалось на простейших системах, так называе мых классических решетчатых системах, где пространство R заменено на Z (-мерная кристаллическая решетка). Для таких систем простран ством конфигураций является подмножество множества x (где x, xZ например, — множество возможных значений спина или «числа заполнения»

на узле решетки x). Мы будем предполагать, что множество x конечно.

Благодаря групповой инвариантности (относительно Z или R ) изучение состояний бесконечных систем тесно связано с эргодической теорией. Од нако существуют разделы термодинамического формализма, относящиеся к совершенно другим вопросам (например к проблемам аналитичности).

Предлагаемая монография предназначена, в первую очередь, матема тикам. Ее цель — дать представление о термодинамическом формализме, соответствующих структурах и методах. Мы ограничимся только класси 2 На феноменологическом уровне значительно больше известно о фазовых переходах, основ ное внимание было уделено критическим точкам и «критическим явлениям»;

последние, од нако, на данный момент не поддаются строгому изучению.

20 Глава ческими решетчатыми системами несмотря на то, что термодинамический формализм обобщен на разные классы систем. Это связано, в первую оче редь, с тем, что теория, имеющаяся на данный момент для таких систем, не завершена, более специфична и сопряжена с техническими трудностями.

Формализм, который мы опишем, не будет напрямую применяться к задачам конструктивной квантовой теории поля, но с его помощью будут исследова ны диффеоморфизмы Аносова и связанные с ними динамические системы.

Математика, скрытая в термодинамическом формализме, состоит из общепринятых методов и специальной техники. Мы ограничимся в данной монографии рассмотрением этих методов и надеемся, что дополнение по специальной технике будет издано позже. Мы будем считать, что результат не является общим, если он подразумевает, что пространство конфигураций представимо в виде = x, где x — конечное множество «значений спина» в узле решетки x. Таким образом, группа общепринятых методов имеет замечательную единицу. В качестве специальной техники упомянем корреляционные неравенства, метод интегральных уравнений, циклическую теорему Ли – Янга и метод Пауэрлса. Эта техника выглядит в какой-то сте пени обособленной от общей точки зрения, принятой в данной монографии, но часто бывает крайне элегантной. С ее помощью в различных ситуациях удается получить ряд частных результатов, представляющих тем не менее огромный интерес для физиков.

0.2. Описание термодинамического формализма Содержание этого параграфа логически не связано с дальнейшими гла вами. Мы приведем здесь, с целью мотивировки и ориентации, некоторые идеи и результаты термодинамического формализма 3. Читатель может про смотреть бегло этот материал или вообще пропустить его.

I. Конечные системы Пусть — непустое конечное множество. Для вероятностной меры на определим энтропию S() = () log (), 3 Отчасти мы следуем работам Семинара Бурбаки, отчет 480.

0.2. Описание термодинамического формализма где t log t = 0, если t = 0. Для функции U : R определим действи тельное число Z, называемое статистической суммой, и вероятностную меру на, которая называется гиббсовским ансамблем () = Z 1 exp(U ()).

Z= exp(U ()), (0.1) Предложение (вариационный принцип). Максимум выражения S() (U ) по всем вероятностным мерам на совпадает с log Z и достигается на единственной мере =.

В физических приложениях интерпретируется как пространство кон фигураций конечной системы. Принято писать U = E, где E() является энергией конфигурации и = 1/kT, где T — абсолютная температура и k — множитель, известный как постоянная Больцмана. Проблема, почему гиббсовский ансамбль описывает тепловое равновесие (по крайней мере, для «больших систем»), когда мы заменяем величину U на E, достаточно не проста и до сих пор полностью не выяснена. Заметим, что энергия E мо жет зависеть от физических параметров, называемых «магнитным полем», «химическим потенциалом» и т. д. Заметим также, что при традиционном определении энергии ставят знак минус в exp(E), который на практике является небольшим нюансом. В дальнейшем мы будем пропускать множи тель в определении U и будем называть эту величину энергией. Из всего вышесказанного мы должны уяснить, что гиббсовский ансамбль является интересным объектом для исследования при переходе к пределу «больших систем».

Термодинамический формализм изучает меры, похожие на гиббсовский ансамбль в известном предельном переходе, при котором пространство становится бесконечным, но при этом появляются некоторые дополнитель ные структуры. По аналогии с вариационным принципом указанного выше предложения можно определить равновесные состояния (см. II ниже), а по аналогии с определением (0.1) можно ввести гиббсовские состояния (см. III ниже).

4 Мы будем писать (U ) = ()U () или, в общем случае, (U ) =   U ()(d).

22 Глава II. Термодинамический формализм на метрическом компактном множестве Пусть — непустое метрическое компактное пространство и x x — гомеоморфизм аддитивной группы Z ( 1) в группу гомеоморфизмов пространства. Будем говорить, что гомеоморфизм является разделяю щим, если для некоторой метрики d, совместимой с топологией, суще ствует такое 0, что (d( x, x ) при всех x) = ( = ).

Определение давления. Если A = (Ai ), B = (Bj ) — покрытия пространства, то по определению покрытие A B состоит из мно жеств Ai Bj. Очевидно, это определение распространяется на любое ко нечное семейство покрытий. Положим x A = ( x Ai ), x A, если Z, A = x diam A = sup diam Ai, i где diam Ai является диаметром множества diam Ai относительно метри ки d на пространстве.

Определение давления, которое будет сейчас дано нами, человеку, незнакомому с предметом, покажется непростым и неестественным. Однако это не должно пугать читателя: в дальнейшем оно даст нам возможность коротко сформулировать утверждения основных теорем статистической ме ханики. Кроме того, это определение встретится только в главе 6, где мы введем его после дополнительных приготовлений.

Обозначим через = () пространство непрерывных действитель     ных функций на. Пусть A, A — конечное открытое покрытие про   странства и — конечное подмножество Z. Положим A( x ) : (Bj ) подпокрытие A.

Z (A, A) = min exp sup Bj x j Если a1,..., a — положительные целые числа, то положим a = = (a1,..., a ) и (a) = {(x1,..., x ) Z : 0 xi ai при i = 1,..., }.

0.2. Описание термодинамического формализма Функция a log Z(a) (A, A) является субаддитивной. Поэтому существу ет предел 1 log Z 1 log Z P (A, A) = lim (a) (A, A) = inf (a) (A, A), |(a)| a |(a)| a1,..., a ai. Положим где |(a)| = card (a) = i P (A) = lim P (A, A).

diam A Функция P : R {+} называется топологическим давлением. Вели   чина P (A) конечна при всех A тогда и только тогда, когда P (0) +.

  В этом случае функция P является непрерывной (относительно тополо гии равномерной сходимости в ) и выпуклой. Величина P (0) называется   топологической энтропией. Она является мерой скорости перемешивания действия.

Энтропия инвариантной меры. Для вероятностной меры на и конечного борелевского разбиения A = (Ai ) пространства положим H(, A) = (Ai ) log (Ai ).

i Множество действительных мер на образуют пространство, сопря   женное к. Топология сходимости на элементах пространства в на       зывается -слабой топологией. Пусть I — множество вероятностных   мер, инвариантных относительно, т. е. таких мер, что (A) = (A x ) при всех A. Тогда множество I является выпуклым и компактным   относительно -слабой топологии. Для конечного борелевского разбиения пространства и меры I положим 1 H(, A(a) ) = inf 1 H(, A(a) );

h(, A) = lim |(a)| a |(a)| a1,..., a h() = lim h(, A).

diam A Функция h : I R+ {+} является аффинной и называется метриче ской энтропией. Если разделяет траектории, то h конечна и полунепре рывна сверху на множестве I (относительно -слабой топологии).

24 Глава Теорема 1 (вариационный принцип).

P (A) = sup h() + (A) I при всех A  .

Теорема 1 соответствует вариационному принципу для конечных си стем, если A интерпретировать как вклад в энергию от одного узла ре шетки.

Предположим, что функция P конечна. Определим множество I A рав новесных состояний для A, положив   IA = { I : h() + (A) = P (A)}.

Заметим, что множество IA может быть пустым.

Теорема 2. Предположим, что функция h конечна и полунепрерывна сверху на множестве I (относительно -слабой топологии). Тогда (a) IA = { : P (A + B) P (A) + (B) при всех B }. Это     множество непусто;

оно выпукло, компактно и является симплексом Шоке и фасадом множества I.

(b) Множество D = {A : card IA = 1} является массивным в     пространстве.

(c) Для любого I справедливо равенство h() = inf (P (A) (A)).

A То, что множество IA является метрическим симплексом, означает, что каждый элемент I имеет единственное интегральное представление как барицентр меры с носителем в множестве крайних точек I A. Известно, что множество I также является симплексом. Свойство множества I A быть фа садом множества I означает, что крайние точки I A содержатся в множестве крайних точек I (т. е. являются эргодическими мерами на ).

III. Статистическая механика на решетке Теоремы, приведенные выше, обобщают результаты, известные для конкретных систем статистической механики (классических решетчатых си стем). Например, если F является непустым конечным множеством (с дис кретной топологией), то мы можем в качестве взять пространство F Z 0.2. Описание термодинамического формализма с топологией прямого произведения и определить преобразование x оче видным образом. Более общо, мы можем взять в качестве замкнутое -инвариантное непустое подмножество F Z. В этом случае допускает физическую интерпретацию как пространство бесконечных конфигураций системы спинов на кристаллической решетке Z. С точностью до знака и множителя величину P можно рассматривать как «свободную энергию»

или «давление» в зависимости от физической интерпретации F как мно жества «значений спина» или «чисел заполнения» в узлах решетки. Для простоты мы будем употреблять термин «давление».

Если x = (xi ) Z, то положим |x| = max |xi |. Пусть 0 1.

Для,, где = (x )xZ, = (x )xZ, определим расстояние d при помощи следующего равенства d(, ) = k, где k = inf{|x| : x = x }.

Очевидно, расстояние d совместимо с топологией пространства. Нетруд но проверить, что преобразование разделяет траектории относительно метрики d и, следовательно, справедливо утверждение теоремы 2.

В дальнейшем мы будем предполагать, что существуют конечные мно жества Z и G F, при которых = { F Z : x | G для всех x}.

Обозначим через pr, pr, где Z, проекции пространства F Z на F и F Z \ соответственно.

1. Обозначим через банахово пространство дей Пусть   ствительных гельдеровских непрерывных функций на с показателем (относительно метрики d). Пусть = (x ), = (x ). Если x = x при всех x, за исключением, быть может, конечного числа, и A, то   произведение exp(A( x ) A( x )) gA (, ) = xZ конечно и положительно, так как |A( x ) A( x )| стремится к нулю экс поненциально быстро при |x|. Для любого конечного положим если, gA (, ), f () = : pr =pr в противном случае.

Очевидно, f является непрерывной функцией на пространстве.

26 Глава Для любого конечного множества Z обозначим через меру на pr, которая приписывает каждой точке этого множества массу, равную единице.

Определение. Пусть A. Вероятностную меру на простран   стве будем называть гиббсовским состоянием, если = f · ( pr ).

Это определение допускает иную формулировку: вероятностная мера является гиббсовским состоянием, если для любого конечного множества условная вероятность того, что | реализуется в при условии того, что |(Z \ ) реализовалось в Z \, равна f ().

Теорема 3. Пусть A. Тогда   (a) Каждое равновесное состояние является -инвариантным гиббсов ским состоянием.

(b) Если = F Z, то любое -инвариантное гиббсовское состояние является равновесным состоянием.

В силу (a) равновесные состояния являются вероятностными мерами, условные вероятности которых точно такие же, как и у гиббсовских со стояний. Часть (b) справедлива относительно более общих условий, чем = F Z. Предположение о том, что A, может быть значительно   ослаблено. Для простоты в этом параграфе мы проведем не совсем обыч ное описание статистической механики с использованием гельдеровских функций на пространстве вместо «взаимодействий», которые более удоб ны при детальном изучении предмета.

Теорема 4. Множество гиббсовских состояний для функции A   является симплексом Шоке.

Таким образом, гиббсовское состояние имеет единственное интеграль ное разложение на крайние («чистые») гиббсовские состояния.

Физическая интерпретация. Крайние равновесные состояния явля ются -эргодическими мерами. Они интерпретируются как чистые термо динамические фазы. Так как равновесные состояния соответствуют каса тельным к графику функции P (см. теорему 2(a)), то отсутствие непрерыв ности у производной функции P соответствует фазовому переходу. После этого замечания понятно почему в дальнейшем мы будем интересовать ся кусочной аналитичностью (в подходящем смысле) на пространстве.

  0.3. Краткий обзор содержания Крайнее равновесное состояние может иметь нетривиальное разложение на крайние гиббсовские состояния, которые не обязаны быть инвариант ными относительно (см. теорему 3(b)). В этом случае говорят, что имеет место разрушение симметрии (под разрушенной симметрией мы понимаем инвариантность относительно преобразования ).

Главная цель равновесной статистической механики состоит в пони мании физической природы фаз и фазовых переходов. Поэтому основным предметом термодинамического формализма является изучение дифферен циальных и аналитических свойств функции P, а также структуры равно весных и гиббсовских состояний. Как уже упоминалось, подробные резуль таты получены только в специальных случаях. В предлагаемой монографии мы ограничимся рассмотрением общей теории, которая известна на данный момент.

Достаточно полные результаты получены для одномерных систем, т. е.

в случае, когда = 1. Основной их смысл состоит в том, что в одномерных системах невозможны фазовые переходы. Для того чтобы сформулировать точное утверждение, введем пространство = { = (x )xZ F Z : tx x+1 = 1 при всех x}, где t = (tuv ) — матрица c элементами, равными 0 или 1. Предположим, что существует N 0, при котором все элементы матрицы t N положительны.

Теорема 5. Если выполнены все упомянутые выше условия, то функ ция P : R является вещественно-аналитической. Кроме того, для   любого A существует только одно гиббсовское состояние, которое   также является единственным равновесным состоянием.

Заметим, что эта теорема перестает быть верной при 1.

0.3. Краткий обзор содержания Главы с 1 по 5 этой монографии посвящены общей теории равновесной статистической механики классических решетчатых систем. В них почти все результаты снабжены полными доказательствами. В главах 6 и 7 термо динамический формализм обобщается для систем, лежащих вне пределов традиционной области применения статистической механики. Доказатель ства здесь в большинстве своем или опущены, или только кратко намечены 5.

Сейчас мы более подробно расскажем о содержании указанных глав.

5 При этом, конечно, везде, где нужно, указаны ссылки на соответствующую литературу.

28 Глава В главах 1 и 2 дана теория гиббсовских состояний без предположения об их трансляционной инвариантности (в этом случае вместо решетки Z рассматривается бесконечное счетное множество L). В главе 3 предполага ется инвариантность относительно сдвига и развивается теория топологи ческого давления и равновесных состояний для классических решетчатых систем. Кроме того, получены общие результаты по фазовым переходам.

Глава 4 является центральной, в ней устанавливается связь между гибб совскими и равновесными состояниями. Глава 5 посвящена одномерным системам и, таким образом, предваряет главу 7. В главе 6 теория равно весных состояний распространяется на случай, когда конфигурационное пространство заменяется произвольным метрическим компактным про странством, на котором группа Z действует гомеоморфизмами. Глава обобщает теорию гиббсовских состояний (и все соответствующие понятия) на конкретный класс компактных метрических пространств, называемых пространствами Смейла, на которых группа Z действует гомеоморфизма ми. Пространства Смейла включают в себя базисные множества с аксио мой А и, в частности, многообразия с диффеоморфизмами Аносова.

Некоторый дополнительный материал помещен в форме упражнений в конце каждой главы.

Библиографические ссылки даны или в самом тексте или в замечаниях в конце главы. Для ориентации может быть полезным читать сначала эти замечания, а потом — соответствующую главу. Для понимания предмета особенно рекомендуем работы Рюэля [1], Добрушина [2], [3], Ланфорда и Рюэля [1], Израэля [1] и Синая [4].

Пояснительные сведения собраны в приложениях A.1 – A.5. Эти при ложения напоминают некоторые хорошо известные факты в общеприня той терминологии. Вообще говоря, предполагается, что читатель знаком с основными понятиями функционального анализа, но от него не требуется знаний физики.

Некоторое количество нерешенных задач собрано в приложении B.

Приложение C содержит краткое введение в теорию потоков.

Теперь сделаем несколько замечаний относительно определений и тер минологии. Мы часто будем обозначать через |X| число элементов в конеч ном множестве X. В главах 5–7 мы будем использовать символы Z, Z, Z, Z для обозначения множеств целых чисел, которые соответственно 0, 0 и 0. Мера (она может быть по-другому обозначе 0, на в тексте) всегда будет предполагаться радоновой мерой на компактном множестве. Если f : — непрерывное отображение, то образ 0.3. Краткий обзор содержания относительно f (см. приложение A.4) будем обозначать через f (а не, как обычно, через f ).

Для более широкого изучения равновесной статистической механики мы отсылаем читателя к книге Рюэля [3] и превосходной монографии Бо уэна [6] по приложениям к дифференцируемым динамическим системам 6.

Упомянем также монографию Израэля [2] и заметки Ланфорда [2], Джо джии [1] и Престона [1, 2]. Материал монографий по статистической меха нике, планируемых к издательству различными авторами, не включен в эту книгу. Заметим, что на данный момент большое количество результатов не имеет законченной формы и, таким образом, не может быть опубликовано.

Перед ознакомлением с главой 1 рекомендуем читателю просмотреть быстро приложения A.1 – A.5.

6 Современное введение в эргодическую теорию и топологическую динамику см. в книгах Уолтерса [2], Денкера, Грилленбергера и Зигмунда [1].

ГЛАВА Теория гиббсовских состояний Эта глава посвящена общей теории гиббсовских состояний. Инвари антность относительно трансляций не предполагается.

1.1. Пространство конфигураций Предположим, что даны следующие объекты:

L: бесконечное счетное множество;

x : конечное множество при любом x L;

: множество конечных подмножеств L, которое является локально   конечным, т. е. любой элемент x L содержится только в конечном числе множеств ;

  ( ) : семейство пространств x.

x Теперь мы можем определить пространство конфигураций:

= x : ( ) |. (1.1)   xL Мы всегда будем предполагать, что =. Множество может быть   пустым. В этом случае = x.

xL Множество L удобно представлять как кристаллическую решетку, в каждом узле x L которой система может находиться в конечном числе различных состояний x x. Например, в модели сплава множество x является множеством классов атомов, которые могут находиться в x. Для систем спинов x является множеством возможных спиновых ориентаций атома в точке x. В качестве моделей часто рассматривают решетчатый газ с x = {0, 1} (значения 1 и 0 принимаются в зависимости от того, нахо дится в узле x атом или нет) и спиновую систему с x = {1, 1} (знак перед 1 выбирается в зависимости от ориентации спина). Конфигурацией нашей системы является элемент = (x )xL множества x. Мы будем xL 1.2. Взаимодействия накладывать определенные условия на элементы ( x )x множества.


Например, для решетчатого газа таким условием является запрет присва ивать одинаковые символы двум соседним узлам решетки (в этом случае говорят, что частицы на решетке имеют твердую сердцевину).

Для любого множества S L положим S = x : ( : S) |. (1.2)   xS Так как =, то множество S не является пустым. Введем на x дис кретную топологию, а на множестве x — топологию прямого произ xS ведения, в которой по теореме Тихонова оно является компактом. Тогда пространства S и, в частности, тоже компактны. Подмножества S ин дуцируют непрерывные отображения S : S, где S = |S или S (x )xL = (x )xS. В принципе, мы можем определить отображение T S : S T при любом S T. Пусть = () — алгебра действи тельных непрерывных функций на. Нетрудно проверить, что алгебра является банаховым пространством относительно равномерной нормы и ве роятностные меры на образуют компактное выпуклое подмножество E слабо сопряженного пространства ( — пространство действительных мер на, его топология совпадает со слабой топологией сопряженного к пространства). Множество E с индуцированной на нем топологией метри зуемо. Для конечного L обозначим через алгебру функций вида A, где A ( ). По теореме Стоуна – Вейерштрасса объединение множеств всюду плотно в.

Мы можем рассматривать элементы алгебры как наблюдаемые вели чины нашей классической решетчатой системы. Элементы тогда явля ются физическими величинами, которые могут быть измерены в конечной области. Вероятностная мера µ E называется состоянием. Мы мо жем интерпретировать ее как функционал, сопоставляющий наблюдаемой ее среднее значение на, т. е. как положительный линейный функционал на, для которого µ(1) = 1.

1.2. Взаимодействия Взаимодействием называется такая действительная функция на мно жестве, ||, L 32 Глава что | = 0 и при любом x L 1 sup |()|, ||x = (1.3) |X| xX X x где |X| = card X. Для данного определим энергетическую функцию U : R для каждого конечного L, положив U () = (|X). (1.4) X Мы будем писать U вместо U везде, где это не приводит к двусмыслен ности.

Перепишем U () в виде суммы 1 (|X).

U () = (1.5) |X| x X : xX Отсюда следует, что |U | ||x. (1.6) x В оставшейся части этой главы мы будем предполагать, что вместо усло вия (1.3) выполнено более сильное требование ||||x = sup |()| +. (1.7) X x x Если, M — непересекающиеся подмножества L, причем конечно и M, то мы можем определить величину   WM () = (|X), (1.8) X где означает суммирование по конечным множествам X M, для которых X = и X M =. Таким образом, |WM | ||||x. (1.9) x Если множества, M конечны, то справедливо следующее разложение:

U = U + UM + WM. (1.10)   M 1.3. Гиббсовские ансамбли и термодинамический предел 1.3. Гиббсовские ансамбли и термодинамический предел Гиббсовским ансамблем для конечной области L и взаимодей ствия называется вероятностная мера µ() на, определенная соотно шением 1 µ() {} = Z exp(U ()), (1.11) где Z = exp(U ()).

Термодинамический предел получается, когда стремится к бесконечности (в этом случае мы будем писать L). В нашей ситуации это означает, что для любого конечного множества L начиная с некоторо го, т. е. предел берется по возрастающей цепи конечных подмножеств L, упорядоченных по включению.

Теперь мы докажем существование термодинамического предела для гиббсовских ансамблей при помощи теоремы компактности.

1.4. Предложение Пусть (Mn ) — последовательность конечных подмножеств L таких, что Mn L и µ(Mn ) является вероятностной мерой на Mn при лю бом n. Тогда можно выбрать такую подпоследовательность (M n ), что при любом L существует следующий предел:

lim Mn µ(Mn ) =.

n Кроме того, найдется единственная вероятностная мера на, для ко торой = при всех.

Заметим, что Mn µ(Mn ) определено только при Mn, т. е. толь ко при достаточно больших n. Так как конечные подмножества множе ства L образуют счетное семейство и множества конечны, то суще ствование подпоследовательности (Mn ), для которой справедливо (1.12), вытекает из диагонального процесса Кантора. В качестве следствия (1.12) имеем M M = для любого M. Таким образом, мы можем опре делить (A ) = (A) при A ( ) и продолжить по непрерывности   34 Глава.1 Единственность следует из плотности множества на в. Мы бу       дем говорить, что является термодинамическим пределом вероятностных мер µ().

При доказательстве мы не использовали того факта, что вероятностные меры µ() — гиббсовские ансамбли. Как мы увидим в параграфе 1.6, в этом случае термодинамический предел обладает специальными свойствами.

1.5. Гиббсовские состояния Мы будем называть меру E гиббсовским состоянием (для взаи модействия ), если для любого конечного множества L существует такая вероятностная мера L\ на L\, что при всех справедливо равенство:

( ){ } = L\ (d)µ() { }, (1.14) L\ где eU ( )W, L\ ( ) µ() { } =. (1.15) eU ( )W, L\ ( ) В этой формуле — элемент пространства, для которого | =, |(L \ ) = и опущены выражения с неопределенными и. Последнее означает, что если элемент не определен, то мы полагаем exp(W, L\ ( )) = 0. Кроме того, мы будем считать дробь (1.15) равной нулю, если ее числитель обращается в ноль. Заметим, что в силу предположения о локальной конечности множества множе- ства { L\ : } и { L\ : не определен} открыты.

С другой стороны, W, L\ на множестве { L\ : } являет ся равномерно сходящейся суммой непрерывных функций (см. (1.7), (1.8)).

поэтому функции exp(W, L\ ( )), µ() { } непрерывны на L\.

1.6. Термодинамический предел гиббсовских ансамблей В этом параграфе мы докажем, что если — термодинамический предел гиббсовских ансамблей µ() для взаимодействия, то является гиббсов ским состоянием для взаимодействия.

1 Для данного можно выбрать такое конечное множество M, что M M =. Тогда |(A )| = | (A)| = |M (A M )| ||A M || = ||A ||.

1.7. Граничные члены Используя определение (1.11), для M имеем (M µ(M ) ){ } = µ(M ) { } = M \ {ZM eUM \ () } exp(U ( ) W, M \ ( )) = = M \ ((M \, M µ(M ) ){})µ(, M ) { }, (1.16) = M \ где eU ( )W, M \ ( ) µ(, M ) { } =. (1.17) eU ( )W, M \ ( ) Напомним, что мы придерживаемся соглашений параграфа 1.5 относитель но значения. В частности, мы положим выражение (1.17) равным нулю, если числитель обращается в ноль. Теперь исследуем, что получится, когда мы заменим M в (1.16) последовательностью (M n ) из предложе ния 1.4 и перейдем к пределу по n.

(a) Заметим, что функция на L\, определенная как µ(, Mn )(|Mn \) { }, сходится равномерно к µ() { } в силу сходимости сумм, определя ющих W, L\ ( ).

(b) Используя утверждение предложения 1.4 для последовательности Mn \, Mn µ(Mn ), мы видим, что она имеет термодинамический предел L\, который является вероятностной мерой на L\.

Из (a), (b) и (1.16) получаем, что lim (Mn µ(Mn ) ){ } = L\ (d)µ() { }.

n L\ В силу утверждения предложения 1.4 это означает, что является гиббсов ским состоянием.

1.7. Граничные члены Пусть вероятностная мера µ() на определена для каждого конеч ного L или для последовательности (n ) такой, что n, или для 36 Глава подходящей цепи множеств. Предположим, что мера µ () имеет следующий вид:

µ() { } = Z 1 eU ( )B ( ), eU ( )B ( ).

Z = Если граничный член B ведет себя подходящим образом в термодинами ческом пределе, то результаты параграфа 1.6 могут быть продолжены на меры (µ ).

Вместо (1.16) мы получим здесь (M µ(M ) ){ } = µ(M ) { } = M \ (ZM 1 eUM \ ()B () = ) M \ exp(U ( ) W, M \ ( ) B (, )) (1.18) при условии BM ( ) = B () + B (, ). Аналогично пункту (a) пара графа 1.6 предположим, что функция на L\ определенная соответствием:

exp(U ( ) W, M \ ( (M \, L\ )) B (, M \, L\ )) (1.19) стремится равномерно к exp(U ( ) W, L\ ( ));

в этом слу чае аргументация параграфа 1.6 остается справедливой и для рассматривае мой ситуации и, следовательно, термодинамический предел (µ () ) является гиббсовским состоянием.

Рассмотрим теперь пример. Для каждого конечного L будем счи тать, что L\ является ограничением на L \ некоторого (). Ис пользуя (1.15) определим меру µ() = µ()L\. Пусть B ( ) = W, L\ ( L\ ).

Если M,, M \, то в силу (1.8) мы можем написать BM ( ) = WM, \M ( L\M ) = B () + B (, ), где B () = ( L\M |X) = WM \, L\M ( L\M ), X B (, ) = ( L\M |X).

X 1.8. Теорема Сумма берется по всем таким конечным множествам X L \, что X (M \ ) = и X (L \ M ) =, а сумма — по всем конеч ным множествам X L, для которых X = и X (L \ M ) =.

Теперь мы должны позаботиться о том факте, что элемент L\ не обязательно определен, т. е. может не существовать элемента с ограничениями,, L\M на, M \, L\M. При фиксированном и достаточно большом M это означает, что или, или L\M не опре делено (мы используем здесь тот факт, что множество локально конечно).

  Положим eW, M \ ( ) = 0, если не определено, eB () = 0, если L\M не определено, и ( L\M |X) = 0 в B, если не определено L\M. После сделанных замечаний легко проверить, что функция, определенная соответствием (1.19), равномерно сходится к своему пределу exp(U ( ) W, L\ ( )). Таким образом, термодинамический предел (µ()L\ ) является гиббсовским состоянием.

Сейчас мы получим важнейший результат из приведенных выше рас суждений. Очевидно, µ(M )L\M { } = (ZM 1 eUM \ ()B () ) (1.20) exp(U ( ) W, M \ ( ) B (, )), где B равномерно мало при больших M. Согласно определению (1.14) гиббсовское состояние обладает тем свойством, что M является усред нением по L\M мер µ(M )L\M. Таким образом, мы можем оценить услов ную вероятность относительно (d) того, что | =, когда |(M \ ) = =. В силу (1.20) она равна (M ){ } eU ( )W, M \ ( ), eU ( )W, M \ ( ) (M ){ } где ошибка равномерно мала при большом M. Отсюда следует, что для гиббсовского состояния условная вероятность того, что | = в случае, когда известно, что |(L \ ) =, равна µ() { }. Обратно, если условная вероятность имеет такой вид, то, очевидно, справедливо равенство (1.14).


1.8. Теорема Вероятностная мера на является гиббсовским состоянием если и только если для каждого конечного L условная вероятность того, 38 Глава что | =, когда известно, что |(L \ ) =, совпадает с µ() { }, определенным равенством (1.15).

Заметим, что таким образом мы можем взять L\ = L\ в (1.14).

Из теоремы следует, что слабый предел гиббсовских состояний является гиббсовским состоянием. Таким образом, множество гиббсовских состоя ний компактно;

очевидно, оно также выпукло.

1.9. Теорема Пусть — взаимодействие и вероятностные меры µ() и µ() (гибб совский ансамбль и гиббсовский ансамбль с граничными условиями) опре делены равенствами (1.11) и (1.14), где L\ является ограничением на множество L \ некоторого элемента, который может зависеть от. Предположим, что термодинамические пределы определены точно так же, как в утверждении предложения 1.4. Тогда (a) Любой термодинамический предел (µ() ) является гиббсовским со стоянием.

(b) Любой термодинамический предел (µ()L\ ) является гиббсовским состоянием.

(c) Замкнутая выпуклая оболочка гиббсовских состояний, полученных в (b), совпадает со множеством K всех гиббсовских состояний.

(d) K = ;

множество K выпукло, компактно и является симплек сом Шоке.

Утверждения (a) и (b) были доказаны в параграфах 1.6 и 1.7 соответ ственно.

В силу (a) множество K всех гиббсовских состояний не пусто и, как мы видели после доказательства теоремы 1.8 это множество выпукло и компактно. Следовательно, замыкание выпуклой оболочки множества K гиббсовских состояний, полученных в (b), содержится в K. Предположим, что K = K. Тогда существует функция A и мера K, для которых   (A) max (A). (1.21) K Очевидно, мы можем считать, что A = B, где B ( ) при неко   тором конечном. В силу (1.14) мы имеем µ(M ) (B M ) (A) при некотором L\M и при всех M. Если — термодинамический предел (µ(M ) ), то (A) (A) в противоречии с (1.21). Таким образом, мы доказали утверждение (c) и первые две части утверждения (d).

1.10. Алгебра на бесконечности Пусть для конечного множества L. Для любой меры (d) на обозначим через (L\) меру на L\, полученную при помощи «об рамления | = » (сначала ограничиваем на множество { : | = = }, затем берем образ ограничения L\ ). Если является гиббсовским состоянием, то по теореме 1.8 имеем (L\) (d) = µ() { }L\ (d). (1.22) Отсюда следует, что eU ( )W, L\ ( ) (L\) (d) = = eU ( )W, L\ ( ) (L\) (d) (1.23) для всех,. Обратно, если — вероятностная мера, для ко торой справедливо равенство (1.23) при всех,,, то имеет место равенство (1.22) и, следовательно, мера является гиббсовским состояни ем. Рассмотрим теперь замкнутое линейное подпространство простран   ства, состоящее из действительных мер, для которых справедливо ра венство (1.23) для всех,,. Очевидно, если, то ||. Отсюда     следует, что множество K является симплексом (см. приложение A.5.5).

1.10. Алгебра на бесконечности Пусть — вероятностная мера на. Обозначим через (A) класс функций, эквивалентных A, в L (, ). Положим замыкание = ( M), (1.24) конечное L M конечное L\ где замыкание берется относительно топологии пространства L (, ), как слабо сопряженного к L1 (, ). Мы будем называть алгеброй на бесконечности, ассоциированной с. Мы охарактеризуем меры, которые имеют тривиальную алгебру на бесконечности (т. е. состоит из почти всюду постоянных функций) при помощи следующего кластерного свой ства.

(С) Для любого A существует такое конечное множество L, что (B M, M = ) = |(AB) (A)(B)| ||B||.

40 Глава Предположим сначала, что условие (C) выполнено. Тогда для любого и B имеем A   |(AB ) (A)(B )| ||B ||.

Заменяя A на A и переходя к пределу по, получим (AB ) = (A)(B );

отсюда следует, что B является константой, и, таким образом, алгебра тривиальна.

Предположим теперь, что условие (C) не выполнено. Тогда существуют A и BL\ для каждого конечного L такие, что   BL\ M, ||BL\ || = 1,   M L\ |(ABL\ ) (A)(BL\ )| 1.

Пусть B — слабый предел сети ((BL\ )) в пространстве L (, ). Тогда B и |(AB ) (A)(B )| 1.

Таким образом, функция B не может быть постоянной и, следовательно, алгебра не является тривиальной.

Теперь мы можем охарактеризовать крайние точки множества K гибб совских состояний (неразложимые гиббсовские состояния).

1.11. Теорема (Характеристика неразложимых гиббсовских состояний) Пусть K ;

тогда следующие условия эквивалентны:

(A) — крайняя точка множества K.

(B) Алгебра на бесконечности, ассоциированная с, тривиальна.

(C) При любом A существует такое конечное множество L,   что (B M, M = ) = |(AB) (A)(B)| ||B||.

  Мы показали эквивалентность утверждений (B) и (C) в параграфе 1.10.

Докажем теперь, что (A) (B).

1.12. Операторы   То, что не является крайней точкой множества K, эквивалентно существованию функции B L (, ), B 0, отличной от константы, для которой B пропорциональна гиббсовскому состоянию. В силу (1.23) это эквивалентно равенству eU ( )W, L\ ( ) B ( )(L\) (d) = = eU ( )W, L\ ( ) B ( )(L\) (d) при любом конечном и,. Но это означает, что B ( ) = B ( ) (почти всюду относительно меры (L\ )(d)), когда элементы, определены. Последнее эквивалентно принадлежности B замы канию множества ( M ) при любом и, следовательно, тому, что M L\ B. Таким образом, неэкстремальность точки эквивалентна суще ствованию нетривиальной функции B. 1.12. Операторы Для данного конечного L определим линейное отображение, положив :

¤ ( A)( ) = µ() { }A( ) (1.25) ¤ для всех с, L\.

Очевидно, || A|| ||A|| и существует такая функция B на L\, ¤ что ( A)( ) = B(). Таким образом, если является гиббсовским ¤ состоянием, то равенство (1.22) позволяет получить следующий результат ( (A)) = (L\ )(B) = (L\ )(d) µ() { }A( ) = ¤ (1.26) = (L\) (d)A( ) = (A).

(Обратно, если состояние обладает тем свойством, что ( A) = (A) ¤ при любом и A, то является гиббсовским состоянием.) Предположим, что при каждом A в топологии пространства эле- мент (A) сходится к постоянной c при L (т. е. для данного ¤ 42 Глава существует конечное множество, для которого || (A) c|| при   ). Пусть, K. Тогда в силу предположения имеем (A) = lim ( (A)) = lim ( (A)) = (A)     L L и, следовательно, множество K состоит из единственной точки.

Предположим теперь, что (A) не стремится к постоянному пределу.

  Мы можем считать, что A = B при некотором. Тогда найдутся последовательности (Mn ), (Mn ) и n, n такие, что Mn L, Mn L и lim ( Mn (A))(n ) = lim ( Mn (A))(n ).

    n n Но это означает следующее:

lim µ(Mn )n (B Mn ) = lim µ(Mn )n (B Mn ), n n где n = n |(L \ Mn ), n = n |(L \ Mn ). Поэтому множество K состоит более чем из одной точки.

1.13. Теорема (критерий единственности гиббсовского состояния) Пусть K ;

тогда справедливы следующие импликации (A ) (B ) = (C ).

(A ) K = {}.

(B ) При любом A последовательность A сходится в про   странстве к постоянной при L.

(C ) При любом A существует такое конечное множество L, что (0 B M, M = ) = |(AB) (A)(B)| (B).

Кроме того, (C ) = (B ), если supp =.

Заметим, что условие (C ) является более сильным кластерным свой ством, чем условие (C) параграфа 1.10.

В параграфе 1.12 мы показали, что (A ) (B ). Пусть справедли во условие (B ). Тогда для данной функции A мы можем выбрать такое конечное множество, что | A (A)| 1.

  1.14. Замечание Отсюда следует, что если B M, =, то M   (AB) = ( (AB)) = (( A) · B);

и если B 0, то |(AB) (A)(B)| = |(( A (A))B)| (B).

Поэтому (B ) = (C ).

Докажем теперь включение (C ) = (B ), если supp =. Предполо жим, что условие (B ) не выполняется. Тогда существуют функция A и по следовательности (n ), (n ) такие, что n L и ( n A)(n ) c = (A).

Изменив, если надо, A, мы можем считать, что c (A) = 4. В силу непре рывности A мы можем найти множество Mn, для которого Mn n = = и |( n A)() ( n A)(n )| 1, если |Mn = n |Mn. Пусть Bn — характеристическая функция множества { : |M n = n |Mn }, тогда при достаточно большом n имеем (A) + 2, если Bn () = 0.

( n A)() Поэтому (ABn ) = ( n (ABn )) = (( n A) · Bn ) ((A) + 2)(Bn );

и, следовательно, |(ABn ) (A)(Bn )| 2(Bn ).

Но это противоречит условию (C ), потому что (Bn ) 0 в силу нашего предположения supp =.

1.14. Замечание Предположим, что пространство обладает следующим свойством.

(D ) Для любых, и конечного L существуют конечное множество M L и такие, что | = |, |(L \ M ) = |(L \ M ) (другими словами, при любом множество = { : конечное множество M, для которого |(L \ M ) = |(L \ M )} всюду плотно в.) В этом случае каждое гиббсовское состояние имеет полный носитель, т. е. supp = (это прямо следует из определения (1.14) гиббсовского состояния). Таким образом, если выполнено (D ), то условия (A ), (B ), (C ) теоремы 1.13 эквивалентны.

44 Глава Библиографические указания Понятие гиббсовского состояния было введено Добрушиным [1, 2, 3] (и затем переоткрыто Лэнфордом и Рюэлем [1]). Гиббсовские состояния бы ли определены Добрушиным как вероятностные меры, условные вероятно сти которых даны заранее (см. теорему 1.8). Точно также можно сказать, что они являются вероятностными мерами, удовлетворяющими определенному множеству уравнений (см. (1.14)), иногда называемых ДРЛ уравнениями.

В этой главе мы в основном следовали Добрушину, излагая его теорию в более современном виде. Сделаны некоторые дополнения: например, дока зано симплектическое свойство, введено понятие алгебры на бесконечности (Лэнфорд и Рюэль [1]), определены операторы (Ледраппье [1]).

  Упражнения 1. Если = xL x (в этом случае множество пусто) и | = = 0 при || 1, то существует единственное гиббсовское состояние: = = xL ({x}).

2. Показать, что множество термодинамических пределов (µ ()L\ ) — см. теорему 1.9(b) — является замкнутым и содержит все крайние точки множества K. (Второе утверждение, впервые доказанное Георгия [2], легко получается из теоремы Мильмана: см. приложение A.3.5.) 3. Два различных неразложимых гиббсовских состояния являются не пересекающимися (т. е. сингулярными) мерами на (см. приложение A.5.5).

4. Пусть, — два взаимодействия и K.

(a) Для каждого конечного L и определим µ {} = Z 1 exp(U ()) · ( ){}, () Z = ( )(exp(U )).

Доказать, что любой термодинамический предел (µ ) принадлежит мно () жеству K+.

(b) Используя (a), показать, что при L любой предел Z 1 exp(U (|)) · (d) принадлежит множеству K+.

(c) Найти аналогии (a) и (b) в случае, когда U заменен на U +W, L\.

(Предостережение: знаменатель Z должен быть отличен от нуля.) ГЛАВА Гиббсовские состояния: продолжение В этой главе мы изучаем, как преобразуются взаимодействия и гибб совские состояния относительно различных отображений.

2.1. Морфизмы решетчатых систем Тройку (L, (x )xL, ( ) ), введенную в главе 1, будем называть   решетчатой системой. Каждой такой решетчатой системе мы сопоставим конфигурационное пространство, определенное в параграфе 1.1. Обозна чим через конфигурационное пространство, соответствующее решетча той системе (L, (x )x L, ( ) ). Предположим теперь, что семей   ство (Fx )xL обладает следующими свойствами.

(M1) Fx является отображением M (x) x, где M (x) — конечное подмножество L.

(M2) Семейство (M (x))xL локально конечно (т. е. множество {x : x M (x)} конечно при любом x L ).

(M3) Если {M (x):xX}, то (Fx ( |M (x)))xX является элемен том FX пространства X как только X L.

Условие (M3) достаточно проверить только для X.

Определим непрерывное отображение F :, положив (F )x = Fx ( |M (x)).

Пусть множество состоит из тех, для которых x = x за исключением конечного числа x L. Определим аналогичным образом множество. Тогда F отображает множество в F. Мы бу дем говорить, что F является морфизмом из (L, (x )x L, ( ) ) в   (L, (x )xL, ( ) ), если оно удовлетворяет следующему условию:

  (M4) Ограничение F на множество является биекцией на F при каждом.

46 Глава Заметим, что различные семейства (Fx )xL могут определять одно и то же отображение F и, следовательно, один и тот же морфизм. Легко прове рить, что тождественное преобразование пространства является морфиз мом (тождественным морфизмом) и что композиция двух морфизмов дает снова морфизм (см. упражнение 1). Предположим, что F — морфизм из (L, (x )xL, ( ) ) в (L, (x )x L, ( ) ) и что F F и F F —     тождественные преобразования соответственно на и. В этом случае F будем называть изоморфизмом.

2.2. Пример Предположим, что дана решетчатая система (L,(x )x L,( ) ).   Пусть — (M (x))xL разбиение L на конечные подмножества. Положим x = M (x) и будем считать отображение Fx : M (x) x тождествен ным. Выбрав множество, для которого существует такое множе ство, что M (x) = при всех x, мы можем опреде лить множество = {( |M (x))x : {M (x):x} }. Очевидно, се мейство (Fx )xL определяет морфизм F из (L, (x )x L, ( ) ) в   (L, (x )xL, ( ) ), который, на самом деле, является изоморфизмом.

  2.3. Взаимодействие F Пусть — морфизм, определенный семейством (Fx )xL (см. пара граф 2.1). Взяв взаимодействие для (L, (x )xL, ( ) ), мы введем   взаимодействие F для (L, (x )x L, ( ) ), положив   (F )( ) = (FX ), если X.

X : {M (x):xX}=X В силу условия (M2) эта сумма конечна. Кроме того, используя (M3), полу чим ||F ||x = sup |(F )( )| x X X sup |(FX )| = sup |(FX )| X X X : {M (x):xX} x X x X : {M (x):xX}=X sup |()| ||||x.

x X: X {x : x M (x)}= x : x M (x) 2.4. Лемма Заметим, что F зависит от семейства (Fx )xL, которое определяет мор физм F.

2.4. Лемма Условные вероятности µF { } зависят только от морфиз ( ) L \ ма F и, следовательно, не зависят от семейства (Fx )xL, его определяю щего.

По определению exp(U ( ) W, L \ ( L \ )) µ( F { } =, ) exp(U ( ) W, L \ ( L \ )) L \ (2.1) где U, W вычислены для взаимодействия F. В этом случае exp(U ( ) W, L \ ( L \ )) = = exp (FX (( L \ )|X )) = X :X = X : {M (x):xX}=X   = exp (F ( L \ )|X) =   X : {M (x):xX} = = exp((F ( L \ )|X)). (2.2)   X : {M (x):xX} = Другой выбор семейства (Fx )xL дал бы то же самое выражение, за исклю чением изменений в множествах M (x). Однако выражение (2.1) останется тем же благодаря сокращениям в числителе и знаменателе.

2.5. Предложение Если — гиббсовское состояние на для взаимодействия F, то F — гиббсовское состояние на пространстве для взаимодействия.

Пусть, = F, и пусть, — конечные подмноже ства L, L соответственно. Положим = |, L\ = |(L \ ), L \ = |(L \ ).

48 Глава В силу (M4) для данного и достаточно большого существует такая биекция f множества A = { : L\ определено} на множество { : L \ определено и F ( L \ )|(L \ ) = L\ }, что F ((f ) L \ ) = L\. (2.3) Обозначим через P условную вероятность относительно меры (d ) того, что (F )| = при |(L \ ) = L \ и (F )|(L \ ) = L\. Так как — гиббсовское состояние, то мы имеем µF {f } ( ) L \ P= = µF {f } ( ) L \ A exp(U (f ) W, L \ ((f ) L \ )) =.

exp(U (f ) W, L \ ((f ) L \ )) A Используя (2.2) и (2.3), получим exp(( L\ |X))   X : {M (x):xX} = P=.

exp(( L\ |X)) A X : {M (x):xX}   = Множители с X = одинаковы в числителе и знаменателе. Поэтому exp ( L\ |X)   X: X = = µ L\ { }.

P= () exp ( L\ |X) X: X =   Это выражение не зависит от L \, и, следовательно, условная вероятность относительно меры (d ) того, что (F )| = при (F )|(L\) = L\, 2.6. Замечание равна µ L\ { }. Последнее утверждение эквивалентно тому, что услов () ная вероятность | = при условии |(L \ ) = L\ относительно меры (F )(d) совпадает с µ L\ { }. Таким образом, F — гиббсовское () состояние для взаимодействия.

2.6. Замечание Если F F — морфизм, полученный при помощи композиции двух морфизмов F и F, то нетрудно проверить, что (см. упражнение 1) (F F ) = F F, (2.4) когда F F определяется при помощи допустимого семейства ( Fx )xL.

В случае, когда I — тождественный изоморфизм системы (L, ( x )xL, ( ) ), из леммы 2.4 следует, что взаимодействия и I определяют   одни и те же условные вероятности:

µI L\ { } = µ L\ { } (2.5) () () и, следовательно, имеют одинаковые гиббсовские состояния.

Если F : — изоморфизм, то F является биекцией множества гиббсовских состояний для взаимодействия F на в множество гибб совских состояний для на пространстве. Это вытекает из предложе ния 2.5 и из (2.4), (2.5).

2.7. Системы условных вероятностей Для каждого конечного множества L положим = { : ( ) = |(L \ )}.

L\ Это множество замкнуто в L\ (см. параграф 1.5). Условные вероятности µ()L\ { } для всех допустимых взаимодействий (т. е. ||||x при всех x — см. параграф 1.2) удовлетворяют следующим условиям.

(a) Если L\ L\ и, то µ()L\ { } 0и µ()L\ { } = 1. Кроме того, µ()L\ { } 0 тогда и только тогда, когда L\.

50 Глава (b) Если, то действительная функция L\ µ()L\ { } на множестве является непрерывной.

L\ (c) Пусть M,, M \ M \, L\M L\M и M \ L\M. Тогда µ()M \ L\M { } µ(M )L\M { M \ } = µ(M )L\M { M \ }.

Утверждения (a) и (b) вытекают из параграфа 1.5, а утверждение (c) — из интерпретации чисел µ()L\ { } как условных вероятностей и может быть проверено прямым вычислением.

Семейство (µ()L\ ), удовлетворяющее (a), (b), (c), будем называть системой условных вероятностей. Основная часть теории, изложенная до сих пор на языке взаимодействий, при помощи простых модификаций мо жет быть объяснена на языке систем условных вероятностей.

Определение гиббсовского состояния (см. параграф 1.5) менять не будем. Покажем, что любой термодинамический предел µ ()L\ (с L\ ) является гиббсовским состоянием. Пусть M N L.

L\ Условная вероятность относительно меры M N µ(N )L\N того, что | = при условии |(M \ ) = M \, равна M N µ(N )L\N { M \ } P= = M N µ(N )L\N { M \ } µ(N )L\N { M \ N \M } N \M =.

µ(N )L\N { M \ N \M } N \M Если это выражение не имеет смысла, то мы можем определить его произ вольным образом. Используя условие (c), получим, что P= µ((N \M ) )M \ L\N { N \M } =   N \M = µ()M \ N \M L\N { } N \M µ((N \M ) )M \ L\N { N \M }.

  2.8. Свойства гиббсовских мер Таким образом, в силу (a) величина P является усреднением по N \M с некоторыми весами величины µ()M \ N \M L\N { }.

В силу условия непрерывности (b) вариация этой величины относительно N \M L\N стремится равномерно к нулю при M.

Отсюда следует, что термодинамический предел (µ ()L\ ) является гиббсовским состоянием.

2.8. Свойства гиббсовских мер Доказательства результатов главы 1, начиная с теоремы 1.8, примени мы после очевидных изменений в рассматриваемой ситуации. Более точно, теорема 1.8 и утверждения (b), (c), (d) теоремы 1.9 верны для систем условных вероятностей. Кроме того, характеристика чистых гиббсовских состояний (теорема 1.11) и условия их единственности (теорема 1.13 и замечание 1.14) также остаются справедливыми.

Пусть морфизм F определен точно так же, как и в парагра фе 2.1, и (µ()L\ ) — система условных вероятностей для трой ки (L, (x )xL, ( ) ). Введем теперь систему (F µ( )L \ ) для   (L, (x )x L, ( ) ).   Для конечного множества L и L \ \ положим = L = {x L : M (x) = }. Тогда в силу свойств изоморфизма имеем F ( L \ ) = F ( L \ ) L\ при некотором L\ как только L \. Определим L\ µ()L\ {F ( L \ )} F µ( ) { } =.

µ()L\ {F ( L \ )} L \ Семейство (F µ( ) ) является системой условных вероятностей для L \ (L, (x )x L, ( ) ). Заметим, что в силу (2.1) и (2.2) если явля   ется взаимодействием, то F µ ) = µF.

( ( ) L \ L \ 52 Глава Нетрудно проверить, что предложение 2.5 и замечание 2.6 остаются спра ведливыми для систем условных вероятностей, если вместо F рассмат ривать (F µ( )L \ ).



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.