авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«Д. РЮЭЛЬ Термодинамический формализм Перевод с английского Б. М. Гуревича УДК 530.132, 514.74 Интернет-магазин • физика ...»

-- [ Страница 2 ] --

2.9. Замечание Превосходство рассмотрения систем условных вероятностей по срав нению с взаимодействиями состоит в том, что они имеют более общую природу и, в то же время, изменяются естественным образом относитель но морфизмов. Действительно, если F является морфизмом, то отображе ние F определено однозначно на системах условных вероятностей, но не на взаимодействиях. Кроме того, на системах условных вероятностей мор физмы действуют как функторы в том смысле, что (F F ) = F F и I является тождественным преобразованием, если I — тождественный морфизм.

Однако системы условных вероятностей не всегда являются естествен ным объектом исследования1, и поэтому всегда полезно иметь взаимодей ствия в своем распоряжении.

Послесловие Эта глава в каком-то смысле формальна по своей природе и являет ся попыткой избавиться от произвола, присутствующего в выборе трой ки (L, (x )xL, ( ) ) и взаимодействий в главе 1. Последнее дости   гается при помощи введения понятия изоморфизма между «решетчатыми системами» (L, (x )xL, ( ) ) и сопоставления каждому взаимодей   ствию «системы условных вероятностей». Интересно, что можно опреде лить не только изоморфизм решетчатых систем, но их морфизм. Они пре образуют системы условных вероятностей контравариантно, а гиббсовские состояния — ковариантно. Морфизмы могут быть использованы для форма лизации некоторых процедур в статистической механике 2.

Определение системы условных вероятностей см. в работе Суллива на [1]. Результаты остальной части этой главы публикуются впервые.

1 Это, в первую очередь, из-за того, что для них нельзя определить давление P в случае, когда имеется инвариантность относительно сдвигов (см. главы 3, 4).

2 См., например, сведение к транзитивным и перемешивающим системам в теоремах 5.2, 5.3.

Другим примером является использование «контуров» в изучении модели Изинга с нулевым магнитным полем.

Упражнения Упражнения 1. Пусть F, F — морфизмы F : (L, (x )x L, ( ) ) (L, (x )xL, ( ) ),     F : (L, (x )x, ( ) ) (L, (x )x L, ( ) ),     L определенные семействами (Fx )xL, (Fx )x L, где Fx : M (x) x и F x : M x. Пусть M(x) = M (x)} и {M (x ) : x (x ) Fx : M (x) x — такое семейство, что F ( ) = Fx (FM (x) ).

Проверить, что отображение F = F F является морфизмом, опреде ленным при помощи семейства (Fx )xL. Проверить, что F = F F, где F, F, F определены семействами (Fx ), (Fx ), (Fx ) соответственно.

2. Если мы откажемся от условия µ()L\ { } 0 при L\ в параграфе 2.7(a), то мы получим более общее определение системы услов ных вероятностей. Проверить, что свойства, описанные в параграфе 2.8 (за исключением замечания 1.14), тем не менее остаются в этом случае верны ми.

3. Пусть дана система условных вероятностей (µ()L\ ). Для любых,, для которых существует такое конечное множество, что |(L\) = = |(L \ ), положим V (, ) = log µ()|(L\) {|} log µ()|(L\) {|}. () Проверить, что это определение не зависит от выбора множества и что оно обладает следующими свойствами:

(a) V — действительная функция на множестве {(, ) :

|(L \ ) = |(L \ ) при некотором конечном }.

(b) Если,, то функция L\ V ( L\, L\ ) непрерывна на множестве {L\ L\ : L\ и L\ }.

(c) V (, )+V (, )+V (, ) = 0, как только определена левая сторона этого равенства.

Проверить, что () устанавливает взаимнооднозначное соответствие между системами условных вероятностей и объектами V, удовлетворяю щими условиям (a), (b) и (c). Очевидно, эти объекты образуют линейное пространство. Проверить, что естественное действие F, где F — морфизм, на этом пространстве является линейным.

54 Глава 4. Рассмотрим две решетчатые системы с конфигурационными про странствами и. Пусть, — взаимодействия для них. Дадим есте ственное определение суммы и произведения двух решетчатых систем: ими будут решетчатые системы с конфигурационными пространствами = = (объединение) и = (произведение) соответственно.

Определим также сумму и произведение взаимодействий и.

(a) Показать, что инъекция является морфизмом.

(b) Показать, что если, — гиббсовские состояния для взаимодей ствий и, то — гиббсовское состояние для.

(Для того чтобы определить сумму (L, ( )xL, ( ) ), исполь   x зуйте произвольную идентификацию счетных бесконечных множеств L и L и положите L = L = L, = x x. Возьмите ( ) такие, что   x бы тогда и только тогда, когда и. Для того чтобы определить произведение, положите L = L L.) ГЛАВА Трансляционная инвариантность. Теория равновесных состояний Предположив трансляционную инвариантность, мы построим в этой главе теорию равновесных состояний и давления, а также получим общие результаты, касающиеся фазовых переходов.

3.1. Трансляционная инвариантность Теория гиббсовских состояний получает очень интересное развитие в случае, когда предполагается инвариантность относительно «достаточно большой» группы симметрии G. В качестве G мы возьмем группу Z, 1, но заметим, что и другие группы могут представлять интерес 1.

В данной главе мы не будем рассматривать гиббсовских состояний, а вместо этого изложим теорию равновесных состояний. Связь между гиббсовскими и равновесными состояниями будет обсуждаться в главе 4.

Пусть L = Z и группа G = Z действует на L посредством сдвигов:

(a, x) a + x.

Для любого x Z положим x = o так, что xZ x = (o )Z. Для любого S L определим отображение a : xS x xSa x равен ством ( a )x = x+a.

В этой главе мы не будем вводить семейство ( ) из главы 1, а   просто предположим, что xZ x и x x (для конечных Z ) удовлетворяют условиям:

(a) a = a ;

(b) M |, если M ;

(c) = и тогда и только тогда, когда | для всех.

В части, касающейся, эти условия сводятся к предположению, что — произвольное непустое замкнутое -инвариантное подмножество про странства xZ x. 1 См.,например, иерархическую модель Дайсона [1].

2 Легко понять, что семейство множеств не определяется однозначно множеством. — Прим. ред.

56 Глава Пусть, M, и определены так же, как в главе 1. Заметим,     что a, a G, является гомеоморфизмом компактного множества и что отображение A A a определяет автоморфизм алгебры, являющийся   изометрией и переводящий в +a.

    Взаимодействие будем называть инвариантным, если ( a ) = () (3.1) при всех a Z, и конечных Z. Такие взаимодействия образуют банахово пространство относительно нормы 1 sup |()|.

|| = (3.2) |X| X X В дальнейшем мы будем использовать всюду плотное линейное про странство o, состоящее из всех взаимодействий конечного радиуса;

по определению, — взаимодействие конечного радиуса, если существует такое конечное множество, что (|X) может быть отлично от нуля лишь в случае, когда X x при всех x X.

В описанной модели множество L = Z можно интерпретировать как -мерную кристаллическую решетку. Тогда групповая инвариантность — это инвариантность относительно сдвигов решетки.

3.2. Функция A Каждому взаимодействию поставим в соответствие некоторую непрерывную функцию A на пространстве так, чтобы величину A () можно было интерпретировать как вклад одного узла решетки (скажем, узла 0) в энергию конфигурации. Это можно сделать, положив 1 (|X).

A () = |X| X Возможны, однако, и другие определения с той же физической интерпрета цией и с тем же значением (A ) для любого инвариантного состояния (см. ниже § 3.5). Так, мы могли бы положить A () = (|X), (3.3) X 3.3. Статистические суммы где сумма берется по всем тем X, которые, будучи лексикографиче ски упорядочены, имеют 0 своим первым элементом (или последним эле ментом). Лексикографическим здесь является любой полный порядок на множестве Z, согласованный со сдвигами. Мы могли бы также опреде лить A равенством (3.3), где суммирование ведется по всем X, для кото рых 0 служит [(|X| + 1)/2]-м3 (т. е. «средним») элементом множества X при лексикографическом упорядочении. Мы будем использовать это последнее определение. Его достоинство состоит в том, что и {A : o} = {A : }=.

    — конечное Чтобы убедиться в представимости каждой функции A в виде A при подходящем o, подберем такое X, в котором 0 является [(|X| +   + 1)/2]-м элементом (в лексикографическом порядке). Положим (|X) = = A() и (|Y ) = 0, если Y не получено сдвигом из X. Тогда || = = ||A|| и A = A. Для любой функции A имеет место разложение n An, где An n и n ||An ||. Следовательно, если n A= выбрано указанным выше способом, мы получим равенство A = A с = n n.

Заметим, что отображение A является линейным и что 1 sup |()| = ||.

||A || |X| X X Более точно, ||A|| = inf{|| : A = A }. (3.4) Таким образом, мы имеем линейное отображение A пространства   на.

3.3. Статистические суммы Для любого конечного S Z положим = { : ( ) = |S}.

S 3 [(|X| + 1)/2] обозначает целую часть числа (|X| + 1)/2.

4В оригинале — «partition functions»;

при переводе этого термина мы следуем давно сло жившейся и вполне оправданной традиции. — Прим. ред.

58 Глава Для конечного и для введем статистические суммы   Z = exp[U ()], Z = exp[U ()].

При A положим также A( x ), Z (A) = exp x произвольно выбрано такое, что | =.

где для каждого 1 Пусть P = || log Z. Тогда U () d P +t = (Z +t )1 +t exp[U ()] dt || и, следовательно, || d 2 P +t |t=0 = dt 1 [U () U ()]2 exp[U () U ()] = (Z ) 0. (3.5) 2 Отсюда видно, что P — выпуклая функция. С другой стороны, d P +t ;

dt поэтому d P +t() |P P | sup. (3.6) dt 0t Заметим также, что P + log |0 |. (3.7) Свойства, аналогичные (3.5), (3.6) и (3.7), сохранятся, если заменить Z на Z или Z (A). В частности, положим P (A) = ||1 log Z (A);

тогда функция A P (A) выпукла и |P (A) P (B)| ||A B|| (3.8) (предполагается, что в определении Z фиксирован некоторый выбор точ ки ).

3.4. Теорема 3.4. Теорема Для любых a1,..., a 0 определим множество (a) = {x Z : 0 xi ai } и будем писать a, когда a1,..., a. Если иA  , то существуют пределы P = lim |(a)|1 log Z (a) = lim |(a)|1 log Z(a), (3.9) a a P (A) = lim |(a)|1 log Z(a) (A).

(3.10) a При этом P = P (A ), функция P, которая называется давлением, вы пукла и непрерывна на ;

более того, |P (A) P (B)| ||A B||. (3.11) Если t R, то P (A + B x B + t) = P (A) + t. (3.12) Ниже мы увидим, что термодинамический предел a в (3.9), (3.10) можно заменить более общим предельным переходом (см. § 3.9 и следствие 3.13). Другие свойства функции P приведены в параграфе 6.8.

Пусть сначала 0 : если X и X X, то () = 0.

  При M |M ||| Z |o |e|||| ZM, (3.13) где |||| = sup |()|.

X 0 X Если 1 2 =, то Z1 Z2 eN (2 )||||, Z1 2 (3.14) где N (2 ) — число таких точек x 2, что x + 2.

Положим P = lim |(a)|1 log Z(a).

(3.15) a Для всякого 0 выбираем такое b, что N ((b)) |(b)|1 log Z(b) P + /2.

|||| /2, |(b)| 60 Глава Тогда для любого набора a1,..., a, который целочисленно кратен набору b1,..., b, в силу (3.14) справедливо неравенство |(a)|1 log Z(a) P +.

С помощью (3.13) отсюда нетрудно вывести, что lim |(a)|1 log Z(a) P. (3.16) a Из (3.15), (3.16) получаем lim |(a)|1 log Z(a) = P.

(3.17) a Случай произвольного сводится к рассмотренному с использованием   свойства равномерной непрерывности (3.6).

Заметим теперь, что (3.14) можно заменить неравенством Z1 Z2 eN (2 )||||, Z1 2 (3.18) где Z 1 = exp[U ()], 1 = {|1 : 1 2 };

Z2 определяется аналогичным образом. Неравенство (3.18) легко обоб щить, заменив 1 2 на 1... n. Взяв в качестве 1,..., n мно жества, полученные сдвигом из (b) и такие, что 1... n = (a), приходим к неравенству N ((b)) lim |(a)|1 log Z(a) |(b)|1 log Z(b) + ||||;

(3.19) |(b)| a при этом Z(b) вычисляется с использованием множества (b) = {|(b) : (b)+ }, где — любое конечное множество, содержащее 0 (чтобы убедиться в этом, заметим, что j + (a) для большинства j между 1 и n, если a ).

Из справедливости неравенство (3.19) при всех вытекает, что N ((b)) P |(b)|1 log Z(b) + ||||, |(b)| 3.5. Инвариантные состояния а так как Z(b) Z(b), мы получаем lim |(a)|1 log Z(a) = P, a что и завершает доказательство соотношений (3.9).

В силу (3.3) при U ( |) + A ( x ) = ( |X) ( |X + x).

x X x X Следовательно, если o, то   U ( |) + A ( x ) N () x и, значит, lim |(a)|1 log Z(a) log Z(a) (A ) = 0.

a Пользуясь плотностью множества {A : o } в и равномерной непре   рывностью (3.8), мы получаем отсюда (3.10) и равенство P = P (A ) для всех. Выпуклость функции P и неравенство (3.11) вытекают из   соответствующих свойств P, а равенство (3.12) — из соотношений lim P(a) (A + A x A ) P(a) (A ) = 0,, o,   a Z(a) (A + t) = et|| Z(a) (A), которые проверяются непосредственно.

3.5. Инвариантные состояния Для каждого a Z определим линейное отображение a, действую щее в пространстве действительных мер на равенством ( a )(A) = (A a ),, A.

Это отображение непрерывно в слабой топологии и переводит множество E вероятностных мер (состояний) в себя. Пусть I — множество -инвариант ных мер:

I = { E : a = при всех a Z }.

Мы будем называть эти меры трансляционно-инвариантными состояниями или просто инвариантными состояниями.

62 Глава 3.6. Предложение Множество I инвариантных состояний выпукло, компактно и явля ется симплексом Шоке.

Это общее свойство совокупности вероятностных мер, инвариантных относительно некоторой группы гомеоморфизмов компактного множества.

Выпуклость и компактность I очевидны. Если — какая-нибудь -инва риантная мера, то мера || тоже -инвариантна. Отсюда следует, что I — симплекс Шоке (см. приложение A.5.5).

Экстремальные точки множества I называются эргодическими состо яниями. Единственное разложение инвариантного состояния на эргоди ческие состояния называется эргодическим разложением;

оно определяется вероятностной мерой m на I, для которой m (A2 ) = lim ||1 A x, x где A — функция на I, заданная равенством A() = (A) (см. приложе ние A.5.6). Поэтому инвариантное состояние эргодично, если и только если lim ||1 A x = [(A)] x для всех A. Это свойство называется слабым кластерным свойством.

  Его физическая интерпретация будет обсуждаться в параграфе 3.15.

3.7. Теорема Пусть A и IA — множество таких мер на, что     для всех B P (A + B) P (A) + (B).

  Тогда (a) = IA I, причем множество IA выпукло и компактно;

как мы увидим позже, оно является симплексом Шоке и гранью симплекса I (следствие 3.14).

(b) Множество : IA состоит из единственной точки} D = {A     массивно в.

3.7. Теорема Пусть теперь X — сепарабельное банахово пространство и :X —   непрерывное линейное отображение, удовлетворяющее условию X плот но в.

  (c) Для X определим множество I = {F X : P ( + ) P () + F () при всех X}, D = { X : I состоит из единственной точки}.

Тогда I = { : I } и множество D = 1 D массивно в X.

(d) I совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества та ких, что = lim n, n In, n n 1 D.

lim ||n || = 0, n Элементы множества IA называются равновесными состояниями для A;

элементы множества IA — равновесные состояния для взаимодей ствия.

Непустота IA и утверждение (b) верны для любого непрерывного вы пуклого функционала P на сепарабельном банаховом пространстве (см.

приложение A.3.6 и A.3.7). Поэтому множество D массивно в X. Из (3.11) следует, что если F I, то F () P ( + ) P () ||||.

Отсюда, заменив на, получаем |F ()| ||||, т. е.

sup |F ()| 1 (3.20) |||| и существует такое, что F =. Вследствие плотности мно   жества X в мера единственна и принадлежит множеству I. Таким   образом, I { : I } и, следовательно, I = { : I } (надо воспользоваться плотностью множества X в ). В частности, I   состоит из единственной точки тогда и только тогда, когда этим свойством обладает I ;

тем самым, D = 1 D. Так как мы уже установили, что множество D массивно в X, утверждение (c) доказано.

5 Чтобы убедиться в этом, надо сказанное в предыдущей фразе применить к P. — Прим.

ред.

64 Глава Перейдем к доказательству утверждения (a). Мы уже знаем, что IA =. Положив в (3.20) X =, получим |||| 1 для всех I A.

  Кроме того, в силу (3.12) (1) = (1) [P (A 1) P (A)] = 1.

Но если |||| 1 и (1) 1, то 0 и |||| = 1, т. е. E. Еще раз применив (3.12), получаем 0 = P (A + B x B) P (A) (B x B) x [P (A B + B) P (A)] = 0, откуда видно, что I. Таким образом, IA I. Очевидно, множество IA выпукло и компактно. Доказательство утверждения (a) закончено.

Обратимся к утверждению (d). Для всех, n,, n, о которых идет речь в этом утверждении, и всех B справедливо неравенство   P (n + B) P (n ) + n (B).

Поэтому P ( + B) P () + (B), т. е. I.

Предположим, что I не принадлежит замкнутой выпуклой обо лочке указанного множества мер. По теореме о разделимости компактных множеств (приложение A.3.3 (c)) существует такое X, что sup () sup ().

I Пусть n = + (1/n) + Xn, где ||Xn || 1/n2 и n 1 D.6 Будем писать {n } вместо In. Если I, то в силу выпуклости функции P 1 n + Xn n n + Xn.

Поэтому |||| |||| () n n () + n 6 Существование такого n вытекает из плотности в множества 1 D. — Прим. ред.

3.8. Энтропия и, значит, () () для всякой предельной точки последовательности мер n. Поскольку это противоречит выбору, утверждение (d) доказано;

его также можно выве сти из общих свойств выпуклых функций (см. приложение A.3.7).

3.8. Энтропия Для конечного Z и вероятностной меры на энтропия определяется равенством S( ) = {} log {}.

Нетрудно проверить, что 0 S( ) || log |o |.

При = энтропия считается равной нулю.

Если — другая вероятностная мера и 0 1, то S( ) + (1 )S( ) S( + (1 ) ) S( ) + (1 )S( ) + log 2. (3.21) Действительно, положив = {}, = {} и пользуясь выпуклостью функции t t log t и монотонностью логарифма, получим [ log + (1 ) log ] [ + (1 ) ] log[ + (1 ) ] [ log + (1 ) log(1 ) ] = = [ log + (1 ) log ) log (1 ) log(1 ) [ log + (1 ) log ] + log 2.

66 Глава Если E, то S( ) — возрастающая7 функция множества, кото рая обладает свойством сильной субаддитивности:

S(1 2 ) + S(1 2 ) S(1 ) + S(2 ). (3.22) Возрастание S( ) прямо следует из монотонности логарифма. Чтобы доказать (3.22), воспользуемся неравенством log(1/t) t 1, в силу которого S(1 2 ) + S(1 2 ) S(1 ) S(2 ) = = log 1 2 1 \2 2 \ 1 = = = 1 = (чтобы избежать неопределенных выражений, можно в приведенных выше вычислениях сначала предположить, что 0 для всех,,, а затем перейти к пределу).

3.9. Предел на бесконечности в смысле ван Хова Будем говорить, что конечные множества Z стремятся к беско нечности в смысле ван Хова (и будем писать ), если || и для любого a Z |( + a) \ | 0.

|| Грубо говоря, это означает, что «граница множества » становится в пределе пренебрежимо малой по сравнению с.

3.10. Теорема Если I, то существует предел s() = lim ||1 S( ) = inf ||1 S( ).

Функция s, называемая средней энтропией8, неотрицательна, аффинна и полунепрерывна сверху на I.

7 Точнее — неубывающая. — Прим. ред.

8А также удельной энтропией. — Прим. ред.

3.10. Теорема Если множества 1 и 2 не пересекаются, то (3.22) превращается в свойство субаддитивности:

S(1 2 ) S(1 ) + S(2 ). (3.23) Так как I, справедливо равенство S((+x) ) = S( ). (3.24) Определив (a) так же, как в теореме 3.4, положим s = inf |(a)|1 S((a) ). (3.25) a Для всякого 0 выбираем такое b, что |(b)|1 S((b) ) s +, Введем множество Z (b) = {x Z : xi = ni bi, ni Z, i = 1,..., }.

Сдвинув (b) на все x Z (b), мы получим разбиение множества Z.

Пусть + — объединение элементов этого разбиения, имеющих непустое пересечение с. Тогда + и |+ |/|| 1 при. Так как S( ) — неубывающая функция множества, из (3.23), (3.24) следует, что |+ | S( ) S(+ ) S((b) ) |+ |(s + ) |(b)| и, значит, lim sup ||1 S( ) s +. (3.26) Из (3.25) и (3.26) получаем lim |(a)|1 S((a) ) = s.

a Если x, то вследствие сильной субаддитивности энтропии / (см. (3.22)) выполняется неравенство S({x} ) S( ) S( {x} ) S( ), (3.27) которое позволяет оценить, как возрастает энтропия, когда к множеству последовательно в лексикографическом порядке присоединяются новые 68 Глава точки. В частности, если фиксировано (с точностью до сдвига), а в каче стве берутся множества, последовательно возникающие при лексикогра фическом построении большого (a), то (3.27) справедливо для большин ства таких. Поэтому lim |(a)|1 S((a) ) = s.

S({x} ) S( ) a Отсюда следует, что S( ) ||s при всех. Из этого неравенства с учетом (3.26) получаем lim ||1 S( ) = inf ||1 S( ) = s, что доказывает первое утверждение теоремы.

Неотрицательность s вытекает из аналогичного свойства S, а аффин ность — из (3.21). Наконец, s полунепрерывна сверху функцией как inf непрерывных функций ||1 S( ).

3.11. Лемма Пусть E — множество всех вероятностных мер на. Тогда log Z = max [S( ) (U )].

E Действительно, вследствие вогнутости логарифма U () {} log e eU (), S( ) (U ) = log {} причем равенство справедливо тогда и только тогда, когда {} = = (Z )1 eU () = µ() {}.

Следующая теорема содержит вариант этого вариационного принципа для термодинамического предела.

3.12. Теорема Для всех A   P (A) = max[s() + (A)], (3.28) I причем множество точек максимума есть в точности I A. Для всех I s() = inf [P (A) (A)]. (3.29) A 3.12. Теорема Сначала докажем, что P (A) = sup[s() + (A)] (3.30) I при A = A, где o. По лемме 3.   s() + (A ) для всех I, P (A ) (3.31) поскольку (A ) = lim |(a)|1 ((a) )(U(a) ).

(3.32) a При помощи гиббсовских ансамблей µ() для взаимодействия опре делим теперь меры, n {} = |(an )|1 (+x µ((an )) ){ x }.

x : +x(an ) Легко видеть, что последовательность (an ) может быть выбрана так, что an и для любого конечного множества Z существует предел = lim, n. (3.33) n Тогда единственное состояние, для которого = при всех, при надлежит I и s() = lim |(b)|1 S((b) ) = b = lim lim |(b)|1 (b), n {} log (b), n {} b n (b) lim sup lim sup |(b)|1 |(an )|1 S((b)+x µ((an )) ) n b x : (b)+x(an ) lim sup |(an )|1 S(µ((an )) ) (3.34) n (на последнем шаге мы использовали (3.23) и тот факт, что существует |(b)| способов представить (an ) в виде объединения сдвигов множества (b) плюс kn точек, где kn /|(an )| 0 при n ). Из (3.34) получаем exp[U(an ) ()] s()+(A ) lim |(an )| µ((an )) {} log = µ((an )) {} n (an ) = lim |(an )|1 log Z(an ) = P (A ).

(3.35) n 70 Глава Неравенства (3.31) и (3.35) доказывают (3.30) в случае, когда A = = A, 0. Так как обе части (3.30) непрерывны по A, то в силу   плотности множества {A : o } в это соотношение справедливо при   всех A. Кроме того, энтропия s() полунепрерывности сверху, откуда следует, что sup в (3.30) достигается и имеет место соотношение (3.28).

Докажем теперь (3.29). Из (3.28) мы уже знаем, что s() P (A) (A), и достаточно показать, что при подходящем выборе функции A правая часть этого неравенства как угодно мало отличается от s(). Положим R: I и C = {(, t) t s()}.

Так как функция s аффинна и полунепрерывна сверху, множество C выпук ло и компактно. Поэтому для любых I и u s() существуют такие A и c R, что (A) + c = u и (A) + c s() для всех I (см. приложение A.3.3). Отсюда следует, что (A) + u + (A) s(), и если выбрано так, что P (A) = s() + (A), то 0 P (A) s() (A) = s() + (A) s() (A) u s().

Поскольку разность u s() можно считать как угодно малой, равен ство (3.29) доказано.

Условие IA, т. е.

P (A) + (B) при всех B P (A + B) можно записать в виде P (A) (A) для любого B P (A + B) (A + B), что эквивалентно неравенству inf [P (C) (C)] P (A) (A), C 3.13. Следствие или, в силу (3.29), неравенству s() P (A) (A).

Поэтому max в (3.28) достигается в точности на IA. Теорема доказана.

3.13. Следствие Имеют место следующие соотношения, обобщающие (3.9) и (3.10):

P = lim ||1 log Z = lim ||1 log Z, (3.36) P (A) = lim ||1 log Z (A).

(3.37) Вначале заметим, что если o, то рассуждения, примененные для   доказательства (3.16), приводят к неравенству lim sup ||1 log Z P.

С другой стороны, в силу леммы 3.11 при всех I lim inf ||1 log Z s() + (A ), а потому при всех   o lim ||1 log Z = P.

Как обычно, случай произвольного сводится к только что рассмот   ренному с использованием плотности множества o в и свойства равно     мерной непрерывности. Заменяя на, устанавливаем существование предела lim ||1 log Z.

В силу теоремы 3.4 этот предел равен P. Тем самым, выполняется (3.36).

Равенство (3.37) доказывается так же, как (3.10) в теореме 3.4.

3.14. Следствие Для любого A множество IA является симплексом Шоке и гра нью I.

72 Глава Мы знаем, что I — симплекс (предложение 3.6). Пусть I A и m — единственная вероятностная мера на I с результантом, сосредоточенной на множестве экстремальных точек I. Положив A() = (A), получим (см.

приложение A.5.1) m (s + A) = s() + (A) = P (A).

Отсюда следует, что носитель меры m содержится в множестве { I:

s() + (A) = P (A)} = IA. Поэтому IA является симплексом и гранью симплекса I.

3.15. Физическая интерпретация Мы уже отмечали в параграфе 1.1, что функцию A можно рас   сматривать как наблюдаемую величину. Если E, то вероятностная мера µA = A на R задается равенством µA () = ( A) (для всех непрерывных : R R).

Мера µA описывает распределение значений наблюдаемой A в состоянии.

В общем случае A флуктуирует, т. е. носитель меры µ A состоит из более чем одной точки.

Рассмотрим теперь среднее наблюдаемой A по всем сдвигам из, определяемое равенством A = ||1 A x.

x Пусть I. Тогда условие lim ([ A (A)]2 ) = 0 для всех A   выполняется в том и только том случае, когда — эргодическое состоя ние (см. § 3.6). Это условие означает, что при больших среднее A флуктуирует слабо;

мы говорим в этом случае, что — (чистая термоди намическая) фаза. Такая фаза характеризуется тем, что «крупнозернистые»

величины, т. е. средние A, не флуктуируют (при ). С другой стороны, для смеси некоторые крупнозернистые величины флуктуируют.

Заметим, что согласно физическим представлениям каждая смесь должна иметь единственное разложение на чистые фазы.

Пусть — равновесное состояние для A. Поскольку множество I A — симплекс, имеет единственное разложение по крайним точкам этого мно жества IA, а так как IA — грань симплекса I, упомянутое разложение совпа дает с эргодическим разложением (см. § 3.6). С физической точки зрения 3.16. Теорема его можно интерпретировать как разложение равновесного состояния на чистые термодинамические фазы.

(или 1 D X, где X и введены в Массивное множество D   теореме 3.7) можно рассматривать как «большое» множество. Следователь но, в «общем случае» существует только одна чистая термодинамическая фаза, связанная с A (или с X). Этот факт является слабой формой   гиббсовского правила фаз.

3.16. Теорема Для любых A (соответственно, ), I и 0 существу   ют такие A (соответственно, ) и IA, что   || || и 1 [P (A) (A) s()] ||A A|| (соответственно, || || 1 [P (A ) s()]).

Это утверждение есть в точности теорема Бишопа и Фелпса (см. приложе ние A.3.6) c V = (соответственно, V = ;

заметим, что для этого случая   касательные функционалы описаны в теореме 3.7 (с), и чтобы получить неравенство || ||, надо использовать (3.4)).

3.17. Следствие (a) Объединение множеств IA по всем A, т. е. множество всех   равновесных состояний, всюду плотно в I относительно топологии, поро жденной нормой в.

  (b) Если 1,..., n — эргодические состояния, то существует взаи модействие, для которого все они являются равновесными состоя ниями.

Утверждение (a) очевидно. В частности, для любых эргодических 1,..., n существует такое равновесное состояние, отвечающее взаи модействию, что || (1/n)(1 +... + n )|| 1/n. Пусть m порождает эргодическое разложение этого. Тогда 1 m n (1 +... + n ) n 74 Глава (см. приложение A.5.5) и, следовательно, m ({1 }) 0,..., m ({n }) 0.

Но в таком случае в силу следствия 3.14 1,..., n являются равновесными состояниями для взаимодействия.

3.18. Аппроксимация инвариантных состояний равновесными Мы только что установили, что каждое инвариантное состояние мож но приблизить по норме равновесным состоянием для некоторого вза имодействия из. Однако с физической точки зрения этот интересный   результат следует считать патологией, так как не все взаимодействия из   являются физически приемлемыми. В действительности, чтобы иметь воз можность определить гиббсовские состояния, мы введем в следующей главе некоторое более узкое пространство взаимодействий. Затем будет пока зано (см. предложение 4.7 (b)), что если взаимодействия, имеют общее равновесное состояние, то они в некотором смысле эквивалентны и все их равновесные состояния одинаковы (это совершенно не похоже на ситуацию следствия 3.17 (b)).

Физически значимые результаты могут быть получены при помощи аппроксимации инвариантных состояний равновесными, если использовать общую теорему о выпуклых функциях, принадлежащую Израэлю (см. при ложение A.3.6). Из этой теоремы следует, что в некотором подпространстве или конусе пространства можно найти взаимодействие, которое обла   дает равновесным состоянием, удовлетворяющим определенным неравен ствам. Если эти неравенства выражают отсутствие определенного кластер ного свойства, то отсюда можно вывести физические следствия. Доказы ваемая ниже теорема 3.20 содержит пример взаимодействия, у которого имеется несколько различных равновесных состояний (другие примеры см.

в упражнении 1 главы 4).

3.19. Лемма и S Z. Определим выпуклое множество Пусть A1, A2 = a1 A1 + a 2 A2 + 1 bx A1 · (A2 x ) + bx (A1 x ) · A2 :

S 2 xZ bx = 0, если x S, a1, a2, bx R, bx 0, / bx.

xS 3.19. Лемма Предположим, что A1, A2 для некоторого конечного Z. Тогда   для любых 0 I, B0 и 0 существуют такие B B0 + S и   IB, что ||B B0 || 1 [P (B0 ) (B0 ) s(0 )] (3.38) и A1 · (A2 x ) (A1 )(A2 ) 0 (A1 · (A2 x )) 0 (A1 )0 (A2 ) 3||A1 || · ||A2 || (3.39) при всех x S.

Можно считать, что 0 — «средний» элемент множества в лексикогра фическом порядке. Для a1, a2, bx R, удовлетворяющих условиям bx 0, bx = 0 при x S и bx, определим взаимодействие, положив / (|) = a1 A1 () + a2 A2 () + b0 A1 () · A2 (), | ( + x) = bx A1 () · A2 ( x ) + bx A1 ( x ) · A2 (), если x = 0, (|X) = 0, если X нельзя получить из ( + x) с помощью сдвига.

Используя выражение (3.2) для нормы, убеждаемся, что такие обра зуют замкнутый выпуклый конус. Пусть 0 таково, что A0 = B0. Воспользуемся теоремой Израэля (см. приложение A.3.6) и описанием касательных плоскостей к отображе нию P, данным в теореме 3.7 (c). В силу этих результатов существуют такие 0 + и IA, что 1 [P 0 (A ) s( )] 0 (3.40) 0 0 и для всех (A ) 0 (A ) ||. (3.41) Из (3.41) вытекает, что |(A1 ) 0 (A1 )| ||A1 ||, |(A2 ) 0 (A2 )| ||A2 || (3.42) и для всех x S A1 · (A2 x ) 0 A1 · (A2 x ) ||A1 || · ||A2 ||. (3.43) 76 Глава Из (3.42) получаем |(A1 )(A2 ) 0 (A1 )0 (A2 )| 2||A1 || · ||A2 ||, которое вместе с (3.43) доказывает (3.39).

Пусть C — элемент S, образованный при помощи тех же самых a1,   a2, bx, которые определяют 0 в. Положим B = B0 + C. Тогда B B0 + S и в силу (3.40)   1 [P (B ) (B ) s( )], ||B B0 || = ||C|| | 0 | 0 0 0 которое доказывает (3.38). Далее, (C) = (A0 ) для всех I. Поэтому IB = IA, что завершает доказательство.

3.20. Теорема для некоторого Z. Определим выпуклый конус Пусть A bx A · (A x ) : a, bx R, = aA + bx 0, bx.

  xZ (a) Пусть 0, 0 I таковы, что 0 (A) = 0 (A). Тогда для любо го C найдутся B C + и равновесные состояния, IB, для   которых (A) = (A).

(b) Пусть 0, 0 I — равновесные состояния для C, для которых 0 (A) = 0 (A). Тогда для любого 0 найдется такое 0, что если C и ||C C||, то существуют B C + с ||B C || и   равновесные состояния, IB с (A) = (A).

Положим 0 = 1 (0 + 0 ). Тогда из предположения 0 (A) = 0 (A) следует, что m0 (A2 ) = lim 0 ||1 A x 0 (A) x (см. § 3.6). Выбираем такое 0, что ||1 A x 0 (A)2 + 4||A||2.

lim x 3.21. Сосуществование фаз Применив лемму 3.19 при A1 = A2 = A и S = Z (B0 мы выбираем позже), найдем такие B B0 + и IB, что   1 [P (B ) (B ) s( )] ||B B0 || 0 0 0 и 2 ||1 A x (A)2 ||1 A x 0 (A)2 3||A||2.

x x Тогда m (A2 ) = lim ||1 A x (A)2 + ||A||2.

x Отсюда следует, что найдутся,, принадлежащие носителю меры m, для которых (A) = (A). Взяв B0 = C, приходим к утверждению (a).

Предположим теперь, что 0, 0 IC. Выберем 0 так, чтобы при C и ||C C|| выполнялось неравенство P (C ) 0 (C ) s(0 ) 2.

Положив B0 = C, получаем B C + и с помощью (3.38) приходим к   неравенству ||B C ||, что завершает доказательство.

3.21. Сосуществование фаз В приведенных выше лемме и теореме мы ограничились рассмотрени ем взаимодействий, для которых (|X) = 0 при |X| 2||. Такие взаи модействия принадлежат пространству, которое будет введено в главе 4;

они является «физически допустимым». В теореме 3.20 рассматривается ситуация, когда существуют по крайней мере два различных равновесных состояния. С физической точки зрения это соответствует сосуществованию по крайней мере двух фаз. Утверждение (b) теоремы 3.20 показывает, что взаимодействие 0 (или функция C), для которого существует несколько фаз, не может быть изолированным: оно принадлежит «бесконечномерному многообразию» таких взаимодействий. Следует проверить, что не все они «физически эквивалентны» (см. § 4.7). В связи с этим см. упражнение 2.

78 Глава Сосуществование по меньшей мере n + 1 фаз можно исследовать ана логичным образом. Пусть A1,..., An и   n n a2 = 1.

ai Ai, где A= i i=1 i= (0) (1) (n) Выберем 0, 0,..., 0 I так, чтобы равенство (0) (1) (n) 0 (A) = 0 (A) =... = 0 (A) не выполнялось ни при каких a1,..., an. Положив n 1 (i) 0 = 0, n+ i= получим неравенство m0 (A2 ) 0 (A)2 4||A|| при некотором 0, не зависящем от a1,..., an. Пусть B0 и —   линейное пространство, порожденное функциями A i и Ai · (Aj x ). Тогда существуют такое B B0 +, что 1 [P (B ) (B ) s( )], ||B B0 || 0 0 0 и такое IB, что | A · (A x ) (A)2 0 (A · (A x ) 0 (A)2 | 3||A|| при всех a1,..., an и всех x Z. Следовательно, справедливо неравенство m (A2 ) (A)2 ||A||2, доказывающее, что размерность IB не меньше, чем n, и, значит, существует по крайней мере n + 1 фаз. И так же, как раньше, взаимодействие, для которого все это имеет место, не может быть изолированным.

Библиографические указания Статистическая механика в условиях трансляционной инвариантности, изложенная в этой главе, была в основном развита физиками раньше, чем Упражнения теория гиббсовских состояний из глав 1 и 2. Существование термодина мического предела для давления было доказано в разных формах разными людьми, после чего постепенно возникло понятие равновесного состояния.

Галавотти и Миракль [1] обнаружили важный факт (теорема 3.7 (b)), со стоящий в том, что для массивного множества взаимодействий существует только одно равновесное состояние. Обсуждение понятия энтропии (пара графы 3.8 – 3.10) см. в Robinson and Ruelle [1];

по поводу вариационного принципа (теорема 3.12) см. Ruelle [1]. Параграфы 3.16 – 3.21 основаны на работе Израэля [1], которая недавно пролила некоторый свет на природу фазовых переходов.

Упражнения 1. Для x Z положим |x| = max |xi |. Пусть 0 1. Если,, i положим k d(, ) =, где k = inf{|x| : x = x }.

(a) Проверьте, что d — метрика, совместимая с топологией простран ства.

(b) Пусть 0 1. Функция A : R, для которой |A() A()| cd(, ) при c 0, называется гельдеровской функцией с показателем.

Такие функции образуют банахово пространство () с нормой   |A() A()| ||A|| = max max |A()|, sup.

d(, ) = Положим diam X = max{|y x| : x, y X} и пусть = /2. Докажите, что если A (), то A = A, причем   sup diam X sup |(|X)|.

X (Указание к п. (b): положим n = {x Z : |x| n} и A = An, где n= n An n и ||An || ||A|| ( ) ;

теперь можно действовать аналогично   параграфу 3.2.) 2. Рассмотрим систему («решетчатый газ») с 0 = {0, 1} и = = {0, 1}Z. Определим функцию A {0} равенством A() = 0 (тем   80 Глава самым, A принимает значения 0 и 1). Будем рассматривать «парные» взаи модействия, для которых (|X) = 0, если |X| 2, и (|{0}) = µA(), (|{0, x}) = (x)A()A( x ) при x = 0.

Здесь µ R и (x) = (x) R определено для любого x = 0. Заметим, что = |µ| + 1 |(x)|.

x= (a) Пусть 0 M Z, M конечно и M = M. Предположим, что дана функция : M \ {0} R, для которой (x) = (x). Докажите, что можно так продолжить до функции : Z \ {0} R, удовлетворяющей неравенству |(x)|, x= что при подходящем µ у взаимодействия существуют два равновесных состояния и c (A) = (A).

(b) Пусть µ0 и 0 определяют парное взаимодействие 0. Предполо жим, что 0 и 0 — равновесные состояния для 0 и что 0 (A) = 0 (A).

Тогда для всякого 0 найдется такое 0, что имеет место следующее.

Пусть 0 M Z, M конечно и M = M. Предположим, что функция : M \ {0} R удовлетворяет условиям (x) = (x) и 1 |(x) 0 (x)|.

xM \{0} Тогда функцию можно продолжить до : Z \ {0} R и найти такое µ, что (x) = (x), (x) 0 (x) при x M, / |µ µ0 | + 1 |(x) 0 (x)| xM / и для взаимодействия существуют два равновесных состояния и c (A) = (A). (Повторите доказательство теоремы 3.20, используя лем му 3.19 с S = Z \ M. Заметим, что m (A2 ) = lim ||2 (A x ) · (A y ).

x, y, xy M / Замечание: Можно показать (см. упражнение 2 к главе 4), что и физически эквивалентны только при µ = µ0 и = 0.) ГЛАВА Связь между гиббсовскими и равновесными состояниями В этой главе устанавливается связь между гиббсовскими состояниями и равновесными состояниями, введенными в предыдущих главах.

4.1. Основные предположения Мы будем использовать общие предположения глав 1 и 3. Будем счи тать, таким образом, что задано семейство ( ), инвариантное относи   тельно сдвигов, и что для любого S Z определено множество S = x : ( : S) |.

xS Введем банахово пространство трансляционно-инвариантных взаимодей ствий с нормой |||| = sup |()|.

X 0 X Очевидно, 0. Определим отображение :, положив ¤ = A. Множество плотно в и отображение непрерывно:

¤ |||| || ||A ||.

Поэтому утверждения (с) и (d) теоремы 3.7 справедливы при X =. Если, то для определены множество K гиббсовских состояний и множество I равновесных состояний. Мы увидим, что I K I. Обратного включения I K I, вообще говоря, нет, но оно справедливо, если пространство удовлетворяет следующему усло вию:

(D) Существуют такие последовательности множеств ( n ) и (Mn ), что n, n Mn, |n |/|Mn | 1 и для любых, и n найдется n, для которого n |(Z \ Mn ) = |(Z \ Mn ).

n |n = |n, 82 Глава Заметим, что это условие сильнее, чем условие (D ) из замечания 1.14.

При = 1 оба они сводятся к условию «перемешивания» (см. главу 5).

4.2. Теорема Если, то IA K I. Если, кроме того, пространство удо   влетворяет условию (D), то IA = K I, т. е. инвариантное состояние является равновесным тогда и только тогда, когда оно — гиббсовское.

Если 0, то гиббсовский ансамбль µ() с граничным условием зависит только от |(M \), где M = + — некоторое конечное множество (множество зависит от и семейства ). Пользуясь определением (3.33) из доказательства теоремы 3.12, можно проверить, что {} = µ() {}M \ {}.

M \ Отсюда следует, что состояние, определенное при помощи равенства =, является гиббсовским состоянием. С другой стороны, из дока зательства теоремы 3.12 видно, что I. Таким образом, I K в случае, когда 0. Пусть теперь 1 D, = lim n, n 0. Тогда любая предель n ная точка последовательности мер n, n, содержится в I = { }, а также в K. Тем самым, при 1 D существует I K.

Для произвольного из теоремы 3.7 (d) следует, что I сов   падает с замкнутой выпуклой оболочкой состояний K I. Значит, I K I.

Предположим теперь, что пространство удовлетворяет условию (D).

Нужно доказать, что если K I, то I. Мы докажем несколько более общее утверждение, а именно, что если K, то lim |Mn |1 [S(Mn ) (Mn )(UMn )] P.

n По определению гиббсовского состояния (Mn ){} = Z \Mn (d)µ(Mn ) {}, Z \Mn 4.3. Физическая интерпретация а вследствие вогнутости энтропии S(Mn ) (Mn )(UMn ) Z \Mn (d)[S(µ(Mn ) ) µ(Mn ) (UMn )] = Z \Mn = Z \Mn (d) µ(Mn ) {} Mn Z \Mn WMn, Z \Mn ( ) + log exp[UMn () WMn, Z \Mn ( )].

Mn Поэтому lim |Mn |1 [S(Mn ) (Mn )(UMn )] n lim |Mn |1 Z \Mn (d) n Z \Mn log exp[UMn () WMn, Z \Mn ( )].

Mn В силу условия (D) (при = |(Z \ Mn ) для некоторого ) exp[UMn () WMn, Z \Mn ( )] exp[Un () + Rn ], n Mn где lim |Rn |/|Mn | = 0. Отсюда получаем n lim |Mn |1 [S(Mn ) (Mn )(UMn )] n lim |Mn |1 log exp[Un () + Rn ) = P.

n n 4.3. Физическая интерпретация В случае, когда чистая термодинамическая фаза для взаимодей ствия допускает нетривиальное разложение на чистые гиббсовские   состояния, мы будем говорить, что имеет место нарушение симметрии или, точнее, что нарушается трансляционная инвариантность теории.

84 Глава 4.4. Предложение Предположим, что выполнено условие (D) и, K, C  .

Тогда 1 log exp C x = P (A + C) P (A ).

lim |n | n x n В силу плотности множества {A : 0 } в и свойства равномер ной непрерывности (см. (3.8)) достаточно рассмотреть случай C = A, где 0. В этом случае 1 log exp C x = lim 1 log(n ) exp(Un ).

lim |n | n |n | n x n Из условия (D) следует, что для любых, [(n ){|n }] exp Un (|n ) e Rn, (4.1) [(n ){|n }] exp Un (|n ) где Rn /|n | 0 при n.

В самом деле, по определению состояния Гиббса (см. (1.14), (1.15)) (n ){|n } = (Mn ){(|n ) } = Mn \n = L\Mn (d)µ(Mn ) {(|n ) } = Mn \n L\Mn [ZMn ()]1 exp Un (|n ) = L\Mn (d) Mn \n L\Mn UMn \n ( ) Wn, Mn \n (|n ) WMn, L\Mn ((|n ) ), где ZMn () — нормирующая постоянная, а сумма, стоящая под знаком интеграла, вычисляется в соответствии с принятым ранее соглашением (см. § 1.5): если |n, то отвечающее этому слагаемое считается равным нулю. Из определения множества M n следует, что в этой сумме обязательно есть ненулевое слагаемое. Аналогично записыва ется (n ){|n }. Таким образом, левая часть (4.1) есть отношение двух 4.4. Предложение интегралов, в каждом из которых подынтегральная функция положитель на при всех L\Mn. Отношение этих подынтегральных функций не превосходит числа rn = |Mn \n | exp sup UMn \n ( )Wn, Mn \n (|n ) + Mn \n + sup WMn, L\Mn () inf UMn \n ( ) Mn \n, (4.2) Wn, Mn \n (|n ) inf WMn, L\Mn () которое мы сейчас оценим.

Зафиксировав произвольное 0 и пользуясь конечностью нор мы ||||, подберем конечное множество, для которого sup |(X )| X X XL : 0X (здесь и ниже множество X предполагается конечным). Тогда для любо го |WMn, L\Mn ()| |(|X)|+ |(|X)| + xn XL : xX +x XL : xX +x, X(L\Mn )= + |(|X)| xMn \n XL : xX |n | + |||| |Mn \ n | + |{x n : ( + x) (L \ Mn ) = }| |n | + |||| |Mn \ n | + |((n + y) \ n ) y| y |n | + |||| |(n + y) \ n | + |Mn \ n |.

y Ясно также, что UMn \n ( ) + Wn, Mn \n (|n ) |Mn \ n | · |||| при всех Mn \n. Отсюда, пользуясь условием (D) и тем, что n в смысле Ван Хова (см. § 3.9), получаем lim |n |1 sup WMn, L\Mn () + sup UMn \n ( ) = 0. (4.3) n Mn \n Тем самым (см. (4.2)), rn = exp Rn, где Rn /|n | при n, и мы приходим к (4.1).

86 Глава Поменяв ролями и, убеждаемся, что дробь в левой части (4.1) оценивается снизу величиной eRn. Полученную двустороннюю оценку преобразуем так, чтобы в средней части осталось ( n )(|n ), а затем просуммируем по |n. Пользуясь тем, что — вероятностная мера, полу чаем (см. (1.11)) eRn µ(n ) {n } eRn µ(n ) {n }, (n ){n } откуда следует, что + + eRn Zn /Zn eRn Zn /Zn.

(n )(exp(Un )) Предложение доказано.

4.5. Замечание Пусть заданы представление группы Z гомеоморфизмами компакт ного метризуемого пространства, -инвариантная вероятностная мера и непрерывная действительная функция A на. Для любого конечно го Z положим A a.

Z = 0 exp a Синай [4] предложил (для = 1) называть гиббсовским состоянием любой предел при Z семейства мер A( a ) 0 (d).

Z exp a С этим определением связан следующий результат.

Пусть, и K. Для конечного Z положим   A a.

Z = exp a Тогда любой предел при Z мер A a Z exp a принадлежит множеству K+.

Это утверждение легко доказать при помощи методов главы 1;

см.

также упражнение 4 из этой главы.

4.6. Строгая выпуклость давления 4.6. Строгая выпуклость давления Из теоремы 3.4 мы знаем, что функция P = P (A ) непрерывна и выпукла на. Предположим, что ее график содержит прямолинейный   интервал, т. е. существуют такие функции,, = 0, что   P +t = P + ct при t [1, 1].

Из теоремы 3.7 следует, что если — равновесное состояние для, то оно служит также равновесным состоянием для + t при |t| 1. Но тогда — гиббсовское состояние для + t при |t| 1. Так как выражение +t L\ (d)µ() { } L\ вещественно-аналитично по t и постоянно при |t| 1, оно постоянно при всех действительных t. Отсюда следует, что — гиббсовское состояние для + t при всех действительных t. Если выполнено условие (D), то по теореме 4.2 — равновесное состояние и, значит, max[s() + (A ) + t(A )] = s() + (A+t ) = P + ct I при всех t R. Это означает, что (A ) = c при любом I или (A c) = 0 для всех трансляционно-инвариантных мер на пространстве.

Поэтому A c принадлежит замкнутому подпространству, поро- жденному элементами A a A, где A, a Z.1 В итоге мы приходим к следующему утверждению.

4.7. Предложение Пусть отображение : определено равенством = A и   пусть — замкнутое подпространство в, порожденное элементами 1 Действительно, предположив, что A, определим на подпространстве, c натянутом на и A c, линейный функционал l по формуле l(B + (A c)) =, B,. Будучи равным нулю на, этот функционал трансляционно-инвариантен. По теореме ¤ Хана – Банаха (см. приложение A.3.2) l = L|, где L. По теореме Рисса – Маркова L = +, где +, — конечные положительные меры на. При этом + / + () I и + (A c) = 0, что противоречит доказанному выше. — Прим. ред.

88 Глава A a A, где A, a Z. Обозначим через [] образ элемента   в /( ). Тогда (a) функция [] P (A ) корректно определена на /( ), и если выполнено условие (D), то эта функция строго выпукла на подмноже стве {[] /( ) : (A ) = 0}, где — произвольно выбранный элемент множества I.

(b) Если выполняется (D) и взаимодействия, имеют общее рав новесное состояние, то A A + R. Будем говорить, что взаимодействия, физически эквивалент ны, если существуют такие c R и B, что A = B + c (или, в других обозначениях, [ ] = [] + c, c R). Два физически эквивалентных взаимодействия из имеют одинаковые равновесные состояния. Обратно, если два взаимодействия из имеют общее равновесное состояние, то они физически эквивалентны. Ограничение функции P на класс эквивалентно сти { : A + R} аффинно, и классы эквивалентности яв ляются максимальными аффинными множествами, на которых функция P аффинна.

4.8. Z -решетчатые системы и Z -морфизмы В параграфе 2.1 мы ввели объекты L, (x )xL, )¤, назвав их решетчатыми системами. В настоящей главе предполагается, что L = Z, x = 0 и система ( )¤ инвариантна относительно сдвигов решет ки Z. Такую решетчатую систему с дополнительной структурой, обуслов ленной сдвигами, мы будем называть Z -решетчатой системой и обозна чать Z, 0, ( )¤. Будем говорить, что отображение F : Z, 0, ( ) ¤ Z, 0, ( )¤ является Z -морфизмом, если существует семейство (Fx )xZ со свойства ми (M1) – (M4) из параграфа 2.1 и если, кроме того, (M5) Fxa a = Fx.

Такое отображение F является морфизмом. Если это изоморфизм, то будем называть его Z -изоморфизмом.

4.9. Предложение Отображение F : является Z -морфизмом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

4.10. Следствие (a) F непрерывно;

(b) F эквивариантно, т. е. a F = F a ;

(c) ограниченное F на множество ={ : lim d ( x, x ) = x ={: lim d( x, x F ) = = 0} является биекцией на множество F x = 0} (здесь d, d — метрики, совместимые с топологиями на, соот ветственно).

Очевидно, из (M1) – (M5) вытекают свойства (a) – (c). Предположим те перь (a) – (c) выполненными. Так как отображение F непрерывно, существу ет такое конечное множество M Z, что (F )0 зависит только от |M.

Положим M = M {M + : 0 }. В силу компактности можно   выбрать такое конечное множество M M, что для любого M существует, удовлетворяющее условию |M = |M.

Положим M (x) = M + x и определим отображение Fx : M (x) x равенством Fx ( x ) = (F )0.

Ясно, что мы получим (M1), (M2), (M4) и (M5). При, X,   {M (x) : xX} возьмем x0 и пусть = x0 |M. Тогда суще ствует такое, что |M = |M = x0 |M. Следовательно, ес ли x, то |M + (x x0 ) = x0 |M + (x x0 ) в силу определения M.

Заметим теперь, что Fx ( |M (x)) = Fx x xx0 ( x0 |M + (x x0 )) = = Fx x xx0 ( |M + (x x0 )) = (F xx0 )0 = (F )xx0, откуда вытекает (M3).

4.10. Следствие (a) Всякий эквивариантный гомеоморфизм F : является Z -изоморфизмом.

(b) Для любой Z -решетчатой системы Z, 0, ( ) существу ет Z -изоморфизм F : Z, 0, ( ) Z, 0, ( ), состоит из двухточечных множеств {x, y}, в которых x и y —   где |xi yi | = 1.

ближайшие соседи, т. е.

i= 90 Глава Утверждение (a) непосредственно вытекает из предложения 4.9.

Чтобы доказать (b), положим M (x) = {y Z : max |xi yi | l}, где i l 0 выбрано так, что если x, то M (x). Пусть x = M (x)   и пусть, в соответствии с приведенной выше формулировкой, = {{x, y} : x и y — ближайшие соседи}.

  Для {x, y} положим   {x, y} = {(, ) M (x) M (y) : |M (x) M (y) = |M (x) M (y)}.

Отображение F :, для которого (F )x = (x )x, является эквивари антным гомеоморфизмом и, тем самым, в силу (а) — Z -изоморфизм.

4.11. Замечание К Z -морфизмам и трансляционно-инвариантным взаимодействиям можно непосредственно применить результаты главы 2. В частности, ес Z, 0, ( ) и F является Z -морфизмом, то F ли Z, 0, ( ), как следует из оценки нормы в параграфе 2.3.


4.12. Предложение Пусть F : Z, 0, ( ) Z, 0, ( ) является Z -морфизмом. Тогда (a) Если — произвольное -инвариантное состояние на, то s( ) s(F ) и (AF ) = (F )(A ).

(b) Если F является Z -изоморфизмом, то P F = P.

Так как S({M (x) : x} ) S (F ), мы получаем s( ) s(F ).

Далее, 1 (F ) ) = (AF ) = X |X | X 1 ( F ) = = X |X | X 0 X : {M (x) : xX}=X = (F )( X ) = | {M (x) : x X}| X : {M (x) : xX} 1 (F )( ) = (F )(A ).

= X |X| X 4.13. Ограничение на подгруппу G   Это доказывает утверждение (a);

(b) следует из (a) и вариационного прин ципа для P (теорема 3.12).

4.13. Ограничение Z на подгруппу G Пусть G — подгруппа конечного индекса в Z (в этом случае G изо морфна Z ) и Z, 0, ( ) — Z -решетчатая система. Выберем множество M (0) Z так, чтобы оно содержало по одному элементу из каждого смежного класса Z mod G и положим M (x) = M (0) + x, x G.

Семейство M (x) xG является разбиением множества Z, и конструкция примера 2.2 приводит к изоморфизму F : Z, 0, ( ) G, M (0), ( ).

(Заметим, что этот изоморфизм не является Z -морфизмом, если G = Z.) Будем говорить, что G-решетчатая система G, M (0), ( ) получена из Z, 0, ( ) ограничением на подгруппу G. Этот объект опре делен однозначно с точностью до G-изоморфизма вследствие произвола в выборе множества M (0).

4.14. Предложение Z, 0, ( ) и = (F 1 ) Предположим, что (мы определяем (F )x как отображение ограничения M (a) x при x M (a)). Тогда G, M (0), ( ) ) и (a) если — любое G -инвариантное состояние на, то x (A );

(A F ) = xM (0) (b) давление для взаимодействия и группы G вычисляется по фор муле P = |M (0)|P ;

аналогично, если A — непрерывная действительная функция на, то A x F 1 = |M (0)|P (A).

P xM (0) 92 Глава Включение следует из оценки нормы в параграфе 2.3 и G-ин   вариантности взаимодействия.

По определению (F 1 ) (F |X) = A (F ) = XG = (|X ).

XG X : {aG : X M (a)=}=X Для каждого конечного множества Y Z и каждого x M (0) в пра вой части этого равенства присутствует в точности один сдвиг X множе ства Y + x на элемент группы G. Поэтому справедливо (a).

Утверждение (b) вытекает из вариационного принципа для P (теоре ма 3.12), утверждения (a) и следующих легко проверяемых фактов:

(i) энтропия меры относительно G равна энтропии меры x и, следовательно, энтропии меры = |M (0)|1 x относительно G;

xM (0) (ii) энтропия меры относительно группы G равна энтропии этой меры относительно Z, умноженной на |M (0)|.

4.15. Неразрешимость и непериодичность Приведем некоторые любопытные факты, касающиеся Z -решетчатых систем (подробное изложение утверждений (a) – (c) см. в Робинсон [1]).

(a) Обозначим через множество двухточечных подмножеств ре шетки Z, состоящих из ближайших соседей (см. следствие 4.10(b)).

Зададим конечное множество 0 и трансляционно-инвариантное семей ство ( ), где (0 ). Тогда проблема выяснения, определяют ли эти данные непустое пространство конфигураций = { (0 )Z : ( ) | } алгоритмически неразрешима (см. Бергер [1]).

(b) Среди Z2 -решетчатых систем, описанных в пункте (a), найдется такая, в которой нет периодических конфигураций: если и a =, то a = 0. Соответствующий пример с |0 | = 56 и нулевой топологической энтропией (см. § 6.20) построен Робинсоном [1]. Существование Z 2 -решет чатой системы без периодических конфигураций служит составной частью доказательства свойства неразрешимости, упомянутого в пункте (a), и, в свою очередь, следует из этого свойства.

Библиографические указания (с) Робинсон [1] построил систему того же типа с |0 | = 36, для ко торой неразрешима следующая проблема продолжения: для произвольного конечного Z2 и для выяснить, существует ли такое, что | =.

(d) Пусть K(l) = {x Z2 : |x1 | l}. Используя Z2 -ре l, |x2 | шетчатую систему из (с), определим наименьшую функцию F : N N со следующим свойством: элемент K(l) продолжается до некоторо го тогда и только тогда, когда он может быть продолжен до некото рого K(F (l)). Вследствие неразрешимости проблемы из пункта (c) функция F невычислима. В частности, она очень быстро возрастает. Таким образом, хотя условия | наложены лишь на множества,,   образованные парами соседних точек, влияние этих условий распространя ется на очень большие расстояния.

Библиографические указания Добрушин [2] показал, что трансляционно-инвариантные гиббсовские состояния являются равновесными состояниями. Обратное установили Лэн форд и Рюэль [1]. Эквивалентность этих двух понятий, занимающая цен тральное место в статистической механике, является основным результатом настоящей главы. В качестве приложения мы доказали, следуя Гриффитсу и Рюэлю [1], теорему о «строгой выпуклости давления». Оставшаяся часть главы посвящена общим результатам, касающимся морфизмов, совмести мых с действием группы Z.

4.16. Упражнения 1. Пусть A1, A2, где — конечное множество. Предположим, что существует 0 I, для которого 0 [A1 · (A2 x )] не имеет предела при x. Показать, что тогда для некоторого взаимодействия най- дется такое эргодическое равновесное состояние, что (A 1 · (A2 x )) не имеет предела при x. Отсюда, в частности, следует, что не является чистым гиббсовским состоянием для взаимодействия. (См. Израэль [1], теорема 5. Положим 1 (bx A1 · (A2 x ) + bx (A1 x ) · A2 ) : bx R, = |bx | xZ xS 94 Глава и будем действовать, как в лемме 3.19. Это даст нам состояние (не обяза тельно эргодическое) с требуемым свойством. В его эргодическом разложе нии найдется состояние с тем же свойством, которое, в силу теоремы 1.11, не является чистым гиббсовским состоянием.) 2. Предположим, что =, т. е. = (0 )Z. Пусть 0 —   подпространство таких взаимодействий, что ( ) = для всех пар непересекающихся конечных множеств, M и всех M.

Если 0 = {0, 1}, то пусть 1 — подпространство таких взаимодей ствий, что (|X) = 0 во всех случаях, кроме одного, а именно, когда x = 1 при всех x. Доказать для = 0и = 1 следующие утверждения.

(a) Если — общее гиббсовское состояние для,, то =. (b) Если взаимодействия, физически эквивалентны, то = =.

(c) Ограничение P на строго выпукло.

(См. Гриффитс и Рюэль [1]. Чтобы доказать утверждение (a), заметим, что в силу замечания 1.14 supp =. Так как является гиббсовским состоянием, отношение exp[U ( ) W, Z \ ( )], exp[U ( ) W, Z \ ( )] где,, Z \, одинаково для взаимодействий и. В случае подпространства = 0 определим для конечного X «частичный след»

TX : X равенством (TX A)() = lim |M \X |1 A((|X) ).

M Z M \X Используя отображение T, можно показать, что разность U ( ) U ( ) одинакова для и. Отсюда индукцией по |X| получаем |X = |X.

= 1, взяв, для которого x = 0 при всех x Z \, В случае опять приходим к заключению, что разность U ( ) U ( ) для взаимо действий и — одна и та же, откуда получаем |X = |X. Для доказательства утверждений (b) и (c) см. § 4.7.) Упражнения 3. Пусть 0 = {0, 1}. Предположим, что если для некоторого конечно го Z элемент (0 )Z удовлетворяет условию | и x = при x, то. Показать, что результаты упражнения 2 с / =     можно обобщить на такую Z -решетчатую систему (она называется «ре шетчатым газом с твердой сердцевиной»).

ГЛАВА Одномерные системы Теория гиббсовских состояний на «решетке» Z лучше всего понята в одномерном случае (при = 1), к изучению которого мы приступаем.

Z-решетчатая система (Z, 0, ( ) ) называется также подсдвигом   конечного типа. Заметим, что теперь a можно рассматривать как a-ю сте пень «сдвига» = 1.

Переходя к Z-изоморфной системе (см. следствие 4.10(b)), мы можем предположить, что состоит из двухточечных множеств {x, x + 1}. Пусть t — квадратная матрица, индексированная множеством 0 0, с элемен тами 1, если (i, j) {x, x+1}, tij = 0, если (i, j) {x, x+1}.

/ В таком случае (0 )Z является элементом множества, если и только если tx, x+1 = 1 при всех x Z.

В дальнейшем будет удобно использовать для этой Z-решетчатой систе мы обозначение (0, t). Мы будем предполагать, что при любом i существует, для которого 0 = i.

Будем говорить, что Z-решетчатая система является транзитивной, ес ли действует на топологически (+)-транзитивно 1, т. е. если для любых двух непустых открытых множеств U, V и любого N 0 найдется такое n N, что U n V =. Транзитивность системы (0, t) эквива лентна выполнению следующего условия: для любых i, j 0 найдется такое целое a 0, что (ta )ij 0.

Будем говорить, что Z-решетчатая система является перемешивающей, если действие на пространстве топологически перемешивает, т. е. если для любых двух непустых открытых множеств U, V найдется та кое N 0, что U n V = при всех n N. Для системы (0, t) переме шивание эквивалентно существованию такого целого a 0, что (t a )ij при всех i, j 0.

1 См. приложение A.2.

5.1. Лемма Пусть 1 = 1 (Z, 0, ( ) ) — банахово пространство трансляци     онно-инвариантных взаимодействий с нормой ||||1 = || + ||1, (5.1) где diam X sup |()| ||1 = (5.2) |X| X X и diam{x1,..., xl } = xl x1, если x1... xl. Заметим, что     и || · ||1 || · || (см. также ниже замечание 5.17).

Пусть R {x Z : x a}, S {x Z : x a}. Если 1, то   сумма WR, S корректно определена даже для бесконечных множеств R, S;

при этом |WR, S ()| |(|X)| ||1. (5.3) X : XR=, XS= 5.1. Лемма Если F : (Z, 0, ( ) ) (Z, 0, ( ) ) является Z-мор физмом и 1 (Z, 0, ( ) ), то F 1 (Z, 0, ( ) )     и отображение F непрерывно.

Из параграфа 2.3 следует, что |F | |M (0)| · ||, и, аналогичным образом, |F |1 |M (0)| · [(diam M (0)) · || + ||1 ].

Нижеследующие теоремы 5.2 и 5.3 показывают, что изучение гибб совских состояний для Z-решетчатой системы с взаимодействием   сводится к изучению гиббсовских состояний для перемешивающих Z-ре шетчатых систем.

5.2. Теорема Для всякой Z-решетчатой системы (Z, 0, ( ) ) существует ко () нечное число транзитивных систем (0, t() ) и инъективных Z-морфиз мов () F () : (0, t() ) (Z, 0, ( ) ) 98 Глава таких, что (a) образы F () () не пересекаются;


(b) каждое гиббсовское состояние для взаимодействия 1 явля   ется выпуклой комбинацией гиббсовских состояний F () (), где () — () гиббсовское состояние для F () на (0, t() ), (c) если является периодической точкой (т. е. p = при некотором p 0), то принадлежит одному из множеств F () ().

5.3. Теорема Для всякой транзитивной Z-решетчатой системы (Z, 0, ( ) ) при некотором N 0 существует N перемешивающих N Z-решетчатых () систем2 (0, t() ) и N инъективных N Z-морфизмов () F () : (0, t() ) (N Z, M (0), ( ) ), где система (N Z, M (0), ( ) ) получена из (Z, 0, ( ) ) огра ничением Z на подгруппу N Z со следующими свойствами:

(a) образы F () () образуют разбиение пространства и циклически переставляются отображением, (b) если 1 (Z, 0, ( ) ) и — соответствующее взаи   модействие для системы (N Z, M (0), ( ) ), определенное в пред ложении 4.14, то каждое гиббсовское состояние для является выпук лой комбинацией гиббсовских состояний F () (), где () — единственное () гиббсовское состояние для F () на (0, t() ), (c) если — периодическая точка и p =, то p кратно N.

Для доказательства сформулированных теорем предположим, не огра ничивая общности, что (Z, 0, ( ) ) = (0, t). Тогда существует такое целое J 0, что (t2J )ij 0, если и только если (tJ )ij 0. [Очевидно, можно найти такие целые k, l 0, что l 2k и (tk )ij 0 в том и только том случае, когда (tl )ij 0. Возьмем J = l 2 kl и заметим, что J = lk+(l2k)l, 2J = ll + (l 2k)l.] Введем отношение порядка j) (tJ )ij 0.

(i () 2 Используя изоморфизм -решетчатую систему ( 0, t() ) N, мы рассматриваем как N -решетчатую систему.

5.4. Лемма Оно не зависит от выбора J (так как i j эквивалентно выполнению при любом целом J 0 неравенства (tJJ )ij 0). Кроме того, из i j, j k вытекает, что i k. На множестве {i 0 : i i} определим отношение эквивалентности, положив jиj (i j) (i i).

Обозначим через [i] класс эквивалентности точки i, порожденный этим отношением. Порядок на классах эквивалентности определяется следу ющим образом3:

([i] [j]) (i j).

5.4. Лемма Пусть a, b Z, a b и = {x Z : aJ x bJ}, M = {x Z : (a 1)J x (b + 1)J}.

Тогда существует такое K 0, не зависящее от a, b, что если, Z\M и [(a1)J ] = [(a1)J ] [(b+1)J ] = [(b+1)J ], то (M µ(M ) ){} K(M µ(M ) ){}. (5.4) Сперва заметим, что если, и | = |, то exp[U (|M ) WM, Z\M ()] K1 exp[U ( |M ) WM, Z\M ( )], где K1 = exp[2 2 (2||1 + J||)]. Поэтому exp[U ( |M ) WM, Z\M ( )] : |=, |(Z\M )= exp[U ( |M ) WM, Z\M ( )], (5.5) K : |=, |(Z\M )= 3 Определение классов эквивалентности и порядка на них, аналогичное изложенному, явля ется стандартным в теории цепей Маркова;

см., например, Чунг [1], I, § 3.

100 Глава где K2 = |0 |2J K1. Просуммировав по и поменяв местами и, получим exp[U ( |M ) WM, Z\M ( )] : |(Z\M )= (K2 )1 exp[U ( |M ) WM, Z\M ( )]. (5.6) : |(Z\M )= Деление (5.5) на (5.6) приводит к неравенству (5.4) с K = (K 2 )2.

5.5. Доказательство теорем 5.2 и 5. Для любых классов [i] и [j] определим функцию C на пространстве равенством 1, если lim [nJ ] = [i] и lim [nJ ] = [j], n n+ C() = 0 в противном случае.

Для всякой вероятностной меры на функция C принадлежит ал гебре на бесконечности (см. § 1.10) и, следовательно, если — чистое (= экстремальное) гиббсовское состояние, то эта функция почти всюду равна нулю или единице. Поэтому для любого чистого гиббсовского состояния, отвечающего взаимодействию, существуют такие (однозначно опре   деленные) классы [i] и [j], что -почти всюду lim [nJ ] = [i], lim [nJ ] = [j].

n n+ Предположим сначала, что [i] = [j]. Для любого 0 найдется та кое N, что { : [nJ ] = [i] для n N и [nJ ] = [j] для n N } 1.

Так как — гиббсовское состояние, мы можем оценить вероятность p того, что [N J ] = [i], в терминах µ(M ) {}, где M — достаточно большой интервал с центром в точке N J и при n 0, [i] [nJ ] = при n 0.

[j] 5.5. Доказательство теорем 5.2 и 5. То же самое относится и к вероятности p+ того, что [nJ ] = [i]. Из лем мы 5.4 с учетом трансляционной инвариантности получим p Kp+.

Это неравенство несовместимо с неравенствами p 1, p+, если выбрано достаточно малым. Поэтому предположение [i] = [j] необходимо отбросить.

Покажем теперь, что при [i] = [j] существует только одно чистое гибб совское состояние. Пусть, M выбраны так же, как в лемме 5.4, и пусть [nJ ] = [nJ ] = [i] при всех n. Зафиксировав, рассмотрим разность µ() {} = (M µ(M ) ){} 1 (M µ(M ) ){} 0.

K Тогда µ() {} = 1 K 1.

||µ() || = Если, — гиббсовские состояния, то ( ){} = (Z\M (d) Z\M (d))µ() {}.

Поэтому || ||(1 K 1 ) || || = lim || ( )|| a, b и, следовательно, || || = 0.

Таким образом, мы показали, что для каждого чистого гиббсовского состояния на (0, t) существует такой класс [i], что мера сосредоточена на множестве [i] = { : [nJ ] = [i] при любом n Z}.

Пусть, [i] и 0 a J;

тогда (ta )ia 0 и (tJa )a i для некоторых i, i [i]. Так как (tJ )i i 0, мы имеем (t2J )a a 0.

Отсюда видно, что a a и, следовательно, a и a принадлежат одному и тому же классу [j]. Тем самым, a [i] [j]. Аналогичным образом, Ja [j] [i], так что a [i] = [j].

Пусть — множество таких классов [j], что [j] = a [i] при a Z (или, что то же самое, 0 a J). Если [j], [k] и [j] [k], то, как мы покажем, [j] = [k]. Действительно, найдется такое a, 0 a J, 102 Глава что a [k] = [j] и, следовательно, (ta )kj 0 при некоторых j [j], [k] означает, что (tJ )jk 0. Но тогда k [k]. С другой стороны, [j] (l+1)a+lJ )kj 0 при всех целых l 0. Взяв l = J 1, получим k (t j и, значит, [j] = [k]. Таким образом, мы доказали, что различные классы [j], [k] несравнимы.

() Обозначим через 0 0 объединение классов [j]. Пусть t() — () () ограничение матрицы t на множество 0 0. Положим () () () = { (0 )Z : tx x+1 = 1 для всех x Z} и введем отображение вложения F () : (). Пусть F () () и lim [nJ ] = [j] и lim [nJ ] = [k]. Тогда [j] [k] и, следовательно, [j] = n n = [k], [j]. Поэтому F () () = [j]. (5.7) [j] Теперь мы можем доказать теорему 5.2. Прежде всего ясно, что для () любых j, k 0 найдется такое a 0, что (ta )jk 0 и, значит, система () () (0, t ) транзитивна. Легко видеть, что F () является Z-морфизмом;

здесь главное — проверить, что если (), то F () F () (). Так как в силу (5.7) можно предположить, что F () [j], мы действительно получаем F () [i] F () ().

Различные множества классов [i] можно считать непересекающи мися, что доказывает п. (a) теоремы 5.2. Вспомним теперь, что носитель каждого чистого гиббсовского состояния для взаимодействия 1 на   содержится в одном из множеств [i] и, следовательно, в одном из мно жеств F () (). Поэтому ограничение такого состояния на () являет ся гиббсовским состоянием для ограничения взаимодействия на множе () ство {X : X конечно}, т. е. для F (). Это доказывает утверждение (b).

Утверждение (c) доказывается непосредственно.

Для доказательства теоремы 5.3 предположим, что система ( 0, t) транзитивна, т. е. что имеется только одно и = (). Пусть N — число различных классов [j] в. Тогда множества [j] циклически переставляют ся под действием с периодом N и (5.7) принимает вид N [i].

= (5.8) = 5.6. Следствия теорем 5.2 и 5. Отображение x N x является изоморфизмом группы Z на ее под группу N Z. Ограничение Z на N Z в (0, t) дает N Z-решетчатую систему, которую (ввиду изоморфизма Z N Z) можно рассматри вать как Z-решетчатую систему (, t ). Здесь = [0, N ) и ес 0 ли,, = (0, 1,..., N 1 ), = (0, 1,..., N 1 ), мы полагаем t = tN 1 0. При = 0, 1,..., N 1 положим () 0 = {(0, 1,..., N 1 ) : [i]}. Если, принадлежат различ () () () ным 0, то t = 0. Пусть t() — ограничение t на 0 0. Положим () () () = { (0 )Z : tx x+1 = 1 при всех x Z} и пусть F () : () — отображение вложения. Тогда F () () = [i] = [j] () при некотором [j]. Так как N — делитель J, система (0, t() ) является перемешивающей в силу определения классов эквивалентности [j]. Теперь утверждение (a) теоремы 5.3 следует из (5.8). Чтобы доказать (b), заметим, что если 1 (0, t), то соответствующее взаимодействие на (, t )   принадлежит 1 (, t ). Поэтому достаточно применить теорему 5.2(b) и   доказанное выше утверждение, что чистое гиббсовское состояние сосредо точено на некотором [j]. Утверждение (c) доказывается непосредственно.

5.6. Следствия теорем 5.2 и 5. Пусть (Z, 0, ( ) ) — Z-решетчатая система и — взаимодей   ствие из 1. Тогда (a) если система (Z, 0, ( ) ) транзитивна, то существует единственное равновесное состояние4, которое совпадает с единственным трансляционно-инвариантным гиббсовским состоянием;

его носителем яв ляется все пространство ;

(b) если система (Z, 0, ( ) ) — перемешивающая, то существу ет единственное гиббсовское состояние;

(с) в условиях теоремы 5.2 (при A ) () P = max P F P (A) = max P (A F () );

, 4 Единственностьравновесного состояния можно доказать при несколько меньших ограни чениях на функцию A, чем условие A = A, 1. См. § 7.14.

104 Глава (d) в условиях теоремы 5.3 при всех () P = N 1 P F P (A) = N 1 P ((A + A +... + A N 1 ) F () ).

, В транзитивном случае инвариантное гиббсовское состояние обязано иметь вид N 1, N = где — гиббсовское состояние, имеющее носитель в [i], и, следовательно, единственное. В силу замечания 1.14 supp = [i]. Таким образом, су ществует самое большее одно инвариантное гиббсовское состояние, и его носитель совпадает с. Так как всегда существует по крайней мере одно равновесное состояние, из теоремы 4.2 вытекает утверждение (a). Утвер ждение (b) доказывается непосредственно, а утверждение (c) вытекает из вариационного принципа для P (см. теорему 3.12) и предложения 4.12(a).

Наконец, утверждение (d) следует из (c) и предложения 4.14(b).

5.7. Теорема Пусть, 1 для транзитивной Z-решетчатой системы и, —   соответствующие равновесные состояния. Тогда =, если и только если существуют такие c R и C, что A A = c + C C. (5.9) В этой формуле постоянная c однозначно определяется по разности, а функция C — с точностью до аддитивной постоянной.

Если выполняется (5.9), то P (A +B) = P (A +B)+c для всех B (теорема 3.4) и, следовательно, = (теорема 3.7).

Обратно, пусть =. Вследствие выпуклости P мера является рав новесным состоянием для (1 t) + t при всех t [0, 1]. Таким образом, мы оказываемся в ситуации параграфа 4.6: мера — гиббсовское состояние для (1 t) + t при t [0, 1] и, следовательно, при всех действитель ных t (последнее доказывается с помощью аналитического продолжения).

Так как — трансляционно-инвариантное гиббсовское состояние и наша Z-решетчатая система транзитивна, следствие 5.6(a) показывает, что ме ра — равновесное состояние для (1 t) + t при всех действительных t.

5.7. Теорема Пусть = и c = (A ). Тогда max[s() + (A ) + t(A )] = s() + (A+t ) = P + ct I при всех t R. Отсюда следует, что (A ) = c для всех I, или A A = c + B, (5.10) где (B) = 0 при всех I. В частности, если точка имеет период n, то n B( j ) = 0. (5.11) j= Так как наша Z-решетчатая система транзитивна, существует точка с плотной орбитой = { k : k Z}. Определим на функцию C равен ством k B( i ), если k 0, j= C( k ) = B( j ), если k 0.

j=k m. Если = k, = l Пусть, и x = x при |x| и k l, то l B( j ) C( ) C( ) = j=k и k+x = l+x при |x| m. Для достаточно большого m существует, для которого lk = и x = x при k m x l + m. Используя (5.11), получаем l [B( j ) B( j )].

C( ) C( ) = j=k j j Если ( )x = ( )x при |x| r, то |B( j ) B( j )| = |A ( j ) A ( j )| 1 sup |()|. (5.12) |X| X X 0 : diam Xr 106 Глава Поэтому 1 sup |()| |C( ) C( )| |X| X r=m X 0 : diam Xr diam X sup |()|.

|X| X X 0 : diam Xm Так как 1, последнее выражение мало, если m велико. Отсюда сле   дует, что C продолжается до непрерывной функции на. Очевидно, C C = B.

Поэтому (5.9) вытекает из (5.10).

Из построения видно, что постоянная c единственна, а функция C определяется с точностью до аддитивной константы.

5.8. Перемешивающие Z-решетчатые системы На основании теорем 5.2 и 5.3 мы можем сосредоточить внимание на перемешивающих Z-решетчатых системах. Итак, будем считать, что систе ма (0, t) перемешивает. Обозначим через Z, Z, Z и Z множества целых чисел, которые соответственно 0, 0, 0 и 0. Положим = { (0 )Z : tx x+1 = 1 при всех x Z } и аналогичным образом определим,,. Ограничив 1 (0, t)   на подмножества пространств Z, Z, Z, Z, получим взаимодействия,,,.

5.9. Лемма (a) Существует единственное гиббсовское состояние (соответ ственно,,, ) на пространстве (соответственно, на,, ) для взаимодействия (соответственно, для,, ).

(b) Существует такое K 0, что (d ) (d ) exp[WZ, Z ( )] = K(d( )), где — единственное гиббсовское состояние для взаимодействия на.

5.9. Лемма (c) Для всякого 0 найдется такое n(), что если B ( ),   ||B|| 1 и B(, ) не зависит от x при |x| n(), то (d( ))B(, ) (d( ))(d( ))B(, ).

Утверждение (a) доказывается так же, как единственность гиббсовского состояния с носителем в [i], (см. § 5.5 и лемму 5.4), но с заменой Z на Z (соответственно, Z, Z, Z ) и [i] — на 0.

Так как 1, функция exp[WZ, Z ] непрерывна взаимодействия на множестве. Отсюда, пользуясь определением гиббсовского состо яния, получаем утверждение (b).

Рассмотрим решетчатую систему (L, (x )xL, ( ) ), где L = Z = = Z Z, x = 0, = {{x, x + 1} : x Z и x = 0}, {x, x+1} = {(x, x+1 ) : tx x+1 = 1}.

Пространством конфигураций этой системы служит, а взаимо действие определим равенством (|X) = (|X) при X Z или X Z и равенством (|X) = 0 в противном случае. В силу опреде ления гиббсовского состояния и утверждения (a) существует только одно гиббсовское состояние для, а именно, (обобщение этой кон струкции см. в упражнении 4 главы 2).

Теперь можно применить теорему 1.11(C) c функцией A(, ) = 2 exp W ( ), K где W = WZ, Z. Из утверждения (b) следует, что если B ( ),   ||B|| 1 и B() не зависит от x при |x| n, то при достаточно больших n (d ) (d )B(, ). (5.13) (d( ))B(, ) Аналогичным образом, положив A(, ) = (d ) exp W ( ) K (d ) exp W ( ), 108 Глава получим при достаточно больших n (d ) (d )B(, ) (d( ))(d( ))B(, ) /2. (5.14) Сравнение (5.13) с (5.14) дает (c).

5.10. Теорема Пусть — взаимодействие из класса 1 для перемешивающей Z-ре   шетчатой системы (0, t) и — единственное гиббсовское состояние. Ес ли содержит больше одной точки, то динамическая система (,, ) изоморфна сдвигу Бернулли.

Очевидно, множества Ai = { : 0 = i} образуют некоторое разби ение A пространства. Согласно теореме Фридмана – Орнстейна (см. при ложение A.4.6) достаточно показать, что разбиение A является слабо-бер нуллиевским для системы (,, ). Это означает, что для любого найдется такое n(), что при всех n n() и k, l |([nk, n][n, n+l] ){ }, ([nk, n] ){} · ([n, n+l] ){}|. (5.15) Пусть B( ) равно ±1 в зависимости от знака разности в левой ча сти (5.15). Если |[n k, n] = и |[n, n + l] =, положим B(, ) = B( ). При таком выборе функции B неравенство (5.15) вытекает из леммы 5.9(c).

5.11. Трансфер-матрица и оператор Представим в виде = 0, где 0 0,, и по заданной мере µ на определим меру M µ на равенством (M µ)(A) = µ(d )A(0 ) exp[U{0} (0 ) W{0}, Z (0 )].

5 См. Галавотти [1], Ледрапье [1].

5.11. Трансфер-матрица и оператор   Из определения гиббсовского состояния вытекает, что мера M пропор циональна гиббсовскому состоянию для на. В этом можно убедиться следующим образом6.

Введем статистические суммы Z([0, n]) = exp[U[0, n] W[0, n], [n+1, ) ([0, n] )], [n+1, ), [0, n] [0, n] Z([1, n]) = exp[U[1, n] W[1, n], [n+1, ) ([1, n] )], [n+1, ).

[1, n] [1, n] Положим = M. Из определения и непосредственно выводится, что при всех n (1) = ([n+1, ) )(d)Z([0, n]) /Z([1, n]) и при всех [0, n] [0, n] ([0, n] ){[0, n] } = ([n+1, ) )(d) exp[U[0, n] W[0, n], [n+1, ) ([0, n] )] Z([0, n]).

Z([0, n]) Z([1, n]) Отсюда видно, что для вероятностной меры = / (1) при = [0, n] выполняются соотношения (1.14), (1.15), в первом из которых роль L\ Z([0, n]) играет вероятностная мера ([n+1, ) )(d) 1. Но если это (1) Z([1, n]) верно для = [0, n], то верно и для любого [0, n] (ср. § 1.6). Поэто му в соответствии с определением из § 1.5 мера является гиббсовским состоянием для на.

Тогда, по лемме 5.9(a), M = при некотором 0. Определим отображение 1 :, следуя параграфу 3.1. Очевидно, 1 =. Пусть = 1 M. Тогда =. (5.16) 6 Приводимое ниже рассуждение добавлено при переводе. — Прим. ред.

110 Глава Оператор, действующий на меры, называется трансфер-матрицей. Со   пряженный к нему оператор на ( ) определяется равенством   A( 1 (0 )) exp[U{0} (0 ) W{0}, Z (0 )].

( A)( ) =   Заметим, что [A · (B Z Z )] = ( A) · B (5.17)     для любых A, B ( ). Как мы увидим в дальнейшем, изучение оператора приведет к важ   ным результатам, касающимся гиббсовских состояний и давления экспо ненциально убывающих взаимодействий.

5.12. Функция Определим на пространстве функцию, положив ( ) = 1 (d ) exp[WZ, Z ( )], K где K — постоянная из леммы 5.9(b). В силу этой леммы при всех A ( ) ( · A) = (A Z );

(5.18) в частности, ( ) = 1.

Так как система (0, t) — перемешивающая и — гиббсовское со стояние для (соответственно, — гиббсовское состояние для ), мы знаем, что supp =, supp = (5.19) (см. замечание 1.14). Из определения видно, что d1 ( ) d (5.20) при некотором d 0. В силу (5.17) и (5.18) (( ) · B) = ( [ · (B Z Z )]) =     = ( · (B Z Z )) = (B Z ) = (( ) · B), 7 См. (5.3). — Прим. ред.

5.13. Предложение откуда, используя (5.19), получаем =. (5.21)   5.13. Предложение Для собственного значения операторов     и, определенного в (5.21) и (5.16), справедливо соотношение log = P.

В силу (5.20) и теоремы 3. 1 n n log = lim n log ( ) = lim n log( 1)( ) =     n n = lim n log exp[U{n+1,..., 0} (n+1... 0 ) n n+1... W{n+1,..., 0}, Z (n+1... 0 )] = P.

5.14. Оператор Ввиду (5.20) равенство A = ( )1 · 1 ( · A)   определяет ограниченный оператор на ( ). Очевидно, 1 = 1, (A 0) = ( A 0) и, следовательно, || || = 1.

Заметим также, что в силу (5.17) n [A · (B (Z Z )n )] = ( n A) · B, (5.22) если B ( ).

112 Глава 5.15. Лемма Функции (d )A( ) exp[WZ, Z ( )], K · ( ) где A ( ) и ||A|| 1, равномерно ограничены и равностепенно непре   рывны на пространстве.

n Пусть — множество таких функций. Тогда B, если B ( ), ||B|| 1 и B( ) зависит только от 1,..., n.

  Отображение ( ), определенное соответствием   exp[WZ, Z (· )], непрерывно. Отсюда следует ограниченность и равностепенная непрерыв ность. Включение n B проверяется прямым вычислением.

5.16. Предложение Если B ( ), то   n lim B = (B Z ), (5.23) n lim n n B = (B) ·, (5.24) n причем сходимость равномерна на компактных подмножествах простран ства ( ), в частности, на.

  Так как || || = 1, достаточно доказать (5.23) в предположении, что B( ) зависит только от 1,..., N, где N — некоторое натуральное число.

В этом случае по лемме 5.15 последовательность ( n B) имеет равномер но сходящуюся подпоследовательность. Пусть B — ее предел. Используя сначала (5.22), затем тот факт, что — чистое гиббсовское состояние, и теорему 1.11, и наконец (5.18), получим для всех C ( )   n ( · B · C) = lim ( · B · C) = n [B · (C (Z Z )n )]) = = lim ( · = lim ( · B · (C (Z Z )n )) = = lim ((B Z ) · (C Z n )) = = (B Z ) · (C Z ) = (B Z ) · ( · C).

5.17. Замечание Из (5.19) и (5.20) теперь следует, что B — константа: B = (B Z ), и мы приходим к соотношению (5.23), а из него непосредственно вытекает (5.24).

Так как || n || = 1 при любом n 0, сходимость в (5.23) и (5.24)   равномерна на компактных множествах.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.