авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Д. РЮЭЛЬ Термодинамический формализм Перевод с английского Б. М. Гуревича УДК 530.132, 514.74 Интернет-магазин • физика ...»

-- [ Страница 3 ] --

5.17. Замечание Множество X Z будем называть (конечным) интервалом, если X = l}. Для любого 1 найдется такое 1, = [k, l] = {x : k x что (a) (|X) = 0, если X не является интервалом, (b) U = U, если — интервал, (c) W, M = W,M, если и M — интервалы, (d) || || = || ||1 ||||1.

Действительно, пусть удовлетворяет условию (a) и (|[k, l]) рав но сумме величин (|X) по всем множествам X, для которых k и l являют ся соответственно наименьшим и наибольшим элементами. Тогда свойства (b) и (с) очевидны, а (d) вытекает из (5.1) и (5.2).

С учетом (b), (c) и (d) для целей данной главы было бы достаточно использовать вместо пространства 1 подпространство, состоящее из взаимодействий, удовлетворяющих условию (a).

5.18. Экспоненциально убывающие взаимодействия Пусть = (Z, 0, ( ) ), где 0 1, — банахово про странство трансляционно-инвариантных взаимодействий, для которых (|X) = 0, если X — не интервал, с нормой |||| = sup diam X sup |()|. (5.25) X X Такие взаимодействия мы будем называть экспоненциально убывающими.

Если разрешить принимать комплексные значения, мы получим вме сто комплексное банахово пространство с нормой (5.25).

C Заметим, что 1 и (1 )2 || · ||.

|| · || Если, то и || · || || · ||.

114 Глава Если множество M (0) в определении Z-морфизма F : (Z, 0,     ( ) ) (Z, 0, ( ) ) является интервалом (такой выбор M (0)   всегда возможен) и, то F (Z, 0, ( ) ). Нетруд но проверить, что ограничение Z на некоторую подгруппу N Z заменяет на, где = N. Поэтому можно применять теоремы 5. и 5.3, не покидая области экспоненциального убывающих взаимодействий.

Учитывая это, мы часто будем ограничиваться перемешивающими Z-ре шетчатыми системами.

Для последующего заметим, что отображение F () из теоре- мы 5.3 линейно и непрерывно на пространстве (0, t), переводит его () N в (0, t() ) и продолжается до C-линейного непрерывного отображе () N ния (0, t) (0, t() ).

C C 5.19. Пространство и связанные с ним пространства ¤ Для A (соответственно для A ( )) положим varn A = sup{|A() A( )| : x = x при |x| n} (соответственно, varn A = sup{|A( ) A( )| : x = x при 1 x n}).

Обозначим через (соответственно через ) подпространство простран ¦ ¦ ства (соответственно ( )), состоящее из функций A c ||A|| = sup(2n1 varn A) n (соответственно ||A|| = sup(n varn A) ).

n Эти величины определяют нормы на фактор-пространствах F и F про и по подпространству постоянных функций, причем F странств ¦ ¦ и F являются банаховыми пространствами относительно этих норм, а ¦ и — банаховыми пространствами относительно нормы ¦ |A| = max(||A||, ||A|| ).

Аналогичным образом можно определить комплексные банаховы простран ства C, C, FC, FC, состоящие из комплекснозначных функций.

¦¦ 5.20. Предложение 5.20. Предложение Образом пространства при отображении A является про   странство.

Если x = x при |x| n, то A () A ( ) = (( |X) (|X)), X где суммирование ведется по всем таким X, что 0 является «средним»

элементом множества X в лексикографическом порядке (см. § 3.2) и diam X 2n. Поэтому 2|||| 2n+ 2|||| k = varn A · k=2n+ и, следовательно, A.

Обратно, если A, то A = An, где An и [n, n] n= ||An || varn1 A при n 0. Поэтому A = A, где выбрано так,   что (|[n, n]) = An () и (|X) = 0, если X не получено сдвигом из некоторого интервала [n, n]. Для дальнейшего заметим, что отображе ние A может быть выбрано линейным и, следовательно, имеющим C-линейное непрерывное продолжение C.

  C 5.21. Теорема Предположим, что система (0, t) транзитивна. Пусть A, A и, — соответствующие равновесные состояния. Тогда = в том и только том случае, когда существуют постоянная c R и функ ция C, для которых A A = c + C C. (5.26) Выбрав такие,, что A = A и A = A (см. предложе   ние 5.20), мы оказываемся в ситуации теоремы 5.7 и должны лишь доказать, что если, и =, то имеет место равенство (5.26) с C.

  Для этой цели воспользуемся конструкцией функции C в доказательстве теоремы 5.7.

116 Глава Если ( j )x = ( j )x при |x| 0, то вместо (5.12) имеем r, r |B( j ) B( j )| = |A ( j ) A ( j )| 2|||| 2r+ s = 2 sup |()| 2||||, s=2r+1 [0, s] s=2r+ откуда следует, что 4|||| 4|||| 2r+1 = 2m+1.

|C( ) C( )| (1 )(1 2 ) 1 r=m Тем самым, C.

  5.22. Замечания (a) Если система (0, t) — перемешивающая, то (5.26) эквивалентно равенству [((A A) x (A A)) ((A A))2 ] = xZ (см. упражнение 5(c)).

(b) Отображение : C C C непрерывно на пространстве F и переводит его в некоторое замкнутое подпространство. Из доказательства теоремы 5.21 видно, что существует непрерывное обратное отображение 1 : F F.

5.23. Лемма Пусть (0, t), где (0, t) — перемешивающая система. Тогда (a) функции и ( )1 принадлежат пространству ;

  (b) если A, то   n c1 varn+k A + c2 k ||A||, vark A где c1, c2 — постоянные (зависящие от и ).

Вначале заметим, что если A, A, то A · A и     ||A · A || ||A|| · ||A || + ||A|| · ||A ||. (5.27) 5.24. Предложение и inf |A( )| 0, то A1 Кроме того, если A и     ||A1 || ||A1 ||2 · ||A||. (5.28) При любом k справедливо неравенство 2|||| m+n = k+1.

vark WZ, Z ( ·) 2|||| (5.29) (1 ) m=0 n=k+ Поэтому определение функции (см. § 5.12) дает включение.

  Из (5.20) и (5.28) теперь получаем ( )1, что доказывает (a).

  Согласно параграфам 5.11 и 5. ( · A) = n n (d ) exp[WZ, Z ( ·)] K [A Z n ( ·)], откуда с помощью (5.29), получим vark n n || || varn+k A + ck ||A||, ( · A) где c — постоянная (зависящая от и ). Это неравенство вместе с (5.27) приводит к утверждению (b).

5.24. Предложение Пусть (0, t), где (0, t) — перемешивающая система. Тогда   оператор отображает пространство в себя и определяет ограни ченный оператор S на банаховом пространстве F, введенном в парагра фе 5.19, со спектральным радиусом, строго меньшим единицы.

Из леммы 5.23 вытекает, что отображает пространство в себя.

  Так как 1 = 1 (см. § 5.14), то, перейдя к фактор-пространству по под пространству констант, мы получим отображение S : F F. В силу пункта (b) леммы 5. vark S n A c1 varn+k A + c2 k var0 A. (5.30) С другой стороны, так как множество {A ( ) : |A| 1} ¤ 118 Глава компактно в ( ), из предложения 5.16 следует, что для любого   найдется n, при котором var0 S n A ||A||. (5.31) В силу (5.30) и (5.31) vark S 2n A = c1 varn+k S n A + c2 k var0 S n A c1 (c1 var2n+k A + c2 n+k var0 A) + c2 k ||A|| (c2 2n + c1 c2 n + c2 )||A|| k и, следовательно, ||S 2n A|| (c2 2n + c1 c2 n + c2 )||A||.

Если выбрано достаточно малым, а n — достаточно большим, то норма оператора S 2n : F F строго меньше единицы. Но тогда и спектраль ный радиус оператора S меньше единицы.

5.25. Замечание Из того, что спектральный радиус оператора S меньше единицы, вы текает экспоненциальное убывание корреляций (см. упражнение 4(c)).

5.26. Теорема Предположим, что (0, t) — транзитивная система. Тогда функ ция P на является вещественно-аналитической функцией.

Предположим сначала, что система (0, t) перемешивает. Если, C то формула A( 1 (0 )) exp[U{0} (0 ) W{0}, Z (0 )] ( A)( ) = определяет ограниченный оператор на пространстве C и явля ется целой аналитической функцией из пространства в пространство C 8 Cм. § 5.11;

различные банаховы пространства, используемые здесь, определены в парагра фах 5.18 и 5.19.

5.27. Следствие ограниченных операторов на C. В самом деле, для любого 0 отображе   ние пространства C в C, задаваемое формулой   { U{0} (0 ) + W{0}, Z (0 )}, является C-линейным и непрерывным и, следовательно, аналитическим, а так как функция exp : C C также аналитична, аналитическим     является и отображение { exp[U{0} (0 ) W{0}, Z (0 )]} пространства в C. Отсюда и из (5.27) вытекает аналитичность отоб   C ражения. Если вещественно, т. е., то A = · · ( · A) и предложение 5.24 показывают, что спектр оператора состоит из {} и множества, содержащегося в круге {z : |z| 1 }, где 1. С помощью стандартного рассуждения отсюда выводится, что отображение, а следовательно, и P продолжается до аналитической функции в окрестности множества. C Общий случай транзитивной системы (0, t) сводится к случаю пере мешивающей системы при помощи теоремы 5.3. Действительно, согласно следствию 5.6(d) () P = N 1 P F, а отображение F (), как отмечено в параграфе 5.18, продолжается до C-линейного, непрерывного и, следовательно, аналитического отображе () N ния пространства (0, t) в (0, t() ).

C C 5.27. Следствие Предположим, что система (0, t) транзитивна. Тогда функция P на пространстве является вещественно-аналитической.

  Представим отображение A P (A) в виде A P = P (A ) = P (A), где A продолжается до аналитического отображения (см.

  C C замечание в конце доказательства предложения 5.20).

120 Глава 5.28. Дзета-функция Для любой Z-решетчатой системы (0, t) и любой функции A   положим Fix m = { : m = }, m A( k x) Zm (A, ) = exp xFix m k= и введем степенной ряд m Zm (A, ) z.

(zeA ) = exp (5.32) m m= По теореме 5.2 каждая -периодическая точка содержится в одном из множеств F () (). Поэтому (zeA ) разлагается на множители, соответ ствующие транзитивным Z-решетчатым системам. В случае, когда система (0, t) транзитивна, из теоремы 5.3 следует, что Zm (A, ) = 0, если m не кратно числу N, и ZnN (A, ) = N Zn (A + A +... + A N 1 |(), N |() ), (zeA ) = N |() (z N exp(A + A +... + A N 1 )|() ).

Величина Zn (A, ) — это статистическая сумма с периодическими граничными условиями. Методы главы 3 показывают, что если система (0, t) перемешивает, то lim m log Zm (A, ) = P (A).

m Следовательно, степенной ряд (5.32) сходится при |z| exp[P (A)] к неко торой голоморфной функции. В силу пунктов (c) и (d) следствия 5.6 это утверждение остается справедливым даже для случая, когда система ( 0, t) не является перемешивающей или транзитивной. Нетрудно проверить, что при z = exp[P (A)] ряд (5.32) расходится. Таким образом, радиус сходи мости ряда (5.32) равен exp[P (A)] и при |z| exp[P (A)] этот ряд определяет голоморфную функцию, которая называется дзета-функцией (ассоциированной с функцией A).

Сейчас мы покажем, что если функция A принадлежит простран ству, то область аналитичности дзета-функции может быть расширена.

5.29. Теорема 5.29. Теорема Пусть (0, t) — перемешивающая система и A  . Тогда суще ствует такое R(A) exp[P (A)], что m zm dA (z) = (zeA )1 = exp A( k ) exp m m=1 Fix m k= продолжается до аналитической функции в круге {z : |z| R(A)} с един ственным нулем;

этот нуль находится в точке z = exp[P (A)] и является простым.

Согласно предложению 5.20 A = A, где. Положим если diam X (X), n, (n) (X) = если diam X n.

0, Тогда n+ |||| l = |||| ||A A( n) ||.

ln Для целых m 0 положим 1, n m A( k ), a(m) = exp Fix m k= m A( n) ( k ) = b(m, n) = exp Fix m k= m1 n = exp (|[k, k + l]).

Fix m k=0 l= Нетрудно проверить, что справедливо неравенство a(m) |||| mn+1 1.

1 exp b(m, n) 9 Эта теорема анонсирована в работе Рюэля [6];

см. также упражнение 7.

122 Глава Пусть (0, 1). Если n = [m] (целая часть числа m), то a(m) |||| |||| mm exp mm.

1 (5.33) 1 b(m, [m]) Очевидно, m m b(m, [m]) z [a(m) + b(m, [m])] z.

dA (z) = exp m exp m m=1 m= Если r — радиус сходимости первого ряда в правой части этого тождества, то в силу (5.33) второй ряд сходится при |z| r/. Поэтому достаточно доказать теорему для m b(m, [m]) z d (z) = exp m m= вместо dA (z).

Определим на пространстве ([1, n] ) оператор L(n) равенством   (L(n) B)(1,..., n ) = = B(0,..., n1 ) exp[U{0} (0 ) W{0}, {1,..., n} (0 1... n )].

Определим обычным образом след оператора, действующего на конечно мерном пространстве ([1, n] ). Нетрудно проверить, что tr Lm = b(m, n).

  (n) Следовательно, b(m, n) можно оценить в терминах собственных значений оператора L(n). Заметим, что каждое собственное значение оператора L (n) является собственным значением оператора (n) : C C, определен- (n) ного как оператор для взаимодействия. Мы знаем из доказательства теоремы 5.26, что отображение — целая аналитическая функция на пространстве, где. В частности, существует такое r 0, что C при достаточно больших n оператор (n) имеет только одно собственное значение, по модулю превосходящее r 1. Это собственное значение (n) — положительное и простое;

при n оно стремится к = exp P. Сле довательно, при достаточно больших n |b(m, n) m | |[1, n] | · r m.

(n) Представим d (z) в виде zm.

1 m b(m, [m]) + m d (z) = exp m (([m]) z) ) exp m ([m]) m=1 m= 5.30. Замечание Радиус сходимости первого ряда равен 1, а второго — не меньше, чем r /|0 |. Взяв, для которого r /|0 | 1, мы видим, что утвер ждение теоремы достаточно доказать для (z)m m mz m d (z) = exp exp ([m]) + m.

m m=1 m= Первый множитель здесь равен exp log(1z) = 1z. Чтобы исследовать второй множитель, мы воспользуемся неравенством |m m m · (max(, ([m]) ))m1 · |([m]) |.

([m]) | В силу теоремы 5.26 функция аналитична на пространстве.

  Заменив на, где 1, получим C || (n) ||, |(n) | || (n) || (/ )n+1 ||||.

Поэтому радиус сходимости ряда m mz m ([m]) m m= не меньше, чем ( · (/ ) )1, а так как мы можем устремить к единице, не меньше, чем 1/. Это завершает доказательство теоремы.

5.30. Замечание Функция z (zeA ), вообще говоря, не допускает мероморфного про должения на всю комплексную плоскость. В работе [2] Галлавотти построил контрпримеры того типа, что описан в упражнении 8.

Библиографические замечания Основным фактом статистической механики одномерных систем яв ляется «отсутствие фазовых переходов». В частности, существует только одно гиббсовское состояние: это верно для перемешивающих систем и вза имодействий из пространства 1 (см. следствие 5.6(b)). Единственность   124 Глава гиббсовского состояния была независимо доказана Рюэлем [2] с помощью метода трансфер-матрицы и Добрушиным [3], применившим другие мето ды. В этой главе мы обобщили идею Добрушина и выяснили структуру гиббсовских состояний, не предполагая перемешивания (см. теоремы 5. и 5.3). Заметим, что случай взаимодействий конечного радиуса, сводящийся к теории марковских процессов, уже давно был понят физиками. Напомним также, что перемешивающие системы с «дальнодействием» ( \ 1 )     могут иметь несколько гиббсовских состояний, как это видно из парагра фа 3.2110.

Любопытная теорема 5.7 и ее специальные случаи — теорема 5.21, следствие 7.10(c) и замечание 7.11 — появились в работах Лившица [1], [2] и Синая [4] (см. также статью Боуэна [6]).

Трансфер-матрица, отвечающая взаимодействию 1, сопряжена с   оператором ;

для трансфер-матрицы справедлив аналог теоремы Перона – Фробениуса11. имеет положительное собственное значение, которое сов падает со спектральным радиусом;

это собственное значение равно exp P.

Спектральные свойства связаны с кластерными свойствами гиббсовского состояния и аналитическими свойствами дзета-функции. Приведенные фак ты оправдывают изучение оператора, которое мы провели при помощи нового метода.

Единственность гиббсовского состояния — это один аспект «отсутствия фазовых переходов» в одномерных системах. Другой его аспект проявляется в вещественной аналитичности давления P, ограниченного на подходящее подпространство взаимодействий. Мы рассмотрели экспоненциально убы вающие взаимодействия и установили аналитичность функции P, показав, что exp P является изолированным собственным значением оператора (здесь мы использовали идею работы Араки [1] по одномерным кванто вым спиновым системам;

см. Синай [4] и Рюэль [5], приложение B). В па раграфе 5.28 была введена дзета-функция для подсчета -периодических точек, взятых со стандартными для статистической механики весами. Она имеет полюс в точке exp(P ), соответствующей собственному значению exp P оператора. Другие свойства систем с экспоненциально убыва ющими взаимодействиями будут приведены в упражнениях (в частности, 10 В параграфе 3.21 мы следовали Израэлю [1], который доказал существование взаимодей ствий (без их явного построения) с несколькими гиббсовскими состояниями. Простые примеры таких взаимодействий были ранее известны благодаря работе Дайсона [1]. Другие примеры получены в моделях Фишера [1] и кратко изложены в упражнении 8.

11 См., например, книгу Гантмахера [1].

Упражнения экспоненциальное убывание корреляций). Эти свойства окажутся полезны ми при изучении пространств Смейла в главе 7.

Хотя сильное условие на взаимодействие типа экспоненциального убы вания кажется необходимым для доказательства того факта, что exp P — изолированное собственное значение оператора, аналитические свойства   давления P можно получить при менее ограничительных условиях. Это следует из одного красивого и довольно неожиданного результата Добру шина [4]. К сожалению, его доказательство является трудным, а условия, наложенные на решетчатую систему, — по-видимому, слишком точными.

Поэтому за формулировкой доказательством теоремы Добрушина мы отсы лаем читателя к оригинальной работе.

Упражнения 1. Пусть 0 — конечное множество и t = 0 — квадратная матрица с эле ментами tij, i, j 0, принимающими целые неотрицательные значения.

Введем множество = {(i, j, m) 0 0 Z : m tij } и положим t j, m)(k, l, n) = 1, если j = k, и t j, m)(k, l, n) = 0 в противном случае. То (i, (i, гда (, t ) является Z-решетчатой системой, для которой мы будем также употреблять обозначение (0, t) (мы предполагаем, что = ). (a) Предположим, что tij принимает только значения 0 и 1, так что (0, t) является Z-решетчатой системой. Если и x = (i, j, 1), положим (F )x = i. Показать, что отображение F : (0, t ) (0, t) является Z-изоморфизмом.

(b) Показать, что Z-решетчатая система, полученная ограничением Z на N Z и применением группового изоморфизма Z N Z, Z-изоморфна системе (0, tN ) (см. Вильямс [1]).

2. Пусть (0, t) — перемешивающая Z-решетчатая система и I.

Для 0 обозначим через p (0 ) условную вероятность того, что |{0} = 0, при условии, что |Z =. Положим g () = = log p (0 ). Тогда g определено -почти всюду, g 0 и g d = s() (см. Биллингслей [1], § 13).

Пусть 1 и — соответствующее гиббсовское состояние. Дока зать, что g продолжается до непрерывной функции на пространстве, для 126 Глава которой мы используем то же обозначение g, причем ( 1 (0 )) exp[U{0} (0 ) W{0}, Z (0 )] g () = log.

· ( ) Доказать, что g d g d при всех I, а равенство выполняется лишь при = (см. Пэрри [2], а также Кин [1] и Ледрапье [2]).

3. Пусть, 1 (0, t), где (0, t) — перемешивающая система, и  , — соответствующие гиббсовские состояния. Доказать, что (a) если A ( ) и n 0, то n (A Z ) = (( A) Z ).

Если A, B ( ), то ((A Z ) · (B Z n )) = ((( n A) Z ) · (B Z )).

(b) Положим A x, Zn+1 = exp x=n n + A x Zn = exp x= и определим меру как слабый предел:

= lim (Zn+1 )1 exp A x · = n x=n n = lim (Zn )1 exp + A x ·.

n+ x= Показать, что = · exp[A A P + P ].

(Утверждение (b) принадлежит Синаю: см. Гуревич и Оселедец [1]. Для существования и равенства использовать лемму 5.9(a). Очевидно, = = C exp A ·, где C = lim Zn+1 /Zn = lim (Zn )1/n = exp(P P ) n n в силу предложения 4.4.) Упражнения 4. Пусть (0, t), где (0, t) — перемешивающая система и —   соответствующее гиббсовское состояние. Доказать следующие утвержде ния.

(a) Если 0 A ([1, m] ), то || m (A [1, m], Z )|| c(A [1, m] ) при некотором c, не зависящем от A и m.

(b) Если 0 A ([1, m] ) и (A [1, m] ) 0, то m+n (A [1, m], Z ) 1 eabn, (A [1, m] ) где действительные числа a, b не зависят от A и m, причем b 0.

(c) (Экспоненциальное убывание корреляций.) Если 0 A [m+1, 0] и 0 B [n+1, n+m], то eabn (A)(B).

|(AB) (A)(B)| (d) Если A иB [n+1, ), то (, 0] eabn (|A|)(|B|).

|(AB) (A)(B)| (e) При b min(b, 2| log |) существует такое действительное a, что если A, B, то |(A · (B x )) (A)(B)| ea b |x| ||A|| ||B||.

При фиксированных и M 0 постоянные a и b можно выбрать так, что это неравенство будет выполняться для всех с |||| M.

[Утверждение (a) вытекает из доказательства леммы 5.23, причем c можно сделать непрерывной функцией от |||| при фиксированном. Из (a) и предложения 5.24 вытекает утверждение (b), в котором a и b могут быть выбраны непрерывными функциями от |||| (чтобы убедиться в этом, ис пользуйте аналитичность по, где 1, и тот факт, что   множество { : |||| M } компактно в ). Утверждения (c) и (d) полу   чаются из (b) и упражнения 3(a). Чтобы доказать (e), представьте функции A и B в виде A = An, B = Bn, как в доказательстве предложения 5.20.] 5. Пусть (0, t) — перемешивающая система и = A — единственное равновесное состояние для A. Для B1,..., Bl положим l Dl (B1,..., Bl ) = P A+ si Bi.

s1... sl s1 =... =sl = i 128 Глава Тогда (a) D1 (B1 ) = (B1 );

(b) D2 (B1, B2 ) = [(B1 · (B2 x )) (B1 )(B2 )];

xZ (c) отображение B1 D2 (B1, B1 ) определяет положительно полу определенную квадратичную форму на. Его ядром служит множество   {c + C C : c R, C }, которое, тем самым, не зависит от   функции A. Кроме того, существует такое R 0, что [D 2 (B1, B1 ))1/ R||B1 ||.

(d) При всех p R (mod 2) eipx ((B1 · (B1 x )) (B1 )(B1 )) 0.

xZ С учетом упражнения 4(e) утверждение достаточно доказать (b) в слу чае, когда A, B1, B2, где — конечное множество. Перейдя к Z-изо морфной системе (см. доказательство следствия 4.10(b)), можно считать, что A = A {0}, B1 = B1 {0}, B2 = B2 {0}, где A, B1, B2 (0 ). Положим U (0 ) = exp[A(0 ) + sB2 (0 )] и определим на пространстве [n, n] вероятностную меру n, s так, чтобы n, s {(n,..., n )} было пропорционально произведению U (n )tn n+1 U (n+1 )... tn1 n U (n ).

В силу единственности гиббсовского состояния термодинамический предел мер n, s равен A+sB2. Нетрудно проверить, что n d (B {0},[n,n] ) = [n,s ((B1 {0},[n,n] )(B2 {x},[n,n] )) n,s ds x=n n, s (B1 {0}, [n, n] )n, s (B2 {x}, [n, n] )].

При |x| выражение в квадратных скобках экспоненциально убывает равномерно по n (и по s при достаточно малых s). Поэтому lim d n, s (B1 {0}, [n, n] ) = ds n [A+sB2 (B1 · (B2 x )) A+sB2 (B1 )A+sB2 (B2 )], = xZ Упражнения и, следовательно, d [A+sB2 (B1 · (B2 x )) A+sB2 (B1 )A+sB2 (B2 )], A+sB2 (B1 ) = ds xZ () что доказывает (b). Неравенство D 2 (B1, B1 ) 0 следует из выпуклости P.

В частности, если D 2 (B1, B1 ) = 0, то D2 (B1, B2 ) = 0. Равенство () позволяет с помощью индукции по l вычислить D l и установить, что ес ли D2 (B1, B1 ) = 0, то Dl (B1,..., Bl ) = 0 при l 2. Следовательно, dl A+sB1 (B2 )/dsl 0 при s = 0 и l 1, а так как s A+sB1 (B2 ) — веще ственно-аналитическая функция, она является константой. Вид ядра отоб ражения B1 D2 (B1, B1 ) определяется теперь при помощи теоремы 5.21.

Оценка D2 (B1, B1 ) R2 (||B1 || )2 следует, например, из упражнения 4(e).

Чтобы доказать утверждение (d), заметим, что в пространстве L 2 (, ) су ществует унитарный оператор V, для которого V 1 = 1 и V B = B. С его помощью рассматриваемое выражение можно представить в виде eipx (B1 1, B1 ), V x (B1 1, B1 ).

xZ 6. Пусть (0, t) — Z-решетчатая система. Тогда (a) для любой непрерывной функции A : C радиус сходимости степенного ряда в правой части равенства m zm (zeA ) = exp A( k ) exp m m=1 Fix m k= (а также ряда для (zeA )1 ) не меньше, чем exp[P (Re A)];

(b) функции A (eA ) и A (eA )1 голоморфны в «выпуклой цилиндрической области» {A : P (Re A) 0} банахова пространства непре рывных функций A : C.

7. Пусть (0, t) перемешивающая система. Тогда на пространстве C   существует такая действительная непрерывная функция R, что (a) R(A) exp[P (Re A)];

m zm A( k ), то функция (b) если dA (z) = exp exp m m=1 Fix m k= (z, A) dA (z) аналитична в области {(z, A) C C: |z| R(A)};

  130 Глава (c) если функция A действительна, то R(A) eP (A) и функция dA (·) имеет только один нуль в круге {z : |z| R(A)}. Этот нуль находится в точке z = exp[P (A)] и является простым.

[Утверждение (c) следует из теоремы 5.29, в которой R e P, а R можно считать непрерывной функцией на : следуя доказательству этой   теоремы, положим eP (A) / = r /|0 |, если 1, R(A) = P (A) если e /, 1, где log r + P (A) =.

log |0 | log В силу упражнения 6 функция (z, A) dA (z) голоморфна на множестве {(z, A) C C : |z| exp[P (Re A)]}. Представим функцию A C в     виде A = B +iC, где B, C. Пользуясь теоремой 5.29 при действитель   ных t и упражнением 6 при остальных t, мы можем оценить производные dn d B+tC (z)|z=0, () dz n а затем с помощью конформного отображения и формулы 1 log |f (rei )| d log |f (0)| (теорема Йенсена) получить новые оценки этих производных. Благодаря этому функцию R можно продолжить непрерывным образом с на C     так, чтобы выполнялись условия (a) и (b).) 8. Пусть 0 = {0, 1} и взаимодействие определено равенством если X — интервал и x = 1 при всех x X, |X|, (|X) = в противном случае.

Пусть n Wn = (n k + 1)k, C= k.

k=1 k= Упражнения Проверить, что m A ( k ) = z d log(1 z) + log(1 zeC )+ zm exp dz m=1 Fix m k= z z k eWk + log 1z k= и, следовательно, (zeA )1 = (1 zeC ) 1 z 1 + z k eWk.

k= (Введенный здесь потенциал соответствует модели Фишера [1], см. также Галлавотти [2]).) 9. Пусть (0, t), где (0, t) — перемешивающая система, и   — соответствующее гиббсовское состояние. Для A и конечного интервала Z положим A () = ||1/2 [A( x ) (A)], x (A · (A x )) (A)2 = D2 (A, A) D= 0.

xZ Пусть — гауссовская вероятностная мера (1/ 2D)et /2D dt на R, ес ли D 0, и вероятностная мера 0, сосредоточенная в точке 0, если D = 0.

(a) При всех целых n (2n)! Dn lim (A2n+1 ) = 0.

lim (A2n ) =, n! 2n || || (b) (Центральная предельная теорема.) При || мера A слабо сходится к. В действительности, если функция : R R растет не быстрее, чем полиномиально, то (A )() ().

(c) (Обобщение.) Для A=(A1,..., Am ) : Rm, где A1,..., Am, положим A () = ||1/2 [A( x ) (A)], x Ai · (Aj ) (Ai )(Aj ) = D2 (Ai, Aj ).

x Dij = xZ 132 Глава Тогда матрица (Dij ) неотрицательна. Предположим (для простоты), что она имеет обратную матрицу (ij ). Пусть — гауссовская вероятностная мера (2)m/2 (det(Dij ))1/2 exp 1 ij tij dt1... dtm.

i, j Тогда (A )() () при || для любой непрерывной функ ции : Rm R, которая растет не быстрее, чем полиномиально.

[Заметим сначала, что D = D 2 (A, A) 0 в силу упражнения 5, при чем D = 0 только тогда, когда A = c + C C, где c R, C.

  Утверждение (a) вытекает из упражнения 4. Далее, (2n)! Dn (t2n ) = (t2n+1 ) = 0;

, n! 2n поэтому (A )() (), если — многочлен, и утверждение (b) вытекает из того факта, что мера однозначно определяется своими моментами.

Наконец, утверждение (c) можно легко доказать с помощью теоремы Вика (см., например, Саймон [1], предложение I.2).] ГЛАВА Обобщение термодинамического формализма В этой главе мы распространим некоторые результаты предыдущих глав на более общий случай. Доказательства будут изложены кратко, но при этом будут даны ссылки на соответствующую литературу (в самом в тексте или в библиографических замечаниях в конце главы). Обобщение заклю чается в замене пространства конфигураций более общим компактным метризуемым пространством, на котором группа Z действует гомеомор физмами.

6.1. Основные определения Пусть — непустое компактное метризуeмое пространство и x x — представление группы Z гомеоморфизмами пространства ( 0 — тожде ственное преобразование и x+y = x y ). Обозначим через банахову   алгебру () непрерывных действительных функций на с равномерной   нормой. Вероятностные меры на (называемые также состояниями) об разуют выпуклое компактное метризуемое подмножество слабо дуального к пространства ( состоит из действительных мер на и снабжено       слабой топологией). Множество I инвариантных относительно состояний выпукло, компактно и является симплексом Шоке (см. приложение A.5.5).

Крайние точки множества I называются эргодическими состояниями, и так как I — метризуемый симплекс, каждое состояние I допускает един ственное разложение на эргодические состояния, называемое эргодическим разложением (см. приложение A.5.6).

Мы воспользуемся метрикой d, совместимой с топологией простран ства, но результаты не будут зависеть от конкретного выбора метрики.

6.2. Разделимость траекторий Z -действие на пространстве называется разделяющим траекто рии1, если существует такое 0, что d( x, x ) при всех x Z = =.

1В оригинале — expansive. — Прим. ред.

134 Глава Число называется разделяющей константой (относительно метрики d).

Нетрудно проверить, что действие на пространстве, рассмотренное в главе 3, разделяет траектории.

Предположим, что разделяет траектории и — разделяющая констан та. Тогда для любого 0 найдется такое L 0, что d( x, x ) при всех |x| L = d(, ). (6.1) (Это вытекает из компактности пространства.) 6.3. Покрытия Семейство A = (Ai ) подмножеств пространства называется покры тием, если Ai = ;

A называется конечным покрытием, если множество i индексов i конечно, и открытым (соответственно, борелевским, измери мым) покрытием, если Ai — открытые (соответственно, борелевские, изме римые) множества. Разбиение — это покрытие, для которого A i Aj = при i = j.

Пусть A = (Ai ) и B = (Bj ) — покрытия пространства. Покры тие A B состоит из множеств Ai Bj. Это определение распростра няется на любое конечное число покрытий. Покрытие x A состоит из множеств x Ai. Положим A = x A, x |A| = card{i : Ai = }, diam A = sup diam Ai, i где diam Ai — диаметр множества Ai относительно метрики d.

Пусть A = (Ai ) — открытое покрытие компактного метризуемого множества. Тогда существует такое 0 (число Лебега), что если diam X, то X Ai при некотором i. (Это вытекает из компактно сти.) Предположим, что — разделяющий гомеоморфизм с разделяющей константой и diam A. Тогда для всякого 0 существует конечное множество Z, для которого diam A. (6.2) (Это следует из (6.1).) 6.4. Энтропия Если A — покрытие пространства и B — подсемейство семейства A, также являющееся покрытием, мы будем говорить, что B — подпокрытие.

Очевидно, |B| |A|.

6.4. Энтропия Для меры I и конечного борелевского разбиения A пространства положим H(, A) = (Ai ) log (Ai ) i (где 0 log 0 = 0). Тогда существует предел 1 H(, A ) = inf 1 H(, A ).

h (, A) = lim (6.3) || || (Доказательство. Следуя главе 3, положим = (0 )Z, где 0 = {Ai }.

Существует такая мера I,2 что H(, A ) = S( ) для всех конеч ных Z и, значит, можно применить теорему 3.10.) Нетрудно проверить, что для любого непустого конечного Z h (, A) = h (, A ). (6.4) Величина h() = h () = sup h (, A) A называется (средней) энтропией меры ;

это неотрицательное число или +. Энтропия является инвариантом абстрактной динамической си стемы (,, ) (при = 1 он называется инвариантом Колмогорова – Синая).

6.5. Предложение Пусть I и A — борелевское разбиение пространства. Тогда (a) h (, A) h() при diam A 0, вследствие чего функция h (·) аффинна на I ;

(b) если разделяет траектории и — разделяющая константа, то h (, A) = h () при diam A, в частности, если разделяет траек тории, то функция h (·) полунепрерывна сверху на I.

2 Здесь и ниже используются обозначения главы 3;

в частности, I — это множество -инва риантных мер на. — Прим. ред.

136 Глава [Доказательство, данное Боуэном (см. [6], § 2A) для = 1, легко рас пространяется на общий случай. Вначале доказывается (см. упражнение 1), что h (, A) h (, B) H(, A B) H(, B), (6.5) а затем — тот факт, что при любом A (неотрицательную) правую часть неравенства можно сделать как угодно малой, выбрав diam B достаточно близким к нулю. Отсюда следует утверждение (a). В условиях утвержде ния (b) из (6.2) и (6.4) следует, что h (, A) = h () при diam A. Для любого I покрытие A можно выбрать таким, что diam A и границы элементов Ai покрытия A имеют -меру 0. Тогда функция H(, A ) непрерывна в точке при каждом и, следовательно, в силу (6.3) энтропия h (·) = h (·, A) полунепрерывна сверху в той же точке3.] 6.6. Давление Пусть A — конечное покрытие пространства. Для всякой функ и всякого конечного множества Z определим стати ции A   стическую сумму A( x ) :

Z (A, A) = min exp sup Bj x j {Bj } — подпокрытие покрытия A.

Очевидно, Z+x (A, A) = Z (A, A). (6.6) Нетрудно также проверить, что если 1 2 =, то Z1 2 (A, A) Z1 (A, A) · Z2 (A, A). (6.7) Положим P (A, A) = lim |(a)|1 log Z(a) (A, A) = inf |(a)|1 log Z(a) (A, A).

a a (6.8) То, что предел существует и равен inf, следует из субаддитивности функ ции a log Z(a) (A, A), которая имеет место в силу (6.6), (6.7) (см. при ложение A.1.4). Очевидно, (|A| exp ||A||)||.

exp(|| · ||A||) Z (A, A) (6.9) 3 Cм. приложение A.1.3. — Прим. перев.

6.7. Другие определения давления В силу первого из неравенств (6.9) P (A, A). Используя (6.7) и вто рое из неравенств (6.9), мы можем сравнить Z (A, A) со статистической суммой для объединения непересекающихся сдвигов множества (a), со держащихся в. Это приводит к соотношению lim sup 1 log Z (A, A) = P (A, A). (6.10) || Предполагая A конечным открытым покрытием пространства, мож но доказать, что существует предел lim P (A, A) = P (A) = P (A), (6.11) diam A который конечен или равен +. [См. Боуэн [6], предложение 2.8. Идея состоит в том, что если B — открытое покрытие и каждый его элемент B j содержится в некотором Ai, то P (A, A) P (A, B) +, где — макси мум колебания функции A на множестве Ai, т. е. = max sup{|A() i A()| :, Ai }. Это, в частности, верно, если diam B является числом Лебега для A.] Предел P (A), определенный в (6.11), называется (тополо гическим) давлением функции A.

  Если имеется последовательность (или сеть) открытых покрытий A и для каждого A существует такое непустое конечное множество Z, что diam A 0, то P (A, A) P (A). (Доказательство похоже на доказатель ство равенства (6.11): если diam B служит числом Лебега для A, то Z(a) (A, A) Z(a)+ (A, B) exp[|(a)| + (|(a) + | |(a)|)||A||] и, следовательно, P (A, A) P (A, B) +.) В частности, если разделяет траектории и diam A — разделяющая константа, то P (A, A) = P (A).

6.7. Другие определения давления Пусть снова A и A — конечное открытое покрытие пространства.

  Определим новую статистическую сумму:

(1) A( x ) :

Z (A, A) = min exp inf Bj j x (Bj ) — подпокрытие покрытия A.

Тогда Z (A, A) e||, 1 (1) Z (A, A) 138 Глава где — максимум колебаний функции A на множествах из A. Нетрудно проверить, что lim sup 1 log Z (A, A) = (1) P (A) = lim || diam A0 = sup lim sup 1 log Z (A, A).

(1) || A В этой формуле можно заменить на (a) и — на a. Кроме того, lim inf 1 log Z(a) (A, A).

(1) P (A) = lim diam A a |(a)| Пусть S — конечное подмножество пространства. Будем говорить, что S является (, )-разделенным, если, S и = влечет d( x, x ) при некотором x.

Будем называть множество S (, )-плотным, если для любого существует такое S, что d( x, x ) при всех x.

Теперь можно определить статистические суммы (2) A( x ) : S является (, )-разделенным, Z (A, ) = sup exp x S (3) A( x ) : S является (, )-плотным.

Z (A, ) = inf exp x S Очевидно, при i = 2, lim sup 1 log Z (A, ) (i) || возрастает при убывании. Доказывается (Уолтерс [1], § 1), что P (A) = lim lim sup 1 log Z (A, ) = lim lim sup 1 log Z(a) (A, ) (i) (i) 0 || 0 a |(a)| (см. упражнение 2). Кроме того, 1 log Z (i) (A, ).

P (A) = lim lim inf (a) |(a)| 0 a 6.8. Свойства давления Если разделяет траектории, то нет необходимости полагать diam A или 0 в формуле для давления (в этом и предыдущем параграфах), до статочно взять diam A или равным разделяющей константе. В частности, 1 log Z P (A) = lim (a) (A, A) = |(a)| a 1 log Z (1) (A, A) = = lim (a) |(a)| a 1 log Z (i) (A, ), = lim i = 2, 3.

(a) |(a)| a Таким образом, определение давления, данное в теореме 3.4, является спе циальным случаем приведенного здесь.

6.8. Свойства давления Имеет место альтернатива: либо P (A) = + для всех A, либо   P (A) конечно для всех A. В последнем случае функция P выпукла и   не убывает (т. е. A B влечет P (A) P (B));

кроме того, она непрерывна:

|P (A) P (B)| ||A B|| и обладает следующими свойствами:

P (A + B x B + t) = P (A) + t (t R), P (A + B) P (A) + P (B), |P (A)| P (|A|).

(Простые доказательства имеются в статье Уолтерс [1], теорема 2.1.) 6.9. Действие Для любых целых a1,..., a 0 положим ax = (a1 x1,..., a x ).

Z -действие a определяется равенством ( a )x = ax. Нетрудно проверить, что h (, A) = 1 h a (, A(a) ), (6.12) |(a)| 1 Pa A x, A(a) P (A, A) = (6.13) |(a)| x(a) (Боуэн [6], лемма 2.9).

140 Глава 6.10. Лемма Пусть B — конечное открытое покрытие пространства и — конечное подмножество решетки Z. Тогда существует такое борелевское разбиение B пространства, что (a) каждый элемент разбиения B содержится в некотором элементе покрытия B ;

(b) каждая точка принадлежит замыканию не более чем ||·|B| элементов B.

[См. Боуэн [6], лемма 2.12. Идея состоит в следующем. Разбиение единицы, подчиненное B, порождает отображение :, где — (|B| 1)-мерный симплекс. Пусть = ( x )x : ;

тогда в качестве B можно выбрать прообраз при отображении подходящего разбиения (|B| · || ||)-мерного множества.] 6.11. Лемма Если A — борелевское разбиение пространства и каждая точ ка содержится в замыкании не более чем M элементов разбиения A, то h(, A) + (A) P (A) + log M. (6.14) [См. Боуэн [6], лемма 2.11. Пусть A (i = 1, 2,... ) — непустые эле i менты разбиения A. Для каждого i выберем такое i A, что i A( x ) (A ) A( x i ).

(d) i x x A i Тогда ||1 H(, A ) + A x h (, A) + (A) x (A ) log (A ) + A( x i ) || i i i x 1 x || log exp A( i ).

i x Пусть B — такое конечное открытое покрытие пространства, что каждый элемент разбиения B пересекает не более чем M элементов разбиения A, 6.12. Теорема (вариационный принцип) и пусть B = (Bj ) — какое-нибудь подпокрытие покрытия B. Для каждо го A выберем Bj i ;

тогда при отображении A Bj каждый элемент i i покрытия B имеет не более M || прообразов. Теперь из очевидного нера A( x i ) A( x ) следует, что венства sup x Bj x ||1 log M || sup A( x ).

h (, A) + (A) Bj x j Взяв минимум по всем подпокрытиям (Bj ), получим log M + ||1 log Z (A, B).

h (, A) + (A) Перейдя к пределу при, а затем — при diam B 0, получим (6.14).] 6.12. Теорема (вариационный принцип) При всех A   имеем P (A) = sup[h() + (A)].

I Это основная общая теорема о топологическом давлении. Мы дадим набросок ее доказательства (предположив для простоты, что P (A) ).

При этом в п. (a) мы следуем Боуэну ([6], § 2.B), а в п. (b) — Денкеру ([1], теорема 2).

(a) Для всех A и I   h() + (A) P (A). (6.15) Идея доказательства состоит в том, чтобы убрать слагаемое log M в (6.14), заменив Z -действие на a. Пусть A — борелевское разбиение пространства. В силу (6.12) 1 h a (, A(a) ) + A x h (, A) + (A) =.

|(a)| x(a) Взяв конечное открытое покрытие B с достаточно малым diam B, выберем борелевское разбиение B(a) в соответствии с леммой 6.10. В силу (6.5) 142 Глава и леммы 6.11, примененной к B(a), приведенное выше выражение не превосходит 1 A x + h a (, B(a) ) + |(a)| x(a) + H(, A(a) B(a) ) H(, B(a) ) 1 A x + log(|(a)| · |B|)+ P a |(a)| x(a) + H(, A(a) B(a) ) H(, B(a) ).

В силу (6.13) первое слагаемое равно P (A);

величина |(a)| 1 log(|(a)|·|B|) стремится к нулю при a ;

наконец (см. упражнение 1(a)), 1 H(, A(a) B(a) ) H(, B(a) ) |(a)| 1 H(, ( x A) B(a) ) H(, B(a) ) |(a)| x(a) 1 H(, A x B(a) ) H(, x B(a) ), |(a)| x(a) x и так как diam B(a) diam B, это выражение можно сделать как угодно малым (см. упражнение 1(b)).

(b) Для любых A и 0 существует такое I, что   h() + (A) P (A) 3. (6.16) Выберем конечное открытое покрытие B = {Bj }, удовлетворяющее двум условиям:

P (A, B) P (A), и |A() A()| при, Bj. Затем возьмем такое a, что |(a)|1 log(|(a)| · |B|), и выберем разбиение A = B(a) в соот ветствии с леммой (6.10). Положив 0 = {Ai }, рассмотрим пространства cl( ax Aix ) =, = (Aix ) (0 )Z :

xZ = (, (Aix )) : cl( ax Aix ), xZ 6.13. Равновесные состояния где cl(V ) — замыкание множества V. Пусть p :, q : — про екции на соответствующие пространства. Определим функцию B ()   равенством A( x ).

B(Aix ) = max sup j : Ai0 Bj Bj x(a) Тогда 1 Pa A x, B(a) P (A) P (A, B) = |(a)| x(a) 1 P (B) = 1 [s() + (B)], |(a)| |(a)| где — некоторая инвариантная относительно сдвига вероятностная мера на (мы используем здесь теорему 3.12). В силу теорем Хана – Банаха и Маркова – Какутани (см. приложения A.3.2 и A.3.4) существует такая инва риантная относительно сдвига вероятностная мера на пространстве, что q =. Пусть = p ;

тогда является a -инвариантной мерой и A x + |(a)|, (B) x(a) s() h a () + log(|(a)| · |B|) (величину h a () можно оценить при помощи разбиения, образованного пересечениями замыканий множеств Ai ). Следовательно, 1 A x P (A) h a () + + 2, |(a)| x(a) или, если положить = |(a)|1 x I, то x(a) 1 h a () + (A) = h () + (A).

P (A) 3 |(a)| 6.13. Равновесные состояния В предположении, что P (A) +, введем для A множество   равновесных состояний IA = { I : h() + (A) = P (A)}.

144 Глава Это множество может быть пустым (см., например, Гуревич [1]). В частно сти, оно не обязано совпадать с множеством P (A) + (B) при всех B IA = { : P (A + B) }. (6.17)     Особый интерес представляет случай, когда h — полунепрерывная сверху функция на I (см. следующую теорему). Это имеет место, если разделяет траектории (см. предложение 6.5(b)).

6.14. Теорема Пусть энтропия h конечна и полунепрерывна сверху на I. Тогда (a) IA = IA = ;

множество IA является выпуклым компактным симплексом Шоке и, кроме того, гранью множества I.

(b) Множество D = {A : card IA = 1}     массивно в.

(c) Для всякого I h() = inf [P (A) (A)].

A Как и при доказательстве теоремы 3.7 устанавливается, что множе ство IA выпукло, компактно и содержится в I, а множество D = {A : card IA = 1}   массивно в.

  Из полунепрерывности сверху энтропии h следует, что IA =, и доказательство утверждения (c) совпадает с доказательством соответству ющего утверждения теоремы 3.12. Из доказательства теоремы 3.12 видно, что IA = IA. Следовательно, множество D = D является массивным в,   что доказывает утверждение (b).

Наконец, доказательство того, что IA — симплекс Шоке и грань мно жества I, совпадает с доказательством следствия 3.14.

6.15. Замечание Предположим, что P (0) + и что для всякого I h() = inf [P (A) (A)]. (6.18) A 6.16. Коммутирующие непрерывные отображения Тогда энтропия h, будучи точной нижней гранью непрерывных функций, по лунепрерывна сверху. Таким образом, в силу теоремы 6.14(c) условие (6.18) эквивалентно полунепрерывности сверху функции h.

К рассматриваемому случаю применима теорема Израэля (приложе ние A.3.6), позволяющая аппроксимировать инвариантные состояния рав новесными состояниями. В частности, справедливы следующие аналоги теоремы 3.16 и следствия 3.17.

Пусть энтропия h конечна и полунепрерывна сверху. Тогда для лю бых A, I и 0 существуют такие A и IA, что     || || и 1 [P (A) (A) h ()].

||A A|| Объединение множеств IA по всем A, т. е. множество всех равновес   ных состояний, всюду плотно в I относительно топологии, порожденной нормой.

Если 1,..., n — эргодические состояния, то существует функ ция A, для которой 1,..., n IA.

  6.16. Коммутирующие непрерывные отображения Если вместо Z -действия на, порожденного коммутирующими гомеоморфизмами, даны коммутирующих непрерывных отображений, то мы можем обобщить на эту ситуацию большинство предыдущих резуль татов данной главы (это отмечено в параграфе 6.18). Для простоты мы опускаем здесь рассмотрение свойства разделимости траекторий.

Заметим, что отображение x теперь определено только при x Z = = {x Z : x1,..., x 0} и, таким образом, x является Z -действием.

Сейчас мы покажем, как связать его с некоторым Z -действием.

6.17. Продолжение до Z -действия Вначале положим x.

= (6.19) xZ Ограничим Z -действие на. Очевидно, отображение x : при каждом x Z является эпиморфизмом. Построим теперь компактное 146 Глава метризуемое пространство с Z -действием и непрерывное отображе ние :, для которых = a a и = при a Z.

Положим = {(x ) ( )Z : a xa = x, если a Z и x Z }.

Множество компактно и метризуемо, как замкнутое подмножество счет ного произведения компактных метризуемых множеств. Положим также ab ( x ) = ( x ), где x = a xb, a, b Z.

Корректность этого определения легко проверить и мы получаем, таким образом, Z -действие гомеоморфизмами x пространства. Наконец, по ложим ( x ) = 0.

Ясно, что a = a при a Z. Кроме того, нетрудно проверить, что =.

Если — -инвариантная вероятностная мера на, то supp.

В силу теорем Хана – Банаха и Маркова – Какутани4 существует такая веро ятностная мера на, что = и x = при всех x Z. Тогда x = при x Z (так как x гомеоморфизмы пространства ). Такая мера единственна, так как множество функций A x, где A   и x Z, всюду плотно в пространстве (). Следовательно, отображе   ние : является биекцией множества -инвариантных состояний на на множество -инвариантных состояний на (это отображение — аффинный гомеоморфизм).

6.18. Результаты для Z -действий Как уже говорилось, мы не будем касаться разделимости траекторий для Z -действий. Все остальные определения и результаты параграфов 6.1, 6.3, 6.4 и 6.5 переносятся на рассматриваемый случай, но со следующими уточнениями.

(a) Мы определяем и рассматриваем A только при Z.

4 Cм. приложения A.3.2 и A.3.4.

6.18. Результаты для -действий   (b) Если I и состояние получено при помощи конструкции параграфа 6.17, то H(, A ) = H(, 1 A ) = H(, ( 1 A) ) и из существования предела (6.3) следует, что h(, A) = h(, 1 A).

В силу (6.4) для любого конечного Z h(, 1 A) = h(, ( 1 A) ).

Так как величина diam( 1 A) произвольно мала при достаточно малом diam A и достаточно большом, справедливо предложение 6.5(a) и, следо вательно, h() = h(). (6.20) Относительно определения давления в параграфе 6.6, заметим, что ра венство (6.6) не обязано выполняться для Z -действий, однако при Z и x Z справедливо неравенство Z+x (A, A) Z (A, A), так как x. Поэтому функция a log Z(a) (A, A) остается субад дитивной и и сохраняются соотношения (6.8) и (6.10). Кроме того, P (A, A) = lim |(a)|1 log Z(a) (A, A), a где Z (A, A) = lim Z+x (A, A).

x Обозначим через Z (A, A) статистическую сумму, вычисленную для огра ничений A и A на (см. (6.19)). Тогда Z (A, A) = Z (A, 1 A) и Z (A, A)e||, Z (A, A) Z (A, A) где — максимум колебаний функции A на множествах A i. Поскольку diam( 1 A) произвольно мал, если diam A достаточно мал, а достаточ но велико (см. § 6.6), можно утверждать, что P (A, 1 A) = P (A ).

lim diam A 148 Глава Поэтому выполняются равенства (6.11) и P (A) = P (A ). (6.21) Содержание параграфов 6.7, 6.8 и 6.9 переносится на Z -действия без каких-либо затруднений. Леммы 6.10 и 6.11 нам не понадобятся (хотя они и верны). Теорема 6.12 остается справедливой, так как случай Z -дей ствия сводится к случаю Z -действия при помощи (6.20) и (6.21). Наконец, определения множеств IA и IA, данные в параграфе 6.13, теорема 6.14 и замечание 6.15 также сохраняются.

6.19. Замечание Если — Z -действие на пространстве, а — Z -действие, полу ченное при помощи ограничения на Z, то множество -инвариантных состояний совпадает с множеством -инвариантных состояний, h = h, P = P и отображение :, введенное в параграфе 6.17, является гомеоморфизмом.

6.20. Топологическая энтропия Величина P (0) называется топологической энтропией Z -действия.

Из различных определений параграфов 6.6 и 6.7 видно, что топологиче ская энтропия служит мерой того, насколько перемешивающим является. В частности, наименьшая мощность подпо P (0) = sup inf |(a)|1 log.

крытия покрытия A(a) a A Вариационный принцип в этом случае принимает вид P (0) = sup h().

I Если 1 и P (0) 0, то, как нетрудно проверить, топологическая эн тропия Z -действия, порожденного каждой образующей Z -действия, равна +.

5 Вероятно, точнее было бы сказать, что топологическая энтропия показывает, насколько быстро (в логарифмической шкале) при действии дробятся открытые покрытия. Связь эн тропии с перемешиванием, понимаемым в том смысле, который имеет этот термин в теории динамических систем (см. Корнфельд, Синай, Фомин [1*]), также существует, но она сложнее (см., например, Рохлин [3*]). — Прим. ред.

6.21. Относительное давление 6.21. Относительное давление Пусть и — метризуемые компактные множества с Z -действия ми и, каждое из которых порождено непрерывными отображениями.

Предположим, что диаграмма коммутативна, а — непрерывное сюръективное отображение. Обозначим через I (соответственно через I ) множество -инвариантных вероятност ных мер на (соответственно -инвариантных вероятностных мер на ).

Пусть A ( ), и — конечное подмножество множества Z.

  Для любого конечного открытого покрытия пространства положим A ( x ) :

Z (A,, A) = min exp sup Bj 1 x j (Bj ) подсемейство покрытия A, которое покрывает (1) и аналогичным образом определим Z, заменив sup на inf.

При 0 положим (2) A ( x ) :

Z (A,, ) = sup exp x S S 1 и S является (, )-разделенным, (3) A ( x ) :

Z (A,, ) = inf exp x S S и S является (, )-протяженным для 1.

Теперь мы можем сформулировать следующий результат.

6 Возможны и другие определения;


например, в Z (2) вместо sup по всем (, )-разде ленным множествам S 1 можно взять одно максимальное (, )-разделенное множе ство S 1, а в Z (3) вместо S — взять множество S 1.

150 Глава 6.22. Теорема (a) Предположим, что I. Тогда для почти всех относи тельно меры существует следующий предел:

P (A, ) = lim lim sup 1 log Z(a) (A,, A) = diam A0 a |(a)| 1 log Z (1) (A,, A) = = lim lim sup (a) |(a)| diam A0 a 1 log Z (2) (A,, ) = = lim lim sup (a) |(a)| 0 a 1 log Z (3) (A,, ), = lim lim sup (a) |(a)| 0 a который определяет измеримую -инвариантную функцию P (A, ·) на про странстве.

(b) Имеет место следующий вариационный принцип:

P (A, )(d) = sup (h ( |) + (A )), (6.22) I : = где относительная энтропия h ( |) равна h ( ) h ( ) при h ( ) +.

Очевидно, если мера является эргодической, то можно считать, что P (A, ) не зависит от, и писать P (A, ) вместо P (A, ).

6.23. Следствие Пусть = 1, F — конечное множество и M : R F — непрерывная функция со значениями в множестве F F -матриц с элементами M jk 0.

Тогда при -почти всех существует предел P = lim n log ||M ()M ( )... M ( n1 )||. (6.23) n Если = F Z и : — каноническая проекция, то P = = P (A, ), где A (, (x )xZ ) = log M ()0 1, и справедлива формула (6.22).

(По поводу существования предела (6.23) см. Фюстенберг, Кестен [1] и Оселедец [1].) 7 См. Ледрапье и Уолтерс [1].

Библиографические замечания Библиографические замечания Понятие энтропии было введено Колмогоровым и Синаем. Теперь оно является классическим для = 1 (см. Биллингслей [1]). Случай 1 был рассмотрен Конзом [1].

Многое из остального содержания этой главы можно найти в работе Уолтерса [1]. Он определил топологическое давление и доказал вариацион ный принцип (теорему 6.12) при = 1 (фактически — для непрерывных отображений). Обобщение на случай 1 было получено Эльсаноуси [1].

Вариационный принцип Уолтерса явился обобщением вариационного принципа для решетчатых систем (теорему 3.12). Его появлению частично способствовало промежуточное обобщение, сделанное Рюэлем в [4] (где было определено давление) и более ранние работы по топологической эн тропии (см. § 6.20). Определение топологической энтропии принадлежит Адлеру, Конхейму и МакЭндрю [1];

в дальнейшем эквивалентные опре деления были предложены Боуэном [3]. Гудвин доказал для всех I неравенство P (0) h(). Совпадение P (0) с точной верхней гранью эн тропии h(·) доказано Динабургом [1] для случая конечномерного, а затем Гудменом [1] для любого. С технической точки зрения, существенную роль играет лемма 6.10, доказанная Гудвином.

В этой главе мы следовали в основном изложению Боуэна [6], за исклю чением простого доказательства второй половины теоремы 6.12, найденного Денкером [1]. Другое очень простое доказательство всей теоремы принад лежит Мисюревичу [1]. Теорема 6.14 в данном контексте, по-видимому, является новой. За остальными подробностями рекомендую обратиться к работе Боуэна [6].

Упражнения 1. (См. Боуэн [6], леммы 2.2 и 2.3.) (a) Пусть A, A, B — борелевские покрытия пространства. Тогда H(, A A B) H(, A B) H(, A B) + H(, B) (новая форма сильной субаддитивности энтропии, см. (3.22)). Это неравен ство можно переписать в виде H(, A A B) H(, B) H(, A B) H(, B) + H(, A B) H(, B).

152 Глава Следовательно, если A, B — борелевские покрытия, то H(, A ) H(, B ) H(, A B ) H(, B ) [H(, ( x A) B ) H(, B )] x [H(, ( x A) ( x B)) H(, x B)] = x = ||[(H(, A B) H(, B))].

Отсюда вытекает неравенство (6.5).

(b) Пусть заданы A, и 0. Тогда можно выбрать, для которого H(, A B) H(, B), если diam B.

[Обозначим через симметрическую разность множеств: A B = = (A B) \ (A B). Найдется такое 0, что если A — разбиение, элементам которого отвечает то же множество индексов, что и элементам A, и (Ai Ai ) при всех i, () то (Ai Ak ) H(, A A ) H(, A ) = (Ai Ak ) log.

(Ak ) i, k Если достаточно мало и diam B, то существует разбиение A, являю щееся укрупнением разбиения B (т. е. элементы A — объединения элемен тов B), для которого имеет место (). В таком случае H(, A B) H(, B) = H(, A A B) H(, A B) H(, A A ) H(, A ) ).] 2. В параграфах 6.6 и 6.7 мы определили соответственно величины Z (i) и Z, i = 1, 2, 3. Положим Z (2) (A, ) = A( x ), exp x S где S — произвольное максимальное (, )-разделенное множество.

Упражнения Докажите, что (3) (2) (2) (a) Z Z (всякое максимальное (, )-разделенное мно Z жество является (, )-плотным).

(2) (b) Z (A, diam A) Z (A, A).

(1) (3) (c) Z (A, A) Z (A, /2), если — число Лебега для A.

(d) Справедливы утверждения параграфа 6.7.

(2) (e) Можно определить P в терминах Z.

3. Пусть, — метризуемые компактные множества с Z -действи ями и соответственно и f : — непрерывное отображение, для которого f x = x f.

(a) Если — -инвариантная вероятностная мера на, то h ( ) h (f ). В случае, когда f инъективно, выполняется равенство.

(b) Если A — непрерывная действительная функция на и отображе ние f сюръективно, то P (A) P (A f ).

(c) Если A — непрерывная действительная функция на и отображе ние f инъективно, то P (A) P (A f ) (P (A f ) — это давление, отвечающее ограничению функции A на мно жество f ). В случае, когда носитель любой -инвариантной меры содер жится в f, справедливо равенство.

(), где множество () замкнуто и 4. Предположим, что = -устойчиво (т. е. x () () при всех x Z ). Тогда P (A) есть точная верхняя верхняя грань по давления функции A, ограниченной на ().

(Выберем такое I, что P (A) h() + (A) +, и разложим на меры с подходящими носителями;

см. Уолтерс [1], следствие 4.12(i).) 5. Пусть 1, 2 — метризуемые компакты с Z -действиями 1, и пусть x = 1 2 на 1 2. Если A1 (1 ), A2 (2 ) и x x     A( 1, 2 ) = A( 1 )+A( 2 ), то P (A) = P1 (A1 )+P2 (A2 ). (Ср. Уолтерс [1], теорема 2.2 (viii). Воспользуйтесь определением давления в терминах Z (3), чтобы доказать неравенство P (A) P1 (A1 ) + P2 (A2 ), и вариационным принципом — для доказательства обратного неравенства.) 6. Если P (0) +, то P (A) при всех A { : (A) } = I.

    154 Глава 7. При P (0) + определим множество IA при помощи (6.17). По кажите, что IA IA и множество D = {A : card IA = 1} является   массивным.

Покажите, что IA совпадает с множеством IA всех предельных точек последовательностей n, для которых lim [h( n ) + n (A)] = P (A).

n [Пусть = lim n, где h( n ) + n (A) P (A) 1/n. Так как P (A + +B) h( n )+ n (A+B) P (A)+ n (B)1/n для всех B, то IA   и, следовательно, IA IA. Поэтому из A D вытекает IA = IA. Чтобы доказать в общем случае включение IA IA, используйте тот факт, что IA содержится в замкнутой выпуклой оболочке множества предельных точек последовательностей n, где n — единственный элемент множества IAn, An D и An A (см. приложение A.3.7.).] ГЛАВА Статистическая механика на пространствах Смейла Как мы убедились в главе 6, часть термодинамического формализма можно распространить на случай произвольного Z -действия гомеомор физмами компактного метризуемого пространства. В этой главе мы обоб щим более богатый формализм одномерных систем из главы 5 на некоторый класс Z-действий гомеоморфизмами компактных метрических пространств.

Такие Z-действия впервые изучались в теории диффеоморфизмов, удовле творяющих аксиоме A Смейла [1]. Мы представляем здесь абстрактный вариант той части теории, которая имеет отношение к предмету этой книги.

За доказательствами будем отсылать главным образом к публикациям по A-диффеоморфизмам. Эти публикации, в особенности работы Смейла [1] и Боуэна [6], содержат также соответствующие мотивировки. Главный новый излагаемой теории — это предположение о наличии структуры локального произведения. Пространство «расслаивается» на «устойчивые многооб + разия» Vx, которые экспоненциально быстро сжимаются под действием итераций отображения f, и «неустойчивые многообразия» V x, которые сжимаются под действием итераций отображения f. Если точки x и y достаточно близки, то пересечение Vx Vy не пусто и состоит из един + ственной точки [x, y]. Структура локального произведения определяется тогда отображением x, y [x, y].

7.1. Пространства Смейла Пусть — непустое компактное метрическое пространство с метри кой d. Предположим, что число 0 и отображение [·, ·] обладают следу ющими свойствами:

(SS1) [·, ·] : {(x, y) : d(x, y) } представляет собой непрерывное отображение, для которого [x, x] = x и [[x, y], z] = [x, z], [x, [y, z]] = [x, z], если правая и левая части этих соотношений определены.

156 Глава Заметим, что существует такое n 0, что если diam({x1,..., xn })n, то любое выражение, полученное из x1,..., xn расстановкой вложенных друг в друга квадратных скобок, определено и равно [x 1, xn ].

Пусть, в частности, d(x, y) 4. Если мы пишем u = [y, x], v = [x, y], то считаем, что d(u, x), d(v, x), d(u, v), (7.1) u = [u, x], v = [x, v], [u, v] = y.

Обратно, если u, v удовлетворяют этим условиям, то u = [u, x] = = [[u, v], x] = [y, x] и, аналогичным образом, v = [x, y]. Отсюда следует, + что отображение [·, ·] : Vx () Vx (), где Vx () = {u : u = [u, x], d(x, u) }, (7.2) + Vx () = {v : v = [x, v], d(x, v) } (7.3) и выбрано так, что если d(x, u) и d(x, v), то d(x, [u, v]) 4, является гомеоморфизмом на некоторое открытое подмножество простран ства.

Если d(x, y) 4, то в силу (7.1), (7.2), (7.3) {[x, y]} = Vx () Vy ().

+ (7.4) Предположим теперь, что заданы (0, 1) и отображение f со следу ющими свойствами:

(SS2) f — гомеоморфизм пространства, для которого f [x, y] = = [f x, f y], если обе части этого равенства определены, и d(f n y, f n z) n d(y, z), если y, z Vx (), + n 0, d(f n y, f n z) n d(y, z), если y, z Vx (), n 0.

Заменяя при необходимости меньшим числом, получим Vx () = {y : d(f n x, f n y) при всех n + 0}, (7.5) Vx () = {y : d(f n x, f n y) при всех n 0}. (7.6) [В самом деле, выберем такое, что из d(x, y) вытекает d(x, [x, y]), d(x, [y, x]).

7.2. Пример Тогда справедливы следующие импликации (каждое неравенство имеет ме сто при всех n 0):


d(f n x, f n y) d(f n x, f n [y, x]) f n [y, x] Vf x () n n d(f n x, f n [y, x]) n d(x, [y, x]) d(x, [y, x]) = 0 y = [[y, x], [x, y]] = [x, [x, y]] = [x, y].

Следовательно, {y : d(f n x, f n y) для всех n + 0} Vx ( ).

Обратное включение следует из (SS2). Таким образом, мы доказали (7.5) с заменой на некоторое меньшее число. Доказательство соотношения (7.6) проводится аналогично.] Определим пространство Смейла как компактное метрическое про странство вместе с отображением [·, ·] и гомеоморфизмом f, удовлетво ряющими условиям (SS1) и (SS2) при подходящих и.

Заметим, что существует естественная двойственность, при которой f переходит в f 1, [x, y] — в [y, x], V + — в V и т. д.

7.2. Пример Пусть — пространство конфигураций Z-решетчатой системы ( 0, t) и — соответствующий сдвиг (см. главу 5). Для произвольного (0, 1) определим расстояние d на равенством d(, ) = k, (7.7) где = (n )nZ, = (n )nZ и k = inf{|n| : n = n }.

Если d(, ) 1, то 0 = 0 и можно положить [, ] = (..., l,..., 1, 0, 1,..., l,... ).

Нетрудно проверить, что условия параграфа 7.1 выполняются при =, f =, = = 1.

Так же легко доказывается, что банахово пространство () действи   тельных гельдеровских функций с показателем совпадает с простран ством, = /2, введенным в параграфе 5.19.

158 Глава 7.3. Свойства пространств Смейла Как видно из (7.5), (7.6), (7.4), f является разделяющим гомеомор физмом с разделяющей константой, если достаточно мало. Более точ но, существует такое C 0, что если d(f k x, f k y) при |k| n, то d(x, y) Cn. [Действительно, положив C = max{diam, 2/} и поль зуясь условием (SS2) при n = 0, получаем n1 d(f n+1 x, f n+1 [x, y]), d(x, [x, y]) n1 d(f n1 [x, y], f n1 y).] d([x, y], y) Пусть S — конечный или бесконечный интервал1 в Z, x = = (xk )kS S и 0. Назовем x -траекторией, если d(f xk, xk+1 ) если k, k + 1 S.

Будем говорить, что x -отслеживает x, если d(f k x, xk ) при всех k S.

Для всякого 0 существует такое 0, что (a) каждая -траектория x -отслеживается некоторой точ кой x ;

(b) если x и d(f n x, x), то существует y, для которо n го f y = y и d(f k x, f k y) при всех k [0, n] (см. Боуэн [6], предложение 3.6 и следствие 3.7.) Неблуждающее множество системы (, f ), определяемое как f n U = для всякого открытого множества U {x : U x}, n является замыканием множества {x : f n x = x, при котором n 0} периодических точек.

Это утверждение есть лемма Аносова о замыкании (см. Боуэн [6], пред ложение 3.82 ). Заметим, что множество неблуждающих точек непусто (см.

приложение А.2).

1S может иметь вид [k, l], [k, +), или (, l], или.

  2 См. также Нитецки. — Прим. ред.

7.4. «Спектральное разложение» Смейла 7.4. «Спектральное разложение» Смейла Неблуждающее множество системы (, f ) является объединением конечного числа непересекающихся компактных множеств, для кото рых f = и ограничение f | топологически (+)-транзитивно3.

Каждое есть объединение n непересекающихся компактных мно жеств, циклически переставляемых отображением f и таких, что f n | топологически перемешивает.

Этими свойствами,, n и определяются однозначно.

(См. Боуэн [6], теорема 3.5.) Приведенное утверждение частично обоб щает теоремы 5.2 и 5.3, относящиеся к Z-решетчатым системам. Заметим, что неблуждающее множество системы (, f ) и множества снова явля ются пространствами Смейла, а множество — пространством Смейла относительно f n |.

Множества называются базисными множествами. Носитель вся кой f -инвариантной меры на содержится в неблуждающем множестве.

В частности, каждая f -эргодическая вероятностная мера имеет носитель в одном из базисных множеств.

7.5. Марковские разбиения и символическая динамика Пусть 0 достаточно мало и x. Предположим, что множе ство C Vx () является замыканием своей внутренности в Vx (2), а + + множество D Vx () — замыканием своей внутренности в Vx (2). Тогда R = [C, D] является замыканием своей внутренности в и называется прямоугольником. Его граница имеет вид R = + R R, где + R = [C, D], R = [C, D] + и C, D — границы множеств C и D в Vx (2) и Vx (2) соответственно.

Марковским разбиением называется такое конечное покрытие (R i ) про странства прямоугольниками, что (a) int Ri int Rj = при i = j;

3 См. определение топологических (+)-транзитивности, транзитивности и перемешивания в приложении А.2.

160 Глава (b) если x int Ri f 1 int Rj, то f [Ci, x] [Cj, f x], f [x, Di ] [f x, Dj ], где Ci, Di определяются из соотношений Ri = [Ci, Di ], Rj = [Cj, Dj ].

Пространство Смейла обладает марковским разбиением произволь но малого диаметра (см. Боуэн [1] или [6], теорема 3.12).

Для любого марковского разбиения (Ri ) положим + = + Ri, = Ri.

i i Можно показать, что f + +, f 1.

Пусть 0 — множество прямоугольников Ri в марковском разбиении.

Положим 1, если int Ri f 1 int Rj =, t Ri Rj = 0 в противном случае.

Множество 0 (множество символов) и матрица t (матрица переходов) определяют Z-решетчатую систему (0, t) (см. главу 5) с пространством конфигураций и сдвигом на нем. Динамическая система (, ) слу жит символической динамикой динамической системы (, f ). Такая тер минология оправдывается следующими результатами, справедливыми для марковского разбиения достаточно малого диаметра.

7.6. Теорема f n n состоит из единственной точ Если = {n }nZ, то nZ ки (). Кроме того, (a) отображение : непрерывно и сюръективно;

(b) = f ;

(c) 1 однозначно определено на массивном множестве f n ( + );

\ nZ 7.7. Гельдеровские функции (d) существует такое целое d, что 1 x для любой точки x состоит не более чем из d элементов;

(e) если гомеоморфизм f топологически (+)-транзитивен (соответ ственно, перемешивает), то система (0, t) является транзитивной (со ответственно, перемешивающей).

По поводу утверждений (a), (b), (c), (e) см. Боуэн [1] (§ 4) или Боуэн [6] (теорема 3.18 и предложение 3.19), по поводу утверждения (d) — Боуэн [2] (предложение 10);

в качестве d можно взять |0 |2 (Р. Боуэн, устное сообще ние).

7.7. Гельдеровские функции Утверждение (a) теоремы 7.6 можно уточнить. Если число, исполь зованное в (7.7) для определения метрики на, совпадает с из усло вия (SS2) для, то отображение удовлетворяет условию Липшица, т. е. существует такое C 0, что d(, ) Cd(, ). (7.8) Если =, то d(, ) = n при некотором n 0 и k = k при |k| n.

Предположив, что диаметр марковского разбиения меньше, получим d(f k, f k ) при |k| n, и, следовательно, d(, ) Cn (см. § 7.3). Отсюда следует (7.8).

Поскольку удовлетворяет условию Липшица, для любой функции A (), т. е. любой гельдеровской функции с показателем на про   странстве выполняется включение A () =, где = /   (см. § 7.2). Таким образом, порождает ограниченное линейное отображе ние ().

  7.8. Давление и равновесные состояния Изучение давления и равновесных состояний можно свести к анало гичной задаче для базисных множеств (см. § 7.4 и упражнения 3(c) и 162 Глава главы 6). Поэтому мы можем предположить, что система (, f ) обладает свойством топологически (+)-транзитивности. Заметим, что Pf (A) P (A ) (7.9) (см. упражнение 3(b) главы 6).

Пусть A () и система (, f ) топологически (+)-транзитивна.

  Так как A, где = /2, существует единственная -инвариантная вероятностная мера на, для которой h () + (A ) = P (A ) и, кроме того, supp = (см. следствие 5.6(a)). Множества 1 f n +, 1 f n n0 n замкнуты и -инвариантны. Их дополнения непусты и, следовательно, име ют положительную -меру. Используя эргодичность, получаем 1 f n + = 1 f n = 0.

n0 n Отсюда следует, что ( 1 + ) = ( 1 ) = и, значит, 1 f n ( + ) = 0.

nZ Теорема 7.6(c) позволяет теперь утверждать, что : (, ) (, ) изо морфизмом абстрактных динамических систем. В частности, hf () = h () и, следовательно, Pf (A) hf () + ()(A) = P (A ).

Сравнение с (7.9) показывает, что Pf (A) = P (A ) (7.10) и — равновесное состояние для A.

7.9. Теорема Если — какое-либо равновесное состояние для A, то существует -инвариантное состояние, для которого = (это вытекает из теорем Хана – Банаха и Маркова – Какутани, см. приложения A.3.2 и A.3.4). Тогда P (A ) h () + (A ) hf () + (A) = Pf (A) (см. упражнение 3(a) главы 6). Следовательно, является равновесным состоянием для A, а потому =.

Заметим, что в силу плотности множества () в () равен     ство (7.10) остается справедливым для любой функции A (). Таким   образом, доказано следующее утверждение.

7.9. Теорема Если (, f ) — топологически (+)-транзитивная система и A (),   то Pf (A) = P (A ).

Для A () существует единственное равновесное состояние A =   =, где — единственное равновесное состояние для функции A.

Отображение : (, ) (, A ) порождает изоморфизм абстрактных динамических систем.

Приведем несколько следствий.

7.10. Следствие Пусть (, f ) — топологически (+)-транзитивная система. Тогда (a) Функция Pf вещественно-аналитична на ().

  (b) Если A (), то supp A =.

  (c) Пусть A, A (). Тогда A = A, если и только если суще   ствуют c R и непрерывная функция C, для которых A A=c+C f C (этим равенством c определяется однозначно, а C — с точностью до аддитивной константы).

(d) Если A () и (, f ) топологически перемешивает, то систе   ма (A, f ) изоморфна сдвигу Бернулли.

164 Глава Утверждение (a) вытекает из следствия 5.27, (b) — из следствия 5.6(a), (c) доказывается так же, как теорема 5.7 (см. (a) и упражнение 2);

(d) следует из теоремы 5.10.

7.11. Замечание Функция C из следствии 7.10(c) является гельдеровской: C (),   если выполняется следующее условие (см. упражнения 2 и 3):

(SS3) существует такое L 0, что d(x, [x, y]) Ld(x, y).

Ниже это условие используется только в тех случаях, когда оно яв но формулируется. Заметим, что ему удовлетворяет динамическая система примера 7.2.

Вот другие следствия теоремы 7.9.

7.12. Следствие Предположим, что (, f ) топологически перемешивает. Фиксируем (0, 1) и для A, B1,..., Bl () введем обозначение   l l Dl (B1,..., Bl ) = P A+ si Bi.

s1... sl s1 =... =sl = i= В частности, D 1 (B1 ) = A (B1 ).

(a) Для всякого M 0 найдутся такие a, b 0, что |A (B1 · (B2 f k )) A (B1 )A (B2 )| eab|k| ||B1 || ||B2 ||, если ||A|| M (|| · || — норма в пространстве ()).

  (b) D2 (B1, B2 ) = [A (B1 · (B2 f k )) A (B1 )A (B2 )].

kZ (c) B1 D2 (B1, B1 ) является положительной полуопределенной квадратичной формой на (). Если выполнено условие (SS3), то ее ядро   имеет вид {c + C f C : c R, C ()}. Существует такое R 0,   что [D2 (B1, B1 )]1/2 R||B1 ||.

7.13. Следствие (d) При всех p R mod eipk [A (B1 · (B1 f k )) A (B1 )A (B1 )] 0.

kZ (e) (Центральная предельная теорема4.) Пусть B = ||1/2 [B1 f k A (B1 )], k где — конечный интервал на Z. Обозначим через вероятностную ме ру на R, которая имеет плотность (1/ 2D)et /2D (гауссовская мера), если D = D (B1, B1 ) 0, и приписывает единичную массу точке 0 (-ме ра 0 ), если D2 (B1, B1 ) = 0. Тогда при || мера B A слабо сходится к.

Все это — переформулировка упражнений 4(e), 5 и 9 главы 5.

7.13. Следствие Пусть динамическая система (, f ) топологически (+)-транзитивна и A, B (). Положим   b B fk.

Z[a, b] = A exp k=a Тогда 1 log Z (a) lim [a, b] = P (A + B) P (A).

ba ba b B f k ) · A при a, b сходится в (b) Мера Z[a, b] (exp k=a слабой топологии к A+B.

См. предложение 4.4 и замечание 4.5 для перемешивающих систем.

Случай (+)-транзитивных систем рассматривается аналогично.

7.14. Равновесные состояния для негельдеровских функций В этом параграфе мы опишем один результат, справедливый для дина мических систем несколько более общей природы, чем пространства Смей ла.

4 См. Ратнер [1];

этот результат можно улучшить и обобщить, следуя упражнению 9 главы 5.

166 Глава Пусть — компактное метризуемое пространство и f : — гомеоморфизм. Выберем метрику d на. Мы будем говорить, что f удо влетворяет условию спецификации, если для любого 0 существует та кое p() 0, что справедливо следующее:

для любых интервалов 1,..., n Z, содержащихся в [a, b] и удо влетворяющих условию d(i, j ) p() при i = j и любых x1,..., xn, существует такая точка x, что f ba+p() x = x и d(f k x, f k xi ) при k i.

Пусть A — непрерывная действительная функция на. Сформулируем следующее условие:

(S) Существуют такие 0 и K 0, что если d(f k x, f k y) при k = 0, 1,..., n, то n n k A(f k y) A(f x) K.

k=0 k= Боуэн [5] получил следующее условие единственности равновесного состояния:

Если гомеоморфизм f : разделяет траектории и удовлетворя ет условию спецификации, а функция A () удовлетворяет условию (S),   то A имеет единственное равновесное состояние.

В случае пространств Смейла спецификация вытекает из перемеши вания, что можно установить при помощи символической динамики (см.

теорему 7.6(e)). Таким образом, справедливо следующее утверждение:

Если (, f ) — топологически (+)-транзитивное пространство Смей ла и функция A () удовлетворяет условию (S), то для A существует   ровно одно равновесное состояние.

(Случай топологической (+)-транзитивности сводится к случаю пере мешивания.) Для любого A () положим   varn, A = sup{|A(y) A(x)| : d(f k x, f k y) при |k| n}.

Предположим, что varn, A. Тогда функция A удовлетворяет усло n= вию (S) с K = 2 varn, A. В случае пространств Смейла это имеет n= место, если A — гельдеровская функция (поскольку d(x, y) C n, если d(f k x, f k y) при |k| n (см. § 7.3)).

7.15. Сопряженные точки и сопрягающие гомеоморфизмы В частном случае Z-решетчатых систем (см. пример 7.2) функция A удовлетворяет условию (S), если 1.

  7.15. Сопряженные точки и сопрягающие гомеоморфизмы Пусть, как и раньше, — пространство Смейла. Будем говорить, что точки x, y сопряжены, если lim d(f k x, f k y) = 0.

|k| Тогда найдется такое n 0, что f n y Vf+ x (), f n y Vf x () n n и для z из некоторой окрестности O точки x можно положить z = [f n [f n [z, x], f n y], f n [f n y, f n [x, z]]].

Очевидно, x = y и (a) отображение непрерывно в O;

(b) lim d(f k z, f k z) = 0 равномерно по z.

|k| Пару (O, ) со свойствами (a) и (b) будем называть сопрягающим отоб ражением. Пусть (O, ) — другое сопрягающее отображение, для которого y O, y = x. Тогда и (O1 O, ) является сопрягающим отображе нием и, как видно из (a), (b), — тождественное отображение в некоторой окрестности точки x. Поэтому O можно заменить меньшей окрестностью точки x так, чтобы в этой окрестности было бы гомеоморфизмом. В этом случае мы будем называть (O, ) сопрягающим гомеоморфизмом.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Если x и y сопряжены, то существует такой сопрягающий гомеомор физм (O, ), что x O, x = y. Пусть (O, ), (O, ) — сопрягающие гомеоморфизмы. Если O 1 O =, то (O 1 O, ) — сопрягаю щий гомеоморфизм. Если x O O и x = x, то = в некоторой окрестности точки x.

7.16. Предложение (a) Если x — неблуждающая точка и точка y сопряжена с x, то и y — неблуждающая точка.

168 Глава (b) Если x, то — замыкание множества точек, сопряжен ных с x.

При доказательстве утверждения (a) мы можем предполагать, что x — периодическая точка (это не ограничивает общности в силу существова ния сопрягающих гомеоморфизмов (§ 7.15) и леммы Аносова о замыкании (§ 7.3)). Пусть x имеет период p и O — окрестность точки y. В силу (7.4) можно выбрать число 4 настолько малым, что Vu () Vv () = + при d(u, v) 4. Возьмем произвольно большое m 0, для которого d(f mp y, x) 4 /2, d(f mp y, x) 4 / и в силу (SS2) f mp Vf y () O, f mp Vf+ y () O.

mp mp Тогда f mp O f mp O Vf y () Vf+ y () =, mp mp что и доказывает утверждение (a).

Множества удалены друг от друга на положительное расстояние и инвариантны относительно f N при подходящем N 0. Следовательно, если y сопряжено с x, то y, так как lim d(f kN x, f kN y) = 0.

|k| Чтобы доказать (b), достаточно проверить, что множество точек, сопряжен ных с x, всюду плотно в. Точки x, y сопряжены, если и только если lim d(f kn x, f kn y) = 0, т. е. если и только если они сопряжены |k| n для (, f ). Поэтому достаточно доказать, что точки, сопряженные с x, всюду плотны в, если отображение f топологически перемешивает. Оче видно, это верно, если точки, сопряженные с, где = x, всюду плотны в. Но последнее есть свойство (D ) из замечания 1.14, которое имеет место потому, что система (0, t) перемешивает (теорема 7.6(e)).

7.17. Теорема Пусть система (, f ) топологически (+)-транзитивна и 0 — f -ин вариантная вероятностная мера, на которой реализуется максимум эн тропии (мера Боуэна). Тогда 7.18. Гиббсовские состояния (a) Для всякого x существуют положительные меры и +, + определенные на Vx () и Vx () соответственно и такие, что отображе ние [·, ·] : Vx () Vx () переводит произведение + в ограни + + чение меры 0 на множество [Vx (), Vx ()].

(b) если (O, ) — сопрягающий гомеоморфизм, то переводит огра ничение меры 0 на O в ограничение 0 на O:

(0 |O) = 0 |O.

Утверждение (a) доказано Синаем [1], а также Рюэлем и Салливеном [1, теорема 1.1]. Оно связано с тем, что 0 = 0, где (0, ) — переме шивающий марковский процесс, если отображение (, f ) топологически перемешивает (теорема Пэрри: Пэрри [1]).

При доказательстве утверждения (b) можно предположить, что O — достаточно малая окрестность точки x, затем использовать (a) и проверить, что факторизация меры 0 вблизи точки x переходит в факторизацию вблизи ± ± точки x при естественных отображениях Vx Vx.

7.18. Гиббсовские состояния Пусть A () и (O, ) — сопрягающий гомеоморфизм. Определим   функцию g : O R равенством [A(f k z) A(f k z)].

g(z) = exp k= Так как d(f k z, f k z) равномерно стремится к нулю c экспоненциальной скоростью, функция g непрерывна. Назовем вероятностную меру на гиббсовским состоянием для A, если (g · (|O)) = |O для всех сопрягающих гомеоморфизмов (O, ). Эта формула означает, что переводит ограничение меры на O, умноженное на g, в отображение на O.

Если — равновесное состояние для A, то оно является и гиббсовским состоянием для A. [Так как мера f -инвариантна, ее носитель содержится в неблуждающем множестве (см. § 7.4). Мы также знаем, что точка, сопря женная с точкой из базисного множества, содержится в том же базисном 170 Глава множестве (см. предложение 7.16(b)). Поэтому наше утверждение достаточ но доказать для случая, когда система (, f ) топологически (+)-транзитив на. При этом предположении оно справедливо для A = 0 (теорема 7.17(b)) и, значит, в силу следствия 7.13(b), — для любой функции A ().]   7.19. Периодические точки Обозначим через Fix f множество неподвижных точек отображения F.

Для любой непрерывной действительной функции A на и любого нату рального n определим статистическую сумму n A(f k x).

Zn (A) = exp xFix f n k= Так как f разделяет траектории с разделяющей константой (см. § 7.3), множество Fix f n является ([1, n], )-разделенным.

Пусть (, f ) топологически перемешивает. Тогда для любого найдется такое m, что если x, y, то существует z, для которого d(x, f m z).

d(y, z), [Покроем пространство конечным числом шаров радиуса /2, цен трами которых служат некоторые периодические точки y i. Все yi при надлежат множеству Fix f N при некотором N 0. Так как множе f nN Vy (/2) всюду плотно в (см. предложение 7.16(b)), су ство i n ществует такое n, что каждая точка x находится на расстоянии от множества f nN Vxi (/2) при каждом i.] Поэтому, пользуясь утвержде ниями (a) и (b) параграфа 7.3, можно выбрать такое m, что если n m и x, то существует x Fix f n, для которого d(f k x, f k x ) при всех k [1, n m]. Другими словами, множество Fix f n является ([1, n m], )-плотным.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.