авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«Д. РЮЭЛЬ Термодинамический формализм Перевод с английского Б. М. Гуревича УДК 530.132, 514.74 Интернет-магазин • физика ...»

-- [ Страница 4 ] --

Поскольку для перемешивающего f множество Fix f n одновременно является ([1, n], )-разделенным и ([1, nm], )-плотным, из параграфа 6. следует, что если A, то   n 1 A(f k x).

P (A) = lim n log exp n xFix f n k= 7.20. Теорема Без предположения о перемешивании из спектрального разложения Смейла получаем равенство n 1 A(f k x).

P (A) = lim sup n log exp (7.11) n xFix f n k= 7.20. Теорема Пусть (, f ) топологически перемешивает. Тогда (a) Функции Pn, определенные на пространстве = () равенством     n 1 A(f k x), Pn (A) = n log exp xFix f n k= поточечно сходятся к P (A) при n.

(b) Определим f -инвариантную вероятностную меру n с носителем в Fix f n, положив для любого y Fix f n n A(f k y) exp k= n {y} =.

n A(f k x) exp xFix f n k= Если для функции A существует единственное равновесное состояние A, то при n последовательность { n } слабо сходится к A. В част ности, такая сходимость имеет место, когда функция A — гельдеровская или когда она удовлетворяет условию (S) из параграфа 7.14.

Утверждение (a) было доказано выше. Так как d P (A + sB)| d P (A + sB)| s=0 = n (B), s=0 = A (B), n ds ds утверждение (b) следует из (a) и выпуклости функционалов P n.

7.21. Изучение периодических точек методами символической динамики Периодические точки отображения f можно изучать с помощью сим волической динамики. Действительно, точка периодична тогда и 172 Глава только тогда, когда периодична точка (правда, не обязательно с тем же периодом): это немедленно следует из теоремы 7.6(d). Известно так же, что если точка = периодична и 0 = 0, то = (Боуэн [2], предложение 12).

7.22. Предложение Существует конечное число Z-решетчатых систем ( i, ti ), которые отвечают сдвигам i, действующим на пространствах i, а также непре рывные отображения i : i и числа si = ±1 такие, что (a) i удовлетворяет условию Липшица и i i = f i.

(b) Существует одно значение индекса i, скажем, i = 1, для которого s1 = +1 и 1, 1, 1 являются соответственно сдвигом, простран ством и отображением, ассоциированными с некоторым марковским разбиением.

(c) Если i = 1, то i i =.

(d) Для каждого x card[{x} Fix f n ] = si card[i {x} Fix in ].

i Сдвиги i явно построены Мэннингом в [1] так, что имеет место (d);

(a), (b), (c) вытекают из построения (в связи с (a) см. § 7.7).

7.23. Дзета-функции Рассмотрим формальный степенной ряд n | Fix f n | z.

(z) = f (z) = exp n n= В силу предложения 7. n si | Fix in | z (z) = exp.

n n= i Нетрудно проверить, что | Fix in | = tr tn i 7.23. Дзета-функции и, следовательно, [exp tr( log(1 zti ))]si = [det(1 zti )]si.

(z) = i i Отсюда видно, что имеет ненулевой радиус сходимости и продолжается до рациональной функции переменной z.

Более общим образом, для A положим   n1 zn n Zn (A) z.

A k f (ze ) = exp exp A(f x) = exp n n n=1 n= xFix f n k= При A = 0 это сводится к -функции, определенной выше. В общем случае ряд n Zn (A) zn n= в силу (7.11) сходится при |z| eP (A). Таким образом, функция z f (zeA ) является аналитической и не обращается в нуль в области |z| eP (A).

Заметим, что f (zeA ) есть произведение функций n A f m |, f | zeA| = f n | z n exp m= по базисным множествам спектрального разложения Смейла, так что можно ограничиться случаем, когда система (, f ) топологически переме шивает.

В силу предложения 7. n zn f (zeA ) = exp A(f k i ) = si exp n n n=1 i Fix i k= n1 si zn A i (ik ) [i (zeAi )]si.

= exp exp = n n n= i i Fix i k= Как было замечено выше, множитель si i zeAi аналитичен и не обращается в нуль при |z| eP (Ai ).

174 Глава В силу теоремы 7.9 P (A 1 ) = P (A). Если i = 1, то (см. теоре му 7.6(d)) Zn (A i ) d · Zn (A|i i ) и P (A i ) P (A|i i ). Так как i i — замкнутое f -инвариантное под множество пространства и i i = (см. предложение 7.22(c)), отсюда вытекает, что P (A|i ) P (A) (см. следствие 7.10(b)).

7.24. Теорема Пусть (, f ) топологически перемешивает и A (). Тогда суще   ствует такое R(A) exp[P (A)], что функция z (zeA ) мероморфна, не обращается в нуль и имеет только один полюс в круге {z : |z| R(A)}.

Этот полюс находится в точке z = exp[P (A)] и его порядок равен еди нице.

Утверждение достаточно доказать для (zeA ) вместо f (zeA ), но это уже было сделано в теореме 5.29.

Заметим, что для общего пространства Смейла и функции A () существует такое R(A) exp[P (A)], что функция   z (zeA ) мероморфна в круге {z : |z| R(A)}, не обращается там в нуль и имеет полюса только в точках exp[P (A) + 2ik/d], k = 0,..., d 1, где d N.

Заметим также, что в общем случае функция z (ze A ) не обязана иметь мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость C (см.

замечание 5.30).

7.25. Следствие Пусть (, f ) топологически перемешивает. Тогда (a) Если A (), то ряд   Zn (A)z n enP (A) z n n=1 n= сходится при |z| R(A) и, следовательно, Zn (A)enP (A) при n сходится к нулю c экспоненциальной скоростью.

7.26. Растягивающие отображения (Это утверждение усиливает пункт (a) теоремы 7.20 в случае, когда A ().)   (b) Функция z (z) продолжается до рациональной функции на C, у которой в точке z = exp[P (0)] (где P (0) — топологическая энтропия) имеется простой полюс, а все остальные полюса и нули строго больше по абсолютной величине, чем eP (0).

7.26. Растягивающие отображения Пусть — компактное метрическое пространство с метрикой d и f — непрерывное отображение пространства на себя 5. Будем называть отобра жение f растягивающим, если существуют 0 и (0, 1) со следующим свойством:

(E) Если d(f x, y ) 2, то найдется единственное y, для которого f y = y, d(x, y) 2 и, кроме того, d(x, y) d(f x, f y).

Из (E) вытекает, что 1 d(x, y), d(f x, f y) как только d(x, y) 2.

Определим отображение : {(x, y ) : d(f x, y ) } условиями:

f (x, y ) = y, d(x, (x, y )) 2.

В силу свойства (E) они определяют однозначно, причем d(x, (x, y )) d(f x, y ).

Кроме того, отображение непрерывно. [Пусть (x, y ) (x0, y0 ) и (x, y ) = y, (x0, y0 ) = y0. Тогда d(y0, y) d(y0, x0 ) + d(x0, x) + d(x, y) 2, 5 Если f n.

f не является сюръективным, то заменим на n 176 Глава так как d(y0, x0 ) + d(x, y) d(f x0, y0 ) + d(f x, y ) 2 и d(x0, x) как угодно мало. Отсюда в силу (E) следует, что d(y0, y) d(y0, y ) 0.] В частности, f является локальным гомеоморфизмом (и, следовательно, открытым отображением).

Положим f xn1 = xn при всех n}, = {(xn )nZ : xn, f (xn ) = (f xn ), (xn ) = (xn1 ), (xn ) = x0.

f Это согласуется с определением, и в § 6.17. Множество является компактным метрическим пространством с метрикой d((xn ), (yn )) = sup |n| d(xn, yn ), n а отображение f — гомеоморфизмом этого пространства, причем f = = f, где — непрерывное открытое отображение пространства на пространство.

Если d((xn ), (yn )), определим (zn ) = [(xn ), (yn )] условиями z0 = = x0 и d(zn, yn ) для всех n. Эквивалентное определение:

z0 = x 0, zn1 = (yn1, zn ).

Отображение [·, ·] непрерывно, поскольку непрерывно. Легко видеть, что для него выполняются условие (SS1);

(SS2) (с = ) также справедливо.

Это же можно сказать и об условии (SS3) из параграфа 7.11, так как d (yn ), [(xn ), (yn )] = d(x0, y0 ) d (xn ), (yn ).

Кроме того, d(f 1 (xn ), f 1 (yn )) 1 d((xn ), (yn )). (7.12) Таким образом, (с отображением [·, ·] и гомеоморфизмом ) является про странством Смейла, канонически связанным с растягивающим отображени ем f.

7.27. Замечания (a) Поскольку, f, определены так же, как аналогичные объекты в в параграфе 6.17, можно утверждать, что индуцирует биекцию множества f -инвариантных состояний на и множества f -инвариантные состояния на, для которой h() = h(). Кроме того, если A (),   то P (A ) = P (A) (см. § 6.18).

7.28. Результаты для растягивающих отображений (b) — биекция множеств Fix f n и Fix f n (доказательство очевидно).

(c) Отображение — сжатие. Следовательно, если A — гельдеровская функция на, то A — гельдеровская функция на.

(d) Отображение f топологически (+)-транзитивно (соответственно, перемешивает) тогда и только тогда, когда таковым является отображение f.

[f топологически (+)-транзитивно, если и только если для любых непу стых открытых множеств U, V и любых p, q, N 0 существует такое n N, что f n (f p 1 U ) (f q 1 V ) =, или если существует такое n N + p q, что ( 1 U ) (f n 1 V ) =.

Так как f n 1 V = (f n )1 V = (f n )1 V = 1 (f n )1 V, это условие можно переписать в виде ( 1 U ) ( 1 (f n )1 V ) =, или U (f n )1 V = или f n U V =.

Случай перемешивания рассматривается аналогичным образом.] 7.28. Результаты для растягивающих отображений Из приведенных замечаний видно, что теория, связанная с давлени ем и равновесными состояниями для пространств Смейла, обобщается на случай растягивающего отображения. В частности, если отображение f то пологически (+)-транзитивно и A (), то существует единственное   равновесное состояние A, т. е. единственное f -инвариантное состояние, для которого h() + (A) принимает максимальное значение, равное P (A). Аналогичным образом, читатель может проверить, что почти все утверждения следствий 7.10, 7.12, 7.13 переносятся на растягивающие отображения буквально или с простыми изменениями.

Используя замечание 7.27(b) о периодических точках, можно показать, что остаются справедливыми также теоремы 7.20, 7.24 и следствие 7.25.

Дальнейшие результаты получаются при помощи марковских разбие ний пространства.

178 Глава 7.29. Марковские разбиения Пусть (Ri ) — марковское разбиение пространства. Каждое R i имеет вид [Ci, Di ], где Ci совпадает с замыканием в Vxi () при некотором xi множества своих внутренних точек. Поэтому каждое множество C i имеет всюду плотную внутренность. Мы определим множества S j как замыкания минимальных непустых пересечений множеств int C i. Множе ства Sj непусты, замкнуты, имеют всюду плотную внутренность и покры вают. Кроме того, (a) int Si int Sj =, если i = j;

(b) каждое f Si является объединением множеств Sj.

Семейство (Si ) будем называть марковским разбиением6 для растяги вающего отображения f.

Множества 1 Si удовлетворяют условиям, определяющим марков ское разбиение пространства (эти множества не имеют малого диаметра, но мы можем считать, что при некотором N 0 семейство (f N 1 Si ) явля ется настоящим марковским разбиением пространства. Поэтому можно построить символическую динамику. Более точно, пусть 0 — совокупность множеств Si. Положим 1, если int Si f 1 int Sj =, tSi Sj = 0 в противном случае.

Определим пространство так же, как это было сделано в парагра фе 5.8, и введем односторонний сдвиг : равенством (n )n 0 = = (n+1 )n 0. Этот сдвиг очевидным образом связан со сдвигом на про странстве.

7.30. Теорема f n n состоит из единственной точ Если = (n )n, то n ки (). Кроме того, (a) Отображение : является непрерывным и сюръектив ным.

(b) = f.

6 Марковские разбиения для растягивающих отображений можно получить и непосредствен но с помощью упрощенной конструкции марковских разбиений для пространств Смейла;

см.

Боуэн [1].

7.31. Приложения (c) Отображение 1 однозначно определено на массивном множе f n, где = (Si \ int Si ).

стве \ i n (d) Существует такое число d, что card 1 x d при всех x.

(e) Если отображение f топологически (+)-транзитивно (соответ ственно, перемешивает), то сдвиг транзитивен (соответственно, пере мешивает).

Все это можно непосредственно получить из теоремы 7.6 (в доказа тельстве утверждения (e) нужно воспользоваться замечанием 7.27(b)).

7.31. Приложения Пусть f — растягивающее отображение пространства и A — действи тельная непрерывная функция. Определим отображение A : () ()   равенством eA(y) B(y).

( A B)(x) =   y : f y=x Обозначим через D массивное множество точек пространства, для кото рых отображение 1 однозначно определено. Если D, то eA() B () = ( (B ))(), ( A B)() =     : = где — некоторый оператор на пространстве ( ). Этот оператор того же   типа, что и оператор из параграфа 5.11. К нашей ситуации можно применить или приспособить рассуждения главы 5.

Рассмотрим следующий пример. Предположим, что отображение f топологически перемешивает и A (). Тогда существуют функ ция A () и вероятностная мера, для которых supp = и при всех B () lim enP (A) n = (B) · eA, AB   n причем сходимость равномерна на.

180 Глава [В силу предложения 5.16 сходимость равномерна на D и, следо вательно, на всем, так как D всюду плотно в. Предположим, что cd(x, x ).

при d(x, x) 2 выполняется неравенство |C(x ) C(x)| Тогда exp[A(y ) + C(y )] ( A eC )(x )   y : f y =x = ( A eC )(x) exp[A(y) + C(y)]   y : f y=x exp[a(d(x, x )) + c(d(x, x )) ], так что, |A(x) A(x )| ad(x, x ), где a = a (1 )1.] В качестве другого примера рассмотрим отображение f, которое имеет якобиан eA относительно вероятностной меры на. Это означает, что если B (), то eA(y) B(y) · (dx) (f (B · ))(dx) = y : f y=x и, следовательно, f n (B · ) = ( A B) ·.

n   В частности, если отображение f топологически перемешивает и A (), то P (A) = 0 и f n eA, причем норма разности f n eA убывает экспо- ненциально быстро (см. упражнение 4(b) главы 5). В таком случае мера e A f -инвариантна и эквивалентна мере.

Приведенные выше рассуждения часто позволяют показать, что g n имеет предел, когда — мера на компактном множестве, но отображение g : не удовлетворяет нашему условию (E). Для этого достаточно найти сюръективное отображение : и растягивающее отображе ние f, для которых f = g и отображение 1 однозначно определено -почти всюду.

n Предположим, например, что = i и для каждого i существуют i= множество I(i) и непрерывное отображение gi : i j со следую jI(i) щими свойствами:

(a) I(i) = {1,..., n}.

i (b) Множества i замкнуты и (i j ) = 0, если i = j.

(c) Отображения gi биективны и d(x, y) d(f x, f y).

Библиографические замечания (d) Существует такая функция Ai (i ), что   gi (|i )(dx) = exp[Ai gi x] · j (dx).

jI(i) Пусть ограничение отображения g : на i совпадает с gi (g не обязательно определено на i j при i = j). Тогда g n при n име ет предел, эквивалентный мере. Чтобы убедиться в этом, введем множе ство последовательностей вида (xn, in ), n 0, где xn in, in+1 I(in ) и xn+1 = gin xn. Пусть f (xn, in ) = (xn+1, in+1 ), (xn, in ) = x0. Тогда f = g и для f и метрики d((xn, in ), (yn, jn )) = sup n d(xn, yn ) + 2(1 in jn ) n выполняется условие (E). Положим = 1 и A(xn, in ) = Ai0 (xi0 ). Тогда A () и отображение f имеет якобиан eA относительно меры.

  Библиографические замечания Диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А, были введены Смей лом в статье [1], которая до сих пор служит лучшим введением в эту темати ку. Определение Смейла обобщает более раннее понятие диффеоморфизма Аносова (см. Аносов [1]). Идея абстрактного изучения A-диффеоморфиз ма, ограниченного на неблуждающее множество (или на гиперболическое множество), принадлежит Боуэну [1] (ср. с «Фактом 1», используемым в его работе). Наше изучение основывается на аксиомах (SS1) и (SS2), и термин «пространство Смейла» мы употребляем по отношению к динамическим систем с этими свойствами. Полученные результаты применимы к A-диф феоморфизмам и, в частности, к диффеоморфизмам Аносова.

Основным инструментом служат марковские разбиения и символиче ская динамика, существование которых впервые доказано Синаем в [1, 2] для диффеоморфизмов Аносова. Это доказательство было улучшено и обоб щено на А-диффеоморфизмы Боуэном [1]. Синай [4] обнаружил, что, ис пользуя символическую динамику, можно применить методы статистиче ской механики к изучению инвариантных мер на многообразии с диффео морфизмом Аносова. Это соображение обобщается и на А-диффеоморфиз 7 Из (b) и (d) следует, что отображение : обратимо -почти всюду. Это и позволяет говорить о мере 1. — Прим. ред.

182 Глава мы (см. Рюэль [5], Боуэн и Рюэль [1]). Данное изложение следует идеям Синая и монографии Боуэна [6], но содержит и некоторые новые факты.

Теория гиббсовских состояний, представленная в параграфах 7.15–7.18, соответствует общему определению гиббсовского состояния, предложенно му Капокачиа [1].

Изучение периодических точек в параграфах 7.19 – 7.25 следует Боу эну [2] и Мэннингу [1]. Теорема 7.24 была анонсирована Рюэлем в [6].

Теория растягивающих отображений, развитая в параграфах 7.26 – 7.31, служит приложением теории пространств Смейла. Она является более об щей (и, следовательно, менее богатой), чем теория растягивающих диффео морфизмов Шуба [1] и Хирша [1]. Исследование итераций оператора A в   параграфе 7.31 приводит к обобщению теоремы Перрона – Фробениуса (см.

предложение 5.16). Развитие этой темы можно найти у Уолтерса [3], [4] и, в другом направлении, у Ласоты и Йорка [1].

Упражнения 1. Доказать, что пространство Смейла имеет конечную хаусдорфову размерность8.

[Покроем конечным числом N множеств диаметра, где опре делено в параграфе 7.3. Для всякого n 0 пространство можно по крыть не более чем N 2n1 множествами Si диаметра Cn. Поэтому, если (2 log N )/| log |, то lim Cn = 0, n lim N 2n1 (Cn ) = C lim (N 2 )n = 0, (diam Si ) lim N n n n i и, значит, dim (2 log N )/| log | (см. Биллингслей [1], § 14).] 2. Пусть (, f ) — топологически (+)-транзитивное пространство Смейла. Тогда следующие условия на функцию B () эквивалент- ны:

(a) (B) = 0 для всех I.

n B(f k x) = 0 для всех n и x Fix f n.

(b) k= 8 Этот результат, принадлежащий Розенбергу, сообщен мне Боуэном.

Упражнения (c) B = C f C, где C ().

  В (c) функция C определена с точностью до аддитивной постоянной, и если выполняется условие (SS3) из параграфа 7.11, то C ().

  [Импликации (c)(a)(b) тривиальны. Чтобы доказать (b)(c), выбе рем точку y, для которой множество = {f k y : k Z} плотно в, и построим сначала функцию C на множестве так, как это было сдела но при доказательстве теоремы 5.7. Пусть u, v, f k y u, f l y v и l k +. Если расстояние d(u, v) достаточно мало, то существует точка z, для которой f lk z = z и d(f m z, f k+m y) при m [0, l k] (см. § 7.3). Тогда lk C(v) C(u) = lim[C(f l y) C(f k y)] = lim B(f k+j y) = j= lk [B(f k+j y) B(f j z)].

= lim j= Последнюю сумму можно оценить почленно, пользуясь тем, что d(f k+j y, f j z) const max(j, (lk)j ).

Перейдя к пределу при l k, z [u, v], получим:

[B(f j u) B(f j [u, v])] + [B(f j v) B(f j [u, v])].

C(v) C(u) = j=0 j= Таким образом, const d(u, [u, v]) + d(v, [u, v]).

|C(v) C(u)| Отсюда следует, что C (), а если выполняется условие (SS3), то   C ().]   3. Используя упражнение 2, покажите, что при выполнении усло вия (SS3) (см. § 7.11) функция C из следствия 7.10(с) является гельдеров ской.

4. Пусть f — растягивающее отображение. Тогда (a) Если f топологически перемешивает, то множество периодических точек всюду плотно в.

184 Глава (b) f топологически перемешивает тогда и только тогда, когда для каждого непустого открытого множества O существует такое N 0, что f N O =.

(c) Если множество периодических точек всюду плотно в и связно, то f топологически перемешивает.

[(a): В силу замечания 7.27(d) отображение f топологически переме шивает. Поэтому состоит из неблуждающих точек и, следовательно, пе риодические точки всюду плотны в. Но тогда (см. замечание 7.27(b)) периодические точки всюду плотны в. (b): Пусть f топологически пере мешивает и O — непустое открытое подмножество пространства. С уче том (a) возьмем x O Fix f p. Заменив O достаточно малым шаром с центром в точке x и пользуясь условием (E), получим O f p O. Таким образом, множество f np O возрастает с ростом n. Если y f np O, то в n f np O. Так как f перемешивает, множе силу (E) {z : d(z, y) 2} n f np O всюду плотно в и, значит, совпадает со всем простран ство n ством. Множества f np O открыты, а пространство компактно. Поэтому существует такое n, что f np O =. Обратное утверждение очевидно. (c):

доказывается так же, как (b).] ГЛАВА Введение в динамические дзета-функции Главы 8 и 9 основаны на айзенштадтовских лекциях «Динамические дзета-функции», прочитанных автором в Монреальском университете в ок тябре 1993 г. Но здесь акцент сделан на другом. С одной стороны, уже существуют два прекрасных обзора, посвященных этому предмету: они принадлежат Перри и Полликотту [33] и Балади [3]. С другой стороны, теория дзета-функций для гиперболических динамических систем находит ся в движении благодаря продолжающейся работе Ру [45] и Фрида. По этой причине гиперболические системы здесь подробно не обсуждаются.

После общего введения, содержащегося в главе 8, мы сосредоточимся на кусочно-монотонных отображениях интервала и дадим подробное доказа тельство обобщенного варианта теоремы Балади и Келлера [4] (гл. 9). Эта теорема содержит типичные утверждения, которые желательно иметь для дзета-функций, связанных с различными классами динамических систем, а изложенный здесь вариант представляется в разумном смысле окончатель ным.

Не сразу очевидно, что динамические дзета-функции, которые мы опре делим ниже, интересны с математической точки зрения. Наша цель в этой главе — показать, что в действительности они представляют собой интерес ный и естественный объект для изучения. Попутно мы вводим здесь поня тия, необходимые для главы 9, что делает изложение в известном смысле замкнутым.

Для более подробного ознакомления с материалом этой главы мы ре комендуем монографию Перри и Полликотта [33] и обзорную статью Бала ди [3];

в них содержатся также многочисленные ссылки на литературу по динамическим дзета-функциям.

Заметим, что в гл. 8 мы отдаем предпочтение доступности перед стро гой логической организацией и полнотой: эта глава представляет собой скорее введение, чем обзор.

186 Глава § 1. Подсчет периодических орбит для отображений и потоков Пусть f : M M — отображение, Fix f m = {x : f m x = x} и : M Md (C) — матричнозначная функция. Если множество Fix f m ко нечно при всех m, мы можем определить формальный степенной ряд m zm (f k x).

(z) = exp tr (1.1) m m=1 xFix f m k= Пусть (f t )t 0 — однопараметрическая группа отображений f t : M M (полупоток) и (t )t 0 : M Md (C) — семейство матричнозначных функ ций, удовлетворяющее условиям 0 = 1, s+t (x) = s (f t x)t (x). Обо значим через P семейство периодических орбит и через T () — период орбиты P. Положим det 1 T () (x ) =, (1.2) P где x — произвольная точка орбиты (здесь мы игнорируем проблему сходимости).

В частности, взяв B : M C, можно определить t (при d = 1) t (B(f u x) s) du.1 Тогда равенством t (x) = exp T () B(f t x ) s dt = (s) = 1 exp.

P При B = 0 получим 1 esT () (s) =.

P Очевидно, можно рассмотреть варианты определений (1.1) и (1.2), в которых матричнозначные функции и t заменены на отображения век торных расслоений над f или f t.

1 Конечно, здесь требуется некоторое условие измеримости, но в этом параграфе оно также игнорируется. — Прим ред.

§ 2. Подсдвиги конечного типа Продакт-формула (см. ниже §4) показывает, что определения (1.1) и (1.2) тесно связаны одно с другим. Мы будем называть объекты только что введенного типа динамическими дзета-функциями. В них суммируются периодические орбиты (отображений и потоков) с весами (определяемыми функцией ).

§ 2. Подсдвиги конечного типа Пусть I — непустое конечное множество, называемое алфавитом (мож но взять I = {1,..., card I}), и t — матрица с элементами tij {0, 1}, называемая матрицей перехода. Множество I, наделенное дискретной то пологией, компактно, вследствие чего произведение I Z тоже компактно.

Определим замкнутое подмножество I Z и непрерывное отображе ние : равенствами = {(k )kZ : tk k+1 = 1 для всех k}, ( (• ))l = l+1.

Пара (, ) называется подсдвигом конечного типа, а отображение — сдвигом.

Дзета-функция Предложение 2.1 (формула Боуэна – Лэнфорда).

z m card Fix m (z) = exp m m= продолжается до рациональной функции (z) =.

det(1 zt) Основное наблюдение состоит в том, что card Fix m = tr tm.

Теперь, используя общую формулу det exp A = exp tr A, 188 Глава находим z m card Fix m = exp z m tr tm = (z) = exp m m m=1 m= = exp tr[ log(1 zt)] = [det(1 zt)]1.

Впервые это было замечено Боуэном и Лэнфордом [9].

§ 3. Продакт-формула для отображений Пусть Per (n) — множество периодических орбит отображения f : M M, имеющих минимальный период n. При Per (n) и нату ральном q обозначим через q ту же орбиту, но пройденную q раз. Для Per (n), x положим nq1 n1 q ( q ) = tr (f k x ) = tr (f k x ).

k=0 k= Пусть Per (n) — множество периодических орбит минимального периода n.

Тогда m (f k x) = n( m/n ), tr xFix f m k=0 n|m Per (n) где n | m означает, что n делит m. Следовательно, nm ( m/n ) = (z) = exp mz m=1 n|m Per (n) z pq ( q ) = = exp q p=1 Per (p) q= p tr log 1 z p (f k x ) = exp = p=1 Per (p) k= p p (f k x ) = det 1 z.

p=1 Per (p) k= § 4. Продакт-формула для полупотоков Мы получили продакт-формулу p det 1 z p (f k x ) (z) =.

p=1 Per (p) k= Обозначив через p() минимальный период орбиты, ее можно переписать в виде p() det 1 z p() (f k x ) (z) =.

P k= Если, в частности, 1, то z m card Fix f m = (1 z p ) card Per(p).

(z) = exp m m=1 p= Заметим, что все формулы справедливы лишь на уровне формальных сте пенных рядов.

ПРИМЕР 3.1. Отображение x 1 µx2 отрезка [1, 1] в себя, где µ — константа Фейгенбаума, равная 1,401155..., имеет при каждом n 0 одну периодическую орбиту периода 2n. Отсюда с помощью тождества n 1 + z (1 z) = n= получаем 2n+1 1 2n 1 n n n 1 z2 1 + z (z) = exp z= =.

2n n=0 n=0 n= § 4. Продакт-формула для полупотоков Предположим, что полупоток (f t ) обладает глобальным сечением.

Это значит, что всякая орбита (f t x)t 0 пресекает и существует такая функция t : R, что t(x) — наименьшее из тех t 0, для кото рых f t(x) x. Определим отображение : формулой x = t(x) x 190 Глава и будем писать (x) = t(x) (x). Тогда det 1 t() (x ) = = p P (f k x ) = det 1 = (z).

z= p=1 Per (p) k= Эта формула (в которой мы игнорируем проблему сходимости) связывает дзета-функцию для полупотока и дзета-функцию для отображения.

§ 5. Формула Лефшеца Для непрерывного отображения f : M M компактного многообра зия M можно определить индекс L(x, f ) Z любой изолированной непо движной точки x. Если f дифференцируемо в этой точке и матрица 1 D x f обратима, то L(x, f ) = sign det(1 Dx f ). Сумма L(x, f ) (имеющая xFix f смысл, если множество Fix f конечно) является гомотопическим инвариан том.

Число Лефшеца отображения f определяется равенством dim M (1)i tr fi, (f ) = i= где fi — автоморфизм, который f индуцирует на группе H i (M, Q) i-мер ных (сингулярных) гомологий с рациональными коэффициентами. Отсюда вытекает формула следа Лефшеца L(x, f ) = (f ).

xFix f Введем дзета-функцию Лефшеца zm L(x, f m ) (z) = exp m m=1 xFix f m m (предполагается, что множество Fix f конечно при всех m). Тогда zm (1)i tr fi = m (z) = exp m m=1 i (1)i zm f m (1)i+ = exp tr = [det (1 zfi )].

m i m= i i § 5. Формула Лефшеца Как мы видим, эта функция рациональна и допускает гомологическую ин терпретацию.

Пусть x — гиперболическая периодическая точка минимального пери ода p (это значит, что Dx f p не имеет собственных чисел с || = 1) и E u — подпространство, отвечающее собственным значениям дифферен циала Dx f p с || 1. Обозначив через = {x,..., f p1 x} орбиту точки x, положим u() = dim E u и будем писать () = ±1 в зависимости от то го, сохраняет Df p ориентацию в E u или меняет ее. Следуя Смейлу [46], заметим, что L(x, f pq ) = (1)u() ()q.

Значит, если все периодические точки преобразования f — гиперболиче ские, мы имеем продакт-формулу z pq ()q = (1)u() (z) = exp q p Per (p) q (1)u()+ [1 ()z p ] = = p Per (p) (1)u()+ 1 ()z p() =.

P Заметим, что в голоморфном случае () = 1, u() — четное число и (z) сводится к (z).

Теперь естественно определить динамическую дзета-функцию Лефше ца по формуле m zm L(x, f m ) tr (f k x).

(z) = exp m m=1 xFix f m k= В общей ситуации имеет смысл попытаться свести изучение динамической дзета-функции к изучению дзета-функции Лефшеца (последняя в некотором смысле более естественна и ее легче анализировать).

Чтобы достичь успеха и, в частности, исследовать сходимость фор мальных степенных рядов, определяющих (z), нам придется выбрать кон кретный класс динамических систем и функциональное пространство, из которого берутся весовые функции. Оказывается, что возможны и инте ресны разные способы сделать такой выбор. Но это в то же время означает, 192 Глава что теория динамических дзета-функций имеет тенденцию распасться на ряд отдельных ветвей: все они связаны друг с другом, но различны, и объ единяющая их теория отсутствует. В гл. 9 излагается одна из таких «специ альных ветвей», где f предполагается кусочно-монотонным отображением отрезка. Чтобы приобрести более широкий взгляд на предмет, в этом месте имеет смысл остановиться на истории дзета-функций.

§ 6. Исторические замечания: от дзета-функции Римана к динамическим дзета-функциям Для вещественного s 1 положим 1= (1 ps )1.

(z) ns pпростое n= Эта продакт-формула была открыта Эйлером в XVIII веке, но подробное аналитическое исследование функции было проведено Риманом в XIX веке, отсюда и ее название — дзета-функция Римана.

При всяком целом m классы вычетов n по модулю m целых чисел n с (n, m) = 12 образуют мультипликативную группу. Пусть — характер этой группы;

для любого целого n будем писать (n) = (n), если (n, m) = = 1, и (n) = 0, если (n, m) = 1. Формула (n) 1 (p)ps L(s, ) =.

ns p n= определяет L-функцию Дирихле.

В дальнейшем были определены другие функции, аналогичные дзе та-функции Римана и L-функции Дирихле. Часто эти функции вводились ради теоретико-числовых приложений и, как правило, обладали следующи ми свойствами3 :

(i) Мероморфность на всей комплексной плоскости [положение полю сов и нулей было первым предметом изучения: дзета-функция Римана имеет простой полюс в точке s = 1 и простые нули при s = 2, 4,..., 2n,...

2 (n, m) — обозначение для наибольшего общего делителя чисел n и m. — Прим. ред.

3 См. статью «Zeta functions» в математическом энциклопедическом словаре Сугаккаи [1] (см. также аналогичную статью в «Математической энциклопедии», т. 2, стр. 112–119, М., 1979. — Прим. ред.) § 6. От дзета-функции Римана к динамическим дзета-функциям (тривиальные нули), а согласно гипотезе Римана, все остальные нули лежат на прямой Re s = 1/2 (нетривиальные нули)].

an en s.

(ii) Представление в виде ряда Дирихле n (iii) Представление в виде произведения Эйлера.

(iv) Функциональное уравнение [для дзета-функции Римана, если мы положим (s) = s/2 s (s), функциональное уравнение будет иметь вид (s) = (1 s)].

Пусть k — конечное поле, состоящее из q элементов, и V — несингуляр ное проективное алгебраическое многообразие размерности n, определен ное над k (заметим, что координаты точек V принадлежат алгебраическому замыканию поля k, но коэффициенты уравнений, определяющих V, при надлежат самому k). Если Nm — число точек многообразия V, координаты которых лежат в расширении степени m поля k, можно определить дзе та-функцию многообразия V, положив m Nm z.

Z(z, V ) = exp m m= Заметим, что Nm = card Fix F m, где F — морфизм Фробениуса, заменяющий точку с координатами (x i ) точ кой (xq ). Несколько гипотез о свойствах Z(z, V ), высказанных Вейлем, i привели к циклу работ Вейля, Дворка, Гротендика и других;

полное дока зательство в конце концов дал Делинь. Было обнаружено, что Z(z, V ) — рациональная функция от z:

2n l+ Pl (z)(1) Z(z, V ) =, l= где Pl — многочлен, нули которого по абсолютной величине равны q l/2, а сам он имеет когомологическую интерпретацию (состоящую, грубо говоря, в следующем: Pl (z) = det 1 zF |H l (V ), где F — действие морфизма Фробениуса на когомологиях).

Если морфизм Фробениуса алгебраического многообразия V заменить диффеоморфизмом f компактного гладкого многообразия, то получится функция z m card Fix f m.

(z) = exp (6.1) m m= 194 Глава Артин и Мазур [1] показали, что для плотного в C 1 -топологии множества диффеоморфизмов f lim m log card Fix f m m и, следовательно, ряд (6.1) имеет ненулевой радиус сходимости. Затем Смейл [46] предположил, что для диффеоморфизмов, удовлетворяющих ак сиоме А, которые он ввел, дзета-функция Артина – Мазура рациональна.

Впоследствии это было доказано Гукенхеймером [17] и Мэннингом [25] (см. также Боуэн [8] и Фрид [13]).

Пусть {} — множество замкнутых геодезических на компактной по верхности M постоянной кривизны, равной 1, и l() — длина геодезиче ской. Формула 1 e(s+k)l() Z(s) = (6.2) k= определяет дзета-функцию Сельберга. Это целая функция порядка 2, удо влетворяющая некоторому функциональному уравнению. Она имеет «три виальные нули» в точках 0, 1,..., n,... и «нетривиальные нули» в точках s с Re s = 1/2, а также в конечном числе точек интервала (0, 1) (нетривиальные нули функции Z связаны с собственными значениями опе ратора Лапласа на M ).

Число l() можно интерпретировать как период периодической орбиты геодезического потока (f t ) на M. Этим подсказывается следующее опреде ление дзета-функции потока (f t ):

1 esT () (s) = ;

(6.3) P здесь P — множество периодических орбит и T () — период орбиты. Для геодезического потока на компактной поверхности кривизны 1 мы имеем (s) = Z(s + 1)/Z(s). Смейл [1] предложил определять дзета-функцию по тока формулой (6.2), но это определение удовлетворительно лишь в случае, когда кривизна равна 1 (функция (6.2), вообще говоря, плохо ведет себя при замене времени).

Как мы видели, рассмотрение арифметических дзета-функций есте ственным образом приводит к определениям (6.1) и (6.3) дзета-функций, § 7. Свойства динамических дзета-функций считающих периодические орбиты динамических систем. Идеи равновес ной статистической механики подсказывают мысль снабдить периодические орбиты весами, т. е. заменить (6.1) и (6.3) формулами m zm A(f k x) (s) = exp exp (6.4) m m=1 xFix f m k= и T () s B(f t x ) dt (s) = 1 exp, (6.5) P где x. Эти формулы задают динамические дзета-функции.

Заметим, что тривиальный выбор B = 0 в (6.5), превращающий эту формулу в (6.3), соответствует в силу продакт-формулы из § 4 нетривиаль ному выбору A в (6.4). Это делает введение веса = e A очень естествен ным. Определения (6.4) и (6.5) были предложены и изучены Рюэлем [6], [7], [8] (для динамических систем, удовлетворяющих аксиоме А).

Оказалось, что динамические дзета-функции тесно связаны с пробле мами эргодической теории (убыванием корреляций, термодинамическим формализмом).

§ 7. Свойства динамических дзета-функций Если мы сравним свойства теоретико-числовых дзета-функций и дина мических дзета-функций, то убедимся, что для последних имеют место (i) аналитические свойства, которые могут быть подробно изучены;

(ii) разложения в ряды Дирихле в случае полупотока;

(iii) продакт-формула;

(iv) возможно, что-то вроде функционального уравнения (см. Рю эль [15]).

Параллелизм бросается в глаза. Если, однако, мы посмотрим на (ко)гомологическую интерпретацию дзета-функции Лефшеца (§ 8.5), то об наружим, что она полностью разрушается в результате введения весов.

В действительности, вместо возможности выразить дзета-функцию в тер минах действия динамической системы на конечномерных группах когомо логий, мы можем только выразить ее в терминах действия динамической системы на бесконечномерных группах коцепей.

196 Глава Здесь следует упомянуть, что Атья и Ботт в классической работе [1] проанализировали ситуации, в которых все-таки можно «перейти к факто ру» и достичь уровня когомологических групп.

Упомянутое выше действие динамической системы на группах цепей задается так называемыми трансфер-операторами, а динамическая дзе та-функция выражается через детерминанты этих операторов. В некоторых случаях детерминанты трансфер-операторов — это просто определители Фредгольма (в смысле Гротендика, см. ниже, § 11). Но в других случаях теория Фредгольма – Гротендика требует обобщения.

Замечательно, что Дворк уже на ранней стадии использовал транс фер-операторы в p-адической ситуации для изучения дзета-функций алге браических гиперповерхностей над конечным полем. Аналогичные более поздние исследования касались гельдеровской дифференцируемой и анали тической ситуаций.

§ 8. Трансфер-операторы Как и раньше, рассмотрим отображение f : M M, но заменим мат ричнозначную функцию скалярной функцией g : M C (матричнознач ные функции через минуту появятся снова). Определим трансфер-опера тор L действующий на функции : M C формулой L(x) = g(y)(y).

y : f y=x Отметим важное свойство:

L ( · ( f )) = · (L).

Интересная ситуация возникает, естественно, в случае, когда f необратимо и существует конечное (или хотя бы дискретное) множество обратных вет вей (часто удается извлечь пользу из перехода от задачи с обратимым f к задаче с необратимым f ). Перепишем L в терминах обратных ветвей или, более общим образом, определим (обобщенный) трансфер-оператор K одним из следующих равенств:

K(x) = (x)( x), K= m(d) (x)( x);

§ 9. Следы и определители здесь — гомеоморфизм, переводящий одно из подмножеств простран ства M в другое, и m(d) — некоторая мера. Оператор K действует в бана ховом пространстве B функций (обычно непрерывных) на M или, в более общем случае, на пространстве сечений некоторого векторного расслоения.

Если M и f — гладкие, мы можем заменить g матричнозначной функ цией g · l (T ) и в результате получить трансфер-оператор L(l), действу ющий на l-формы, причем L(0) — исходный трансфер-оператор L.

§ 9. Следы и определители Если M и f обладают свойством гладкости и график функции f транс версален к диагонали M M, естественно определить «след» (или «плоский след», см. Атья и Ботт [1], Гийемин и Стернберг [1]).

g(x) Tr L =, | det(1 Dx f 1 | xFix f где Dx f — производная функции f, действующая в касательном простран стве Tx M. Естественность этого определения вытекает из того, что в ло кальных координатах в окрестности точки x мы имеем согласно теории распределений g()( f 1 )( ) d d = L(, )( ) d d = g()( f 1 ) d = g(x)/| det(1 Dx f 1 )| = (ядро L(, ) определено так, что L() = L(, )() d).

Это определение естественным образом обобщается на трансфер-опе раторы Ll с помощью формулы g(x) tr(l Dx f 1 ) Tr Ll =, | det(1 Dx f 1 | xFix f где Tr обозначает след оператора в конечномерном пространстве l Tx M.

Тогда мы получаем таинственный результат dimM det(1 Dx f 1 ) (1)l Tr L(l) = g(x)L(x, f 1 ) g(x) = | det(1 Dx f 1 )| xFix f l=0 xFix f 198 Глава (индекс Лефшеца L(x, f 1 ) достаточно просто связан с L(x, f ) и во многих случаях равен единице).

С помощью «следов» Tr определим «детерминант» Det обычной фор мулой z m Tr Lm.

Det(1 zL) = exp m m= Тогда мы получим dimM (1)l+ (z) = Det(1 zLl ), l= где есть -функция Лефшеца. Различие между и не должно вызы вать серьезного беспокойства: часто эти две функции довольно просто свя заны. Серьезная проблема состоит в том, чтобы выражению Det(1 zL l ) придать смысл не формального степенного ряда, а аналитической функ ции, определенной в достаточно большой области. Здесь потребуется спек тральная теория трансфер-операторов, и результат будет зависеть как от рассматриваемого класса динамических систем, так и от функционального пространства.

Обратимся теперь ненадолго к теории детерминантов Фредгольма, ко торые служат одним из хорошо понятых примеров функциональных детер минантов типа Det(1 zL).

§ 10. Целые аналитические функции Стоит напомнить некоторые результаты, касающиеся целых аналити ческих функций.

Пусть целая аналитическая функция f (z) имеет нуль порядка m в точке 0 и пусть (k ) — последовательность других ее нулей, расположенных в порядке возрастания модулей, в которой каждый нуль повторен столько раз, какова его кратность. При 0 положим |k | S() = и определим показатель сходимости нулей 0 формулой 0 = inf{ : S() +}.

§ 11. Теория Фредгольма – Гротендика Если 0 +, мы называем родом функции f наименьшее целое p 0, для которого S(p + 1) + (таким образом, p = [0 ], если только 0 не есть целое число 1, в этом последнем случае p = 0 1). По формуле Вейерштрасса z z f (z) = z m eg(z) 1 exp gp, (10.1) k k k p z k /k и g — некоторая целая функция.

где g0 = 0, gp (z) = k= ak z k определяется равенством Порядок целой функции f (z) = 1 log log max |f (z)| = lim n log n.

= lim log r r | log |an || r |z|=r Теорема 10.1. Всегда справедливо неравенство 0 и в случае, когда, функция g в (10.1) — многочлен степени, причем 0 =, если только не есть целое число 1.

§ 11. Теория Фредгольма – Гротендика (См. Гротендик [1], [2].) Если E1,..., En — банаховы пространства, то норма на Ei · определяется равенством u = inf xi1 · xi2 · · · xin, i где нижняя грань берется по всем представлениям u= xi1 xi2 · · · xin.

i Пополнение произведения Ei по этой норме есть есть банахово простран ство Ei (проективное тензорное произведение пространств E i ). Гротен дик назвал элементы этого пространства фредгольмовыми ядрами.

200 Глава Если E, F — банаховы пространства и E — пространство, сопряженное к E, то существует каноническое отображение E F L(E, f ), опреде ление которого очевидно. Оно не увеличивает норму 4. Образ u L(E, f ) элемента u E F называется ядерным оператором, переводящим E в F.

Всякий такой оператор компактен. В частности, образ пространства E F есть идеал в L(E). Всякий элемент u E F можно записать в виде схо дящегося ряда u= i xi y i, i= где xi E, yi F, xi 1, i 0 и u 1 + для как 1, yi i угодно малого.

Присоединив к алгебре E F единицу (если E бесконечномерно) и взяв u= xi x i, i= где xi E, xi E, естественно положить по определению (11.1) Det(1 + u) = 1 + det( xil, xik ) = n=1 i1... in 1 (u), (11.2) =1+ n n!

n= где ( xil, xik ) представляет собой n n-матрицу, элементы которой индек сированы числами k, l = 1,..., n.

Если u1,..., un E E, можно написать uk = xi xki, k = 1,..., n, i= и определить n-линейную симметричную функцию n : (E F )n C ра венством n (u1,..., un ) = ··· det( xil, xkik ).

i1 in 4 Отображение E F L(E, f ) часто оказывается инъективным;

в этом случае E F     можно отождествить с подпространством пространства L(E, f ).

§ 11. Теория Фредгольма – Гротендика Не ограничивая общности, можно взять xi = 1. Тогда n n (n1/2 ) xkik = nn/ |n (u1,..., un )| ··· xki, i1 in k=1 i k= nn/2 u1 1... un 1. Так как n (u) = так что |n (u1,..., un )| = n (u,..., u), мы видим, что (11.2) определяет на E F целую ана литическую функцию u Det(1 + u).

Теорема 11.1. Следующие условия эквивалентны:

(а) оператор 1 u обратим на L(E), (б) оператор 1u обратим в алгебре, полученной путем присоединения единицы к E F, (в) Det(1 u) = 0.

Теперь можно написать R(u) (1 u)1 =, Det(1 u) где R(u) — операторозначная целая аналитическая функция от u (коэффи циенты которой могут быть конкретно указаны).

Теорема 11.2. Если — собственное значение кратности n опера тора u, определенного включением u E F (т. е. если n — размерность соответствующего обобщенного собственного пространства), то 1 — нуль порядка n целой функции z Det(1 zu).

Замечания 11.3. (а) След xi, xi продолжается до xi x i непрерывной линейной формы Tr: E E C и справедливо тождество z n Tr un, Det(1 zu) = exp n n= связывающее степенные ряды, сходящиеся в некоторой окрестности нуля.

В частности, если z Det(1 zu) имеет порядок 1 и, значит, род 0, то |i | (где i — собственные значения оператора u) и Tr u = i.

(б) В силу наших оценок коэффициентов функции z Det(1 zu) эта целая функция имеет порядок 2. Теперь, пользуясь результатом Гротен дика (см. [1], гл. 2, стр. 18), получаем Det(1 zu) = ez Tr u (1 zi )ezi, i 202 Глава где произведение берется по всем ненулевым собственным значениям i (каждое из которых повторено столько раз, какова его кратность). Ес ли |i |, то i Det(1 zu) = ez (1 zi ), i где = Tr u i.

i (в) Если M и L — компактные пространства и m — мера на L, то непрерывное ядро K : M L C определяет элемент u C(L) C(M ), отвечающий оператору u: K(·, y)(y)m(dy), причем u = max |K(x, y)||m(dy)|.

x Описанная ситуация содержит классический случай, рассмотренный Фред гольмом, к которому теория Гротендика, следовательно, применима. Гро тендик указал ряд неклассических примеров, в которых его теория также работает.

§ 12. Линейные отображения, улучшающие аналитичность Рассмотрим d-мерное комплексное многообразие V и ограниченную меру m на V, имеющую непрерывную положительную плотность. Для открытого U V обозначим через E(U ) подпространство голоморфных функций из L2 (U, m|U ) и через || · ||U соответствующую норму (можно было бы рассмотреть и более общую ситуацию, когда E(U ) — гильбертово пространство интегрируемых в квадрате голоморфных сечений голоморф ного векторного расслоения над U ).

Пусть F — банахово пространство и Предложение 12.1.

u : E(V ) F — линейное отображение, удовлетворяющее условию ||u|| const||||U, где U — открытое множество с компактным замыканием U V. Тогда u связано с u E(V ) F, и можно написать u = k xk yk, где k= § 12. Линейные отображения, улучшающие аналитичность exp A Bk 1/d (A, B — константы, ||xk || 1, ||yk || 1 и 0 k причем B 0).

Мы можем выбрать такие открытые множества W1, W2 с компактными замыканиями W 1, W 2, что U W1 W 1 W2 W 2 V.

С помощью формулы Коши можно убедиться, что отображения ограниче ния E(W2 ) E(W2 ) E(U ) определяются ограниченными непрерыв ными ядрами. Будучи квадратично интегрируемыми, они отвечают элемен |i |2, ||vi || 1, ||vi || 1. Тогда отображение ограни там i v i v i с |i |2, ||vi || 1, чения E(W2 ) E(U ) отвечает элементу i w i w i с 1. По построению wi L (U, m|U ), а применив проектирование, ||vi || можно взять wi E(U ).

При E(V ) мы можем оценить wi () с помощью разложения Тей лора функции в конечном числе точек aj и производных в этих точках, выраженных в терминах интегралов Коши. В результате получаем k1 +... +kd Aijk1... kd ujk1... kd (), wi () = j k1,..., kd где 0 1 и |Aijk1... kd | const, ||u jk1... kd || const.

По предположению u получено с помощью композиции отображения ограничения E(V ) E(U ) и ограниченного линейного отображения : E(U ) F. В итоге убеждаемся, что u связано с k1 +... +kd u jk1... kd i Aijk1... kd (wi ), j i k1,..., kd что и есть требуемое выражение. Заметим, что можно считать произ вольно малым положительным числом и, тем самым, B — произвольно большим.

Следствие 12.2. Пусть F = E(V ), т. е. u улучшает аналитичность.

Тогда целая функция z Det(1 zu) имеет порядок 0;

более точно, существуют такие константы C, D, что d+ | Det(1 zu)| exp C + D log+ |z|.

См. Фрид [2], лемма 6.

204 Глава ПРИМЕР 12.3. Пусть : V U — голоморфное отображение и E(V ).

Определим оператор, действующий на интегрируемые в квадрате голоморф ные l-формы на V равенством l (L)(z) = (z) · (Tz ) ( (z)), где Tz — отображение, сопряженное с касательным отображением T в точке z. Если множество U V компактно, то предложение 12.1 и след ствие 12.2 применимы к трансфер-оператору L. Более общим образом, эти результаты применимы к линейным комбинациям вида µ(d)L, если выполнены естественные условия на, и µ.

Отметим следующие результаты, полезные для приложений.

Лемма 12.4. Пусть V Cd, V связно и V U голоморфно, причем U V компактно. Тогда множество k U l= состоит из единственной точки Z, причем все собственные значения про изводной Z меньше единицы по модулю.

См. Рюэль [8], лемма 1 (D надо взять открытым, связным и удовлетво ряющим условию D U ).

Предложение 12.5. При сделанных выше предположениях и введенных обозначениях l (Z) tr Z Tr L =.

det (1 Z ) См. Рюэль [8], лемма 2.

§ 13. Нефредгольмовы ситуации Если динамическая система (M, f ) и g голоморфны (или веществен но аналитичны) и если f растягивает, то с помощью результатов преды дущего параграфа можно доказать, что L улучшает аналитичность. Сле довательно, существует корректно определенный определитель Фредголь ма Det(1 zL), являющийся целой функцией от z. Это приводит к дзе та-функции, мероморфной на всей комплексной плоскости.

Бывают, однако, случаи, когда L не только не имеет конечного следа, но даже не является компактным оператором, и когда, тем не менее, можно доказать, что радиус сходимости формального степенного ряда Det(1 zL) § 13. Нефредгольмовы ситуации нетривиален. В следующей главе мы подробно обсудим один такой пример, изложив предварительно общий подход, который будет сейчас намечен и который доказал свою эффективность в нескольких различных ситуациях.

Прежде всего необходимо определенным образом выбрать банахово пространство B, на котором действует оператор L (гельдеровские, диф ференцируемые или функции ограниченной вариации). Затем мы оценим спектральный радиус этого оператора, пользуясь формулой спектральный радиус = lim ||Lm ||1/m.

m Пусть r таково, что существует лишь конечное число собственных значе ний оператора L (каждый из которых имеет конечную кратность) с || r.

Точная нижняя грань этих r есть существенный спектральный радиус и сущ. спектральный радиус = lim ||Lm Em ||1/m, m если Em — операторы конечного ранга (Нассбаум [1] показал, что при под ходящем выборе операторов Em правая часть этого неравенства есть на самом деле существенный спектральный радиус). Если повезет удачно вы брать Em, то можно получить оценку существенного спектрального адреса, которая строго меньше, чем спектральный радиус, и, следовательно, дает нетривиальную спектральную информацию.


Существует принадлежащий Хэйдну [2] трюк, который позволил в некоторых случаях показать, что Det(1 zL) — аналитическая функция переменной z при |z| (сущ. спектральный радиус )1.

Кроме того, нули функции z Det(1 zL) в указанной области — это в точности обратные величины по отношению к собственным значениям оператора L, причем они имеют те же самые кратности (пример рассмат ривается в следующей главе).

Наконец, в случае, когда веса g положительны, как правило, существу ет собственное значение 0 оператора L, равное спектральному радиусу, причем 0 exp P (log g), где P — давление, описываемое в следующем параграфе.

Намеченная только что программа была реализована в некотором числе примеров, которые мы теперь кратко опишем.

Вначале заметим, что теория Фредгольма (для улучшающих аналитич ность операторов) применима к аналитическим растягивающим отображе ниям (Рюэль [8], Фрид [2]) и к широкому классу рациональных отображе ний римановой сферы (Левин, Содин, Юдицкий [1], [2]). Ее можно также 206 Глава применить (пользуясь марковскими разбиениями) к гиперболическим отоб ражениям и потокам, у которых устойчивое и неустойчивое слоения ана литичны (Рюэль [8], Фрид [2]). Последнее условие, как заметили Ру [1] и Фрид, можно ослабить.

При изучении растягивающих и гиперболических динамических си стем, являющихся не голоморфными, а только дифференцируемыми или гельдеровскими, естественно воспользоваться марковскими разбиениями (введенными Синаем, Ратнер и Боуэном). Тем самым, исследование ис ходной динамической системы сводится к символической динамике, т. е. к подсдвигам конечного типа (см. § 2). В связи с этим подходом мы отсылаем читателя к монографии Перри и Полликотта и, в частности, к имеющимся там ссылками на работы Рюэля, Полликотта, Хайдна и др.

Использование символической динамики имеет, однако, и недостатки:

оно не носит канонического характера и не учитывает унформации, содер жащейся в предположениях дифференцируемости. Этот метод последова тельно улучшался в статьях Тэнгермана [1], Рюэля [10, 11] и Фрида [2].

Нетривиальные результаты аналитического характера были получены также для дзета-функций, связанных с кусочно-монотонными отображе ниями интервала. Для этих отображений Хофбауэр построил «марковское расширение» (в действительности бесконечное марковское разбиение), а Хофбауэр и Келлер (и многие другие) изучили динамику во всех подроб ностях и в различных направлениях. Первый результат, касающийся дзе та-функций, был получен Балади и Келлером [1]. Дальнейшие результаты см. в работах Келлера и Новицкого [1] Рюэля [13]. В следующей главе мы докажем обобщенный вариант теоремы Балади и Келлера.

Другой подход к изучению дзета-функций кусочно-монотонных отоб ражений интервала был предложен Милнором и Терстном [1] (см. также Престон [3] и Балади и Рюэль [1]).

§ 14. Термодинамический формализм Если — инвариантная вероятностная мера динамической систе мы (M, f ), то энтропия (инвариант Колмогорова – Синая) h() = h f () 5 В этом параграфе автор кратко излагает некоторые результаты из своей книги «Термоди намический формализм», перевод которой составляет первые семь глав настоящего издания.

Ниже, во всех случаях, когда это возможно, мы заменяем ссылки общего характера на эту книгу указанием конкретных параграфов или глав. — Прим. ред.

§ 14. Термодинамический формализм измеряет скорость создания информации преобразованием f относитель но (см. Биллингслей [1])6. Если M компактно, а f и A : M R непре рывны, то интересно рассмотреть величину P (A), называемую давлением (см. § 6.6, а также Рюэль [4], Уолтерс [1], [2] и Денкер, Грилленбергер, Зигмунд [4]) и определяемую равенством P (A) = sup (h() + (A)).

В различных случаях можно доказать, что энтропия h полунепрерывна свер ху (в слабой топологии на пространстве мер) и что верхняя грань в опреде лении P (A) достигается на некоторой мере, которая называется равновесной мерой (см. гл. 3, а также Боуэн [6]).

В § 8.13 мы заметили, что «обычно» при g 0 число 0 = exp P (log g) является собственным значением трансфер-оператора L и что оно рав но спектральному радиусу. В действительности «обычно» 0 — простое собственное значение и ему отвечает собственный вектор 0, а со пряженный оператор L обладает собственным вектором µ, являющимся положительной мерой. Кроме того (при условии нормировки µ() = 1), произведение · µ есть единственное равновесное состояние для log g.

Мы по крайней мере можем проверить, что = · µ является f -ин вариантной мерой, т. е. (A f )(A) для всех непрерывных A : M R.

Действительно, (A f ) = µ ( · (A f )) = 1 (L )µ ( · (A f )) = = 1 µ (L ( · (A f ))) = 1 µ (A · L()) = µ(A · ) = (A);

0 здесь мы использовали тождество из § 8.8.

Интересен вопрос о скорости убывания корреляций для равновесного состояния = · µ: верно ли, что корреляционная функция C(n) = (·(B f n )) экспоненциально убывает при n (для простоты мы предполагаем, что (A) = (B) = 0)? Для ответа на этот вопрос рассмотрим преобразование 6 См. также Мартин, Ингленд [1], Каток, Хассельблатт [1], Корнфельд, Синай, Фомин [1], Рохлин [2], [3], где можно найти дополнительную информацию об энтропии. — Прим. ред.

208 Глава Фурье – Лапласа en n (Ln µ) (A · (B f n )) = en C(n) = n0 n en n µ (Ln (A · (B f n ))) = = n en n µ (B · Ln (A)) = µ B 1 e 1 L = (A).

0 n Поскольку в правой части появляется резольвента оператора L, мы видим, что скорость убывания корреляций связана со спектральными свойствами трансфер-оператора и, следовательно, с аналитическими свойствами соот ветствующей динамической дзета-функции.

§ 15. Связи с другими областями математики Дзета-функция Римана была введена для изучения статистических свойств простых чисел. В предыдущем параграфе мы видели, что динамиче ская дзета-функция связана с термодинамическим формализмом и, значит, с эргодической теорией и опять со статистическими свойствами. Это подска зывает вывод о связи динамических дзета-функций с более традиционными областями математики.

Например, Пэрри и Полликотт [1] изучили дзета-функции, связанные с геодезическим потоком на многообразии отрицательной кривизны (не обязательно постоянной) и доказали теорему о распределении замкнутых орбит, аналогичную теореме о распределении простых чисел.

Другой пример — это исследование Майером [1] дзета-функций, свя занных, с одной стороны, с геодезическими на модулярной поверхности, а с другой — с преобразованием непрерывных дробей (равновесная мера здесь — это мера Гаусса).

Мы закончим задачей, которая, кажется, совершенно не решена. Из вестно, что геодезический поток на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны экспоненциально перемешивает (Ратнер). Остает ся ли это верным для переменной отрицательной кривизны (мы видели, что для отображений имеется простая связь между скоростью убывания кор реляций и спектральными свойствами трансфер-оператора, но для потоков ситуация кажется гораздо менее ясной)?

ГЛАВА Кусочно-монотонные отображения В этой главе мы изучим дзета-функции, связанные с системами (X, f, g), где X — компактное подмножество прямой R, f : X X — кусочно-монотонная функция и g : X C — функция ограниченной вари ации.

В связи с обсуждаемыми здесь проблемами см. статьи Хофбауера [1], Хофбауера и Келлера [1] и Милнора и Т рстена [1]. Имеется также большая е литература по другим аспектам теории отображений интервала.

Основной результат, касающийся дзета-функций, принадлежит Балади и Келлеру [1]. Здесь мы обобщим его, используя новый метод.

§ 1. Определения Пусть X — упорядоченное топологическое пространство, эквивалент ное (с учетом порядка и топологии) компактному подмножеству простран ства R. Для простоты будем считать, что X — компактное подмножество R.

Важный пример: [0, 1] R.

Будем говорить, что J — интервал в X, если J = X I, где I — интервал в R. Если I замкнут, то J — замкнутый интервал в X, т. е. J = или J = {x X : u x v} для подходящих u, v X, u v. Отображение f : J X строго монотон но, если оно строго возрастает (x y f (x) f (y)) или строго убывает (x y f (x) f (y)). Если, кроме того, f J — интервал в X (т. е. f при нимает все промежуточные значения между f (u) и f (v)), мы говорим, что f обладает свойством Дарбу;

в частности, f непрерывно и, следовательно, является гомеоморфизмом1.

1 Строго монотонное отображение со свойством Дарбу — это то же самое, что монотонный гомеоморфизм интервала на интервал.

210 Глава Назовем отображение f : X X кусочно-монотонным, если X можно так покрыть замкнутыми интервалами J1,..., Jn, что f |Ji строго монотон но и обладает свойством Дарбу при i = 1,..., n (тем самым, f |J i являет ся монотонным гомеоморфизмом интервала Ji на некоторый подинтервал в X). Предположим, что (J1,..., JN ) — минимальное покрытие множе ства X замкнутыми интервалами;

это значит, что если (J 1,..., JN ) — дру гое покрытие и J1 J1,..., JN JN, то (J1,..., JN ) = (J1,..., JN ) (в частности, Ji Jj содержит не более одной точки;

очевидно, разбие ние является минимальным покрытием). Предположим также, что все J i непусты, J1 J2 JN и N 1.

...

Если Ji сводится к единственной точке, мы произвольным образом решаем, возрастает f |Ji или убывает (это удобно для дальнейшего).

Пусть {b1,..., bs } — множество общих концов интервалов Ji и Ji+1.

При x {b1,..., bs } и x {b1,..., bs } положим соответственно (x) = / и (x) = ±1, выбрав знак «плюс», если f возрастает на интервале J i x, Fix f m и знак «минус» — в противном случае. Множество Per f = m содержит следующие подмножества:


m Fix± f m = x Fix f m : (f k x) = ±1, k= Per ± (f, m) = {x Fix± f m : минимальный период x равен m}.

Назовем x отрицательной (соответственно положительной) периодической точкой, если x Per (f, m) (соответственно x Per + (f, m)) для неко торого m 1. Если (J1,..., JN ) — разбиение, то каждая периодическая точка либо положительна, либо отрицательна;

в общем случае возможно конечное число исключений.

Назовем (J1,..., JN ) марковским покрытием для f, если для каж дого i образ f Ji есть объединение некоторых Jj. Покрытие (J1,..., JN ) называется образующим, если пересечение f n Ji(n) n= содержит не более одной точки2.

2 По определению, марковское покрытие не обязано быть образующим.

§ 1. Определения Для функции g : X C, где card X 1, положим n var g = sup |g(ai ) g(ai1 )|, где sup берется по всем конечным подмножествам точек из X, упорядо ченным так, что a0 a1... an. Говорят, что g имеет ограниченную вариацию, если var g. Аналогично можно определить var(g|), где — произвольный интервал в X (не обязательно замкнутый).

Функции ограниченной вариации : X C образуют банахово про странство с нормой Var, определяемой равенством n Var = sup |(a0 )| + |(ai ) (ai1 ) + (an )|, где sup берется по всем конечным подмножествам точек a 0 a1... an множества X. Заметим, что sup в определении величин var и Var можно заменить пределом по конечным множествам, упорядоченным по включе нию.

Если X = {a}, мы полагаем var g = 0 и Var = 2|(a)|. Из этих определений следует, что норма Var эквивалентна норме · 0 + var. Дей ствительно, 0 1 Var, var Var, Var 2 0 + var.

Кроме того, Var( · ) 0 Var + var Var · Var, и если функция строго монотонна и обладает свойством Дарбу, то Var( ) = Var.

При Y X обозначим через BY подпространство пространства B, состоящее из функций, равных нулю вне Y, и через B \Y — фактор-про странство B/BY.

212 Глава § 2. Построение новых систем Пусть система (X, f, g) состоит из компактного множества X R, кусочно-монотонного отображения f, минимального покрытия замкнуты ми интервалами (J1,..., Jn ), связанного с f, и функции ограниченной вариации g. По этим данным мы различными способами построим новую систему (X, f, g) и покрытие (J1,..., Jn ) с улучшенными свойствами: в одном случае (J1,..., Jn ) будет разбиением, в другом — марковским или образующим покрытием, а функция g будет непрерывна в периодических точках.

Что касается множества X, то оно, вообще говоря, не будет интервалом (не только в R, но даже в X);

этим объясняется тот факт, что мы не хотим с самого начала ограничиваться отображениями интервалов.

Напомним, что B — это банахово пространство комплекснозначных функций ограниченной вариации, определенных на X. Обозначим через B аналогичное пространство функций на X, а через BY — подпространство   функций, равных нулю вне множества Y X. Положим также B\Y =   = B/BY.   Предложение 9.1 (конструкция разбиения (J1,..., Jn )3 ).

Можно так подобрать (X, f, g), (J1,..., Jn ) и сохраняющее порядок непрерывное сюръективное отображение : X X, что f = f, g = g и Ji = Ji для i = 1,..., N. Кроме того, можно сделать так, чтобы J1,..., Jn не пересекались, прообразы точек некоторого счетного множества при отображении были двухточечными, а прообразы всех остальных точек — одноточечными.

Если Z = {x X, card 1 x = 2}, Y = f n Z и Y = 1 Y, то n каждая точка множества Y есть предел точек из X \ Y, а каждая точка множества Y — предел точек из X \ Y.

Отображение задает изоморфизм банаховых пространств.

Пусть b1,..., bs — точки множества X, принадлежащие двум разным интервалам Ji. Предположим, что X, f k {b1,..., bs } для некото рого k 0, и выберем наименьшее из этих k. Если k 1, предположим дополнительно, что не является концом какого-либо из интервалов J i.

3 Для случая X = [0, 1] см. Хофбауэр и Келлер [1].

§ 2. Построение новых систем Заменим двумя точками, +, и вставим между ними пробел дли ны k, где 0 1/N, так что общая длина вставленных пробелов не будет превосходить s(1 N )1. В результате мы получим компактное множество X R и стягивающее отображение : X X, которое сохра няет порядок, на некотором счетном множестве переводит две точки в одну, а вне этого множества является взаимнооднозначным.

Определив g равенством g = g, убеждаемся, что var g = var g.

Для каждого интервала Ji = {x X : i i } определим Ji = x i } условиями i =, i = i ;

если при этом = { X : i 1 i = {i, i+ }, положим i = i+, а если 1 i = {i, i+ }, поло жим i = i. Из этого определения видно, что интервалы Ji не пересека ются и Ji = Ji.

Отображение f полностью определяется условием, что оно монотонно и гомеоморфно отображает каждый интервал Ji, i = 1,..., N, на некото рый замкнутый интервал в X и что f = f.

Покажем, что точки множества Y (соответственно множества Y ) яв ляются пределами точек множества X \ Y (соответственно X \ Y ). Так как (J1,..., JN ) — минимальное покрытие, точки bi,..., bs, принадлежа щие двум разным Ji, обязаны быть пределами слева и справа других точек множества X. Вспомним, что f n Z, Y= n Z = {x X : card 1 x = 2} = Zk, k где Z0 = {b1,..., bs }, а при k Zk = f 1 Zk1 \ Zk, Zk = {концы интервалов Ji } Z1... Zk1.

Индукцией по k доказывается, что все точки из Z являются предельными точками (слева и справа) других точек из X. Следовательно, все точки мно жества Y являются пределами (по крайней мере с одной стороны) других точек множества X.

214 Глава Предположим теперь, что точка y Y не является пределом точек из X \ Y, т. е. у нее найдется такая открытая окрестность V, что X V = = Y V. Тогда по доказанному каждая точка из Y V является пределом других точек из Y V. Пользуясь этим, построим (путем последовательного удвоения) при каждом n 0 конечные множества Yn, Yn Y, удовлетво ряющие условиям card Yn = card Yn = 2n, Y0 = {y}, Yn Yn =, Yn+1 = Yn Yn.

Очевидно также существование при каждом n такого n 0, что все по парные расстояния между точками множества Yn больше n, а для каждой точки множества Yn найдется отличная от нее точка множества Yn, рассто яние до которой не превосходит 1 n. Замыкание объединения Yn будет 3 n тогда некоторым канторовым множеством K X, пересечение которого с V несчетно, что противоречит предположению K V X V = Y V, так как последнее множество счетно. Тем самым, доказано, что Y принад лежит замыканию множества X \ Y.

Чтобы получить соответствующий результат для Y = 1 Y, заметим, f n Z, где Z = 1 Z и все точки множества Z являются что Y = n (односторонними) пределами других точек из X. Следовательно, все точ ки множества Y являются пределами (по крайней мере с одной стороны) других точек множества X. Дальнейшие рассуждения аналогичны уже про веденным.

Отображение переводит B в подпространство простран ства B, состоящее из тех, для которых () = ( ), если =.

Пусть задано B\Y. Взяв B в том классе смежности, которому   принадлежит, можно так изменить в точках множества Y, чтобы по лучилось, удовлетворяющее условиям: () = ( ), если =, и Var Var. Следовательно, = и если B\Y — класс смежности, которому принадлежит, то = inf Var = inf Var = inf Var =.

Отсюда видно, что отображение порождает изоморфизм B\Y B\Y   банаховых пространств.

§ 2. Построение новых систем Замечания 9.2. (1) Всюду, кроме конечного числа периодических ор бит, проходящих через b1,..., bs, отображение определяет при каж дом m 1 биекцию Fix f m Fix f m.

(2) Так как конструкция удваивает точки b1,..., bs, можно было бы начинать с функций f и g, которые принимают в этих точках по два значения («левое» и «правое»). На этом пути можно изучать кусочно-монотонные отображения f : [0, 1] [0, 1], имеющие точки разрыва.

Предложение 9.3 (построение марковского разбиения (J1,..., Jn )4 ).

Можно так выбрать (X, f, g), (J1,..., JN ) и сохраняющее порядок инъ ективное непрерывное отображение : X X, что f = f, g = g и Ji Ji, i = 1,..., N. При этом разбиение (J1,..., JN ) можно сде лать марковским.

С помощью отождествим X с некоторым подмножеством множе ства X так, что f, g являются продолжениями f, g и Ji = Ji X, i = = 1,..., N. Тогда Y = X \ X будет объединением некоторого множества открытых интервалов (U ), каждый из которых содержится в некото ром Ji, и для каждого U найдется такое n 0, что U, fU,..., f n U будут интервалами из семейства (U ), причем g|f n U = 0. Каждый ин тервал U отделен от интервалов U сверху или снизу некоторой точ кой x X \ Y.

Отображение |X определяет изоморфизм B\Y B банаховых   пространств.

Напомним, что по предположению J1... JN, а (i) равно + и 1, если f соответственно возрастает или убывает на J i.

Пусть Xi1... ik и Ji1... ik i — копии множеств X и Ji. Снабдим их пер k воначальным порядком, если (ir ) = +1, и противоположным порядком, r= k если (ir ) = 1. При i1 = j1,..., il1 = jl1, il jl положим r= l если Xi 1... i k X j 1... j k, (ir ) = +1, r= l если Xi 1... i k X j 1... j k, (ir ) = 1.

r= 4 См. приложение в [13] для случая, когда (J1,..., Jn ) — образующее разбиение.

216 Глава Таким образом, на дизъюнктном объединении X (k) = Xi 1... i k = Ji1... ik ik+1, k 1, i1... i k i1... ik ik+ вводится некоторый порядок. Положим X (0) = X.

Ограничение f на Ji определяет отображения Ji X и Ji1... ik ik+1 Xi1... ik+1, а также отображение (k) : X (k) = Ji1... ik ik+1 X (k+1), которое является сохраняющим порядок гомеоморфизмом множества X (k) на его образ (k) X (k) X (k+1).

Определим отображение (k) : X (k+1) X (k) равенством (k) x, если x (k) Ji1... ik+1, (k) (x) = min или max Ji1... ik+1, если x Xi1... ik+1 \ (k) Ji1... ik+1, где выбор максимума или минимума определяется требованием, чтобы (k) не убывало. В частности, отображение (k) (k) тождественно на X (k).

Определим X = lim X (k) как обратный предел (0) (k)     X (0) X (1)... X (k) X (k+1)...

и пусть : X X (0) = X — соответствующее отображение. Множество X компактно и упорядочено, его можно рассматривать как компактное под множество прямой;

отображение непрерывно и сохраняет порядок. Опре делим также отображение : X X равенством x = (x, (0) x, (1) (0) x,... ).

Оно сохраняет порядок, является гомеоморфизмом множества X на его образ и обладает тем свойством, что тождественно на X.

Положим (0) (k+1) Xii1... ik X (k+1), Ji = Ji, Ji = k+1 1.

i1... i k § 2. Построение новых систем Поскольку Xii1... ik и Xi1... ik — копии множества X, существуют есте (k+1) на X (k) и кусоч ственный монотонный гомеоморфизм множества Ji но-монотонное отображение (k+1) f (k) : X (k+1) = Ji X(k).

i Легко проверить, что f (k+1) (k+1) = (k) f (k), f (k) (k+1) = (k) f (k+1).

Если = {x0, x1,..., xn,... } X, положим f = f (0) x1, f (1) x2,..., f (n) xn+1,....

Отображение f на множестве (k) = 1 Ji Ji = lim Ji есть гомеоморфизм этого множества на X, сохраняющий порядок, если (i) = +1, и меняющий его на обратный, если (i) = 1. Тем самым, f — кусочно-монотонное отображение X X, причем f =f и (J1,..., JN ) — марковское разбиение для f. Кроме того, Ji = = 1 ( )Ji Ji.

Пусть 1 — характеристическая функция объединения N интервалов [min Ji, max Ji ] в X. Положив g() = 1 () g(), получим функцию ограниченной вариации (так как Var 1 2N и Var g = Var g).

Для любой тройки = (n, i, ), где n N и = ±1, 0, 1 i положим U = { = (x0, x1,... ) Ji :

xk+1 = (k) xk для k = 0,..., n 1 и xn+1 (n) xn }, 218 Глава где означает, если = 1, и, если = +1. В таком случае U = = X \ X = Y. Если n 0, то f U есть некоторый элемент U се мейства (U ) (чтобы убедиться в этом, надо воспользоваться равенством f (k+1) (k+1) = (k) f (k) ). Если n = 0, то включение U означает, что x1 (0) Ji, т. е. 1 () = 0 и, значит, g() = 0.

/ Заметим, что интервал U отделен от интервалов U, лежащих сверху или снизу от него, точкой U.

Ограничение определяет не увеличивающее норму отобра жение B B, но для каждого B можно найти такое, что Var = = Var. Тем самым, отображение определяет некоторый изо морфизм B\Y B.  Предложение 9.4 (построение образующего разбиения (J1,...,JN )5 ).

По заданному разбиению (J1,..., JN ) можно выбрать такие (X, f, g), (J1,...,, JN ) и сохраняющее порядок непрерывное сюръективное отобра жение : X X, что f = f, g() = g( 1 ), если card 1 = 1, и Ji = Ji при i = 1,..., N. Кроме того, (J1,..., JN ) — образующее разбиение.

Множество Y = { X : card 1 1} счетно;

замкнутые интер валы U = 1 с Y имеют вид f k Ji(k) ;

f отображает каждый k такой интервал в другой интервал U из того же семейства: f U U ;

отображение определяет изоморфизм банаховых пространств B\Y B\Y, где Y = 1 Y = U.

  Если (J1,..., JN ) марковское разбиение, то (J1,..., JN ) — образу ющее марковское разбиение. Каждая точка Y является предельной для X \ Y и один из концов каждого интервала U является предельной точкой для X \ Y.

При x, y X будем писать x y, если f k x, f k y при всех k принадлежат одному и тому же Ji(k). Так как J1,..., JN попарно не пе ресекаются, мы получаем отношение эквивалентности. Каждый класс эк вивалентности [x] — это замкнутый интервал, который мы обозначим U, если он содержит более одной точки. В этом случае diam U 0, что может иметь место лишь для счетного множества интервалов U. Пусть 5 Для случая интервала в см. Балади, Рюэль [2].

6 Дальнейшие условия будут наложены в замечании 9.5(1) и предложении 9.9 (см. ниже).

§ 2. Построение новых систем : X X стягивает каждый интервал U в точку. Тогда X оказывается компактным подмножеством прямой, сохраняет порядок и вне некоторого счетного множества Y выполняется равенство card 1 x = 1.

Соотношения f = f и Ji = Ji определяют f и связанное с f разбиение (J1,..., JN ). По построению это разбиение является образую щим.

В данный момент мы накладываем на g лишь условие, что g() = = g( 1 ), если card 1 = 1;

разумеется, оно согласовано с неравенством Var g.

Поскольку ограничение f на U ( Ji ) — это гомеоморфизм, f пе f k Ji(k) в f k+1 Ji(k) = f k Ji(k+1) = U, где реводит U = k0 k1 k card U 1.

Отображению отвечает не увеличивающее норму отображе ние B\Y = B\Y. Но если B\Y, то в классе, которому принадлежит,   найдется, постоянное на каждом U и такое, что Var =. Поэтому, положив =, мы получим Var = Var =. Отсюда следует, что B\Y B\Y — изоморфизм.

  Ясно, что если (J1,..., JN ) — марковское разбиение, то (J1,..., JN ) тоже марковское разбиение и X = X — канторово множество. Так как Y — счетное множество, каждая его точка является предельной для X \ Y.

Следовательно, каждое U содержит предельную точку множества X \ Y.

Замечания 9.5. (1) определяет инъективное отображение Fix f m Fix f m, и для x Fix f m можно положить g(x) = g(x).

[Так как f m = f m, мы имеем Fix f m Fix f m и Fix f m Fix f m. Предположим, что x Fix f m, y Fix f n и x = y =.

Тогда Fix f k и можно предположить, что k — минимальный период точки, так что m = kp, n = kq, где p и q — нечетные числа. Посколь ку f kpq индуцирует убывающее отображение 1 1, неподвижные точки x и y совпадают. Следовательно, 1 содержит не более одной отри цательной периодической точки для f и отображение Fix f m Fix f m инъективно. Инъективность отображения Fix f m Fix f m X дает возможность положить g(x) = g(x) при x Fix f m ].

(2) Если f — кусочно растягивающее (т. е. f |Ji растягивает с коэффи 1 1 при i = 1,..., N ), то (J1,..., JN ) — образующее циентом 220 Глава разбиение. Тогда отображение, построенное в предложении 9.4, — тожде ственное.

(3) Конструкции предложений 9.3 и 9.4 можно применять последова тельно, причем они почти коммутируют. Независимо от порядка их при менения получаются полный сдвиг (X, f ) и отображение : X X, удо влетворяющее соотношению f = f. Но в зависимости от этого порядка g соответственно переходит в отображения g 1 и g2, которые могут быть различны. Если, однако, при построении этих отображений сделан соответствующий выбор, то на множестве X они будут совпадать.

Следствие 9.6. Пусть 0 = a0 a1... aN = 1. Предположим, что отображение f : [0, 1] [0, 1] непрерывно и строго монотонно на интервалах [ai1, ai ], а g имеет ограниченную вариацию7. Пусть, далее, (X, f, g), (J1,..., JN ) и 1 получены в результате применения предложе ния 9.1 к ([0, 1], f, g), ([a0, a1 ],..., [aN 1, aN ]), а (X, f, g), (J1,..., JN ) и 2 — в результате применения предложения 9.4 к (X, f, g), (J1,..., JN ).

Тогда 2 определяет биекцию Fix f m Fix f m и для x Fix f m мож но положить g(2 x) = g(x).

Каждое множество 2 есть, по построению, интервал в R (т. е. оно m связно). Если Fix f, то f m переводит этот интервал в себя и, сле довательно, 2 содержит некоторую неподвижную точку x Fix f m.

Отсюда видно, что 2 отображает Fix f m на Fix f m, и доказываемое следствие вытекает из замечания 9.5(1).

Предложение 9.7 (построение g, непрерывного в периодических Если (J1,..., JN ) — образующее разбиение и S — множе точках).

ство периодических точек, то можно так выбрать ( X, f, g), разбиение (J1,..., JN ) и сохраняющее порядок сюръективное непрерывное отобра жение : X X, что Ji = 1 Ji при i = 1,..., N, f = f, g() = g() при S и g непрерывно на множестве 1 S. Разбиение / (J1,..., JN ), вообще говоря, не является образующим. При отображе нии прообразы точек некоторого счетного множества двухточечны, а прообразы остальных точек одноточечны. Кроме того, энтропия h любой f -инвариантной вероятностной меры удовлетворяет соотношению h = = h, вследствие чего h полунепрерывна сверху.

7f и g в точках a1,..., aN 1 могут принимать по два значения, см. замечание 9.2(2).

§ 2. Построение новых систем Существует счетное множество Y, содержащее {xX: card 1 x = = 2}, а также все периодические точки разрыва отображения g и такое, что f Y Y и каждая точка y Y является предельной точкой мно жества X \ Y. Соответственно, если Y = 1 Y, то f Y Y и каждая точка из Y является предельной для X \ Y.

Отображение индуцирует изоморфизм B\Y B\Y бана-   ховых пространств.

Если X — канторово множество, то и X — канторово множество.

Пусть X0, X1, X2 состоят из тех точек множества X, которые соот ветственно изолированы, служат односторонними пределами точек из X и служат двусторонними пределами точек из X. Точка x X 2 Ji не может быть концом интервала Ji и, так как f |Ji — монотонный гомеомор физм, мы снова получаем f x X2. Тем самым, f X2 X2. Аналогично, f X1 X1 X2 и, разумеется, f X0 X0 X1 X2.

Пусть S0 = S X0, S1 = S X1, S2 = S X2. Тогда f S0 = S0, f S1 = S1, f S 2 = S2.

Положим Z0 = S2 и определим индуктивно Zk равенством Zk = f 1 Zk1 \ ({концы интервалов Ji } Z0 ).

Чтобы построить X, заменим каждую точку Z = Zk двумя точками, k +. Если = f k, где Zk и имеет период l, вставим между и + пробел длины k+l (где 0 1/N ). Пусть : X X — стягивающее отображение, Ji = 1 Ji и f — отображение, однозначно определяемое равенством f = f и условием, что f |Ji — монотонный гомеоморфизм множества Ji на некоторый интервал в X.

Положим Y = S1 Z. Отображение g непрерывно в точках множе ства S0. Поэтому в Y содержатся периодические точки разрыва g;

кроме того, Y содержит {x X : card 1 x = 2} = Z, а так как f Z Z, мы при ходим к выводу, что f Y Y. Положив Y = 1 Y и пользуясь равенством f = f, получим f Y Y.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.