авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«Д. РЮЭЛЬ Термодинамический формализм Перевод с английского Б. М. Гуревича УДК 530.132, 514.74 Интернет-магазин • физика ...»

-- [ Страница 5 ] --

Покажем теперь, что каждая точка множества Y является предельной для X \ Y. По предположению, каждая точка 1 S1 1 S2 — это предел (односторонний) других точек из X. Индукцией по k это свойство доказывается и для точек 1 Zk (вспомним, что Z0 = S2 ). Следова тельно, всякая точка Y = 1 (S1 Z) служит пределом других точек 222 Глава из X. Отсюда, как и при доказательстве предложения 9.1, вытекает, что — предельная точка множества X \ Y (в противном случае нашлась бы такая окрестность V точки, что V X = V Y, и можно было бы построить канторово множество K X, для которого K V, что невозможно в силу счетности Y ). Отсюда также видно, что каждая точка множества Y является предельной для X \ Y.

При S1 S2 положим g() = g(). Если S1 S2, то явля / ется односторонним пределом точек, принадлежащих X (или даже X \ Y ) и мы положим g() = lim g() (этот предел существует, поскольку g имеет ограниченную вариацию). Определенная таким образом функция g также имеет ограниченную вариацию, она, кроме того, непрерывна в точках мно жества 1 S и удовлетворяет соотношению g() = g(), если S.

/ Каждая f -инвариантная вероятностная мера представима в виде = = 0 + (1 )1, где 0 (соответственно, 1 ) — атомическая (соответ ственно, неатомическая) вероятностная мера. Так как энтропия атомиче ской меры равна нулю, а по отношению к неатомическим мерам является изоморфизмом, справедливы равенства h() = h(0 ) + (1 )h(1 ) = = (1 )h(1 ) = (1 )h( 1 ) = = h( 0 ) + (1 )h( 1 ) = h( ).

Пользуясь тем, что (J1,..., JN ) — образующее разбиение и что в слабой топологии энтропия h полунепрерывна сверху 8, а отображение непрерыв но, мы приходим к выводу, что и энтропия h полунепрерывна сверху.

Доказательство того, что определяет изоморфизм B\Y B\Y, не представляет труда и по существу аналогично доказатель   ству предложения 9.1.

Наконец, в силу того, что конструкция множества X не приводит к появлению изолированных точек, мы заключаем, что X — канторово мно жество, если таковым является X.

§ 3. Функционал Для заданного компактного подмножества X R и кусочно-монотон ного отображения f : X X определим на множестве функций g ограни 8 См. § 9.7.

§ 3. Функционал ченной вариации функционал g (аналогичный введенному Хофбауе ром и Келлером для отображений интервала).

Если x — левая или правая предельная точка множества X, положим соответственно g(x, ) = lim g(y), y x g(x, +) = lim g(y).

y x Пусть также f (x, ) = (f x, ) (соответственно, (f x, +)), если f возрастает (соответственно, убывает) слева от x, и f (x, +) = (f x, +) (соответственно, (f x, )), если f возрастает (соответственно, убывает) справа от x.

Назовем (x, ±) виртуальной периодической точкой, если f m (x, ±) = = (x, ±). Периодической точке x (минимального) периода m можно поста вить в соответствие либо виртуальную периодическую точку (минималь ного) периода 2m, либо не более двух виртуальных периодических точек (минимального) периода m.

Если x Fix f m, положим 1/m m k (x) = g(f x).

k= Если (x, ±) — виртуальная периодическая точка периода n, положим 1/n n k (x, ±) = g f (x, ±).

k= Для f -инвариантной вероятностной меры на X определим () равен ством () = exp (dx) ln |g(x)|.

Предложение 9.8. Пусть 1/m m1 m g(f k x) ln |g(f k x)|.

= lim sup = exp inf sup m m xX m xX k=0 k= 224 Глава Тогда = max{per, vir, erg }, где per = sup (x) по периодическим точкам, vir = sup (x, ±) по виртуальным периодическим точкам и erg = sup () по неатомическим f -эргодическим мерам.

Чтобы доказать это, положим m ln |g(f k x)|.

C(m) = sup xX k= Тогда C(m + n) C(m) + C(n) и, следовательно, 1 lim m C(m) = inf m C(m), n m что оправдывает данное выше определение.

Беря в качестве x поочередно периодическую точку, точку, стремящую ся к периодической, и -почти любую точку, получаем per, vir, erg.

Остается убедиться, что max{per, vir, erg };

при этом достаточно ограничиться случаем = 0. Пусть x(), m() таковы, что m() и m() 1 ln g(f k x()) ln.

m() k= Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, можно предполо m() жить, что () = f k x() слабо сходится к некоторой вероят m() k= ностной мере на X. Эту меру мы представим в виде = 0 + 1, где 0 — атомическая мера (сосредоточенная на множестве периодических орбит), а 1 — неатомическая.

Выберем теперь 0 (), 1 () так, что () = 0 () + 1 () и 0 () 0, 1 () 1 в смысле слабой сходимости. Если per = vir = 0, то 0 = 0 и мы полагаем 0 () = 0. В противном случае возьмем 0 и определим 0 () равенством 0 () = f k x(), где сумма при m() фиксированном берется по длинным отрезкам значений k, для которых точка f k x() близка к некоторому конечному множеству периодических орбит. В частности, мы можем предположить, что 1 ln g(f k x()) 0 () (ln max{per, vir } + ).

m() § 3. Функционал Необходимо рассмотреть лишь случай 1 = 0. Вначале предположим, что 1 (ln |g|) =. Для заданного N 0 можно подобрать такое 0, что если |g| (x) = max{|g(x)|, }, то 1 (ln |g| ) N. Заметим, что приписывает нулевую меру множеству точек разрыва функции ln |g|, ко торая ограничена и имеет ограниченную вариацию, откуда следует, что 1 () (ln |g| ) 1 (ln |g| ) N. Следовательно, для всех N ln = lim () (ln |g|) 0 (ln max{per, vir } + ) N, а потому = 0, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, 1 (ln |g|) и можно подобрать такое 0, что 1 (ln |g| ) 1 (ln |g|) + 1.

Поскольку мера 1 множества точек разрыва функции ln |g| равна нулю, мы имеем 1 () (ln |g| ) 1 (ln |g| ) и, значит, ln = lim () (ln |g|) 0 (ln max{per, vir } + ) + 1 (ln (1 ) + ), где 1 = 1 / 1. Индивидуальная эргодическая теорема и теория Крыло ва – Боголюбова показывают, что (1 ) ( ) для некоторой эргодической меры, а так как ( ) max{per, erg }, мы окончательно получаем ln + ln max{per, vir, erg }, что и доказывает утверждение.

Предложение 9.9. Пусть отвечает системе (X, f, g), а — си стеме (X, f, g), фигурирующей в предложениях 9.1, 9.3, 9.3 и 9.7. Тогда в случае предложений 9.1 и 9.3 мы имеем =, в случае предложения 9. можно так выбрать g, что, а в случае предложения 9.7 мы также имеем.

В условиях предложения 9.1 переход от первой системы ко второй может привести к замене одних периодических орбит другими с тем же, но без изменения виртуальных периодических точек и эргодических мер;

следовательно, =.

В условиях предложения 9.3 выбор g гарантирует, что если Fix f m, то либо () = 0, либо = x, где x Fix f m, а тогда () = (). Ес ли (, ±) — виртуальная периодическая точка для f, то либо (, ±) = 0, 226 Глава либо = x, где x — f -периодическая. В таком случае либо (x, ±) — вирту альная периодическая точка для f и (, ±) = (x, ±), либо (, ±) = 0.

Если, наконец, — эргодическая мера для f и () 0, то сосредоточена на множестве точек вида x, так что =, где — f -эргодическая мера, и () = (), вследствие чего мы получаем =.

В условиях предложения 9.4 необходимо начать с продолжения g на все X. Если f-периодическая точка имеет период m, то f m отображает замкнутый интервал 1 в себя. В случае, когда множество 1 Fix f m непусто, положим g(f k ) = g(f k x), k 0, где x — какая-нибудь точка этого множества. Если же Fix f =, то Fix f m и существует 1 m точка x 1 Fix f 2m. Положим тогда 1/ g(f k ) = g(f k x)g(f m+k x), k 0, где квадратный корень выбран так, что точки g( f k x), g(f k x), g(f m+k x) принадлежат одной и той же половине комплексной плоскости, граница ко торой проходит через начало координат. Из этого определения с помощью простого геометрического рассуждения, использующего подобие треуголь ников, получаем g(f k x) g(f k x) + g(f m+k x) g(f k x) 2 g(f m+k x) g(f k x). (3.1) Поскольку g() уже определено для периодических, положим g() = = g( 1 ) для всех остальных (данное определение согласуется с опреде лением, содержащимся в предложении 9.4 и замечании 9.5(1)). В силу (3.1) Var g 2 Var g.

По построению per per. Если неатомическая мера является f -эр годической, то она приписывает нулевую вероятность счетному множеству { : card 1 1}. Следовательно, существует такая f -эргодическая ме ра, что = и () = (), а потому erg erg. Пусть (, ) — вир. Если x туальная периодическая точка периода m для f и m и x x, то x Fix f и lim g( ) = lim g(x ), так что выполняются равенство (, ) = (x, ) и аналогичное равенство для (, +). Следо вательно, vir vir и, таким образом,.

В условиях предложения 9.7 vir = vir и erg = erg. Значения, отвечающего периодическим точкам новой системы, совпадают со значе ниями, отвечающего периодическим или виртуальным периодическим точкам старой системы. Тем самым, и здесь.

§ 4. Трансфер-оператор L § 4. Трансфер-оператор L Как и раньше, рассмотрим систему (X, f, g), состоящую из компакт ного подмножества X R, кусочно-монотонного отображения f и функции ограниченной вариации g. Выберем минимальное покрытие (J 1,..., JN ), связанное с f. Назовем трансфер-оператором оператор L, определенный на банаховом пространстве B функций X C ограниченной вариации формулой (L)(x) = g(y)(y), y : f y=x и положим 1/m R = lim ( Lm 0 ).

m Тем самым, R — это спектральный радиус того же L, но действующего на пространстве ограниченных функций X C.

Теорема 9.10. (а) Спектральный радиус RB оператора L, действую щего на B, удовлетворяет неравенству RB R.

(b) Существенный спектральный радиус оператора L не превосхо дит.

(c) Если g 0, то RB = R. Если, кроме того, R, то R слу жит собственным значением оператора L и существует отвечающая ему собственная функция 0 0.

В параграфе 9.6 мы увидим, что R max (, exp P (ln |g|)), где P — давление.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (А). Для каждого m 0 подберем УТВЕРЖДЕНИЯ такое ym, что m1 m 1 sup g(f k ym ) g(f k y).

2y k=0 k= 9 В другом месте (Ruelle [12]) мы использовали обозначение R для спектрального радиуса оператора |L|, действующего на пространстве ограниченных функций и определяемого как как оператор, который получается при замене g в определении L на |g|.

228 Глава Пусть m — функция, равная единице в точке ym и равная нулю в остальных точках. Тогда 1/m 1 Lm Lm 1/m RB = lim lim = m m m 1/m 1/m m1 m 1 sup k k = lim g(f ym ) lim g(f y) =.

2y m m k=0 k= Аналогично получаем 1/m 1/m R = lim ( Lm 0 ) lim ( Lm m 0 ) = m m 1/m m g(f k ym ) = lim =.

m k= Пусть интервалы Ji, i = 1,..., N, где Ji Ji, образуют разбиение про странства X и i — отображение, обратное к f |Ji. Положив i1,..., ik (x) = g(i1 x) · g(i2 i1 x) · · · g(ik... i1 x), мы получим Lm (x) = i1,..., im (x)(im... i1 x), i1,..., im m Var Lm = sup g f k2 x... g(f x)g(x) · Var(g ik ) x ik k= sup ik+1... im (ik y)(im... ik y) + y ik+1... im + sup g f m1 x... g(f x)g(x) · Var.

x Следовательно, если, R R, то найдутся такие C, C 0, что m k1 mk m Var Lm C Var g i · R + Var i k= m (m + 1)C max(, R) · Var § 4. Трансфер-оператор L и, значит, Lm 1/m lim max(, R) = R.

m ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ (B). Пользуясь обозначениями пунк та (a), возьмем точку xi1,..., im из области определения отображения im · · · i1 (если эта область непуста) и определим оператор K m ра венством (Km )(x) i1,..., im (x)(im... i1 xi1,..., im ).

i1... i m Очевидно, Km — оператор конечного ранга, и если мы докажем, что Lm Km 1/m lim, (9.1) m то из формулы Нуссбаума [1] для существенного спектрального радиуса будет следовать, что существенный спектральный радиус оператора L не превосходит. Будем действовать так же, как в пункте (a), но с заменой Lm на Lm Km. Заметим, что im... ik ik+1... im (im... ik (ik1... i1 xi1... im )) var, а потому Var(Lm Km ) m k1 mk m C Var g i · var + · 2 Var i k= m (m + 1)C Var, откуда вытекает (9.1).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПУНКТА (C). Пользуясь условием g 0, мы получаем 1/m Lm 1/m lim (Var(Lm 1)) lim m m (9.2) lim ( Lm 1 0 )1/m = lim ( Lm 0 )1/m = R, m m так что RB R. Тогда, согласно п. (a), RB = R.

230 Глава Предположив, что R, докажем, что R — собственное число опе ратора L и что отвечающая ему собственная функция неотрицательна. Мы можем написать 1=+ j, j где каждая функция j принадлежит обобщенному собственному подпро странству оператора L, отвечающему собственному числу j с |j | = R.

При этом m lim Var L = 0, m r m где 0 r R. В силу (4.2) lim m log Var(Lm 1) = log R m и, значит, не все j равны нулю.

Записав ограничение оператора L на обобщенное собственное про странство, отвечающее j, в жордановой нормальной форме, можно убе диться в том, что существует целое k 0, для которого 1 Lm =, lim Lj = j j j j m m k m j при всех j, и что найдется j, для которого j = 0. Так как m Lm j j Lm 1 = Lm + 0, R R m mk R m mk m m k j j мы получаем j m j (m), (9.3) R j где 0 (m) 0 при m. Заметим, что сумма в левой части послед него неравенства конечна и что |j /R| = 1 при всех j.

Пусть... m обозначает усреднение по m Z. Тогда (9.3) приводит к неравенствам j m (1 ± cos m) j 0, R m j § 4. Трансфер-оператор L j m (1 ± sin m) j 0.

R m j Если j = R при всех j, то j m j = R m j и, следовательно, j m eim j = R m j при всех вещественных. Но тогда j = 0 при всех j, что невозможно.

Тем самым, R — собственное число, скажем, 0 = R. Кроме того, 0 = m j 0 и 0 не может быть тождественным нулем.

= j R m j Лемма 9.11. Пусть (U ) — семейство попарно не пересекающихся интервалов в X (не обязательно замкнутых) и Y = U. Предположим, что каждый интервал U содержится в некотором Ji и что либо (a1 ) f U содержится в некотором U из того же семейства, либо (a2 ) g равно нулю на U.

Предположим также, что каждый интервал U обладает одним из следующих ниже свойств:

(b1 ) если U U, то существует такое x X \ Y, что U x U, (b2 ) если U U, то существует такое x X \ Y, что U y U.

При условии (a) LB Y BY. В таком случае оператор L\Y на B\Y удовлетворяет условию L\Y = L, где : B B\Y — фактор-отобра жение.

При условии (b) спектральный радиус ограничения оператора L на B Y не превосходит. Следовательно, если || и E, E\Y — обобщенные собственные пространства операторов L и L\Y, отвечающие собствен ному числу, то : B B\Y порождает биекцию E E\Y.

Предположим, что обращается в нуль вне Y. Тогда (L)(x) = 0 воз можно лишь при x = f y, где y U, g(y) = 0. Поэтому в силу условия (a) x U Y. Следовательно, LB Y BY и L\Y корректно определено.

232 Глава Если выполняется условие (b) и BY, то Var Var(|U ) 2 Var (для доказательства второго неравенства заметим, что при вычислении Var = lim |(a0 )| + |(ai ) (ai1 )| + |(an )| можно предположить, что каждому растянутому a i в данном U непосред ственно предшествует или за ним непосредственно следует некоторое a j с (aj ) = 0).

Стало быть, если BY, то Var Lm Var(Lm |U ) Var Lm (U ), и, обозначив отображение, обратное к f |Ji, через i, мы получим Lm (U ) = (g i1 )... (g i1... im ) (U ) i1... im.

При любом 0 произведение k множителей g вдоль траектории преоб разования f не превосходит C( + )k. Следовательно, Var Lm (U ) mC 2 ( + )m1 · Var g · Var(|U ) и, окончательно, Var Lm mC 2 ( + )m1 · Var g · 2 Var.

Таким образом, Lm |BY 2mC 2 ( + )m1 · Var g и спектральный радиус ограничения L|BY не превосходит. Отсюда вы текает утверждение леммы.

Предложение 9.12. Предположим, что L, Y,, а также L, Y, с удовлетворяют условиям леммы 9.11. Если существует изомор физм B\Y B\Y, отождествляющий L\Y и L\Y, будем говорить, что     трансфер-операторы L и L являются -эквивалентными: их собственные § 4. Трансфер-оператор L значения с || одинаковы, а между обобщенными собственными подпространствами E и E имеется естественное соответствие. От ношение -эквивалентности можно продолжать, пользуясь его транзи тивностью.

Конструкции предложения 9.1 (приводящего к некоторому разбиению), предложения 9.3 (приводящего к марковскому разбиению), предложения 9. (приводящего к образующему разбиению) и предложения 9. при (дающего g, непрерывное в периодических точках) каждый раз порождают -эквивалентность L L.

В случае предложения 9.4 мы вначале предположим, что (J 1,..., JN ) — марковское разбиение. Условия применимости леммы 9.11 уже проверены в предложениях 9.1, 9.3 (при Y = ), 9.4 (в марковском случае) и 9.7. Кроме того, из построения вытекает, что изоморфизм B\Y B\Y, порождаемый   отображениями (предложение 9.1), |X (предложение 9.3), (предложение 9.4) и (предложение 9.7), отождествляют L\Y и L\Y.

  Таким образом, если не заботиться о марковости разбиений в предло жении 9.4, то мы установили требуемую -эквивалентность L L.

Переходя к общему случаю в предложении 9.4, заметим, что предложе ния 9.3 и 9.4 можно применять в любом порядке, получая при этом почти одинаковые результаты (см. замечание 9.5(3)). Обозначим символами () и ( ) применение предложений 9.3 и 9.4 соответственно. Тогда мы полу чим операторы L, L, L, L, (L ), причем в смысле -эквивалентности L L (L ), L L. Но, согласно предложению 9.3 и замечанию (3), сделанному после предложения 9.4, (L ) L, что по транзитивности да ет L L.

Замечание 9.13. Предположим, что X — канторово множество, и пусть B = { B : {x : (x) = 0} счетно}. Определим L\ равенством L\ = L, где : B B\ = B/B — фактор-отображение. Тогда у L и L\ совпадают собственные значе ния с ||, а индуцирует биекцию E E\ соответствующих обобщенных собственных подпространств.

Зафиксировав B, положим Z = {x : (x) = 0} и Y = f m Z. Поскольку каждая точка счетного множества Y является пре = m 234 Глава дельной для X \ Y (так как X — канторово множество), мы можем приме нить лемму 9.11. Значит (как и при доказательстве этой леммы), Lm 2mC 2 ( + )m1 Var g ·, а потому спектральный радиус L|B не превосходит, что и приводит к нашему утверждению.

Замечание 9.14. Предположим, что X — канторово множество, а функ ция g с Var g такова, что множество {x : g(x) = g(x)} счетно и 1/m m g(f k x) lim sup.

m x k= Тогда трансфер-оператор L, связанный с g, -эквивалентен оператору L.

Для доказательства можно воспользоваться замечанием 9.13, заметив, что L\ = L\.

§ 5. Дзета-функции Изучение дзета-функций кусочно-монотонных отображений на том уровне общности, с которым мы здесь имеем дело, было начато Балади и Келлером [4], которые рассмотрели случай, когда X — интервал пря мой R и минимальное покрытие (J1,..., JN ) является образующим. Их доказательство упрощается, если предположить, что (J 1,..., JN ) — обра зующее марковское разбиение (а X — канторово множество). Мы начнем с рассмотрения именно этого случая, а затем используем развитую выше технику в более общих случаях (и, в частности, докажем теорему Балади – Келлера).

Предложение 9.15. Пусть X — канторово множество, f : X X — кусочно-монотонное отображение, g — функция ограниченной вариации и (J1,..., JN ) — разбиение, связанное с f.

Предположив, что (J1,..., JN ) — образующее разбиение и что f Ji = = X для i = 1,..., N (откуда, в частности, видно, что (J1,..., JN ) — марковское разбиение), определим дзета-функцию равенством m zm g f kx.

(z) = exp m m=1 xFix f m k= § 5. Дзета-функции Тогда функция 1/(z) аналитична при |z| 1 и ее нули имеют вид 1, где — собственные значения трансфер-матрицы L, причем кратности нулей и соответствующих им собственных значений совпадают.

Первоначальная идея доказательства принадлежит Xайдну [1], который работал с функциями g, удовлетворяющими условию Гельдера. Рассужде ния Хайдна были приспособлены к рассматриваемой ситуации Балади и Келлером.

Пусть + — множество последовательностей = (0, 1,... ) с i {1,..., N } и — сдвиг: = (1, 2,... ). Пару (X, f ) мы можем отождествить с (+, ), поставив в соответствие точке x такую последова тельность (0, 1,... ), что f k x Jk. Имея в виду это отождествление, мы будем соответствующим образом менять обозначения там, где это окажется удобным.

Пусть m g k, m = Fix m k= так что 1 m 1/(z) = exp m m z.

m= Согласно теореме 9.10(b), можно найти такое, как угодно близкое к, что у трансфер-оператора L не существует собственных значений с || =, а число тех, для которых ||, конечно (и равно, скажем, M ).

Проектор P, отвечающий той части спектра оператора L, которая лежит в области { : || }, является ограниченным оператором в B, и мы можем написать M L = j Sj · (Lj ) j () + PL, j=1, M Sj · (Lm ) j () + PLm, m m L = j j j=1, где |j | R и (Sj ), (j ) — сопряженные базисы в обобщенных собственных подпространствах операторов L и L, отвечающих собствен ному значению j. При этом матрицы Lj можно считать приведенными к жордановой нормальной форме (Lm — это m-я степень матрицы Lj ). Пусть j mj — кратность j, т. е. mj = tr Lj.

236 Глава При фиксированном m 0 обозначим через суммирование по всем словам длины m, т. е. по элементам множества {1,..., N } m, и через — операцию сцепления двух слов10. Пусть =... + — периодическое продолжение слова и B таково, что () = 1, если начинается со слова, и () = 0 в противном случае. Тогда m (Lm )() = g k ( ).

k= Заметим, что для некоторой константы C m L m C1, вследствие чего m Var Lm m Var g · C1.

Немного изменив, мы можем игнорировать множитель m и получить m Var Lm C2.

Далее, m1 m g k = g k ( ) = (Lm ) ( ) = m = k=0 k= M Sj ( ) · (Lm ) j ( ) + (PLm )( ) = m = j j j=1, M (PLm ) ( ) = m (Lm ) j Sj ( ) + = j j j=1, (0) (1) (2) = m + m + m, где M (0) m j m, m = j j= 10 Сцепление слова длины m со словом длины m приводит к слову длины m+m.

§ 5. Дзета-функции M (1) m Lm Sj ( ) Sj, m = j j j j=1, (PLm ) ( ).

(2) m = Поскольку M 1 (0) m = (1 j z)mj, exp m m z m=1 j= доказываемое утверждение вытекает из нижеследующих лемм 9.16 и 9.17.

Лемма 9.16. Найдется такая константа C, что m (1) |m | C.

Воспользуемся формулой Lm j = m Lm j.

j j Тогда M (1) m Lm Sj ( ) = m = j Sj j j j=1, M (Lm j ) Sj Sj ( ) = = j=1 M j Lm Sj Sj ( ) = = j=1 M j (Lm Sj Km Sj ), = j= где Km — оператор конечного ранга, определенный равенствами Km = L m E m, 238 Глава ( ) ().

(Em )() = Если = · (1 Em ) = · ( ( )), то Var 3 Var, так что Var(Lm Km ) = Var (Lm (1 Em )) = Var Lm m m Var L · Var 3C2 Var m и, следовательно, Lm Km 3C2. Окончательно получаем m (1) |m | C, что и утверждалось.

Лемма 9.17. Найдется такая константа C, что m (2) |m | C.

Зафиксируем + и для каждого слова k длины k положим Lk k g(k ) · Lk1 k, если k 2, Y k = если k = 1, Lk, где k — слово длины k 1, полученное сдвигом, и k — характеристиче ская функция множества последовательностей из +, начинающихся с k.

При k 2 мы получим Var Yk = Var (g(k ·) g(k )) · Lk1 k (·) 3 Var g · Var Lk1 3 Var g · C k1 = C k.

k 2 2 Через мгновение мы воспользуемся этим неравенством.

§ 5. Дзета-функции Положив m =, получаем m L m = g( )... g k1 Y k.

k= Следовательно, (PLm ) ( ) = (2) m = m g( )... g k1 · PY k ( ) = a + b, = k= где m g( )... g k1 PY k ( ) PY k ( ), a= k= m g( )... g k1 · PY k ( ).

b= k= При этом m g( )... g k1 |a| · var PY k | + k= m1 m k k mk C1 Var PYmk C1 P · C 3 = mk k=0 k= m =m P C 1 C2, а b представляется в виде m Lk PYmk (mk ), b= k=0 mk откуда вытекает, что m1 m k mk m PLk Var Ymk |b| C4 · C3 = mC3 C4.

k=0 mk k= 240 Глава Немного изменив, можно избавиться от множителя m в последнем выра жении и в результате получить m (2) |m | |a| + |b| C, что и требовалось.

Репрезентативное множество периодических точек Начав с динамической системы (X, f ) и минимального покрытия (J1,..., JN ) и последовательно применив предложения 9.1 и 9.4, мы перей дем сначала к системе (X, f ), а затем — к системе (X, f). Точки простран ства X — это последовательности (k )k 0 элементов множества {1,..., N } (символов), а f — сдвиг. Если орбита f k x k 0 не проходит через точ ки b1,..., bs, общие концы интервалов Ji, Ji+1, то образ x = (k )k 0 X точки x корректно определен включениями f k x Jk. В частности, если Per f и Per f — множества периодических точек преобразований f и f, то существуют конечные множества P, P, для которых (Per f \ P ) = Per f \ P.

Назовем f -инвариантное множество S Per f репрезентативным множеством периодических точек, если индуцирует такую биекцию : S \ конечное множество Per f \ конечное множество, что f -период точки x равен f -периоду точки x.

Пусть, как и в параграфе 9.1, Per ± (f, m) — множество точек из Per f \ P, которые являются соответственно положительными (+) и от рицательными () периодическими точками с минимальным периодом m.

Аналогичным образом, пусть Per ± (f, m) — множество точек из Per f, ко торые положительны или отрицательны и имеют минимальный период m.

Заметим, что отображение сохраняет период m точки x в том и только том случае, когда оно сохраняет ее знак (+ или ), но что возможны случаи, когда x Per + (f, 2n) и x Per (f, n). Для положительной периодиче ской точки Per + (f, m) \ P всегда найдется x 1 Per + (f, m).

Если X — интервал в R, то в силу следствия 9.6 для отрицательной перио дической точки Per (f, m) \ P найдется точка x 1 Per (f, m), § 5. Дзета-функции которая к тому же единственна. Следовательно, в случае интервала всегда существует репрезентативное множество периодических точек. Этот факт входит в качестве пункта (a) в следующее предложение.

Предложение 9.18. Пусть f — кусочно-монотонное преобразование компактного подмножества X прямой R и (J1,..., JN ) — связанное с ним минимальное покрытие11. Тогда (a) если X — интервал, то всегда существует репрезентативное мно жество S периодических точек;

(b) в следующих случаях само множество Per f является репрезента тивным множеством периодических точек:

(b1 ) (J1,..., JN ) — образующее разбиение;

(b2 ) X — интервал в R, а f — кусочно-аффинное отображение с m наклонами 1,..., N, удовлетворяющими условию i i = 1, если целые m1,..., mN неотрицательны и mi 0;

(b3 ) X — интервал, а f — отображение класса C 3 с отрицательной производной Шварца12:

f f Sf = 0.

f f Пункт (a) уже доказан.

В условиях пункта (b1 ) процедура, описанная в предложении 9.1, из меняет лишь конечное число периодических точек, а процедура из предло жения 9.4 вообще не меняет их. Поэтому индуцирует биекцию множеств периодических точек по модулю конечного множества и сохраняет период.

Пусть выполнены условия пункта (b2 ) и пусть Per ± (f, m) \ P.

Тогда f m отображает 1 в 1, является аффинным на этом ин тервале и имеет наклон = 1. Поэтому существует единственная непо движная точка x Per± (f, m). Тем самым, индуцирует биекцию Per f \ P Per f \ P, сохраняющую период.

Прежде чем переходить к пункту (b3 ), необходимо напомнить некото рые сведения, касающиеся производных Шварца. Важность условия Sf 11 Как уже сказано в замечании 9.2(2), мы можем позволить f принимать по два значения в общих концевых точках b1,..., bs соседних интервалов Ji и Ji+1.

12 Это условие можно ослабить. Будем считать, как всегда, что функция f непрерывна и строго монотонна на интервалах Ji = [ai1, ai ]. Предположим также, что f непрерывно дифференцируема на (ai1, ai ), а |f |1/2 строго выпукла. Эти условия достаточны для справедливости пункта (b3 ) (см. Престон [3]).

242 Глава в рассматриваемом контексте впервые была отмечена Д. Зингером. Отоб ражения интервала, удовлетворяющие этому условию, рассматривались в работах Престона [3], де Мело [1], Мартенса [1]13. Фундаментальный факт состоит в том, что если Sf1 0, Sf2 0, то S(f1 f2 ) 0 и, значит, условие отрицательности производной Шварца сохраняется при итерациях.

Предположим, что Sf 0 и f строго возрастает на [a, b]. Тогда, как можно проверить, f не может иметь локальных минимумов на (a, b), а в таком случае у f может быть на (a, b) не более одной отталкивающей неподвижной точки (т. е. такой точки x, что f x = x и f (x) 1). Если x — произвольная неподвижная точка преобразования f, то либо f u u для всех u (a, x), либо f u u для всех u (x, b), либо x — отталки вающая точка. Применим этот результат к ограничению f 2m на интервал m f k J(k), где (k) Per ± (f, m). Этот интервал содержит по крайней k= мере одну неподвижную точку отображения f m и не более одной отталкива ющей неподвижной точки отображения f 2m. Остальные f 2m -неподвижные точки имеют вид lim f 2mn u, где 0 k 2m и f k u произвольно близко к n одной из точек деления a0,..., aN. Отсюда следует, что множество перио дических орбит отображения f, не являющихся отталкивающими, конечно.

Но тогда индуцирует биекцию Per f \ конечное множество Per f \ конечное множество, сохраняющую период.

Теорема 9.19. Пусть X — компактное подмножество прямой R, f : X X — кусочно-монотонное отображение, g : X C — функция ограниченной вариации и (J1,..., JN ) — минимальное покрытие, связанное с f.

Если S — репрезентативное множество периодических точек, опре делим дзета-функцию S равенством m zm g f kx.

S (z) = exp m m=1 xSFix f m k= Если само Per f — репрезентативное множество периодических точек, 13 См. также де Мело и ван Стрин [1*]. — Прим. ред.

§ 5. Дзета-функции положим m zm g f kx.

(z) = exp m m=1 xFix f m k= Тогда функции 1/S (z), 1/(z) аналитичны при |z| 1 и их нули в этой области имеют вид 1, где — собственные значения трансфер-операто ра L, причем кратности нулей и соответствующих собственных значений одинаковы14.

В случае (b1 ) предложения 9.18, когда (J1,..., JN ) — образующее, мы получаем теорему Балади – Келлера. В случаях (b 2 ) и (b3 ), относящихся к кусочно-аффинным отображениям и к отображениям с неотрицательной производной Шварца соответственно, мы можем иметь дело как с притяги вающими, так и с отталкивающими периодическими орбитами.

Для доказательства теоремы 9.19 мы последовательно применим пред ложения 9.1, 9.4, 9.3 и посмотрим, как при этом будут изменяться дзе та-функция S, параметр и трансфер-оператор L.

Если мы изменим S на одну периодическую орбиту периода p, прохо дящую через точку xp, то 1/S (z) изменится на p1 p n n z np · p 1p g f k xp g f k xp exp = exp nz = np n=1 n= k=0 k= p = 1 zp g f k xp.

k= Последнее выражение представляет собой голоморфную функцию, не име ющую нулей при |z| 1. Значит, при доказательстве теоремы можно изменять множество S на конечное число периодических орбит. Посколь ку S — репрезентативное множество периодических орбит, мы можем с помощью предложений 9.1 и 9.4 заменить S функцией, отвечающей системе с образующим разбиением (мы определяем g на втором шаге в соответствии с доказательством предложения 9.9, так что g(x) = g(x), если x S \ конечное множество). Применение же предложения 9.3 не изменяет.

Заметим, что применение предложений 9.1, 9.4, и 9.3 может лишь уменьшить (см. предложение 9.9).

14 Кратность собственного значения оператора L — это размерность обобщенного соб ственного пространства.

244 Глава Наконец, согласно предложению 9.12, все трансфер-операторы, полу ченные в результате последовательного применения предложений 9.1, 9.4, и 9.3, -эквивалентны и, следовательно, имеют одинаковые собственные значения с ||, кратности которых также совпадают.

Таким образом, мы пришли к ситуации, которая охватывается предло жением 9.15. Этим завершается доказательство теоремы 9.19.

Следствие 9.20. 15 Пусть в условиях теоремы 9.19 X — интер вал прямой R и Ji = [ai, ai+1 ], i = 1,..., N. Определим функцию : X {1, 0, +1} условиями: (a0 ) =... = (aN ) = 0, (x) = ± при x (ai, ai+1 ), где знаки + и выбираются в зависимости от то го, возрастает f на (ai, ai+1 ) или убывает. Определим отрицательную дзета-функцию равенством m zm (z) = exp 2 g f kx, m m=1 xFix f m k= m где Fix f m = {x Fix f m : (f k x) = 1}. Тогда функция (z) k= мероморфна при |z| 1 и ее порядок16 в точке 1 равен n () n(), где n() и n () — кратности как собственного значения операторов L = Lg и L = Lg соответственно.

Так как X — интервал, существует репрезентативное множество S пе риодических точек (см. предложение 9.18(a)). В соответствии с парагра фом 9.5 (и следствием 9.6) S с точностью до конечного множества содержит множество Fix (f, m) Per (f, m) = m m отрицательных периодических точек. Говоря об аналитических свой ствах, мы можем игнорировать это конечное множество и написать m1 m g f kx = g f kx = xFix f m k=0 xSFix f m k= m1 m k (f k x)g(f k x), = g(f x) xSFix f m k=0 k= 15 Этоспециальный случай гипотезы из [12], частично доказанной Балади и Рюэлем [2].

16 Мы определяем порядок мероморфной функции в точке z0 как единственное n, для   которого (z z0 )n (z) голоморфна и не равна нулю при z = z0.

§ 6. Термодинамический формализм откуда получаем (z) = S (z)/S (z), где S вычисляется по g так же, как S — по g. Отсюда моментально следует доказываемое утверждение.

§ 6. Термодинамический формализм Теорема 9.21. Пусть X — компактное подмножество прямой R, f : X X — кусочно-монотонное отображение, g — неотрицательная функция ограниченной вариации на X и (J1,..., JN ) — минимальное по крытие, связанное с f.

Обозначим через I множество f -инвариантных вероятностных мер на X, через h() — энтропию меры I. Пусть RB — спектральный радиус оператора L, действующего на B. Тогда RB = max (, exp P (ln g)), где P (ln g) = sup (h() + (ln g)).

I Из теоремы 9.10 мы знаем, что 1/m RB = R = lim ( Lm 1 0 ).

m Поэтому остается доказать, что если max (R, exp P (ln g)), то R = = exp P (ln g). При этом можно предположить, что 0, так как при = 0 мы имеем R = exp P (ln g) = 0.

Начнем с нескольких частных случаев, а затем перейдем к общей си туации.

Случай А (полный сдвиг, непрерывная функция g 0). Предполо жение, что сдиг — «полный» равносильно тому, что (J 1,..., JN ) — обра зующее разбиение и f Ji = X при i = 1,..., N. В этом случае, согласно стандартной теории (см. Уолтерс [1], Рюэль [4]), m1 1/m g f kx exp P (ln g) = lim.

m xFix f m k= 246 Глава Так как g 0, правая часть этого равенства имеет вид r 1, где r — радиус сходимости ряда m zm g f kx.

(z) = exp m m=0 xFix f m k= Теорема 9.19 и теорема 9.10(c) показывают, что если r 1, то r = R1, а если r = 1, то R =, так что во всех случаях R = exp P (ln g).

Случай B (образующее марковское разбиение, g 0). Здесь и в даль нейшем «марковость» означает, что f Ji = X при i = 1,..., N. С помощью предложения 9.7 мы строим систему (X, f, g), где функция g непрерывна в периодических точках. Заметим, что X — канторово множество и, значит, X — тоже канторово множество. Пусть g — наименьшая полунепрерывная сверху функция, удовлетворяющая условию g g. Тогда разность g g обращается в нуль вне некоторого счетного множества, не содержащего периодических точек. Кроме того, (g(x) g(x)) +.

xX Пусть (An ) — убывающая последовательность непрерывных положи тельных функций, сходящаяся к ln g. Используя очевидные обозначения, можно написать n =, где первое соотношение следует из определения, второе — из предложе ния 9.8 и третье — из предложения 9.9. Покажем, что Rn R = R, R = max(R, ).

Первое утверждение вытекает из определения R, второе — из след ствия 9.14, а последнее — из -эквивалентности операторов L и L (см.

предложение 9.12).

Если exp P (ln g), то можно считать, что в равенстве P (ln g) = sup (h() + (ln g)) мера — неатомическая и h() 0. Следовательно, P (An ) P (ln g) = P (ln g) = P (ln g).

Из равенства exp P (An ) = Rn (см. случай (A)) получаем Rn R = R = R.

§ 6. Термодинамический формализм Поэтому остается доказать, что если R 0, то R = exp P (ln g), причем мы уже знаем, что n =, Rn R = R = R.

Положив R/ = e2, мы видим, что при достаточно большом n R/e = e.

Rn /n Так как Rn = exp P (An ) (см. случай (A)), можно утверждать, что h(n ) + n (An ) = P (An ) ln n + для подходящей меры n I, которая, в частности, должна удовлетворять.17 Выделив из n подпоследовательность, слабо неравенству h(n ) сходящуюся к, получим (см. ниже, § 9.7) P (An ) P (ln g) = h() + (ln g), h().

Таким образом, существует неатомическая мера, удовлетворяющая тем же условиям. В частности, P (ln g) P (ln g) = h() + (ln g) = h() + (ln g) P (ln g), так что P (ln g) = P (ln g) = h() + (ln g).

Кроме того, h() + (ln g) = h( ) + ( )(ln g) P (ln g).

Объединив эти факты, получим P (An ) P (ln g) = P (ln g) P (ln g).

Значит, при больших n P (ln g) P (An ) = ln Rn ln R ln +.

17 Поскольку из определения n (см. § 9.3) следует, что n (An ) ln n. — Прим. ред.

  248 Глава Отсюда видно, что в формуле P (ln g) = sup h() + (ln g) sup можно брать по неатомическим мерам с h() и, тем самым, по мерам вида. Поэтому P (ln g) = P (ln g).

В итоге получаем P (An ) P (ln g) = P (ln g) = P (ln g), и так как уже известно, что Rn R = R = R и Rn = exp P (An ), мы приходим к равенству R = exp P (ln g).

0). С помощью предложе Случай C (марковское разбиение, g ния 9.4 построим образующее марковское разбиение. При этом будет вы полняться неравенство, а в силу предложения 9.12 — равенство R = max(R, ), где R = exp P (ln g) (см. случай (B)).

a) Предположим сначала, что exp P (ln g). Тогда в равенстве P (ln g) = sup (h() + (ln g)) можно ограничиться мерами, для которых h() при некотором (например при = 1 (P (ln g) ln )). Если — инвариантная мера, со средоточенная на множестве 1 Y = Y = U (см. предложение 9.4), то вследствие счетности Y мера сосредоточена на объединении периоди ческих орбит. Если сосредоточена на одной периодической орбите, мы можем считать, что (U ) = 1/n и f n U U. В таком случае h() = 0, поскольку f n |U — гомеоморфизм. В более общем случае, когда мера сосредоточена на Y = 1 Y, равенство h() = 0 также выполняется. По этому можно считать, что P (ln g) задается как sup по тем, для которых (Y ) = 0. Следовательно, P (ln g) = P (ln g).

§ 6. Термодинамический формализм Таким образом, R = exp P (ln g) = exp P (ln g) и, тем самым, R = R = exp P (ln g).

b) Теперь предположим, что R и, значит, R = R = exp P (ln g).

Положив R/ = e2, получим exp P (ln g) = e2 e2.

Поэтому меры в равенстве P (ln g) = sup h() + (ln g) можно считать удовлетворяющими условию h() и к тому же неатоми ческими. В результате получим (Y ) = 0, =, где I и h() + (ln g) = h() + (ln g).

Таким образом, exp P (ln g) exp P (ln g) = R, и мы возвращаемся к случаю (A).

0). С помощью предложе Случай D (разбиение общего вида, g ния 9.3 перейдем от произвольного разбиения к марковскому. При этом будет выполняться равенство =. Отождествив X с некоторым подмно жеством множества X, можно утверждать, что если I и (ln g) конечен, то supp X. Следовательно, P (ln g) = sup (h() + (ln g)) = sup (h() + (ln g)) = P (ln g).

I   I Если exp P (ln g) и, значит, exp P (ln g), то R = exp P (ln g) (см. случай (C)), вследствие чего R. Поэтому предположение max (R, exp P (ln g)) приводит к заключению, что max(R, R) = =. С помощью предложения 9.12 отсюда сначала получаем R = R, затем R = R = exp P (ln g) (см. случай (C)) и наконец R = exp P (ln g).

Случай E (общий). С помощью предложения 9.1 перейдем от мини мального покрытия к разбиению. При этом будет выполняться равенство 250 Глава =. Если exp P (ln g), то обычное рассуждение позволяет доказать, что P (ln g) = P (ln g), а так как exp P (ln g) = R (случай (D)), мы получа ем R. Поэтому предположение max (R, exp P (ln g)) приводит к неравенству max(R, R). Отсюда следует (см. предложение 9.12), что R = R =. Так как R = exp P (ln g) (случай (D)), справедливо нера венство exp P (ln g). Еще раз применив обычные рассуждения, получим P (ln g) = P (ln g). Таким образом, R = R = exp P (ln g) = exp P (ln g), что и требовалось доказать.

Следующая теорема справедлива при наших обычных предположениях относительно X, f и g, включающих, в частности, ограниченность вариации функции g.

Если g 0 и exp P (ln g), то множество равно Теорема 9.22.

весных состояний = I : h() + (ln g) = P (ln g) непусто и представляет собой симплекс, вершинами которого служат эр годические меры с энтропией h P (ln g) ln.

Если энтропия h полунепрерывна сверху на I, а g — полунепрерывная функция на X, то h() + (ln g) — аффинная полунепрерывная сверху функция на I. Поэтому она достига ет максимума, равного P (ln g), на некоторой грани симплекса Шоке I, которая также является симплексом. Вершины (экстремальные точки) сим плекса — это эргодические меры, так как — грань симплекса I.

При доказательстве теоремы 9.21 мы свели общий случай к случаю системы (X, f, g) (см. пункт (b) доказательства упомянутой теоремы), в которой h и g полунепрерывны сверху. В этой ситуации множество = I : h() + (ln g) = P (ln g) является гранью симплекса I, вершины которого — эргодические меры. Так как (ln g) ln, при выполняется неравенство h() P (ln g) ln 0, откуда видно, что состоит из неатомических мер. Теперь 18 В доказательстве этой теоремы используется теория Шоке (симплексы, грани и т. д.), для знакомства с которой см., например, Шоке и Мейер [1].

§ 7. Приложение: общее определение давления воспользуемся слабой топологией на I и, т. е. топологией поточечной сходимости на пространстве C непрерывных функций X C. Эта тополо гия на не изменится, если заменить C на C B, где B — пространство функций X C ограниченной вариации (элементы множества B опре деляют на непрерывные функции, так как состоит из неатомических мер). Если теперь заменить C B на B, топология на опять не изме нится (так как последняя замена приводит к более слабой хаусдорфовой топологии, которая, тем самым, эквивалентна исходной топологии). Нако нец, слабая топология на есть тоже топология поточечной сходимости на B. Конструкции, проведенные при доказательстве теоремы 9.2, инду цируют линейный гомеоморфизм, причем топология на — это опять топология поточечной сходимости на B, т. е. слабая топология. Тем самым, множество непусто и является симплексом, а его вершины — это эргодические меры с энтропией h P (ln g) ln.

§ 7. Приложение: общее определение давления Пусть X — метризуемый компакт и f : X X — непрерывное отоб ражение. Последнее называется разделяющим точки, если для всякой до пустимой метрики d найдется такое 0, что если d(f k x, f k y) при всех k 0, то x = y. В соответствии с терминологией главы 8 можно ска зать, что если X R и (X, f ) обладает образующим разбиением, то f разделяет точки.

Обозначим через I множество f -инвариантных вероятностных мер на X, снабженное слабой топологией (при этом I оказывается компак том). Если I, то энтропия h() может принимать любые значения от до нуля до бесконечности. Функция h(·) — аффинная, и если f разделяет точки, то энтропия h(·) конечна и полунепрерывна сверху (см. Уолтерс [2] и гл. 6). Заметим, что построение проективного предела позволяет перейти от непрерывного разделяющего точки отображения к гомеоморфизму с тем же свойством, т. е. такому гомеоморфизму f, что если d(f k x, f k y) при всех k Z, то x = y.

Для непрерывной функции A : X R давление P (A) определяется 19 Поскольку в настоящее издание входит перевод книги «Термодинамический формализм», повторение в данном параграфе некоторых определений из этой книги можно при желании считать излишеством. Мы, однако, не пошли на возможные (весьма незначительные) сокра щения, чтобы сохранить с максимальной полнотой оригинальный стиль автора. — Прим. ред.

252 Глава равенством P (A) = sup (h() + (A)).

I Понятие давления пришло из статистической механики, см. Рюэль [4];

име ется другое определение давления, его эквивалентность приведенной выше формуле доказана Уолтерсом [2]. Мера I, для которой h() + (A) = = P (A), называется равновесным состоянием. Если, в частности, функция h(·) полунепрерывна сверху, то для A существует по крайней мере одно равновесное состояние.

С помощью той же формулы давление и равновесные состояния можно определить и для некоторых отображений A, не являющихся непрерывны ми. Укажем один случай, в котором это обобщение полезно.

Если энтропия h, определенная на I, конечна и полунепрерывна свер ху, а функция g на X неотрицательна и также полунепрерывна сверху, то формула h() + (ln g) (9.4) определяет аффинное полунепрерывное сверху отображение I R{} и мы можем положить P (ln g) = max (h() + (ln g)).

I Если (An ) — убывающая последовательность непрерывных функций, схо дящаяся к ln g, то P (An ) P (ln g). Если n — равновесное состояние для An и n (слабо), то — равновесное состояние для ln g.

Для доказательства заметим, что функция (ln g) является пре делом убывающей последовательности непрерывных функций (A n ).

Поэтому она полунепрерывна сверху, так что функция (9.4) также полуне прерывна сверху. Поскольку P (An ) = h(n ) + n (An ) и n, мы имеем P (ln g) lim P (An ) h() + (An ) h() + (ln g) P (ln g), n вследствие чего P (An ) P (ln g) и — равновесное состояние для ln g.

Приложение A. Разнообразные определения и результаты A.1.1. Порядок Пусть — отношение порядка на множестве E и S E. Существует не более одного a S, для которого a x при всех x S (a — наибольший элемент множества S) и не более одного b S, для которого b x при всех x S (b — наименьший элемент множества S).

Если a E и a x при всех x S, то a — мажоранта множества S.

Если множество мажорант имеет наименьший элемент, то он называется верхней гранью множества S и обозначается S.1 Если b E и b x при всех x S, то b — миноранта множества S. Если множество минорант обладает наибольшим элементом, то последний называется нижней гранью множества S и обозначается S. Упорядоченное множество E называется структурой 3, если каждое его конечное подмножество S E обладает верхней гранью и нижней гранью.

Достаточно потребовать, чтобы это имело место для каждого двухэлемент ного подмножества.

A.1.2. Массивные множества Пусть E — топологическое пространство. Множество S E назы вается массивным, если оно содержит пересечение счетного числа всюду плотных открытых множеств. Если E метризуемо и полно, то каждое его массивное подмножество всюду плотно в E (теорема Бэра). Мы будем го ворить, что свойство (точек x пространства E) является типичным, если оно выполняется для всех x из некоторого массивного подмножества.

1 В переводе этих терминов мы следуем традиции, сложившейся в отечественной матема тической литературе и несколько отступаем от терминологии автора: на месте «мажоранты» в оригинале стоит «upper bound», а на месте «верхней грани» — «least upper bound». Аналогичное замечание относится к понятиям миноранты и нижней грани (см. ниже). — Прим. ред.

2 Заметим, что использование нами символов и для покрытий (см. § 6.3) не вполне соответствует этим определениям.

3 В оригинале «lattice». — Прим. ред.

254 Приложение A.1. Разнообразные определения и результаты A.1.3. Полунепрерывность сверху Функция f на топологическом пространстве E со значениями в R {} называется полунепрерывной сверху, если для любых x E и a f (x) существует такая окрестность Nx точки x, что y Nx f (y) a.

Это эквивалентно требованию, чтобы для всякого действительного a мно жество {x E : f (x) a} было открыто, или чтобы множество {x E:

f (x) a} было замкнуто.

Нижняя грань семейства непрерывных действительных функций на пространстве E полунепрерывна сверху. Если пространство E компактно и функция f полунепрерывна сверху, то существует точка x E, для которой f (x) = sup f (y).

yE Таким образом, на компактном множестве всякая полунепрерывная сверху функция достигает своего максимума.

A.1.4. Субаддитивность Предположим, что функция F (a1,..., ar ) определена для всех нату ральных a1,..., ar. Она называется субаддитивной, если при всех k F (a1,..., ak +ak,..., ar ) F (a1,..., ak,..., ar )+F (a1,..., ak,..., ar ).

В этом случае F (a1,..., ar ) F (a1,..., ar ) lim = inf, r r a1,..., ar a1,..., ar ak ak k=1 k= причем предел является действительным числом или равен (это ис пользуется при доказательстве соотношения (3.17)).

Приложение A. Топологическая динамика Пусть — непустое хаусдорфово топологическое пространство и f : — непрерывное отображение. Пара (, f ) называется топо логической динамической системой. Точка x называется блуждающей, f n U =. Точ если у нее существует такая окрестность U, что U n= ка x называется неблуждающей, если для любой ее окрестности U и любого числа N 0 найдется такое n N, что f n U U =. Hеблуждаю щие точки образуют неблуждающее множество. Множество замкнуто и f. Если f — гомеоморфизм, то неблуждающие множества отобра жений f 1 и f совпадают. Если пространство компактно, то множество неблуждающих точек непусто.

Будем говорить, что динамическая система (, f ) (или отображение f ) топологически (+)-транзитивна, если выполняется следующее условие:

(+T) для любых двух непустых открытых множеств U, V и любого N 0 существует такое n N, что f n U V =.

Если отображение f топологически (+)-транзитивно, то неблуждаю щее множество совпадает с. Гомеоморфизм f топологически (+)-транзи тивен тогда и только тогда, когда этим свойством обладает f 1. Если — компактное метризуемое пространство, то (+T) эквивалентно каждому из следующих двух условий:

(+T ) Существует точка x, для которой множество предельных точек последовательности {f n x}n0 совпадает с.

(+T ) Те x, для которых множество предельных точек последо вательности {f n x}n0 совпадает с, образуют массивное множество.

[Пусть {Vk }k0 — счетный базис топологии пространства. Множе ство предельных точек последовательности {f n x} совпадает со всем про странством, если множество {f m+n x : n 0} всюду плотно в при любом m 0. Множество тех x, для которых верно последнее, имеет вид f mn Vk, k0 m0 n 256 Приложение A.2. Топологическая динамика т. е. является счетным пересечением открытых множеств. Если выполняется условие (+T), то это множество имеет непустое пересечение с каждым открытым множеством U = и, следовательно, всюду плотно в. Поэтому (+T) (+T ). Ясно, что (+T ) (+T ). Если выполняется условие (+T ) и U, V — непустые открытые множества то f m x U и f m+n x V при некоторых m, n N. Отсюда следует (+T).] Заметим, что если множество предельных точек последовательно сти {f n x} совпадает со всем пространством, то множество {f n x : n 0} всюду плотно в. Если не содержит изолированных точек, то верно и обратное.


Динамическая система (, f ) (или отображение f ) называется топо логически перемешивающей, если выполняется условие (M) для любых непустых открытых множеств U, V существует такое N 0, что f n U V = при всех n N.

Если отображение f топологически перемешивает, то оно топологиче ски (+)-транзитивно. Гомеоморфизм f топологически перемешивает тогда и только тогда, когда этим свойством обладает f 1.

Гомеоморфизм f называется топологически транзитивным, если он удовлетворяет условию (T) для любых двух непустых открытых множеств U, V существует такое n Z, что f n U V =.

Гомеоморфизм f топологически (+)-транзитивен тогда и только то гда, когда он топологически транзитивен и его неблуждающее множество совпадает с :

(+T) (T) и неблуждающее множество =.

[Ясно, что из (+T) вытекает (T) и совпадение неблуждающего множества с. Обратно, пусть выполняется (T) и является неблуждающим множе ством. Возьмем непустые открытые множества U, V и любое N 0.

Мы хотим доказать, что f m U V = при m N.

Из (T) следует, что f n U V = при некотором n Z. Так как каждая точ ка x множества W = f n U V является неблуждающей, существует m N, при котором W f mn W =. Поэтому f m U V W f mn W =.] Приложение A.2. Топологическая динамика Если — компактное метризуемое пространство и f — гомеоморфиз мом, то (T) эквивалентно следующим условиям (см. Уолтерс [2], гл. 5, § 2):

(T ) существует такая точка x, что множество {f n x : n Z} всюду плотно в ;

(T ) точки x, для которых множество {f n x : n Z} всюду плотно в, образуют массивное подмножество.

Приложение A. Выпуклость A.3.1. Общие определения Пусть V — вещественное векторное пространство. Множество S V называется выпуклым, если x+(1)y S при всех x, y S и [0, 1].

Выпуклой оболочкой множества S V называется наименьшее выпуклое множество, содержащее S.

Пусть S — выпуклое множество. Функция f : S R называется вы пуклой, если {(x, t) V R : x S, t f (x)} — выпуклое множество.

Функция f называется вогнутой, если функция f выпукла;

если функ ция f одновременно выпукла и вогнута, она называется аффинной. В более общем случае, когда W — вещественное векторное пространство, мы гово рим, что f : S W — аффинное отображение, если f (x + (1 )y) = = f (x) + (1 )f (y) при любых x, y S и [0, 1]. В частности, всякое линейное отображение V W аффинно.

Если S — открытое выпуклое множество в R n, то всякая выпуклая функция на S непрерывна. Если f — действительная функция, определенная на интервале (a, b) R и d2 f (x)/dx2 0 при x (a, b), то f выпукла.

Понятие выпуклости занимает центральное место в теории топологи ческих векторных пространств (см. К те [1]4 ). Здесь мы приводим только е некоторые результаты, используемые в тексте.

A.3.2. Теорема Хана – Банаха Пусть P : V R — выпуклая функция и W — линейное подпростран ство пространства V. Предположим, что линейная функция w : W R удовлетворяет условию w P |W. Тогда существует такая линейная функ ция v : V R, что v P, v|W = w.

4 Более доступны отечественному читателю книги Бурбаки [1], Данфорда и Шварца [1], Иоффе и Тихомирова [1], Рокафеллара [1]. — Прим. ред.

Приложение A.3. Выпуклость Если V — топологическое векторное пространство и функция P непрерыв на, то и функция v непрерывна. Стандартный пример: V — нормированное пространство и P — норма.

A.3.3. Теоремы отделимости Говорят, что подмножества S и S топологического векторного про странства V разделены (замкнутой) гиперплоскостью, если существуют непрерывная линейная функция f : V R и число c R, для которых c при x S и f (x) c при x S. Если f (x) c при x S и f (x) f (x) c при x S, то говорят, что S и S строго разделены.

Пусть S и S — непересекающиеся выпуклые множества.

(a) Если S открыто, то S и S разделены гиперплоскостью.

(b) Если S и S открыты, то они строго разделены гиперплоскостью.

(с) Если пространство V локально выпукло, множество S компактно, а множество S замкнуто, то S и S строго разделены гиперплоскостью.

(Заметим, что утверждения (a) и (b) — это различные формы теоремы Хана – Банаха).

A.3.4. Выпуклые компакты Пусть V — нормированное пространство. Сопряженное к нему про странство V (пространство непрерывных линейных функционалов на V ) — это банахово пространство с нормой |||| = sup |(x)|.

xV : ||x|| Слабой топологией на V называется топология, порожденная поточечной сходимостью линейных функционалов на V.5 Пространство V со слабой топологией локально выпукло и сопряженное к нему пространство есть V.

Замкнутый единичный шар { V : |||| 1} компактен в слабой топо логии пространства V (это частный случай теоремы Алаоглу – Бурбаки).

Пусть K — выпуклое компактное подмножество локально выпуклого топологического векторного пространства V и (f ) — семейство коммути рующих непрерывных аффинных отображений множества K в себя. Тогда 5 Эту топологию часто называют также -слабой (Колмогоров и Фомин [1]) и V -топологией (Данфорд и Шварц [1], гл. 5, § 4). — Прим. ред.

260 Приложение A.3. Выпуклость отображения f имеют общую неподвижную точку (теорема Маркова – Ка кутани).

A.3.5. Крайние точки Пусть V — вещественное векторное пространство и S V. Точка z S называется крайней точкой множества S, если z = x + (1 )y при некоторых x, y S, (0, 1), лишь в том случае, когда x = y = z.

Пусть K — выпуклое компактное подмножество локально-выпуклого топологического векторного пространства V и — совокупность крайних   точек множества K. Тогда замыкание выпуклой оболочки множества   совпадает со всем K (теорема Крейна – Мильмана).

Пусть S — подмножество локально-выпуклого топологического вектор ного пространства V, причем замыкание K его выпуклой оболочки компакт но. Тогда крайние точки множества K содержатся в замыкании множества S (теорема Мильмана).

A.3.6. Касательные функционалы к выпуклым функциям Пусть V — топологическое векторное пространство и P : V R — непрерывная выпуклая функция. Линейный функционал : V R назы вается касательным к P в точке x, если P (x) + (y) при всех y V.

P (x + y) Рассмотрим более общую ситуацию. Функционал называется P -ограни ченным, если существует такое c R, что c P.

По теореме Хана – Банаха функционал непрерывен, т. е. содержится в пространстве V, сопряженном к V. Кроме того, для каждой точки x V множество касательных функционалов к P в этой точке непусто.

Пусть V — банахово пространство, P : V R — непрерывная вы пуклая функция и C — замкнутый выпуклый конус в пространстве V с Приложение A.3. Выпуклость вершиной O. Если функционал 0 V является P -ограниченным, x0 V и 0, то существует функционал V, удовлетворяющий условию 0 (y) ||y|| при всех y C (y) () и касательный к P в некоторой точке x x0 + C такой, что 1 [P (x ) (x ) s( )], ||x x0 || 0 00 где s(0 ) = inf{P (y) 0 (y) : y V }. (Это теорема Израэля [1]. Если C — линейное подпространство, то условие () принимает вид ||( 0 )|C|| ;

в частности, при C = V мы получаем теорему Бишопа – Фелпса.) A.3.7. Единственность касательного функционала Если V — сепарабельное банахово пространство и P : V R — непре рывная выпуклая функция, то множество точек x V, в которых существу ет только один касательный функционал к P, является массивным (теорема Мазура [1]).

Если V — сепарабельное банахово пространство и P : V R — непре рывная выпуклая функция, то множество { V : — касательный функционал к P в точке x} совпадает с замкнутой (в слабой топологии) выпуклой оболочкой множе ства предельных точек последовательностей { n }, где n — единственный касательный функционал к P в точке xn, которая при n стремится к x: lim xn = x (теорема Ланфорда – Робинсона [1]).

n 6 В оригинале название этого пункта таково: «Multiplicity of tungent functionals». Однако речь в нем идет по преимуществу о единственности. — Прим. ред.

Приложение A. Меры и абстрактные динамические системы A.4.1. Меры на компактных множествах Пусть — компактное пространство и () — банахово пространство   непрерывных действительных функций на с нормой A ||A|| = sup |A(x)| x (равномерная норма). Пространство (), сопряженное к (), состоит     из действительных мер на. Мы будем иметь дело со слабой топологией на () (см. приложение A.3.4)7. Пространство () является банахо     вым пространством с нормой |||| = sup |(A)|.

A : ||A|| Пусть — другое компактное пространство и f : — непрерыв ное отображение. Определим отображение f : () ( ) формулой:

    (), (f )(A) = (A f ), A ( ).

    Меру f будем называть образом меры при непрерывном отображении f.

Если A () и (), то произведение A · () определя       ется равенством (A · )(B) = (AB), B ().

  Если 1, 2 () и 1 (A) 2 (A) для любой неотрицательной   функции A (), мы пишем 1 2. Это неравенство устанавливает   отношение порядка, которое превращает пространство () в структу   ру (см. приложение A.1.1). Мера на называется вероятностной, если выполнены любые два (а значит, и все) из следующих условий:

7 В оригинале автор употребляет для нее также наименование vague topology. Этот тер мин (не имеющий общепринятого русского эквивалента) обычно относится к топологии на пространстве мер, порождающей сходимость интегралов от любой непрерывной функции с компактным носителем. Поскольку пространство компактно, такая топология совпадает со слабой. — Прим. ред.


Приложение A.4. Меры и абстрактные динамические системы (a) 0;

(b) (1) = 1;

(c) |||| = 1.

Для () и A () мы используем обозначение (A)     (A) = A d = A(x)(dx).

Интегрирование по мере можно продолжить с пространства () на ши   рокий класс функций, в частности, на характеристические функции мно гих подмножеств пространства и определить тем самым меру этих (из меримых) подмножеств. К числу измеримых подмножеств метризуемого компактного пространства относятся борелевские множества — элементы -кольца, порожденного компактными множествами. (Hепустой класс мно жеств называется -кольцом, если он замкнут относительно операций сим метрической разности и счетного объединения.) Измеримые множества — это множества вида X N, где X — борелевское подмножество, а N — подмножество некоторого борелевского множества меры нуль.

Мы кратко изложили здесь теорию мер Радона на компактных про странствах (см., например, Бурбаки [1], [2]). Меры Радона на локально компактных пространствах определяются аналогичным образом (примером может служить мера Лебега на Rn ). Во всех случаях, специально оговорен ных, меры в этой монографии считаются радоновыми.

A.4.2. Абстрактная теория меры Можно развить и абстрактную теорию меры, не предполагая, что на пространстве имеется топология (см., например, Халмош [1]). Основной объект такой теории — это пространство с мерой (,, ), где — семей ство подмножеств пространства (измеримых подмножества), а мера — счетно-аддитивная функция на. Мы предполагаем, что 0 и ().

Изоморфизмы пространств с мерой — это сохраняющие меру преобразова ния, определенные и взаимнооднозначные с точностью до множеств меры ноль. Можно показать, что компактное метризуемое пространство с поло жительной мерой Радона является пространством Лебега, т. е. изоморфно объединению интервала действительной прямой с мерой Лебега и счетно го множества (конечного или бесконечного), каждая точка которого имеет положительную меру, или «массу» (см. Рохлин [1]). В частности, если ве роятностная мера на компактном метризуемом пространстве не имеет 264 Приложение A.4. Меры и абстрактные динамические системы атомов (т. е. (x) = 0 для любой точки x), то она определяет пространство с мерой, изоморфное единичному интервалу (0, 1) R с мерой Лебега.

A.4.3. Абстрактные динамические системы Мы будем называть четверку (,,, ) абстрактной динамической   системой, если (,, ) — пространство с мерой и : — обратимое   отображение, сохраняющее и. Предположим, что (,, ) изоморфно     единичному интервалу (0, 1) R с мерой Лебега.

Изоморфизмом двух абстрактных динамических систем, (,,, ) и  ,, ), называется такой изоморфизм f : (,, ) (, (,,)       пространств с мерой, что f = f.

Энтропия или инвариант Колмогорова – Синая абстрактной динамиче ской системы определяется так, как это было сделано в параграфе 6.4, но с заменой только борелевских разбиений на измеримые. В случае, когда аб страктная динамическая система определяется гомеоморфизмом компактно го метризуемого пространства, это определение совпадает с определением параграфа 6.4. Энтропия любой динамической системы — это неотрица тельное число или +;

она не меняется при изоморфизме.

A.4.4. Сдвиги Бернулли Пусть µ — вероятностная мера на конечном множестве 0. Мера на пространстве = Z, определяемая как прямое произведение = µZ, инвариантна относительно сдвига (см. главу 5). Полученная таким обра зом динамическая система (и любая динамическая система, изоморфная ей) называется сдвигом Бернулли. Заметим, что энтропия в этом случае равна h= µ{} log µ{}.

Мы предполагаем, что h 0.

A.4.5. Разбиения Определение разбиения и связанных с ним понятий было дано в пара графе 6.3.

Приложение A.4. Меры и абстрактные динамические системы Пусть A = (Ai )iI и B = (Bj )jJ — конечные измеримые разбие ния пространства (,, ) и 0. Говорят, что разбиение A является   -независимым от B, если существует множество J J, для которого (Bj ) и jJ |(Ai Bj )/(Bj ) (Ai )| iI при j J. Это отношение не симметрично, но оно влечет за собой сим / метричное неравенство |(Ai Bj ) (Ai )(Bj )| iI jJ и, в свою очередь, вытекает из симметричного неравенства |(Ai Bj ) (Ai )(Bj )| 2.

iI jJ Разбиение A = (Ai ) называется образующей абстрактной динамиче ской системы (,,, ), если множества k Ai (k Z) порождают     (при помощи операций счетного объединения и пересечения и с точностью до множеств меры нуль). Разбиение A называется слабобернуллиевским, xA если для любого 0 существует такое n, что разбиение x[n, n+k] x A при всех k 0.

является -независимым от x[k, 1] A.4.6. Теоремы об изоморфизме Два сдвига Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны (теорема Орнстейна).

Если абстрактная динамическая система (с пространством Лебега и неатомической мерой) имеет слабобернуллиевское разбиение в качестве об разующей, то она изоморфна сдвигу Бернулли (теорема Фридмана и Орн стейна).

Подробно теоремы изоморфизма изложены в книгах Орнстейна [1], Шилдса [1] Смородинского [1].

Приложение A.5.

Интегральные представления на выпуклых компактных множествах Здесь мы следуем приложению A.5 из книги Рюэля [3]. Доказательства можно найти в книге Бурбаки [1] и статье Шоке и Мейера [1], на которые мы в дальнейшем будем ссылаться как на [B] и [C-M]. См. также Фелпс [1] и Ланфорд [1].

A.5.1. Результант меры Пусть V — локально-выпуклое топологическое векторное пространство и K V — выпуклое компактное множество. Пространство (K), дуаль   ное к (K), состоит из действительных мер на K. Обозначим через M +   выпуклый конус положительных мер на K и через M 1 — множество по ложительных мер с нормой единица (M1 — множество вероятностных мер на K). Для K обозначим через вероятностную меру, соответствую щую единичной массе в точке (меру Дирака).

Если m M1, то существует такое K, что для всех f V (V — пространство, дуальное к V ) справедливо равенство f () = f ()m(d).

Точка называется результантом меры m ([B], стр. 216, следствие). Если вероятностная мера m имеет результант, то ее можно представить как слабый предел последовательности мер m M1 с результантом, имею n n щих конечный носитель (т. е. m = i i, i 0, i = 1, i K, i=1 i= n i i = (см. [B], стр. 217, предложение 3). Если мера m M 1 име i= ет результант и функция f аффинна и полунепрерывна сверху на K, то m(f ) = f () ([C-M], лемма 10).

Прил. A.5. Интегральные представления на выпуклых множествах Компактное подмножество S множества K называется фасадом K, если supp m S для любой вероятностной меры m, результант которой принадлежит множеству S.

A.5.2. Максимальные меры Пусть S (K) — выпуклый конус непрерывных выпуклых функций   на K. Введем отношение порядка на множестве M+, положив m2 (f ) для всех f S).

(m1 m2 ) (m1 (f ) Если m1 m2 и f — непрерывная функция, то m1 (f ) = m2 (f );

в частности, ||m1 || = ||m2 || и если m1 M1, то m1 и m2 имеют одинаковый результант.

Если m M1 и K, то (результант m равен ) (m ).

Говорят, что m M+ — максимальная мера, если она максимальна относительно порядка. Для любой меры m M+ существует макси мальная мера m, для которой m m (см. [C-M], теорема 3). В частности, для любой точки K существует максимальная мера с результантом.

A.5.3. Проблема единственности Пусть K — основание выпуклого конуса C с вершиной O V. Это означает, что K является пересечением C с замкнутой гиперплоскостью H пространства V, которая не содержит O и пересекает все образующие лу чи C. Эту ситуацию всегда можно реализовать, заменив V на R V и вложив K в R V как {1} K. Конус C определяет порядок в V ( 1 означает, что 2 1 C);

если C — решетка относительно этого порядка (см. приложение A.1.1), говорят, что K является симплексом (Шоке). Это определение не зависит от выбора C.

Следующие условия эквивалентны ([C-M], теорема 11):

(a) K — симплекс.

(b) Если K, то существует единственная максимальная мера (т. е. каждая точка K является результантом только одной m максимальной меры m ).

Для любого симплекса K отображение m аффинно ([C-M], до казательство теоремы 11).

268 Прил. A.5. Интегральные представления на выпуклых множествах A.5.4. Максимальные меры и крайние точки Пусть (K) — совокупность крайних точек множества K. Если ме   ра m M+ сосредоточена на (K) (т. е. если (K) m-измеримо и     m(K \ (K)) = 0), то m максимальна ([C-M], предложение 15). Обратно,   если K метризуемо и мера m M+ максимальна, то m сосредоточена на (K) ([C-M], лемма 13).

  Таким образом, если K метризуемо и m M+, то (m максимальна ) (m сосредоточена на (K)).

  В частности, всякая точка K является результантом некоторой меры m, сосредоточенной на (K), и если K — симплекс, то m является вза   имнооднозначным отображением множества K на множество вероятност ных мер, определенных на K и сосредоточенных на (K). В этом случае   можно сказать, что каждая точка K имеет единственное интеграль ное представление на (K), определяемое некоторой мерой m, такой, что   f () = m (f ) для любой непрерывной аффинной функции f на K.

A.5.5. Симплексы мер Пусть — компактное пространство. Зададим на пространстве () действительных мер на слабую топологию (см. приложение A.4.1). Тогда множество E = M1 вероятностных мер на будет компактом, который метризуем, если метризуемо пространство.

Пусть — замкнутое линейное подпространство пространства ().

Если из следует ||, то множество K = E является сим плексом. Если, E, то || || = ||m m ||. В частности, если, — различные крайние точки множества E, то || || = 2, т. е. меры и сингулярны. [Действительно, пусть H = { : (1) = 1} и + — выпуклый конус положительных мер из. Так как E = H +, множество E служит основанием конуса +. Пусть 1, 2 + ;

тогда меры ± = 1 (1 + 2 ± |1 2 |), которые определяются соответствен но как sup(1, 2 ) и inf(1, 2 ) в (), по предположению принадлежат множеству, а следовательно, и множеству +. Но тогда ± — это sup и inf мер 1 и 2 относительно порядка, определенного в +. Поэтому + — симплексный конус и E — симплекс. Пусть теперь, E. По ложим ± = 1 (| | ± ( )) 0, а также m± = ||± ||m± /||± ||, если Прил. A.5. Интегральные представления на выпуклых множествах ||± || = 0, и 0 в противном случае. Меры m+ и m сингулярны (так как сингулярны меры + и ) и m m = m+ m (так как = + и m — аффинное отображение). Поэтому || || = ||+ || = ||+ || + || || = = ||m+ || + ||m || = ||m+ m || = ||m m ||.]   A.5.6. Z -инвариантные меры Пусть — компактное пространство, — действие группы Z гомео морфизмами этого пространства и I () — симплекс -инвариантных вероятностных мер на. Единственная максимальная мера m на I с ре зультантом I однозначно определяется соотношением l l |i |1 Ai x m Ai = lim, 1,..., l i=1 i=1 xi где A : I R определяется равенством A() = (A).

Крайние точки множества I называются эргодическими мерами. Эр годичность меры I равносильна тому, что m (A2 ) = (A)2 для всех A. Интегральное представление m называется эргодиче ским разложением8 (см. Рюэль [3], глава 6).

8А также разложением на эргодические компоненты. — Прим. ред.

Приложение B Нерешенные задачи В этом приложении собраны нерешенные задачи, различные по труд ности и значению9.

B.1. Системы условных вероятностей (глава 2) Насколько общим является представление системы условных вероят ностей (µ()L\ ) в виде (µ L\ )? (По этому поводу см., в частности, () Салливэн [1].) B.2. Теория фазовых переходов (глава 3) Показать, что в подходящем пространстве взаимодействий точки со существования n + 1 фаз образуют многообразие размерности n? Каковы отношения инцидентности этих многообразий? Как появляется критическая точка? «Эвристическая теория» содержится в работе Рюэля [8]. [Частично отрицательные результаты имеются в работах Дэниелса и ван Энтера [1] и ван Энтера [1]]. B.3. Точка зрения абстрактной теории меры (глава 4) В замечании 4.5 гиббсовское состояние получается из другого гибб совского состояния умножением на непрерывную функцию и переходом к пределу в слабом смысле. Существует ли вариант этого подхода в рамках 9 Некоторые из этих задач сопровождаются комментариями автора, присланными специаль но для русского издания. Эти комментарии помещены в квадратные скобки. — Прим. ред.

10 Первым этот вопрос исследовал М. Б. Аверинцев [1]. См. также Козлов [1], где имеются ссылки на другие работы. — Прим. ред.

11 С этой проблемой связана «теория Пирогова – Синая», изложенная в книге Синая [5]. — Прим. ред.

Приложение B. Нерешенные задачи абстрактной теории меры? В частности, можно ли использовать бернулли евское свойство из теоремы 5.10?

B.4. Одна теорема Добрушина (глава 5) Можно ли теорему Добрушина [4] об аналитичности давления для одномерных систем обобщить на перемешивающие системы?

B.5. Определение давления (глава 6) Если разделяет траектории, то давление определяется с помощью предельного перехода при a (см. конец параграфа 6.7). Можно ли здесь использовать предел при. Заметим, что это возможно в ситуации главы 3 (следствие 3.13).

B.6. Гипотеза Шуба об энтропии (глава 6) Пусть f — диффеоморфизм компактного многообразия и f — соответ ствующий линейный оператор на гомологиях (с вещественными коэффици ентами). Верно ли, что логарифм спектрального радиуса оператора f не больше топологической энтропии преобразования f ? По поводу этой хоро шо известной гипотезы см., например, Мэннинг [2]. [Для диффеоморфизмов класса C гипотеза Шуба была доказана Йомдином [1].] B.7. Условие (SS3) (глава 7) Если выполняются условия (SS1) и (SS2), то существует ли метрика d, для которой имеет место (SS3) и найдется такая константа L, что d(f 1 x, f 1 y) d(f x, f y) Ld(x, y), Ld(x, y) (см. (7.12))? [Ответ на этот вопрос — положительный: Фрид [1] показал, что существует метрика d, для которой выполняется условие (SS3), а функ ции f, f 1 удовлетворяют условию Липшица;

в частности, функция C из следствия 7.10(c) является гельдеровской. По поводу растягивающих отоб ражений сошлемся на статью Ковена и Редди [1].] 272 Приложение B. Нерешенные задачи B.8. Гиббсовские состояния на пространствах Смейла (глава 7) Всегда ли гиббсовское состояние на пространстве Смейла (см. § 7.18) является равновесным? [В работе Найдна [1] получен положительный ответ на этот вопрос.] B.9. Когомологическая интерпретация (глава 7) Можно ли дать когомологическую интерпретацию формулы Мэннинга (предложение 7.22) и рациональной дзета-функции (z)? (Об этой проблеме см., в частности, Френкс [1].) B.10. Потоки Смейла (глава 7 и приложение C) Существует ли вариант теории пространств Смейла для потоков? (По этому поводу см., например, Боуэн [4].) См. также приложение C.4. [См.

Полликотт [1].] Приложение C Потоки Поток на множестве — это семейство ( t )tR отображений :, для которого t+t = t t и 0 — тождественное отоб t ражение. Существует несколько неэквивалентных способов, позволяющих заменить в термодинамическом формализме Z на R. Здесь мы не будем рассматривать обычную статистическую механику непрерывных одномер ных систем (см. Рюэль [3]), а опишем формализм, пригодный для изучения потоков на дифференцируемых многообразиях.

C.1. Термодинамический формализм на метризуемом компактном множестве Пусть — метризуемый компакт и ( t ) — непрерывный поток, т. е.

(x, t) t x — непрерывное отображение. Множество I, состоящее из -инвариантных вероятностных мер на, выпукло и компактно в слабой топологии. Если I, то h t () = |t|h (), где h () называется (средней) энтропией меры относительно пото ка ( t ) (см. Абрамов [1]). Пусть d — метрика на, совместимая с заданной топологией. Мно жество S называется (T, )-разделенным (где T 0, 0), если для любой пары не совпадающих x, y S найдется такое t [0, T ], что d( t x, t y). Для A () положим   T A( t x) dt : S является (T, )-разделенным, ZT (A, ) = sup exp xS P (A) = P (A) = lim lim sup 1 log ZT (A, ).

0 T T 12 Из последнего равенства видно, что h ( ) = h ) — Прим. ред.

1 ( 274 Приложение C. Потоки Так определенное P (A) не зависит от выбора метрики на. Если A( t x) dt, то P (A) = P 1 (A1 ). Давление P удовлетворяет вари A1 (x) ационному принципу P (A) = max[h () + (A)] I (см. Боуэн и Рюэль [1]). Мера, максимизирующая h () + (A), называ ется равновесным состоянием для A.

C.2. Специальные потоки Пусть — компактное метризуемое пространство, : — гомео морфизм и : R — положительная непрерывная функция. Отожде ствив в множестве U = {(, u) R : 0 u ()} точки (, ()) и (, 0), мы получим компактное метризуемое простран ство. На можно определить непрерывный поток ( t ), для которого t (, u) = (, u + t), если 0 u+t ().

Пусть принадлежит множеству I вероятностных мер на, инвариант ных относительно. Если m — мера Лебега на R, то равенство = = m/( m)(U ) задает на некоторую меру I.13 Отображе ние определяет биекцию I I, и по теореме Абрамова [1] h () h () =.

() C.3. Специальный поток над пространством Смейла Пользуясь введенными выше обозначениями, предположим, что — пространство Смейла, — топологическое перемешивание и ().

  13 Чтобы определить меру, достаточно при любом T max задать на [0, T ] прямое произведение = m и взять нормированное ограничение меры на U. Легко проверить, что результат не будет зависеть от T. — Прим. ред.

Приложение C. Потоки () Пусть, далее, A A(, u) du и (). Тогда для A (), () =     существует единственное равновесное состояние на, причем соот ветствует единственному равновесному состоянию I на, отвечаю щему функции P (A)· (Боуэн и Рюэль [1]). Если ( t ) — топологическое перемешивание, то (, t ) — поток Бернулли (Бунимович [1], Ратнер [2]).

Положим () (A( t x ) s) dt A (s) = 1 exp, где произведение берется по всем периодическим орбитам потока ( t ), () — примитивный период орбиты, а x — произвольная точка этой орбиты. Функцию A (s) можно переписать в виде m 1 [( k ) s( k )].

A (s) = exp exp m m=1 Fix m k= Она аналитична при Re s P (A) и имеет простой полюс в точке P (A) (Рюэль [6]).

C.4. Проблемы Предположим, что ( t ) — топологическое перемешивание.

(a) Пусть B1, B2 (U ) и supp B1, B2 {(, u) : 0 u ()}.

  Верно ли, что разность (B1 · (B2 t )) (B1 )(B2 ) при |t| стре мится к нулю с экспоненциальной скоростью?

(b) Существует ли такое r 0, что функция A мероморфна при Re s P (A) r и имеет единственный полюс в точке P (A)?

[Ответы на оба эти вопроса — отрицательные (см. Рюэль [10]). В то же время, как показали Пэрри и Полликотт [1], функция 0 голоморфна в неко торой окрестности прямой Re s = P (0), за исключением точки P (0), где она имеет полюс. Таким образом, у теоремы о простых числах существует аналог, касающийся периодических орбит A-потоков.] Литература L. M. Abramov [1] «On the entropy of a ow», Dokl. Akad. Nauk SSSR 128, 873– (1959). English translation, Amer. Math Soc. Transl., Ser. 2, 49, 167–170 (1966).

R. L. Adier, A. G. Konheim, and M. H. McAndrew [1] «Topological entropy», Trans. Amer. Math. Soc. 114, 309–319 (1965).

D. V. Anosov [1] «Geodesic ows on a compact Riemann manifold of negative curvature», Trudy Mat. Inst. Steklov 90 (1967). English translation, Proc. Steklov Math. Inst.

90 (1967).

H. Araki [1] «Gibbs states of a one-dimensional quantum lattice», Commun. Math.

Phys. 14, 120–157 (1969).

R. Berger [1] «The undecidability of the domino problem», Mem. Amer. Math. Soc., №66, 1966.

P. Billingsley [1] Ergodic Theory and Information. John Wiley, New York, 1965.

N. Bourbaki [1] El ments de math matique. Int gration. Chapitres 1, 2, 3, et 4, 2 e ed.

e e e Hermann, Paris, 1965.

[2] El ments de math matique. Int gration. Chapitre 5, 2e ed. Hermann, e e e Paris, 1967.

R. Bowen [1] «Markov partitions for axiom A diffeomorphisms», Amer. J. Math. 92, 725–747 (1970).



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.