авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ КОСМИЧЕСКОЕ АГЕНТСТВО Федеральное государственное унитарное предприятие "Научно-производственный центр "Полюс" В.И. Кочергин ТЕОРИЯ ...»

-- [ Страница 5 ] --

b, z, z. Звездочками в ячейках этого пространства представляются 1 1 2 1 1 геометрические образы в ы х о д н ы х функций, где цветом в ы д е л е н ы безошибоч¬ ные значения входных сигналов.

Все м ы с л е н н ы е п о в о р о т ы относительно осей с и м м е т р и и 1-5 этого про¬ странства, с о п р о в о ж д а е м ы е с о о т в е т с т в у ю щ и м изменением входных сигналов координат, переводят геометрические образы этих функций в н о в ы е положе¬ ния так же, как это имеет место в д в о и ч н о м коде без исправления ошибок. По¬ этому в каждой из групп о д и н а к о в ы х геометрических образов (y, y ;

y, y, y, 7 10 2 3 y ;

y, y, y, y ;

y, y, y, y ) м о ж н о представить т о л ь к о одну, а остальные 5 15 14 12 8 4 11 13 будут определяться с о о т в е т с т в у ю щ и м и п о в о р о т а м и относительно осей сим¬ метрии этого ц и ф р о в о г о пространства.

Пусть это будут функции y, y, y, y, а также функция универсального 7 2 15 ц и ф р о в о г о пространства - y, геометрический образ к о т о р о й при всех мыс¬ л е н н ы х поворотах относительно осей с и м м е т р и и ц и ф р о в о г о пространства так же, как и прежде, не меняет своего п о л о ж е н и я в координатах этого простран¬ ства.

a 3 x xi * * * * ZiI * ** ** С Z 2 ******** *** * * *** ** * * У1 У У 16 Уi ** * * — ** * * — ——— ——— — ———————— ————— ** * ———————— ———————— ——— — — ——— * *** * *** • • t t * * Г г ** г* У У У У 2 3 • • * * * * * * —————— ———— ** ** * ** * * * * * *** * * *** * ** ** * У У 15 У * ** 14 ** ** * * * * ** ** —————— ——————— —— ———————— —* ——— ———* —* * * ******** *** _ t г* * _ У У У У 4 11 13 * * Рис. 3. v v v У7 = x x z z x a z z x a z z 2 bi i bi i bi i i 2 i i 2 2 i v z i z 2 ai x i x 2 vz v v b ai x x z 2b ai x x i 2 i 2 2 i v z i z 2 ai x i x 2 v z i b 2 ai x i x 2 v v z 2 b 2 ai x i x v x x b z z v x a b z z v x 2 a i b i z i z 2;

i i i 2 i 2 i i i У2 = x i x 2 b i z i z 2 v x 2 a i b i z i z 2 v x i a i b i z i z 2 v v z z a x x v z b a x x v z i b i a i x i x 2;

i i i 2 i 2 2 i i x i x 2 ai v z i z 2 b i ;

yi5 = У4 = z i z 2 a i x i x 2 v z 2 b 2 ai x i x 2 v z i b 2 ai x i x 2 v v z i z 2 ai x i x 2 v z 2 b 2 ai x i x 2 v z i b 2 ai x i x 2 v v z i z 2 bi;

Y i = x x a i v x x a^v z z b i v z z b i.

6 i 2 i 2 i 2 i Н е р а ц и о н а л ь н о е использование м н о г о м е р н о г о ц и ф р о в о г о пространства, где универсальное пространство использует т о л ь к о его «оболочку», и слож­ ность при э т о м логических в ы р а ж е н и й даже для простых бинарных функций свидетельствуют о неперспективности использования этого кода для синтеза логических и ц и ф р о в ы х устройств еще б о л ь ш и х о с н о в а н и й систем счисления.

Следовательно, н е о б х о д и м о использовать систематические коды с боль¬ ш о й разрядностью и н ф о р м а ц и о н н о й части, где о б щ е е число разрядов систе¬ матического кода определяется в ы р а ж е н и е м k (i + k) = (2 ), i где i - число и н ф о р м а ц и о н н ы х разрядов кода;

k - число к о н т р о л ь н ы х разрядов кода.

У ж е для k = 9 число и н ф о р м а ц и о н н ы х разрядов настолько большое, что емкость такого м н о г о м е р н о г о ц и ф р о в о г о пространства, которое является кон т р о л е с п о с о б н ы м относительно о д и н о ч н ы х ошибок, превосходит единицу из¬ i мерения Гугол ( 1 0 ° ), название к о т о р о й п р е д л о ж и л американский математик Кастнер. Х о т я натуральный ряд чисел и бесконечен, Гугол - это граница ис­ числяемого мира. Обратимся к просторам космоса и в ы р а з и м расстояние меж¬ ду звездами в ангстремах, к о т о р ы й равен о д н о й д е с я т и м и л л и о н н о й части миллиметра. Тогда световой год, к о т о р ы й определяет расстояние, п р о х о д и м о е с о л н е ч н ы м лучом в течение года, представляется т о л ь к о ч и с л о м 10 А. Д а ж е расстояние до самых удаленных галактик не п р е в ы ш а е т 6x10 А. Возраст Вселенной, в ы р а ж е н н ы й в световых годах, составляет менее 10 А. П р и м е р н о столько ж е составляет вся энергия, излучаемая всеми звездами Вселенной, вы¬ раженная в микроваттах. П о э т о м у в практической деятельности м ы всегда встречаемся т о л ь к о с к о н е ч н ы м и л о г и ч е с к и м и и ц и ф р о в ы м и устройствами, что позволяет говорить о конечности исследуемого нами ц и ф р о в о г о про¬ странства, где с о д е р ж и м о е каждой его ячейки м о ж е т контролироваться, т.е.

исправляться при соответствующем с о о т н о ш е н и и и н ф о р м а ц и о н н ы х и кон¬ т р о л ь н ы х частей систематического кода.

П е р е д т е м как приступить к п р и м е н е н и ю с и н т е з и р о в а н н ы х нами геомет¬ рическим с п о с о б о м систематических кодов, предназначенных д л я исправле¬ ния, например, всех о д и н о ч н ы х ошибок, в р е ш е н и и задач резервирования ло¬ гических и ц и ф р о в ы х устройств без памяти ( к о м б и н а ц и о н н ы е схемы) и с па¬ мятью (автоматы), н е о б х о д и м о е щ е раз уточнить связь р а с ш и р е н н о г о нату¬ р а л ь н о г о ряда чисел с л о г и ч е с к и м и и ц и ф р о в ы м и функциями и схемами, их реализующими.

В х о д н ы м аргументом л ю б о й л о г и ч е с к о й функции и с и г н а л о м схемы, ее реализующей, является натуральное число, к о т о р о е определяет номер ячейки ц и ф р о в о г о пространства, где д л я в ы х о д н о й двухзначной функции записыва¬ ются логический нуль и л и единица, к о т о р ы е т а к ж е соответствуют натураль¬ ному числу. В х о д н о е натуральное число поступает на входные ш и н ы схемы в n о с н о в н о м д в о и ч н о м эквиваленте в о д н о м из з н а ч е н и й числа о т 0 д о (2 - 1).

N (ai,..., an) N1 (ai,..., ai) N2(^+1,..., an) N1 (ai) N2(a2) N 3 ^ 3 ) Nn(an) F(N) F(N) F(N) N (ci) N (ci) N (ci) a) б) в) Рис. 3. П р и э т о м натуральное входное число м о ж е т представляться, как однораз¬ р я д н ы м (рис. 3.73, a) в о д н о м е р н о м ц и ф р о в о м пространстве, двухразрядным (см. рис. 3.73, б) в двухмерном пространстве и т.д. вплоть д о м а к с и м а л ь н о й разрядности (см. рис. 3.73, в) n-мерного пространства.

Е с л и выходная функция многозначная, а т а к о й м о ж е т быть представлена любая выходная многоразрядная функция д в о и ч н о г о кода, т о в ячейки много¬ м е р н о г о ц и ф р о в о г о пространства, номер к о т о р ы х определяется натуральным в х о д н ы м числом, записывается т а к ж е натуральное число, определяемое э т о й значностью. Н а п р и м е р, д л я четырехзначной в ы х о д н о й л о г и ч е с к о й функции это д в о и ч н о е число о т 0 д о 3, д л я в о с ь м и з н а ч н о й - д в о и ч н о е число о т 0 д о и т.д. Здесь разрядность в ы х о д н о й функции м о ж е т быть р а в н о й и л и р а з л и ч н о й входной, п р и э т о м совпадать и л и различаться с н е й п о числу разрядов, а т а к ж е н е о г р а н и ч е н н о превосходить ее п о числу разрядов.

В с е к о м б и н а ц и о н н ы е схемы м а ш и н н о й арифметики, к о т о р ы е используют при к о д и р о в а н и и цифр разрядов о с н о в н о й д в о и ч н ы й код, я в л я ю т с я т а к ж е ло¬ гическими схемами, где логическая связь между натуральным в х о д н ы м чис¬ л о м и л и ц и ф р о й в пределах о д н о г о разряда и в ы х о д н ы м натуральным опреде¬ ляется з а к о н а м и арифметики.

В машинной арифметике, где при кодировании цифр разрядов используется неосновной двоичный код, т.е. «весовые» значения цифр этого кода не совпадают с «весовыми» значениями основного двоичного кода, эквивалентность логических схем и схем машинной арифметики также оче¬ Nk ( x „., Xk) N. ( a u ^ a n ) видна. Эта эквивалентность достигается преобразо¬ b ванием геометрических образов сигналов выход¬ ных разрядов соответствующего арифметического F(N ) F(Ni) k устройства путем расстановки цифровых сигналов T T координат цифрового пространства соответственно N i (c..., Cn) Nk (zi,..., zk) b а) нумерации цифр основного двоичного кода.

В м н о г о в х о д о в ы х логических устройствах и N. (a..., an) b устройствах м а ш и н н о й арифметики к а ж д ы й из операндов, начиная со второго, состоит из аргу¬ F(Ni) F(Nk) ментов натуральных чисел более старших разря¬ T T дов, чем п р е д ш е с т в у ю щ и е ему. Таким образом, N i (c..., Cn) Nk (z..., Zk) разряды натурального входного числа охватыва¬ b b б) ю т все в о з м о ж н о е количество таких м н о г о в х о д о Рис. 3. вых устройств.

В дальнейшем будем считать, что информационные разряды систематическо¬ го кода, предназначенного исправлять определенные типы ошибок, заданы в ос¬ новном двоичном коде и, следовательно, двоичный код контрольных разрядов этого систематического кода не является основным. Кроме того, под расширен¬ ным определением функции логического устройства будем представлять все воз¬ можные функции, а также соответствующие им схемы машинной арифметики.

Структурная схема логического устройства (рис. 3.74, а), входным сигналом кото­ рой является систематический код N ( a..., a ), N ( x..., x ), позволяющий ис¬ ;

b n k b k правлять определенный тип ошибок, состоит из двух блоков, реализующих соот¬ ветственно функции F(N ), F(N ), где вторая функция синхронна с функцией ин­ ;

k формационной части кода F(N ), поскольку априорно задана жесткая связь между ;

содержимым ячеек этих двух частей общего цифрового пространства.

В случае б е з о ш и б о ч н о с т и входного кода в системе используется т о л ь к о и н ф о р м а ц и о н н а я часть, но если при э т о м н е о б х о д и м о исключить определен¬ ного типа о ш и б к и в л о г и ч е с к о м блоке (см. рис. 3.74, б), то контрольная часть логического блока д о л ж н а будет ф о р м и р о в а т ь с я в ячейках и н ф о р м а ц и о н н о й части м н о г о м е р н о г о ц и ф р о в о г о пространства в соответствии с заданной ко¬ д о м з а в и с и м о с т ь ю между «весовыми» з н а ч е н и я м и к о д о в ы х к о м б и н а ц и й ин¬ ф о р м а ц и о н н о й и к о н т р о л ь н о й его частей, а также логической функцией, реа¬ лизуемой э т и м блоком. П р и э т о м резервирование внутри схем рис. 3.74 гаран¬ тируется т о л ь к о от таких неисправностей, к о т о р ы е приводят к о ш и б к а м в оп¬ ределенном в ы б р а н н о м заранее количестве разрядов, предусматривающем их исправление в э т о м систематическом коде.

Для исправления всех о д и н о ч н ы х о ш и б о к в в ы х о д н ы х сигналах логиче¬ ского или ц и ф р о в о г о блока к а ж д ы й из его разрядов д о л ж е н выполняться от¬ дельной схемой (рис. 3.75), которая не имеет о б щ и х логических узлов с дру¬ г и м и разрядами, как для и н ф о р м а ц и о н н о й, так и для к о н т р о л ь н о й частей сис¬ тематического кода.

N k (x..., Xk) N (ai,..., an) b I I Fi(k) F2(k) Fk(k) F2(i) Fn(i) Fi(i) r 1 I F z1 Z zk C'2 c n Рис. 3. Е с л и п р и э т о м блок не п р о х о д н о й в системе, а конечный, т о н е о б х о д и м о на его в ы х о д н ы х ш и н а х установить схему исправления о д и н о ч н ы х о ш и б о к F.

Другим вариантом построения аналогичного в ы х о д н о г о блока м о ж е т слу­ ж и т ь схема (рис. 3.76), где исправление N. (a..., an) Nk (x..., Xk) b b ошибок, например, происходит непосред¬ ственно в логических схемах каждого раз­ I I ряда и н ф о р м а ц и о н н о й части кода.

I С этой целью в м н о г о м е р н о м ц и ф р о ­ F2(i) Fn(i) Fi(i) в о м пространстве координат N ;

( a..., a„), b N ( x i,..., x ) строятся геометрические об¬ T T T k k разы исправленных в ы х о д н ы х сигналов, c' i C2 C' n п о к р ы т и е к о т о р ы х и определяет в ы х о д н ы е Рис. 3. сигналы c ' - c'. Э т а схема более быстро­ i n действующая, ч е м предыдущая, но в ней отсутствует в о з м о ж н о с т ь п о б л о ч н о г о резервирования, которое имеет место в предыдущей схеме.

Очевидно, что в схеме рис. 3.75 может выйти из строя любой из блоков F (i) - F (i) или F (k) - F (k) без ущерба для её правильного функционирования и по¬ n 1 k этому она может рассматриваться как обобщение общеизвестной мажоритарной схемы рис. 3.71, но с одновременным исправлением всех ошибок определенного типа. Дальнейшее повышение вероятности безотказной работы будет заключаться в поэлементном резервировании блока исправления ошибок.

Все рассматриваемые здесь устройства являются к о н е ч н ы м и автоматами.

Структурно к о н е ч н ы й автомат м о ж е т быть представлен в о б о б щ е н н о м виде « ч е р н ы м я щ и к о м », о б о з н а ч е н н ы м как система (рис. 3.77). Система имеет p входов и m выходов. В х о д о м также является сигнал на в р е м е н н о й т а к т о в о й шине, где такты отсчитываются от нулевого значения (t =0, 1, 2,...). В х о д н ы е сигналы - A, B, C,.... В ы х о д н ы е сигналы - A, B, C,.... К а ж д ы й из x x x y y y входных и в ы х о д н ы х сигналов м о ж е т содержать свои с и м в о л ы конечного ал¬ фавита. В качестве этих с и м в о л о в выступают ц и ф р ы натурального ряда {0, 1, 2,...} соответствующего основания системы счисления, з а к о д и р о в а н н ы е оп¬ р е д е л е н н ы м образом.

П р и н ц и п и а л ь н о все основания систем счисления входных (n, n, n,...) и выход­ ax bx cx A ) сигналов могут быть ных (Пау, Пь x р а з л и ч н ы м и и даже иметь п р и н ц и п и а л ь н о By Bx разные п р и н ц и п ы кодирования этих основа¬ Система ний. Тогда м о ж н о считать, что вход «черно­ го ящика» имеет основание системы счисле­ ния n = n n n..., а выход - основание x ax bx cx системы счисления n = y |t (0, 1, 2...) = n n n.... Следовательно, входной и v ay by cy в ы х о д н о й сигналы автомата являются мно¬ Рис. 3. г о р а з р я д н ы м и соответственно для чисел N x и N, где разрядность входа p, выхода - m.

y Тогда для каждого такта конечного автомата существует функциональная связь входа и выхода N = F( N ), где N (A, B, C,...), x y x x x x N ( A, B, C,...), N N или N N, а к а ж д ы й разряд выхода автомата явля¬ y y y y x y x y ется функцией сигналов всех входных разрядов:

....

y=a x ОЙ • -X y = b x • -X у = F X •• A F (A, B, B F B, C, С (A, B, C, x x x x x Справедливо считается, что в то время как в качестве входов и выходов вы¬ бираются переменные N и N, которые м ы можем наблюдать и измерять, природа x y промежуточных переменных может оставаться неизменной, а их измерение про¬ сто невозможным. Значение промежуточных переменных заключается не в ха¬ рактере изменения каждой из них, а скорее в их комбинированном действии на зависимости между входными и выходными переменными «черного ящика», в качестве которого может представляться конечный автомат. Комбинированное действие, так же как и переменные, вызывающие его, подчинено дискретностью времени и конечностью алфавита. Описанное действие называется состоянием системы. Состояние системы в момент t будем обозначать через S. v v Набор всех возможных состояний системы, которые ей присущи, называется множеством состояний и обозначается через S.

П р и этом переход от одного состояния к другому определяется следующим:

выходной сигнал в данный момент времени однозначно определяется входным сигналом и состоянием в данный момент времени;

состояние в следующий мо¬ мент времени однозначно определяется входным сигналом и состоянием в на¬ стоящий момент времени. Следовательно, существующее состояние автомата и входные сигналы однозначно определяют выходные сигналы, а при определен¬ ных комбинациях входных сигналов и существующем состоянии реализуется пе¬ реход к новому состоянию конечного автомата и т.д.

В частном случае, что рассматривается практически во всех теоретических работах по конечным автоматам, входные и выходные символы конечного алфа¬ вита автомата это - {0, 1}, что подразумевает использование здесь только основ¬ ной двоичной системы счисления, но также, следовательно, и однородность всех конечных автоматов. Для этого варианта построения автомата p его входов зада­ p ют натуральное число от 0 до (2 - 1) в двоичном коде, а m выходов - натуральное m число от 0 до (2 - 1) также в двоичном коде.

Таким образом, независимо от п р и н ц и п о в кодирования цифр в позици¬ о н н ы х системах счисления, каждому натуральному числу N x ставится в соответствие определенное натуральное число N. В к о м б и н а ц и о н н ы х y устройствах эта связь жесткая, когда в м н о г о м е р н о м ц и ф р о - в е к т о р н о м пространстве входных координат ей соответствует определенный геометрический образ для в ы х о д н о г о сигнала каждого элементарного разряда автомата. Все в о з м о ж н ы е варианты п о к р ы т и я этих геометрических образов определяют внутреннюю структуру такого дискретного устройства.

П р и э т о м сумма различных сочетаний из N по ц и ф р а м от 0 до N, как это x x представлено в гл. 1, это - м н о ж е с т в о состояний конечного автомата S C C C C Nx + Nx + Nx +... + Nx -.

0 Nx Сочетания С Nx = 1 и С Nx = 1 представляют здесь соответственно пустое (все ячейки пространства пусты) и универсальное м н о ж е с т в а (все ячейки про¬ странства з а п о л н е н ы л о г и ч е с к и м и единицами). Остальные сочетания пред¬ ставляют о п р е д е л е н н ы й класс логических функций.

Следовательно, л ю б о й геометрический образ логической или арифметиче¬ ской функции каждого в ы х о д н о г о разряда определенного состояния конечно¬ го автомата содержится в о д н о м из (Nx - 1) классов этого представления, а изменение состояния автомата заключается в переходе на и н о й его геометри¬ ческий образ внутри о д н о г о класса либо переход к образу в следующем классе функций.

Р е ш е н и е задачи п о в ы ш е н и я надежности и помехоустойчивости комбинаци¬ о н н ы х устройств заключается в синтезе систем с самовосстановлением.

Эта реализация м о ж е т производиться с и с п о л ь з о в а н и е м методов т е о р и и ц и ф р о - в е к т о р н ы х множеств. С у щ н о с т ь этих методов заключается в примене¬ нии систематических с о в е р ш е н н ы х кодов, п о з в о л я ю щ и х не т о л ь к о исправлять кратковременные о ш и б к и определенной кратности, т.е. сбои в системе, но и осуществить резервирование отдельных элементов, блоков и всей системы.

Такое самовосстановление является кульминацией применения методов т е о р и и ц и ф р о - в е к т о р н ы х множеств, а системы, где реализуются такие воз¬ м о ж н о с т и, - это системы с самосознанием. П р и м е р о м самообнаружения непо¬ ладок в системе являются болевые сигналы в биологических системах, каким является человек, где болевые сигналы требуют вмешательства и определен¬ ного лечения. А н а л о г о м болевого сигнала для конечных автоматов является операция обнаружения и исправления ошибок. П р и ошибках, к о т о р ы е вызва¬ н ы к р а т к о в р е м е н н ы м и помехами, они в системе с самосознанием п о с т о я н н о исправляются. Е с л и происходит выход из строя элементов в такой системе, то здесь в о з м о ж н ы два варианта. П е р в ы й вариант поведения - это исправление длительно существующих о ш и б о к - система больна, и она лечится. В т о р о й вариант - о ш и б к и не исправляются, и это «летальный» исход.

Теории приходят и уходят, а примеры остаются И.М. Гельфанд Глава ПРИМЕРЫ СИНТЕЗА КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ В предыдущих главах приводились примеры синтеза комбинационных схем, но они в основном касались систем счисления, где используются много­ фазные и интегральные коды. В этих типах контролеспособных кодов нет деле­ ния на информационную и контрольную части, и поэтому синтез таких уст­ ройств одновременно решает проблему обнаружения и исправления ошибок.

Однако эти коды, которые являются естественными для электроприводов и многофазных систем энергоснабжения, пока не применяются в традиционных вычислительных устройствах. Поскольку теория многомерных цифро-век т о р н ы х множеств является, как показано выше, универсальной для синтеза л ю б ы х комбинационных схем, то л у ч ш и м подтверждением этого теоретически доказанного факта могут дополнительно служить примеры синтеза таких схем.

Для большей достоверности этого утверждения необходимо представить при­ меры, которые не решаются другими известными методами. Часть таких при­ меров приведена нами в [1-6].

В этих примерах показана, например, принципиальная возможность соз¬ дания многовходовых, с числом входов до (n + 1), где n - основание системы счисления, арифметических сумматоров и логических устройств управляемого быстродействия, вплоть до предельного возможного, как в двоичной, так и л ю б о й нетрадиционной позиционной системе счисления, а также то, что они могут строиться по принципу исправления одиночных о ш и б о к как внешнего, так и внутреннего происхождения при сочетании исправления ошибок с по¬ строением резервированных цифровых и логических систем.

Представленные в [1-6] примеры не в состоянии охватить всего спектра методов синтеза теории многомерных цифро-векторных множеств, что требует дополнительных подтверждений.

Углубляя и расширяя эти подтверждения, рассмотрим ещё более сложные примеры синтеза подобных устройств, что позволит дополнительно раскрыть все возможности представленных в первой главе алгоритмов синтеза двухзнач¬ ных логических функций.

Н у м е р а ц и я рисунков в этой главе не сквозная, а относится к конкретному примеру.

Пример 1. Синтез устройства исправления о д и н о ч н ы х ошибок двоичной системы счисления основания n = Для решения этой задачи выберем синтезированный в a ai третьей главе систематический код, где информационные разряды кода A ( a a, a, a ) связаны с эквивалентными аз 0 6 5 b 2 3 цифрами контрольной части кода X ( x x, x ) зависимостью, а4 | 7 Т 4 b 2 показанной на рис. 4.1.1. В соответствии с этим распределе­ 3 "6" ние эквивалентных цифр (0-15) информационной части кода, 4 а также этих ж е цифр (0-15) при одиночных ошибках в ин¬ формационных и контрольных разрядах кода будет опреде¬ Рис. 4.1. ляться рис. 4.1.2.

a A аз а ai X 0 6 7 0 11 11 11 12 13 14 Х1 0 0 11 1 5 14 5 8 9 14 11 14 5 14 Х 6 0 1 6 3 6 13 6 8 13 10 11 13 6 11 3 833 4563 8 8 3 8 13 14 Хз 0 1 2 7 12 7 7 i 12 9 10 11 12 12 12 2 9 2 2 4 5 2 7 9 9 2 9 12 9 14 1 1 10 1 4 1 6 7 10 1 10 10 12 13 10 1 1 4 4123 4 4 15 8 9 10 15 4 15 Рис. 4.1. ** *** * * * * * *** ** * * ** ** * * * * *** ** * * * * * ** * * * ** * * ** * * ** * * * * ** * * * * ** * * * * ** ** * * * ** * ** * * * ** * ** ** * * * * ** * * * * * ** * * ** ** ** * * * ** *** * * * ** * ** * * * * * *** * * * *** ** * * * * * **** * * * * ** ** * * ** * * * **** * * * * *** * * * * * *** * * * * ** ** ** * * * **** * * * * *** * * * * * ** * * * *** ** * * * ** * * * **** ** * * * ** ***** ** *** * ** * a' a' Рис. 4.1. Учитывая, что a i = 1 v 3 v... v 15, a = (2 v 3) v (6 v 7) v (10 v 11) v (14v 15), a = (4 v... v 7) v (12 v... v 15), a = (8 v... v 15), покрытие геометрических 3 образов цифровых множеств, подчиненных э т и м соотношениям в пространстве координат A (a, a, a, a ) X (x, x, x ), определяет исправленные информаци­ 1 2 3 4 1 2 онные сигналы a', a', a', a' (рис.4.1.3). Отдельно выделяя цифровые подмно¬ i 2 3 жества этих геометрических образов в координатах a1, a2, x1, x2, м о ж н о предста¬ вить геометрические образы информационных разрядов в системе координат a3, a, x. Геометрические образы сигналов a', a', a', a' в системе координат 4 3 i 2 3 a, a, x приведены на рис.4.1.4, где э т и подмножества размещены в ячейках 3 4 этого пространства и обозначены цифрами 1 - 12.

a a 1 2 3 4 6 7 8 9 12 10 11 11 10 12 x a a a' a'i 4 3 2 1 8 7 6 5 11 10 12 9 9 12 10 П о д м н о ж е с т в а 1-4 сигнала a' и подмножества 5-8 сигнала a' независи¬ i м ы е в пределах своих сигналов, а подмножества сигналов a 3, a 4 - зависимые (12 з 11, 9 з 10, 10 з 9, Ц з 12;

12 з 9, П з 10, 10 з 11, 9 з 12). С учетом этого несложно представить логические выражения исправленных сигналов:

a' = 1a a x v 1a a x v 2 a a x v 2 a a x v 3a a x v 3a a x v i s 4 s 3 4 3 3 4 s 3 4 3 3 4 3 4 v 4 a3 a4 x3 v 4 as a4 x3, a' = 5 a a x v 5 a a x v 6 a a x v 6 a a x v 7a a x v 7a a x v 2 3 4 s 3 4 3 3 4 s 3 4 3 s 4 s 3 4 v 8a a x v 8a a x, 3 4 s 3 4 a' = 9 a x v 12 a a xs v 10 a xs v 11 a a xs v 11 a x v 10 a a x v 3 4 s 3 4 4 3 4 4 3 3 4 v 12 a x v 9 a a x, 4 3 3 4 a' = 11 a x v 10 a v 12 a a x v 9 a a x v 9 a x v 12 a x v 4 s 3 3 s 4 s 3 4 s s 3 3 v 10 a a x v 11 a a x. (4.1.1) s 4 s s 4 s Представим подмножества 1-12 и 9-12 составленными из более мелких подмножеств, логическая запись которых проста и очевидна из их геометриче¬ ских образов:

1 v V V :

aia2 v xiX2a2v aiX2v a i x i, ААА *i* ft aia2 v XiX2a2v aiX2v a i x i, 2 V V V :

ft ft ft ft ft ft ft ft ft ft 3 V v V :

aia2 v XiX2a2v aiX2v a i X i, * * * 4 V V V :

aia2 v xiX2a2v aiX2v a i x i, *i* it it * * А *| I* i* * 5 it it V V V :

aia2 v X2a2v aiXiX2v a 2 X ** b i*i*l*l *|*| it it * I* a. ja 6 *i* V V V aia2 v X2a2v a2Xiv a i XiX2, it it it it ** _ *. _ it it *|* it it it it it it it it it it it ** 7 V V V :

aia2 v X2a2v aiXiX2v a2Xi, it it *|*| ** ** it it it it 8 ** * *|* V V V aia2 v X2a2v a2Xiv aiXiX2, *|* it it aia2XiX2v aia2XiX2v it it 9 V V it it it it v aia2XiX2, v aia2XiX it it it aia2XiX2 v aia2XiX2v 11 V V v aia2XiX v aia2XiX2, it it it it it it it it it it it it it it it a X2v a^x v x x v 2 2 i m-v *i* it it 9 V V V V V x i X 2 V aia2V aia2, * it it *i* it it it it it it it it it it it it it it it it it it it it axvaxv xxv 2 2 2 2 i it it it it 10 V V V V V it it it it v x x va a v a a, i 2 i 2 i it it it it it it it it it it it it it it ** _a x v a x v x x v 2 2 2 2 i 11 it it it it it it it it * I* V V V V V it it it it it it it it it it v x x va a v a a, i 2 i 2 i it it it it it it it it it it.axvaxv xxv 2 2 2 2 i it it it it it it it it it it 12 V V V V V it it it it it it it it it it it it v x x v aa v aa.

i 2 i 2 i it it it it it it it (4.1.2) Поскольку переход о т геометрических образов элементарных подмножеств к записи их логических в ы р а ж е н и й прост и не требует дополнительных поясне¬ ний, в дальнейшем не будем их приводить.

П р е д с т а в л е н н ы й здесь вариант исправления о ш и б о к на примере информа¬ ционной части систематического кода использует алгоритм многоуровневого синтеза, когда покрытие геометрических образов начинается с рассмотрения подмножеств в м л а д ш и х ячейках цифрового пространства с последовательным переходом к его старшим ячейкам, учитывая п р и этом соответствующие по¬ глощения одних подмножеств другими. Такой вариант алгоритма синтеза по¬ зволяет минимизировать аппаратурные затраты з а счет определенного сниже¬ ния быстродействия логической операции исправления ошибок.

Д л я максимального быстродействия этой операции необходимо использо¬ вать вариант двухуровневого синтеза, когда покрытие геометрических образов начинается с рассмотрения подмножеств в самых старших ячейках пространст¬ ва с п о с л е д у ю щ и м переходом к м л а д ш и м ячейкам.

П р о д о л ж и м или точнее начнем сначала рассмотрение нашего примера для двухуровневого синтеза, но прежде покажем, как необходимо переходить к геометрическим образам исправленных разрядов систематического кода непо¬ средственно от известных соотношений цифр его и н ф о р м а ц и о н н о й и контроль¬ ной частей.

Д л я этого обратимся к рис. 4.1.4, где показан переход от соотношений ин¬ ф о р м а ц и о н н ы х и контрольных цифр систематического кода непосредственно к геометрическим образам сигналов к о д и р у ю щ и х и д е к о д и р у ю щ и х блоков.

Учитывая, что x i = 1 v 3 v 5 v 7, x2 = 2 v 3 v 6 v 7, xs = 4 v 5 v 6 v 7, непо¬ средственно строятся их геометрические образы (рис. 4.1.4, а ) в двухмерном пространстве координат A ( a, a ), A ( a, a ), а по этим образам определяются i i 2 2 s логические зависимости x i = a2asa4 v a2asa4 v a2asa4 v a2asa4;

x2 = aiasa4 v aiasa4 v aiasa4 v aiasa4;

(4.1.3) xs = asaia2 v asaia2 v asaia2 v a s a ^, которые определяют выполнение кодирующего устройства для нашего систе¬ матического кода.

П е р в ы й этап синтеза заключается в том, что развернутые в д в у х м е р н о м ц и ф р о в о м пространстве координат A ( a - a ), X ( x, x, x ) с о о т н о ш е н и я инфор­ i 4 i 2 s м а ц и о н н ы х и контрольных ц и ф р о в ы х сигналов (см. рис. 4.1.4, б) позволяют определить ячейки этого пространства, где размещаются штатные ц и ф р о в ы е сигналы (безошибочные) для каждого из разрядов x, x, x, a, a, a, a i 2 s i 2 s (см. рис. 4.1.4, в - и).

Э т и ячейки определяются в нашем случае для разрядов x, x, x мыслен­ i 2 s н ы м и горизонтальными линиями, а для разрядов a, a, a, a - вертикальными, i 2 s которые соединяют сигналы этих разрядов с ячейками, о п р е д е л я ю щ и м и соот¬ ношения и н ф о р м а ц и о н н ы х и контрольных ц и ф р о в ы х сигналов систематическо¬ го кода.

Н а рис. 4.1.4, б - в э т и соединения показаны пунктиром на примере разря­ да x, где горизонтальные линии соединяют ц и ф р о в ы е сигналы разряда x с i i соответствующими ячейками цифрового пространства.

П о с л е определения штатных ячеек для всех ц и ф р о в ы х сигналов разрядов систематического кода, которые в ы д е л е н ы красным цветом, наступает второй этап синтеза, где определяются ячейки с о д и н о ч н ы м и о ш и б к а м и и одновремен¬ но выполняется процедура покрытия геометрических образов исправленных сигналов разрядов.

Н а э т о м этапе используются д а н н ы е табл. 3.1.1, где достаточно подробно изложена процедура определения ячеек пространства с о д и н о ч н ы м и ошибками.

Э т и ячейки на рис. 4.1.4, в - и отмечены звездочками черного цвета.

а- ai • аз 0 6 5 3 ** ** ** **** ** * * * * 7 1 2 а4 | I 3 5 6 0 ** * * ** I4 2 1 7 ** * * * * Xi X2 X а) а аз а ai 012345678 9 0* * xi ** * * * * * * * * **. _ *- * * X 2 1-1- * * * * * * * * 2 * * 77. --- - * - - - - ---- -- - * * * * * ** ** * [-3- - -- -- хз | \ * * * * 4 — — — —* — — * — — — — —— — —** ——————** — — —— — —Ч Г —* —————— * —— —— — — * * * •-.

.. -• ---- -- --... -- -- * *... ** * * *** * -- --- [-7 * * * б) в) X'i ** ** ** * * * * * **** *** * ** * * * * * * ***** *** **** * * * * ** * ** ** ** **** * * * ** * * * ***** * ***** ** * ***** ** ** * * ****** ***** * * * * * * ** ** *** **** * *** *** * *** ** * * * * х'з г) д) X' ** * ** * * ** * * * * * * * ** * ** ** * *** * * * * ** *** * ** * ** ** * * * *** * ** * *** ** * * * * ** * ** * * * * *** ** * * * * * ** ** * * ** ** * * * * * ** * * * * * *** ** * * * * ** * ** * ** * ** * * * * * ж) a' i е) а' * * ** * * * * ** ** * * * * * * * ** ** * ** * * ** * * ** * * ** ** * ** * ** * * * * * * * ** * ** * ** ** * ** ** ** ** * ** * ** * * * * * * * * ** * ** ** ** * * * ** ** * * * * ** ** * * * ** *** ** ** * * ** * * * и) а'з а' Рис. 4.1. a Х'1 a a ai 012345678 9 xi * ** ** * * I * * I* * ** * * * * ** * ** * ** ** ** * хз * * ** * * *** ** * * * ** ** ** ** * * * ** * ** * * * * * ** * ** ** ** * * * * **** **** **** ** * * * * * * *** * * * ** * ** **** ** * * * * * * * *** * * *** **** ** * * * * * **** * * *** **** ** * * * * * **** * * * * ** * * * * —* — — —* * — —* —* — * * * * ***** **** ** * * * * * * * * *** * * **** * *z*z z*z*z* z zz * * * ——— ————— ——— —— — — — * *** * ** ***** * * * * * * ***** ***** ** * * * * * * * * * *** * ** ***** * * * * Рис. 4.1. x' = a a x x v a1a2x1x2 v a1a2x1x2 v a1a2x1x2 v 1 1 1 1 v axaa v a2x1a3a4 v a2x1a3a4 v a2x1 a3a4 v 2 1 3 vaxxa v axxa v axxa v a1 x1 x3a4 v 1 1 3 4 1 1 3 1 1 3 v a a x x a a v a a x x3a a v a a x x3a a v a a x x3a a v 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 2 3 (4.1.4) v aaxxaa v aaxxaa v aaxxaa v aaxxaa.

1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 а X'2 аз а ai 012345678 9 xi * * * * I ** ** * * I_ * *_ _ *_ _ * *_ _ * _ _ _ хз * * * * *_ _ * * * * * _ * _ _ *_ _ *_ _ * *_ _ _ * * * * * * * _ _ * _ _ _ _ * _ _ * * * * _ _* _ * _ _ * _ _ _ _ _ _* _ _ _ _ _ _ * * _ _ _ _ _ * _* _ _ _ _ _ _ * _* _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ * _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Рис. 4.1. x'2= aia2xix2 v aia2xix2 v aia2xix2 v aia2xix2 v xix2 asxs v v xix2 asxs v xix2 asxs v xix2 asxs v v aa xxaa vaa xxaa v aaxxaa v aaxxaa v i 2 i s s 4 i 2 i s s 4 i 2 i s s 4 i 2 i s s v aa xxaa vaa xxaa v aaxxaa v aaxxaa v i 2 i s s 4 i 2 i s s i 2 i s s 4 i 2 i s s v a x x^a v axxa v (4.1.5) a x x a.

22s a2x2xsa4 v 2 2 4 2 2 s a Х3 a a ai 012345678 9 Xi X Хз * * _ _ _ _ ** * ** * ** ** * * *** * * * * ** * * * * * _ _ ** * * * * *** * * ** _ _ * *** * * * * * * ** _ _ ** * * *, ( * _ * * ** ** * **** * ** ** _ * * ** *** * **** * _ * * ** ** * ** * * _ _ _ _ * * _ * _ * _ * * * * _ _ * _ * * * 4=4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Рис. 4.1. x' = a a x x a a v aaxxaa v aaxxaa v aaxxaa v 3 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 v aaxxaa vaaxxaa v aaxxaa v aaxxaa v 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 3 v axxa v a^x x a v axxa v a2x2x3a4 v 2 2 3 4 2 3 4 2 2 3 v x1x2 x3a3 v x1x2 x3a3 v x1x2 x3a3 v x1x2 x3a3 v (4.1.6) a a x a.

v a1a2x3a3 v a1a2x3a3 v a1a2x3a3 v a a'1 a a ai 01 2345678 9 Xi ** ** i:

* _ * *_ _ *_ _ _ _ _ * * ** * _* _ _ _ _ _ _ _ * Х з * * ** ** ** _ _ * *_ _ _ _ _ _ * * * * * * _ _ _ _ * * * * * _ _ _ _ _ _ _ ** _ _ _ _ * *_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ * * * _ _* _ _ _ _ * *_ _ _ _ _ _ _ _ * _ _ _ _ _ *_ _ _ _ _ * * _ _ _ _* _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ * * *_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ * * * * f^l _ _ _ _ _ _ _ * * * f^l * _ _ _ _ _ _ *_ Рис. 4.1. a'1= a1a2x1x2 v a1a2x1x2 v a1a2x1x2 v a1a2x1x2 v axaa v axaa v axaa v a1x2a3a4 v 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 a1a2x3a3 v a1a2x3a3 v a1a2xsa3 v a1a2x3a3 v a2x1x2x3a3a4 v a2x1x2x3a3a4 v v a2x1x2x3a3a4 v a2x1x2x3a3a4 v a2x1x2x3a3a4 v a2x^x3a3a4. (4.1.7) v a2x1x2x3a3a4 v a2x1x2x3a3a4 v a a' a ai 012345678 9 Xi * ** * * ** * X _* _ _ _ ** * _ * *_ _ *_ _ _ _ _ * хз _ * * * * * * * * _** * * _ _ _ _ _ * ** ** ** * * * * f^l * *_ _ _ _ _ _ _ _ * * * * f^l * * _* * *_ _ _ _ _ _ * * * _ *_ _ _ _ _ _ * _ _* _ _ _ _ _ * _ _* _ *_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Рис. 4.1. aia2xix2 v aia2xix2 v a'2= aia2xix2 v aia2xix2 v aaxa v aaxa v va a x a v aaxa v i 2 s 4 i 2 s i 2 s s i 2 s s v a x x x a a v ax x x a a v aixix2xsasa4 v aixix2xsasa4 v i i 2 s s 4 i i 2 s s v a x x x a a v ax x x a a v axxxaa v axxxaa v i i 2 s s 4 i i 2 s s 4 i i 2 s s 4 i i 2 s s (4.1.8) v a x x^a v axxa v axxa v axxa.

2 2 4 2 2 s 4 2 2 s 4 2 2 s a а'з a ai 0123456789 Xi ** ** * * _* _ _* _ _ _ * * ** _ _ * * * * * * * * ** * * * хз * ** * * * * * * * * * * * ** * * _ _** *_ _ _ _ _ _ ** i! * * * * _ **_ _ _ _ _ * ** * * * *_ _ _ _ ** * * *_ _ _ _ _ * _ * * _ _ _ * **, _ * * * _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ * * * * _ * * _ _ _ _, _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,_, _ _ _ _,, _, (, ( _ _ _ _ _ _ _ _ Рис. 4.1. a' = a a x x x a v aaxxxa v aaxxxa v aaxxxa v s i 2 i 2 s 4 i 2 i 2 s 4 i 2 i 2 s 4 i 2 i 2 s v a a x x x a v aa x x x a v aaxxxa v aaxxxa v i 2 i 2 s 4 i 2 i 2 s 4 i 2 i 2 s 4 i 2 i 2 s v axaa v axaa v axaa v axaa v 2 i s 4 2 i s 4 2 i s 4 2 i s v xix2xsas v xix2x3as v x^xsas v xix2xsas v v a^xsas v aia2xsas v aia^xsas v a^xsas. (4.1.9) a a' a a ai 012345678 9 Xi ** ** _* _ *****, _ ***** *, ( _** * _ _ _ *** Х з **** _ *_ _ _ ** *** _ * _** _ _ *** _ _ **** ** ** ** _ *_ *_ _ _* _ _ ** * _ *_ *_ *_ _ _ _ _ ** _ *_ _ _ * * _ _ *_ _ _ _ _ * * *_ * _ *_ _ _ _ _ * * ——————_ — _ _ _— — ——— ———— — —— *— _ _*_ _ _ ————_ ———* _ _ ** — — — — — _— — ———— —— * _ *_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Рис. 4.1. a' = a a x x x3a v aaxxxa v aaxxxa v a a x x x3a v 4 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 v a1a2x1x2x3a3 v a 1a2x1x2x3a3 v a1a2x1x2x3a3 v a1a2x1x2x3a3 v v axaa v axaa v a1x2a3a4 v a1 x2a3a4 v 1 2 3 4 1 2 3 v x1x2x3a3 v x1x2x3a3 v x1x2x3a3 v x1x2x3a3 v (4.1.10) v a1a2x3a3 v a1a2x3a3 v a1a2x3a3 v a a x a.

П о к р ы т и е геометрических образов цифровых сигналов разрядов x ', x ', x ', 1 2 a', a', a', a' представлено на рис. 4.1.5 - 4.1.11, где это реализовано движением 1 2 3 «сверху вниз». Д л я большей прозрачности синтеза в каждом из этих рисунков приведено два столбца геометрических образов. В первом левом столбце пока¬ зано последовательное покрытие подмножествами конкретного геометрическо¬ го образа цифровых сигналов разрядов систематического кода, а в правом изображены геометрические образы п о к р ы в а ю щ и х их подмножеств, где их ячейки отмечены знаком ~. В результате покрытия конкретного геометрическо¬ го образа подмножеством, р а с п о л о ж е н н ы м с н и м на одной горизонтали, знак звездочки в геометрическом образе заменяется знаком ~, а измененный таким образом геометрический образ переходит во все нижние его представления первого столбца. Это движение осуществляется до тех пор, пока в геометриче­ ском образе все звездочки не будут з а м е н е н ы знаком ~.

В первом столбце всех подмножеств, которые в о б щ е м случае я в л я ю т с я э л е м е н т а р н ы м и и поэтому весьма прозрачными для записи в аналитическом виде, представлены элементы логических сумм для аналитической записи кон¬ кретного геометрического образа цифровых сигналов исправленных разрядов систематического кода.

Логические выражения (4.1.4) - (4.1.10) полностью определяют выполне¬ ние двухуровневого декодирующего устройства, обладающего максимально в о з м о ж н ы м быстродействием.

Рассмотрев этот пример, видим что его м о ж н о значительно упростить. И з геометрических образов исправленных сигналов разрядов a'1, a'2, a'3, представ¬ л е н н ы х на с. 206, видно, что соответствующими м ы с л е н н ы м и поворотами от¬ носительно конкретных осей симметрии цифрового пространства м о ж н о полу¬ чить геометрические образы сигналов разрядов x'1, x'2, x'3.

Д л я разрядов a', a' однократные повороты относительно оси 2 двухмерно­ 1 го цифрового пространства координат A ( a, a ), X ( x, x ) позволяют получить 1 2 1 геометрические образы сигналов контрольных разрядов x'1, x'2. Э т и преобразо¬ вания распространяются и на соответствующие логические функции, где долж¬ н ы быть осуществлены следующие замены:

a\(a a2, a3, a4, x x2, x'1 = a'1(x1, x2, a3, a4, a a2, x3);

b b b a'2(a1, a2, a3, a4, x1, x2, - x'2 = a'2(x1, x2, a3, a4, a1, a2, x3).

Д л я разряда a'3 последовательные повороты первоначально относительно оси 2 двухмерного цифрового пространства координат A(a1, a2, a3), X(x1, x2, a3) выполняются следующей заменой:

a'3(a1, a2, a3, a4, x1, x2, - x*3 = a'3(x1, x2, x3, a4, a1, a2, и дают п р о м е ж у т о ч н ы й геометрический образ логической функции, а второй поворот относительно оси 2 двухмерного цифрового пространства координат a1, a2 либо координат x1, x2 позволяет получить геометрический образ исправ¬ ленного сигнала контрольного разряда x'3.

Э т и двойные преобразования представляются с л е д у ю щ и м и схемами замен координат:

a's(ai, a2, a, a, x i, x2, x ) - x * = a' (xi, x2, x, a, ai, a2, a ) - x ' = x * (x2, x i, x, 3 4 3 3 3 3 4 3 3 3 f a, ai, a2, либо a 3(a a2, a3, a4, x i, x2, - x*3 = a'3 (xi, x2, x3, a4, ai, a2, a3) 4 b - x'3= x*3 (xi, x2, x3, a4, a2, ai, a3), что комплексно представляется двумя вариантами:

Вариант 1 x -» a ai x2 a2 xi x2 - » a i i a3 x r Вариант 2 a -» x x i - » a2 x2 - » ai a2 x i i Э т и геометрические преобразования выглядят с л е д у ю щ и м образом:

** ** ** * ** ** ** * * * * * * ** * ** * * * * * ** * * * * * * *** * ** ** * * * * * ** ** * * * * * ** ** * * * ** ** * ** * ** * * * * * * ** ** * * * * ** * ** * * ** ** * * * *** * ** * * * a'i * a * * ** * * * * ** * * * * * I x'i I x' ** ** ** * * **** * **** * * * * * * ******* *** **** * * * * ** * * ** ** **** ** ****** * * * * * * ** ** ** ** * * *** * * *** * * * * * * * *f ****** **** *** * x' i * * **** * * ** ** x2 * ***** * ****** * * * ** ** * ** ** * * * * *** * ** * * * * * * *** * ** * x* * * * * ** * * * * * ** ** * * ** ** * * ** ** * * * * * * * * * * * ** * * ** *** ** * * ** * * * * * ** ** * ** ** *** * * * * * * * a3 * * *** *** * ** **** * * ** * * * * * I x' ** * * * * * * ** * ** ** * * _ _** * ** * * *** ** **** *** * * *** *** *** ** ** * *** **** * ***** * Пример 2. Синтез устройства исправления о д и н о ч н ы х ошибок двоичной системы счисления для л ю б ы х синтезированных кодов основания n = П р и м е р ы синтеза быстродействующих арифметических и логических уст­ ройств, использующие методы многомерных ц и ф р о в ы х множеств и представ­ ленные в [ 1 - 3], относятся к методам т о ч н ы х математических моделей и не требуют дополнительных пояснений. Другие примеры в [4-6], р е ш а ю щ и е зада¬ чи исправления всех одиночных о ш и б о к в системах счисления основания n = 16, опираются на эвристический метод решения задачи, который обычно противопоставляется в математике формальным методам решения, опираю¬ щ и м с я на точные математические модели.

Известно, что использование эвристик сокращает время решения задачи по сравнению с методом полного направленного перебора возможных алгоритмов и относится к множеству д о п у с т и м ы х решений. П о д о б н ы м образом нами было синтезировано геометрическим эвристическим способом 18 кодов, исправляю¬ щ и х одиночные о ш и б к и в л ю б ы х логических устройствах и блоках м а ш и н н о й арифметики. Несмотря на принятые нами в этом синтезе ограничения, которые заключаются в использовании здесь только дружественных кодов в информа¬ ционной и контрольной его частях, на основе этих примеров можно сделать следующие о б о б щ а ю щ и е выводы: для устройств исправления одиночных оши¬ бок все 18 кодов полностью равноценны в смысле затрат оборудования и быст¬ родействия;

при схемной реализации конкретной логической или математиче¬ ской функции в этих кодах имеется один или несколько кодов, позволяющих получить решения, оптимальные по затратам оборудования.

Следует заметить, что в этих синтезированных нами кодах использована многозначная логика, когда в ячейках многомерного цифрового пространства для информационной части кода располагаются не логические значения нуль (0*) или единица (1*), а цифровые значения 0-7 контрольной его части. Тем с а м ы м получается геометрический образ логической функции синтезированно¬ го систематического кода в четырехмерном цифро-векторном пространстве.

Для решения задачи синтеза устройства исправления одиночных о ш и б о к любого систематического кода основания n =2 нужно определить все эти коды.

Н е о б х о д и м о отметить, что уже на начальных этапах исследований совершен¬ ных кодов высказывалось мнение [7], что «имеются некоторые результаты, показывающие, что совершенных кодов мало, и кажется вполне правдоподоб¬ ным, что не существует других совершенных кодов», кроме известных в это время. Ошибочность этого утверждения представим в данном примере.

Очевидно, что к геометрическому образу л ю б о г о из уже известных кодов м о ж н о применить мысленные повороты относительно осей симметрии цифро векторного пространства и получить, таким образом, все другие эквивалентные коды, исправляющие, например, все одиночные ошибки.

В первой главе было выведено число возможных положений геометриче­ ских образов логических функций s = 2 i !, г д е i - м е р н о с т ь ц и ф р о в о г о п р о ­ ;

странства, с о в п а д а ю щ а я с ч и с л о м разрядов двоичного кода.

Для поворотов относительно осей симметрии только информацион­ ной части систематического кода i = 4 получается число возможных п о л о ж е н и й г е о м е т р и ч е с к о г о о б р а з а s = 384, ч т о в п о л н е о б о з р и м о, т о ­ г д а к а к д л я с л е д у ю щ е г о к о д а, и с п р а в л я ю щ е г о о д и н о ч н ы е о ш и б к и, i = э т о ч и с л о s n = 81 749 606 400 - о г р о м н о и н е о б о з р и м о. П р и н а л и ч и и симметрии исходной фигуры, что в нашем случае здесь имеет место, k число этих геометрических образов будет у м е н ь ш е н о до значения s = 2 i!, ;

где k - число разрядов контрольной части систематического кода. Тогда s = 192, s n = 638 668 800, ч т о т а к ж е д л я в т о р о г о с л у ч а я н е о б о з р и м о.

Дополнительно выполняя повороты относительно осей симметрии контрольной части кода, число кодов, исправляющих одиночные ошибки, k б у д е т у в е л и ч е н о в 2 k! р а з, ч т о н е п р е д с т а в л я е т с я в о з м о ж н ы м в с е и х рас¬ смотреть.

Поэтому представим коды, исправляющие одиночные ошибки для основания системы счисления n = 1 6, получаемые только поворотами относительно осей симметрии информационной части систематического кода.

О б р а т и м с я к п е р в о й г л а в е, г д е в п. 1.2 п р е д с т а в л е н а п р о ц е д у р а фор¬ мирования перестановок, в том числе и для четырех операндов, в качестве которых будем рассматривать разряды ai, a, a, a информационной части 2 3 с и с т е м а т и ч е с к о г о к о д а, и э т и р а з р я д ы б у д е м з а п и с ы в а т ь и х и н д е к с а м и 1, a, a4 = 1, 2, 3, 4.

2, 3, 4, т.е. a i, В с о о т в е т с т в и и с э т о й п р о ц е д у р о й в т а б л. 4.2.1 п р е д с т а в л е н ы в с е по¬ ложения координат четырехмерного цифрового пространства, которые п о л у ч а ю т с я м ы с л е н н ы м и п о в о р о т а м и относительно осей его симметрии, где первая половина первого столбца этой таблицы составлена, исходя т о л ь к о и з п е р е с т а н о в о к е г о к о о р д и н а т ( р а з р я д о в 1, 2, 3, 4), а д р у г и е столб¬ ц ы п е р в о й п о л о в и н ы образуются п е р е в о д о м одного или двух координат из прямого кода в обратный. При этом столбцы этой таблицы обозначены ц и ф р а м и 0 - 7, с т р о к и - 0-47. В т о р а я ч а с т ь в с е х с т о л б ц о в ( с т р о к и п о д но¬ м е р а м и 23-47) т а б л и ц ы получается п е р е в о д о м координат пространства из прямого кода в обратный, а для двоичного кода это - простое инвертиро¬ вание всех его разрядов.

Выбрав в качестве исходного первый код, например с координатами 0, 15, т а б л. 4.2.1, 4.2.2 и о с у щ е с т в л я я м ы с л е н н ы е п о в о р о т ы о т н о с и т е л ь н о и н ф о р м а ц и о н н ы х к о о р д и н а т, п о л у ч и м р я д к о д о в, и с п р а в л я ю щ и х одиноч¬ н ы е о ш и б к и о с н о в а н и я n = 16. Ц в е т н о й ш р и ф т к о д о в в э т о й т а б л и ц е соот¬ в е т с т в у е т 18 к о д а м, п о л у ч е н н ы м н а м и э в р и с т и ч е с к и м м е т о д о м.

Таблица 4.2. 0 12 3 4 5 6 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 11223 3 1234 1 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 1 34 23 21 3421 2 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 11 32 4 321 4 321 3 4321 4321 4321 4321 4321 21 43 43 2 1 43 2 4 1 324 1 324 1 3 2 4 1 3 2 4 11332244 1324 5 23 1 4 23 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 2 31 31 231 4 231 6 31 24 31 24 3 1 2 4 3 1 2 4 3 13 1 2 24 31 24 31 7 423 1 423 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 32 3 41 423 1 423 8 1 432 1 432 1 432 1 432 1 432 14 1432 9 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 34 3 21 243 1 243 10 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 11 34 2 341 2 341 11 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 13 22 4 1 23 41 12 1 243 1 243 1 243 1 243 1 243 1 243 1 243 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 214 3 2 1 43 21 13 21 43 21 3 24 1 3 24 1 3 324 1 324 1 324 14 3241 4 3 1 2 4 3 1 2 44 3 1 2 4 3 1 2 431 15 43 1 2 43 1 16 1 342 1 342 1 342 1 342 1 342 1 342 1 342 1 17 2341 2341 2341 2341 2 23 4 1 23 4 1 23 4 18 31 42 31 42 31 42 31 42 3 3142 3142 19 421 3 421 3 421 3 421 3 4 42 1 3 421 3 421 20 1 423 1 423 1 423 1 423 1 423 1 423 1 423 1 21 241 3 241 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 24 1 3 2 4 1 3 241 22 3 421 3 421 3 421 3 421 3 342 1 342 1 342 23 41 32 41 32 41 32 41 32 41 32 41 32 41 32 41 24 1 23 4 123 4 1 23 4 1 23 4 1 23 4 123 4 123 4 123 25 213 4 213 4 2 1 3 4213 4 213 4 21 3 4213 4 213 3214 3214 321 4 321 4 3214 321 4 321 4 43 2 1 4321 43 2 1 43 2 1 43 2 1 4321 4321 28 1324 1324 1 324 1324 1324 1324 1324 231 4 2 3 1 423 1 4 231 4 231 4 2 3 1 42 3 1 42 3 1 30 3 124 3 124 3 1 24 3124 3 124 3 1 24 3 12 4 3 423 1 423 1 423 1 423 1 423 1 423 1 423 1 423 32 1 43 2 143 2 1432 1 43 2 1 43 2 1432 143 2 143 243 1 243 1 243 1 243 1 243 1 243 1 243 1 243 3412 3412 341 2 3412 3412 341 2 3412 41 35 4123 4123 4 1 23 412 3 4123 41 23 1366 1 243 1243 1 243 1 243 1 243 1243 1243 37 2143 2143 2 1 43 214 3 2143 2 1 43 214 3 324 1 324 1 324 1 324 1 324 1 324 1 324 1 324 431 2 4 3 1 24 3 1 2 431 2 431 2 4 3 1 24 3 1 24 3 1 40 1342 1342 1342 1342 1342 1342 1342 23 4 1 2341 23 4 1 23 4 1 23 4 1 2341 2341 42 3 142 3 142 3 1 42 3142 3 142 3 1 42 3142 3 42 1 3 421 3 421 3 4 2 1 3| 421 3 421 3 421 3 421 44 1 423 1423 1 423 1 423 1 423 1423 1423 24 1 3 241 3 2 4 1 3 24 1 3 24 1 3 24 1 3241 3 241 342 1 342 1 342 1 342 1 342 1 342 1 342 1 342 47 413 2 413 2 4 1 3 2413 2 413 2 41 3 2413 2 413 Р е з у л ь т а т ы э т и х п р е о б р а з о в а н и й с в е д е н ы в т а б л. 4.2.2, г д е п о в т о р н о е получение кодов в результате соответствующего поворота отмечено за­ темненной клеткой цифрового пространства координат таблицы. Анало г и ч н о о т м е ч е н ы к о о р д и н а т ы я ч е е к т а б л. 4.2.1, с о в е р ш а е м ы е п о с л е запол¬ н е н и я т а б л. 4.2.2.

И з т а б л. 4.2.2 с л е д у е т, ч т о ч и с л о к о д о в, и с п р а в л я ю щ и х о д и н о ч н ы е о ш и б к и, в н а ш е м с л у ч а е р а в н о 192.

Таблица 4.2. 0 1 2 3 4 5 6 0 7 34 7 0 4 3 3 4 0752616152437025161 5 2 61 2 5 1 6 6 1 5207343407162570434 6 1 52 1 6 2 5 5 2 6134070734251643707 3 4 07 4 3 7 0 0 7 346152526170431625 2 5 0 3 74 3 0 4 7 7 5 6 21 6 5 1 2 2 1 6 5 12 5 6 2 1 1 7 3 0 6 5 1 2 5 6 2 1 7 4 0 3 5 6 2 1 _5_ _2_ 3 0 47 0 3 7 4 35 42 2 53 _24_ _7_J _ _4_ 56 5 3 65 6 3 21 2 12 17 4 0 7 52 7 0 2 5 5 20734616134257043161 3 4 61 4 3 1 6 6 13407525207164370252 4 6 1 34 1 6 4 3 3 46152070752431625707 5 2 07 2 5 7 0 0 75261343461702516434 3 0 3 56 3 0 6 5 7 4 21 4 7 1 2 2 6 5 30 5 6 0 3 3 1 2 47 2 1 7 4 4 7 1 2 6 5 3 0 7 4 2 1 7 4 2 1 5 6 0 3 4 J7_J _ _2_ 7 0 5 72 5 0 2 7 7 2053641631427506314 3 6 41 6 3 1 4 4 1360572502714635027 6 6 3 14 3 6 4 1 1 4635027057241360572 5 0 27 0 5 7 2 2 7 5 0 6 3 1 4 3 6 4 1 7 2 0 5 3 6 4 1 J _ J _ _4_ 0 6 35 6 0 5 3 3 506536071425360 3 506 5 3 60 3 5 0 6 6 0530635241706356 0 53 7 7 1 42 1 7 2 4 4 2712417063524174271 2 4 17 4 2 7 1 1 7 2 4 7 1 4 2 5 3 6 0 7 1 4 2 17 2 4 5 _0_ 0 7 61 7 0 1 6 6 10752343452167025434 5 2 34 2 5 4 3 3 45207616107432570161 8 3 4 52 4 3 2 5 5 23461070761254316707 0 6 1 07 1 6 7 0 0 76134525234701643252 63 6 36 3 0 9 14 12 7 _4_J _ 4 7 2 1 _5_ J0_J_ 65 12 10 56 21 J74_J _ 0 6 71 6 0 1 7 7 3 5 42 5 3 2 4 4 11 5 3 24 3 5 4 2 2 6 0 17 0 6 7 1 1 Продолжение табл.


4.2. 0 1 2 3 4 5 6 0 7 34 7 0 4 3 3 4 0761525261437016252 5 1 6 1 52 1 6 2 5 5 2 6107343407251670434 3 7 5 2 61 2 5 1 6 6 1 5234070734162543707 0 4 3 4 07 4 3 7 0 0 7 345261615270432516 1 6 2 5 1 0 3 74 3 0 4 7 7 3 7 6 5 12 5 6 2 1 1 13 0 4 5 6 21 6 5 1 2 2 6 2 3 0 47 0 3 7 4 4 6 0 5 6 3 5 0 7 2 4 1 63 5 0 3 6 0 5 7 1 0 5 36 5 0 6 3 3 0 6 3 0 5 3 6 1 4 2 7 05 3 6 5 0 6 3 1 7 6 3 50 3 6 0 5 5 14 1 7 2 1 4 2 7 0 5 3 6 14 2 7 4 1 7 2 0 6 7 2 41 2 7 1 4 4 7 1 4 7 2 4 1 6 3 5 0 72 4 1 2 7 1 4 6 0 1 4 27 4 1 7 2 2 306712435603 56 3 0 0 6 53 6 0 3 5 47106534217421 4 7 7 1 24 1 7 4 2 035421706530 65 0 3 3 5 60 5 3 0 6 742356071247 12 7 4 4 2 17 2 4 7 1 0 7 52 7 0 2 5 5 20761343461257016434 3 1 6 1 34 1 6 4 3 3 46107525207431670252 5 7 3 4 61 4 3 1 6 6 13452070752164325707 0 2 5 2 07 2 5 7 0 0 75234616134702543161 6 4 7 1 0 3 56 3 0 6 5 5 603653074216 5 30 5 6 1 7 6 5 30 5 6 0 3 3 065035612470 3 56 3 0 17 0 6 7 4 21 4 7 1 2 2 1 7 4 1 2 4 7 0 3 5 6 1 2 4 7 2 17 6 0 1 2 47 2 1 7 4 4 7 1 2 7 4 2 1 6 5 3 0 7 4 2 1 4 7 3 1 0 5 72 5 0 2 7 7 2056314364127503 6 5 7 6 3 14 3 6 4 1 1 18 0 2 3 6 41 6 3 1 4 4 1365027057214630 6 4 5 0 27 0 5 7 2 2 750364163147 2 0 56 3 506714253605 36 5 0 0 6 35 6 0 5 3 27106352417241 2 7 7 1 42 1 7 2 4 053241706350 63 0 5 5 3 60 3 5 0 6 724536071427 14 7 2 2 4 17 4 2 7 1 0 7 61 7 0 1 6 6 10734525234167043252 5 4 3 4 52 4 3 2 5 5 23407616107254370161 6 7 5 2 34 2 5 4 3 3 45261070761432516707 0 1 6 1 07 1 6 7 0 0 76152343452701625434 3 2 503741256305 63 5 0 0 3 65 3 0 5 6 274036521472 14 2 7 7 4 12 4 7 2 1 056214703650 36 0 5 5 6 30 6 5 0 3 721563074127 41 7 2 2 1 47 1 2 7 4 3 0 5 3 6 5 0 7 2 1 4 36 5 0 6 3 0 5 7 4 0 5 63 5 0 3 6 6 0 3 6 0 5 6 3 4 1 2 7 05 6 3 5 0 3 6 4 7 3 6 50 6 3 0 5 5 47241270563412 71472 0 3 7 2 14 2 7 4 1 1 7 4 1 7 2 1 4 3 6 5 0 72 1 4 2 7 4 1 3 0 4 1 27 1 4 7 2 2 3 2 0 6 71 6 0 1 7 7 6 7 5 3 24 3 5 4 2 2 23 0 1 3 5 42 5 3 2 4 4 5 4 6 0 17 0 6 7 1 1 Продолжение табл. 4.2. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 4 3 0 7 3 4 4 3 7 0 2 516 1625 3407 5 2 6 1 6 1 5 2 5 1 6 5 2 6 1 1 6 2 5 7043 4370 6152 0 7 3 4 3 4 0 24 1 6 2 5 6 1 5 2 2 5 1 6 4370 7043 5261 3 4 0 7 0 7 3 4 3 7 0 3 4 0 7 7 0 4 3 1625 2 516 0734 6 1 5 2 5 2 6 7 4 0 3 4 7 3 0 0 3 7 4 2 15 6 12 6 5 3047 1 2 6 5 2 1 5 2 1 5 6 1 2 6 5 5 6 2 1 7403 4730 6512 4 7 3 0 7 4 0 25 1 2 6 5 2 1 5 6 6 5 1 2 4730 7403 5621 7 4 0 3 4 7 3 4 7 3 0 7 4 0 3 3 0 4 7 12 6 5 2 15 6 0374 2 1 5 6 1 2 6 7 2 4 1 2 7 1 4 4 1 7 2 0536 14 2 7 1427 5 0 6 3 4 1 7 0 5 3 6 5 0 6 3 3 6 0 5 7241 6 3 50 6350 2 7 1 4 3 6 0 26 1 4 2 7 4 1 7 2 2 7 1 4 6350 7241 7241 3 6 0 5 2 7 1 6 3 5 0 3 6 0 5 5 0 6 3 1427 0 536 0536 4 1 7 2 5 0 6 7 1 2 4 1 7 4 2 2 4 7 1 4 2 17 0653 42 17 2 4 7 1 6 0 3 4 2 1 7 2 4 7 1 1 7 4 2 7 12 4 3560 7 124 1 7 4 2 5 3 0 27 0 6 5 3 6 0 3 5 5 3 0 6 3 560 7124 3560 5 3 0 6 1 7 4 3 5 6 0 5 3 0 6 6 0 3 5 0 6 53 42 17 0653 6 0 3 5 2 4 7 7 0 2 5 0 7 5 2 2 5 7 0 4316 1643 5207 3 4 6 1 6 1 3 4 3 1 6 3 4 6 1 1 6 4 3 7025 2570 6 134 0 7 5 2 5 2 0 28 1 6 4 3 6 1 3 4 4 3 1 6 2570 7025 3461 5 2 0 7 0 7 5 2 5 7 0 5 2 0 7 7 0 2 5 1643 4316 0752 6 1 3 4 3 4 6 7 4 2 1 4 7 1 2 2 1 7 4 0356 1247 12 4 7 0 3 5 6 1 2 4 0 3 5 6 3 0 6 5 5 6 0 3 7421 6530 6530 7 4 2 1 6 5 3 29 1 2 4 7 2 1 7 4 4 7 1 2 6530 7421 7421 6 5 3 0 7 4 2 6 5 3 0 5 6 0 3 3 0 6 5 1247 0356 0356 1 2 4 7 0 3 5 7 2 0 5 2 7 5 0 0 5 7 2 4 13 6 14 6 3 5027 1 4 6 3 4 1 3 4 1 3 6 1 4 6 3 3 6 4 1 7 205 2 7 50 6314 2 7 5 0 7 2 0 30 1 4 6 3 4 1 3 6 6 3 1 4 2 7 50 7 205 3641 7 2 0 5 2 7 5 2 7 5 0 7 2 0 5 5 0 2 7 14 6 3 4 13 6 0572 4 1 3 6 1 4 6 7 1 4 2 1 7 2 4 4 2 7 1 2 4 17 0635 2 417 4 2 7 1 6 0 5 2 4 1 7 4 2 7 1 1 7 2 4 7 14 2 5360 7 142 1 7 2 4 3 5 0 31 0 6 3 5 6 0 5 3 3 5 0 6 5360 7142 5360 3 5 0 6 7 1 4 5 3 6 0 3 5 0 6 6 0 5 3 0 635 2417 0635 6 0 5 3 2 4 1 7 0 1 6 0 7 6 1 1 6 7 0 2543 4325 6 107 5 2 3 4 3 4 5 2 5 4 3 5 2 3 4 4 3 2 5 7016 1670 3452 0 7 6 1 6 1 0 32 4 3 2 5 3 4 5 2 2 5 4 3 1670 7016 5234 6 1 0 7 0 7 6 1 6 7 0 6 1 0 7 7 0 1 6 4325 2543 0761 3 4 5 2 5 2 3 7 4 1 2 4 7 2 1 1 2 7 4 2 14 7 0365 2 147 1 2 7 4 3 0 5 2 1 4 7 1 2 7 4 4 7 2 1 7 4 12 5630 7412 4 7 2 1 6 5 0 33 0 3 6 5 3 0 5 6 6 5 0 3 5630 7412 5630 6 5 0 3 7 4 1 5 6 3 0 6 5 0 3 3 0 5 6 0 365 2 147 0365 3 0 5 6 2 1 4 7 2 1 4 2 7 4 1 1 4 7 2 0563 4 12 7 4 127 5 0 3 6 1 4 7 0 5 6 3 5 0 3 6 6 3 0 5 7214 3 6 50 3650 2 7 4 1 6 3 0 34 4 1 2 7 1 4 7 2 2 7 4 1 3650 7 2 14 7214 6 3 0 5 2 7 4 3 6 5 0 6 3 0 5 5 0 3 6 4127 0 563 0563 1 4 7 2 5 0 3 7 1 0 6 1 7 6 0 0 6 7 1 4 235 2 4 53 6017 2 4 5 3 4 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 3 5 4 2 7 10 6 17 6 0 5324 1 7 6 0 7 1 0 35 2 4 5 3 4 2 3 5 5 3 2 4 17 6 0 7 10 6 3542 7 1 0 6 1 7 6 1 7 6 0 7 1 0 6 6 0 1 7 2 4 53 4 235 0671 4 2 3 5 2 4 5 Окончание табл. 4.2. 0 1 2 3 4 5 6 70430734437016252516 16256152251670434370 36 25165261162543707043 X X 1_ X X X _0_ 1_ 7_X _4_X 2 5 1 6 1 6 2 5 J4_ 5_ J2_J6^J _ 6_ x x 1_ 7 4 0 3 4 7 3 0 0 3 7 4 12 6 5 2 15 6 12652156651274034730 37 2 1561265562147307403 X 1_ X X 7_X _0_X 3 0 4 7 2 1 5 6 1 2 6 5 _3_ 1_ _4_ J_ J2_J6^_5_ 2_ x x 7 2 4 1 2 7 1 4 4 17 2 14 2 7 0 5 3 6 1 4 2 7 4 1 7 2 2 7 14 7 2 4 1 6 3 5 0 38 0 5365063360563507241 6_ X X X X X _0_X 5 0 6 3 0 5 3 6 J_ X X 1_ 0 5 3 6 5_ _0_J6^J_ j4_ x x 7 1241742247106534217 4 2 17 2 4 7 1 6 0 3 06536035530671243560 3560 5 3 0 6 1 7 4 39 42172471174235607124 7124 0 6 5 3 6_ _0_J5_ 2_J4_ x X X X X X _306_ X X X X X J _ 1_ X X X X x 70250752257016434316 16436134431670252570 40 43163461164325707025 X X 1_ X X X _0_ 1_ 7025_ 4_ _3_J _ _6_ J_ X X X 1_ _5_ _2_ J34_J6^J _ 6_ xx 7 4 2 1 4 7 1 2 2 17 4 12 4 7 0 3 5 6 1 2 4 7 2 1 7 4 4 7 12 7 4 2 1 6 5 3 0 41 03563065560365307421 X X X X X X _0_X 3 0 6 5 0 3 5 6 1 2 4 7 _35_ J6^ J30_J6^_5_ 2_x x x 7 2 0 5 2 7 5 0 0 5 7 2 14 6 3 4 13 6 14634 136631472052750 42 4 1361463364 127507205 X 1_ X X 7_X _0_X J502_ 1_ 4 1 3 6 1 4 6 3 _5_ 1_ _2_ J_ _4_J6^ J_ j4_x x x 7 1 4 2 1 7 2 4 4 2 7 1 0 6 3 5 2 4 17 06356053350671425360 43 2 4 1 7 4 2 7 1 1 7 2 4 5 3 6 0 7 14 2 X X X X X X _06_ J6_X X X 2_X J _ 1_ 0 6 3 5 J6^J5_ j4_J2_ 1_ J _ 6_ x x x 70160761167043252543 43253452254370161670 44 25435234432516707016 J _ X 1_ X J6_J _ _0_ 1_ 70_J _ _6_ 2_X X X 4_ _325_ 1_ J6^J _ 5_ J2_J4_ J3_x x x 7 4 1 2 4 7 2 1 1 2 7 4 0 3 6 5 2 14 7 03653056650374125630 45 2 1 4 7 1 2 7 4 4 7 2 1 5 6 3 0 7 4 12 X X X X J6_X _0_X 3 0 5 6 2 1 4 7 0 3 6 5 _3_J6^_5_ J_ J2_ 1_ _4_ J3_x x x 7 2 1 4 2 7 4 1 1 4 7 2 4 12 7 0 5 6 3 4 1 2 7 1 4 7 2 2 7 4 1 7 2 14 3 6 5 0 46 0 5635036630536507214 J3_X X X J 30_X 5 0 3 6 0 5 6 3 4 1 2 7 _5_ J6^J _ 5_ _0_J _ J6^ J_ xxx 7 1061760067124534235 2 4 5 3 4 2 3 5 5 3 2 4 7 10 6 17 6 0 47 4 2 3 5 2 4 5 3 3 5 4 2 17 6 0 7 10 6 17607 10660174235 2453 Обратимся, например, к коду с координатами 15, 0 табл. 4.2.1, 4.2.2 и представим геометрические образы исправленных разрядов a'1 - a'4 этого кода в четырехмерном пространстве координат a1 - a4.

0 6 5 3 6 0 3 5 5 3 0 6 7 1 2 4 3 5 6 Коор­ 7 1 2 4 1 7 4 2 2 4 7 1 0 3 4 2 1 6 динаты a' a' кода 3 5 6 0 5 3 0 6 6 0 3 5 4 2 1 7 0 6 5 15,0 4 2 1 7 2 4 7 1 1 7 4 2 3 0 7 1 2 5 В ячейках этого пространства записаны эквивалентные цифровые сигналы 0 - 7 контрольных разрядов x - x систематического кода A X и инверсии этих x x 1 цифр 0x - 7x.

Учитывая, что в представленных зависимостях значения цифровых мно­ жеств в клетках пространства подчиняются простым соотношениям i з j (i Ф j), логические выражения для исправленных информационных разрядов этого кода могут быть записаны в двухуровневом исполнении с л е д у ю щ и м образом:

a'1 = 6x a a4 a.2 v 3 a4 2 v 0x a.3 a4 a1 a.2 v 5x 3 a4 1 a2 v 3 a a a a x 1x a3 a4 a2 7x a3 a4 a1 a. a4 a4 a 2v v v v v 4 a a a x 3 a 6x a3 a a.3 a4 a1 a. 5x a3 a4 a2 a 2v v v v v a a 4 a ix 3 a 2x a3 a4 a2 4x a3 a4 a1 a. 2v v v v a a a, 1 7 a a x 3 4 = 5 a 3 a4 a1 v a3 a4 a1 a2 v a4 6x a3 a4 a a'2 _ 1v v a a x v2aaa v 7x a3 a4 a1 a2 v a4 i x 3 a4 a 1v v 4 a a a a x 3 x 3 4 v6aaa v a 5x 3 a a3 a4 a1 a2 v a 1v v a a a x 4 1 4 v1aaa v a a 4x a3 a4 a1 a2 v 1v a a, 1 7 a a x x 3 4 1 4 1x a4 a1 a2 v 2x a4 a1 a2 v a'3 = 7x a4 a1 a_2 4x a4 1 a v v a 4 a4 a1 a_2 v 2 a4 a1 a.2 v 1 a4 a1 a2 v 7 a4 a1 a v v x x x x 0 a3 a4 a1 a_2 6 a3 a4 a1 a_2 5 a3 a4 a1 a2 3 a3 a4 a1 a v v v v v x x 3aaa 5aaa 6aaaa v 0x a3 a4 a1 a2, v v v 3 4 1 x 3 4 1 x 3 4 1 a'4 = 3 x a 3 a1 a 2 v 1 2 4 a4 a1 a2 v a4 a1 a2 v a4 a1 a2 v _ _ x x x 4 a3 a1 a_2 v 2 1 7 a4 a1 a2 v a4 a1 a.2 v a4 a1 a2 v v x x x x 0 a_3 a4 a1 a_2 6 5 3 a3 a4 a1 a a3 a4 a1 a_2 v a3 a4 a1 a2 v v v v x x 7aaa 1 aaa 2 aaaa v 4x a3 a4 a1 a2.

v v v x 3 4 1 x 3 4 1 x 3 4 1 И з геометрических образов этих логических функций реализация много¬ уровневой схемы вполне очевидна и здесь приводиться не будет.


Аналогичные выражения могут быть получены для всех кодов, представлен­ ных в табл. 4.2.2, н о все о н и п р и э т о м р а з л и ч н ы и д а ж е в п р е д е л а х о д н о г о к о д а г е о м е т р и ч е с к и е о б р а з ы с и г н а л о в и н ф о р м а ц и о н н ы х р а з р я д о в a'1 - a'4 не могут м ы с л е н н ы м и поворотами относительно осей симметрии этого простран¬ ства быть совмещены, но при этом необходимо отметить, что если исключить инверсии цифр сигналов контрольных разрядов в геометрических образах сиг¬ налов исправленных информационных разрядов a'1 - a'4, то видоизмененные т а к и м образом геометрические фигуры могут переходить одна в другую м ы с л е н н ы м и поворотами относительно осей симметрии пространства, на примере кода с координатами 15, 0, по следующему алгоритму:

0 6 5 7 1 2 ai a2 аз a 3 5 6 4 2 1 6 0 3 5 5 3 0 6 7 1 2 4 3 5 6 1 7 4 2 2 4 7 1 0 6 5 3 4 2 1 Поворот Поворот Поворот Поворот ai а2 аз а 6 ai a2 a3 a4 6 5 ai a2 a3 a4 4 7 ai a2 a3 a4 5 3 0 0 3 2 1 6 5 2 4 7 1 1 7 4 2 3 5 6 0 7 1 2 И з этого геометрического представления непосредственно синтезируется структурная схема для параллельного исправления всех одиночных о ш и б о к в информационных разрядах системы счисления основания n = 16 (рис. 4.2.1).

•41 4i « X a1 a f" i i 3 3 2 2 a a'2 a' a'1 Рис. 4.2. В этой схеме номерами 1 и 2 обозначены элементарные инверторы - соот­ ветственно простой и управляемый, а номером 3 - логический блок, функцио¬ нально определяемый таблично-матричной формой представления любого из кодов табл. 4.2.2, который на примере кода с координатами 15, 0 может быть записан следующим образом:

C= 0a 0 х V 6 5 3 V a х 1 V 2 V a х a х 4a 7 х V V 7a 4 х V 1 5 V 6 V a х a х 8a 3 х V 9a 5 х V V 11a 0 х V 10 V a х 14a 1 х V 15a 7 х.

V 12a 4 х V 13a 2 х V В этом выражении вторые составляющие логических произведений явля¬ ются ц и ф р о в ы м и сигналами контрольной части кода, взятыми из табл. 4.2.2, а первые составляющие - сигналами информационной части этого систематиче¬ ского кода.

И з 192 с о в е р ш е н н ы х кодов табл. 4.2.2 м о ж н о в ы д е л и т ь 16 суперсовер¬ ш е н н ы х кодов, к о т о р ы е п о л н о с т ь ю п о п а д а ю т п о д это о п р е д е л е н и е : в я ч е й к а х м н о г о м е р н о г о ц и ф р о в о г о п р о с т р а н с т в а к о о р д и н а т кода р а с п о л а г а ю т с я толь¬ ко ц и ф р о в ы е с и г н а л ы о п р е д е л е н н о й о д и н о ч н о й к р а т н о с т и о ш и б о к, а в каж¬ д о й т а к о й я ч е й к е н а х о д и т с я ц и ф р а с о д н о й о ш и б к о й этой кратности;

много¬ мерное цифровое пространство используется для размещения однократных о ш и б о к на 100 % ;

и с п р а в л е н и е о ш и б о к к о н т р о л ь н ы х р а з р я д о в кода выполня¬ ется л о г и ч е с к и м и схемами, к о т о р ы е и с п р а в л я ю т о ш и б к и в и н ф о р м а ц и о н н ы х р а з р я д а х с о в е р ш е н н о г о кода п о с р е д с т в о м с о о т в е т с т в у ю щ е г о и з м е н е н и я в х о д н ы х сигналов, о с у щ е с т в л я е м ы х м ы с л е н н ы м и п о в о р о т а м и о т н о с и т е л ь н о осей с и м м е т р и и э т о г о ц и ф р о в о г о пространства. Э т о к о д ы с к о о р д и н а т а м и т а б л и ц ы 15, 0;

15, 3;

3, 0;

3, 3;

10, 0;

10, 3;

22, 0;

22, 3;

15, 4;

39, 5;

3, 4;

27, 3;

10, 4;

34, 4;

22, 4;

46, 3.

П е р в ы й из этих кодов был исследован нами выше, где было показано, что логические схемы, исправляющие ошибки в разрядах информационной части систематического кода, могут быть использованы также для исправления ана¬ логичных о ш и б о к в разрядах его контрольной части. П р и последовательной обработке систематического кода, когда первоначально выполняется, напри¬ мер, исправление его ошибок в информационной части с последующей переда¬ чей исправленных сигналов в регистр памяти, на втором этапе исправления о ш и б о к эти ж е логические схемы, при соответствующем изменении сигналов на их входных шинах, позволяют исправить о ш и б к и в контрольных разрядах с передачей их исправленных сигналов также в регистр памяти.

В остальных типах совершенных кодов табл. 4.2.2 этого выполнить не уда¬ ется: информационные и контрольные разряды систематического кода будут обрабатываться разными принципиальными логическими схемами.

Пример 3. Синтез одноразрядного сумматора (A ± B ) с исправлением оди¬ ночных о ш и б о к в системе счисления основания n = И з теоретических исследований второй главы вытекает, что алгоритм по¬ строения геометрического образа одноразрядной арифметической функции для операций сложения и вычитания весьма прост и даже не требует составления исходной т а б л и ц ы результата этой операции в цифровых данных.

Для его построения необходимо иметь только геометрические образы сиг¬ налов кода операндов, которые заполняют собой первый столбец или первую строку двухмерного цифрового пространства посредством размещения в его ячейках символов, соответствующих логической единице (1* или *). Дальней¬ шее заполнение остальных ячеек этого цифрового пространства такими ж е символами осуществляется для операции суммирования, рассматривая, напри¬ мер, заполнение строк путем сдвига этих строк сверху вниз при одновременном синхронном смещении символов справа налево, а для операции вычитания также сдвигом строк сверху вниз, но при смещении этих символов в противо¬ п о л о ж н о м направлении - слева направо.

П р и всех этих сдвигах символов предполагается циклическая замкнутость цифровых значений сигналов разряда операндов, т.е. циклическая замкнутость символов каждой строки и столбца.

П р е д ы д у щ и й пример устанавливает зависимость между к о д о в ы м и комби¬ нациями информационной (0 - 15) и контрольной (0-7) частями систематиче¬ ского кода всех его типов, исправляющих о д и н о ч н ы е ошибки для основания системы счисления n = 16, и представляет алгоритм получения геометрических образов исправленных сигналов разрядов a 1 - a 4, покрытие которых определя¬ ет функциональную схему д е к о д и р у ю щ е г о устройства. К а ж д ы й из этих геомет¬ рических образов задается двухмерной таблицей, где в информационных ячей¬ ках пространства соответственно под номерами 0-15 размещаются прямые и инверсные значения контрольных кодовых комбинаций под номерами 0-7.

П р и этом прямые и инверсные значения контрольных кодовых комбина¬ ций 0-7 могут рассматриваться нами как геометрические образы логических функций в координатах разрядов контрольной части систематического кода либо представляются с позиций многозначной логики, где в качестве логиче¬ ских сигналов многозначной логики выступают геометрические образы кон¬ трольных кодовых комбинаций систематического кода.

Структурная схема одноразрядного сумматора с исправлением одиночных о ш и б о к (рис. 4.3.1) может быть реализована путем установки декодирующих блоков 1, 2 на входных шинах операндов, которые представляются в система¬ тическом коде, исправляющем одиночные ошибки операндов A X, B Y с после¬ д у ю щ и м выполнением операции суммирования либо вычитания в двух сумма¬ торах раздельно для информационной и контрольной частей этого кода. Н а выходных шинах этих сумматоров устанавливается аналогичный декодирую¬ щ и й блок 3, исправляющий о ш и б к и операций суммирования, выходной сигнал которого в систематическом коде с информационной C"(c - c ) и контрольной 1 Z " ( z - z ), если она необходима, частями поступают на выходные ш и н ы уст 1 ройства. Отдельно на этой схеме представлен блок 4 для формирования сигнала переноса в с л е д у ю щ и й старший разряд по известному из первой главы логиче­ скому в ы р а ж е н и ю :

P= a' b ' v c" b ' v c" a', n 4 4 4 4 4 где все составляющие сигналов разрядов в этой зависимости являются непре¬ р ы в н ы м и множествами цифр 8 v... v 15.

A(ai - a ) X(xi - хз) X' A' C' B(bi - b ) B' 2i C''(bi - b4) 2 Y' Y(yi - Уз) Z'' (zi - Z3) Z' Pn-i ^ a' b' Pn c Рис. 4.3. Для систематического кода, где информационная часть представляется в ос­ новном двоичном коде, выполнение сумматора Е общеизвестно, а второй сумма­ тор Е для контрольной части систематического кода может быть синтезирован на основании данных табл. 4.1.2. Пусть это будет совершенный код с координатами 15, 0. Тогда контрольные разряды операндов этого кода x - x, y - y, совместно 1 3 1 с сигналами и н ф о р м а ц и о н н ы х разрядов операндов a 4 и b 4 составят полное основание системы счисления n = 16 (цифры 0 - 15).

Н а примере кода первого операнда на рис. 4.3.2 приведены номера 0- весовых кодовых комбинаций, сигналы разрядов x 1, x 2, x 3, a 4 (для второго операнда это будут сигналы y 1, y 2, y 3, b 4) и соответствующие им цифровые сигналы 0-15 этого основания системы счисления.

| 5|3 | 7 | 1 | 2 | 4 | 11 | 13 | 14 | 8 | 12 | 10 | 9 | 15 | \0 \ Л7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 W W w ax a' х'з Х ' х', • 0 Ю ~Г2~Г3 ~Г4 ~Г5 ~Гб~Г7~Г8~Г9~Г10ТпТ12Т13Т14 Г Рис. 4.3. С л е д у ю щ и й этап создания устройства сводится к синтезу двухвходового сумматора, использующего этот код, что не представляет каких-либо трудно¬ стей.

Здесь необходимо отметить, что декодирующие блоки 1, 2 в схеме рис. 4.3.1 неполные, поскольку предназначены только для исправления одиноч­ ных ошибок в старших разрядах операндов A, B, выходные сигналы которых a 4, b 4 применяются в блоке 4 формирования сигнала переноса Pn. Также в схе¬ ме рис. 4.3.1 можно осуществить дальнейшее у м е н ь ш е н и е оборудования. Оно может заключаться в отказе от классического представления систематического кода, которое состоит в том, что его информационная часть всегда выполняется в основном двоичном коде. Такой вариант построения систематических кодов, предназначенных для устройств машинной арифметики, никем не рассматри¬ вался, поскольку ошибочно считалось, что другие т и п ы двоичных кодов не арифметические.

Вместе с тем многие исследователи в течение десятилетий проводили по¬ иск решения задачи исправления ошибок применением для устройств машин¬ ной арифметики остаточных либо циклических A N кодов, которые также явля¬ ются систематическими в классическом понимании этого типа кода. Поскольку в таких типах кодов арифметические операции д о л ж н ы выполняться парал¬ лельно над исходными операндами и их н а и м е н ь ш и м и вычетами по некоторым выбранным модулям, то это равносильно, по нашему мнению, требованию применения совершенного основного двоичного кода не только в информаци¬ онной части кода, но одновременно и в контрольной, что не выполнимо. Этим обстоятельством можно объяснить все неудачи таких поисков.

Н е о б х о д и м ы й синхронизм двух составных частей систематического кода, предназначенного для исправления ошибок в устройствах м а ш и н н о й арифме¬ тики, может быть реализован в двух вариантах:

а) использованием в его контрольной части основного совершенного дво¬ ичного кода, число разрядов которого всегда меньше информационной части систематического кода, где она будет иной двоичной структурой, в зависимо¬ сти от выбранного алгоритма исправления определенного типа ошибок;

б) при равенстве числа разрядов информационной и контрольной частей систематического кода, когда как при классическом варианте выполнения сис¬ тематического кода, так и его нетрадиционном варианте одна из этих частей Число таких кодов велико, но л у ч ш и м и из них являются такие, где один из его разрядов информационной части является н е п р е р ы в н ы м множеством всех цифр второй половины основания системы счисления. И м е н н о такой код изо¬ бражен на рис. 4.3.4, где a = 8 v... v 15. Аналогичная процедура синтеза может быть выполнена с л ю б ы м из кодов табл. 4.2.2, но только суперсовершенные коды этой таблицы будут рассматри¬ ваться в дальнейшем. П р и этом необходимо отметить, что все декодирующие устройства остаются неизменными для всех синтезированных систематических кодов, в основу синтеза которых взяты данные этой таблицы.

П р и н и м а я сигналы разрядов кода с координатами 15, 0 в качестве базовых, представим все сигналы разрядов суперсовершенных кодов в обозначениях этого кода:

G f e a b 4 3 3, 4 (ai, a2, a4, a3) 15, 0 (ai, a2, аз, 15, 3 22, (a, a, a ) a, a ) 12 10, 0 (a2, ai, a3, a4) 10, 4 (a2, a i, a3, a4) 15, 4 (ai, a2, a3, a4) 3, 0 (a, a, a ) 12^ 22, 0 (a2, ai, a4, a3) 10, 3 (a2, ai, a3, a4) 22, 4 (a2, ai, a4, a3) 3, 3 (a a, a ) b ( a b43 46, 3 (a2, a i, a4, a3) 34, 4(a2, a i, a3, a4) 39, 5 (ai, a2, a?, a4) 27, 3 a, a ) Поскольку все синтезированные здесь коды состоят из одинаковых состав¬ ляющих, определяющих сигналы их разрядов, которые только меняются в них местами либо при этом дополнительно инвертируются, то вполне очевидно, что все они равноценны для синтеза с у м м и р у ю щ и х устройств.

Вопрос, какой из этих кодов либо все являются совершенными с точки зрения м и н и м а л ь н ы х аппаратурных затрат при предельном быстродействии для других арифметических операций, остается открытым и может быть решен путем перебора вариантов.

П р о д о л ж и м синтез суммирующего устройства при использовании кода, представленного на рис. 4.3.4. Опуская известные этапы построения геометри¬ ческих образов выходных сигналов для четырех р е ж и м о в его работы в цифро¬ вых координатах операндов, а также промежуточный последовательный пере¬ ход к координатам операндов в кодовых комбинациях основного двоичного кода, представим эти результаты построения сразу непосредственно в коорди¬ натах операндов кодовых комбинаций основного двоичного кода (рис. 4.3.5, а - г) соответственно для этих режимов работы.

Очевидно, принципиально м о ж н о реализовать покрытие всех 16 геометри¬ ческих образов выходных сигналов и определить, например, их двухуровневые логические выражения Б ( с - с ), Р ' ( с \ - с' ), F ' ' ( с ' ' - с'' ), F ' ' ' ( с ' ' ' - с''' ) вы¬ 1 4 4 1 4 1 х о д н ы х сигналов сумматора для четырех р е ж и м о в работы, которые пусть опре¬ деляются сигналами a [ C = A + B, P„_ = 0*], a [ C = A + B, P = 1*], 1 1 2 n- a [ C = A - B, Z = 0*], a [ C = A - B, Z = 1*]. Тогда о б щ е е логическое выра­ 3 n-1 4 n- жение, определяющее построение сумматора, L = F a v F ' a v F '' a v F ' '' a, 1 2 3 что соответствует максимальному быстродействию сумматора, но при значи¬ тельных аппаратурных затратах.

P„-i=0* P„-1 = 1* 012345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 _ _ ** * * _ _ * * * * * _ _ _*_ * 0 * * * ***** * * * * * ** * 1 * ** * * *** * * * **** * 2 * * **** * ** ** *** ** 3 * * * * * *** * * * * * * * * 4 * * *** * * * * * * *** * 5 * * * * **** * * * *** * * ** ** **** ** ** * * ** * * Ci C _ _ _ _ ** * _ _ ** * * * * _ *_ * * * ** * **** * *** * ** * 9 * *** * *** * * * * ** * * 10 * * * * * * * * * * * *** * * 11 * _ _ _ _ * ** _*_ _ _ *** * _ *_ ** _*_ 12 * * * *** * *** * *** ** 13 * * * * *** * * * * *** * *** * * * *** * * * * * * * * * 15 * а) 012345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 * ** ** ** *** * * ** * * * * **** ** ** ** *** * * * * ** ** * * *** ** * * ** * * * * * * * ** * * * * * * * * **** ** ** ** ** * ** ** *** ** *** * * * * ** ** * * * *** * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * * * C2 C ** * *** * * ** * ** * * * *** ** ** * * * * * ** * * ** * * * *** * * * ** * * * ** * ** * *** * ** ** * * * ** * * ** * ** ** * ** * ** ** ** ** * * ** * * * * ** * * ** * ** ** * ** * * ** * * ** ** * ** ** * * * б) 012345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 **** * ** ** * * * ** * * * * * * * * * * * * * ** * * * * * ** * * * * * * ** * * * * * ** * * * ** *** * **** * ** * ** * ** * **** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * * * ** * * *** *** * * * * * ** * * C3 C * ** * * * ** **** **** * * ** * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * * ** ** * * * **** * ** ** * * * ** * * * *** **** * * * * ** * * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * * ** * ** * ** * *** * * * в) Рис. 4.3.5 (начало) 0 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 ** ** * _ _ ** * * ** ** * * ***** * * * * * ** * * * **** * * * * * * * * * ** * ** * ** * ** * * * * * * * * * **** * * * * ** **** * * * ** * * * ** * * **** * **** * * ** * * ** * * * * С' С4 * * * * ** * * * * * *** ** * * * * *** * * * * *** * * * *** **** * * ** ** * * **** * * * * * * * * * ** * * * * *** * * * * * * * * * * * * * * ** * * * * ** * * * * * ** * * * * * * * * *** * ** *** ***** * г) Рис. 4.3.5 (продолжение) 0 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 * * * _ _ _ _ ** * * * * 0 * * *** * *** * * *** * * * * *** * * * * * *** * *** ** * *** * * **** **** * _ _ * * _ _ _ _ ** * * * * 4 * * * * *** * * *** * *** * *** * *** * * * * * ** * 6 * ** ** **** * * ** * ** г" * С * * _*_ _ _ *** * * _ _ ** С'' 1 * * * ** ** * ** * * * ** * * 9 * * **** * * * * *** * * * 10 * * * * * * * * * * * * * *** * ** *** * * * * **** * ** * * *** ** * ** * **** * * * * * *** * * * * *** * 14 * * ** * * * * * * * * * * * * * а) 0 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 * * _ _ ** * _ _ _ _ *** * * ** ** ** *** * **** * * ** * *** * * ** ** *** * * ** * * * * * * * * ** * * * * * _ _ ** ** * * * * * ** * * ** 5 *** ** ** * * * ** * ** ** ** * * * * * * * * ** * * ** * ** * ** * ** г" г"' * * * ** ** 28 * * * ** * * * С'' 2 С * 9 ** ** * * * * *** * * * * * ** ** * * * *** * ** * * * ** * ** * ** *** ** * * * * * * * * * * * 13 * * * ** *** * * **** ** * * ***** * **** ** * * ** * * ** ** **** * *** б) Рис. 4.3.6 (начало) 0 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 **** * ** * ** ** * * * * * * * * * * * ** * * * * * * * * ** * * * ** * * * * * * 2 * * * * ** * * * **** *** * * * * * * * * * * * * * **** 4 * * ** * ** * * * * ** * * * * * * * ** * * * * * * * ** * 6 * * *** *** * * * * * * * ** C г" * * ** * * * **** *** C 3 * * * ** * * * ** * * * * * * 9 * * * * * * * * * ** * * * * * * * **** * ** * ** ** * * * * * *** *** * * * * * * * ** * * * ** * * * * * * * ** * 13 * * ** * ** * * * * ** * * * * * * * * * * * * * * * **** 15 * в) 0 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 123456 7 8 9 10 11 12 13 14 * **** ** * *** * ** * * * ** * ** * * **** * * * 1 * * * * ** ** * * ** * * * * 2 * * * * * ** * * * * * ** * * 3 * ** ** * ** * ****** * 4 * * * ** * ** * * *** * * * * * * * ** * * * * *** * * C г" * * c * * * * ** * * * * * * ** * C 4 * * *** * * * ** * ** * * * * * * * * ** * * * ** ** * * * * * * * ** * * ***** * * * ** **** ** ***** * * * * * * ** * * ** * * ** * * * * *** ** * * **** * * * 13 * * **** ** * **** * * * * * * **** * ***** ** * * г) Рис. 4.3.6 (продолжение) Рассмотрим другой менее затратный вариант синтеза, когда в качестве ба¬ зовой принята схема, реализующая первый р е ж и м работы сумматора. Для этого необходимо определить логические выражения только для четырех сигналов разрядов с - с. Выделяя в геометрических образах этих сигналов подмножест­ 1 ва, которые определяются сигналами первых двух разрядов операндов a, a ;

1 b, b и пронумерованы отдельно для каждого из этих разрядов соответственно 1 номерами 1 2...;

... ;

1, 2,..., представим в координатах основного двоич­ 1г 1у 4 ного кода сигналов a, a ;

b, b геометрические образы выходных сигналов 3 4 3 сумматора для всех четырех режимов его работы (рис. 4.3.6, а - г).

И з этого представления видно, что все выходные сигналы сумматора при переходе от одного режима к другому подчиняются одному и тому ж е закону изменения соответствующих сигналов операндов и выходных сигналов, а именно:

ci[a3, a4, Ьз, b4, ci] c2[a3, a4, ЬЗ, b4, c2] cз[aз, a4, Ьз, b4, cз] c 4 ^, a4, Ьз, Ь4, c4] а!



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.