авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ КОСМИЧЕСКОЕ АГЕНТСТВО Федеральное государственное унитарное предприятие "Научно-производственный центр "Полюс" В.И. Кочергин ТЕОРИЯ ...»

-- [ Страница 8 ] --

* * * * * * * * * 4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

* * * * * * * * 7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

* * * * * * * 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

* a a a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a_ a 4x a5 a6 a9 a5 a6 a_9 aw a5 a6 a_9 a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a_9 a5 a6 a 5x a5 a6 a a5 a6 a.9 aw a5 a6 a9 a5 a6 a_ a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a_ a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a. a5 a6 a9 aw a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a. 7x a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a. 6) Рис. 5.31 (продолжение) a x 2 a a 8x 1... 4... 7... 2... 2... 7... 4... 1...

a I 5.

3... 6... 5... 0... 0... 6... 3...

a II 6.

0... 5... 6... 3... 3... 5... 0...

2... 7... 4... 1... 1... 4... 7... 2...

a 3.

5... 0... 3... 6... 6... 0... 5...

7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

0.

6... 3... 0... 5... 5... 3... 6...

4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

0.

6... 3... 0... 5... 5... 3... 6...

9x 3.

5... 0... 3... 6... 6... 0... 5...

7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

6.

0... 5... 6... 3... 3... 5... 0...

2... 7... 4... 1... 1... 4... 7... 2...

1... 4... 7... 2... 2... 7... 4... 1...

5.

3... 6... 5... 0... 0... 6... 3...

* * * * * * * 7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

* * * * * * * * * 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

10x * * * * * * * * 6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

* * * * * * * 4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

* * * * * * * * * 3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

* * * * * * * 1... 4... 7... 2... 2... 7... 4... 1...

* * * * * * * * 2... 7... 4... 1... 1... 4... 7... 2...

* * * * * * * * * 0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

* * * * * * * 2... 7... 4... 1... 1... 4... 7... 2...

* * * * * * * * * 0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

11x * * * * * * * * 3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

* * * * * * * 1... 4... 7... 2... 2... 7... 4... 1...

* * * * * * * * * 6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

* * * * * * * 4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

* * * * * * * * 7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

* * * * * * * * * 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

a a a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a_ a 8x a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a_9 a5 a6 a a5 a6 a9 aw a5 a6 a_9 a5 a6 a_9 a5 a6 a 9x a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a_ a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a. a5 a6 a a5 a6 a_9 aw a5 a6 a9 a5 a6 a a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a 11 x a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a в) Рис. 5.31 (продолжение) a x 2 a a 12x 6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

a 4... 2.

1... 2... 7... 7... 1... 4...

a 7... 1.

2... 1... 4... 4... 2... 7...

5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

I a 2... 4.

7... 4... 1... 1... 7... 2...

0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

13x 4.

2... 7... 4... 1... 1... 7... 2...

0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

1.

7... 2... 1... 4... 4... 2... 7...

5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

2.

4... 1... 2... 7... 7... 1... 4...

* * * * * * * 0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

* * * * * * * * * 2... 7... 4... 1... 1... 4... 7... 2...

14x * * * * * * * * 1... 4... 7... 2... 2... 7... 4... 1...

* * * * * * * 3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

* * * * * * * * * 4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

* * * * * * * 6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

* * * * * * * * 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

* * * * * * * * * 7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

* * * * * * * 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

* * * * * * * * * 7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

15x * * * * * * * * 4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

* * * * * * * 6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

* * * * * * * * * 1... 4... 7... 2... 2... 7... 4... 1...

* * * * * * * 3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

* * * * * * * * 0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

* * * * * * * * * 2... 7... 4... 1... 1... 4... 7... 2...

a a a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a a 12x a5 a6 a9 aw a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a 13x a5 a6 a9 aw a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a. a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 aw a5 a6 a9 a5 a6 a 15 x a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a г) Рис. 5.31 (окончание) a x 3 a a 0x 1.

. a 9 7... 2... 1... 4... 4... 2... 7...

a io I 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

a ii I 2.

4... 1... 2... 7... 7... 1... 4...

3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

4.

2... 7... 4... 1... 1... 7... 2...

0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

4.

2... 7... 4... 1... 1... 7... 2...

0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

1x 3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

2.

4... 1... 2... 7... 7... 1... 4...

1.

7... 2... 1... 4... 4... 2... 7...

5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

2x 0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

4.

2... 7... 4... 1... 1... 7... 2...

5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

1.

7... 2... 1... 4... 4... 2... 7...

2.

4... 1... 2... 7... 7... 1... 4...

6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

2.

4... 1... 2... 7... 7... 1... 4...

6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

3x 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

1.

7... 2... 1... 4... 4... 2... 7...

0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

4.

2... 7... 4... 1... 1... 7... 2...

7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

a a a5 a6 a a5 a6 a 9 a5 a6 a9 a5 a6 a _ a 0x a5 a6 a a5 a6 a 9 a5 a6 a9 a5 a6 a _ a5 a6 a9 aw a5 a6 a 9 a5 a6 a9 a5 a6 a _ 1x a5 a6 a a5 a6 a 9 a5 a6 a9 a5 a6 a _ a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a 9 a5 a6 a _ 2x a5 a6 a9 a5 a6 a 9 a5 a6 a9 a5 a6 a _ a5 a6 a9 a5 a6 a.9 a5 a6 a9 a5 a6 a 3x a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a9 a5 a6 a a) Рис. 5.32 (начало) a x 3 a a 4x * * * * * * * * 0... 6... 3...

5... 3... 6... 5... 0...

.a * * * * * * * 2... 7...

7... 4... 1... 1... 4... 2...

* a I * * * * * * * 4...

1^ 4... 7... 2... 2... 7... 1...

* * * * * * * * * a 11 3... 5...

6... 0... 0... 5... 6... 3...

* * * * * * * 4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

* * * * * * * * * 6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

* * * * * * * * 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

* * * * * * * 7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

* * * * * * * * * 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

* * * * * * * 7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

5x * * * * * * * * 4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

* * * * * * * * * 6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

* * * * * * * 1... 4... 7... 2... 2... 7... 4... 1...

* * * * * * * * * 3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

* * * * * * * * 0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

* * * * * * * 2... 7... 4... 1... 1... 4... 7... 2...

* * * * * * * * * 6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

* * * * * * * 4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

6x * * * * * * * * 7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

* * * * * * * * * 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

* * * * * * * 2... 7... 4... 1... 1... 4... 7... 2...

* * * * * * * * * 0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

* * * * * * * * 3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

* * * * * * * 1... 4... 7... 2... 2... 7... 4... 1...

* * * * * * * * * 3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

* * * * * * * 1... 4... 7... 2... 2... 7... 4... 1...

7x * * * * * * * * 2... 7... 4... 1... 1... 4... 7... 2...

* * * * * * * * * 0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

* * * * * * * 7... 2... 1... 4... 4... 1... 2... 7...

* * * * * * * * * 5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

* * * * * * * * 6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

* * * * * * * 4... 1... 2... 7... 7... 2... 1... 4...

* a a a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a_ a 4x a5 a6 a9 aw a5 a6 a_9 a5 a6 a_9 a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a_9 a5 a6 a a5 a6 a9 aw a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a_ a5 a6 a9 a5 a6 a_9 aw a5 a6 a.9 a5 a6 a a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a_ a5 a6 a a5 a6 a.9 aw a5 a6 a9 a5 a6 a. 7x a5 a6 a a5 a6 a.9 a5 a6 a9 a5 a6 a_ 6) Рис. 5.32 (продолжение) a x 3 a a 8x 0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

a 4.

2... 7... 4... 1... 1... 7... 2...

a 7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

I a 2.

4... 1... 2... 7... 7... 1... 4...

6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

1.

7... 2... 1... 4... 4... 2... 7...

5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

1.

7... 2... 1... 4... 4... 2... 7...

9x 2.

4... 1... 2... 7... 7... 1... 4...

6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

4.

2... 7... 4... 1... 1... 7... 2...

6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

2.

4... 1... 2... 7... 7... 1... 4...

10x 1.

7... 2... 1... 4... 4... 2... 7...

5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

4.

2... 7... 4... 1... 1... 7... 2...

0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

3... 6... 5... 0... 0... 5... 6... 3...

7.

1... 4... 7... 2... 2... 4... 1...

11x 4.

2... 7... 4... 1... 1... 7... 2...

0... 5... 6... 3... 3... 6... 5... 0...

1.

7... 2... 1... 4... 4... 2... 7...

5... 0... 3... 6... 6... 3... 0... 5...

6... 3... 0... 5... 5... 0... 3... 6...

2.

4... 1... 2... 7... 7... 1... 4...

a a a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a. a 8x a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a.9 a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 aw a5 a6 a.9 a5 a6 a 9x a5 a6 a a5 a6 a9 a5 a6 a_9 a5 a6 a_ a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a. 10x a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a_ a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a. 11x a5 a6 a a5 a6 a_9 a5 a6 a9 a5 a6 a. в) Рис. 5.32 (продолжение) совпадающих с осями симметрии геометрических образов, последние остают¬ ся неизменными. Следовательно, существует некоторое определенное число эквивалентных схем, которые отличаются одна от другой только ансамблями их входных сигналов.

В о всех этих схемах используются т р и геометрических образа, на кото­ р ы х необходимо остановиться.

f Это прежде всего схема инвертора miim I 1 1, которая общеизвестна * 1*1 I (исключающее И Л И ) и не требует дополнительных пояснений.

В т о р ы м является образ трехвходовой функции *|*| I f, где *| | | * | число таких ансамблей входа определяется табл. 5.3.1.

Ta6miua 5.3. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 123 132 1?^ 3 2 2 2 2 2 213 231 2 2 2 2 2 213 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 321 312 321 ** 2 2 2 4б * * Третьим будет образ четырехвходовой функции где * * ** табл. 5.3.2 определяет для нее аналогичные значения входных сигналов.

Ta6miua 5.3. Z4Z5Z6Z7 Z4Z6Z5Z7 Z4Z6Z7Z Z4Z5Z7Z6 Z4Z7Z5Z Z Z Z Z Z5 Z4Z6Z7 Z5Z6Z4Z7 Z5Z6Z7Z Z5Z4Z7Z6 Z5Z7Z4Z Z Z Z Z Z6Z5Z4Z7 Z6Z4Z5Z7 Z5Z6Z7Z4 Z6Z4Z7Z5 Z6Z7Z5Z Z Z Z Z Z7Z6Z5Z4 Z7Z5Z6Z4 Z7Z6Z4Z5 Z7Z4Z6Z Z7Z4Z5Z6 Z7Z5Z4Z Z4Z5Z6Z7 Z4Z6Z5Z7 Z4Z7Z6Z5 Z4Z6Z7Z Z4Z5Z7Z6 Z4Z7Z5Z Z5Z4Z6Z7 Z5Z6Z4Z7 Z5Z7Z6Z4 Z5Z6Z7Z Z5Z4Z7Z6 Z5Z7Z4Z Z6Z5Z4Z7 Z6Z4Z5Z7 Z6Z7Z4Z5 Z5Z6Z7Z4 Z6Z4Z7Z5 Z6Z7Z5Z Z7Z6Z5Z4 Z7Z5Z6Z4 Z7Z6Z4Z5 Z7Z4Z6Z Z7Z4Z5Z6 Z7Z5Z4Z Z4Z5Z6Z7 Z4Z6Z5Z7 Z4Z7Z6Z5 Z4Z6Z7Z Z4Z5Z7Z6 Z4Z7Z5Z Z5Z4Z6Z7 Z5Z6Z4Z7 Z5Z7Z6Z4 Z5Z6Z7Z Z5Z4Z7Z6 Z5Z7Z4Z Z6Z5Z4Z7 Z6Z4Z5Z7 Z6Z7Z4Z5 Z5Z6Z7Z4 Z6Z4Z7Z5 Z6Z7Z5Z Z7Z6Z5Z4 Z7Z5Z6Z4 Z7Z6Z4Z5 Z7Z4Z6Z Z7Z4Z5Z6 Z7Z5Z4Z Z4Z5Z6Z7 Z4Z6Z5Z7 Z4Z7Z6Z5 Z4Z6Z7Z Z4Z5Z7Z6 Z4Z7Z5Z Z5Z6Z4Z7 Z5Z7Z6Z4 Z5Z6Z7Z Z5 Z4Z6Z7 Z5Z4Z7Z6 Z5Z7Z4Z Z6Z5Z4Z7 Z6Z4Z5Z7 Z6Z7Z4Z5 Z5Z6Z7Z4 Z6Z4Z7Z5 Z6Z7Z5Z Z7Z6Z5Z4 Z7Z5Z6Z4 Z7Z6Z4Z5 Z7Z4Z6Z Z7Z4Z5Z6 Z7Z5Z4Z Здесь нумерация сигналов на этих двух функциональных схемах принята условно сквозной Z1 - Z7.

В каждой функциональной схеме блоков Б П (a a a a ) на входе могут 5 6 9 быть поданы ансамбли сигналов в соответствии с этими таблицами, что опре¬ деляет огромное количество эквивалентных схем исправления о ш и б о к систе¬ матического кода.

5.4. Структурная схема исправления ошибок во всех разрядах систематического кода Простота и наглядность представленного в ы ш е геометрического синтеза очевидны и не требуют дополнительных пояснений.

Однако следует провести некоторый критический разбор представленного варианта синтеза, где определенным достижением является то, что одна и та ж е схема блока Б П (a a a a ) используется в устройствах исправления оши¬ 5 6 9 бок в информационных (a1 - a4) и контрольных (X1 - X4) разрядах, где для каж¬ дого из разрядов меняются только сочетание прямых и инверсных сигналов на выходе этого блока. П р и ч е м в контрольных разрядах для реализации покрытия функций исправления одиночных о ш и б о к применяется один о б щ и й базовый геометрический образ функции в координатах пространства a5 a6 a9 a10.

Отличие ж е устройств исправления о ш и б о к в информационных разрядах a5 - a11 заключается в том, что в каждом из них использовался свой базовый геометрический образ в координатах пространства a a a a, который распо¬ 5 6 9 лагался в начале координат общего цифрового пространства систематического кода. Это обстоятельство привело к значительному у с л о ж н е н и ю всей схемы устройства исправления ошибок, которая связана с необходимостью иметь различные блоки Б П (a a a a ) в каждом информационном разряде a - a.

5 6 9 10 5 Несмотря на то, что базовые геометрические образы функций в координа¬ тах a5 a6 a9 a10 для информационных (a1 - a4) и контрольных (X1 - X4) разрядов различны, они имеют одинаковую структуру построения, которая определяет¬ ся одинаковым расположением составляющих их функций (m -» 5..., m о 1 0..., m о 7..., m о 2..., m -»4..., m -»1..., m о б..., m -»3...,) в этих 3 4 5 6 7 координатах базового геометрического образа. И м е н н о это позволяет иметь один блок Б П (a5 a6 a9 a10) для информационных (a1 - a4) и контрольных (X1 - X4) разрядов.

Учитывая это обстоятельство, используем одинаковый базовый геометри¬ ческий образ, который был выбран для контрольных разрядов (см. рис. 5.34), для и н ф о р м а ц и о н н ы х разрядов (a1 - a4) систематического кода. Тогда, выпол¬ няя все перечисленные в ы ш е правила построения геометрических образов ис¬ правленных сигналов a' - a', получим один блок Б П (a a a a ) для всех ин¬ 1 11 5 6 9 формационных и контрольных разрядов этого кода, где для каждого из разря¬ дов меняются только сочетание прямых и инверсных сигналов на входных шинах этого блока.

В ы х о д н ы е сигналы этого блока, которые поступают на входные ш и н ы со¬ ответствующих блоков Б П ^ - a ), задаются данными табл. 5.4.1. ai - a4 Та6лица 5.4. БГО1 Сиг налы блокаi En(a 5 6 9 i a a a ) Разряды Ы (aio) (aio) Ы (a5) (as) БГО * * * — * &i & a' БГО * * * a 5 * a' БГО4 * * * a 6 * * * БГО5 a * * a * * a * * БГО a6 * a 9 * * * БГО5 a'v * * a7 a * * * * * * БГО5 a'8 a ii a * * * * x БГО a * * * X2 * БГО * * a 10 X3 * *.a'ii БГО5 * * * X a * X'i БГО X1 Синтезированная таким образом структурная схема устройства исправления одиночных оши¬ БГО X бок (рис. 5.40) содержит о б щ и й функциональный БГО5 блок поворота координат Б П (a5 a6 a9 a10), прямые и X инверсные сигналы (a5), (a6), (a9), (a10) которого 1 БГО5 X' поступают на первые входные ш и н ы блоков Б Г О 1 - Б Г О 5. Н а вторые входные ш и н ы этих бло¬ (as), (a6), (a9), (aio) ков подаются сигналы a1 - a4 первых четырех ин¬ формационных разрядов. Блоки Б Г О 1 - Б Г О формируют соответственно исправленные сигна¬ Б П (a a a a ), 5 69 л ы a 1 - a 4, а одиннадцать блоков Б Г О 5 формиру¬ 1 ю т аналогичные сигналы a' - a' ;

x ' - x ', где в 5 11 1 каждом из этих блоков имеется третий вход, на as, a6, a9, aio который поступают соответствующие этому блоку сигналы a5 - a11;

x1 - x4.

Рис. 5. П р и у м е н ь ш е н и и числа информационных разрядов кода происходит ис¬ чезновение соответствующих и м блоков Б Г О 5, а также изменяется о б щ и й блок Б П (a5 a6 a9 a10), как это представлено в ы ш е на функциональных схемах рис. 5.39, а - е.

Функциональная схема Б П (a a a a ) состоит из трех четырехвходовых 5 6 9 функций, геометрический образ которых обладает полной симметрией относи¬ тельно осей двухмерного пространства, и одной трехвходовой функцией, и м е ю щ е й ограниченную с и м м е т р и ю в этой мерности пространства. Учитывая это обстоятельство, в соответствии с д а н н ы м и табл. 5.3.1, 5.3.2 общее число эквивалентных схем этого блока равно 10616832, в каждой из которых меня¬ ются только местами либо одновременно инвертируются сигналы на входных шинах составляющих их схем.

Математиков не должен смущать практический подход, ибо решение практи­ ческих задач часто приводит к глубокому исследованию «абстрактных» математиче­ ских объектов.

Э. Берлекэмп Есть одна опасность в обращении к классическим работам, кажется, что на них все ссылаются, но редко кто их читает.

Г. Глинский Глава ПРОДОЛЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА КОДОВ, ИСПРАВЛЯЮЩИХ ОШИБКИ История исследования систематических совершенных кодов с информаци­ онной частью основания n = 2 начинается с работы математика Р. Ф и ш е р а (1942) [1], где представлен один из этих кодов. А н а л о г и ч н ы й код этого основа­ ния был в качестве примера приведен в работе К. Ш е н н о н а (1948) [3] и в даль­ н е й ш е м был обобщен М. Голеем (1949) [4]. Однако в литературе э т и коды обычно связывают с именем Р. Хемминга (1950), который в [5] представил не­ которое число этих кодов, позволяющих как обнаружить, так и исправить неко¬ т о р ы е т и п ы ошибок. Историческая неточность такого представления совершен¬ ных кодов однозначно отмечается в книге Э. Берлекэмпа [6], внесшего сущест¬ венный вклад в теорию кодов, исправляющих ошибки.

К совершенным систематическим кодам, исправляющим определенные группы о ш и б о к (одиночные;

одиночные и д в о й н ы е ;

одиночные, двойные и т р о й н ы е и т.д.), необходимо отнести также мажоритарный код для основания n = 2, который представлен в работе Дж. ф о н Н е й м а н а (1952) [2]. Совершенные коды этого основания содержат один информационный разряд и определенное количество контрольных разрядов, совпадающих с информационным. Число этих контрольных разрядов равно 2, 4, 6,..., что гарантирует кодовое расстоя­ ние между ц и ф р а м и 0 и 1, - соответственно 3, 5, 7,.... Э т и числа и определяют минимальное кодовое расстояние, которое должно быть между ш т а т н ы м и циф¬ р а м и л ю б о й позиционной системы счисления, обеспечивающими исправление соответствующих и м групп ошибок.

В м е с т е с т е м необходимо отметить, что у ж е на начальных этапах исследо­ ваний совершенных кодов [9] высказывалось мнение, что «имеются некоторые результаты, показывающие, что совершенных кодов мало, и кажется вполне правдоподобным, что не существует других совершенных кодов», кроме из¬ вестных в это время. В дальнейшем это предположение получило «подтвер ждение» в работах финских [8] и советских [7] авторов, которые в 1972 г.

«строго доказали» отсутствие каких-либо совершенных двоичных кодов, отличных от тех, которые были им известны. Позднее эти ж е авторы и амери­ канский ученый В а н Линт «получили полное решение вопроса о нахождении всех совершенных кодов, использующих p элементарных сигналов, где p произвольное число, а k - любое целое положительное число;

таких кодов ока¬ залось крайне мало» [10].

Ошибочность этих научных выводов показана в предыдущих главах книги:

число совершенных кодов, исправляющих все одиночные ошибки, как в ин¬ формационной, так и контрольной части систематического кода, где информа¬ ционная часть кода представляется в основном двоичном варианте, определяет¬ k ся выражением S = 2 (i !), в котором число контрольных разрядов k = 3, 4, 5,., а соответствующее им число информационных разрядов определяется k выражением i = 2 - 1 - k (i = 4, 11, 26,. ), неограниченно велико. П р и ч е м если в качестве информационной части кода использовать л ю б ы е двоичные коды 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Wi аз (0,3) а, Хз _ Х Х, 6 5 5 0 7 12 а) 4 4 2 к 3 0 1 2 3 4 5 6 W 7J и W 0 i i а з ai а2 (0,3) Хз (0,3) ai Х Х з 0 2 г) к Х Xi • ±] б) 6 5 3 3 5 к оснований систем счисления n =2', тогда 0 1 2 3 W Wa число совершенных кодов будет увеличено: i а k S = 2 (i!) (2'!).

ai Число квазисовершенных кодов, кото¬ (0,3) Х з р ы е являются о б р а з у ю щ и м и из совершенных Х кодов оснований систем счисления Xi 4 11 n = 2, 2, 2..., также необозримо велико.

0 6 5 к Н а рис. 6.1, а представлен пример со¬ вершенного кода (k = 3, i = 4) соответственно в) основанию n = 2 в его информацион¬ Рис. 6. ной части (координаты кода 0, табл. 4.9.2, а на рис. 6.1, б - квазисовершенный код (k = 3, i = 3) основания n = 7, который получен из совершенного кода основания n = 16. А н а л о г и ч н ы м образом формируются квазисовершенный код (k = 3, i = 2) основания n = (см. рис. 6.1, в), а также совершенный код (k = 2, i = 1) основания n = (см. рис. 6.1, г), который является мажоритарным кодом Дж. фон Неймана.

П о д о б н ы м образом из следующего совершенного кода (k = 4, i = 11) м о ж ­ но получить все квазисовершенные коды, которые при четырех контрольных разрядах исправляют все одиночные о ш и б к и в обеих частях систематического 10 кода оснований от 2 до 2 и т.д.

Поскольку совершенные коды играют значительную роль в системах переда¬ чи информации и еще большую в цифровых и логических системах управления, где кроме исправления ошибок при передаче и хранении информации они могут успешно использоваться в блоках безошибочной машинной арифметики, необхо¬ димо продолжить анализ и синтез таких совершенных и квазисовершенных кодов.

П р и этом, кроме применения двоичных кодов в информационной части систематического кода, необходимо рассмотреть использование здесь недвоич¬ ных кодов, например многофазных, интегральных, обычных цифровых и т.д. и не только для исправления всех одиночных ошибок, но и расширения спектра исправляемых ошибок.

С этой целью первоначально исследуем кодовые расстояния между кодовы¬ ми комбинациями основного двоичного кода. Для этого в цифровом пространстве этих кодовых комбинаций, например для основания n =16, кодовые расстояния могут представляться как результат операции сложения или вычитания по «моду¬ лю 2» операндов A и B и будут изображены соответствующей таблицей. Посколь­ ку операция сложения и вычитания по «модулю 2» одна и та же, то такая таблица, если прямой и обратный код преобразуются один в другой простым инвертирова¬ нием сигналов всех его разрядов, а именно это характерно для основного двоич¬ ного кода, будет симметрична относительно главной и побочной диагонали.

Н а рис. 6.2, а приведена часть такой таблицы, в к л ю ч а ю щ а я значения ко¬ довых расстояний на главной и побочной диагонали, а также значения над эти¬ ми диагоналями. Первая строка этой таблицы содержит кодовые расстояния между первой кодовой комбинацией, которая определяется цифрой 0, и всеми остальными. Вторая строка - между второй кодовой комбинацией (цифра 1) и п о с л е д у ю щ и м и кодовыми комбинациями и т.д. Последняя строка т а б л и ц ы оп¬ ределяет кодовое расстояние между кодовыми комбинациями, соответствую¬ щ и м и цифрам 14 и 15.

В п о л н е очевидно, что данные этой т а б л и ц ы являются суммой четырех аналогичных таблиц (рис. 6.2, б - д), которые задают кодовые расстояния меж­ ду сигналами каждого отдельного разряда соответственно a - a. Все эти таб¬ 1 л и ц ы имеют одинаковую структуру, которая определяется свойствами основно¬ го двоичного кода.

Остановимся на данных кодовых расстояний рис. 6.2, а. Для основания n = 16 ( ц и ф р ы 0-15) на побочной диагонали таблицы располагаются значения кодовых расстояний d = 4;

для основания n = 8 (цифры 0-7) - значения d = 3;

для основания n = 4 (цифры 0-7) - значения d = 2.

Н а побочных диагоналях таблиц кодовых расстояний отдельных разрядов (см. рис. 6.2, б - д) располагаются значения d = 1 и d = 0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 аз — Я 0 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 3 3 0 2 1 2 1 3 2 2 1 3 2 3 2 0 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 0 3 2 2 1 3 2 2 1 0 1 1 2 2 3 3 0 2 1 3 2 0 1 3 0 а) ai Н 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 10 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 б) а 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 в) аз 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 г) Рис. 6.2 (начало) о 0 0 0 0 0 0 1 1 0 о 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Рис. 6.2 (продолжение) С у м м а кодовых расстояний двух кодовых комбинаций, сумма весовых значений которых равна (n - 1), определяется значением кодового расстояния побочной диагонали этих таблиц. Для рис. 6.2, а при n = 16 это d = 4, а для всех остальных таблиц (рис. 6.2, б - д) кодовое расстояние d = 1.

Все 192 совершенных кода основания n = 2, представленные в табл. 4.2.2, соответствуют ч е т ы р е м т и п а м таблиц кодовых расстояний между кодовыми комбинациями цифр 0-15.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 № a аз ai (0,0) Х 3 3 3 3 4 4 3 3 4 4 4 0 3 3 3 3 4 4 3 3 4 4 4 0 4 4 4 3 3 4 4 3 3 3 0 4 4 3 3 4 4 3 3 0 4 3 3 4 4 3 da,x 0 3 3 4 4 0 4 3 0 Рис. 6. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 № a аз a ai (1,0) Хз Х Xi 4 3 3 4 3 4 3 4 3 4 4 3 0 3 4 4 3 4 3 4 3 4 334 0 3 3 4 3 4 3 4 3 0 4 3 4 3 4 3 4 0 3 4 3 4 3 4 da,x 0 3 4 3 4 0 3 4 0 Рис. 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 №3 a аз a ai (2,0) Х з Х Xi 3 4 4 3 3 4 3 4 4 3 3 4 0 4 3 3 4 4 3 4 3 3 4 4 3 0 3 3 4 4 3 4 3 3 4 4 0 4 3 3 4 3 4 43 0 3 3 4 3 4 da,x 0 4 3 4 3 0 3 4 0 Рис. 6. 5 6 7 8 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 №4 a a a ai (3,0) Хз X Xi 3 4 3 4 4 3 4 3 3 4 3 0 4 3 4 3 3 4 3 44 3 4 0 3 4 3 3 4 3 44 3 4 0 3 4 4 3 4 33 4 0 3 3 4 3 44 da,x 0 4 3 4 0 3 4 0 Рис. 6. Н а рис. 6.3-6.6 приведены эти данные соответственно для кодов табл. 4.2.2 с координатами (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0).

Обозначим эти кодовые комбинации курсивом под номерами № 1, № 2, № 3, № 4 и в координатах табл. 4.2.2 разместим под этими номерами соответствую­ щ и е им системы кодовых расстояний.

Результаты этого отражены в табл. 6.1.

Поскольку сигналы контрольных разрядов здесь, также как сигналы ин¬ формационных разрядов кодов, п р и переводе из прямого кода в обратный пре¬ образуются один в другой простым инвертированием сигналов, то сложение кодовых расстояний двух кодовых комбинаций, сумма весовых значений ин¬ формационной части кода которых (n - 1) = 15, будет равно кодовому расстоя­ н и ю d = 7, находящемуся на побочной диагонали таблиц рис. 6.3-6.6.

Таблица 6. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 56 № № 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 25 2 2 3 3 3 3 3 3 26 3 3 4 4 4 4 4 4 27 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 5 3 3 3 3 3 3 29 3 6 2 2 2 2 2 2 30 2 7 4 4 4 4 4 4 31 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 9 4 4 4 4 4 4 33 4 10 3 3 3 3 3 3 34 3 11 2 2 2 2 2 2 35 2 12 1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 2 2 2 2 2 37 2 14 4 4 4 4 4 4 38 4 15 3 3 3 3 3 3 39 3 16 1 1 1 1 1 1 1 1 17 4 4 4 4 4 4 41 4 18 2 2 2 2 2 2 42 2 19 3 3 3 3 3 3 43 3 20 1 1 1 1 1 1 1 1 21 3 3 3 3 3 3 45 3 22 4 4 4 4 4 4 46 4 23 2 2 2 2 2 2 47 2 6.1. Синтез кодов с информационной частью в основном двоичном коде основания n = 2, исправляющих одиночные и двойные ошибки К о д о в ы е комбинации, у ж е и м е ю щ и е одиночные ошибки, при повторном возникновении в них одиночных о ш и б о к будут содержать двойные о ш и б к и либо могут вернуться в исходное безошибочное состояние. Очевидно, что ис­ правление в этих кодах групп одиночных и двойных о ш и б о к м о ж н о выполнить, если в таблице их кодовых расстояний будет этих значений не менее пяти.

П р и м е н е н и е в контрольной части такого систематического кода, например совершенного кода, исправляющего все одиночные ошибки основания n =2, которое должно совпадать с основанием информационной части синтезируемо¬ го кода, не позволит обеспечить необходимое минимальное кодовое расстоя¬ ние. В качестве иллюстрации этого утверждения выберем такой синтезирован­ ный код, где в его контрольной части выбран код из табл. 4.2.2 с координатами 0, 0, и построим таблицу кодовых расстояний этого систематического кода (рис. 6. 7).

Синтезированный подобным образом код будет иметь информационную (ai - a ) и контрольную (x - x ) части, а также соответствующие им кодовые 4 2 расстояния. Сумма этих кодовых расстояний, определяющая о б щ и е кодовые расстояния систематического кода, содержит значения меньше пяти (d = 4) и, следовательно, не дает возможности исправлять одновременно все одиночные и двойные ошибки.

Для того чтобы этот код позволял исправлять все одиночные и двойные ошибки, необходимо в его контрольную часть добавить еще один разряд - x i, который имеет кодовые расстояния 0-1 (см. рис. 6.7).

С у м м а кодовых расстояний (a - a ) и (x - x ) представляет кодовые рас¬ 1 4 1 стояния синтезированного совершенного систематического кода, позволяюще¬ го исправлять все одиночные и двойные ошибки. Очевидно, что число таких совершенных кодов основания n =2 представляется табл. 4.2.2, которая опре¬ деляет контрольную часть этого кода.

Квазисовершенные коды, позволяющие исправлять все одиночные и двой¬ ные ошибки меньших оснований систем счисления, просто определяются из рис. 6.6, где для основания n = 2 информационная и контрольная части кода содержат соответственно разряды - (a - a ), (x - x ) ;

для основания n =2 это 1 3 1 (a - a ), (x - x ) ;

а для основания n =2 происходит превращение кода в совер­ 1 2 1 ш е н н ы й код Дж. Неймана, где общее число разрядов кода равно пяти.

Соотношения весовых значений кодовых комбинаций информационной (0-15) и контрольной (0, 30, 39, 57, 75, 85, 108, 114, 141, 147, 170, 180, 192, 216, 225, 255) частей совершенного систематического кода позволяют представить в соответствующем многомерном цифровом пространстве штатные и ошибоч¬ ные значения цифр всех этих оснований систем счисления и на их основе по¬ строить геометрические образы исправленных разрядов систематического кода.

о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 вес и a аз а а Х Х Хб Х (0,0) Х Хз Х Х 39 57 75 85 108 114 141 147 170 180 198 216 0 30 к 0 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1 3 2 2 1 3 2 2 0 1 2 3 1 2 2 3 1 0 2 1 3 2 2 - a da ai 1 2 2 3 3 2 1 3 2 0 1 3 0 0 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 0 4 4 4 3 3 4 3 3 3 0 3 3 X2 - X dx 3 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 dx X i 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 5 5 6 5 6 6 6 6 6 6 7 6 7 7 0 6 5 6 5 6 6 6 6 7 6 7 6 0 5 6 6 5 6 6 7 6 6 7 0 6 6 6 5 7 6 6 6 0 5 5 6 6 7 7 0 6 5 7 6 0 5 7 0 Рис. 6. Результаты таких построений для основания системы счисления n =2 при­ ведены в табл. 6.1.1, где красным цветом отмечены штатные цифры, черным ц и ф р ы п р и одиночной ошибке в разрядах систематического кода, а с одиноч­ н ы м и и д в о й н ы м и штрихами - ц и ф р ы п р и двойных ошибках в этих разрядах кода.

Таблица 6.1. Информационная часть кода Контр.

часть 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 кода 0 0 0 0' 0 0' 0' 0 0' 0' 0' 1 0 0' 0' 0' 0' 2 0 0' 0' 0' 0' 3 0'' 2'' 4'' 9'' 4 0 0' 0' 0' 0' 5 0'' 2'' 5'' 8 12'' 6 0'' 1'' 2'' 7 2' 2 2' 2' 2' 8 0 0' 0' 0' 0' 9 0'' 3'' 4'' 8'' 10 0'' 1'' 4'' 10'' 11 4' 4 4' 4' 4' 12 0'' 1'' 6'' 8'' 13 8' 8 8' 8' 8' 14 1' 1 1' 1' 1' 15 1'' 2'' 4'' 16 0 0' 0' 0' 0' 17 0'' 3'' 5'' 9'' 18 0'' 1'' 7'' 9'' 19 9' 9' 9 9' 9' 20 0'' 1'' 11'' 21 5' 5' 5 5' 5' 22 1' 1 1' 1' 1' 23 1'' 2'' 5'' 9'' 24 0'' 1'' 3'' 13'' 25 3' 3' 3 3' 3' 26 1' 1 1' 1' 1' 27 1'' 3'' 4'' 9'' 28 1' 1 1' 1' 1' 29 1'' 3'' 5'' 8'' 30 1 1' 1 1' 1 1' 1' 1 1' 1' 31 1' 1 1' 1' 1' 32 0 0' 0' 0' 0' 33 0'' 2'' 3'' 14'' 34 0'' 2'' 7'' 10'' 35 2' 2 2' 2' 2' 36 0'' 2 6'' 11'' 37 2' 2 2' 2' 2' 38 2' 2 2' 2' 2' 39 2 2' 2 2' 2 2' 2' 2 2' 2' 40 0'' 3'' 6'' 10'' 41 3' 3' 3 3' 3' 42 10' 10' 10 10' 10' 43 2'' 3'' 4'' 10'' 44 6' 6' 6 6' 6' 45 2'' 3'' 6'' 8'' 46 1'' 2'' 6'' 10'' 47 2' 2 2' 2' 2' 48 0'' 3'' 7'' 11'' 49 3' 3' 3 3' 3' 50 7' 7' 7' 7 7' 51 2'' 3'' 7'' 9'' Продолжение табл. 6.1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 11' 11' 11' 11 11' 53 2'' 3'' 11'' 54 1'' 2'' 7'' 11'' 55 2' 2 2' 2' 2' 56 3' 3' 3 3' 3' 57 3' 3 3 3' 3' 3 3' 3' 3 3' 58 1'' 3'' 7'' 10'' 59 3' 3' 3 3' 3' 60 1'' 3'' 6'' 11'' 61 3' 3' 3 3' 3' 62 1' 1 1' 1' 1' 63 1'' 2'' 3'' 15'' 64 0 0' 0' 0' 0' 65 0'' 4'' 5'' 14'' 66 0'' 4'' 7'' 12'' 67 4' 4 4' 4' 4' 68 0'' 5'' 6'' 12'' 69 5' 5' 5 5' 5' 70 12' 12' 12 12' 12' 71 2'' 4'' 5'' 12'' 72 0'' 4'' 6'' 13'' 73 4' 4 4' 4' 4' 74 4' 4 4' 4' 4' 75 4 4' 4' 4 4 4' 4' 4 4' 4' 76 6' 6' 6 6' 6' 77 4'' 5'' 6'' 8'' 78 1'' 4'' 6'' 12'' 79 4' 4 4' 4' 4' 80 0'' 5'' 7'' 13'' 81 5' 5' 5 5' 5' 82 7' 7' 7' 7 7' 83 4'' 5'' 7'' 9'' 84 5' 5' 5 5' 5' 85 5' 5 5' 5 5' 5 5' 5' 5 5' 86 1'' 7'' 12'' 87 5' 5' 5 5' 5' 88 13' 13' 13' 13 13' 89 3'' 4'' 5'' 13'' 90 1'' 4'' 7'' 13'' 91 4' 4 4' 4' 4' 92 1'' 5'' 6'' 13'' 93 5' 5' 5 5' 5' 13' 94 1 1 1 1 95 1'' 4'' 5'' 15'' 96 0'' 6'' 7'' 14'' 97 14' 14' 14' 14 14' 98 7' 7' 7' 7 7' 99 2'' 4'' 7'' 14'' 100 6' 6' 6 6' 6' 101 2'' 5'' 6'' 14'' 102 2'' 6'' 7'' 12'' 103 2' 2 2' 2' 2' Продолжение геометрического синтеза кодов, исправляющих ошибки Продолжение табл. 6.1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 104 6' 6' 6 6' 6' 105 3'' 4'' 6'' 14'' 106 4'' 6'' 7'' 10'' 107 4' 4 4' 4' 4' 108 6' 6 6' 6 6' 6 6' 6' 6 6' 109 6' 6' 6 6' 6' 110 6' 6' 6 6' 6' 111 2'' 4'' 6'' 15'' 112 7' 7' 7' 7 7' 113 3'' 5'' 7'' 14'' 114 7' 7' 7 7' 7 7 7' 7' 7' 115 7' 7' 7' 7 7' 116 6'' 7'' 11'' 117 5' 5' 5 5' 5' 118 7' 7' 7' 7 7' 119 2'' 7'' 15'' 120 3'' 6'' 7'' 13'' 121 3' 3' 3 3' 3' 122 7' 7' 7' 7 7' 123 3'' 4'' 7'' 15'' 124 6' 6' 6 6' 6' 125 3'' 5'' 6'' 126 1'' 6'' 7 15'' 127 15' 15' 15' 15' 128 0 0' 0' 0' 0' 129 0'' 8'' 9'' 14'' 130 0'' 9'' 10'' 12'' 131 9' 9' 9 9' 9' 132 0'' 8'' 11'' 12'' 133 8' 8 8' 8' 8' 134 12' 12' 12 12' 12' 135 2'' 8'' 9'' 12'' 136 0'' 8'' 10'' 13'' 137 8' 8 8' 8' 8' 138 10' 10' 10 10' 10' 139 4'' 8'' 9'' 10'' 140 8' 8 8' 8' 8' 141 8 8' 8' 8' 8 8 8' 8 8' 8' 142 1'' 8'' 10'' 12'' 143 8' 8 8' 8' 8' 144 0'' 9'' 11'' 13'' 145 9' 9' 9 9' 9' 146 9' 9' 9 9' 9' 147 9' 9 9' 9' 9 9' 9 9' 9 9' 148 11' 11' 11' 11 11' 149 8'' 9'' 11'' 150 1'' 9'' 11'' 12'' 151 9' 9' 9 9' 9' 152 13' 13' 13' 13 13' 153 3'' 8'' 9'' 13'' 154 1'' 9'' 10'' 13'' 155 9' 9' 9 9' 9' Продолжение табл. 6.1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 156 1'' 8'' 11'' 13'' 157 8' 8 8' 8' 8' 158 1' 1 1' 1' 1' 159 1'' 8'' 9'' 15'' 160 0'' 10'' 11'' 14'' 161 14' 14' 14' 14 15' 162 10' 10' 10 10' 10' 163 2'' 9'' 10'' 14'' 164 11' 11' 11' 11 11' 165 2'' 8'' 11'' 14'' 166 2'' 10'' 11'' 12'' 167 2' 2 2' 2' 2' 168 10' 10' 10 10' 10' 169 3'' 8'' 10'' 14'' 170 10' 10 10' 10' 10 10' 10 10' 10 10' 171 10' 10' 10 10' 10' 172 6'' 8'' 10'' 11'' 173 8' 8 8' 8' 8' 174 10' 10' 10 10' 10' 175 2'' 8'' 10'' 15'' 176 11' 11' 11' 11 11' 177 3'' 9'' 11'' 14'' 178 9'' 10'' 11'' 179 9' 9' 9 9' 9' 180 11' 11' 11 11' 11' 11 11 11' 11' 181 11' 11' 11' 11 11' 182 11' 11' 11' 11 11' 183 2'' 9'' 11'' 15'' 184 3'' 10'' 11'' 13'' 185 3' 3' 3 3' 3' 186 10' 10' 10 10' 10' 187 3'' 9'' 10'' 15'' 188 11' 11' 11' 11 11' 189 3'' 8'' 11'' 15'' 190 1'' 10'' 11'' 15'' 191 15' 15' 15' 15' 192 0'' 12'' 13'' 14'' 193 14' 14' 14' 14 14' 194 12' 12' 12 12' 12' 195 4'' 9'' 12'' 14'' 196 12' 12' 12 12' 12' 197 5'' 8'' 12'' 14'' 198 12' 12 12' 12' 12 12' 12' 12 12 12' 199 12' 12' 12 12' 12' 200 13' 13' 13' 13 13' 201 4'' 8'' 13'' 14'' 202 4'' 10'' 12'' 13'' 203 4' 4 4' 4' 4' 204 6'' 8'' 12'' 13'' 205 8' 8 8' 8' 8' 206 12' 12' 12 12' 12' 207 4'' 8'' 12'' 15'' 208 13' 13' 13' 13 13' 209 5'' 9'' 13'' 14'' 210 7'' 9'' 12'' 13'' 211 9' 9' 9 9' 9' Окончание табл. 6.1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 212 5'' 11'' 12'' 13'' 213 5' 5' 5 5' 5' 214 12' 12' 12 12' 12' 215 5'' 9'' 12'' 12'' 15'' 216 13' 13' 13 13' 13' 13 13' 13 13' 217 13' 13' 13' 13 13' 218 13' 13' 13' 13 13' 219 4'' 9'' 13'' 15'' 220 13' 13' 13' 13 13' 221 5'' 8'' 13'' 15'' 222 1'' 12'' 13'' 15'' 223 15' 15' 15' 15' 224 14' 14' 14' 14 14' 225 14' 14' 14 14' 14' 14 14' 14 14' 226 7'' 10'' 12'' 14'' 227 14' 14' 14' 14 14' 228 6'' 11'' 12'' 14'' 229 14' 14' 14' 14 14' 230 12' 12' 12 12' 12' 231 2'' 12'' 14'' 15'' 232 6'' 10'' 13'' 14'' 233 14' 14' 14' 14 14' 234 10' 10' 10 10' 10' 235 4'' 10'' 14'' 15'' 236 6' 6' 6 6' 6' 237 6'' 8'' 14'' 15'' 238 6'' 10'' 12'' 15'' 239 15' 15' 15' 15' 240 7'' 11'' 13'' 14'' 241 14' 14' 14' 14 14' 242 7' 7' 7' 7 7' 243 7'' 9'' 14'' 15'' 244 11' 11' 11' 11 11' 245 5'' 11'' 14'' 15'' 246 11'' 12'' 15'' 247 15' 15' 15' 15' 248 13' 13' 13' 13 13' 249 3'' 13'' 14'' 15'' 250 7'' 10'' 13'' 15'' 251 15' 15' 15' 15' 252 6'' 11'' 13'' 15'' 253 15' 15' 15' 15' 254 15' 15' 15' 15' 255 15' 15' 15' 15 15' 15' 15 15' 15 Д а л ь н е й ш и е действия по определению геометрических образов исправ¬ ленных сигналов информационных и контрольных разрядов систематического кода, а также реализация покрытия этих геометрических образов и нахождения соответствующих и м логических функций не представляют какой-либо слож¬ ности.

П р и этом число кодов контрольных разрядов, позволяющих исправлять все одиночные и двойные ошибки, будет определяться д а н н ы м и табл. 6.1.2, аналогичной табл. 4.2.2.

К о д ы контрольных разрядов, подобные рис. 6.8 и и м е ю щ и е минимальные кодовые расстояния d = 4 во всех ячейках, кроме расположенных на диаго­ MHH налях этих таблиц, будем называть «образующими» контрольных разрядов систематического кода определенного основания системы счисления. Для ос­ нования n = 2 число таких «образующих» кодов - 384.

Для того чтобы иметь возможность исправлять все одиночные, двойные и т р о й н ы е ошибки, необходимо иметь в систематическом коде минимальное кодовое расстояние d = 7. Сложение кодовых расстояний совершенного сис­ MHH тематического кода, исправляющего все одиночные ошибки (d = 3), с «обра­ MHH з у ю щ и м » кодом (d = 4) позволяет выполнить эту задачу синтеза. Тогда чис¬ MHH ло систематических кодов, исправляющих все одиночные, двойные и тройные ошибки, будет равно произведению этих кодов S =S [7] = 192 х 384 = 1;

2;

3 dMHH = 73728. П р и м е р такого кода, в основу которого взяты коды из табл. 4.2.2 и 6.1.2 с одноименными координатами (0,0), изображен на рис. 6.9.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 аз а ai Xii Xio _ X Xg X X X X X _ X Xi Рис. 6. Здесь между сигналами разрядов систематического кода существуют сле­ д у ю щ и е соотношения: a = x, a = x, a = x, a = x.

1 5 2 6 3 7 4 Для исправления всех одиночных, двойных, тройных и четверных о ш и б о к необходимо иметь в систематическом коде минимальное кодовое расстояние d = 9. Следовательно, сложение кодовых расстояний совершенного система­ MHH тического кода, исправляющего все одиночные и двойные о ш и б к и ( d = 5), с MHH «образующим» кодом (d = 4) позволяет это выполнить. Так же, как и выше, MHH число систематических кодов, исправляющих все одиночные, двойные и трой¬ ные ошибки, будет равно произведению этих кодов S =S [ ] = 384 х 384 = 1;

2;

3;

4 dMHH = 147456, а пример такого кода при таких ж е условиях его формирования при­ веден на рис. 6.10.

О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 аз а ai Xl Xl Xi Xl Xl Xll Xl X X X X X X X X l Рис. 6. Соотношения между разрядами восьми групп сигналов этого системати­ ческого кода следующие: a i = x =x;

a =x =x;

a =x =x;

a =x = x;

13 5 2 14 6 3 15 7 4 16 x4 = x i 2 ;

x3 = x n ;

x2 = x i o ;

x i = x. В первых четырех группах сигналов, в каждой из которых содержится один информационный и два контрольных разряда, что характеризует совер­ ш е н н ы й мажоритарный код Дж. Неймана, имеется возможность автономно от других разрядов весьма просто исправлять все одиночные о ш и б к и и опреде¬ ленное число двойных, тройных и четверных о ш и б о к в сигналах этих групп.

Д а н н о е обстоятельство может быть использовано при реализации принципи¬ альных схем исправления о ш и б о к в этом типе кодов.

Определим о б щ е е число всех исправляемых ошибок, когда каждый ин¬ ф о р м а ц и о н н ы й разряд систематического кода основания n = 2 представлен в мажоритарном коде Дж. Неймана. Для этого обозначим контрольные разряды для каждого информационного разряда буквами x, y:

a1 a2 a3 a X3 X y y y 2 3 y О б щ е е число всех типов возможных о ш и б о к определяется числом сочета¬ ний из 12 по 1, 2, 3 и 4. Это соответственно значения: 12, 66, 220, 495. Очевид­ но, что число всех исправляемых одиночных о ш и б о к - 12, все остальные т и п ы о ш и б о к исправляются не полностью, поскольку в каждой из групп может быть исправлена только одна ошибка.

Число исправляемых двойных, тройных и четверных о ш и б о к следует из их графического представления на рис. 6. 11-6.13, где цветом выделен сигнал соответствующего разряда в каждой из групп, который участвует в соответст¬ в у ю щ е м сочетании за исключением сигналов этой группы.

Тогда число исправляемых двойных о ш и б о к - 54, тройных - 76, четвер¬ ных - 81.

a4 a4 a aз a a ai a2 a a4 з з X1 X X2 X4 X3 X4 X2 X4 X2 X x 3 X y y y y y y y y li Уi з 4 2 4 2 1 X2 X3 X y y y y y y y y y 2 3 4 3 4 2 4 2 y y y 1 1 y y y y y y y y 2 3 4 2 3 4 3 y Рис. 6. a4 a4 a4 a a1 a2 a3 a3 a a X1 X y y y y y y 3 4 4 2 2 y y 1 a4 a4 a a1 a3 a a X2 X y y y y y y 3 4 4 2 2 y y y 1 1 a4 a a3 a X1 X y y y 2 3 y y y y 3 4 4 y y 1 X1 X2 X3 X4 X X3 X4 X3 X X y y y y y y y 3 4 4 2 1 2 y y 1 X X y y y y y y 2 3 4 4 2 y y y y y y y 2 3 4 2 3 y Рис. 6. a4 a4 a аз a2 a2 a2 a X4 Xi хз y y y y 4 4 3 a a a a2 a3 a3 a a Xi Xi Xi y y y 4 2 y i a4 a4 ai a a Xi X2 X Xi X y y y y 3 3 4 a a4 a4 a a Xi X Xi Xi y y 3 y a a a Xi X y y y y 2 2 3 a a4 a4 a ai a Xi X y y y y y y y y y 2 4 2 4 2 3 4 3 a a2 a3 a Xi X3 X Xi X y y y y y y y 3 4 2 4 2 4 Xi X2 X4 X4 X3 X4 X X y y 3 y y y y 4 4 2 i Xi Xi X4 X4 X X X 2 y y y y y y y 4 2 3 4 4 2 y y y y 2 3 Рис. 6. Дальнейший синтез систематических кодов, исправляющих еще большее ко¬ личество подобных ошибок, не вызывает каких-либо трудностей. О н сводится к простой операции сложения соответствующих кодовых расстояний:

d d d d d d d и т. д.

С1мин [11] = M H H [7] + С1мин [4], M H H [13] = M H H [9] + M H H [4], M H H [15] = M H H [11] + M H H [4] Так ж е просто определяется число этих кодов: = S d M m j [11] S d M m j [7] S d м и н [ 4 ], S S S S S и т. д.

SdMmi [13] = d м и н [9] d M m i [4], d м и н [15] = d M m i [1] d м и н [4] 6.2. Синтез кодов с информационной частью в основном двоичном коде основания 2, исправляющих все группы ошибок Н а ч н е м рассмотрение синтеза систематического кода с информационной частью основания n = 2 с более простого примера синтеза квазисовершенного кода основания n = 2, исправляющего одиночные и двойные ошибки.

Для основания n = 2 « о б р а з у ю щ и й код», где а- минимальное расстояние между к о д о в ы м и комби­ а- нациями сигналов разрядов d = 4, формируется из MHH ai контрольной части совершенного кода (k = 4, 0 7 3 4 11 12 8 n = 2 ), исправляющего все одиночные ошибки. аз 5 2 6 1 14 9 13 Поскольку число таких совершенных кодов ац 6 1 5 2 13 10 14 большое, то первоначально ограничимся одним из I I 3 4 0 7 8 15 11 них. Пусть соотношения между и н ф о р м а ц и о н н ы м и + CT и контрольными разрядами этого совершенного Рис. 6. кода определяются кодом табл. 4.2.2 с координата¬ ми 0,0. П р и этом связь между информационными и контрольными цифрами кода будет соответствовать рис. 6.14, где в ячейках пространства информацион¬ ной части квазисовершенного кода (k = 4, i = 5), исправляющего все одиночные ошибки, записаны цифры его контрольной части.

Тогда «образующий код» основания n = 2 будет включать контрольные разряды x -г x (рис. 6.15, а) систематического кода, исправляющего все оди¬ 1 ночные и двойные ошибки. Н а этом рисунке также приведены кодовые рас¬ стояния в информационной D(a -г a ) и контрольной D ( x -г x ) частях кода, где 1 5 1 их арифметическая сумма определяет кодовое расстояние D ( a -г a, x -г x ) 1 5 1 всего кода (рис. 6.15, б).

К а к показано выше, дальнейший синтез совершенных систематических кодов, исправляющих еще большее количество подобных ошибок, если извес¬ тен «образующий», не вызывает каких-либо трудностей и сводится к простой операции сложения соответствующих кодовых расстояний: (1 [7] = (1 [3] + мин мин + = + = + и т.д.

( ( ( ( ( ( ( м и н [4], м и н [9] м и н [5] м и н [4], м и н [11] м и н [7] м и н [4] Это в равной степени относится как к совершенным, так и к квазисовер¬ ш е н н ы м кодам. Поэтому перед нами стоит задача перейти от синтеза квазисо¬ вершенного кода основания n = 2 к синтезу совершенных кодов основания n = 2, исправляющих все группы ошибок.

Для этого необходимо синтезировать «образующий код» основания n = при известности подобного кода основания n = 2.

012345678 9 10 11 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 202122 23 24 25 26 27 28 29 30 a a аз ai Хю Х Х Х Х Х Х Х з Х Х 112 1 2 2 3 12 3 2 3 34 1 2 2 3 2 3 3 4 2 3 3 4 34 021 2 1 3 2 21 32 324 3213232433243 43 2 34 2 2 3 3 1 2 3 4 2 3 3 4 2 3 01 2 3 1 2 23 14 3 3 2 3 2 2 1 4 3 3 2 4 3 3 2 0 3 2 2 1 32 0 1 1 2 23 0 2 1 32 43 23 0 1 0 43 32 01 0 da 0 0 21 4 0 1 4 4 444448 444866666666 48 44448 4448466666666 84 4 0 4448 44484466666666 0 44444 4 448 0 4444 4 48 0 444 4 0 44 84 4 04 44 4 0 8 4 44 0 4 0 0 44 0 a) Рис. 6.15 (начало) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 05565667 6 67 6 7 7 12 5 6 6 11 9 10 7 12 12 8 9 9 0656576 5 76 7 6 12 7 6 5 11 6 10 9 12 7 9 8 10 056756 7 12 6 6 6 11 5 7 56 8 9 12 9 10 9 8 07665 6 65 12 7 7 6 11 6 6 5 10 0556 7 7 12 5 6 6 7 8 9 9 6 5 7 6 065 6 12 6 7 5 6 9 10 8 9 6 11 5 12 0 5 7 12 7 6 6 5 10 9 9 8 11 6 0 12 7 76 5 6 6 7 8 9 9 10 7 12 12 05 6 5 7 6 9 8 10 9 12 7 0 05 6 7 5 6 9 0 7 6 6 5 10 9 da,x 0 5 5 6 7 12 12 06 0 б) Рис. 6.15 (продолжение) « О б р а з у ю щ и й » код основания n = 2 явля­ a5,xio ется частью аналогичного кода основания n = a2, Х7 _ и может быть представлен в пространстве коор­ a i, Х динат его информационной части разрядов a - a 1 (рис. 6.16а) либо в координатах только одного 0 14 7 9 22 24 17 а з, xs разряда a. В последнем случае это - две ячейки I IT 12 29 19 26 II a4, Х пространства, где содержание первой ячейки 13 3 10 4 27 21 28 обозначено о, второй - а +. 6 8 1 15 16 30 23 1 + Это подпространство является частью про­ CT странства координат a - a (рис. 6.16б), которое Рис. 6.16а 5 было синтезировано в гл. 3.

as, x i 3 a7, x i 2 a6, x i i + + + + + + + + I ai a2 a3 a4 a4 a3 a a9, x i as as as as + + + + + + + + аб as as a7 a7 as as a aio, x i s ai ai + + + + + + + + as as as as аз ai ai I + + + + + + + + ai ai a i i, xi as as as a7 as + + + + + + + + as as as as ai ai + + + + + + + + ai ai аз a4 a2 a2 a4 a as as as as + + + + + + + + ai ai аб as as as as + + + + + + + + as a6 a7 as as a7 as a ai a2 a3 a4 a4 a3 a2 ai Рис. 6. Содержимое ячеек подпространств a - a это - цифровые (весовые) зна­ 1 чения контрольных разрядов x - x «образующего кода», как и аналогичное 1 содержимое подпространств а + - а +, переходят одно в другое соответствую­ 1 щ и м и мысленными поворотами относительно осей симметрии координат a - a. 1 + Е с л и положение координат для а иа принять исходными, что обозна­ 1 чается как, 0 14 7 9 16 30 23 11 5 12 2 27 21 28 ^ а^ 4 = ^ а^ a ) = ( a a ) 01 b 13 3 10 4 29 19 26 6 8 1 15 22 24 17 то м ы с л е н н ы е повороты относительно осей симметрии пространства координат a - a определяются для а - а и а + - а + с л е д у ю щ и м и зависимостями:

1 4 2 5 2 5 11 2 12 21 27 18 14 097 30 16 25 ( a b^ = a ) = a (a1, 4 O a ) 2 8 6 15 1 24 22 31 3 13 4 10 19 29 20 28" T8" 12 T~ ТГ 5 27~ 7 9 0 14 23 25 16 ( a b = a ) = O a ) 4 3 1 15 6 8 17 31 22 10 4 13 3 26 20 29 97 14 0 25 23 30 2 12 5 11 18 28 21 ( a b = O a, a ) 4 3 O (a a, a ) 4 b 3 4 = 4 10 3 13 20 26 19 15 1 8 6 31 17 24 6 8 1 15 22 24 17 13 3 10 4 29 19 26 c5(a1, a4) = 11 5 12 2 G5 l 2 4 = ( a, a, a ) 27 21 28 0 14 7 9 16 30 23 7 9 0 14 23 25 16 12 2 11 5 28 18 27 (a a, a ) O ( a, a, a ) °6 b 3 4 = 6 1^ 3 4 = 10 4 13 3 26 20 29 1 15 68 17 31 22 14 097 30 16 25 5 11 2 12 21 27 18 ^7 з 4 = rf a, a, a ) = ( a C7(a1, 2 3 4 b^ a, a ) 3 13 4 10 19 29 20 8 6 15 1 24 22 31 11 5 12 2 27 21 28 0 14 7 9 16 30 23 ( a b^ ^ = a ) = as(a1, 4 a ) Og 4 [ 681 15 22 24 17 13 3 10 4 29 19 26 Э т и зависимости определяют только первую часть разрядов (x - x ) «об¬ 1 разующего кода» основания n = 2, а остальные его разряды (x6 - x16) совпа¬ дают соответственно с информационными разрядами (a1 - a11) систематиче¬ ского кода.


Поскольку « о б р а з у ю щ и й код» полностью совпадает с контрольной частью систематического кода, исправляющего все одиночные и двойные ошибки, то задача синтеза такого кода основания n = 2 нами выполнена и нет каких-либо препятствий для построения кодов этого основания, исправляющих л ю б ы е группы из последовательных ошибок.

Аналогичные этапы синтеза могут быть выполнены для л ю б ы х совершен­ ных систематических кодов последующих е щ е больших оснований систем 26 57 счисления (n = 2, 2, 2...). Ч и с л о контрольных разрядов таких кодов соот­ ветствует д а н н ы м табл. 6.2.1. К а ж д а я строка этой таблицы отвечает определен­ ному минимальному кодовому расстоянию с1 с1 с1 [ ],... кода, где мин мин мин d [ ] определяет основной двоичный код (k = 0 для всех оснований систем MHH счисления) без исправления ошибок. Таблица 6.2. Исправляемые 4 11 26 57 n=2 n=2 n=2 n=2 n= ошибки k =0 k =0 k =0 k =0 k =0 С мин [1] k =3 k =4 k =5 k =6 k =7 С мин [3] k =8 k = 16 k = 32 k = 64 k = 128 1, С мин [5] k = 11 k = 20 k = 37 k = 70 k = 135 1,2, С мин [7] k = 16 k = 32 k = 64 k = 128 k = 256 1,2,3, С мин [9] k = 19 k = 36 k = 69 k = 134 k = 263 1,2,3,4, С мин [11] k = 24 k = 48 k = 96 k = 192 k = 384 1,2,3,4,5, С мин [13] k = 27 k = 52 k = 101 k = 198 k = 391 1,2,3,4,5,6, С мин [15] Вторая строка этой т а б л и ц ы с м и н и м а л ь н ы м кодовым расстоянием ё [] мин определяет число контрольных разрядов всех совершенных кодов, исправляю¬ щ и х одиночные ошибки. Остальные строки таблицы относятся к квазисовер­ ш е н н ы м кодам, которые по определению используют не все многомерное циф¬ ровое пространство систематического кода, но исправляют все ошибки, опре¬ деляемые м и н и м а л ь н ы м кодовым расстоянием строки.

К а к ранее установлено, число совершенных кодов этой таблицы, исправ¬ л я ю щ и х все одиночные ошибки, огромно и определяется простой зависимо¬ k стью S = 2 (i!), а число квазисовершенных кодов, исправляющих большее число ошибок, где k i, не зависит от числа контрольных разрядов k и значительно больше. О н о совпадает с числом поворотов относительно осей симметрии ин¬ формационной части систематического код S = 2'(i!). Ч и с л о этих квазисовер­ 4 11 ш е н н ы х кодов относится только к основаниям систем счисления n = 2, 2, 2, 2,. этой таблицы.

В общее число квазисовершенных кодов необходимо также добавить коды промежуточных оснований систем счисления, которые известным образом формируются из кодов этой таблицы. Э т о квазисовершенные коды, исправ¬ л я ю щ и е все одиночные ошибки, оснований систем счисления, отличных от 4 11 26 n = 2, 2, 2, 2,.... О б р а з у ю щ и м и таких квазисовершенных кодов являются совершенные коды табл. 6.2.1.

6.3. Синтез систематических многофазных и интегральных кодов Необходимость распространить понятие совершенного кода на системати­ ческий код, где информационная часть представлена не основным двоичным кодом, а и н ы м и типами кодов, определяется неоднородностью существующих более или менее сложных автоматов. Я р к и м примером таких автоматов явля­ ются цифровые устройства электроприводов и систем энергоснабжения.

М н о г о ф а з н ы е и интегральные коды являются неотъемлемой частью таких устройств. Э т и коды при числе фаз больше двух обладают избыточностью и позволяют, как показано ранее, исправлять определенные т и п ы ошибок. При¬ чем возможности исправления большего количества о ш и б о к возрастают с уве¬ личением числа фаз, но исправить, например, все одиночные ошибки в много¬ фазных и интегральных кодах невозможно. Следовательно, решить одновре¬ менно задачи исправления о ш и б о к и резервирования без каких-либо дополне¬ ний и изменений здесь не получится.

Учитывая, что кодовые комбинации любого многофазного кода могут рас¬ сматриваться как совокупность единичных множеств определенных системати¬ ческих совершенных кодов, синтез совершенных многофазных кодов нераз¬ рывно связан с совершенными и квазисовершенными кодами определенных оснований систем счисления.

П р и ч е м информационная часть многочисленных совершенных многофаз¬ ных кодов, подобно двоичному принципу кодирования, может иметь основной многофазный код. Представляется целесообразным в качестве такого основного многофазного кода принять код в записи Либау - Крейга, структура которого одинакова для четного и нечетного числа фаз. Систематический многофазный код, где число фаз равно числу разрядов совершенных двоичных кодов (4, 11, 26, 57,...), из которого он формируется, может также называться совершенным.

Все остальные подобные многофазные коды, где число фаз не совпадает с раз¬ рядами совершенных двоичных кодов, следует относить к числу квазисовер¬ ш е н н ы х кодов.

П р и этом очевидно, что систематические многофазные коды с числом фаз включительно до четырех могут использовать все соотношения между инфор¬ м а ц и о н н ы м и и контрольными кодовыми комбинациями систематических со¬ вершенных кодов, представленных табл. 4.2.2.

6.3.1. Д в у х ф а з н ы й код Синтез совершенных многофазных кодов начнем с квазисовершенного двухфазного кода, который также является не основным двоичным кодом.

И н ф о р м а ц и о н н а я часть этого систематического кода (рис. 6.17, а) имеет минимальное кодовое расстояние с1 = 1, а кодовые расстояния контрольных мин частей кодов d (3), определяемые, например, соответственно четырьмя значе­ x ниями табл. 4.2.2 с к о о р д и н а т а м и 0, 0;

1, 0;

2, 0;

3, 0 (см. рис. 6.17, б - д), позволяют получить для этих систематических кодов минимальное кодовое расстояние с1 = 3 (см. рис. 6.17, е - з). Следовательно, эти систематические мин квазисовершенные двухфазные коды позволяют исправлять все одиночные ошибки. Аналогичные операции могут быть выполнены для всех остальных кодов табл. 4.2.2, н о м ы о г р а н и ч и м с я и в д а л ь н е й ш е м т о л ь к о ч е т ы р ь м я подобными кодами.

Координаты кодов табл. 4.2. Цифры 0 1 2 0,0 1,0 2,0 3, Х Х ai • Xi Wa(2) 2 wx(3) 0 7 4 3 w (3) 0 3 4 7 w (3) 0 5 6 3 w (3) 0 6 3 0 13 x x x 0121 0 312 022 0 2 13 0 012 021 02 0 3U U°.

01 03 0 d (3) 0 2 d (3) 0 2 dx(3) da(2) dx(3) oj 0 0 x x г) а) б) d) 0433 0 334 0 Кодовые расстояния 033 043 систематических 04 03 двухфазных кодов d(2,3) d(2,3) d(2,3) 0 0 d(2,3) e) ж) Рис. 6. Все эти систематические коды равноценны и содержат по три кон­ трольных разряда, но третий и четвертый коды здесь наиболее предпочти­ тельны для использования, поскольку имеют одинаковые кодовые рас­ с т о я н и я к о н т р о л ь н о й ч а с т и d = 2.

Для синтеза квазисовершенных систематических двухфазных кодов, исправляющих все одиночные и двойные ошибки, необходимо первона­ чально составить таблицу совершенных двоичных кодов, исправляющих эти т и п ы ошибок. Э т а новая таблица, которая из-за ее громоздкости здесь н е п р и в о д и т с я, д о л ж н а б ы т ь а н а л о г и ч н а т а б л. 4.2.2. И з э т о й н о в о й табли¬ цы нами был синтезирован в предыдущем параграфе один совершенный к о д ( с м. рис. 6.7), к о т о р ы й м о ж н о р а с п о л о ж и т ь в н е й п о д к о о р д и н а т о й 0,0.

Т о г д а п о а н а л о г и и с т а б л. 4.2.1 н е с л о ж н о п р е д с т а в и т ь в с е о с т а л ь н ы е кода. Остановимся только на ч е т ы р е х из них, например, соответственно с к о о р д и н а т а м и т а б л и ц ы 0, 0;

1, 0;

2, 0;

3, 0. Э т и к о д ы и з н о в о й т а б л и ц ы п р и в е д е н ы н а р и с. 6.18.

0,0 2,0 3, 1, 0 30 39 57 0 39 30 57 0 75 39 108 0 141 75 75 85 108 114 75 108 85 114 30 85 57 114 39 170 108 141 147 170 180 141 170 147 180 141 198 170 225 30 147 85 198 216 225 255 198 225 216 255 147 216 180 255 57 180 114 Рис. 6. И с х о д я из весовых значений кодовых комбинаций информационной части кода (рис. 6.17, а), а также соответствующих им весовых значений кодовых комбинаций контрольной части четырех систематических кодов рис. 6.18, не¬ сложно представить все кодовые расстояния их контрольных кодовых комби¬ наций (рис. 6. 19).

2, 0,0 1,0 3, Цифры 0 12 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 Х Х Х Х Х Х Х Х 0 30 57 39 0 39 57 30 0 75 108 39 141 198 wx(i) 0 4 4 4 0 4 4 4 0 4 4 4 4 4 0 4 4 0 4 4 0 4 4 4 0 4 0 4 0 4 0 d (6) d (6) dx(8) dx(7) x x 0 0 0 Рис. 6. К о д о в ы е расстояния контрольных разрядов во Цифры 0 1 2 0 5 6 всех четырех систематических кодах (см. рис. 6.19) 0 5 равны d = 4. Следовательно, все кодовые расстояния 0 d(2,6) этих систематических кодов также одинаковы (рис. 6.20). П р и ч е м в первых двух систематических Рис. 6. кодах имеется по шесть контрольных разрядов, в третьем коде - семь разрядов, а четвертом коде - восемь разрядов, а минималь¬ ное кодовое расстояние всех кодов, как это необходимо, d = 5. Поэтому, учи¬ Mira тывая затраты оборудования, только первые два кода м о ж н о считать квазисо¬ вершенными.

6.3.2. Т р е х ф а з н ы й код Информационная часть систематического кода, представленная в трехфаз¬ ном варианте (рис. 6.21, а), так же, как и для л ю б ы х многофазных кодов, имеет минимальное кодовое расстояние d = 1. Кодовые расстояния контрольных Mira частей кодов, определяемые, например, соответственно четырьмя значениями табл. 4.2.2 с координатами 0, 0;

1, 0;

2, 0;

3, 0 (см. рис. 6.21, б - д), дают возмож¬ ность получить для этих систематических кодов минимальное кодовое расстоя¬ ние d = 3 (см. рис. 6.21, е - и). П р и этом очевидно, что эти систематические Mira квазисовершенные трехфазные коды исправляют все одиночные ошибки. Анало¬ гичные операции могут быть выполнены для всех остальных кодов табл. 4.2.2.

К о д о в ы е расстояния d(3,6) 1, всех этих систематических ко¬ Х дов, которые равны сумме кодо¬ Х вых расстояний информацион¬ Х ной и контрольной их частей Хз _ (см. рис. 6.22, д), имеют мини¬ Х мальное значение d = 5, что Х1 Mira гарантирует исправление всех Wx (6) 0 39 57 114 85 одиночных и двойных ошибок.


0T Однако для первых двух кодов _0_ 4 4 4 требуется шесть контрольных разрядов, а для третьего кода dx(6) 0 семь контрольных разрядов.

L_ б) Поэтому только первые т р и кода из четырех, представленных 2,0 3, выше, могут считаться квазисо¬ Х вершенными. Д л я определения Х6 Х всех квазисовершенных кодов Х5 Х необходимо рассмотреть все Х Х 4 совершенных кода, исправляю¬ Хз Х з щих одиночные и двойные Х2 Х ошибки, что выходит за рамки Х1 _ Х настоящей работы.

W ( 6 ) 0 75 10 11 57 30 В дальнейшем изложении x 044444 будем рассматривать только 04444 _0_ 4 4 4 коды, исправляющие все оди¬ 0444 044 ночные ошибки. Поэтому из 04 dx(6) dx(7) рассмотренных двухфазных и 0 трехфазных кодов информаци¬ А.

онных частей систематических кодов, исправляющих э т и т и п ы ошибок, будем Цифры 0 1 2 3 4 иметь в виду только образующий совершенный код T~ 6 7 6 табл. 4.2.2 с координатами 0,3.

_0_ 5 6 7 Этот систематический совершенный код основа¬ 056 ния n = 2, взятый за основу п р и формировании квази¬ d(3,6) совершенных двухфазного и трехфазного кодов, име¬ ет в контрольных частях все одинаковые кодовые д) расстояния, соответственно равные d = 2, и поэтому Рис. 6. таблица кодовых расстояний контрольной части этих кодов может представляться при необходимости только первой строкой, из которой очевидны все другие строки таблицы (см. рис. 6.17, д;

6.21, д).

6.3.3. М н о г о ф а з н ы е к о д ы с числом фаз m = 4, 8, 16,...

Р а с с м о т р е н н ы е в предыдущих двух параграфах квазисовершенные двух­ фазные и трехфазные систематические коды также практически р е ш а ю т задачу синтеза всех совершенных и квазисовершенных м н о г о ф а з н ы х кодов с числом ф а з, кратным двум и т р е м.

Геометрическая симметрия многофазных кодов Цифры 0 1 2 3 4 5 6 ведет к симметрии весовых значений их кодовых a комбинаций, а также к симметрии кодовых расстоя­ аз ний и н ф о р м а ц и о н н ы х частей. В с е это позволяет использовать для всех этих системных кодов одина­ ai ковую контрольную часть при м и н и м а л ь н о м числе Wa(4) 0 1 3 7 15 14 12 разрядов, равном трем.

0 12 Обратимся к многофазному коду с ч и с л о м фаз 0 12 m, где весовые значения их кодовых к о м б и н а ц и й w (m) и кодовые расстояния d (m) находятся в опре¬ a a деленных соотношениях между собой и ц и ф р а м и 0 da(4) основания системы счисления n = 2m.

Э т и соотношения выражаются с л е д у ю щ и м об­ Хз разом: Х Xi 0 1 m m +1 m +2... 2m - Цифры...

0 1 m m Wa(m) 2 - 1 2 - 1 2-1 2- w (2) 0 6 3 5 0 6 3T 0 1 m m -1 m -2 da(m) x 022 2022 02 2202 Д л я совершенного четырехфазного кода эти 0 2220 соотношения приведены на рис. 6.23, а, где также 0222 показаны весовые значения кодовых к о м б и н а ц и й 022 02 контрольных разрядов w (2) и значения кодовых dx(3,2) x 0 расстояний этих разрядов d (3,2), где в скобках пер­ x 03 45454 в ы м представлено число контрольных разрядов - 3, 0 34565 а вторым - число фаз квазисовершенного двухфаз¬ 03456 ного кода, контрольные разряды которого исполь¬ 0345 034 зуются в данном случае.

03 d(4;

3,2) К о д о в о е расстояние систематического совер­ 0 шенного четырехфазного кода d(4;

3,2), равное сум¬ а) ме кодовых расстояний и н ф о р м а ц и о н н о й и кон¬ 12 3 4 5 6 Цифры трольной частей, имеет минимальное кодовое рас¬ 1 3 7 15 14 12 Wa(4) стояние d (4;

3,2) = 3, что гарантирует исправление MHH w (3,2) 0 6 3 5 0 6 3 x всех о д и н о ч н ы х ошибок. 0 1 2 3 4 3 2 da(4) Б о л е е сжатое представление совершенного че­ 2 2 2 0 2 2 dx(3,2) тырехфазного кода приведено на рис. 6.23, б, кото¬ d(4;

3,2) 0 3 4 5 4 5 4 рое показано только соотношениями между цифра¬ 6) м и основания системы счисления и значениями Рис. 6. wa(4), wx(3,2), da(4), dx(3,2), d(4;

3,2).

Тогда для восьмифазного кода аналогичные соотношения запишутся сле¬ д у ю щ и м образом:

Цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 13 7 15 31 63 127 255 254 252 248 240 224 182 Wa(8) w (3,2) 0 6 3 5 0 6 3 5 0 6 3 5 0 6 3 x 0 12 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 da(8) dx(3,2) 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 d(8;

3,2) 0 3 4 5 4 7 8 9 8 9 8 7 4 5 4 и т.д.

6.3.4. М н о г о ф а з н ы е к о д ы с числом фаз m = 6, 9, 12, 15, 18...

П р и синтезе системных квазисовершенных многофазных кодов с числом фаз, одновременно кратных двум и трем (m = 6, 12, 18,...), можно использовать кон¬ трольные разряды как квазисовершенных двухфазных кодов, так и трехфазных.

П о к а ж е м это на примере шестифазного кода. Использование контрольных разрядов квазисовершенного двухфазного кода позволяет синтезировать квази¬ совершенный шестифазный код со с л е д у ю щ и м и соотношениями:

Цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Wa(6) 0 1 3 7 15 31 63 62 60 56 48 w (3,2) 0 6 3 5 0 6 3 5 0 6 3 x 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 da(6) dx(3,2) 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 3 4 5 4 7 8 7 4 5 4 d(6;

3,2) А н а л о г и ч н ы е зависимости, когда контрольные разряды совпадают с таки¬ ми ж е разрядами квазисовершенного трехфазного кода, представляются сле¬ д у ю щ и м образом:

Цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Wa(6) 0 1 3 7 15 31 63 62 60 56 48 w (3,3) 0 6 3 0 6 3 0 6 3 0 6 x 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 da(6) dx(3,3) 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 d(6;

3,3) 0 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 Э т и два типа системных квазисовершенных шестифазных кодов, исправ­ л я ю щ и х все одиночные ошибки, и м е ю т одинаковую длину кода и р а в н о ц е н н ы по затратам оборудования для операций кодирования и декодирования. Однако второй системный код, где контрольные разряды равны контрольным разрядам квазисовершенного трехфазного кода, и м е ю т определенные преимущества по затратам оборудования для ряда устройств м а ш и н н о й арифметики и логиче­ ских схем.

Например, двухвходовой сумматор контрольных разрядов двухфазного ква­ зисовершенного кода (рис. 6.24, а ) содержит больше элементов, чем сумматор контрольных разрядов трехфазного квазисовершенного кода (см. рис. 6.24, б).

X (3,2) * a & Сумматор X (3,2) = X ( 3, 2 ) + Xb(3,2) c ai b bi Ьз * * * _*_ ci(3,2) = аз Ьз v аз Ьз Xb(3,2) Ij * * * * ** ** С2(3,2) = а b i b_2 v a i b i b v a2 b i b v a i b i Ьз * * 2 2 ** ** ** c (3,2) = a b b v a b b v a b b v bЬ ** 3 i i 2 2 i 2 i i 2 i З а) * * аз Сумматор X (3,3) = Xa(3,3) + Xb(3,3) a i Ьз b2 bi * II Xb * ci(3,3) = aз b2 v a2 ЬЗ v a i b i II * **_ С2(3,3) = ci(3,3) + Сз(3,3) = a2 b2 v a i ЬЗ v bi * Сз(3,3) = a i b2 v a2 b i v aз Ьз * б) * Рис. 6. Д л я систематических квазисовершенных многофазных кодов с числом фаз, кратным трем (m = 9, 15, 21,...), нет альтернативы выбора - число их контроль¬ н ы х разрядов равно контрольным разрядам квазисовершенного трехфазного кода.

6.3.5. И н т е г р а л ь н ы е к о д ы И н т е г р а л ь н ы е коды обладают высокой избыточностью и, аналогично мно­ гофазным кодам, позволяют исправлять о ш и б к и определенной кратности. С у в е л и ч е н и е м основания системы счисления, которая соответствует э т и м кодам, возможности исправления о ш и б о к увеличиваются.

Цифры Цифры 0 12 345 Однако исправить a? ^ все о ш и б к и определен­ a6 • ной кратности в этих as • кодах т а к ж е нельзя. По¬ a4 • ai аз • добно многофазным ко¬ a2 • a i дам здесь возможно осу d (5) 0 12345 da(7) a dx(3,2) dx(3,3) 022022 с о в е р ш е н н ы х кодов, где 2 2 2 2 2 |°| | | |°| | | | d ( 3, 2 ) x d (5;

3,3) 0 3 4 3 6 7 da(7;

3,2) информационная часть a a) б) системного кода - это интегральный код, а его контрольная 0 d (11) Ш 1 часть совпадает с контрольной частью a dx(3,3) d (11;

3,3) 0 3 4 3 6 7 6 9 10 9 |12|13| квазисовершенного двухфазного или a J трехфазного кодов.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |10|11| da(11) Д л я интегрального кода основания 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 n = 5 (рис. 6.25, а ), как и для л ю б ы х dx(3,2) da(11;

3,2) 0 3 4 5 4 7 8 9 8 11 11112|13| интегральных кодов, кодовые расстоя¬ г) ния всегда совпадают с цифрами осно Р и с. 6. вания системы счисления. Сумма кодо¬ вых расстояний этого интегрального кода d (5) и кодовых расстояний кон­ a т р о л ь н ы х разрядов квазисовершенного трехфазного кода d (3,3) образуют к о ­ x д о в ы е расстояния систематического кода d (5;

3,3), исправляющего все одиноч­ a ные ошибки (d = 3).

MHH И н т е г р а л ь н ы й код основания n = 8 (см. рис. 6.25, б) совместно с контроль¬ н ы м и разрядами квазисовершенного двухфазного кода dx(3,2) образует систе¬ матический квазисовершенный интегральный код d (7;

3,2), где т а к ж е d = 3. a MHH И н т е г р а л ь н ы й код d (11) основания n = 12 м о ж е т образовывать два сис­ a т е м н ы х квазисовершенных кода: первый код (см. рис. 6.25, в) включает кон¬ т р о л ь н ы е разряды квазисовершенного трехфазного кода dx(3,3), второй (см. рис. 6.25, г) - контрольные разряды квазисовершенного двухфазного кода d (3,2). Н а этих рисунках из-за их очевидности не показаны сигналы информа­ x ц и о н н ы х разрядов интегрального кода. К о д о в ы е расстояния этих системных кодов d (11;

3,3), d (11;

3,2) т а к ж е и м е ю т м и н и м а л ь н ы е кодовые d = 3.

a a MHH Д а л ь н е й ш е е представление интегральных квазисовершенных кодов боль¬ ш и х оснований систем счисления очевидно из вышеизложенного.

6.3.6. Синтез д е к о д и р у ю щ и х блоков для системных м н о г о ф а з н ы х и интегральных кодов Общеизвестно, что кодирование л ю б ы х типов кодов, используемых как для передачи цифровых данных, так и для выполнения логических и арифмети¬ ческих операций, «не составляет проблемы» [10]. П р и этом использование сис¬ тематических кодов для л ю б ы х вычислительных м а ш и н является предпочти¬ тельным. Н е составляют здесь исключения и многофазные коды, которые ис¬ пользуются в информационной части представленных в ы ш е системных квази¬ совершенных кодов.

Н е существует принципиального отличия в подходе к синтезу декодирую¬ щ и х устройств таких квазисовершенных кодов от того, который был изложен нами для двоичного принципа кодирования. Поэтому рассмотрим только два систематических кода, предназначенных для исправления одиночных ошибок, где информационная часть кода выполнена в трехфазном и четырехфазном варианте. И з этих двух примеров будет ясно построение декодирующих уст¬ ройств для кодов л ю б о й фазности, кратных трем и двум.

Соотношения между кодовыми комбинациями информационной a, a, a;

? и i контрольной x, x, х частей систематического трехфазного кода (см. рис. 6.21, д) i 2 з позволяют составить геометрический образ рабочей и нерабочей части шести¬ мерного пространства координат (рис. 6.26).

аз Рабочая часть этого пространства содер¬ a ж и т штатные ц и ф р ы 0-5 и ц и ф р ы 0-5 с оди¬ a i ночной ошибкой в контрольной либо информа¬ 0 ционной частях систематического кода.

0 0_ 30303 0_ Указанные два рисунка позволяют сфор¬ Х 0 25 I Х мировать геометрические образы исправлен¬ 0Т 25 ных информационных a', a', a (рис. 6.27) и 5 2 2_ 2 5 5 5 i 2 I контрольных x', х', х' (рис. 6.28) разрядов 0 J_ i 2 з I систематического трехфазного кода.

I 11 I I 1 25 Рис. 6. аз • a a i * *** * *** * *** 1' * * * * * * I * * * * ** * ** ** * * *** *** * * аз a' * ** ** ** * * * * ** * * II * * * * * * * Р и с. 6. ** 4-1-4- ** * I •1* ** **** х'з * *|*| * Рис. 6. аз • &2' а 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0000 0 40 X 'I 10 2 37 6 I X 2 6 3 2_ 2_ 2 6 _2_ _2_ _6_ _6_ х?

4 "0" 1 37 57 3 7 611 1 15 15 7 1 2 37 6 Рис. 6. Поскольку размещение в цифровом пространстве с и н ф о р м а ц и о н н ы м и и контрольными координатами штатных цифр соответствующих им оснований систем счисления, а также этих ж е цифр с одиночной ошибкой полностью оп­ ределяет геометрические образы исправленных сигналов разрядов системати­ ческого кода, то для четырехфазного кода ограничимся только представлением этого промежуточного геометрического образа (рис. 6.29).

Очевидно, что всякий интегральный код (см. рис. 6.25, а, б) можно считать как начальную часть многофазного кода неограниченно большой любой фазно сти. Поэтому для построения систематического интегрального кода, исправ¬ л я ю щ е г о все одиночные ошибки, в качестве контрольных разрядов допустимо использовать контрольные разряды как квазисовершенных двухфазных кодов, так и трехфазных. В дальнейшем синтез декодирующих блоков систематиче¬ ских интегральных кодов будет полностью совпадать с многофазным вариан¬ т о м этих кодов.

6.3.7. Синтез кода, у п р а в л я ю щ е г о п е р е к л ю ч е н и е м транзисторов трехфазного инвертора н а п р я ж е н и я и и с п р а в л я ю щ е г о все о д и н о ч н ы е о ш и б к и В большинстве инверторов напряжения для Цифры 0 1 2 переключения силовых транзисторов используются аб у п р а в л я ю щ и е многофазные коды, которые ранее а нами были достаточно полно исследованы. Вместе а с т е м имеются такие трехфазные инверторы на¬ аз пряжения, где применяются специальные коды а основания системы счисления n = 6. ai Этот т и п кода (рис. 6.30) содержит шесть ин­ 34 33 17 20 12 Wa(6) формационных разрядов a i - a, где кодовые рас­ 024 4 4 стояния между к о д о в ы м и комбинациями d (6) 04 4 4 a 0 2 4 и м е ю т только два значения: 2 и 4. Д л я того чтобы 0 2 da(6) иметь возможность исправлять все одиночные 0 ошибки, необходимо сформировать систематиче¬ x ский код с одним контрольным разрядом x.

"Г 0 T 010 Созданный таким образом систематический 01 0 i код имеет кодовые расстояния d (6, 1) с мини¬ 0 1 ax dx(1) м а л ь н ы м значением три, а геометрический образ 0 цифрового пространства, в ячейках которого раз¬ 0 3 4 ~T~ 4 T 034 5 мещены (рис. 6.31) штатные ц и ф р ы 0-5 и ц и ф р ы с 03 4 о д и н о ч н ы м и о ш и б к а м и 0 - 5, позволяет опреде¬ 0 3 da,x(6, 1) лить геометрические образы всех исправленных 0 сигналов разрядов a' - a', x' и соответственно i Рис. 6. синтезировать принципиальные схемы их декоди¬ р у ю щ и х блоков.

а а з a2 ai 0 12 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 10 4 4 5 x I 5 3 54 _5_ a, 22 232 3 3_ 3_ 3 _2_ _5_ а б 0 1 0 o~ _0_ 0 110 1 T T 1 T Рис. 6. Заключение Теория многомерных цифро-векторных множеств находится в стадии становления, и ее базис может быть окончательно сформулирован только на з а в е р ш а ю щ е м этапе создания.

Тем не менее применение этой теории даже на данном промежуточном этапе позволило решить многие практические задачи синтеза цифровых и ло¬ гических устройств, р а б о т а ю щ и х в режиме реального времени. В основу тео¬ рии положена цифровая версия геометрического пространства известного уче¬ ного академика Е.С. Федорова, которая исследована нами без применения ак­ сиоматического метода. Это дает повод «вспомнить о том, что аксиоматиче¬ ский метод в его уточненном виде отнюдь не является исконным методом ма¬ тематики». И далее: «...в области элементарной арифметики и алгебры, ориен¬ тировка на прямые содержательные рассуждения, осуществляемые без пред¬ ложений аксиоматического характера, разработана в наиболее чистом виде»

[Гилберт Д., Бернайс П. Основания математики (Сер. Математическая логика и основания математики). М., 1979].

Использование теории многомерных цифро-векторных множеств для ре¬ шения конкретных практических задач электропривода и систем энергоснаб¬ жения приведено в книге: Кочергин В.И. Теория многомерных цифровых мно¬ жеств в приложениях к электроприводам и системам электропитания. Томск:

Изд-во Том. ун-та, 2002.

В теоретическом плане в теории р е ш е н ы следующие проблемы:

1. Сняты л ю б ы е ограничения (тип кода, основание системы счисления, число разрядов и операндов, число входов и выходов и т.д.) по синтезу опти¬ мальных по быстродействию и затратам оборудования цифровых и комбина¬ ционных логических устройств, работающих в р е ж и м е реального времени.

2. Доказано, что любые коды позиционных систем счисления являются арифметическими, в которых исправление ошибок любой кратности может ре¬ шаться комбинационными логическими схемами в режиме реального времени.

3. Доказано, что число совершенных и квазисовершенных кодов позици¬ онных систем счисления неограниченно велико.

Ценность л ю б о й теории, в т о м числе и математической, всегда определя­ ется потенциальными возможностями её развития в соответствии с внутренней логикой этой теории и в значительной степени практическими приложениями её результатов, что было доказано в данной и упомянутой в ы ш е книгах автора.

9. А. с. 826341 (СССР). Устройство для умножения / В.И. Кочергин, А.Ф. Лека рев // Открытия. Изобретения. 1981. № 16.

10. А. с. 922728 (СССР). Устройство для формирования сигнала переноса при суммировании многофазных кодов / В.И. Кочергин, А.Ф. Лекарев // Открытия. Изо¬ бретения. 1982. № 15.

11. А. с. 993264 (СССР). Многоразрядное устройство для сложения и вычитания / В.И. Кочергин, С.В. Кульбицкий // Открытия. Изобретения. 1983. № 4.

12. А. с. 543116 (СССР). Устройство управления реверсивным преобразователем / В.И. Кочергин, А.М. Кривенцов, Г.М. Данков // Открытия. Изобретения. 1977. №2.

13. Байцер Б. Архитектура вычислительных комплексов. М.: Мир, 1974.

14. Глушков В.М., Цейтлин Г.М., Ющенко Е.Л. Алгебра. Языки. Программиро¬ вание. Киев: Наук. думка, 1978.

15. Закревский А.Д. Логический синтез каскадных схем. М.: Наука, 1981.

16. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. Т. 1.

Арифметика. Алгебра. Анализ / Пер. с нем.;

под ред. В.Г. Болтянского. 4-е изд. М.:

Наука, 1987.

17. Кочергин В.И., Гоголин В.А. Теория многомерных цифровых множеств в приложениях к системам энергоснабжения и электропривода // Матер. междунар. на уч.-техн. конф. «Электромеханические преобразователи энергии». Томск: ТПУ, 2001.

18. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1985. Т.5.

19. Питерсон У., Уэлсон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.

20. Савельев А.Я. Арифметические и логические основы цифровых автоматов:

Учебник. М.: Высш. школа, 1980.

21. Самофалов К.Г., Корнейчук В.И., Тарасенко В.П. Электронные цифровые вычислительные машины. Киев: Вища школа, 1976.

22. Энциклопедия кибернетики. Киев, 1975.

23. Яблонский С.В. О суперпозициях функций алгебры логики // Матем. сб.

1952. № 2.

24. Яблонский С.В. Функциональные построения в к-значной логике // Труды МИАН СССР. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 51.

25. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

26. Mc.Cluskey E.J. Minimization of boolen function // Bell System Techn. J. 1956.

Vol. 35.

27. Quine W.V. The problem i f simplifying of truth function // Amer. Math. Monthly.

1952.

К главе 1. А. с. 911514 (СССР). Устройство умножения / В.И. Кочергин // Открытия.

Изобретения. 1982. № 9.

2. А. с. 868750 (СССР). Устройство для суммирования / А.Ф. Лекарев, В.И. Ко чергин // Открытия. Изобретения. 1986. № 31.

3. А. с. 1170451 (СССР). Устройство для умножения числа на ряд констант / В.И. Кочергин, С.В. Кульбицкий, А.М. Кривенцов // Открытия. Изобретения. 1985. № 28.

4. А. с. 1252772 (СССР). Устройство для деления / В.И. Кочергин // Открытия.

Изобретения. 1986. № 31.

5. А. с. 1291974 (СССР). Устройство для деления / В.И. Кочергин // Открытия.

Изобретения. 1987. № 7.

6. А. с. 1080134 (СССР). Устройство для сравнения кодов / В.И. Кочергин, С.В. Кульбицкий, А.М. Кривенцов // Открытия. Изобретения. 1984. № 10.

7. А. с. 351326 (СССР). Управляемый делитель частоты / В.И. Кочергин, И.А. Подоплелов // Открытия. Изобретения. 1972. № 27.

8. А. с. 402157 (СССР). Реверсивный декадный счетчик импульсов / В.И. Ко чергин, Н.С. Баранов // Открытия. Изобретения. 1973. № 41.

9. А. с. 421135 (СССР). Реверсивный десятичный счетчик / В.И. Кочергин, С.Д. Морозов, А.С. Кулешов // Открытия. Изобретения. 1974. № 11.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.