авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 5 Издание выходит с 2006 ...»

-- [ Страница 3 ] --

Теорема 8.5 (Рисса). Пусть f (x) – непрерывный линейный функционал в гильбертовом пространстве H. Тогда существует элемент a H такой, что f (x) = (x, a).

Доказательство. Положим M = {x : f (x) = 0}. Это гипер пространство в H, и следовательно, его коразмерность равна 1.

Поэтому M одномерно. Пусть e M, тогда f (x) = f (e), где f (e) x = e + m, m M. Положим a = (e,e) e;

тогда f (e) (x, a) = e + m, e = f (e) = f (x).

(e, e) Следствие. Пусть f () есть линейный непрерывный функ ционал над пространством L2 (O). Тогда существует функция f (t) L2 (O) такая, что (t) L2 (O).

f () = f (t)(t) dt, O Действительно, L2 (Rn ) – гильбертово пространство со скаляр ным произведением (, ) = (t)(t) dt.

O Следовательно, по теореме Рисса существует функция (t) L2 (O) такая, что f () = (t)(t) dt.

O Теперь достаточно положить f (t) = (t).

В заключение докажем следующее утверждение, относящееся к пространству S.

Утверждение 8.1. Система полунорм (8.2) пространства S эквивалентна системе следующих интегральных полунорм:

p1 () 2N (j) (1 + t ) | = max (t)| dt, N = 1, 2,.... (8.15) N |j| N Пространство обобщенных функции D Для простоты рассмотрим случай n = 1 (общий случай разбе рите сами). Имеем t d |(1 + t2 )N/2 (j) (t)| = (1 + t2 )N/2 (j) (t) dt dt + |N t(1 + t2 )N/21 (j) (t)| dt + + |(1 + t2 )/2 N (j+1) (t)| dt + 1 dt 2 |(1 + t2 )N |(j) (t)|2 dt N + (1 + t2 ) 2 N +1 (j+1) |(1 + t ) | + (t)| dt [N p1 +1 () + p1 +2 ()].

N N (Здесь мы воспользовались неравенством Коши.) Из этого нера венства следует, что pN (x) Cp1 +2 (x). Обратно.

N dt p1 () 2 N/2+1 (j) max sup |(1 + |t| ) | (t)| N (1 + t2 ) |j| N tR pN +2 ().

§ 9. Пространство обобщенных функции D Линейный непрерывный функционал на пространстве D на зывается обобщенной функцией (иногда о нем говорят как о рас пределении на D). Пространство всех обобщенных функций (рас пределений) обозначают через D.

Аналогично для других пространств основных функций. Че рез D (O), E, S и т.д. обозначаем пространства обобщен ных функций над соответствующими пространствами основных функций.

Принято значение функционала f на основной функции (t) обозначать через (f, ).

Пусть f – линейный функционал на D. Когда он непрерывен?

Из общей теории, см. утверждения 4.4 и 4.5, следует, что он непрерывен, когда существует непрерывная полунорма p() D такая, что |(f, )| p(). Но конструктивно этим не всегда удобно Пространство обобщенных функции D пользоваться. Напомним, что D есть строгий индуктивный пре дел пространств D(Km ), где {Km, m = 1, 2,... } – компактное исчерпывание Rn. Из свойства “универсальности” строгого ин дуктивного предела следует, что f непрерывен тогда и только тогда, когда его ограничение на каждое из D(Km ) непрерывно.

Так что для любого компакта K Rn найдутся постоянная C и число m такие, что C max sup |(j) (t)| при D(K).

|(f, )| (9.1) |j| m tK С другой стороны, из борнологичности D следует, что f непре рывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности k (t) 0 в D следует, что (f, k ) 0 при k. Как мы уже отмечали, k (t) 0, если k (t) принадлежат какому-то одному D(K) и там стремятся к нулю. То есть supp k K при каком то K и k (t) равномерно вместе со всеми своими производными сходятся к нулю.

Регулярные обобщенные функции Напомним, что функ ция f (t) L1,loc (Rn ), если для любого компакта K Rn функция f (t) L1 (K). Такая функция f (t) определяет линейный непре рывный функционал на D по формуле (f, ) = f (t)(t) dt. (9.2) Эта обобщенная функция определена корректно, ибо для любой (t) D существует компакт K, так что |(f, )| |f (t) (t)| dt |f (t)| dt · sup |(t)|. (9.3) tK K K Это неравенство доказывает непрерывность функционала f в D.

Лемма 9.1 (Дюбуа–Раймонда). Пусть f1 (t) и f2 (t) из L1,loc равны как обобщенные функции, то есть (f1, ) = (f2, ) для любой основной функции D(Rn ). Тогда f1 (t) = f2 (t) по чти всюду.

Доказательство. Пусть f (t) = f1 (t) f2 (t). По условию f (t)(t) dt = 0 (t) D(Rn ). (9.4) Пространство обобщенных функции D Нам надо доказать, что f (t) = 0 п.в.

Фиксируем любое R 0. Положим fR (t) = 2R (t)f (t), где 2R (t) – характеристическая функция шара |t| 2R. Отметим, что fR (t) L1 (Rn ). Пусть k (t) = k n (kt), где (t) – “шапочка” (см. (3.3)) и fR,k (t) = fR ( )k (t ) d. По следствию к теореме Рисса–Фишера fR,k (t) fR (t) в L1, см. (8.14). Замечая, что k при |t| R и достаточно больших значениях k носитель k (t ) лежит в шаре радиуса 2R, имеем при |t| R fR ( )k (t ) d = f ( )2R ( )k (t ) d = fR,k (t) = f ( )k (t ) d = 0.

= Здесь в последнем равенстве мы воспользовались условием (9.4).

Следовательно, при |t| R, начиная с некоторого k, fR,k (t) 0.

Согласно замечанию 3 к теореме Рисса–Фишера можно выделить подпоследовательность fR,km (t), сходящуюся к fR (t) почти всюду.

Таким образом fR (t) = 0 п.в. в шаре |t| R. Но fR (t) = f (t) в этом шаре. Замечая, что R – произвольное число, завершаем доказательство леммы.

Соглашение. Условились у обобщенных функций (хотя это линейные непрерывные функционалы, а совсем не функции) пи сать аргумент, совпадающий с аргументом тех основных функций на которых он определен. Таким образом, вместо (f, ) мы будем писать (f (t), (t)).

Примеры.

1) (t) – функция Хевисайда (равная 1 при t 0 и 0 при t 0) определяет регулярный функционал ((t), (t)) = 0 (t) dt.

2) Дельта-функция (t) определяется формулой ((t), (t)) = (0).

3) Главное значение P 1 определяется формулой t + (t) (t) 1 (t) (P, (t)) = lim dt = dt.

t t t 0 |t| 3) Функционал определяется формулой t+i 1 (t), (t) = lim dt.

t + i0 t + i + Пространство обобщенных функции D = P 1 i(t).

Докажите формулу Сохоцкого: t+i0 t Решение. Пусть D;

тогда найдется R такое, что (t) = при |t| R, и мы имеем R (t)(t i), (t) = lim dt = t2 + t + i0 +0 R R ((t) (0))(t i) dt = lim + t2 + +0 R R t i + (0) lim dt = t2 + +0 R R R (t) (0) = dt + i(0) lim dt = +0 R t2 + t R 1 R = P, (t) i(0) lim 2 arctan = t + = P i(t), (t).

t 4) Аналогично, определяется формулой ti 1 (t), (t) = lim dt.

t i0 t i + Докажите, что ti0 = P 1 + i(t).

t 5) Сдвинутую дельта-функцию (t a) определим формулой ((t a), (t)) = (a).

Вычислим плотность зарядов, соответствующих диполю с электрическим моментом +1 в точке t = 0. Пусть сначала за ряды отстоят друг от друга на 2;

так как момент должен быть равен +1, то будем считать, что единичные заряды (разных зна ков) находятся на прямой в точках + и. Переходя к пределу при 0, имеем 1 ((t ) (t + )), (t) [() ()] = = lim 2 = (0) = ((t), (t)).

Некоторые операции над обобщенными функциями Каждая линейная непрерывная операция над основными функ циями (непрерывное линейное отображение A : D D) опреде ляет некоторую линейную непрерывную операцию A : D D Пространство обобщенных функции D над обобщенными функциями по формуле (A (f )(t), (t)) = (f (t), A()(t)). (9.5) Напомним, что линейное отображение A на D непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно на каждом D(K), где K – любой компакт в Rn (см. утверждение 7.1).

Рассмотрим некоторые примеры.

1) Умножение на a(t) C (Rn ). Линейная операция A :

D a(t)(t) D непрерывна в D. (Докажите). Следовательно, формула (a(t)f, ) = (f (t), a(t)(t)), D, корректно определяет умножение обобщенной функции на беско нечно дифференцируемую функцию.

2) Неособенная линейная замена переменных. Пусть A – невы рожденная (nn)-матрица и b Rn. Если f (t) L1,loc, то f (At+b) также из L1,loc. Для любой D имеем f (t)(A1 (t b)) dt.

f (At + b)(t) dt = | det A| Отображение (t) | det A| (A1 (t b)) непрерывно из D в D.

(Докажите). Поэтому если f (t) D, то естественно определить обобщенную функцию f (At + b) формулой f (t), (A1 (t b)), D.

f (Bt + b), (t) = | det A| 3) Операция дифференцирования. Пусть f (t) C N (Rn ), где N – целое положительное число. Пусть также j = (j1, j2,..., jn ) – мультииндекс, |j| = j1 + · · · + jn, |j| Dj.

tj1... tjn Тогда для любой D имеем (при |j| N) Dj f (t) · (t) dt = (1)|j| f (t)(j) (t) dt.

(Напомним, что Dj (t) (j) (t).) Операция (t) (1)|j| Dj (t) непрерывна из D в D. (Докажите). Поэтому если f (t) D, то естественно определить обобщенную функцию Dj f (t) формулой (Dj f, ) = (1)|j| (f (t), (j) (t)).

Пространство обобщенных функции D Другие операции над обобщенными функциями будут рассмотре ны позднее.

Упражнения. Случай n = 1.

1) Докажите, что t ln |t| = P 1.

t 2) Докажите, что t (t) = (t).

1 b 3) Докажите, что (at + b) = |a| t + a, в частности, (at) = |a| (t).

4) Производные кусочно гладкой функции. Пусть f (t) C 2 (R1 {t0 }). Обычные (непрерывные) производные функции f будем обозначать t f (t), а скачок в точке t0 обозначаем [f ]t0 = f (t0 + 0) f (t0 0). Докажите формулы:

f (t) + [f ]t0 (t t0 ), f (t) = t t f (t) = {f (t)} + [f (t)]t0 (t t0 ) + [f (t)]t0 (t t0 ).

5) Случай n = 3. Докажите, что 4r = (t).

Указание. Используйте вторую формулу Грина. Пусть – область и – ее граница, n – производная по внешней нормали к границе;

тогда u v (vu uv) dt = u v ds.

n n Учтите, что при t = 0 функция 4r гармоническая, то есть 4r = 0. В качестве возьмите область {|t| }.

6) Случай n = 3. Проверьте, что функция u = 4r eikr удо влетворяет уравнению u + k 2 u = (t). Аналогично и для функ ции v = 4r eikr. Здесь r = |t|, t R3.

Решение. Воспользуемся формулой g = eikr.

(f (t)g(t)) = f g + 2( f, g) + gf, где f=, r t iktj ik|t| 1 ik|t| j = |t|3 и Учитывая равенства tj e = |t| e, име tj |t| ik ik|t| ем ( f, g) = |t|2 e. Далее, пользуясь задачей 5) и тем, что 2ik eik|t| = k 2 eik|t|, получим |t| 2ik k 2 k 2 ik|t| 1 ik ( + k 2 )u = 4(t) 2 2 + 2 + e = |t| |t| |t| |t| = (t) · eik|t| = (t).

Пространство обобщенных функции D 7) Случай n = 2. Докажите, что ln |t| = 2(t).

Указание. Действуйте аналогично задаче 5), учитывая, что ln |t| = 0 при t = 0.

8) Случай n 3. Докажите, что |t|n2 = (n 2)n (t), где n – площадь поверхности единичной сферы в Rn.

9) Функция Кантора. Рассмотрим отрезок [0, 1]. Отметим от 12 резок 3, 3 и положим C(t) = 2 на этом отмеченном отрезке.

Этот отрезок назовем отрезком 1-го ранга. В оставшемся множе стве отрезка отметим отрезки 2-го ранга 1, 9 и 7, 8 и положим 9 1 на них C(t) = 4 и C(t) = 4 соответственно, и так далее. Мы будем полагать C(t) = 2k1, k = 1, 2, 3,..., 2n, на k-м отмеченном отрез 2n ке n-го ранга. Продолжаем процесс неограниченно (n = 1, 2,... ).

Множество точек отмеченных отрезков образуют всюду плотное множество отрезка [0, 1]. Теперь доопределим функцию C(t) по непрерывности на весь отрезок [0, 1]. Получаем непрерывную мо нотонную функцию, определенную на отрезке [0, 1]. Эта функ ция C(t) называется функцией Кантора. Заметим, что оставши еся неотмеченными точки имеют мощъность континуум, хотя их мера равна нулю. (Действительно, длина отмеченных отрезков равна 1.) Производная функции Кантора существует и равна ну лю в каждой точке любого отмеченного интервала, то есть почти всюду. Таким образом “классическая” производная ее равна нулю почти всюду.

Что представляет собой обобщенная производная этой канто ровой функции C(t)?

Ответ:

Cj [(j ) (j )], (C (t), (t)) = j где Cj – значение C(t) на отмеченном отрезке [j, j ], а суммиро вание производится по всем отмеченным отрезкам.

10) Случай n = 2. Доказать, что 2 2 (t |x|) = (t, x).

t2 x Пространство обобщенных функции D Решение. Положим (t1, t2 ) = (t1 )(t2 ). Вычислим t1 t2 (t1, t2 ).

Имеем 2 2 (t1, t2 ) (t1, t2 ), (t1, t2 ) = (1)2 (t1, t2 ), = t1 t2 t1 t 2 (t1, t2 ) (t1, 0) dt = dt1 dt2 = dt1 = t1 t2 t 0 0 = (0, 0) = ((t1, t2 ), (t1, t2 ).

1 t2 ).

Сделаем замену переменных t = (t1 + t2 ), x = (t 2 Учитывая, что (t1, t2 ) = (t |x|), (t1, t2 ) = (t, x), 2 1 2 2, (t1, t2 ) = 2 t t1 t2 x завершаем доказательство.

11) Обычная функция f (t) называется однородной степени, если для любого 0 выполнено равенство f (t) = f (t), 0. (9.6) Дайте определение обобщенной однородной (степени ) функции.

Ответ: (f, (t)) = +n (f, ).

Локальная структура обобщенной функции из D Мы говорим, что обобщенная функция f D равна Dj g в некоторой окрестности множества O, если (f, ) = (1)|j| (g, (j) ) D, supp O.

Теорема 9.1. Пусть f D (Rn ). Тогда для любого откры Rn существуют g(t) L1 (O) и мульин того множества O декс j = (j1,..., jn ) такие, что f = Dj g(t).

Доказательство. Положим K = O. Согласно (9.1) для некоторого m имеем C max sup |(j) (t)| при |(f, )| supp K. (9.7) |j| m K Пространство обобщенных функции D Оценим часть нормы с младшими производными через старшие.

Пусть K K1 = {(t1,..., tn ) : ai ti bi, i = 1,..., n}, max{|bi ai |} = d.

i Фиксируем j = (j1,..., jn );

имеем t |(j) (t)| = (j1 +1,j2,...,jn ) (t) dt d sup |(j1 +1,j2,...,jn ) (t)|.

K a Увеличивая каждый раз в оценке (9.7) младшие производные на 1, получим C1 sup |(m,m,...,m) (t)| |(m+1,...,m+1) (t)| dt.

|(f, )| C tK K Заметим, что здесь в интегралах можно заменить K1 на K, даже на O. Применяя теперь неравенство Гельдера, имеем |(m+1,...,m+1) (t)| dt C3 (m+1,...,m+1) (t) 2.

|(f, )| C K (9.8) Введем отображение h : DK L2 (O) по правилу h : (t) (m+1,...,m+1) (t). Ясно, что это отображение непрерывно и иньек тивно. Рассмотрим диаграмму h DK - M L2 (O) f g  C Неравенство (9.8) показывает, что отображение g линейно, непре рывно и задано на подпространстве M. По теореме Хана–Банаха оно продолжается на все L2 (O), то есть существует функция g(t) L2 (O) такая, что (g, ) = (1)m+1 L2 (O).

g(t)(t) dt, O Но f = gh, другими словами, (f, ) = (1)(m+1)n g(t)(m+1,...,m+1) (t) dt D(K).

O Пространство обобщенных функции D Нетрудно видеть (применяя, например, неравенство Гельдера и учитывая ограниченность O), что g(t) L1 (O). Теорема доказа на.

Замечание. g(t) можно считать сколь угодно гладкой (g(t) C N (O)) только при этом придется, может быть, увеличить m.

Первообразная обобщенной функции из D Первообраз ной обобщенной функции f D называется любая функция g(t) D такая, что g (t) = f (t), то есть (g (t), (t)) = (g(t), (t)) = (f (t), (t)) D. (9.9) Покажем, что первообразная всегда существует и единственна с точностью до произвольной постоянной. Из (9.9) видно, что функционал g единственным образом определяется на основных функциях (t) = (t), то есть на подпространстве M = {(t) :

(t) = (t), D}. Нетрудно видеть, что M = (t) D :

(t) dt = 0. Ибо (t) dt = (t) dt = (t) = 0, t а с другой стороны, если (t) dt = 0, то (t) = ( ) d.

Заметим, что M – гиперплоскость (ее коразмерность равна 1).

Действительно, возьмем любую (t) D, (t) dt = 1 и пусть (t) D. Имеем (t) (t) (t) = (t) dt + (t) (t) dt = = ( (t)) + (t) (t) dt, здесь ( (t)) = (t) (t) (t) dt M. Теперь, чтобы продол жить g с гиперплоскости M на все D, достаточно задать его (про извольным числом C) на основной функции (t), то есть поло жить (g, ) = C. И мы получили (t) dt = (f, ) + C (g, ) = (g, (t)) + (g, ) (t) dt.

Обратное утверждение проверьте сами.

Пространство обобщенных функции D Упражнение. Докажите, что каждая обобщенная функция f D обладает единственной первообразной u D порядка m (с точностью до многочлена степени m 1). Другими словами, что общее решение в D уравнения y (m) = f имеет вид y(t) = u(t) + m1 k k=0 ck t, с произвольными постоянными ck, k = 0, 1,..., m 1.

Указание. Примените индукцию по m.

Носитель обобщенной функции Пусть O – открытое мно жество, тогда система открытых множеств {Um, m = 1, 2,... } называется локально конечным покрытием O, если 1. Um O;

2. m Um = O;

3. любой компакт K из O имеет непустое пересечение лишь с конечным числом множеств из системы {Um, m = 1,... }.

Теорема 9.2 (о разбиении единицы). Пусть O откры тое множество в Rn (это может быть и само Rn ) и от крытые ограниченные области U1,..., Um,... образуют локаль но конечное покрытие O. Тогда существует семейство функций {em (t) D, m = 1, 2,... } такое, что 1. 0 em (t) 1 при любом m = 1, 2,... ;

2. em (t) = 0 вне области Um, (m = 1, 2,... );

3. e1 (t) + e2 (t) + · · · + em (t) + · · · 1, t O.

Число слагаемых, отличных от нуля, в последнем равенстве при каждом t, в силу (2), конечно.

Доказательство. Построим сначала систему областей {Vm }, тоже образующую локально конечное покрытие O и такую, что V m Um. Заметим, что дополнение к области m=2 Um есть замкнутое множество F1 U1. В качестве V1 возьмем область, содержащую F1 и содержащуюся вместе со своим замыканием в U1, (F1 V 1 U1 ).

Пусть области V1,..., Vm1 уже построены, так что V k Uk, k = 1,..., m 1, и V1,..., Vm1, Um, Um+1,... есть локаль m но конечное покрытие O. Дополнение к области k=1 Vk k=m+1 Uk есть замкнутое множество Fm, которое целиком по крывается областью Um. В качестве Vm возьмем область, содер жащую Fm и содержащуюся вместе со своим замыканием в Um, и т.д.

Пространство обобщенных функции D Согласно лемме 8.1 существует функция m (t) D, всюду заключенная между 0 и 1, равная 1 в V m и 0 вне Um. Положим h(t) = m=1 m (t). Эта функция существует при всех t O и не меньше 1 там. Теперь функции m (t) em (t) =, m = 1, 2,..., (9.10) h(t) удовлетворяют всем условиям. Теорема доказана.

Лемма 9.2. Во всякое покрытие открытого множества O = I O можно вписать локально конечное (счетное) по крытие O = m Om (то есть каждое Om вложено в некоторое O ).

Доказательство. Пусть множество открытых множеств {Qk } – компактно исчерпывающее покрытие O, то есть O = k=0 Qk, причем ··· ···, Qk Qk+1 k = 0, 1,....

Положим Kk = Qk \Qk1, k = 1,..., K0 = Q0. Для каждого t Kk \Kk1 выберем Ut – окрестность точки t такую, чтобы Ut O ;

O;

Ut Kk1 =.

Ut Теперь из покрытия компакта K0 окрестностями Ut выбираем конечное подпокрытие, далее делаем тоже самое с каждым Kk.

Полученное покрытие и будет искомым. (Проверьте это сами.) Пусть f D (Rn ). Говорят, что f обращается в нуль в окрест ности точки t Rn, если существует ее окрестность Ut такая, что (f, ) = 0, D, supp Ut.

Утверждение 9.1. Если f D обращается в нуль в окрестности каждой точки открытого множества O, то D, supp O.

(f, ) = Действительно, в каждой точке t O существует окрестность Ut такая, что (f, ) = 0, D, supp Ut. Множества Ut покры вают O. Пусть {Om } – вписанное локально конечное покрытие и {em (t)} – соответствующее разбиение единицы. Если supp O, то (f, ) = f (t), (t) em (t) = f (t), em (t)(t) = 0.

m=1 m= Пространство обобщенных функции D Поскольку носитель – компакт в O, а покрытие локально ко нечное, то в сумме присуствуют (для каждой конкретной ) лишь конечное число слагаемых. Поэтому знак суммы вынесен за знак функционала. Утверждение доказано.

Определение. Носителем обобщенной функции f D (Rn ) (пишем supp f ) называется множество Rn \O, где O – открытое множество, на котором f обращается в нуль. Отметим, что носи тель – всегда замкнутое множество.

Обобщенные функции с компактным носителем Теорема 9.3. Обобщенная функция f D имеет компакт ный носитель тогда и только тогда, когда она продолжается до непрерывного функционала на E (Rn ) (то есть когда f E (Rn )).

Доказательство. Необходимость. Пусть supp f = K, где K – компакт и функция (t) D такая, что (t) = 1 при t K. Тогда продолжим линейно функционал f с D на E по формуле: для любой (t) E имеем f (t), (t)(t) = (f, ). Покажем, что он непрерывен в E. Так как (t)(t) для любой (t) E принадлежит D(K1 ), где K1 = supp, то согласно (9.1) существуют постоянные C, m такие, что C max sup |()(j) | |(f, )| = |(f (t), (t)(t))| |j| m tK (j) C1 max sup | (t)|, |j| m tK (в последнем неравенстве мы воспользовались формулой Лейбни ца и стандартными оценками производных функции (t)). Таким образом, продолженный на E функционал f ограничен там неко торой полунормой (см. (8.1)), следовательно, он непрерывен на E.

Его совпадение с f на D очевидно.

Достаточность. Пусть f E ;

тогда существует компакт K (например {|t| N }) такой, что C max sup |(j) (t)| |(f, )| |j| m tK для некоторых C и m. Отсюда следует, что если supp Rn \K, то (f, ) = 0. То есть f сосредоточен на компакте.

Пространство обобщенных функции D Теорема 9.4. Пусть обобщенная функция f D. Если supp f = {0}, то f (t) = |j| N cj (j) (t) для некоторых N и cj, |j| N.

Доказательство. Сперва заметим, что так как f имеет ком пактный носитель, то f E и ограничен по некоторой норме E, то есть |(f, )| C max sup | (j) (t)| E. (9.11) |j| M tK Пусть (t) D и (t) = 1 при |t| 2 и (t) = 0 при |t| 1. Тогда для любой D и любого 0 имеем t (f (t), (t)) = f (t), (t) = t t N T N (t), ((t) T (t)) + f (t), = f (t), (9.12) (j) где многочлен Тейлора T (t) = |j| N j!(0) tj. Первое слагае N мое справа в (9.12) оценим по формуле (9.11), считая N доста точно большим (скажем N 2M + 1). Полагая 1, имеем (пользуясь формулой Лейбница) t N ((t) T (t)) f (t), (j) t N ((t) T (t)) C max sup |j| M |t| C max sup |((t) T (t))(j) | N C2.

M |j| M |t| t Мы воспользовались еще тем, что = 0 при |t|. Второе t слагаемое справа в (9.12) не зависит от. И мы имеем (j) (0) (f (t), tj (t)) (f, ) = j!

|j| N Так как любое сколь угодно малое, то мы имеем (j) (0) cj (j) (t), (t).

(f, ) = Cj = j!

|j| N |j| N Пространство обобщенных функции D Теорема доказана.

Примером обобщенной функции, носитель которой располо жен на поверхности S Rn является простой слой. Эта обоб щенная функция µs задается формулой D, (µS, ) = µ(t)(t) ds, S где µ(t) L1,loc (S) (то есть µ(t) задана только на поверхности S и локально интегрируема на ней).

Обобщением производной дельта функции является двойной слой на поверхности. Пусть S – кусочно гладкая (ориентирован ная) поверхность, n – нормаль к ней и µ(t) – локально интегриру емая функция на поверхности S. Введем обобщенную функцию (t) D.

(µS ), = µ(t) ds, n n S Нетрудно видеть, что носитель двойного (и простого) слоя сосре доточен на поверхности S.

Упражнения. Пусть S гладкая ориентированная поверх ность в Rn. Пусть S+ – область в Rn, расположенная по ту сторону от поверхности S, в которую “смотрит” нормаль, а S – область по другую сторону нормали. Если функция f (t) C 1 (S + ) C 1 (S ), то через f (t) t0 S, [f ]t0 = lim lim f (t), tt0,tS+ tt0,tS обозначаем скачок ее в точке t0. Докажите, что f f = + [f ]S cos(, ti )S, n i = 1, 2,..., n, ti ti f где n – нормаль к S. Здесь ti – классическая (обычная) про изводная, [f ]S (t) – скачок f в точке t на поверхности S, а cos(, ti ) n – направляющие косинусы нормали.

(Шпаргалка). Рассмотрим частный случай. Пусть n = 2 и поверхность S задана формулой t1 = y(t2 );

тогда для (t) D Пространство обобщенных функции D имеем f f,, = t1 t y(t2 ) = dt2 + (t1 )f (t1, t2 ) dt1 = y(t2 ) y(t2 ) y(t2 ) dt2 f {ft1 } dt = + f {ft1 } dt1 = + y(t2 )+ y(t2 ) {ft1 } dt + = [f ](y(t2 ),t2 ) (y(t2 ), t2 ) dt = ({ft1 }, ) + [f ](y(t2 ),t2 ) (y(t2 ), t2 ) cos(, t1 ) ds.

n S Мы учли, что на поверхности dt2 = cos(, t1 ) ds.

n Пусть теперь f (t) C 2 (S + ) C 2 (S ). Докажите, что 2f 2f f = + cos(, tj )S + n [f ]S cos(, ti )S.

n ti tj ti tj ti tj S n Пользуясь формулой = cos(, ti ) ti, выведите отсюда n i= n формулу Грина f f = {f } + S + [f ]S S. (9.13) n n S Последовательности обобщенных функции Пусть fk D, k = 1, 2,.... Будем говорить, что эта последовательность сходится в D, если для любой D существует предел (fk, ) C.

k Теорема 9.5 (о полноте D ). Пусть fk () D сходится к функционалу C, тогда C = (f0, ), где f0 D.

Действительно, f0 – линейный функционал, и так как D бочеч но, то по следствию 1 к теореме 6.3 функционал f0 непрерывен, так что f0 D.

Следствие. Пусть fk f0 в D, тогда Dj fk Dj f k k вD.

Пространство обобщенных функции D Действительно, (Dj f0, ) = (1)|j| (f0, Dj ) = (1)|j| lim (fk, Dj ) = k j = lim (D fk, ).

k Теорема 9.6. Пусть fn 0 при n в D, то есть (fn, ) 0 D.

n Тогда существует последовательность n 0 и норма p{Nk } в D такие, что |(fn, )| D.

n p{Nk } (), n = 1, 2,..., (9.14) (см. (8.5)).

Доказательство. По теореме 6.3 найдеся норма p{Nk } та кая, что |(fn, )| D.

p{Nk } (), n = 1, 2,..., (9.15) Следовательно, все fn продолжаются как линейные непрерывные функционалы на Dp1 (пополнение D по норме p1 ), где через p обозначена норма P{Nk }. Причем неравенство (9.15) сохраняется для всех из этого пополнения. Согласно лемме 8.3 находим нор му p2 p{Nk } такую, что вложение Dp2 Dp1 вполне непрерыв но. Положим U = { D : p{Nk } () 1}. Достаточно доказать, что fn равномерно (при n ) сходятся к нулю на U. Пусть A замыкание U в Dp1 (оно компактно) и задано 0. Ясно, что система открытых множеств U = { Dp1 : p{Nk } ( ) }, D, покрывает A. Пусть U1,..., UQ – его конечное покрытие.

Выберем N таким, чтобы |(fn, i )| при n N, i = 1, 2,..., Q.

Тогда если U A, то |(fn, )| |(fn, ( i0 ))| + |(fn, i0 )| 2, что и требовалось.

Замечание. Теорема останется справедливой, если последо вательность fn заменить на произвольную направленность f, I. Только нужно потребовать, чтобы для любой D имела Пространство обобщенных функции D место оценка |(f, )| C при I. (В этом случае мы также можем воспользоваться теоремой 6.3.) Отметим, что если I = [1, +) и для D функция (f, ) непрерывна по I, то при условии существования предела (f, ) C указанное выше условие выполняется автома тически.

Следствие. Пусть fk f0 в D, а k 0 в D при k ;

тогда (fk, k ) (f0, 0 ).

(9.16) k Действительно, в силу соотношения (fk f0, k 0 ) = (fk, k ) (f0, k ) + (fk f0, 0 ) достаточно доказать (9.16) при f0 = 0 и 0 = 0. Теперь, так как fk 0, то существует норма p{Nk } в D так, что выполнено (9.14), а так как последовательность k 0, то начиная с некоторо го номера, она попадает в окрестность нуля, определяемую этой нормой, то есть p{Nk } (k ) C для некоторой постоянной C. Те перь из (9.14) следует, что для любого существует M так, что |(fk, k )| C при k M.

Лемма 9.3. Если fk f0 в D и gk (t) g0 (t) в E, то gk fk g0 f0 в D.

Доказательство. Заметим, что для любого D при k выполнено соотношение gk g0 в D. Тогда по предыдущему следствию (gk fk, ) = (fk, gk ) (f0, g0 ) = (g0 f0, ).

k Упражнения. 1) Пусть (t) L1 (Rn ) и (t) dt = 1;

тогда 1 t (t) в D (Rn ).

(9.17) n Действительно, для любой (t) D имеем 1 t (t)[(t) (0)] dt + (t) dt = (t)(t) dt = n (t) dt (0) = ((t), (t).

+ (0) Пространство обобщенных функции D Мы воспользовались тем, что функция [(t) (0)] ограни чена в Rn а на любом компакте стремится к нулю, поэтому (t)[(t) (0)] dt 0 при 0 для любого t.

2) Пользуясь полученным результатом, докажите, что при +0 функции 1 1 t t e 4, sin, 2 + 2 t t стремятся к (t).

1 t sin стремится к (t) при 0.

Докажите, что t Указание. Рассмотрите (t) sin dt и разбейте область ин t t тегрирования на части (, A), (A, A) и (A, ). Далее, вос пользуйтесь известными фактами анализа:

sin(N t)dt =, t +A 0 для (t) C (R1 ) (t) sin(N t) dt N + A (см.,например, [1]).

3) Докажите, что t+i P 1 i(t).

t Решение приведено выше (формула Сохоцкого).

4) Пусть sk (t) L1,loc, k = 1, 2,..., так что на любом компакте K Rn эта последовательность сходится равномерно к функции s(t). Докажите, что для любого мультииндекса j при k име ем Dj sk (t) Dj s(t) в D.

Указание. Для любой D имеем sk (t)(t) dt (sk, ) = s(t)(t) dt = (s, ).

k supp Замечание. Пусть ряд m=1 um (t) локально интегрируе мых функций сходится равномерно на каждом компакте. Тогда его можно почленно дифференцировать (в D ) любое число раз и соответствующие ряды будут сходиться в D.

+ + 1 imt (t 2m).

5) Докажите, что m= e = m= Указание. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию t t f (t) = 2 4 с периодом 2 и продифференцируйте ее (в D ) два раза.

Пространство обобщенных функции D + 1 1 imt (Шпаргалка: f (t) = m= m2 e.) 6 q (1) q! (qp) p (q) 6) Докажите формулу t (t) = (qp)! (t), если q p, и 0 в противном случае. В частности, t(t) = 0, t (t) = (t).

7) Решите уравнения tu(t) = 0, t2 u(t) = 0, tp u(t) = 0.

Прямое произведение обобщенных функций Пусть f (x) D (Rn ) и g(y) D (Rm ). Определим билинейный функ ционал h : D(Rn ) D(Rm ) C по формуле {, } (f, )(g, ).

Зададимся вопросом, существует ли линейное отображение :

D(Rn+m ) C такое, что диаграмма билин.

D(Rn ) D(Rm ) -C билин. D(Rn+m ) коммутативна? Введем отображение D(Rn+m ) D(Rn ) по фор муле (x, y) (x) = (g(y), (x, y)). Оно непрерывно.

Утверждение 9.2. Функция (x) D(Rn ), при этом для любого мультииндекса j имеем Dj (x) = (g(y), Dx (x, y)).

j (9.18) Отображение (x, y) (x) непрерывно из D(Rn+m ) в D(Rn ).

Действительно, так как при каждом x Rn функция (x, y) D(Rm ), то (x) определена в Rn и финитна. Теперь фиксируем точку x, и пусть xk x;

тогда (xk, y) (x, y) в D(Rm ). Так как функционал g(y) непрерывен, то отсюда следует, что (xk ) = (g(y), (xk, y)) (g(y), (x, y)) = (x), k то есть (x) – непрерывная функция. Покажем, что у нее суще ствует производная по x1. Действительно, пусть h = (h1, 0,..., 0).

Легко видеть, что 1 (x, y) в D(Rm ).

(x + h, y) (x, y) h1 x h1 Пространство обобщенных функции D Отсюда (x + h) (x) (g(y), (x + h, y)) (g(y), (x, y)) = h1 h1 h (x, y) g(y),.

x h Поэтому (x) = g(y), (x,y) Далее по индукции доказываем x1 x (9.18). Из (9.18) непосредственно следует непрерывность отобра жения (x, y) (x).

Введем теперь обобщенные функции из D (Rn+m ) формулами:

(x, y) gf f (x), (g(y), (x, y)), gf g(y), (f (x), (x, y)).

(x, y) Они совпадают на всех основных функциях вида (x)(y) D(Rn+m ). Далее мы покажем (лемма 9.4), что линейная оболоч ка таких функций плотна во всем пространстве D(Rn+m ). Поэто му мы определили одну и ту же обобщенную функцию, называ емую прямым произведением и обозначаемую как f (x) g(y) D (Rn+m ). Она действует по формуле f (x) g(y), (x, y) = f (x), (g(y), (x, y)) = = g(y), (f (x), (x, y)). (9.19) Лемма 9.4. Для любой (x, y) D(Rn+m ) существует по следовательность основных функций вида N u D(Rn ), v (y) D(Rm ), k (x, y) = u (x)v (y), = сходящихся к в D(Rn+m ).

Действительно, пусть supp {|x|2 + |y|2 R2 }. По теореме Вейерштрасса существуют полиномы Pk (x, y), k = 1,..., такие, что |D D Pk | k при всех || k и |x|2 + |y|2 8R2. Пусть теперь (x) и (y) – основные функции, равные 1 в шаре ради уса R и нулю вне шара радиуса 2R. Тогда последовательность основных функций k (x, y) = (x) (y)Pk (x, y) будет искомой.

Пространство обобщенных функции D Основные свойства прямого произведения Пусть f (x) D (Rn ), g(y) D (Rm ) и h(z) D (Rk ).

1) Операция прямого произведения f (x) g(y) линейна и непрерывна относительно каждого своего аргумента. Например, если fk 0 в D (Rn ), то fk (x) g(y) 0 в D (Rn+m ). Докажите.

2) Ассоциативность: f (x) [g(y) h(z)] = [f (x) g(y)] h(z).

Докажите.

3) Дифференцирование: Dx [f (x) g(y)] = D f (x) g(y). Про верьте.

4) Умножение на функцию: a(x) C (Rn ). Имеем a(x)[f (x) g(y)] = a(x)f (x) g(y). Покажите.

5) Сдвиг: (f g)(x + h, y) = f (x + h) g(y). Докажите.

6) Если supp f (x) = A, supp g(y) = B, то supp(f (x) g(y)) = A B. Покажите.

7) Будем говорить, что обобщенная функция g(x, y) не зависит от y, если она представляется в виде f (x) 1(y). В этом случае из (9.19) получаем получаем равенство D(Rn+m ).

f (x), (x, y) dy = (f (x), (x, y)) dy (9.20) Докажите, что (t) = (t1 ) (t2 ) · · · (tn ) (здесь t = (t1,..., tn ) Rn ).

Свертка обобщенных функции Пусть f (x) и g(x) – ло кально суммируемые функции в Rn. Если интеграл f ()g(x ) d существует для п.в. x Rn, то он называется сверткой функ ций f и g и обозначается так:

(f g)(x) = f ()g(x ) d = g( )f (x ) d = (g f )(x).

Отметим, что если f, g L1,loc и supp f A, supp g B, причем множества A и B таковы, что для любого R 0 множество TR = {(x, y) R2n : x A, y B, |x + y| R} (9.21) Пространство обобщенных функции D ограничено в R2n, то свертка существует и f g L1,loc. Действи тельно, пользуясь теоремой Фубини, при всех R 0 имеем |f g| dx |f ()| |g(x )| d dx |x|R |x|R |f ()| |g()| d d.

TR Заметим, что если f (или g) финитна, то TR ограничено.

Другой пример. Пусть f Lp, g Lq, где p + 1 = 1 + 1 ;

тогда q r неравенство Юнга f g Lr f Lp g Lq показывает существо вание свертки и в этом случае.

Наша задача – дать подходящее определение свертки для обобщенных функций.

Пусть D и свертка (“обычная”) f g существует и представ ляет собой локально интегрируемую функцию;

тогда она опреде ляет регулярный функционал (f g, ) = f ()g(x ) d dx = (x) g(x )(x) dx d = = f () = f () g()( + ) d d.

Здесь мы пользовались теоремой Фубини. Таким образом, фор мально (f g, ) = f (x) g(y), (x + y), D. (9.22) Эта формула является ключевой для определения свертки обоб щенных функций. При этом очевидной трудностью является тот факт, что функция (x + y), вообще говоря, не принадлежит D(R2n ) и правой части (9.22) нужно еще придать определенный смысл. Ясно, что это можно сделать не для любой пары обобщен ных функций f и g.

Определение. Будем говорить, что последовательность функций {k (x) D(Rn ), k = 1,... } сходится к 1 в Rn, если Rn найдется номер N = N (K) 1. для любого компакта K такой, что k (x) = 1 при k N и x K;

Пространство обобщенных функции D 2. функции {k (x)} равномерно ограничены вместе со всеми своими производными, |Dj k (x)| cj, x Rn, k = 1, 2,....

Такие последовательности всегда существуют, например, k (x) = x, где (x) D, (x) = 1 при |x| 1.

k Определение свертки. Пусть f, g D (Rn ). Если для любой (x) D(Rn ) существует предел limk f (x) g(y), k (x, y)(x + y), не зависящий от выбора последовательности функций {k (x, y)}, сходящихся к 1 в R2n, то этот предел опре деляет линейный и непрерывный функционал над D(Rn ), то есть обобщенную функцию из D (Rn ), называемую сверткой обобщен ных функций f и g и обозначаемую f g.

То, что этот предел действительно определяет обобщенную функцию следует из “полноты” D (см. теорему 9.5).

Аналогично определяется свертка любого числа обобщенных функций. Например, пусть f, g, h из D (Rn ) и {k } – последо вательность функций из D(R3n ), сходящаяся к 1 в R3n. Тогда сверткой f g h называется функционал (f g h, ) = lim f (x) g(y) h(z), k (x;

y;

z)(x + y + z), k где D(Rn ), если этот предел существует.

Свойства свертки 1) Коммутативность свертки. Если свер тка f g существует, то существует и gf и они равны, f g = gf.

Это прямо вытекает из определения свертки и коммутативности прямого произведения.

2) Носитель свертки. Пусть f и g из D (Rn ) и пусть supp f A, supp g B. Если свертка f g существует, то supp(f g) A + B.

Действительно, пусть supp A + B =. Имеем f (x) g(y), k (x, y)(x + y) = f (x) g(y), k (x, y), где k = k (x, y)(x + y). Заметим, что supp k {(x, y) :

x + y supp }, и это замкнутое множество в силу компактно сти носителя. Ясно, что (A B) supp k =, ибо если бы это было не так, то некоторую точку носителя можно было бы представить как сумму точек из A и B, что противоречит усло вию supp A + B =.

Пространство обобщенных функции D 3) Свертка с : f = f = f ? Докажите.

4) Ассоциативность свертки. Вообще говоря операция свертки не ассоциативна. Например, (1 ) = 1 = 0, 1 ( ) = 1 = 1.

но (Как вы думаете, в чем тут дело?) Однако если существует f gh и существует f g, то существует (f g) h = f g h. До казательство основано на том факте, что если для (двойной) последовательности di,j существует кратный (двойной) предел limi,j di,j и при каждом j существует limi di,j, то существу ет и повторный предел, и они равны. То есть limj limi di,j = limi,j di,j. Пусть i (x;

t) и j (x;

y) сходятся к 1 в R2n );

тогда i (x;

y)j (x + y;

z) сходятся к 1 в R3n при i, j. Положим di,j = f (x) g(y) h(z), i (x;

y)(x + y;

z)(x + y + z), тогда по условию (из существования свертки f g h) lim di,j = (f g h, ).

i,j Так как при каждом j определена функция j (t) = h(z), j (t;

z)(t + z) D(Rn ), D(Rn ), то из существования свертки f g следует (при каждом j) суще ствование следующего предела:

lim di,j = lim f (x) g(y) h(z), i (x, y)j (x + y;

z)(x + y + z) i i = lim f (x) g(y), i (x, y)(h(z), j (x + y;

z)(x + y + z)) i = lim f (x) g(y), i (x;

y)j (x + y) = (f g, j ).

i А потому существует и предел lim lim di,j = lim (f g)(t), j (t) = j i j = lim (f g)(t), (h(z), j (t;

z)(t + z)) = j = lim (f g)(t) h(z), j (t;

z)(t + z) = j = ((f g) h, ).

Пространство обобщенных функции D Что и требовалось.

5) Дифференцирование свертки. Если свертка f g существует, то для любого мультииндекса j = (j1,..., jn ) существуют свертки (Dj f ) g и f (Dj g), причем Dj (f g) = (Dj f ) g = f (Dj g). (9.23) Это достаточно доказать для первых производных, скажем для xi, i = 1,..., n. Сперва заметим, что если k (x) 1 при k в Rn, то k (x) + k (x) 1 в Rn. Здесь штрих означает производ ную первого порядка по одному из аргументов.

Лемма 9.5. Если f g существует и k (x, y) 1 при k в R2n, то D(Rn ).

f (x) g(y), k (x, y)(x + y) 0, k Действительно, f (x) g(y), k (x, y)(x + y) = = f (x) g(y), (k (x, y) + k (x, y))(x + y) f (x) g(y), k (x, y)(x + y) k (f g, ) (f g, ) = 0.

k Лемма доказана.

Теперь имеем f (x) g(y), k (x, y)(x + y) = = f (x) g(y), k (x, y)(x + y) + k (x, y) (x + y) k (f g, (x)) = ([f g], ).

k Действуя далее по индукции, получаем соотношение (9.23).

6) Линейность свертки. Операция f f g линейна на множе стве тех обобщенных функций f, для которых свертка с g суще ствует. Это непосредственно следует из определения свертки и из линейности операции f f g. Заметим, что операция f f g, вообще говоря, не является непрерывной из D в D. (Рассмотрите отображение (x k) (x k) 1.) Пространство обобщенных функции D 7) Сдвиг свертки. Если свертка f g существует, то существует и свертка f (x + h) g(x) при всех h Rn, причем f (x + h) g(x) = (f g)(x + h).

Другими словами, операции сдвига и свертки коммутируют.

Такие операторы называют трансляционно-инвариантными.

Некоторые достаточные условия существования свер тки Пусть A и B – некоторые множества в Rn и f (x), g(x) D (Rn ), причем supp f A и supp g B. Положим TA,B = {(x, y) R2n : x A, y B, |x + y| R}.

R (9.24) Напомним, что через A обозначается -окрестность множе ства A.

R Теорема 9.7. Если для любого R 0 множество TA,B огра ничено в R2n, то свертка f g существует и представляется в виде D(Rn ), (9.25) (f g, ) = f (x) g(y), (x)(y)(x + y), где (x), (x) C (Rn ), причем при x A, (x) = 0 при x A2 ;

(x) = 1 / (9.26) при y B, (y) = 0 при y B 2.

(y) = 1 / Доказательство. Сперва заметим, что для любого 0 и R R 0 множество TA,B также ограничено. Поэтому для любой D(R ) функция (x)(y)(x + y) D(R2n ). Далее отметим, n что какая бы ни была последовательность k (x, y), сходящаяся к 1 в R2n, найдется номер N такой, что k (x, y) = 1 при (x, y) supp (x)(y)(x + y) и k N.

Теперь имеем (f g, ) = lim f (x) g(y), k (x, y)(x + y) = k = lim f (x) g(y), k (x, y)(x)(y)(x + y) = k = f (x) g(y), (x)(y)(x + y).

Пространство обобщенных функции D R Следствие 1. Пусть supp fm A, supp gm B и TA,B огра n ничено при любом R 0. Пусть еще fm f0 в D (R ) и gm g в D (Rn ). Тогда fm gm f0 g0 при m.

Это непосредственно следует из (9.25) и свойства 1) прямого произведения.

Следствие 2. Если f D (Rn ) и g E, то свертка f g существует и представляется в виде (f g, ) = g(y), (f (x), (x + y)). (9.27) Действительно, прежде всего заметим, что носитель g лежит в некотором компакте, скажем K, и, кроме того, (f (x), (x+y)) E(Rn ). Пользуясь формулой (9.25), имеем (f g, ) = f (x) g(y), (x)(y)(x + y) = = g(y), (f (x), (x)b(y)(x + y)) = = g(y), b(y)(f (x), (x)(x + y)) = = b(y)g(y), (f (x), (x + y)) = g(y), (f (x), (x + y)).

Здесь мы положили, что (y) = 1 на носителе g(y) (нарисуйте чертеж и убедитесь, что это возможно).

Замечание. Если f C (Rn ) и g E (Rn ), то свертка f g C (Rn ) и формула (9.27) принимает вид (f eg)(x) = (g(y), f (x y)).

Следствие 3. Всякая f D есть предел (в D ) последова тельности бесконечно дифференцируемых функций fm (x).

Действительно, пусть m (x) = m(mx), где (x) – “шапочка” ( D, ( ) d = 1). Положим fm = f m. Так как m (x) (x) в D, то по следствию 1 к теореме 9.7 fm = f m f = f при m.

Теорема 9.8. Всякая обобщенная функция f D есть пре дел последовательности основных функций из D, то есть D плотно в D.

Действительно, пусть fm C сходится к f в D и последова тельность N (x) DN, причем N (x) = 1 при |x| N 1. Тогда последовательность {N (x)fmN (x)} основных функций из D, где mN при N, сходится к f в D, так как lim (N fmN, ) = lim (fmN, N (x)(x)) = lim (fmN, ) = (f, ).

N N N Пространство обобщенных функции D Конусы Конусом в Rn (с вершиной в нуле) называется мно жество такое, что если x, то и x при всех 0. Конус называется острым, если существует гиперплоскость, имеющая с ch единственную общую точку ноль, причем этот конус лежит по одну сторону от нее (здесь ch – замыкание выпуклой оболоч ки конуса ). Конус = {x : (x, ) 0 } (9.28) является замкнутым выпуклым конусом с вершиной в нуле. Он называется сопряженным конусом к конусу. Типичными при мерами острых выпуклых конусов, часто встречающихся в моде лях математической физики, являются:

a) положительный координатный угол (Rn ) = Rn ;

Rn = {x : x1 0,..., xn 0}, причем + + + b) световой конус будущего в Rm+ + (V + ) = V.

V + = {x : x = (x0, x) : x0 ||}, x причем Через pr будем обозначать пересечение конуса с единичной сферой и называть проекцией на единичную сферу. Конус называется компактным в конусе, если pr pr, при этом пишем.

Упражнение. Докажите, что если – выпуклый конус, то = +.

Лемма 9.6. Следующие условия эквивалентны:

1) конус острый;

2) конус ch не содержит целой прямой;

3) int = (внутренность сопряженного конуса не пуста);

int существует число = 4) для любого конуса C (C ) 0 такое, что C, x ch.

(, x) |||x|, Попробуйте доказать это. (Доказательство см. в [2, гл. I, § 4].) Лемма 9.7. Пусть – замкнутый выпуклый острый конус.

Тогда для любого R 0 существует такое число R, что мно жество T R = {(x, y) : x, y, |x + y| R} лежит в шаре UR R2n.

Пространство обобщенных функции D Доказательство. Пусть это не так. Тогда существуют по следовательности xm и ym из такие, что |xm | + |ym |. Не нарушая общности, переходя, если нужно, к подпоследователь ности, можно считать, что |xm |. Но тогда обязательно и |ym | (ибо |xm + ym | ограничена). Не нарушая общности, можно также считать, что |xm |, m| (если =, |y то поменяем местами xm и ym ). Рассмотрим последовательно y xm сти xm = |xm | и ym = |ym |. Они принадлежат pr. Переходя m к подпоследовательностям, можно считать, что xm x0 pr и ym x0 pr. Так как ym |ym | xm xm + ym = |xm | ·, + |xm | |ym | |xn | то ym |ym | xm · + |xm | |ym | |xm | при m. Отсюда, переходя к пределу, имеем x0 + y0 = 0, откуда вытекает, что = 1, x0 = 0. Отсюда следует, что прямая y {0, +} целиком лежит в, что противоречит x остроте конуса.

Сверточная алгебра D () Определение. Пусть – замкнутый конус в Rn. Совокуп ность обобщенных функций из D, носители которых лежат в са мом конусе, обозначим через D ().

Теорема 9.9. Пусть – замкнутый выпуклый острый ко нус. Если f D () и g D (), то свертка f g существует, принадлежит D () и представляется в виде (f g, ) = f (x) g(y), (x)(y)(x + y), D, (9.29) где (x) и (y) – любые бесконечно дифференцируемые функции, равные 1 в (supp f ) и (supp g) и равные нулю вне (supp f )2 и (supp g)2 соответственно. При этом если fm, g D () и fm 0 при m, то fm g 0.

Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 9. и следствия 1 к ней, если учесть, что supp f g + =.

Пространство обобщенных функции D Нетрудно видеть, что эти свертки ассоциативны и коммута тивны. Таким образом, множество обобщенных функций из D () образуют алгебру (в которой роль умножения играет свертка, а роль единицы – -функция). Такие алгебры называют сверточны ми алгебрами. В одномерном случае для = R+ принято алгебру D () обозначать D+.

Рассмотрим в алгебре D+ совокупность обобщенных функций, зависящих от параметра, +, определяемых фор мулами (t)t при 0, () f = (9.30) (N ) f+N при 0, + N 0, N целое.

В частности, f1 = (t), f0 = f1 = (t) = (t), и далее рекурент но для любого N 0 имеем fN = (N ) (t). Проверим справед ливость формулы f f = f+. Действительно, пусть 0, 0;

имеем t (t) y 1 (t y)1 dy = f f = ()() + (t)t+ (t)t 1 (t )1 d = = = f+.

()() ( + ) Здесь мы воспользовались известной формулой анализа ()() 1 (t )1 d = B(, ) =.

( + ) 0, то, подбирая целые числа m Если теперь 0 или и n, получим (m) (n) (m+n) f f = f+m f+n = (f+m f+n )(m+n) = f++m+n = f+.

Отсюда f f = f0 = (t);

таким образом, в сверточной алгебре D+ для оператора f существует обратный оператор f. Для любого u D+ и любого N 0 имеем fN u = (N ) (t) u = u(N ).

То есть при целом N оператор fN есть оператор N -кратного дифференцирования. Так как (fN u)(N ) = fN (fN u) = (fN fN ) u = u = u, Пространство обобщенных функции D то есть fN u – первообразная порядка N обобщенной функции u.

Поэтому оператор f называют оператором дробного дифферен цирования порядка при 0 и оператором дробного инте грирования порядка при 0.

Упражнения. 1) Пусть f D+. Найдите D 2 f, если еще f L1,loc.

Ответ:

t 1 f () D 2 f = f 2 f = f1 f 1 f = d.

t t 2) Найдите решение уравнения Абеля с известной гладкой функцией g(t) t 1 f () d g(t) =.

(1 ) 0 (t ) Указание. Уравнение можно записать так g = f1 f.

3) Пусть f (t) L1,loc (R1 ). Как проще записать ее последова тельное n-кратное интегрирование t tn t FN (t) =... f (t1 ) dt1... dtn.

0 0 Ответ. FN (t) = fn f.

4) Пусть f (t) L1,loc (R1 ) и g(t) D+. Запишите в сверточной алгебре D+ интегро-дифференциально-разностное уравнение t u() d + a4 u(t h) = g(t).

a0 u (t) + a1 u (t) + a2 u(t) + a Ответ. K(t) u(t) = g(t), где K = a0 (t) + a1 (t) + a2 (t) + a3 (t) + a4 (t h).

5) Пусть f и g из D+. Проверьте, что (eat f (t)) (eat g(t)) = at e (f g)(t).

6) Пусть f (t) – непрерывная функция в Rn \{0}, причем с ин тегрируемой особенностью в нуле, а µ(t)S – простой слой на огра ниченной кусочно гладкой поверхности S с непрерывной плотно стью µ(t). Покажите, что их свертка – локально интегрируемая функция в Rn и выражается формулой f (t) µ(t)S = µ()f (t ) dS.

S Обобщенные функции медленного роста. Пространство S (Rn ) 7) Пусть (t) E (Rn ). Свертка 1 (t), (t) при n = Vn (t) = n 3 V2 (t) = ln |t|n2 |t| называется ньютоновым (при n = 2 логарифмическим потенци алом с плотностью (t)). Покажите, что потенциал существует в D (Rn ) и удовлетворяет уравнению Пуассона n 2 V (t) = (n 2) 3 (V (t) = 2(t) при n = 2).

(t), n n Кроме того, если (t) не только финитна, но и локально сумми руема, то Vn называется объемным потенциалом. В этом случае Vn L1,loc и выражается формулой () d Vn (t) =.

|t |n § 10. Обобщенные функции медленного роста.

Пространство S (Rn ) Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций S(Rn ). Через S (Rn ) обозначается множество всех обоб щенных функций медленного роста. Из включения (8.7) (D S E), непрерывности и плотности каждого из этих вложений следует, что E S D. (10.1) Напомним, что топология в S(Rn ) задается системой полунорм (на самом деле норм) N pN () = max sup (1 + |t|2 ) 2 |(j) (t)|, N = 0, 1,.... (10.2) |j| N tRn Тем самым S(Rn ) есть строгий проективный предел банаховых пространств SN (пополнение S по норме pN ) S · · · SN +1 SN · · · S0, (10.3) Линейный функционал f на S непрерывен тогда и только тогда, когда существуют числа C и N такие, что CpN () S(Rn ).

|(f, )| (10.4) Обобщенные функции медленного роста. Пространство S (Rn ) Тем самым всякий линейный непрерывный на S функционал про должается до линейного непрерывного функционала на некото ром банаховом пространстве SN. Другими словами, каждый ли нейный непрерывный функционал в S имеет конечный порядок.

Непрерывная функция f (t) называется функцией медленного роста, если (1 + |t|)m |f (t)| c для некоторых m и c. Если f (t) – функция медленного роста, то она задает регулярный функцио нал f S по формуле (f, ) = f (t)(t) dt.

Мера µ, заданная на Rn, называется мерой медленного ро ста, если для некоторого m 0 выполняется неравенство (1 + |t|)m µ(dt). (Здесь мера µ предполагается борелевской ме рой, см. [1].) Такая мера определяет обобщенную функцию мед ленного роста по формуле (µ, ) = (t) µ(dt).

Если f E, то f S. При этом для любой S имеем (f, ) = (f, ), где D и = 1 в окрестности носителя f.

Некоторые операции в пространстве S Каждая линей ная непрерывная операция над основными функциями (непре рывное линейное отображение A : S S) определяет некоторую линейную непрерывную операцию A : S S над обобщенными функциями по формуле A (f )(t), (t) = f (t), A()(t), S. (10.5) Напомним, что линейное отображение A из S в S непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно по каждой полунорме pN, то есть для любого N найдутся Q и CN такие, что pN (A()) CN pQ (), (см. утверждение 4.5).


1) Умножение на функцию. Умножение на бесконечно диффе ренцируемую функцию может вывести из S (например, et S, 2 но et · et = 1 S).

/ Определение. Пусть функция a(t) C (Rn ) растет на бес конечности вместе со всеми своими производными не быстрее по линома (своего для каждой производной):

|Dj a(t)| Cj (1 + |t|)mj, |j| = 0, 1,....

Множество таких функций есть линейное пространство и назы вается пространством мультипликаторов для S. Это простран ство обозначается через M.

Обобщенные функции медленного роста. Пространство S (Rn ) Пусть a(t) M ;

тогда линейная операция A : S a(t)(t) S непрерывна в S. (Докажите). Следовательно, фор мула (a(t)f, ) = f (t), a(t)(t), S, корректно определяет умножение обобщенной функции на беско нечно дифференцируемую функцию из M.

2) Неособенная линейная замена переменных. Пусть A – невы рожденная (n n)-матрица и b Rn. Отображение (t) (t b)) непрерывно из S в S. (Докажите). Поэтому | det A| (A если f (t) S, то естественно определить обобщенную функцию f (At + b) формулой f (t), (A1 (t b)), S.

f (Bt + b), (t) = | det A| 3) Операция дифференцирования. Операция (t) (1)|j| Dj (t) непрерывна из S в S. (Докажите). Поэтому если f S, то формула (Dj f, ) = (1)|j| (f, Dj ), S, корректно определяет обобщенную функцию из S, которую есте ственно назвать производной Dj обобщенной функции f.

Отметим, что пространство D плотно в S, то есть для любой S существует последовательность {k D} такая, что k в S при k. (Эта последовательность может быть задана, t например, формулой k (t) = (t) k, где D, причем (t) = 1, при |t| 1. Проверьте сами, что k в S.) Последовательности обобщенных функций в прос транстве S Пространство S есть пространство Фреше, поэтому оно бочечно и борнологично. Тем самым справедлива следующая теорема (см. следствие 1 к теореме 6.3).

Теорема 10.1 (о полноте S ). Если последовательность fk S сходится в S, то есть (fk, ) C S, k то C = (f, ), где f S.

Обобщенные функции медленного роста. Пространство S (Rn ) Следствие. Пусть fk f0 в S ;

тогда Dj fk Dj f k k в D. (С. со следствием к теореме 9.5).

Из теоремы 6.3 непосредственно вытекает следующая Теорема 10.2 (Л. Шварца). Пусть {f S (Rn ), J} – ограниченное множество функционалов медленного роста, то есть |(f, )| C f, J, S;

(10.6) тогда существуют постоянные C и N такие, что |(f, )| J, S.

CpN (), (10.7) Оказывается, что всякая сходящаяся в S последовательность обобщенных функций сходится также и в некотором SN.

Теорема 10.3. Пусть fk S, k = 1, 2,..., и для любой S последовательность (fk, ) 0 при k ;

тогда су ществуют число N и последовательность k 0 такие, что S(Rn ).

|(fk, )| k PN () (10.8) Доказательство почти дословно повторяет доказательство со ответствующей теоремы для пространства D (см. теорему 9.6).

При этом вместо теоремы о полноте D следует пользоваться тео ремой о полноте S, а вместо леммы 8.3 пользоваться леммой 8.1.

Замечание. Теорема останется справедливой, если последо вательность fk заменить на произвольную направленность f, I. Только нужно потребовать, чтобы для любой S имела место оценка |(f, )| C при I.

Отметим, что если I = [1, +) и для S функция (f, ) непрерывна по I, то при условии существования предела (f, ) C указанное выше условие выполняется автома тически.

Следствие. Пусть fk f0 в S, а k 0 в S при k ;

тогда (fk, k ) (f0, 0 ).

k Для обобщенных функций из S имеет место следующая структурная теорема.

Обобщенные функции медленного роста. Пространство S (Rn ) Теорема 10.4. Если f S (Rn ), то существуют непрерыв ная функция g(t) медленного роста и мультииндекс j такие, что f (t) = Dj g(t).

Доказательство этой теоремы почти полностью повторяет до казательство теоремы 9.1, вместо оценки (9.7) надо пользоваться аналогичной оценкой с нормой, определяемой (8.15).

Пространство обобщенных функций S (F ) Множество G называется регулярным, если существуют положительные числа d,, q такие, что любые две точки t1, t2 G, расстояние между которыми |t1 t2 | d, могут быть соединены в G спрямляемой |t1 t2 |q.

кривой длины В частности, всякое выпуклое множество G регулярно (для него d можно считать равным диаметру G и = q = 1). Множе ство, состоящее из конечного числа точек, регулярное.

Пусть F – замыкание регулярной области G: F = G. Опре делим пространство основных функций SF (быстро убывающих на F ) как совокупность бесконечно дифференцируемых на F функций (то есть бесконечно дифференцируемых на G и непре рывных вместе со всеми производными на F ), для которых ко нечны все нормы = sup (1 + t2 )N/2 |Dj (t)|, N = 0, 1,.... (10.9) N,F tF |j| N В SF введем топологию проективного предела убывающей после довательности банаховых пространств · · · SF,N +1 SN,F · · · S1,F S0,F, где SN,F – пополнение SF по N -й норме. Каждое вложение SN +1,F SN,F, N = 0, 1..., непрерывно. Для любого N суще ствует N N такое, что вложение SN,F SN,F вполне непре рывно (компактно). Пространство SF = N 0 SN,F – простран ство Фреше, следовательно, бочечное и борнологичное. Простран ство SF определим как сопряженное пространство (пространство обобщенных функций медленного роста на F ) к пространству SF.

Каждая обобщенная функция f из SF имеет конечный порядок, то есть для некоторых m и C |(f, )| SF.

C m,F, (10.10) Обобщенные функции медленного роста. Пространство S (Rn ) Пусть F – замкнутое регулярное множество. Обозначим через S (F ) совокупность обобщенных функций из S с носителем в F.

Утверждение 10.1. Пространства S (F ) и SF изоморфны.

Доказательство см. в [5, гл. I, п. 1.3]. Это утверждение позво ляет трактовать обобщенные функции с носителем на замкнутом регулярном множестве как обобщенные функции из SF.

Для обобщенных функций из пространства S (F ), если F – регулярное множество, структурная теорема уточняется следую щим образом.

Теорема 10.5 (Владимиров В. С.). Пусть f S (F ), где F – регулярное множество. Тогда Dj µj (dt), f= (10.11) |j| N где µj (dt) – меры степенного роста с носителями в F.

Доказательство см. В. С. Владимиров [20].

Свертка обобщенных функций из S Пусть f (x) S и g(x) S, и свертка f g существует в D. Вопрос: Когда она принадлежит S ? Рассмотрим несколько случаев.

1) Пусть f S и g E. Тогда, как мы видели (см. (9.27)), f g существует, принадлежит D и представляется в виде (f g, ) = g(y), (f (x), (x + y)). (10.12) Так как f S, то отображение (x) (f (x), (x + y)) непрерыв но из S в E. Докажите. Поэтому формула (10.12) корректно опре деляет f g как обобщенную функцию из S. Тем самым свертка существует в S.

Отметим, что если fm f0 в S и gm g0 в E, причем существует компакт K такой, что supp gm K для всех m, то fm gm f0 g0.

m 2) Пусть – замкнутый выпуклый острый конус в Rn с верши ной в нуле. Если f и g из S с носителями в (то есть f, g S ()), то свертка f g, как мы видели, существует в D и представляется формулой (f g, ) = f (x) g(y), (x)(y)(x + y), S, (10.13) 130 Преобразование Фурье обобщенных функций где и – любые C -функции, |Dj (x)| cj, |Dj (y)| cj, равные 1 в (supp f ) и (supp g) и равные нулю вне (supp f ) и (supp g)2 соответственно (см. (9.25)). Так как отображение (x) (x)(y)(x + y) непрерывно из S(Rn ) в S(R2n ) (докажи те), то эта формула определяет f g как обобщенную функцию из S (даже из S ()).

Замечание. Так как – регулярное множество, то f и g есть линейные непрерывные функционалы на S. Справедлива фор мула (f g, ) = f (x), (g(y), (x+y)) = g(y), (f (x), (x+y)). (10.14) Эта формула имеет смысл, так как отображение (f (x), (x + y)) (как и аналогичное отображение (g(y), (x + y))) непре рывно из S в S. Докажите.

Пусть fm, gm S (), причем fm f0 и gm g0 при m в S ;

тогда fm gm f0 g0 в S.

3) Пусть f S и S;

тогда свертка f существует в S, даже принадлежит M, и представляется формулой f = (f (), (t )), |Dj (f )(t)| C(1 + t2 )N/2 pN +|j| () (10.15) причем с некоторыми C и N.

Пусть – “шапочка” (см. (3.3)), m = m(mx) и пусть f S.

Свертка f m f в S (см. случай 1)). С другой стороны m (см. случай 3)), f m M. Следовательно, M плотно в S.

Но всякая функция из M есть предел в S последовательности функций из S (даже из D). Тем самым S (даже D) плотно в S.

§ 11. Преобразование Фурье обобщенных функций Преобразование Фурье основных функций из S На помним некоторые сведения о преобразовании Фурье “обычных” функций. Рассмотрим пространство L1 (Rn ). Преобразование Фу рье функции (t) L1 (Rn ) определяется формулой def (t)ei(,t) dt, (, t) = 1 t1 + · · · + n tn.

F [(t)]() = () = (11.1) Преобразование Фурье обобщенных функций Функция F []() представляет собой ограниченную непрерыв ную функцию, которая стремится к нулю при ||. От метим также, что если для f L1 выполняется соотношение f (t)ei(t,) dt 0, то f (t) = 0 п.в.

В пространстве L2 (Rn ) имеет место следующая Теорема 11.1 (Планшереля). Для любой функции f (t) L2 (R1 ) интеграл R R f (t)eit dt1... dtn gR () =...

R R при любом R является функцией из L2. При этом gR g в метрике L2 при R и выполнено соотношение |g()|2 d = 2 |f (t)|2 dt. (11.2) Так как основные функции из S(Rn ) суммируемы, для них определена операция (классического) преобразования Фурье F []:

(t)ei(,t) dt, S.

F [(t)]() = (11.3) При этом F []() ограничена, непрерывна и стремится к нулю при ||. Более того, так как (t) – бесконечно дифференци руема и убывает быстрее любой степени вместе со всеми своими производными, то j (it)j (t)ei(,t) dt = F [(it)j (t)](), D F []() = (11.4) F [Dj (t)]() = (Dj (t))ei(,t) dt = (i)j F []().

Из оценки (1 + ||2 )N |Dj F []()| (1 )N [(it)j (t)]ei(,t) dt C sup (1 + |t|2 )n+1 |(1 )N [tj (t)]| p2N +n+1 (), tRn где C не зависит от, получаем pN (F []) p2N +n+1 (), откуда следует, что преобразование Фурье F есть непрерывное отобра жение S в S. Докажем, что оно взаимно однозначно и обратное преобразование F 1 непрерывно, то есть справедлива следующая 132 Преобразование Фурье обобщенных функций Лемма 11.1. Преобразование Фурье F осуществляет (ли нейный) изоморфизм пространства S на S.


Сперва покажем, что формула обращения преобразования Фу рье имеет вид (t) = F 1 [()](t) = ()ei(,t) d, S. (11.5) (2)n Доказательство (для простоты выкладок) проведем для случая n = 1. Напомним, что sinxAx (x) в S при A.

(Докажите, см. упражнение 2) после леммы 9.3.) Имеем A 1 eit () d = lim eit () d = 2 A 2 A A eit ) d eix (x) dx = = lim A 2 A 1 sin(A(t x)) = lim, (x) = tx A = ((t x), (x)) = (t).

Покажем теперь, что = F 1 [()](t) = F [()](t). (11.6) (2)n Действительно, 1 F 1 [()](t) = ()ei(t,) d = F [()](t) = (2)n (2)n 1 ()ei(t,) d = = F [()]. (11.7) (2)n (2)n Преобразование Фурье обобщенных функций из S Вернемся к обобщенным функциям. Определим преобразование Фурье обобщенных функций из S как операцию, сопряженную к операции преобразования Фурье для основных функций. В про странстве S (Rn ) преобразование Фурье определим равенством f S, S.

(F [f ], ) = (f, F []), (11.8) Преобразование Фурье обобщенных функций Так как преобразование Фурье F [] – линейная, непрерыв ная операция из S в S, то ясно, что f F [f ] – линейная и непре рывная операция из S в S.

Ясно, что обратная операция F 1 [f ] определяется формулой (F 1 [f ], ) = (f, F 1 []). (11.9) Отметим, что при таком определении если f – регулярная обоб щенная функция, скажем из L1 (Rn ) или L2 (Rn ), то так опреде ленное преобразование Фурье совпадает с классическим. Отме тим еще, что F 1 [f ] = f S, F [f (t)], (11.10) (2)n где f (t) – отражение, то есть (f (t), (t)) = (f (t), (t)). Таким образом, справедливо следующее Утверждение 11.1. Преобразование Фурье f F [f ] есть линейный изоморфизм S на S.

Отметим некоторые свойства преобразования Фурье (докажи те сами).

1) Линейное преобразование аргумента:

F [f ](A1T ), F [f (At)]() = detA = 0.

|detA| Здесь A AT обозначает операцию транспонирования.

2) Сдвиг преобразования Фурье и преобразование Фурье сдви га:

F [f ]( + h) = F [ei(h,t) f (t)](), F [f (t + t0 )] = e(,t0 ) F [f ]().

3) Дифференцирование преобразования Фурье и преобразова ние Фурье производной:

j j D F [f ]() = F [(it)f (t)](), F [Dt f (t)]() = (i)F [f ]().

Пример 11.1. Так как F [(t t0 )], = (t t0 ), F [] = F [](t0 ) = (t)ei(t0,t) dt = ei(t0,t), (t), = то при t0 = 0 имеем F [] = 1, = F 1 [1] = (2)n F [1]. В частности, F [1] = (2)n ().

134 Преобразование Фурье обобщенных функций Преобразование Фурье обобщенных функций из E Сперва напомним, что каждая обобщенная функция f из E при надлежит пространству S и, более того, имеет компактный носи тель. В частности, f – конечного порядка, то есть f – линейный непрерывный функционал над некоторым банаховым простран ством SN, а потому (по формуле (10.4)) существуют C и N такие, что |(f, )| CpN (), SN. (11.11) Теорема 11.2. Если f E, то преобразование Фурье F [f ] M и представляется в виде F [f ]() = f (t), (t)ei(t,), (11.12) где (t) – любая функция из D, равная 1 в окрестности носите ля f.

Доказательство. Пусть (t) D и (t) = 1 на носителе f.

Имеем (Dj F [f ], ) = (1)|j| (F [f ], Dj ) = (1)|j| (f, F [Dj ]) = = (1)|j| (f, (t)(it)j F []) = (t)(it)j ( )ei(,t) d = f (t), = f (t), (t)(it)j ei(,t) ( ) d.

= Откуда при j = 0 и следует (11.12). Докажем, что правая часть (11.12) принадлежит M. Из (11.11), пользуясь (10.2), имеем |Dj F [f ]()| = |(f (t), (t)(it)j ei(,t) )| CpN (t)(it)j ei(,t) = j = C max sup (1 + t2 )N/2 |Dt [(t)(t)j ei(,t) ]| |j| N tRn Cj (1 + ||2 )N/2 (11.13) для некоторых Cj 0. Что и доказывает теорему.

Замечание 6. Из (11.12) следует, что F [f ]() – целая функ ция. В частности, |Dj F [f ]( + i)| Cj (1 + |z|2 )N/2 eb||, z = + i. (11.14) Замечание 7. Отметим, что функцию (t) в формуле (11.12) можно опустить, понимая выражение (f (t), ei(t,) ) как действие функционала f E на основную функцию ei(t,) E.

Преобразование Фурье обобщенных функций Преобразование Фурье свертки Утверждение 11.2. Пусть f S и g E. Тогда их сверт ка f g S и ее преобразование Фурье дается формулой F [f g] = F [f ]F [g]. (11.15) Доказательство. Пользуясь формулой (10.12), имеем S(Rn ).

(f g, ) = (f (x), (g(y), (x + y))), Отсюда, применяя преобразование Фурье (11.8), получим ()ei(x+y,) d (F [f g], ) = (f g, F []) = f (t), g(y),.

Теперь, пользуясь формулой (9.20) для обобщенных функций из S и учитывая, что F [g] M, имеем (g(y), ei(,y) )ei(t,) () d (F [f g], ) = f (t), = F [g]()ei(t,) () d = f (t), = (f, F [F [g]]) = (F [f ], F [g]) = (F [f ]F [g], ).

Откуда и следует (11.15).

Замечание. Если f S и g S, то свертка f g M.

Формула (11.15) остается справедливой и в этом случае.

Пусть f, g S ();

тогда, как мы видели, существует f g S (). Однако формула (11.15) требует дополнительного осмыс ления, ибо произведение обобщенных функций F [f ] · F [g], вообще говоря, не определено. Эту формулу можно осмыслить в рамках теории преобразования Лапласа (см. далее § 12, формулу (12.9)).

Упражнения. 1) Найти преобразования Фурье следующих функций:

2 1) ea |t| 3) ea t ;

2) ;

;

a2 + t 1 при |t| a, 4) f (t) = 0 при |t| a;

(a 0) 136 Преобразование Фурье обобщенных функций Ответы:

2a a|| 2 2 sin(a) ;

e ;

e 4a ;

.

2 + a2 a a Докажите, что 2) F [(±t)] = () ± iP 1.

Указание.

i ei(t,+i ) d = lim вS.

F [(t)] = lim + +0 + Далее воспользуйтесь формулой Сохоцкого.

3) F [sign t] = 2iP 1.

Указание. F [sign t] = F [(t) (t)].

4) F [P 1 ] = 2F 1 [P 1 ] = i sign.

t t Преобразование Фурье основных функций из D(R1 ) В этом пункте (для простоты понимания) мы ограничимся од номерным случаем. Пусть (t) – некоторая основная функция из D. Поскольку она финитная, скажем, D(K), где компакт K = [a, +a], то ее преобразование Фурье a (t)eitz dt = (t)eitz dt, (z) = F [] = z = x + iy, a имеет смысл при всех z C. Более того, ясно, что функция F [(t)](z) есть целая аналитическая функция, причем справед лива оценка a |z j (z)| = (j) (t)eitz dt Cj ea|y|, j = 0, 1,.... (11.16) a При этом нетрудно видеть, что a,m Ca pam (), где слева стоит норма пространства Z(a), определяемая формулой (8.6), а справа – норма пространства D(K), определяемая формулой (8.4). Так что преобразование Фурье есть непрерывное отображе ние пространства Фреше D(K), где K = [a, +a], в пространство Фреше Z(a). Верно и обратное утверждение.

Таким образом преобразование Фурье есть линейное непре рывное отображение из D в Z.

Преобразование Фурье обобщенных функций Лемма 11.2. Всякая целая аналитическая функция (z), удовлетворяющая при каждом j = 0, 1,..., оценке (11.16) (то есть Z(a)), есть преобразование Фурье некоторой основной функции D([a, a]).

Доказательство. Функцию (t) определим формулой + (x)eixt dx.

(t) = (11.17) 2 Так как (x) в силу оценки (11.16) убывает при |x| быстрее любой степени, то интеграл в (11.17) сходится абсолютно и рав номерно по x (вместе со всеми производными по параметру t).

Таким образом (t) – бесконечно дифференцируемая функция.

Покажем, что она финитна. Сдвинем ось интегрирования парал лельно в комплексную плоскость + (x + i )ei(x+i )t dx = (t) = 2 + 1 t (x + i )eix dx.

= e (11.18) 2 Это законно в силу теоремы Коши, если учесть, что интегралы по вертикальным отрезкам [N, N + i ] и [N, N + i ] стремятся к нулю при N. Пусть теперь |t| a, зададим некоторое число q 0 и найдем из условия t = q|t|. Так что | | = q. Используя неравенство (11.16), при j = 0 и j = 2 находим из (11.18) ea|y| ea|y| C ea|y| min C0, |(z)| C C ;

|z|2 1 + |z|2 1 + |x| + ea| | 1 t dx = C eq|t|+a| | = C eq(a|t|).

|(t)| e C 1 + |x| 2 Так как C не зависит от q, то при q находим, что (t) = 0.

Следовательно, при |t| a функция (t) = 0.

Таким образом, преобразование Фурье устанавливает изомор физм между пространствами D и Z. При этом обратное преобра зование F 1 определяется формулой (11.17).

138 Преобразование Лапласа обобщенных функций Некоторые операции на пространстве основных функ ций из Z В этом пункте, опираясь на установленный изомор физм пространств D и Z ((t) F [] = (z)), рассмотрим неко торые непрерывные операции, которые допускаются в Z. Нетруд но видеть, что операции умножения (дифференцирования) в про странстве D в Z соответствуют непрерывные операции диффе ренцирования (умножения на степени z). Сдвигу (t + h) соот ветствует операция умножения на eizh и наоборот. Поскольку в q hq ith D имеет место сходимость ряда q=0 (it) q! (t) = e (t), то q в Z это определяет разложение в ряд Тейлора q=0 (z) h =(q) q!

(z +h) с любым фиксированным комплксным h. В D определена операции свертки (t) (t) D, если из D и (t) E (более того, операция свертки определена, даже если D, см. след ствие 2 к теореме 9.7), а потому в Z определена и непрерывна операция умножения на целые аналитические функции (z), удо влетворяющие оценке |(z)| C(1+|z|)m eb|y|. Это следует из того, что свертка при преобразовании Фурье переходит в произведе ние преобразований фурье. А преобразование Фурье обобщенных функций из E как раз и есть функции типа, см. (11.14).

Теперь можно определить преобразование Фурье для функций из D по формуле Z.

(F [f ], ) = (f, F []), (11.19) Таким образом F [f ] является линейным непрерывным функци оналом над пространством Z. Поскольку пространство Z состо ит из аналитических функций, то F [f ] называют аналитическим функционалом.

Аналитические функционалы не вполне заслуживают назы ваться “обобщенными функциями”. В частности, для аналитиче ских функционалов не определено понятие носителя и “регуляр ного” аналитического функционала.

§ 12. Преобразование Лапласа обобщенных функций Пусть g(t) – обобщенная функция из D (Rn ). Если g(t) имеет компактный носитель, то есть g(t) E, то, как мы видели, выра жение (g(t), ei(t,z) ) имеет смысл для любого z Cn и представляет Преобразование Лапласа обобщенных функций собой целую аналитическую функцию. Она называется преобра зованием Лапласа обобщенной функции g(t) и обозначается L[g].

Условие g E весьма ограничительно. Существуют случаи, ко гда выражение (g(t), ei(t,z) ) может быть осмыслено, если и не для всех z Cn, а для z из некоторой области O Cn. В этом случае получившаяся функция L[g](z), z O, также называется пре образованием Лапласа обобщенной функции g. Мы рассмотрим один из важных таких случаев, а именно, когда supp g, где – замкнутый острый выпуклый конус в Rn.

Пусть – замкнутый выпуклый острый конус в Rn с вершиной в нуле и C = int. Отметим, что (t, y) 0 при t и y C.

Трубчатое множество в Cn вида Rn + iC = {z = x + iy : x Rn, y C} (12.1) обозначаем через T C.

В частности, для n = 1 острых конусов всего два (отри цательная или положительная полуось). Если = [0, +), то C = (0, +), и T C = R + iC = {z = x + iy : y 0} – верхняя полуплоскость.

Преобразование Лапласа рассмотрим для обобщенных функ ций S (). При этом мы будем пользоваться тем фактом, что пространства S () и S изоморфны (смотри утверждение 10.1).

Пусть g S. Преобразованием Лапласа L[g](z) будем называть функцию переменного z T C, задаваемую формулой L[g](z) = (g(t), ei(z,t) ), z T C.

z = x + iy, (12.2) Эта формула имеет смысл, ибо функция ei(t,z) S при z T C.

При этом обобщенную функцию g(t) называем спектральной функцией L[g](z).

Заметим, что в операционном исчислении (n = 1) преобразова ние Лапласа определяется несколько иначе, а именно, формулой (g(t), ezt ), z = x + iy, x 0, что соответствует замене z на iz.

Пространство H(T C ) Обозначим через H (,) (T C ), 0, 0, (, – целые числа) совокупность функций, голоморфных в T C и удовлетворяющих оценке Mf (1 + |z|2 )/2 [1 + z = x + iy T C, |f (z)| ], (12.3) (y) 140 Преобразование Лапласа обобщенных функций где (y) – расстояние от y C до границы конуса C. Это рассто яние определяется формулой (y) = inf pr (y, ). Топологизи руем это пространство с помощью нормы |f (z)| (,) f (z) = sup. (12.4) + (y)] |z|2 )/2 [ (1 + zT C Пространства H (,) (T C ) банаховы. Кроме того, если,, то f (z) (, ) 2 f (z) (,). А потому H (,) (T C ) H (, ) (T C ), (12.5) (,) C причем вложение непрерывно. Объединение всех H (T ) обо значим H(T C ). Это пространство является ассоциативной, ком мутативной алгеброй относительно операции обычного умноже ния (функций) с единицей и без делителей нуля.

Покажем, что S H(T C ), то есть пространство обобщенных функций S изоморфно пространству голоморфных в T C функ ций (не выше степенного роста вблизи границы) H(T C ). Этот изоморфизм осуществляется преобразованием Лапласа L[·]. До казательство проведем в три шага.

Лемма 12.1. Пусть g(t) S, где – замкнутый выпуклый острый конус в Rn с вершиной в нуле и C = int. Тогда f (z) = L[g](z) H(T C ).

Доказательство. Сперва заметим, что так как обобщенная функция g(t) S, то она имеет конечный порядок. Учитывая, что при z T C, t, функция ei(z,t) S, и пользуясь (12.2) и (10.9), для некоторого N имеем |f (z)| = |(g(t), ei(z,t) )| j C ei(z,t) = C sup (1 + t2 )N/2 |Dt ei(z,t) | N, t |j| N C sup (1 + t2 )N/2 |(iz)j |e(y,t) C (1 + |z|2 )N/2 + t |j| N + C (1 + |z|2 )N/2 sup |t|N e(y)|t| t |t| C3 (1 + |z|2 )N/2 [1 + ].

N (y) Осюда и следует, что f H(T C ).

Преобразование Лапласа обобщенных функций Лемма 12.2. Пусть – замкнутый выпуклый острый конус в Rn с вершиной в нуле и C = int. Если f (z) H(T C ), то существует предел S (Rn ).

f (x + iy) f (x) в (12.6) y yC Здесь C – любой компактный подконус конуса C (то есть pr C pr C ).

Доказательство. Сперва мы проведем доказательство для случая n = 1. В этом случае T C – верхняя полуплоскость {z = a x + iy, y 0} и оценка (12.3) имеет вид |f (z)| Mf (1+|z|) (для yb некоторых a и b), ибо (y) = y. Оценим первообразную функции f (z). Имеем |f (1) (x + iy)| = f (x + iy) d | |f (z)| |dz| Mf (1 + |z|)a Mf d yb y d M1 (1 + |z|)a1 + M2 (1 + |z|)a b M3 (1 + |z|)a3 [1 + ].

y b Здесь мы использовали следующие факты. Первообразная в фик сированной точке x + iy определена с точностью до постоянной, которая в оценке не существенна. Кроме того, кривую интегри рования можно брать любой (в силу голоморфности f (z)). Мы выбрали ее следующим образом: от точки i до x + i параллель но оси x, далее по прямой от точки x + i до x + iy. Оценка N -й (N b + 1) первообразной вообще не будет содержать слагаемого типа yb, растущего при приближении к оси x. Тем самым очевид но, что достаточно большая первообразная непрерывна вплоть до границы верхней полуплоскости y = 0. Теперь имеем (для доста 142 Преобразование Лапласа обобщенных функций точно большого N ) (f (x + iy)(x)) = (1)N (f (N ) (x + iy), (N ) (x)) = = (1)N f (N ) (x + iy)(N ) (x) dx y (1)N f (N ) (x)(N ) (x) dx.

y Здесь учтено, что f (N ) (z) растет не быстрее некоторой степе ни z, а (N ) (x) убывает на бесконечности быстрее любой степени.

Таким образом у f (z) H(T C ) существует в S граничное значе ние, которое мы будем обозначать f (x).

Для случая n 1 доказательство можно провести, пользуясь аналогичными рассуждениями. Надо показать, что существует предел S(Rn ), f (x + iy)(x) dx C C. Пусть () S(R1 ) и равномерный при y pr C, где C n () d = 1. Для любой (x) S(R ) имеем f (x + y y + iy)(x) dx = f (x + iy)(x) dx = () d f (x + ( + i)y)()(x y) dx d.

= Как и выше, взяв N -ю первообразную от f (x + y) по = + i (пользуясь голоморфностью по ), можно показать, что при достаточно большом N она будет непрерывной функцией по вплоть до = 0. И далее, переходя к пределу, убедимся, что у f существует граничное значение в S (Rn ).

Лемма 12.3. Пусть f (z) H(T C );

тогда существует обоб щенная функция g(t) S такая, что L[g(t)](z) = f (z), причем преобразование Фурье F [g(t)](x) = f (x), где f (x) есть граничное значение f (z), вычисляемое по формуле (12.6).

Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу оценки (12.3) при каждом y int C функция f (x + iy) S (Rn ) и су ществует мультииндекс j, так что f(iz)j dx. Рассмотрим (x+iy) обобщенную функцию gy (t) = e(y,t) Fx [f (x + iy)](t, y). Покажем, Преобразование Лапласа обобщенных функций что она не зависит от y. Действительно, для любого = 1, 2,...

имеем gy (t) 1 f (x + iy) = t e(y,t) Fx [f (x + iy)] + e(y,t) Fx = y y 1 if (x + iy) = e(y,t) t Fx [f (x + iy)] + Fx = x = e(y,t) [t i(it )]Fx [f (x + ty)] = 0.

Здесь мы воспользовались условиями Коши–Римана для голо морфных функций. Отсюда следует, что gy (t) g(t) не зависит от y и Fx [f (x + iy)](t) = e(y,t) g(t) S (Rn ).

(12.7) Переходя здесь к пределу при y 0, y C C, учитывая, что преобразование Фурье непрерывно в S и формулу (12.6), полу чим, что F 1 [f (x)](t) = g(t).

Покажем теперь, что supp g(t). Действительно, пусть (t) S(Rn ) и supp (t) =. Отметим, что |y||t| 1 |y| при y C, t supp g(t).

(y, t) (12.8) (См. лемму 9.6, свойство 4, нарисуйте рисунок. Учтите, что int = C и носитель g отделен от замкнутого конуса, а следо вательно, и от нуля.) Теперь имеем (g(t), (t)) = Fx [f (x + iy)](t), e(y,t) (t) = = f (x + iy), F 1 [e(y,t) (t)](x) = ei(x,t)+(y,t) (t) dt dx = = f (x + iy) (2)n f (z) ei(z,t) (j) (t) dt dx.

= (iz)j Отсюда f (x + iy) M e|y| M1 e|y|.

|(j) (t)| dt |(g(t), (t))| dx (iz)j Так как левая часть этого неравенства не зависит от y, то, устрем ляя y к бесконечности, получаем, что (g(t), (t)) = 0. Что и за вершает доказательство леммы.

144 Преобразование Лапласа обобщенных функций Таким образом, справедлива следующая Теорема 12.1 (Пэли–Винера–Владимирова). Для того чтобы функция f (z) принадлежала пространству H(T C ), необ ходимо и достаточно, чтобы ее спектральная функция g(t) при надлежала S. Алгебры H(T C ) и S изоморфны и этот изо морфизм осуществляется преобразованием Лапласа. Функция f (x + iy) имеет в S граничное значение при y 0, y C равное F [g] = f (x).

Заметим, что в работе В. С. Владимирова [2] утверждение тео ремы доказано для более широкого круга пространств.

Замечание. Пусть f и g из S. Тогда их свертка f g S и ее преобразование Лапласа дается формулой L[f g] = L[f ] · L[g]. (12.9) Упражнения. Рассмотрим случай n = 1, = [0, +), T C – верхняя полуплоскость в C.

1) Обобщенная функция f, определяемая формулой (9.30), принадлежит пространству S S+. Покажите, что L[f ] =, y 0.

(iz) В частности, если g S+, то ее для ее дробной производной по рядка справедлива формула L[g () (t)](z) = (iz) L[g(t)](z). (12.10) Решение. Пусть 0, тогда f – регулярная функция и t1 ty 1 1 e d = L[f ](iy) = e dt ==.

y () y () 0 В верхней полуплоскости голоморфные функции L[f ](z) и (iz) совпадают на линии z = iy, y 0, а следовательно, всюду в верхней полуплоскости. Если 0, то + m 0 при некото ром m. Поэтому (m) L[f ] = L[fm+ ] = (iz)m (iz)m = (iz).

Отсюда (при = 1) и из (12.7), имеем i i L[eita (t)] = L[eita (t)] =,, za z+a Преобразование Лапласа обобщенных функций откуда iz a L[(t) sin(at)] =, L[(t) cos(at)] =.

a2 z2 a2 z 2) Функция Бесселя J0 (t) определяется как решение уравне ния tu + u + tu = 0 при условиях u(0) = 1, u (0) = 0. Вычислите ее преобразование Лапласа.

Указание. Запишем уравнение Бесселя в виде (itu ) + itu = 0 и перейдем к преобразованию Лапласа, имеем iz[D(iz u)] + u z D = 0. Откуда (z +1) = z u, или u = z2 +1. Решая, получим u u dz ln u = 1 z 2 +1, или u =.

2 z 2 + t J0 ( )J0 (t ) d.

3) Докажите, что sin t = Указание. Вспомните, что L[sin t] = 1z2 и тот факт, что свертка переходит при преобразовании Лапласа в произведение.

4) Покажите, что семейство экспонент {ekt, k 0} плотно в S, где = [0, +), то есть в S+.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.