авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 5 Издание выходит с 2006 ...»

-- [ Страница 4 ] --

Решение. Пусть это не так. Тогда найдется в S+ элемент 0 (t), не принадлежащий подпространству, являющемуся замы канием линейной оболочки экспонент {eyt, y 0}. А потому из теоремы Хана–Банаха (см. упражнение 1 в конце § 5) заключаем, что существует функционал g(t) S+ такой, что (g(t), eyt ) = при всех y 0, но (g, 0 ) = 0. Переходя к преобразованию Ла пласа, видим, что f (z) = L[g] = (g(t), eizt ) = 0 при y 0 (на чи сто мнимой полуоси верхней полуплоскости C). По теореме един ственности для голоморфных функций следует, что f (z) 0, а следовательно, и g 0. Пришли к противоречию.

5) Напомним, что g(t) S называется однородной степени, если g(t) = g(t). Докажите, что однородная функция g(t) S+ степени равна cf+1, где c – некоторая постоянная.

Решение. Пусть f (z) = L[g(t)](z) = (g(t), eizt ) – преобразова ние Лапласа однородной функции g. Имеем t f (i) = g(t), e = g(t ), et = t +1 + = (g(t), e )= f (i).

Здесь мы сделали замену переменной (t = t) и воспользова лись однородностью обобщенной функции g(t). Отсюда имеем 146 Асимптотически однородные обобщенные функции f (iy) = yf+1. Таким образом, голоморфная в верхней полуплоско (i) сти функция f (z) на мнимой полуоси (y 0) совпадает с функци c ей (iz)+1. По теореме единственности для голоморфных функ ций f (z) = (iz)+1, где c = f (i) = (g(t), et ). Следовательно, c g(t) = cf+1.

§ 13. Асимптотически однородные обобщенные функции В этом параграфе мы ограничиваемся случаем n = 1 и про странством обобщенных функций S+ (случай n 1 рассмотрен в [5]).

Напомним, что пространство S+ – это пространство обобщен ных функций из S (R1 ) с носителями на положительной полуоси.

Его можно трактовать как пространство линейных непрерывных функционалов на пространстве S+, то есть на пространстве бес конечно дифференцируемых на замкнутой полуоси [0, +) функ ций, быстро убывающих при t + вместе со всеми производ ными. Топология на S+ задается системой полунорм = sup (1 + t2 )N/2 |(j) (t)|.

(13.1) N,R+ jN tR+ Тем самым S+ есть проективный предел банаховых пространств S+N.

Пусть f S, тогда по теореме 10.4 существует N такое, что f (t) = DN g(t), где g(t) – непрерывная функция степенного роста.

Если f S+, то можно считать, что g(t) = [f fN ](t), где fN – ядро дробного интегрирования и дифференцирования, см. фор мулу (9.30).

Поскольку f имеет конечный порядок, то есть существует M такое, что f S+M, то справедлива формула g(t) = (f (), fN (t )), (13.2) ибо при достаточно больших N функция fN (t) S+M и непре рывно зависит от t. (Докажите).

Преобразованием Лапласа функции f (t) S+ является функ ция f (z) = L[f ](z) = (f (t), eitz ), z = x + iy, y 0. (13.3) Асимптотически однородные обобщенные функции (Следует заметить, что eitz S+ при y 0.) Функция f (z) голо морфна в верхней полуплоскости и удовлетворяет там оценке (1 + |z|)a x R1, |f (x + iy)| C, y 0, (13.4) yb с некоторыми a, b и C.

Автомодельные (правильно меняющиеся) функции Определение. Пусть (k) – положительная и непрерывная при больших k функция. Говорят, что – автомодельная (пра вильно меняющаяся) функция, если для любого a 0 существует предел (ak) lim = C(a), (13.5) k+ (k) причем сходимость равномерная по a на каждом компакте K (0, +).

Нетрудно видеть (покажите), что C(a) непрерывная функция и удовлетворяет функциональному уравнению C(ab) = C(a)C(b), из которого следует, что C(a) = a при некотором (, +).

Число + называется порядком автомодельности.

В частности, функция (k) = k автомодельна порядка. Если (k) – автомодельная функция порядка, то k (k) автомодельна порядка +.

Для автомодельных (правильно меняющихся) функции имеет место следующая Теорема 13.1 (о представлении). Пусть (t) – автомо дельная функция порядка ;

тогда найдется число A 0 такое, что при t A t ( ) (t) = t exp (t) + d, (13.6) A где (t) и (t) – ограниченные непрерывные функции на [A, +), причем (t) c, а (t) 0 при t +.

Доказательство см. [14].

Пользуясь (13.6), докажите следующее 148 Асимптотически однородные обобщенные функции Утверждение 13.1. Пусть (k) – автомодельная функция порядка. Для любого 0 существует k0 такое, что (ak) a a+ для a 1 + и k k0, (k) (ak) k + a 1.

a a для (k) k Упражнения. Пусть (k) – автомодельная функция порядка. Докажите, что 1) для любого k + (k) +, при k +;

k (k) 2) для любого a (t + a) 1. lim (13.7) (t) t Указание. Воспользуйтесь представлением (13.6).

Имеется следующее удобное достаточное условие автомодель ности:

Если (k) дифференцируема и существует предел k (k), (k) при k, то (k) автомодельна порядка.

Примерами автомодельных функций порядка могут слу жить функции вида k ;

k ln k;

k ln ln k;

k 1 + sin ln ln k ;

k e ln k k 1 ;

sin ln k ln k и др. Эти функции образуют естественную шкалу при рассмот рении асимптотического поведения функций.

Асимптотически однородные функции в S+ Определение. Пусть f (t) S (R1 ) и (k) – положительная непрерывная функция при достаточно больших k. Мы говорим, что f (t) асимптотически однородна на бесконечности (в нуле) относительно (k), если 1 1 t k в S (R1 ), f (kt) g(t), f ( ) g(t), (k) (k) k (13.8) Асимптотически однородные обобщенные функции где g(t) S (R1 ).

Если g(t) 0, то мы говорим, что f (t) тривиально асимпто тически однородна на бесконечности (в нуле) относительно (k).

Заметим, что если (k) f (kt) g(t), то преобразование Фурье 1 x F [g](x). Поэтому если f асимптотически одно k(k) F [f ] k родна на бесконечности относительно (k), то ее преобразование фурье асимптотически однородно в нуле относительно k(k).

Как показывает следующая лемма, если выполнено соотно шение (13.8) и g(t) 0, то функция (k) обязательно является автомодельной (правильно меняющейся) функцией некоторого порядка и g(t) = Cf+1 (t).

Лемма 13.1. Пусть f S асимптотически однородна от носительно некоторой положительной и непрерывной функции, то есть f (kt) g(t) 0 в S. (13.9) (k) k+ Тогда – автомодельная функция. При этом если порядок авто модельности равен, то обобщенная функция g в (13.9) равна cf+1, где c – некоторая постоянная.

Доказательство. Пусть выполнено (13.9) и такова, что (g, ) = 0. Для любого компакта K на полуоси имеем 1 1 t 1 t g(t), f (kt), (k) a a a a k равномерно по a K. Поэтому (ak) 1 1 t f (akt), (t) g(t), (k) (ak) a a k равномерно по a K. Из (13.9) имеем (f (akt), (t)) (g(t), (t)).

(ak) k Сравнивая, получаем 1 t g(t), a (ak) aK a = C(a).

(k) k (g, ) 150 Асимптотически однородные обобщенные функции Что доказывает автомодельность. Если порядок автомодельно сти равен, то C(a) = a и 1 t = (g(at), (t)) = a (g(t), (t)).

g(t), a a Поэтому g(t) однородна степени, а следовательно, g(t) = cf+1, см. задачу 5) в конце § 12.

Таким образом асимптотически однородные функции имеет смысл рассматривать только относительно автомодельных функ ций.

Порядок автомодельной функции (k), участвующей в (13.9), называется порядком асимптотически однородной обобщенной функции.

Пример 13.1. Функция f (t) = (t)eit асимптотически одно родна относительно (k) = k. Действительно, eikt (t) dt = (f (kt), (t)) = k (k) (0) 1 ikt (0) e (t) dt =.

i i0 i k Таким образом, kf (kt) i(t), однако обычной асимптотикой относительно (k) эта функция не обладает.

Наша задача выяснить, насколько богат класс асимптотиче ски однородных обобщенных функций. Для этого предваритель но докажем два утверждения.

Утверждение 13.2. Для того чтобы f S+ была асимп тотически однородной относительно автомодельной функции (k), необходимо и достаточно, чтобы для любого, +, ее -я первообразная f () (t) была асимптотически одно родна относительно k (k).

Асимптотически однородные обобщенные функции Это утверждение следует из однородности ядра дробного ин тегрирования и дифференцирования, f (kt) = k 1 f (t), и соот ношения 1 1 t (f () (kt), (t)) = f () (t), = k (k) k +1 (k) k 1 t (f f )(t), = = k +1 (k) k 1 t+ = f (t), f ( ), = k +1 (k) k 1 t = f (t), f (k ), + = k (k) k 1 t = f (t), f ( ), + = k(k) k 1 = f (kt), (f ( ), (t + )) = (f (kt), (t)).

(k) (k) Следует только учесть, что отображение (t) (t) = f ( ), (t + ) осуществляет автоморфизм пространства S+.

(Докажите).

Утверждение 13.3. Пусть (k) – автомодельная функция порядка 1 и f (t) – непрерывная функция при t 0. Если существует предел f (t) lim = A, (13.10) t+ (t) то f (t) асимптотически однородна на бесконечности относи тельно (k).

Доказательство. Надо доказать, что 1 f (kt)(t) dt C S+.

(f (kt), (t)) = (k) (k) k Выберем 0 таким, чтобы 1, и фиксируем k0 как в утверждении 13.1. При k k0 и любой S+ имеем k0 /k 1 f (kt) f (kt)(t) dt = (t) dt + (k) (k) 0 1 1+ (kt) f (kt) + + + (t) dt. (13.11) (k) (kt) k0 /k 1 1+ 152 Асимптотически однородные обобщенные функции Покажем, что каждое слагаемое справа в этом равенстве сходится при k.

1. Так как k(k) (ибо 1), то k k0 /k k f (kt) 1 t dt 0.

(t) dt = f (t ) (k) k(k) k k 0 (Здесь мы сделали замену переменных kt = t, и учли, что t k const).

2. Учитывая, что при k0 t 1 (согласно утвержде k нию 13.1) (kt) t и что f (kt) const (см. (13.10)), имеем (k) (kt) (kt f (kt) Ct |(t)|, (t) (k) (kt) причем 1 Ct |(t)| dt Ct |(t)| dt.

k0 /k Теперь по теореме Лебега (kt) f (kt) (t) dt = (k) (kt) k0 /k k0 (kt) f (kt) t (t) dt = k (k) (kt) k At (t) dt.

(13.12) k 3. При 1 t 1 + в силу равномерной сходимости (kt) t (k) k получим оценку (kt) const. И, аналогично предыдущему, убеж (k) даемся в существовании предела при k третьего интеграла справа в (13.11).

4. Учитывая, что при 1 + t (согласно утверждению 13.1) (kt) t+, как и в случае 2, получим оценку (k) (kt) f (kt) Ct+ |(t)|, (t) (k) (kt) Асимптотически однородные обобщенные функции которая позволяет по теореме Лебега перейти к пределу при k в последнем интеграле в (13.11) справа. Утверждение доказано.

Имеет место следующая Теорема 13.2. Для того чтобы обобщенная функция f S+ была асимптотически однородна на бесконечности относитель но автомодельной функции (k) порядка, необходимо и доста точно, чтобы существовало число N, N + 1, такое, что ее N -я первообразная f (N ) (t) была непрерывной и имела обычную асимптотику относительно tN (t), то есть f (N ) (t) C. (13.13) tN (t) t+ Доказательство. Пусть выполнено (13.13). Тогда согласно утверждению 13.3, N -я первообразная f асимптотически одно родна относительно k N (k), а потому согласно утверждению 13. сама f (t) асимптотически однородна на бесконечности относи тельно (k).

Обратно. Пусть f асимптотически однородна на бесконечно сти относительно автомодельной функции (k) порядка, то есть f (kt), (t) C S+. (13.14) (k) k+ По теореме 10.3 (см. также замечание к ней) следует, что соотно шение (13.14) имеет место и для всех (t) S+N при достаточно больших N. Теперь при достаточно большом N имеем 1 1 f (N ) (t) = (f fN )(t) = (f (), fN (t )) = tN (t) tN (t) (t) (f (t), fN (1 )) CN.

= (t) t Здесь мы воспользовались однородностью ядра дробного диффе ренцирования и интегрирования и учли, что если N велико, то fN (t ) S+M. Откуда и следует (13.13).

Замечание. Условие N + 1 существенно. Например, (t) функция f (t) = 1+t2 обладает асимптотикой на бесконечности относительно 1 (k) = k 2, 1 f (t) = t2 1, 1 + (t)2 t 1 (t) 154 Асимптотически однородные обобщенные функции однако f асимптотически однородна относительно (k) = k.

(Проверьте.) Иногда важно знать, какая именно первообразная асимпто тически однородной обобщенной функции уже имеет обычную асимптотику. Вообще говоря, “универсального” критерия не су ществует. Однако, в некоторых случаях это удается. Рассмот рим неотрицательные меры медленного роста с носителями в R+.

Пусть [dµ](t) S+ – такая мера. В качестве ее первообразной [dµ](1) (t) = (t) dµ(t) = µ(t) возмем функцию, удовлетворяю щую условию t t+ lim dµ( ) µ(t) lim dµ( ).

+0 + Такую первообразную называют производящей функцией ме ры dµ. Производящая функция меры определяется однозначно почти всюду. Отметим также, что µ(t) не убывающая функция (монотонная функция локально ограниченной вариации).

Лемма 13.2. Пусть f = [dµ](t) – неотрицательная мера медленного роста с носителем в R+. Если f асимптотически однородна относительно автомодельной функции (k) порядка, то есть [dµ](kt) g(t) = cf+1 (t) S+, в (13.15) (k) k то 1 c g (1) (1) = cf+2 (1) = µ(t). (13.16) t(t) ( + 2) t Доказательство. Прежде всего заметим, что так как µ(t) не убывающая функция, то + 1 0, то есть обязательно 1. А потому первая первообразная g – функция g (1) (t) – непрерывна по t при t 0. Положим (t) = (t) (t), где – “шапочка”, см. (3.3). Имеет место неравенство (1 t ) (1 t) (1 t + ).

Асимптотически однородные обобщенные функции (Нарисуйте графики этих функций и убедитесь в правильности неравенства.) Отсюда имеем f (k ), (1 ) (k) k0 k+ 1 µ(k) [dµ]( ) [dµ]( ) k(k) 0 k(k) k(k) f (k ), (1 + ). (13.17) (k) По условию для любого f (k ), (1 ± ) g( ), (1 ± ). (13.18) (k) k Кроме того, g (1) (1 2) g( ), (1 ) g (1) (1 + 2).

g( ), (1 + ) (13.19) Пусть теперь 0 – сколь угодно малое число. Так как g (1) (t) непрерывна в окрестности 1, то найдется такое, что при имеем g (1) (1) g (1) (1 ± 2). (13.20) В силу (13.18) при достаточно большом k (k k ) имеем 1 f (k ), (1 ± ) g( ), (1 ± ).

(k) Отсюда и из (13.17), (13.20) и (13.19) имеем µ(k) g (1) (1), k k.

k(k) Что и доказывает (13.16).

Упражнения. 1) Будут ли асимптотически однородными сле дующие функции (и если будут, то относительно каких автомо дельных функций):

f1 (t) = (t) sin(t);

f2 (t) = (t) cos(t);

f3 (t) = (t)t sin(t);

f4 (t) = (t)t cos(t)?

156 Асимптотически однородные обобщенные функции Указание. Проверьте, что k 2 f2 (kt) kf1 (kt) (t), (t), k+ k+ k 2 f3 (kt) 2 (t), kf4 (kt) (t) k+ k+ в S (R1 ).

2) Покажите, что для функции f (t) = (t 2) cos ln t не суще ствует автомодельной функции, относительно которой f (t) явля лась бы нетривиально асимптотически однородной.

Указание. Покажите, что какими бы большими ни были чис ла N и t0, функция f (N ) (t) обязательно меняет знак при t t0, f (N ) (t) = tN rN cos[ln t + N ] + PN 1 (t), (13.21) где rN 0, а PN 1 (t) – многочлен степени не выше N.

Общая тауберова теорема для f S+ Теорема 13.3. Для того чтобы обобщенная функция f S+ была асимптотически однородной относительно автомодельной функции (k) порядка, f (kt) cf+1 (t) в S+, (13.22) (k) k необходимо и достаточно, чтобы ее преобразование Лапласа удо влетворяло условиям A) y lim f (iy) = c;

(13.23) y+0 y B) существуют числа M, N и r0 такие, что r M f (rei ) при 0r r0, 0. (13.24) sinN r Доказательство. Необходимость. Пусть выполнено (13.22).

Последовательность обобщенных функций (k) f (kt), k Асимптотически однородные обобщенные функции сходится в S+, поэтому она сходится по некоторой норме в неко тором SN,R1 (см. теорему 10.3 и замечание к ней), и выполнено + неравенство f (kt), eizt C eizt N,R1, y 0, (13.25) (k) + (см. (10.10)). Для y 0 справедлива оценка sup (1 + t2 )N/2 |(iz)j |eyt eizt = sup (1 + t2 )N/2 |Dj eizt | N,R + t0 t jN jN (1 + |z|2 )N/ c1 (1 + |z|2 )N/2 sup tN eyt c.

yN t Полагая теперь в этой оценке y = |z| sin, из (13.25) получим (13.24). Переходя в (13.22) к преобразованию Лапласа, имеем 1 z c f.

(iz)+ k(k) k k Отсюда при z = i, обозначая k = y 1, получаем (13.23).

Достаточность. Пусть выполнены (13.23) и (13.24). Обращая преобразование Лапласа, при достаточно большом m (в частно сти, можно считать, что m N + 3 + 2) имеем 1 f (m) (kt) = (fm f )(kt) = k m (k) k m (k) 1 z dz eizt f =, z 2k m+1 (k) (i k )m k где контур интегрирования = x + i 1, x +. Покажем, t что f (m) (kt)| P (t), |m k (k) где P (t) – полином, не зависящий от k. Оценивая, имеем + c1 tm 1 dx xt + i f (m) (kt) f m (k) m |(ixt + 1)| k k(k) kt + m t d +i c2 f.

( 2 + 1)m/ k(k) kt (13.26) 158 Асимптотически однородные обобщенные функции Далее, фиксируя 0 и считая k k0 1, где k0 выбрано как в утверждении 13.1, рассмотрим следующие два случая.

1. kt k0. В этом случае t 1 и из оценки (13.4) имеем 1+ 2 a/ 1+ +i (kt) f M = 1b kt kt 2 a/2 ba = M1 (1 + ) (kt) M2 (1 + 2 )a/2 при b a 0, M3 (1 + 2 )a/2 tba при b a 0.

Ck при достаточно больших k Учитывая также, что (k) (увеличим, если нужно k0 ), имеем c при 1 + 0, 1 c1 1+ k k 1+ k(k) c2 t1+ при 1 + 0.

Учитывая все эти оценки, из (13.26) получим (при достаточно большом m) f (m) (kt) k m (k) + (1 + 2 )a/ Ctm1|ba||1+| d P (t).

(1 + 2 )m/ 2. kt k0 1. В этом случае, продолжая оценку (13.26), имеем f (m) (kt) k m (k) + tm (tk) d 1 +i c2 f ( 2 + 1)m/2 (kt)(kt) (k) kt + (tk) d 1 c2 tm f (rei ), (13.27) ( 2 + 1)m/2 (kt)(kt) (k) Асимптотически однородные обобщенные функции 2 +1 sin = где положено r =,. Пользуясь условием kt 2 + (13.24), получим 1 1 r f rei |f (rei )| = (kt)(kt) 2 + r 2 + 1 r r ( 2 + 1)N c3.


( 2 + 1) 2 || Далее согласно утверждению 13.1 имеем следующие оценки:

при k0 t 1, t k (kt) при 1 t 1 +, (13.28) C (k) + t при t 1 +.

Наконец, из (13.27), используя полученные оценки, выводим при достаточно большом k ( 2 + 1)N/2 d f (m) (kt) M1 tm+± ctm+±.

k m (k) ( 2 + 1) 2 ||+m/ Здесь знаки ± выбраны соответственно неравенствам (13.28).

Учитывая, что (t) S+ убывает при t + быстрее любой степени, получаем f (m) (kt), (t) const.

k m (k) Таким образом, последовательность функционалов f (m) (kt), k k k m (k) ограничена на каждом элементе из S+. Кроме того, эта последова тельность сходится на основных функциях вида eyt, 0 y k0, k0 0.

160 Асимптотически однородные обобщенные функции Действительно, 1 (f (m) (kt), eyt ) = m ((fm f )(kt), eyt ) k m (k) k (k) 1 1 1 z ((fm f )(t), e k t ) = m+ = m+1 f (k) i k m z k (k) k k z=iy 1 y yk y r c r k f (ir) = fi =, y 1 r+0 y (k) k yk r r y где r = k и мы учли (13.23). Эти основные функции всюду плотны в S+, см. задачу 4) в конце предыдущего параграфа. Итак, по следовательность функционалов ограничена и сходится на всю ду плотном множестве;

следовательно, по следствию 2 к теоре ме 6.3 она сходится. А потому первообразная порядка m асимп тотически однородна относительно k m (k) и по теореме 13.2 сама f (t) асимптотически однородна относительно, что и доказывает (13.22). Теорема доказана.

Следствие. Если граничное значение f (x) функции f (z) R+ H(T ) асимптотически однородно в нуле относительно авто модельной функции k(k), то для f (z) выполнены условия A) и B) теоремы.

Действительно, преобразование Фурье F [f (x)](t) = f (t) будет асимптотически однородной обобщенной функцией на бесконеч ности относительно автомодельной функции (k).

Лемма 13.3. Пусть f = [dµ](t) – неотрицательная мера из S+. Тогда из условия (13.23) вытекает условие (13.24).

Действительно, учитывая, что rei = x + iy, y = r sin, имеем r r f (rei ) = ei(x+iy)t dµ(t) 1 r r r etr sin dµ(t) = r 1 1 1 r sin y c eyt dµ(t) =.

+ 1 sin r y sin Здесь мы воспользовались соответствующим неравенством из утверждения 13.1 и учли предельное соотношение (13.21). В ка честве следствия приведем известную, имеющую широкое приме нение, тауберову теорему Харди–Литтлвуда–Караматы.

Список литературы Теорема 13.4. Пусть f = [dµ](t) S+ – неотрицательная мера. Для того чтобы ее производящая функция (первая перво образная [dµ](1) (t) = µ(t)) имела асимптотику на бесконечно сти относительно автомодельной функции 1 (k) порядка, то есть µ(t) c, (13.29) 1 (t) t+ необходимо и достаточно, чтобы + eyt dµ(t) c1. (13.30) 1 y+ y Доказательство. Необходимость. Из (13.29) следует, что сама мера [dµ](t) асимптотически однородна относительно (k) = k (k) (теорема 13.2), а тогда по общей тауберовой теореме (усло вие A) получим соотношение (13.30).

Достаточность. Пусть выполнено (13.30). Полагая (k) = 1 (k), учитывая лемму 13.3, из общей тауберовой теоремы вы k водим требуемое утверждение.

Заметим, что c1 = c( + 1). Это непосредственно проверяется с помощью соотношений (13.15), (13.16) и (13.30).

Список литературы [1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, М., 1976.

[2] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической фи зике, Наука, М., 1979.

[3] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщнные функции и действия е над ними, Обобщнные функции, вып. 1, Физматлит, М., 1959.

е [4] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Пространства основных и обобщнных функций, Обобщнные функции, вып. 2, Физматлит, е е М., 1959.

[5] Владимиров В. С., Дрожжинов Ю. Н., Завьялов Б. И., Многомер ные тауберовы теоремы для обобщнных функций, Наука, М., е 1986.

[6] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармо нического анализа, Обобщнные функции, вып. 4, Физматлит, М., е 1961.

[7] Антосик А., Микусинский Я., Сикорский Р., Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход, Мир, М., 1976.

162 Список литературы [8] Шилов Г. Е., Математический анализ. Специальный курс, Физ матлит, М., 1960.

[9] Шилов Г.Е., Математический анализ. Второй специальный курс, Физматлит, М., 1965.

[10] Келли Дж.Л., Общая топология, Наука, М., 1968.

[11] Владимиров В. С., Михайлов В. П. и др., Сборник задач по урав нениям математической физики, Физматлит, М., 2003.

[12] Дрожжинов Ю. Н., Завьялов Б. И., “Асимптотически однородные обобщнные функции и граничные свойства функций голоморф е ных в трубчатых конусах”, Изв. РАН. Сер. матем., 70:6 (2006).

[13] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального ана лиза, Наука, М., 1965.

[14] Сенета Е., Правильно меняющиеся функции, Наука, М., 1985.

[15] Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физи ки, т. 1. Функциональный анализ, Мир, М., 1977.

[16] Рудин У., Функциональный анализ, Мир, М., 1975.

[17] Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные простран ства, Мир, М., 1967.

[18] Шефер Х., Топологические векторные пространства, Мир, М., 1971.

[19] Иосида К., Функциональный анализ, Мир, М., 1967.

[20] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, Наука, М., 1964.

Научное издание Лекционные курсы НОЦ Выпуск Юрий Николаевич Дрожжинов, Борис Иванович Завьялов Введение в теорию обобщенных функций Компьютерная верстка: А. М. Малокостов Сдано в набор 18.09.2006. Подписано в печать 16.10.2006.

Формат 6090/16. Усл. печ. л. 10.25. Тираж 200 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкина, 8.

e-mail: pavlov@mi.ras.ru http://www.mi.ras.ru/noc/

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.