авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова А.О. КАЛАШНИКОВ ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ МЕХАНИЗМЫ УПРАВЛЕНИЯ ...»

-- [ Страница 2 ] --

В-четвертых. Ключевым элементом цикла организационного управления информационными рисками является проводимая на шаге 5 процедура эффек тивного, в каком-то смысле, распределения общего объема ресурса между объ ектами управления (агентами). Поскольку, как говорилось выше, конкретный вид функций риска ЛПР не известен, то при принятии решения ЛПР должен исходить только из имеющейся у него информации: оценки уровня текущего риска, который определяется на шаге 2, и определяемым на шаге 4 необходи мым набором контрмер направленных на снижение информационных рисков до допустимого уровня. Интегральной характеристикой в этом случае будет яв ляться объем ресурсов (прежде всего – финансовых) необходимых для реализа ции указанных контрмер. Фактически, данный объем ресурсов представляет собой затраты на создание эффективной КСОИБ (принятие эффективных контрмер) и является, в некотором смысле, заявкой агента на финансирование работ в сфере обеспечения ИБ.

На основании заявок агентов определяется общий объем ресурсов, кото рый может быть выделен на проведение работ по управлению ИБ в текущем цикле управления. Иными словами, определяется бюджет мероприятий по управлению информационными рисками. Как правило, данный бюджет суще ственно меньше суммарного объема заявок агентов, т.е. имеет место дефицит бюджета. Таким образом, в каждом текущем цикле управления информацион ными рисками перед центром возникает задача эффективного распределения имеющегося в его распоряжении ресурса с учетом имеющихся заявок аген тов. С учетом обоснованной выше практической невозможности построения универсального оптимального решения, представляется целесообразным счи тать, что решение, принимаемое на текущем шаге управления, слабо зависит от решений, принятых в предыдущих циклах управления и, следовательно, рас сматривать распределение ресурса как локальную задачу текущего цикла управления ИБ.

Поскольку данная задача возникает на каждом цикле управления, пред ставляется целесообразным искать указанное решение в виде некоторого обще го для всех циклов управления организационного механизма (правила), который учитывал бы характерные особенности корпоративного управления (механиз мы формирования бюджета корпорации, принятия решений в корпорации, формирования заявок агентов, иерархию взаимоотношений между центром и агентами и т.п.). Очевидно, что в зависимости от конкретных особенностей корпоративного управления организационные механизмы управления инфор мационными рисками могут существенно различаться.

В-пятых. Среди характерных особенностей корпоративного управления, оказывающих существенное влияние на организационные механизмы управле ния ИБ в первую очередь необходимо выделить:

порядок проведения аудита и анализа информационных рисков, а так же механизм формирования заявки агента на мероприятия в области ИБ;

порядок формирования и распределения бюджета на мероприятия в области ИБ.

Первая особенность влияет на достоверность результатов аудита и анализа информационных рисков и, в конечном итоге, на заявку агента. В зависимости от действующего в корпорации порядка, у агента может быть больше или меньше возможностей по формированию заявки и, следовательно, манипули рованию центром и другими агентами, в части получения требуемого бюдже та.

Вторая особенность влияет на возможность агента оказывать не только опосредованное (путем формирования заявки), но и непосредственное влия ние на распределение бюджета.

2.1.3. Особенности управления информационными рисками в зависимо сти от организационной структуры Функции управления деятельностью корпорации реализуются подразделе ниями аппарата управления и отдельными работниками, которые при этом вступают в экономические, организационные, социальные, психологические и другие отношение друг с другом. Организационные отношения, складываю щиеся между подразделениями и работниками аппарата управления предпри ятия, определяют структуру его организационного управления [28, 33, 83, 110, 114, 121, 124, 127, 129, 130].

Структура управления, существующая в корпорации, оказывает сущест венное влияние на структуру организационного управления ИБ, что, в свою очередь, влияет на выбор конкретных организационных механизмов управле ния информационными рисками. Рассмотрим особенности организационных механизмов управления информационными рисками для разных структур управления организациями.

В разделе 2.1.2 были выделены ключевые факторы, оказывающие сущест венное влияние на выбор организационных механизмов управления ИБ:

порядок проведения аудита и анализа рисков ИБ корпорации;

порядок формирования заявки агента;

порядок формирования бюджета на мероприятия в области ИБ;

порядок распределения бюджета на мероприятия в области ИБ между агентами.

Рассмотрим, как могут быть реализованы данные порядки для разных ти пов структур управления (бюрократической, переходной и органической [28, 110, 114, 124, 127]).

При формировании структур управления во внимание принимаются сле дующие факторы [28, 114, 127, 130]:

стратификация, то есть, сколько может потребоваться уровней управления;

формализация, то есть насколько формальным должно быть взаимо действие;

централизация, то есть иерархия доведения принятых решений до исполнителей;

сложность организационной структуры, то есть насколько сложным должно быть управление с организационной точки зрения.

В современной теории менеджмента выделяются [28, 114, 127] два базовых типа управления организациями: бюрократический и органический. Они по строены на принципиально различных основаниях и имеют специфические черты, позволяющие выявлять сферы их рационального использования и пер спективы дальнейшего развития.

Сравнительный анализ типов структур управления представлен в таблице 2.1.3.1.

Бюрократический тип структур управления имеет много разновидностей, но наиболее распространенными являются линейно-функциональная организа ция, до сих пор широко используемая компаниями всего мира, и имеющая ана логичные характеристики так называемая линейно-штабная структура управ ления.

Бюрократический тип Органический тип Четко определенная иерар- Постоянные изменения лидеров хия (групповых или индивидуальных) в зависимости от решаемых проблем Система обязанностей и Система норм и ценностей, форми прав руемая в процессе обсуждений и согласований Разделение задачи на ряд Процессный подход к решению процедур проблем Обезличенность во взаимо- Возможность самовыражения само отношениях развития Жесткое разделение трудо- Временное закрепление работы за вых функций интегрированными проектными группами Табл. 2.1.3.1. Сравнительные характеристики типов структур управле ния Разновидностями структур органического типа являются проектные, мат ричные и бригадные формы организации управления.

Как правило, структуры управления организациями не являются в чистом виде бюрократическими или органическими, а содержат элементы тех и других, то есть являются в некотором смысле переходными структурами. Одной из раз новидностей подобного рода структур управления является структура, которая в зарубежной литературе получила название дивизиональной. Характерной особенностью данной структуры является выделение и предоставление опре деленной самостоятельности в осуществлении оперативного управления произ водственным отделениям. При этом все важнейшие общекорпоративные функ ции управления остаются в ведении центрального аппарата управления, кото рый разрабатывает стратегию развития организации в целом, решает проблемы инвестирования, научных исследований и разработок.

Мировая практика показала: с введением дивизиональных принципов структура управления организацией (и входящими в нее отделениями) в основе своей остается линейно-функциональной, но одновременно усиливается ее ие рархичность, то есть управленческая вертикаль. В результате существенно уменьшается нагрузка на верхний эшелон управления, который сосредоточива ется на стратегическом менеджменте организации в целом. В то же время отде ления, обретающие оперативно-хозяйственную самостоятельность, начинают работать как "центры прибыли", активно использующие предоставленную им свободу для повышения эффективности своей деятельности.

Решение вопроса о виде структуры управления, ее построении или моди фикации — это процесс адаптации структуры к внешним условиям (требовани ям потребителя и рынка, общества, государственных органов и т.д.) и внутрен ним факторам развития организации (ее ресурсам, технологии, организации производства и труда, процессам принятия управленческих решений и т.п.).

Поэтому выбор типа и вида структуры управления, на которую следует ориен тироваться в конкретных условиях организации, осуществляется с учетом си туационных факторов, к которым относятся: стратегия развития организации, ее размеры, технологии, характеристики окружающей среды.

Стратегия предопределяет структуру управления, которая должна соответ ствовать намеченным ею изменениям. Если организация приняла план иннова ционного пути развития, ей потребуется ввести гибкую структуру управления.

Если же стратегия нацелена на максимальное сокращение затрат, ей в большей мере подойдет бюрократическая структура. Исследования показывают, что стратегия предопределяет характер структуры, прежде всего для организации в целом. На уровне подразделений и служб влияние стратегии на структуру ощущается в меньших размерах.

Размеры организации оказывают большое влияние на выбор структуры управления. Как правило, чем больше людей занято на предприятии, тем более вероятно применение структуры бюрократического типа, при которой с помо щью соответствующих механизмов обеспечиваются координация и контроль их деятельности.

Технологии являются важным фактором, оказывающим воздействие на структуру управления. При рутинном характере технологий чаще всего приме няются бюрократические структуры;

технологии, связанные с неопределенно стью, требуют органического построения структур управления. Наибольшее влияние технологии оказывают на структуру тех подразделений организации, которые непосредственно связаны с производством продукции и услуг.

Воздействие окружающей среды на выбор структуры управления разных организаций предопределяется характером и теснотой связи между ними. Чем более динамичным является окружение, тем большей приспособляемости тре бует оно от организации. Чаще всего эта связь выражается в применении раз личных комбинаций бюрократического и органического типов структур управ ления.

Из приведенного выше анализа следует, что структура управления, суще ствующая в корпорации, оказывает существенное влияние на структуру органи зационного управления информационными рисками, что, в свою очередь, влия ет на выбор конкретных организационных механизмов управления.

Для бюрократической структуры управления проведение аудита и анализа информационных рисков будет осуществляться, скорее всего, централизовано, в соответствии с утвержденными в корпорации стандартами и регламентами.

Как правило, осуществляться данные мероприятия будут либо силами головной компании, либо силами специально привлеченной подрядной организации. В этом случае, агенты практически лишены возможности оказывать влияния на процесс формирования заявки и ее размер. Формирование бюджета на проведе ние мероприятий по ИБ и его последующее распределение, с учетом заявок агентов, так же является исключительно прерогативой центра. Иными словами, в рамках бюрократической системы управления корпорацией центр выступает в роли своего рода арбитра, распределяющего ресурс в соответствии с некото рыми разумными правилами. Данную модель организационного управления ИБ корпорации можно условно назвать: «сильный центр – слабые агенты».

Для переходной структуры управления характерна большая самостоятель ность подразделений и можно предположить, что вопросы проведения аудита и анализа информационных рисков, а также формирования заявки будут решать ся ими самостоятельно. Однако, вопросы формирования бюджета на проведе ние мероприятий по ИБ и его последующего распределения, по-прежнему, бу дут является исключительно прерогативой центра. Данное обстоятельство дает возможность агенту попытаться, путем изменения объема заявки, добиться от центра большего количества ресурсов. Иными словами, попытаться манипули ровать центром. Таким образом, между интересами и возможностями центра и агентов возникает своеобразный баланс и данную модель организационного управления информационными рисками корпорации можно условно назвать:

«средний центр – средние агенты».

Для органической же структуры управления будут характерны не только самостоятельность агентов в части формирования своих заявок, но и их актив ное участие, как в формирования бюджета, так и его последующем распределе нии. В этой связи для конкретного агента, в свете достижения им своих целей, большое значение приобретает его информированность о целях и интересах других подразделений, в том числе, их предположения относительно его собст венных интересов и стратегий поведения. Возникающая иерархия представле ний агентов друг о друге носит название рефлексии и требует применения соот ветствующих механизмов управления. Данную модель организационного управления информационными рисками корпорации условно можно назвать:

«слабый центр – сильные агенты».

Связь ключевых функций системы управления ИБ с организационной структурой корпорации представлена на рисунке 2.1.3.1. Здесь, на пересечении строк, соответствующих типу организационной структуры, и столбцов, соот ветствующих ключевым функциям, указаны основные субъекты, реализующие данную ключевую функцию системы управления информационными рисками.

Рис. 2.1.3.1. Связь ключевых функций системы управления информационными рисками с организационной структурой корпорации Далее, в третьей и четвертой главах будут осуществлены теоретический анализ и синтез организационных механизмов эффективного управления ин формационными рисками, используемых для каждого из выделенных трех ти пов структур управления корпорациями.

2.2. Постановка задачи организационного управления информа ционными рисками корпораций В данном разделе рассматривается формальная постановка задачи органи зационного управления информационными рисками корпорации: определяется жизненный цикл основных организационных мер по управлению информаци онными рисками корпорации, основные свойства неизвестных функций риска, формулируются цели и критерии выбора эффективного решения.

Рассмотрим организационную систему (ОС), состоящую из управляющего центра и агентов 12 {a1, …, an}. Обозначим N = {1,..., n}. В соответствии с пред ставленным в разделах 1.2.2 и 2.1.2 подходом, жизненный цикл основных орга низационных мер по управлению информационными рисками корпорации мо жет иметь следующий вид:

1. Центр устанавливает для i-го агента уровень допустимого риска wi* 0, i N, который представляет собой приемлемый с точки зрения центра ущерб от реализации возможных угроз.

2. Агенты проводят аудит и анализ рисков [63-64], по результатам которого определяется уровень текущего риска wi0, i N, который представляет собой ущерб от реализации возможных угроз до применения каких-либо контрмер, а также уровень остаточного риска wi, i N, который никакими контрмерами не может быть устранен.

3. Агенты сообщают значения wi0, wi, i N, центру.

Рассматриваются следующие случаи:

- для некоторого k N: wk0 wk*, т.е. уровень текущего риска меньше, чем уровень допустимого риска. Очевидно, что в этом случае дополнительных контрмер предпринимать не нужно и данного агента в текущем цикле управле ния можно исключить из рассмотрения;

- для некоторого k N: 0 wk* wk, т.е. никакие затраты на реализацию контрмер не позволяют снизить уровень текущего риска до уровня допустимо го риска. В данном случае центру придется изменить значение уровня допусти мого риска wk* в сторону увеличения, например, до уровня wk (подробнее см.

раздел 5.2);

- для некоторого k N: 0 wk wk* wk0. Наиболее типичный случай, ко гда уровень текущего риска, больше уровня допустимого риска, но который В настоящей работе при разработке и исследовании моделей организационного управле ния информационными рисками корпораций используются подходы теории принятия реше ний, теории игр и теории активных систем. Каждый раз мы будем стараться следовать сло жившейся в той или иной отрасли системе обозначений, что, правда, приводит иногда к то му, что в различных разделах схожие переменные обозначаются по-разному.

может быть снижен до требуемого уровня wk* путем реализации контрмер, осуществляемых за счет выделяемого ресурса.

Таким образом, если для некоторого агента k N: wk0 wk*, то такой агент на данном цикле управления исключается из рассмотрения. Для остальных агентов определяется количество ресурса bi 0, необходимое агенту для сни жения текущего уровня риска wi0 до уровня допустимого риска wi*, i N. Зна чение bi 0, i N, рассматривается как заявка i-го агента. Считаем, что bi – предполагаемые затраты на реализацию эффективных контрмер по снижению текущего уровня риска до уровня допустимого.

4. На основании вектора заявок b = (b1, …, bn) центр выделяет некоторое количество ресурса (бюджет на мероприятия по управлению информационны n ми рисками) Х = Х(b). Будем предполагать, что bi Х(b), т.е. имеет место i = дефицит ресурса.

5. Центр, в соответствии с некоторым правилом распределяет ресурс Х ме жду агентами: *(Х) = (1*(Х),..., n*(Х)), где i*(Х) 0 – объем ресурса, выде n i*(Х).

ленный i-му агенту. При этом Х(b) i = 6. Агенты реализуют контрмеры в объеме полученного ресурса i*(Х), i N, после чего цикл управления повторяется.

Таким образом, целью управления информационными рисками с точки зрения центра является снижение агентами текущих уровней рисков до уровней их допустимых рисков с использованием выделенного для этого ре сурса.

Пусть задан некоторый объем ресурса X 0 и распределение данного ре сурса между агентами x = (x1,..., xn), xi 0, i N. Здесь xi – ресурс, который за трачивается i-м агентом на реализацию контрмер по снижению риска. Сопоста вим каждому агенту функцию риска wi = wi(x) и предположим, что wi(x) обла дает следующими свойствами:

Свойство 1:

для x = (x1,..., xn): wi(x) 0, i N.

Свойство 2:

wi(0,..., 0) = wi0 0, i N.

Свойство 3:

для x 1 = (x11,..., xn1) и x 2 = (x12,..., xn2), таких, что xi1 xi2, i N, имеем:

wj(x1) wj(x2), j N, причем, если k N: xk1 xk2, то wk(x 1) wk(x 2).

Фактически, свойства 1 – 3 определяют wi = wi(x), i N, как некоторое множество положительных монотонно убывающих функций.

Из свойств 1 – 3 следует Свойство 4:

для j N wj 0, такое, что wj(x) wj, для x = (x1,..., xn): xi 0, i N.

О виде и свойствах функции риска говорилось выше в разделах 1.2.2 и 2.1.2. Более подробную информацию о функции риска можно получить, напри мер, в [27, 131]. Детальный анализ свойств 1 – 4 функции риска приводится в [61-62].

В дальнейшем будем полагать, что для агентов, участвующих в распреде лении ресурса, выполнено соотношение:

0 wk wk* wk0 (1) Другими словами, будем считать, что если для некоторого агента k выполнено неравенство wk0 wk*, то bk = 0 и, соответственно, k*(Х) = 0.

n Обозначим (X) = {(X) = (1(X),..., n(X)): k(X) 0, k N, X k (X)} – k = множество возможных распределений ресурса X (дележей), между агентами.

В соответствии со сформулированной в разделах 1.1.2 и 2.1.2 целью орга низационного управления информационными рисками, задачей центра является равномерное (максиминное) снижение информационных рисков агентов до уровня допустимого риска. Иными словами, предпочтение следует отдать управленческому решению, для которого максимальный взятый по всем объек там управления уровень остаточного риска окажется минимальным.

Предположим, что конкретный вид функций риска для всех агентов извес тен. Тогда оптимальное распределение ресурса может быть найдено как реше ние минимаксной задачи [61-62].

min max wi((X) ) (2) ( X ) ( X ) iN В данном случае в качестве критерия эффективности распределения ресур са рассматривается аналог критерия Слейтера.

Решением задачи (2) будет подмножество «хороших» дележей *(X), таких, что *(X) = arg max wi((X)) (3) min ( X ) ( X ) iN Обозначим *(X) = {*(X) = (1*(X),..., n*(X))} (X) – множество «хоро ших» дележей, являющихся решением задачи (2).

При известных функциях риска wi(·), i N, решение задачи (3) может быть получено традиционными методами [106]. Однако, если конкретный вид функ ций риска агентов неизвестен, а известны лишь заявки агентов bi 0, i N, то задача усложняется. Отметим, что, как правило, конкретные параметры функ ции риска ЛПР неизвестны [131].

Рассмотрим следующее утверждение:

Утверждение 1:

пусть wi(x), i N, удовлетворяют свойствам 1 – 4, и существует дележ n (X) = (1(X),..., n(X)) (X), такой, что X = k (X) и wi(1(X),..., n(X)) = c = k = const, для i N. Тогда (X) – единственное решение задачи (2).

Доказательство.

Действительно, рассмотрим дележ (X) (X), являющийся решением за дачи (2), такой, что c wi ((X)), i N и k, такое, что c wk((X)). По свойству 3 функции риска wi имеем: i (X) i(X), причем для k -го агента вы n n полнено строгое неравенство k(X) k(X). Но тогда X = k(X) k(X) k =1 k = и, таким образом, (X) (X).

Тогда имеем c = wi ((X)), i N, откуда по свойству 3 функции риска wi имеем: k(X) = k(X), i N и, следовательно, (X) = (X).

Доказательство закончено.

Утверждение 1 показывает, что сформулированная ранее цель управления информационными рисками с точки зрения центра может быть сведена к задаче поиска распределения ресурса, приводящего к выравниванию уровней теку щих информационных рисков всех агентов на текущем цикле управления.

Решение указанной задачи должно представлять собой единое для всех циклов управления правило распределения ресурса между агентами (организационный механизм управления информационными рисками), зависящее от их заявок и типов структуры управления корпорацией.

3. МЕХАНИЗМЫ УПРАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫМИ РИСКАМИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПОЛНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТИ ЦЕНТРА В третьей главе проводится общий анализ задачи организационного управ ления информационными рисками корпорации в рамках модели «сильный центр – слабые агенты» (случай полной информированности), формулируется и обосновывается ряд естественных требований аксиоматического характера, ко торым должно удовлетворять «хорошее» решение и доказывается, что класс та ких решений не пуст (раздел 3.1). Рассматривается математическая модель об щей арбитражной схемы, основанной на принципах «стимуляции» и «неподав ления», обосновывается ее соответствие модели «сильный центр – слабые аген ты» и доказывается существование и единственность решения специального вида «максимально стимулирующего» решения (МС – решения), являющегося эффективным решением задачи распределения ресурса в рамках модели «силь ный центр – слабые агенты» (раздел 3.2). В рамках общей модели рассматрива ется ряд частных случаев для которых удается получить МС – решение в кон кретной аналитической форме (раздел 3.3). Проводится анализ популярного «пропорционального» решения с целью определения условий его монотонно сти, а так же условий когда «пропорциональное» решение оказывается одно временно МС – решением (раздел 3.4).

3.1. Анализ задачи для модели «сильный центр – слабые агенты»

Рассмотрим ОС, состоящую из управляющего центра и агентов {a1, …, an}.

Обозначим N = {1,..., n}. Для простоты дальнейшего изложения будем считать агентов однородными (т.е. подобными друг другу).

Пусть для каждого агента ai, i N:

- существует функция риска wi = wi(x1,..., xn), конкретный вид которой не известен, но известно, что она удовлетворяет свойствам 1 – 4 (см. раздел 2.2);

- для каждой функции риска wi = wi(x1,..., xN) определены значения wi0 0, wi 0 и wi* 0 такие, что выполнено неравенство (1): 0 wi wi* wi0;

- определена заявка агента bi 0.

Обозначим b = (b1, …, bn) – вектор заявок всех агентов.

Положим теперь, что для центра определена функция бюджета Х = X(b) со следующими свойствам:

1. X(0, …, 0) = 0;

2. X(b) – непрерывна и строго монотонно возрастает по b1, …, bn;

3. Пусть Pr = {p = (p1, …, pn)} – класс всех перестановок элементов множе ства {1,..., n}, тогда для любого p Pr имеем X (b1, …, bn) = X (bр1, …, bрn).

Указанные свойства являются вполне естественными и отражают следую щие особенности поведения центра:

- не выделять ресурс без необходимости;

- в случае возрастания информационных рисков увеличивать объем выде ляемого ресурса для принятия адекватных контрмер;

- все агенты считаются равноправными и однородными.

В соответствии с характеристикой структуры управления корпорацией «сильный центр – слабые агенты» (напомним, что понятия «сила» и «слабость»

используются исключительно с точки зрения оценки влияния центра и агентов на процессы формирования и распределения бюджета на мероприятия по сни жению информационных рисков ОС), приведенной в разделе 2.1.3, будем пред полагать, что агенты, сформировав свои заявки, в дальнейшем не могут оказать влияние на принятие центром решения по распределению ресурса. Фактически агенты делегируют центру полномочия по принятию такого решения. В данном случае центр выступает в роли своеобразного арбитра, который в соответствии с некоторым правилом выбирает эффективный дележ из множества допусти мых дележей (X). Заметим, что, поскольку, если для некоторого агента k, k N: wk0 wk*, то bk = 0 и, соответственно, k*(Х) = 0, то агенты объективно заин тересованы в участии в процессе распределения ресурса. В этом смысле точка (X) = (1(X),..., n(X)) = (0,..., 0) является для агентов своеобразной точкой «status quo».

Описанный выше механизм распределения ресурса носит название арбит ражной схемы.

Сделав небольшое отступление, рассмотрим следующую модель, иллюст рирующую постановки задач арбитража [79]. Пусть имеется множество I = {1, 2, …, n} агентов, X – множество альтернатив, ui: X – функция по лезности i-го агента, i I. Рациональность агентов отражается их стремлением к максимизации своих целевых функций.

Пусть множество возможных полезностей (utility possibility set) имеет вид U = {(u1, u2, …, un) n | u'i ui(x), i I, x X}.

Фиксированное распределение полезностей u' U, соответствующее отка зу от заключения договора, называется угрозой (threat) или альтернативой status quo. Условие индивидуальной рациональности означает, что полезность i-го агента должна быть не менее u'i, i I.

Определим функцию коллективного благосостояния (Social Welfare Function) W: U (ФКБ). Задача принятия решений заключается в выборе распределения полезностей, максимизирующего функцию коллективного бла госостояния:

W(u) max.

uU Исследуем, какими свойствами может и должна (с нормативной точки зре ния – см. ниже) обладать ФКБ.

ФКБ называется (строго) возрастающей, если из того, что ui1 () ui2, i I, следует, что W(u1) () W(u2).

Если ФКБ является строго возрастающей, то решение задачи максимиза ции ФКБ является Парето-оптимумом.

На ФКБ также можно накладывать требования симметричности (относи тельно перестановок агентов), вогнутости и т.д.

Примерами наиболее распространенных ФКБ являются следующие:

u ;

- утилитарная ФКБ: Wu(u) = i iI gi (ui ), - обобщенная утилитарная ФКБ: Wu(u) = iI где {gi()} – возрастающие вогнутые функции;

- эгалитарная (максиминная) ФКБ:

We(u) = min {u1, u2,,…, un};

- обобщенная эгалитарная ФКБ:

We(u) = min {1 u1, 2 u2,,…, n un}, где {i} – неотрицательные константы.

Частным случаем обобщенной утилитарной ФКБ (в которой gi(ui) = ln(u u ). ' ln (ui – ui'), i I) является ФКБ Нэша: WN(u) = i i iI Задачей торга (арбитража – Nash bargaining problem) называется совокуп ность (U, u'). Ее решением u* = F(U, u') называется отображение F: U n U, ставящее в соответствие множеству возможных полезностей и угрозе распреде ление полезностей агентов.

Решение задачи торга обычно ищется в терминах ФКБ, максимизация ко торой приводит к решению u*, удовлетворяющему тем или иным свойствам.

Аксиоматический подход в теории принятия решений в общем случае за ключается в задании набора аксиом, однозначно определяющего соответст вующее правило принятия решений. Другими словами, в рамках этого подхода набор аксиом должен давать необходимые и достаточные условия существова ния единственного (или отсутствия вообще) правила принятия решений.

В задаче торга правило принятия решений определяется ФКБ. Дж. Нэшем доказано [148] (см. современное изложение в [103, 142, 146]), что единствен ным решением, удовлетворяющим следующим аксиомам:

- индивидуальной рациональности (Individual Rationality: ui* u'i, i I);

- оптимальности по Парето (Pareto-optimality);

- независимости от линейного преобразования полезности (Inde pendence from Linear Transformations: если множество V получено из множества U линейным преобразованием полезности: vi = i u*i + i, i 0, i I, то F(W, v') = u* + V;

- независимости о посторонних альтернатив (Independence from Ir relevant Alternatives: если u* V, u' V, V U, то из u* F(U, u') следу ет, что u* = F(V, u');

- симметричности (Symmetry: если множество возможных полезно стей симметрично относительно перестановок агентов и все угрозы оди наковы, то одинаковы и полезности агентов), является ФКБ Нэша. Развитию и обобщению этого результата посвящена мно гочисленная литература (см. обзоры в [87, 151], а также [140-141, 153 и др.]).

Таким образом, с точки зрения теории принятия решений задача торга за ключается в нахождении такой альтернативы, которая обеспечивала бы эффек тивное по Парето равновесие Нэша игры участников договора, удовлетворяю щее условиям индивидуальной рациональности.

Завершив краткий обзор, обозначим, как и прежде, *(X) = {*(X) = (1*(X),..., n*(X))} (X) – множество «хороших» дележей.

В работах [61-62] были сформулирован и обоснован ряд «разумных», с точки зрения центра, требований, которым должен удовлетворять «хороший»

дележ.

Требование 1: (оптимальность по Парето) n для *(X) *(X): X = k* (X).

k = Данное требование представляется достаточно очевидным. Действительно, рассмотрим некоторый дележ (X) = (1(X),..., n(X)) (X), такой, что N ( X ), тогда существует дележ *(X) *(X) такой, что для k N, X k k = k (X) k*(X) и при этом существует некоторое j N такое, что j (X) j*(X).

Но тогда, по свойству 3 функций риска для k N имеем: wk(*(X)) = wk(1*(X),..., n*(X)) wk( (X)) = wk(1(X),..., n(X)), причем, wj(*(X)) wj((X)). Полученное неравенство означает, что дележ *(X), вообще говоря, позволяет достигнуть более низкого уровня текущего риска для каждого из агентов, чем дележ (X) и таким образом в любом разумном смысле дележ *(X) «лучше» (X).

Требование 2: (монотонность) для *(X) *(X) и X1 0 и X2 0, таких, что X1 X2 имеем: *(X1) *(X2), т.е. k*(X1) k*(X2), k N и j N такое, что j*(X1) j*(X2).

Действительно, по свойству 3 функций риска имеем: wk(*(X1)) = wk(1*(X1),..., n*(X1)) wk(*(X2)) = wk(1*(X2),..., n*(X2)), k N, причем, wj(*(X1)) wj(*(X2)) и таким образом применение монотонного правила распределения ре сурса гарантирует достижение более низкого уровня текущего риска для каж дого из агентов при увеличении затрат на принимаемые контрмеры. Иными словами выделение большего объема ресурса приводит, в случае использования монотонного правила, к лучшему результату, что, в общем-то, разумно.

Рассмотрим теперь случай, когда выделение ресурса на обеспечение меро приятий по снижению информационных рисков осуществляется в несколько этапов. Пусть, например, на первом этапе выделяется объем ресурса X1, а на втором – X2. Тогда, при распределении ресурса X1 с использованием «хороше го» дележа *(X1) может быть достигнут некоторый уровень текущего риска {wk(*(X1)) = wk(1*(X1),..., n*(X1)), k N }.

После выделения на втором этапе ресурса X2 суммарные затраты достигнут величины X1 + X2. Если бы этот ресурс был выделен сразу целиком, то при ис пользовании того же «хорошего» дележа *(X1 + X2), что и в первом случае, мог бы быть достигнут уровень текущего риска {wk(*(X1 + X2)) = wk(1*(X1 + X2),..., n*(X1 + X2)), k N}.

Предположим, далее, что существует некоторое j N такое, что wj(*(X1 + X2)) wj(*(X1)). Фактически это означает, что существует некоторый агент, для которого уровень текущего риска, после принятия дополнительных контрмер, возрастает, что, вообще говоря, с любой точки зрения выглядит не слишком разумным. Остается предположить, что для k N, wk(*(X1 + X2)) wk(*(X1)), но тогда по свойству 3 функций риска имеем: *(X1 + X2) *(X1), а учитывая, что X1 + X2 X1 и для * выполнено требование 1, то существует не которое j N такое, что j* (X1 + X2) j*(X2), что собственно снова приводит нас к необходимости выполнения требования 2 для «хорошего» дележа.

Требование 3: (паритетность, симметричность) пусть (p1, …, pn) – перестановка множества {1,..., n}, такая, что bр10 bр20 … bрn0, тогда для *(X) *(X) имеем: p1*(X) p2*(X) … pn*(X).

Действительно, пусть, например, количество агентов равно двум и пусть для определенности w10 w20, т.е. уровень текущего риска до принятия контр мер для первого агента выше, чем для второго.

Поскольку по предположению информация о конкретном виде функций wk, k = 1, 2 отсутствует, и, учитывая «однородность» агентов, представляется целесообразным исходить из гипотезы о том, что выделение каждому из аген тов «примерно равного» ресурса x снижает текущий риск так же «примерно одинаково», т.е.

w1 ( x1, x 2) w1 ( x1 + x, x 2) w 2 ( x1, x 2) w 2 ( x1, x 2 + x ) x x В данном случае используется принцип недостаточного обоснования Байе са – Лапласа [37, 43] Предположим для простоты, что уровень допустимого риска для обоих агентов одинаков (если это не так, то достаточно перейти к рассмотрению функций (wk – wk*)). Поскольку уровень текущего риска для первого агента вы ше, чем для второго, то одним из разумных подходов к управлению информа ционными рисками может быть следующий [61-63, 117]:

1) выделить первому агенту объем ресурса x11 0 для снижения уровня те кущего риска w1(x11, 0) до уровня w20 = w2(0, 0), т.е. w1(x11, 0) w2(0, 0);

2) остаток ресурса x = X – x11 = x21 + x22 разделить между первым и вто рым агентами таким образом, чтобы выполнялось приблизительное равен ство:

w1(x11 + x21, x22) w2(x11 + x21, x22) (4) Из (4) следует, с учетом нашего предположения, что x21 x22 и таким обра зом x11 + x21 x22.

Аналогичные рассуждения можно провести для случая произвольного числа агентов. Пусть заданы: некоторый объем ресурса X и функции рисков агентов wk = wk(x1,..., xn), k N, удовлетворяющие свойствам 1 – 4, для каждой из которых определены значения wk0 0, wk 0 и wk* 0 такие, что выполнено неравенство (1). Как и ранее, положим для простоты, что уровень допустимого риска wk* 0, k N, для всех агентов одинаков (если это не так, то достаточно перейти к рассмотрению функций (wk – wk*)). Пусть для определенности w10 w20 w30 … wn0, тогда:

1) выделим для первого агента объем ресурса x11 0 для снижения уровня текущего риска w1(x11, 0, …, 0) до уровня w20 = w2 (0, 0, …, 0), т.е.

w1(x1, 0, …, 0) w2(0, 0, …, 0);

2) выделим для первого агента объем ресурса x21, а для второго агента, со ответственно, x22 (x21 x22) для снижения уровней текущих рисков w1(x11 + x21, x22, 0, …, 0) w2(x11 + x21, x22, 0, …, 0) до уровня w30 = w3 (0, 0, …, 0);

и т.д.

На шаге (n – 1) выделим, соответственно для агентов с первого по n – объем ресурса xn-11 xn-12 … xn-1n-1 для снижения уровней риска w1(x11 + … + xn-11, x22 + … + xn-12, …, xn-1n-1, 0) w2(x11 + … + xn-11, x22 + … + xn-12, …, xn-1n-1, 0) … wn-1(x11 + … + xn-11, x22 + … + xn-12, …, xn-1n-1, 0) до уровня wn0 = wn (0, 0, …, 0).

Наконец, на шаге n выделим для всех агентов с первого по n-ый, объем ре сурса xn1 xn2 … xnn для снижения уровней текущего риска w1(x11 + … + xn1, x22 + … + xn2, …, xn-1n-1 + xn-1n, xnn) w2(x11 + … + xn1, x22 + … + xn2, …, xn-1n-1 + xn-1n, xnn) … wn-1(x11 + …+ xn1, x22 + …+ xn2, …, xn-1n-1 + xn-1n, xnn) wn(x11 + … + xn1, x22 + … + xn2, …, xn-1n-1 + xn-1n, xnn). Обозначим xk* = xkk + … + xnk, k N, тогда из (4) следует, что x1* x2* x3* … xn*.

Из приведенных выше рассуждений следует, что, вообще говоря, при от сутствии информации о конкретных параметрах функций риска wk от «хороше го» правила распределения ресурса целесообразно потребовать, что бы больший объем ресурса выделялся для снижения более значимого риска. Критерием зна чимости позволяющим ранжировать или упорядочивать риски может служить, в частности, значения заявки агента bk, k N, определяющего объем ресурса, требуемого для снижения уровня текущего риска до уровня допустимого риска, устанавливаемого центром. Таким образом, требование 3, предъявляемое к «хорошим» дележам, также представляется достаточно разумным.

Предположим теперь, что множество «хороших» дележей *(X) = {*(X) = (1*(X),..., n*(X))} (X), удовлетворяет приведенным выше требованиям 1 – 3, и докажем следующее утверждение:

Утверждение 2:

класс *(X) не пуст.

Доказательство.

Рассмотрим дележ e(X) = (e1(X),..., en(X)) (X), такой, что X, k N (5) ek (X) = n Назовем данный дележ – «равномерным» дележом и проверим выполнение требований 1 – 3.

n X nX n ek (X) = 1. Имеем = = X. Требование 1 выполнено.

n n k = k = X1 X 2. Пусть X1 X2 0, тогда 2, и таким образом из (5) следует ek(X1) n n ek(X2) для k N. Требование 2 выполнено.

3. Выполнение требования 3 очевидно.

Доказательство закончено.

Приведенное утверждение показывает, что решение задачи распределения ресурса, удовлетворяющее требованиям 1 – 3, существует. Очевидно, однако, что равномерный дележ решает задачу скорейшего снижения уровня информа ционных рисков не самым лучшим образом и возникает естественный вопрос о существовании правил, которые решают эту задачу более эффективно.

3.2. Арбитражное решение В соответствии с подходом, предложенным в работе [112], рассмотрим то чечно-множественное отображение A: B 2V, где B – n-мерный конус, а V – некоторое n-мерное пространство. Иными словами, каждой точке b = (b1, …, bn) B ставится в соответствие множество A(b) V. Обозначим v = (v1, …, vn) элемент множества V. Будем рассматривать множество агентов {a1, …, an} в ка честве игроков некоторой игры Г(b), в которой заявка bi интерпретируется как «вклад» (понимаемый в самом широком смысле) игрока i в игру Г(b), а n мерное пространство A(b) – как совокупность всех допустимых исходов игры Г(b), при векторе вложений b, при этом, элементы vi вектора v A(b), интер претируются как «выигрыш» игрока i (который соответствует получаемому агентом i ресурсу). Само множество A(b) в рамках исследуемой модели форми руется следующим образом:

n A(b) = {v V: vi 0, i N, X(b) vi } (6) i = Заметим, что с учетом того, что в рамках рассматриваемой модели общий ресурс, выделяемый центром, представляет собой функцию от заявок агентов:

Х = X(b1, …, bn) множество A(b) совпадает с определенным ранее множеством допустимых дележей ресурса X, между агентами: (X) = {(X) = (1(X),..., n n(X)): k(X) 0, k N, X k (X)}.

k = Для применения общей арбитражной схемы основанной на принципах «стимуляции» и «неподавления» необходимо выполнение следующих условий [112]:

1. 0 = (0, …, 0) A(0).

2. A(b) – компактно для любого b B.

Пусть: – замыкание множества A и (A) – граница множества A. Обозначим:

V+ = { v= (v1, …, vn) V: vi 0, i N}, V+0 = { v= (v1, …, vn) V: vi 0, i N}, К(b) = (A(b)) V+0.

3. Для любого b B множество К(b) «охватывает» точку 0 в V +, то есть любая исходящая из начала координат, содержащаяся в V +, непрерывная и стремящаяся к бесконечности кривая (кривая l уходит в бесконечность, если для любого c существует v l, для которого найдется некоторое i N такое, что vi c) пересекает К(b).

Обозначим P(b) – множество всех оптимальных по Парето точек A(b).

4. Для любого b B граничные точки A(b), лежащие в V + 0, эффективны, точнее: К(b) P(b).

5. Для любой пары векторов b1 b2 имеем: A(b2) A(b1), то есть каково бы ни было решение при b2, если хотя бы один из игроков увеличивает свой «вклад», то возможен выбор нового решения, которое для всех игроков не ху же, чем ранее выбранное.

Покажем, что в рамках рассматриваемой нами модели условия 1-5 выпол нены. Действительно:

1. По свойству 1 функции бюджета X(0, …, 0) = 0 и в силу (6): A(0) = {v n V: vi 0, i N, 0 vi} = {v = (0, …, 0)}, тогда 0 = (0, …, 0) A(0).

i = 2. Множество A(b) V = ограничено, поскольку, для любого b B в n силу (6) |vi| X(b), i N, и, следовательно, компактно.

3. Пусть b = (0, …, 0), тогда A(0)={(0,…,0)}, К(0)={(0,…,0)} и таким обра зом любая исходящая из начала координат, содержащаяся в V +, непрерывная и стремящаяся к бесконечности кривая l пересекает К (0).

Пусть b (0, …, 0), тогда по свойствам 1 и 2 функции бюджета X(b) 0. В n силу (6) имеем: К(b) = {v A(b): X(b) = vi }.

i = Поскольку кривая l исходит из начала координат, содержится в V +, непре рывна и стремится к бесконечности, найдутся такие точки y0 и z0, принадлежа n n щие кривой l, что: y0 z0, причем X(b) yi и X(b) zi. Зададим на кри i =1 i = вой l две последовательности {y0, y1, y2, …} и {z0, z1, z2, …} такие, что для любо n n го j {0, 1, 2,...}: yj zj, yj + 1 yj, zj + 1 zj, X(b) yij и X(b) zij. Оче i =1 i = видно, что в силу непрерывности кривой l последовательности {y0, y1, y2, …} и {z0, z1, z2, …} сходятся в некоторой точке u, принадлежащей кривой l, такой, что n X(b) = ui и таким образом условие 3 выполнено.

i = 4. Предположим, что К(b) P(b), тогда найдутся по крайней мере две точ ки y и z, принадлежащие К(b) такие, что для i N, yi zi и при этом существует n n zi yi = X(b) и, следователь некоторое j такое, что yj zj. Но тогда, i =1 i = но, z К(b). Полученное противоречие доказывает выполнение условия 4.

5. Пусть заданы вектора b1 b2, тогда по свойству 2 функции бюджета X(b1) X(b2). Возьмем произвольную точку v A(b2), тогда в силу (6) имеем n v V, vi 0, i и X(b1) X(b2) vi и, следовательно, v A(b1). Таким i = образом, A(b2) A(b1) и условие 5 выполнено.

Поскольку условия 1 – 5 выполнены, то применима общая арбитражная схема, основанная на принципах «стимуляции» и «неподавления» [66, 112-113].

Целью применения указанной схемы является нахождение единого правила, определяющего для каждого вектора b B решение игры Г(b), представленной множеством A(b). Данное правило должно задаваться селектором точечно множественного отображения A, то есть некоторым отображением : B V, таким, что для любого вектора b B значение вектора (b) A(b).

В работах [66, 112-113] были сформулированы аксиомы, которым должен удовлетворять искомый селектор:

Аксиома 1: (оптимальность по Парето) для b = (b1, …, bn) B: (b) = (b1, …, bn) P(b).

Аксиома 2-1: (принцип «стимуляции») для i N: i (b) – не убывает по bi.

Аксиома 2-2: (принцип «неподавления») для i N: i (b) – не убывает по bj, где j i.

Аксиомы 2-1 и 2-2, фактически, требуют монотонности функции i (b) по всем аргументам.

Аксиома 2: (монотонность) для пары векторов b1 b2: (b1) (b2) иначе, для i N, i (b1) i (b2).

Разобьем пространство B на непересекающиеся подпространства Bp = {b B: bр1 bр2 … bрn} и обозначим d = I Bp = {b B: bр1 = bр2 = … = bрn}. Разо p бьем пространство V на непересекающиеся подпространства Vp = {v V: vр Vp = {v V: vр1 = vр2 = … = vрn}.

vр2 … vрn} и обозначим D = Ip Аксиома 3: (паритетность) для b Bp: p1(b) p2(b) … pn(b), причем, если b d, то 1(b) = 2(b) = … = n(b), иначе, если b = (b1, …, bn) Bp, то (b) Vp, причем, если b d, то (b) D.

Обозначим C – класс всех отображений : B V, являющихся селектором A(b) и удовлетворяющих Аксиомам 1 – 3. Покажем, что класс C не пуст. Заме тим, что приведенное ниже доказательство фактически повторяет доказательст во аналогичного утверждения в [4, 5], и приводится исключительно с целью использования отдельных его элементов при доказательстве последующих ут верждений.

Утверждение 3:

класс C – не пуст.

Доказательство.

1. Положим (b) = D (A(b)). В силу определения, кривая D является биссектрисой пространства V + и удовлетворяет следующим свойствам: 0 D и кривая D – строго монотонна, непрерывна и уходит в бесконечность. В силу указанных свойств кривой D и условий 1 – 3 для отображения A множество D (A(b)) и в силу условий 3, 4 для отображения A: (b) = D P(b). Следова тельно, Аксиома 1 выполнена.

2. Положим b b*, тогда по свойству строгой монотонности кривой D вы полнено либо (b) (b*), либо (b*) (b), но последнее невозможно, посколь ку в силу условий 2, 5 для отображения A: (b) A(b*), что противоречит (b*) = D P(b*). Следовательно, Аксиома 2 выполнена.

3. Справедливость Аксиомы 3 очевидна.

Доказательство закончено.

Аксиомы 1 – 3, определяющие класс C, по сути, совпадают с требованиями 1 – 3, которые были предъявлены выше к «хорошим» правилам распределения ресурса (дележам) и определяющим класс *(X), фактически совпадающий с C.

Доказательства «непустоты» классов *(X) и C, так же совпадают с точностью до определений. Таким образом, для поиска «хорошего» правила дележа воз можно использование математического аппарата арбитражных схем, основан ных на принципах «стимуляции» и «неподавления».

В [112], где впервые были рассмотрены подобные арбитражные схемы, было введено понятие «максимально стимулирующего» решения (МС – реше ния).

Определение 1:

назовем *(b) «максимально стимулирующим» (МС) решением (селекто ром) если:

1. *(b) C.

2. если b Bp, то *p1 (b) = sup p1 (b), (b )C *p2 (b) = p2 (b), sup (b)C p … *pn-1 (b) = pn-1 (b), sup (b)C p p... p n 1 (*p1, *p2, …, *pi) = { C: p1(b) = *p1(b), p2(b) = *p2(b), …, где C p1…pi pi(b) = *pi(b)}, i = 1, …, n – 2.

В [112] было доказано существование МС - селектора для случая n = (случай игры двух лиц).

Утверждение 4:

если для n = 2 класс C не пуст и для b B для A(b) выполнены условия 1 – 5, то для b Bp существует единственный селектор *(b) C, такой, что:

*p1 (b) = sup p1 (b).

(b )C В несколько измененной форме Утверждение 4 совпадает с Предложением 2 в [112].

В [66, 113] «двухмерный» результат был обобщен на случай n 2 и дока зана теорема существования и единственности МС – решения при некоторых дополнительных ограничениях на множество A, которые в случае n = 2 выпол няются автоматически.

Введем предварительно ряд обозначений. Рассмотрим в V подпространство V1, образованное плоскостями вида vi = x, i N и обозначим Ai(b, x) – проекцию сечения множества A(b), если оно не пусто, плоскостью vi = x на подпространство V + n-1, образованное оставшимися координатами {1, …, i – 1, i + 1, …, n}. Аналогично, обозначим Ai1, …, ik(b, xi1, …, xik) – проекцию сечения множества Ai1, …, ik -1 (b, xi1, …, xik -1), если оно не пусто, плоскостью vik = xik на под пространство V + n-k, образованное оставшимися координатами.

Докажем несколько вспомогательных лемм.

Лемма 1:

для векторов b1, b2 B множества A(b1) и A(b2) обладают следующим свойством: для k N, {i1, …, ik}, (xi1, …, xik), (yi1, …, yik), где xij, yij 1 (j = 1, …, k), таких, что Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) и Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik) не пусты, выполня ется строго одно из следующих соотношений:

а) Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik);

б) Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik);

в) Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik).

Доказательство.

Множества Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) и Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik) не пусты, следова, xi1,…, xik) = {v V: vi = 0 при i {i1,…, ik}, vi 0 при i тельно, Ai1, …, ik(b k n k {N\{i1,…,ik}}, X ( b ) x im X (b1 ) x im = c 1 0, а v i } и m =1 i =1 m =, yi1,…, yik) = {v V: vi = 0 при i {i1, …, ik}, vi 0 при i также, Ai1, …, ik(b k n k {N\{i1,…,ik}}, X ( b ) y im v i } и X ( b ) y im = c 2 0.

2 m =1 i =1 m = Рассмотрим два случая:

1. c1 = c2 = c, тогда Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) = {v V: vi = 0 при i {i1,…, ik}, n vi 0 при i {N \ {i1, …, ik}}, c v i } = Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik) и, следователь i = но, Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik).

2. c1 c2. Пусть для определенности c1 c2. Тогда очевидно, что для v Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik) верно v Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik). При этом для v, принадле жащего множеству {v V: vi = 0 при i {i1, …, ik}, vi 0 при i {N \ {i1, …, ik}}, n c1 = v i } выполнено: v Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) и v Ai1, …, ik (b2, yi1, …, yik), от i = куда Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik).

Аналогично в случае c1 c2 имеем для v Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) верно v yi1, …, yik). При этом для v, принадлежащего множеству Ai1, …, ik(b, n {v V: vi = 0 при i {i1, …, ik}, vi 0 при i {N \ {i1, …, ik}}, c 2 = v i }, вы i = полнено: v Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik) и v Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik), откуда Ai1, …, ik(b1, xi1, …, xik) Ai1, …, ik(b2, yi1, …, yik).

Доказательство закончено.

Заметим, что утверждение Леммы 1 остается верным и для самих мно жеств A(b1) и A(b2).

Лемма 2:

пусть заданы b B, множество A(b) соответственно, и непустое множест во Ai1, …, ik(b, xi1, …, xik), k = 1, …, n – 2, тогда для x, y 1 таких, что x y, ik + {N \ {i1, …, ik}} и множества Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, x) и Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, y) не пусты, выполняется строго одно из следующих соотношений:

а) Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, x) Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, y), если x y;

б) Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, x) Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, y), если x = y.

Доказательство.

1. Для доказательства пункта б) достаточно положить в условиях Леммы 1, b1 = b2 = b, xij = yij (j = 1, …, k) и, поскольку по условию Леммы 2 имеем x = y, то можно положить: xij = yij (j = 1, …, k + 1). Тогда по Лемме 1 имеем:


Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, x) Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, y).

2. Перейдем к доказательству пункта а). По условиям Леммы 2 множества Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, x) и Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, y) не пусты и, следовательно, xi1, …, xik, x) = { v V: vi = 0 при i {i1, …, ik + 1}, имеем: Ai1, …, ik.ik + 1(b, k n X (b ) x im x vi } vi 0 при i {N \ {i1, …, ik + 1}}, и m =1 i = k X (b ) x i m x = c 1 0, аналогично Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1,…, xik, y) = {v V:

m = vi = 0 при i {i1, …, ik + 1}, vi 0 при i {N \ {i1, …, ik + 1}}, k n k X (b ) x im y vi } и X (b ) x im y = c 2 0.

m =1 i =1 m = Поскольку x y, то c1 c2, но тогда по Лемме 1 имеем:

Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, x) Ai1, …, ik.ik + 1(b, xi1, …, xik, y).

Доказательство закончено.

Лемма 3:

пусть (b) C, тогда для векторов x, y Bp, таких, что xpi ypi, i N и k = 1, …, n – 2, выполняется строго одно из следующих соотношений:

а) Ap1, …, pk(y, p1(y), …, pk(y)) Ap1, …, pk(x, p1(x), …, pk(x));

б) Ap1, …, pk(y, p1(y), …, pk(y)) Ap1, …, pk(x, p1(x), …, pk(x)).

Доказательство.

Поскольку по определению (b) – селектор множества A(b), то множества Ap1, …, pk(y, p1(y), …, pk(y)) и Ap1, …, pk(x, p1(x), …, pk(x)) не пусты и pi(x) pi(y), i N.

Пусть утверждение Леммы 3 не верно, тогда существуют: *(b) C, x*, y* Bp такие, что x*pi y*pi, i N и k* {1, …, n – 2}, такие, что по Лемме 1 должно быть выполнено соотношение:

Ap1, …, pk*(x*, *p1(x*), …, *pk*(x*)) Ap1, …, pk*(y*, *p1(y*), …, *pk*(y*)), k* k* * ( y *) = c1.

откуда: X ( x ) (x ) = c2 X ( y ) * * * * pm pm m =1 m = Поскольку для любого *(b) C и k* {1, …, n – 2} выполнено:

k* n n n * (b ) + ( b ) = X ( b ), то (y ) * * * * ( x * ), но pm pm pm pm m =1 m = k *+1 m = k *+1 m = k *+ тогда существует, по крайней мере, одно j {k* + 1, …, n}, такое, что *pj(x*) *pj(y*), что противоречит условию pi(x) pi(y), i N.

Доказательство закончено.

Положим теперь n 2 и докажем следующее утверждение:

Утверждение 5:

существует единственный селектор *(b) C, такой, что для любого b Bp:

*p1 (b) = sup p1 (b), (b )C *p2 (b) = p2 (b), sup (b)C p … *pn-1 (b) = pn-1 (b), sup (b)C p p... p n 1 (*p1, *p2, …, *pi) = { C: p1(b) = *p1(b), p2(b) = *p2(b), …, где C p1…pi pi(b) = *pi(b)}, i = 1, …, n – 2.

Доказательство.

Доказательство проведем по индукции. При n = 2 утверждение истинно.

Пусть n 2. Положим, что утверждение истинно для любого k n – 1 и дока жем его для k = n.

Обозначим множество V(b) = {v V: v = (b) и (b) C} и V (b) – замыкание V(b). По Утверждению 4 V (b) – не пусто. В силу Аксиомы 3 имеем, если b Bp, то V(b) Vp, поэтому утверждение достаточно доказать для случая, когда p = (1,..., n) Pr, иными словами b B(1, …, n).

1. Обозначим *1(b) = sup 1(b) и рассмотрим некоторый селектор µ(b), (b )C такой, что µ1 (b) = *1(b). Докажем, что µ1(b) монотонен по b. Действительно, пусть x, y B(1, …, n), такие, что xi yi, i N и положим, что µ1(x) µ1(y). По построению для любого (x) C справедливо неравенство 1(x) µ1(x) и для 0 существует C, такой, что 1(y) µ1(y) –. Положим = (µ1(y) – µ1(x)) / 0, тогда имеем: 1(y) µ1(y) – = µ1(y) – (µ1(y) – µ1(x)) / 2 = (µ1(y) + µ1(x)) / µ1(x) 1(x), что противоречит C и, следовательно, µ1(x) µ1(y).

2. Рассмотрим множества A1(y, *1(y)) и A1(x, *1(x)) и покажем, что выпол няется строго одно из следующих соотношений:

а) A1(y, *1(y)) A1(x, *1(x));

б) A1(y, *1(y)) A1(x, *1(x)).

Пусть сначала *1(x) *1(y) и пусть A1(y, *1(y)) A1(x, *1(x)) (по лемме других случаев нет), тогда имеем: X(y) – *1(y) X(x) – *1(x).

Поскольку, по свойству 2 функции бюджета X(x) X(y), то X(x) – X(y) = 0. Пусть – некоторое число, такое, что X(x) – = X(y) – *1(y) (7), тогда = + *1(y) и, следовательно, *1(y) (8).

Из (8) следует X(x) – X(x) – *1(x), откуда *1(x) (9).

Рассмотрим множества A1(y, *1(y)) и A1(x, ). В силу (7) имеем:

A1(y, *1(y)) A1(x, ) (10).

Из (9) следует *1(x) – = 0, а по построению для C: µ1(x) 1(x), причем для 0 существует C, такой, что 1(x) + µ1(x).

Положим = / 2 и рассмотрим соответствующий селектор C. Имеем:

1(x) µ1(x) – = µ1(x) – / 2, откуда 1(x) (11).

Рассмотрим множество A1(x, 1(x)). По построению для C: µ1(x) 1(x), тогда из (11) по Лемме 2 имеем: A1(x, *(x)) A1(x, 1(x)) A1(x, ).

По построению для C: µ1(x) 1(x), тогда из (10) по Лемме 2 имеем:

A1(x, *1(x)) A1(x, 1(x)) A1(y, *1(y)) A1(y, 1(y)), откуда: A1(x, 1(x)) A1(y, 1(y)), но по лемме 3 либо A1(x, 1(x)) A1(y, 1(y)), либо A1(x, 1(x)) A1(y, 1(y)). Пришли к противоречию, которое доказывает исходное утвержде ние.

Пусть теперь *1(x) = *1(y). По свойству 2 функции бюджета X(x) X(y), откуда X(x) – *1(x) = X(y) – *1(y) =.

Рассмотрим множества: К1 = {v V: v1 = 0, vi 0 при i {2,..., n}, n n v i } и К2 = {v V: v1 = 0, vi 0 при i {2,..., n}, v i }.

i =1 i = Очевидно, что К1 К2, но К1 A1(x, *1(x)), а К2 A1(y, *1(y)) и, следова тельно A1(x, *1(x)) A1(y, *1(y)).

Утверждение полностью доказано.

3. Обозначим A1(b) множество A1(b, *1(b)). По доказанному выше, для лю бой пары векторов b1, b2 B(1, …, n), таких, что b1 b2 имеем: A1(b2) A1(b1). Сле довательно, для множества A1(b) выполнено условие 5. Легко проверить, что выполнены, также условия 1 – 4. Определим на A1(b) класс селекторов C1 = { = ( 1(b), …, n-1(b))} со свойствами, аналогичными Аксиомам 1 – 3.

По Утверждению 5 класс C1 – не пуст, а по предположению индукции су ществует единственный МС – селектор, такой, что для любого b B(1, …, n-1):

*1 (b) = sup 1 (b), (b )C *2 (b) = sup 2 (b), (b)C …, *n-1 (b) = n-1 (b), sup (b)C,,..., n где C1 1…i ( *1, *2, …, *i) = { C1: 1(b) = *1(b), 2(b) = *2(b), …, i(b) = *i(b)}, i = 1, …, n – 3.

Рассмотрим класс селекторов C1(*1(b)) = {µ: µ1(b) = *1(b), µ2(b) = *2(b), …, µn-1(b) = *n-1(b)}. По доказанному C1(*1(b)) – не пуст и C1(*1(b)) = C1(*1(b)) C.

Доказательство закончено.

Доказанное выше утверждение о существовании и единственности МС – селектора подтверждает возможность организационного управления информа ционными рисками на основе «хорошего» правила распределения ресурса меж ду агентами в соответствии с их заявками, которое последовательно снижает сначала максимальный информационный риск, затем следующий по значимо сти и так далее. К сожалению, приведенное доказательство не является конст руктивным и в отличии, например, от решений Нэша или Шепли в аналитиче ской форме не определено, а для большинства реальных задач нахождение его конкретного вида представляет значительные сложности. Однако для ряда слу чаев это может быть сделано. Ниже будут рассмотрены несколько практически важных частных случаев, для которых возможно указать конкретный вид МС – решения. Данное обстоятельство является существенным при построении сис темы управления информационными рисками.

3.3. Арбитражное решение в частных случаях Предположим, что функция бюджета X(b) зависит только от суммы заявок всех агентов, что довольно часто встречается на практике: X(b1,…,bn) = X(Z), где X ( Z ) n b 0, для k N.

Z=, причем: X(0) = 0 и i bk i = Очевидно, что в данном случае свойства 1 – 3 функции бюджета (см. раз дел 3.1) выполнены. Положим, как и раньше для простоты b B(1, …, n) и рас смотрим случаи, когда функция бюджета, соответственно, выпукла, вогнута и линейна.

Утверждение 6:

2 X (Z ) 0, для k N. Тогда МС – решение имеет пусть X(b) выпукла, т.е.

2bk вид:

µ+n(b) = X(nbn);

n n n (X(kbk+ bi) – µ+i (b)), k = 1,…, n – 1.

µ+k(b)= k i = k +1 i = k + Доказательство.

Проверим выполнение Аксиом 1 – 3.

n n bi ) – + 1. По условию имеем µ+1(b) = Х(b1 + и, следовательно, (b) i i=2 i= n n i+ (b) = X( bi ) = X(Z). Аксиома 1 выполнена.

i =1 i = 2. Сравним µ+j(b) и µ+j-1(b).

n 1n+ bi ) – i (b) – µ+j(b) = µ+j-1(b) – µ+j(b) = X((j – 1)bj-1 + j 1 j 1 i= j i= j n n 1 j b 1 i+ (b) = )– µ+j(b) – X((j – 1) bj-1 + i j 1 j 1 j 1 i= j+ i= j n n n n 1 j1 1 b ( X(jbj + bi ) – 1 i+ (b) = + )– (b) ) – X((j – 1)bj-1 + i i j 1 j 1 j j 1 i= j+ j i= j i = j +1 i = j + n n 1 bi ) – b )= X((j – 1)bj-1 + X(j bj + i j 1 j i= j i = j + n n bi ) – X(j bj + b (X((j - 1) bj-1 + )).

i j 1 i= j i = j + n n b i j bj + b По предположению bj bj-1, j N, но тогда (j – 1)bj-1 + и, сле i i= j i = j + N N bi ) X(j bj + b довательно, X((j – 1) bj-1 + ). Таким образом, получили: µ+j i i= j i = j + µ+j(b). Аксиома 3 выполнена.

1(b) 3. Из условия следует, что µ+k(b) зависит только от bj, где j = k, …, n, тогда, + (b) + (b) = 0. Положим j k и найдем для j = 1, …, k – 1,.

k k bj bj Пусть j = k, тогда:

+ k (b) 1 n n n bi ) – i+ (b) ) = b ( X(kbk + ( X(kbk + )– = i bk bk k bk k k i = k +1 i = k +1 i = k + 1 1 n n n 1 (b) ) = k k bk (X(kbk + 1bi )) = bk (X(kbk + b + ( )) 0.

i i bk k i=k + i=k + i = k + Аксиома 2-1 выполнена.

n b Пусть j k. Обозначим Zk = (k bk + ), k = 1, …, n – 1, тогда:

i i = k + + (b) 1 1 j n 1 i+ (b) ) = + ( Х(Zk) – ( Х(Zk) – (b) ) – = k i bj bj k bj k k k i = k + i = k + 1 1 j n 1 1 ( i+ (b) ) = + ( Х(Zk)) – (b) ) = ( Х(Zk)) – ( Х(Zk + 1) – i k k + k b j i = j +1 bj k bj k k i = k + j j 1 + + (b) + (b) )) = ( Х(Zk) – Х(Zk + 1) – i i k +1 k k + bj k i =k +2 i =k + 1 j j 1k 11 i+ (b) )) = + ( ( Х(Zk) – Х(Zk + 1) – (b) )) = ( Х(Zk) – i k k +1 k k +1 k + bj k bj k i =k +2 i =k + j j 11 1 1 i+ (b) ) + + Х(Zk + 1) – (( Х(Zk + 2) – (b) ) = ( Х(Zk) – i k k +1 k +1 k + 2 k+2 bj k i = k +3 i = k + j 11 1 1 + Х(Zk + 1) – Х(Zk + 2) – (b) ) = … = ( Х(Zk) – i k k +1 k +1 k + 2 k+2 bj k i = k + 11 1 1 1 1 1 Х(Zk + 1) – Х(Zk + 2) – Х(Zk + 3) – … – Х(Zj-1) – j 2 j k k +1 k +1 k + 2 k +2 k + 1 1 11 1 µ + j (b)) = Х(Zk) – Х(Zk + 1) – Х(Zk + 2) – j 1 k k +1 b j k +1 k + 2 b j k bj 1 1 1 1 Х(Zk + 3) – … – Х(Zj-1) – (µ + j (b)) = j 2 j 1 b j j 1 b j k + 2 k +3 bj 1 11 1 1 1 Х(Zk) – Х(Zk + 1) – Х(Zk + 2) – Х(Zk + 3) – k k +1 b j k +1 k + 2 b j k + 2 k +3 bj k bj 1 1 …– Х(Zj-1) – Х(Zj) = j 2 j 1 b j j 1 b j 11 1 1k 1 ( Х(Zk) – Х(Zk + 1)) + Х(Zk) – Х(Zk + 2) – k k +1 b j k +1 b j k k +1 b j k +1 k + 2 b j 1 1 1 Х(Zk + 3) – … – Х(Zj-1) – j 2 j 1 b j k + 2 k +3 bj 1 11 Х(Zj) = ( Х(Zk) – Х(Zk + 1)) + Х(Zk) – j 1 b j k k +1 b j k +1 b j bj 1 1 1 1 1 Х(Zk + 2) – Х(Zk + 3) – … – Х(Zj-1) – j 2 j 1 b j k +1 k + 2 b j k + 2 k +3 bj 1 11 1 Х(Zj) = … = ( Х(Zk) – Х(Zk + 1)) + ( Х(Zk) – j 1 b j k k +1 b j k +1 k + 2 b j bj 1 1 Х(Zk + 2)) + … + ( Х(Zk) – Х(Zj-1)) – ( Х(Zk) – j 2 j 1 b j j 1 b j bj bj Х(Zj)) 0, – bj По предположению b1 b2 … bn, откуда Z1 Z2 … Zn и, следователь Х(Z1) Х(Z2) … но: Х(Zn). Но тогда, поскольку все слагаемые bj bj bj + (b) 0. Аксиома 2-2 выполнена.


больше нуля, k b j 4. Как легко видеть селектор µ+(b) C и задает правило, при котором иг роки с меньшими вкладами получают «по – минимуму». Точнее, после того, как игроки с номерами n, n – 1, …, n – (k – 1) получили свои выигрыши, игрок с номером k получает минимально возможную долю остатка.

Покажем, что селектор µ+(b) является МС – решением.

Предположим, что это не так и существует селектор (b) C и являющий ся МС – решением, тогда в силу определения МС – решения имеем: 1(b) n n µ1+(b). Предположим, что 1(b) µ1+(b), но тогда µ+i (b) i(b) и сущест i =2 i= вует k {2, …, n}, такое, что k(b) µk+(b). Но по определению µ+(b) игрок с номером k получает минимально возможную долю остатка и, следовательно:

k(b) µk+(b). Пришли к противоречию. Таким образом: 1(b) = µ1+(b), но тогда в силу определения МС – решения должно быть выполнено: 2(b) µ2+(b). Пола гая, что 2(b) µ2+(b) и проводя рассуждения аналогичные приведенным выше, приходим к выводу, что 2(b) = µ2+(b) и так далее. В итоге получаем i(b) = µi+(b), для i N и таким образом µ+(b) является МС – решением.

Доказательство закончено.

Утверждение 7:

2 X (Z ) 0, для k N. Тогда МС – решение имеет пусть X(b) вогнута, т.е.

2bk вид:

µ-1(b) = X(nb1);

n k 1 k (X( bi+(n – (k –1))bk) – µ-i (b)), k = 2, …, n.

µ-k(b) = n (k 1) i =1 i = Доказательство.

Проверим выполнение аксиом 1 – 3.

n 1 n 1. По условию имеем µ-n(b) = X( bi + bn) – и, следовательно, (b) i i =1 i = n n i (b) = X( bi ) = X(Z). Аксиома 1 выполнена.

i =1 i = 2. Сравним µ-j(b) и µ-j + 1(b):

j X( bi + (n – j)bj + 1) + µ-j(b) – µ-j + 1(b) = µ-j(b) – n j i = n ( j 1) j j 1 X( bi + (n – j) bj + 1) + (b) = µ j(b) – i n j n j n j i =1 i = j 1 j 1 j n ( j 1) 1 1 (b) = X( bi + (n – (j – 1)) bj) + ( (b) ) – i i n j n j n ( j 1) n ( j 1) i =1 i =1 i = j 1 j j 1 1 X( bi + (n – j) bj + 1) + i (b) = (X( bi + (n – (j – 1)) bj) – n j n j n j i =1 i =1 i = j X( bi + (n – j) bj + 1)).

i = j 1 j b b По предположению bj bj + 1, j N, но тогда + (n – (j – 1)) bj + (n – j) i i i =1 i = j 1 j bj + 1) и, следовательно, X( bi + (n – (j – 1)) bj) X( bi + (n – j) bj + 1). Таким i =1 i = образом, получили: µ-j(b) µ-j + 1(b). Аксиома 3 выполнена.

3. Из условия следует, что µ-k(b) зависит только от bj, где j = 1, …, k, тогда, k (b) k (b) для j = k + 1, …, n = 0. Положим j k и найдем.

bj bj Пусть j = k, тогда:

(b) k X( bi + (n – (k – 1)) bk) – ( = k bk n (k 1) bk i = k 1 k 1 i (b) ) = Х( bi + (n – (k – 1)) bk)) – ( n (k 1) bk n (k 1) i =1 i = k 1 k 1 i (b) ) = (Х( bi + (n – (k – 1)) bk n (k 1) n (k 1) bk i =1 i = k (Х( bi + (n – (k – 1)) bk)) 0.

(n – (k – 1)) bk)) = bk i = Аксиома 2-1 выполнена.

k Пусть j k. Обозначим Zk = ( bi + (n – (k – 1)) bk)), k = 2, …, n, тогда:

i = k (b) k 1 1 1 ( X(Zk) – (b) ) = ( X(Zk) – = i b j n (k 1) n (k 1) b j n (k 1) n (k 1) bj i = j k 1 ( i (b) ) = (b) ) – ( Х(Zk) – i n (k 1) b j i =1 b j n (k 1) i= j k 1 1 1 (b) ) = ( Х(Zk) – ( Х(Zk-1) – n (k 1) i b j n (k 1) n (k 1) n (k 2) i= j k 2 k 1 1 1 (b) + i (b) ) = ( Х(Zk) – Х(Zk-1) – i n (k 2) b j n (k 1) n (k 1) n (k 2) i= j i= j k 1 1 1 (b) ) = ( Х(Zk) – Х(Zk-1) – i n (k 2) b j n (k 1) n (k 1) n (k 2) i= j k 1 1 1 Х(Zk-2) – (b) ) = … = ( Х(Zk) – i n (k 2) n (k 3) n (k 3) b j n (k 1) i= j 1 1 1 Х(Zk-1) – Х(Zk-2) – … – n (k 1) n (k 2) n (k 2) n (k 3) 1 1 1 µ-j (b)) = Х(Zj + 1) – Х(Zk) – n j n ( j 1) n j n (k 1) b j 1 1 1 Х(Zk-1) – Х(Zk-2) – … – n (k 1) n (k 2) b j n (k 2) n (k 3) b j - 1 1 1 1 Х(Zj + 1) – µ j(b) = Х(Zk) – n j n ( j 1) b j n j bj n (k 1) b j n (k 1) 1 1 Х(Zk-1) – Х(Zk-2) – … – n (k 2) b j n (k 2) n (k 3) b j 1 1 Х(Zj + 1) – Х(Zj) = n j n ( j 1) b j n j bj 1 1 ( Х(Zk) – Х(Zk-1)) + Х(Zk) – n (k 1) n (k 2) b j n (k 2) b j bj 1 1 1 Х(Zk-2) – … – Х(Zj + 1) – n (k 2) n (k 3) b j n j n ( j 1) b j 1 1 Х(Zj) = ( Х(Zk) – Х(Zk-1)) + n j bj n (k 1) n (k 2) b j bj 1 1 1 ( Х(Zk) – Х(Zk-2)) + … + ( Х(Zk) – n (k 2) n (k 3) b j n j n ( j 1) b j bj bj Х(Zj)) 0, Х(Zj + 1)) + ( Х(Zk) – n j bj bj По предположению b1 b2 … bn, откуда Z1 Z2 … Zn и, следовательно, Х(Z1) Х(Z2) … Х(Zn), но тогда, поскольку все слагаемые больше bj bj bj (b) 0. Аксиома 2-2 выполнена.

нуля, k bk 4. Как легко видеть, селектор µ-(b) C и задает правило, при котором иг роки с большими вкладами получают «по – максимуму». Точнее, после того, как игроки с номерами 1, …, k – 1 получили свои выигрыши, игрок с номером k получает максимально возможную долю остатка.

Покажем, что селектор µ-(b) является МС – решением.

Предположим, что это не так и существует селектор (b) C и являющий ся МС – решением, тогда в силу определения МС – решения должно быть вы полнено: 1(b) µ1-(b). Предположим, что 1(b) µ1-(b), но как легко заметить (в силу монотонности) селектор µ-(b) по построению такой, что: µ1-(b) = sup 1(b) ( b )C µ1-(b). Пришли к противоречию. Таким образом:

и, следовательно, 1(b) 1(b) = µ1-(b), но тогда в силу определения МС – решения: 2(b) µ2-(b). Полагая, что 2(b) µ2-(b) и проводя рассуждения аналогичные приведенным выше, при ходим к выводу, что 2(b) = µ2-(b) и так далее. В итоге получаем i(b) = µi-(b), для i N и таким образом µ-(b) является МС – решением.

Доказательство закончено.

Утверждение 8:

2 X (Z ) n пусть X(b) = ( bi ) + (линейная функция), т.е., 0, для k N, 2bk i = тогда МС – решение имеет вид: µk (b) = bk, где k = 1, …, n.

Доказательство.

Из свойств 1 – 3 функции бюджета X(b) имеем: = 0 и 0. Поскольку, условия Утверждений 6 и 7 выполнены, то имеем:

1 µ + n(b) = X(n bn) = n bn = bn;

n n 1 1 1 µn-1 + (b) = X((n-1) bn-1 + bn) – µ + n(b) = ((n – 1) bn-1 + bn) – n 1 n 1 n 1 n 1 1 bn = (n-1) bn-1 + bn – bn = bn-1;

n 1 n 1 n По индукции легко показать, что µ+k(b) = bk.

С другой стороны 1 µ-1(b) = X(n b1) = n b1 = b1;

n n 1 1 1 µ-2(b) = µ-1(b) = X(b1 + (n – 1) b2) – (b1 + (n – 1) b2) – b1 = n 1 n 1 n 1 n 1 1 (n – 1) b2 – b1 = b2;

b1 + n 1 n 1 n По индукции легко показать, что µ-k(b) = bk.

Таким образом, получили: µ+k(b) = µ-k(b) = µk(b) = bk, для k = 1, …, n.

Доказательство закончено.

Таким образом, рассмотрен ряд практически важных частных случаев, для которых можно указать конкретный вид МС – решения. Важным является тот факт, что конкретный вид МС – решения оказывается существенным образом зависящим от свойств функции бюджета X(b1, …, bn). На практике это означает, что «хорошие» правила распределения ресурса, в случаях, когда Центр в ответ на возрастающие запросы агентов готов выделять ресурс «опережающими тем пами» (Утверждение 6) и наоборот, когда в ответ на возрастающие запросы агентов центр ограничивает рост выделяемого ресурса (Утверждение 7), будут различными. Данное обстоятельство приводит к тому, что фактически, необхо димым условием для формирования единого для всех циклов организационного управления информационными рисками «хорошего» правила распределения ресурса между агентами становится четкое и однозначное формирование цен тром политики выделения суммарного ресурса и жесткое следование этой по литике от одного цикла организационного управления информационными рис ками к другому. Если же поведение центра не отличается четкостью и постоян ством, то формирование эффективных организационных механизмов управле ния информационными рисками становится затруднительным.

3.4. Анализ «пропорционального» решения Во многих задачах распределения ресурса [см., например, 17, 21, 87] в ка честве «хорошего» решения выбирается так называемое «пропорциональное»

решение. Введем формальное определение пропорционального селектора.

Определение 2:

селектор отображения A(b) называется «пропорциональным» селекто ром, если для любого b Bp:

n 1. (b) P(b) (иначе i(b) = X(b));

i = bk, k N.

2. k(b) = X(b1, …, bn) n b i i = Несложно показать, что в общем случае «пропорциональный» селектор не является монотонным (т.е. не удовлетворяет Аксиомам 1 – 3).

Действительно, положим, для простоты, n = 2 и X(b) = b1 + b2. Очевидно, что для X(b) выполнены свойства 1 – 3 (см. раздел 3.1) и таким образом X(b) яв ляется функцией бюджета. В силу определения «пропорционального» селекто (b) bk ра имеем: k(b) =, k =1, 2. Найдем i, i, k =1, 2.

bk b1 + b i (b) 2(b1 + b2 ) bi bi 0, для bi 0, Пусть i = k, тогда: = )= ( bi bi b1 + b2 2(b1 + b2 ) i =1, 2. Аксиома 2-1 выполнена.

i (b) bi Пусть i k, тогда: 0, для bi 0, = bi ) = ( bi bk b1 + b2 2(b1 + b2 ) i =1, 2. Аксиома 2-2 не выполнена.

Таким образом, показано, что k(b), k =1, 2 не является монотонным по всем переменным.

Заметим, что утверждение о «немонотонности» селектора остается вер ным и для случая, когда X(b) = R = const (хотя формально, в данном случае X(b) не удовлетворяет свойствам 1 – 3 функции бюджета).

Действительно, положим, для простоты, n = 2 и X(b) = R. В силу опреде bk ления «пропорционального» решения имеем: k(b) = R, k =1, 2. Найдем b1 + b i (b), i, k =1, 2.

bk i (b) (b + b ) b b ( i ) = R 1 2 2 i 0, для bi 0, Пусть i = k, тогда: =R bi bi b1 + b2 (b1 + b2 ) i =1, 2. Аксиома 2-1 выполнена.

i (b) 1 Пусть i k, тогда: 0, для = R bi ) = - R bi ( bi bk b1 + b2 (b1 + b2 ) bi 0, i =1, 2. Аксиома 2-2 не выполнена.

Таким образом «немонотонность» «пропорционального» селектора в об щем случае ставит вопрос об условиях его монотонности и соотношении с МС – решением.

Обозначим M (b1, …, bn) = X(b1, …, bn) и докажем следующее утвер n b i i = ждение.

Утверждение 9:

M (b1,..., bn ) 0, k N, тогда (b) C.

пусть bk Доказательство.

Выполнение Аксиом 1 и 3 очевидно.

bk = M(b) bk, k Проверим выполнение Аксиомы 2. Имеем k(b) = X(b) n b i i = N, тогда:

k (b) M (b1,..., bn ) + M (b1, …, bn) 0;

если j = k, то = bk bk bk k (b) M (b1,..., bn ) 0.

если j k, то = bk bk b j Доказательство закончено.

Сформулированное выше условие принадлежности «пропорционального»

селектора классу C – монотонных селекторов, оставляет, однако, открытым во прос о соотношении «пропорционального» и МС – решений. Ответ на этот во прос дает следующее утверждение.

Утверждение 10:

пусть функция бюджета линейна, тогда МС – решение совпадает с «про порциональным» решением.

Доказательство.

Поскольку выполнены условия Утверждения 8, то МС – решение имеет вид: µk (b) = bk, k N. В силу определения «пропорционального» селектора для n bk bk = ( b i) = bk, k N.

k = 1,…, n имеем: k(b) = X(b) n n b b i = i i i =1 i = Доказательство закончено.

Проведенный анализ показывает, что популярное «пропорциональное»

решение далеко не всегда является «хорошим» с точки зрения естественных требований (см. раздел 3.1), представленных аксиомами 1 – 3 (см. раздел 3.2), предъявляемых к «хорошему» правилу распределения ресурса. Однако если центр принимает, например, директивное решение о том, что в каждом цикле управления информационными рисками, суммарный выделяемый ресурс будет прямо пропорционален сумме заявок всех агентов, то в рамках сформулирован ных выше условий именно «пропорциональное» решение становится наиболее эффективным. В этом случае, политика центра по формированию ресурса и его распределению становится наиболее простой и логичной. На практике, этот ва риант поведения центра встречается достаточно часто, что обеспечивает воз можность построения и реализации простых и эффективных механизмов управления информационными рисками.

4. МЕХАНИЗМЫ УПРАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫМИ РИСКАМИ ДЛЯ СЛУЧАЯ АССИМЕТРИЧНОЙ ИНФОРМИРОВАННОСТИ ЦЕНТРА И АГЕНТОВ В четвертой главе проводится анализ задачи организационного управления информационными рисками корпорации в условиях неполной информирован ности центра о реальных параметрах, необходимых для принятия управленче ских решений (уровень текущего риска, заявки агентов и т.д.).

В разделе 4.1 рассматривается переходная структура управления корпора цией и соответствующая ей модель «средний центр – средние агенты». Для пе реходной структуры управления характерна большая самостоятельность под разделений и можно предположить, что вопросы проведения аудита и анализа рисков, а, следовательно, и формирования заявки будут решаться ими само стоятельно. Однако вопросы формирования бюджета мероприятий по инфор мационной безопасности и его последующего распределения, по-прежнему бу дут является прерогативой центра. Данное обстоятельство дает агенту возмож ность попытаться, путем изменения объема заявки, добиться от центра больше го количества ресурсов, иными словами, попытаться манипулировать центром.

В разделе 4.2 рассматривается модель рефлексивного управления в системе «слабый центр – сильные агенты», соответствующая органической структуре управления корпорации. Для органической структуры управления характерны не только самостоятельность агентов в части формирования своих заявок, но и их активное участие, в формирования бюджета и его последующем распределе нии. В этой связи для достижения конкретным агентом своих целей, большое значение приобретает его информированность о целях других подразделений, в том числе, их предположения относительно его собственных интересов и стра тегий поведения. Возникающая иерархия представлений агентов друг о друге носит название рефлексии и требует применения соответствующих механизмов управления.

4.1. Модель «средний центр – средние агенты»

В настоящем разделе проводится обзор результатов исследования меха низмов распределения ресурса в условиях асимметричной информированности (неполной информированности центра и принятии им решений на основании информации, сообщаемой агентами). Обосновывается целесообразность ис пользования известных результатов, и характеризуются области наиболее эф фективного их применения в задачах управления информационными рисками корпораций. Получено решение обратной задачи распределения ресурса на ме роприятия по снижению информационных рисков – задачи нахождения мини мального суммарного количества распределяемого ресурса, при котором дик таторами (получающими абсолютно оптимальное для себя количество ресур са) является заданное множество агентов, при условии, что предпочтения каж дого агента зависят от того суммарного количества ресурса, которое подлежит распределению.

Асимметричная информированность. Рассмотрим, следуя, в основном [90], ОС с асимметричной информированностью, то есть такую, что некоторые ее участники лучше информированы о каких-либо существенных внешних или внутренних параметрах, чем другие (модель «средний центр – средние агенты»

– см. главу 1). В таких системах разумным представляется использование меха низмов передачи информации от более информированных участников менее информированным.

Поскольку в большинстве случаев центру необходимо иметь информацию о предпочтениях агентов (например, типах агентов, параметризующих их функции полезности или зависимости уровня риска от затрат на контрмеры), то он выступает в роли менее информированного участника ОС и целесообразна передача информации от агентов к центру.

В качестве действия агента (одной из компонент выбираемой им страте гии) в механизмах функционирования ОС с сообщением информации выступа ет сообщение s S, S – множество возможных сообщений агентов. Стратегию центра x будем называть планом (напомним, что план – желательное с точки зрения центра состояние [24]), X – множество допустимых планов.

В многоэлементных ОС план, назначаемый i-му агенту, обозначим xi Xi, где Xi – множество допустимых планов, сообщение i-го агента будем обозна чать si S i, i N. План xi зависит в общем случае от сообщений всех агентов, следовательно, возникает игра агентов.

Будем считать, что центр определяет планы (на основании предоставляе мой агентами информации) по процедуре планирования : S X, где S = S i, iN X = X i и план, назначаемый i-му агенту, будет определяться выражением:

iN xi = i (s), i N, s S. В качестве моделей поведения агентов обычно исполь зуют концепции равновесия Нэша и равновесия в доминантных стратегиях [41, 146].

Будем считать, что интересы центра задаются его целевой функцией ( x, r ). Тогда задачей центра является выбор такой процедуры планирова ния, чтобы в точке равновесия значение его целевой функции было максималь но. Обозначим множество равновесий Нэша E (r ), r. Предположим, что конкретный выбор агентов из этого множества удовлетворяет гипотезе благо желательности, в соответствии с которой в том числе при прочих равных аген ты предпочтут сообщать достоверную информацию. Для фиксированного рав r гарантированный результат, можно новесия s (r ) E (r ), вычисляя по = (S, ) :

K() ввести эффективность механизма планирования K () = min ( ( s (r )), r ).

r Механизм : S X, в котором агенты сообщают оценки из множеств {S i }, называется непрямым механизмом (содержательно, в нем сообщение мо жет нести косвенную информацию о типе агентов) [90]. При фиксированном соответствии отбора равновесий для непрямого механизма () можно постро ить соответствующий ему прямой механизм: h(~ ) = ( s * (~ )), в котором аген r r ты сообщают непосредственно оценки своих типов (поэтому этот механизм и называется прямым). Если в соответствующем прямом механизме сообщение достоверной информации является доминантной стратегией, то он называется эквивалентным прямым механизмом.

Будем считать, что имеет место асимметричная информированность, то есть центр, в отличие от агентов, не знает истинных значений параметров {ri}.

Одним из способов устранения имеющейся неопределенности [41] является ис пользование механизма с сообщением информации, в котором каждый агент сообщает центру оценку si i, i N, своего типа (здесь множество возмож ных сообщений S i для каждого агента совпадает с множеством i возможных типов агентов, поскольку эти множества известны центру, и агент сообщает информацию непосредственно о своем типе ri i ).

Порядок функционирования системы при этом следующий:

1. Этап сбора информации. Агенты сообщают центру оценки ( s1,..., s n ) своих типов – параметров ( r1,..., rn ) ;

2. Этап планирования. На основе полученных оценок центр, используя процедуру (механизм) планирования : X, где = i, X = X i – iN iN множество допустимых планов, назначает планы xi = i (s ) агентам, i N.

3. Этап выбора состояния. Получив плановые задания, агенты выбирают свои действия y i Ai.

В предположении рационального поведения агентов при фиксированных планах выбираемые ими действия yi будут максимизировать соответствующие целевые функции, то есть: yi Pi ( xi, ri ) = Arg max f i ( xi, yi, ri ).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.