авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Цуканова Ольга Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2012

2

Цуканова О. А. Математические методы моделирования экономических сис тем: уч. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО, 2012 В настоящем учебном пособии излагаются методы экономико математического моделирования, которые широко используются в различ ных областях экономики при принятии управленческих решений. Во всех разделах приведены краткие теоретические сведения, сформулированы акту альные экономические проблемы, ряд задач снабжен решениями.

Учебное пособие разработано в соответствие с программой дисциплины «Математические методы моделирования экономических систем» и предна значено для магистров по направлению 230700.68 «Прикладная информати ка», 080005 «Бизнес-информатика».

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, кото рым присвоена категория «Национальный исследовательский универси тет». Министерством образования и науки Российской Федерации была ут верждена Программа развития государственного образовательного учрежде ния высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский го сударственный университет информационных технологий, механики и оп тики» на 2009–2018 годы.

© Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, © О. А. Цуканова, ВВЕДЕНИЕ Современный специалист при принятии управленческих решений дол жен хорошо разбираться в экономико-математических методах, уметь их применять на практике при анализе рыночных процессов, внешней и внут ренней среды предприятия, уметь конструировать с использованием извест ных математических методов экономические системы и анализировать дина мику составляющих их идентификаторов.

Данное учебное пособие предназначено для студентов ВУЗов, обучающихся по направлению «Прикладная информатика». Учебное пособие также может быть использовано студентами, аспирантами, преподавателями экономиче ских вузов, менеджерами предприятий.

Целевая направленность – дать общее представление о возможностях использования математических методов для моделирования экономических систем. В соответствии с этим учебное пособие включает в себя рассмотре ние следующих аспектов:

использование вероятностных методов моделирования экономических систем;

применение инструментария статистического моделирования;

использование оптимизационных методов и моделей в управлении экономическими системами;

рассмотрение ряда типовых моделей управления в различных областях экономики.

Учебное пособие разработано в компетентностном формате, то есть опи сывает содержание (знания) через решение актуальных проблем и практических задач. Предусмотрена отработка навыков подготовки и принятия управленче ских решений с реализацией типовых задач менеджмента на компьютере с ис пользованием прикладных программ.

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................. СОДЕРЖАНИЕ..................................................................................................... 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ......................................................................... 1.1. Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем...................................................................................... 1.1.1. Элементарные понятия о случайных величинах, событиях и функциях............................................................................................................ 1.1.2. Числовые характеристики случайных величин................................. 1.1.3. Статистическая оценка законов распределения случайных величин.

................................................................................................................. 1.1.4. Основные законы распределения случайных величин. Выбор теоретического закона распределения.......................................................... 1.2. Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов............................................................................................ 1.2.1. Основные понятия марковских процессов......................................... 1.2.2. Марковские цепи................................................................................... 1.2.3. Непрерывные цепи Маркова................................................................ 1.3. Моделирование систем массового обслуживания..................................... 1.3.1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания. 1.3.2. Определение характеристик систем массового обслуживания....... 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ............................................................................................................... 2.1. Статистические показатели. Средние величины и изучение вариации.. 2.2. Индексы.......................................................................................................... 2.3. Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях.......... 2.3.1. Линейная регрессия и корреляция: смысл и оценка параметров..... 2.3.2. Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии 2.3.3. Нелинейная регрессия.......................................................................... 2.4. Множественная регрессия и корреляция.................................................... 2.4.1. Спецификация модели. Отбор факторов для построения модели... 2.4.2. Выбор формы уравнения регрессии. Оценка параметров уравнения множественной регрессии.............................................................................. 3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ......................................................... 3.1. Линейное программирование....................................................................... 3.1.1. Построение экономико-математических моделей задач линейного программирования.......................................................................................... 3.1.2. Графическое решение задач линейного программирования............ 3.1.3. Симплекс-метод.................................................................................... 3.1.4. Методы нахождения опорного решения задачи линейного программирования.......................................................................................... 3.1.5. Экономическая интерпретация решения задачи линейного программирования.......................................................................................... 3.1.6. Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений............................................................................................................ 3.2. Транспортные задачи..................................................................................... 3.2.1. Математическая модель транспортной задачи.................................. 3.2.2. Опорное решение транспортной задачи............................................. 3.2.3. Метод потенциалов............................................................................... 3.3. Теория игр..................................................................................................... 3.3.1. Управление в условиях неопределенности...................................... 3.3.2. Принятие решений в условиях неопределенности.......................... 3.3.3. Теория игр. Стратегия игры. Метод линейного программирования для нахождения решения игр...................................................................... 4. ТИПОВЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ.................................................. 4.1. Модели маркетинга...................................................................................... 4.1.1. Игровая модель обмена товарами..................................................... 4.1.2. Задача прикрепления потребителей к поставщикам....................... 4.1.3. Модель определения стадии жизненного цикла товара................. 4.1.4. Модель выбора сегментов рынка...................................................... 4.1.5. Регрессионная модель спроса............................................................ 4.1.6. Анализ риска инноваций.................................................................... 4.2. Модели финансового менеджмента........................................................... 4.2.3. Модель оценки риска проекта........................................................... 4.2.3. Опционные модели............................................................................. 4.3. Модели антикризисного менеджмента..................................................... 4.3.1. Модели оптимизации управления нововведениями....................... 4.3.2. Модель оптимизации управления продажами и транзакциями..... 4.3.3. Модель оптимизации управления ресурсным потенциалом.......... 4.4. Модели экономической безопасности...................................................... 4.4.2. Модель определения зон защиты предприятия в условиях ограниченности средств............................................................................... 4.4.3. Модель определения объектов защиты в условиях независимости ущербов.......................................................................................................... 4.4.4. Модель распределения работы службы безопасности предприятия...

............................................................................................................... ЛИТЕРАТУРА................................................................................................... Приложение 1..................................................................................................... Задачи по теме «Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем»...................................................................................... Задачи по теме «Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов»................................................................... Задачи по теме «Моделирование систем массового обслуживания»............ Задачи по теме «Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях».................................................................................................... Задачи по теме «Множественная регрессия и корреляция»........................... Задачи по теме «Линейное программирование».............................................. Задачи по теме «Транспортные задачи»........................................................... Задачи по теме «Теория игр»............................................................................. Задачи по теме «Типовые модели управления»............................................... 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКО НОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1.1. Основы вероятностных методов анализа и моделирования экономических систем 1.1.1. Элементарные понятия о случайных величинах, событиях и функ циях В результате многократного повторения одних и тех же условий, кото рые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или непоявление в них некоторого события. Такое событие, которое может про изойти или не произойти в результате опыта, называется случайным. Сово купность условий, в которых рассматривается данное событие, называют комплексом условий, а реализацию этого комплекса условий на практике испытанием. В зависимости от связи между событиями и соответствующими комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные события.

Достоверным называется такое событие (U), которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий.

Невозможным называется событие (), которое никогда не наступает при реализации данного комплекса условий.

Случайным называется событие, которое может либо наступить при реализации данного комплекса условий, либо не наступить.

Элементарное событие – это один из нескольких возможных, но несо вместных исходов того или иного опыта (испытания). Совокупность или множество их составляют пространство элементарных событий.

В общем случае пространство элементарных событий может быть любой природы: конечным и бесконечным, дискретным и непрерывным. Простран ство элементарных событий является синонимом достоверного события, так как один из его элементов непременно наступит.

Пустое множество – это множество, не содержащее элементарных со бытий. Очевидно, что пустое множество является синонимом невозможного события.

При изучении случайных событий в ходе системного анализа и модели рования информационных процессов и систем используется группа событий, между которыми существуют определенные соотношения, позволяющие вы ражать одни события через другие.

Рассмотрим эти соотношения:

1) Событие А содержится в событии В(А В). Если при каждом испы тании, при котором происходит событие А, непременно происходит и со бытие В, то говорят, что событие А содержится в событии В или принад лежит событию В;

2) Тождественные события (А = В). Если событие А содержится в собы тии В, а событие В содержится в событии А, то говорят, что события А и В тождественны или равносильны;

3) Произведение событий ( = ). Произведением (или пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в совместном на ступлении этих событий. Другими словами, множество С содержит эле менты, принадлежащие множествам А и В (, = );

4) Несовместные события (А * В = ). События А и В называются несо вместными, если их совместное появление при испытании невоз можно;

5) Сумма событий ( = + или = ). Суммой событий А и В на зывается событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих со бытий. Множество С содержит элементы, принадлежащие хотя бы одно му из множеств А или В;

6) Полная группа событий ( = + =). События А и В составляют полную группу событий, если при реализации заданного комплекса усло вий непременно появится хотя бы одно из этих событий. Сумма всех та ких событий есть событие достоверное;

7) Противоположное событие. Два события А и А (читается «не А») на зываются противоположными, если они составляют полную группу несо вместных событий, т.е. удовлетворяют условию + =;

= 0.

При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятных этому событию элементарных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n):

(А) = Вероятность и частота ( ) события тесно связаны между собой.

Зная частоту, вычисленную при достаточно большом числе испытаний, есть все основания считать ее близкой к соответствующей вероятности и пола гать, что () = Такой способ определения вероятности события Р(А) называется стати стическим.

Частота случайного события А находится в интервале [0;

1]:

0 Частота достоверного события равна единице. Частота невозможного события равна нулю.

Свойства вероятностей событий:

1. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. = 0 ;

2. Для любого события А вероятность противоположного события равна = 1 ();

3. Если событие А влечет за собой событие В, т. е. А В, то ();

4. Вероятность события А заключена между нулем и единицей, т.е.

0 1;

5. Вероятность двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: + = + ().

Вероятность события определяется при условии реализации некоторой совокупности условий. Если никаких ограничений, кроме упомянутых усло вий, при вычислении вероятности Р(А) не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Однако в ряде случаев приходится находить веро ятности событий при условии, что произошло некоторое событие B, имею щее положительную вероятность. Такие вероятности называются условными и обозначаются Р(А/В).

Событие А называется независимым от другого события В, если вероят ность события А не изменяется от того, наступает событие В или нет. В про тивоположном случае событие А называется зависимым от события В. Следо вательно, если события А и В независимые, то Р(А/В) = Р(А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятно сти одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:

Р(А * В) = Р(А) * Р(В/А) = Р(В) * Р{А/В} Вероятность произведения независимых событий равна:

Р(А * В) = Р(А) * Р(В) Вероятность произведения n случайных событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, вычислен ных при условии, что все предшествующие события произошли.

Правило сложения вероятностей двух событий гласит, что веро ятность наступления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятно стей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) Если события несовместны, то правило сложения вероятностей прини мает вид:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Если несовместные события составляют полную группу, т. е.

А1 + А 2 +... + А п = и А i * А j =, i j, то ( ) = = 1.

=1 = Случайные события могут быть представлены через случайные вели чины. Случайной называется такая величина, которая в результате испытания (реализации определенного комплекса условий) может принять то или иное значение, причем до испытания неизвестно, какое именно. Если повторять испытания, то результатом каждого будет какое-либо одно значение случай ной величины из множества возможных.

Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Множество значений дискретной случайной величины конечно или счетно, например: количество отказов автомобилей автопредприятия в тече ние рабочей смены;

число рабочих, пришедших в бухгалтерию завода в тече ние одного часа получать заработную плату, и т. д.

Множество значений непрерывной случайной величины представляет собой множество всех точек, принадлежащих какому-либо интервалу число вой оси, например: расход топлива на километр пробега;

время безотказной работы автомобиля и т. д.

Кроме дискретной и непрерывной случайных величин встречаются слу чайные величины смешанного типа, для которых наряду с участками непре рывных значений имеются отдельные, изолированные значения.

Закон распределения случайной величины представляет собой соотноше ние, позволяющее определить вероятность появления случайной величины в любом интервале.

Основными формами закона распределения являются: ряд рас пределения, функция распределения и плотность распределения.

Ряд распределения представляет собой таблицу, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятно сти:

….

Xi X1 X2 X3 Xn ….

Pi P1 P2 P3 Pn В таблице Xi - i-е значение случайной величины Х;

P i - вероятность по явления i-го значения случайной величины X. При этом = Эмпирический ряд распределения представляет собой таблицу, в кото рой перечислены наблюдаемые значения (фактические реализации) случай ной величины и соответствующие им частоты:

….

Xi X1 X2 X3 Xn ….

mi m1 m2 m3 mn В таблице x i — i-я фактическая (наблюдаемая) реализация случайной величины Х;

m i — количество появлений (частота) величины х i.

Ряды распределения, образованные из значений случайной величины, характеризующей качественный признак, называются атрибутивными. Ряды распределений, образованные из значений случайной величины, характери зующей количественный признак явления (события), называются вариацион ными.

Ряд распределения не может служить характеристикой непрерывной случайной величины, поскольку значения этой величины нельзя перечис лить, так как множество их несчетно. Кроме того, вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Для характеристики непрерывной случайной величины определяют ве роятность появления значения случайной величины меньшего x, где x — те кущая переменная, т. е. определяют вероятность события X х. Вероятность этого события зависит от x, т. е. является функцией х. Эта функция называ ется функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x):

F(x) = Р(Х х) Таким образом, функцией распределения случайной величины X назы вается функция аргумента х, равная вероятности того, что случайная величи на X примет любое значение, меньшее х.

Вероятность попадания случайной величины в полузамкнутый интервал [а, b) равна разности значений функции распределения в точках b и а:

= ().

Функция распределения есть неубывающая функция, значения которой начинаются с нуля и доходят до единицы, причем в отдельных случаях функция может иметь скачки — разрывы. Функцию распределения дискрет ной случайной величины можно определить, зная ее ряд распределения, по формуле:

= ( ).

где суммирование распространяется на значения х i которые меньше х.

Поскольку для непрерывной случайной величины нельзя использовать в качестве характеристики вероятность появления ее отдельных значений, то определяют вероятность появления случайной величины в пределах малого интервала [ х, х + х), примыкающего к x. Разделив эту вероятность на дли ну интервала х, находят среднюю плотность вероятности и при неограни ченном уменьшении длины интервала переходят к пределу, который является плотностью распределения в точке х :

(+) = lim0.

Плотность распределения f (х ) есть предел отношения вероятности по падания случайной величины на малый участок и длины этого участка при ее неограниченном уменьшении.

Вероятность попадания случайной величины на произвольный участок [a, b ) равна:

= ().

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице, т. е.

= 1.

Это очевидно, так как указанный интеграл выражает вероятность досто верного события - попадания случайной величины на участок от - до, а значит, равен единице.

График плотности распределения называется кривой распределения, ле жащей в верхней полуплоскости. Кривая распределения совместно с осью абсцисс ограничивает площадь, равную единице (рис. 1.1).

Рис. 1.1. График плотности распределения (кривая распределения) Вероятность попадания на участок [а, b) равна площади ограниченной кривой распределения, опирающейся на участок [а, b ).

Плотность распределения есть производная функции распределения. С другой стороны:

= = ( ) откуда = ().

Величину F (x) называют интегральной функцией распределения X.

Величина f (x) – дифференциальная функция распределения случайной величины X. Для оценки особенностей законов распределения случайных величин определяют числовые характеристики этих велчин.

Пример 1.1. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты проката сель хозтехники. Случайным образом отобраны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?

Решение Пусть А – событие, состоящее в том, что в первом выбранном поселке находится пункт проката;

В – событие, состоящее в том, что во втором выбранном поселке находит ся пункт проката.

Вероятность события А: Р(А) = 5/100 = 0, Рассмотрим событие В при условии, что событие А произошло. Найдем условную вероятность: Р(В/А) = 4/99 = 0,04.

Искомая вероятность найдется как вероятность произведения двух событий: Р(АВ) = (5/100) *(4/99) = 1/495 = 0,002.

1.1.2. Числовые характеристики случайных величин При решении многих практических задач часто достаточно указать от дельные числовые характеристики, определяющие особенности того или иного распределения случайной величины. Это прежде всего среднее значе ние, которое принадлежит к характеристикам положения случайной величи ны, т. е. представляет такую величину, относительно которой каким-то обра зом группируются, рассеиваются всевозможные значения случайной величи ны.

Среднее значение, или математическое ожидание дискретной случай ной величины, вычисляется по формуле (Х) =, = где х i – возможные значения случайной величины X;

P i - вероятность появления i-го возможного значения случайной ве личины X.

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание оп ределяется интегралом:

(Х) = ().

Медианой Me (Х) случайной величины называется такая величина, от носительно которой равновероятно получение большего или меньшего зна чения случайной величины:

Р ( Х Me) = Р ( Х Me).

Медиану применяют в качестве характеристики ряда распределения в тех случаях, когда имеются очень большие колебания случайной величины.

Модой Мо (Х) дискретной случайной величины называется ее значение, обладающее наибольшей вероятностью. Для непрерывной случайной вели чины мода есть такое значение, которое отвечает максимальной плотности распределения.

Для оценки степени разброса, рассеивания значений случайной величи ны относительно среднего вычисляют следующие характеристики: диспер сию;

среднее квадратическое отклонение;

коэффициент вариации.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от своего математического ожидания:

= = ( ) Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение значений слу чайной величины относительно математического ожидания, т. е. будет боль ше рассеивание случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

= ( )2 ( ).

= Дисперсия непрерывной случайной величины равна:

= ( )2 ().

Среднее квадратическое отклонение ( ), которое равно положи тельному значению корня квадратного из дисперсии. Среднее квадратиче ское отклонение имеет одинаковую размерность со случайной величиной.

Величины и показывают абсолютное отклонение от среднего зна чения случайной величины, что недостаточно характеризует уровень ее рас сеивания. Относительной характеристикой рассеивания является коэффици ент вариации, вычисляемый как отношение среднего квадратического от клонения и эмпирической средней:

= 100%.

Коэффициент вариации может использоваться для сравнения меры рас сеивания (колеблемости) случайных величин, имеющих различную размер ность.

Пример 1.2. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Х 2 4 6 р 0,4 0,2 0,1 0, Y 0 1 p 0,5 0,2 0, Найти математическое ожидание случайной величины Z = 2X + 3Y Решение Используя свойства математического ожидания, а также учитывая, что X и Y - неза висимые величины, имеем: M(Z) = M (2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) Тогда M(X) = 2*0,4+4*0,2+6*0,1+8*0,3 = 4, M(Y) = 0*0,5+1*0,2+2*0,3 = 0, M(Z) = 2*4,6+3*0,8 = 11, 1.1.3. Статистическая оценка законов распределения случайных вели чин Эмпирические ряды распределения, получаемые при обработке первич ных статистических данных, оформляются в таблицах или изображаются графически посредством геометрических образов. Построение эмпирических графиков и диаграмм позволяет установить на первом этапе исследования, к какому типу теоретических распределений ближе всего полученное эмпири ческое распределение, что облегчает выбор конкретных технических прие мов обработки исходных данных.

Статистическая таблица – система строк и столбцов, в которых в оп ределенной последовательности и связи излагается статистическая информа ция о социально-экономических явлениях.

Статистические графики представляют собой условные изображения числовых величин и их соотношений посредством линий, геометрических фигур, рисунков или географических карт-схем.

По способу построения графики делятся на диаграммы, картограммы и картодиаграммы. Наиболее распространенными являются диаграммы. Они бывают разных видов: линейные, радиальные, точечные, плоскостные, объ емные, фигурные.

На картограмме распределение изучаемого признака по территории изображается условными знаками (точками, штриховкой, цветом и т.д.), со ответствующими определенным интервалам значений величины этого при знака. Эти знаки покрывают контур каждого района. Картограмма применя ется в тех случаях, когда возникает необходимость показать территориальное распределение какого-нибудь одного статистического признака между от дельными районами для выявления закономерностей этого распределения.

Картодиаграмма – это сочетание диаграммы с географической картой.

В качестве изобразительных знаков в картодиаграммах используются те или иные фигуры, которые размещаются на контуре географической карты. Кар тодиаграммы дают возможность графически отразить более сложные стати стико-географические соотношения, чем картограммы.

Начальным этапом статистического изучения вариации является по строение вариационного ряда – упорядоченного распределения единиц сово купности по возрастающим (убывающим) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. Вариационный ряд часто называют рядом распределения.

Рассмотрим процедуру построения вариационного ряда. Для этого бу дем рассматривать некоторую случайную величину X. При функционирова нии экономической системы или ее элемента в течение некоторого времени t случайная величина X может принять п определенных значений. Совокуп ность этих случайных значений случайной величины в математической ста тистике называется статистической выборкой объема п. Если расположить отдельные значения случайной величины X в возрастающем или убывающем порядке и указать относительно каждого значения, как часто оно встречалось в данной совокупности, то получится эмпирическое распределение случай ной величины, или вариационный ряд, на основании которого определяются аналитическая форма неизвестной плотности вероятности х, функция рас пределения F(x) и оцениваются входящие в нее параметры.

Весь диапазон значений непрерывной случайной величины X разбивает ся на интервалы. Далее подсчитывается количество значений mi, случайной величины X, приходящейся на каждый интервал, и определяется частота ее попадания в данный интервал по формуле:

=.

Если случайная величина X, принимает значение, попадающее на гра ницу i-го и (i+1)-го интервалов, то это значение учитывается в числе попада ний в (i + 1)-й интервал.

Определив таким образом частоты попадания случайной величины X в каждый интервал, получим вариационный (статистический) ряд, который представляют в виде таблицы:

Интервал … … t1 t 2 t2 t3 t i t i+1 t k t k+ p Частота p p … … p p1 i i k Оптимальная длина интервала определяется по формуле:

=.

1+3.21lg n Хmax – Х min - размах вариации случайной величины X.

Число интервалов будет равно:

Xmax k=.

Если k не целое число, то в качестве числа интервалов надо взять бли жайшее к k целое число, не меньшее k.

Вариационные ряды могут быть изображены графически в виде полиго на распределения и гистограммы.

Полигон распределения представляет собой многоугольник, который строится на прямоугольной координатной сетке. В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для фактических значений случайной величины X, на оси ординат — для частот =.

Пользуясь этими шкалами, наносят точки M1 с координатами x1 и.

Точки 1 1, 2 = 2 2, = ( ) соединяют ломаной лини ей M1 M2 M3…Mi….Mk. Крайние точки M1 и Mk, если они лежат на оси Ox, соединяют также со смежными точками соответственно Mo (Xo, 0) и Мk+ (xk+1,0) на оси абцисс. Полученный таким образом многоугольник M0 M1 M …. Mi …. Mk Mk+1 является полигоном распределения.

Рис. 1.2. Полигон распределения реализаций случайной величины X Полигоны распределения чаше всего применяются для изображения дискретных вариационных рядов.

Гистограмма распределения реализаций случайной величины применя ется для графического изображения интервальных рядов распределения. Она представляет собой многоугольник, построенный с помощью смежных пря моугольников. В случае непрерывных равных интервалов с шириной интер вала х гистограмма строится следующим образом (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Гистограмма распределения В выбранных масштабах на оси абсцисс наносится шкала для реализа ций случайной величины X. на оси ординат – величины. Пользуясь этими шкалами, строят прямоугольники ABCD, DEFG,основания которых соот ветствуют ширине интервала х, а высоты равны отношениям 1, 2, …,.

Многоугольник ABCEF... QORJA и является гистограммой распределения.

Гистограммы чаще всего применяются для изображения вариационных рядов с непрерывными значениями случайной величины X. При уменьшении величины каждого интервала гистограмма будет приближаться к некоторой плавной кривой, соответствующей графику функции плотности распределе ния случайной величины X. Следовательно, в результате построения гисто граммы можно получить представление о дифференциальном законе распре деления случайной величины X.

Пример 1.3. Построить гистограмму и статистическую функцию распределения ча совой выработки подвижного состава автопредприятия.

Значения часовой выработки получены в ходе наблюдения за работой автомобилей самосвалов КамАЗ-5511 в течение календарного года. Объем выборки составил n = наблюдений. Размах вариации равен:

= = 15.13 4.0 = 11. Величина интервала вариационного ряда определена:

15.13 4. = = = 7.42 1. Количество интервалов вариационного ряда равно:

15.13 4. = = = 7.42 1. Вариационный ряд часовой выработки автомобиля представлен в таблице 1.1.

Таблица 1. Вариационный ряд часовой выработки автомобиля 4-5,5 5,5-7,0 7,0-8,5 8,5- 10 10-11,5 11,5- 13,0- 14,5- Интервал 13,0 14,, Частота 0,07 0,14 0,17 0,17 0,15 0,14 0,11 0, Решение Для построения гистограммы определим ее ординаты из выражения:

= = 0.07 0.14 0. 1 2 1. = = 0.047 2. = = 0.093 3. = = 0. 1.5 1.5 1. 0.07 0.15 0. 4 4. = = 0.113 5. = = 0.1 6. = = 0. 1.5 1.5 1. 0.11 0. 7 7. = = 0.073 8. = = 0. 1.5 1. Основываясь на данных табл. 1.1 и проведенных расчетах построим гистограмму (рис. 1.4).

Следует отметить, что при неограниченном увеличении объема выборки п кривая гистограммы частот совпадает с графиком плотности вероятностей.

Построим статистическую функцию распределения часовой выработки автомобиля:

F xi = 0 F xi = 0. 1. при x 4 2. при 4 x 5. F xi = 0. 4. при 7 x 8. 3. при 5.5 x 7 F xi = 0. F xi = 0.55 F xi = 0. 5. при 8.5 x 10 6. при 10 x 11. F xi = 0. 7. при 11.5 x 13 8. при 13 x 14. F xi = 0. F xi = 1. 9. при 14.5 x Рис. 1.4. Гистограмма часовой выработки автомобиля График статистической функции распределения представлен на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Статистическая функция распределения часовой выработ ки автомобиля 1.1.4. Основные законы распределения случайных величин. Выбор тео ретического закона распределения Дискретные законы распределения Биномиальное распределение Это распределение числа X появления события А в серии из n независи мых испытаний. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна р, а вероятность его отсутствия q = 1 —р. В каждом испытании воз можно два исхода: наступление или ненаступление события А. При сформу лированных условиях ряд распределения числа появления события А опреде ляется формулой Бернулли:

= = (1 ), ( = 0.1, …, ) !

(1 ), ( = 0.1, …, ), или = = ! !

где P(x=m) – вероятность появления события А равна т раз в серии из n испытаний.

Характер биномиального распределения определяется двумя параметра ми: р и n. На рис. 1.6 показаны многоугольники биномиального распределе ния для некоторых значений этих величин.

Рис. 1.6. Примеры кривых биноминального распределения Числовые характеристики биномиального распределения случайной вели чины X:

• математическое ожидание М[Х] = п •р ;

• дисперсия D x = п • р • q = п • р(1 - р);

• коэффициент асимметрии (скошенности) распределения:

= ;

• коэффициент эксцесса (мера крутости) распределения:

=.

Пример 1.4. Техническая система состоит из пяти независимо друг от друга функ ционирующих узлов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадра тическое отклонение числа отказов узлов, если вероятность отказа любого из них р = 0,2.

Решение Математическое ожидание числа отказов: = = 5 0.2 = Дисперсия: = = 5 0.2 0.8 = 0. Среднее квадратическое отклонение: = = 0.8 = 0. q p 0,8 0, ax 0,671;

Коэффициент асимметрии:

n* p*q 5 * 0,2 * 0, 1 6 pq 1 6 * 0,8 * 0, cx 0,05;

Коэффициент эксцесса:

n* p*q 5 * 0,2 * 0, Распределение Пуассона Данное распределение является предельным случаем биномиального распределения. Предположим, что в биномиальном распределении р 0 и п, так, что п*р М[Х] = а 0. Тогда плотность вероятности биномиально го распределения принимает вид:

(a k * e e ) a k a P ( X m) *e, k=0,1,2,…, k! k!

что и является распределением Пуассона. Распределение Пуассона зависит только от одного параметра – математического ожидания М[Х] = а. Основ ные числовые характеристики случайной величины, имеющей распределение Пуассона, равны величине а 0, а именно дисперсия случайной величины X, имеющей распределение Пуассона, численно равна ее математическому ожиданию. Этим свойством пользуются для оценки близости эмпирического распределения к распределению Пуассона.

Пример 1.5. Определить вероятность того, что на АЗС находится один или хотя бы один автомобиль, если среднее число автомобилей, находящихся в данном интервале вре мени на АЗС, а = 3.

Решение Вероятность нахождения одного автомобиля на АЗС следующая:

1.

a m a a1 a * e * e a * e a 3 * e3 0,149.

P( X 1) m! 1!

2. Вероятность того, что на АЗС будет находиться хотя бы один автомобиль, равна ве роятности того, что на АЗС будет находиться не менее одного автомобиля, т. е.

a P( X 1) 1 P( X 0) 1 * e a 1 e3 0,95.

0!

Непрерывные распределения вероятностей Нормальное распределение Наиболее известным непрерывным распределением является нормаль ное. Плотность нормального распределения определяется по формуле:

( x mx ) f ( x) *e x Непрерывная случайная величина X принимает значения от - до +.

Соответствующая функция распределения равна:

( x mx ) x * e 2 x F ( x) dx.

x 2 Типичные графики плотности вероятности f(х) и функции нормального распределения приведены на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Графики кривых нормального распределения Основные свойства нормального распределения:

1. нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией;

2. кривая плотности вероятности f(х ) нормального распределения симмет рична относительно математического ожидания т х. Максимум плотно сти распределения соответствует абсциссе, равной т х ;

3. при |х| ветви кривой распределения асимптотически приближаются к оси 0х;

4. математическое ожидание случайной величины X, распределенной в со ответствии с нормальным законом, совпадает по величине с ее модой и медианой;

5. коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения рав ны нулю.

При значении x = 1 и т х = 0 нормальную кривую называют нормиро ванной, а соответствующий закон распределения — стандартным нормаль ным законом распределения с плотностью:

z 1 f ( z) * e * 2, z Пример 1.6. Среднее время обслуживания персонального компьютера (ПК) t = 2 ч.

Среднее квадратическое отклонение времени обслуживания равно t = 0,403 ч. Опреде лить вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени от 1,5 до 2, ч.

Решение 1. Вероятность попадания случайной величины t в интервал [1,5;

2,5] будет равна:

p(1,5 t 2,5) F (2,5) F (1,5) (t2 t ) (t1 t ) 2. Определим z: z2 ;

z1 ;

t t (2,5 2) (1,5 2) z2 1,24;

z1 1,24.

0,403 0, 3. По таблицам «Функция распределения для закона Гаусса» определим значение стан дартной нормальной функции распределения:

Ф( z 2 ) Ф(1,24 ) 0, Ф( z1 ) Ф(1,24 ) 0, 4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени [1,5;

2,5] бу дет равна: р( 1, 5 t 2,5) = Ф( z 2 ) - Ф(z1) = 0,892 - 0,107 = 0,785.

Гамма-распределение и распределение Эрланга Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение, ес ли ее плотность распределения вычисляется по формуле:

k * x k 1 * e x при x0, где 0 и k f k ( x) Г (k ) Г (k) – гамма-функция:

Г (k ) e t * t k 1 * dt Если k – целое неотрицательное число, то Г(k) = k!

Математическое ожидание случайной величины X, подчиненной гамма k распределению, равно: mx k При этом дисперсия величины Х определяется по формуле: Dx При целом k 1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k-го порядка, т. е.

* (x) k 1 * e x f k ( x) (x0;

k=1,2,…) ( k 1)!

Закону Эрланга k-го порядка подчинена сумма независимых случайных величин х1, + х 2 +... + х к, каждая из которых распределена но показатель ному закону с параметром.

При k = 1 гамма-распределение превращается в показательное с пара метром.

Показательное распределение Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой:.

f ( x ) * e x x Положительная величина является параметром показательного рас пределения.

Функция распределения случайной величины X выглядит следующим образом:

F ( x) 1 e x, 0,0 x Графики функции и плотности показательного распределения приведе ны на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Графики показательного распределения Математическое ожидание случайной величины X, имеющей показа тельное распределение, обратно его параметру, т. е. mx Дисперсия случайной величины X, имеющей показательное рас пределение, равна Dx 1 Отсюда x, т.е. x m x, Коэффициент вариации случайной величины Х, имеющей показательное x распределение, равен единице: Vx, mx Существует важное соотношение между пуассоновским и экс поненциальным распределениями. Если случайная величина подчинена зако ну Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то слу чайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя по следовательными отказами, распределена по экспоненциальному закону.

Экспоненциальное распределение можно, в сущности, вывести из распреде ления Пуассона.

Равномерное распределение Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если на этом отрезке плотность распределения постоянна, а вне его равна нулю.

при a x b f ( x) b a 0 x b;

x a Кривая равномерного распределения показана на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Кривая равномерного распределения Значения f ( х ) в крайних точках а и b участка (а, b ) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случай ной величины X равна нулю.

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей равномер ab ное распределение на участке [a, b], равно: mx.

Дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное рас (b a ) пределение на участке [a, b], вычисляется по формуле: Dx.

ba Отсюда x Dx Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величи ны X на участок [a, b]: P( X ).

ba Пример 1.7. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 мин. Какова вероят ность того, что время ожидания троллейбуса не превысит 3 мин?

Решение Так как ( - ) = 3 мин., a ( b - а ) = 4 мин., то P(0 X 3) = 3/4= 0, Выбор теоретического закона распределения случайной величины При наличии числовых характеристик случайной величины (ма тематического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации) законы ее распределения могут быть определены в первом приближении по таблице 1.2.

Для более точного определения теоретического закона распределения проводят дополнительную статистическую обработку данных. При обработке статистических данных решают вопрос о том, как подобрать для исходного статистического ряда теоретическую кривую распределения, которая выра жала бы лишь существенные черты статистического материала, но не слу чайности, обусловленные недостаточным объемом выборки эксперименталь ных данных. Под построением теоретической кривой распределения понима ется такая обработка статистических данных, когда обеспечивается подбор наиболее подходящего теоретического закона распределения, который может быть задан либо функцией распределения F ( х ), либо плотностью распреде ления f ( х ).

Таблица 1. Законы распределения случайной положительной величины в зависи мости от коэффициента вариации Пределы изменения Закон распределения случайной коэффициента величины Х вариации V x Нормальный V x = 0, Гамма-распределение 0,3 Vx 0, Вейбулла 0,4 = Vx Экспоненциальный, пуассона Vx = Для построения теоретической кривой распределения исходный стати стический ряд распределения аппроксимируется одной из дифференциаль ных функций теоретического распределения f ( х ). При этом выбирается такая функция f ( х ), которая обеспечивала бы максимальное приближение теорети ческих данных к эмпирическим f ( х )f*(x). Для оценки правдоподобия этого приближенного равенства разработано несколько критериев согласия прове ряемых гипотез относительно вида функции f ( х ).

Наиболее употребительными критериями согласия являются критерий К. Пирсона и критерий А.Н. Колмогорова.

Задачи по теме «Основы вероятностных методов анализа и модели рования экономических систем» представлены в Приложении 1 учебного пособия.

1.2. Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов 1.2.1. Основные понятия марковских процессов Функция X ( t ) называется случайной, если ее значение при любом аргу менте X является случайной величиной.

Случайная функция X ( t ), аргументом которой является время, называ ется случайным процессом.

Марковские процессы являются частным видом случайных процессов.

Особое место марковских процессов среди других классов случайных про цессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процес сов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать мно гие практические задачи;

с помощью марковских процессов можно описать (точно или приближенно) поведение достаточно сложных систем.

Случайный процесс, протекающий в какой-либо системе S, называется марковским (или процессом без последействия), если он обладает следую щим свойством: для любого момента времени to вероятность любого состоя ния системы в будущем (при t t0) зависит только от ее состояния в настоя щем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система S при шла в это состояние.

Классификация марковских случайных процессов производится в зави симости от непрерывности или дискретности множества значений функции Х(t) и параметра t.

Различают следующие основные виды марковских случайных про цессов:

с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);

с непрерывными состояниями и дискретным временем (марковские последовательности);

с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова);

с непрерывным состоянием и непрерывным временем.

Марковские процессы с дискретными состояниями удобно иллюстриро вать с помощью графа состояний (рис. 1.10), где кружками обозначены со стояния S1, S 2,…,системы S, а стрелками – возможные переходы из состо яния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные задержки в прежнем со стоянии изображают «петлей», т. е. стрелкой, направленной из данного со стояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным).

Рис. 1.10. Граф состояний системы S 1.2.2. Марковские цепи Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискрет ным временем называют марковской цепью. Для такого процесса моменты t 1, t2,…, когда система S может менять свое состояние, рассматривают как по следовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t, а номер шага 1, 2,.... k,... Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний S(0), S(1), S ( 2 ), S ( k ), где S(0) – начальное состояние системы (перед первым шагом);

S(1) – состояние системы после первого шага;

S(k) - состояние системы по сле k-го шага.

Событие { S ( k ) = Si}, состоящее в том, что сразу после k-го шага сис тема находится в состоянии Si (i= 1, 2,...), является случайным событием. По следовательность состояний S(0), S(1),…,S ( k ) можно рассматривать как по следовательность случайных событий. Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любое Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si. Начальное состояние S(0) может быть задан ным заранее или случайным.

Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности Pj ( k ) того, что после k-го шага (и до ( k +1)-го) система S будет находиться в состоянии Si (i= 1, 2, …, п). Очевидно, для любого k n P (k ) i i Начальным распределением вероятностей марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса P1(0), P2(0), …, Pi(0), …, Pn(0).

В частном случае, если начальное состояние системы S в точности из вестно S ( 0 ) = S i, то начальная вероятность Pi(0)= 1, а все остальные равны нулю.

Вероятностью перехода (переходной вероятностью) на k-м шаге из со стояния S i в состояние S j называется условная вероятность того, что система S после k-го шага окажется в состоянии S j при условии, что непосредственно перед этим (после k - 1 шага) она находилась в состоянии S i.


Поскольку система может пребывать в одном из п состояний, то для ка ждого момента времени t необходимо задать n2 вероятностей перехода Pij, ко торые удобно представить в виде матрицы переходных вероятностей:

P11 P12... P1n P P22... P2 n 21............

Pij, Pi1 Pi 2... Pin............

Pn1 Pn 2... Pnn где P i j - вероятность перехода за один шаг из состояния S i в состояние S j, Pij — вероятность задержки системы в состоянии S j.

Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова называется однородной.

Переходные вероятности однородной марковской цепи P i j образуют квадратную матрицу размера n x n, особенности которой заключаются в следующем:

1. каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее эле менты представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из i-го) состояния, в том числе и переход в са мое себя;

2. элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное (j-е) состояние (иначе говоря, строка ха рактеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец – в со стояние);

3. сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы об разуют полную группу несовместных событий:

n P 1, i 1, n ij j по главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероят 4.

ности Р ij того, что система не выйдет из состояния S i, а останется в нем.

Если для однородной марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей и матрица переходных вероятностей ||Р ij ||, то вероятности со стояний системы P i ( k ) ( i 1, n ;

j 1, n ) определяются по рекуррентной форму ле:

n Pi (k ) Pj (k 1) * Pji (i 1, n;

j 1, n ) j Пример 1.8. Рассмотрим процесс функционирования системы - автомобиль. Пусть автомобиль (система) в течение одной смены (суток) может находиться в одном из двух состояний: исправном (S1) и неисправном ( S 2 ). Граф состояний системы представлен на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Граф состояний автомобиля В результате проведения массовых наблюдений за работой автомобиля составлена следующая матрица вероятностей перехода:

0,8 0, Pij 0,9 0, где Р11 = 0,8 – вероятность того, что автомобиль останется в исправном состоянии;

Р12 = 0,2 – вероятность перехода автомобиля из состояния «исправен» в состояние «неисправен»;

Р 21 = 0.9 – вероятность перехода автомобиля из состояния «неисправен» в состоя ние «исправен»;

Р 22 = 0,1 – вероятность того, что автомобиль останется в состоянии «неисправен».

Вектор начальных вероятностей состояний автомобиля задан P(0), P1 (0) 0 и P2 (0) 1.

Требуется определить вероятности состояний автомобиля через трое суток.

Решение Используя матрицу переходных вероятностей, определим вероятности состояний P i ( k ) после первого шага (после первых суток):

Р 1 (1) = Р1(0)*P11 + P2(0)* P21 = 0 * 0, 8 + 1 *0,9=0, Р 2 ( 1 ) = Р1(0)*Р12 + Р2(0)*Р 22 = 0 *0,2 + 1*0,1 = 0,1.

Вероятности состояний после второго шага (после вторых суток) таковы:

Р 1 ( 2 ) = Р1(1)* Р11 + Р2(1)* Р 21 = 0,9* 0,8 + 0,1*0,9 = 0,81;

Р2 (2) = Р1(1)*Р12 + Р2(1)* Р22 = 0,9* 0,2 + 0,1* 0,1 = 0,19.

Вероятности состояний после третьего шага (после третьих суток) равны:

Р1 (3) = Р1(2)* Р11+ Р2(2)* Р21 = 0,81* 0,8 + 0,19* 0,9 = 0,819;

Р2 (3) = Р1(2)* Р12 + Р2(2)* Р 22 = 0,81* 0,2 + 0,19 * 0,1 = 0,181.

Таким образом, после третьих суток автомобиль будет находиться в исправном со стоянии с вероятностью 0,819 и в состоянии «неисправен» с вероятностью 0,181.

1.2.3. Непрерывные цепи Маркова Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непре рывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.

В экономике часто встречаются ситуации, которые указать заранее не возможно (например, любая деталь или агрегат автомобиля могут выйти из строя в любой, непредсказуемый заранее момент времени). Для описания та ких систем в отдельных случаях можно использовать математический аппа рат непрерывной цепи Маркова.

Пусть система характеризуется п состояниями S0, S 1, S2, …, S n, а пере ход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент време ни. Обозначим через Pi(t) вероятность того, что в момент времени t система S будет находиться в состоянии Si (i = 0,1,....,n). Требуется определить для лю n P (t ) 1.

бого t вероятности состояний P 0 (t), P 1 ( t ),.... Р n (t). Очевидно, что i i Для процесса с непрерывным временем вместо переходных ве роятностей Р ij рассматриваются плотности вероятностей перехода ij, пред ставляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за вре мя t из состояния S i в состояние S j к длине промежутка t:

P (t ;

t ) ij (t ) lim ij, t t где Р ij (t, t) - вероятность того, что система, пребывавшая в момент t в состоянии S i за время t перейдет из него в состояние S j (при этом всегда i j).

Если ij = const то процесс называется однородным, если плотность ве роятности зависит от времени ij = ij ( t ), то процесс - неоднородный. При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято представлять пе реходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий. Потоком событий называется последователь ность однородных событий, следующих одно за другим через случайные ин тервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется как ин тенсивность ij соответствующих потоков событий. Если все эти потоки пу ассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет марковским.

При изучении марковских случайных процессов с дискретными состоя ниями и непрерывным временем в графе состояний над стрелками, ведущими из состояния Si в Sj, проставляют соответствующие интенсивности ij. Такой граф состояний называют размеченным (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Граф состояний системы Задачи по теме «Моделирование экономических систем с использо ванием марковских случайных процессов» представлены в Приложении учебного пособия.

1.3. Моделирование систем массового обслуживания 1.3.1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование при соединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал об служивание выбирает требование из находящихся в очереди, с тем чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслужива ния очередного требования канал обслуживании приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживаю щей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслужива ние очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить: посты технического обслуживания автомобилей;

посты ремонта автомобилей;

пер сональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требова ния на решение тех или иных задач;

станции технического обслуживания ав томобилей;

аудиторские фирмы;

отделы налоговых инспекций, занимающие ся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;

телефонные станции и т. д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются: входной поток поступающих требований или заявок на об служивание;

дисциплина очереди;

механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких тре бований в каждом очередном поступлении.

Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисципли ны очереди, определяемые следующими правилами: первым пришел – пер вый обслуживаешься;

пришел последним – обслуживаешься первым;

слу чайный отбор заявок;

отбор заявок по критерию приоритетности;

ограниче ние времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоцииру ется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой проце дуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристи кам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры об служивания;

количество требований, удовлетворяемых в результате выпол нения каждой такой процедуры;

вероятность выхода обслуживающего при бора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и вза имным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т.

п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько. Система такого рода спо собна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.


Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных ка налов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требо ваний реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно кон статировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

вероятностным распределением моментов поступлений заявок на об служивание (единичных или групповых);

вероятностным распределением времени продолжительности об служивания;

конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, после довательное или параллельно-последовательное обслуживание);

количеством и производительностью обслуживающих каналов;

дисциплиной очереди;

мощностью источника требований.

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой зада чи могут выступать:

вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;

вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

относительная и абсолютная пропускная способность системы;

средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;

среднее время ожидания в очереди;

средняя длина очереди;

средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможно сти системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирова ния. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массово го обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэто му эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем слу чае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), разли чают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) яв ляются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Дан ные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство из вестных приложений теории массового обслуживания используют марков скую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;

системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в мо мент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться: длина очереди;

время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

Все системы массового обслуживания различают по числу каналов об служивания: одноканальные системы;

многоканальные системы.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

1.3.2. Определение характеристик систем массового обслуживания Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным по током и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показа тельным распределением как длительностей интервалов между поступле ниями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид:

f1 (t ) e t где - интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

f 2 (t ) e t где - интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Система работает с отка зами.

Данная система массового обслуживания может быть представлена в виде графа (рис. 1.13), у которого имеются два состояния:

S0 - канал свободен (ожидание);

S1 - канал занят (идет обслуживание заявки).

S0 S Рис. 1.13. Граф состояний одноканальной СМО с отказами Обозначим вероятности состояний:

P0(t) — вероятность состояния «канал свободен»;

P1(t) — вероятность состояния «канал занят».

P0(t) + P1(t) = P (t ) 1 P0 (t ) e ( )t P0 (t ) Для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q. Действительно, P0— вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к мо менту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0(t), т.е. q P (t ) По истечении большого интервала времени (при t ) достигается ста ционарный (установившийся) режим:

q P Зная относительную пропускную способность, можно найти аб солютную. Абсолютная пропускная способность (А) – среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу вре мени:

A q Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности со стояния «канал занят»:

Pотк P 1 P0 1 Данная величина Pотк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Пример 1.9. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка – автомобиль, прибыв ший в момент, когда пост занят – получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1, часа. Поток автомобилей и поток обслуживаний являются простейшими.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относитель ной пропускной способности q;

абсолютной пропускной способности А;

вероятности от каза Pотк.

Необходимо сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение 1. Определим интенсивность потока обслуживания:

1 0, tоб 1, 2. Вычислим относительную пропускную способность:

0, q 0, 1 0, Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

A q 1 0,356 0, Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслу живания автомобилей в час.

3. Вероятность отказа:

Pотк 1 q 1 0,356 0, Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост EO получат отказ в обслуживании.

4. Определим номинальную пропускную способность системы (автомобилей в час):

1 Aном 0, tобсл 1, 0,555 1,5 больше, чем фактическая пропуск Оказывается, что в Аном в 1,5 раза 0,356 ная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок - простейший поток с интенсивностью. Интенсивность потока об служивания равна (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выда вать обслуженных заявок). Длительность обслуживания – случайная вели чина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслужива ний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, посту пившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслу живания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований подступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис 1.14.

......

Sn S0 S1 S2 SN......

Рис. 1.14. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема ги бели и размножения) Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S0 — «канал свободен»;

S1— «канал занят» (очереди нет);

S2 — «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

………………………… Sn— «канал занят» (n — 1 заявок стоит в очереди);

………………………… SN — «канал занят» (N — 1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в системе будет описываться системой алгеб раических уравнений, решение которой для модели СМО имеет вид:

P0 n, 1, n 1, 2..., N Pn ( N 1), где Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и огра ниченной длиной очереди, равной (N- 1):

вероятность отказа в обслуживании заявки:

1 N, N 1 PN Pотк 1, ( N 1) относительная пропускная способность системы:

1 N, 1 N q 1 Pотк 1 1, ( N 1) абсолютная пропускная способность:

A q среднее число находящихся в системе заявок:

1 ( N 1) N N N, N LS n Pn (1 ) (1 ) N n N / 2, среднее время пребывания заявки в системе:

LS WS (1 PN ) средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

Wd WS 1/ среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди) Lq (1 PN )Wd Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример 1.10. Специализированный пост диагностики представляет собой однока нальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3 [(N-1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на об служивание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распреде лен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диаг ностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, рабо тающего в стацио нарном режиме.

Решение 1. Параметр потока обслуживаний автомобилей:

1 0, t 1, 2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей и, т. е.

0, 0, 0, 3. Вычислим финальные вероятности системы:

1 1 0, P0 0, 1 N 1 0, P P0 0,893 0, 248 0, P2 2 P0 0,8932 0, 248 0, P3 3 P0 0,8933 0, 248 0, P4 4 P0 0,8934 0, 248 0, 4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

Pотк P4 4 P0 0, 5. Относительная пропускная способность поста диагностики:

q 1 Pотк 1 0,158 0, 6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики (автомобиля в час) A q 0,85 0,842 0, 7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

1 ( N 1) N N N 1 0,893 1 (4 1) 0,8934 4 0, LS 1, (1 ) (1 N 1 ) (1 0,893) (1 0,8935 ) 8. Среднее время пребывания автомобиля в системе (час):

LS 1, WS 2, (1 PN ) 0,85(1 0,158) 9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание (час):

Wq WS 1/ 2, 473 1/ 0,952 1, 10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Lq (1 PN ) Wq 0,85 (1 0,158) 1, 423 1, Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев ( Pотк 0,158 ).

Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. N ). Остальные условия функцио нирования СМО остаются без изменений.

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на об служивание: LS n Pn n средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

LS WS (1 ) среднее число клиентов в очереди на обслуживании:

Lq LS (1 ) средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

Lq Wq (1 ) Пример 1.11. Специализированный пост диагностики представляет собой однока нальную СМО. Пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограни чена. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля рас пределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характери стик: вероятности состояний системы (поста диагностики);

среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);

среднюю продолжительность пре бывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);

среднее число автомоби лей в очереди на обслуживании;

среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение 1. Параметр потока обслуживания и приведенная интенсивность потока автомоби лей определены в примере 1.10:

a. = 0,952;

= 0,893.

2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам P0 = 1 - = 1- 0,893 = 0,107;

P1 = (1- ) • = (1 - 0,893) • 0,893 = 0,096;

P2 = (1- ) • 2 = (1 - 0,893) • 0,8932 = 0,085;

P3 = (1- ) • 3 = (1 - 0,893) • 0,8933 = 0,076;

P4 = (1- ) • 4 = (1 - 0,893) • 0,8934 = 0,068;

P5 = (1- ) • 5 = (1 - 0,893) • 0,8935 = 0,061 и т. д.

Следует отметить, что P0 определяет долю времени, в течение которого пост диаг ностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как P0= 0,107.

3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очере ди):

0, LS 8, 1 1 0, 4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе (час):

LS 1 WS 9, (1 ) 0,952 (1 0,893) 5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

2 0, Lq LS 7, (1 ) (1 0,893) 6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди (час):

0, Wq 8, (1 ) 0,952 (1 0,893) 7. Относительная пропускная способность системы:

q= т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.

8. Абсолютная пропускная способность:

A q 0,85 1 0, В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n об служивающими каналами (где n 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, ха рактеризуется интенсивностью входного потока, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжитель ность обслуживания одной заявки равняется 1/. Входной и выходной пото ки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного об служивающего канала не влияет на режим функционирования других обслу живающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспонен циальному закону распределения. Конечная цель использования n парал лельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис. 3.......

Sk S0 S1 S2 Sn......

(k 1) n 2 3 k Рис. 1.15. Граф состояний многоканальной СМО с отказами Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:

S0 — все каналы свободны;

S1— занят один канал, остальные свободны;

…………….

Sk – заняты ровно k каналов, остальные свободны;

………………………… Sn – заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.

Начальные условия решения системы таковы:

P0(0) = 1, P1(0) = P2(0) = … = Pk(0) = … = Pn(0) = Стационарное решение системы имеет вид:

k!

Pk n k P0, k 0,1, 2,..., n k!

k!

k P0 n k, k 0,1, 2,..., n k !

k где Формулы для вычисления вероятностей Pk называются формулами Эрланга.

Вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

вероятность отказа (заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина Pотк характеризует полноту обслуживания входящего потока):

n Pотк Pn P0, n!

вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же — относительная пропускная способность системы q) дополняет Pотк до единицы:

n q 1 Pотк 1 P0, n!

абсолютная пропускная способность:

A q (1 Pотк ) среднее число каналов, занятых обслуживанием ( k ) следующее:

n k k Pk (1 Pотк ) k Величина k характеризует степень загрузки СМО.

Пример 1.12. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность = 1 задаче в час. Средняя про должительность обслуживания tобсл = 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток об служивания этих заявок являются простейшими.

Требуется вычислить финальные значения: вероятности состояний ВЦ;

вероятности отказа в обслуживании заявки;

относительной пропускной способности ВЦ;

абсолютной пропускной способности ВЦ;

среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Решение 1. Определим параметр потока обслуживаний:

1 0, tобсл 1, 2. Приведенная интенсивность потока заявок:

/ 1/ 0,555 1, 3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:

1 P0 0, P P0 1,8 P 1 1,8 1, 62 0, k k!

1!

2 k P2 P0 1, 62 P0 P 1,8 0,186 0, 2! P2 1, 62 0,186 0, P3 P0 0,97 P P3 0,97 0,186 0, 3!

4. Вероятность отказа в обслуживании заявки:

Pотк P3 0, 5. Относительная пропускная способность ВЦ:

q 1 Pотк 1 0,180 0, 6. Абсолютная пропускная способность ВЦ:

A q 1 0,820 0, 7. Среднее число занятых каналов — ПЭВМ:

k (1 Pотк ) 1,8 (1 0,180) 1, Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех — остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (P3— 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при дан ных и можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интен сивностями и соответственно;

параллельно обслуживаться могут не бо лее С клиентов. Система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжи тельность обслуживания одного клиента равна 1/µ.

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью сис темы алгебраических уравнений, решение которой имеет вид:



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.