авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ...»

-- [ Страница 2 ] --

n 0nC Pn n ! P nC P n P n C ! C !n c где C 1 n C P0 n0 n ! C ! 1 C Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью оп ределяются по следующим формулам:

вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслу живании, определяется по формулам:

n 0nC Pn P n!

P n nC P n C ! C !n c среднее число клиентов в очереди на обслуживание C Lq PC (C ) среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на об служивание и в очереди) LS Lq средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на об служивание) в очереди Lq Wq средняя продолжительность пребывания клиента в системе WS Wq Рассмотрим примеры многоканальной системы массового об служивания с ожиданием.

Пример 1.13. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выпол няет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мас терскую, — пуассоновский и имеет интенсивность = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t = 0, сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характери стик системы: вероятности состояний системы;

среднее число заявок в очереди на обслу живание;

среднее число находящихся в системе заявок;

среднюю продолжительность пре бывания заявки в очереди;

среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение 1. Определим параметр потока обслуживаний: 1/ 0,5 t 2. Приведенная интенсивность потока заявок: / 2,5 / 2, 0 1, при этом / c 2,5 / 2 3 0, Поскольку / c, то очередь не растет безгранично и в системе наступает пре дельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

C 1 n C 1 P0 n 0 n ! C ! 1 C 1 2 3 1 1 1! 2! 3!1 6 3 0, 1, 1, 1 1, 25 1, 6 1 P P0 1, 25 0, 279 0, 1!

2 1, P2 P0 0, 279 0, 2! 2!

3 1, P3 P0 0, 279 0, 3! 3!

4 1, P4 P0 0, 279 0, 4! 4!

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской:

Pот.о P0 P P2 P3 0, 279 0,349 0, 218 0, 091 0, 5. Среднее число заявок и очереди ни обслуживание:

C 3 1, Lq PC 0,091 0, 2 (C ) (3 1, 25) 6. Среднее число находящихся в системе заявок:

LS Lq 0,111 1, 25 1, Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслужива 7.

Lq 0, ние (суток): Wq 0, 2, 8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (суток):

1 WS Wq 0, 044 0, Задачи по теме «Моделирование систем массового обслуживания»

представлены в Приложении 1 учебного пособия.

2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИ ЧЕСКИХ СИСТЕМ 2.1. Статистические показатели. Средние величины и изуче ние вариации Статистический показатель – это обобщающая характеристика какого-то свойства совокупности, группы. Этим он отличается от индивидуальных зна чений, которые называются признаками (например, средняя продолжитель ность ожидаемой жизни родившегося поколения в стране – статистический показатель, а продолжительность жизни конкретного человека – признак).

Статистический показатель имеет указание на территориальные границы объекта и границы во времени.

Объектами статистического исследования могут быть самые разнооб разные явления и процессы. Поэтому чрезвычайно велико и разнообразие статистических показателей.

Показатели конкретных свойств изучаемого объекта – это, например, средний возраст работников предприятия, объем реализованной продукции предприятия, валовой внутренний продукт государства и т.д. Особенностью этих показателей является то, что они формируются не только статистикой.

В построении этих показателей их качественное содержание определяется конкретной предметной наукой: показатель рождаемости – демографией, по казатель внутреннего валового продукта – теорией экономики.

Качественный экономический анализ должен быть основан не на от дельных показателях, а на системе показателей. При этом нужно следовать определенным принципам их построения. Особые сложности возникают, ко гда показатель должен обобщить разнонаправленные значения (положитель ные, отрицательные, нулевые).

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких яв лений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, инди видуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями на зывают вариацией.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средней арифметической величиной называется такое значение призна ка в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объ ем признака в совокупности сохраняется неизменным (например, средняя за работная плата, средний доход и т.д.). Формула средней арифметической ве личины имеет вид:

= = (1 + 2 + + ): =, где – средняя величина;

n – численность совокупности.

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю вели чину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной ( кв). Ее фор мула такова:

= кв = Пример 2.1. Имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: Х1 = 100м, Х2 = 200 м, Х3 = 300 м. Найти среднюю длину участка.

Решение Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы, очевидно, должны исхо дить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100+200+300)/3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна 3*(200 м)2 = 120 000 м2. В то же время площадь исходных трех участков равна: (100м)2+(200м)2+(300м)2 = 140000м2. Правильный ответ дает квадратическая средняя:

1002 + 2002 + = 216м кв = Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю вели чину необходимо сохранить неизменными произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Ее фор мула такова:

геом = 1 2 … Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста.

Пример 2.2. В результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Каков сред ний темп роста цены за год?

Решение Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Арифметическая средняя здесь непригод на, ибо если за год цены возросли бы в (2+3)/2 = 2,5 раза, то за два года цена возросла бы в 2,5*2,5 = 6,25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ: 6 = 2,45 раза.

Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, ко торый качественно был бы равноудален как от максимального, так и от ми нимального значения признака.

Пример 2.3. Максимальный размер выигрыша в лотерее составляет 1 000 000 руб., а минимальный – 100 руб. Какую величину выигрыша можно считать средней?

Решение Средняя арифметическая явно непригодна, она составляет 500 050 руб., а это, как и 1 000 000 руб., крупный, никак не средний выигрыш – он качественно однороден с макси мальным и резко отличен от минимального. Геометрическая средняя дает верный с точки зрения экономики и логики ответ: 100 1 000 000 = 10 000 руб.

Если по условиям задачи необходимо, чтобы при осреднении неизмен ной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям при знака, то средняя величина является гармонической средней. Формула ее та кова:

гарм = = Пример 2.4. Автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью км/ч, а обратно порожняком со скорость 60 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля за обе поездки?

Решение Пусть расстояние перевозки составляло S км. Никакой роли при расчете средней скорости величина S не играет. При замене индивидуальных значений скорости Х1 = 60 и Х2 =40 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время, затраченное на обе поездки.

Время поездок есть S/X1 + S/X2. Итак, S/Xср + S/Xср = S/X1 + S/X2. Сократив все члены равенства на S, получим: 1/Xср + 1/Xср = 1/X1 + 1/X2, т.е. выполняется условие гармонической средней. Подставляя Х1 и Х2, получаем Хср = 48 км/ч Арифметическая средняя 50 км/ч неверна, так как приводит к другому времени дви жения, чем на самом деле.

Существует следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:

гарм геом арифм квадр куб 2.2. Индексы В статистике индексы пользуются в качестве показателей изменений.

Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов). Индексы измеряют изменения сложных явлений. С их помощью можно не только дать обобщенную оценку изменения, но и выявить роль от дельных факторов.

Индексы являются показателями сравнения как с прошлым периодом, так и с другой территорией, а также с некоторым нормативом или плановым заданием.

Каждый индекс включает отчетные и базисные данные.

Сравнение с отдаленной базой может быть проведено непосредственно с помощью базисного индекса, охватывающего весь период, или поэтапно – с помощью цепных индексов.

Индексы подразделяются на сводные (общие) и обозначается как I, и ин дивидуальные – обозначается i.

Часто можно слышать, что уровень потребительских цен понизился или повысился. Речь в этом случае идет об индексе цен на потребительские това ры. Общее изменение образуется под влиянием изменений цен на отдельные товары. Таким образом, имеется ряд отношений:

11 12 13,,,…,, 01 02 03 где pij – цены на товар j в период времени i.

Эти отношения не что иное, как индивидуальные индексы, и сводный ин декс представляет собой средний из них:

= ( ), где j – номер товара.

На практике, если говорить конкретно об измерении динамики цен на все продовольственные или непродовольственные товары, то ясно, что если, например, цены на ювелирные изделия из золота удвоятся, а цены на хлеб останутся неизменными, это не значит, что в целом цены выросли на 50% ((2+1)/2=1,5). Таким образом, индекс цен для каждого товара должен сопро вождаться неким «весом», которые позволяет оценить относительную значи мость этого индекса для потребителя. В качестве веса используют удельный вес в общей стоимости покупок в базисном периоде:

0 =, где qoj – объем потребления товара j.

Если обозначить удельный вес отдельных затрат doi, то получим общий индекс цен как средний арифметический взвешенный из индивидуальных ин дексов цен:

0 0 = = 0 0 т.е. = Каждый сводный индекс может быть представлен как средний из инди видуальных. В этом смысле, как и любая средняя, сводный индекс характе ризует центральную тенденцию. Значение индекса среднего из индивидуаль ных зависит от изменений осредняемых индивидуальных индексов и от из менений признака-веса.

Пример 2.5. Цены на товары A, B, C, D, E составили в базисном периоде 10, 15, 20, 25, 30 руб. соответственно, в отчетном периоде – 11, 30, 28, 40, 27 руб. Доля товаров в ба зисной выручке – 15, 26, 19, 25, 15 % соответственно. Рассчитать невзвешенный и взве шенный средний индекс цен.

Решение Составим таблицу 2.1 для расчета индексов.

Невзвешенный средний индекс цен: = = 5 = 1, Среднее значение веса: = = 0, 1, Взвешенный средний индекс цен: = = = 1, Таблица 2. Расчетные данные для примера 2. Товар Цена, руб. Индекс Доля в ба- ipdo зисной вы ip Po Pi ручке do A 10 11 1,1 0,15 0, B 15 30 2,0 0,26 0, C 20 28 1,4 0,19 0, D 25 40 1,6 0,25 0, E 30 27 0,9 0,15 0, Итого 1,00 1, Индексы считаются правильно построенными, если они удовлетворяют ряду тестов: обратимости во времени;

обратимости по факторам;

«кружно му» испытанию;

соизмеримости;

пропорциональности;

включения исключения.

Индексы широко используются для анализа изменений средних взве шенных величин (средней, заработной платы, производительности труда, трудоемкости и т.д.).

2.3. Парная регрессия и корреляция в экономических исследо ваниях 2.3.1. Линейная регрессия и корреляция: смысл и оценка параметров Большинство явлений и процессов в экономике находятся в постоянной взаимной связи. Исследование взаимозависимостей между объективно суще ствующими явлениями играет большую роль в экономике. Оно дает возмож ность глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений между явлениями. Для исследования интенсивности, вида и формы зависи мостей широко применяется корреляционно-регрессионный анализ, который является методическим инструментарием при решении задач прогнозирова ния, планирования и анализа хозяйственной деятельности предприятий.

Различают два типа связей между различными явлениями и их призна ками: функциональную или жестко детерминированную и статистическую или стохастически детерминированную.

Функциональная связь двух величин возможна лишь при условии, что вторая из них зависит только от первой. В реальной природе, обществе, эко номике такие связи крайне редки.

Если с изменением значения одной из переменных вторая может в опре деленных пределах принимать любые с некоторыми вероятностями, но ее среднее значение или иные статистические (массовые) характеристики изме няются по определенному закону, связь является статистической. То есть при статистической связи разным значениям одной переменной соответст вуют разные распределения значений другой переменной.

Корреляционной связью называют важнейший частный случай статисти ческой связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной со ответствуют различные средние значения другой. С изменением значения признака X закономерным образом изменяется среднее значение признака Y, в то время как в каждом отдельном случае значение признака Y (с различны ми вероятностями) может принимать множество различных значений.

Если же с изменением значения признака Х среднее значение признака Y не изменяется закономерным образом, но закономерно изменяется другая статистическая характеристика (показатели вариации, асимметрии, эксцесса и т.п.), то связь является не корреляционной, а статистической.

Статистическая связь между двумя признаками (переменными величи нами) предполагает, что каждый из них имеет случайную вариацию индиви дуальных значений относительно средней величины. Если же такую вариа цию имеет только один из признаков, а значения другого являются жестко детерминированными, то говорят лишь о регрессии (например, при анализе динамических рядов можно измерять регрессию уровней ряда урожайности в зависимости от различных лет). Таким образом, односторонняя вероятно стная зависимость между случайными величинами есть регрессия.

Регрессия относительно числа переменных может быть простой (рег рессия между двумя переменными) и множественной (регрессия между за висимой переменной Y и несколькими объясняющими переменными (x1, x2, … xm)).

Относительно формы зависимости регрессия бывает линейной (выража ется линейной функцией) и нелинейной (выражается нелинейной функцией).

При использовании на практике корреляционно-регрессионного метода необходимо выполнение следующих условий:

наличие данных по достаточно большой совокупности, число которых зависит от цели анализа, требуемой точности и надежности параметров связи, от числа факторов, корреляция с которыми изучается. Обычно считается, что число наблюдений должно быть в 5-10 раз больше числа факторов;

надежное выражение закономерности в средней величине;

необходимость подчинения распределения совокупности по результа тивному и факторным признакам нормальному закону распределения вероятностей.

В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение ставит следующие основные задачи:

измерение параметров уравнения, выражающего связь средних значе ний зависимой переменной со значениями независимой переменной – одной или нескольких (зависимость средних величин результативного признака от значений одного или нескольких факторных признаков);

измерение тесноты связи двух (или большего числа признаков между собой).

Первая задача решается оценкой параметров уравнения регрессии. Вто рая - расчетом коэффициентов корреляции.

Поясним на графике (рис. 2.1, а и б) различия между корреляцией и рег рессией.

Угол наклона линии регрессии относительно оси абсцисс один и тот же на рисунках а и б. Однако, на рисунке а точки корреляционного поля кон центрируются около линии регрессии, тогда как на рисунке б точки поля корреляции разбросаны. Очевидно, что теснота связи, то есть мера корреля ции между х и у, в случае а будет высокой, а в случае б – низкой. Следова тельно, уравнение регрессии в случае а будет статистически значимо, а в случае б оно может быть статистически незначимо. Таким образом, случаи а и б различаются величиной коэффициентов корреляции, но в то же время бу дут иметь одинаковые коэффициенты регрессии:

(а) ryx (б) ryx;

(а) byx = (б) byx.

Рис. 2.1. Регрессия при разной интенсивности корреляции:

а – тесная корреляция;

б – слабая корреляция Вторая задача специфична для статистических связей, а первая разрабо тана для функциональных связей и является общей. Основным методом ре шения задачи нахождения параметров уравнения связи является метод наи меньших квадратов (МНК), разработанный К. Ф. Гауссом (1777—1855). Он состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактически измерен ных значений зависимой переменной у от ее значений, вычисленных по уравнению связи с факторным признаком, одним или несколькими, х.

Для измерения тесноты связи применяется ряд показателей. При парной связи теснота связи измеряется прежде всего корреляционным отношением, которое обозначается греческой буквой. Квадрат корреляционного отноше ния – это отношений межгрупповой дисперсии результативного признака, которая выражает влияние различий группировочного факторного признака на среднюю величину результативного признака, к общей дисперсии резуль тативного признака, выражающей влияние на него всех причин и условий.

Квадрат корреляционного отношения называется коэффициентом детерми нации:

=1 ( ) = 2, =1 ( ) где k – число групп по факторному признаку;

– общее среднее значение;

fj – частота в j-й группе;

n – число единиц в совокупности;

yi – значение результативного признака для i-й единицы;

yi – среднее значение y в j-ой группе.

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между двумя – парная линейная корреляция.

Практическое ее значение в том, что есть системы, в которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется один важней ший фактор, который в основном определяет вариацию результативного признака. Измерение парных корреляций составляет необходимый этап в изучении сложных многофакторных связей.

Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравне нием парной регрессии и имеет вид:

у = а + bх, где y – среднее значение результативного признака у при определенном значении факторного признака х;

а – свободный член уравнения;

b – коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение откло нения результативного признака от его средней величины к отклоне нию факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения, - вариация у, приходящаяся на единицу вариации х.

Параметры уравнения рассчитываются методом наименьших квадратов (МНК) по данным о значениях признаков x и y в изучаемой совокупности, состоящей из n единиц.

Исходное условие МНК для прямой линии имеет вид:

, = [ + ]2.

= Для отыскания значений параметров а и b, при которых f (a,b) принима ет минимальное значение, частные производные функции приравниваем к нулю и преобразуем полученные уравнения, которые называются нормаль ными уравнениями МНК для прямой:

= 2 ( ) 1 = 0, = =2 =1 ( ) = 0.

Отсюда система нормальных уравнений имеет вид:

+ =, =1 = 2 =1 + =1 = =1.

Путем преобразований получаем:

=1 ( ) =, =.

=1 ( ) Коэффициент парной линейной регрессии, обозначенный b, имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Он измеряет среднее по совокупности отклоне ние y от его средней величины при отклонении признака х от своей средней величины на принятую единицу измерения.

Теснота парной линейной корреляционной связи, как и любой другой формы связи, может быть измерена корреляционным отношением. Кроме того, при линейной форме уравнения применяется другой показатель тесно ты связи – коэффициент корреляции ryx. Этот показатель представляет собой стандартизованный коэффициент регрессии, то есть коэффициент, выражен ный не в абсолютных единицах измерения признаков, а в долях среднего квадратического отклонения результативного признака:

( ) 2 ()2, = 2 ()2.

= = =, Коэффициент корреляции может принимать значения -1 r 1;

по абсо лютной величине 0 |r| 1. Отрицательные значения ryx свидетельствуют об обратной связи признаков у и x, положительные – о прямой связи.

Обычно считают связь сильной, если r 0,7;

средней – при 0,5 r 0,7;

слабой – при r 0,5. Максимально тесная связь – это связь функциональная:

rxy_max = 1.

Пример 2.6. Рассмотрим анализ корреляционной парной линейной связи по данным 16 сельскохозяйственных предприятий о затратах на 1 корову и надое молока на 1 корову (таблица 2.2).

Средние значения признаков: = 1605 руб.\голов, = 35,2 ц/голов.

Сопоставляя знаки отклонений признаков x и y от средних величин, видим явное преобладание совпадающих по знакам пар отклонений: их 14, и только 2 пары, несовпа дающих знаков.

Немецкий психиатр Г. Т. Фехнер предложил меру тесноты связи в виде отношения разности числа совпадающих и несовпадающих знаков пар отклонений к сумме этих чи сел:

КФехнера = (С – Н)/(С + Н) = (14 – 2)/ (14 + 2) = 0, Коэффициент Фехнера – очень грубый показатель тесноты связи, не учитывающий величину отклонений признаков от средних значений, но он может служить некоторым ориентиром в оценке интенсивности связи. В данном случае значение коэффициента ука зывает на тесную связь признаков.

Вычислим на основе итоговой строки табл. 2.2 параметр уравнения парной линейной корреляции – коэффициент регрессии:

b = 28473,7 /818533 = 0, Он означает, что в среднем по изучаемой совокупности отклонение затрат на 1 коро ву от средней величины на 1 руб. приводило к отклонению с тем же знаком среднего на доя молока на 0,0347 ц, т.е. на 3,47 кг на корову.

Таблица 2. Корреляция между затратами на 1 корову и надоем молока в среднем от 1 коро вы Номер Затраты Надой Расчет ( ( ( единиц на одну от од- ные )2 ) ) ( сово- корову, ной ко- значе ) купно- руб./гол ровы, ц, ния на сти ов, xi доя, ц., yi yi 1 1602 34,2 -3 -1,0 +3,0 9 1,00 35, 2 1199 19,6 -406 -15,6 +6333,6 164836 243,36 21, 3 1321 27,3 -283 -7,9 +2235,7 80089 62,41 25, 4 1678 32,5 +73 -2,7 -197,1 5329 7,29 37, 5 1600 33,2 -5 -2,0 +10,0 25 4,00 35, 6 1355 31,8 -250 -3,4 +850,0 62500 11,56 26, 7 1413 30,7 -192 -4,5 +864,0 36864 20,25 28, 8 1490 32,6 -115 -2,6 +299,0 13225 6,76 31, 9 1616 26,7 +11 -8,5 -93,5 121 72,25 35, 10 1693 42,4 +88 +7,2 +633,6 7744 51,84 38, 11 1665 37,9 +60 +2,7 +162,0 3600 7,29 37, 12 1666 36,6 +61 +1,4 +85,4 3721 1,96 37, 13 1628 38,0 +23 +2,8 +64,4 529 7,84 36, 14 1604 32,7 -1 -2,5 +2,5 1 6,25 35, 15 2077 51,7 +472 +16,5 +7788,0 222784 272,25 51, 16 2071 55,3 +466 +20,1 +9366,6 217156 404,01 51, 563,2 - - +28473, 818533 1180,32 563, Источник: Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики.

Свободный член уравнения регрессии: а = 35,2 - 0,0347 * 1605 = -20, Уравнение регрессии в целом имеет вид: = 0,0347x - 20,49 (рис. 2.2).

Отрицательная величина свободного члена уравнения означает, что область сущест вования признака у не включает нулевого значения признака х и близких к нулю значений.

Можно рассчитать минимально возможную величину фактора x, при котором обеспечива ется наименьшее значение признака y.

Xmin = a:b = 20,49:0,0347 = 590,5 руб./головы - это наименьшая сумма затрат на 1 корову, при которых корова способна давать молоко.

Если же область существования результативного признака включает нулевое значение признака-фактора, то свободный член является положительным и означает среднее значе ние результативного признака при отсутствии данного фактора, например, среднюю уро жайность картофеля при отсутствии органических удобрений.

Коэффициент корреляции равен:

28473, = = 0, 818533 1180, Полученное в примере значение 0,916 свидетельствует об очень тесной связи надоев молока с затратами в расчете на 1 корову.

Полученное значение гораздо больше коэффициента Фехнера. Квадрат коэффициен та корреляции, т.е. коэффициент детерминации, составил 0,839, или 83,9%. Отсюда можно сделать вывод о том, что вариация надоев молока на 1 корову связана с вариацией затрат в хозяйствах, произведенных в среднем на 1 корову.

Рис. 2.2. Зависимость удойности от затрат на содержание коров Показатели корреляционной связи, вычисленные по ограниченной со вокупности (по выборке), являются лишь оценками той или иной статисти ческой закономерности, поскольку в любом параметре сохраняется элемент не полностью погасившейся случайности, присущей индивидуальным значе ния признаков. Поэтому необходима статистическая оценка степени точно сти и надежности параметров корреляции. Под надежностью здесь понимает ся вероятность того, что значение проверяемого параметра не равно нулю, не включает в себя величины противоположных знаков.

Вероятностная оценка параметров корреляции проводится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки. Для коэффициента парной регрессии bсредняя ошибка оценки вычисляется как:

2 :(2) = =, =1 ( ) где - расчетные значения результативного признака для i-й единицы;

n-2 – число степеней свободы (теряются 2 степени свободы, поскольку линейная парная регрессия имеет два параметра).

Зная среднюю ошибку оценки коэффициента регрессии можно вычис лить вероятность того, что нулевое значение коэффициента входит в интер вал возможных с учетом ошибки значений. С этой целью находится отноше ние коэффициента к его средней ошибке, т. е.t-критерий Стъюдента =.

Расчетное значение t-критерия Стъюдента сравнивается с табличным (таблицы в справочной литературе «Значения t-критерия Стъюдента при уровнях значимости 0,10;

0,05;

0,01»).

Если полученное (расчетное) значение критерия намного больше таб личного, то вероятность нулевого значения коэффициента регрессии меньше 10%, 5% или 1 % (в зависимости от выбранного уровня значимости), и, соот ветственно, в сконструированной регрессионной модели влияние фактора аргумента х на фактор-результат y существенно.

Пример 2.7. На основе данных из примера 2.6 вычислим среднюю ошибку оценки коэффициента регрессии:

195,4 = = 0, Зная среднюю ошибку оценки коэффициента регрессии, вычислим вероятность того, что нулевое значение коэффициента входит в интерал возможных с учетом ошибки значе ний. С этой целью найдем соотношение коэффициента к его средней ошибке, т.е. t критерий Стъюдента:

0, = = = 8, 0, Табличное значение t-критерия Стьюдента при 16-2 степенях свободы и уровне зна чимости 0,01 (см. таблицы «Значения t-критерия Стъюдента при уровнях значимости 0,10;

0,05;

0,01») составляет 2,98. Полученное значение критерия намного больше, следова тельно, вероятность нулевого значения коэффициента регрессии менее 0,01. Гипотезу о несущественности этого коэффициента можно отклонить: данные табл. 2.2 надежно гово рят о влиянии вариации затрат на 1 корову на вариацию надоя молока от коров.

2.3.2. Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии Уравнение регрессии применимо и для прогнозирования возможных ожидаемых значений результативного признака. При этом следует учесть, что перенос (экстраполяция) закономерности связи, измеренной в варьи рующей совокупности в статике на динамику не является, строго говоря, корректным и требует проверки условий допустимости такого решения, ко торое выходит за рамки статистики и может быть сделано только специали стом, хорошо знающим объект (систему) и возможности его развития.

Ограничением прогнозирования на основе регрессионного уравнения, тем более парного, служит условие стабильности или по крайней мере ма лой изменчивости других факторов и условий изучаемого процесса, не свя занных с ними. Если резко изменится «внешняя среда» протекающего про цесса, прежнее уравнение регрессии результативного признака потеряет свое значение.

При таком прогнозировании следует соблюдать еще одно ограничение:

нельзя подставлять значения факторного признака, значительно отличаю щиеся от входящих, в базисную информацию, по которой вычислено уравне ние регрессии. При качественно иных уровнях фактора, если они возможны в принципе, параметры уравнения были бы другими. Можно рекомендовать при определении значений факторов не выходить за пределы 1/3 размаха ва риации как минимального, так и максимального значения признака-фактора, имеющегося в исходной информации.

Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожидаемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероятность точной реа лизации такого прогноза крайне мала. Необходимо сопроводить его значе нием средней ошибки прогноза, или доверительным интервалом прогноза, с достаточно большой вероятностью. Средняя ошибка положения линии регрессии в генеральной совокупности при значении факторного признака, равном xk, вычисляется следующим образом:

( ) ( ) = _ост + ) =1 ( где ( ) - средняя ошибка положения линии регрессии в генеральной со вокупности при x=xk;

_ост – оценка среднего квадратического отклонения результативного при знака от линии регрессии в генеральной совокупности с учетом степеней свободы вариации;

xk — ожидаемое значение фактора;

– среднее значение фактора по совокупности;

n — объем выборки.

)2 =1( _ост = Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии нуж но умножить ее среднюю ошибку на t-критерий Стьюдента (табличное зна чение при различных степенях свободы и уровне значимости).

Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения по правилу дисперсии суммы независимых переменных образуется из ошибки прогноза положения линии регрессии и среднего квадратического отклонения инди видуальных значений от линии регрессии (остаточной вариации), т.е.

2 ( ) = ( ) + _ост Главным источником ошибки (неопределенности) прогноза индивиду альных значений является не столько неопределенность прогноза линии рег рессии, сколько значительная вариация надоев за счет других факторов, кро ме входящих в уравнение регрессии.

Пример 2.8. Рассчитать точечный прогноз и доверительные границы прогноза инди видуальных значений надоя молока на 1 корову при расходе 2200 руб. на 1 голову (по данным примера 2.6).

Прогнозируемое значение результативного показателя получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины факторного признака. Так, если подставить в уравнение = 0,0347x - 20,49 расход средств на одну корову, равный 2200 руб., то полу чим ожидаемый надой молока от коровы, равный 55,85 ц.

Сопроводим полученный точечный прогноз доверительным интервалом прогноза.

По данным табл. 2.2 находим _ост:

195, = 3,736 ц на 1 корову.

_ост = При xk = 2200 руб. на 1 голову имеем:

1 (2200 1605) = 2,629 ц на 1 корову.

( ) = 3,736 + 16 Для вычисления доверительных границ прогноза линии регрессии нужно умножить ее среднюю ошибку на t-критерий Стьюдента. При 14 степенях свободы и доверительной вероятности 0,95 ( = 0,05) значение t-критерия равно 2,14. Получаем доверительные гра ницы: 55,85 ± 2,629 *2,14, или от 50,22 до 61,48 ц от 1 коровы. Интервал довольно широ кий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии связана с малым объемом выборки. При объеме совокупности, равном 400, и той же вариации надоев ошибка про гноза была бы в 5 раз меньше и доверительный интервал был бы уже.

Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения:

( ) = 2,6292 + 3,7362 = 4,56.8 ц на 1 корову Доверительные границы прогноза индивидуальных значений надоя молока на 1 ко рову при расходе 2200 руб. на 1 голову составляют с вероятностью нахождения внутри границ, равной 0,95:

55,85 ± 4,568 *2,14, или от 46,07 до 65,63 ц.

2.3.3. Нелинейная регрессия Если между общественными и экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы вто рой степени и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объяс няющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включенным в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

полиномы разных степеней: = + + 2 + ;

= + + 2 + 3 + ;

равносторонняя гипербола: = + +.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

степенная = ;

показательная = ;

экспоненциальная = +.

Нелинейная регрессия по включенным параметрам не имеет никаких сложностей для оценки ее параметров. Они определяются, как в линейной регрессии, методом наименьших квадратов, ибо эти функции линейны по па раметрам. Так, в параболе второй степени = 0 + 1 + 2 2 +, заменив переменные х=х1, х2=х2, получим двухфакторное уравнение линей ной регрессии:

= 0 + 1 1 + 2 2 +, для оценки которого используется метод наименьших квадратов.

Соответственно, для полинома третьего порядка = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + при замене х=х1, х =х2, х3=х3, получим трехфакторную модель линейной рег рессии = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 +.

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степе ни;

в отдельных случаях – полином третьего порядка. Ограничения в приме нении полиномов более высоких степеней связаны с требованием однород ности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и, соответственно, меньше однородность совокупности по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для опре деленного интервала значений фактора меняется характер связи рассматри ваемых признаков: прямая связь изменяется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором дости гается максимальное (или минимальное) значение результативного признака:

приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:

= + + 2, т. е. + 2 = 0 и =.

Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпре тируемы, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.

При b0 и c0 кривая симметрична относительно высшей точки, т.е.

точки перелома кривой, изменяющей направление связи, а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста – с увеличение возраста повышается заработная плата ввиду одно временного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Одна ко с определенного возраста ввиду старения организма и снижения произво дительности труда дельнейшее повышение возраста может приводить к сни жению заработной платы работника. Если параболическая форма связи де монстрирует сначала рост, а затем снижение значений результативного при знака, то определяется значение фактора, при котором достигается макси мум.

Пример 2.9. Потребление товара А (единиц) в зависимости от уровня дохода семьи (тыс. руб) характеризуется уравнением вида = 5 + 6 2. Найдем величину дохода, при котором потребление максимально.

Приравняем к нулю первую производную = 6 2 = 0. Отсюда x=3 (тыс. руб).

` При b0 и c0 парабола второго порядка симметрична относительно своего минимума, что позволяет определять минимум функции в точке, ме няющей направление связи, т.е. снижение на рост. Например, зависимость от объема выпуска продукции затрат на производство, зависимость урожайно сти от количества внесенных удобрений.

Ввиду симметричности кривой параболу второй степени не всегда мож но использовать в конкретных исследованиях. Чаще исследователь имеет де ло лишь с отдельными сегментами параболы, а не с полной параболической формой. Если график зависимости не демонстрирует четко выраженной па раболы второго порядка, то она может быть заменена другой нелинейной функцией, например степенной.

В классе нелинейных функций, параметры которых без особых затруд нений оцениваются МНК, хорошо известна равносторонняя гипербола = +. Она может быть использована для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров с величиной товарооборота не только на микро-, но и на макроуровне. Классическим примером является кривая Филлипса, ха рактеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы y: = + +.

Если в уравнении равносторонней гиперболы заменить на z, получим х линейное уравнение регрессии = + +, оценка параметров которого может быть дана МНК.

При b 0 имеем обратную зависимость, которая при x характеризу ется нижней асимптотой, т.е. минимальным предельным значением y, оцен кой которого служит параметр a. Так, для кривой Филлипса = 0,00679 + 0,1842 величина параметра а, равная 0,00679 означает, что с ростом безра ботицы темп прироста заработной платы в пределе стремится к нулю. Соот ветственно, можно определить тот уровень безработицы, при котором зара ботная плата оказывается стабильной и темп ее прироста равен нулю.

При b 0 имеем повышающуюся функцию с верхней асимптотой при х, т.е. максимальным предельным уровнем y, оценку которого в уравне нии дает параметр a. Примером может служить взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов).

Математическое описание подобного рода взаимосвязей получило название кривой Энгеля. В 1857 году немецкий статистик Э. Энгель на основе исследо вания семейных расходов сформулировал закономерность – с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается. Соответствен но, с увеличением дохода доля расходов на непродовольственные товары бу дет возрастать. Однако этот рост не беспределен, ибо сумма долей на все то вары не может быть больше 100%, а на отдельные непродовольственные то вары данный предел может соответствовать величине параметра a для урав нения вида х =, где - доля расходов на непродовольственные товары;

х – доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода).

Вместе с тем равносторонняя гипербола не является единственно воз можной функцией для описания кривой Энгеля. В 1943 г. Уоркинг и в 1964 г.

Лизер для этих целей применили полулогарифмическую кривую = + ln +.

Заменив ln на z, вновь получим линейное уравнение = + +.

Данная функция линейна по параметрам и нелинейна по объясняющей пере менной х. Оценка параметров a и b может быть найдена МНК.

Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым парамет рам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на внутренне линей ные и внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то с помощью соответствующих преобразований она может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цены широко использу ется степенная функция =, где y – спрос (количество);

х – цена;

- случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию e приво дит его к линейному виду: ln = ln + ln + ln Соответственно оценки параметров a и b могут быть найдены МНК.

Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки пара метров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей итеративной процедуры.

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейно му виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется сте пенная функция =. Это связано с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т.е. является коэффициентом эластич ности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %.

Так, если зависимость спроса от цен характеризуется уравнением вида х = 105,56 1,12, то, следовательно, с увеличением цена на 1% спрос снижается в среднем на 1,12%.

В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле:

Э =.

Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеа ризованному уравнению ln = ln +b*ln + ln.

Уравнение вида х = характеризует прямую зависимость результа тивного признака от фактора. Оно целесообразно при очень медленном по вышении уровня результативного признака и росте значений фактора.

Задачи по теме «Парная регрессия и корреляция в экономических ис следованиях» представлены в Приложении 1 учебного пособия.

2.4. Множественная регрессия и корреляция 2.4.1. Спецификация модели. Отбор факторов для построения модели Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Вместе с тем исследователь никогда не может быть уве рен в справедливости данного предположения. Например, для того, чтобы иметь правильное представление о влиянии дохода на потребление, необхо димо изучить их корреляцию при неизменном уровне других факторов. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии.

Общий вид многофакторного уравнения регрессии следующий:

= + 1 1 + + = + =1, где k – число факторных признаков (независимых переменных).

Коэффициенты условно чистой регрессии bj – частные производные по требления y по соответствующим факторам xj:

1 =, 2 =, …, = 1 2 в предположении, что все остальные xj постоянны.

Свободный член уравнения вычисляется по формуле:

= =1.

Термин «коэффициент условно-чистой регрессии» означает, что каждая из величин bj измеряет среднее по совокупности отклонение результативного признака от его средней величины при отклонении данного фактора хj – от своей средней величины на единицу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены на средних значениях (не изменяются, не варьируют).

Таким образом, в отличие от коэффициента парной регрессии коэффи циент условно-чистой регрессии измеряет влияние фактора, абстрагируясь от связи вариации этого фактора с вариацией остальных факторов. Если было бы возможным включить в уравнение регрессии все факторы, влияющие на вариацию результативного признака, то величины можно было бы считать мерами чистого влияния факторов.

Включить все факторы в уравнение регрессии невозможно, так как: 1) часть факторов может быть неизвестна современной науке, познание любого процесса всегда неполное;

2) по части известных теоретически факторов нет информации либо таковая ненадежна;

3) численность изучаемой совокупно сти (выборки) ограничена, что позволяет включить в уравнение регрессии ограниченное число факторов.

Факторы, включаемые в уравнение множественной регрессии, должны отвечать следующим требованиям:

быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то нужно придать ему количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов;

в мо дель стоимости объектов недвижимости учитывается место нахожде ния недвижимости: районы могут быть проранжированны);

не должны быть коррелированны между собой и тем более находить ся в точной функциональной связи.

Многофакторная система требует уже не одного, а множества показате лей тесноты связей, имеющих разный смысл и применение. Основой измере ния связей является матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 2.3).

Таблица 2. Матрица парных коэффициентов корреляции (общий вид) Признак У Х1 … Хк У Х1 1 … ….

..

Хк 1 По этой матрице можно судить о тесноте связи факторов с результатив ным признаком и между собой. Хотя все эти показатели относятся к парным связям, все же матрицу можно использовать для предварительного отбора факторов для включения их в уравнение регрессии. Не рекомендуется вклю чать в уравнение факторы, слабо связанные с результативными признаками, но тесно связанные с другими факторами. Совершенно недопустимо вклю чать в анализ факторы, функционально связанные друг с другом, т.е. с коэф фициентом корреляции, равным (или близким) 1. Включение таких пар при знаков приводит к вырожденной матрице коэффициентов корреляции и не определенности решения.

2.4.2. Выбор формы уравнения регрессии. Оценка параметров уравнения множественной регрессии Коэффициенты условно-чистой регрессии bj являются именованными числами, выраженными в разных единицах измерения, и поэтому несравни мы друг с другом. Для преобразования их в сравнимые относительные пока затели применяется то же преобразование, что и для получения коэффициен та парной корреляции. Полученную величину называют стандартизованным коэффициентом регрессии или -коэффициентом = Данный -коэффициент при факторе xj определяет степень влияния ва риации фактора xj на вариацию результативного признака у при отвлечении от сопутствующей вариации других факторов, входящих в уравнение регрес сии.

Коэффициенты условно-чистой регрессии полезно выразить в виде от носительных сравнимых показателей связи, коэффициентов эластичности:

= Коэффициент эластичности фактора xj говорит о том, что при отклоне нии величины данного фактора от средней величины на 1% и при отвлечении от сопутствующего отклонения других факторов, входящих в уравнение, ре зультативный признак отклонится от своего среднего значения на ej процен тов от. Чаще интерпретируют и употребляют коэффициенты эластичности в терминах динамики: при увеличении фактора на 1% его средней величины результативный признак увеличится на ej процентов его средней величины.

На основе данной матрицы вычисляется общий показатель тесноты свя зи всех входящих в уравнение регрессии факторов с результативным призна ком – коэффициент множественной детерминации R2.

* R y, x1,xk ryx1 ryx2 ryxk 1 rx1x 2 rx1xk ryx rx 2 x1 * 1 rx 2 xk ryx rxkx1 rx 2 xk 1 ryxk 1 rx1x 2 rx1xk rx 2 x1 1 rx 2 xk rxkx1 rx 2 xk где rij – парные коэффициенты корреляции.

Если же учесть конечность объема совокупности n, число факторов k, а также свойство метода, по которому по мере приближения числа k к числу n коэффициент детерминации автоматически приближается к 1 и достигает ее при k=n-1 независимо от реальной роли факторов, то необходимо корректи ровать коэффициент множественной детерминации на потерю степеней сво боды вариации:

корр = 1 1 2 ( ) Корректированный коэффициент детерминации ниже, чем некоррелиро ванный, причем разность их значений тем меньше, чем меньше факторов входит в уравнение регрессии. Если из числа факторов исключить факторы, слабо связанные с результативным признаком (т.е. низким значением, на пример, 0,1), то некорректированный коэффициент детерминации не много уменьшится (он всегда уменьшается при исключении части факторов), но корректированный коэффициент может даже возрасти за счет уменьшения разности между R2 и корректированным R2.

Для измерения тесноты связи результативного признака с каждым пока зателем рассчитывается коэффициент раздельной детерминации (d2j).

d 2 rxi y j j k d R j j Значения параметров многофакторной системы необходимо сопровож дать вероятностными оценками и проверять их надежность, так как это необ ходимо для экстраполяции показателей генеральных параметров при прогно зировании развития определенной системы.

Средняя ошибка условно-чистого коэффициента регрессии bp для фак тора Xp имеет вид:

S yоос mbp, S x p n 1 Rx p, x1x p 1, x p 1xk где Syост – оценка остаточного среднего квадратического отклонения ре зультативного признака с учетом степеней свободы вариации:


n (y ~i ) y i S yоос i, n k где Sxp – оценка среднего квадратического отклонения признака хр:

n (x yi ) i S xp i, n где R2Xp,X1…Xp-1,Xp+1…Xk – коэффициент множественной детерминации для фактора Xp.

Для определения существенности влияния фактора Хр на вариацию У расчетные значения t-критерия Стьюдента, сравниваются с критическими. t критерий Стьюдента рассчитывается по формуле:

bp t mb Пример 2.10. Построить на основе данных таблицы 2.4 корреляционно регрессионную модель, где фактор-результат (Y) – это объем рекламного рынка в России в течение 1996 – 2009 годов, влияющие факторы – среднедушевые денежные доходы на селения (X1), объем инвестиций организационно-правовых структур (X2).

Рассчитаем параметры уравнения множественной регрессии, коэффициенты парной корреляции, коэффициент детерминации, доверительный интервал с помощью инстру ментария MS Excel в режиме «Анализ данных» («Описательная статистика», «Регрессия», «Ковариация», «Корреляция»).

Для данной задачи уравнение множественной регрессии будет иметь вид:

Y = 0,89 Х1 + 1,84 Х2 - 4, Таким образом, можно сделать вывод о том, что в период 1996 - 2009 гг. объем рын ка рекламы России в среднем по совокупности возрастал на 890 млн рублей в год при уве личении среднедушевого дохода населения в год на одну тысячу рублей, на 1840 млн руб лей при увеличении инвестиций в основной капитал на душу населения в одну тысячу рублей.

Коэффициенты уравнения регрессии (b1=0,89, b2=1,84) показывают изменение сред него по совокупности отклонения результативного признака от его средней величины при отклонении данного фактора xj (j=1,2) от своей средней величины на единицу его измере ния и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии, закреплены на средних значениях.

Свободный член выполняет роль доводки до функционального соотношения между средними величинами и экономического смысла не имеет. Отрицательная величина сво бодного члена подразумевает, что нулевые значения факторов в производстве невозмож ны.

Таблица 2. Динамика изменения объемов рынка рекламы, среднедушевых денежных дохо дов населения, объема инвестиций в основной капитал в России в течение 1996 – 2009 годов Год Объем рынка рекла- Среднедушевые де- Инвестиции в основ мы, млрд руб., нежные доходы насе- ной капитал на душу ления в год, тыс. руб., населения, тыс. руб., Y X1 X 1996 3,81 9,228 2, 1997 6,72 11,292 2, 1998 13,63 12,096 2, 1999 15,01 19,56 4, 2000 25,01 27,372 7, 2001 41,03 36,744 10, 2002 69,39 47,364 12, 2003 88,72 62,04 15, 2004 111,02 76,92 19, 2005 142,30 97,344 25, 2006 176,30 122,352 33, 2007 228,70 151,212 46, 2008 267,00 158,773 61, 2009 174,67 157,184 49, Сумма 1363,31 991,070 294, Среднее 97,3793 70,791 21, Дисперсия 7728,24 3263,068 381, Стандартное 87,91041 57,123 19, отклонение Источник. Цуканова О.А. Формирование системы стратегического управления соци ально-экономическим развитием продуцентов рекламно-издательских услуг в мегаполисе.

Для получения сравнимых относительных показателей рассчитывают стандартизи рованный коэффициент регрессии или -коэффициент (табл. 2.5). j-коэффициент при факторе xj определяет степень влияния вариации фактора xj на вариацию результативного признака y при отвлечении от сопутствующей вариации других факторов, входящих в уравнение регрессии.

Коэффициенты регрессии также могут быть выражены в виде относительных срав нимых показателях связи – коэффициентах эластичности (ej).Данные коэффициенты пока зывают, на сколько результативный признак отклонится от своего среднего значения при отклонении фактора Xj от средней величины на 1% (табл. 2.4).

На основе данных табл. 2.5 можно сделать вывод о том, что более значительное влияние на вариацию объема рынка рекламы в России оказывает фактор X1 - среднедуше вые денежные доходы населения в год (0,578 0,409). При отклонении среднедушевых денежных доходов населения в год на 1% или инвестиций в основной капитал на душу населения на 1% уровень объема рекламы в России изменится на 0,65%, и 0,40% соответ ственно.

Таблица 2. Сравнительная сила влияния факторов-аргументов на фактор-результат (объем рынка рекламы) j (стандартизированный Факторы Xj Ej (коэффициент эла стичности) коэффициент регрессии) Х1 (среднедушевые 0,578 0, денежные доходы на селения в год, тыс.

руб.) Х2 (инвестиции в ос- 0,409 0, новной капитал на ду шу населения, тыс.

руб.) Основой измерения связей в многофакторной системе является матрица парных ко эффициентов корреляции.

Таблица 2. Матрица парных коэффициентов корреляции Признак У (объем рынка Х1 (среднедушевые Х2 (инвестиции в рекламы, млрд руб.) денежные доходы основной капитал, населения в год, млн руб.) руб.) У Х1 0,97 Х2 0,97 0,98 На основе матрицы парных коэффициентов корреляции (табл. 2.6) вычисляется об щий показатель тесноты связи всех входящих в уравнение регрессии факторов с результа тивным признаком – коэффициент множественной детерминации R2.

Для данной задачи коэффициент множественной детерминации составляет 0,95 и представляет собой отношение части вариации результативного признака, объясняемой за счет вариации входящих в уравнение факторов, к общей вариации результативного при знака за счет всех факторов. Таким образом, два фактора, включенные в уравнение рег рессии, объясняют 95% вариации уровня объемов рекламы в России. Коэффициент корре ляции равен 0,97, следовательно, связь между факторами является очень сильной.

Для измерения тесноты связи результативного признака с каждым показателем рас считывается коэффициент раздельной детерминации (d2). Для конкретного расчета d21 со ставляет 56%, d22 - 39%. При этом можно отметить, что совокупное влияние всех факто ров, входящих в уравнение регрессии не равно сумме влияния каждого из них.

Значения параметров многофакторной системы необходимо сопровождать вероятно стными оценками и проверять их надежность, так как это необходимо для экстраполяции показателей генеральных параметров при прогнозировании развития определенной систе мы. Для этого рассчитывается (табл. 2.7) средняя ошибка коэффициента регрессии, для определения существенности влияния фактора Хр на вариацию У расчетные значения t критерия Стьюдента сравниваются с критическими (табличными).

На основе данных табл. 2.7 можно сделать вывод о том, что расчетное значение t критерия Стьюдента больше критического при уровне значимости 0,05 для всех коэффи циентов регрессии и коэффициента корреляции. Следовательно, коэффициент корреляции с очень большой вероятностью больше нуля, и связь установлена надежно. Также надеж но установлено, что генеральное значение коэффициентов b1 и b2 не является нулевым, влияние (условно-чистое) факторов Х1 и Х2 на вариацию Y существенно. Величина b оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели факторов Х1 и Х2) факторов на результат Y.

Таблица 2. Определение средней ошибки, доверительных интервалов для параметров кор реляционно-регрессионной модели Коэффициенты регрессии Коэффи циент Статистические параметры множест венной регрессии b1 b2 b Средняя ошибка (mbp) 0,45 1,328 9,08 0, Расчетный t-критерий Стью- 1,95 1,38 0,44 13, дента (tp) Критический t-критерий 0,10 0,05 0, Стьюдента при 11 степенях 1,7959 2,2010 3, свободы при уровне значимо сти 0,10;

0,05;

0,01.

Задачи по теме «Множественная регрессия и корреляция» представ лены в Приложении 1 учебного пособия.

3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ 3.1. Линейное программирование 3.1.1. Построение экономико-математических моделей задач линейного программирования Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

n f ( X ) c j x j max(min) (3.1) j n a x b, i I, I M 1,2,..., m (3.2) ij j j n a x bi, i M (3.3) ij j j x j 0, j J, J N 1, 2,..., n (3.4) При этом система линейных уравнений (3.2) и неравенств (3.3), (3.4), определяющая допустимое множество решений задачи W, называется сис темой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функ ция f ( X ) называется целевой функцией или критерием оптимальности.

В частном случае, если I, то система (3.2) - (3.3) состоит только из линейных неравенств, а если I M, то – из линейных уравнений.

Если математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:

n f ( X ) c j x j min (3.5) j n a x bi, i 1, m (3.6) ij j j bi x j 0, j 1, n (3.7) то говорят, что задача представлена в канонической форме.

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче ли нейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации;

перехо дить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять пере менные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимиза ция некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к канони ческому виду состоит в следующем:

если в исходной задаче требуется определить максимум лилейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;

если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;

если среди ограничений имеются неравенства, то путем вверения до полнительных неотрицательных переменных они преобразуются в ра венства;

если некоторая переменная не имеет ограничений по знаку, то она за меняется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью ме жду двумя новыми неотрицательными переменными xk xk xl, где l свободный индекс, xk 0, xl 0.

Каноническая задача линейного программирования имеет вид:

Z(X) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (max) min (3.8) 11 1 + 12 2 + + 1 = 21 1 + 22 2 + + 2 = (3.9) … 1 1 + 2 2 + + = xj0, j = 1,2,…,n Пример 3.1. Привести к канонической форме задачу линейного программирования:

min L 2 x1 x2 x3 ;

2 x2 x3 5;

x1 x2 x3 1;


2 x1 x2 x1 0, x2 0, x3 Решение Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные x4, x5, x6. Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений перевранные x4, x6 вводятся в левую часть со знаком «+», а во второе урав нение вводится со знаком «-».

2 x2 x3 x4 5;

x1 x2 x3 x5 1;

2 x1 x2 x6 3;

x4 0, x5 0, x6 Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:

2 x2 x3 x4 5;

x1 x2 x3 x5 1;

2 x1 x2 x6 3;

В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть неотрицательными. Допустим, что x1 x1 x7, где x1 0, x7 Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и запи сывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу линейного программи рования, представленную в канонической форме:

2 x2 x3 x4 5;

x1 x2 x3 x5 x7 1;

2 x1 x2 x6 2 x7 3;

L min 2 x1 x2 x3 2 x7 ;

x1 0, xi 0, i 2, 7.

Рассмотрим процесс построения математических моделей задач линей ного программирования на примере.

Пример 3.2. Использование мощностей оборудования.

Предприятие имеет m моделей машин различных мощностей. Задан план по време ни и номенклатуре: Т — время работы каждой машины;

продукции j-го вида должно быть выпущено не менее Nj единиц.

Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить мини мальные затраты на производство, если известны производительность каждой i-й машины по выпуску j-го вида продукции bij и стоимость единицы времени, затрачиваемого i-й ма шиной на выпуск j-го вида продукции cij.

Другими словами, задача для предприятия состоит в следующем: требуется опре делить время работы i-й машины по выпуску j-го вида продукции xij, обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин Т и заданному количеству продукции Nj.

По условию задачи машины работают заданное время T, поэтому данное ограниче ние можно представить в следующем виде:

n x T, i 1, m ij j Ограничение по заданному количеству продукции выглядит следующим образом:

n b x N j, j 1, n ij ij i Задача решается на минимум затрат на производство:

m n Z min c x ij ij i 1 j Необходимо также учесть неотрицательность переменных xij 0.

Задача поставлена так, чтобы израсходовать все отведенное время работы машины, т. е. обеспечить полную загрузку машины. При этом количество выпускаемой продукции каждого вида должно быть по крайней мере не менее Nj. Однако в некоторых случаях не допускается превышение плана по номенклатуре, тогда ограничения математической мо дели изменяются следующим образом:

n x T, i 1, m ij j n b x N j, j 1, n ij ij i xij m n Z min c x ij ij i 1 j 3.1.2. Графическое решение задач линейного программирования Графический способ решения задач линейного программирования целе сообразно использовать для:

решения задач с двумя переменными, когда ограничения выражены не равенствами;

решения задач со многими переменными при условии, что в их канони ческой записи содержится не более двух свободных переменных.

То есть графический метод используется для решения задач с двумя пе ременными следующего вида:

Z(X) = c1x1 + c2x2 (min) max (3.10) 11 1 + 12 2 () 21 1 + 22 2 () (3.11) … 1 1 + 2 2 () X1 0, X2 0 (3.12) Каждое из неравенств системы ограничений задачи геометрически опре деляет полуплоскость соответственно с граничными прямыми ai1 x1 ai 2 x2 bi ;

(i 1, m);

x1 0;

x2 0. В том случае, если система неравенств совместна, об ласть ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным по луплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей — выпуклое, то областью допустимых решений является выпуклое множест во, которое называется многоугольником решений. Стороны этого много угольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки равенств.

Областью допустимых решений системы неравенств может быть: вы пуклый многоугольник;

выпуклая многоугольная неограниченная область;

пустая область;

луч;

отрезок;

единственная точка.

Целевая функция определяет на плоскости семейство параллельных прямых, каждой из которых соответствует определенное значение Z.

Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения ис пользуют линии уровня и опорные прямые.

Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня в общем случае имеет вид c1x1 + c2x2 = l, где l – const. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль = 1, 2.

Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых решений и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей.

Вектор C (c1 ;

c2 ) с координатами с1 и с2, перпендикулярный к этим прямым, указывает направление наискорейшего возрастания Z, а противопо ложный вектор – направление убывания Z.

Если в одной и той же системе координат изобразить область допусти мых решений системы неравенств (3.11) - (3.12) и семейство параллельных прямых (3.10), то задача определения максимума функции Z сведется к на хождению в допустимой области точки, через которую проходит прямая из семейства Z = const, и которая соответствует наибольшему значению пара метра Z.

Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение.

Для определения данной вершины построим линию уровня Z c1 x1 c2 x2 0 проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору C (c1 ;

c2 ), и будем передвигать ее в направлении вектора C (c1 ;

c2 ) до тех пор, пока она не коснется последней крайней (угловой) точки много угольника решений. Координаты указанной точки и определяют оптималь ный план данной задачи.

Заканчивая рассмотрение геометрической интерпретации задачи (3.10) — (3.12), отметим, что при нахождении ее решения могут встретиться слу чаи, изображенные на рис. 3.1- 3.4. Рис. 3.1 характеризует такой случай, ко гда целевая функция принимает максимальное значение в единственной точ ке А. Из рис. 3.2 видно, что максимальное значение целевая функция прини мает в любой точке отрезка АВ.

На рис. 3.3 изображен случай, когда максимум недостижим, а на рис. 3. — случай, когда система ограничений задачи несовместна. Отметим, что на хождение минимального значения Z при данной системе ограничений отли чается от нахождения ее максимального значения при тех же ограничениях лишь тем, что линия уровня Z передвигается не в направлении вектора C (c1 ;

c2 ), а в противоположном направлении. Таким образом, отмеченные выше случаи, встречающиеся при нахождении максимального значения це левой функции, имеют место и при определении ее минимального значения.

Рис. 3.2. Оптимум функции Z дос Рис. 3.1. Оптимум функции Z дос тигается в любой точке AB тижим в точке А Рис. 3.3. Оптимум функции Z не Рис. 3.4. Область допустимых ре достижим шений – пустая область Алгоритм графического метода решения задач линейного программирова ния с двумя переменными:

1. Построить прямые, уравнения которых получаются в результате заме ны в ограничениях (3.11) — (3.12) знаков неравенств на знаки равенств. Если область допустимых значений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместимости системы ограничений.

2. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

3. Определить многоугольник решений.

4. Построить вектор C (c1 ;

c2 ).

5. Построить прямую Z c1 x1 c2 x2 0, проходящую через научало коор динат и перпендикулярную вектору C.

6. Передвигать прямую Z c1 x1 c2 x2 в направлении вектора C, в резуль тате чего либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность функции свер ху на множестве планов.

7. Определить координаты точки максимума функции и вычислить зна чение целевой функции в этой точке.

Пример 3.3. Определение оптимального ассортимента продукции.

Предприятие изготавливает два вида продукции - П1 и П 2, которая поступает в опто вую продажу. Для производства продукций используются два вида сырья - А и В. Макси мально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П1, и вида П 2 дан в табл. 3.1.

Таблица 3. Расход сырья продукции Расход сырья Сырье на 1 ед. продукции Запас сырья, ед.

П1 П А 2 3 В 3 2 Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П1 никогда не превышает спроса на продукцию П 2 более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П 2 никогда не превышает 2 ед. в сутки.

Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д. е. — для П1 и 4 д. е. для П 2.

Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение Предположим, что предприятие изготовит x1 единиц продукции П1 и x2 единиц про дукции П 2. Поскольку производство продукции П1 и П 2 ограничено имеющимися в распо ряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учи тывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны вы полняться следующие неравенства:

2 x1 3 x2 9;

3 x1 2 x2 13;

x1 x2 1;

x2 2;

x1 0;

x2 Доход от реализации x1 единиц продукции П1 и x2 единиц продукции П 2 составит F 3x1 4 x2.

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотри цательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при кото ром функция F принимает максимальное значения Fmах.

Рассмотренная задача относится к разряду типовых задач оптимизации производствен ной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в этих задачах могут быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продукции и затраты станочного времени.

Рассмотрим решение задачи об ассортименте продукции геометрическим способом.

Построим многоугольник решений (рис. 3.5). Для этого в системе координат Х10Х2 на плоскости изобразим граничные прямые:

2 x1 3 x2 9 ( L1 ) 3 x1 2 x2 13 ( L2 ) x1 x2 1 ( L3 ) x2 2 ( L4 ) Взяв какую-либо точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Полуплоскости, определяемые неравенствами, на рис. 3.5 показаны стрелками. Областью решений является многоугольник OABCD.

Для построения прямой Z 3x1 4 x2 0 строим вектор-градиент C (3;

4) и через точ ку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем па раллельно самой себе в направлении вектора C. Из рис. 3.5 следует, что по отношению к многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке С, где функция принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L1 и L3. Для определения ее координат решим систему уравнений:

2 x1 3x2 x1 x2 Рис. 3.5. Решение задачи (пример 3.3) линейного программирования геометриче ским способом Оптимальный план задачи x1 =2,4;

x2 =1,4. Подставляя значения x1 и x2 в линейную функцию, получим:

Z max 3 2, 4 4 1, 4 12, Полученное решение означает, что объем производства продукции П1 должен быть равен 2,4 ед., а продукции П 2 — 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит: Z = 12, д. е.

Геометрическим способом можно также решать задачи линейного про граммирования с числом переменных более двух. Для этого исходную задачу преобразуют методом Жордана—Гаусса.

Пример 3.4. Решить задачу линейного программирования:

= 1 2 + 3 + 34 + 1 + 2 + 3 + 24 35 = 1 + 2 + 43 + 4 85 = 2 + 3 45 = 0, = 1,2,3,4, Методом Жордана-Гаусса приведем систему уравнений-ограничений задачи к равно сильной разрешенной (табл. 3.2). Одновременно исключим разрешенные неизвестные из це левой функции.

Таблица 3. x1 x2 x3 x4 x5 b -1 1 1 2 -3 1 1 4 1 -8 0 1 1 0 -4 - -1 -1 1 3 7 -1 1 1 2 -3 2 0 3 -1 -5 - 1 0 0 -2 -1 - -2 0 2 5 4 0 1 1 0 -4 - 0 0 3 3 -3 1 0 0 -2 -1 - 0 0 2 1 2 - 0 1 0 -1 -3 - 0 0 1 1 -1 1 0 0 -2 -1 - 0 0 0 -1 4 - Используя последнюю часть табл. 3.2, запишем задачу линейного программирования в преобразованном виде:

= 4 + 45 + 2 4 35 = 3 + 4 5 = 1 24 5 = 0, = 1,2,3,4, Отбросим в уравнениях-ограничениях неотрицательные разрешенные неизвестные x1, x2, x3 и заменим знаки равенства знаками неравенства, получим вспомогательную задачу линейного программирования с двумя переменными:

= 4 + 45 + 4 35 4 5 24 5 4 0, 5 Решаем задачу графическим методом (рис. 3.6). Свободный член в целевой функции на отыскание оптимального решения не влияет и учитывается только при вычислении значе ния целевой функции.

Рис. 3.6. Решение задачи (пример 3.4) линейного программирования геометриче ским способом Находим оптимальное решение вспомогательной задачи = 1 4 35 = 9, (1 ) + 4 5 = 5, (2 ) 45 = 5 = 1, 4 = 6, = (6,1) Вычисляем минимальное значение целевой функции Z(X*) = -1*6 + 4*1 + 22 = 20.

Находим оптимальное решение исходной задачи. Для этого используем систему огра ничений в разрешенном виде:

2 4 35 = 3 + 4 5 = 1 24 5 = Вычисляем: Х2* = -9 + Х4* + 3 Х5* = -9+6+3*1= Х3* = 5 – Х4* + Х5* = 5-6+1 = Х1* = -8 + 2 Х4*+ Х5*= -8+2*6 + 1 = Получаем Х* = (5,0,0,6,1) Ответ: min Z(X) = 20 при Х* = (5,0,0,6,1) 3.1.3. Симплекс-метод Симплексный метод основывается на следующем:

область допустимых значений решений задачи линейного программиро вания является выпуклым множеством с конечным числом угловых то чек, т.е. многогранником или многоугольным множеством;

оптимальным решением задачи линейного программирования является одна из угловых точек области допустимых значений;

угловые точки области допустимых решений алгебраически представ ляют собой некоторые базисные (опорные) решения системы ограниче ний задачи.

Данный метод состоит в целенаправленном переборе опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов расчета либо найти оптимальное решение, либо установить его отсутствие.

Основное содержание симплексного метода:

найти начальное опорное решение;

1) осуществить переход от одного опорного решения к другому, на кото 2) ром значение целевой функции ближе к оптимальному;

определить критерии завершения процесса решения задачи, позволяю 3) щие своевременно прекратить перебор решений на оптимальном реше нии или сделать заключение об отсутствии решения.

Опорное решение задачи линейного программирования Пусть имеется задача линейного программирования в канонической форме (3.8 – 3.9).

Будем считать, что правые части всех уравнений системы ограничений не отрицательны. Если в каком-либо уравнении правая часть отрицательна, то это уравнение нужно умножить на -1.

Опорным решением задачи линейного программирования называется такое допустимое решение Х = (х10, х20, …, хm0, 0, …), для которого векторы условий (столбцы коэффициентов при неизвестных в системе ограничений) А1, А2, …, m, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.

Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга r системы векторов условий (числа линейно независимых урав нений системы ограничений). В дальнейшем будем считать, что система огра ничений состоит из линейно независимых уравнений, т.е. r=m.

Если число отличных от нуля координат опорного решения равно m, то решение называется невырожденным, в противном случае – вырожденным.

Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий за дачи, включающий в свой состав векторы, соответствующие отличным от нуля координатам опорного решения.

Базисное решение находится методом Жордана – Гаусса. При этом разре шающие элементы для преобразований Жордана необходимо выбирать из ус ловия, обеспечивающего неотрицательность правых частей уравнений системы, = = при 0, где k – номер вектора условия Ak, вводимого в базис (номер выбираемого столбца матрицы системы ограничений);

l – номер вектора Al, выводимого из базиса (номер строки матрицы систе мы, в которой следует выбрать разрешающий элемент для преобразований Жордана).

С помощью данного условия можно выбрать разрешающий элемент в лю бом столбце k матрицы системы ограничений, в котором имеется хотя бы один положительный элемент. Если при выборе разрешающего элемента данное ус ловие нарушается, в правой части системы уравнений появляются отрицатель ные величины.

Используя данное условие, можно получить допустимое базисное реше ние, которое является начальным опорным решением.

Аналогичное условие используется при переходе от одного опорного ре шения к другому.

Алгоритм симплексного метода Рассмотрим систему ограничений и линейную форму вида:

11 1 + 12 2 + + 1 = 21 1 + 22 2 + + 2 = … 1 1 + 2 2 + + = Zmin= co + c1x1 + c2x2 + … + cnxn xj0, j = 1,2,…,n Используя метод Жордана – Гаусса, приведем записанную систему к виду, где выделены базисные переменные.

Введем условные обозначения:

x1, x2, … xr – базисные переменные;

xr+1, xr+2, … xn – свободные переменные.

Таблица 3. Симплекс-таблица Свободный Свободные … xr+1 xr+2 xn член неизвест ные Базисные неизвестные 1 1r+1 1r+2 1n … x 2 2r+1 2r+2 2n … x … … … … … r rr+1 rr+2 rn … xr 0 r+1 r+2 n … Zmin Данная таблица называется симплекс-таблицей. Все дальнейшие преобра зования связаны с изменением содержания этой таблицы.

Алгоритм симплекс-метода сводится к следующему:

1. В последней строке симплекс-таблицы находят наименьший положи тельный элемент, не считая свободного члена. Столбец, соответст вующий этому элементу, считается разрешающим.

2. Вычисляют отношение свободных членов к положительным элемен там разрешающего столбца (симплекс-отношение). Находят наи меньшее из этих отношений, оно соответствует разрешающей строке.

3. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца нахо дится разрешающий элемент.

4. Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс отношений, то выбирают любое из них. То же самое относится к по ложительным элементам последней строки симплекс-таблицы.

5. После нахождения разрешающего элемента переходят к следующей таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей строке и столбцу, меняют местами. При этом базисная переменная становится свободной переменной и наоборот. Симплекс-таблица преобразована следующим образом (табл. 3.4):

Таблица 3. Преобразование симплекс-таблицы Свободный Свободные … xr+1 x1 xn член неизвест ные Базисные неизвестные 1/ 1r+2 1r+1/ 1r+2 … 1n/ 1r+ xr+2 1/1r+ … x2 -(2r+2) /1r+ … … … … … … … xr -(rr+2)/1r+ … Zmin -(r+2) /1r+ 6. Элемент табл. 3.4, соответствующий разрешающему элементу табл.

3.3, равен обратной величине разрешающего элемента.

7. Элементы строки табл. 3.4, соответствующие элементам разрешаю щей строки табл. 3.3, получаются путем деления соответствующих элементов табл. 3.3 на разрешающий элемент.

8. Элементы столбца табл. 3.4, соответствующие элементам разрешаю щего столбца табл. 3.3, получаются путем деления соответствующих элементов табл. 3.3 на разрешающий элемент и берутся с противопо ложным знаком.

9. Остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника: мыс ленно вычерчиваем прямоугольник в табл. 3.3, одна вершина которого совпадает с разрешающим элементом, а другая – с элементом, образ которого мы ищем;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.