авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ...»

-- [ Страница 3 ] --

остальные две вершины определяются однознач но. Тогда искомый элемент из табл. 3.4 будет равен соответствующе му элементу табл. 3.3 минус дробь, в знаменателе которой стоит раз решающий элемент, а в числителе - произведение элементов из двух неиспользованных вершин прямоугольника.

10. Как только получится таблица, в которой в последней строке все эле менты отрицательны, считается, что минимум найден. Минимальное значение функции равно свободному члену в строке целевой функ ции, а оптимальное решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все свободные переменные в этом случае рав ны, нулю.

11. Если в разрешающем столбце все элементы отрицательны, то задача не имеет решений (минимум не достигается).

Пример 3.5. Решение задачи симплексным методом:

1 + 2 + 3 = 1 2 + 4 = 1 + 2 + 5 = = 21 2 + 33 24 + Приведем задачу к виду, допускающему применение симплекс-алгоритма:

3 = 1 1 + 4 = 1 1 5 = 2 1 + Подставим в выражение Zmax величины х2, х4, х5:

= 61 72 + По алгоритму целевая функция должна стремится к минимуму.

= = 61 + 72 3 = 3 (61 72 ) Составим симплекс-таблицу:

Таблица 3. Свободный Свободные X1 X член неизвест ные Базисные неизвест ные X3 1 -1 X4 1 1 - X5 2 1 Zmin -3 6 - Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, в нашем при мере он равен +6, первый столбец коэффициентов будет разрешающим. Определим отноше ние свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Минимальное симплекс-отношение равно 1. Разрешающий элемент находится на пересечении строки пе ременной х4 и столбца – х1.

Переходим к следующей таблице, используя правило прямоугольника:

Таблица 3. Свободный Свободные X1 X член неизвест ные Базисные неизвест ные X3 2 1 X4 1 1 - X5 1 -1 Zmin -9 -6 - В последней строке нет положительных элементов, следовательно, оптимальное реше ние найдено: Zmin = -9;

X =(0;

0;

2;

1;

1);

Zmax = -Zmin = 9.

3.1.4. Методы нахождения опорного решения задачи линейного програм мирования Алгоритм симплекс-метода можно применять лишь в том случае, если вы делено первое допустимое решение, т.е. исходная задача линейного програм мирования приведена к виду 1 = 1 1+1 +1 + 1 +2 +2 + + … = +1 +1 + +2 +2 + + = 0 (+1 +1 + +2 +2 + + При этом 1 0, …, 0, тогда, положив свободные неизвестные +1, +2, равными нулю, получаем опорное решение 1 = 1 ;

2 = 2 ;

… ;

=.

Рассмотрим метод нахождения опорного решения, основанный на введе нии искусственных переменных. Для этого запишем задачу линейного про граммирования в общем виде. Будем рассматривать задачу с числом неизвест ных «n» и «r» ограничениями:

11 1 + 12 2 + + 1 = 21 1 + 22 2 + + 2 = (3.13) … 1 1 + 2 2 + + = Перепишем систему (3.13) в другом виде. Для этого введем искусственные переменные y1, y2,…, yr так, чтобы был введен базис. Тогда система примет вид 1 = 1 11 1 + 12 2 + + … (3.14) = 1 1 + 2 2 + + Системы (3.13) и (3.14) будут эквивалентны в том случае, если все yi, для = 1, будут равны 0. Кроме того, мы считаем, что все 0 для = 1,. В противном случае соответствующие ограничения из системы (3.13) умножим на -1. Для того чтобы yi были равны 0, мы должны преобразовать задачу таким образом, чтобы все искусственные переменные yi перешли в свободные неиз вестные.

В этом случае система (3.14) после преобразования примет вид 1 = 1 1+1 +1 + 1 +2 +2 + + 1 + 11 1 + + … (3.15) = +1 +1 + +2 +2 + + + 1 1 + + От системы (3.14) к системе (3.15) всегда можно перейти шагами сим плекс-метода. При таком переходе в качестве линейной формы рассматривают функцию = 1 + 2 + +, равную сумме искусственных переменных.

Переход заканчивают, когда = 0 и все искусственные переменные yi пере ведены в свободные неизвестные.

Анализ вариантов решений:

1) Если 0, а все yi переведены в свободные переменные, то задача не имеет положительного решения.

2) Если = 0, а часть yi осталась в базисе, то для перевода их в свобод ные переменные необходимо применять специальные приемы.

В симплекс-таблице, соответствующей системе (3.15), после того, как = 0, а все yi – свободные, вычеркивают сроку для и столбцы для yi и решают задачу для исходной линейной формы.

Рекомендуется вводить минимум искусственных переменных.

Пример 3.6. Решение задачи линейного программирования симплекс методом. Для на хождения опорного плана использовать метод искусственных переменных.

Ограничения:

31 52 + 3 + 24 = 21 22 + 4 5 = 1 32 + 24 5 = Целевая функция:

= 1 + 22, xi0, = 1, В базис можно выделить переменную х3. Введем две искусственные переменные – y1 и y2.

3 = 1 31 52 + 24 ;

1 = 4 21 + 22 4 + 5 ;

2 = 5 (1 + 32 24 + 5 );

= 0— (1 22 );

= 1 + 2 = 9— (31 + 52 34 + 25 ) Составим симплекс-таблицу:

Свободные Свобод X1 X2 X4 X ный неизвест член ные Базисные неизвест ные X3 1 3 -5 2 Y1 4 -2 2 -1 Y2 5 -1 3 -2 Zmin 0 -1 -2 0 Fmin 9 -3 5 -3 Наименьший положительный элемент в строке линейной формы Fmin=2. Разрешающий элемент находится на пересечении столбца переменной x5 и строки переменной y1.

Заполним следующую симплекс-таблицу:

Свободные Свобод X1 X2 X4 Y ный неизвест член ные Базисные неизвест ные X3 1 3 -5 2 X5 4 -2 2 -1 Y2 1 1 1 -1 - Zmin 0 -1 -2 0 Fmin 1 1 1 -1 - Наименьший положительный элемент в строке линейной формы Fmin=1. Минимальное симплекс-отношение соответствует строке переменной y2.

Заполним новую симплекс-таблицу:

Свободные Свобод X1 Y2 X4 Y ный неизвест член ные Базисные неизвест ные X3 6 8 5 -3 X5 2 -4 -2 1 X2 1 1 1 -1 - Zmin 2 1 2 -2 - Fmin 0 0 -1 0 - Так как Fmin=0, а y1 и y2 переведены в число свободных, переход к первому опорному решению завершен. Строку, соответствующую Fmin, и столбцы переменных y1 и y2 вычерки ваем в последней таблице и переписываем ее в новом виде:

Свободные Свобод X1 X ный неизвест член ные Базисные неизвест ные X3 6 8 - X5 2 -4 X2 1 1 - Zmin 2 1 - Решим задачу для исходной линейной формы Zmin. В последней таблице находим раз решающий элемент. Он равен 8. Выполняя действия согласно алгоритму симплекс-метода, получим следующую таблицу:

Свободные Свобод X1 X ный неизвест член ные Базисные неизвест ные X1 6/8 1/8 -3/ X5 5 4/8 -12/ X2 2/8 -1/8 -5/ Zmin 10/8 -1/8 -13/ В последней строке (Zmin) положительных элементов нет, следовательно, оптимальное решение найдено.

Значение целевой функции равно 10/8. Оптимальный план = 8 : 8 ;

0;

0;

5.

Задачи по теме «Линейное программирование» представлены в Прило жении 1 учебного пособия.

3.1.5. Экономическая интерпретация решения задачи линейного програм мирования Результирующая симплекс-таблица содержит информацию по весьма важ ными данными, лишь небольшую часть которых составляют оптимальные зна чения переменных. Из симплекс-таблицы можно получить информацию отно сительно: оптимального решения;

статуса ресурсов;

ценности каждого ресур са;

чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов, вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления ре сурсов.

Сведения, относящиеся к первым трем пунктам, можно извлечь непосред ственно из итоговой симплекс-таблицы. Получение информации, относящейся к четвертому пункту, требует дополнительных вычислений.

Для иллюстрации возможностей получения указанной выше информации по первым трем пунктам из заключительной симплекс-таблицы воспользуемся задачей об ассортименте продукции. Эта задача формулируется следующим образом: максимизировать: = 31 + 42 (доход) при следующих ограниче ниях: 21 + 32 9 (сырье А);

31 + 22 13 (сырье В);

1 2 1 (спрос);

2 2 (спрос).

Оптимальная симплекс-таблица имеет вид:

Свобод Y Свободные Y ный неизвест член ные Базисные неизвестные X1 2,4 0,2 0, Y2 3 -1 - Y4 0,6 -0,2 0, X2 1,4 0,2 -0, Zmin 12,8 1,4 0, В таблице yj, = 1,4 - выравнивающие переменные.

Оптимальное решение При интерпретации результатов оптимизации в задаче об ассортименте продукции нас прежде всего интересуют объемы производства продукции П1 и П2, т.е. значения управляемых переменных х1 и х2. Используя данные, содер жащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения, основные результаты можно представить в следующем виде:

Управляемые Оптималь- Решение переменные ные значения Х1 Объем производства про 2, дукции П1 должен быть равен 2,4 ед. в сутки Х2 Объем производства про 1, дукции П2 должен быть равен 1,4 ед. в сутки Доход от реализации про Zmax 12, дукции будет равен 12, д.е. в сутки Статус ресурсов В модели, построенной для задачи об ассортименте продукции, фигури руют четыре ограничения со знаком «». Первые два ограничения (опреде ляющие допустимый расход исходного сырья) представляют собой истинные ограничения на ресурсы. Третье и четвертое ограничения относятся к спросу.

Эти требования можно рассматривать как ограничения на соответствующие ре сурсы, так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению представительства предприятия на рынке сбыта. В отношении финансовых средств такая ситуация имеет те же последствия, что и увеличение запасов ре сурсов, требующее распределения дополнительных вложений.

Из вышеизложенного следует, что статус ресурсов (дефицитный или неде фицитный) для любой модели линейного программирования можно установить непосредственно из результирующей симплекс-таблицы, обращая внимание на значения выравнивающих переменных. Применительно к нашей задаче можно привести следующую сводную таблицу:

Ресурс Выравни- Статус ресурса вающая пере менная Сырье А Дефицитный Y1= Сырье В Недефицитный Y2= Превышение объема Дефицитный Y3= производства про дукции П1 по отно шению к объему производства про дукции П Спрос на продук- Недефицитный Y4=0, цию П Положительное значение выравнивающей переменной указывает на не полное использование соответствующего ресурса, т. е. данный ресурс является недефицитным. Если же выравнивающая переменная равна 0, то это свидетель ствует о полном потреблении соответствующего ресурса. Из сводной таблицы видно, что ресурсы 2 и 4 связаны с запасами сырья В и возможностями сбыта продукции П2. Поэтому любое увеличение их запасов сверх установленного максимального значения приведет лишь к тому, что они станут еще более не дефицитными. Оптимальное решение задачи при этом останется неизменным.

Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить решение (уве личить доход), - это сырье А и возможности по сбыту продукции П1, поскольку из оптимальной симплекс-таблицы видно, что они дефицитные. В связи с этим логично поставить вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов с тем, чтобы получить от них максимальную отдачу.

Ценность ресурса Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального значения Z, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса.

Рассмотрим Z-уравнение оптимальной симплекс-таблицы решения задачи об ассортименте продукции:

Z = 12,8 - (1,4*y1 + 0*у2+ 0,2*у3 + 0*у4).

Положительное приращение переменной y1 относительно ее текущего ну левого значения приводит к пропорциональному уменьшению Z, причем коэф фициент пропорциональности равен 1,4 д. е. Однако из первого ограничения модели следует 2x1+3x2+y1=9, т.е. увеличение у1 эквивалентно снижению запаса ресурса 1 (сырья А). Отсюда следует, что уменьшение запаса первого ресурса вызывает пропорциональное уменьшение целевой функции Z с коэффициентом пропорциональности, равным 1,4 д. е. Аналогичные рассуждения справедливы и для ресурса 3.

В отношении ресурсов 2 и 4 было установлено, что их ценность равна (U2 = U4 = 0). Этого и следовало ожидать, так как ресурсы 2 и 4 оказались не дефицитными. Такой результат получается всякий раз, когда соответствующие выравнивающие переменные имеют положительное значение.

Несмотря на то что ценность различных ресурсов, определяемая значения ми переменных Ui, была представлена в стоимостном (д.е.) выражении, ее нель зя отождествлять с действительными ценами, по которым возможна закупка соответствующих ресурсов. На самом деле речь идет о некоторой мере, имею щей экономическую природу и количественно характеризующей ценность ре сурса только относительно полученного оптимального значения Z. При приме нении ограничений модели соответствующие экономически оценки будут ме няться даже тогда, когда оптимизируемый процесс предполагает применение тех же ресурсов. Поэтому при характеристике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать такие термины, как теневая цена или двойственная оценка. Заметим, что теневая цена характеризует интенсивность улучшения оп тимального решения Z. Однако при этом не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурсов, при которых интенсивность улучшения целевой функции остается постоянной. Для большинства практических ситуаций логич но предположить наличие верхнего предела увеличения запасов, при превыше нии которого соответствующее ограничение становится избыточным, что в свою очередь приводит к новому базисному решению и соответствующим ему новым теневым ценам.

3.1.6. Экономико-математический анализ полученных оптимальных реше ний При определенных значениях изменения коэффициента целевой функции оптимальные значения переменных остаются неизменными (хотя оптимальное значение Z при этом меняется). Основная цель анализа на чувствительность оп тимального решения к вариации коэффициентов целевой функции заключается в том, чтобы найти интервалы изменений коэффициентов целевой функции, при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.

Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисления, поло жим, что доход, получаемый с единицы продукции П1, изменяется от 3 до 3 + 1, где 1 может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целе вая функция в этом случае принимает следующий вид:

= (3 + 1 )1 + Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и выполнить, все вычисления, необходимые для получения оптимальной симплекс-таблицы, то последнее Zmax-уравнение будет выглядеть следующим образом:

Свободные пе- Свободные члены Y1 Y ременные 12,8+2,4 1 1,4+0,2 1 0,2+0,6 Zmax Это уравнение (строка целевой функции) отличается от Z-уравнения до введения 1 только наличием членов, содержащих 1. Коэффициенты при равны коэффициентам при соответствующих переменных в х1-уравнении (х1 строка) симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения:

Свободные Свобод Y1 Y ный неизвест член ные Базисные неизвестные X1 2,4 0,2 0, Мы рассматриваем х1-уравнение, так как коэффициент именно при этой переменной в выражении для целевой функции в начальной симплекс-таблице изменился на 1.

Оптимальные значения переменных будут оставаться неизменными при значениях 1, удовлетворяющих условию неотрицательности (задача на оты скание максимума) всех коэффициентов при свободных переменных в Z уравнении. Таким образом, должны выполняться следующие неравенства:

1,4 + 0,2 1 0;

0,2 + 0,6 1 0.

Из первого неравенства получаем, что 1 - 07, а из второго следует, что -1/3. Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента - 1/3 1 +.

Таким образом, при уменьшении коэффициента целевой функции при пе 1 ременной х1 до значения, равного 3 + = 2, или при его увеличении до 3 + оптимальные значения переменных остаются неизменными.

Следует отметить, что оптимальное значение Z будет изменяться в соот ветствии с выражением (12,8+2,4 1), где - 1/3 1 +.

Мы рассмотрели случай изменения коэффициента при базисной перемен ной х1. В случае изменения коэффициента при свободной переменной в целевой функции происходит изменение коэффициента только при данной переменной в оптимальной симплекс-таблице. Рассмотрим в качестве иллюстрации случай, когда коэффициент при свободной переменной у1, (первая выравнивающая пе ременная) изменяется от 0 до 2. Выполнение преобразовании, необходимых для получения заключительной симплекс-таблицы, приводит к следующему ре зультирующему Z-уравнению:

Свободные пе- Свободные члены Y1 Y ременные 1,4 – Zmax 12,8 0, Из приведенного фрагмента заключительной симплекс-таблицы видно, что единственное отличие от Z-уравнения до введения 2 состоит в том, что коэф фициент при у3 уменьшился на 2. Таким образом, коэффициент при свободной переменной в результирующем Z-уравнении нужно уменьшить на ту же вели чину, на которую он увеличивался в исходном Z-уравнении.

3.2. Транспортные задачи 3.2.1. Математическая модель транспортной задачи Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а1, а2, …, аm.

Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах b1, b2, …, bn. Из вестны Сij (i = 1, 2,…m;

j = 1, 2, … n) – стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить та кой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полно стью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные за траты на перевозку всех грузов минимальны.

Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида … bj b1 b2 bn ai … a1 c11 c12 c1n … a2 c21 c22 c2n … … … … … … am cm1 cm2 cmn Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются xij (i = 1,2, …, m;

j = 1,2,…, n) – объемы перевозок от каждого i-го поставщика каждому j му потребителю. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перево зок 11 12 … 21 22 … = ……………….

1 2 … Математическая модель транспортной задачи в общем случае имеет вид = =1 (3.16) = =1 =, = 1,2, …, (3.17) =1 =, = 1,2, …, (3.18) 0, = 1,2, …, ;

= 1,2, …, (3.19) Целевая функция задачи (3.16) выражает требование обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех грузов. Первая группа из m уравнений (3.17) описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полно стью. Вторая группа из n уравнений (3.18) выражает требование полностью удовлетворить запросы всех n потребителей. Неравенства (3.19) являются ус ловиями неотрицательности всех переменных задачи.

Таким образом, математическая формулировка транспортной задачи со стоит в следующем: найти переменные задачи =, = 1,2, … ;

= 1,2, …, удовлетворяющие системе ограничений (3.17), (3.18), условиям неотрицатель ности (3.19) и обеспечивающие минимум целевой функции (3.16).

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что сум марные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.

=1 = =1 (3.20) Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель - за крытой. Если ж е это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель – открытой.

Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, то есть задача должна быть с правильным балансом.

3.2.2. Опорное решение транспортной задачи Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам, линейно независимы.

Ввиду того что ранг системы векторов условий транспортной задачи равен N = m + n – 1, опорное решение не может иметь отличных от нуля координат больше, чем N.

Для проверки линейной независимости векторов условий, соответствую щих координатам, допустимого решения, используют циклы.

Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспорт ной задачи (i1, j1), (i1, j2), (i2, j2), …(ik, j1), в которой две и только две соседние клетки расположены в одной строке или столбце, причем первая и последняя также находятся в одной строке или столбце.

Система векторов условий транспортной задачи линейно независима тогда и только тогда, когда из соответствующих им клеток таблицы нельзя образо вать ни одного цикла. Следовательно, допустимое решение транспортной зада чи =, = 1,2, … ;

= 1,2, … является опорным только в том случае, когда из занятых им клеток таблицы нельзя образовать ни одного цикла.

Метод вычеркивания. Для проверки возможности образования цикла ис пользуется так называемый метод вычеркивания, который состоит в следую щем.

Если в строке или столбце таблицы одна занятая клетка, то она не может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каж дой строке или в столбце. Следовательно, можно вычеркнуть все строки табли цы, содержащие по одной занятой клетке, затем вычеркнуть все столбцы, со держащие по одной занятой клетке, далее вернуться к строкам и продолжить вычеркивание строк и столбцов. Если в результате вычеркиваний все строки и столбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выде лить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов условий является линейно независимой, а решение – опорным. Если же после вычерки ваний останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответст вующих векторов условий линейно зависима, а решение не является опорным.

Метод северо-западного угла. Согласно данному методу запасы очеред ного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потреби телей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используют ся запасы следующего по номеру поставщика.

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. При этом нулевые перевозки принято заносить в таблицу только в том случае, когда они попадают в клетку (i,j), подлежащую заполне нию, т.е. в таблицу заносятся только базисные нули (0*), остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.

Во избежание ошибок после построения начального опорного решения не обходимо проверить, что число занятых клеток равно m + n – 1 и векторы усло вий, соответствующие этим клеткам, линейно независимы.

Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное по данному ме тоду, может быть далеким от оптимального.

Метод минимальной стоимости. Данный метод позволяет построить опорное решение, которое достаточно близко к оптимальному, так как исполь зует матрицу стоимостей транспортной задачи =, = 1,2, … ;

= 1,2, …. Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных ша гов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответст вующая минимальной стоимости min,, и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую min,, заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы заканчиваются. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик еще не исклю чен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда от него требуется поста вить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично поступают с по требителем.

Пример 3.7. Составить начальное опорное решение, используя метод северо-западного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой таковы:

bj 250 300 200 ai 200 9 8 3 350 7 10 6 400 2 3 8 Решение Распределяем запасы первого поставщика. Так как его запасы а1 = 200 меньше запросов первого потребителя b1 = 250, то в клетку (1,1) записываем перевозку х11 = 200 и исключаем из рассмотрения первого поставщика. Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы первого потребителя b1` = b1 – a1 = 250 - 200 = 50.

Распределяем запасы второго поставщика. Так как его запасы а2 = 350 больше остав шихся неудовлетворенными запросов первого потребителя b1` = 50, то в клетку (2,1) записы ваем перевозку х21= 50 и исключаем из рассмотрения первого потребителя. Определяем ос тавшиеся запасы второго поставщика a2` = a2 - b1` = 350 – 50 = 300. Так как a2`= b2 = 300, то в клетку (2,2) записываем х22 = 300 и исключаем по своему усмотрению либо второго поставщика, либо второго потребителя.

Пусть исключили второго поставщика. Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запро сы второго потребителя b2` = b2 - a2` = 300 - 300 = 0.

Распределяем запасы третьего поставщика. Так как а3 b2` (400 0), то в клетку (3,2) записываем x32 = 0 и исключаем второго потребителя. Запасы третьего поставщика не изме нились a3` = а3 - b2` = 400 - 0 = 400. Сравниваем a3` и b3 (400 200), в клетку (3,3) записыва ем х33 = 200, исключаем третьего потребителя и вычисляем a3`` = a3` - b3 = 400 - 200 = 200.

Так как a3``= b4, то в клетку (3, 4) записываем x34 = 200. Ввиду того что задача с правильным балансом, запасы всех поставщиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью.

Результаты построения опорного решения приведены в таблице.

bj 250 300 200 ai 200 9 8 3 350 7 10 6 50 400 2 3 8 0 200 Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток должно быть равно N = m + n - 1 = 3 + 4 - 1 = 6. В таблице занято 6 клеток. Применяя метод вычер кивания, убеждаемся, что найденное решение является «вычеркиваемым». Следовательно, векторы условий, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение действительно является опорным.

3.2.3. Метод потенциалов Широко распространенным методом решения транспортных задач являет ся метод потенциалов.

Если допустимое решение =, = 1,2, … ;

= 1,2, … транспорт ной задачи является оптимальным, то существуют потенциалы (числа) постав щиков ui, i = 1, 2, … m и потребителей vj, j = 1,2, …, n, удовлетворяющие сле дующим условиям:

+ = при 0, (3.21) + при = 0, (3.22) Группа равенств (3.21) используется как система уравнений для нахожде ния потенциалов. Данная система уравнений имеет m + n неизвестных ui, i = 1,2,…,m и vj, j = 1,2,…n. Число уравнений системы, как и число отличных от ну ля координат невырожденного опорного решения, равно m + n - 1. Так как чис ло неизвестных системы на единицу больше числа уравнений, то одной из них можно задать значение произвольно, а остальные найти из системы.

Группа неравенств (3.22) используется для проверки оптимальности опор ного решения. Эти неравенства удобнее представить в следующем виде:

= + 0 при = 0 (3.23).

Числа называются оценками для свободных клеток таблицы (векторов условий) транспортной задачи.

Опорное решение является оптимальным, если для всех векторов условий (клеток таблицы) оценки неположительные.

Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются при улучшении опорного решения. Для этого находят клетку (l,k) таблицы, соответ ствующую max{ } =. Если 0, то решение оптимальное. Если же 0, то для соответствующей клетки (l,k) строят цикл и улучшают решение, перераспределяя груз = min{хij} по этому циклу.

Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом:

1. Если суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные запросы по требителей, т.е.

=1 =1, то необходимо ввести фиктивного (n + 1)-го потребителя с запросами +1 = =1, =1 равными разности суммарных запасов поставщиков и запросов потребителей, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза сi(n+1) = 0.

2.Если суммарные запросы потребителей превосходят суммарные запасы по ставщиков, т.е.

=1 =1, то необходимо ввести фиктивного (m + 1)-го поставщика с запасами +1 = =1, = равными разности суммарных запросов потребителей и запасов поставщиков, и нулевыми стоимостями перевозок единиц груза с(m+1)j = 0.

3.При составлении начального опорного решения в последнюю очередь следует распределять запасы фиктивного поставщика и удовлетворять запросы фиктив ного потребителя, несмотря на то, что им соответствует наименьшая стоимость перевозок, равная нулю.

Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов:

1. Проверить выполнение необходимого и достаточного условия разрешимо сти задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится фиктив ный поставщик или потребитель с недостающими запасами или запросами и нулевыми стоимостями перевозок.

2. Построить начальное опорное решение (методом минимальной стоимости или каким-либо другим методом), проверить правильность его построения по количеству занятых клеток (их должно быть m+n -1) и убедиться в ли нейной независимости векторов условий (используя метод вычеркивания).

3. Построить систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для этого решают систему уравнений + = при 0, которая имеет бесконечное множество решений. Для нахождения частного решения системы одному из потенциалов (обычно тому, которому соответ ствует большее число занятых клеток) задают произвольно некоторое значе ние (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по фор мулам = при 0, если известен потенциал, и = при 0, если известен потенциал.

4. Проверить выполнение условия оптимальности для свободных клеток таб лицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по форму лам = + и те из них, которые больше нуля, записывают в левые нижние углы клеток.

Если для всех свободных клеток 0, то вычисляют значение целевой функции и решение задачи заканчивается, так как полученное решение яв ляется оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной оценкой, опорное решение не является оптимальным.

5. Перейти к новому опорному решению, на котором значение целевой функ ции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соот ветствует наибольшая положительная оценка = Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, за нятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки «+» и « - », начиная с «+» в клетке с наибольшей положительной оценкой.

Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину = min{хij}. Клетка со знаком « - », в которой достигается min{хij}, остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них ос тается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число заня тых клеток оставалось равным m + n – 1.

Далее перейти к пункту 3 данного алгоритма.

Пример 3.8. Имеются три сорта бумаги в количестве 10, 8 и 5 т, которую можно ис пользовать на издание четырех книг тиражом 8000, 6000, 15 000, 10 000 экземпляров. Расход бумаги на одну книгу составляет: 0,6;

0,8;

0,4;

0,5 кг, а себестоимость тиража книги при ис пользовании i-го сорта бумаги задается следующей матрицей (д.е.):

24 16 32 = 18 24 24 30 24 16 Определить оптимальное распределение бумажных резервов.

Решение Задача по своему экономическому смыслу не является транспортной, в то же время можно построить математическую модель, аналогичную транспортной задаче.

Потребности в бумаге легко определить, зная тираж и расход на одну книгу:

8000 * 0,6 = 4,8 т 15 000 * 0,4 = 6 т 6000 * 0,8 = 4,8 т 10 000 * 0,5 = 5 т Общие запасы бумаги составляют 23 т, а общие потребности – 20,5 т, поэтому необхо димо в таблицу ввести фиктивный тираж В5 с нулевыми затратами. В связи с тем, что мы со ставляет модель относительно бумаги, а матрица cij характеризует себестоимость печатания книги, необходимо исходную матрицу преобразовать относительно единицы бумаги (каж дый столбец матрицы cij разделим на количество бумаги, приходящейся на одну книгу).

Согласно изложенному составим первую таблицу:

Исходные данные потребители В1 В2 В3 В4 В5 Запасы, т поставщики А1 40 20 80 50 0 А2 30 30 60 40 0 А3 50 30 40 40 0 Потребность, т 4,8 4,8 6 5 2,4 Используя метод потенциалов, получим оптимальное решение:

Оптимальное решение потребители В1 В2 В3 В4 В5 Запасы, т поставщики А1 40 20 80 50 0 4,8 2,8 2, А2 30 30 60 40 0 4,8 1 2, А3 50 30 40 40 0 Потребность, т 4,8 4,8 6 5 2,4 Анализ решения: бумаги 1-го сорта в количестве 4,8 т затрачено на издание второй книги;

2,8 т – на издание четвертой книги;

2,4 – не использовано. Бумаги 2-го сорта затраче но: на первую книгу – 4,8 т;

на издание третьей книги – 1 т;

на издание четвертой книги – 2, т;

бумага 3-го сорта использована на издание третьей книги в количестве 5 т.

Задачи по теме «Транспортные задачи» представлены в Приложении учебного пособия.

3.3. Теория игр 3.3.1. Управление в условиях неопределенности Рассмотренные задачи линейного программирования формулировались и решались в предположении наличия полной информации. Их можно отнести к совокупности задач принятия решений в условиях определенности. В реальных экономических условиях приходится решать отдельные задачи при ограничен ности, неточности исходной информации о самом объекте и внешней среде, в которой он функционирует и развивается.

При принятии управленческих решений о функционировании и развитии экономического объекта необходимо учитывать важную характеристику внеш ней среды – неопределенность.

Под неопределенностью следует понимать отсутствие, неполноту, недос таточность информации об объекте, процессе, явлении или неуверенность в достоверности информации. В условиях рыночной экономики существует мно жество источников возникновения неопределенности для различных экономи ческих объектов.

Неопределенность обуславливает появление ситуаций, не имеющих одно значного исхода (решения). Среди различных видов ситуаций, с которыми в процессе производства сталкивается предприятие, особое место занимают си туации риска.

Под риском принято понимать вероятность (угрозу) потери предприятием части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления определенной хозяйственной деятельно сти.

Анализ многочисленных определений риска позволяет выявить основные моменты, которые являются характерными для рисковой ситуации, такие, как:

случайный характер события, который определяет, какой из возмож ных исходов реализуется на практике;

наличие альтернативных решений;

известны вероятности исходов событий и ожидаемые результаты;

существует вероятность возникновения убытков;

существует вероятность получения дополнительной прибыли.

В абсолютном выражении риск может определяться величиной возмож ных потерь в материально-вещественном (физическом) или стоимостном (де нежном) выражении, если только ущерб поддается таком измерению. В отно сительном выражении риск определяется как величина возможных потерь, от несенная к некоторой базе, в виде которой наиболее удобно принимать либо имущественное состояние предприятия, либо общие затраты ресурсов на дан ный вид хозяйственной деятельности, либо ожидаемый доход от хозяйствен ной операции.

Потери, которые могут быть в хозяйственной деятельности, целесообразно разделять на материальные, трудовые, финансовые, временные, специальные.

Для выбора альтернативного варианта капитальных вложений в условиях риска обычно используют показатель математического ожидания:

M ( x) xk * pk k где М(х) – ожидаемый результат проекта;

Xk – результат при k-ом сценарии;

Pk – вероятность реализации k-ого сценария.

Данный показатель применяют для того, чтобы количественно определить величину риска. При этом необходимо знать возможные последствия какого нибудь отдельного действия и вероятность самих последствий. Таким образом, математическое ожидание события равно абсолютной величине этого события, умноженной на вероятность его наступления.

При количественной оценке риска потребителя интересует на только ожи даемое значение (математическое ожидание), но и изменчивость неопределен ного результата. Меру изменчивости принято определять с помощью диспер сии, среднего квадратического отклонения и вариацией.

Дисперсия определяется по формуле: D ( xk M ( x)) 2 * pk k Среднее квадратическое отклонение: D Коэффициент вариации: * 100% M (x) Все эти показатели характеризуют колебания анализируемых факторов (затрат или выгод), и чем больше значения перечисленных статистических по казателей, тем выше риск.

Для анализа риска существуют различные способы такие, как статистиче ский, экспертный, расчетно-аналитический, аналогий.

Статистический способ состоит в том, что изучается статистика потерь, имевших место в аналогичных видах хозяйственной деятельности, устанавли вается частота появления определенных уровней потерь. В общее число случа ев стоит также включать те предпринимательские проекты, в которых потерь не было, а был выигрыш, то есть превышение расчетной прибыли. Иначе показа тели вероятностей потерь и угроза риска окажутся завышенными.

Экспертный способ (метод экспертных оценок) заключается в том, что группа экспертов дает свои оценки вероятностей возникновения определенных уровней потерь, по которым затем можно найти средние значения экспертных оценок и с их помощью построить кривую распределения вероятностей.

Расчетно-аналитический способ базируется на теоретических представле ниях, но прикладная теория риска хорошо разработана только применительно к страховому и игровому риску.

При использовании способа аналогий применяются базы данных о риске аналогичных проектов, исследовательских работ.

На основе имеющейся информации об окружающей среде, вероятности, степени и величине риска разрабатываются различные варианты рискового вложения капитала и приводится оценка их оптимальности путем сопоставле ния ожидаемой прибыли и величины риска. Это позволяет правильно выбрать стратегию и приемы управления риском, а также способы снижения степени риска.

В условиях риска доход cj от реализации единицы продукции j не является фиксированной величиной. Напротив, это случайная величина, точное числовое значение которой не известно, но описывается с помощью функции распреде ления f(cj). Часть дохода cjxj, определяемая продукцией j, также случайная вели чина, если даже значение переменной xj, определяющей уровень выпуска про дукции j, задано.

С точки зрения полноты исходных данных определенность и неопределен ность представляют собой два крайних случая, а риск определяет промежуточ ную ситуацию, в которой приходится принимать решение.

3.3.2. Принятие решений в условиях неопределенности Неопределенность является характеристикой внешней среды (природы), в которой принимается управленческое решение о развитии экономического объ екта. Внешняя среда (природа) может находиться в одном из множества воз можных состояний. Это множество может быть конечным или бесконечным.

Будем считать, что множество состояний конечно.

Пусть Si – состояние «природы», при этом = 1,, где n – число возмож ных состояний. Все возможные состояния известны, не известно только, какое состояние будет иметь место в условиях, когда планируется реализация прини маемого управленческого решения. Будем считать, что множество управленче ских решений Rj также конечно и равно m. Реализация Rj плана в условиях, ко гда «природа» находится в Si состоянии, приводит к определенному результату, который можно оценить, введя количественную меру. В качестве этой меры могут служить выигрыши от принимаемого решения (плана), потери от прини маемого решения, полезность, риск и другие количественные критерии.

Данные, необходимы для принятия решения в условиях неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям (управленческие решения) Rj, а столбцы – возможным состояниям природы Si.

Допустим, каждому Rj-ому действию и каждому возможному Si-му состоя нию «природы» соответствует результат (исход), определяющий результат (вы игрыш, полезность) при выборе j-го действия и реализации i-го состояния - Vij.

… S1 S1 Sn … R1 V11 V12 V1n … R1 V21 V22 V … … … … … … Rm Vm1 V12 Vmn Следовательно, математическая модель задачи принятия решений опреде ляется множеством состояний {Si}, множеством планов (стратегий) {Rj} и мат рицей возможных результатов ||Vij||.

В отдельных задачах рассматривается матрица рисков ||rij||. Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия опре деленных стратегий. Элементы матрицы рисков ||rij|| связаны с элементами платежной матрицы производителя в табл. 5.1 следующим соотношением:

max, если выигрыш = min, если затраты Таким образом, риск – это разность между результатом, который мож но получить, если знать действительное состояние внешней среды, и ре зультатом, который будет получен при i-ой стратегии.

Для принятия решения в условиях неопределенности используется ряд критериев.

Критерий Лапласа опирается на то, что все состояния внешней среды Sj полагаются равновероятными. В соответствии с этим принципом каждо му состоянию Sj ставится вероятность qj, определяемая по формуле:

qj, n где n – количество событий Sj.

Для принятия решения для каждого управленческого решения Ri вы числяют среднее арифметическое значение выигрыша:

1n M i ( R ) Vij n j Среди Mi (R) выбирают минимальное значение, которое будет соответ ствовать оптимальному управленческому решению Ri, если элементы мат рицы ||Vij|| - затраты предприятия.

1 n min Ri n Vij j Если элементы матрицы ||Vij|| соответствуют доходу (выигрышу) пред приятия, то выбирают максимальное значение Mi (R).

Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей рисков ||rij||, то критерий Лапласа принимает следующий вид:

1 n min Ri n rij j Применение критерия Вальда не требует знания вероятностей наступле ния события Sj. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожно сти и основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий Ri.

Если в исходной матрице результат Vij представляет собой затраты пред приятия, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии Ri необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент max {Vij}, а затем вы бирается действие Ri (строка i), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, то есть действие, определяющее ре зультат, равный W min max{Vij } i j Если в исходной матрице по условию задачи результат Vij представляет выигрыш предприятия, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий.

Минимаксный критерий Вальда приводит иногда к нелогичным стратеги ям из-за чрезмерной пессимистичности. Данный критерий целесообразно при менять, когда даже минимальный риск недопустим. Если определенный риск вполне допустим, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа.

Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков ||rij||. Независимо от того, является ли Vij доходом или затратами, rij определяет величину потерь пред приятия и является мерой несоответствия между разными возможными вариан тами стратегий. Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать то управленческое решение Ri, при котором величина риска прини мает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (т.е. использует ся минимаксный критерий).

W min max{rij } i j Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего песси мизма и крайнего оптимизма. Использование данного критерия основано на том, что внешняя среда может находиться в самом выгодном состоянии с веро ятностью и в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1- ), при этом 0 1 Если =0, то получаем пессимистический критерий Вальда. Если ре зультат Vij представляет собой затраты, то выбирается действие, дающее Wmin min[ min Vij (1 ) maxVij ] i j j Если результат Vij - доход предприятия, то используется формула W max[ maxVij (1 ) min Vij ] j i j Выбор конкретного критерия для принятия решений о размерах целесооб разных затрат в условиях неопределенности является наиболее ответственным этапом. Критерий выбирается с учетом конкретной ситуации, специфики ре шаемой задачи и в соответствии с целями предприятия, а также опираясь на прошлый опыт. Если даже минимальный риск недопустим, то следует приме нять критерий Вальда. В случае, когда определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа.

3.3.3. Теория игр. Стратегия игры. Метод линейного программирования для нахождения решения игр В отличие от рассмотренных выше задач принятия решений в условиях определенности, риска и неопределенности, в которых внешняя среда (природа) предполагалась пассивной, в конфликтных ситуациях имеются противодейст вующие стороны, интересы которых противоположны. При конфликтных си туациях решения принимаются в условиях неопределенности двумя и более, разумными противниками, каждый из которых стремится оптимизировать свои решения за счет других. Теория, занимающаяся принятием решений в условиях конфликтных ситуаций, называется теорией игр. Математическая модель кон фликтной ситуации представляет собой игру.

Игра – это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации. Эти правила устанавливают:

выбор образа действия субъектов на каждом этапе игры;

информацию, которой обладает каждый субъект при осуществлении таких выборов;

плату для каждого субъекта после завершения любого этапа игры.

Игру можно определить следующим образом:

имеются n конфликтующих сторон (субъектов), принимающих реше ния, интересы которых, не совпадают;

сформулированы правила выбора допустимых стратегий, известные игрокам;

определен набор возможных конечных состояний игры (например, вы игрыш, ничья, проигрыш);

всем игрокам (участникам игры) заранее известны платежи, соответст вующие каждому возможному конечному состоянию.

Платежи задаются в виде матрицы А =.

В зависимости от числа конфликтующих сторон игры делятся на парные (с двумя субъектами) и множественные (имеющие не менее трех субъектов). Ка ждый субъект имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) воз можных выборов, то есть стратегий.

Стратегией игры называется совокупность правил, определяющих пове дение субъекта от начала игры до ее завершения. Стратеги каждого субъекта определяют результаты или платежи в игре. Игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого, в противном случае она называется игрой с ненулевой суммой.

Игра называется конечной, если у каждого субъекта имеется конечное чис ло стратегий. Результаты конечной парной игры с нулевой суммой можно за давать матрицей, строки и столбцы которой соответствуют различным страте гиям, а ее элементы — выигрышам одной стороны (равные проигрышам дру гой). Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры.

Если первый субъект имеет m стратегий, а второй - n стратегий, то гово рят, что мы имеем дело с игрой m x n. Рассмотрим игру m x n. Пусть заданы множество стратегий: для первого игрока {Аi}, для второго игрока {Bj}, пла тежная матрица А =, где aij – выигрыш первого игрока или проиг рыш второго игрока при выборе ими стратегий Аi и Bj соответственно. Каждый из игроков выбирает однозначно с вероятностью I некоторую стратегию, т.е.

пользуется при выборе решения чистой стратегией. При этом решение игры будет в чистых стратегиях. Поскольку интересы игроков противоположны, то первый игрок стремится максимизировать свой выигрыш, а второй игрок, на оборот, минимизировать свой проигрыш.

Решение игры состоит в определении наилучшей стратегии каждым игро ком. Выбор наилучшей стратегии одним игроком проводится при полном от сутствии информации о принимаемом решении вторым игроком. Следует отме тить, что и первый, и второй игрок являются разумными противниками, кото рые находятся в состоянии конфликта. Поэтому для решения игры двух лиц с нулевой суммой используется очень «пессимистичный» критерий, так назы ваемый критерий мини-макса-максимина.

Так, если первый субъект применяет стратегию Аi, то второй будет стре миться к тому, чтобы выбором соответствующей стратегии Вj свести выигрыш первого игрока к минимуму, что равнозначно сведению своего проигрыша к минимуму. Величина этого минимума = min, = 1, Первый субъект (при любых ответах противника) будет стремиться найти такую стратегию, при которой обращается в максимум:

= max = max min Величина называется нижней ценой игры. Ей соответствует максимин ная стратегия, придерживаясь которой первый субъект при любых стратегиях противника обеспечит себе выигрыш, не меньший. Другими словами, нижняя цена игры является гарантированным выигрышем субъекта.

Аналогично определим по каждому столбцу матрицы = max, = 1,, найдем минимальное значение :

= min = min max.

Величина называется верхней ценой игры. Ей соответствует минимаксная стратегия второго игрока. Величина представляет собой гарантированный проигрыш субъекта при любой стратегии первого субъекта.

Пример 3.9. Дана платежная матрица 3 х 4, которая определяет выигрыши игрока А.

Вычислить нижнюю и верхнюю цены данной игры.

10 4 11 А = = 7 6 8 6 2 1 Решение Представим нашу игру в виде следующей таблицы:

Стратегии пер- Стратегии второго игрока, Bj Значение, вого игрока, Ai i В1 В2 В3 В A1 10 4 11 7 4 A2 7 6 8 20 6 A3 6 2 1 11 1 Значение j 10 6 11 20 - - 6 - - - Если игрок А выбирает первую стратегию, он может получить выигрыш в размере 10, 4, 1 или 7 д. е. в зависимости от выбранной стратегии игроком В. При этом выигрыш игрока будет не меньше 1 = min{10;

4;

11 ;

7} = 4 д. е. независимо от поведения игрока В. Анало гично при выборе игроком А второй стратегии гарантированный выигрыш 2 = min {7;


6;

8;

20} = 6 д. е. При выборе игроком А третьей стратегии выигрыш 3 = min{6;

23;

1;

11} = 1 д. е.

Таким образом, минимальные значения i, = 1,3 определяют минимально гарантиро ванный выигрыш для игрока А, если он выбирает соответствующую стратегию i. Величина max = 4;

6;

1 = 6 д. е. будет гарантированным выигрышем игрока А при любых стратегиях игрока В. Выбранная игроком А вторая стратегия называется максиминной стратегией, а соответствующее ее значение выигрыша 2 = 6 д.е., будет нижней ценой игры.

Второй игрок стремится минимизировать свой проигрыш. Выбрав первую стратегию 1, игрок В может проиграть не более чем 1 = max{10;

7;

6} = 10 д.е. независимо от выбора стратегии игроком А. Аналогично рассуждая, получим следующие результаты (д. е.): 2 = max{4;

6;

2} = 6;

3 = max{11;

8;

1} = 11;

4 = max{7;

20;

11} = 20.

Игрок В выбирает стратегию 2, которая минимизирует его максимальные ши: = min = min 10;

6;

11;

20 = 6 д. е.

Величина = 6 д. е. будет гарантированным проигрышем субъекта В при любых стратегиях субъекта А. Выбранная субъектом В вторая стратегия назы вается минимаксной стратегией, а соответствующее ее значение проигрыша = 6 д. е. будет верхней ценой игры.

Следует отметить, что для любой матрицы А = выполняется неравен ство:.

Если =, т. е. верхняя цена равна нижней цене игры, то соответствую щие чистые стратегии называются оптимальными, а про игру говорят, что она имеет седловую точку. Седловая точка является минимальным элементом соот ветствующей строки и максимальным элементом соответствующего столбца.

Эта точка есть точка равновесия игры, определяющая однозначно оптимальные стратегии. Оптимальность здесь означает, что ни один субъект не стремится изменить свою стратегию, так как его противник может на это ответить выбо ром другой стратегии, дающей худший для первого субъекта результат.

Величина С = = называется ценой игры. Она определяет средний выиг рыш игрока А и средний проигрыш субъекта В при использовании ими опти мальных стратегий. В нашем, примере цена игры С = 6 д.е., оптимальная пара стратегий - А2 и В2.

Если в платежной матрице А все элементы строки Аi =(ai1, ai2, …, ain) не меньше соответствующих элементов строки Ak =(ak1, ak2, …, akn), а по крайней мере один строго больше, то строка Ai называется доминирующей, а строка Ak – доминируемой.

Аналогичны понятия «доминирующий столбец» и «доминируемая строка».

Первому субъекту невыгодно применять стратегии, которым соответству ют доминируемые строки;

второму субъекту невыгодно применять стратегии, которым соответствуют доминирующие столбцы. Поэтому при решении игры можно уменьшить размеры платежной матрицы путем удаления из нее домини рующих столбцов и доминируемых строк.

Известно несколько методов нахождения оптимальных стратегий в играх двух лиц с нулевой суммой. Рассмотрим один из методов – метод линейного программирования для нахождения решения игр.

Пример 3.10. Рассмотрим игру 3 х 4.

В 1 2 3 А 1 4 3 2 -5 - 2 -2 5 -1 4 - 3 -3 2 -3 6 - 4 5 2 Определим и, где – минимум в i-й строке;

- максимум в j-м столбце.

Нижняя цена игры равна максимину = -2, верхняя цена игры равна минимаксу = 2.

Так как, то седловая точка игры отсутствует, задача должна решаться в смешанных стратегиях.

Нижняя цена игры – число отрицательное, поэтому, возможно, значение игры М не бу дет положительным. Число С, которое необходимо прибавить ко всем элементам матрицы, должно быть не меньше 2. Пусть С = 6. Тогда матрица принимает вид В 1 2 3 А 1 10 9 8 2 4 11 5 3 3 8 3 Задача игрока В записывается в форме задачи линейного программирования Lmax = Y1 + Y2 + Y3 + Y при ограничениях 101 + 92 + 83 + 4 41 + 112 + 53 + 104 31 + 82 + 33 + 124 Yj 0, = 1,4.

Решая задачу симплекс-методом, получим:

Lmax = 0,16;

Y1 = 0;

Y2 = 0;

Y3 = 0,12;

Y4 = 0, Таким образом, решением исходной задачи будет следующее:

1 = = 6 = 0, 0, 0 0 0,12 0, 0 0 0 1 = 1 = 0,16 = 0;

2 = 2 = 0,16 = 0;

3 = 3 = 0,16 = 0,75;

4 = 4 = 0,16 = 0, 0 В нашем примере первая и вторая стратегии игрока В, бесполезны, так как 1 = 2 = 0.

При случайном чередовании третьей и четвертой стратегий с относительными частотами 0 3 = 0,75 и 4 = 0,25 соответственно игроку В обеспечен средний выигрыш в размере М = 0,25.

Оптимальные стратегии игрока А получаются из решения двойственной задачи.

Задачи по теме «Теория игр» представлены в Приложении 1 учебного по собия.

4. ТИПОВЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ 4.1. Модели маркетинга 4.1.1. Игровая модель обмена товарами Рассмотрим игру двух лиц с ненулевой суммой. Игрок А имеет а единиц товара, игрок В – b единиц другого товара. При обмене товарами каждый из иг роков стремится извлечь пользу.

Для участника А итог обмена обозначим через (х, у), для участника В итог деятельности будет (а - х, b - у). Для определяемых величин х и у учитываются ограничивающие условия. Значение х находится в пределах от 0 до а, значение y – в пределах от 0 до b.

В координатах х, у для прямоугольника допустимых значений искомых неизвестных строятся линии равной выгодности. Для участника А это совокуп ность параллельных выпуклых функций, для участника В – это совокупность параллельных вогнутых функций. Точки возможных условий контракта — это точки касания функций полезности результата для участников.

4.1.2. Задача прикрепления потребителей к поставщикам Объединение имеет в своем составе три филиала, которые в течение меся ца производят однородную продукцию. Эту продукцию получают три потреби теля, расположенные в разных местах.

Тарифы перевозок единицы груза от филиалов к потребителям, мощности поставщиков и спрос потребителей заданы в табл. 4.1.

Таблица 4. Поставщики Стоимость перевозок к потребите- Мощности лям поставщиков 1 2 1 7 6 4 2 3 8 5 3 2 3 7 Спрос потре- 90 90 бителей Требуется составить такой план прикрепления потребителей к поставщи кам, при котором общая стоимость перевозок за месяц будет минимальной.

Решение Это транспортная задача, алгоритм решения которых рассмотрен в гл. 3.2.

Обозначим через хij – объем перевозок от i-го потавщика к j-му потребителю.

Оптимальное решение задачи: х12 = 10, х13 = 110, х21= 90, х23 = 10, Х32 = 80 ед.;

значение целевой функции при оптимальном решении L = 1060.

4.1.3. Модель определения стадии жизненного цикла товара Модель основана на изменении выручки по годам для всех товаров, вхо дящих в анализируемую группу.

Пусть изменения распределены нормально. Если рост выручки меньше µ 0,5, то это фаза спада. Если больше µ + 0,5, то фаза роста. Если в промежут ке, то зрелость или насыщение. Если выручка до 5% от прогнозируемого мак симума выручки, то фаза внедрения. Если уменьшается доля продукта в сбыте предприятия, снижается маржинальный доход от продукта, то его нужно сни мать с производства.

4.1.4. Модель выбора сегментов рынка Пусть n – число возможных сегментов рынка данного предприятия и дан ного товара (n 2);

N — число сегментов, на которых предприятие желало бы продавать свой товар (N n);

Кj — количество товара, которое может быть реа лизовано на j-м сегменте;

Сj – удельные переменные затраты по реализации то вара на j-м сегменте;

Zj – совокупные постоянные, затраты по реализации това ра на j-м сегменте;

Рj – цена товара на j-м сегменте, Р – минимально необходи мая выручка.

Обозначим через xj – булеву переменную, которая показывает, целесооб разно или нет работать на j-м сегменте.

Тогда модель выбора сегмента:

= =1( + ), = = = 1 0, ( = 1, …, ) 4.1.5. Регрессионная модель спроса Данная модель строится в виде уравнений, характеризующих зависимость потребления товаров и услуг от различных факторов. Модель может быть как однофакторной, так и многофакторной. Алгоритм построения корреляционно регрессионных моделей рассмотрен в гл. 2.3 – 2.4.

Примером однофакторной модели зависимости спроса от влияющих на не го факторов может быть линейная модель зависимости расходов (спроса) на продукты питания (y) от среднедушевого дохода семей (х1), которая выражается линейной функцией вида y = a0 + a1x1.

В многофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (y) могут быть включены такие факторы-аргументы, как среднедушевой доход се мей (х1), размер семей (х2) и другие.

4.1.6. Анализ риска инноваций На стадии выхода на рынок проявляется множество случайных факторов, предсказать которые из-за их неопределенности зачастую невозможно (конку рентные действия, реакция рынка). Поэтому выход на рынок с новым товаром для фирмы всегда рискован.

Анализ риска позволяет выбрать вариант инновационной политики, при котором он будет минимален. Для этого необходимо сформировать таблицу ве роятностей рыночных состояний и полезности, соответствующих каждому ва рианту политики разработки нового товара.

Объективное рыночное состояние, которое зависит от конъюнктуры рынка (отнесенная к определенному периоду ситуация со сложившимися соотноше нием спроса и предложения, динамикой цен, положением конкурентов), может быть определено, например, как «отличное», «хорошее», «нормальное», «ниже среднего» или «плохое». При анализе рынка также необходимо анализировать результат фирмы, достигнутый после реализации нововведений (уровень вы ручки, прибыли, рентабельности, т.е. «полезность» товара для фирмы.

Для измерения степени неопределенности явлений целесообразно исполь зуют показатель «энтропия».

Энтропия i-го варианта развития определяется:

= = =1, = где Рik – вероятность реализации события.

Чем меньше энтропия, тем меньше неопределенность выбранного ва рианта.


Однако знание варианта с большей определенностью не позволяет его вы брать, так как не учитывается полезность этого выбора с вероятностью Рik.

Чем выше неопределенность рыночных состояний или больше интервал изме нения полезности, т. е. отклонение возможной полезности от ожидаемой, тем выше степень риска нововведения. Суммарное отклонение возможной полезно сти от ожидаемой (средней) по i-му варианту составит:

=, = 1,, где = – математическое ожидание полезности i-го варианта, т.е. ожидае мая полезность:

=, = 1,.

= Дисперсия и среднеквадратичное отклонение соответственно составят = [ ]2 = [ ]2, = = ( ) Чем меньше значение, тем меньше неопределенность и риск, так как среднеквадратичное отклонение характеризует колебания различных ситуаций от ожидания.

Также для измерения риска рассчитывают коэффициент вариации 100 ( ) =.

( ) Чем больше значение этого коэффициента, тем выше степень риска.

Пример 4.1. Пусть при анализе рыночных ситуаций для трех возможных вариантов вывода на рынок нового товара получены следующие данные (табл. 4.2). По приведенным формулам получены оценки (табл. 4.3).

Таблица 4. Варианты Возможные состояния получения заданного уровня прибыли «отличное» «хорошее» «плохое»

i1 i2 i i Pi1 Pi2 Pi 1 0,6 55 0,1 22 0,3 - 2 0,2 100 0,7 30 0,1 - 3 0,7 40 0,2 25 0,1 Таблица 4. Варианты H(i) M(i) D(i) (i) V(i) 1 0,39 33,7 735,21 27,115 80, 2 0,35 39,0 1149,0 39,90 86, 3 0,35 33,5 125,25 11,19 33, Из анализа оценок следует:

min{H(i)} = min{0,39;

0,35;

0,35} = 0,35 = H(2) = H(3);

max{ M(i)} = max {33,7;

39,0;

33,5} = 39,0 = M(2);

min{ D(i)} = min {735,21;

1149,0;

125,25} = 125,25 = D(3);

min{ (i)} = min{27, 115;

33,90;

11,19} = 11,19 = (3);

min{ V(i)} = min{80,46;

86,91;

33,41} = 33,41 = V(3) Отсюда следует, что предпочтение выхода имеет третье наименование то вара, как вариант инновационной политики с меньшим риском 4.2. Модели финансового менеджмента 4.2.1. Модели размещения и развития производства Два традиционных направления вложения доходов – это текущее потреб ление и наращивание капитала. Такая ситуация возникает для отдельного чело века, предприятия, государства в целом. Текущее потребление обеспечивает приобретение ресурсов, товаров, продуктов для использования в настоящем пе риоде. За счет этого сохраняется жизнедеятельность и условия существования.

Наращивание капитала не является самоцелью. Капитал необходим как инст румент повышения будущих доходов. Если сегодня часть дохода вложена в капитал, то завтра потребитель вправе рассчитывать на получение дополни тельных благ либо на снижение затрат на их получение.

В простейшем виде задача управления доходами формулируется как оп ределение х{t} – текущее потребление в год t и y(t) – вложение в капитал в год t. Потребности в период t обозначим через Х(t).

Разница Х(t) - х(t) – это неудовлетворенная потребность. Вкладывая сред ства в y(t), потребитель тем самым повышает текущее неудовлетворение.

Вложения в капитал у(t) характеризуются потоком доходов в будущем.

Этот поток может быть различным. Отдача может проявиться через разовую выплату через некоторый период задержки, в виде постоянной отдачи на не сколько последующих периодов, как достаточно сложная функция прироста доходов в будущем.

Для иллюстрации значимости текущего потребления и вложений в капитал рассмотрим отдачу в виде:

P(t) = y(t – ), где где у – прирост дохода с единицы средств капитала;

– издержки, вызван ные освоением капитала.

Состояние потребителя в период t будет характеризоваться оценкой:

X(t) – x(t) - y(t – ).

Общая оценка, охватывающая длительный интервал времени:

= (X t – x t y t – ), = где – значимость единицы неудовлетворенной потребности в период t. В оценку входят три параметра:,,. От их значений зависит стратегия управления доходами. Чем меньше значение, больше и значительнее паде ние (t) во времени, тем более предпочтительным будет превращение дохода в текущее потребление.

Обобщение ситуации, связанной с управлением доходами, происходит за счет учета инфляции денежной массы, разнообразия видов капитала, изменения структуры потребления во времени. Усложнение оценки приводит к следую щему ее виду:

= ( (), =1 = где f(t) – изменение ценности денежных средств во времени, () – отдача капитала, сформированного лет назад.

Если учесть структуру капитала, то оценка становится более сложной:

= ( ) (), =1 = Параметры, и f объективно сдерживают вложения в капитал, но пара метр стимулирует наращивание капитала. Изымая единицу дохода от текуще го потребления, потребитель рассчитывает на существенный выигрыш в буду щем:

() + ( + ).

= Это условие предпочтения вариантов для вкладывания единицы дохода в год t.

Рассматривая проблему определения х(t) и y(t) как стратегию управления доходами, необходимо учитывать, что сумма дохода в год t является следстви ем сложения труда и накопленного ранее капитала:

x(t) + y(t) = f(T, K).

Накопленный капитал К равен = (), = где () – потеря (износ) капитала за время.

В качестве производственной функции f (T,K) можно принять один из мно гих вариантов, приводимых в литературе и наиболее подходящий к статистике рассматриваемого объекта.

4.2.3. Модель оценки риска проекта Трудности принятия решений по проектам обусловлены значительной сте пенью неопределенности будущих условий, в которых будет осуществляться проект, и возможной противоречивостью сравнительных оценок нескольких проектов, когда по одному из показателей эффективности проектов лучшим бу дет один проект, а по другому, показателю более предпочтителен другой.

Фактор неопределенности будущих условий осуществления проекта при водит к появлению риска для инвесторов и к необходимости принятия мер для его снижения. Противоречивость сравнительной оценки проектов по различ ным критериям вызывает необходимость дополнительного анализа сравнивае мых проектов для окончательного выбора одного из них.

Под неопределенностью понимается неполнота или неточность информа ции об условиях реализации проекта, в том числе связанных с ними затратами и результатами. Неопределенность, связанная с возможностью возникновения в ходе реализации проекта неблагоприятных ситуаций и последствий, характери зуется понятием риска.

Пример 4.2. Величины прибыли (Пt) в рассматриваемом году t и их вероятности (Рt) характеризуются значениями в табл. 4.4.

Таблица 4. П Пt Пt*Pt 2 (П П) t Pt (П) (1 + ) (1 + ) 1 8000 0,1 800 400000 532900 2 9000 0,2 1800 200000 236844 3 10000 0,4 4000 0 105264 4 11000 0,2 2200 200000 46784 5 12000 0,1 1200 400000 20793 10000 1200000 942585 Ожидаемая средняя прибыль составит:

П= П = = Это будет наиболее вероятной величиной, однако нужно учесть риск, связанный с та кой оценкой прибыли. Считается, что показателем абсолютного риска является среднеквад ратическое отклонение. Чем больше среднеквадратическое отклонение, тем выше риск.

Величина среднеквадратического отклонения для прибыли Пt определяется по сле дующему выражению:

П = (П П)2 = 1200000 = = Общая величина риска по проекту определяется как среднеквадратическое отклонение чистой текущей стоимости (NPV), которое определяется по выражению:

(П) = = 942585 = (1 + ) = Во многих случаях удобнее пользоваться не величиной среднеквадратического откло нения, а величиной относительного риска, определяемого как отношение среднеквадрати ческого отклонения к ожидаемому значению:

(П) = = (1 + ) = 4.2.3. Опционные модели Широко используемая в настоящее время для оценки капитальных вложе ний методология дисконтированного денежного потока имеет недостатки, сре ди которых можно выделить следующие:

оценка ожидаемых денежных потоков ложна, так как требуется большая точность в предсказании изменения цен на выпускаемую продукцию и потребляемые ресурсы на несколько лет вперед. Ошибка велика как в вы числении будущих денежных потоков, так и при определении соответст вующей безрисковой ставки процента;

практическое использование принципа DCF крайне затруднено, когда проект включает один или несколько значительных операционных оп ционов. Операционные опционы возникают, когда менеджмент может от ложить принятие решения о характере операции до какого-либо момента на будущее, когда будет разрешена какая-нибудь значительная неопреде ленность. Подобные операционные опционы усложняют расчет ожидае мых денежных потоков, безрисковых процентных ставок из-за сложной структуры рисков;

принцип дисконтированного денежного потока косвенно предполагает, что фирмы держат реальные активы пассивно. При его использовании не учитываются опционы, заложенные в реальных активах, но финансовый менеджер может активно использовать их, предпринимая действия для нивелирования потерь по проектам или реализовывая потенциальные но вые возможности.

Американские ученые С. Мейсон, Р. Мертон и Е. Альтман предположили, что должен быть сформулирован новый принцип оценки капитальных вложе ний, включающий в себя теорию ценообразования опционов на финансовых рынках ее развитым математическим аппаратом. Для этого необходимо провес ти аналогию между финансовыми опционами и операционными опционами, другими словами, представить инвестиционный проект как опционный кон тракт.

Опционный контракт – документ, удостоверяющий право покупки или продажи товара, валюты или ценных бумаг по оговоренной цене. Различают европейский опцион, допускающий покупку или продажу в определенный день, и американский опцион, допускающий покупку или продажу до опреде ленного дня. Контракт на покупку называется call-опционом, на продажу – put опционом.

Новый принцип оценки капитальных вложений сейчас находит на Западе все более широкое применение в практике анализа инвестиционных проектов в самых разных отраслях: горнодобывающая промышленность, добыча полезных ископаемых, перерабатывающая промышленность, машиностроение.

Модель Блэка-Шоулза (Вlack-Scholes option pricing model) была разработа на в 1973 г. для оценки премии европейских call-опционов на акции. В основу модели положена концепция формирования безрискового портфеля активов, динамика стоимости которых не зависит от динамики курса акций. Рассматри вался портфель, состоящий из акций и опциона.

При построении модели учитывался ряд ограничений:

краткосрочные процентные ставки известны и постоянны в течение срока действия опциона;

краткосрочные кредитные и депозитные процентные ставки одинаковы;

цена акции изменяется случайным образом с дисперсией, пропорцио нальной квадрату цены акции, поэтому распределение возможных значе ний цен акций является лог-нормальным, дисперсия доходов по акциям постоянна;

не учитываются операционные расходы на покупку/продажу опциона и акций, а также налоги.

Условие, согласно которому доходность безрискового портфеля, состоя щего из акций и опционов, равна безрисковой ставке процента в любой момент времени, описывается с помощью частного дифференциального уравнения, ре шением которого и является формула Блэка-Шоулза.

В соответствии с этой формулой стоимость европейского call-опциона оп ределяется разностью между, ожидаемым взвешенным курсом базового актива и ожидаемой дисконтированной величиной цены использования (издержками) данного опциона:

= 1 2 ln + + ln + + 2 1 = 2 =, где С – премия европейского call-опциона;

S – цена базового актива (цена акции по рыночным данным);

К – цена исполнения;

T – время, оставшееся до момента исполнения опциона;

R – безрисковая процентная ставка;

– стандартное отклонение цены базового актива;

N(d) – функция нормального распределения.

Для определения N(d) можно использовать таблицы для стандартной нор мальной кривой или Ехсе1-функцию НОРМСТРАСП(d). Она возвращает стан дартное нормальное интегральное распределение, которое имеет среднее, рав ное нулю, и стандартное отклонение, равное единице.

Уравнение плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид:

1 НОРМСТРАСП(d) = где d – это значение, для которого строится распределение.

4.3. Модели антикризисного менеджмента 4.3.1. Модели оптимизации управления нововведениями В качестве критерия выбора нововведений чаще других используется ожи даемый прирост дохода, подлежащий максимизации. Этот критерий представ ляет собой естественный переход от строго детерминированной ситуации (от условий полной определенности) к ситуации с рисками, формально состоящий в переходе от потенциальных к ожидаемым эффектам. Этот критерий может использоваться, когда приходится отбирать единственный оптимальный вари ант нововведения из имеющихся альтернатив.

При формировании портфеля нововведений интересы предприятия кон центрируются вокруг критериев выручки, прибыли, качества продукции, уров ня затрат, времени на реализацию нововведений, рисков.

Задачу максимизации прироста прибыли от реализации портфеля нововве дений можно считать противоположной задаче минимизации риска. Тогда формализацией известного принципа «риск против прибыльности» может слу жить биматричная игра, где за самостоятельных игроков принимаются два вида интересов управляющего органа: максимизация прироста прибыли и миними зация риска, а матрицы имеют вид:

П11 П1 11, П = = ;

1 П 1 П где Пij – прирост прибыли от реализации i-го нововведения ( = 1, ) в j-м ( = 1, ) заказе из портфеля предприятия;

Rij – вероятность неполучения прироста прибыли в объеме Пij при реализации i-го нововведения j-м заказе;

Пij, Rij 0.

Путем преобразований получим:

=1 П П = =1 П, = (4.1) =1 П где Пi – прирост прибыли от реализации i-го нововведения;

Ri – средневзвешенная вероятность риска от реализации i-го нововведения.

В результате этого получаем биматричную игру, описываемую матрицами П1 0 1 ;

= П = (4.2) 0 П При предпочтительности первого критерия – максимизации прироста при были, оптимальная смешанная стратегия первого игрока находится как реше ние второго игрока, т. е.:

1 = 2 = ;

(4.3) =1 1 где V2 – гарантированный выигрыш первого игрока (как решение второго игро ка), выраженный в общей величине риска портфеля нововведений;

- вероятности, с которыми игроки применяют свои чистые стратегии, или пропорции, в которых смешивают их, т.е. это искомые коэффициенты интен сивности использования нововведений или пропорции распределения ресурсов.

На основе полученной стратегии игрока 1 можно определить потенциаль ный эффект (прибыльность) реализации портфеля нововведений:

Пп = П (4.4) = и риск реализации портфеля нововведений, характеризующий вероятность по лучения от их реализации прироста прибыли в размере Пп:

п = (4.5) = Данная формула описывает разложение общей величины риска на различ ные нововведения, так как параметр есть доля риска, приходящаяся на i-е нововведение.

На каждое нововведение отводится такой объем ресурсов, который соот ветствует оценке его полезности, т. е.

= (4.6) где К – общий объем средств, выделенных на реализацию нововведений.

Если в качестве приоритета своей деятельности предприятие принимает стратегию минимизацию рисков, то оптимальная смешанная стратегия второго игрока, отвечающая в большей мере интересам предприятия, находится как ре шение первого игрока, т.е.:

1 = 1 = ;

(4.7) =1 1 П П где V1 – гарантированный выигрыш второго игрока (как решение первого игро ка), выраженный в общем приросте прибыли портфеля нововведений;

- вероятности, с которыми игроки применяют свои чистые стратегии, или пропорции, в которых смешивают их, т. е. это искомые коэффициенты интен сивности использования нововведений или пропорции распределения ресурсов.

Оценки потенциальной рискованности и потенциального эффекта (при быльности) портфеля нововведений соответственно составят:

п = (4.8) = В соответствии с реализацией игры средства предприятия распределяются пропорционально найденным интенcивностям использования нововведений = (4.9) где К – ресурсы предприятия;

Кi - ресурсы предприятия, выделенные на реализацию i-го нововведения.

Пример 4.3. Пусть по исходным данным гипотетического предприятия сформированы матрицы прироста прибыли (П, тыс. руб.) и риска нововведений (, доли процента):

0,15 0,10 0, 1000 850 П = 800 1000 900 ;

= 0,12 0,10 0, 0 0,25 0, 0 1000 Преобразовав матрицы по формулам (4.1), получим:

0,156 0 3050 0 П = = 0 0,206 0 2700 0;

0 0 0, 0 0 Отдавая предпочтение максимизации прироста прибыли, при формировании портфеля нововведений имеем:

1 2 = 3 = = 0, 1 1 =1 1 1 + + 1 0,156 1 0,206 1 0, 1 1 = 2 = 0,0603 = 0, 1 0, 1 = 2 = 0,0603 = 0, 2 0, 1 = 2 = 0,0603 = 0, 3 0, Потенциальный эффект (прирост прибыли) портфеля нововведений составит П = 3050* 0,386 + 2700 * 0,349 + 1800 * 0,265 = 2596,6 тыс. руб., а потенциальный риск портфеля Rп = 0,156 0 * 0,386+ 0,206 *0,349 + 0,228 * 0,265 = 0,1809 18,09%.

Общий риск реализации всего портфеля распределится между рисками составляющих его нововведений следующим образом:

п п п 1 = 2 = 3 = 0,0603 6,03% Приведенный пример показал еще один важнейший результат биматрич ной игры: при предпочтительности критерия прироста прибыли, подлежащего максимизации, общий риск портфеля нововведений распределяется равномерно между отдельными нововведениями портфеля.

4.3.2. Модель оптимизации управления продажами и транзакциями Стратегия продаж определяет пути, по которым продукция предприятия производителя попадает к конечному потребителю. В сущности, это выбор сис темы сбыта и конкретных каналов реализации продукции.

Система сбыта влияет не только на прибыль, получаемую предприятием производителем от реализации продукции, но и на сами параметры ее сбыта.

Транзакционная политика, как составная часть стратегии продаж, включа ет в себя сбор и переработку информации о потенциальных сегментах и клиен тах-потребителях продукции, конкурентах, группах стратегического влияния, проведение переговоров и принятие решений, контроль за соблюдением кон трактов и принуждение к их выполнению, защиту прав собственности. Именно с трансакционными издержками и связана реализация этой политики.

Транзакция (от лат. Transaction – совершение, акт экономического взаимо действия, договор, сделка) является базовой единицей анализа в экономике транзакционных издержек. Категория «транзакция» охватывает как материаль ные, так и контрактные аспекты обмена, сопровождаемые взаимными уступка ми. Она понимается предельно широко и используется для обозначения как об мена товарами, так и различными услугами, сделок как долговременного, так и краткосрочного характера, как требующих детализированного документального оформления, так и предполагающих простое взаимопонимание сторон.

Каждая рыночная транзакция связана с определенными издержками. Тран закционные издержки – операционные издержки сверх основных затрат на производство и обращение, косвенные, сопряженные расходы. Их можно опре делить как издержки экономического взаимодействия в каких бы формах оно ни протекало. Транзакционные издержки включают издержки сбора и перера ботки информации, проведения переговоров, контроля за соблюдением кон трактов и принуждения к их выполнению.

Снижение транзакционных издержек в значительной мере зависит от сис темного накопления информации о потенциальных клиентах, конкурентах, группах стратегического влияния, которых можно рассматривать в качестве по тенциальных партнеров по рыночным транзакциям. Международный опыт по иска и анализа подобной информации свидетельствует о том, что игнорирова ние этой функции приводит к существенному росту транзакционных издержек.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.