авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

Т. Г. Елизарова

КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ

Москва

Научный Мир

2007

УДК 519.633:533.5

Т. Г. Елизарова. Квазигазодинамические уравнения и мето-

ды расчета вязких течений. Лекции по математическим моделям и

численным методам в динамике газа и жидкости. М.: Научный Мир,

2007. – 350 с.

Монография посвящена современным математическим моделям и ос-

нованным на них численным методам решения задач динамики газа и жидкости. Приведены две взаимосвязанные математические модели, обоб щающие систему уравнений Навье–Стокса и отличающиеся от нее допол нительными диссипативными слагаемыми с малым параметром в качестве коэффициента. Новые модели получили название квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. На базе этих уравнений построены эффективные конечно-разностные алгоритмы расчета вязких нестацио нарных течений и приведены примеры численных расчетов. Универсаль ность, эффективность и точность построенных алгоритмов обеспечивает ся выполнением для них интегральных законов сохранения и теоремы о балансе энтропии.

Книга представляет собой курс лекций и предназначена для научных работников и инженеров, занимающимся построением численных алго ритмов и проведением практических расчетов течений газа и жидкости, а также студентам и аспирантам соответствующих вузов.

c Елизарова Т.Г., c Научный Мир, Оглавление Введение 1 Построение уравнений газовой динамики 1.1 Процедура осреднения.................. 1.2 Интегральные законы сохранения............ 1.3 Законы сохранения в дифференциальном виде.... 1.4 Уравнения Эйлера и Навье–Стокса........... 1.5 Квазигазодинамические уравнения........... 2 Элементы кинетической теории газов 2.1 Уравнение Больцмана................... 2.2 Равновесная функция распределения и система Эйлера 2.3 Уравнения Навье–Стокса................. 2.4 Уравнение Бхатнагара–Гросса–Крука......... 2.5 Средние характеристики движения частиц...... 2.6 Коэффициенты переноса в равновесном газе..... 2.7 Численное моделирование течений разреженного газа 2.8 Кинетически-согласованные разностные схемы.... 3 Квазигазодинамические уравнения 3.1 Регуляризованное кинетическое уравнение....... 3.2 Кинетический вывод КГД уравнений.......... 3.3 КГД уравнения в форме законов сохранения..... 3.4 Коэффициенты диссипации............... 3.5 Система Навье–Стокса как асимптотика КГД системы 3.6 Модель для течений с внешними источниками.... 3.7 Уравнение баланса энтропии......

......... 4 КГД уравнения и системы координат 4.1 КГД уравнения в произвольной системе координат.. 4.2 Декартова система координат.............. 4.3 Цилиндрическая система координат.......... 4 Оглавление 5 Алгоритмы решения задач газовой динамики 5.1 Система уравнений для плоских двумерных течений. 5.2 Система уравнений в цилиндрической геометрии... 5.3 Граничные условия.................... 5.4 Безразмерный вид уравнений.............. 5.5 Разностная аппроксимация................ 5.6 Введение искусственной диссипации.......... 5.7 Задача о распаде сильного разрыва........... 5.8 Задача о течении в окрестности цилиндра....... 5.9 Задача о течении в канале с уступом.......... 5.10 Численный алгоритм расчета дозвуковых течений.. 5.11 Устойчивость и точность КГД алгоритмов....... 6 Расчеты течений на неструктурированных сетках 6.1 Выбор сетки и построение контрольного объема... 6.2 Аппроксимация системы уравнений........... 6.3 Аппроксимация частных производных......... 6.4 Разностные схемы для двумерных течений...... 6.5 Аппроксимация граничных условий.......... 6.6 Расчет течения в окрестности цилиндра........ 7 Течения вязкой несжимаемой жидкости 7.1 Квазигидродинамическая система уравнений..... 7.2 Вычислительный алгоритм............... 7.3 Отрывное течение за обратным уступом........ 7.4 Тепловая конвекция в квадратной области...... 7.5 Тепловая конвекция при низких числах Прандтля.. 7.6 Конвекция Марангони в невесомости.......... 7.7 Течение в кубической каверне с подвижной крышкой 8 КГД уравнения для течений неравновесного газа 8.1 Молекулярная модель и функции распределения... 8.2 Системы координат и некоторые интегралы...... 8.3 Построение моментных уравнений........... 8.4 Вычисление обменных членов.............. 8.5 КГДР уравнения...................... Оглавление 8.6 Примеры численных расчетов.............. 9 КГД уравнения для бинарной смеси газов 9.1 Исходная кинетическая модель............. 9.2 Построение моментных уравнений........... 9.3 Вычисление обменных членов.............. 9.4 Определение частот столкновений........... 9.5 Квазигазодинамические уравнения для смеси газов. 9.6 Одножидкостные приближения............. 9.7 КГДМ система для одномерного течения....... 9.8 Структура ударной волны в смеси гелия и ксенона.. 9.9 Задача диффузии аргона и гелия........... A Пример построения КГД уравнений B Течение вязкого сжимаемого газа в микроканалах C Структура неподвижной ударной волны D Турбулентное течение за обратным уступом Список литературы Введение Предлагаемая читателю книга посвящена изложению нового эф фективного подхода к численному моделированию широкого кру га течений вязкого газа и жидкости. Этот подход основан на ис пользовании двух математических моделей, обобщающих систему уравнений Навье–Стокса и отличающиеся от нее дополнительными диссипативными слагаемыми с малым параметром в качестве ко эффициента. Новые модели получили название квазигазодинамиче ских и квазигидродинамических (КГД) уравнений. Приведен способ построения и теоретическое обоснование КГД уравнений. На базе этих уравнений построены конечно-разностные алгоритмы расчета вязких нестационарных течений газа и жидкости. Универсальность, эффективность и точность построенных алгоритмов обеспечивается заложенными в них математическими свойствами и выполнением для них интегральных законов сохранения и теоремы о балансе эн тропии. Простота и удобство численной реализации позволяют стро ить численные алгоритмы для расчета сложных течений и исполь зовать параллельные технологии программирования для ускорения счета. Последнее особенно важно при расчетах нестационарных те чений.

Описание течений газа и жидкости на основе уравнений Навье– Стокса имеет богатую историю. В настоящее время созданы и успешно применяются многочисленные коммерческие пакеты про грамм, реализующие численные алгоритмы решения этих уравне ний. Однако используемые в них подходы нельзя считать совер шенными. В разное время предпринимались попытки расширить возможности описания течений, заложенные в системе Навье– Стокса. Однако предлагаемые модели оказались существенно слож нее классической системы и не нашли применения в практических расчетах.

Система квазигазодинамических уравнений, расширяющая возможности модели Навье–Стокса, впервые появилась в ходе ис следований, выполненных в восьмидесятых годах небольшой груп пой сотрудников Института прикладной математики АН СССР им. М.В. Келдыша под руководством профессора, а ныне члена корреспондента Российской Академии Наук, Б.Н. Четверушкина.

В самом начале этих исследований в 1982 г. автору посчастли вилось включиться в эту работу, и с его непосредственным участи ем был выписан первый вариант квазигазодинамических уравнений.

Эти уравнения отличались от классических уравнений динамики га за дополнительными слагаемыми, имеющими вид вторых простран ственных производных. Новые модели сразу позволили построить эффективные численные алгоритмы решения уравнений Эйлера, а впоследствии и уравнений Навье–Стокса.

Позднее в работах Ю.В. Шеретова квазигазодинамические урав нения были представлены в виде законов сохранения, детально ис следованы и теоретически обоснованы. Кроме того, им была постро ена родственная этим уравнениям квазигидродинамическая систе ма. Принципиальным и существенным отличием КГД подхода от теории Навье–Стокса явилось использование процедуры простран ственно-временного осреднения для определения основных газоди намических величин плотности, скорости и температуры. Допол нительное сглаживание по времени явилось причиной возникнове ния в уравнениях дополнительных диссипативных слагаемых, кото рые формально отличают КГД системы от системы Навье–Стокса.

В стационарном случае обе КГД системы отличаются от уравне ний Навье–Стокса и друг от друга дивергентными членами, имею щими формальные асимптотические порядки малости O(Kn2 ) при Kn 0, где Kn – число Кнудсена. Приближением погранично го слоя для новых уравнений, также как и для уравнений Навье Стокса, служат уравнения Прандтля. Влияние добавочных членов незначительно для стационарных и квазистационарных газодина мических течений при малых числах Кнудсена. Однако для сильно нестационарных течений, а также при числах Kn, близких к едини це, их вклад становится существенным. Именно в этом классе задач следует искать преимущества новых моделей. При численном моде лировании дополнительные слагаемые проявляют себя как эффек тивные регуляризаторы.

Каждой из двух КГД систем соответствует свой способ реше 8 Введение ния проблемы замыкания. Квазигазодинамические уравнения сле дует использовать при моделировании течений идеального полит ропного газа, а квазигидродинамические при исследовании дви жений газов и жидкостей с более общим уравнением состояния.

Монография состоит из девяти глав и четырех приложений.

В первой главе сформулированы общие идеи, позволяющие на ряду с классической системой уравнений газовой динамики систе мой уравнений Навье–Стокса, построить две новые математические модели для описания вязких течений квазигазодинамическую и квазигидродинамическую системы уравнений.

Во второй главе приведены элементы кинетической теории, необ ходимые для дальнейшего изложения, и описан способ построения кинетически-согласованных разностных схем, которые послужили основой для первых вариантов КГД уравнений.

В третьей главе, которая имеет ключевой характер, приведены два возможных способа построения квазигазодинамических урав нений. Первый основан на использовании известной кинетической модели движения частиц, второй основан на интегральных законах сохранения, выписанных для малого, но конечного объема. Здесь же изложен способ записи полученных уравнений в виде законов сохра нения, выписано уравнение баланса энтропии и прослежена связь КГД системы с уравнениями Навье-Стокса. Одним из результатов этой главы является получение приближенной формулы для вычис ления коэффициента объемной вязкости.

В четвертой главе КГД уравнения выписаны для произвольной ортогональной системы координат.

Пятая, самая объемная глава, посвящена построению эффектив ных конечно-разностных алгоритмов решения КГД уравнений для численного моделирования газодинамических течений с использова нием ортогональных сеток. Здесь же приведены примеры расчетов тестовых задач.

В шестой главе предложенные алгоритмы обобщаются на случай неструктурированных двумерных пространственных сеток. Седь мая глава посвящена исключительно второй КГД системе системе квазигидродинамических уравнений. На основе этих уравнений по строены новые эффективные алгоритмы расчета нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости и приведены примеры моделирования двумерных и трехмерных течений.

В восьмой и девятой главах построены обобщения квазигазоди намических уравнений для моделирования течений газа с неравно весностью между поступательной и вращательной степенями сво боды, и уравнения для описания бинарной смеси нереагирующих между собой газов.

В приложениях приведен детальный вывод квазигазодинамиче ской системы уравнений для плоского одномерного течения, а так же примеры расчета течения разреженного газа в тонком капилля ре, течения в одномерной ударной волне и численное моделирование ламинарно–турбулентного перехода в потоке газа за обратным усту пом.

Данная книга основана на курсе лекций, прочитанных автором для аспирантов кафедры математики Физического факультета МГУ в 2004 – 2008 гг. и изданных в 2005г. в качестве учебного пособия.

Всем коллегам, в разное время принимавшим участие в развитии КГД теории, я искренне благодарна за сотрудничество. Их вклад отражен в публикациях, послуживших основой этой монографии.

Я искренне благодарна Борису Николаевичу Четверушкину, идеи которого послужили основой КГД подхода. Я глубоко бла годарна Юрию Владимировичу Шеретову за помощь в написании первой главы и ряда разделов в главах 2, 3, 5 и 7. Я признательна Александру Андреевичу Самарскому и Алексею Георгиевичу Свеш никову за постоянную поддержку этого научного направления.

Глава Построение уравнений газовой динамики на основе законов сохранения В этой главе излагаются физические принципы, положенные в осно ву вывода уравнений классической газовой динамики и новых КГД уравнений квазигазодинамической и квазигидродинамической си стем.

КГД уравнения, также как и уравнения Навье–Стокса, явля ются следствием интегральных законов сохранения, имеют диссипа тивный характер и могут быть получены из общей системы уравне ний сохранения. Принципиальным и существенным отличием КГД уравнений от уравнений Навье–Стокса представляется использова ние процедуры пространственно-временного осреднения для опре деления основных гидродинамических величин плотности, скоро сти и температуры. Использование пространственных средних при водит к системе уравнений Навье–Стокса. Для пространственно временных средних предложено два варианта замыкания общей си стемы уравнений, которые приводят к двум КГД системам. Выра жения для векторов плотности потока массы, потока тепла и тен зора вязких напряжений для КГД систем в этой главе приведены без вывода. Два способа построения этих величин для первой КГД системы представлены в главе 3. Обсуждается физический смысл вектора плотности потока массы. Изложение этой главы в основном основано на материалах [53, 111, 114, 120].

1.1 Процедура осреднения Рассмотрим одноатомный газ, состоящий из достаточно большого числа N атомов-шариков радиуса r0 и массы m0. В евклидовом пространстве R3 выберем декартову систему координат (x1, x2, x3 ) 1.1. Процедура осреднения и время t.

Движение каждого атома может быть описано уравнениями ме ханики Ньютона. Однако такой подход к моделированию задач га зовой динамики оказывается очень далеким от практики, поскольку N очень велико. Кроме того, возникают проблемы с определением начальных условий задачи и с последующим осреднением получа ющихся величин, которое необходимо для вычисления измеряемых величин плотности, скорости и температуры среды.

В классической гидродинамике используется другой подход, ос нованный на переходе от большого числа отдельных частиц к сплош ной среде с помощью процедур осреднения. Эти процедуры могут быть выбраны по-разному.

1.1.1 Пространственные средние В теории Навье–Стокса используются так называемые мгновенные пространственные средние, которые определяются следующим об разом.

Пусть V шар радиуса RV с центром в точке x (рис. 1.1).

Пусть атом находится в шаре, если его центр принадлежит этому шару. Пусть NV (t) число молекул в объеме V в момент вре мени t. Определим плотность, средний импульс и среднюю энергию единицы объема как m (1.1) (x, t) = NV (t), V NV (t) m (1.2) I(x, t) = u = i (t), V i= NV (t) u2 m0 i (t) (1.3) E(x, t) = ( + ) =, 2 V i= где i (t) скорость i-той частицы в момент времени t, m0 ее мас са. В приведенных выражениях = (x, t) удельная внутренняя энергия. Введем температуру T, которая определяется из выраже ния (1.4) = cv T, 12 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики где cv = cp R удельная теплоемкость при постоянном объеме, cp удельная теплоемкость при постоянном давлении, R = kB /m0 = = R /M газовая постоянная, kB = 1.38 · 1023 Дж/K постоян ная Больцмана, R – универсальная газовая постоянная, M – моле кулярная масса газа, = cp /cv показатель адиабаты.

При изменении объема осреднения V значения сред них могут изменяться. Примем гипотезу о наличии двух мас штабов Rmax и Rmin таких, что Rmax Rmin, и при фик сированных x и t при любом Rmax RV Rmin значения указанных средних практиче ски постоянны и не зависят от V. Тогда соответствующие средние назовем газодинами ческими величинами плот Рис. 1.1. К определению средних ве- ностью, импульсом и полной энергией. Предположим также, личин что все эти функции являются достаточно гладкими, то есть непрерывно дифференцируемыми столько раз, сколько это потребуется.

1.1.2 Пространственно-временные средние Определим пространственно-временные средние, которые отлича ются от определений (1.1)–(1.3) дополнительным сглаживанием по времени. Для этого введем дополнительно некоторый интервал вре мени t и определим плотность, импульс и энергию единицы объема как t+t m0 NV (t )dt, (1.5) (x, t) = V t t 1.1. Процедура осреднения t+t NV (t ) m0 i (t ) dt, (1.6) I(x, t) = u = V t t i= t+t NV (t ) u2 i (t ) m0 dt. (1.7) E(x, t) = ( + ) = 2 V t t i= Предположим далее, что помимо двух пространственных мас штабов Rmax и Rmin, существуют также два временных масштаба tmax tmin, таких, что при любом tmax t tmin значе ния указанных средних практически постоянны и не зависят от V и t. Характерные значения указанных масштабов связаны между собой как tmax Rmax /c, tmin Rmin /c, где c – скорость звука, определяющая скорость распространения возмущений в газе. Тогда соответствующие средние можно рассматривать как газодинамиче ские величины плотность, импульс и полную энергию. Предполо жим также, что эти функции достаточно гладкие.

Иерархия характерных пространственных и временных масшта бов для газодинамических течений детально обсуждается, в частно сти, в [63, 64] и [122].

Введение дополнительного сглаживания по времени при опреде лении газодинамических величин представляется естественным по многим причинам. В экспериментах измерение всех газодинамиче ских величин осуществляется за конечное время, что автоматиче ски приводит к сглаживанию по некоторому временному интерва лу. Число частиц в малом объеме V c прозрачными границами естественным образом меняется на временах порядка RV /c за счет частиц, хаотическим образом пересекающих его границу. При до статочно большом числе частиц в объеме осреднения V простран ственные и пространственно-временные средние могут быть очень близки, что соответствует эргодической гипотезе об идентичности мгновенных пространственных и пространственно-временных сред них.

В дальнейшем мы не будем отождествлять мгновенные про странственные и пространственно-временные средние, сохраняя 14 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики при этом привычные обозначения для всех газодинамических величин. При необходимости будем обозначать мгновенные про странственные средние индексом s, а пространственно-временные средние – индексом st.

1.1.3 Преобразование Галилея Рассмотрим две инерциальные системы координат. Пусть K си стема координат, движущаяся относительно исходной системы ко ординат K с постоянной скоростью U (рис. 1.2). Тогда координаты материальной точки x и время t в K связаны с координатами x и t в системе K соотношениями x = x U (t t0 ), (1.8) t = t. (1.9) Рис. 1.2. Пространственно-временные средние и преобразование Галилея В момент t0 обе системы совпадают. Формулы (1.8)–(1.9) были названы Ф. Франком "преобразованиями Галилея" [80]. Преобразо вание Галилея сначала было выписано для материальной точки в классической механике Ньютона. При этом существенно использо валась гипотеза (1.9) об абсолютности времени. Согласно принципу Галилея инерциальные системы координат, движущиеся друг отно сительно друга с постоянными скоростями, равноправны с точки 1.1. Процедура осреднения зрения протекания в них механических явлений, то есть уравнения движения в этих системах координат инвариантны.

Однако для того, чтобы исследовать инвариантность уравнений гидродинамики, формул (1.8)–(1.9) недостаточно. Необходимо знать еще, как изменяются при переходе от K к K макроскопические параметры плотность, гидродинамическая скорость u и тем пература T. Ответ на последний вопрос зависит от используемой процедуры осреднения при определении этих макропараметров.

При использовании мгновенных пространственных средних име ют место равенства = s, u = us U, (1.10) Ts = Ts.

s s Инвариантность уравнений Навье–Стокса, которые строятся на основе пространственных средних, по отношению к преобразовани ям (1.8)–(1.9) проверяется непосредственно.

Для пространственно-временных средних объемы, по которым проводится осреднение в неподвижной V и движущейся V си стемах координат, будут различаться – неподвижный для наблюда теля из системы координат K объем V представляется движущим ся наблюдателю, связанному с системой координат K, и наоборот.

Поэтому равенства (1.10) выполняются не точно, а лишь прибли женно:

st, u ust U, Tst Tst.

(1.11) st st Таким образом, плотность, скорость и температура оказываются относительными, и инвариантность по отношению к преобразовани ям Галилея нарушается.

Сходная ситуация возникает в релятивистской гидродинамике, где несправедлива гипотеза (1.9) об абсолютности времени. Поэтому уравнения релятивистской гидродинамики также не инвариантны относительно преобразования Галилея.

Для существования инвариантности в уравнениях гидродинами ки необходимо выполнение двух условий:

• определение гидродинамических величин как пространствен ных средних (то есть в неподвижной и подвижной системах 16 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики координат используется один и тот же объем осреднения, что дает = ), • абсолютность времени (время одинаково в неподвижной и дви жущейся системах координат, следовательно, t = t ).

Инвариантность нарушается, если не выполняется хотя бы од но из этих двух условий. Для уравнений Навье–Стокса выполнены оба условия. Для уравнений релятивистской механики не выпол нено второе условие. Для уравнений, которые строятся на основе пространственно-временных средних, не выполняется первое усло вие. Детальному обсуждению справедливости преобразования Гали лея для уравнений гидродинамики посвящена работа Ю.В. Шере това [118].

1.1.4 Уравнение неразрывности В основу гидродинамики положен принцип сохранения массы, или уравнение баланса массы, которое записывается как (1.12) + div jm = 0, t где jm вектор плотности потока массы. Это уравнение носит название уравнения неразрывности. Интегральный вид уравнения неразрывности (1.13) dV + (jm · n)d = t V означает, что изменение массы в некотором замкнутом объеме V определяется потоком массы jm, протекающим через его границу. При этом при построении уравнения (1.12) определения газоди намических величин не используются.

Для пространственных средних полагается (см., например, [93, 114]), что плотность потока массы равна импульсу единицы объема (1.14) jms = s us.

В этом случае уравнение (1.12) имеет вид s (x, t) (1.15) + div(us (x, t)s (x, t)) = 0, t 1.1. Процедура осреднения и для уравнения неразрывности (1.15), также как и для самих про странственных средних, преобразование Галилея выполняется.

Покажем, что при использовании определений пространственно временных средних уравнение неразрывности вида (1.15) для этих средних не выполняется. Проинтегрируем уравнение (1.15) по мало му интервалу времени t. Тогда, согласно определению st, первое слагаемое примет вид t+t s (x, t ) 1 dt = st (x, t).

t t t t Второе слагаемое (1.15) примет вид t+t div s (x, t )us (x, t ) dt = t t t+t s (x, t )us (x, t )dt = div(st (x, t)ust (x, t)), = div t t поскольку t+t t+t t+t s (x, t )us (x, t )dt = s (x, t )dt · us (x, t )dt.

t t t Таким образом для пространственно-временных средних плотность потока массы jmst может не совпадать с импульсом единицы объема st ust. Это отражает тот факт, что даже за малое время t мгно венные значения плотности и импульса единицы объема успевают измениться.

В этом случае выражение для плотности потока массы можно записать в более общем виде. Введем малую добавку к скорости, которую обозначим как wst, и запишем плотность потока массы как jmst = st (ust wst ).

Как было показано выше на основе качественных соображений, для уравнений газовой динамики, основанных на пространственно временных средних величинах, преобразование Галилея не выпол няется.

18 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики 1.2 Интегральные законы сохранения В евклидовом пространстве R3 выберем инерциальную декартову систему координат (x1, x2, x3 ). Пусть (e1, e2, e3 ) соответствующий ей ортонормированный базис единичных векторов, t время. Будем использовать следующие стандартные обозначения для величин, ха рактеризующих течения сжимаемой вязкой теплопроводной среды:

плотность среды, u = u(x, t) скорость, p = p(x, t) = (x, t) давление, = (x, t) удельная внутренняя энергия, T = T (x, t) температура, s = s(x, t) удельная энтропия.

Предположим, что среда является двухпараметрической, то есть среди пяти термодинамических параметров, p,, T, s независимы лишь два. При этом заданы уравнения состояния (1.16) p = p(, T ), = (, T ), s = s(, T ).

Пусть F = F (x, t) массовая плотность внешних сил. Например, для жидкости, находя щейся в гравитационном поле Земли, F = g, где ускорение свободно g го падения.

Выделим в области течения ограниченный движущийся материаль ный объем V = V (t) с Рис. 1.3. К выводу уравнений сохранения гладкой поверхностью = (t), ориентированной полем внешних единичных нормалей n (рис. 1.3). Будем считать, что объем V (t) возникает из объема V0 = V (t0 ), где t0 начальный момент времени, путем непрерывной деформации, обусловленной его перемещением вдоль траекторий, определяемых некоторым векторным полем v. Запишем известное тождество Эйлера–Лиувилля [93]:

d (1.17) dV = [D + divv]dV = [ + div(v)]dV, dt t V V V 1.2. Интегральные законы сохранения в котором D = /t + v · дифференциальный оператор, = некоторое непрерывно дифференцируемое скалярное = (x, t) элемент объема в R3.

или векторное поле, dV Пусть в каждой точке x области течения в момент времени t определен вектор jm = jm (x, t), называемый плотностью потока мас сы. Пусть объем V0 перемещается вдоль траекторий, определяемых векторным полем v = jm /. Согласно гипотезе (1.12) это обеспечи вает сохранение массы в объеме при его смещении. Тогда тождество Эйлера–Лиувилля примет вид d (1.18) dV = [ + div(jm /)]dV.

dt t V V Приведем постулаты, на основе которых будем строить уравне ния газовой динамики.

В качестве первого постулата примем закон сохранения массы (1.12, 1.13), который для единообразия дальнейшего изложения за пишем в эквивалентном интегральном виде как d (1.19) dV = 0.

dt V Вторым постулатом будет служить закон сохранения импульса d (1.20) (u)dV = F dV + (n · P )d, dt V V где d элемент площади поверхности около единичного вектора n. Скорость изменения импульса в объеме V равна сумме приложен ных к нему сил. Первый интеграл в правой части (1.20) есть объ емная сила, действующая со стороны внешнего поля;

второй опре деляет силы давления и внутреннего вязкого трения, приложенные к поверхности. Величина P = P (x, t) называется тензором внут ренних напряжений. Символ (n · P ) обозначает свертку (скалярное произведение) вектора n и тензора второго ранга P, осуществляе мую по первому индексу тензора P. Соответственно, запись (P · n) означает, что свертка P и n идет с участием второго индекса тензора P. В случае симметричного тензора P имеем (n · P ) = (P · n).

20 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики Третьим постулатом является закон сохранения полной энергии u d + dV = dt V (1.21) (jm · F )dV + (A · n)d (q · n)d.

V Первый интеграл в правой части (1.21) равен мощности внешних массовых сил, приложенных к объему V ;

второй интерпретируется как мощность поверхностных сил давления и внутреннего вязкого трения. Последний член в (1.21) описывает приток энергии в еди ницу времени через поверхность за счет процессов теплопровод ности. Конкретные выражения для векторных полей A = A(x, t) и q = q(x, t) будут приведены ниже.

Следующий постулат выражает закон сохранения момента им пульса:

d (1.22) [x (u)]dV = [x F ]dV + [x (n · P )]d.

dt V V Он представлен в классической форме. Внутренние моменты, а так же распределенные массовые и поверхностные пары, не учитывают ся. Символ используется для обозначения векторного произведе ния двух векторов.

Второй закон термодинамики, являющийся нашим пятым посту латом, имеет вид d (q · n) (1.23) (s)dV = d + XdV.

dt T V V Поверхностный интеграл в правой части (1.23) определяет скорость изменения энтропии в объеме V за счет теплового потока. Он мо жет быть как положительным, так и отрицательным. Последний интеграл всегда неотрицателен и дает увеличение энтропии за счет внутренних необратимых процессов. Величина X называется произ водством энтропии.

1.3. Законы сохранения в дифференциальном виде 1.3 Законы сохранения в дифференциальном виде Чтобы перейти от интегральных соотношений (1.19) – (1.23) к соот ветствующим дифференциальным уравнениям, воспользуемся фор мулой Эйлера–Лиувилля (1.18) о дифференцировании интеграла, взятого по движущемуся материальному объему. При этом будем считать, что все основные макроскопические параметры среды яв ляются достаточно гладкими функциями пространственных коор динат и времени.

Полагая =, u, (u2 /2 + ), [x u] и s, и учитывая произ вольность V, получим дифференциальные уравнения баланса массы (1.24) + divjm = 0, t импульса (u) (1.25) + div(jm u) = F + divP, t полной энергии u2 u = (jm · F ) + divA divq, (1.26) + + div jm + t 2 момента импульса (1.27) [x u] + div(jm [x u]) = [x F ] + [x Pij ej ] t xi и энтропии (s) q (1.28) + div(jm s) = div + X.

t T Здесь (jm u) – тензор второго ранга, полученный в результате пря мого произведения векторов jm и u. При вычислении дивергенции от тензора второго ранга свертка осуществляется по его первому ин дексу. В уравнении (1.27) символом Pij обозначен портрет тензора P в базисе (e1, e2, e3 ). По дважды повторяющимся индексам i и j идет суммирование.

22 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики Покажем, что полученная система уравнений (1.24) – (1.26) явля ется диссипативной. Пусть все величины, входящие в эту систему, определены. Предположим, что течение газа происходит в замкну том сосуде объема V0 с непроводящей тепло твердой стенкой 0.

Добавим к системе (1.24) – (1.26) начальные условия (1.29) |t=0 = 0, u|t=0 = u0, T |t=0 = T0, x V0, а также граничные условия (1.30) u|0 = 0, (jm · n)|0 = 0, (q · n)|0 = 0, t Здесь 0 = 0 (x) 0, u0 = u0 (x), T0 = T0 (x) 0 заданные зна чения плотности, скорости и температуры в момент времени t = 0.

Первое из условий (1.30) означает, что газ прилипает к стенкам сосу да;

второе обеспечивает отсутствие потока массы через границу;

третье влечет равенство нулю на 0 нормальной составляющей теплового потока. Интегрируя (1.28) по объему V0 и принимая во внимание (1.29), (1.30), приходим к неравенству dS(t) (1.31) dt для полной термодинамической энтропии S(t) = V0 s dx. Из (1.31) следует, что величина S(t) является неубывающей функцией време ни.

Система (1.24) – (1.28) не является замкнутой. Необходимо пред ставить величины jm, P, q, A, X как функции макроскопических параметров среды и их производных. Проблема замыкания может быть решена различными способами.

1.4 Уравнения Эйлера и Навье–Стокса Изложим сначала классический подход, в котором для определения гидродинамических величин используются мгновенные простран ственные средние [72, 79, 93]. В этом случае вектор плотности по тока массы jm в любой точке (x, t) совпадает со средним импульсом 1.4. Уравнения Эйлера и Навье–Стокса единицы объема u, и первое замыкающее соотношение имеет вид (1.32) jm = u.

Далее вводится представление о силах давления и внутреннего вяз кого трения, мгновенно действующих на поверхность материально го объема. Закон движения последнего выбирают таким же, как и в механике твердого тела. Это допущение называют принципом отвердевания. Уравнение баланса момента импульса (1.27) является следствием закона сохранения импульса (1.25) при условии симмет ричности тензора напряжений P. В теории ньютоновских сред для P = PN S используется выражение (1.33) PN S = N S pI, где N S = µ[( u) + ( u)T (2/3)Idivu] + Idivu (1.34) тензор второго ранга, называемый навье–стоксовским тензором вязких напряжений, I – единичный тензор-инвариант второго ранга.

Верхним индексом Т обозначена операция транспонирования.

Тепловой поток q = qN S задается в соответствии с законом Фурье (1.35) q = T.

Для идеальных одноатомных газов при малых числах Кнудсена ги потезы (1.34), (1.35) подтверждаются кинетическим расчетом.

Работу в единицу времени поверхностных сил давления и внут реннего вязкого трения вычисляют по той же формуле, что и в ме ханике твердого тела, а именно (1.36) A = (PN S · u) = (N S · u) pu.

Считают, что удельная термодинамическая энтропия подчиняется дифференциальному тождеству Гиббса (1.37) T ds = d + pd(1/).

24 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики Уравнение баланса энтропии (1.28) может быть получено на осно ве тождества Гиббса с использованием законов сохранения массы, импульса и энергии (1.25) – (1.26). При этом производство энтропии X = XN S имеет вид T (N S : N S ) T 2 (1.38) X= + = +, T 2µT T T где (N S : N S ) = 3 (N S )ij (N S )ij – двойное скалярное произ i,j= ведение двух одинаковых тензоров. Величина называется диссипа тивной функцией, величина которой определяет диссипацию энер гии за счет сил вязкого трения. Заметим, что правая часть равен ства (1.38) неотрицательна. Подстановка выражений (1.32) – (1.36) в уравнения (1.24) – (1.26) дает классическую систему Навье–Стокса для вязкой сжимаемой теплопроводной среды (1.39) + div u = 0, t импульса (u) (1.40) + div(u u) + p = F + div N S, t и полной энергии u2 u p + + div u ++ + div qN S = t 2 2 = (u · F ) + div(N S · u). (1.41) Первое соотношение (1.39) называется уравнением баланса массы или уравнением неразрывности. Равенства (1.40) и (1.41) выражают законы сохранения импульса и полной энергии, соответственно.

Система становится замкнутой, если ее дополнить граничными и начальными условиями и уравнениями состояния (1.42) p = p(, T ), = (, T ), а также выражениями для вычисления положительных коэффици ентов динамической вязкости µ, второй вязкости и теплопровод ности.

1.4. Уравнения Эйлера и Навье–Стокса Для случая идеального политропного газа, состоящего из упру гих шариков, зависимости (1.42) выбираются в виде (1.43) p = RT, = cv T.

Первое соотношение (1.43) называется уравнением Менделеева– Клапейрона, или уравнением состояния идеального газа. Второе соотношение характеризует газ как политропный. В этом случае удельная термодинамическая энтропия выражается формулой RT (1.44) s = cv ln + const.

(1) Здесь cv = R/( 1), cp = R/( 1).

Зависимости µ = µ(, T ) и = (, T ) могут быть найдены либо экспериментально, либо методами кинетической теории газов. Для идеального политропного газа вязкость и теплопроводность зависят только от температуры и могут быть аппроксимированы функциями T µcp (1.45) µ = µ1, =, T1 Pr в которых µ1 известное значение коэффициента динамической вязкости при температуре T1, заданный показатель темпера турной зависимости из промежутка [0.5, 1], P r число Прандтля.

Приближенно коэффициент второй (объемной) вязкости можно ап проксимировать формулой =µ 0.

Этот коэффициент всегда положителен и связан с наличием внут ренних степеней свободы молекулы. Для одноатомного газа = 5/ и = 0. В противном случае 1 5/3, и 0. Указанная форму ла была получена на основе кинетической теории в [193] для газа с вращательными степенями свободы. Эта же формула получается на основе анализа КГД уравнений для произвольного (см. с. 66). Вли яние коэффициента второй вязкости на форму профиля плотности в ударной волне обсуждается в приложении B.

26 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики Для других сред (например, газа Ван-дер-Ваальса) зависимости (1.43) и (1.45) могут видоизменяться.

Уравнения (1.39) – (1.41) являются инвариантными относительно преобразований Галилея. Это соответствует принципу относитель ности Галилея об одинаковом виде законов движения в различных инерциальных системах отсчета.

Выписанная система уравнений удовлетворяет закону сохране ния момента импульса и уравнению баланса энтропии в виде (s) T T (1.46) + div(us) = div + +, t T T T где диссипативная функция (N S : N S ) (1.47) =.

2µ Вытекающий отсюда закон неубывания полной энтропии в за мкнутом адиабатически изолированном объеме указывает на необ ратимый (диссипативный) характер системы Навье–Стокса.

Если в уравнениях (1.39) – (1.41) пренебречь эффектами вязко сти и теплопроводности, то придем к классической системе уравне ний Эйлера.

1.5 Квазигазодинамические и квазигидроди намические уравнения Для мгновенных пространственных средних справедливо равенство (1.32). Для пространственно-временных средних это равенство в об щем случае не выполняется (см. раздел 1.1.4). Возможный выбор величин jm, P, A, q, X в предположении, что jm, вообще говоря, не равен u, приведен далее.

По аналогии с выражениями (1.33), (1.36) будем полагать, что тензор напряжений и работа сил давления и вязкого трения связаны с тензором вязких напряжений соотношениями вида:

jm P = pI, A = ( · u) p.

1.5. Квазигазодинамические уравнения Для пространственно-временных средних было построено два вари анта замыкания общей системы уравнений (1.24) – (1.28). Получаю щиеся в результате этого системы были названы квазигазодинамиче ской и квазигидродинамической системами уравнений. Сокращенно обе системы именуются одинаково КГД системы. Присутствую щие в КГД уравнениях добавки, пропорциональные малому пара метру, связаны с дополнительным осреднением (сглаживанием) по времени при определении газодинамических параметров.

Первая система описывает поведение идеального политропного газа. Первый вариант этой системы был получен на основе кине тической модели в 80-е годы [50, 51, 105]. Позднее эта система была представлена в виде законов сохранения [111, 114]. Вторая система была получена позднее Ю.В. Шеретовым на основе анализа урав нений сохранения в дифференциальном виде [110, 111]. Эта система описывает течение газа с более общим уравнением состояния, и в приближении = const может использоваться для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости.

Там, где это не приводит к путанице, будем использовать аббре виатуру КГД. В специальных случаях будем называть эти системы полностью.

1.5.1 Квазигазодинамическая система Пусть за некоторое физически бесконечно малое время мгновенные значения средней плотности, среднего импульса и энергии единицы объема успевают измениться. Для идеального политропного газа, то есть для газа с уравнением состояния p p = RT, = ( 1) был найден способ замыкания общей системы (1.24) – (1.28), кото рый приводит к квазигазодинамической системе уравнений. Вари ант построения этой системы на основе кинетической модели будет изложен в главе 3. Здесь приведем сразу замыкающие соотношения, которые имеют вид (1.48) jm = (u w), 28 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики P = pI + = pI + N S + u (u · )u + p F + + I (u · )p + p div u, (1.49) q = T u (u · ) + p(u · ) = = T T u(u · )s, (1.50) где (1.51) w = wQGD = [div(u u) + p F ], – некоторый малый коэффициент размерности времени, который в дальнейшем будем называть параметром релаксации, или сгла живания. При = 0 приведенные выше выражения для jm, P и q вырождаются в соответствующие величины для уравнений Навье– Стокса. Способы нахождения будут обсуждаться далее.

Вектор A и неотрицательная величина производства энтропии Х записываются в виде A = (N S · u) p(u w) u (1.52) + u (u · ) + (u · )p + u (u · )p + p div u, T (N S : N S ) p 2 X= + + 2 div(u) T 2µT T 2 (u · ) + p div u. (1.53) + (u · )u + p F + T T Заметим, что производство энтропии для КГД системы пред ставляет собой производство энтропии для уравнений Навье–Стокса с дополнительными членами, которые являются квадратами левых частей классических уравнений Эйлера в стационарном случае с по ложительными коэффициентами. Для КГД уравнений производство энтропии неотрицательно.

1.5. Квазигазодинамические уравнения Подставляя выписанные выше значения векторов и тензора вяз ких напряжений в общую систему уравнений (1.24) – (1.28) получим квазигазодинамическую систему в виде (1.54) + divjm = 0, t (u) (1.55) + div(jm u) + p = F + div, t u2 u p + + div jm ++ + divq = t 2 2 (1.56) (jm · F ) + div( · u).

Здесь = div(u) приближенное значение плотности в точке (x, t + ). Величина определяется выбором значения плотности в первом слагаемом правой части (1.20) в сдвинутой по времени точке с помощью соотношения = + /t, где /t + div(u) = 0.

Уравнение баланса энтропии было получено на основе недивер гентного вида КГД системы в форме (1.28) в [115] (s) q (1.57) + div(jm s) = div + X.

t T Вариант его построения для течений с внешними источниками энер гии приведен в последнем параграфе главы 3.

1.5.2 Квазигидродинамическая система Второй способ решение проблемы замыкания системы (1.24) – (1.28) был предложен Ю.В. Шеретовым в работах [111, 114].

Пусть за любое физически бесконечно малое время успевает из мениться только мгновенное значение среднего импульса единицы объема, а изменениями мгновенных значений плотности и темпе ратуры можно пренебречь. В этом случае для газа с уравнениями состояния (1.16) и удовлетворяющему тождеству Гиббса (1.37) ве личины jm, P, q, A и X были построены в виде:

(1.58) jm = (u w), 30 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики (1.59) P = pI + = pI + N S + u w, (1.60) q = T, (1.61) A = (N S · u) + u(w · u) p(u w), (N S : N S ) w T (1.62) X= + +, T 2µT T причем (1.63) w = wQHD = [(u · )u + p F ].

Подставив выражения (1.58), (1.59) и (1.61) вместо величин jm, P и A в (1.24) – (1.26), получим квазигидродинамическую систему уравнений Шеретова (1.64) + divjm = 0, t (u) (1.65) + div(jm u) + p = F + div, t u2 u p + + div jm ++ + divq = t 2 2 (1.66) (jm · F ) + div( · u).

КГД система (1.64) – (1.66) становится замкнутой, если допол нить ее уравнениями состояния (1.16), а коэффициенты µ, и представить как функции макроскопических параметров среды.

Подстановка выражений (1.58), (1.60) и (1.62) в (1.28) дает урав нение баланса энтропии QHD (s) T T, (1.67) +div(us) = div(ws)+div + + t T T T в котором (N S : N S ) w QHD = + 2µ неотрицательная диссипативная функция.

1.5. Квазигазодинамические уравнения 1.5.3 Вектор плотности потока массы и параметр Формально во всех уравнениях КГД системы присутствуют допол нительные по сравнению с системой Навье–Стокса диссипативные слагаемые, представляющие собой вторые пространственные произ водные от плотности, скорости и давления, перед которыми стоит численный коэффициент. При 0 КГД уравнения переходят в уравнения Навье–Стокса.

Коэффициент = (, T ), названный параметром релаксации, или сглаживания, связан с включением в определение газодинами ческих величин осреднения по времени. Это дополнительное осред нение позволяет учесть влияние малых флуктуаций числа частиц в объеме V, которым в классической гидродинамике пренебрегает ся. Величина параметра сглаживания может изменяться в широких пределах в зависимости от типа рассматриваемого течения.

Для определения величины параметра рассмотрим структуру вектора плотности потока массы. Для определенности остановим ся на квазигазодинамической системе уравнений для стационарного течения идеального политропного газа. В этом случае плотность по тока массы вычисляется согласно (1.48), (1.51) (1.68) jm = (u w) = u [div(u u) + p F ].

Преобразуем это выражение к виду (1.69) jm = u + F RT RT div(u u).

Первый член в правой части описывает плотность потока массы, связанного с конвективным движением газа. Второе слагаемое поток, определяемый движением частиц во внешнем поле. Третье слагаемое поток массы за счет самодиффузии. Четвертое сла гаемое так называемый термодиффузионный поток. Последнее слагаемое вклад в поток массы за счет градиента скорости. В ре альных течениях все эти потоки тесно связаны между собой и не могут быть разделены.

Остановимся более подробно на третьем слагаемом. Плотность потока массы за счет самодиффузии имеет вид j = D.

32 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики Коэффициент самодиффузии D для многих сред хорошо известен из экспериментов с изотопами. Согласно, например, [134] и [182], в политропном газе коэффициент самодиффузии связан с коэффици ентом вязкости как µ (1.70) D=, Sc где Sc число Шмидта. Согласно [134], число Шмидта в газе близко к единице и приближенно может быть получено как (1.71) Sc =.

Сравнивая коэффициент самодиффузии (1.70) и выражение для этого коэффициента в (1.69), получаем, что для газа с уравнением состояния p = RT параметр релаксации равен µ (1.72) =.

pSc Таким образом, с точностью до числа Шмидта величина совпа дает с так называемым максвелловским временем релаксации m = = µ/p, то есть близка к среднему времени свободного пробега частиц в газе.

Рассмотрим теперь второе слагаемое уравнения (1.69). Если рас сматривать каждую молекулу как броуновскую частицу, то плот ность потока массы этих частиц можно связать с массовой плотно стью внешних сил соотношением jF = bm0 F, где коэффициент b называется подвижностью молекулы. Подвиж ность молекулы связана с коэффициентом самодиффузии соотно шением Эйнштейна D = bkB T.

Подставляя в выражение для плотности потока массы во внешнем поле подвижность молекулы через соотношение Эйнштейна, вновь придем в формуле (1.72) для коэффициента релаксации.

1.5. Квазигазодинамические уравнения Термодиффузионный поток, который описывается четвертым слагаемым, согласно [72, 78] представляется в виде kT jT = D T, T где kT безразмерная величина, называемая термодиффузионным отношением, которое определяет связь коэффициентов термодиф фузии DT и самодиффузии D в виде DT = DkT. Сопоставляя чет вертое слагаемое в (1.69) и выражение для jT, опять приходим к уже полученному нами ранее выражению для параметра релакса ции (1.72) с точностью до коэффициента kT в виде = kT µ/(pSc).

В [114] для вычисления параметра релаксации была предложена более общая формула µ (1.73) =.

Sc c При учете формулы Лапласа для скорости звука в газе c2 = p/, выражение (1.73) преобразуется к виду (1.72).

Для плотных газов и жидкостей величина параметра сглажива ния, выбранная в соответствии с (1.73), оказывается весьма малой, и влиянием членов в КГД уравнениях содержащих можно прене бречь. Например, для воздуха при температуре T = 200 = 1.4, Sc = 0.74, c = 3.4 · 104 см/сек, = µ/ = 0.15 см2 /cек, и = = 2.45·1010 сек. Для воды при аналогичных условиях = 1, Sc = 1, c = 1.45 · 105 см/сек, = 0.01см2 /cек, и = 4.75 · 1013 сек.

Для течений разреженного газа параметр сглаживания может быть достаточно большим. Вариант его вычисления для разрежен ных течений в каналах рассматривается в Приложении C. При опи сании быстропеременных или турбулентных течений вклад допол нительных вязких членов также может оказаться существенным.

Численное моделирование турбулентного течения за уступом в плос ком канале и способ выбора параметра сглаживания в этой задаче рассматривается в Приложении D.

При проведении расчетов слагаемые с коэффициентом могут использоваться как удобные и эффективные регуляризаторы для нахождении численного решения. При этом величина параметра 34 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики уже не связывается с молекулярными свойствами газа, а определя ется шагом пространственной сетки и выбираться из условий сходи мости и точности разностного решения задачи.

Выражение для плотности потока массы (1.68) включает в себя пространственную производную от давления, что делает уравнение неразрывности для обеих КГД систем уравнением второго порядка.

Поэтому при постановке начально-краевой задачи для КГД систем требуется дополнительное по сравнению с системой Навье–Стокса граничное условие. Это дополнительное условие может быть получе но из условий для вектора плотности потока массы jm (1.48), (1.58) на границе.

Предположим, что граница представляет собой непроницаемую твердую стенку, и что внешняя сила равна нулю. Тогда условие непротекания для потока массы (jm · n) = 0 и условия непроте кания для скорости (u · n) = 0 приводят к условию для давления на границе в виде p/n = 0.

Из формул для вычисления тензора вязких напряжений и теп лового потока для обеих КГД систем (1.49) – (1.51) и (1.59) – (1.60), (1.63) следует, что условие непротекания для скорости (u · n) = приводит к тому, что пропорциональные дополнительные слагае мые в тепловом потоке и тензоре вязких напряжений обращаются в нуль, и для КГД систем на стенке выполняется условие = N S, q = qN S.

Тем самым формулы для вычисления теплового потока и силы тре ния на твердой стенке для КГД уравнений совпадают с традици онными выражениями, полученными в рамках уравнений Навье– Стокса.

1.5.4 Сопоставление моделей и барометрическая формула КГД системы отличаются от других систем, которые в разное время предлагались в работах [4, 15, 63, 64, 96, 122]. КГД уравнения прин ципиально отличаются от уравнений Барнетта [73, 104], добавочные 1.5. Квазигазодинамические уравнения слагаемые в которых имеют вид третьих пространственных произ водных и носят не диссипативный, а дисперсионный характер.


Для целого ряда задач сравнение численных результатов, полу ченных на основе модели Навье–Стокса и КГД уравнений, приведе но в последующих главах. Для расчета разреженных течений такое сопоставление проведено и с расчетами по кинетическим моделям.

Было выполнено детальное сравнение результатов, полученных в расчетах по квазигазодинамическим уравнениям, с данными, по лученными на основе уравнений Навье–Стокса и кинетических под ходов для задач о стационарных течениях в окрестности пласти ны [146], диска [140] и полого цилиндра [161]. В этих расчетах по лучено, что все три модели дают очень близкие результаты для те чений достаточно плотных газов. При этом численный алгоритм, основанный на КГД уравнениях, оказывается существенно проще в численной реализации и обладает большим запасом устойчивости.

С увеличением разреженности результаты расчетов начинают раз личаться. В этом случае данные КГД модели как правило, распола гаются между данными, полученными с использованием кинетиче ского подхода, и результатами расчета с использованием уравнений Навье–Стокса.

В качестве наглядного примера сопоставления КГД уравнений с моделью Навье–Стокса рассмотрим классическую задачу гидро статики о распределении давления в идеальном политропном газе, находящимся в однородном поле тяжести [72, 79]. В состоянии рав новесия макроскопическая скорость u равна нулю, и распределение параметров газа не зависит от времени. В поле тяжести Земли F = = g, где g = 9.8 · 102 см/сек2.

В этом случае обе КГД системы существенно упрощаются и при нимают одинаковый вид div (p g) = 0, p = g, p div (p g) + + div( T ) = g · (p g).

36 Гл.1. Построение уравнений газовой динамики Отсюда непосредственно следуют условия механического равнове сия, вытекающие из системы уравнений Навье–Стокса p = g, div( T ) = 0.

Пусть температура газа постоянна. Тогда приходим к классической формуле, определяющей распределение давления в газе (g · x) (1.74) p = p0 exp, RT где p0 заданное значение давления в точке x = 0. Формула (1.74) называется барометрической формулой, или формулой Лапласа. Та ким образом формула Лапласа является точным решением уравне ний Навье–Стокса и обеих КГД систем.

Другим точным решением, общим для КГД систем и системы Навье–Стокса, является решение задачи о течении Куэтта, приве денное в монографии [114]. В этой же монографии рассмотрен ряд других точных решений задач гидродинамики и прослежена связь таких решений, построенных в рамках классической модели и КГД систем.

Исторические сведения Отдельные экспериментальные факты течения жидкости и газа были установлены Архимедом (287–212 до н. э.), Паскалем (Blaise Pascal, 1588–1651), Торичелли (Evangelista Torricelli, 1608–1647) и Ньютоном (Isaac Newton, 1643–1727).

Основоположниками теоретической гидродинамики можно счи тать двух выходцев из Швейцарии, работавших в том числе и в России Леонарда Эйлера и Даниила, или Даниеля Бернулли.

Термин "гидродинамика"был введен Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700–1783). Даламбер (Jean le Rond D’Alembert, 1717–1783) ввел за кон сохранения массы для жидкости в виде уравнения неразрывно сти.

1.5. Квазигазодинамические уравнения Леонард Эйлер (Leonard Euler, 1707–1783) в 1755 г. выписал уравнения движения идеальной жидкости и развил их математи ческую теорию. Он вывел уравнение неразрывности, выражающее свойство сохранения массы в движущемся вместе с жидкостью материальном объеме. Он же получил уравнение баланса импуль са в локальной форме без учета влияния вязкости. В те времена жидкость и газ рассматривали как сплошную среду в буквальном смысле слова. Молекулярный состав вещества в рассмотрение не принимался. Плотность определялась как формальный математи ческий предел отношения массы жидкости в момент времени t в объеме к величине этого объема при его стремлении к нулю.

Работы Л. Эйлера продолжил Лагранж (Joseph Louis Lagrange, 1736–1813).

Клод Луи Навье (Claude Louis Navier, 1785–1836) вывел урав нения движения вязкой жидкости, пользуясь гипотезой взаимодей ствия молекул. История уравнений вязкой жидкости отсчитывается с того момента, когда Навье в 1822 г. сделал доклад об их про стейшем варианте в несжимаемом случае. Соответствующая статья была опубликована через пять лет.

Джордж Стокс (George Gabriel Stokes, 1819–1903) получил урав нения движения вязкой жидкости на аксиоматической основе. По современным представлениям в качестве постулатов использовались интегральные законы сохранения массы, импульса и полной энергии в материальном объеме, движущемся вдоль интегральных кривых поля скорости. Его можно считать основателем современной гидро динамики.

Осборн Рейнольдс (Osborne Reynolds, 1842–1912), изучая движе ние вязкой жидкости, ввел понятия ламинарного и турбулентного течений и указал возможность резкого перехода от одного вида те чения к другому.

Кинетическое обоснование уравнений гидродинамики было по строено на основе уравнения Больцмана. Это уравнение для описа ния поведения функции распределения частиц моноатомного газа с бинарными столкновениями было выписано австрийским физи ком Людвигом Больцманом (Ludwig Boltzmann, 1844–1906) в 1872 г.

[97, 109].

Глава Элементы кинетической теории газов В этой главе излагаются некоторые аспекты кинетической теории.

Эти сведения используются при выводе квазигазодинамических уравнений в главе 3, построении их обобщений (главы 8 и 9) и рассмотрении задач о структуре ударной волны и течении в микроканалах (приложения B и C). Приведено схематическое описание кинетического алгоритма DSMC, который в настоящее время широко применяется в численном моделировании течений разреженного газа. Расчеты в рамках этого подхода использо вались для верификации КГД алгоритма при моделировании умеренно-разреженных течений. В последнем разделе изложен способ построения кинетически-согласованных разностных схем, дифференциальные аналоги которых послужили основой первых вариантов КГД уравнений. Изложение в этой главе опирается на работы [30, 31, 50–52] и [65, 68, 114, 120, 134, 182].

2.1 Уравнение Больцмана В 1872 г. Л. Больцман предложил интегро-дифференциальное ки нетическое уравнение, которому суждено было стать классической моделью в теории разреженных одноатомных газов [12,62,65,73,134].

Это уравнение имеет вид (2.1) ft + ( · x )f + (F · )f = I(f, f ) и описывает эволюцию одночастичной функции распределения f = = f (x,, t). Здесь скорость отдельной частицы, которую будем рассматривать как атом-шарик массой m0, F действующая на частицы внешняя сила, отнесенная к единице массы, оператор Гамильтона. Функция f нормирована так, чтобы равенство m0 dN = f (x,, t)dxd 2.1. Уравнение Больцмана определяло вероятное. или ожидаемое, число dN частиц в элементе объема dx d около точки (x, ) фазового пространства координат и скоростей в фиксированный момент времени t.

Интеграл столкновений I(f, f ) есть нелинейный функционал, определяющий изменение функции распределения в результате пар ных столкновений. Конкретный вид этого интеграла можно найти в книгах [12, 65, 73, 134].

Важным и нужным нам в дальнейшем свойством интеграла столкновений является его ортогональность любому из так называ емых столкновительных, или сумматорных, инвариантов h() = 1,, 2 /2.

То есть можно записать (2.2) h()I(f, f )d = 0.

Это соотношение выражает законы сохранения массы, импульса и энергии частиц при их парном столкновении. Здесь и далее инте грирование выполняется по всему пространству скоростей частиц.

Зная функцию распределения f, можно определить гидродина мические величины плотность, скорость u, давление p, темпе ратуру T, удельную внутреннюю энергию, тензор вязких напря жений и тепловой поток q с помощью выражений c = f d, u = f d, p= f d, c2 c cv T = = f d, q= cf d, 2 c (2.3) = I c c f d.

Здесь c = u скорость хаотического движения частицы газа, или тепловая скорость, cv = 3R/2 удельная теплоемкость при постоянном объеме для одноатомного газа.

40 Гл.2. Элементы кинетической теории газов Интегрируя (2.1) c весами 1,, 2 /2 и пользуясь свойством (2.2), получим систему уравнений для макроскопических параметров (2.4) + div u = 0, t (u) (2.5) + div(u u) + p = F + div, t u2 u p +div q = (u·F )+div(·u), (2.6) + +div u ++ t 2 2 которая, однако, не является замкнутой.

Для положительных решений f = f (x,, t) уравнения (2.1), в предположениях, что таковые существуют, обладают необходи мыми свойствами гладкости и стремятся к нулю при | |, Л. Больцман доказал свою знаменитую H-теорему.

Предположим, что одноатомный газ находится в ограниченном объеме V0 с зеркально отражающей внутренней стенкой. Пусть за даны соответствующие начальные и краевые условия для функции распределения частиц в этом объеме. Тогда для функции Больцма на H(t) = dx f ln f d V при всех t 0 справедливо неравенство dH(t) (2.7) 0.

dt Таким образом, рассматриваемое движение газа в сосуде сопро вождается невозрастанием с течением времени величины H(t), что указывает на его необратимый характер.

2.2 Равновесная функция распределения и система уравнений Эйлера Точным решением уравнения Больцмана является функция распре деления, называемая локально-максвелловской равновесной функ цией, которая в размерных величинах имеет вид 2.3. Уравнения Навье–Стокса (u ) f (0) (x,, t) = (2.8) exp.

(2RT )3/2 2RT Для функции f (0) справедливо соотношение I(f (0), f (0) ) = 0, и она связана с f соотношениями f (0) d, = f d = f (0) d, u = f d = c2 c2 (0) (2.9) cv T = = f d = f d.

2 Непосредственной подстановкой можно убедиться, что для локально-максвелловской функции распределения c2 (0) c c c f (0) d = 0.


q= cf d = 0, = I 2 Функция f (0) называется также локально-равновесной функцией распределения.

Интегрирование уравнения Больцмана с весами 1,, 2 /2 в нуле вом приближении, то есть когда f считается равной f (0), позволяет замкнуть систему (2.4)–(2.6) и получить систему уравнений Эйлера.

2.3 Уравнения Навье–Стокса В 1916–1917 годах С. Чепмен и Д. Энског предложили асимптотиче ский метод решения уравнения Больцмана, позволяющий замкнуть систему (2.4)–(2.6) и получить систему уравнений первого прибли жения для описания течений вязкого теплопроводного газа систе му уравнений Навье–Стокса [65, 73, 134].

Суть метода заключается в том, что решение приведенного к безразмерному виду уравнения (2.1) ищется в виде формального асимптотического ряда по степеням малого положительного пара метра числа Кнудсена Kn, в виде f = f (0) (1 + Knf (1) + Kn2 f (2) +...), 42 Гл.2. Элементы кинетической теории газов где (2.10) Kn =.

L Здесь средняя длина свободного пробега частиц в невозму щенном потоке, L характерный размер области течения. В каче стве нулевого приближения используется локально-максвелловская функция (2.8).

В первом приближении по числу Kn вычисления с помощью ме тода Чепмена–Энскога приводят к так называемой локально-навье– стоксовской функции распределения c 1 fN S = f (0) 1 N S : (c c). (2.11) 1 (c · qN S ) pRT 5RT 2pRT Величины N S и qN S были выписаны ранее (см. (1.34) и (1.35)).

Последовательно интегрируя уравнение Больцмана с сумматор ными инвариантами 1,, 2 /2 в предположении, что f совпадает с fN S, получим систему уравнений Навье–Стокса, выписанную ранее в разделе 1.4. Процедура Чепмена–Энскога позволяет провести при ближенный расчет коэффициентов вязкости и теплопроводности.

Для газа твердых сфер приближенный расчет этих коэффициентов приводит к выражениям 5 m0 RT cp µ (2.12) µ=, =, 64 r0 Pr где r0 – радиус частицы. Число P r в (2.12) оказывается равным 2/3, а сами коэффициенты зависят только от температуры, что согласу ется с известными экспериментальными данными.

Используя следующее приближение в разложении функции рас пределения по числу Кнудсена, можно получить уравнения Барнет та. Эти уравнения включают в себя третьи пространственные про изводные, что вызывает существенные трудности при их численном решении и постановке граничных условий.

2.4. Уравнение Бхатнагара–Гросса–Крука 2.4 Уравнение Бхатнагара–Гросса–Крука В работе П. Бхатнагара, Е. Гросса и М. Крука в 1954 году [132] было предложено приближенное кинетическое уравнение вида f (0) f (2.13) ft + ( · x )f + (F · )f =, то есть уравнение (2.1), в котором столкновительный интеграл I(f, f ) аппроксимировался с помощью выражения f (0) f (2.14) I(f, f ) =.

В настоящее время уравнение (2.13) называют модельным кине тическим уравнением Бхатнагара–Гросса–Крука (БГК). Примерно в то же самое время уравнения (2.13), (2.14) независимо были опуб ликованы П. Веландером [73]. Положительный параметр в правой части равенства (2.14) интерпретируется как характерное время ре лаксации функции f к локально-максвелловскому распределению f (0), определяемому формулой (2.8), и считается заданной функ цией плотности и температуры. Величина совпадает по порядку величины со средним временем свободного пробега молекул в газе.

Макроскопические величины, входящие в формулу для вычисления, также являются квадратурами от f. Для модели БГК справедлив аналог H-теоремы Больцмана.

Применение метода Чепмена–Энскога к уравнению БГК также приводит к системе Навье–Стокса [65, 73, 134]. При этом коэффици ент динамической вязкости µ и коэффициент теплопроводности вычисляются по формулам (2.15) µ = p, = cp p.

Из приведенных формул следует, что в БГК приближении число Прандтля равно единице.

В настоящее время разработаны усовершенствованные модели типа БГК приближения. В частности, предложена S-модель Ша хова, которая позволяет ввести в рассмотрение реальное значение 44 Гл.2. Элементы кинетической теории газов числа Прандтля. При этом вместо равновесной функции распреде ления в интеграле столкновений (2.14) выбирается функция распре деления вида fS = f0 1 + (1 P r)(c,, T, u), где - некоторая функция [108].

Имеются обобщения БГК приближения на случай, когда харак терное время релаксации зависит от скорости частиц = (). Ва риант релаксационного уравнения, учитывающий неравновесность по внутренним степеням свободы частиц [134], используется в главе 8 для построения газодинамических уравнений. Вариант БГК при ближения для смеси газов и его использование для построения мо ментных уравнений обсуждается в главе 9.

2.5 Средние характеристики движения частиц Приведем определения основных величин, характеризующих хаоти ческое движение частиц в газе с функцией распределения f. Полу ченные выражения будут использоваться в дальнейшем.

Средняя тепловая скорость частиц вычисляется как где c = c2 + c2 + c2. (2.16) c = cf dc, x y z Средняя относительная скорость частиц определяется в виде (2.17) cr = cr f1 f2 dc1 dc2, где cr = 1 2 величина относительной скорости двух сталкива ющихся молекул, cr = [(cx1 cx2 )2 + (cy1 cy2 )2 + (cz1 cz2 )2 ]1/2, f и f2 соответствующие функции распределения.

В случае равновесной функции распределения f = f (0), опреде ленной согласно (2.8), интегралы (2.16) и (2.17) вычисляются ана литически и значения соответствующих средних определяются как 8 RT (2.18) c = RT, cr =.

2.5. Средние характеристики движения частиц Наиболее вероятная скорость частиц определяется "шириной"функции распределения и в этом случае составляет cm = 2RT.

Средняя частота между столкновениями определяется как (2.19) = cr, m где - сечение столкновения молекул, или сечение рассеяния cr = r f1 f2 dc1 dc2.

c (0) Для газа с максвелловской функцией распределения f1 = f1, f2 = (0) = f2 в VHS приближении [134] RTref T (2.20) cr = 4ref, Tref где ref – величина сечения столкновения при температуре Tref.

Для газа твердых сфер ( = 0, = 0.5), (2.20) принимает вид RT (2.21) cr = 0 cr = 40.

Среднее время между столкновениями вычисляется через обрат ную частоту столкновений как (2.22) c =.

Для газа твердых сфер m (2.23) c =.

40 RT В VHS приближении максвелловское время релаксации связано со средним временем между столкновениями [134] µ где () = (2.24) = = ()c,.

p (7 )(5 ) 46 Гл.2. Элементы кинетической теории газов Для газа твердых сфер ( = 1/2) = 5/4.

Cредняя длина свободного пробега частиц определяется сред ним временем свободного пробега c и средней тепловой скоростью (2.16) в виде (2.25) = c c.

Для газа твердых сфер с максвелловской функцией распределения подстановка соотношений (2.18) и (2.23) приводит к выражению m = (2.26).

Приведем некоторые оценки характерных параметров для воз духа: при атмосферном давлении на уровне моря число частиц со ставляет n = 2.4 · 1025 1/м3, среднее расстояние между частицами r = n1/3 = 3 · 107 м, = 107 м, c = 2.5 · 1010 сек, характерная скорость c = 300 м/сек, = 1018 м2.

На высоте 300 км от поверхности Земли концентрация частиц n = /m0 1015 м3, среднее расстояние между молекулами r 3 · 105 м, средняя длина свободного пробега 103 м, c сек.

Из приведенных оценок наглядно видно, что значения средних величин в газе сильно меняются с изменением плотности частиц.

В частности, это касается соотношения средней длины свободного пробега и среднего расстояния между молекулами. Это поясняет тот факт, что масштабы пространственного V и временнного t осреднения, введенные в рассмотрение в п. 1.1 первой главы, могут существенно изменяться в зависимости от конкретной рассматрива емой задачи.

2.6 Коэффициенты переноса в равновесном газе Хаотическое перемещение частиц, рассматриваемое на микроскопи ческом уровне, сопровождается перераспределением их числа, а так же переносом каждой частицей своего импульса и энергии. Тем са мым на макроскопическом уровне описания движение молекул по 2.6. Коэффициенты переноса в равновесном газе рождает три взаимосвязанных процесса переноса – это диффузия или самодиффузия, вязкость и теплопроводность.

Эти три транспортных процесса тесно связаны между собой. Во всех трех случаях потоки пропорциональны градиенту соответству ющей величины. Согласно [182], эти процессы могут быть единооб разно описаны с использованием основных понятий кинетической теории а именно, в терминах средней скорости частиц и средней длины свободного пробега.

Действительно, пусть длина свободного пробега много меньше характерного размера задачи, связанного с градиентами макроско пических величин плотности, скорости и давления. Рассмотрим перенос некоторой скалярной величины A через площадку единич ной площади, расположенную перпендикулярно оси z, за единицу времени. Тогда нормальная составляющая потока A, протекающе го за счет хаотического движения частиц через эту площадку в еди ницу времени, определяется как 1 dA (2.27) A = (n).

v 3 dz Здесь n – плотность частиц, v – средняя скорость хаотического дви жения частиц, – средняя длина свободного пробега. Коэффици ент 1/3 выбирается из предположения, что все три координатных направления при хаотическом движении равноправны.

Связывая величину A с концентрацией A = n1 /n, найдем диф фузионный поток через площадку 1 dn1 /n 1 dn (2.28) n = j = (n) v = () v.

3 dz 3 dz Отсюда получаем выражение для коэффициента диффузии в виде (2.29) D = v.

Для вычисления переноса импульса через единичную площадку представим величину A как A = m0 u, где u макроскопическая скорость течения газа вдоль площадки. Тогда поток величины A, 48 Гл.2. Элементы кинетической теории газов переносимый при случайном блуждании частиц, будет соответство вать компоненте тензора вязких напряжений 1 m0 du 1 du (2.30) A = = (n)v = ().

v 3 dz 3 dz Таким образом, получаем кинетическую оценку для коэффициента вязкости – формулу Максвелла (2.31) µ =.

v Связывая значение A с тепловой энергией частицы A = m0 v 2 /2 и заменяя v 2 на наиболее вероятную скорость v 2 = c2 = 2RT, получим выражение для потока тепла через площадку 1 d 1 dT (2.32) A = q z = (n) m0 2RT = (n)kB v v.

3·2 dz 3 dz То есть коэффициент теплопроводности имеет вид 1 (2.33) = nkB = cv, v v 3 где cv = 3kB /m0 теплоемкость единицы массы при постоянном объеме для одноатомного газа. Полученные на основе простых ки нетических оценок значения коэффициентов диффузии, вязкости и теплопроводности оказываются связанными между собой и пропор циональны длине свободного пробега и средней скорости хаоти ческого движения частиц v. Определяя v как среднюю тепловую скорость (2.18), получим известные выражения для всех трех ко эффициентов переноса при Sc = 1 и P r = 1, а также связь длины свободного пробега с коэффициентом вязкости, которая отличается от формулы Чепмена (см. раздел 3.4) численным коэффициентом порядка единицы.

Таким образом, упрощенное рассмотрение процессов переноса в равновесном газе позволяет получить качественно правильные вы ражения для коэффициентов диффузии, вязкости и теплопровод ности. Все три процесса переноса представляются равноправными и все три явно присутствуют в КГД уравнениях. В систему Навье– Стокса входят только два из них перенос импульса и тепловой энергии, связанные с коэффициентами вязкости и теплопроводно сти.

2.7. Численное моделирование течений разреженного газа 2.7 Численное моделирование течений разреженного газа 2.7.1 Общие замечания Характеристикой степени разреженности газодинамического тече ния является число Кнудсена Kn = /L, представляющее собой отношение средней длины свободного пробега молекул к харак терному линейному размеру задачи L. Обычно газ рассматривается как плотный, если Kn 0 (на практике Kn 0.01). Условия, при которых Kn (на практике Kn 10), характерны для свободно молекулярных течений, когда столкновения между частицами прак тически отсутствуют. При промежуточных числах Kn газ считается разреженным.

Методы расчета свободномолекулярных режимов к настоящему времени достаточно хорошо разработаны. Для этих задач столкно вениями частиц между собой можно пренебречь и учитывать только взаимодействие частиц со стенками. Распределение частиц по ско ростям с большой точностью можно считать известным, например, равновесным с функцией распределения f (0). Основной проблемой при этом является описание взаимодействия частиц со стенками.

Этот процесс можно приближенно описать с помощью коэффици ента аккомодации, который обозначается через. Простейшими мо делями здесь являются: полная аккомодация частиц на стенке, или так называемое диффузное отражение, которое соответствует значе ниям = 1, и модель зеркального отражения, в которой полагается = 0.

Под умеренно-разреженным течением газа понимают такие те чения, когда число Кнудсена лежит в диапазоне порядка от 0.01 до 0.1, в зависимости от рассматриваемой задачи. Течения умеренно разреженного газа представляют собой область, находящуюся на границе применимости кинетического подхода и подхода, связан ного с решением моментных уравнений. Расчет таких течений ме тодами кинетической теории требует неоправданно больших вычис лительных ресурсов, что обусловлено высокой плотностью газа. В то же время уравнения Навье–Стокса, полученные в приближении 50 Гл.2. Элементы кинетической теории газов Kn 0, теряют свою точность при анализе указанных режимов.

Для расчета течений умеренно-разреженного газа в рамках мо ментных уравнений возникает необходимость учета отклонения от режима сплошной среды, в первую очередь вблизи обтекаемой по верхности. Для этого используются специальные граничные усло вия.

Для всех чисел Кнудсена, как бы малы они ни были, вблизи стен ки существует слой газа, толщина которого имеет порядок средней длины свободного пробега молекул так называемый слой Кнудсе на. Для того, чтобы в рамках макроскопических уравнений учесть влияние этого слоя на поле течения, вводятся граничные условия, представляющие собой условия скольжения для скорости и скачка для температуры.

Первый вариант таких условий был выписан Максвеллом в пред положении диффузного характера отражения молекул от стенки1. В настоящее время в литературе имеется много вариантов таких усло вий, которые приведены, например, в книгах [65, 78, 134]. Все они имеют одинаковую структуру и отличаются между собой лишь чис ленными коэффициентами порядка единицы. Приведем здесь усло вия в форме Смолуховского, где по сравнению с классическими условиями Максвелла учтено значение коэффициентов аккомода ции для скорости u и энергии e, которые могут быть различными, а также учтено влияние градиента температуры вдоль стенки:

2 u un 4 µ T us = +, u n s 3 T s s 2 e 2 T Ts Tw =, 2e + 1 P r n s где un и us нормальная составляющая скорости газа вблизи стен ки и скорость скольжения вдоль стенки, n и s координаты вдоль внешней нормали к стенке и вдоль стенки, Ts температура газа вблизи стенки и Tw температура стенки.

Для большинства материалов в условиях сверхзвукового обте кания коэффициенты аккомодации для скорости и энергии можно Maxwell J.C. Philos. Trans. R. Soc., London, 1879, v.170, p. 2.7. Численное моделирование течений разреженного газа полагать одинаковыми и близкими к единице. В формуле для ско рости скольжения второе слагаемое начинает играть заметную роль лишь при числах Кнудсена, приближающихся к единице [19].

Течения газа в диапазоне чисел Кнудсена 0.1 – 10 представляют собой существенную сложность для аналитического исследования и численного моделирования, так как в этом диапазоне не удается выделить малый параметр по числу Кнудсена типа Kn или 1/Kn.

В этом диапазоне применяются методы кинетической теории. Чис ленный анализ течений проводится либо путем непосредственного решения уравнения Больцмана или его упрощенных вариантов, ли бо на основе методов прямого численного моделирования – методов Монте–Карло, или DSMC методов [12], [134].

Сложности использования этих подходов связаны с большими затратами машинного времени при моделировании этапа столкнове ний частиц и большой размерностью задачи в целом, которая рас сматривается в пространстве 7 измерений (x,, t). Дополнительная сложность вызвана необходимостью вычисления осредненных ха рактеристик для получения измеряемых газодинамических величин - скорости, плотности и давления. В рамках DSMC подхода дополни тельные трудности представляют расчеты нестационарных течений и течений с малыми, то есть дозвуковыми скоростями, поскольку такие расчеты сопровождаются значительными флуктуациями вы числяемой плотности частиц.

2.7.2 Метод Монте-Карло В широком смысле слова методами Монте–Карло называют осно ванные на моделировании случайных величин методы решения раз личных задач из таких областей, как статистическая физика, вы числительная математика, теория игр, математическая экономика и многие другие [56].

Метод прямого численного моделирования для расчета течений разреженного газа (DSMC Direct Simulation Monte–Carlo, или ПММК прямое моделирование Монте–Карло) был разработан в 1960-х годах австралийским ученым Г.А. Бердом (G.A. Bird) и усо вершенствован впоследствии [12, 134].

52 Гл.2. Элементы кинетической теории газов В газовой динамике нашел применение вариант метода Монте– Карло, основанный на моделировании реального течения газа по средством относительно небольшого числа молекул. То есть прово дится численный эксперимент, в котором прослеживается история ограниченного числа частиц, каждая из которых является предста вителем большого числа W реальных молекул. Величина W назы вается "весовым множителем"(weighting factor).

Для каждой из молекул запоминаются ее координаты, скорость и энергия. По этим величинам путем осреднения по всем частицам определяются газодинамические параметры течения.

Для стационарных задач расчет начинается с задания некото рого достаточно произвольного распределения частиц в расчетной области, которое с течением времени эволюционирует к своему рав новесному состоянию. Далее перечислены основные этапы DSMC метода.

Дискретизация и моделирование движения частиц Область течения разбивается на пространственные ячейки, при чем такие, чтобы изменение газодинамических параметров течения в каждой ячейке было малым. Размер ячейки имеет порядок сред ней длины свободного пробега. Для эффективности счета число частиц в каждой пространственной ячейке не должно сильно раз личаться и составлять порядка нескольких десятков.

Моделирование физического движения молекул проводится по средством дискретных шагов по времени t, малых по сравнению со средним временем между столкновениями молекул, t c. Движе ние молекул и межмолекулярные столкновения на временном интер вале моделируются последовательно. На каждом шаге по времени t движение частиц разбивается на два этапа и описывается в рам ках кинетической модели, которая представляет собой циклически повторяющийся процесс бесстолкновительного разлета частиц и по следующих столкновений, которые рассматриваются как мгновен ные. Эта модель соответствует двум этапам расчета.

• Перемещение На первом этапе все молекулы перемещаются на расстояние, 2.8. Кинетически-согласованные разностные схемы определяемое их скоростями t. Учитываются пересечения молекулами поверхностей твердых тел, линий и плоскостей симметрии и границ течения. При наличии потока внутрь об ласти на соответствующих границах генерируются новые мо лекулы. Если молекула покидает область расчета, то она ис чезает.

• Столкновения На втором этапе моделируются столкновения между моле кулами с последующей коррекцией молекулярных скоростей.

Выбор очередной сталкивающейся пары частиц проводится в пределах одной ячейки и производится на основе данных гене ратора случайных чисел. Предполагается, что сталкиваются только те частицы, которые находятся в одной пространствен ной ячейке.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.