авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

«Н.А. ДУДАРЕНКО, О.С. НУЙЯ, М.В. СЕРЖАНТОВА, О.В. СЛИТА, А.В. УШАКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС И ПРАКТИКУМ ...»

-- [ Страница 2 ] --

(2.57) Определение 2.35 (О2.35). Базис, построенный на системе { } ei ;

i = 1, n ортонормированных векторов, удовлетворяющих соотноше нию (2.57) образует евклидов или естественный базис.

Ортонормированные базисы обладают рядом существенных до стоинств перед другими базисными системами в ЛП X n. Переход от { } произвольной исходной базисной системы ei ;

i = 1, n к ортонормиро { } ванной базисной системе ui : (ui, u j ) = ij ;

i, j = 1, n;

может быть осу ществлен с помощью алгоритма Грама-Шмидта. Алгоритм Грама– Шмидта является двухшаговой рекуррентной процедурой, при этом на первом шаге осуществляется переход от произвольной исходной базис { } ной системы ei ;

i = 1, n к ортогональной промежуточной базисной си { } стеме vi : (vi, v j ) = 0;

i, j = 1, n;

i j, на втором шаге осуществляется нормировка элементов построенного базиса, приводящая к искомой ортонормированной базисной системе.

В результате алгоритм Грама-Шмидта (АГШ) принимает вид:

v = e1;

u v1 = ;

v v v2 =) u1;

u2 = e2 ( e2, u1 ;

v2 (2.58) k 1 vk vk = ui ;

, uk = ek (ek, ui ) ;

k= 2, n.

vk i = В заключение раздела рассмотрим решение следующей задачи. В { } ЛП R n задан некоторый базис ei ;

i = 1, n относительно этого базиса { } задан координатный вектор x = col xi ;

i = 1, n, задан в ЛП и базис {f ;

i = 1, n}, компоненты которого f заданы в координатной форме от i i носительно того же базиса {e ;

i = 1, n}. Ставится задача конструирова i ния представления вектора x относительно базиса {f ;

i = 1, n} в форме i n x = x f 1 f1 + x f 2 f 2 +... + x fn f n = x fi f i, (2.59) i = { } так что относительно базиса f i ;

i = 1, n вектор x получает пред ставление { } x f = col x fi ;

i = 1, n.

(2.60) Если умножить выражение (2.59) скалярно последовательно n раз { } на элементы f i ;

i = 1, n, то будет получена система уравнений относи } тельно искомых неизвестных{x fi ;

i = 1, n, решение которой в векторно матричной форме имеет вид { } x f = col x fi ;

i = 1, n = 1, (2.61) {{ } } где = col row ( f i, f j );

j = 1, n ;

i = 1, n – матрица Грама, построен { } ная на скалярных произведениях всех пар элементов базиса f i ;

i = 1, n { } друг на друга;

= col ( x, f i );

i = 1, n – вектор–столбец из скалярных { } произведений вектора x на элементы базиса представления f i ;

i = 1, n.

Следует заметить, что, если базис f состоит из ортонормированных элементов, то матрица Грама становится единичной ( = I ), при этом (2.61) принимает вид x f =.

Следует заметить, что невырожденность ( 1 ) матрицы Грама является критерием линейной независимости системы векторов, на скалярных произведениях которой матрица Грама построена. Более того, решение задачи в форме (2.61) геометрически представляет со бой решение задачи проектирования исходного вектора x на простран { }.

ство, натянутое на систему векторов f i ;

i = 1, m;

m n.

Примеры и задачи 2.2.1*. Доказать, что для любого оператора A, действующего из Xn в Yn сумма ранга rA и дефекта nA равна размерности n пространства Xn.

2.2.2*. Определить ортогональную проекцию вектора x = [1 1]T [ ]T на линейную оболочку L(y) натянутую на вектор y = 3 1.

2.2.3. Выяснить, являются ли системы векторов арифметических пространств линейно зависимыми.

a) x1 = [ 3 1 5]T, x2 = [6 2 15]T ;

б) x1 = [1 2 3]T, x2 = [2 5 7]T, x3 = [3 10]T.

2.2.4. Проверить, что векторы e1 = [2 2 1]T, e2 = [2 1 2]T, e3 = [ 1 2]T образуют базис пространства R 3 и найти координаты вектора x = [1 1 1]T в этом базисе.

2.2.5. Вектор x в естественном базисе пространства R 2 имеет ко ординаты x = [1 1]T, а оператору A в этом базисе соответствует мат 2 - рица A =. Определить координаты векторов x и Ax в базисе, 1 элементами которого являются столбцы матрицы A.

2.2.6. Определить область значений и ядро оператора с матрицей 0 в естественном базисе R.

A= 0 2.2.7. Применить алгоритм ортогонализации Грамма–Шмидта к следующим системам векторов:

a) e1 = [1 2 2]T, e2 = [ 1 0 1]T, e3 = [5 3 7]T ;

б) q1 = [2 3 4 6]T, q2 = [1 8 2 16]T, q3 = [12 5 14 5]T, q4 = [3 11 4 7]T.

2.2.8. Найти матрицу A оператора A в R 3, отображающего векто ры:

1]T в y1 = [2 5]T ;

x1 = [0 0 x 2 = [0 1]T в y 2 = [1 0]T ;

1 x 3 = [1 1 1]T в y 3 = [0 1]T :

а) в естественном базисе;

б) в базисе векторов { x1, x2, x3}.

2.2.10. Найти базис ортогонального дополнения L линейной обо лочки L системы векторов пространства R 4 :

e1 = [1, 3, 0, 2]T, e2 = [3, 7,1, 2]T, e3 = [2, 4, 1, 0]T.

2.2.10. Вычислить собственные значения и собственные векторы следующих матриц:

4 1 2 1 0 2 0 2 1 2;

в) A = 0 3 0.

;

б) A = a) A = 0 2 1 1 1 2 0 2.2.11. Показать, что матрица ортогонального проектирования на * линейную оболочку линейно независимых векторов L(u1, u 2,..., u k ) равна P = U (U T U ) 1, где U – матрица, составленная из столбцов коор динат векторов u1, u 2,..., u k. Как выглядит матрица P, когда векторы u1, u 2,..., u k образуют ортонормированную систему?

Решение вариантов задач Решение задачи 2.2.1. Разложим пространство X n в прямую сум му пространства X n = N (A) + LA, где N(A) ядро (нуль–пространство) матрицы A, LA – любое дополнительное к N(А) подпространство. То гда для любого x X n имеет место единственное представление x = x N + x L, где x N N (A ), x L LA.

Поскольку y = Ax = A( x N + x L ) = Ax L Jm(A), так как Ax N = 0, то любой вектор y Jm(A) имеет прообраз из подпространства LA, при чем единственный, откуда следует, что размерности подпространств Jm(A) и LA совпадают. Но dim X n = dim N (A) + dim LA и dim LA = rA, откуда n = n A + rA.

Решение задачи 2.2.2. Если x – ортогональная проекция вектора x на оболочку L( y ), то x = y, где = const. Поскольку ( x x) L, то имеем ( x x, y ) = 0, или x y = x y, откуда получим T T T 3 + 3 1 + xT y xT y x= y= 2 y=.

, ( y, y ) y Эта задача может быть также решена с использованием матрицы Грама. 3. МАТРИЧНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И НЕИНВАРИАНТЫ ПОДОБНЫХ МАТРИЦ Рассматриваются подобные матрицы A и A размерности (n n), задающие один и тот же линейный оператор A относительно различных пар базисов. Для этих матриц существует невырожденная (n n) – матрица M, связывающая матрицы A и A матричным соотношением подобия M A = AM. (3.1) Матричное соотношение подобия (3.1) имеет два матричных аналога A = M 1 AM и A = M A M 1. (3.2) Возникает вопрос: какие характеристики подобных матриц A и A при преобразованиях подобия вида (3.2) сохраняются, а какие – нет?

Определение 3.1 (О3.1). Характеристики матриц размерности (n n), принадлежащих классу подобных, то есть задающих один и тот же линейный оператор A, которые сохраняются неизменными на всем матричными классе подобных представлений, называются инвариантами.

Определение 3.2 (О3.2). Характеристики матриц размерности (n n), принадлежащих классу подобных, то есть задающих один и тот же линейный оператор A, которые для каждой реализации подобной своими матричными матрицы оказываются называются неинвариантами.

Рассмотрим матричные инварианты на примере двух подобных матриц A и A вида (3.2).

инвариантом 1. Первым матричным являются характеристические полиномы det(I A) и det(I A ) подобных матриц A и A. В этой связи сформулируем и докажем следующее утверждение.

Утверждение 3.1 (У3.1). Характеристические полиномы подобных матриц A и A совпадают так, что выполняется соотношение det(I A) = n + a1n 1 + a2 n 2 +... + an 1 + an = det(I A ). (3.3) Доказательство. Подставим в (3.3) матрицу A с использованием представления (3.2), а также представление единичной матрицы в форме I = MM 1 = MIM 1, тогда получим скалярно-матричное соотношение det(MIM 1 MA M 1 ) = det{M (I A ) M 1} (3.4) Воспользуемся положением о том, что детерминант произведения матриц равен произведению детерминантов, с учетом которого (3.4) принимает вид { } ( ) det M (I A) M 1 = det( M ) det I A det( M 1 ).

Если учесть, что детерминант это скаляр, и воспользоваться свойством детерминанта произведения матриц в обратном порядке так, что произведение детерминантов равняется детерминанту произведения матриц, согласованных по размерности, то получим ( ) ( ) ( ) det( M ) det( M 1 ) det I A = det( MM 1 = I ) det I A = det I A.

Таким образом, установлено равенство det(I A) = det(I A). 2. Вторым матричным инвариантом являются алгебраические {} спектры {A} и A собственных значений подобных матриц A и A, что записывается в форме {} { } {A} = A = i : i n + a1i n1+... + an1i + an = 0;

i = 1, n. (3.5) 3. Третьим матричным инвариантом являются детерминанты det( A) и det( A ) подобных матриц A и A, определяемые соотношением n det( A) = det( A) = i = 12...n 1n (3.6) i = 4. Четвертым матричным инвариантом являются следы tr ( A) и tr ( A ) подобных матриц A и A, определяемые выражением n tr ( A) = tr ( A ) = i = 1 + 2 + + n 1 + n, (3.7) i =l и вычисляемые с помощью соотношений n tr ( A) = Aii = A11 + A22 +... + An 1, n 1 + Ann, (3.8) i = n tr ( A) = Aii = A11 + A 22 +... + A n 1, n 1 + A nn. (3.9) i = Примечание 3.1 (П3.1). Матричным инвариантом являются также ранги rang ( A) и rang ( A ) подобных матриц A и A, как число линейно независимых столбцов, как размерности dim(Im(A)) и dim(Im(A)) образов этих матриц, определяемые числом ненулевых собственных значений подобных матриц A и A.

Примечание 3.2 (П3.2). Необходимым, но недостаточным условием подобия двух матриц A и A являются равенства (3.6) детерминантов матриц и (3.7) следов матриц. Достаточным условием подобия матриц A и A являются равенства (3.3) равенства характеристических полиномов матриц и (3.5) совпадения алгебраических спектров собственных значений этих матриц.

Рассмотрим матричные неинварианты на примере двух подобных матриц A и A вида (3.2).

неинвариантами 1. Первыми матричными являются геометрические спектры { i ;

i = 1, n} и { i ;

i = 1, n} собственных векторов i и i подобных матриц A и A, задаваемых в форме { } i =arg Ai =ii ;

i { A} ;

i = n, (3.10) 1, { } {} i =arg Ai =i i ;

i A ;

i =1, n. (3.11) При этом (как правило) выполняется отношение неравенства i i. (3.12) 2. Вторым матричным неинвариантом являются нормы A (*) и подобных матриц A и A, которые в зависимости от индекса (*) A (*) нормы задаются в формах.

2.1. Евклидова (Фробениусова) норма 1 n 2 2 n 2 A E = A F = Aij ;

A = A = Aij (3.13) E F i, j =1 i, j = При этом (как правило) выполняется отношение неравенства () ( ) AE AF A A (3.14) E F 2.2. Операторные (индуцированные) нормы Ax Ax p p A p = max ;

A = max (3.15) p xp xp x x 2.2.1. При p = 1 A столбцовые нормы A и A ;

;

A p =1 p = 2.2.2. При p A строчные нормы A и A ;

;

A p = p = 2.2.3.

При спектральные нормы A и A, p=2 A ;

A p=2 p= вычисляемые в силу соотношений Ax = M ( A) : M ( A) = µ 1 / 2 : det( µI AT A) = 0 ;

A 2 = max M x x Ax = M ( A ) : M ( A ) = µ 1 / 2 : det( µI A T A ) = 0, = max A M 2 x x () где M ( A) и M A – соответственно максимальные сингулярные числа матриц A и A. Приведенные матричные нормы удовлетворяют оценочным неравенствам, конструируемые на примере матрицы A :

A 2 A 1 n A 2;

max Aij A 2 nm max Aij ;

i, j i, j A A 2 m A ;

n A A 2 n A ;

m ( ) A 2 A 1 A 2.

При этом (как правило) выполняется отношение неравенства A p A при p = 1,2,. (3.16) p В заключение остановимся на проблеме согласования векторных и матричных норм. Нормы z q, x r и норма N p соответственно векторов z, x и матрицы N ( здесь N принимает смысл матриц A и A ), связанных линейным алгебраическим соотношением z = Nx называются согласованными, если выполняется соотношение z q N p x r.

Наиболее употребительными согласованными нормами являются векторные и матричные нормы, характеризующиеся соотношениями: q = p = r = 1 и q = p = r = 2, причем второй случай обладает меньшей достаточностью в том смысле, что неравенство может быть максимально приближено к равенству.

3. Третьим матричным неинвариантом являются алгебраические {} спектры {A} и A сингулярных чисел подобных матриц A и A.

С понятием сингулярное число связана процедура сингулярного разложения матриц (процедура которую SVD–разложения), рассмотрим для общего случая.

Определение 3.3 (О3.3). Сингулярным разложением вещественнозначной матрицы N размерности (m n) называется ее факторизация, задаваемая в виде N = UV T, (3.17) где U – ортогональная (m m) матрица, V – ортогональная (n n) матрица, образующие соответственно левый и правый сингулярные базисы и обладающие свойствами:

UU T = U T U = I, VV T = V T V = I. (3.18) – матрица сингулярных чисел i, которая принимает вид { } = diag i ;

i = 1, m при m = n, (3.19) [{ ] } = diag i ;

i = 1, m 0 m, n m при m n, (3.20) diag { i ;

i = 1, n} при m n.

= (3.21) 0 m n, n Положим пока m = n и транспонируем матричное выражение (3.17), тогда получим N T = VT U T = VU T (3.22) n=m Умножим (3.17) на (3.22) тогда с использованием свойства (3.18) получим цепочку равенств NN T = UV T VU T = V 2U T. (3.23) Теперь умножим (3.22) слева на (3.17), получим:

N T N = VU T UV T = V 2V T. (3.24) Умножим матричное уравнение (3.23) на матрицу U справа, тогда с учетом (3.18) получим матричное соотношение:

NN T U = U 2. (3.25) Перейдем в (3.25) к столбцовой форме записи правых матричных компонентов:

}{ } { NN T col (U i ;

i = 1, m = U col ( 2 ) i ;

i = 1, m), что эквивалентно матрично-векторному представлению NN T U i = U ( 2 )i ;

i = 1, m. (3.26) Если учесть, что столбец ( 2 )i имеет вид [ ]T ( 2 ) i = 01(i 1) i2 01( mi ), (3.27) то с учетом (3.27) соотношение (3.26) записывается NN T U i = i2U i ;

i = 1, m. (3.28) Векторно-матричное соотношение (3.28) представляет собой полное решение проблемы собственных значений i2 и собственных векторов U i матрицы NN T. В результате чего получаем, что i2 (i = 1, m) ищутся как решения характеристического уравнения det ( 2 I NN T ) = 0, (3.29) а матрица U оказывается составленной из собственных векторов U i матрицы NN T единичной нормы в форме { } U = row U i : U i = 1;

i = 1, m (3.30) Умножим теперь матричное уравнение (3.24) на матрицу V справа, тогда с учетом (3.18) получим:

N T NV = V 2 (3.31) По аналогии с (3.26) (3.29) соотношение (3.31) запишем в форме m матрично-векторных выражений:

N T NVi = i2Vi ;

i = 1, m, (3.32) которое представляет собой задачу на собственные значения i2 и собственные векторы Vi матрицы NN T. Последнее позволяет составить характеристическое уравнение det( 2 I N T N ) = 0, (3.33) позволяющее вычислить все i2 (i = 1, m), знание которых в силу (3.32) позволяет найти собственные векторы Vi единичной нормы матрицы N T N. Матрица V правого сингулярного базиса в итоге по аналогии с (3.30) записывается в форме:

{ } V = row Vi : Vi = 1;

i = 1, m. (3.34) Следует заметить, что в случае m = n матрицы NN T и N T N обладают одним и тем же спектром собственных значений так, что { }{ }{ } NN T = N T N = i2 ;

i = 1, m. Если m n, то спектр {N T N } содержит n собственных значений, а спектр {NN T } содержит m собственных значений, причем количество ненулевых элементов этих спектров оказываются равными.

Дадим теперь геометрическую интерпретацию сингулярного разложения матрицы N (3.17). Для этой цели умножим (3.17) на матрицу V справа и воспользуемся свойствами (3.18), тогда получим:

NV = U. (3.35) Запишем (3.35) по аналогии с (3.28) и (3.32) в столбцовой форме NVi = iU i ;

i = 1, m. (3.36) Сконструируем теперь на векторно-матричном соотношении { } Vi, i,U i ;

i = 1, m, которые несут (3.36) согласованные тройки информацию о том, что в силу (3.36) эффект действия оператора с матрицей N на i-й элемент Vi правого сингулярного базиса V состоит в умножении на i-ое сингулярное число i i-го элемента U i левого сингулярного базиса U.

Если теперь с помощью матрицы N в силу линейного векторно матричного соотношения:

= N (3.37) отобразить сферу = 1, то она отобразится в эллипсоид, положение полуосей которого определяется элементами U i левого сингулярного базиса U, а длины этих полуосей в силу (3.36) будут равны i. Сказанное имеет прозрачную геометрическую интерпретацию, иллюстрируемую рисунком 3.4. При этом геометрическая интерпретация сингулярного разложения в форме рисунок 3.1 позволяют записать для нормы систему = N неравенств n 1.

1U p Vm r mU m V t q = = N Рисунок 3.1. Геометрическая интерпретация соотношения (3.37) В заключение заметим, что в англоязычной литературе сингулярное разложение матриц именуется SVD–разложением (SVD– процедурой) (Singular Value Decomposition). Во всех версиях пакета MATLAB существует функция SVD(N), которая выводит матричные компоненты факторизации (3.17).

Возвращаясь к проблеме матричных неинвариантов, следует констатировать, что если в качестве ( n n ) – матрицы N взять подобные матрицы A и A, то, как правило, на спектрах их сингулярных чисел выполняется отношение неравенства { }.

{A} A 4. Четвертым матричным неинвариантом являются числа {} {} обусловленности cond {A} = C{A}, cond A = C A подобных матриц A и A.

Дадим определение числу обусловленности произвольной ( n n ) матрице N, первое из них будет геометрическим, а второе – алгебраическим.

Определение 3.4 (О3.4). Числом обусловленности cond {A} = C{A} произвольной ( n n ) матрицы N называется положительнозначная скалярная характеристика этой матрицы, задаваемая в форме C{N } = N N 1 (3.38) p p Примечание 3.3 (П3.3). Численно значение числа обусловленности матрицы зависит от типа используемой в (3.38) матричной нормы. Если в (3.38) используется спектральная норма матриц ( p = 2 ), то выполняется соотношения = M ( N ), N 1 = m1 ( N ).

N (3.39) p =2 p = Число обусловленности (3.38), построенное на спектральных нормах (3.39), принимает вид C{N } = N p = 2 N 1 = M ( N ) m1 ( N ).

p= (3.40) Выражение (3.40) показывает, что число обусловленности матрицы N линейной алгебраической задачи (3.37) геометрически характеризует степень сплющивания эллипсоида, получаемого при отображении сферы = 1 единичного радиуса.

Алгебраическое определение числа обусловленности C{N } матрицы N введем на базе следующего утверждения.

Утверждение 3.2 (У3.2). Число обусловленности матрицы N, заданное в форме (3.38), содержательно представляет собой коэффициент усиления относительных погрешностей задания (знания) компонентов правой части ЛАЗ (3.37) в относительную погрешность ee левой части.

Доказательство. Введем в рассмотрение помимо номинальной версии ЛАЗ (3.37) ее возмущенную версию + = ( N + N )( + ). (3.41) Перейдем от задачи (3.41) к задаче в абсолютных приращениях, которая с использованием (3.37) и (3.41) запишется в форме = N + N + N (3.42) Переход в (3.42) к согласованным матричным и векторным нормам позволяет записать N + N + N. (3.43) Введем в рассмотрение относительные погрешности представления компонентов ЛАЗ и ее решения, определив их следующими соотношениями:

N = ;

N = ;

=. (3.44) N Свяжем относительные погрешности (3.44) аналитической зависимостью, опираясь на соотношение (3.43). Для этих целей представим номинальную версию ЛАЗ (3.37) в форме = N 1, которая в согласованных матричных и векторных нормах позволяет записать 1. (3.45) N Деление левой части неравенства (3.43) на левую часть второго неравенства (3.45) и соответственно правой части неравенства (3.43) на правую часть второго неравенства (3.45) усиливает выполнение условий исходного неравенства (3.43) и принимает вид N N N N 1 + +.

N N (3.46)Если в (3.46) учесть (3.38), а также выражение для относительных погрешностей (3.44), то неравенство (1.8) примет вид C N ( N + + N ). (3.47) алгебраическое Таким образом, определение числа обусловленности матрицы совпадает с выдвинутым положением утверждения 3.2 и имеет следующую формулировку.

Определение 3.5 (О3.5). Число обусловленности заданное, в форме (3.38), произвольной квадратной матрицы N, порождающей линейную алгебраическую задачу вида (3.37), содержательно коэффициент усиления относительных представляет собой погрешностей задания (знания) компонентов правой части ЛАЗ (3.37) в относительную погрешность ee левой части. {} В заключение заметим, что числа обусловленности C{A} и C A подобных матриц A и A, являясь матричными неинвариантами, как { }.

правило, связаны отношением неравенства C{A} C A Примеры и задачи 3.1 Выбрать из приводимых ниже матриц пару подобных путем вычисление матричных инвариантов, в случае положительного исхода выбора вычислить все матричные инварианты и неинварианты этих матриц.

3 0 7 0 1 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 0 5 0 3 0 2 0 3 0 0 3.1.4. 3.1.5. 3.1.6. 7 0 6 21 3 0 1 0 3.1.7. 3.1.8 3.1.9. 5 4 0 12 0 21 0 5 0 3.1.10. 3.1.11 3.1.12.

1 1 4 1 1 2 0 1 3.1.13 3.1.14. 3.1.15.

15 8 8 5 2 2 0 0 15 7 3.1.16. 3.1.17. 3.1.18.

1 7 6 8 3 8 6 10 3.1.19. 3.1.20. 3.1.21.

1 1 0 2 8 5 8 12 5 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24. 5 9 12 1 1 5 8 5 3.1.25.

3.1.26. 3.1.27. 2 1 5 24 15 4 21 12 3. 3.1.28.

3.1.29. 3.1.30 30 7 21 24 4 15 5 6 3.1.31.

3.1.32. 3.1.33. 6 2 15 10 3 2. 21 16 3.1.36.

3.1.34.

3.1.35. 3.33 5. 21 3 2.33 7. 3.1.37. 3.1.38. 3.1.39.

0.5 21 8 2.5 4. 0. 22.5 7.5 42 17 2.5 6. 3.1.40.

7.33 4. 2.67 3. Решение вариантов задач Решение задачи 3.1 на примере пары матриц 3.1.15 и 3.1.7.

Выдвинем гипотезу, что матрицы 1 4 0 и A= подобны.

A= 5 2 Вычислим матричные инварианты этих матриц:

1. Характеристические полиномы, которые принимают вид + 1 det(I A) = det = ( + 1)( + 3) = + 4 5 ;

2 + det(I A ) = det = ( + 4) 5 = + 4 5.

5 + Гипотеза верна, так как det(I A) = det(I A ), поэтому выбранные матрицы A и A подобны.

2. Алгебраические спектры собственных значений матриц {} { } {A} = A = 1 = 1;

2 = 5 : 2 + 4 5 = 0;

;

3. Определители (детерминанты) матриц 1 det( A) = det = (1)(3) (2)(4) = 4 8 = 5, 2 0 det( A ) = det = (0)(4) (1)(5) = 5, 5 det( A) = det( A ) = 12 = (1)(5) = 5, det( A) = det( A ).

4. Следы матриц 1 4 n = Aii = A11 + A22 = (1) + (3) = 4, tr ( A) = tr 2 3 i = 0 1 n = Aii = A11 + A22 = (1) + (3) = 4, tr ( A ) = tr 5 4 i = n tr ( A) = tr ( A ) = i = 1 + 2 = (1) + (5) = 4.

i = Вычислим матричные неинварианты этих матриц:

}{ } { 1. Спектры собственных векторов i ;

i = 1, n и i ;

i = 1, n 1 4 2 A i = i i i = i |1 =1, 2 = 5 1 =, 2 = ;

2 3 0 1 1 A i = i i i = i |1 =1, 2 = 5 1 =, 2 =.

5 4 {i ;

i = 1, n} { i ;

i = 1, n}.

2. Нормы A (*) и A.

(*) 2.1. Евклидовы (Фробениусовы) матричные нормы { } n 2 = Aij = 1 +2 +4 +3 = =A 2 2 2 2 A i, j = E F { } n 2 A = A = Aij = 0 2 + 5 2 + 12 + 4 = i, j = E F 2.2. Операторные (индуцированные) нормы Ax Ax p p = max = max ;

A A p p x x x x p p 2.2.1. При p = 1 A столбцовые нормы.

;

A p =1 p = { }= max{(1 1 + 2 ), ( 4 + 3 )} = 7, = max Ai A p =1 { }= max{( 0 + 5 ), (1 + 4 )}= 5.

i = max Ai A p =1 i 2.2.2. При p = A строчные нормы.

;

A p = p = { }= max{( 1 + 4 ), ( 2 + 3 )}= 5, = max A j A p = j = max A = max{( 0 + 1 ), ( 5 + 4 )} = 9.

j A j p = 2.2.3. При p = 2 A p = 2 ;

A спектральные нормы A и A, p= вычисляемые в силу соотношений Ax 2 = M ( A) : M ( A) = µ M2 : det( µI AT A) = 0 ;

A 2 = max x x 1 2 1 4 5 AT A = = ;

4 3 2 3 10 det( µI AT A) = µ 2 30 µ + 25 = 0 ;

µ1 = 29.42;

µ 2 = 0.858;

M ( A) = 1 = 5.424, m ( A) = 2 = 0.9263, Ax = M ( A) = 5.424.

A 2 = max x x Ax = M ( A ) : M ( A ) = µ M2 : det( µ I A T A ) = 0.

= max A 2 x x 0 5 0 1 25 AT A = = ;

1 4 5 4 20 det( µ I A T A ) = µ 2 42 µ + 25 = 0 ;

µ1 = 41.396;

µ 2 = 0.604;

M ( A ) = 1 = 6.434, m ( A ) = 2 = 0.7772, Ax = M ( A ) = 6.434.

= max A 2 x x {} 3. Алгебраические спектры {A} и A сингулярных чисел подобных матриц A и A вычислены в предыдущем пункте и имеют представления {A} = {1 = 5.424;

2 = 0.9263}, {A}= { 1 = 6.434;

2 = 0.7772}.

4. Спектральные числа обусловленности подобных матриц A и A, вычисляемых в силу соотношений C { A} C2 { A} M ( A ) m1 ( A ) 5.424( 0.9263 )1 5.8557, == = = {} {} () () C A C2 A M A m1 A 6.434( 0.7772 )1 8.2787.

== = = 4. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТРИЦ. МАТРИЦЫ ПРИВЕДЕНИЯ ПОДОБИЯ Рассматриваются подобные матрицы A и A, связанные матричным условием подобия (3.1) с матрицей M приведения подобия. Будем полагать, что (n n) матрица A задана в произвольном базисе (имеет произвольную форму), а (n n) матрица A задана в каноническом базисе (имеет каноническую форму). В связи со сказанным встают два вопроса. Первый вопрос: как формируются матрицы в канонической форме? Второй вопрос: как формируется матрица M приведения подобия, позволяющая с помощью матричного соотношения A = M 1 AM (4.1) осуществить переход от матрицы A, заданной в произвольном базисе к матрице A, задаваемой в некотором каноническом базисе?

Дадим ответ на первый из поставленных вопросов, то есть построим матрицы ЛО A в канонических формах.

Определение 4.1 (О4.1). Канонической формой (n n) матрицы линейного оператора A будем называть форму (n n) матрицы линейного оператора (ЛО), которая построена в соответствии с некоторым правилом (законом, каноном) с тем, чтобы решить одну из возможных задач: сокращение объема матричных вычислений путем минимизации числа ненулевых элементов матрицы;

облегчение анализа структуры пространства ЛО A, обеспечение вычислительной устойчивости всех матричных процедур путем уменьшения числа обусловленности матрицы ЛО и т.д.

К настоящему моменту сконструировано большое число канонических форм задания (n n) матрицы линейного оператора A, ниже рассматриваются только базовые канонические формы.

Базовые канонические формы (n n) матрицы линейного оператора A строятся на двух алгебраических спектрах исходной матрицы A, заданной в произвольном базисе.

Первый алгебраический спектр { } {A} = i : A i = i i : det (i I A) ) = 0 : i = 1, n представляет собой { } спектр собственных значений i : i = 1, n матрицы A.

Второй алгебраический спектр a { A} = {ai : det(I A) = n + a1n 1 +... + an 1 + an ;

i = 1, n} { ai : i = 1, n} представляет спектр коэффициентов характеристического полинома D( ) = det (I A) матрицы A.

Рассмотрим канонические представления A исходной матрицы A, которые конструируются на алгебраическом спектре собственных значений матриц, для различных случаев его реализации.

1. Диагональная каноническая форма матрицы может быть построена, когда алгебраический спектр собственных значений имеет реализацию { } {A} = i : Jm(i ) = 0;

i l ;

i l ;

i, l = 1, n. (4.2) Алгебраический спектр вида (4.2) порождает множество подобных матриц линейного оператора A, именуемых матрицами простой структуры.

В случае реализации алгебраического спектра {A} в форме (4.2), когда все собственные значения вещественные и простые (различные, не кратные), может быть построена диагональная матрица с элементами i на главной диагонали и нулями на остальных позициях этой матрицы так, что она принимает вид 1 0 0. 0 0. 0 3. 0 = diag { i ;

i = 1, n} (4.3) A= =.....

. n 0 0 2. Блочно-диагональная каноническая форма матрицы может быть построена, когда алгебраический спектр собственных значений имеет реализацию { } {A } = Jm ( 2i 1,2i ) 0 : 2i 1 = i + j i ;

2i = i j i : i l ;

i l;

i, l = 1, n / 2. (4.4) В случае реализации алгебраического спектра {A} в форме (4.4), когда все собственные значения комплексно-сопряженные и простые ~ (не кратные), может быть построена блочно-диагональная матрица i ~ с вещественнозначными матричными блоками ii = i на i i главной диагонали и нулями на остальных позициях этой матрицы так, что она принимает вид i ~ ~ A = = diag ii = i ;

i = 1, n / 2;

. (4.5) i i 3. Комбинированная блочно-диагональная каноническая форма матрицы может быть построена, когда алгебраический спектр собственных значений содержит только простые собственные значения, часть которых числом nR являются вещественными, а другая часть числом nc = 2mc – комплексно-сопряженными, при этом выполняется соотношение n = nc + n R.

Комбинированная блочно-диагональная матрица имеет на своей главной диагонали диагональную матрицу вида (4.3) размерности (nR nR ) и блочно-диагональную матрицу вида (4.5) размерности (nc nc ) так, что она примет вид { }.

~ ~ ~ A = = diag (n R n R ) ;

(nc nc ) (4.6) Матричные блоки на диагонали комбинированной блочно диагональной матрицы можно менять местами, так что наряду с формой (4.6) матрица A может иметь представление ~ ~ A = = diag{ ( nc nc ) ;

( n R n R ) }. (4.7) Так, например, если алгебраический спектр собственных значений матриц ЛО A имеет реализацию { } {A} = 1,2 = ± j ;

i : Jm(i ) = 0;

i l ;

i l ;

i, l = 3, n, (4.8) то комбинированное блочно-диагональное представление канонической матрицы A принимает вид [ ] ~ ~ 0 2 (n 2 ) A== (4.9) [ ][ ] (n 2 ) (n 2 ) (n 2 ) 2 где 0 2 (n 2 ), 0 (n 2 ) 2, (n 2 ) (n 2 ) – соответственно нулевые матрицы размерности 2 (n 2 ) и (n 2 ) 2 и диагональная матрица размерности (n 2) (n 2).

4. Жорданова каноническая форма матрицы может быть построена, когда алгебраический спектр собственных значений имеет реализацию p {A } = k кратности µ k, k = 1, p;

µ k = n;

Jm (k ) = 0;

. (4.10) k = Тогда жорданова каноническая форма матрицы A по своей структуре максимально близкая к диагональной форме для случая вещественных кратных собственных значений матриц ЛО A в соответствии со структурой алгебраического спектра (4.10) примет вид k 1 0. 0 k 1. 0 J kk =..

....

A J= diag =. (4.11) 0 0 0. k 0 0 0. 0 k ( µk µk ) ;

k = 1, p Жорданова каноническая форма (4.11) представляет собой блочно-диагональную матрицу, составленную из жордановых блоков J kk размерности (µ k µ k ), имеющих на своей главной диагонали собственное значение k кратности µ k, единицы на первой наддиагонали и нули на остальных позициях блока. Жорданова каноническая форма (4.11) является верхней жордановой формой, наряду с которой может быть построена нижняя жорданова каноническая форма, которая характеризуется тем, что единицы жордановых блоках размещаются на первой поддиагонали. Следует заметить, что жорданова каноническая форма может быть построена и для случая матриц ЛО, алгебраический спектр собственных значений которых содержит кратные комплексно-сопряженные элементы, причем возможны как комплекснозначная так и вещественнозначная формы.

Так вещественнозначная версия жордановой канонической формы для случая кратных комплексно–сопряженных собственных значений исходной матрицы принимает вид k 1 0. 2 k k 1. A J= diag J kk=..

= = ;

k 1, p,....

0 0. k 0 0. k k ( µ µ ) k k p где { A } =( k =k ± j k ) кратности µk, k = p;

µk = / 2;

.

n 1, k = Нетрудно видеть, что каноническая форма при J k 0 вырождается в каноническую жорданову форму вида (4.11).

5. Рассмотрим теперь канонические представления A исходной матрицы A, которые конструируются на алгебраическом спектре a {A} коэффициентов характеристического полинома n D( ) = det (I A) = n + ai n i (4.12) i = матриц линейного оператора A. Этих представлений два, они совпадают с точностью до транспонирования. Канонические представления имеют вид 0 1 0. 0 (n1) 1 I (n1) (n1) 0 1. (4.13). = A=.....

0 0 0. a a n a n1 a n2. a 2 a a n 01 (n 1) 0 0... 1 a n 1 0... и T.

(4.14) an 0 a 1... = = AT.....

a 0 0... a1 I (n 1) (n 1) 0 0... В канонических формах (4.13) и (4.14) a – n -мерный вектор– строка коэффициентов, записанных в обратном по отношению их размещения в характеристическом полиноме порядке так, что он принимает вид { } a = [an, an1, an2,...a2, a1 ] = row an+1i : i = 1, n, (4.15) (n 1)-мерные соответственно 0 ( n 1)1 ;

01 ( n 1) ;

I ( n 1) ( n 1) – (n 1) (n 1) единичная матрица-столбец и матрица–строка, а также матрица.

Обе канонические формы (4.13) и (4.14) именуются нормальной, сопровождающей (свой характеристический полином) и фробениусовой канонической формой. С тем, чтобы их различать строчной текстуально форма (4.13) названа нормальной, сопровождающей или фробениусовой, а (4.14) – столбцовой. Для канонической формы (4.13) используется обозначение A = AF.

Строчная сопровождающая каноническая форма матрицы ЛО A имеет в последней строке коэффициенты характеристического полинома, записанные с обратными знаками и в обратном порядке, первую наддиагональ, заполненную единицами, остальные позиции матрицы, заполненные нулями. При использовании этой формы матрицы для модельных представлений динамических объектов она канонической управляемой фробениусовой именуется (сопровождающей) формой.

Столбцовая сопровождающая каноническая форма матрицы ЛО A имеет в последнем столбце коэффициенты характеристического полинома, записанные с обратными знаками и в обратном порядке, первую поддиагональ, заполненную единицами, остальные позиции матрицы, заполненные нулями. При использовании этой формы матрицы для модельных представлений динамических объектов она канонической наблюдаемой фробениусовой именуется (сопровождающей) формой.

Теперь дадим ответ на второй вопрос, поставленный в начале раздела, то есть построим матрицы приведения подобия произвольной матрицы ЛО к каноническим формам.

Приведение матрицы A простой структуры ЛО A к диагональной форме (4.3) строится на положениях следующих утверждений.

Утверждение 4.1 (У4.1). Матрица M, приводящая произвольную (n n ) квадратную матрицу A простой структуры ЛО A к диагональной форме в силу соотношения (4.1), принимающего для A = представление = M 1 AM (4.16) имеет своими столбцами собственные векторы матрицы A.

Доказательство. Запишем базовое уравнение матричного подобия для рассматриваемого случая (4.16) в столбцовой форме M [1 2... i... n ] = A[M 1... M n ] M 2... M i (4.17) где i, M i – i ые столбцы соответственно матриц и ( ) M, i = 1, n. Перейдем теперь от матричного уравнения (4.17) к n векторно-матричным уравнениям вида ( ) M i = AM i ;

i = 1, n (4.18) где i ый столбец i диагональной матрицы имеет вид i = [0... 0 i 0... 0]T. (4.19) Нетрудно видеть, что с учетом (4.19) векторно-матричное уравнение (4.18) принимает вид i M i = AM i ;

i = 1, n. (4.20) Векторно-матричное соотношение (4.20) является определением A, откуда следует, что собственного вектора матрицы M i собственный вектор матрицы A. Утверждение 4.2 (У4.2). Пусть матрица A ЛО A является матрицей простой структуры, тогда ее каноническая строчная фробениусова форма AF, имеющая представление (4.13), обладает собственными векторами { } i = arg AF i = i i ;

i = 1, n, (4.21) которые строятся по схеме Вандермонда так, что они принимают вид [ ] T i2... in 1 ;

i = 1, n.

i = 1 i (4.22) Доказательство сформулированного утверждения строится на непосредственной подстановке в (4.21) представлений (4.13) и (4.22), в результате получается следующая цепочка векторно-матричных равенств i... 0 1 0 1 i 0... 0 i 0 i...... i2 =.(4.23) AF i =.........

... 1.. n.. 0 0 n l... a1 in 1 al i an an 1 an l =1 Но в силу характеристического уравнения матриц ЛО A оказывается справедлива запись n i n + ai i n i = 0, (4.24) i = из которой следует справедливость представления n al in l = i n (4.25) l = подстановка которого в (4.23) приводит последнее к виду [ ] T AF i = i 1 i i2... in 1. (4.26) Соотношение (4.26) делает справедливым утверждение 4.2. Доказательство утверждения 4.2. и положения утверждения 4. содержат доказательство утверждения 4.3.

Утверждение 4.3 (У4.3). Пусть матрица AF является канонической строчной фробениусовой формой матриц ЛО A простой структуры, тогда матрица AF может быть приведена к канонической диагональной форме (4.3) с помощью матрицы Вандермонда M В, ( ) столбцы которой M Bi i = 1, n суть собственные вектора вида (4.22) так, что она принимает вид [ ] M B = rowM Bi = i = 1 i i2... in1 ;

i = 1, n. = T 1 1... 2... n (4.27).

1 = 1 2... n 2 2............

n1 n1... n 1 2 n ~ Рассмотрим теперь задачу конструирования матрицы M приведения исходной матрицы A, обладающей комплекснозначным спектром собственных значений (4.4), к канонической блочно диагональной форме (4.5) в силу матричного соотношения ~~ ~ = M 1 AM.

Утверждение 4.4 (У4.4). Пусть ( n n ) матрица A такова, что алгебраический спектр ее собственных значений составлен из комплексно-сопряженных чисел так, что он имеет вид (4.4).

Геометрический спектр собственных векторов этой матрицы составлен из комплексно-сопряженных векторов так, что он имеет вид 2i 1 = R, 2i 1 + j J, 2i 1 ;

2i = R, 2i j J, 2i ;

{ 2i 1 ;

2i ;

i = 1, n / 2} =. (4.28) A 2i 1 = 2i 1 2i 1 ;

A 2i = 2i 2i ;

i = 1, n / 2.

Тогда матрица ~ ~ i ~ ~ ~ M = arg = M 1 AM = diag ii = i ;

i = 1, n / 2;

= i i {[ ] } ~ ~ = row M 2i 1 M 2i ;

i = 1, n / 2;

~ ~ имеет своими столбцами M 2i 1, M 2i соответственно вещественный и мнимый компоненты собственных векторов, что записывается в форме ~ ~ M 2i 1 = R, 2i 1, M 2i = J, 2i 1. Доказательство утверждения строится на непосредственной подстановке в векторно-матричные соотношения для собственных векторов A 2i 1 = 2i 1 2i 1 ;

A 2i = 2i 2i ;

i = 1, n / представлений собственных значений и векторов в форме { } 2i 1 = i + j i ;

2i = i j i : i = 1, n / 2i 1 = R,2i 1 + j J,2i 1 ;

2i = R,2i j J,2i ;

i = 1, n / 2.

и последующем разделении полученных выражений на вещественный и мнимый компоненты, что в итоге приводит к двум векторно-матричным равенствам ( A i I ) Ri = i Ji ;

( A i I ) Ji = i Ri. (4.29) ~~ ~ В свою очередь, если записать уравнение подобия M = AM, в котором выделить блоки соответствующие собственным значениям 2i 1 и 2i то получим [M 2i 1 M 2i ] i i [ ] ~ ~ ~ ~ = A M 2i 1 M 2i.

i i Решение последнего матричного уравнения относительно матриц ~ ~ столбцов M 2i 1, M 2i приводит к соотношениям ( A i I )M 2i 1 = i M 2i ;

( A i I )M 2i = i M 2i 1.

~ ~ ~ ~ Сравнение последних соотношений с соотношениями (4.29) делает справедливыми положения утверждения. Примечание 4.1 (ПР4.1). Если спектр собственных значений матриц ЛО A является комбинированным так, что он содержит как вещественные некратные собственные значения, так и комплексно сопряженные некратные собственные значения, при этом примера ради имеет реализацию вида (4.8) { } {A} = 1, 2 = ± j ;

i : Jm(i ) = 0;

i l ;

i l ;

i, l = 3, n, то исходная матрица A приводима к блочно диагональной канонической форме ~ ~ вида (4.9) с помощью обобщенной матрицы M, имеющей своими столбцами собственные вектора, а также их вещественные и мнимые компоненты, согласованные с вещественными и комплекснозначными собственными значениями. Так в случае, когда исходная матрица A ~ ~ ЛО A имеет каноническую строчную фробениусову форму AF, то M ~ является обобщенной матрицей Вандермонда M B, имеющей представление () () Re 1 3... Jm 0 0 () () n Re 1 Jm 1 3... n 1 1 () () ~ M B = Re 1 3... 2.

Jm 2 2 2 (4.30) n......

.........

() () n Jm 1 1 3 1... n Re n n n В заключение покажем, что матрица Вандермонда M B и матрица M собственных векторов произвольной матрицы A простой структуры ЛО A позволяют приводить матрицу A к канонической строчной фробениусовой форме AF. Действительно обе матрицы M и M B решают задачу диагонализации матриц A и AF в формах = M 1 AM ;

M B 1 AF M B.

= (4.31) Приведенные матричные соотношения позволяют составить матричное равенство M B 1 AF M B = M 1 AM, которое в разрешенном относительно матрицы AF виде записывается AF = M B M 1 AMM B1 = M F1 AM F, (4.32) M F = MM B1 – матрица приведения произвольной матрицы A простой структуры к матрице AF, являющейся канонической строчной фробениусовой формой матриц ЛО A.

Теперь остановимся на формировании матрицы T приведения произвольной матрицы A c вещественным спектром кратных собственных значений, определяемой в силу соотношения TJ = AT. (4.33) Простоты ради выкладок будем для начала полагать, что кратность собственного значения удовлетворяет условию µ = n. Формирование матрицы T осуществим на основе следующего утверждения.

Утверждение 4.5 (У4.5). Матрица T приведения подобия матрицы A c вещественным спектром кратных собственных значений кратности равной степени характеристического полинома к жордановой форме, представленная в столбцовой форме { } = col Ti ;

i 1, n, T= (4.34) столбцы которой определяются из условий:

T1 =i = I )Ti +1;

i = AT1;

T ( A 1, n 1. (4.35) Доказательство утверждения строится на непосредственной подстановки в векторно-матричные соотношения подобия (4.33) матрицы T, представленной в форме (4.34). В результате этой подстановки получим 1 0 0 1 [T1 T2 T3 Tn ] = A[T1 T2 T3 Tn ], 0 0 0 0 0 0 T1 AT1, T1 + T2 AT2,Tn 1 + Tn ATn, обобщением чего = = = является запись (4.35). Примеры и задачи 4.1. Приводимые ниже матрицы простой структуры привести к диагональной и строчной сопровождающей канонической (фробениусовой) формам, построить матрицы приведения подобия к указанным каноническим базисам.

4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.1.4.

3 0 0 1 0 1 0 7 5 5 4 1 21 4 4.1.5. 4.1.6. 4.1.7. 4.1.8.

3 9 2 0 21 0 0 5 1 4 7 1 4.1.9. 4.1.10. 4.1.11. 4.1.12.

1 2 1 4 0 15 7 8 5 2 3 1 8 8 ` 4.1.13. 4.1.14. 4.1.15. 4.1.16.

3 8 1 6 10 5 1 1 0 2 8 7 1 4.1.17. 4.1.18. 4.1.19. 4.1.20.

8 7 1 5 12 5 5 9 12 8 24 9 2 4.2.Привести к нормальной жордановой форме и определить матрицы преобразования T матриц A вида:

1 1 1 0 0 1 4 ;

4.2.2. A = 0 1 ;

= 4.2.1. A 0 1 3 8 12 2 1 2 0 0 2 5 ;

.4.2. A 5 2 0.

= = 4.2.3. A 0 0 2 9 1 Решение вариантов задач Решение задачи 4.1.В качестве примера произвольной матрицы A ЛО A возьмем матрицу 4.1.10, воспользовавшись при этом результатами изучения ее в предыдущем разделе в виде спектров собственных значений и векторов так, что можно записать 1 2 : {A} = {1 = 1, 2 = 5};

1 = 1, 2 = A= 3 Задача 1: Привести матрицу A к диагональной форме 1 0 с помощью матричного соотношения = M AM, где = 0 1 2 1 1 2 M = [M 1 = 1 M 2 = 2 ] = 3, ;

M = 1 1 = 1 1 тогда 1 1 1 4 2 1 1 = M AM = 1 1 = 0 5.

13 2 3 3 Задача 2: Привести матрицу A к строчной сопровождающей (фробениусовой) форме, для построения которой составим характеристический полином матрицы A D( ) = det (I A) = ( 1 )( 2 ) = ( 2)( + 5) = 2 + 4 5.

Сопровождающая форма AF исходной матрицы A принимает вид 0, решим задачу ее диагонализации с помощью матрицы AF = 5 ВандТеперь приведем исходную матрицу A к сопровождающей (фробениусовой) форме AF с помощью матричных соотношений 1 1 1 2 1 1 4 2 1 1 1 0 1 AF = M B M = = AMM B1 1 5 1 1 2 3 1 1 1 5 5 Поставленная задача решена.

Решение задачи 4.2.на примере матрицы 4.2.1.

Характеристическое уравнение ( ) = 0 исходной матрицы A дает для нее три одинаковые собственные значения 1 = 2 = 3 = 1, следовательно, алгебраическая кратность корня равна трем. Дефект матрицы 0 - A I = A-(-1 )I = 0 0 - равен единице, следовательно, собственное подпространство N {A ( 1)I } является одномерным.

Поскольку собственное пространство, соответствующее собственному значению = 1, является одномерным, форма Жордана J состоит из единственного блока, отвечающего этому значению = 1 и принимает вид 1 0 1 J = 0 1 = 0 1 1.

0 0 0 0 Уравнение TJ = AT, записанное в столбцовой форме 1 1 = A[T1 T2 T3 ] [T1 T2 T3 ] 0 порождает систему 0 0 соотношений T1 AT1;

T1 + T= AT2 ;

T2 + T= AT3.

= 2 Последовательное решение этих уравнений без использования процедуры обращения позволяет сконструировать матрицу T в форме 1 0 2 1, в результате чего уравнение T = [T1 T2 T3 ] = 0 1 подобия TJ = AT приводит к искомому результату 0 1 1 1 1 0 1 1 0 J = T 1 AT = 0 2 1 0 1 4 0 2 1 = 0 1 1. 0 1 1 0 1 3 0 1 1 0 0 5. ФУНКЦИИ ОТ ВЕКТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО АРГУМЕНТАМ ФУНКЦИИ Определение 5.1 (О5.1). Пусть каждому вектору x линейного действительного пространства R n ставится в соответствие вполне определенное число из R. Тогда говорят, что в линейном пространстве R n определена скалярная функция от вектора F ( x) : R n R.

Определение 5.2 (О5.2). Функция F1 ( x), областью определения которой является линейное пространство R n, а областью значений – совокупность действительных чисел R, называется действительной линейной формой (линейным функционалом), если выполняется соотношение F1 (1 x1 + 2 x2 ) = 1 F1 ( x1 ) + 2 F2 ( x2 ) (5.1) для любых векторов x1 и x2 и любых действительных чисел и 2.

{e1, e2,..., en } Пусть – естественный базис в пространстве R n, x = [ x1, x2,..., xn ]T – вектор–столбец координат вектора x в этом базисе, тогда любая линейная форма F1 ( x) может быть представлена в следующем виде:

F1 ( x) = 1 x1 + 2 x2 +... + n xn, (5.2) где k = F1 (ek ), k = 1, n. Наоборот, при любых действительных числах 1, 2,..., n выражение (5.2) определяет некоторую линейную форму в R n.

Определение 5.3 (О5.3). Множество всех векторов x R n, для которых F1 ( x) = 0, называется ядром линейной формы (функционала) и обозначается N ( F1 ) :

N ( F1 ) = {x R n : F1 ( x) = 0} (5.3) Линейную форму (5.2) можно записать в E n как скалярное произведение F1 ( x) = ( x, ) = (, x), (5.4) где = [1, 2,..., n ]T.

Определение 5.4 (О5.4). Пусть L – некоторое подпространство пространства R n. Выберем в R n произвольный вектор u, тогда множество векторов z=u+v, где vL называют плоскостью в пространстве R n. Вектор u называется вектором сдвига, а подпространство L – направляющим подпространством этой плоскости.

Определение 5.5 (О.5). Гиперплоскостью H в пространстве R n называется плоскость размерностью n–1. Если L – ортогональное дополнение направляющего подпространства L гиперплоскости H и N – любой его базисный вектор, то уравнение гиперплоскости можно записать в следующем виде:

( x, N ) = ( N, x ) = b, (5.5) где вектор NL есть нормаль к гиперплоскости H, b – действительное число.

Определение 5.6 (О5.6). Квадратичной формой от n действительных переменных x1, x2,..., xn называется функция вида n n F2 ( x) = aij xi x j, (5.6) i =1 j = где aij – действительные числа.

Если составить симметричную матрицу A из коэффициентов aij, называемую матрицей квадратичной формы, и рассматривать величины x1, x2,..., xn как координаты вектора x E n в некотором ортонормированном базисе (например, естественном), то квадратичная форма может быть записана как скалярное произведение или квадрат евклидовой векторной нормы с весом A :

F2 ( x) = ( Ax, x) = xT Ax = ( x ) 2. (5.7) A Рангом квадратичной формы F2 ( x) называется ранг ее матрицы A. При замене переменных x = Ty форма F2 ( x) становиться квадратичной формой F2 ( у ) новых переменных y1, y2,..., yn, причем матрица B этой форме связана с матрицей A соотношением B = T T AT, (5.8) при этом если матрица T неособенная, то ранг квадратичной формы не меняется.

Любую квадратичную форму F2 ( x) ранга r можно неособенным линейным преобразованием привести к каноническому виду.

F2 ( y ) = 1 y1 + 2 y2 +... + r yr, 2 2 (5.9) где k, k = 1, r – все отличные от нуля числа. Канонический вид называется нормальным видом, если все коэффициенты k в (5.9) равны 1 или –1. Число положительных коэффициентов в выражении (5.9) называется положительным индексом инерции, число отрицательных коэффициентов – отрицательным индексом инерции, а разность между ними – сигнатурой квадратичной формы.

Симметричная матрица A квадратичной формы имеет ортонормированную систему собственных векторов в евклидовом пространстве E n, соответствующих собственным значениям 1, 2,..., n матрицы A, которые все являются действительными числами. Поэтому матрица A квадратичной формы ортогонально подобна матрице с действительными собственными значениями матрицы A :

= diag{1, 2,..., n } = T T AT, (T 1 = T T ), (5.10) где T = [T1, T2,..., Tn ] – ортогональная матрица, составленная из столбцов координат ортонормированных собственных векторов матрицы A в том же базисе, в котором задана A.

Определение 5.7 (О5.7). Квадратичная форма F2 ( x) = ( Ax, x) называется положительно определенной, если ( Ax, x) 0 при x 0, и неотрицательно определенной если ( Ax, x) 0 при любых x E n.

отрицательно определенная Аналогично определяются и неположительно определенная квадратичные формы. Если форма F2 ( x) принимает разные знаки при некоторых x E n, то она называется неопределенной. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны (критерий Сильвестра).

Пусть 1 2... n – собственные значения положительно определенной матрицы A, тогда для всех векторов x E n справедливы неравенства xT Ax n T 1. (5.11) xx Определение 5.8 (О5.8). Если все собственные значения матрицы квадратичной формы имеют одинаковый знак, то форма называется эллиптической, а уравнение xT Ax = c, где c const, определяет в пространстве E n гиперэллипсоид постоянного значения (уровня) c.


Рассмотрим основные правила дифференцирования функций от векторов и матриц по скалярным, векторным и матричным переменным.

1. Пусть A = A(q ) – матрица, элементы которой суть функции A(q) Aij = Aij (q ) скалярной переменной q.Тогда производной Aq = от q матрицы A(q ) по q является матрица, составленная из производных Aij ( q ) Aij q = ее элементов по переменной q, что может быть записано q в форме Aq = row{col ( Aij ;

i = 1, m);

j = 1, n}.

Для производной от суммы и произведения матриц, зависящих от скалярной переменной q по этой переменной справедливы представления {C (q) = A(q) + B(q)} = Aq + Bq ;

Cq = q Dq = {D(q) = A(q ) B(q )} = Aq B(q ) + A(q ) Bq.

q f ( A(q )) = ( A(q )) p от Для степенной матричной функции квадратной (n n ) – матрицы A(q ), где p – целое положительное число, производная по скалярной переменной q вычисляется в силу соотношения { } ( A(q )) p = Aq ( A(q )) p 1 + ( A(q ))Aq ( A(q )) p 2 + + ( A(q )) p 1 Aq.

q Для вычисления производной от обратной матрицы ( A(q )) сформулируем и докажем следующее утверждение.

( A ( q ) ) от обратной Утверждение 5.1 (У5.1). Производная q матрицы ( A ( q ) ) по скалярной переменной q вычисляется по формуле ( A ( q ) ) = ( A ( q ) ) Aq ( A ( q ) ).

1 1 q (5.12) Доказательство утверждения строится на дифференцировании по скалярному параметру q матричного уравнения ( A ( q ) ) ( A ( q ) ) = I, где I – единичная матрица, в результате которого получим { } ( A ( q ) ) ( A ( q ) ) = I = q ( A ( q ) ) A ( q ) + ( A ( q ) ) Aq = 0.

1 1 q Разрешение полученного матричного уравнения относительно ( A ( q ) ) приводит к (5.12).

производной q 2. Пусть J = J (x) – скалярная функция векторного аргумента x = [ x1,..., xn ]T. Тогда, обозначив символом оператор градиента, для J производной от этой функции по векторному аргументу и x градиента можно записать следующие представления:

T J J J T J – вектор–столбец;

xJ = = xn,,..., x x1 x2 J J J J – вектор–строка;

( x J )T = =,,..., x x1 x2 xn 2J 2J xn x x1 J – (n n ) – матрица.

J= = x x 2 J xx 2J x1xn xn 3. Пусть y = [ y1 ( x), y 2 ( x),..., y m ( x)] – m – мерный вектор–столбец T скалярных функций от n – мерного вектора x (векторная функция от векторного аргумента), тогда y m y x x 1 x y = [ x y1, x y 2,..., x y m ] =. (5.13) y m y xn xn – матрица размерами (n m). Аналогично определяется производная y1 y xn x [ ] ( y )T = y1, y 2,..., y m T =. (5.14) y m y m x x x x xn x 4. Пусть z = z (x) и y = y (x) – векторы–столбцы размерности m, и x – вектор–столбец размерности n. Тогда производная по x от скалярного произведения векторов z и y (градиент скалярного произведения) определяется следующим образом:

x ( y, z ) = ( x y )T z + ( x z )T y. (5.15) Примеры и задачи 5.1.* Записать квадратичную форму F2 ( x) = 2 x1 + 5 x2 4 x1 x2 с 2 симметричной матрицей этой формы.

0 2 5.2. Привести матрицу A = 0 0 квадратичной формы * 1 0 2 ортогональным преобразованием к каноническому виду.

TT T = I. (5.16) 5.3. Найти значение x, при котором положительно определенная * форма F2 ( x) = ( Rx, x) + 2( x, Sb) + C, где R 0, C = const принимает минимальное значение. Вычислить это значение.

5.4.* Вычислить производные от следующих скалярных функций от вектора x :

а) J = T Ax ;

б) J = xT x ;

в) J = xT Ax.

5.5.* Пусть X – квадратная матрица размером (n n) и J ( X ) = trX – след этой матрицы, равный сумме ее диагональных элементов. Показать, что trX tr (AX ) = AТ.

а) x trX = = I ;

б) (5.17) X X 5.6. Определить дефект линейной формы F1 ( x) на пространстве Rn.

5.7. Показать, что любой вектор z пространства R n может быть представлен единственным образом в виде = x + y, где y N ( F1 ), z x – фиксированный вектор R n, – действительное число.

5.8. Определить расстояние µ ( x, H ) от произвольного вектора z E n до гиперплоскости (n, x) = b.

5.9. Для каждой из квадратичных форм найти ортогональное преобразование T неизвестных, приводящее эту форму к каноническому виду, и записать полученный канонический вид:

а) 2 x1 + 5 x2 + 2 x3 4 x1 x2 2 x1 x3 + 4 x2 x3 ;

2 2 б) 3 x2 + 4 x1 x2 + 10 x1 x3 4 x2 x3 ;

в) x1 + x2 5 x3 + 6 x1 x3 + 4 x2 x3 ;

2 2 г) 2 x1 + x2 4 x1 x2 4 x2 x3.

2 5.10. Выяснить, являются ли положительно определенными следующие квадратичные формы:

а) x1 + 2 x1 x2 + 4 x2 + 4 x2 x3 + 2 x3 ;

2 2 б) 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 ;

2 2 в) 3 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3.

2 2 5.11. Доказать, что положительно определенная матрица является неособенной.

5.12. Доказать, что если A – положительно определенная симметричная матрица, то A 1 – также положительно определенная матрица.

5.13. Доказать, что если det ( A) 0, то AT A и AAT – положительно определенные матрицы;

если det ( A) = 0, AT A и AAT – неотрицательно определенные матрицы.

3 1 5.14. Привести матрицу A = 1 0 2 квадратичной формы к 1 2 каноническому виду и записать полученный канонический вид.

5.15. Доказать справедливость для любой симметричной матрицы A спектрального разложения:

A = 111 + 2 2 2 +... + n n n, где 1, 2,..., n – собственные T T T значения матрицы A : 1, 2,..., n – ортонормированная система собственных векторов этой матрицы.

5.16. Доказать, что xT Ax = tr (AxxT ), где tr обозначает след матрицы.

5.17. Вычислить производные от следующих функций:

а) J ( x) = ( y Ax)T Q( y Ax), где QT = Q 0;

б) J ( X ) = tr ( AX T );

в) J ( X ) = tr ( X T AX );

J ( X ) = tr ( X 1 );

г) J ( X ) = det ( X ) д) 5.18. Определить минимальное значение квадратичной формы F2 ( x) = ( Rx, x) + 2( x, Su ) + (u, Tu ), где R 0 ;

S, T – матрицы, u – не зависящий от x вектор.

Решение вариантов задач 2 Решение задачи 5.1. Матрица A исходной формы: A =.

Любая действительная матрица может быть представлена в виде:

A = A c + A k, где – симметричная матрица, Ac = ( A + AT ) A k = ( A AT ) – кососимметричная матрица. Поскольку для любого вектора x A k x x, то xT A k x = 0, поэтому имеем F2 ( x) = xT Ac x, где 2 A c в данном случае равна Ac =.

Решение задачи 5.2. Вычисление корней характеристического уравнения det[ A I ] = 0 дает следующие собственные значения матрицы A квадратичной формы: 1 = 2 = 1, 3 = 2. Решив систему уравнений (A I ) = 0, получим два ортонормированных собственных = 1:

вектора, соответствующих собственному значению T 1 = 2 0 2, 2 = [0 1 0]. Решив систему уравнений T 2 ( A 2 I ) = 0, получим третий вектор ортонормированной системы, = 2:

соответствующий собственному значению T 3 = 2 0 2. В итоге матрица ортогонального 2 2 0 2 преобразования равна T = [1, 2, 3 ] = 0 1 0.

2 2 0 Матрица канонического вида формы равна = diag{1, 1, 2} так что = T T AT, при этом T T T = I.

Решение задачи 5.3. Рассмотрим решение данной задачи методом, не связанным с вычислением производных. Дополним форму F2 ( x) до полного квадрата:

x T Rx + 2 x T Sb + c = x T Rx + 2 x T RR 1Sb + bT S T R 1Sb + c (5.18) bT S T R 1Sb = ( x + R 1Sb)T R ( x + R 1Sb) + c bT S T R 1Sb Из выражения (5.18) и положительной определенности матрицы R следует, что данная квадратичная форма принимает минимальное значение при x + R 1Sb = 0, откуда получим xmin = R 1Sb и F2 min = c bT S T R 1Sb.

Решение задачи 5.4.

а) Положим AT = C, тогда исходную функцию можно записать в виде J = C T x. Согласно выражению (5.13) имеем x J = x (C T x) = x (C1 x1 +... + Cn xn ) = C, откуда получаем x J = AT (5.19) б) Поскольку xT x = ( x, x) то x ( x, x) = ( x xT ) x + ( x xT ) x = 2( x xT ) x. Но x x T = I, поэтому окончательно получим x J = 2x (5.20) в)Положим y = Ax, тогда можем записать J = xT Ax = ( Ax, x) = ( y, x). Согласно выражению (5.15) x J = x ( y T x) = ( x y T ) x + ( x xT ) y.

Но x y T = x ( Ax)T = [ x y1,..., x y n ] = AT по формуле (5.13), а x xT = I, поэтому в итоге получим x J = AT x + Ax. Если матрица A симметричная, то будем иметь x J = 2 Ax. (5.21) Решение задачи 5.5.

а) Поскольку, trX = x11 +... + xnn, то из формулы (5.13) имеем x trX = x x11 +... + x xnn = I.

б) Поскольку tr ( AX ) = a11 x11 + a12 x21 +... + ann xnn, то x tr ( AX ) = a11 x x11 +... + ann x xnn. (5.22) Но x xij есть матрица размером (n n), имеющая единственный отличный от нуля и равный единице элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце. Сложив все слагаемые правой части выражения (5.22), получим требуемый результат.

6. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ. МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА Рассматривается (n n ) – квадратная матрица A, на которой конструируются функции от матрицы f ( A) трех типов: скалярная функция от матрицы, векторная функция от матрицы и матричная функция от матрицы.

Определение 6.1 (О6.1). Скалярной функцией (СФМ) от квадратной матрицы A называется функция f ( A), которая реализует отображение f ( A) : Rnn R, где R – множество действительных чисел.

Примерами скалярных функций от матрицы явля ются: f ( A) = det( A), f ( A) = tr ( A), f ( A) = C{A}, f ( A) = A – детерми нант, след, норма и число обусловленности матрицы соответственно, СФМ является квадратичная форма f ( A) = xT Ax.

Определение 6.2 (О6.2). Векторной функцией от квадратной матрицы A называется функция f ( A), которая реализует отображение f ( A ) : Rnn Rn, где Rn – n–мерное действительное пространство.

Примерами векторных функций от матрицы (ВФМ) являются { } { } такие, как f ( A) = col i ;

i = 1, n, f ( A) = col i ;

i = 1, n – векторы, построенные на элементах алгебраических спектров соответственно { } { } собственных значений i ;

i = 1,n и сингулярных чисел i ;

i = 1,n матрицы A.

6.1. Матричные ряды и матричные функции от матриц Матричная функция от матрицы (МФМ) реализует отображение f ( A ) : Rnn Rnn. Исходное определение матричной функции от матрицы задается следующим образом.


Определение 6.3 (О6.3). Пусть f ( ) – скалярный степенной ряд (многочлен) относительно скалярной переменной.

f ( ) = a0 + a1 + a2 2 +... + a p p. (6.1) Тогда скалярный ряд f ( ) порождает матричную функцию f ( A) от матрицы A в виде матричного ряда, если в представлении (6.1) для f ( ) скалярную переменную заменить на матрицу A так, что f ( A ) запишется в форме f ( A) = a0 I + a1 A + a2 A 2 +... + a p A p (6.2) Поставим задачу построения перехода от исходного в форме (6.2) к ее минимальному представления МФМ f ( A) представлению, то есть к представлению матричным многочленом минимальной степени. Начнем решение этой задачи с теоремы Гамильтона–Кэли(ТГК).

Утверждение 6.1 (У6.1) (Теорема Гамильтона–Кэли).

Квадратная (n n ) - матрица A с характеристическим полиномом D( ) = det(I A) = n + a1n1 + a 2 n2 +... + a n1 + a n, обнуляет свой характеристический полином так, что выполняется матричное соотношение D ( A) = A n + a1 A n 1 + a2 A n 2 +... + an 1 A + an I = 0, (6.3) где 0 – (n n ) нулевая матрица. Доказательство справедливости сформулированного утверждения осуществим для случая матрицы A простой структуры, характеризующейся алгебраическим спектром {A} = {i : i j ;

i j;

Jm i = 0;

i = 1, n} вещественных и некратных собственных значений так, что на нем может быть сконструирована { } = diag i ;

i = 1, n.

диагональная матрица Если теперь воспользоваться матричным соотношением подобия (2.30), то матрицу A можно представить в форме A = MM 1, что в свою очередь для (6.3) позволяет записать D( A ) M { n + a1 n1 + a2 n2 +... + an1 + an I } M = = { } = M diag i n + a1i n1 + a2i n2 +... + an1i + an I ;

i 1,n = 0.

M = Теорема Гамильтона-Кэли позволяет ввести следующие определения.

Определение 6.4 (О6.4). Многочлен (степенной ряд) ( ) относительно скалярной переменной называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы A, если выполняется условие ( A) = 0 (6.4) Очевидно, аннулирующим многочленом матрицы A в силу теоремы Гамильтона-Кэли является в первую очередь ее характеристический полином. Ясно, что существует множество аннулирующих многочленов матрицы A степени большей, чем n. Но могут существовать аннулирующие многочлены степени m n.

Определение 6.5 (О6.5). Аннулирующий многочлен ( ) наименьшей степени m со старшим коэффициентом при m, равным единице, называется минимальным многочленом матрицы A.

Построим разложение многочлена f ( ) (6.1), задающего матричную функцию f ( A) от матрицы в форме (6.2), по модулю минимального многочлена ( ) матрицы A, представив его выражением f ( ) = ( ) ( ) + r ( ), (6.5) где многочлен r ( ) имеет степень deg(r ( )) меньше степени deg( ( )) = m минимального многочлена ( ) матрицы A.

Выражение (6.5) позволяет дать следующее определение матричной функции от матрицы.

Определение 6.6 (О6.6). Пусть многочлен f ( ) относительно скалярной переменной допускает представление в форме (6.5), тогда матричная функция f ( A) может быть задана в минимальной форме f ( A) = r ( A). (6.6) Заметим, что основной проблемой при задании матричной функции от матрицы в форме (6.6) является вычисление многочлена r ( ).

Основной способ вычисления многочлена r ( ) в силу (6.5) опирается на то, что r ( ) является остатком от деления f ( ) на минимальный многочлен f ( ) r ( ) = rest. (6.7) ( ) Если f ( ) не является рядом или многочленом вида (6.1), а является произвольной аналитической функцией со значениями на алгебраическом спектре собственных значений матрицы A, то формирование матричной функции f ( A) от матрицы A, опирается на представление f ( ) в соответствии с интерполяционной схемой Лагранжа в виде мультипликативной структуры из двучленов ( i ) или в соответствии с интерполяционной схемой Ньютона в виде ряда по степеням двучленов ( i ), число членов которых определяется минимальным многочленом ( ). Для реализации интерполяционной схемы Лагранжа, которая в случае размещения интерполяционных узлов на собственных значениях i матрицы A, приобретает название интерполяционной схемы Лагранжа–Сильвестра, требуется знание значений f (i ). Для реализации интерполяционной схемы Ньютона требуется знание значений f (i ), f (i )... f ( mi 1) (i ).

Если минимальный многочлен ( ) степени m в силу его определения записать в форме ( ) = ( 1 ) m1 ( 2 ) m2...( r ) mr, (6.8) { } где m1 + m2 +... + mr = m, i ;

i = 1, r {A}, то можно построить представление для функции f ( ) в форме f ( ) = r ( ), (6.9) где r ( ) – интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра или Ньютона, сформированный на алгебраическом спектре { A} { } собственных значений i ;

i = 1, r матрицы A, характеризующийся степенью меньшей степени m минимального многочлен ( ), а потому удовлетворяющий условиям (6.5), (6.7).

Рассмотрим случай, когда нули минимального многочлена (6.8) являются простыми, т.е. при m1 = m2 =... = mr = 1, минимальный многочлен и характеристический совпадают так, что выполняются равенства ( ) = D( ) и r = n, тогда представление f ( ) = r ( ) в интерполяционного многочлена форме Лагранжа–Сильвестра принимает вид n ( )...( )( )...( ) i 1 i + r ( ) = f (i ).

1 n (6.10) i =1 (i 1 )...(i i 1 )(i i +1 )...(i n ) Матричная функция от матрицы для случая некратных собственных значений матрицы A принимает с использованием (6.10) вид n ( A I )...( A I )( A I )...( A I ) i 1 i + f ( i ).

f ( A) = r ( A) = 1 n (6.11) (i 1 )...(i i 1 )(i i +1 )...(i n ) i = Теперь допустим, что характеристический многочлен D( ) имеет кратные корни, но минимальный многочлен ( ), являясь делителем D( ), имеет только простые корни ( ) = ( 1 )( 2 )...( m ).

В этом случае интерполяционный многочлен r ( ) совпадает с точностью до замены числа членов n на m с представлением (6.10).

Как следствие матричная функция f ( A) от матрицы A принимает вид m ( A I )...( A I )( A I )...( A I ) i 1 i + f ( i ).

f ( A) = r ( A) = 1 m (6.12) i =1 ( i 1 )...( i i 1)( i i +1)...( i m ) В заключение рассмотрим общий случай, когда минимальный многочлен матрицы A имеет вид (6.8). Для случая кратных нулей минимального многочлена, то есть когда он имеет вид (6.8), представление r ( ) в форме интерполяционного многочлена Лагранжа–Сильвестра, содержащего элементы интерполяционной схемы Ньютона, принимает вид 1 ( j 1) f ( ) ( ) r mi r ( ) = ( j 1) | =i, (6.13) i ( ) i =1 j =1( j 1)! ( i ) mi где для компактности записи использовано обозначение ( ) i (i ) = | = i.

( i ) mi Если ввести обозначение 1 ( j 1) f ( ) i, j =, (6.14) ( j 1)! j 1 k ( ) = i то выражение (6.13) для f ( ) = r ( ) принимает вид } { r r ( ) = i,1 + i,2 ( i ) +... + i,mi ( i ) mi 1 i ( ). (6.15) i = Если воспользоваться представлением (6.15), то для МФМ можно записать } { r f ( A) = r ( A) = i,1 I + i,2 ( A i I ) +... + i,mi ( A i I ) mi 1 i ( A). (6.16) i = Если матрица A представляет собой (n n) жорданову клетку, порождаемую собственным значением 0 кратности n, так что матрица A принимает вид 0 1 0... 0 1..........

A= J =, (6.17).......

0 0 0... 0 0 0... то интерполяционный многочлен r ( ), так как минимальный многочлен матрицы A (6.17) имеет вид ( ) = ( 0 ) n, для функции f ( ) полностью строится по интерполяционной схеме Ньютона и определяется выражением f ( n1) (0 ) f (0 ) ( 0 ) n1.

r ( ) = f (0 ) + ( 0 ) +... + (6.18) (n 1)!

1!

В силу (6.18), (6.5), (6.7) матричная функция f ( A) от матрицы A = J принимает вид f ( n1) (0 ) f (0 ) ( J 0 I ) n1 = r ( J ) = f ( 0 ) I + ( J 0 I ) +... + (n 1)!

1!

f ( n1) (0 ) f (0 ) f (0 ) f ( 0 )...

(n 1)!

1! 2!

(6.19) f ( n 2 ) ( 0 ) f (0 ) f ( 0 ) 0...

= (n 2)!

1!

.......

f (0 ) 0 0 0...

1!

0 f ( 0 ) 0 0...

Рассмотрим теперь случай, когда матрица A имеет вид r A = diag J i ;

mi = n, где J i (mi mi ) – жорданова клетка, i =1 порождаемая собственным значением i кратности mi, так что матрица A принимает вид i 1 0 0 1 r i A = diag J i = ;

mi = n, (6.20) i = 0 0 0 0 0 0 i тогда в силу (6.18) и (6.19) матричная функция f ( A) от матрицы A (6.20) принимает вид f ( n1) (i ) f (i ) f (i ) f ( i )...

(n 1)! 1! 2!

( n 2) f (i ) ( i ) f f ( i ) 0... r (n 2)! ;

mi = n.(6.21) f ( A) = diag f ( J i ) = 1!

i =.......

f (i ) 0 0...

1!

f ( i ) 0 0 0... Из определения матричной функции от матрицы во всех формах следуют ее основные свойства:

Свойство 6.1 (СВ6.1). Матричная функция от матрицы f( A ) { } сохраняет геометрический спектр i ;

i = 1, n собственных векторов i матрицы A : A i = i i, так что выполняется соотношение f ( A) i = f (i ) i, (6.22) где f (i ) = fi – собственные значения матрицы f( A ), удовлетво ряющие ее характеристическому уравнению det{ f I f ( A)} = 0 и {A} = {i ;

i = 1, n} вычисляемые как функция f ( ) на спектре собственных значений матрицы f( A ).

Свойство 6.2 (СВ6.2). Матричная функция от матрицы f( A ) сохраняет матричное отношение подобие в том смысле, что если матрицы A и B подобны, т.е. B = T 1 AT, то f ( B) = T 1 f (A) T.

(6.23) Свойство 6.3 (СВ6.3). Матричная функция от матрицы f( A ) сохраняет блочно-диагональную форму матрицы A в том смысле, что, если A = diag{ A1 A2... Aµ }, то f ( A) = diag{ f ( A1 ) f ( A2 )... f ( Aµ )}. (6.24) 6.2. Матричная экспонента, способы ее вычисления.

Алгоритм Д. Фаддеева разложения резолвенты в задаче вычисления матричной экспоненты Теперь распространим полученные выше результаты на задачи формирования способов аналитического представления и вычисления матричной экспоненты e At, параметризованной непрерывным временем t, исходное задание которой в форме (6.1) порождено скалярной экспонентой et или exp( t ), записанной в форме бесконечного скалярного ряда ( t )2 + ( t )3 +... + ( t ) p +... = ( t )k, t e =1+ t + 2! 3! p! k = 0 k!

и принимает вид ( A t )2 + ( A t )3 +... + ( A t ) p +... = ( A t )k.

e = I + At + At 2! 3! p! k = 0 k!

(6.25) Следует заметить, что аналогичным образом может быть задана любая матричная функция от матрицы, для скалярного прототипа которой известен ряд ее представляющий.

В связи со сказанным и проведенными выше исследованиями, а также упомянутыми свойствами матричных функций от матриц, перечислим основные способы вычисления и построения аналитических представлений матричной экспоненты.

1. Численный способ, основанный на переходе от непрерывного времени t к дискретному k, выраженному в числе интервалов дискретности длительности t так, что t = ( t )k, в результате чего матричная экспонента e At получает представление ( )k e At = e Atk = (e At ) k = A, (6.26) где матрица A = e At при правильном выборе интервала дискретности t задается конечным числом ( p + 1) членов степенного матричного представления 1 1 A = e At = I + At + ( At ) 2 + ( At ) 3 +... + ( At ) p. (6.27) 2! 3! p!

При чем, если p n, то с помощью (6.7) ряд (6.27) может быть приведен к минимальной форме т.е. матричному ряду степени m 1, а в случае ( ) = D( ) к матричному ряду степени n 1. Для вычисления интервала дискретности t можно воспользоваться соотношением t = 0.05n ( tr ( A) ).

(6.28) 2. Способ диагонализации матрицы A, именуемый иначе способом собственных значений. Способ применим к матрицам A простой структуры так, что ее спектр собственных значений имеет вид { } {A} = i : i j ;

i j;

Jmi = 0;

i = 1, n, а потому оказывается справедливым матричное соотношение приведения подобия { } M = AM, где = diag i ;

i = 1, n.

Тогда матричная экспонента принимает вид { } e At = M e t M 1 = M diag e it ;

i = 1, n M 1, (6.29) где { } M = row M i = i = arg ( A i = i i );

i = 1, n, (6.30) то есть M – матрица собственных векторов матрицы A.

3. Способ, основанный на приведении к нормальной форме Жордана матрицы A. Способ применим к матрицам A, спектр r собственных значений которых {A} = i ;

i = 1, r ;

mi = n содержит i = r кратных собственных значений i кратности mi каждый. Для этого случая оказывается справедливым матричное соотношение приведения подобия TJ = AT, где [ ] T = row {Ti = Ti1 = i ;

Ti 2 = ( A i I )+ Ti1...Timi = ( A i I )+ Timi 1 ;

i = 1, r}, здесь i – собственный вектор матрицы A, соответствующий { } собственному значению i : i = arg A i = i i ;

i = 1, r ;

(*)+ – операция псевдообращения матрицы (*).

i 1 0...

0 i 1...

..

..... r mi = n.

J = diag J i = ;

.......

i = 0 0 0...

i 0 0 0...

В результате для матричной экспоненты e At можно записать e At = Te Jt T 1, где матричная экспонента e Jt имеет вид te it t 2 e it t n1e it it e...

(mi 1)!

1! 2! it n 2 it te te e it (mi 2)! ;

mi = n.

J it 0... r e Jt = diag e = 1!....... i = te it 0 0 0... 1!

e it 0 0...

(6.31) 4. Способ преобразования Лапласа заключается в вычислении обратного преобразования Лапласа от резолвенты (sI A) в форме 1 e = L {( sI A) } At (6.32) Способ поддерживается алгоритмом Д.Фаддеева разложения резолвенты без ее обращения на основе представления n s n [(sI A)] T = s n H 0 +n1 H1 +... + H n1, (sI A)1 = det( sI A) s + a1s +... + an1s + an где (n n) – матрицы H i (i = 0, n 1) и коэффициенты характеристического уравнения вычисляются с помощью рекуррентной процедуры алгоритма Д.Фаддеева:

H0 = I, a1 = tr ( AH 0 ) H1 = AH 0 + a1 I, a2 = tr ( AH1 ) /. (6.33).................................................

H k = AH k 1 + ak I, ak +1 = tr ( AH k ) / k С использованием матриц для резолвенты H k (k = 0, n 1) ( sI A) 1 можно записать в форме s n1 s n2 s ( sI A) = H0 + H 1 +... + H n2 + H n1.

D( s) D( s) D( s) D( s) (6.34) Матричная экспонента (6.32) с использованием (6.34) получает представление 1 s n 1 s n 1 e =L H 0 + L H 1 +... + L At H n 1.

D( s) D( s) D( s) (6.35) Запишем характеристический многочлен D(s ) в форме D( s ) = ( s 1 ) m1 ( s 1 ) m2...( s 1 ) mr, тогда становится справедливым представление kmi r k sk = k1 + +... + ;

k = 0, n 1. (6.36) D( s ) i =1 s i (s i )2 (s i )mi Тогда kmi mi 1 it r sk k 3 = k 1 + k 2t + L1 t +... + t e ;

k = 0,n 1.

( mi 1)!

D( s ) i =1 2!

(6.37) Подставляя (6.37) в (6.35) окончательно получим kmi m 1 t r e At = H n 1 k k 1 + k 2 t +... + t i e i ;

k = 0, n 1.

(mi 1)!

i =1 k = n 5. Способ Лагранжа–Сильвестра. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра в зависимости от свойств минимального многочлена ( ) определяется выражениями (6.11),(6.12),(6.16) которые после замены функции f (i ) на e it, A на At, i на i t дают представлдение матричной экспоненты e At.

Примечание 6.1 (П6.1. Если (n n ) –матрица A является нильпотентной индекса так, что выполняется условие A = 0, то матричная экспонента e At, задаваемая в силу определения бесконечным рядом (6.25), имеет конечное число членов, равное индексу нильпотентности. При этом все остальные члены ряда (6.25), содержащие матрицу A в степени и выше оказываются равными нулю.

6.3. Обращение матриц с помощью теоремы Гамильтона–Кэли Теорема Гамильтона–Кэли обнаруживает привлекательные алгоритмические возможности для решения практических задач, связанных с необходимостью обращения матриц. Действительно, запишем матричное соотношение (6.3), представляющее собой аналитическое содержание теоремы Гамильтона – Кэли, в форме an I + an 1 A + an 2 A2 + + a1 An 1 + An = 0. (6.38) Умножим выражение (6.38) на матрицу A1 слева, тогда получим an A1 + an 1I + an 2 A + + a1 An 2 + An 1 = 0. (6.39) Разрешим полученное соотношение относительно обратной матрицы A1 в форме ( ) 1 n A1 = (an ) an 1I + an 2 A + + a1 An 2 + An 1 = (an ) An 1 + ai An 1i. (6.40) i = В результате чего получим алгоритмическую базу обращения матриц. Обращение матриц с помощью приведенного матричного соотношения обладает тем положительным свойством, что (6.40) нечувствительно к обусловленности обращаемой матрицы. Слабым моментом обращения матриц с помощью выражения (6.40) является необходимость знания коэффициентов характеристического полинома.

Поэтому предлагаемая процедура обращения не вызовет заметных сложностей для случая разреженных матриц, и особенно удобно пользоваться ею при обращении матриц заданных в сопровождающей (фробениусовой) форме, потому что коэффициенты характеристического полинома в явном виде присутствуют в ней.

Примеры и задачи 0 1, пользуясь свойствами 6.1. Дана матрица A = 0 10 матричной функции от матрицы найти алгебраические спектры собственных значений и геометрические спектры собственных векторов МФМ f ( A), порождаемые следующими скалярными функциями:

а) f () = 1 + ;

б) f () = 2 + ;

в) f () = 5 + ;

г) f () = 2 ;

д) f () = 10 7 + 4 2 + 3 ;

е) f () = 125 + 3.

6.2.Найти матричную экспоненту e At способом, основанным на приведении к нормальной форме Жордана для матрицы 0 A= 0 1 ;

8 12 6.3. Найти e At методами собственных значений (диагонализации матрицы A ) и с помощью преобразования Лапласа для матриц:

8 8 2 3 1 a) A = 4 3 2;

б) A = 1 3 3 4 1 0 0 6.4. Найти e методом собственных значений (диагонализации At матрицы A ) и с помощью преобразования Лапласа для матриц:

1 2 0 1 1 1 ;

0 0 1;

б) A = а) A = 1 1 0 0 0 2 2 в) ;

г) A = A= ;

0 1 6.5. Вычислить e At любым методом для матриц примера 6. 6.6. Вычислить e At численным методом для матриц:

8 8 2 3 1 a) A = 4 3 2;

б) A = 1 3 3 4 1 0 0 1 2 0 1 1 A = 0 0 1;

г) A = в) 1 1 0 0 0 2 д) A=.

0 Подготовив схему вычислений в соответствии с соотношениями (6.26), (6.27) и (6.28), положив в разложении матричной экспоненты e At (6.28) p = 4 и построив его минимальное представление с использованием (6.7), полагая ( ) = D( ).

6.7.При каких свойствах матриц A и B справедливо e A e B = e B e A ?

6.8. Доказать справедливость следующих равенств:

а) e A(t + ) = e At e A б) e At = (e At ) d в) e At = Ae At = e At A.

dt г) e ( A + В )t = e At e Вt, если AB = BA.

t д) e At dt = A 1 (e At I ) = (e At I ) A 1 при det( A) 0.

6.9. Пользуясь соотношением (6.40) обратить матрицу 0 0 a A = 1 0 a2 для следующих вариантов значений ее 0 1 a незаданных элементов:

а) a3 = 10;

a2 = 7;

a1 = 4 ;

б) a3 = 6;

a2 = 11;

a1 = 12 ;

в) a3 = 15;

a2 = 23;

a1 = Решение вариантов задач Решение задачи 6.2. Характеристический многочлен D( ) матрицы A имеет вид D( ) = ( + 2) 3 так, что собственное значение = 2 характеризуется кратностью m = n = 3. В свою очередь A I = A + 2 I характеристическая матрица обладает нуль– пространством N {A + 2 I } размерности rN = 1, которому принадлежит один собственный вектор = (1,2, 4)T. В связи со сказанным нормальная форма Жордана матрицы A принимает канонический вид 2 0 2 1. Матрица T (6.17) и записывается в форме J = 0 0 отношения подобия TJ = AT, так что A = TJT 1, имеет представление 1 0. 0. T = ;

T2 =I ) T1 ;

T3 =I ) T2 = 2 -0.7142 -0.2314.

T1 = ( A + 2 (A+ + + 4 -0.5713 -0. Тогда в силу свойства 6.2, а также представления (6.31) e Jt искомая матричная экспонента e At принимает вид 2t 1 2 2t te 2t e te e At = Te Jt T 1 = T 0 e 2t te 2t T 1 = e 2t 0 1 0 0 0 1 0 0 0 e 2t + 0 0 1 te 2t + 0 0 0 1 t 2e 2t T 1 = =T 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0. 0. 2 -0.714 -0. = 4 -0.571 -0. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2t 2t 2t 0 1 0 e + 0 0 1 te + 0 0 0 t e 0 0 1 0 0 0 0 0 0.048 0.095 0.190 1 0 0 2 1 0 4 4 1.430 2.431 0.838 = 0 1 0 e2t + 0 2 1 te2t + 8 8 2 1 t 2e2t.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.