авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |

«Н.А. ДУДАРЕНКО, О.С. НУЙЯ, М.В. СЕРЖАНТОВА, О.В. СЛИТА, А.В. УШАКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС И ПРАКТИКУМ ...»

-- [ Страница 7 ] --

При моделировании стохастического дискретного процесса типа "белый" шум с матрицей дисперсии V в программной оболочке MATLAB с помощью генераторов случайных чисел возникает задача определения коэффициента нормирования k н, доставляющего требуемое значение дисперсии V. моделируемому дискретному процессу.

При решении данной задачи можно ограничиться случаями двух наиболее распространённых генераторов случайных чисел: с равномерным и нормальным распределением. Если выход генератора случайных чисел обозначить ген, то базовое выражение для вычисления коэффициента k н, примет вид k н Dген = V, (11.172) где D ген — дисперсия на выходе генератора случайных чисел.

Для случая равномерного распределения случайных чисел в интервале [–a, a] k н, вычисляется в силу соотношения 1/ V = 3 V 1/ 2.

kн = (11.173) D a ген При использовании генератора с нормальным распределением случайных чисел с параметром ген значение коэффициента k н, определяется выражением 1 1/ kн = V. (11.174) ген При моделировании ветрового воздействия выход генератора равномерно распределенных чисел должен быть связан со входом дискретного ФФ через линейный блок с коэффициентом передачи 3 N ф 1 + exp( ф t ) 1/ kн = 2 1 exp( t ) ;

(11.175) a ф для случая генератора нормально распределенных случайных чисел этот коэффициент приобретает значение 1 N ф 1 + exp( ф t ) 1/ kн = (11.176) ген 2 1 exp( ф t ).

Примеры и задачи 11.1. Для непрерывной динамической системы, заданной передаточной функцией (s ) «вход–выход» вида Y (s ) b0 s + b (s ) =, построить ее ВМО в произвольном = G (s ) a0 s 2 + a1s + a x(t ) = Fx(t ) + Gg (t ), x(t ) t = 0 = x(0 ) = 0, y (t ) = Cx(t ), используя базисе значения параметров передаточной функции из наборов:

1. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 0.1;

a2 = 1;

2. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 0.5;

a2 = 1;

3. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 1;

a2 = 1;

4. b0 = 1;

b1 = 0;

a0 = 0;

a1 = 0.1;

a2 = 1;

5. b0 = 1;

b1 = 0;

a0 = 0;

a1 = 0.5;

a2 = 1;

6. b0 = 1;

b1 = 0;

a0 = 0;

a1 = 1;

a2 = 1;

7. b0 = 0.5;

b1 = 0;

a0 = 0;

a1 = 1;

a2 = 1;

8. b0 = 1;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 0.1;

a2 = 1;

9. b0 = 1;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 0.5;

a2 = 1;

10. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 1;

a1 = 2;

a2 = 1;

11. b0 = 0;

b1 = 9;

a0 = 1;

a1 = 6;

a2 = 9;

12. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 1;

a1 = 1.5;

a2 = 1;

13. b0 = 0;

b1 = 16;

a0 = 1;

a1 = 6;

a2 = 16;

14. b0 = 0;

b1 = 4;

a0 = 1;

a1 = 1;

a2 = 4;

и вычислить реакцию системы на одно из непрерывных конечномерных экзогенных воздействий из примеров 10.1.1. – 10.4.4.

раздела 10 по выбору преподавателя.

11.2. Для значений параметров из примеров 11.1.1 – 11.1. непрерывной системы при значении интервала дискретности t = 0.1C сформировать ее дискретное представление x(k + 1) = F x(k ) + G g (k ), x(k ) k = 0 = x(0) = 0, y (k ) = C x(k ) с тем, чтобы вычислить реакцию системы на одно из дискретных конечномерных экзогенных воздействий из примеров 10.6.1. – 10.7.4. раздела 10 по выбору преподавателя.

11.3. Вычислить матрицы дисперсий Dx, D y соответственно векторов состояния и выхода непрерывной системы примера 11.1, а также корреляционную функцию выхода Ry () и его функцию S y () спектральной плотности для вариантов 11.1.1–11.1.14 по выбору преподавателя для случая экзогенного стохастического воздействия стационарного в широком смысле типа «белый шум» w(t ) интенсивности N =1 В 2С.

Решение вариантов задач Решение задачи 11.3 ( с вариантом параметров 11.1.1) В соответствии с вариантом параметров 11.1.1 передаточная функция непрерывной системы принимает вид Y (s ) 10 s (s ) = b1 ;

ВМО которой будет = = = G (s ) a1s + a2 0.1s + 1 1 + 10 s характеризоваться матрицами: G = [10], F = [ 10], C = [1].

{ }{} Для вычисления матрицы дисперсий Dx = M x(t )xT (t ) = M x 2 (t ) воспользуемся матричным уравнением Ляпунова (11.102) FDx + Dx F T = GNG T, которое принимает вид 10 Dx + Dx ( 10 )T = 10 N (10 )T, что приводит к равенствам 20 Dx = 100 N N =1 = 100, Dx = 5B 2.Матрица дисперсии выхода в силу (11.103) и C = [1]принимает вид Dy = Dx = 5B 2. Корреляционная матрица по вектору состояния в силу (11.104) определяется выражением Rx () = e F Dx = 5e10, а по вектору выхода в силу (11.105) получает представление R y () = CRx ()C T = Rx () = 5e 10. Осталось определить матрицу спектральной плотности состояния и выхода, которые в силу соотношений (11.123)–(11.124), а также матриц системы принимают вид ( ) S x () = 2 F F 2 + 2 I Dx = ;

S y () = CS x ()C T = 100.

100 + 2 100 + 12*. ЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ Погружение в проблемную среду решений линейных матричных уравнений осуществим следующим образом. Для начала напомним, что читатель в неявной форме уже встречался с линейным матричным уравнением при рассмотрении проблем приведения подобия.

Действительно, если уравнение приведения подобия MA = AM записать в эквивалентной форме MA AM = 0, то получим линейное однородное матричное уравнение относительно матрицы приведения подобия Однородное матричное уравнение является M.

недоопределенным и его решение в классе не тривиальных решений весьма затруднено. Проблема решается путем модификации однородного уравнения с тем, чтобы на его основе построить неоднородное матричное уравнение относительно той же неизвестной матрицы M. Модификация его состоит в представлении матрицы A в форме A = E LN так, что однородное матричное уравнение подобия принимает вид неоднородного матричного уравнения Сильвестра MA EM = LH, где свободно назначаемый матричный компонент:

{ ( )} H = arg dim(H ) = dim LT определяет матрицу N = HM 1.

В явном виде читатель встретился с матричным уравнением Сильвестра в задачах поиска реакции системы на конечномерное экзогенное воздействие и с матричным уравнением Ляпунова при поиске реакции системы на стохастическое экзогенное воздействие стационарное в широком смысле.

Встает естественный вопрос как решаются матричные уравнения?

Ответ на него составляет предмет настоящего раздела. По пути заметим, что читатель встретит еще один тип матричного уравнения, именуемого матричным уравнением Риккати, использование которого в пособии не продемонстрировано. Читатель встретится с ним только в курсе теории систем, в разделе синтеза оптимального управления.

12.1 Матричные уравнения Сильвестра, Ляпунова, Риккати Параграф начнем с установление связи между матричными уравнениями Сильвестра, Ляпунова и Риккати, решающих задачи управления и динамического наблюдения, преследующей следующие цели. Первая цель – системологическая, вторая – пользовательская, ставящая задачу унификации алгоритмического и программного обеспечения решений матричных уравнений.

Проблему связи между матричными уравнениями Сильвестра, Ляпунова и Риккати сформулируем в виде системы утверждений.

Утверждение 12.1 (У12.1). Введем в рассмотрение обобщенное уравнение Риккати AT P + PA PBVB T P = Q, (12.1) где V = V T, V 0.

Тогда уравнение Ляпунова F T P + PF = Q (12.2) с матрицами F = A BK и F T = AT K T B T, где K = R 1 B T P, совпадает с матричным уравнением Риккати (12.1) при V = 2 R 1. Доказательство. Для доказательства У12.1 достаточно в (12.1) положить V = 2 R 1, в (12.2) подставить F = A BR 1 B T P и F T = AT PBR 1 B T, и убедиться в совпадении левых и правых частей (12.1) и (12.2). Утверждение 12.2 (У12.2). Если уравнение Риккати используется для синтеза закона управления, доставляющего системе качественную экспоненциальную устойчивость, так, что оно записывается в виде AT P + PA PBVB T P = P, (12.3) то оно может быть сведено к уравнению Ляпунова вида 1 ( A 1 I )T P 1 + P 1 ( AT + 1 I ) = BVB T. (12.4) 2 Доказательство. Умножим уравнение Риккати (12.3) слева и справа на матрицу P 1, тогда получим P 1 AT + AP 1 BVB T = P В полученном матричном уравнении относительно матрицы P все члены ее содержащие разместим в левой части уравнения, а не содержащие ее – в правой, тогда получим (12.4). Утверждение 12.3 (У9.3). Матрицы P и Q : P = P, P 0 ;

T Q = Q T, Q 0 вида P = ( M 1 )T M 1, Q = ( M 1 )T ( + T ) M 1, (12.5) где матрицы M и удовлетворяют матричному уравнению Сильвестра M AM = BH (12.6) удовлетворяют матричному уравнению Ляпунова (12.2).

Доказательство. Пусть матрица K обратной связи найдена в результате решения задачи модального управления так, что K = HM 1, где M – решение уравнения Сильвестра (12.6).

Тогда подстановка H = KM в (12.6) приводит к уравнению подобия M = FM, (12.7) которое позволяет записать F = M M 1, F T = ( M 1 )T T M T. (12.8) Подстановка в (12.2) матриц P и Q вида (12.5), а также F и F T вида (12.8) дает F T P + PF = (M 1 )T T M T (M 1 )T M 1 + (M 1 )T M 1MM, (12.9) 1 T = ( M ) ( + ) M = QT что доказывает справедливость утверждения 12.3. Примечание 12.1 (П12.1). Необходимо заметить, что матрица ( ) + T, в которой матрица имеют спектр собственных значений ( ) i : Re( i ) 0 ;

i = 1, n с отрицательными вещественными частями, не в любом базисе ее представления является положительно определенной.

Эта матрица является гарантировано положительно определенной, если матрица является диагональной ( = ) или блочно – ( ) ~ диагональной =.Действительно в этом случае имеет место ( ) { }.

представление + T = diag 2 Re(i );

i = 1, n Утверждение 12.4 (У12.4). Матрицы P и Q вида { } P = ( M 1 )T M 1, Q = ( M 1 )T ( + T ) + H T BR 1 B T H M 1, (12.10) где матрицы, M, H и R удовлетворяют модифицированному УС M AM = BR 1 B T H, HM T = I, (12.11) 1 T в котором ( A, B ) – управляема, (, R B H ) – наблюдаема, а также {} {A}=, удовлетворяют обобщенному уравнению Риккати (12.1) при V = R 1.

Доказательство. Для доказательства У12.4 сконструируем на основании (12.11) представления матриц A и AT A = MM 1 + BR 1BT ( M 1 )T M 1, (12.12) AT = ( M 1 )T T M T + ( M 1 )T M 1BR 1BT.

Тогда подстановка в (12.1) V = R 1, а также представлений A и AT (12.12) дает [ ] AT P + PA PBR 1BT P = ( M 1 )T T M T + ( M 1 )T M 1BR 1BT ( M 1 )T M 1 + [ ] + ( M 1 )T M 1 MM 1 + BR 1BT ( M 1 )T M { } ( M 1 )T M 1BR 1BT ( M 1 )T M 1 = ( M 1 )T ( + T ) + H T BP 1BH M 1 = Q, что доказывает справедливость сформулированного утверждения.

Примечание 12.2 (П12.2). Управление u = K x, где K = R 1 B T HM 1 является модальным управлением, оптимальным в смысле квадратичного функционала качества (15.17). Это управление доставляет матрице F = A BK состояния системы структуру мод, носителем которой является матрица, и минимизирует функционал (15.17) с матрицами P и Q вида (12.10) на траекториях системы.

Таким образом, наличие установленных связей между матричными уравнениями Сильвестра, Ляпунова и Риккати обнаруживает полезную однотипность матричного формализма в задачах управления в их многовариантной содержательной постановке, тем не менее в зависимости от решаемой задачи алгоритмически сводящихся к решению линейного матричного уравнения вида MS + RM = U (12.13) или MS + RM = VW, (12.14) в которых соблюдаются соотношения размерностей матричных компонентов dimM = dimS = dimR = dimU = dim(VW ) = n n. (12.15) 12.2 Методы прямого решения линейных матричных уравнений Под прямым решением уравнений (12.13) и (12.14) понимается решение этих матричных уравнений относительно матрицы M соответственно в формах M = M { S, R,U }, M = M { (S,W ), (R,V )}. (12.16) Первым аналитическим способом решения матричного уравнения вида (12.13) является способ, основанный на сведении матричного уравнения к векторно–матричному с использованием кронекеровской суммы матриц R и S T, в результате чего становится справедливой запись ~~ ~ TM = U, (12.17) ~ где T = R S = R I + I S, T T (12.18), - символы кронекеровских суммы и произведения матриц, ~~ n 2 мерные векторы M и U имеют структуру [ ] [ ] ~ ~ TT TT M = M 1, M 2,..., M n, U = U 1,U 2,...,U n, T T T T (12.19) ( ) M i, U i – i-й столбец соответственно матриц M и U, i = 1, n.

Решение уравнения (12.17) находится стандартным способом в форме ~ ~~ M = T 1U. (12.20) ~ Из столбца формируется искомая матрица M M = [M 1 M 2 M n ].

Примечание 12.3 (П12.3). Ключевым моментом реализуемости ~ предлагаемого способа решения является обратимость матрицы T ( ) размерности n 2 n 2, которая, являясь кронекеровской суммой матриц R и S, имеет своими собственными значениями попарные суммы T собственных значений матриц R и S T.Таким образом обратимость ~ матрицы T будет обеспечена, если алгебраические спектры собственных значений матриц S и R не будут пересекаться, то есть будет выполняться соотношение {S } { R}=.

Следует также заметить, что предложенный способ не гарантирует невырожденности матрицы M, так как она «собирается» из элементов ~ вектора M.

В связи с отмеченным выше прежде, чем продолжить рассмотрение способов прямого решения матричных уравнений вида (12.13) и (12.14) сформулируем условие существования единственного невырожденного решения этих уравнений, опираясь на представление (12.14) с декомпозированной правой частью, ограничившись случаем матриц S и R простой структуры.

Утверждение 12.5 (У9.5). Линейное матричное уравнение вида (12.14) имеет единственное невырожденное решение, если матричные компоненты этого уравнения удовлетворяют условиям:

– непересекаемость алгебраических спектров собственных значений матриц S и R, то есть выполнение соотношения {S } { R}= ;

– управляемость пары матриц {R,V };

– наблюдаемость пары матриц {S,W }.

Доказательство. Необходимость выполнения условия непересекаемости алгебраических спектров собственных значений матриц S и R доказана при рассмотрении первого способа решения матричных уравнений вида (12.14).Тем не менее, осуществим еще раз доказательство необходимости выполнения этого условия в контексте подготовки новых способов решения матричного уравнения (12.14).

Для этих целей предположим, что матрица S задана в { } диагональной форме S = S = diag si ;

i = 1, n так, что уравнение M S + RM = VW.Запишем последнее (12.14) принимает вид матричное уравнение в виде системы векторно – матричных уравнений вида M Si + RM i = VWi ;

i = 1, n. (12.21) [ ] T Столбец Si имеет вид Si = 0T1 | si | 0Ti, подстановка i n которого в векторно–матричное уравнение (12.21) дает (si + R) M i = VWi, i = 1, n, откуда для матрицы M получим представление { } M = row M i = (si + R ) VWi ;

i = 1, n.

(12.22) Решение матричного уравнения (12.14) в форме (12.22) возможно только при обратимости матрицы (si + R), что возможно только при выполнении условия {S } { R}=.

Покажем теперь справедливость требования управляемости пары матриц {R,V }. Для этих целей воспользуемся разложением Д.Фаддеева матрицы (si + R ) 1, в соответствии с которым получаем развернутое по степеням матрицы R представление [ ] (si + R )1 = 1 Dn1 (si ) + Dn2 (si ) R + Dn3 (si ) R 2 + + D0 (si ) R n1, (12.23) D(si ) где D(si ) = det (si + R ) = n + a1n1 + a2 n2 + + an1si + an ;

si si si Dn1 (si ) = n1 + a1n2 + + an2 si + an1 ;

si si Dn2 (si ) = n2 + a1n3 + + an3si + an2 ;

. (12.24) si si D1 (si ) = si + a1 ;

D0 (si ) = 1. Введем обозначения D j (si ) D j (si ) = ;

j = 0, n 1. (12.25) D(si ) (si + R ) В результате для получаем запись [ ]{ } (si + R ) = | R | R 2 | | R n1 col D j (si );

j = n 1,0. (12.26) Подстановка (12.26) в (12.22) дает для матрицы M [ ]{[ ] }.

M = V | RV | | R n1V row col D j (si )Wi ;

j = n 1,0 ;

i = 1, n. (12.27) Из (12.27) следует, что матрица M оказывается невырожденной, [ ] то есть M 1, если rang V | RV | | R n1V = n, то есть если пара матриц {R, V } управляема.

Для целей дальнейших исследований транспонируем матричное уравнение (12.14), тогда получим M T RT + S T M T = W TV T. (12.28) Теперь сделаем предположение, что матрица R задана в { } диагональной форме R = R = diag Ri ;

i = 1, n так, что уравнение (12.28) принимает вид M T R + S T M T = W T V T.

Запишем последнее матричное уравнение в виде системы векторно – матричных уравнений вида M T Ri + S T M i = W T Vi ;

i = 1, n.

T T (12.29) [ ] T Столбец Ri имеет вид Ri = 0T1 | Ri | 0Ti, подстановка i n которого в векторно – матричное уравнение (12.29) дает ( Ri + S T ) M i = W T ViT, i = 1, n,откуда для матрицы M T получим представление { } ( ) M T = row M iT = Ri + S T W T Vi ;

i = 1, n.

T (12.30) Решение матричного уравнения (12.14) в форме (12.30) возможно только при обратимости матрицы ( Ri + S T ), что возможно только при выполнении условия {S } { R}=.

Покажем теперь справедливость требования наблюдаемости пары матриц {S,W }. Для этих целей воспользуемся разложением Д.Фаддеева матрицы ( Ri + S T ) 1, в соответствии с которым получаем развернутое по степеням матрицы S T представление [ ] ( ) 1 Dn 1 ( Ri ) + Dn 2 ( Ri ) S T + Dn 3 ( Ri ) S T 2 + + D0 ( Ri ) S T (n 1), Ri + S T = D( Ri ) где D( Ri ) = det ( Ri + S T ) = n + a1n1 + a2 n2 + + an1 Ri + an ;

Ri Ri Ri n 1 n Dn1 ( Ri ) = Ri + a1 Ri + + an2 Ri + an1 ;

Dn2 ( Ri ) = n2 + a1n3 + + an3 Ri + an2 ;

.(12.31) Ri Ri D1 ( Ri ) = Ri + a1 ;

D0 ( Ri ) = 1. Введем обозначения D j ( Ri ) D j ( Ri ) = ;

j = 0, n 1. (12.32) D( Ri ) ( Ri + S T ) В результате для получаем запись ) = [ | S ]{ ( } | S T 2 | | S T (n1) col D j ( Ri );

j = n 1, Ri + ST T (12.33) Подстановка (12.33) в (12.30) дает для матрицы M T [ ] {[ ] }.

M T = W T | S T W T | | S T (n1)W T row col D j (Ri )ViT ;

j = n 1,0 ;

i = 1, n. (12.34) Из (12.34) следует, что матрица M оказывается невырожденной, [ ] то есть M 1, если rang W T | S T W T | | S T (n1)W T = n, то есть если пара матриц {S, W } наблюдаема. Примечание 12.4 (П12.4).В процессе доказательства утверждения 12.5 сформированы два аналитических способа решения матричного уравнения (12.14), представленных соотношениями (12.22) и (12.30), которые соответственно названы вторым и третьим.

Четвертый (поэлементный) способ решения уравнений (12.13), (12.14).

При этом способе решения уравнения (12.13) строятся n скалярных соотношений вида M i S j + R i M j = U ij, (12.35) где M i, R i i -е строки матрицы M и R, S j, M j j -е столбцы матриц S и M, U ij (i, j ) -ый элемент матрицы U. В результате приведения подобных членов получается система содержащая n условий для n 2 неизвестных M ij матрицы M, которая решается стандартными методами линейной алгебры.

Пятый способ (с использованием итеративной процедуры) Рассмотрим матрицу Z (t ), определяемую решением дифференциального матричного уравнения Z (t ) = RZ + ZS U, Z (0). (12.36) Прямой подстановкой в выражение (12.36) нетрудно убедиться, t что решение уравнения имеет вид Z (t ) = e Rt Z (0)e St e R Ue S d.

Если lim e Z (0)e = 0, то очевидно, что Rt St t M = lim Z (t ) = e R Ue S d. (12.37) t Построим суммарное приближение интегрального выражения (12.37) в виде R S e Ue d = lim h e Ue.

Rhk Shk (12.38) h0 k = Если для матричных экспонент использовать аппроксимацию Е.

Девисона:

e Rh = Г R = [12 I 6hR + h 2 R 2 ]1[12 I + 6hR + h 2 R 2 ] e Sh = Г S = [12 I 6hS + h 2 S 2 ]1[12 I + 6hS + h 2 S 2 ], то получим e Rhk = Г K, e Shk = Г k.

R S Для суммарного представления интеграла можно записать R S hГk UГk.

e Ue d = lim R S h k = Введем в рассмотрение частичную сумму M () = hГ k UГ k = h[U + Г RUГ S + + Г UГ ] R S R S k = На базе частичной суммы нетрудно построить рекуррентную процедуру M ( + 1) = M () Г +1 (hU )Г +1, M (0) = hU (12.39) R S Тогда искомая матрица M найдется в результате предельного перехода M = lim M () Алгоритм 12.1 (A12.1) решения уравнения (12.13) пятым способом принимает следующий вид:

1.Выбор шага дискретизации h из условия, max = max(i, j ), h | max | i, j где i – собственные значения матрицы R;

j – собственные значения матрицы S;

– константа;

2. Вычисление матриц Г R, Г S ;

3. Вычисление матрицы M (0) = hU ;

4. Для шагов рекуррентной процедуры = 1,2, вычисление матрицы M ( + 1) = M () Г R [Г (hU )Г ]Г S ;

R S 5. Останов рекуррентной процедуры на основании удовлетворения неравенству () = M ( + 1) M () где рекомендуется выбирать в пределах от 10-7 до 10-5;

в качестве правила останова можно использовать условие m ii ().

tr() = i = Рассмотренные способы решения матричных уравнений (12.13), (12.14) не исчерпывают весь банк способов, с некоторыми из них можно ознакомиться в приводимой литературе.

Следует также добавить, что в случае, если правые части матричных уравнений (12.13) и (12.14) оказываются нулевыми, то они превращаются в однородные матричные уравнения тем самым становятся матричными условиями подобия матриц S и R, поэтому алгебраическим условием нетривиального решения этих уравнений в оговоренном случае является совпадение алгебраических спектров собственных значений матриц S и R.

Также необходимо отметить проблему вычислительной устойчивости рассмотренных матричных уравнений, которую можно проконтролировать с помощью C{МУ } – числа обусловленности «матричного уравнения» вида (12.13), (12.14), вычисляемого в силу соотношения { } { } C{МУ } = max i (S ) + j (R ) min i (S ) + j (R ), (12.40) i, j i, j где () - сингулярное число матрицы.

В заключение следует сказать, что в настоящее время самым эффективным способом решения матричных уравнений (12.13) (Ляпунова) и (12.14) (Сильвестра) является способ, использующий оператор «lyap» в программной оболочке MatLab, который для уравнения (12.13) имеет запись M = lyap(S, R,U ).

12.3 Инверсное решение линейных матричных уравнений В основу инверсного способа решения матричных уравнений вида (12.13),(12.14) положено то соображение, что матрица М есть матрица преобразования базисов, банк которых для случаев приведения произвольных матриц к каноническим формам S, в алгебраической и по использованию метода пространства состояния библиографии довольно обширен, часть которых приведена в разделе 4.

Под инверсным решением уравнений (12.13) и (12.14) понимается решение этих матричных уравнений относительно матрицы U в форме U = U { S, R, M } (12.41) применительно к уравнению (12.13) и в формах W = W { S, R,V, M }, (12.42) V = V { S, R,W, M } (12.43) применительно к матричному уравнению (12.14). Причем инверсное решение матричного уравнения (12.14) в форме (12.42) используется в основном в задачах управления, а в форме (12.43) – в задачах наблюдения.

Инверсный способ решения матричных уравнений вида (12.13),(12.14) не всегда реализуем. Сформулируем условия реализуемости инверсного способа решения матричных уравнений вида (12.13),(12.14).

Применительно к матричному уравнению (12.13), которое в задачах исследования устойчивости и динамических свойств систем при стохастических экзогенных воздействиях стационарных в широком смысле принимает вид матричного уравнения Ляпунова, эти условия принимают вид.

Условие 12.1 (УС12.1). Условие разрешимости матричного уравнения (12.13), используемого в задачах исследования устойчивости непрерывных систем в форме уравнения Ляпунова, состоит в том, чтобы матрица { (MS + RM )} размерности (n n ) была симметричной и положительно определенной, то есть имела n положительных собственных значений.

Условие 12.2 (УС12.2). Условие разрешимости матричного уравнения (12.13), используемого в задачах исследования динамических свойств непрерывных систем при стохастических экзогенных воздействиях стационарных в широком смысле в форме уравнения Ляпунова, состоит в том, чтобы матрица { (MS + RM )}размерности (n n ) была симметричной, положительно полуопределенной и имела ранг, равный рангу матрицы входа системы.

Применительно к матричному уравнению (12.14), которое в задачах синтеза формирователей сигналов управления и устройств динамического наблюдения принимает вид матричного уравнения Сильвестра, эти условия принимают вид.

Условие 12.3 (УС12.3). Условие разрешимости матричного уравнения (12.14) в форме (12.42), используемого в задачах синтеза формирователей сигналов управления в форме уравнения Сильвестра, состоит в том, чтобы столбцы {(MS + RM )}i матрицы {(MS + RM )} размерности (n n ) принадлежали образу матрицы V {(MS + RM )}i Jm{V };

i = 1, n. (12.44) В случае выполнения условия 12.3 в форме (12.44) решение (12.42) уравнения (12.14) относительно матрицы W представимо в форме ( ) W = V T V V T ( MS + RM ). (12.45) Условие 12.4 (УС12.4). Условие разрешимости матричного уравнения (12.14) в форме (12.43), используемого в задачах синтеза устройств динамического наблюдения в форме уравнения Сильвестра, {( )} состоит в том, чтобы столбцы матрицы M T R T + S T M T размерности (n n ) принадлежали образу матрицы W T {(M )} {} R T + S T M T i Jm W T ;

i = 1, n.

T (12.46) В случае выполнения условия 12.4 в форме (12.46) решение (12.43) уравнения (12.14) относительно матрицы V представимо в форме ( ) V = ( MS + RM )W T WW T (12.47).

Примеры и задачи 12.1.*Определить, разрешимо ли матричное уравнение MS + RM = U относительно матрицы M, если матрицы S, R и U принимают значения 5 0 0 0 ;

S= ;

R= U =.

4 2 10 0 12.2.Определить, разрешимы ли матричные уравнения вида MS + RM = U относительно матрицы M, а в случае разрешимости решить первым способом при:

5 0 0 0 a) U = ;

S= ;

R= ;

4 0 0 10 2 0 0 0 б) U = ;

S = 0 5 ;

R = 1 7 ;

0 0 0 0 0 1 10 в) U = ;

S= ;

R= ;

4 5 7 1 3 2 1 0 г) U = ;

S= ;

R= ;

10 4 2 0 2 4 0 1 4 0, д) U = ;

S= ;

R=.

8 5 10 0,707 12.3. Решить матричное уравнение MS + RM = U, используя кронекеровское произведение матриц и приведение уравнения к векторно – матричному виду для матриц S, R и U из примеров а) - д) задачи 12.2.

12.4. Используя матричное уравнение (12.12), найти матрицы модального преобразования M, приводящие к диагональному виду следующие матрицы.

1 2 2 1 1 2 3 1 a) 1 2 1 ;

б) 4 4 2 ;

в) 1 2 3 ;

2 0 3 1 2 3 2 5 5 2 5 6 3 8 1 2 1 8 ;

д) 3 2 3 ;

7 1 5 ;

г) е) 2 3 2 1 0 4 2 3 2 5 6 2 2 3 1 ж) 4 3 1 ;

з) 4 6 4 ;

и) 4 2 3.

1 2 2 1 4 7 4 2 12.5. Путем перестановки произвольных столбцов матрицы преобразования M убедиться, что в диагональных матрицах, подобных матрицам а) и) задачи 12.4, происходит согласованная с перестановкой столбцов перестановка собственных чисел на диагонали.

12.6. Найти матрицу преобразования подобия M для следующих пар подобных матриц:

5 1 38 81 17 6 14 б) a),, ;

9 1 16 34 45 16 3 3 2 1 24 11 22 3 2 5 6 20 в) 2 2 2, 20 8 20 ;

г) 2 6 10, 6 32 3 6 5 12 6 10 1 2 3 4 20 6 6 15 37 20 д) 1 5 5, 34 17 4 ;

1 2 2 119 70 4 6 15 13 70 е) 1 3 5, 4 19 34 ;

1 2 4 4 20 6 10 19 4 41 4 26 1 6 8 3 14 13 91 ж),.

1 4 6 2 40 4 25 0 1 1 0 0 0 12.7. Используя формулу (12.24) для матрицы M, решить матричное уравнение (12.6) частного вида (12.10), где матрица Г диагональная матрица, для следующих композиций спектра {Г} матрицы Г, и значений матрицы A, B, H :

0 1, B = 1, H = [1 1] ;

a) {Г} = {2,5}, A = 10 7 7 1, B = 4, H = [3 5] ;

б) {Г} = {3,4}, A = 10 0 4 1 2 2 1 2, B = 2, H = [4 6];

в) {Г} = {1,2,6}, A = 1 1 1 4 1 г) {Г} = {2,4,6}, A = 2 4 1, B = 1, H = [1 1 1];

0 1 4 2 5 3 1 1 1 д) {Г} = {1,3,5}, A = 1 2 3, B = 0 2, H = 0 1 ;

3 3 15 12 4 4 2 1 1 1 е) {Г} = {3,7,11}, A = 2 2 1, B = 1 1, H = 2 1.

0 4 4 2 Решение вариантов задач Задача12.1. Определить, разрешимо ли матричное уравнение MS + RM = U относительно матрицы M, если матрицы S, R и U принимают значения 5 0 0 0 U = ;

S= ;

R=.

4 2 10 0 Решение. Как указывалось в раздела, уравнение (12.13) при нулевой правой части имеет нетривиальное решение M 0 в случае, если спектры матрицы S и –R совпадают, т.е. {S } = { R}. Таким образом, первым шагом решения задачи является установление факта совпадения спектров матриц S и –R. Характеристические уравнения матриц S и –R принимают вид + 5 det(I S ) = det = + 7 + 10 = 0, 4 + det(I + R) = det = + 7 + 10 = 0.

10 + Из приведенных характеристических уравнений матриц S и –R видно, что они идентичны, а, следовательно, спектры матриц совпадают. Таким образом, уравнение имеет MS + RM = нетривиальное решение. Найдем матрицу M, используя четвертый (поэлементный) способ. Уравнения MS + RM = 0 в поэлементной форме запишется:

m11 m12 5 0 0 1 m11 m12 0 + = m m22 4 2 10 7 m21 m22 0.

Перемножив матрицы и сложив их поэлементно, получим матричное соотношение 5m11 + 4m12 m21 2m12 m22 0 = 2m + 10m + 4m 10m12 + 5m22 0.

21 11 Если две матрицы равны, то равны их элементы с одинаковыми индексами, в силу чего для элементов матриц M получим систему скалярных соотношений 5m11 + 4m12 m21 = 0, 2m12 m22 = 0;

2m21 + 10m11 + 4m22 = 0, 10m12 + 5m22 = 0.

Очевидно, что число линейно независимых условий в полученной системе только два. Воспользуемся первыми двумя соотношениями 5m11 + 4m12 m21 = 0;

2m12 m22 = 0.

Система уравнений относительно элементов матрицы M оказалось недоопределенной, так как содержит два уравнения относительно четырех неизвестных. Зададим два недостающих условия, положив, к примеру, m11 = 1, m12 = 1. Матрица M в результате принимает вид 1 M = 1.

2 Матрица M 1, обратная M, равняется M 1 =.

1 Покажем, что матрицы S и R, связанные друг с другом матричным уравнением (12.13), при известных матрицах M и M могут быть найдены друг из друга с помощью отношений подобия:

S = M 1 RM, R = MSM 1.

Действительно, 2 1 0 1 1 1 2 1 1 2 5 M 1RM = = == 1 1 10 7 1 2 1 1 3 4 4 S и, наоборот, 1 1 5 0 2 1 0 MSM 1 = == 1 2 4 2 1 1 10 R.

В заключение заметим, что произвольность назначения двух элементов матрицы M не сказалось на выполнении соотношения подобия, т.е. на связи матрицы S и R. Положим теперь m11 = 3 и m12 = 5, в этом случае матрицы M и M 1 принимают вид 3 5 2 11 1, M 1 = M =.

5 10 1 11 3 Используя соотношения подобия матриц S и R, для последних получаем 2 11 1 11 0 1 3 5 5 M 1 RM = = =S, 1 11 3 55 10 7 5 10 4 3 5 5 0 2 11 1 11 0 MSM 1 = = R.

= 5 10 4 2 1 11 3 55 10 13*. МОДЕЛИ ТРАЕКТОРНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ Рассмотренные в предыдущих разделах модели непрерывных и дискретных динамических объектов строились на гипотезах точного знания их параметров и неизменяемости в течение их функциональной эксплуатации. Однако эти гипотезы являются очень сильными и являются мечтой исследователя и в реальности не всегда выполняются.

Известно, что знание о любом объекте исследования всегда являются неполными. Известно также, что все течет, все изменяется.

Это относится и к динамическим объектам и системам, а это значит, что встает задача оценки влияния неточности исходного знания и изменение параметров объектов должно быть как-то учтено в модельной среде. На этот вопрос частично отвечает теория параметрической чувствительности. При этом наибольшей наглядностью обладает аппарат функций траекторной чувствительности, применимый как к непрерывным, так и дискретным по времени динамическим процессам.

13.1. Модели траекторной параметрической чувствительности непрерывных динамических объектов и систем Аппарат функций траекторной чувствительности (ФТЧ) в своей первичной постановке строился так, чтобы дать разработчикам возможность наблюдать дополнительное движение динамической системы или объекта, порожденное вариациями параметров их функциональных компонентов относительно их номинальных значений, оценивать влияние этого движения на качественные показатели системы.

В связи с тем, что наблюдение дополнительного движения осуществляется с помощью дополнительной динамической системы с фиксированными параметрами, именуемой моделью траекторной чувствительности (МТЧ), аппарат дает возможность разработчику при формировании объекта управления, представляющего собой функциональное объединение физического (технологического) процесса, регулирующих органов и устройств измерения компонентов вектора состояния и выхода, сравнивать конфигурации ОУ на предмет оценки потенциальной стабильности показателей качества проектируемой системы в условиях неопределенности параметров.

Анализ управляемости составной системы «номинальный ОУ – МТЧ»

по выходу модели траекторной чувствительности с помощью аппарата матриц управляемости по состоянию и выходу МТЧ позволяет ранжировать параметры по степени достижимости стабильности показателей качества систем с использованием возможностей неадаптивных алгоритмов управления, рационально распределять ресурсы управления, решать задачу «оптимального номинала» агрегатов ОУ. Применительно к спроектированной системе аппарат ФТЧ позволяет как на траекторном, так и на структурном уровне оценивать эффект введения в состав системы устройств управления (УУ) в условиях параметрической неопределенности, проводить сравнения альтернативных вариантов УУ. Применение аппарата функций траекторной чувствительности к дискретным динамическим системам дает возможность как траекторно, так и структурно оценивать влияние таких чисто «дискретных» параметров, как интервал дискретности и запаздывания вывода из микроЭВМ вычисленного управления.

Для введения аппарата траекторной чувствительности рассмотрим непрерывную динамическую систему, которая характеризуется вектором состояния x R n, вектором выхода y R m, а также вектором q квазистационарных параметров (q (t ) = 0), который претерпевает вариацию q относительно вектора q0 номинальных значений параметров так, что q q0 + q, q R P. Чтобы обеспечить = прозрачность трактовки результатов, будем использовать безразмерную форму представления элементов q j вектора параметров q ( j = 1, p ).

Полное движение динамической системы для случая произвольного значения вектора q параметров по состоянию и выходу может быть представлено в форме x ( t, q q0 + q ) x ( t ) + x ( t, q0, q ), = = (13.1) y ( t, q q0 + q ) y ( t ) + x ( t, q0, q ), = = (13.2) = x= y ( t, q0 ). В выражениях (13.1), (13.2) x ( t ) и где x ( t ) ( t, q0 ) ;

y ( t ) y ( t ) представляют собой номинальные траектории непрерывной динамических объекта или системы соответственно по состоянию и выходу, x ( t, q0, q ) и y ( t, q0, q ) – дополнительные движения объекта или системы по состоянию и выходу, определяемые вариацией q, а также номинальным значением q0 вектора параметров. Будем полагать справедливыми две гипотезы: первая – о малости q нормы вариации q вектора параметров, вторая – о непрерывной дифференцируемости по вектору параметров q в точке q = q траекторий x ( t, q ) и y ( t, q ) в каждый момент времени. Тогда (13.1) и (13.2) принимают вид x ( t, q ) x (t, q ) x (t ) + q + Ox2 ( q ), = (13.3) q = q q y ( t, q ) y (t, q ) y (t ) + q + Oy ( q ), = (13.4) q = q q в которых выполняются соотношения Ox2 ( q ) Oy ( q ) = 0;

lim = 0.

lim (13.5) q q q 0 q Если воспользоваться (13.3)–(13.5), то для дополнительных движений x ( t, q0, q ) и y ( t, q0, q ) параметрически возмущенной системы можно записать:

x ( t, q0, q ) = ( t ) q, (13.6) y (t, q0, q ) = (t )q. (13.7) Матрицы Якоби вида ( t ) и (t ) именуются матрицами траекторной чувствительности непрерывной системы соответственно по состоянию и выходу, и столбцовая форма их записи имеет вид x (t, q ) (t ) = row j (t ) = |q =q0 ;

j = 1, p, (13.8) q j y (t, q ) (t ) = row j (t ) = |q =q0 ;

j = 1, p, (13.9) q j где j (t ) и j (t ) являются функциями траекторной чувствительности первого порядка (в дальнейшем – просто функциями траекторной чувствительности) по состоянию и выходу.

Заметим, что если известны матрицы чувствительности ( t ) и (t ) непрерывной динамической системы для любого t, то основные задачи анализа параметрической неопределенности в традиционной постановке могут быть решены. Причем, если достаточно решения задачи в экстремальной версии, в форме мажорант и минорант дополнительных движений, то эффективным инструментом здесь оказывается сингулярное разложение матрицы траекторной чувствительности ( t ) и (t ). В пространстве траекторий для любого t максимальное ( ) M ( t ) и минимальное ( )m ( t ) сингулярные числа матрицы ( )( t ), задают значение нормы максимальной и минимальной полуосей элипсоидных покрытий дополнительных движений (13.6) и (13.7), порожденных сферой q = а элементы правого сингулярного 1, базиса матрицы ( )( t ) задают сочетания вариаций параметров, порождающие максимальную и минимальную полуоси этого покрытия.

Конструирование модели траекторной чувствительности проиллюстрируем на примере линейного непрерывного ОУ, матричные компоненты модельного представления которого зависят от вектора параметров q.

x ( t, q ) = ( q ) x ( t, q ) + ( q ) u ( t ) ;

x ( 0, q ) = x ( 0 ) ;

y ( t, q ) = C ( q ) x ( q )( t, q ), (13.10) где x R n, u R r, y R mq, t. Продифференцируем выражение (13.10) по j -му компоненту q j вектора параметров q в точке q = q0.

Поменяем порядок дифференцирования по времени t и параметру q j в левой части первого уравнения (13.10) так, что получим цепочку равенств dx ( t, q ) d x ( t, q ) ( x (t, q )) = j ( t ),(13.11) = = dt q j q j q j dt = q q = q0 q = q q а также введем обозначения (q ) (q ) (q ) A B C Aq j = ;

Bq j = ;

Cq j =, (13.12) q j q j q j q = q0 q = q0 q = q A(q ) q = q = A;

B(q ) q = q = B;

C (q ) q = q = C, (13.13) 0 0 x(t, q ) q = q = x(t );

y (t, q ) q = q = y (t ). (13.14) 0 Теперь для j -й модели траекторной чувствительности получим представление j ( t ) = j ( t ) + Aq x ( t ) + Bq j u ( t ) ;

j = j ( t ) + Cq j x ( t ), (13.15) A C j МТЧ (13.15) будет генерировать функции траекторной чувствительности j ( t ) по состоянию и j ( t ) по выходу, если ее дополнить моделью номинального ОУ (см. рисунок 13.1), полученной из (13.10) при q = q0 :

x ( t ) =( t ) ;

x ( 0 ) ;

y ( t ) = Ax ( t ) + Bu Cx ( t ).

(13.16) Нетрудно видеть из (13.10) и (13.16), что динамическая модель дополнительных движений (13.6) и (13.7) с точностью до мультипликативной составляющей q j j = по выходам j ( j ) и 1, p j ( t ) совпадает системой из p МТЧ (13.15).

Анализ возможности сведения дополнительных движений к нулю хотя бы в асимптотике сводится к анализу управляемости МТЧ вида (13.15). Для этих целей сконструируем агрегированную систему с составным вектором x j col { x, j } размерности dim x = 2n, которая = объединением (13.15) и (13.16), получает векторно-матричное представление x j (t ) =(t ) + B j u (t );

x j (0) = (0),0} (13.17) Aj x j col{x (t ) (t ) (t ) (t ) x= C xj x j (t );

y= C j x j (t );

j= Cj x j (t );

j= Cj x j (t ) (13.18) где A 0 B = = Aq j A B ;

(13.19) Aj ;

Bj qj = [ I= 0 ];

C [C 0mn ];

C [0n= I nn ];

C Cq C.(13.20) = C j nn nn n xj j j j x(t ) u (t ) x(t ) y (t ) B C s A Aq j Cq j j (t ) j (t ) j (t ) Bq j C s A Рисунок 2. Рисунок 13.1 Модель траекторной чувствительности, дополненная моделью номинального ОУ C Если провести агрегирование номинального ОУ (13.16) и всех p МТЧ (13.15) путем введения вектора x col{x, j ;

= 1, p} размерности = j dim= ( p + 1)n, то векторно-матричное представление такой системы x получает вид x(t ) = Ax(t ) + Bu (t );

x(0) = col{x(0), j (0) = 0;

j = 1, p}, (13.21) t) t) t) t) x(= C x x(t );

y (= Cx(t );

(= C x(t );

(= C x(t ), (13.22) где A 0nnp A=, (13.23) col{ Aqj ;

j 1, p} diag{= A;

j 1, p} = Ajj = = col{B, Baj ;

j 1, p};

C x row I nn 0nnp, == (13.24) B = row C 0m pn ;

C 0npn I npnp, C = (13.25) = col {Cqj ;

j 1, p} diag{Cjj C ;

j 1, p}, = == (13.26) C (t ) = col{ j (t );

j = 1, p};

(t ) = col{ j (t );

j = 1, p}. (13.27) Нетрудно видеть, что с ростом числа варьируемых параметров заметно растет размерность dim= ( p + 1)n агрегированной системы x (13.21), (13.22), что может породить проблемы вычислительной устойчивости. В этой связи аддитивная природа дополнительных движений по состоянию (13.06) и выходу (13.07) позволяет p раз воспользоваться агрегированной системой (13.17), (13.18) размерности dim x j = 2n для всех j = 1, p.

Для оценки достижимости нулевой траекторной чувствительности к вариациям параметра q j ( j = 1, p ), а также ранжирования параметров по возможным затратам ресурсов управления для достижения нечувствительности траектории проектируемой системы к этим вариациям проведем анализ управляемости системы (13.17), (13.18) по вектору состояния j МТУ и ее выходу j. Первая задача решается на тройке матриц (C, A, B ), а вторая – на тройке матриц (C, A, B ).

j j j j j j Для этих целей сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 13.1 (У13.1). Если тройка матриц (C j, Aj, B j ) полностью управляема для всех j = 1, p в том смысле, что матрица управляемости = = 1, p Wy j C j B j C j Aj B j C j A2 n1B j, j (13.28) j имеет ранг, равный n (rang Wy j = n), то в системе управления, полученной агрегированием параметрически возмущенного ОУ (13.10) и УУ, содержащего в своем составе номинальный ОУ (13.16) и реализующего закон управления по вектору дополнительного движения x(t, q0, q j ), достижима в асимптотике траекторная нечувствительность вектора состояния к вариациям всех x(t ) компонентов q j ( j = 1, p ) вектора параметров q относительно их номинальных значений в смысле выполнения условия lim x(t, q0, q j = 0 = 1, p (13.29) ) j t с наперед заданным темпом. Для доказательства утверждения используется тот факт, что в силу (13.06) и (13.08) условие (13.29) эквивалентно выполнению предельного перехода lim j (t = 0 = 1, p. (13.30) ) j t Тогда управляемость тройки матриц j = 1, p (C j, Aj, B j ) гарантирует существование такого закона управления, при котором выполняется (13.30), а, следовательно, (13.29). Требования к ресурсам управления заметно снижаются, если изначально ограничиться задачей обеспечения траекторной нечувствительности выхода проектируемой системы. На уровне требований к структурным свойствам агрегированной системы (13.17), (13.18) задача сводится к контролю управляемости тройки матриц (C j, Aj, B j ) и количественной оценке эффекта управления по переменной j при приложении управления u (t ) фиксированной нормы с помощью сингулярных чисел матрицы управляемости Wy j = C j B j C j Aj B j C j A2 n1B j.

(13.31) j Следует заметить, что если ранг матриц B j и C j больше единицы, то матрица управляемости (13.31) по выходу составляется для всех возможных композиций столбцов матрицы B j и всех строк матрицы C. Ранжирование параметров q ( j = 1, p ) осуществляется по j j значению сингулярных чисел {Wq j }. Чем эти числа меньше, тем большими по норме управлениями достигается асимптотическая траекторная нечувствительность данного компонента y j (t ) ( j = 1, m) вектора выхода y (t ) к вариациям j-го элемента q j вектора параметров q. Нулевому сингулярному числу соответствуют бесконечные по норме управления, с помощью которых достигается асимптотическая траекторная нечувствительность компонента y j (t ) вектора выхода y (t ).

Пример 13.1 (ПР13.1) Рассмотрим исполнительный электропривод (ЭП) проектируемой следящей системы, описываемый передаточной функцией K дв WЭП ( s ) = (Tдв s + 1) s при номинальном значении параметров и передаточной функцией K дв (1 + q1 ) WЭП ( s, q ) = (Tдв (1 + q2 ) s + 1) s при варьируемых параметрах q1 q10 + q1;

q= q20 + q2 ;

q10 q20 0;

= == q1 = q2 0.3. В выражениях для передаточных функций K дв = 20 рад с 1 В 1, Т дв = с. Для составления векторно–матричного 0. описания ОУ (13.10), (13.16), МТЧ (13.15) и агрегированных систем (13.17), (13.18) запишем передаточную матрицу ЭП в форме K дв 1 + q1 1 1 1 + q1 200 Т дв 1 + q2 s s 1 + q2 s == Wэп ( s, q ).

1 1+ 1 + 1 + q2 s Tдв (1 + q2 ) s Воспользуемся базисом представления передаточной функции Wэп ( s, q ), в котором от q1 и q2 зависит только матрица состояния, тогда векторно-матричное описание (13.10) ОУ получает вид x(t, q ) =q ) x(t, q ) + Bu (t );

y (t ) = (t ), A( Cx в котором 1 + q 1 + q2 = = [1 0].

;

B = ;

C A(q ) 10 0 1 + q Матрицы номинального ОУ (13.16) имеют реализации 0 1 = = = [1 0].

;

B 200 ;

C A 0 10 Матрицы моделей траекторий чувствительности (13.15):

0 1 = = [ 0 0];

= 0 ;

Cq Aq1 ;

Bq 0 0 = = [ 0 0].

= 10 Aq1 ;

Bq1 ;

Cq 0 Матрицы агрегированной системы (13.17), имеют (13.18) представление:

0 1 0 0 0 0 1 0 10 B 200 C1 = A ;

;

= = ;

= = 0 0 0 A1 B 0 1 0 1 Bq1 0 C = 0 0 1 0 ;

Aq1 A 1 [ ] 0 0 0 0 1 0 A 0 0 10 0 0 C2 = C1 ;

B = ;

= = B1 ;

= Aq2 A 0 1 A2 B 0 1 C2 = C1 ;

Bq 0 0 Проверим управляемость агрегированных систем по состоянию j (t ) и выходу j (t ) ( j = 1,2) с помощью матриц управляемости ~ ~ W y j (13.28) и W y j (13.31), которые с учетом n=2 имеют реализации [ ] ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 200 2000 ~ W y1 = C1 B1 C1 A1 B1 C1 A12 B1 C1 A13 B1 = ;

00 [ ] W y1 = C1 B1 C1 A1 B1 C1 A1 B1 C1 A1 B1 = [0 200 2000 20000];

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~3 ~ ~ [ ] ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ W y2 = C2 B2 C2 A2 B2 C2 A22 B2 C2 A23 B2 = 0 200 = ;

0 2000 40000 [ ] ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ W y2 = C2 B2 C2 A2 B2 C2 A22 B2 C2 A23 B2 = = [0 200 4000 60000].

~ ~ ~ Ранги матриц W y1 и W y2 соответственно равны rang W y1 = 1, ~ rang W y2 = 1, агрегированные системы (13.17), (13.18) с составными векторами состояний ~ = col{x, } и ~ = col{x, } не являются x x 1 1 2 полностью управляемыми по векторам 1 ( t ) и 2 ( t ), поэтому недостаточно выполнения условия асимптотической сходимости (13.29) по состоянию параметрически возмущенного ОУ. Ранги матриц ~ ~ Wy1 и Wy2 равны rang W y1 = rang W y2 = 1, что совпадает с размерностью m = 1 вектора выхода. Таким образом, выбором закона управления можно обеспечить сходимость lim y ( t, q0, q j ) = 0;

j = 1,2 с t ( ) заданным темпом. Сингулярные числа матриц Wyj j = 1,2 принимают { } { } значения Wy1 = 104 ;

Wy2 = 104. Отсюда следует, что 2 асимптотическая сходимость к нулю дополнительного движения y ( t, q0, q1 ) потребует больших затрат на управление, чем сходимость дополнительного движения y ( t, q0, q2 ) с тем же темпом.

Рассмотрим теперь возможности аппарата функций траекторной чувствительности применительно к исследованию спроектированной системы в условиях параметрической неопределенности, а, следовательно, к оценке эффекта введения регулятора, реализующего просинтезированный закон управления.

При произвольном значении q q0 + q векторе параметров = исследуемая система имеет векторно-матричное представление x(t, q ) = ) + G (q ) g (t );

x(0);

y (t, q ) = ), (13.32) F (q ) x(t, q C (q ) x(t, q (t, q ) =g (t ) y (t, q ), (13.33) где –экзогенное воздействие, – ошибка (t, q ) g (t ) воспроизведения системой (13.32) внешнего воздействия. Система (13.32) образована агрегированием ОУ (13.33) и устройства управления, реализующего закон управления (ЗУ) в форме u (t ) = K g g (t ) Kx(t ) (13.34) в виде прямой связи (ПС) по экзогенному воздействию и отрицательной обратной связи (ОС) по вектору состояния ОУ, матрицы которого K g и K просинтезированы для случая номинальной версии (13.16) объекта управления так, чтобы доставить номинальной системе желаемые свойства в переходном и установившемся режимах при воспроизведении экзогенного воздействия. Закон управления в форме (13.34) предполагает измеримость экзогенного воздействия.

Если это предположение не реализуемо, то прямая связь осуществляется по ошибке так, что ЗУ принимает вид u (t ) = K (t ) K x x(t );

K x = K K C. (13.35) Модель траекторной чувствительности системы (13.32), (13.33), если ввести обозначения F (q ) G (q ) | q = q 0 ;

F (q ) | q = q 0 = F ;

G (q ) | q = q 0 = G, (13.36) Fq j = |q = q 0 ;

Gq j = q j q j по аналогии с (13.15) (см. рисунок 13.2) имеет вид j (t ) = j (t ) + Fq j x(t ) + Gq j g (t );

j (t ) = j (t ) + Cq j x(t ).

(13.37) F C \ Функция траекторной чувствительности j (t ) вектора ошибки удовлетворяет условию (t, q ) = [ g (t ) y (t, q ) ] j (t ) = = j (t ).

y (13.38) q j q j = q q = q q Если по аналогии с (13.17), (13.18) ввести в рассмотрение { } агрегированную систему с вектором состояния = col x, j,то для x j (t ) нее получим x j (t ) = t ) + G j g (t );

x j (0) = (0),0}, col { x (13.39) Fj x j ( (t ) (t ) (t ) x= C x (t );

y = C x (t );

= C x (t ), (13.40) j xj j j j j j j (t ) = C j x j (t );

j (t ) = j (t ), (13.41) где F 0 G = =, (13.42) Fj : Gj Fq j F Gq j а матрицы Cx j, C j, C j и C j задаются в форме (13.20).

су о y (t, q j ) g (t ) x(t ) x(t ) y (t ) C G s y (t, q j ) q j F Fq j Cq j j (t ) j (t ) j (t ) C Gq j s F Рисунок 13.2 Модель траекторной чувствительности, дополненная номинальной моделью системы (13.32), (13.33) Рисунок 2. Если провести агрегирование номинальной системы и всех p МТЧ вида (13.37) путем введения вектора x col { x, j ;

= 1, p} = j размерности dim= ( p + 1) n, то векторно-матричное представление x такой системы по аналогии с (13.21)–(13.24) получает представление { } • x ( t ) = Fx(t ) + Gg (t );


x(0) = col x(0), j (0) = 0;

j = l, p, (13.43) x ( t ) = Cx x ( t ) ;

y (t ) = C x(t );

(t ) = C x(t );

(t ) = C x(t );

(t ) = (t ), (13.44) где F Onnp =, { } { } F col Fqj ;

j l, p diag = F ;

j l, p = Fjj = { } = col G, Gq j ;

j 1, p.

G= (13.45) Матрицы Сx, С, С С определяются посредством (13.24)– (13.26).

Анализ свойств спроектированной системы в условиях параметрической неопределенности ее функциональных компонентов может быть осуществлен визуально траекторным методом.

Траекторный метод предполагает визуальное конструирование оценок максимального и минимального размеров сечений трубки, в которой размещаются движения x( g (t ), q0, q, t ) по состоянию, y ( g (t ), q0, q, t ) и ( g (t ), q0, q, t ) по выходу и ошибке.

Если эта задача решается в глобальной постановке, т.е. на множестве всех параметров q j j = 1, p, образующих вектор p, то для формирования оценок, как это уже отмечено в начале параграфа, целесообразно использовать SVD–анализ применительно к матрицам чувствительности (t ) (13.31) и (t ) (13.32), конструируемым с помощью агрегированной системы (13.43)–(13.45).

Если задача решается в локальной покомпонентной форме, то оценки максимальных размеров трубок дополнительных движений xi ( g (t ), q0, q, t ) и yl ( g (t ), q0, q, t ) на множестве угловых реализаций вектора q, параметризованные временем t, определяются соотношениями p xi (t ) = max xi ( g (t ), q0, q, t ) = ji (t ) q j, (13.46) q j = p yl (t ) = max yl ( g (t ), q0, q, t ) = jl (t ) q j, (13.47) q j = l ( t ) = yl (t ). (13.48) Пример 13.2 (ПР13.2) Рассматривается система, представляющая собой объединение ОУ с передаточной функцией Woy ( s ) = и ( s + 1) s УУ, доставляющего матрице F A BK распределение мод = Баттерворта с характеристической частотой 0 = 1, так что ее 10с собственные значения имеют реализацию 1,2 =10(0,707 j 0.707).

Ставится задача сравнить по чувствительности реализации ЗУ (13.34) в информационно, но не структурно, идентичных формах u (t ) = K (1 + q3 )(t ) K x x(t ), (13.49) u ( t ) = K g (1 + q1 ) g (t ) K y (1 + q2 ) y (t ) K x x(t ) (13.50) применительно к дополнительному установившемуся движению по выходу при ступенчатом входном воздействии g (t ) = g 01(t ). Модель номинального характеризуется матрицами (13.16) OУ 0 1 = = [1 0].

= ;

C A ;

B 0 1 Система (13.32) при номинальном значении вектора параметров 0 = q= 0 характеризуется матрицами F = ;

q 100 14. G ;

C = [1 0]. Система (13.32) при реализации ЗУ в форме (13.50) 1 0 имеет матрицы F (q) = = [1 0], а = 100(1 + q1 ) ;

G (q) ;

C 100(1 + q2 ) 14. при реализации ЗУ в форме (13.49) 1 0 = = ;

G (q ) 100(1 + q ).

F (q) 100(1 + q3 ) 14.1 { } Агрегированные системы с векторами x= col x, j ;

= 1, j j (13.39)–(13.42) характеризуются матрицами 0 0 1 F 0 0 = 100 14.1 [0 0 1 0] ;

G1 = ;

G = = Fq1 F F 1 0 0 100 14. 0 ;

0 0 1 F 0 0 = 100 14.1 [0 0 1 0] ;

G2 = ;

G = = F Fq 2 F 0 1 0 100 100 14.1 ;

0 0 1 100 14.1 0 F 0 [0 0 1 0] = = ;

G3 = ;

G = Fq 2 F F 0 0 100 100 14.1.

Для решения поставленной задачи используем структурный подход, основанный на аппарате передаточных функций, для которых (s) Ф1g ( s ) =1 = 1 ( sI F1 ) 1 G1 = C ;

s + 14,1s + g (s) (s) (100) ( sI F ) 1 G = Ф2 g ( s ) = C = ;

( s 2 + 14,1s + 100) 2 g ( s) (s) 100 s ( s + 14,1) =3 ( sI F3 ) 1 G3 = Ф3 g ( s ) =3 C.

( s + 14,1s + 100) g (s) Анализ установившегося значения функций чувствительности по выходу на основе их лапласовых образов при скачкообразном входе g (t ) = g 01(t ) j ( s ) =( s ) g ( s ) Ф j дает:

1 уст = lim 1 (t ) = g 0 lim Ф1 ( s ) = g 0, t s 2 уст = 2 (t ) =lim Ф2 ( s ) =0, g lim g t s 3 уст = lim 3 (t ) = g 0 lim Ф3 ( s ) = 0.

t s Таким образом, дополнительные движения по выходу в установившемся режиме при ступенчатом внешнем воздействии, соответственно при реализации закона управления в форме (13.50) и (13.49), получают представления y уст (t ) = 3 уст q3 = 0, y уст (t ) = 1 уст q1 + 2 уст q2 = g 0 (q1 q2 ).

13.2 Модели траекторной параметрической чувствительности дискретных динамических объектов и систем В заключение рассмотрим возможности аппарата функций траекторной чувствительности к исследованию дополнительных движений дискретных по времени динамических объектов и систем по состоянию, x ( k, q0, q ) = x(k, q0 + q ) x(k, q0 ) = (k )q, (13.51) и выходу, y (k, q0, q ) = y (k, q0 + q ) y (k, q0 ) = (k )q, (13.52) где k – дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительности t, для дискретных динамических систем на примере x ( k + 1, q ) A(q ) x(k, q ) + B(q )u (k );

x(0);

y= C (q ) x(k, q ). (13.53) = (k, q) Будем придерживаться концепции дискретного объекта управления (ДОУ), состоящей в том, что ДОУ (13.53) представляет собой дискретную по времени с интервалом дискретности длительности t выборку из непрерывных процессов по вектору состояния x(t, q ) и выходу y (t, q ) при фиксированном на интервале t tk, t ( k + 1) значении управления u (t ) =u (tk ) =u (k ). Эта концепция связывает матрицы непрерывного (13.16) и дискретного ОУ (13.53) известными функциональными соотношениями:

A(q ) =e A( q ) t ;

B (q ) =A1 (q ) ( e A( q ) t I ) B (q );

C (q ) =C (q ), (13.54) если при выводе управления из устройства, его формирующего и осуществляющего цифро–аналоговое преобразование, можно пренебречь задержкой по сравнению с t. Если задержкой пренебречь нельзя, то размерность вектора ДОУ становится на r больше размерности вектора состояния непрерывного ОУ, где r – размерность вектора управления, а матрицы модели (13.53) принимают вид ( e A( q )( t ) I ) A1 (q) B(q) e A( q ) t e A( q ) t ( I e A( q ) ) A1 (q) B(q) = =,(13.55) ;

B A( q ) Orn Orr I r r C = [C 0mr ]. (13.56) Матрицы функций чувствительности ( k ) и ( k ) строятся в форме (13.08), (13.09) на основе гипотезы о том, что в каждый x(k, g ) y (k, g ) дискретный момент времени векторы и дифференцируемы по q :

x ( k, q ) ( k )= row j ( k )= ;

j = 1, p, (13.57) q j q = q y (k, q ) (k ) = row j (k ) = |q = q0 ;

j = 1, p. (13.58) q j Модель траекторной чувствительности, необходимая для генерирования функций траекторной чувствительности j ( k ) и j ( k ) j =по состоянию и выходу ДОУ, строится путем 1, p дифференцирования компонентов представления (13.53) по компонентам q j вектора параметров q при его номинальном значении, в результате чего для МТЧ получаем ( k + 1) =A ( k ) + Aq j x ( k ) + Bu ( k ) ;

j ( 0 ) =0;

j( k ) =C j ( k ) + C q j x ( k ).(13.59) Дальнейшее конструирование инструментария аппарата функций траекторной чувствительности осуществляется по той же схеме, что и в случае непрерывных ОУ, если модель траекторной чувствительности (13.59) дополнить моделью ДОУ (13.53) при номинальных параметрах x(k + 1) = A x(k ) + B u (k );

x(0 );

y (k ) = C x(k ).

Необходимо в заключение отметить, что векторно-матричное представление ДОУ в форме (13.53) с матричными компонентами (13.54) и (13.55), в явном виде содержащими такие чисто "дискретные" параметры, как интервал дискретности t и задержку вывода управления, заметно упрощает анализ процессов ДОУ, опирающийся на возможности аппарата функций траекторной чувствительности.

Примеры и задачи 13.1. Для непрерывной динамической системы, заданной передаточной функцией (s ) «вход–выход» вида b0 (1 + q2 )s + b1 (1 + q1 ) Y (s, q ) (s, q ) = = где G (s ) a0 (1 + q5 )s 2 + a1 (1 + q4 )s + a2 (1 + q3 ) q0 j = 0;

q j 0.3;

j = 1,5, построить ее ВМО в произвольном базисе x(t, q ) = F (q )x(t, q ) + G (q )g (t ), x(t ) t =0 = x(0) = 0, y (t, q ) = C (q )x(t, q ), исполь– зуя значения параметров передаточной функции из наборов по выбору преподавателя:

1. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 0.1;

a2 = 1;

2. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 0.5;

a2 = 1;

3. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 1;

a2 = 1;

4. b0 = 1;

b1 = 0;

a0 = 0;

a1 = 0.1;

a2 = 1;

5. b0 = 1;

b1 = 0;

a0 = 0;

a1 = 0.5;

a2 = 1;

6. b0 = 1;

b1 = 0;

a0 = 0;

a1 = 1;

a2 = 1;

7. b0 = 0.5;

b1 = 0;

a0 = 0;

a1 = 1;

a2 = 1;

8. b0 = 1;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 0.1;

a2 = 1;

9. b0 = 1;

b1 = 1;

a0 = 0;

a1 = 0.5;

a2 = 1;

10. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 1;

a1 = 2;

a2 = 1;

11. b0 = 0;

b1 = 9;

a0 = 1;

a1 = 6;

a2 = 9;

12. b0 = 0;

b1 = 1;

a0 = 1;

a1 = 1.5;

a2 = 1;

13. b0 = 0;

b1 = 16;

a0 = 1;

a1 = 6;

a2 = 16;

14. b0 = 0;

b1 = 4;

a0 = 1;

a1 = 1;

a2 = 4;

построить модели траекторной чувствительности вида (13.37) с целью наблюдения дополнительного движения по выходу системы ( )( )( ) y t, q0, q j = j (t ) q j, вызванного вариацией q j параметров системы в указанных выше пределах при экзогенных воздействиях:

a) единичного ступенчатого типа g (t ) = 1(t );

б)гармонического типа g (t ) = 1sin (t ).

13.2. Для значений параметров из примеров 13.1.1 – 13.1. непрерывной системы путем замены производной отношением конечных малых при значении интервала дискретности t = 0.1C сформировать ее дискретное представление x(k + 1) = F x(k ) + G g (k ), x(k ) k = 0 = x(0) = 0, y (k ) = C x(k ) с тем, чтобы построить модели траекторной чувствительности вида (13.59) с целью наблюдения дополнительного движения по ( )( )( ) выходу системы y k, q0, q j = j (k ) q j, вызванного вариацией q j параметров системы, включая интервал дискретности, который следует задать в форме (t (q )) = (t ) (1 + q6 ), в указанных выше пределах при экзогенных воздействиях:


a) единичного ступенчатого типа g (k ) = 1(k );

б) гармонического типа g (k ) = 1sin ((t )k ).

Решение вариантов задач Решение задачи 13.1 ( с вариантом параметров 13.1.1) В соответствии с вариантом параметров 13.1.1 передаточная функция непрерывной системы принимает вид (1 + q1 ) s b1 (1 + q1 ) (1 + q1 ) (1 + q4 ) (s, q ) = = = (1 + q3 ) s 1, a1 (1 + q4 )s + a2 (1 + q3 ) 0.1(1 + q4 )s + (1 + q3 ) 1 + (1 + q4 ) ВМО которой при q q0 = 0 будет иметь вид (1 + q3 ) x(t, q ) + 10 (1 + q1 ) g (t ), y(t, q ) = x(t, q ).

x(t, q ) = (1 + q4 ) (1 + q ) При q = q0 = 0 номинальная версия системы получает представление x(t ) = 10 x(t ) + 10 g (t ), y (t ) = x(t ).

Матрицы чувствительности принимают вид F (q ) G (q ) Fq1 = = 0;

Gq1 = = 10 = 10;

(1 + q4 ) q = q1 q = q q1 q = q 0 0 F (q ) G (q ) Fq3 = = 10;

Gq3 = = 0;

q2 q = q q1 q = q 0 F (q ) G (q ) Fq4 = = 10;

Gq4 = = 10.

q1 q = q q1 q = q 0 В результате получаем три модели траекторной чувствительности вида (13.37) 1 (t ) = 101 (t ) + 10 g (t );

1 (t ) = 1 (t );

3 (t ) = 10 3 (t ) 10 x(t );

3 (t ) = 3 (t );

4 (t ) = 10 4 (t ) + 10 x(t ) 10 g (t );

4 (t ) = 4 (t );

Теперь полученные модели чувствительности вместе с номинальной моделью системы следует поместить в модельную среду Simulink и провести исследования параметрически возмущенного выхода системы y (t, q = q0 + q ) = y (t ) + (1 (t ))(q1 ) + (3 (t ))(q3 ) + (4 (t ))(q4 ) при q j 0.3 ( j = 1, 3, 4 ) и ступенчатом и гармоническом воздействиях. 14*. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ В предыдущем разделе рассмотрен метод решения задачи учета неопределенности (неточности задания, знания) параметров исходного объекта при построении его математической модели, основанный на аппарате траекторной параметрической чувствительности. Аппарат обладает наглядностью, но характеризуется явным системным изъяном, состоящим в том, что он справедлив для неопределенности параметров, не превышающей сорока процентов от их номинальных значений.

Для случаев, когда неопределенность параметров значительно превышает диапазон в 40% от их номинальных значений, в настоящее время разработан аппарат интервальных модельных представлений, изучению возможностей которого посвящен настоящий раздел.

14.1. Элементы интервальных вычислений и линейной алгебры Проблему, вынесенную в заголовок параграфа будем излагать в форме определений, примечаний и утверждений.

Определение 14.1 (О14.1). Пусть числа, такие, что, R,, и при этом задают вещественное число в параметризованной относительным параметром q [0, 1] форме (q ) = (1 q ) + q p. (14.1) Тогда вещественное интервальное число [ ] образуется экстремальными реализациями этого числа = min{ (q );

q [0, 1]}, = max{ (q );

q [0, 1]} (14.2) q q так, что оно может быть записано в форме [] [ ] =, (14.3) Примечание 14.1 (П14.1). Фиксированное число имеет интервальное представление, записываемое в форме = [, ].

Определение 14.2 (О14.2). Интервальным комплексным числом [ = + j ] называется комплексное число, у которого интервальными являются вещественная и мнимая части так, что становится справедливым представление [ = + j ] = [] + j [ ], (14.4) [] [] где, [] =,,[] =, Определение 14.3 (О14.3). Интервальным вектором [x ] размерности n называется вектор с интер вальными компонентами [xi ] = [xi, xi ] так, что становится справедливой запись [x] = col{ [xi ];

i = 1, n } (14.5) Определение 14.4 (О14.4). Интервальной (n m ) – матрицей [ A] называется матрица, составленная из интервальных скалярных компонентов [][ ] { ([ ] ) } Aij = Aij, Aij, [ A] = row col Aij ;

i = 1, n j = 1, m (14.6) при этом справедливым оказывается представление [ ] [A] = A, A, (14.7) {( ) }, [A] = row col [Aij ] ;

i = 1, n j = 1, m где (14.8) [] { ([ ] ) } A = row col Aij ;

i = 1, n j = 1, m. (14.9) Определение 14.5 (О14.5). Произведением [a ] [b] = [c] (14.10) [] [] интервальных чисел [a ] = a, a и [b] = b, b называется [] интервальное число [c ] = c, c, граничные значения которого c и c вычисляются в силу { } с = min ab, ab, ab, ab, (14.11) { } c = max ab, ab, ab, ab. (14.12) Определение 14.6 (О14.6). Суммой [a] + [b] = [d ] (14.13) [] [] интервальных чисел [a ] = a, a и [b] = b, b называется [] интервальное число [d ] = d, d, граничные значения которого d и d вычисляются с помощью соотношений { } d = min a + b, a + b, a + b, a + b = a + b, (14.14) { } d = max a + b, a + b, a + b, a + b = a + b. (14.15) Определение 14.7 (О14.7). Частным от деления [a] = [ f ] (14.16) [b] [] [] интервальных чисел [a ] = a, a и [b] = b, b называется [ ] интервальное число [ f ] = f, f, граничные значения которого f и f вычисляются в силу выражений a a a a a a a a f = min,,,, f = max,,,. (14.17) b b b b b b b b Определение 14.8 (О14.8). Разностью [a] [b] = [h] (14.18) [a ] = [a, a ] [b] = [b, b] интервальных чисел и называется [] интервальное число [h] = h, h, граничные значения которого h и h определяются с помощью выражений { } h = min a b, a b, a b, a b, (14.19) { } h = max a b, a b, a b, a b. (14.20) Определение 14.9 (О14.9). Фиксированное число g имеет [] интервальное представление [g ] = g, g, которое характеризуется выполнением равенства g = g. (14.21) Утверждение 14.1 (У14.1). Частное от деления интервального [] числа [a ] = a, a на самое себя является интервальное число [1a ] = [1a, 1a ] [a] = [1 ], (14.22) [a] a граничные значения которого 1a и 1a в силу (14.17) вычисляются с помощью соотношений a a a a 1a = min,,,, (14.23) a a a a a a a a 1a = max,,,. (14.24) a a a a Утверждение 14.2 (У14.2). Разностью интервальных чисел [] [] [a] = a, a и [a] = a, a [a ] [a ] = [0a ] (14.25) [ ] является интервальное число [0 a ] = 0 a, 0 a, граничные значения которого 0a, 0a в силу (14.14), (14.15) задаются соотношениями { } 0 a = min a a, a a, a a, a a, (14.26) { } 0 a = max a a, a a, a a, a a. (14.27) Определение 14.10 (О14.10). Медианой mid[a ] интервального [] числа [a ] = a, a называется фиксированное число a0, задаваемое соотношением ( ) mid[a ] = a0 = 0.5 a + a. (14.28) Определение 14.11 (О14.11). Интервальным компонентом wid[a ] [] интервального числа [a ] = a, a называется интервальное число [ ] [a] = a, a, граничные значения которого a и a задаются с помощью соотношений a = a a0, a = a a0, (14.29) [] Утверждение 14.3 (У14.3). Интервальное число [a ] = a, a в силу (14.28), (14.29), а также (14.14), (14.15), (14.21) представимо в виде аддитивной композиции [a ] = a0 + [a ], (14.30) Определение 14.12 (О14.12). Медианой mid[a ] интервальной [ ] (n m ) – матрицы [A] = A, A, называется матрица A0 с фиксированными скалярными компонентами A0ij {( ) } A0 = row col A0ij ;

i = 1, n ;

j = 1, m (14.31) где элементы A0ij матрицы A0 задаются соотношением {[ ] [ ]} ( ) A0ij = mid Aij = Aij, Aij = 0.5 Aij + Aij. (14.32) Определение 14.13 (О14.13). Интервальным матричным [ ] компонентом wid [ A] интервальной матрицы [ A] = A, A называется [ ] интервальная матрица [A] = A, A, граничные реализации которой A и A задаются соотношениями {( ) }, [A] = A A0 = col row [Aij ] = Aij A0ij ;

i = 1, n j = 1, m (14.33) [A] = A A = col {row([A ] = A ;

i = 1, n ) j = 1, m} A0ij (14.34) ij ij Утверждение 14.4 (У14.4). Интервальная (n m ) – матрица [ ] [A] = A, A в силу (14.31), (14.33), (14.34), а также (14.32), (14.9) представима в аддитивной форме [A] = A0 + [A], (14.35) где A0 = mid [ A], [A] = wid [ A].

Определение 14.14 (О14.14). Произведением интервальных [ ] [ ] (n m ) – матрицы [A] = A, A и (m k ) – матрицы [B ] = B, B [A] [B] = [C ] (14.36) [] называется интервальная (n k ) – матрица [C ] = C, C с [ ] [Cil ] = C il, Cil, интервальными скалярными элементами вычисляемыми в силу соотношений [Cil ] = [Aij ][Bij ];

i = 1, n ;

l = 1, k, m (14.37) j =i [ ][ ] где произведение Aij Bij интервальных чисел определяется в соответствии с (14.10), (14.11), (14.12) а суммирование этих произведений осуществляется в соответствии с (14.13), (14.14), (П.15).

Определение 14.15 (О14.15). Угловой реализацией ( Ac ) (n m) [] интервальной матрицы [ A] = A, A = A0 + [A], получаемой в результате -й выборки = 1,2 nm из множества мощностью, равной (nm) пар {A } Aij, i = 1, n;

j = 1, m граничных значений интервальных скалярных ij, [] компонентов Aij матрицы [ A], называется матрица ( Ac ) = row{col ((Acij ) {Aij, Aij }, i = 1, n );

j = 1, m} (14.38) с фиксированными на этой реализации компонентами.

[ ] Утверждение 14.5 (У14.5). Пусть [A] = A, A интервальный матричный компонент матрицы [ A], определенной в силу факторизации в форме (14.35), тогда интервальные компоненты [ ][ ] Aij = Aij, Aij, i = 1, n;

j = 1, m обладают тем свойством, что Aij = Aij, i = 1, n;

j = 1, m, (14.39) которое выполняется в силу (14.31), (14.32).

(Ac ) Утверждение 14.6 (У14.6). Угловые реализации и [ ] интервальной матрицы [A] = A, A с граничными (Ac )µ (n m) компонентами A и A (14.33), (14.34), полученных в результате -й и µ -й выборок, µ = 1,2 mn в силу (14.38) и свойства (14.39) обладают равными матричными нормами так, что выполняется равенство (Ac ) = (Ac )µ ;

, µ = 1,2mn. (14.40) Определение 14.16 (О14.16). Интервальным полиномом [D(z )] степени n называется полином, коэффициенты которого являются интервальными числами так, что он принимает вид [D(z )] = [a0 ]z n + [a1 ]z n 1 + [a2 ]z n 2 +... + [an 1 ]z + [an ] (14.41) [ ] где [ai ] = a i, a i ;

i = 0, n Определение 14.17 (О14.17). Интервальным характеристическим [] полиномом ИХП [D( )] интервальной (n n ) - матрицы [ A] = A, A называется интервальный полином степени n, получаемый в силу определения характеристического полинома (n n ) - квадратной матрицы det(I [ A]) = [a0 ]n + [a1 ]n 1 +... + [an 1 ] + [an ] (14.42) так, что [D( )] = det (I [ A]).

При формировании ИХП [D( )] интервальной матрицы [ A] системы необходимо отметить проблему объема вычислений.

Очевидно, если размерность матрицы [ A] составляет (n n ), тогда максимальная мощность множества {( A)c } угловых реализаций матрицы [ A] составляет 2 nn, минимальная мощность этого множества составляет 2 n, что имеет место при использовании таких канонических представлений матрицы как диагональное и фробениусово. Однако независимо от базиса мощность множества {( A)c } угловых реализаций может быть зафиксировано на уровне 2 p, где p – число исходных интервальных физических параметров. Мощность множества угловых реализаций может быть заметно сокращена, если разработчик проведет предварительное ранжирование первичных физических параметров.

Следует также заметить, что в силу формализма правил интервальной арифметики в процессе математических преобразований выражений, содержащих интервальные компоненты, может происходить резкий рост ширины wid [a ] системных интервальных параметров [a ].

Наибольший вклад в этот рост вносят операции вычисления разности [a ] [a ] и частного от деления [a ] [a ]. Очевидно, в силу параметризованных представлений a (q ) a (q ) = 0 и = 1 в том числе и при q = 0 и q = 1. Таким образом без нарушения существа интервальных вычислений они могут быть модифицированы допущением [a ] [a ] = 0, [a ] [a ] = 1.

Приведем несколько способов вычисления коэффициентов ИХП интервальной (n n ) матрицы [A].

Способ 1. Способ основан на обобщенной теореме Ф. Виета.

Пусть спектр собственных значений интервальной матрицы [A] [ ] { } {[ A]} = [ i ] = i, i : det (I [ A]) = 0 ;

i = 1, n (14.43) известен, тогда ИХП (П14.42) представим в форме n [D( )] = [a0 ] + [a1 ] +... + [an 1 ] + [an ] = ( [i ]), n n (14.44) i = где [a0 ] = [1,1] = Обобщенная теорема Виета устанавливает связь собственных [i ] с коэффициентами [ai ];

i = 1, n в форме значений n [a1 ] = 1 = tr [A], (14.45) i = n [a2 ] = [ i1 ][ i 2 ], (14.46) i1= i2= i3= n [a3 ] = [ i1 ][ i 2 ][ i3 ];

(14.47) i1= i 2= i 3= i1i 2i n [an 1 ] = ( 1)n 1 [ ] [i 2 ][im 1 ];

(14.48) i i1= i2= i ( n 1)= n i1 i 2 i ( m 1) n [an ] = ( 1)n i1[i ]. (14.49) = Способ 2. Способ Г. Крамера главных миноров:

[a1 ] = tR[A] = Aij, Aij, n n (14.50) i =1 i = k [ak ] = ( 1) [M ii ], k (14.51) i = где [M ii ] алгебраическое дополнение (ii)–го элемента [A ii ] матрицы [A];

[an ] = ( 1)n det[A]. (14.52) Способ 3. Способ У.Ж.Ж. Леверье:

[ ] 1k [ak ] = [ai 1 ]t2 Ak i +1 ;

k = 1, n ;

[a0 ] = 1 (14.53) k i = Способ 4. Способ Д.К. Фаддеева:

[a ] = 1 tr{[A][H ]};

k = 1, n, (14.54) k k k Где [H k ] = [A][H k 1 ] + [ak ]I ;

[H 0 = I ] (14.55) В силу выше изложенного (14.32), (14.33), (14.34) допустимо следующее определение Определение 14.18 (О14.18). Интервальный матричный компонент [()] [()] = ()0 + [()] = ()0 + [(), ()], (14.56) может быть охарактеризован показателем абсолютной интервальности, I () = [()]. (14.57) Нетрудно видеть, что в силу структуры интервального матричного компонента [()] его Фробениусова норма, а также индуцированные с индексами р=1 и р= нормы всех угловых реализаций этого компонента оказываются фиксированными так, что становится справедливым равенство I () = [()] = () = (). (14.58) Это же положение оказывается справедливым для индуцированной нормы с индексом р=2 (спектральной нормы) в силу справедливости соотношения ( ) 2 { ( ) 1 ( ) } для ее оценки через 1/ нормы с индексами р=1 и р=.

Определение 14.19 (О14.19). Интервальный матричный компонент [()] представленный в форме (14.56) может быть охарактеризован показателем I () относительной интервальности задаваемым соотношением I () I () =. (14.59) () Последние два определения по существу содержат доказательства следующего утверждения Утверждение 14.7 (У14.7). Оценки абсолютной и относительной интервальности интервальных компонентов исходного интервального объекта (числа, вектора, матрицы) не являются интервальными числами. В заключении необходимо отметить, что формализм правил интервальной арифметики в процессе приведенных выше преобразований математических выражений содержащих интервальные числа, векторы и матрицы, может наблюдаться заметный рост нормы интервальной части интервального компонента. Этот рост в основном определяется операциями вычитания и деления скалярного интервального элемента соответственного самого из себя и самого на себя, не приводящими соответственно к нулевому и единичному результатам. Тем не менее, параметризованная параметром q форма (14.2) интервального скалярного элемента при любых значениях q в перечисленных выше операциях дает нулевой и единичный результаты, в том числе и при граничных значениях q=0 и q=1. В этой связи при построении интервальных модельных представлений предлагается использование модифицированную версию интервальных вычислений в которых сделаны допущения о справедливости [a] = 1, что не нарушает существа выполнения равенств [a ] [a ] = 0 и [a] интервальных вычислений Необходимо отметить также проблемы объема вычислений при формировании ИХП [D( )] интервальной матрицы [F ] системы. Если размерность матрицы [F ] составляет (n n ), тогда максимальная мощность множества {(F )c } угловых реализаций матрицы [F ] составляет 2 nn, минимальная мощность этого множества составляет 2 n, что имеет место при использовании таких канонических представлений матрицы как диагональное и фробениусово.

Независимо от базиса представления мощность множества {(F )c } угловых реализаций может быть зафиксирована на уровне 2 p, где p – число исходных интервальных физических параметров. Таким образом целесообразно интервальные вычисления производить не на угловых системных реализациях с накопленной интервальностью, а на угловых реализациях исходных физических параметров. Мощность множества угловых реализаций может быть, кроме того, заметно сокращена, если разработчик проведет предварительное ранжирование первичных физических параметров.

14.2. Интервальные математические модели динамических объектов Проблемы, внесенные в заголовок параграфа, будем решать на примере непрерывных динамических объектов применительно к моделям «вход–выход» и «вход–состояние–выход» линейных НДО.

Определение 14.20 (О14.20). Дифференциальное уравнение отношения «вход–выход» линейного непрерывного динамического объекта называется интервальным дифференциальным уравнением, если являются интервальными его коэффициенты, так, что оно имеет представление [a0 ]y (n) (t ) + [a1 ]y (n1) (t ) +... + [an ]y(t ) = [b0 ]g (m) (t ) + [b1 ]g (m1) (t )... + [bm ]g (t ) (14.60) Определение 14.21 (О14.21). Передаточная функция отношения «вход–выход» линейного непрерывного динамического объекта называется интервальной передаточной функцией, если являются интервальными коэффициенты полиномов ее числителя и знаменателя, так, что она имеет представление [b0 ]s m + [b1 ]s m 1... + [bm 1 ]s + [bm ].

[(s )] = (14.61) [a0 ]s n + [a1 ]s n 1 +... + [an 1 ]s + [an ] Определение 14.22 (О14.22). Дифференциальная модель вида (9.10) отношения «вход–состояние–выход» линейного непрерывного динамического объекта называется интервальной, если являются интервальными матричные компоненты этой дифференциальной модели, так, что представима в виде x(t ) = [ A]x(t ) + [B ]u (t ), x(0);

y (t ) = [C ]x(t ).

(14.62) Примечание 14.2 (П14.2). Следует заметить, что интервальное представление отношения «вход–состояние–выход» вида (14.62) является данью общности записи, в большинстве практических случаев интервальное представление отношения «вход–состояние–выход»

имеет вид x(t ) = [ A]x(t ) + [B ]u (t ), x(0);

y (t ) = Cx(t ).

(14.63) Остановимся на вычислительных особенностях построения интервальных моделей отношения ВСВ вида (14.61)–(14.62) на основе интервальной передаточной функции (14.61) с помощью алгоритма 9.1.

Напомним, что одним из пунктов этого алгоритма с тем, чтобы построить представление передаточной функции, записанной по отрицательным степеням переменной «s», а также подготовить представление к возможному использованию правила Мейсона не касающихся контуров, является деление всех членов полиномов числителя и знаменателя на член знаменателя, содержащий переменную «s» в наивысшей степени. Очевидно, в случае интервального представления передаточной функции это деление будет содержать деление интервальных чисел, которое неизбежно приведет к расширению интервалов интервального представления результирующих значений коэффициентов конструируемого представления.

В этой связи будет полезна информация о росте относительной интервальности результатов простейших операций над интервальными числами, приведенная в таблице 14.1.

Таблица 14.1.

I [(#)] % 0 5 10 15 20 25 30 I [()] 1 % 0 5 10 15 20 25 30 I {[( )][(•)]}% 0 5 19.8 29.33 38.46 47.05 55.04 I { (•)][()] 1 }% [ 0 10.25 21 32.25 44.4 56.25 69 I { ( )][(•)][()] 1 }% 0 15.78 33.3 52.76 61.32 98.49 125.1 262. [ Оценка относительной интервальности несет большую содержательную нагрузку, так как позволяет оценить те пределы относительной интервальности параметров, при которых факт учета или не учета их интервальности оказывается корректным и обязательным.

Остановимся дополнительно на возможности управлять относительной интервальностью матричных компонентов интервального представления модели ВСВ непрерывного ДО (14.63) на примере матрицы состояния. Для этих целей сформулируем следующее утверждение.



Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.