авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 15 Издание выходит с 2006 ...»

-- [ Страница 4 ] --

Могут ли неэквивалентным по Тейхмюллеру р/п Sj соответ ствовать эквивалентные Sj ? Пусть h : S1 S2 – биголоморфизм, гомотопный тождественному (= h(S1 ) S2 непусто). Пусть j – антиголоморфная симметрия Sj с неподвижным множеством j (для проекции инволюции на Sj ). Тогда 2 h 1 – тоже би голоморфизм S1 S2 (поскольку Jj симметричны, см. выше), тоже гомотопный тождественному (поскольку j = на базе) = 1 h1 – тождественное отображение (см. л. 2 п. 16) = 2 h 1 = 2 h = h переводит 1 в 2 и S1 в S2. Покажем, h S гомотопно тождественному отображению базы S.

что h = h| Пусть ht – гомотопия id и h и Ht (p) = ht (p), если t S2 2 и h t (p)), если ht (p) S. Тогда Ht – гомотопия id и h на S1 1.

= i2 (h Так как окрестность каждой компоненты 2 на S2 гомеоморфна кольцу, то непрерывное семейство gt отображений S2 2 в себя, т.ч. gt (S2 2 ) S2, а g0 = g1 = id = ht := gt Ht – гомотопия id и h на S1. Таким образом, мы получаем, что описанное выше отображение T S T S является вложением.

Каков его образ? Выше показано, что класс Тейхмюллера на S входит в образ T S = Все соотв. ему дифференциалы Бельтра ми на S симметричны относительно. Таким образом, мы дока зали бльшую часть следующего утверждения.

о Предложение 15. S – гиперболическая р/п конформного типа (g, n, m) с m 0 = Отображение перехода к дублю S S индуцирует каноническое вложение T S T S.

Образ T S состоит из классов, представляемых дифференци алами Тейхмюллера (и [0]), симметричными относительно ан тиголоморфной инволюции дубля S, и является вещественно аналитическим вполне вещественным подмногообразием в T S, причём dimR T S = dimC T S.

(R-аналитическое вполне вещественное многообразие в ком плексном многообразии M – это локально образ Rk U Cl при голоморфном вложении области U Cl в M.) Структуры на пространствах Тейхмюллера Последние утверждения инвариантны относительно заме ны базы S на базу-дубль S1, поэтому достаточно доказать их в окрестности [0] T S. Каждый класс Тейхмюллера в окрест ности [0] представляется дифференциалом Бельтрами вида / из C-линейного пространства, трансвесального к [0] в 0 (где A2 (S) и – гиперболическая метрика на S. Для малой окрестности 0 в сужение фактор-проекции B1 (S) T S на есть биголоморфизм на окрестность [0] в T S. Так как гиперболическая метрика инвариантна относительно инво люции, то в T S из проектируются в точности дифферен циалы вида /2 с симметричными, т.е. =. Так как = ( + )/2 + i(( + )/2i), то симметричные диффе ренциалы на образуют R-линейное подпространство R половинной вещественной размерности, поскольку R iR = 0.

Последнее свойство означает, что R вполне вещественно в ( C линейный изоморфизм Cl, переводящий R в Rl ) = T S в окрестности [0] T ( S вполне вещественно.

Так как род S равен 2g + m 1, а число проколов 2n, то, при g 1, dimR T S = 3(2g + m 1) 3 + 2n = 6g 6 + 2n + 3m.

Наконец, отметим, что мы также распространили теорему Тейхмюллера на р/п S типа (g, n, m) в след. форме:

В каждом классе [µ0 ] B1 (S) \ 0 существует единствен ный дифференциал Тейхмюллера µ = k /||, где 0 k 1 и A2 (S) – квадратичный дифференциал, непрерывно продол жающийся на компонентны края и вещественный на них. При этом µ µ µ [µ0 ].

11. Гиперэллиптическая база. В качестве компактной ба зовой поверхности S во многих отношениях удобно брать гипер эллиптическую р/п в C2, задаваемую явно уравнением w2 = (z), где (z) – многочлен степени 2g +1 с простыми нулями (g – род S, см. [41], л. 2, п. 10);

конкретный вид (z) = c(z 1 )... (z 2g+1 ) пока не важен.

Любая мероморфная функция f на S является сужением на неё рациональной функции в C2, линейной по w, а именно a(z)w+ b(z), b(z) = (f (z, ) + f (z, ))/2 и a(z) = (f (z, ) где f (z, ))/2 при z = j (в каждом выражении ветвь корня одинакова), а в точках (j, 0) доопределяются по непрерывности с возможным значением (доопределение получается с учётом того, что = w – локальная координата в окрестности (j, 0)).

130 Структуры на пространствах Тейхмюллера Локальной координатой на S во всех точках, кроме где w = и (, ), является функция z. В точках (j, 0) это функция w (локально, z = j + w2 h с голоморфной h = 0), а в окрестно сти (, ) локальной координатой является, например, функ ция z g /w, доопределённая нулем в точке (, ), но можно и по другому, задавая S в окрестности (, ) параметрически как z = 1/ 2, w = 2g1 h(), || r = 1/ max |j |1/2. Исходя из этих представлений, мы получаем, что формы = p(z) dz, где w p(z) – произвольный многочлен степени k g 1, голоморфны на S: dz/w = 2dw в окрестностях (j, 0), а в окрестности (, ) форма равна h1 2k 2g+1 3 d = h1 2(g1k) d. Базис в про странстве таких составляют формы (z j /w)dz, j = 0,..., g = все голоморфные 1-формы на S имеют такой вид.

С квадратичными дифференциалами картина похожая: при g 1 есть 2g 1 “чётных” голоморфных дифференциалов (z j /(z))(dz)2, j = 0,..., 2g 2, зависящих только от z и g 2 “нечётных” голоморфных дифференциала (z j /w)(dz)2, j = 0,..., g 3, все вместе линейно независимы и натянутое на них пространство квадратичных дифференциалов имеет размерность 3g 3 = (см. п. 8 л. 6) других нет. (При g = 2 голоморф ных дифференциалов второго вида нет). Единообразно, квад ратичные дифференциалы на S имеют вид a(z)w+b(z) (dz)2, где (z) a, b – многочлены степеней g3 и 2g 2 соотв. Если S1 = S \ {(aj, bj )}n, то к A2 (S) добавляются голоморфные и ин w+bj тегрируемые на S дифференциалы zaj (dz), j = 1,..., n, и ли (z) нейные комбинации всего построенного дают всё A2 (S1 ) (размер ности 3g 3 + n).

Достаточно явно в гиперэллиптической ситуации выписыва ется и р/п : в C3 она задаётся двумя уравнениями, w2 = (z) и w1 = (a(z)w + b(z))/(z), и проекцией (z, w, w1 ) (z, w) двулистно накрывает S. Исключая w, её можно спроектировать в C2 1, на поверхность (w1 b)2 = a2, с двулистной проекцией z,w (z, w1 ) (z, (w1 b)/a) на S.

12. Гиперэллиптические модули. Гиперэллиптические р/п выделяются среди общих компактных р/п наглядностью представления, явным видом абелевых и квадратичных диффе ренциалов (п. 11) и специфическми приложениями (см., напри мер, [11]). Стандартное представление такой поверхности рода g – это двулистная разветвлённая накрывающая S : w2 = (z) сферы Структуры на пространствах Тейхмюллера Римана Cz в Cz Cw, где – многочлен степени 2g+1 с простыми нулями.

На S действует голоморфная инволюция : p = (z, w) (z, w), 2 = id. Она имеет ровно 2g + 2 неподвижные точки и при g 1 однозначно определяется этим условием. В самом де ле, пусть – другая такая инволюция на S. Тогда (z z )2 – рациональная функция на S с 2g + 2 нулями, а число её по люсов с учётом кратностей не превосходит 4 = z z = переставляет (z, w) и (z, w), т.е. совпадает с.

Наличие такой инволюции является характеристическим свой ством гиперэллиптичности. В самом деле, пусть S – компакт ная р/п рода g, допукающая голоморфную инволюцию с 2g + неподвижными точками и S0 – р/п, котрая получается из S отож дествлением пар p, (p) (если – голоморфная координата на S в окрестности неподвижной для точки p с (p) = 0 и =, то =. = 2 – локальная голоморфная координата в окрестности образа p = (p) при этом отождествлении). По фор муле Римана–Гурвица (см. [41], с. 21), 2 2g = 2((2 2g0 ) (2g + 2)) + (2g + 2) = 4g0 + 2 2g = род g0 поверхности S0 равен 0, т.е. S0 – сфера Римана = р/п S гиперэллиптическая.

Из единственности инволюции легко следует, что всякая р/п, биголоморфно эквивалентная гиперэллиптической сама такая же. В самом деле, если f : S S – биголоморфизм и – ин волюция на S с 2g + 2 неподвижными точками, то f f 1 – такая же инволюция на S. Таким образом, если в классе Римана есть гиперэллиптическая р/п, то весь этот класс (а значит, и все входящие в него классы Торелли и ещё меньшие классы Тейх мюллера) состоит из гиперэллиптических р/п.

Множество классов Тейхмюллера в Tg, представимых гипер эллиптическими р/п, обозначим через Hg.

Лемма 35. r (0, 1) 0, т.ч. если µ0 r, µ r, S0, S – гиперэллиптические р/п с конформными структурами J0 = Jµ0, J = Jµ, инверсиями 0, и (J0, J), то квазикон формное отображение f : S0 S, гомотопное тождественному отображению базы и сохраняющее инверсию, f 0 = f.

Можно считать S0 базовой поверхностью. В классе Тейхмюл лера [S] есть р/п S1 = (S, J1 ) с инволюцией 1, т.ч. дифференциал 132 Структуры на пространствах Тейхмюллера Бельтрами структуры J1 является дифференциалом Тейхмюлле ра. Ввиду экстремальности последних, (J1, J0 ) (J0, J).

Рассматривая голоморфные инволюции как отображения об щей базы S, мы видим, что близким относительно гиперэллип тическим структурам соответствуют близкие инволюции, причём эта близость равномерна для µ Br (S0 ) с фиксированным r 1.

В самом деле, поскольку семейство квазиконформных отображе ний с дифференциалами Бельтрами из Br (S0 ) компактно (л. п. 5), в противном случае на предельной р/п было бы две (го ломорфные) инволюции, а выше показано, что такая инволюция на р/п (если ) единственна.

Если S [S0 ], то обозначим через f1 : S0 S1 отображение / Тейхмюллера (оно гомотопно тождественному на базе S) и по ложим g = 1 f1. Если достаточно мало, то f1 достаточно близк к тождественному, тогда 1 близка к и g близко к тож о дественному = гомотопно тождественному (л. 2 п. 15). Так как 0, 1 голоморфны, то µg = µf1 = По теореме единственно сти Тейхмюллера (л. 9 п. 8), g = f1 = 1 f1 = f1 0.

Так как S1 S, то биголоморфизм h : S1 S, гомотопный тождественному. = f := h f1 : S0 S – квазиконформное отображение, гомотопное тождественному. По доказанному перед леммой, h сохраняет инволюцию, т.е. h 1 = h = f 0 = h 1 f1 = f.

Если S S0, то в качестве f просто берём биголоморфизм S0 S, гомотопный тождественному на S;

он сохраняет инволю цию.

Равномерность по структурам, соотв. Br (S), как уже отмече но, следует из компактности соотв. семейства квазиконформных отображений S (л. 5 п. 5).

Далее через HS мы обозначим подмножество Hg, состоящее из классов р/п, которые получаются из S квазиконформными пре образованиями f : S S, гомотопными тождественному отоб ражению базы и сохраняющими инволюцию, т.е. такими, что f = f.

Лемма 36. S0 – гиперэллиптическая р/п, – квадратичный дифференциал на S0, k (0, 1) и f : S0 S – соответствую щее, k отображение Тейхмюллера. Если S – гиперэллиптиче ская р/п и f 0 = f, то – чётный квадратичный дифферен Структуры на пространствах Тейхмюллера циал, т.е. =. Обратно, если чётный, то S – гиперэллип тическая р/п и f 0 = f.

Пусть z : S0 C, : S C – нормальные проекции и – квадратичный дифференциал на S, соотв. при отображении f.

Тогда = (dz)2, = (d)2 и отображение f определяется соотношением 1/2 d = 1/2 dz + k1/2 d z с константой k (0, 1) и подходящими ветвями корня в точках, где и соотв. не имеют нулей (см. л. 9 п. 7). Так как z 0 = z, = и f 0 = f, то (1/2 ) d = (1/2 0 ) dz + k(1/2 0 ) d.

z Так как (1/2 )/1/2 зависит только от точки на S и не зависит от направлений в ней (соответствующих d/dz), то 1/2 0 /1/ z 0 = 1/2 /1/2 = (1/2 0 )/1/2 – вещественная мероморфная функция = константа c R. Так как 2 = id, то c = 1/c = 0 = c2 =.

Обратное проще: Пусть = (dz)2 чётный, 0 = и f : S0 S – отображение Тейхмюллера, сотв. и k (0, 1).

Так как не зависит от w, то f переводит пары (z, ±w) S в соотв. пары (, ±) S = Отображение f 0 f 1 является голоморфной инволюцией на S = S гиперэллиптическая.

Предложение 16. Hg – замкнутое комплексное подмного образие в Tg комплексной размерности 2g 1. Связная компо нента Hg, содержащая [S], совпадает с HS.

Согласно лемме 36 HS0 состоит из классов [S], соответству ющих чётным квадратичным дифференциалам на р/п S0. Пред ставим её как поверхность w2 = (z) в C 2, где – многочлен степени 2g + 1 с простыми нулями, и тогда мы видим, что чётные голоморфные квадратичные дифференциалы на S0 – это диффе ренциалы = a(dz)2 /, где a – произвольный многочлен от z степени 2g 2 (см. п. 11). Комплексная размерность простран ства таких дифференциалов равна 2g 1. Близким (покоэффици ентно) дифференциалам соответствуют поверхности, близкие по Тейхмюллеру = Hg – топологическое многообразие (размерно сти 4g 2).

Пусть – отображение гладкой базы S, соотв. инволюции р/п S0. Если S соответствует дифференциалу Бельтрами µ B1 (S0 ) 134 Структуры на пространствах Тейхмюллера и µ(z, w) = µ(z, w) (“чётный”), то отображение : S S, равное как отображение S, сохраняет µ = является голоморфной ин волюцией S. В окрестности [S0 ] проекция Берса имеет голоморф ное сечение, состоящее из дифференциалов Бельтрами вида /2, где A2 (S0 ) и – гиперболическая метрика на S0. “Чётными” среди них являются /2 с чётными. Они, очевидно, образу ют комплексное многообразие в B1 (S0 ) комплексной размерности 2g1. Проекция этого многообразия в T S0 содержится в (4g2) мерном топологическом многообразии Hg = Hg в окрестности [S0 ] есть комплексное многообразие = Hg комплексное всюду.

Если S – предельная точка для HS0, то найдётся последова тельность гиперэллиптических Sj, j = 1, 2,..., т.ч. (Sj, S) при j = Можно считать (Sj, S) с из лем. 35 (с подхо дящим r 1). А тогда последовательность квазиконформных отображений fj : S0 Sj, гомотопных тождественному на S с соотв. инволюциями j, равными fj 0 fj. Из {fj }, соглас но п. 5 л. 5, можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к квазиконформному отображению f : S0 S. Тогда отображе ние = f 0 f 1 удовлетворяет условию 2 = id и отлично от тождественного. В самом деле, = lim j как отображения базы S, а если j близка к тождественному, то она гомотопна ему и, значит равна id (л. 2 п. 15), чего нет = S гиперэллиптическая = Hg – замкнутое подмногообразие в Tg.

Наконец, по лемме 35 HS открыто в Hg, а по лемме 36 HS па раметризуется чётными квадратичными дифференциалами на S как на базе = HS связно.

13. Периоды абелевых дифференциалов. При создании теории пространств Тейхмюллера основным требованием к ком плексной структуре на них было условие голоморфности пе риодов нормированных абелевых дифференциалов на компакт ной р/п.

Пусть a1, b1,..., ag, bg – гладкие петли на такой поверхности S, образующие стандартный базис в группе гомологий H1 (S, Z), с индексами пересечений ai aj = 0 = bi bj, ai bj = ij.

Тогда в пространстве (голоморфных) абелевых дифференциалов на S есть двойственный базис 1,..., g, т.ч. ai j = ij (см. [41] л. 9). Вот эти j и называются нормированными, а матрица ij = bi j называется матрицей Римана. При вариации ком плексных структур на S базис в гомологиях не меняется, но меня Структуры на пространствах Тейхмюллера ются абелевы дифференциалы j = элементы матрицы Римана являются функциями от комплексной структуры на S. Альфорс показал, что их можно использовать в качестве локальных ко ординат в пространстве T S Tg, g 1, выбирая подходящие 3g 3 элементов матрицы в окрестности каждой точки в T S, и что при этом функции переходов являются голоморфными. Та ким образом на пространствах Tg была впервые определена ком плексная структура, совместимая с другими структурами, в част ности, с метрикой Тейхмюллера (см. [2]).

Сначала заметим, что матрица Римана постоянна на классах Торелли (а тем более – на классах Тейхмюллера). В самом де ле, пусть f : S S – биголоморфное отображение, гомологичное тождественному на общей гладкой базе S. Тогда j = (f 1 ) j – базис в пространстве абелевых дифференциалов на S и ai j = f ai j = ai j = ij (первое равенство – из гомологичности пе тель i, f i и замкнутости j, второе – замена переменных при интегрировании). Таким образом, элементы ij матрицы Римана для S равны соотв. bi j = f bi j = bi j = ij, т.е. те же, что и у S.

Для дальнейшего удобно представлять периоды как интегра лы по S. Пусть – произвольная гладкая петля (или, более общо, замкнутая 1-цепь) на S. Она определяет линейный функционал на гладких 1-формах, т.е. поток [] размерности 1 (и степени 1) на S (см. [41], л. 4). Так как df = 0 для гладких функций f, то этот поток замкнут (d[] = 0). Обозначим через гладкую регуляризацию [], сосредоточенную в -окрестности (относительно, скажем, гип.метрики). Тогда – замкнутая 1 форма, определяющая поток [ ], S. По теореме де Рама ([41], л. 4), поток [] [ ] точный = = S замкнутой.

Беря в качестве петли ai, а в качестве – формы b и проводя j регуляризацию в координатной окрестности точки пересечения (см. [41], л. 4, упр. 8), получаем, что S a b = ij, а так как i j различные петли ai, aj (как и bi, bj ) попарно не пересекаются, то ещё a a = b b = 0 (интегралы по S, где не указано i j i j другого).

Занумеруем a1,..., ag, b1,..., bg в таком порядке как c1,..., c2g.

Тогда (см. [41], л. 9) гармонические 1-формы hj на S, т.ч.

a hj = 0 j = g + i, а a hg+i = ci hj = ij, в частности, i i 136 Структуры на пространствах Тейхмюллера a b = 1. Но тогда ci (b hg+i ) = 0 для всех ci = b = i i i i hg+i +dpi. Аналогично, a = hi +dqi (поскольку b a = a b ).

i i i i i Отсюда, в частности, периоды bi j = b j = hg+i j, i с формами h, зависящими только от базы S.

Следуя [7], голоморфную зависимость периодов нормирован ных абелевых дифференциалов от коэффициентов Бельтрами мы выведем из классических билинейных соотношений Римана, кото рые легко получаются из проведённых выше представлений в ви де поверхностных интегралов.

Лемма 37 (Билинейные соотношения Римана). S – компакт ная р/п рода g = g = ai bi ai bi S гладких замкнутых 1-форм,.

Так как любая замкнутая форма на S с точностью до точного слагаемого совпадает с гармонической формой (см. [41], л. 9), то достаточно проверить это соотношение для базисных гармонических форм = hj, построеных выше. Для j g в левой части лишь одно слагаемое возможно отличное от нуля, а именно, aj bj hj = aj = a = (hj dqj ) = hj, j но это то же, что и справа. Точно так же, для = hg+j, j g, слева одно слагаемое, aj hg+j bj = b = hg+i.

j Предложение 17. Периоды абелевых дифференциалов – эле менты матриц Римана – являются голоморфными функциями на пространствах Тейхмюллера Tg и пространствах Торелли Tg.

Для g = 1 это доказано в л. 3 п. 4 (см. также [41], л. 10, п. 4). Так как универсальное накрытие Tg Tg локально биго ломорфно и матрица Римана постоянна на классах Торелли, то достаточно доказать утверждение для Tg.

Фиксируем базовую компактную р/п S рода g и универсальное накрытие : D S с сотв. группой G. По определению комплекс ной структуры на T S, достаточно доказать голоморфность эле ментов матрицы Римана относительно коэффициентов Бельтра ми µ B1 (G). Функция на B1 (G) голоморфна, если она комплекс но дифференцируема в каждой точке по каждому направлению (см. приложение 2). Так как замена базы в T S индуцирует биго ломорфное преобразование в B1 (G) (см. л. 8, п. 2), то достаточно Структуры на пространствах Тейхмюллера доказать комплексную дифференцируемость по t D при t = матрицы Римана для St = (S, Jtµ ) и произвольного µ B1 (G).

Пусть 1,..., g – нормированный базис абелевых диффе ренциалов на S и 1 (t),..., g (t) – такой же базис на St, т.е.

(t) = ij. Применим билинейные соотношения Римана к за ai j мкнутым (на общей базе S) формам = j (t) j и =. Тогда левая часть соотношения равна нулю = S = 0. Относи тельно локальных голоморфных координат z, w на S, St соотв., определённых п.в. на S (при помощи фундаментальных много угольников в D), j = Aj dz, j (t) = At dw. Так как St = (S, Jtµ ), j то dw = wz (dz + tµ d) = z = (|Aj |2 2 Re Aj At ) + |At |2 (1 |tµ|2 )) dz d z j j = (|Aj At wz |2 |tµ At wz |2 ) dz d.

z j j Интегрируя по S и интерпретируя результат в L2 относительно i меры на S, соответствующей 2-форме 2 dz d, получаем, что z At wz Aj = tµ At wz At wz tµ 2.

2 2 j j j Отсюда и из неравенства треугольника для левой части полу чаем, что At wz 2 Aj 2 /(1 tµ ) = j At wz Aj tµ Aj 2 /(1 tµ ).

2 j Теперь применим лемму к формам = i и = j (t) j.

Слева там будет одно слагаемое bi (j (t) j ), а справа S i (j (t) j ) = S i j (t) = (Ai At wz tµ) dz d ij (t) ij = i j (t) = z j S S =t Ai Aj µ dz d + ij, z S где ij = t S Ai (At wz Aj )µ dz d. Обозначая через µ диффе z j ренциал Бельтрами на S, поднятием которого является µ d/dz, z это соотношение перепишем в виде ij (t) ij = t (i j µ)+ ij.

S Так как At wz Aj 2 = O(|t|) по доказанному выше, то |ij | = j O(|t|2 ) = Функция ij (t) комплексно дифференцируема по t при t = 0, что и требовалось доказать.

138 Структуры на пространствах Тейхмюллера Следствие. Дифференциал функции ij : T S C в базовой точке [0] пространства Тейхмюллера есть C-линейное отобра жение [µ] S (i j µ).

Как хорошо известно (см., например, [23]), матрицы перио дов (ij ) имеют положительно определённые мнимые части. Ком плексные g g-матрицы с этим свойством образуют так назы ваемую верхнюю полуплоскость Зигеля Zg, биголоморфно эк вивалентную ограниченной области, обобщённому единичному шару (см. [44]). Отображение [S]T (ij ), как показано вы ше, голоморфно. Eго образ Pg есть (3g 3)-мерное комплексно аналитическое подмножество в Zg (мы это не доказываем). За мечательная теорема Торелли утверждает, что это отображение периодов Tg Pg есть двулистное накрытие, разветвлённое над образами гиперэллиптических поверхностей, т.е. у “гиперэллип тических” матриц ровно 1 прообраз, а у остальных матриц из Pg – ровно 2 прообраза (см. упр. 3). Известное доказательство теоремы Торелли (см. [9]) чисто алгебро-геометрическое;

более простого я, к сожалению, не знаю и потому не могу здесь привести.

***** Задачи и упражнения.

1. Для каких многочленов (z) с простыми нулями соотв. р/п w2 = b (z) в C a) обладает антиголоморфной инволюцией?

b) является дублем Шоттки некоторой р/п?

b 2. – антиголоморфная инволюция р/п {w2 = (z)} C2 ( = id, 2 = id) = z – дробно-линейная функция от z.

3. S – как в упр. 2, µ(z, w) и µ(z, w) – коэффициенты дифферен циалов Тейхмюллера на S и S± – соотв. р/п = Матрицы Римана для S+ и S совпадают.

Приложение 1. Аппроксимационные теоремы. Работать с гомеомор физмами в аналитических задачах весьма затруднительно. Но в проблемах классификации р/п важны не сами отображения, а их гомотопические классы, и в каждом таком классе, оказывает ся, есть вполне гладкие (и даже R-аналитические) представители.

Начнём со следующего простого утверждения:

1. f – гомеоморфизм окружности D C = диффеомор физм f круга D, непрерывный в замыкании и совпадающий с f на D. При этом если f гладкий, с положительной производной на некоторой дуге D, то f – диффеоморфизм D на D f ().

Можно считать, что f сохраняет ориентацию. Представим f (ei ) в виде eih(), где h(t) – монотонно возрастающая функция на R, h(t + 2) = h(t) + 2, и положим 1 s h(r, ) = h( + 1 (r)t) 2 (t) dt = h(s)2 ds, 1 (r) 1 (r) R R где 1, 2 – гладкие (C ) функции, 1 (r) = 0 при r 1, 0 при r 1 и = 1 при r 1/2, а 2 чётная (2 (t) = 2 (t)), = 0 при |t| 1, 0, (t) 0 при 0 t 1 и 2 (t) dt = 1. Ясно, что = h на D и h гладкая в D, h(r, + 2) = h(r, ) + 2 и h h 1 t (r, ) = 2 h(t + )2 dt = 1 (r) R 1 (r) 1 t =2 (h( + t) h( t)) |2 | dt 1 (r) 0 1 (r) так как h – строго монотонно возрастающая функция.

Положим f (rei ) = r exp i[1 (r) + (1 1 (r))h(r, )]. Тогда C (D) и, поскольку |f (rei )| r, то якобиан f в полярных f = f на D, то это значит, координатах положителен. Так как f что отображение f | D собственное (прообраз любого компакта – компакт) и локально 1:1 = это диффеоморфизм D.

Последнее утверждение следует из определения h: в первом интеграле можно дифференцировать под его знаком, там, где h гладкая.

140 Приложение Нам понадобится ещё одно более-менее очевидное утвержде ние о сглаживании.

2. U – окрестность R в C, f : U f (U ) – гомеоморфизм, такой что f (x, 0) x и сужения f |U {±y 0} – диффео морфизмы (т.е. f – кусочно диффеоморфное отображение) = окрестность V R с V U и дифеоморфизм f : U f (U ), (z) + (1 t)f (z) f (U ), который совпадает с f в U \ V, причём tf z U, 0 t 1.

По условию, функция f /x непрерывна в U и равна 1 на R.

Можно считать, что f сохраняет ориентацию и тогда существует гладкая функция (x) 0 и окрестность W R в U такие, что Im f (x, y) (x) в W \ R. Окрестность V R, V W, выберем y так, что Im f Re f (x, y) (x)/3 в V \ R (это возможно, так x y как Im f = 0 на R). Фиксируем функцию 1 C (U ), равную x в окрестности R и = 0 в окрестности U \ V. Положим f (x, y) = f (x + (x), y + (x)) 2 (, ) dd, R где 2 0 – гладкая функция, = 0 при |(, )| 1, 2 d d = 1, а (x) 0 – гладкая функция, которую мы выберем в дальней шем.

“Склеим” f и f, полагая f = 1 f + (1 1 )f. Функция гладкая в U и равна f в U \ V. Поэтому если достаточ f но мала (в это понятие включаем достаточно быстрое убыва ние на бесконечности), то значения функций tf + (1 t)f в U принадлежат f (U ). Так как f кусочно-гладкая, то для вычисле ния производных f можно дифференцировать под знаком инте грала (таким образом получаются, очевидно, обобщённые про изводные f, которые равны обычным, поскольку f гладкая) = f f при, = dx 0 и f f в U \ R при d x x y y 0, оставаясь локально равномерно ограниченными в U. Да лее, f = 1 f + (1 1 ) f + (f f ) 1 f при, 0 и, x x x x x аналогично, f локально равномерно ограничены в U и f f y y y в U \ R.

Таким образом, если достаточно мала вместе с, то якоби ан f, f f f f Re Im Im Re (x, y) (x)/ x y x y Приложение всюду в V и f (z) при z в U. Так как f = f в U \ V, то якобиан f положителен всюду в U и, значит (как и в 1.), f : U f (U ) – диффеоморфизм.

Лемма 38. f : S S – гомеоморфизм римановых поверхно стей = диффеоморфизм F : S S, гомотопный f.

Пусть U1, U2,... – локально-конечное покрытие S односвяз ными областями с R-аналитическими границами, Uk = j k Uj и k : Uk D – конформные отображения на единичный круг D.

По принципу симметрии (ТФКП), k конформно продолжается в окрестность замыкания U k.

Положим F0 = f и определим гомеоморфизмы Fk : S S, k = 1, 2,..., по индукции, полагая Fk = Fk1 в S \ Uk и за меняя Fk1 |Uk подходящим диффеоморфизмом. Итак, предполо жим, что гомеоморфизм Fk1, гомотопный f, построен, равен f на S\Uk и его сужение на Uk1 является диффеоморфизмом этого открытого множества на f (Uk1 ). Будем строить Fk с аналогич ными свойствами.

Сначала продолжим Fk1 с Uk до диффеоморфизма Uk на Fk1 (Uk ), используя утв. 1. Для этого заметим, что Fk1 (Uk ) – жорданова область и потому существует конформное отображе ние k : Fk1 (Uk ) D, гомеоморфное в её замыкании (теорема Каратеодори, ТФКП). Функция fk = k Fk1 1 задаёт го k меоморфизм D и значит, согласно утв. 1, существует диффео морфизм fk круга D, продолжающий fk с границы. Определим Hk = Fk1 в S \ Uk и Hk = k fk k в Uk. Тогда Hk – гомеоморфизм S S, гомотопный Fk1 (а значит, и f ): го t мотопия задаётся, например, семейством Hk = Fk1 в S \ Uk, + (1 t)fk ) k в Uk, 0 t 1. По построению, t Hk = (tfk отображение Hk кусочно-диффеоморфно в Uk, возможен разрыв первых производных на Uk Uk1.

Пользуясь утв. 2, сгладим такой излом на каждой компоненте дуге этого множества. Пусть U – окрестность в Uk1 и – диф феоморфизм U на окрестность U вещественной прямой R в C, 1: отображающий на R. Так как U Uk1, то Hk () = Fk1 () – тоже гладкая дуга (на S ) и Fk1 – диффеоморфизм окрест ности Hk () на окрестность R, 1:1 отображающий Hk () на R.

Функция hk = Fk1 Fk 1 удовлетворяет условиям утв. 142 Приложение и потому существует диффеоморфизм hk : U hk (U ), совпадаю щий с hk вне некоторой окрестности V R, V U, и гомотопный hk в U, как в утв. 2.

Определим, наконец, отображение Fk, полагая Fk = Hk в S \ U и Fk = Fk1 1 hk в U. Тогда Fk – гомеоморфизм S на S, гомотопный f, как и Hk. Так как Fk = f в S \ Uk, то Fk – диффеоморфизм Uk на f (Uk ). Индукция завершена.

Так как {Uk } – локально конечное покрытие, то для любого компакта K S найдётся nK такое, что Fn = Fn+1 при n nK.

Поэтому F = lim Fk существует и является искомым диффеомор физмом S на S.

Гомотопия, о которой говорится в лемме, – это гомотопия в классе непрерывных, не обязательно гомеоморфных, отображе ний S в S. Известно (см. [22]), что из такой гомотопии гомеомор физмов р/п конечного топологического типа следует гомотопия и в классе гомеоморфизмов (изотопия), но мы это не используем.


Следствие. (p) 0 – произвольная непрерывная функция на р/п S = гомеоморфизма р/п f0 : S S и любой функции расстояния на S диффеоморфизм f1 : S S, гомотопный f0, с гомотопией ft, т.ч. (f0 (p), ft (p)) (p), p S, 0 t 1.

Покрытие {Uj } из доказательства леммы измельчим так, что диаметр Uj относительно меньше inf на Uj – тогда построен ный выше диффеоморфизм F удовлетворяет указанной оценке.

Эта интуитивно понятная лемма важна для переходя от топо логии к анализу. Обычно вместо диффеоморфизмов доказывает ся (или объявляется очевидным) существование квазиконформ ных отображений, гомотопных данному гомеоморфизму ком пактных р/п (см. [5], c. 27–29, [6], с. 181). Или просто в опре делении классов Тейхмюллера вместо гомеоморфизмов рассмат ривают одни квазиконформные отображения р/п (как в [7]).

Для р/п конформного типа (g, n) существование квазикон формного диффеоморфизма легко следует из доказанного выше.

Предложение 18. f : S S – гомеоморфизм р/п конформ ного типа (g, n) = квазиконформный диффеоморфизм S S, гомотопный f.

Отображение f непрерывно продолжается до гомеоморфиз ма f0 : S0 S0 соотв. компактификаций, S = S0 \ E, S = Приложение S0 \ (E = f0 (E)), #E = n. Согласно следствию (с = 0 на E ), гомеоморфизм f1 : S0 S0, сужение которого на S является диффеоморфизмом S S.

Пусть Vj Uj – окрестности точек aj E, диффеоморфные кругу, разные Uj не пересекаются. Тогда, очевидно, диффео морфизмы Fj : Uj Fj (Uj ) S0, т.ч. fj (aj ) = f0 (aj ) и fj = f0 на Uj \ Vj, гомотопные f0 в Uj с этими же свойствами промежуточ ных отображений гомотопии. Отображение F, равное f в S0 \ Uj, и равное Fj в Uj, является диффеоморфизмом компактных р/п и потому квазиконформно = Сужение F |S есть искомое отоб ражение.

2. Голоморфные функции в банаховом пространстве.

Пусть X, Y – банаховы пространства над полем C и U – открытое подмножество в X. Отображение f : U Y называется комплекс но (C-) дифференцируемым в точке a U, если C-линейное непрерывное отображение (оператор) Df (a) : X Y, т.ч.

f (a + h) f (a) Df (a)(h) /h 0 при h 0 в X.

Y X Отображение Df (a) называется дифференциалом (или производ ной) f в точке a. Отображение, C-дифференцируемое во всех точ ках U, называется голоморфным в U. Если при этом f (U ) открыто в U, f 1 и тоже голоморфно, то f назывется биголоморфным.

Композиция голоморфных отображений, очевидно, голоморфна там, где она определена.

Частные случаи определения – это X = C (отображения C U Y называются голоморфными кривыми в Y ) и Y = C (голоморфные функции в U ).

Теория голоморфных кривых во многом повторяет классиче скую ТФ КП: в задачах, где функции входят линейно, обычно неважно, каково множество значений, C или какое-нибудь бана хово пространство. Дословно повторяя лемму Гурса, получаем для голоморфных кривых f : U Y в области U Cz инте гральную теорему Коши, из неё – интегральную формулу Коши, из неё – голоморфность всех производных по z и т.д.

Аналогично, для X = CN “линейная” теория голоморфных отображений повторяет многомерный комплексный анализ. В частности, в любом поликруге D1 · · · DN справедлива ин тегральная формула Коши по остову D1 · · · DN и те же следствия: голоморфность всех частных производных и т.п.

144 Приложение Как и в классическом случае, важную роль в бесконечномер ном комплексном анализе играет следующая обобщённая лемма Шварца.

Лемма 39. BX, BY – единичные шары в X, Y соотв., f :

BX BY голоморфное отображение и f (0) = 0 = f (x) Y x X x BX и Df (0) Y 1.

При фиксированном x BX, отображение D f (x) BY голоморфно в единичном круге. Обозначим через Y банахово пространство, сопряжённое к Y (пространство непрерывных C линейных функционалов на Y ). Тогда y Y = sup{|l(y)| : l Y, 1} (по существу, это определение нормы в Y ). Для l Y l Y, l Y 1, отображение l(f (x)) : D D – уже обычная го ломорфная функция, 0 0 = |l(f (x))| || по классической лемме Шварца. Применяя это к x/ x X и = x X, получаем утверждение леммы.

Из леммы Шварца легко выводится следующее.

Предложение 19. Ограниченное отображение f : U Y голоморфно a U, x X отображение f (a + x) голо морфно в окрестности нуля в C.

1) 2) очевидно из определения.

2) 1). Обозначим через Dx f (a) дифференциал голоморф ного отображения f (a + x) при = 0 (и фиксированном x);

по линейности, Dx f (a)() = Dx f (a)(1). Применяя лемму Шварца к отображению (f (a+x)f (a))/Dx f (a)() (доопределённому нулём в 0), получаем оценку 2M f (a + x) f (a) Dx f (a)(1) ||, Y r если шар BX (a, r) U, x X 1 и f Y M в U.

Оператор Df (a) : x Dx f (a)(1) является, очевидно, C-одно родным отображением из X в Y, т.е. Dtx f (a)(1) = tDx f (a)(1), t C. Далее, Dx1 +x2 f (a)(1) Dx1 f (a)(1) = f (a + (x1 + x2 )) f (a + x2 ) / + O() = Dx2 (a + x1 ) + O(). При фиксирован ных x1, x2 X, f (a + 1 x1 + 2 x2 ) есть отображение окрест ности 0 C2 1,2 в пространство Y. Как объяснено перед лем мой Шварца, его частные производные голоморфны. Производ ная по 2 при 2 = 0 совпадает, очевидно, с Dx2 f (a + x1 )(1) = Dx2 f (a + x1 )(1) = Dx2 f (a)(1) + O() и таким образом мы Приложение получаем, что оператор Df (a) : X Y аддитивен = Df (a) – линейный ограниченный оператор из X в Y = Df (a) = Df (a), дифференциал f в точке a = f всюду в U C-дифференцируемо.

В лекциях неоднократно используется следующая теорема о голоморфности обратного отображения.

Предложение 20. X, Y – конечномерные банаховы простран ства над полем C одинаковой размерности, U – область в X и f : U V – голоморфное 1 : 1 отображение U на область V Y = Отображение f 1 тоже голоморфно.


Нормы в X, Y здесь несущественны, поэтому можно считать, что X = Y = CN. Обозначим через множество критических значений отображения f, т.е. образ множества критических то чек f (в которых якобиан Jf отображения f равен нулю). Так как f 1:1, то имеет нулевой объём.

Функция 1/Jf f 1, доопределённая нулём на, непрерывна на V и голоморфна в V \ = По классической теореме Радо она голоморфна на V, где – произвольная комплексная прямая = по предл. 19 она голоморфна в V = по теореме единствен ности либо всё V принадлежит, либо является дис кретным множеством. Во втором случае непрерывная функция f 1 голоморфна на V по теореме об устранимой особенности (ТФКП). Так как такие приближают любую комплексную пря мую ( – нулевого объёма), то f 1 голоморфна на всех V = f голоморфна на V.

Другое доказательство см. в [44], § 4.

3. Координаты Фрике. Исторически первыми числовыми координатами в пространствах модулей р/п были координаты, предложенные Фрике в начале прошлого века (задолго до работ Тейхмюллера). В книге Абикофа [1] приведено весьма лаконич ное описание упрощённого варианта таких координат;

ниже это описание слегка детализировано и сразу увязано с классами Тейх мюллера.

Пусть S = (S, J) – компактная р/п рода g 1. Фиксиру ем точку и выбираем для 1 (S, ) стандартный базис жордано вых петель a1, b1,..., ag, bg с началом и единственным соотно шением a1 b1 a1 b1 · · · = 1 (см. л. 1). В качестве универсальной 1 146 Приложение накрывающей здесь удобнее брать полуплоскость H. Как объяс нено в лекции 1, обход по каждой петле в S индуцирует авто морфизм универсальной накрывающей и это соответствие зада ёт групповой мономорфизм 1 (S, ) Aut H. Преобразования, соответствующие aj, bj обозначим Aj, Bj соотв. По построению, A1 B1 A1 B1 · · · = 1, тождественное отображение. Если : H S – универсальное накрытие и Aut H, то : H S – тоже универсальное накрытие. Поэтому, подбирая, мы можем нормировать накрывающую группу G для S след. условиями: Bg имеет неподвижными точки 0, причём 0 – отталкивающая (т.е.

Bg : z k 2 z, k 1) и Ag имеет неподвижную точку 1.

Если р/п S = (S, J ) эквивалентна S по Тейхмюллеру, то го ломорфное отображение h : S S, гомотопное тождественному на S квазиконформному отображению : S S. Если : H S – универсальное накрытие, то поднятие h : H H, которое совпадает с поднятием на R, т.е. с тождественным z z (для компактной поверхности (G ) = H в C) = G = h1 = G и, hG значит, р/поверхности S соответствует та же накрывающая под группа в Aut H, с теми же образующими Aj, Bj. Таким образом, мы получаем 1:1 соответствие пространства Тейхмюллера Tg и множества нормированных мономорфизмов 1 (S, ) Aut H.

Соотношение на образующие означает, что [Bg, Ag ] = g1 [Aj, Bj ], где [A, B] = ABA1 B 1 – коммутатор (и упорядочено). Отоб ражениям из Aut H соответствуют матрицы a d SL2 (R), b c (т.е. ad bc = 1), определённые с точностю до знака (умно жения на ±1), причём композиции отображений соответствует произведение матриц. Условия нормировки означают, что Bg k 0 1/k, k 1, и Ag, с + = +. Правой части соотно шения коммутирования соответствует матрица a d из SL2 (R) b c k с a = 1, и мы получаем равенство 0 1/k · · 1/k k = ab. Это однородная система линейных уравнений отно cd сительно,,,, а именно (a 1) + b = c + (d 1/k 2 ) = (a k 2 ) + b = c + (d 1) = 0.

Определитель этой системы с точностью до знака равен [(a 1)(d 1/k 2 ) bc][(a k 2 )(d 1) bc] Приложение и ненулевые решения возможны только когда он = 0. Тогда, если bc = 0, то ad = 1 и k 2 = a. Если же bc = 0, то d = 1, как и a (по условию) и, значит, k 2 = (1 a)/(d 1). (Зависимость k от параметров a, d, как легко убедиться, непрерывна.) Из дополни тельных условий + = + и = 1 с 0 получаем,,, как однозначные функции от a, b, c, d = от коэффици ентов дробно-линейных отображений Aj, Bj.

Перенумеруем их и соотв. матрицы запишем единообразно как ai bi с ai 0, а если ai = 0, то bi 0. Коэффициенты di ci d i определяем из условий ai di bi ci = 1, если ai 0. Но если n некоторое ai = 0, то композиции этой матрицы с Bg соответ 2n ствует отображение z k b /(db z) с неподвижной точкой 1 2 2n 2 (bd + b d 4k ) H, чего не бывает у элементов накрываю щих групп = все ai 0. Таким образом, нормированным накры вающим группам компактных р/п рода g 1 однозначно соответ ствуют наборы параметров (a1, b1, c1,..., ag1, bg1, cg1 ), причём эквивалентным по Тейхмюллеру р/п соответствуют одинаковые наборы, а не эквивалентным – разные. Этим определено отобра жение Tg F (Tg ) = Fg R6g6, которое называется отобра жением Фрике, а точки в образе – параметрами Фрике соотв.

классов Тейхмюллера. Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Предложение 21. Отображение Фрике F : Tg R6g6 яв ляется непрерывным 1 : 1 отображением на связное открытое подмножество области a1 0,..., ag1 0.

Единственное здесь, что надо доказать, это непрерывность.

Но если расстояния между структурами J, J на S мал, то о тождественное отображение S является квазиконформным отоб ражением (S, J) на (S, J ) с малым дифференциалом Бельтра ми µ. Это отображение накрывается квазиконформным автомор физмом fµ полуплоскости H с соотв. малым коэффициентом µ = мало отличается от тождественного = образующие группы G = fµ Gfµ мало отличаются от образующих G, а это и означает непрерывность отображения Фрике.

Аналогичное построение можно провести и для гиперболи ческой р/п любого конечного конформного типа (g, n, m) (с ги перболическим дублем), получая вложение Tg,n,m в RN с N = 6g 6 + 2n + 3m (см. [1]).

148 Литература Основные ссылки [1] У. Абикоф, Вещественно аналитическая теория пространств Тейхмюллера, Мир, М., 1985.

[2] Л. Альфорс, Л. Берс, Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения, ИЛ, М., 1961.

[3] L. Ahlfors et al. (eds), Advances in the theory of Riemann surfaces, Annals of Math. Studies, 66, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971.

[4] Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, Мир, М., 1969.

[5] С. Л. Крушкаль, Квазиконформные отображения и римановы по верхности, Наука, Новосибирск, 1975.

[6] O. Lehto, Univalent Functions and Teichmller Spaces, Springer u Verlag, New York, 1987.

[7] S. Nag, The Complex Analytic Theory of Teichmller Spaces, J. Wiley u & Sons, New York, 1988.

Дополнительная литература [8] L. Ahlfors, L. Bers, “Riemann’s mapping theorem for variable metrics”, Ann. of Math. (2), 72 (1960), 385–404.

[9] A. Andreotti, “On a theorem of Torelli”, Amer. J. Math., 80 (1958), 801–828.

[10] L. Bers, H. Royden, “Holomorphic families of injections”, Acta Math., 157 (1986), 259–286.

[11] А. Б. Богатырёв, Экстремальные многочлены и римановы поверх ности, МЦНМО, М., 2005.

[12] Б. В. Боярский, “Гомеоморфные решения систем Бельтрами”, ДАН СССР, 102 (1955), 661–664.

[13] Б. В. Боярский, “Обобщенные решения системы дифференциаль ных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывны ми коэффициентами”, Матем. сб., 43(85) (1957), 451–503.

[14] И. Н. Векуа, Обобщённые аналитические функции, Наука, М., 1988.

[15] Р. Ганнинг, Х. Росси, Аналитические функции многих комплекс ных переменных, Мир, М., 1969.

[16] Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного пе ременного, Наука, М., 1966.

[17] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, В. Т. Фоменко, Современная гео метрия. Методы теории гомологий, Наука, М., 1984.

Литература [18] C. J. Earle, “On holomorphic families of pointed Riemann surfaces”, Bull. Amer. Math. Soc., 79 (1973), 163–166.

[19] C. J. Earle, “The Teichmller distance is dierentiable”, Duke u Math. J., 44 (1977), 389–397.

[20] C. J. Earle, I. Kra, S. L. Krushkal’, “Holomorphic motions and Teichmller spaces”, Trans. Amer. Math. Soc., 343 (1994), 927–948.

u [21] C. Ehresmann, “Les connexions innitesimales dans un espace br e dierentiable”, Colloque de Topologie, Bruxelles, 1950, 29–55.

[22] D. B. A. Epstein, “Curves on 2-manifolds and isotopies”, Acta Math., 115 (1966), 83–107.

[23] H. Farkas, I. Kra, Riemann surfaces, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1980.

[24] О. Форстер, Римановы поверхности, Мир, М., 1980.

[25] F. Gardiner, Teichmller theory and quadratic dierentials, Wiley u Intescience, New York, 1987.

[26] A. M. Garsia, “An embedding of closed Riemann surfaces in Euclidean space”, Comm. Math. Helv., 35 (1961), 93–110.

[27] R. S. Hamilton, “Extremal quasiconformal mappings with prescribed boundary values”, Trans. Amer. Math. Soc., 138 (1969), 399–406.

[28] Дж. Харрис, Я. Моррисон, Модули кривых. Вводный курс, Мир, Научный мир, 2004.

[29] М. Хирш, Дифференциальная топология, Мир, М., 1979.

[30] Y. Imayoshi, M. Taniguchi, An introduction to Teichmller spaces, u Springer-Verlag, New York, 1992.

[31] F. Knudsen, D. Mamford, “The projectivity of the moduli space of stable curves, I”, Math. Scand., 39 (1976), 19–55;

F. Knudsen, II, Math. Scand., 52 (1983), 161–199;

III, Math. Scand., 52 (1983), 200– 212.

[32] С. Л. Крушкаль, “К теореме Тейхмюллера об экстремальных ква зиконформных отображениях”, Сиб. Матем. Журн., 8 (1967), 313–332.

[33] С. Л. Крушкаль, “Комплексная геометрия универсального про странства Тейхмюллера”, Сиб. Матем. Журн., 45 (2004), 780–808.

[34] S. L. Krushkal, “The Green function of Teichmller spaces with u applications”, Bull. Amer. Math. Soc., 27 (1992), 143–147.

[35] S. L. Krushkal, “Polynomial convexity of Teichmller spaces”, u J. London Math. Soc. (2), 52 (1995), 147–156.

[36] O. Lechto, K. I. Virtanen, Quasiconformal mappings in the plane, Springer-Verlag, 1973.

[37] М. Маззокко, Л. О. Чехов, “Орбифолдные римановы поверхности:

пространства Тейхмюллера и алгебры геодезических функций”, УМН, 64:6 (2009), 117–168.

150 Литература [38] С. М. Натанзон, Модули римановых поверхностей, вещественных алгебраических кривых и их супераналоги, МЦНМО, М., 2003.

[39] Р. Неванлинна, Униформизация, ИЛ, М., 1955.

[40] H. L. Royden, “Automorphisms and isometries of Teichmller spaces”, u Advances in the theory of Riemann surfaces, Annals of Math. Studies, 66, eds. L. Ahlfors et al., Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971, 369–383.

[41] Е. М. Чирка, Римановы поверхности, МИАН, М., 2006.

[42] Дж. Спрингер, Введение в теорию римановых поверхностей, ИЛ, М., 1960.

[43] И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973.

[44] Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ. Т. 1, 2, Наука, М., 1985.

[45] В. Г. Шеретов, Классическая и квазиконформная теория римано вых поверхностей, РХД, Ижевск, 2007.

Научное издание Лекционные курсы НОЦ Выпуск Чирка Евгений Михайлович Пространства Тейхмюллера Сдано в набор 16.05.2010. Подписано в печать 23.06.2010.

Формат 6090/16. Усл. печ. л. 9.5. Тираж 200 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкина, 8.

e-mail: pavlov@mi.ras.ru http://www.mi.ras.ru/noc/

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.