авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«УДК 620.22:51-07(075.8) ББК 30.3в6я73 Д79 Рецензенты: член-корреспондент НАН Беларуси, доктор ...»

-- [ Страница 2 ] --

vn = v n = 0, vn = 0. (3.29) Если в случае периодических композиционных материалов ячейка периодичности состоит из двух материалов, например волокна и матри цы, то коэффициенты упругости можно считать кусочно-постоянными (постоянными для каждой из компонент ячейки). При этом необходимо задать условие контакта этих компонентов. Один из возможных вариан тов – условие идеального контакта, состоящее в отсутствии внешних по верхностных усилий и непрерывности перемещения на границе раздела компонентов.

Литература 1. Бердичевский, В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В. Л. Бердичевский. М., 1983.

2. Мейлз, Дж. Теория и задачи механики сплошных сред / Дж. Мейлз. М., 2007.

3. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. 5-е изд, испр. и доп. М., 1966.

4. Cherkaev, A. Variational Methods for Structural Optimization / A. Cherkaev. New York, 2000.

5. Gol’dstejn, R. V. Qualitative methods in continuum mechanics / R. V. Gol’dstejn, V. M. Entov // Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, v. 72.

Harlow ;

Longman Scientific & Technical, 1994.

6. Prandtl’s Essentials of Fluid Mechanics (Oertel H. (ed.)). New York, 2004.

Глава ГАРМОНИЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 4.1. Гармонические и аналитические функции Определение 4.1. Вещественно- (или комплексно-) значная функция u называется гармонической в области* D R 3 или R 2, не содержащей бесконечно удаленной точки, если она удовлетворяет следующим условиям:

a) определена в D и имеет внутри D равномерно непрерывные пер вые производные ( u : D R (C), u C1 ( D) );

б) имеет внутри D вторые производные, непрерывные во всякой об ласти D1, компактно вложенной в D ( u C 2 ( D1 ), D1, D1 D );

в) вторые производные во всякой внутренней точке области D удовлетворяют уравнению Лапласа 2u 2u 2u u = 2 + 2 + 2 = 0. (4.1) x y z Функция u называется гармонической в области De, внешней к D и со держащей бесконечно удаленную точку, если она удовлетворяет условиям:

а) u : De R (С), u C1 ( De ) ;

б) u C 2 ( De ), De, De De ;

в) вторые производные удовлетворяют уравнению Лапласа (4.1.1);

г) u ( x, y, z ) 0 при R = x 2 + y 2 + z 2.

Теория (вещественнозначных) гармонических функций, определен ных в областях на комплексной плоскости, тесно связана с теорией ана литических функций. Пусть D C – область (открытое связное множе ство на комплексной плоскости C ). Говорят, что непрерывная вещест веннозначная функция u : D R является гармонической в области D, Под областью в C = R 2 далее всюду понимается открытое связное множество в C.

* если она имеет в этой области непрерывные первые и вторые частные производные и удовлетворяет в D уравнению Лапласа 2u 2u u = 2 + 2 = 0 (4.2) x y или в терминах r и (т. е. для комплексной переменной z, представ ленной в экспоненциальной форме z = rei ):

u 2u u = r r + = 0.

r r Гармоническая в этой же области функция v : D R называется со пряженной гармонической для u, если для любого z = x + iy D выпол няются условия Коши – Римана u v u v ( z ) = ( z ), ( z ) = ( z ). (4.3) x y y x Если область D односвязная, то сопряженная гармоническая функ ция v (с точностью до произвольной аддитивной постоянной) определя ется через функцию u в квадратурах:

z u u v( z ) = (, y0 )d + ( x,)d + C, (4.4) y x z где z0 = x0 + iy0 D – произвольная фиксированная точка области D, а интегрирование проводится по произвольной гладкой кривой, соединяю щей точки z0 и z и лежащей в области D. В случае многосвязной облас ти D формула (4.4), вообще говоря, приводит к многозначной функции, а, следовательно, каждая из функций f ( z ) = u ( z ) + iv( z ) может при этом оказаться многозначной.

Из второй формулы Грина (1.25), (1.26) вытекают следующие свойства:

1. Если функция u : D R является гармонической в области D, то для любой простой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, лежащей в D, u n ds =0.

L 2. Если функции u, v : D R являются сопряженными гармонически ми в области D, то для любой простой замкнутой кусочно-гладкой кри вой L, лежащей в D, v u u n v n ds =0.

L 3. Если функция u : D R является гармонической в области D, то для любой простой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, лежащей в D, u n u (ln| z |) ln| z | ds = 2 u ( ), z L, D.

n L Определение 4.2. Дифференцируемая в области D относительно ком плексной переменной z функция f : D C называется аналитической в этой области.

Теорема 4.1. Если функция u : D R гармонична в односвязной об ласти D, то существует аналитическая в области D функция f, вещест венная часть которой совпадает с функцией u. Эта функция определяется равенством f ( z ) = u ( z ) + iv( z ), где v – одна из функций, вычисляемых по формуле (4.4).

Аналогичное утверждение имеет место для аналитической функции, определяемой заданной мнимой частью в односвязной области.

В действительности необходимым и достаточным условием анали тичности функции f ( z ) = u ( z ) + iv( z ) в области D является дифференци руемость ее действительной и мнимой частей u ( z ), v( z ) и выполнение во всей области условий Коши – Римана (4.3).

Следующая теорема является гармоническим аналогом теоремы Лиувилля.

Теорема 4.2. Если функция гармонична и ограничена во всей ком плексной плоскости C, то она равна постоянной.

Действительно, пусть u (z ) гармонична и ограничена во всей ком плексной плоскости C. Из теоремы 4.1 следует, что существует аналитиче ская в C (т. е. целая) функция f, вещественная часть которой совпадает с функцией u. Рассмотрим функцию g ( z ) = e f ( z ). Она является целой функ цией, ограниченной в C. По теореме Лиувилля она равна постоянной.

Предыдущая теорема справедлива и в более общей нижеприведен ной форме:

Теорема 4.3. Если вещественная или мнимая часть целой функции f ограничена сверху или снизу положительной постоянной M 0, то функция f равна постоянной.

Гармоническим аналогом теоремы Гаусса о среднем значении ана литической функции является следующая теорема.

Теорема 4.4. Пусть функция u : D R гармонична в области D, со держащей круг | z z0 | R. Тогда u ( z0 + Re i u ( z0 ) = )d. (4.5) 2 Отсюда непосредственно следует нижеприведенная теорема.

Теорема 4.5. Пусть функция u : D R гармонична в области D и постоянна в окрестности некоторой точки в D. Тогда функция u посто янна в области D.

Пусть A – множество тех точек z0 D, в окрестности которых u (z ) равна постоянной. Множество A открыто и не пусто. Для доказа тельства равенства A = D достаточно установить, что множество B = D \ A является открытым. Тогда автоматически B пусто, поскольку D – огра ниченное связное множество (область).

Предположим противное – B не является открытым. Тогда для лю бой точки z1 B и любого 0 найдется точка z0 из A такая, что z0 U ( z1, ) D. Поскольку A открыто, то можно найти такое достаточ но малое 0, что U ( z0, ) U ( z1, ) A. Построим теперь аналитиче скую функцию f (z ), такую что Re f ( z ) = u ( z ) для всех z U ( z1, ).

Поскольку u (z ) постоянна в окрестности U ( z0, ), то производная f ( z ) = 0 для всех z U ( z0, ). Из теоремы единственности для аналити ческих функций следует, что f ( z ) = 0 для всех z U ( z1, ). Следователь но, u( z ) const для всех z U ( z1, ). Противоречие.

Рассуждая аналогично доказательству принципа максимума для ана литических функций, можно получить следующее утверждение.

Теорема 4.6. (принцип максимума для гармонических функций).

Непостоянная гармоническая функция u : D R не достигает своего максимального и минимального значений в области D.

С л е д с т в и е 4.1. Пусть функция u : D R гармонична в ограни ченной области D, граница которой – замкнутая жорданова кривая = D. Если u непрерывна в замыкании cl D = D и принимает по стоянные значений u ( z ) K на, то u ( z ) K всюду в D.

С л е д с т в и е 4.2. Пусть функции u1, u2 : D R гармоничны в ог раниченной области D, граница которой – замкнутая жорданова кривая = D. Если u1, u2 непрерывны в замыкании cl D = D и u1 ( z ) u2 ( z ) на, то u1 ( z ) u2 ( z ) всюду в D.

Теорема 4.7 (Бореля – Каратеодори). Пусть функция f (z ) аналитич на в круге | z | R. Обозначим M (r ) = max|z|=r | f ( z ) | и A(r ) = max|z|=r Re f ( z ).

Тогда для любого r, 0 r R, R+r 2r M (r ) A( R ) + | f (0) |.

Rr Rr Если f (z ) тождественно равна постоянной, то левая и правая час ти неравенства совпадают. Поэтому достаточно рассмотреть случай не постоянной функции.

Если f (0) = 0, то из принципа максимума для гармонических функ ций вытекает, что A( R ) A(0) = 0. Поскольку для любого z, | z | R, вы полнены неравенства Re {2 A( R ) f ( z )} A( R) 0, | 2 A( R) f ( z ) |2 | f ( z ) |2 + 4 A( R )[ A( R ) Re f ( z )] | f ( z ) |2, то функция f ( z) g ( z) = 2 A( R ) f ( z ) является аналитической в круге | z | R и удовлетворяет в этом круге неравен ству | g ( z ) | 1. Тогда из леммы Шварца следует, что для любого r, 0 r R, max|z|=r | g ( z ) | r / R.

Используя связь между функциями f и g, отсюда получаем 2 A( R ) g ( z ) 2 A( R )r / R 2rA( R) | f ( z ) |= =. (4.6) 1 + g ( z) 1 r / R Rr Откуда следует утверждение теоремы при f (0) = 0.

Если f (0) 0, то доказательство вытекает из неравенства (4.6), при мененного к функции f ( z ) f (0).

Теорема 4.8. Пусть f (z ) – целая функция и Re f ( z ) Mr для всех z, | z |= r r0, и некоторого неотрицательного вещественного. Тогда f (z ) является полиномом степени не выше [ ].

Следующие теоремы представляют собой гармонические аналоги интегральной теоремы Коши.

Лемма 4.1 (интегральная формула Пуассона для аналитических функций). Пусть функция f (z ) аналитична в области, содержащей еди ничный круг | z | 1. Тогда для всех z, | z | 1, справедливо представление 1 | z | 1 d | z |2 f (), f ( z) = 2i ||= или, что эквивалентно, 1 | z | f (ei )d.

f ( z) = i 2 |e z| Из интегральной формулы Коши имеем f ( ) f ( ) 1 2i | 1 z f ( z) = d = d (| z | 1). (4.7) 2 z |= Тогда для z = 0 требуемый результат следует из теоремы о среднем значении аналитической функции. Поэтому можно считать, что z 0. Обо значим z * = 1 / z симметричную относительно единичной окружности точку.

Тогда для любого | z | 1 имеем f ( ) z f ( ) 1 2i | 1 z* 2i | 1 1 z 0= d = d. (4.8) |= |= Вычитая (4.8) из (4.7), получаем 1 z 2i | f ( z) = f ( ) d.

z 1 z |= С учетом того, что | |= 1, получаем первую из доказываемых фор мул. Вторая получается из первой, если положить = ei.

Из этой леммы вытекает следующая теорема.

Теорема 4.9 (интегральная формула Пуассона для аналитиче ских функций). Пусть функция f (z ) аналитична в области, содержащей круг | z a | R. Тогда для всех z, | z a | R, справедливо представление:

R 2 | z a |2 d | z |2 f () a, f ( z) = 2i ||= или, что эквивалентно, R 2 | z a | f (a + Rei )d.

f ( z) = i 2 | Re ( z a ) | Теорема 4.10 (интегральная формула Пуассона для гармониче ских функций). Пусть функция u (z ) гармонична в области, содержащей круг | z | R. Тогда для всех z, | z | R, справедливо представление | |2 | z | 2 || R | z | u( z) = u () d, = или, что эквивалентно, R2 r i u (Rei ) d.

u (re ) = 2 2 R 2rR cos( ) + r Теорема 4.11. Пусть функция f ( z ) = u ( z ) + iv( z ) аналитична в круге | z | 1. Тогда для всех z, | z | 1, справедливо представление +z z u () d + iv(0) ( = ei ).

f ( z) = 2 Теорема 4.12. Пусть функция u (z ) гармонична в открытом единич ном круге | z | 1 и непрерывна в замкнутом круге | z | 1. Тогда для всех z = rei, r 1, справедливо представление 1 r i 1 2r cos( ) + r 2 u (e ) d.

i u (re ) = 2 Теорема 4.13 (теорема Шварца). Пусть функция F – непрерывная функция вещественной переменной, определенная на единичной окружности | |= 1. Тогда вещественнозначная функция u (z ), определенная равенством 1 r i 1 2r cos( ) + r 2 F (e )d, i u (re ) = 2 гармонична в круге | z | 1 и для любого фиксированного t, 0 t 2 :

lim z eit u ( z ) = lim r 1 u (rei ) = F (eit ) (| z | 1).

t (Если дополнительно положить u ( z ) = F ( z ) для | z |= 1, то функция u (z ) является непрерывной в круге | z | 1. ) Теорема 4.14 (неравенство Гарнака). Пусть u (z ) гармонична в кру ге ( z0 ;

R) = {z :| z z0 | r}, причем u ( z ) 0 для всех z ( z0 ;

R). Тогда для любого z в этом круге справедливо неравенство R | z z0 | R + | z z0 | u ( z ) u ( z0 ) u ( z0 ).

R + | z z0 | R | z z0 | Между гармоническими и аналитическими функциями есть еще одна связь. Гармоничность сохраняется при аналитических преобразованиях.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.15. Если функция u (z ) гармонична в области D, а функ ция () аналитична в области G и принимает там значения из D, то композиция u (()) = U () гармонична в G.

Теорема доказывается прямым подсчетом, поскольку U () = u ( z ) ().

4.2. Граничные значения гармонических и аналитических функций.

Преобразование Гильберта В настоящем разделе рассматриваются граничные свойства аналити ческих и гармонических функций в круге на комплексной плоскости.

Формулировка этих свойств является очень важной для характеристики физических полей в композитах в окрестности линий раздела сред или компонентов композитов.

Рассмотрим функцию F ( z ) = U ( z ) + iV ( z ), аналитическую в круге {z C : z R}. Действительная U (z ) и мнимая V (z ) части аналитиче {z C : z R} ской функции – комплексно сопряженные гармонические в функции. Аналитическая в круге функция F (z ) разлагается в степенной an z n, ряд который равномерно сходится на компактных подмножест n = вах круга { z C : z R}. Записав z = rei, имеем:

+ U (rei ) = An r ein, n (4.9) где An = an, n 0;

A0 = Re a0 ;

An = a n, n 0.

Таким образом, любая функция U (z ), гармоническая в круге { z C : z R}, допускает представление в виде ряда (4.9), равномерно сходящегося на компактных подмножествах этого круга.

Если R 1, то при r + U (e ) r e dt.

i n in ( t ) it U (re ) = 2 Суммируя две геометрические прогрессии, получаем + 1 r r n in = при 0 r 1.

e 1 + r 2 2r cos Таким образом, имеет место представление Пуассона: если U (z ) – гармоническая функция в круге { z C : z R}, где R 1, то при 0 r 1 r i U (eit ) U (re ) = dt.

1 + r 2 2r cos( t ) Это представление справедливо также и в тех случаях, когда подын тегральная функция U не обязательно гармонична в окрестности конту ра интегрирования.

Функция 1 r = r ein Pr ( ) = n (4.10) 1 + r 2r cos называется ядром Пуассона для круга { z C : z 1}.

Пусть известно лишь, что функция U (z ) гармонична в круге { z C : z 1}. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.16. Пусть p 1, и пусть U (z ) – гармоническая функция в круге { z C : z 1}. Предположим, что средние () p U rei d равномерно ограничены относительно r 1. Тогда существует такая функ ция F Lp (, ), что 1 r () i = U re F (t )dt 2 1 + r 2 2r cos ( t ) для любых 0 r 1, [, ].

Аналогичный результат справедлив и для случая p =.

Теорема 4.17 (теорема Фату). Если U (z ) – ограниченная гармони ческая функция в круге { z C : z 1}, то существует такая функция F L (, ), что 1 r () i = U re F (t )dt 2 1 + r 2 2r cos ( t ) для любых 0 r 1, [, ].

Для случая p = 1 имеет место следующий результат.

Теорема 4.18. Если U (z ) – гармоническая функция в круге { z C : z 1} и средние U ( re ) d i равномерно ограничены относительно r 1, то существует конечная ве щественная мера на [, ], такая что 1 r () i = d (t ) U re 2 1 + r 2 2r cos ( t ) для любых 0 r 1, [, ].

Следствие 4.3. Пусть U (z ) – функция, гармоническая и неотрица тельная в круге { z C : z 1}. Тогда существует конечная положитель ная мера на [, ], такая что () Pr ( t ) d (t ), 0 r 1.

i = U re Если имеет место одно из представлений 1 r () i = U re F (t )dt, 2 1 + r 2 2r cos ( t ) 1 r () i = d (t ), U re 2 1 + r 2 2r cos ( t ) то возникает задача нахождения связи между U (z ) и функцией F (t ) или мерой.

Ядро Пуассона (4.10) обладает следующими свойствами:

а) Pr ( ) 0, 0 r 1 ;

б) Pr ( + 2 ) = Pr ( ) ;

Pr (t ) dt = 2 для любого 0 r 1.

в) Свойства а) и б) проверяются непосредственно, а свойство в) следует из разложения в ряд функции Pr ( ).

Если F Lp (, ), то удобно считать, что функция F периодически продолжена на все множество R: F ( t + 2 ) = F ( t ).

Справедливы обращения теорем 4.16 – 4.18 о представлениях.

() Pr ( t ) F (t )dt, i p 1, = Теорема 4.19. Если U re где { z C : z 1} F Lp (, ), то U (z ) – гармоническая в круге и ( ) p U rei d const, 0 r 1.

e F (t ) dt = An, n Z. Тогда для 0 r 1 имеем int Пусть ( )=A r i n in U re e.

n Поскольку ряд сходится равномерно во внутренности круга { z C : z 1} (что означает равномерную сходимость на компактных подмножествах), то функция U (z ) гармонична в круге. Если функция F – вещественная, то ряд, очевидно, является вещественной частью ана литической функции, которая легко выписывается.

Для данного r 1 в силу свойства б) и 2 -периодичности функции можно записать () F ( s ) Pr ( s ) ds.

i U re = Рассмотрим теперь G Lq (, ), G = 1, так что (для любого фик q сированного r функция G, конечно, будет зависеть от r ) U ( re ) U ( re ) G()d.

p i i d t = p По теореме Фубини интеграл справа равен F ( s ) Pr ( s ) G()d ds, что по модулю не превосходит Pr ( s ) F ds = F G 2 p q p (в силу выбора G и свойства в)).

Наконец, () p p U rei d F, p что завершает доказательство.

Ядро Пуассона Pr () обладает еще одним свойством:

г) для любого 0 Pr () 0 равномерно для при r 1.

Это непосредственно следует из формулы для Pr ().

Применяя это свойство, можно установить справедливость следую щей теоремы.

Теорема 4.20. Пусть функция F непрерывна на R и 2 -периодич на, т. е. F (t + 2) = F (t ). Пусть () Pr ( t ) F (t ) dt.

i = U re Тогда U ( z ) F (), когда z ei и сходимость равномерна по.

Pr () представ Замечание. Свойства a), б), в), г) показывают, что ляет собой так называемую аппроксимативную единицу. Приведенная выше теорема имеет место не только для ядра Пуассона, но и для других ядер, являющихся аппроксимативными единицами.

() Приведем теоремы о граничном поведении функции U rei при раз личных предположениях относительно функции F.

Теорема 4.21. Пусть F L1 (, ), и пусть функция F (t ) непрерывна () Pr ( t ) F (t )dt стремится к F (0 ) при i в точке 0. Тогда U re = стремлении rei к ei0.

() Теорема 4.22. Пусть F Lp (, ), 1 p, и пусть U rei = U ( re ) F () 1 p Pr ( t ) F (t )dt. Тогда i = d 0 при r 1, т. е.

( ) стремится к F () в L -норме при r 1.

p i U re Теорема 4.23. Пусть F L (, ) и U ( re ) = P ( t ) F (t )dt, i r w* () тогда U rei F () при r 1.

Пусть функция U (z ), гармоническая в круге { z C : z 1}, допуска ет одно из представлений () Pr ( t ) F (t )dt, F L (, ), i p = (4.11) U re () Pr ( t ) d (t ).

i = (4.12) U re Исследуем поточечное поведение функции U (z ) при z, стремя щемся к точке ei на границе единичного круга. Нельзя изучить это поведение только на основе свойств a) – г) аппроксимативной еди ницы, для этого требуется более детальное рассмотрение свойств ядра Pr ().

Представление (4.12) для U (z ) является более общим и содержит представление (4.11), так как если F Lp (, ) и мы возьмем d (t ) = = F ()d, то будет мерой на [, ]. Удобно ввести функцию () ог раниченной вариации на [, ], задаваемую формулой () = d (t ). (4.13) Тогда имеет место следующий результат.

Теорема 4.24 (теорема Фату). Пусть 0, и пусть производ () Pr ( t ) d (t ) i ная (0 ) существует и конечна. Тогда U re = стремится к (0 ) при rei, стремящемся к ei0 внутри любого сектора вида 0 c (1 r ).

Замечание 1. Таким образом, предписывается, чтобы точка z = rei стремилась к ei0, оставаясь внутри сектора раствора меньше 1800 с вер шиной в точке ei0, симметричного относительно радиуса, ведущего из () в ei0. В таком случае говорят, что U rei (0 ) при rei, стремя щемся к ei0 по некасательным направлениям.

Замечание 2. Аналогичный результат имеет место и для 0 = ± при условии, что существует производная (0 ).

Теорема 4.25. Пусть 1 p, и пусть U (z ) – функция, гармониче ская в круге { z C : z 1}, для которой () p U rei d c p при 0 r 1. Тогда почти для всех при z ei по некасательному на () правлению функция U (z ) стремится к конечному пределу U ei, и для 0 r 1 r () () i 1 + r 2 2r cos ( t ) U e dt.

it = U re (4.14) Исследуем далее граничное поточечное поведение функции V (z ), гармонически сопряженной с гармонической в круге { z C : z 1} функцией U (z ). В силу условий Коши – Римана сопряженные функции определены одна через другую с точностью до постоянного слагаемого:

z U U V ( z) = dx + dy + V (0), (4.15) y x где z = x + iy, z 1, интегрирование ведется по любой гладкой кривой, лежащей в единичном круге и соединяющей точки 0 и z.

Для функций в единичном круге обычно полагают V (0) = 0. Такую сопряженную с U (z ) гармоническую функцию будем обозначать далее ~ через U ( z ). Предположим, что ( )=A r i n in U re e. (4.16) n Тогда, интегрируя в (4.15) по отрезку, соединяющему точки 0 и z = rei, получим представление:

( ) = i sgn n A r i n in U re e. (4.17) n { z C : z 1}, Функция (4.17), очевидно, гармоническая в круге ~ U (0) = 0, а функция ( ) + iU ( re ) = A + 2 A r e i i n in U re – 0 n аналитическая функция в круге { z C : z 1}.

() Pr ( t ) d (t ), где – мера на [, ], то коэф i Если U re = фициенты ряда (4.2.8) вычисляются по формуле e d (t ).

int An = Подставляя их в (4.17), получим:

() i sgn n Anr e i n in ( t ) = d (t ).

U re Функция Qr () = i sgn n r ein n называется сопряженным ядром Пуассона. С помощью непосредствен ного суммирования геометрических прогрессий найдем, что 2r sin Qr () =.

1 + r 2 2r cos Таким образом, справедлива следующая теорема.

1 r () i Теорема 4.26. Если U re = d (t ), то гар 2 1 + r 2 2r cos ( t ) ~ монически сопряженная с U функция U задается соотношением 2r sin ( t ) () i = d (t ).

U re (4.18) 2 1 + r 2 2r cos ( t ) Изучим граничное поведение гармонически сопряженной функции вбли зи дуги, на которой исходная функция имеет непрерывную производную.

Пусть имеет место представление (4.11), в котором функция F при надлежит пространству Lp (, ), p 1. Предположим, что F определе на с помощью 2- периодического продолжения на R, запишем:

() 1 1 2r sin s Qr ( t ) F (t )dt = 1 + r 2 2r cos s [ F ( s) F ( + s)] ds.

i = U re 2 Имеем s s 2r sin cos r sin s 2 =.

1 + r 2 2r cos s (1 r ) 2 + 4r sin 2 s F ( s ) F ( + s ) ds, то получим:

Если s 1 F ( s ) F ( + s ) () i U re ds при r 1, s tg причем интеграл правой части сходится абсолютно.

Последнее соотношение имеет место, в частности, если производная F () существует и конечна. Более того, если F () непрерывна для ~, то U ( z ) обладает непрерывным продолжением вплоть до лю бой замкнутой дуги, целиком принадлежащей открытой дуге {e } i ;

единичной окружности, и для таких 1 F ( t ) F ( + t ) () () i i U e = limU re = dt, t r tg где интеграл сходится абсолютно.

F ( t ) F ( + t ) Предел lim dt существует почти всюду, если t + 2tg F L (, ).

0, n m, eine imd = Замечание. Соотношения с учетом абсо 1, n = m, 2 ( )=A r i n in лютной сходимости показывают, что если функция U re e n гармонична в круге z 1, то () d = 2 An r 2 2n U rei для 0 r 1.

Отсюда вытекает следующая лемма.

Лемма 4.2. Если функция U (z ) гармонична в круге { z C : z 1}, то ~ сопряженная гармоническая U ( z ) представляется интегралом 1 r () i = U re F (t )dt 2 1 + r 2 2r cos ( t ) с плотностью F L2 (, ) тогда и только тогда, когда коэффициенты ряда (4.16) удовлетворяют условию An.

Теорема 4.27. Пусть F L2 (, ) – 2 -периодическая функция. То 1 F ( t ) F ( + t ) гда F () = lim dt существует для почти всех, при t + 2tg этом F L2 (, ) и F F и представима интегралом Пуассона с функцией F.

Если () Pr ( t ) F (t ) dt, i = U re то интеграл в представлении сопряженной гармонической функции () Qr ( t ) F (t ) dt i = U re Pr ( t ) F (t ) dt.

совпадает с Отображение, переводящее граничную функцию для заданной гар монической в граничную функцию для сопряженной гармонической, на зывается преобразованием Гильберта. Из теоремы 4.27 следует, что если граничная функция F для гармонической в единичном круге функции удовлетворяет условиям: F – 2 -периодическая, F L2 (, ), то пре образование Гильберта определяется формулой 1 F ( t ) F ( + t ) F () = lim dt. (4.19) t + 2tg Такое представление справедливо и в некоторых других классах функций F. Формулу (4.19) можно записать также исходя лишь из усло вий на заданную гармоническую функцию в единичном круге.

4.3. Конформные отображения Определение 4.3. Функция комплексного переменного f : D C на зывается регулярной в точке z0 D, если она представима в окрестности этой точки сходящимся степенным рядом по степеням ( z z0 ).

Регулярная во всех точках области D функция называется регуляр ной в этой области.

Определение 4.4. Функция f : D C называется локально одноли стной в окрестности U ( z0 ) точки z0, если z1, z2 U ( z0 ), z1 z f ( z1 ) f ( z2 ), и однолистной в области D, если существует f 1, од нозначная на f (D).

Определение 4.5. Отображение f : D G = f ( D) называется кон формным в области D, если:

1) f однолистна в области D;

2) f регулярна в области D за исключением, может быть, одной точки, в которой она имеет полюс первого порядка.

Конформное отображение обладает следующими свойствами:

1. Постоянство растяжений в точке.

2. Сохранение углов ( по величине и направлению).

Ниже приведены теоремы, называющиеся основными принципами теории конформных отображений.

Теорема 4.28 (принцип сохранения области). Пусть функция f регулярна в области D и f ( z ) const. Тогда f (D) является областью.

Теорема 4.29 (принцип соответствия границ). Пусть D и G – об ласти в C, границами которых являются простые замкнутые кусочно гладкие кривые L и. Если функция f конформно отображает D на G, то:

1) f (z ) можно продолжить на замыкание D области D;

2) f отображает L на взаимно однозначно.

Теорема 4.30 (обратный принцип соответствия границ, или критерий однолистности). Пусть функция f регулярна в области D и непрерывна вплоть до границы L = D, где L – простая замкнутая кусочно-гладкая кривая. Пусть f ( D) = G является областью в C, гра ница которой – простая замкнутая кусочно-гладкая кривая. Тогда f однолистна в D тогда и только тогда, когда f взаимно однозначно отображает L на.

Теорема 4.31 (теорема Римана о конформных отображениях).

Пусть D – односвязная область в расширенной комплексной плоскости C, граница которой состоит более чем из одной точки. Тогда:

1) существует функция f, которая конформно отображает область D на единичный круг D = {w :| w | 1} ;

2) эта функция единственна, если выполняются условия f ( z0 ) = w0, arg f ( z0 ) = ;

z0 D, w0 D, R.

Замечание 1. Исключительными для данной теоремы являются сле дующие области D = C, C, C \ {a}.

Замечание 2. В теореме 4.31 и далее в этом разделе речь идет о кон формных отображениях односвязных областей. Конформные отображе ния многосвязных областей обсуждаются в разделе 4.5.

При конформных отображениях сохраняется свойство гармонично сти функций в области. Связь теории гармонических функций с теорией конформных отображений проявляется также в связи соответствующих граничных задач.

Пусть f отображает область D на единичный круг D = {w : w 1}. С помощью конформных отображений можно решить для этой области за дачу Дирихле – отыскание гармонической в области функции по задан ной граничной функции u. Если предположить, что граница области D является простой кусочно-гладкой кривой, то, как известно из теории конформных отображений, функция f продолжается до непрерывного и взаимно однозначного отображения D на D. Поэтому на единичной ок ружности w = 1 мы можем рассмотреть обратную к f функцию f 1 и с ее помощью перенести на эту окружность заданные граничные значе ния: U ( w) = u ( f 1 ( w)). Теперь по этим значениям с помощью интеграла Пуассона можно построить гармоническую в круге w 1 функцию 1 w d, = e i.

U ( w) = U () 2 0 1 ww Остается вернуться к переменной z и воспользоваться сохранением гармоничности при конформных отображениях. Мы получим искомое решение: u ( z ) = U ( f ( z )).

Во многих случаях оказывается полезным обратный ход – построение конформного отображения области D на единичный круг при помощи решения в D задачи Дирихле. Зададим точку z0 D, которую искомое отображение f переводит в центр круга w = 0. В этой точке функция f должна иметь нуль, и притом первого порядка, ибо в окрестности нулей высшего порядка аналитическая функция не взаимно однозначна. По этому в окрестности z0 функция f должна иметь тейлоровское разло жение вида:

f ( z ) = c1 ( z z0 ) + c2 ( z z0 ) 2 +..., f ( z) где c1 = f ( z0 ) 0. Отсюда следует, что функция = c1 + c2 ( z z0 ) +...

z z аналитична в точке z0, а в остальных точках области D она и подавно аналитична. Эта функция нигде в области D не обращается в нуль, по тому что числитель дроби равен нулю лишь в точке z = z0, но f ( z) = c1 0. Но тогда логарифм этой функции аналитичен в D, а lim z z0 z z значит, его действительная часть, т. е. функция f ( z) u ( z ) = ln, z z должна быть гармонической в D.

Если f отображает D на единичный круг, то f (z ) должен равнять ся 1 на границе D. Следовательно, граничные значения гармонической функции u (z ) равны u ( ) = ln, D (и не зависят от конформ z ного отображения f ). Эти значения определяются лишь геометрической формой границы области и выбранной точкой z0.

Чтобы найти искомое конформное отображение нужно, следователь но, выполнить такие операции:

1) по известным граничным значениям u ( ) построить гармониче скую в D функцию u (z ) (задача Дирихле);

2) найти функцию v(z ), гармонически сопряженную с u (z ) (интег рирование). Тем самым определена аналитическая в области D функция f ( z) g ( z ) = u ( z ) + iv( z ) = ln, z z с помощью которой искомое отображение находится по формуле f ( z ) = ( z z0 ) e g ( z ).

Из конструкции видно, что функция f аналитична в D и что на границе D ее модуль равен 1. Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает D на единичный круг. Это можно сделать непосредственной проверкой.

4.4. Граничное поведение конформных отображений Определение 4.6. Жордановой кривой называется непрерывный вза имно однозначный образ в C единичной окружности. Непрерывная вза имно однозначная функция, отображающая окружность { z C : z = 1} на жорданову кривую, называется параметризацией кривой.

Определение 4.7. Жордановой дугой называется непрерывный взаим но однозначный образ в C интервала или отрезка вещественной прямой.

Заметим, что жорданова кривая может быть очень сложным объек том. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.32 (теорема Жордана). Пусть – жорданова кривая. То гда C \ состоит из двух связных компонент D и, одна из которых, на пример, содержит все z с достаточно большим модулем. Если точка, то любая ее окрестность содержит как точки из D, так и точки из.

В этом случае называют внешностью кривой, а D – внутрен ностью кривой и обозначают соответственно = ext и D = int.

Можно доказать, что имеет место следующее свойство: если – жорданова кривая, а D – ее внутренность, то D односвязна.

Пусть – жорданова кривая, а D = int – ее внутренность. Теорема Римана гарантирует, что существует конформное отображение еди ничного круга { z C : z 1} на область D, так как область D односвязна.

Имеют место следующие важные результаты.

Теорема 4.33 (теорема Каратеодори). Конформное отображение единичного круга { z C : z 1} на внутренность D жордановой кривой обладает непрерывным взаимно однозначным продолжением вплоть до { z C : z = 1}. Это продолжение отображает { z C : z = 1} на.

Для того чтобы сформулировать следующий результат, введем сле дующее определение: будем называть некоторую дугу кривой дугой Ля пунова, если она спрямляема, имеет в каждой точке касательную, причем угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox как функция длины дуги удовлетворяет условию Гельдера, т. е. существуют постоянные C 0 и 0 1, такие что ( s2 ) ( s1 ) C | s2 s1 |, s1, s2.

Теорема 4.34 (теорема Келлога – Варшавского). Пусть функция w = f (z ) реализует конформное отображение области D на область D*, при этом некоторая граничная дуга Ляпунова D переходит в гра ничную дугу Ляпунова * D*. Тогда функция f (z ) имеет на произ водную, которая не обращается в 0 и удовлетворяет условию Гельдера.

Теорема 4.35 (теорема Линделёфа). Пусть D – односвязная об ласть, ограниченная простой жордановой кривой. Примем, не ограни чивая общности, что 0. Пусть функция f (z ) конформно отображает { z C : z 1} на D. Функция f (z ) допускает непрерывное взаимно од { z C : z = 1}, отображающее эту ок нозначное продолжение вплоть до ружность на, которое индуцирует параметризацию кривой.

Если Г имеет в точке 0 = f (1) касательную, то arg f ( z ) arg(1 z ) const при z 1, z 1.

Это означает, что конформные образы секторов единичного круга с вершинами в 1 асимптотически являются такими же, как секторы в об ласти D того же раствора с вершинами в нуле.

В доказательстве теоремы Линделёфа используется следующее свой ство функции f (z ), которое может быть установлено независимо от тео ремы Линделёфа с помощью теоремы 4.32 (Жордана): для конформного отображения f единичного круга на область D, ограниченную жорда новой кривой, выполнено неравенство arg f ( z ) const при {z 1}.

() Доказательство теоремы Линделёфа. Поскольку функция f ei () непрерывна и f ei 1 при ei 1 ( – простая жорданова кривая), то функция arg f ( e ) (определенная как i lim arg f ( z ) ) является непрерыв z ei ной для всех точек ei, кроме точки 1. По свойству, приведенному выше, эта функция ограничена.

Поскольку имеет касательную в точке 1, то arg f (ei ) стремится к определенному пределу при +0 и стремится к + (2k + 1) при 0. Из соображений ориентации следует, что k = 0. Функция () arg f ei arg(1 ei ) непрерывна в 0, где она равна. Поскольку функция arg f (z ) arg(1 z ) гармонична и ограничена в { z C : z 1}, то из теоремы 4.25 следует, что ( ) dt f eit 1 r () arg i i arg(1 re ) = arg f re 2 1 + r 2 2r cos ( t ) 1 eit для z 1.

Из непрерывности (см. теорему 4.20) следует:

arg f ( z ) arg(1 z ) при z 1.

Теорема Линделёфа имеет важные приложения к исследованию гра ничного поведения функций, аналитических в областях, ограниченных простыми жордановыми спрямляемыми кривыми. Спрямляемая жордано ва кривая имеет касательную почти в каждой своей точке. Следовательно, почти во все граничные точки области (т. е. области, ограниченной про стой жордановой спрямляемой кривой) переносится с помощью конформ ного отображения из единичного круга понятие углового предельного зна чения. Такое конформное отображение переводит всякий лежащий в еди ничном круге сектор раствора, меньшего 1800, с вершиной в прообразе граничной точки в подмножество области, являющейся асимптотическим сектором того же раствора с вершиной в точке на границе.

В частности, этот факт позволяет распространить многие результаты о граничном поведении функций, аналитических в единичном круге { z C : z 1}, на функции, ограниченные спрямляемой жордановой кривой.

Рассмотрим область D, ограниченную спрямляемой жордановой кривой. Пусть f – конформное отображение единичного круга D = { z C : z 1} на область D.

Имеет место следующая теорема Теорема 4.36. Производная конформного отображения f : D D при надлежит классу Харди H 1, т. е.

1 f ( z ) H = H ( D ) : sup (rei ) d.

0 r 1 Из нее следуют два важных утверждения – теоремы 4.37 и 4.38.

Теорема 4.37 (теорема Ф. и М. Риссов). Если J – дуга единичной окружности и = f (J ), то f (ei ) d.

длина = J Теорема 4.38 (теорема Харди). Степенной ряд функции f (z ), реа лизующей конформное отображение D на D абсолютно сходится в зам кнутом круге { z C : z 1}.

4.5. Конформные отображения многосвязных областей В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемые области не содержат изолированных граничных точек. Если функция w = f (z ) кон формно отображает область D на область G и точка z0 – изолированная граничная точка области D, тогда можно доказать, что точка z0 должна быть устранимой особой точкой или полюсом первого порядка функции f (z ). Более того, если через D* обозначить область, полученную при соединением к области D всех ее изолированных граничных точек, то функция w = f (z ) будет однолистной в D*.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.39. Пусть область D – N - связная область плоскости z и функция w = f (z ) является однолистной мероморфной функцией в D, которая отображает D в область G плоскости w. Тогда G также являет ся N -связной областью.

Сформулированная теорема показывает, что N - связная область при конформном отображении должна сохранять порядок связности. Но если две многосвязные области имеют один и тот же порядок связности, озна чает ли это, что между ними можно построить конформное отображение?

В общем случае это неверно. В дальнейшем ограничимся рассмотрением двусвязных областей. Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.40. Любую двусвязную область можно конформно ото бразить на концентрическое кольцо.

Рассмотрим вопрос о существовании конформного отображения ме жду произвольными двусвязными областями. С учетом теоремы 4. достаточно рассмотреть возможность конформного отображения одного концентрического кольца на другое.

Теорема 4.41. Аналитическая однолистная функция, отображающая кольцо r1 z r2 на кольцо 1 w 2, существует тогда и только то гда, когда выполняется условие r2 =. (4.20) r1 Не ограничивая общности, можно считать, что 0 r1 r2, 0 1 2. В противном случае, как установлено в начале раздела, можно свести задачу к задаче существования конформного отображения между двумя односвязными областями присоединением изолированной граничной точки области к самой области.

Достаточность очевидна, так как если условие (4.20) выполняется, то функция r w = f ( z ) = 1 z или w = f ( z ) = 1 r1 z конформно отображает кольцо r1 z r2 на кольцо 1 w 2.

Необходимость. С помощью принципа симметрии можно продол жить аналитически функцию w = f (z ) в области r12 r2 z r1 и r2 z, r2 r которые симметричны кольцу r1 z r2 относительно окружностей z = r1 и z = r2 соответственно. Следовательно, w = f (z ) отображает r1 z r кольцо биективно и взаимно непрерывно на кольцо 1 w 2, и отображает окружности z = r1 и z = r2 на окружности w = 1 и w = 2 соответственно или на окружности w = 2 и w = 1 со ответственно. Полученная в результате такого аналитического продол жения функция 1 r, 1 z r1, ( ) r f r1 / z F ( z ) = f ( z ), r1 z r2, 2 2, r z r ( ) f r2 / z r r12 r2 z однолистна и аналитична внутри кольца и отображает его r2 r w 2. Аналогично строится функция F (z ) во втором на кольцо 2 случае.

Далее применим принцип симметрии для аналитического продолже ния w = f (z ) на кольцо:

4 r r r1 1 z r2 2, r2 r продолженная функция будет конформно отображать это кольцо на 4 1 1 w 2 2.

2 В результате получим, что построенная с помощью симметрий фун кция конформно отображает область 0 z на область 0 w.

При этом в первом случае имеем:

lim F ( z ) = 0, lim F ( z ) =, (4.21) z 0 z а во втором:

lim F ( z ) =, lim F ( z ) = 0. (4.22) z 0 z Таким образом, функция w = F (z ) конформно отображает расши ренную комплексную плоскость на себя, и поэтому функция F (z ) явля ется дробно-линейной. С учетом формул (4.21) и (4.22) получим:

a F ( z ) = az или F ( z ) =, z где a – некоторое комплексное число. В частности, f ( z ) = az или a f ( z ) = при r1 z r2. Очевидно, что (4.20) выполняется в обоих слу z чаях.

Рассмотрим конформные отображения многосвязной области на кру говые области. Круговой областью называется область, граница которой состоит из объединения окружностей. Приведем теоремы о существова нии и единственности однолистной функции, которая конформно ото бражает многосвязную область на круговую.

Лемма 4.3. Предположим, что D – N - связная круговая область, по лученная удалением N 1 круга из единичного круга {z :| z | 1}, причем z = 0 D, и G – N - связная круговая область, полученная удалением N 1 круга из единичного круга {w :| w | 1}, причем w = 0 G. Если w = f (z ) конформно отображает область D на область G и удовлетво ряет одному из следующих условий:

1) f (0) = 0, f (1) = 1 ;

2) f (a j ) = a j, где a j ( j = 1, 2, 3) – различные точки окружности z = 1, то w = f ( z ) = z.

{ } ( j = 1,..., N ) – граничные окружности об Пусть j z z j = j = {z :| z |= 1}, L { w w = } ( j = 1,..., N ) – граничные ласти D, где 1 j j j окружности области G, где L1 = {w :| w |= 1}. Не ограничивая общности, бу дем считать, что w = f (z ) отображает j на L j ( j = 1,..., N ). Обозначим че рез 2 кратчайшее расстояние между j и z = 0, тогда понятно, что 0.

Во-первых, продолжим по симметрии f (z ) на внешность области D, получим:

f ( z ), z D, j + wj, z Dj, F ( z) = 2 f j + z j wj z z j 1 j z z j j, j = 2,..., N.

D1 :1 z где и Dj : Функция 1 j + N w = F (z ) – однолистная аналитическая в области D D j. Обозначим j = N w = w( z ) = F ( z ) z, z D D j, и предположим, что w(z ) не равна j = тождественно нулю. Поскольку нули аналитической функции являются изолированными, то можно найти положительное число, 0, та кое что w(z ) не имеет нулей в следующих областях:

D1 :1 z, D1 :1 z 1, j Dj : z zj j, 2 + j D j : j z z j j + ( j = 2,..., N ).

Обозначим w j = z j, j = j ( j = 1,..., m), w j = z j, j j ( j = m + 1,..., l ), w j z j ( j = l + 1,..., N ) и определим 1 z : z =, 1 { z : z = 1 }, j j z : z z j =, j + { } j z : z z j = j + ( j = 1, …, m).

m m m N Пусть D = D D j, D = D D j, где = j j явля j =1 j =1 j =1 j = m+ ется границей D. Используя N D и N 1 для обозначения нулей функции w(z ) в области D и на единичной окружности 1 соответственно, по принципу аргумента для аналитических функций получим:

arg w( z ) 2( N D + N 1 ).

Отметим, что w( z ) = F ( z ) z = 1 w() 1 1 =, =, z =, f (1 z ) 1 z f () z = 2 2 2 w() j j j =.

f ( 2 ( z z ) + z ) z ( f () z j ) ( z j ) ( j ( z z j ) + z j ) z j j j j j ( j = 1,..., m ) получим:

j Тогда для = / (z z j ) + z j, z z j = j j + arg w( z ) = arg f () + arg arg w() = 4 arg w(), 1 1 1 j arg w( z ) = arg f () z j + arg( z j ) arg w() = j j j = 4 arg w(), j = 2,..., m, j j arg w( z ) = j arg( f ( z ) z j ( z z j )) = z zj = j arg f ( z ) z j j arg 1 = 2, j = m + 1,..., l.

f (z) z j Изобразим окружности j и L j, l + 1 j N, на одной комплексной плоскости. Можно доказать, что j arg w( z ) 0, l + 1 j N. (4.23) Если j и L j не пересекаются и не касаются друг друга (если каса ются внешним образом, то f ( z ) z в точке касания), тогда по крайней мере одно из приведенных ниже неравенств выполняется на j (за ис ключением, быть может, z j или w j ):

1. f ( z ) z j z z j, 2. f ( z ) w j z w j.

В первом случае имеем:

( ) j arg w( z ) = j arg f ( z ) z j ( z z j ) = z zj = j arg f ( z ) z j + j arg 1 0.

f (z) z j Аналогично для второго случая. Предположим сначала, что j и L j касаются внешним образом в точке A, в которой f ( z ) = z (рис. 4.1.). Ес ли z начинает движение от точки A по окружности j в положительном направлении, то вектор f ( z ) z переходит из положения AB1 в положе ние AB2. Это показывает, что j arg [ f ( z ) z ] = 0.

Предположим, что j и L j пересекаются в двух точках A1 и A2, в которых f ( z ) = z (рис. 4.2). Обозначим через * часть круговой дуги, которая обходится вдоль j в положительном направлении от точки A к точке A2. Пусть ** = j *. Для z * f (z ) лежит во внешности j f ( z ) w j z w j. Для z ** f (z ) лежит во внутренности j и и f ( z ) w j z w j. Поэтому z wj j arg f ( z ) z j = * arg f ( z ) w j + * arg 1 + f ( z) wj z wj + ** arg f ( z ) w j + ** arg 1 2 + + = 0, f ( z) wj ( ) ( ) где ** arg z w j = ** arg f ( z ) w j. Остальные случаи могут быть проанализированы аналогично.

Объединяя все полученные выше соотношения, имеем:

1 arg w( z ) = 2 ( 2 l ) N D + N 1 arg w( z ) + 2 N + arg w( z ) 2 N D 2 N D + N 1 2. (4.24) j j =l + Однако, по условию данной леммы w(0) = f (0) 0 = 0, w(1) = = f (1) 1 = 0, следовательно, N D 1, N 1 1, что противоречит (4.24). Бо лее того, из второго условия леммы w(a j ) = f (a j ) a j = 0, j = 1, 2, 3, сле довательно, N 1 3, что снова противоречит (4.24). Эти противоречия доказывают, что w( z ) 0, т. е. f ( z ) z, z D.

Что и требовалось доказать.

Из леммы 4.3 вытекает следующая теорема.

Теорема 4.42. Пусть D – N - связная область комплексной плоско сти z, содержащей бесконечно удаленную точку. Тогда существует не более одной однолистной мероморфной функции w = f (z ) в D, которая конформно отображает D на круговую область G плоскости w, причем w() = и в окрестности точки z = имеет место разложение a w = f ( z) = z + +.... (4.25) z Для доказательства теоремы существования конформного отобра жения многосвязной области на круговую используется метод связ ности.

Теорема 4.43. Пусть D – N - связная область комплексной плоско сти z, содержащей бесконечно удаленную точку. Тогда существует од нолистная мероморфная функция w = f (z ) в D, удовлетворяющая сле дующим условиям:

1) w = f (z ) конформно отображает D на N - связную круговую об ласть плоскости ;

2) w = f (z ) отображает z = в =, и в окрестности бесконечно удаленной точки имеет место разложение a w = f ( z ) = z + 1 +.... (4.26) z 4.6. Группы Шоттки Конечное или бесконечное множество преобразований называют группой относительно групповой операции, именуемой произведением, если:

а) вместе с каждым преобразованием множеству принадлежит и об ратное преобразование;

б) произведение любых двух преобразований, принадлежащих мно жеству, есть преобразование, принадлежащее множеству.

Под такое определение подходят множества различных типов преоб разований. В случае множества дробно-линейных преобразований груп повой операцией является композиция преобразований.

Из пункта б) определения следует, что преобразование, равносиль ное совокупности последовательно выполненных преобразований, при надлежащих множеству, также принадлежит этому множеству. В частности, любая положительная или отрицательная целая степень принадлежащего группе преобразования T также принадлежит группе. Преобразование TT 1 (=id) также принадлежит группе. Значит, каждая группа содержит тождественное преобразование.

Например, множество всех дробно-линейных преобразований, ос тавляющих неизменной некоторую фигуру плоскости z, есть группа.

В частности, множество всех дробно-линейных преобразований, остав ляющих неподвижной фиксированную точку, есть группа. Множество вращений относительно начала координат, порожденное преобразова 2 i 4 i 2( m1) i ниями z = m z, e m z,..., e m z, e z, также образует группу.

Определение 4.8. Пусть Q1, Q2,..., QN и Q1, Q2,..., Q'N – два се ' ' мейства окружностей. Пусть окружности каждого семейства расположе ны вне друг друга (т. е. окружности каждого из семейств не налегают друг на друга). Пусть Tj – дробно-линейное преобразование относитель но z или z, которое отображает Q j на Q'j и внутренность каждой окруж ности Q j на внешность окружности Q'j. Такое преобразование порожда ет группу j. Композиция этих групп j, j = 1, 2,..., N, называется группой Шоттки, порожденной преобразованиями Tj, j = 1, 2,..., N.

Группы Шоттки в общем случае имеют достаточно сложную структу ру. Поэтому нет возможности доказать в общем виде свойства таких групп.

Рассмотрим специальный случай группы Шоттки, когда порождаю щее ее преобразование – это преобразование симметрии относительно { } окружностей Q j ( Q j = Q'j ). Пусть Q j = Q j (a j, r j ) = z C : z a j = r j, j = 1, 2,..., N – семейство окружностей на комплексной плоскости. Рас смотрим отображения ( )( * * * j ) := z( j, (4.27) z( j..., j1 ) m, jm 1,..., m 1, jm ) r j * где z( j ) = + a j – преобразование симметрии относительно окруж z aj * ности Q j. Таким образом, z( j, j,..., j ) – композиция последовательно m m 1 выполненных преобразований симметрии относительно окружностей Q j1,..., Q jm1, Q jm. В наборе индексов jm, jm1,..., j1 два рядом стоящих индекса не являются равными. Число m называют уровнем отображе * ния z( j, j,..., j ). Если m – четное, то отображения представляют собой m m преобразования Мебиуса. Если m – нечетное, то отображения представ ляют собой преобразования Мебиуса относительно z. Эти отображения можно записать в виде k ( z ) = ( k z + k ) ( k z + k ), если m – четное, ( ) ( k z + k ), если m – нечетное, k ( z ) = k z + k где k k k k = 1.

* * * Таким образом, 0 ( z ) = z, 1 ( z ) = z(1), 2 ( z ) = z(2), …, m ( z ) = z( m ), * m+ k ( z ) = z( k +1,1), k 1, ….

Функции k порождают группу Шоттки. Обозначим через G подгруппу группы, содержащую отображения k четного порядка, а через F – семейство, содержащее отображения k нечетного порядка.


Отметим некоторые свойства симметрий.

z + 1. Любое дробно-линейное преобразование w = комплексной z + плоскости C эквивалентно четному числу преобразований симметрии относительно некоторой окружности.

2. Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости C (от личное от тождественного) имеет не более двух неподвижных точек. Та ким образом, этим свойством обладают элементы подгруппы G.

z + 3. Любое преобразование w = может быть представлено z + в форме w 1 z =K w 2 z или w 1 = K ( z 1 ), где 1, 2 – неподвижные точки отображения, а коэффициент K – комплексное число, удовлетворяющее соотношению K+ = +.

K 4. Если K = Aei, ( A 0, [0,2) ), то говорят, что преобразование w :

1) гиперболического типа, если K = A ;

2) эллиптического типа, если K = ei ;

3) локсодромического типа, если K = Aei, 0.

z + 5. Пусть преобразование w = имеет две неподвижные точки z + 1, 2 и представимо в форме w 1 z =K.

w 2 z Тогда m -я итерация этого преобразования, т. е. преобразование w( m ) = w w... w, m раз имеет те же неподвижные точки, что и w, и представима в виде w 1 z = Km.

w 2 z Следует заметить, что такое свойство выполняется только для пре образований симметрии четного порядка. Для преобразований симмет рии нечетного порядка ситуация более сложная.

6. Множеством неподвижных точек преобразования нечетного по z + рядка w = может являться либо вся комплексная плоскость C, z + либо окружность, либо две точки, либо одна точка, либо пустое мно жество.

Литература 1. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. 3-е изд. М., 1977.

2. Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. 2-е изд. М., 1966.

3. Гюнтер, Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам ма тематической физики / Н. М. Гюнтер. М., 1953.

4. Итоги науки и техники : Современные проблемы математики. Новейшие дос тижения / редкол. : Р. В. Гамкрелидзе (гл. ред.) [и др.]. М., 1975. Т. 7 : Метод инте гралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной / Б. В. Хведелидзе.

5. Келдыш, М. В. Конформные отображения многосвязных областей на канони ческие области / М. В. Келдыш // Успехи матем. наук. 1939.

6. Коппенфельс, В. Практика конформных отображений / В. Коппенфельс, Ф. Шталь ман. М., 1963.

7. Михлин, С. Г. Интегральные уравнения и их приложения в задачах механики, математической физики и техники / С. Г. Михлин. 2-е изд. М. ;

Л., 1949.

8. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхе лишвили. 3-е изд. М., 1968.

9. Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. М., 1982.

10. Симоненко, И. Б. Краевая задача Римана с измеримым коэффициентом / И. Б. Симоненко // Доклады АН СССР. 1960. Т. 135, № 3.

11. Gaier, D. Konstructive Methoden der Konformen Abbildung / D. Gaier. Berlin, 1964.

12. Mityushev, V. V. Constructive Methods for Linear and Nonlinear Boundary Value Problems for Analytic Functions : Theory and applications / V. V. Mityushev, S. V. Ro gosin. Boca Raton-London, 1999.

13. Wen, G. C. Conformal mapping and boundary Value Problems / G. C. Wen. Rhode Island, Providence, 1992.

Глава КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 5.1. Функциональные пространства Для построения классических решений краевых задач, возникающих при исследовании композиционных материалов, необходимо предписы вать определенную гладкость граничным значениям этих решений. Обыч но это делается с использованием некоторых классических определений функциональных пространств. Приведем ряд основных определений про странств гладких и кусочно-гладких функций, определенных на связных подмножествах X R M ( M = 1, 2,3) (в частности, на каждой связной ком поненте границы области ).

Семейство функций С ( X ) = { f : X C(R);

f непрерывна на X } формирует пространство непрерывных функций. Если X – либо замкну тая поверхность, либо замкнутая кривая, то C ( X ) является банаховым пространством с нормой, определяемой формулой = sup x X | f ( x) |.

f C Пространство непрерывных по Гельдеру функций H ( X ) вводится для любого фиксированного 0 1 с помощью следующего условия:

H ( X ) = { f C ( X ) : C 0, | f ( x1 ) f ( x2 ) | C | x1 x2 |, x1, x2 X } (здесь | x1 x2 | означает евклидово расстояние между точками множест ва X в R M ). Эти пространства носят название пространств Гельдера (кроме указанного выше, встречаются также следующие обозначения для таких пространств: Lip ( X ), C 0, ( X ). Они являются линейными подпро странствами пространства C ( X ). Опять же, если X – связное замкнутое множество (в частности, замкнутая поверхность, замкнутая кривая), то H ( X ) является банаховым пространством с нормой, определяемой формулой f ( x1 ) f ( x2 ) =f + sup x1, x2X =: f + h( f ;

).

f C C x1 x В случае, когда множество X не является замкнутым множеством (на пример, X – область, кривая, кусочно-гладкая поверхность, кусочно-гладкая кривая), то удобно использовать понятие весовых пространств Гельдера H ( X ;

) = { f : f 0, f ( x) = f 0 ( x)( x), f 0 H ( X )} n для некоторой заданной весовой функции (например, ( x) = | x xl |l, l = где l R + ).

Для того чтобы ввести пространства дифференцируемых функций в R M, удобно воспользоваться понятием мультииндекса. Пусть f x = ( x1, x2, x3 ) X R 3, f : X C(R). Обозначим j f := производ xj ную функции f по переменной x j. Вектор k = (k1, k2, k3 ) Z3 называет + ся мультииндексом, а k = k1 + k2 + k3 – его длиной. k -я (частная) произ водная функции f определяется равенством |k| f k, 0 f = f.

f= k k k x1 x2 x 1 Тогда пространство C m ( X ;

R) (C m ( X ;

C)), m N, – это пространство всех функций f : X R (соответственно f : X C ), таких что все ча стные производные k f, 0 | k | m, непрерывны на множестве X. Заме тим, что если множество X или его часть представляет собой гладкую поверхность или гладкую кривую, то соответствующие производные бе рутся в касательном направлении к поверхности или кривой.

Семейство пространств Шаудера определяется, например в случае пространств вещественнозначных функций, следующим образом (для любых m N, 0 1 ):

C m, ( X ;

R) = { f C m ( X ;

R) : C 0, | k, f (x1 ) k f (x 2 ) | C | x1 x 2 |, x1, x 2 X, | k |= m}.

Аналогично определяются пространства Шаудера комплексно-знач ных функций C m, ( X ;

C), m N, 0 1. Если X – либо замкнутая по верхность, либо замкнутая кривая, то C m, ( X ;

R) (C m, ( X ;

C)) является банаховым пространством с нормой, определяемой формулой m h ( k f ;

).

k f = C+ f m, |k|=0 |k|= m Наконец, семейство бесконечно дифференцируемых функций C ( X ) определяется следующим образом:

C ( X ) = { f C ( X ) : k Z3, x X, k f (x)}.

+ Следует отметить, что пространство R 2 изометрично C. Поэтому все приведенные выше производные могут вычисляться относительно комплексной переменной z = x + iy. Однако полученные при этом опре деления будут сильнее определений, содержащих производные относи тельно двух вещественных переменных x, y. Функция f ( z ) = u ( z ) + iv( z ) = = u ( x, y ) + iv( x, y ) C -дифференцируема (т. е. дифференцируема относи тельно переменной z ) в некоторой области на комплексной плоскости тогда и только тогда, когда функция f R -дифференцируема (т. е. диф ференцируема относительно двух вещественных переменных x, y ) и в этой области выполнены условия Коши – Римана f u v u v = 0.

=, = или x y y x z Пусть – простая замкнутая кривая на комплексной плоскости C, а X = int – конечная часть плоскости, ограниченная. Множество всех непрерывных функций из C (), допускающих аналитическое продолже ние в область X = int, будем обозначать C A () (или C A ( X ) ). Это про странство является банаховым с нормой, совпадающей с супремум нормой на cl X. Аналогичное определение может быть дано для про странств функций из C m, (;

C), допускающих аналитическое продолже ние в область X = int. Такие пространства обозначаются C A, () (или m C A, ( X ) ). Наконец, аналогичным образом вводятся пространства C A () m (или C A ( X ) ).

Пусть X R M – открытое связное множество. Символом L p ( X ), 1 p, обозначается множество всех измеримых (в смысле Лебега) функций f : X R(C), удовлетворяющих условию | f ( x) | p dx +. (5.1) X Две функции, удовлетворяющие подобному условию, называются эквивалентными, если интеграл вида (5.1) от их разности равен нулю (или, что то же самое, мера множества точек из X, на котором эти функ ции не совпадают, равна нулю). Множество классов эквивалентности функций из L p ( X ) образуют пространство Лебега L p ( X ), 1 p, ко торое является банаховым с нормой 1/ p || f || p = | f (x) | p dx.

X Символом L ( X ) обозначается множество всех измеримых (в смыс ле Лебега) функций f : X R(C), ограниченных в существенном, т. е.

таких, для которых конечен существенный супремум esssup xX | f (x) | +. (5.2) Последнее условие означает, что существует множество E X, mes E = 0, такое что sup x X \ E | f (x) | +.

Две измеримые функции из L ( X ) называются эквивалентными, ес ли существенный супремум модуля их разности равен нулю. Классы эк вивалентности функций из L ( X ) образуют пространство Лебега L ( X ), которое является банаховым с нормой ||f || = esssup xX | f (x) |.

Во многих задачах математической физики недостаточно рассматри вать только классические решения соответствующих дифференциальных уравнений, т. е. решения, принадлежащие одному из пространств диф ференцируемых функций. Среди наиболее удобных обобщений введен ных выше пространств следует выделить так называемые пространства Соболева. Основная идея, ведущая к построению этих пространств, свя зана с использованием понятия слабой производной.


Говорят, что множество X X R M является собственным под множеством множества X, если замыкание X есть подмножество X, т. е. cl X X. Этот факт обозначается символом X X. Пространст во L p,loc ( X ), 1 p, – это пространство (классов эквивалентности) из меримых по Лебегу функций f : X R(C), таких что | f ( x) | p dx + (соответственно esssup xX | f (x) | + ) X для любого ограниченного измеримого множества X X. Обозначим также символом C0 ( X ) класс всех бесконечно дифференцируемых фун кций f : X R(C), имеющих компактный носитель в X, т. е. для кото рых существует замкнутое ограниченное множество X X, такое что f (x) = 0, x X \ cl X.

Пусть k N3 – мультииндекс, f, g L1,loc ( X ), и для любой функции C0 ( X ) выполняется соотношение f ( x ) (x)dx = (1)|k| g (x)(x)dx.

k X X Тогда функция g называется слабой частной производной функции f порядка k. Слабая частная производная обозначается тем же симво лом, что и обычная (сильная) производная g = k f.

Пространство Соболева W s, p ( X ), 1 p +, s Z +, состоит из всех (классов эквивалентности) функций f L p,loc ( X ), для которых сущест вуют слабые производные k f любого порядка k, | k | s, такие что k f L p ( X ), k, | k | s. Пространство W s, p ( X ) является банаховым, если ввести норму по формуле || k f || p.

|| f ||s, p, X = |k| s При p = 2 пространство W s,2 ( X ) имеет специальное обозначение H s ( X ). Пространство H s ( X ) является гильбертовым со скалярным произведением, определенным соотношением k f (x)k g (x)dx.

k f, k g = = f,g s, X |k| s |k| sX L2 ( X ) Множество C0 (R M ) является всюду плотным подмножеством мно жества H 1 (R M ). Если X R M, то замыкание в H 1 ( X ) множества C0 ( X ) по норме пространства H 1 ( X ) обозначается H 0 ( X ).

Множество всех линейных непрерывных функционалов на H 0 ( X ) относительно скалярного произведения в H 0 ( X ) f (x) g (x) dx + |k| k f ( x ) k g ( x ) dx = f,g 1, X X X обозначается H 1 ( X ).

Пусть Q – это параллелепипед в R M, M = 2, 3. Тогда пространства m, m, C A,per (Q ) = C A,per (clQ), C A,per (Q) = C A,per (clQ), Wperp (clQ), H per (clQ) – s, s это подпространства C A, (clQ), C A (clQ), W s, p (clQ), H s (clQ) соответ m свенно, содержащие такие функции, которые допускают периодическое продолжение с Q на все пространство R M.

5.2. Простейшие краевые задачи и их решение Краевая задача Римана для аналитических функций. Предполо жим, что D + – ограниченная (N + 1) -связная область на плоскости z, и граница этой области состоит из N + 1 простой гладкой замкнутой кри вой: L = L0 L1 … LN, где контур L0 содержит внутри себя все ос тальные L1, …, LN. Пусть L0 – граница области D0, а L j – граница облас ти D j, j 1, N, и D = (C \ cl D0 ) D1 … DN. Ориентация на контуре L выбрана так, что область D + остается слева при обходе контура. Для определенности 0 D +.

Краевой задачей Римана называется задача нахождения кусочноана литической функции F (z ) в D + и D, непрерывной вплоть до границы L и удовлетворяющей следующему условию:

F + (t ) = G (t ) F (t ) + g (t ), t L, (5.3) где G (t ) и g (t ) – заданные комплекснозначные функции на L, G (t ) 0, и G, g H ( L), 0 1. В частности, если g (t ) = 0, то (5.3) принимает вид F + (t ) = G (t ) F (t ), t L, (5.4) и называется однородной краевой задачей Римана.

Рассмотрим частный случай задачи Римана – задачу о скачке, т. е.

когда в краевом условии (5.3) G (t ) 1 :

F + (t ) F (t ) = g (t ), t L.

1 g () Функция F ( z ) = d дает единственное решение задачи о 2i L z скачке в классе функций, исчезающих на бесконечности, т. е. F () = 0.

Разрешимость задач (5.3) и (5.4) определяется так называемым ин дексом задачи. Индексом функции G (t ) по ориентированной кривой L называется разделенное на 2 приращение ее аргумента при обходе кри вой L в соответствии с выбранной ориентацией: = [arg G (t )]L. Ин дексом краевой задачи Римана называется индекс ее коэффициента.

Канонической функцией X (z ) будем называть функцию, удовлетво ряющую краевому условию (5.4), кусочно-аналитическую и имеющую нулевой порядок всюду в плоскости, за исключением бесконечно уда ленной точки, где ее порядок равен индексу задачи.

Теорема 5.1. Для однородной краевой задачи Римана (5.4) справед ливы следующие утверждения о ее разрешимости:

1. При 0 общее решение задачи (5.4), ограниченное на бесконеч ности, имеет вид:

( z) = X ( z)P ( z), (5.5) где P – многочлен степени не выше с комплексными коэффициента ми, а каноническая функция X (z ) определяется равенством (в котором z j D j – некоторые фиксированные точки, а j = [arg G (t )]L j ):

e ( z ) ( z z1 ) 1 …( z z N ) N, z D +, X ( z) = z e ( z ), z D.

2. При 0 единственным решением задачи (5.4), ограниченным на бесконечности, является нулевое решение.

Теорема 5.2. Для неоднородной краевой задачи Римана (5.3) спра ведливы следующие утверждения о ее разрешимости:

1. При 0 общее решение задачи (5.3), ограниченное на бесконеч ности, представляется в виде:

F ( z ) = F0 ( z ) + ( z ), X ( z) g (t )dt 2i X + (t )(t z ) F0 ( z ) = (5.6), L где ( z ) = X ( z ) P ( z ) – общее решение однородной задачи Римана (5.4).

2. При 0 неоднородная задача Римана имеет решение, ограни ченное на бесконечности, тогда и только тогда, когда выполняются сле дующие условия разрешимости:

g (t ) n X + (t ) t dt = 0, n = 0, 1, …, | | 2. (5.7) L В этом случае решение: F ( z ) = F0 ( z ).

Краевая задача Гильберта для аналитических функций в одно связной области. Пусть задан простой гладкий замкнутый контур L и действительные функции a ( s ), b( s ), c( s ) длины дуги s контура, удовле творяющие условию Гельдера. Краевой задачей Гильберта называется следующая задача: найти аналитическую в области D + (для определен ности z = 0 D + ) и непрерывную на контуре функцию F ( z ) = u ( x, y ) + +iv( x, y ), предельные значения действительной и мнимой частей которой удовлетворяют на контуре линейному соотношению a ( s )u ( s ) + b( s )v( s ) = c( s ). (5.8) Если c( s ) 0, то задача называется однородной, в противном слу чае – неоднородной.

Будем считать, что коэффициенты a (s ) и b(s ) не обращаются одно временно в нуль. Поделив краевое условие на a 2 ( s ) + b 2 ( s ), приведем его к такому случаю, когда коэффициенты удовлетворяют условию a 2 ( s ) + b 2 ( s ) = 1. Тогда краевое условие (5.8) можно переписать в одной из двух равносильных форм:

F (t ) = c( s ), (5.8') Re a ( s ) + ib( s ) Re {( a ( s) ib( s) ) F (t )} = c( s ), (5.8'') где F ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) – искомая функция.

Индекс функции a ( s ) + ib( s ) называется индексом задачи Гильберта.

Определение 5.1. Регуляризующим множителем комплексной функ ции a ( s ) + ib( s ), заданной на контуре L, называется действительная по ложительная функция точек контура p (s ), такая что p( s )[a( s) + ib( s)] есть краевое значение функции + (z ), аналитической и имеющей нулевой по рядок всюду в области D +, за исключением, может быть, начала коор динат, где ее порядок равен индексу.

Теорема 5.3. Произвольная функция точек контура, удовлетворяю щая на нем условию Гёльдера и не обращающаяся в нуль, имеет единст венный действительный регуляризующий множитель. Причем возможны следующие случаи:

1) = 0. Функцию + (z ) можно представить в виде + ( z ) = ei ( z ), ( z ) = ( x, y ) + i1 ( x, y ). Регуляризующий множитель определяется с точ ностью до постоянного множителя:

e 1 ( s ) p(s) =, 2 a (s) + b ( s) где 1 ( x, y ) – сопряженная гармоническая функция для гармонической функции ( x, y ), которая является решением задачи Дирихле:

b( s ) ( s ) = arctg.

a( s) | t | e 1 ( s ) b( s ) 0. Тогда p ( s ) =, где ( s ) = arctg arg t.

2) a(s) a 2 (s) + b2 ( s) Поделив обе части краевого условия однородной задачи Гильберта на регуляризующий множитель, получим следующее краевое условие:

F (t ) Re i (t ) = 0.

t e Теорема 5.4. Для однородной краевой задачи Гильберта справедли вы следующие утверждения о ее разрешимости:

1. Если индекс задачи Гильберта = 0, то единственное решение за дачи имеет вид F ( z ) = i0ei ( z ), где 0 – произвольная вещественная по стоянная.

2. Если 0, то общее решение однородной задачи Гильберта имеет вид:

{ } F (t ) = z ei ( z )Q( z ), где Q( z ) = i0 + ck [ w( z )]n ck [ w( z )] n ( w = w( z ) – n = функция, конформно отображающая область D + плоскости z на единич ный круг плоскости w, причем w( z0 ) = 0, w( z0 ) 0). Таким образом, за дача имеет 2 линейно независимое решение над полем веществен ных чисел.

3. Если то однородная задача неразрешима.

Рассмотрим неоднородную задачу Гильберта. Разделив обе части крае вого условия на регуляризующий множитель функции a ( s ) + ib( s ), имеем:

F (t ) Re i (t ) =| t | e1 ( s )c( s ).

t e Теорема 5.5. Для неоднородной краевой задачи Гильберта (5.8) справедливы следующие утверждения о ее разрешимости:

1. Если индекс задачи Гильберта то единственное решение за ( ) дачи (5.8) имеет вид F ( z ) = ei ( z ) S e1 ( s )c( s) + i0, где S – оператор Шварца, определяющий аналитическую в области функцию по значени ям на границе ее вещественной части, 0 – произвольная вещественная постоянная.

2. Если 0, то общее решение неоднородной задачи Гильберта ( ) имеет вид F (t ) = z ei ( z ) S | t | e1 ( s )c( s) + Q( z ).

3. Если 0, то неоднородная задача (5.8) разрешима тогда и толь ко тогда, когда функция S (| t | e1 ( s )c( s )) + iC имеет при некотором C R в точке z = 0 нуль порядка. При выполнении этого условия F (t ) = единственное решение задачи задается равенством = z ei ( z ) S ( t e1 ( s )c( s )) + iC.

Краевая задача Гильберта для аналитических функций в много связной области. В случае задачи Гильберта порядок связности области влияет на разрешимость краевой задачи и на число ее решений.

Пусть D + – ( N + 1) -связная область на плоскости z, и граница этой области состоит из ( N + 1) простой гладкой замкнутой кривой:

L = L0 L1 … LN, причем L0 содержит внутри себя все остальные кривые L1, …, LN. Компоненты границы ориентированы так, что при их обходе область D + остается слева.

Краевая задача Гильберта для аналитических функций в много связной области D состоит в нахождении всех функций F ( z ) = u ( x, y ) + + iv( x, y ), однозначных и аналитических в области D +, непрерывно продол жимых на границу L области D + и удовлетворяющих краевому условию:

{ } Re (t )F (t ) = c(t ), t L, (5.9) где a ( s ) + ib( s ) = [t ( s ) ], (t ) = 1. Функция (t ) называется коэффици ентом задачи Гильберта.

[arg G (t )]L j, j = 0, N, вычисляя приращение аргу j= Обозначим N = мента в соответствии с принятой ориентацией кривых. Величина j j= называется индексом коэффициента (t ) задачи Гильберта.

Определение 5.2. Регуляризующим множителем функции (t ) в слу чае многосвязной области D + называется положительная функция p (t ), удовлетворяющая равенству N (t z j )ei (t ), N p (t )(t ) = t t L, (5.10) j = где точки z1, z2, …, z N лежат внутри L1, …, LN соответственно, а функ ция ( z ) – однозначная аналитическая функция в D +.

Если известен регуляризующий множитель p (t ) для коэффициента (t ), то решение задачи Гильберта для многосвязной области сводится к построению оператора Шварца для многосвязной области (см. подраз дел 5.8). Нахождение регуляризующего множителя представляет собой отдельную задачу.

5.3. Краевая задача R-линейного сопряжения Пусть контур L состоит из конечного числа простых замкнутых кривых Ляпунова L0, L1,..., LN, ограничивающих конечную N + 1 -связ N ную область D = int L0 ext Lk. Обозначим через D дополнение этой + k = области до полной плоскости С, т. е. D = C \ cl D +. D – несвязное множество, состоящее из конечного числа ограниченных компонент Dk = int Lk, k = 1,..., N, и неограниченной компоненты D0 = ext L0.

Краевая задача R-линейного сопряжения (называемая также задачей Маркушевича) состоит в следующем: найти функции + ( z ), ( z ), ана литические в D +, D, D соответственно и представимые интегралом типа Коши, если почти всюду на L они имеют граничные значения + (t ), (t ), удовлетворяющие следующему условию сопряжения:

+ (t ) = a (t ) (t ) + b(t ) (t ) + c(t ), () = 0, (5.11) где a (t ), b(t ), c(t ) – заданные функции точек контура L.

Условия на коэффициенты, так же как и классы решений задачи (5.11), определены ниже. Линейная независимость будет пониматься в смысле линейных комбинаций с вещественными коэффициентами (т. е.

над полем вещественных чисел). Напомним, что краевая задача называ ется нормально разрешимой, если конечно число решений однородной задачи (т. е. при c(t ) 0 ) и число условий разрешимости неоднородной задачи, причем последнее совпадает с числом решений сопряженной за дачи. Далее будет показано, что краевая задача (5.11) является нормаль но разрешимой при a (t ) 0. Для этой задачи выделяются три случая, на зываемые соответственно 1) эллиптическим | a (t ) || b(t ) | ;

2) параболическим | a (t ) || b(t ) | ;

3) гиперболическим | a (t ) || b(t ) |.

Исследование разрешимости задачи R-линейного сопряжения в эллиптическом случае. Исследуем разрешимость задачи (5.11) в клас се аналитических функций, представимых интегралом типа Коши, пре дельные значения которых + (t ), (t ) L p ( L), p 1, в эллиптическом случае.

Теорема 5.6. Пусть a (t ) C ( L), a (t ) 0, = ind a(t ), b(t ) ограниче на и измерима, c(t ) L p ( L), p 1, и, кроме того, выполняется условие b(t ), (5.12) sup a (t ) 1 + S p tL где S p – норма в L p ( L) сингулярного интегрального оператора 1 ( ) i t S := d.

L Тогда a) при 0 однородная краевая задача (5.11) имеет 2 линейно-не зависимых решений, а неоднородная безусловно разрешима;

б) при = 0 краевая задача (5.11) имеет единственное решение;

в) при 0 однородная задача имеет только тривиальное решение, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнения 2 | | вещественных или | | комплексных условий разрешимости:

k t Q[c(t )dt = 0], k = 0,1,..., | | 1, (5.13) L где Q – некоторый линейный оператор.

Доказательство. 1) a (t ) 1.

Представим искомое решение в виде интеграла типа Коши:

1 () + z d, z D D, ( z ) = (5.14) 2i L с плотностью L p ( L), p 1. Тогда для почти всех t L выполняются формулы Сохоцкого:

1 + (t ) = ( + S ), (t ) = ( + S ). (5.15) 2 Подставляя (5.15) в краевое условие (5.11), получим эквивалентное задаче R-линейного сопряжения интегральное уравнение b = ( + S ) + c. (5.16) По предположению, (1 + S p ) sup| b(t ) | 1, значит, к уравнению (5.16) 2 tL применим принцип сжимающих отображений, из которого следует, что данное уравнение имеет единственное решение для любой правой части c(t ) L p ( L), p 1.

2) a(t ) не равно тождественно единице, но j = ind L j a (t ) = 0 для всех j = 0,1, …, N.

Предположим сначала, что функция a(t ) удовлетворяет условию Гельдера, т. е. a (t ) H ( L). Тогда a(t ) представляется в виде a (t ) = X + (t ) / X (t ), где X (z ) – соответствующая каноническая функция, X () = 1, X ± (t ) H ( L), X ± (t ) 0. В терминах этой функции краевое условие (5.11) может быть переписано в виде b(t ) X (t ) c(t ) + (t ) (t ) = (t ) + +, (5.17) a (t ) X (t ) X (t ) ± (t ) ± где (t ) = ±. Таким образом, задача в рассматриваемом случае све X (t ) лась к предыдущей (задаче (5.11) в случае 1). При этом условие (5.12) га рантирует применимость принципа сжимающих отображений.

Если же a (t ) просто непрерывна, но не обязательно удовлетворяет условию Гельдера, то равномерно аппроксимируем ее гельдеровскими функциями an (t ) H ( L). Перепишем краевое условие (5.11) в виде + (t ) = an (t ) (t ) + b(t ) (t ) + (a (t ) an (t )) (t ) + c(t ).

Найдется такое n N, что будет выполнено условие max| a (t ) an (t ) | 1.

1+ Sp tL Таким образом, можно применить описанный выше метод к послед нему краевому условию. Следует, однако, заметить, что плюсовая ком понента соответствующей канонической функции может иметь нули на контуре, хотя при этом будет удовлетворять условию + Lr при лю Xn c бом r 1. Следовательно, L p для любого сколь угодно малого + Xn 0. Разрешимость задачи в классе функций, имеющих граничные зна чения, принадлежащие L p, вытекает тогда из условия b(t ) 1 + S p 1, sup a (t ) tL которое является следствием (5.12) в силу произвольности 0. Гаран тировать разрешимость задачи в классе функций, граничные значения которых принадлежат L p, в этом случае нельзя.

= 0+ 1+ + N = 0.

j 1) 0 для хотя бы одного значения j, но N Рассмотрим функцию ( z ) = ( z z j ) j, где z j D. Тогда, вводя j j = новую неизвестную функцию + ( z ) = ( z ) + ( z ), преобразуем краевое условие (5.11):

+ (t ) = a (t ) (t ) (t ) + b(t ) (t ) (t ) + c(t ) (t ).

b(t ) (t ) b(t ) = Поскольку ind L j a (t ) (t ) = 0, j = 0,1, …, N, и, то a (t ) (t ) a (t ) приходим к случаю 2. Задача имеет единственное решение.

2) ind L a (t ) = = 0 + 1 + + N 0.

Пусть 0 D + и P( z ) = P 1 ( z ) – многочлен степени 1 с произ вольными коэффициентами. Полагая + ( z ) = z + ( z ) P( z ), получим:

+ (t ) = a1 (t ) (t ) + b1 (t ) (t ) + c1 (t ), (5.18) a1 (t ) = t a (t ), b1 (t ) = t b(t ), c1 (t ) = t [c(t ) P (t )].

где Так как b1 (t ) b(t ) ind L a1 (t ) = 0 и =, то приходим к случаю 3. Задача (5.18) имеет a1 (t ) a (t ) единственное решение при любой правой части c1 (t ).

0. Полагая c(t ) 0 и P(t ) равным последовательно Пусть 1, i, t, it, …, t 1, it 1, имеем серию задач (5.18), решая которые получим линейно независимые решения однородной задачи (5.18), а следователь но, однородной задачи (5.11). Полагая далее P(t ) 0, но c(t ) 0, по строим частное решение неоднородной задачи (5.11).

Пусть 0. В этом случае P( z ) 0, а функции + ( z ) + ( z ) связаны соотношением + ( z ) = z + ( z ). Тогда решение + ( z ) имеет, вообще го воря, полюс в точке z = 0. Решение + (z ) будет аналитическим, если по требовать, чтобы + ( z ) имела бы нуль порядка | | в точке z = 0, что приводит к условиям разрешимости (5.13).

Качественное исследование однородной задачи.

Теорема 5.7. Пусть a (t ) C ( L), a (t ) 0, b(t ) ограничена и измерима и, кроме того, выполняется условие b(t ) 1.

sup (5.19) a (t ) tL Если = ind L a (t ) 0, то однородная краевая задача R-линейного со пряжения + (t ) = a (t ) (t ) + b(t ) (t ), () = 0, (5.20) имеет только тривиальное решение в классе функций + ( z ), ( z ), пред ставимых интегралом типа Коши и имеющих квадратично суммируемые граничные значения ( ± L 2 ( L) ).

Предположим, что существует нетривиальное решение задачи в рас сматриваемом классе. Тогда краевое условие может быть переписано в виде + (t ) = a(t ) (t ) (t ), (5.21) где b(t ) (t ) (t ) = 1 +.

a (t ) (t ) Задачу (5.21) можно интерпретировать как задачу Римана с коэффи циентом a (t ) (t ). Поскольку не было сделано никакого предположения относительно нулей функции (t ), то коэффициент задачи (5.21), во обще говоря, будет разрывным. Однако поскольку равенство (t ) = возможно только на множестве меры нуль, то функция (t ) L ( L), (t ) 1 на L \ E, где E – некоторое множество меры нуль. От причем (t ) сюда следует, что значения функции (t ), t L \ E, лежат внутри угла раствора меньше, чем, и ind (t ) = 0. Тогда утверждение теоремы вы текает из результатов И. Б. Симоненко [3].

Краевая задача R-линейного сопряжения в параболическом случае.

1. Рассмотрим сначала вспомогательную задачу + (t ) = G (t )+ (t ) + g (t ), (5.22) коэффициент которой и свободный член удовлетворяют условию Гель дера, т. е. G (t ), g (t ) H ( L).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.