авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«УДК 620.22:51-07(075.8) ББК 30.3в6я73 Д79 Рецензенты: член-корреспондент НАН Беларуси, доктор ...»

-- [ Страница 3 ] --

Пусть сначала g (t ) 0 (однородная задача). Тогда, исключая с по мощью комплексного сопряжения функцию + (t ), мы придем к соотно шению + (t ) = G (t ) + (t ). Отсюда вытекает необходимое условие суще ствования нетривиального решения однородной задачи (5.22): G (t ) 1.

Будем далее предполагать, что данное условие выполнено.

Аналогично для неоднородной задачи необходимое условие разре шимости имеет вид g (t ) + G (t ) g (t ) 0. (5.23) С помощью соотношения (5.23) краевое условие можно переписать в виде следующих двух краевых условий:

g (t ) + (t ) =| g (t ) |, 2Re (5.24) | g (t ) | 2Im G (t ) + (t ) = ig (t ) G (t ), (5.25) где правая часть вещественна в силу условия (5.23).

Каждое из этих условий представляет собой краевое условие задачи Гильберта. Однако если g (t ) имеет нули, то коэффициент первой задачи j = ind L j G (t ) может быть разрывным, а если есть нечетное число, то ко эффициент второй задачи – многозначная функция на L j. С другой сто роны, из (5.23) следует, что если g (t ) 0 на L j, то ind L j G (t ) = 2ind L j g (t ) является четным. Если же ind L G (t ) нечетен, то g (t ) обращается в нуль j на L j. Таким образом, различными являются следующие два случая:

1) g (t ) не имеет нулей на L, или, что эквивалентно, все четны;

j 2) g (t ) имеет нули, или хотя бы одно нечетно.

j В первом случае каждая из задач может быть решена по обычной схеме исследования задачи Гильберта.

Рассмотрим случай 2). Если область D + односвязна, то, отображая ее конформно на единичный круг, получим из (5.24) или (5.25) задачу Гильберта для единичного круга. Отличие от стандартной ситуации здесь состоит только в том, что индекс задачи будет нечетным числом. По сле сведения задачи Гильберта для единичного круга к эквивалентной неоднородной задаче Римана мы можем выписать условия разрешимости последней:

t l 1g (t ) X + (t ) dt = 0, l = 1, …,| | 1. (5.26) t G (t ) Учитывая, что X + (t ) =, где () – некоторая веществен () но-значная функция, получим равенства:

- g (t ) l t 2 () dt = 0, l = 1, 2, …, | | 1.

G (t ) Преобразуя данные условия с помощью (5.23) и учитывая, что = 2m 1, где m 0 – целое число, получим 2m = | | 1 вещественных условий разрешимости:

() | g () | cos j + d = 0, () | g () | sin j + 2 d = 0, j = 1, …, m. (5.27) Лемма 5.1. Пусть область D + односвязна, | G (t ) | 1, = ind LG (t ) и выполнено условие (5.23).

Если 0, то число линейно-независимых решений над полем ве щественных чисел l = + 1, а число условий разрешимости равно p = 0.

Если 0, то l = 0, p =| | 1.

Лемма также справедлива для внешней задачи (t ) = G (t ) (t ) + g (t ), (5.28) рассматриваемой в классе функций, ограниченных на бесконечности.

В случае многосвязной области проводится дополнительное исследова ние, поэтому далее будем рассматривать только случай односвязной области.

2. Рассмотрим задачу (5.11) для односвязной области в параболиче ском случае, т. е. при | a (t ) || b(t ) | 0. Взяв комплексное сопряжение в краевом условии, исключим (t ) и (t ), тем самым перепишем (5.11) в эквивалентной форме:

c(t ) a (t ) + + (t ) = (t ) + c(t ) a (t ). (5.29) b(t ) b(t ) a (t ) 1, и, кроме того, выполнено необхо В этом краевом условии b(t ) a (t ) димое условие (5.23). Обозначая = ind L = ind L a (t ) + ind Lb(t ), при b(t ) меним к (5.29) утверждение леммы. С другой стороны, если найти из (5.29) + ( z ) и подставить в краевое условие (5.22), получим внешнюю задачу + (t ) c(t ) a (t ) (t ) = (t ) +. (5.30) b(t ) b(t ) a (t ) Индекс этой задачи = ind L = ind L a (t ) ind Lb(t ) имеет ту же b(t ) четность, что и индекс задачи (5.29). Заметим также, что задачи (5.29) и (5.30) могут быть переписаны в виде:

a (t ) + a(t ) (t ) = Im c(t ), 2Im (5.31) b(t ) b(t ) a (t ) + (t ) c(t ) (t ) = 2Re. (5.32) b(t ) a (t )b(t ) Теорема 5.8. Пусть | a (t ) || b(t ) | 0, a(t ), b(t ), c(t ) H ( L) ;

+ = 2, где, – индексы коэффициентов задач (5.29), (5.30), = ind L a(t ) ;

l – чис ло линейно независимых решений однородной задачи (5.22), а p – число условий разрешимости неоднородной задачи.

Тогда картина разрешимости краевой задачи (5.22) в односвязной области определяется следующими соотношениями:

1) если 0, 0, то l = 0, p = 2 | | 2 ;

2) если 0, 0, то l = + 1, p =| | 1 ;

3) если 0, 0, то l = 2 + 2, p = 0 ;

4) если 0, 0, то разрешимость определяется из системы | | с + 1 неизвестными, при этом:

а) если 1, то p = 0, а l может быть любым числом, удовлетво ряющим неравенству 2 + 2 l + 1;

б) если 1, то p и l могут быть любыми числами, удовлетво ряющими неравенствам 0 l + 1, 2 2 p | | 1.

Обозначим числа решений и условий разрешимости задач (5.29), (5.30) через (l1, p1 ), (l2, p2 ) соответственно. Тогда тривиальному решению задачи (5.29) + ( z ) 0 соответствуют некоторые решения неоднородной задачи (5.30) с + ( z ) 0. Кроме того, каждому нетривиальному решению + ( z ) задачи (5.29) соответствует нетривиальное решение ( z ) задачи (5.30), причем линейно независимым решениям + соответствуют линейно независимые решения. Для случаев 1), 2), 3) это сразу дает l = l1 + l2, p = p1 + p2, откуда и следует утверждение теоремы в указанных случаях.

В случае 4) общее решение задачи (5.29) имеет вид:

l = 0 + k k, + k = где k – произвольные вещественные постоянные;

k – линейнонезави симые решения однородной задачи, а 0 – частное решение неоднород ной. Подставив + в (5.30), заметим, что, согласно лемме, для разреши мости последней должны выполняться p2 – условий разрешимости. Это ведет к системе уравнений относительно постоянных k :

l Ak j k = f j, j = 1, …, p2, k = где Ak j выражаются через a (t ), b(t ), а f j – через a (t ), b(t ), c(t ).

Если l1 p2, то неизвестных больше, чем уравнений, и система все гда разрешима. Ранг системы r p2, и, следовательно, l1 p2 l l1.

Если l1 p2, то неизвестных меньше, чем уравнений. Неоднородная система, вообще говоря, несовместна, и однородная имеет только триви альное решение. Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональной решениям транспонированной системы. Число решений последней p = p2 r, где ранг r, 0 r l1. Тогда однородная система будет иметь l1 r нетривиальных решений. Учиты вая l1 = + 1, p2 =| | 1, получаем утверждение теоремы в случае 4).

5.4. Функция Грина Пусть D – односвязная область, ограниченная простой гладкой зам кнутой кривой L.

Определение 5.3. Назовем функцию G ( z, ) = ln + g ( z, ) (5.33) z функцией Грина оператора Лапласа для области D, если g ( z, ) – гар моническая функция по z в области D для любого D и G L = 0, т. е.

g L = ln = ln r (z, изменяются в области D, r =| z | ).

r В области D функция G ( z, ) имеет особенность ln.

z С помощью функции Грина решение задачи Дирихле дается формулой:

l 1 G ( z, ) 2 n u ( x, y ) = u ()d, (5.34) где = () – комплексная координата точек контура;

n – внутренняя нормаль.

Пусть H ( z, ) – гармоническая функция, сопряженная с G ( z, ) по переменной z. Из условий Коши – Римана получим:

z G G H ( z, ) = dx + dy, (5.35) y x z где z0 – фиксированная точка области D +, z = x + iy, = + i. Посколь ку область D является односвязной, то функция H ( z, ) – однозначная и H ( z0, ) 0.

Определение 5.4. Функция M ( z, ) = G ( z, ) + iH ( z, ) называется ком плексной функцией Грина области D.

Комплексная функция Грина аналитична по переменной z всюду, за исключением z =, где она имеет логарифмическую особенность. Тогда формула (как следует из (5.34), (5.35)) l 1 H ( z, ) 2 n v ( x, y ) = u () d определяет гармоническую функцию v( x, y ), сопряженную с u ( x, y ). От сюда 1 l M ( z, ) F ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) = u ( ) d.

2 0 n Это равенство задает аналитическую функцию, действительная часть которой на контуре равна u () и удовлетворяет дополнительному усло вию v( z0 ) = 0.

Тогда оператор Шварца имеет вид:

l 1 M ( z, ) 2 n Su = u ( ) d, M ( z, ) где – ядро Шварца.

n Если не учитывать условие v( z0 ) = 0, то F ( z ) = Su + i0, где 0 – произвольная константа и 0 = v( z0 ).

Рассмотрим связь комплексной функции Грина для односвязной об ласти с конформными отображениями.

Пусть функция w = F ( z, ) = ( z ) F1 ( z, ) конформно отображает об ласть D в плоскости переменной z, ограниченную контуром L, на еди ничный круг в плоскости w и переводит точку D в начало коорди нат. В силу взаимной однозначности никакая другая точка области не переходит в 0, поэтому F1 ( z, ) 0.

Теорема 5.9. Функция M ( z, ) = G ( z, ) + iH ( z, ) = ln F ( z, ) есть комплексная функция Грина области D.

Достаточно установить, что G ( z, ) = Re ln F ( z, ) – это обычная функция Грина области D. По построению:

G ( z, ) = Reln F ( z, ) = ln F ( z, ) = ln ln F1 ( z, ).

z Функция ln F1 ( z, ) – гармоническая в области D (как действитель ная часть однозначной аналитической функции ln F1 ), поэтому G имеет единственную особенность ln. Когда z обходит контур L, соответст r вующая ей точка обходит единичную окружность. Поэтому на L F ( z, ) = 1, откуда G L = 0.

Замечание. Для многосвязной области такой простой связи функции Грина с конформными отображениями не существует.

В случае, когда соответствующее конформное отображение задается явно, функцию Грина можно также построить в явном виде. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Решение задач Шварца и Дирихле для верхней полуплос кости.

На контуре (действительной оси) направление нормали n совпадает = i, = i, = + iy, = iy.

с направлением мнимой оси, причем n n Следовательно, ядро Шварца имеет вид 1 1 1 M ( z, ) 2i T ( z, ) = = = i + = z.

n z n z n y =0 z z y = Решение задачи Шварца в этом случае имеет вид:

+ + (2i ) u () 1 f ( z ) = Su = u () d + iv0 = d + iv0, 2 z i z а решение задачи Дирихле:

+ 1 y u ( x, y ) = u ( ) d.

( x ) 2 + y Пример 2. Решение задач Шварца и Дирихле для круга с центром в начале координат радиусом R.

Функция, отображающая круг с центром в начале координат радиу сом R на единичный круг, переводящая точку в началo координат, имеет вид:

z w = F ( z, ) = R.

z R Тогда M ( z, ) = ln F = ln( z ) + ln( z R 2 ) ln R.

Проведем вычисления в полярных координатах, так как направление нормали противоположно направлению радиус-вектора точек контура.

R L = Rei, = ei =, = e i =, R 2 =.

= n R R n z M R = 1 R 1 +z z = R + T ( z, ) = =.

R z z R R z ( z ) R z L Решение задачи Шварца:

+z u() z d + iv0.

f ( z ) = u + iv = 2 Положив z = rei и выделив действительную часть, получим решение задачи Дирихле для круга в виде интеграла Пуассона:

R2 r u () R 2 + r 2 2 Rr cos( ) d.

u (r, ) = 2 Замечание. Пусть D – конечносвязная область, ограниченная жор дановыми кривыми. При однолистном отображении области D посред ством функции z* = f ( z ) на некоторую другую область D*, ограничен ную кривыми Жордана, функция Грина G ( z, ) переходит в функцию () () G ( f 1 z*, f 1 * ), которая, очевидно, будет функцией Грина для об ласти D*. Следовательно, зная функцию Грина для одной области, мож но получить посредством однолистных отображений функции Грина для других областей той же связности.

5.5. Краевые задачи для композиционных материалов Рассмотрим математическую модель теплопроводности композици онных материалов. Ограничимся случаем стационарной ситуации (уста новившегося теплового потока). Пусть R M, M = 1, 2, 3 – евклидово про странство переменной x = ( x1, …, xM ). Пусть композиционный материал геометрически описывается областью D R M, граница которой пред ставляет собой замкнутую кусочно-гладкую поверхность (кривую).

Пусть D – (многосвязная) область в D (матрица), заполненная не которым (проводящим) материалом, а Dk, k = 1, …, N, – односвязные области (включения), заполненные другим материалом и дополняющие N N до всей области D, т. е. D = Lk Dk, где Lk = Dk – замкнутые k =1 k = кусочно-гладкие поверхности (кривые).

В стационарном случае проводящие свойства композиционного ма териала описываются в терминах распределения температуры T = T (x) и теплового потока q = q(x). С физической точки зрения температура из меряет энергию материальных частиц (молекул, электронов и т. п.) в единичном объеме материала, а тепловой поток характеризует скорость (в единицу времени) переноса тепла в единичном объеме. С математиче ской точки зрения T = T (x) представляет собой скалярное поле, завися щее от пространственной переменной x = ( x1, …, xM ), а q = q(x) = = q1 (x), …, qM (x) – векторное поле той же переменной. Соотношение, описывающее зависимость теплового потока от температуры, называется уравнением состояния. В линейном случае уравнение состояния прово дящего материала принимает форму закона Фурье:

q = T, (5.36) где T – градиент температуры;

= (x) – некоторый тензор (назы ваемый тензором проводимости материала). В случае композиционного материала соотношение (5.36) выполняется в каждой из компонент мате риала, и, следовательно, тензор = (x) принимает различные значения для различных компонент. Соотношение (5.36) означает (локальную) пропорциональность теплового потока и градиента температуры. Когда зависит только от пространственной переменной x = ( x1, …, xM ), со отношение (5.36) характеризует перенос тепла в смысле сплошной сре ды. В случае анизотропного материала тензор = (x) локально харак теризуется симметричной положительно определенной матрицей:

11 (x) 12 (x) 13 (x) = (x) = 21 (x) 22 (x) 23 (x). (5.37) ( x) ( x) ( x) 31 32 Если = (x, T ) зависит также от температуры, то композиционный материал представляет собой нелинейную проводящую среду и речь идет о нелинейной проводимости тепла.

Для локально-изотропной среды = (x) I, где I – единичный тен зор;

(x) – скалярная положительная функция. В этом случае (x) на зывается коэффициентом (локальной) проводимости (или просто прово димостью). Иногда для характеристики переноса тепла вводится величи на r = 1 = (или R = 1, где 1 – обратная матрица для матрицы ), называемая сопротивляемостью среды.

Если в материале содержатся источники/стоки, плотность распреде ления которых равна f (x), то тепловой поток q = q(x) характеризуется уравнением N q(x) = f (x), x Dk. (5.38) k = Если источники и стоки отсутствуют, то соотношение (5.38) перехо дит в уравнение непрерывности (неразрывности) среды:

N q(x) = 0, x Dk. (5.39) k = Подставляя (5.36) в (5.39), получаем, что температурное поле долж но удовлетворять следующему (эллиптическому) уравнению:

N ( T (x)) = 0, x Dk. (5.40) k = В случае, когда каждая из компонент материала является глобально изотропной, т. е. коэффициент проводимости (x) постоянен в каждой из компонент, уравнение (5.40) представляет собой уравнение Лапласа:

N T (x) = 0, x Dk.

(5.41) k = Другими словами, температурное поле является гармоническим во всех компонентах композиционного материала (в матрице и каждом включении). Поле температур характеризуется не только его внутренним состоянием, но также и соотношениями (краевыми условиями) на грани це раздела сред.

Рассмотрим типы краевых условий в случае двумерных композици онных материалов. Пусть двумерный композиционный материал геомет рически моделируется некоторой областью D C на комплексной плос кости, а именно: матрица композиционного материала представляет собой многосвязную область D с внешней границей, а N включений Dk, k = 1, …, N, (заполненных другим материалом) располагается внут ри области. Предположим для простоты, что граничные кривые и Lk = Dk, k = 1, …, N, представляют собой простые кусочно-гладкие замкнутые кривые. Обозначим символом = (z ) тензор проводимости мат рицы (т. е. материала, заполняющего область ), = k ( z ), k = 1, …, N, – тензоры проводимости включений. Граничные значения температуры на внешней граничной кривой будем обозначать T = T (t ), t, а пре дельные значения (изнутри и извне) температуры на кривых Lk будем обозначать соответственно Tk (t ) = lim Tk ( z ), T + (t ) = lim T ( z ).

z t, z Dk z t, z Если на внешней границе задано температурное поле f (t ), то со ответствующее краевое условие (условие изотермальной перегородки) T (t ) = f (t ), t, (5.42) представляет собой краевое условие задачи Дирихле.

Если внешняя граница является идеальным термоизолятором, то соответствующее краевое условие (условие адиабатической стенки) име ет вид краевого условия задачи Неймана T (t ) = 0, t, (5.43) n в котором дифференцирование проводится в направлении внешней нормали.

Если внешняя граница пропускает некоторый тепловой поток, т. е. на границе задан нормальный поток q n = g, то краевое условие (5.43) переходит в условие вида T n(t ) = g (t ), t. (5.44) Если матрица композита заполнена изотропным материалом, то ус ловие (5.44) представляет собой неоднородное краевое условие Неймана T (t ) = g (t ), t. (5.45) n Вместо материалов, удовлетворяющих закону Ньютона, можно рас сматривать другие типы материалов. В частности, условие (5.45) может переходить при этом в более сложное краевое условие вида T (t ) + T (t ) = h(t ), t, (5.46) n которое представляет собой краевое условие третьего рода.

Кроме краевых условий на внешней границе, температурное поле должно также удовлетворять некоторым условиям сопряжения на грани це раздела матрица – включения. Для простоты сформулируем эти усло вия в случае, когда каждая из компонент композита заполнена изотроп ным материалом, т. е. коэффициенты проводимости, k постоянны.

Наиболее распространенным условием сопряжения является так назы ваемое условие идеального контакта:

T + Tk + = Tk (t ), (t ) = k (t ), t Lk, k = 1, …, N. (5.47) T (t ) n n Это условие означает непрерывность температуры и непрерывность потока при переходе через каждую из кривых Lk в нормальном направ лении.

Естественным является также условие, когда температура и/или по ток испытывают скачок при переходе через кривые Lk :

T + (t ) Tk (t ) = g k (t ), T + Tk (t ) k (t ) = hk (t ), t Lk, k = 1, …, N. (5.48) n n Рассматриваются также композиты, для которых на всех кривых Lk или хотя бы на части этих кривых выполняется условие неидеального контакта T + T + Tk + (t ) + k (T (t ) Tk (t )) = 0, (t ) = k (t ). (5.49) n n n Коэффициент 1 называется коэффициентом Капицы.

k Наконец, в случае, когда некоторое включение заполнено идеальным проводником ( k = ), естественным является сформулировать для со ответствующей кривой условие сопряжения в виде обобщенного условия Дирихле T (t ) = ck, t Lk, (5.50) где ck – неопределенная положительная постоянная, которая находится в дальнейшем в ходе решения задачи.

Таким образом, задача определения распределения температуры в композиционном материале даже в случае потенциальных полей пред ставляет собой смешанную краевую задачу для уравнения Лапласа. Тер мин смешанная краевая задача означает в данном случае, что краевые условия, вообще говоря, различны для различных компонентов линии раздела сред.

Представим уравнение состояния и краевые условия, описывающие теплопроводность композиционных материалов, в комплексной форме.

Предположим сначала, что области Dk заполнены пористым материа лом. Тем самым неизвестную функцию T (z ) следует определить, исходя из краевых условий на границе многосвязной области. Пусть на границе выполняется одно из краевых условий (5.42), (5.45) или (5.46). Если тем пература T (z ) гармонична в многосвязной области, то T (z ) может быть представлена в форме N T ( z ) = Re[ ( z ) + Ak ln( z zk )], (5.51) k = где (z ) – однозначная аналитическая функция в многосвязной области, zk – некоторые фиксированные точки в областях Dk, а вещественные постоянные Ak удовлетворяют соотношению N Ak = 0.

k = Подставляя значения T (z ) из (5.51) в соответствующее краевое ус ловие, приходим к краевой задаче для аналитической функции ( z ).

Предположим далее, что каждая из компонент композиционного ма териала заполнена изотропным материалом, т. е. коэффициенты прово димости, k, k = 1, …, N, постоянны. Пусть функция T (z ) гармонична в областях, Dk, k = 1, …, N, т. е. удовлетворяет в этих областях урав нению Лапласа (5.41). Обозначим через T и Tk распределение темпера тур в областях, Dk, k = 1, …, N, соответственно. Предположим, что на каждой кривой Lk выполняется условие идеального контакта (5.47).

Введем функции ( z ) = T ( z ) + iV ( z ), z ;

+ k (Tk ( z ) + iVk ( z ) ), z Dk, k = 1, …, N, k ( z ) = (5.52) которые являются однозначными аналитическими в соответствующих об ластях, непрерывно дифференцируемыми вплоть до их границ. Известно, что функция (z ) является, вообще говоря, многозначной аналитической функцией в многосвязной области. Но в рассматриваемом случае функция T (z ) допускает однозначное гармоническое продолжение в од носвязную область D. Следовательно, продолженная функция является вещественной частью однозначной аналитической функции в D. Функ ция (z ) есть сужение этой аналитической функции на область, т. е.

является однозначной аналитической в. Функции (z ), k ( z ) назы ваются комплексными потенциалами соответствующих областей.

Представим условие идеального контакта (5.47) в комплексной фор ме. Заметим, что = n1 + n2 = n2 + n,, (5.53) n x y s x y где нормальный вектор n отождествляется с комплексным числом n = n1 + i n2, а z = x + i y. Применяя второй оператор (5.53) к первому крае вому условию (5.47), получаем T + T + Tk Tk n2 + n1 = n2 + n1. (5.54) x y x y Второе краевое условие (5.47) преобразуется непосредственно:

T + T + Tk Tk n1 + n2 = k n1 + k n2. (5.55) x y x y Введем вспомогательные комплексные потенциалы областей, Dk :

T V ( z ) = = i z ;

, z x y k + k Tk V k ( z) = = i k z Dk, k = 1, …, N.

, (5.56) z 2 x y Подставляя эти соотношения в (5.54), (5.55) и исключая +, прихо дим к следующему краевому условию:

+ (t ) = (t ) + k n 2 (t ), t Lk, (5.57) k k k где n = n1 + i n2, а k = – так называемый контрастный параметр k + Бергмана. Интегрируя краевое условие (5.57) и принимая значение по стоянной интегрирования равным 0, приходим к краевому условию от носительно неизвестных функций (z ), k ( z ) :

+ (t ) = (t ) + k (t ), t Lk. (5.58) k k Краевые задачи (5.57), (5.58) являются частными случаями краевой задачи R- линейного сопряжения (задачи Маркушевича).

Если вместо одного из первых условий (5.47) рассматривается усло вие с ненулевым скачком T + (t ) Tk (t ) = g k (t ), то, обозначая через g k ( z ) решение краевой задачи Шварца для соответ ствующей кривой Re g k (t ) = g k (t ), введем новую неизвестную функцию Tk ( z ) = Tk ( z ) + Re g k ( z ). Тогда краевое условие задачи с ненулевым скачком сводится к условию непре рывной продолжимости новых функций. Последнее условие обеспечива ет, как и ранее, однозначность неизвестной гармонической функции в односвязной области D. Вводя тогда комплексные потенциалы по формулам, аналогичным (5.52) (или (5.56)), приходим к (неоднородному) краевому условию задачи R- линейного сопряжения на соответствующей кривой Lk :

+ (t ) = (t ) + k (t ) + ck (t ), t Lk.

k k Аналогичные рассуждения можно провести в случае, когда неодно родным заменяется второе условие из (5.47) (но уже для потенциалов ).

Несколько более сложным является преобразование к комплексной форме краевого условия неидеального контакта (5.49). Проделаем эти преобразования. Будем предполагать, как и ранее, что коэффициенты проводимости, k, k = 1, …, N, постоянны в соответствующих компо нентах композиционного материала. Предположим также для простоты, что все включения имеют форму круговых цилиндров:

Dk = Dk = { z C :| z ak | rk }.

Введем вспомогательные комплексные потенциалы:

( z ) = T ( z ) + iV ( z ), z ;

k ( z ) = Tk ( z ) + iVk ( z ), z Dk, k = 1, …, N. (5.59) Зафиксируем кривую Lk, для которой проведем преобразование крае вого условия, и для краткости в дальнейшем будем опускать индекс k у соответствующих функций. Перепишем тогда нормальные производные неизвестных функций в виде:

T ± () (t ) = n T ± (t ) = Re (t ak ) ± (t ), | t ak |= rk. (5.60) n rk Применяя условия Коши – Римана и используя представление про изводных по нормали и по касательной (5.53), имеем T ± T ± T ± V ± V ± V ± = n1 + n2 = n1 n2 =.

n x y y x s V + V Отсюда следует (t ) = k (t ), | t ak |= rk. Интегрируя дан s s ное соотношение вдоль соответствующей окружности, получаем V + (t ) = kV (t ), | t ak |= rk. (5.61) Используя (5.59), (5.60), преобразуем первое из условий (5.49) к виду () Re + (t ) (t ) + k (t ak ) (t ) = 0, | t ak |= rk. (5.62) rk k Используя (5.61), (5.62), приходим к следующей форме краевого ус ловия (5.49):

() + (t ) = (t ) k (t ) + 2 k Re (t ak ) (t ) = 0, k | t ak |= rk, (5.63) k 1 + k + где k = ;

k = ;

k = k k. Используя симметрию отно k + 2rk k 2 k сительно окружности, окончательно получаем из (5.63) () + (t ) = (t ) k (t ) + k (t ak ) (t ) + k rk () (t ) = 0,| t ak |= rk.

+ k k (t ak ) Преобразуем к комплексной форме краевые условия на внешней гра нице области. Рассмотрим простейшую из приведенных выше задач – задачу Дирихле (5.42). Построим сначала решение краевой задачи Швар ца для внешности области D :

Re { f 0 (t )} = f (t ), t. (5.64) Тогда, вводя новую неизвестную функцию ( z ), аналитическую во внешности области D, перепишем краевое условие задачи Дирихле в сле дующей комплексной форме:

+ (t ) = (t ) (t ) + f 0 (t ), t.

Аналогичным образом преобразуются другие краевые условия на внешней границе (при этом, например для краевого условия задачи Ней мана, используются потенциалы, k ).

5.6. Задача Дирихле для многосвязной области.

Гармоническая мера Конформное отображение многосвязной области аналитическими функциями можно применить для решения задачи Дирихле в случае многосвязных областей.

Пусть D – ( N + 1) -связная область, ограниченная кусочно-гладкими кривыми L0, L1, …, LN, причем cl(int Lk ) cl(int Lj ) =, k, j = 1, …, N, k j;

cl(int Lk ) int L0, k = 1, …, N. Рассмотрим задачу Дирихле для та кой области: пусть на граничных кривых области D задана N + 1 функ ция f 0, f1,…, f N, ограниченная и непрерывная на L0, L1, …, LN, за исклю чением некоторого замкнутого счетного множества точек разрыва;

требу ется найти функцию u ( z ), гармоническую и ограниченную в области D, такую что lim u ( z ) = f k ( ) z Lk для любой точки непрерывности Lk.

Единственность решения задачи Дирихле устанавливается для лю бой регулярной области, доказательства же существования решений в слу чае односвязной и многосвязной областей различаются существенно.

Обозначим для краткости через f ( ) семейство заданных функций |L k = f k () ). Пусть далее : D {w :| w | 1} – функция (не обя (т. е. f ( ) зательно однозначная), осуществляющая конформное отображение об ласти D на единичный круг, а z (w) – обратная к ней функция. Обозна чим через G0 фундаментальную область группы автоморфизмов ( D, w) области D. Проведем в области D попарно непересекающиеся разрезы, соединяющие внешнюю компоненту границы L0 с каждой из внутренних компонент. Обозначим через D односвязную область, получающуюся из D после проведения разрезов (напомним, что D является образом области G0 при отображении z (w) ). Группу ( D, w) будем считать со стоящей из отображений A0 = id, A1, A2, …, занумерованных в каком нибудь порядке. Обозначим через G образ области G0 при отображении единичного круга | w | 1 с помощью дробно-линейного отображения A.

Пусть – совокупность дуг окружности | w |= 1, отображаемых на гра ницу G области G.

Теорема 5.10. Функция u (z ), решающая задачу Дирихле в области D с граничной функцией f ( ), может быть представлена в виде u ( z ) = v(( z )), где f ( z (ei ))d 1 v(e ) = i ( 1). (5.65) 2 1 2 cos( ) + Пусть D – некоторая область на комплексной плоскости C, а E – некоторое множество, расположенное на границе этой области. Обозна чим через ( z, E, D) решение задачи Дирихле в области D с граничны ми данными, равными единице на множестве E и нулю на остальной части границы D. Функция ( z, E, D) называется гармонической мерой множества E относительно области D.

Известно, что решение указанной задачи Дирихле существует, если D – односвязная (и даже конечно-связная, см. теорему 5.10), ограничен ная кусочно-гладкой кривой (кривыми), а E – конечное или даже счет ное множество дуг этих кривых.

Из определения решения задачи Дирихле следует, что гармониче ская мера является гармонической и ограниченной в области D и непре рывной в каждой точке непрерывности граничных данных. Кроме того, в силу принципа максимума и минимума гармонической функции имеем 0 ( z, E, D) 1. (5.66) При этом, если для некоторого z D имеет место знак равенства в левой (правой) части (5.66), то ( z, E, D) 0 (соответственно ( z, E, D) 1).

Отметим некоторые свойства гармонической меры.

Если множество E состоит из не более чем счетного множества то чек, то ( z, E, D) 0, а если D \ E не более чем счетно, то ( z, E, D) 1.

Если E1, E2 D, E1 E2 =, то ( z, E1 E2, D) = ( z, E1, D) + ( z, E2, D). (5.67) Если функция w(z ) конформно отображает область D на область D, а множество E переходит при этом во множество E, то ( z, E, D) = ( w( z ), E, D).

Гармоническая мера является решением задачи Дирихле при специ альных граничных данных. Однако сама гармоническая мера может быть использована для построения решения краевых задач при любых гранич ных данных.

Ниже используем понятие гармонической меры при построении оператора Шварца для многосвязной круговой области. Пусть Dk = D(ak, rk ) = {z C :| z ak | rk }, k = 1, 2, …, N, Dk D j =, k j.

N Рассмотрим бесконечную N - связную круговую область D = ext cl Dk, k = ограниченную окружностями Tk = Dk, k = 1, 2, …, N. Для определенно сти выберем ориентацию на этих окружностях, оставляющую область D слева при обходе. Введем по формулам (4.27) отображения симметрии ( ) * * * z( kmkm1… k1 ) = z( km1… k1 ).

km Лемма 5.2. Пусть k = exp(i k ), k R, – заданные комплексные числа, w clD – фиксированная точка из замыкания области D. Тогда система функциональных уравнений k ( z ) = k n n ( z( n ) ) n ( w( n ) ), * * n k | z ak | rk (k = 1, 2, …, N ) (5.68) имеет только тривиальное решение в классе функций, аналитических в объединении областей Dk.

Предположим противное. Пусть k – нетривиальное решение си стемы (5.68). Тогда функция N ( z ) = n n ( z( n ) ) n ( w( n ) ) * * n= аналитична в области clD. Функции k, удовлетворяют краевому усло вию задачи R- линейного сопряжения (см. раздел 5.3):

* k (t ) = k (t ) k (t ) + n ( w( k ) ), t Tk, k = 1, 2, …, N.

Последние соотношения могут быть переписаны в виде Re k (t ) = ck, t Tk, k = 1, 2, …, N, (5.69) 2Im k (t ) = Im (t ) + d k, t Tk, k = 1, 2, …, N, (5.70) * где ck + id k = k ( w( k ) ). Рассмотрим первую из этих задач (задачу Гиль берта с постоянными коэффициентами). Пусть – решение этой зада чи. Тогда граница области (D) состоит из отрезков Re k = ck, k = 1, 2, …, N. Но в этом случае точке = (D) соответствует внут ренняя точка области D. Это противоречит ограниченности функции в clD. Следовательно, (5.69) имеет только постоянное решение ( z ) c, Re k c = ck, в классе функций, аналитических в D и непрерыв ных в clD. Тогда k ( z ) = const, а следовательно, в силу (5.68) k ( z ) 0.

5.7. Метод функциональных уравнений В случае установившегося стационарного потока без источников и стоков свойства композиционных материалов могут быть сформулиро ваны в терминах потенциалов соответствующих полей (в частности, поля температур). Это означает, что функция T = T (z ) удовлетворяет уравне нию Лапласа в каждой части композита:

N z Dk, T ( z ) = 0, (5.71) k = где область соответствует матрице, а Dk, k = 1, N, соответствуют включениям.

Поведение поля температур вблизи границы области может быть описано краевыми условиями различных типов. Обозначим через внешнюю границу композиционного материала, а через Lk – границу области Dk. Предположим, что эти кривые – кусочно-гладкие и не име ют общих точек. Метод функциональных уравнений применим в случае, когда все граничные кривые – окружности, т. е. в случае многосвязной круговой области. Зафиксируем ориентацию граничных кривых. Бу дем считать кривую ориентированной против часовой стрелки, а все кривые Lk – по часовой стрелке. Предположим также, что на границе раздела матрицы и включений выполняется условие идеального контакта:

T + T N T + (t ) = Tk (t ), (t ) = k k (t ), t Lk, (5.72) n n k = где – производная по направлению вектора внешней нормали, n T + (t ) = lim T ( z ), Tk (t ) = lim T ( z ).

z t z t z z Dk Продемонстрируем, как метод функциональных уравнений применя ется для решения смешанной краевой задачи (5.71) – (5.72), которая мо жет быть переформулирована как задача R- линейного сопряжения.

Пусть U = {z C : z 1} – единичный круг на комплексной плоско сти C. Пусть C (U) – банахово пространство функций, непрерывных на окружности U = { z C : z = 1}, снабженное нормой f = max f ( z ).

U + Пусть C C – подпространство функций, определенных на U, кото рые можно аналитически продолжить с U на U. Для функции f C +, f : U C, и ее аналитического продолжения f : U C, U = U U, будем использовать одно и то же обозначение. Тогда можно считать, что C + = C + (U), f C + = max f ( z ).

zU Рассмотрим отображение замкнутого единичного круга в открытый круг U f : U U, где f C + (U ). Имеет место следующая теорема:

Теорема 5.11 (теорема Данжуа – Вулфа). Пусть f C + (U) отобра жает замкнутый единичный круг U в открытый единичный круг U. То гда f имеет единственную неподвижную точку z0 в U и f ( z0 ) 1. По следовательность приближений f n ( z ), определяемая формулами f 0 ( z ) = z, f 1 ( z ) = f ( z ), f 2 ( z ) = f ( f ( z )), …, f n ( z ) = f ( f n1 ( z )) сходится равно мерно в U к точке z0.

Уравнение ( z ) = G ( z )[ f ( z )] + g ( z ), (5.73) которое выполняется в окрестности точки z0, называется локальным функциональным уравнением. Здесь G (z ), g (z ) – заданные функции, (z ) – неизвестная функция. Все функции предполагаются аналитиче скими в окрестности z0.

Если для заданных функций g, G C + уравнение (5.73) выполняет ся в U, то его называют глобальным функциональным уравнением отно сительно C + в единичном круге.

Решение глобального функционального уравнения (5.73) в классе аналитических функций основано на методе последовательных при ближений, а именно: имеют место следующие утверждения (теоремы 5.12, 5.13).

Теорема 5.12. Пусть функция G ( z ) C + (U), а отображение f : U U является отображением внутрь области. Если G ( z0 )[ f ( z0 )] j 1 для всех j = 0, 1,..., то однородное функциональное уравнение ( z ) = G ( z ) [ f ( z )], z 1, (5.74) имеет только тривиальное решение в классе функций C + (U). Если при некотором j выполняется равенство G ( z0 )[ f ( z0 )] j = 1, то уравнение (5.74) будет иметь тривиальное решение тогда и только тогда, когда выполня ются условия разрешимости (эти условия могут быть выписаны в тер минах коэффициентов Тейлора функций f, G в точке z0 ).

Теорема 5.13. Пусть g C + (U), а отображение f : U U является отображением внутрь области, g ( z0 ) = 0, где z0 – неподвижная точка отображения f. Тогда уравнение ( z ) = [ f ( z )] + g ( z ), z 1, (5.75) имеет решение с точностью до произвольной постоянной, представляе мое в форме равномерно сходящегося функционального ряда:

( z ) = g[ f j ( z )] + c. (5.76) Рассмотрим метод функциональных уравнений на примере решения задачи R- линейного сопряжения, которая является важной задачей для механики композиционных материалов. Необходимо найти функции N (z ), k ( z ), аналитические в, Dk соответственно ( = C \ Dk, k = Dk = {z C : z ak rk }, k = 1, N ), непрерывные в замыкании этих облас тей, удовлетворяющие условию R- линейного сопряжения:

rk _ k (t ) 1, t ak = rk, k = 1, N, (t ) = k (t ) + (5.77) t ak где – заданная константа. Предположим, что 1 (этот случай явля ется наиболее интересным с точки зрения механики).

Сведем уравнение (5.77) к системе функциональных уравнений.

N + 1 неизвестная функция (z ), 1 ( z ), …, N ( z ) удовлетворяет N краевым условиям R- линейного сопряжения (5.7.7). Таким образом, не обходимо найти еще одно уравнение, чтобы замкнуть систему. Построим на основе функций (z ), 1 ( z ), …, N ( z ) новую функцию, аналити N Dk, имеющую нулевой скачок вдоль каждого конту ческую в и на k = ра Lk и ограниченную в C. Применяя теорему Лиувилля получим, что ( z ) = c, где c – константа (причем c = 0 ). Функция имеет следую щий вид:

N m ( z ) (Wm1, m2, k k )( z ) 1, z am rm, * m = 1, N, k =1 m1, m Ф( z ) := N ( z ) (Wm1, m2, k k )( z ), z, k =1 m1, m где rk (Wm, m, k k ) rk ( z) = k + ak (5.78) z ak m1 im2 t ak m1 im 1 и N Wm1, m2, k := Wm, m, k + * 'Wm1, m2, k, 1 k =1 m1, m2 k m m1, m2 m1, m ' означает суммирование по всем m1, m2, кроме ( m1, m2 ) = (0,0). Пре m1, m rk образование ( z ) = + ak является преобразованием Ме t ak m1 im биуса по z для фиксированного k. Если m1 + im2 = 0, то ( z ) – это ин версия относительно окружности Lk. ( z ) 0 есть композиция инверсии относительно окружности Lk + m1 + im2 и переноса на вектор m1 im2, т. е. отображение ( z ) переводит замкнутый круг z ak rk в другой круг, лежащий внутри открытого круга z ak rk.

Рассмотрим банахово пространство Ck непрерывных на Lk функций k = max k (t ), k = 1, N, и замкнутое подпространство с нормой Lk + Ck Ck функций k, допускающих аналитическое продолжение на Dk.

Рассмотрим также банахово пространство C +, состоящее из функций + := k Ck для всех k = 1, N с нормой := max k.

k Оператор Wm1, m2, k, определяемый формулой (5.78), является ком + пактным в Ck при фиксированных m1, m2 Z.

Так как ( z ) = 0, получаем систему линейных функциональных уравнений:

N m ( z ) = * (Wm1, m2, k k )( z ) + 1, z am rm, m = 1, N, (5.79) k =1 m1, m + относительно m Cm. Эта система может быть рассмотрена как уравне ние в пространстве C + с неизвестной функцией (z ) :

N N ( z ) = (Wm1, m2, k )( z ) + 1, z ( Dk Tk ), * (5.80) k =1 m1, m2 k = где ( z ) = m ( z ), z am rm, m = 1, N. Заметим, что система уравнений (5.79) и уравнение (5.80) могут быть сведены к системе функциональных уравнений вида (5.73) на каждом из кругов Dk. Зафиксируем m = m0 и рассмотрим все соотношения в (5.79) при m m0. В каждом из них сде лаем замену переменной Z = ( z ). Тогда, находя в этих соотношениях m ( z ) и подставляя их в соотношение с номером m0, получим функ циональное уравнение относительно m0 ( z ) на круге Dm0. Проведем эту операцию с каждым из фиксированных значений индекса. Непосредст венно вычисляется, что условие G ( z0 )[ f ( z0 )] j 1, приведенное в теоре ме 5.72, в данном случае выполняется для любого j. Имеет место сле дующий результат.

Теорема 5.14. Функциональное уравнение (5.80) имеет единственное решение в классе функций C +, которое может быть найдено методом последовательных приближений в виде следующего ряда:

N m ( z ) = 1 + *W j1,k1 ( z ) + k1 =1 j N N * *W j,k W j,k ( z ) + …, + z am rm, m = 1, N. (5.81) 11 2 k1 =1 k2 =1 j1 j Функция (z ) имеет вид N (W j,k k ) ( z ), ( z ) = z. (5.82) k =1 j + Сходимость в C равномерная, поэтому суммы рядов (5.81) и (5.82) являются аналитическими функциями в Dk и соответственно.

Литература 1. Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. 2-е изд. М., 1970.

2. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов.

М., 1977.

3. Симоненко, И. Б. Новый общий метод исследования операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений / И. Б. Симоненко // Изв. АН СССР. Сер.

матем. 1965. Т. 29, № 3.

4. Kuczma, M. Iterative functional equations / M. Kuczma, B. Choczewski, R. Ger.

Cambridge, 1990.

5. Kuczma, M. Functional Equations in a Single Variable / M. Kuczma. Warsawa, 1968.

6. Kufner, A. Function Spaces / A. Kufner, O. John, S. Fuik. Amsterdam, 1977.

7. Mityushev, V. V. Analytical Methods for Heat Conduction in Composites and Po rous Media / V. V. Mityushev, E. V. Pesetskaya, S. V. Rogosin // Thermal Properties of Cellular and Porous Materials / Ed. A. chsner, Murch, de Lemos. Amsterdam, 2007.

8. Mityushev, V. V. Constructive Methods for Linear and Nonlinear Boundary Value Problems for Analytic Functions : Theory and applications / V. V. Mityushev, S. V. Ro gosin. Boca Raton-London, 1999.

9. Mityushev, V. V. Hilbert boundary value problem for multiply connected domains / V. V. Mityushev // Complex variables. 1998. Vol. 35.

Глава ГОМОГЕНИЗАЦИЯ И ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНОЙ ПРОВОДИМОСТИ 6.1. Принцип гомогенизации для композитов с богатой микроструктурой Следующие общие замечания о применении метода гомогенизации при исследовании композиционных материалов приводятся в основном в соответствии с монографией А. В. Черкаева [5]. Под композиционным материалом (композитом) понимают структуру, собранную из большого числа компонентов (фрагментов) данных материалов, перемешанных оп ределенным способом. Такую ситуацию можно, например, смоделиро вать, если считать, что сам композит неограничен. Предполагается, что каждая компонента по размеру гораздо меньше, чем материал в целом, однако больше, чем входящие в нее молекулы. Обычно полагают, что способ перемешивания является в некотором смысле регулярным. В ча стности, метод гомогенизации хорошо работает в случае периодических, квазипериодических или статистически однородных материалов.

Поскольку не всегда возможно получить полную информацию о ло кальных значениях параметров неоднородного материала, к тому же не все эти значения являются важными, то модель композиционного мате риала упрощается с помощью использования метода усреднения. Такая процедура называется гомогенизацией (более подробное описание при менения метода гомогенизации при исследовании дифференциальных уравнений можно найти, например, в монографии В. В. Жикова, С. М. Коз лова, О. А. Олейник [8]). Применяя гомогенизацию в случае композици онных материалов, мы заменяем исходный материал с быстро меняю щимся свойством (x) (например, с проводимостью (x) ) на однород ный материал с усредненным свойством e (например, с усредненной про водимостью e ). Эти усредненные параметры образуют тензор эффек тивного свойства (например, тензор эффективной проводимости). В от личие от быстро осциллирующего исходного параметра (x), тензор эффективного свойства является либо постоянным, либо (в частности, в квазипериодическом случае) достаточно гладко меняющейся тензорной функцией от x.

Для того чтобы пояснить данное определение в случае небольших периодических элементов, используем итерационную процедуру. Пусть композиционный материал имеет периодическую двухфазовую структу ру. Предположим, что соответствующая область состоит из кубов i и тензор проводимости каждого куба линейного размера m один и тот же. Будем считать также, что каждый куб такого размера m разделен на две части – 1 и m, содержащие материалы с постоянными тензорами m проводимости 1 и 2 соответственно. Тогда тензор проводимости (x) в каждой точке x куба m равен (x) = m (x)1 + (1 m (x)) 2, где m – периодическое продолжение характеристической функции мно m жества 1.

Рассмотрим последовательность таких процедур, а именно, будем считать, что каждый репрезентативный куб m разделен на 8 кубов m+1, линейные размеры которых в два раза меньше линейных размеров m. Остановим процесс деления кубов на части на некотором уровне, зафиксировав «характеристический» размер = 1m периодической ячей m ки =, и предположим, что такие ячейки полностью заполняют об ласть. Рассмотрим уравнение проводимости в области. Его реше ние может быть представлено в виде x T (x) = T0 (x) + T x, + o(), (6.1) где T0 (x) – гладкая составляющая решения, не зависящая от, а x T x, – почти периодическая осциллирующая компонента, такая что x T x, dx = 0, причем T является однородной порядка 1.

Описанный выше процесс усреднения может быть осуществлен с по мощью оператора усреднения | | x ) z ( x) = z (x) dx, ( где = (x) – характеристический куб линейного размера с цен тром в точке x. С помощью такого подхода можно, например, дать опре деление тензора эффективной проводимости (см. подpаздел 6.2).

6.2. Тензор эффективной проводимости Понятие тензора эффективной проводимости является интуитивно ясным для физиков и инженеров. Несмотря на это, строгое математиче ское определение тензора эффективной проводимости нуждается в неко тором теоретическом обосновании. Можно выделить три варианта такого обоснования: наивное описание;

определение, основанное на использо вании теории гомогенизации;

вариационное определение тензора эффек тивной проводимости.

Наивное описание. Для того чтобы описать определение такого ти па, рассмотрим стационарный тепловой поток в двумерном неоднород ном композиционном материале с конечным числом компонентов, кото рые заполнены макроскопически однородными материалами. Другими словами, матрица (геометрически описываемая конечносвязной обла стью ), а также каждое из включений (описываемых односвязными, взаимно не пересекающимися областями Dk, k = 1, …, N ) имеют посто янные коэффициенты проводимости, k, k = 1, …, N, вообще говоря, различные для разных частей композита.

Предположим для простоты, что распределение температуры T в каждой из компонент материала является гармонической функцией (или, что то же самое, – T удовлетворяет уравнению Лапласа, или что тепловой поток q имеет потенциал в каждом компоненте). Пусть также на внешней границе L = D = ( cl Dk ) функция T принимает задан ные значения (т. е. удовлетворяет условию Дирихле), а на границе разде ла матрица – включения удовлетворяет условию идеального контакта.

Говорят, что неоднородный композиционный материал имеет эф фективные свойства в направлении оси Ox, если существует постоянная x e, такая что выполнено следующее соотношение:

n T T dxdy + k = x e F (6.2) dxdy, x x k = D k где функция F в левой части равенства представляет собой общий поток в направлении рассматриваемой оси:

F = Re f ( z )dxdy, (6.3) D а f (z ) – комплексный потенциал, соответствующий решению задачи Дирихле в области D. Аналогичное определение может быть введено для любого другого направления, а также в случае одномерного или трех мерного композита. Константы, соответствующие различным направлениям, вообще говоря, различны. В случае трехмерного композита существует шесть, а в случае двумерного – три независимые постоянные, опреде ляющие эффективные свойства данного композита. Они образуют так называемый тензор эффективной проводимости, имеющий, например в случае 2 D- композитов, следующий вид:

e e x xy e =. (6.4) xy y e e Приведенное выше определение имеет следующий смысл: неодно родный композиционный материал обладает эффективными проводящи ми свойствами, если существует однородный материал, проводящие свойства которого в соответствующих направлениях описываются тен зором e, т. е. однородный материал, эквивалентный данному неодно родному по проводящим свойствам.

На практике определение компонент тензора эффективной проводи мости является достаточно сложной задачей. Например, если в случае 2 D- композита область представляет собой многосвязную круговую x область, то компонента e может быть вычислена по формуле n T = Tdy + 2 rk2k x e (6.5) (ak ), x k = D k где Dk = { z C :| z ak | rk }, k =. Приводя краевое условие зада k + чи Дирихле к комплексной форме, можно получить в этом случае фор мулу для двух компонент тензора эффективной проводимости:

n e i e = Re ( z )dy + 2 rk2 k (ak ), x xy (6.6) k = D где – решение соответствующей краевой задачи для внутренних об ластей Dk. Эти формулы могут быть нормализованы, если положить, что среднее по всей области D от вещественной части решения совпадает с площадью этой области D, т. е.

Re ( z )dxdy =| D |.

D Тогда формулы (6.5), (6.6) принимают соответственно вид:

x n e T = 1 + 2 k k (ak ), (6.5') x k = x xy n e i e = 1 + 2 k k (ak ), (6.6') k = rk где отношение k = есть так называемая концентрация k-го включе |D| ния Dk в области D.

Гомогенизация и определение эффективной проводимости. Рас смотрим так называемые периодические композиты, т. е. такие материа лы, термальные свойства которых периодически повторяются в одном, двух или трех направлениях. Для определенности рассмотрим ситуацию трехмерного композиционного материала, периодического относительно трех взаимно ортогональных направлений. Предположим, что линейные размеры периода (периодов) имеют размеры L, где L – линейные размеры экзаменационной выборки (области G R 3 в пространстве, ог раниченной простой замкнутой поверхностью ). Рассмотрим задачу Ди рихле в пространстве H 0 (G ) :

( (x) T (x)) = 0, x G, (6.7) T (t ) = f (t ), t. (6.8) Пусть T (x) слабо сходится в пространстве квадратично сумми руемых функций, т. е.

T (x) eT0 в L2 (G ), w (6.9) где e – некоторый постоянный тензор;

T0 – решение задачи Дирихле:

( e T0 (x)) = 0, x G;

T0 (t ) = f (t ), t. (6.10) Тогда тензор e называется тензором эффективной проводимости.

С помощью теории гомогенизации можно обосновать существование сла бого предела в (6.9) и независимость этого предела от вида поверхности и от краевых условий. При этом вместо условия Дирихле (6.8) может быть рассмотрено другое краевое условие, например условие Неймана.


Из теории гомогенизации следует также, что тензор e может быть вычислен согласно формуле e q = ( x ) T ( x ), (6.11) где F (x) означает усреднение величины F (x) относительно репрезен тативной ячейки Q, т. е.

F ( x ) dx, F ( x) = (6.12) |Q |Q где T (x) – решение следующей квазипериодической задачи:

( (x) T (x) ) = 0, x Q, T ( x1 +, x2, x3 ) T ( x1, x2, x3 ) = q1, T ( x1, x2 +, x3 ) T ( x1, x2, x3 ) = q2, T ( x1, x2, x3 + ) T ( x1, x2, x3 ) = q3, (6.13) а q = (q1, q2, q3 ) – вектор внешнего потока. Таким образом, тензор эффек тивной проводимости полностью определяется с помощью решений трех краевых задач типа (6.13), соответствующих «единичным» потокам q = (1,0,0), q = (0,1,0), q = (0,0,1).

В общем случае тензор эффективной проводимости является сим- e метричным положительно определенным тензором. Он может быть при веден к диагональной форме:

1 0 = e 0. (6.14) 0 0 Точнее говоря, существует линейное преобразование пространства к такой системе координат, в которой тензор e принимает форму (6.14).

Оси координат xj ( j = 1, 2, 3) этой новой системы называются главными осями для данного композита, а компонента ( j = 1, 2, 3) – проводимо j стью композита в направлении оси xj.

Тензор e макроскопически изотропного композиционного материа ла имеет вид:

e = I, (6.15) где I – единичный тензор, а := 1 = 2 = 3. Скалярная величина на зывается коэффициентом эффективной проводимости (или просто эф фективной проводимостью).

Пусть (x) – некоторая скалярная функция. Тогда в случае макро скопически изотропного материала формула (6.11) дает q = ( x ) T ( x ), (6.16) e где T (x) – решение квазипериодической задачи (6.13), соответствующее произвольному единичному вектору q. Для определенности можно счи тать, что q = (1,0,0).

Вариационное определение. Если заданный тензор проводимости (x) является симметричным (что на самом деле не всегда выполняет ся), то удобно использовать другое определение тензора эффективной проводимости. Рассмотрим следующую квадратичную форму e, где – гомогенизированная проводимость, определенная выше. Тогда эта e форма может быть переписана в виде e (y )( + w (y )) ( + w (y ))dy, (6.17) где w – периодическое относительно решение (или -периоди ческое решение) следующей задачи:

div (y )( + w (y ) = 0 в (x). (6.18) Можно заметить, что соотношение (6.2.17) представляет собой урав нение Эйлера – Лагранжа для следующего вариационного принципа: найти элемент w(y ), минимизирующий функционал энергий (y )( + w(y)) ( + w(y))dy на множестве всех -периодических функций.

Таким образом, тензор эффективной проводимости e может быть определен как тензор, доставляющий минимальное значение следующе му функционалу:

= min (y )( + w(y )) ( + w(y ))dy, (6.19) e wH # ( ) где H # ( ) – пространство -периодических функций w, обладающих конечной энергией (w ) + | w |2 dy +.

6.3. Репрезентативная ячейка Одно из наиболее важных понятий в теории композиционных мате риалов – это понятие репрезентативного объемного элемента (репре зентативной ячейки). Можно дать следующее нечеткое физическое оп ределение этого термина. Репрезентативный объемный элемент – это часть материала, которая достаточно мала с макроскопической точки зрения, поэтому может восприниматься как типичная часть гетерогенной среды. С другой стороны, эта часть достаточно велика с точки зрения микроскопической шкалы для того, чтобы представлять типичные харак теристики микроструктуры рассматриваемого композиционного мате риала. Рассмотрим двумерную двухкомпонентную периодическую ком позиционную среду, состоящую из коллекции неперекрывающихся, оди наковых по размеру круговых включений, имеющих постоянную одина ковую проводимость, вложенных в матрицу постоянной проводимости m = 1. Пусть = ( 1) /( + 1) – контрастный параметр Бергмана. Было установлено, что тензор эффективной проводимости e такого материа ла имеет вид двойных рядов, зависящих от концентрации включений и от «базовых элементов», определяемых исключительно положением включений. Эти базовые элементы могут быть записаны в терминах ря дов Эйзенштейна, причем коэффициенты этих двойных рядов зависят от. Будем говорить, что два композиционных материала эквивалентны, если разложения их тензоров эффективной проводимости e имеют одинаковые базовые элементы.

Таким образом, все множество композиционных материалов с оди наковыми круговыми включениями разбивается на классы эквивалент ности, определяемые только лишь структурой композитов. В частности, композиты с одинаковым расположением включений, но с различными значениями будут принадлежать одному и тому же классу эквивалент ности. Заметим, что композиты, принадлежащие одному классу эквива лентности, могут иметь различные значения тензора e, а композиты из различных классов могут иметь одинаковые значения тензора эффектив ной проводимости e. Каждый композиционный материал может быть представлен периодической ячейкой, а в качестве представителя класса эквивалентности выберем такой композит, который имеет ячейку мини мального размера. Такая ячейка называется репрезентативной ячейкой рассматриваемого класса эквивалентности.

Ниже будет предложен конструктивный алгоритм определения ре презентативной ячейки в случае произвольного распределения включе ний с использованием только геометрических параметров композицион ного материала.

Рассмотрим ячейку Q(0,0), так называемую нулевую, содержащую N неперекрывающихся, одинаковых по размеру круговых включений Dk радиусом r с центрами a k Q(0,0) (k = 1, 2, …, N ). Обозначим через D дополнение до области Q(0,0) замыкания всех ячеек Dk. Исследуем про водимость двоякопериодического композиционного материала в случае, когда проводимости материалов, заполняющих области Dper = = ( D0 Q(0,0) + m11 + m22 ) и Dk + m11 + m22, равны соответст ( m1, m 2 ) венно 0 и. Здесь 1 и 2 – пара неколлинеарных векторов на плос кости. При этом, не ограничивая общности, можно считать, что 0 = 1.

Потенциал (теплового) поля u ( z ), z Q(0,0), предположим удовле творяющим условиям идеального контакта на границе включений:

u + u + u (t ) = u (t ), (t ) = (t ) (6.20) n n на Dk = {t :| t ak |= r}, k = 1, 2, …, N, а также условиям квазипериодично сти:

u ( z + 1 ) = u ( z ) + 1, u ( z + 2 ) = u ( z ) + 2. (6.21) Последние условия означают, что внешнее поле имеет градиент, равный (1, 2 ) в системе координат, порожденной векторами 1 и 2.

Для определения тензора эффективной проводимости e достаточно ре шить задачу (6.20), (6.21) в классе функций, гармонических всюду в Q(0,0), кроме объединения границ включений Dk, хотя бы для одной пары ли нейно независимых векторов 1 и 2.

Тензор эффективной проводимости e рассматриваемого компози ционного материала имеет следующую структуру:

e = (1 + 2 )I + 2 Pk k, (6.22) k = N r – концентрация включений в ячейке Q(0,0) ;

k – концен где = | Q(0,0) | трация k -го включения;

I – тождественный тензор, а тензор Pk опреде ляется равенствами Re Ak Im Ak Pk =, Ck Im Ak Ak =| Q(0,0) |k Bnk…n en1…n p (1, 2 ).

() (6.23) 1 p n1…n p Здесь постоянные коэффициенты Bnk…n () зависят только от k, и 1 p n1, …, n p ( n j = 2, 3, …;

k = 1, 2, …). Значения величин Ck имеют форму, аналогичную (6.23). В представлении эффективной проводимости (6.22) только величины en1…n p = en1…n p (1, 2 ) зависят от расположения центров включений ak. В свою очередь, величины Ak представляются через en1…n p.

Для ряда начальных значений индекса k эти представления выписаны в явной форме:

2!2e33 + 3e222, A1 = A2 = A3 = e2, e22, 3 1 3! e44 2!3 (e332 + e233 ) + 4e2222, A4 = 4 A5 = 5 [4!2e55 + 3!3 (e442 + e343 + e244 ) 2!4 (e3322 + e2332 + e2233 ) + 5e22222 ], [5!2e66 4!3 (e255 + e354 + e453 + e552 ) + A6 = +3!4 (e2244 + e2343 + e2442 + e3432 + e4422 ) + 44e 2!5 (e22233 + e22332 + e23322 + e33222 ) + 6e222222 ], (6.24) где индексы связаны между собой соотношениями n 1 + … + n p = 2k ;

n j k p ( j = 1, 2, …, p );

n j 2 ( j = 1, 2, …, p ).

Таким образом, для того чтобы вычислить e с точностью до ( ) O L+1, необходимо определить значения Ak для всех k = 1, 2, …, L 1, или соответствующее конечное число сумм Эйзенштейна – Релея en1…n p.

Рассмотрим теперь достаточно большую фундаментальную об ласть Q(0,0), порожденную фундаментальными векторами 1 и 2, содержащую N неперекрывающихся, одинаковых по размеру круго вых включений Dk радиусом r с центрами ak Q(0,0) (k = 1, 2, …, N ).

Пусть – эффективная проводимость композиционного материала, e имеющего в качестве геометрического представления область Q(0,0) с включениями Dk. Рассмотрим следующую задачу: можно ли заме нить Q(0,0) на некоторую другую малую ячейку Q(0,0), содержащую круговые включения Dk = { z C : z ak r}, k = 1, 2, …, N, так что ее тензор эффективной проводимости e близок к тензору. При этом e будет предполагаться, что концентрация включений в обеих ячейках одинакова. Порядок близости будем оценивать соотношением e = e = O( L+1 ) с некоторым предписанным значением L. Ес e ли такая близость достигнута, то будем говорить, что Q(0,0) является репрезентативной ячейкой для Q(0,0) с точностью приближения O( L+1 ).

Репрезентативная ячейка Q(0,0) будет называться минимальной для Q(0,0), если она имеет минимально возможную площадь | Q(0,0) |. Посколь ку в дальнейшем речь пойдет только о минимальных репрезентатив ных ячейках, то слово «минимальная» будет опускаться. Опишем спо соб построения репрезентативных ячеек.

Рассмотрим формулы для вычисления, соответствующие фор e мулам (6.22), (6.23):

= (1 + 2 )I + 2 Pk k, (6.25) e k = Ak =| Q(0,0) |k Bnk…n en1…n p (1, 2 ).

() (6.26) 1 p n1…n p Заметим, что коэффициенты Bnk…n имеют одну и ту же форму как () 1 p ( ) в (6.23), так и в (6.26). Следовательно, e будет иметь порядок O L+1, если Ak = Ak для всех k = 1, 2, …, L 1, т. е. тогда и только тогда, когда | Q(0,0) |k en1…n p (1, 2 ) =| Q(0,0) |k en1…n p (1, 2 ) (6.27) для всех k = 1, 2, …, L 1 и соответствующих наборов индексов n1, …, n p.


Система (6.27) может рассматриваться как система уравнений отно сительно неизвестных векторов 1, 2, неизвестных центров включений a1, a2, …, aN, неизвестного количества включений N при дополнитель ных ограничениях | a j am | 2r ( j m). Поскольку геометрия любой ячей ки определяется с точностью до параллельного переноса, то можно счи тать, что центр одной из ячеек лежит в начале координат, например aN = 0. Фундаментальная область Q(0,0) и фундаментальные векторы 1, 2 могут быть выбраны бесконечным числом способов. Для любой двоякопериодической структуры всегда возможно построить такую пару векторов 1, 2, что 1 0 и Im 2 = Im 0. Площадь ячейки Q(0,0) вы числяется по формуле | Q(0,0) |= 1 Im. (6.28) С другой стороны, N r | Q(0,0) |=, следовательно, N r 1 =. (6.29) Im Для того чтобы построить (минимальную) репрезентативную ячейку Q(0,0), для которой e имеет порядок O( L+1 ), можно, например, ре шать систему уравнений (6.3.8) при фиксированном L, увеличивая коли чество включений N от 1 до N. При этом можно считать, что число N фиксировано на каждом шаге исследования системы (6.27).

Применяя свойство сумм Эйзенштейна en1…n p (1, 2 ) = 1 2 k en1…n p (1, ), 2k = n1 + + np, а также формулу (6.28), мы можем переписать (6.27) в виде ( Im )k en …n (1, ) =| Q(0,0) | en1…n p (1, 2 ), k = 1, 2, …, L 1.

(6.30) 1 p Система уравнений (6.30) является системой относительно N неиз вестных, a1, a2, …, aN 1 при дополнительных ограничениях | a j am | 2r ( j m). Зная ее решение, мы можем вычислить неизвестный фунда ментальный вектор 1 по формуле (6.29).

Можно также рассматривать задачу об отыскании репрезентативной ячейки предписанной формы. Например, в случае прямоугольной репре зентативной ячейки Q(0,0) имеем = i, 0, и, следовательно, (6.29) имеет вид N r 1 =, (6.29') а система уравнений (6.30):

( Im )k en …n (1, ) =| Q(0,0) | en1…n p (1, 2 ), k = 1, 2, …, L 1. (6.30') 1 p Аналитическое исследование систем (6.30) (или (6.30')) в общем слу чае представляет собой достаточно сложную задачу. Подобное исследо вание в простых частных случаях проведено В. В. Митюшевым [6].

Литература 1. Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. 2-е изд. М., 1970.

2. Вейль, А. Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру / А. Вейль.

М., 1982.

3. Мейз, Дж. Теория и задачи механики сплошных сред / Дж. Мейз. М., 2007.

4. Allair, G. Shape Optimization by the Homogenization Method / G. Allair. Berlin, 2002.

5. Cherkaev, A. Variational Methods for Structural Optimization / A. Cherkaev. New York, 2000.

6. Mityushev, V. V. Representative cell in mechanics of composites and generalized Eisenstein-Rayleigh sums / V. V. Mityushev // Complex variables. 2006. Vol. 51, № 8–11.

7. Panasenko, G. Multi-scale modelling for structures and composites / G. Pana senko. Dordrecht, 2005.

8. Zhikov, V. V. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals / V. V. Zhikov, S. M. Kozlov, O. A. Olejnik. Berlin, 1994.

Глава КОМПОЗИЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ 7.1. Периодические структуры Решетчатые структуры широко распространены в современной ин женерии. Они состоят из системы связанных между собой волокон (в двумерном случае – слоев). Значительная часть таких композицион ных материалов имеет периодическую структуру или близкую к ней. Пе риодическими являются каркасные структуры (формы мостов, каркасы зданий, опоры линии электропередач и др.). Модель сплошной среды с периодически расположенными полостями описывает такие пористые среды, как порошки, пенопласты, древесина, почва, материалы с систе мой трещин, перфорированные пластины и др.

Под периодической структурой будем понимать среду, составлен ную из периодически повторяющихся элементов (ячеек). Например, во локнистый композит с однонаправленной системой армирования состоит из однонаправленных волокон одного вещества и матрицы из другого вещества, заполняющего расстояния между волокнами. Сечение такого материала схематически представлено на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Сечение композиционного материала с периодической структурой Поля и процессы в периодических системах описываются уравне ниями или системами уравнений с частными производными с периоди ческими коэффициентами. Например, если температура волокнистого композита постоянна в направлении ориентации волокон, то двумерное стационарное тепловое поле в композите описывается уравнением Пуас сона в каждой ячейке периодичности B, имеющей размер :

u u ( K ( x1, x2 ) ) + ) = f ( x1, x2 ) ( K ( x1, x2 ) (7.1) x1 x1 x2 x всюду вне линий контакта волокон и матрицы. Здесь K ( x1, x2 ) – коэф фициент теплопроводности в точке ( x1, x2 ). Если точка попадает на во локно, то K принимает значение коэффициента теплопроводности во локна K B, в противном случае K равно коэффициенту теплопроводности матрицы K M. Функция f ( x1, x2 ) – плотность тепловых источников в ком позите (эта функция предполагается гладкой).

На линиях контакта волокон и матрицы выполняется условие идеально го контакта, состоящее из условия непрерывности температуры T ( x1, x2 ) – скачок [. ] температуры при переходе через линию раздела равен нулю:

[T ] = 0, (7.2) и условия непрерывности потока тепла T ] = 0.

[ K (7.3) n Коэффициент теплопроводности K ( x1, x2 ) изменяется на величину K B K M при изменении на величину порядка 1. Таким образом, функция K ( x1, x2 ) быстро осциллирует (рис. 7.2).

Для исследования таких задач сложно применять численные методы, поскольку приходится брать слишком мелкую сетку, чтобы по крайней мере несколько узлов разностной схемы попало на каждое волокно.

Однако имеется возможность асимптотического исследования зада чи (7.1) – (7.3) при 0. Уравнения в частных производных, которые описывают состояние физических полей в такого рода структуре, гомо генизируются (осредняются). Коэффициенты в этих уравнениях назы вают эффективными коэффициентами композиционного материала.

Иногда при осреднении получаются уравнения совсем другого типа, чем исходные. Типичный в этом случае результат представлен в следующей теореме.

Теорема 7.1. Пусть G – ограниченная область в R 2 с достаточно гладкой границей. Пусть f C1 (G ). Рассмотрим задачу T T = f (x), x G B ;

= 0, x G B ;

n T = 0, x G B. (7.4) Пусть B – расширенная решетчатая структура для B :

B = R : ({| 1 k | t / 2} {| 2 k | t / 2}.

k = Пусть U – решение так называемой задачи для ячеек:

U U = 0, B;

= 0, B, (7.5) n где функция является периодической по обеим переменным 1, 2, и пусть K – эффективная проводимость:

U U = K= d 1 d 2, (7.6) 1 Q где Q = B ( 1/ 2, 1/ 2 ).

Пусть T0 – решение гомогенизированной задачи:

K T0 = mes( B Q) f (x), x G;

T0 = 0, x G. (7.7) Тогда имеет место следующая оценка:

|| T T0 ||L 2 (G B, ) C, где постоянная C не зависит от малого параметра.

Рассматриваются также модели композиционных материалов, опи сываемые двумя малыми параметрами. Обычно такие структуры моде лируются периодическими конструкциями с ячейками, описываемыми двумя (или более) малыми параметрами: (отношением периода к ха рактерному размеру задачи) и (отношением диаметра волокна к пе риоду структуры). Простейшая решетчатая структура в этом случае – это так называемая двумерная прямоугольная решетчатая структура B, = ({| x1 k | / 2} {| x2 k | / 2}, k = которая состоит из двух периодических систем узких полосок, ориенти рованных в направлении координатных осей. В качестве малых пара метров выбирается постоянный шаг (т. е. расстояние между осью и ближайшей полоской) и отношение ширины полоски к шагу перио дичности.

Принцип расщепления гомогенизированного оператора дает возмож ность получить явные формулы для асимптотических компонент первого порядка. Типичным результатом асимптотического анализа на решетча тых структурах является следующая теорема.

Теорема 7.2. Пусть G – ограниченная область в R 2 с достаточно гладкой границей, а f C1 (G ). Рассмотрим задачу T, = f (x), x G B, ;

T, = 0, x G B, ;

n T, = 0, x G B,. (7.8) Пусть T0 – решение так называемой гомогенизированной задачи:

T0 = 2 f (x), x G;

T0 = 0, x G. (7.9) Тогда имеет место следующая оценка:

|| T, T0 ||L2 (G B, ) ( ) C +, (7.10) mes ( G B, ) где постоянная C не зависит от малых параметров.

Этот тип сходимости решения T, исходной задачи к решению T гомогенизированной задачи называется L- сходимостью.

В различных композиционных материалах в силу особенностей из готовления и дефектов периодичность нарушается. В этих случаях при бегают к осреднению свойств композитов. Существует также понятие почти периодической структуры, т. е. структуры, допускающей случай ные сдвиги включений внутри ячейки вблизи центра. В этом случае предполагается, что концентрация включений относительно высока и со ответственно движение включений ограничено. В случае малой концен трации включений могут образовываться структуры, сильно отличаю щиеся от почти периодических.

7.2. Двоякопериодические функции В данном разделе изложены основные аспекты теории эллиптиче ских функций. Эллиптическими функциями называются двоякопериоди ческие мероморфные функции с периодами 21, 22, отношение кото рых 2 / 1 не является вещественным. Из теоремы Лиувилля следует, что не существует целых эллиптических функций, отличных от постоян ных, т. е. функций, не имеющих изолированных особых точек в конеч ной части плоскости. В дальнейшем для краткости будем употреблять термин однозначные (или регулярные) аналитические функции (в C ), по нимая под этим функции, аналитические во всей комплексной плоско сти, за исключением не более чем конечного числа изолированных осо бых точек (регулярного характера). Заметим также, что, в соответствии с теоремой Якоби, не существует однозначных аналитических функций, имеющих более двух линейно независимых периодов.

Будем говорить, что однозначная аналитическая функция f (z ) явля ется двоякопериодической с периодами 21, 22, Im 2 / 1 0, если f ( z + w) = f ( z ), w = 2m11 + 2m22, m1, m2 Z.

Любой параллелограмм с вершинами в точках z0, z0 + 21, z0 + 21 + 22, z0 + 22 называется параллелограммом периодов (а при z0 = 0 – фундаментальной ячейкой) эллиптической функции. Для опре деленности можно считать, что нижняя и левая стороны параллелограм ма периодов ему принадлежат, а верхняя и правая – нет. Число полюсов с учетом их кратности, лежащих в фундаментальной ячейке, называется порядком эллиптической функции. Сумма вычетов эллиптической функ ции относительно всех ее полюсов, лежащих в параллелограмме перио дов, равна нулю. Производная эллиптической функции также является эллиптической функцией. Наконец, число нулей с учетом их кратности (так же, как и число a -точек), лежащих в фундаментальной ячейке, рав но порядку эллиптической функции.

Приведем свойства одной из базовых эллиптических функций - функции Вейерштрасса 1 1 + ( z ) =, (7.11) z 2 m1, m2 ( z 2m11 2m22 ) 2 (2m11 + 2m22 ) где символ означает, что суммирование производится по всем це m1,m лым m1, m2 Z за исключением m1 = m2 = 0. Следующие свойства выте кают непосредственно из определения (7.11):

а) (z ) – двоякопериодическая функция с полюсами 2m11 + 2m22 ;

б) (z ) – четная эллиптическая функция порядка 2;

в) производная ( z ) является нечетной функцией порядка 3;

г) в окрестности начала координат главная часть разложения (z ) в ряд Лорана равна 2 ;

z д) разность ( z ) 2 стремится к нулю при z 0 ;

z е) функция (z ) является обратной функцией для эллиптического интеграла:

dx z= (т. е. =( z )), (7.12) 4 x3 g 2 x g где g 2 = 60, (2m11 + 2m22 ) m1, m g 2 = 140 ;

(7.13) (2m11 + 2m22 ) m1, m ж) функции ( z ) и (z ) связаны между собой алгебраическим со отношением 2 ( z ) = 43 ( z ) g 2( z ) g3. (7.14) С помощью -функции Вейерштрасса определяется так называемая - функция Вейерштрасса (не следует смешивать ее с известной - функ цией Римана, играющей важную роль в теории чисел). - функция Вей ерштрасса определяется посредством интегрирования -функции Вей ерштрасса:

z ( z ) = () 2 d. (7.15) z Из определения (7.15) и формулы (7.11) непосредственно вытекает следующее представление - функции Вейерштрасса в виде ряда:

1 1 1 z + ( z) = + +.

z m1, m2 z 2m11 2m22 2m11 + 2m22 (2m11 + 2m22 ) Дифференцируя (7.15), имеем ( z ) = ( z ).

Таким образом, - функция Вейерштрасса является нечетной функ цией ( z ) = ( z ), имеющей единственный простой полюс в параллело грамме периодов (-функции Вейерштрасса), причем вычет в этом по люсе равен 1. Отсюда следует, что - функция Вейерштрасса не может быть эллиптической. Иногда ее называют квазипериодической, посколь ку она удовлетворяет следующим соотношениям:

( z + 21 ) = ( z ) + 21, ( z + 22 ) = ( z ) + 22, (7.16) где постоянные 1, 2 равны соответственно 1 = (1 ), 2 = ( 2 ). (7.17) Вычисляя криволинейный интеграл вдоль границы фундаментальной ячейки можно получить соотношение, связывающее значения этих по стоянных и периоды -функции Вейерштрасса:

i 1 2 2 1 =. (7.18) - функция Вейерштрасса определяется через - функцию Вейершт расса, а именно с помощью интегрирования функции ( z ) вдоль z произвольной кривой, начинающейся в начале координат и не проходя щей через полюсы подынтегральной функции. Для того чтобы избежать многозначности, - функция Вейерштрасса задается равенством z ( z ) = () d.

log (7.19) z Непосредственные вычисления, использующие представлении - функ ции Вейерштрасса в виде ряда, приводят к следующему представлению - функции Вейерштрасса в виде бесконечного произведения:

z z z ( z ) = z +.

exp 2m + 2m (2m11 + 2m22 ) 2m11 + 2m m1, m2 11 Здесь символ означает то же, что и ранее. Формула дифференци m1, m рования имеет в этом случае вид:

( z ) = ( z). (7.20) ( z ) - функция Вейерштрасса является нечетной функцией, не имеющей особенностей в конечной части плоскости, нули которой расположены в точках z = 2m11 + 2m22. Следовательно, она также не является эллип тической функцией. Для нее выполняются следующие соотношения:

( z + 21 ) = e 21 ( z +1 )( z ), ( z + 22 ) = e 22 ( z +2 )( z ) с теми же постоянными 1, 2, что и в (7.16).

На практике достаточно часто полагают, что один из периодов эл липтической функции является вещественным. Переход к такому случаю может быть реализован с помощью следующей замены переменных:

z v=, = 2.

21 В этих переменных эллиптическая функция имеет периоды 1 и, а предположение независимости периодов сохраняется и имеет вид Im 0. Относительно переменных v и так называемая - функция определяется в виде ряда n e(2 n1) vi, n (v) = i (1) q (7.21) n = где q = e i. - функция связана с - функцией Вейерштрасса следующим соотношением:

z z 21 2 ( z ) = (7.22) e.

(0) Следовательно, - функция также не имеет полюсов в конечной час ти плоскости (а значит, тоже не является эллиптической функцией). Из определения - функции вытекает, что (v + 1) = (v), (v + ) = e 2 vi (v). (7.23) q Нулями - функции являются точки v = m1 + m2.

При исследовании композиционных материалов оказалось важным использовать эллиптические функции в форме так называемых рядов Эй зенштейна, введенных Эйзенштейном в 1847 г. Классические решетча тые суммы (или суммы Эйзенштейна) были использованы еще лордом Релеем для вычисления тензора эффективной проводимости для случая репрезентативной ячейки, содержащей одно включение.

Рассмотрим решетку, определяемую двумя фундаментальными векторами (или комплексными числами в C ) 1, 2. При этом предпола гается, как обычно, Im = Im 2 0. Введем так называемую нулевую ячейку Q(0,0) = {z = t11 + t22 : 1/ 2 t j 1/ 2, j = 1, 2}. Будем говорить, что решетка состоит из ячеек Q( m1, m2 ) = {z C : z m11 m22 Q(0,0) }, где параметры m1, m2 пробегают все множество целых чисел. Суммиро вание в смысле Эйзенштейна определяется соотношением m1 = M m2 = N = Nlim M.

lim (7.24) m2 = N m1 = M m1, m Используя такой метод суммирования, введем следующие условно сходящиеся ряды (суммы Эйзенштейна – Релея):

(m 1 1 + m 2 2 ) 2, S 2 (1, 2 ) = (7.25) m1, m где суммирование производится по всем целым m1, m2 Z за исключе нием m1 = m2 = 0. Непосредственно устанавливается, что 2 S 2 (1, 2 ) =, (7.26) 1 где (z ) – - функция Вейерштрасса. Известно также следующее пред ставление для сумм S2 (1, 2 ) :

2 1 mh 2 m S 2 (1, 2 ) = 8, h = exp(i). (7.27) 1 3 m=11 h 2 m -функция Вейерштрасса может быть представлена в окрестности начала координат следующим рядом Лорана:

+ (2n 1) S 2 n z 2 n2.

( z ) := (7.28) z 2 n= Семейство эллиптических функций Эйзенштейна Em также вводится с помощью рядов ( z m1 im2 ) m.

Em ( z ) := (7.29) m1, m Функции Em связаны с -функцией Вейерштрасса соотношением:

Em ( z ) =( z ) + S2.

Кроме того, эти функции удовлетворяют дифференциально-ре куррентному соотношению El( z ) = lEl 1 ( z ).

Семейство модифицированных функций Эйзенштейна вводится по формулам:

l ( z ) = El ( z ) z l, l = 1, 2,.... (7.30) Эти функции аналитичны в единичной ячейке Q (0,0) и l (0) = Sl, где Sl = 0 для l – нечетных. Кроме того, для квадратного массива S6 = S10 = S14 =... = 0. Остальные Si положительны и могут быть вычис лены с помощью рекуррентных формул:

S2 =, S4 = 3,15121, S8 = 4, 25577, S12 = 3,9388, ….

7.3. Представление тензора эффективной проводимости для двоякопериодических композитов Для вычисления эффективных характеристик композиционных ма териалов физиками и инженерами используется аналитическая формула Клаузиуса – Мозотти l 1 + = для случая малых концентраций включений. Здесь – проводимость матрицы;

l – эффективная проводимость композита;

= 1 – кон 1 + трастный параметр Бергмана, выражающий разницу между проводимо стями материалов;

1 – проводимость включений, 0 +, 1 1.

Удобно считать проводимость матрицы равной единице. Тогда = 1.

1 + Используя метод функциональных уравнений (см. подраздел 5.7), можно обобщить формулу Клаузиуса – Мозотти на случай большой кон центрации включений:

s l = 1 + 2 Ap p + o( s +1 ). (7.31) p = Рассмотрим композиционный материал, имеющий двоякопериоди ческую структуру. Обозначим нулевую (фундаментальную) ячейку ком 1 1 позита через Q(0,0) = z = t1 + it2 C : t1, t2. Рассмот 2 2 рим прямоугольную решетку, определяемую двумя фундаментальны ми векторами 1 = 1, 2 = i. Тогда семейство ячеек Q( m1, m2 ) (где Q( m1, m2 ) = Q(0,0) + m1 + im2 := {z C : z m1 im2 Q(0,0) }, m1, m2 – целые), геометрически описывает структуру двоякопериодического композицион ного материала. Пусть взаимно непересекающиеся круговые включения _ Dk := {z C : z ak r}, k = 1, N, имеют одинаковые радиусы и периодически повторяются в ячейках Q( m1, m2 ) (рис. 7.3 для случая четырех симметрично расположенных вклю чений в ячейке).

Обозначим через Tk = {t C :| t ak |= r} – границы кругов Dk. Тогда N связная область D0 := Q(0,0) \ Dk Tk представляет собой часть мат k =1 рицы композита в нулевой ячейке Q(0,0).

Тепловое поле T удовлетворяет уравнению Лапласа (является по тенциальным):

N T = 0 на (Dk + m1 + im2 ) ( D0 + m1 + im2 ) k =1 и условиям сопряжения:

T + = T, T + T _ = 1 на Tk, k = 1, N, n n где – производная в направлении внешней нормали. Кроме того, n предположим, что поле T удовлетворяет следующим условиям квазипе риодичности:

T ( z + 1) = T ( z ) + 1, (7.32) T ( z + i ) = T ( z ).



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.