авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«ISSN 1563-034X Индекс 75877 Индекс 25877 ...»

-- [ Страница 4 ] --

Integrated experiment of blanket in-pile mockup with Li2TiO3 pebbles. // Fusion Engineering and Desing (Japan) v. 51-52 (2000) 887-892, 4. V. Kapychev, V. Tebus, V. Frolov. Influence of neutron irrsdiation on the strength characteristics of lithium ceramic pellets for fusion reactor blankets. // Journal of Nuclear Materials v. 307-311 (2002) 823-826.

5. И.Л. Тажибаева, В.П. Шестаков, Е.А. Кенжин, Е.В. Чихрай, Т.В. Кульсартов, П.В.

Чакров, Ш.Х. Гизатулин, АО. Бекмухамбетов, А. Куйкабаева, H. Kawamura, K. Tsuchiya Использование реактора ВВР-К для длительных радиационных испытаний литиевой керамики Li2TiO3 для бланкета ТЯР// - ВАНТ, сер. термоядер. синтез, вып.2,2007, стр.3-10.

РЕАКТОРЛЫ СУЛЕЛЕНДІРУ РДІСІНДЕ ЛИТИЙ ТИТАНАТЫНАН ТРИТИЙДІ БЛІНУ МЕХАНИЗМДЕРІ МЕН КИНЕТИКАСЫ И.Н. Бекман, И.Л. Тжибаева, А.А. йабаева Бл жмыста сулелендіру жадайын есепке ала отырып траты температура жне термоциклдеу жадайларында, сулелендірілген литий керамика лгілерінен тритийді бліну кинетикасы арастырылды. за реакторлы сулелендіру кезіндегі литий керамикасынан тритийді бліну механизімдері мен кинетикасы сынылды.

Литий-6 изотопымен жоарыбайытылан метатитанатлитий басарылатын термоядролы синтездік рылыларда тритийді (шекті жадайда 22% дегейіне дейін жананда) берік кзі болып табылатыны крсетілді.

KINETICS AND MECHANISMS OF TRITIUM RELEASE FROM LITHIUM TITANATE DURING REACTOR IRRADIATION I.N. Beckman, I.L. Tazhibayeva, A.A. Kuykabaeva Goal of this work is to study kinetics and mechanisms of tritium generation and release from lithium titanate during long-term irradiation. Paper contains results of the study of kinetics of tritium release from irradiated lithium ceramic samples depending on irradiation conditions under constant temperature and thermal cycling. The mechanisms are proposed for tritium generation and release from lithium ceramics during long-term reactor irradiation.

It was showed that lithium metatitanate-based ceramics, which is high-enriched with lithum-6, can be steady (at least up to burnup level of 22%) tritium source for fusion facilities.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЫГОРАНИЯ, ГЕНЕРАЦИИ И ВЫДЕЛЕНИЯ ТРИТИЯ В УСЛОВИЯХ РЕАКТОРНОГО ОБЛУЧЕНИЯ И.Н. Бекман*, И.Л. Тажибаева, А.А. Куйкабаева, И.М. Бунцева* Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, *Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Москва В работе приведено математическое моделирование процессов выгорания, генерации и выделения трития из облученных образцов литиевой керамики Показано, что метатитанат лития наиболее перспективны материал для их применения в зонах воспроизводства трития в бланкетах термоядерных реакторов.

Введение Целью настоящей работы является оценка перспектив использования титаната лития, обогащенного по изотопу 6Li, в качестве бридерного материала для установок управляемого термоядерного синтеза. В качестве исследуемого материала использовали метатитанат лития (как чистый, так и допированный оксидом титана), обогащенный до 96% по изотопу литий- [1]. Удалось изучить процессы выделения трития из керамики на базе высокообогащенного по литию-6 титаната лития в режиме реакторного эксперимента (на реакторе ВВР-К) при термоциклировании образца, причем до весьма высоких степеней выгорания исходного компонента ядерной реакции (6Li) [2]. В результате удалось выяснить механизмы, ответственные за выделение трития, получить количественную оценку диффузионных параметров, определить особенности влияния термоциклирования и облучения материала в мощных полях нейтронного, рентгеновского и ультрафиолетового излучений на устойчивость процесса извлечения трития из бридерного материала [3].

В данной работе приведено математическое моделирование процессов выгорания, генерации и выделения трития из облученных образцов литиевой керамики.

1. Выгорание лития – 6 и генерация трития 1.1. Выгорание Дифференциальное уравнение, описывающее изменение числа атомов лития-6 (N1) во времени имеет вид:

dN1 t N1 t, (1) dt Ф – поток нейтронов, прошедших через слой вещества (например, титаната лития) толщиной L, см-2*с-1;

- среднее сечение взаимодействия нейтронов с веществом, см2;

N1(t) – функция, описывающая изменение числа атомов лития-6 во времени;

t – время (с).

Интегрируя уравнение (1), получим:

N1 t N10 e t, (2) где N10 – число атомов лития-6 в образце (ампуле) Li2TiО3 в начальный момент времени, k=Ф.

Плотности потоков тепловых нейтронов в каналах реактора ВВР-К варьируются в зависимости от типа канала (центральный канал и боковые каналы активной зоны) и длительности кампании реактора, изменяясь в пределах (1,11,4)1014 нейтрон/(см2сек).

Другой важный параметр, входящий в уравнение (2) – сечение ядерной реакции. Сечения взаимодействия тепловых нейтронов с атомом 6Li равна =970 барн. В условиях нашего реального реакторного эксперимента на ВВР-К энергетический спектр нейтронов, поступающих на образец, изменяется от тепловых энергий до 5-6 МэВ и имеет сложную структуру. Сделанные нами оценки показывают, что здесь более обосновано принятие за величину среднего эффективного сечения реакции 6Li(n,)T значение =300 барн.

Нами были проведены оценки минимальной и максимальной степеней выгорания лития-6 в ходе всего реакторного облучения.

Минимальная ожидаемая степень выгорания лития- равна10%, а максимальная - 35%.

Экспериментальное значение 23% (остаточная концентрация лития-6 - 77%) разумно укладывается в этот интервал. Кинетика уменьшения концентрации лития в титанате лития в условиях при =970 барн и =300 барн режимов выгорания приведены на рис.1.

Рис.1. Ожидаемое изменение концентрации лития- в титанате лития при =970 барн (кривая 1) и = барн (кривая 2) режимах облучения 1.2. Генерация и распад трития В принципе, кинетика накопления трития в образце (при отсутствии выделения) определяется кинетикой выгорания лития-6. Однако следует учитывать, что тритий – радиоактивный изотоп (период полураспада 12,6 лет), что может сказаться на кинетике его накопления (Следует учитывать, что за год распадается 5,47% начального количества трития).

Кинетика изменения концентрации трития, нарабатываемого из лития-6 в гранулах керамики (при условии отсутствия миграции трития из образца), описывается дифференциальным уравнением:

dN 2 t N1 t 2 N 2 t (3) dt где N2 – число атомов трития, образовавшегося из лития-6, = 0,0000025 с-1 - постоянная распада трития. Взаимодействием нейтронов с тритием мы здесь пренебрегли.

Число атомов трития (при длительном облучении, с учтом его распада), образовавшихся в образце в ходе ядерной реакции, продолжавшейся время t:

N 2 t N10 e t e 2t N 20 e 2t. (4) Здесь N10 и N20 - значения N1 и N2 при t=0. N20 - число атомов трития после i-ой компаний (перед i+1 - компанией);

N10- число атомов лития в начальный момент времени.

Если пренебречь распадом трития, то весь прореагировавший литий-6 переходит в тритий (при t, N2=N10) по уравнению:

N 2 N101 e t.

(5) При малых временах концентрация трития возрастает линейно:

N2=Фt. (6) При t N2=N10.

Расчты показали, что радиоактивный распад трития за 5350 час, приводит к уменьшению его концентрации примерно на 3%. В дальнейшем, распад трития мы обычно не учитывали.

Отметим, что при расчте выхода трития в ходе ядерной реакции, следует учесть падение потока нейтронов при прохождении слоя образца. Даже при однородном распределении лития, концентрация образовавшегося трития будет падать при движении от поверхности к центру сферы. Проиллюстрируем сказанное на примере плоской геометрии.

Число атомов радиоактивного элемента N2, образующихся в образце в единицу времени [c-1], равно изменению потока нейтронов, прошедших через вещество. Ослабление потока частиц в 1 см2 вещества может быть найдено решением дифференциального уравнения:

d N1 (7) dl где;

L - толщина слоя материала, см;

N1 - число атомов активируемого изотопа 6Li в 1 см образца [см-3]. Отсюда 0 e N1L (8) и скорость образования атомов трития N 2 0 S 0 S 1 e N1L, (9) где Ф0 –первоначальный поток нейтронов, см *с, S – площадь поверхности образца [см2], -2 - - доля нейтронов, расходующихся непосредственно на образование трития.

Для малых образцов при малых, т.е. при условии небольшого изменения потока нейтронов, после разложения в ряд члена е-LN1 можно ограничиться двумя первыми членами разложения. Имеем для числа атомов трития, образующихся за секунду:

N2=ФLSN1 [атом/с]. (10) В дальнейшем, в качестве первого приближения мы будем пользоваться именно этим выражением.

2. Выделение трития из сферической гранулы за счет отдачи В 6Li(n,)T – реакции выделяющаяся энергия распределяется между атомами гелия и трития. Расчеты пробегов атомов отдачи трития в титанате лития и в атмосфере гелия проводили при следующих значениях параметров: масса трития 3.008 а.е., энергия отдачи трития – 3 МэВ, плотность образца из Li2TiO3 равна 2.8700 г/cм3 или 9.4454*1022 атом/см3.

Для энергии 3 МэВ пробег атомов отдачи трития в титанате лития составил 84 микрона (0,0084 см), при этом электронная составляющая удельной потери энергии dE/dx=0, МэВ/(мг/см2), ядерная составляющая удельной потери энергии dE/dx=1,42410- МэВ/(мг/см2), продольное рассеяние узкого пучка 3,4 мкм, боковое рассеяние 3 мкм.

Поскольку диаметр использованных в работе гранул был равен 1 мм, то эффект отдачи не затрагивал центральную область гранулы, однако приповерхностный слой гранулы должен быть сильно обеднн тритием, что должно сказаться на интенсивности газовыделения, осуществляемого за счт диффузии.

Расчты пробегов атомов отдачи трития в газообразном гелии проводили для плотности мишени 1,800010-4 г/см3 (2.70791019 атом/см3.) Результаты счета: электронная составляющая удельной потери энергии dE/dx=0,2807 МэВ/(мг/см2), ядерная составляющая удельной потери энергии dE/dx=1,88010-4 МэВ/(мг/см2), пробег 363,64 мм (36 см), продольное рассеяние узкого пучка 14,06 мм, боковое рассеяние 4,78 мм.

2.1. Поток атомов отдачи трития из сферической гранулы Рассмотрим особенности эффекта отдачи в сферической грануле [6].

Введм обозначения: СLi и СT концентрации лития и трития, соответственно [атомсм-3], - постоянная распада трития [с-1], r0 - радиус зерна сферической формы [см] и Rt - пробег отдачи трития в исследуемом материале [см]. Литий равномерно распределн по объму зерна. Тритий образуется сразу во всм объме зерна по реакции 6Li(n,)3H. Ф – скорость генерации нейтронов в объме материала [нейтрсм-3с-1]. - эффективное сечение реакции взаимодействия нейтронов с литием [см2], S – площадь поверхности [см2] (площадь геометрической поверхности сферы S 4r0 2 ), - вероятность протекания ядерной реакции по конкретному каналу (в основном определяется долей изотопа 6Li в смеси изотопов лития).

Распределение концентрации трития по толщине сферы определяется решением дифференциального уравнения:

C t C t 1 q ( r ) C t, T (11) t Li T где q(r) - вероятность вылета, из зерна за счет эффекта отдачи атома трития, образовавшегося в точке с координатой r, а = ФLSN;

- постоянная скорости образования трития.

Из геометрических соображений очевидно (рис. 2), что q(r) равна отношению площади поверхности сферического сегмента высотой Rt-, расположенного вне сферического зерна, к общей поверхности сферы радиуса r0:

2 Rt Rt Rt q(r). (12) 4Rt2 2Rt Rt - пробег атомов отдачи трития в Li2TiO3;

r - координата точки рождения трития в сферической грануле;

( и h - см. рисунок 2).

Рис.2. Модель сферического зерна r 2 Rt2 r r h r, то Поскольку 0. (13) 2r 2 h2 R t Таким образом, в приповерхностном слое зерна (слой 1), r0-Rtrr0:

2Rt r r2 Rt2 r 0 q(r) (14а) 4Rt r в объеме зерна (слой №2) 0rr0-Rt:

q(r)=0 (14б) Решение уравнения (11) описывает изменение во времени концентрации трития:

C 0 1 q(r )e t e t CT e t C t 0 (15) T Li где СLi0 - начальная концентрация трития.

При достаточно больших временах член exp(-t) делается пренебрежимо малым по сравнению с exp(-t), и если в начальный момент трития в образце не было, то выражение (15) можно упростить:

1 q(r )C Li e t C t (16а) и так как C Li e t C Li и, то C Li 1 q(r ) CT (r, ) (16б) Концентрация трития (при равновесии) - равна / - отношение скорости образование к скорости распада трития.

Влияние величины пробега атомов отдачи трития на форму концентрационного профиля трития, образовавшегося из лития в грануле сферической формы. (Модельный пример, рассчитанный при значения параметров Rt=510-6 (1) и 110-6 (2) см).

В стационарном состоянии, распределение концентрации трития по радиусу сферы в тонком приповерхностном слое толщиной Rt, обедненным тритием за счт эффекта отдачи:

C 1 r 2 Rt2 1 r Li 0 C (r ) ;

r Rt r r0.

(17а) 2 4 Rt T 4 Rt r Концентрационный профиль трития в центральной зоне сферы C Li ;

0rr -R.

C (r ) (17б) 0 t T Общее число атомов трития, генерируемых в сфере радиуса r0 в единицу времени G r0 C Li. (18) Общее число атомов трития, выделяющихся из зерна в единицу времени за счет эффекта отдачи (поток) в стационарном состоянии (при наличии равновесия между скорость генерации трития и скоростью его выделения за счт отдачи):

r J R C 4 q (r )r 2 dr (19) Li r Rt Взяв интеграл, получим выражение для стационарного потока атомов отдачи трития из сферы:

2 1 J R C r0 Rt Rt (20) Li Нормированный на скорость образования, поток атомов отдачи трития:

1 R JR 3 Rt t JR* (21) 4 r0 16 r G Функция JR* изменяется от 0 до 1.

Зависимость нормированного на мощность источника потока атомов отдачи трития из сферы от размера гранулы (при постоянном пробеге отдачи трития R=0,0084 см) представлена на рисунке 3, а от пробега атомов отдачи (при постоянном радиусе гранулы r0=0,1 см) – на рисунке 4.

Если пробег трития мал Rtr0 (для JR*35%), то:

3 Rt J R* (21a) 4 r При r0.5Rt, JR*=1.

Рис.3. Зависимость нормированного потока Рис.4. Зависимость нормированного атомов отдачи трития из сферы от размера потока атомов отдачи трития из сферы от гранулы пробега атомов отдачи в материале гранулы 2.2. Учт одновременной потери трития за счт энергии отдачи и за счт ухода трития в НТО Учтм теперь потерю трития при его переходе в НТО.

Тритий теряется не только за счт эффекта отдачи. Он способен вступать в радиационно-химическую реакцию с кислородом, содержащимся в молекуле соли, с кислородом воды, или обмениваться с протием, входящим в состав иона ОН или в обычную воду (Вода и гидроксилы всегда присутствуют в солях). Введм константу скорости химических процессов, уводящих тритий в НТО, kx [c-1].

Тогда дифференциальное уравнения, описывающее изменение во времени концентрационного профиля трития в объме сферы, с учтом ухода трития за счт эффекта отдачи и за счт образования НТО, можно записать в виде:

dC r, t C r, t qr C r, t CT r, t k x CT (r, t ) T (22а) Li Li dt или dCT r, t 1 qr C Li r, t (k x )CT (r, t ) (22б) dt или dCT r, t 1C Li r, t 2CT (r, t ) (22в) dt где 1=(1-q(r)), 2=kx+.

Решения подобных дифференциальных уравнений в частных производных мы в дальнейшем будем использовать для описания кинетики дегазации сферы при наличии источника (непрерывная генерация трития) и стока (радиоактивный распада, захват дефектами, химическая реакция трития кислородом, изотопный обмен).

3. Выделение трития за счет диффузии Рассмотрим теперь выделение трития за счт диффузии (с учтом обеднения приповерхностного слоя за счт отдачи) и за счт отдачи при постоянной температуре.

Описание диффузионного выделения трития из гранулы сферической формы начнм с простой модели. Будем полагать, что тритий равномерно генерируется по объму сферы.

Коэффициент диффузии трития считаем постоянным (не зависящим от координаты, времени и концентрации трития). Сопротивлением диффузии, связанным с реакцией молизации трития на выходной границе сферы также пренебрегаем. Считаем, что миграция трития по материалу не осложнена какими-либо процессами взаимодействия трития с окружающей средой. Будем решать задачу дегазации сферы в рамках классического механизма диффузии (т.е. подчиняющегося законам диффузии Фика и закону растворимости Генри), с учтом наличия источников (генерация за счт ядерной реакции) и стоков (радиоактивный распад трития), при граничных условиях 1-го рода.

При использовании 2-го закона Фика для решения задачи выделения трития из тврдого тела за счт диффузии следует учитывать наличие нескольких осложняющих обстоятельств:

1) Образование трития в ходе ядерной реакции (наличие источника);

2) Радиоактивный распад трития (сток);

3) Обеднение приповерхностного слоя (толщина которого равна пробегу отдачи) образца за счт эффекта отдачи (отдача эффективно уносит тритий из приповерхностного слоя).

Коротко остановимся на некоторых примерах. Рассмотрим процесс выделения трития из сферы радиуса r0 за счт диффузии при наличии эффекта отдачи. Задачу будем решать в рамках модели классической диффузии при граничных условиях 1-го рода. Стадию образования молекул трития из атомов считаем не лимитирующей.

В соответствии с 1-ым законом Фика, поток молекул трития, выходящих из шара за счт диффузии:

dC J D D4r02 T (23) dr r r dC где D – коэффициент диффузии трития, T - градиент концентрации трития в dr r r приповерхностном слое сферы.

Скорость образования трития: G r 3C Li Нормированный на скорость генерации, диффузионный поток трития из сферы:

dC Li J 3D J* D (24) dr C Li r D G r r Распределение концентрации трития С(r) найдм из решения дифференциального уравнения 2-го закона Фика для сферы:

CT D 2 CT r C C C q ( R ) (25) 2 r r t Li T Li t r где доля атомов, выделяющихся за счт отдачи:

2 Rt r r 2 Rt 2 r 0 ;

r0 Rt r r q(r) (26) 4Rt r 0;

0 r r0 Rt В этой статье мы ограничимся стационарным состоянием диффузии (т.е. когда скорости генерирования и стока трития уравновешены, так что концентрационный профиль трития не C 0 и для нахождения изменяется во времени). В стационарном состоянии диффузии t функции С2 (х) необходимо решить уравнение:

D 2 CT r C C C q (r ) 0 (27) r r 2 r Li T Li при граничных условиях:

CT(r0-Rtrr0)r=r0=0;

CT(r0-Rtrr0)r=r0-Rt=CT(0rr0-Rt)r=r0-Rt (28а) CT (0 r r0 Rt ) CT r0 Rt r r0 C 0 r r0 Rt T 0;

r r r r 0 r r Rt r r Rt 0 (28б) Распределение концентрации в приповерхностном слое, r0-Rtrr0.

C Li r0 Rt a a 2D 2 Rt r 1 Sh r 2 Ch CT r (29а) 4Rt r r r D r D Распределение концентрации во внутренней области, 0rr0-Rt.

C Li a0 CT Sh r (29б) r D Константы а0, а1 и а2 найдем из граничных условий (28а), которые можно свести к системе уравнений:

C a1Shar a2Char0 1 2D 2Rt r0 Rt2 ;

(30а) 4R 0 C1 C1 4R r 2R 2 2D a0Sha r0 Rt a1Sha r0 Rt a2Cha r0 Rt r Rt (30б) 4R t0 t t a0 Sha r0 Rt r0 Rt aCha r0 Rt a1 r0 Rt aCha(r0 Rt ) a2(r0 Rt ) Cha(r0 Rt ) (30в) где a - длина диффузии пробега трития.

D Решив систему исходных дифференциальных уравнений в частных производных, C Li r найдем a0. Тогда распределение концентрации трития в приповерхностном слое зерна (r0-Rtrr0):

C Li r0 Shar 1 CT (31) r Shar C Рассчитав градиент T и подставив его в (25), получим выражение для r r r нормированного диффузионного потока трития из сферы с учтом обеднения приповерхностного слоя из-за эффекта отдачи:

Sh ~1 ~ 3 ~ 1 ~ Ch~1 ~ y x y x * 3 1 x ~Sh~ 1 2 ~ 1 2 ~~ Cthy ~~2 ~ (32) JD ~2 ~ x xy y xy x y Shy 2y где ~ t ;

~ r0.

R x y r0 D Частные случаи:

Если ~1 ~ 0 и ~ 1, то y y x ~~ ~~ * 3 ~ 11 1 e x y x y JD y (33а) ~~ ~~ 2 ~2 xy xy y Если ~ 1, то x 3 J * ~ Cth~ 1 (33б) D y y ~ y Если ~ 3, то y 1 ~ J * ~y (33в) D 3y Если ~, то y J* ~ (33г) Dy Для больших зерен полный нормированный поток трития из сферы с учетом обеднения тритием приповерхностного слоя сферы за счет эффекта отдачи:

~ J * J * J * 3x ~ (34) RD4y (Здесь поток атомов отдачи трития JR описывается формулой (33а)).

Замечание. При необходимости, можно учесть переход трития в НТО. Для этого достаточно во всех формулах заменить параметр 2 на 2=kx+.

Заключение В рамках математического моделирование процессов выгорания, генерации и выделения трития получены:

1. Дифференциальное уравнение, описывающее изменение числа атомов лития-6 (N1) во времени;

2. Уравнение, описывающее число атомов трития, образовавшегося из лития – 6;

3. Уравнение, описывающее выделение трития из сферической гранулы за счет отдачи;

4. Уравнение, описывающее поток атомов отдачи трития из сферической гранулы.

5. Уравнение, описывающее выделение трития за счет диффузии;

6. Уравнение, описывающее общее число атомов трития, выделяющихся из зерна в единицу времени за счет эффекта отдачи (поток) в стационарном состоянии выражение для стационарного потока атомов отдачи трития из сферы;

А так же удалось провести оценки минимальной (Ф=1,01014 н/см2с, =300 барн) и максимальной (Ф=1,41014 н/см2с, =940 барн) степеней выгорания лития-6 в ходе всего реакторного облучения. Минимальная ожидаемая степень выгорания лития-6 равна - 10%, а максимальная - 35%. Экспериментальное значение 23% (остаточная концентрация лития-6 77%) разумно укладывается в этот интервал. Показано, что высокообогащнная по литию- керамика на базе метатитаната лития может служить устойчивым (по крайней мере до степеней выгорания 22%) источником трития для установок управляемого термоядерного синтеза.

Литература 1. И.Л. Тажибаева, Е.А. Кенжин, П.В. Чакров, Ф.М. Аринкин, Ш.Х. Гизатулин, Е.С.

Бекмухамбетов, В.П. Шестаков, Е.В. Чихрай, Т.В. Кульсартов, А.Куйкабаева, H.Kawamura, K.Tshuchiya// Использование реактора ВВР-К для длительных радиационных испытаний литиевой керамики Li2TiO3 для бланкета ТЯР//Вопросы Атомной Науки и Техники, серия: термоядерный синтез 2. Y.Chikhray, V.Shestakov, T.Kulsartov, I.Tazhibayeva, H.Kawamura, A.Kuykabayeva// Measurement System for In-pile Tritium Monitoring from Li2TiO3 Ceramics at WWRK Reactor// Journal.Nuclear Materials, 2004.

3. А.А. Куйкабаева. Массо-перенос трития генерируемого в литиевой керамике при воздействии нейтронного облучения.// Международный конгресс студентов и молодых ученых. «Мир науки»24- апрель, Алматы, 2007.с.77.

4. I.N.Beckman, A.A.Shviryaev, V.Balek//Use of computing programmes for evaluating results of diffusion experiments//Synthetic polymeric membranes (Eds.B.Sedlacek, J.Kohovec), 1987, Walter de Gueyter, Berlin-New-York, printed in Germany, c.363-375.

РЕАКТОРЛЫ СУЛЕЛЕНДІРУ ЖАДАЙЫНДАЫ ТРИТИДІ ЖАНУ, ПАЙДА БОЛУ, БЛІНУ РДІСТЕРІН МАТЕМАТИКАЛЫ МОДЕЛЬДЕУ И.Н.Бекман, И.Л. Тжибаева, А.А. йабаева, И.М. Бунцева Бл жмыста сулелендіру жадайын есепке ала отырып литий керамикалы лгілерінде тритийді жану, пайда болу, бліну рдістерін математикалы модельдеу жргізілді. Метатитанат литий термаядролы реакторларды бланкеттеріні тритий пайда болатын аумаында олданылуына те олайлы болып табылатындыы крсетілген.

MATHEMATICAL MODELLING OF PROCESSES OF BURNING OUT, GENERATION AND RELEASE TRITIUM IN CONDITIONS REACTOR IRRADIATION I. Beckman, I. Tazhibayeva, A. Kuykabaeva, I. Buntseva Goal of this work is mathematical modelling of processes of burning out, generation and release tritium from the irradiated lithium ceramics samples. is shown, that metatitanate lithium are most perspective a material for their application in zones of reproduction tritium in blanket thermonuclear reactors.

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ НА СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ С.Б. Дубовиченко Астрофизический институт им. В.Г. Фесенкова, г. Алматы Рассмотрены нестандартные методы численного решения уравнения и системы уравнений Шредингера с тензорными силами в задачах ядерной физики низких энергий и ядерной астрофизики, непосредственно применимые для анализа связанных состояний атомных ядер в потенциальной кластерной модели.

Введение Множество задач ядерной физики, особенно в области низких энергий, требует умения решать уравнение Шредингера или связанную систему уравнений такого типа. Результатом решения является волновая функция, которая описывает квантовое состояние некоторой системы ядерных частиц и, в принципе, содержит всю информацию о таком состоянии.

Существует довольно много различных математических методов решения дифференциальных уравнений или их систем второго порядка типа уравнение Шредингера.

Однако в литературе обычно приводятся довольно абстрактные методы решений таких уравнений, которые бывает достаточно сложно применить для решения именно уравнения Шредингера в конкретной задаче. Проблему обычно составляет выбор оптимального математического метода, применимого для рассмотрения определенного круга задач, основанных на решениях уравнения Шредингера.

Решению некоторых из этих проблем и посвящена данная работа, которая описывает некоторые математические методы, непосредственно применимые для нахождения волновых функций из уравнения Шредингера или систем таких уравнений в задачах ядерной физики низких энергий на связанные состояния двух или трех частиц.

Метод невязок для решения задачи на собственные значения системы уравнений Шредингера Для нахождения энергии и волновых функций (ВФ) связанных состояний двухчастичной ядерной системы с тензорными потенциалами в определенных задачах ядерной физики будем исходить из обычных уравнений Шредингера вида [i] u''(r) + [ k2 - Vc(r) - Vcul(r)]u(r) = 8 Vt (r)w(r), w''(r) + [ k2 - Vc(r) - 6/r2 - Vcul(r) + 2 Vt(r) ]w(r) = 8 Vt(r)u(r), (1) где Vcul(r)= 2 / 2 Z1Z2/r - кулоновский потенциал;

Z1, Z2 – заряды частиц;

- приведенная масса двух частиц;

константа 2/MN = 41.4686 (или 41.47) МэВ Фм2;

MN – средняя масса нуклона;

k 2 2E / 2 - волновое число относительного движения частиц;

Е – энергия относительного движения частиц;

Vc = 2 / 2 Vcn(r) - центральная часть потенциала;

Vt = 2 / 2 Vct(r) - тензорная часть потенциала;

Vcn(r), Vct(r) – радиальная часть центрального и тензорного потенциала, которые могут быть представлены в виде гауссойды или экспоненты вида Vcn(r) = Vс0 exp(-r), здесь Vс0 – глубина потенциала, его ширина.

Решением этой системы уравнений являются четыре волновые функции, получающиеся с различными начальными условиями 1) u1(0)=0, u'1(0)=1, w1(0)=0, w'1(0)=0, 2) u2(0)=0, u'2(0)=0, w2(0)=0, w'2(0)=1, которые образуют линейно независимые комбинации, представляемые в виде (для S и D орбитальных состояний при L = 0 и 2) u = 0 = C1u1 + C2 u2 = exp(-kr), w = 2 = C1w1 + C2w2 = [1 + 3/kr + 3/(kr)2]exp(-kr) или с учетом кулоновских сил 0 = C1u1 + C2 u2 = W,0 (2kr), 2 = C1w1 + C2w2 = W, 2 (2kr), где W, L (2kr ) = WL(Z) - функция Уиттекера [i] для связанных состояний, которая является Z1 Z решением исходных уравнений (1) при k20 без ядерных потенциалов;

Z = 2kR;

k кулоновский параметр;

Для нахождения энергий (k2) и волновых функций связанных состояний ядерной системы L с тензорной компонентой потенциала можно использовать комбинацию численных и вариационных методов.

А именно, при некоторой заданной энергии связанного состояния (которая не является собственным значением задачи) численным методом находится ВФ системы (1). Для этого можно использовать, например, обычный метод Рунге - Кутта.

Затем система уравнений (1) представляется в конечно - разностном виде, с выражением второй производной в центральных разностях u = (ui+1-2ui+ui-1)/h2.

Тогда для исходной системы получим ui+1 - 2ui + ui-1 + h2[ k2 - Vc - Vcul]ui = h2 8 Vt wi, wi+1 - 2wi + wi-1 + h2[ k2 - Vc - 6/r2 - Vcul + 2 Vt ]wi =h2 8 Vtui или ui+1 + h2[ - 2/h2 + k2 - Vc - Vcul]ui + ui-1 - h2 8 Vt wi = 0, wi+1 + h2[ - 2/h2 + k2 - Vc - 6/r2 - Vcul + 2Vt]wi + wi-1 - h2 8 Vtui = 0.

Найденная методом Рунге-Кутта, численная ВФ подставляется в эту систему уравнений. Левая часть этих уравнений будет равна нулю только в случае, когда энергия и ВФ являются собственными решениями такой задачи. При произвольной энергии и найденной по ней ВФ левая часть будет отлична от нуля, и можно говорить о методе невязок [ii], который позволяет оценить степень точности нахождения собственных функций и собственных значений.

Из численных уравнений вида Nsi = ui+1 + h2[ - 2/h2 + k2 - Vc - Vcul]ui + ui-1 - h2 8 Vt wi, Nti = wi+1 + h2[ - 2/h2 + k2 - Vc - 6/r2 - Vcul + 2Vt]wi + wi-1 - h2 8 Vtui вычислялась сумма невязок в каждой точке численной схемы N s N si, N t N ti.

i i Варьируя энергию связи (k2), проводилась минимизация значений всех невязок s k t k.

Энергия (k ), дающая минимум невязок, считалась собственной энергией k02, а функции u0 и w0, приводящие к этому минимуму - собственными функциями задачи, т.е. ВФ связанного состояния ядерной системы.

На основе приведенных выражений, на алгоритмическом языке Basic в среде компилятора TurboBasic фирмы Borland, была написана компьютерная программа [iii], которая использовалась для вычисления ядерных характеристик дейтрона и связанных состояний в 4He2H кластерной системе ядра 6Li.

Программа тестировалась на нуклон - нуклонном потенциале Рейда [iv] и сравнение результатов, полученных в работе [iv], с найденными по разработанной здесь программе, приведены в табл.1, где использованы следующие обозначения: Ed – энергия связи дейтрона в МэВ;

Rd – среднеквадратичный радиус дейтрона в Фм;

Qd – квадрупольный момент дейтрона в Фм2;

Pd – вероятность D – состояния в дейтроне в %;

As – асимптотическая константа S – волны;

– отношение асимптотических констант D и S волн;

at – триплетная длина нуклон – нуклонного рассеяния в Фм;

as – синглетная длина нуклон – нуклонного рассеяния в Фм;

rt – триплетный эффективный радиус нуклон – нуклонного рассеяния в Фм;

rs – синглетный эффективный радиус нуклон – нуклонного рассеяния в Фм.

Таблица 1. Сравнение характеристик дейтрона и np рассеяния.

Хар-ки дейтрона Расчет Рейда Наш Расчет Ed, МэВ 2.22464 2. Qd, Фм2 0.2762 0. Pd, % 6.217 6. AS 0.87758 0.875(2) =AD/AS 0.02596 0.0260(2) at, Фм 5.390 5. rt, Фм 1.720 1. as, Фм -17.1 -17. rs, Фм 2.80 2. Rd, Фм 1.956 1. Из этих результатов видно, что совпадение наших и предыдущих расчетов по энергии связанного состояния дейтрона имеет величину порядка нескольких тысячных процента.

Ошибки в асимптотических константах получены усреднением их значений в области 10- Фм и в пределах этих ошибок согласуются с результатами работы [iv]. Низкоэнергетические np характеристики, по сути, совпадают между собой с точностью до ошибок округления.

Величина квадрупольного момента и среднеквадратичного радиуса несколько меньше, полученных в работе [iv]. Это обусловлено тем, что в наших расчетах не учитывался очень длинный хвост ВФ, и интегрирование проводилось только до 20 Фм.

Рассмотренный вариационный метод сходится достаточно быстро - в течение нескольких минут на компьютере P4 3.0 Мгц, позволяет получать практически любую реальную точность, при использовании в программе двойной точности, и может применяться при решении любых задач на собственные значения для системы двух дифференциальных уравнений, типа уравнения Шредингера.

Далее этот метод использовался для рассмотрения характеристик связанных состояний кластеров в легких атомных ядрах, в частности, связанного состояния 2H4He кластеров с тензорными силами в атомном ядре 6Li [v], и позволил получить хорошие результаты по описанию квадрупольного момента этого ядра.

Оказалось, что на основе простых гауссовых потенциалов в качестве центральной и тензорной частей и на базе единых параметров можно правильно описать не только фазы упругого рассеяния, но и среднеквадратичный радиус ядра, квадрупольный момент и асимптотические константы связанного состояния в этом канале.

Правильно получается не только отрицательный знак, но и величина D, определяющая отношение асимптотических констант в D и S волнах. Причем только при ее отрицательных значениях можно получить правильный по величине, отрицательный квадрупольный момент Li, равный -0.064 Фм2, который хорошо согласуется с его экспериментальным значением 0.0644(7) Фм2 [vi]. Для величины D можно получить -0.0120(10) при экспериментальном значении -0.0125(25) [vii].

Альтернативный метод решения обобщенной матричной задачи на собственные значения для уравнения Шредингера Рассмотрим уравнение Шредингера с центральными ядерными силами для волновой функции системы двух частиц [i] ''(r) + [k2 - Vc(r) - Vcul(r) - L(L+1)/r2](r) = 0, где (r) – скалярная волновая функция для центральных потенциалов, остальные обозначения даны в (1).

Решения этого уравнения для связанных состояний, т.е. при k2 0, на бесконечности и в нуле подчиняются условиям L(0) = L () = 0.

Однако это уравнение, на расстояниях больших, чем радиус действия ядерных сил R 0, т.е. когда Vc(rR0) = 0, имеет аналитическое решение, называемое его асимптотикой.

Поэтому условие на бесконечности можно заменить на требование неразрывности логарифмической производной на границе области ядерного взаимодействия, т.е. при r = R [i] L ( R0 ) W L (2kR0 ) ' ' f (, L, Z ), L ( R0 ) W L (2kR0 ) где WL(Z) - функция Уиттекера для связанных состояний, которая является решением Z Z приведенного уравнения при k20 без ядерного потенциала;

Z = 2kR;

1 2 2.

k В том случае, когда в ядерном потенциале не учитывается кулоновское взаимодействие, асимптотика ВФ может быть представлена в наиболее простом виде (rR0) = e-kr, '(rR0) = - ke-kr, где k k 2 и логарифмическая производная будет просто равна -k.

Волновые функции в уравнении Шредингера для основных и резонансных состояний представимы в виде разложения по не ортогональному гауссовому базису вида [viii] (r ), RL (r ) N 0 r L Ci exp(- i r L r i где i и Ci - вариационные параметры и коэффициенты разложения, которые находятся вариационным методом для связанных состояний или аппроксимацией гауссойдами численных волновых функций резонансных уровней;

N0 – нормировка функции.

Сами вариационные параметры i могут быть получены, например, из квадратурной сетки вида [viii] i = 0 tg2 { (2i - 1) / 4N}, где i – меняется от 1 до N и может принимать значения 30-50.

Для определения спектра собственных значений энергии и волновых функций в стандартном вариационном методе при разложении ВФ по ортогональному базису решается обычная матричная задача на собственные значения [ix] (Hij - EI ij )Ci 0, i где Н - симметричная матрица гамильтониана;

I - единичная матрица;

Е - собственные значения и С - собственные вектора задачи.

В данном случае, при не ортогональном базисе гауссойд, мы приходим к обобщенной матричной задаче на собственные значения типа [viii] (Hij - EL ij )Ci 0, i где L - симметричная матрица интегралов перекрывания, которая не сводится к единичной матрице I.

Рассмотрим эту обобщенную матричную задачу на собственные значения и собственные функции для матрицы гамильтониана уравнения Шредингера (H - EL)C=0 (2) Представляя, в таком случае, матрицу L в виде произведения нижней N и верхней V треугольных матриц [x] L = NV находим HC = ENVC или H'C' = EIC', где H' = N-1HV-1, C' = VC или C = V-1C', - I - единичная матрица и N обозначает обратную матрицу.

Тем самым, мы получаем стандартную матричную систему для задачи поиска собственных функций и значений [ix] вида (H' - EI)C' = 0, которую можно решать известными методами в общем матричном виде. Процедура перехода, от обобщенной к стандартной задаче, называется ортогонализацией по Шмидту [ix]. Вначале находим матрицы N и V, выполняя триангуляризацию симметричной матрицы L [x], например, методом Халецкого [ix]. Затем находим обратные матрицы N-1 и V-1 и вычисляем элементы матрицы H' = N-1H V-1. Находим, далее, полную диагональную по Е матрицу (H' – EI) и вычисляет ее детерминант det(H' – EI) при некоторой энергии Е. Та энергия, которая приводит к нулю детерминанта, является собственной энергией задачи, а соответствующие ей вектора С' - собственные вектора матричной системы. Зная С', не трудно найти и собственные вектора исходной задачи С, поскольку матрица V-1 уже известна.

В двухтельных задачах легких атомных ядер с одним вариационным параметром i такой метод оказывается достаточно устойчив и позволяет получать реальные результаты.

Но в трехтельной ядерной системе, при некоторых значениях двух вариационных параметров i и i, метод нахождения обратных матриц иногда приводит к существенной неустойчивости и переполнению при работе компьютерной программы [xi], что представляет не малую проблему для решения задач такого типа.

Поэтому можно предложить альтернативный метод решения обобщенной задачи на собственные значения. Матричное уравнение (2) это однородная система линейных уравнений и она имеет не тривиальные решения, только если ее детерминант det(H - EL) = 0.

Значения Е, которые приводят к нулевому детерминанту, будут собственными значениями. Решения С такой системы при найденных собственных значениях являются собственными векторами исходной матрицы.

Для численных методов, реализуемых на компьютере, не обязательно разлагать матрицу L на треугольные и находить новую матрицу H' и новые вектора С', определяя обратные матрицы, как это было описано выше. Можно сразу разлагать на треугольные недиагональную, симметричную матрицу (H - EL) и численными методами искать энергии, которые приводят к нулю ее детерминанта.

Тем самым, сама матрица (H - EL) разлагается на две треугольные А = H - EL = NV и вычисляется ее детерминант (поскольку в методе Халецкого det(V)=1) det(A) = det(N)det(V)=det(N)=n11n22….nii….nmm по нулю, которого ищутся собственные значения энергии Е системы. Здесь m – размерность матриц.

Таким образом, мы имеем довольно простую задачу поиска нуля некоторого функционала одной переменной F(E) = 0, решение, которой не представляет большой сложности. Обычными численными методами ищется ноль детерминанта нижней треугольной матрицы, который равен произведению ее диагональных элементов, зависящих от Е.

В результате, мы избавляемся от необходимости искать две обратные матрицы и выполнять несколько матричных умножений, чтобы вначале получить новую матрицу H', а затем, конечную матрицу собственных векторов С.

Для оценки точности решения т.е. точности разложения исходной матрицы на две треугольные, можно использовать метод невязок [ii]. После разложения матрицы А на треугольные, вычисляется матрица невязок, как разность исходной матрицы А и матрицы S = NV, где V и N найденные, таким образом, численные треугольные матрицы. Теперь берется разность по всем элементам с исходной матрицей А AN = S – A.

Матрица AN невязок дает отклонение приближенной величины S, найденной численными методами, от истинного значения каждого элемента исходной матрицы А.

Такой метод позволил получить хорошую устойчивость алгоритма решения этой задачи, не приводящего к переполнению при работе компьютерных программ, поскольку он не требует определения обратных к V и N матрицы [xii].

Для контроля работы метода мы рассматривали трехтельную задачу, в которой функция в уравнении Шредингера разлагается по не ортогональному гауссову базису Rl, (r, R) N 0 r R l Ci exp( i r 2 i R 2 ). (3) i При каждом значении вариационных параметров i и i находим некоторую энергию системы (которая дает ноль детерминанта), а затем, варьируя эти параметры, проводим поиск минимума этой энергии. Затем, увеличиваем размерность базиса N, и повторяем все вычисления, до тех пор, пока величина собственного значения, т.е. энергии связи Е N, на очередном шаге N не будет отличаться от предыдущего значения ЕN-1 на величину, которая обычно задается на уровне 0.5-0.1%. В соответствии с теоремой Хилерааса – Ундгейма [xiii] эта минимальная энергия и будет верхним пределом реальной энергией связи в такой ядерной системе.

В наших работах [xiv] приведен полный текст компьютерной программы на языке TurboBasic, которая предназначена для расчета энергии трехтельной системы на основе описанных выше методов. Для проверки предложенного метода расчета и компьютерной программы рассматривалась модельная задача для трех частиц, взаимодействующих в потенциале Афнана - Танга [xv] с усреднением триплетных и синглетных состояний.

Для энергии такой системы в [xv] получено -7.74 МэВ, а в работах [xvi], где использовался не ортогональный вариационный метод с изменением параметров волновой функции на основе тангенциальной сетки, найдено -7.76 МэВ. Нами, на основе изложенных методов, при независимом варьировании всех параметров и размерности базиса N = 5, получено -7.83 МэВ, т.е. энергия изменилась примерно на 1% относительно результатов работ [xv,xvi].

Далее рассматривалась реальная трехтельная задача для атомного ядра 7Li в 4He2Hn канале с межкластерными потенциалами, согласованными с фазами ядерного рассеяния и чистыми по схемам Юнга для связанных состояний. Результаты расчета вариационной энергии ядра 7Li, полученные изложенным методом, с использованием потенциалов из работ [xiv] и в зависимости от размерности вариационного базиса N даны в табл.2.

Таблица 2. Результаты вычисления трехтельной энергии.

N 3 5 7 9 10 E( Li), МэВ -7.68 -8.63 -8.66 -8.678 -8.706 -8. Из таблицы видно, что при размерности N=9-11, энергия системы практически сходится, и дальнейшее увеличение вариационного базиса может привести, по-видимому, к ее изменению на величину порядка 0.01 - 0.02 МэВ. Тем самым видно, что удается описать экспериментальное значение энергии связи ядра 7Li в этом канале, которая составляет 8. МэВ [vi]. Значения параметров трехтельной ВФ (3), которые приводят к этим результатам по энергии приведены в табл.3.

Таблица 3. Значения вариационных параметров и коэффициентов разложения трехтельной волновой функции ядра 7Li.

i i № Ci (Hij-ELij)Ci= 1 3.09996E-02 3.53874E-02 +8.61351E-04 +0.00000E+ 2 8.90401E-02 7.40006E-02 +2.56716E-02 -2.27374E- 3 2.57654E-01 5.08743E-02 +1.37998E-02 +3.41061E- 4 1.39035E-01 2.92684E-01 -2.73826E-01 -7.10543E- 5 2.02704E-01 1.70156E-01 +2.02813E-01 +0.00000E+ 6 1.38880E-01 4.59418E-01 +2.09360E-01 +2.84217E- 7 2.21892E-01 2.75673E-01 -5.46337E-02 +2.84217E- 8 2.40877E-01 7.54029E-01 +5.40009E-01 +2.35367E- 9 1.24262E+00 8.35727E-02 -4.51367E-02 -2.13163E- 10 2.48192E-01 6.74060E-01 -6.87519E-01 -2.66454E- 11 9.59501E-01 4.50788E-01 +8.04027E-02 -2.71238E- Полная нормировка такой ВФ получается равна 1.00000000, а квадрупольный момент 35.5 Фм2 при экспериментальном значении -36.6(3) Фм2 [vi].

Во всех выполненных нами расчетах не наблюдалось какой-либо неустойчивости численных решений или переполнения при работе компьютерных программ, как это неоднократно было, при использовании стандартного метода Шмидта для решения обобщенной матричной задачи на собственные значения и функции.

Таким образом, рассмотренный альтернативный метод решения обобщенной матричной задачи на собственные значения и функции позволяет получать устойчивые и достаточно точные результаты при решении определенного круга задач трехтельной ядерной физики на связанные состояния.

Литература 1. Хюльтен Л., Сугавара М., Проблема взаимодействия двух нуклонов. Строение атомного ядра. М.: ИЛ, 1959, С.9-98.

1. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л., Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965, 383с.

1. Дубовиченко С.Б., Алматы, КазГосИНТИ, 1997, 29c.

1. Reid R.V., Ann. Phys. V.50, P.411-448 (1968).

1. Дубовиченко С.Б., Неронов В.С., Вестник КазАТиСО, Алматы №2, с.322-344 (2006).

1. Ajzenberg-Selove F., Nucl. Phys. V.A320, P.1 (1979).

1. Lehman D.R. - In: 7th - Int. Conf. on Polar. Phen. in Nucl. Phys., Paris, France, 1990.

1. Kukulin V.I., Krasnopol’sky V.M., Voronchev V.T., Sazonov P.B., Nucl. Phys. V.A417, P.128-156 (1984).

1. Скорняков Л.А., Справочная математическая библиотека. Общая алгебра. М.: Наука, 1990, 591с.

1. Попов Б.А., Теслер Г.С., Вычисление функций на ЭВМ. Киев, Наукова думка, 1984, 598с.

1. Дубовиченко С.Б., Чечин Л.С., Вестник КазНПУ, физ.-мат. сер., Алматы, №.1(7), C.110-115 (2003).

1. Дубовиченко С.Б., Чечин Л.М., Труды конф. Современные проблемы и задачи информатизации в Казахстане, КазНТУ, Алматы, Казахстан, 6 - 10 октября 2004, С.358-390.

1. Мотт Н., Месси Г., Теория атомных столкновений. М.: Мир, 1969, 756с.

1. Дубовиченко С.Б., Вестник КазГАСА, Алматы №9/10, С.227-232 (2003);

Дубовиченко С.Б., Вестник КазНТУ, Алматы №5, С.174-182 (2004).

1. Afnan I.R., Tang Y.C., Phys. Rev. V.175, P.1337-1351 (1968).

1. Krasnopolsky V.M., Kukulin V.I., Czech. J. Phys. V.B27, P.290-304 (1977);

Krasnopolsky V.M., Kukulin V.I., J. Phys. V.G3, P.795-811 (1977).

ЯДРОЛЫ ФИЗИКАНЫ БАЙЛАНЫСАН КЙГЕ ЕСЕПТЕРІН ШЫАРУ КЕЙБІР ДІСТЕРІ С.Б. Дубовиченко Потенциялы кластерлік моделінде атомды ядроларды байланысан кйлерін талылауа тікелей олдануа болатын тмен энергияны ядролы физикасы мен ядролы астрофизика есептерінде тензорлы кштерімен Шредингер тедеуі жне тедеулер жйесіні санды шешімдеріні стандартты емес дістері арастырылан.

SOME METHODS OF THE DECISION OF PROBLEMS OF NUCLEAR PHYSICS ON THE CONNECTED CONDITIONS S.B. Dubovichenko Some not standard methods for numerical decided of the Schrodinger equation or system of the Schrodinger equation with tensor force in nuclear physics tasks at low energies and nuclear astrophysics was consider. These methods are applicable for analysis of the bound states of atomic nucleus in potential cluster models.

Определение массового спектра мезонов с учетом нелокального взаимодействия С.А. Жаугашева, К.С. Дюсебаева, Б.Е. Толымбекова КазНУ им. аль-Фараби, г. Алматы Выбирая пропогатор в виде целой аналитической функции гауссовского типа в импульсном пространстве, определен модифицированный потенциал взаимодействия кварков, зависящий от радиуса конфайнмента. Определена зависимость конститэнтной массы от характерного размера (радиуса) конфайнмента. При уменьшении радиуса конфайнмента конституэнтная масса составляющих частиц увеличивается, а это приводит к уменьшению вклада непертурбативного взаимодействия в массовый спектр связанного состояния.

1 Введение В МЕТОДЕ ПОЛЕВЫХ КОРРЕЛЯТОРОВ [1] СЧИТАЮТ, ЧТО КОНФАЙНМЕНТ ЦВЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ МОЖЕТ БЫТЬ ОБЪЯСНЕН ТОЛЬКО ВНЕ РАМОК ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ, И ЧТО ОН СВЯЗАН С ВОЗНИКНОВЕНИЕМ ЛИНЕЙНО РАСТУЩЕГО КВАРК-КВАРКОВОГО ПОТЕНЦИАЛА ИЛИ КВАРК-АНТИКВАРКОВОЙ СТРУНЫ В РЕЗУЛЬТАТЕ НЕПЕРТУРБАТИВНОГО (НЕЛИНЕЙНОГО) ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГЛЮОНОВ.

ОДНАКО, ПРИ ОПИСАНИИ ПОВЕДЕНИЯ АДРОНОВ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ЛЕГКИХ КВАРКОВ, НЕОБХОДИМ УЧЕТ ЭФФЕКТОВ, ВОЗНИКАЮЩИХ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ. ОЧЕВИДНО, ЧТО ПРОЦЕССЫ КОНФАЙНМЕНТА И АДРОНИЗАЦИИ КВАРКОВ ПРОИСХОДЯТ НА ОДНИХ И ТЕХ ЖЕ РАССТОЯНИЯХ. В НАСТОЯЩИЙ МОМЕНТ ПЕРЕХОД НА БОЛЬШИЕ РАССТОЯНИЯ ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ДВУМЯ СПОСОБАМИ: ВВЕДЕНИЕМ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ДЛИНЫ TG ГЛЮОННОГО ВАКУУМА ИЛИ ВВЕДЕНИЕМ РАДИУСА КОНФАЙНМЕНТА RC, СВЯЗАННОГО С РАССТОЯНИЕМ МЕЖДУ СОСТАВЛЯЮЩИМИ (КВАРКАМИ) В АДРОНЕ. В ДАННОЙ РАБОТЕ НЕЛОКАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УЧИТЫВАЕТСЯ ВВЕДЕНИЕМ РАДИУСА КОНФАЙНМЕНТА. КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА (КХД) ПОЛНОСТЬЮ ОПИСЫВАЕТ ПОВЕДЕНИЕ КВАРКОВ И ГЛЮОНОВ, И НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ КВАРКИ СТАНОВЯТСЯ ПОЧТИ СВОБОДНЫМИ. ЭТО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО ПОДТВЕРЖДЕНО. ПОЭТОМУ ПРИ МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ, В ОБЛАСТИ ДЕКОНФАЙНМЕНТА, ПОВЕДЕНИЕ ПРОПАГАТОРА КВАРКОВ И ГЛЮОНОВ СООТВЕТСТВУЕТ ПЛОСКИМ ВОЛНАМ. ЕСТЕСТВЕННО, ПОВЕДЕНИЕ КВАРКОВ И ГЛЮОНОВ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПРОПАГАТОРАМИ, В ЧАСТНОСТИ, ДЛЯ КВАРКОВ ДИРАКА, А ДЛЯ ГЛЮОНА -- КЛЕЙНА-ГОРДОНА. КОНЕЧНО, ЭТИ ПРОПАГАТОРЫ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПЛОСКИМ ВОЛНАМ, НЕ МОГУТ ПРАВИЛЬНО ОПИСАТЬ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ В ОБЛАСТИ КОНФАЙНМЕНТА, Т.Е. НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ. В СВЯЗИ С ЭТИМ, ПРОПАГАТОРЫ КВАРКОВ И ГЛЮОНОВ В ОБЛАСТИ КОНФАЙНМЕНТА ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ В РАМКАХ НЕЛОКАЛЬНОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ (КТП) [2]. В РАБОТЕ [3] В РАМКАХ НЕЛОКАЛЬНОЙ КТП БЫЛО ПОКАЗАНО, ЧТО ПРОПАГАТОРЫ КОНСТИТУЭНТНЫХ ЧАСТИЦ (КВАРКОВ И ГЛЮОНОВ) ЯВЛЯЮТСЯ ЦЕЛЫМИ АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ГАУССОВСКОГО ТИПА В ИМПУЛЬСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. В ЧАСТНОСТИ, ПРОПАГАТОРЫ БЕЗМАССОВЫХ ЧАСТИЦ ОПРЕДЕЛЕНЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В ВИДЕ:

1 ~ 2 ПРИ 0, D 2 2 1 exp (1.1) 2 ИЛИ В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ:

2 y d D y expiy D ~ exp.

2 4 4 2 y 2 (1.2) ЗДЕСЬ Y=( y, Y4), y R, Y4 R. ПАРАМЕТР ОПРЕДЕЛЯЕТ ШКАЛУ 3 rc 1 / КОНФАЙНМЕНТА, РАДИУС КОНФАЙНМЕНТА. КОГДА ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ СОСТАВЛЯЮЩИМИ ЧАСТИЦАМИ В СВЯЗАННОМ СОСТОЯНИИ ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ОБМЕНОМ БЕЗМАССОВЫМИ ЧАСТИЦАМИ С ПРОПАГАТОРОМ (1.1), ТО ПОТЕНЦИАЛ В НЕРЕЛЯТИВИСТСКОМ ПРЕДЕЛЕ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:

r / Vmod (r ) g 2 duD r 2 u 2 s ds e s, 1 (1.3) r и при 0 из (1.3) получаем стандартный кулоновский потенциал. Таким образом, потенциал взаимодействия в области конфайнмента модифицируется. С другой стороны, в области конфайнмента потенциал взаимодействия может быть определен с помощью функции распределения:

Vmod r dr V r r r, (1.4) где V (r ) потенциал, соответствующий плоскому пропагатору глюона, т.е. V r 1/ r, а r r функция распределения, которая согласно (1.3), в R 3 равна:

2 r r r exp. (1.5) 2 3 / 2 Аналогичное определение потенциала взаимодействия в области конфайнмента через потенциал в области деконфайнмента приведено в работе [4]. Такая же модификация существует для линейно растущего потенциала. Учитывая (1.3)-(1.5). определяем модифицированный линейно растущий потенциал:

r / V P mod r 0 r 1 ds e s r r.

(1.6) Основной вклад при определении масс и конституэнтных масс связанного состояния в рамках нашего подхода определяется вкладом растущего потенциала, а вклад, различных поправок связанных с нелокальным характером взаимодействия, является малым. В том числе, вклад одноглюоного обмена рассматривается, как малые возмушение.Поэтому вклад модифицированного одноглюонного обмен потенциала считаем малым. Таким образом, при определении масс и конституэнтных масс составляющих, с учетом размерного (нелокального) эффекта, необходимо модифицировать только линейно растущий потенциал.


2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА СВЯЗАННОГО СОСТОЯНИИ С УЧЕТОМ НЕЛОКАЛЬНОСТИ 2.1 Определение энергетического спектра растущего потенциала В этом пункте приводим детали вычисления энергетического спектра с учетом нелокального характера взаимодействия. Рассмотрим УШ с модифицированным потенциалом:

1 2 r r r E r, 2 (2.1) ГДЕ, (R)-МОДИФИЦИРОВАННОЕ НАТЯЖЕНИЕ СТРУНЫ 1 j 2 j r / 1 r 2 r 0 1 ds e s 0 1. (2.2) j! 2 j 1 j 0 -НАТЯЖЕНИЕ СТРУНЫ.

Из (2.1) определяем энергетический спектр Е с помощью метода ОП [5,6]. Прежде всего, переходим к d-мерному вспомогательному пространству Rd, а гамильтониан взаимодействия представим в нормальной форме по операторам рождения a и уничтожения a :

H H 0 0 ( Еr ) H I, (2.3) где H 0 -гамильтониан свободного осциллятора H 0 (a a) (2.4) а энергия основного состояния 0 (E) в R d имеет вид:

d 3 d 4 0 2 4 E 2 0 E 3 1 2 d (2.5) d d 2 1 4 2 j 2 j 1 1 8 j 2 2 j! 2 j 1 2 4 2 j 1 d, j d 2 и H I, гамильтониан взаимодействия представляется в нормальной форме:

d d exp 2 1 x : e2 2i H I dx x :

4 2 0 x 3 4 2 E x.

3 1 1 3 2 1 1 (2.6) 8 0 2 1 1 r 2 j x 4 2 j j 4 2 j 1.

1 4 2 j j 0 j! 2 j 1 2 Z Z где введено обозначение e2 e 1 Z Z Здесь :*: является символом нормального 2.

упорядочения, а j и q j векторы в R d, d - размерность вспомогательного пространства равна:

d 2 2 4l, (2.7) - вариационный параметр, который связан с асимптотическим поведением волновой функций. Определим энергетический спектр с орбитальным и радиальным возбуждениями.

В ОП волновая функция с радиальным возбуждением определяется в следующим виде:

nr n r C nr a a 0, (2.8) где Cn r -нормировочная константа, которая равна:

d / C nr n r n 1 nr,, (2.9) 4 nr !d / 2 nr а энергический спектр в Rd определяется следующим образом:

nr E nr H nr 0 E 2nr nr H I nr (2.10) Матричный элемент nr H I nr в рамках ОП вычислено в[6] и имеет вид:

d d 2 1 3 4 E B 4 2 ~ ~ nr H I nr 2 1 C. (2.11) 3 d d 2 2n r (1 nr ) (k d / 2 2 1) (d / 2) ~ 1k A (k ) Здесь: B, (2.12) nr (nr d / 2) (d / 2 2 1) k 2 (k d / 2) и 2n r (1 nr ) (k d / 2 3 1) (d / 2) ~ 1k A (k ) C, (2.13) nr (nr d / 2) (d / 2 3 1) k 2 (k d / 2) 2 2S k 2n r (k nr S d / 2) A (k ) где. (2.14) nr k 2 (nr S 1) (k S 1)(2S k 1) Из системы энергетический спектр и частота осциллятора определяются уравнений ( E ) 0 E.

(2.15) ПОСЛЕ НЕКОТОРЫХ АНАЛОГИЧНЫХ УПРОЩЕНИЙ ДЛЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ИМЕЕМ:

4nr z 2 2 2 1 1 2 1 4 2 1 C ~ E, nr min 2 ~ 8 x 3 2 z 3 2 ~ 1 j 1 5 2 j 2 1 W j 2 j 2 ~, 3 j! 2 j 1 z z2 j j (2.16) ГДЕ ПАРАМЕТР Z ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ИЗ УРАВНЕНИЯ:

~ ~ 4 x 2 4 2 43 1B 2 1C 1 3 z 2 2 1 ~ 2nr 2 1 1 2 1 8 x 2 1 1 5 2 j 2 j j j! 2 j 1 4 (2.17) z 2 j 2 j 0 z 2 2 j 4 2 j 1 2 1W 0, ~ ~ j 1 ~ 2n r 2 11 2 (1 k 4 2 j ) (1 nr ) (d / 2) 2 nr ~ ~ (1)k Anr (k ) (k d / 2).

Wj А W j РАВЕН:

(nr d / 2) (1 4 2 j ) k (2.18) 2.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ПОТЕНЦИАЛА КОРНЕЛЛА ПРИСТУПИМ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА МОДИФИЦИРОВАННОГО ПОТЕНЦИАЛА С УЧЕТОМ ОДНОГЛЮОНОГО ОБМЕНА. РАССМОТРИМ УШ:

4 s 1 2 (r ) E (r ), (r ) r 2 3 r (2..19) ГДЕ (r ) ПРЕДСТАВЛЕНЫ В (2.2). С ПОМОЩЬЮ ОП ИЗ (2.19) ОПРЕДЕЛЕН ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР. ЗДЕСЬ ПОСЛЕ НЕКОТОРЫХ УПРОЩЕНИЙ ПОЛУЧАЕМ:

d d 3 1 2 d 4 0 2 4 E 2 0 E 3 2 d d 2 2, d d 16 s 2 1 4 2 j 2 j 1 1 8 j 2 j! 2 j 1 d d 3 1 4 2 j j 2 (2.20) И ДЛЯ ГАМИЛЬТОНИАНА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ:

d d exp 2 1 x : e2 2i H I dx x :

x 3 4 2 E x2 16 s 2 x 4 3 1 0 1 3 2 1 1 2 3 1 1 1 j 2 j x 4 2 j 8 0 2, 4 2 j 11 4 2 j j! 2 j 1 j (2.21) ИЗ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (2.15) ОПРЕДЕЛЯЕМ ЭНЕРГИЮ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ И ЧАСТОТУ ОСЦИЛЛЯТОРА. ПРИ ЭТОМ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР РАВЕН:

4nr z 2 2 2 1 1 2 1 4 2 1 C 4 z 2 ~ E, nr 2 ~ s 8 x 3 2 z 3 2 1 3 3 ~ ~ 1 D 1 2 1 1 5 2 j 2 1 W j 2 j j ~ ~. (2.22) 3 1 z 2 j 0 j! 2 j 1 2 z2 j ЗДЕСЬ ПАРАМЕТРЫ КОТОРЫЙ СВЯЗАН С ЧАСТОТОЙ Z, ОСЦИЛЛЯТОРА, z / ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ИЗ УРАВНЕНИЯ:

~ ~ 4 x 2 4 2 43 1B 2 1C 1 3 z 2 2 1 ~ 2nr 2 1 1 2 ~ ~ 16 s x 2 2 2 2 1D 2 1B 3z 3 2 2 1 ~ 2nr 2 1 1 2 1 8 x 2 1 1 1 5 2 j 2 j j 4 z 2 j 2 j 0 j! 2 j 1 z (2.23) 2 2 j 4 2 j 1 2 1W 0.

~ ~ j 1 ~ 2nr 2 1 1 2 НА ОСНОВЕ ПОЛУЧЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕНЫ МАССА И КОНСТИТУЭНТНАЯ МАССА СОСТАВЛЯЮЩИХ ЧАСТИЦ С УЧЕТОМ ГЛЮОННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ РАСТУЩЕГО И КУЛОН ПЛЮС РАСТУЩЕГО ПОТЕНЦИАЛОВ.

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССОВОГО СПЕКТРА МЕЗОНОВ СОСТОЯЩИХ ИЗ ЛЕГКО ЛЕГКИХ КВАРКОВ С УЧЕТОМ НЕЛОКАЛЬНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 3.1 МАССОВЫЙ СПЕКТР МЕЗОНОВ МЫ АНАЛИТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМ МАССОВЫЙ СПЕКТР МЕЗОНОВ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ЛЕГКО-ЛЕГКИХ КВАРКОВ, С ОРБИТАЛЬНЫМ И РАДИАЛЬНЫМ ВОЗБУЖДЕНИЯМИ ДЛЯ ЛИНЕЙНО РАСТУЩЕГО И КУЛОН ПЛЮС РАСТУЩЕГО ПОТЕНЦИАЛОВ. В ЭТОМ ПУНКТЕ МЫ ПРИСТУПИМ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ МАССОВОГО СПЕКТРА МЕЗОНОВ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ЛЕГКО-ТЯЖЕЛЫХ КВАРКОВ, И КОНСТИТУЭНТНОЙ МАССЫ КВАРКОВ С ОРБИТАЛЬНЫМ И РАДИАЛЬНЫМ ВОЗБУЖДЕНИЯМИ ДЛЯ ЭТИХ ПОТЕНЦИАЛОВ. В ЭТОМ СЛУЧАЕ, m1 0, m2 mq, (3.1) ГДЕ MQ-- МАССА, В ЧАСТНОСТИ, S-КВАРКА. ПРЕЖДЕ ВСЕГО, ВЫЧИСЛИМ МАССУ И КОНСТИТУЭНТНУЮ МАССУ ДЛЯ РАСТУЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА.

ТОГДА, ПОСЛЕ НЕКОТОРЫХ УПРОЩЕНИЙ, ДЛЯ МАССЫ СВЯЗАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛУЧАЕМ:

s M, nr 0 s 2 2 0 s 2, (3.2) И ДЛЯ КОНСТИТУЭНТНОЙ МАССЫ КВАРКОВ ИМЕЕМ:

2, nr 2 0 s 2, 1, nr 0 s 2 ;

(3.3) А ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ В ВИДЕ:

s2 E, nr min. (3.4) 2 0 ЗДЕСЬ ИСПОЛЬЗОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:

1 s 2 2 2 s s 4 2 2 s s 2 mq 0 ;

.

2 2s 3 2 2s 3 4 2s 3 2 (3.5) В ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ПОТЕНЦИАЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЯВЛЯЕТСЯ КУЛОН ПЛЮС РАСТУЩИМ, ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ (2.16), А ПАРАМЕТР Z ДАЕТСЯ ИЗ (2.17) ДЛЯ КОНСТИТУЭНТНОЙ МАССЫ КВАРКОВ ИМЕЕМ:

d E 1, nr 2 x 2, dx d E 2, nr 2 2 x 2. (3.6) dx ПРИ ЭТОМ ПАРАМЕТР X ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ИЗ УРАВНЕНИЯ:

1 x 1 0.

d E d E 2 2x 2 dx dx (3.7) 3.2 Зависимость конституэнтной массы кварков от радиуса конфаймента Учет нелокального характера взаимодействия приводит к появлению нового параметра, rc 1 / - радиуса конфайнмента;

масса и конституэнтная масса связанного состояния зависят от этого параметра. Эта зависимость определена в работах [7,8] различными методами модификаций потенциала взаимодействия. В (2.16) и (2.17) представлены энергетические спектры с учетом нелокальности взаимодействия для растущего и кулон плюс растущего потенциалов соответственно. Для массового спектра состоящего из легко – легких кварков имеем:

M 2 E. (3.8) Далее представим численные результаты, полученные с учетом непертурбативного и нелокального характера взаимодействия, только для кулон плюс растущего потенциала при значениях s =0.39 и =0.19 GeV2. Прежде всего, определим массу и конституэнтную массу связанного состояния для =0. В этом случае определяется зависимость конституэнтной массы от радиуса конфайнмента rc для основного состояния. Результаты представлены на рис. 1.

Из рис. 1 видно, что с возрастанием расстояния между составляющими частицами в релятивистском связанном состоянии конституэнтная масса составляющих уменьшается, а с уменьшением- возрастает. Также из этого рисунка видно, что если радиус r c=1.0 fm, то конституэнтная масса ~1.5GeV, а если радиус 2.0 fm, то конституэнтная масса составляет всего лишь ~0.5GeV. Таким образом, при уменьшении расстояния между составляющими частицами в связанном состоянии их конституэнтная масса увеличивается. Поэтому, согласно (3.1) и (3.7), непертурбативная добавка, связанная с диаграммой собственной энергии и струнным взаимодействием, уменьшается, т.е. при некоторых значениях радиуса rc вклады этих взаимодействий могут становиться несущественными. При таком условии динамика формирования связанных состояний вполне возможно определяется в рамках феноменологических потенциальных моделей.

Рис.1 Зависимость конституэнтной массы от радиуса конфайнмента при х = 0.39 и = 0.19 Гэв2 для основного состояния 4 ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАКЛОНА И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ РЕДЖЕ ТРАЕКТОРИИ МЕЗОНОВ С УЧЕТОМ НЕЛОКАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПО МНОГОЧИСЛЕННЫМ РЕЗУЛЬТАТОМ ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И РЕШЕТОЧНЫХ ДАННЫХ В МЕТОДЕ ПОЛЕВЫХ КОРЕЛЯТОРОВ ЗНАЧЕНИЯ НАТЯЖЕНИЕ СТРУНЫ РАВНО =0.19 GEV2. ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 5 ЗАВИСИМОСТЬ M / ОТ ЯВЛЯЕТСЯ ЛИНЕЙНОЙ И МОЖЕТ БЫТЬ АППРОКСИМИРОВАНА В ВИДЕ ДЛЯ РАСТУЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА:

M 2, 8 3.5, (4.1) ДЛЯ КУЛОН ПЛЮС РАСТУЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА:

M 2, 8 2.64, (4.2) ПРИ ПАРАМЕТР НАКЛОНА РЕДЖЕ -ТРАЕКТОРИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО ОПРЕДЕЛЕН В [8]-[9] И РАВЕН:

L(exp) 0.81 0.01 GeV 2, (4.3) А В НАШЕМ СЛУЧАЕ (ДЛЯ ОБОИХ ВИДОВ ПОТЕНЦИАЛА ОН ЯВЛЯЕТСЯ ОДИНАКОВЫМ) L 0.658GeV, Т.Е. НИЖЕ, ЧЕМ ДАЕТ ЭКСПЕРИМЕНТ.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ РЕДЖЕ ТРАЕКТОРИИ РАВНО [8]-[9]:

L(exp) 0 0.30 0.02, (4.4) У НАС ДЛЯ РАСТУЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА L (0)=-1.374 И ДЛЯ КУЛОН ПЛЮС РАСТУЩЕГО L (0)=-1.037, Т.Е. В ЭТОМ СЛУЧАЕ ПО МОДУЛЯМ НАШИ РЕЗУЛЬТАТЫ БОЛЬШЕ, ЧЕМ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ. ПОВЕДЕНИЕ РЕДЖЕ NR-ТРАЕКТОРИИ ПАРАМЕТРИЗУЕТСЯ В ВИДЕ [10]:

M 2, nr M 2,0 nr.. (4.5) ПАРАМЕТР ОПРЕДЕЛЕН ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ СОСТОЯНИЙ NR=1,2,3 [9]-[10] В ИНТЕРВАЛЕ _ EXP=1.61.38 GEV2. ПРИ ЗНАЧЕНИИ НАТЯЖЕНИЯ СТРУНЫ =0.19 GEV2 ДЛЯ РАСТУЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА ОПРЕДЕЛЕНО СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА =2.7056 GEV2, А ДЛЯ КУЛОН ПЛЮС РАСТУЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА =2.656 GEV2. ТАКИМ ОБРАЗОМ, ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ БЕЗ УЧЕТА НЕПЕРТУРБАТИВНОГО И НЕЛОКАЛЬНОГО ХАРАКТЕРА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ НАКЛОНА И ПАРАМЕТРА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ РЕДЖЕ ТРАЕКТОРИИ ИМЕЮТ НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНОЕ СОГЛАСИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.

Из выражения (4.5) определяются параметры Редже nr -траектории:

1=1.60 GeV2 при nr= 2=1.49 GeV2 при nr=2. (4.6) 1=1.42 GeV2 при nr= В ЭКСПЕРИМЕНТЕ БОЛЕЕ-МЕНЕЕ ДОСТОВЕРНО ОПРЕДЕЛЕНО ЗНАЧЕНИЕ ЭТОГО ПАРАМЕТРА ТОЛЬКО ДЛЯ ПЕРВОГО РАДИАЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕННОГО СОСТОЯНИЯ: EXP=1.6±0.1GEV2. ТАКИМ ОБРАЗОМ, НАШИ РЕЗУЛЬТАТЫ УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО СОГЛАСУЮТСЯ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ. В НАШЕМ ПОДХОДЕ ПАРАМЕТР P СВЯЗАН С АСИМПТОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ.


ЗНАЧЕНИЕ P ПРИ БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ, Т.Е. ДЛЯ МЕЗОНОВ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ЛЕГКИХ КВАРКОВ, ОКАЗАЛОСЬ ~ 0.7, А ПРИ МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ, ДЛЯ ТЯЖЕЛЫХ МЕЗОНОВ, ~0.98. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ СВЯЗАННОГО СОСТОЯНИЯ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ ЭЙРИ, КОТОРАЯ ОБЕСПЕЧИВАЕТ НЕНАБЛЮДАЕМОСТЬ ЦВЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ, А НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ СТАНОВИТСЯ КУЛОНОВСКОЙ. ЭТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ СОСТАВЛЯЮЩИМИ ЦВЕТНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ОДНОГЛЮОННЫМ ОБМЕНОМ, И ЭТИ ОБЪЕКТЫ МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК СВОБОДНЫЕ.

Литература 1 Dosch H.G., Phys. Lett. B 190, 177(1987);

Dosch H.G. and Simonov Yu.A., Phys. Lett. B 205, 393(1988).

2 Ефимов Г.В. Нелокальные взаимодействия квантованных полей, Наука, Москва, 1977.

3 Efimov G.V. and Nedelko S.N., Phys. Rev. D 51, 176(1995);

Phys. Rev. D 54, 4483(1996);

Ефимов Г.В., Теор. Мат. Физ. 141, 80(2004).

4 Fabin Brau and Claude Semay, Phys. Rev. D 70, 014017(2004).

5 Динейхан М., Жаугашева С.А., Кожамкулов Т.А., ЯФ 68, 350(2005);

Few-Body Systems 37, 49(2005).

6 Dineykhan M., Efimov G.V., Ganbold G. and Nedelko S.N. Oscillator representation in quantum physics, Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, Berlin, m 26, (1995).

7 Badalian A.M. and Bakker B.L.G., Phys. Rev. D 66, 034025(2002).

8 Badalian A.M., Bakker B.L.G. and Simonov Yu.A., Phys. Rev. D 66, 034026(2002).

9 Bugg D.V. et al., Phys. Lett. B 353, 378(1995);

A.V. Anisovich et al., Nucl. Phys. A 662, 319(2000).

10 Abele A. et al., Phys. Lett. B 423, 175(1998);

C. Amsler, Rev. Mod. Phys.70, 1293(1998).

ЖЕРГІЛІКТІ ЕМЕС СЕРЛЕСУДІ ЕСКЕРУ АРЫЛЫ МЕЗОНДАРДЫ МАССАЛЫ СПЕКТРІН АНЫТАУ С.А. Жауашева, К.С. Дйсебаева, Б.Е. Толымбекова Пропагаторды импульстік кеістікке Гаусты трінде бтін аналитикалы функция ретінде тадай отырып, конфайнмент радиусіне туелді кварктарды рекеттесуіні згеру трінде потенциалы алынан. Конституэнттік массаны конфайнмент радиусына туелділігі аныталды.

Конфайнмент радиусы кішірейген сайын, раушы блшектерді конституэнттік массасы седі.

Байланысан кйдегі массалы спектрді пертубативтік емес рекеттесу лесіні азаюына алып келеді.

DETERMINATION OF THE MASS SPECTRUM OF MESONS, TAKING INTO ACCOUNT THE NONLOCALITY OF INTERACTION S.A. Zhaugasheva, K.A. Duysebaeva, B.E. Tolumbekova Choosing a propogater as the entire analytical function same Gausse in momentum space, determined modification of potential of quarks interaction, which depends of the radius confinement. Also determined the dependence of the constituent mass of the characteristic dimension of confinement. By the decrease radius of confinement the constituent mass of consist particle is increase. So the nonperturbative interaction contribution is decrease in the mass spectrum of bound state.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА АЙНЫМАЛЫ МАССАЛЫ ХИЛЛ ЖУЫТАУЫНДАЫ Ш ДЕНЕНІ ШЕКТЕУЛІ ЕСЕБІНДЕГІ МАССАЛАРДЫ ЗГЕРУ ЗАДЫЛЫТАРЫ М.Т. Абаев.И. Стбаев атындаы аза лтты техникалы университеті, Алматы.

Хилл жуытауындаы массалары айнымалы ш денені шектеулі есебінде массаларды згеру задылыы арастырылан. Активті гравитациялаушы денелерді массалары уаыт бойынша ртрлі арында изотропты згергендегі, массалар згерісіні тоыз задылыы табылан.

1 Кіріспе азіргі кездегі астрономиялы зерттеулер арыштаы объектілерді эволюциясы, оларды массасы мен лшемдеріні згеруімен атар жретіндігін крсетіп отыр.

Гравитациялаушы денелеріні массаларыны згеру салдары стационар емес жйе эволюциясыны негізгі факторларыны бірі болып табылады [1-3]. Осыан байланысты массалары ртрлі арынмен изотропты згеретін ш денені шектеулі есебін арастырамыз. Осы мселедегі Хилл жуытауында ш денені Гаусс слбесі бойынша орташаланан шектеулі есебіні интегралданатын жадайларындаы массаларыны згеру задылыы табылан.

2 Есепті жалпы ойылуы Пассивті гравитациялаушы дене озалыс тедеуін мына трде жазамыз fm r gradW, (1) r 0 r r 1 xX yY zZ W1 fm1 R X 2 Y 2 Z2,, R3 (2) X x Y y Z z, r x2 y2 z2, 2 2 m1 m1 t, m0 m m0 m0 t,. (3) m0 m Белсенді гравитациялаушы екі денені озалысын сипаттайтын Гюльден-Мещерский есебіні тедеуі m m R f 0 3 1 R, (4) R егерде денелерді массаларыны осындысы уаыта байланысты Мещерскийді жалпыланан задылыымен згерсе At 2 2 Bt 0 C, m00 m0 t 0, m10 m1 t m0 m1 (m00 m10 ) 02 (5) At 2 Bt C онда, оны дербес шешімі белгілі квазишеберлік озалыспен аныталынады R2 f m00 m10 a1, R a1 / v, (6) мндаы, m0 m1 At 02 2 Bt 0 C v m00 m10 At 2 2 Bt C. (7) Сол сияты, m0 m v0 v, (8) m00 m деп белгілейміз.

3 йытыан озалыс тедеуі арастырып отыран массалары ртрлі арынмен изотропты згеретін ш денені шектеулі есебіні (1)-інші тедеуі (6)-(7)-ші жадайда квазиконусты имадаы [4] апериодикалы озалысты оскуляцияланушы элементтері a, e, i,,, M (9) бойынша йыту озалысын Лагранж тедеулері арылы жазуа болады 2 W a, na M 1 e 2 W 1 e 2 W e, na 2 e M na 2 e W cos ec i W di ctg i, (10) d na 1 e na 2 1 e 2 cos ec i W, na 2 1 e 2 i 1 e 2 W W ctg i 2, na e M na 1 e i 2 m 2 W 1 e 2 W M 0 n.

m na M na 2 e M 4 Хилл жуытауы жне Гаусс слбесі бойынша орташалау Хилл жуытауымен шектеліп r R, (11) (2)-ші рнекті негізгі блігін абылдаймыз m1 r P 2 cos S, W1 f (12) R R йытушы кш потенциалын мынадай белгілейміз W W1 W2, (13) мндаы 1 d2 W2 v0 2 r 2. (14) 2 dt v Бл жадайда Гаусс слбесі бойынша екі рет орташаланан (13)-ші функция мына трге келеді 2 W1 kW2, v WdM dM v W* (15) v мндаы, v d 2 k k t 0 3 2. (16) v1 v dt v 5 Интегралданатын жадай Егерде, k k0 const деп абылдаса йтыан тедеулер жйесін автономды тедеулер жйесіне келтіруге болады. Бл жадайда (15)-ші рнек мына трге келеді v W1 k0W2, W * v3 (17) v fm10 a 2 6e 1 15e 2 sin 2 3 cos2 i 5e 2 sin 2 1 e 2, W1 (18) 8a a2 3 W2 1 e, (19) 2 v0 d 2 k 0 const.

(20) v1 v 3 dt 2 v Жаа туелсіз айнымалы шама енгізіп v d v 3 dt, (21) v (17)-ші рнекті пайдаланып, Лагранж тедеулерін автономды интегралданатын тедеулер жйесі ретінде жазуа болады [5] da d de 15 fm10 1 e e sin 2 i sin 2, d 8a1 n e 15 fm di sin 2 i sin d 16a1 n 1 e 2 2 a3 d 1 e 2 sin 2 cos2 i 1 e 2 k 1 1 e 2, 15 fm10 5 fm10 d n 1 e 4a1 5 d cos i 5e 2 sin 2 1 e 2, 3 fm10 (22) d 4a1 n 1 e 2 fm dM n 10 6e 2 11 15e 2 sin 2 3 cos2 i 5e 2 sin 2 1 e d n 4a1 1 e 2 fm.

3 6 15 sin 3 cos i 5 sin 2 2 n 4a1 6 Массаларды згеру задылытары Ал, (20)-шы шарттан v 0 v 0 t фунциясын анытайтын тедеу аламыз 1 v d k * v 3 1, (23) v v dt 2 0 0 m m m k 0, k*.

m10 m арапайым тепе-тедікті m00 m10 m 1 00 0.

m10 m пайдаланып (23)-ші тедеуді мына трде жазамыз d2 1 E1 E (24), 2 v 2 dt v0 At 2 Bt C 0 At 2 2 Bt C 2 2 m t m1 t 0 3 m t E1 k 0 At 02 2 Bt 0 C 0 0 ;

E2 k 0 At 0 2 Bt 0 C ;

(25) m1 t 0 m1 t Сйкесінше (7)-(8) атынастарынан m0 t, m1 t, аныталынады m0 m00 0 t, m m At 02 2 Bt 0 C m 00 (26) 0 t, m1 m10 00 At 2 2 Bt C m10 m мндаы v 0 v 0 t функциясы (24)-ші тедеу шешімі болып табылады.

Массаларды уаыт бойынша згеру задылыын анытайтын (24)-ші тедеуді Мещерский трлендіруін пайдаланып At 2 2 Bt C z1, (27) dt d (28) At 2Bt C автономды тедеу ретінде жазамыз d 2 z Nz1 E2, N AC B 2 E1, (29) d соы тедеуді шешімі белгілі, жне N мніне байланысты ртрлі болады.

Сйкесінше, (28)-ші интегралды аналитикалы рнегі B 2 AC мніне байланысты ртрлі.

Сондытан да, массалар згеру задылытары мынадай тоыз трлі болады.

1) N 0, 0, E1 0, 0 (30) c1t c Белсенді гравитациялаушы денелер массаларын (26)-шы формуладан табамыз:

m0 m c t c, 1 (31) m m At 2 2 Bt C 12 m m1 m10 00 At 2 Bt C m c t c, 10 0 m 10 Сол сияты алан жадайларда m0 t, m1 t массаларды згеру задылытары(26), (27), (28)-ші рнектерге сйкес тмендегі формулалардан табылады.

2. N 0, 0, At B E2 c1 c2, z1 (32) arctg ;

AC B AC B 2 3. N 0, 0, At B B 2 AC E2 c1 c2, z1 ln ;

(33) 2 B 2 AC At B B 2 AC 2 4 N ;

4. N AC B 2 E1 0, B 2 AC 0 ;

4E z1 c1 exp c2 exp 22 Ch 0, (34) 2 At B arctg ;

AC B AC B 5. N AC B 2 E1 0, B 2 AC 0 ;

4E z1 c1 exp c2 exp 22 Ch 0, (35) 2 At B B 2 AC ln ;

2 B 2 AC At B B 2 AC 6. N AC B 2 E1 0, B 2 AC 0 ;

4E z1 c1 exp c2 exp 22 Ch 0, (36) 2 ;

At B 2 4N 7. N AC B 2 E1 0, B 2 AC 0 ;

4E z1 c1 cos c2 sin 22 Cos 0, 2 At B (37) arctg ;

AC B AC B 8. N AC B 2 E1 0, B 2 AC 0 ;

4E z1 c1 cos c2 sin 22 Cos 0, (38) 2 At B B 2 AC ln ;

2 B 2 AC At B B 2 AC N E1 9. N AC B 2 E1 0, B 2 AC 0 ;

4E z1 c1 cos c2 sin 22 Cos 0, (39) ;

2 At B 2 7 орытынды Табылан (30)-(39) рнектерді ерекшелігі (3),(26)-шы формулаа сйкес белсенді гравитациялаушы екі денені массалары екі трлі задылыпен згеретінін крсетеді.

арастырылан есепті геометриялы жне динамикалы асиеттері массаларды згеру задылытарына сйкес ртрлі. Сондытан да, арастырылан жадайларда гравитациялаушы бейстационар жйеде эволюция жолдары дара згеше болады.

Бірата, арастырылан жадайда Хилл жуытыын сипаттайтын (11)-ші шарт массаларды згеру жылдамдыына белгілі дрежеде шектеу жасайды.

арастырылан мселені зерттеу барысында табылан наты масса згеру задылытарында жйе динамикалы эволюциясын талдау кзделуде.

дебиет 1. Омаров Т.Б. Динамика гравитирующих систем Метагалактики. – Алма-Ата:

Наука, 1975. – 144 с.

2. Omarov T.B. (Editor) Non-Stationary Dynamical Problems in Astronomy. New-York:

Nova Science Publ. Inc., 2002, 260 p.

3. Bekov A.A., Omarov T.B. The Theory of Orbits in Non-Stationary Stellar Systems. // Astronomical and Astrophysical Transactions. 2003. – Vol.22. – p 145-153.

4. Минглибаев М.ДЖ. К канонической теории возмущений в небесной механике тел переменной массы. // Труды АФИ АН КазССР. – Алма-Ата: ылым, 1992. – Т.50. – С. 71-78.

Минглибаев М.Дж. Абаев М.Т. Хилл жуытауындаы массалары ртрлі 5.

жылдамдыта изотропты згеретін ш денені шектеулі есебі. // Тезисы докл. междунар.

конф. Вторые Фесенковские чтения «Современная астрофизика: Традиции и перспективы», Алматы. 2007. С. 21-23.

ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ МАСС В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ МАССАМИ В ПРИБЛИЖЕНИИ ХИЛЛА М.Т. Абаев Рассмотрены законы изменения масс в ограниченной задаче трех тел переменной массы в приближении Хилла. Найдены девять законов изменения масс, когда массы активно гравитирующих тел изменяются со временем в различных темпах изотропно.

MASS VARIATION LAWS BY HILL APPROXIMATION IN THE RESTRICTED THREE BODY PROBLEM WITH VARIABLE MASSES M.T. Abayev Laws of change of masses in the restricted problem of three bodies of variable masses by Hill approximation are considered. Nine laws of mass variation when masses of actively gravitating bodies are time dependent and changed isotropic rate various velocity.

К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ А.Б. Кыдырбекулы Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы Рассматривается устойчивость движения механических систем с нелинейными характеристиками различного типа. Предлагается методика исследования динамической устойчивости нелинейных систем по Ляпунову. Она строится на задании уравнения возмущенного состояния системы параметрическим уравнением типа Хилла и определении характеристического определителя методом Флоке.

Исследуется устойчивость движения неавтономной механической системы с нелинейными характеристиками мягкого и жесткого типа и нелинейно-вязким сопротивлением без ограничений на величины нелинейных и неавтономных членов:

Ф( x, x, t ) F ( t ), (1) x где Ф( x, x, t ) K1 x K2 x 2 x 2 0 x - в случае системы с нелинейной характеристикой мягкого типа;

Ф( x, x, t ) K1 x K2 x 2 x3 0 x - в случае системы с нелинейной характеристикой жесткого типа.

K1 и K 2 - коэффициенты линейного и нелинейно-вязкого сопротивления, и коэффициенты мягкой и жесткой характеристик, соответственно.

Нелинейные системы типа (1) находят широкое применение при моделировании движения отдельных, а также связанных элементов конструкций и машин. Известно, что одним из распространенных методов решения большинства известных нелинейных динамических моделей систем с бесконечным числом степеней свободы (например, упругих систем с распределенными параметрами) является применение методов разделения переменных, которые приводят к уравнениям типа (1) с одной степенью свободы. При этом нелинейность характеристик может быть обусловлена различными допущениями модели.

Например, нелинейная характеристика мягкого типа может быть вызвана нелинейными свойствами используемого материала конструкций, а нелинейная характеристика жесткого типа – конечностью величин возникающих деформаций.

В работе рассматривается случай нелинейных диссипативных сил, имеющих место при высокоскоростных режимах движения, а также при использовании материалов с ярко выраженными диссипативными свойствами, например, резины, используемой в качестве демпферов возникающих колебаний.

Большинство исследований по устойчивости периодических колебаний нелинейных систем выполнялись при существенных ограничениях на величины их нелинейности, т.е.

рассматривались квазилинейные системы, которые исследовались асимптотическими методами и методом малого параметра [1-2] и др. Наибольший интерес представляют работы [3-4] по исследованию нелинейных колебаний физических систем без ограничений на величины нелинейных характеристик.

Здесь в отличие от [3-4] помимо нелинейных характеристик системы учитывается нелинейность вязкого сопротивления. Под периодическим решением системы (1) будут пониматься ее резонансные режимы колебаний по основной и кратным частотам возбуждения, как наиболее опасные и нежелательные для динамики режимы.

Раскладывая возмущающую силу F ( t ) в ряд Фурье по гармоническим составляющим, исследуется устойчивость нелинейных систем:

K1 x K2 x2 0 x x2 F0 F1 cos t, (2) x K1 x K2 x 2 0 x x3 F cos t (3) x Как и в работе [5] под устойчивым движением системы понимается движение системы в отсутствии резонансных режимов, т.е. перемещения системы со временем должны стремиться к нулю. Это определение идентично определению устойчивости по Ляпунову.

решения вопроса устойчивости рассматривается малое отклонение x от Для периодического равновесного состояния x0 (t ), устойчивость которого подлежит исследованию:

x(t ) x0 (t ) x (4) Подставляя (4) в (2) и (3) и пренебрегая степенями x выше первой, получены уравнения возмущенного состояния для нелинейных систем с мягкой и жесткой характеристикой, соответственно:

d 2 x dx d x 0 2 x0 x 0, K1 2 K 2 0 (5) dt dt dt d 2 x dx d x 0 3 x0 x 0 ;

K1 2 K 2 0 2 (6) dt dt dt или в общем виде (5) и (6) задаются как:

d 2 x Ф d x Ф x 0, (7) dt 2 x 0 dt x где символ 0 означает подстановку исследуемого решения x0 (t ) и x0 (t ) после проведения операции дифференцирования.

Правомерность перехода от уравнения (1) к уравнению возмущенного состояния (7) при задании Ф( x, x,) в самом общем виде рассматривалась в работах Треффтца [3].

Условия же правомерности перехода для частного случая функции Ф( x, x,) = dx f1 ( x) f 2 ( x) исследовались Л.А. Бессоновым [3].

dt Устойчивость рассматриваемого решения x0 (t ) зависит от характера поведения малого возмущения x во времени: если все решения возмущенного состояния (7) x 0 при t, то решение x0 (t ) по определению устойчиво;

если величина x неограниченно растет при t, то решение x0 (t ) – не устойчиво.

Для анализа уравнения возмущенного состояния (7) вводится новая переменная, задаваемая как:

Ф x exp 0,5, (8) x что приводит к параметрическому уравнению типа Хилла относительно переменной.

В работе исследуется устойчивость основного резонанса нелинейных систем (2) и (3).

Для случая нелинейной характеристики мягкого типа резонанс задается решением:

x0 (t ) r0 r1 cos( t 1 ). (9) Для него получено уравнение возмущенного состояния в виде уравнения типа Хилла:

d 0 1s sin t 1c cos t 2 s sin 2 t 2c cos 2 t 0, (10) dt где 0 0 2 r0 0, 25 k12 0,5 k2 r12 2, 2 1s (2 r1 k2 r1 2 )sin 1 k1k2r1 cos 1, 1c (2 r1 k2 r1 2 ) cos 1 k1k2 r1 sin 1, (11) 2 s 0,5 k2 r12 2 sin 21, 2c 0,5 k2 r12 2 cos 21.

Для случая же нелинейной характеристики жесткого типа решение x0 (t ) задавалось как:

x0 (t ) r1 cos( t 1 ), (12) а функции 0, 1s, 1c, 2 s, 2c в уравнении (10) определены следующим образом:

0 0 1,5 r12 0, 25 k12 0,5 k2 r12 2, 2 1s k2 r1 2 sin 1 k1k2 r1 cos 1, 1c k2 r1 2 cos 1 k1k2 r1 sin 1, (13) 2 s 1,5 r12 sin 21 0,5 k2 r12 2 sin 21, 2c 1,5 r12 cos 21 0,5 k22r12 2 cos 21.

Таким образом, анализ уравнений возмущенного состояния (7) сводится к решению уравнения типа Хилла (10).

Частное решение уравнения (10) находится согласно теории Флоке, когда задается как:

e t (t ), (14) где – характеристический показатель, а (t ) – есть периодическая функция времени, раскладываемая в ряд Фурье:

(t ) bn cos(n t n ). (15) n В зависимости от числа составляющих разложения в ряд Фурье функции (t ) строятся характеристические определители, задающие границы соответствующих областей неустойчивости рассматриваемого решения. В данном случае – для гармонического решения, характеризующего резонанс по основной частоте.

В работе получены первые зоны неустойчивости основного резонанса в зависимости от геометрических и физических параметров рассматриваемой нелинейной системы.

Для случая нелинейной системы с мягкой характеристикой она задается следующим образом:

2 0,5 2 s 2 0 2 0,5 2c ( ) =0 (16) 2 0,5 2 s, 0 0,5 2c 2 Уточненное условие устойчивости основного резонанса получено, когда разложение в ряд Фурье представлено в виде:

e t b0 b1 cos( t 1 ) (17) и определяется как:

2 0 0,51s 0,51c 1s 2 0 2 0,5 2 c 2 0,5 2 s ( ) =0 (18) 1c 2 0,5 2 s 2 2 0 0,5 2c Из (18) видно, что данный характеристический определитель является расширением характеристического определителя (16) и действительно задает уточнение границ для первого случая.

Для нелинейной системы с жесткой характеристикой получена первая область неустойчивости основного резонанса:

2 0,5 2 s 2 2 0 0,5 2c ) ( ) (19) 2 0,5 2 s, 2 2 0 0,5 2c Полагая e t b0 b2 cos( 2 t 2 ), получена вторя область неустойчивости основного резонанса данной системы:

2 0 0,51s 0,51c ( ) 1s 2 2 0 0,5 2 c 2 0,5 2 s (20) 1c 2 0,5 2 s 2 2 0 0,5 2 c Таким образом, аналитическое определение границ областей неустойчивости основного резонанса в зависимости от геометрических и физических параметров рассмотренных систем с нелинейными характеристиками мягкого и жесткого типа и частот внешнего возмущения позволяет отстраивать данные системы от резонансных режимов колебаний путем вариации их параметров.

Данная методика позволяет исследовать резонансные режимы колебаний по высшим частотам с определением соответствующих им областей неустойчивости.

Литература 1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974. - 504 с.

2. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М.: Гостехиздат, 1956.- 357 с.

3. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. – М.:Мир, 1968. 423 с.

4. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. М.,1973. – 334 с.

5. Хаджиева Л.А., Кыдырбекулы А.Б. Об устойчивости движения упругих звеньев плоских МВК. // Вестник КазГУ. Сер. мат., мех., инф.-1996, №4. – С. 191-194.

БЕЙСЫЗЫ МЕХАНИКАЛЫ ЖЙЕЛЕР ОЗАЛЫСЫ ОРНЫТЫЛЫЫН ТАЛДАУ МСЕЛЕСІНЕ А.Б. ыдырбеклы Бейсызы р типті сипаттамалары бар механикалы жйелер озалысыны орнытылыы арастырылды. Бейсызы жйелерді динамикалы орнытылыын Ляпунов бойынша зерттеу дістемесі сынылды. Бл дістеме бойынша жйені йтыан кйіні тедеуін Хилл типіндегі параметрлік тедеуі арылы беріліп, одан кейін Флоке дісімен сипаттаушы анытаышы табылды.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.