авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«Анатолий Афанасьевич ЛЕВАКОВ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Минск БГУ 2009 УДК 519.2 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Тогда существует селектор : T X для такой, что g(t) = = f (t, (t)) t T.

Предложение 1.43 [139, p. 49]. Пусть (X, ) польское про странство, а : T comp (X), g : T X измеримые отобра жения. Тогда существует селектор : T X для такой, что (g(t), (t)) = (g(t), (t)) t T.

Предложение 1.44 (теорема Майкла [139, p. 57–58]. Пусть X метрическое пространство, Y банахово пространство и : X Scc (Y ) полунепрерывное снизу многозначное отображе ние. Тогда существует непрерывный селектор : X Y для отоб ражения.

Предложение 1.45 [111]. Пусть: F : [a, b]Rd conv (Rdr ) многозначное отображение, измеримое по t и непрерывное по x;

z : [a, b] Rd измеримое отображение;

w : [a, b] Rd селек тор для F (t, z(t)). Тогда существует измеримый по t и непрерывный по x селектор f для отображения F такой, что w(t) = f (t, z(t)) п. в. t [a, b].

Пусть (X, ) метрическое пространство. Если существует посто янная c 0 такая, что отображение F : X cl (Rd ) удовлетворяет неравенству (F (x), F (y)) c(x, y) x, y Rd, то отображение F называют c-липшицевым. Говорят, что отображение F : [a, b] X cl (Rd ) является c(t)-липшицевым по x, если оно c(t)-липшицево при каждом фиксированном t. Если функция c(t) постоянна, то отоб ражение F : [a, b] X cl (Rd ) называем просто липшицевым по x.

Предложение 1.46 [111]. Пусть F : [a, b]X conv (Rd ) из меримое по Борелю c(t)-липшицевое по x отображение. Тогда суще ствует постоянная k 0 и измеримый по Борелю kc(t)-липшицевый по x селектор f для F.

Пусть T топологическое хаусдорфово пространство. Мера µ : (T ) R+ называется мерой Радона, если:

i) для каждой точки t T существует окрестность конечной ме ры;

ii) для каждого множества A (T ) µ(A) = sup{µ(K) | K comp (A)}.

Пространство T называется локально компактным, если каждая точка имеет относительно компактную окрестность.

Предложение 1.47 (теорема Скорца Драгони [139, p. 45]).

Пусть: T локально компактное хаусдорфово топологическое пространство с положительной мерой Радона µ;

X поль ское пространство;

Y сепарабельное метрическое пространство;

(T,, µ ) расширение Лебега для (T, (T ), µ);

F : T X Y (, (X))-измеримое по t и непрерывное по x отображение. То гда для любого 0 существует замкнутое множество E T с µ(T \ E ) такое, что F непрерывно на E X.

две вещественные функции, заданные на Rd. Ин Пусть u и v теграл Rd u(y)v(x y)dy = (u v)(x) называется сверткой функций u и v. Пусть 1 1B(0,1), x Rd, J1 (t) = c1 exp 1(1,1), J2 (x) = c2 exp 1t2 1 x где постоянные c1, c2 выбраны так, что R J1 (t)dt = 1 = Rd J2 (x)dx, и пусть J(t, x) = J1 (t)J2 (x), Jn (t, x) = nd+1 J1 (nt)J2 (nx). Если f : R+ Rd R измеримая по Лебегу локально ограниченная функция, то отображения fn (t, x) = (f Jn )(t, x), n = 1, 2,..., бесконечно диф ференцируемы и fn (t, x) f (t, x) для почти всех (t, x) R+ Rd.

Предложение 1.48 (лемма Крылова [39, c. 80]). Пусть: m 0;

Cm = {(t, x)|t R, x m};

h Ld+1, h(t, x) 0, h(t, x) = 0 при t 0, h(t, x) = 0 при x m. Тогда на (, +) Rd существует ограниченная функция z(t, x) 0, равная нулю при t 0 и такая, что для всех достаточно больших n и неотрицательно определенных симметрических матриц a = (aij ) на цилиндре Cm выполняется неравенство d 2 zn zn 1/(d+1) aij i j, N (d)(det a) hn + t x x i,j= в котором N (d) 0, hn = h Jn, zn = z Jn. Кроме того, если вектор b и число c таковы, что b m c, то на том же множестве справедливо неравенство d zn bi czn xi i= для достаточно больших n. Наконец, при всех t 0 и x Rd имеет место неравенство t |z(t, x)|d+1 hd+1 (s, y) ds dy.

N (d, m) B(0,m) 2. Многозначные случайные процессы.

метрическое пространство, (, F, P ) Пусть (X, ) вероят ностное пространство.

Отображение Y : comp (Rd ) называют многозначной слу чайной величиной, если оно (F, (Rd ))-измеримо. Семейство Y (t), t 0 многозначных случайных величин называют многозначным случайным процессом.

Многозначный случайный процесс измерим, если {(t, ) | Y (t, ) B = } (R+ ) F для любого B (Rd ), если, кро ме того, для любого t R+ многозначная случайная величина Y (t, ) является (Ft, (Rd ))-измеримой, то говорят, что многозначный процесс согласован с Ft.

Пусть F : cl (Rd ), X : Rd случайные величины, тогда { | X() F ()} F [27, с. 340].

Предложение 1.49. Пусть: (, F, P ) вероятностное про странство с потоком Ft ;

b(t, )-измеримый случайный процесс;

: R+ conv (Rd ) многозначный измеримый (Ft )-согла сованный процесс;

b(t, ) (t, ) для (µ P )-почти всех (t, ) R+ ;

= E(b(t) | Ft ) b(t) условное математическое ожидание процесса b(t) относительно потока Ft. Тогда ) (t, ) для b(t, (µ P )-почти всех (t, ) R+ ).

множество тех t R+, для кото Доказательство. Пусть K рых b(t, ) (t, ) на множестве t положительной меры P (t ) 0.

Тогда µ(K) = 0. Возьмем t R+ \ K. Так как функция t, ) b( d и многозначное отображение (t, ) являются (Ft, (R ))-изме t, ) (t, )} принадлежит Ft.

римыми, то множество = { | b( Предположим, что P () 0. Для каждого возьмем точку r() (t, ) такую, что ((), t, )) = ( t, ), (t, )). Отоб b( b( r ражение r() является (Ft, (Rd ))-измеримым. Следовательно, такими же будут отображения r и u, определенные следующим об разом: r : Rd, r() = r(), если ;

r() = t, ), если b( \, u() = t, ) r(). Из построения u() следует b( u () t, ) sup u ()a, b( a(t,) а из свойств условных математических ожиданий вытекает E(u ()b(t, )|Ft ) = u () t, ). Поэтому b( u () t, )d b( u ()b(t, )d = ( sup u ()a)d, a(t,) что противоречит включению b(t, ) (t, ) п. н.

Предложение 1.50. Если : [0, t1 ] conv (Rd ), : [0, t1 ] (([0, t1 ])) F, (Rd ))-измеримые (Ft )-согласованные Rd процессы, то существует измеримый (Ft )-согласованный процесс, удовлетворяющий соотношениям (t, ) (t, ), ||(t, ) (t, )|| = = (((t, ), (t, )) (t, ) [0, t1 ]. (1.5) Доказательство. Существование измеримого процесса, удо влетворяющего соотношениям (1.5), следует из предложения 1.43. Взяв t [0, T ] и применив предложение 1.43 к отображениям (t, ), (t, ), получим, что существует (Ft, (Rd ))-измеримая случай ная величина такая,что (t, ) (t, ), ()(t, ) = ((t, ), (t, )). (1.6) Так как множество (t, ) непустое выпуклое компактное, то для каждой пары (t, ) существует единственная точка (t, ) (t, ), удовлетворяющая (1.5), и существует единственная точка (t, ) (t, ), удовлетворяющая (1.6), следовательно, (t, ) = (t, ).

Из (Ft, (Rd ))-измеримости следует (Ft )-измеримость (t, ).

Предложение 1.51. Пусть последовательность bn (t, ) слабо сходится к b(t, ) в L1 ([0, t1 ], Rd ). Тогда имеет место включение b(t, ) co bj (t, ) (1.7) m=1 j=m для (µ P )-почти всех (t, ) [0, t1 ].

Доказательство. Рассмотрим множество m (t, ) = = co j=m bj (t, ) и через m обозначим множество всех селекторов для m (t, ), принадлежащих L1 ([0, T ], Rd ). Если последователь ность yl m, l 1, сходится к y в L1 ([0, T ], Rd ), то из нее можно выбрать подпоследовательность yli, i 1, сходящуюся почти всюду к y. Следовательно, m является замкнутым подмножеством пространства L1 ([0, T ], Rd ), кроме того, очевидно, что множество m непустое и выпуклое. Поэтому множество m слабо замкнуто в L1 ([0, T ], Rd ), значит, b m для любого m 1, т. е. b удовлетворяет (1.7).

Предложение 1.52. Пусть s : R+ Rd Rdr измеримое по Борелю локально ограниченное отображение, S(t, x) наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные точки отображения s(t, x ) при x x. Тогда многозначное отображение S : R+ Rd conv (Rdr ) измеримо по Борелю и полунепрерывно сверху по x.

Доказательство. Возьмем произвольную точку x Rd и про извольную последовательность xn x. Пусть S1 (t, y) наименьшее замкнутое множество, содержащее все предельные точки s(t, y ) при y y, и пусть yn S1 (t, xn ). Из последовательности yn выбираем сходящуюся подпоследовательность yni y. Считаем для простоты, что yn y. Из определения S1 следует, что n N существует последовательность xnk xn, k, такая, что s(t, xnk ) yn, k. Отсюда следует, что s(t, xnn ) y, n, т. е. y S1 (t, x).

Таким образом, отображение S1 полунепрерывно сверху по x, но то гда таким же является и отображение S. Множество S1 (t, y) можно представить в виде S1 (t, y) = s(t, [x]1/i ), i= где s(t, [x]1/i ) наименьшее замкнутое множество, содержащее все открытое множество в Rdr, точки s(t, x ), x x 1/i. Пусть U тогда {(t, x)|s(t, [x]1/i ) U = } = {(t, x) | (x, x) 1/i, s(t, x ) U } = Bi (R+ ) (Rd ). Поэтому {(t, x) | s(t, [x]1/i ) U= i= d i=1 Bi (R+ ) (R ), что доказывает измеримость по = } = Борелю отображения S1. Измеримость по Борелю отображения S = = co S1 вытекает из теоремы III.40 [117].

dd Предложение 1.53. Пусть: Rs множество неотрицатель ных симметрических матриц;

a : R+ Rd Rs dd локально d ограниченное отображение;

для каждых (t, x) R+ R множе ство A(t, x) является наименьшим выпуклым замкнутым множе ством, содержащим точку a(t, x) и все предельные точки отображе ния a(t, x ) при x x. Тогда для любых (t, x) R+ Rd элемента ми множества A(t, x) являются неотрицательные симметрические матрицы.

Доказательство. Если матрица b(t, x) является пределом для последовательности неотрицательных симметрических матриц a(t, xi ), xi x, то все миноры матрицы b являются пределами соот ветствующих миноров матрицы a(t, xi ). Все угловые миноры матрицы a(x, ti ) неотрицательны, следовательно, такими же являются и миноры матрицы b, поэтому b неотрицательная симметрическая матрица.

Любая точка в выпуклой оболочке ограниченного замкнутого множе ства B, согласно теореме Каратеодори, представима в виде k k bi B.

b= i bi, i 0, i = 1, k n, i=0 i= Поэтому угловые миноры любой матрицы из выпуклой оболочки сим метрических неотрицательных матриц являются линейной комбинаци ей неотрицательных миноров с неотрицательными коэффициентами и, следовательно, сами неотрицательны. Отсюда и из равенства coB = = coB, верного для всякого замкнутого ограниченного множества B, следует предложение 1.53.

Если a Rdd симметрическая неотрицательная матрица, то существуют ортогональная матрица T и диагональная матрица = = diag (11,..., dd ), 0 11... dd такие, что a = T T 1 Через.

неотрицательную симметрическую матрицу T T 1, 1/ a обозначаем где = diag( 11,..., dd ).

область в Rd, Nx = r0 Nx,r, Nx, = r0 Nx,r, Пусть D Nx,r = {n Rd | n = 1, B(x rn, r) D = }, где B(z, r) = {y Rd | y z r}, z Rd, r 0.

Условия Лионса Шнитмана для области D.

1) Существует r0 ]0, +[ такое, что Nx = Nx,r0 =, x D.

2) Существуют постоянные 0, 1 такие, что для каждого x D существует единичный вектор kx со следующим свойством:

kx, n 1/ n yB(x,) D Ny.

Предложение 1.54 (теорема Рожкоша Сломинского [162]).

Пусть: : R+ D R, b : R+ D Rd dr измеримые функции;

область D удовлетворяет условиям Лионса Шнитма C (t, x) R+ D, C = const ;

замыкание на;

(t, x) + b(t, x) множества V принадлежит E, где V и E следующие мно жества: V = (F \ F1 ) M F1 M1, F = {(t, x) R+ D | (R+ D) U (t,x) det a (s, y)dsdy = для каждой открытой окрест ности U (t, x) точки (t, x)}, a =, F1 = {(t, x) F | (R+ D) U (t,x)\F det a (s, y)dsdy = для каждой открытой окрест ности U (t, x) точки (t, x)}, M = {(t, x) R+ D | (t, ·)|F или b(t, ·)|F разрывна в x}, M1 = {(t, x) R+ D | (t, ·) или b(t, ·) разрывна в x}, E = {(t, x)|(s, x) = 0 и b(s, x) = 0 для почти всех s t};

x0 D.

Тогда существуют вероятностное пространство (, F, P ) с по током Ft, (Ft )-броуновское движение W (t), пара непрерывных (Ft ) согласованных процессов x(t), K(t), x принимает значения в D, K процесс с ограниченной вариацией, K(0) = 0 и t K(t) = n(s)d|K|s, t |K|t = t R+, 1D (x(s))d|K|s, где |K|t вариация отображения K на [0, t], n(s) Nx(s), если x(s) D, и таких, что выполняется соотношение t t t R+. (1.8) x(t) = x0 + (s, x(s))dW (s) + b(s, x(s))ds + K(t), 0 Процесс x(t) называют слабым решением на D уравнения (1.8) с отражением от границы. 1.4. Полудинамические системы Пусть X метрическое пространство с метрикой. Предполо жим, что задано отображение f : R+ X comp (X), ставящее в соответствие каждой точке (t, x) R+ X непустой компакт f (t, x).

Говорят, что на X задана полунепрерывная по x полудинамиче ская система f (t, x) [87, с. 11], если отображение f удовлетворяет следующим аксиомам:

A1 ) f (0, x) = x x X;

A2 ) f (t1 + t2, x) = f (t2, f (t1, x)) x X, t1, t2 R+ ;

A3 ) lim (f (t, x), f (t0, x)) = 0 x X, t0 R+ ;

tt lim (f (t, x), f (t, x0 )) = 0 x0 X, t R+.

xx Отображение x : Ix X, где Ix множество вида ], + +[, [c, +[ с c ], 0] либо ]c, +[ с c ], 0[, называем движением полунепрерывной по x полудинамической системы f (t, x), если x (0) = x и x (t2 ) f (t2 t1, x (t1 )) t1, t2 Ix, t2 t1. Дви жение x (t) называется максимальным, если не существует другого движения x (t), что Ix Ix и x |Ix = x. Каждое движение полу непрерывной по x полудинамической системы f (t, x) можно продол жить до максимального движения [87, с. 36]. Движение x называется полным, если Ix = ], +[. Полное движение обозначается. x Отображения x : ], 0]Ix X, x : [0, +[ X, x : [a, b] X, [a, b] Ix, называются соответственно отрицательным полу движением, положительным полудвижением и отрезком движения x и обозначаются, +, |[a,b]. Отрицательное полудвижение полное, x x если ], 0] Ix =], 0].

Через (f ) обозначаем совокупность всех движений полунепре рывной по x полудинамической системы f, а через (f, R+ ) сово купность всех ее положительных полудвижений, R+ = [0, +[.

Предложение 1.55 [87, с. 46 47]. Множество (f, R+ ) облада ет следующими свойствами:

I) x X существует (f, R+ ) такое, что (0) = x;

II) если 1, 2 (f, R+ ) таковы, что 1 (t1 ) = 2 (t2 ) для неко торых t1, t2 R+, то отображение 1 (t), 0 t t1, (t) = 2 (t + t2 t1 ), t t1, принадлежит (f, R+ );

III) если (f, R+ ) и = (t + ), t R+, то (f, R+ ) R+ ;

IV) если xn x0, n (f, R+ ), n (0) = xn, то существует подпоследовательность nk, сходящаяся на R+ к некоторому полу движению (f, R+ );

V) если tn t0, n (f, R+ ), n (0) = x0 n, то существует такое полудвижение (f, R+ ), (0) = x0, что (t0 ) предель ная точка для n (tn ).

Предложение 1.56 [87, с. 28, с. 47]. Пусть некоторое под множество из C(R+, X) = {h : R+ X | h непрерывна}. Ес ли для функций из выполняются условия I) V), то отображение f (t, x) = {(t) |, (0) = x}, x X, t R+, является по лунепрерывной по x полудинамической системой на X, причем = = (f, R+ ). Если |[a,b] отрезок движения (движение x (t)), то t1 Ix, (t) = (t + t1 ), t [a t1, b t1 ] (z (t) = x (t + t1 ), z = x (t1 ), t + t1 Ix ) также является отрезком движения (дви жением) полунепрерывной по x полудинамической системы.

Скажем, что полунепрерывная по x полудинамическая система f (t, x) на X удовлетворяет свойству VI), если совокупность движений (f ) этой системы обладает свойством:

VI) существует 0 такое, что если последовательность движе ний n (t) (f ) равномерно ограничена на некотором отрезке [a, b], то из нее можно выбрать подпоследовательность nk, сходя щуюся на [a, b] к отрезку |[a,b] некоторого движения этой системы.

Полунепрерывную по x полудинамическую систему, для которой выполняется свойство VI), называем G -системой на X.

Дифференциальные включения, функционально-дифференциаль ные включения, эволюционные уравнения параболического типа при естественных условиях порождают G -системы на соответствующих метрических пространствах.

Одну из точек пространства X обозначим 0. Множество, состо ящее из непрерывных функций : I X, где I множество вида ], +[, или [c, +[ с c ], 0], или ]c, +[ с c ], 0[, называем Z -системой, если существует d 0 такое, что для любых t0 R+, x X, (x, 0) d, существует функция со свойством (t0 ) = x.

Будем говорить, что Z -система (G -система f (t, x)) обладает свойством интегральной непрерывности в точке x = 0, если функция (t) 0, t 0, принадлежит Z -системе (является полудвижением G -системы) и 0, t0 R+, t1 t0, (, t0, t1 ) 0, x0, (x0, 0), ( (f )), (t0 ) = x0, t [t0, t1 ] выполняется неравенство ((t), 0). Для Z -системы (G -системы), обладающей свойством интегральной непрерывности в точке x = 0, используем обозначение Z0 -система (G0 -система).

Скажем, что Z -система приближается к G -системе f (t, x) при t +, если существуют постоянные 0, L 0 такие, что лю бые две последовательности tn +, n, удовлетворяющие условию (zn (t), 0) L, t [a, b], zn (t) = n (t + tn ), обладают свойством: из последовательности zn можно выбрать подпоследова тельность znk, сходящуюся на [a, b] к отрезку |[a,b] некоторого дви жения G -системы.

Функция x(t) 0, t 0, называется устойчивой для Z -системы (для G -системы f (t, x)), если функция x(t) 0, t 0, принадлежит Z -системе (является положительным полудвижением G -системы) и для любых 0, t0 0 существует (, t0 ) 0, что для любых x0, (x0, 0), ( (f )), (t0 ) = x0, выполняется неравенство ((t), 0) t [t0, +[.

Функция x(t) 0, t 0, называется асимптотически устойчи вой для Z -системы (G -системы f (t, x)), если она устойчива и для любого t0 R+ существует (t0 ) 0 такая, что для любых x0, (x0, 0), ( (f )), (t0 ) = x0, имеем ((t), 0) при t +.

Множество (R) = {y X | y = (t), t R} ( (], 0]) ) x x x называется полной траекторией (полной отрицательной полутраекто рией) полного движения (полудвижения ). Траектория (по x x лутраектория) называется нетривиальной, если она отлична от точки x = 0. Движение (полудвижение) называется нетривиальным, если его траектория (полутраектория) нетривиальна.

Теорема 1.1 [63]. Функция x(t) 0, t 0, асимптотически устойчива для G0 -системы f тогда и только тогда, когда суще ствует окрестность точки x = 0, в которой G0 -система f не имеет полных отрицательных нетривиальных полутраекторий.

Теорема 1.2 [63]. Если Z0 -система приближается к G -сис теме при t + и функция x(t) 0, t 0, асимптотически устойчива для G -системы, то функция x(t) 0, t 0, асимптоти чески устойчива и для Z0 -системы.

В следующей теореме рассматриваем G -системы, для которых вы полняется условие I). Существуют непрерывная функция V : X [0, +[, V (0) = 0, и постоянная 0 такие, что функция t V ((t)) не возрастает для каждого движения G -системы до тех пор, пока ((t), 0).

Обозначим m = {x X | V (x) = 0, (x, 0) }.

V Теорема 1.3 [63]. Функция x 0, t 0, асимптотически устой чива для G0 -системы f, удовлетворяющей условию I), в том и толь ко в том случае, когда существует постоянная 1, 0 1, такая, что G0 -система не имеет полных отрицательных нетриви альных полудвижений и полных нетривиальных движений, удовлетворяющих условиям (t) m1 t 0;

V ( (t)) = V ((0)), V ( (t), 0) 1 t R.

1.5. Дифференциальные включения Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравне ний f : R+ R d R d.

x = f (t, x), x(0) = x0, (1.9) Под решением системы (1.9) понимают функцию x(t), определенную на некотором промежутке |a, b|, которая дифференцируема на |a, b| и удовлетворяет условию x(t) = f (t, x(t)) t |a, b|. Если отобра жение f непрерывно, то для любой точки x0 Rd существует реше ние уравнения (1.9) с начальным условием x0, которое продолжимо на промежуток [0, c[, где либо c = +, либо lim x(t) = +.

tc Для дифференциальных уравнений с разрывной функцией f такое определение решения уже не является приемлемым, что показывает следующий пример: x = 1 2 sign x. При x 0 имеем x = 3, x(t) = = 3t + c1 ;

при x 0 имеем x = 1, x(t) = t + c2. При возрастании t каждое решение доходит до прямой x = 0, и далее поле направле ний не позволяет решению сойти с нее. Продолжение же решения по этой прямой невозможно, так как на ней x(t) = 0, а 1 2 sign x(t) = = 1. Для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью обычно используют следующее обобщение понятия решения, принадле жащее А. Ф. Филиппову [99, 100, 102]. Для каждой точки (t, x) строят множество F (t, x), состоящее из одной точки f (t, x), если функция f непрерывна в (t, x). Если же (t, x) точка разрыва f, то множество F (t, x) задается тем или иным способом. Обычно F (t, x) наимень шее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные зна чения отображения f (t, x ), когда x x. Решениями системы (1.9) называют решения включения x F (t, x), x(0) = x0. (1.10) А под решением включения (1.10) понимают абсолютно непрерывную функцию, определенную на промежутке [0, b|, для которой x(t) F (t, x(t)) при почти всех t [0, b|. В рассмотренном выше примере F (x) = 1 2 sign x, x = 0, F (x) = [1, 3] при x = 0. Решения вклю чения уже продолжимы по прямой x = 0 и после попадания на эту прямую.

Отображение F : R+ Rd comp (Rd ) называется локально ограниченным, если b 0, Mb 0, что (F (t, x), 0) Mb t [0, b], x, x b.

Пусть D множество локально ограниченных многозначных отображений F : R+ Rd conv Rd, измеримых по t и полуне прерывных сверху по x.

Предложение 1.57 [102]. Пусть F D. Тогда дифференциаль ное включение (1.10) обладает следующими свойствами:

1) для каждого x0 Rd существует решение x(t) включения (1.10), которое продолжимо на промежуток [0, c[, где либо c = +, либо lim x(t ) = +;

tc 2) пусть все решения x(t) включения (1.10) с начальными усло виями x0 M comp (Rd ) определены на отрезке [0, b] и пусть HF (M ) множество всех этих решений, тогда HF (M ) является компактным подмножеством в C([0, b], Rd );

3) пусть все решения x(t) включения (1.10) с начальным услови ем x0 определены на отрезке [0, b], тогда 0, () 0, x, x x0 ), F D, F (t, x) [coF (t[], [x] )], каждое решение x (t) задачи x F (t, x ), x (0) = x, продолжимо на [0, b] и най дется решение x(t) включения (1.10), удовлетворяющее неравенству max x(t) x (t).

0tb ГЛАВА ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВКЛЮЧЕНИЙ 2.1. Теорема существования решений стохастических дифференциальных уравнений Мы начинаем изучение стохастических дифференциальных урав нений с доказательства теоремы существования решений уравнений, правые части которых могут зависеть от. В параграфе 2.4 введен ные решения для уравнений с правыми частями, независящими от, будут названы сильными решениями, а также там же будет доказана более сильная теорема существования.

Пусть заданы вероятностное пространство (, F, P ) с потоком Ft, d -мерное (Ft ) броуновское движение W (t) и функции f : R+ Rd Rd, g : R+ Rd Rdr. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение dx(t, ) = f (t, x(t, ), )dt + g(t, x(t, ), )dW (t, ). (2.1) Определение 2.1. Под решением x(t, ) уравнения (2.1) с на чальным условием () понимаем d -мерный непрерывный (Ft ) согласованный случайный процесс x(t, ), определенный на вероят ностном пространстве (, F, P ) с потоком Ft, такой, что для каж t t g(s, x(s, ), ) 2 ds п. н.

f (s, x(s, ), ) ds, дого t 0 и для каждого t R+ с вероятностью 1 имеет место равенство t t x(t, ) = () + f (s, x(s, ), )ds + g(s, x(s, ), )dW (s, ).

0 Будем говорить, что отображения f и g удовлетворяют усло вию А), если:

A1 ) при каждом фиксированном x процессы f (·, x, ·) и g(·, x, ·) измеримы и (Ft ) -согласованы;

при каждых фиксированных (t, ) отображения f (t, ·, ) и g(t, ·, ) непрерывны по x ;

при всех a R+ и T R+ выполняется неравенство T (1 (t, a, ) + 2 (t, a, ))dt, E где 2 (t, a, ) = sup g(t, x, ) 2 ;

1 (t, a, ) = sup f (t, x, ), x a x a A2 ) существует вещественная функция V (x), определенная на Rd непрерывная вместе с производными Vxi xj xl, i, j, l = 1,..., d, V (x) 0 x = 0, V (0) = 0, такая, что при всех a R+, t R+, z Rd, y Rd, z a, имеет место соотношение a, y Vx (y z)(f (t, y, ) f (t, z, )) + tr Vx2 (y z)(g(t, y, ) g(t, z, ))(g(t, y, ) g(t, z, )) k(t, a, )V (y z), (2.2) где при каждом a R+ k(t, a, ) непрерывный (Ft ) согласованный процесс, удовлетворяющий для любых T R+, a R+ неравенству T k(t, a, )dt.

E Будем говорить, что отображения f и g удовлетворяют усло вию B), если существует вещественная неотрицательная функция Q(x), определенная на Rd непрерывная вместе с производными Qxi xj xl i, j, l = 1,..., d, lim Q(x) =, такая, что при всех t R+, x Rd, x выполняется неравенство Qx (x)f (t, x, ) + tr Qx2 (x)g(t, x, )g (t, x, ) k1 (t, )(1 + Q(x)), (2.3) где k1 (t, ) непрерывный (Ft ) -согласованный процесс, удовлетворя ющий при каждом T R+ условию T k1 (t, )dt).

E( Лемма 2.1. Пусть (t) непрерывный (Ft ) -согласованный неотрицательный процесс, ограниченный момент остановки, b R+, и пусть для любого момента остановки имеем E(( )) b. Тогда для любого 0 выполняется неравенство b P { sup (t) }.

0t Доказательство. Возьмем = inf{t 0 (t) }. Тогда { sup (t) } = { ( ) }. Теперь требуемое неравенство вытекает 0t из неравенства Чебышева.

Лемма 2.2. Пусть: отображения f и g удовлетворяют услови ям A) и B) ;

(xn (t, ), pn (t, )) последовательности непрерывных (Ft ) -согласованных процессов таких, что для каждого t 0 с веро ятностью 1 имеет место равенство t xn (t, ) = () + f (, xn (, ) + pn (, ), )d + t + g(, xn (, ) + pn (, ), )dW ( );

(2.4) n (a, ) = inf{t xn (t, ) a } ;

pn (t, ) a при 0 t n ;

при всех 6 a R+, T R+ выполняется условие T n (a,) lim E( pn (t, ) dt) = 0. (2.5) n Тогда для каждого T R+ имеет место соотношение P xn (t, ) xm (t, ) 0.

sup n,m t[0,T ] Доказательство. Пусть h(t, a, ) = sup sup Vxi (x) k(t, a, )+ 1 i,j,l d x a + Vxi xj (x) 1 (t, a, ) + Vxi xj xl (x) 2 (t, a, ).

Из условий леммы следует, что при всех a R+, T R+ выполняется неравенство T = M (a, T ).

E h(t, a, )dt (2.6) Покажем, что при всех a R+, T R+ имеет место равенство T n (a,) lim E pn (t, ) h(t, a, )dt = 0. (2.7) n Представим выражение под знаком предела в (2.7) в виде T n (a,) T n (a,) E pn (t, ) h(t, a, )dt =E pn (t, ) h(t, a, ) 0 T n (a,) 1B1 (t, )dt + E pn (t, ) h(t, a, )1B2 (t, )dt, (2.8) где B1 = {(t, )|h(t, a, ) i}, B2 = {(t, )|h(t, a, ) i}. Из (2.6) имеем lim (µ P ) (t, ) [0, n (a, )] h(t, a, ) i = 0.

i Отсюда и из предложения 1.8 следует, что для произвольного 0 можно выбрать i таким образом, что первое слагаемое в (2.8) оказалось бы меньше 2. Зафиксируем такое i, а затем, используя (2.5), выберем номер N так, что второе слагаемое в (2.8) было меньше 2 при n N, отсюда и из равенства (2.8) следует неравенство (2.7). Далее, фиксируем на время n, m, a и полагаем z(t) = xn (t, ), y(t) = xm (t, ), p(t) = pn (t, ), q(t) = pm (t, ), t n,m = n m.

(t, a, ) = k(s, a, )ds, (t) = exp((t, a, )), Используя формулу Ито, для любого T R+ имеем (t T n,m )V (z(t T n,m ) y(t T n,m )) = tT n,m (s) k(s, a, )V (z(s) y(s))+ = +Vx (z(s) y(s))(f (s, z(s) + p(s), ) f (s, y(s) + q(s), ))+ + tr Vx2 (z(s) y(s))(g(s, z(s) + p(s), ) g(s, y(s) + q(s), )) (g(s, z(s) + p(s), ) g(s, y(s) + q(s), )) ds+ tT n,m + (s)Vx (z(s)y(s))(g(s, z(s)+p(s), )g(s, y(s)+q(s), ))dW (s).

Отсюда с помощью условия A2 ) получаем (t T n,m )V (z(t T n,m ) y(t T n,m )) tT n,m (s) k(s, a, )(V (z(s) + p(s) y(s) q(s)) V (z(s) y(s))) + (Vx (z(s) y(s)) Vx (z(s) + p(s) y(s) q(s))) (f (s, z(s) + p(s), ) f (s, y(s) + q(s), ))+ + tr Vx2 (z(s) y(s)) Vx2 (z(s) + p(s) y(s) q(s)) (g(s, z(s) + p(s), ) g(s, y(s) + q(s), ))(g(s, z(s) + p(s), ) tT n,m g(s, y(s) + q(s), )) (s)Vx (z(s) y(s)) ds + (g(s, z(s) + p(s), ) g(s, y(s) + q(s), ))dW (s) tT n,m c sup sup Vxi (x) k(t, a, )+ 1 i,j,l d x a + Vxi xj (x) 1 (t, a, ) + Vxi xj xl (x) 2 (t, a, ) ( p(s) + q(s) )ds+ tT n,m (s)Vx (z(s) y(s))(g(s, z(s) + p(s), ) + tT n,m g(s, y(s) + q(s), ))dW (s) = c h(s, a, )( p(s) + q(s) )ds+ tT n,m Vx (z(s) y(s))(g(s, z(s) + p(s), ) g(s, y(s) + q(s), ))dW (s).

+ Возвращаясь к предыдущим обозначениям, из последнего неравенства для любого a R+ и для любого (Ft ) -момента остановки, T n,m, имеем неравенство E(exp((, a, )V (xn (, ) xm (, )))) T n T m cE h(s, a, ) pn (s, ) ds + h(s, a, ) pm (s, ) ds.

0 По лемме 2. P exp((t, a, ))V (xn (t, ) xm (t, )) 0.

sup n,m 0 t T n,m Множитель exp((t, a, )) можно опустить, так как он не зависит от n, m. Отсюда и из свойств функции V следует соотношение P xn (t, ) xm (t, ) 0.

sup (2.9) n,m 0 t T n,m Если мы покажем, что для любого T R+ выполняется равенство lim lim sup P {n (a, ) T } = 0, (2.10) a n то лемма вытекает из соотношения (2.9). Опять временно положим (t) = exp(3 (t, ) Q(())), z(t) = xn (t, ), t 3 (t, ) = k1 (s, )ds, p(t) = pn (t, ).

Используя формулу Ито и условие В), имеем 1 (t n )(1 + Q(z(t n ))) exp(Q())(1 + Q())+ tn 1 (s) k1 (s, )(Q(z(s) + p(s)) Q(z(s)))+ + +(Qx (z(s)) Qx (z(s) + p(s)))f (s, z(s) + p(s), )+ + tr (Qx2 (z(s)) Qx2 (z(s) + p(s)))g(s, z(s), )g (s, z(s), ) ds+ tn + 1 (s)Qx (z(s))g(s, z(s, ), )dW (s) c1 (exp(Q())(1 + Q())+ tn + sup sup Qxi (x) k1 (s, ) + sup sup Qxi xj (x) 1 (s, a, ))+ 1idx 1 i,j d x a a + sup sup Qxi xj xl (x) 2 (s, a, )) p(s) ds+ 1 i,j,l d x a tn + 1 (s)Qx (z(s))g(s, z(s, ), )dW (s)) = c1 (exp(Q())(1 + Q())+ tn tn + h1 (s, ) p(s) ds + 1 (s)Qx (z(s))g(s, z(s, ), )dW (s)), 0 где h1 (t, ) = sup sup Qxi (x) k1 (s, )+ 1idx a + sup sup Qxi xj (x) 1 (s, a, ) + sup sup Qxi xj xl (x) 2 (s, a, ).

1 i,j d x 1 i,j,l d x a a T n, из последнего нера Для любого момента остановки, 0 венства следует, что T n E(1 ( )(Q(xn ((, )))) + 1) c1 c2 + c1 E( h1 (s, ) pn (s) ds) c1 c2 + для всех достаточно больших n, где c2 = sup exp(Q(y))(1 + Q(y)).

y[0,[ Соотношение (2.7) справедливо и после замены процесса h на h1, т. е.

T n lim E( h1 (s, ) pn (s, ) ds) = 0.

n Для всех достаточно больших n и для любого b 0, согласно лем ме 2.1, имеем неравенство c1 c2 + P sup 1 (t)Q((xn (t, )) b.

b t T n Пусть r(a) = inf a Q(x). Тогда x lim lim sup P sup 1 (t)Q(xn (t, )) r(a) = 0.

a n t T n Множитель 1 (t) не зависит от a, поэтому lim lim sup P sup Q(xn (t, )) r(a) = 0. (2.11) a n t T n Так как {|n T } sup Q(xn (t, )) r(a), то теперь требуемое t T n соотношение (2.10) вытекает из (2.11). Лемма 2.2 доказана.

Теорема 2.1. Если отображения f и g удовлетворяют услови ям A) и B), то для любого (F0 ) -измеримого вектора () уравнение (2.1) имеет решение с начальным условием.

Доказательство. Определим процессы xn (t, ) : xn (0, ) = (), k k dxn (t, ) = f (t, xn (, ), )dt + g(t, xn (, ), )dW (t, ) n n при t [ n, k+1 ], которые, легко видеть, удовлетворяют уравнениям k n dxn (t, ) = f (t, xn (t, ) + pn (t, ), )dt + g(t, xn (t, )+ +pn (t, ), )dW (t, ), (2.12) где pn (t, ) = xn (n (t), ) xn (t, ), n (t) = [tn], ( [tn] целая часть n a числа tn ). Определим n как момент первого выхода xn (t, ) из шара a a a x 6, тогда pn (t, ) 3 при 0 t n. Из определения процесса pn (t, ) следует, что его можно представить в виде t t pn (t, ) = f (s, xn (n (s)), )ds + g(s, xn (n (s)), )dW (s, ).

n (t) n (t) a Пусть vn (t, ) = pn (t, )1A (t, ), где A = {(t, )|0 t n }. Для любых 0, 0, используя предложение 1.35, имеем неравенство t P vn (t, ) 2 P sup f (s, x, ) ds + x a n (t) t sup g(s, x, ) 2 ds +P +. (2.13) x a n (t) Неравенство (2.13) совместно с условием A1 ) показывает, что для лю бого t R+ выполняется соотношение P vn (t, ) 0. (2.14) n Так как vn (t, ) a, то из (2.14), используя теорему Фубини и теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем, что для любых a R+, T R+ справедливо равенство a T n T lim E pn (t, ) dt = lim E(vn (t, ))dt = 0, n n 0 т. е. условие (2.5) леммы 2.2 выполняется. Из леммы 2.2 вытекает су ществование непрерывного процесса x(t, ) такого, что для любого T R+ P sup ( xn (t, ) x(t, ) ) 0.

n t[0,T ] Ясно, что также P sup ( xn (n (t), ) x(t, ) ) 0. (2.15) n t[0,T ] Процесс x(t, ) является (Ft ) -согласованным, так как этим свой ством обладают процессы xn (t, ). Пусть b R+, (b, ) = = inf{t| x(t, ) b}. Зафиксируем t R+ и выберем подпоследова тельность xnk (nk (s), ) последовательности xn (n (s), ), сходящуюся равномерно по s [0, t] п. н. Используя теорему Лебега о мажорируе мой сходимости, имеем t (b,) (g(s, xnk (nk (s), ), ) g(s, x(s, ), ))dW (s) lim E = k t (b,) g(s, xnk (nk (s), ), ) g(s, x(s, ), ) 2 ds = lim E = 0, k t (b,) (f (s, xnk (nk (s), ), ) f (s, x(s, ), ))ds = 0 п. н.

lim k (2.16) Для некоторой подпоследовательности xnki (nki (s), ) выполняется ра венство [предложение 1.39] t (b,) lim g(s, xnki (nki (s), ), )dW (s) = i t (b,) = g(s, x(s, ), )dW (s) п. н. (2.17) Из соотношений (2.12), (2.16), (2.17) для любой последовательности bl имеем l t (bl,) x(t (bl, ), ) = () + f (s, x(s, ), )ds+ t (bl,) + g(s, x(s, ), )dW (s) п. н. (2.18) Из (2.10), (2.15) следует lim ( (bl, ) t) = t п. н.

l Переходя к пределу в (2.18) при l, убеждаемся, что x(t, ) решение уравнения (2.1). Теорема доказана.

Замечание 2.1. Если V (x) = x 2, Q(x) = x 2, то неравенства (2.2), (2.3) имеют вид 2(y z) (f (t, y, ) f (t, z, )) + tr (g(t, y, ) g(t, z, )) k(t, a, ) y z 2, (g(t, y, ) g(t, z, )) (2.19) 2x f (t, x, ) + tr(g(t, x, )g (t, x, )) k1 (t, )(1 + x 2 ). (2.20) Говорят, что отображения f и g удовлетворяют локальному условию Липшица по x, если для любого a R+ существует непрерывный (Ft ) -согласованный процесс k(t, a, ), что при всех t R+,, x, y Rd, x a, y a f (t, x, ) f (t, y, ) + g(t, x, ) g(t, y, ) k(t, a, ) x y T k 2 (t, a, )dt.

и для любого T R+ E Говорят, что отображения f и g имеют линейный порядок ро ста по x, если при всех, t R+, x Rd f (t, x, ) + g(t, x, ) k1 (t, )(1 + x ), где k1 (t, ) непрерывный (Ft ) -согласованный процесс такой, что T при каждом T R+ k1 (t, )dt.

E Ясно, что отображения f и g, удовлетворяющие локальному усло вию Липшица по x, удовлетворяют также неравенству (2.19), а отоб ражения f, g, имеющие линейный порядок роста по x, удовлетворяют неравенству (2.20) с функциями k, k1 такими, как в условиях A), B).

Приведем пример отображений f и g, которые удовлетворяют усло вию A), но не удовлетворяют неравенству (2.19): g(t, x, ) 0, x = 1 2 = (x1, x2 ) R, f (t, x, ) = (x1 2 x1 ). Если V (x1, x2 ) = x1 + + x1 x2 + x2, то 31 1 2 11 Vx (y z)(f (t, y, ) f (t, z, )) = (y1 z1 )2 (y1 + y1 z1 + z1 ) 0, 3 3 3 33 в то время как 4 (y z)(f (t, y, ) f (t, z, )) = (y1 z1 ) 3 + (y2 z2 ) 3.

2.2. Теорема существования слабых решений стохастических дифференциальных уравнений В этом параграфе доказывается теорема существования слабых решений стохастических дифференциальных уравнений X Rd, dX(t) = f (t, X(t)) dt + g(t, X(t)) dW (t), (2.21) с измеримыми по Борелю функциями f : R+ Rd Rd, g : R+ Rd Rdd.

Первая теорема существования слабых решений получена А. В. Скороходом [88] при предположениях, что функции f и g непрерывны и ограничены. Далее, Н. В. Крылов [39] показал, что для существования слабых решений достаточно измеримости, ограничен ности функций f, g и невырожденности матрицы g ( gg 2, 0, Rd ). Затем условие невырожденности матрицы g было ослаблено. А. Ю. Веретенников [11] установил, что для системы dx(t) = f (1) (t, x(t), y(t)) dt + g (1) (t, x(t), y(t)) dW (t), dy(t) = f (2) (t, x(t), y(t)) dt + g (2) (t, x(t), y(t)) dW (t), (2.22) x Rl, y Rdl, слабые решения существуют при следующих предположениях: функции f (1), f (2), g (1) и g (2) измеримы по Бо релю, ограничены и непрерывны по y, матрица g (1) не вырожде на. Аналогичная теорема установлена в работе [154]. В работе [162] показано, что для существования слабых решений уравнения (2.21) достаточно, чтобы функции f и g являлись измеримыми, имели линейный порядок роста при X и замыкание пересече ния множества слабой вырожденности отображения g, т. е. множе ства {(t, X)| U(t,X) (det gg (, y))1 d dy = для каждой открытой окрестности U(t,X) точки (t, X)} и множества точек разрыва функции f или g содержалось во множестве нулей отображений f и g.

В этом параграфе мы доказываем теорему существования слабых решений, обобщающую перечисленные выше результаты.

Определение 2.2. Если существует процесс X(t), заданный на некотором вероятностном пространстве (, F, P ) с потоком Ft, удовлетворяющий условиям:

1) существует (Ft )-момент остановки e, что процесс X(t)1[0,e) (t) является (Ft )-согласованным, имеет непрерывные траектории при t e п. н. и lim sup X(t) =, если e ;

te 2) существует (Ft )-броуновское движение W (t), W (0) = 0 п. н.;

3) процессы f (t, X(t)), g(t, X(t)) принадлежат соответственно пространствам Lloc, Lloc, где Lloc, Lloc – множество всех измери 1 2 1 мых (Ft )-согласованных соответственно процессов : R+ Rd, : R+ Rdd таких, что для каждого момента остановки, 0 e, выполняются условие 0 (s, ) ds п. н. для Lloc и условие 0 (s, ) 2 ds п. н. для Lloc ;

4) с вероятностью 1 для всех t [0, e) имеет место равенство t t X(t) = X(0) + f (, X( )) d + g(, X( )) dW ( ), 0 то набор (X(t),, F, P, Ft, W (t), e) (или короче X(t) ) называют сла бым решением уравнения (2.21).

Стохастический интеграл в последнем равенстве определяется сле дующим образом: если n () = inf{t| X(t) n}, то для каждого t [0, ) определен интеграл tn () t g(, X( ))1[0,n ()) dW ( ) = g(, X( )) dW ( ), 0 который позволяет для каждого n = 1, 2,... определить отображе t ние t [0, n ) 0 g(, X( )) dW ( ), и поэтому оно определено на [0, e()), так как e() = lim n () п. н.

n Если процесс X(t) удовлетворяет всем условиям определения 2.2, кроме lim sup X(t) =, если e, то его будем называть слабым te решением на промежутке [0, e|.

Матрица (t, X) = g(t, X)g (t, X) является симметрической неот рицательной. Существуют измеримые по Борелю ортогональная T и диагональная = diag(1,., d ) матрицы такие, что = T T.

..

Пусть g = T diag( 1,..., d ). Без ограничения общности будем считать, что в системе (2.21) g = g [8, c. 97–98].

Выберем строки матрицы g с номерами 1,..., l, 1 · · · l, и пусть l+1 · · · d номера оставшихся строк. Построим матрицу g1 g1... g1 gl 1,...,l (t, x1,..., xd ) =........., gl g1... gl gl где gj – строка с номером j матрицы g, а также построим множе ства H1, H2 ;

H1 (1,..., l ) = (t, x1,..., xl )| для любой открытой окрестности U(t,x1,...,xl ) точки (t, x1,..., xl ) существует число a такое, что интеграл (det 1,...,l (t, x1,..., xd ))1 dt dx1... dxl sup (xl+1,...,xd )D2 (0,a) U(t,x,...,x ) 1 l либо не определен, либо равен, где D2 (0, a) = {(xl+1,..., xd )| (x2 l+1 +... + x2 d )1/2 a};

H2 (1,..., l ) = (t, x1,..., xl ) c H1 (1,..., l )| для любой открытой окрестности U(t,x1,...,xl ) точки (t, x1,..., xl ) существует число a 0 такое, что функция (det 1,...,l (t, x1,..., xd ))1 : U [0, ] не явля sup (xl+1,...,xd )D2 (0,a) c ется измеримой по Борелю (под дополнением H1 множества H понимаем дополнение в пространстве переменных (t, x1,..., xl ), а под открытой окрестностью окрестность, открытую в про странстве тех же переменных (t, x1,..., xl ) ). Пусть H(1,..., l ) = = H1 (1,..., l ) H2 (1,..., l ).

Будем говорить, что вещественная функция h(t, X) = = h(t, x1,..., xd ) удовлетворяет условию C), если существуют индексы 1,..., l, 1 · · · l d, такие, что: 1) функция h при каждых фиксированных (t, x1,..., xl ) непрерывна по оставшимся компонентам (xl+1,..., xd ) вектора X;

2) в пространстве перемен ных (t, x1,..., xl ) найдется замкнутое множество H со свойствами:

а) H H(1,..., l );

б) множество {(t, x1,..., xd )| (t, x1,..., xl ) H} принадлежит множеству точек непрерывности отображе ния h;

в) функция 1,...,l (t, x1,..., xd ) при каждых фиксированных (t, x1,..., xl ) H c непрерывна по переменным (xl+1,..., xd ).

Функция h : R+ Rd Rdr называется локально ограничен ной, если для любого b 0 существует постоянная N (b) такая, что h(t, X) N (b) для всех t [0, b], X B(0, b).

Пусть: g (1) – (l d)-матрица, составленная из первых l строк матрицы g;

g (2) – ((d l) d)-матрица, составленная из остав шихся строк матрицы g;

f (1) – вектор, состоящий из первых l компонент вектора f ;

f (2) – вектор, составленный из оставших ся компонент вектора f ;

X = (x, y), x Rl, y Rdl ;

(1) = g (1) g (1) ;

B1 (0, a) = {x Rl | x a}, B2 (0, a) = dl l = {y R | y a};

H1 = {(t, x) R+ R | для любой откры l той в R+ R окрестности U(t,x) точки (t, x) существует такое число a 0, что интеграл sup (det (1) (, z, y))1 d dz yB2 (0,a) U(t,x) c либо не определен, либо равен };

H2 = {(t, x) H1 | для любой открытой окрестности U(t,x) точки (t, x) существует a 0 такое, что функция (t, x) sup (det (1) (t, x, y))1, (t, x) U, не является yB2 (0,a) измеримой по Борелю};

H = H1 H2. Если H R+ Rl, то H c = (R+ Rl )\H, (H) = {(t, x) R+ Rl | inf (|ts|+ xy ) }, (s,y)H (H)c = (R+ Rl ) \ (H), (H) =, если H =.

Теперь будем рассматривать систему вида (2.22) с построенными выше функциями f (1), f (2), g (1), g (2).

Лемма 2.3. Пусть: функции f (1), f (2), g (1) и g (2) измеримы по Борелю и локально ограничены;

(, F, P, Ft, W (t), x(t), y(t), t R+ ) – слабое решение системы (2.22);

(t, x, y) неотрицатель ная измеримая по Борелю функция такая, что при любом b отображение (t, x) sup (t, x, y) измеримо по Борелю. Тогда yB2 (0,b) для любых a R+ и T R+ выполняется неравенство T a (det (1) (t, x(t), y(t)))1/(l+1) (t, x(t), y(t)) dt E 1/(l+1) l+ c(a, T, l, d) sup (t, x, y) dt dx, (2.23) yB2 (0,a) [0,T ]B1 (0,a) где a = inf{t| x(t) y(t) a}, c(a, T, l, d) постоянная, зави сящая лишь от a, T, l, d.

Доказательство. Возьмем произвольные T 0, a 0. Пусть функция q : R+ Rl R+ непрерывна и ограничена. Положим q(t, x) = 0 для t 0. По лемме Крылова (предложение 1.48) суще ствует ограниченная функция z(t, x) 0, равная нулю при t 0 и такая, что для всех достаточно больших n и для всех (t, x) R+ B1 (0, a) выполняются следующие условия:

zn (t, x) 1) c1 (a, l)(det (1) (T t, x, y))1/(l+1) qn (t, x) + t l 2 zn (t, x) (1)ij (T t, x, y) +, где c1 (a, l) – положительная xi xj 2 i,j= постоянная, (1)ij – компоненты матрицы (1), (1)ij (T t, x, y) = 0 при t T, zn (t, x) – свертка функций z(t, x), Jn (t, x), т. е.

zn (t, x) = z(t, x)Jn (t, x) = z(, )Jn (t, x) d d, |t | 1/n, x 1/n qn (t, x) = q(t, x) Jn (t, x) (функции Jn (t, x) определены перед формулировкой предложения 1.48);

2) если b Rl, c 0 таковы, что b ac/2, то l zn (t, x) bi c|zn (t, x)| xi i= для всех (t, x) R+ B1 (0, a);

3) существует постоянная c2 (a, l) такая, что 1/(l+1) l+ |z(t, x)| c2 (a, l) q (s, x) ds dx [0,t]B1 (0,a) для всех (t, x) R+ Rl.

Обозначим T a (det (1) (t, x(t), y(t)))1/(l+1) qn (T t, x(t)) dt.

I(qn ) = Используя формулу Ито и соотношения 1) 3), имеем T a l zn (T t, x(t)) (1)ij (t, x(t), y(t)) E(I(qn )) E + c1 t 2 i,j= 2 zn (T t, x(t)) E zn (T (T a ), x(T a ))zn (T, x(0)) dt = xi xj c T a l d zn (T t, x(t)) (1)ij (t, x(t), y(t))dW j (t) g i x i=1 j= T a l zn (T t, x(t)) (1)i f (t, x(t), y(t)) dt xi i= |zn (t, x)| c3 (a, T, l, d) |z(t, x)| c3 (a, T, l, d) sup sup 0 t T, xB1 (0,a) 0 t T, xB1 (0,a) 1/(l+1) l+ c4 (a, T, l, d) q (t, x) dt dx. (2.24) [0,T ]B1 (0,a) Пусть qn (T t, x) = rn (t, x), q(T t, x) = r(t, x). Применяя неравен ство (2.24) и лемму Фату, получаем соотношения 1/(l+1) l+ c4 r (t, x) dt dx = [0,T ]B1 (0,a) 1/(l+1) l+ = c4 q (t, x) dt dx [0,T ]B1 (0,a) T a (det (1) (t, x(t), y(t)))1/(l+1) lim inf qn (T t, x(t)) dt E n T a (det (1) (t, x(t), y(t)))1/(l+1) q(T t, x(t)) dt E = T a (det (1) (t, x(t), y(t)))1/(l+1) r(t, x(t)) dt.

=E (2.25) Последнее соотношение выполняется для всех неотрицательных непрерывных ограниченных функций r(t, x). Используя теорему о монотонных классах (предложение 1.16), заключаем, что неравен ство (2.25) верно и для неотрицательных измеримых по Борелю огра ниченных функций r(t, x). Приближая функцию r(t, x) последова тельностью функций r n, n 1, получаем неравенство (2.25) для измеримой по Борелю неотрицательной функции r(t, x).

Пусть (t, x, y) – произвольная функция, удовлетворяющая усло виям леммы 2.3, тогда, применяя уже доказанное утверждение к функ ции r(t, x) = sup (t, x, y), получаем неравенство yB2 (0,a) T a (det (1) (t, x(t), y(t)))1/(l+1) (t, x(t), y(t)) dt E T a (det (1) (t, x(t), y(t)))1/(l+1) E sup (t, x(t), y) dt yB2 (0,a) 1/(l+1) l+ c(a, T, l, d) sup (t, x, y) dt dx.

yB2 (0,a) [0,T ]B1 (0,a) Лемма 2.3 доказана.

Следствие 2.1. Пусть выполнены условия леммы 2.3 и пусть (t, x, y) неотрицательная измеримая по Борелю непрерывная по y при каждых фиксированных (t, x) R+ Rl функция. Тогда для любых T R+ и a R+ существует постоянная c(a, T, l, d) такая, что для любого 0 и для любого замкнутого множества H H справедливо неравенство T a E 1(H)c (t, x(t))(t, x(t), y(t)) dt c(a, T, l, d) 1/(l+1) (1) l+ sup (det (t, x, y)) sup (t, x, y) dt dx, yB2 (0,a) yB2 (0,a) A где a = inf{t| x(t) y(t) a}, A = ([0, T ] B1 (0, a)) (H)c.

Действительно, измеримость по Борелю функции (t, x) 1(H)c (t, x) sup (det (1) (t, x, y))1/(l+1), (t, x) [0, T ] B1 (0, a), yB2 (0,a) вытекает из определения множества H. Теперь для доказатель ства следствия 2.1 достаточно применить лемму 2.3 к функции 1 (t, x, y) = 1(H)c (t, x)(det (1) (t, x, y))1/(l+1) sup (t, x, y) (счита yB2 (0,a) ем, что 1 (t, x, y) = 0, если 1(H)c (t, x) = 0 ).

Для каждого n N построим матрицы fn, n = T n T, где 1 d fn (t, X) = (f i (t, X) (n)) n, i fn (t, X) = col(fn (t, X),..., fn (t, X)), n = diag((1 + 1/n) n,..., (d + 1/n) n), gn = T diag(((1 + 1/n) n)1/2,..., ((d + 1/n) n)1/2 ).

(1) (2) (1) (2) Матрицы gn и fn разобьем на подматрицы gn, gn, fn, fn так же, как матрицы g и f были разбиты на подматрицы g (1), g (2), f (1), f (2).

Для каждого натурального n существует постоянная n 0 такая, (1) (1) (1) что det gn gn = det n n, det gn gn = det n n для всех (t, X) R+ Rd, кроме того, lim fn (t, X) = f (t, X), lim n (t, X) = (t, X) n n d в каждой точке (t, X) R+ R.

Следствие 2.2. Пусть: a R+, T R+ ;

f и g измеримые по Борелю локально ограниченные функции;

H некоторое замкну тое множество, содержащее множество H;

функция (1) (t, x, y) непрерывна по y при каждых фиксированных (t, x) H c ;

Xn (t) = = (xn (t), yn (t)) – последовательность слабых решений систем (1) (1) dx(t) = fn (t, x(t), y(t))dt + gn (t, x(t), y(t))dW (t), (2) (2) dy(t) = fn (t, x(t), y(t))dt + gn (t, x(t), y(t))dW (t);

(Xn (t)), n 1, – последовательность непрерывных процессов, удо a a влетворяющих условиям: P (Xn,n ) = P (Xn,n ) и Xn (s) X(s) = n = ((s), y (s)) равномерно на каждом отрезке из R+ п. н.;

n a a x n п. н., где n, a, n – моменты остановки такие, что a a a a xn (t) yn (t) a t n, xn (t) yn (t) a t n, a t a.

x(t) y (t) Тогда для любого 0 и любой неотрицательной измеримой по Бо релю непрерывной по y функции (t, x, y) выполняется неравенство T a E 1(H)c (t, x(t))(t, x(t), y (t))dt c(a, T, l, d) 1/(l+1) (1) l+ sup (det (t, x, y)) sup (t, x, y) dt dx, (2.26) yB2 (0,a) yB2 (0,a) B где постоянная c(a, T, l, d) такая же, как в лемме 2.3, B = ([0, T ] B1 (0, a)) (H)c/2.

Доказательство. Пусть 0. Используя непрерывность по y (1) функций det n (t, x, y) при каждых фиксированных (t, x) H c и (1) соотношение det n (t, x, y) det (1) (t, x, y), справедливое при всех (t, x, y) [0, T ] B1 (0, a) B2 (0, a) и при всех достаточно больших n, из следствия 2.1 для любой неотрицательной непрерывной ограничен ной функции r(t, x) имеем неравенство a T n E 1(H)c/2 (t, xn (t))r(t, xn (t)) dt c(a, T, l, d) 1/(l+1) ( sup (det n (t, x, y))1 )rl+1 (t, x) dt dx (1). (2.27) yB2 (0,a) B Применяя неравенство (2.27), лемму Фату, неравенство 1(H)c/2 (t, xn (t)) 1(H)c (t, x(t)), которое выполняется для всех n, начиная с некоторого номера, и всех t [0, T ], имеем 1/(l+1) (1) l+ c(a, T, l, d) ( sup (det (t, x, y)) )r (t, x) dt dx yB2 (0,a) B 1/(l+1) ( sup (det n (t, x, y))1 )rl+1 (t, x) dt dx (1) lim inf c(a, T, l, d) n yB2 (0,a) B a T n lim inf E 1(H)c/2 (t, xn (t))r(t, xn (t)) dt = n a T n = lim inf E 1(H)c/2 (t, xn (t))r(t, xn (t)) dt n T a lim inf E 1(H)c (t, x(t))r(t, xn (t)) dt n a T E 1(H)c (t, x(t)) lim inf r(t, xn (t)) dt = n T a =E 1(H)c (t, x(t))r(t, x(t)) dt.

Из теоремы о монотонных классах следует, что последнее нера венство верно для произвольных измеримых по Борелю неотрицатель ных функций r(t, x). Применяя это неравенство к функции r(t, x) = = sup (t, x, y), так же как и при доказательстве леммы 2.3, полу yB2 (0,a) чаем требуемое неравенство (2.26).

Лемма 2.4. Пусть f (t, x, y) – вещественная измеримая по Бо релю непрерывная по y локально ограниченная функция;

fn (t, x, y) = = f (t, x, y) Jn (t, x), n 1. Тогда для любых a R+, T R+, и любого замкнутого множества H H имеет место сходимость sup (det (1) (t, x, y)) yB2 (0,a) ([0,T ]B1 (0,a)) (H)c sup |fn (t, x, y) f (t, x, y)|l+1 dt dx 0.

n yB2 (0,a) 0, a R+, T R+. Пусть Доказательство. Возьмем = ([0, T ] B1 (0, a)) (H)c, D1 = ([1, T + 1] B1 (0, a + 1)) (H)c, D (1) тогда D1 sup (det (t, x, y)) dt dx. Существует ( ) yB2 (0,a) такое, что для любого множества E D1, µ(E) ( ) ( µ – мера Лебега) выполняется неравенство sup (det (1) (t, x, y))1 dt dx l+. (2.28) yB2 (0,a) E По теореме Скорца Драгони (предложение 1.47) существует за мкнутое множество K(a, T, ( )) [1, T + 1] B1 (0, a + 1) такое, что сужение функции f на K B2 (0, a + 1) непрерывно и µ(([1, T + 1] B1 (0, a + 1)) \ K) ( ).

По теореме Кантора найдется = (, a, T ) такое, что для любых (t1, x1, y1 ), (t2, x2, y2 ) K B2 (0, a + 1), |t2 t1 |, x2 x1 y2 y,, выполняется неравенство |f (t1, x1, y1 ) f (t2, x2, y2 )|.


Отсюда для любых фиксированных, z, | | 1, z 1, для любых (t, x) K1 = {(t, x)|t = t1 +, x = x1 + z, (t1, x1 ) K} справедливо неравенство |f (t, x z, y1 ) f (t, x z, y2 )| sup. (2.29) y1,y2 B2 (0,a), y1 y2 Теперь из (2.28), (2.29) вытекает, что для всех, z, | | 1, z 1, sup (det (1) (t, x, y))1 |f (t, x z, y1 ) sup y1,y2 B2 (0,a) yB2 (0,a) y1 y D sup (det (1) (t, x, y)) f (t, x z, y2 )|l+1 dt dx = yB2 (0,a) D K |f (t, x z, y1 ) f (t, x z, y2 )|l+1 dt dx + sup y1,y2 B2 (0,a) y1 y |f (t, x z, y1 ) f (t, x z, y2 )|l+ + sup y1,y2 B2 (0,a) c y1 y D K sup (det (1) (t, x, y))1 dt dx C l+, (2.30) yB2 (0,a) где C постоянная, независящая от (, z). Используя неравен ство (2.30) и обобщенное неравенство Минковского (предложение 1.15), имеем sup (det (1) (t, x, y)) yB2 (0,a) D 1/(l+1) l+ |fn (t, x, y1 ) fn (t, x, y2 )| sup dt dx y1,y2 B2 (0,a) y1 y sup (det (1) (t, x, y))1/(l+1) dt dx yB2 (0,a) | | 1/n D z 1/n l+1 1/(l+1) |f (t, xz, y1 )f (t, xz, y2 )|Jn (, z) d dz sup y1,y2 B2 (0,a) y1 y sup (det (1) (t, x, y)) d dz yB2 (0,a) | | 1/n D z 1/n 1/(l+1) |f (t, xz, y1 )f (t, xz, y2 )|l+1 Jn (, z) dt dx l+ sup y1,y2 B2 (0,a) y1 y C 1/(l+1) Jn (, z) d dz C1. (2.31) | | 1/n z 1/n Для каждого y B2 (0, a) имеет место соотношение sup (det (1) (t, x, y))1 |fn (t, x, y) f (t, x, y)|l+1 dt dx 0.

n yB2 (0,a) D Пусть Y = {yk } – конечная (, a, T )-сеть для B2 (0, a). Суще ствует n0 ( ) такое, что для всех n n0 ( ) выполняется неравенство sup (det (1) (t, x, y))1 sup |fn (t, x, yk ) f (t, x, yk )|l+1 dt dx l+.

yk Y yB2 (0,a) D (2.32) Используя неравенства (2.30) (2.32) для всех n n0 ( ), получаем соотношения sup (det (1) (t, x, y))1 sup |fn (t, x, y) f (t, x, y)|l+1 dt dx yB2 (0,a) yB2 (0,a) D sup (det (1) (t, x, y))1 |fn (t, x, y) fn (t, x, yk )|l+1 dt dx + sup yB2 (0,a) yB2 (0,a) yk Y D yyk sup (det (1) (t, x, y))1 sup |fn (t, x, yk ) f (t, x, yk )|l+1 dt dx + + yk Y yB2 (0,a) D sup (det (1) (t, x, y))1 |f (t, x, y) f (t, x, yk )|l+1 dt dx + sup yB2 (0,a) yB2 (0,a) yk Y D yyk l+ C2. Лемма 2.4 доказана.

Лемма 2.5 (теорема Крылова [39]). Пусть функции f (t, X) и g(t, X) измеримы по Борелю и ограничены;

существует посто янная 0, что det(g(t, X)g (t, X)) при всех (t, X) R+ Rd.

Тогда для любой заданной вероятности на (Rd, (Rd )) уравнение (2.21) имеет слабое решение с начальным распределением.

Доказательство. Пусть fk (t, X) = f (t, X) Jk (t, X), gk (t, X) = g(t, X) Jk (t, X), k N. На вероятностном простран стве (, F, P ) с потоком Ft возьмем (Ft )-броуновское движение W (t) и d-мерный (F0 )-измеримый случайный вектор с P ( A) = (A) A (Rd ). При каждом k N функции fk и gk бесконечно диф ференцируемы и ограничены, следовательно, при каждом k N по теореме 2.1 ССДУ t t X(t) = + fk (s, X(s))ds + gk (s, X(s))dW (s), (2.33) 0 имеет решение Xk (t), t R+. Из предложения 1.18 следует, что lim sup P { Xk (0) N } = 0. Так как supk E( Xk (t) Xk (s) 4 ) N k c|t s|2, то согласно предложениям 1.31, 1.32 последовательность Xk (t) плотна в C([0, [, Rd ). Применив теорему Скорохода (предло жение 1.23 ), получаем подпоследовательность kl, вероятностное про странство (, F, P ) и непрерывные процессы X, Xkl, l 1, такие, что P Xkl = P Xkl и Xkl сходится к X(t) равномерно на каждом отрезке из [0, [ при l п. н. (для простоты kl снова обозначаем через k ).

Возьмем произвольным образом: s, t R+, s t;

дважды непре рывно дифференцируемую функцию h : Rd R, ограниченную вместе с частными производными до второго порядка включительно;

непрерывную ограниченную (s (C(R+, Rd )))-измеримую функцию q :

C(R+, Rd ) R. Применяя формулу Ито, из (2.33) имеем t 1 2 h(Xk ( )) E h(Xk (t))h(Xk (s)) tr( gk (, Xk ( ))gk (, Xk ( )))+ X s h(Xk ( )) + fk (, Xk ( )) d q(Xk ) = 0. (2.34) X Используя следствие 2.1 и теорему Лебега о мажорируемой сходимости, видим, что t h(Xk ( )) fk (, Xk ( )) f (, Xk ( )) d q(Xk ) E X s fk (, X) f (, X) d dX 0.

c (2.35) k [0,T ]B(0,a) Аналогично, t 1 2 h(Xk ( )) E tr (gk (, Xk ( ))gk (, Xk ( )) X s g(, Xk ( ))g (, Xk ( )) d q(Xk ) 0. (2.36) k Из соотношений (2.34) (2.36) вытекает, что процесс t h(X(t))h(X(0)) tr hX 2 (, X( ))gg +hX (, X( ))f (, X( )) d является (Ft )-мартингалом, где Ft = (X( )| t + ). Согласно предложению 1.37 X(t) слабое решение уравнения (2.21).

Теорема 2.2 (о существовании слабых решений). Пусть функции f (t, X) и g(t, X) измеримы по Борелю и локально ограничены;

ком поненты функций f (t, X), (t, X) = g(t, X)g (t, X) удовлетворяют условию C). Тогда для любой заданной вероятности на (Rd, (Rd )) уравнение (2.21) имеет слабое решение с начальным распределени ем.

Доказательство. По теореме Крылова (лемма 2.5) для любого n N уравнение t t Xn (t) = Xn (0) + fn (, Xn ( )) d + gn (, Xn ( )) dWn ( ), (2.37) 0 где fn, gn функции, построенные перед следствием 2.2, имеет слабое решение (n, Fn, Pn, Fnt, Wn (t), Xn (t), t R+ ) с начальным распре делением.

m Возьмем последовательность am, определим n = m m m = inf{t| Xn (t) am }, Xn (t n ) Xn (t) = и рассмотрим двойную последовательность 11 22 mm (X1, 1 ) (X1, 1 )... (X1, 1 )...

11 22 mm (X2, 2 ) (X2, 2 )... (X2, 2 )...

.....................................

11 22 mm (Xn, n ) (Xn, n )... (Xn, n )...

....................................

11 22 mm Обозначим k = ((Xk, k ), (Xk, k ),..., (Xk, k ),...), k 1.

Введем метрику 1 в (C([0, +), Rd ), [0, +]) и метрику 2 в ((C([0, +), Rd ), [0, +])... (C([0, +), Rd ), [0, +])...) следующим образом:

1 ( sup z(t) z1 (t) 1) + 1 ((z, ), (z1, 1 )) =, 2n 0 t n 1+ 1 + n= 2 (((z 1, 1 ),..., (z m, m ),...), ((z1, 1 ),..., (z1, 1 ),...)) = 11 mm 1 m, m ), (z1, 1 )) mm = 1 ((z 2m+ m= = 1, если = ).

(считаем 1+ Для любого T 0 и любого фиксированного m N су ществует постоянная M (m, T ) такая, что выполняется неравенство sup E( Xn (t) Xn (s) 4 ) M (m, T )|t s|2 для любых s, t [0, T ].

m m n Кроме того, из предложения 1.18 следует, что lim sup P { xn (0) N } = 0. (2.38) N n mm Согласно предложениям 1.31, 1.32, последовательность (Xn, n ), n 1, плотна в ((C([0, +), Rd ), [0, +]), 1 ) при каждом m N. Для дальнейшего доказательства нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2.6. Последовательность n, n 1, плотна в простран стве (((C([0, +), Rd ), [0, +])... (C([0, +), Rd ), [0, +])...), 2 ).

Доказательство. Возьмем произвольное 0. Для любого на турального m существует компакт Km (C([0, +), Rd ), [0, +]) та mm кой, что P (Xn,n ) (Km ) 1 /2m n N. Пусть K = K1...Km...

Докажем, что K – компакт в пространстве ((C([0, +), Rd ), [0, +])... (C([0, +), Rd ), [0, +])...).

Для любого 0 возьмем m = m() такое, что 1/2m /2. Для каж дого Kj, j = 1,..., m, существует конечная (/2)-сеть {sj,..., sj j }. n j Для Kj, j m + 1, выберем произвольный элемент s Kj.

{(s11,..., sm, sm+1, sm+2,...)| Пусть S = k k km {1,..., n1 },..., km {1,..., nm }}. Для любого k K существует s S такое, что m 1 1 2 (k, s) + + =.

2k 2 k 2 k=1 k=m+ Следовательно, S является конечной -сетью для K. Множество K, очевидно, замкнуто. Таким образом, K – компакт. Так как n (K) 1 =1, P 2m m= то лемма 2.6 доказана.

Вернемся к доказательству теоремы 2.2. По теореме Прохорова (предложение 1.20) из последовательности P k, k 1, можно вы брать слабо сходящуюся подпоследовательность, которую снова обо значаем P k. Для последовательности P k, k 1, выполнены усло вия теоремы Скорохода (предложение 1.23). Из ее доказательства сле дует, что можно выбрать подпоследовательность kn последователь ности k (для упрощения обозначений вместо kn будем писать n ) и можно построить процессы n = ((zn, 1 ),..., (zn, m ),...) и = 1 m n n = ((z 1, 1 ),..., (z m, m ),...) на некотором вероятностном простран стве (, F, P ) так, что процессы zn (t), z m (t) являются непрерыв m ными, P n = P n, zn (t) z m (t) равномерно на каждом компакте m n m m п. н. Кроме того, z m (t) = z m+1 (t) при t m n из R+ п. н. и, n m m+1 mm m ) B(0, am ),z( п. н. Пусть e = lim. Определим m процесс z(t) следующим образом: z(t) = z m (t) для t m, m, z(t) = z m (t) для t m, m =, z(t) = 0 при t e. Процесс z(t) удовлетворяет условию lim sup z(t) = для e. Обозначим че te m рез t+ наименьшую -алгебру, относительно которой измеримы все случайные векторы z m (s), 0 s t +. Пусть Fm,t = 0 t+, Ft = m = Fm,t. Согласно предложению 1.33, можно выбрать последователь m ность (am ), am am m 1, таким образом, что при каждом m m 1 функция m () = inf{t| z(t) am + } непрерывна в точке m m m = 0 п. н., и если n = inf{t| Xn (t) am }, n = inf{t| zn (t) am }, mm mm то при каждых m 1, n 1 P (Xn,n ) = P (zn,n ), n m = m (0) m n п. н. В дальнейшем рассматриваем такую последовательность am.

Зафиксируем m N, M N и возьмем произвольно: s, t R+, s t;

дважды непрерывно дифференцируемую функцию h : Rd R, ограниченную вместе с частными производными до второго по рядка включительно;

непрерывную ограниченную (s (C(R+, Rd )))-из меримую функцию q : C(R+, Rd ) R.

Из соотношения (2.37) с учетом формулы Ито вытекает равенство m tn d m m ij m m En h(Xn (t)) h(Xn (s)) n (, Xn ( ))hxi xj (Xn ( )) + 2 i,j= m sn d h i m m M + fn (, Xn ( ))hxi (Xn ( )) d q(Xn ) = 0, hxi =. (2.39) xi i= Зафиксируем компоненту f i (t, X) вектора f с номером i. Ис пользуя условие C), выберем строки с номерами 1,..., l матрицы g и множество H так, что функция f i (t, X) непрерывна по пере менным x = (xl +1,..., xd ) при каждых фиксированных (t, x) = = (t, x1,..., xl ), множество {(t, x1,..., xd )| (t, x) H} содержится i во множестве точек непрерывности функции f (t, X) и отображение 1,...,l (t, x1,..., xd ) непрерывно по переменной x при каждых фик c сированных (t, x) H (не нарушая общности, можно считать, что 1 = 1,..., l = l ). Каждый из процессов Xn, Xn, z, zn, z m раз m m m m z m делится на два процесса: Xn = (Xn, Xn ), Xn = (Xn, Xn ), z = (, z ), m m m m m m zn = (n, zn ), z = (, z ). Обозначим (n )1,...,l (t, x1,..., xd ) = z z = an (t, x, x), 1,...,l (t, x1,..., xd ) = a(t, x, x).


Возьмем последовательность k 0 при k. Докажем, что для любого k 1 верно следующее соотношение m tn m m i m lim E 1(H)c (, zn ( ))fn (, zn ( ), zn ( )) n k m sn t m m z M M zm 1(H)c (, z m ( )) hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) =E k s m z f i (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ) J.

z (2.40) Из локальной ограниченности функции f i и построения fn сле i дует, что для доказательства соотношения (2.40) достаточно доказать равенство m tn m 1(H)c (, zn ( ))f i (, zn ( ), zn ( )) m m lim E n k m sn m z M M zm hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) = J. (2.41) i Пусть fr (t, x, x) = f i (t, x, x) Jr (t, x), r 1. Используя след ствие 2.1 и лемму 2.4, получаем соотношения m tn m 1(H)c (, zn ( ))(f i (, zn ( ), zn ( )) m m lim lim sup E r k n m sn i m m m z M M zm fr (, zn ( ), zn ( )))hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) sup (det a(, x, x)) C lim r x am ([0,t]B1 (0,am )) (H)ck 1/(l+1) i sup |f (, x, x) fr (, x, x)|l+1 d d i x = 0. (2.42) x am Теперь, учитывая (2.42), для доказательства равенства (2.41) оста ется показать, что m tn i m m m lim lim E 1(H)c (, zn ( ))fr (, zn ( ), zn ( )) r n k m sn m z M M zm hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) = J.

Действительно, m tn i m m m lim lim E 1(H)c (, zn ( ))fr (, zn ( ), zn ( )) r n k m sn m z M M zm hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) = t m i m m m = lim lim E (1(H)c (, zn ( ))fr (, zn ( ), zn ( )) r n k s m m z M M zm hxi (n ( ), zn ( ))q(n, zn ) i z 1(H)c (, z m ( ))fr (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( ))q(M, z M )) d + z k m s i m m m z M M m zm (1(H)c (, zn ( ))fr (, zn ( ), zn ( ))hxi (n ( ), zn ( ))q(n, zn ) + k m sn i z 1(H)c (, z m ( ))fr (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( ))q(M, z M )) d + z k m tn i m m m z M M m zm (1(H)c (, zn ( ))fr (, zn ( ), zn ( ))hxi (n ( ), zn ( ))q(n, zn ) + k t m i z 1(H)c (, z m ( ))fr (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( ))q(M, z M )) d + z k t m i (1(H)c (, z m ( ))(fr (, z m ( ), z m ( )) f i (, z m ( ), z m ( ))) + k s m z hxi (m ( ), z m ( ))q(M, z M )) d + z s m i z 1(H)c (, z m ( ))fr (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( ))q(M, z M ) d + + z k m sn m tn i z 1(H)c (, z m ( ))fr (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( ))q(M, z M ) d + + z k t m +J = lim lim (I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 ) + J.

r n Оценим каждое слагаемое: lim lim (|I2 | + |I3 | + |I5 | + |I6 |) = 0, так r n как s n s m п. н., t n t m п. н.;

по лемме 2. m m n n и следствию 2. sup (det a(, x, x)) lim lim |I4 | C2 lim r n r x am ([0,t]B1 (0,am )) (H)c k / 1/(l+1) i sup |f (, x, x) fr (, x, x)|l+1 d d i x = 0.

x am Покажем, что lim lim |I1 | = 0. (2.43) r n Для каждого натурального k построим последовательность непре рывных функций j : R+ Rl [0, 1] такую, что j 1(H)c, k j 1(H)c. Согласно следствиям 2.1, 2.2, k j t m m m (1(H)c (, zn ( )) j (, zn ( ))) lim lim lim sup E j r k n s m i m m m z M M zm fr (, zn ( ), zn ( ))hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) t m m C3 lim lim sup E 1(H)c (, zn ( )) j k n s m m m (1(H)c (, zn ( )) j (, zn ( ))) d k sup ((det a(, x, x)) C4 lim j x am ([0,t]B1 (0,am )) (H)ck 1/(l+1) l+ (1(H)c (, x) j (, x)) ) d d x = 0, (2.44) k t m i (1(H)c (, z m ( )) j (, z m ( )))fr (, z m ( ), z m ( )) lim lim E j r k s m z hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ) z = 0. (2.45) Так как m M (n ( ), zn ( )) (m ( ), z m ( )), zm (n ( ), zn ( )) (M ( ), z M ( )) zM z z n n равномерно по [0, t] с вероятностью 1, то t m i m m m lim lim lim E (j (, zn ( ))fr (, zn ( ), zn ( )) j r n s m m z M M i hxi (n ( ), zn ( ))q(n, zn ) j (, z m ( ))fr (, z m ( ), z m ( )) zm z hxi (m ( ), z m ( ))q(M, z M )) d z = 0. (2.46) Из соотношений (2.44) (2.46) очевидным образом следует (2.43).

Равенство (2.41), а значит, и (2.40) доказано.

В каждой точке (t, x) имеет место сходимость 1(H)c (t, x) 1H c (t, x), поэтому k+ k t m 1(H)c (, z m ( ))f i (, z m ( ), z m ( )) lim E k k s m t m z hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ) 1H c (, z m ( )) z =E s m z f i (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ).

z Отсюда и из равенства (2.40) вытекает существование последователь ности kn + такой, что n m tn m m i m lim E 1(H)c (, zn ( ))fn (, zn ( ), zn ( )) n kn m sn t m m z M M zm 1H c (, z m ( )) hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) =E s m z f i (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ).

z (2.47) Докажем равенство m tn m m i m lim E 1(H) k (, zn ( ))fn (, zn ( ), zn ( )) n n m sn t m m z M M zm 1H (, z m ( )) hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) =E s m z f i (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ).

z (2.48) Полагаем в (2.47) f 1, h 1, q 1, получаем m t m tn m 1H c (, z m ( ))d.

lim E 1(H)c (, zn ( ))d = E n kn m s m sn Отсюда m t m tn m 1H (, z m ( ))d.

lim E 1(H)kn (, zn ( ))d = E n m s m sn Существует множество 0, P ( \ 0 ) = 0 такое, что для каждого 0 существует множество S [s m, t m ], µ([s m, t m ]\S) = = 0, что для любого S выполняется соотношение 1(H)kn (, zn ( )) 1H (, z m ( )) m (точнее последнее соотношение выполняется для некоторой подпосле довательности последовательности n, которую мы снова обозначили через n ). Тогда для 0 и для S имеет место сходимость m m m i m zm 1(H)kn (, zn ( ))fn (, zn ( ), zn ( ))hxi (n ( ), zn ( )) n 1H (, z m ( ))f i (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( )).

z (2.49) n Действительно, если (, z m ( )) H, то для достаточно боль 1(H)kn (, zn ( )) = 0, 1H (, z ( )) = 0. Если (, z m ( )) H, m m ших n то из непрерывности функции f на {(t, x1,..., xd )|(t, x1,..., xl ) m i i m H} и из построения отображения fn имеем fn (, zn ( ), zn ( )) i m m f (, z ( ), z ( )). С помощью теоремы Лебега о мажорируемой сходимости из (2.49) получаем равенство (2.48).

Учитывая соотношения (2.47), (2.48) и P n = P n, получаем, что m tn i m m M lim En fn (, Xn ( ))hxi (Xn ( )) d q(Xn ) = n m sn t m f i (, z m ( ))hxi (z m ( )) d q(z M ).

=E (2.50) s m Аналогичными рассуждениями для каждых фиксированных i, j {1,..., d} устанавливается справедливость равенства m tn ij m m M lim En n (, Xn ( ))hxi xj (Xn ( )) d q(Xn ) = n m sn t m ij (, z m ( ))hxi xj (z M ( )) d q(z M ).

=E (2.51) s m Из соотношений (2.39), (2.50), (2.51) получаем равенство t m d m m ij (, z m ( ))hxi xj (z m ( )) + h(z (t)) h(z (s)) E 2 i,j= s m d f i (, z m ( ))hxi (z m ( )) d q(z M ) + = 0. (2.52) i= Из равенства (2.52) с учетом предложения 1.27 следует, что для каж дого m = 1, 2,... процесс h(z(t m )) h(z(0)) t m d d ij (, z( ))hxi xj (z( )) + f i (, z( ))hxi (z( )) d 2 i,j=1 i= является (Ft )-мартингалом.

Согласно предложению 1.38, на расширении (, F, P ) с потоком Ft вероятностного пространства (, F, P ) с потоком Ft можно опре делить (Ft )-броуновское движение W (t) с W (0) = 0 п. н. такое, что с вероятностью 1 для любого t [0, e) выполняется равенство t t z(t) = z(0) + f (, z( )) d + g(, z( )) dW ( ).

0 Следовательно, (z(t),, F, P, Ft, W (t), e) – слабое решение уравне ния (2.21). Теорема 2.2 доказана.

При доказательстве теоремы было установлено три утверждения, которые будут использоваться в дальнейшем и которые мы сформули руем в виде трех лемм.

Пусть P совокупность всех вероятностей на (Rd, (Rd )), а d метрика Леви Прохорова на P.

Лемма 2.7. Пусть: функции f (t, X) и g(t, X) измеримы по Бо релю и локально ограничены;

(Xn (t), n, Fn, Pn, Fnt, Wn (t), en ) по следовательность слабых решений уравнений t t Xn (t) = Xn (0) + f (, Xn ( )) d + g(, Xn ( )) dWn ( ) (2.53) 0 таких, что P Xn (0) Y, где Y компактное множество в (P, d);

am монотонная бесконечно большая последователь ность. Тогда из последовательности P k, k 1, где k = 11 22 mm m = ((Xk, k ), (Xk, k ),..., (Xk, k ),...), k = 1, 2,..., n = m m = inf{t| Xn (t) am }, Xn (t) = Xn (t n ), можно вы брать подпоследовательность P kn (для упрощения обозначений вместо kn будем писать n ) и можно построить процессы n = = ((zn, 1 ),..., (zn, m ),...) и = ((z 1, 1 ),..., (z m, m ),...) на неко 1 m n n тором вероятностном пространстве (, F, P ) так, что процессы zn (t), z m (t) являются непрерывными, P n = P n, zn (t) z m (t) m m n равномерно на каждом компакте из R+ п. н. и m m п. н. Кро- n n m m+1 m m m+ ме того, z (t) = z (t) при t и.

m Пусть e = lim. Определим процесс z(t) следующим образом:

m z(t) = z m (t) для t m, m, z(t) = z m (t) для t m, m =, z(t) = 0 при t e. Процесс z(t) удовлетворяет условию lim sup z(t) = te m = для e. Обозначим через t+ наименьшую -алгебру, отно сительно которой измеримы все случайные векторы z m (s), 0 s t +.

Пусть Fm,t = 0 t+, Ft = Fm,t. Тогда процесс z(t)1[0,e) (t) (Ft ) m m согласован и имеет непрерывные траектории при t e.

Лемма 2.8. Пусть: выполнены условия леммы 2.7;

z(t) про m цесс, построенный выше перед формулировкой этой леммы;

zn, Xn процессы из предыдущей леммы. Тогда существует последователь ность am такая, что при каждых m 1, n 1 выполняют m m m m m ся соотношения P (Xn,n ) = P (zn,n ) и n m п. н., где n = m m n m am }, m = inf{t| z(t) m am }, n = inf{t| Xn (t) am }.

= inf{t| zn (t) В отличие от доказательства аналогичных утверждений в теоре ме 2.2 законы распределения процессов Xn (0) принадлежат компакту Y, а не одни и те же, совпадающие с. В доказательстве аналогич ных утверждений в теореме 2.2 надо сделать лишь одно изменение, связанное с соотношением (2.38). Теперь соотношение (2.38) следует не из предложения 1.18, а из компактности множества Y и предложе ния 1.20.

Замечание 2.2. Леммы 2.7 и 2.8 справедливы и в том случае, когда выполнены все условия этих лемм с заменой последовательно сти (Xn (t), n, Fn, Pn, Fnt, Wn (t), en ) на последовательность слабых решений уравнений t t Xn (t) = Xn (0) + fn (, Xn ( )) d + gn (, Xn ( )) dWn ( ) 0 таких, что P Xn (0) Y, где Y компактное множество в (P, d), а fn и gn функции, построенные перед формулировкой следствия 2.2.

Лемма 2.9. Пусть: выполнены условия леммы 2.7;

компо ненты функций f (t, X) и (t, X) удовлетворяют условию C);

(z(t),, F, P, Ft, e) процесс, вероятностное пространство, по ток и момент остановки, построенные перед формулировкой лем мы 2.8. Тогда на расширении (, F, P ) с потоком Ft вероятност ного пространства (, F, P ) с потоком Ft можно определить (Ft )-броуновское движение W (t) с W (0) = 0 п. н. такое, что (z(t),, F, P, Ft, W (t), e) – слабое решение уравнения (2.21).

Пример 2.1. Применим теорему 2.2 для доказательства суще ствования слабых решений системы dx1 (t) = (r(x1 (t)) + tx2 (t)) dt + r(x2 (t)) dW1 (t), dx2 (t) = (r(x2 (t) + 1)) dt + x2 (t) dW1 (t), 1, x 0, где r(x) = Функция = gg непрерывна, поэтому 1, x 0.

для нее условие C) выполняется. Рассмотрим функцию f. Первая ее компонента f 1 (t, x1, x2 ) = r(x1 ) + tx2 непрерывна по x2 при каждых фиксированных (t, x1 ). Возьмем первую строку матрицы g. Видим, что множество H(1) пусто, следовательно, компонента f 1 условию С) удовлетворяет. Вторая компонента f 2 (t, x1, x2 ) = r(x2 + 1) непрерыв на по x1 при каждых фиксированных (t, x2 ). Возьмем вторую стро ку матрицы g и найдем, что H(2) = {(t, x2 )|x2 = 0}. Множество {(t, x1, 0)}, очевидно, содержится во множестве точек непрерывности отображения f 2. Следовательно, для функции f условие C) выполня ется. По теореме 2.2 для любой заданной вероятности на (Rd, (Rd )) существует слабое решение с начальным распределением.

Пример 2.2. Следующий пример показывает, что без предполо жения о локальной ограниченности коэффициентов системы, теоре ма 2.2, вообще говоря, не верна:

dx1 (t) = dW1 (t), x1 (0) = 0, dx2 (t) = (x1 (t))dt + dW2 (t), x2 (0) = 0.

Если функция : R R+ неотрицательна измерима и неинтегриру ема по Лебегу в любой окрестности нуля, то система не имеет слабых решений [154].

Замечание 2.3. Пусть: существуют индексы 1,..., l такие, что функции h(t, x1,..., xd ) и 1,...,l (t, x1,..., xd ) при каждых фик сированных (t, x1,..., xl ) непрерывны по оставшимся компонен там (xl+1,..., xd ) вектора X;

для любого a R+ отображе (det 1,...,l (t, x1,..., xd ))1 измеримо по Борелю;

ние sup (xl+1,...,xd )D2 (0,a) D(1,..., l ) = (t, x1,..., xl ) для любой открытой окрестности U точки (t, x1,..., xl ) существует число a 0 такое, что интеграл (det 1,...,l (t, x1,..., xd ))1 dt dx1... dxl sup (xl+1,...,xd )D2 (0,a) U равен. Вещественная функция h(t, x1,..., xd ) удовлетворяет усло вию С), если множество {(t, x1,..., xd )| (t, x1,..., xl ) D} принад лежит множеству точек непрерывности отображения h.

2.3. Теорема существования -слабых решений стохастических дифференциальных уравнений В предыдущем параграфе доказана теорема существования сла бых решений уравнения (2.21) с измеримыми по Борелю локально огра ниченными функциями f (t, X) и g(t, X) и при предположении, что компоненты функций f (t, X), (t, X) = g(t, X)g (t, X) удовлетворя ют условию C). В данном параграфе рассматривается случай, когда функции f, не удовлетворяют этому условию. В этом случае под слабым решением уравнения (2.21) понимаем слабое решение некото рого стохастического дифференциального включения и такое решение называем -слабым решением уравнения (2.21).

Для векторной функции f (t, X) = (f i (t, x1,..., xd )), i = 1,..., d, построим многозначное отображение F0 (t, X) по следующему пра вилу (L). Разобьем множество всех индексов i = 1,..., d на непе 1 k ресекающиеся подмножества If,..., If следующим образом: индексы i1, i2 отнесем в одно подмножество лишь в том случае, когда функ ции f i1, f i2 непрерывны по одним и тем же компонентам вектора X.

Зафиксируем j {1,..., k}. Пусть компоненты функции f с ин j дексами из If непрерывны по переменным (xm +1,..., x j ) при каж j d j дых фиксированных остальных переменных (t, x1,..., xm ). Возьмем j j j j j строки матрицы g с номерами 1,..., mj и, так же как в преды дущем параграфе, построим матрицу 1,...,m (t, x1,..., xd ) и мно j j j j,..., m ). Пусть H3 ( j,..., m ) такое открытое под j j жество H(1 j j cj (,..., m ), что при каждых фиксирован j множество множества H 1 j j j ных (t, x1,..., xm ) H3 (1,..., mj ) функция 1,...,m (t, x1,..., xd ) j j j j j j непрерывна по (xm +1,..., x j ). Построим d -мерный вектор fj с ком j d j j /j fji, fji = f, если i If, fji = 0, если i If. Пусть i понентами Fj (t, X) наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее вектор fj (t, X) и все предельные точки fj (t, X ) при X X. Постро им многозначные отображения Fj0 : R+ Rd cl (Rdr ), F0 : R+ Rd cl (Rdr ) ( cl (A) множество всех непустых замкнутых под множеств множества A ) следующим образом:

fj (t, X), (t, x j,..., x j ) H3 ( j,..., j ), mj 1 mj Fj (t, X) = cj j Fj (t, X), (t, x j,..., x j ) H3 (1,..., m ), j m 1 j 0 0 F0 = F1 + F2 +... + Fk (под суммой множества A R и нуля понимаем множество A ).

По матричной функции (t, X) = g(t, X)g (t, X) построим мно гозначное отображение A0 : R+ Rd conv(Rd Rd ) следующим образом. Пусть K = {(t, X) R+ Rd | U(t,X) (det(, y))1 d dy = для каждой открытой окрестности U(t,X) точки (t, X)}, K c = (R+ Rd )\K. Тогда (t, X), (t, X) K c, A0 (t, X) = A(t, X), (t, X) K, где A(t, X) наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержа щее матрицу (t, X) и все предельные точки (t, X ) при X X.

Матрица (t, X) при каждых (t, X) является симметрической неот рицательной. Согласно предложению 1.53 для любых (t, X) R+ Rd элементами множества A0 (t, X) являются неотрицательные симмет рические матрицы.

Определение 2.3. Если существует процесс X(t), заданный на некотором вероятностном пространстве (, F, P ) с потоком Ft, удовлетворяющий условиям:

1) существует (Ft )-момент остановки e, что процесс X(t)1[0,e) (t) является (Ft )-согласованным, имеет непрерывные траектории при t e п. н. и lim sup X(t) =, если e ;

te 2) существует (Ft )-броуновское движение W (t), W (0) = 0 п. н.;

3) существуют процессы v Lloc и u Lloc, удовлетворяющие 1 для (µ P )-почти всех (t, ) R+ включениям v(t)1[0,e) (t) F0 (t, X(t, ))1[0,e) (t), u(t)u (t)1[0,e) (t) A0 (t, X(t, ))1[0,e) (t);

4) с вероятностью 1 для всех t [0, e) выполняется равенство t t X(t) = X(0) + v( ) d + u( ) dW ( ), 0 то набор (X(t),, F, P, Ft, W (t), v(t), u(t), e) (или короче X(t) ) назы вают -слабым решением уравнения (2.21) (множества Lloc и Lloc 1 введены в определении 2.2).

Теорема 2.3 (существования -слабых решений). Пусть функ ции f и g измеримы по Борелю и локально ограничены. Тогда для любой заданной вероятности на (Rd, (Rd )) уравнение (2.21) име ет -слабое решение с начальным распределением.

Доказательство. Существуют измеримые по Борелю ортогональная матрица T и диагональная матрица = diag(1,..., d ) такие, что = T T. Построим матрицы n = = T n T, где n = diag((1 + 1/n) n,..., (d + 1/n) n), gn = T diag(((1 + 1/n) n)1/2,..., ((d + 1/n) n)1/2 ), fn (t, X) = col(f 1 (t, X),..., f d (t, X)), n n i fn (t, X) = (f i (t, X) (n)) n, n N.

Для каждого натурального n существует постоянная n 0 та кая, что det gn gn = det n n для всех (t, X) R+ Rd, кроме то т го, lim fn (t, X) = f (t, X), lim n (t, X) = (t, X) в каждой точке n n d (t, X) R+ R.

По теореме Крылова (лемма 2.5) для любого n N уравнение t t Xn (t) = Xn (0) + fn (, Xn ( )) d + gn (, Xn ( )) dWn ( ) (2.54) 0 имеет слабое решение (Xn (t), n, Fn, Pn, Fnt, Wn (t)) с начальным рас пределением.

Возьмем последовательность am, определим моменты m m m m остановки n = inf{t| Xn (t) am } и процессы Xn (t) = Xn (t n ) и рассмотрим двойную последовательность (Xij, ij ). Пусть k = i,j= 11 22 mm = ((Xk, k ), (Xk, k ),..., (Xk, k ),...), k = 1, 2,.... Используя лем мы 2.7, 2.8 и замечание 2.2, из последовательности P k, k 1, выберем подпоследовательность P kn (для упрощения обозначений вместо kn пишем n ) и построим процессы n = ((zn, 1 ),..., (zn, m ),...) и = 1 m n n = ((z 1, 1 ),..., (z m, m ),...) на некотором вероятностном простран стве (, F, P ) так, что процессы zn (t), z m (t) являются непрерыв m ными, P n = P n, zn (t) z m (t) равномерно на каждом компакте m n m m п. н. Кроме того, z m (t) = z m+1 (t) при t m из R+ п. н. и n n m m+1 m и. Пусть e = lim. Определим процесс z(t) следую m щим образом: z(t) = z m (t) для t m, m, z(t) = z m (t) для t m, m =, z(t) = 0 при t e. Процесс z(t) удовлетворяет усло m вию lim sup z(t) = для e. Обозначим через t+ наимень te шую -алгебру, относительно которой измеримы все случайные векто ры z m (s), 0 s t +. Пусть Fm,t = 0 t+, Ft = Fm,t. Тогда про m m цесс z(t)1[0,e) (t) (Ft )-согласован и имеет непрерывные траектории при t e. Существует последовательность am, am am m 1, m m m am }, m = inf{t| z(t) am }, такая, что если n = inf{t| zn (t) m am }, то при каждых m 1, n 1 выполняются n = inf{t| Xn (t) mm mm (Xn,n ) = P (zn,n ) и n m п. н.

m соотношения P n j Для каждого множества I, j {1,..., k}, построим вектор (fn )j f с компонентами j i fn, i If, (fn )i = j /j 0, i If.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.