авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«Анатолий Афанасьевич ЛЕВАКОВ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Минск БГУ 2009 УДК 519.2 ...»

-- [ Страница 3 ] --

Для каждых j {1,..., k}, m N, q N последовательности m m (fn )j (t, zn (t)), n (t, zn (t)), n 1, относительно слабо компактны соответственно в L1 ([0, q], Rd ) и L1 ([0, q], Rdd ) (предложение 1.13). Существуют подпоследо 1 вательности (fn(1) )j (t, zn(1) (t, )), n(1) (t, zn(1) (t, )), сходящиеся сла (1) бо соответственно к vj (t, ), b(1) (t, ) на [0, 1 1). Пусть 2 (fn(2) )j (t, zn(2) (t, )), (n(2) )(t, zn(2) (t, )) – подпоследовательности для 2 (fn(1) )j (t, zn(1) (t, )), n(1) (t, zn(1) (t, )), сходящиеся слабо соответ (2) ственно к vj (t, ), b(2) (t, ) на [ 1 1, 2 2) и т. д. Тем самым (m) построим процессы vj (t, ), b(t, ) такие, что vj (t, ) = vj (t, ), b(t, ) = b(m) (t, ) для (t, ) [ m1 (m 1), m m), m = = 1, 2,... (считаем, что 0 = 0 ). Положим vj (t, ) = 0, b(t, ) = для (t, ) [e, +). Пусть v(t, ) = v1 (t, ) +... + vk (t, ). Для любого b 0 существует последовательность n (b) 0 такая, что n n (t, X) [A(t, X)]n, (fn )j (t, X) [Fj (t, X)]n для любых t [0, b] и X B(0, b) при всех j = 1,..., n, где [A] -окрестность множе m (m 1), m m) ства A. Для (µ P )-почти всех (t, ) [ имеем (предложение 1.51) (m) m m vj (t, ) co (fk )j (t, zk (t, )) co [Fj (t, zk (t, ))]k (m), n=1 n= k=n k=n (m) m m (t, ) b co k (t, zk (t, )) co [A(t, zk (t, ))]k (m), n=1 n= k=n k=n k (m) 0 при k, где co(A) – замыкание выпуклой оболочки множества A.

Отображения Fj, A полунепрерывны сверху по X Rd (пред ложение 1.52). Следовательно, vj (t, ) Fj (t, z m (t, )), b(t, ) A(t, z m (t, )) для (µP )-почти всех (t, ) [ m1 (m1), m m). Пусть vj (t, ) – условное математическое ожидание E(vj (t, )|Ft ), ) – условное математическое ожидание E(b(t, )| Ft ), причем b(t, условные математические ожидания выбраны таким образом, что про цессы vj и измеримы. Тогда vj (t, ) Fj (t, z m (t, )), ) b b(t, m m (m1), m m) A(t, z (t, )) для (µP )-почти всех (t, ) [ j (предложение 1.49). Пусть Bm (If ) = {(t, ) [ m1 (m 1), m m) | (t, z j (t, ),..., z j (t, )) H3 (1,..., ljj )}, Bm = j m m 1 lj m (m 1), m) | (t, z m (t, )) K}, Bm = m c = {(t, ) [ = ([ m1 (m 1), m m) ) \ Bm. Определим процессы j fj (t, z m (t, )), (t, ) Bm (If ), (m) vj (t, ) = j c (t, ) Bm (If ), vj (t, ), (t, z m (t, )), (t, ) Bm, c (m) (t, ) = b ), (t, ) Bm.

b(t, (m) Пусть vj (t, ) = vj (t, ), ) = (m) (t, ) для (t, ) [ m1 (m b(t, b 1), m). Положим vj = 0, = 0, для (t, ) [e, +) m b. Пусть v (t, ) = v1 (t, ) + v2 (t, ) +... + vk (t, ). Для (µ P ) почти всех (t, ) R+ выполняются включения v (t, )1[0,e) (t) )1[0,e) (t) A0 (t, z(t, ))1[0,e) (t). Процессы F0 (t, z(t, ))1[0,e) (t), b(t, v (t, ), ) являются измеримыми и (Ft )-согласованными.

b(t, Зафиксируем m N, M N и возьмем произвольно: s, t R+ ;

дважды непрерывно дифференцируемую функцию h : Rd R, ограниченную вместе с частными производными до второго по рядка включительно;

непрерывную ограниченную (s (C(R+, Rd )))-из меримую функцию q : C(R+, Rd ) R.

Из соотношения (2.54), применяя формулу Ито, получаем равен ство m tn d m m ij m m En h(Xn (t)) h(Xn (s)) n (, Xn ( ))hxi xj (Xn ( )) + 2 i,j= m sn d h i m m M + fn (, Xn ( ))hxi (Xn ( )) d q(Xn ) = 0, hxi =, (2.55) xi i= ij i где n, fn компоненты соответственно матричной функции n и. Зафиксируем компоненту f i (t, X) векторной векторной функции fn функции f с номером i. Пусть при применении правила (L) к f компонента f i (t, X) попала в класс, функции из которого непрерыв ны по переменным (xl+1,..., xd ) при каждых фиксированных (t, x1,..., xl ). Обозначим (t, x1,..., xl ) = (t, x), (xl +1,..., xd ) = (не нарушая общности, можно считать, что 1 = 1,..., l = l ).

=x Каждый из процессов Xn, Xn, z, zn, z m разделится на два процес m m m m z z m m са: Xn = (Xn, Xn ), Xn = (Xn, Xn ), z = (, z ), zn = (n, zn ), z m = m m m m c = (, z ). Для упрощения записи вместо H3 (1,..., l) будем писать H z и обозначать (n )1,...,l (t, x1,..., xd ) = an (t, x, x), 1,...,l (t, x1,..., xd ) = = a(t, x, x).

Возьмем последовательность k 0 при k. Как показано при доказательстве теоремы 2.2, справедливо соотношение m tn m 1(H)c (, zn ( ))f i (, zn ( ), zn ( )) m m J1 lim E n k m sn t m m z M M zm 1(H)c (, z m ( )) hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) =E k s m z f i (, z m ( ), z m ( ))hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ).

z (2.56) Докажем, что t m z 1(H)c (, z m ( ))v i ( )hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ), J1 = E z k s m (2.57) i где v i -я компонента векторной функции v. Для каждого нату рального k построим последовательность непрерывных функций j :

R+ Rl [0, 1] такую, что j 1(H)c, j 1(H)c при j.

k k Для каждого натурального j имеем m tn m m z m m z M M j (, zn ( ))f i (, zn, zn )hxi (n, zn ) d q(n, zn ) m lim E = n m sn m tn m z M M m zm (j (, zn ( ))hxi (n ( ), zn ( ))q(n, zn ) = lim E n m sn z m j (, z m ( ))hxi (m ( ), z m ( ))q(M, z M ))f i (, zn ( ), zn ( )) d m z + t m z z m m j (, z m )hxi (m, z m )q(M, z M )(f i (, zn, zn )v i ( )) d + lim E + n s m m tn z z m m j (, z m ( ))hxi (m, z m )q(M, z M )f i (, zn, zn ) d + lim E + n t m s m z z m m j (, z m ( ))hxi (m, z m )q(M, z M )f i (, zn, zn ) d + lim E + n m sn t m z j (, z m ( ))hxi (m ( ), z m ( ))q(M, z M )v i ( ) d.

+E z (2.58) s m В соотношении (2.58) первое слагаемое в правой части равно нулю, так как zn ( ) z m ( ), zn ( ) z M ( ) равномерно по [0, t] п. н., m M n n второе слагаемое равно нулю в силу слабой сходимости f i (, z m ( )) n n i m к v ( ) в L1 ([0, t ), R) (для упрощения обозначений мы счита i ем, что сама последовательность fn (, zn ( )) сходится слабо к v i ( ) в m i L1 ([0, t m ), R)), а также в силу построения fn и локальной огра ниченности f i, третье и четвертое слагаемые равны нулю, поскольку t n t m, s n s m п. н.

m m n n Используя следствие 2.1, получаем соотношения t m m (1(H)c (, zn ( )) j (, zn ( )))f i (, zn ( ), zn ( )) m m m lim lim sup E j k n s m m z M M zm hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) t m m m m 1(H)c (, zn ( ))(1(H)c (, zn ) j (, zn )) d C5 lim lim sup E j k k n s m sup ((det a(, x, x)) C6 lim j x am ([0,t]B1 (0,am )) (H)ck 1/(l+1) l+ (1(H)c (, x) j (, x)) ) d d x = 0, (2.59) k кроме того, t m (1(H)c (, z m ( )) j (, z m ( )))v i ( ) lim E j k s m z hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ) z = 0. (2.60) Из равенств (2.58) (2.60) следует требуемое равенство (2.57). Из сла i бой сходимости fn (, zn ( )) к v i ( ) в L1 ([0, t m ), R), построения m i fn и локальной ограниченности f i вытекает равенство m tn m m z M M f i (, zn ( ), zn ( ))hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) m zm lim E = n m sn t m z v i ( )hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ).

=E z (2.61) s m Из соотношения (2.57) вытекает существование последовательности kn + такой, что n m tn m 1(H)c (, zn ( ))f i (, zn ( ), zn ( )) m m J2 lim E n kn m sn t m m z M M zm 1H c (, z m ( ))v i ( ) hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) =E s m z hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ).

z (2.62) Из (2.61) и (2.62) получаем равенство m tn m m z m m z M M 1(H) k (, zn )f i (, zn, zn )hxi (n, zn ) d q(n, zn ) m lim E = n n m sn t m z 1H (, z m ( ))v i ( )hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ). (2.63) =E z s m Сравнивая (2.56) и (2.57), имеем t m z z 1(H)c (, z m ( ))f i (, z m, z m )hxi (m, z m ) d q(M, z M ) E = k s m t m z 1(H)c (, z m ( ))v i ( )hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ).

=E z k s m (2.64) Сопоставляя (2.62) и (2.64), приходим к равенству t m 1H c (, z m ( ))f i (, z m ( ), z m ( )) J2 = E s m z hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ).

z (2.65) Учитывая (2.63), (2.65) и равенство P n = P n, имеем t m z v i ( )hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ) E z = s m t m z z 1H c (, z m ( ))f i (, z m, z m )hxi (m, z m ) d q(M, z M ) + =E s m t m z 1H (, z m ( ))v i ( )hxi (m ( ), z m ( )) d q(M, z M ) +E z = s m m tn m m z m m z M M 1(H)c (, zn )f i (, zn, zn )hxi (n, zn ) d q(n, zn ) + m = lim E n kn m sn m tn m m z m m z M M 1(H) k (, zn )f i (, zn, zn )hxi (n, zn ) d q(n, zn ) m + lim E = n n m sn m tn m m z M M f i (, zn ( ), zn ( ))hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) m zm = lim E = n m sn m tn i m m m z M M zm = lim E fn (, zn ( ), zn ( ))hxi (n ( ), zn ( )) d q(n, zn ) = n m sn m tn m m m m M M i = lim En fn (, Xn, Xn )hxi (Xn, Xn ) d q(Xn, Xn ). (2.66) n m sn Аналогичными рассуждениями доказывается, что для любых фиксированных i, j {1,..., d} имеет место равенство m tn ij m m M lim En n (, Xn ( ))hxi xj (Xn ( )) d q(Xn ) = n m sn t m ij ( )hx x (z m ( )) d q(z M ).

=E b (2.67) ij s m Из соотношений (2.55), (2.66), (2.67) получаем равенство h(z m (t)) h(z m (s)) E t m d d 1 ij ( )hx x (z m ( )) + v i ( )hxi (z m ( )) d q(z M ) = 0.

b ij 2 i,j=1 i= s m Отсюда и из предложения 1.27 следует, что для каждого m = 1, 2,...

процесс h(z(t m )) h(z(0)) t m d d 1 ij ( )hx x (z( )) + v i ( )hxi (z( )) d b ij 2 i,j=1 i= является (Ft )-мартингалом.

Матрица ) является симметрической неотрицательной. Пред b(t, ставим ее в виде ) = Q(t, )D(t, )Q (t, ), b(t, где Q(t, ) – ортогональная матрица, D(t, ) диагональная мат рица с неотрицательными элементами, при этом все компоненты мат риц Q(t, ), D(t, ) измеримые (Ft )-согласованные процессы. Пусть u(t, ) = Q(t, ) D(t, ), тогда выполняется включение u(t, )u (t, )1[0,e) (t) A0 (t, z(t, ))1[0,e) (t) для (µ P )-почти всех (t, ) R+.

Согласно предложениям 1.37, 1.38, на расширении (, F, P ) с по током -алгебр Ft вероятностного пространства (, F, P ) с пото ком -алгебр Ft можно определить (Ft )-броуновское движение W (t) с W (0) = 0 п. н. такое, что с вероятностью 1 для любого t [0, e) выполняется равенство t t z(t) = z(0) + v ( ) d + u( ) dW ( ).

0 Следовательно, (z(t),, F, P, Ft, W (t), v (t), u(t), e) – -слабое ре шение уравнения (2.21). Теорема 2.3 доказана.

Пример 2.3. Для иллюстрации теоремы 2.3 рассмотрим систему dx1 (t) = (r(x1 (t)) + tx2 (t)) dt + dW1 (t), dx2 (t) = r(x2 (t)) dt, где 1, x 0, r(x) = 1, x 0.

Функция = gg непрерывна, поэтому A0 (t, x1, x2 ) совпадает с (t, x1, x2 ) = diag(1, 0). Разобьем множество индексов компо 1 нент функции f на подмножества If = {1}, If = {2}. Функ ция f 1 (t, x1, x2 ) = r(x1 ) + tx2 непрерывна по x2. Возьмем первую c строку матрицы g и найдем, что множество H3 (1) пусто, поэтому F1 (t, x1, x2 ) = col(f 1 (t, x1, x2 ), 0). Компонента f 2 (t, x1, x2 ) = r(x2 ) непрерывна по x1. Берем вторую строку матрицы g. Видим, что в c этом случае H3 (2) = {(t, x2 )|t R+, x2 R}. По правилу (L) 0 F2 (t, x1, 0) = col(0, [1, 1]), F2 (t, x1, x2 ) = col(0, r(x2 )), если x2 = 0.

Таким образом, F0 (t, x1, x2 ) = col(r(x1 ) + tx2, r(x2 )), если x2 = 0, и F0 (t, x1, 0) = col(r(x1 ) + tx2, [1, 1]). Теорема 2.2 не применима к рас сматриваемой системе, но для любой вероятности на (R2, (R2 )), согласно теореме 2.3, система имеет -слабое решение c начальным распределением.

2.4. Сильное и слабое существование, потраекторная и слабая единственность для стохастических дифференциальных уравнений и включений В предыдущих параграфах приведены определения -слабого и слабого решений ССДУ и доказаны соответствующие теоремы суще ствования. В данном параграфе аналогичные определения вводятся для стохастических дифференциальных включений, а также даются определения сильного и слабого существования, потраекторной и сла бой единственности как для стохастических дифференциальных урав нений, так и для включений. Доказаны соответствующие теоремы су ществования и единственности, а также теорема об отсутствии взрывов у решений СДВ.

Пусть заданы измеримые по Борелю многозначные отображения F : R+ Rd cl (Rd ), G : R+ Rd cl (Rdd ). Рассмотрим стоха стическое дифференциальное включение dx(t) F (t, x(t))dt + G(t, x(t))dW (t). (2.68) Построим многозначное отображение (t, x) A(t, x) = {bb |b G(t, x)}.

Определение 2.4. Под слабым решением включения (2.68) пони маем случайный процесс x(t), определенный на некотором вероят ностном пространстве (, F, P ) с потоком Ft такой, что:

1) существует (Ft )-момент остановки e, что процесс x(t)1[0,e[ (t) является (Ft )-согласованным, имеет непрерывные траек тории при t e п. н. и lim sup x(t) = +, если e ;

te 2) существует r-мерное (Ft )-броуновское движение W (t), W (0) = 0 п. н. ;

3) существуют процессы v Lloc и u Lloc такие, что для 1 (µ P )-почти всех (t, ) R+ выполняются включения v(t, )1[0,e[ (t) F (t, x(t, ))1[0,e[ (t), u(t, )u (t, )1[0,e[ (t) A(t, x(t, ))1[0,e[ (t);

4) с вероятностью 1 для всех t [0, e[ имеет место равенство t t x(t) = x(0) + v(s)ds + u(s)dW (s).

0 Момент остановки e в этом определении называют моментом взрыва слабого решения x(t), и если e = п. н., то будем говорить, что у этого решения отсутствуют взрывы.

Определение 2.5. Говорят, что для включения (2.68) имеет ме сто слабое существование (или включение обладает свойством сла бого существования), если для любой вероятности на (Rd, (Rd )) существует слабое решение x(t) включения (2.68) с начальным рас пределением, т. е. P (x(0) A) = (A) A (Rd ).

Определение 2.6. Слабое решение x(t) называется сильным ре шением, если процесс x(t) является согласованным с пополненным потоком -алгебр, порожденным броуновским движением W (t) и случайным вектором x(0).

Определение 2.7. Говорят, что для включения (2.68) имеет ме сто слабая единственность (или включение обладает свойством сла бой единственности), если для любых двух слабых решений x и x с d d одинаковыми начальными распределениями на (R, (R )) совпадают законы распределения для x и x на (C(R+, Rd ), (C(R+, Rd ))).

Вышеприведенное определение эквивалентно следующему: вклю чение (2.68) обладает свойством слабой единственности, если для лю бых двух слабых решений x и x включения (2.68) таких, что x(0) = d = x(0) = x0 R, совпадают законы распределения для x и x на d d (C(R+, R ), (C(R+, R ))) [8, c. 153].

Введенное определение слабой единственности применимо к вклю чениям, у решений которых отсутствуют взрывы. Для включений со взрывами используют следующее определение локальной слабой един ственности. Пусть r R+. Переопределим функции, входящие во включение (2.68) на множестве {(t, x) R+ Rd x r}. Положим единичная матрица, F (t, x) = 0 для {(t, x) R+ G(t, x) = I Rd x r}. Если для любого r R+ вновь построенное включение обладает свойством слабой единственности решений, то говорят, что включение (2.68) обладает свойством локальной слабой единственно сти.

Определение 2.8. Говорят, что для включения (2.68) имеет место сильное существование (или включение обладает свойством сильного существования), если для любого вероятностного простран ства (, F, P ), для любого потока Ft, для любого (Ft )-броуновского движения W (t) и любого (F0, (Rd ))-измеримого случайного вектора, независимого от броуновского движения W (t), существует слу чайный процесс x(t), x(0) = п. н., определенный на вероятностном пространстве (, F, P ), удовлетворяющий условиям 1),3),4) из опре деления 2.4.

Рассмотрим теперь стохастическое дифференциальное включение dx(t) F (t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t) (2.69) с измеримыми по Борелю многозначным отображением F : R+ Rd cl (Rd ) и отображением g : R+ Rd Rdd.

Определение 2.9. Под слабым решением включения (2.69) пони маем случайный процесс x(t), определенный на некотором вероят ностном пространстве (, F, P ) с потоком Ft, удовлетворяющий условиям 1) и 2) определения 2.4 и такой, что 3’) g(t, x(t)) Lloc и существует процесс v Lloc, что для (µ 2 P )-почти всех (t, ) R+ выполняется включение v(t, )1[0,e[ (t) F (t, x(t, ))1[0,e[ (t);

4’) с вероятностью 1 для всех t [0, e[ имеет место равенство t t x(t) = x(0) + v(s)ds + g(s, x(s))dW (s).

0 Определение 2.10. Говорят, что для включения (2.69) имеет место потраекторная единственность (или включе ние обладает свойством потраекторной единственности), если для любых двух слабых решений (x(t),, F, P, Ft, v(t), W (t), e) и ((t),, F, P, Ft, v (t), W (t), e), заданных на одном и том же вероят x ностном пространстве с одним и тем же потоком и с одним и тем же броуновским движением, из равенства x(0) = x(0) п. н. следует, x(t) = x(t) t [0, e[.

что с вероятностью единица e() = e(), Пусть теперь дано стохастическое дифференциальное уравнение dx(t) = f (t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t), (2.70) где f : R+ Rd Rd и g : R+ Rd Rdd измеримые по Борелю отображения.

Если в определениях 2.5 2.7 и 2.10 вместо слабых решений включения (2.68) использовать слабые ( -слабые) решения уравне ния (2.70), то приходим к определениям слабого ( -слабого) суще ствования, сильного ( -сильного) решения, потраекторной ( -потраек торной) и слабой единственности ССДУ (2.70). Если в определении 2. в условии 3) вместо отображений F (t, x) и A(t, x) поставить соответ ствующие многозначные отображения из определения -слабых реше ний уравнения (2.70), то приходим к определению -сильного суще ствования ССДУ. Если в определении 2.8 условия 3) и 4) заменить следующим условием 5): с вероятностью 1 для всех t [0, e()[ имеет место равенство t t x(t) = + f (s, x(s))ds + g(s, x(s))dW (s), 0 то приходим к определению сильного существования ССДУ (2.70).

Предложение 2.1 (принцип Ямады Ватанабэ [8, c. 154]).

Если для любой борелевской меры на (Rd, (Rd )) существу ет слабое решение включения (2.69) (уравнения (2.70)) с начальным распределением и включение (2.69) (уравнение (2.70)) обладает свойством потраекторной единственности, то для этого включения (уравнения) имеет место сильное существование и любое слабое ре шение является сильным.

Пусть (t, x) = inf det a(t, x), где A(t, x) = a(t,x)A(t,x) = b(t, x)b (t, x) b(t, x) G(t, x). Определим множество D = = (t, x) для любой открытой окрестности U(t,x) точки (t, x) U(t,x) (s, y)dsdy либо не определен, либо равен +.

интеграл Теорема 2.4 (о слабом существовании для СДВ). Если много значные отображения F и G измеримы по Борелю и локально огра ничены;

отображения F и G полунепрерывны сверху на множе стве D;

F (t, x) conv(Rd ), A(t, x) conv(Rdd ) (t, x) D, то включение (2.68) обладает свойством слабого существования.

Доказательство. Согласно предложению 1.41 существует пара измеримых по Борелю локально ограниченных селекторов f0 (t, x), a0 (t, x) соответственно для многозначных отображений F (t, x), A(t, x). При каждых (t, x) матрица a0 (t, x) является сим метрической неотрицательной. Представим ее в виде a0 = T T, где T ортогональная матрица, а диагональная матрица с неотрицательными элементами. Возьмем g0 = T и рассмотрим уравнение dx(t) = f0 (t, x(t))dt + g0 (t, x(t))dW (t). (2.71) В каждой точке (t, x) построим множества F1 (t, x), G1 (t, x), ко торые являются наименьшими выпуклыми замкнутыми множества ми, содержащими соответственно точки f0 (t, x), g0 (t, x) и все пре дельные точки f0 (t, x ), g0 (t, x ) при x x. Множество D1 = = (t, x) для любой открытой окрестности U (t, x) точки (t, x) ин теграл U (t,x) (deta0 (s, y))1 dsdy равен принадлежит D. Пусть F0 (t, x) = F1 (t, x), если (t, x) D1, и F0 (t, x) = f0 (t, x), если (t, x) (R+ Rd ) \ D1, G0 (t, x) = G1 (t, x), если (t, x) D1, и G0 (t, x) = = g0 (t, x), если (t, x) (R+ Rd ) \ D1. По теореме 2.3 для любой заданной вероятности на (Rd, (Rd )) уравнение (2.71) имеет - сла бое решение (x(t), W (t),, F, P, Ft, u0 (t), v0 (t), e) такое, что P x(0) = =. Из полунепрерывности сверху на множестве D отображений F, A и из принадлежности их значений соответственно множествам conv(Rd ), conv(Rdd )) вытекает, что F0 (t, x) F (t, x), A0 (t, x) A(t, x) (t, x) R+ Rd, (2.72) а из определения -слабых решений уравнения (2.71) следует, что для почти всех (t, ) R+ справедливы включения v0 (t, )1[0,e[ (t) F0 (t, x(t, ))1[0,e[ (t), u0 (t, )u (t, )1[0,e[ (t) A0 (t, x(t, ))1[0,e[ (t). (2.73) Соотношения (2.72), (2.73) показывают, что (x(t), W (t),, F, P, Ft, u0 (t), v0 (t), e) слабое решение включения (2.68).

Теорема 2.5. Если многозначные отображения F и G изме римы по Борелю и локально ограничены;

существует 0 такое, что отображения F и A полунепрерывны снизу на множестве [D] ;

F (t, x) conv(Rd ), A(t, x) conv(Rdd ) (t, x) [D], то включе ние (2.68) обладает свойством слабого существования.

Доказательство. Пусть f (t, x), a(t, x) измеримые по Боре лю селекторы соответственно отображений F (t, x), A(t, x) и пусть f (t, x), a(t, x) непрерывные селекторы соответственно отображений F : [D] conv(Rd ), A : [D] conv(Rdd ). Существование се лекторов f (t, x), a(t, x) вытекает из предложения 1.41, а селекторов (t, x), a(t, x) f из теоремы Майкла (предложение 1.44). Пусть f (t, x), (t, x) [D]c, a(t, x), (t, x) [D]c, f1 (t, x) = a1 (t, x) = (t, x), (t, x) [D], (t, x), (t, x) [D], a f Представим матрицу a1 в виде a1 = T1 1 T1, где T1 ортогональная матрица, а 1 диагональная матрица с неотрицательными элемен тами. Возьмем g1 = T1 1 и рассмотрим уравнение dx(t) = f1 (t, x(t))dt + g1 (t, x(t))dW (t). (2.74) Коэффициенты уравнения (2.74) удовлетворяют условиям теоремы 2.2, поэтому для любой заданной вероятности на (Rd, (Rd )) уравнение (2.74) имеет слабое решение x(t) такое, что P x(0) =, которое являет ся также и слабым решением включения (2.68). Теорема 2.5 доказана.

Пусть многозначное отображение F : R+ Rd cl (Rd ) и отоб ражение g : R+ Rd Rdr измеримы по Борелю.

Условие Е). Существует вещественная неотрицательная функ ция V (x), определенная на Rd и непрерывная вместе с производными Vxi xj, i, j = 1,..., d, V (0) = 0 и V (x) = 0, если x = 0, такая, что для любых m R+, t R+, z Rd, y Rd, z m, y m, выполняется неравенство Vx (y z)(a b)+ sup aF (t,y), bF (t,z) + tr Vx2 (y z)(g(t, y) g(t, z))(g(t, y) g(t, z)) k(t, m)V (y z), с отображением k : R+ R+ R+, непрерывным по t при каждом фиксированном m.

Теорема 2.6 (о потраекторной единственности слабых решений СДВ). Если многозначное отображение F : R+ Rd cl (Rd ) и отоб ражение g : R+ Rd Rdr удовлетворяют условию E) и для любых m R+ и T R+ выполняется неравенство T dt, sup ((F (t, x), 0) + g(t, x) x m то включение (2.69) обладает свойством потраекторной единствен ности слабых решений.

Доказательство. Предположим, что включение (2.69) имеет два слабых решения (x1 (t, ), v1 (t, ), e1 ()) и (x2 (t, ), v2 (t, ), e2 ()), определенных на одном и том же вероятностном пространстве с од ним и тем же потоком, соответствующих одному броуновскому движе i нию таких, что x1 (0, ) = x2 (0, ) п. н. Пусть m = inf t xi (t, ) t m, i = 1, 2, (t, m) = 0 k(s, m)ds, (t, m) = exp( (t, m)).

1 Достаточно показать, что m = m п. н. и x1 (t, ) = x2 (t, ) при t [0, m [ п. н. при всех m R+. По формуле Ито для любого T R+ выполняется равенство 1 2 1 2 1 (t T m m, m)V (x1 (t T m m ) x(t T m m )) = 1 tT m m (s, m) Vx (x1 (s) x3 (s))(v1 (s) v2 (s)) = k(s, m)V (x1 (s) x2 (s)) + tr(Vx2 (x1 (s) x2 (s)) (g(s, x1 (s)) g(s, x2 (s))(g(s, x1 (s)) g(s, x2 (s)) ) ds+ 1 tT m m (s, m)Vx (x1 (s) x2 (s)) + (g(s, x1 (s)) g(s, x2 (s))dW (s). (2.75) При каждых m R+, T R+ из (2.75), используя условие E), для 1 любого момента остановки T m m, имеем E((, m)V (x1 (, ) x2 (, )) = 0. Отсюда следует (, m)V (x1 (, ) x2 (, )) = = 0 п. н. Так как (, m) = 0, то V (x1 (, ) x2 (, )) = 0 п. н.

Свойства функции V таковы, что из последнего равенства вытекает x1 (, ) = x2 (, ) п. н. Поэтому x1 (t, ) = x2 (t, ) при всех t 1 2 1 [0, m m [ п. н. Отсюда, очевидно, следует, что m = m п. н. и x1 (t, ) = x2 (t, ) t [0, m [ п. н.

Пример 2.4. Пример стохастического дифференциального вклю чения, обладающего свойством потраекторной единственности:

dx(t) f (x(t))dt + dW (t), (2.76) 1, x 0, [ 1, 1], x = 0, f (x) = 1, x 0.

Если V (x) = x2, x R, то для любых m R, z R, y R, z m, y m, выполняется неравенство Vx (a b) + tr Vx2 (g(y) g(z))(g(y) g(z)) sup 0.

af (y),bf (z) По теореме 2.6 включение (2.76) обладает свойством потраекторной единственности слабых решений.

Теорема 2.7 (о сильном существовании и потраекторной един ственности для ССДУ). Если отображения f : R+ Rd Rd и g : R+ Rd Rdd измеримы по Борелю, локально ограничены и удовлетворяют условию E);

компоненты функций f (t, x) и (t, x) = = g(t, x)g (t, x) удовлетворяют условию C), то для ССДУ (2.70) имеет место сильное существование и потраекторная единствен ность.

Теорема 2.8 (о -сильном существовании и -потраекторной единственности для ССДУ). Если отображения f : R+ Rd Rd и g : R+ Rd Rdd измеримы по Борелю и локально ограничены;

функция g непрерывна по x;

многозначные отображения F0 и A0 из определения 2.3 -слабых решений ССДУ (2.70) удовлетворяют усло вию E), то для ССДУ (2.70) имеет место -сильное существование и -потраекторная единственность.

Доказательства теорем 2.7, 2.8 вытекают из теорем 2.2, 2.3 суще ствования слабых и -слабых решений ССДУ, теоремы 2.6 о потра екторной единственности слабых решений СДВ и принципа Ямады Ватанабэ.

Многозначное отображение L : R+ Rd P(Rd ) называется мо нотонным, если при каждом t R+ (x1 x2 ) (u1 u2 ) 0 для всех x1, x2 Rd и для всех u1 L(t, x1 ), u2 L(t, x2 ). Ясно, что многознач ное отображение F : R+ Rd cl (Rd ) вида F (t, x) = f (t, x) + L(t, x), где f : R+ Rd Rd отображение, измеримое по Борелю, удовле творяющее условию Липшица по x, а L : R+ Rd P(Rd ) из меримое по Борелю монотонное отображение, вместе с измеримым по Борелю отображением g : R+ Rd Rdr, удовлетворяющим условию Липшица по x, удовлетворяют условию E) с функцией V (x) = x 2.

Отображение F из примера 2.4 является примером монотонного отоб ражения.

Теорема 2.9 (о сильном существовании для СДВ). Пусть: F = = F1 + F2 ;

F1 : R+ Rd cl (Rd ), F2 : R+ Rd cl (Rd ) и G : R+ Rd cl (Rdd ) измеримые по Борелю локально ограниченные отображения;

F1 монотонное полунепрерывное сверху на множе стве D отображение и F1 (t, x) conv(Rd ) (t, x) D;

отображе ния F2 и G удовлетворяют условию Липшица по x. Тогда для СДВ (2.68) имеет место сильное существование.

Доказательство. Согласно предложению 1.10, отображения F2 (t, x), G(t, x) имеют селекторы b2 (t, x), c(t, x), которые измеримы по Борелю и удовлетворяют условию Липшица по x. По предложе нию 1.41, отображение F1 (t, x) имеет измеримый по Борелю локально ограниченный селектор b1 (t, x), который, очевидно, является монотон ным отображением. ССДУ dx(t) = (b1 (t, x(t)) + b2 (t, x(t))dt + c(t, x(t))dW (t) (2.77) удовлетворяет условиям теоремы 2.8, поэтому для уравнения (2.77) имеет место -сильное существование. Многозначные отображения таковы, что отсюда следует сильное существование для СДВ (2.68) (см. доказательство теоремы 2.4).

Условие H). Существует вещественная неотрицательная функ ция Q(x), определенная на Rd и непрерывная вместе с производными Qxi xj, i, j = 1,..., d;

lim Q(x) = и такая, что для любых (t, x) x d R+ R выполняется неравенство sup Qx (x)a + sup tr Qx2 (x)bb k(t)(1 + Q(x)), 2 bG(t,x) aF (t,x) где k(t) непрерывная функция.

Теорема 2.10 (об отсутствии взрывов). Если многозначные отображения F : R+ Rd cl (Rd ) и G : R+ Rd cl (Rdr ) удовлетворяют условию H) и для любых m R+, T R+ выполня ется неравенство T sup ((F (t, x), 0) + 2 (G(t, x), 0)) dt, x m то для любого слабого решения (x(t), u(t), v(t),, F, P, Ft, W (t), e()) включения (2.68) имеем e() = п. н.

Доказательство. Пусть m = inf t x(t, ) m, (t) = t = 0 k(s)ds, 1 (t) = exp((t) Q(x(0))). Для доказательства тео ремы достаточно показать, что T R+ lim P {m T } = 0. (2.78) m По формуле Ито для T R+ 1 (t T m )(1 + Q(x(t T m )) = exp(Q(x(0)))(1 + Q(x(0)))+ tT m 1 (s) k(s)(1 + Q(x(s))) + Qx (x(s))u(s)+ + tT m + tr Qx2 (x(s))v(s)v (s) ds+ 1 (s)Qx (x(s))v(s)dW (s). (2.79) Для любого момента остановки T m из равенства (2.79) имеем E(1 ( ))(1 + Q(x( ))) l1, где l1 = sup exp(Q(y))(1 + Q(y)). По y[0,[ лемме 2.1 для любого b 0 справедлива оценка l P sup 1 (t)(1 + Q(x(t))) b.

b t T m Значит, для любой функции r(m) верно равенство m lim P sup 1 (t)(1 + Q(x(t))) r(m) = 0. (2.80) m t T m В соотношении (2.80) множитель 1 (t) не зависит от m и принимает положительные значения, поэтому его можно опустить lim P sup (1 + Q(x(t))) r(m) = 0. (2.81) m t T m Пусть inf (1 + Q(x)) = b(m). Из свойств функции Q следует, что x =m b(m). Так как {m T } { sup (1 + Q(x(t))) b(m)}, то из m t T m (2.81) вытекает справедливость соотношений lim P {m T} lim P { sup (1 + Q(x(t))) b(m)} = 0.

m m t T m Соотношение (2.78), а значит, и теорема 2.10 доказаны.

Предложение 2.2 (о локальной слабой единственности [18, с. 574–575]). Пусть отображения f : R+ Rd Rd, g : R+ Rdd и (gg )1 измеримы по Борелю локально ограничены и для вся ких (t, x) R+ Rd можно указать такие T 0, r 0 и такую постоянную положительно определенную матрицу C, что tr(g(s, y)g (s, y) C)2 C 1 sup.

s[t,t+T ], xy r Тогда уравнение (2.70) обладает свойством локальной слабой един ственности.

f (1), f (2), g (1) Предложение 2.3 [11]. Пусть: функции и g (2) в системе (2.22) ограничены и измеримы по Борелю;

g g (t, x, y), 0, для всех (t, x, y), Rl ;

все (1) (1) коэффициенты системы удовлетворяют условию Липшица по y с постоянной L, не зависящей от (t, x);

функции f (2), g (1) и g (2) удовлетворяют условию Липшица по x с той же постоянной L и функции a = g (1) g (1) и f (1) при всех фиксированных (t, x) имеют две равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные производные. Тогда система (2.22) обладает свойством сильного существования и потраекторной единственности.

Рассмотрим теперь случай, когда в уравнении (2.70) функция f является кусочно непрерывной. Отображение f : Rd Rd называет ся кусочно непрерывным, если множество Rd можно разбить на огра ниченные области Li, i = 1, 2,..., и на множество M меры нуль, состоящее из точек границ этих областей, таким образом, что пересе чение любой ограниченной области L Rd имеет пересечение лишь с конечным числом областей Li и в каждой из областей Li функция f непрерывна вплоть до границы. Функция непрерывна в области вплоть до границы, если при приближении к каждой точке границы она стре мится к конечному пределу. Для кусочно непрерывной функции f по строим множество F (x), которое состоит из одной точки f (x), если x принадлежит одной из областей Li, а для x M множество F (x) наименьшее выпуклое множество, содержащее точку f (x) и конечное число пределов lim f (x ), где Lj области, для которых x x x,x Lj граничная точка.

Рассмотрим случай, когда пространство Rd разделено гладкой по верхностью S на области G, G+ и отображения f (x), fx (x) непре рывны вплоть до границы на множествах G, G+. Обозначим че рез f (x), f + (x) предельные значения функции f при приближении к точке x, x S, из областей G и G+ соответственно, а через hN проекцию вектора h = f + f на нормаль к S в точке x, на правленную от G к G+. Из теорем 2.4, 2.6 и доказательства леммы [102, c. 83] вытекает следующее следствие.

Следствие 2.3. Пусть: вектор h = f + f направлен по нор мали к поверхности S (или равен нулю);

hN 0;

q : Rd Rd и g : Rd Rdd отображения, удовлетворяющие локальному усло вию Липшица. Тогда включение dx(t) (F (x(t)) + q(x(t)))dt + g(x(t))dW (t) (2.82) обладает свойствами потраекторной единственности и сильного су ществования.

Пример 2.5. Уравнение dx(t) = g(x(t))dW (t), x(0) = 0, 1, x = 0, g(x) = 0, x = 0, имеет -сильное решение x(t) 0, t 0, которое не является слабым решением, т. е. не существует вероятностного пространства, на котором процесс x(t) 0, t 0, являлся бы слабым решением. В этом примере множество K совпадает с R, а множество A0 (x) из определения 2. имеет вид [0, 1], x = 0, A0 (x) = 0, x = 0.

Пример 2.6. Уравнение dx(t) = f (x(t))dt + g(x(t))dW (t), 1, x 0, 1, x = 0, g(x) = f (x) = 0, x = 0, 1, x 0, имеет слабое решение (теорема 2.2) с начальным условием x(0) = 0, которое отлично от процесса x(t) 0, t 0.

2.5. Инвариантные множества. Теорема существования жизнеспособных решений стохастических дифференциальных включений В параграфе сформулированы теорема существования и един ственности решений уравнения Стратоновича, теорема о связи уравне ний Стратоновича и Ито, теорема о дифференцируемости решений по начальным условиям, дано описание множества траекторий сильного решения ССДУ с помощью решений некоторого семейства обыкновен ных дифференциальных уравнений, установлены условия, при кото рых решения стохастического дифференциального уравнения принад лежат заданному множеству.

Будем использовать следующие обозначения: C m (Rd, Rr ) = {f :

Rd Rr f m раз непрерывно дифференцируема}, f (x) sup |D|| f (x)|, f = sup + f =f m,Rd, m,K m xK 1 + x xK 1 || m d || f || || = D f=, i, (x1 )1... (xd )d i= D f (x) D|| f (y) || f =f + sup, m+,K m,K xy x,yK,x=y ||=m f =f m+,Rd, m+ C m,0 = {f C m f m,K для любого компакта K Rd }, C m, = {f C m f m+,K для любого компакта K Rd }, m, Cb = {f C m f m+ }.

Пусть [0, T ] отрезок в R+. Говорят, что непрерывная функ ция f : [0, T ] Rd Rr принадлежит классу C m,, если для каждого t отображение f (t) = f (t, ·) принадлежит C m, и T m, для любого компакта K Rd, класс Cb = f (t) m+,K dt T m, m, = {f f (t) Cb, }. Множе из класса C f (t) m+ dt ство всех непрерывных отображений из [0, T ] в C j обозначим Aj.

на Aj · Определим счетное семейство полунорм j,N || F = sup D F (t, x).

j,N t[0,T ], x N || j Это семейство полунорм порождает метрику d(F, G) = 2i ( F G j,N 1) N = на Aj, с которой Aj является полным сепарабельным метрическим пространством.

Пусть на вероятностном пространстве (, F, P ) с потоком Ft зада но (Ft )-броуновское движение W (t) = (W1 (t),..., Wd (t)). Уравнение вида d gi (t, x(t)) dWi (t), dx(t) = f (t, x(t))dt + (2.83) i= где f : [0, T ]R R, gi : [0, T ]R Rd, i = 1,..., d, называется d d d уравнением Стратоновича. Непрерывный (Ft )-согласованный процесс x(t), t [t0, e[, называется решением уравнения Стратоновича (2.83) с начальным условием x0 в момент t0, если с вероятностью 1 выполня ется равенство tn tn d (t n ) = x0 + gi (s, (s)) dWi (s) f (s, (s))ds + i= t0 t для любого n, где n последовательность моментов остановки такая, что n e, n e и lim (t) =, когда e T. Если e T, то e te называется моментом взрыва решения.

Предложение 2.4 [146, р. 110 111]. Пусть функция f принад лежит классу C 1,0, а функции gi, i = 1,..., d, из классов C 2, для некоторого 0. Тогда для каждых t0 [0, T [, x0 Rd, уравнение Стратоновича (2.83) имеет единственное решение x = (t, t0, x0, ), удовлетворяющее начальному условию x(t0 ) = x0. Более того, реше ние x = (t, 0, x0, ) уравнения Стратоновича с начальным условием x(0) = x0 является сильным решением уравнения Ито d dx(t) = (f (t, x(t) + c(t, x(t))))dt + gi (t, x(t))dWi (t), (2.84) i= где c(t, x) = (c1 (t, x))... cd (t, x)), d d 1 gji cj (t, x) = gki (t, x(t))), j = 1,..., d, 2 xk i=1 k= где gji j-й элемент вектора gi. Обратно, сильное решение x = = (t) уравнения Ито d dx(t) = f (t, x(t))dt + gi (t, x(t))dWi (t), x(0) = x0, (2.85) i= является решением уравнения Стратоновича d dx(t) = (f (t, x(t)) c(t, x(t)))dt + gi (t, x(t)) dWi (t), x(0) = x0.

i= Предложение 2.5 [146, p. 177–179]. Пусть отображения f (t, x), gi (t, x), i = 1,..., d, принадлежат соответственно классам k, k+1, Cb, Cb для некоторых k 1, 0, и пусть (t, s, x, ) cи стема решений уравнения (2.83) с начальными условиями x(s) = x, 0 s t T. Тогда существуют модификации решений, обозначаемые снова (t, s, x, ), и существует множество 0 такое, что P (0 ) = 0, и для любого c отображения (t;

·, s, ) : Rd d R k раз дифференцируемы по x для всех s, t и производные непрерывны по s, t, x.

Наряду с уравнением Стратоновича рассмотрим систему обыкно венных дифференциальных уравнений d dx(t) = (f (t, x(t)) + gi (t, x(t))vi (t))dt, (2.86) i= k, где функция f принадлежит классу Cb, а функции gi, i = 1,..., d, k+1, классу Cb для некоторых k 2, 0;

v(t) = (v1 (t),..., vd (t)) кусочно постоянная на [0, T ] функция. Обозначим через V множество всех кусочно постоянных на [0, T ] функций v(t). Пусть v (t, 0, x) решение уравнения (2.86) с начальными условиями x(0) = x, соот ветствующее функции v(t) V. Множество {v (t, 0, x)|v V} яв ляется подмножеством пространства Aj, если j k. Пусть теперь (t, s, x, ) решение уравнения Стратоновича (2.83) с начальным условием x(s) = x. Отображение (t, 0, x, ) принимает зна чения в Aj, если j k. Пусть P j закон распределения случайной величины (t, 0, x, ) в (A, (A )). Носителем меры P j назы j j вают наименьшее замкнутое множество F Aj такое, что P j (F ) = 1.

Предложение 2.6 [146, p. 283–285]. Пусть функция f принад k, k+1, лежит классу Cb, а функции gi, i = 1,..., d, классу Cb для k некоторых k 2, 0. Тогда носитель меры P совпадает с за мыканием множества { (t, 0, x)|v V} в пространстве Ak1.

v Если Z Rd и естественная топология в Rd, тогда топология Z = {A A = B Z, B } называется относительной топологией в Z. Подмножество из Z называется относительно открытым, если оно открыто в топологии Z. Подмножество из Z относительно замкнуто, если его дополнение относительно открыто в Z.

Предложение 2.7 [131]. Пусть множество O Rd+1 откры тое, а K относительно замкнутое в O и f : O Rd непрерывная функция. Тогда условие d(t + h, x + hf (t, x), K) 0 (t, x) K, h h+ где d(x, K) = inf x y, является необходимым и достаточным yK условием того, что для каждой точки (t0, x0 ) K по крайней ме ре одно решение начальной задачи x = f (t, x), x(t0 ) = x0, удовле творяет условию (t, x(t)) K на правом максимальном интервале существования.

Обратной нормалью n к K в точке (t, x) K называют век тор n, удовлетворяющий условию n, (st, y x) 0 для всех (s, y) K.

Предложение 2.8 [131]. Пусть множество O Rd+1 откры тое, а K выпуклое относительно замкнутое в O и f : O Rd непрерывная функция. Тогда условие n, (1, f (t, x)) для любой обратной нормали n к K в каждой точке (t, x) K яв ляется необходимым и достаточным условием того, что для каждой точки (t0, x0 ) K по крайней мере одно решение начальной задачи x = f (t, x), x(t0 ) = x0, удовлетворяет условию (t, x(t)) K на правом максимальном интервале существования.

Множество K Rd+1 называется инвариантным на промежут ке [0, T ] для уравнения Ито (2.85), если для каждой точки (0, x0 ) K любое сильное решение x(t) уравнения Ито (2.85) с начальным усло вием x(0) = x0 удовлетворяет соотношению P {(t, x(t)) K} = 1 на промежутке [0, T ].

Через (t, x), (, t, x) обозначим следующие функции (t, x) = = (j (t, x), 1 j d), где d d 1 gji j (t, x) = fj (t, x) gki (t, x(t))), j = 1,..., d;

2 xk i=1 k= d (, t, x) = (t, x) + i gi (t, x), i= здесь gji j-я компонента векторной функции gi, fj j-я компо нента векторной функции f, i, i = 1,..., d, постоянные.

Предложение 2.9 [132]. Пусть: множество O Rd+1 от крытое;

K относительно замкнутое в O ;

функции f (t, x), gi (t, x), 2, 3, i = 1,..., d, принадлежат соответственно классам Cb, Cb для некоторого 0 ;

выполнено условие d(t + h, x + h(, t, x), K) Rd.

0 (t, x) K, h h+ Тогда множество K является инвариантным на промежутке [0, T ] для уравнения Ито (2.85).

Доказательство. Согласно предложению 2.6, все решения урав нения Стратоновича (2.83) с начальными условиями x(0) = x0, x K, удовлетворяют условию P {(t, x(t)) K} = 1 на промежутке [0, T ] тогда и только тогда, когда решения xv (t) уравнения (2.87) с на чальными условиями x(0) = x0, (0, x0 ) K, соответствующие всевоз можным v V, не покидают K на отрезке [0, T ]. Согласно предложе нию 2.7, последнее утверждение имеет место, если выполнено условие d d(t + h, x + h(f (t, x) + i gi (t, x)), K) i= 0 (2.87) h h+ (t, x) K, i R. Используя предложение 2.6, перейдем от уравне ния Ито к уравнению Стратоновича, а затем воспользуемся доказан ным выше соотношением (2.87), придем к требуемому утверждению.

Предложение 2.10 [132]. Пусть: множество O Rd+1 от крытое;

K выпуклое относительно замкнутое в O ;

функции f (t, x), gi (t, x), i = 1,..., d, принадлежат соответственно классам 2, 3, Cb, Cb для некоторого 0 ;

выполнены условия n, (1, (t, x)) 0, n, (1, gi (t, x)) = 0, i = 1,..., d, (2.88) для каждой обратной нормали n к K в каждой точке (t, x) K.

Тогда множество K является инвариантным на промежутке [0, T ] для уравнения Ито (2.85).

Действительно, из условий (2.88) следует, что 0 Rd.

n, (1, (, t, x)) (2.89) Теперь для доказательства требуемого утверждения надо повторить доказательство предложения 2.9, заменив в нем ссылку на предложе ние 2.7 ссылкой на предложение 2.8, используя при этом установленное выше соотношение (2.89).

Далее рассматривается проблема существования слабых решений стохастического дифференциального включения dx(t) F (t, x(t))dt + G(t, x(t))dW (t), (2.90) удовлетворяющих условию x(t) K(t, x(t)), t [0, T ], (2.91) где F : [0, T ] Rd conv(Rd ), G : [0, T ] Rd conv(Rdd ) – измеримые по Борелю ограниченные отображения, т. е. (F (t, x), 0) + (t, x) [0, T ] Rd, M =const;

K : [0, T ] + (G(t, x), 0) M Rd cl (Rd ) – полунепрерывное сверху многозначное отображение.

Пусть A(t, x) = {b(t, x)b (t, x)|b(t, x) G(t, x)}.

Определение 2.11. Под слабым жизнеспособным решением за дачи (2.90), (2.91) с начальным условием x0 понимаем d-мерный непрерывный случайный процесс x(t), t [0, T ], определенный на некотором вероятностном пространстве (, F, P ) с потоком - ал гебр Ft и такой, что: 1) существует d-мерное (Ft )-броуновское дви жение W (t) с W (0) = 0 п. н.;

2) x(t) согласован с Ft, т. е. для каждого t [0, T ] отображение x(t, ) (Ft )-измеримо;

3) су ществуют измеримые (Ft )-согласованные процессы v : [0, T ] Rd, u : [0, T ] Rdd такие, что для (µ P )-почти всех (t, ) [0, T ], выполняются включения v(t, ) F (t, x(t, )), u(t, )u (t, ) A(t, x(t, ));

4) с вероятностью 1 имеют место ра t t венство x(t) = x0 + 0 v( ) d + 0 u( ) dW ( ) и включение x(t) K(t, x(t)) для всех t [0, T ].

Пусть = [0, 1[;

F = ([0, 1[);

P мера Лебега на [0, 1[;

Ft поток -алгебр в F, W (t) d-мерное (Ft )-броуновское движение с W (0) = 0 п. н.

Теорема существования слабых жизнеспособных решений будет доказана при выполнении следующего основного условия.

Стохастическое касательное условие K). Для любых 0 и (Ft )-момента остановки, удовлетворяющего условиям P { T } = 1, P { T } 0, для любого (F )-измеримого случайного вектора y :

Rd, y() K(, y()) п. н., существует (Ft )-момент остановки 1, P {1 } 0, P {1 min{, T }} = 1, существуют (F )-измеримые случайные элементы v : Rd, u : Rdd такие, что v [[F (, y)] ], uu [[A(, y)] ] п. н. и выполняются включение y + v(1 ) + u(W (1 ) W ()) = z(1 ) K(1, z(1 )) v(t ) + u(W (t) W ()) для почти всех п. н. и неравенство для каждого t [, 1 ].

Определение 2.12. Под -приближенным решением задачи (2.90), (2.91) с начальным условием x0 Rd понимаем пару (x, s), (Ft )-момент остановки, P {s удовлетворяющую условиям: а) s 0} 0, P {s T } = 1;

б) x : [0, T ] Rd непре рывный (Ft )-согласованный процесс;

в) существуют измеримые (Ft ) согласованные процессы : [0, T ] Rd, : [0, T ] Rdd, удовлетворяющие для почти всех включениям (t, ) [[[F (t, x(t, ))] ] ], (t, ) (t, ) [[[A(t, x(t, ))] ] ] для почти всех t [0, s];

г) с вероятностью 1 выполняются включение x(s) t t K(s, x(s)) и равенство x(t) = x0 + 0 ( ) d + 0 ( ) dW ( ) п. н.

для каждого t [0, s];

д) для каждого (Ft )-момента остановки s существует (Ft )-момент остановки, 0, такой, что x() K(, x()) п. н.

Лемма 2.10. Пусть ограниченные измеримые по Борелю много значные отображения F и G и полунепрерывное сверху многознач ное отображение K удовлетворяют стохастическому касательно му условию K). Тогда для любых ]0, 1] и x0 K(0, x0 ) существу ет -приближенное решение (x, T ) задачи (2.90), (2.91) с начальным условием x0.

Доказательство. Возьмем ]0, 1] и x0 K(0, x0 ). Согласно стохастическому касательному условию K), существуют (Ft )-момент остановки s 0, P {s 0} 0, P {s min{, T } = 1, (F0 )-измеримые случайные вектора v : Rd, u : Rdd такие, что v [[F (0, x0 )] ], uu [[A(0, x0 )] ] п. н., x0 + vs + uW (s) = y(s) K(s, y(s)), vt + uW (t) п. н. для каждого t [0, s]. Если по ложить (t, ) = v(), (t, ) = u() для {|s 0}, t [0, s], (t, ) = 0, (t, ) = 0 для остальных (t, ) [0, T ], x(t) = t t = x0 + 0 v d + 0 u dW ( ), то x(s) K(s, x(s)) п. н. Из определе ния множеств [[[F ] ] ], [[[A] ] ] и x(t) следует, что с вероятностью (t, ) [[[F (t, x(t, ))] ] ], (t, ) (t, ) [[[A(t, x(t, ))] ] ] для всех t [0, s]. Таким образом, (x, s) -приближенное решение.

Множество E всех -приближенных решений можно частично упо рядочить следующим образом: скажем, (x1, s1 ) (x2, s2 ), если s1 s п. н., 1 = 2, 1 = 2 для t [0, s1 ], где j, j процессы, соответствующие паре (xj, sj ), j = 1, 2. Покажем, что любая цепь S = {(xi, si ), i I} имеет в E верхнюю грань. Положим = sup{si } iI и выберем последовательность sin, момент остановки. Возь мем (t, ) = in (t, ), (t, ) = in (t, ) для t [0, sin ], (, ) = 0, (, ) = 0, n = in, n = in для t [0, sin ], n = 0, n = 0 для t t t ]sin, ];

x(t) = x0 + 0 ( ) d + 0 ( ) dW ( ), t [0, ]. Ясно, что x(t) = xin (t) для t [0, sin ], sin sin x(sin ) = x0 + in ( ) d + in ( ) dW ( ), (2.92) 0 n (t, ) (t, ), n (t, ) (t, ) для всех, всех t [0, ];

(t, ) [[[F (t, x(t, ))] ] ], (t, ) (t, ) [[[A(t, x(t, ))] ] ] п. н.

для почти всех t [0, ].

Так как E( 0 (, ) n (, ) 2 d ) (M + 1)E( sin ) 0, n то [предложение 1.39] (, ) dW ( ) в L1 (, Rd ).

in (, ) dW ( ) (2.93) 0 Кроме того, sin sin ( ) d in ( ) d = ( ) d п. н. (2.94) 0 0 Из (2.92) (2.94) следует существование подпоследовательности x(sink ), сходящейся п. н. к x(). А так как x(sink ) K(sink, x(sink )) п. н. и отображение K полунепрерывно сверху, то x() K(, x()) п. н. Заменяя последовательность in на подпоследовательность ink в равенстве (2.92) и переходя к пределу при k, убеждаемся, что верхняя грань для цепи S. По лемме Цорна E допускает (x, ) максимальный элемент (, s). Покажем, что s = T п. н. Предпо x ложим, что P { T } 0. Применяя стохастическое касательное s условие K) к x(), найдем (Ft )-момент остановки, s, P { s s} 0, P { s min{, T s}} = 1, (Fs )-измеримые случайные d dd такие, что v [[F (, x())] ], вектора v : R, u : R ss uu [[A(, x())] ] п.н., x() + v( s) + u(W () W ()) = y() ss s s K(, y()) п. н.;

для каждого t [, ] выполняется неравенство s v(t s) + u(W (t) W () s п. н. Если положить x(t) = x() + s t t + s v d + s u dW ( ), t [, ], то x() K(, x()) п. н. Пара s (, ), где x(t) = x(t), t [0, s], x(t) = x(t), t [, ], (t, ) = x s ) = (t, ) для t [0, s], (t, ) = v, (t, ) = u = (t, ), (t, для t ], ], (t, ) = 0, (t, ) = 0 для t ], T ],, процессы s, соответствуют -приближенному решению (, s), принадлежит x E, что противоречит максимальности (, s) в E. Лемма 2.10 доказана.

x Теорема 2.11. Если ограниченные измеримые по Борелю много значные функции F и G и полунепрерывное сверху отображение K удовлетворяют стохастическому касательному условию K), отоб ражения F и A полунепрерывны сверху и A(t, x) conv(R+ Rd ) (t, x) R+ Rd, то для любого x0 K(0, x0 ) существует сла бое жизнеспособное решение задачи (2.90), (2.91) с начальным усло вием x0.

Доказательство. Согласно лемме 2.10, для каждого l = 1/l, l N, и каждого x0 K(0, x0 ) существует l-приближенное решение (xl, T ) задачи (2.90), (2.91) t t t [0, T ];

xl (t) = x0 + l ( ) d + l ( ) dW ( ), (2.95) 0 l (t, ) [[[F (t, xl (t, ))]1/l ]1/l ]1/l, l (t, )l (t, ) [[[A(t, xl (t, ))]1/l ]1/l ]1/l для (µ P )-почти всех (t, ) [0, T ] ;

xl (T ) K(T, xl (T )) п. н. и для любого t, 0 t T, существует (Ft )-момент остановки, 0 t l, такой, что xl () K(, xl ()) п. н.

sup sup E( xl (t) 2 ) C, sup E( xl (t) xl (s) 4 ) Так как l l t[0,T ] C|t s|, C =const, для любых t, s [0, T ], то из предложений 1.31, сл.

1.32, 1.20 следует, что P xl Q, где Q некоторая вероятность на d d xl (C([0, T ], R ), (C([0, T ], R ))), а P – вероятностный закон распре деления для xl : C([0, T ], Rd ) в (C([0, T ], Rd ), (C([0, T ], Rd ))) сл.

(точнее, некоторая подпоследовательность P xlk Q, но для просто ты будем считать, что сама последовательность P xl является слабо сходящейся).

Построим систему множеств S(i1,..., ik ) следующим образом.

(k) Возьмем для каждого k N m, m = 1, 2,..., шары радиу са 2(k+1), покрывающие C([0, T ], Rd ) и удовлетворяющие условиям (k) (k) P xl (m ) = 0, Q(m ) = 0 для каждых l, k, m ( L – грани (k) (k) (k) ца множества L ). Положим для каждого k D1 = 1,..., Dj = (k) (k) (k) (k) (k)... j1 ),..., и S(i1,..., ik ) = Di1... Dik. Пусть = j \( Bl (i1,..., ik ) = { | xl (·, ) S(i1,..., ik )}. Для каждого множе ства S(i1,..., ik ) такого, что S (i1,..., ik ) = ( S внутренность множества S ), выберем точку q(i1,..., ik ) S (i1,..., ik ), если же S (i1,..., ik ) =, S(i1,..., ik ) =, то в качестве q(i1,..., ik ) вы берем точку из S(i1,..., ik ). Определим xk : C([0, T ], Rd ) следу l k ющим образом: xl (·, ) = q(i1,..., ik ), если Bl (i1,..., ik ). Так как xk xl C([0,T ],Rd ) 2k п. н., то xk xl при k +, равномерно l l по t [0, T ] п. н. Для (µ P )-почти всех (t, ) [0, T ] верны k включения l (t, ) [[[[F (t, xk (t, ))]1/l ]1/l ]1/l ]2, l (t, )l (t, ) l k [[[[A(t, xk (t, ))]1/l ]1/l ]1/l ]2.

l Пусть Hl,i1,...,ik (t) = l (t, ) d, Bl (i1,...,ik ) Ll,i1,...,ik (t) = l (t, )l (t, ) d.

Bl (i1,...,ik ) Положим k (t, ) = Hl,i1,...,ik (t)/P (Bl (i1,..., ik )), ak (t, ) = l l = Ll,i1,...,ik (t)/P (Bl (i1,..., ik )), если Bl (i1,..., ik ) и k k P (Bl (i1,..., ik )) 0 и l (t, ) = 0, al (t, ) = 0 для остальных (t, ) [0, T ]. Согласно лемме 12 [102, с. 51], для (µ P ) почти всех (t, ) [0, T ] выполняются включения k (t, ) l 1/l 1/l 2k 1/l 1/l 2k k k k [[[[F (t, xl (t, ))]1/l ] ] ], al (t, ) [[[[A(t, xl (t, ))]1/l ] ] ].


Для фиксированного k упорядочим все (i1,..., ik ) лексико графически. Определим интервалы (i1,..., ik ), l (i1,..., ik ) в [0, 1[ следующим образом (см. доказательство теоремы Скорохода):

|(i1,..., ik )| = Q(S(i1,..., ik )), |l (i1,..., ik )| = P xl (S(i1,..., ik )) ( || – длина интервала );

если (i1,..., ik ) (j1,..., jk ), то интер вал (i1,..., ik ) ( l (i1,..., ik ) ) расположен левее (j1,..., jk ) (соот ветственно l (j1,..., jk ) ). Положим xk (·, ) = q(i1,..., ik ), если n k l (i1,..., ik );

x (·, ) = q(i1,..., ik ), если (i1,..., ik ). Из до казательства теоремы Скорохода следует, что существуют пределы xl (t, ) = lim xk (t, ), x(t, ) = lim xk (t, ), l lim xl (t, ) = x(t, ), k k l равномерные по t [0, T ], п. н., кроме того, P xl = P xl, P x = Q. Построим отображения (t, ) vlk (t, ), (t, ) ak (t, ), vlk (t, ) = l = Ml,i1,...,ik (t)/|l (i1,..., ik )|, ak (t, ) = Ll,i1,...,ik (t)/|n (i1,..., ik )|, ес l ли l (i1,..., ik ), и |l (i1,..., ik )| = 0;

vlk (t, ) = 0, ak (t, ) = l = 0 для остальных (t, ) [0, T ]. Из построения xk, vlk, l 1/l 1/l 2k k k k k al вытекает, что vl (t, ) [[[[F (t, xl (t, ))]1/l ] ] ], al (t, ) k [[[[A(t, xk (t, ))]1/l ]1/l ]1/l ]2 для (µP )-почти всех (t, ) [0, T ], l и для любого t, 0 t T, существует отображение : [0, T ], 0 t l, такое, что xl ( ) K(, xl ( ) п. н.

(2.96) Последовательности vlk, ak, k 1, для каждого фиксированного l l N, согласно теореме Дистеля (предложение 1.13), относительно сла бо компактны соответственно в L1 ([0, T ], Rd ), L1 ([0, T ], Rdd ).

Пусть vl, al их слабые пределы (считаем, что сами последователь ности являются сходящимися). Согласно предложению 1.51, vl (t, ) m=1 co i=m vli (t, ), al (t, ) m=1 co i=m ai (t, ). Отсюда и из l полунепрерывности сверху отображений (t, x) [[[F (t, x)]1/l ]1/l ]1/l, (t, x) [[[A(t, x)]1/l ]1/l ]1/l следует, что для (µ P )-почти всех (t, ) [0, T ] vl (t, x) [[[F (t, xl (t, ))]1/l ]1/l ]1/l, al (t, x) 1/l 1/l [[[A(t, xl (t, ))]1/l ] ]. Аналогично последовательности vl (t, ), d al (t, ) слабо сходятся соответственно в L1 ([0, T ], R ), L1 ([0, T ], Rdd ) к v (t, ), a(t, ) и v (t, ) F (t, x(t, )), a(t, ) A(t, x(t, )) для (µ P )-почти всех (t, ) [0, T ].

Пусть Ft = 0 ((s)| 0 s t + ), где ((s)| 0 s t + ) x x наименьшая -алгебра, относительно которой измеримы все случай v a ные векторы x(s), 0 s t +, и пусть v = E(|Ft ), a = E(|Ft ) измеримые условные математические ожидания процессов v, a отно- сительно потока Ft. Для (µP )-почти всех (t, ) [0, T ] v (t, ) F (t, x(t, )), a(t, ) A(t, x(t, )), a(t, ) A(t, x(t, )) [предложе ние 1.49].

Для любых s, t, 0 s t T, для любой дважды дифферен цируемой функции h : Rd R, ограниченной вместе с частны ми производными до второго порядка включительно, и для любой непрерывной ограниченной s (C([0, T ], Rd ))-измеримой функции z :

C([0, T ], Rd ) R из (2.95), применяя формулу Ито, имеем t 1 2 h(xl ( )) h(xl (t)) h(xl (s)) E tr( l ( )l ( ))+ x s h(xl ( )) + l ( ) d z() x = 0. (2.97) x Используя свойства процессов v, a, v, a, vl, vlk, x, xl, xk, k, ak, l l l k xl, l, l, xl, из (2.97) получаем t 1 2 h(( )) x h((t)) h((s)) E x x tr( a( ))+ x s h(( )) x h(l (t)) h(xl (s))+ + v ( ) d z() x = lim E x x l t 2 h(q(i1,..., ik )) + lim tr( Ll,i1,...,ik ( ))+ x k (i1,...,ik ) s h(q(i1,..., ik )) + Hl,i1,...,ik ( ) d z(l ) x = x (i1,...,ik ) t 1 2 h(xl ( )) h(xl (t)) h(xl (s)) = lim E tr( l ( )l ( ))+ x l s h(xl ( )) + l ( ) d z(xl ) = 0. (2.98) x Так как равенство (2.98) выполняется для любых функций h и z ука занного вида, то процесс t 1 2 h(( )) x h(( )) x h((t)) h((0)) x x tr( a( )) + v ( ) d x 2 x является (Ft )-мартингалом. Отсюда вытекает (предложение 1.37), что на расширении (, F, P ) и Ft пространства (, F, P ) и Ft можно определить d-мерное (Ft )-броуновское движение W (t) такое, что для t t каждого t [0, T ] x(t) x0 0 v ( )d = 0 u( ) dW ( ) п. н., где u(t, ) = a(t, ). Включение x(t) K(t, x(t)) п. н. t [0, T ] выте кает из (2.96) и полунепрерывности сверху отображения K. Теорема 2.11 доказана.

2.6. Теоремы существования решений стохастических дифференциальных уравнений с отражением от границы В этом параграфе рассматривается стохастическое дифференци альное уравнение t t x(t) = x0 + f (, x( )) d + g(, x( )) dW ( ) + K(t), (2.99) 0 в области D с отражением от границы;

здесь x0 D;

x(t) отражен ный процесс на D;

K процесс с ограниченной вариацией, причем вариация |K| возрастает лишь когда x(t) D;

f : R+ Rd Rd и g : R+ Rd Rdd измеримые по Борелю ограниченные функции.

Будем рассматривать области D в Rd, удовлетворяющие услови ям Лионса Шнитмана. Через |K|t обозначаем вариацию отображе ния K : R+ Rd на [0, t].

Определение 2.13. Под слабым решением уравнения (2.99) в об ласти D с отражением от границы понимаем d-мерный непрерыв ный случайный процесс x(t), t R+, определенный на вероятност ном пространстве (, F, P ) с потоком -алгебр Ft, который (Ft ) согласован, x(t) D для любого t R+ п. н., и удовлетворяющий условиям:

1) существует (Ft )-броуновское движение W (t) с W (0) = 0 п. н.;

2) существует непрерывный (Ft )-согласованный процесс K(t), t R+, K(0) = 0 п. н., имеющий ограниченную вариацию и t t |K|t = K(t) = n( ) d|K|, 1D (x( )) d|K|, (2.100) 0 где n( ) Nx( ), если x( ) D;

3) с вероятностью 1 для каждого t R+ выполняется равенство (2.99).

Теорема 2.12. Если отображения f и g измеримы по Борелю и ограничены, компоненты функций f, = gg удовлетворяют усло вию С), то для любой области D Rd, удовлетворяющей условиям Шнитмана, для любого x0 D уравнение (2.99) имеет Лионса слабое решение в области D с отражением от границы.

Доказательство. Представим (t, x) в виде = T T и по ложим n = T n T, где n диагональная матрица с элементами max{ii, 1/n} на диагонали. Для каждого n N справедливо неравен ство det n (n) 0, кроме того, для каждой точки (t, x) R+ Rd имеет место стремление n (t, x) (t, x) при n +. (2.101) Согласно предложению 1.54, для каждого n N для уравнения (2.99) с g = gn = T n существуют вероятностное пространство (n, Fn, Pn ) с потоком Fnt, (Fnt )-броуновский процесс Wn (t) и пара непрерывных (Fnt )-согласованных процессов xn, Kn таких, что п. н. t R+ t t xn (t) = x0 + f (, xn ( )) d + gn (, xn ( )) dWn ( ) + Kn (t), (2.102) 0 xn (t) D п. н., Kn (t) процесс с ограниченной вариацией и такой, t t что Kn (0) = 0 п. н., Knt = 0 n( ) d|Kn |, |Kn |t = 0 1D (xn ( )) d|Kn |, n( ) Nxn ( ), если xn ( ) D.

Из леммы 2.3 [162, с. 289] следует, что последовательность (xn, Kn, |Kn |) плотна в C(R+, R2d+1 ). Отсюда и из теоремы Скоро хода (предложение 1.23) вытекает существование подпоследовательно сти ni, вероятностного пространства (, F, P ) и непрерывных про цессов x, xni, K, Kni, B таких, что xni, Kni, |Kni | сходятся равно мерно на каждом компактном промежутке из R+ соответственно к x, K, B п. н. и P xni = P xni, P Kni = P Kni (для упрощения обозначений сами последовательности xn, Kn, |Kn | считаем сходящимися).

Пусть yn (t) = xn (t) Kn (t), yn (t) = xn (t) Kn (t), y(t) = = x(t) K(t), тогда для любой дважды непрерывно дифференциру емой функции h : Rd R, ограниченной вместе с частными про изводными до второго порядка включительно, для любых s, t R+, s t, для любой непрерывной ограниченной s (C(R+, Rd ))-измеримой функции z : C(R+, Rd ) R, используя формулу Ито, из равенств (2.102) имеем t 1 2 h(xn ( )) h(yn (t)) h(yn (s)) En tr n (, xn ( )) + x s h(xn ( )) + f (, xn ( )) d z(xn ) = 0. (2.103) x Из равенств (2.103), используя такие же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 2.2, имеем t 1 2 h(x( )) h(y(t)) h(y(s)) E tr (, x( )) + x s h(x( )) + f (, x( )) d z(x) = 0, x поэтому процесс h(y(t)) h(y(0)) t 1 2 h(x( )) h(x( )) tr (, x( )) + f (, x( )) d x 2 x является Ft-мартингалом. Используя предложение 1.37, на расши рении (, F, P ) и Ft пространства (, F, P ) с Ft определим (Ft ) броуновское движение W (t) такое, что t R+ t t y(t) y(0) f (, x( )) d = g(, x( )) dW ( ) п. н.

0 Согласно предложению 4 [165, c. 185], процессы x(t), K(t) являются такими, что t R+ x(t) D п. н., K(0) = 0 п. н., K имеет ограни ченную вариацию, удовлетворяет условиям (2.100) и y(t) = x(t)+ K(t).

Таким образом, x – слабое решение уравнения (2.99) в области D с от ражением от границы. Теорема 2.12 доказана.

2.7. Одномерные стохастические дифференциальные уравнения Теоремы существования и единственности для одномерных сто хастических дифференциальных уравнений могут быть усилены. Для уравнений без сноса Г. В. Эндельбергом и В. Шмидтом даже получе ны критерии существования слабых решений. Здесь мы приводим эти результаты без доказательства.

Для измеримой по Борелю функции g : R R опре x R U (x) g 2 (y)dy = делим множества Mg = для любой открытой окрестности U (x) точки x, Ng = {x R g(x) = 0}.

Слабое решение x(t) называется тривиальным, если x(t) = x R t 0, п. н.

Предложение 2.11 [128, 129].

I) Для любой вероятности на (R, (R)) уравнение dx(t) = g(x(t))dW (t) (2.104) имеет слабое решение с начальной вероятностью тогда и только тогда, когда выполняется включение Mg Ng.

II) Для любой вероятности на (R, (R)) уравнение (2.104) имеет нетривиальное слабое решение с начальной вероятностью тогда и только тогда, когда отображение g 2 локально интегриру емо на R.

III) У любого слабого решения уравнения (2.104) отсутствуют взрывы.

IY) Уравнение (2.104) обладает свойством слабой единственно сти, если и только если g 2 (x) 0 x R.

Предложение 2.12.

1. Пусть: функции f : R+ R R и g : R+ R R измеримы по Борелю, ограничены и удовлетворяют условиям |g(t, x) g(t, y)| 1 (|x y|), |f (t, x) f (t, y)| 2 (|x y|) (t, x), (t, y) R+ R, где 1, 2 C(R+, R+ ), 1 (0) = 0, 2 (0) = 0, 1, 2 возрастающие выпуклые вверх функции;


при любом du du =, =.

2 (u) 2 (u) 0 Тогда уравнение dx(t) = f (t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t) (2.105) обладает свойством сильного существования и потраекторной един ственности [170, 171, 93, c. 45].

2. Пусть: функции f и g измеримы по Борелю и имеют линей ный порядок роста;

g удовлетворяет условию Гельдера по x с пока зателем 1/2;

g 2 (t, x) 0 (t, x). Тогда уравнение (2.105) обладает свойством сильного существования и потраекторной единственно сти [23].

3. Пусть:

g(t, x) = g1 (t, x)g2 (t, g3 (x)), (2.106) где g1, g2 и g3 ограниченные и измеримые по Борелю функции;

g и g2 удовлетворяют условию Гельдера |g1 (t, x) g1 (t, y)| + |g2 (t, x) g2 (t, y)| L|x y|1/2, (2.107) где t 0, x, y R, L = const;

inf g2 (t, x) 0;

(2.108) t,x g3 функция локально ограниченной вариации, т. е. для любого N var g3 ;

(2.109) [N,N ] функция f (t, x) имеет вид f (t, x) = f1 (t, x) + g(t, x)f2 (t, x), где f1 и f2 измеримые по Борелю и ограниченные функции, причем f1 удовле творяет условию Липшица по x. Тогда уравнение (2.105) обладает свойством сильного существования и потраекторной единственно сти [93, c. 48].

4. Пусть функции f (t, x) и g(t, x) удовлетворяют условиям (2.106) (2.109) и, кроме того, f непрерывна по x. Тогда уравнение (2.105) обладает свойством сильного существования [80, 93, c. 50].

Следствие 2.4 (из следствия 2.3). Пусть: отображения f :

кусочно непрерывны;

для всех x R lim f (x ) RR и f x x lim f (x );

отображения q, g : R R удовлетворяют ло f (x) x x+ кальному условию Липшица. Тогда включение (2.82), d = 1, обладает свойством сильного существования и потраекторной единственно сти.

Пусть I = ]l, r[, l r +, и пусть f (x), g(x) непрерывно дифференцируемые функции и g 2 (x) 0 x I. При этих условиях уравнение (2.105) обладает свойством сильного существования и потра екторной единственности. Пусть x0 I и xx0 (t) сильное решение уравнения (2.105) с начальным условием x(0) = x0 и пусть e = lim n, n [an, bn ]}, l an bn r, an l, bn r. Введем где n = inf{t|xx0 (t) функцию y x 2f (z) c I.

s(x) = exp( dz)dy, g 2 (z) c c Функция s(x) является дважды непрерывно дифференцируемой, стро го возрастающей на I и 1 2 d2 s(x) ds(x) g (x) + f (x) = 0 на I.

dx 2 dx Предложение 2.13 [8, c. 351–355]. Пусть s(l + 0) = lim s(x), xl s(r 0) = lim s(x).

xr 1. Если s(l + 0) =, s(r 0) =, то P (e = ) = P (lim sup xx0 (t) = r) = P (lim inf xx0 (t) = l) = 1 x0 I.

t t 2. Если s(l + 0), s(r 0) =, то P (lim xx0 (t) = l) = P (sup xx0 (t) r) = 1 x0 I.

te te Аналогичное утверждение справедливо, если поменять местами l и r.

3. Если s(l + 0), s(r 0), то s(r 0) s(x0 ) x0 I.

P (lim xx0 (t) = l) = 1P (lim xx0 (t) = r) = s(r 0) s(l + 0) te te Пример 2.7. Рассмотрим уравнение g(x) = |x|a.

dx(t) = g(x(t))dW (t), Если a 2, тогда функция g 2 не интегрируема в любой окрестности нуля и, следовательно, не существует других слабых решений, кроме тривиального, с начальным условием x0 = 0. Если 0 a 2, тогда g 2 локально интегрируема. Уравнение имеет бесконечное множество различных слабых решений, стартующих из нуля [8, p. 292].

Пример 2.8 [106]. dx(t) = g(x(t))dW (t), x(0) = 0, 1, x = 0, g(x) = 0, x = 0.

Пусть (, F, P ) вероятностное пространство с потоком Ft, W (t) (Ft )-броуновское движение. Процессы x(t) = W (t), x(t) 0, t 0, яв ляются сильными решениями [106]. Уравнение не удовлетворяет усло виям ни потраекторной, ни слабой единственности.

Пример 2.9 [8, c. 157–158]. dx(t) = g(x(t))dW (t), g(x) = 1, если x 0;

g(x) = 1, если x 0;

x(0) = 0.

Пусть B(t) (Ft )-броуновское движение на некотором вероятностном пространстве (, F, P ) с потоком Ft. Положим x(t) = B(t) и W (t) = t = 0 g(B( ))dB( ). Тогда W (t) является (Ft )-броуновским движени ем. Процесс x(t) с броуновским движением W (t) является слабым решением на (, F, P ) с Ft. Процесс x = x(t) вместе с W (t) так же слабое решение, следовательно, уравнение не удовлетворяет усло виям потраекторной единственности слабых решений. По теореме 2. уравнение обладает свойством слабой единственности. Известно, что уравнение не имеет сильных решений [8, c. 158].

ГЛАВА СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВКЛЮЧЕНИЙ 3.1. Зависимость решений стохастических дифференциальных уравнений от начальных условий Исследование свойств решений стохастических дифференциаль ных уравнений начинаем с доказательства теоремы о зависимости мо мента взрыва от начальных условий, затем устанавливаем теоремы о зависимости решений от начальных условий для стохастических диф ференциальных уравнений и включений. В конце параграфа строится полудинамическая система, соответствующая ССДУ.

На множестве [0, ] введем метрику (, 1 ) = (счи 1+ 1+ таем, что 1+ = 1, если = ). Пусть H совокупность всех ве роятностей на ([0, ], ([0, ])), l метрика Леви Прохорова на H, а P d d совокупность всех вероятностей на (R, (R )), d мет рика Леви Прохорова на P. Через P e(x ) обозначим вероятностный закон на ([0, ], ([0, ])) момента взрыва e(x ) слабого решения x уравнения dx(t) = f (t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t) (3.1) с начальной вероятностью P.

Теорема 3.1 (о зависимости момента взрыва от начальных усло вий). Пусть: функции f : R+ Rd Rd и g : R+ Rd Rdd локально ограничены и измеримы по Борелю;

компоненты функций f (t, x) и (t, x) = g(t, x)g (t, x) удовлетворяют условию C). Тогда для любых P и 0 существует 0 такое, что, d(, ), для любого слабого решения x с начальной вероятно стью уравнения (3.1) найдется слабое решение x уравнения (3.1) с начальной вероятностью такое, что l(P e(x ), P e(x ) ).

Доказательство. Предположим противное, т. е. P, 0 0, n N, n, l(, n ) 1/n, существует слабое решение xnn урав нения (3.1) такое, что для любого слабого решения x с начальной вероятностью уравнения (3.1) выполняется l(P e(x ), P e(xnn ) ) 0. (3.2) Покажем, что множество вероятностей n, n 1, относительно компакт но в (P, d). Достаточно показать, что множество n, n 1, плотное.

Возьмем произвольное 0. Существуют компакт K1 в Rd и но мер n0 такие, что n (K1 ) 1 /2 n n0. Множество n, 1 n n0, конечно, следовательно, плотное, т. е. существует такой компакт K2, что n (K2 ) 1/2 n, 1 n n0. Теперь видим, что n (K1 K2 ) n 1, т. е. множество n, n 1, плотное.

m Возьмем последовательность am и определим n = m xm (t) m = inf{t| xnn (t) am }, = xnn (t n ). При каждом n по n m m следовательность n является возрастающей и lim n = e(xnn ).

m+ Отсюда и из неравенства (3.2) вытекает, что m l(P e(x ), P n ) 0 /2 (3.3) для всех достаточно больших m и для всех слабых решений x урав нения (3.1). Пусть k = ((x1, k ), (x2, k ),..., (xm, k ),...), k 1. По 1 2 m k k k лемме 2.7, из последовательности P k, k 1, можно выбрать подпосле довательность P kn последовательности P k (для упрощения обозна чений вместо kn будем писать n ) и можно построить процессы n = = ((zn, 1 ),..., (zn, m ),...) и = ((z 1, 1 ),..., (z m, m ),...) на неко 1 m n n тором вероятностном пространстве (, F, P ) так, что процессы zn (t), m z m (t) являются непрерывными, P n = P n, zn (t) z m (t) равно m n мерно на каждом компакте из R+ п. н. и m m п. н. Кроме того, n n z m (t) = z m+1 (t) при t m m m+1 m,. Пусть e = lim. Определим m процесс z(t) следующим образом: z(t) = z m (t) для t m, m, z(t) = z m (t) для t m, m =, z(t) = 0 при t e. Процесс z(t) удовлетворяет условию lim sup z(t) = для e. Обозначим te m через t+ наименьшую -алгебру, относительно которой измеримы все случайные векторы z m (s), 0 s t +. Пусть Fm,t = m 0 t+, Ft = Fm,t. Тогда процесс z(t)1[0,e) (t) (Ft )-согласован и имеет непре m рывные траектории при t e. По лемме 2.9, процесс z(t) является слабым решением уравнения (3.1). Из приведенных построений следу m m m m m ет P e = lim P, P = lim P n, P n = P n, что противоречит m n неравенству (3.3). Теорема 3.1 доказана.

Теорема 3.2 (о зависимости слабых решений от начальных усло вий). Пусть: отображения f : R+ Rd Rd и g : R+ Rd Rdd локально ограничены и измеримы по Борелю;

компоненты функций f (t, x) и (t, x) = g(t, x)g (t, x) удовлетворяют условию C);

P ;

у всех слабых решений уравнения (3.1) c начальными вероят ностями из некоторой окрестности вероятности отсутству ют взрывы. Тогда для любых t1 0 и 0 существует такое, что для любого P, d(, ), для любого слабого ре шения x с начальной вероятностью уравнения (3.1) найдется слабое решение x на промежутке [0, t1 ] уравнения (3.1) с начальной вероятностью такое, что d(P x (t1 ), P x(t1 ) ).

Доказательство. Предположим противное, т. е. t1 0, 0, n N, n, d(, n ) 1/n, существует слабое решение (xn, n, Fn, Pn, Fnt, Wn (t)), P xn (0) = n, уравнения (3.1) такое, что для любого слабого решения x на промежутке [0, t1 ] уравнения (3.1) с на чальной вероятностью выполняется неравенство d(P x(t1 ), P xn (t1 ) ) 0. (3.4) Покажем, что последовательность xn (t) удовлетворяет условиям пред ложения 1.31. Для любого 0 существует компакт K Rd такой, что (K) 1. Отсюда и из соотношения d(, n ) 1/n вытекает, что lim sup Pn { xn (0) N } = 0. Возьмем произвольное 0. Пусть N n m t xn (t) m. Для каждого фиксированного m N для n = inf любых s, t [0, t1 ] имеем m tn m n ) 4 ) m E( xn (t xn (s n ) c1 E f (, xn ( )) d + m sn m tn c2 |t s|2, +E g(, xn ( )) dWn ( ) m sn c1, c2 =const, следовательно, для любого 0 существует hm, (предложение 1.32) такое, что h, 0 h hm,, m m xn (t n ) xn (s n ) sup Pn max. (3.5) |ts| h, t,s[0,t1 ] n Покажем, что существует m 0 такое, что n m Pn {n t1 }. (3.6) Предположим противное: для любого m 0 существует n(m) N, что m Pn(m) {n(m) t1 }. (3.7) Рассмотрим последовательность слабых решений xn(m) (t). Пусть i n(m) = inf{t| xn(m) (t) i}. Применяя леммы 2.7 2.9 к последова тельности n(m) = ((x1, n(m) ), (x2, n(m) ),..., (xi, n(m) ),...), m = 1, 2,..., 1 2 i n(m) n(m) n(m) построим слабое решение уравнения (3.1) со взрывом, что вытекает из (3.7), но это противоречит условию теоремы.

m Для каждого {n t1 } для t, s [0, t1 ] имеем m m xn (t n ) xn (s n ) = xn (t) xn (s). (3.8) Из соотношений (3.5), (3.6), (3.8) следует, что для любого xn (t) xn (s) lim sup Pn max = 0. (3.9) h0 |ts| h, t,s[0,t1 ] n Согласно предложениям 1.31, 1.20, существует подпоследователь сл.

ность xnk последовательности xn такая, что P xnk, где P xn вероятностный закон для xn, а некоторая вероятность на d d (C([0, t1 ], R ), (C([0, t1 ], R )), (в дальнейшем считаем, что сама после довательность P xn слабо сходится к ). Используя предложение 1.37, построим вероятностное пространство (, F, P ) и определенные на нем случайные величины X, Xn, n 1, со значениями в C([0, t1 ], Rd ) та кие, что п. н. Xn X, P Xn = P xn, P X =.

Используя доказательство леммы 2.9, на расширении (, F, P ) с по током Ft вероятностного пространства (, F, P ) с потоком Ft мож но доказать существование такого (Ft )-броуновского движения W (t) с W (0) = 0 п. н., что (X (t),, F, P, Ft, W (t)) – слабое решение на промежутке [0, t1 ] уравнения (3.1). Существование этого решения про тиворечит неравенству (3.4). Теорема 3.2 доказана.

Через Ht1 (Y ) обозначим множество вероятностных законов P x(t1 ), соответствующих всевозможным слабым решениям уравнения (3.1) с начальными вероятностями Y P, т. е. P x(0) = Y.

Теорема 3.3. Пусть: отображения f и g локально ограниче ны и измеримы по Борелю;

компоненты функций f (t, x) и (t, x) = = g(t, x)g (t, x) удовлетворяют условию C);

Y компактное мно жество в (P, d) ;

у всех слабых решений уравнения (3.1) c начальными вероятностями Y отсутствуют взрывы. Тогда для каждого t1 0 множество Ht1 (Y ) является компактным подмножеством пространства (P, d).

Доказательство. Согласно теореме 2.2, для любой вероятности Y существует слабое решение x уравнения (3.1) с P x(0) =.

Возьмем последовательность P xn Ht1 (Y ). Так как Y компакт ное множество, то, согласно теореме Прохорова (предложение 1.20), lim sup Pn { xn (0) N } = 0. Далее, рассуждая так же, как и при N n доказательстве теоремы 3.2, можно показать, что некоторая подпосле довательность P xnj стремится к вероятности Q P и P x(t1 ) = Q для некоторого слабого решения x уравнения (3.1), что означает компакт ность множества Ht1 (Y ).

Рассмотрим теперь стохастическое дифференциальное включение dx(t) F (t, x(t))dt + G(t, x(t))dW (t). (3.10) Пусть DRdr множество ограниченных измеримых по Борелю полу непрерывных сверху по x многозначных отображений h : R+ Rd conv (Rdr ).

Теорема 3.4. Пусть F DRd1, G DRdd, P. Тогда для любых t1 0 и 0 существует 0 такое, что для любых F DRd1, G DRdd, (F (t, x), F (t, x)), (G (t, x), G(t, x)) (t, x) [0, t1 ]Rd, P, d(, ), для любого слабого решения x с начальной вероятностью включения dx(t) F (t, x(t))dt + G (t, x(t))dW (t) (3.11) найдется слабое решение x на промежутке [0, t1 ] включения (3.10) с начальной вероятностью такое, что d(P x (t1 ), P x(t1 ) ).

Доказательство. Предположим противное, т. е. t1 0, 0 0, n N Fn, Gn, (Fn (t, x), F (t, x)) 1/n, (G(t, x), Gn (t, x)) 1/n (t, x) R+ Rd, n, d(, n ) 1/n, существует слабое решение (xn, x0n, vn, un, n, Fn, Pn, Fnt ) включения (3.11) с F = Fn, G = Gn такое, что для любого слабого решения x на промежутке [0, t1 ] вклю чения (3.10) с начальной вероятностью выполняется d(P x(t1 ), P xn (t1 ) ) 0. (3.12) Для любого 0 существует компакт K Rd такой, что (K) 1. Отсюда и из соотношения d(, n ) 1/n вытекает, что lim sup Pn { xn (0) N } = 0. Так как для любых t, s [0, t1 ] N n sup En ( xn (t) xn (s) 4 ) k|t s|2, k =const, то, согласно предложени n сл.

ям 1.31, 1.32, 1.20, P xnk, где P xn вероятностный закон для xn, некоторая вероятность на (C([0, t1 ], Rd ), (C([0, t1 ], Rd ))), а xnk некоторая подпоследовательность последовательности xn (в дальней шем считаем, что сама последовательность P xn слабо сходится к ).

Построим систему множеств T(i1,..., ik ) следующим образом:

(k) возьмем для каждого k шары m, m = 1, 2,..., радиу са 2(k+1), покрывающие C([0, t1 ], Rd ) и удовлетворяющие усло (k) (k) виям P xn (m ) = 0, (m ) = 0 ( граница множе (k) (k) (k) ства ) для каждых n, k, m, и положим D1 = 1, D2 = (k) (k) (k) (k) (k) (k) = 2 \ 1,..., Dn = n \ (1... n1 ) и T(i1,..., ik ) = (1) (2) (k) = Di1 Di2... Dik. Пусть Hn (i1,..., ik ) = { n | xn (·, ) T(i1,..., ik )}. Для каждого множества T(i1,..., ik ) та кого, что T (i1,..., ik ) =, выберем точку q(i1,..., ik ) внутренность множества T ), если же T (i1,..., ik ) ( T T (i1,..., ik ) =, то в качестве q(i1,..., ik ) берем лю бую точку из T(i1,..., ik ). Положим xk () = q(i1,..., ik ), ес n 2k, то xk ли Hn (i1,..., ik ). Так как (xk, xn ) n n xn при k равномерно на [0, t1 ] п. н. Пусть Hn (i1,...,ik ) Sn (t, )d = Jn,i1,...,ik (t), Hn (i1,...,ik ) vn (t, )d = Mn,i1,...,ik (t), где Sn = un un, и пусть Sn (t, ) = Jn,i1,...,ik (t)/Pn (Hn (i1,..., ik )), k k vn (t, ) = Mn,i1,...,ik (t)/Pn (Hn (i1,..., ik )), если Hn (i1,..., ik ) и Pn (Hn (i1,..., ik )) 0 t [0, t1 ], для остальных (t, ) [0, t1 ] n k k vn (t, ) = 0, Sn (t, ) = 0. Для (µ Pn )-почти всех (t, ) [0, t1 ] n k k vn (t, ) [Fn (t, xk (t, ))]2, sk (t, ) [An (t, xk (t, ))]2.

k n n n Возьмем = [0, 1[, F = ([0, 1[), P мера Лебега на [0, 1[. Для фиксированного k упорядочим все (i1,..., ik ) лексико графически. Определим интервалы (i1,..., ik ), n (i1,..., ik ) ви да [a, b[, b a, в [0, 1[ следующим образом: а) |(i1,..., ik )| = = (T(i1,..., ik )), |n (i1,..., ik )| = P xn (T(i1,..., ik )) ( || – длина ин тервала);

б) если (i1,..., ik ) (j1,..., jk ), то интервал (i1,..., ik ) ( n (i1,..., ik ) ) расположен левее (j1,..., jk ) (соответственно ле вее n (j1,..., jk ) ). Положим xk (·, ) = q(i1,..., ik ) для n k n (i1,..., ik ), x (·, ) = q(i1,..., ik ) для (i1,..., ik ). Из доказательства теоремы Скорохода следует, что существуют преде лы xn (t, ) = lim xk (t, ), x(t, ) = lim xn (t, ) = lim xk (t, ), n n k k xn xn x равномерные на [0, t1 ] п. н., кроме того, P = P, P =. Построим отображения (t, ) vn (t, ), (t, ) sk (t, ) такие, что vn (t, ) = k k n = Mn,i1,...,ik (t)/|n (i1,..., ik )|, Sn (t, ) = Jn,i1,...,ik (t)/|n (i1,..., ik )|, k если n (i1,..., ik ) и |n (i1,..., ik )| 0. Из построения xk, vn, n k k k Sn вытекает, что для (µ P )-почти всех (t, ) [0, t1 ] vn (t, ) k k k [Fn (t, xk (t, ))]2, Sn (t, ) [An (t, xk (t, ))]2. Для каждого n N, n n k k согласно предложению 1.13, последовательности vn, Sn, k 1, относи тельно слабо компактны соответственно в L1 ([0, t1 ], Rd ), L1 ([0, t1 ], Rdd ). Для удобства считаем, что сами последовательности vn, k k Sn, k 1, являются слабо сходящимися, и пусть vn, Sn их слабые k пределы. Из включений vn (t, ) m=1 co k=m vn (t, ), Sn (t, ) k m=1 co k=m Sn (t, ) (предложение 1.51) и полунепрерывности сверху отображений Fn, An следует, что vn (t, ) Fn (t, xn (t, )), Sn (t, ) An (t, xn (t, )) для (µ P )-почти всех (t, ) [0, t1 ].

Последовательности vn, Sn относительно слабо компактны в L1 ([0, t1 ], Rd ), L1 ([0, t1 ], Rdd ). Считаем, что са ми последовательности vn, Sn являются слабо сходящимися, и пусть v, S их слабые пределы. Для каждого r 0 из неравенств (fn (t, x), f (t, x)) 1/n, (gn (t, x), g(t, x)) 1/n, (t, x) [0, t1 ] Rd следует, что Fn (t, x) [F (t, x)]r, An (t, x) [A(t, x)]r для всех достаточно больших n и всех (t, x) [0, t1 ]Rd. Отсюда и из включений v (t, ) co vn (t, ) n=m m= ) co An (t, xn (t, )) m=1 co n=m Fn (t, xn (t, )), S(t, m=1 n=m получаем v (t, ) [F (t, x(t, ))]2r, S(t, ) [A(t, x(t, ))]2r. Восполь зовавшись произвольностью r, имеем v (t, ) F (t, x(t, )), S(t, ) A(t, x(t, )) для (µ P )-почти всех (t, ) ([0, t1 ] ).

Пусть ((s)|0 s t + ) наименьшая -алгебра, относительно x которой измеримы все случайные векторы x(s), 0 s t +, и пусть t = v F 0 ((s)|0 s t + ). Через v = E(|Ft ), S = E(S|Ft ) обо x значим условные математические ожидания для v, S, причем услов ные математические ожидания выбраны таким образом, что процессы v и S измеримы. Для (µ P )-почти всех (t, ) [0, t1 ] имеем (предложение 1.49) v (t, ) F (t, x(t, )), S(t, ) A(t, x(t, )). Для каждых t, s [0, t1 ], s t, для каждой функции h : Rd R, два жды непрерывно дифференцируемой и ограниченной со всеми част ными производными до второго порядка включительно, для каждой непрерывной ограниченной (s (C([0, t1 ], Rd )))-измеримой функции z :

C([0, t1 ], Rd ) R имеем t d 1 h(( )) x S ()() ( ) () () + h((t)) h((s)) E x x 2 x x,= s d h(( )) x v () ( ) + d z() x = x() = = lim lim E (h(n (t)) h(n (s)))z(n ) x x x n k t d 2 h(k ) 1 x n ( ) () n() z(k )d+ ()()k S xn 2 x x,=1 (i1,...,ik ) s n (i1,...,ik ) d xk ()k h(n ) z(k )d + vn xn d = () x =1 (i1,...,ik ) n (i1,...,ik ) = lim lim E(h(n (t)) h(n (s)))z(n ) x x x n k t d 2 h(q(i1,..., ik )) z(q(i1,..., ik ))Jn,i1,...,ik ( )+ x() x(),=1 (i1,...,ik ) s d h(q(i1,..., ik )) z(q(i1,..., ik ))Mn,i1,...,ik ( ) d = + x() =1 i1,...,ik t d 2 h(xn ( )) ()() h(xn (t)) h(xn (s)) = lim En S ( )+ x() x() n n,= s d h(xn ( )) () + Gn ( ) d z(xn ) = 0.

x() = Отсюда следует, что процесс h((t)) h((0)) x x t d d 2 h(( )) 1 x h(( )) x ()() v () ( ) S ( ) () () + d x() 2 x x =,= является (Ft )-мартингалом (здесь S ()(), v (), x() компоненты мат рицы S и векторов v, x ). Тогда, по предложению 1.37, на расшире нии (, F, P ) и Ft пространства (, F, P ) и Ft можно определить (Ft )-броуновское движение W (t) такое, что (, v, u, W ) x слабое ре 1/ шение на промежутке [0, t1 ] включения (3.10), где u = S. Так как сл.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.