авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«В. В. Елисеев Механика деформируемого твёрдого тела Санкт-Петербург 2006 УДК 539.3 Елисеев В. В. Механика деформируемого ...»

-- [ Страница 2 ] --

2.9) V= Vi ei ei, k k= Однако распространённое название «истинная» для логарифмической де формации не очень удачно. Деформация Коши не хуже.

3.3 Поле скоростей Рассмотрим его в пространственном описании (3.

1.2). Градиент скорости разложим на симметричную и антисимметричную части:

vS, v = D + W, D= v A = w E, W w. (3.

3.1) w= D называется тензором скоростей деформаций, w — вектором вихря.

Убедимся, что D соответствует своему названию:

v = Ri Ri, D = Dik Ri Rk, 1 RS Rs + Rs RS · Rk = Dik = Ri · Ri Rk + Ri Rk = 2 = Gik = Cik = r i · C · rk D = F T · C · F 1. (3.

3.2) Здесь использовано не только пространственное, но и материальное опи сание: v = R = t R(r, t), i v = Ri. Компоненты Dik равны скоростям ik — но в разных базисах (!).

деформаций C 3.4 Объёмное расширение и баланс массы В малой области поле v имеет следующую структуру:

v T · dR = D · dR + w dR. (3.

3.3) dv = Второе слагаемое — как в твёрдом теле с угловой скоростью w. Однако во прос об угловой скорости деформируемой частицы не имеет однозначного ответа. Выше введён тензор поворота P (r, t), ему соответствует угловая скорость (2. гл. 2) — но она не равна w:

2.3, F = P · U = Ri r i, F = F + P · U = Ri r i Ri = F · r i = Ri + P · U · r i 1 w = Ri Ri = + Ri P · U · r i. (3.

3.4) 2 Подчёркнутое слагаемое обращается в нуль при постоянной деформации.

Рассмотрим ускорение при пространственном описании:

v T 2w E v = t v + v · v;

v = v = t v + v /2 + 2w v.

(3.

3.5) Это равенство используется в гидромеханике при выводе уравнения Бер нулли. Применив к обеим частям операцию ( ), получим v = t w + (w v), (3.

3.6) что важно в случае идеальной жидкости.

3.4 Объёмное расширение и баланс массы При линейном преобразовании (3. соотношение объёмов таково 2.1) (3.

4.1) dV = J dV, J = det F.

Масса при этом сохраняется:

J = — (3.

4.2) dm = dV = dV алгебраическое уравнение баланса массы.

Основы механики деформируемого тела Едва ли не во всех книгах по механике сплошной среды приводится следующее дифференциальное уравнение + ·v = 0 t + · (v) = 0. (3.

4.3) Оно получается дифференцированием (3.

4.2):

J = JF 1 ·· F = Jr i Ri ·· Rk r k = JRi · Ri = J · v. (3.

4.4) J + J = 0;

Использовано правило дифференцирования детерминанта (1.

2.28, гл. 1).

К (3. ведут и другие рассуждения. В объёме V масса 4.3) m= dV ;

V материальный объём V движется, и меняется под интегралом. Имеем n · v dV + · (v)] dV = 0 (3.

m= t dV = [t + 4.3).

V V V Отметим важное общее правило дифференцирования интегралов по ма териальному объёму:

(3.

4.5) dV = dV.

V V Для доказательства достаточно перейти к начальному объёму по правилу (3. В однородной среде (r) = const, и в (3. вместо можно взять J 1.

4.2). 4.5) 3.5 Напряжения и баланс импульса Внешние силы, действующие на тело, бывают объёмные и поверхностные.

На малый материальный объём действует сила f dV или 1 f dm — тогда 1 f называется массовой силой. Примеры: сила тяжести, переносные и кориолисовы силы в неинерциальных системах, сила Лоренца в среде с зарядами и токами.

На поверхности на малый элемент dO действует сила p dO. В гидро статике p = pn (n — орт внешней нормали). На шероховатой поверх ности действует сила трения в касательной плоскости. Реакции связи на закреплённой поверхности — тоже поверхностные силы.

3.5 Напряжения и баланс импульса Каждая частица тела вообще-то действует на все другие частицы — но это допускается лишь в особой нелокальной теории. Обычно же счи тают внутренние силы поверхностными: на элементы n dO действует (со стороны n) сила n dO, где n есть вектор напряжения на площадке с нормалью n.

В каждой точке имеем бесконечно много напряжений, но они все со держатся в знаменитой формуле Коши n = n·, (3.

5.1) где — тензор напряжений. Простой, но не самый убедительный вывод (3. основан на балансе сил для малого тетраэдра, три грани которого 5.1) параллельны координатным плоскостям xi = const, а наклонная четвертая грань имеет нормаль n:

(3.

5.2) i dOi = n dO (суммировать!). Здесь введены векторы напряжений i на площадках с нормалями ei и площадями dOi ;

учтено правило действия и противодей ствия n = n (3.

5.3) и отброшены малые высшего порядка. Учитывая геометрические соотно шения n dO = 0 ei dOi = n dO dOi = n · ei dO, V из (3. получаем (3. с представлением тензора напряжений 5.2) 5.1) (3.

5.4) = ei i.

Компоненты тензора: ik = ei · · ek = i · ek (первый индекс — «но мер» площадки, второй — направление силы). Диагональные компоненты называются нормальными напряжениями, недиагональные — касательны ми. При x1 = x, x2 = y, x3 = z обозначают 11 = x, 12 = xy и т. д.

Рассмотрим баланс импульса для материального объёма V :

n · dO. (3.

5.5) v dV = f dV + V V V Основы механики деформируемого тела Используя правило дифференцирования (3.4.5), теорему о дивергенции и учитывая произвольность объёма, придём к локальному соотношению · + f = v.

(3.

5.6) Напомним: ускорение при пространственном описании имеет непростой вид (3.

3.5). Мы ещё вернёмся к (3. и (3.

5.1) 5.5), рассматривая вариационную постановку.

3.6 Баланс моментов и его следствия Скорость изменения момента импульса материального объёма равна сум марному моменту внешних сил:

R v dV = R f dV + R (n · ) dO. (3.

6.1) V V V Дивергенция для последнего слагаемого · R = · R, (3.

6.2) так что локальная форма (3. такова 6.1) R v + f + · + = 0.

(3.

6.3) Учитывая (3. оставляем лишь подчёркнутое. Векторный инвариант ра 5.6), вен нулю, тензор напряжений симметричен.

Первым следствием симметрии является представление — (3.

6.4) = i ei ei существуют три взаимно перпендикулярных площадки без касательных напряжений. Собственные значения i называются главными, ei — орты главных осей. Полагают 1 2 3.

Второе следствие — круговая диаграмма Мора (рис. 6). Вектор каса тельного напряжения tn = n n n. Точка с координатами (n, tn ) долж на лежать в заштрихованной области между тремя полуокружностями. Из вестное остроумное доказательство этого связано с равенствами n2 = 1, i n2, n· n = n · · n = n = i i n · 2 · n = t2 + n = i n2.

(3.

6.5) n i 3.7 Виртуальная работа Формально это система линейных алгебраических уравнений для n2 (с i определителем Вандермонда). Неравенства n2 0 задают области внутри i или вне кругов Мора.

Заметим: максимум n равен 1, минимум — 3, а максимум tn равен tn (1 3 )/2.

С учётом симметрии имеем шесть компонент. Трёх уравнений баланса (3. явно недостаточно для расчёта — 5.6) задача является «статически неопреде- s1 sn s3 s лимой» и не может быть решена без рас смотрения деформаций. Рис. 3.7 Виртуальная работа Методами аналитической механики можно вывести почти все основные соотношения. Для материального объёма имеем следующую очевидную формулировку принципа виртуальной работы (f v) · R + Ai dV + p · R dO = 0, (3.

7.1) V V где Ai — работа внутренних сил на единицу объёма. На виртуальных перемещениях без деформации R = const + R будет Ai = 0. При этом из (3. следуют уравнения сил моментов для всего тела. Но можно 7.1) рассуждать более изощрённо:

RS = Ai = 0 при (3.

7.2) и рассматривать (3. как задачу с подчёркнутым ограничением. По из 7.1) вестному правилу вводим симметричный тензор множителей Лагранжа :

(f v) · R ·· RS dV + p · R dO = V V f v + · · R dV + p n · · R dO = 0.

(3.

7.3) V По основной лемме вариационного исчисления отсюда следуют урав нение импульса (3. и формула Коши (3.

5.6) 5.1).

Основы механики деформируемого тела Заметим, что связанная с моментами симметрия у нас явилась след ствием симметрии тензорного ограничения (3.

7.2).

Далее можно вернуться к (3. с равенством p = n ·. Результатом 7.1) будет Ai = ·· RS = ··F T · C · F 1 = F 1 · · F T ··C (3.

7.4) если учесть (3. Для тела с произвольными механическими свойствами 3.2).

развить успех невозможно.

Исключением является упругое тело — в нём внутренние силы потен циальны, Ai = J 1, (3.

7.5) где — энергия деформации на единицу объёма (в начальном состоянии).

Из (3. и (3. следует закон состояния нелинейно упругого тела 7.4) 7.5) = J 1 F · ·FT — (3.

7.6) C важнейшее, давно известное и остающееся малоизвестным соотношение.

Осталось задать потенциал (C) — это отдельный сложный вопрос.

3.8 Законы термодинамики До сих пор рассматривались чисто механические явления. Но известно, что деформация тела связана с тепловыми эффектами. При быстром сжа тии среда нагревается, неравномерный нагрев вызывает внутренние напря жения. Теоретической основой описания таких явлений служат два закона термодинамики.

Знаменитый первый закон: скорость подвода тепла к системе плюс мощность внешних сил равны скорости изменения энергии системы — b dV n · h dO + f · v dV + n · · v dO = V V V V e + v2 (3.

8.1) = dV.

V Скорость подвода тепла в единицу объёма b и вектор теплового потока h встречались в 1.3. Величина e — некая внутренняя энергия на единицу 3.8 Законы термодинамики массы — остальное в (3. очевидно. Применяя правило (3. и теорему о 8.1) 4.5) дивергенции, а также учитывая произвольность объёма V, придём к ло кальному соотношению · · v + ··D · h + b e = 0. (3.

8.2) f+ v Неподчёркнутое слагаемое исчезает по закону импульса.

Важно отметить, что (3. отличается от уравнения теплопроводности 8.2) из 1.3 слагаемым ··D. Отличие пропадает при отсутствии деформации.

Второй закон термодинамики на элементарном уровне излагается так. Подведённое к телу тепло dQ не является полным дифференциалом.

Таковым будет dQ/T = dS, где T — абсолютная температура, S — энтро пия. В обратимых (медленных) процессах имеем равенство, в необратимых dS dQ/T.

Для деформируемого тела с неоднородным полем температуры эти со ображения формализуются в неравенстве Клаузиуса — Дюгема b/T dV n · h/T dO, (3.

8.3) s dV V V V где s — энтропия на единицу массы. Эквивалентное локальное соотноше ние T /T 2.

(b · h)/T + h · (3.

8.4) s Некоторые авторы отбрасывают последнее слагаемое и ставят равен ство. Это не очень хорошо — теплопроводность необратима и h · T 0.

В записи обоих законов присутствует комбинация b ·h. Она исчезает в «приведённом диссипативном неравенстве»

··D h · (e T s). (3.

8.5) T /T Часто вводят «свободную энергию»:

a e T s, e T s = a + sT. (3.

8.6) Чтобы законы эффективно работали в математической модели среды, необходимо задать конкретный вид функций состояния e и s.

Основы механики деформируемого тела 3.9 Определяющие уравнения Они несут информацию о свойствах среды, связи напряжений с деформа цией и температурой, о представлении h, e и s. Без них неполна система уравнений термомеханики деформируемого тела.

Определяющие уравнения не могут быть установлены без эксперимен тов. Но до постановки опытов необходимы некоторые представления — которые требуется лишь уточнить (например, найти численные значения параметров).

Определяющие уравнения не должны противоречить основным зако нам — и прежде всего диссипативному неравенству (3. Первый и второй 8.5).

законы по отдельности ещё не накладывают ограничений, поскольку со держат внешний фактор b.

В литературе представлены и другие априорные требования к опре деляющий уравнениям — принципы детерминизма, локальности и матери альной индифферентности. Состояние в данный момент определяется всей историей изменения конфигурации и температуры. Но достаточно знать эту историю лишь в малой окрестности рассматриваемой точки. Не столь очевиден принцип индифферентности — остановимся на нём. Наряду с движением (3. рассматривается и другое, отличающиеся лишь трансля 1.1) цией и поворотом:

R(r, t) R(r 0, t) = Q(t) · [R(r, t) R(r 0, t)], (3.

9.1) R(r 0, t) = R(r 0, t) + u(t).

Тензор поворота Q, полюс r 0 и вектор трансляции u произвольны.

Новому «Q-движению» соответствуют и новые скорости, деформации, на пряжения и пр. В частности, имеем Ri = Q · Ri, F = Q · F, G = G, U = U, P = Q · P, C = C. (3.

9.2) Принцип индифферентности напряжений состоит в том, что = Q · · QT. (3.

9.3) Закон состояния упругого тела (3. этому удовлетворяет.

7.6) Диссипативное неравенство (3. является не просто ограничением;

для 8.5) термоупругой среды из него можно вывести закон состояния. В этом слу чае свободная энергия и энтропия — функции от C и T (а не функциона лы). Имеем a a F 1 · · F T ·· C + s T h· (3.

9.4) T /T 0.

C T 3.10 Переход к отсчётной конфигурации Левая часть — линейная функция скоростей C и T, поэтому a a ·FT, = F · s= h· (3.

9.5), T 0.

C T Выражение отличается от (3. лишь тем, что место энергии дефор 7.6) мации занимает свободная энергия.

Рассмотрим ещё пример — идеальную жидкость с уравнениями состо яния = pE, a = a(, T ), s = s(, T ). (3.

9.6) Используя (3. будем иметь 4.3), ··D = p · v = p/, p a a + s T h· (3.

9.7) T /T 0.

s T Подчёркнутые выражения равны нулю.

3.10 Переход к отсчётной конфигурации Закон движения (3. задан в отсчётной конфигурации, в ней же опреде 1.1) ляются F и C — с оператором. Но баланс импульса рассматривается в актуальной конфигурации с оператором.

Переход к геометрии начального состояния основан на формуле Нансо на, связывающей векторы материальной площадки до и после деформации:

n dO = J(n dO) · F 1. (3.

10.1) Для доказательства достаточно рассмотреть материальный параллелограмм с вектором (n dO) = dr d = r i r k dq i dk ;

r q после деформации: dR dR = Ri Rk dq i dq k. Но Ri Rk = Jr i r k · F Ri Rk · Rs = Jr i r k · r s (3.

10.1).

Для внутренних сил теперь имеем S JF 1 · n dO · = (n dO) · S, — (3.

10.2) Основы механики деформируемого тела это тензор напряжений Пиола. Баланс сил представляется в виде (n dO) · S = 0 · S + Jf = 0. (3.

10.3) Jf dV + V V Аналогично можно преобразовать к начальной геометрии и другие уравнения баланса. В упругом теле из (3. и (3.

7.6) 10.3) следует ·FT — (3.

10.4) S= C формально проще.

3.11 Линеаризация уравнений Термин «деформируемое твёрдое тело» содержит противоречие. Поэтому введено понятие абсолютно твёрдого тела. Но нельзя понять, как тело дер жит нагрузку, не рассматривая деформацию — от неё возникают внутрен ние силы.

Конструкционные материалы «справляются с нагрузкой» уже при ма лых деформациях. Энергию упругой деформации при этом можно считать квадратичной формой. Однако для линейности задачи необходима ещё ма лость поворотов. В тонких телах (стержни, пластины, оболочки) при ма лых локальных деформациях изменение формы может быть очень значи тельным, задача нелинейна из-за больших поворотов.

Геометрически линейными называются задачи, в которых перемещения малы вместе со своими производными:

0. (3.

11.1) R = r + u, Формальный малый параметр полезен при линеаризации, но затем прирав нивается единице. Имеем + O(), C = + O(2 ), P = E + E + O(2 ), u.

= (3.

11.2) Можно отождествить и, и и рассматривать задачу в геометрии начального состояния. Основные соотношения примут вид uS, · h = e, Ai = ··. (3.

· + f =, ·· + b 11.3) = u 3.11 Линеаризация уравнений Определяющие уравнения замыкают систему;

для упругого тела Ai =, (3.

11.4) = = C··, где 4 C — тензор жесткостей. Квадратичная форма от шести компонент имеет 21 коэффициент — столько независимых компонент у 4 C.

Наряду с геометрической нелинейностью выделяют «физическую» — когда связь напряжений и деформаций нелинейна. Так будет, например, при пластической деформации. Закон Гука (3.

11.4) линеен и геометрически, и физически.

Линеаризация возможна не только вблизи начального состояния. В за дачах устойчивости используются «уравнения в вариациях» для малых от клонений:

y = f (c, y) y = y f y, где вариация y бесконечно мала. Рассмотрим уравнения в вариациях для нелинейно упругого тела. Из (3.

10.3) и (3.

10.4) имеем 2 = T T · S + (Jf ) = 0, 2 ··C · F + C · F, S C C = F T · · F, RT · F, RS.

(3.

11.5) F= Заметим, что Jf f 0 есть сила на единицу начального объёма.

Может быть полезно в проварьированных уравнениях перейти к акту альной конфигурации — с помощью следующих соотношений:

J 1 f 0 dV, · S + f 0 dV = n · S dO + 0= V V O (n dO) = J 1 n dO · F J 1 F · S;

n · S dO = n · dO, · + J 1 f 0 = 0. (3.

11.6) Введённый здесь тензор связан c S как с S. Учитывая вид S из (3.

11.5) и выражение (3. получим 7.6), = J 1 F · ··C · F T + · C = FT · RS · F. (3.

11.7) R C Основы механики деформируемого тела Это линейная тензорная функция от R.

Уравнения в вариациях можно использовать для решения нелинейных задач «шаг за шагом». Мы не пропустим при этом возможную бифуркацию равновесия.

Библиография Основы механики деформируемого тела изложены во многих книгах — Ю. Н. Работнова [81], А. И. Лурье [53] и других авторов [86, 34, 32]. Свое образный, но очень интересный аксиоматический подход представлен К. Трусделлом [103]. Автор рекомендует также книги В. Л. Бердичевского [5] и Я. Г. Пановко [74].

Глава Классическая линейная упругость 4.1 Полная система уравнений Она включает в себя три группы соотношений: баланс силовых факторов, выражения деформаций через перемещения, закон состояния — uS, = = 4C··.

· + f =, (4.

1.1) u = В компонентах 15 уравнений и столько же неизвестных.

Граничные условия разнообразны. Могут быть заданы перемещения u|O = u0 (первого рода). При заданных нагрузках n · O = p — вто рого рода. И есть много вариантов смешанных условий с обязательным правилом: по заданным величинам нельзя вычислить работу. Если, напри мер, задано ux, то нельзя задавать x (но можно xy и xz ). Безошибочный вариант — естественные граничные условия в вариационной постановке.

Сразу отметим, что смешанные задачи — самые сложные, причём не только из-за трудности построения решений, но и объективно, от возника ющих эффектов. Если, например, на части O1 поверхности заданы условия первого рода, а на остальной части O2 — второго, то на разделяющей линии может возникнуть сингулярность с неограниченным ростом напряжений.

В динамике (4. требует начальных условий. Как всегда в механике, 1.1) задаются начальные положения и скорости.

Важнейшее свойство (4. — линейность. Следовательно, справедливо 1.1) правило суперпозиции: сумме воздействий соответствует сумма «парциаль ных» решений.

Остановимся на законе Гука, связывающем и. Обычно материал обладает некой внутренней симметрией, и тогда число «упругих констант»

Классическая линейная упругость Cijkl становится меньше 21. Для изотропного материала имеем лишь две константы:

tr, (4.

1.2) = E + 2µ, = + µ ··.

В самом деле, энергия изотропного материала может зависеть лишь от инвариантов ;

будучи квадратичной формой, она должна иметь вид (4.

1.2).

Постоянные и µ носят имя Ляме, причём µ называется модулем сдвига.

Закон Гука записывается в виде = 2µ + E 1 1 tr (4.

1.3) = E, 2µ 1+ где — коэффициент Пуассона. В соотношении первых инвариантов K = E (1 2), (4.

1.4) = K, E = 2µ (1 + ), K называется объёмным модулем, а E — модулем Юнга. Смысл E и ясен из математического эксперимента:

[ii (jj + kk)]. (4.

1.5) = ii : = E Энергия деформации должна быть положительной. Ряд авторов свя зывает это с минимумом свободной энергии в положении термодинамиче ского равновесия. В механике это принимается как очевидное «дополни тельное неравенство». При этом (4.

1.6) E 0, µ 0, K 0, 1/2.

В предельном случае 1/2 имеем K, 0 — несжимаемый материал.

4.2 Общие теоремы статики Тождество Клапейрона. Формально вычисленная работа внешних сил равна удвоенной энергии деформации:

f · u dV + p · u dO = 2 (4.

2.1) dV.

V O V 4.2 Общие теоремы статики Для доказательства достаточно положить p = n· и использовать теорему о дивергенции с законом баланса сил.

При отсутствии нагрузки dV = 0 = 0 = 0 = 0, u = u0 + 0 r.

V (4.

2.2) Здесь мы опираемся на положительность.

Единственность решения легко доказывается от противного. Допу стив наличие двух решений u1,2, получим для разностей u = u1 u2, = 1 2,... однородную постановку — с нулевыми нагрузками. Из (4.

2.2) следует = 0, = 0. При закреплённой границе будет u = 0.

Эта, доказанная Кирхгофом, теорема не распространяется на случай неодносвязного тела — в котором существуют трубчатые полости, замкну тые или выходящие на поверхность. В таком теле возможно напряжён ное состояние без внешних силовых воздействий, если «создана дислока ция» — об этом ниже.

В нелинейной статике единственность теряется: прямой стержень при большой сжимающей продольной силе может иметь несколько равновес ных форм.

Теорема взаимности работ. Работа сил первого состояния на переме щениях второго A12 равна A21 :

A12 f 1 · u2 dV + p1 · u2 dO = A21. (4.

2.3) V O Преобразуя поверхностный интеграл, слева получим 1··2 dV. Это рав но правой части благодаря закону Гука.

Теорема взаимности очень эффективна, причём не только в статике — в динамике объёмная сила f.

u Принцип виртуальной работы. Уже отмечалось, что это едва ли не самая общая форма постановки задачи статики:

(f · u ) dV + p · u dO = 0. (4.

2.4) V O Действительно, ·· = ·· = · · u · · u;

(4.

2.5) = Классическая линейная упругость после применения теоремы о дивергенции получим уравнение сил в объё ме и естественное граничное условие p = n ·.

4.3 Уравнения в перемещениях Из полной системы (4. следует 1.1) · 4C·· u + f = (4.

3.1) u (симметрирование u излишне из-за тройной симметрии Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cklij ).

Для однородного тела из изотропного материала в статике 1 · u + µu + f = 0 f = 0. (4.

3.2) ( + µ) + u + 1 2 µ Рассмотрим последнее уравнение. Частное решение неоднородного урав нения легко находится при потенциальных нагрузках:

1 f = W, (4.

3.3) u=, = W.

2µ (1 ) Общее решение однородного уравнения Папкович и Нейбер нашли в сле дующем виде u = 4 (1 ) B (r · B + B0 ), (4.

3.4) B = 0, B0 = 0.

В компонентах здесь четыре гармонических функции, обычно добавляют какие-либо соотношения между ними.

Поясним вывод (4. Сначала полагаем 3.4).

· B +, [ · B + 2 (1 ) ] = 0.

u=B+ = Затем смотрим = Cr · B, = C (r · B + 2ei · i B + r · B) = 2C · B, C = 1 4(1 ), и далее приходим к (4.

3.4).

В качестве примера рассмотрим решения со сферической симметрией B = r, B0 = 0 u = r;

1 1 (4.

3.5) B = 0, B0 = u = 2 er = 3 r.

r r r 4.4 Определение перемещений по деформациям. Уравнения совместности Преимущество (4. — в хорошей изученности уравнения Лапласа, в до 3.4) ступности большого набора гармонических функций.

Однако изощрённые аналитические методы решения уравнений в пере мещениях теряют актуальность, уступая численным процедурам. Для диф ференциального вариационного принципа (4. уравнениями Эйлера явля 2.4) ются (4. Огромную популярность приобрел метод Ритца с финитными 3.2).

координатными функциями в форме МКЭ — метода конечных элементов.

4.4 Определение перемещений по деформациям. Уравнения совместности Для вектора малого поворота имеем T = u,, · dr. (4.

4.1) = = 0 + Интеграл не должен зависеть от пути, поэтому T inc =0 — (4.

4.2) это очень важное уравнение совместности деформаций. Оно является не обходимым следствием определения через u:

1 T T = ( u) = (4.

4.2).

Зная и, можно найти перемещения:

du = · dr + dr, d (r r 1 ) = (r r 1 ) 1 ( d (r r 1 )) = 0 (r 1 r 0 ) + (r r 1 ) · dr, 0 u1 = u0 + 0 (r 1 r 0 ) + + (r r 1 ) · dr — (4.

4.3) формулы Чезаро.

Классическая линейная упругость Интеграл в (4. не должен зависеть от пути между точками 0 и 1.

4.3) Применив теорему Стокса (в равенстве = 0), придём после некоторых преобразований опять к (4.

4.2).

Записав (4. в компонентах, обнаружим симметрию «тензора несов 4.2) местности» inc. С помощью равенства (1. гл. 1 можно преобразовать 1.5) (4. к виду 4.2) S · (4.

4.4) + =2.

Немного странно, что шесть уравнений для шести деформаций не опре деляют их и являются чисто геометрическим законом. Распространено по яснение: в начальном состоянии тело состоит из малых кубиков, деформи рующихся в косоугольные параллелепипеды;

чтобы не было пустот, дефор мации кубиков должны быть согласованы. Но математические выкладки, производимые со смыслом, более убедительны.

Установив необходимость уравнений совместности, рассмотрим вопрос о достаточности. Оказывается, они обеспечивают однозначность переме щений (и поворотов) в односвязном теле. Отсутствие сквозных или за мкнутых трубчатых полостей позволяет на замкнутый контур натянуть по верхность без выхода из тела, применить теорему Стокса и убедиться в однозначности.

Иная ситуация в неодносвязном теле. Могут быть не равны нулю инте гралы вокруг трубчатой полости · dr = a, +r · dr = b. (4.

4.5) Тогда из (4. и (4. следует 4.1) 4.3) du = b + a r — (4.

4.6) d = a, формулы Вейнгартена. Решения с отличными от нуля a и b называют ся дислокационными. В них теряется однозначность перемещений и пово ротов (аналогия с ветвлением функций комплексного переменного). Для практического создания дислокации можно сделать разрез, сдвинуть его берега в соответствии с (4. и затем восстановить сплошность. Получим 4.6) напряжённое состояние без внешних силовых воздействий, причём место разреза обнаружить невозможно. Таковы монтажные напряжения, возни кающие в конструкции при сборке из частей.

4.5 Сосредоточенная сила в неограниченной среде Уравнения совместности можно переписать в напряжениях, если выра зить деформации по закону Гука (4. В (4. имеем 1.3). 4.4) 1 1 · = f+, =, 2µ 1+ 2µ(1 + ) 1 = 2 f S E + 1+ 1+ 1+ 1+ = · f, 1 + 2 fS + · f E = 0. (4.

4.7) + 1+ Это — уравнения Бельтрами — Мичелла.

В компонентах для шести напряжений имеем девять (с балансом сил) уравнений. Но система не переопределена. В некотором смысле баланс сил следует из (4. применив операцию ( · ), получим 4.7);

· + f = 0. (4.

4.8) Если уравнение баланса выполнено на границе, то оно будет выполнено и в объёме (единственность решения задачи Дирихле).

Уравнения в напряжениях при внешней сложности часто позволяют быстрее найти решение, чем уравнения в перемещениях.

4.5 Сосредоточенная сила в неограниченной среде В точке r = 0 приложена сила F. При r 0 напряжения должны иметь особенность O r2, что следует из условия равновесия n · dO + F = 0 (4.

5.1) сферы радиусом r с нормалью n = r/r. По закону Гука такого же порядка будут и деформации, а тогда перемещения u = O r1.

Найденное Кельвиным и Сомильяной решение имеет вид 1 u(r) = K(r) · F, (3 4) E + 2 rr. (4.

5.2) K= 16µ(1 )r r Классическая линейная упругость Для вывода этой формулы используем решение Папковича — Нейбера:

A A F, B0 = 0 u = (3 4)F + 2 rr · F, B= r r r A u = 3 E r · F + F r (3 4) rF 2 rrr · F, r r 2µA = 3 (1 2) E r · F rF F r 2 rrr · F. (4.

5.3) r r Осталось определить константу A из условия (4. При интегрировании 5.1).

выносится множитель r3 = const и применяется теорема о дивергенции.

Зная тензор K(r), можно строить решение для любой нагрузки K (r r 1 ) · f (r 1 ) dV1. (4.

5.4) u(r) = Рассмотрим систему сосредоточенных сил F i в точках r i 0. Имеем K (r r i ) · F i = u(r) = = K(r) · Fi F i r i ·· K(r) +... (4.

5.5) Каждое следующее слагаемое убывает быстрее предыдущих. Первое сла гаемое определяется главным вектором F i. Второе — «нагрузочным F i r i S не менее важна, чем тензором» F i r i ;

симметричная часть связанная с главным моментом антисимметричная. Поэтому несправедли во распространённое утверждение, что «вдали от места нагрузки важны лишь главные вектор и момент». Принцип Сен-Венана в такой формули ровке справедлив для стержней.

Вне области нагрузки (4. удовлетворяет однородным уравнениям в 5.4) перемещениях. Рассматривая различные локальные нагрузки, можно полу чать решения большой общности — на этом основаны методы потенциала в теории упругости.

4.6 Вариационные принципы Наиболее важным является принцип минимума потенциальной энергии системы: функционал f · u dV p · u dO Э(u) = (4.

6.1) u|O1 = u V O 4.6 Вариационные принципы принимает наименьшее значение на истинных перемещениях. Уравнени ями Эйлера оказываются (4. естественными граничными условиями — 3.1), n · O2 = p. Вариационное уравнение Э = 0 выражает принцип вирту альной работы (4. Вид второй вариации 2.4).

2 Э = ·· dV = 2 (4.

6.2) dV означает минимум.

Принцип можно обосновать и без варьирования:

Э(u ) Э(u) = ( f · (u u)) dV n · · (u u) dO = V O ·· dV 0. (4.

6.3) = V Преобразуя поверхностный интеграл, учли равенства n · = p, O (u u)|O1 = 0.

Отметим, что по теореме Клапейрона (4.

2.1) Эmin = (4.

6.4) dV.

V В принципе минимума дополнительной работы рассматривается функ ционал над напряжениями dV n · · u0 dO · = f, n · = p, (4.

6.5) A = O V O где = ·· — дополнительная энергия = и подчёрк нуты ограничения на. На истинных напряжениях функционал минима лен, уравнениями Эйлера служат уравнения совместности в напряжениях.

Без варьирования имеем A A= dV n · · u dO = V O ·· dV 0 (4.

6.6) = V Классическая линейная упругость · =0.

Но представляет интерес и процедура с варьированием. Характер огра ничений в объёме позволяет ввести векторное поле множителей Лагранжа (r):

·· + · · dV n · · u0 dO = V O S ·· + n · · ( u0 ) dO. (4.

6.7) = V O Приравняв нулю, получим S (4.

6.8) = u0, = inc = 0.

O1 Множители Лагранжа оказались перемещениями.

Функционал принципа Рейсснера имеет вид ·· uS f · u dV R u, = V n · · (u u0 ) dO p · u dO. (4.

6.9) O1 O Перемещения и напряжения свободны и независимы в объёме и на поверх ности. Вариация такова uS ·· · + f · u dV R = V n · · (u u0 ) dO + n · p · u dO. (4.

6.10) O1 O Вариационное уравнение R = 0 эквивалентно системе уравнений и гра ничных условий.

Однако, функционал R не имеет экстремума — перед нами принцип стационарности. Использование принципа для построения приближённых 4.6 Вариационные принципы решений требует осторожности — можно получить большую погрешность при достаточно представительной, казалось бы, аппроксимации.

Смешанным принципом стационарности является и следующий с функ ционалом Васидзу:

uS + f · u dV ·· W = 0, W u,, = V n · · (u u0 ) dO p · u dO. (4.

6.11) O1 O Уравнениями Эйлера оказываются (4. 1.1).

Между принципами нет тождества, они оказываются полезными с раз ных сторон. Иллюстрацией этому может служить вопрос об эффективных модулях в механике композитов. Рассматриваются две замечательные за дачи для представительного объёма с равновесием без объёмных сил;

в первой u|O = 0 · r, во второй n · O = n · 0, где 0 и 0 — заданные постоянные тензоры. В однородном материале в обоих случаях имели бы однородные поля и. Можно доказать, что 1 : 0 = (4.

6.12) dV, 2 : 0 =.

V V Эффективные модули находятся из равенства энергий:

··0 0 ·· 4C ··0 = ··, 1:

0 ·· = 0 ·· 4S ·· 0 = ·· (4.

6.13) 2:

(в законе Гука = 4S ·· ).

Используя в задаче 1 функционал Э(u) с аппроксимацией u = 0 · r, получим 0 ·· 4C ··0 0 ·· 4C ··0 4C (4.

6.14) C.

Принцип же с A в задаче 2 при аппроксимации = 0 даёт 0 ·· 4S ·· 0 0 ·· 4S ·· 0 (4.

6.15) S S.

Оценка податливости 4S сверху означает оценку жёсткости снизу — имеем двустороннюю оценку 4C (вилка Хилла).

Классическая линейная упругость 4.7 Антиплоская деформация Это самый простой из разделов теории упругости с нетривиальными эф фектами. В декартовых осях x, x3 ( = 1, 2) антиплоская деформация означает следующее u kS T = 2 kS, (4.

7.1) u = u(x ) k = = µ u.

Вектор перемещения параллелен оси x3 (с ортом k), а его единственная компонента u зависит лишь от поперечных координат x. Тензоры дефор маций и напряжений T имеют лишь по две компоненты и связаны под чёркнутым равенством.

Векторы объёмных и поверхностных сил имеют по одной компоненте, а силовые соотношения таковы · + f = 0, n · = p. (4.

7.2) Рассмотрим равновесие при f = 0. Однородное уравнение (4. позво 7.2) ляет ввести функцию напряжений:

=µ k (4.

7.3) (µ = const).

Из (4. и (4. следует, что u и — сопряжённые гармонические функ 7.1) 7.3) ции, связанные условиями Коши — Римана (1. гл. 1), а их комплексная 4. комбинация регулярна:

k, (4.

7.4) u= u + i = g(z), z = x1 + ix2.

Перемещения и напряжения определяются функцией g:

1 i2 = µ g (z). (4.

7.5) u = Re g, Любая регулярная g(z) является решением некоторой антиплоской за дачи. Рассмотрим функцию i z 2 l2 ;

(4.

7.6) g(z) = µ она имеет две точки ветвления z = ±l и регулярна в плоскости с прямым разрезом между этими точками (рис. 7).

4.8 Кручение стержней При x2 = 0 имеем |x1 | l 0, x (4.

7.7) u = Re g =, x2, l ±µ |x1 | l l -l x x где знак (+) относится к верхнему берегу раз реза, а () — к нижнему. Разрыв u означает, что разрез существует реально. Рис. Напряжения таковы:

z 1 i2 = i i.

(4.

7.8) z 2 l2 z На бесконечности 1 = 0, 2 =. Итак, имеем сдвиг (в плоскости x2 x3 ) пространства с разрезом (трещиной). На фронте трещины (z = ±l) напряжения неограниченно возрастают — это нельзя объяснить так элементарно, как в случае сосредоточенной силы.

Рассмотрим другой пример:

a2 a 1 i2 = 1 (4.

7.9) g(z) = z+.

z µ z Здесь тоже сдвиг пространства с напряжением — но в плоскости x1 x3.

На окружности |z| = a z = aei, 1 i2 = 1 e2i, n · = 1 cos + 2 sin = 0 — вместо трещины на рис. 7 имеем окружность радиусом a. Максимум мо 2 дуля напряжения 1 + 2 равен 2 и достигается при = ±/2.

В заключение отметим, что перемещение u удовлетворяет тому же уравнению, что и двумерное стационарное температурное поле:

· (µ u) + f = 0. (4.

7.10) 4.8 Кручение стержней Сен-Венан рассмотрел задачу о равновесии цилиндра с нагрузкой на тор цах (рис. 8). Поверхностные силы в граничных условиях Классическая линейная упругость x k · T = p (x ), z = z1 :

z k · T = p0 (x ) (4.

8.1) z=0:

x2 имеют следующие главные вектор и момент Рис. 8 x p dF — (4.

8.2) Q= p dF, M= интегралы по сечению стержня.

Закон суперпозиции позволяет выделить четыре задачи: 1) Q = Qk, M = 0 — о растяжении;

2) Q = 0, M k — о «чистом» изгибе;

3) Q = 0, M = M k — о кручении;

4) Q k, M = 0 — об изгибе силой. Задачи расположены в порядке возрастания сложности. Во всех книгах по теории упругости представлена задача кручения — достаточно простая, но уже нетривиальная.

Ясно, что при кручении в сечениях z = const возникают касательные напряжения. Попробуем в тензоре напряжений оставить только их:

(4.

8.3) T = k + k, = e.

Из условий равновесия части стержня в промежутке (z, z1 ) следует x · k dF = M. (4.

8.4) dF = 0, Оператор Гамильтона представим далее в виде 3 = + kz, где = e — «двумерный». Используем уравнение баланса сил ·T =0 · = 0, (4.

8.5) = (x).

Далее по уравнению Бельтрами (4.

8.6) 3 T + =0 = 0.

3 1+ Из (4. и (4. следует 8.5) 8.6) k, = const 2µ. (4.

8.7) = Введена функция напряжений, осталось поставить граничное условие на контуре сечения F и определить константу.

4.8 Кручение стержней Орт n на F является нормалью и на контуре, и на боковой цилиндри ческой поверхности. Имеем n · T3 = 0 n· = 0 = · l = l, l = k n, (4.

8.8) где l — дуговая координата на F, l — орт касательной.

Для односвязного сечения границей F является только наружный кон тур. Без ущерба для общности можно считать F = 0 ( определена с точностью до аддитивной константы).

Осталось рассмотреть крутящий момент. Из (4. и (4. имеем 8.4) 8.7) M = x· dF n · x dl. (4.

8.9) dF = Контурный интеграл пропадает благодаря граничному условию. Можем найти, поскольку ей пропорциональна.

Полученные результаты перепишем в виде = 2, = µ, = 0, F = µ k. (4.

8.10) M = µC, C=2 dF, Здесь вся информация о напряжениях при кручении. C называется геомет рической жёсткостью.

Обратимся к перемещениям. Они определяются интегрированием со отношений Гука 1 S S T 3u =( + z k) (u + uz k) = E = 2µ 1+ uS = (a), z uz = 0 (b), = ( k + k ) 2µ = k (c). (4.

8.11) uz + z u = 2µ Из (a,b) имеем u = U (z) + (z)k x, (4.

8.12) uz = W (x), что позволяет переписать (4.

8.11):

( W k) + U + k x = 0. (4.

8.13) Классическая линейная упругость ):

Применим операцию ( ( k) = (k x) = 2 =. (4.

8.14) Найден геометрический смысл — это угол закручивания на единицу дли ны. Можем представить (4.

8.13) в виде x W k = U — (4.

8.15) + это равно некоторой константе a, поскольку слева функция от x, а справа — от z. При a = x k — (4.

8.16) U = const, W= + условия Коши — Римана. Если же a = 0, получим дополнительные слагае мые перемещения твёрдого тела — они всегда появляются при определении перемещений по деформациям.

Гармоническая «функция депланации» W определяется по «функции Прандтля» посредством (4.

8.16). Прандтль обнаружил аналогию задач для и для прогиба мембраны.

Рассмотрим примеры. Для эллиптического сечения имеем x2 x2 x2 x2 a2 b 1 2 1 =A 1 F : + 2 = 1,, A=, 2 2 a2+ b a b a b a2 b 1 = 2µ x2, 2 = 2µ x1, a2 + b2 a2 + b a3 b (4.

8.17) C=2 dF =.

a2 + b При вычислении C ввели новые координаты: x1 = a cos, x2 = b sin с якобианом J = ab. Отметим, что максимум напряжения — на концах короткого диаметра.

Депланация находится из (4.

8.16):

b2 a 2 W = 1 x1 x1 x2. (4.

8.18) 1 W = 2 + x2, W= a2 + b В круге (a = b) депланации нет, подтверждается элементарная теория из сопротивления материалов.

4.8 Кручение стержней Более сложный пример — круговое сечение с выточкой (рис. 9). На большой окружности r r = 2R cos, на малой r = a. Функция q a 1 2R r (2R cos r) (4.

8.19) = a 2 r является решением. Она содержит гармони ческие слагаемые — реальные части функ ций комплексного переменного: r cos = Re z, Рис. cos /r = Re 1/z.

Определив касательное напряжение e k, = µ er r + r обнаружим максимум при = 0, r = a;

при малой выточке он примерно вдвое больше, чем без неё.

Вернёмся к теории и отметим теорему о циркуляции напряжений:

· dr = n dl = 2F — (4.

8.20) µ для любого замкнутого контура с площадью F внутри. Доказательство ос новано на (4.

8.15):

k = W x k, W · dr = 0, = µ k dr = n dl, n · x dl = 2F.

Для односвязного сечения теорема является тождеством и не даёт новой информации:

dF = 2F. (4.

8.21) n dl = Иное — в случае многосвязного сечения G (рис. 10). На каждом из граничных контуров k :

G1 G = const = Ck, но эти постоянные различны.

Можно принять 0 = 0 и представить реше ние в виде Рис. = 0 + Ck k, 0 = 2, (4.

8.22) 0 F = 0, k = 0, k = ks.

s Классическая линейная упругость Теорема о циркуляции позволяет найти Ck. Записав (4.

8.20) для каждого из контуров k, получим линейную алгебраическую систему n k dl = 2Fs. (4.

8.23) n 0 dl + Ck k s s Почему случай многосвязного сечения потребовал особого рассмотре ния? Потому, что здесь возможны дислокационные воздействия. Теорема о циркуляции выражает их отсутствие. В противном случае du = b — «вектор Бюргерса винтовой дислокации».

В задаче о кручении применяются и вариационные методы. Краевой задаче (4.

8.10) для соответствует вариационное уравнение (4.

8.24) ( + 2) dF = 0, = 0.

F F Можно использовать процедуру Ритца = ak k (x), k = 0, ( + 2) k dF = 0.

F Но для вытянутых сечений более эффективен метод сведения к обыкно венным дифференциальным уравнениям (Л. В. Канторовича). Для прямо угольного сечения |x1 | a, |x2 | a будем искать приближённое b решение = (x1 ) b2 x2, (4.

8.25) где — неизвестная варьируемая функция;

(±a) = 0. Из (4.

8.24) получаем одномерную вариационную постановку a b + 1 dx1 = 0 (4.

8.26) a с решением 5 x ch 2b =1 5a ch 2b 16 3 2b 5a 1 (4.

8.27) C=2 dF = ab th.

3 5a 2b Найденные значения C практически совпадают с точными, полученными методом собственных функций.

4.9 Плоская задача 4.9 Плоская задача Плоской деформацией называются решения со следующим полем переме щений u(x, z) = u (x ) e u (x), (4.

9.1) перпендикулярным оси z и независящим от z. Так будет в длинном цилин дре с нагрузками f (x), p (x).

Оператор Гамильтона и тензор деформации «двумерны», но у напряже ния есть компонента z :

(Ez = 0 = z ). (4.

9.2) = + z kk, z = Ограничимся решениями без объёмных сил. В этом случае вводится функция напряжений Эри:

· = 0 = k k. (4.

9.3) Для обоснования рассмотрим уравнения в компонентах 1 11 + 2 21 = 0 11 = 2 1, 21 = 1 1 ;

1 12 + 2 22 = 0 22 = 1 2, 12 = 2 2 ;

12 = 21 1 = 2, 2 = 2 11 = 2, 22 = 1, 12 = 1 2. (4.

9.4) Знаменитое бигармоническое уравнение (4.

9.5) = следует из уравнения Бельтрами:

2 + = 0 2 + 1 = 0,...

Отметим некоторые общие правила постро- l n ения бигармонических функций. Если g(x) — гармоническая, то будут бигармоническими x M x2 g. (4.

9.6) : x1 g, x2 g, Однако необходимо поставить граничные O условия к (4. В каждой точке граничного кон 9.5).

тура (рис. 11) их два. Сначала имеем Рис. n · = n k · k = l k = p. (4.

9.7) Классическая линейная упругость Далее выбираем какую-либо точку O на контуре за начальную (l = 0) и находим главный вектор нагрузок на участке OM :

l l 0 k. (4.

9.8) P= p dl = Но определена с точностью до произвольного линейного слагаемого (a · x + const, a = const), поэтому можно 0 = 0. Тогда n = Pl. (4.

9.9) Второе условие связано с моментом (относительно «крайней» точки):

l =M (x xl ) p dl · k (4.

9.10) (интегрируется по частям).

Для примера рассмотрим задачу Фламана о полуплоскости x2 0 с сосредоточенной нор x мальной силой на границе (рис. 12). В каче r стве начальной точки примем x1. Тогда q P = 0 при x1 0 и P = Qe2 для x1 0, на всей оси x1 : n = 2 = 0. Второе условие x Q 0, x1 (4.

9.11) =.

Qx1, x1 Рис. Учитывая соображения размерности, решение ищем в виде (4.

9.12) = Qrf () (безразмерная f не может зависеть от размерного r). Для f () можно вы вести обыкновенное дифференциальное уравнение. Но с помощью (4. 9.6) легко строится общее решение (4.

9.13) f = C1 cos + C2 sin + C3 cos + C4 sin.

Четыре постоянные находятся из граничных условий f (0) = 1, f () = f (0) = f () = 0. В итоге получим (4.

9.14) = Qr cos +..., 4.9 Плоская задача где отброшены линейные по x слагаемые. Напряжения таковы = k er r + k e r 1 12 2Q r + 2 = r = sin, r r r = r = 0, r = r (4.

9.15) = 0.

r При r 0 = O(r1 ), что связано с балансом сил. Линии уровня r = const — окружности, касающиеся оси x1 в точке x = 0.

Обратимся к перемещениям. Чтобы получить их общее представление, заметим, что гармоническая функция является реальной частью неко торой регулярной функции S (z) (z = x1 + ix2 ):

S = 1 S1 + i1 S2 = 2 S2 i2 S1, S = S1 + iS2, (4.

9.16) = 1 S1 = 2 S2.

Тогда легко интегрируются соотношения закона Гука 2µ1 u1 = 11 = 1 + (1 ) 1 S 2µu1 = 1 + (1 )S1 + f1 (x2 ), 2µu2 = 2 + (1 )S2 + f2 (x1 );

µ (1 u2 + 2 u1 ) = 12 f1 (x2 ) = f2 (x1 ) = = const. (4.

9.17) Последнее означает: f1 и f2 определяют перемещение твёрдого тела и мо гут быть отброшены. Итоговая формула имеет вид 2µu = + (1 )S — (4.

9.18) с вектором, соответствующим комплексному числу S.

В задаче Фламана 2Q 2iQ 2iQ 2Q = sin = Re S= ( i ln r), ln z = r z Q = [er cos + e (cos sin )], Q sin 2 + (1 2), 2µu1 = Q cos2 + 2 (1 ) ln r.

2µu2 = (4.

9.19) Классическая линейная упругость Эти выражения удивляют: u1 постоянно на лучах = const и имеет разрыв при r = 0, u2 неограниченно растёт при r... Естественно лишь то, что u = O (ln r) при r 0. Но заметим, что подобные странные явления встречаются и в двумерных задачах вне теории упругости: электростатиче ский потенциал бесконечной прямой равномерно заряженной линии тоже содержит ln r.

Рассмотрим далее известную задачу Кир ша о растяжении плоскости с круговым отвер стием (рис. 13). Выделим возмущения, вноси r мые отверстием:

q p a p x2 +.

(4.

9.20) = p e1 e1 +, = Поскольку x2 = r2 (1 cos 2) 2, решение Рис. 13 ищем в виде = f0(r) + f2(r) cos 2. (4.

9.21) С помощью правила (4. находим 9.6) r r + C0 r2 + D0 r2 ln, f0 = A0 + B0 ln a a B 2 (4.

9.22) f2 = A2 r + 2 + C2 r + D2.

r Напряжения от затухают на бесконечности, поэтому отбрасываем C0, D0, A2 и C2. При r = a равны нулю и r :

12 1 pa + f0 (a) = pa2 + f2 (a) = pa + f0 (a) = 4 4 = pa + f2 (a) = 0. (4.

9.23) Определив отсюда A0, B0, B2 и D2, найдём напряжения:

2r a = 1 2 + 1 4 2 + 3 4 cos 2,, p r = 1 + 2 1 + 3 4 cos 2, p 2r = 1 2 2 + 3 4 sin 2. (4.

9.24) p 4.9 Плоская задача При r = a, = ±/2 имеем = 3p.

Для плоской задачи разработаны изощрённые методы с функциями комплексного переменного. Функция Эри представляется в виде (z, z );

запись (z) ошибочна, т. к. не является гармонической. Имеем 1 = z + z, 2 = i (z z ), 1 z = (1 i2 ), z = (1 + i2 ). (4.

9.25) 2 При этом уравнение Лапласа решается так:

u = 4z z u = (4.

9.26) u = f1 (z) + f2 () = z f (z) + f (z) = Re f (z) (u вещественна). Известная формула Гурса для бигармонической функции выводится так (S 4) = 4z z = Re S = 2 (z) + (z) 2 = z (z) + z (z) + (z) + (z) — (4.

9.27) с комплексными потенциалами Колосова — Мусхелишвили. Напряжения и перемещения представляются тремя формулами 11 + 22 = 4 Re (z), 22 11 + 2i12 = 2 [ (z) + (z)] ( ), z 2µ (u1 + iu2 ) = (3 4) (z) z (z) (z). (4.

9.28) Вторая формула — результат операции z над (4.

9.27);

третья — это (4.

9.18).

Сопряжённые выражения строятся так (z) = a0 + a1 z +..., (z) = a0 + a1 z +..., (z) = ().

z Полезны выражения главного вектора (4.

9.8) P1 + iP2 = 2 i1 = 2iz = i (z) + z (z) + (z) (4.

9.29) и главного момента относительно начала координат m0 = M + x1 P2 x2 P1 = 2 Re z z. (4.

9.30) Классическая линейная упругость Рассмотрим пример — бесконечную плоскость с сосредоточенной си лой e1 в точке z = 0. Обозначим c f приращение величины f при обходе z = 0. По характеру воздействий имеем (4.

9.31) c (P1 + iP2 ) + 1 = 0, c m0 = 0, c (u1 + iu2 ) = 0.

Решение ищем в виде (z) = bz (ln z 1). (4.

9.32) (z) = a ln z, (z) = b ln z Из (4.

9.27) – (4.

9.32) получим a = 1 8(1 ), b = (3 4) 8(1 ), (4.

9.33) так что перемещения будут такими 1 (3 4) ln r + e2i — (4.

9.34) u1 + iu2 = 8µ(1 ) аналог формулы Кельвина — Сомильяны (4.

5.2).

Плоское напряжённое состояние формально почти не отличается от плоской деформации, но реально означает совсем иное — это состояние бесконечно тонкого плоского листа при нагрузке в своей плоскости. В «плоском двумерном мире»

= (x), =, u = u, =, 1 · + f = 0, = E E = e e, 2µ 1+ · ·, + (1 + ) · f = 0. (4.

9.35) = Вместо шести уравнений совместности (в компонентах) имеем лишь одно, соответственно упростились и уравнения Бельтрами — Мичелла. Теперь u · k, = k ·, k · · k = = k, = = ( ) = · · (4.

9.36) e e · k = 3 ).

( Возвращаясь в трёхмерный мир, следует отметить, что z = 0 из-за эффекта Пуассона. Изложение плоского напряжённого состояния обычно 4.10 Контактные задачи сопровождается гипотезами и приближёнными равенствами (в отличие от плоской деформации):

h/ (x, z) dz h h/ (h — толщина листа). Точные формулы получаются «прямым подходом» в двумерном мире или же асимптотическим расщеплением пространствен ной задачи при h 0 (об этом в главе 5).

Единственное формальное отличие плоского напряжённого состояния — в коэффициенте Пуассона: в формулах плоской деформации достаточно заменить на / (1 + ).

4.10 Контактные задачи Это сложные смешанные задачи, им посвящена специальная литература.

Усилия ряда авторов были направлены и на упрощения решений.

Рассмотрим двумерную задачу о давлении штампа на полуплос кость (рис. 14). На границе x2 = 0 везде 12 = 0, т. к. штамп гладкий. Вне зоны контакта 11 = 0, а в зоне u2 = v(x1 ) (чётная) — определяемое фор мой штампа заданное перемещение. Контактное давление p(x1 ) = 11 — одна из основных неизвестных.

Для плоского штампа v = const и на границе контакта (|x| = l) обнару живается неограниченный рост давления. При параболическом очертании координата края неизвестна и находится из условия ограниченности дав ления.

Используем результаты из задачи Фламана x (4.

9.19). При единичной сосредоточенной силе на границе имеем x u2 (x1, 0) = ln |x1 |, (1 ) µ.

(4.

10.1) Q Суперпозиция в зоне контакта даёт Рис. l v(x1 ) = p() ln |x1 | d — (4.

10.2) l Классическая линейная упругость сингулярное уравнение Фредгольма первого рода. Для решения введём гармоническую функцию — логарифмический потенциал l (x1 ) + x2 d. (4.


10.3) (x ) = p() ln l Это решение задачи Дирихле для плоскости с разрезом x2 = 0, |x1 | l, на котором (x1, 0) = v(x1 ). (4.

10.4) Для простейшего потенциала имеем = C ln r r2 = x x, (4.

10.5) n dl = 2C, если контур охватывает источник интенсивности C. Из этого следует гра ничное условие на верхнем берегу разреза (x2 = +0) (4.

10.6) 2 = p, а также условие на бесконечности l Q (4.

10.7) = Q ln r +..., p() d.

l Определив (x ), найдём p() из (4.

10.6) — таков план действий.

Гармоническую функцию можно считать вещественной частью регу лярной функции f (z):

f (z) = 1 + i1 = 2 i2. (4.

10.8) f = + i, Учитывая (4.

10.7), решение ищем в виде g(z) f (z) = (4.

10.9), g() = Q.

z 2 l Воспользуемся интегральной формулой Коши 1 g() (4.

10.10) g(z) = d, z 2i 4.10 Контактные задачи где контур интегрирования состоит из окружности большого радиуса M и обоих берегов разреза (x2 = ±0, |x1 | l):

l l2 d (4.

10.11) 2ig(z) = Q + i f+ + f d.

z z l ||=M Но согласно (4.

10.8) и (4.

10.4) f+ + f = 21 = 2v (). (4.

10.12) Подставив это в (4.

10.11), сможем далее найти контактное давление 1 2 = Im f x2 =+0 = p= l l2 1 = Q (4.

10.13) v () d.

x l2 x l В случае плоского штампа v = 0, Q (4.

10.14) p(x) =.

l2 x Для параболической формы имеем [54, 81] 1 a v(x) = const ax2, l 2x p(x) = Q+, l2 x a2 2Q l2 x2. (4.

10.15) Q= l, p(x) = l Учтено требование ограниченности p(±l). Формулы (4.10.15) можно исполь зовать для анализа контакта плоских фигур с гладкой границей при пара болической аппроксимации малой зоны контакта.

Обратимся к пространственной задаче. Сначала рассматриваем полу пространство z 0 с нормальной нагрузкой p(x ) = z на границе. На грузка действует только на площадке контакта и является неизвестной;

задано определяемое формой штампа перемещение uz (x, 0) = v(x ). На всей гладкой границе z = 0.

Важнейшее отличие пространственной задачи от плоской в том, что она позволяет найти контактную жёсткость, т. к. перемещения ведут себя как O(r1 ) при r, а не O(ln r).

Классическая линейная упругость Решение для полупространства с нормальной нагрузкой построил Бус синеск. Можно использовать решение Папковича — Нейбера (4.

3.4):

uz = 4(1 )Bz z S, u = 4(1 )B S, S zBz + x B + B0. (4.

10.16) Для четырех гармонических функций Bz, B, B0 мы вправе задать неко торые связи. Они вытекают из граничного условия z z=0 = 0:

2z = z u + uz = 2[(1 2) Bz + 2(1 )z B (zz Bz + x z B + z B0 )]. (4.

10.17) Полагаем 1 z B = (4.

10.18) Bz, 2(1 ) а на границе z = 1 x z B = (4.

10.19) x Bz = z B0.

2(1 ) Далее замечаем, что функция r · Bz — гармоническая:

Bz + 2 r T ·· (r · Bz ) = r · Bz + r · Bz = 0.

Условие (4.

10.19) означает равенство двух гармонических функций на грани це;

в силу единственности решения задачи Дирихле функции равны всюду:

1 r· (4.

10.20) Bz = z B0.

2(1 ) Уже можем выразить uz через Bz :

1 uz = 4(1 )Bz Bz zz Bz + x Bz z B0 = 2(1 ) = (3 4) (Bz zz Bz ) = 2(1 ) zz, 3 (4.

10.21) Bz.

2(1 ) Для определения остальных величин используем следствие из (4.

10.18) 2(1 ) 1 z, ;

B = = (4.

10.22) Bz = dz.

3 4 3 z 4.10 Контактные задачи Тогда согласно (4.

10.20) 1 zz + x z = z B 3 1 (r · ).

B0 = (4.

10.23) 3 Приходим к итоговым выражениям перемещений и напряжений u = z (1 2), z = 2µz z, z = 2µ z zz,... (4.

10.24) Задача Буссинеска сведена к отысканию гармонической в полупростран стве функции по граничному условию = p(x ) 2µ. (4.

10.25) z z= Задача легко решается с использованием теории потенциала. Скаляр ное поле = 1/r удовлетворяет уравнению Лапласа вне точечного источ ника и интегральному условию n dO = 4 (4.

10.26) O при источнике единичной интенсивности внутри. Потенциалом простого слоя называется поверхностный интеграл (r 1 ) (4.

10.27) (r) = dO1, |r r 1 | где — поверхностная плотность источников. Из теоремы Гаусса (4.

10.26) следует, что скачок нормальной производной на слое + = 4. (4.

10.28) n Искомое поле можно продолжить чётным образом в полупростран ство z 0. Сопоставляя (4.

10.25) и (4.

10.28), заключаем 1 p(r 1 ) — (4.

10.29) (r) = dO |r r 1 | 4µ интеграл по бесконечной плоскости z = 0.

Классическая линейная упругость Но в контактной задаче задано не p, а перемещение uz = v(x ) (в обла сти контакта ). Учитывая (4.

10.21), приходим к интегральному уравнению 1 p(x1 ) (4.

10.30) v(x) = dO1.

|x x1 | 2µ В литературе представлены два конкретных случая: плоский эллипти ческий в плане штамп и такой же в плане параболический. Распределение контактного давления похоже на (4.

10.14) и (4.

10.15). По предложению Герца формулы для параболического штампа используются в расчёте контакта произвольных тел с гладкой границей. При этом суммарная сила давления пропорциональна сближению в степени 3/2, что связано с расширением области контакта.

4.11 Температурные деформации и напряжения До сих пор в этой главе рассматривались изотермические процессы. Но хорошо известно, что деформация возникает и от изменения температуры.

И наоборот: быстрое сжатие вызывает нагрев.

В статике влияние изменения температуры T = T T0 на деформации и напряжения определяется следующей постановкой uS, = 4C·· T = T + 4S··, · = 0, = n· (4.

11.1) u = 0, = 0, O1 O где — тензор коэффициентов теплового расширения. Дополнительные слагаемые в законе Гука понятны. Формально они следуют из равенства = a, где a, T — свободная энергия на единицу объёма, являю щаяся квадратичной формой в линейной модели.

Соотношения в перемещениях · 4C·· u · C·· T = 0, n · 4C·· u = n · 4C·· T (4.

11.2) O выглядят как чисто механические при подчёркнутых объёмных и поверх ностных нагрузках. Вариационная постановка:

(4.

11.3) a, T dV = 0, u = 0.

O V 4.11 Температурные деформации и напряжения Из (4.

11.2), в частности, следует, что в однородном теле, закреплённом на всей границе, при постоянной температуре будет u = 0.

Температурные напряжения в свободном ненагруженном теле опреде ляются из задачи inc 4S·· = inc T, · = 0, n· (4.

11.4) = 0.

O Подчёркнутая несовместность температурной деформации является источ ником напряжений. В однородном теле = const она равна нулю при T = const, т. е. при линейном распределении температуры — в этом случае нет напряжений, но есть деформация. Если же тело неоднородно = 0, напряжения будут и при T = const. Конструкции всегда имеют какую-то неоднородность, и следует минимизировать перепад коэффици ентов теплового расширения.

Рассмотрим элементарный пример — полый шар со сферически сим метричным температурным полем T = T (r) (r = |r|). Тензор напряжений = r (r)er er + (r) E er er er = r r «содержит лишь две компоненты», и так же выглядит. Имеем r · = 0 r + 2 (4.

11.5) = 0.

r Уравнения совместности упрощаются чрезвычайно:

u (u = u(r)er ) r = (r ). (4.

11.6) r = u, = r Используя закон состояния E (r T ) = r 2, E ( T ) = (r + ), (4.

11.7) придём к уравнению 2E (4.

11.8) rr + 4r + T = (E,, — постоянны). Умножив на r3, получим интегрируемое соотноше ние. Учитывая граничные условия на внутреннем и внешнем радиусах r (a) = r (b) = 0, найдём b r a 2E 1 r2 T dr 3 r2 T dr, 1 r = b3 a 1 r r a a r (4.

11.9) = r + r.

Классическая линейная упругость Выше температурное поле считалось известным. Его можно опреде лить из задачи теплопроводности — но это не вполне корректно. Обыч ное уравнение теплопроводности выражает «баланс тепла». Но правиль нее рассматривать баланс энергии (3.

11.3, гл. 3):

a a ·· + b ·h = e = ·· + (4.

11.10) T + T s + T s.

T Но в линейной термоупругости 2a a a s= s= ·· (4.

11.11) =, T, T T T и тогда (4.

11.10) примет вид 2a · h = T0 ·· 4C·· + c T, b c T (4.

11.12).

T Подчёркнутое слагаемое определяет тепловой эффект деформации. В изо тропном материале = T E + 2µ = 2µ + E K T E, E 1 1+ E ·· 4C·· = K K (4.

11.13).

1 Скорректированное уравнение теплопроводности получается из (4.

11.12), если выразить вектор теплового потока h через T. Обычно принимают h = · T, (4.

11.14) где — тензор коэффициентов теплопроводности. Но при высоких скоро стях используется более сложное соотношение t h + h = · (4.

11.15) T, учитывающее инерцию установления теплового потока с постоянной вре мени t.

Связанные уравнения термоупругости и теплопроводности применяют ся лишь для быстрых процессов со значительными деформациями [69].

4.12 Моментная среда Коссера 4.12 Моментная среда Коссера Этот вопрос несправедливо не считается классическим — пока. С большой для своего времени полнотой он был изложен в книге братьев Коссера в 1909 г. Они рассматривали среду, частицами которой являются элементар ные твёрдые тела. Движение линейной модели определяется двумя векто рами: перемещения u(r, t) и поворота (r, t). Соответственно, силовыми факторами служат силы и моменты: f и m — на единицу объёма и p и m — на единицу площади внешней поверхности.

Уравнения выводятся из принципа виртуальной работы в следующей очевидной формулировке (f · u + m · ) dV + p · u + m · dO = 0. (4.

12.1) V O Потенциальная энергия не меняется при «жёстких» смещениях: = при u = const + r, = const = 0, = 0, u + E,. (4.

12.2) Нетрудно догадаться, что и — это тензоры деформации (несиммет ричные). Отбрасывая в (4.

12.1), получаем задачу с ограничениями (4.

12.2), решаемую с множителями Лагранжа:

f · u + m · ·· T µ··T dV + V p · u + m · dO = 0. (4.

12.3) + O Используя тождества ·· T = · ·u · · u ·, T · µ· · µ· (4.


12.4) µ·· = и теорему о дивергенции, получим уравнения и естественные граничные условия · + f = 0, · µ + + m = 0, n · = p, n · µ = m. (4.

12.5) Классическая линейная упругость Множители Лагранжа оказались напряжениями — силовыми и моментны ми.

Далее легко показать, что подчёркнутое в (4.

12.3) выражение равно (). Следовательно, соотношения упругости таковы (4.

12.6) =, µ =.

Осталось задать энергию как квадратичную форму своих аргументов.

Но в общем случае анизотропии она содержит чудовищное число кон стант — 171. Можно упростить картину, выделяя симметричные и анти симметричные части:

1 = S = uS, = S E, = E 2 1 = S ·· + · + µS ··S + µ · 2 S =, µS =. (4.

12.7), = 2, µ = S Для изотропного материала используется выражение с шестью константа ми 2 = a1 2 + a2 S ··S + a3 2 + b1 2 + b2 ·· + b (4.

12.8) tr, tr.

Далее важно отметить, что константы имеют разную размерность. На пример, a1 b1 h2 — некая длина в квадрате. Малая величина h является, по-видимому, характерным размером частиц среды... Присутствие малого параметра в уравнениях среды Коссера «включает» процесс асимптотиче ского анализа, на первом шаге которого остаётся обычная безмоментная среда. Это упрощённая картина, надо добавить возникновение погранич ных слоев и процедуру сращивания.

Распространена моментная «модель со стеснённым вращением», в ко торой принимается внутренняя связь u. (4.

12.9) = 0 = В этом случае соотношение упругости для не может быть написано.

Исключая, придём к уравнению в перемещениях более высокого поряд ка, чем в безмоментной модели (с малым параметром при старших произ водных).

Изложенное важно для понимания механики деформируемого тела;

практическое значение теории Коссера не столь велико.

4.12 Моментная среда Коссера Библиография Будучи важной частью теоретической физики, классическая теория упруго сти представлена в многотомном курсе Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица [49].

Значительное место занимает теория упругости в книге Ю. Н. Работнова [81].

Фундаментальный курс А. И. Лурье [54] всегда был примером для авто ра [32]. Мировую известность имеют книги С. П. Тимошенко [97], Н. И. Мусхелишвили [66], В. В. Новожилова [70]. Математическая сторона предмета выделяется в книгах [78, 89].

Дислокационные решения и собственные напряжения рассматриваются в монографиях [27, 93]. Механика упругих композитов представлена в [42, 114].

О вариационных принципах можно прочесть у К. Васидзу [14], а также в книгах [54, 81, 5, 32].

Плоская задача занимает значительную часть монографии Н. Ф. Моро зова [64] и уже отмеченных курсов [54, 66].

Контактным задачам посвящены книги [18, 3], но эта область представ лена и в [54, 81].

Температурные деформации и напряжения рассматриваются у Б. Боли и Дж. Уэйнера [11], В. Новацкого [69], Э. Мелана и Г. Паркуса [60].

О моментной теории упругости можно получить представление по кни гам [69, 64, 32].

Глава Тонкие тела 5.1 Особенности механики тонких тел Стержни, пластины и оболочки распространены и в природе, и в человече ской практике. Представляется ошибочным считать их обычными трёхмер ными телами. Малость относительной толщины качественно меняет зада чу. Происходит асимптотическое расщепление задачи на «вдоль» и «попе рек». Возможность упрощения задачи для тонких тел была ясна классикам, а сегодня используется в курсах сопротивления материалов.

Особенности тонких тел можно рассмот реть на примере статического изгиба балки при y Q M плоском напряжённом состоянии. В декартовой плоскости xy балка является прямоугольником x 0 x l, |y| h/2, h l. Действуют «объ ёмные» силы f, а граница свободна и не нагру жена (рис. 15). В задаче изгиба чётны по y uy, xy и fy, а прочие перемещения, напряжения и Рис. нагрузки нечётны. Вводятся погонная нагрузка, перерезывающая сила и изгибающий момент как интегралы по толщине M = (5.

1.1) q= qy dy, Q= xy dy, x y dy.

Из условий равновесия любой части балки между сечениями x = const следует ((...) = d/ dx) M + Q = m (5.

1.2) Q + q = 0, fx y dy.

Далее возможны различные (но не равноценные) подходы.

5.1 Особенности механики тонких тел Метод гипотез наиболее распространён — и уязвим. Принимаются «кинематические» гипотезы о распределении перемещений по толщине и «статические» гипотезы о порядках напряжений:

uy v(x), ux v y, |x | |xy | |y |. (5.

1.3) Затем используются некоторые (!) из уравнений теории упругости:

1 x x = x ux v y, (x y ) x = E E Eh x Ev y, M av, a, Q M av. (5. 1.4) Пришли к уравнению Бернулли — Эйлера, но строгость вывода оставляет желать лучшего.

Первое явное противоречие — сдвиговая деформация равна нулю, а с ней и перерезывающая сила:

2xy = x uy + y ux = 0 Q= xy = 0 (?), но тогда равновесие с нагрузкой q невозможно. Второе противоречие — между кинематическими и статическими гипотезами:

(y x ) y = x (?).

y = y uy = 0 = E Для оправдания таких изъянов появилась специальная философия.

«Должны быть обеспечены соотношения лишь между основными (т. е.

большими) величинами». «Теория балки — приближённая и невязки в урав нениях нормальны».

Но всё не так. Дальше мы увидим, что механику тонких тел можно строить как точную науку с безупречной логикой.

Вариационный метод основан на вариационной постановке «трёхмер ной» задачи с аппроксимацией решения по толщине. Подход логически строен, допускает разнообразные обобощения и уточнения. Единственный недостаток — мы навязываем структуру решения по толщине, а не иссле дуем её.

Для плоской балки имеем двумерную вариационную постановку:

h l ( ·· f · u) dy = 0, Э = dx 0 h (5.

1.5) = 2µ + E.

Тонкие тела Задаём аппроксимацию ux = (x)y, (5.

1.6) uy = v(x).

с независимыми прогибом и поворотом, что соответствует балке Тимошен ко. Из (5. получим одномерную вариационную постановку 1.5) l (M + Q(v ) qv m) dx = 0, Eh M a, a Q b(v ), b µh. (5.

1.7), 12(1 2 ) Отсюда следуют уравнения и естественные граничные условия Q + q = 0, M + Q + m = 0;

(5.

1.8) x = 0, l : Q = 0, M = 0.

Аналогичная процедура для балки Бернулли — Эйлера такова:

ux = v y, uy = v(x), l (M v qv mv ) dx = 0, M av, l (M q + m ) v dx = 0, (5.

1.9) x = 0, l : M = 0, M + m = 0.

Обратим внимание на «исчезновение» перерезывающей силы Q и сокра щение числа уравнений. Заметим также, что изгибная жёсткость a отлича ется от таковой в (5.

1.4).

Задавая более сложные аппроксимации перемещений, можно строить и более сложные модели. Например, учесть поперечную деформацию от эффекта Пуассона:

uy = v(x) + (x)y 2 /2.

y = x (5.

1.10) Аппроксимируя перемещения, можно получить значительную погреш ность в напряжениях. Поэтому представляет интерес вариационная поста 5.1 Особенности механики тонких тел новка Рейсснера с независимыми u и :

R(u, ) = 0, h/ l uS ( ) f · u dy, ·· R= dx 0 h/ 1 2 2x y + 2 + (5.

1.11) =.

2E x y 2µ xy Простейший вариант для балки Тимошенко таков 12M (x) Q(x) x = y, xy =, y = 0, h3 h ux = (x)y, uy = v(x);

l M2 Q M + Q(v ) qv m dx R= 2a 2b (a = Eh3 /12, b = µh);

M Q =, v =, Q + q = 0, M + Q + m = 0;

R = a b (5.

1.12) x = 0, l : Q = 0, M = 0.

Однако истинные уравнения тонких тел выводятся иначе.

Прямой подход использовал Эйлер, рассматривая стержни как дефор мируемые материальные линии (до появления теории упругости!). Главное при этом — определить вид частиц тела: это просто точки, или же это эле ментарные твёрдые тела, или это более сложные объекты с внутренними степенями свободы. Возможности прямого подхода невелики, поскольку мы не пытаемся проникнуть в структуру частиц. Но для тонких тел этот подход очень эффективен.

Балка — это линия Коссера. Степень свободы вращения вводится из за важности изгибающего момента. Очевидна следующая формулировка принципа виртуальной работы x x (qv + m ) dx + (Qv + M ) (5.

1.13) = 0.

x x Но здесь возможны варианты. Можно рассматривать любой отрезок (x1, x2 ) или же сразу всю балку — тогда нагрузки на концах Q2, Q1, M2 и Тонкие тела M1 заданы. Можно о работе внутренних сил () предположить равен ство нулю на перемещениях твёрдого тела (v = const +x, = const) и ввести множители Лагранжа для снятия ограничений ( = 0, v = 0). Другой вариант — сразу объявить = (, v ) — функция двух деформаций (изгибной и сдвиговой). Во всех случаях из (5.

1.13) сле дует система уравнений и граничных условий балки Тимошенко. Модель Бернулли — Эйлера — это вариант «со стеснённым вращением» (v = ).

Прямой подход прост, логически строен и почти не вызывает сомне ний. Однако вопрос о степенях свободы частиц остаётся открытым. И за рамками подхода остаётся определение жесткостей (коэффициентов как квадратичной формы).

Асимптотическое расщепление. Только этот подход действительно соответствует специфике тонких тел. Идея была изложена в п. 1.6. Начать следует с системы уравнений с малым параметром 0. Источником является геометрия:

r(x, y) = 1 xi + yj (5.

1.14) = ix + jy.

Уравнения теории упругости существуют в трёх формах: полной систе мы (a), в перемещениях (b) и в напряжениях (c). Простота варианта (b) — кажущаяся, для асимптотического анализа лучше подходит (c):

· + f = 0, + (1 + ) · f = 0. (5.

1.15) В компонентах с учётом (5.

1.14) имеем x x + y + fx = 0, x + y y + fy = 0, 2 x + y (x + y ) + (1 + )(x fx + y fy ) = 0.

2 (5.

1.16) Решение ищем в виде = m ( (0) + (1) +...). (5.

1.17) Варианты m = 0 и m = 1 не проходят, остановимся на m = 2. На первом шаге имеем y (0) = y y = y x + y (0) 2 (0) (0) = (0) = y = 0, (0) (0) (5.

1.18) x = b0 (x)y.

Учтены граничные условия = y = 0 при y = ±h/2, а также характер чётности величин. Функция b0 пока произвольна.

5.1 Особенности механики тонких тел Второй шаг:

b0 + y (1) = y y = y x + y (1) 2 (1) (1) = h (1) (1) = y2, (1) (5.

1.19) y = 0, b x = b1 (x)y.

20 Цель последующих шагов — найти главный член асимптотики, т. е.

функцию b0. Не представит интереса b1 как малая поправка к b0. На тре тьем шаге имеем, в частности, условие разрешимости h/ h h/ x (1) + fy dy = y (2) =0 (5.

1.20) b + q = 0.

12 h/ h/ Это итог анализа напряжений. Граничные условия b0 (0) = b0 (l) = 0. Далее находим перемещения из соотношений закона Гука 1 (x y ), (y x ), x ux = y u y = E E (5.

1.21) x uy + y ux =.

µ 1.17) пройдёт при m = 4. Для главных Степенное разложение u типа (5.

членов будет y u(0) = y u(0) = 0 u(0) = v(x), u(0) = 0.

(5.

1.22) y x y x (uy — чётные по y, ux — нечётные). Следующий шаг:

x u(0) = 0, y u(1) = 0, x u(0) + y u(1) = 0 x y y x u(1) u(1) = v y. (5.

1.23) = v1 (x), y x На последнем, третьем шаге потребуется лишь равенство 1 (0) b x u(1) = v =, (5.

1.24) x Ex E что в сочетании с (5.

1.20) даёт уравнение Бернулли — Эйлера для прогиба v.

Асимптотический анализ подтвердил все положения теории балки, но мы писали лишь точные равенства и ничего не отбрасывали. Понятно, чем труден анализ в перемещениях — пришлось бы делать пять (!) шагов.

Сложность асимптотики повышает роль прямого подхода — он пред сказывает результаты. К тому же, он «легко справляется» с большими де формациями.

Тонкие тела 5.2 Нелинейная теория стержней Стержень считается линией Коссера, каждая частица — элементарное твёр дое тело с лагранжевой (материальной) координатой s. Обычно в качестве s берут дуговую координату в начальном состоянии. Движение опреде ляется радиус-вектором r(s, t) и тензором поворота P (s, t);

в начальном состоянии r(s, 0) = r 0 (s), P (s, 0) = E. На единицу «длины» s действу ют силовая q и моментная m нагрузки. Внутренние сила Q и момент M задают воздействие в точке s «справа налево»;

по закону действия и про тиводействия при смене направления отсчёта s векторы Q и M меняют знак.

Для отрезка стержня уравнение виртуальной работы таково s s (q · r + m · ) ds + (Q · r + M · ) (5.

2.1) = 0.

s s Нагрузки содержат инерционные добавки — о них в главе 6. Вид плотно сти энергии будет определён из (5. Преобразуя двойную подстановку 2.1).

в интеграл и учитывая произвольность s1,2, получим локальное вариаци онное уравнение (q + Q ) · r + (m + M ) · + Q · r + M · =. (5.

2.2) На «жёстких» смещениях r = const + r, = const должно быть = 0, что ведёт к уравнениям баланса сил и моментов M + r Q + m = 0. (5.

2.3) Q + q = 0, Второе уравнение нелинейно, поскольку r — в деформированном состоя нии. В (5. останется 2.2) = M · + Q · (r r ). (5.

2.4) Векторы деформации и формулы Клебша. Деформация стержня опре деляется векторами и :

P ·PT P =P = = r P · r0. (5.

2.5) ;

2 При отсутствии деформации P (s) = const = 0;

r(s) r(s1 ) = P · (r 0 (s) r 0 (s1 )) = 0.

5.2 Нелинейная теория стержней Для вариаций (P = P ) справедливы формулы Клебша =, = r r. (5.

2.6) Вывод первой:

P = P + ( P ) = P + ( P ), ( P ) ( P ) = ( ) P, вторая выводится ещё проще.

Далее полезно для задания угловой ориентации связать с каждой ча стицей по некоторому правилу ортогональную тройку ортов ek, так что ek (s, t) = P (s, t) · ek0 (s), ek0 ek (s, 0). Важной геометрической характе ристикой стержня является вектор кривизны-кручения :

ek = ek = ek ek = k ek. (5.

2.7) Если орты e1,2 получаются поворотом нормали n и бинормали b на угол (s) вокруг касательной, то по правилу сложения угловых скоростей (5.

2.8) = D + (s)e3, где D — вектор Дарбу ((1. гл. 1). Можно доказать, что вектор деформа 2.2), ции = P · 0 = k ek, k = k k0. (5.

2.9) В формулах (5. теперь имеем 2.6) r r = ek k, (5.

2.10) = ek k, что для (5. означает 2.4) = M · ek k + Q · ek k M= (5.

2.11) ek, Q = ek.

k k Получили соотношения упругости. Необходимо иметь зависимость (, ). Для стержней из конструкционных материалов (где деформации обычно малы) можно принять квадратичную форму ( · a · + · b · + 2 · c · ) = M = a · + c ·, Q = b · + · c, a = aik ei ek,... (5.

2.12) Тонкие тела Тензор a определяет жёсткость на кручение и изгиб, тензор b — на рас тяжение и сдвиг;

оба тензора симметричны и положительны. Несиммет ричный тензор перекрёстных связей c определяет, например, кручение от поперечной или продольной силы. При деформации тензоры поворачива ются вместе с ek. Если ek — главные оси тензора a, то a (s) = a a. (5.

2.13) a= ak ek ek, Полную систему уравнений нелинейной теории упругих стержней составляют законы баланса сил z и моментов (5. выражения векторов деформации 2.3), q e3 (5. (5. и соотношения упругости (5.

2.5), 2.9) 2.12).

F Рассмотрим пример: прямой стержень защемлён на конце s = 0 и нагружен постоянной продольной e2 силой F на свободном конце s = l (рис. 16). В на чальном состоянии e10 = i, e20 = j, e30 = k. На свободном конце постоянно Q(l) = F k. Считаем c = 0. (5.

2.14) a= ak ek ek, b= bk ek ek, y x Ограничимся деформацией в плоскости yz, тогда поворот определяется углом (s) и тензор P не ну Рис. жен. По закону баланса сил Q =0 Q = const = F k. (5.

2.15) Для векторов деформации имеем = = i (i = e1 ), = r P · e30 = r e3 = b1 · Q = = F b1 e2 sin b1 e3 cos. (5.

2.16) 2 Остались соотношения для моментов M = a · = a1 i, M + r Q = a1 ( + e3 ) · Q i = a1 + F sin + + F 2 b1 b1 sin 2 = 0. (5.

2.17) 2 5.2 Нелинейная теория стержней Такие уравнения интегрируются в квадратурах:

2 + 2 = const = C1, + () = d ± (5.

2.18) = s + C2.

C1 2() Постоянные C1,2 находятся из граничных условий (0) = (l) = 0. Эйлер проделал это в случае b1 = 0, используя эллиптические функции.

Заметим теперь, что жёсткости a, b и c имеют разную размерность:

[a] = H · м2, [b] = Н, [c] = Н · м. Возникает эффективная толщина h: b/a = O(h2 ), c/a = O(h1 ). При малой h достаточно классической модели, в которой = 0 r = P · r0 (5.

2.19) и соотношение упругости пишется только для M. Эта модель обычно связывается с именем Кирхгофа, он обнаружил аналогию между статикой стержней и динамикой твёрдого тела. Для первоначально прямого стержня 0 = 0, r 0 = const, M = a ·, a · + a · = r Q, r =r. (5.

2.20) Но таковы и уравнения динамики твёрдого тела с тензором инерции a, уг ловой скоростью и силовой нагрузкой (Q) в точке с радиус-вектором 2.17) при b1 = 0 получаем уравнение маятника — проявление ана r. В (5.

логии Кирхгофа.

Известно, что уравнения динамики твёрдого тела аналитически инте грируются лишь в некоторых случаях: Эйлера, Лагранжа, Ковалевской...

Возможностей аналитического решения в нелинейной статике стержней ещё меньше.

Обратимся к примеру: стержень на рис. 16 нагружен на свободном конце s = l постоянным моментом M 0. При этом Q(s) = 0, M (s) = M 0.

Решение оказывается простым при равных жёсткостях на изгиб:

(5.

2.21) a = a (e1 e1 + e2 e2 ) + a3 e3 e3.

Тогда = a1 · M = a1 M + a1 a1 r r · M (e3 = r ), r =r =a M r — (5.

2.22) Тонкие тела линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для упрощения ин тегрирования введём декартовы оси xk с ортами ik, полагая i1 = i, M = M i3 — повёрнут на угол от z к y. Согласно (5.

2.22) x3 = 0, ax1 = M x2, ax2 = M x1 ;

u x1 + ix2 : au = iM u x3 = A3 + B3 s, u = A + BeiM s/a. (5.

2.23) Вещественные постоянные A3, B3 и комплексные A, B находятся из усло вий при s = 0:

r(0) = 0, r (0) = k u(0) = 0, x3 (0) = 0, u (0) = i sin, x3 (0) = cos. (5.

2.24) Прямой стержень превратился в винтовую линию;

её проекция на плос кость x1 x2 (M ) — окружность радиусом |B| = a sin /M.

Заметим, что рассмотренный пример соответствует случаю Эйлера в динамике твёрдого тела. Не используя развитые там методы, мы пошли более простым путём.

Характерная для классической модели внутренняя связь (5.

2.19) означает отсутствие растяжения и поперечных сдвигов. Но ряд задач без растяжения теряет смысл (прямой стержень с продольными силами, круговое кольцо под равномерным давлением). Поэтому распространена модель с растя жением без сдвига, в которой (5.

2.25) = e3 r = (1 + )e3 (r 0 = e30 ).

Тогда вариация энергии (5.

2.11) и соотношения упругости таковы = M · ek k + Q M= ek = a · + c, Q3 = = b + c ·. (5.

2.26) k Вместо тензора b имеем лишь скаляр b 0 (жёсткость на растяжение), а перекрёстные связи определяются вектором c. Для перерезывающей силы Q = Q e соотношения упругости нет.

Объектом более простым, чем стержень, является нить. Это материаль ная линия, состоящая из обычных точек. Движение задаётся одним векто ром r(s, t), распределённые нагрузки — силой q, инерционные свойства 5.3 Линейная теория стержней — погонной массой (s). Уравнение виртуальной работы имеет более про стой, чем (5. вид:

2.1), s s [(q ) · r ] ds + Q · r (5.

2.27) r = 0.

s s Переходя к локальному вариационному уравнению и учитывая, что = при r = const + r, = const, получим Q + q = ;

r Q = r Q = Qr ;

= Qr · r = Q, 1 (r · r 1) (|r 0 | = 1), Q = (5.

2.28).

2 При квадратичной аппроксимации энергии = Q0 + b2 (5.

2.29) придём к уравнению для r(s, t) Q0 + b (r · r 1) r — (5.

2.30) + q = r обобщению классического соотношения для струны.

Заметим, что для нити обязателен учёт начального натяжения Q0 0 — чтобы было реально возможно 0. Нить возникает из стержня при боль шом Q0 ;

но в зонах значительной кривизны стержневая модель проявится.

Здесь имеем уравнения с малым параметром при старших производных и разделение решения на внешнее безмоментное и краевой эффект.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.