авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«В. В. Елисеев Механика деформируемого твёрдого тела Санкт-Петербург 2006 УДК 539.3 Елисеев В. В. Механика деформируемого ...»

-- [ Страница 3 ] --

5.3 Линейная теория стержней Считаются малыми одного порядка перемещения (u = r r 0 ), повороты ( : P = E + E +...) и нагрузки. Полная система примет вид M + r Q + m = 0, Q + q = 0, = A · M + C · Q, = M u r = = B · Q + M · C. (5.

3.1) Q Тонкие тела Соотношения упругости записаны в обращённой форме с дополнительной энергией (в линейной модели численно равна ). Тензоры податливо сти A, B, C и вектор r соответствуют начальному состоянию и потому известны.

Уравнения (5. интегрируются в квадратурах:

3.1) Q = Q0 M = M0 (r Q + m) ds, q ds, r + (5.

3.2) = 0 + ds, u = u0 + ds.

M Q Константы Q0,..., u0 находятся из граничных условий. В «статически определимых» задачах Q0 и M 0 определяются нагрузками на концах — без рассмотрения деформаций. «Статически неопределима» задача с за креплёнными концами;

для неё l l l l (u r) = r (5.

3.3) = ds, + ds.

M M Q 0 0 Левые части известны, так что имеем два векторных уравнения для Q0 и M 0. В случае замкнутого стержня левые части равны нулю.

Представляемая простая картина может усложниться в деталях. Тол щина стержня всегда мала, и потому в линейной задаче с растяжением и сдвигом обычно возникают асимптотические явления. Часто при h имеем переход к модели Кирхгофа с B = 0 и C = 0.

Рассмотрим пример: круговое кольцо с двумя сосредоточенными сила ми на концах диаметра (рис. 17). Тензор податливости примем в упрощён ном виде A = Akk + At tt + An nn, (5.

3.4) B = Btt, C = (податливости на кручение At и изгиб An при этом не сыграют роли).

Используем симметрию и ограничимся первой четвертью 0 /2. В 5.3 Линейная теория стержней этом промежутке 1 Q = i, M = M0 R sin M = M k, 2 = k, = AM ;

l (5.

3.5) ds = 0 (l = R/2) M0 = R/.

Найдём перемещения концов:

l l (r AM k + BtQt ) ds = U i V j, u= 1 U ux (0) = AR3 + BR, 8 1 1 V uy (l) = AR3 BR. (5.

3.6) 4 В линейной статике стержней часто используются теоремы Лагранжа и Ка- y стильяно. Пусть стержень нагружен лишь t в точках sk сосредоточенными силами n F k и моментами M k. Состояние пролёта (sk, sk+1 ) полностью определяется пере- x j мещениями и поворотами концов, поэтому 1 R полная энергия деформации стержня есть функция W (uk, k ). По теореме Лагранжа (2. гл. 2) 7.3, W W (5.

3.7) Fk =, Mk =. Рис. uk k Обращая, приходим к теореме Кастильяно (2. гл. 2) 7.4, W W — (5.

3.8) uk =, k = F k M k но для этого необходимо выражение энергии через нагрузки, легко нахо димое лишь для статически определимых систем.

Тонкие тела Популярный в механике стержней интеграл Мора следует из теоремы Кастильяно. Пусть внешние нагрузки заданы обобщёнными силами Pk, со ответствующими обобщённым координатам qk. Согласно (5. 3.8), qk = W /Pk. Но (M, Q) ds, W= M (s) = Pk M k (s), Q(s) = Pk Qk (s), M k · A · M + CQ + Qk · B · Q + C T · M (5.

3.9) qk = ds.

Здесь M k и Qk — «парциальные» моменты и силы при единичных обоб щённых нагрузках, а M и Q — моменты и силы при всей системе нагрузок.

Пример: стержень произвольной формы закреплён на конце s = 0 и свободен на конце s = l;

это статически определимая система, силы Q(s) и моменты M (s) находятся без рассмотрения деформаций. Перемещение u1 в точке s1 в направлении единичного вектора e s (r 1 r) · e (A · M + C · Q) + u1 = +e · (B · Q + C T · M ) ds. (5.

3.10) Вариационные принципы теории упругости имеют одномерные анало ги в теории стержней. Принцип Лагранжа для стержня с закреплённым концом s = 0 и свободным s = l:

Э(u, ) min, l (, ) q · u m · ds Ql · u(l) M l · (l);

Э= (5.

3.11) u(0) = u0, (0) = 0.

Геометрические условия при s = 0 обеспечиваются нами.

5.4 Задача Сен-Венана Принцип типа Рейсснера в этом случае таков l M · + Q· R(u,, M, Q) = 0, R= (M, Q) q · u m · ds Ql · u(l) M l · (l) + +Q(0) · (u(0) u0 ) + M (0) · ((0) 0 ). (5.

3.12) Из этого принципа следуют и условия при s = 0.

В моделях с внутренними связями ( = 0 или = 0) изложение усложнится, появятся множители Лагранжа.

В компонентной записи простота уравнений исчезает:

Q = Qi ei + Q, (5.

3.13) Qi + ijk j Qk + qi = 0.

Но в случае кругового кольца (рис. 17) переход к компонентам полезен.

Пусть C = 0, а направления t, n, ez являются главными для a и b. Тогда 12 уравнений в компонентах разделятся на две группы по 6:

Qt kQn + qt = 0, Qn + kQt + qn = 0, Mz + Qn + mz = 0, Mz = az z, Qt = bt (ut kun ), Qn = bn (un + kut z ) (5.

3.14) для деформации в плоскости кольца (k = 1/R — кривизна) и Qz + qz = 0, Mt kMn + mt = 0, Mn + kMt Qz + mn = 0, Mt = at (t kn ), Mn = an (n + kt ), Qz = bz (uz + n ) (5.

3.15) для выхода из плоскости.

У прямого стержня k = 0, и выделяются четыре группы уравнений:

растяжения-сжатия (2), кручения (2), изгиба в одной плоскости (4) и изгиба в другой (4).

5.4 Задача Сен-Венана Частично мы уже рассмотрели её в п. 4.8 (кручение). Осталась более слож ная задача об изгибе силой, но вернёмся к началу. Для напряжений имеем T = z kk + k + k, x (z k + ) dF = M (5.

4.1) (z k + ) dF = Q, Тонкие тела (сила и момент в сечении z = const). Из уравнений баланса сил и совмест ности получим z = a + b · x, · = b · x, = (5.

4.2) b, 1+ причём a и b — линейные функции z (тогда b (z) = const);

вектор каса тельного напряжения не зависит от z, и — двумерные. Сразу можно выразить a и b через продольную силу Qz и изгибающий момент:

xz dF k = M = b · J k, z dF = aF = Qz, (5.

4.3) x dF = 0, xx dF = J (ось z проходит через центры тяжести сечений, компонентами J являются моменты инерции). Заметим, что Q(z) = const, M (z) = M (z1 ) + (z1 z)k Q, M = Q k, b = J 1 k · M, b = J 1 · Q. (5.

4.4) Такие же по сути формулы для z — в курсах сопротивления материалов.

Уравнения (5. для решаются посредством введения потенциалов:

4.2) k, = + = b · x, = b k · x 2µ;

(5.

4.5) 1+ константа пока произвольна. Граничное условие n· = 0 на контуре F будет удовлетворено при (5.

4.6) n = 0, l =0 = 0;

F F F последний переход — для односвязного сечения.

Значение определяется крутящим моментом x dF = x dF k n · x dl 2. (5.

4.7) Mz k = dF 5.4 Задача Сен-Венана Контурный интеграл исчезает, а для интегралов по сечению имеем форму лы u dF = u dF = 2, 2 un dl =0, F x u · k dF = W n u dl + W u dF = n x· k (5.

4.8) W = 0, n W F ( и W — функции напряжений и депланации из задачи кручения). Они вытекают из тождества (uv vu) dF = (un v vn u) dl (5.

4.9) при v = и v = W (доказывается посредством теоремы о дивергенции:

un v = n · u v и т. д.). Формулы (5. позволяют придать (5. вид 4.8) 4.7) (W ) dF (W n + n · x + n ) dl = Mz = = b· x dF k + µC xW dF + 1+ (5.

4.10) C=2 dF.

Пусть нагрузка на торце — сосредоточенная сила в точке x. Будет = 0 при x = k ( + ), J 1 · J 1 · xW dF, x dF k. (5.

4.11) 1+ Такую точку часто называют центром изгиба;

но дальше мы увидим, что это не совсем справедливо.

Перемещения определяются интегрированием соотношений закона Гу Тонкие тела ка — несколько сложнее, чем в п. 4.8. Результат таков [32] ax + b · xx bx2, u = U (z) + zk x E 1 b(z1 )z z1 z z 2 b ;

U = (5.

4.12) E a uz = z U · x + Uz (x), E b · xx2 = Uz 4E µ 1 b k · xx2 + x2 k. (5.

4.13) = + µ 4E Вектор U (z) — это прогиб в элементарной теории балки. Депланация Uz при изгибе определяется условиями Коши — Римана (5.4.13). Вклад добавок к элементарной теории мал при z1.

Решение Сен-Венана можно использовать для определения жестко стей по энергии:

12 (T ) dF = (5.

4.14) 2(M, Q) = 2 + dF.

Ez µ При этом не возникает спорный вопрос о связи перемещений и поворо тов в одномерной модели с перемещениями трёхмерной. Вычислив инте грал [32], придём к соотношениям упругости стержня z = (EF )1 Qz, = (EI)1 · M, z = (µC)1 (Mz + Q · ), = (µF )1 · Q + (µC)1 Mz, (5.

4.15) где обозначено I = k J k, = J 1 · F x dF + x dF k · J 1 + C 1 ( ), (5.

k 4.16) + 1+ (5.

4.17), : = = x, n = 0, = 0.

F F 5.5 Асимптотическое расщепление трёхмерной задачи В соотношениях (5.

4.15) присутствуют обычные жёсткости на растяже ние, изгиб и кручение. Перекрёстные связи представлены лишь вектором ;

определяя положение центра изгиба по условию z = 0, найдём x = k, (5.

4.18) что отличается от (5.

4.11). Некоторые авторы использовали (5.

4.18) как при ближённую формулу — а она точна (!).

В жёсткости на сдвиг µF содержится тензор коэффициентов сдвига. Определяющие его интегралы содержат,, и W. Для кругового сечения 1 = (5.

4.19) + E;

6 6(1 + ) для прямоугольника, вытянутого в направлении оси x1, 11 5/6.

В случае многосвязного сечения неизвестные постоянные значения на внутренних контурах находятся из теорем о циркуляции — обобще нию (4.

8.20, гл. 4) [33]. Из результатов вычисления жесткостей по энергии приведем лишь коэффициенты сдвига для кругового кольца с отношением внутреннего и наружного радиусов:

6(1 + 2 ) (5.

4.20) = E.

7 (1 + 4 ) + 342 + (1 2 ) 1+ В заключение отметим, что рассмотренная задача Сен-Венана отно сится только к цилиндру с нагрузкой на торцах. Её обобщение на слабо искривлённые стержни содержится в [33].

5.5 Асимптотическое расщепление трёхмерной задачи В современном изложении механики стержней это главный вопрос — и уже в значительной мере решённый. Результаты расщепления оказываются в согласии и с прямым подходом, и с задачей Сен-Венана.

Стержень как тонкое длинное трёхмерное тело определяется осью — линией с уравнением r(s) и фигурой нормального сечения в каждой точке оси (рис. 18). Вводится ортогональная тройка ортов e, e3 = t = r (s);

Тонкие тела e1 t сечения и расположение e в них считают ся независящими от дуговой координаты s.

Вектор кривизны-кручения соответствует (5.

2.7).

e Малый параметр 0 появляется в r представлении радиус-вектора R(x, s) = 1 r(s) + x, x x e (s).

Рис. 18 (5.

5.1) Определив базис и кобазис (Ri = R/q i, Ri · Rk = k ), придём к i выражению оператора Гамильтона = + v 1 t(s t D), = Ri q i e, D t · x, x v R1 R2 · R3 = 1 + t · x. (5.

5.2) Тензор напряжений T = T + t tt + 2 tS, (5.

5.3) T = T e e, = T3 e должен удовлетворять уравнениям баланса + v 1 t (D + t) + ·T +t · T t t +f = 0, + v 1 (t t Dt + 2t · ) + ft = 0, · (5.

5.4) где (...) — оператор дифференцирования по s в подвижном базисе ( = s, = s,...).

Боковую поверхность будем считать свободной и ненагруженной. На ней (x ) = 0, N = /| |, N ·T = 0 n · = v 1 t x n · tt, n· T = v t x n · t, (5.

5.5) где n = /| | — нормаль к контуру сечения F в его плоскости.

В случае неоднородного анизотропного материала вместо уравнений Бельтрами обращаемся непосредственно к уравнениям совместности:

inc = 0, = + t tt + tS = · · +... ( = tr ), = · +..., (5.

5.6) t = E t +... ;

5.5 Асимптотическое расщепление трёхмерной задачи выписаны лишь главные при 0 члены.

Материал будем считать трансверсально-изотропным с материальной симметрией относительно любой плоскости, параллельной t. Закон Гука в этом случае содержит пять констант:

1 t T = + t E, 2µ E Et 1 (t t ), (5.

5.7) t = = (E = 2µ (1 + )).

Et µt Решение будем искать в виде T = 2 (T (0) + T (1) +...). Для глав ных членов получим (0) (0) (0) n · T (0) ·T · · ;

(5.

5.8) = 0, = 0, = F (0) (0) (5.

5.9) t = E t ;

(0) n · (0) (0) = (0) · · (5.

5.10) = 0, = 0,.

F Из (5. следует 5.9) (0) (0) = A(s) + B(s) · x — (5.

5.11) t =0 t важный результат: осевая деформация линейно распределена по сечению даже в неоднородном анизотропном материале.

Получив из (5. выражение 5.7) 1 (0) (0) T (0) +t E t (A + B · x)E, (5.

5.12) = 2µ E Et приходим в (5. к плоской задаче для T (0) с подчёркнутой начальной 5.8) деформацией. Её решение T (0) = AT 0 + B T (5.

5.13) отлично от нуля лишь при непостоянстве t.

(0) Обращаясь далее к (5. 5.10), положим 2Ct. Пока = C = C(x, s), но (0) = t= C (0) (0) = · (5.

5.14) = C = C(s).

Тонкие тела Из (5.

5.10) имеем также µ (0) = C t, · = 2, (5.

5.15) g g g = 0.

t F Осталось найти A, B и C — тогда T (0) будет определено. Достаточно рассмотреть силы, моменты и их баланс:

(0) (0) = Et (A + B · x) + t = A0 + B ·, t t dF = 2 A 0 dF + B · Qt = dF +..., xt dF t = M = = 2 A 0 x dF + B · t +..., x dF x dF · t = 2 2C Mt = g dF +..., Q = q = f v dF, M + 1 t Q = m = x f v dF. (5.

5.16) Но можно действовать и более формально — со следующими членами раз ложений и условиями разрешимости задач для них. Результат будет тем же. Из (5.

5.16) на первом шаге Q(0) = 0, t Q(0) = 0 Q(0) = 0, (5.

5.17) поскольку стержень непрямой. Можем исключить A:

(0) A = B · (5.

5.18) Qt =0 dF 0 dF, (0) теперь B пропорционален изгибающему моменту M. Следующий шаг в (5.

5.16) даёт Q(1) + M (0) + t Q(1) = 0. (5.

5.19) f dF = 0, Обратим внимание на вид «q» и исчезновение «m».

5.6 Изгиб пластин Перемещения определяются из уравнений v 1 (ut t Dut + t · u ) = t, S u =, + v 1 (u t Du + t t u + tut ) =.

(5.

5.20) ut Полагая u = 4 u(0) +..., на первом шаге найдём u(0) = u(0) (s), u(0) · t = 0. (5.

5.21) Результаты второго шага u(1) = U (1) (s) + (1) (s) x, = (1) t, u(0) t (1) = B.

U (1) · t = A, (5.

5.22) Третий шаг позволит найти C = (1) · t. (5.

5.23) Получили соотношения упругости с конкретным выражением жестко стей:

M (0) = a · (1), a = at tt + a, at = 2 g dF, dF a = t x 0 dF t. (5.

5.24) 0 dF Теория Кирхгофа — не единственный результат расщепления;

найдена так же структура решения по толщине.

5.6 Изгиб пластин Пластина как тонкое трёхмерное тело ограничена плоскостями z = ±h/2 и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси z. В слу чае однородного изотропного материала общая задача делится на две — о плоском напряжённом состоянии и об изгибе — в зависимости от чётности функций по z. В задаче изгиба чётны uz, fz, z и нечётны u, f, z,. Деление сохранится и в случае материальной симметрии относитель но плоскостей z = const и чётности упругих модулей по z.

Тонкие тела Двумерные модели пластин можно строить вариационным методом, ап проксимируя зависимости от z;

например:

u(x, z) = w(x )k + (x ) kz (5.

6.1) с независимым прогибом w и поворотом. Однако безусловного предпо чтения достоин асимптотический анализ при h 0. В ряде работ показа но, что результатом расщепления является классическая теория Кирхгофа [32].

Для изложения хорош прямой подход к пластине как материальной плоскости. В модели типа Тимошенко прогиб и поворот независимы, урав нение виртуальной работы имеет вид (qw + m · ) dO + Qw + m · dl = 0, (5.

6.2) где q и m — силы и моменты на единицу площади, Q и m — на единицу длины контура. На жёстких смещениях w = x · k + const, = const = 0, = 0, w + k,, (5.

6.3) работа внутренних сил () равна нулю. Вводя множители Лагранжа — вектор Q = Q e и тензор M = M e e, получим qw + m · Q · M ··T dO + Qw + m · dl = 0 + ( · Q + q) w + · M + Q k + m · dO + Q n · Q w + m n · M · dl = 0. (5.

6.4) + Деформация определяется вектором сдвига и тензором кривизны. Си ловые факторы — вектор перерезывающих сил Q и тензор моментов M должны удовлетворять уравнениям и граничным условиям — выражения в круглых скобках в (5. равны нулю.

6.4) В упругой пластине энергия является функцией деформаций — (5.

6.5) = (, ), M=, Q= 5.6 Изгиб пластин закон состояния. В линейной модели изотропной пластины простейшим является вариант a1 2 + a2 S ··S + a3 2 + b 2, = S S (5.

6.6) M = a1 E + a2, M = 2a3, Q = b.

Однако для тонких пластин достаточно более простой классической мо дели Кирхгофа без поперечного сдвига:

w k. (5.

6.7) =0 = Она возникает в предельном переходе b, но стоит рассмотреть её как самостоятельную. Деформация теперь определяется одним симметричным тензором w, а уравнение виртуальной работы таково qw + m · w µ·· w dO + Qw + m · (5.

6.8) + w dl = 0, где введены «повёрнутые» моменты m = k m. Симметричный тензор µ можно считать множителем Лагранжа или же — в упругой пластине — (5.

6.9) µ=.

w Используя преобразования w = · µ · w + Q · w, Q · µ, µ·· Q · w = · (Qw) · Qw, (5.

6.10) перепишем (5. в виде 6.8) ·Q+q · m w dO + Q n · Q w + m n · µ · (5.

6.11) + w dl = 0.

Подчёркнутое выражение равно нулю. С контурным интегралом связаны граничные условия.

Тонкие тела Представляя энергию квадратичной формой, будем иметь (в случае изо тропии) D1 (w)2 + D = w·· w, w, Q = D w, µ = D1 wE + D D D1 + D2, Dw = q · m — (5.

6.12) знаменитое уравнение Жермен — Лагранжа.

Коэффициенты жёсткости D1,2 определяются упругими свойствами и структурой. Для однородного изотропного материала Eh D2 = (1 )D. (5.

6.13) D=, D1 = D, 12(1 2 ) Это следует из асимптотического анализа трёхмерной задачи [32], а также из соотношений 1 z w E, 2µ 1+ 1 ·· dz = µ·· = w, 2 µ= z dz = D (1 ) (5.

6.14) w + wE.

Граничные условия заслуживают особого внимания, поскольку были предметом дискуссий. Напомним: при вариационной постановке каждое соотношение связано с некой независимой вариацией. На контуре l w dl = = nn + ll, l w dl, поэтому контурный интеграл в (5.

6.11) равен Q n · Q l l w + n n w dl = 0, m n · µ. (5.

6.15) Подынтегральное выражение равно нулю — такова общая постановка усло вий. В заделке w = 0 и w = 0;

на свободном крае µnn = mn = ml, Qn = Q + l µnl mn. (5.

6.16) 5.7 Линейная теория оболочек Заданный на контуре крутящий момент mn трансформировался в добавку к перерезывающей силе. Более удивительно другое — появление «сосре доточенных сил» в точках разрыва l (l);

таковы угловые точки, где n и l разрывны.

Рассмотрим пример: осесимметричный изгиб круглой пластины. Име ем w = w(r), = er r + r1 e, Q = Q(r)er, Q = D w + 1 w, µ = µr er er + µ e e, r µr = D w + rw, µ = D rw + w 1 q(r) r + r w = r D 1 dr dr w= (5.

6.17) r dr qr dr.

D r r В случае q = const q r + B1 + B2 ln r + B3 r2 + B4 r2 ln r, (5.

6.18) w= 64D а для сплошной пластины с заделкой при r = a q r2 a (5.

6.19) w=.

64D 5.7 Линейная теория оболочек Геометрия оболочек определяется срединной поверхностью (r = r(q )) и толщиной h. Радиус-вектор в теле оболочки R(q, n) = r(q ) + nn(q ), |n| (5.

7.1) h/2, орт нормали задан формулой (1. гл. 1). На срединной поверхности имеем 2.3, базис, кобазис и оператор Гамильтона:

r r · r =, = r.

r, (5.

7.2) r = q Первый метрический тензор r = r r = a r r = a r r ;

a= a = r · r.

a = r · r, (5.

7.3) Тонкие тела Он играет роль единичного тензора в касательной плоскости:

v = v r = a · v, a = E nn. (5.

7.4) Компоненты a определяют длины, углы и площади:

dr · d = a dq d, |r 1 r 2 |2 = a11 a22 a2 a, r q dO = a dq 1 dq 2. (5.

7.5) Информация об этом содержится и в a, поскольку a a =, но отсутствует в смешанных компонентах — и самом a (!). Отметим, что a не является инвариантом.

Второй метрический тензор b = n = r n (5.

7.6) обусловлен кривизной. Его инвариантами являются средняя и гауссова кривизны:

2H = tr b = b, K = det b. (5.

7.7) Не только техническую роль играют «деривационные» формулы r r = r + b n, n = b r, r · r = a, r · r = ( a + a a ). (5.

7.8) Из них следует, что компоненты a и b как функции q определяют форму поверхности — через коэффициенты дифференциальных уравнений.

Эти функции не могут быть произвольными. Равенство r = r ведёт к уравнениям совместности (Гаусса — Петерсона — Кодацци), позво ляющим выразить гауссову кривизну K через a. Отсюда важный вывод:

K не меняется при изгибаниях — деформациях с неизменными длинами и углами. Плоскость можно изогнуть в цилиндрическую или коническую поверхность (K = 0), но нельзя — в сферическую.

Обзор сведений из геометрии поверхностей закончим теоремой о ди вергенции · u dl = ( · u + 2Hn · u) dO, (5.

7.9) O O 5.7 Линейная теория оболочек где — орт нормали к контуру в касательной плоскости, а u может быть тензором любого ранга. Доказательство можно построить на обычной тео реме о циркуляции с представлением (5. [32].

7.1) При прямом подходе к оболочкам как материальным поверхностям важ нейшим является вопрос о степенях свободы частиц. В классической мо дели Кирхгофа — Арона — Лява это материальные нормали с пятью сте пенями свободы. Вектор поворота лежит в касательной плоскости, как и все моменты. Малое изменение нормали и работа момента таковы n = n, m · = m ·, m = m n.

(5.

7.10) В основе построений лежит уравнение виртуальной работы (q · u + m · ) dO + P · u + M · dl = 0. (5.

7.11) При смещении без деформации неизменны a и b :

1 a r r, b r r. (5.

7.12) = 0, = 0, = При этом работа внутренних сил () равна нулю. Вводим множители Лагранжа — симметричные тензоры и µ в касательной плоскости с фор мальным равенством = ·· + µ··. (5.

7.13) Для упругой оболочки существует потенциал (, ) и тогда (5.

7.14) =, µ=.

Установим связи между перемещениями (u r), поворотами и дефор мациями. Имеем r · n = 0 u · n + r · = 0 = u · n;

(5.7.15) S a = u · r + r · u = ( u) ;

(5.

7.16) b = n · r b = · r n · u = ( ) + b · uT = ( u · n). (5.

7.17) Знак () выделяет составляющую в касательной плоскости:

v = a · v = v vn n, = a · T · a = T Tn nn Tn r n Tn nr. (5.

7.18) T Тонкие тела Тензоры деформаций и такие же, как в пластине при плоском напря жённом состоянии и изгибе.

Перепишем (5.

7.11), вводя ещё множитель Лагранжа Q от связи (5.

7.15):

q · u + m · ·· µ·· Q · ( + u · n) dO + F · u + M · dl = 0. (5.

7.19) + Используя тождества ·· = · ( · u) · · u, µ·· = · (µ · + µ · b · u) + · µ · · (µ · b) · u, Q · u · n = · (Qn · u) · (Qn) · u, (5.

7.20) и теорему о дивергенции (5. преобразуем (5.

7.9), 7.19) к форме · T · u + m ( · µ) Q · dO + A = 0, q+ T + µ · b + Qn, (P · T ) · u + (M + · µ) · dl. (5.

7.21) A = Подчёркнутые выражения равны нулю — это уравнения баланса сил и мо ментов. Тензор сил T содержит и перерезывающие силы Q. С интегралом A связаны все граничные условия.

В компонентах имеем пять уравнений баланса. По правилам элемен тарной механики их было бы шесть. «Шестое уравнение» моментов по нормали при нашем подходе оказывается тождеством (!). Однако без пред ставлений лагранжевой механики нельзя строить теорию оболочек.

Соотношения упругости (5.7.14) в сущности такие же, как в пластине.

Для однородного изотропного материала (C1 2 + C2 ·· + D1 2 + D2 ··), = = C1 a + C2, µ = D1 a + D2, Eh C1 (5.

7.22) =, C2 1 а D1,2 имеют вид (5.

6.13). Определение упругих констант — вне рамок пря мого подхода и требует асимптотического анализа трёхмерной задачи — более сложного, чем для пластин.

5.7 Линейная теория оболочек Граничные условия выводятся из (5.

7.21) посредством интегрирования по частям. На контуре = n · u ln · l u, = + ll, · ln · l u dl = l (l n) · u dl, P · T + l (l n) · u n · u = 0, M + · µ. (5.

7.23) В компонентах всегда четыре условия. В заделке u = 0, n · u = 0, а на свободном крае [...] = 0 и = 0. Формулы Коши, связывающие нагрузки с тензорами сил и моментов, не имеют места — как при изгибе пластин Кирхгофа.

Тензоры деформации должны удовлетворять уравнениям совместно сти. Логика их вывода та же, что в п. 4.4. Опираемся на теорему о цирку ляции n V (q, n) 0 ;

( dr · V ) = n· V dO n· V =0 · (n V ) = 0. (5.

7.24) V= u:

Представив градиент перемещения u = a, u · a + nn = n n + n, (5.

7.25) из (5.

7.24) получим · n = · (n ) (5.

7.26).

Весь тензор найдём с учётом равенства U · n) = b · n, (5.

7.27) =( после чего условие (5.

7.24) однозначности запишется в виде · b · + n = 0, = ( · ), n n. (5.

7.28) Формально это не отличается от уравнений баланса сил и моментов — имеем «статико-геометрическую аналогию». Уравнения (5.

7.28) тождествен но удовлетворяются выражениями и через u;

аналогичные выражения и µ через «вектор функций напряжений» позволят удовлетворить урав нениям баланса.

Тонкие тела Обратимся к оболочкам вра щения. Образующий меридиан (рис. 19) определяется зависимо стью цилиндрических координат от длины дуги (5.

7.29) x = x(s), = (s).

Положение самого меридиана за даётся углом. Полагая q 1 =, Рис. q 2 = s, имеем r(q ) = x(s)i + (s)e (), (5.

7.30) e = j cos + k sin.

Орт касательной к меридиану (5.

7.31) t = r 2 = x (s)i + (s)e, x = cos, = sin, а орт касательной к параллели e = e (). Кривизна меридиана = (s), а параллели — 1. Орт нормали к меридиану в его плоско сти n = i sin + e cos. Деривационные формулы:

e = e = t sin n cos, t = sin e, n = cos e, s e = 0, s t = n, s n = t. (5.

7.32) Построим базис, кобазис, набла-оператор и метрические тензоры:

r 1 = r = e, r 2 = t = r 2, r 1 = 1 e ;

= 1 e + ts ;

a = e e + tt = E nn, a = |r 1 r 2 | =, b = 1 cos e e + tt. (5.

7.33) Рассмотрим дифференцирование вектора u = u e + ut t + un n :

u = 1 ( u + ut sin + un cos )e e + +(s ut un )tt + 1 ( ut u sin )e t + s u te + +(1 ( un u cos )e + (s un + ut )t)n. (5.

7.34) 5.7 Линейная теория оболочек Квадратными скобками выделена ( u) ;

подчёркнуто u = u · e. Ясен вид тензора. Поворот = e + t t, (u cos un ), t = s un ut. (5.

7.35) = Чрезвычайно сложен и ненадежен вывод подобных соотношений без фор мального аппарата, а из чертежа с элементами до и после деформации.

Необходимы и выражения дивергенции тензоров:

T = T e e + Tt tt + Tt e t + Tt te, · T = 1 ( T + (Tt + Tt ) sin ) + s Tt e + + 1 ((Tt T ) sin + Tt ) + s Tt t + + 1 T cos + Tt n, · (Qn) = 1 Q cos e Qt t + + 1 ( Q + Qt sin ) + s Qt n. (5.

7.36) Имеем достаточно соотношений для записи всей системы в компонентах.

В осесимметричной задаче компоненты не зависят от — уравнения становятся обыкновенными. Равны нулю u, q, m,, t, µt, Q. Свод ка равенств такова:

= 1 u, t = ut un, t = un ut, = 1 t sin 2 u cos, t = t + (ut un ), µ = D + D1 t (D = D1 + D2 ), µt = Dt + D1, T = C + C1 t 1 µ cos (C = C1 + C2 ), Tt = Ct + C1 + µt, 1 (Tt T ) sin + Tt Qt + qt = 0, 1 T cos + Tt + 1 Qt sin + Qt + qn = 0, 1 (µt µ ) sin + µt + Qt = mt. (5.

7.37) Первый интеграл (Tt cos Qt sin ) + (5.

7.38) qx ds = const выражает баланс сил для частиц оболочки между параллелями.

Тонкие тела Об особенностях расчёта оболочек с различной формой меридиана (ци линдрических, конических, сферических, торообразных) написано много книг [71, 113, 21, 6].

В системе уравнений теории оболочек присутствует малый параметр от отношения жесткостей (D/C = h2 /12). Отбрасывая формально малые члены, приходим к уравнениям безмоментной теории:

= ( u)S.

· T + q = 0, (5.

7.39) T= = C1 a + C2, Безмоментное состояние оптимально для оболочечной конструкции, поскольку напряжения равномерно распределены по толщине. Но такое состояние возможно не при любых нагрузках внутри и на краю. По тер минологии метода сращивания это внешнее разложение. Внутреннее раз ложение — краевые эффекты — необходимы для удовлетворения всем про извольным граничным условиям.

Для трёх компонент T имеем три уравнения баланса сил. Можно показать [21, 32], что эта система является эллиптической при положи тельной гауссовой кривизне (K 0) и гиперболической при K 0.

Рис. 19 соответствует K 0. Характеристиками в этом случае оказыва ются «асимптотические линии»;

на них dr · b · dr = 0. (5.

7.40) Известно (п. 1.3), что для гиперболических уравнений нельзя ставить гра ничные условия на характеристиках. Значит, край безмоментной оболочки не может быть асимптотической линией. На цилиндрической поверхности это прямая образующая.

5.8 Нелинейно-упругие оболочки В начальном (ненапряжённом) состоянии r = r(q ), в деформированном R = R(q ) — радиус-векторы одной и той же частицы — материальной нормали (n и N ). Различаем операторы Гамильтона и метрические тензо ры:

= R, = r, b = n, B = N. (5.

8.1) a= r, A= R, 5.8 Нелинейно-упругие оболочки Для элементов площади имеем a dq 1 dq 2, a = |r 1 r 2 |, dO = A = |R1 R2 |. (5.

8.2) dO = J dO, J= A/a, Как и в случае трёхмерной среды, важнейшую роль играет градиент деформации F = RT = R r. (5.

8.3) Обратный к F тензор не существует. Но можно ввести r T = r R ;

G F · G = A, G · F = a, T T =G · =F · (5.

8.4),.

Обобщая (5.

7.12), определим тензоры деформации 1T (F · F a) = C r r, C = (A a );

C= 2 K = F T · B · F b = K r r, K = B b. (5.

8.5) Вариация нормали и работа момента таковы:

N = N, m · = m · N, m = m N ;

N · R = 0 N · R = N · R N = R · N. (5.

8.6) Очевидна формулировка принципа виртуальной работы (q · R + m · N ) J 1 dO + P · R + M · N dl = 0 (5.

8.7) + с нагрузками q, m и плотностью энергии (на единицу площади в на чальном состоянии) и контурными нагрузками P, M. Поскольку энергия — функция деформаций (C, K), то J 1 = C + µ K ;

= J 1, µ = J 1 (5.

8.8).

C K Тонкие тела Иной путь — принять в (5. = 0 и ввести множители Лагранжа.

8.7) Подставляя (5. в (5. положим 8.8) 8.7), = R R = J 1 F · ·FT, C µ = µ R R = J 1 F · ·FT — (5.

8.9) K соотношения упругости — и введём множитель Лагранжа Q = Q R для связи (5. Используя тождества 8.6).

C = ··( R)S = ·· RT = · ( · R) · · R, µ K = · (µ · B · R µ · N ) + · µ · N · (µ · B) · R, Q · R · N = · (QN · R) · (QN ) · R (5.

8.10) и теорему о дивергенции, преобразуем (5. к виду 8.7) J 1 q + · T · R + J 1 m ( · µ) Q · N dO + P · T · R + M + · µ · N dl = 0, + T + µ · B + QN. (5.

8.11) По форме почти всё как в линейной теории. После интегрирования по частям на контуре получим четыре условия в компонентах.

Подобно построениям п. 3.10 можно связать элементы границ и ввести тензоры Пиола. В начальном состоянии линейный элемент имеет длину dl и нормали, n, а в деформированном dl,, N. Согласно (5.

8.2) R R · N = Jr r · n dR N = dl = J( dl) · G — (5.

8.12) аналог формулы Нансона (3.

10.1, гл. 3).

Тензоры Пиола возникают из равенств · dl = · dl · F T ;

µ = JG · µ.

= JG · = (5.

8.13) C 5.8 Нелинейно-упругие оболочки С такими тензорами легко перейти к начальному состоянию в уравнении баланса сил:

J 1 q dO = · T dl + · T + q = 0, Q = JG · Q = Q r.

T = JG · T = + µ · B + QN, (5.

8.14) Чтобы сделать подобное для уравнения баланса моментов, запишем его в интегральной форме с тензором µ = µ N :

J 1 (N m + R q) dO = · (µ T R) dl + · µ + T + J 1 N m = 0 ( · µ) + Q = J 1 m ;

(5.

8.15) · (µ T R) dl + (N m + R q) dO = · µ + JT + N m = 0 ( · µ) + F · Q = m. (5.

8.16) Отметим, что знак () относится к деформированному состоянию (N = 0).

Наложение малой деформации на конечную удобнее рассматривать с тензорами Пиола, поскольку операции и переставимы, а и — нет.

Пример: осесимметричная деформация круглой пластины. Используем полярные координаты q 1 = r, q 2 = ;

орты касательных к координатным линиям er и e, причём er () = e, e () = er, er e = k. В начальной конфигурации r(q ) = rer (), r 1 = er = r 1, r2 = r 2 = re, e, r (5.

8.17) = er r + e, a = er er + e e, n = k, b = 0.

r В деформированном состоянии R(q ) = R(r)er () + w(r)k, R1 = R er + w k, 2 A11 = R + w s2, R2 = Re, A12 = 0, A22 = R2, N = (R k w er ), s B11 = R11 · N = (R w + w R ), B12 = 0, s Rw 1, R1 = R2 N = 2 R1, B22 = s sR s Тонкие тела R2 = B = B11 R1 R1 + B22 R2 R2. (5.

8.18) e, R Градиент и тензоры деформации:

R F = (R er + w k)er + e e, r 1 A (A11 1) er er + 1 e e, C= r B (5.

8.19) K = B11 er er + 2 e e.

r Тензоры Пиола = r er er + rz er k + e e, R r = R, rz = w, = ;

C r Cr Cr B11 w T = T r er er +..., T r = r + 4 R (µr R + µrz w ) Q(r), s s B11 R T rz = rz + 4 w (µr R + µrz w ) + Q, s s B22 (5.

8.20) T = + µ 2 Q = Q(r)er.

R Из уравнения баланса сил (5.

8.14) получим 1 T r T + qr = 0, (5.

8.21) Tr + T rz + T rz + qz = 0, r r а (5.

8.16) преобразуем к виду · µ · R1 = s2 Q.

m (5.

8.22) Осталось задать энергию (C, K);

это проблема, поскольку квадра тичная аппроксимация годится только при малых деформациях.

5.9 Тонкостенные стержни Сечения таких стержней — узкие криволинейные полоски (рис. 20). Име ем нечто промежуточное между обычными стержнями и оболочками. Для тонкостенных стержней важны не только силы и моменты, но и «бимо менты».

5.9 Тонкостенные стержни Уравнения можно вывести вариационным ме- x тодом с аппроксимацией u(x, z) = U (z) + (z) x + (z)W (x)k. (5.

9.1) x s В теории без сдвига U = k. В задаче Сен- r Венана = z, а функция депланации W нахо- z дится из условий (4.

8.16, гл. 4). Примем Рис. u = U (z) + z k x + U · x + z W k (5.

9.2) и рассмотрим постановку z (f · u 3 ) dF + p · u(x, z1 ) dF = 0, dz 0 F F 2 (5.

9.3) u(x, 0) = 0, 3 = µ ·· + 1 (конец z = 0 закреплен, а z = z1 — свободен и нагружен силами p).

Перемещениям (5. соответствует деформация 9.2) = z kk + z ( kk)S, z Uz U · x + z W — (5.

9.4) с функцией напряжений из п. 4.8:

W = ( + x) k. (5.

9.5) Найдём «одномерную» энергию:

E 2 + µz | |2 dF = 2 3 dF = z 2 2 = E F Uz + U · J · U + Iz 2z U · J · + µCz = = 21 Uz, U, z, z,, I W 2 dF, (5.

9.6) E=E (1 + )(1 2) а прочие интегралы — как в п. 5.4.

Тонкие тела Работы нагрузок в объёме и на торце:

f · u dF = q · U + m · (k U + kz ) + bz, x f dF, (5.

9.7) q= f dF, m= b= fz W dF ;

p · u dF = Q1 · U + M 1 · k U + kz + B1 z. (5.

9.8) Подставив (5. – (5. в (5. придём к одномерной задаче со следую 9.6) 9.8) 9.3), щими уравнениями Эйлера и естественными условиями Qz + qz = 0, Qz = = E F Uz ;

z = z1 : Qz = Q1z ;

Uz Q + q = 0, M + k Q + m = 0, M = k = E k J · U z ;

U z = z1 : Q = Q1, M = M 1 ;

1 B b, Mz + mz = 0, Mz = = µCz, z z = E Iz U · J · ;

B= z (5.

9.9) z = z1 : Mz = M1z, B = B1.

Здесь обычные уравнения растяжения-сжатия. Изгиб связан с кручени ем из-за вектора. Все качественные особенности тонкостенного стержня — в задаче кручения с уравнением четвертого (а не второго) порядка и двумя силовыми факторами — моментом и бимоментом (B).

Сложный асимптотический анализ трёхмерной задачи подтверждает вышеизложенное (но вместо E будет E) [32]. В качестве W выступает секториальная площадь (s) (это характерно и для технических расчётов):

s ( dr r · k) — (5.

9.10) (s) = s удвоенная площадь, «заметаемая» вектором r при возрастании дуговой ко ординаты s. Такое выражение W последует из (5. если пренебречь сла 9.5), гаемым. Решая задачу кручения асимптотическим методом, можно это 5.9 Тонкостенные стержни обосновать. Начало отсчёта s0 находится из условия ds = 0 — (5.

9.11) W dF = всегда выполнимого, поскольку W определена с точностью до аддитивной постоянной.

Библиография Прикладная сторона механики тонких тел представлена в книгах В. Л. Би дермана [6] и Л. Г. Доннела [31].

Асимптотическое происхождение моделей стержней, пластин и оболо чек описано А. Л. Гольденвейзером [21], В. Л. Бердичевским [5] и автором [32].

Множество конкретных вопросов теории оболочек рассмотрено В. С. Черниной [113], В. В. Новожиловым, К. Ф. Черных и Е. М. Михайлов ским [71] и С. П. Тимошенко с С. Войновским-Кригером [96]. Интересна и книга А. П. Филина [107].

О тонкостенных стержнях можно прочесть у В. З. Власова [16].

Глава Динамика упругих тел 6.1 Колебания упругих тел Общие законы теории колебаний (п. 2.8) справедливы и для систем с рас пределёнными параметрами. Рассмотрим задачу динамики линейно упру гого тела, содержащую уравнения (4. гл. 4), начальные условия и соот 1.1, ношения на границе n· (6.

1.1) u|O1 = u0 (r, t), = p(r, t).

O Применяя преобразование Лапласа (1.4.14, гл. 1), можно получить задачу статики для изображений, но такой подход не всегда эффективен.

При свободных колебаниях анализ начинают с решения u(r, t) = U (r) sin t. Это главные, или нормальные колебания, U — форма или мо да, — собственная частота. Имеем задачу на собственные значения:

· T + 2 U = 0, T = 4C·· U, U |O1 = 0, n· T (6.

1.2) = 0;

O нетривиальные решения U k (r) существуют лишь для собственных частот k (k = 1, 2,...). Заметим, что если тело «плохо закреплено» и может перемещаться как твёрдое, спектр содержит = 0 соответствующей крат ности (свободное тело имеет 6 нулевых частот в пространственной задаче и 3 — в плоской).

С помощью теорем статики линейно упругого тела (п. 4.2) можно до казать, что 2 вещественны и неотрицательны, а формы ортогональны в следующем смысле:

U i · U k dV = 0 — i = k :

6.1 Колебания упругих тел ведь согласно теоремам Клапейрона и взаимности работ 2 2 |U | dV = 2 i k U i · U k dV = 0. (6.

1.3) dV, Нормируя формы, получим U i · U k dV = ik. (6.

1.4) Вместо разложений (2. гл. 2) в конечномерном пространстве теперь 8.5, имеем бесконечные ряды u · U k dV — (6.

1.5) u(r) = k U k (r), k = k= главные координаты. Для равномерной сходимости необходимо u|O1 = 0.

Произвольное свободное движение является суперпозицией главных коле баний — как в (2. гл. 2).

8.6, Вынужденные колебания при закреплении на O1 могут быть представ лены разложением (6. с коэффициентами k (t). Обыкновенные уравне 1.5) ния для k следуют из теоремы взаимности:

(f ) · U k dV + p · U k dO = k U k · u dV u O k + k k = k (t) f · U k dV + p · U k dO. (6.

1.6) O В случае «кинематического» возбуждения на O1 полагаем u = u(r, t) + u, где заданное нами u удовлетворяет условию на O1 — то гда для u имеем всё вышеизложенное.

Заметим, что форма U k в разложении (6. не возбуждается, если обоб 1.5) щённая сила k = 0 — при этом не будет и резонанса. Так можно объяснить эффект динамического гашения колебаний — рассматривая перемещения на границе части конструкции как заданные (кинематические) воздействия на неё.

Классические построения внешне безупречны, однако при их реали зации возникают осложнения. Неизбежное демпфирование связывает фор мы, система перестает быть набором невзаимодействующих осцилляторов.

Динамика упругих тел Это сильно проявляется при высокой плотности собственных частот, ко гда соседние резонансные пики на амплитудно-частотной характеристике сливаются. При этом возрастает роль погрешностей: длины, углы, массы, жёсткости и др. в действительности являются случайными величинами, и многие собственные частоты теряют определённость.

Вариационный подход позволяет обойтись без определения k и U k.

Имеем вариационное уравнение [(f ) · u ] dV + p · u dO = 0, (6.

1.7) u u|O1 = u0.

O приближённое решение:

u=u+ ak (t)k (r), u = k ak, (f ) · k ·· k dV + p · k dO = 0 — (6.

1.8) u O система обыкновенных дифференциальных уравнений для ak (t). В методе конечных элементов используются финитные координатные функции k, и матрицы коэффициентов разрежены.

6.2 Волны в упругой среде Рассмотрим свободное движение однородной изотропной среды. Уравне ние в перемещениях · u + µu = (6.

2.1) ( + µ) u не является волновым. Однако оно имеет решение в виде продольных волн:

c2 u = u, c2 = ( + 2µ)/. (6.

2.2) u(x, y, z, t) = u(x, t)i, 1 Существуют и поперечные волны — с иной скоростью c2 :

c2 u = u, c2 = µ/. (6.

2.3) u = u(x, t)j, 2 Однако, это весьма частные случаи.

Более общие положения: волновыми процессами являются объёмное расширение ( = · u) — со скоростью c1 и поворот ( = u/2) — со скоростью c2. Это следует из (6. при операциях ( ·) и ( ).

2.1) 6.2 Волны в упругой среде Но самое глубокое утверждение таково: любое решение (6. предста 2.1) вимо в виде c2 =, c2 =.

, · = 0, (6.

2.4) u= + 1 Доказательство можно найти в [88]. Скалярный потенциал связан с объёмным расширением, а векторный потенциал — с вращением:

· u = =, u = = 2. (6.

2.5) Общий случай есть суперпозиция волн расширения и вращения.

Этих представлений недостаточно при наличии границ. Однородные граничные условия (u = 0, или n · = 0, или иные) не удовлетворяются в бегущих от некоего источника волнах. На границе возникают новые волны — отражённые. Суперпозиция падающих и отраженных волн может дать сложную интерференционную картину.

Вдоль границы распространяются поверхностные волны. Рассмотрим плоскую динамическую деформацию полупространства y 0. Потенци алы таковы: = (x, y, t), = (x, y, t)ez. Для гармонических волн с частотой и волновым числом k имеем (y) ei(kxt), = 1, = 2, = k 2 2 =.

(y) c (6.

2.6) Отношение /k = c называется фазовой скоростью. Предполагаем c c2 ( c1 ) — тогда 0, и функции и затухают при y :

= 0 e1 y, = 0 e2 y. (6.

2.7) Константы 0 и 0 пока произвольны.

Граница y = 0 свободна от напряжений:

c2 2c2 + 2c2 y (y x ) = 0, y = 0 1 2 2 2x y + y x = 0. (6.

2.8) xy = Отсюда следует линейная алгебраическая однородная система для 0 и 0 ;

приравняв нулю её определитель, получим (2 )2 = 4 c2 /c2, c2 /c2.

(1 )(1 ), (6.

2.9) 2 Это уравнение определяет скорость поверхностных волн Рэлея. При из менении коэффициента Пуассона от 0 до 0.5 отношение c/c2 находится в промежутке (0.874;

0.955) [86].

Динамика упругих тел Независимость фазовой скорости от длины волны означает отсутствие дисперсии. В данном случае это следует и из соображений размерности:

безразмерная величина не может зависеть от размерного k.

Поверхностные волны являются причиной разрушений при землетря сениях вдали от эпицентра, поскольку затухают медленнее «объёмных»

волн расширения и вращения.

6.3 Динамика стержней Инерционными характеристиками стержня служат плотность (s), вектор эксцентриситета (s, t) и тензор инерции I(s, t). Выражение (2. гл. 2) 2.8, определяет кинетическую энергию стержня на единицу «длины» s. В ли нейной модели Коссера уравнения динамики таковы u Q + q = ( + ), M + r Q + m = I · + u.

(6.

3.1) При этом и I соответствуют начальному состоянию — как и тензоры в соотношениях упругости.

Для криволинейных стержней обычно достаточно предельно упрощён ной классической модели:

M =Qr, M = a·, u =r. (6.

3.2) Q + q =, u Но для прямого стержня при растяжении-сжатии и кручении это не годит ся.

Представления о главных колебаниях, собственных частотах, ортого нальных формах и главных координатах справедливы и в линейной дина мике стержней. При главных колебаниях для амплитуд имеем Q + 2 (U + ) = 0, M + r Q + 2 (I · + U ) = 0 — (6.

3.3) выглядит как в статике. По теореме взаимности (U i + i ) · U k + (I · i + U i ) · k ds Aik = Aki, i (6.

3.4) так что условие ортогональности с нормировкой таково (U i · U k + · (U i k + U k i )) + i · I · k ds = ik. (6.

3.5) 6.3 Динамика стержней Разложение по формам u Uk = k, k k u · (U k + k ) + · ( U k + I · k ) ds (6.

3.6) k = позволяет легко рассчитать вынужденные колебания. Из теоремы взаимно сти при закреплённых или свободных ненагруженных концах следует (q · U k + m · k ) ds. (6.

3.7) k + k k = Выражение справа есть обобщённая сила для координаты k.

Уравнения в компонентах могут быть полезны для кругового кольца или прямого стержня. Рассмотрим подробнее прямой стержень на оси x, считая оси x, y, z главными для тензоров a, b, I и принимая c = 0, = 0.

Первые две пары уравнений описывают растяжение-сжатие и кручение:

(6.

3.8) Qx + qx = x, Qx = bx ux ;

u Mx + mx = Ix x, Mx = ax x.

Пары отличаются лишь обозначениями, имеем волновые уравнения со ско ростями bx / и ax /Ix.

Четверка уравнений описывает изгиб в плоскости x, y:

Qy +qy = y, Mz +Qy +mz = Iz z, Mz = az z, Qy = by (uy z ) (6.

3.9) u и почти также выглядят уравнения изгиба в плоскости x, z.

Исключая Qy и Mz, из (6. получим (без индексов) 3.9) b(u ) + q =, a + b(u ) + m = I. (6.

3.10) u Разрешим это уравнение с операторными коэффициентами:

4 4 22 2 2 abx + It (bI + a)x t + bt u = ax + It + b q b x m.

(6.

3.11) Несравненно проще классическое уравнение балки Бернулли — Эйлера:

auIV + = q. (6.

3.12) u «На подходах» к нему имеем (6.

3.13) Q + q =, u M + Q = 0, M = a, u =.

Динамика упругих тел При малой толщине балки и медленном изменении решения по координате и времени (6.

3.11) переходит в (6.

3.12).

Уравнения Тимошенко (6. 3.10) – (6.

3.11) используются для моделирования локальных и быстрых процессов. Они относятся к гиперболическому типу и имеют семейства характеристик со скоростями a/I, b/. Уравнение Бернулли — Эйлера (6.

3.12) — параболического типа.

Указанные отличительные свойства проявляются при рассмотрении гар монических волн без нагрузки. Для (6.3.12) имеем a u = u0 ei(kxt) : ak 4 = 2 c= (6.

3.14) k.

k Таково дисперсионное уравнение классической балки;

странно неограни ченное возрастание фазовой скорости c на коротких волнах (k ). Но ведь модель Бернулли точна лишь при k 0...

Дисперсионное уравнение модели Тимошенко следует из (6.3.11):

c Ic4 (bI + a)c2 + ab = b (6.

3.15).

k В плоскости k, c имеем две ветви с асимптота ми на уровнях a/I и b/. Начальный участок c первой ветви касается прямой (6.3.14), а для вто рой ветви c при k 0 (рис. 21). Заметим, что предельные (k ) скорости изгибных волн вовсе не равны c1,2 для среды.

Для стержней в виде цилиндров из однородно k го изотропного материала возможен точный ана Рис. 21 лиз гармонических волн. Полагая в (6.

2.1) u(x, y, z, t) = U (y, z)ei(kxt) (6.

3.16) и учитывая однородные условия (n · = 0) на боковой поверхности, получим задачу на собственные значения с дисперсионным уравнением f (k, ) = 0. Это легко сделать для полосы в двумерной постановке — с соотношениями (6. и (6.

2.6) 2.8). Для кругового цилиндра задачу решили Похгаммер и Кри в конце 19 в.

Однако результаты анализа с (6.3.16) во многом не соответствуют рис. 21. Дисперсионных ветвей не две, а бесконечно много, все имеют общую асимптоту при k — скорость волн Рэлея, и лишь начальный участок первой ветви воспроизводится одномерной моделью. Но ценность 6.4 Метод возмущений для линейных систем последних от этого не снижается — у них другие назначения и возможно сти.

Рассмотрим пример: изгибные колебания консольной балки с массой на свободном конце. Граничные условия (для амплитуд):

U (0) = 0, (0) = 0, b [U (l) (l)] = m 2 U (l), (l) = 0 (6.

3.17) в модели Тимошенко и aU (l) = m 2 U (l), (6.

3.18) U (0) = 0, U (0) = 0, U (l) = в модели Бернулли — Эйлера. Для последней aU IV = 2 U, ( 2 /a)1/4, U= ci Ki (x), i= 2K1 (x) = ch x + cos x, 2K2 (x) = sh x + sin x, 2K3 (x) = ch x cos x, 2K4 (x) = sh x sin x;

Ki+1 (x) = Ki (x).

Функции Крылова Ki упрощают расчёт, в случае (6.

3.18) сразу находим c1 = c2 = 0.

Самый простой случай — балка на двух шарнирных опорах:

U (0) = U (l) = 0, U (0) = U (l) = 0, U = C sin x, n2 2 a (6.

3.19) l = n, = 2 (n = 1, 2,...).

l Обратим внимание на разреженность спектра. Но не забудем, что при боль ших n связь с реальностью теряется.

Одномерные модели высокой точности с хорошим воспроизведением дисперсионных кривых, частот и форм можно построить вариационным методом с «богатой» аппроксимацией по сечению. Уточнённая теория про дольных колебаний в двумерной постановке получится при аппроксимации ux = u(x, t), uy = v(x, t)y (модель Геррманна-Миндлина). Но такие построения если и приближают нас к действительности, то не прямым путём.

6.4 Метод возмущений для линейных систем Влияние малых возмущений на главные колебания. Начнём с дискрет ной системы:

2 (A0 + A1 ) + C0 + C1 U = 0, 0. (6.

4.1) Динамика упругих тел Решение имеет вид 2 = 0 + 20 1 +..., (6.

4.2) U = U0 + U1 +..., и на первом шаге получаем частоты и формы невозмущённой системы, 0 A0 + C0 = 0. Система с вырожденной матрицей на втором шаге 2 0 A0 + C0 U1 = 20 1 A0 + 0 A1 C1 U разрешима лишь при ортогональности правой части решениям однородной сопряжённой системы:

T U0 20 1 A0 + 0 A1 C1 U0 = 0 T 2 T 20 1 = U0 (C1 0 A1 )U0 U0 A0 U0 (6.

4.3) (знаменатель равен единице при соответствующей нормировке). Из (6.4.3) следует теорема Рэлея: дополнительная жёсткость увеличивает частоты, а дополнительная инерция снижает их.

Для трёхмерных тел имеем, в сущности, то же самое:

C 0 + 4C 1 ·· U + 2 (0 + 1 )U = 0, · n · 4C 0 + 4C 1 ·· U U |O1 = 0, (6.

4.4) = 0.

O Разложения (6. сохраняются, и первый шаг очевиден. На втором шаге 4.2) используем связанное с теоремой взаимности условие разрешимости. Тео рема применяется к телу без возмущений;

в первом состоянии действует лишь объёмная нагрузка 0 0 U 0. Во втором состоянии имеем поверхност ную нагрузку n · C 1 ·· U 0 и объёмную · 4C 1 ·· U 0 + 0 (0 U 1 + 1 U 0 ) + 20 1 0 U 0.

(6.


4.5) Равенство работ даёт выражение поправки U 0 ·· 4 C 1 ·· U 0 0 1 U0 dV 2 2 — (6.

4.6) 20 1 = 0 U0 dV аналог (6.

4.3).

Для стержней такая методика не менее эффективна. Однако теорема взаимности работ потребует обобщения. Если M +r Q+m = 0, u = r + (6.

4.7) Q +q = 0, = A·M +, 6.4 Метод возмущений для линейных систем и на концах u = 0, = 0, то (q 1 · u2 + m1 · 2 + 1 · M 2 + 1 · Q2 ) ds A12 = A21. (6.

4.8) При учёте растяжения, сдвига и инерции вращения имеем Q + 2 U = 0, M + r Q + 2 I · = 0, = A · M, u = r + B · Q. (6.

4.9) Решение ищем в виде (6. на первом шаге находим спектр классической 4.2), модели. На втором 2 Q1 + 0 U 1 + 20 1 U 0 = 0, M 1 + r Q1 + 0 I · 0 = 0, 1 = A · M 1, u1 = 1 r + B · Q0. (6.

4.10) Согласно (6.

4.8) 0 U 0 · U 1 ds = 2 0 U 1 + 20 1 U 0 · U 0 + 0 0 · I · 0 + Q0 · B · Q0 ds = 2 20 1 = Q0 · B · Q0 + 0 0 · I · 0 ds U0 ds. (6.

4.11) Подынтегральная функция положительна — частоты снижаются.

Вынужденные резонансные колебания. В этом случае обязателен учёт демпфирования — иначе амплитуды не будут ограничены.

Рассмотрим уравнение для комплексных амплитуд дискретной системы ( 2 A + iB + C)u = F, (6.

4.12) причём 2 A + C = 0 — резонанс. Решение строится просто:

( 2 A + C)u0 = 0 u0 = U — (6.

4.13) u = u0 + u1 +... ;

соответствующая частоте форма, но пока произвольно. На втором шаге ( 2 A + C)u1 = F iBu0, и по условию разрешимости находим амплитуду = U T F iU T BU. (6.

4.14) Динамика упругих тел Получили подтверждение трёх известных правил: форма резонансных ко лебаний — собственная, сдвиг фазы равен /2, а работа внешних сил (F ) равна рассеиваемой энергии.

Эта методика переносится на континуальные системы. Для классиче ского стержня (с закреплёнными концами) при линейном внешнем трении имеем следующие уравнения для комплексных амплитуд Q + q + ( 2 ib)u = 0, M = Qr, u = r.

M = a·, (6.

4.15) Действуя как в (6.

4.13), находим u0 = U, 0 =. На втором шаге Q1 + q + 2 u1 ibu0 = 0, M 1 = Q1 r,... (6.

4.16) По теореме взаимности с величинами первого шага 2 u0 · u1 ds = (q + 2 u1 ibu0 ) · u0 ds bU 2 ds q · U ds — (6.

4.17) = i похоже на (6.

4.14).

Все представленные асимптотические решения уязвимы в том, что неизвестна их реальная точность (т. е. насколько мало должно быть ).

Но этот вопрос остаётся без ответа и в любой линеаризованной модели.

6.5 Нелинейные колебания В этом случае амплитуды не считаются бесконечно малыми и линеари зации уравнений нет. Не действует правило суперпозиции, свободные и вынужденные колебания не складываются. Частота свободных колебаний зависит от амплитуды. Одно и то же воздействие может вызвать разные вынужденные режимы. Возможны периодические невынужденные колеба ния с демпфированием (автоколебания).

Эти закономерности можно установить асимптотическим методом Пу анкаре (п. 1.6 и п. 2.8). Рассмотрим простейшую континуальную систему — балку:

auIV + + = p(x) sin t, (6.

5.1) u где — диссипативные или нелинейно упругие силы. Правая часть написа на для резонансных колебаний. При p = 0 и отсутствии диссипации имеем 6.5 Нелинейные колебания свободные колебания с неопределённой частотой — функцией амплитуды.

Если же диссипативные силы присутствуют, то при p = 0 возможны ав токолебания с определённой частотой и амплитудой. Простейший вариант граничных условий к (6. — шарнирное опирание: u = 0, u = 0 при 5.1) x = 0, l.

Автоколебания. В (6. p = 0, 5.1) (6.

5.2) u = u0 (x, ) + u1 (x, ) +..., = t(1 + 1 +...), где 1,... — неизвестные постоянные, определяющие поправку к частоте.

Переписав (6. как 5.1) auIV + + (1 + 21 +...) u = 0, (6.

5.3) на первом шаге получаем суперпозицию главных колебаний с частотами k = (k/l)2 a/ и формами l 2 kx Uk = sin Uk Un dx = kn.

l l Ограничимся первой формой:

(6.

5.4) u0 = A cos 1 U1 (x), амплитуда A пока произвольна.

На втором шаге имеем задачу о вынужденных колебаниях:

auIV + u1 = 0 21 u0 (x, ).

2 (6.

5.5) Её решение l 2 Uk dx k ( ) (6.

5.6) u1 = k ( )Uk (x), k + k k = k=1 должно быть периодическим — резонанса на первой форме нет:

2/ cos (6.

5.7) 1 ( ) d = 0.

sin Динамика упругих тел Это система двух уравнений для амплитуды A и сдвига частоты 1.

Резонансные вынужденные колебания. Приведем лишь математиче ские выкладки:

u0 = A sin(t ) U1 (x), u = u0 (x, t) + u1 (x, t) +..., auIV + 1 = p(x) sin t 0 (x, t), u u1 = k (t)Uk (x), k + k k = k = 1 (pk sin t 0k ), 2/ 2/ p1 — (6.

5.8) 0k sin t dt = 0, 0k cos t dt = 0 система уравнений для A и. Решение нулевое, если нагрузка p ортого нальна первой форме (p1 = 0).

6.6 Критические скорости роторов Этот вопрос очень важен для проектирования и эксплуатации машин в энергетике, авиации, судостроении и др. Явление критической скорости вращения ротора, на которой его жёсткость как бы исчезает, наблюдалось в реальности и исследовалось теоретически.

На рис. 22 показан массивный упругий ротор — произвольной формы. Часть границы O1 закреплена z на твёрдой платформе и вращается вокруг оси z с O n заданной угловой скоростью. Остальная часть O свободна. Нагрузкой являются объёмные силы f.

R Связанная с основанием O1 система отсчёта неинерциальна, в ней действуют силы инерции пе реносного движения и Кориолиса (п. 2.3). Поэтому объёмной силой в (4. гл. 4) является 1.1, k O f = u + 2 k (k R) + 2k u (6.

6.1) W (k — орт оси z). Радиус-вектор R = r + u, двойное Рис. векторное произведение равно kz R = R — имеем постановку · + 2 u 2k u u = 2 r f 0, = 4C··, uS, n· (6.

6.2) = u|O1 = 0, = 0.

O 6.6 Критические скорости роторов Справа в уравнении баланса — центробежные силы (f 0 ) недеформиро ванного ротора, а слева — обусловленные деформацией реакции: упругие, центробежные, кориолисовы и инерционные ( ). Центробежные реакции u содержат некую отрицательную жёсткость, пропорциональную 2. На кри тической скорости она нейтрализует положительную жёсткость упругой конструкции.

Эти простые представления усложняются кориолисовыми и инерци онными силами, а также демпфированием (его пока нет в модели). Роль демпфирования важна, оно может вызвать неустойчивость [61]. Но в но минальном, желаемом режиме u = 0 — имеем статику.

Однородная задача статики · + 2 u = 0, n· (6.

6.3) u|O1 = 0, = O имеет нетривиальные решения U i (r) лишь при некоторых i — критиче ских скоростях. Неоднородная же задача с нагрузкой f 0 разрешима (при = i ) только если f 0 · U i dV = 0, (6.

6.4) что следует из теоремы взаимности работ. Полагая f 0 = r, получим условие сбалансированности ротора (для i ).

При невыполнении (6. равновесие невозможно, необходимо динами 6.4) ческое рассмотрение с учётом инерционных, кориолисовых и диссипатив ных сил. Но этот учёт нужен и при исследовании устойчивости равновесия на любой скорости. Можно ожидать устойчивости до первой критической скорости ( 1 ).

Проверим эти соображения на предельно упрощённой модели в виде массы с пружиной и демпфером:

m = cu bu + m 2 u 2k u, (6.

6.5) u где u = u = u e. Вводя комплексную комбинацию u = u1 + iu2, получим u = 2 p2 u 2(n + i)u, p2 c/m, 2n = b/m;

u = e : + 2(n + i) + p2 2 = 0, t 1,2 = n (1 ± /p) i( ± p) + O n2 (n 0). (6.

6.6) По вещественной части видно, что при p — асимптотическая устой чивость, а при p — неустойчивость.

Динамика упругих тел В действительности картина намного сложнее — от влияния внешнего трения. На опыте установлено, что устойчивость возможна и при 1.

Задача на собственные значения для критических скоростей (6. от 6.3) личается от задачи для частот (i ) и форм колебаний лишь тем, что в нагрузке нет uz. Инерция от этого снижается, и по теореме Рэлея (6.

6.7) i i.

Для выяснения глубины этого неравенства С. Г. Орлов рассмотрел чис ленные решения для ротора из двух коаксиальных цилиндров: радиус ра вен R1 при z [0, l1 ] и R2 при z [l1, l1 + l2 ]. Значениям параметров R1 = 0.05 м, R2 = l1 = l2 = 1 м, E = 2 · 1011 Па, = 0.3, = 7800 кг/м соответствует 1 = 5.89 (c1 ), 2 = 80.2, 3 = 2718;

(6.

6.8) 1 = 5.37, 2 = 44.1, 3 = 2707.

Различие 2 и 2 обусловлено сравнительно большими uz в этих решени ях.

Обратимся далее к модели, где часть V1 объёма ротора — жёсткая, а остальная часть V2 — упругая и безынерционная. В объёме V uS = 0 u = uC + x, x r rC, (6.

6.9) точка C есть центр массы (V1 ). Имеем интегралы dm dV, xx dm J ;

(6.

6.10) x dm = 0, dm = m, обычный тензор инерции I = JE J. Массовая сила, её главный вектор и момент таковы f = 2 u 2k u u, f dm = m 2 uC 2k uC uC, (6.

6.11) F= x f dm = 2 (kJ z + Jz ) + 2Jz k I · — M= если J = J + Jz kk.

Реакции упругой части V2 — линейные функции uc и. Связывая их с F и M, получим систему дифференциальных уравнений для uC (t), (t). В 6.6 Критические скорости роторов «статике» это будет линейная алгебраическая однородная система;

прирав няв нулю определитель, получим уравнение для критических скоростей.

6.8) часть V1 — это цилиндр: J = E mR2 /4, В примере (6.

Jz = mh /3 (R = R2 = 2h). Упругая часть V2 — это балка. Обозначив (...)0 перемещение, поворот, силу и момент на конце балка (z = l = l1 ), будем иметь uC = u0 + hk, = 0, Q0 = F, M 0 = M + hk F, l2 b l k Q + M 0 + M0z k, = 2a a az l3 l l l Q + M 0 k + Qz k, (6.

6.12) u0 = + 3a b 2a bz где a, az, b, bz — жёсткости на изгиб, кручение, сдвиг и растяжение. Вычис ления дают те же значения 1,2, что и в (6. Совпадение обнаруживается 6.8).

и в расчёте частот колебаний 1,2.

Разумеется, в модели с жёсткой и безынерционной частями нет 3 и 3.

Библиография Общие положения теории колебаний изложены во многих книгах:

В. Л. Бидермана [7], Я. Г. Пановко [73], Ф. Р. Гантмахера [20], С. П. Тимо шенко [98] и других. О колебаниях оболочек написано в [22].

Волновые процессы рассматриваются у Л. И. Слепяна [88], В. Т. Грин ченко и В. В. Мелешко [26]. Нелинейные волны — в книгах Дж. Уизема [104], Ю. К. Энгельбрехта и У. К. Нигула [116].


Представления о критических скоростях роторов изложены у А. Тондла [101].

Глава Устойчивость равновесия 7.1 Основы теории устойчивости Явления потери устойчивости разнообразны и часто очень опасны. На пример, обдуваемая ветром постоянной интенсивности конструкция мо жет непонятным образом раскачаться до катастрофических деформаций.

Расчёты критических состояний — едва ли не самые важные.

Очень эффективен подход А. М. Ляпунова: процесс устойчив, если при достаточно малых возмущениях начальных условий отклонения остаются малыми. Для линейной системы корни характеристического уравнения не должны выходить в правую полуплоскость:

A + B q + Cq = 0, q = i Vi ei t ;

q Vi, i : (A2 + B + C)V = 0, Re i (7.

1.1) 0.

Заметим, что в линейной системе все процессы устойчивы или неустойчи вы вместе — поэтому говорят об устойчивости системы. Но при наличии нелинейности рассматривают процессы: одни устойчивы, а другие — нет.

Линейные постановки описывают малые отклонения и получаются линеа ризацией — варьированием.

Достаточно общей является следующая модель (7.

1.2) A = Q(q, p), q где p — параметр нагрузки, A — симметричная и положительная матрица инерции. В статике Q = 0 q = q (p), а для малых отклонений (q = qq ) Q Q p, C (7.

1.3) Cq = p.

q 7.2 Устойчивость стержней Положение равновесия перестает быть изолированным при det C = 0 — то гда однородные линеаризованные уравнения статики приобретают нетри виальное решение. В этом суть предложенного Эйлером статического под хода к определению критических нагрузок (p ). Этот подход вполне согла суется с динамическими представлениями для консервативных систем, в которых матрица C = 2 /q 2 симметрична. При этом в задаче A2 + C U = 0 (7.

1.4) 2 вещественны;

потеря устойчивости наступает при = 0, что означает i статику.

Присущее реальным системам трение превращает устойчивость в асимптотическую (Re i 0), причём не только по Ляпунову, но и при по стоянно действующих возмущениях [61]. Применение специального «ме тода несовершенств» для расчёта критических нагрузок не представляется необходимым.

Динамический подход (7. обязателен в системах с циркуляционны 1.1) ми силами, т. е. при C A = (C C T )/2 = 0. Роль демпфирования здесь усложняется — она может быть дестабилизирующей. Подробнее об этом — в п. 7.3.

Напомним, что система консервативна, если связи стационарны и все силы имеют независящий от времени потенциал. Для консервативности упругой системы такой потенциал должен быть у внешних нагрузок — как у сил тяготения или электростатических. В задачах устойчивости необхо димо точное описание изменения нагрузок при деформации.

7.2 Устойчивость стержней Потере устойчивости более подвержены тонкие тела — стержни, пласти ны и оболочки. Задачи о стержнях проще, ряд точных решений был полу чен ещё Эйлером. Уравнения устойчивости стержней выводятся из точных нелинейных уравнений п. 5.2 путём варьирования. Символ (...) означает вариацию величины: нагрузки q, радиус-вектора r = u, тензора поворота P = P и т. д.

Из (5. гл. 5) имеем 2.3, M + u Q + r Q + m = 0. (7.

2.1) Q + q = 0, Устойчивость равновесия Немного сложнее варьировать соотношения упругости (5.

2.12, гл. 5). Огра ничимся случаем C = 0 и учтём (5.

2.10, гл. 5):

= a a, = + M = a · + a ·, a M = M + a · ;

Q = Q + b ·, u r. (7.

2.2) При варьировании из ненапряжённого состояния покоя (7. (7. пе 2.1), 2.2) реходят в уравнения линейной теории (п. 5.3). Коэффициенты уравнений вообще определяются состоянием перед варьированием.

Соотношения (7. упрощаются в классической модели (без растяжения 2.2) и сдвига) — вместо Q пишут = 0. Большинство задач решено именно для этого случая. Рассмотрим примеры.

Прямой консольный стержень с «мёртвой» продольной силой на свободном конце (рис. 16, п. 5.2). Перед варьированием имеем недефор мированное напряжённое состояние: r = k, Q = F k, M = 0, a = a1 ii + a2 jj + a3 kk. На свободном конце Q = 0, M = 0. Согласно (7.

2.1), (7.

2.2), M +( k)Q = 0 M = F = a·. (7.

2.3) Q = const = 0, Приходим к задаче на собственные значения:

(7.

2.4) a1 x + F x = 0, x (0) = 0, x (l) = 0.

Критической является та минимальная нагрузка, при которой существует нетривиальное решение — 2 a (7.

2.5) F =.

4l Опрокидывание балки (рис. 23).

Сечением балки является вытянутый y F прямоугольник — жёсткость на изгиб, состояние перед варьировани x a3 M = k(l x)F. На свободном конце ем Q = 0, M = 0. В (7. имеем Q = 0, 2.1) Рис. M = F y i. В компонентах далее полу чим x y M = y Mz + a1 x, M = x Mz + a2 y = 0, a1 a2 x + F 2 (l x)2 x = 0, x (0) = 0, x (l) = 0. (7.

2.6) 7.2 Устойчивость стержней Решение уравнения выражается через функции Бесселя [32];

критическая комбинация параметров F l (7.

2.7) = 4. a1 a (поскольку первый корень функции J1/4 равен 2.006).

Кольцо с внешним давлением. Геометрия показана на рис. 17, п. 5.3, направления t, n, ez являются главными для тензора a, нагрузка q = pn сохраняет величину (p), но поворачивается вместе с n: q = p n. Мож но показать, что такая нагрузка консервативна при деформации в плоско сти кольца. Перед варьированием имеем недеформированное кольцо ра диусом k 1, Q = pk 1 t, M = 0. Уравнения в компонентах похожи на (5.

3.14, п. 5.3):

t kQn p = 0, n + kQt = 0, M + n + pk1 = 0, Q Q Q M = a3, ut kun = 0, un + kut =. (7.

2.8) Решение должно иметь период 2k 1, поэтому в экспоненциальных реше ниях (Qt,...) = (Qt,...)es будет = ikN с целым N. Дифференциаль ные уравнения (7. превратятся в алгебраические для Qt,... Равенство 2.8) нулю определителя даст критическую величину нагрузки как функцию N.

Минимум при N = p = 3ak 3. (7.

2.9) В литературе можно найти множество подобных решений, хотя урав нения (7. (7. остаются малоизвестными.

2.1), 2.2) «Неклассические» решения с растяжением и сдвигом строятся несколь ко сложнее. Используя (5.

2.17, гл. 5), получим обобщение (7.

2.5):

2 a F + F 2 b1 b1 = (7.

2.10).

2 4l Анализ этого квадратного уравнения показывает, во-первых, снижение кри тической нагрузки от сдвига. Во-вторых, возможна неустойчивость при растяжении. В третьих, критического состояния при сжатии может не быть.

Эти выводы формально безупречны, но квадратичное выражение энергии (в их основе) не годится при больших деформациях.

Устойчивость равновесия 7.3 Неконсервативные задачи В постановке (7. матрица позиционных сил C несимметрична. Связан 1.1) ные с антисимметричной частью C A циркуляционные силы возникают от источника энергии: двигателя, воздушного потока и др. При потере устойчивости энергия расходуется на катастрофически растущие колеба ния (флаттер).

В задаче (7. значения 2 теперь не обязаны быть вещественными, 1.4) критическое состояние не связано с = 0 — статический подход не рабо тает. Корни характеристического уравнения образуют четверки:,,, ;

поэтому устойчивость в постановке (7. будет лишь при чисто мни 1.4) мых = i. Без нагрузки (p = 0) имеем частоты главных колебаний i ;

с ростом p точки i движутся по мнимой оси до слияния в критическом состоянии и последующего расхождения вправо и влево. Критическим (p ) является минимальное (по модулю) решение системы f (, p) C 2 A = 0, (7.

3.1) f = 0.

Не только необходимость динамического подхода усложняет неконсер вативные задачи. Становится обязательным учёт трения — оно может вы звать неустойчивость. Установлен парадокс Циглера: критические пара метры без трения могут отличаться от таковых при бесконечно малом тре нии [75, 111]. Но силы трения известны несравненно менее упругих, так что достоверность расчётного определения p снижается.

И ещё одну сложность следует отметить — в случае кратных корней, когда точки i слиты уже при p = 0. Нет «запаса устойчивости» — рассто яния между i, которое должно быть пройдено до потери устойчивости...

Пример — прямой консольный стержень (рис. 16, п. 5.2) с равными жёст костями на изгиб (но для неконсервативности нужна другая нагрузка — например, Q = F r при s = l).

Иллюстрацией могут служить «Парадоксы Николаи» [75] в задаче о консольном стержне с крутящим моментом и продольной силой на кон це. Здесь статический подход не работает, а в динамике обнаруживается неустойчивость при сколь угодно малой нагрузке.

Роль консервативности нагрузки рассмотрим на примере изгиба балки с «высоким сечением» (рис. 23). В отличие от решения (7. на конце x = l 2.6), приложен момент. Допустим сначала, что M (l) = 0 (7.

3.2) M (l) = Hk = const 7.4 Уравнения в вариациях для нелинейных оболочек («мёртвый» момент). Имеем Q = 0, Q = 0, M = Hk, M =0 M = M + a · = 0;

(7.

3.3) (0) = 0.

Для функции (x) имеем однородную задачу Коши с тривиальным реше нием при любой нагрузке H. Статический подход здесь недопустим из-за неконсервативности постоянного момента.

Консервативен момент от двух «мёртвых» сил:

M (l) = Hi e2 M (l) = Hi ( j) = Hx j. (7.

3.4) Перед потерей устойчивости M = Hk, Q = 0. Изменения в (7.

3.3):

ay y Hx = Hx (l);

— (7.

3.5) ax x + Hy = 0, H = ax ay 2l такова критическая нагрузка.

7.4 Уравнения в вариациях для нелинейных оболочек Используем соотношения с тензорами Пиола из п. 5.8 и действуем как в п. 3.10. Для краткости вариации будем обозначать точкой: a a Начнём с.

(5.

8.14, гл. 5):

· T + q = 0, T = + µ· B + µ · B + QN + QN. (7.

4.1) Целью выкладок являются линейные соотношения с вектором перемеще ния R u. Согласно (5. гл. 5), 8.6, N = u · N. (7.

4.2) Сохраняются равенства = R, F = RT = R r, G = r T = r R, = r, = FT · = GT ·, F · G = A = E NN, G · F = a.

, (7.

4.3) Проварьируем векторы базиса и градиенты деформации:

R = u F = uT. (7.

4.4) Устойчивость равновесия Для «обратного» тензора G и кобазиса R имеем G · F + G · F = 0, G · N + G · N = G = G · F· G + NN = G · u · N N = r R uT R = R · uT u· NN. (7.

4.5) Вариация второго метрического тензора B = R N R N = 2( u·B)S + B· u·N N + u·N. (7.

4.6) Обратимся к соотношениям упругости (5.

8.13, гл. 5):

T · F, C = F T · F + F T · F = ·FT + = C C Eh = F T · uS · F, (tr C)a + (1 )C — (7.

4.7) = 1 C для квадратичного потенциала (5.

7.22, гл. 5). При варьировании последнего выражения достаточно заменить C на C. Для моментов T ·FT + ·F, µ = K K S K = F T · B · F = 2 + F T · B· F, u· B · F = D (tr K)a + (1 )K (7.

4.8) K (с цилиндрической жёсткостью D = Eh3 /12(1 2 )).

Осталось проварьировать выражение (5.

8.16, гл. 5) перерезывающей си лы Q. Считая m = 0, перепишем его:

· µ = Q.

G· · µ + Q = 0 G· · µ + G· (7.

4.9) Заметим, что знак () здесь не нужен.

Из (7. – (7. следует одно векторное уравнение для u. Граничные 4.1) 4.9) условия к нему просты лишь при заданных на краю перемещении и пово роте.

7.5 Устойчивость пластин Линейная теория получается при варьировании от ненапряжённого со стояния. В этом случае R = r, =, N = n, A = a = F = G, B = b, N = u · n, C = K = ( uS u · n),, T = + µ· b + Qn, ··C, = C 2 · T + q = 0, · µ = Q.

··K, (7.

4.10) µ = K От уравнений п. 5.7 это отличается лишь некоторыми обозначениями.

7.5 Устойчивость пластин Как иллюстрацию к выведенным уравнениям рассмотрим пластину, на ходящуюся до потери устойчивости в плоском напряжённом состоянии.

Будем считать жёсткости C1,2 в (5.

8.22, гл. 5) бесконечно большими, так что докритической деформации нет. Имеем (7.

5.1) N = const, B = 0, A = a = F = G, =.

Допустим далее, что перемещение представлено лишь прогибом:

u = wN N = w, F = N w, B = w, C = 0, K = (7.

5.2) w.

Для напряжений из (7. и (7. следует 4.7) 4.8) = · µ = D wa + (1 ) (7.

5.3) wN,, w.

C Очевидно, есть напряжение в плоскости перед варьированием, а момент µ = 0.

Перерезывающие силы находим из (7.4.9):

Q = a · · µ = D w, (7.

5.4) после чего обращаемся к (7.

4.1):

T = · w + Q N, · ( · w) Dw + qN = 0. (7.

5.5) Пришли к «основному уравнению теории устойчивости пластин». Множе ство примеров есть в [4, 17, 95].

Устойчивость равновесия 7.6 Вращение гибкого вала в трубке-оболочке Своеобразная потеря устойчивости возникает при передаче вращения по средством гибкого вала [75]. Упругий стержень вставлен в жёсткую трубку оболочку и приводится во вращение от одного конца (рис. 24). Внутренняя поверхность трубки идеально гладкая, но вращение ведомого конца может быть резко неравномерным, с остановками и скач ками. Плавно возрастающий поворот ведущего конца 0 является параметром нагрузки;

при по тере устойчивости dl / d0, (7.

6.1) f0 где l — поворот ведомого конца. Любопытно не только само явление, но и его описание в рамках Рис. 24 нелинейной теории стержней.

Из п. 5.2 используем следующие уравнения M + t Q + m = 0 (t r ), M = a ·, = (i i0 )ei. (7.

6.2) Направления ei — главные для тензора жёсткости a. Обратимся к рис. (п. 1.2) и примем, что e3 = t (орт касательной), а e1 и e2 получаются из n и b поворотом на угол (s) — как при выводе (5. гл. 5). Учитывая 2.8, (1. гл. 1), получим 2.2, (7.

6.3) 1 = k sin, 2 = k cos, 3 = +, а в начальном состоянии 10 = k0 sin 0 и т. д. Проекция уравнения мо ментов на касательную:

Mt kMn + mt = 0 a3 ( + 0 0 ) = = k [a1 (k sin k0 sin 0 ) cos a2 (k cos k0 cos 0 ) sin ] mt.

(7.

6.4) Вращение медленное, трения нет — mt = 0.

Основное для данной задачи уравнение (7. имеет вид 6.4) + g(, s) = и в общем случае интегрируется лишь численно. Однако в случае g = g() проходит решение в квадратурах по схеме (5.

2.18, гл. 5). Граничные условия:

= 0 + 0. (7.

6.5) (0) = 0, Mt (l) = 7.6 Вращение гибкого вала в трубке-оболочке Отметим, что кривизна k и кручение полностью определяются формой трубки согласно (1. гл. 1), а k0 и 0 — начальным состоянием. Основным 2.2, результатом является зависимость (l) = l (0 ) — для проверки (7.

6.1).

Пример: форма трубки — дуга окружности, начальная форма вала — дуга окружности другого радиуса, жёсткости на изгиб равны. В этом слу чае = 0 = 0 (всегда для плоской кривой), 0 = 0, k и k0 — const, a1 = a2 = a, и задача принимает вид = p2 sin, p2 k0 ka/a3. (7.

6.6) (0) = 0, (l) = Решим по схеме (5.

2.18, гл. 5):

12 l + p2 cos = p2 cos l 2 = 4p2 cos2 cos2 ;

2 2 l cos = q sin, q cos = 2pq cos, 2 q cos = sin = pq cos 1 q 2 sin 2 = p;

1 q 2 sin d = F (, q) F (0, q). (7.

6.7) ps = 1 q 2 sin Введение переменной — известный прием интегрирования «уравне ния обращённого маятника». При возрастании s от 0 до l угол убы вает от 0 до l, cos /2 соответственно возрастает, а возрастает от 0 = arcsin(q 1 cos 0 /2) до /2. Появляются эллиптические интегралы первого рода — неполный и полный [45]:

d (7.

6.8) F (, q) =, K(q) = F,q.

q 1 sin Параметр q пока неизвестен. Но он определяется из (7. при s = l:

6.7) pl = K(q) F (0, q) q(0 ). (7.

6.9) Чтобы найти (s), необходимы эллиптические функции (Якоби) ампли туды и синуса:

F = F (, q) (7.

6.10) = am(F, q);

sin = sn(F, q).

Устойчивость равновесия Из (7. и (7. получим 6.7) 6.9) = am [K(q) p(l s), q], (7.

6.11) = 2 arccos(q sin ).

Искомая связь поворотов:

0 = 2 arccos (q sn [K(q) pl, q]), q = cos l /2 — (7.

6.12) параметрическое задание функции l (0 ).

Эти зависимости1 представлены на рис. 25 — для различных значений pl. При pl /2 име fl ем однозначную нелинейную зависимость, вра щение ведомого конца более или менее плавное.

Но в случае pl /2 зависимость неоднозначна, p плавное возрастание l вместе с 0 заканчивается перескоком, вращение становится резко неравно мерным.

p Если в начальном состоянии вал прямой, то f k0 = 0, p = 0 и l = 0 — идеальная равномер ность. Но реально это недостижимо, всегда есть Рис. искривлённость.

Библиография Необходимые сведения из общей теории устойчивости содержатся в книге Д. Р. Меркина [61].

Очень интересные детали и парадоксы описаны В. И. Феодосьевым [106], Я. Г. Пановко и И. И. Губановой [75]. Нельзя не отметить книги Г. Циг лера [111], С. П. Тимошенко [95], а также А. С. Вольмира [17] и Н. А. Алфу това [4].

Сложные вопросы устойчивости оболочек рассмотрены П. Е. Товсти ком [100], Э. И. Григолюком и В. В. Кабановым [25].

Особенности неконсервативных задач раскрыты у В. В. Болотина [12].

1 Построены Т. В. Зиновьевой Глава Малые пластические деформации 8.1 Экспериментальные данные Прекрасная модель упругого тела построена умозрительно, без ссылки на опыт. При описании же пластических деформаций ссылки на эксперимент обязательны — и прежде всего на диаграмму деформирования малоуглеро дистой стали.

Имеется в виду цилиндрический образец с деформацией растяжения и соответству- s C ющим напряжением. В некоей испытатель- D AB ной машине задаётся (t) (т. е. функция вре мени) и измеряется (t). На рис. 26 сплошной линией OABCD показан процесс при задан O ном монотонном возрастании от нуля (это e не график ()!). Прямой (почти «вертикаль- FE ный») участок OA соответствует линейной упругости. Далее — «площадка текучести»

Рис. AB: деформация растёт при неизменном.

Затем начинается «участок упрочнения» BD.

Пунктирная линия CEF получается при разгрузке: в точке C становит ся 0. Участок разгрузки CE параллелен OA, за ним следует площадка текучести при сжатии EF, и далее упрочнение.

На рис. 26 не показаны результаты повторной нагрузки: если разгрузку закончить где-то между C и E, то нагрузка «пойдет» по линии ECD. В роли «предела текучести» выступит напряжение в точке C — а не в A, как сначала.

Малые пластические деформации Очень важно, что диаграмма 26 не зависит от скорости деформирова ния — линия OABCD одинакова для всех монотонно возрастающих функ ций (t). Разумеется, это идеализация. Но без подобных упрощений моде лирование невозможно.

Следует отметить эффект Баушингера: |E | A — предел текучести при разгрузке меньше, чем первоначальный при нагрузке.

С параллельностью участков OA и EC связано правило сложения де формаций: = e + p, где упругая деформация e связана с напряжением законом Гука, а пластическая деформация p начинается лишь за пределом упругости.

Для пластичности металлов найдено объяснение на микроуровне. В идеальных монокристаллах с периодической структурой решетки пластич ности нет — для сдвига по кристаллической плоскости на период потре бовалось бы напряжение на два порядка выше предела текучести. Пла стичность возникает от движения дислокаций — дефектов решетки в виде краев незаконченных плоскостей и других особых линий [49, 93]. В состо янии текучести дислокации легко перемещаются до остановки на границах зерен. Заметим, что в теории упругости дислокации были описаны на чет верть века раньше, чем их нашли физики-экспериментаторы.

При описании пластичности изотропных материалов полезно выде лить в напряжениях и деформациях шаровые части и девиаторы:

1 e Dev, S Dev. (8.

1.1) = E + e, = E + S, 3 Первый инвариант (след) девиатора равен нулю. В опытах обнаружено, что эффекты пластичности проявляются лишь в девиаторах. Шаровые же части связаны как в упругом теле: = E/(1 2).

Начало пластического течения при нагрузке определяется условием те кучести (8.

1.2) F ( ) = k, где k — константа материала. В случае изотропии опытным путём найдены два варианта:

(1 3 ) = max tn, (8.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.