авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«В. В. Елисеев Механика деформируемого твёрдого тела Санкт-Петербург 2006 УДК 539.3 Елисеев В. В. Механика деформируемого ...»

-- [ Страница 4 ] --

1.3) F1 ( ) = F2 ( ) = S··S/2, нормы Треска и Мизеса. Сопоставим их для напряжённых состояний одно 8.2 Определяющие уравнения осного растяжения и чистого сдвига:

1. = ii, = 1 0, 2 = 3 = 0, F1 = /2, 1 S = E = (2ii jj kk), F2 = / 3;

3 2. (8.

1.4) = (ij + ji) = S, F1 = F2 =.

Расхождение лишь в первом случае, но незначительное. Оба варианта при емлемы.

8.2 Определяющие уравнения В теории пластичности связь напряжений и деформаций много сложнее, чем в теории упругости. Для идеально-пластического тела общепризнано следующее 0, F ( ) k p = = e + p, e = 4S··, (8.

2.1).

F/, F = k Упругая деформация e связана с напряжением законом Гука (с тензором податливости 4S;

= 4C · ·e ). Пластическая деформация p развивает ся лишь при достижении F предела текучести k. Формула для p выра жает ассоциированный закон течения, в нём содержится та же функция F ( ), что и в условии текучести. Скаляр является самостоятельной неиз вестной (это некий множитель Лагранжа). Появление новой неизвестной компенсируется условием F = k.

К (8. необходимо добавить принцип максимума Мизеса: при задан 2.1) ной p D( ) ·· p max.

(8.

2.2) Отсюда следует ассоциированный закон течения. Ведь имеем задачу на условный экстремум с решением по методу Лагранжа:

D D( ) = D F, =0 (8.

2.1).

Другим следствием (8. является выпуклость поверхности текучести:

2.2) ( )·· p 0.

(8.

2.3) Малые пластические деформации «Концы векторов и лежат на поверхности текучести, вектор p направ лен по нормали, поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости» — но эта геометрическая интерпретация необязательна.

Выясним смысл величины D, рассматривая баланс энергии. Мощность внешних сил n · · u dO + f · u dV = ( · + f ) · u + ·· dV O V V превышает скорость изменения механической энергии ( ·· e + u · u) dV ( + u2 ) dV = V V на величину D dV — D есть скорость диссипации энергии в единице объ ёма. К заключению о максимуме D можно прийти, рассматривая обычные силы сухого трения — их направление обеспечивает максимум диссипации.

Принцип (8. раскрывает связь с p и является одним из важнейших 2.2) положений теории пластичности.

При условии текучести Мизеса с F2 ( ) (8. ассоциированный закон 1.3) сводится к следующему p = ep = S, (8.

2.4) поскольку 1 F2 ·· S + E = F2 = S··S = 2F2 F2 1 F2 F2 ··S + tr = Dev = S.

3 2F Если же принять условие Треска, закон течения усложнится.

Модель идеально-пластического тела соответствует на диаграмме де формирования (рис. 26) участку OAB. Для описания упрочнения (BCD) необходимо заменить условие текучести условием упрочнения. В простей шем случае можно считать k функцией некоторого параметра упрочнения:

k = k(Ap ), Ap ·· dp — (8.

2.5) энергетическое условие. Пластическая деформация начинается при F ( ) = k(0). Далее имеем подвижную поверхность нагружения, на которой 0, F p = (8.

2.6) F = k,.

F/, F 8.2 Определяющие уравнения Эта поверхность служит для разграничения нагрузки и разгрузки — по знаку F.

При идеальной пластичности k = const, и в состоянии течения F = 0.

В случае упрочнения это равенство означает остановку течения («ней тральное нагружение»).

В модели с упрочнением можно получить универсальное выражение, продифференцировав условие текучести:

F/ F ·· = k (Ap ) ·· p = ··, (8.

2.7) F=.

F k (Ap ) ·· Ничего подобного нет при идеальной пластичности — там получается не определённость 0/0. Учитывая правило сложения деформаций, получим F ·· — (8.

2.8) = S+ как в линейно упругой среде с переменной податливостью.

Энергетическое условие упрочнения (8. означает изотропное расши 2.5) рение поверхности текучести в пространстве напряжений и потому не опи сывает эффект Баушингера. Для учёта последнего необходимы более слож ные условия.

При идеальной пластичности изотропного материала 1 (S) F2 k 0, — (8.

2.9) e= S+ S, =k 2µ это соотношение Прандтля будем часто использовать.

В качестве примера рассмотрим растяжение и кручение тонкостен ной трубки. При осевой силе P и крутящем моменте M тензор напряже ний P M z ez ez + z (ez e + e ez ),, (8.

2.10) z =, z = 2R2 h 2Rh где z и — цилиндрические координаты, R — радиус трубки, h — толщина стенки. По удлинению W и углу поворота торца находятся деформации z = W/l, z = R/2l (l — длина трубки). Задаём программу мыслен ного эксперимента: сначала только кручение с растущим до появления пластических деформаций, затем растяжение с постоянным. Из (8.2.10) и Малые пластические деформации (8. находим S, 2.9) 2 12 Sz = z, Sz = z, (S) = + z, 3z 1 1 1 z + z. (8.

2.11) z = + Sz + Sz = z + Sz, z = 3 2µ E 2µ На этапе растяжения имеем z = 0, z + z /3 = k 2, 2 1 1 z z = z z + z z =, 2µ 3k 2 z z 1 1 z z = z + dz = 3k 2 z E 3µ 1 1 k k 3 + z z + ln — (8.

2.12) = 6µ 1+ 3 k 3 z плавная зависимость с асимптотой на уровне z = k 3. При этом z убывает до нуля.

Вернёмся к (8. и допустим, что S 0. Тогда 2.9) (8.

2.13) e = S = + dt.

2µ Такое соотношение (без скоростей) характерно для деформационной тео рии пластичности. Некоторые авторы считают её верной и при непостоян стве S. В примере с (8.

2.10) 1 2 2 z z = z = (8.

2.14) z = z + z,, 3E 3 k2 z / и кривая растяжения z (z ) отличается от (8.

2.13).

8.3 Полый шар под действием внутреннего дав ления Задача линейной термоупругости со сферической симметрией была рас смотрена в п. 4.11. Вид тензора напряжений, уравнения баланса сил и сов местности (4.

11.5, 4.

11.6, гл. 4) сохраняются. Граничные условия:

r (a) = p, (8.

3.1) r (b) = 0;

8.3 Полый шар под действием внутреннего давления давление p монотонно возрастает от нуля. Имеем = tr = r + 2, S = Sr er er + S (E er er ), | r | Sr = (r ) = 2S, (S) = (8.

3.2).

3 Очевидно r 0, 0 — знак модуля в не нужен (ссылки на очевид ность характерны для задач теории пластичности).

Упругое поведение будет при p p0, где p0 пока неизвестно;

везде k. Можем воспользоваться уравнением (4. 11.8, гл. 4) — без температурного слагаемого. Решаем уравнение Эйлера:

r = rn, n(n 1) + 4n = 0 n1 = 0, n2 = 3;

1 b3 /r B r B r = A 3 = p (8.

3.3) ;

= r + r = A + 3.

3 /a 1b r 2 2r Пластическая деформация начнется на внутреннем радиусе, поскольку = B 3/2r3. Найдём p0 :

a B3 2k = k p0 = 1 3. (8.

3.4) 2a b В упруго-пластической стадии (p p0 ) естественно предположить на личие двух зон: пластичности (r ) и упругости (r ). Радиус неиз вестен, на нём непрерывны r и. В зоне упругости 1 1 B 3 ;

(8.

3.5) r = B = k.

b3 r В пластической зоне решение оказывается на удивление простым:

r 2k 3 r r = p + 2k 3 ln. (8.

3.6) r = 2 = r r a Осталось найти из условия непрерывности r :

2k p + 2k 3 ln = 1 (p). (8.

3.7) b a Функция (p) возрастает до значения b при давлении b (8.

3.8) p = 2k 3 ln.

a Малые пластические деформации Такова несущая способность модели, равновесие с p p невозможно (только течение с ускорением).

Заметим, что p можно найти очень просто, если в (8. потребовать 3.6) и r (b) = 0 — т. е. по условию разрешимости уравнения первого поряд ка с двумя граничными условиями. Это математическое явление позднее рассмотрим в общей постановке.

Перемещение u = u(r)er можно определить двумя способами. Первый связан с определяющими уравнениями (8. 2.13) — условие S = 0 выполняет ся. Неизвестную функцию (r) можно найти из уравнения совместности.

Но проще другой способ, основанный на законе Гука для первых инвари антов:

1 u (8.

3.9) u +2 = (r + 2 ).

r E Правая часть известна, u(r) находится интегрированием (после умножения на r2 ).

Разгрузка описывается уравнениями линейной упругости. Они связы вают разности p p1, 1,..., где (...)1 — значения в начале разгрузки.

В частности, b3 b = (p p1 ) r r 1 3, r a r 1 1 = p + 2k 3 ln (8.

3.10) r (r (p )).

a Полагая p = 0, получим выражение остаточного напряжения.

8.4 Балки и диски Рассмотрим элементарную теорию упруго-пластического изгиба балки Бер нулли — Эйлера. Ось x направлена вдоль балки через центры тяжести се чений;

в плоскости y, z сечение занимает область |y| h/2, |z| b(y)/2.

При изгибе в плоскости xy имеем силовые факторы b/2 b/ M = Q= xy dF = dy xy dz, yx dF b/2 b/ с уравнениями баланса (5. гл. 5): Q = q, M = Q.

1.2, Гипотезы (5. гл. 5) сохраняются при пластических деформациях. По 1.3, прежнему x = v y. В упругой зоне x = Ex, а в пластической 8.4 Балки и диски |x | = 0 — предел текучести. Пластическая деформация начинается при y = ±h/2, когда M = M0. С ростом нагрузки будет (M M0 ) 1, y y/, |y|, Ev = 0, x = 0 · 1, y h/ by dy M (). (8.

4.1) M = 20 by dy + Координата границы упругой зоны находится по изгибающему моменту обращением функции M. Тогда подчёркнутое равенство определит v.

Несущая способность в сечении исчерпывается при M = M M (0).

В этом предельном случае v — образуется излом, «пластический шарнир».

Пример: консольная балка прямоугольного сечения с силой P на сво бодном конце (x = l). Имеем Q = P, M = P (l x), b = const, h2 2 2 0 bh2.

M () = 0 b, M0 = M, M = 4 3 3 Пластическое течение начнется в заделке (x = 0, y = ±h/2) при P l = M0. Далее зона пластичности примет (в плоскости xy) параболические очертания:

3h 3P l. (8.

4.2) = x +, =, = 0 b По выражению v в (8. находим прогиб:

4.1) x x 0 dx v = v (0) +, v (0) = 0, v(0) = 0, v= v dx.

E (x) 0 Это — в зоне пластичности x x0 l M0 /P. При x x0 имеем обыч ную упругую балку: v = 12P (lx)/Ebh3. На границе x = x0 непрерывны vиv.

Предельная нагрузка P = M /l — в заделке образуется пластический шарнир.

Обратимся к другой элементарной задаче — о вращающемся диске. Тон кий круглый диск радиусом a, толщиной h и плотностью вращается во круг центра в своей плоскости с угловой скоростью. Имеем равновесие Малые пластические деформации в подвижной системе при плоском напряжённом состоянии с балансом сил h (r ) + 2 hr = 0 (8.

4.3) (hr ) + r и уравнением совместности r = (r ).

В упругой стадии (при 0 ) Er = r, E = r, и для r получается уравнение второго порядка с условиями r (a) = 0, r (0) ограничено. Оно легко интегрируется при степенном законе измене ния толщины h = h0 rn. Будет r 0 с наибольшими напряжениями в центре (для h = const).

Но интереснее пластическая стадия. Норма Мизеса приводит к слож ным выкладкам, а норма Треска — к элементарному решению:

1 =, 2 = r, 3 = 0 = 2k, rr + (n + 1)r = 2k 2 r 2 n+ 2k n+ rn+1 r = (8.

4.4) r r + const.

n+1 n+ В предельном состоянии это верно и при r = a. Для h = const найдём = 6k/a2.

8.5 Кручение Стадия линейной упругости при кручении цилиндра описана в п. 4.8. Она продолжается до M = M0, пока в некоторой точке на контуре сечения не станет | | | | = k (8.

5.1) (орт оси z обозначим ez ). С ро стом M зона пластичности рас ширяется, могут образоваться новые очаги у других точек контура, в предельном состоя нии (M = M ) «упругое яд Рис. ро» может превратиться в ли нию (рис. 27).

Решение в зоне пластичности оказывается неожиданно простым:

ez = kl, (8.

5.2) = kn, = 8.6 Плоская деформация где n — расстояние до границы по нормали, l — орт касательной — как в (4. гл. 4). Докажем справедливость такого решения, рассматривая линии 8.8, поля :

· = k(cos e1 + sin e2 ), 1 2 = 2 1 = 0.

Это означает постоянство на линиях поля — они прямые, причём нор мально к контуру, т. е. = kn (орт n направлен наружу).

Выражение крутящего момента (4. гл. 4) сохраняется (без ). Пре 8.9, дельное значение вычисляется с функцией (8. 5.2). Для квадратного сече ния со стороной a: M = ka3 /3 (соответствует объёму пирамиды высотой ka/2).

Рассмотрим перемещения в пластической зоне. Для найденных напря жений S = 0, поэтому справедлива деформационная теория с форму лой (8.

2.13). Действуя как в (4.

8.11, гл. 4), получим uS = 0 u = U (z) + (z)ez x;

z uz = 0 uz = uz (x);

uz + U + ez x = 2. (8.

5.3) Это верно и в упругом ядре, где = 1/2µ, поэтому = для всего сечения. Можно не искать, а просто спроектировать (8. на нормаль 5.3) (ведь · n = 0):

n uz = n · U + l · x — (8.

5.4) осталось интегрирование по n. Для кругового сечения l · x = 0.

8.6 Плоская деформация Определение (4. гл. 4) сохраняется. Материал будем считать несжимае 9.1, мым, жёстко-пластическим и без упрочнения:

0, (S) k (8.

6.1) =.

S, =k Обозначим (только в этом п.) tr = 3. Имеем z = = (8.

6.2) z = z uz = 0 = Sz (x + y ).

Малые пластические деформации Следовательно, 1 (x y )2 + xy.

(x y ) = Sy ;

Sxy = xy (S) = Sx = 2 (8.

6.3) Условие текучести тождественно удовлетворено в переменных и :

x = k sin 2, (8.

6.4) y = + k sin 2, xy = k cos 2, где + /4 есть угол между первой главной осью и осью x. Для доказа тельства найдём сначала главные напряжения:

x xy y 1,3 = ± k, (8.

6.5) xy 0 =0 2 =.

z 0 Плоская часть тензора напряжений = 1 e1 e1 + 3 e3 e3 ;

e1 = i cos + j sin, = + /4, e3 = i sin + j cos ;

x = i · · i (8. 6.4).

При равновесии без объёмных сил · = 0 x 2k(cos 2 x + sin 2 y ) = 0, y + 2k(cos 2 y sin 2 x ) = 0 — (8.

6.6) система квазилинейных уравнений.

Введём два семейства «линий скольжения и » с наклоном к оси x под углами и + /2 соответственно. Это линии с наибольшими каса тельными напряжениями, равными k. Уравнения (8. — гиперболического 6.6) типа, и линии скольжения являются их характеристиками (п. 1.3). Про стое, хотя и нестрогое, доказательство: оси x, y «местной декартовой си стемы» направим по касательным к линиям и ;

тогда = 0, и (8. 6.6) примут вид x ( 2k) = 0, y ( + 2k) = 0. (8.

6.7) Величины в скобках постоянны на линиях и соответственно — таковы условия на характеристиках.

Поскольку (8. нелинейны, характеристики не определяются заранее, 6.6) а строятся вместе с решением. Без компьютера это можно сделать лишь в простейших задачах — например, о клине под действием односторон него давления (рис. 28). Угол при вершине 2 /2. Угадывается поле 8.6 Плоская деформация линий скольжения из двух прямо O угольных треугольников (OAB и P OCD) и сектора OBC. В треуголь никах линии прямые;

в секторе — радиусы и концентрические окруж- D A ности. На границах OA и OD ка B сательное напряжение равно нулю, 2g поэтому линии скольжения состав ляют с ними угол /4.

Необходимо выяснить, какой яв- Рис. ляется линия ABCD — или. Ес ли имеет место некий изгиб клина, то сторона OA растянута, а OD — сжа та. Следовательно, на OA 1 = + k 0, 3 = k = p. На OD 1 = + k = 0, 3 = k 0. Имеем -линию, на которой k p + 2kA = k + 2kD ;

+ 2k = const A D = 2 p = 2k 1 + 2 (8.

6.8).

2 Это предельная нагрузка (p ). Однако решение вызывает вопросы и требует комментариев. Предположили, что ниже ABCD — «жёсткая» зона, где (S) k. Но в жёсткой зоне принципиально невозможно найти напря жения... Всё прояснится далее, когда рассмотрим теоремы о предельной нагрузке.

В случае острого угла (2 /2) вместо сектора BOC будет линия разрыва, а вместо (8. — условия непрерывности x и xy на этой линии:

6.8) A k sin 2A = D k sin 2D, cos 2A = cos 2D ;

A = k p, D = k, A = /4 + = D = 2k(1 cos 2). (8.

6.9) Рассмотрим теперь осесимметричное поле напряжений — например, в цилиндре под действием внутреннего давления. Напряжения r и — главные, линии скольжения составляют угол /4 с ортами er и e. При 0, r 0 будет : dr = r d = ln r + const = /4;

2k = const = 2k ln r + const. (8.

6.10) Это можно получить и другим путём — как в задаче о шаре (п. 8.3).

Малые пластические деформации Заметим, что линии скольжения являются логарифмическими спираля ми: r = C exp(±).

Обратимся к скоростям (v = u). Согласно (8.

6.1) x = x vx = k sin 2 = y vy, x vy + y vx = 2k cos x vx + y vy = 0, (x vy + y vx ) tg 2 = y vy x vx. (8.

6.11) Эта система линейна, поскольку найдено. Можно показать, что она — гиперболического типа, характеристиками служат линии скольжения, и на них l = l · · l = 0.

(8.

6.12) Рассуждение как при выводе (8. не пройдёт, понадобятся криволинейные 6.7) координаты.

8.7 Изгиб жёстко-пластических пластин Вспомним изгиб линейно упругих пластин как материальных поверхно стей (п. 5.7). В классической теории Кирхгофа роль тензора деформа ции играет = w, основным силовым фактором служит тензор µ = /, а условия равновесия при нагрузке силами имеют вид · µ = Q, · Q = q. (8.

7.1) В зоне пластичности изменится лишь связь µ и. Не вызывают сомне ний аналогичные (8. соотношения:

2.1) 0, f (µ) k p = = e + p, e = (8.

7.2),.

f /µ, f =k µ Вспоминая элементарную теорию пластического изгиба балки (п. 8.4), сле дует выбрать модель с упрочнением, где k меняется по определённому закону. Связь µ и p определяется принципом Мизеса µ·· p max (8.

7.3) (f (µ) = k).

Основой по-прежнему является принцип виртуальной работы (5. гл. 5), 7.8, откуда следуют и граничные условия.

8.7 Изгиб жёстко-пластических пластин Представление µ как интеграла по тол- sj щине (5.7.14, гл. 5) подсказывает, что функция B C текучести — та же, что и F ( ) при плоском напряжённом состоянии. Одно из главных на- s0 sr пряжений равно нулю, два других обозначим r D A и. Тогда условию Треска соответствует ше стиугольник (рис. 29). При r 0 будет E F r = 1, 0 = 3, F1 ( ) = r /2 = k — имеем отрезок AB;

так же строятся другие отрезки.

Посмотрим условие Мизеса: Рис. Sr = r (r + )/3 = (2r )/3, S = (2 r )/3, 2 Sz = (r + )/3 = (r r + )/3. (8.

7.4) Условие = k определяет эллипс, вписанный в шестиугольник Треска при 0 = 2k — и описанный при 0 = k 3.

Далее считаем модель жёстко-пластической без упрочнения: e = 0, k = const. В «жёстких» зонах f (µ) k и напряжённое состояние не опре деляется. В зонах течения f = k, и в случае известных перерезывающих сил Q для трёх компонент µ имеем ещё два дифференциальных уравне ния, т. е. полную систему.

Остановимся на осесимметричной задаче:

µ = µr (r)er er + µ (r)e e, Q = Q(r)er, w = w(r), 1 1 r = w, = w, µr + (µr µ ) = Q, Q + Q = q. (8. 7.5) r r r По виду уравнения моментов ясно, что предпочтительнее условие Треска.

Для сплошной пластины r Q= — (8.

7.6) rq dr r элементарное условие баланса сил. Пусть q 0 — пластина прогибается «вверх», и µr, µ отрицательны. При r = 0 будет µr = µ — точка E на шестиугольнике (рис. 29) — с изменёнными обозначениями. Если на внешнем радиусе шарнирная опора, то µr (a) = 0, и при изменении r от до a «перемещаемся» от E до F — a (rµr ) = µ0 rQ µ0 a = (a r)rq dr (8.

7.7) Малые пластические деформации (после интегрирования по частям). Для постоянной нагрузки q = 6µ0 /a2. (8.

7.8) Скорость прогиба находится из выражений r и при ассоциирован ном законе течения. На участке EF w = C1 r + C2 — (8.

7.9) r = форма конуса.

При заделке на внешнем радиусе w (a) = 0 (a) = 0, что возможно лишь на AB (или ED). С возрастанием r от 0 до a «движемся» по EF A:

EF для 0 r и F A при r. В случае q = const Q = qr/2.

Уравнение моментов интегрируется сначала при r по формулам (8. 7.7) ( в роли a). Далее r :

µ0 qr a a2 µ = µ0 +µr, µ0 1 + ln (a ). (8.

7.10) µr + = = r 2 Но q = 6µ0 /2 — имеем уравнение для a/ с корнем 1.37. В итоге q = 11.3µ0 /a2. (8.

7.11) 8.8 Вариационные принципы для жёстко-плас тического тела Принципы минимума потенциальной энергии и дополнительной работы в теории упругости (п. 4.6) имеют свои аналоги в механике жёстко-пласти ческого тела без упрочнения.

Экстремальное свойство поля скоростей (v = u). Функционал ·· f · v dV p · v dO ( v|O1 v 0 ) (8.

8.1) J1 (v) = V O имеет минимум на истинном поле скоростей. Как и в п. 4.6, рассматрива ется трёхмерное тело с нагрузкой f в объёме и p на части поверхности O2 ;

на остальной части O1 заданы скорости — это условие должно быть обеспечено. Заметим, что определяется тензором скоростей деформаций = D = v S согласно закону Мизеса ··D max ( )··D (8.

8.2) 0 (F ( ) = k).

8.8 Вариационные принципы для жёстко-пластического тела Для обоснования принципа достаточно рассмотреть разность J1 (v ) J1 (v) = ··D ··D f · (v v) dV V n · · (v v) dO. (8.

8.3) O Учтено, что (v v)|O1 = 0 и введено истинное. Используя теорему о дивергенции и уравнение баланса сил в объёме, получим J1 J1 = ( )··D dV (8.

8.4) 0.

V Принцип установлен. Представляет интерес процедура с варьировани ем:

··D + ··D f · v dV p · v dO;

J1 = V O ··D = · ( · v) · · v, v|O1 = ··D ( · + f ) · v dV + (n · p) · v dO = 0. (8.

8.5) J1 = V O Подчёркнутое слагаемое тоже равно нулю — ассоциированный закон или жёсткая зона (D = 0).

«Поле сравнения» v должно удовлетворять условиям не только на O1, но и на поверхностях разрыва — должна быть непрерывна нормальная ком понента vn.

Экстремальное свойство поля напряжений. Функционал с ограниче ниями n· · v 0 dO, · + f = 0, n· k (8.

8.6) J2 ( ) = = p, F ( ) O O имеет максимум на истинном поле напряжений. Можно увидеть аналогию с принципом дополнительной работы, если поменять знак и учесть, что в идеальной пластичности без упрочнения «( ) = 0».

Малые пластические деформации Рассмотрим разность:

J2 J2 = n · ( ) · v 0 dO = n · ( ) · v dO = O1 O · ( ) · v + ( )··D dV (8.

8.7) = 0.

V Не является необходимой, но представляет интерес вариационная про цедура с множителями Лагранжа:

n · · v 0 dO · · dV = J2 = O1 V ·· S dV = 0.

n · · (v 0 ) dO + (8.

8.8) = O1 V Очевидно, = v. В жёсткой зоне («внутри поверхности текучести») произвольно — S = 0. В состоянии текучести S «ортогонально»

— ассоциированный закон.

8.9 Теоремы о предельной нагрузке Уточним понятие предельной нагрузки. Рассмотрим постановку · + mf = 0, n· = mp, v|O1 = 0, O ( )··D (8.

9.1) F ( ) k, 0.

Коэффициент нагрузки m монотонно возрастает от нуля. С ним растут и напряжения. Но подчёркнутое неравенство их ограничивает. Точная верх няя граница (супремум) m есть коэффициент предельной нагрузки. Две теоремы позволяют оценить m сверху и снизу.

Кинематическая теорема основана на неравенстве (8. На истинном 8.4).

поле скоростей J1 = 0 — благодаря закреплению на O1. Поэтому ··D dV 0m mk. (8.

9.2) J1 (v ) f · v dV + p · v dO V O 8.9 Теоремы о предельной нагрузке Отношение mk называется кинематическим коэффициентом предельной нагрузки. Он определяется интегралами по заданному полю v и даёт оцен ку сверху.

Статическая теорема выражается неравенством (8.

9.3) m ms, где ms называется статическим коэффициентом. В отличие от mk, для ms нет общего выражения. Он находится по «статически допустимому» :

· + ms f = 0, n· (8.

9.4) = ms p, F ( ) k.

O Для обоснования (8. достаточно проинтегрировать неравенство Мизеса:

9.3) ( )··D dV = n · ( ) · v dO · ( ) · v dV = V O V = (m ms ) p · v dO + f · v dV (8.

9.3), O2 V поскольку мощность нагрузок положительна.

Для иллюстрации рассмотрим консоль ную балку с опорой на свободном конце при P действии равномерной нагрузки p (рис. 30).

x Сначала вычислим кинематический коэффи циент для скоростей с двумя пластическими шарнирами (при x = 0 и ): Рис. x/, x (8.

9.5) v=.

(l x)/(l ), x При этом знаменатель в (8. равен 9.2) l pv dx = pl/2.

Вклад в числитель (8. дают лишь области течения;

в нашем случае это 9.2) два шарнира. Диссипация в шарнире равна M, где — соответствующая угловая скорость. В шарнире x = 0 будет = 1, а при x = имеем = 1 + (l )1. Поэтому mk = 2M 2 1 + (l )1 /pl. (8.

9.6) Малые пластические деформации Но — любое от 0 до l;

наилучшая оценка сверху min mk = 2M (3 + 2 2)/pl2. (8.

9.7) Совсем иначе определяется статический коэффициент. Шарнирная опо ра создаёт реакцию R;

изгибающий момент M (x) = R(l x) + ms p(l x)2 /2. Статически возможное состояние будет при Rl + ms pl2 /2 M |M (x)| (8.

9.8) M.

R2 2ms pM Эта система неравенств определяет в плоскости пара метров R, ms область между прямой линией и пара ms болой (рис. 31). Любое значение ms из этой области является статическим коэффициентом. Но наилучшая оценка снизу — max ms — соответствует пересечению прямой и параболы. Поразительно, что оно совпадает R с (8. — найдено точное значение m.

9.7) Заметим, что ни поле скоростей, ни напряжён ное состояние не найдены — но ведь целью является Рис. лишь m.

Совпадение коэффициентов ms и mk характерно для «полных реше ний». Разыскивая и v, мы одновременно определяем ms и mk ;

даже если и v отличаются от истинных, предельная нагрузка определится точ но. Заметим, что если при постановке в напряжениях нашлось несколько значений нагрузки, то ближе к истине большее, а не меньшее.

Библиография О дислокационном механизме пластической деформации написано у Ю. Н. Работнова [81] и Н. Н. Малинина [57].

Математическая сторона теории пластичности представлена в книгах Л. А. Галина [19], А. Ю. Ишлинского и Д. Д. Ивлева [35], Л. М. Качанова [37], Р. Хилла [110], Р. Темама [92].

Следует рекомендовать и книги В. Прагера и Ф. Ходжа [80], У. Джонсо на и П. Меллера [30], В. Д. Клюшникова [39] и В. В. Соколовского [90].

Об эффективной в приложениях деформационной теории написано у А. А. Ильюшина [34].

Глава Разрушение 9.1 О критериях прочности Механические напряжения являются результатом осреднения межатомных сил. При сближении частиц силы отталкивания могут неограниченно рас ти. Но когда частицы расходятся, силы притяжения сначала растут, а затем падают до нуля. Возникает понятие теоретической прочности 0, но с ним и вопросы: почему реальная прочность может быть в тысячу раз меньше 0, почему возможно разрушение при сжатии и др.

Наивны попытки объяснить поведение реальных тел на дискретных моделях с регулярным расположением частиц. Представляющийся одно родным и изотропным кусок стали — это ведь поликристаллический ком позит;

каждый кристаллик (зерно) однороден и анизотропен, ориентация зерен хаотична, в кристаллической решетке множество точечных дефектов (вакансий и примесных частиц) и дислокаций... Эти явления интенсивно изучаются не только в физике твёрдого тела, но и в механике [27, 49, 93].

Практический конструктивный взгляд на проблему прочности может быть таким: разрушение наступает, когда некоторая «возрастающая» функ ция F ( ) достигает предельного значения, вид F определяется по мно жеству разрушающих испытаний ( = 0, 0 задано, растёт до раз рушения — и так для достаточно полного набора 0 ). При этом начало пластического течения оказывается частным случаем.

Для анизотропных материалов вид F ( ) бывает причудливым, вкла ды компонент могут сильно различаться. Например, дерево «боится» каса тельных напряжений вдоль волокон — вклад их в F значителен. Становятся опасными даже маленькие напряжения, если действуют на площадках со слабым сцеплением.

В случае изотропии F зависит лишь от инвариантов — или от глав Разрушение ных значений 1, 2, 3. Допустив, что разрушение наступает лишь от растяжения, принимают F = 1 при 1 0 и F = 0 для 1 0. Так не описать возможное разрушение при сжатии, поэтому используют кри терий наибольшего удлинения: F = 1 ( 0) max n. Для пластических материалов в роли F иногда выступают нормы Мизеса и Треска.

Весьма естественно предложение Мора, связанное с его круговой диа граммой (рис. 6, п. 3.6). Каждому разрушающему испытанию соответству ет своя тройка кругов Мора в плоскости n, tn. Предполагается, что есть некая «точная верхняя граница» с уравнением f (n, tn ) = ;

прочность обеспечена, если круги не выходят за границу.

Огромная работа экспериментаторов по определению F и в значи тельной мере обесценивается случайным характером с большим раз бросом. Например, прочность на разрыв образца существенно зависит от состояния его поверхности;

шлифовка, растворение поверхностного слоя (соли) повышают прочность. Поэтому в расчётах вводят «коэффициент за паса», снижая...

Не отказываясь от этих старых представлений, сейчас следует пред почесть иное: прочность определяется дефектами, разрушение есть их быстрый рост [24]. Механика хрупкого разрушения с трещинами разви вается интенсивно и превращается в классику [36, 65, 77, 109, 112].

Основоположником механики трещин считается Гриффитс. В 1920 г. (в возрасте 27 лет) он обратил внимание на энергетику роста трещин. Боль ших сил для разрушения недостаточно, нужна ещё энергетическая под держка. Энергию растущей трещины даёт само тело — оно разгружается.

По Гриффитсу, разрушение происходит, когда рост трещины становится «энергетически выгодным».

9.2 Напряжённое состояние у фронта трещины Двумерные задачи с прямолинейными разрезами более просты — начнём с них. В декартовой плоскости x1, x2 трещина является отрезком x2 = ±0, |x1 | l. На свободных берегах разреза 2 = e2 · = 0 22 = 21 = 23 = 0. (9.

2.1) Для небольшой трещины внутри тела решение можно считать суммой двух слагаемых. Первое — для тела без трещины;

оно не удовлетворя ет (9. 2 (x) = 0. Второе — для бесконечной плоскости с разрезом при 2.1):

нагрузке 2 на берегах. Только второе решение важно в механике трещин.

9.2 Напряжённое состояние у фронта трещины В нём возникают бесконечные напряжения на фронте (x1 = ±l), характе ризуемые коэффициентами интенсивности напряжений (КИН).

Это второе решение, в свою очередь, состоит из трёх — по числу ком понент в (9. Ставятся три задачи — две плоских и антиплоская.

2.1).

Антиплоская задача с однородным состоянием на бесконечности рас смотрена в п. 4.7. Комплексный потенциал (4. гл. 4) представим 7.6, i l i i z 2 l2 = g(z) = f (z) z (9.

2.2) z + f (z), +...

µ µ 2µz Представляет интерес лишь слагаемое f (z) — для нагрузки на берегах. У вершины трещины z = l + rei, r 0, iK3 f (z) = const (z l) +..., — (9.

2.3) K3 = l µ таков КИН в этой задаче. Согласно (4. гл. 4), при r 7.5, K3 2r K3 sin / = — (9.

2.4) u = const + sin, 2 cos / µ 2 2r важные асимптотические формулы для перемещений и напряжений.

Обобщим постановку: на берегах разреза 2 = (x) — произвольная заданная нагрузка. Решение ищем в виде µf (z) = h(z)/ z 2 l2 — (9.

2.5) с той же особенностью, что в (9. Функцию h(z) удаётся найти как инте 2.3).

грал Коши 1 h() (9.

2.6) h(z) = d, z 2i где контур интегрирования состоит из обоих берегов разреза (x2 = ±0, |x1 | l) и окружности || = M. В (9. имеем f (z) = O(z 2 ) при 2.2) z ;

предполагая это и для (9. обнаружим исчезновение интеграла 2.5), по окружности. Остаётся l l l h (x) h+ h h+ (x) (9.

2.7) 2ih(z) = dx + dx = dx.

xz xz xz l l l 1 подобно п. 4. Разрушение Далее используем (4. гл. 4):

7.5, 1 i2 = µf (z) = h± (x)/ ± i l2 x2 (x2 = ±0). (9.

2.8) + = (x);

следовательно, Но 1 нечётно по x2, а 2 = l (x) l2 x + µf (z) = l2 x2, h h = 2 dx.

zx i z 2 l l (9.

2.9) Вблизи вершины z l l iK3 1 l+x K3 = (9.

2.10) µf = +..., (x) dx.

lx 2(z l) l l Асимптотические формулы (9. сохраняются, но с другим КИН.

2.4) Плоские задачи, в общем случае намного более сложные, имеют простые решения для плоскости с трещиной. Потенциалы Мусхелишвили (п. 4.9) выражаются через одну функцию. В задаче о растяжении (22 = p(x1 ), 21 = 0 при x2 = ±0, |x1 | l) Вестергард предложил 1 1 = zw (W zw), W w dz. (9.

2.11) = w, = 2 2 Тогда по общим формулам (4.

9.28, гл. 4) 11 = Re w x2 Im w, 22 = Re w + x2 Im w, 12 = x2 Re w, 2µu1 = (1 2) Re W x2 Im w, 2µu2 = 2(1 ) Im W x2 Re w.

(9.

2.12) Надо найти w(z) по известной вещественной части на разрезе. Но ре шение уже есть: мы получили (9. по заданной мнимой части;

w имеет 2.9) вид (9. но без i. У вершины w выглядит как (9.

2.9), 2.10), только без (i) и с K1.

Из (9.2.12) выводятся асимптотические формулы 3 1 sin sin cos 2 2 K1 3 22 = cos, 1 + sin sin 2r 2 2 1 sin cos 2 9.3 Силы, действующие на фронт трещины 1 2 + sin cos K1 2r u1 2 — (9.

2.13) = u2 µ 2 2 cos2 sin 2 сложнее (9. но с той же особенностью при r 0.

2.4), Задача о сдвиге (22 = 0, 21 = (x1 )) решается с иной подстановкой Вестергарда:

i i = w2, = (2w2 + zw2 ). (9.

2.14) 2 Однако всё очень похоже на задачу растяжения. КИН K2 выглядит как K (и K1 ).

Асимптотические формулы считаются справедливыми не только в плос ких задачах, но и в пространственных. Трещина является поверхностью (), фронт — линией (). В каждой точке фронта направления касательной (l) и нормалей (, n) играют роли x3, x1, x2. Три коэффициента интенсив ности — функции дуговой координаты l.

9.3 Силы, действующие на фронт трещины Этот вопрос невозможно понять без представлений лагранжевой механики.

Ясность внесли Райс и Друккер (1967), вычислив изменение энергии при виртуальном продвижении фронта. Пусть каждая точка фронта переме щается на расстояние s(l) в направлении нормали в плоскости разреза;

если изменение энергии Э = (9.

3.1) Gs dl, то G есть соответствующая сила на единицу длины.

Рассматривается тело с поверхностными силами p на части границы O2 и с закреплением на остальной части O1. Вместо трещины — полость с поверхностью 0. Энергия () dV p · u dO — (9.

3.2) Э= u = O V O Разрушение это не функционал, а значение на истинном решении. Для виртуально рас ширившейся полости ( + ) dV p · (u + u) dO. (9.

3.3) Э + Э = V V O объём полости увеличился на V, а границей стала поверхность 1. Изме нение энергии ( + ) () dV () dV p · u dO. (9.

3.4) Э = V V O V Поверхностный интеграл можно эффектно преобразовать. На O1 u = 0, на O2 n · = n · ( + ) = p, на 1 n · ( + ) = 0. Поэтому p · u dO = n · ( + ) · u dO = O2 O+ · ( + ) · u + ( + )·· dV, (9.

3.5) = V V причём подчёркнутое выражение равно нулю (равновесие без объёмных сил). В (9. получаем 3.4) ( + ) () ( + )·· dV (9.

3.6) Э = dV.

V V V Отметим, что это написано не по правилам исчисления бесконечно ма лых. Но всё верно, малые разного порядка здесь смешиваются. Используя формулу Тейлора ( + ) = () + ·· + ·· +... ( = /), (9.

3.7) преобразуем (9.

3.6):

Э = ·· dV dV, V V V ·· dV = n · · u dO = n · · u dO V V O+1 Э = n · · u dO (9.

3.8) dV.

1 V 9.3 Силы, действующие на фронт трещины Далее — предельный переход от полости к трещине. Равен нулю объ ём полости между берегами разреза (и его приращение V ). Поверхность 1 = 0 +, где есть узкая полоска из виртуальных продвижений фронта — с двумя берегами (+ и ). Вводя нормаль N к в обычном смысле, получим + Э = N · · u (9.

3.9) n = N, dO.

± Учтено, что — для непродвинутого фронта и непрерывен на.

В интеграле по узкой полоске s (9.

3.10) (...) dO = dl (...) dx можно использовать асимптотические формулы для и u. При этом в надо считать = 0, а в u = (u + u) = ±. Результатом интегриро вания будет (9. причём 3.1), 1 2 2 K3 + (1 ) K1 + K2 (9.

3.11) G=.

2µ Это — трещинодвижущая сила. Она положительна — рост трещины всегда «энергетически выгоден» для факторов Э (внешних сил и упругих внутренних). Любая трещина губительна для упругого тела. К счастью, есть ещё неупругие внутренние силы у фронта трещины, от которых воз никает некая сила сопротивления G. Трещина не растёт при G G.

Использование этого критерия прочности — большой шаг вперед от старых представлений (п. 9.1). «Трещиностойкость» G важнее прочности на разрыв ;

эти величины напрямую не связаны, материал с большей может иметь меньшую G [24]. Гриффитс в роли G видел поверхностную энергию, но более поздние исследования других авторов выявили преиму щественный вклад работы пластической деформации.

Два серьёзных вопроса остаются без ответа. Первый: при замене в за даче о растяжении p на p K1 меняет знак, а G — нет. Но ведь трещина не должна расти от сжатия... Второй: сдвиговые напряжения (K2 и K3 ) дают вклад в G не меньший, чем растяжение (K1 ), хотя представляются значи тельно менее опасными. Возможно, следует выделить в G три слагаемых и формулировать критерий так:

|K2 | K2, |K3 | K3. (9.

3.12) K1 K1, Разрушение Критерий с K1 хорошо известен.

9.4 Учёт сил сцепления Сингулярность в напряжениях на фронте трещины получена в рамках ли нейной теории упругости, где u и должны быть малыми. Не стоит пре увеличивать масштаб этого противоречия, сингулярности встречаются во всех разделах линейной математической физики.

Г. И. Баренблатт показал (1960 г.), что сингулярность на фронте исчеза ет при учёте сил сцепления между берегами. Нагрузка на берегах в задаче о растяжении равна p(x) q(x), где q — силы сцепления (локализованы у вершины). Коэффициент интенсивности равен нулю:

l 1 l+x (p q) dx K1 K1 = 0. (9.

4.1) lx l l Имеется в виду предельное состояние, когда q определяется лишь свой ствами материала. Вместе с КИН исчезает и r в выражении перемещений. Это значит, что очертания берегов не параболические, а с плавным переходом в ось x1, что естественно.

Сходные соображения представлены Дагдейлом, Леоновым и Панасю ком (около 1960 г.). У этих авторов q = const, но лишь на участке некото рой длины a у фронта. Величина a находится из равенства K1 = 0. Пред ложен особый «деформационный» критерий роста трещины: расхождение берегов на расстоянии a от фронта должно увеличиться до (const). В результате оказывается, что при бесконечно малой длине трещины разру шающая нагрузка стремится не к p l = K1, а к q. У Дагдейла q — это теоретическая прочность, у Леонова и Панасюка — предел текучести.

Выкладки этих авторов есть во многих книгах [65, 32].

9.5 J-интеграл и определение КИН В двумерных задачах с трещиной J-интеграл Райса имеет вид n1 n · · 1 u dl. (9.

5.1) J= C 9.5 J-интеграл и определение КИН Он рассматривается на разомкнутых контурах, на- x чинающихся на одном берегу и заканчивающихся на другом (рис. 32). Это одно из самых известных понятий механики трещин. Оказывается, трещина x начинает расти, когда J достигает критического C значения J.

Рис. Для выяснения смысла J сначала убедимся, что на любом замкнутом контуре F (не охваты вающем вершину), интеграл равен нулю. Используем теорему о диверген ции:

n1 n · · 1 u dl = 1 · · 1 u ··1 dF ;

J= F F ··1 = ··1, · = 0 J = 0. (9.

5.2) 1 = Далее покажем, что на всех разомкнутых контурах как на рис. 32 зна чения J одинаковы. Добавим второй контур — б льший. Вместе с «гори о зонтальными» отрезками на берегах получается замкнутый контур, на нём = 0. Но на берегах n1 = 0, n · = 0 — вклада в интеграл нет. Учитывая, что в орт n направлен наружу, получаем желаемое.

И самое важное:

J =G — (9.

5.3) равен трещинодвижущей силе. Для доказательства можно считать контур окружностью и воспользоваться асимптотическими формулами. При анти плоской деформации 1 K3 K3 n· = =, n1 = cos, sin k, 2µ 2r 2r 1 K3 2r cos r (9.

5.3).

1 u = sin sin k r µ Равенство (9. всё проясняет, но некоторые авторы отмечают и дру 5.3) гое: J определяет поток энергии внутрь контура и позволяет оценить роль физической нелинейности (автор этих строк к их числу не относится).

Прикладное значение J-интеграла — в возможности определения КИН (или G). Обычный численный метод конечных элементов не позволяет Разрушение выявить особенность — аппроксимация не допус n кает. Однако МКЭ вполне эффективен вдали от фронта, там и надо брать контур интегрирова C ния...

N Поскольку КИН являются основными расчёт C2 ными неизвестными, представляет интерес новый вариационный принцип с независимым варьиро C ванием перемещений и коэффициентов интенсив ности [32]. В простом случае антиплоской дефор Рис. мации (рис. 33) функционал имеет вид (( u) f u) dF Э(u, v, K) = pu dl + e(K), F C (9.

5.4) u = u1, u = KU + v.

C1 C Варьируется не только поле перемещений u, но и КИН (K), а также пере мещение вершины v. Область интегрирования F не содержит окрестности вершины с границей C0. Энергия этой окрестности представлена слагае мым e(K), вычисляемым по асимптотическому выражению U из (9. 2.4).

Проварьируем (9.

5.4):

( · u f u) dF Э = pu dl + e (K)K = F C = · + f )u dl + (n · p) u dl + ( F C + e N · U dl K N · dlv. (9.

5.5) C0 C Вариационное уравнение Э = 0 содержит в себе не только обычные урав нения баланса и силовые граничные условия, но и уравнения N · U dl, N · dl = 0, (9.

5.6) e= C0 C служащие для определения K и v.

9.6 Рост трещин Численные решения, а также доступные аналитические показали эф фективность принципа. В [32] описана трёхмерная постановка с трещиной произвольной геометрии. Это альтернатива известному подходу с сингу лярными конечными элементами [77].

9.6 Рост трещин С продвижением фронта меняются КИН и трещинодвижущая сила. Если они увеличиваются, рост трещины лавинообразен. Так будет при K1 = p l, K2 = K3 = 0. Но возможна иная ситуация, когда КИН умень шаются;

при этом фронт может остановиться. Например, в плоской за даче о растяжении с сосредоточенными силами на берегах p(x) = T (x), K1 = T / l — (9.

6.1) согласно (9.

2.10). Трещина начинает расти при T = K1 l и сразу оста навливается.

Вообще, если в конструкции обнаружена трещина, её можно обезвре дить установкой дополнительных упругих элементов ради убывания КИН с продвижением фронта (стяжек, заплаток и др.).

До сих пор считалось, в частности, что трещина не растёт при G G = const. Однако в реальности обнаружен и медленный докритический рост с меньшими нагрузками. Для моделирования этого предлагается за менить G на «R-кривую» — возрастающую функцию продвижения фронта R(l) [38]. При медленном росте G R = 0, d(G R)/ dl 0. (9.

6.2) Если же «производная» положительна, рост лавинообразен.

Много неприятностей доставляет усталостный рост при циклической нагрузке. Проведено множество экспериментальных исследований и пред ложен ряд эмпирических зависимостей для описания роста. Отметим хотя бы уравнение dl = C(K)m, (9.

6.3) dn где l(n) — размер трещины как функция числа циклов, K — перепад КИН, C и m — постоянные [36]. При растяжении плоскости с прямым Разрушение разрезом dl m m 1m/ = Dlm/2, D C p l1m/2 l0 = 1 Dn, dn (9.

6.4) где l0 — начальная длина. Поскольку m 2, подчёркнутое слагаемое ис чезает при l — получаем выражение числа циклов до разрушения m 1m/ 1. (9.

6.5) n = l 0 D 9.7 Длительная прочность и накопление повре ждений Успешно развивающаяся механика трещин не может описать все виды разрушений. Важны экспериментальные исследования длительной проч ности: образец выдерживается в испытательной машине с растягивающим напряжением до разрушения через время t (). Это монотонно убываю щая функция;

t (0) =, t () = 0.

Сразу возникает вопрос о «времени жизни» T при переменном напря жении (t). Ответ содержится в «формуле накопления повреждений» [36, 40]:

T dt (9.

7.1) = t () (при = const будет T = t ()).

Нет удовлетворительного ответа на аналогичный вопрос при сложном напряжённом состоянии. «Эквивалентное напряжение» может быть e = 1 при растяжении и e = 0 при сжатии.

Для описания повреждений в точке вводятся мера повреждённости 0 (r, t) 1: для «нового» материала = 1, а при полном разрушении 0 (лёд на озере поздней весной). Знающий математическую физику читатель едва ли примет столь неопределённое понятие. Необходимо хотя бы кинетическое уравнение [36] (9.

7.2) = f (,,...) для скорости накопления повреждений. Очевидно f 0;

не выписаны возможные другие аргументы (не только температура).

9.7 Длительная прочность и накопление повреждений При растяжении предложено n = f (, ) = A (9.

7.3).

Немного проясняется смысл : часть связей в материале рвётся, для остав шихся напряжением будет /. Уравнение интегрируется:

t 1 n+1 = A n dt. (9.

7.4) n+ Для (t) = const находим «время жизни»:

t () = 1/(n + 1)A n — (9.

7.5) = приемлемая аппроксимация кривой длительной прочности. Но тогда при переменном напряжении из (9. следует (9. — уже успех.

7.4) 7.1) В книге [36] представлено много решённых задач о накоплении повре ждений в дисках, балках и др.

Библиография Очень интересна и полезна популярная книга Дж. Гордона [24].

Теоретические основы механики трещин изложены у Н. Ф. Морозова [65], Г. П. Черепанова [112], Л. И. Слепяна [87], Л. М. Качанова [36], Т. Хел лана [109], В. З. Партона и Е. М. Морозова [77] и автора [32].

В книге [108] выделены особенности разрушения композитов.

Необходимые сведения об экспериментах изложены в [38].

Все стороны процесса разрушения представлены в книге Дж. Коллин за [40].

Механика рассеянного повреждения рассмотрена в [36, 81].

Глава Реология 10.1 Реологические модели Все тела сопротивляются нагрузке посредством деформации, но законы деформации оказываются более сложными, чем в упругом теле. Помимо упругих свойств всегда — в той или иной степени — проявляются свой ства вязкости и пластичности. Как отмечалось в гл. 8, эффекты «чистой»

пластичности не зависят от скорости деформирования;

появление этой за висимости означает вязкость.

Сочетание трёх свойств удобно рассматри вать на одномерных реологических моделях [83].

Основными являются три элемента — упру гий (винтовая пружина), вязкий (гидравлический амортизатор) и пластический (пластинки с су хим трением на фрикционной накладке). Схема тическое изображение — на рис. 34. Они называ ются элементами Гука (H), Ньютона (N) и Сен Рис. 34 Венана (StV).

Законы деформирования, т. е. связь напряжения с деформацией :

H: = E;

N: = b k, StV: = k sgn = — (10.

1.1) k, с модулем Юнга E, коэффициентом вязкости b и пределом текучести k.

Из трёх основных элементов можно создавать комбинации с последова тельным и параллельным соединением. При последовательном соединении двух элементов = 1 = 2, = 1 + 2. Для параллельного соединения 10.1 Реологические модели = 1 + 2, = 1 = 2. На рис. 35 представлены модели Кельвина — Фойгта (a), Максвелла (b), Прандтля (c), Бингама (d).


Законы деформирования лег ко записываются для вязкоупругих материалов:

a: = E + b ;

b: = +. (10.1.2) E b Упруго-пластическому материалу a b c d Прандтля соответствует система уравнений Рис. + p, p = k sgn. (10.

1.3) = E Сложнее с материалом Бингама:

(10.

1.4) = + 2, = b 2 + k sgn 2.

E Без математических выкладок ясно, что материал Кельвина — Фойгта — твёрдое тело, жёсткость которого возрастает со скоростью деформиро вания. Материал Максвелла — жидкость, текущая при любой постоянной нагрузке. Материал Прандтля, будучи упругим при малых нагрузках, ста новится жидкостью при больших. Представляя материал Бингама, часто говорят о жидкой краске: её обязательное свойство текучести должно ис чезать при малой нагрузке.

Но как перейти к произвольному напряжённо-деформированному со стоянию? Для упруго-пластических материалов это показано в гл. 8. Ком бинация трёх свойств выглядит просто лишь в случае изотропии: шаровые части ( и ) связаны как в упругом теле, а для девиаторов используются соотношения типа (10.

1.1):

0, (S) k H: S = 2µe, N: S = 2 e, StV: e = (10.

1.5).

S, =k Здесь — коэффициент вязкости, а в модели пластичности использован ассоциированный закон с нормой Мизеса = S··S/2.

Реологические элементы с последовательными или параллельными со единениями редко можно выделить в реальных телах. Правда, в компо зиционных материалах вроде армированных пластиков или суглинков это Реология возможно. Но в любом случае метод реологических моделей позволяет по лучать приемлемые определяющие уравнения без грубых нарушений зако нов природы. Параметры элементов (µ,, k) можно находить по экспери ментальным данным.

10.2 Линейная вязкоупругость Комбинируя упругие и вязкие элементы, можно получить множество мо делей линейной вязкоупругости. Связь девиаторов напряжений и деформа ций выражается линейными дифференциальными операторами. Например, в «стандартном материале»

(10.

2.1) T S + S = 2µ T e + e.

Здесь две постоянные времени — ползуче сти T и релаксации T.

2 Соотношение (10. описывает две мо 2.1) 1 дели на рис. 36. В модели «a»

1 S = 2µ2 e + S 1, e= S + S, 2µ1 1 2 a b откуда следует (10. с параметрами µ = 2.1) Рис. µ2, T = /µ1, T = µ1 + µ1. Для 1 модели «b»

S + e1, S = 2µ1 e1 + 2 e e= 2µ µ = µ1 µ2 /(µ1 + µ2 ), T = /(µ1 + µ2 ), T = /µ1.

Заметим, что T T (релаксация быстрее ползучести).

Рассмотрим ползучесть — рост деформаций при постоянной нагрузке.

В (10. S = S 0 1(t), e = S 0 /2µ (t);

функцию ползучести (t) найдём 2.1) операционным методом (п. 1.4):

1 1 T /T = (p T + 1) (p) = T + p p p + 1/T T (t) = 1(t) 1 et/T — (10.

2.2) T монотонно возрастающая функция, (0) = T /T, () = 1.

10.2 Линейная вязкоупругость Аналогично исследуем релаксацию — падение напряжений при задан ной постоянной деформации:

e = e0 1(t), S = 2µe0 R(t), (p T + 1) R = T + p T R(t) = 1(t) + 1 et/T.

(10.

2.3) T Функция монотонно убывает от R(0) = T /T до R() = 1.

При произвольном деформировании t S(p) = 2µ R(p) p e(p) R(t ) e( ) d — (10.

2.4) S(t) = 2µ по теореме о свёртке (1.

4.19, гл. 1).

Становится очевидным принцип соответствия: решение задачи линей ной вязкоупругости в изображениях получается из решения для обычного упругого тела заменой µ на µ = µ p R(p). При этом сохраняется объёмный модуль K = E/(1 2), поэтому в изображениях = (K 2µ)/2(K + ).

(10.

2.5) E = 3Kµ/(K + µ), µ Например, прогиб консольной балки u = F l3 /3EJ (F — сила на конце, l — длина, J — момент инерции сечения). Заменив E на E из (10. можно 2.5), получить связь изображений прогиба и силы.

При гармонических колебаниях все величины имеют вид u(t) = ueit, где u — комплексная амплитуда;

полагая p = i и используя принцип соответствия, получим решение для амплитуд. В стандартном материале = µ(1 + iT)/(1 + iT ). (10.

2.6) µ У комплексных жесткостей важны не только модули, но и аргументы.

Например, работа деформирования за период при одноосном растяжении сжатии 2/ 2/ | | sin(t + ) || cos t dt = | ||| sin (10.

2.7) A= dt = 0 ( = E, E = |E |ei ). Фазовый сдвиг (аргумент E ) в стандартном мате риале исчезает на малых и больших частотах.

Реология Интегральное соотношение (свёртка) (10. характерно для наследствен 2.4) ной механики, в которой вообще t C(t )··() d. (10.

2.8) (t) = Принцип соответствия здесь остаётся в силе.

10.3 Пластические материалы Представление о материале Прандтля (с иде альной пластичностью) в п. 10.1 такое же, s как в гл. 8. Но в случае упрочнения воз 2 1 никает альтернатива — вместо подвижной поверхности текучести использовать услож нённую реологическую модель.

e Одна из таких моделей показана на b a рис. 37, a. Для неё Рис. 1 0, (S 2µ2 e) k S 2µ2 e + (10.

3.1) e=.

(S 2µ2 e), = k 2µ На рис. 37, b — диаграмма растяжения. Имеем материал с линейным упроч нением, причём не изотропным, а трансляционным. Поверхность текуче сти (в пространстве напряжений) движется как твёрдое тело с центром в точке S = 2µ2 e. Соответственно, будет и эффект Баушингера.

Реологическая модель обобщённого материала Прандтля получается параллельным соединением:

1 0, (S i ) ki (10.

3.2) S= Si, e= S+.

S i, i = ki 2µi i На рис. 37 — частный случай с k2. Диаграмма растяжения — ломаная.

Если число «плеч» велико и параметры µi, ki медленно меняются с ростом индекса, то суммирование превратится в интегрирование, а диаграмма рас тяжения станет гладкой (выпуклой) линией. Такая модель используется для описания внутреннего трения в металлах (но упрочнение за площадкой те кучести — вне её рамок).

10.4 Идеальная жидкость В приближённых расчётах колебаний упруго-пластических тел приме няется метод гармонической линеаризации. Представление о нём даёт сле дующий пример:

— (10.

3.3) m + h sgn u + cu = p sin t u вынужденные колебания груза на пружине с сухим трением. Нелинейная функция f (x) заменяется линейной с помощью ряда Фурье:

f (x) = A1 sin() + A2 sin 2 + · · · Kx, x = a sin, — (10.

3.4) K= f (a sin ) sin d a для нечётной f (x). Коэффициент линеаризации K зависит от амплитуды a.

Для f (x) = sgn x имеем K = 4/a. Уравнение (10. становится линейным 3.3) по форме и решается методом комплексных амплитуд:

p eit m + hK u + cu = p sin t, u u = Im = c m 2 + ihk p = U sin(t ), U =. (10.

3.5) ;

K= U (c m 2 ) + 2 h2 K Подчёркнутое выражение U — это ещё не ответ, надо учесть зависимость K(U ). Ответ будет |c m 2 | p2 (4h/)2 (10.

3.6) U= и U = 0 при p 4h/.

Уравнение (10. решается точно, поскольку h sgn u = ±h. Результат за 3.3) метно отличается от (10. но отказываться от гармонической линеаризации 3.6), не стоит.

10.4 Идеальная жидкость Свойство текучести, в разной степени присущее всем реальным телам, в этой модели выражено максимально. Касательных напряжений нет — тензор напряжений шаровой:

= pE. (10.

4.1) Реология В несжимаемой жидкости плотность = const, давление p не выражается через другие величины. В сжимаемой жидкости p = p(, T ) — (10.

4.2) функция плотности и температуры. Частным случаем является уравнение Клапейрона — Менделеева (10.

4.3) pµ = RT (µ — молярная масса, R — газовая постоянная).

Используется пространственное описание (3. гл. 3) с материальной 1.2, производной по времени (3. гл. 3). Уравнение баланса импульса (3. гл. 3) 1.7, 5.6, принимает вид p + f = (t v + v · v). (10.

4.4) Полную систему уравнений механики идеальной жидкости составляют (10. (10. а также (3. гл. 3) (баланс массы) и (3. гл. 3) (баланс энергии 4.2), 4.4), 4.3, 8.2, — для определения температуры). Последнее не нужно при изотермиче ском процессе.

Используя преобразование (3. гл. 3), перепишем (10.

3.5, 4.4):

v 2 /2 + 2w v.

(10.

4.5) p + f = t v + Считая процесс изотермическим, введём «функцию давления»

dp (10.

4.6) P (p) = P= p.

(p) Тогда при потенциальных массовых силах в (10. будет 4.5) v f =, + P + + t v + 2w v = 0. (10.

4.7) Выражение в скобках — интеграл Бернулли — постоянно при стаци онарном безвихревом течении (t v = 0, w v/2 = 0). Если же выполнено лишь условие стационарности, интеграл постоянен на линиях тока (dR v) и вихревых линиях (dR w).

Возьмём ротор ( ) от обеих частей (10.

4.7):

(w v) = 0. (10.

4.8) t w + Это эволюционное уравнение для вектора вихря w («угловой скорости» — см. п. 3.3). Из него следует, что если в некий момент времени везде было w = 0, то это сохранится и в последующем.

10.4 Идеальная жидкость Для безвихревого течения можно ввести потенциал скоростей и полу чить из (10. интеграл Лагранжа — Коши:

4.7) v 2 /2 + P + + t = const. (10.

4.9) Рассмотрим акустическое приближение: малыми одного порядка счи таются v, p = p p0, = 0. Ноликом обозначены давление и плот ность в состоянии покоя;

объёмных сил нет. Из (10. (10. и (3. гл. 3) 4.2), 4.4) 4.3, получим dp 4.10) = c2, c2, p = 0 v, = 0 · v c2 p = p. (10.

p d Возмущения являются волновыми процессами со скоростью звука c;

ло кальную производную (t ) можно отождествить с материальной.

Для несжимаемой жидкости при потенциальном течении · v = = 0. (10.


4.11) Решив это уравнение Лапласа, можно далее найти давление с помощью интеграла Лагранжа — Коши.

С уравнением (10. связано классическое представление о присоеди 4.11) нённых массах для твёрдого тела в жидкости. Скорость на поверхности тела v = v c + r, а кинетическая энергия T = mvc + · I · /2.

Для (10. получаем задачу Неймана с условием n = vn, решение будет 4.11) линейной функцией v c и, а кинетическая энергия жидкости — квадратич ной формой от этих аргументов. Увлекаемая телом жидкость просто меняет инерционные характеристики тела (массу, тензор инерции и эксцентриси тет). Присоединённые массы тел простой формы давно известны [86].

Однако это представление может соответствовать реальности лишь для достаточно плавных движений, когда не проявляются эффекты сжимаемо сти.

Проста и очень хорошо развита теория плоских потенциальных тече ний несжимаемой жидкости. В этом случае вводится «функция тока»:

·v =0 k (10.

4.12) v= (орт k перпендикулярен плоскости течения). Поскольку v =, имеем условия Коши — Римана для вещественной и мнимой частей регулярной функции комплексного переменного + i = f (z). Задавая простые вы ражения f (дробно-рациональные, логарифмические), можно получить ат лас соответствующих течений. Конформное отображение и интегральная формула Коши позволяют строить решения для обтекания тел различной формы.

Реология 10.5 Вязкая жидкость Воду обычно считают идеальной жидкостью, и на твёрдой поверхности ставят единственное условие vn = 0 — нормальная компонента скорости.

Но ближе к действительности v = 0;

обеспечить это векторное условие можно в модели вязкой жидкости.

Вместо (10. принимается 4.1) vS.

= pE + 2 (10.

5.1) Вязкость зависит от температуры, но в изотермическом процессе посто янна. Для несжимаемой жидкости p является самостоятельной неизвест ной, а тензор скоростей деформаций v S — девиатором. Подстановка (10.

5.1) в (10. приводит к уравнению Навье — Стокса 4.4) p + v + f = (t v + v · (10.

5.2) v).

При малой вязкости старшие производные проявляются лишь в тон ком пограничном слое (см. п. 1.6 — метод сращивания асимптотических разложений), вне его жидкость ведёт себя как идеальная.

Пример: стационарное плоское течение в полосе |y| h между непо движными берегами. Естественно предположить, что скорость направлена по оси x: v = v(x, y)i. Тогда, согласно (10. и (10.

4.12) 5.2), x p + v = vx v, (10.

5.3) x v = 0, y p = 0.

Отсюда следует C h2 y 2, v (y) = p (x) = C = const, p = Cx + const.

v= (10.

5.4) Величина C есть перепад давления на единицу длины, он связан с «объ ёмным» расходом жидкости h v dy = 4Ch3 /3. (10.

5.5) Q= Распределение скоростей v(y) называется параболой Пуазейля.

Результаты математического моделирования течений жидкости могут расходиться с реальностью. Поэтому необходимы экспериментальные ис 10.6 Ползучесть металлов следования. Физические модели течений строятся с соблюдением крите риев подобия: безразмерные комбинации давлений, скоростей и других па раметров должны быть равны. Наиболее известно число Рейнольдса vh (10.

5.6) Re =.

Экспериментально обнаружено, что при достаточно большом значении Re (порядка 103 ) течение теряет устойчивость, превращаясь в случайный процесс — наступает турбулентность. Объяснение этого остаётся за рам ками классической механики сплошной среды. Но разработаны приклад ные методы расчёта осреднённых величин в турбулентных течениях.

10.6 Ползучесть металлов Это нелинейное явление, вязкоупругие модели здесь неприменимы. Оно особенно заметно при высоких температурах, ограничивая возможности длительной эксплуатации лопаток и дисков паровых турбин и других аг регатов.

На рис. 38 показана зависимость деформации образца от времени при одноосном растяжении. e D Скачок OA — это упругая или упруго-пластическая C деформация. Выпуклый вверх участок AB — пер B вая стадия ползучести. Далее вторая стадия BC — установившаяся ползучесть, = const. На третьей A стадии CD возрастает (некоторые авторы счита ют это кажущимся явлением, связанным с ростом O t напряжения от поперечного сужения) [81].

Рис. При установившейся ползучести зависимость от напряжения резко нелинейна. Предлагаются варианты [81]:

0, n n = v1 () = n (/n )n, v2 () =, 1, n n n v3 () = e e/e, (10.

6.1) v4 () = 2e sh /e.

Показатель степени n = 8 12. Параметры n, n и др. зависят от темпе ратуры, так что возрастает с T.

Реология Для описания одномерной ползучести предложены три теории: старе ния, течения и упрочнения. Соответствующие уравнения имеют вид = (, t) (a), = (, t) (b), = (, ) (c). (10.

6.2) Но явная зависимость от времени означает вмешательство некоего внеш него сильного фактора. Такого нет, поэтому предпочтительнее вариант (c) — упрочнение.

Уточним: в (10. следует считать = p — за вычетом начальной де 6.2) формации. Этим пренебрегают, если деформация ползучести значительна.

Для описания первой стадии ползучести полагают [81] m = f () (10.

6.3) = [f () t/m], m = 1/( + 1).

В начале 20-го века нашли = 2 m = 1/3. На второй стадии вместо (10. имеем более простое = v() (смена стадий — при падении до 6.3) значения v).

При сложном напряжённом состоянии в стадии установившейся пол зучести полагают (10.

6.4) = /.

«Потенциал скоростей ползучести» для изотропного материала зависит от тех же аргументов, что в теории пластичности — норм Мизеса или Трес ка.

Пример: плоская деформация трубы под действием внутреннего дав ления, несжимаемый материал. Скорость u = u(r)er направлена по ради усу в цилиндрических координатах. Имеем r = u, = u/r, r + = 0 u = C/r2. (10.

6.5) Считая потенциал функцией от нормы Мизеса ( ), в (10. получим 6.4) ( )/2.

(10.

6.6) = ( ) S, При плоской деформации z = 0 Sz = 0. Но тогда 1 1 (r ) = S, (10.

6.7) z = (r + ) = tr, Sr = = S.

2 3 Посредством (10. и (10. можно далее найти зависимость (r):

6.5) 6.6) C (r). (10.

6.8) = S = ( ) r 10.6 Ползучесть металлов Осталось проинтегрировать уравнение равновесия:

b 1 2 (r) r + (r ) = 0 r = p=2 (10.

6.9) dr r r r a (при граничных условиях r (a) = p, r (b) = 0 на внутреннем и наруж ном радиусах).

Уточним вид ( ), считая известной зависимость = v() при одно мерной установившейся ползучести. Имеем =, (ii jj kk), = ii, S= 3 = v() ( ) = 3 v( 3)/. (10.

6.10) = В случае степенного закона v = v0 n в (10. и (10. будет 6.8) 6.9) 1/n 1 C (r) = Ar3/n, An a3/n b3/n.

A, p= v0 (10.

6.11) По этим соотношениям находится величина C, определяющая скорость ползучести.

Библиография Реология неупругих материалов представлена у М. Рейнера [83] и К. Трус делла [103].

Вязкоупругим материалам посвящены книги Д. Бленда [8] и Р. Кристен сена [43].

Механика идеальной и вязкой жидкости очень хорошо изложена, в частности, у Л. Г. Лойцянского [50], Л. И. Седова [86], Л. Д. Ландау и Е. М.

Лившица [46]. Автор рекомендует и курс Р. Фейнмана [105].

О сложных и не вполне разработанных проблемах теории ползучести можно прочесть в книгах [81, 58].

Список литературы [1] Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 367 с.

[2] Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1972. — 351 с.

[3] Александров В. М., Ромалис Б. А. Контактные задачи в машиностро ении. — М.: Машиностроение, 1986. — 174 с.

[4] Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. — М.: Машиностроение, 1978. — 312 с.

[5] Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1983. — 448 с.

[6] Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. — М.: Маши ностроение, 1977. — 488 с.

[7] Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. — М.: Высш. шк., 1980. — 408 с.

[8] Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. — М.: Мир, 1965. — 199 с.

[9] Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика. — М.: Наука, 1990. — 360 с.

[10] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 504 с.

[11] Боли М., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. — М.: Мир, 1964. — 517 с.

[12] Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчиво сти. — М.: Физматгиз, 1961. — 339 с.

[13] Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механи ки. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — 239 с., Т. 2. — 496 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [14] Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластично сти. — М.: Мир, 1987. — 543 с.

[15] Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. — М.: Мир, 1980. — 292 с.

[16] Власов В. З. Тонкостенные упругие стержни. — М.: Физматгиз, 1959. — 568 с.

[17] Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1967. — 984 с.

[18] Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупруго сти. — М.: Наука, 1980. — 303 с.

[19] Галин Л. А. Упругопластические задачи. — М.: Наука, 1984. — 232 с.

[20] Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. — М.: Наука, 1966. — 300 с.

[21] Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Наука, 1976. — 512 с.

[22] Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные коле бания тонких упругих оболочек. — М.: Наука, 1979. — 383 с.

[23] Гольдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975. — 416 с.

[24] Гордон Дж. Конструкции, или почему не ломаются вещи. — М.: Мир, 1980. — 391 с.

[25] Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. — М.: Наука, 1978. — 359 с.

[26] Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. — Киев: Наук. думка, 1981. — 284 с.

[27] Де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций. — М.: Мир, 1977. — 208 с.

[28] Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. — М.: Наука, 1971. — 288 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [29] Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. — М.: Мир. — В. 1, 1969 — 424 с., В. 2, 1970 — 352 с., В. 3, 1970 — 344 с.

[30] Джонсон У., Меллер П. Теория пластичности для инженеров. — М.: Машиностроение, 1979. — 567 с.

[31] Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки. — М.: Наука, 1982. — 567 с.

[32] Елисеев В. В. Механика упругих тел. — СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. — 336 с.

[33] Елисеев В. В. Одномерные и трехмерные модели в механике упругих стержней. — Дис... д-ра физ.-мат. наук, ЛГТУ, 1991. — 300 с.

[34] Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во МГУ, 1990. — 310 с.

[35] Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластично сти. — М.: Физматлит, 2001. — 701 с.

[36] Качанов Л. М. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974. — 312 с.

[37] Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969. — 420 с.

[38] Керштейн И. М., Клюшников В. Д., Ломакин Е. В., Шестери ков С. А. Основы экспериментальной механики разрушения. — М.: Изд-во МГУ, 1989. — 140 с.

[39] Клюшников В. Д. Физико-математические основы прочности и пла стичности. — М.: Изд-во МГУ, 1994. — 189 с.

[40] Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. — М.: Мир, 1984. — 624 с.

[41] Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в част ных производных математической физики. — М.: Высш. шк., 1970. — 712 с.

[42] Кристенсен Р. Введение в механику композитов. — М.: Мир, 1982. — 336 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [43] Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — М.: Мир, 1974. — 340 с.

[44] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М. Л.: ГИТТЛ, 1951. — Т. 1. — 476 с., Т. 2. — 544 с.

[45] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплекс ного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.

[46] Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986. — 736 с.

[47] Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Механика. — М.: Физматлит, 2001. — 222 с.

[48] Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1988. — 509 с.

[49] Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987. — 246 с.

[50] Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987. — 840 с.

[51] Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. — М.: Наука. — Т. 1. 1982. — 352 с., Т. 2. 1983. — 640 с.

[52] Лурье А. И. Аналитическая механика. — М.: Физматгиз, 1961. — 824 с.

[53] Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

[54] Лурье А. И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 940 с.

[55] Магнус К. Колебания. — М.: Мир, 1982. — 304 с.

[56] Мак Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ. — М.: Физматгиз, 1963. — 412 с.

[57] Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. — М.: Машиностроение, 1975. — 399 с.

[58] Малинин Н. Н. Ползучесть в обработке металлов. — М.: Машино строение, 1986. — 220 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [59] Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. — М.: Наука, 1972. — 470 с.

[60] Мелан Э., Паркус Г. Температурные напряжения, вызываемые стаци онарными температурными полями. — М.: Физматгиз, 1958. — 167 с.

[61] Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. — М.: На ука, 1987. — 304 с.

[62] Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. — 512 с.

[63] Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981. — 400 с.

[64] Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. — 182 с.

[65] Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. — М.: Нау ка, 1984. — 256 с.

[66] Мусхелишвили Н. Н. Некоторые основные задачи математической теории упругости. — М.: Наука, 1966. — 707 с.

[67] Мышкис А. Д. Математика для втузов. — М.: Наука, 1971. — 632 с.

[68] Найфэ А. Х. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976. — 456 с.

[69] Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.

[70] Новожилов В. В. Теория упругости. — Л.: Судпромгиз, 1958. — 370 с.

[71] Новожилов В. В., Черных К. Ф., Михайловский Е. М. Линейная тео рия тонких оболочек. — Л.: Политехника, 1991. — 656 с.

[72] Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. — М.: Изд-во МГУ, 1978. — 575 с.

[73] Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. — М.: На ука, 1971. — 240 с.

[74] Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1985. — 288 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [75] Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. — М.: Наука, 1979. — 384 с.

[76] Парс Л. А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971. — 635 с.

[77] Партон В. З., Морозов Е. М. Механика упругопластического разру шения. — М.: Наука, 1985. — 504 с.

[78] Партон В. З., Перлин П. И. Методы математической теории упруго сти. — М.: Наука, 1981. — 688 с.

[79] Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1984. — 288 с.

[80] Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально-пластических тел. — М.: Изд во ИЛ, 1956. — 398 с.

[81] Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: На ука, 1988. — 711 с.

[82] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: На ука, 1967. — 664 с.

[83] Рейнер М. Реология. — М.: Наука, 1965. — 223 с.

[84] Ректорис К. Вариационные методы в математической физике. — М.: Мир, 1985. — 590 с.

[85] Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной пере менной. — М.: Наука, 1999. — 319 с.

[86] Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1994. — Т. 1. — 528 с., Т. 2. — 560 с.

[87] Слепян Л. И. Механика трещин. — Л.: Судостроение, 1990. — 295 с.

[88] Слепян Л. И. Нестационарные упругие волны. — Л.: Судостроение, 1972. — 376 с.

[89] Снеддон И. Н., Берри Д. С. Классическая теория упругости. — М.: Физматгиз, 1961. — 219 с.

[90] Соколовский В. В. Теория пластичности. — М.: Высш. шк., 1969. — 608 с.

[91] Сокольников И. С. Тензорный анализ. — М.: Наука, 1971. — 376 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [92] Темам Р. Математические задачи теории пластичности. — М.: Наука, 1991. — 288 с.

[93] Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. — М.: Мир, 1985. — 352 с.

[94] Тер-Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. — М.: Наука, 1974. — 223 с.

[95] Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. — М.: Наука, 1971. — 808 с.

[96] Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М.: Наука, 1966. — 635 с.

[97] Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1979. — 560 с.

[98] Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном де ле. — М.: Машиностроение, 1985. — 472 с.

[99] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 725 с.

[100] Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические ме тоды. — М.: Наука, 1995. — 319 с.

[101] Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. — Л.: Энергия, 1971. — 387 с.

[102] Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1982. — 360 с.

[103] Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплош ных сред. — М.: Мир, 1975. — 592 с.

[104] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.

[105] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физи ке. — М.: Мир, 1977. — Т. 5. — 302 с., Т. 7. — 288 с.

[106] Феодосьев В. И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материа лов. — М.: Наука, 1969. — 176 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [107] Филин А. П. Элементы теории оболочек. — Л.: Стройиздат, 1987. — 383 с.

[108] Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных матери алов. — М.: Мир, 1982. — 232 с.

[109] Хеллан К. Введение в механику разрушения. — М.: Мир, 1988. — 364 с.

[110] Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: Гостехтеориз дат, 1956. — 407 с.

[111] Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. — М.: Мир, 1971. — 192 с.

[112] Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974. — 640 с.

[113] Чернина В. С. Статика тонкостенных оболочек вращения. — М.: На ука, 1968. — 456 с.

[114] Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: Наука, 1977. — 400 с.

[115] Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное ис числение. — М.: Наука, 1969. — 424 с.

[116] Энгельбрехт Ю. К., Нигул У. К. Нелинейные волны деформации. — М.: Наука, 1981. — 256 с.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.