авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Волгодонский институт сервиса (филиал) Южно-Российскго ...»

-- [ Страница 4 ] --

Скалярный квадрат вектора А определяется соответственно равенством (АA)= –(А1)2–(А2)2+(А3)2+(А4)2+(А5)2–(А6)2–(А7)2=А2, так что скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора.

Очевидны свойства скалярного произведения двух векторов:

1. (aАВ)= a(АВ);

2. (АВ)=(ВА);

3. (А(В+С))=(АВ)+(АС);

4. Два вектора А и В ортогональны, если выполняется условие (АВ)=0.

Векторное произведение [АВ] двух векторов А и В определяется матрицей векторных произведений векторов базиса, причем его можно за писать в виде:

[АВ] = [(A1e1+A2e2+…+A7e7)(В1e1+В2e2+…+В7e7)]= = (–(А6В4–А4В6) + (А3В7–А7В3) – (А5В2–А2В5))е1+ + (–(А1В5–А5В1) – (А6В3–А3В6) + (А7В4–А4В7))е2+ + (–(А7В1–А1В7) – (А5В4–А4В5) + (А2В6–А6В2))е3+ + (–(А2В7–А7В2) + (А1В6–А6В1) – (А3В5–А5В3))е4+ + (–(А4В3–А3В4) + (А2В1–А1В2) – (А6В7–А7В6))е5+ + (–(А3В2–А2В3) +(А7В5–А5В7) – (А4В1–А1В4))е6+ + ( (А5В6–А6В5) + (А4В2–А2В4) + (А1В3–А3В1))е7.

Векторное произведение двух векторов удобно записать в виде сум мы определителей:

–е2 –е1 е5 –е1 –е6 е4 –е5 –е4 –е 2 1 5 1 А + А5 А А [AB]= А А А +А А + 2 1 5 1 6 4 5 4 В В В В В В В В В –е6 е3 –е2 –е3 е7 е1 –е4 е2 е7 е7 –е5 е 6 3 2 3 7 1 А А + А7 А5 А 2 + А А А +А А А +А В6 В3 В2 В3 В7 В1 В4 В2 В7 В7 В5 В6.

Из свойств определителей следует, что:

1. [aAB]=a[AB];

2. [AB]=–[BA];

3. [A(В+С)]=[AB]+[AC];

4. [aAА]=0.

Все произведения трех векторов можно получить умножением про изведения двух векторов на третий вектор. В соответствии с этим возмож ны лишь следующие типы произведений:

1. А(ВС) – простейшее произведение трех векторов;

2. (А[ВС]) – смешанное произведение трех векторов;

3. [А[ВС]] – двойное векторное произведение трех векторов.

Простейшее произведение А(ВС) трех векторов А, В и С получается умножением скалярного произведения двух векторов на третий вектор. В результате получается вектор, коллинеарный с третьим вектором. Из этого в общем случае вытекает неравенство А(ВС)(АВ)С, так что рассматриваемое векторное исчисление не ассоциативно.

Смешанное произведение (А[ВС])=(АВС) трех векторов А, В и С получа ется скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор. В результате получаем антисимметричную по перестановке любой пары векторов скалярную функцию (А[ВС])= –А1[BC]1–А2[BC]2+А3[BC]3+ +А4[BC]4+А5[BC]5–А6[BC]6–А7[BC]7= = –A1(–(B6C4–B4C6) + (B3C7–B7C3) – (B5C2–B2C5))– – A2(–(B1C5 –B5C1) – (B6C3–B3C6) +(B7C4–B4C7))+ + A3(–(B7C1 –B1C7) – (B5C4–B4C5) + (B2C6–B6C2))+ + A4(–(B2C7–B7C2) + (B1C6–B6C1) – (B3C5–B5C3))+ + A5(–(B4C3 –B3C4) + (B2C1–B1C2) – (B6C7–B7C6))– – A6(–(B3C2–B2C3) +(B7C5–B5C7) – (B4C1–B1C4))– –A7( (B5C6–B6C5) + (B4C2–B2C4) + (B1C3–B3C1)).

Смешанное произведение трех векторов можно представить в виде суммы определителей:

А2 А1 А5 А1 А6 А4 А5 А4 А (ABС)= В2 В1 В5 + В1 В6 В4 – В5 В4 В3 + С2 С1 С5 С1 С6 С4 С5 С4 С А6 А3 А2 А3 А7 А1 А4 А2 А7 А7 А5 А + В6 В3 В2 – В3 В7 В1 – В4 В2 В7 – В7 В5 В6.

С6 С3 С2 С3 С7 С1 С4 С2 С7 С7 С5 С Из свойств определителей следует, что:

1. (aАВС)= a(АВС);

Смешанное произведение трех векторов изменяет знак при переста 2.

новке любой пары векторов;

(АВ(С+D))=(АВC)+(АBD);

3.

Если два вектора А и В в смешанном произведении трех векторов 4.

коллинеарные, то это произведение равно нулю. В частности, если два вектора в смешанном произведении трех векторов равны, то оно обращается в нуль. Так что, векторное произведение двух векторов ортогонально каждому из входящих в него векторов ([АВ]А)=0. Если три вектора А, В и С=А+В компланарны, то выполняется равенство (АВС)=(АВ(А+В))=0.

Двойное векторное произведение [A[BC]] трех векторов А, В и С по лучается векторным умножением векторного произведения двух век торов на третий вектор. В результате имеем вектор [A[BC]]=[AD]=E=E1e1+E2e2+…+E7e7.

В координатной форме записи для первой координаты двойного век торного произведения имеет место соотношение Е1= –(A6D4–A4D6)+(A3D7–A7D3)–(A5D2–A2D5) = = – A6(–(B2C7–B7C2)+ (B1C6–B6C1) – (B3C5–B5C3))+ + A4(–(B3C2–B2C3)+(B7C5–B5C7) – (B4C1–B1C4))+ +A3(+ (B5C6–B6C5)+ (B4C2–B2C4) + (B1C3–B3C1)) – – A7(–(B7C1–B1C7) – (B5C4–B4C5) + (B2C6–B6C2)) – – A5(– (B1C5–B5C1) – (B6C3–B3C6) + (B7C4–B4C4))+ + A2(– (B4C3–B3C4) + (B2C1–B1C2) – (B6C7–B7C6)), т.е. Е1 = B1(CA)–C1(AB)+[ABC]1, где А6 А3 А5 А4 А5 А7 А3 А4 А2 А2 А7 А [ABC]1= В6 В3 В5 – В4 В5 В7 + В3 В4 В2 + В2 В7 В С6 С3 С5 С4 С5 С7 С3 С4 С2 С2 С7 С6.

Аналогично, для других координат Е2 = B2(CA)–C2(AB) +[ABC]2, где А1 А6 А7 А5 А7 А3 А6 А5 А4 А4 А3 А [ABC]2= В1 В6 В7 – В5 В7 В3 + В6 В5 В4 + В4 В3 В С1 С6 С7 С5 С7 С3 С6 С5 С4 С4 С3 С1, Е3 = B3(CA)–C3(AB) +[ABC]3, где А7 А5 А2 А1 А2 А4 А5 А1 А6 А6 А4 А [ABC]3= В7 В5 В2 – В1 В2 В4 – В5 В1 В6 + В6 В4 В С7 С5 С2 С1 С2 С4 С5 С1 С6 С6 С4 С7, Е4 = B4(CA)–C4(AB) +[ABC]4, где А2 А1 А3 А7 А3 А6 А1 А7 А5 А5 А6 А [ABC]4= – В2 В1 В3 + В7 В3 В6 + В1 В7 В5 – В5 В6 В С2 С1 С3 С7 С3 С6 С1 С7 С5 С5 С6 С2, Е5 = B5(CA)–C5(AB) +[ABC]5, где А4 А2 А6 А3 А6 А1 А2 А3 А7 А7 А1 А [ABC]5= – В4 В2 В6 – В3 В6 В1 + В2 В3 В7 + В7 В1 В С4 С2 С6 С3 С6 С1 С2 С3 С7 С7 С1 С4, Е6 = B6(CA)–C6(AB) +[ABC]6, где А3 А7 А4 А2 А4 А5 А7 А2 А1 А1 А5 А [ABC]6=– В3 В7 В4 + В2 В4 В5 + В7 В2 В1 + В1 В5 В С3 С7 С4 С2 С4 С5 С7 С2 С1 С1 С5 С3, Е7 = B7(CA)–C7(AB) +[ABC]7, где А5 А4 А1 А6 А1 А2 А4 А6 А3 А3 А2 А [ABC]7= – В5 В4 В1 + В6 В1 В2 – В4 В6 В3 – В3 В2 В С5 С4 С1 С6 С1 С2 С4 С6 С3 С3 С2 С5.

Таким образом, окончательно запишем [A[BC]] = B(CA)–С(AВ)+[ABC], где вектор [АВС] можно представить в виде суммы определителей:

е2 е1 е6 е [ABC]= А2 А1 А6 А7 + В2 В1 В6 В С2 С1 С6 С е1 е6 –е3 –е5 –е5 –е4 е2 е6 –е6 е3 –е7 е + А1 А6 А3 А + А А4 А2 А + А А3 А7 А4 + В1 В6 В3 В5 В5 В4 В2 В6 В6 В3 В7 В С1 С6 С3 С5 С5 С4 С2 С6 С6 С3 С7 С е3 –е7 е5 –е2 –е4 е2 е1 –е3 –е7 е5 е4 –е + А3 А7 5 + А4 А2 А1 А + А А5 А4 А А А В3 В7 В5 В2 В4 В2 В1 В3 В7 В5 В4 В С3 С7 С5 С2 С4 С2 С1 С3 С7 С5 С4 С1.

Подобным образом можно получить соотношение [[AB]C] = [C[BA]] = B(CA)–А(BC)–[ABC].

Антисимметричная по перестановке любой пары векторов векторная функ ция трех векторов [АВС] является векторным произведением трех векторов.

Из свойств определителей следует, что:

1. Векторное произведение трех векторов не изменится, если вынести за скобки скалярный множитель, т.е.

[aABC] = a[ABC];

2. Векторное произведение трех векторов изменяет знак при переста новке любой пары векторов;

3. Векторное произведение трех векторов дистрибутивно, т.е.

[AB(C+D)] = [ABC]+[ABD];

4. Если два вектора в векторном произведении трех векторов колине арны, то это произведение равно нулю. В частности, если два векто ра в векторном произведении трех векторов равны, то оно обращает ся в нуль. Если любой из векторов А, В или С раскладывается по двум векторам, то выполняется условие [ABC] = 0.

Используя циклические подстановки векторов, получим [A[BC]]+[В[СА]]+[С[АВ]]= 3[ABC] и [[AB]C]+[[ВС]А]+[[СА]В]= –3[ABC], так что, в рассматриваемых алгебрах не выполняется соотношение Якоби, они не ассоциативны и не относятся к классу алгебр Ли.

Все произведения четырех векторов можно получить следующими двумя способами:

– умножением произведения трех векторов на четвертый вектор;

– умножением произведения двух векторов на произведение двух векторов.

В соответствии с этим, возможны следующие типы произведений:

((АВ)CD) (AB)(CD) (ABC)D.

[(AB)CD] (AB)[CD] ([[AB]C]D) ([AB][CD]) [[[AB]C]D] [[AB][CD]] Не все девять получившихся произведений различны между собой. Дей ствительно, во-первых, мы знаем, что скалярный множитель можно выно сить за знак скалярного и векторного произведений двух векторов. Поэтому ((АВ)CD) = (AB)(CD) [(AB)CD] = (AB)[CD].

Во-вторых, считая векторное произведение [AB] за один вектор, мы можем рассматривать ([[AB]C]D) как смешанное произведение трех векторов [AB], C и D. Применив к нему закон сочетательности, получим ([[AB]C]D) = ([AB][CD]).

Итак, остаются только шесть типов произведений четырех векторов 1. ((АВ)CD) = (AB)(CD);

2. [(AB)CD] = (AB)[CD];

3. ([[AB]C]D) = ([AB][CD]);

4. ([AB]C)D = (ABC)D;

5. [[AB][CD]];

6. [[[AB]C]D].

Мы покажем теперь, что четыре последних произведения не являют ся линейными комбинациями из произведений первых двух типов, кото рые считались основными в трехмерном случае.

Скалярное произведение двух векторов [АВ] и [CD], как уже отмеча лось, является смешанным произведением трех векторов ([[AB]C]D). На основании закона сочетательности мы можем для вычисления этого произ ведения перемножить векторно два первых множителя [AB] и С и резуль тат умножить скалярно на третий множитель, следовательно ([AB][CD]) = ([[AB]C]D).

Развернув получившееся в скобках двойное векторное произведение трех векторов по формуле разложения, мы получим ([AB][CD]) = ((В(АС)–А(ВС)–[ABC])D) или, раскрыв скобки (АС) (ВС) – ([ABC]D).

([AB][CD]) = (AD) (BD) Таким образом, скалярное произведение двух векторных произведе ний, т.е. произведение третьего типа не выражается только через произве дения первого типа, что имеет место в трехмерной алгебре.

Назовем второе слагаемое в правой части тождества смешанным произведением четырех векторов и обозначим его через (ABCD) = ([ABC]D).

Используя координатную запись векторного произведения трех век торов [ABC], получим координатную запись смешанного произведения че тырех векторов в виде:

А2 А1 А6 А –(ABCD)= – В2 В1 В6 В7 – С2 С1 С6 С D2 D1 D6 D А1 А6 А3 А5 А5 А4 А2 А6 А6 А3 А7 А – В1 В6 В3 В5 – В5 В4 В2 В6 + 2 В6 В3 В7 В4 + С1 С6 С3 С5 С5 С4 С2 С6 С6 С3 С7 С D1 D6 D3 D5 D5 D4 D2 D6 D6 D3 D7 D А3 А7 А5 А2 А4 А2 А1 А3 А7 А5 А4 А + 2 В3 В7 В5 В2 – В4 В2 В1 В3 + 2 В7 В5 В4 В С3 С7 С5 С2 С4 С2 С1 С3 С7 С5 С4 С D3 D7 D5 D2 D4 D2 D1 D3 D7 D5 D4 D1.

Из свойств определителей следует:

1. Смешанное произведение четырех векторов не изменится, если вы нести за скобки скалярный множитель, т.е.

(aABCD) = a(ABCD);

2. Смешанное произведение четырех векторов изменяет знак при пере становке любой пары его векторов.

3. Смешанное произведение четырех векторов дистрибутивно, т.е.

(АВС(D+E)) = (ABCD)+(ABCE);

4. Если два вектора в векторном произведении четырех векторов колине арны, то это произведение равно нулю. В частности, если два вектора в смешанном произведении четырех векторов равны, то оно обращается в нуль, так что векторное произведение трех векторов ортогонально каждо му из входящих в него векторов ([ABC]A) = 0. Если четыре вектора А, В, С и D компланарны, либо разложены по трем векторам, то выполняется условие (ABCD) = 0.

При этом из уравнения (АС) (ВС) ([AB][CD])+(ABCD)= (AD) (BD) следует соотношение ([AB][CD]) +([BС][АD]) + ([СA][ВD]) = –3(ABCD), и как частный случай, при С=А и D=B – основное тождество для двух век торов (АА) (ВА) [AB]2 =.

(AВ) (BВ) Векторное произведение двух векторных произведений [[AB][CD]] можно преобразовать двумя способами: во–первых, рассматривая это про изведение как двойное векторное произведение трех векторов [AB], C и D мы получим [[AB][CD]] = С(D[AB])–D([AB]C)+[[AB]CD].

Во–вторых, рассматривая то же произведение как двойное векторное произведение трех векторов А, В и [CD], мы получим:

[[AB][CD]] = B([CD]A)–A(B[CD])–[AB[CD]].

Таким образом, векторное произведение двух векторных произведе ний, т.е. произведение пятого типа, не выражается только через произве дения четвертого типа. Сравнив оба выражения для одного и того же про изведения [[AB][CD]], мы получим С(D[AB])–D([AB]C)+[[AB]CD] = B([CD]A)–A(B[CD])–[AB[CD]] или A(BCD) – B(CDA) + С(DAB)–D(ABC) = –[[AB]CD]–[AB[CD]].

При этом отпадает возможность разложения вектора по трем векто рам.

Выражение в правой части тождества является векторным произве дением четырех векторов [ABCD], т.е.

[ABCD] = –[[AB]CD]–[AB[CD]] = A(BCD) – B(CDA) + С(DAB)–D(ABC) = АВ CD + =.

(ACD) (BCD) (CAB) (DAB) Используя координатную запись смешанных произведений трех век торов, можно получить векторное произведение четырех векторов в виде [ABCD] = А1 А7 А5 А6 А1 А5 А4 А3 А1 А4 А2 А7 А1 А6 А3 А =(– В1 В7 В5 В6 – В1 В5 В4 В3 – В1 В4 В2 В7 + В1 В6 В3 В2 )e1+ С1 С7 С5 С6 С1 С5 С4 С3 С1 С4 С2 С7 С1 С6 С3 С D1 D7 D5 D6 D1 D5 D4 D3 D1 D4 D2 D7 D1 D6 D3 D А2 А3 А7 А1 А2 А7 А5 А6 А2 А5 А4 А3 А2 А1 А6 А +(– В2 В3 В7 В1 – В2 В7 В5 В6 – В2 В5 В4 В3 + В2 В1 В6 В4 )e2+ С2 С3 С7 С1 С2 С7 С5 С6 С2 С5 С4 С3 С2 С1 С6 С D2 D3 D7 D1 D2 D7 D5 D6 D2 D5 D4 D3 D2 D1 D6 D А3 А4 А2 А7 А3 А2 А1 А5 А3 А1 А6 А4 А3 А7 А5 А +(– В3 В4 В2 В7 + В3 В2 В1 В5 + В3 В1 В6 В4 – В3 В7 В5 В6 )e3+ С3 С4 С2 С7 С3 С2 С1 С5 С3 С1 С6 С4 С3 С7 С5 С D3 D4 D2 D7 D3 D2 D1 D5 D3 D1 D6 D4 D3 D7 D5 D А4 А6 А3 А2 А4 А3 А7 А1 А4 А7 А5 А6 А4 А2 А1 А +( В4 В6 В3 В2 – В4 В3 В7 В1 – В4 В7 В5 В6 + В4 В2 В1 В5 )e4+ С4 С6 С3 С2 С4 С3 С7 С1 С4 С7 С5 С6 С4 С2 С1 С D4 D6 D3 D2 D4 D3 D7 D1 D4 D7 D5 D6 D4 D2 D1 D А5 А1 А6 А4 А5 А6 А3 А2 А5 А3 А7 А1 А5 А4 А2 А +( В5 В1 В6 В4 + В5 В6 В3 В2 – В5 В3 В7 В1 – В5 В4 В2 В7 )e5+ С5 С1 С6 С4 С5 С6 С3 С2 С5 С3 С7 С1 С5 С4 С2 С D5 D1 D6 D4 D5 D6 D3 D2 D5 D3 D7 D1 D5 D4 D2 D А6 А5 А4 А3 А6 А4 А2 А7 А6 А2 А1 А5 А6 А3 А7 А +(– В6 В5 В4 В3 – В6 В4 В2 В7 + В6 В2 В1 В5 – В6 В3 В7 В1 )e6+ С6 С5 С4 С3 С6 С4 С2 С7 С6 С2 С1 С5 С6 С3 С7 С D6 D5 D4 D3 D6 D4 D2 D7 D6 D2 D1 D5 D6 D3 D7 D А7 А2 А1 А5 А7 А1 А6 А4 А7 А6 А3 А2 А7 А5 А4 А +( В7 В2 В1 В5 + В7 В1 В6 В4 + В7 В6 В3 В2 – В7 В5 В4 В3 )e7.

С7 С2 С1 С5 С7 С1 С6 С4 С7 С6 С3 С2 С7 С5 С4 С D7 D2 D1 D5 D7 D1 D6 D4 D7 D6 D3 D2 D7 D5 D4 D3.

Из свойств определителей следует, что:

1. Векторное произведение четырех векторов не изменится, если выне сти за скобки скалярный множитель, т.е.

[aABCD] = a[ABCD];

2. Векторное произведение четырех векторов изменяет знак при пере становке любой пары векторов;

3. Векторное произведение четырех векторов дистрибутивно, т.е.

[ABС(D+E)] = [ABCD]+[ABCE];

4. Если два вектора в векторном произведении четырех векторов коли неарны, то это произведение равно нулю. В частности, если два век тора в векторном произведении четырех векторов равны, то оно об ращается в нуль. Если любой из векторов А, В, С и D раскладывается по двум или трем векторам, то выполняется условие [ABCD] = 0.

Тройное векторное произведение четырех векторов [[[AB]C]D] мож но также преобразовать двумя способами. Во-первых, разложив двойное векторное произведение внутри скобок и умножив векторно на четвертый вектор D, получим [[[AB]C]D] = (СА)[BD] – (СВ)[AD] – [[ABC]D].

Во-вторых, разложив тройное векторное произведение четырех век торов, получим [[[AB]C]D] = С(D[AB]) – (CD)[AB] – [[AB]CD].

Сравнив оба выражения, получаем (СА)[BD] – (СВ)[AD] – [[ABC]D] = С(D[AB]) – (CD)[AB] – [[AB]CD].

Отсюда найдем С(ABD) = (CA)[BD] +(CB)[DA] + (CD)[AB] + [[AB]CD] – [[ABC]D].

Эта формула очевидно не выражает произведение четвертого типа только через произведения второго типа. При этом отпадает возможность разложения векторов по трем векторным произведениям пар векторов.

Итак, мы показали, что все произведения четырех векторов не выра жаются линейно через произведения только двух типов (АВ)(CD) и (AB)[CD].

Последнее тождество при циклической подстановке векторов позво ляет получить полезное соотношение [ABCD] = (BCD)A – (CDA)B + (DAB)C – (ABC)D = = –2[ABCD] + [[BCD]A] – [[CDA]B] + [[DAB]C] – [[ABC]D], а также –[[ABC]D] + [[BCD]A] – [[CDA]B] + [[DAB]C] = 3[ABCD].

Анализ соотношений был бы неполным, если бы не удалось установить выражение тройного векторного произведения (или величины [[ABC]D]) через более простые произведения. Выразив, например, ее первую коорди нату как векторное произведение двух векторов [[ABC]D]1= – ([ABC]2D3–[ABC]3D2)–([ABC]4D5–[ABC]5D4)+ +([ABC]7D6–[ABC]6D7), в координатной форме записи можно получить [[ABC]D]1= =(–A1(BCD)–B1(CAD)–C1(ABD)+[AB]1(CD)+[BC]1(AD)+[CA]1(BD))е и аналогично остальные шесть координат этого произведения.

В результате имеем [АB] C [BC] A [CA] B [[ABC]D] = (ABD) (CD) + + (BCD) (AD) (CAD) (BD) и кроме того АB (AC) (BC) [AC] [BC] [[AB]CD]= – (ACD) (BCD) – [AD] [BD] – (AD) (BD) при этом [[AB]CD] + [[BC]AD] + [[CA]BD] = [[ABC]D].

Таким образом, рассматриваемые произведения сводятся к линейной ком бинации произведений второго и четвертого типа. Поэтому следует счи тать основными четыре типа произведений четырех векторов:

1. (AB)(CD);

2. (AB)[CD];

3. (ABC)D;

4. (ABCD).

Нетрудно показать, что при этом выполняются тождества Мальцева [[ABC]A] = [AB[AC]] и Сейгла [[[AB]C]D] + [[[BС]D]A] + [[[CD]A]B] + [[[DA]B]C] = [[AC][BD]], так что рассматриваемые алгебры относятся к алгебрам Мальцева, причем [[ABC]A] = [AB](CA) + [BC](AA) + [CA](BA) – (ABC)A и А [BC] B [CD] C [DA] D [AB] [[AC][BD]] = + + +.

(AD) (BCD) (BA) (CDA) (CB)(DAB) (DC)(ABC) В результате можно предложить модифицированную запись соотно шения Мальцева на случай четырех произвольных векторов – [[ABC]D] + [[BCD]A] – [[CDA]B] + [[DAB]C] = =–3([AB[CD]] + [[AB]CD]) = 3[ABCD].

Найдем квадрат смешанного произведения трех векторов, т.е.

(АВС)2 = ([AB]C)2.

Его можно рассматривать как квадрат скалярного произведения двух векторов [AB] и С.

Согласно основному тождеству для двух векторов квадрат скалярно го произведения двух векторов равен произведению квадратов этих векто ров минус квадрат их векторного произведения, поэтому (АВС)2 = [AB]2C2–[[AB]C]2.

Квадрат векторного произведения [AB]2 мы найдем, пользуясь ос новным тождеством для двух векторов [АВ]2 = А2В2 – (АВ)2.

Для вычисления квадрата двойного векторного произведения [[AB]C]2 воспользуемся формулой разложения [[AB]C]2 = (B(CA)–A(BC)–[ABC])2 = B2(CA)2 – 2(AB)(BC)(CA) +A2(BC)2 – –2([ABC](B(CA)–A(BC)))+[ABC]2=A2(BC)2+B2(CA)2–2(AB)(BC)(CA)+[ABC]2.

Подставив все это в выражение для квадрата смешанного произведе ния, мы получим (АВС)2 = A2B2C2 – (AB)2C2 – A2(BC)2 – B2(CA)2 + 2(AB)(BC)(CA)– [ABC]2.

Эта формула является по существу искомой. Мы только приведем ее к более удобному для запоминания виду. Для этого перегруппируем члены так:

(АВС)2+[ABC]2= =A2(B2C2–(BC)2)–(AB)((BA)C2–(BC)(CA))+(AC)((BA)(CB)–(CA)B2).

Нетрудно видеть, что правая часть составляет определитель третьего порядка (AA) (AB) (AC) 2 (АВС) +[ABC] = (BA) (BB) (BC).

(CA) (CB) (CC) Как мы видим, эта замечательная формула вместе с формулой двой ного векторного произведения позволяет сводить многие вычисления к нахождению скалярных произведений.

6. Группа преобразований вращения трехмерного псевдоевклидового пространства индекса два Аффинное преобразование х1=a11x1+ a12x2+ a13x3+ a1, х2=a21x1+ a22x2+ a23x3+ a2, (1) х3=a31x1+ a32x2+ a33x3+ a назовем преобразованием вращения, если его матрица a11 a12 a A= a21 a22 a23 (2) a31 a32 a действительна и удовлетворяет условию A A = A A=I, (3) где черточка обозначает операцию A = GATG, индекс T – операцию транспонирования, а G-метрический тензор - G= 0 - 0, причем, = ±1, так что G=GТ, G2=I и a11 a21 -a A = GA G= a12 a T -a -a13 -a23 a33.

Очевидно, что AB =G(AB)TG=G(BTAT)G=(GBTG)(GATG)= B A, и A = GAT G =G(GАТG)TG=GGAGG=A.

Докажем, что совокупность преобразований вращения обладает групповыми свойствами.

Произведение двух преобразований вращения есть преобразова 1.

ние вращения.

Действительно, пусть даны преобразования вращения с матрицами А1 и А2;

произведение их есть аффинное преобразование с матрицей А=А2А1. На основании правил перемножения матриц мы можем написать тождество А A =(А2А1)( A2 A1 )=(А2А1)( A1 A2 )= А2(А1 A1 ) A2.

Отсюда вследствие равенства A A =I имеем:

A A = А2 I A2 =I.

Тем самым требуемое доказано.

Преобразование, обратное преобразованию вращения является 2.

преобразованием вращения.

Действительно, пусть А – матрица некоторого преобразования вра щения и В= А–1– матрица преобразования, обратного ему. Из условия A A = I следует, что A = А–1. Таким образом В= A. Отсюда В B = A ( A )= A А= А–1А=I.

Тем самым требуемое доказано. Таким образом, совокупность пре образований вращения есть группа.

Из равенства (3) следует, что определитель матрицы А равен ±1. От сюда заключаем, что группа вращений является подгруппой унимодуляр ной группы.

Условие вращения, записанное в матричной форме (3), равносильно соотношениям:

а11а11+а12а12–а13а13 а11а21+а12а22–а13а23 –а11а31–а12а32+ а13а А A = а21а11+а22а12–а23а13 а21а21+а22а22–а23а23 –а21а31–а22а32+ а23а33 (4) а31а11+а32а12–а33а13 а31а21+а32а22–а33а23 –а31а31–а32а32+ а33а равным I. Поскольку группа преобразований вращения выделяется из аф финной при помощи наложения шести связей на двенадцать параметров, она является шестичленной. Условиям преобразований вращения можно придать форму отличную от формы (4) а11а11+а21а21–а31а31 а11а12+а21а22–а31а32 а11а13+а21а23– а31а A А= а12а11+а22а21–а32а31 а12а12+а22а22–а32а32 а12а13+а22а23– а32а33 (5) –а13а11–а23а21+а33а31 –а13а12–а23а22+а33а32 –а13а13–а23а23+а33а также равную I. Эта система равенств равносильна равенствам (4).

Группа преобразований вращения имеет инвариант двух точек. Та ковым является, например, функция двух точек М1(х11, х12, х13), М2(х21, х22, х2 3 ) 2(М1, М2)= –(х21– х11)2–(х22– х12)2+(х23– х13)2.

Инвариантность этой функции может быть установлена при помощи простых выкладок. Именно, пусть М1(х11, х12, х13) и М2(х21, х22, х23) – две точки, полученные преобразованием вращения из точек М1(х11, х12, х13) и М2(х21, х22, х23). Мы имеем:

2(М1, М2)= –(х21–х11)2– (х22–х12)2+ (х23–х13)2= –(a11(х21–х11)+ a12(х22–х12)+ a13(х23–х13))2– –(a21(х21–х11)+ a22(х22–х12)+ a23(х23–х13))2+ +(a31(х21–х11)+ a32(х22–х12)+ a33(х23–х13))2= = –(a11a11(х21–х11)2+a12a12(х22–х12)2+a13a13(х23–х13)2+ +2(a11a12(х21–х11)(х22–х12)+a12a13(х22–х12)(х23–х13)+a13a11(х23–х13)(х21–х11)))– –(a21a21(х21–х11)2+a22a22(х22–х12)2+a23a23(х23–х13)2+ +2(a21a22(х21–х11)(х22–х12)+a22a23(х22–х12)(х23–х13)+a23a21(х23–х13)(х21–х11)))+ +(a31a31(х21–х11)2+a32a32(х22–х12)2+a33a33(х23–х13)2+ +2(a31a32(х21–х11)(х22–х12)+a32a33(х22–х12)(х23–х13)+a33a31(х23–х13)(х21–х11)))= = (–a11a11–a21a21+a31a31)(х21–х11)2+ +(–a12a12–a22a22+a32a32)(х22–х12)2+ +(–a13a13–a23a23+a33a33)(х23–х13)2+ +2((–a11a12–a21a22+a31a32)(х21–х11)(х22–х12)+ +(–a12a13–a22a23+a32a33)(х22–х12)(х23–х13)+ +(–a13a11–a23a21+a33a31)(х23–х13)(х21–х11)).

Отсюда вследствие соотношений (5) получаем:

2(М1, М2)= –(х21–х11)2–(х22–х12)2+(х23–х13)2= 2(М1, М2).

В геометрии группы преобразований вращения величина 2(М1, М2) является квадратом интервала между точками М1 и М2. Он представляет собой основной инвариант этой геометрии, так как все остальные инвари анты могут быть выражены через квадрат интервала.

Геометрии собственноортогональной группы [6] (трехмерной соб ственноевклидовой геометрии) соответствуют значения, = -1. Геомет рии псевдоортогональной группы (трехмерной псевдоевклидовой геомет рии индекса два) одной или двум величинам, соответствуют значения равные 1.

Представление группы преобразований вращения трехмерного псевдоевклидового пространства индекса два Преобразование Х=АХ назовем представлением преобразования вращения, если его матрица a11 a A= a21 a комплексна и удовлетворяет условию A A = A A=I, где черточка обозначает операцию A = GA*G, индекс * – операцию эрмитового сопряжения, а G-метрический тензор 1 G= 0 -, причем = ±1, так что G=G*, G2=I и a 11 - a A = GA*G= a 22.

- a Очевидно, что AB=G(AB)*G=G(B*A*)G=(GB*G)(GA*G)= B A, и A = GA* G =G(GА*G)*G=GGAGG=A.

Докажем, что совокупность преобразований вращения обладает груп повыми свойствами.

1. Произведение двух преобразований вращения есть преобразование вращения.

Действительно, пусть даны преобразования вращения с матрицами А1 и А2;

произведение их есть преобразование с матрицей А=А2А1. На основа нии правил перемножения матриц мы можем написать тождество А A =(А2А1)( A2 A1 )=(А2А1)( A1 A2 )= А2(А1 A1 ) A2.

Отсюда вследствие равенства A A =I имеем:

A A = А2 I A2 =I.

Тем самым требуемое доказано.

2. Преобразование, обратное преобразованию вращения является пре образованием вращения.

Действительно, пусть А-матрица некоторого преобразования враще ния и В= А-1- матрица преобразования, обратного ему. Из условия A A = I следует, что A = А-1. Таким образом В= A. Отсюда В B = A ( A )= A А= А-1А=I.

Тем самым требуемое доказано. Таким образом, совокупность пре образований вращения есть группа.

Условие преобразований вращения, записанное в матричной форме, равносильно соотношениям:

а11 a 11- a 12а12 а12 a 22- a 21а А A= =I, а21 a 11- a 12а22 а22 a 22- a 21а равным I.

Этим условиям можно придать форму отличную от этой формы a 11а11-а21 a 21 - a 21а22+а12 a A А= =I, - a 12а11 +а21 a 22 a 22а22-а12 a также равной I. Эти системы равенств равносильны.

Любые два из четырех комплексных коэффициентов аik определяют все остальные. Более того, они дополнительно связаны соотношением унимодулярности (определитель матрицы А равен ±1), так что два ком плексных коэффициента аik полностью определяются лишь тремя веще ственными параметрами.

Геометрии собственноунитарной группы [7] (трехмерной собственно евклидовой геометрии) соответствует представление со значением = -1.

Геометрии псевдоунитарной группы (трехмерной псевдоевклидовой гео метрии индекса два) соответствует представление со значением = 1.

7. Группа преобразований вращения семимерного псевдоевклидового пространства индекса четыре Аффинное преобразование х1=a11x1+ a12x2+…+ a17x7+ a1, х2=a21x1+ a22x2+…+a27x7+ a2, (1) … х =a71x + a72x2+…+a77x7+ a 7 назовем преобразованием вращения, если его матрица a11 a12 … a … a a a A= 21 22 (2) … a71 a72 … a действительна и удовлетворяет условию A A = A A=I, (3) где черточка обозначает операцию A = GATG, индекс T – операцию транспонирования, а G-метрический тензор - 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 G= 0 0 0 - 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 причем,, = ±1, так что G=GТ, G2=I и a21 a41 -a61 a a11 -a31 -a a12 a42 a a22 -a32 -a52 -a -a43 a53 a -a13 -a23 a33 -a a14 a24 a -a34 a44 -a54 -a64.

A= -a25 a35 a -a15 -a45 a55 -a a36 a -a16 -a26 -a46 a66 -a a17 a27 a -a37 -a57 -a67 a Очевидно, что AB =G(AB)TG=G(BTAT)G=(GBTG)(GATG)= B A, и A = GAT G =G(GАТG)TG=GGAGG=A.

Докажем, что совокупность преобразований вращения обладает груп повыми свойствами.

1. Произведение двух преобразований вращения есть преобразование вращения.

Действительно, пусть даны преобразования вращения с матрицами А1 и А2;

произведение их есть аффинное преобразование с матрицей А=А2А1. На основании правил перемножения матриц мы можем написать тождество А A =(А2А1)( A2 A1 )=(А2А1)( A1 A2 )= А2(А1 A1 ) A2.

Отсюда вследствие равенства A A =I имеем:

A A = А2 I A2 =I.

Тем самым требуемое доказано.

2. Преобразование, обратное преобразованию вращения является пре образованием вращения.

Действительно, пусть А – матрица некоторого преобразования вра щения и В= А-1- матрица преобразования, обратного ему. Из условия A A = I следует, что A = А-1. Таким образом В= A. Отсюда В B = A ( A )= A А= А-1А=I.

Тем самым требуемое доказано. Таким образом, совокупность пре образований вращения есть группа.

Из равенства (3) следует, что определитель матрицы А равен ±1. От сюда заключаем, что группа вращений является подгруппой унимодуляр ной группы.

Условие вращения, записанное в матричной форме (3), равносильно соотношениям по столбцам матрицы А A :

а11а11+а12а12–а13а13+а14а14–а15а15 –а16а16+а17а а21а11+а22а12–а23а13+а24а14–а25а15 –а26а16+а27а а31а11+а32а12–а33а13+а34а14–а35а15 –а36а16+а37а а41а11+а42а12–а43а13+а44а14–а45а15 –а46а16+а47а а51а11+а52а12–а53а13+а54а14–а55а15 –а56а16+а57а а61а11+а62а12–а63а13+а64а14–а65а15 –а66а16+а67а а71а11+а72а12–а73а13+а74а14–а75а15 –а76а16+а77а а11а21+а12а22–а13а23+а14а24–а15а25 –а16а26+а17а а21а21+а22а22–а23а23+а24а24–а25а25 –а26а26+а27а а31а21+а32а22–а33а23+а34а24–а35а25 –а36а26+а37а а41а21+а42а22–а43а23+а44а24–а45а25 –а46а26+а47а а51а21+а52а22–а53а23+а54а24–а55а25 –а56а26+а57а а61а21+а62а22–а63а23+а64а24–а65а25 –а66а26+а67а а71а21+а72а22–а73а23+а74а24–а75а25 –а76а26+а77а –а11а31–а12а32+ а13а33–а14а34+а15а35 +а16а36–а17а –а21а31–а22а32+ а23а33–а24а34+а25а35 +а26а36–а27а –а31а31–а32а32+ а33а33–а34а34+а35а35 +а36а36–а37а –а41а31–а42а32+ а43а33–а44а34+а45а35 +а46а36–а47а –а51а31–а52а32+ а53а33–а54а34+а55а35 +а56а36–а57а –а61а31–а62а32+ а63а33–а64а34+а65а35 +а66а36–а67а –а71а31–а72а32+ а13а33–а74а34+а75а35 +а76а36–а77а а11а41+а12а42–а13а43+а14а44–а15а45 –а16а46+а17а а21а41+а22а42–а23а43+а24а44–а25а45 –а26а46+а27а а31а41+а32а42–а33а43+а34а44–а35а45 –а36а46+а37а а41а41+а42а42–а43а43+а44а44–а45а45 –а46а46+а47а а51а41+а52а42–а53а43+а54а44–а55а45 –а56а46+а57а а61а41+а62а42–а63а43+а64а44–а65а45 –а66а46+а67а а71а41+а72а42–а73а43+а74а44–а75а45 –а76а46+а77а –а11а51–а12а52+а13а53–а14а54+а15а55 +а16а56–а17а –а21а51–а22а52+а23а53–а24а54+а25а55 +а26а56–а27а –а31а51–а32а52+а33а53–а34а54+а35а55 +а36а56–а37а –а41а51–а42а52+а43а53–а44а54+а45а55 +а46а56–а47а –а51а51–а52а52+а53а53–а54а54+а55а55 +а56а56–а57а –а61а51–а62а52+а63а53–а64а54+а65а55 +а66а56–а67а –а71а51–а72а52+а73а53–а74а54+а75а55 +а76а56–а77а –а11а61–а12а62+а13а63–а14а64+а15а65 +а16а66–а17а –а21а61–а22а62+а23а63–а24а64+а25а65 +а26а66–а27а –а31а61–а32а62+а33а63–а34а64+а35а65 +а36а66–а37а –а41а61–а42а62+а43а63–а44а64+а45а65 +а46а66–а47а –а51а61–а52а62+а53а63–а54а64+а55а65 +а56а66–а57а –а61а61–а62а62+а63а63–а64а64+а65а65 +а66а66–а67а –а71а61–а72а62+а73а63–а74а64+а75а65 +а76а66–а77а а11а71 +а12а72–а13а73 +а14а74–а15а75 –а16а76 +а17а а21а71 +а22а72–а23а73 +а24а74–а25а75 –а26а76 +а27а а31а71 +а32а72–а33а73 +а34а74–а35а75 –а36а76 +а37а а41а71 +а42а72–а43а73 +а44а74–а45а75 –а46а76 +а47а а51а71 +а52а72–а53а73 +а54а74–а55а75 –а56а76 +а57а а61а71 +а62а72–а63а73 +а64а74–а65а75 –а66а76 +а67а а71а71 +а72а72–а73а73 +а74а74–а75а75 –а76а76 +а77а равным I.

Условиям преобразований вращения можно придать запись отлич ную от этой формы по столбцам матрицы A А:

а11а11+ а21а21– а31а31+ а41а41– а51а51–а61а61+а71а а12а11+ а22а21– а32а31+ а42а41–а52а51– а62а61+а72а – а13а11– а23а21+ а33а31–а43а41+ а53а51+а63а61– а73а а14а11+ а24а21–а34а31+ а44а41– а54а51– а64а61+а74а – а15а11–а25а21+ а35а31– а45а41+ а55а51+а65а61– а75а –а16а11– а26а21+ а36а31– а46а41+а56а51+ а66а61– а76а а17а11+а27а21– а37а31+ а47а41– а57а51– а67а61+ а77а а11а12+ а21а22– а31а32+ а41а42– а51а52–а61а62+а71а а12а12+ а22а22– а32а32+ а42а42–а52а52– а62а62+а72а – а13а12– а23а22+ а33а32–а43а42+ а53а52+а63а62– а73а а14а12+ а24а22–а34а32+ а44а42– а54а52– а64а62+а74а – а15а12–а25а22+ а35а32– а45а42+ а55а52+а65а62– а75а –а16а12– а26а22+ а36а32– а46а42+а56а52+ а66а62– а76а а17а12+а27а22– а37а32+ а47а42– а57а52– а67а62+ а77а а11а13+ а21а23– а31а33+ а41а43– а51а53–а61а63+а71а а12а13+ а22а23– а32а33+ а42а43–а52а53– а62а63+а72а – а13а13– а23а23+ а33а33–а43а43+ а53а53+а63а63– а73а а14а13+ а24а23–а34а33+ а44а43– а54а53– а64а63+а74а – а15а13–а25а23+ а35а33– а45а43+ а55а53+а65а63– а75а –а16а13– а26а23+ а36а33– а46а43+а56а53+ а66а63– а76а а17а13+а27а23– а37а33+ а47а43– а57а53– а67а63+ а77а а11а14+ а21а24– а31а34+ а41а44– а51а54–а61а64+а71а а12а14+ а22а24– а32а34+ а42а44–а52а54– а62а64+а72а – а13а14– а23а24+ а33а34–а43а44+ а53а54+а63а64– а73а а14а14+ а24а24–а34а34+ а44а44– а54а54– а64а64+а74а – а15а14–а25а24+ а35а34– а45а44+ а55а54+а65а64– а75а –а16а14– а26а24+ а36а34– а46а44+а56а54+ а66а64– а76а а17а14+а27а24– а37а34+ а47а44– а57а54– а67а64+ а77а а11а15+ а21а25– а31а35+ а41а45– а51а55–а61а65+а71а а12а15+ а22а25– а32а35+ а42а45–а52а55– а62а65+а72а – а13а15– а23а25+ а33а35–а43а45+ а53а55+а63а65– а73а а14а15+ а24а25–а34а35+ а44а45– а54а55– а64а65+а74а – а15а15–а25а25+ а35а35– а45а45+ а55а55+а65а65– а75а –а16а15– а26а25+ а36а35– а46а45+а56а55+ а66а65– а76а а17а15+а27а25– а37а35+ а47а45– а57а55– а67а65+ а77а а11а16+ а21а26– а31а36+ а41а46– а51а56–а61а66+а71а а12а16+ а22а26– а32а36+ а42а46–а52а56– а62а66+а72а – а13а16– а23а26+ а33а36–а43а46+ а53а56+а63а66– а73а а14а16+ а24а26–а34а36+ а44а46– а54а56– а64а66+а74а – а15а16–а25а26+ а35а36– а45а46+ а55а56+а65а66– а75а –а16а16– а26а26+ а36а36– а46а46+а56а56+ а66а66– а76а а17а16+а27а26– а37а36+ а47а46– а57а56– а67а66+ а77а а11а17+ а21а27– а31а37+ а41а47– а51а57–а61а67+а71а а12а17+ а22а27– а32а37+ а42а47–а52а57– а62а67+а72а – а13а17– а23а27+ а33а37–а43а47+ а53а57+а63а67– а73а а14а17+ а24а27–а34а37+ а44а47– а54а57– а64а67+а74а – а15а17–а25а27+ а35а37– а45а47+ а55а57+а65а67– а75а –а16а17– а26а27+ а36а37– а46а47+а56а57+ а66а67– а76а а17а17+а27а27– а37а37+ а47а47– а57а57– а67а67+ а77а также равную I.

Эта система равенств равносильна предыдущим равенствам.

Группа преобразований вращения имеет инвариант двух точек. Та ковым является, например, функция двух точек М1(х11, х12,…, х17), М2(х21, х22,…, х27) 2(М1, М2)=–(х21– х11)2–(х22– х12)2+(х23– х13)2–(х24– х14)2+ +(х25– х15)2+(х26– х16)2 –(х27– х17)2.

Инвариантность этой функции может быть установлена при помощи про стых выкладок. Именно, пусть М1(х11, х12,…, х17) и М2(х21, х22,…, х27) – две точки, полученные преобразованием вращения из точек М1(х11, х12,…, х17) и М2(х21, х22,…, х27). Мы имеем:

2(М1, М2)= –(х21–х11)2–(х22–х12)2+(х23–х13)2–(х24–х14)2+ +(х25–х15)2+(х26–х16)2 –(х27–х17)2= –(a11(х21–х11)+ +a12(х22–х12)+a13(х23–х13)+a14(х24–х14)+a15(х25–х15)+a16(х26–х16)+a17(х27–х17))2– – (a21(х21–х11)+a22(х22–х12)+a23(х23–х13)+a24(х24–х14)+a25(х25–х15)+ +a26(х26–х16)+a27(х27–х17))2+ (a31(х21–х11)+a32(х22–х12)+a33(х23–х13)+ +a34(х24–х14)+a35(х25–х15)+a36(х26–х16)+a37(х27–х17))2– (a41(х21–х11)+ +a42(х22–х12)+a43(х23–х13)+a44(х24–х14)+a45(х25–х15)+a46(х26–х16)+a47(х27–х17))2+ + (a51(х21–х11)+a52(х22–х12)+a53(х23–х13)+a54(х24–х14)+a55(х25–х15)+ +a56(х26–х16)+a57(х27–х17))2+ (a61(х21–х11)+a62(х22–х12)+a63(х23–х13)+ +a64(х24–х14)+a65(х25–х15)+a66(х26–х16)+a67(х27–х17))2–(a71(х21–х11)+ +a72(х22–х12)+a73(х23–х13)+a74(х24–х14)+a75(х25–х15)+a76(х26–х16)+a77(х27–х17))2= = –(a11a11(х21–х11)2+a12a12(х22–х12)2+a13a13(х23–х13)2+a14a14(х24–х14)2+ +a15a15(х25–х15)2+a16a16(х26–х16)2+a17a17(х27–х17)2+ +2(a11a12(х21–х11)(х22–х12)+a12a13(х22–х12)(х23–х13)+a13a11(х23–х13)(х21–х11)+ +a22a24(х22–х12)(х24–х14)+a24a26(х24–х14)(х26–х16)+a26a22(х26–х16)(х22–х12)+ +a33a36(х23–х13)(х26–х16)+a36a35(х26–х16)(х25–х15)+a35a33(х25–х15)(х23–х13)+ +a44a45(х24–х14)(х25–х15)+a45a41(х25–х15)(х21–х11)+a41a44(х21–х11)(х24–х14)+ +a55a57(х25–х15)(х27–х17)+a57a52(х27–х17)(х22–х12)+a52a55(х22–х12)(х25–х15)+ +a66a61(х26–х16)(х21–х11)+a61a67(х21–х11)(х27–х17)+a67a66(х27–х17)(х26–х16)+ +a77a73(х27–х17)(х23–х13)+a73a74(х23–х13)(х24–х14)+a74a77(х24–х14)(х27–х17)))– –(a21a21(х21–х11)2+a22a22(х22–х12)2+a23a23(х23–х13)2+a24a24(х24–х14)2+ +a25a25(х25–х15)2+a26a26(х26–х16)2+a27a27(х27–х17)2+ +2(a21a22(х21–х11)(х22–х12)+a22a23(х22–х12)(х23–х13)+a23a21(х23–х13)(х21–х11)+ +a42a44(х22–х12)(х24–х14)+a44a46(х24–х14)(х26–х16)+a46a42(х26–х16)(х22–х12)+ +a63a66(х23–х13)(х26–х16)+a66a65(х26–х16)(х25–х15)+a65a63(х25–х15)(х23–х13)+ +a54a55(х24–х14)(х25–х15)+a55a51(х25–х15)(х21–х11)+a51a54(х21–х11)(х24–х14)+ +a75a77(х25–х15)(х27–х17)+a77a72(х27–х17)(х22–х12)+a72a75(х22–х12)(х25–х15)+ +a16a11(х26–х16)(х21–х11)+a11a17(х21–х11)(х27–х17)+a17a16(х27–х17)(х26–х16)+ +a37a33(х27–х17)(х23–х13)+a33a34(х23–х13)(х24–х14)+a34a37(х24–х14)(х27–х17)))+ (a31a31(х21–х11)2+a32a32(х22–х12)2+a33a33(х23–х13)2+a34a34(х24–х14)2+ +a35a35(х25–х15)2+a36a36(х26–х16)2+a37a37(х27–х17)2+ +2(a31a32(х21–х11)(х22–х12)+a32a33(х22–х12)(х23–х13)+a33a31(х23–х13)(х21–х11)+ +a62a64(х22–х12)(х24–х14)+a64a66(х24–х14)(х26–х16)+a66a62(х26–х16)(х22–х12)+ +a53a56(х23–х13)(х26–х16)+a56a55(х26–х16)(х25–х15)+a55a53(х25–х15)(х23–х13)+ +a14a15(х24–х14)(х25–х15)+a15a11(х25–х15)(х21–х11)+a11a14(х21–х11)(х24–х14)+ +a25a27(х25–х15)(х27–х17)+a27a22(х27–х17)(х22–х12)+a22a25(х22–х12)(х25–х15)+ +a76a71(х26–х16)(х21–х11)+a71a77(х21–х11)(х27–х17)+a77a76(х27–х17)(х26–х16)+ +a47a43(х27–х17)(х23–х13)+a43a74(х23–х13)(х24–х14)+a44a47(х24–х14)(х27–х17)))– –(a41a41(х21–х11)2+a42a42(х22–х12)2+a43a43(х23–х13)2+a44a44(х24–х14)2+ +a45a45(х25–х15)2+a46a46(х26–х16)2+a47a47(х27–х17)2+ +2(a41a42(х21–х11)(х22–х12)+a42a43(х22–х12)(х23–х13)+a43a41(х23–х13)(х21–х11)+ +a52a54(х22–х12)(х24–х14)+a54a56(х24–х14)(х26–х16)+a56a52(х26–х16)(х22–х12)+ +a13a16(х23–х13)(х26–х16)+a16a15(х26–х16)(х25–х15)+a15a13(х25–х15)(х23–х13)+ +a74a75(х24–х14)(х25–х15)+a75a71(х25–х15)(х21–х11)+a71a74(х21–х11)(х24–х14)+ +a35a37(х25–х15)(х27–х17)+a37a32(х27–х17)(х22–х12)+a32a35(х22–х12)(х25–х15)+ +a26a21(х26–х16)(х21–х11)+a21a27(х21–х11)(х27–х17)+a27a26(х27–х17)(х26–х16)+ +a67a63(х27–х17)(х23–х13)+a63a64(х23–х13)(х24–х14)+a64a67(х24–х14)(х27–х17)))+ +(a51a51(х21–х11)2+a52a52(х22–х12)2+a53a53(х23–х13)2+a54a54(х24–х14)2+ +a55a55(х25–х15)2+a56a56(х26–х16)2+a57a57(х27–х17)2+ +2(a51a52(х21–х11)(х22–х12)+a52a53(х22–х12)(х23–х13)+a53a51(х23–х13)(х21–х11)+ +a72a74(х22–х12)(х24–х14)+a74a76(х24–х14)(х26–х16)+a76a72(х26–х16)(х22–х12)+ +a23a26(х23–х13)(х26–х16)+a26a25(х26–х16)(х25–х15)+a25a23(х25–х15)(х23–х13)+ +a34a35(х24–х14)(х25–х15)+a35a31(х25–х15)(х21–х11)+a31a34(х21–х11)(х24–х14)+ +a65a67(х25–х15)(х27–х17)+a67a62(х27–х17)(х22–х12)+a62a65(х22–х12)(х25–х15)+ +a46a41(х26–х16)(х21–х11)+a41a47(х21–х11)(х27–х17)+a47a46(х27–х17)(х26–х16)+ +a17a13(х27–х17)(х23–х13)+a13a14(х23–х13)(х24–х14)+a14a17(х24–х14)(х27–х17)))+ +(a61a61(х21–х11)2+a62a62(х22–х12)2+a63a63(х23–х13)2+a64a64(х24–х14)2+ +a65a65(х25–х15)2+a66a66(х26–х16)2+a67a67(х27–х17)2+ +2(a61a62(х21–х11)(х22–х12)+a62a63(х22–х12)(х23–х13)+a63a61(х23–х13)(х21–х11)+ +a12a14(х22–х12)(х24–х14)+a14a16(х24–х14)(х26–х16)+a16a12(х26–х16)(х22–х12)+ +a73a76(х23–х13)(х26–х16)+a76a75(х26–х16)(х25–х15)+a75a73(х25–х15)(х23–х13)+ +a24a25(х24–х14)(х25–х15)+a25a21(х25–х15)(х21–х11)+a21a24(х21–х11)(х24–х14)+ +a45a47(х25–х15)(х27–х17)+a47a42(х27–х17)(х22–х12)+a42a45(х22–х12)(х25–х15)+ +a36a31(х26–х16)(х21–х11)+a31a37(х21–х11)(х27–х17)+a37a36(х27–х17)(х26–х16)+ +a57a53(х27–х17)(х23–х13)+a53a54(х23–х13)(х24–х14)+a54a57(х24–х14)(х27–х17)))– –(a71a71(х21–х11)2+a72a72(х22–х12)2+a73a73(х23–х13)2+a74a74(х24–х14)2+ +a75a75(х25–х15)2+a76a76(х26–х16)2+a77a77(х27–х17)2+ +2(a71a72(х21–х11)(х22–х12)+a72a73(х22–х12)(х23–х13)+a73a71(х23–х13)(х21–х11)+ +a32a34(х22–х12)(х24–х14)+a34a36(х24–х14)(х26–х16)+a36a32(х26–х16)(х22–х12)+ +a43a46(х23–х13)(х26–х16)+a46a45(х26–х16)(х25–х15)+a45a43(х25–х15)(х23–х13)+ +a64a65(х24–х14)(х25–х15)+a65a61(х25–х15)(х21–х11)+a61a64(х21–х11)(х24–х14)+ +a15a17(х25–х15)(х27–х17)+a17a12(х27–х17)(х22–х12)+a12a15(х22–х12)(х25–х15)+ +a56a51(х26–х16)(х21–х11)+a51a57(х21–х11)(х27–х17)+a57a56(х27–х17)(х26–х16)+ +a27a23(х27–х17)(х23–х13)+a23a24(х23–х13)(х24–х14)+a24a27(х24–х14)(х27–х17)))= = (–a11a11–a21a21+a31a31–a41a41+a51a51+a61a61–a71a71)(х21–х11)2+ + (–a12a12–a22a22+a32a32–a42a42+a52a52+a62a62–a72a72)(х22–х12)2+ + (–a13a13–a23a23+a33a33–a43a43+a53a53+a63a63–a73a73)(х23–х13)2+ + (–a14a14–a24a24+a34a34–a44a44+a54a54+a64a64–a74a74)(х24–х14)2+ + (–a15a15–a25a25+a35a35–a45a45+a55a55+a65a65–a75a75)(х25–х15)2+ + (–a16a16–a26a26+a36a36–a46a46+a56a56+a66a66–a76a76)(х26–х16)2+ + (–a17a17–a27a27+a37a37–a47a47+a57a57+a67a67–a77a77)(х27–х17)2+ +2((–a11a12–a21a22+a31a32–a41a42+a51a52+a61a62–a71a72)(х21–х11)(х22–х12)+ +(–a12a14–a22a24+a32a34–a42a44+a52a54+a62a64–a72a74)(х22–х12)(х24–х14)+ +(–a13a16–a23a26+a33a36–a43a46+a53a56+a63a66–a73a76)(х23–х13)(х26–х16)+ +(–a14a15–a24a25+a34a35–a44a45+a54a55+a64a65–a74a75)(х24–х14)(х25–х15)+ +(–a15a17–a25a27+a35a37–a45a47+a55a57+a65a67–a75a77)(х25–х15)(х27–х17)+ +(–a16a11–a26a21+a36a31–a46a41+a56a51+a66a61–a76a71)(х26–х16)(х21–х11)+ +(–a17a13–a27a23+a37a33–a45a43+a57a53+a67a63–a77a73)(х27–х17)(х23–х13))+ +2((–a12a13–a22a23+a32a33–a42a43+a52a53+a62a63–a72a73)(х22–х12)(х23–х13)+ +(–a14a16–a24a26+a34a36–a44a46+a54a56+a64a66–a74a76)(х24–х14)(х26–х16)+ +(–a16a15–a26a25+a36a35–a46a45+a56a55+a66a65–a76a75)(х26–х16)(х25–х15)+ +(–a15a11–a25a21+a35a31–a45a41+a55a51+a65a61–a75a71)(х25–х15)(х21–х11)+ +(–a17a12–a27a22+a37a32–a47a42+a57a52+a67a62–a77a72)(х27–х17)(х22–х12)+ +(–a11a17–a21a27+a31a37–a41a47+a51a57+a61a67–a71a77)(х21–х11)(х27–х17)+ +(–a13a14–a23a24+a33a34–a43a44+a53a54+a63a64–a73a74)(х23–х13)(х24–х14))+ +2((–a13a11–a23a21+a33a31–a43a41+a53a51+a63a61–a73a71)(х23–х13)(х21–х11)+ +(–a16a12–a26a22+a36a32–a46a42+a56a52+a66a62–a76a72)(х26–х16)(х22–х12)+ +(–a15a13–a25a23+a35a33–a45a43+a55a53+a65a63–a75a73)(х25–х15)(х23–х13)+ +(–a11a14–a21a24+a31a34–a41a44+a51a54+a61a64–a71a74)(х21–х11)(х24–х14)+ +(–a12a15–a22a25+a32a35–a42a45+a52a55+a62a65–a72a75)(х22–х12)(х25–х15)+ +(–a17a16–a27a26+a37a36–a47a46+a57a56+a67a66–a77a76)(х27–хч7)(х26–х16)+ +(–a14a17–a24a27+a34a37–a44a47+a54a57+a64a67–a74a77)(х24–х14)(х27–х17)).

Отсюда вследствие полученных выше соотношений имеем:

(М1, М2)= –(х21–х11)2–(х22–х12)2+(х23–х13)2–(х24–х14)2+ +(х25–х15)2+(х26–х16)2-(х27–х17)2=2(М1, М2).

В геометрии группы преобразований вращения величина 2(М1, М2) является квадратом интервала между точками М1 и М2. Он представляет собой основной инвариант этой геометрии, так как все остальные инвари анты могут быть выражены через квадрат интервала.

Геометрии собственноортогональной группы [6] (семимерной собственно евклидовой геометрии) соответствуют значения,, =-1. Геометрии псевдоортогональной группы (семимерной псевдоевклидовой геометрии индекса четыре) одной, двум или трем величинам,, соответствуют значения равные 1.

Представление группы преобразований вращения семимерного псевдоевклидового пространства индекса четыре Преобразование Х=АХ назовем представлением преобразования вращения, если его матрица … a11 a12 a … a21 a22 a A= … … a61 a62 a комплексна и удовлетворяет условию A A = A A=I, где черточка обозначает операцию A = GA*G, индекс * – операцию эрмитового сопряжения, а G-метрический тензор 1 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 - 0 0 G=, 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 причем = ±1, так что G=G*, G2=I и a 11 - a 21 - a 31 a 41 a 51 - a - a 12 a 22 a 32 - a 42 - a 52 a - a 13 a 23 a 33 - a 43 - a 53 a, A = GA*G= a 14 - a 24 - a 34 a 44 a 54 - a a 15 - a 25 - a 35 a 45 a 55 - a - a 16 a 26 a 36 - a 46 - a 56 a причем =1 соответствует псевдоевклидовому пространству.

Очевидно, что AB =G(AB)*G=G(B*A*)G=(GB*G)(GA*G)= B A, и A = GA* G =G(GА*G)*G=GGAGG=A.

Докажем, что совокупность преобразований вращения обладает групповыми свойствами.

1. Произведение двух преобразований вращения есть преобразование вращения.

Действительно, пусть даны преобразования вращения с матрицами А1 и А2;

произведение их есть преобразование с матрицей А=А2А1. На осно вании правил перемножения матриц мы можем написать тождество А A =(А2А1)( A2 A1 )=(А2А1)( A1 A2 )= А2(А1 A1 ) A2.

Отсюда вследствие равенства A A =I имеем:

A A = А2 I A2 =I.

Тем самым требуемое доказано.

2. Преобразование, обратное преобразованию вращения является преобразованием вращения.

Действительно, пусть А-матрица некоторого преобразования враще ния и В= А-1- матрица преобразования, обратного ему. Из условия A A = I следует, что A = А-1. Таким образом В= A. Отсюда В B = A ( A )= A А= А-1А=I.

Тем самым требуемое доказано. Таким образом, совокупность пре образований вращения есть группа.

Условие преобразований вращения, записанное в матричной форме, равносильно соотношениям по столбцам матрицы А A :

а11 a 11–а12 a 12–а13 a 13+а14 a 14+а15 a 15–а16 a а21 a 11–а22 a 12–а23 a 13+а24 a 14+а25 a 15–а26 a а31 a 11–а32 a 12–а33 a 13+а34 a 14+а35 a 15–а36 a а41 a 11–а42 a 12–а43 a 13+а44 a 14+а45 a 15–а46 a а51 a 11–а52 a 12–а53 a 13+а54 a 14+а55 a 15–а56 a а61 a 11–а62 a 12–а63 a 13+а64 a 14+а65 a 15–а66 a –а11 a 21+а12 a 22+а13 a 23–а14 a 24–а15 a 25+а16 a –а21 a 21+а22 a 22+а23 a 23–а24 a 24–а25 a 25+а26 a –а31 a 21+а32 a 22+а33 a 23–а34 a 24–а35 a 25+а36 a –а41 a 21+а42 a 22+а43 a 23–а44 a 24–а45 a 25+а46 a –а51 a 21+а52 a 22+а53 a 23–а54 a 24–а55 a 25+а56 a –а61 a 21+а62 a 22+а63 a 23–а64 a 24–а65 a 25+а66 a –а11 a 31+а12 a 32+а13 a 33–а14 a 34–а15 a 35+а16 a –а21 a 31+а22 a 32+а23 a 33–а24 a 34–а25 a 35+а26 a –а31 a 31+а32 a 32+а33 a 33–а34 a 34–а35 a 35+а36 a –а41 a 31+а42 a 32+а43 a 33–а44 a 34–а45 a 35+а46 a –а51 a 31+а52 a 32+а53 a 33–а54 a 34–а55 a 35+а56 a –а61 a 31+а62 a 32+а63 a 33–а64 a 34–а65 a 35+а66 a а11 a 41–а12 a 42–а13 a 43+а14 a 44+а15 a 45–а16 a а21 a 41–а22 a 42–а23 a 43+а24 a 44+а25 a 45–а26 a а31 a 41–а32 a 42–а33 a 43+а34 a 44+а35 a 45–а36 a а41 a 41–а42 a 42–а43 a 43+а44 a 44+а45 a 45–а46 a а51 a 41–а52 a 42–а53 a 43+а54 a 44+а55 a 45–а56 a а61 a 41–а62 a 42–а63 a 43+а64 a 44+а65 a 45–а66 a а11 a 51–а12 a 52–а13 a 53+а14 a 54+а15 a 55–а16 a а21 a 51–а22 a 52–а23 a 53+а24 a 54+а25 a 55–а26 a а31 a 51–а32 a 52–а33 a 53+а34 a 54+а35 a 55–а36 a а41 a 51–а42 a 52–а43 a 53+а44 a 54+а45 a 55–а46 a а51 a 51–а52 a 52–а53 a 53+а54 a 54+а55 a 55–а56 a а61 a 51–а62 a 52–а63 a 53+а64 a 54+а65 a 55–а66 a –а11 a 61+а12 a 62+а13 a 63–а14 a 64–а15 a 65+а16 a –а21 a 61+а22 a 62+а23 a 63–а24 a 64–а25 a 65+а26 a –а31 a 61+а32 a 62+а33 a 63–а34 a 64–а35 a 65+а36 a –а41 a 61+а42 a 62+а43 a 63–а44 a 64–а45 a 65+а46 a –а51 a 61+а52 a 62+а53 a 63–а54 a 64–а55 a 65+а56 a –а61 a 61+а62 a 62+а63 a 63–а64 a 64–а65 a 65+а66 a равным I.

Условиям преобразований вращения можно придать форму отлич ную от этой формы по столбцам матрицы A А:

a 11а11– a 21а21– a 31а31+ a 41а41+ a 51а51– a 61а – a 12а11+ a 22а21+ a 32а31– a 42а41– a 52а51+ a 62а – a 13а11+ a 23а21+ a 33а31– a 43а41– a 53а51+ a 63а a 14а11– a 24а21– a 34а31+ a 44а41+ a 54а51– a 64а a 15а11– a 25а21– a 35а31+ a 45а41+ a 55а51– a 65а – a 16а11+ a 26а21+ a 36а31– a 46а41– a 56а51+ a 66а a 11а12– a 21а22– a 31а32+ a 41а42+ a 51а52– a 61а – a 12а12+ a 22а22+ a 32а32– a 42а42– a 52а52+ a 62а – a 13а12+ a 23а22+ a 33а32– a 43а42– a 53а52+ a 63а a 14а12– a 24а22– a 34а32+ a 44а42+ a 54а52– a 64а a 15а12– a 25а22– a 35а32+ a 45а42+ a 55а52– a 65а – a 16а12+ a 26а22+ a 36а32– a 46а42– a 56а52+ a 66а a 11а13– a 21а23– a 31а33+ a 41а43+ a 51а53– a 61а – a 12а13+ a 22а23+ a 32а33– a 42а43– a 52а53+ a 62а – a 13а13+ a 23а23+ a 33а33– a 43а43– a 53а53+ a 63а a 14а13– a 24а23– a 34а33+ a 44а43+ a 54а53– a 64а a 15а13– a 25а23– a 35а33+ a 45а43+ a 55а53– a 65а – a 16а13+ a 26а23+ a 36а33– a 46а43– a 56а53+ a 66а a 11а14– a 21а24– a 31а34+ a 41а44+ a 51а54– a 61а – a 12а14+ a 22а24+ a 32а34– a 42а44– a 52а54+ a 62а – a 13а14+ a 23а24+ a 33а34– a 43а44– a 53а54+ a 63а a 14а14– a 24а24– a 34а34+ a 44а44+ a 54а54– a 64а a 15а14– a 25а24– a 35а34+ a 45а44+ a 55а54– a 65а – a 16а14+ a 26а24+ a 36а34– a 46а44– a 56а54+ a 66а a 11а15– a 21а25– a 31а35+ a 41а45+ a 51а55– a 61а – a 12а15+ a 22а25+ a 32а35– a 42а45– a 52а55+ a 62а – a 13а15+ a 23а25+ a 33а35– a 43а45– a 53а55+ a 63а a 14а15– a 24а25– a 34а35+ a 44а45+ a 54а55– a 64а a 15а15– a 25а25– a 35а35+ a 45а45+ a 55а55– a 65а – a 16а15+ a 26а25+ a 36а35– a 46а45– a 56а55+ a 66а a 11а16– a 21а26– a 31а36+ a 41а46+ a 51а56– a 61а – a 12а16+ a 22а26+ a 32а36– a 42а46– a 52а56+ a 62а – a 13а16+ a 23а26+ a 33а36– a 43а46– a 53а56+ a 63а a 14а16– a 24а26– a 34а36+ a 44а46+ a 54а56– a 64а a 15а16– a 25а26– a 35а36+ a 45а46+ a 55а56– a 65а – a 16а16+ a 26а26+ a 36а36– a 46а46– a 56а56+ a 66а также равной I. Эти системы равенств равносильны.

Восемнадцать комплексных коэффициентов аik, связанных соотно шением унимодулярности detA=1, определяют все остальные, т.е. имеют место тридцать пять независимых вещественных параметров. Вместе с тем, можно выделить матрицы преобразования вращения семимерного псевдоевклидового пространства индекса четыре лишь с семью независи мыми вещественными параметрами по числу осей семимерной системы координат. К ним относится, например, матрица а2 а3 а a1 a4 a а1 а5 а a2 a6 a а4 а1 а a3 a2 a А=, а6 а2 а a5 a1 a а3 а6 а a4 a5 a а5 а4 а a6 a3 a и ей обратная матрица а1 а5 а -а2 -а3 -а -a2 -a 6 -a a1 a4 a -a3 -a 2 -a a5 a1 a.

A= а4 а1 а -а6 -а2 -а а5 а4 а -а3 -а6 -а -a6 -a 3 -a a4 a5 a Здесь шесть комплексных коэффициентов аi связаны двумя дополни тельными условиями -( a 3а6+ a 6а2+ a 2а3)+( a 4а1+ a 1а5+ a 5а4)= и -( a 3а3+ a 6а6+ a 2а2)+( a 4а4+ a 1а1+ a 5а5)=1, так что имеют место лишь семь независимых вещественных параметров.

Геометрии собственноунитарной группы [7] (семимерной собствен ноевклидовой геометрии) соответствует представление со значением = -1. Геометрии псевдоунитарной группы (семимерной псевдоевклидовой геометрии индекса четыре) соответствует представление со значением = 1.

8. Вращения в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса два Линейное преобразование х=Ах с вещественной матрицей a11 a12 a A= a21 a22 a a31 a32 a назовем преобразованием вращения, если его матрица удовлетворяет усло вию A A = A A=I, где черточка обозначает операцию A = GAТG, индекс T – операцию транспонирования, G – метрический тензор, - G= 0 - 0, причем a,=±1, так что G=GT, G2=I и a11 a21 -a A = GA G= a12 a T -a -a13 -a23 a33.

Очевидно, что AB=G(AB)TG=G(BTAT)G=(GBTG)(GATG)= B A, A = GAT G =G(GАТG)TG=GGAGG=A.

и Преобразование вращения в трехмерном псевдоевклидовом вектор ном пространстве сохраняет квадраты модулей векторов. Такое преобразо вание является собственным вращением, если оно сохраняет также вектор ное произведение двух векторов и det ||A||=1. Преобразование с det ||A||= 1 является несобственным вращением или вращением с отражением.

Пусть е1, е2, е3 – любой ортонормированный базис, и пусть х=х1е1+х2е2+х3е3 х=х1е1+х2е2+х3е3.

и Каждое преобразование вращения задается формулами х1= a11 х1+a12 х2 +a13х3, х2= a21 х1+a22 х2+a23х3, х3= a31 х1+a32 х2+a33х или в матричной форме Х= AХ, где для собственных вращений det(A)=1.

Так как рассматриваемая система координат является ортонормиро ванной, действительная матрица А, описывающая каждое вращение, опре деляется системой равенств а11а11+а12а12–а13а13 а11а21+а12а22–а13а23 –а11а31–а12а32+ а13а А A = а21а11+а22а12–а23а13 а21а21+а22а22–а23а23 –а21а31–а22а32+ а23а33 =I а31а11+а32а12–а33а13 а31а21+а32а22–а33а23 –а31а31–а32а32+ а33а или, что равносильно, а11а11+а21а21–а31а31 а11а12+а21а22–а31а32 а11а13+а21а23– а31а A А= а12а11+ а22а21–а32а31 а12а12+ а22а22–а32а32 а12а13+ а22а23– а32а33 =I.

–а13а11– а23а21+ а33а31 –а13а12– а23а22+ а33а32 –а13а13– а23а23+ а33а Любые три из коэффициентов аik определяют все остальные. Геомет рически коэффициент аik определяет угол между базисным вектором ei и повернутым базисным вектором ek=Aek= аjkej, j аik=(ei ek).


Преобразование вращения поворачивает радиус – вектор х каждой точки трехмерного псевдоевклидового пространства на угол поворота вокруг направленной оси вращения, точки которой инвариантны. Угол по ворота, а также направляющие углы положительной оси вращения опре деляются формулами 1 (a11+ a22+ a33–1)=202– Ch= (Tr (A)–1)= 2 а23+ а32=2с1Sh=410, –а31–а13=2с2Sh=420, а12–а21=2с3Sh=430.

Либо знак угла, либо направление оси вращения могут выбираться про извольно.

Матрица преобразования А, соответствующая данному вращению, описываемая числами, с1, с2,…, с7, есть –с1с1 –с1с2 с1с A ChI (Ch 1) –с2с1 –с2с2 с2с3 + –с3с1 –с3с2 с3с с3 –с +Sh –с3 с 0.

–с2 с1 Четыре симметричных параметра (Эйлера) 0 Ch, 1 c Sh, 2 c Sh, 3 c Sh, 2 2 2 1 2 2 2 2 0 –1 –2 +3 = –с12–с22+с32= – однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:

–(11– 00) –(12– 30) (13– 20) А= –I+2* –(21+ 30) –(22– 00) (23+ 10).

–(31+20) –(32– 10) (33+00) При этом –(11– 00) –(12+ 30) (13+ 20) A = –I+2* –(21– 30) –(22– 00) (23– 10).

–(31– 20) –(32+10) (33+00) Будем считать для определенности ==1. В принятом предположе нии 1 (a11+ a22+ a33–1)=202– Ch= (Tr (A)–1)= 2 а23+ а32=2с1Sh=410, –а31–а13=2с2Sh=420, а12–а21=2с3Sh=430.

–с1с1 –с1с2 с1 с3 с3 –с A ChI (Ch 1) –с2с1 –с2с2 с2 с3 –с3 с1.

+Sh –с3с1 –с3с2 с3 с3 –с2 с1 Четыре симметричных параметра (Эйлера) 02–12–22+32=1, –с12–с22+с32 = –1, однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:

–(11– 00) –(12– 30) 13 – A I 2 –(21+ 30) –(22–00) 23+ –(31+20) –(32–10) 33+ 00, при этом –(11– 00) –(12+ 30) 13+ A = –I+2* –(2 – 30) –(22– 00) 23– –(31–20) –(32+10) 33+ 00, а параметры 0, 1, 2, 3 и –0, –1, –2, – 3 представляют одно и то же вра щение.

Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:

1 0 А1()= Sh 0 Ch 0 Sh Ch –Sh Ch А2()= 0 1 –Sh 0 Ch sin cos А3()= –sin cos 0 0 1.

Заметим, что Ai1 ( ) Ai ( ) Аi(–), i= 1, 2, 3.

Каждая матрица А, описывающая собственное вращение в трехмер ном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц A Ai1 ( 1 )Ai2 ( 2 )Ai3 ( 3 ), в частности, так:

А=A3(1)A2(2)A3(3)= sin1 –Sh2 cos3 sin3 cos1 0 Ch2 –sin1 * –sin3 cos3 0 = = cos1 0 * 0 1 –Sh 0 0 1 0 Ch2 0 0 cos1Ch2cos3 – sin1sin3 cos1Ch2sin3+sin1cos3 –cos1Sh –sin1Ch2cos3–cos1sin3 –sin1Ch2sin3+ cos1cos = sin1Sh2.

–Sh2cos3 –Sh2sin3 Ch Три угла (Эйлера) 1, 2, 3,однозначно определяют вращение;

в свою очередь они однозначно определяются данным вращением за исклю чением случая, когда 2=0 (карданов подвес).

Обратное вращение А–1= A (переводящее вектор х в исходный век тор х) представляется матрицей A =A3(–3)A2(–2)A3(–1)= cos1Ch2cos3– sin1sin3 –sin1Ch2cos3–cos1sin3 Sh2cos = cos1Ch2sin3+sin1cos3 –sin1Ch2sin3+ cos1cos3 Sh2sin3.

–sin1Sh cos1Sh2 Ch Существуют шесть способов, которыми матрицу вращения можно выразить путем вращения вокруг двух различных осей координат. Кроме того, существует шесть способов представления матриц вращения в виде произведения вращений вокруг трех различных осей координат, в частно сти, так:

Ch2 0 –Sh2 cos3 sin3 10 A=A1(1) A2(2) A3(3)= 0 Ch1 Sh1 –sin3 cos3 0 = 01 0 Sh1 Ch1 –Sh2 0 Ch2 0 –Ch2sin3 –Sh Ch2cos = –Sh1Sh2cos3–Ch1sin3 –Sh1Sh2sin3+Ch1cos3 Sh1Ch –Ch1Sh2cos3–Sh1sin3 –Ch1Sh2sin3+Sh1cos3 Ch1Ch при A =A3(–3) A2(–2) A1(–1)= Ch2cos3 –Sh1Sh2cos3–Ch1sin3 Ch1Sh2cos3+ Sh1sin = –Ch2sin3 –Sh1Sh2sin3+ Ch1cos3 Ch1Sh2sin3–Sh1cos3.

–Sh1Ch Sh2 Ch1Ch Представление группы преобразований вращения трехмерного псевдоевклидового пространства индекса два Преобразование Х=АХ назовем представлением преобразования враще ния, если его матрица a11 a A= a21 a комплексна и удовлетворяет условию A A = A A=I, где черточка обозначает операцию A = GA*G, индекс * – операцию эрмитового сопряжения, а G–метрический тензор 1 G= – 0, причем = ±1, так что G=G*, G2=I и – a a A = GA*G= – a 12.

a Очевидно, что AB=G(AB)*G=G(B*A*)G=(GB*G)(GA*G)= B A, и A = GA* G =G(GА*G)*G=GGAGG=A.

Докажем, что совокупность преобразований вращения обладает груп повыми свойствами.

1. Произведение двух преобразований вращения есть преобразование вращения.

Действительно, пусть даны преобразования вращения с матрицами А1 и А2;

произведение их есть преобразование с матрицей А=А2А1. На основа нии правил перемножения матриц мы можем написать тождество А A =(А2А1)( A2 A1 )=(А2А1)( A1 A2 )= А2(А1 A1 ) A2.

Отсюда вследствие равенства A A =I имеем:

A A = А2 I A2 =I.

Тем самым требуемое доказано.

2. Преобразование, обратное преобразованию вращения является пре образованием вращения.

Действительно, пусть А–матрица некоторого преобразования враще ния и – В= А – матрица преобразования, обратного ему. Из условия A A = I следу ет, что A = А–1. Таким образом В= A. Отсюда В B = A ( A )= A А= А–1А=I.

Тем самым требуемое доказано. Таким образом, совокупность пре образований вращения есть группа.

Условие преобразований вращения, записанное в матричной форме, равносильно соотношениям:

а11 a 11– a 12а12 а12 a 22– a 21а А A= =I, а21 a 11– a 12а22 а22 a 22– a 21а равным I.

Этим условиям можно придать форму отличную от этой формы a 11а11–а21 a 21 – a 21а22+а12 a A А= =I, – a 12а11 +а21 a 22 a 22а22–а12 a также равной I. Эти системы равенств равносильны.

Любые два из четырех комплексных коэффициентов аik определяют все остальные. Более того, они дополнительно связаны соотношением унимодулярности (определитель матрицы А равен ±1), так что два ком плексных коэффициента аik полностью определяются лишь тремя веще ственными параметрами.

Если задан ортонормированный базис е1, е2, е3, то каждый действи тельный вектор х=х1е1+х2е2+х3е3 может быть представлен (вообще говоря, комплексной) матрицей размера 2х –x3 –(x1–ix2) = x1Е1+ x2Е2+ x3Е3, Х= 1 2 x x +ix где спиновые матрицы (Паули) – i – 0 0 Е1=, Е2=, Е3= 1 0 i 0 соответствуют базисным векторам е1, е2, е3. Это соответствие является изоморфизмом, сохраняющим результат сложения векторов и умножения векторов на вещественные числа.

Для каждого вращения вектор вращения 1 2 х=х е1+х е2+х е3 представляется матрицей Х=x1Е1+ x2Е2+ x3Е3=АХ A, где А – (вообще говоря, комплексная) 2х2 матрица с определителем рав ным 1:

b –b a a А= A= –b a, b a где a=0–i3, b=2+i 1, |a| –|b| =0 –(1 +22)+32=1.

2 2 2 |a|2–|b|2 А A= =I.

|a| –|b| Комплексные числа a, b определяют соответствующее вращение од нозначно, но a, b и –a, –b (а потому матрицы А и –А) описывают одно и тоже вращение. Числа a, b и a, b называются параметрами (Кэли–Клейна) данного вращения.

Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:

Ch(/2) iSh(/2) А1()= –iSh(/2) Ch(/2) Sh(/2) Ch(/2) А2()= Sh(/2) Ch(/2) еi/ cos(/2)+ isin(/2) 0 А3()= =.

–i/ е 0 cos(/2)– isin(/2) Каждая матрица А, описывающая представление вращений в трех мерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными спосо бами представлена в виде произведения трех матриц A Ai1 ( 1 )Ai2 ( 2 )Ai3 ( 3 ), в частности, так:

А=A3(1)A2(2)A3(3)= еi(1)/2 еi(3)/ Sh(2/2) 0 Ch(2/2) = = –i(1)/2 –i(3)/ е е 0 Sh(2/2) Ch(2/2) Ch(2/2)еi(3+1)/2 Sh(2/2)е –i(3–1)/ =.

Sh(2/2)еi(3–1)/2 Ch(2/2)е –i(3+1)/ С другой стороны b 0+i3 (2+i 1) a А= =, 2–i 1 0–i a b так что 0=Ch(2/2)cos((3+1)/2), 2= Sh(2/2)cos((3–1)/2), 3=Ch(2/2)sin((3+1)/2), 1= –Sh(2/2)sin((3–1)/2), a= Ch(2/2)exp(–i(3+1)/2), b= Sh(2/2)exp(–i(3–1)/2).

Четыре параметра (Эйлера) 0, 1, 2, 02–12–22+32= однозначно определяют вращение, причем условие |a|2–|b|2=1.

Линейные комбинации матриц I, iЕ1, iЕ2 и iЕ3 с действительными ко эффициентами образуют представление четырехмерной алгебры псевдо кватернионов, скаляры которой соответствуют действительным кратным матрицы I, а образующие соответствуют матрицам iЕ1, iЕ2, iЕ3, причем –(Е1)2= –(Е2)2=(Е3)2=I, Е2Е3= –Е3Е2= –iЕ1, Е3Е1= –Е1Е3= –iЕ2, Е1Е2= –Е2Е1= iЕ3.

Каждая комплексная матрица размера 2х2 может быть представлена в виде такой линейной комбинации, в частности, А=0I–i(1Е1+ 2Е2+ 3Е3), A =0I+i(1Е1+ 2Е2+ 3Е3).

Снова матрицы А и –А определяют одно и тоже вращение однозначно.

Представление Х=x1Е1+ x2Е2+ x3Е3=АХ A в координатной форме дает:

x1=(00–11+22–33)x1 –2(12–30)x2 +2(13– 20)x3, x2= –2(21+30)x1+(00+11–22–33)x2 +2(23+10)x3, x3= –2(31+20)x1 –2(32–10)x2+(00+11+22+33)x3.

Таким образом, задача описания преобразований вращения вполне разрешима. Преобразования вращений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса два существенно отличаются от преобразований вращения в трехмерном собственноевклидовом пространстве [6]. Свойства группы псевдоортогональных преобразований также существенно отлича ются от свойств группы собственноортогональных преобразований. Гео метрии собственноунитарной группы [7] (трехмерной собственноевклидо вой геометрии) соответствует представление со значением = –1. Геомет рии псевдоунитарной группы (трехмерной псевдоевклидовой геометрии) соответствует представление со значением = 1.

5. Вращения в семимерном псевдоевклидовом пространстве индекса четыре Линейное преобразование х=Ах с вещественной матрицей a11 a12 … a … a a a A= 21 … a71 a72 … A назовем преобразованием вращения, если его матрица удовлетворяет усло вию A A = A A=I, где черточка обозначает операцию A = GAТG, индекс T – обозначает операцию транспонирования, G – метрический тензор, - 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 G= 0 0 0 - 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 так что G=GT, G2=I и a21 –a31 a41 –a51 –a61 a a a12 –a32 a42 –a52 –a62 a a –a13 –a23 –a43 a53 a63 –a a a14 a24 –a34 –a54 –a64 a a44.


A= –a15 –a25 a35 –a45 a65 –a a –a16 –a26 a36 –a46 a56 –a a a17 a27 –a37 a47 –a57 –a67 a Очевидно, что AB =G(AB)TG=G(BTAT)G=(GBTG)(GATG)= B A, A = GAT G =G(GАТG)TG=GGAGG=A.

и Преобразование вращения в семимерном псевдоевклидовом вектор ном пространстве сохраняет квадраты модулей векторов. Такое преобразо вание является собственным вращением, если оно сохраняет также вектор ное произведение двух векторов и det ||A||=1. Преобразование с det ||A||= – является несобственным вращением или вращением с отражением.

Пусть е1, е2,…, е7 – любой ортонормированный базис, и пусть х=х1е1+х2е2+…+х7е7 х=х1е1+х2е2+…+х7е7.

и Каждое преобразование вращения задается формулами х1=a11х1+a12х2 +…+a17х7, х2=a21х1+a22х2+…+a27х7, … х =a71х1+a72х2+…+a77х или в матричной форме Х= AХ, где для собственных вращений det(A)=1.

Так как рассматриваемая система координат является ортонормиро ванной, действительная матрица А, описывающая каждое вращение, опре деляется системой равенств по столбцам матрицы А A :

а11а11+а12а12–а13а13+а14а14–а15а15 –а16а16+а17а а21а11+а22а12–а23а13+а24а14–а25а15 –а26а16+а27а а31а11+а32а12–а33а13+а34а14–а35а15 –а36а16+а37а а41а11+а42а12–а43а13+а44а14–а45а15 –а46а16+а47а а51а11+а52а12–а53а13+а54а14–а55а15 –а56а16+а57а а61а11+а62а12–а63а13+а64а14–а65а15 –а66а16+а67а а71а11+а72а12–а73а13+а74а14–а75а15 –а76а16+а77а а11а21+а12а22–а13а23+а14а24–а15а25 –а16а26+а17а а21а21+а22а22–а23а23+а24а24–а25а25 –а26а26+а27а а31а21+а32а22–а33а23+а34а24–а35а25 –а36а26+а37а а41а21+а42а22–а43а23+а44а24–а45а25 –а46а26+а47а а51а21+а52а22–а53а23+а54а24–а55а25 –а56а26+а57а а61а21+а62а22–а63а23+а64а24–а65а25 –а66а26+а67а а71а21+а72а22–а73а23+а74а24–а75а25 –а76а26+а77а –а11а31–а12а32+ а13а33–а14а34+а15а35 +а16а36–а17а –а21а31–а22а32+ а23а33–а24а34+а25а35 +а26а36–а27а –а31а31–а32а32+ а33а33–а34а34+а35а35 +а36а36–а37а –а41а31–а42а32+ а43а33–а44а34+а45а35 +а46а36–а47а –а51а31–а52а32+ а53а33–а54а34+а55а35 +а56а36–а57а –а61а31–а62а32+ а63а33–а64а34+а65а35 +а66а36–а67а –а71а31–а72а32+ а13а33–а74а34+а75а35 +а76а36–а77а а11а41+а12а42–а13а43+а14а44–а15а45 –а16а46+а17а а21а41+а22а42–а23а43+а24а44–а25а45 –а26а46+а27а а31а41+а32а42–а33а43+а34а44–а35а45 –а36а46+а37а а41а41+а42а42–а43а43+а44а44–а45а45 –а46а46+а47а а51а41+а52а42–а53а43+а54а44–а55а45 –а56а46+а57а а61а41+а62а42–а63а43+а64а44–а65а45 –а66а46+а67а а71а41+а72а42–а73а43+а74а44–а75а45 –а76а46+а77а –а11а51–а12а52+а13а53–а14а54+а15а55 +а16а56–а17а –а21а51–а22а52+а23а53–а24а54+а25а55 +а26а56–а27а –а31а51–а32а52+а33а53–а34а54+а35а55 +а36а56–а37а –а41а51–а42а52+а43а53–а44а54+а45а55 +а46а56–а47а –а51а51–а52а52+а53а53–а54а54+а55а55 +а56а56–а57а –а61а51–а62а52+а63а53–а64а54+а65а55 +а66а56–а67а –а71а51–а72а52+а73а53–а74а54+а75а55 +а76а56–а77а –а11а61–а12а62+а13а63–а14а64+а15а65 +а16а66–а17а –а21а61–а22а62+а23а63–а24а64+а25а65 +а26а66–а27а –а31а61–а32а62+а33а63–а34а64+а35а65 +а36а66–а37а –а41а61–а42а62+а43а63–а44а64+а45а65 +а46а66–а47а –а51а61–а52а62+а53а63–а54а64+а55а65 +а56а66–а57а –а61а61–а62а62+а63а63–а64а64+а65а65 +а66а66–а67а –а71а61–а72а62+а73а63–а74а64+а75а65 +а76а66–а77а а11а71 +а12а72–а13а73 +а14а74–а15а75 –а16а76 +а17а а21а71 +а22а72–а23а73 +а24а74–а25а75 –а26а76 +а27а а31а71 +а32а72–а33а73 +а34а74–а35а75 –а36а76 +а37а а41а71 +а42а72–а43а73 +а44а74–а45а75 –а46а76 +а47а а51а71 +а52а72–а53а73 +а54а74–а55а75 –а56а76 +а57а а61а71 +а62а72–а63а73 +а64а74–а65а75 –а66а76 +а67а а71а71 +а72а72–а73а73 +а74а74–а75а75 –а76а76 +а77а равным I.

Условиям преобразований вращения можно придать запись отлич ную от этой формы по столбцам матрицы A А:

а11а11+ а21а21– а31а31+ а41а41– а51а51–а61а61+а71а а12а11+ а22а21– а32а31+ а42а41–а52а51– а62а61+а72а – а13а11– а23а21+ а33а31–а43а41+ а53а51+а63а61– а73а а14а11+ а24а21–а34а31+ а44а41– а54а51– а64а61+а74а – а15а11–а25а21+ а35а31– а45а41+ а55а51+а65а61– а75а –а16а11– а26а21+ а36а31– а46а41+а56а51+ а66а61– а76а а17а11+а27а21– а37а31+ а47а41– а57а51– а67а61+ а77а а11а12+ а21а22– а31а32+ а41а42– а51а52–а61а62+а71а а12а12+ а22а22– а32а32+ а42а42–а52а52– а62а62+а72а – а13а12– а23а22+ а33а32–а43а42+ а53а52+а63а62– а73а а14а12+ а24а22–а34а32+ а44а42– а54а52– а64а62+а74а – а15а12–а25а22+ а35а32– а45а42+ а55а52+а65а62– а75а –а16а12– а26а22+ а36а32– а46а42+а56а52+ а66а62– а76а а17а12+а27а22– а37а32+ а47а42– а57а52– а67а62+ а77а а11а13+ а21а23– а31а33+ а41а43– а51а53–а61а63+а71а а12а13+ а22а23– а32а33+ а42а43–а52а53– а62а63+а72а – а13а13– а23а23+ а33а33–а43а43+ а53а53+а63а63– а73а а14а13+ а24а23–а34а33+ а44а43– а54а53– а64а63+а74а – а15а13–а25а23+ а35а33– а45а43+ а55а53+а65а63– а75а –а16а13– а26а23+ а36а33– а46а43+а56а53+ а66а63– а76а а17а13+а27а23– а37а33+ а47а43– а57а53– а67а63+ а77а а11а14+ а21а24– а31а34+ а41а44– а51а54–а61а64+а71а а12а14+ а22а24– а32а34+ а42а44–а52а54– а62а64+а72а – а13а14– а23а24+ а33а34–а43а44+ а53а54+а63а64– а73а а14а14+ а24а24–а34а34+ а44а44– а54а54– а64а64+а74а – а15а14–а25а24+ а35а34– а45а44+ а55а54+а65а64– а75а –а16а14– а26а24+ а36а34– а46а44+а56а54+ а66а64– а76а а17а14+а27а24– а37а34+ а47а44– а57а54– а67а64+ а77а а11а15+ а21а25– а31а35+ а41а45– а51а55–а61а65+а71а а12а15+ а22а25– а32а35+ а42а45–а52а55– а62а65+а72а – а13а15– а23а25+ а33а35–а43а45+ а53а55+а63а65– а73а а14а15+ а24а25–а34а35+ а44а45– а54а55– а64а65+а74а – а15а15–а25а25+ а35а35– а45а45+ а55а55+а65а65– а75а –а16а15– а26а25+ а36а35– а46а45+а56а55+ а66а65– а76а а17а15+а27а25– а37а35+ а47а45– а57а55– а67а65+ а77а а11а16+ а21а26– а31а36+ а41а46– а51а56–а61а66+а71а а12а16+ а22а26– а32а36+ а42а46–а52а56– а62а66+а72а – а13а16– а23а26+ а33а36–а43а46+ а53а56+а63а66– а73а а14а16+ а24а26–а34а36+ а44а46– а54а56– а64а66+а74а – а15а16–а25а26+ а35а36– а45а46+ а55а56+а65а66– а75а –а16а16– а26а26+ а36а36– а46а46+а56а56+ а66а66– а76а а17а16+а27а26– а37а36+ а47а46– а57а56– а67а66+ а77а а11а17+ а21а27– а31а37+ а41а47– а51а57–а61а67+а71а а12а17+ а22а27– а32а37+ а42а47–а52а57– а62а67+а72а – а13а17– а23а27+ а33а37–а43а47+ а53а57+а63а67– а73а а14а17+ а24а27–а34а37+ а44а47– а54а57– а64а67+а74а – а15а17–а25а27+ а35а37– а45а47+ а55а57+а65а67– а75а –а16а17– а26а27+ а36а37– а46а47+а56а57+ а66а67– а76а а17а17+а27а27– а37а37+ а47а47– а57а57– а67а67+ а77а также равную I. Эта система равенств равносильна предыдущим равенствам.

Любые семь из коэффициентов аik определяют все остальные. Гео метрически коэффициент аik определяет угол между базисным вектором ei и повернутым базисным вектором ek=Aek= аjkej, j аik=(ei ek).

Преобразование вращения поворачивает радиус – вектор х каждой точки семимерного псевдоевклидового пространства на угол поворота вокруг направленной оси вращения, точки которой инвариантны. Угол по ворота, а также направляющие углы положительной оси вращения опре деляются формулами 1 Ch= (Tr (A)–1)= (a11+ a22+…+ a77–1)=202–1, 6 а23+ а32+а45 + а54 – а76 –а67=6с1Sh=1210, а46+ а64+а57 + а75 – а31 –а13=6с2Sh=1220, а65– а56+а12 – а21 –а47 + а74=6с3Sh=1230, –а51– а15– а73 – а37 – а62 –а26=6с4Sh=1240, –а72+а27+а36 – а63 + а14 –а41=6с5Sh=1250, –а17+ а71+а24 – а42 + а53 –а35=6с6Sh=1260, а34+а43+а61+а16 – а25 –а52=6с7Sh=1270.

Либо знак угла, либо направление оси вращения могут выбираться про извольно.

Матрица преобразования А, соответствующая данному вращению, описываемая числами, с1, с2,…, с7, есть –с1с1 –с1с2 с1с3 –с1с4 с1с5 с1с6 –с1с –с2с1 –с2с2 с2с3 –с2с4 с2с5 с2с6 –с2с –с3с1 –с3с2 с3с3 –с3с4 с3с5 с3с6 –с3с A ChI (Ch 1) –с4с1 –с4с2 с4с3 –с4с4 с4с5 с4с6 –с4с7 + –с5с3 –с5с2 с5с3 –с5с4 с5с5 с5с6 –с5с –с6с1 –с6с2 с6с3 –с6с4 с6с5 с6с6 –с6с –с7с1 –с7с2 с7с3 –с7с4 с7с5 с7с6 –с7с с3 –с2 с5 –с4 с7 –с –с3 с1 с6 –с7 –с4 с –с2 с1 с7 –с6 с5 –с –с5 –с6 с7 с1 с2 –с3.

+Sh –с4 –с7 с6 с1 –с3 с с7 –с4 –с5 с2 с3 –с с6 –с5 –с4 с3 с2 –с1 Восемь симметричных параметров (Эйлера) 0 Ch, 1 c Sh, 2 c Sh,…, 7 c Sh, 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 -1 -2 +3 -4 +5 +6 -7 =1, -с12-с22+с32-с42+с52+с62-с72= -1, однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:

А= -I+2* -(11- 00) -(12- 30) (13- 20) -(14- 50) (15- 40) (16+ 70) -(17+ 60) -(21+ 30) -(22- 00) (23+ 10) -(24- 60) (25- 70) (26- 40) -(27- 50) -(31+20) -(32- 10) (33+00) -(34- 70) (35- 60) (36+ 50) -(37+40) -(41+ 50) -(42+ 60) (43+ 70) -(44-00) (45+ 10) (46+ 20) -(47+ 30) -(51+40) -(52+ 70) (53+ 60) -(54-10) (55+00) (56- 30) -(57- 20) -(61- 70) -(62+40) (63- 50) -(64-20) (65+ 30) (66+00) -(67+ 10) -(71- 60) -(72+50) (73- 40) -(74-30) (75+20) (76- 10) -(77-00) При этом A = -I+2* -(11- 00) -(12+ 30) (13+ 20) -(14+ 50) (15+ 40) (16- 70) -(17- 60) -(21- 30) -(22- 00) (23- 10) -(24+ 60) (25+ 70) (26+ 40) -(27+ 50) -(31- 20) -(32+10) (33+00) -(34+ 70) (35+ 60) (36- 50) -(37- 40) -(41- 50) -(42- 60) (43- 70) -(44- 00) (45- 10) (46- 20) -(47- 30) -(51- 40) -(52- 70) (53- 60) -(54+10) (55+00) (56+ 30) -(57+ 20) -(61+ 70) -(62- 40) (63+ 50) -(64+20) (65- 30) (66+ 00) -(67- 10) -(71+60) -(72- 50) (73+40) -(74+30) (75- 20) (76+ 10) -(77-00) Будем считать для определенности ===1. В принятом предполо жении 1 Ch= (Tr (A)–1)= (a11+ a22+…+ a77–1)=202–1, 6 а23+ а32+а45+ а54– а76–а67=6с1Sh=1210, а46+ а64+а57+ а75– а31–а13=6с2Sh=1220, а65–а56+а12–а21– а47+ а74=6с3Sh=1230, –а51–а15– а73–а37– а62–а26=6с4Sh=1240, –а72+ а27+а36–а63+а14–а41=6с5Sh=1250, –а17+ а71+а24–а42+а53–а35=6с6Sh=1260, а34+ а43+а61+ а16– а25–а52=6с7Sh=1270.

-с1с1 -с1с2 с1 с 3 -с1с4 с1 с5 с 1 с6 -с1с -с2с1 -с2с2 с2 с 3 -с2с4 с2 с5 с 2 с6 -с2с -с3с1 -с3с2 с3 с 3 -с3с4 с3 с5 с 3 с6 -с3с A ChI (Ch 1) -с4с1 -с4с2 с4 с 3 -с4с4 с4 с5 с 4 с6 -с4с7 + -с5с3 -с5с2 с5 с 3 -с5с4 с5 с5 с 5 с6 -с5с -с6с1 -с6с2 с6 с 3 -с6с4 с6 с5 с 6 с6 -с6с -с7с1 -с7с2 с7 с 3 -с7с4 с7 с5 с 7 с6 -с7с с3 с5 с 0 -с2 -с4 -с с1 с6 с -с3 0 -с7 -с с1 с7 с -с2 0 -с6 -с с7 с1 с +Sh -с5 -с6 0 -с3.

с6 с1 с -с4 -с7 0 -с с7 с2 с -с4 -с5 0 -с с6 с3 с -с5 -с4 -с1 Восемь симметричных параметров (Эйлера) 02-12-22+32-42+52+62-72=1, -с12-с22+с32-с42+с52+с62-с72= -1, однозначно определяют вращение, причем из выражения для матрицы А следует:

А= -I+2* –(11–00) –(12–30) 13–20 –(14–50) 15–40 16+70 –(17+60) –(21+30) –(22–00) 23+10 –(24–60) 25–70 26–40 –(27–50) –(31+20) –(32–10) 33+00 –(34–70) 35–60 36+50 –(37+40) –(41+50) –(42+60) 43+70 –(44–00) 45+10 46+20 –(47+30) –(51+40) –(52+70) 53+60 –(54–10) 55+00 56–30 –(57–20) –(61–70) –(62+40) 63–50 –(64–20) 65+30 66+00 –(67+10) –(71–60) –(72+50) 73–40 –(74–30) 75+20 76–10 –(77–00) При этом A = –I+2* –(11–00) –(12+30) 13+20 –(14+50) 15+40 16–70 –(17–60) –(21–30) –(22–00) 23–10 –(24+60) 25+70 26+40 –(27+50) –(31–20) –(32+10) 33+00 –(34+70) 35+60 36–50 –(37–40) –(41–50) –(42–60) 43–70 –(44–00) 45–10 46–20 –(47–30) –(51–40) –(52–70) 53–60 –(54+10) 55+00 56+30 –(57+20) –(61+70) –(62–40) 63+50 –(64+20) 65–30 66+00 –(67–10) –(71+60) –(72–50) 73+40 –(74+30) 75–20 76+10 –(77–00) Параметры 0, 1, 2,…, 7 и –0, –1, –2,…,–7 представляют одно и тоже вращение.

Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:

1 0 0 0 0 0 Sh 0 Ch 0 0 0 0 Sh Ch 0 0 0 А1()= Sh 0 0 0 Ch 0 0, 0 0 0 Sh Ch 0 0 0 0 0 0 Ch -Sh 0 0 0 0 0 -Sh Ch Ch 0 -Sh 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -Sh 0 Ch 0 0 0 А2()= Sh 0 0 0 Ch 0 0, Sh 0 0 0 0 Ch 0 0 0 Sh 0 Ch 0 0 0 0 Sh 0 Ch sin cos 0 0 0 0 -sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 А3()= 0 0 0 cos 0 0 -sin, 0 0 0 0 cos -sin sin cos 0 0 0 0 0 0 0 sin 0 0 cos Ch 0 0 0 -Sh 0 0 Ch 0 0 0 -Sh 0 0 Ch 0 0 0 -Sh А4()= 0 0 0 1 0 0 0, -Sh 0 0 0 Ch 0 0 -Sh 0 0 0 Ch 0 0 -Sh 0 0 0 Ch sin cos 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 0 sin sin 0 0 cos 0 0 А5()= -sin 0 0 cos 0 0 0, 0 0 0 0 1 0 0 0 -sin 0 0 cos 0 -sin 0 0 0 0 cos cos 0 0 0 0 0 -sin sin 0 cos 0 0 0 0 0 cos 0 -sin 0 А6()= 0 -sin 0 cos 0 0 0, sin 0 0 0 cos 0 0 0 0 0 0 1 sin 0 0 0 0 0 cos Ch 0 0 0 0 Sh 0 Ch 0 0 -Sh 0 Sh 0 0 Ch 0 0 А7()= 0 0 Sh Ch 0 0 0.

0 -Sh 0 0 Ch 0 Sh 0 0 0 0 Ch 0 0 0 0 0 0 Ai1 ( ) Ai ( ) Аi(-), i= 1, 2,…, 7.

Заметим, что Каждая матрица А, описывающая собственное вращение в семимер ном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения семи матриц A Ai1 ( 1 )Ai2 ( 2 )... Ai7 ( 7 ), в частности, так:

А=A3(1)A2(2)A3(3)A5(4)A3(5)A7(6)A3(7).

Семь углов (Эйлера) 1, 2,…, 7, однозначно определяют вращение;

в свою очередь они однозначно определяются данным вращением, за ис ключением случая, когда 2, 5, 7 равны нулю (карданов подвес).

Результат расчета матрицы вращения в семимерном псевдоевклидо вом пространстве индекса 4 приведен в таблице 1.

Обратное вращение А-1 (переводящее вектор х в исходный вектор х) представляется матрицей А-1= A =A3(-7)A7(-6)A3(-5)A5(-4)A3(-3)A2( 2)A3(-1).

Существуют множество способов, которыми матрицу вращения можно выразить путем вращения вокруг четырех различных осей координат.

Кроме того, существует множество способов представления матриц вра щения в виде произведения вращений вокруг семи различных осей коор динат, в частности так:

A=A1(1)A2(2)A3(3)A4(4)A5(5)A6(6)A7(7).

Таблица а11=С13457Ch26–С134S57Ch26–С457S13Ch6+С4S1357Ch6–С147S35Ch26–С145S37Ch26– –С347S15Ch6–С345S17Ch6–С157S4Sh26–С1S457Sh а21=–С3457S1Ch26+С34S157Ch26–С1457S3Ch6+С14S357Ch6+С47S135Ch26+ +С45S137Ch26–С1347S5Ch6–С1345S7Ch6+С57S14Sh26+S1457Sh а31=–С3457Ch6Sh2+С34S57Ch6Sh2+С47S35Ch6Sh2+С45S37Ch6Sh2+С57S4Ch2Sh6+ +S457Ch2Sh а41=–С1357S4Ch26+С13S457Ch26+С57S134Ch26–S13457Ch26–С17S345Ch26– –С15S347Ch26–С37S145Ch26–С35S147Ch26+С37S15Sh26–С35S17Sh26– –С17S35Sh26+С15S37Sh26+С457S13Sh26+С4S1357Sh26+С13457Sh26+С134S57Sh а51=С357S14Ch6Sh2–С3S1457Ch6Sh2–С157S34Ch6Sh2+С1S3457Ch6Sh2+ +С7S1345Ch6Sh2+С5S1347Ch6Sh2+С137S45Ch6Sh2+С135S47Ch6Sh2– –С137S5Ch2Sh6+С135S7Ch2Sh6+С7S135Ch2Sh6–С5S137Ch2Sh6–С1457S3Ch2Sh6– –С14S357Ch2Sh6–С3457S1Ch2Sh6–С34S157Ch2Sh а61=–С1357S4Ch6Sh2+С13S457Ch6Sh2–С57S134Ch6Sh2+S13457Ch6Sh2– –С17S345Ch6Sh2–С15S347Ch6Sh2+С37S145Ch6Sh2+С35S147Ch6Sh2– –С37S15Ch2Sh6+С35S17Ch2Sh6–С17S35Ch2Sh6+С15S37Ch2Sh6– –С457S13Ch2Sh6–С4S1357Ch2Sh6+С13457Ch2Sh6+ С134S57Ch2Sh а71=–С357S14Ch26+С3S1457Ch26–С157S34Ch26+С1S3457Ch26+С137S45Ch26+ +С135S47Ch26–С7S1345Ch26–С5S1347Ch26–С137S5Sh26+С135S7Sh26–С7S135Sh26+ +С5S137Sh26–С1457S3Sh26–С14S357Sh26+С3457S1Sh26+С34S157Sh а12=С1345S7Ch26+С1347S5Ch26–С45S137Ch6–С47S135Ch6+С1457S3Ch26– –С14S357Ch26+С3457S1Ch6–С34S157Ch6+С17S45Sh26–С15S47Sh а22=–С345S17Ch26–С347S15Ch26–С145S37Ch6–С147S35Ch6–С457S13Ch26+ +С4S1357Ch26+С13457Ch6–С134S57Ch6–С7S145Sh26+С5S147Sh а32= С345S7Ch6Sh2–С347S5Ch6Sh2–С457S3Ch6Sh2+С4S357Ch6Sh2– –С7S45Ch2Sh6+С5S47Ch2Sh а42=–С135S47Ch26–С137S45Ch26+С5S1347Ch26+С7S1345Ch26+С157S34Ch26– –С1S3457Ch26+С357S14Ch26–С3S1457Ch26+С3S157Sh26+С357S1Sh26–С1S357Sh26– –С157S3Sh26–С47S135Sh26+С45S137Sh26–С1347S5Sh26+С1345S7Sh а52=С35S147Ch6Sh2+С37S145Ch6Sh2–С15S347Ch6Sh2–С17S345Ch6Sh2– –С57S134Ch6Sh2+S13457Ch6Sh2–С1357S4Ch6Sh2+С13S457Ch6Sh2– –С13S57Ch2Sh6–С1357Ch2Sh6+S1357Ch2Sh6+С57S13Ch2Sh6+С147S35Ch2Sh6– –С145S37Ch2Sh6+С347S15Ch2Sh6–С345S17Ch2Sh а62=–С135S47Ch6Sh2–С137S45Ch6Sh2–С5S1347Ch6Sh2–С7S1345Ch6Sh2+ +С157S34Ch6Sh2–С1S3457Ch6Sh2–С357S14Ch6Sh2+С3S1457Ch6Sh2––С3S157Ch2Sh6– –С357S1Ch2Sh6–С1S357Ch2Sh6–С157S3Ch2Sh6+С47S135Ch2Sh6–С45S137Ch2Sh6– –С1347S5Ch2Sh6+С1345S7Ch2Sh а72=–С35S147Ch26–С37S145Ch26–С15S347Ch26–С17S345Ch26+С57S134Ch26– –S13457Ch26–С1357S4Ch26+С13S457Ch26–С13S57Sh26–С1357Sh26–S1357Sh26– –С57S13Sh26+С147S35Sh26–С145S37Sh26–С347S15Sh26+С345S17Sh а13=С135S4Ch2Sh6–С5S134Sh6+С1S345Ch2Sh6+С3S145Sh6–С14Ch6Sh а23=–С35S14Ch2Sh6–С15S34Sh6–S1345Ch2Sh6+С13S45Sh6+С4S1Ch6Sh а33=С4Ch26–С35S4Sh26–S345Sh а43=–S134Ch6Sh2–С13S4Ch6Sh2+С1345Ch2Sh6–С45S13Ch2Sh6–С14S35Ch2Sh6– –С34S15Ch2Sh а53=С1S34Ch26+С3S14Ch26–С345S1Sh26+С145S3Sh26+С4S135Sh26+С134S5Sh а63=S134Ch26–С13S4Ch26+С1345Sh26+С45S13Sh26–С14S35Sh26+С34S15Sh а73=С1S34Ch6Sh2–С3S14Ch6Sh2+С345S1Ch2Sh6+С145S3Ch2Sh6+С134S5Ch2Sh6– –С4S135Ch2Sh а14=С1357S4Ch26–С13S457Ch2–С57S134Ch6+S13457+С17S345Ch26+ +С15S347Ch2+С37S145Ch6+С35S147–С147Sh а24=–С357S14Ch26+С3S1457Ch2–С157S34Ch6+С1S3457–С7S1345Ch26–С5S1347Ch2+ +С137S45Ch6+С135S47+С47S1Sh а34=С47Ch2Sh6–С357S4Ch6Sh2+С3S457Sh2–С7S345Ch6Sh2–С5S347Sh а44=–С7S134Sh26–С137S4Sh26–С457S13Ch26+С4S1357Ch2+С13457Ch26–С134S57Ch2– –С147S35Ch26–С145S37Ch2–С347S15Ch26–С345S17Ch а54=С17S34Ch2Sh6+С37S14Ch2Sh6–С3457S1Ch6Sh2+С34S157Sh2+ +С1457S3Ch6Sh2–С14S357Sh2+С47S135Ch6Sh2+С45S137Sh2+С1347S5Ch6Sh +С1345S7Sh а64=С7S134Ch2Sh6–С137S4Ch2Sh6+С13457Ch6Sh2–С134S57Sh2+С457S13Ch6Sh2– –С4S1357Sh2–С147S35Ch6Sh2–С145S37Sh2+С347S15Ch6Sh2+С345S17Sh а74=С17S34Sh26–С37S14Sh26+С3457S1Ch26–С34S157Ch2+С1457S3Ch26– –С14S357Ch2+С1347S5Ch26+С1345S7Ch2–С47S135Ch26–С45S137Ch а15=–С1347S5Ch2Sh6+С1345S7Ch2Sh6+С47S135Sh6–С45S137Sh6– –С1457S3Ch2Sh6–С14S357Ch2Sh6–С3457S1Sh6–С34S157Sh6–С15S47Ch6Sh2– –С17S45Ch6Sh а25=С347S15Ch2Sh6–С345S17Ch2Sh6+С147S35Sh6–С145S37Sh6+С457S13Ch2Sh6+ +С4S1357Ch2Sh6–С13457Sh6–С134S57Sh6+С5S147Ch6Sh2+С7S145Ch6Sh а35=С347S5Sh26–С345S7Sh26+С457S3Sh26+С4S357Sh26+С5S47Ch26+С7S45Ch а45=С137S45Ch2Sh6–С135S47Ch2Sh6–С7S1345Ch2Sh6+С5S1347Ch2Sh6– –С157S34Ch2Sh6–С1S3457Ch2Sh6–С357S14Ch2Sh6–С3S1457Ch2Sh6–С357S1Ch6Sh2+ +С3S157Ch6Sh2+С157S3Ch6Sh2–С1S357Ch6Sh2+С45S137Ch6Sh2+С47S135Ch6Sh2+ +С1345S7Ch6Sh2+С1347S5Ch6Sh а55=–С37S145Sh26+С35S147Sh26+С17S345Sh26–С15S347Sh26+С57S134Sh26+ +S13457Sh26+С1357S4Sh26+С13S457Sh26+С1357Ch26–С13S57Ch26– +С57S13Ch26+S1357Ch26–С145S37Ch26–С147S35Ch26–С345S17Ch26–С347S15Ch а65=С137S45Sh26–С135S47Sh26+С7S1345Sh26–С5S1347Sh26–С157S34Sh26–С1S3457Sh26+ +С357S14Sh26+С3S1457Sh26+С357S1Ch26–С3S157Ch26+С157S3Ch26–С1S357Ch26– –С45S137Ch26–С47S135Ch26+С1345S7Ch26+С1347S5Ch а75=С37S145Ch2Sh6–С35S147Ch2Sh6+С17S345Ch2Sh6–С15S347Ch2Sh6– –С57S134Ch2Sh6–S13457Ch2Sh6+С1357S4Ch2Sh6+С13S457Ch2Sh6+С1357Ch6Sh2– –С13S57Ch6Sh2+С57S13Ch6Sh2–S1357Ch6Sh2–С145S37Ch6Sh2–С147S35Ch6Sh2+ +С345S17Ch6Sh2+С347S15Ch6Sh а16=С134S57Ch2Sh6+С13457Ch2Sh6–С4S1357Sh6–С457S13Sh6–С147S35Ch2Sh6+ +С145S37Ch2Sh6–С347S15Sh6+С345S17Sh6–С157S4Ch6Sh2+С1S457Ch6Sh а26=–С34S157Ch2Sh6–С3457S1Ch2Sh6–С14S357Sh6–С1457S3Sh6+ +С47S135Ch2Sh6–С45S137Ch2Sh6–С1347S5Sh6+С1345S7Sh6+С57S14Ch6Sh2– –S1457Ch6Sh а36=–С34S57Sh26–С3457Sh26+С47S35Sh26–С45S37Sh26+С57S4Ch26–S457Ch а46=–С13S457Ch2Sh6–С1357S4Ch2Sh6+S13457Ch2Sh6+С57S134Ch2Sh6– –С17S345Ch2Sh6+С15S347Ch2Sh6–С37S145Ch2Sh6+С35S147Ch2Sh6+ +С37S15Ch6Sh2+С35S17Ch6Sh2–С17S35Ch6Sh2–С15S37Ch6Sh2+ +С457S13Ch6Sh2–С4S1357Ch6Sh2+С13457Ch6Sh2–С134S57Ch6Sh а56=С3S1457Sh26+С357S14Sh26–С1S3457Sh26–С157S34Sh26+С7S1345Sh26–С5S1347Sh26+ +С137S45Sh26–С135S47Sh26–С137S5Ch26–С135S7Ch26+С7S135Ch26+ +С5S137Ch26–С1457S3Ch26+С14S357Ch26–С3457S1Ch26+С34S157Ch а66=–С13S457Sh26–С1357S4Sh26–S13457Sh26–С57S134Sh26–С17S345Sh26+ +С15S347Sh26+С37S145Sh26–С35S147Sh26–С37S15Ch26–С35S17Ch26– –С15S37Ch26–С457S13Ch26+С4S1357Ch26+С13457Ch26–С134S57Ch а76=–С3S1457Ch2Sh6–С357S14Ch2Sh6–С1S3457Ch2Sh6–С157S34Ch2Sh6– –С7S1345Ch2Sh6+С5S1347Ch2Sh6+С137S45Ch2Sh6–С135S47Ch2Sh6– –С137S5Ch6Sh2–С135S7Ch6Sh2–С7S135Ch6Sh2–С5S137Ch6Sh2– –С1457S3Ch6Sh2+С14S357Ch6Sh2+С3457S1Ch6Sh2–С34S157Ch6Sh а17=–С135S47Ch26–С137S45Ch2+С5S1347Ch6+С7S1345–С1S3457Ch26+ +С157S34Ch2–С3S1457Ch6+С357S14+С14S7Sh а27=С35S147Ch26+С37S145Ch2+С15S347Ch6+С17S345+S13457Ch26–С57S134Ch2– –С13S457Ch6+С1357S4–С4S17Sh а37=–С4S7Ch2Sh6+С35S47Ch6Sh2+С37S45Sh2+S3457Ch6Sh2–С57S34Sh а47=S1347Sh26+С13S47Sh26–С1345S7Ch26–С1347S5Ch2+С45S137Ch26+ +С47S135Ch2+С14S357Ch26–С1457S3Ch2+С34S157Ch26–С3457S1Ch а57=–С1S347Ch2Sh6–С3S147Ch2Sh6+С345S17Ch6Sh2+С347S15Sh2– –С145S37Ch6Sh2–С147S35Sh2–С4S1357Ch6Sh2+С457S13Sh2– –С134S57Ch6Sh2+С13457Sh а67=–S1347Ch2Sh6+С13S47Ch2Sh6–С1345S7Ch6Sh2–С1347S5Sh2–С45S137Ch6Sh2– –С47S135Sh2+С14S357Ch6Sh2–С1457S3Sh2–С34S157Ch6Sh2+С3457S1Sh а77=–С1S347Sh26+С3S147Sh26–С345S17Ch26–С347S15Ch2–С145S37Ch26– –С147S35Ch2–С134S57Ch26+С13457Ch2+С4S1357Ch26–С457S13Ch Здесь символ Сi соответствует функции Cosi, Si - Sini, Chi – Chi, Shi - Shi, а последовательность индексов - произведению функций.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.