авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального ...»

-- [ Страница 4 ] --

Реактивный момент в дополнительно поставленной заделке узла В от линейного сме щения Z2 = 1 узлов В и С определяем из условия равновесия M уз = 0 узла В, вырезанного из эпюры М2 (рис.8.28, г):

r12 0,375 EJ c = 0 r12 = 0,375 EJ c.

Такая же по величине, согласно теореме о взаимности реакций, будет и реактивная сила r21, возникающая в дополнительно поставленном горизонтальном стержне опоры А от поворота заделки узла В на угол Z1 = 1:

r12 = r21 = 0,375 EJс.

Реактивный момент R1Pq, возникающий в заделке узла В от внешних нагрузок Р и q, найдем из уравнения равновесия M уз = 0 узла В, вырезанного из эпюры МPq (рис.8.28, е):

R1Pq 40 + 10 = 0 R1Pq = 30 кНм.

Реактивное усилие r22, возникающее в горизонтальном опорном стержне опоры А от перемещения узлов В и С на величину Z2 = 1, найдем проведя разрез II на эпюре M2 (см.

рис.8.28, в) и определив действующие в местах сечения элементов горизонтальные усилия (рис.8.7,а) из уравнения равновесия Z = 0 :

r22 + 0,18 5 EJ c + 0,0468 5 EJ c = 0 r22 = 0,02344 EJ c.

Рис.8. Рис.8. Проведя разрез IIII на эпюре MPq (рис.8.28, д) и определив горизонтальные усилия в Z = 0 найдем реактивное усилие R2Pq, возникающее рассеченных элементах, из уравнения в дополнительно поставленном опорном стержне опоры А от действия внешней нагрузки (рис.8.29, б):

R2 Pq + 10 20 = 0 R2 Pq = 10 кН.

Определяя реактивные усилия, всегда следует иметь в виду, что они считаются поло жительными, если направления их действия совпадают с принятым направлением действия неизвестных перемещений Z1 и Z2.

4.2. Проверка правильности вычисления коэффициентов Проверка правильности вычисления главных и побочных коэффициентов канонических уравнений метода перемещений выполняется аналогично проверке коэффициентов уравне ний при расчете методом сил, то есть проверяется удовлетворение равенства r = rss, где r = r11 + r12 + r21 + r22 сумма всех найденных единичных коэффициентов;

k lj M M rss = s s d z EJ j интеграл, определяемый по правилу Верещагина, т.е. умножением j =1 суммарной единичной эпюры Ms (Ms = M1 + M2) на себя.

Удовлетворение этого равенства свидетельствует о правильности вычисления глав ных и побочных коэффициентов.

Таким образом, для выполнения этой проверки, называемой универсальной, необхо димо построить суммарную единичную эпюру изгибающих моментов в основной системе метода перемещений Ms = M1 + M2. Эта эпюра обычно строится путем сложения единичных эпюр M1 и M2.

Для данного примера она представлена на рис.8.30, а.

Рис.8. Определив r = 4EJ C + 0,375EJ C + 0,375EJ C + 0,2344EJ C = 4,984EJ C ;

1,5 EJ C 2 1,875 EJ C 14 rss = 2 1,5 EJ C + 1,875 EJ C + EJ C 2 3 EJ C 2 ( ) 2 [1,375 EJ C ] + [0,875 EJ C ] 2 1,375 EJ C 0,875 EJ C = 2 + EJ C = 3EJ C + 0,0469 EJ C + 1,9375 EJ C = 4,9844 EJ C, видим, что равенство удовлетворяется. Таким образом, коэффициенты вычислены верно.

4.3. Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов заключается в определении суммы всех найденных грузовых коэффициентов R = R1Pq + R2 Pq и величины o M M Pq lj k s RsPq = dz EJ j =1 j, определяемой по правилу Верещагина, т.е. сопряжением суммар o ной единичной эпюры M S = M 1 + M 2 с эпюрой изгибающих моментов M Pq, построенной в основной статически определимой системе метода сил от действия только внешних нагрузок P и q. При правильном определении грузовых коэффициентов величины R и R sPq должны R =R быть равны, т.е..

sPq o Rи R Построив эпюру M Pq (рис.8.30, б), определяем величины :

sPq R = R + R2 Pq = 30 10 = 20.

1Pq o Сопрягая эпюру Ms с эпюрой M Pq по правилу Верещагина и взяв полученное выра жение со знаком «минус», определяем:

o k l j M M Pq s RsPq = d z = 40 1,5EJ + c EJ j EJ c 3 j =1 1 40 2 2 0,875EJ 0,25EJ = ( 40 + 20) = 20.

+ c3 c EJ c 2 R =R Равенство свидетельствует об отсутствии ошибок при вычислении грузо sPq вых коэффициентов. Здесь же следует еще раз отметить, что при сопряжении эпюр всегда надо помнить, что элементы рамы имеют различные жесткости ( J p = 2 J c ).

5. Решение системы канонических уравнений и проверка правильности вычисления неизвестных Подставив найденные значения коэффициентов в канонические уравнения, получим:

4 EJ C Z 1 + 0,375EJ C Z 2 + 30 = 0;

0,375EJ C Z 1 + 0,234EJ C Z 2 10 = 0.

Решив эту систему уравнений, находим:

13,53 64, Z1 = ;

Z2 =.

EJ C EJ C Проверку правильности решения системы уравнений произведем путем подстановки найденных значений Z1 и Z2 в оба уравнения. В результате оба уравнения должны обратиться в тождества. Это будет свидетельствовать о правильности решения системы канонических уравнений:

13,53 13, 4EJ C EJ + 0,375EJ C EJ + 30 = 54,12 + 24,12 + 30 = 0;

C C 13,53 13,53 0,375EJ C EJ + 0,234EJ C EJ 10 = 5,074 + 15,074 10 = 0.

C C Оба уравнения обратились в тождества. Следовательно, система решена верно.

6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Мок для заданной сис темы Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Мок для заданной системы производим на основании принципа независимости действия сил по формуле:

Мок = M1 Z1 + M2 Z2 + MPq, т.е. путем сложения «исправленных» единичных эпюр М1, М2 и грузовой эпюры МPq, по строенных в основной системе метода перемещений.

Значения ординат «исправленных» эпюр M Z1 и M Z2 получим путем умножения ор динат единичных эпюр M1 и M2, соответственно, на значения Z1 и Z2, найденные в результате решения системы канонических уравнений метода перемещений, с учетом их знака. Исправ ленные эпюры M1 Z1 и M2 Z2, полученные таким образом, представлены на рис.8.31, а и 8.31, б.

Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов Мок определяем по вышеука занной формуле в табличной форме (см. табл.8.5), предварительно приняв для этого нумера цию характерных сечений рамы и правило знаков для ординат эпюр изгибающих моментов (рис.8.30, в). В ригеле 02 эпюра изгибающих моментов изменяется по закону квадратной параболы, так как действует равномерно распределенная нагрузка. Поэтому в ригеле может иметь место экстремальное значение изгибающего момента. Для выяснения этого рассмот рим ригель 02, вырезанный из статически неопределимой рамы, на который действуют равномерно распределенная нагрузка q = 20 кН/м и опорные моменты в сечении 0: М0 = 0 и в сечении 2: М2 = 19,71 кНм (рис.8.31, в).

Таблица 8. Номер сечения M1Z1, кНм M2Z2, кНм Mpq, кНм Mок, кНм 0 0 0 0 1 10,14 0 20,0 30, 40,0 19, 2 20,29 13,53 10, 3 24,12 0, 3, 4 0 10,0 6, 3, 4’ 0 10,0 6, 24,12 10,0 27, 5 6, 20,29 20, 6 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 12,06 0 12, Аналитическое выражение изменения изгибающего момента в зависимости от теку щей абсциссы z для рассматриваемого элемента имеет вид:

qz M ( z ) = Q0 ( z ) + M 2. (8.25) Для нахождения положения сечения, в котором может возникнуть экстремальное зна чение изгибающего момента, приравняем первую производную изгибающего момента нулю:

d M ( z) = Q0 qz 0 = dz. (8.26) M = 0 величину опорной реакции Q0 и решив Определив из уравнения равновесия (8.26), найдем z0, т.е. абсциссу сечения, где возникает экстремальное значение момента:

ql Q0 l1 + M 0 1 M 2 = 2 ;

M M 0 20 4 19,71 ql Q0 = 1 + 2 = + = 35, 2 l1 2 4 кН;

Q0 35, z ext = = = 1, q Таким образом: м.

Подставив найденное значение z0 = 1,75 м в аналитическое выражение изменения мо мента (8.25), определяем величину:

20 1,75 M max = 35,07 1,75 + 0 = 30, 2 кНм.

По найденным значениям ординат строим окончательную эпюру изгибающих момен тов для заданной системы (рис.8.31, г).

7. Проверка правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов Мок Для того, чтобы убедиться в правильности построения эпюры Мoк, производим ста тическую и деформационную проверки.

Для статической проверки, как и в методе сил, вырезаем незакрепленный жесткий узел В из эпюры Мoк, прикладываем действующие в нем изгибающие моменты и проверяем удовлетворение уравнения равновесия M уз = 0 (рис.8.31, д):

M = 20,29 19,71 0,59 = 0 20,29 20,3 =.

уз Следовательно, узел В находится в равновесии, что свидетельствует о правильности построения эпюры Мoк. Однако, как и в методе сил, уравнения равновесия жестких незакре пленных узлов системы иногда удовлетворяются и при неправильно построенных в основ ной системе единичных и грузовых эпюрах, а также неправильном вычислении величин не известных перемещений. Поэтому для полной гарантии правильности построения эпюры Мoк сделаем деформационную проверку, физический смысл которой состоит в проверке отсутст вия перемещений в сечениях заданной системы, в которых заведомо они отсутствуют.

Проверим отсутствие перемещений по направлению опорного стержня опоры А за данной системы. Выбрав основную систему метода сил и приложив единичную сосредото ченную силу Х = 1 в сечении А по направлению опорного стержня, строим единичную эпюру изгибающих моментов МX=1 (рис.8.9, е) и после чего вычисляем интеграл Мора по правилу Верещагина. Сопрягая эту эпюру с эпюрой Мoк, получим:

верт = 1 19,71 4 2 4 + 2 20 4 4 1 4 + 2 EJ С A 2 3 3 1 0,59 + 6,62 27,355 6,618 54,11 54, + 24 2 4 = 0.

EJ С 2 2 EJ С EJ С Вертикальное перемещение сечения А отсутствует, следовательно, эпюра Мoк по строена верно.

Рис.8. 8. Построение эпюры Q по эпюре Мок Эпюру Q для заданной системе по эпюре Мoк строим, как и в методе сил, используя для определения ее ординат формулу (8.26).

Учитывая принятое правило знаков при построении эпюры Мoк, обход рамы произво дим слева направо, начиная с опоры А и находясь все время лицом к оси каждого участка рамы. Последовательность обхода показана на рис.8.30, в пунктиром со стрелками.

Участок 02. На этом участке действует распределенная внешняя нагрузка q = кН/м и опорные моменты Мпр = М2 = 19,71 кНм и Млев = М0 = 0:

M M ql Q0 2 = 1 qz + 2 l1, где 0 z l = 4 м.

Откуда, при z = 0:

20 4 19,71 Q0 2 = 20 0 + = 35, 2 4 кН, a при z = 20 4 19,71 Q0 2 = 20 4 + = 44, 2 4 кН.

Участок 3-4. На этом участке нагрузка отсутствует, поэтому:

M M 3 6,618 0, Q3 4 = 4 = = 3, h2 2 кН.

Участок 45. Аналогично:

M M 4 ' 27,355 6, =5 = = 16, Q4 © h2 2 кН.

Участок 67. Аналогично:

M M 6 0 (20,29) =7 = = 5, Q l2 4 кН.

Участок 89. На этом участке нагрузка также отсутствует, поэтому:

M M 8 12,06 =9 = = 3, Q h 4 кН.

По найденным ординатам строим эпюру Q для заданной рамы (рис.8.32, а).

Рис.8. 9. Построение эпюры N для заданной рамы z = 0 и y = 0 вырезанных из Ординаты эпюры N определяем из уравнений равновесия эпюры Q узлов рамы. К вырезанным узлам прикладываем действующие в них поперечные силы Q и искомые продольные силы N, составляем уравнения равновесия узлов и решив их, вычисляем ординаты эпюры N. При этом нормальные силы направляем от узла, предполагая, что все элементы рамы растянуты, а направление поперечных сил принимаем согласно сле дующему правилу: если поперечная сила положительная, то она должна вращать узел по хо ду часовой стрелки, а если отрицательная то против хода часовой стрелки.

Узел D:

z = N 76 + 3,015 = 0 N 76 = 3,015 кН (растяжение);

y = N 89 + 5,072 = 0 N 89 = 5,072 кН (сжатие).

Узел В:

z = 3,015 3,014 N 20 = 0 N 20 = 0 ;

y = 5,072 44,93 N 35 = 0 N 35 = 50,02 кН (сжатие).

По найденным ординатам строим эпюру N (рис.8.32, б).

10. Статическая проверка рамы в целом Для выполнения этой проверки необходимо убедиться в справедливости трех уравне ний равновесия z = 0 ;

y = 0 ;

M = 0 для любой отсеченной части рамы. Отсечем за данную раму от всех опор и приложим в местах сечений действующие в них силовые факто ры, величины и направления которых берем из эпюр Mок, Q и N (рис.8.32, в).

Составив уравнения равновесия, проверяем их удовлетворение, т.е. обращение их в тождество:

z = 3,015 + 16,986 20 = 0 0 = 0 ;

y = 50,002 + 35,07 5,072 20 4 = 0 0 = 0 ;

M C = 35,07 4 20 4 2 + 27,355 20 2 12,06 + 3,015 8 + 5 2 4 = 0 0 = 0.

Все уравнения обратились в тождества, следовательно, рама находится в равновесии и эпюры Q, N и Mок построены верно.

Учет продольных сил в расчетах сооружений методом перемещений Необходимость учета продольных сил при расчете стержневых систем методом пере мещений требует особого подхода к определению количества неизвестных в решаемых за дачах. При этом формула (8.1) остается справедливой, т.е. по-прежнему n kin = n + n.

Число неизвестных угловых перемещений n остается таким же, как и в случае, когда влиянием продольных сил на конечный результат расчета мы пренебрегаем, т.е. оно равно количеству жестких узлов сооружения. В рассматриваемом случае иным становится число неизвестных линейных перемещений узлов системы n, которое определяется по шарнирной схеме сооружения, образуемой теперь не только введением режущих цилиндрических шар ниров в жесткие узлы, но и удалением тех элементов, где требуется учесть продольные си лы.

Пример 8.5.

Определить степень кинематической неопределимости рамы, изображенной на рис.

8.33,а с учетом влияния продольных сил во всех стержнях и для ее расчета выбрать основ ную систему метода перемещений.

Шарнирную схему рамы образуем введением во все жесткие узлы, включая и опор ные, цилиндрических шарниров и удалением стержней 1А, 12, 2В (рис. 8.33,б). Степень сво боды этой шарнирной схемы определим по формуле (8.2):

W = 2Y C Co = 2 · 4 0 4 = 4.

Рис. 8. Степень кинематической неопределимости рамы равна n kin = n + n = 1 + 4 = 5.

Основная система метода перемещений показана на рис. 8.33,в.

Пример 8.6.

Определить степень кинематической неопределимости комбинированной системы с учетом влияния продольных сил в стержнях 1А и 13 (рис. 8.34,а) и выбрать основную систе му метода перемещений для ее расчета.

Рис. 8. Шарнирная схема заданной стержневой системы показана на рис. 8.34,б. Обращаем внимание, что при образовании этой шарнирной схемы стержни 1А и 13 удалены. Степень свободы шарнирной схемы W = 2Y C Co = 2 · 6 5 5 = 2.

Степень кинематической неопределимости рамы n kin = n + n = 1 + 2 = 3.

Основная система метода перемещений изображена на рис. 8.34,в.

Чаще всего продольные силы при расчетах сооружений учитываются в незагружен ных элементах, имеющих на концах цилиндрические шарниры. Продольную силу в таких элементах от взаимного смещения их концов в направлении оси на величину, равную оп ределим методом сил (рис. 8.35,а).

Рис. 8. Основная система метода сил показана на рис. 8.35,б. Реакцию в удаленной связи оп ределим из условия 11 X1 + 1c = 0. (8.27) Используя эпюру продольных сил от X1=1 (рис. 8.35,в,г), получим при ЕА=const:

l N1 ds = 1 l 1 = l, 11 = EA EA EA 1c = R (1) = 1 =.

o Решив уравнение (8.27), имеем:

1c = EA =, X1 = in 11 l, EA in = l – погонная жесткость стержня при его продольных деформациях.

где Окончательную эпюру продольных сил определим с помощью соотношения N = N1 X1 (рис. 8.35,д).

УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ Предмет и задачи устойчивости Устойчивостью называется способность сооружений сохранять свое первоначальное положение или первоначальную форму равновесия в деформированном состоянии при дей ствии внешних сил.

В соответствии с этим надо различать устойчивость положения сооружения и ус тойчивость форм равновесия в нагруженном состоянии.

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются устойчивыми, если при всяком, сколь угодно малом дополнительном возмущении, сооруже ние отклоняется от исследуемого положения или равновесного состояния, однако после ис чезновения дополнительного возмущения полностью возвращается в исходное состояние (для упругих систем), или проявляет тенденцию к возвращению в исходное состояние (для упругопластических систем).

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются неустойчивыми, если при какомлибо сколь угодно малом отклонении от исследуемого рав новесном состоянии и после исчезновения возмущения сооружение не проявляет тенденцию к уменьшению получаемых отклонений, а иногда отклоняется еще далее до нового поло жения или новой формы равновесного состояния.

Переход сооружения из одного равновесного состояния к другому равновесному со стоянию называется потерей устойчивости системы. Состояние перехода называется кри тическим состоянием. При этом, величины внешних сил, действующие на сооружение на зываются критическими.

Как это следует из понятия устойчивости, в механике различают два вида потери ус тойчивости сооружения: потерю устойчивости положения и потерю устойчивости, вы званной сменой формы равновесного состояния.

В качестве примера потери устойчивости положения сооружения рассмотрим равно весное положение жесткой пластинки, изображенной на рис.13.1, расположенной на двух опорах при действии собственного веса величиной G и силы P.

Учитывая, что левая подвижная опора способна развить реакцию только вверх, т.е.

представляет собой одностороннюю связь, следовательно, при условии состояние пластинки является устойчивым. В данном случае левая опорная реакция величина конечная и на правлена вверх.

С ростом силы P, при левая опорная реакция принимает нулевое значение, а равно действующая сил P и G пройдет через правый шарнир. Это признак того, что наступило кри тическое состояние. Поэтому значение силы P считается критическим и обозначается Pкр.

Очевидно, что даже при незначительном росте величины силы P произойдет опроки дывание пластины и она займет новое равновесное положение. То есть произойдет потеря устойчивости положения пластины.

При изучении потери устойчивости сооружений, связанная со сменой формы дефор мированного состояния в строительной механике различают два рода потери устойчивости.

Потерю устойчивости, связанную только со сменой формы деформированного со стояния, называют потерей устойчивости первого рода, что свойственно только упругим системам.

Потерей устойчивости второго рода принято называть первое предельное состояние системы по несущей способности системы, т.е. состояние системы, когда при дальнейшем увеличении внешних сил равновесие между внешними и внутренними силами нарушается.

Основная задача теории устойчивости заключается в определении критических зна чений внешних сил. При этом наибольшее практическое значение имеет определение крити ческих значений внешних сил при потере устойчивости системы по первому роду.

Критерии определения устойчивости упругих систем В теории устойчивости основными критериями определения критических значений внешних нагрузок являются энергетический, динамический и статический.

В основе энергетического критерия заложен известный принцип ЛагранжаДирихле, согласно которому, если система находится в состоянии устойчивого равновесия, ее полная потенциальная энергия обладает минимумом по сравнению со всеми соседними состояния ми системы;

если в состоянии неустойчивого равновесия то максимумом;

а если в безраз личном, т.е. критическом то потенциальная энергия является постоянной величиной.

В общем случае изменение (вариацию) полной потенциальной энергии системы dU при переходе ее от рассматриваемого состояния к соседнему можно записать таким образом:

dU = dV dT, где dV вариация потенциальной энергии внутренних сил;

dT вариация потенциальной энергии внешних сил.

Следовательно, критическое состояние системы, согласно энергетического критерия, определяется из условия dU = 0 или dV = dT.

При решении задач устойчивости по динамическому критерию исходят из предполо жения, что колеблющаяся система около своего положения равновесия, не способна возвра щаться к первоначальному положению. Данное предположение равносильно утверждению, что в критическом состоянии спектр собственных частот рассматриваемой системы стре собственная частота рассматриваемой сис мится к нулю, т.е. = 0 (i = 1, 2, 3,...). Здесь темы при iой форме колебаний.

Следовательно, при решении задач по динамическому критерию составляется урав нение собственных колебаний заданной системы, далее определяется выражение частот соб ственных колебаний и из условия их равенства нулю определяется критическое значение внешних сил.

Так например, для сжатого осевой продольной силой P стержня постоянного попе речного сечения с распределенной массой, частота основного тона поперечных колебаний выражается формулой, где собственная частота поперечных колебаний при отсутствии сжимающей силы, т.е. при P = 0.

Очевидно, и период колебаний, т.е. стержень, колеблющийся около своего положения равновесия, не способен возвращаться к первоначальному состоянию.

Суть статического критерия заключается в следующем. Исследуемой системе задает ся отклоненная форма равновесия, совпадающая по характеру перемещений с ожидаемой новой формой равновесного состояния системы после потери устойчивости системы, и оп ределяются значения рассматриваемых внешних нагрузок, способных удержать систему в новой форме равновесного состояния.

Значения внешних нагрузок, способных удержать систему в новом равновесном со стоянии, при соблюдении граничных условий по исходному состоянию, является критиче ским.

В дальнейшем, здесь рассматривается решение задач теории устойчивости с приме нением только статического критерия, так как он является основным критерием при выпол нении практических расчетов упругих консервативных систем.

Задача Эйлера Рассмотрим решение задачи устойчивости упругого стержня, постоянного попереч ного сечения, расположенной на двух шарнирно опертых концах, при действии продольной силы переменной величины Р (рис.13.2).Впервые эта задача была поставлена и решена Л.

Эйлером в середине XVIII века.

На начальном этапе действия постоянно возрастающей силы Р, очевидно, что в попе речных сечениях стержня возникают только продольно сжимающие силы и стержень испы тывает сжатие, сохраняя прямолинейную форму деформированного состояния (1). Считая данную форму деформированного состояния в качестве начальной, предполагают, что при некотором значении внешней силы Р = Pкр стержень изогнется, т.е. в некотором новом рав новесном состоянии принимает искривленную форму (2), изображенную на рис.13.2.

Обозначая величину прогибов стержня через y (z) в сечении, расположенном на рас стоянии z от начала системы координат y z, значения изгибающих моментов в указанном по перечном сечении от действия внешней силы Р принимают значения Из теории изгиба, при малых прогибах и пренебрегая продольными деформациями, деформированное состояние стержня за счет изгиба, описывается уравнением Произвольные постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий закрепления балки, т.е. y(0) = 0;

y(l) = 0.

Последнее уравнение имеет два возможных решения: либо С1 = 0.

В первом случае получается, что С1 = С2 = 0 и перемещения согласно (13.4) тождест венно равны нулю, т.е. y = 0. Это решение очевидно соответствует первоначальному равно весному состоянию, которое нас не интересует. Во втором случае, т.е. предполагая, что С 0.

При выполнении практических расчетов, как правило, определяется критическое зна чение внешней силы, соответствующее низшей форме потери устойчивости системы. По этому мы далее будем рассматривать решение задачи по определению только наименьшего значения критических сил.

Устойчивость стержней с различными концевыми условиями их закрепления Рассмотрим однопролетный упругий стержень постоянного поперечного сечения, по концам которого приложены сжимающие силы Р, всегда направленные параллельно оси не деформированного стержня. Поместим начало системы декартовых координат xyz в центре тяжести левого крайнего сечения. Ось z направим по продольной недеформированной оси стержня, а ось y по направлению наименьшей жесткости поперечного сечения.

С целью введения различных условий закрепления в концевых сечениях стержня предполагается, что в новом равновесном (критическом) состоянии (2) в общем случае могут быть приложены поперечные силы и изгибающие моменты. Кроме того, концевые сечения могут перемещаться перпендикулярно оси недеформированного стержня и поворачиваться вокруг оси x.

Дважды дифференцируя каждый член уравнения (13.1), получим дифференциальное уравнение, описывающее деформированное состояние рассматриваемого стержня в общем виде.

Составляя первые три производные от функции прогиба, составим выражение для уг лов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих в произвольном сече нии, расположенном на расстоянии от начала принятой системы координат.

Произвольные постоянные С1, С2, С3 и С4 определяются из граничных условий закре пления стержня. Очевидно, что произвольные постоянные в первоначальном, т.е. докритиче ском равновесном состоянии независимо от граничных условий закрепления стержня, тож дественно приравнивают нулю, так как и в первоначальном равновесном состоянии (1).

В новом равновесном (критическом) состоянии необходимо учесть, что независимо от граничных условий закрепления стержня произвольные постоянные С1, С2, С3 и С4 одно временно не могут быть равными нулю. Данное обстоятельство является необходимым и достаточным условием для определения нового равновесного состояния системы соответст венно величинам критических значений внешних продольных сил Р.

Продемонстрируем данный подход при решении задач по определению критической величины силы Р для стержней с различными концевыми условиями закрепления (рис.13.4).

В случае, когда стержень c двумя концами шарнирно оперт (pиc.13.4, а), граничные условия задачи имеют вид:

y(0) = y(l) = 0;

Mx(0) = Mx(l) = 0.

Однако из тpетьего ypавнения, а затем из пеpвого ypавнения поcледней cиcтемы легко ycтановить, что в данном cлyчае C4 = 0, C1 = 0, cледовательно, алгебpаичеcкая cиcтема отноcительно неизвеcтных пpоизвольных поcтоянных пpинимает вид.

Так как C2 и C3 одновpеменно не могyт быть pавными нyлю в новом кpитичеcком pавновеcном cоcтоянии cтеpжня, поэтомy необходимо тpебовать, чтобы опpеделитель поcледней cиcтемы одноpодных ypавнений был pавен нyлю.

Поcледнее выpажение, как нетpyдно заметить, полноcтью cовпадает c pезyльтатом pешения задачи Эйлеpа.

Для cтеpжня, изобpаженного на pиc.13.4, б, гpаничные ycловия задачи.

Из поcледнего ypавнения имеем, что C4 = 0, cледовательно в пеpвом ypавнении C1 = 0.

Поэтомy cиcтема ypавнений пpеобpазyетcя к видy.

Опpеделитель котоpого в кpитичеcком cоcтоянии cтеpжня должен быть pавен нyлю.

Устойчивость рам при действии узловых нагрузок. Метод перемещений Предположим, что все элементы заданной системы изначально имеют прямолиней ную форму и сопряжены между собой под прямым углом. В данном случае при действии уз ловых нагрузок начальная форма равновесного состояния системы соответствует до критической стадии работы конструкций, в поперечных сечениях элементов системы возни кают только продольные силы и они работают либо на сжатие, либо на растяжение.

Как и для обычных стержней, продольными деформациями оси элементов заданной системы пренебрегаем.

Принимая, что рассматриваемая рамная система с произвольным n раз кинематически неопределимой системой (n = 1,2,3,...), канонические уравнения метода перемещений для нового равновесного, т.е. критическом состоянии, как и в классическом методе перемещений записывается в форме.

При расчетах на устойчивость система (13.12) преобразуется. Так как мы рассматри ваем только случай действия узловых нагрузок, то во введенных связях они никакой реакции не вызывают. То есть в данном случае следует принимать..

Так как единичные реакции (i,k = 1,2,3,...,n), как и при расчете обычных статических задач определяются из условия равновесия узлов или отдельных частей основной системы при заданных единичных смещениях, и так как показали результаты решения задач, изло женных в п. 13.5 в узловых сечениях элементов значения моментов и поперечных сил в об щем случае являются функциями от параметра внешних продольных сил. Следовательно, и единичные реактивные усилия во введенных связях в общем случае являются функциями от параметра и обозначаются.

Так как в новом равновесном (критическом) состоянии, составные элементы искрив ляются, следовательно, все неизвестные Zi заведомо не могут быть равны нулю. Поэтому оп ределитель однородной системы алгебраических уравнений (13.13), составленный из коэф фициентов при неизвестных, должен быть равен нулю.

Раскрыв определитель (13.14) и приравняв его нулю, получим трансцендентное урав нение относительно параметра критической нагрузки. Решив это уравнение относительно и по минимальному значению корня определяют критическое значение внешних сил.

ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ Предмет и задачи динамики сооружений Динамика сооружений это один из специальных разделов строительной механики, посвященный методам расчета сооружений на динамические нагрузки. Динамические на грузки по своей природе весьма разнообразны. К такого рода воздействиям относятся при родные явления, т.е. сейсмические толчки, ветровые порывы, а также различные динамиче ские воздействия технологического или аварийного происхождения: движение неуравнове шенных частей машин и механизмов;

падение летящего тела при соударение его с элемента ми конструкций;

работа копров, молотов и других ударных механизмов;

движение поездов, кранов и т.д.

Особенностью динамических нагрузок является то, что при их действии сооружение переходит в состояние движения, причем при периодическом повторении динамических воздействий в определенных условиях происходит накопление энергии системы, выра жающееся в постепенном увеличении амплитуды колебаний.

Это явление, называемое резонансом, особенно опасно для сооружения тем, что раз рушение может произойти и при воздействиях с малой интенсивностью.

Существенным отличием динамических методов расчета от статических является введение в уравнениях состояния нового переменного времени и, ввиду их значительно сти, инерционных сил. При этом, если при решении аналогичных задач при статическом на гружении, уравнения состояния выражались при помощи алгебраических или трансцендент ных уравнений, то соответствующая динамическая задача требует уже решения дифферен циальных уравнений с производными по времени.

В динамике сооружений следует различать два типа движения или колебания систе мы. Колебания системы при отсутствии действия внешних сил называются свободными. Ес ли колебания системы сопровождаются действием внешних динамических нагрузок, то ко лебания называются вынужденными.

Для описания динамических колебаний необходимо ввести в рассмотрение следую щие понятия: круговая частота и период колебаний. Круговая частота определяет число циклов колебания в течении секунд, а период определяет интервал времени, в течении кото рого совершается полный цикл колебаний.

Системы в динамике сооружений различаются по числу степеней свободы. Числом степеней свободы системы называется число независимых геометрических параметров (обобщенных координат), определяющих положение системы (материальных точек) в любой момент времени при ее (их) движении. Число степеней свободы системы складывается из числа степеней свободы материальных точек, принадлежащих системе. Число степеней сво боды является основной характеристикой системы при динамических воздействиях.

В динамике сооружений различают два основных подхода: кинетостатический и энергетический.

Кинетостатический подход состоит в том, что сооружение в произвольный момент времени предполагается находящимся в равновесном состоянии под действием заданных динамических и вызванных ими инерционных нагрузок. Далее для составления уравнений состояния применяются классические методы строительной механики (метод сил, переме щений или смешанный).

Энергетический подход основан в определении в равновесном состоянии через закон сохранения энергии с учетом инерционных сил. В частности, когда силы сопротивления движению не учитываются, энергетический принцип в общем случае записывается в виде, где K кинетическая энергия системы;

V потенциальная энергии системы или работа внешних или внутренних сил, так как система в процессе колебания находится в равновес ном состоянии.

В настоящей книге при решении конкретных задач ограничимся применением кине тостатического подхода, а для вывода уравнения метода сил.

Системы с одной степенью свободы Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизон тальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная материальная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может совершать перемещения только в вертикальном направлении, следовательно, система имеет одну сте пень свободы.

Будем исследовать движение системы из ее исходного положения равновесия при t = 0 (рис.14.1, а), считая перемещение вниз положительным.

Пусть на балку действует динамическая сила.

В процессе движения на массу действует сила инерции и сила сопротивления по Фойхту. Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, трение в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.

Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего сопротивления называет ся консервативной, а система, лишенная данного свойства неконсервативной.

Вводим следующие обозначения: вертикальное перемещение балки в точке закреп ления массы m от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в той же точ ке;

вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от динамической силы, при этом:;

вертикальное перемещение балки в точке закрепления массы от действия верти кальной единичной силы Р = 1, приложенной в точке приложения внешней силы при ее от сутствии.

Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произвольный момент времени пол ное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение,откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы.

Для различных конструкций средние значения приводятся в таблице 14.1.

Таблица 14. Наименование конструкции Стальные мосты 0, Железобетонные мосты 0, Железобетонные балки 0, Железобетонные рамы 0, Железобетонные ребристые перекрытия 0, Выражение (14.5) определяет перемещение сосредоточенной массы при действии си лы, изменяющейся во времени по произвольному закону. Первый член выражения ха рактеризует собственные колебания системы, а второй, интегральный член вынужденные колебания.

Величина kД называется коэффициентом динамичности и характеризует эффект от динамической нагрузки по отношению к аналогичной статической нагрузке величиной P(t) = P0 = const.

Коэффициент динамичности существенно зависит от отношения. При коэффициент динамичности стремится принять максимальное значение и колебания системы при называ ются резонансными, а амплитуда колебаний принимает опасное значение.

Пример расчета балки в виде системы с одной степенью свободы Проверить прочность балки в рабочем режиме вибратора, расположенного по середи не пролета балки (рис.14.2, а), учитывая только вертикальную составляющую вертикальной, принимая: G = 15 кН вес вибратора;

Р0 = Pa = 3 кН вес не силы:

уравновешенных частей вибратора;

e = 0,01 м эксцентриситет относительно оси вращения неуравновешенных частей;

= 30 с1 круговая частота внешней силы;

l = 4 м пролет бал ки. Поперечное сечение балки выполнено из двутавра №20, материал Ст3. Следовательно, Е=2,1108 кН/м2 модуль деформации материалов;

Jx =1,84105 м4 момент инерции;

Wx = 1,84104 м3 момент сопротивления поперечного сечения;

R = 25104 кН/м2 расчетное со противление;

= 0,1 логарифмический декремент. Интенсивность распределенных нагру зок принимается равной: q = 4 кН/м.

На первом этапе для выполнения расчетов необходимо определить величину коэффи циента динамичности. Для этого сначала определим величину коэффициента затухания.

Воспользуемся эпюрой моментов, изображенной на рис.14.2, б и по формуле Мора определим.

Круговая частота собственных колебаний без учета затуханий: c1.

Свободные колебания системы с произвольным числом степеней свободы Рассмотрим свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы. В качестве объекта рассмотрим упругую невесомую балку, изображенную на рис.14.3 и с n со средоточенными массами m1, m2, m3,..., mn. Пренебрегаем продольными деформациями оси балки в процессе колебаний. При этом положение системы однозначно определяется пере мещениями сосредоточенных масс yi (t) (i = 1,2,3,...,n) в произвольные моменты времени t, вызванными упругими деформациями балки в поперечном направлении.

Во время движения, пренебрегая сопротивлением внутренних и внешних сил, на бал ку будут действовать в качестве внешних сил инерционные силы, (i = 1,2,3,...,n). Применяя метод сил, перемещение произвольной массы yi (t) записывается в виде суммы, где перемещение iой массы от статической единичной силы, приложенной к kой массе от статической единичной силы по направлению соответствующей инерционной силы.

Система дифференциальных уравнений движения (14.12), описывающая свободные колебания заданной балки, представляет собой замкнутую систему дифференциальных уравнений второго порядка Пример динамического расчета рамы На раме с размерами, указанными на рис.14.6, в точках 1 и 2 установлены два одина ковых вибратора весом G = 20 кН каждый и весом неуравновешенных частей Р0 =1,2 кН, размещенные на оси вращения с эксцентриситетом е = 0,015 м. Вибраторы вращаются син фазно с частотой n = 600 об/мин.

Рама выполнена из двух двутавров № 50 (ГОСТ 823972), т.е. Jx = 3,2910-4 м4;

Wx =0,15710-2 м3. Рама изготовлена из стали с характеристиками Е = 2,1105 МПа, R = 190 МПа.

Пренебрегая собственным весом рамы и внутренним трением материала, требуется:

1. Составить канонические уравнения по методу сил, определяющие свободные коле бания рамы, и получить значения частот и периодов собственных колебаний рамы;

2. Вычислить отношения амплитуд и графически изобразить возможные формы соб ственных колебаний рамы;

3. Проверить ортогональность собственных форм колебаний системы;

4. Определить круговую частоту вынужденных колебаний и изобразить примерный вид графика коэффициента динамичности;

5. Составить канонические уравнения по методу сил, определяющие вынужденные колебания системы, и определить амплитудные значения инерционных сил;

6. Построить статическую эпюру изгибающих моментов от всех вибраторов и эпюру амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном режиме колебания рамы;

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динамиче ских сил и определить положение опасного сечения конструкции;

8. Вычислить максимальное значение напряжения в опасном сечении и проверить ус ловия прочности для принятого поперечного сечения рамы.

Решение:

Расчетная схема рассматриваемой системы показана на рис.14.6. Под действием пе риодической возмущающей нагрузки рама совершает колебательное движение.

Рис.14. Пренебрегая внутренним трением материала рамы и ее собственным весом, упругие перемещения сечений 1 и 2 по принципу независимости действия сил записываются в виде:

y1 (t ) = 11 Z 1 (t ) + 12 Z 2 (t ) + 1, P (t );

y 2 (t ) = 21 Z 1 (t ) + 22 Z 2 (t ) + 2, P (t ). (14.32) где ik перемещение iого сечения от статической единичной силы, приложенной в kом сечении (i = 1,2;

k = 1,2) по направлению соответствующей инерционной силы;

1, P, 2, P перемещения сечений 1 и 2 от всех динамических нагрузок. При этом:

1, P = 0, P sin t ;

2, P = 2, P sin t, (14.33) где 0, P = 11 P10 + 12 P20 ;

2, P = 21 P1 + 22 P2.

0 (14.34) С учетом выражений (14.33) и (14.34) и m1 = m2 = m уравнение (14.32) в стационарном режиме колебаний можно переписать в виде:

( 11 )Z 10 + 12 Z 2 + 1, P = 0;

21 Z 1 + ( 22 )P2 + 2, P = 0, 0 (14.35) = m 2.

где Решая систему уравнений (14.35) определяют амплитудные значения инерционных нагрузок (способом Крамера):

Z i0 = Di D, (i = 1,2), (14.36) где приняты следующие обозначения:

D = 11 22 12 ;

D1 = 12 2, P 22 1, P ;

D2 = 21 1, P 11 2, P ;

0 0 11 = 11 ;

22 = 22.

Учитывая, что в данном случае P1 = P2, амплитуды динамического прогиба и изги бающего момента в произвольном iом (i = 1,2,...) сечении могут быть определены по фор мулам:

дi = i1 (Z 10 + P 0 ) + i 2 (Z 2 + P 0 );

д M i = M i1 (Z 10 + P 0 ) + M i 2 (Z 2 + P 0 ).

(14.37) Уравнения движения (14.32) при свободных колебаниях рамы, т.е. при P1 = P2 = 0, принимают вид y1 (t ) = 11 Z1 (t ) + 12 Z 2 (t );

y 2 (t ) = 21 Z1 (t ) + 22 Z 2 (t ). (14.38) Относительно амплитуды перемещения последняя система уравнений преобразуется в виде:

11 y1 + 12 y 2 = 0;

0 21 y10 + 22 y 2 = 0, (14.39) = m 2.

где 11 = 11 ;

;

22 = 22 ;

Здесь частота собственных колебаний рамы.

Система алгебраических уравнений (14.39) относительно амплитуды перемещения сосредоточенных масс имеет различные решения. Очевидное решение y10 = y 2 = 0 свиде тельствует об отсутствии движения системы и не подходит по смыслу поставленной задачи.

Система (14.39) может иметь решения, отличные от нулевого, лишь в том случае, ко гда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

D( ) = 11 = 21. (14.40) Раскрыв определитель (14.40), получим квадратное уравнение относительно. После определения с учетом (14.39) вычисляются собственные частоты 1 2.

Первая частота 1 называется частотой основного тона собственных колебаний. Каж дой частоте соответствует определенная форма колебаний системы. Форму колебания мож но изобразить графически. Для этого в уравнения (14.39) следует подставить значение i (i = 1, 2), причем:

1 = mi i2. (14.41) При этом одно из двух уравнений (14.39) становится лишним. Пренебрегая первым уравнением (14.39), из второго получим:

m1 21 i y 2i = m2 22 i2 1, (i = 1,2).

y10i (14.42) После чего, задавая значение yii (i = 1,2), можно вычислить y12 в долях y 22, а y 21 в долях y11 и изобразить графический характер возможной формы колебаний первого и второ го тона колебаний.

Формы колебаний должны быть ортогональны. Условие ортогональности собствен ных форм записывается в виде:

2n mi y ir y ik =, (r,k = 1,2;

r k). (14.43) i = Определив собственные частоты 1 и 2 и вычислив частоту вынужденных колебаний, необходимо сопоставить с ближайшей из 1 или 2. Во избежание наступления резо нансных колебаний рекомендуется, чтобы отличалась от любой из частот 1, 2 не менее чем на 30%. Если при решении задачи окажется, что это требование не выполняется, то сле дует изменить значение i или. Этого можно достичь путем:

изменения геометрических или физико-механических характеристик материалов элементов рамы;

уменьшения или увеличения частоты вращения вибратора.

При этом во всех случаях напряжения в опасных сечениях рамы должны удовлетво рять условиям прочности.

Переходим к численной реализации решения в соответствии с постановкой задачи.

1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой систе мы Предварительно определим изгибную жесткость элементов заданной системы:

EJ = 2 EJ x = 2 2,1 10 8 3,29 10 4 = 13,489 10 4 кНм2.

Заданная система один раз статически неопределима. Основная система метода сил представлена на рис.14.7, а. Эпюра моментов в основной системе от действия силы Х1 = показана на рис.14.7, б, а от единичных внешних сил на рис.14.8, а, б.

Сначала рассчитываем раму на действие силы P1 = 1. Каноническое уравнение метода сил в данном случае записывается в виде:

11 X 1(1) + 1P =. (14.44) Рис.14. Рис.14. Коэффициенты 11 и 1P1 находим перемножением эпюр M 1 и M P1 по формуле Мора.

Здесь 11 определяется как результат перемножения эпюры M 1 (рис.14.7, б) самой на себя, 1P1 как результат перемножения эпюры M 1 (рис.14.7, б) с M P1 (рис.14.8, а).

1 l 1 (1 l ) l l = 11 = ;

EJ 23 3EJ = 1 1 1 l l 5 l = 5l.

1P1 EJ 2 2 2 6 48 EJ (14.45) С учетом (14.45) из решения (14.44) получим:

5l 3 3EJ X 1(1) = = 48 EJ l 16.

Эпюра изгибающих моментов в заданной системе от действия сил Р1 =1 и Х1 = 5/ изображена на рис.14.9, a.

Рис.14. Рассчитываем раму на действие силы Р2 = 1. Каноническое уравнение метода сил в данном случае принимает вид:

11 X 1(2 ) + 1P2 =. (14.46) Здесь 1P2 определяется как результат перемножения эпюры моментов, изображенных на рис.14.7, б и 14.8, б, в соответствии с формулой Мора:

7l 11 1P2 = l l l = EJ 2 6 12 EJ. (14.47) С учетом значения 11 из (14.45) и значения 1P2 из (14.47) и из (14.46) получим:

7l 3 3EJ X 1(1) = = 12 EJ l 3 4.

Эпюра изгибающих моментов от действия сил Р2 = 1 и Х1 = = 7/4 в заданной системе изображена на рис.14.9, б.

Единичное перемещение 11 определяется по формуле Мора в результате перемноже ния эпюры M P1 самой на себя, применяя формулы умножения двух эпюр моментов в виде двух трапеций на произвольном участке. Получим:

1 3 9 9 15 15 9 15 15 9 3 15 11 = 6 2 8 8 + 2 16 16 8 16 16 8 + 6 2 16 16 = EJ 1 1 1, = 14,25 10 = 1,969 = 1,969 = 13,818 10 EJ 2 EJ x м/кН.

Единичное перемещение 22 определяется по формуле Мора перемножением эпюры M P2 самой на себя (рис.14.9, б):

1 6 3 3 3 6 2 2 2 + 2 3 3 2 3 3 2 + 6 (2 3 3) = 22 = EJ 1 1 22, = 162,83 10 = 22,5 = 22,5 = 13,818 10 EJ 2 EJ x м/кН.

Единичное перемещение 12 определяется по формуле Мора в результате перемноже ния эпюр M P1 и M P2, изображенных соответственно на рис.14.9, а, б:

1 3 15 3 15 3 9 3 15 3 12 = 6 2 8 2 2 16 4 + 8 4 + 16 2 + 6 2 16 4 16 3 = EJ 1 3,375 = 24,425 10 = 3,375 = EJ 2 EJ x м/кН.

Решив уравнение (14.40), получим:

( 11 + 22 ) ± ( 11 + 22 )2 4( 11 22 12 ) 1, 2 = 2, откуда 177,1 10 6 ± 156,4 10 1, 2 = 2.

Окончательно 1 =166,7510 м/кН;

2 =10,.35106 м/кН.

По формуле (14.41) определяется значение собственной частоты рассматриваемой рамы:

1 g 9, 1 = = = = 54, m1 G1 20 166,75 10 c1;

1 g 9, 2 = = = = 217, m 2 G 2 20 10,35 10 c1.

Периоды собственных колебаний рассматриваемой системы принимают значения:

2 T1 = 1 = 0,116 c;

T2 = 2 = 0,029 c.

2. Определение амплитуды собственных колебаний и графическое изображение соб ственных форм Для вычисления значения отношений амплитуды собственных колебаний из (14.42), предварительно определив m = 20 9,81 2,04 кН·с2/м, имеем при y11 = 1 и при y 22 = 1, соот 0 ветственно:

m 21 12 2,04 24,425 10 6 54,24 2 0, y 21 = = = = 6,201;

m 22 1 1 2,04 162,83 10 54,24 2 0, m 22 2 1 2,04 162,83 10 6 217,7 2 1 14, y12 = = = = 6,201.

m 21 2 2,04 24,425 10 6 217,7 2, Формы собственных колебаний рассматриваемой системы изображены на рис.14. (а первая форма;

б вторая форма).

3. Проверка ортогональности собственных форм колебаний Из условия ортогональности (14.43) имеем:

( ) m y11 y12 + y 21 y 22 = m(1,0 6,201 1,0 6,201) = 0.

0 0 0 Рис.14. 4. Определение круговой частоты вынужденных колебаний и изображение примерно го вида графика коэффициента динамичности в зависимости от отношения частот вы нужденных и собственных колебаний В стационарном режиме круговая частота вынужденных колебаний системы имеет значение:

= 2n 60 = 6,28 600 60 = 62,8 c-1.

Сопоставим величину с величиной ближайшей собственной частоты рамы 1 :

62,8 59, = 100% = 4,94 62,8.

Во избежание резонансных колебаний надо изменить величину 1 или. В данном случае, принимая n = 900 об/мин, получим:

= 2n 60 = 6,28 900 60 = 94,2 c-1;

1 94,2 59, = 100% = 100% = 35,52 94,2, Рис.14. Следовательно, при = 94,2 с-1 принятое условие во избежание резонансных колеба ний выполняется.

Примерный вид графика коэффициента динамичности в зависимости от 1 изо бражен на рис. 14.11.

5. Определение амплитудных значений инерционных сил В соответствии с принятым обозначением по формулам (14.34) и (14.35) последова тельно определяем:

1 11 = = 14,25 10 6 = 41,00 10 m 2,04 94, 2 м/кН;

1 22 = = 162,83 10 6 = 107,59 10 m 2,04 94, 2 м/кН;

P0 2 1, 94,2 2 1,5 10 2 = 16, P10 = P20 = e= g 9,81 кН;

0, P = 11 P10 + 12 P20 = 16,28 (14,25 24,425) 10 6 = 1,66 10 м/кН;

= P + 22 P = 16,28 ( 24,425 + 162,83) 10 = 22,53 6 0 0 м/кН;

2, P 21 1 = ( 24,425 22,53 + 107,59 1,66) D1 = 12 = 3,72 10 0 м2/кН;

2, P 22 1, P D2 = 21 0, P 11 02, P = (24,425 1,66 + 41,00 22,53) 10 10 = 9,64 10 м2/кН;

D = 11 22 12 = (41,00 107,59 24,425 2 ) 10 12 = 0,5 10 8 м2/кН.

По (14.33) определяем амплитудные значения инерционных сил:

Z10 = |D1/D |= |3,72/0.5| = 7,44 кН;

Z 2 = |D2/D |= |9,64/0.5 |= 19,28 кН.

6. Определение эпюры изгибающих моментов от действия собственного веса вибра торов и амплитудных значений изгибающих моментов при вынужденном стационарном режиме колебания рамы Значение изгибающих моментов, возникающих от действия собственного веса вибра торов, в произвольном сечении определяется по формуле:

( ) M kст = G M P1 + G M P2 = G M P1 + M P2.

Определяем значение M kст в характерных сечениях (0;

1;

2;

3) рамы (см. рис.14.9):

сечение 0: M 0 = 20(9/8 3/2) = 7,5 кНм;

ст сечение 1: M 1ст = 20(15/16 + 3/4) = 3,75 кНм;

ст сечение 2: M 2 = 0;

сечение 3: M 3ст = 20(0 + 3) = 60 кНм.


Эпюра изгибающих моментов M kст приведена на рис.14.12.

Амплитудные значения изгибающих моментов от действия внешних динамических и инерционных нагрузок в соответствии с (14.37) определяются:

( )+ ( ) M P2 Z 2 + P20 = M P2 (7,44 + 16,28)+ M kд M P1 Z1 + P 0 0 = + M P2 (19,28+ 16,28) = 23,72M P1 + 35,56M P.

Рис. 14. Согласно последней формуле M kд в характерных сечениях имеет следующие значения:

9 М 0 = 23,72 35,56 = 26, д 8 сечение 0: кНм;

15 М 1д = 23,72 + 35,56 = 4, 16 сечение 1: кНм;

д сечение 2: M 2 = 0;

сечение 3: М 3 = 23,72 0 + 35,56 3 = 107,0 кНм.

д Эпюра M kд изображена на рис.14.12 (пунктиром).

7. Построить эпюру моментов при одновременном действии статических и динами ческих сил и определить положение опасного сечения конструкции Результирующее значение изгибающих моментов, действующих в характерных сече ниях при одновременном действии статических и динамических нагрузок, определяется по формуле:

M k = M kст + M kд.

Эпюра Mk, как и эпюры M kст и M kд, изображены на рис.14.12.

Из рис.14.12 согласно эпюре М следует, что наиболее опасным является сечение 3.

8. Определение максимального напряжения и проверка условий прочности в наиболее опасном сечении M 3max = 3 = = 2Wx 2 0,157 102 кН/м2 = 53,2МПа R = 190 МПа.

Следовательно, условие прочности рассматриваемой рамы обеспечено.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ На практических занятиях закрепляется теоретический материал. Ниже представлена тематика и примерное содержание задач, решаемых на практических занятиях.

1. Задачи на кинематический анализ стержневых систем. Степень свободы, ана лиз геометрической неизменяемости системы. Принципы образования геометрически неизменяемых систем.

Выполнить кинематический анализ систем Построить эпюры внутренних усилий в статически определимых рамах q=2 кН/ м q= 4 кН/ м Р=10 кН m=6 кНм q=3 кН/ м q=2 кН/ м m=12 кНм 2 Р=6кН 6 2. Построение линий влияния усилий в простых балках. Определение усилий по линиям влияния. Расчет многопролетной статически определимой балки.

Построить поэтажную схему балки, построить линии влияния усилий K C A B 2 3 3 2 4 Найти наибольшие усилия в отмеченных сечениях балки от подвижной нагрузки и опреде лить эквивалентную нагрузку. RВ - ?

q= 2 кН/ м x 9м D C A B 3 6 3 6 3 Решение многопролетной статически определимой балки m=12 кНм q=3 кН/ м Р3 =7 кН P1 =5 кН Р2 =10 кН 2 2 3 3 1,75 1,75 3 6 1,5 2, 3. Расчет трехшарнирных систем аналитически и по линиям влияния.

Определить внутренние усилия в трехшарнирных арках или рамах.

q=4 кН/ м С Р= 12 кН q=5 кН/ м 10 Р= 9 кН С f/ l=0, f/ l=0, п А В В А 6 l=26 l= 4. Расчет плоских ферм. Использование различных методов при определении уси лий. Построение линий влияния в простых и шпренгельных фермах.

Определить усилия в стержнях фермы от заданной нагрузки. Построить линии влияния усилий в стержнях простых и шпренгельных ферм.

1 2 3 4 2м 1 h 13 14 A B 2м А B 7 10 9 10 9 d d d d d d 8х2 м=16 м 5. Расчет перемещений в статически определимых системах. Силовое воздействие.

Тепловое воздействие. Кинематическое воздействие.

Рассчитать заданные перемещения от силового воздействия в балках, рамах, фермах.

Рассчитать заданные перемещения от температурного и кинематического воздействия в ста тически определимых системах.

К +0,005 ХК - ?

- 0, q=4 кН/ м YK - ?

, 9 кНм K - +0, 4 4 2 3 2 3 2 - XKN - 20 - Jв =3J Jг =(2/ 3)J K N 6 6 2 2 2 К - ? Найти указанные перемещения с учетом податливо с1 = 0,06 м. с2 = 0,1 м сти опор.

к - ?, r1 = EJ/5, r2 = EJ/ Р=8 кН m=10 кНм с К с r1 r 9м 3 мм 3 4м 2 2 3 2 6. Расчет статически неопределимых систем методом сил. Выбор основной систе мы. Нахождение неизвестных. Построение эпюр внутренних усилий.

Решить балку и раму методом сил.

q=8 кН/ м Р2 =45 кН Р1 =30 кН 4 6м 9 6 4, q=4 кН/ м 3ЕJ 3ЕJ ЕJ ЕJ ЕJ q= 3 кН/ м P=6 кН 7 4 4 7. Построение матриц ММП. Расчет ММП на примере статически неопределимой балки и рамы.

Решение статически неопределимых систем.

7 кН 5 кН q2 =1,6 кН/ м P1 =5 кН q1 =1,2 кН/ м P2 =2 кН 2м 2 1 6 12 8 1 6 8. Расчет статически неопределимых рам смешанным методом.

m= 12 кНм Р=8 кН Р=8 кН 6 6 9. Определение усилий в стержнях пространственной фермы и рамы.

10. Расчет балок и рам по МКЭ в программе SCAD.

q2 =10 кН/ м Материал:

- стойки: бетон В30;

q1 =4 кН/ м - ригель: сталь качественная.

Сечения:

P2 =20 кН - стойки:

q=10 кН/ м P1 =10 кН m=10 кНм - ригель:

2 2 10 кН Материал:

- стойки: бетон В -ригели и раскосы:

сталь качественная.

20 кН 10 кН/ м Сечение стойки:

4 кН/ м 10 кН/ м 10 кНм Сечение ригелей и раскосов:

Швеллер 14П по ГОСТ 8240- 10 кН/ м 2м 2 Материал – сталь качественная Сечение стоек:

4 кН 20 см Сечение ригелей и раскосов 5 кНм 2 кН/ м 25 см 3м 6 11. Расчет стержневых систем, работающих на растяжение-сжатие, балок методом предельного равновесия. Расчет статически неопределимых балок способом выравни вания изгибающих моментов.

Двутавр № 40. R = 240 МПа, с = 0,9. Методом выравнивания изгибающих моментов опреде лить предельную нагрузку.

q=P/ P 4 2 12. Определение частоты и периода колебаний статически определимых балок и рам.

13. Расчет на устойчивость продольно сжатых стержней. Расчет на устойчивость шарнирно-стержневых систем.

Определить критическую силу для рамы, Определить критическую нагрузку при на стойки и ригель выполнены из двух швел- личии постоянной нагрузки на раму. EJр = 279,6 кНм2, EJс = 139,8 кНм2.

леров № 24.

Р 16 кН 4 4 6 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ В пособии представлены 7 задач. Студенты специальности «Промышленное и граж данское строительство» и направления подготовки «Строительство» выполняют задачи № 1, 2, 3, 6 и 7. Студенты специальности «Автомобильные дороги и аэродромы» 1, 2, 4, 5, 6.

Исходные данные для решения заданий выбираются студентом из таблиц, которые приведены к каждой задаче в соответствии с его личным учебным шифром (номером зачет ной книжки). Шифром считаются три последние цифры. Например: если номер зачетной книжки 20531, то учебным шифром будет число 531. Для получения исходных данных необ ходимо выписать из таблицы три строки: одну, отвечающую первой цифре шифра, вторую, отвечающую второй (средней) цифре шифра и третью, отвечающей последней цифре шифра (номер расчетной схемы).

Работы, выполненные не по своему варианту, преподавателем не принимаются и оста ются без рецензии.

К каждой задаче даны необходимые теоретические сведения и справочный материал, приведены примеры решения задач. Кроме методических указаний при решении контроль ной работы студент должен использовать литературу, указанную в библиографическом спи ске.

Каждая контрольная работа должна быть выполнена на листах писчей бумаги формата А4. Чертежи, выполненные на листах миллиметровой бумаги, значительно облегчают вы полнение работы, что позволит избежать ошибок, связанных с решением задач, т. к. число вые значения в большинстве расчетов берутся из чертежа.

Перед решением задачи необходимо вычертить расчетную схему в определенном масштабе с указанием размеров и внешних нагрузок в числах. Решение задачи должно сопровождаться краткими последовательными пояснениями и схемами с размерами.

Необходимо помнить, что язык техники – это чертежи и формулы.

На эпюрах и линиях влияния должны быть проставлены значения всех характерных ординат и размерности. Отмеченные рецензентом замечания нельзя убирать.

ЗАДАЧА № 1. РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНО-КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ Задание. Для балки, выбранной по варианту (табл. 1) и расчетной схеме (рис. 1), требуется:

1) построить эпюры поперечных сил (Q) и изгибающих моментов (М) аналитически.

2) построить линии влияния Q и М для заданных сечений, а также линию влияния любой опорной реакции R.

3) по линиям влияния определить значения M, Q и R от заданной нагрузки и сверить их со значениями, полученными аналитически для заданных сечений.

Таблица Числовые данные к задаче № Первая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l1, м 10 14 8 12 9 11 14 15 8 b, м 2,0 3,0 2,0 3,0 3,6 3,0 4,0 2,5 2,0 1, q1, кН/м 1,5 2,0 2,5 3,0 2,4 1,8 2,2 2,6 1,0 0, Вторая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l2, м 9,0 10,0 11,0 13,0 14,0 15,0 8,0 10,0 11,0 9, a, м 2,0 2,2 3,0 2,6 2,4 3,2 3,4 3,6 2,0 2, q2, кН/м 3,0 2,5 2,2 0,8 1,8 2,6 1,0 1,5 2,0 2, Третья цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l3, м 8,0 4,0 10,0 12,0 6,0 2,0 4,0 5,0 7,0 9, P, кН 2,0 1,5 2,5 4,0 3,0 4,5 3,5 2,5 6,0 5, d, м 3,0 2,0 2,0 1,0 0,6 1,0 1,2 1,5 2,0 2, Номера сечений по пер 1;

2 3;

4 5;

6 1;

4 2;

3 4;

5 3;

6 1;

3 4;

2 2;

вой цифре шифра с, м 1,2 1,5 2,0 2,5 1,8 2,2 1,6 2,4 1,4 2, q1 P q 1 2 3 1 c d b l1 l2 a P q q 2 2 4 6d c c l1 l2 a q q P 4 b c c d l1 l2 l3 a P q2 q 4 5 c d b c c l1 l2 l q1 q P 5 b c d l1 l a q q2 P b c l1 l a a q2 q P 2 7 c d b l1 l a q2 P q 3 5 4 c c d l1 l2 a q1 P q 6 4 9 c b c l1 l2 l q q2 P 5 3 b c c l1 l2 l a Рис. 1.

Методические указания к решению задачи № Для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов используется "по этажная" схема, которая располагается под схемой заданной балки.

При построении "поэтажной" схемы необходимо выделить основные балки, для этого мысленно удаляют шарниры, соединяющие балки. Те балки, которые самостоятельно спо собны нести нагрузку (защемленные или имеющие две земные опоры), будут основными, или главными. Второстепенные, или вспомогательные, балки имеют только одну земную опору или не имеют опор вообще (пример рис. 2).

Заданная схема многопролетной балки Заданная схема многопролетной балки "Поэтажная" схема многопролетной балки "Поэтажная" схема многопролетной балки вспомогательные балки основная балка основные балки Рис. 2. Пример образования «поэтажных» схем в многопролетных балках После построения "поэтажной" схемы заданную балку рассматривают как ряд про стых балок. Для того чтобы провести расчет, необходимо в местах расчленения балки (шар нирах) приложить силы взаимодействия между двумя смежными балками. Эти силы должны быть равны между собой и противоположно направлены.


Расчет на подвижную нагрузку производится при помощи линий влияний (л.в.). Ли нии влияния опорных реакций балки на двух опорах с консолями являются основными (рис.

3), поэтому вид и исходные ординаты л.в. опорных реакций необходимо запомнить. Каждая из опорных л.в. показывает, что реакция опоры равна единице, когда груз Р = 1 стоит над этой опорой, и уменьшается по линейному закону до нуля, когда груз приближается к про тивоположной опоре.

х P= A B l лв RА лв RВ Рис. 3. Линии влияния опорных реакций Все остальные л.в. усилий в сечениях сооружений строятся на базе основных (рис. 4).

Ординаты л.в. в каком-либо сечении определяются из подобия треугольников. Правила, ко торые необходимо запомнить при построении л.в. в многопролетных балках:

- в земных опорах л.в. проходят через ноль (нулевая точка), а на консолях левые и правые ветви л.в. имеют продолжение;

- в шарнирах л.в. имеют перелом;

- если в пролетах балки встречаются подряд два шарнира, то ордината л.в. усилия во втором шарнире по ходу движения единичного груза от нижележащей балки равна нулю;

- движение груза по балкам, лежащим ниже искомой, не рассматривается, так как нагрузка, приложенная к ним, не вызывает усилий в верхних этажах.

Ордината л.в. показывает, чему равно усилие при действии в этой точке Р = 1. При действии на сооружение системы сосредоточенных сил, моментов сил и распределенных на грузок на нескольких участках усилие S в некотором сечении сооружения производится по формуле n m z S = Pi yi + q j j + k tg k, (1) i =1 j =1 k = где Р – сосредоточенная сила, действующая на сооружение, у – ордината л.в. усилия под со средоточенной нагрузкой, q – распределенная нагрузка, – площадь, образованная той ча стью л.в., под которой находится распределенная нагрузка, М – момент сил, tg – тангенс угла наклона л.в. к базовой прямой.

Нагрузки, направленные сверху вниз считаются положительными. Момент сил счита ется положительным, если он направлен по ходу часовой стрелки. Для тангенса угла наклона принимается следующее правило: если направление оси балки к л.в. на участке действия со средоточенного момента совпадает с направлением момента, то получаем знак "минус", если не совпадает, то знак "плюс".

l1 l l D A C B d a b ab l b a лв Мс b/ l лв Q C a/ l лв М d D лв QD лв МB лв Q l A(лев) лв QB(прав) лв Q A(прав) лв QB(лев) Рис. 4. Примеры построения линий влияния поперечных сил и изгибающих моментов в раз личных сечениях двухопорной балки Пример решения задачи № Схема балки представлена на рис. 5, а.

Расчленяем балку по шарнирам Е, F, G и составляем "поэтажную" схему, в которой балки АЕ (с жесткой заделкой) и GCD (на двух шарнирных опорах) являются основными, а второ степенные балки – ЕВF (имеет одну земную опору) и FG (без земных опор) (рис. 5, б).

Р1 =6 кН 0, Р2 =8 кН m=4 кНм q=4 кН/ м 1 A B E а) C 2D G F 2м 1м 1 1 2 1 3м 1 G F D C E B A б) Рис. 5. Расчетная схема многопролетной балки и ее «поэтажная» схема R R G Аналитический расчет внутренних усилий начинаем с вто- F ростепенной балки FG. Расчетная схема балки FG, загру женной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 6), хо рошо известна из курса «Сопротивления материалов», по- этому не приводим примера расчета опорных реакций и значений внутренних усилий в сечениях. Q ql 4 2 RF = RG = = = 4 кН.

2 2 M Рис. 6. Расчет второстепенной балки FG Балка GCD.

Расчетная схема балки и эпюры внутренних усилий показаны на рис. 7. К нагрузкам, действующих на эту балку, добавили давление от второстепенной балки RG.

Реакции в опорах определяются из уравнений моментов сил относительно левой и правой опоры.

М = 0;

RG 5 + q 1 4,5 RC 4 М P1 1 = 0.

D Из уравнения определяем RС = 7 кН.

М = 0;

RG 1 + q 1 0,5 М + RD 4 P1 5 = 0.

C Из полученного уравнения определяем RD = 7 кН.

Произведем проверку равновесия балки:

Y = 0;

R + R D q 1 RG P1 = 0.

C Равенство нулю всех вертикальных сил, приложенных к балке, доказывает, что реакции в опорах и сила в шарнире рассчитаны верно.

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов основной балки (рис. 7).

R =7 кН R =7 кН С D q=4 кН/ м Р1 =6 кН М=4 кНм G D C R =4 кН 1 3м 1 G Q 4 M Рис. 7. Расчетная схема основной балки Балка EBF.

К нагрузкам, действующих на эту балку, добавили давление от второстепенной балки R F.

Определение реакций в опорах из уравнений Р2 =8 кН моментов сил.

R =10 кН М = 0;

P2 1 RB 2 + RF 3 = 0. Следо В R =2 кН E E E F B вательно RВ = 10 кН.

М = 0;

P2 1 RE 2 RF 4 = 0.

R =4 кН B F 1м 1 1 RЕ = 2 кН.

Проверка выполнения условия равнове Q сия второстепенной балки:

Y = 0;

R + R B R F P2 = 0.

E Равенство нулю всех вертикальных сил, при ложенных к балке, доказывает, что реакции в M опорах и сила в шарнире рассчитаны верно.

Эпюры внутренних усилий представле ны на рис. 8.

Рис. 8. Расчетная схема второстепенной балки Балка AЕ.

Балка является основной и воспринимает нагрузку от второстепенной балки EBF.

A E R =2 кН E Консольная с жестким защемлением балка хорошо известна из курса «Сопротив Q 2 ления материалов. Расчетная схема балки и эпюры внутренних усилий показаны на рис.

9.

M Рис. 9. Расчетная схема основной балки Общие эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для заданной балки показаны на рис. 101.

Значения поперечной силы и изгибающего момента в заданных сечениях балки состав ляют:

В сечении 11: М1-1 = 1 кНм, Q1-1 = 6 кН.

В сечении 22, расположенном на бесконечно малом расстоянии слева от опоры D: М2- = 6 кНм, Q2-2 = 1 кН.

Реакция в жесткой заделке RА = 2 кН.

R =2 кН R =10 кН R =7 кН R =7 кН A B C D Р1 =6 кН Р2 =8 кН q=4 кН/ м 1 М=4 кНм A B E C 2D G F 2м 1м 1 1 2 1 3м 1 Эпю Q ра 6 8 Эпю М ра 4 4 2 Рис. 10. Эпюры внутренних усилий в многопролетной балке Линию влияния момента в сечении 11 строим как для однопролетной балки (рис. 4, л.в. МС), откладывая под сечением 11 ординату, равную 0,375, определяемую формулой (a b)/l, где а = 1,5 м. b = 0,5 м, l = 2 м (рис. 11, а). Правую и левую ветки л.в. соединяем с нулем на опорах Е и В. Правая ветка л.в. имеет продолжение на консоли ВF, на шарнире F проис ходит перелом л.в. и продолжение на верхнюю вспомогательную балку в нуль в шарнире G.

На балках АЕ и GCD все ординаты л.в. будут равны нулю, т.к. при перемещении груза по этим балкам изгибающего момента в сечении 11 не возникает.

Линию влияния поперечной силы в сечении 11 строим как для однопролетной балки (рис. 4, л.в. QC), откладывая под сечением 11 ординаты, равные 0,75 и + 0,25, определяе мые формулами a/l и b/l, где а = 1,5 м. b = 0,5 м, l = 2 м (рис. 11, б). Правую и левую ветки л.в. соединяем с нулем на опорах Е и В. Правая ветка л.в. имеет продолжение на консоли ВF, на шарнире F происходит перелом л.в. и продолжение на верхнюю вспомогательную балку в нуль в шарнире G. На балках АЕ и GCD все ординаты л.в. будут равны нулю, т. к. при пере мещении груза по этим балкам поперечной силы в сечении 11 не возникает.

Ординаты л.в. момента и поперечной силы под опорой F, а также ординаты л.в. под со средоточенной силой Р2 определяем из подобия треугольников.

0,375 1 0,75 y1 = = 0, 25, y 2 = = 0,5.

1,5 1, Значение изгибающего момента в сечении 11:

1 M 11 = P2 y1 + q 1 = 8 0,25 + 4 2 0,75 = 1 кН м.

2 Значение поперечной силы в сечении 11:

1 Q11 = P2 y 2 + q 2 = 8 ( 0,5) + 4 2 0,5 = 6 кН.

2 Значения внутренних усилий в сечении 11 балки, рассчитанных по линиям влияния совпадают с аналитическим расчетом.

Р1 =6 кН 0, Р2 =8 кН q=4 кН/ м М=4 кНм 1 A B E C 2D G F 2м 1м 1 1 2 1 3м 1 G F D C E B A 1, 0,5 лв М 1 0, а) у 0, лв Q у2 1 0, б) лв M 0,5 2 0, в) у 3 лв Q 2 0, г) у 1 у 4 0, лв RA 0,5 д) 0, Рис. 11. Линии влияния усилий в заданных сечениях балки Построение л.в. усилий в сечении 22, расположенном на бесконечно близком рас стоянии слева от опоры D.

Правая ветка л.в. момента строится как для консоли (см. рис. 4, л.в. МD), а ординаты левой ветки равны нулю. Построение л.в. М2-2 показано на рис. 11, в.

Ордината л.в. левой ветки поперечной силы в сечении 22 равна 1, на опоре С равна нулю. Левая ветка л.в. Q2-2 имеет продолжение на консоли GC, перелом в шарнире G и зна чение ординаты = 0 в шарнире F.

Правая ветка Q2-2 параллельна левой. Построение л.в. Q2-2 показано на рис. 11, г.

Значение изгибающего момента в сечении 22:

M 2 2 = P1 y 3 = 6 ( 1) = 6 кН м.

Значение поперечной силы в сечении 22:

Q2 2 = P1 y 4 + q 3 + М tg = 6 ( 0,25) + 4 0,25 3 + 4 = 1 кН.

2 Значения внутренних усилий в сечении 22 балки, рассчитанных по линиям влияния совпадают с аналитическим расчетом.

При построении л.в. реакции в жесткой заделке рассмотрим сначала только основную балку АЕ, которая представляет собой балку с жесткой заделкой.

Для такой балки табличные л.в. реак R ции и реактивного момента представлены A P= A E на рис. 12.

MA С основной балки л.в. RA переходит на l вспомогательные балки EBF и FG с про должением на консоли и переломом на шарнирах (рис. 11, д).

лв R A Значение RA определим по формуле:

R A = P2 y5 + q 4.

лв МA 1 l R A = 8 0,5 + 4 2 0,5 = 2 кН.

2 Значение реакции совпадает с анали тическим расчетом.

Рис. 12. Линии влияния реакции и ре активного момента консольной балки ЗАДАЧА № 2. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ ИЛИ РАМЫ Задание. Исходные данные выбираются из табл. 3 согласно шифру, расчетные схемы пред ставлены на рис. 13. Требуется:

1) по выбранной схеме рассчитать аналитически значения изгибающего момента (М), поперечной (Q) и продольной (N) сил в заданном сечении.

2) построить л.в. усилий для заданного сечения и по ним определить значения М, Q, N. Сравнить полученные результаты.

Таблица Данные для задачи № Первая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l, м 26 36 18 28 20 32 22 34 24 0,2 0,5 0,3 0,6 0,4 0,7 0,8 0,25 0,35 0, Вторая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 q1, кН/м 0 4 0 5 0 6 7 0 8 q2, кН/м 4 0 5 0 6 0 0 7 0 Р, кН 12 9 14 18 20 21 15 19 22 Третья цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Схема а а б в г а а б в г f/l 0,34 0,35 0,39 0,40 0,32 0,36 0,38 0,33 0,30 0, Номер сечения 1 2 1 1 2 2 1 2 2 ак, м 6 8 7 3 4 8 5 8 6 Очертание оси п о р р р п о р р р Обозначения в последней строке: п – парабола, о – окружность, р – рама.

С С a б у у 2 1 f f l/ 2 l/ В В А А х х aк aк aк aк l l у l/ С С у г в 1 f f l/ 2 l/ В В А А aк aк aк aк х х l l Рис. 13. Расчетные схемы к задаче № Схема нагрузки для заданных схем l / 2 P q q l l Рис. 13. Окончание Методические указания к решению задачи № Трехшарнирная арка (рама) представляет собой статически определимую систему, состоя щую из двух полуарок (полурам), соединенных между собой и с опорами шарнирами. На рис. 14 представлена схема арки.

l – пролет арки, f – стрела подъема. Уравнение оси арки, угол наклона касательной к оси арки и тригонометрические функции sin, cos можно вычислить по следующим формулам:

1) ось арки – квадратная парабола:

dy 4 f 4f (l 2a K );

(l a K )a K ;

tg = = yK = dx l l sin = cos tg.

cos = ;

1 + tg (2) 2) ось арки – окружность:

f l l yK = R aK R + f ;

R= + ;

2 2 8f l 2a K yK + R f sin = cos = ;

. (3) 2R R C Вертикальные реакции RA, RВ определяются как в простой У К двухопорной балке из уравне ний моментов сил относитель но правой и левой опоры.

K f Горизонтальные реакции yK A H B (распоры) определяются из H Х М =0 и прав уравнений aK bK C М = 0.

лев l C R R A B Рис. 14. Расчетная схема арки М М = 0 или прав = 0 введем обозначения:

лев При составлении уравнений C C М С сумма моментов сил в простой балке. Тогда из уравнения моментов сил в шарнире ар ки получим М С Нf = 0.

MС H=. (4) f Распор равен изгибающему моменту простой балки, разделенному на стрелу подъема.

Для определения усилий M, Q, N в поперечных сечениях арок или рам при действии на них вертикальной нагрузки используются следующие формулы:

Изгибающий момент в некотором сечении К:

M K = M K H уK, (5) где M K изгибающий момент как в простой балке длиной аК.

Поперечная сила в некотором сечении К:

QK = QK cos K H sin K, (6) где Qк поперечная сила как в простой балке длиной аК.

Продольная сила в сечении К:

N K = QK sin K H cos K.

(7) Для рамы значения y, sin, cos на каждом участке определяются с помощью геометриче ских построений.

Пример решения задачи № Схема арки представлена на рис. 15.

4f (l a K )a K, ось арки очерчена по l = 24 м, f / l = 0,4, = 0,7, q = 3 кН, Р = 12 кН, y K = l параболе.

Определим вертикальные опорные реакции в арке как в простой двухопорной балке, соста вив уравнения статики:

= 0;

R A l P (l 8, 4 ) q 7,2 7, 2 / 2 = 0.

M B Из этого уравнения определим реакцию в опоре А: RА = 11,04 кН.

= 0;

R B l + P 8,4 + q 7,2(16,8 + 7,2 / 2 ) = 0.

M A Это уравнение позволяет определить реакцию опоры В: RВ = 22,56 кН.

y = 0;

RA P q 7,2 + RB = 0 дает следующий результат:

Проверка.

11,04 12 21,6 + 22,56 = 0, значит, значения реакций опор определены верно.

l/ 2 = 8,4 м q = 3 кН/ м Р = 12 кН l=16,8 м 7,2 м N C Q f y R R B A H H В А В A a1 = 6 м l/ 2 = 12 м l = 24 м Рис. 15. Расчетная схема заданной арки Рассчитаем горизонтальные реакции (распор) из уравнения моментов сил справа или слева от шарнира С (НА = НВ = Н).

l l М = 0;

R A P 8,4 H A f = 0, H A = 9,3 кН.

лев C 2 2 l 7, l М = 0;

RВ q 7,2 H B f = 0, H B = 9,3 кН.

пр C 2 2 Определим M, Q, N в заданном сечении 1–1.

Величина изгибающего момента:

4f (l a1 )a1 = 7,2 м.

y1 = M 1 = R A a1 H y1 = 0,72 кН м, где l Величина поперечной силы в сечении 1–1:

Q1 = R A cos 1 H sin 1 = 2,83 кН, 4f = 0,78, tg1 = 2 (l 2a1 ) = 0,8;

где cos 1 = l 1 + tg 2 sin 1 = cos 1 tg1 = 0,625.

Величина продольной силы в сечении 1–1:

N 1 = R A sin 1 H cos 1 = 14,14 кН.

При построении линий влияния для M, Q, N в сечении 1–1 от заданной нагрузки требуется убрать с арки все внешние нагрузки и нагрузить арку подвижной единичной силой Р = (рис. 16).

7,2 м Для построения л.в. момента М 8, q = 3 кН/ м Р = 12 кН используем выражение M 1 = M 1 H y1.

C В этом случае требуется построить f две линии влияния – от момента как в () простой балке M 1 и л.в. распора, b1 =18 м умноженного на ординату у1 (рис. 16).

y a1 = 6 м Ордината л.в. момента M 1 в сече l/ 2 = 12 м нии балки определяется формулой (a b1)/l (см. рис. 4).

l = 24 м Значение ординаты составит ( 4,5 18)/24 = 4,5.

лв М 1,8 Обе ветки момента M 1 на опорах у1 =3, арки имеют нулевые ординаты.

Под шарниром С определяем ор 4, у динату распора, умноженного на у1:

2,7 лв Н l H y1 = y1 = 7,2 = 4,5.

у2 =3, 4 9, 4f 2, 2,25 у лв М =М - H 1, Рис. 16. Построение л.в. изгибающего момента в сечении арки Для определения численного значения изгибающего момента в сечении 11 воспользу емся формулами (1) и (2). Отметим ординаты на л.в., лежащие под внешними нагрузками, определим их значения из пропорций в прямоугольном треугольнике.

М1 = Р · у1 + q · 1 (Р · у2 + q · 2) = 12 · 3,9 + 3 · (1,8 · 7,2) (12 · 3,15 + 3 · (2,7 · 7,2)) = 0,72 кНм.

Значение изгибающего момента в сечении 11, рассчитанного с помощью линий влияния полностью совпадает с аналитическим расчетом.

Для построения линии влияния поперечной силы Q1 используем выражение Q1 = Q10 cos 1 H sin 1. В этом случае требуется построить две линии влияния – от по перечной силы как в простой балке, умноженной на косинус угла наклона касательной к се ( ) чению арки Q1 cos 1 и линию влияния распора, умноженного на синус угла наклона каса тельной (рис. 17).

7,2 м Ординаты л.в. поперечной силы 8, q = 3 кН/ м Р = 12 кН в сечении простой балки см. рис. 4.

Ордината левой ветки л.в. Q в C a сечении арки cos 1 = f l = 0,78 = 0,195.

y b1 =18 м Ордината правой ветки линии a1 = 6 м влияния поперечной силы l/ 2 = 12 м b1 cos 1 = 0,78 = 0,585.

l l = 24 м Ордината л.в. распора, умножен лв Q cos 0,585 ного на sin1:

0, l у3 =0, sin 1 = 0,625 = 0,39.

4 9, 4f 0,39 Численное значение поперечной 0,39 лв Нsin 0,195 силы:

0, 4 Q1 = Р · у3 + q · 3 (Р · у4 + q · 4) = = у4 =0, 0, 12 · 0,507 + 3 · (0,234 · 7,2) (12 · 0,387 sin1 0,2734 + лв Q =Q cos1- H + 3 · (0,243 · 7,2)) = 2,8 кН.

0, Рис. 17. Построение л.в. поперечной силы в сечении арки Расхождение в значении поперечной силы, рассчитанной по линиям влияния, состав ляет примерно 1 % от значения, полученного аналитическим расчетом. Такое отклонение допускается.

Для построения линии влияния продольной силы N1 используем выражение N1 = Q10 sin 1 H cos 1. В этом случае требуется построить две л.в. – от поперечной силы как в простой балке, умноженной на синус угла наклона касательной к сечению арки (Q ) sin 1 и л.в. распора, умноженного на косинус угла наклона касательной (рис. 18).

7,2 м Ординаты л.в. поперечной си 8, q = 3 кН/ м Р = 12 кН лы в сечении простой балки см. рис.

4.

C Ордината левой ветки линии влияния N в сечении арки f a1 1 sin 1 = 0,625 = 0,156.

l y Ордината правой ветки линии a1 = 6 м b1 =18 м влияния продольной силы l/ 2 = 12 м b sin 1 = 18 0,625 = 0,468.

l = 24 м l Ордината л.в. распора, умно 0,156 лв - Q sin 0, женного на cos1:

5 l 0, cos 1 = у5 =0,406 4f cos лв - Н 0,468 0, = 0,78 = 0,4875.

0,244 у =0, 6 4 9, N1 = Р · у5 + q · 5 + Р · у6 + + q · 6 = 12 · (0,406) + лв Q =- (Q sin1+Hcos1) 0,487 1 + 3 · (0,187 · 7,2) + 0, + 12 · (0,341) + + 3 · (0,293 · 7,2) = 14,148 кН.

0, 0, Рис. 18. Построение л.в. продольной силы в се чении арки Значение продольной силы, полученное аналитически составляет – 14,14 кн.

ЗАДАЧА № 3. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ Задание. Для плоской статически определимой фермы, выбранной по шифру из табл. 4 с размерами и нагрузкой по рис. 19, требуется:

1) определить усилия в стержнях заданной панели, включая правую и левую стойки, приме няя способ сечений.

2) построить линии влияния для стержней заданной панели (5 стержней), по которым опре делить усилия и сравнить результат, полученный аналитически.

Методические указания к решению задачи № Аналитический расчет статически определимой фермы начинается с определения опорных реакций, которые находятся из уравнений равновесия моментов сил относительно правой и левой опор как для простой двухопорной балки.

Таблица Числовые данные к задаче № Первая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 d, м 4,5 8,25 5,25 6,0 9,0 6,3 6,9 6,75 7,5 6, P, кН 1,8 1,5 1,2 1,0 1,9 2,0 1,1 1,3 1,4 1, Вторая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Номер панели 5 4 3 2 3 4 5 2 3 (считается слева) Номер схемы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 h, м 3,0 5,5 3,5 4,0 6,0 4,2 4,6 4,5 5,0 4, P P P h P P h d P P P P P d 3 P P P P P P P P P P h h d 1,5d 2d 5 P h/ P P P P P P h/ 2 h/ h/ d P P P P P P P 2 2d 7 h h 3h/ P P dP P P P P P P P P P d P P 2 2 P P P P P P P P P P h/ h/ h/ h/ d d Рис. 19.

Продольные усилия в стержнях фермы определяются методом сечений. В зависимости от вида проведенного сечения различают три основных способа аналитического расчета:



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.