авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального ...»

-- [ Страница 5 ] --

способ моментной точки, способ проекций и способ вырезания узлов. Необходимо стремит ся к тому, чтобы усилие в каждом стержне определялось независимо от усилий в других стержнях. Достигнуть этого всегда удается почти во всех случаях путем правильного выбора сечения и использования одного из трех способов. Необходимо усвоить признаки нулевых стержней.

Рассмотрим способы определения усилий на примере фермы (рис. 20).

Реакции в опорах фермы определим из уравнений моментов сил относительно левой и правой опоры.

М = 0;

RB 16 P2 12 P1 4 = 0;

RB = 9,5 кН.

A М = 0;

R A 16 P1 12 P2 4 = 0;

R A = 8,5 кН.

B y = R + RB P1 P2 = 8,5 + 9,5 8 10 = 0.

Проверка: A Усилие в стержне 23 определяем методом моментной точки. Проводим сечение nn, рассматриваем равновесие левой части фермы относительно моментной точки 7 (точка, в которой пересекаются направления всех стержней перерезанной панели кроме искомого).

М = 0;

R A 8 P1 4 + N 23 4 = 0;

N 23 = 9 кН. (Сжатие).

лев Усилие в стержне 76 также определяем методом моментной точки, которой в данном случае является точка 3.

М 3лев = 0;

R A 12 P1 8 N 76 4 = 0;

N 76 = 9,5 кН. (Растяжение).

P1 =8 кН P2 =10 кН n 2 N3 4 1 2 N 4м N 7 6 B N 8 A n 7 4м 4м 4м 4м 4м R R A B Рис. 20. Расчетная схема статически определимой фермы Усилие в стержне 73 определяем методом проекций, рассматривая левую часть фер мы.

y лев = 0;

R A P1 + N 73 cos = 0;

N 73 0,71 кН. (Сжатие).

Метод вырезания узлов рассмотрим на примере определения усилия в стержне 76.

Рассматривая равновесие ненагруженного трехстержневого узла, следует, что это частный случай равновесия узла. Оси двух стержней 76 и 6В лежат на одной прямой, усилия в них равны между собой, но противоположно направлены, третий стержень 63 является «оди ночным», усилие в нем равно нулю.

Построение линий влияния. Ординаты линий влияния для определения усилия в лю бом стержне фермы выражаются через опорные реакции А и В от подвижной нагрузки P = 1, которую рассматриваем или слева от сечения или справа.

Пример решения задачи № Схема фермы представлена на рис. 21: d – длина панели равна 6 м, 2h – высота фермы со ставляет 8 м, узловая нагрузка Р = 6 кН.

n 1 RB R h A h A B 4 d n P P P P P Рис. 21. Расчетная схема фермы Определяем опорные реакции RA и RB, т. к. ферма и нагрузка симметричны, то они будут P = 5 6 = 15 кН.

равны: R А = RВ = 2 Произведем необходимые расчеты геометрических параметров фермы (рис. 22).

h 3d h h a= = = 3d = 18 м.

= arctg = arctg 12,53.

tg 3 6 h 3d r12 = (a + 2d )sin = 30 sin12,530 = 6,5 м.

h h1 = d tg = = м.

h + h1 4h = artg = artg 41,6.

d 3d r1-3 = (a + 2d )sin = 5d sin = 5 6 sin41,6 0 = 20 м.

Проводим сечение n–n и рассматриваем левую часть фермы (рис. 23).

Определяем усилие в стержне N1–2 методом моментной точки. Т. к. в пределах перере занной панели в узле 3 пересекаются направления всех стержней кроме 12, то моментной точкой будет узел 3. Уравнение моментов сил относительно узла 3:

М = 0;

P d R A 2d N12 r12 = 0. Из уравнения получаем численное зна лев чение продольной силы N1-2 = 22,2 кН (сжатие).

r 1- r 1- h 2h h a d d d Рис. 22. Расчет геометрических параметров фермы Для определения усилия в стержне 43 нижнего пояса составим уравнение моментов сил относительно точки 1.

М = 0;

R A d + N 43 h = 0.

лев N4-3 = 22,5 кН (растяжение).

Для составления уравнения моментов сил и определения усилия в стержне 13 выбира ем моментную точку 0.

М = 0;

R A 3d P 4d N13 r1-3 = 0.

лев N1-3 = 6,3 кН (растяжение).

r 1- N n 1 RA r 1- N 1 A n N 4 a d P Рис. 23. Схема определения усилий в стержнях фермы Для определения усилий в вертикальных стержнях фермы проводим сечения mm и kk (рис. 24).

Моментной точкой для определения усилий в этих стержнях является точка 0.

М = 0;

RA 3d P 4d P 5d + N 32 5d = 0. N3-2 = 1,8 кН (растяжение).

лев М = 0;

RA 3d P 4d + N14 4d = 0. N1-4 = 5,25 кН (сжатие).

лев N m 1 k RA N 3 N 1 A k m Pd P a=3d d Рис. 24. Схема определения усилий в вертикальных стержнях фермы Построение л.в. в заданных стержнях фермы (рис. 25).

Линия влияния продольного усилия N1-3.

Груз Р = 1 перемещается левее узла 2 перерезанной панели. Отбросим левую часть фермы.

Рассмотрим равновесие оставшейся правой части фермы относительно моментной точки 0.

9d М = 0;

RB 9d + N13 r13 = 0, откуда N13 = RB = 2,7 RB получаем урав прав r нение левой ветки л.в., из которого видно, что она изменяется по закону опорной реакции RВ, но ее ординаты нужно умножить на отрицательное число 2,7.

Груз Р = 1 перемещается правее узла 2 перерезанной панели. Отбросим правую часть фермы.

Рассмотрим равновесие оставшейся левой части фермы относительно моментной точки 0.

3d М = 0;

R А 3d N13 r13 = 0, откуда N13 = R A = 0,9 R A получаем уравнение лев r правой ветки л.в., из которого видно, что она изменяется по закону опорной реакции RА, но ее ординаты нужно умножить на число 0,9.

Обе ветки пересекаются под моментной точкой. При узловом методе передачи нагрузки сле дует соединить ординату левой ветки л.в. под узлом 4 с ординатой правой ветки л.в. под уз лом 3 передаточной прямой.

Для расчета численного значения продольного усилия в стержне 13 следует определить значения ординат под узлами фермы из подобия треугольников и произвести расчет по фор муле (1). Для нашего случая:

N13 = P yi = 6 ( 2,7 / 6 + 3,6 / 6 + 0,45 + 1,8 / 6 + 0,9 / 6) = 6,3 кН.

Полученное значение продольного усилия полностью совпадает со значением, рассчитан ным аналитически.

Линия влияния продольного усилия N3-4.

Последовательно составляем уравнения равновесия правой и левой частей фермы относи тельно моментной точки 1.

5d М 1прав = 0;

RB 5d N 43 h = 0, откуда N 43 = RB = 7,5 RB получаем уравнение h левой ветки л.в.

d М = 0;

RА d N 43 h = 0, откуда N 43 = R A = 1,5 R A получаем уравнение пра лев h вой ветки л.в.

Обе ветки пересекаются под моментной точкой 1. Передаточная прямая в данном случае совпадает с правой веткой.

Из подобия треугольников определяем ординаты л.в. под узлами фермы и производим рас чет усилия в стержне 34.

N 34 = P yi = 6 (7,5 / 6 + 6 / 6 + 4,5 / 6 + 3 / 6 + 1,5 / 6) = 22,5 кН. Полученное значение продольного усилия полностью совпадает со значением, рассчитанным аналитически.

Линия влияния продольного усилия N1-2.

Последовательно составляем уравнения равновесия правой и левой частей фермы относи тельно моментной точки 3.

4d М = 0;

RB 4d + N12 r12 = 0, откуда N1 2 = RB = 3,7 RB получаем урав прав r1 нение левой ветки л.в.

2d М 3лев = 0;

RА 2d + N12 r12 = 0, откуда N12 = R A = 1,8 R A получаем уравне r ние правой ветки л.в.

Обе ветки пересекаются под моментной точкой 3. Передаточная прямая в данном случае совпадает с левой веткой.

Из подобия треугольников определяем ординаты л.в. под узлами фермы и производим рас чет усилия в стержне 12.

N12 = P yi = 6 ( 3,7 / 6 7,4 / 6 1,85 / 2 3,7 / 6 1,85 / 6) = 22,2 кН. Полученное значение продольного усилия полностью совпадает со значением, рассчитанным аналитиче ски.

Линия влияния продольного усилия N1-4.

Последовательно составляем уравнения равновесия правой и левой частей фермы относи тельно моментной точки 0.

М = 0;

RB 9d N14 4d = 0, откуда N1 4 = RB = 2,25 RB получаем уравнение прав левой ветки л.в.

М 0лев = 0;

RА 3d + N14 4d = 0, откуда N 3 4 = R A = 0,75 R A получаем уравне ние правой ветки л.в.

Обе ветки пересекаются под моментной точкой 0. Передаточная прямая в данном случае совпадает с правой веткой.

Из подобия треугольников определяем ординаты л.в. под узлами фермы и производим рас чет усилия в стержне 14.

N14 = P yi = 6 (2,25 / 6 3 / 6 2,25 / 6 1,5 / 6 0,75 / 6) = 5,25 кН.

Полученное значение продольного усилия полностью совпадает со значением, рассчитан ным аналитически.

r 1- m r 1- 3 N2 n 1 1 k h N N h 2 N 1 1 A B n N 4 m k 3 a=3d d передаточная прямая лв N- 0, 0, 3,6/ 6 0,9/ 6 правая ветвь 1,8/ 2,7/ левая ве 2, твь 7, ветвь левая лв N 4 1,5 7,5/ 6 6/ 1,5/ 6 правая ветвь 4,5/ 6 3/ 1,85/ 3,7/ 6 3,7/ 1,85/ лв N- 1,85 3,7/ 3 правая ветвь левая ветвь лв N- 4 3, передаточная прямая 2, ь левая ветв 2,25/ 0,75/ 1,5/ 6 правая ветвь 2,25/ 3/ 0, Рис. 25. Построение линий влияния усилий в ферме Линия влияния продольного усилия N3-2 строится аналогично N1-4.

ЗАДАЧА № 4. РАСЧЕТ ШПРЕНГЕЛЬНОЙ ФЕРМЫ Задание: Для шпренгельной фермы с выбранными по шифру из табл. 5 размерами и нагруз кой (рис. 26) требуется:

1) определить аналитически усилия в стержнях 3 и 4 категории заданной панели от постоянной нагрузки.

2) построить л.в. для определения усилий в тех же стержнях от постоянной нагрузки и сравнить с п. 1.

3) определить по л.в. усилия в тех же стержнях от временной нагрузки и найти величины максимальных и минимальных усилий.

4) определить максимальные и минимальные значения рассчитанных усилий для ука занных стержней заданной панели (с учетом постоянной нагрузки).

Таблица Числовые данные к задаче № Первая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Длина панели d, м 3,0 3,2 3,5 4,0 4,5 3,6 3,8 4,2 3,4 4, Постоянная нагрузка qпост, кН/м 200 225 250 180 210 220 190 185 195 Вторая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Номер панели (считается слева) 3 2 5 4 3 2 5 4 3 h, м 3,5 3,8 4,2 3,0 3,6 3,4 4,0 3,2 4,4 3, Третья цифра шифра (номер схемы) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Временная нагрузка qвр, кН/м 400 450 500 550 700 600 650 750 800 1 h/ h h d d 3 h h h h d d 5 d h 2 h h d 7 3h h h h d d 9 h h d d Рис. 26.

Методические указания к решению задачи № В шпренгельных фермах с одноярусными (рис. 27, а) и двухъярусными (рис. 27, б) шпренгелями следует различать стержни по категориям.

I категории – принадлежат только основной ферме 12, 23, 310, 213, 212 и т. д.

(рис. 27, а), 113, 314 (рис. 27, б) II категории – стержни, принадлежащие только шпренгелям 113, 114, 1312 и т. д.

(рис. 27, а), 213, 1214 т. д. (рис. 27, б).

III категории – стержни, принадлежащие одновременно основной ферме и шпренгелям 1210, 1311 и т. д. (рис. 27, а), 1312, 12 и т. д. (рис. 27, б).

В фермах с двухъярусными шпренгелями имеются стержни IV категории – это стойки, в которых происходит перераспределение усилий за счет передачи нагрузки шпренгелем из верхнего пояса в нижний (или наоборот) 312, 511 и т.д. (рис. 27, б).

Усилия в стержнях I и II категории удобно определять, если рассматривать ферму, со стоящую из двух подконструкций – основной фермы и фермочек-шпренгелей. Усилия в стержнях III категории удобнее определять, рассматривая шпренгельную ферму как обыч ную.

После определения усилий в стержнях фермы аналитически необходимо перейти к построе нию л.в. в указанных стержнях. Усилия в любом стержне фермы можно определить по ли нии влияния, которые строятся по закону изменения опорных реакций от подвижной нагруз ки Р = 1 (узловая нагрузка исключается как от полной нагрузки, так и временной), которую рассматриваем слева и справа от сечения.

а) б) 3 1 2 3 4 7 13 14 15 1 12 9 12 11 14 10 11 Рис. 27. Шпренгельные фермы При построении л.в. учитывается узловая передача нагрузки, т. к. стержни панели рас сечены, и сила P = 1 не может находиться в таком стержне. При узловой передаче нагрузки линия влияния усилия определяемого стержня в пределах разрезанной панели представляет собой прямую, соединяющую вершины ординат, расположенные под узлами разрезанной панели. Эта прямая называется передаточной прямой.

После построения л.в. определяют усилия в стержнях как от постоянной нагрузки, так и от временной. От постоянной нагрузки усилия сравнивают с усилиями, полученными ана литически. От временной нагрузки определяют максимальные и минимальные значения усилий.

Полученные данные заносят в таблицу и определяют расчетные усилия.

Пример решения задачи № Рассмотрим решение задачи на примерах шпренгельных ферм с одноярусными и двух ярусными шпренгелями.

Схема сложной фермы с одно ярусными шпренгелями пред h 6 ставлена на рис. 28.

qпост = 200 кН/м, A B d = 4 м, h = 6 м, 5 qвр = 600 кН/м.

d Рис. 28. Схема фермы с одноярусными шпренгелями В этой ферме стержни 12, 23, 15, 16 – стержни первой категории. Стержни 56, 46 – стержни второй категории, и стержни 63, 54, 43 – стержни третьей категории.

Определяем реакции в опорах.

Ввиду симметрии фермы qпост 4d 200 4 R A = RB = = = 2 h = 1600 кН.

R R B A Приводим постоянную нагрузку к узловой B d d A P = qпост = 200 = 400 кН P P P P P P P P P 2 2 (рис. 29).

Рис. 29. Приведение нагрузки к узловой Для аналитического расчета продольных усилий в стержнях I категории удаляем шпренгели, при этом нагрузку со шпренгелей распределяем на узлы основной фермы Р0 = 800 кН (рис. 30).

Продольное усилие в стержне 12.

Проводим сечение nn, рассматриваем равновесие левой части фермы. Моментной точкой является узел 3.

P М = 0;

R A 2d + 2d + P0 d N12 r12 = 0.

лев h r12 = 2d sin, т.к. = arctg = 36,87 0, то r12 = 4,8 м.

2d 1600 8 + 400 8 + 800 N1 2 = = 1333,3 кН.

4, n N 1 N 2 r1- k h r 1- 6 R R B N A N5 1 1 B k 5 n d A P0 P P0 =800 P0 =800 P0 = 2 Рис. 30. Схема определения усилий в стержнях 1-й категории основной системы Продольное усилие в стержне 16.

Моментной точкой является узел А. r16 = r1 2 = 4,8 м.

М = 0;

P0 d N16 r16 = 0, N16 = 666,7 кН.

лев А Продольное усилие в стержне 15.

Проводим сечение kk, рассматриваем равновесие левой части фермы. Моментной точ кой является узел А.

М = 0;

N15 d P0 d = 0, N15 = 800 кН.

лев А Усилие N1-5 можно определить методом вырезания узлов, имеем частный случай равно весия узла, когда в трехстержневом узле вдоль одиночного стержня 15 действует сила Р0.

Продольное усилие в стержне 23.

y Используем метод вырезания узлов (рис. 31). Состав ляем уравнение равновесия сил относительно верти кальной оси у.

90 - y = 0;

2 N12 sin N 23 = 0.

N 23 = 2 N12 sin = 2(1333,3) sin 36,87 0 = N2 N = 1600 кН.

1- 1 N 2 Рис. 31. Схема вырезания узла Для определения усилий в стержнях II категории рассмотрим только фермочку шпренгель (рис. 32).

Продольное усилие в стержне 46.

Частный случай равновесия трехстержневого узла. N 46 = P = 400 кН.

е Продольное усилие в стержне 56.

R =P/ 2 N 6 N 6 R =P/ 2 Проводим сечение ее.

5 5 4 y = 0;

R5 + N 56 sin = 0.

лев 5 е R = 5 = = 333,3 кН.

N P=400 кН d= sin 2 sin 36, Рис. 32. Фермочка-шпренгель Для определения усилий в стержнях III категории рассматриваем ферму как единую конст рукцию (рис. 33.). Проводим сечение mm.

m h - R R r3 N A B 3 A B 5 4 N d P P 3 2 P Рис. 33. Схема определения усилий в стержнях III категории Продольное усилие в стержне 34.

Моментная точка – узел 1. Рассматриваем равновесие левой части фермы.

P h М = 0;

R A d + d + P d P d + N 34 = 0.

лев 2 R d ( P / 2) d 1600 4 200 =A = = 1867 кН.

N ( h / 2) Продольное усилие в стержне 36.

Моментная точка – узел А.

d М = 0;

P + d + d + N 36 r36 = 0. r3-6 = 4,8 м.

лев А 2 = 1000 кН.

N 3 Построение л.в. усилий в стержнях I категории. Снимаем все внешние нагрузки с фер мы и рассматриваем движение груза Р = 1 по нижнему поясу фермы (рис. 34).

Линия влияния усилия N1-2.

Проводим сечение nn. Груз Р = 1 находится слева от сечения, рассматриваем равнове сие правой части фермы для построения левой ветви л.в. Моментной точкой является узел 3.

2d М = 0;

RB 2d + N1 2 r1 2 = 0, N1 2 = RB = RB = 1,67 RB.

прав r1 2 4, Получаем уравнение левой ветки л.в., из которого видно, что она изменяется по закону опорной реакции RВ, но ее ординаты нужно умножить на отрицательное число 1,67.

Груз Р = 1 находится справа от сечения, рассматриваем равновесие левой части фермы относительно узла 3.

2d М = 0;

R А 2d + N1 2 r1 2 = 0, N1 2 = R А = 1,67 R А.

лев r1 Получаем уравнение правой ветки л.в., из которого видно, что она изменяется по зако ну опорной реакции RА, но ее ординаты нужно умножить на отрицательное число 1,67.

Обе ветки пересекаются под моментной точкой. Учитывая узловой метод передачи на грузки переносим узел 5 на левую ветвь, а узел 3 на правую получаем передаточную пря мую.

n N 1 N2- r 1- k h r1- 6 R R B N A N5 1 1 B k 5 n d 1- A лв N- правая ветвь левая ветв ь 1,67 1, 0, передаточная прямая 1- лв N- правая ветвь левая ветв ь 3, 0, передаточная прямая лв N- передаточная прямая вь левая вет правая ветвь 1- 2- 3 твь 1 правая лв N левая ве ветвь 2 Рис. 34. Схема построения линий влияния в стержнях I категории Линия влияния усилия N1-6.

Моментной точкой является узел А. Последовательно рассматриваем положение груза Р = 1 слева и справа то сечения nn. Составляем уравнения равновесия правой и левой час тей фермы.

Уравнение левой ветви л.в.:

4d М = 0;

RB 4d + N 16 r16 = 0, N 16 = RB = RB = 3,33 RB.

прав A r16 4, М = 0;

R А 0 + N 16 r16 = 0, N 16 = 0.

лев Уравнение правой ветви: A Переносим узел 5 на левую ветвь, а узел 3 на правую получаем передаточную пря мую.

Линия влияния усилия N1-5.

Моментной точкой является узел А.

Уравнение левой ветви л.в.:

4d М = 0;

RB 4d N15 d = 0, N15 = RB = 4 RB.

прав A d М = 0;

R А 0 + N15 d = 0, N15 = 0.

лев Уравнение правой ветви: A Переносим узел 5 на левую ветвь, а узел 3 на правую получаем передаточную пря мую.

Линия влияния усилия N2-3.

N 23 = 2 N1 2 sin, то ординаты линий влияния усилия N1-2 умножаем на Т. к.

2 sin = 2 sin 36,87 0 и получаем требуемые ординаты.

Обе ветки л.в. пересекаются под узлом 1 с ординатой равной единице.

Построение л.в. в стержнях II категории (рис. 35).

Линия влияния усилия N4-6.

Если груз Р = 1 находится в узле 4, усилие N4-6 = 1. Под узлом откладываем ординату, равную единице. Груз, находящийся слева и справа от узла 4 не вызывает усилия в стойке.

Л.в. N4-6 захватывает только одну панель в пределах фермочки-шпренгеля.

е N6 R 5 R N6 Линия влияния усилия N5-6.

5 4 Условие равновесия на вертикальную ось у:

5 е y= N d=4 sin + R5 = 0.

5 P= R5 = R3 = 0,5.

R5 5- 6 N 56 = = = 0,83.

0,83 лв N sin 2 sin 36,87 5 4- 6 Если груз Р = 1 находится вне узла 4, то л.в. N5 лв N 6 = 0.

4 Рис. 35. Фермочка-шпренгель Построение л.в. в стержнях III категории (рис. 36).

m h - R R r N A B 3 A B 5 4 N d 3 ветвь 3- 4 левая лв N3- 3/ 4/ 3 2/ 3 правая ветвь лв N 3- 6 передаточная прямая 3 правая ветвь 3, 1,25 левая передаточная прямая ветвь Рис. 36. Схема построения линий влияния в стержнях III категории Линия влияния усилия N3-4.

Моментной точкой является узел 1.

Уравнение левой ветви л.в.:

3d М = 0;

RB 3d + N 3 4 h / 2 = 0, N 3 4 = RB = 4 RB.

прав h/ Уравнение правой ветви:

d М = 0;

R А d + N 3 4 h / 2 = 0, N 3 4 = RA = RA.

лев h/2 Переносим узел 4 на левую ветку л.в., узел 3 – на правую, получаем передаточную пря мую.

Линия влияния усилия N3-6.

Моментной точкой является узел А.

Уравнение левой ветви л.в.:

4d М = 0;

RB 4d N 36 r36 = 0, N 36 = RB = 3,33RB.

прав A r Уравнение правой ветви:

М = 0;

R А 0 + N 36 r36 = 0, N 36 = 0.

лев A Переносим узел 4 на левую ветвь, а узел 3 на правую получаем передаточную пря мую.

Численные значения усилий в стержнях фермы 2-й панели от постоянной и временной нагрузки определим по формуле (1), используя только слагаемое с распределенной нагруз кой. Результаты расчетов занесем в таблицу 6.

N1пост = 12 qпост = 0,833 4 4 200 = 1333 кН.

N1вр2 = 12 qвр = 0,833 4 4 600 = 4000 кН.

N1пост = 16 qпост = 0,833 2 4 200 = 666,4 кН.

N1вр6 = 16 qвр = 0,833 4 2 600 = 2000 кН.

N1пост = 15 qпост = 1 4 2 200 = 800 кН.

N1вр5 = 15 qвр = 1 4 2 600 = 2400 кН.

N 23 = 23 qпост = 1 4 4 200 = 1600 кН.

пост N 23 = 23 qвр = 1 4 4 600 = 5400 кН.

вр N 5пост = 56 qпост = 4 0,83 200 = 333 кН.

N 5вр6 = 56 qвр = 4 0,83 600 = 999 кН.

N 46 = 46 qпост = 1 4 2 200 = 400 кН.

пост N 46 = 46 qвр = 1 4 2 600 = 1200 кН.

вр 1 3 3/ 2 + 2 / 3 N 3пост = 34 qпост = 6 + 2 + 2 4 200 = 1867 кН.

2 6 2 1 3 3/ 2 + 2 / 3 N 3вр4 = 34 qвр = 6 + 2 + 2 4 600 = 5600 кН.

2 6 2 N 3пост = 36 qпост = 1,25 4 2 200 = 1000 кН.

N 3вр6 = 346 qвр = 1,25 4 2 600 = 3000 кН.

Таблица Результаты расчета шпренгельной фермы Усилия от по- Усилия от временной Наименование Расчетные усилия, кН стоянной на- нагрузки, кН стержней грузки, кН max min max min 1333,3 4000 5333, Стержень 666,7 2000 2666, Стержень 800,0 2400 Стержень 1600,0 5400 Стержень 333,3 999 1332, Стержень 400,0 1200 Стержень 1867,0 5600 Стержень 1000,0 3000 Стержень В ферме с двухъярусными шпренгелями (рис. 37) рассмотрим определение усилий и по строение линий влияния усилий в стержнях II и IV категории. Примем qпост = 200 кН/м, d = м, h = 6 м, qвр = 600 кН/м.

6d qпост d = 2400 кН. P = qпост = 200 = 400 кН R A = RB = 2 К стержням II категории относятся стержни 36 и 56. Выделим из конструкции отдельно фермочкушпренгель (рис. 38).

2 h R R A B 1 5 P/ 2 P P P P P P P P P P P P/ d Рис. 37. Расчетная схема фермы с двух ярусными шпренгелями Продольное усилие в стержне 56.

R =P/ R =P/ 2 Частный случай равновесия трехстержневого уз 2 ла N 56 = P = 400 кН.

Продольное усилие в стержне 36.

N 3- Вырезаем узел 3, рассматриваем условие h y = 0.

N 5 R3 N 36 sin = 0. Т. к. R3 = Р/2, 3 P P = arctg = 56,30, то N 36 = = 2 sin = 240,4 кН.

Рис. 38. Расчетная схема двухъярусного шпренгеля Построим л.в. усилий в стержнях II категории (рис. 39) и определим по ним усилия от постоянной и временной нагрузок.

Линия влияния усилия N5-6.

d R =1/ R =1/ 2 Если груз Р = 1 находится в узле 5, усилие N5-6 = 1.

2 3 Под узлом откладываем ординату, равную едини це. Груз, находящийся слева и справа от узла 5 не вызывает усилия в стойке. Л.в. N5-6 захватывает N6 только одну панель в пределах фермочки 3 h шпренгеля.

N6 5 4 N 5пост = 56 qпост = 4 1 200 = 400 кН.

1 5 N 5вр6 = 56 qвр = 4 1 600 = 1200 кН.

1 лв N 5- 6 5 1 Линия влияния усилия N3-6.

Условие равновесия на вертикальную ось у:

y = R3 N 36 sin = 0.

прав 3- 6 лв N 0,6 3 Уравнение линии влияния N 36 = = 0,6.

2 sin Рис. 39. Линии влияния усилий в стержнях II категории Если груз Р = 1 находится вне узла 5, то ордината л.в. N3-6 = 0.

N 3пост = 36 qпост = 4 0,6 200 = 240 кН.

N 3вр6 = 36 qвр = 4 0,6 600 = 720 кН.

К стержням IV категории относятся стойки 12 и 34, эти стойки являются стержнями основной фермы, поэтому шпренгели не оказывают влияние на усилия в этих стержнях (рис.

40).

Продольное усилие в стержне 34.

Рассекаем ферму сквозным сечением gg. Рассматриваем левую часть фермы, используем метод проекций для определения усилия N3-4.

y = RB 3P P / 2 N 34 = 0;

N 34 = RB 3P P / 2 = 2400 3 400 200 = 1000 кН.

прав Продольное усилие в стержне 12.

Вырезаем узел 1. Рассматривая частный случай равновесия трехстержневого узла, на ходим, что N1-2 = Р = 400 кН.

g 2 h N2 N 1 R R 3 A B 4g 1 P/ 2 P P P P P P P P P P P P/ Рис. 40. Схема определения усилий в стержнях IV категории Построение л.в. усилий в стержнях IV категории производится следующим образом.

Вначале для основной фермы строится л.в. усилия в рассматриваемом стержне фермы при перемещении единичного груза по узлам одного пояса (например верхнего). А затем строит ся линия влияния этого же усилия по узлам другого пояса. Различие в этих линиях влияния связано с тем, что с изменением грузового пояса меняются разрезанные панели. Перемещая единичный груз по грузовому поясу шпренгельной фермы, устанавливаем закон изменения усилия с учетом того, что нагрузка, расположенная в дополнительных узлах, при помощи двухъярусных шпренгелей передается из узлов грузового пояса в узлы не грузового пояса.

Линия влияния усилия N3-4.

Проводим сечение gg (рис. 41). Груз Р = 1 находится справа от сечения, рассматрива ем равновесие левой части фермы:

y = 0;

N 34 + R A = 0;

N 34 = R A. Получаем уравнение правой ветви л.в. Под лев опорой А устанавливаем ординату единица и соединяем с нулем под опорой В.

Груз Р = 1 находится слева от сечения, рассматриваем равновесие правой части фер мы:

y = 0;

N 34 + RB = 0;

N 34 = RB. Получаем уравнение левой ветви л.в. Под прав опорой В устанавливаем ординату минус единица и соединяем с нулем под опорой А.

Пусть груз Р = 1 перемещается по верхнему поясу. Переносим на левую ветвь крайний левый узел перерезанной панели (2), а на правую ветвь – крайний правый (узел 3). Получаем передаточную прямую (2’3’) при езде поверху.

Аналогично получаем передаточную прямую при перемещении груза Р = 1 по нижне му поясу (4’7’).

С учетом работы шпренгелей на прямую 2’3’ переносим узел 5, на прямую 4’7’ пе реносим узел 8. Соединяем точки и получаем л.в. N3-4.

0,0835 + 0,5 0,0835 + 2 / 1 N 3пост = 34 qпост = ( 0,5 3 4 + 2+ 2 + 3, 2 2 2 1 4,78 ) 200 = 5 200 = 1000 кН.

2 N 3вр4 = 34 qвр = 5 600 = 3000 кH.

g 2 h N2 N 1 3 A B 9 1 5 g езда понизу 4' 2' л N- в вь 5' 8' левая вет 3- 4 7' 0, 0, 3' етвь правая в езда поверху 1- 2 л N- в Рис. 41. Построение л.в. усилий в стержнях IV категории Линия влияния усилия N1-2.

Стержень 12 можно отнести как к стержням IV категории, так и к стержням I катего рии. Проще задачу решить как для стержня I категории способом вырезания узлов. На осно вании частных случаев равновесия узлов N1-2 = 0, если сила Р = 1 находится вне узла 1 и N1- = 1, если сила находится в узле 1. Перерезанными панелями являются панели 19 и 15.

N1пост = 12 qпост = 4 1 200 = 400 кН.

N1вр2 = 12 qвр = 4 1 600 = 1200 кН.

ЗАДАЧА № 5. РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ Задание. Для статически неопределимой рамы с выбранной по шифру из таблицы 7 разме рами и нагрузкой (рис. 42) требуется:

1) построить эпюры M, Q, N.

2) выполнить статическую и кинематическую проверку рамы.

Таблица Числовые данные к задаче № Первая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Р1, кН 4 0 0 6 0 0 8 0 0 Р2, кН 0 6 0 0 4 0 0 2 0 Р3, кН 0 0 8 0 0 2 0 0 4 l, м 8 12 10 14 12 8 10 14 8 Вторая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 q1, кН/м 0 0 4 0 0 2 0 0 1 q2, кН/м 2 0 0 1 0 0 4 0 0 q3, кН/м 0 1 0 0 4 0 0 2 0 h, м 10 8 6 12 8 10 6 12 10 Третья цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (номер схемы) J2 : J1 1:2 2:3 1:3 1:3 2:3 2:1 3:2 3:4 1:2 1: Методические указания решению задачи № Для расчета рамы методом сил следует предварительно найти степень статической не определимости (ССН) и выбрать основную систему (ОС), которая получается путем удале ния «лишних» связей.

Основную систему нужно стараться выбирать симметричную или применять группи ровку неизвестных, что приводит к упрощению расчетов.

Действие лишних связей заменяют неизвестными усилиями Хi,. Для их определения составляются канонические уравнения метода сил 11 X 1 + 12 X 2 + 13 X 3 +... + 1n X n + 1P = 0, 21 X 1 + 22 X 2 + 23 X 3 +... + 2 n X n + 2 P = 0, (8)....................................................................

n1 X 1 + n 2 X 2 + n 3 X 3 +... + nn X n + nP = 0.

где Х1, Х2,…, Хn – неизвестные усилия, 1Р,…, nР – перемещения в направлении неиз вестных Х1, Х2,…, Хn, вызванные действием внешней нагрузки, 11, …,nn перемещения в направлении неизвестных Х1, Х2,…, Хn, вызванные действием единичной нагрузки.

1 l/ 2 l/ 2 l/ 4 q q h/ P h/ J1 P1 J P l/ 4 J P h/ h/ q1 q J h/ q J2 J q J h/ h/ l/ 4 P3 P J2 J l l/ 2 l/ l/ J P q3 P2 q q P l/ h/ h/ q J P J J J P q J q1 q h/ l/ P2 J2 J h q 3 l/ 2 l/ 4 l/ l/ 2 l/ l/ 5 l/ l/ 4 q q P1 P J J2 J P3 J1 J P J2 J h/ q3 J h/ h/ P2 q P q J q h/ h/ J h/ h/ h/ l/ 2 l/ l/ 2 l/ 7 q2 l/ P3 q1 P J J1 J J h/ l/ q h/ J1 J1 J P J2 q h P P q h/ h/ l/ q1 P J J1 l/ 2 l/ l/ 2 l/ 9 q l/ l/ P J P J J h/ q h/ q J P q J1 J h P P l/ h/ q P1 q l/ J l/ 2 l/ J1 J l/ 2 l/ Рис. 42.

Коэффициенты при неизвестных и свободные (грузовые) члены канонических уравне ний метода сил определяются по формулам l l M i dx M M j dx M i M p dx l ii = ij = i ip =,,, EJ EJ EJ n0 n0 n (9) где М i, M j, M p – изгибающие моменты, возникающие в ОС соответственно от сил Хi = 1, Хj = 1 и заданной нагрузки.

После определения ii и ij проводят проверку правильности их вычисления по формуле l M s2 dx ii + 2 ij + jj =, (10) EJ n ( ) где M s – суммарная единичная эпюра M s M s = M s.

После определения свободных (грузовых членов) также производится проверка их вы числения по формуле Ms M p l = dx. (11) ip EJ 0 Убедившись в правильности определения коэффициентов и свободных членов, состав ляем каноническое уравнение и определяем истинные значения неизвестных метода сил Х1, Х2, …, Хn.

Для построения эпюр M, Q и N необходимо определить реакции опор в ОС с учетом найденных Хn и заданной нагрузки, затем рассчитать основную систему как статически оп ределимую и далее рассматривать в отдельности каждый стержень с определением M, Q и N.

Второй способ построения эпюр M, Q и N основан на принципе независимости дейст вия сил. Окончательная эпюра изгибающих моментов строится как алгебраическая сумма исправленных единичных эпюр M i X i с грузовой эпюрой Мр. Окончательная эпюра изги M ок = M 1 X 1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 +... + M n X n + M p.

бающих моментов:

Построив Мок следует убедиться, что все узлы рамы уравновешены, т.е. в каждом же стком узле рамы сумма моментов должны быть равна нулю.

Обязательно следует провести кинематическую проверку по формуле M ок M s dx = 0. (12) EJ Положительный результат кинематической проверки является достаточным условием правильности построения окончательной эпюры моментов.

Относительная погрешность определяется по формуле A B = 100% 2%, (13) min{A, B} где А – сумма слагаемых с положительным знаком, В – сумма по абсолютной величине слагаемых с отрицательным знаком, min {А, В} – наименьшее значение по абсолютной вели чине из двух сумм А и В.

Затем по эпюре Мок строим эпюру поперечных сил Q, рассматривая каждый стержень в отдельности.

Поперечные силы на участке рамы длиной l определяются по формулам:

М пр М лев ql М пр М лев ql =, пр = +, Q лев Q (14) l 2 l где Мпр – величина изгибающего момента справа на участке, Млев – величина изгибаю щего момента слева, q – интенсивность распределенной нагрузки.

Если распределенной нагрузки на ригеле или стойке нет, то поперечная сила постоянна и определяется по формуле М пр М лев Q=. (15) l По эпюре Q строим эпюру N, рассматривая каждый узел в отдельности, начиная с узла, в ко тором сходятся не более двух стержней.

По эпюрам поперечных и продольных сил определяются реакции в опорах внешних связей, которые являлись необходимыми связями в основной системе.

После определения всех реакций в связях проводят статическую проверку рамы по форму x = 0;

y = 0, M = 0.

лам Приведенные выше интегралы определяются по правилу Верещагина или по справочным M M p dx для различных сочетаний эпюр (табл. 8).

таблицам выражений интеграла Мора i Таблица M M p dx для различных сочетаний эпюр Выражения интеграла Мора i h Эпюра M i h h h h Эпюра M p l/ ( ) 1 h h 1 + 2h 2 l h hhl hhl 2 ( ) 1 h 2h 1 + h 2 l h hhl hhl 2 ( )+ [h1 2h1 + h (h1 + 2h2 )hl (h1 + h2 )hl h2 h ( ) 2 + h2 2h 2 + h1 ] l h [(1 + )h1 + 1 (1 + )hhl hhl l l + (1 + )h 2 ] hl ( ) h2 [ h2 2 h 2 + h 1 (h2 h1 )hl (2h2 h1 )h l ( ) h1 h1 2h 1 + h 2 ] l ( ) 1 h h1 + 3h 2 l hhl hhl h 3 ( ) 1 h 3h1 + h 2 l hhl hhl h 3 ( ) h h h1 + h 2 l hhl hhl 3 3 ( ) 2 h 3h1 + 5h 2 l hhl hhl h 3 12 ( ) 2 h 5h1 + 3h 2 l hhl hhl h 3 4 Пример решения задачи № Схема рамы (заданная система ЗС) представлена на рис. 43, а.

J1 : J2 = 3 : 4, J1 – жесткость вертикальных стоек, J2 – жесткость ригелей.

Определяем степень статической неопределимости рамы по формуле n = 3K + 2 Ш + С 0 3D, (16) где К – число замкнутых контуров, С0 – число опорных стержней, Ш – число простых шар ниров, D – число дисков.

n = 3 0 + 2 0 + 5 3 1 = 2. Система имеет две «лишние» связи.

Выбираем основную систему (ОС) метода сил путем удаления одного вертикального и одно го горизонтального опорного стержня (рис. 43, б). Действие удаленных связей заменяем не известными усилиями Х1 и Х2.

Обозначим жесткость стоек через J1 = J, тогда жесткость ригелей составит J2 = (3/4)J.

А) Б) q=1 кН/ м q=1 кН/ м D E J2 (3/ 4)J P1 =4 кН P1 =4 кН J1 J P2 =6 кН P2 =6 кН C h=10 м F C ЗС l/ 4 ОС X h/ A X B A B l=8 м l/ Рис. 43. Заданная и основная схема рамы Система канонических уравнений метода сил:

11 X 1 + 12 X 2 + 1P = 0;

21 X 1 + 22 X 2 + 2 P = 0.

Последовательно загружаем основную систему силами Х1 = 1, Х2 = 1, строим единичные эпюры M 1, M 2 (рис. 44, а и б). По единичным эпюрам вычисляем коэффициенты при не известных.

oc oc При построении единичной эпюры M 2 в основной системе определили реакции R A ;

R B из уравнений моментов сил относительно опор А и В.

M1 M1 1 10 10 10 10 8 10 1 10 10 10 11 = dx = + + =.

EJ 3 EJ (3 / 4) EJ 3 EJ 3EJ M 2 M 2 1 4 8 4 4 5 4 1 4 4 4 22 = dx = + + =.

EJ 3 (3 / 4) EJ EJ 3 (3 / 4) EJ 9 EJ M1 M 2 1 10 8 4 (5 + 10) 4 5 12 = 21 = dx = =.

EJ 2 (3 / 4) EJ 2 EJ 6 EJ а) б) 10 Х2 = М М A B ос Х1 = Н =1 ос ос A R =0,5 кН RВ =1,5 кН А B А Рис. 44. Эпюры моментов от единичных воздействий Проверка правильности определения коэффициентов по формуле (10).

5200 1488 2180 = 11 + 22 + 212 = + 2 =.

ij 3EJ 9 EJ 6 EJ EJ Суммарная единичная эпюра показана на рис. 45, а.

Умножаем суммарную единичную эпюру саму на себя:

1 10 10 10 1 10(2 10 + 6) + 6(2 6 + 10) M S M S dx = + 8 + EJ 3 EJ 6 (3 / 4) EJ 1 6(2 6 + 1) + 1(2 1 + 6) 1 4 4 4 1 5 5 5 + 5 + 3 (3 / 4) EJ + 3 EJ = EJ.

6 EJ Результаты проверки совпали, следовательно коэффициенты при неизвестных вычис лены верно.

Для определения свободных членов строим грузовую эпюру Мр в основной системе (рис. 45, б). Определяем реакции в опорах, используя уравнения моментов сил:

М =0;

P2 5 q 8 4 P1 10 + RB 8 = 0;

RB = 16,75 кН, ос ос ос А М =0;

P2 5 + q 8 4 P1 2 R A 8 = 0;

R A = 3,25 кН.

ос ос ос B Эпюру изгибающих моментов на ригеле длиной 8 м расслаиваем на параболу с орди натой (ql2)/8 и на перекрученную эпюру с ординатами 30 и 8.

M1 M p 1 30 5 5 5 + 10 30 5 (8 30) 10 1P = dx = + EJ 3 EJ 2 EJ 2(3 / 4) EJ 2 8 10 8 (5 + 10) 8 5 2817, + =.

3 (3 / 4) EJ 2 EJ EJ M 2 MP 1 (2 (8) + 30) 4 8 1 8 4 2P = dx = + EJ 6 (3 / 4) EJ 3 (3 / 4) EJ 8 4 5 1 8 (2 4 + 2) 2 17, =.

EJ 6 (3 / 4) EJ EJ Производим проверку правильности определения свободных коэффициентов по условию M S M iP = EJ P dx.

2817,22 17,77 2799, = + =.

iP EJ EJ EJ а) б) 10 6 10 ql / 5 МP М 4 S A B ос H =6 кН A B А ос ос R =3,25 кН R =16,75 кН А В Рис. 45. Суммарная единичная и грузовая эпюра в основной системе 1 5 30 5 5 + 10 30 5 1 10(30 2 + 8) + 6(8 2 30) M S MP dx = + EJ 3 EJ 2 EJ 6 (3 / 4) EJ 1 (10 + 6) 8 8 6 + 1 8 5 1 (2 4 + 2) 8 2 2799, + =.

3 (3 / 4) EJ 2 EJ 6 (3 / 4) EJ EJ Результаты проверки совпали, следовательно свободные коэффициенты вычислены верно.

Подставляем вычисленные значения коэффициентов в канонические уравнения:

5200 2180 2817, X1 X2 = 0;

3EJ 6 EJ EJ 2180 1488 17, X1 + X2 + = 0.

6 EJ 9 EJ EJ Решаем систему уравнений и находим значения неизвестных усилий в удаленных «лишних»

связях: Х1 = 2,97 кН, Х2 = 6,42 кН.

Значения неизвестных получено со знаком плюс, следовательно, предварительное направле ние их выбрано верно.

M 1 и M 2 на Строим исправленные эпюры моментов путем умножения единичных эпюр найденные значения сил Х1 и Х2 (рис. 46, а и б).

M ок = M 1 X 1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 +... + M n X n + M p определяем зна Затем по формуле чения моментов в узлах рамы строим окончательную эпюру изгибающих моментов в задан ной системе (рис. 46, в).

а) б) 29, 25, 29,7 29, 25, М X2 12, 14,85 М X A B A B в) 12, 12, D 0,3 V E 12,02 Узел F 0,3 D E 2, 0, IV 8м 14, VI 17, = 12, II I C D 2, E 14, 15,15 F 0,3 + 12, 17, VII III M ок ql / 8= B A Рис. 46. Исправленные и окончательная эпюра изгибающих моментов Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов:

1) Статическая проверка удовлетворяется, так как все узлы рамы находятся в равновесии.

2) Кинематическая проверка по формуле (12):

1 15,15 5 5 1 0,3(2 10 + 5) + 15,15(2 5 + 10 ) М Мs ок dx = 3 EJ 6 5 + EJ EJ 1 0,3(2 10 + 6 ) + 12,02(2 6 + 10 ) 1 8(10 + 6 ) 8 1 12,02(2 6 + 1 2,83(2 1 + 6 )) + 8 3 0,75 EJ + 6 5 + 6 0,75 EJ EJ 1 14,85 5 5 1 12,84 2 2 1 12,84(2 2 + 4 ) + 17,68(2 4 + 2 ) + + + 2 = 3 EJ 3 0,75 EJ 6 0,75 EJ 839,111 838,404 0, = + =.

EJ EJ EJ Относительная погрешность, вычисленная по формуле (15) составляет A B 0, = 100% = 100% = 0,08%. Относительная погрешность меньше допус min{A, B} 838, каемых 2 %. Следовательно, эпюра Мок построена верно.

По окончательной эпюре изгибающих моментов строим эпюру поперечных сил (рис. 47).

При рассмотрении участков мысленно становимся внутрь рамы.

2, М пр М лев 0 12, QI = = = 6,42 кН.

5,54 lI V VI 2,46 м М пр М лев 12,84 17, IV QII = = = 2,42 кН.

I II 3,03 C l II 2, 2, 0 (14,85) Q III QIII = = 2,97 кН.

6, VII B 2, A 2,83 (12,02) QIV = = 2,97 кН.

Рис. 47. Эпюра поперечных сил М пр М лев qlV 12,02 0,3 1 = = = 5,54 кН.

пр Q V lV 2 8 М пр М лев qlV 12,02 0,3 1 = + = + = 2,46 кН.

лев Q V lV 2 8 Сечение ригеля с чистым изгибом находится на расстоянии RA/q = 2,46/1 = = 2,46 м от левого узла рамы.

В этом сечении изгибающий момент достигает экстремального значения, величину момента рассчитаем по уравнению:

q 2,46 M max = R A 2,46 + 0,3 3,33 кН м.

М пр М лев 15,15 М пр М лев 0,3 15, = 2,97 кН. QVII = = = 3,03 кН.

QVI = = l VII l VI Эпюру продольных сил строим по эпюре поперечных сил способом вырезания узлов. Двух стержневой узел D соединяет V и VI участки. Схема уравновешивания показана на рис. 48, а.

Схема уравновешивания узлов Е и F по поперечным и продольным силам показана на рис.

48, б и в. При уравновешивании трехстержневого узла следует приложить найденное значе ние продольной силы с участка IV.

а) б) в) пр лев N =5, Q =2,46 Q =5,54 IV V V N =2, N =2,97 Q =2, V D V E IV F Q =2, Q =2,97 II Q =2,97 IV Q =2, VI VI N =3, N =2,46 III N =5, VI IV Рис. 48. Схема уравновешивания узлов рамы продольными и поперечными силами Эпюра продольной силы представлена на рис. 49, а. Произведем статическую проверку ра мы. Нанесем на заданную схему рассчитанные реакции внешних связей (рис. 49, б) и прове рим выполнение условий:

y = 0;

R + R + R qlV P1 = 2,46 + 3,12 + 6,42 8 4 = 0;

A B C x = 0;

P H H = 6 3,03 2,97 = 0;

2 A B M = 0;

P 6 + R 8 H B 5 + R B 4 R A 4 H A 5 = 0.

0 1 c Условия выполняются, следовательно, рама статически уравновешена.

а) б) D E D E P1 =4 кН 2,97 R =6,42 кН qlV =8 кН С P2 =6 кН C F F 5,54 C N Н =3,03 кН Н =2,97 кН А В A B B 2, A R =2,46 кН R =3,12 кН 3,12 А В Рис. 49. Эпюра продольной силы и схема статической проверки рамы Задача № 6. Расчет неразрезной балки с использованием уравнения трех моментов Задание. Для неразрезной балки с выбранными по шифру (табл. 9) размерами и нагрузкой (см. рис. 50) требуется:

1) записать уравнение трех моментов и по уравнению рассчитать опорные моменты;

2) построить эпюры М и Q;

3) выполнить кинематическую (деформационную) проверку построения эпюры М и выпол нить статическую проверку.

Таблица № Числовые данные к задаче № Первая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l1, м 6 8 10 12 8 6 10 12 8 b, м 2 3 4 3 2 4 3 2 4 q1, кН/м 1,0 2,0 3,0 4,0 3,0 2,0 1,0 4,0 2,0 1, Вторая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l2, м 8 6 12 8 6 10 6 8 12 Р1, кН 4,0 8,0 5,0 6 3 2 1 6 8 с, м 2 4 1,0 3 2 1 4 1 2 q2, кН/м 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 1,6 1,8 1,4 1,2 2, Третья цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (номер схемы) l3, м 8 5 6 8 5 9 6 8 5 Р2, кН 1 2 3 2 1 3 2 1 3 q2 q P P b b l1 l2 l3 c q P2 P q b l1 l2 l3 c P P2 q b b l1 l2 c P q q b l1 l P1 q2 P q b b l1 l2 l c P1 P q2 q b b l1 l2 l3 c P2 q2 P b l2 l c q q P b l1 l2 c q P1 P b l1 l2 c P1 P q q b l1 l2 l c c Рис. 50.

Методические указания к решению задачи № Для расчета неразрезанной балки используем уравнение трех моментов, вывод кото рого рассматривается в учебниках.

a b M n1ln + 2M n (ln + ln+1 ) + M n+1ln+1 = 6 n n +, n +1 n + l (17) ln+ n где Mn-1, Mn, Mn+1 – опорные моменты, ln, ln+1 – длины пролетов, n, n+1 – площади эпюр из гибающих моментов, an, bn+1 – абсциссы центров тяжести эпюр моментов как геометриче ских фигур (рис. 51).

Mn Mn+ Mn- ln ln+ n n+ an bn+ Рис. 51. Фрагмент основной системы многопролетной балки В табл. 10 приводятся сведения о геометрических характеристиках фигур (площадь, абсцис сы центров тяжести), форму которых могут иметь эпюры изгибающих моментов в однопро летных балках.

Таблица Геометрические характеристики плоских фигур Схема балки и вид эпюры изги Z1 Z h F бающих моментов m m 1 l h1 = m1 h1 + 2h2 h2 + 2h (h1 + h2 ) l l l h2 3(h1 + h2 ) 3(h1 + h2 ) h2 = m2 h Z1 Z P a b l h a+l b+l P a b l l 2 h Z1 Z q l ql 2 2 l l l h 3 2 h Z1 Z m l hl 1 l l m h 2 3 Z1 Z Пример решения задачи № q1 P q Расчетная схема балки представлена на рис. 52.

0 a Р = 4 кН, q1 = 2 кН/м, l1 l2 c q2 = 4 кН/м, l1 = 8 м, l2 = 6 м, а = 2 м, с = 2 м.

Рис. 52. Расчетная схема балки Решение. Балка является дважды статически неопределимой. Из заданной системы переходим в основную путем врезания шарниров в заделку и в промежуточную опору (рис.

53). Жесткую заделку заменим пролетом l0 = 0 (J = ). Консоль заменяем моментом на опоре 2, величина которого M 3 = qc 2 / 2 = 8 кНм. Построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок для каждого пролета, рассматривая их как простые двухопорные балки.

Отмечаем абсциссы центров тяжести эпюр (а1 = 4, b2 = 10/6).

Следует составить два уравнения моментов.

Для составления уравнения 3-х моментов для опоры 0 имеем:

2 = = 16 8 = Мn-1 = 0, n = 0, ln = l0 = 0, an = 0, Mn = M1,, bn+1 = 4 м, ln+1 = l n +1 3 = 8 м, Mn+1 = M2.

Согласно (17) уравнение трех моментов для опоры 0 примет вид 256 2 M 1 (0 + 8) + M 2 8 = 6 или 16 M 1 + 8M 2 = 256.

= = Для составления уравнения 3-х моментов для опоры 1 имеем: Мn-1 = М1,, ln n 1 = = 6 = 16, bn+1 = 10/3 м, ln+1 = l2 = 6 м, Mn+1 = M = 8 м, an = 4 м, Mn = M2, n +1 = 8.

M M M 1 2 0 l0 l1 l a1 b1 a2 b Рис. 53. Основная схема неразрезной балки Согласно (17) уравнение трех моментов для опоры 1 примет вид 256 4 M 1 8 + 2 M 2 (6 + 8) 8 6 = 6 + 16 или 8M 1 + 28M 2 = 261,3.

3 Решаем систему из двух уравнений и определяем опорные моменты.

16 M 1 + 8M 2 = 256, 8M 1 + 28M 2 = 261,3.

М1 = 13,2 кНм, М2 = 5,6 кНм.

На основании полученных результатов строим огибающую опорных моментов (рис.

54, а). Отрицательные значения М1 и М2 означают, что моменты деформируют балку с рас тяжением верхних волокон, поэтому огибающая моментов отложена выше базовой линии.

Производим суммирование ординат эпюры опорных моментов и ординат эпюры, по строенной для каждого пролета отдельно (рис. 53 и 54, б). Результатом сложения эпюр будет окончательная эпюра изгибающих моментов для неразрезной балки (рис. 54, в).

Определяем величины поперечных сил для каждого участка балки.

M пр М л M М л q2 c 0 + 8 4 q2 c 0 + 8 4 QIпр = = = 0. QIл = пр + = + = 8 кН.

c 2 2 2 c 2 2 M пр М л 8 (1,07) QII = = = 1,73 кН.

l2 a M пр М л 1,07 (5,5) QIII = = = 2,27 кН.

a M пр М л q1l1 5,6 (13,2) 2 QIV = = = 7,05 кН.

пр l1 2 8 M пр М л q1l1 5,6 (13,2) 2 QIV = + = + = 8,95 кН.

л l1 2 8 P=4 кН q1 =2 кН/ м q2 =4 кН/ м R R R 0 a= l 1 =8 м l 2 =6 c= а) 13,2 5,6 9,4 6, б) 16/ l1 / 16 III II I IV в) 13,2 5,6 М 1,07 ок 6, z0 =4, г) Q 2, 8, 1, 7, Рис. 54. Построение эпюр внутренних усилий в неразрезной балке Реакции внешних связей составят:

R0 = 8,95 кН, R1 = 7,05 + 2,27 = 9,32 кН, R2 = 1,73 + 8 = 9,73 кН.

Проводим статическую проверку:

y = R q1l1 + R1 P + R2 q 2 c = 0.

8,95 – 28 + 9,32 – 4 + 9,73 – 42 = 0.

Кроме статической проверки необходимо провести кинематическую проверку – пере мещения основной и заданной системы от совместного действия неизвестных и нагрузки по направлению любого неизвестного должны быть равны нулю. Это условие имеет запись M ок M dx = 0.

EJ Произведем перемножение окончательной эпюры моментов (Мок) с суммарной единич M M p dx ной эпюрой ( M ) (рис. 55), используя таблицу 8 выражений интеграла Мора i для различных сочетаний эпюр. Предварительно произведем расслоение эпюры моментов на IV участке.

M ок M 2 1 8 16 1 (13,2 + 5,6) 8 1 5,6(1 2 + 2 / 3) + 1,07(2 2 / 3 + 1) dx = EJ 3 EJ 2 EJ 6 EJ 1 (2 / 3) 4 (2 1,07 + 8) 85,333 85,517 0, = =.

6 EJ EJ EJ EJ A B 0, Относительная погрешность = 100% = 100 = 0,22%.

min{A, B} 85, 8 2 13,2 М 5,6 ок 1, 6, Расслоение эпюры на IV участке 13, 5, M 1 2/ Рис. 55. Расчетная схема моментов для кинематической проверки балки ЗАДАЧА № 7. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕ МЕЩЕНИЙ (ДЕФОРМАЦИЙ) Задание. Для рамы с выбранными по шифру из табл. 11 размерами и нагрузкой по расчетной схеме (рис. 56) требуется:

1) определить число независимых линейных и угловых перемещений.

2) выбрать основную систему метода перемещений.

3) раскрыть статическую неопределимость.

4) построить эпюры М, Q, N.

2) выполнить статическую и кинематическую проверку рамы.

Жесткости стоек и ригелей рамы берутся одинаковыми.

Таблица № Числовые данные к задаче № Первая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l, м 4 5 6 3 7 8 9 10 12 Вторая цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 h, м 3 4 5 9 6 7 8 2 12 Р1, кН 4 0 0 5 0 0 6 0 0 Р2, кН 0 4 0 0 5 0 0 6 0 Р3, кН 0 0 6 0 0 5 0 0 4 Третья цифра шифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (номер схемы) q, кН/м 2 4 6 4 2 6 4 2 4 P P l/ 2 l/ 2 l/ 2 l/ q P1 P P3 h h/ P q h l l l h/ l l 3 P P l/ q l/ 2 q h/ h P P P l/ P3 l/ h/ h h/ h/ l l l l 5 l/ l/ 2 P P P P l/ 2 l/ P3 P h q h h/ q h/ l l l l l 7 l/ 2 l/ l/ 2 l/ P P P1 P q h/ q h/ P P h h h/ h/ l l l l 9 l/ 2 l/ 2 P P P l/ h/ h/ P P h l/ h/ q P q l l l l Рис. 56.

Методические указания к решению задачи № Метод, в котором за основные неизвестные принимаются угловые и линейные перемещения узлов системы и который позволяет их найти, называется методом перемещений.

Общее число неизвестных метода перемещений называют степенью кинематической неоп ределимости, она определяется как сумма неизвестных углов поворота nу и неизвестных не зависимых линейных перемещений nл:

n = nу + nл. (18) nу равно числу жестких узлов (узел, в котором жестко соединено не менее двух стержней), nл определяется по шарнирной схеме, которую получают путем введения шарниров в жесткие узлы и жесткие заделки по формуле:

n л = 2У С С 0, (19) где У – число шарнирных узлов рамы, включая опорные, С – число стержней рамы, С0 – число опорных стержней.

Например, на рис. 57, а представлена статически неопределимая рама. Число жестких узлов nу = 2 (узлы С и D). Шарнирная схема рамы показана на рис. 57, б. Число независимых ли нейных перемещений nл = 2 6 5 5 = 2.

Таким образом, степень кинематической неопределимости рамы составит n = n у + n л = 2 + 2 = 4.

Для того, чтобы предотвратить угловые перемещения рамы, в узлы С и D вводим дополни тельные жесткие заделки, а для предотвращения линейных перемещений вводим дополни тельные опорные стержни (рис. 57, в). Таким образом получаем основную систему метода перемещений.

В дополнительных закреплениях возникают реакции (Z1, Z2, Z3, Z4), которые и являются ос новными неизвестными метода перемещений.

а) б) в) Z B B C D C D Z Z D B C A F E A F E Z A F E Рис. 57. Статически неопределимая рама Если заданная система n раз кинематически неопределима, то после наложения на нее n до полнительных связей, устраняющих возможные перемещения ее узлов и приложения к ним неизвестных перемещений Z1, Z2, Z3,…, Zn, система канонических уравнений метода пере мещений для определения неизвестных будет представлена в виде:

r11 Z 1 + r12 Z 2 +... + r1n Z n + R1P = 0;

r21 Z 1 + r22 Z 2 +... + r2 n Z n + R2 P = 0;

(20).....................................................

rn1 Z 1 + rn 2 Z 2 +... + rnn Z n + RnP = где rii (r11, r22, …, rnn) – реакция, возникающая в дополнительной связи i, где имеется пере мещение Zi, от смещения этой же связи на единицу, rik (r12, r21, …, rn2) – реакция, возникаю щая в дополнительной связи i, где имеется перемещение Zi, от смещения связи k на единицу, RiP – реакция, возникающая в связи i от действия на основную систему нагрузки.

Основная система метода перемещений представляет собой совокупность независи мых однопролетных статически неопределимых балок. Эти балки уже заранее рассчитаны на все виды воздействия (кинематическое, силовое и температурное).

Опорные реакции и моменты в статически неопределимых балках, используемых в контрольной работе для расчета рам методом перемещений приведены в табл. 12 (только от силового и кинематического воздействия).


Таблица Реакции и моменты в статически неопределимых балках для расчета рам методом перемещений Номер Схема Эпюра моментов и опорные реакции балки A = 3EJ M = 3EJ R =R = 1 A AB 2 l l M R R 1 A A B B B A A l 3EJ R =R = =1 B A B l R A M B A A B l M = 3EJ A l RA M =Plv(1- v )/ 2 vuPl A P A B MA RB ul vl vl R l A 2 R =Pv(3- v )/ 2 R =Pu (3- u)/ A B M = 3Pl R = 11P R = 5P R R l/ 2 A P A 16 A 16 B 16 B MA B B A A l 5Pl M = ql q ql M A A B B A A l RB = 3ql R = 5ql A A =1 R R =R = 6EJ B M AB l A A M 6 B B B M = 2EJ 4EJ A R M= l B l A l A R =R = 12EJ R = B AB M l A B A 7 A B 6EJ M R M =M = l B A B A l l/ 2 M =MB = Pl P R =R = P A AB M M A B A B B A Pl R R l A 8 B vuPl M =uv Pl A M =u vPl P B B A ul vl R R A B l vl 2 R =v (1+2u)P R =u (1+2v)P A B q R =R = ql M =M = ql AB A B M M A B B 10 A A B ql R R l B A Порядок расчета рам методом перемещений аналогичен порядку расчета стержневых систем методом сил. При проведении кинематической проверки необходимо производить перемно жение окончательной эпюры изгибающих моментов с единичной эпюрой, построенной в любой основной системе метода сил.

Пример решения задачи № 7. Расчет рамы со смещаемыми узлами Расчетная схема рамы представлена на рис. 58.

Число жестких узлов nу = 1 (узел С), число независимых линейных перемещений определим по шарнирной схеме (рис. 59).

nл = 2У С С0 = 2 6 5 6 = 1.

Степень кинематической неопределимости n = n у + n л = 1 + 1 = 2.

E E q= 3 кН/ м Р2 =6 кН h/ D C C B B D l/ Р1 =8 кН h=6 м h/ F А А F l= 8 м l= 8 м Рис. 58. Расчетная схема рамы Рис. 59. Шарнирная схема рамы Заданная рама два раза кинематически неопределима. Образуем основную систему, введя в узел С заделку, препятствующую возможному угловому смещению, в дополнительной связи возникает реакция, которую обозначим через Z1. Вторая дополнительная связь в виде гори зонтального опорного стержня будет препятствовать линейному смещению узлов рамы (рис.

60). Реакция в дополнительном опорном стержне Z2.

E Канонические уравнения мето да перемещений запишутся в виде Z q= 3 кН/ м Р2 =6 кН Z2 D r11 Z 1 + r12 Z 2 + R1P = 0;

B C r21 Z 1 + r22 Z 2 + R2 P = 0.

Р1 =8 кН ОС А F Рис. 60. Основная система метода перемещений Для определения коэффициентов при неизвестных строим единичные эпюры. Первую эпюру получаем, придав единичное угловое перемещение в первую связь узел С (рис. 61). Изобра жаем деформированную схему рамы, на стержни которой со стороны растянутых волокон накладываем эпюры моментов балок из табл. 12 (схемы № 1 и 6). Определяем значения опорных моментов и реакций по формулам табл. 12.

Коэффициент r11 определяем из рассмотрения условия равенству нулю моментов в узле С:

3 2 3 r11 EJ EJ EJ EJ = 0, r11 = EJ.

8 3 8 Коэффициент r21 определяем из условия равенства нулю горизонтальных сил:

1 1 r21 + EJ EJ = 0, r21 = EJ.

3 6 Вторую единичную эпюру получим, если придадим единичное линейное перемещение во второй связи (рис. 62). Так же изображаем деформированную схему рамы, на стержни кото рой со стороны растянутых волокон накладываем эпюры из табл. 12 (балки № 2 и 7). Значе ния опорных моментов и реакций определяем по формулам табл. 12.

Коэффициент r22 определяем, рассматривая условие равенства нулю горизонтальных сил:

3 3 12 r22 EJ 3 EJ 3 EJ = 0, r22 = EJ.

63 3 6 3 EJ E r EJ 3 EJ EJ r 21 B D 8 2 EJ C 8 EJ 3 3 EJ 2 EJ M 1 EJ 1 EJ A F 3 B D 1 EJ r Рис. 61. Схема определения коэффициентов r11 и r Коэффициент r12 определим, рассматривая условие равенства нулю моментов в узле С:

1 1 r12 + EJ EJ = 0, r12 = EJ.

3 6 E r EJ 3 r22 3 EJ D B C 1 EJ 6 EJ M 3 EJ B r22 3 D A F EJ C 1 6 EJ 3 EJ 3 EJ Рис. 62. Схема определения коэффициентов r12 и r Для определения свободных членов канонического уравнения необходимо построить в ос новной системе эпюры от заданных внешних сил (рис. 63).

Из табл. 12 переносим эпюры моментов от силового воздействия (балки № 4 и 5), определя ем численные значения опорных моментов и реакций.

E R R B 2P D 1P 3Pl = ql = 7, R 1P 12 8 C 7, R MP B D 2P F A C 9 5P =2, Рис. 63. Схема определения свободных членов R1P и R2Р Рассматриваем равновесие узла С, определяем R1Р:

М = 0, R1P + 9 24 = 0, R1P = 15.

C Рассматриваем условие равновесие горизонтальных сил:

x = 0, 2,5 + R2 P = 0, R2 P = 2,5.

Найденные значения коэффициентов подставляем в каноническое уравнение метода пере мещений, решая систему уравнений определяем неизвестные Z1 и Z2.

29 EJZ1 EJZ 2 + 15 = 0, 7,65 12 Z1 =, Z2 =.

1 29 EJ EJ EJZ1 + EJZ 2 + 2,5 = 0.

6 Строим «исправленные» эпюры, для этого ординаты единичных эпюр умножаем на найден ные значения Z1 и Z2 (рис. 64, а и б).

Для получения окончательной эпюры изгибающих моментов необходимо произвести сложе ние «исправленных» эпюр и грузовой эпюры, построенной в основной системе метода пере мещений M ок = M 1 Z1 + M 2 Z 2 + M P. Окончательная эпюра моментов в заданной системе представлена на рис. 64, в.

а) б) E E 2, 7, B D B D 6, 3, 5, 2, M1 Z1 M2 Z A A F F 2, 1,74 3, в) E 21, 11, IV D B I II V C 8, 0,68 6, 13, VI III 6,63 0, 11, 21, Mок VII C A F 6,04 8, 10, Рис. 64. Схема построения окончательной эпюры изгибающих моментов в заданной системе Условие равенства нулю моментов в узлах рамы является необходимым условием правиль ности построения окончательной эпюры моментов. В нашем случае М C = 0,68 + 11,87 + 8,59 21,13 = 0,01. Такое отклонение допустимо, т.к. относитель ная погрешность составляет 0,02 %.

Произведем кинематическую проверку. Для этого построим единичную эпюру изги бающих моментов в основной системе метода сил и перемножим ее с окончательной эпюрой моментов в заданной системе с использованием таблицы выражений интеграла Мора для различных сочетаний эпюр (табл. 8).

Статическая неопределимость заданной системы:

n = 2 Ш + C 0 3D = 2 + 8 3 2 = 4. Следовательно заданная рама имеет 4 «лишних»

связи.

Для построения суммарной единичной эпюры удаляем «лишние» связи, их действие заменяем единичными усилиями и получаем основную систему метода сил (рис. 65).

E B 4 D C 0,5 MS 1 A F H =1/ 6 H =5/ A F 1 R =2, F Рис. 65. Суммарная единичная эпюра в основной системе метода сил M S M ок [10,74(2 1 0,5) 6,63(0,5 2 1)] 3 + 1 0,5 6,63 3 + = EJ 6 EJ 3EJ 1 1 1 [8,59(4 2 + 1) 6,04(2 1 4)] 6 + 21,13 15 8 24 15 8 3 0,68 3 + 3EJ 3 3 6 EJ [11,87(8 2 4) 6,065(4 2 8)] 4 + 1 6,065 4 4 = + 6 EJ 3EJ 993,615 995,662 2, = + =.

EJ EJ EJ M S M ок При перемножении эпюр по формуле грузовую эпюру изгибающих EJ моментов на участке ВС предварительно расслоили на треугольную эпюру и параболу (рис.

66).

21,13 Относительная погрешность составила:

A B 2, = 100% = 100% 0,2%, min{A, B} B C 993, 21, 13,44 что допускается.

По окончательной эпюре изгибающих момен тов строим эпюру поперечных сил по участкам (рис.

67).

0 6, QI = = 1,52 кН.

(ql )/ 8= 8м 6,065 (11,87) Рис. 66. Схема расслоения эпюры QII = = 4,48 кН.

6,04 (8,59) 0 (0,68) QIII = = 2,44 кН. QIV = = 0,23 кН.

6 21,13 0 3 8 21,13 0 3 QV = = 14,64 кН. QV = + = 9,36 кН.

пр лев 8 2 8 0 6,63 6,63 (10,74) QVI = = 2,21 кН. QVI = = 5,79 кН.

3 E x0 0, 4, 9,36 IV D I V B C II 1, VI 2, 5,79 14, III Q VII A F 2, Рис. 67. Эпюра поперечных сил Поперечная сила обращается в нуль на участке рамы ВС при 9,36 9, x0 = = = 3,12 м.

q В этом случае экстремальное значение изгибающего момента составит:

3 3,12 = 9,36 3,12 = 14,6 кН м.

M max По эпюре поперечных сил построим эпюру продольных сил, используя метод выреза ния узлов (рис. 68).

QIV =0, QV =9, C NV =2,21 NV =2, B QII =4, QV =14, QVI =2, QIII =2, NVI =9, NIII =19, Рис. 68. Схема вырезания узлов для определения продольных сил E Эпюра продольных сил представ лена на рис. 69.

Приложим к раме все внешние на грузки в том числе и реакции внешних C D B связей (рис. 70).

Произведем статическую провер 2, ку.

y = 0.

N R A + RF + RD ql P2 = 0.

19, A 9,36 F 9,36 + 19,12 + 1,52 24 6 = 0.

Рис. 69. Эпюра продольных сил x = 0.

H =0, H A + P1 + H E F = 0.

E E R =1, 5,79 + 8 + 0,23 2,44 = 0.

D P2 = C Проверки по силам выполняются.

D B m = 0.

G ql= P1 = m A + mF H A 3 R A 4 H F 3 + G + RF 4 H E 6 P2 8 + RD 12 = H =2, H =5,79 A F F A R =19, R =9,36 F m =10, A m =6, A F Рис. 70. Схема сил, приложенных к раме 10,74 + 6,04 5,79 3 9,36 4 2,44 3 + 19,12 4 0,23 6 6 8 + 1,52 12 = 111,5 111,51 = 0,01.

Относительная погрешность составляет примерно 0,01 %, что допускается.

Пример расчета рамы без линейного смещения узлов.

Схема рамы представлена на рис. 71. Число угловых перемещений равно числу жестких узлов nу = 2. Число независимых линейным перемещений определяем по шарнирной схеме (рис. 72).

n л = 2Y C C 0 = 2 6 5 7 = 0. Таким образом, степень кинематической неоп ределимости рамы составляет 2. Для предотвращения возможных угловых перемещений в жесткие узлы (В и С) устанавливаем жесткие заделки и получаем основную систему метода перемещений (рис. 73).

E E q=3 кН/ м h/ P2 =6 кН D D B B C C l/ P1 =8 кН h=6 м ЗС h/ F A F A l=8 м l=8 м Рис. 72. Шарнирная схема рамы Рис. 71. Заданная расчетная схема рамы E В дополнительных связях возника q=3 кН/ м Z1 Z2 P2 =6 кН ют реакции Z1 и Z2, которые определим из D канонических уравнений метода переме B C щений:

P1 =8 кН r11 Z 1 + r12 Z 2 + R1P = 0, ОС r21 Z 1 + r22 Z 2 + R2 P = 0.

F A Рис. 73. Основная схема метода перемещений Для определения коэффициентов при неизвестных необходимо построить единичные эпюры, которые получаем путем последовательного введения единичного углового переме щения в наложенные связи.

Первая единичная эпюра (рис. 74) получена путем введения единичного углового сме щения в первой связи. На деформированную схему рамы накладываем эпюры из табл. (балка № 6).


Условие равновесия узла В:

EJ 2 EJ 7 EJ M = 0, r11 = 0, r11 =.

B 2 3 Условие равновесия узла С:

EJ EJ M = 0, r21 = 0, r21 =.

C 4 E 2EJ B l D 4EJ h C r r 4EJ EJ l B EJ M 4 C 2EJ F A 2EJ h Рис. 74. Схема определения коэффициентов r11 и r Придаем единичное угловое перемещение во второй связи, строим вторую единич ную эпюрe, используя схемы балок из табл. 12 (рис. 75).

E 4EJ 3EJ l h/ B D r 4EJ C 2EJ h EJ 3EJ l 3EJ l EJ r M 2 C B 2EJ F 2EJ A h EJ Рис. 75. Схема определения коэффициентов r22 и r Равновесие узла В:

EJ EJ M = 0, r12 = 0, r12 =.

B 4 Равновесие узла С:

3EJ 2 EJ EJ 61EJ M = 0, r22 EJ = 0, r22 =.

C 8 3 2 В основной системе строим эпюры изгибающих моментов от заданной внешней на грузки и получаем грузовую эпюру (рис. 76). Рассматривая равновесие узлов определяем свободные члены канонических уравнений.

Равновесие узла В:

M = 0, R1P + 16 6 = 0, R1P = 10.

B Равновесие узла С:

M = 0, R2 P + 9 16 = 0, R2 P = 7.

C E 2 ql ql 3P2 l 12 P1 h D 8 B C 5P2 l ql 32 R P1 h 2P 8 R1P P1 h A F MP B C Рис. 76. Схема определения свободных членов R1P и R2Р Подставляем найденные коэффициенты и свободные члены в каноническое уравне ние метода перемещений и определяем неизвестные Z1 и Z2.

7 EJ EJ Z1 + Z 2 10 = 0, 9,36 3, 6 Z1 =, Z2 =.

EJ 61EJ EJ EJ Z1 + Z 2 + 7 = 0.

4 Строим «исправленные» эпюры, умножив ординаты единичных эпюр на соответст вующие значения Z1 и Z2 (рис. 77).

E E 1, 2,34 0, B 0, D 6,24 3,67 D C B 1,17 C 2, 0, 4, 1, 1, M Z M Z1 F A 3,12 A F 1, Рис. 77. «Исправленные» эпюры моментов Производим суммирование «исправленных» эпюр и грузовой эпюры моментов M 1 Z1 + M 2 Z 2 + M P = M ок.

Получаем окончательную эпюру изгибающих моментов в заданной системе (рис. 78).

Необходимое условие – равенство нулю моментов сил в узлах рамы выполнено.

16,5 E 12, 10, 12,24 D V II I 3,67 C B 2, VI 6,37 6,81 3, III 4,44 12, M 10, B ок VII 16, C A 2,88 F 1, 12,24 2, Рис. 78. Окончательная эпюра изгибающих моментов в заданной системе Произведем кинематическую проверку. Для этого построим единичную эпюру изги бающих моментов в основной системе метода сил и перемножим ее с окончательной эпюрой моментов в заданной системе с использованием таблицы выражений интеграла Мора для различных сочетаний эпюр (табл. 8).

Статическая неопределимость заданной системы:

n = 2 Ш + C0 3D = 2 0 + 9 3 1 = 6. Следовательно заданная рама имеет 6 «лиш них» связей.

Для построения суммарной единичной эпюры удаляем «лишние» связи, их действие заменяем единичными усилиями и получаем основную систему метода сил (рис. 79).

E 5 B D C 16 MS F A Рис. 79. Суммарная единичная эпюра в основной системе метода сил M S M ок [4,44(2 19 + 22) 2,88(2 22 + 19)] 3 + = EJ 6 EJ [4,44(2 19 + 16) 12,24(2 16 + 19)] 3 (12,24 + 16,5) 16 8 + 2 24 16 + 6 EJ 2 EJ 3EJ 1 [2,45(2 5 + 1) 1,22(2 1 5)] 6 + 3 3,67 3 + 3EJ 6 EJ [10,38(2 8 4) 6,8(2 4 8)] 4 + 1 6,81 4 4 = 2126,8 2126,75 = 0,05.

+ 6 EJ 3EJ EJ EJ EJ M S M ок При перемножении эпюр по формуле грузовую эпюру изгибающих EJ моментов на участке ВС предварительно расслоили на трапецию и параболу (рис. 80).

16,5 Относительная погрешность составила:

12, A B 0, = 100% = 100% 0,002%, min{A, B} 2126, C что допускается.

B По окончательной эпюре изгибающих момен 16, 12,24 тов строим эпюру поперечных сил по участкам (рис.

81).

0 6, QI = = 1,7 кН.

(ql )/ 8= 6,81 (10,38) 8м QII = = 4,3 кН.

Рис. 80. Схема расслоения эпюры 1,22 (2,45) 0 (3,67) QIII = = 0,61 кН.. QIV = = 1,22 кН.

6 16,5 (12,24) 3 QV = = 12,53 кН.

пр 8 16,5 (12,24) 3 QV = + = 11,47 кН.

лев 8 12,24 4,44 4,44 (2,88) QVI = = 5,56 кН. QVI = = 2,44 кН.

3 На участке ВС поперечная сила обращается в нуль, для сечения, расположенного на расстоянии x0 = 11,47 / q = 11,47 / 3 = 3,8 м экстремальное значение изгибающего момента составит:

M max = 11,47 3,8 q 3,8 2 / 2 12,24 = 9,69 кН м.

x0 1,22 E 4, IV 11, D V I B C II 1, VI 5, 12, Q III 2,44 VII A 0,61 F Рис. 81. Эпюра поперечных сил Методом вырезания узлов (рис. 82) и уравновешивая силы, определим значения про дольных сил. Эпюра продольных сил представлена на рис. 83.

Q =11,47 E V N =5, V B D C B Q =5, VI N =11,47 5, VI 6, Q =1, IV N Q =12,53 N =6, V CD 11,47 16, A N =5,56 F V C Q =4, Q =0,61 II III Рис. 83. Эпюра продольных сил N =16, III Рис. 82. Схема вырезания узлов рамы H =1,22 Прикладываем к раме все внеш E E ние силы (рис. 84) и проводим стати R =1, D P2 = ческую проверку.

H =6, C D B y = 0.

D ql= P1 = R A + R F + R D P2 ql = G 11,47 + 16,83 + 1,7 6 24 = 0.

A F x = 0.

H =0, H =2,44 R =16, F A R =11,47 F H A H F + P1 + H E H D = A m =1, m =2,88 F A 2,44 0,61 + 8 + 1,22 6,17 = 0.

Рис. 84. Схема рамы с внешними силами M = 0.

G H E 6 + P2 8 RD 12 H D 3 m F RF 4 + R A 4 + H F 3 + H A 3 m A = 1,22 6 + 6 8 1,7 12 6,17 3 1,22 16,83 4 + 11,47 4 + 0,61 3 + 2,44 3 2,88 = 110,35 110,33 = 0,02 кН м.

Относительная погрешность при проверке выполнимости условия равенству нулю моментов сил относительно произвольной точки G составляет примерно 0,02 %.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕКУЩЕМУ КОНТРОЛЮ БИЛЕТЫ ПО КУРСУ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Что понимается под расчетной схемой сооружения? Порядок проведения кинематического анализа системы.

2. Построить лв Rc и RD и вычислить их значения по лв (рис. 1).

Р=8 к Н М=18 к Нм q=4 к Н/ м А D C D F E 2м 2м 2м 2м 3м 3м 3м Рис. 1.

3. Раскрыть статическую неопределимость балки методом перемещений, построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (рис. 2) P=25 к Н 1 м Р=16 кН 4 2 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Признаки геометрической неизменяемости системы. Формулы для определения числа степе ней свободы системы.

2. Определить N9-8 аналитически и по линии влияния (рис. 1).

1 A B 7 10 P2 =4 кН 2м P3 =6 кН P1 =8 кН 4м 4 4 4 4 Рис. 3. Определить опорные реакции, построить эпюры моментов и поперечных сил в сечениях бал ки, используя метод перемещений (рис. 2).

q=8 к Н/ м Р=18 к Н 3 3 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Что представляет собой многопролетная шарнирно-консольная балка? Какие типы элементов различают в ней, и как составляется ее поэтажная схема?

2. Определить величину распора по лв для трехшарнирной арки (рис. 1).

q=2 к Н/ м P=8 к Н 5м f =10 м 20 м Рис. 1.

3. Определить реакции в опорах, используя метод сил. Построить эпюры внутренних усилий в статически неопределимой раме (рис. 2).

q=2 кН/ м 5м 3м Р=10 кН 3м Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Какие системы называются распорными? Как определяются реакции в опорах трех шарнирной арки или рамы?

2. Построить эпюры N, Q и М в сече- 3. Определить степень статической неоп ниях рамы (рис. 1). ределимости рамы. Определить реакции в опорах методом сил. Построить эпюры внутренних усилий (рис. 2).

m=16 к Нм q=2 кН/ м 6м 3м Р=8 кН Р=7 к Н 3м 2 2 Рис. 1. 2м 6м Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Что такое ферма? Какие усилия появляются в стержнях фермы и почему? Какие элементы различают в фермах?

2. Построить лв усилия в сечении N и определить для этого сечения М и Q (рис. 1).

Р=8 к Н q=4 к Н/ м А К N 4м 4 4 4 4 Рис. 1.

3. Определить степень кинематической неопределимости рамы. Построить эпюры внутренних усилий, используя метод перемещений (рис. 2).

m=6 кНм P=20 кН 4м Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Какие применяются способы определения усилий в стержнях фермы? Привести част ные случаи равновесия узлов.

2. Построить лв RA и RC балки и определить их значения (рис. 1).

Р=8 к Н М=18 к Нм q=4 к Н/ м А D C D F E 2м 2м 2м 2м 3м 3м 3м Рис. 1.

3. Определить частоту собственных колебаний рамы, несущей груз массой m = 500 кг (рис. 2).

m EJр =EJc =90 к Нм 5м 2 2 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Что представляет собой шпренгельная ферма? С какой целью применяют шпренгели фермочки?

2. Определить по лв величину М и Q в заделке шарнирно-консольной балки (рис. 1).

Р=8 к Н М=18 к Нм q=4 к Н/ м A B D E G F C 2м 1м 1 1 2 1 4м Рис. 1.

3. Определить величину критической силы для левой стойки рамы, стойки и ригель выполнены из сдвоенных швеллеров № 16 (рис. 2).

Р 3м 3м Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Привести в общем виде формулу Максвелла-Мора для определения перемещений.

Пояснить физический смысл каждого коэффициента, входящего в формулу.

2. Определить угол поворота сечения рамы на опоре К, вызванный смещением опор (рис. 1).

к - ? K c1 =0,06 м с с2 =0,04 м с 2 2 Рис. 1.

3. Определить критическую силу правой стойки рамы EJр = EJc = const (рис. 2).

РК - ?

6м 2 4 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Какова последовательность вычисления линейных и угловых перемещений от силового воз действия с использованием формулы Максвелла-Мора?

2. Определить величину продольной силы в указанном сечении арки по линии влияния (рис. 1).

q=4 кН/ м К 12, Рис. 1.

3. Построить эпюры внутренних усилий в статически неопределимой раме, используя метод сил (рис. 2).

4м Р=16 кН q=3 кН/ м 4м 12 м Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Последовательность вычисления перемещений от теплового и кинематического воздействия с использованием формулы Максвелла-Мора?

2. Построить эпюры М, Q, N в статически определимой раме (рис. 1).

m=8 кНм q=1 кН/ м 8 Рис. 1.

3. Определить расчетный предельный момент М0 и подобрать требуемые пластические момен ты сопротивления Wпл, приняв расчетное сопротивление R = 220 МПа и коэффициент условий рабо ты с = 0,9 (рис. 2). Построить предельную эпюру изгибающих моментов.

q=8 к Н/ м Р=18 к Н 3 3 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Какая нагрузка называется подвижной? Теория линий влияния.

2. Определить угол поворота сечения К, вызываемый тепловым воздействием. Толщину стены принять равной h = 0,5 м. (рис. 1).

К 0 К - ? 20 - 4 Рис. 1.

3. Определить величину критической силы для правой стойки рамы (рис. 2).

Р- ?

EJp =EJc =300 кНм 8м Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Сущность статического метода построения линий влияния. Линии влияния опорных реакций, поперечной силы и изгибающего момента для простой двухопорной балки.

2. Определить N14-9 аналитически и по лв (рис. 1). Р1 = 2 кН, Р2 = 4 кН.

1 2 3 4 2м 13 14 2м А B 10 9 7 Р Р Р1 Р2 Р Р Р 8х2 м=16 м Рис. 1.

3. Используя метод сил, построить эпюры внутренних усилий в элементах рамы (рис. 2).

m=15 кНм 2м Р=12 кН 6м Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Построение линий влияния в фермах. Что такое передаточная прямая?

2. Построить эпюры внутренних усилий в статически определимой раме (рис. 1).

m=18 кНм q=4 кН/ м Рис. 1.

3. Используя метод перемещений, построить эпюры внутренних усилий в неразрезной балке (рис. 2).

q=8 к Н/ м Р=2 4 к Н 3 3 4 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Особенность вычисления усилий по линиям влияния в сечении, где приложены внешний со средоточенный момент или сосредоточенная сила.

2. Определить горизонтальное перемещение сечения К, вызванное смещением опор (рис. 1).

K 3 2 c c Рис. 1.

3. Определить расчетный предельный момент М0 и подобрать требуемые пластические момен ты сопротивления Wпл, приняв расчетное сопротивление R = 240 МПа и коэффициент условий рабо ты с = 0,9 (рис. 2). Построить предельную эпюру изгибающих моментов.

P2 =26 кН q =12 q1 = 8 5 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Построение линий влияния распора, внутренних усилий в трехшарнирной арке или раме.

2. Определить угол поворота сечения К (рис. 1).

q=3 кН/ м K 2 3 2 2 Рис. 1.

3. Построить эпюры внутренних усилий в неразрезной балке, используя метод перемещений (рис. 2).

q=10 кН/ м Р=14 кН 2 2 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Какая система является статически неопределимой? Привести формулы для определения сте пени статической неопределимости. Абсолютно необходимые и условно необходимые связи.

2. Определить прогиб сечения К (рис. 1).

Р=3кН q=4кН/ м ук - ?

К 2 2 2 2 4 Рис. 3. Определить величину критической силы для левой стойки рамы EJр = EJC = const (рис. 2).

Рк - ?

6м 4 4 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Способы образования основной системы из статически неопределимой. Каким требованиям должна отвечать основная система?

2. Построить эпюры усилий для статически определимой рамы (рис. 1).

q=2кН/ м Р=9кН хк - ?

3 Рис. 1.

3. Определить динамический коэффициент. Вес двигателя G = 1,5 кН. Число оборотов двигате ля n = 100 об/мин. Вертикальная составляющая центробежной силы F(t) = 0,8sint. Сечение имеет жесткость EJ = 120 кНм2 (рис. 2).

F(t) 4м 4 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Сущность метода сил. Смысл коэффициентов, входящих в канонические уравнения метода сил.

2. Определить величину распора по лв. Построить лв поперечной силы в заданном сечении ра мы и определить ее значение (рис. 1). l = 28, ak = 4, f = 11,2 м, q = 8 кН/м.

у С f В А х aк l Рис. 1.

3. Определить динамический коэффициент. Вес двигателя G = 2 кН. Число оборотов двигателя n = 150 об/мин. Вертикальная составляющая центробежной силы F(t) = 2sint. Сечение имеет жест кость EJ = 120 кНм2 (рис. 2).

F(t) 6м 4 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Сущность метода перемещений. Степень кинематической неопределимости.

2. Определить горизонтальное перемещение сечения К (рис. 1).

4 K Р=6 кН Рис. 1.

3. Раскрыть статическую неопределимость рамы методом сил. Построить эпюры внутренних усилий (рис. 2).

q= 3 кН/ м 3 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Метод перемещений. Способы образования основной системы. Смысл коэффициентов, вхо дящих в канонические уравнения метода перемещений.

2. Определить усилие N15-9 аналитически и по линиям влияния (рис. 1).

1 2 3 4 2м 13 14 2м А B 10 9 11 Р2 =10 кН Р Р1 =8 кН Р Р 8х2 м=16 м Рис. 1.

3. Определить расчетный предельный момент М0 и подобрать требуемые пластические момен ты сопротивления Wпл, приняв расчетное сопротивление R = 220 МПа и коэффициент условий рабо ты с = 0,9 (рис. 2). Построить предельную эпюру изгибающих моментов.

Р=2 2 к Н Р=18 к Н 3 3 2 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Последовательность определения перемещений в статически неопределимых системах.

2. Определить угол поворота сечения К, вызванный смещением опор (рис. 1).

c1 =0,05 м с2 =0,02 м 5м с3 =0,08 м c К c1 c 3 3 Рис. 1.

3. Определить динамический коэффициент. Вес двигателя G = 1,5 кН. Число оборотов двигате ля n = 100 об/мин. Вертикальная составляющая центробежной силы F(t) = 0,8sint. Сечение имеет жесткость EJ = 120 кНм2 (рис. 2).

F(t) 4м 4 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Расчет неразрезных балок с использованием уравнения трех моментов.

2. Построить эпюры внутренних усилий в статически определимой раме (рис. 1).

q= 6 кН/ м 3 Р=8 кН HA HB RB Рис. 1.

3. Определить величину критической силы для левой стойки рамы. EJр = EJc = const (рис. 2).

РК - ?

2м Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Сущность методов расчета по допускаемым напряжениям и по разрушающим нагрузкам. Что понимается под предельным состоянием конструкции? Что принимается за предельную нагрузку в упругом расчете?

2. Построить лв RA, RC и определить численные значения реакций (рис. 1).

Р=8 кН М=18 кНм q=4 кН/ м А B C D F E 2м 2м 2м 2м 3м 3м 3м Рис. 1.

3. Раскрыть статическую неопределимость балки методом перемещений, построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (рис. 2).

q=10 кН/ м Р=14 кН 2 2 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Как определяется величина предельного изгибающего момента при упругом и пластическом расчетах? Что представляет собой пластический шарнир?

2. Построить эпюры внутренних усилий в статически определимой раме (рис. 1).

4 к Н/ м 2м 4м 4м 1м Рис. 1.

3. Раскрыть статическую неопределимость балки методом перемещений, построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил (рис. 2).

q=6 кН/ м Р=14 кН 4 3 Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. В чем сущность способа выравнивания изгибающих моментов при расчете неразрезных балок постоянного сечения?

2. Определить горизонтальное смещение сечения N, вызванный смещением опор (рис. 1).

N c1 =0,03 м с2 =0,04 м с с 3 2 Рис. 1.

3. Методом сил раскрыть статическую неопределимость рамы. Построить эпюры внутренних усилий (рис. 2).

4 кН/ м 2м 4м 4м 1м Рис. 2.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1. Виды динамических нагрузок. Степень свободы системы.

2. Построить эпюры внутренних усилий в раме (рис. 1).

m=16 к Нм q=2 кН/ м 4м 6м 4м 12 м Рис. 1.

1. Построить эпюры внутренних усилий в статически неопределимой раме, используя метод пе ремещений (рис. 2).

q =6 кН/ м 3 Рис. 2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК для специальности «Промышленное и гражданское строительство»

Основная учебная литература 1. Дарков, А. В. Строительная механика [Электронный ресурс] : учебник / А. В. Дар ков, В. А. Шапошников ;

Издательство "Лань" (ЭБС). – Изд. 12-е, стер. – Санкт-Петербург :

Лань, 2010. – 656 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература). – Режим доступа:

http://e.lanbook.com/view/book/121/.

Дополнительная учебная, учебно-методическая литература 1. Анохин, Н. Н.Строительная механика в примерах и задачах [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по строит. спец. / Н. Н. Анохин. – 2-е изд., доп. и перераб. – Москва : АСВ, 2007.

Ч. 1 : Статически определимые системы. – 335 с.

2. Анохин, Н. Н.Строительная механика в примерах и задачах [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по строит. спец. / Н. Н. Анохин. – 2-е изд., доп. и перераб. – Москва : АСВ, 2007.

Ч. 2 : Статически неопределимые системы. – 464 с.

3. Дарков, А. В. Строительная механика [Текст] : учебник / А. В. Дарков, Н. Н. Ша пошников. – 11-е изд., стер. – Санкт-Петербург : Лань, 2008. – 656 с. – (Учебники для вузов.

Специальная литература).

4. Кристалинский, Р. Е. Решение вариационных задач строительной механики в сис теме MATHEMATICA [Электронный ресурс] : учебное пособие / Р. Е. Кристалинский, Н. Н.

Шапошников ;

Издательство "Лань" (ЭБС). – Санкт-Петербург : Лань, 2010. – 240 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература). – Режим доступа:

http://e.lanbook.com/view/book/211/.

5. Перельмутер, А. В. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа [Электронный ресурс] : [учебное пособие] / А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер ;

Универси тетская библиотека онлайн (ЭБС). – Москва : ДМК Пресс, 2009. – 596 с. – (Проектирование).

– Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/85061/.

6. Строительная механика [Текст] : метод. пособие для студ. направления бакалавриа та 270800 "Строительство" и спец. 270205 "Автомобильные дороги и аэродромы", "Промышленное и гражданское строительство" всех форм обучение / М-во образования и науки Рос. Федерации, Сыкт. лесн. ин-т (фил.) ФГБОУ ВПО С.-Петерб. гос. лесотехн. ун-т им. С. М. Кирова, Каф. дорожного, промышленного и гражданского строительства ;

сост. : З.

И. Кормщикова, В. Н. Корзунин. – Изд. 2-е, стер. – Сыктывкар : СЛИ, 2012. – 84 с.

7. Строительная механика [Электронный ресурс] : метод. пособие для студ. спец.

270205 "Автомобильные дороги и аэродромы", 270102 "Промышленное и гражданское строительство" и направления бакалавриата 270800 "Строительство" всех форм обучения :



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.