авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Федеральное государственное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Южный федеральный университет

Научно-исследовательский институт

физики

На правах рукописи

УДК 530.182, 519.6

Рябов Денис Сергеевич

Исследование некоторых нелинейных

математических моделей

с дискретной симметрией

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Г. М. Чечин г. Ростов-на-Дону Оглавление Введение.................................. Глава 1. Нелинейные нормальные моды и их устойчивость в цепоч ках с трансляционной симметрией................. 1.1 Модель Ферми-Пасты-Улама................. 1.2 Понятие о бушах мод...................... 1.3 Понятие о нелинейных нормальных модах (ННМ)...... 1.4 Вывод симметрийно-обусловленных ННМ в модели Ферми Пасты-Улама........................... 1.5 Понятие об устойчивости бушей мод.............. 1.6 Устойчивость ННМ в модели Ферми-Пасты-Улама..... 1.7 Диаграммы устойчивости ННМ в цепочке FPU-...... 1.8 Диаграммы устойчивости ННМ в цепочке FPU-...... Устойчивость ННМ в термодинамическом пределе N.

1.9 1.10 Выводы.............................. Глава 2. Дискретные бризеры в модели Бутта-Ваттиса....... 2.1 Понятие о дискретных бризерах................ 2.2 Симметрийная классификация дискретных бризеров.... 2.3 Модель плоской квадратной решетки Бутта-Ваттиса.... 2.4 Метод численного построения дискретных бризеров..... 2.5 Результаты компьютерного моделирования.......... 2.6 Выводы.............................. Глава 3. Странные аттракторы в трехмерных диссипативных систе мах с точечной кристаллографической симметрией....... 3.1 Постановка задачи........................ 3.2 Динамические системы, инвариантные относительно групп точечной симметрии....................... 3.3 Странные аттракторы в трехмерных динамических системах с квадратичными нелинейностями............... 3.4 Некоторые общие свойства хаотических аттракторов.... 3.5 Регулярные и хаотические аттракторы в D2 -системе..... 3.6 Некоторые симметрийные аспекты динамики D2 -системы.. 3.7 Выводы.............................. Заключение................................ Список литературы............................ Введение Актуальность темы работы Нелинейная динамика играет исключительно важную роль в современ ном естествознании и является одной из бурно развивающихся областей науки, изучающей такие объекты и явления, как солитоны, бризеры, дина мический хаос, различные виды самоорганизации материи и т. д. В настоя щее время трудно указать те области естествознания, где не используются идеи и методы нелинейной динамики. Существенно, что задачи нелиней ной динамики лишь в очень редких случаях имеют точные аналитические решения, в силу чего при их исследовании приходится прибегать к компью терному эксперименту.

При изучении различных явлений природы решающее значение имеет построение адекватных математических моделей с последующим их иссле дованием с помощью точных и приближенных методов современной матема тики. С середины прошлого века началось бурное развитие вычислительной физики как некоторого самостоятельного направления, в основе которого лежит идея проведения компьютерных экспериментов при исследовании математических моделей естествознания. Особо следует подчеркнуть тот факт, что такие эксперименты позволяют не только количественно описы вать изучаемые явления, но в ряде случаев приводят к открытию принципи ально новых режимов поведения системы, т. е. могут играть ярко выражен ную эвристическую роль.

Особую роль играют простейшие «классические» модели, которые включают в себя лишь основные свойства рассматриваемой системы, но при этом позволяют получать новые результаты, дающие толчок к дальней шему развитию науки. Одной из таких моделей, сыгравшей существенную роль в становлении современной нелинейной науки, является предложенная Э. Ферми в 50-х годах прошлого века простейшая нелинейная модель [1], представляющая собой аналог одномерного кристалла, в которой учиты вается взаимодействие только между соседними частицами. Эта модель, получившая название цепочки Ферми-Пасты-Улама (FPU), численно изучалась на первом мощном компьютере MANIAC-1 в Лос-Аламосской национальной лаборатории (США) и привела к открытию целого ряда важ ных особенностей поведения нелинейных систем и обнаружению новых динамических объектов. Упомянем в связи с этим открытие так называемых явлений «возврата» [1, 2] и «индукции» [3–5], введение понятия о солитонах в работе Нормана Забуски и Мартина Крускала [6], обнаружение ряда осо бенностей возникновения хаотической динамики [7], открытие полностью интегрируемой цепочки Тоды [8, 9]. Именно с этой модели фактически и началось развитие современной вычислительной физики и практики прове дения компьютерных экспериментов. Интерес к цепочкам FPU не угас до настоящего времени: в последние годы появилось большое число работ, свя занных как с исследованием процессов установления теплового равновесия в таких цепочках [10], их теплоемкости [11–13] и теплопроводности [14–18], так и с обнаружением в них ряда новых динамических объектов (локализо ванные моды [19–21], хаотические бризеры [22], q-бризеры [23, 24] и т. д.) и некоторых точных аналитических решений [25–29]. Обзор последних дости жений в области исследования модели FPU можно найти в специальном выпуске известного журнала Chaos [30], посвященного 50-летию со дня публикации работы Ферми, Пасты и Улама.

В последнее время получили развитие различные обобщения одно мерной модели FPU на двумерные и трехмерные динамические системы с дискретной симметрией. В качестве одного из таких обобщений можно отме тить двумерную модель Бутта-Ваттиса [31], которая находит применение при решении ряда задач твердотельной электроники [32, 33]. В этой модели, в частности, исследуются дискретные бризеры (локализованные в про странстве и периодические во времени колебания).

Еще одним примером классических моделей нелинейной динамики является известная система Лоренца [34], в которой впервые было обна ружено явление динамического хаоса и которая, также как и модель FPU, оказала огромное влияние на последующее развитие науки. Эта динамиче ская модель используется, в частности, при исследовании конвекции в слое жидкости [34], работы одномодового лазера [35, 36], конвекции в кольцевой трубке [37], в модели диссипативного осциллятора с инерционной нелиней ностью [38] и в некоторых задачах метеорологии.

Интерес к исследованию указанных моделей обусловлен тем, что все они, с одной стороны, являются достаточно простыми для проведения вычислительных экспериментов, а с другой стороны, качественно описы вают динамику многих реальных систем. Именно поэтому эти модели до сих пор остаются актуальными, о чем свидетельствует огромное количество появляющихся в последнее время публикаций, связанных с их исследова нием (см., например,[39–45]).

Предметом исследования в настоящей диссертации являются различ ные нелинейные системы с дискретной симметрией, описываемые обыкно венными дифференциальными уравнениями. К этому классу систем отно сятся все упомянутые выше модели.

Наличие дискретной симметрии у нелинейных динамических систем позволяет применять для их исследования специфические теоретико-груп повые методы, которые начали интенсивно разрабатываться около 20 лет назад в работах В. П. Сахненко и Г. М. Чечина [26, 46–52], где было введено фундаментальное понятие о бушах (кустах) нелинейных нормальных мод.

Буши мод представляют собой точные динамические режимы в нелиней ных системах с дискретной симметрией. В случае гамильтоновой системы энергия, локализованная в данном буше мод, не передается другим модам, и соответствующее возбуждение существует в системе бесконечно долго. В динамическом смысле буш мод представляет собой систему, размерность которой может быть существенно меньше размерности исходной динамиче ской системы (например, часто встречаются одномерные, двумерные, трех мерные, четырехмерные и т. д. буши мод). Одномерные буши мод являются не чем иным, как нелинейными нормальными модами (ННМ), введенными в 60-х годах прошлого века Р. М. Розенбергом [53, 54].

В литературе были исследованы некоторые из возможных ННМ в цепочках Ферми-Пасты-Улама - и -типов [25, 26, 55–62]. Однако систе матического перечисления и исследования всех возможных симметрийно обусловленных ННМ в нелинейных цепочках проведено не было.

Как показывает вычислительный эксперимент, буши мод (и в том числе симметрийно-обусловленные ННМ) являются устойчивыми не при любых амплитудах колебаний. При достижении некоторой критической амплитуды ННМ может потерять устойчивость в линейном приближении — при любом сколь угодно малом отклонении от точного инвариантного мно гообразия решение будет экспоненциально удалятся от него. Отметим, что исследованию устойчивости в нелинейных цепочках только одной из воз можных ННМ — так называемой пи-моды — посвящено весьма большое число работ разных авторов [55–60]. В связи с вышесказанным весьма актуальным является вопрос о выделении всех возможных симметрийно обусловленных ННМ в нелинейных цепочках и определении областей их устойчивости.

Другим интересным и перспективным объектом исследования явля ются дискретные бризеры, обнаруженные в численных экспериментах в начале 90-х годов прошлого века. В настоящее время такие возбуждения обнаружены в самых разных физических объектах (массивах контактов Джозефсона, квазиодномерных кристаллах, оптических волноводах, фотон ных кристаллах, Бозе-Эйнштейновских конденсатах в оптических ловуш ках, цепочках микромеханических осцилляторов и др. [41]). Дискретные бризеры в основном исследовались в нелинейных одномерных цепочках, где уже сложилась определенная их классификация («четная» мода Сиверса Такены [19] и «нечетная» мода Пейджа [21]), которая вытекает из сим метрии соответствующего профиля колебаний. Однако, целенаправленного поиска дискретных бризеров различной симметрии в более сложных объек тах (например, в плоских решетках) до сих пор не проводилось.

Большинство известных приложений теории бушей мод связано с гамильтоновыми системами, в то время как широкий класс нелинейных систем с дискретной симметрией включает также и диссипативные системы.

Одной из особенностей таких систем является возможность существования в них хаотического поведения, в частности, наличия странных аттракторов.

Примером являются классические системы Лоренца и Ресслера, облада ющими точечными группами симметрии C2 и C1 соответственно (здесь и далее используется нотация точечных групп симметрии по Шенфлису). При этом возникает естественный вопрос о возможности существования систем, принадлежащих к тому же классу (трехмерные диссипативные системы с квадратичными нелинейностями), но обладающих более высокой симмет рией, а также о применении к ним идей теории нелинейных динамических систем с дискретной симметрией.

Цели работы С помощью компьютерного моделирования, теоретико-групповых и аналитических методов выполнить следующие исследования:

1. Вывести все возможные симметрийно-обусловленные нелинейные нормальные моды (ННМ) в одномерных нелинейных цепочках и исследовать их устойчивость по отношению к величинам амплитуд колебаний в моделях Ферми-Пасты-Улама - и -типов.

2. Провести поиск дискретных бризеров разной симметрии в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследовать устойчивость этих динамических объектов.

3. Найти все трехмерные диссипативные системы с квадратичными нели нейностями и выделить те из них, которые допускают хаотическое поведение при определенных значениях своих параметров.

Научная новизна В настоящей диссертационной работе впервые были получены следу ющие научные результаты:

1. Установлено, что в цепочках типа Ферми-Пасты-Улама с периоди ческими граничными условиями в случае потенциала межчастичного взаимодействия общего вида может существовать только 3 симмет рийно-обусловленные ННМ, а в случае четного потенциала имеется 6 таких мод.

2. Предложен метод численного построения диаграмм, позволяющих определять как границы устойчивости ННМ в цепочках из произволь ного числа частиц, так и выделять те совокупности мод, взаимодей ствие с которыми является причиной потери устойчивости рассматри ваемой ННМ.

3. Проведен анализ устойчивости всех возможных симметрийно-обу словленных ННМ в моделях Ферми-Пасты-Улама - и -типов и построены соответствующие диаграммы устойчивости.

4. Предложена классификация дискретных бризеров в кристаллических решетках по точечным подгруппам групп симметрии этих решеток.

5. С помощью компьютерного моделирования рассчитаны различные по симметрии дискретные бризеры в квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследована их устойчивость.

6. Исследован класс трехмерных динамических систем, описываемых автономными дифференциальными уравнениями первого порядка с квадратичными нелинейностями, которые являются инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Установлено, что только 6 из 32-х возможных классов таких систем могут демон стрировать хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров. Этим системам отвечают точечные группы C1, Cs, C2, C3, D2 и S4.

7. Для всех указанных в предыдущем пункте классов систем возмож ность хаотического поведения была подтверждена численным модели рованием.

Научная и практическая значимость Полученные в работе результаты и разработанные методы представ ляют собой вклад в исследование ряда фундаментальных проблем нелиней ной динамики систем с дискретной симметрией. Они могут быть исполь зованы различными коллективами ученых, проводящих исследования в области нелинейной динамики. Об этом, в частности, свидетельствует тот факт, что на опубликованные автором результаты уже имеются ссылки из работ таких известных специалистов, как Н. Забуски [63, 64], Р. Гилмор [65], А. Лихтенберг [66], С. Руффо [66, 67], С. Флах [68] и др.

Предложенный в главе 1 метод построения диаграмм устойчивости и их анализа может использоваться для исследования ННМ в различ ных моделях одномерных и квазиодномерных кристаллов (цепочке Ферми Пасты-Улама [1], Френкеля-Конторовой [69–71], разнообразных диатом ных цепочках и др.).

Предложенная в главе 2 классификация дискретных бризеров по подгруппам группы симметрии соответствующей решетки может использо ваться как при анализе экспериментальных данных, так и с целью предска зания возможных локализованных колебаний в кристаллических структу рах.

Предложенные в главе 3 новые трехмерные диссипативные модели, демонстрирующие хаотическое поведение, могут использоваться для задач информационной безопасности, а двухпараметрическая система с симмет рией D2 является удобной моделью при обучении студентов основам теории динамического хаоса.

Методы исследования и достоверность научных результатов В работе применяются теоретико-групповые, аналитические и числен ные методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравне ний. Достоверность результатов подтверждается согласием аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными в лите ратуре данными.

Положения, выносимые на защиту 1. В математических моделях моноатомных цепочек с периодическими граничными условиями могут существовать только шесть или три нетривиальных симметрийно-обусловленных нелинейных нормаль ных мод (ННМ) Розенберга в зависимости от четности или про извольности потенциала межчастичного взаимодействия. Эти ННМ, явный вид которых приведен в тексте диссертации, являются точными пространственно-периодическими решениями для рассматриваемого класса математических моделей.

2. Предложенный в работе метод построения диаграмм устойчивости симметрийно-обусловленных ННМ в динамических системах с дис кретной симметрией позволяет выявлять ряд качественных законо мерностей картины их устойчивости, в частности, выделять те сово купности степеней свободы, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. Скейлинговые соотношения для цепочек Ферми-Пасты-Улама ( 0) для критической удельной энергии c (N ), при которой происхо дит потеря устойчивости ННМ при числе частиц N, имеют вид:

c 1/N 2 (для 5 ННМ) и c 1/N (для одной ННМ).

4. В результате анализа трехмерных диссипативных систем с квадра тичными нелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп, показано, что только 6 из 32-х возможных систем демонстрируют хаотическое поведение при некото рых значениях своих параметров.

Основные результаты 1. Для моноатомных цепочек предложен метод декомпозиции системы уравнений, линеаризованных в окрестности нелинейной нормальной моды, на независимые подсистемы малой размерности, позволяю щий, с одной стороны, существенным образом упростить анализ ее устойчивости, а с другой стороны — выделить те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой нелинейной нормальной моды Розенберга.

2. На основе вышеуказанного метода декомпозиции рассчитаны диа граммы устойчивости для всех симметрийно-обусловленных нелиней ных нормальных мод Розенберга (указанных выше в первом пункте положений, выносимых на защиту) в цепочках Ферми-Пасты-Улама - и -типов.

3. Полученные диаграммы позволили выявить целый ряд качественных закономерностей потери устойчивости ННМ, в частности:

— были найдены скейлинговые соотношения для порога потери устойчивости ННМ относительно величины их амплитуд Ac при стремлении к бесконечности числа частиц N в цепочке;

— для ННМ B[a4, ai] в модели FPU- и ННМ B[a6, ai, a3 u] в модели FPU- ( 0) обнаружены нулевые значения Ac при любом N ;

— для трех ННМ в модели FPU- ( 0) установлено существова ние критического значения амплитуды (энергии), при превыше нии которого они вновь становятся устойчивыми.

4. С помощью асимптотических методов в термодинамическом пределе (N ) проведено аналитическое исследование скейлинговых соот ношений для порога устойчивости ННМ в цепочке Ферми-Пасты Улама -типа. Полученные результаты хорошо согласуются с резуль татами компьютерного моделирования.

5. Предложено классифицировать дискретные бризеры, являющиеся периодическими во времени и локализованными в пространстве реше ниями динамических уравнений для нелинейных гамильтоновых реше ток, по подгруппам группы инвариантности этих уравнений. В рамках такой классификации с помощью математического моделирования нами были найдены дискретные бризеры с группами симметрии C4v, C4, C2, C2d, локализованные, соответственно, в точках (00), ( 1 2 ), (0 1 ), 2 ( 1 1 ) в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса.

6. Показано, что среди всех трехмерных диссипативных систем уравне ний с квадратичными нелинейностями, инвариантных относительно кристаллографических точечных групп, хаотические режимы колеба ний могут существовать только в системах с группами симметрии C1, Cs, C2, C3, D2 и S4. С помощью компьютерного моделирования для них построены примеры хаотических аттракторов и проведена их класси фикация по подгруппам групп инвариантности этих систем.

7. Среди вышеуказанных трехмерных динамических систем особый интерес представляет система с симметрией D2, которая в отличие от трехпараметрических моделей Лоренца и Ресслера является двух параметрической. Для этой системы исследованы симметрийно-обу словленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов.

Апробация работы и публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 19 рабо тах [72–90]. Из них 2 статьи опубликованы в престижных международных журналах, специализирующихся в области нелинейной динамики, именно, в «Physical Review E» [74] и «Physica D» [76], а одна — в отечественном журнале «Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика» [75].

В соавторстве с В. П. Сахненко и Г. М. Чечиным автором написана отдельная глава «Bushes of normal modes as exact excitations in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry» [77] (103 стр.) в коллективной монографии «Nonlinear Phenomena Research Perspectives» (NY: Nova Sci ence Publishers, 2007), переизданная также в монографии «New Nonlinear Phenomena Research» (NY: Nova Science Publishers, 2008).

Результаты работы докладывались на международных конферен циях «Dynamical chaos in classical and quantum physics» (Новоси бирск, 2003) [78], «Nonlinear dynamics» (Харьков, Украина, 2004) [79, 80], «Chaos—2004» (Саратов, 2004) [81], «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2006) [82], «Nonlinear dynamics of acoustic modes in nite lattices: localization, equipartition, transport» (Дрезден, Гер мания, 2006), «Chaos—2007» (Саратов, 2007) [83], «Nonlinear Science and Complexity» (Афины, Греция, 2008) [84],, «Multiferroics-2» (Ростов-на Дону — Лоо, 2009) [85], а также на нескольких межвузовских студенческих конференциях [86–90]. В 2009 г. по теме диссертации автором были про ведены два семинара в Институте Макса Планка Физики сложных систем (Дрезден, Германия).

Личный вклад автора В совместных работах автор принимал непосредственное участие в постановке задач, проведении компьютерного моделирования и аналитиче ских вычислений, анализе и интерпретации результатов исследований. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Содержание работы В настоящей диссертации с позиций разработанного в рабо тах [46–48] теоретико-группового подхода исследуются различные модели нелинейной динамики, инвариантные относительно преобразований дис кретных групп симметрии.

Первая глава посвящена проблеме существования и устойчивости симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод в цепочках Ферми-Пасты-Улама и, таким образом, представляет собой исследование некоторого конкретного типа регулярных движений в гамильтоновых систе мах с трансляционной симметрией.

Вторая глава посвящена исследованию классификации, существова ния и устойчивости локализованных колебаний (дискретных бризеров) различной симметрии в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса.

Третья глава посвящена выводу и исследованию трехмерных диссипа тивных систем с точечной симметрией, в поведении которых проявляется детерминированный хаос.

Глава Нелинейные нормальные моды и их устойчивость в цепочках с трансляционной симметрией 1.1 Модель Ферми-Пасты-Улама В начале 50-х годов прошлого века в Лос-Аламосской националь ной лаборатории (США) появился первый мощный компьютер MANIAC- (Mathematical Analyzer Numerical Integrator And Computer), который можно было использовать для численных расчетов динамики различных нелинейных систем, не имеющих аналитических решений в замкнутой форме. Поскольку Энрико Ферми всегда интересовали нелинейные задачи физики, он предложил использовать этот компьютер для решения одной из фундаментальных проблем статистической физики, которая связана с про цессом термолизации (установления теплового равновесия) в нелинейных динамических системах большого числа частиц. Именно эта цель привела к образованию исследовательской группы в составе самого Энрико Ферми, математика Станислава Улама, физика Джона Пасты и программиста Мэри Цингу1 [1]. Они решили численно проинтегрировать уравнения движения для одномерной гармонической цепочки точечных масс слабо возмущен О роли М. Цингу–Мензел в этих исследованиях стало известно лишь недавно благодаря усилиям Т. Доксуа [91].

ной нелинейными силами, поскольку невозможно предсказать ее поведение после нескольких сотен периодов колебаний. Ферми, Паста и Улам наме ревались использовать эту модель для получения ответов на различные вопросы, имеющие отношение к статистической механике. Из-за наличия нелинейных членов нормальные моды, возникающие при возбуждении этой системы, начинают взаимодействовать друг с другом, в силу чего происхо дит «перекачка» энергии между ними. Поскольку каждой нормальной моде соответствует некоторая обобщенная степень свободы, то с позиций ста тистической физики кажется естественным предположение о том, что эта динамическая система, в конце концов, должна прийти в состояние термо динамического равновесия.

Однако проведенное компьютерное моделирование привело к уди вительному результату: никакого перехода к термодинамическому равно весию не наблюдалось. Вместо этого наблюдалось явление, получившее название «явление возврата»: через некоторое количество периодов коле баний система практически полностью возвращалась в исходное состояние.

В дальнейшем исследование этого явления привело к созданию теории солитонов в работе Нормана Забуски и Мартина Крускала [6]. К насто ящему моменту времени в рамках этой классической модели открыты и исследуются такие явления, как локализованные моды [19–21], хаотиче ские бризеры [22], q-бризеры [23, 24] и многие другие.

Система Ферми-Пасты-Улама (FPU) является аналогом одномер ного кристалла, совершающего продольные колебания, при учете взаимо действие только между соседними атомами. Если xi означает смещение i-го атома из его начального положения, то гамильтониан такой моноатомной цепочки FPU, состоящей из N частиц, при наличии периодических гранич xi Рис. 1.1. Механическая модель цепочки Ферми-Пасты-Улама.

ных условий2 (xN +1 x1 ) имеет вид N p i + U (xi+1 xi ). (1.1) H= i= Здесь U (x) — некоторый потенциал межчастичного взаимодействия, кото рый в дополнение к обычному гармоническому члену содержит члены более высокого порядка. В оригинальной работе [1] изучались цепочки с куби ческой нелинейностью в потенциальной энергии (такая модель получила название FPU-) x2 U (x) = +x 2 и нелинейностью 4-го порядка (модель FPU-) x2 U (x) = + x.

2 Вид потенциальной энергии в каждой из этих моделей приведен на рис. 1.2.

Заметим, что параметры и можно положить равными единице (1 в случае 0) путем замены переменных x x/ и x x/ || соот ветственно.

Запишем все смещения xi (t) рассматриваемой моноатомной цепочки с периодическими граничными условиями в виде N -мерного конфигураци онного вектора X(t) = {x1 (t), x2 (t),..., xN (t)}.

В оригинальной работе [1] рассматривались фиксированные граничные условия (x0 = xN +1 = 0), однако, как было показано [9], динамику цепочки FPU с фиксированными граничными условиями можно рассмат ривать как частный случай динамики расширенной системы из 2(N + 1) частиц с циклическими граничными условиями.

Рис. 1.2. Графики потенциальной энергии в случае гармонического потен циала (сплошная линия), модели FPU- (пунктирная) и модели FPU- (штриховая линия для 0 и штрих-пунктирная для 0).

В положении равновесия такая цепочка инвариантна относительно оператора сдвига (трансляции) a на постоянную решетки, который цикли чески сдвигает атомы цепочки:

aX(t) = a {x1 (t), x2 (t),..., xN 1 (t), xN (t)} = = {xN (t), x1 (t), x2 (t),..., xN 1 (t)}.

Данный оператор является генератором группы трансляций T, включающей все возможные трансляции в цепочке:

T = {, ak | k = 1, 2,..., N 1} e (здесь e означает тождественное преобразование, и ak последовательное действие k раз оператором a).

Группа симметрии моноатомной цепочки также содержит оператор инверсии i:

iX(t) = {x1 (t), x2 (t),..., xN 1 (t), xN (t)} = i = {xN (t), xN 1 (t),..., x2 (t), x1 (t)}.

Полный набор всех возможных произведений ak чистых трансля i ций ak (k = 1, 2,..., N 1) и инверсии образует так называемую группу i диэдра D:

D = {, ak, ak | k = 1, 2,..., N 1}.

e i, i Если потенциал межчастичного взаимодействия U (x) является чет ной функцией, как это имеет место в цепочке FPU-, то такая модель содержит дополнительный оператор симметрии u, который меняет знак всех смещений на противоположный без перестановки соответствующих частиц:

uX(t) = u {x1 (t), x2 (t),..., xN 1 (t), xN (t)} = = {x1 (t), x2 (t),..., xN 1 (t), xN (t)}.

Таким образом, такая модель инвариантна относительно более высокой группы симметрии D = D {, u} = {, ak, ak u, ak u, u, aku | k = 1, 2,..., N 1}.

e e i, i, i i Для однозначного задания группы симметрии можно не перечислять все элементы группы, а указать лишь генераторы группы симметрии — элементы симметрии, выбранные подходящим образом и в минимальном числе, которые позволяют получить все остальные элементы симметрии группы путем их взаимного умножения. Например, группу трансляций T можно задать в виде [], группу диэдра D как [, и D как [, u].

a a i], a i, Как было показано в работах Г. М. Чечина и В. П. Сахненко [46, 47], каждой подгруппе Gj группы симметрии G динамической системы (в каче стве которой, например, будет выступать группа диэдра D и расширенная группа D в случае моделей FPU- и FPU- соответственно) отвечает опре деленный колебательный режим — буш мод.

1.2 Понятие о бушах мод Буши мод можно рассматривать как некоторый тип точных возбуж дений в нелинейных системах с дискретной симметрией [46–48] (таковыми могут быть макроскопические системы, молекулы и кристаллы). Простей ший способ прийти к понятию бушей мод описан ниже.

Рассмотрим гамильтонову систему из N частиц, обладающую груп пой симметрии G0 в состоянии равновесия. Допустим, что для этой системы можно ввести гармоническое приближение и, таким образом, построить полный набор линейных нормальных мод. Каждая нормальная мода обладает своей собственной группой симметрии Gj, которая явля ется подгруппой группы G0. Возбудим в начальный момент времени только одну нормальную моду, задав соответствующие начальные условия. Эта мода называется «корневой модой». Нормальные моды являются неза висимыми друг от друга только в гармоническом приближении. Если же учесть в гамильтониане нелинейные члены, то возбуждение от корневой моды будет передаваться определенному числу других нормальных мод, которые в начальный момент времени обладали нулевой амплитудой. Это так называемые «вторичные моды». Так как существуют определенные сим метрийно-обусловленные правила отбора [46] для передачи возбуждения между модами различной симметрии3, количество вторичных мод может быть достаточно небольшим.

Заметим, что о существовании правил отбора для передачи возбуждения в модели FPU- было известно и ранее (см., например, [92]), однако это не связывалось с симметрией системы и требовало нетривиального анализа структуры нелинейной части гамильтониана. Таким образом, теоретико-групповой подход дает объ яснение уже известному факту существования правил отбора и является эффективным механизмом вывода таких правил в других нелинейных системах Определение. Полный набор корневой (в некоторых случаях корне вых4 ) и всех вторичных мод, соответствующих ей, образуют буш нормаль ных мод. Количество мод в этом наборе является размерностью данного буша.

Для этого определения существенно, что нормальные моды, получен ные для линейной системы, можно рассматривать как базис для разло жения различных динамических режимов в нелинейной системе. Энергия начального возбуждения оказывается локализованной в буше просто в силу вышеприведенного определения. Количество мод в буше не меняется с течением времени, в то время как их амплитуды претерпевают временную эволюцию.

Для многих механических систем могут быть найдены одномерные, двумерные, трехмерные, четырехмерные, и т. д. буши мод. Отметим, что одномерные буши могут рассматриваться как нелинейные нормальные моды, введенные Розенбергом [53, 54] (подробнее о нелинейных нормаль ных модах см. раздел 1.3 настоящей работы).

Каждый буш обладает своей собственной группой симметрии G, кото рая является подгруппой группы симметрии G0 гамильтониана механи ческой системы. В рассмотренном выше случае, когда буш возбуждается заданием отличной от нуля амплитуды корневой моды, группа симметрии G буша определяется симметрией корневой моды. Симметрия всех остальных мод буша выше или равна симметрии G буша. Проводя дальнейший анализ вышеперечисленных идей, можно прийти к следующему важному утвержде нию [46–48]:

Различные нелинейные динамические режимы физической системы могут быть классифицированы по подгруппам полной группы симметрии G0 рассматриваемой системы.

Существуют буши, для возбуждения которых необходимо в начальный момент времени возбудить одно временно несколько мод, т. к. симметрия таких бушей ниже симметрии каждой из входящих в них мод.

Приведенное выше определение буша мод, будучи достаточно про стым и интуитивно понятным, не обладает, однако, максимальной степенью общности (не всякая гамильтонова система допускает гармоническое при ближение) и удобства. Действительно, построение линейных нормальных мод требует, в общем случае, знания явного вида подлежащего диагона лизации гамильтониана гармонического приближения. Развиваемый же в работах [46–48] теоретико-групповой подход требует лишь знания симмет рии гамильтониана, но не его конкретного вида. В силу этого дадим более общее Определение. Буш мод представляет собой инвариантное много образие, соответствующее некоторой подгруппе G группы симметрии G гамильтониана рассматриваемой системы, разложенное по полному набору базисных векторов всех неприводимых представлений (НП) группы симмет рии G0.

Поясним это определение следующим образом. Набор базисных век торов j (j = 1, 2,..., N ) всех НП группы симметрии G0 образует базис в пространстве всех возможных смещений частиц рассматриваемой меха нической системы. В силу этого любой нелинейный динамический режим, определяемый набором смещений xk (t) (k = 1, 2,..., N ) в произвольный момент времени t и записанный в форме вектора X(t) = {x1 (t), x2 (t),..., xN (t)}, (1.2) может быть представлен в форме N (1.3) X(t) = µj (t)j.

j= Для случая линейной механической системы µj (t) = aj cos(j t + j ) и, таким образом, формула (1.3) представляет собой разложение по обычным нормальным модам. В отличие от этого, для нелинейной системы в теории бушей мод в разложении (1.3) фигурируют зависящие от времени функции µj (t), которые определяются некоторой системой обыкновенных дифферен циальных уравнений, число которых равно размерности буша.

Определение. j-ой модой будем называть слагаемое µj (t)j в фор муле (1.3), которое определяет как пространственную (j ), так и временную (µj (t)) составляющую некоторого динамического режима. В дальнейшем для краткости под термином «мода» будем часто иметь в виду лишь вре менную функцию µj (t).

Обсуждаемая теория применима не только для гамильтоновых, но также и для диссипативных систем5, что будет продемонстрировано в главе 3.

Важно подчеркнуть, что определенные таким образом буши мод явля ются симметрийно-обусловленными динамическими объектами: набор мод, входящих в буш, не зависит от взаимодействий между частицами системы. Учет специфического характера этих взаимодействий может только уменьшить размерность буша.

Более того, в общем случае нужно говорить о бушах симметрических мод, а не нормальных мод. Под симметрической модой понимается про изведение симметрической координаты j (базисного вектора неприво димого представления «родительской» группы G0 ) на некоторую функцию времени µj (t), которую для краткости будем называть амплитудой моды.

Разложение указанного в определении буша инвариантного много образия по базисным векторам неприводимых представлений группы G играет очень важную роль. Действительно, различные НП описывают трансформационные свойства динамических переменных, соответству ющих различным физическим характеристикам рассматриваемой системы. Например, некоторые НП являются активными в инфракрасных или рамановских экспериментах, в то время как другие неактивны в оптике, но играют существенную роль в нейтронографии, и т. д. [48] В конкретных исследованиях в качестве группы G0 может фигурировать группа симметрии состояния равновесия, группа симметрии гамильтониана или группа симметрии динамических уравнений, описывающих рассматриваемую механическую систему.

Говоря о группе симметрии отдельной моды или буша, мы имеем в виду симметрию набора мгновенных смещений частиц системы, которые соответ ствуют моде или бушу. Рассматривая группу симметрии смещений частиц и комплект принадлежащих бушу мод, мы имеем дело с геометрическим аспектом буша. Как уже говорилось, этот аспект не зависит от взаимодей ствий между частицами в системе.

С другой стороны, говоря о дифференциальных уравнениях, описы вающих временную зависимость амплитуд мод буша, мы имеем дело с динамическим аспектом буша. В этом смысле, буш представляет собой приведенную динамическую систему, размерность которой, как правило, значительно меньше, чем размерность исходной физической системы. Оче видно, что динамический аспект буша, в отличие от его геометрического аспекта, зависит от взаимодействий между частицами.

Моды буша связаны между собой так называемыми «силовыми вза имодействиями», в то время как со всеми другими модами они связаны «параметрическими взаимодействиями» [48]. Последние могут привести к потере устойчивости буша, если амплитуды его мод становятся достаточно большими [26, 46, 48, 52], из-за явления, аналогичного хорошо известному параметрическому резонансу. В этом случае имеет место нарушение сим метрии колебательного состояния системы и, как последствие, данный буш преобразуется в буш большей размерности.

Рассмотрим произвольную гамильтонову систему с N степенями сво боды, которой в ее состоянии равновесия соответствует группа дискретной (точечной или пространственной) симметрии G0. Пусть N -мерный век тор X(t) определяет смещения xi (t) (i = 1, 2,..., N ) всех частиц этой системы в момент времени t из соответствующих им положений равновесия.

Как уже говорилось, бушу мод B[G] отвечает некоторая подгруппа G исходной группы симметрии G0 (G G0 ). Каждому элементу симметрии g G0, действующему в трехмерном евклидовом пространстве, можно общепринятым образом сопоставить оператор g, действующий в простран стве N -мерных векторов (1.2):

g X(t) = {g 1 x1 (t), g 1 x2 (t),..., g 1 xN (t)}. (1.4) В силу этого, любой подгруппе G G0 соответствует изоморфная ей группа операторов G:

G = { | g G}.

g В вышеприведенных обозначениях условие инвариантности «конфи гурационного» вектора X(t), соответствующего рассматриваемому бушу B[G], относительно группы G можно записать в форме g X(t) = X(t) для всех g G или в более удобной эквивалентной форме:

(1.5) GX(t) = X(t).

Первый и самый непосредственный способ построения буша B[G] состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений (1.5).

Этот метод в работе [48] был назван «прямым». Аналогичный метод был использован в [26] для построения базисных векторов неприводимых пред ставлений группы симметрии G0 = T (группы трансляций).

Отметим, что при построении бушей мод для достаточно сложных физических систем, например, для кристаллов, у которых в примитив ной ячейке имеется большое число атомов разных сортов, вышеуказан ный метод может оказаться весьма сложным. Поэтому вместо него может использоваться метод «расслоения орбит» исходной пространственной группы симметрии G0, или же метод, основанный на использовании раз ложения конфигурационного вектора X(t) по базисным векторам непри водимых представлений группы G0. Обзор вышеуказанных методов можно найти в работе [93].

Поскольку полный набор базисных векторов неприводимых представ лений, построенных на смещениях частиц, образует базис механического (колебательного) представления, то можно сначала найти соответствующий данному бушу B[G] конфигурационный вектор X(t), после чего уже раз ложить этот вектор по базисным векторам (модам) индивидуальных НП группы симметрии G0. В случае моноатомной цепочки можно прийти, таким образом, к формуле (14) из работы [26]:

N 1 N (1.6) X(t) = µj (t)j = j (t)j.

j=0 j= В зависимости от удобства, можно использовать либо разложение вектора X(t) по комплексным модам j, либо по действительным модам j (j = 0, 1,..., N 1). Явный вид базисных векторов j и j приведен в [26]:

1 2jk exp i (1.7) j = k = 1, 2,..., N, N N 1 2jk 2jk (1.8) j = cos + sin k = 1, 2,..., N.

N N N 1.3 Понятие о нелинейных нормальных модах (ННМ) Введенные Р. М. Розенбергом нелинейные нормальные моды [53, 54] в механических системах являются обобщением нормальных колебаний линейных систем и представляют собой такие периодические колебания, при которых в любой момент времени смещения всех частиц пропорцио нальны смещению одной из них:

(x x1 ). (1.9) xi (t) = ci x(t) (i = 2, 3,..., N ) В настоящее время метод нелинейных нормальных мод (ННМ) находит широкое применение в механике [94].

Подставляя (1.9) в уравнения движения U xi + =0 (i = 1, 2,..., N ), xi получаем систему уравнений U x+ (x, c2 x,..., cN x) = 0, x U ci x + (x, c2 x,..., cN x) = 0 (i = 2, 3,..., N ).

xi Условия эквивалентности этих дифференциальных уравнений приво дят к равенствам U U (1.10) ci (x, c2 x,..., cN x) = (x, c2 x,..., cN x) (i = 2, 3,..., N ).

x xi Пусть U (r) означает такую составляющую в потенциальной энергии, которая содержит члены r-й степени по x, x2,..., xN. Равенства (1.10) должны быть выполнены при любых значения x. Поэтому они распадаются на систему соотношений для различных степеней x:

U (r) U (r) ci (1, c2,..., cN ) = (1, c2,..., cN ) (i = 2, 3,..., N ;

r = 2, 3, 4,...).

x xi Розенбергом были выделены некоторые классы нелинейных систем, допускающих нелинейные нормальные моды [94]:

1) Механические системы, потенциал которых представляет собой чет ную однородную функцию переменных с показателем однородности r + 1:

a1 2...n 1 x1 x2 · · · xn.

U= n r+ 1 +2 +...+n =r+ i =0,1,2,...,r+ Доказано, что такая система допускает не менее n нелинейных нор мальных мод.

2) Механические системы с потенциальной энергией n n n b(l) l+ 1 (l) aij (xi xj )l+1 + U= x.

l+1 i l+1 i=1 j=i+1 l=1 i= l= 1.4 Вывод симметрийно-обусловленных ННМ в модели Ферми-Пасты-Улама Как уже упоминалось ранее, в работах [46, 47] был разработан новый подход к нелинейной динамике механических систем с дискретной сим метрией, основанный на концепции «бушей нормальных мод», в рам ках которого симметрийно-обусловленные нелинейные нормальные моды (СО-ННМ) являются одномерными бушами.

В силу простоты рассматриваемой сейчас механической системы — моноатомной цепочки — в работах [72, 73, 76] нами были найдены век торы X(t) для бушей мод с помощью простого геометрического метода, после чего сделано их разложение по базисным векторам неприводимых представлений группы трансляций T в соответствии с формулой (1.6), что равносильно разложению X(t) по обычным нормальным координатам.

В результате проделанной работы были получены все симметрийно обусловленные буши мод в нелинейных моноатомных цепочках Ферми Пасты-Улама для группы диэдра, а также более широкой группы («рас ширенной» группы симметрии), учитывающей четность потенциала вза имодействия соседних частиц в цепочке (что имеет место, например, в цепочке FPU-). Список всех6 полученных симметрийно-определенных ННМ (одномерных бушей мод) приведен в таблице 1.1. В первом столбце в квадратных скобках, входящих в символ нелинейной нормальной моды, указаны генераторы ее группы симметрии. Во втором столбце таблицы при ведены смещения частиц в пределах одной примитивной ячейки колебатель ного состояния цепочки. В третьем столбце представлены соответствующие колебательные режимы в виде разложения по нормальным координатам рассматриваемой моноатомной цепочки. В четвертом столбце приведены динамические уравнения ННМ для случаев цепочек FPU- и FPU-.

Группа симметрии ННМ определяется набором своих генераторов, которые записаны в квадратных скобках. Например, запись B[a3, i] озна чает, что ННМ с одной стороны, инвариантна относительно трансляции на три частицы (3 ), т. е. в любой момент времени t может быть записана в a В таблице не приведены так называемые «домены» ННМ (подробнее см. в работе [76]). Например, у ННМ B[a3, i] (|x, 0, x|) есть домены B[a3, ai] (|0, x, x|) и B[a3, a2 i] (|x, x, 0|), которые сводятся друг к другу простой перенумерацией частиц в системе, и потому в действительности описывают один и тот же дина мический режим.

Таблица 1. Нелинейные нормальные моды (одномерные буши мод) в нелинейных моноатомных цепочках ННМ Шаблон Разложение по Уравнение смещений модам ННМ FPU B[a2, i] |x, x| N/2 + 4 = 36 B[a3, i] |x, x, 0| 2 (N/3 2N/3 ) + 3 = 2 N B[a4, ai] |x, 0, x, 0| 2 (N/4 + 3N/4 ) + 2 = FPU 16 B[a2, i] |x, x| + 4 = N/2 N 27 B[a3, i] |x, x, 0| 2 (N/3 2N/3 ) + 3 = 2N + 2 = B[a4, ai] |x, 0, x, 0| 2 (N/4 + 3N/4 ) N 27 B[a3, iu] |x, x, 2x| + 3 = 2 (N/3 + 2N/3 ) 2N + 2 = B[a4, iu] |x, x, x, x| N/4 N 3 B[a6, ai, a3 u] |x, x, 0, x, x, 0| 2 (N/6 5N/6 ) + = 2N Примечание. В квадратных скобках, входящих в символ буша (ННМ), ука заны генераторы группы симметрии этого буша. Здесь a — трансляция на одну элементарную ячейку, i — инверсия относительно центра цепочки, u — изменение знаков всех смещений. Заметим, что для однозначного задания симметрии ННМ B[a6, ai, a3 u] достаточно генераторов a3 u и ai, однако мы включаем в описание ННМ также элемент a6 = (a3 u)2, описывающий транс ляционную симметрию ННМ.

форме X(t) = { x1 (t), x2 (t), x3 (t) | x1 (t), x2 (t), x3 (t) | x1 (t), x2 (t), x3 (t) |... }, а с другой стороны, инвариантна относительно отражения в плоскости, про ходящей через один из атомов цепочки ( что в данном случае приводит к i), дополнительным условиям на допустимые атомные смещения x1 (t) = x2 (t) и x3 (t) = x3 (t), или в окончательном виде X(t) = { x(t), x(t), 0 | x(t), x(t), 0 | x(t), x(t), 0 |... }.

Из процедуры построения следует условие существования такого решения:

N mod 3 = 0. Аналогичные условия с очевидностью следуют и для осталь ных ННМ, перечисленных в таблице 1.1.

Для однозначного задания функции (t) на полученное решение X(t) = c(t) можно наложить условие нормировки |c| = 1, после чего воз можно разложить вектор c по нормальным координатам (модам) из (1.8) и получить уравнение движения для функции (t) подстановкой X(t) = c(t) в исходные уравнения движения.

Подчеркнем, что вывод данных ННМ основан только на анализе подгрупп групп симметрии рассматриваемых цепочек, в силу чего их суще ствование не привязано исключительно к модели Ферми-Пасты-Улама.

Приведенные в таблице 1.1 ННМ могут реализовываться в математических моделях любых моноатомных цепочек с периодическими граничными усло виями (например, в модели Френкеля-Конторовой [69–71]), и таких ННМ может быть только шесть или три в зависимости от четности или про извольности потенциала межчастичного взаимодействия8.

Наличие симметрии ak у колебательного состояния цепочки означает, что полный набор смещений можно разбить на идентичные «блоки» длиной k частиц, каждый из которых в кристаллографии принято называть расширенной элементарной ячейкой (РЭЯ). В таблице 1.1 каждая ННМ описывается лишь набором соответствующих ей смещений в пределах одной РЭЯ.

В случае моноатомной цепочки с потенциалом подложки существует также дополнительная ННМ B[a] (|x|), которая описывает движение системы как единого целого во внешнем потенциале, но в случае модели FPU такая ННМ может не рассматриваться в силу отсутствия внешнего потенциала.

Полученные ННМ являются точными решениями рассматриваемой нелинейной модели с N степенями свободы. Так как уравнения движения ННМ в гамильтоновой системе имеют вид U () = (см. примеры таких уравнений в таблице 1.1), то можно записать для них решение в квадратурах (здесь E — энергия ННМ):

(t) d t=, 2(E U ()) (0) а в некоторых случаях и в явном виде. Так, например, для ННМ B[a2, i] и B[a4, ai] в модели FPU- имеем решение (t) = A cos t, а для всех ННМ в модели FPU- решение можно выразить через эллиптические функции в виде (t) = A cn(t;

k 2 ) (явный вид решения приведен в разделе 1.9.2).

1.5 Понятие об устойчивости бушей мод В общем случае, понятие об устойчивости бушей мод обсуждалось в [46–48], а их устойчивость в цепочке FPU- была частично рассмот рена в [26]. Аналогично этим работам, будем рассматривать устойчивость ННМ по отношению к ее взаимодействию со всеми другими модами (см. определение на стр. 25). Проиллюстрируем эту идею на следующем при мере.

Для цепочки FPU- двумерный буш B[a4, i] описывается следующими уравнениями (см. [76]).

µ + 4µ 2 = 0, (1.11) N + 2 µ = 0. (1.12) N Эти уравнения допускают решение вида (t) 0. (1.13) µ(t) = 0, Колебательный режим такого типа может быть возбужден заданием опре деленных начальных условий: µ(t0 ) = µ0 = 0, µ(t0 ) = 0, (t0 ) = 0, (t0 ) = 0.


Подставляя решение (1.13) в (1.11), получаем динамическое уравнение одномерного буша (ННМ) B[a2, i] (см. таблицу 1.1), содержащего только одну моду µ(t) (1.14) µ + 4µ = с тривиальным решением (1.15) µ(t) = µ0 cos(2t).

Подставляя (1.15) в (1.12), получим 8µ + 2 cos(2t) = 0. (1.16) N Это уравнение может быть легко приведено к стандартной форме урав нения Матье [95] + [a 2q cos(2t)] = 0. (1.17) Как известно, для уравнения Матье (1.17) существуют области устой чивого и неустойчивого движения в плоскости параметров a и q. Одномер ный буш B[a2, i] устойчив для достаточно маленьких амплитуд µ0 моды µ(t), но становится неустойчивым при увеличении этой амплитуды. Это явле ние, подобное параметрическому резонансу, имеет место для тех значе ний µ0, которые лежат в областях неустойчивого движения уравнения типа Матье (1.16). Потеря устойчивости динамического режима (1.13) (ННМ B[a2, i]) проявляется в появлении моды (t), которая была тожде ственно равна нулю10 для этого колебательного режима (1.13). В результате размерность первоначального одномерного буша мод B[a2, i] увеличива ется, и он трансформируется в двумерный буш B[a4, i]. Это преобразование Мы всегда можем положить начальную фазу в решении (1.15) равной нулю, выбрав соответствующим образом момент начала отчета времени.

В действительности, для развития неустойчивости необходима пусть бесконечно малая, но отличная от нуля начальная амплитуда (0).

сопровождается нарушением симметрии колебательного режима (симмет рия буша B[a2, i] вдвое выше, чем у буша B[a4, i]).

В общем случае, данный буш рассматривается как устойчивый дина мический объект, если полный комплект его мод (и, таким образом, его размерность) не изменяется со временем. Все остальные моды в системе, согласно определению буша как полного комплекта «активных» мод, обла дают нулевыми амплитудами (они являются «спящими» модами). Если увеличивать амплитуду колебаний буша, некоторые из спящих мод, из-за параметрического взаимодействия с активными модами, могут потерять свою устойчивость и стать возбужденными. В этой ситуации можно гово рить о потере устойчивости исходного буша, так как размерность колебательного режима (число активных мод) становится больше, в то время как его симметрия становится ниже. Как следствие потери устойчиво сти, исходный буш преобразуется в другой буш более высокой размерности.

Как только что было описано, потеря устойчивости ННМ B[a2, i] отно сительно ее преобразования в буш B[a4, i] может быть исследована при помощи уравнения Матье. Но если наша нелинейная цепочка содержит N частиц, то нужно анализировать устойчивость ННМ B[a2, i] не только по отношению к моде (t) буша B[a4, i], но и по отношению ко всем другим модам нашей механической системы. Это может быть сделано при помощи метода Флоке [96].

Метод Флоке является стандартным методом исследования устой чивости периодического движения [97]. В этом методе мы линеаризуем уравнения движения в окрестности периодического решения и вычис ляем матрицу монодромии (фундаментальную матрицу системы11 X(T ) с начальными условиями X(0) = 1). Тогда, если все мультипликаторы j (собственные значения матрицы монодромии) лежат на единичной окружно сти (|j | = 1), то система является устойчивой в линейном приближении.

В противном случае (один из мультипликаторов |j | 1), система является Здесь T — период колебаний, а 1 — единичная матрица.

неустойчивой в линейном приближении. Таким образом, собственные значения матрицы монодромии полностью определяют динамику малых воз мущений периодического решения.

Линеаризуем уравнения движения в окрестности периодического режима X(t) = c (t), соответствующего рассматриваемой ННМ. Для этого введем малое возмущение (t) рассматриваемого колебательного режима и подставим выражение xj (t) = cj (t) + j (t) (j = 1, 2,..., N ) в исходные уравнения движения, оставляя только линейные по j (t) члены.

В результате получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (1.18) = B(t), где матрица B(t) в случае модели FPU- имеет следующие отличные от нуля элементы:

Bj,j = 2 2 (t)(cj+1 cj1 ), 1 + 2 (t)(cj cj1 ), Bj,j1 = 1 + 2 (t)(cj+1 cj ).

Bj,j+1 = Для модели FPU- аналогичная матрица имеет вид Bj,j = 2 3 2 (t) (cj+1 cj )2 + (cj cj1 )2, 1 + 3 2 (t) (cj cj1 )2, Bj,j1 = 1 + 3 2 (t) (cj+1 cj )2.

Bj,j+1 = Систему (1.18) можно исследовать методом Флоке. Недостатком дан ного подхода является сложность проведения вычислений при больших значениях N (особенно при переходе к пределу N ), так как при этом необходимо, с одной стороны, интегрировать систему из N связанных дифференциальных уравнений, и, с другой стороны, находить собственные значения матрицы 2N 2N.

Однако в работе [26] для ННМ B[a2, i] в цепочке FPU- был пред ложен метод исследования устойчивости, который лишен этого недостатка.

Приведем вкратце отдельные результаты работы [26].

В модальном пространстве динамические уравнения цепочки FPU- могут быть записаны в следующем виде (см. [26]):

N 2k 2j = j + j j k (j+k + jk ) 2 sin + sin + N N N (1.19) k= 2k 2j (jk j+k ) 2 sin sin, N N j j = 4 sin, j = 0, 1, 2,..., N 1.

N Здесь j (t) — зависящий от времени коэффициент перед базисным вектором j (1.8) в разложении (1.6), который для краткости, будем назы вать термином «мода» (несмотря на то, что этот термин соответствует произведению j (t)j ). Номера всех мод j (t) в (1.19) предполагаются N 1 прибавлением ±N. Мода 0 исклю приведенными к интервалу 1 i чается из рассмотрения колебательных бушей, так как она соответствует движению цепочки как единого целого.

Рассматриваемый нами буш B[a2, i] состоит только из одной моды N/2 (t) и имеет следующий вид:

B[a2, i] = N/2 (t)N/2, (1.20) где N/2 определяется (1.8). Динамическое уравнение для моды N/2 (t) можно получить из (1.19) полагая, что все остальные моды равны нулю:

j (t) 0, j = N. Имеем:

N/2 + N/2 N/2 = 0, или (1.21) N/2 + 4N/2 = 0.

Решение этого уравнения может быть записано в виде (1.22) N/2 (t) = A cos(2t) (начальную фазу в этом решении можно положить равной нулю анало гично (1.15) ). Линеаризуя систему (1.19) около точного решения (1.20), получаем следующие приближенные уравнения 8 2j j + j j = sin (1.23) N/2 N/2j, N N j N N j = 4 sin2, j = 1, 2,..., 1, + 1,..., N 1.

N 2 Система (1.23) расщепляется на подсистемы, содержащие только одно или два уравнения. Действительно, мода j (t) в (1.23) связана с модой k (t), где k = N j, и наоборот, мода k (t) связана с N/2k j. Таким обра зом, для j = 1, 2,..., N 1 получаются следующие пары линеаризованных уравнений, которые являются независимыми друг от друга:

j 2j j + 4 sin2 j = sin N/2j cos(2t), N N (1.24) j 2j N/2j = sin N/2j + 4 cos j cos(2t), N N 8A N =, 1.

j = 1, 2,..., N N Здесь подставлено N/2 (t) = A cos(2t) из (1.22). Для j = + 1,..., N 1 получаются уравнения, эквивалентные уравнениям (1.24) [26].

Если j = N j и, следовательно, j = N, уравнения (1.24) превраща 2 ются в пару одинаковых уравнений вида N/4 + 2N/4 = N/4 cos(2t), (1.25) каждое из которых является уравнением Матье. Эти уравнения соответ ствуют рассмотренному ранее случаю потери устойчивости ННМ B[a2, i] за счет его перехода в двумерный буш B[a4, i], содержащий моды µ(t) N/2 (t) и (t) 3N/4 (t).

Удобно переписать уравнения (1.24) в виде:

x + 4 sin2 (k)x = sin(2k)y cos(2t), (1.26) y + 4 cos2 (k)y = sin(2k)x cos(2t), j где k = N, x(t) = j (t) и y(t) = N/2j (t). Таким образом, изучение потери устойчивости ННМ B[a2, i], связанное с ее взаимодействием с модой N/ (и 3N/4 ), сводится к анализу уравнения Матье (1.25), а изучение потери устойчивости по отношению ко всем остальным модам сводится к анализу уравнений (1.26). При этом объем вычислений, необходимых для исследо вания устойчивости ННМ B[a2, i] методом Флоке растет линейно с увеличе нием N.

В работе [26] было обращено внимание на тот факт, что несмотря на то, что критическое значение c константы из (1.24), соответствующее потере устойчивости ННМ B[a2, i], казалось бы, должно было зависеть от номера моды j, численные расчеты показывают, что это значение не зависит от номера моды и приближенно равно c 2.42332.

1.6 Устойчивость ННМ в модели Ферми-Пасты Улама Описанный выше результат работы [26] послужил толчком к рассмот рению в рамках настоящей диссертационной работы устойчивости всех СО-ННМ в цепочках FPU- и FPU-. Как уже отмечалось в разделе 1.4, существует три таких ННМ для любой моноатомной нелинейной цепочки с группой симметрии диэдра, а для модели FPU- существуют три дополни тельные ННМ, т. к. четность потенциала означает появление дополнитель ного элемента симметрии.

Точные динамические уравнения в модальном пространстве для цепочки FPU- были приведены ранее (1.19). Мы хотим линеаризовать эти уравнения около решения, представляющего собой нелинейную нор мальную моду. Существует три одномерных буша, связанных с подгруппами группы диэдра моноатомной цепочки из N частиц (см. табл. 1.1): B[a2, i] для N mod 2 = 0, B[a3, i] для N mod 3 = 0, B[a4, ai] для N mod 4 = 0. Они 1 образованы модами (t)N/2, (t) 2 (N/3 2N/3 ), (t) 2 (N/4 + 3N/4 ), соответственно. Заметим, что ННМ B[a3, i] (как и B[a4, ai]) является супер позицией сопряженных мод12.

Рассмотрим ННМ B[a3, i]. Линеаризуя динамические уравнения цепочки FPU- около решения X0 (t) = (t)(N/3 2N/3 )/ 2, нужно под ставить амплитуды N/3 (t) = (t)/ 2 и 2N/3 (t) = (t)/ 2 в (1.19) и счи тать амплитуды всех остальных мод j (t) (j = N/3, 2N/3) бесконечно малыми. Затем оставим в (1.19) только линейные по модам j (t) (j = N/3, 2N/3) члены. В результате получим 6 2j 2j j + j j = (t) 1 + 3 sin cos N/3+j + N N N (1.27) 2j 2j + 1 3 sin cos 2N/3+j, N N j = 1, 2,..., N 1.

Очевидно, что для любого фиксированного j, моды j, N/3+j и 2N/3+j связаны друг с другом уравнением (1.27), но независимы от всех других мод. Таким образом, получим для j = 1, 2,..., N 1 следующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффи циентами, пропорциональными функции (t):


j + j j = (t) 1 2 cos 2j + N/3+j + 1 2 sin 2j + 2N/3+j, N N 3 N N/3+j + j N/3+j = (t) 1 2 cos 2j + j + 1 + 2 cos 2j 2N/3+j, N N 3 N 2N/3+j + 2N/3+j 2N/3+j = N6 (t) 1 2 sin 2j + j + 1 + 2 cos 2j N/3+j.

N 6 N (1.28) В работе [26] было предложено называть сопряженными две вещественные моды j и N j, если соот ветствующие им комплексные моды j и N j являются комплексно сопряженными.

Функция (t) является решением уравнения движения 36 (1.29) + 3 = 2 N рассматриваемой ННМ B[a3, i] (см. таблицу 1.1).

Аналогично описанному выше, можно получить системы дифферен циальных уравнений для исследования устойчивости остальных ННМ.

Результат применения этой процедуры ко всем ННМ в цепочках FPU и FPU- приведен в табл. 1.2 и 1.3 соответственно. Как можно уви деть из этих таблиц, полные системы линеаризованных дифференциальных уравнений, соответствующие различным ННМ расщепляются на отдель ные подсистемы, размерности которых равны 1, 2, 3, или 4. То есть от трехдиагональной матрицы B (1.18) удается перейти к блочно-диаго нальной. Как было в дальнейшем показано Г. М. Чечиным и К. Г. Жуковым в работе [98], полученное расщепление является прямым следствием сим метрии исходной системы и рассматриваемых динамических режимов.

Используя таблицы 1.2 и 1.3 можно исследовать устойчивость всех ННМ при помощи метода Флоке, применяя его не ко всей исходной системе, а лишь для систем вышеуказанных малых размерностей.

1.7 Диаграммы устойчивости ННМ в цепочке FPU ННМ B[a2, i] 1.7. Запишем систему (1.26) в виде x + 4 sin2 q x = 8A sin(q)y cos(2t), (1.30) q y + 4 cos y = 8A sin(q)x cos(2t), где A = N, q = 2j. Эта система зависит только от двух параметров (пере A N нормированной амплитуды A и волнового числа q), что позволяет построить диаграмму устойчивости ННМ B[a2, i] на плоскости (q, A ). Алгоритм такого Таблица 1. Линеаризованные уравнения для исследования устойчивости ННМ в цепочке FPU B[a2, i]:

+ 4 = q +q q = N (t)q sin q q +q q = N (t)q sin q B[a3, i]:

+ 3 = 3 N6 q +q q = N6 (t) (12 cos(q+ )) 2 +q +(12 sin(q+ )) 4 +q 3 3 (12 cos(q+ ))q +(1+2 cos q) 4 +q 2 +q = N (t) 2 +q + 2 3 +q 3 3 (12 sin(q+ ))q +(1+2 cos q) 2 +q 4 +q = N (t) + 4 +q 3 +q 3 3 B[a, ai]:

+ 2 = q +q q = 2N2 (t) (1 2 cos(q+ )) +q +(1 2 sin(q+ )) 3 +q 4 +2 = 22 (t)[(12 cos(q+ ))q +(1+2 sin(q+ 2 ))+q ] 2 +q +q 4 2 +q 2 N ( ( )) ( ( )) 3 +q 2 2 +q ++q +q = N (t) 1+ 2 sin q+ +q + 1+ 2 cos q+ [( ( )) ( ( ))+q ] 2 3 +q + 3 3 +q = N (t) 1 2 sin q+ 4 q + 1+ 2 cos q+ 2 +q Здесь (t) описывает динамику заданной ННМ, q = 2j — волновое число, N q определяемое номером j «спящих» мод, q = 2 sin 2 — частота колебаний, отвечающая волновому числу q.

Таблица 1. Линеаризованные уравнения для исследования устойчивости ННМ в цепочке FPU B[a2, i]:

+ 4 = 16 N q +[1+ 12 2 (t)]q q = N B[a3, i]:

+ 3 = 27 2N q +q q = 18 2 (t) sin q q q q 2q sin 2 2 +q sin( 2 + )+ 4 +q sin( 2 + 2 ) N 3 3 2 +q = 18 2 (t) sin( 2 + ) q sin 2 +2 2 +q sin( 2 + ) 4 +q sin( 2 + 2 ) q q q q 2 +q + 2 N 3 3 3 +q 3 3 + 4 4 +q = 18 2 (t) sin 2 + q q q q ( ) sin( )+2 4 +q sin( 2 + 2 ) 2 2 +q q sin 2+ N 3 3 +q 3 +q 3 3 B[a4, ai]:

+ 2 = 4 N q +[1+ 6 2 (t)]q q = N B[a3, iu]:

+ 3 = 27 2N q +q q = 18 2 (t) sin q q q q 2q sin 2 + 2 +q sin( 2 + ) 4 +q sin( 2 + 2 ) N 3 3 2 +q = 18 2 (t) sin( 2 + ) q sin 2 +2 2 +q sin( 2 + )+ 4 +q sin( 2 + 2 ) q q q q 2 +q + 2 N 3 3 3 +q 3 3 + 4 4 +q = 18 2 (t) sin 2 + q q q q ( ) q sin 2 + 2 +q sin( 2 + )+2 4 +q sin( 2 + 2 ) N 3 3 3 +q 3 +q 3 3 B[a4, iu]:

+ 2 = 8 N q +[1+ 6 2 (t)]q q = 12 2 k sin q N N q +[1+ 6 2 (t)]q q = 12 2 q sin q N N 6 B[a, ai, a u]:

+ = 2N q +q q = 6 2 (t) sin 2 2q sin 2 + 2 +q sin( 2 + ) 4 +q sin( 2 + 2 ) q q q q N 3 3 2 +q = 6 2 (t) sin( 2 + ) q sin 2 +2 2 +q sin( 2 + )+ 4 +q sin( 2 + 2 ) q q q q 2 +q + 2 +q N 3 3 3 3 3 4 +2 4 = 6 2 (t) sin( q + 2 ) q sin q + 2 sin( q + )+2 4 sin( q + 2 ) +q 4 +q N 2 3 2 2 3 2 3 +q 3 +q 3 +q 3 A q 0 Рис. 1.3. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки FPU-, взаимодействующих параметрически с ННМ B[a2, i].

построения подробно будет описан далее (стр. 65). На рис. 1.3 каждая точка (q, A ) определяет конкретное значение амплитуды A корневой моды буша B[a2, i] и конкретное значение q = 2j, которое связано с номером j моды.

N N Черные точки (q, A ) соответствуют случаю, когда мода j = q 2 возбужда ется за счет параметрического взаимодействия с ННМ B[a2, i]. Белый цвет означает противоположный случай: мода j продолжает оставаться с нуле вой амплитудой, несмотря на взаимодействие с данной ННМ. Пунктирные вертикальные линии соответствуют модам (j = 1, 2,..., 12) цепочки FPU с N = 12 частицами (им отвечают волновые числа q =,,,..., 11, 2).

632 Возникновение в рассматриваемой системе любой моды (кроме исходной ННМ) означает потерю устойчивости этой ННМ.

Исходя из полученного в работе [26] результата, что граница обла сти устойчивости c не зависит от k (или q) можно было бы подумать, что должна существовать такая замена переменных, которая бы устранила зависимость коэффициентов уравнений (1.30) от параметра q. Однако, из полученной диаграммы видно, что это не так. На рис. 1.3 имеется не только первая, но и вторая зона устойчивости ННМ B[a2, i]. Первая зона выглядит как горизонтальная полоса около оси q, а вторая — как два белых тре угольника над этой полосой (вертикальная ось соответствует значению A амплитуды ННМ B[a2, i]). Это означает, что для второй зоны существует зависимость устойчивости от номера моды.

При исследовании любой задачи бывает удобно тем или иным спо собом свести к минимуму количество свободных параметров, от которых может зависеть результат. Например, как было упомянуто ранее, в моделях FPU- и FPU- можно соответствующим масштабированием смещений положить = 1 и = ±1 (знак остается неизменным).

В (1.8) стоит множитель 1/ N, который следует из соотношения нормировки |j |2 = 1. Из-за этого при одной и той же амплитуде ННМ зна чение смещений частиц стремится к нулю при N, и сами динамические уравнения в модальном пространстве содержат N в своих коэффициентах.

Однако, если мы рассмотрим набор базисных векторов 2jk 2jk (1.31) j = cos + sin k = 1, 2,..., N, N N нормированных как |j |2 = N (т. е. на «объем» системы), то зависящие от N множители не будут возникать в уравнениях движения, что хорошо иллюстрируется системой 1.30, которая и соответствует такой замене пере менных.

Заметим, что переход от «классических» уравнений движения, содер жащих, и N, к форме, не содержащей этих величин, осуществляется формальной подстановкой = 1, = ±1 и N = 1 (за исключением индек сов у нормальных мод) в эти уравнения. Поэтому представляется удобным сохранять эти величины в последующих выкладках и переходить к «новой»

нормировке лишь на заключительной стадии построения диаграмм устойчи вости.

ННМ B[a3, i] 1.7. В конфигурационном и модальном пространствах эта ННМ выглядит, соответственно как:

X(t) = {x(t), x(t), 0 | x(t), x(t), 0 |...} = (t) N/3 2N/3 / 2.

(1.32) A q 0 Рис. 1.4. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки FPU-, взаимодействующих параметрически с ННМ B[a3, i].

Диаграмма устойчивости ННМ B[a3, i] приведена на рис. 1.4.

Область, окрашенная серым цветом, соответствует инфинитному движению частиц в цепочке FPU- (они покидают потенциальные ямы, в которых происходит колебательное движение)13. Таким образом, нужно проводить различие между устойчивостью цепочки как целого и устойчивостью дан ного колебательного режима в этой цепочке.

Представим горизонтальную линию на рис. 1.4, соответствующую некоторой амплитуде A рассматриваемой ННМ. Эта линия может частично пересекать черные и белые области диаграммы устойчивости. Те части этой линии, которые пересекают черные области неустойчивости, представляют набор мод, которые возбуждаются из-за взаимодействия с ННМ данной амплитуды A. Если A очень мало, наша горизонтальная линия A = const пересечет только узкую область неустойчивости около мод с номерами j = = 0, N/3, 2N/3 и N.

Предположим, что N = 12 и A 1. Тогда из рис. 1.4 легко видеть, что только две моды j = N/2 и j = 2N/3 будут возбуждены в нашей механиче ской системе14. Действительно, из уравнения (1.32) видно, что эта ННМ состоит из двух (сопряженных) мод N/3 (t) и 2N/3 (t) с определенным соот Очевидно, что это явление невозможно в цепочке FPU- при 0, но существует при 0.

Заметим, что по причине существования закона сохранения импульса, мода 0 (и эквивалентная ей мода 12 ) должны быть исключены из рассмотрения (см. [26]).

ношением между их амплитудами:

N/3 (t) = 2N/3 (t) = (t)/ 2. (1.33) Более того, можно найти границу области устойчивости ННМ B[a3, i] непосредственно из диаграммы на рис. 1.4, принимая во внимание, что все моды для случая N = 12 отмечены вертикальными пунктирными линиями. Эта граница определяется минимальным расстоянием от горизон тальной координатной оси до области неустойчивости черного цвета при j = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11.

С увеличением амплитуды A ННМ B[a3, i] от нуля, увеличивается область неустойчивости около j = 0, N/3, 2N/3, N, которая пересекается линией A = const на рис. 1.4. Это не влияет на устойчивость ННМ B[a3, i] для N = 12, т. к. нет мод j с j = 1, 2,..., 11 (кроме мод N/3 и 2N/3 ), которые попадают в этот интервал неустойчивости.

С другой стороны, если N (континуальный предел), плотность мод, т. е. плотность вертикальных пунктирных линий на рис. 1.4, увеличива ется и становятся неустойчивыми узкие группы мод около значений j = 0, N/3, 2N/3, N (q = 0, 2/3, 4/3, 2). Этот случай соответствует началу модуляционной неустойчивости рассматриваемой ННМ. Заметим, что в данном случае при численном моделировании возникает буш из узких вол новых пакетов, который постепенно расплывается за достаточно большой промежуток времени. Таким образом, ННМ B[a3, i], которая устойчива для малого числа N частиц в цепочке и конечного значения ее амплитуды, ста новится неустойчивой в континуальном пределе N.

Из анализа диаграммы остается открытым вопрос о возможной потере устойчивости через канал распада B[a3, i] B[a3 ], соответствующий слу чаю, когда моды N/3 (t) и 2N/3 (t) перестают двигаться синхронно. Однако, этот случай легко исследовать непосредственно записав систему линеаризо ванных уравнений для моды µ1 (t), отвечающей ННМ B[a3, i], и ортогональ Рис. 1.5. Зависимость шпура матрицы монодромии уравнения (1.35) от амплитуды ННМ B[a3, i]. Вертикальными пунктирными линия ми обозначены граница области устойчивости Ac и амплитуда, выше которой происходит разрушение ННМ как ко A= лебательного режима.

ной к ней моде µ2 (t), отвечающей базисному вектору N/3 + 2N/3 :

3 6 µ1 (t), (1.34) µ1 + 3µ1 = N µ2 + 3µ2 = 3 6 µ2 (t). (1.35) N Первое уравнение есть вариация вдоль решения уравнения (1.29), а устойчивость второго уравнения можно исследовать методом Флоке. Для этого была построена зависимость шпура (Sp) матрицы монодромии от амплитуды ННМ (см. рис. 1.5). При построении был выполнен переход к нормировке = N = 1 (т. е. такой же, как и при построении диаграмм).

Устойчивому движению соответствует | Sp | 2, и, таким образом, данный канал распада является неактивным вплоть до амплитуды Ac 0.5899.

A q 0 Рис. 1.6. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки FPU-, взаимодействующих параметрически с ННМ B[a4, ai].

ННМ B[a4, ai] 1.7. ННМ B[a4, ai] может быть записана в виде X(t) = {0, x(t), 0, x(t) | 0, x(t), 0, x(t) |...} = (1.36) = (t) N/4 + 3N/4 / 2.

Она представляет собой суперпозицию двух сопряженных мод N/4 и 3N/4 с равными амплитудами (1.37) N/4 (t) = 3N/4 (t) = (t)/ 2.

Прямые вычислительные эксперименты и расчеты по методу Флоке показывают (см. диаграмму на рис. 1.6), что ННМ B[a4, ai] теряет свою устойчивость (кроме мод N/4 (t) и 3N/4 (t), входящих в B[a4, ai], также воз буждается мода N/2 (t)) уже при очень малых амплитудах A своей корневой моды (Ac 106 ). При этом оказывается, что теряются инверсионные эле менты, в то время как трансляционная симметрия сохраняется. В результате этого ННМ В[a4, ai] переходит в буш В[a4 ], причем, сам процесс этого пере хода оказывается нетривиальным. Непосредственно из вычислительного эксперимента видно, что при малых амплитудах A ННМ В[a4, ai] суще ствует некоторое, весьма большое время (по сравнению с периодом коле баний корневой моды), после чего происходит «переключение доменов»:

вместо ННМ В[a4, ai] возникает ее домен — ННМ В[a4, a3 i]. Второй домен существует точно такое же время, как и первый домен (ННМ В[a4, ai]), после чего происходит новое «переключение» и мы видим снова первый домен. При переключении доменов на некоторое, достаточно короткое, время появляется -мода, которая, как уже неоднократно говорилось, сама по себе образует ННМ В[a2, i]. Вышеописанный динамический процесс продолжается неограниченно долго во времени. На самом деле, переклю чение доменов не является абсолютно точным, и в любой момент времени существуют и оба домена В[a4, ai], В[a4, a3 i], и -мода, но с очень сильно отличающимися друг от друга амплитудами. Это означает, что в действи тельности мы наблюдаем просто некоторую специфическую динамику буша В[a4 ]. Этот трехмерный буш состоит из трех мод µ1, µ2, µ3, которые сами по себе являются корневыми (и единственными!) модами одномерных бушей (ННМ) В[a4, ai], В[a2, i] и В[a4, a3 i] соответственно. Динамика же буша В[a4 ] описывается следующими дифференциальными уравнениями15 :

µ1 + 2µ1 = 8µ2 µ3, µ2 + 4µ2 = 8µ1 µ3, (1.38) µ3 + 2µ3 = 8µ1 µ2, Докажем аналитически, что граница устойчивости Ac ННМ В[a4, ai] для ее перехода в ННМ B[a4 ] равна нулю точно. Из такого утвержде ния следует, что никакие другие каналы потери устойчивости этой ННМ (по отношению к параметрическому возбуждению других мод) рассматри вать не нужно, ибо мы покажем, что граница устойчивости ННМ В[a4, ai] является минимально возможной (нулевой) уже для исследуемого нами сей час канала передачи возбуждения от этой моды к другим модам цепочки FPU-.

Возбуждению в системе только одной моды µ1 (t) отвечает, как уже было сказано, одномерный буш (ННМ) В[a4, ai]. При этом в уравне ниях (1.38) мы должны положить µ2 (t) 0, µ3 (t) 0, в результате чего Здесь для удобства дальнейших выкладок через обозначено.

N остается только одно уравнение для моды µ1 (t), которое является уравне нием для гармонического осциллятора (1.39) µ1 + 2µ1 = 0.

Отсюда следует, что (1.40) µ1 (t) = A cos 2t+, причем, без ограничения общности16 можно считать, что = 0.

Для того чтобы исследовать устойчивость такого периодического режима, линеаризуем уравнения (1.38) в его бесконечно малой окрестности.

В результате приходим к системе уравнений µ2 + 4µ2 = 8A cos 2 t µ3, (1.41) µ3 + 2µ3 = 8A cos 2 t µ2.

Покажем, что эта система действительно может описывать параметри ческое возбуждение «спящих» мод µ2 (t) и µ3 (t), а, следовательно, и потерю устойчивости исходного одномерного буша и его расширение до буша В[a4 ], динамика которого определяется уравнениями (1.38).

Воспользуемся для этого методом, основанном на теореме Пуан каре-Дюлака о нормализации систем обыкновенных дифференциальных уравнений [99]. При его описании мы будем следовать изложению, дан ному в статье [48], где этот метод уже использовался с целью упрощения динамических уравнений бушей мод. Суть метода Пуанкаре-Дюлака сво дится к тому, что с помощью определенных нелинейных замен переменных, автономная система уравнений первого порядка с диагональной линейной частью упрощается за счет последовательного исключения из всех уравне ний тех нелинейных членов, которые являются нерезонансными.

Пусть автономная система дифференциальных уравнений первого порядка приведена к виду:

m m fk;

m1...mn y1 1 · · · yn n, (1.42) y k = k y k + (k = 1, 2,..., n).

Чтобы убедиться в этом, достаточно выполнить для системы (1.38) некоторый сдвиг временной перемен ной t.

Здесь суммирование проводится по совокупности всех неотрицатель n ных целых чисел mi, которые удовлетворяют условию = 2, где mi i= есть порядок малости соответствующего нелинейного члена. Таким обра зом, предполагается, что матрица линейных членов наших уравнений приве дена к диагональному виду, а нелинейность является слабой в силу малости величин yj. В предложенном Пуанкаре методе ставится задача нахождения такой аналитической замены переменных (y1,..., yn ) (z1,..., zn ), которая может обратить в нуль по возможности большее число коэффициентов при нелинейных членах в системе (1.42). Алгоритм последовательного зануле ния коэффициентов при нелинейных членах низших порядков приводит к изменению старых и возникновению новых членов более высоких поряд ков. Однако существенно, что зануление данного нелинейного члена в k-ом уравнении системы (1.42) может быть осуществлено без изменения коэф фициентов перед другими членами того же самого порядка малости и перед членами более низких порядков. Искомое преобразование переменных при этом имеет вид:

m m hk;

m1...mn z1 1 · · · zn n, (1.43) yk = zk + (k = 1, 2,..., n).

Каждый входящий в это преобразование коэффициент hk;

m1...mn опре деляется через соответствующий («одноименный») коэффициент fk;

m1...mn системы (1.42) с помощью простой формулы:

fk;

m1...mn (1.44) hk;

m1...mn =.

(k|m1... mn ) Знаменатель этой формулы n (k|m1... mn ) = k + (1.45) m i i i= мы будем называть индикатором резонансности. Преобразования (1.43)–(1.45) могут, очевидно, обратить в нуль только коэффициенты перед теми нелинейными членами, которым соответствуют (k|m1... mn ) = 0.

Это связано с тем, что в резонансном случае индикатор резонансности равен нулю и преобразование (1.43) не может изменить коэффициент fk;

m1...mn. Таким образом, оказывается возможным редуцировать исходную систему дифференциальных уравнений к так называемой нормальной форме с точностью до членов любого фиксированного порядка малости, в которой присутствуют только резонансные члены. Именно этот факт и составляет содержание теоремы Пуанкаре-Дюлака.

В заключение заметим, что процесс нормализации можно существен ным образом упростить за счет применения методов теории групп Ли [99], что, в свою очередь, ведет к возможности его эффективной алгоритмиза ции (приведенные в настоящей работе результаты нормализации получены с помощью специальной компьютерной программы, написанной нами в среде MAPLE).

Применим теперь метод нормализации к рассмотренной системе диф ференциальных уравнений (1.41). Для этого сведем ее к автономной системе трех уравнений второго порядка введением уравнения µ1 + 2µ1 = 0 с началь ными условиями µ1 (0) = 1, µ1 (0) = 0, что приводит к его решению µ1 (t) = = cos 2 t.

Сводя полученную систему уравнений второго порядка к шести урав нениям первого порядка, диагонализируя ее линейную часть и изменяя обозначения переменных, получим дифференциальные уравнения в готовом для начала нормализации виде:

y1 = i 2 y1, y = i2 y, 2 y = 2iy + iA(y y + y y + y y + y y ), 3 3 15 16 25 (1.46) y4 = 2iy4 iA(y1 y5 + y1 y6 + y2 y5 + y2 y6 ), y5 = i 2 y5 + i 2 A(y1 y3 + y1 y4 + y2 y3 + y2 y4 ), y = i2 y i2 A(y y + y y + y y + y y ).

6 6 13 14 23 В результате нормализации этих уравнений с точностью до членов тре тьего порядка малости включительно, получим следующую систему:

z1 = i 2 z1, z = i2 z, 2 z = 2iz (1 2 A2 z z ), 3 3 (1.47) z4 = 2iz4 (1 2 A2 z1 z2 ), z5 = i 2 z5 i 2 2 A2 z1 z6, z = i2 z + i2 2 A2 z 2 z.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.