авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южный федеральный университет Научно-исследовательский институт ...»

-- [ Страница 2 ] --

6 6 Эта система уравнений допускает точное решение простого вида. Дей i 2t ствительно, из двух первых уравнений имеем z1 (t) = z 2 (t) = e (прямая черта сверху означает комплексное сопряжение), откуда z1 z2 = 1. Тогда из следующих двух уравнений получим z (t) = C e2i(12 A2 ), 3 (1.48) z4 (t) = C2 e2i(12 A2 ).

Далее ищем z5 и z6 в форме z (t) = ei 2 t µ(t), (1.49) z6 (t) = ei 2 t (t), в результате чего получим из двух последних уравнений системы (1.47) сле дующие уравнения относительно функций µ(t) и (t):

µ = i2 2 A2, (1.50) = i 2 2 A2 µ.

Отсюда находим µ = 24 A4 µ и, следовательно, 2 2 A2 t 2 2 A2 t + C4 e µ(t) = C3 e.

В результате подстановки этих выражений в (1.49) приходим к следу ющему общему выражению для переменных z5 и z6 :

z5 (t) = ei 2 t C3 e 2 2 A2 t + C4 e 2 2 A2 t, (1.51) 2 2 A2 t 2 2 A2 t z6 (t) = iei C4 e 2t C3 e, Формулы (1.48), (1.51) и дают точное решение системы нормализован ных уравнений (1.47). При этом из (1.51) видно, что возбуждение «спящих»

мод начинается уже при сколь угодно малых значениях амплитуды A.

С помощью обратной замены переменных (z1,..., zn ) (y1,..., yn ) из этого решения можно получить приближенное аналитическое решение системы (1.41). С учетом разложения этого решения по степеням малой величины (A) и отбросом членов, начиная с тех, которым соответствуют коэффициенты порядка (A)3 получим µ2 (t) = B1 cos[2(1 2 A2 )t + 1 ] + AB2 [ cos 2 + cos(2 2 t + 2 )]+ +2 A2 B1 32 2 cos[2(1 + 2 2 A2 )t + 1 ]+ + 3+2 2 cos[2( 2 1 + 2 A2 )t 1 ], µ3 (t) = B2 cos( 2 t + 2 ) + AB1 (1 + 2) cos[(2 2 22 A2 )t + 1 ]+ +( 2 1) cos[(2 + 2 22 A2 )t + 1 ] + +2 A2 B2 2 t sin( 2 t 2 ) + 1 cos(3 2 t + 2 ).

(1.52) В рассматриваемом приближении о потере устойчивости при сколь угодно малых значениях (A) свидетельствует наличие в выражении для µ3 (t) секулярного члена 2 A2 2 t sin( 2 t 2 ). (1.53) Заметим, что потеря устойчивости ННМ В[a4, ai] уже при сколь угодно малых значениях амплитуды связана со спецификой внутренних резонансов системы (1.38). Этот эффект можно увидеть в результате поиска приближенного аналитического решения уравнений (1.41) методом после довательных приближений. Такая процедура носит эвристический характер и позволяет «предсказать» наличие в асимптотическом разложении (1.52) секулярного члена (1.53). С помощью метода нормализации для этого заключения мы получаем строгое обоснование.

Метод нормализации дает также некоторую аналитическую основу для выяснения границ устойчивости и других одномерных бушей для цепо чек FPU.

1.8 Диаграммы устойчивости ННМ в цепочке FPU В этом разделе процедура построения и анализа диаграмм устойчиво сти будет применена к модели FPU-. Отметим, что динамика этой модели существенным образом зависит от знака (множитель при нелинейном члене в потенциале), поэтому для каждой ННМ будет построено две диа граммы — для 0 и 0.

ННМ B[a2, i] 1.8. Диаграмма устойчивости, соответствующая ННМ B[a2, i] в цепочке FPU-, представлена на рис. 1.7. Из этой диаграммы видно, что для любого конечного N и достаточно малых амплитуд A ННМ, последняя является устойчивой в нашей механической системе. С другой стороны, в случае если зафиксировать произвольное малое значение A и увеличивать число частиц N, то при некотором N рассматриваемая ННМ потеряет устойчи вость, т. к. возбудятся моды близкие к N/2 (t) (см. центр диаграммы 1.7a).

Другими словами, граница области устойчивости рассматриваемой ННМ уменьшается с увеличением N. Таким образом, ННМ B[a2, i] становится неустойчивой в континуальном пределе N.

Другой интересный факт можно наблюдать на диаграмме 1.7a.

Именно, существует определенный интервал мод на левой и правой стороне этой диаграммы, которые не возбуждаются из-за параметрического взаимо действия с рассматриваемой ННМ. Этот факт был обнаружен в работе [56] аналитически в рамках приближения вращающейся фазы. В работе [58] в рамках того же приближения была получена зависимость критической а) A q 0 A б) q 0 Рис. 1.7. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки FPU- (а — 0, б — 0), взаимодействующих параметри чески с ННМ B[a2, i].

амплитуды Ac от волнового числа q в виде | sin q | Ac =, 9 cos2 q которая достаточно хорошо воспроизводит полученную численно диа грамму.

Диаграмма, соответствующая 0, приведена на рис. 1.7б. Из диа граммы можно сделать вывод об устойчивости этой ННМ вплоть до некото рого значения амплитуды (Ac 0.394) даже в пределе N.

ННМ B[a3, i] 1.8. Форма ННМ B[a3, i] в конфигурационном и модальном пространствах приведена в (1.32). Соответствующая диаграмма устойчивости показана на рис. 1.8. В случае 0 из этой диаграммы можно найти, что для малых амплитуд ННМ B[a3, i] является неустойчивой в континуальном пределе а) A A 1 A A1 q 0 A б) q 0 Рис. 1.8. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки FPU- (а — 0, б — 0), взаимодействующих параметри чески с ННМ B[a3, i].

N, но может быть устойчивой для конечного N. Например, для N = устойчивость имеет место вплоть до значения амплитуды A1 0.219.

Для A1 A A2 (A2 0.653) возбуждаются все моды, за исключе нием мод с j = 2N/12 = N/6, j = 6N/12 = N/2 и j = 10N/12 = 5N/6. Таким образом, для N = 12, возбуждается буш тривиальной симметрии.

Действительно, возбуждение моды j = N/12 может привести, в принципе, к возбуждению всех мод с j = kN/12 (k = 1, 2,..., 11).

Очень интересно, что существует верхняя граница A3 0. для потери устойчивости ННМ B[a3, i]. Действительно, для A A (см. рис. 1.8a) эта ННМ становится устойчивой для любого числа частиц N в цепочке. Таким образом, ННМ B[a3, i] становится устойчивой даже в континуальном пределе для соответствующих значений амплитуды A.

Заметим, что на наших диаграммах представлен только результат анализа линейной устойчивости: най дены те моды, которые возбуждаются из-за прямого параметрического взаимодействия с рассматриваемой ННМ. С другой стороны, если несколько новых мод появляется в механической системе, то нужно также учитывать их взаимодействие с остальными модами.

а) A A q 0 A б) q 0 Рис. 1.9. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки FPU- (а — 0, б — 0), взаимодействующих параметри чески с ННМ B[a4, ai].

В случае 0 диаграмма аналогична диаграмме ННМ B[a2, i] в модели FPU-, в том смысле, что граница области устойчивости также не зависит от волнового числа q.

В цепочке FPU- анализ потери устойчивости этой ННМ через канал распада B[a3, i] B[a3 ] можно свести к анализу динамики двумерного буша B[a3 ], или, что в некотором смысле эквивалентно, динамике цепочки FPU с N = 3 частицами. Такая система является полностью интегрируемой [100] (кроме полного импульса и энергии здесь также имеется дополнительный третий интеграл), поэтому каждое решение этой системы является устойчи вым, в том числе и рассматриваемая ННМ.

ННМ B[a4, ai] 1.8. Описание ННМ B[a4, ai] в конфигурационном и модальном простран ствах приведено в (1.36). Диаграмма устойчивости этой ННМ для цепочки FPU- приведена на рис. 1.9. Из этой диаграммы можно видеть, что для любого конечного N, ННМ B[a4, ai] является устойчивой для достаточно малых амплитуд A. Например, для N = 12, 0, эта ННМ теряет устойчи вость только для A A1 0.815 (см. рис. 1.9а). Для очень больших N, ННМ B[a4, ai] практически остается устойчивой для достаточно малых A, т. к.

интервал номеров возбуждаемых мод является очень узким (этот интервал располагается около j = N/4 и j = 3N/4). В континуальном пределе N ННМ B[a4, ai] становится неустойчивой, но эта неустойчивость является слабой.

Так как ННМ B[a4, ai] взаимодействует с каждой нормальной модой независимо (размерность подсистемы равна единице), то никакие резо нансы не возникают.

Мы обсудили устойчивость ННМ для цепочки FPU-, которые инду цируются группой симметрии диэдра. Теперь рассмотрим устойчивость трех «дополнительных» ННМ, существование которых связано с четностью потенциала цепочки FPU-.

ННМ B[a3, iu] 1.8. Описание этой ННМ в конфигурационном и модальном простран ствах имеет вид:

X(t) = {x(t), x(t), 2x(t) | x(t), x(t), 2x(t) |...} = (1.54) = (t) N/3 + 2N/3 / 2.

Диаграмма устойчивости ННМ B[a3, iu] приведена на рис. 1.10. Она выглядит аналогично обсужденной выше ННМ B[a3, i] (см. рис. 1.8). Таким образом, обсуждение свойств устойчивости ННМ B[a3, iu] может быть практически сведено к ННМ B[a3, i].

Как и для ННМ B[a3, i], канал распада B[a3, iu] B[a3 ] в данном слу чае неактивен из-за того, что динамика буша B[a3 ] описывается системой уравнений, для которой существует полный набор интегралов движения.

а) A 2 A A A1 q 0 A б) q 0 Рис. 1.10. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки FPU- (а — 0, б — 0), взаимодействующих парамет рически с ННМ B[a3, iu].

ННМ B[a4, iu] 1.8. Эта ННМ может быть описана уравнением X(t) = {x(t), x(t), x(t), x(t) | x(t), x(t), x(t), x(t) |...} = (1.55) = (t)N/4.

Соответствующая диаграмма устойчивости приведена на рис. 1.11 и в случае 0 выглядит как «кроличьи уши» (рис. 1.11а). Для амплитуды A A1 1.197 эта ННМ устойчива для произвольного N. Интересно, что для случая N = 12 эта ННМ устойчива при любой амплитуде, т. к. нет возбуждающихся мод, конечно, кроме моды N/4 (или моды 3N/4 для экви валентной ННМ B[a4, a2 iu], которая выглядит в модальном пространстве как X(t) = (t)3N/4 ).

Так как линеаризованная подсистема при q = распадается на два идентичных уравнения, являющихся линеаризацией уравнения ННМ, то а) A A q 0 A б) q 0 Рис. 1.11. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки FPU- (а — 0, б — 0), взаимодействующих парамет рически с ННМ B[a4, iu].

никакие дополнительные каналы распада за счет возможного резонанса между модами N/4 (t) и 3N/4 (t) не возникают.

ННМ B[a6, ai, a3u] 1.8. ННМ описывается уравнением X(t) = {x(t), x(t), 0, x(t), x(t), 0 | x(t), x(t), 0, x(t), x(t), 0 |...} = = (t) N/6 5N/6 / 2.

(1.56) Одной из отличительных особенностей диаграммы устойчивости этой ННМ при 0 (см. рис. 1.12а) является наличие трех белых областей в «черном море» неустойчивости. Они соответствуют вторым зонам устой чивости для тех мод, чьи номера попадают в эти белые области. Другой интересной особенностью диаграммы устойчивости рассматриваемой ННМ является наличие очень узких интервалов неустойчивости в «белом море»

устойчивости (см. черные линии, которые похожи на параболы). Мы не изу а) A q 0 A б) q 0 Рис. 1.12. Области устойчивости (белый цвет) различных мод цепочки FPU- (а — 0, б — 0), взаимодействующих парамет рически с ННМ B[a6, ai, a3 u].

чали детально эти области неустойчивости, т. к. они, в силу своей узости (по сравнению с основным резонансом), кажутся не очень значимыми для рас смотрения устойчивости ННМ B[a6, ai, a3 u]. В разделе 1.9.2 будет показано, что эти области неустойчивости являются следствием определенного резо нанса в соответствующей линеаризованной подсистеме.

Так как моды N/6 (t) и 5N/6 (t) в линейном приближении имеют оди наковую частоту ( = 1), а мода N/2 (t) имеет кратную частоту ( = 2), то канал потери устойчивости за счет рассинхронизации мод N/6 (t) и 5N/6 (t) с возможной передачей возбуждения моде N/2 (t) нужно рассматривать отдельно. Рассмотрим систему уравнений, состоящую из уравнения, опи сывающего динамику ННМ (t) и уравнений, связывающих динамику мод N/6 5N/6, N/2 и µ1, µ2 и µ3, соответствующих базисным векторам N/6 + 5N/6 (эту систему уравнений можно получить, подставив q = Рис. 1.13. Зависимость абсолютных значений мультипликаторов Флоке для системы (1.57). Слева — 0, справа — 0.

в соответствующую линеаризованную подсистему из таблицы 1.3) + = 3 3, 2N µ1 + µ1 = 9 2 (t) µ1, 2N (1.57) µ + 4µ = 3 2 (t) 4µ + 2µ, 2 2 2 N µ3 + µ3 = 2N 2 (t) 2 2µ2 + µ Для системы уравнений, включающей динамику µ2 и µ3, с помощью метода Флоке была получена зависимость абсолютной величины мульти пликаторов от амплитуды (рис. 1.13). Из этой зависимости, в частности, следует результат о неустойчивости данной ННМ в случае 0 при любой отличной от нуля амплитуде (этот же результат виден непосредственно из диаграммы 1.12б: потеря устойчивости происходит за счет взаимодействия с модой N/2 (t) уже при практически нулевой амплитуде колебаний ННМ).

Полученный результат можно также доказать аналитически с помо щью построения нормальной формы (как это было продемонстрировано в разделе 1.7.3 на примере ННМ B[a4, ai] в модели FPU-). В этом случае процедура нормализации системы уравнений (1.57) приводит к (здесь при ведена только часть уравнений) y1 = i 1 + 9 y1 y2 459 2 y1 y2 y1, 16 y = i 1 + 9 y y 459 2 y 2 y 2 y, 2 12 16 y5 = i 1 + 3 y1 y2 5709 2 y 2 y 2 y5 + i 3 465 y1 y2 y 2 y6, 12 8 5120 16 y6 = i 1 + 3 y1 y2 5709 2 y1 y2 y6 i 16 465 y1 y2 y2 y5.

22 8 5120 Решение первых двух уравнений имеет вид y1 (t) = y 2 (t) = Aei(1+ 16 A 1024 2 A4 )t 9 (величина A соответствует амплитуде колебаний ННМ). Подставляя это решение в оставшиеся два уравнения и выполняя замену переменных y5 (t) = ei(1+ 16 A 1024 2 A4 )t 9 [g(t) + ih(t)], y6 (t) = ei(1+ 16 A 1024 2 A4 )t 9 [g(t) ih(t)] можно прийти к уравнению 189 103 A 3 A6 g = 0, g+ 320 которое при 0 (и малых амплитудах A2 160 ) описывает периодические колебания, а при 0 — экспоненциально растущее со временем решение при любой амплитуде A.

Таким образом, алгоритм исследования устойчивости ННМ в одно мерных цепочках посредством построения диаграмм устойчивости можно описать последовательностью следующих этапов:

1. Предварительный анализ: выявление границ финитного движения для ННМ и вывод линеаризованных подсистем уравнений.

2. На выбранной сетке значений амплитуд A и волновых чисел q для данного значения амплитуды рассчитываем период колебаний ННМ.

Если потенциал U (x), описывающий динамику ННМ, допускает инфинитное движение при превышении некоторой критической амплитуды, необходимо предварительно рассчитать (аналитически или численно) это значение амплитуды, и при выборе сетки значений амплитуд не выходить за найденные пределы.

Для этого можно численно проинтегрировать уравнение динамики ННМ с начальными условиями x(0) = A, x(0) = 0 и определить момент, когда ско рость поменяет знак (т. е. обратится в ноль) — этот момент времени будет соответствовать половине периода колебаний 3. После этого для фиксированного значения A перебираем значения q и для каждой пары (A, q) строим матрицу монодромии, численно интегри руя соответствующую линеаризованную систему уравнений. Устойчивость определяется по положению мультипликаторов Флоке (собственных значе ний матрицы монодромии): линеаризованная система является устойчивой в линейном приближении, если все они лежат на единичной окружности, и неустойчивой, если хотя бы один мультипликатор находится за пределами единичной окружности.

4. После построения диаграммы необходимо провести дополнитель ный анализ возможных «резонансных» случаев, аналогичный рассмотрен ному в разделах 1.7.2, 1.7.3 и 1.8.6.

Для интегрирования систем ОДУ в настоящей работе использовалась предложенная в работе Дорманда и Принса [101] явная схема Рунге-Кутты 4(5) порядка с адаптивным дроблением шага интегрирования при задан ных абсолютной и относительной погрешности. Выбранная схема является эффективной для интегрирования нежестких систем ОДУ.

Для нахождения собственных значений использовался метод QR декомпозиции [102], предложенный Фрэнсисом в 1961 г. Устойчивость, свя занная с использованием ортогональных матриц преобразования, делает этот метод одним из лучших методов решения задачи на собственные зна чения.

Данный факт следует из симметрии решения относительно половины периода колебаний, что, в свою оче редь, можно объяснить как следствие наличия симметрии уравнений относительно сдвига времени t t + T и инверсии t t.

1.9 Устойчивость ННМ в термодинамическом пределе N 1.9.1 Скейлинговые соотношения для амплитуд потери устойчивости ННМ Особый интерес в рамках статистической физики представляет иссле дование устойчивости ННМ в пределе N. В том случае, если ампли туда потери устойчивости Ac уменьшается с ростом N, важное значение имеет исследование скейлинговых соотношений для Ac (N ). Действительно, разные ННМ могут демонстрировать различный скейлинг [61], и следова тельно, существенно различные амплитуды (энергии) потери устойчивости.

Используя описанный выше метод построения диаграмм устойчиво сти, можно изучать потерю устойчивости ННМ по отношению к отдель ным (малым) группам других мод, что позволяет исследовать устойчивость ННМ не только для цепочек с конечным числом частиц, но и для случая континуального (термодинамического) предела N.

В отдельных случаях, как было показано, амплитуда потери устойчи вости (в системе единиц = N = 1 или || = N = 1) может не зависеть от волнового числа и, следовательно, от количества частиц в цепочке. В этом случае можно численно определить границу устойчивости Ac = const.

В тех случаях, где Ac спадает с ростом N, для нахождения скейлин говых соотношений были построены зависимости lg Ac от lg N. В качестве примера приведем эту зависимость для ННМ B[a3, i] в модели FPU (см. рис. 1.14). В этом случае явно видна линейная зависимость, которую в области больших значений lg N можно аппроксимировать следующим обра зом:

lg Ac = 0.114 0.500 lg N, или Ac = 1.30N 1/2.

Рис. 1.14. Зависимость амплитуды потери устойчивости от числа частиц в цепочке FPU- для ННМ B[a3, i].

Все полученные численно скейлинговые зависимости для Ac (N ) при ведены в таблице 1.4 (еще раз подчеркнем, что эти значения приведены в системе единиц = N = 1 и || = N = 1).

1.9.2 Аналитические оценки границ устойчивости ННМ в пределе N Как видно из таблицы 1.1, динамическое уравнение для любой ННМ в цепочке FPU- представляет собой известное уравнения Дуффинга + a + b 3 = 0, (1.58) где a = 2 — квадрат частоты, b N — коэффициент нелинейности.

При b 0 для начальных условий (0) = A и (0) = 0 это уравнение имеет периодическое решение [103] (t) = A cn(t, k 2 ), В действительности, общее решение имеет вид (t) = A cn((t t0 ), k 2 ), но мы можем положить t0 = простым сдвигом времени.

Таблица 1. Численные значения границ областей устойчивости (Ac ) ННМ в цепочках FPU- и FPU- в пределе N Ac · || Ac · N ННМ N FPU- FPU-, 0 FPU-, 1.28N B[a2, i] 0.303 0. 1/2 B[a, i] 1.30N 2.09N 0. 1/ 1.45N 1/ B[a, ai] 0 1.45N 2.09N B[a3, iu] 0. 2.57N B[a, iu] 2.57N 3.63N B[a6, ai, a3 u] где 2 = a/(1 2k 2 ) и 2k 2 = bA2 /(a + bA2 ) (k — так называемый эллип тический модуль эллиптической функции). Период такого решения равен T = 4K(k)/, где K(k) — полный эллиптический интеграл первого рода.

Для b 0 это уравнение имеет решение (t) = A sn(t + K(k), k 2 ), 2 = a/(1 + k 2 ) для тех же начальных условий. Здесь и k 2 = |b|A2 /(2a |b|A2 ). Период этого решения имеет тот же вид T = 4K(k)/.

Расщепленные системы линеаризованных уравнений в окрестности ННМ для цепочки FPU- имеют следующий общий вид µ + a 2 + b 2 (t)Mq µ = 0, q где 2 — диагональная матрица, содержащая квадраты частот, деленные на q квадрат частоты ННМ a (таким образом, матрица 2 является безразмер q ной), а Mq — матрица, описывающая взаимодействие между модами (также безразмерная). Каждая из таких расщепленных систем имеет малую раз мерность n = 1, 2, 3. В таблице 1.5 приведены матрицы q и Mq (элементы Таблица 1. Энергия и матрицы q и Mq для ННМ в цепочке FPU ННМ энергия M 2A2 + 4 A4 q B[a2, i] sin 2 q N B[a4, ai] A2 + N A 4 2 sin 2 q sin 2 1 1 A2 + 2 A4 B[a4, iu] 2 q N cos 2 1 2 q sin 2 21 1 2 1 q 27 sin( 2 + ) 32 B[a, i] 2 A + 8N A 1 2 22 2 3 q 1 3 2 3 sin( 2 + 2 ) q sin 2 21 1 2 1 q 27 sin( 2 + ) 32 B[a, iu] 2 A + 8N A 1 2 22 2 3 q 1 3 2 3 sin( 2 + 2 ) q sin 2 21 1 2 1 q 3 2 sin( 2 + ) 6 B[a, ai, a u] 2 A + 8N A 1 2 22 2 3 q 1 3 2 3 sin( 2 + 2 ) матрицы Mq выражены через диагональные элементы q ), а также энергии ННМ выраженные через амплитуду их колебаний A.

После масштабирования времени = t 2K(k) мы получим следующее уравнение с -периодическими коэффициентами (как в уравнении Матье):

d2 4K 2 (k) 2 4K 2 (k) µ+ a q + 2 2 b (t)Mq µ = 0.

d 2 2 2 Так как величина k является малой в пределе N (потому что k b N ), можно разложить приведенное выше уравнение в ряд Тейлора используя разложения для эллиптических функций [95] 2n (2n 1)u 2 cn u = cos, 1 + 2n kK(k) 2K(k) n= 2n (2n 1)u 2 sn u = sin, 2n kK(k) 2K(k) n= и 2 2 1·3 (2n 1)!!

1 2 k 2n +..., K(k) = 1+ k+ k +...+ 2n n!

2· 2 где = exp K(k ) 1 k 2 — сопряженный модуль.

— ном и k = K(k) В результате, получим следующее уравнение:

d2 3 2 + 2 + µ+ + cos 2 Mq + q q d 2 4 75 2 13 3 Mq 2 + q + cos 2 + cos 4 (1.59) + 128 32 8 3 µ + O 4 = 0, + 243 2 +( 256 + 2048 cos 2 64 cos 4 + 2048 cos 6 )Mq 87 597 3 512 q где = bA рассматривается в качестве малого параметра. Уравнение (1.59) a имеет один и тот же вид как для случая b 0, так и для b 0, единственное различие заключается в знаке. Заметим, что является простейшим без размерным параметром уравнения (1.58).

Для решения уравнения (1.59) будем использовать простую теорию возмущений.21 Это означает, что мы раскладываем µ( ) в формальный ряд m µm ( ) µ( ) = m= и преобразуем уравнение (1.59) в серию уравнений для каждого порядка теории возмущений, которые можно решать в дальнейшем шаг за шагом:

µ0 + 2 µ0 = 0, q 3 µ1 + 2 µ1 = 2 + (1.60) + cos 2 Mq µ0, q 4q 3 µ2 + 2 µ2 = 2 + + cos 2 Mq µ q 4q 75 2 13 3 cos 2 + cos + Mq µ0, 128 q 32 8...

Мы можем поступить таким образом, потому что нам необходимо решение на коротком интервале вре мени (а именно в момент t = ), а не на всей временной шкале (в последнем случае необходимо было бы учесть изменение частоты, и т. д.).

Каждое из уравнений (1.60) имеет вид x + 2 x = f (t) и, таким образом, имеет точное решение:

x(t) = C1 sin t + C2 cos t + t t sin t f ( ) cos d cos t f ( ) sin d.

0 Последовательно решая уравнения (1.60), мы можем сконструировать матрицу монодромии X() для уравнения (1.59), где — период правой части уравнения (1.59).

Как известно, главный резонанс22 (приводящий к потере устойчиво сти) в уравнении Матье y + [a 2q cos 2t]y = соответствует условию a = 1. Однако, возникает вопрос, каким усло вием (или какими условиями) будет определяться резонанс в многомер ном аналоге уравнения Матье, которым в первом приближении является система (1.59). Анализ решения в первом порядке по теории возмущений приводит к следующим условиям резонанса:

jj = 1, jj ± kk = (первое условие соответствует частному случаю второго при j = k).

Для исследуемых ННМ эти условия приводят к следующим резонан сам:

B[a2, i] : q= 2 B[a3, i], B[a3, iu] : q = 0,, Возникающий в первом порядке по теории возмущений.

B[a4, ai], B[a4, iu] : q=, 5 2 B[a6, ai, a3 u] : ±q, ± q, 2 q q =,,, q, 3 3 где 4 23 2 3 2 arccos q= = 2 arctg 3 3 5 34. соответствует резонансу q q q + q = 2 sin + 2 sin + = + 2 (этот резонанс виден в виде узкого языка на рис. 1.12, однако в данном случае он является достаточно узким, чтобы существенно влиять на устой чивость в пределе N ).

Жирным шрифтом выделены те резонансы, из которых остальные можно получить посредством преобразований, оставляющих линеаризован ные системы инвариантными:

q 2 q для B[a4, ai];

q ± q для B[a4, iu];

± q для B[a3, i], B[a3, iu] и B[a6, ai, a3 u].

q Для того, чтобы получить аналитически границу устойчивости ННМ, мы должны построить характеристический полином для X() и разложить дискриминант этого полинома в ряд по и q = q qres в окрестности резо нансного волнового числа qres, приводящего к неустойчивости.

Нули дискриминанта означают, что два из мультипликаторов (соб ственные значения матрицы монодромии, или корни соответствующего характеристического полинома) равны друг другу.23 В действительности, это не означает бифуркацию и потерю устойчивости, но любая бифуркация означает равенство двух мультипликаторов.

N N N (j k )2.

( j ), по определению, равен D = Дискриминант полинома f () = j=1 j=1 k=j+ Так как исходная система является гамильтоновой, характеристиче ский полином является палиндромическим 2n a1 2n1 + a2 2n2... + a2 2 a1 + 1 = 0.

Это следствие того факта, что (1.59) имеет парные мультипликаторы вида 1, 1, 2, 1,....

1 Все коэффициенты характеристического полинома могут быть запи m саны через шпуры степеней матрицы монодромии Sm = Sp X (), а сам полином представлен в виде определителя:

S1 S2 S1 S3 S2 S1 f () =.

...

··· Sn Sn1 · · · S2 S1 n n n1 · · · 2 Таким образом, коэффициенты a1, a2, a3 могут быть записаны в виде:

a1 = Sp X(), 1 Sp2 X() Sp X (), a2 = 1 2 Sp3 X() 3 Sp X() Sp X () + 2 Sp X ().

a3 = Дискриминанты Dn палиндромических полиномов имеют вид (для n = 1, 2, 3):

D1 = (a1 + 2)(a1 2), D2 = (a2 + 2a1 + 2)(a2 2a1 + 2)(8 + a2 4a2 )2, D3 = (a3 + 2a2 + 2a1 + 2)(a3 2a2 + 2a1 2) · 9a2 + 54a1 a3 27a2 42a2 a2 + 18a1 a2 a3 4(a2 3)3 + 1 3 +8a4 + a2 a2 4a3 a3.

1 12 Заметим, что первый множитель в Dn соответствует бифуркации удво ения периода любой пары мультипликаторов j и 1 (j = 1 = 1), j j второй — тангенциальной бифуркации любой пары j и 1 (j = 1 = 1), j j а третий — всем другим возможным бифуркациям (j = k ). В этом легко убедиться, выразив все ai через j.

После того, как в результате решения уравнения Dn = 0 будет полу чено решение (или будут получены решения) вида = (q), в него необ ходимо подставить явный вид = bAc и q = ± 2 (ближайшая к резонансу a N мода24 ) и решить новое уравнение относительно Ac.

1.9.3 Результаты аналитических оценок Рассмотрим более детально предложенный выше метод на примере одномерного буша B[a2, i]. Этот буш представляет собой хорошо извест ную -моду, исследованию устойчивости которой было посвящено большое количество работ [25, 55–60].

Уравнение для этой ННМ:

16 + 4 + = 0.

N Матрицы линеаризованной системы в данном случае являются скалярами и имеют вид q 2 = sin2, q q Mq = 3 sin2, Главный резонанс соответствует qres =.

Решая систему (1.60), получим следующее разложение в ряд Тейлора 2 4 q 6 +...

2 + q Sp X() = 64 7 2 4 27 2 2 3 + q + q +... + q +...

32 512 Заметим, что ситуация с выбором значения для q может оказаться более сложной, если qres не является волновым числом корневой моды, как это имеет место быть для q = q в случае ННМ B[a6, ai, a3 u].

Условие равенства дискриминанта характеристического полинома нулю приводит к двум следующим уравнениям:

2 4 2 3 2 2 7 2 q 6 +... + q a1 + 2 = q + q +... + 64 1536 32 27 2 2 (261 + 12 2 ) 2 q +... 2 + q + 256 q 2 +... 3 + + + O(4 ) = и 2 4 q 6 +... + a1 2 = 4 + q 64 7 2 3 + q + q +... + 32 27 2 2 (261 + 12 2 ) 2 q +... 2 + q + 256 1017 2 q +... 3 + + + O( ) = 0.

Из первого уравнения можно получить границу устойчивости в виде:

1 = q 2 + q 4 + O(q 6 ).

6 Подставляя = 4 N A2 и q = 2, приходим к окончательному резуль c N тату 7 + O(N 9/2 ) Ac = + 2 6N 6N 12N для 0 (данная бифуркация соответствует удвоению периода, т. к. следует из уравнения a1 + 2 = 0) и делаем вывод об отсутствии решения для 0.

Во многих работах вместо амплитуды используется величина удель ной энергии (энергии, приходящейся на одну частицу), которая для данного случая равна aA2 bA4 2 Ec + O(N 6 ).

c +c = = + 2 NN 2 4 3N 2N Второе уравнение приводит к 128 = + O(1).

3 2 q Так как мы полагали малой величиной, этот результат означает, что O(1). И, следовательно, Ac N/, т. е. это уравнение не приводит к неустойчивости в термодинамическом пределе N.

Окончательно, получаем границу области устойчивости + O(N 5/2 ), Ac = 6N Ec + O(N 4 ) = N 3N для 0, и N Ac + o( N ), || Ec = const/|| + o(1) N для 0. Значение const в последнем случае может быть найдено только численно (численный эксперимент дает const 0.394).

Впервые аналитическая зависимость Ec /N = 2 /(3N 2 ) была полу чена в работе [104], а в последствии «переоткрыта» в [25, 57].

Описанная процедура была реализована нами в виде программы в среде MAPLE. Основные результаты анализа устойчивости всех нелиней ных нормальных мод в цепочке FPU- представлены в таблице 1.6. Эти результаты полностью подтверждают численные оценки границ областей устойчивости, приведенные в табл. 1.4.

Следует отметить, что четыре из шести границ областей устойчивости 2 для Ec /N в случае 0 равны одной и той же величине.

3N ННМ B[a4, iu] была достаточно полно исследована в работе [62].

Результат, полученный в [62], также воспроизводится и нашим методом.

Некоторые численные результаты по устойчивости ННМ B[a3, i] и B[a4, ai] для 0 были получены в работе [61], где численно был опреде лен скейлинг 1/N 2 и 1/N соответственно.

Таблица 1. Аналитические значения границ областей устойчивости ННМ в цепочке FPU-, ННМ Где результат был Ac Ec /N впервые получен 2 B[a, i] [55] (числ.), [104] (аналит.) 3N 6N 2 B[a3, i] [61] (числ.) 3N 3 N 2 B[a4, ai] [61] (числ.) 3 3N 2 B[a3, iu] 3N 3 N 2 B[a4, iu] [62] (аналит.) 3N 3N 2 B[a6, ai, a3 u] 3N 3N Таблица 1. Аналитические значения границ областей устойчивости ННМ в цепочке FPU-, ННМ Где результат был Ac Ec /N впервые получен 2 B[a4, ai] 3|| 3||N 2 B[a4, iu] [62] (аналит.) 3||N 3||N B[a6, ai, a3 u] 0 1.10 Выводы 1. Установлено, что в математических моделях моноатомных цепо чек с периодическими граничными условиями могут существовать только шесть или три нетривиальных симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод (ННМ) Розенберга в зависимости от четности или произвольности потенциала межчастичного взаи модействия. Эти нелинейные нормальные моды являются точными пространственно-периодическими решениями для рассматриваемого класса математических моделей.

2. Для моноатомных цепочек предложен метод декомпозиции системы уравнений, линеаризованных в окрестности нелинейной нормальной моды, на независимые подсистемы малой размерности, позволяю щий, с одной стороны, существенным образом упростить анализ ее устойчивости, а с другой стороны — выделить те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой нелинейной нормальной моды Розенберга.

3. На основе вышеуказанного метода декомпозиции разработан метод численного построения диаграмм, позволяющих определять как гра ницы устойчивости ННМ в цепочках из произвольного числа частиц, так и выделять те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ. Рас считаны диаграммы и проведен анализ устойчивости для всех сим метрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод в цепочках Ферми-Пасты-Улама - и -типов.

4. Создано ПО для построения диаграмм устойчивости нелинейных нор мальных мод.

5. Полученные диаграммы позволили выявить целый ряд качественных закономерностей потери устойчивости ННМ, в частности:

— были найдены скейлинговые соотношения для порога потери устойчивости ННМ относительно величины их амплитуд Ac при стремлении к бесконечности числа частиц в цепочке N ;

— для ННМ B[a4, ai] в модели FPU- и ННМ B[a6, ai, a3 u] в модели FPU- ( 0) обнаружены нулевые значения Ac при любом N ;

— для трех ННМ в модели FPU- ( 0) установлено существова ние критического значения амплитуды (энергии), при превыше нии которого они вновь становятся устойчивыми.

6. Для цепочек Ферми-Пасты-Улама- ( 0) скейлинговые соотноше ния для критической плотности энергии Ec /N, при которой происхо дит потеря устойчивости ННМ при числе частиц N, имеют вид:

Ec /N 1/N 2 (для 5 ННМ) и Ec /N 1/N (для одной ННМ). Полу ченные численно результаты подтверждены аналитически с помощью асимптотических методов.

Глава Дискретные бризеры в модели Бутта-Ваттиса 2.1 Понятие о дискретных бризерах Исследованные в предыдущей главе нелинейные нормальные моды представляют собой периодические делокализованные колебания, в кото рых участвуют все частицы цепочки. В настоящей же главе диссертации рассматриваются локализованные в пространстве периодические колеба ния в нелинейных гамильтоновых решетках, которые получили название дискретных бризеров.

Как известно, нормальные моды в идеальных гармонических решетках представляют собой делокализованные колебания, и устойчивые локализо ванные колебания в таких решетках невозможны. С другой стороны, в гар монических решетках с точечными дефектами могут существовать локали зованные моды, в которых амплитуда колебаний атомов спадает с рассто янием от места нахождения дефекта. В 1988 г. А. Сиверс и С. Такено [19] обнаружили, что локализованные моды могут быть типичными решениями в идеальных, но ангармонических решетках, т. е. решетках с нелиней ным взаимодействием между частицами. Так как возникновение такого типа локализации зависит лишь от свойств самой решетки, а не от посторонних дефектов, соответствующие моды были названы «собственными локализо ванными модами» (intrinsic localized modes, ILMs). Эти возбуждения имеют также множество других названий, включая «дискретные бризеры» (dis crete breathers, DBs), «нелинейные локализованные возбуждения», «само локализованные ангармонические моды» и др. В дальнейшем мы будем использовать наиболее популярное среди них, а именно, «дискретные бри зеры», или просто «бризеры».

Термин «бризер» был впервые применен к решению непрерывного уравнения синус-Гордона, utt = uxx sin u, (2.1) которое допускает периодическое во времени и локализованное в простран стве решение (Абловиц и др. [105], 1974 г.):

t sin 1+ u(x, t) = ±4 arctg (2.2).

ch (xx02) 1+ Легко видеть, что u(x, t) является периодической во времени функцией (c частотой b = 1/ 1 + 2 ) экспоненциально локализованной в пространстве около точки x0. Такое решение было названо непрерывным бризером.

Дискретные бризеры в решетках получили свое название из-за их сходства с решениями в форме непрерывных бризеров для уравнений в частных производных. И те, и другие являются периодическими во времени возбуждениями, которые локализованы в пространстве.

Отметим, что непрерывное уравнение синус-Гордона является исклю чением в том смысле, что это одно из немногих уравнений в частных произ водных, для которых существуют решения в виде непрерывных бризеров.

Малейшее изменение уравнений движения приводит к потере локализа ции (т. е. непрерывные бризеры являются структурно-неустойчивыми динамическими объектами). Большинство других нелинейных волновых уравнений не имеют бризерных решений. В то же время дискретные бри зеры существуют в системах весьма общего вида [106].

Дискретные бризеры являются пространственно локализованными периодическими во времени возбуждениями в трансляционно-инвари антных (идеальных) ангармонических решетках. Графически, типичное бризерное возбуждение можно представить как дискретную нелиней ную версию хорошо известного линейного волнового пакета. Качествен ное обсуждение дискретных бризеров было проведено еще в 1969 г.

в работе А. А. Овчинникова [107], а в 1974 г. в работе А. М. Косевича и А. С. Ковалева [108] была проделана первая попытка получить решение для бризера в решетке Клейна-Гордона. Однако, А. Сиверс и С. Такено были первыми, кто пришли к выводу о том, что дискретные бризеры могут существовать практически в любых ангармонических решетках [19]. Стро гое математическое доказательство этого утверждения было дано лишь в 1994 г. Р. С. МакКаем и С. Обри в работе [106]. Они доказали существо вание дискретных бризеров в гамильтоновых решетках с ангармоническим потенциалом подложки и слабым потенциалом связи между соседними узлами (так называемые решетки Клейна-Гордона). Их доказательство основано на методе продолжения по параметру связи решения, полу ченного в антиконтинуальном пределе.

Недавние эксперименты продемонстрировали существование дис кретных бризеров в самых различных физических системах. К сожалению, малые масштабы длин и квантовые эффекты делают трудным прямое экс периментальное наблюдение таких возбуждений в кристаллах, однако в ряде недавних работ было получены достаточно убедительные косвенные подтверждения существования дискретных бризеров в различных кристал лических структурах. Примерами могут служить обнаружение бризеров в квазиодномерном кристалле [Pt(en)2 ] [Pt(en)2 Cl2 ] (ClO4 )4 с помощью ком бинационного рассеяния света [109, 110] и в кристаллах NaI с помощью нейтронографических экспериментов [111]. В магнитных решетках ана логами дискретных бризеров являются локализованные спиновые моды, которые наблюдались в квазиодномерном двуосном антиферромагнетике (C2 H5 NH3 )2 CuCl4, при воздействии на него специально подобранной после довательностью микроволновых импульсов большой интенсивности [112].

Впоследствии эти результаты были подтверждены в работах М. Сато, А. Сиверса и др. [113–115]. Обзор экспериментальных свидетельств суще ствования дискретных бризеров в самых разных физических объектах (массивы контактов Джозефсона, ОЦК квантовый кристалл 4 He, -фаза урана, оптические волноводы, фотонные кристаллы, Бозе-Эйнштейновские конденсаты в оптических ловушках, цепочки микромеханических осцилля торов, биополимеры) можно найти в работе [41].

Отдельно упомянем лишь эксперимент [116], в котором при помощи сканирующей лазерной микроскопии дискретные бризеры наблюдались непосредственным образом в периодической структуре, представляющей собой замкнутую в кольцо цепочку соединенных друг с другом контактов Джозефсона. При пропускании через такую цепочку постоянного электри ческого тока наблюдались конфигурации, в которых несколько расположен ных рядом контактов могут находиться в состоянии, имеющем сопротивле ние, в то время как остальные находятся в сверхпроводящем состоянии.

В данном случае контакты с сопротивлением представляют собой дискрет ные бризеры, локализованные на различных узлах цепочки.

2.2 Симметрийная классификация дискретных бризеров Большинство работ, посвященных исследованию дискретных бризе ров, выполнены с помощью методов математического моделирования для нелинейных цепочек [41]. При этом принято различать «четную» моду Сиверса-Такены [19] и «нечетную» моду Пейджа [21]. В цитированных выше экспериментальных работах по исследованию дискретных бризеров в цепочках контактов Джозефсона полученные решения классифицируют по их свойствам симметрии относительно некоторых пространственных преоб разований [116, 117]. В работе [118] исследовалось дискретное нелинейное уравнение Шредингера на плоской квадратной решетке, и были обнару жены три различных по симметрии решения: локализованное на узле, в цен тре ячейки, и на ребре решетки.

Фактически, такое различие связано с тем, что эти локализованные моды имеют различную точечную симметрию. С другой стороны, в рабо тах [46–48, 77], посвященных бушам мод, которые являются делокализо ванными объектами, широко используется возможность классификации различных динамических режимов в нелинейных системах с дискретной симметрией по подгруппам группы их симметрии. В связи с этим, пред ставляется естественным исследование возможности аналогичной симмет рийной классификации дискретных бризеров в двумерных и трехмерных решетках.

В настоящей главе диссертации анализируется идея классификации дискретных бризеров по точечным группам симметрии различных положе ний в двумерных и трехмерных кристаллических структурах.

Можно показать, что в случае одномерных цепочек возможность локализации бризера на узле или между узлами является следствием суще ствования соответствующих правильных систем точек этих периодических структур, а наличие нескольких различных по симметрии дискретных бри зеров в цепочке контактов Джозефсона — более высокой симметрией последней по сравнению с моноатомными цепочками.

2.3 Модель плоской квадратной решетки Бутта-Ваттиса В рамках идеи о классификации решений динамических уравнений по подгруппам группы их симметрии, наибольший интерес представляют двумерные и трехмерные решетки. Тем не менее, в связи с трудностями исследования, в большинстве работ по математическому моделированию Jm,n Vm,n+ Im1,n Im,n Vm1,n Vm+1,n Vm,n Jm,n Vm,n Рис. 2.1. Модель решетки Бутта-Ваттиса (рисунки из работы [31]).

дискретных бризеров рассматривались одномерные цепочки, и лишь немно гие статьи посвящены решеткам больших размерностей. Среди этих работ следует особо отметить статью И. А. Бутта и Д. А. Д. Ваттиса [31], в кото рой исследуются дискретные бризеры в модели, представляющей собой плоскую квадратную решетку с определенным взаимодействием между находящимися в ее узлах нелинейными осцилляторами. В этой модели дина мика каждого узла описывается скалярной величиной un,m в соответствии с гамильтонианом 1 (un+1,m un,m )2 + (un,m+1 un,m )2 + V (un,m ) H= 2 n,m и динамическими уравнениями un,m + 4V (un,m ) V (un+1,m ) V (un1,m ) V (un,m+1 ) V (un,m1 ) = 0, (2.3) где V (u) = 2 u2 + 1 u4 задает вид нелинейности на каждом узле решетки.

В предложенной модели un,m имеет смысл заряда на конденсаторе, а V (u) описывает нелинейную связь между зарядом и напряжением (см. рис. 2.1).

Эта модель, в частности, находит применение при решении ряда задач твер дотельной электроники [32, 33]. Авторам удалось обнаружить дискретный бризер, локализованный на одном узле и обладающий симметрией C4v.

Для демонстрации возможности существования в рамках этой же модели дискретных бризеров различной симметрии, нами была использо вана процедура поиска локализованных периодических решений, разрабо танная в работе Ж. Л. Марина и С. Обри [119] на примере одномерной цепочки.

Следствием теоретико-группового подхода является вывод о том, что все возможные типы локализованных решений уравнений (2.3) должны быть инвариантны относительно одной из точечных групп выделенных позиций рассматриваемой плоской квадратной решетки1 : C4v (00), C4v ( 1 1 ), C4 (00), C4 ( 1 1 ), C2v (00), C2v ( 1 1 ), C2v (0 2 ), C2v (00), C2v ( 2 1 ), C2 (00), C2 ( 1 1 ), 1 d d 22 22 2 C2 (0 1 ), Cs (0x), Cs ( 1 x), Cs (xx), C1 (xy). Здесь в скобках после символов d 2 Шенфлиса указаны координаты соответствующих позиций, которые можно найти в таблицах правильных систем точек плоской группы симметрии C4v..

Аспектам численного построения профилей дискретных бризеров будет посвящен раздел 2.4, а анализу результатов расчета и выводам — раз дел 2.5.

2.4 Метод численного построения дискретных бризеров В работе [119] был предложен метод построения дискретных бризе ров, основанный на продолжении по параметру связи из антиконтинуаль ного предела. Ниже приведен краткий обзор этого метода.

2.4.1 Антиконтинуальное приближение Рассмотрим серию моделей, гамильтониан которых имеет форму (это так называемая модель решетки Клейна-Гордона) Wr (ui+r ui ), (2.4) H= u + V (ui ) + 2i r i Данная классификация применима к локализованным колебаниям в любой квадратной решетке. В то же время заметим, что вследствие симметрии выбранного потенциала V (u) = 1 u2 + 1 u4 в модели Бутта-Ваттиса 2 относительно преобразования u u, решения этой системы нужно в общем случае классифицировать по подгруппам соответствующей слоевой группы (это может заметно расширить список возможных решений, так, например, в главе 1 было продемонстрировано, что классификация ННМ по «расширенной» группе сим метрии модели FPU- удваивает число возможных ННМ).

где i нумерует узлы d-мерной квадратной решетки, базисные векторы которой r. Тогда i + r — ближайшие соседние узлы для узла i в положи тельно определенном направлении, ui (t) — амплитуда колебаний i-го узла, происходящих под действием потенциала V (u) (потенциал подложки, или онсайт-потенциал, от англ. on site — на узле) и потенциала взаимодействия Wr (u) между ближайшими соседними узлами (называемого также интер сайт-потенциалом, от англ. inter site — между узлами).

В одномерном случае Wr (ui+r ui ) = W (ui+1 ui ), r в двумерном Wr (ui+r ui ) = W01 (ui,j+1 ui,j ) + W10 (ui+1,j ui,j ), r где W01 и W10 — потенциалы взаимодействия между частицами в двух направлениях (вдоль соответствующих базисных векторов решетки), кото рые как правило выбираются равными друг другу W01 (u) = W10 (u) = W (u).

Динамические уравнения для гамильтониана (2.4) имеют вид [Wr (ui+r ui ) + Wr (ui uir )] = 0. (2.5) ui + V (ui ) + r Для простоты рассмотрим гармонический потенциал взаимодействия, изотропный во всех направлениях:

W (u) = Wr (u) = u2. (2.6) Тогда соответствующие динамические уравнения имеют вид:

ui + V (ui ) (ui+r + uir 2ui ) = 0. (2.7) r При = 0 система (2.7) представляет собой набор несвязанных нели нейных ангармонических осцилляторов (2.8) ui + V (ui ) = 0, каждый из которых расположен на своем узле i решетки. Каждый осцилля тор совершает колебания с некоторой частотой, зависящей от амплитуды колебаний.

Система связанных осцилляторов (2.4) представляет собой среду (континуум), в которой возможно распространение начального возбужде ния от узла к узлу. Поэтому предел = 0 называется антиконтинуальным пределом, т. к. в этом случае распространение колебаний оказывается невозможным (осцилляторы не взаимодействуют друг с другом).

Для простоты рассмотрим колебания, которые являются обратимыми во времени: {ui (t)} = {ui (t)} (подробнее о смысле этого ограничения будет сказано ниже), откуда следуют начальные условия {ui (0) = 0}. Если мы будем рассматривать колебания с частотой = b (бризерной частотой), то для каждого из независимых осцилляторов возможны следующие вари анты колебаний: осциллятор i может находиться в покое (обозначим это = 0), совершать колебания с начальной фазой 0, т. е. с положительной начальной амплитудой (обозначим это = 1), или совершать колебания с начальной фазой, т. е. с отрицательной начальной амплитудой (обозначим это = 1). Нумерация возможных решений может быть произвольной и, в частности, если существуют другие возможные решения с частотой b, то диапазон значений должен быть расширен. Например, это нужно сделать, если существуют решения с частотой 2b, 3b и т. д. (это позво ляет исследовать так называемые «многочастотные бризеры», в которых частицы совершают колебания с различными частотами кратными b ).

Таким образом, решение системы при = 0 можно описать кодовой последовательностью {i }, содержащей метки i, описывающие решение на каждом из независимых осцилляторов. Решение в виде одиночного бри зера соответствует случаю, когда i = 0 для всех узлов i кроме одного одного узла i = 0.

2.4.2 Метод непрерывного продолжения по параметру связи из антиконтинуального приближения Проинтегрируем уравнения (2.5) с начальными условиями {ui (0), ui (0)} в течение интервала времени Tb = 2/b.

Такое интегрирование задает так называемое отображение Пуан каре Tb ({ui (0), ui (0)}) = {ui (Tb ), ui (Tb )}.

Периодическое (с периодом Tb ) решение системы (2.5) должно удовле творять условию Tb ({ui (0), ui (0)}) = {ui (0), ui (0)}, или F ({ui (0), ui (0)}) = Tb ({ui (0), ui (0)}) {ui (0), ui (0)} = 0.

Итерационный метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений Fj ({xi }) = 0 имеет вид:

{xi } = {xi } F({xi }) · F ({xi }), F где F({xi }) = xji.

ij Как правило вместо вычисления обратной матрицы решают систему линейных алгебраических уравнений F({xi }) · {xi } = F ({xi }), (2.9) после чего уточненное решение вычисляется по формуле {xi } = {xi } {xi }.

Итерации повторяют до тех пор, пока решение не будет найдено с нужной степенью точности (например, до выполнения условия {xi } ).

После подстановки, получаем выражение для уточнения решения методом Ньютона:

{ui, ui } = {vi, vi } + 1 Tb ({vi, vi }) · (Tb ({vi, vi }) {vi, vi }). (2.10) Производная Tb является линейным оператором (матрицей) Tb ({(0), (0)}) = {(Tb ), (Tb )}, полученным интегрированием линеари зованной системы уравнений [Wr (ui+r ui )(i+r i ) + Wr (ui uir )(i ir )] = i + V (ui )i + r (2.11) за период Tb. Матрица Tb размера 2N 2N строится численным интегри рованием уравнений (2.11) для 2N независимых начальных условий {i, i } (N — количество осцилляторов). Обычно в качестве N первых началь ных условий выбирают {i (0), i (0)}j = {ij, 0}, а в качестве N вторых — {i (0), i (0)}j = {0, ij }.

Заметим, что {(0), (0)} = {ui (0), ui (0)} является собственным век тором матрицы Tb с собственным значением 1. Следовательно, матрица [1 Tb ] в методе Ньютона (2.10) является необратимой, т. к. содержит собственное значение 0 и, таким образом, метод Ньютона не будет работать.

Для того, чтобы можно было использовать метод Ньютона, нужно пойти на ухищрение, которое состоит в следующем. Необходимо уменьшить размерность пространства, в котором ищется решение, чтобы исключить собственное значение 1 матрицы Tb (т. е. чтобы собственный вектор, соответствующий собственному значению 1, лежал за пределами редуциро ванного подпространства).

Для этого, например, можно ограничиться поиском решений, которые являются обратимыми во времени {ui (t) = ui (t)}, откуда автоматически вытекают начальные условия {ui (0) = 0}. Тогда задача сводится к нахож дению стационарных точек редуцированного оператора Rb ({ui (0)}) = = Tb ({ui (0), 0}) = {ui (Tb )}. Так как полная энергия системы сохраняется, то 1 2 для бризера т. е. скорости осцилляторов также i ui (Tb ) = 2 i ui (0) = 0, возвращаются к начальному значению {ui (Tb ) = 0}.

Производная Rb редуцированного оператора Rb представляет собой N N подматрицу 2N 2N матрицы Tb. Каждая итерация метода Ньютона имеет вид {vi } = {vi } + 1 Rb ({vi }) (Tb ({vi }) {vi }). (2.12) Если последовательность итераций сходится от начальной точки {vi (0)} к стационарной точке {ui (0)}, то периодическая орбита (бризер) динамиче ской системы получена. Метод Ньютона перестанет сходиться в том случае, если матрица [1 Rb ({vi })] станет необратимой.

Увеличивая параметр маленькими шагами, и применяя метод Ньютона на каждом шаге, используя в качестве начального приближения решение, полученное на предыдущем шаге ( ), можно продолжить решение по параметру от = 0 (для которого решение известно и задано кодовой последовательностью {i }) до некоторого значения = c, при котором метод Ньютона перестанет сходиться.


При значении параметра = c матрица Ньютона становится необра тимой, поэтому применять метод Ньютона дальше нельзя. Приближение к этой точке легко определяется в численных расчетах, поскольку ско рость схождения к решению на каждом шаге начинает резко падать и приходится уменьшать величину шага, чтобы обеспечить более быстрое схождение к решению. Можно убедиться в том, что наименьшее по модулю собственное значение матрицы Ньютона действительно обращается в ноль в критической точке = c и, следовательно, матрица Ньютона становится необратимой. В этой критической точке решение испытывает бифуркацию, которая требует дальнейшего анализа. В результате, решение может быть как продолжено дальше этой точки (в этом случае может быть получено как одно, так и несколько независимых решений), так и оборваться в ней.

После того как бризерное решение будет найдено, нужно исследовать его устойчивость, так как в реальных физических экспериментах можно обнаружить лишь устойчивые решения. Проблеме исследования устойчи вости будет посвящен раздел 2.4.4.

В работе [119] было показано, что для того, чтобы можно было продол жить решение методом продолжения по параметру из антиконтинуального предела, должны выполняться следующие условия:

1) nb (0) для любого целого n, где (0) — частоты малых колебаний системы осцилляторов. Это условие отсутствия резонанса приводит к отсутствию рассеяния энергии бризера фононами. Поскольку ампли туда колебаний, по определению дискретного бризера, стремится к нулю с удалением от его центра, то асимптотика «хвостов» бри зера описывается линейным приближением. Следовательно, частота колебаний бризера должна лежать за пределами фононного спектра, чтобы обеспечить спад амплитуды до нуля.

2) d(A)/dA = 0 для частоты колебаний бризера = b, что означает, что колебания являются действительно ангармоническими, т. е. их частота зависит от амплитуды. Выполнение этого условия позволяет скоррек тировать (методом Ньютона) амплитуды колебаний осцилляторов так, чтобы они стали совершать колебания с требуемой частотой b.

3) Решение должно быть единственным, т. е. нужно наложить некоторые дополнительные условия для того, чтобы снять возможное вырожде ние (это связано с тем, что при наличии вырождения матрица Нью тона становится необратимой). Например, в гамильтоновых систе мах вместе с решением {ui (t)} также будет существовать решение {ui (t + )} для произвольного. Самым простым решением данной проблемы является наложение условия обратимости решения во вре мени {ui (t)} = {ui (t)}, т. е. задать в качестве начального условия {ui (0) = 0}.

Если модель, для которой ищется бризерное решение, обладает неко торой симметрией, то можно уменьшить число независимых осцилляторов за счет симметрийных ограничений. Это удобно не только из соображе ний эффективности, но и потому, что при этом можно избежать некото рых бифуркаций, связанных с потерей симметрии, и продолжить решение насколько это возможно. Например, в рассматриваемом случае, в силу симметрии потенциала взаимодействия W (u) = W (u), если ui (t) является решением (2.7), то и ui (t) также является решением. Следовательно, бри зерное решение на узле i = 0 является пространственно симметричным в антиконтинуальном пределе. А так как преобразования в методе Ньютона сохраняют пространственную симметрию, то можно искать бризерное реше ние в пространстве решений, удовлетворяющих условию ui (t) = ui (t), т. е.

в пространстве в два раза меньшей размерности по сравнению с размерно стью исходной системы (поэтому, например, в одномерном случае можно ограничиться i 0). При наложении такого условия матрица Ньютона для редуцированной системы может оставаться обратимой даже тогда, когда матрица Ньютона для полной системы становится необратимой.

2.4.3 Построение дискретных бризеров в модели Бутта Ваттиса Предложенная в [119] схема в настоящей диссертационной работе была применена к модели Бутта-Ваттиса следующим образом.

Запишем уравнения (2.3) в виде:

un,m + 4V (un,m ) = [V (un+1,m ) + V (un1,m ) + V (un,m+1 ) + V (un,m1 )].

Тогда по форме они будут близки к уравнению (2.7), и для построения дис кретного бризера можно использовать метод продолжения по параметру от = 0 (антиконтинуальный предел) до = 1 (модель Бутта-Ваттиса).

Для увеличения эффективности расчетов была использована следую щая модификация предложенной Марин и Обри схемы:

{vi } = {vi } Sb ({vi }) {vi (Tb )}, (2.13) где vi (Tb ) Sb =.

vj (0) ij В данном подходе используется тот факт, что на точном решении {vi (0)} = {vi (Tb )} = 0. В отличие от предложенного в работе [119], дан ный метод не требует вычитания единичной матрицы, которое может в некоторых случаях приводить к потере значащих цифр для диагональных элементов.

В качестве кодовой последовательности {n,m } выбиралась форма, удовлетворяющая симметрийным ограничениям одной из рассматриваемых точечных групп симметрии.

Изначально бризерное решение строилось для частоты b = 20.0, которая лежит намного выше верхней границы фононного спектра (max = = 2 2 2.83) и, следовательно, такое решение должно быть достаточно хорошо локализовано и находиться методом продолжения по параметру за меньшее количество итераций. Затем частота b постепенно уменьша лась, а решение на каждом шаге уточнялось методом Ньютона (2.13) уже без использования метода продолжения по параметру. Для каждого значе ния b после схождения итераций метода Ньютона вычислялись значения мультипликаторов Флоке для анализа устойчивости полученного решения.

2.4.4 Исследование устойчивости дискретных бризеров Для исследования устойчивости рассчитанного бризерного решения v(t) = {ui (t), ui (t)} добавим к нему малое возмущение (t) и линеаризуем исходную автономную систему уравнений X = F (X) в окрестности этого решения. Линеаризованная система (уравнения в вари ациях) будет иметь вид (2.14) = F (v(t)), где F есть матрица Якоби (матрица производных F /X).

Для исследования системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами, которой является система (2.14) был использован метод + Рис. 2.2. Дискретный бризер с симметрией C4v (00) в решетке Бутта-Ватти са (b = 3.2). Слева приведена исходная кодовая последователь ность в антиконтинуальном приближении.

Флоке [96, 97]. Вычисление матрицы монодромии полностью идентично опи санному ранее методу вычисления матрицы Ньютона с той разницей, что при расчете матрицы монодромии необходимо использовать все 2N направ лений в фазовом пространстве. Заметим, что многие элементы матрицы монодромии уже содержатся в матрице Ньютона на последнем шаге ите рации (когда отображение сошлось к точному бризерному решению).

2.5 Результаты компьютерного моделирова ния В результате проведенного моделирования нам удалось получить дис кретные бризеры в интервале частот 3.2 b 20.0 для следующих 4-х групп точечной симметрии: C4v (00), C4 ( 1 1 ), C2v (00), C2 (0 2 ), профили колебаний d которых приведены на рисунках 2.2–2.5.

+ + + + Рис. 2.3. Дискретный бризер с симметрией C4 ( 1 1 ) в решетке Бутта-Ватти са (b = 3.2). Слева приведена исходная кодовая последователь ность в антиконтинуальном приближении.

На этих рисунках слева cхематически приведена исходная кодо вая последовательность {i } в антиконтинуальном приближении, которая неявно задает симметрию дискретного бризера. Из этой кодовой после довательности методом продолжения по параметру связи было построено бризерное решение, которое приведено на этих рисунках справа для неко торой частоты колебаний b, значение которой приведено в подписи к соответствующему рисунку.

Для всех четырех полученных бризеров анализ устойчивости показал, что на интервале частот 3.2 b 20.0 все они являются устойчивыми в линейном приближении.

2.6 Выводы 1. Предложено классифицировать дискретные бризеры, являющиеся периодическими во времени и локализованными в пространстве реше + + d Рис. 2.4. Дискретный бризер с симметрией C2v (00) в решетке Бутта-Ватти са (b = 3.4). Слева приведена исходная кодовая последователь ность в антиконтинуальном приближении.

+ + Рис. 2.5. Дискретный бризер с симметрией C2 (0 1 ) в решетке Бутта-Ватти са (b = 3.3). Слева приведена исходная кодовая последователь ность в антиконтинуальном приближении.

ниями динамических уравнений для нелинейных гамильтоновых реше ток, по подгруппам группы инвариантности этих уравнений.

2. Создано ПО для построения дискретных бризеров заданной симмет рии.

3. С помощью математического моделирования найдены дискретные бризеры с группами симметрии C4v, C4, C2, C2d, локализованные, соответственно, в точках (00), ( 2 1 ), (0 1 ), ( 1 2 ) в плоской квадратной 1 2 2 решетке Бутта-Ваттиса.

Глава Странные аттракторы в трехмерных диссипативных системах с точечной кристаллографической симметрией 3.1 Постановка задачи В предыдущих частях настоящей работы мы имели дело с регулярным движением, в то время как эта часть работы посвящена применению общих идей теории нелинейных динамических систем с дискретной симметрией, рассмотренных в предыдущих главах для случая гамильтоновых систем, для исследования диссипативных систем, которые могут обладать хаотиче скими аттракторами.

Многочисленные приложения хаотической динамики в самых разных областях физики и техники обязаны тому принципиально важному обстоя тельству, что хаотическое поведение могут демонстрировать даже системы с очень небольшим числом степеней свободы. Например, при определенных условиях динамический (детерминированный) хаос возможен в автоном ных системах из трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.


Многие коллективные (когерентные) процессы описываются пара метрами порядка. Одна из характерных особенностей такого описания — ничтожное число степеней свободы по сравнению с полным их числом для исходной системой. Однако именно эти «коллективные» степени свободы и определяют наиболее существенную глобальную структуру системы и ее эволюцию, тогда как все остальное есть лишь некоторый общий термодина мический «фон».

Например, многие уравнения, описывающие хаотические колеба ния, появились в результате применения метода Галеркина к исходной системе уравнений в частных производных. При этом сохраняется инфор мация лишь о наиболее важных крупномасштабных вкладах в решение.

Именно таким образом была выведена известная система Лоренца [34].

Подробную информацию об использовании метода Галеркина для задач гидродинамики и вывода соответствующих связанных систем ОДУ можно найти, например, в книге [120].

«Детерминированный хаос» сегодня — весьма активная область исследования, в которой получено множество выдающихся результатов.

Разработаны методы классификации различных типов хaoca и обнару жено, что при изменении внешнего управляющего параметра многие системы демонстрируют универсальное поведение при переходе от порядка к хаосу [122, 123].

В настоящей главе рассматривается класс трехмерных дифференци альных уравнений первого порядка с квадратичными нелинейностями. Это большой класс динамических систем, к которому принадлежат известные системы Лоренца [34] и Ресслера [121]. Данные две системы могут демон стрировать сложное поведение, в частности, они обладают хаотическими (странными) аттракторами в некоторых диапазонах изменения их параметров [122–124]. Система Лоренца характеризуется семью членами и двумя квадратичными нелинейностями в правых частях соответствующих дифференциальных уравнений:

x = x + y, y = rx xz y, z = xy bz, Система Ресслера обладает семью членами и только одной квадратич ной нелинейностью в правых частях:

x = y z, y = x + ay, z = b cz + xz.

Как уже отмечалось во Введении, система Лоренца инварианта отно сительно группы симметрии C2, задаваемой преобразованиями {x x, y y, z z}, в то время как система Ресслера не имеет нетривиальных преобразований симметрии.

В качестве следующего примера рассмотрим модель циклической конкуренции, предложенную в работе Мея и Леонарда [125] N1 = rN1 (1 N1 N2 N3 ), (3.1) N = rN2 (1 N2 N3 N1 ), N3 = rN3 (1 N3 N1 N2 ).

Эта же модель возникает при анализе неустойчивости Куп перса–Лорца [126] в виде A1 = A1 1 |A1 |2 (1 + µ + )|A2 |2 (1 + µ )|A3 |2, A2 = A2 1 |A2 |2 (1 + µ + )|A3 |2 (1 + µ )|A1 |2, (3.2) A3 = A3 1 |A3 |2 (1 + µ + )|A1 |2 (1 + µ )|A2 |2, который сводится к (3.1) будучи записанным в переменных N1 = |A1 |2, N2 = = |A2 |2 и N3 = |A3 |2. В работах [127, 128] модель (3.1) используется для качественного объяснения осцилляций, наблюдаемых в некоторых экспе риментах над сегнетоэлектриками под воздействием лазерного излучения.

Система (3.1) инвариантна относительно группы симметрии C3 (цикличе ской замены N1 N2 N3 N1 ).

В работе Т. Рикитаке [129] была предложена система, описывающую динамику двухдисковой динамо-машины:

LI1 = RI1 + M I2, (3.3) LI = RI2 + M ( + )I1, C = F M I1 I2, и одним из частных случаев этой системы является случай нулевого внеш него воздействия [129]:

LI1 = RI1 + M I2, (3.4) LI = RI2 + M I1, C = M I1 I2.

Легко убедиться, что эта система инвариантна относительно преобразова ний {I1 I1, I2 I2 }, {I1 I1, } и {I2 I2, }, обра зующих группу симметрии D2.

Система с симметрией D2 также может возникать при исследова нии взаимодействия волн в среде с квадратичной нелинейностью. Так, в работе [130] была предложена система, описывающая элементарное взаи модействие — распад волны — в такой среде:

a1 = 1 a1 a2 a3 eit, a = 2 a2 + a1 a eit, (3.5) 2 a3 = 2 a3 + a1 a eit, где ak — комплексные амплитуды волн, — рассинхронизация частоты в процессе распада 1 2 + 3, и k описывает поглощение волн в среде. Очевидно, что в случае = 0 и вещественных амплитуд ak мы также приходим к системе с симметрией D2 (уравнения инвариантны относительно преобразований {a1 a1, a2 a2 }, {a1 a1, a3 a3 }, {a2 a2, a3 a3 }).

В работе [131] Ж. Спротт поставил вопрос: «Существуют ли трехмер ные системы автономных обыкновенных дифференциальных уравнений с одной (как в случае системы Росслера) или двумя (как в случае системы Лоренца) квадратичными нелинейностями и имеющие менее семи членов, решения которых являются хаотическими?»

Используя прямой компьютерный поиск, Ж. Спротт нашел 19 хаоти ческих систем такого типа, которые отличны друг от друга в том смысле, что нет такой (очевидной) замены переменных, которая позволит перейти от одной системы к другой. Этот поиск был основан на выдвинутой Спрот том идее «алгебраической простоты» дифференциальных уравнений, и его системы действительно выглядят более простыми, чем системы Лоренца и Ресслера. Но самый простой случай рассмотренных систем был опублико ван им позднее в работе [132]. Эта система может быть записана в виде z = az ± y 2 x. (3.6) x = y, y = z, Некоторая дополнительная информация по этой теме может быть най дена в обзорной работе [133].

Обратим внимание на то, что многие из систем, полученных Спрот том, выглядят довольно экзотическими, так как хаотическое поведение в таких системах часто наблюдается для весьма узких областей изменения их параметров (например, хаос для системы (3.6) возникает только в интервале 2.0168 a 2.0577), а бассейны притяжения соответствующих странных аттракторов являются относительно малыми.

В отличие от поиска, основанного на идее алгебраической простоты, в настоящей работе осуществляется поиск, основанный на симметрий ных методах, именно, рассматриваются хаотические системы, инвари антные относительно точечных групп кристаллографической симметрии.

Несмотря на то, что эти группы, как и пространственные группы, действуют в трехмерном евклидовом пространстве, с ними также могут быть связаны многомерные динамические системы, если используются их матричные представления.

На основе теории представлений групп нами был разработан общий метод построения N -мерных диссипативных систем данного класса, в дина мике которых может проявляться хаотическое поведение. Этот метод был реализован в случае N = 3 для всех возможных точечных групп кристалло графической симметрии.

3.2 Динамические системы, инвариантные относительно групп точечной симметрии Настоящая глава диссертационной работы посвящена исследованию динамических систем, инвариантных относительно преобразований, инду цированных представлениями (приводимыми и неприводимыми) различных групп дискретной симметрии. Этот подход соответствует известному поло жению о том, что если физическая система характеризуется некоторой группой симметрии G, то ее свойства описываются переменными, кото рые преобразуются по представлениям группы G. В настоящей работе обсуждается случай, когда G — одна из 32-х возможных точечных групп кристаллографической симметрии.

Рассмотрим автономную N -мерную динамическую систему, описыва емую N переменными µj (t):

(3.7) µj = fj (µ1, µ2..., µN ), j = 1, 2,..., N, Выберем некоторую группу точечной симметрии G и построим все воз можные ее N -мерные представления (в общем случае, приводимые). Эта процедура действительно возможна, так как любое представление группы G может быть записано в виде прямой суммы некоторого числа ее неприво димых представлений j (3.8) = j, dim = N, Таблица 3. Неприводимые представления группы D НП Элементы симметрии y x z E C2 C2 C 1 1 1 1 1 -1 - 1 -1 1 - 1 -1 -1 и потому что все j точечных групп кристаллографической симметрии известны (см., например, [134]). Заметим, что одно и то же НП j может содержаться в прямой сумме (3.8) несколько раз. После этого перебираем по очереди каждое из вышеупомянутых представлений и требуем, чтобы наша динамическая система оставалась инвариантна при преобразованиях ее переменных µj (t) (j = 1, 2,..., N ), индуцированных этим представлением.

Проиллюстрируем эту процедуру на следующем примере. Рассмотрим точечную группу D2 (как и ранее, здесь используется нотация точечных групп симметрии по Шенфлису). Она состоит из четырех элементов симмет y x z рии: E (единичный элемент) и C2, C2, C2, которые являются вращениями на 180 вокруг осей x, y и z, соответственно. Так как группа D2 является абелевой 4-го порядка, то у нее имеется четыре одномерных неприводимых представлений (НП), приведенные в таблице 3.1.

Построим всевозможные трехмерные приводимые представления группы D2, комбинируя НП из таблицы 3.1 в соответствующие прямые суммы (3.8). Существует всего 20 вариантов таких комбинаций, но многие из них, как оказывается, равны друг другу. Далее достаточно рассматривать лишь образы этих представлений. Образом представления называется матричная группа, образованная полным набором всех лексикографически различных матриц данного представления, независимо от способа соответ ствия между этими матрицами и элементами группы симметрии. Другими Таблица 3. Образы трехмерных представлений группы D L2 [Cs ]2 = z x L3 [C2 ] = L4 [Ci ] = 1 x L5 [C2v ] =,, 1 z L6 [C2h ] =,, 1 x L7 [C2h ] =,, 1 1 1 L8 [D2 ] =,, 1 1 1 словами, для нахождения образа нужно выписать только различные мат рицы представления, не принимая во внимание порядок их появления в этом представлении. Все различные образы трехмерных представлений1 группы G = D2 приведены в таблице 3.2.

В этой таблице во всех образах Lj (j = 1, 2,..., 8) опущена единичная матрица, а также не приведен и единичный образ L1 [C1 ] =, который не дает никаких ограничений на коэффициенты динамической системы.

Каждый из образов L2, L3 и L4 имеет один генератор, матрица кото рого приведена в таблице 3.2, а остальные образы (L5, L6, L7, L8 ) обладают двумя генераторами (в качестве этих генераторов могут быть выбраны две первые матрицы, потому что третья матрица является произведением пер вых двух).

Каждому из трехмерных образов можно приписать некоторую точеч ную группу симметрии (очевидно, что это уже невозможно для случая N 3). Действительно, трехмерные матрицы действуют на вектор r = (x, y, z), и можно рассмотреть каждый образ из таблицы 3.2 как векторное пред Обратим внимание, что образы представлений абелевых групп, построенных согласно уравнению (3.8), содержат только диагональные матрицы.

В квадратных скобках около символа Lj приведено обозначение эквивалентной точечной группы. Нуле вые элементы матриц не указываются.

ставление некоторой точечной группы. Действие такого представления на вектор r эквивалентно действию на него соответствующей группы симмет рии. Например, матрица действует на произвольный вектор r как инверсия (i), матрица действует на него как вращение на 180 вокруг оси z, а матрица описывает отражение в плоскости, перпендикулярной к оси z (все эти элементы симметрии определены относи тельно начала координат). Исходя из этой интерпретации вышеупомянутых матриц трехмерных образов, легко найти точечные группы симметрии, сопо ставляемые этим образам. В таблице 3.2 около каждого Lj приведен символ Шенфлиса для соответствующей точечной группы.

Таким образом, анализируя возможные трехмерные представления группы D2, получим векторные представления нескольких различных групп симметрии:

x x x z (3.9) Cs, C2, Ci, C2v, C2h, C2h, D2.

В действительности, можно найти все трехмерные преобразования, связанные с точечными группами кристаллографической симметрии, выпи сывая векторные представления всех таких групп, не используя выше упомянутую комбинаторную процедуру. Но так как это невозможно для N-мерного случая с N 3, вернемся к обсуждению образов N-мерных представлений групп дискретной симметрии.

x z Обратим внимание, что группы C2h и C2h из списка (3.9) эквивалентны в кристаллографическом смысле: они отличаются друг от друга только ори ентацией элементов симметрии (оси вращения второго порядка этих групп совпадают с координатными осями x и z, соответственно). Такая экви валентность является следствием существования некоторого унитарного преобразования, которое связывает образы, соответствующие этим груп пам3 :

L6 = S + L7 S. (3.10) Заметим, что два представления, связанные при помощи некоторого унитарного преобразования, назы ваются эквивалентными.

— матрица, соответствующая вращению на Здесь S = вокруг пространственной диагонали куба.

С другой стороны, каждый образ выделяет некоторую динамическую систему, которая должна быть инвариантной при преобразованиях дина мических переменных, индуцированных этим образом. Две динамических системы называются эквивалентными, если существует некоторое преоб разование (линейное, в нашем случае) от переменных первой системы к переменным второй системы. Очевидно, эквивалентные образы генери руют эквивалентные динамические системы. Поэтому достаточно оставить только одну «копию» из набора эквивалентных образов. По этой причине x исключим образ L6 [C2h ] из списка (3.9).

В общем случае, устранение взаимно эквивалентных образов — весьма трудная задача. Действительно, так как порядок матриц в каждом образе несуществен, то неизвестно, какая матрица первого образа может быть преобразована в какую матрицу второго образа. Однако, подобная проблема для образов неприводимых представлений, в рамках теории фазовых переходов, была решена Гуфаном с соавторами [135–137] и Хэт чем и Стоуксом [138] для всех 230 пространственных групп.

В трехмерном пространстве существуют 32 различные точечные группы кристаллографической симметрии. Каждой из них отвечает класс динамических систем, определяемый с точностью до некоторого числа про извольных параметров. В будет показано далее, многие из этих систем не могут демонстрировать хаотическое поведение. Рассмотрим этот вопрос более детально.

Каждой матрице трехмерного образа соответствует определенное пре образование динамических переменных x(t), y(t), z(t). Например, первая матрица образа L8 [D2 ] (см. таблицу 3.2) генерирует преобразование x x, y y, z z, (3.11) в то время как вторая генерирует преобразование x x, y y, z z. (3.12) Преобразование, индуцированное третьей матрицей избыточно, так как эта матрица равна произведению первых двух матриц образа L8 [D2 ].

В самой общей форме трехмерная динамическая система с квадратич ными нелинейностями может быть записана в виде x = a1 + b11 x + b12 y + b13 z + c111 x2 + +c112 xy + c113 xz + c122 y 2 + c123 yz + c133 z 2, y = a + b x + b y + b z + c x2 + 2 21 22 23 (3.13) +c212 xy + c213 xz + c222 y 2 + c223 yz + c233 z 2, z = a3 + b31 x + b32 y + b33 z + c311 x2 + +c312 xy + c313 xz + c322 y 2 + c323 yz + c333 z 2.

Потребуем, чтобы эта система была инвариантной по отношению к преобразованию (3.11), а затем по отношению к преобразованию (3.12).

В результате, получаем следующую динамическую систему с шестью про извольными коэффициентами, которые не могут быть найдены при помощи теоретико-групповых методов:

x = b11 x + c123 yz, (3.14) y = b22 y + c213 xz, z = b33 z + c312 xy.

Впервые система такого рода исследовалась в работе [139], в которой была рассмотрена электрическая цепь, динамика которой описывается дан ной системой уравнений. Однако теоретико-групповой аппарат при иссле довании системы (3.14) в работе [139] не использовался.

Количество произвольных коэффициентов в (3.14) может быть умень шено до двух неизвестных коэффициентов масштабированием динамиче ских переменных x, y, z и времени t. Таким образом, достаточно анализи ровать возможность хаотического поведения нашей динамической системы для всех возможных значений только этих двух произвольных коэффициен тов.

В качестве второго примера, рассмотрим образ L4 [Ci ]. Его единствен ная матрица задает операцию инверсии:

x x, y y, z z, (3.15) Выполняя это преобразование над общей системой (3.13), видим, что квадратичные члены не изменяют свои знаки, в то время как линейные члены изменяют. Умножая каждое преобразованное уравнение на 1 и сравнивая с ним же до замены (3.15), делаем вывод, что все коэффици енты при квадратичных членах должны быть равны нулю. Другими словами, окончательная система оказывается линейной. Так как хаотическое пове дение в линейных динамических системах невозможно, можно отбросить все образы, содержащие инверсию, т. е. образы типа C2h, D2h, D4h, Th, Oh, и т. д., из полного набора трехмерных образов.

3.3 Странные аттракторы в трехмерных дина мических системах с квадратичными нели нейностями 3.3.1 Анализ возможности существования хаотических аттракторов в системах с дискретной симметрией Хаотическое поведение невозможно не только в линейных системах.

Есть и другие свойства, которые приводят к устранению динамической системы из списка кандидатов на возможность проявления хаотического поведения.

1. Мы должны исключить так называемые градиентные системы4 :

U xi = (3.16), xi Некоторые свойства таких систем с дискретной симметрией обсуждаются в [48].

где i = 1, 2,..., N и U (x1, x2,..., xN ) — функция всех динамических пере менных. Эти уравнения фактически описывают метод скорейшего спуска для минимизации функции U. Функция U из (3.16) не может увеличиться в процессе такого спуска, и фазовая траектория постепенно приближается к локальному минимуму (в частности, он может быть равен ), или некото рым подпространствам минимумов. В такой ситуации никакое хаотическое поведение не может появиться. Например, градиентная система соответ ствует образу 1 (3.17) L[T ] =,,, 1 1 1 1 и образу L[O], который отличается от L[T ] добавлением четвертой матрицы:

.

Обоим из вышеупомянутых образов соответствует одна и та же дина мическая система: x = b11 x + c123 yz, (3.18) y = b11 y + c123 xz, z = b11 z + c123 xy.

Это действительно градиентная система с U (x, y, z) = 2 b11 (x2 + y 2 + + z 2 ) c123 xyz.

2. Некоторые образы индуцируют системы дифференциальных урав нений, для которых существует первый интеграл движения. Порядок такой системы может быть понижен на единицу, и хаотическое поведение оказы вается невозможным в силу теоремы Пуанкаре-Бендиксона [140, 141].

Например, образ L[C4v ], а также образ L[C6v ], генерируют одну и ту же динамическую систему x = b11 x + c113 xz, (3.19) y = b11 y + c113 yz, z = a3 + b33 z + c311 (x2 + y 2 ) + c333 z 2.

Здесь и далее будем определять образы только матрицами их генераторов.

В действительности система (3.19) обладает непрерывной симметрией: она инвариантна относительно вращения на произвольный угол вокруг оси z. Именно из этого и следует существование интеграла движе ния в такой системе.

Легко убедиться, что величина I = x/y является первым интегралом движения для (3.19) и, таким образом, эта система может быть исключена из нашего дальнейшего рассмотрения.

3. Можно подобрать такую функцию (x, y, z), для которой будет выполняться соотношение d (3.20) =.

dt Отсюда следует, что система выходит при t либо на поверх ность = 0, либо на 1 = 0 (в зависимости от знака ). Также в этом случае можно говорить о существовании интеграла движения I(x, y, z, t) = = et (x, y, z). В любом случае, размерность системы может быть умень шена на единицу, а в двумерных системах по теореме Пуанкаре-Бендиксона хаотические решения не могут существовать.

Например, образ 1 L[C2v ] =, 1 генерирует динамическую систему x = b11 x + c113 xz, y = b22 y + c223 yz, z = a3 + b33 z + c311 x2 + c322 y 2 + c333 z 2.

Если теперь ввести в рассмотрение функцию = xc223 y c113, то для ее изменения со временем получится следующее уравнение d = (b11 c223 b22 c113 ).

dt Аналогично, образ 1 L[D4 ] =, 1 1 генерирует систему динамических уравнений x = b11 x + c123 yz, y = b11 y + c123 xz, z = b33 z + c312 xy.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.