авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Южный федеральный университет Научно-исследовательский институт ...»

-- [ Страница 3 ] --

d для которой = x2 y 2 и = 2b11.

dt 4. В отдельных случаях не удается получить систему вида (3.20), но тем не менее, анализ уравнений также позволяет выявить определенные свойства асимптотического поведения, не допускающие хаотического пове дения.

Например, рассмотрим систему с симметрией C3v, которой соответ ствует образ 1/2 3/2 L[C3v ] =, 3/2 1/ и динамические уравнения x = b11 x + c111 (x2 y 2 ) + c113 xz, (3.21) y = b11 y 2c111 xy + c113 yz, z = a3 + b33 z + c311 (x2 + y 2 ) + c333 z 2.

x2 + y 2, = arctg(y/x), Перейдя к полярной системе координат r = систему (3.21) можно записать в виде r = b11 r + c111 r2 cos 3 + c113 rz, (3.22) = c111 r sin 3, z = a3 + b33 z + c311 r2 + c333 z 2.

Для второго уравнения полученной системы можно разделить пере менные d = c111 r dt sin и записать решение в следующем виде t (3.23) (t) = arcctg sh Arsh ctg 3(0) + 3c111 r( )d.

Так как r 0, то либо lim r(t) = 0 и решение асимптотически выходит t на инвариантное многообразие {x, y, z} = {0, 0, z}, либо lim r( )d = t и, как следует из (3.23), решение асимптотически выходит на поверхность = k (где k может принимать целые значения от 0 до 5).

Анализ всех динамических систем, соответствующих трехмерным представлениям 32 точечных кристаллографических групп, с учетом выше указанных ограничений приводит нас лишь к следующим шести группам симметрии, которые могут генерировать динамические системы, обладаю щими хаотическими аттракторами:

(3.24) C1, Cs, C2, D2, C3, S4.

Фактически, каждая группа определяет некоторый класс динамических систем, так как в соответствующие дифференциальные уравнения вхо дит некоторое множество произвольных коэффициентов (см., например, (3.14)).

Хаотическое поведение появляется только для определенных зна чений этих коэффициентов. Чтобы найти коэффициенты динамических систем, при которых наблюдаются хаотические аттракторы, была создана компьютерная программа, основанная на числовой процедуре, аналогич ной предложенной Спроттом в [131]. Именно, для каждого коэффициента выбирались определенный диапазон [A, +A] и соответствующий шаг h его изменения. Затем для каждой точки получающейся сетки, использовалась процедура интегрирования методом Рунге-Кутты, и выбирались только те динамические системы, для которых наблюдалось хаотическое поведе нием. В свою очередь, факт хаотичности определялся положительностью старшего показателя Ляпунова, который рассчитывался по стандартному алгоритму, предложенному в работе [142].

Ниже для каждой группы из (3.24) представлен образ, общая форма системы (вид динамических уравнений), генерируемая этим образом, при мер хаотической системы и изображение соответствующего хаотического аттрактора для этого примера. На всех рисунках переходной процесс выхода на аттрактор не изображался.

Рис. 3.1. Хаотический аттрактор для системы класса Cs, описываемой уравнениями (3.26).

3.3.2 Хаотические аттракторы в системах с симмет рией Cs Образ:.

Общая форма системы:

x = b11 x + c112 xy + c113 xz, y = a2 + b22 y + b23 z + c211 x2 + c222 y 2 + c223 yz + c233 z 2, (3.25) z = a3 + b32 y + b33 z + c311 x2 + c322 y 2 + c323 yz + c333 z 2.

Пример (рис. 3.1):

x = xy xz, y = 2 z + x2, (3.26) z = 1 x2 yz.

3.3.3 Хаотические аттракторы в системах с симмет рией C Образ:.

Рис. 3.2. Хаотический аттрактор для системы класса C2, описываемой уравнениями (3.28) (система Лоренца).

Общая форма системы:

x = b11 x + b12 y + c113 xz + c123 yz, y = b x + b y + c xz + c yz, 21 22 213 (3.27) z = a3 + b33 z + c311 x2 + +c312 xy + c322 y 2 + c333 z 2.

Пример (система Лоренца, рис. 3.2):

x = x + y, (3.28) y = rx y xz, z = bz + xy.

= 10, r = 28, b = 8/3.

3.3.4 Хаотические аттракторы в системах с симмет рией D 1 Образ:.

, Рис. 3.3. Хаотический аттрактор для системы класса D2, описываемой уравнениями (3.30).

Общая форма системы:

x = b11 x + c123 yz, (3.29) y = b22 y + c213 xz, z = b33 z + c312 xy.

Пример (рис. 3.3):

x = 4x + yz, (3.30) y = y + xz, z = z xy.

3.3.5 Хаотические аттракторы в системах с симмет рией C 1/2 3/ Образ:.

3/2 1/ Рис. 3.4. Хаотический аттрактор для системы класса C3, описываемой уравнениями (3.32).

Общая форма системы:

x = b11 x + b12 y + b13 z+ +c111 (x2 y 2 ) + 2c211 xy + c113 xz + c123 yz, (3.31) y = b12 x + b11 y + b23 z+ +c211 (x2 y 2 ) 2c111 xy c123 xz + c113 yz, z = a + b z + c (x2 + y 2 ) + c z 2.

3 33 311 Пример (рис. 3.4):

x = x y + 2xy xz, y = x + y + (x2 y 2 ) yz, (3.32) z = z + (x2 + y 2 ).

Заметим, что упоминавшаяся ранее система Мея–Леонарда (3.1) может быть приведена к виду (3.31) преобразованием переменных {N1, N2, N3 }, преобразующихся по механическому представлению группы C3, к переменным {x, y, z}, преобразующихся по неприводимым представ Рис. 3.5. Хаотический аттрактор для системы класса S4, описываемой уравнениями (3.35).

лениям E(x, y) и A(z) N1 N x =, N1 +N2 2N3 (3.33) y=, N1 +N2 +N z =.

3.3.6 Хаотические аттракторы в системах с симмет рией S Образ:.

Общая форма системы:

x = b11 x + b12 y + c113 xz + c123 yz, (3.34) y = b12 x + b11 y + c123 xz c113 yz, z = b33 z + c311 (x2 y 2 ) + c312 xy.

Пример (рис. 3.5):

x = 2x + y xz, (3.35) y = x 2y + yz, z = z + (x2 y 2 ) + xy.

3.4 Некоторые общие свойства хаотических аттракторов Рассмотрим простую и изящную динамическую систему (3.29) с точеч ной группой D2. Масштабируя соответствующим образом каждую из четы рех переменных (x, y, z, t), можно положить четыре коэффициента этой системы равными ±1 и привести ее к форме:

x = a x + yz, (3.36) y = b y + xz, z xy.

z= Отметим, что таким способом можно получить и некоторые другие формы тех же самых уравнений (3.29). Например, форму с положитель ным нелинейным членом в последнем уравнении системы (3.36). Однако, такая динамическая система оказывается градиентной с U = 2 (ax2 + by z 2 ) xyz, и поэтому, как это было объяснено выше, она не может демонстрировать хаотическое поведение.

Наше компьютерное моделирование показывает, что хаотическое поведение системы (3.36) наблюдается при некоторых положительных значениях обоих параметров: a 0, b 0 (пример (3.30) как раз принадле жит этому двухпараметрическому семейству систем с симметрией D2 ).

В соответствие с общей теорией [48], различные динамические режимы в нелинейной физической системе с дискретной группой симмет рии G можно классифицировать по подгруппам Gj этой группы (Gj G).

Как следствие, можно ожидать, что хаотические аттракторы, так же как обычные аттракторы, в приведенных выше системах связаны с некоторыми подгруппами групп симметрии их динамических уравнений. Действительно, хаотический аттрактор для системы (3.30) с симметрией D2 обладает сим метрией C2 D2 (что можно увидеть из рис. 3.3). Этот факт проверялся не только визуально, но также и при помощи созданной нами компьютер ной программы, в основе которой лежит следующий алгоритм. Представим, что наш аттрактор полностью локализован в большом кубе, охватываю щем область движения, и который, в свою очередь, разделен на большое количество небольших кубических ячеек. Затем интегрируем динамическую систему, и запоминаем, сколько раз фазовая траектория проходила через каждую из вышеупомянутых ячеек. Действие некоторого элемента симмет рии g на куб преобразовывает его ячейки друг в друга, и можно сравнить числа, записанные в ячейках, до и после действия g. Если эти числа совпа дают для всех ячеек с хорошей степенью точности, можно заключить, что g действительно является элементом симметрии хаотического аттрактора.

Более того, действуя таким образом, можно вычислить вероятность того, что g является элементом симметрии нашего аттрактора. Эту вероятность можно определить формулой N (aijk g aijk ) 1 i,j,k= w() = g, N a ijk i,j,k= где aijk — массив, элементы которого пропорциональны времени, в тече ние которого фазовая траектория находится в соответствующей ячейке, а g aijk — массив, полученный действием оператора симметрии g на исход ный массив. Если аттрактор инвариантен относительно элемента симмет рии g, то в пределе бесконечно малых ячеек в кубе и бесконечного времени интегрирования величина w() должна стремиться к единице, т. к. aijk в этом g случае должно совпадать с g aijk.

x z Согласно общей теории [46–48], элементы C2 и C2 родительской y группы D2, которые исчезают при понижении симметрии D2 C2, должны генерировать так называемые «динамические домены»7 рассматриваемого y x динамического режима с подгруппой C2. В нашем случае, вращения C2 и z C2 производят только один новый динамический домен хаотического аттрак y тора с той же самой группой симметрии C2. Полученные таким образом оба Этот термин взят из теории фазовых переходов.

«близнеца» изображены на рис. 3.19б. Эти близнецы обладают различными бассейнами притяжения, и фазовая траектория выходит на один из них в зависимости от выбора начальных условий. Более подробному исследова нию системы (3.36) будет посвящен раздел 3.6.

Хаотический аттрактор системы (3.32) с родительской группой сим метрии G0 = C3 обладает полной группой симметрии (то есть G = G0, где G — группа симметрии аттрактора), что легко видеть из рис. 3.4.

Другое интересное явление демонстрируется системой (3.34) с точеч ной группой симметрии S4. Эта система может быть переписана в форме с четырьмя произвольными параметрами (за счет масштабирования перемен ных x, y, z, t), и одна из возможных приведенных форм имеет вид x = ax + by + cxz + dyz, (3.37) y = bx + ay + dxz cyz, z = z + xy.

Полагая c = d = 1, мы придем к системе уравнений x = ax + by xz yz, (3.38) y = bx + ay xz + yz, z = z + xy.

Для системы (3.38) есть множество областей в плоскости a b, кото рым соответствуют различные хаотические аттракторы. Два таких аттрак тора для значений параметров [a = 2, b = 1] и [a = 3, b = 1] приведены на рис. 3.6. Группы симметрии этих аттракторов суть различные подгруппы группы симметрии S4 уравнений (3.38) (C2 и S4, соответственно). Отме тим, что в недавней работе [65] ее авторы ссылаются на эту систему как на систему Чечина и Рябова.

В работе [143] была предложена шестимерная динамическая система, представляющая некоторую связь двух трехмерных систем Лоренца и Ресслера. Хаотические аттракторы в этой системе похожи на аттракторы Лоренца или Ресслера в зависимости от значений параметров a) a = 2, b = b) a = 3, b = Рис. 3.6. Два различных хаотических аттрактора в динамической системе S4, описываемой уравнениями (3.38).

b 0 1 2 3 a Рис. 3.7. Области параметров (a, b), в которых может наблюдаться хаоти ческое поведение D2 -системы (черный цвет соответствует значе ниям параметров, при которых max 0).

системы. В отличие от динамической системы из работы [143], нами найдено аналогичное явление для очень простой трехмерной и двухпараметрической системы (3.38) с точечной группой симметрии G = S4.

3.5 Регулярные и хаотические аттракторы в D2-системе Как известно, о хаотичности поведения динамической системы можно судить по знаку старшего показателя Ляпунова max (см., например, [122]).

На рис. 3.7 черным цветом показаны области в плоскости параметров (a, b), в которых max 0 и где, следовательно, поведение нашей системы явля ется хаотическим. Уже из этого рисунка видно, что области параметров а)0. 0. 0. 0. 2.5 3 3.5 б) 0. 0. 0. 3.2 3.22 3.24 3.26 3.28 3. Рис. 3.8. Зависимость старшего показателя Ляпунова max от пара метра a, при изменении последнего вдоль прямой a + b = 4:

a [2.45, 4.0] (а);

a [3.2, 3.3] (б).

системы (3.36), для которых имеет место хаотическое поведение и которые изображены черным цветом, перемежаются областями белого цвета, соот ветствующими регулярному движению (для них max 0).

Более подробная картина чередования хаотического и регуляр ного движений рассматриваемой динамической системы проявляется на рисунке 3.8. При его построении мы использовали симметричность изоб ражения на рис. 3.7 относительно диагонали a = b и проследили харак тер поведения системы при изменении параметров a и b вдоль прямой a + b = 4, перпендикулярной вышеуказанной диагонали. Рис. 3.8а получен в результате прохождения этой прямой с некоторым малым шагом изменения параметра a, который отложен по горизонтальной оси. В силу конечности этого шага и узости некоторых областей регулярного движения, точки, для которых вычислялись значения max (a), не всегда точно попадают в такие области, в силу чего резкие скачки показателя Ляпунова вниз иногда не достигают нулевого уровня. На рис. 3.8б для более узкого интервала измене ния параметра a приведен график max (a) с большей степенью разрешения.

Особенно наглядно чередование областей регулярного и хаотического движений видно на бифуркационной диаграмме, изображенной на рис. 3.9.

Построена она следующим образом. По горизонтальной оси по-прежнему отложены значения параметра a вдоль выделенной нами прямой a + b = 4, перпендикулярной диагонали a = b (см. рис. 3.7). По вертикальной оси отло жены значения переменной x(t), которые она принимает при пересечении фазовой траектории с плоскостью y = 0 независимо от направления этого пересечения. Как и на диаграмме логистического отображения [122], здесь хорошо просматривается появление в области хаоса окон регулярного дви жения различной ширины.

Обратим внимание на то, что на рис. 3.9а при увеличении параметра a от значения 2.45 до 2.70 видны каскады бифуркаций регулярного движения, которые «постепенно» приводят к хаосу. При проходе окон регулярного движения слева направо, хаотическое движение «скачком» переходит в регулярное движение (далее наблюдается новый каскад бифуркаций и пере ход к новому участку хаотического движения). На рисунке же рис. 3.9в (a [3.3, 4.0]) наблюдается, в известном смысле, противоположная картина:

в результате обратных бифуркаций кратность аттрактора8 понижается до некоторых минимальных величин (которые, кстати, последовательно при нимают значения 1, 2, 3, 4,...), после чего хаос возникает «скачком». На рис. 3.9в также хорошо видно «сгущение» (уменьшение ширины) окон регу лярного движения по мере приближения параметра a к значению 4.0.

Имеются в виду аттракторы для значений переменной x(t), полученных описанным выше способом.

а) 2.45 2.5 2.55 2.6 2.65 2. б) 2.8 3 3. в) 3.4 3.6 3.8 Рис. 3.9. Бифуркационная диаграмма D2 -системы при изменении пара метров a и b вдоль прямой a + b = 4 для a [2.45, 2.70] (а);

a [2.7, 3.3] (б);

a [3.3, 4.0] (в).

a=2.05 a=2.09 a=2.1 a=2. Рис. 3.10. Каскад бифуркаций аттракторов в проекции на плоскость Y Z при увеличении параметра a от значения 2.05 до значения 2. при a + b = 3.

Рис. 3.11. Эволюция аттракторов при уменьшении параметра a от значе ния 2.89 до значения a = 2.80 с шагом 0.01 (трехмерное изобра жение).

На рис. 3.10 представлен каскад бифуркаций удвоения периода (в проекции на плоскость Y Z) для аттракторов, возникающих при движении вдоль диагонали a + b = 3 для a [2.05, 2.11], а на рис. 3.11 приведены трех мерные изображения аттракторов D2 -системы при движении с шагом 0. вдоль той же диагонали a + b = 3 для значений a из интервала [2.80, 2.89].

С другой стороны, из рис. 3.7 видно, что на рассматриваемом в послед нем случае интервале изменения параметра a существуют достаточно узкие, чередующиеся области хаотического и регулярного движения, что и демон стрируется на обсуждаемом сейчас рис. 3.11.

3.6 Некоторые симметрийные аспекты дина мики D2-системы 3.6.1 Одномерные инвариантные многообразия При исследовании динамики систем с дискретной симметрией важную роль играют инвариантные многообразия, выделяемые подгруппами группы симметрии исходной системы [46, 48]. В рассматриваемом нами случае их нахождение тривиально — таковыми многообразиями являются коорди натные оси X, Y и Z, все точки которых стационарны (неподвижны) по y x z отношению к группам преобразований C2, C2 и C2, соответственно. Эти группы являются подгруппами группы D2 (каждая из них содержит лишь один нетривиальный элемент — поворот на 180 вокруг соответствующей координатной оси9 ).

Тот факт, что вышеуказанные множества, которые мы будем обозна чать символами MX, MY и MZ, являются инвариантными многообразиями в динамическом смысле можно увидеть непосредственно из системы урав нений (3.36). Действительно, полагая, например, x(t) 0, z(t) 0, мы полу чим из (3.36) непротиворечивое уравнение движения для переменной y(t):

y = by. Таким образом, система (3.36) допускает решение вида (0, y(t), 0), которое и определяет ось Y как инвариантное многообразие MY. Иными словами, решая систему (3.36) с начальными условиями x(0) = 0, y(0) = y0, z(0) = 0 и считая процедуру такого решения идеальной (абсолютно точной), мы находим, что фазовая точка в любой момент времени остается на оси Y и при этом ее динамика описывается тривиальной формулой y(t) = y0 ebt. (3.39) Однако, при решении системы (3.36) с помощью любого числен ного метода судьба фазовой точки определяется не только вышеуказан Именно поэтому мы используем одинаковые обозначения для этого элемента и для порождаемой им группы.

ными соображениями, но и устойчивостью инвариантного многообразия MY (0, y(t), 0). Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Для того, чтобы исследовать устойчивость движения на оси Y, лине аризуем систему уравнений (3.36) вблизи решения [0, y(t), 0], т. е. будем искать ее решение в форме [1 (t), y(t), 2 (t)], предполагая, что i (t) (i = 1, 2) являются бесконечно малыми величинами. Подставляя такую форму решения в уравнения (3.36) и отбрасывая член второго порядка мало сти во втором уравнении, приходим к системе двух уравнений относительно 1 (t) и 2 (t): = a + (t), 1 (3.40) 2 = 2 (t)1, где (t) = y0 ebt.

Общее решение полученной системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами выражается через функции Бесселя и имеет достаточно громоздкий вид. В связи с этим воспользуемся для анализа системы (3.40) следующим приближенным приемом. Будем считать не зависящей от времени функцией, каковой она на самом деле является ((t) = y0 ebt ), а постоянным параметром ( = const), который при движении фазовой точки вдоль оси Y принимает все возможные значе ния на отрезке [0, y0 ]. Тогда для каждого фиксированного значения [0, y0 ] можно провести анализ устойчивости системы (3.40) (которая становится системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф фициентами) стандартным методом. Таким образом, мы представляем себе, что при своем движении фазовая точка последовательно проходит все участки оси Y, на которых характер устойчивости будет различным. Резуль таты такого приближенного анализа далее будут сравнены с результатами прямого численного решения «правильной» системы (3.40).

Введем вектор = [1 (t), 2 (t)] и перепишем систему (3.40) в матрич ной форме (3.41) = A, a) Sp A неуст. узел седло неуст. фокус Det A уст. фокус седло D уст. узел D= D б) –1.95 –1.7 1.7 1. уст. фокус уст. уст. уст. фокус седло узел узел Рис. 3.12. Общая диаграмма устойчивости двумерной системы (3.41) [124] и диаграмма устойчивости по параметру при a = 2.893, b = = 0.107.

a где A =, а = const.

Дальнейший анализ устойчивости сводится к исследованию собствен ных значений матрицы A, которые следующим образом выражаются через ее шпур Sp(A) и определитель det(A):

Sp A ± D, 1,2 = где D = (Sp A)2 4 det A.

В терминах Sp(A), det(A) мы приходим к хорошо известной диа грамме устойчивости, изображенной на рис. 3.12а (см., например, [124]).

При этом для определенной уравнением (3.41) матрицы A имеем:

det A = a + 2, Sp A = 1 a, (3.42) 2 D = (1 + a) 4.

а) б) MY y Рис. 3.13. «Гомоклиническая» траектория (a = 2.893, b = 0.107) и поведение фазовой траектории вблизи инвариантного многообразия MY.

Воспользуемся теперь обсуждаемой диаграммой для анализа устой чивости инвариантного многообразия MY для тех значений параметров системы (3.36), для которых получается изображенная на рис. 3.13а «гомоклиническая» траектория: a = 2.893, b = 0.107. В этом случае из фор мул (3.42) мы имеем det A = 2.893 + 2, Sp A = 1.893, D = (3.893)2 4 2.

Проведя горизонтальную линию на общей диаграмме, изображенной на рис. 3.12а, при значении Sp A = 1.893, видим, что она пересекает три различные по своим свойствам устойчивости области — области седла, устойчивого узла и устойчивого фокуса, границы между которыми опреде ляются условиями det A = 0 и D = 0. В результате приходим к диаграмме устойчивости при изменении параметра, приведенной на рис. 3.12б.

Рассмотрим теперь достаточно большое значение y0 (например, y или y 100) и учтем, что = y0 ebt. Тогда из рис. 3.12б ясно, что фазовая точка начинает свое движение от y0 в сторону нуля, а фазовая траекто рия бесконечно приближается (экспоненциально, поскольку Re 1,2 0) к оси Y — сначала с накручиванием на нее (вплоть до значения t, при котором = 1.9465), а потом без накручивания (до значения t, при котором = 1.7009). После прохождения значения = 1.7009 фазовая траектория попадает в область неустойчивости и удаляется от оси Y. Схематически поведение фазовой траектории вблизи инвариантного многообразия MY показано на рис. 3.13б.

После удаления от MY на значительное расстояние фазовая траекто рия вновь возвращается на это инвариантное многообразие, образуя неко торую петлю. В результате получается «гомоклиническая траектория»10, изображенная на рис. 3.13а. Заметим, что в нашем случае это название не является полностью традиционным, поскольку под термином гомокли ническая траектория обычно понимается траектория, которая выходит из особой точки по неустойчивому направлению и входит в нее же по устойчивому направлению. Рассмотренная же выше «гомоклиническая тра ектория» связана не с особой точкой, а с некоторым инвариантным много образием (MY ).

Отметим также, что границы областей существования устойчивого фокуса, устойчивого узла и седла, которые были найдены нами с помощью приближенного метода, с хорошей степенью точности совпадают с резуль татами, полученными при непосредственном численном решении системы дифференциальных уравнений (3.40).

Рассмотрим теперь устойчивость инвариантных многообразий MX и MZ. В первом случае анализ устойчивости сводится к исследованию системы дифференциальных уравнений = A, где A = b и = x0 eat. Из этого следует, что можно воспользоваться полученными ранее результа тами для случая MY, просто делая замену a b. В частности, для уже рас В связи с обсуждаемыми «гомоклиническими» контурами заметим, что их форма от начальных условий не зависит.

смотренного нами случая a = 2.893, b = 0.107 находим, что Sp A = 0.893 0.

Тогда из рис. 3.12а очевидно, что все точки множества MX будут неустойчи выми (седло, неустойчивый узел или неустойчивый фокус).

Совершенно аналогично, анализ устойчивости многообразия MZ сво дится к исследованию системы = A, где A = a и = z0 et. Таким b образом, Sp A = (a + b), det A = ab 2, D = (a b)2 + 4 2 и при a = 2.893, b = 0.107 мы имеем: Sp A = 3, det A = 0.30955 2, D = 7.7618 + 4 2.

С ростом t движение фазовой точки будет происходить вдоль оси Z в сто рону + или (в зависимости от знака z0 ) и при этом траектория будет прижиматься к оси Z только для значений [0.55637, +0.55637], кото рые соответствуют устойчивому узлу (все точки оси Z, соответствующие значениям вне этого интервала являются седловыми).

3.6.2 Особые точки Из условия x = 0, y = 0, z = 0 находим следующие 5 особых точек для рассматриваемой D2 -системы (3.36):

3) (µ,, µ);

1) (0, 0, 0);

2) (µ,, µ);

4) (µ,, µ);

5) (µ,, µ), где µ = b, = a.

Первая точка является началом координат. Точки 2, 4 расположены в плоскости y = a, а точки 3, 5 — в плоскости y = a, причем, сим метрично относительно начала координат. Первая особая точка является седло-узлом, что видно непосредственно из системы (3.36), поскольку ее линеаризация в окрестности начала координат означает просто отброс нелинейных членов во всех уравнениях. В общем же случае, линеаризуя систему (3.36) в окрестности особой точки (x0, y0, z0 ), приходим к выводу, что для анализа характера устойчивости этой точки необходимо найти знаки вещественных частей собственных значений матрицы a z0 y (3.43) A = z0 b x0.

y0 x0 В нашем случае достаточно проанализировать устойчивость лишь одной из четырех особых точек 2, 3, 4, 5, поскольку все они получаются друг из друга действием элементов симметрии группы D2. Подставляя в урав нение (3.43) x0 = b, y0 = a, z0 = ab, т. е. координаты особой точки 2, и вычисляя соответствующий характеристический полином, получим:

3 + 2 (a + b 1) + 4ab = 0. (3.44) Характер устойчивости рассматриваемой особой точки можно опре делить с помощью критерия Рауса-Гурвица. Вычисляя определители, вхо дящие в этот критерий, находим, что второй из них, 2 = a1 a2 a0 a3, оказывается отрицательным: 2 = 4ab 0 в случае a 0, b 0 (напомним, что хаотическое поведение системы (3.36) возможно лишь при таких знаках параметров a и b). Таким образом, особая точка 2 — ( b, a, ab), а значит, и симметрийно связанные с ней точки 3, 4, 5, являются неустойчивыми во всей области интересующих нас параметров a и b. С учетом того, что начало координат является седло-узлом, приходим к выводу, что устойчивых осо бых точек в D2 -системе при a 0, b 0 нет.

3.6.3 Динамические домены Согласно общей теории нелинейных систем с дискретной симмет рией [46, 48], различные динамические режимы в данной системе классифи цируются по подгруппам Gj ее группы симметрии G0. При этом, если рас сматриваемый динамический режим инвариантен относительно подгруппы Здесь ai (i = 0, 1, 2, 3) суть коэффициенты при последовательных степенях параметра в характеристи ческом уравнении (3.44).

XY YZ XY YZ а) б) в) г) Рис. 3.14. Проекции «близнецов» гомоклинической траектории (a = 2.893, b = 0.107) на координатные плоскости XY (левый столбец) и Y Z (правый столбец).

Gj G0, то можно утверждать, что в исходной системе должно суще ствовать вполне определенное число (n) «близнецов» — динамических доменов12 этого режима, причем, это число равно порядку подгруппы Gj в группе G0, т. е. n = G0 / Gj.13 Эти различные динамические домены полу чаются друг из друга за счет действия тех элементов симметрии группы G0, которые исчезают при понижении симметрии G0 Gj.

В качестве группы G0 в нашем случае выступает точечная группа D2, относительно которой инвариантны динамические уравнения (3.36). Под группами группы G0 = D2 являются: группа тривиальной симметрии C1 (она состоит лишь из одного тождественного элемента), сама группа D2 и три y x z взаимно-сопряженные подгруппы второго порядка — C2, C2, C2.

На рис. 3.13а приведено трехмерное изображение «гомоклинической»

траектории, которая некоторой своей частью «прижимается» к инвари антному многообразию MY (a = 2.893, b = 0.107). Она была получена при различных начальных условиях, в частности, при {x(0) = 0.04, y(0) = = 0.05, z(0) = 0.06}14. На рис. 3.14 изображены ее проекции на координат Этот термин заимствован из теории фазовых переходов в кристаллах.

Здесь символом G обозначен порядок группы G, т. е. число ее элементов.

Здесь и далее начальная часть траектории, описывающая «историю выхода» на данный аттрактор, т. е.

соответствующая переходному процессу, отброшена.

ные плоскости XY и Y Z.

Из рис. 3.14а видно, что наша «гомоклиническая» траектория не обладает никакой нетривиальной симметрией и, следовательно, ее группа симметрии Gj = C1. Порядок этой подгруппы в группе D2 равен 4, в силу чего в фазовом пространстве D2 -системы заведомо существуют области, в которых располагаются еще три «близнеца» рассматриваемой нами сей час «гомоклинической» траектории. Проекции этих близнецов (динами ческих доменов) «гомоклинической» траектории (a = 2.893, b = 0.107) на координатные плоскости XY и Y Z приведены на рисунках (3.14б), (3.14в) и (3.14г), соответственно. При выборе начальных условий для их постро ения удобно учесть, что бассейны притяжения динамических доменов, как и сами они, переходят друг в друга под действием элементов симметрии группы D2, исчезнувших при понижении симметрии G0 Gj. Например, если для построения рис. 3.14а начальные условия имели вид {x(0) = 0.04, y(0) = 0.05, z(0) = 0.06}, то для построения рис. 3.14б их можно выбрать сле дующим образом: {x(0) = 0.04, y(0) = 0.05, z(0) = 0.06}.

При изменении параметров (a, b) в окрестности тех значений, при которых получается рассмотренная выше «гомоклиническая» траектория, происходят бифуркации этой траектории, приводящие, в конце концов, к возникновению хаотического аттрактора. Этот процесс иллюстрируется рисунком 3.15, где показан такой аттрактор при (a = 2.9, b = 0.1). Здесь изображен аттрактор, который порожден бифуркациями двух смежных близнецов «гомоклинической» траектории, соприкасающихся вдоль оси Y.

Такое объединение связано с тем, что при выходе из устойчивой части инвариантного многообразия MY в область неустойчивости, фазовая тра ектория с равной вероятностью может отклониться от оси Y в любую сторону по отношению к оси Z. Эти отклонения при многократных обходах по кривым, близким к исследуемой нами «гомоклинической» траектории, действительно происходят в разные стороны, причем, последовательность Рис. 3.15. Хаотический аттрактор, развивающийся из «гомоклинической»

траектории, изображенной на рис. 3.13 (a = 2.9, b = 0.1).

оборотов (в положительном или отрицательном направлениях по отноше нию к оси Z) является случайной.

Заметим, что если рассмотреть совокупность всех доменов, каждый из которых обладает симметрией Gj G0, то полученное в результате множество всех аттракторов-близнецов снова имеет исходную симметрию G0. Это общее положение теории хорошо иллюстрируется рисунком 3.16.

Здесь показаны проекции на плоскость Y Z четырех разных аттракто ров (a = 0.883, b = 2.117), каждый из которых обладает лишь тривиальной симметрией C1 (левая часть рисунка). В результате же их наложения полу чается фигура с симметрией D2 (правая часть рисунка).

3.6.4 Симметрия аттракторов Рассмотренный в предыдущем разделе аттрактор представлял собой «гомоклиническую» траекторию (a = 2.893, b = 0.107), симметрия которой характеризуется тривиальной подгруппой C1 D2. Однако, как уже отмеча лось, группа симметрии системы D2 имеет в качестве подгрупп три взаимно Рис. 3.16. Проекции на плоскость Y Z «близнецов» хаотического аттрак тора с симметрией C1 (a = 0.883, b = 2.117) и результат их нало жения друг на друга (справа).

y x z сопряженные группы второго порядка: C2, C2, C2. В силу этого, следует ожидать, что в рассматриваемой системе могут существовать и аттракторы (регулярные и хаотические) и с такими группами симметрии. Один из регу x лярных аттракторов с группой симметрии C2, соответствующий циклу 3, был обнаружен в одном из окон регулярного движения (a = 0.878, b = = 2.122)15. Проекция этого аттрактора на плоскость XY приведена на рис. 3.17а, где хорошо видна его симметрия относительно оси X.

Если в случае «гомоклинической» траектории (a = 2.893, b = 0.107) выделенной была ось Y, то для рассматриваемого сейчас аттрактора (рис. 3.17а) выделенной является ось X. Объяснение этого факта можно получить с помощью исследования устойчивости инвариантных многообра зий MX и MY. Анализ устойчивости многообразия MY показывает, что при a = 0.878, b = 2.122 оно будет всюду неустойчивым, в то время как мно гообразие MX, наоборот, при 1.457 ( = x0 eat ) является устойчивым.

Очевидно, именно таким характером устойчивости многообразий MX и MY объясняется расположение аттрактора на рис. 3.17а вблизи оси X, которая является при этом его осью симметрии.

Аттрактор, соответствующий циклу 3, но обладающий симметрией C1, изображен на рис. 3.17б (a = 0.889, b = 2.111), а развивающийся из него хаотический аттрактор при (a = 0.890, b = 2.110) представлен на рис. 3.18.

z а) б) y y x x Рис. 3.17. Регулярный аттрактор с симметрией C2, соответствующий цик лу 3 при a = 0.878, b = 2.122 (а) и регулярный аттрактор с симметрией C1, соответствующий циклу 3 при a = 0.889, b = = 2.111 (б).

Рис. 3.18. Хаотический аттрактор с симметрией C1, развивающийся из ре гулярного аттрактора, приведенного на рис. 3.17б, в результате каскада бифуркаций (a = 0.89, b = 2.11).

При a = 4, b = 1 в D2 -системе существует хаотический аттрактор с сим y метрией C2. Легко проверить, что в этом случае «привлекательной» вновь становится ось Y, поскольку инвариантное многообразие MX оказывается неустойчивым, а вполне определенная часть ( 2) многообразия MY явля ется устойчивой. Аттрактор расположен вблизи оси Y, которая является его осью симметрии, что хорошо видно из проекций этого аттрактора на плоскости XY и Y Z, показанных на рисунке 3.19а. В середине «глаз» рас сматриваемого хаотического аттрактора располагаются особые точки 2 и 4, которые, как уже отмечалось, являются неустойчивыми и, следовательно, не могут принадлежать аттрактору.

Поскольку симметрия аттрактора (a = 4, b = 1) определяется точечной y группой C2, которая является подгруппой второго порядка группы симмет рии D2 -системы, то у этого хаотического аттрактора должен существовать один близнец, который получается действием на него элементов симметрии x z C2 (или C2 ). Оба эти хаотические аттракторы-близнецы представлены на рисунке 3.19б (разумеется, каждому из них соответствует свой бассейн при тяжения).

Подчеркнем, что говоря о симметрии аттракторов, прежде всего хао тических, мы имеем в виду не только визуальную констатацию этого факта, но и проверку симметрии аттрактора с помощью соответствующей компью терной программы, алгоритм которой описан в разделе 3.4.

Выше были приведены примеры регулярных и нерегулярных аттрак торов с группами симметрии C1 и C2. Исходя из общих теоретических соображений, можно ожидать, что при некоторых значениях параметров (a, b) может произойти бифуркация объединения (слияния) близнецов хао y тических аттракторов с симметрией C2 в единый аттрактор с симметрией, определяемой полной группой рассматриваемой системы — G0 = D2. Тем не менее, такое объединение нам обнаружить пока что не удалось.

Разумеется, особый интерес представляют точки бифуркаций аттрак торов, в которых скачком изменяется их симметрия (они являются анало а) y z y x XY YZ б) Рис. 3.19. Хаотический аттрактор D2 -системы при a = 4, b = 1 (а) и оба его близнеца (б).

гами точек фазовых переходов в кристаллах), однако исследование этого вопроса выходит за рамки настоящей работы.

3.7 Выводы 1. Предложена и исследована серия трехмерных диссипативных систем с квадратичными нелинейностями, являющихся инвариантными отно сительно кристаллографических точечных групп. Установлено, что только 6 из 32-х возможных систем — им отвечают точечные группы C1, Cs, C2, C3, D2 и S4 — могут демонстрировать хаотическое поведе ние при некоторых значениях своих параметров.

2. Для этих систем построены примеры хаотических аттракторов и про ведена классификация этих аттракторов по подгруппам групп инвари антности динамических моделей. Эти системы могут выступать в роли математических моделей для широкого спектра нелинейных явлений в различных областях естествознания.

3. Среди вышеуказанных трехмерных математических моделей особый интерес представляет система D2, которая в отличие от трехпарамет рических систем Лоренца и Ресслера является двухпараметрической.

Для этой системы исследованы симметрийно-обусловленные инва риантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы раз ных типов.

Заключение Перечислим основные результаты, полученные в данной работе:

1. Показано, что в математических моделях моноатомных цепочек с периодическими граничными условиями в общем случае могут суще ствовать только шесть или три нетривиальных симметрийно-обу словленных нелинейных нормальных мод (ННМ) Розенберга в зави симости от четности или произвольности потенциала межчастич ного взаимодействия. Эти нелинейные нормальные моды, явный вид которых приведен в таблице 1.1, являются точными пространственно периодическими решениями для рассматриваемого класса математи ческих моделей.

2. Для моноатомных цепочек предложен метод декомпозиции системы уравнений, линеаризованных в окрестности ННМ, на независимые подсистемы малой размерности, позволяющий, с одной стороны, существенным образом упростить анализ ее устойчивости, а с дру гой стороны — выделить те совокупности мод, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой ННМ.

3. На основе метода декомпозиции предложен метод построения диа грамм устойчивости симметрийно-обусловленных ННМ в динамиче ских системах с дискретной симметрией. Этот метод был реализован в виде компьютерной программы, при помощи которой были рассчи таны диаграммы устойчивости для всех симметрийно-обусловленных ННМ в цепочках Ферми-Пасты-Улама - и -типов. Полученные диаграммы позволили выявить целый ряд качественных закономерно стей потери устойчивости ННМ в моделях FPU, в частности:

— были найдены скейлинговые соотношения для порога потери устойчивости ННМ относительно величины их амплитуд Ac при стремлении к бесконечности числа частиц в цепочке N ;

— для ННМ B[a4, ai] в модели FPU- и ННМ B[a6, ai, a3 u] в модели FPU- ( 0) обнаружены нулевые значения Ac при любом N ;

— для трех ННМ в модели FPU- ( 0) установлено существова ние критического значения амплитуды (энергии), при превыше нии которого они вновь становятся устойчивыми.

Предложенный метод построения диаграмм устойчивости и их ана лиза может использоваться для исследования ННМ в различных моделях одномерных и квазиодномерных кристаллов (цепочке Ферми Пасты-Улама [1], Френкеля-Конторовой [69–71], разнообразных диатомных цепочках и др.).

4. С помощью асимптотических методов в термодинамическом пре деле (N ) проведено аналитическое (при помощи созданной в среде MAPLE программы) исследование скейлинговых соотно шений для порога устойчивости ННМ в цепочке Ферми-Пасты Улама -типа. Полученные аналитически результаты хорошо согла суются с результатами компьютерного моделирования. Для цепочек Ферми-Пасты-Улама- ( 0) скейлинговые соотношения для кри тической плотности энергии Ec /N, при которой происходит потеря устойчивости ННМ при числе частиц N, имеют вид: Ec /N 1/N (для 5 ННМ) и Ec /N 1/N (для одной ННМ).

5. Предложено классифицировать дискретные бризеры, являющиеся периодическими во времени и локализованными в пространстве реше ниями динамических уравнений для нелинейных гамильтоновых реше ток, по подгруппам группы инвариантности этих уравнений. В рамках такой классификации с помощью математического моделирования нами были найдены дискретные бризеры с группами симметрии C4v, C4, C2, C2d, локализованные, соответственно, в точках (00), ( 2 2 ), (0 1 ), ( 1 1 ) в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса и исследована их устойчивость.

Предложенная классификация дискретных бризеров по подгруппам группы симметрии соответствующей решетки может использоваться как при анализе экспериментальных данных, так и с целью пред сказания возможных локализованных колебаний в кристаллических структурах.

6. Предложена серия трехмерных диссипативных систем с квадратич ными нелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп. Показано, что только 6 из 32-х возможных систем (инвариантных относительно групп симмет рии C1, Cs, C2, C3, D2, S4 ) могут демонстрировать хаотическое поведе ние при некоторых значениях своих параметров. Эти системы могут выступать в роли математических моделей для широкого спектра нелинейных явлений в различных областях естествознания. Во всех полученных системах хаотическое поведение было численно обнару жено (при некоторых значения параметров этих систем). С помощью компьютерного моделирования для этих систем построены примеры хаотических аттракторов и проведена их классификация по подгруп пам групп инвариантности динамических моделей.

7. Среди вышеуказанных трехмерных математических моделей особый интерес представляет система D2, которая в отличие от трехпарамет рических систем Лоренца и Ресслера является двухпараметриче ской. Для этой системы исследованы симметрийно-обусловленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы раз ных типов.

8. Предложенные новые трехмерные диссипативные модели, демонстри рующие хаотическое поведение, могут использоваться для задач информационной безопасности, а двухпараметрическая система с симметрией D2 является удобной моделью при обучении студентов основам теории динамического хаоса.

Список литературы 1. Fermi E., Pasta J. R., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems // Los Alamos Scientic Laboratory Report LA-1940. 1955. (Перевод:

Э. Ферми. Научные труды / Под ред. Б. Понтекорво. М.: Наука, 1972.

Т. 2. С. 645–656).

2. Tuck J. L., Menzel M. T. The Superperiod of the Nonlinear Weighted String (FPU) Problem // Advances in Mathematics. 1972. V. 9.

P. 339–407.

3. Hirooka H., Saito N. Computer Studies on the Approach to Thermal Equilibrium in Coupled Anharmonic Oscillators. I. Two Dimensional Case // Journal of the Physical Society of Japan. 1969. V. 26. P. 624–630.

4. Ooyama N., Hirooka H., Saito N. Computer Studies on the Approach to Thermal Equilibrium in Coupled Anharmonic Oscillators. II. One Dimensional Case // Journal of the Physical Society of Japan. 1969.


V. 26. P. 815–824.

5. Saito N., Ooyama N., Aizava Y., Hirooka H. Computer Experiments on Ergodic Problems in Anharmonic Lattice Vibrations // Supplement of the Progress of Theoretical Physics. 1970. V. 45. P. 209–230.

6. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of “Solitons” in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States // Physical Review Letters.

1965. V. 15. P. 240–243.

7. Израилев Ф. М., Чириков Б. В. Статистические свойства нелиней ной струны // Доклады Академии Наук СССР. 1966. Т. 166, № 1.

С. 57–59.

8. Toda M. Vibration of a Chain with Nonlinear Interaction // Journal of the Physical Society of Japan. 1967. V. 22. P. 431–436.

9. Тода М. Теория нелинейных решеток. М.: Мир, 1984. 264 с.

10. Benettin G., Livi R., Ponno A. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: Scal ing Laws vs. Initial Conditions // Journal of Statistical Physics. 2009.

V. 135, № 5–6. P. 873–893.

11. Livi R., Pettini M., Ruo S., Vulpiani A. Chaotic behavior in nonlinear Hamiltonian systems and equilibrium statistical mechanics // Journal of Statistical Physics. 1987. V. 48, № 3–4. P. 539–559.

12. Perronace A., Tenenbaum A. Classical specic heat of an atomic lattice at low temperature, revisited // Physical Review E. 1998. V. 57. P. 100;

Erratum // ibid. 1998. V. 57. P. 6215.

13. Carati A., Galgani L. On the specic heat of the Fermi–Pasta–Ulam systems and their glassy behavior // Journal of Statistical Physics. 1999.

V. 94, № 5–6. P. 859–869.

14. Nishiguchi N., Sakuma T. Temperature-dependent thermal conductiv ity in low-dimensional lattices // Journal of Physics: Condensed Matter.

1990. V. 2. № 37. P. 7575–7584.

15. Lepri S., Livi R., Politi A. Heat Conduction in Chains of Nonlinear Oscillators // Physical Review Letters. 1997. V. 78, № 10. P. 1896–1899.

16. Lepri S., Livi R., Politi A. On the anomalous thermal conductivity of one-dimensional lattices // Europhysics Letters. 1998. V. 43, № 3.

P. 271–276.

17. Prosen T., Campbell D. K. Momentum conservation implies anomalous energy transport in 1D classical lattices // Physical Review Letters. 2000.

V. 84. P. 2857–2860.

18. Lepri S., Livi R., Politi A. Thermal conduction in classical low-dimen sional lattices // Physics Reports. 2003. V. 377. P. 1.

19. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic localized modes in anharmonic crys tals // Physical Review Letters. 1988. V. 61. P. 907.

20. Косевич А. М., Ковалев А. С. Введение в нелинейную физическую механику. Киев: Наук. думка, 1989. 304 с.

21. Page J. B. Asymptotic solutions for localized vibrational modes in strongly anharmonic periodic systems // Physical Review B. 1990. V. 41.

P. 7835.

22. Cretegny Th., Dauxois Th., Ruo S., Torcini A. Localization and equipartition of energy in the -FPU chain: Chaotic breathers // Phys ica D. 1998. V. 121. P. 109–126.

23. Flach S., Ivanchenko M. V., Kanakov O. I. q-breathers and the Fermi Pasta-Ulam problem // Physical Review Letters. 2005. V. 95. P. 064102.

24. Ivanchenko M. V., Kanakov O. I., Mishagin K. G., Flach S.

q-breathers in nite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices // Physical Review Letters. 2006. V. 97. P. 025505.

25. Poggi P., Ruo S. Exact solutions in the FPU oscillator chain // Phys ica D. 1997. V. 103. P. 251–272.

26. Chechin G. M., Novikova N. V., Abramenko A. A. Bushes of vibrational modes for Fermi-Pasta-Ulam chains // Physica D. 2002. V. 166.

P. 208–238.

27. Shinohara S. Low-Dimensional Solutions in the Quartic Fermi-Pasta Ulam System // Journal of the Physical Society of Japan. 2002. V. 71.

P. 1802–1804.

28. Rink B. Symmetric invariant manifolds in the FPU lattice // Physica D.

2003. V. 175. P. 31–42.

29. Shinohara S. Low-Dimensional Subsystems in Anharmonic Lattices // Supplement of the Progress of Theoretical Physics. 2003. V. 150.

P. 423–434.

30. Focus Issue “The Fermi-Pasta-Ulam problem — The rst fty years” / Eds. D. K. Campbell, P. Rosenau, G. M. Zaslavsky. Chaos. 2005. V. 15, № 1.

31. Butt I. A., Wattis J. A. D. Discrete breathers in a two-dimensional Fermi Pasta-Ulam lattice // Journal of Physics A: Mathematical and General.

2006. V. 39. P. 4955.

32. Afshari E., Hajimiri A. Nonlinear Transmission Lines for Pulse Shap ing in Silicon // IEEE Journal of Solid-State Circuits. 2005. V. 40.

P. 744–752.

33. Afshari E., Bhat H. S., Hajimiri A., Marsden J. E. Extremely wideband signal shaping using one- and two-dimensional nonuniform nonlinear transmission lines // Journal of Applied Physics. 2006. V. 99. P. 054901.

34. Lorenz E. N. Deterministic Nonperiodic Flow // Journal of Atmospheric Sciences. 1963. V. 20, № 2. P. 130–141. (Перевод: Э. Лоренц. Детер минированное непериодическое течение. В сб.: Странные аттракторы / Под. ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шильникова. М.: Мир, 1981. С. 88–116).

35. Haken H. Analogy between higher instabilities in uids and lasers // Physics Letters A. 1975. V. 53, № 1. P. 77–78.

36. Ораевский А. Н. Мазеры, лазеры и странные аттракторы // Кванто вая электроника. 1981. Т. 8, № 1. С. 130–142.

37. Rubenfeld L. A., Siegman W. L. Nonlinear dynamic theory for a double diusive convection model // SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Journal of Applied Mathematics. 1977. V. 32. P. 871.

38. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колеба ния. М.: Наука, 1987. 424 с.

39. Ford J. The Fermi-Pasta-Ulam problem: paradox turns discovery // Physics Reports. 1992. V. 213, №. 5. P. 271–310.

40. The Fermi-Pasta-Ulam Problem: A Status Report / Ed. by G. Gallavotti.

The Lecture Notes in Physics. V. 728. Springer-Verlag, 2007. 302 p.

41. Flach S., Gorbach A. Discrete breathers — advances in theory and appli cations // Physics Reports. 2008. V. 467. P. 1.

42. Nonlinear Dynamics and Chaos: Where do we go from here? / Ed. by J. Hogan et al. Philadelphia: Institute of Physics Pub., 2003. 358 p.

43. Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity / Ed. by H. G. Schuster.

Weinheim: Wiley-VCH, 2008. 227 p.

44. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелиней ной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

45. Лоскутов А. Ю. Проблемы нелинейной динамики. I. Хаос. // Вестник МГУ, сер. физ.-астр. 2001. № 2. с. 3–21.

46. Сахненко В. П., Чечин Г. М. Симметрийные правила отбора в нели нейной динамике атомных смещений // Доклады Академии Наук.

1993. Т. 330. С. 308–310.

47. Сахненко В. П., Чечин Г. М. Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией // Доклады Академии Наук. 1994. Т. 338. С. 42–45.

48. Chechin G. M., Sakhnenko V. P. Interaction between normal modes in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry. Exact results // Physica D. 1998. V. 117. P. 43–76.

49. Chechin G. M., Sakhnenko V. P., Zekhtser M. Yu., Stokes H. T., Carter S., Hatch D. M. Bushes of normal modes for nonlinear mechani cal systems with discrete symmetry // in World Wide Web Proceedings of the Third ENOC Conference. 1999. URL: http://www.midit.dtu.dk.

50. Chechin G. M., Sakhnenko V. P., Stokes H. T., Smith A. D., Hatch D. M. Nonlinear normal modes for systems with discrete symmetry // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2000.

V. 35. P. 497–513.

51. Chechin G. M., Lavrova O. A., Sakhnenko V. P., Stokes H. T., Hatch D. M. New approach to nonlinear dynamics of fullerenes and fullerites // Физика твердого тела. 2002. Т. 44. С. 554–556.

52. Chechin G. M., Gnezdilov A. V., Zekhtser M. Yu. Existence and stabil ity of bushes of vibrational modes for octahedral mechanical systems with Lennard-Jones potential // International Journal of Non-Linear Mechan ics. 2003. V. 38. P. 1451–1472.

53. Rosenberg R. M. The normal modes of nonlinear n-degree-of-freedom systems // Journal of Applied Mechanics. 1962. V. 29. P. 7–14.

54. Rosenberg R. M. On nonlinear vibrations of systems with many degrees of freedom // Advances in Applied Mechanics. 1966. V. 9. P. 155–242.


55. Budinsky N., Bountis T. Stability of Nonlinear Models and Chaotic Properties of 1D Fermi-Pasta-Ulam Lattices // Physica D. 1983. V. 8.

P. 445.

56. Sandusky K. W., Page J. B. Interrelation between the stability of extended normal modes and the existence of intrinsic localized modes in nonlinear lattices with realistic potentials // Physical Review B. 1994.

V. 50. P. 866–887.

57. Flach S. Tangent bifurcation of band edge plane waves, dynamical sym metry breaking and vibrational localization // Physica D. 1996. V. 91.

P. 223–243.

58. Dauxois Th., Ruo S., Torcini A. Modulational estimate for the maximal Lyapunov exponent in Fermi-Pasta-Ulam chains // Physical Review B.

1997. V. 56. P. R6229–R6232.

59. Yoshimura K. Modulational instability of zone boundary mode in non linear lattices: Rigorous results // Physical Review E. 2004. V. 70.

P. 016611.

60. Dauxois Th., Khomeriki R., Piazza F., Ruo S. The Anti-FPU prob lem // Chaos. 2005. V. 15. P. 015110.

61. Antonopoulos Ch., Bountis T. Stability of simple periodic orbits and chaos in a Fermi-Pasta-Ulam lattice // Physical Review E. 2006. V. 73.

P. 056206.

62. Leo M., Leo R. A. Stability properties of the N/4 (/2-mode) one mode nonlinear solution of the Fermi-Pasta-Ulam- system // Physical Review E. 2007. V. 76. P. 016216.

63. Zabusky N. J. Fermi-Pasta-Ulam, solitons and the fabric of nonlinear and computational science: History, synergetics, and visiometrics // Chaos. 2005. V. 15. P. 015102.

64. Zabusky N. J., Sun Zh., Peng G. Measures of chaos and equipartition in integrable and nonintegrable lattices // Chaos. 2006. V. 16. P. 013130.

65. Letellier C., Gilmore R. Symmetry groups for 3D dynamical systems // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2007. V. 40.

P. 5597–5620.

66. Lichtenberg A. J., Livi R., Pettini M., Ruo S. Dynamics of Oscillator Chains // The Fermi-Pasta-Ulam Problem: A Status Report / Ed. by G. Gallavotti. The Lecture Notes in Physics. V. 728. Springer-Verlag, 2007. P. 21–121.

67. Dauxois T., Khomeriki R., Ruo S. Modulational instability in isolated and driven Fermi-Pasta-Ulam lattices // European Physical Journal:

Special Topics. 2007. V. 147. P. 3.

68. Penati T., Flach S. Tail resonances of FPU q-breathers and their impact on the pathway to equipartition // Chaos. 2007. V. 17. P. 023102.

69. Конторова Т. А., Френкель Я. И. xxx // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1938. Т. 8. С. 89–95.

70. Конторова Т. А., Френкель Я. И. xxx // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1938. Т. 8. С. 1340.

71. Браун О. М., Кившарь Ю. С. Модель Френкеля-Конторовой. Кон цепции, методы, приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 536 с.

72. Жуков К. Г., Рябов Д. С., Чечин Г. М. Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек // Электронный журнал «Исследо вано в России». 2003. Т. 137. С. 1616–1644. URL: http://zhurnal.

ape.relarn.ru/articles/2003/137.pdf.

73. Жуков К. Г., Рябов Д. С., Чечин Г. М. Исследование устойчивости одномерных и двумерных бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама // Электронный журнал «Исследовано в Рос сии». 2003. Т. 161. С. 1945–1964. URL: http://zhurnal.ape.relarn.

ru/articles/2003/161.pdf.

74. Chechin G. M., Ryabov D. S. Three-dimensional Chaotic Flows with Discrete Symmetries // Physical Review E. 2004. V. 69. P. 036202.

75. Никифоров А. И., Рябов Д. С., Чечин Г. М. Динамический хаос в трехмерной диссипативной системе с группой симметрии D2 // Изве стия вузов «Прикладная нелинейная динамика». 2004. Т. 12, № 6.

С. 28–43.

76. Chechin G. M., Ryabov D. S., Zhukov K. G. Stability of low-dimen sional bushes of vibrational modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains // Physica D. 2005. V. 203. P. 121–166.

77. Chechin G. M., Ryabov D. S., Sakhnenko V. P. Bushes of Normal Modes as Exact Excitations in Nonlinear Dynamical Systems with Dis crete Symmetry // Nonlinear Phenomena Research Perspectives / Ed.

by C. W. Wang. Nova Science Publishers, NY, 2007. P. 225–327;

Пере издано в: New Nonlinear Phenomena Research / Ed. by T. B. Perlidze.

Nova Science Publishers, NY, 2008. P. 5–107.

78. Chechin G. M., Ryabov D. S. Dynamical chaos in physical systems with discrete symmetry // International Conference “Dynamical Chaos in Classical and Quantum Physics”, Budker Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk, Russia, August 4–9, 2003. URL: http://sky.inp.nsk.

su/events/confs/dc2003/talks/Chechin/chechin.pdf.

79. Chechin G. M., Ryabov D. S. Stability of nonlinear normal modes in the FPU chains // The International Conference “Nonlinear Dynamics”.

Book of Abstracts. Kharkov, NTU “Kharkov Polytechnical Institute”, 2004.

80. Chechin G. M., Ryabov D. S. Regular and chaotic dynamics of mechan ical systems with discrete symmetries // The International Conference “Nonlinear Dynamics”. Book of Abstracts. Kharkov, NTU “Kharkov Polytechnical Institute”, 2004.

81. Chechin G. M., Ryabov D. S. Chaotic attractors in dissipative systems with discrete symmetry // Материалы VII международной школы «Хао тические автоколебания и образование структур», 1–6 октября 2004 г.

Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2004. 200 с. С. 42–43.

82. Джелаухова Г. С., Рябов Д. С., Чечин Г. М. Локализованные и дело кализованные нелинейные нормальные моды в одномерных решетках типа K4 // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения — 2006. Мате риалы научной конференции, 17–22 апреля 2006 г. СПб., 2006. 251 с.

С. 72–78.

83. Chechin G. M., Ryabov D. S. Stability of nonlinear normal modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains // Материалы VIII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 9–14 октября 2007 г. Саратов, 2007. 117 с.

84. Ryabov D. S., Chechin G. M. Stability of nonlinear normal modes in the FPU-chain in the thermodynamic limit // 21st International Confer ence — Summer School “Nonlinear Science and Complexity”. Book of abstract. Athens, 2008. 77 p. P. 41.

85. Рябов Д. С., Чечин Г. М. О возможности симметрийной классифика ции дискретных бризеров в двумерных и трехмерных периодических структурах // Труды II международного междисциплинарного симпо зиума «Среды со структурным и магнитным упорядочением» (Multifer roics-2), 23–28 сентября 2009 г. Ростов-на-Дону — пос. Лоо, 2009.

196 с. С. 185–188.

86. Рябов Д. С. Исследование новых типов нелинейных динамических режимов в цепочках Ферми-Пасты-Улама. Часть 1. Способы возбуж дения бушей мод // Сборник тезисов 9-ой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых. Тезисы докладов.

2003.

87. Жуков К. Г., Рябов Д. С. Исследование новых типов нелинейных динамических режимов в цепочках Ферми-Пасты-Улама. Часть 2.

Анализ устойчивости бушей мод // Сборник тезисов 9-ой Всерос сийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых.

Тезисы докладов. 2003.

88. Рябов Д. С. Новый класс точных динамических режимов малой раз мерности в нелинейных атомных цепочках. Устойчивость и способы возбуждения // Десятая Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоно сов-2003». Секция «Физика». Сборник тезисов. М.: Отдел оператив ной печати физического факультета МГУ, 2003. 296 с. С. 169–170.

89. Рябов Д. С. Новые типы странных аттракторов в трехмерных дис сипативных системах с дискретной симметрией // Сборник тезисов Десятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых: Тезисы докладов: В 2 т. Т. 1. Екатеринбург — Крас ноярск: Издательство АСФ России, 2004. 653 с. С. 87–88.

90. Рябов Д. С. Устойчивость нелинейных нормальных мод в цепочках Ферми-Паста-Улама // «Молодежь XXI века — будущее Россий ской науки» (тезисы докладов II Межрегиональной научно-практи ческой конференции студентов, аспирантов и молодых ученых 21– мая 2004 г.). Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2004. 264 с.

С. 71–73.

91. Dauxois Th. Fermi, Pasta, Ulam and a mysterious lady // Physics Today.

2008. V. 61, № 1. P. 55–57.

92. Bivins R. L., Metropolis N., Pasta J. R. Nonlinear Coupled Oscillators:

Modal Equation Approach // Journal of Computational Physics. 1973.

V. 12. P. 65–87.

93. Chechin G. M. Computers and group-theoretical methods for studying structural phase transition // Computers & Mathematics with Applica tions 1989. V. 17. P. 255–258.

94. Маневич Л. И., Михлин Ю. В., Пилипчук В. Н. Методы нормальных колебаний для существенно нелинейных систем. М.: Наука, 1989.

95. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовица и И. А. Стегана. М.: Наука, 1979. 830 с.

` 96. Floquet G. Sur les equations dierentielles lineaires a coecient periodiques // Annales de l’Ecole Normale Superiore. 1883. V. 12.

P. 47–88.

97. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.

М.: Наука, 1967. 472 с.

98. Chechin G. M., Zhukov K. G. Stability analysis of dynamical regimes in nonlinear systems with discrete symmetries // Physical Review E. 2006.

V. 73. P. 036216.

99. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колеба ний. М.: Наука, 1988. 326 с.

100. Choodnovsky G. V., Choodnovsky D. V. Novel First Integrals for the Fermi-Pasta-Ulam Lattice with Cubic Nonlinearity and for Other Many Body Systems in One and Three Dimensions // Lettere Al Nuovo Cimento. 1977. V. 19, № 8. P. 291–294.

101. Dormand J. R., Prince P. J. A family of embedded Runge-Kutta formu lae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. V. 6.

P. 19–26.

102. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ.

М.: Мир, 1999. 548 с.

103. Weisstein E. W. Jacobi Elliptic Functions // From MathWorld — A Wolfram Web Resource. URL: http://mathworld.wolfram.com/ JacobiEllipticFunctions.html 104. Берман Г. П., Коловский А. Р. О границе стохастичности для одно мерной нелинейной цепочки взаимодействующих осцилляторов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. Т. 87, № 6.

С. 1938–1947.

105. Ablowitz M. J., Kaup Dj., Newell A. C., Segur H. The inverse scatter ing transform-Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Applied Mathematics. 1974. V. 53. P. 249.

106. MacKay R. S., Aubry S. Proof of existence of breathers for time reversible or hamiltonian networks of weakly coupled oscillators // Non linearity. 1994. V. 7. P. 1623.

107. Овчинников А. А. Локализованные долгоживущие колебательные состояния в молекулярных кристаллах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1969. Т. 57, № 1. С. 263–270.

108. Косевич А. М., Ковалев А. С. Самолокализация колебаний в одно мерной ангармонической цепочке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1974. Т. 67. С. 1793.

109. Swanson B. I., Brozik J. A., Love S. P., et al. Observation of intrinsi cally localized modes in a discrete low dimensional material // Physical Review Letters. 1999. V. 82. P. 3288.

110. Kisoda K., Kimura N., Harima H., et al. Intrinsic localized vibrational modes in a highly nonlinear halogen-bridged metal // Journal of Lumi nescence. 2001. V. 94–95. P. 743.

111. Manley M. E., Sievers A. J., Lynn J. W., et al. Intrinsic localized modes observed in the high-temperature vibrational spectrum of NaI // Physical Review B. 2009. V. 79. P. 134304.

112. Schwarz U. T., English L. Q., Sievers A. J. Experimental generation and observation of intrinsic localized spin wave modes in an antiferromag net // Physical Review Letters. 1999. V. 83. P. 223.

113. Sato M., Sievers A. J. Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an antiferromagnet // Nature. 2004. V. 432.

P. 486.

114. Wrubel J. P., Sato M., Sievers A. J. Controlled switching of intrinsic localized modes in a one-dimensional antiferromagnet // Physical Review Letters. 2005. V. 95. P. 264101.

115. Sato M., Sievers A. J. Counting discrete emission steps from intrinsic localized modes in a quasi-one-dimensional antiferromagnetic lattice // Physical Review B. 2005. V. 71. P. 214306.

116. Binder P. Abraimov D., Ustinov A. V., et al. Observation of breathers in Josephson ladders // Physical Review Letters. 2000. V. 84. P. 745.

117. Miroshnichenko A. E., Flach S., Fistul M. V., et al. Breathers in Josephson junction ladders: Resonances and electromagnetic wave spec troscopy // Physical Review E. 2001. V. 64. P. 066601.

118. Kevrekidis P. G., Rasmussen K.., Bishop A. R. Two-dimensional dis crete breathers: Construction, stability, and bifurcations // Physical Review E. 2000. V. 61, № 2. P. 2006–2009.

119. Marin J. L., Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: numerical calcula tion from the anticontinuous limit // Nonlinearity. 1996. V. 9. P. 1501.

120. Гледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродина мического типа и их применение. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 368 с.

121. Rossler O. E. An equation for continuous chaos // Physics Letters. 1976.

V. 57A, № 5. P. 397–398.

122. Кузнецов С. П. Динамический хаос / Серия «Современная теория колебаний и волн». М.: Физматлит, 2001.

123. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соров ского профессора: Учеб. пособие. Москва-Ижевск: Институт компью терных исследований, 2002. 144 с.

124. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической дина мики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 318 с.

125. May R. M., Leonard W. J. Nonlinear aspects of competition between three species // SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Journal of Applied Mathematics. 1975. V. 29. P. 243–253.

126. Busse F. H., Heikes K. E. Convection in a rotating layer: A simple case of turbulence // Science. 1980. V. 208, Apr. 11. P. 173–175.

127. Scott J. F., Chen T., Phillipson P. E. May-leonard oscillations in ferro electric thermal lenses // Integrated Ferroelectrics. 1993. V. 3, № 4.

P. 377.

128. Scott J. F. Three fundamental problems in ferroelectricity // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1996. V. 57, № 10. P. 1439–1443.

129. Rikitake T. Oscillations of a system of disk dynamos // Mathemati cal Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1958. V. 54, P. 89–105.

130. Pikovskii A. S., Rabinovich M. I. Stochastic behavior of dissipative sys tems // Soviet Scientic Reviews. Section C. Mathematical Physics Reviews. 1981. V. 2.

131. Sprott J. C. Some simple chaotic ows // Physical Review E. 1994. V. 50, № 2. P. R647–R650.

132. Sprott J. C. Simplest dissipative chaotic ow // Physics Letters A. 1997.

V. 228, P. 271–274.

133. Sprott J. C., Linz S. J. Algebraically simple chaotic ows // International Journal of Chaos Theory and Applications. 2000. V. 5. P. 3–22.

134. Ковалев О. В. Неприводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп: Справочное руководство.

М.: Наука, 1986. 368 с.

135. Гуфан Ю. М., Чечин Г. М. О геометрических ограничениях на выбор прафазы в случае шестикомпонентного параметра порядка // Кри сталлография. 1980. Т. 25, № 3. С. 453–459.

136. Гуфан Ю. М., Попов В. П. К теории фазовых переходов, описывае мых четырехкомпонентным параметром порядка // Кристаллография.

1980. Т. 25, № 5. С. 921–929.

137. Гуфан Ю. М. Структурные фазовые переходы. М.: Наука, 1982. 302 с.

138. Hatch D. M., Stokes H. T. Isotropy subgroups of the 230 crystallo graphic space groups. World Scientic, 1988.

139. Liu W., Chen G. A new chaotic system and its generation // Interna tional Journal of Bifurcation and Chaos. 2003. V. 13. P. 261–267.

140. Poincare H. Sur les courbes denies par une equation dierentielle // Oeuvres. Paris. 1892. V. 1.

141. Bendixson I. Sur les courbes denies par des equations dierentielles // Acta Mathematica (Springer Netherlands). 1901. V. 24. P. 1–88.

142. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.-M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Physical Review. 1976. V. A14. P. 2338–2345.

143. Johnson R. C. A dynamical system with two strange attractors // arXiv:nlin/0010039. URL: http://arxiv.org/abs/nlin/0010039.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.