авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ НАН УКРАИНЫ

На правах рукописи

Цыбульник Владислав Александрович

УДК 530.145:539.12:535.341

УСИЛЕНИЕ СВЕТА В ПРОЦЕССЕ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА НА

ЯДРЕ В СВЕТОВОМ ПОЛЕ

01.04.02 – теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель Рощупкин Сергей Павлович д-р физ.-мат. наук, профессор.

Сумы – 2006 СОДЕРЖАНИЕ Введение 4 1 Вынужденное тормозное излучение и поглощение при рассеянии электрона на ядре во внешнем электромагнитном поле 1.1 Обзор литературы.......................... 1.2 Вероятность вынужденного тормозного излучения и поглоще ния электрона на ядре в одномодовом лазерном поле...... 1.3 Вероятность вынужденного тормозного излучения и поглоще ния электрона на ядре в двухмодовом лазерном поле...... 1.4 Коэффициент усиления волны................... 1.5 Эффект Маркуза........................... 1.6 Коэффициент поглощения сильной волны............ 1.7 Заключение к главе 1........................ 2 Нерелятивистская теория усиления света при рассеянии электрона на ядре в поле сильной циркулярно-поляризованной волны 2.1 Полное сечение излучения..................... 2.2 Коэффициент усиления....................... 2.3 Заключение к главе 2........................ 3 Общая релятивистская теория усиления света при рассеянии элек трона на ядре в поле умеренно сильной циркулярно поляризован ной волны 3.1 Полное сечение излучения..................... 3.2 Коэффициент усиления волны для средних полей........ 3.2.1 Общий релятивистский случай.............. 3.2.2 Случай нерелятивистских энергий электрона...... 3.3 Коэффициент усиления волны для умеренно сильных полей.. 3.4 Заключение к главе 3........................ 4 Нерелятивистская теория усиления света при рассеянии электрона на ядре в двухмодовом лазерном поле 4.1 Полное сечение излучения..................... 4.2 Коэффициент усиления поля в области средних полей..... 4.3 Коэффициент усиления поля в промежуточной области..... 4.4 Заключение к главе 4........................ Выводы Список литературы A Свойства функций Ln и Inn A.1 Вероятность многофотонных процессов в поле одной волны.. A.2 Вероятность многофотонных процессов в поле двух волн... ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы Взаимодействие интенсивного электромагнитного излучения с электрона ми — часть физики взаимодействия интенсивного лазерного излучения с ве ществом, которая получила большое развитие в связи с созданием лазеров и значительным прогрессом в увеличении их мощности.

В настоящее время в практике физического эксперимента по взаимодей ствию лазерного излучения с веществом широко используются интенсивности в диапазоне 1012 1020 Вт/см2. Достижение релятивистских интенсивностей стало возможным за счет использования сверхкоротких (пико- и фемтосекунд ных) и жестко сфокусированных (размер пятна в фокусе порядка нескольких длин волны) импульсов. С начала 1996 года серия экспериментов по проверке квантовой электродинамики в таких полях проводится группой Макдональ да на ускорителе SLAC (Princeton Rochester, SLAC, Tennessee collaboration), а также в Брукхейвенской национальной лаборатории (Brookhaven National Laboratory, USA) [1].

В сильном поле существенную роль играют нелинейные эффекты связан ные с поглощением из волны и излучением в волну сразу многих квантов.

Иногда это может приводить к тому, что электрон вынужденно излучает фо тонов больше, чем поглощает. В результате этого внешнее электромагнитное поле может усиливаться.

Усиление электромагнитного излучения при рассеянии электронов на ионах в лазерном поле впервые теоретически было открыто Маркузом для слабых интенсивностей [2]. В сильных полях эффект усиления исчезает [3]. Возмож ность усиления лазерного излучения для промежуточных интенсивностей до сих пор не была изучена.

Таким образом тема диссертации посвящена актуальной проблеме физики взаимодействия лазерного излучения с веществом — усилению света в процес се рассеяния электрона на ядре в световом поле средних и умеренно сильных интенсивностей.

Связь работы с научными программами, планами, темами Диссертационная работа выполнена в отделе теоретической физики Инсти тута прикладной физики НАН Украины и является частью исследований, про веденных по проекту Стохастические, когерентные и резонансные квантово ” электродинамические явления в сильных электромагнитных полях и интен сивных ионных пучках“ (государственный регистрационный №0102U002777), а также по гранту Рассеяние фотонов ядрами и электронами в присут ” ствии электромагнитной волны и магнитного поля“ (распоряжение прези дии НАН Украины №231 от 14.04.2005 г., государственный регистрационный №0105U005964).

Цели и задачи исследования Целью работы является построение теории усиления света при рассеяния электрона на ядре в световом поле для волн средней и умеренно сильной интенсивностей.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

• для случая нерелятивистских энергий электрона проводится численный расчет коэффициента усиления в области средних и сильных полей;

• в общем релятивистском случае (в борновском приближении по взаимо действию с полем ядра) рассчитывается коэффициент усиления электро магнитного излучения с использованием разложения по малому парамет ру (отношение энергии излученных и поглощенных фотонов к энергии электрона);

• в нерелятивистском приближении по энергии электрона рассчитывается коэффициент усиления света в процессе рассеяния электрона на ядре в двухмодовом лазерном поле.

• изучаются основные свойства специальных функций, которые определя ют многофотонные процессы в одно- и двухмодовом лазерном поле.

Объектом исследования является процесс рассеяния электрона на ядре в поле электромагнитной волны.

Предметом исследования является возможность усиления света в данном процессе.

Методы исследования При выполнении работы используется математический аппарат квантовой электродинамики, методы теоретической физики взаимодействия лазерного излучения с веществом.

Используется полуклассический метод рассмотрения процессов: падающая волна рассматривается как классическое поле, все остальные частицы — кван товомеханически. Процесс рассеяния рассматривается в борновском прибли жении по взаимодействию электрона с полем ядра.

= c = 1.

Используется релятивистская система единиц Научная новизна полученных результатов 1. Построена нерелятивистская теория усиления света при рассеянии элек трона на ядре в поле сильной циркулярно поляризованной электромаг нитной волны.

2. Впервые построена общая релятивистская теория усиления света при рас сеянии электрона на ядре в поле умеренно сильной циркулярно поляри зованной электромагнитной волны. Обнаружены условия, при которых коэффициент усиления принимает максимальное значение. Обнаружена зависимость коэффициента усиления от начальных параметров электрона и интенсивности внешнего поля.

3. Впервые построена нерелятивистская теория усиления электромагнитно го излучения при рассеянии электрона в умеренно сильном двухмодовом лазерном поле. Обнаружено, что интервал полярных углов, в котором име ет место усиление поля, не зависит от числа мод лазера и определяется только интенсивностью волн.

Практическое значение полученных результатов Полученные в диссертации аналитические выражения для коэффициента усиления электромагнитного излучения в средних и умеренно сильных полях просты для понимания и анализа, а разработанная в работе теория в целом способствует углублению знаний про возможность усиления света в процессе рассеяния электрона на ядре в поле лазерного излучения и позволяет пред видеть эффект значительного усиления света для мощных нерелятивистских электронных пучков.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы в ИПФ НАН Украины, ИТФ НАН Украины, ННЦ ”ХФТИ” НАН Украины, Киевском на циональном университете им. Тараса Шевченко, Харьковском национальном университете им. В.Н. Каразина, Институте общей физики РАН, Московском инженерно-физическом институте, Московском физико-техническом институ те, Брукхейвенской национальной лаборатории (США) и других научных цен трах.

Личный вклад соискателя Основные результаты диссертационной работы получены соискателем са мостоятельно или при его непосредственном участии. В работах [114, 118], опубликованных в соавторстве, соискателем непосредственно были получены свойства универсальных функций, определяющих вероятности многофотон ных процессов при рассеянии электронов на ядре в поле одно- и двухмодовой плоской электромагнитной волны. В работах [115, 119, 120] соискатель про вел численный расчет коэффициента усиления в области средних и сильных полей. В работах [116, 121–124] соискатель сделал аналитические и числен ные расчеты коэффициента усиления для нерелятивистских и релятивистских энергий электронов при различных интенсивностях поля. В работе [117] соис катель выполнил аналитические и численные расчеты коэффициента усиления для нерелятивистских энергий электронов в двухмодовом лазерном поле.

С научным руководителем обсуждались задачи в плане постановки, методов решения, способов вычисления конкретных величин и анализа полученных результатов.

Апробация результатов диссертации Материалы диссертации докладывались на научных семинарах в Институте прикладной физики НАН Украины и на 7 научно-технических конференциях:

• Научно-техническая конференция преподавателей, сотрудников и студен тов механико-математического факультета, Сумы, Украина, 2000.

• 5th International Workshop on Laser and Fiber-optical Networks Modeling (LFNM), Alushta, Crimea, Ukraine 2003.

• 6th International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks Modelling (LFNM), Kharkov, Ukraine, 2004).

• International Laser Physics Workshop (Trieste, Italy, 2004).

• III конференция по физике высоких энергий, ядерной физике и ускорите лям, Харьков, Украина, 2005.

• International Conference on Coherent and Nonlinear Optics, St. Petersburg, Russia, 2005.

• Second International Conference on Advanced Otoelectronics and Lasers (CAOL’2005), Yalta, Crimea, Ukraine, 2005.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 11 научных работах [114–124], из которых 4 статьи опубликованы в специализированных науч ных журналах, которые входят в перечень ВАК Украины, и 7 в виде тезисов докладов в сборниках научных работ международных конференций.

Структура диссертации Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, спис ка использованных источников и приложения. Полный объем диссертацион ной работы составляет 134 страницы и включает 15 рисунков, список исполь зованной литературы из 124 наименований на 15 страницах, приложение на 22 страницах.

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, форму лируются цели и задачи исследования, отмечается научная новизна и прак тическое значение полученных результатов, даны сведения об апробации и публикациях, дано краткое содержание работы.

В главе 1 проведен обзор литературы, посвященной изучению элементар ных квантовых процессов первого и второго порядка по постоянной тонкой структуры, протекающих в сильном электромагнитном поле. Обращено вни мание на довольно широкий спектр задач, связанных как с резонансными, так и нерезонансными процессами в поле лазерного излучения.

Проведен обзор литературы, посвященной изучению процессов вынужден ного тормозного излучения и поглощения (ВТИП) при рассеянии электрона на кулоновском центре и рассеянии электрона на электроне (позитроне) во внешнем электромагнитном поле.

Детально проанализирован процесс рассеяния электрона на ядре в одномо довом лазерном поле. Получена амплитуда и сечение данного процесса в поле эллиптически поляризованной световой волны.

Детально проанализирован процесс рассеяния электрона на ядре в двухмо довом лазерном поле. Получена амплитуда и вероятность данного процесса.

Изучены характерные кинематические области: область Бункина-Федорова, в которой основным параметром многофотонности является квантовый пара метр 0 (1.5) и интерференционная область, где основными параметром мно гофотонности является квантовый интерференционный параметр 0± (1.7).

Даны сечения процесса в данных кинематических областях.

Для оценки влияния процесса на внешнее поле используется коэффициент усиления (ослабления) µ ([µ] = см1 ) электромагнитной волны в процессе рассеяния электрона на ядре во внешнем световом поле, физический смысл которого (при условии, что µ = const) заключается в том, что величина обрат ная µ определяет расстояние, на котором плотность электромагнитной энергии увеличивается (если µ 0) или уменьшается (если µ 0) в e раз. Показано, что коэффициент усиления определяется так называемым полным“ сечением ” процесса, которое выражается в виде суммы по всем процессам излучения и поглощения фотонов волны от произведения числа фотонов на полное парци альное сечение (проинтегрированное по всем углам вылета конечного электро на) рассеяния электрона на ядре в поле волны. Выражение для коэффициента усиления обобщено на случай двухмодового лазерного поля.

Рассмотрен эффект Маркуза. Получен коэффициент усиления электромаг нитной волны при рассеянии нерелятивистского электрона на ядре в поле слабой линейно поляризованной электромагнитной волны (в первом порядке теории возмущений). Показано, что если вектор скорости электронов лежит внутри конуса, образующие которого составляют угол max 55 с вектором поляризации поля, то последнее усиливается (µ 0).

Рассмотрен коэффициент усиления при рассеянии нерелятивистских элек тронов на ядре в поле сильной (vF vi ) линейно поляризованной электромаг нитной волны. Показано, что в этом случае имеет место только поглощение энергии поля (µ 0).

В главе 2 построена нерелятивистская теория (в дипольном приближении) усиления света в процессе рассеяния электрона на ядре в поле сильной цир кулярно поляризованной электромагнитной волны. Получено выражение для коэффициента усиления в пределе слабого поля (в первом порядке теории возмущений). Показано, что если скорости электронов относительно направ ления распространения волны (ось z) заключены в интервале полярных углов 55 i 125, то имеет место усиление волны (µ 0). Важно подчеркнуть, что функция распределения коэффициента усиления от полярного угла влета начальных электронов µ (i ) симметрична относительно угла i max = /2, где она принимает максимальное значение (µmax = µ|i =/2 ). Таким образом макси мальное усиление волны реализуется тогда, когда скорости электронов лежат в плоскости поляризации (плоскость xy). Этот результат дополняет известный результат для случая линейно поляризованной волны (эффект Маркуза).

Проведен численный расчет коэффициента усиления для средних (0 1) 1, vF vi ) полей. Показано, что с увеличением интенсив и сильных ( ности волны положение µmax на шкале полярных углов остается неизменным (i max = /2), однако его величина медленно уменьшается, а интервал уг лов, где имеет место усиление поля, все более сужается. Для сильных полей (vF vi ) эффект усиления электромагнитного поля, как и следовало ожидать, пропадает (µ 0).

В главе 3 в борновском приближении по взаимодействию с полем ядра построена общая релятивистская теория усиления света при рассеянии элек тронов на ядре в поле умеренно сильной циркулярно поляризованной элек тромагнитной волны.

Разлагая соответствующие функции по малому параметру l = 2l /mvi 1 с точностью до 3 и проводя необходимые суммирования по всем возмож l ным процессам излучения и поглощения фотонов волны, в области средних и 1) получено общее релятивистское выражение для коэф слабых полей ( фициента усиления волны. Функция распределения коэффициента усиления по углам влета начальных электронов µ (i ) в области релятивистских энер гий электронов становится существенно несимметричной относительно угла i = /2. Положение максимума функции распределения зависит от начальной скорости электронов и определяется углом влета электронов относительно оси z равным i max = arccos (vi /c). В силу этого даже для нерелятивистских элек тронов (вне рамок дипольного приближения) функция µ (i ) несимметрична относительно /2 (i max /2 vi /c). Так для vi = 0.1 максимум распреде ления коэффициента усиления реализуется для угла i max = 84. С увеличени ем энергии электронов положение максимума функции распределения µ (i ) смещается в область все более меньших углов и для ультрарелятивистских электронов i max mc2 /Ei 1. С ростом энергии электронов величина максимального коэффициента усиления убывает: µmax (mc/|pi |)3 ;

интервал углов, в котором имеет место усиление света сужается и для ультрареляти вистских электронов эффект усиления поля исчезает.

Получено общее релятивистское выражение для коэффициента усиления в 1 ). При этом было использовано области умеренно сильного поля (1 асимптотическое выражение для функций Бесселя и проведены соответству ющие суммирования по всем возможным процессам излучения и поглощения фотонов волны. В кинематической области, в которой асимптотическое раз ложение функций Бесселя несправедливо использовалось выражение для ко эффициента усиления в области средних и слабых полей. Показано, что при данной энергии электронов с увеличением интенсивности волны положение максимума функции распределения µ (i ) не меняется, однако его величина медленно уменьшается, а интервал углов, в котором имеет место усиление света, сужается.

Таким образом, максимальные значения коэффициента усиления и макси мальные интервалы углов, где имеет место усиление света, реализуется для нерелятивистских энергий электронов (µ vi ) в области средних полей (0 1).

Оценки максимального коэффициента усиления показывают, что в области оптических частот ( 1015 c1 ) и типичных значений концентраций электро нов и ионов в пучке (ne 1011 см3, na 1019 см3 ) коэффициент усиления света, к сожалению мал (µmax 1011 см1 ). Не малый коэффициент усиления лазерного излучения можно получить для достаточно мощных электронных пучков. Усиление же электромагнитного поля низких частот ( 1010 c1 ) может быть не мало уже при типичных значениях концентраций электронных пучков и ионов (µmax 101 см1 ).

В главе 4 построена нерелятивистская теория (в дипольном приближении) усиления света при рассеянии электронов на ядре в двухмодовом умеренно сильном электромагнитном поле.

Детально изучены две характерные области полей: обе волны средних ин 1 ), 1, 2 1);

первая волна умеренно сильная (1 тенсивностей (1 1).

а вторая — средней интенсивности ( Проводя разложения соответствующих функций по малому параметру |ls | = 2 |l1 + s2 |/mvi 1 и выполняя необходимые суммирования по всем воз можным процессам излучения и поглощения фотонов обеих волн в данных двух областях полей получены коэффициенты усиления.

Показано, что максимальное значение коэффициент усиления принимает в области средних полей. В этом случае функция распределения µ (i ) имеет четко выраженный максимум при i max = /2 и наибольший интервал углов, в котором µ 0. С ростом интенсивности одной из волн, влияние второй волны средней интенсивности становится все меньше и коэффициент усиле ния определяется практически только наиболее сильной волной. В результате этого, максимум функции распределения уменьшается, а интервал углов, в ко тором имеет место усиление поля сужается. Оценки коэффициента усиления в двухмодовом лазерном поле средней интенсивности имеют тот же порядок величины, что и в соответствующем одномодовом поле.

В приложении A изучены свойства универсальных функций Ln и Ils, опре деляющих вероятности многофотонных процессов при рассеянии электрона на кулоновском центре в поле одно- и двухмодовой электромагнитной волны.

Получены их явные выражения для различных поляризаций волн, рекуррент ные соотношения, формулы суммирования, дифференциальные уравнения и другие математические соотношения.

ГЛАВА ВЫНУЖДЕННОЕ ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ПРИ РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОНА НА ЯДРЕ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 1.1 Обзор литературы Взаимодействие интенсивного электромагнитного излучения с электрона ми — это часть физики взаимодействия интенсивного лазерного излучения с веществом, которая появилась как самостоятельная область науки 30 – 35 лет тому назад и за истекшие годы получила огромное развитие в связи с созда нием лазеров и затем значительным и быстрым прогрессом в увеличении их мощности. Эти процессы продолжаются и сейчас, причем каждый новый до стигнутый уровень интенсивности лазерного излучения ставит новые задачи в плане исследования взаимодействия излучения с веществом, в частности взаимодействия интенсивного электромагнитного излучения с электронами. В широком смысле слова взаимодействие излучения со свободными электрона ми охватывает самые различные области физики. К этой тематики относятся:

явления, происходящие в электрон-ионной плазме в электромагнитном поле;

явления в твердотельной плазме;

процессы типа многофотонной ионизации атомов и молекул;

процессы рассеяния электронов на ионах, атомах и моле кулах в сильном электромагнитном поле;

явления, объединяемые под общим названием квантовая электродинамика сильных полей“;

явления, происходя ” щие в таких устройствах, как лазеры на свободных электронах, и т.д. Указан ные области явлений весьма разнородны как по физической сути, так и по математическому аппарату, используемому для их теоретического описания.

Некоторые из указанных областей сами по себе столь обширны, что заслужи вают отдельного описания в обзорных статьях и монографиях, и во многих случаях такого рода обобщающие работы уже существуют [6–25].

Так, например, многофотонные переходы электрона в атомах рассмотрены в монографиях [6–8, 10, 11], а также в обзорах [16, 20, 22]. Вопросы квантовой электродинамики сильных полей рассмотрены в обзорных статьях [13,14]. Вза имодействие интенсивного электромагнитного излучения с плазмой рассмат ривалось в очень многих работах и обобщено, например, в монографии [9].

Состояние исследований по лазерам на свободных электронах отражено в кни ге [12], в обзорах [17,18] и в специальных выпусках на эту тему журнала ”IEEE Journal of Quantun Electronics” [21].

В сильном поле излучения существенную роль играют нелинейные эф фекты, связанные с поглощением из волны или испусканием в волну сразу нескольких квантов. Это приводит к тому, что сечения физических величин начинают нелинейным образом зависеть от интенсивности падающей волны.

Меняются также угловые и спектральные распределения в различных физи ческих процессах. В 1935 году Д.М.Волковым [26] было получено точное решение уравнения Дирака в поле плоской волны.

e2 A kA e(pA) (x|A) = 1 + e ur (p) exp i ds + i(px), (1.1) 2(kp) (kp) 2(kp) где pµ — 4-вектор, компоненты которого являются квантовыми числами, харак теризующими состояние электрона, и совпадают с компонентами 4-импульса электрона в отсутствие поля, ur (p) — обычный биспинор, удовлетворяющий уравнению Дирака, Aµ — векторный потенциал поля, kµ — его 4-импульс, s = (kx);

k = kµ µ, µ — матрицы Дирака.

Используя решения Волкова в качестве волновых функций, описывающих состояния реальных частиц, можно вычислить вероятность различных про цессов в поле волны. Указанный метод учета взаимодействия с интенсивным полем волны применяется во многих работах, т.к. позволяет получить об щие формулы для вероятностей многофотонных переходов, справедливые при произвольных интенсивностях волны. Данный метод рассмотрения процессов является полуклассическим — падающая волна рассматривается как классиче ское поле, а все остальные частицы (электроны, излученные и поглощенные кванты) рассматриваются квантовомеханически. Кибблом [27], Францем [28] и другими авторами [29–31] исследовался вопрос о соответствии между по луклассическим и полным квантовомеханическим описаниями. В работе [28] проведено последовательное квантовомеханическое рассмотрение комптонов ского рассеяния волны электроном на основе фейнмановской диаграммной техники и показано, что при определенных условиях вероятности переходов, вычисленных обеими методами, совпадают. Если падающий пучок находится в так называемом когерентном состоянии (такие состояния исследовались, на пример, в работах Глаубера и других [32–34]) оба метода точно эквивалентны.

Если же пучок находится в состоянии с определенным числом фотонов, то эк вивалентность приближённая и требуется, чтобы полное число фотонов было много больше единицы и ряды по степеням плотности фотонов сходились.

Для рассмотрения процессов с участием виртуальных частиц можно вос пользоваться функцией Грина электрона в поле плоской электромагнитной волны [30, 31, 35–37].

Нелинейные эффекты в процессах взаимодействия электронов и позитро нов с внешним электромагнитным полем определяются классическим реляти вистски-инвариантным параметром (интенсивностью волны) [38]:

e A2 eF = = (1.2) mc2 mc где e и m — заряд и масса электрона, а F, и A — напряженность, длина и 4-потенциал внешнего поля волны, c — скорость света. В нерелятивистском пределе интенсивность равна отношению скорости осцилляции электрона в волне к скорости света ( = vF /c, vF — скорость осцилляций электрона в волне).

Теория вынужденного тормозного излучения и поглощения (ВТИП) в про цессах рассеяния электрона в поле ядра и электромагнитном поле изучает ся достаточно давно [15, 16, 18, 22, 25, 39–46]. При этом, результаты ВТИП электрона нерелятивистских энергий в плосковолновом поле обобщены в об зорах [24, 25] и монографиях [3, 23, 47], а в неоднородном световом поле — в [48].

ВТИП при рассеянии электрона на электроне изучалось в резонансном случае (когда промежуточный фотон выходит на массовую поверхность) в работах [39, 49–64], также в [65–70], а в нерезонансном случае — в рабо тах [43, 57, 71–76].

ВТИП при рассеянии электрона на ядре в присутствии двух плоских элек тромагнитных волн в нерелятивистском пределе изучалось Карапетяном и Федоровым [44], при этом анализ проводился в дипольном приближении во взаимодействию электронов с электрическими полями обеих волн. В общем релятивистском случае процесс ВТИП при электрона на ядре в поле двух волн был изучен Рощупкиным [77, 78]. Данная задача в многочастотном плоско волновом поле рассматривалась Рощупкиным и Ворошило [79]. ВТИП при рассеянии электрона на электроне в поле двух волн изучалось Денисенко и Рощупкиным [80].

Для описания взаимодействия электрона с полем ядра используется бор новское приближение Ze 1, (1.3) vi,f что накладывает ограничение на скорость электрона vi,f (индексы i и f соот ветствуют начальному и конечному состояниям):

Ze vi,f. (1.4) Для описания многофотонных процессов в поле одно- и двухмодовой ла зерной волны используются специальные функции Ln и Ils, описанные в ра боте [77], однако их математические свойства детально не были изучены.

Процесс многофотонного ВТИП электрона на ядре в плосковолновом по ле в зависимости от интенсивностей полей и их поляризации протекают в различных кинематических областях и определяются разными параметрами.

Квантовый параметр многофотонности 0 (параметр Бункина-Федорова) равен отношению работы поля на длине, проходимой электроном за период волны (r ) к энергии фотона [41, 42, 47]:

eF r mvi c vi 0 = =, r = (1.5) (vi = pi c/Ei, Ei и pi — скорость, энергия и импульс электрона). Область, в который данный параметр является основным будем называть областью Бункина-Федорова. При рассеянии электрона в плоскости начального импуль са электрона и волнового вектора (для эллиптической поляризации волны, за исключением циркулярной), основными параметрами многофотонности явля ются mc pc 0 = (1.6) E и, в случае двух волн, mc pc 0± = 1 2 (1.7) 1 ± 2 E В области оптических частот ( 1015 с1 ) параметр 1 для напряженно стей полей F 1010 1011 В/см, а квантовые параметры 1 и 1 — для полей F 105 106 В/см и F 107 108 В/см (в области релятивистских энергий электрона) соответственно.

В предположении, что энергия фотона волны электрона много меньше энер гии электрона, при рассмотрении процесса ВТИП во внешнем поле также используется малый параметр 1, если vi mvi 1 =. (1.8) 2 Ei 1, если Ei m pi c В зависимости от значений параметра 0 (1.5), поля подразделяются в соот ветствующих областях на: слабые, если данный параметр мал по сравнению с единицей, средние, если данный параметр порядка единицы, умеренно силь ные, если данный параметр велик (но много меньше, чем 1 (1.8)).

Возможность усиления электромагнитного поля, в котором происходит ВТИП электрона на ядре впервые была рассмотрена Маркузом в 1962 го ду [2], в связи с чем данный эффект был назван его именем. Маркуз рассмот рел случай слабых полей и нерелятивистских энергий электрона. Учитывалась возможность излучения в волну или поглощения из волны электроном только одного фотона. Показано, что если вектор скорости электронов лежит внутри конуса, образующие которого составляют угол max 55 с вектором поляри зации поля, то последнее усиливается.

Для случая сильных полей возможность усиления электромагнитной волны в процессе ВТИП электрона на ядре была рассмотрена Фёдоровым [3]. Было показано, что в таком случае внешняя волна ослабляется при любых начальных параметрах электрона.

В следующих параграфах данной главы приведем основные выводы ра бот упомянутых авторов, необходимые для дальнейшего построения теории.

= c = 1.

Используется релятивистская система единиц 1.2 Вероятность вынужденного тормозного излучения и поглощения элек трона на ядре в одномодовом лазерном поле Рассмотрим ВТИП электрона на ядре во внешнем электромагнитном поле.

Процессу соответствует диаграмма Фейнмана, изображенная на рис.1.1.

pi = (Ei, pi ) Ze pi = (Ef, pf ) q pf pi Рис. 1.1. Рассеяние электрона на ядре в поле плоской электромагнитной волны. Внешние сплошные линии соответствуют волновым функциям электрона в поле плоской волны (функ ции Волкова). Штриховая линия отвечает псевдофотону“ поля ядра.

” Пусть внешняя плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z (см. рис. 1.2) и имеет 4-потенциал в виде:

F A() = (ex cos + ey sin ) (1.9) где F и — напряженность и частота, — параметр эллиптичности, ex = (0, ex ) и ey = (0, ey ) — 4-векторы поляризации волны, аргумент = (t z) Выражение для вероятности вынужденного тормозного излучения и погло щения электрона при его рассеянии на ядре Ze в поле плоской электромагнит ной волны в нерелятивистском случае было получено Бункиным и Федоровым в 1965 [41];

в общем релятивистском случае (в борновском приближении) Де нисовым и Федоровым в 1967 [42].

Амплитуда рассеяния электрона на ядре в поле такой плоской волны имеет вид (см. рис. 1.1):

d4 x · f (x|A) 0 Akul (x) i (x|A) Sf i = i · e (1.10) Здесь i и f — Функции Волкова (1.1) до и после рассеяния, Akul — потенциал ядра:

Ze Akul (x) = (1.11) |x| z k i f pf pi ey i f ex Рис. 1.2. Кинематика ВТИП на ядре во внешнем электромагнитном поле Подставляя выражения в (1.10) функции Волкова (1.1) с учетом (1.9) полу чим выражение для амплитуды в виде:

Ze eidf i uf M ui Sf i = i (1.12) 2 Ei Ef d4 x i(f i )x e p p Df i eiS M= (1.13) |x| S = sin( ) + sin 2 (1.14) Df i = a0 + b0 ei + b0 ei + c0 (e2i + e2i ), (1.15) + где m a0 = 0 + (1 + 2 ) 2 k, (1.16) 4 i f 1 m m b0 = e± k 0 + 0 k±, e (1.17) ± 4 f i e± = (µ eµ ), e± = ex ± iey, (1.18) ± 1 22m c = (1 ) k, (1.19) 8 i f m m (ex g)2 + 2 (ey g)2 = |g|| | cos2 0 + 2 sin2 0, (1.20) = 0 = (ex, g|| ), (1.21) (ey g) tg = = tg 0, (1.22) (ex g) 1 mmm = (1 2 ) 2, (1.23) 8 f i pf pi.

g= (1.24) f i Здесь pi и pf — квазиимпульсы электрона в начальном и конечном состояниях;

i,f = (npi,f ) = Ei,f npi,f.

Разлагая функцию Df i exp(iS ) в ряд Фурье и проводя соответствующие интегрирования, амплитуда (1.12) примет следующий вид:

Sf i = Sl, (1.25) l= где парциальная амплитуда с поглощением (l 0) и излучением (l 0) l фотонов волны имеет вид:

4 2 eidf i Ze Sl = i uf Ml ui (Ef Ei + l) 2, (1.26) q Ei Ef Ml = a0 Ln (,, ) + b0 Ln1 + b0 Ln+1 + c0 (Ln+2 + Ln2 ), (1.27) + q = pf pi + lk.

(1.28) Функции Ll даются выражениями exp {i[ sin( ) + sin 2 l]} d.

Ll = Ll (,, ) = (1.29) Свойства функции Ll детально изучены в приложении А.

В предположении 1 (1.30) в (1.27) можно пренебречь всеми слагаемыми, кроме первого. В таком слу чае вероятность рассеяния неполяризованных электронов может быть пред ставлена как сумма парциальных вероятностей вынужденного излучения или поглощения l фотонов:

dw = dwl, (1.31) l= 2(Ze2 ) |Ll |2 (Ef Ei + l)(m2 + Ei Ef + pi pf )d3 pf.

dwl = (1.32) Ei Ef q Сечение рассеяния получается из (1.31), (1.32) делением на плотность пото ка падающих электронов vi. Проводя интегрирование по энергии конечных электронов получим дифференциальное сечение рассеяния электрона на ядре в элемент телесного угла d d = dl, (1.33) l= 2(Ze2 )2 |pf | dl (m + Ei Ef + pi pf )|Ll (,, )|2, = (1.34) q4 |pi | d (Ei l)2 m2.

Ef = Ei l, pf = (1.35) Вид функции Ll существенно зависит от поляризации волны. Для цирку лярной поляризации ( = ±1):

Ll (,, 0) = eil Jj (), (1.36) где Jl — функции Бесселя. Для линейной поляризации ( = 0):

Ll (0,, ) Jl (, ) = Jl2s ()Js (), (1.37) s= где Jl (, ) — обобщенные функции Бесселя [81];

1.3 Вероятность вынужденного тормозного излучения и поглощения элек трона на ядре в двухмодовом лазерном поле Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z (см.

рис. 1.2) и имеет 4-потенциал в виде:

A = A1 (1 ) + A2 (2 ), (1.38) где Fj Aj (j ) = (ejx cos j + j ejy sin j ). (1.39) j Здесь j — параметр эллиптичности, ejx = (0, ejx ) и ejy = (0, ejy ) — 4-векторы поляризации волн, Fj и j — напряженность и частота первой (j=1) и второй (j=2) волн, а аргумент j = j (t z).

Выражение для вероятности вынужденного тормозного излучения и по глощения неполяризованных электронов при их рассеянии на ядре Z в поле двух плоских электромагнитных волн одного направления (1.38), (1.39) для произвольных интенсивностей и частот было получено в работе [77] и имеет вид:

(ls) dWf i = dWf i, (1.40) l,s= где парциальная вероятность излучения и поглощения |l| фотонов первой вол ны и |s| фотонов второй волны равна:

2(Ze2 )2 (ls) i + l1 + s2) d pf.

(ls) Hf i (Ef E dWf i = (1.41) q Ei Ef Здесь m4 m (ls) Hf i = (m2 + Ei Ef + pi pf )|Ils |2 + |Bls |2 + f1 |Dls |2 + 32i f m2 [pf Dls ][pi D ] Bls [f3 Dls ] Ils [f4 Dls ] (1.42) + Re f2 Ils Bls + ls 2 i f В выражении (1.42) скалярные f1, f2 и векторные f3, f4 функции, а также 4 вектор Dls = (0, Dls ), определяемый 4-векторами поляризации обеих волн, и комплексные функции Bls имеют следующий вид:

(m2 + Ef i Ei f Ei Ef + pi pf ) f1 = i f f i Ef i Ei f + (Ei npi ), (1.43) 2 2f i (m2 Ei Ef + pi pf + Ei f + Ef i ), f2 = (1.44) 2i f m(pi + pf ) f3 =, (1.45) 4i f 2Ef f pf 2Ei 1 1 pi f4 = + (Ei + npi ) + 1+, (1.46) m i f i m i Dls = 1 (e1 Il1,s + e Il+1,s ) + 2 (e1 Il,s1 + e Il,s+1 ), (1.47) 1 ej = ejx + ij ejy, j = 1, 2, (1.48) 2 2 Bls = 1 2(1 + 1 )Ils + (1 1 )(Il+2,s + Il2,s ) + 2 2 + 2 2(1 + 2 )Ils + (1 2 )(Il,s+2 + Il,s2 ) + + 21 2 (d Il1,s1 + d Il+1,s+1 + d+ Il1,s+1 + d Il+1,s1 ), (1.49) + d± = (1 ± 1 2 ) cos + i(1 ± 2 ) sin. (1.50) Здесь — угол между векторами поляризации обеих волн e1x, e2x ;

n = (1, n) (n — единичный вектор направления распространения обеих волн, см. рис.

1.2), j = Ej npj, 1 и 2 — классический релятивистски-инвариантный параметр первой и второй волн (1.2), а функции Ils, зависящие от восьми параметров (на самом деле от десяти: два параметра ±, влияющие лишь на фазовые множители в аргументе, не указываются), разложенные по функциям Бесселя целочисленного индекса Jr имеют следующий вид:

ei(r +r + ) Ils (1, 1, 1 ;

2, 2, 2 ;

+, ) = r,r = Jr (+ )Jr ( )Llr r (1, 1, 1 )Ls+r r (2, 2, 2 ), (1.51) где функции Llrr и Ls+r r определяются соответственно параметрами пер вой и второй волн и описывают многофотонные процессы в поле одной волны (1.29). Параметры, определяющие функции Ils (1.51), равны:

m (ejx gf i )2 + j (ejy gf i )2, j = j (1.52) j ejy gf i tg j = j, (1.53) ejx gf i pf pi, gf i = (1.54) f i 2 2m 1 j = (1 j )j (1.55) 8j f i m2 |d | 1 ± = 1 2 (1.56) 2(1 ± 2 ) f i 1 ± Imd± tg ± = = tg. (1.57) 1 ± 1 Red± Свойства функций Ils детально изучены в приложении А.

В выражении (1.41) 4-вектор q = (q0, q) и 4-квазиимпульсы рассеяния pj = (Ej, pj ) до (j = i) и после (j = f ) равны q = pf pi + (li + s2)n, (1.58) m2 22 pj = pj + (1 + 1 )1 + (1 + 2 )2. (1.59) 4j Выражения (1.40)–(1.41) для вероятности справедливы при произвольных зна чениях интенсивностей и частот обеих волн в рамках Борновского приближе ния (1.3). Нетрудно показать, что при выключении одной из волн (например, при F2 = 0) (1.40)–(1.42) будут определять вероятность рассеяния электрона на ядре в поле одной волны (1.31), а если выключить обе волны (F1 = F2 = 0) — обычную моттовскую вероятность рассеяния электрона на ядре [90].

Следует также отметить, что при равных частотах волн (1 = 2 ) и одина ковых поляризациях (1 = 2 ) выражения (1.40)–(1.41) переходят в выражения для вероятности рассеяния электрона на ядре в поле одной волны [77]. По этому в дальнейшем будем полагать, что частоты волн не близки, т.е. примем условие:

||/1 1. (1.60) В выражениях (1.40)–(1.42) Ils — функции, определяющие многофотонные процессы. При этом, как видно из (1.51), для данного числа поглощенных и испущенных фотонов волн (при определенных значениях l и s) будут проис ходить виртуальные процессы с коррелированным поглощением и излучением равного числа фотонов обеих волн: (1 + 2 )r и (1 2 )r. Причем интен сивность данных виртуальных процессов определяется квантовыми интерфе ренционными параметрами ± (1.56). Если ± 1, то процессы с коррели рованным излучением и поглощением из обеих волн одного или нескольких фотонов вносят одинаковый по порядку величины вклад в суммы (1.51). В 1), влиянием то же время, когда интерференционные параметры малы (± таких процессов можно пренебречь (r = r = 0) и функции Ils распадаются на произведение функций, определяющих независимое излучение и поглощение фотонов первой и второй волн:

Ils (1, 1, 1 ;

2, 2, 2 ;

0, 0) = Ll (1, 1, 1 )Ls (2, 2, 2 ). (1.61) Вид функции Ils существенно зависит от поляризации волн (см. приложение 2 А). В случае линейной поляризации обеих волн 1 = 2 = 1. В силу этого 1 = 2 = 0 (см. (1.55)), и с учетом (1.29) функции Ils (1.51) примут следующий вид Ils (1, 1, 0;

2, 2, 0;

± ) = ei[l1 +s2 ] ei[1 ±2 ]r Jr (± )Jlr (1 )Js r (2 ) (1.62) r= Здесь введены обозначения:

m2 1 ± = 1 2, (1.63) 1 ± 2 1 || || j = j (m/j )|gf i |, j = (ejx, gf i ), j = 1, 2. (1.64) || В выражениях (1.62)–(1.64) gf i — компонента вектора gf i (1.54), параллельная плоскости поляризации волн;

нижний знак в формулах относится к случаю, когда векторы напряженностей электрических полей вращаются в одну сторо ну, а верхний знак — когда в противоположные стороны. При ± 1 получим результат (1.61), т.е.

Ils (1, 1, 0;

2, 2, 0;

0) = ei[l1 +s2 ] Jl (1 )Js (2 ). (1.65) В случае линейной поляризации обеих волн (1 = 2 = 0): 1,2 = 0, d± = cos и выражение (1.51) примет вид:

Ils (0, 1, 1 ;

0, 2, 2 ;

+, ) = = Jr (+ )Jr ( )Jlrr (1, 1 )Js+r r (2, 2 ). (1.66) r,r = Здесь J(, ) — обобщенные функции Бесселя, детально изученные Риссом [81]:

Jr (, ) = Lr (0,, ) = Jr2s ()Js (), (1.67) s = m = j |ejx gf i |, j (1.68) j 2m 1 j = j, j = 1, 2 (1.69) 8j f f | cos |m2 1 ± = 1 2. (1.70) 2(1 ± 2 ) f f Отметим, что в нерелятивистском пределе энергий электронов (в дипольном приближении) для 1 дифференциальное сечение рассеяния электрона на ядре в элемент телесного угла d в двухмодовом лазерном поле циркулярной поляризации получается из (1.40)–(1.50) и имеет вид:

4Z 2 re ls dls = 4 g4 Jl (1ls )Js (2ls ) (1.71) d vi |pf | = 1 ls, ls = (l + s) ls = (1.72) |pi | (ex gls )2 + (ey gls )2, jls = 0j (1.73) pj gls = ls nf ni, n=, j = i, f. (1.74) |pj | 1.4 Коэффициент усиления волны Для классического электрона, движущегося в поле стационарного потен циала V (r), обладающего определенной степенью локализации, можно ввести понятия о классической энергии электрона до (Ei ) и после (Ef ) рассеяния.

Если процесс происходит в поле внешней электромагнитной волны, то изме нение энергии электрона возможно только за счет изменения энергии электро магнитного поля. Плотность энергии поля (средняя по периоду поля энергия в единице объема) равна F L=. (1.75) Если ne — плотность электронов в пучке или моноэнергетическом электронном газе, то изменение энергии поля при рассеянии электронов равно L = ne E (1.76) где E = Ef Ei — изменение энергии электрона.

В стационарной постановке задачи E есть линейная функция времени взаимодействия t, что позволяет ввести понятие о коэффициенте поглощения излучения µ:

E µ()cL L =, = cµ()L. (1.77) t ne t Здесь — частота излученного (поглощенного) излучения.

При µ 0 энергия поля с течением времени убывает, а энергия электронов растет — происходит нагрев электронного газа. В этом случае иногда гово рят об обратном тормозном излучении, или о тормозном поглощении. Однако в неравновесных условиях коэффициент µ может быть положительным. То гда энергия поля L растет — волна усиливается, причем источником энергии является кинетическая энергия электронов.

В квантовоэлектродинамическом подходе, в случае вынужденных процес сов вероятности излучения (индуцированного испускания фотонов) we и по глощения wa не равны друг другу, поскольку соответствуют переходам в раз личные конечные состояния, отличающиеся друг от друга как числами фото нов, так и значениями энергии электрона. Если интересоваться только инте гральной вероятностью увеличения или поглощения числа фотонов, то име ет смысл ввести понятие полная вероятность вынужденного излучения“ wt ” (total):

wt = we wa. (1.78) Именно вероятность wt связана с описанным выше коэффициентом усиле ния µ:

8 ne wt () µ() =. (1.79) cF Можно также ввести понятия сечения вынужденного излучения фотонов“ e, ” сечение вынужденного поглощения фотонов“ a и полное сечение вынуж ” ” денного излучения“ t :

wa,e,t a,e,t = (1.80) (vi na ) где vi — скорость электрона до рассеяния, na — плотность рассеивающих центров (атомов или ионов).

При классическом описании поля определение вероятностей we и wa стано вится возможным только на основании закона сохранения энергии: если после рассеяния энергия электрона Ef меньше (больше) его начальной энергии Ei на l, то имеет место переход, сопровождаемый вынужденным излучением (l) (l) (поглощением) l квантов и соответствующая вероятность есть we (wa ).

Сумма по всем возможным числам излученных (поглощенных) фотонов даст полную вероятность l · w(l), wt = we wa = (1.81) l= где w(l) — парциальная вероятность излучения (поглощения) l фотонов. Ана логично для полного сечения t :

l · l, t = (1.82) l= где l — парциальное сечение процесса.

Окончательно, выражение для коэффициента усиления µ имеет вид:

- vi e r e v i µ = 8na ne t = 8na ne t, (1.83) F2 где ne,a — плотности электронов и ионов, e = 1/m — комптоновская длина волны электрона, = 1/, — классический релятивистски-инвариантный параметр волны (1.2).

Коэффициент усиления электромагнитного излучения легко обобщить на случай двух волн:

1 vi e 1 r e v i µ = 8na ne t = 8na ne t, (1.84) (F1 ± F2 )2 (1 ± 2 ) где ne,a — плотности электронов и ионов в плазме, e = 1/m — комптоновская длина волны электрона, 1 = 1/1, 1 — частота первой волны, = 2 /1, а полное сечение излучения t :

(l + s) · ls.

t = (1.85) l= s= Здесь суммы берутся по всем возможным значениям целочисленных индексов l и s, соответствующих числу излученных (поглощенных) фотонов первой и второй волн соответственно.

1.5 Эффект Маркуза Рассмотрим процесс вынужденного излучения и поглощения при рассеянии электрона на кулоновском центре Ze в поле слабой плоской электромагнитной волны. Ввиду слабости поля, электрон может излучать или поглощать только один фотон внешней волны:

p2 p f =i. (1.86) 2m 2m Вероятности рассеяния we,a в элемент телесного угла конечного электрона d, просуммированные по импульсам рассеянных электронов имеют вид:

Z 2 e6 na pf [F e(pf pi )] we,a = d, (1.87) m 4 |pf pi | где pi,f — начальный и конечный импульсы электронов.

После интегрирования по углам конечного электрона получим:

Z 2 e6 na F 2 pf (3 cos2 1) + we,a = m2 vi 4 pi p2 p2 |pf pi | f f 2 1 + 2 sin + cos +1 ln (1.88) p pi pf + pi i pf = pi 1 1, 1 = 1. (1.89) mvi Разлагая полученное выражение по малому параметру 1 получим:

Z 2 e6 na F 3 cos2 1 + sin2 ln(1 )± wa,e = 2 v m ±1 [2 cos2 + (3 cos2 1) ln(1 )], (1.90) что позволяет получить выражение для коэффициента усиления:

3 16 2 Z 2 re 2 ne na [2 cos2 + (3 cos2 1) ln(1 )].

µ= (1.91) vi Коэффициент усиления содержит слагаемое, пропорциональное большому ло гарифмическому фактору ln(1 ) (1 1). По этой причине угловая зависи 1 мость µ определяется в основном множителем перед логарифмом 3 cos2 1.

Это обнаруживает область arccos 31/2 55, 3 cos2 1, (1.92) где µ положителен, т.е. излучение преобладает над поглощением. Этот резуль тат называют эффектом Маркуза [2].

1.6 Коэффициент поглощения сильной волны Рассмотрим усиление (ослабление) электромагнитной волны для нереляти вистских электронов (в дипольном приближении). В этом случае коэффициент усиления (ослабления) имеет вид:

4m µ = µ0 Di, (1.93) |pi |3 - µ0 = 8Z 2 na ne 2 re, (1.94) где Jj2 () Di = ll sin f df d. (1.95) q 0 Здесь 1 l, l = l = l1, 1 = 2, (1.96) mvi = 0 e(pf pi ), (1.97) mvi 0 =, (1.98) q = l nf ni, (1.99) pi,f ni,f =, (1.100) |pi,f | Пусть внешнее поле линейно поляризовано и вектор поляризации e направ лен вдоль оси z. При этом, пусть импульс начального электрона pi лежит в плоскости (xz), тогда:

= 0 (l cos f cos i ) (1.101) q2 = 1 + 2 2l (cos f cos i + sinf sin i cos f ). (1.102) l Аргумент функции Бесселя не зависит от азимутального угла вылета конеч ного электрона, поэтому можно легко проинтегрировать выражение (1.95) по азимутальному углу:

Di = ll J1 ()K(x), (1.103) l= где обозначено df 2a |b| a, K(x) = 2 )2 =, (1.104) (a2 b2 )3/ (a + b cos f a = 1 + 2 2l xi x, 1 x2 1 x2.

b = 2l (1.105) l i Окончательно (1.103) примет вид:

1 + 2 2l xi x dx · Jl2 () · l Di = 2 ll, (1.106) 2 + b x + c )3/ (a x l= где a = 42, b = 4l 1 + 2 xi, c = 1 + 2 42 1 x2. (1.107) l l l l i Подчеркнем, что в случае циркулярной поляризации волны подобное ин тегрирование по азимутальному углу провести невозможно, так как аргумент функций Бесселя в этом случае зависит от азимутального угла. Отметим, что выражение для коэффициента усиления (ослабления) (1.93), (1.106) точное, т.е. справедливо для слабых, средних и сильных полей.

Рассмотрим коэффициент усиления в пределе сильного поля, когда 0 1.

В этом случае аргумент функций Бесселя велик по сравнению с |l| везде, за исключением малой окрестности x точки x0 :

|l| x x0 =, x = 1. (1.108) l В областях |x x0 | x для функций Бесселя может быть использовано асимптотическое выражение при больших значениях аргумента:

Jl2 [0 l (x x0 )]. (1.109) 0 l |x x0 | Здесь квадрат косинуса заменен на его среднее значение, равное 1/2, т.е. про изведено усреднение по быстрым осцилляциям.

Учитывая это, выражение (1.106) примет вид:

1 + 2 2l xi x 2 l l · G, dx · Di = G= (1.110) |x x0 | (a x2 + b x + c )3/ l= Основная идея приближенного интегрирования по x в уравнении (1.110) состоит в предположении о том, что основной вклад в интеграл при 0 вносят области |x x0 | x. Таким образом, интеграл G (1.110) может быть представлен в виде:

x0 x x0 +x 1 (· · ·) dx = (· · ·) dx+ (· · ·) dx + (· · ·) dx.

G= (1.111) 1 1 x0 x x0 +x Последним интегралом в (1.111) при условии достаточно сильных полей, ко гда скорость осцилляций электрона в волне больше скорости поступательного vi ), можно пренебречь [44]. Это также подтверждается и рас движения ( четом, проведенным в разделе 3.3 диссертации. В силу этого можно записать:

1 + 2 2l xi x l G dx+ (x x0 ) (a x2 + b x + c )3/ x0 x 1 + 2 2l xi x l + dx. (1.112) (x x0 ) (a x2 + b x + c )3/ x0 +x При вычислении интегралов в (1.112) будем оставлять основную логарифми чески большую часть на нижних пределах интегрирования. Интегрируя таким путем, получим:

2 1 + 2 2x2 i l G ln. (1.113) 3 |l|3 |l| Подставляя (1.113) в выражение (1.110), для коэффициента усиления (1.93) получим следующее выражение:

16 2 l 1 + 2 2x µ = µ0 2 4 3 3 3 ln. (1.114) l i |l| m v i 1 |l| |l| Подстановка в (1.114) выражения для l (1.96) позволяет уже в первом порядке по l получить отличный от нуля результат:

8µ0 1 0 8µ0 1 0 dl = 3 µ0 ln2 (0 ).

µ= 3 ln ln (1.115) l l l l l=1 Так как коэффициент усиления волны отрицательный, то в области сильных полей электромагнитная волна может только поглощаться.


В работе [44] была рассмотрена постановка задачи о вынужденном тормоз ном излучении в поле двух волн, одна из которых (с частотой ) была сильной, а другая (с частотой ) — слабой. Был найден коэффициент усиления (погло щения) слабой, пробной волны µ( ). При большой напряженности поля силь ной волны величина µ() резко возрастает в окрестности n = n, причем при изменении в малой окрестность n величина µ( ) меняет знак. Этот результат указывает на возможность усиления на частотах, близких к гармо никам сильной волны n при vF v. В зависимости от напряженности поля сильной волны µ(F, ) убывает с ростом F пропорционально 1/F [44, 45].

Зависимость µ(F, ) 1/F отличается от описанной выше зависимости ко эффициента поглощения сильной волны µ(F, ) 1/F 3. Коэффициент по глощения (усиления) пробной волны µ( ) в поле сильной волны F (t) даже качественно не может быть получен из соответствующих формул в слабом поле (F 0) с помощью замены v на vF.

В работах [42, 46] было рассмотрено одно- и многофотонное вынужден ное тормозное излучение на релятивистских электронах. Основные результа ты состоят в следующем. Во-первых, в релятивистской области эффект Мар куза пропадает, т.е. поглощение всегда преобладает над вынужденным излу чением [46]. Во-вторых, в сильном поле в релятивистском случае (v c, vF c) асимптотическое поведение коэффициента поглощения сильной вол ны µ 1/F 4 [42] отличается от закона µ 1/F 3, имеющего место в нереля тивистском случае.

В работе [110] было рассмотрено многофотонное вынужденное тормозное излучение в пространственно-неоднородном поле лазера.

1.7 Заключение к главе Точное решение уравнения Дирака в поле плоской электромагнитной волны позволило аналитически исследовать большое число элементарных квантовых процессов во внешнем лазерном поле. Теория вынужденного излучения и по глощения при рассеянии электрона на ядре в одно- и двухмодовом лазерном поле в общем релятивистском случае изучалась большим числом авторов, бы ло получено сечение, определены характерные параметры.

Возможность усиления лазерного поля в процессе рассеяния электрона на ядре было впервые рассмотрено Маркузом, который показал возможность уси ления внешнего поля для волны слабой интенсивности, когда возможно излу чение или поглощение только одного фотона волны. Позже было показано отсутствие усиления для сильной лазерной волны. Возможность усиления ла зерного излучения для промежуточных интенсивностей до сих пор не была изучена.

ГЛАВА НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ УСИЛЕНИЯ СВЕТА ПРИ РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОНА НА ЯДРЕ В ПОЛЕ СИЛЬНОЙ ЦИРКУЛЯРНО ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ВОЛНЫ 2.1 Полное сечение излучения Путь плоская циркулярно поляризованная электромагнитная волна распро страняется вдоль оси z (см. рис. 1.2) и имеет 4-потенциал в виде:

F (ex cos + · ey sin ), = (t z).

A () = (2.1) Здесь ex = (0, ex ), ey = (0, ey ) — 4-векторы поляризации волн, F, и = ±1 — напряженность, частота и поляризация волны.

Будем изучать рассеяние нерелятивистских электронов на ядре (Ze) в поле (2.1), при условии, что скорость осцилляций электрона в поле волны (1.2) меньше или одного порядка со скоростью поступательного движения началь ного электрона (vi ):

eF = vi 1 (2.2) m Здесь e и m — заряд и масса электрона. В этом случае закон сохранения энер гии в парциальном процессе с излучением (l 0) или поглощением (l 0) электроном |l| фотонов волны будет иметь вид [19, 25, 41]:

p2 p f i + l = 0, (2.3) 2m 2m где pi,f — импульс электрона до и после рассеяния. В дальнейшем будем предполагать, что энергия фотона волны много меньше кинетической энергии электрона 1 1. (2.4) mvi В борновском приближении по взаимодействию электрона с полем ядра (1.3) сечение ВТИП при рассеянии нерелятивистского электрона на ядре в поле плоской электромагнитной волны было получено в работе [41] (в общем реля тивистском случае это было сделано в работе [42]). Для циркулярной поляриза ции и интенсивностей волны (2.2) парциальное сечение ВТИП при рассеянии электрона на ядре в телесный угол d примет следующий вид:

2Ze dl l = J (), (2.5) g4 l d mvi где Jl () — функции Бесселя целочисленного порядка, а pi,f g = l nf ni, ni,f =, (2.6) |pi,f | |pf | = 1 l, l = l · 1, l = (2.7) |pi | (ex g)2 + (ey g)2.

= 0 (2.8) Если разложить вектор g (2.6) по координатным осям, тогда выражение (2.8) может быть представлено в виде:

= 0 · |g| sin, = (n, g), (2.9) где 1 + 2 2l [cos f cos i + sin f sin i cos (f i )], |g| = (2.10) l i,f = ex, pi,f, i,f = (n, pi,f ). (2.11) Здесь pi,f — проекция импульса pi,f на плоскость (xy). Отметим, что 0 в (2.8) — известный квантовый параметр многофотонности Бункина-Федорова (1.5) [25, 41], который для нерелятивистских электронов (vi 101 ) в области оптических частот ( 1015 с1 ) становится порядка единицы (0 1) в полях F 106 107 В/см. В условиях (2.2), (2.4) 0 ограничены сверху величиной mvi 0 1 (2.12) 2.2 Коэффициент усиления Коэффициент усиления электромагнитного излучения определяется следу ющим выражением (1.83) [3, 47]:

vi c re vi µ = 8na ne t = 8na ne t, (2.13) F2 где полное сечение излучения (1.82) l · l.

t = (2.14) l= Здесь сумма берется по всем возможным значениям целочисленного индекса l, а парциальное сечение многофотонного ВТИП электрона на ядре равно:

2Ze2 Jl2 () l = l sin f df df. (2.15) 2 g mvi 0 Легко видеть, что парциальное (2.15) и полное (2.14) сечения не зависят от азимутального угла начального электрона i и симметричны по полярному углу влета начального электрона i относительно угла /2. Действительно, переходя в парциальном сечении (2.15) при интегрировании по азимутальному углу от f к = f i и разбивая область интегрирования по полярному углу f на две равные части после простых выкладок получим:

/2 2Ze 1 1 l (vi, i ) = 2 l sin f df 4 + g4 Jl () d, (2.16) mvi g+ 0 1 + 2 2l [sin f sin i cos ± cos f cos i ], |g± | = (2.17) l = 0 · fl, (2.18) 2 sin2 f + sin2 i 2l sin f sin i cos.

fl = (2.19) l Из выражений (2.13)–(2.14), (2.16) видно, что усиление (поглощение) электро магнитной волны будет иметь место, если полное сечение t 0 (t 0).

В дальнейшем будем изучать полное сечение в трех областях интенсивно 1), когда cкорость осцилляций электрона стей волны: для слабого поля ( удовлетворяет условию vi, (2.20) mvi для среднего поля (0 1), когда скорость осцилляций электрона в волне vi, (2.21) mvi 0 mvi /), когда скорость осцилляций заключена и для сильного поля ( в интервале vi (2.22) mvi Для случая слабых полей (2.20) электрон излучает или поглощает один фотон волны. Тогда функция Бесселя в (2.16) примет вид:

J±1 () = (0 f±1 ) (2.23) и после простых преобразований полное сечение (2.13) и коэффициент усиле ния (2.14) могут быть записаны в виде:

Ze2 m t (i, 1 ) = +1 1 = B(i, 1 ). (2.24) mvi Здесь введены следующие обозначения:

/2 B(i, 1 ) = df sin f H(f,, i, 1 )d, (2.25) 0 1 H(f,, i, 1 ) = 2b1 +2 + b2 b + 1 2a+ 1 2a +(f0 + b2 2 ) 1 + 2 1, (2.26) b2 b+ b b + b± = a± + (1 a± )2, (2.27) a± = 1 (sin f sin i cos ± cos f cos i ) 0, (2.28) f0 = (sin f sin i cos )2 + sin2 i sin2, (2.29) b1 = sin f (sin f sin i cos ), (2.30) b2 = sin f sin i cos. (2.31) В выражениях (2.25)–(2.26) малая величина 1 (2.4) важна при интегрировании по углу вылета конечного электрона когда a± 0.

На рис. 2.1 показана зависимость функции B(i, 1 ) от полярного угла влета 1). Из рисунка видно, что начального электрона для слабого поля (2.20) ( в области полярных углов влета начального электрона 55 i 125 полное сечение положительно (происходит усиление). Это согласуется с хорошо из вестным результатом для линейно поляризованной волны (эффектом Маркуза, описанным в разделе 1.5).

Рис. 2.1. Зависимость полного сечения t (2.14), (2.16) (в единицах (Ze2 /mvi ) ) от полярного угла i влета начального электрона с энергией Ei 2.56кэВ в слабом поле ( = 2 эВ).

На рис. 2.2 представлен результат численного счета полного сечения (2.14), (2.16)–(2.19) в области средних полей (2.21), при следующих значениях пара метров: vi = 101, = 104 (0 = 2.5).

Рис. 2.2. Зависимость полного сечения t (2.14), (2.16) (в единицах (Ze2 /mvi ) ) от полярного угла i влета начального электрона с энергией Ei 2.56кэВ в поле лазера ( = 2 эВ) с напряженностью F = 5.2 · 106 В/см.

Из рисунка видно, что полное сечение положительно в области полярных углов начального электрона 55 i 125 и его максимальная величина (для i = /2) равна t 3 · 103.

Для сильных полей (2.22) в области Бункина-Федорова (когда sin 1, см. (2.9)) аргумент функции Бесселя в подынтегральном выражении (2.16) 0 1. Если же полярные углы близки к нулю и, тогда sin 1 (вектор g лежит в узком конусе вдоль или противоположно направлению распространения волны, — малый угол раскрытия конуса) и квантовый параметр становится мал:

= 0 · |g| 1, 1. (2.32) Данная кинематическая область была детально изучена в работе [77] (см. так же [114]) и определяется рассеянием электрона практически в одной плоско сти, образованной начальным импульсом электрона и направлением распро странения волны. При этом соответствующие азимутальные углы равны (с учетом небольшой размазки):

f = i ± f, f 1/0 1, (2.33) а полярные углы связаны следующим соотношением:

sin i f = ± f, i, = arcsin f 1. (2.34) l Несложно показать, что вклад кинематической области (2.33), (2.34) в полное сечение (2.14), (2.16) мал (см. также [3, 47]). Поэтому для интенсивностей внешнего поля (2.22) основной вклад в полное сечение дает область Бункина Федорова, в которой можно воспользоваться асимптотическим выражением для функции Бесселя, когда |l| 1:

2 Jl2 () cos2 1 l2 2 l · arccos (l/) (2.35) l2 После замены квадраты косинуса в (2.35) его средним значением полное се чение (2.14), (2.16)–(2.19) примет следующий вид:

2Ze t (vi, i ) = 0 mvi /2 1 1 d l·l sin f df +4. (2.36) g+ g fl2 l l 0 Подчеркнем, что значения целочисленного индекса l в сумме (2.36) ограниче ны квантовым параметром Бункина-Федорова, исключая узкую область, когда l 1 2 2 1. (2.37) fl Отметим также, что при интегрировании в (2.36) по углам вылета конечного электрона следует учитывать, что при попадании в кинематическую область (2.32)–(2.34), когда неприменимо выражение (2.35), следует считать полное сечение по точной формуле (2.14), (2.16).


Учитывая (2.36), коэффициент усиления волны (2.13) для интенсивностей (2.22) примет вид:

/2 Z 2 r 1 1 d 64na ne 4 e 3 c µ= l·l sin f df 4 + g4. (2.38) vi g+ fl2 l l 0 Из выражения (2.38) следует хорошо известный результат, что коэффициент усиления (поглощения) электромагнитной волны в пределе сильных полей 1) обратно пропорционален третьей степени напряженности поля (µ ( F 3 ) [3, 47].

На рис. 2.3 и рис. 2.4 представлены результаты численного счета полного сечения (2.36) в области сильного поля (2.22). При этом, были выбраны сле дующие параметры: для рис. 2.3 — vi = 101, = 2 · 103 (сплошная кривая:

= 1эВ, 0 100;

пунктирная кривая: = 2эВ, 0 50);

для рис. 2.4 — vi = = 101 (0 2500). Из этих рисунков видно, что область полярных углов начального электрона, в которой имеет место усиление волны, с ростом интенсивности волны сужается, а относительная величина полного сечения Рис. 2.3. Зависимость полного сечения t (2.36) (в единицах (Ze2 /mvi ) ) от полярного угла i влета начального электрона с энергией Ei 2.56кэВ: сплошная кривая соответствует полю лазера ( = 2эВ) с напряженностью F = 5 · 107 В/см, пунктирная линия — ( = 1эВ), F = 108 В/см.

резко возрастает (так, для = 0.1 имеем 85 i 95 и t 1.4 · 104 ).

При этом, для заданных значений частоты лазера, концентраций электронов и ионов, а также энергии электронов коэффициент усиления зависит лишь от скорости осцилляций электрона в волне и полного сечения:

µ = a · 2 t, (2.39) где a = 8Z 2c ne na (re /vi )3.

(2.40) Рис. 2.4. Зависимость полного сечения t (2.36) (в единицах (Ze2 /mvi ) ) от полярного угла i влета начального электрона с энергией Ei 2.56 кэВ в поле лазера ( = 2 эВ) с напряжен ностью F = 5.2 · 109 В/см.

В выражении (2.39) полное сечение берется в относительных единицах (см.

рис. 2.2 – рис. 2.4). В силу этого, несмотря на значительный рост полного сечения (до семи порядков величины) при увеличении интенсивности волны от 104 вплоть до значений vi, коэффициент усиления (2.39) меняется слабо. Так, для полярного угла i = /2 и интенсивностей волны 1 = и 2 = 101 получим µ2 /µ1 5, т.е. при изменении интенсивности волны на три порядка коэффициент усиления волны возрастает примерно лишь в 5 раз. Подчеркнем, что при дальнейшем увеличении интенсивности волны интервал углов, где полное сечение положительно еще более сужается около i = /2, а пик t начинает резко падать и для vi (случай очень сильного поля) исчезает, переходя в отрицательную область, что согласуется с ранее полученными результатами для очень сильного поля (см. раздел 1.6), когда имеет место только поглощение излучения [3, 47].

2.3 Заключение к главе Таким образом, изучен промежуточный случай интенсивностей полей, удо влетворяющих условиям (2.21), (2.22), когда квантовый параметр многофо тонности Бункина-Федорова 1 0 mvi / 1. Показано, что в данной области интенсивностей в определенном интервале полярных углов началь ного электрона (симметричном относительно угла /2, i (/2 ± i ) ) имеет место усиление электромагнитной волны. Существенно, что с ростом интенсивности волны данный интервал углов сужается (i — уменьшается) и при значениях vi усиление излучения имеет место при влете начальных электронов практически в плоскости поляризации циркулярно поляризованной 1). При этом, полное сечение излучения резко увеличивается, волны (i однако коэффициент усиления волны растет слабо. Практическое использова ние эффекта усиления лазерного излучения возможно для достаточно мощных электронных пучков. Для интенсивностей волны vi (0 mvi /) эффект усиления волны, как и следовало ожидать, пропадает (излучение только по глощается).

ГЛАВА ОБЩАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ УСИЛЕНИЯ СВЕТА ПРИ РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОНА НА ЯДРЕ В ПОЛЕ УМЕРЕННО СИЛЬНОЙ ЦИРКУЛЯРНО ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ВОЛНЫ 3.1 Полное сечение излучения Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z (см.

рис. 1.2) и имеет 4-потенциал в виде:

F (ex cos + · ey sin ), = (t z).

A () = (3.1) Здесь ex = (0, ex ), ey = (0, ey ) — 4-векторы поляризации волн, F, и = ± — напряженность, частота и поляризация волны.

Для релятивистских электронов в области оптических частот ( 1015 с1 )) интенсивность волны (1.2) и параметр многофотонности 0 (1.5) становят ся порядка единицы в полях F 1010 1011 В/см и F 105 106 В/см соответственно.

Будем изучать данную задачу в борновском приближении по взаимодей ствию электронов с полем ядра (1.3) и для интенсивностей внешнего электро магнитного поля (3.1), удовлетворяющих условию:

2 1, (3.2) при этом будем предполагать, что энергия фотона волны мала по сравнению с энергией электрона 1, если vi mvi. (3.3) 1, если Ei m Ei В общем релятивистском случае сечение вынужденного тормозного излучения и поглощения (ВТИП) в поле плоской волны было получено в работе [42] (cм., также [77, 78, 114]) и для циркулярной поляризации внешнего поля (3.1) в области интенсивностей (3.2) имеет вид:

d = dl, (3.4) l= где парциальное дифференциальное сечение рассеяния релятивистского элек трона на ядре Ze с излучением (l 0) и поглощением (l 0) |l| фотонов волны равно:

2 Ze2 (q0 ) m2 + Ei Ef + pi pf · J () · dpf.

dl = (3.5) q4 l |pi | Ef Здесь pi,f = (Ei,f, pi,f ) — 4-импульс электрона в начальном и конечном со стояниях;

q = (q0, q) — переданный 4-импульс, который определяется 4 квазиимпульсом электрона pi,f = Ei,f, pi,f и 4-импульсом фотона внешнего поля k = (, k) следующим выражением:

m pi,f = pi,f + q = pf pi + l · k, k. (3.6) 2 (kpi,f ) Аргумент функции Бесселя Jl () в парциальном сечении (3.5) равен pf pi (ex Qf i )2 + (ey Qf i )2 = m Q2 i, = m Qf i =. (3.7) f (kpf ) (kpi ) Выражение для квантового параметра (3.7) может быть также представлено в виде:

= 0 · |Q| sin, = (k, Q). (3.8) vi Из выражения (3.8) видно, что в кинематической области Бункина-Федорова (когда sin 1) аргумент функции Бесселя 0 (см., также [77, 78]). Вне области Бункина-Федорова полярные углы близки к нулю и. В силу этого sin 1 (вектор Q лежит в узком конусе вдоль или противоположно направлению распространения волны, — малый угол раскрытия конуса) и квантовый параметр становится мал.

Для интенсивностей волны (3.2) закон сохранения энергии (см. аргумент -функции Дирака в (3.5)) может быть представлен в следующем виде:

m2 1 Ef Ei l, (3.9) 2Ei f i i,f = 1 vi cos i,f, vi,f = |pi,f |/Ei,f.

i,f = (k, pi,f ), (3.10) Отметим, что малые поправки к энергии электрона Ei в правой части выра жения (3.9) важны при вычислении полного сечения ВТИП (см. (3.21), (3.22)).

Проводя в выражении (3.5) интегрирование по энергии конечного электрона Ef (3.9), после простых преобразований парциальное дифференциальное се чение ВТИП при рассеянии электрона на ядре в элемент телесного угла d примет следующий вид:

dl mEi l = 2Z 2 re l J (), (3.11) gl2 l p d i где re = e2 /m — классический радиус электрона, а p i [l (cos f cos f + sin f sin i cos ) 1], l = 1 + l + (3.12) Ei gl = 1 + 2 2l (cos f cos i + sin f sin i cos ) + l |pi | |pi | (l cos f cos i ) + +l l, (3.13) Ei 2Ei p |pf | |pi | Ef = 1 l i 2, 1 l + l = = l, l = (3.14) |pi | 2Ei Ei 2Ei 2Ei mEi 1 0 = 2 l = l1 + 0, 1 =,, (3.15) p2 p2 f i i i = f i, i,f = ex, pi,f. (3.16) || Здесь pi,f — проекция импульса pi,f на плоскость (xy). Аргумент функции Бесселя (3.7) в выражении (3.11) может быть представлен в виде:

= 0 fl, (3.17) 1/ 2 l sin f sin i 2l sin f sin i cos fl = +, (3.18) 1 l vi cos f i (1 l vi cos f ) i l = vf /vi = l /l. (3.19) Отметим, что в условиях (3.2), (3.3) квантовый параметр Бункина-Федорова 0 ограничен сверху величиной mvi 0 1. (3.20) Коэффициент усиления электромагнитного излучения определяется следую щим выражением (1.83) [3, 47]:

|pi | c re |pi | µ = 8na ne t = 8na ne t, (3.21) Ei F 2 Ei где ne,a — плотности электронов и ионов, c = 1/m — комптоновская длина волны электрона, = 1/, а полное сечение излучения t :

l · l.

t = (3.22) l= Здесь сумма берется по всем возможным значениям целочисленного индекса l, а парциальное сечение многофотонного ВТИП электрона на ядре равно mEi l l = 2Z 2 re l sin f df J () df. (3.23) gl2 l p i 0 Легко видеть, что парциальное (3.23) и полное (3.22) сечения не зависят от азимутального угла начального электрона i. Действительно, переходя в пар циальном сечении (3.23) при интегрировании по азимутальному углу от f к (3.16) после простых выкладок, получим mEi l l = 4Z 2 re l sin f df J () d, (3.24) gl2 l p i 0 Из выражений (3.21)–(3.22), (3.24) видно, что усиление (поглощение) электро магнитной волны будет иметь место, если полное сечение t 0 (t 0).

Учитывая выражения (3.21) – (3.24), полное сечение ВТИП (3.22) и коэффи циент усиления волны (3.21) могут быть представлены в виде mEi 4Z 2 re t = Di, (3.25) p i 4mEi µ0 = 8Z 2 ni ne2 re, µ = µ0 Di, (3.26) |pi |3 где l· Di = sin f df Ml d, (3.27) l=1 0 l l Ml = l 2 Jl2 (0 fl ) l 2 Jl (0 fl ). (3.28) gl gl В дальнейшем рассмотрим коэффициент усиления волны (3.26)–(3.28) для средних и умеренно сильных интенсивностей электромагнитного поля.

3.2 Коэффициент усиления волны для средних полей В случае средних и слабых полей ((0 1)) интенсивность удовлетворяет следующему условию:

1. (3.29) mvi 3.2.1 Общий релятивистский случай В рамках (3.29) вторым слагаемым (0 ) в выражении (3.15) можно прене бречь по сравнению с первым и l примет вид:

l = l1. (3.30) Отметим, что |l | 0 1 1 для всех значений числа излученных и погло щенных фотонов волны, вносящих существенный вклад в сумму функции Di (3.27). Учитывая это, разложим в ряд Тейлора с точностью до членов третьего порядка по l функции l, l, gl2, Jl2 (0 fl ) в выражении (3.28) (слагаемые, пропорциональные 2 и 3 важны при интегрировании по углам вылета конеч l l ного электрона в малой окрестности особой точки при рассеянии на нулевой угол). После простых выкладок получим:

m2 1 l 1 l 2 l 16 l, (3.31) 2 8Ei p2 p2 p2 1 mpi i i l i 2 l, l 2 a+ 2 (2 a+ ) 2 l 8 (3.32) Ei 2Ei Ei 16Ei |pi | 1 l gl2 2 1 + a+ (cos f cos i ) 4bl bl Ei 3 4m2 |pi | l 1 cos f, (3.33) Ei 8bl bf i cf i fl al l +, (3.34) 2al l 2al Jl2 (0 fl ) Jl2 (0 al ) 0 bf i 0 cf i l Jl (0 al ) [Jl1 (0 al ) Jl+1 (0 al )]. (3.35) 2al l 2al Здесь введены следующие обозначения:

a± = 1 (sin f sin i cos ± cos f cos i ), (3.36) 1 2 m2 |pi | |pi | cos f bl = a+ + l 2 +2 E, (3.37) 8 Ei Ei i 2 m sin2 f, +l al = f0 (3.38) 4 f Ei m sin f sin i cos bf i = sin f, (3.39) f Ei f i 2m 1 m sin2 f.

cf i = (3.40) f Ei 8 f Ei В формуле (3.38) функция f0 определяется выражением fl (3.18) при зна чении l = 0 (l=0 = 1). Подчеркнем, что в выражениях (3.32)–(3.40) в сла гаемых пропорциональных 2 и 3 опущены члены, которые в окрестности l l особой точки малы (при рассеянии конечного электрона на нулевой угол, ко гда f0 0, a+ 0, bf i 0). Учитывая выражения (3.31)–(3.35), вычисление функции Ml (3.28) с точностью до членов третьего порядка по малому па раметру l производится элементарно (при этом будут отличны от нуля лишь слагаемые пропорциональные нечетным степеням l ). В результате выражение для функции Di (3.27) примет следующий вид:

Yf i · d, Di = sin f df (3.41) Ei vi 0 p2 |pi | 2 a+ i2 a+ (cos f cos i ) S Yf i = Ei Ei p p 0 bf i 1 + i2 (1 2 a+ i2 S a+ ) S Ei 2 Ei m |pi | 2 14 cos f S1 + Ei p2 p 2 2 2 3 i i S2 0 cf i S3, + (3.42) 16 Ei Ei l2 2 l2 S1 = J (0 al ), S2 = J (0 al ), b3 l b2 l l l l=1 l= 2l S3 = Jl (0 al ) Jl (0 al ), (3.43) al b l l= l4 2 l4 S1 = J (0 al ), S2 = J (0 al ), b3 l b2 l l l l=1 l= 2l S3 = Jl (0 al ) Jl (0 al ). (3.44) al b l l= В соотношениях (3.43), (3.44) Jl (x) — производная функции Бесселя Jl (x) по аргументу. При вычислении сумм (3.43)–(3.44) будем учитывать, что для средних полей (3.29) аргументы функций Бесселя порядка единицы и суще ственные значения целочисленного параметра l невелики, кроме этого в вы ражениях bl (3.37) и al (3.38) слагаемые, пропорциональные 2 и важные в l малой окрестности особой точки, малы. В силу этого, вычисление сумм будем проводить в два этапа: вдали от особой точки, когда можно положить bl a+, al f0, (|a+ | 1, |f0 | 1) (3.45) и в малой окрестности особой точки, когда |bl | |al | 1, 1, (3.46) а затем сошьем“ эти два решения. Так, например, в областях (3.45) и (3.46) ” для сумм S1, S1 соответственно получим [107]:

(0 f0 ) l2 Jl2 (0 f0 ) S1 3 =, 4a a+ + l= (3.47) (0 f0 ) 1 1 + (0 f0 ) S1 3 l Jl (0 f0 ) = a+ 4a+ l= и (0 a1 )2 (0 a1 ) 12 S1 3 J1 (0 a1 ) S1 3 J1 (0 a1 ),. (3.48) 4b3 4b b1 b 1 Здесь b1 и a1 соответствующие значения функций bl (3.37) и al (3.38) при значении l = 1. Отметим, что в (3.47) суммирование распространено до бес конечности из-за быстрой сходимости сумм, а в (3.48) вследствие малости аргумента функций Бесселя достаточно ограничиться значением целочислен ного параметра l = 1. Решения (3.47) и (3.48) легко сшить“ для всей области ” углов вылета конечного электрона. В результате получим:

(0 a1 )2 (0 a1 )2 1 + (0 a1 )2.

S1 S, (3.49) 4b3 4b1 Поступая аналогично, получим следующие значения для остальных сумм (0 a1 )2 (0 a1 )2 1 + (0 a1 )2, S2 S, (3.50) 4b2 4b2 1 0 0 3 S3 S, 2 1 + 2 (0 a1 ). (3.51) 2b2 2b Подставляя выражения (3.49)–(3.51) в соотношение (3.42), функция Di (3.41) примет вид Ei · Bi, Di = (3.52) 4p2 i где функция Bi равна Bi = sin f df Hmiddle d, (3.53) 0 p2 a2 |pi | 1 i = 2 2 a+ 2 a+ (cos f cos i ) bf i Hmiddle b1 Ei b1 Ei a2 p 2 1 + i2 (1 a+ ) 2 · Gf i, (3.54) b1 Ei a2 m2 |pi | = 13 1 + 0 a2 1 4 cos f Gf i Ei 4b1 2m 1 32 m 1 + 0 a2 sin2 f.

3 (3.55) 4b2 f Ei 2 f Ei Подчеркнем, что в выражении Hmiddle (3.54) функция Gf i (3.55) пропорцио нальная малой величине 2 1 вносит существенный вклад в интеграл (3.53) лишь при интегрировании в окрестности особой точки (при рассеянии элек трона на нулевой угол), где |Gf i | 4 и 2 |Gf i | 2 1. Подставляя 1 полученные выражения (3.52) – (3.55) в формулы (3.25) и (3.26), получим ис комые выражения для полного сечения ВТИП и коэффициента усиления волны для средних и слабых полей (3.29) в общем релятивистском случае:

m Ei Z 2 re t = Bi, (3.56) pi m µ = µ0 Bi. (3.57) |pi | Отметим, что в случае слабых полей (0 1):

1 (3.58) mvi и в выражении (3.55) можно пренебречь слагаемым пропорциональным вели чине (0 a1 )2 1. Тогда функция Gf i примет вид:

a2 m2 |pi | 2m 1 m Gf i = 13 1 4 sin2 f.

cos f 2 3 (3.59) Ei3 f Ei 4b1 4b1 f Ei В силу этого, выражение для функции Bi (3.53)–(3.54), (3.59) не зависит от на пряженности волны, а определяется лишь начальными параметрами электрона (энергией и полярным углом влета) и частотой волны.

Для средних полей (0 1) зависимость функции Bi (3.53)–(3.55) от кван тового параметра Бункина-Федорова 0, который входит лишь в функцию Gf i, слабая. Так как Gf i вносит существенный вклад в интеграл (3.53) лишь в малой окрестности углов при рассеянии электрона на нулевой угол, то здесь |a1 | 1. Следовательно, лишь на верхней границе применимости данных 1 (но 0 1), произведение 0 a2 может быть не выражений, когда 0 мало в некоторой области углов малой окрестности особой точки и оказы вать влияние на значение функции Bi. В силу этого, в области средних полей (3.29) в общем релятивистском случае полное сечение ВТИП (3.56) пропор ционально квадрату напряженности электрического поля волны t F 2, а коэффициент усиления (ослабления) волны (3.57) практически не зависит от напряженности. Из выражений (3.53) – (3.55) следует, что функция Bi сла бо зависит от энергии электронов (это подтверждают и результаты численного счета Bi для различных скоростей электронов, см. рис. 3.1 – рис. 3.3). Поэтому основная зависимость коэффициента усиления волны от энергии электронов определяется коэффициентом перед функцией Bi (см. (3.57)), т.е.

vi 1, если vi 3 m µ (3.60) если Ei m 1, |pi | (m/Ei ) 1, если Ei m Следовательно, максимальный коэффициент усиления волны будет для нереля тивистских электронов. С ростом энергии электронов он быстро уменьшается.

3.2.2 Случай нерелятивистских энергий электрона Для нерелятивистских энергий электрона выражения для полного сечения (3.56) и коэффициента усиления волны (3.57) принимают более простой вид:

Ze2 m t = Bi, (3.61) mvi µ = µ0 vi Bi. (3.62) Легко показать, что в дипольном приближении функция Bi (3.53) становится симметричной по полярному углу влета начального электрона относительно угла i = /2 и принимает следующую форму:

/2 df sin f · H0 · d, Bi = (3.63) 0 1 2a+ 1 2a 1 H0 = a2 1 + 2 1 2bf i + b2 b b+ b b b + + 2 32 1 1 a2 1 + 0 a2 3 + b 1 4 4 b+ 32 1 sin2 f 1 + 0 a2 +2. (3.64) b 2 b + 2 1 b± = a± + 2, + 1 sin f, a1 = f0 1 = 2, (3.65) 81 4 mvi f0 = (sin f sin i cos )2 + sin2 i sin2, (3.66) bf i = sin f (sin f sin i cos ).

В выражении (3.65) величины a± определяются соотношением (3.36). Отме тим, что уравнения (3.61)–(3.66) совпадают с соответствующими выражения ми (2.25)–(2.31), полученными в дипольном приближении для случая слабого поля, если 0 1.

На рис. 3.1 представлены зависимости коэффициента усиления (ослабле ния) волны от полярного угла влета нерелятивистских электронов (vi = 0.1) в области средних полей (3.29) ( = 2 · 105, 0 = 0.5) вне рамок диполь ного приближения (см. выражения (3.62), (3.53)–(3.55)) и в дипольном при ближении (см. выражения (3.62), (3.63)–(3.66)). Из рисунка видно, что учет недипольности взаимодействия электрона с полем волны приводит к тому, что зависимость коэффициента усиления от полярного угла влета электрона становится несимметричной относительно максимума распределения, поло жение которого сдвигается влево (90 84 ). Характерно, что максимальное значение коэффициента усиления волны определяется углом влета начального электрона, удовлетворяющим соотношению max arccos vi.

i = max, (3.67) При этом, усиление электромагнитного излучения имеет место в интервале углов начального электрона 53 i 115. Вне этого интервала для средних полей волна поглощается.

Рис. 3.1. Зависимость коэффициента усиления µ(3.62) от полярного угла влета нерелятивист ского электрона с энергией Ei 2.5 кэВ в среднем поле лазера: = 2 эВ, F = 1.04 · 106 В/см.

Пунктирная кривая соответствует дипольному приближению (см. (3.63) – (3.66)), сплошная кривая получена вне рамок применимости дипольного приближения (см. (3.53) – (3.55)). Об ласть полярных углов, где µ 0 (µ 0) соответствует усилению (ослаблению) света.

На рис. 3.2 представлен коэффициент усиления волны (3.57), (3.53)–(3.55) от полярного угла влета релятивистских электронов (vi = 0.5;

vi = 0.7) для интенсивности волны = 2 · 105 (0 2.5;

0 3.5). Из рисунка видно, что с ростом энергии электронов максимальное значение коэффициента усиления резко уменьшается (см. (3.60)). Так сравнение µmax для скоростей электронов vi = 0.1 (рис. 3.1) и vi = 0.5 (рис. 3.2) показывает, что коэффициент усиления Рис. 3.2. Зависимость коэффициента усиления µ (3.57), (3.53) – (3.55) от полярного угла влета релятивистского электрона в среднем поле лазера: = 2эВ, F = 1.04 · 106 В/см. Пунктирная кривая соответствует энергии электрона Ei 0.58 МэВ, сплошная кривая — Ei 0.70 МэВ.

Область полярных углов, где µ 0 (µ 0) соответствует усилению (ослаблению) света.

волны уменьшается почти на два порядка величины. При этом, положение µmax сдвигается в сторону меньших углов (см. выражение (3.67)), а интервал углов, в котором имеет место эффект усиления волны становится уже. Так для vi = 0.5: max 55, 38 i 84 ;

для vi = 0.7: max 46, 30 i 54.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.