авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ НАН УКРАИНЫ На правах рукописи Цыбульник Владислав Александрович ...»

-- [ Страница 2 ] --

При дальнейшем увеличении энергии электронов положение µmax сдвигается к началу координат (см. (3.67)), интервал углов, в котором имеет место уси ление волны все более сужается, а абсолютное значение µmax резко падает.

Следовательно, эффект усиления волны, в основном, будет проявляться для нерелятивистских и релятивистских энергий электронов (для ультрареляти вистских энергий он становится мал).

Проведем усреднение коэффициента усиления по углам влета начальных электронов. Будем предполагать, что распределение электронов по скоростям изотропно (d/4 — вероятность влета электрона в телесный угол в интервале от до + d ). Так как µ (3.57) не зависит от азимутального угла i, то среднее значение коэффициент усиления будет определяться следующим выражением:

1 m µ = µ Bi sin i di. (3.68) |pi | Здесь Bi определяется соотношением (3.53). Расчет показывает, что коэффи циент усиления, усредненный по изотропному распределению электронов по скоростям, как и в случае линейной поляризации волны, становится отрица тельным (эффект усиления исчезает). Так, например, для нерелятивистских электронов (vi = 0.1) в области средних полей (0 = 0.5, = 2эВ) полу чим µ = 8.8 · 103 µ0. Следовательно, эффект усиления есть специфическая особенность направленного движения электронов.

3.3 Коэффициент усиления волны для умеренно сильных полей 1 ), когда Теперь рассмотрим случай умеренно сильного поля (1 интенсивность волны удовлетворяет условию vi, если vi. (3.69) mvi 1, если E m i В рамках (3.69) |l | 1 для всех возможных значений числа излученных и поглощенных фотонов, вносящих основной вклад в сумму (3.27). Поэто му можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора по малому параметру |l | функций l, l, gl2, fl в выражении (3.28) (см. (3.31) – (3.34)), ограни чившись первым порядком малости. При этом разложение функций Бесселя (3.35) в данном случае несправедливо. Для умеренно сильных полей (3.69) аргумент функции Бесселя велик по сравнению с |l| везде, за исключением малой окрестности углов вылета конечного электрона, для которых |l| f0 (3.70) В областях углов вылета конечного электрона, где |l| f0 (3.71) для функций Бесселя в (3.28) можно использовать асимптотическое выражение при больших значениях аргумента:

2 1 bf i Jl2 (0 fl ) cos2 0 fl l 1 + l. (3.72) 0 fl 2 4 0 f0 2f Здесь учтено усреднение квадрата косинуса по быстрым осцилляциям в инте грале (3.27), (3.28) и разложение функции fl (3.34).

Для малой области углов рассеяния конечного электрона, когда f0 (f0 0 1) асимптотическое выражение для квадрата функции Бесселя (3.72) несправедливо. Это имеет место в малой окрестности при рассеянии элек трона на нулевой угол и вне кинематической области Бункина-Федорова (см.

текст после формулы (3.8)). Последняя кинематическая область была детально изучена в работе [77] (см., также [78]) и определяется рассеянием электрона практически в одной плоскости, образованной начальным импульсом элек трона и направлением распространения волны. При этом соответствующие азимутальные углы равны (с учетом небольшой размазки) f = i ± f, f 1/0 1 (3.73) а полярные углы связаны следующим соотношением:

(Ei |pi |) i tan f = i ± f, i = 2 arctan, f 1 (3.74) (Ei + |pi |) 2 В силу этого, при интегрировании по углам вылета конечного электрона, где f0 0 1 расчет коэффициента усиления волны необходимо проводить по формуле для средних полей (3.57), (3.53)–(3.55). Из выражения (3.74) следует, что каждому углу влета начального электрона соответствует некоторый угол вылета и лишь при выполнении условия (3.67) получим f = i ±f, т.е. угол вылета конечного электрона лежит в малой окрестности рассеяния на нулевой угол.

Учитывая выражения для функций l, l, gl2 (3.31)–(3.33) и квадрата функ ций Бесселя (3.72), выражение для Di (3.27) после простых выкладок (оставляя слагаемые до первого порядка по малому параметру l ) примет вид:

31 Hstrong Di = sin f df S d. (3.75) 80 f 0 Здесь обозначено:

f0 [f0 0 ] l2 l2 dl (f0 0 ) S= (3.76) l=1 p2 |pi | 4 bf i 2m i Hstrong = 2 a+ (cos f cos i ) f0 f 3a2 Ei2 Ei a+ 2 Ei + (3.77) В выражении (3.76) [f0 0 ] — целая часть величины (f0 0 ). Окончательно вы ражение для полного сечения и коэффициента усиления (ослабления) волны принимают вид, соответственно (3.56) и (3.57), в которых функция Hstrong, f0 0 Bi = sin f df Hd, H =. (3.78) middle, f0 0 H 0 Здесь выражения для функций Hstrong и Hmiddle даются соотношениями (3.77) и (3.54), соответственно. Отметим, что полученное в области умеренно сильных полей выражение для коэффициента усиления (см. формулы (3.57), (3.78)) при 0 1 переходит в формулу для средних полей (3.57), (3.53), т.е. описывает коэффициент усиления волны во всей области изменения интенсивности поля vi.

На рис. 3.3 и рис. 3.4 показана зависимость коэффициента усиления волны (3.57), (3.78) от полярного угла влета нерелятивистских (vi = 0.1) и реляти вистских (vi = 0.5) электронов, соответственно, в области умеренно сильного поля для различных интенсивностей волны (на рис. 3.3 кривая 1 соответству ет интенсивности = 2 · 103, 0 50;

кривая 2 — = 102, 0 250;

кривая 3 — = 5 · 102, 0 1250;

на рис. 3.4 пунктирная с точками кривая соответствует = 102, 0 1250;

сплошная кривая отвечает = 5 · 102, 0 6250;

пунктирные кривые соответствуют среднему полю). Из рисунков видно, что положение максимума коэффициента усиления не зависит от ин тенсивности волны и определяется соотношением (3.67). При этом, интервал углов, в котором имеет место усиление волны, сужается, и абсолютная величи на µ достаточно медленно падает. Так, из рис. 3.3 видно, что при увеличении интенсивности поля от значений = 2 · 105 до = 102 интервал углов, где µ 0 меняется от 53 i 115 до 63 i 105, а максимальный коэффициент усиления от величины µmax µ0 41 · 103 до µmax µ0 17 · 103.

Таким образом, при увеличении интенсивности поля почти на три порядка ве личины, µmax уменьшается лишь в 2.4 раза. При этом, полное сечение растет достаточно быстро как 2 (см. (3.61)). При дальнейшем увеличении интенсив ности поля область, где µ 0 все более уменьшается и при интенсивностях Рис. 3.3. Зависимость коэффициента усиления µ(3.62), (3.78) от полярного угла влета нере лятивистского электрона с энергией Ei 2.5 кэВ в умеренно сильном поле лазера ( = 2эВ).

Кривая 1 соответствует напряженности поля F = 1.04·108 В/см, кривая 2 — F = 5.20·108 В/см, кривая 3 — F = 2.60·109 В/см, пунктирная линия отвечает среднему полю (F = 1.04·106 В/см, см. (3.53) - (3.55)). Область полярных углов, где µ 0 (µ 0) соответствует усилению (ослаб лению) света.

Рис. 3.4. Зависимость коэффициента усиления µ (3.57), (3.78) от полярного угла влета реля тивистского электрона с энергией Ei 0.58МэВ в умеренно сильном поле лазера ( = 2эВ).

Пунктирная с точками линия соответствует напряженности поля F = 5.20·108 В/см, сплошная кривая — F = 2.60 · 109 В/см, пунктирная линия отвечает среднему полю (F = 1.04 · 106 В/см, см. (3.53)–(3.55)). Область полярных углов, где µ 0 (µ 0) соответствует усилению (ослаб лению) света.

vi коэффициент усиления становится отрицательным для всех возмож ных полярных углов начального электрона, т.е. эффект усиления волны, как и следовало ожидать, пропадает (излучение только поглощается).

Учитывая выражение (3.67), можно записать приближенное выражение для максимального коэффициента усиления волны как функции скорости электро нов:

m µmax = µ0 Bi max, (3.79) |pi | Bi max Bi |i =arccos vi. (3.80) Здесь выражение для функции Bi дается формулой (3.53) для средних полей и (3.78) для умеренно сильных полей при значении угла влета начального электрона (3.67).

На рис. 3.5 показана зависимость максимального коэффициента усиления волны µmax (3.79) от скорости начального электрона для средних и умеренно сильных полей. Из рисунка видно, что µmax принимает наибольшие значения для нерелятивистских электронов и резко убывает с увеличением скорости электронов (см. (3.60)).

На рис. 3.6 показана зависимость максимального значения функции Bi (3.80) от интенсивности поля лазера. Сплошная линия соответствует нереля тивистскому электрону vi = 0.1, пунктирная линия — релятивистскому элек трону vi = 0.5. Обнаружено, что в области средних полей функция Bi max, а следовательно и максимальный коэффициент усиления µmax, принимает наи большее значение и меняется слабо, а в области умеренно сильных полей с усилением внешнего поля монотонно убывает.

Рис. 3.5. Зависимость максимального коэффициента усиления µmax (3.79) от скорости началь ного электрона для среднего и умеренно сильного поля лазера ( = 2 эВ). Пунктирная линия соответствует напряженности F = 1.04 · 106 В/см, сплошная кривая — F = 5.20 · 108 В/см.

Рис. 3.6. Зависимость функции Bi max (3.80) от интенсивности поля лазера ( = 2 эВ).

Пунктирная линия соответствует энергии электрона Ei 0.58 МэВ, сплошная — Ei 2.5 кэВ.

Проведем оценки максимального коэффициента усиления для нереляти вистских электронов в области средних полей. Важно подчеркнуть, что при данных концентрациях электронного пучка и рассеивательных центров, имеет ся сильная зависимость коэффициента усиления от частоты волны и скорости начального электрона. Так зависимость от частоты, в основном, определяется коэффициентом µ0 (3.26) (коэффициент усиления в единицах µ0 от частоты зависит слабо как видно из рис. 3.7), т.е. обратно пропорциональна квадрату частоты (µ 2 ), а зависимость от скорости по порядку величины имеет вид µ vi. Поэтому максимальный коэффициент усиления будет тем больше, чем меньше частота волны и начальная скорость электрона, при этом энергия фотона должна быть много меньше кинетической энергии начального элек 1).

трона ( Так, например, для скорости начального электрона vi = 0.1 c, концентра ций ne = 3 · 1011 см3 и na = 1019 см3, Z = 1 коэффициент усиления может быть не мал (µmax 0.1 см1 ) только для низких частот = 3 · 1010 с1.

При этом, пучок электронов должен иметь диаметр d = 2/ 6 см, что может быть достаточно сложно осуществимо при приведенных значени ях ne и vi (кинетическая энергия электронов Ei 2.5 кэВ, плотность тока j 150 А/см2, а полный ток I 4.5 А). С увеличением частоты волны ко эффициент усиления быстро уменьшается. Малость коэффициента усиления при больших частотах обусловлена, в частности, тем, что в пучке невозможно получить очень высокую концентрацию электронов (предельный ток пучка в вакууме Ilim 13 А [106]). В работе [82] был предложен механизм увеличе ния электронного тока I Ilim за счет использования неравновесной плазмы с дрейфом электронов, обусловленным внешним статическим электрическим Рис. 3.7. Зависимость коэффициента усиления µ (3.57), (3.53) – (3.55) от полярного угла вылета нерелятивистского электрона с энергией Ei 2.5кэВ в электромагнитном поле средней интенсивности 0 0.5: пунктирная линия соответствует полю лазера = 2эВ, сплошная кривая соответствует полю мазера = 2 · 102 эВ. Область полярных углов, где µ 0 (µ 0) соответствует усилению (ослаблению) света.

полем. В этом случае, описанный выше механизм электрон-ионного рассея ния может приводить к достаточно большому коэффициенту усиления даже в области больших частот. Однако, в этом случае возникают трудности прин ципиального характера. Известно, что в плазме с дрейфом могут возникать сильные неустойчивости [83], в том числе и такие, которые не связаны с электрон-ионными столкновениями — бесстолкновительные неустойчивости.

С этой точки зрения описанный выше эффект усиления поля при рассея нии электронов на ионах соответствует некоторому виду столкновительной неустойчивости в неравновесной неизотропной электрон-ионной плазме. Как правило, бесстолкновительные неустойчивости в плазме с дрейфом могут мас кировать описанный выше эффект усиления поля за счет столкновений.

Кубическая зависимость коэффициента усиления от обратной скорости на чального электрона, подсказывает еще одну возможность его увеличения за счет уменьшения энергии электронного пучка. Однако, в силу борновского приближения (1.3) построенной теории, скорости электронов ограничены сни зу условием (1.4) и для учета меньших скоростей требуется выход за рамки борновского приближения, что само по себе представляет весьма нетривиаль ную задачу.

Как бы то ни было, независимо от возможностей практического использова ния с общефизической точки зрения экспериментальное наблюдение эффекта усиления волны представляет несомненный интерес и, можно надеяться, рано или поздно будет осуществлено.

3.4 Заключение к главе Таким образом, изучен эффект усиления волны в процессе рассеяния ре лятивистского электрона на ядре в поле циркулярно поляризованной световой волны слабой, средней и умеренно сильной интенсивности. Полученные ре зультаты дополняют известные работы по расчету коэффициента усиления (ослабления) линейно поляризованной электромагнитной волны в двух пре дельных случаях: для слабого и сильного поля.

В результате проведенного исследования было получено:

1. Эффект усиления циркулярно поляризованной электромагнитной волны имеет место в определенной области углов влета начального электрона относительно направления распространения волны и существенно зави сит от энергии электронов и интенсивности поля.

2. Максимальное усиление лазерного поля имеет место для нерелятивист ских электронов в области средних полей (3.29). В этом случае кривая зависимости коэффициента усиления волны от полярного угла влета на чального электрона имеет четко выраженный максимум, положение ко торого приближенно определяется соотношением (3.67), и наибольший интервал углов, в котором µ 0.

3. С увеличением энергии электронов при данной интенсивности поля по ложение пика µmax сдвигается в сторону меньших углов (для нереляти вистских электронов max 84, а для ультрарелятивистских электронов max 0 ), а его величина уменьшается (m/|pi |)3.

4. С ростом интенсивности поля при данной энергии электронов положение пика µmax практически не меняется, однако уменьшается его абсолютное значение, а интервал углов, где µ 0, становится уже. При этом, данное сужение интервала углов и уменьшение µmax происходит достаточно мед ленно (при увеличении интенсивности поля на порядки величины, µmax уменьшается всего в несколько раз).

5. Для больших интенсивностей поля, когда vi эффект усиления волны, как и следовало ожидать, пропадает (излучение только поглощается).

6. Практическое использование эффекта усиления лазерного излучения воз можно для достаточно мощных электронных пучков.

ГЛАВА НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ УСИЛЕНИЯ СВЕТА ПРИ РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОНА НА ЯДРЕ В ДРУХМОДОВОМ ЛАЗЕРНОМ ПОЛЕ 4.1 Полное сечение излучения Выберем 4-потенциал внешнего поля в виде суммы двух циркулярно поля ризованных электромагнитных волн, распространяющихся вдоль оси z:

A = A1 (1 ) + A2 (2 ), (4.1) где Fj j = j (t z), Aj (j ) = (ex cos j + j ey sin j ), j = 1, 2. (4.2) j Здесь ex = (0, ex ), ey = (0, ey ) — 4-векторы поляризации волн, Fj и j — напряженность и частота волн, а j — поляризация волны. Для циркулярной поляризации j = ±1. В дальнейшем без потери общности можно положить 1 = +1, 2 = = ±1.

Будем изучать рассеяние нерелятивистских электронов на ядре (Ze) в поле (4.1) в дипольном приближении, когда 1,2 = 1,2 t (см. (4.2)), при условии, что скорости осцилляций электрона в поле первой и второй волн vF = j (1.2) много меньше скорости поступательного движения начального электрона vi :

eF1, 1,2 = vi 1. (4.3) m1, Здесь e и m — заряд и масса электрона. В этом случае закон сохранения энергии (в дипольном приближении) в парциальном процессе с излучением (l 0, 0) или поглощением (l 0, s 0) электроном |l| фотонов первой волны и |s| фотонов второй волны будет иметь вид [77]:

p2 p f i + l1 + s2 = 0, (4.4) 2m 2m где pi,f — импульс электрона до и после рассеяния. В дальнейшем будем предполагать, что частоты обеих волн не близки и энергия фотонов много меньше кинетической энергии электрона 21,2 |1 | 1, 1, =. (4.5) mvi В борновском приближении по взаимодействию электрона с полем ядра (1.3), в общем релятивистском случае сечение вынужденного тормозного излучения и поглощения при рассеянии электрона на ядре в поле двух волн (произвольных интенсивностей и эллиптических поляризаций) было получено в работе [77] (см. также [114]). Было показано, что данный процесс может протекать в двух существенно разных кинематических областях: неинтерференционной, в которой основными параметрами многофотонности являются квантовые пара метры Бункина-Федорова (см. (4.10)) и интерференционной, где роль парамет ров многофотонности выполняют квантовые интерференционные параметры и имеют место процессы коррелированного излучения и поглощения элек троном фотонов обеих волн. Важно подчеркнуть, что кинематически данные области отделены друг от друга. Неинтерференционная область определяет ся рассеянием электрона практически под любыми углами, за исключением плоскости, образованной начальным импульсом электрона и направлением распространения обеих волн.

В нерелятивистском приближении для циркулярных поляризаций и интен сивностей волн (4.3) дифференциальное сечение ВТИП при рассеянии элек трона на ядре в телесный угол d имеет вид (см. раздел 1.3):

d = dls, (4.6) l= s= где парциальное дифференциальное сечение ВТИП с излучением (поглощени ем) электроном |l| фотонов первой волны и |s| фотонов второй волны равно 4Z 2 re ls dls = Jl (1ls ) Js (2ls ). (4.7) 4 g d vi ls Здесь re = e2 m — классический радиус электрона, Jk (x) — функции Бесселя целочисленного порядка, а |pf | pi,f gls = ls nf ni, = 1 ls, ni,f =, ls = (4.8) |pi,f | |pi | ls = (l + s) 1, 1 = 2, (4.9) mvi mvi (ex gls )2 + (ey gls )2 = 0j fls, jls = 0j 0j = j, j = 1, 2, (4.10) j 2 sin2 f + sin2 i 2ls sin f sin i cos, fls = (4.11) ls = f i, i,f = ex, pi,f (4.12) || В выражении (4.12) pi,f — проекция импульса pi,f на плоскость (xy). Отметим, что 0j в (4.10) — известный квантовый параметр многофотонности Бункина Федорова (1.5). Подчеркнем, что для нерелятивистских электронов (vi 101 ) в области оптических частот (1,2 1015 с1 ) квантовые параметры Бункина Федорова 0j 1 в поляхF1,2 106 107 В/см.

Выражение для квантовых параметров Бункина-Федорова (4.10) можно представить в другом виде, раскладывая вектор gls по координатным осям:

jls = 0j · |gls | sin 0, 0 = (ez, gls ), (4.13) где 1 + 2 2ls [cos f cos i + sin f sin i cos ].

|gls | = (4.14) ls Отметим также, что в области Бункина-Федорова (0 1, неинтерференцион ная область) основными параметрами многофотонности являются квантовые параметры 0j :

jls 0j, j = 1, 2 (4.15) В интерференционной области аргументы функций Бесселя в (4.7) jls (4.13) в силу особой кинематики становятся малыми по сравнению с соответствую щими параметрами Бункина-Федорова. Это имеет место, если вектор gls (4.8) лежит в узком конусе вдоль или противоположно направлению распростране ния обеих волн (полярные углы 0 близки к нулю или, sin 0 0 1). В этом случае получим jls = 0j · |gls | 0 0j (4.16) Интерференционная область жестко выделена и определяется рассеянием элек трона практически в одной плоскости, образованной начальным импульсом электрона и направлением распространения обеих волн (см. радел 1.3). При этом соответствующие азимутальные углы равны (с учетом небольшой раз мазки f ) f = i ± f, f 1, (4.17) а полярные углы связаны следующим соотношением:

f = ± f, i, f 1. (4.18) Коэффициент усиления электромагнитного излучения для случая двух волн (см. раздел. 1.4):

1 vi e1 re vi µ = 8na ne 2 t = 8na ne t, (4.19) (1 ± 2 ) (F1 ± F2 ) где ne,a — плотности электронов и ионов в плазме, e = 1/m — комптоновская длина волны электрона, 1 = 1/1, а полное сечение излучения:

(l + s) · ls.

t = (4.20) l= s= Здесь суммы берутся по всем возможным значениям целочисленных индексов l и s, парциальное сечение многофотонного вынужденного излучения и погло щения при рассеянии электрона на ядре в случае циркулярно поляризованных волн равно:

4Z 2 re df Jl2 (1ls ) Js (2ls ) ls = ls sin f df 4. (4.21) vi gls 0 Отметим, что знак ± в знаменателе выражения (4.19) соответствует макси мальной и минимальной интенсивности электромагнитного излучения на гра нице (z = 0). При этом, будем предполагать, что минимальная интенсивность на границе не равна нулю.

Легко видеть, что парциальное сечение (4.21) не зависит от азимутального угла начального электрона i. Действительно, переходя в парциальном сече нии (4.21) при интегрировании по азимутальному углу от f к (4.11) после простых выкладок получим:

8Z 2 re ls 2 ls = sin f df Gls d, Gls = 4 Jl (1ls ) Js (2ls ). (4.22) vi gls 0 Учитывая это, полное сечение (4.20) и коэффициент усиления поля (4.19) могут быть представлены в следующем виде:

8Z 2 re t = 4 Di, (4.23) vi µ0 = 8Z 2 ni ne2 re, 1 µ = µ0 Di, (4.24) mvi (1 ± 2 ) где M · d, Di = sin f df (4.25) 0 M= (Mls + Ml,s ) + Ml,0 + M0,s, (4.26) l=1 s=1 s= l= Mls = (l + s) (Gls Gl,s ). (4.27) Отметим, что коэффициент µ0 (4.24) мы определили через длину первой волны 1. Последовательно рассмотрим следующие области интенсивностей поля:

средние и слабые;

когда одно поле — умеренно сильное, а второе — среднее и, наконец, если оба поля — умеренно сильные.

4.2 Коэффициент усиления поля в области средних полей В области средних и слабых полей (01 1, 02 1) интенсивности удовле творяют следующим условиям:

1 1 1 2 1. (4.28) mvi mvi Здесь величина |ls | 1 1 для всех значений чисел излученных и погло щенных фотонов обеих волн, вносящих существенный вклад в суммы (4.26).

Учитывая это, разложим в ряд Тейлора с точностью до членов первого поряд ка по ls функцию ls (4.8) и второго порядка по ls функции gls (4.14) и fls (4.11) в выражении (4.22) (слагаемые, пропорциональные 2 важны при инте ls грировании по углам вылета конечного электрона в малой окрестности особой точки при рассеянии на нулевой угол). Так, например, разложения функций Бесселя будут иметь следующий вид:

0j bf i 2 Jk (jls ) Js (j ) ls Jk (j ) Jk (j ), j = 1, 2;

k = l, s. (4.29) als Здесь Jk (j ) — производная функции Бесселя Jk (j ) по аргументу, а также обозначено (l + s)2 2 bf i = sin f (sin f sin i cos ), als = f0 + 1 sin f, (4.30) 1 = 01 f0, 2 = 02 f0, (4.31) (sin f sin i cos )2 + sin2 i sin f0 = (4.32) Отметим, что функция f0 (4.32) определяется выражением fls (4.11) при значе ниях l = s = 0. В результате после простых выкладок выражение для функций Gls (4.22) примет следующий вид:

1 1 2a+ Jl2 (1 ) · Js (2 ) + ls 1 Jl2 (1 ) Js (2 ) Gls = 4b+,ls 2 b+.ls 2bf i 02 Jl2 (1 ) Js (2 ) Js (2 ) + 01 Js (2 ) Jl (1 ) Jl (1 ). (4.33) als где b±,ls = a± + (l + s)2 2, a± = 1 (sin f sin i cos ± cos f cos i ). (4.34) Подчеркнем также, что в выражении (4.33) в слагаемых пропорциональных 2 опущены члены, которые в окрестности особой точки малы (при рассея ls нии конечного электрона на нулевой угол, когда f0 0, a+ 0, bf i 0).

Учитывая соотношение (4.33), выражение для функций Mls (4.27) будет про порционально первой степени 1 :

(l + s)2 2a+ 1 Jl2 (1 ) Js (2 ) Mls = 1 4b+,ls b+,ls 2bf i 02 Jl2 (1 ) Js (2 ) Js (2 ) + 01 Js (2 ) Jl (1 ) Jl (1 ). (4.35) als При вычислении сумм (4.26) будем учитывать, что для средних полей аргу менты функций Бесселя порядка единицы и существенные значения целочис ленных параметров l и sневелики, кроме этого в выражениях b±,ls (4.34) и als (4.30) слагаемые, пропорциональные 2 и важные в малой окрестности осо ls бой точки, малы. В силу этого, вычисление сумм будем проводить в два этапа:

вдали от особой точки, когда можно положить b+,ls a+, als f0, (|a+ | 1, | f0 | 1) (4.36) и в малой окрестности особой точки, когда |b+,ls | |als | 1, 1, (4.37) а затем сошьем“ эти два решения. После простых выкладок выражение для ” функции Di (4.25) примет следующий вид:

/2 m Di = Bi, Bi = sin f df Hmidlle d, (4.38) 0 где 2 Hmiddle = 1 · G10 (2 ) + 2 · G01 (1 ) + (G+ + G ). (4.39) Здесь обозначено 1 2a+ 1 2a 2 1 + 2 1 J0 (2 ) G10 (2 ) = f b2 b+,10 b,10 b, +, f0 1 1 2bf i J0 (2 ) 2 (2 ), + (4.40) b2 b a10, +, 1 2a+ 1 2a 1 + 1 G± = f b2 b b+,1±1 b,1±,1± +,1± f0 1 1 2 2bf i 1 (2 ) + 2 (1 ) ± 41 2 (1 )(2 ) + + b2 b a1±1,1± +,1± 1 ± 1 2 [(1 )(2 ) + (2 )(1 )] +2 + b2 b,1± +,1± f0 2 bf i 1 2 (2 ) + 2 1 (1 ) (4.41) a1± В формуле (4.39) выражение для функции G01 (1 ) получается из G10 (2 ) (4.40) переобозначением: b±,10 b±,01, a10 a01, 2 1. В выражениях (4.40), (4.41) функции b±,ls (4.34) и als (4.30) взяты при соответствующих значениях целочисленных индексов l = 0, ±1, s = 0, ±1, а также введены следующие обозначения:

(z) = 1 J0 (z), (z) = J0 (z)J1 (z), (4.42) 2 (z) = z J0 (z) + J1 (z) (z). (4.43) В интеграле Bi (4.38) учтено, что функция Di (4.25) симметрична по поляр ному углу влета начального электрона относительно угла i = /2 (интегри рование по полярному углу вылета конечного электрона f [0, ] в функции Di заменено интегрированием в Bi по области f [0, /2], в результате чего введены функции b±,ls (4.34)).

Учитывая выражение для функции Di (4.38), полное сечение t (4.23) и коэффициент усиления поля µ (4.24) будут равны:

m t = Z 2 re Bi, (4.44) vi µ = µ0 Bi. (4.45) vi (1 ± 2 ) Здесь функция Bi определяется выражениями (4.38)–(4.39). Отметим, что при выключении одной из волн, например, второй (2 = 0) выражения (4.44), (4.45), (4.38) переходят в соответствующие формулы для полного сечения и коэффициента усиления в поле одной циркулярно поляризованной волны в первом приближении по ls (3.57), (3.53).

На рис. 4.1 представлены зависимости коэффициента усиления (4.45) от по лярного угла влета нерелятивистских электронов (vi = 0.1) в области средних полей (4.28) (1 = 2 · 105, 01 0.50;

2 = 4 · 105, 02 0.67). Из рисун ка видно, что максимальное значение коэффициента усиления определяется Рис. 4.1. Зависимость коэффициента усиления µ (4.45), (4.38), (4.39) от полярного угла влета нерелятивистского электрона с энергией Ei 2.5 кэВ в двухмодовом поле лазера: 1 = 2эВ, F1 = 1.04 · 106 В/см;

2 = 3эВ, F2 = 3.11 · 106 В/см. Кривые 1 и 2 соответствуют максимальной и минимальной интенсивностям поля на границе z = 0, соответственно (знаки в формуле (4.45)). Пунктирная кривая соответствует случаю одной волны: 1 = 2 эВ, F1 = 1.04·106 В/см.

Область полярных углов, где µ 0 (µ 0) соответствует усилению (ослаблению) света.

углом влета начального электрона в плоскости поляризации (i = 90 ) и уси ление электромагнитного поля имеет место в интервале углов 57 i 123.

Вне этого интервала для средних полей волна поглощается. В зависимости от интенсивности поля на границе (z = 0) коэффициент усиления заключен меж ду кривыми 1 и 2. Пунктирная линия отвечает случаю одной волны. Важно подчеркнуть, что интервал углов, в котором µ 0, остается одним и тем же для одной и двух волн.

4.3 Коэффициент усиления поля в промежуточной области Рассмотрим случай, когда одна волна является умеренно сильной ( 1 ), а вторая имеет среднюю интенсивность ( 01 1). Здесь интенсив ности волн удовлетворяют следующим условиям:

1 1 vi, 2. (4.46) mvi mvi В рамках (4.46) |ls | 1 для всех возможных значений чисел излученных и поглощенных фотонов, вносящих основной вклад в суммы (4.26). Поэтому можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора по малому параметру ls функций ls (4.8), gls (4.14) и fls (4.11) в выражении Gls (4.22), ограничившись первым порядком малости. При этом, разложение функций Бесселя (4.29) для первой волны в данном случае несправедливо. Для умеренно сильных полей первой волны (4.46) аргумент функции Бесселя 1 велик по сравнению с l везде, за исключением малой окрестности углов вылета конечного электрона, для которых l f0 (4.47) В областях углов вылета конечного электрона, где l f0 (4.48) для функций Бесселя в (4.22) можно использовать асимптотическое выражение при больших значениях аргумента:

2 1 bf i Jl2 (01 fls ) cos2 01 fls l 1 + ls (4.49) 01 fls 2 4 01 f0 2f Здесь учтено усреднение квадрата косинуса по быстрым осцилляциям в ин теграле (4.25) и разложение функции fls. Для малой области углов рассеяния конечного электрона, когда f0 1 (f0 01 1) асимптотическое выражение для квадрата функции Бесселя (4.49) несправедливо. Это имеет место в ма лой окрестности при рассеянии электрона на нулевой угол и вне кинемати ческой области Бункина-Федорова (см. текст после формулы (4.16)). В силу этого, при интегрировании по углам вылета конечного электрона в области, где f0 01 1, расчет коэффициента усиления необходимо проводить по формуле для средних полей (4.39)–(4.41).

C учетом этого, выражения для Mls (4.27) примет вид:

(l + s)2 bf i 2bf i Js (2 ) Mls = 1 1+ Js (2 ) Js (2 ). (4.50) 41 a2 f0 f + Учитывая выражения (4.50) несложно провести необходимые суммирования в соотношении (4.26) (см. гл. 4.3). Окончательно выражение для коэффициента усиления в области полей (4.46) примет следующий вид:

/2 µ µ = 3 Bi, Bi = sin f df Hd, (4.51) vi 0 H1strong, f0 1/ H=. (4.52) 1middle, f0 1/ H Здесь обозначено:

4 1 H1strong = f0 + bf i +2, (4.53) a 3 a + H1middle G10 (2 1), (4.54) 1 2a+ 1 2a 1) f0 1 + 2 1 G10 ( b2 b+,10 b,10 b, +, f0 1 2bf i +. (4.55) b2 b a10, +, Отметим, что при получении H1middle из выражения (4.39) было учтено усло вие на функцию f0 (4.52). В случае, если интенсивность первой волны средняя 1 ), то коэф 1), а второй волны — умеренно сильная (1 (01 фициент усиления будет определяться теми же выражениями (4.51)–(4.55), в которых необходимо сделать переобозначения: 2 1, b±,10 b±,01, a10 a и в коэффициенте µ0 сделать замену 2 2. Подчеркнем, что полученное 1 выражение для коэффициента усиления (4.51)–(4.55) совпадает с соответству ющим выражением для одной волны в области умеренно сильного поля (см.

гл. 4.3).

На рис. 4.2 приведены зависимости коэффициента усиления µ (4.51)–(4.55) для различных значений интенсивности первой волны (1 = 102, 01 250 и 1 = 5 · 102, 01 1250). Из рис. 4.2 видно, что с ростом интенсивности положение максимума коэффициента усиления на шкале полярных углов не меняется, при этом, величина µmax уменьшается, а интервал полярных углов, где имеет место усиление поля (µ 0), становится меньше.

Оценка коэффициента усиления волны показывает такие же по порядку величины значения, как и для случая одной волны, полученные в главе.

Рис. 4.2. Зависимость коэффициента усиления µ(4.51) – (4.55) от полярного угла влета нере лятивистского электрона с энергией Ei 2.5 кэВ в двухмодовом поле лазера. Кривые 1 и 2 соответствуют интенсивностям (1 = 2 эВ) F1 = 5.18 · 108 В/см и F1 = 2.59 · 109 В/см, соответственно (2 = 3 эВ, F2 = 3.11 · 106 В/см ). Область полярных углов, где µ 0 (µ 0) соответствует усилению (ослаблению) света.

4.4 Заключение к главе Таким образом, изучен эффект усиления поля в процессе рассеяния нере лятивистского электрона на ядре в электромагнитном поле двух циркулярно поляризованных волн средних и умеренно сильных интенсивностей, распро страняющихся в одном направлении. В результате проведенного исследования было получено:

1. Эффект усиления двухмодового циркулярно поляризованного электромаг нитного поля имеет место в некоторой области полярных углов влета начального электрона вблизи плоскости поляризации и существенно за висит от интенсивностей волн.

2. Функция распределения коэффициента усиления от полярного угла на чального электрона симметрична относительно угла i = /2, в котором она принимает максимальное значение.

3. Максимальное усиление поля имеет место в области средних полей (4.28).

В этом случае кривая зависимости коэффициента усиления от полярного угла влета начального электрона имеет четко выраженный максимум при i = /2 и наибольший интервал углов, в котором коэффициент усиления положителен.

4. С ростом интенсивности одной из волн положение пика µmax на шкале полярных углов начального электрона не меняется, однако уменьшается его абсолютное значение, а интервал углов, где коэффициент усиления положителен, становится уже. При этом, данное сужение интервала уг лов и уменьшение µmax происходит достаточно медленно (при увеличе нии интенсивности поля на порядки величины, µmax уменьшается всего в несколько раз, см. рис. 4.2).

5. Практическое использование эффекта усиления лазерного излучения воз можно для достаточно мощных электронных пучков.

ВЫВОДЫ 1. Построена нерелятивистская теория усиления света при рассеянии элек трона на ядре в поле сильной циркулярно поляризованной волны. Пока зано, что усиление света возможно в широком интервале полярных углов начального состояния электрона вблизи плоскости поляризации волны.

Максимальный коэффициент усиления реализуется при начальном дви жении электрона в плоскости поляризации волны. С ростом интенсивно сти поля коэффициент усиления и интервал углов, в котором имеет ме сто усиление света, медленно уменьшаются. Для скоростей осцилляции электрона в волне превышающих скорость его поступательного движения эффект усиления исчезает.

2. Построена общая релятивистская теория усиления света при рассеянии электрона на ядре в поле умеренно сильной циркулярно поляризованной волны. Показано, что усиление света имеет место в некотором интер вале полярных углов начального состояния электрона. При этом зави симость коэффициента усиления µ(i, vi ) имеет четко выраженный мак симум, который определяется начальной скоростью электрона (imax arccos(vi /c)), а интервал углов, в котором µ 0, существенно зависит от энергии электрона и интенсивности волны.

3. Максимальное усиление электромагнитного излучения имеет место для нерелятивистских энергий электрона в области средних полей. В этом случае зависимость коэффициента усиления µ(i ) от полярного угла на правления начального движения электрона имеет максимум вблизи плос кости поляризации волны, а интервал углов, в котором µ 0, самый широкий.

4. С ростом энергии электронов при неизменной интенсивности поля по ложение пика µmax (imax, Ei ) смещается в сторону меньших углов, а его величина достаточно быстро уменьшается (mc/|pi |)3 и для ультрареля тивистских энергий электрона эффект усиления исчезает 5. С ростом интенсивности поля при неизменной энергии электронов распо ложение пика µmax (imax, ) в зависимости от полярных углов начально го направления движения электрона практически не изменяется, однако уменьшается его величина, а интервал углов, в котором µ 0, стано вится уже. При этом такое сужение интервала углов и уменьшение µmax в области средних полей происходят достаточно медленно и только для умеренно сильного поля коэффициент усиления монотонно уменьшается.

6. Построена нерелятивистская теория усиления электромагнитного излу чения при рассеянии электрона на ядре двухмодовом лазерном поле. По казано, что интервал углов, в котором имеет место усиление волны, не зависит от количества мод лазера и определяется только интенсивностью волны.

7. Практическое использование эффекта усиления электромагнитного излу чения возможно для достаточно мощных нерелятивистских электронных пучков.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Kumita T. et al, Observation of the Nonlinear Effect in Relativistic Thomson Scattering of Electron and Laser Beams // Laser Physics. – 2006. – V.16, No.2.

– P.267-271.

2. Marcuse D. // Bell Syst. Techn. J. – 1962. – V.41. – P.1557.

3. Fedorov M.V. Atomic and Free Electrons In a Strong Light Field. – Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientic Publishing Co. Pte. Ltd., 1997.

4. Bula C. et al. Observation of Nonlinear Effects in Compton Scattering // Phys.

Rev. Lett. – 1996. – V.76. – P.3116-3119.

5. Burke D. L. et al, Positron Production in Multiphoton Light-by-Light Scattering // Phys. Rev. Lett. – 1997. – V.79. – P.1626-1629.

6. Рапорт, Зон, Манаков. Теория многофотонных процессов в атомах. – М.:

Атомиздат, 1978.

7. Делоне Н.Б., Крайнов. Атом в сильном световом поле. – М.: Энергоиздат, 1984.

8. Делоне Н.Б. Взаимодействие излучения с веществом. – М.: Наука, 1989.

9. Силин В.П. Параметрическое воздействие высокочастотного излучения на плазму. – М.: Наука, 1973.

10. Акулин В.М., Карлов Н.В. Интенсивные резонансные взаимодействия в квантовой электронике. – М.: Наука, 1987.

11. Летохов В.С. Лазерная фотоионизационная спектроскопия, – М.: Наука, 1987.

12. Маршал Т. Лазеры на свободных электронах: Пер. с англ. – М.: Мир, 1987.

13. Ритус В.И. Квантовые эффекты взаимодействия элементарных частиц с интенсивным электромагнитным полем // Тр. ФИАН. – 1979, т.111. – С.5-151.

14. Никишов А.И. Проблемы интенсивного внешнего поля в квантовой элек тродинамике // Тр. ФИАН. – 1979, Т.111. – С.152-271.

15. Fedorov M.V. Free-electron lasers and multiphoton free-free transitions // Progr. Quant. Electr. – 1981, V.7. – P.73.

16. Fedorov M.V., Kazakov A.E. Resonances and saturation in multiphoton bound free transitions // Progr. Quant. Electr. – 1989, V.13. – P.1.

17. Варфоломеев А.А. Экспериментальное исследование ЛСЭ. – М.: Изд.

ИАЭ, 1987.

18. Федоров М.В. Взаимодействие электронов с электромагнитным полем в лазерах на свободных электронах // УФН. – 1981. – Вып.2, Т.135. – С.213-236.

19. M. Gavrila, M. Van der Wielt // Comm. At. Mol. Phys. – 1977. – V.8. – P.1.

20. Agostini P., Fabre F. Petiti G. // Ibid. P.133.

21. IEEE J. Quant. Electr. Special issues on FEL. – 1983. – V.QE-19. – P.271-401;

1985. – V.QE-21. – P.804-1119;

1987. – V.QE-23. – P.1486-1656.

22. Делоне Н.Б., Федоров М.В. Многофотонная ионизация атомов: новые эффекты // УФН. – 1989. – Т.158, Вып. 2. – С.215-253.

23. Mitlleman V. Theory of Laser-Atom Interaction. N.Y.: Plenum, 1982.

24. Weingartshofer A., Jung C. Multiphoton Ionization of Atoms (Ed. S.L.Chin, P.Lambroponlos). – Toronto. N.Y.L.: Acad. Press, 1984.

25. Бункин Ф.В., Казаков А.Е., Федоров М.В. Взаимодействие интенсивного оптического излучения со свободными электронами (нерелятивистский случай). // УФН. – 1972. – Т.107, Вып. 4. – С.559-593.

26. Волков Д. М. Электрон в поле плоских неполяризованных электромаг нитных волн с точки зрения уравнения Дирака // ЖЕТФ. – 1937. – Т.7, Вып.11. – С.1286-1289.

27. Kibble T.W.B. Frequency shift in High-Intensity Compton Scattering // Phys.Rev. – 1965. – V.38. – P.B740-B753.

28. Frantz L.M. Compton Scattering of an Intense Photon Beam // Phys.Rev. – 1965. – V.139, No.5. – P.B1326-B1336.

29. Stehle P., De Baryshe P.G. Quantum Electrodynamics and the Correspondence Principle // Phys.Rev. – 1965. – V.152, No.4. – P.1135-1139.

30. Eberly J.H., Reiss H.R. Electron Self-Energy in Intense Plane-Wave Field // Phys.Rev. – 1966. – V.145, No.4. – P.1035-1040.

31. Reiss H.R., Eberly J.H.. Green’s Function in Intense-Field Electrodynamics // Phys. Rev. – 1966. – v.151., No.4. – P.1058-1066.

32. Glauber R.J. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field // Phys.Rev.

– 1963. – V.131, No.6. – P.2766-2788.

33. Glauber R.J. The Quantum Theory of Optical Coherence // Phys.Rev. – 1963.

– v.130, No.6. – P.2529-2539.

34. Schweber S.S. On Feynman Quantization // J.Math.Phys. – 1982. – V.3, No.5.

– P.831-842.

35. Schwinger J. On Gauge Invariance and Vacuum Polarization // Phys.Rev. – 1951. – V.82, No.5. – P.664-679.

36. Brown L.S., Kibble T.W.B. Interaction of Intense Laser Beams With Electrons // Phys.Rev. – 1964. – V.133, No.3. – P.A705-A719.

37. Яковлев В.П. Некогерентное рассеяние электромагнитной волны в куло новском поле // ЖЭТФ. – 1966. – Т.51, Вып.2(8). – С.617-627.

38. Никишов А.И., Ритус В.И. Квантовая электродинамика явлений в интен сивном поле. Труды ФИАН. Т.111. – М: Наука, 1979.

39. Карапетян Р.В., Федоров М.В. Спонтанное тормозное излучение электро на в поле интенсивной электромагнитной волны // ЖЭТФ. – 1978. – Т.75, Вып 3(9). – С.816-826.

40. Bergou J., Varro S., Fedorov M.V. e-e Scattering in the Presense of an External Field // J. Phys. A. – 1981. – V.14, No.5. – P.2305-2315.

41. Бункин Ф.Н., Федоров М.В. Тормозной эффект в сильном поле излучения // ЖЭТФ. – 1965. – Т.49, Вып.4(10). – С.1215-1221.

42. Денисов М.М., Федоров М.В. Тормозной эффект на релятивистских элек тронах в сильном поле излучения // 1967. – ЖЭТФ. – Т.53, Вып.4(10). – С.1340-1348.

43. Рощупкин С.П., Федоров М.В. Нерезонансное рассеяние электрона на электроне в поле циркулярно поляризованной электромагнитной волны произвольной интенсивности. Препринт ИОФАН №.91. – М.: ИОФАН, 1987.

44. Карапетян Р.В., Федоров М.В. Влияние интенсивной электромагнитной волны на процесс вынужденного тормозного излучения электронов // Квантовая электроника. – 1977. – Т.4, №.10. – С. 2203-2215.

45. Федоров М.В. О проводимости плазмы в сильном электромагнитном поле // ЖТФ. – 1971. – Т.41. – С.849.

46. Федоров М.В. Вынужденный тормозной эффект в релятивистской обла сти // ЖЭТФ. – 1966. – Т.51. – С.795.

47. Федоров М.В. Электрон в сильном световом поле. – М.: Наука, 1991.

48. Гореславский С.П. Электрон в сильном неоднородном световом поле.

Докторская диссертация. – М: МИФИ, 1993.

49. B s J., Brock W., Mitter H., Schoott T. Resonanses and Intensity-Dependet o Shifts of the M ller Cross Section in a Strong Laser Field // J.Phys. A. – 1979.

o – V.12, No.5. – P.715-731.

50. B s J., Brock W., Mitter H., Schoott T. Intensity-Dependet Scattering Energies o in High-Intensity M ller Scattering // J.Phys. A. – 1979. – V.12, No.12. – o P.2573-2581.

51. Рощупкин С.П. Спонтанный тормозной эффект при рассеянии электронов в поле плоской электромагнитной волны // Известия высших учебных заведений. Физика. – 1983. – Вып.4. – С.18-22.

52. Казаков А.Е., Рощупкин С.П. Меллеровское рассеяние релятивистских электронов в поле плоской электромагнитной волны. Препринт ФИАН, №.18. – М.: ФИАН, 1983.

53. Крайнов В.П., Рощепкин С.П. Тормозное излучение медленного электро на на кулоновском центре во внешнем электромагнитном поле // ЖЭТФ.

– 1983. – Т.84, Вып.4. – С.1302-1309.

54. Рощупкин С.П. Вынужденный тормозной эффект при рассеянии электро нов в сильном электромагнитном поле // Оптика и спектроскопия. – 1984.

– Т.56, Вып.1. – С.36-40.

55. Рощупкин С.П. Тормозное излучение релятивистского электрона на ядре в сильном электромагнитном поле // Ядерная физика. – 1985. – Т.41, Вып.5. – С.1244-1257.

56. Roshchupkin S.P. Resonance Scattering of an Electron by an Electron in the Field of a Light Wave: General Relativistic Case // Laser Physics. – 1994. – V.4, No.1. – P.139-147.

57. Казанцев А.П., Соколов В.П. Взаимодействие электронов в световом поле // ЖЭТФ. – 1984. – Т.86, Вып.3. – С.896-905.

58. Roshchupkin. S.P. Resonant Effects in Collisions of Relativistic Electrons in the Field of a Light Wave // Laser Physics. – 1996. – V.6, No.5. – P.837-858.

59. Олейник В.П. Резонансные эффекты в поле интенсивного лазерного луча // ЖЭТФ. – 1967. – Т.52, Вып.4. – С.1049-1067;

Т.53, Вып.6. – С.1997-2011.

60. Lebedev, I.V., 1972, Opt. Spektrosk., 32, 120.

61. Borisov, A.V., Zhukovskii, V.Ch., Eminov, P.A. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. – 1980.

– V.78. – P.530.

62. Рощупкин С.П. Вынужденное и спонтанное излучение при Collisions ре лятивистских электронов с сильном световом поле: Дис.... д-ра физ.-мат.

наук: 01.04.02. – M., 1994.

63. Zavtrak S.T., Komarov L.I. Teor. Mat. Fiz. – 1990. – V.84. – P.431.

64. Denisenko O.I., Roshchupkin S.P. Resonant Scattering of an Electron by a Positron in the Field of a Light Wave // Laser Physics. – 1999. – V.9, No.5. – P.1108-1112.

65. Panek P., Kaminski J.Z., Ehlotzky F. Mott scattering in an elliptically polarized laser eld of relativistic radiation power // Laser Phys. – 2003. – V.13. – P.1399-1404.

66. Kaminski J.Z., Ehlotzky F. Electron–atom scattering and electron–ion recombination in a powerful laser eld // J. Mod. Opt. – 2003. – V.50. – P.621–642.

67. Panek P., Kaminski J.Z., Ehlotzky F., Nonlinear Compton scattering in an elliptically polarized laser eld at extreme radiation powers // Laser Phys. – 2003. – V.13. – P.457-464.

68. Panek P., Kaminski J.Z., Ehlotzky F. Compton scattering and electron–atom scattering in an elliptically polarized laser eld of relativistic radiation power // Eur. J. Phys. D. – 2003. – V.26. – P.3–6.

69. Panek P., Kaminski J.Z., Ehlotzky F., 2002, Laser–induced Compton scattering at relativistically high radiation powers;

Phys. Rev. A. – 2002. – V.65, No.2.

– 022712.

70. Panek P., Kaminski J.Z., Ehlotzky F. Relativistic electron–atom scattering in an extremely powerful laser eld: Relevance of spin effects // Phys. Rev. A. – 2002. – V.65, No.3. – 033408.

71. Fedorov M.V., Roshchupkin S.P. Suppression of interference in ee scattering by the eld of a strong electromagnetic wave // J. Phys. A: Math. Gen. – 1984.

– V.17. – P.3143-3149.

72. Рощупкин С.П. Нерезоннансное рассеяние электрона на электроне в поле сильной световой волны // Тезисы докладов VIII Всесоюзной конферен ции по взаимодействию оптического излучения с веществом, 6-11 сент. – М., 1990. – Т.2. – С.262.

73. Лысенко А.В., Рощупкин С.П. Подавление интерференции при рассеянии электрона на позитроне в сильном электромагнитном поле // Украинский физический журнал. – 1991. – Т.36, No.1. – С.7-12.

74. Рощупкин С.П. Нерезонансное меллеровское рассеяние электронов в поле плоской электромагнитной волны произвольной интенсивности // Украинский физический журнал. – 1991. – Т.36, No.7. – С.967-973.

75. Рощупкин С.П. Нерезонансное e e рассеяние в поле плоской электро магнитной волны произвольной интенсивности // Известия РАН, серия физическая. – 1992. – Т.56, No.8. – С.182-187.

76. Denisenco O.I., Roshchupkin S.P. Nonresonant Scattering if an Electron by a Positron in the Field of a Plane Electromagnetic Wave of an Arbitary Intensity // Laser Physics. – 1993. – V.3, No.4. – P.903-909.

77. Рощупкин С.П. Интерференционный эффект при рассеянии электрона на ядре в поле двух плоских электромагнитных волн // ЖЭТФ. – 1994. – Т.106, Вып.1(7). – С.102-118.

78. Рощупкин С.П. Влияние сильного светового поля на процесс рассея ния ультрарелятивист-ского электрона на ядре // ЖЭТФ. – 1996. – Т.109, Вып.2. – С.337-344.

79. Roshchupkin S.P., Voroshilo A.I. Stimulated Bremsstrahlung in Electron Nucleus Scattering in a Multifrequency Electromagnetic Field. // Laser Physics. – 1997. – V.7, N3. – P.873-884.

80. Denisenko O.I., Roshchupkin S.P. Non-Resonance Electron Scattering in the Field of Two Plane Light Waves. // Physica Scripta. – 1994. – V.50. – P.339 342.

81. Reiss H.R. Effect of an intense electromagnetic eld on a weakly bound system // Phys. Rev. A. – 1980. – V.22. – P.1786.

82. Musha T., Ioshida F. // Phys Rev. – 1964. – V.133. – P.A1303.

83. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. – М.: Атомиз дат, 1975.

84. Казаков А.Е., Рощупкин С.П. Тормозное излучение и фоторождение e e+ - пар на кулоновском центре в поле плоской электромагнитной волны.

– М., 1983. (Препр. / ФИАН No.115).

85. Ehlotzky F. Scattering phenomena in strong radiation eld // Can. J.Phys. – 1985. – V.63. – P.907-932.

86. Иванов Г.К., Голубков Г.В. Тормозное излучение медленных электронов на ионах во внешнем электромагнитном поле // ЖЭТФ. – 1991. – Т.99, Вып.5. – С.1404-1415.

87. Борисов А.В., Жуковский В.Ч. Тормозное излучение электрона на ядре в поле плоской электромагнитной волны // ЖЭТФ. – 1976. – Т.70, Вып.2. – С.477-483.

88. Реди Дж. Действие мощного лазерного излучения. – М.: Мир, 1974.

89. Апанасевич П.А. Основы теории взаимодействия света с веществом. – Минск: Наука и техника, 1977.

90. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электроди намика. – М: Наука, 1980.

91. Гореславский С.П., Нарожный Н.Б. Электрон в неоднородном световом поле. – М: МИФИ, 1989.

92. Gorodnitskii R.L., Roshchupkin S.P. Indiced Bremsstrahlung Process for a Relativistic Electron Colliding with a Nucleus in a Field of Two Electromagnetic Waves of Arbitrary Intensities and Frequencies // Laser Phisics. – 1992. – V.2, No.4. – P.602-608.

93. Krainov V.P., Roshchupkin S.P. Relativistic Effect in Angular Distribution of Ejected Electrons at Tunneling Ionization of Atoms by Strong Electromagnetic Fields // JOSA B. – 1992. – v.9, No.10. – P.2014-1017.

94. Krainov V.P., Roshchupkin S.P. Angular Distribution of Electrons in the Tunneling Ionization of Atoms by an AC Field: Inuence of the Magnetic Dipole Interaction // Laser Physics. – 1992. – V.2, No.3. – P.299-302.

95. Roshchupkin S.P. Electron Scattering on the Nucleus in the Field of a Plane Electromagnetic Wave: Second-Order Born Approximation // Laser Physics.

– 1993. – V.3, No.2. – P.414-417.

96. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовича М. и Сти ган И. – М.: Наука, 1979.

97. Никишов А.И., Ритус В.И. Квантовые процессы в поле плоской электро магнитной волны и в постоянном поле // ЖЭТФ. – 1964. – Т.46, Вып.2. – С.776-796.

98. Никишов А.И., Ритус В.И. Нелинейные эффекты в комптоновском рассе янии и образовании пар, связанные с поглощением нескольких фотонов // ЖЭТФ. – 1964. – Т.47, Вып.3(9). – С.1130-1133.

99. Нарожный Н.Б., Никишов А.И., Ритус В.И. Квантовые процессы в поле электромагнитной волны, поляризованной по кругу // ЖЭТФ. – 1964. – Т.47, Вып.3(9). – С.930-940.


100. Baier V.N., Fadin V.S., Khoze V.A. Quasi-Real Electron Method in High Energy Quantum Electrodynamics // Nucl.Phys. – 1973. – V.B65, No.8. – P.381-396.

101. Берсон И.Я. Полуклассическое приближение для вынужденного тормоз ного излучения // ЖЭТФ. – 1981. – Т.80, Вып.5. – С.1727-1736.

102. Kroll N.M., Watson K.M. Charged-particle scattering in the presense of a strong electromagnetic wave // Phys. Rev. A. – 1973. – V.A8. – P.804-809.

103. Клинских А.Ф., Рапопорт А.П. Потенциальное рассеяние электрона в присутствии электромагнитной волны // ЖЭТФ. – 1985. – Т.88, Вып.4. – С.1105-1117.

104. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая электродинамика. Нерелятивист ская теория. – М.: Наука, 1974.

105. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.И., Теория поля. – М.: Наука, 1988.

106. Кузелев М.Б. Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электронных пуч ков в плазме. – М, Наука, 1990.

107. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Спе циальные функции, Наука, Москва (1983), c. 669.

108. Рухадзе А.А., Богданкевич Л.С., Росинский С.Е. Физика сильноточных релятивистских электронных пучков. – М.: Атомиздат, 1980.

109. Рощупкин С.П., Лысенко О.Б. Спонтанный интерференционный тормоз ной эффект при рассеянии релятивистского электрона на ядре в поле двух световых волн // ЖЕТФ. – 1999. – Т.116, Вып.4(1). – С.1210-1240.

110. Гореславский С.П., Соломатин А.В. // ЖЭТФ. – 1989. – Т.96. – С.1214.

111. Крайнов В.П., Рощупкин С.П. Рассеяние релятивистских заряженых ца стиц в присутствии сильного электромагнитного поля // В сб. Вщаимодей ствие лазерного излучения с резонансными средами. – М: Энергоиздат, 1982. – С.83-91.

112. Рощупкин С.П. Резонансные эффекты при фоторождении e+ e - пар в поле плоской электромагнитной волны // Известия высших учебных заведений. Физика. – 1983. – Вып.8. – С.12-15.

113. Олейник В.Л., Белоусов И.В. Проблемы квантовой электродинамики ва куума, диспергирующих сред и сильных полей. – Кишинев, 1983.

114. Roshchupkin S.P., Tsubyl’nik V.A., Chmirev A.N. Probability of multiphoton processes in phenomena of a quantum electrodynamics in a strong light eld // Laser Physics. – 2000. – V.10, No.6. – P.1231-1248.

115. Tsibul’nik V.A., Roshchupkin S.P. The Light Amplication Effect in the Coulomb Scattering of Nonrelativistic Electrons in a Field of a Strong Circularly Polarized Light Wave // Laser Physics Letter. – 2004. – V.1, No.7.

– P.357-361.

116. Рощупкин С.П., Цыбульник В.А. Эффект усиления света в процессе рас сеяния релятивистского электрона на ядре в поле умеренно сильной цир кулярно поляризованной световой волны // ЖЭТФ. – 2005, Т.127, Вып.5, С.1005-1016.

117. Roshchupkin S.P., Tsybul’nik V.A. The light amplication effect in the Coulomb scattering of nonrelativistic electrons in a two-mode laser eld // Laser Physics Letters. – 2006. – V.3, No.7. – P.362-368. (online 21 march, DOI 10.1002/lapl.200610016.) 118. Цыбульник В.А., Рощупкин С.П. Вероятность многофотонных процессов в поле двух световых волн: свойства функций Inn // Тезисы докладов.

Научно-техническая конференция преподавателей, сотрудников и студен тов механико-математического факультета (3-7 апреля). – Сумы: СумГУ, 2000. – С.19-22.

119. Roshchupkin S.P., Tsibul’nik V.A. The Light Amplication Effect in the Process of an Electron Scattering a Nucleus in a Strong Laser Field. // Proceedings of LFNM 2003, 5th International Workshop on Laser and Fiber optical Networks Modeling, 19-20 September. – Alushta, Crimea, Ukraine:

2003. – P.106-108.

120. Vladislav A. Tsibul’nik and Sergei P. Roshchupkin. The light amplication in the scattering of an electron by a nucleus in the eld of strong circularly polarized light wave // The Proceedings of the Thirteenth International Laser Physics Workshop (LPHYS04), July 12-16. – Trieste, Italy: 2004. – P.157.

121. S.P. Roshchupkin, V.A. Tsibul’nik. The light amplication in the scattering of relativistic electron by a nucleus in the light wave eld // Proceedings of LFNM 2004, 6th International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling, 6-9 September. – Kharkiv, Ukraine: 2004. – P.248-250.

122. Рощупкин С.П., Цыбульник В.А. Возможность усиления света в процессе рассеяния релятивистского электрона на ядре в поле световой волны // Тезисы докладов. III конференция по физике высоких энергий, ядерной физике и ускорителям, 28 февраля – 4 марта. – Харьков: ННЦ ХФТИ“, ” 2005. – С.50-51.

123. Roshchupkin S.P. and Tsibul’nik V.A. Possibility of the light amplication in the scattering of electron by ions in the moderately strong light elds //

Abstract

Book of International Conference on Coherent and Nonlinear Optics, May 11-15. – St. Petersburg, Russia: 2005. – IFF3.

124. S. P. Roshchupkin, V.A. Tsibul’nik, A.V. Freiv. The light amplication effect in the scattering of electron by a nucleus in the electromagnetic eld.

// Proceedings CAOL 2005. 2-nd International Conference on Advanced Otoelectronics and Lasers, September 12–17. – V.2. – Yalta, Crimea, Ukraine:

2005. – P.120-123.

Приложение A СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Ln И Inn Элементарные квантовые процессы, протекающие во внешнем поле плос кой электромагнитной волны изучаются достаточно давно. При этом исполь зуются решения уравнения Дирака в поле плоской электромагнитной волны (функции Волкова (1.1)). При получении амплитуды соответствующего эле ментарного квантового процесса в импульсном представлении исходную ам плитуду (в координатном представлении) обычно разлагают в ряды Фурье и затем проводят интегрирования по пространственным и временным коорди натам (это обеспечивает появление -функции Дирака, выражающей соответ ствующие законы сохранения). При этом коэффициенты Фурье в общем случае эллиптических поляризаций волн выражаются через функции Ln (в поле одной волны) или через функции Inn (в поле двух волн;

n и n — положительные или отрицательные целые числа), определяющие вероятность излучения и погло щения электроном (позитроном) определенного числа фотонов волны. Обычно данные задачи рассматриваются в двух предельных случаях поляризаций волн — циркулярной и линейной, когда функции Ln имеют наиболее простой вид и в случае линейной поляризации волны были детально изучены Риссом [81].

A.1 Вероятность многофотонных процессов в поле одной волны Выберем 4-потенциал внешнего электромагнитного поля, распространяю щегося вдоль оси z в следующем виде:

F · (ex · cos + · ey · sin) A () = (A.1) где ex = (0, ex ), ey = (0, ey ) — 4-векторы поляризации волны, — параметр эллиптичности волны ( = 0 — линейная поляризация, 2 = 1 — циркулярная поляризация), F и — напряженность и частота волны, а аргумент имеет вид:

= · (t z) (A.2) Разлагая функции Волкова (x|A) (1.1) в поле (A.1) в ряд Фурье, получим (x|A) = n (x|A) (A.3) n= где парциальные волновые функции n, отвечающие всевозможным процес сам вынужденного излучения и поглощения электроном n фотонов волны, имеют следующий вид:

eip m k · ( · Ln1 + · Ln+1 ) e[i(n·k)x] · up (A.4) p n (x|A) = Ln + 4 (k · p) 2E Здесь p — фаза, не зависящая от индекса суммирования;

x = (t, x) — 4-радиус вектор;

k = (, k) — 4-импульс фотона внешнего поля;

up — биспинор Дирака;

выражения со шляпками обозначают скалярные произведения матриц Дирака µ (µ = 0, 1, 2, 3) с соответствующими 4-векторами (k = kµ µ );

4-вектор и 4-квазиимпульс p = (E, p) соответственно равны m 2 = ex i · ey, · · k;

p=p+ 1+ (A.5) 4 (k · p) релятивистски инвариантный параметр — интенсивность волны (1.2). В вы ражении (A.4) функции Ln в общем случае эллиптической поляризации волны зависят от трех релятивистски инвариантных параметров и имеют следующий вид:

exp(i · [ · sin ( ) + · sin (2) n · ])d, Ln (,, ) = (A.6) где (g · ey ) tg = · = · tg, (A.7) (g · ex ) 1 2 · 2 · f, = (A.8) (g · ex )2 + 2 (g · ey )2 = =· cos2 + 2 sin2.

=· g · (A.9) Здесь = ex, g||, g|| — компонента вектора g параллельная плоскости (xy), а 4-вектор g = (g0, g) и релятивистски инвариантная функция f имеют следующий вид:

m m g= · p, f =. (A.10) (k · p) (k · p) Отметим, что функции Ln (A.6) можно разложить в ряд по функциям Бесселя целочисленного порядка Jn :

Ln (,, ) = exp (in) · exp (2is) · Jn2s () · Js (). (A.11) s= Воспользовавшись свойством функций Бесселя, что Jn (x) = (1)n Jn (x) из (A.11) несложно получить представление функций Ln с противоположными индексами:

in(+) · · Jn2s () · Js ().

Ln (,, ) = e exp 2is (A.12) s= Отсюда видно, что, вообще говоря, для эллиптической поляризации волны |Ln (,, )| = |Ln (,, )| (A.13) за исключением циркулярной поляризации волны, когда функции Ln с точ ностью до фазового множителя совпадают с функциями Бесселя. Используя (A.11), а также представление функций Бесселя в виде степенного ряда, можно получить представление функций Ln в виде степенных рядов:

e2is (1)l+l (/2)2l +n2s (/2)2l+s (in) · · · Ln (,, ) = e.

(l + n 2s)! · (l + s)! · l! · l !

s= l=0 l = (A.14) Из интегрального представления (A.6) видно, что функции Ln являются n коэффициентом Фурье функции G () = exp {i · [ · sin ( ) + · sin (2)]}. (A.15) Поэтому имеет место равенство Ln (,, ) · exp (in).

G () = (A.16) n= Следовательно, G () (A.15) является производящей функцией для Ln.

Из равенства (A.16) вытекает ряд полезных соотношений для функций Ln.

Полагая в этом равенстве последовательно = 0, ±/2, ±,,, получим:

Ln (,, ) = exp (i · sin), (A.17) n= (±i)n · Ln (,, ) = exp (±i · cos), (A.18) n= (1)n · Ln (,, ) = exp (i · sin), (A.19) n= Ln (,, ) · exp (in) = exp (i · sin2), (A.20) n= Ln (,, ) · exp (in) = exp [i · ( + ) · sin2]. (A.21) n= Используя (A.6), можно также получить формулу сложения для функций Ln L (1, 1, 1 ) ·Ls (2, 2, 2 ) = Ln (,, ), (A.22) n+s s= где обозначено 2 sin 1 1 sin tg =, (A.23) 2 cos 2 1 cos 2 1 + 2 21 2 cos (1 2 ), = (A.24) = 2 1. (A.25) Из (A.22) следует, что если n = 0, то L (1, 1, 1 ) ·Ls (2, 2, 2 ) = L0 (,, ) (A.26) s s= и для равных аргументов функций Ls (1 = 2, 1 = 2, 1 = 2 ) получим:


|Ls (1, 1, 1 )|2 = 1 (A.27) s= Подчеркнем, что равенства (A.17)–(A.27) получены в предположении, что ар гументы функций Ln не зависят от индекса суммирования.

Дифференцируя равенство (A.16) соответственно по параметрам,,, а также по, можно получить следующие соотношения для производных функ ций Ln по соответствующим параметрам, а также рекуррентное соотношение:

i Ln (,, ) = · [exp(i) · Ln+1 (,, )+ + exp (i) · Ln1 (,, )], (A.28) Ln (,, ) = [exp (i) · Ln1 (,, ) exp (i) · Ln+1 (,, )], (A.29) Ln (,, ) = · [Ln2 (,, ) Ln+2 (,, )], (A.30) 2nLn = ei Ln1 (,, ) + ei Ln+1 (,, ) + + 2 [Ln2 (,, ) + Ln+2 (,, )]. (A.31) Используя соотношения (A.28)–(A.31) можно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции Ln. После простых выкладок, получим, что искомое дифференциальное уравнение распадается на два урав нения относительно параметров, и, :

2 2 + 2 + D · Ln (,, ) · Ln (,, ) = 0, + (A.32) 2 2 4 2 + 4 2 + 2 + 2in D · Ln (,, ) · Ln (,,,) = + 2 n2 · Ln (,, ). (A.33) Исключая из (A.32), (A.33) вторую производную по параметру, получим искомое дифференциальное уравнение для Ln :

D · Ln (,, ) = n2 · Ln (,, ), (A.34) где 2 4 2 + 4 + 4 2 + 2in 2 2.

D (A.35) 2 Отсюда видно, что Ln является собственной функцией дифференциального оператора D, соответствующей собственному значению n2 при граничных условиях: Ln (,, ) конечна при = 0, = 0 и периодична (с периодом 2) по фазовому параметру.

Существенно подчеркнуть, что функции Ln определяют вероятность много фотонных процессов. Наиболее простой вид эти вероятности имеют в области умеренно сильных полей, когда классический параметр, определяющий инте гральные характеристики соответствующего процесса, m =· 1 (A.36) |p| (p — импульс электрона или позитрона). Тогда для процессов, протекающих в таких полях и сопровождающихся рассеянием электронов (позитронов) на ядре (рассеяние электрона на ядре, спонтанное тормозное излучение при рас сеянии электрона на ядре, фоторождение электрон-позитронных пар на яд ре), парциальное дифференциальное сечение реакции с неполяризованными частицами (электронами, позитронами, фотонами) факторизуется на вероят ность излучения и поглощения электроном (позитроном) n фотонов волны |Ln |2 и дифференциальное сечение соответствующего процесса без внешнего поля d :

dn = |Ln |2 · d. (A.37) Подчеркнем, что в силу (A.13) вероятности излучения и поглощения одинако вого числа фотонов волны, вообще говоря, не равны друг другу. Параметры,,, определяющие функции Ln в (A.37) даются соответствующими выра жениями (A.7)–(A.9), в которых меняются лишь кинематические величины — 4-вектор g и функция f. Так, например, для процессов рассеяния электрона на ядре в поле волны, а также нерезонансного спонтанного тормозного излучения при рассеянии электрона на ядре в поле волны, получим pf pi 1 f = m2 · g =m·,, (A.38) (kpf ) (kpi ) (kpf ) (kpi ) где pi = (Ei, pi ) и pf = (Ef, pf ) — 4-импульсы электрона до и после рассея ния. Подчеркнем, что квантовый параметр (A.9), (A.38) в этом случае есть известный параметр многофотонности Бункина-Федорова (1.5). Для процесса нерезонансного фоторождения электрон-позитронных пар на ядре в поле уме ренно сильной волны в (A.36) необходимо сделать замены: pf p, pi p+, где p± = (E±, p± ) — 4-импульс позитрона и электрона. Легко видеть, что при рассеянии частиц на большие углы параметры и (A.9)–(A.8), (A.38) имеют следующий порядок величины:

mvi Ei ·v, · · vi · vi, (A.39) i где vi = |pi | /Ei — скорость электрона. Отсюда видно, что в области умеренно сильных полей (A.36) параметр мал по сравнению с параметром многофо тонности Бункина-Федорова, причем в дипольном приближении по взаимо действию электрона с полем волны = 0 (kpf = kpi · m и следовательно f = 0, см. (A.38), (A.10)). Так для релятивистских электронов (vi 1) в об ласти оптических частот ( 1015 с1 ) параметр 1 для напряженностей поля F 107 108 В/см, а параметр 1 в полях F 104 105 В/см.

Вид функций Ln (A.6) существенно зависит от поляризации волны. Так, для циркулярной поляризации ( 2 = 1) из (A.8) следует, что параметр = 0 и, следовательно, функции Ln с точностью до фазового множителя совпадают с функциями Бесселя:

Ln (,, 0) = exp (in · ) · Jn (). (A.40) Отметим, что в этом случае дифференциальное уравнение (A.34)–(A.35) пере ходит в дифференциальное уравнение Бесселя относительно параметра :

2 2 + 2 · Ln (,, 0) = n2 · Ln (,, 0).

+ (A.41) Здесь использовалось, что i · Ln (,, 0)/ = n · Ln (,, 0). Парциальное дифференциальное сечение соответствующего процесса (A.37) при этом при нимает хорошо известный вид:

dn = Jn () · d. (A.42) Для линейной поляризации волны ( = 0) = 0 и функции Ln выражаются через обобщенные функции Бесселя, детально изученные Риссом:

Jn (, ) Ln (0,, ) = Jn2s () · Js (). (A.43) s= В этом случае парциальное дифференциальное сечение (A.37) равно:

dn = Jn (, ) · d. (A.44) В дипольном приближении = 0 (за исключением процесса фоторождения электрон-позитронных пара на ядре в поле волны) и формула (A.44), (A.43) пе реходит в выражение (A.42), которое обычно используют в нерелятивистских задачах.

Если же кинематика рассеяния частиц такова, что переданный импульс g направлен вдоль или против волнового вектора k, т.е. когда вектор g не имеет параллельной компоненты (g|| = 0), тогда параметры = 0 и = 0. В этом случае из (A.13) получим, что Ln (0, 0, ) = Jn () · n,2l, l = 0, ±1, ±2,... (A.45) (n,n — символ Кронекера), т.е. имеют место процессы излучения и поглоще ния лишь четного числа фотонов волны (процессы излучения и поглощения нечетного числа фотонов волны подавлены). Отметим, что в этом случае соб ственные функции Ln (0, 0, ) удовлетворяют дифференциальному уравнению Бесселя (в которое переходит уравнение (A.34)–(A.35)) относительно парамет ра с собственными значениями l2 (n = 2l):

2 n + 2 · Ln (0, 0, ) = · Ln (0, 0, ).

+ (A.46) 2 Парциальное дифференциальное сечение (A.37) здесь примет вид:

dn = Jn () · d · n,2l. (A.47) Подчеркнем, что этот случай не имеет места для циркулярной поляризации волны, а также для эллиптической поляризации в дипольном приближении по взаимодействию электрона (позитрона) с волной ( = 0). Формула (A.47) спра ведлива при рассеянии частиц в плоскости, задаваемой импульсом начальной частицы и волновым вектором, на заданные углы.

Отметим также, что формулы (A.42), (A.44) с одной стороны и формула (A.47) с другой стороны описывают соответствующий процесс в поле волны в различных кинематических областях (когда g|| = 0 и когда g|| = 0), при этом для случая (A.47) вероятность многофотонных процессов становится 1) для полей значительно больших, чем в случае (A.42), существенна ( (A.44) (см. текст после формулы (A.39)).

A.2 Вероятность многофотонных процессов в поле двух волн Выберем 4-потенциал внешнего электромагнитного поля в виде суммы двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси z:

Fj · (ejx · cosj + j · ejy · sinj ), A () = (A.48) j j= где ejx = (0, ejx ), ejy = (0, ejy ) — 4-векторы поляризации волн, j — параметр эллиптичности волны (j = 0 — линейная поляризация, j = 1 — циркулярная поляризация), Fj и j — напряженность и частота j-волны, а аргумент j имеет вид:

j = j · (t z), j = 1, 2. (A.49) Разлагая функции Волкова (x|A) (1.1) в поле (A.48) в ряды Фурье, получим (x|A) = nn (x|A). (A.50) n= n = Парциальные волновые функции nn, отвечающие всевозможным процессам вынужденного излучения и поглощения электроном n фотонов первой волны и n фотонов второй волны, имеют следующий вид:

exp (ip ) · H · exp [i ( n · k1 n · k2 ) x] · up, nn (x|A) = p (A.51) 2E где m k1 · (1 In1,n + In+1,n ) + H = Inn + 1 4 (k1 p) m k2 · (2 In,n 1 + In,n +1 ) + 2 2 (A.52) 4 (k2 p) 2 2m 2m 2 p = p + 1 + 1 · 1 · k1 + 1 + 2 · 2 · k2, (A.53) 4 (k1 p) 4 (k2 p) j = ejx ij ejy, kj = (j, kj ) = j (1, ez ), j = 1, 2. (A.54) Здесь p — фаза, не зависящая от индекса суммирования;

ez — единичный век тор вдоль направления движения обеих волн;

1,2 — интенсивности волн (1.2), а функции Inn в общем случае эллиптических поляризаций обеих волн зави сят от десяти релятивистски инвариантных параметров и имеют следующий вид:

Inn Inn (1, 1, 1 ;

2, 2, 2 ;

+,, +, ) = 2 d2 · exp [i · (S n · 1 n · 2 )], = d1 (A.55) (2) 0 где S (1, 2 ) = 1 sin (1 1 ) + 2 sin (2 2 ) + 1 sin 21 + 2 sin 22 + + + sin (1 + 2 ) + sin (1 2 + ). (A.56) Здесь индексы 1 и 2 относятся к параметрам первой и второй волн, а индексы “+” и “-“ — к параметрам, отражающим интерференционные эффекты обеих волн:

(gj · ejy ) tg j = j · = j · tg j, (A.57) (gj · ejx ) 1 2 1 j · j · fj, j = (A.58) (gj · ejx )2 + j (gj · ejy )2 = j = j · cos2 j + j sin2 j, = j · g j · (A.59) ± = 1 2 · |d | · f±, (A.60) 1 ± Imd± · tg, tg ± = = (A.61) 1 ± 1 Red± d± = (1 ± 1 2 ) · cos + i · (1 ± 2 ) · sin, = (e1x, e2x ) (A.62) || || Здесь j = ejx, gj, gj — компонента вектора gj параллельная плоскости (xy), а 4-вектор gj = (gj0, gj ) и релятивистски инвариантные функции fj и f± имеют следующий вид:

m gj = · p, (A.63) (kj p) m = fj, j = 1, 2, (A.64) (kj p) m f± =. (A.65) (k1 ± k2 ) p Функции Inn (A.55) можно разложить в ряд по функциям Бесселя целочис ленного порядка:

exp [i · (s · + s · + )] · Js (+ ) · Js ( ) Inn = s= s = Lns s (1, 1, 1 ) · Ln +s s (2, 2, 2 ), (A.66) где функции Lns s (1, 1, 1 ) и Ln +s s (2, 2, 2 ) определяются параметра ми первой и второй волн и описывают многофотонные процессы в поле одной волны (A.6), (A.11).

Из интегрального представления (A.55), (A.56) видно, что функции Inn являются коэффициентами Фурье функции K (1, 2 ) = exp [i · S (1, 2 )]. (A.67) Поэтому имеет место равенство Inn (1, 1, 1 ;

2, 2, 2 ;

+,, +, ) · e[i(n1 +n 2 )].

K (1, 2 ) = n= n = (A.68) Следовательно, K (1, 2 ) (A.67) является производящей функцией для Inn.

Из равенства (A.68) при различных значениях фазовых параметров 1 и 2, а также 1,2, 1,2 можно получить ряд полезных соотношений для функций Inn. Например, для 1 = 2 = 0 и 1,2 = 1,2 = 0, получим Inn (0, 1, 1 ;

0, 2, 2 ;

+,, 0, 0) = 1. (A.69) n= n = Используя (A.68), можно также получить следующие формулы сложения для функций Inn :

Ins,s (1, 1, 1 ;

2, 2, 2 ;

+,, +, 0) = s= = exp (i sin+ ) · Ln (,, ), (A.70) In+s,s (1, 1, 1 ;

2, 2, 2 ;

+,, 0, ) = s= = exp (i+ sin ) · Ln (,, ), (A.71) Inn 1, 1, 1 ;

2, 2, 2 ;

+, _, +, = 1. (A.72) n= n = В (A.70) обозначено 1 sin1 + 2 sin tg =, (A.73) 1 cos1 + 2 cos 2 1 + 2 + 21 2 cos (1 2 ), = (A.74) = 1 + 2 + +. (A.75) В (A.71) параметры,, получаются из (A.73)–(A.75) заменами:,,, 2 2, 2 2, +.

Дифференцируя равенство (A.68) по параметрам 1,2, 1,2, 1,2, ±, ±, а также по 1,2, можно получить следующие соотношения для производных функций Inn по соответствующим параметрам, а также рекуррентные соотно шения:

Inn = In2,n In+2,n, 2 (A.76) Inn = In,n 2 In,n + 2 (A.77) Inn = exp (i1 ) · In1,n exp (i1 ) · In+1,n, 2 (A.78) Inn = exp (i2 ) · In,n 1 exp (i2 ) · In,n +1, 2 (A.79) 2i Inn · = exp (i1 ) · In1,n + exp (i1 ) · In+1,n, (A.80) 1 2i Inn · = exp (i2 ) · In,n 1 + exp (i2 ) · In,n +1, (A.81) 2 Inn = exp (i ) · In1,n exp (i ) · In+1,n ±1, 2 (A.82) ± 2i Inn · = exp (i ) · In1,n + exp (i ) · In+1,n ±1, (A.83) ± 2nInn = 21 [In+2,n + In2,n ] + + 1 [exp (i1 ) · In+1,n + exp (i1 ) · In1,n ] + + + [exp (i ) In+1,n +1 + exp (i ) In1,n 1 ] + + [exp (i+ ) In+1,n 1 + exp (i+ ) In1,n +1 ], (A.84) 2n Inn = 22 [In,n +2 + In,n 2 ] + + 2 [exp (i2 ) · In,n +1 + exp (i2 ) · In,n 1 ] + + + [exp (i ) In+1,n +1 + exp (i ) In1,n 1 ] [exp (i+ ) In+1,n 1 + exp (i+ ) In1,n +1 ]. (A.85) Используя соотношения (A.76)–(A.85) можно получить дифференциальное со отношение для функций Inn, однако в силу громоздкости оно не приводиться.

Из (A.66) видно, что для данного числа испущенных или поглощенных фотонов обеих волн (определенных значениях n и n ) имеют место виртуаль ные процессы с коррелированным поглощением и излучением равного числа фотонов обеих волн: s · (1 + 2 ) и s · (1 2 ). Причем интенсивность дан ных виртуальных процессов определяется квантовыми интерференционными параметрами + и. Если ± 1, то процессы с коррелированным излу чением и поглощением одного или нескольких виртуальных фотонов вносят существенный вклад в сумму. В тоже время, когда интерференционные па 1) влиянием коррелированных процессов можно пре раметры малы (± небречь (s = s = 0) и функции Inn распадаются на произведение функций, определяющих независимое излучение и поглощение фотонов первой и второй волн:

Inn (1, 1, 1 ;

2, 2, 2 ;

0, 0, +, ) = = Lns s (1, 1, 1 ) · Ln +s s (2, 2, 2 ). (A.86) Существенно подчеркнуть, что функции Inn определяют вероятность мно гофотонных процессов в поле двух волн. Наиболее простой вид эти вероятно сти имеют в области умеренно сильных полей, когда классические параметры, определяющие интегральные характеристики соответствующего процесса, m j = j · 1, j = 1, 2 (A.87) |p| (см. (A.36)). Тогда для процессов, протекающих в таких полях и сопровож дающихся рассеянием электронов (позитронов) на ядре (рассеяние электрона на ядре, спонтанное тормозное излучение при рассеянии электрона на ядре, фоторождение электрон-позитронных пар на ядре), парциальное дифференци альное сечение реакции с неполяризованными частицами (электронами, пози тронами, фотонами) факторизуется на вероятность излучения и поглощения электроном (позитроном) n и n фотонов первой и второй волн |Inn |2 и диф ференциальное сечение соответствующего процесса без внешнего поля d :

dnn = |Inn |2 · d. (A.88) При этом параметры, определяющие функции Inn в (A.55) даются соответ ствующими выражениями (A.63)-(A.65), в которых меняются лишь кинема тические величины — 4-векторы gj и релятивистски инвариантные функции fj и f±. Так, например, для процессов рассеяния электрона на ядре в поле двух волн, а также нерезонансного спонтанного тормозного излучения при рассеянии электрона на ядре в поле двух волн, получим pf pi gj = m, (A.89) (kj pf ) (kj pi ) 1 = m2 fj, (A.90) (kj pf ) (kj pi ) m2 1 f± =. (A.91) (k1 ± k2 ) pi pf где pi = (Ei, pi ) и pf = (Ef, pf ) — 4-импульсы электрона до и после рассея ния. Подчеркнем, что квантовые параметры j в этом случае есть известные параметры многофотонности Бункина-Федорова (1.5). Для процесса нерезо нансного фоторождения электрон-позитронных пар на ядре в поле умерен но сильных двух световых волн в (A.89)–(A.91) необходимо сделать замены:

pf p, pi p+, где p± = (E±, p± ) — 4-импульс позитрона и электрона.

Легко видеть, что при рассеянии частиц на большие углы параметры 1,2, 1, и ± имеют следующий порядок величины mvi Ei 1,2 1,2 · vi, (A.92) 1,2 1, 1,2 1,2 1,2 · vi 1,2 vi, (A.93) ± 1 2 vi 2 1 vi 1,2 vi, (A.94) где vi = |pi |/Ei — скорость начального электрона. Отсюда видно, что в об ласти умеренно сильных полей (A.87) параметры 1,2 и ± малы по сравне нию с параметрами многофотонности Бункина-Федорова 1,2, причем в ди польном приближении по взаимодействию электрона с электрическими по лями обеих волн 1,2 = ± = 0 (за исключением процесса фоторождения электрон-позитронных пар на ядре в поле двух волн). Так для релятивистских электронов (vi 1) в области оптических частот ( 1015 с1 ) параметры 1,2 ± 1 для напряженностей полей F1,2 107 108 В/см, а параметры Бункина-Федорова 1,2 1 в полях F1,2 104 105 В/см.

Вид функций Inn существенно зависит от поляризации волн. Приведем их явные выражения для циркулярной и линейной поляризаций волн. Так, для 2 циркулярной поляризации обеих волн (1 = 2 = 1) параметры 1 = 2 = (см. (A.58)) и учитывая A.40), функции Inn (A.66) примут вид:

exp [is (1 1 ± 2 )] Inn = exp [i(n1 + n 2 )] s= Js (± )Jns (1 )ht)Jn s (2 ), (A.95) где || j = j · gj.

± = 1 2 f±, (A.96) В выражениях (A.95), (A.96) знаки ”+“ и ”-“ относятся соответственно к слу чаям различных (1 = 2 ) и одинаковых (1 = 2 = ±1) циркулярных по ляризаций волн. Из (A.95) видно, что при данном числе испущенных или поглощенных фотонов обеих волн (определенных значениях n и n ) будут происходить виртуальные процессы с коррелированным излучением и погло щением равного числа фотонов обеих волн. При ± 1 получим результат (A.86) Inn = exp [i (n1 + n 2 )] · Jn (1 ) · Jn (2 ) (A.97) и, следовательно, парциальное сечение (A.88) примет вид 2 dnn = Jn (1 ) · Jn (2 ) · d. (A.98) В случае линейной поляризации обеих волн (1 = 2 = 0) из (A.57), (A.61), (A.62) получим 1,2 = ± = 0, d± = cos. Учитывая это, выражение (A.66) будет равно:

Js (+ ) · Js ( ) · Jns s (1, 1 ) · Jn +s s (2, 2 ). (A.99) Inn = s= s = Здесь квантовые параметры (A.58)–(A.60) примут вид 12 j = j · fj, j = j (gj · ejx ), ± = 1 2 · |cos| · f±. (A.100) 8 Отсюда видно, что интерференционные параметры ± (A.100) существенно зависят от угла (см. (A.60)). В узком конусе углов вблизи угла / (1 2 f± ) 1 (A.101) параметры ± 1 и коррелированным излучением и поглощением равного числа фотонов обеих волн можно пренебречь. В этом случае функции Inn (A.99) примут вид (A.86):

Inn = Jn (1, 1 ) · Jn (2, 2 ), (A.102) и парциальное сечение (A.88) будет равно:

2 dnn = Jn (1, 1 ) · Jn (2, 2 ) · d. (A.103) Отметим, что функции Inn принимают вид (A.102) и для произвольных уг лов в случае малых интенсивностей волн, когда ± 1, кроме этого в нерелятивистский пределе энергий электрона в дипольном приближении па раметры ± 1, 1,2 1 (за исключением процесса фоторождения электрон позитронных пар на ядре в поле двух волн) и парциальное сечение (A.103) принимает вид (A.98).

Теперь рассмотрим случай, когда переданный импульс g1,2 (A.63), (A.89) направлен вдоль или против направления распространения обеих волн ez (от метим, что векторы g1 и g2 параллельны), т.е. когда проекции векторов g1,2 на плоскость (x, y) равны нулю:

|| g1,2 = 0. (A.104) Условие (A.104) может выполняться в двух случаях:

• для одинаковых линейных поляризаций обеих волн (e1x = e2x ), когда импульсы начальных и конечных частиц лежат в плоскости перпендику лярной вектору поляризации e1x, • в общем случае эллиптических поляризаций обеих волн, когда конечные частицы рассеиваются на заданные жестко коррелированные между собой углы в одной плоскости, образованной импульсом начальной частицы и направлением распространения обеих волн.

Данная кинематическая область названа интерференционной, так как в ней основными параметрами многофотонности являются квантовые интерферен ционные параметры ±, в отличие от неинтерференционной области, в кото || рой g1,2 = 0 и параметрами многофотонности являются квантовые параметры Бункина-Федорова 1,2. Легко видеть, что в интерференционной области па раметры 1,2 = 0 и 1,2 = 0, поэтому функции Inn (A.66) перейдут в функции Jn+ n, зависящие от 6 параметров:

Inn (0, 0, 1 ;

0, 0, 2 ;

+,, +, ) Jn+ n (1, 2 ;

+,, +, ) = exp [i (s+ + s )] = exp [i (n+ + n + )] s= s = Jn+ ss (+ ) · Jn s+s ( ) · Js (1 ) · Js (2 ), (A.105) где приняты обозначения ± = ± +, (n ± n ) = 0, ±1, ±2, ±3,...

n± = (A.106) Характерно, что в законе сохранения энергии соответствующего процесса энергия, поглощенная или излученная электроном (позитроном) из волн при мет вид:

n1 + n 2 = n+ (1 + 2 ) + n (1 2 ). (A.107) Из (A.105)–(A.107) видно, что в интерференционной области имеют место процессы коррелированного излучения или поглощения равного числа (n = ±n ) фотонов обеих волн.

Парциальное сечение соответствующего процесса (A.88) в интерференци онной области примет вид:

dn+ n= = Jn+ n (1, 2 ;



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.