авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ISSN 1563 – 0285

Индекс 75872

25872

КАЗАХСКИЙ

Л–ФАРАБИ атындаы

НАЦИОНАЛЬНЫЙ

АЗА ЛТТЫ

УНИВЕРСИТЕТ

УНИВЕРСИТЕТI

имени АЛЬ–ФАРАБИ азУ ВЕСТНИК ХАБАРШЫСЫ КазНУ МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА, СЕРИЯ МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА СЕРИЯСЫ МЕХАНИКА, ИНФОРМАТИКА АЛМАТЫ № 2 (77) Зарегистрирован в Министерстве культуры, информации и общественного согласия Республики Казахстан, свидетельство № 956-Ж от 25.11.1999 г.

(Время и номер первичной постановки на учет № 766 от 22.04.1992 г.) Редакционная коллегия:

Н.Т. Данаев – д.ф.-м.н., профессор, Казахский национальный университет им. аль Фараби, Казахстан, Алматы – научный редактор А.Н. Азанова – докторант, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Казахстан, Алматы – ответственный секретарь Айсагалиев С.А. – д.т.н., профессор, Ка- Жайнаков А.Ж. – академик НАН Кыр захский национальный университет им. гызской Республики, Кыргызский государ аль-Фараби, Алматы, Казахстан ственный технический университет им.

Алиев Ф.А. – академик Национальной И. Раззакова, Бишкек, Кыргыстан академии наук Азербайджана, Инсти- Калтаев А.Ж. – д.ф.-м.н., профессор, тут прикладной математики Бакинско- Казахский национальный университет го государственного университета, Баку, им.аль-Фараби, Алматы, Казахстан Азербайджан Кангужин Б.И. – д.ф.-м.н., профессор Бадаев С.А. – д.ф.-м.н., профессор, Казах- Казахский национальный университет ский национальный университет им.аль- им.аль-Фараби, Алматы, Казахстан Фараби, Алматы, Казахстан Малышкин В.Э. – д.т.н., профессор, Ново сибирский государственный технический Ружанский М. – д.ф.-м.н., профессор, университет, Новосибирск, Россия Имперский колледж Лондона, Великобри Майнке М. – профессор, департамент тания Вычислительной гидродинамики Инсти- Тайманов И.А. – академик Российской тута Аэродинамики, Ахен, Германия академии наук, Институт математики Мейрманов А.М. – д.ф.-м.н., профессор, им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Белгородский государственный универси- Россия тет, Белгород, Россия Тукеев У.А. – д.т.н., профессор, Казах Мухамбетжанов С.Т. – д.ф.-м.н., профес- ский национальный университет им.аль сор, Казахский национальный универси- Фараби, Алматы, Казахстан тет им.аль-Фараби, Алматы, Казахстан Шокин Ю.И. – академик Российской ака Отелбаев М.О. – академик Национальной демии наук, Институт вычислительных академии наук РК, Евразийский нацио- технологий СО РАН, Новосибирск, Рос нальный университета им. Л.Н. Гумиле- сия ва, Астана, Казахстан Юлдашев З.Х. – д.ф.-м.н., профессор, На Панфилов М. – д.ф.-м.н., профессор, На- циональный университет Узбекистана циональный политехнический институт им. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан Лотарингии, Франция ВЕСТНИК КазНУ СЕРИЯ МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА, ИНФОРМАТИКА № 2(77) Научный редактор - Данаев Н.Т.

Ответственный секретарь - Азанова А.Н.

Компьютерная верстка - Азанов Н.П.

ИБ N Подписано в печать 25.05.2013 г. Формат 70 108 1/16.

Бумага офсетная. Цифровая печать. Заказ N.

Уч.-изд. п.л. 5,75. Тираж 500 экз. Цена договорная.

4 раза в год.

Издательство “аза университетi” Казахского национального университета им. аль-Фараби.

Отпечатано в типографии издательства “аза университетi”.

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, 2013.

c Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) МАЗМНЫ СОДЕРЖАНИЕ CONTENS 1. Айсагалиев С.А., Айсагалиев Ж.К. Исследование по математическому программирова нию Aisagaliev S.A., Aisagaliev Zh.K. Research on mathematical programming.............. 2. Айсагалиев С.А., Шангитова М.Е. К математической теории управляемых процессов Aisagaliev S.A., M.E. Shangitova To mathematical theory of control processes.......... 3. Жунусова Ж.Х. Геометрические корни одной космологической модели Zhunussova Zh.Kh. Geometric roots of the cosmology mode.............................. 4. Мажитова А.Д. Субриманова задача на трехмерной разрешимой группе Ли SOLV + с правоинвариантным распределением Mazhitova A.D. Sub-Riemannian problem on the three-dimensional solvable Lie group SOLV + with right-invariant distribution......................................................... 5. Аканбай Н., Ахмедов А.Б., Сулейменова З.И. О некоторых вариантах неклассической центральной предельной теоремы Akanbai N., Ahmedov A.B., Suleimenova Z.I. On some versions of non-classical central limit theorem................................................................................. 6. Ахтаева Н.С., Каримов Э.Т. О краевой задаче с условием сопряжения интегрального вида для смешанного параболо - гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа Akhtaeva N.S., Karimov E.T. A boundary value problem with adjointing condition of integral type for mixed parabolic - hyperbolic equations with non-characteristic line type change.. 7. Дасибеков А., Абжапбаров А. Учет неоднородности грунтовых оснований при устройстве песчаной подушки Dasibekov A., Abzhapbarov A. The accounting of inhomogeneity of the soil foundations at arrangement of sand bed................................................................. 8. Абакумов А.И., Адамов А.А., Исмаилова А.А. Моделирование микробных сообществ рас тительных организмов Abakumov A.I., Adamov A.A., Ismailova A.A. Modeling of microbial communities of plant organisms............................................................................... 9. Мурзабеков З.Н., Айпанов Ш.А. Конструирование оптимального управления с обратной связью для нестационарных линейных систем при закрепленных концах траекторий Murzabekov Z.N., Aipanov Sh.A. Constructing the feedback optimal control for nonstationary linear systems with xed endpoints of trajectories........................................ 10. Рахимова Д.Р. Семантика предложных связей в машинном переводе Rakhimova D. The semantics of links of pretexts in machine translation.................. 4 С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Исследование по математическому...

УДК 517. С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан;

e-mail: serikbai.aisagaliev@kaznu.kz Исследование по математическому программированию Предлагается единый метод решения задач математического программирования в евклидовом пространстве. Метод основан на последовательном сужении области до пустимых решений и ориентирован на применение современных компьютеров. Рас смотрены, в отдельности, результаты исследования общей задачи линейного програм мирования, выпуклого и нелинейного программирования.

Получены необходимые и достаточные условия существования решения задачи мате матического программирования путем замены исходных задач математического про граммирования на равносильные задачи с функциями цели, ограниченные снизу, в отдельности, для указанных задач.

Построены минимизирующие последовательности, предельные точки которых явля ются решениями общей задачи линейного программирования, выпуклого и нелиней ного программирования, получены оценки скорости сходимости. Приведены решения примеров.

Научная ценность полученных результатов состоит в том, что: метод применим как к вырожденным, так и невырожденным задачам математического программирования, нет необходимости определения крайних точек и осуществить переход от одной край ней точки в другую, зачастую связанной с зацикливанием;

решения задач выпуклого и нелинейного программирования не связаны с поиском седловой точки функции Лагранжа, не требуются условия существования седловых точек.

Создание новых эффективных методов решения задач математического программи рования является актуальным для решения задач экономики, естественных наук, тех ники и информационных технологий.

Ключевые слова: {Математическое программирование, линейное программирование, выпуклое программирование, нелинейное программирование, оптимизационная зада ча, минимизирующая последовательность, предельные точки.} S.А. Aisagaliev, Zh.K. Aisagaliev Research on mathematical programming Unied solving method for mathematical programming problems in Euclid space is developed. The method is based on sequential narrowing of admissible solutions set and oriented on using of modern computers. Results of investigation for a general problem of linear programming, convex programming problem and nonlinear programming problem are considered separately.

Necessary and sucient conditions of solution existence for mathematical programming problem are obtained for mentioned problems separately by reducing of given problem to equivalent problem with bounded below target function.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Minimizing sequences such that accumulation point of them are solutions for general problem of linear programming, convex programming problem and nonlinear programming problem are constructed. Estimates of the convergence rates are obtained. Solving of examples by developed method using is adduced.

The scientic value of obtained results is the method is applicable to both conuent and nonsingular mathematical programming problems: it is not necessary to nd an extreme point and to go on to the next point, which leads to circularity in most cases;

convex programming problem and nonlinear programming problem solving are not related to nding saddle value of Lagrange function, saddle value existence conditions are not necessary.

Developing of new eective solution methods for mathematical programming problems is topical for solving of economics, natural sciences, engineering and information technologies problems.

Key words: {Mathematical programming, linear programming, convex programming, nonlinear programming, optimization problem, minimizing sequence, limit points.} С.. Айсаалиев, Ж.К. Айсаалиев Математикалы программалау бойынша зерттеу Евклид кеiстiгiнде математикалы программалау есептерiн шешудi бiрттас дiсi сынылады. дiс ммкiн болатын шешiмдердi жиынын бiртiндеп жуытауа негiздел ген жне заманауи компьютерлердi олдануа баытталан. Сызыты программалауды жалпы есебiн, дес жне сызыты емес программалау есептерiн зерттеу нтижелерi жеке келтiрiлген.

Крсетiлген есептер шiн берiлген есептi масатты функциясы тменнен шектелген пара-пар есеппен ауыстыру жолымен математикалы программалау есебiнi шешiмiнi бар болуыны ажеттi жне жеткiлiктi шарттары алынан.

Шектiк нктелерi сызыты программалауды жалпы есебiнi, дес жне сызыты емес программалау есептерiнi шешiмдерi болып табылатын минимумдаушы тiзбек тер рылып, жинаталу жылдамдыыны баасы алынан. Мысалдарды шыарылуы келтiрiлген.

Алынан нтижелердi ылыми ндылыы дiстi математикалы программала уды ерекше де ерекше емес те есептерiн шешуге олданылатындыында;

кп жадай да циклдануа келетiн брышты нктелердi тауып, оларды бiрiнен екiншiсiне кшу ажеттiгiнi жотыында;

дес жне сызыты емес программалау есептерiнi шешiлуi Лагранжды айы нктесiн iздеумен байланысты емес жне айы нктенi бар бо луыны шарттарыны ажетсiздiгiнде.

Математикалы программалау есептерiн шешудi жаа эффективтi дiстерiн ру экономиканы, жаратылыстану ылымдарыны, техниканы жне апаратты техно логияларды есептерiн шешу шiн зектi мселе болып табылады.

Тйiн сздер: {Математикалы программалау, сызыты программалау, дес про граммалау, сызыты емес программалау, тиiмдiлiк есебi, минимумдаушы тiзбек, шектiк нктелер.} Введение. Выпуклый анализ раздела математики, где изучаются свойства выпук лых множеств и функций. Основания выпуклого анализа были заложены в работах 6 С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Исследование по математическому...

Минковского, Фенхеля, Хана, Банаха, Крейна, Мильмана. В шестидесятые годы ХХ века начался новый этап в развитии выпуклого анализа, который привел к созданию теории выпуклых функций и в результате возникла общая теория выпуклого анализа.

Книга американского математика Р.Т.Рокафеллара [1] - первая монография посвящен ная выпуклому анализу.

Выпуклый анализ играет огромную роль для решения задач математического про граммирования (линейного, выпуклого и нелинейного программирования), теории игр и теории оптимальных процессов.

Исследование задачи линейного программирования берет свое начало с работы Дж.

фон Неймана, О. Моргенштерна. Ряд задач линейного программирования и метод их решения предложен Л.В. Канторовичем. Основным методом решения задач линейно го программирования является симплекс - метод разработанный Дж. Данцигом, по лучивший развитие в работах А.Чарнса, Л.Форда, Д.Фалкерсона. Основы линейного программирования и численные методы решения приведены в [2]. Симплекс метод при меним для решения невырожденных задач линейного программирования в канониче ском виде и имеет ряд недостатков: во-первых, приведение общей задачи линейного программирования к каноническому виду требует введение дополнительных перемен ных, когда отсутствуют ограничения на значения искомых переменных. Это приводит к увеличению числа крайних точек, к росту числа итераций;

во-вторых, в случае, когда ранг матрицы условий меньше числа ограничений задача линейного программирования становится вырожденной. Для решения таких задач симплекс - метод не применим;

в третьих, американские ученые В. Кли, Дж.Минти построили пример задачи линейного программирования с n переменными и 2n ограничениями, для решения которого требу ется не менее 2n 1 итераций симплекс метода, т.е. симплекс метод является алгорит мом "экспоненциальной трудности". Поэтому представляет интерес разработка новых методов решения общей задачи линейного программирования без приведения их к кано ническому виду, ориентированные на применение современных средств вычислительной техники.

Как известно [3] поиск наименьшего значения выпуклой функции, определенной на выпуклом множестве, сводится к определению седловой точки функции Лагранжа. При таком подходе к решению задачи выпуклого программирования возникает необходи мость наложить дополнительные требования на исходные данные задачи, что снижает эффективность метода множителей Лагранжа. Теоремы Куна-Таккера [1], гарантирую щие существования седловой точки функции Лагранжа, являются достаточными усло виями. Существуют множества задач выпуклого программирования, которые имеют ре шения, однако соответствующие функции Лагранжа не имеют седловых точек. Поэтому актуальным является поиск новых методов решения задачи выпуклого программиро вания без каких-либо множителей Лагранжа и не прибегая к существованию седловой точки функции Лагранжа.

Для задачи нелинейного программирования не имеется аналогичных теорем, как для задачи выпуклого программирования, гарантирующих существование седловой точки обобщенной функции Лагранжа. Нелинейное программирование относится к малоизу ченной области математического программирования.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) 1. Постановка задачи Общая задача линейного программирования имеет вид I(u) = c, u = c u inf (1) u U = {u Rn / u U0, Au b 0, Au = 0}, (2) b где c Rn, b Rm, Rs заданные векторы, A, A заданные матрицы порядков b mn, sn соответственно, множество U0 ={u=(u1,..., un )Rn /uj 0, jI{1, 2,..., n}}, (*)-знак транспонирования.

Задача 1. Найти необходимое и достаточное условие существования решения общей задачи линейного программирования (1), (2).

Задача 2. Найти новый эффективный метод построения решения общей задачи линейного программирования (1), (2).

Общая задача линейного программирования (1), (2) может быть решена симплекс методом после приведения ее к каноническому виду, путем введения вспомогательных переменных j, qj, j I, где uj = j qj, j I, j 0, qj 0. Однако это приводит к увеличению числа переменных, не говоря о недостатках симплекс метода в целом, указанные выше.

Часто на практике встречаются задачи выпуклого программирования следующего вида:

I(u) inf, (3) u U = {u Rn /u U0, gi (u) 0, i = 1, m, gi (u) = ai, u bi = 0, i = m + 1, s}, (4) где I(u), gi (u), i = 1, m выпуклые функции, определенные на выпуклом множестве U0, ai Rn, i = m + 1, s заданные векторы.

Заметим, что один из методов решения задачи (3), (4) является метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа для задачи (3), (4) имеет вид s L (u, ) = I(u) + i gi (u), u U0, 0 = { Rs / 1 0,..., m 0}. (5) i= Если пара (u, ) U0 0 седловая точка функции Лагранжа (5), т.е. L (u, ) L (u, ) L (u, ), u U0, 0, то u U решение задачи (3), (4). Здесь возникают следующие проблемы: во-первых, задача (3), (4) имеет ли решение, когда функция Лагранжа не имеет седловую точку;

во-вторых, при выполнении дополнитель но каких требований функция Лагранжа имеет седловую точку. Можно привести много примеров для случаев, когда задача (3), (4) имеет решение, однако функция Лагран жа (5) не имеет седловую точку. Как следует из работ Куна, Таккера для того, чтобы функция Лагранжа (5) имела седловую точку достаточно, чтобы выполнялось условие регулярности, т.е. существовала точка u U0 такая, что gi () 0, i = 1, m. Это до u полнительное требование к исходным данным задачи. Поэтому актуальными являются решения следующих задач:

Задача 3. Найти необходимое и достаточное условие существования решения задачи выпуклого программирования (3), (4).

8 С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Исследование по математическому...

Задача 4. Найти новый эффективный метод решения задачи выпуклого програм мирования (3), (4).

Рассмотрим задачу нелинейного программирования следующего вида:

I(u) inf (6) u U = {u Rn / u U0, gi (u) 0, i = 1, m, gi (u) = 0, i = m + 1, s}, (7) где I(u), gi (u), i = 1, s заданные функции, определенные на выпуклом множестве U0 Rn.

Задача 5. Найти необходимое и достаточное условие существования решения задачи нелинейного программирования (6), (7), где I(u), gi (u), i = 1, s, u U0 любые заданные функции.

2. Исследование по линейному программированию Рассмотрим общую задачу линейного программирования (1), (2).

Лемма 1 Пусть множество U = {u U / I(u ) = = inf I(u)} =. Тогда разность uU I(u) 0 при всех u U, для любого = { R1 / a }, где a любое число.

Доказательство. Так как I(u), u, u U, то I(u), где любое число. Отсюда следует I(u) 0, u, u U, если 0. Следовательно,.

Пусть a некоторое число, a. Тогда I(u) 0 u, u U в любом выпуклом множестве = { R1 / a }, где. Лемма доказана.

По исходным данным задачи (1), (2) определим функцию (u,, d) = [I(u) ]2 + [Au b + d] [Au b + d] + [Au [Au b] (8) b], где u U0,, d D = {d Rm / d 0}.

Пусть = (u,, d), множество V = U0 D. Рассмотрим оптимизационную задачу () inf, V, (9) где функция () = (u,, d) определяется по формуле (8). Пусть V = { = (u,, d ) V / ( ) = = inf ()}.

V Теорема 1 Пусть u U U решение задачи (1), (2). Тогда = (u, = I(u ), d = Au b) V -решение задачи (9) соответствующее значению ( ) = 0.

Обратно, если =(u,, d )V – решение задачи (9) при ( )=0, то u U U – решение задачи (1), (2).

Если значение ( ) 0, то задача (1), (2) не имеет решения.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Доказательство. Пусть u U – решение задачи (1), (2), где I(u ) = I = inf I(u).

uU Следовательно, u U0, Au b 0, Au = 0. Выберем = I(u ), d = Au + b 0.

b Тогда ( ) = [I(u ) ]2 + [Au b + d ][Au b + d ] + [Au [Au = 0. Так как b] b] значение () 0,, V, то ( ) = inf () 0.

V Отсюда следует, что (u,, d ) V – решение задачи (9) при ( ) = 0. Первая часть теоремы доказана.

Значение ( ) = 0 тогда и только тогда, когда I(u ) = 0, Au b + d = 0, = 0, u U0,, d D. Так как Au b = d 0, Au = 0, u U0, то Au b b u U. Из I(u ) = 0, u U следует, что = I. Итак, I(u ) = = I = inf I(u).

uU Следовательно, u U решение задачи (1), (2).

Если ( ) 0, то: либо [I(u ) ] 0;

либо [Au b + d ] [Au b + d ] 0;

либо [Au [Au 0. Отсюда следует, что: либо I(u ) = ;

либо Au b + d = 0;

либо b] b] = 0. Следовательно, u U. Это означает, что задача (1), (2) не имеет решения.

Au b / Теорема доказана.

Теорема 2 Пусть U0 выпуклое множество. Тогда:

1) множество V = U0 D выпукло.

2) функция () определенная на выпуклом множестве V является выпуклой функ цией, т.е.

(1 + (1 )2 ) (1 ) + (1 )(2 ), 1, 2 V,, [0, 1].

3) если для некоторой заданной точки V множество M () = { V / I() I()} ограничено, то множество V непусто, компактно и любая минимизирующая после довательно {n } M () сходится к множеству V.

Доказательство. Пусть 1 = (u1, 1, d1 ) V, 2 = (u2, 2, d2 ) V и число [0, 1].

Тогда 1 + (1 )2 = (u1 + (1 )u2, 1 + (1 )2, d1 + (1 )d2 ) V в силу того, что u1 + (1 )u2 U0, 1 + (1 )2, d1 + (1 )d2 D, где U0,, D – выпуклые множества.

Поскольку () C 2 (V ), то необходимое и достаточное условие выпуклости () на V имеет вид (), 0,, V,, Rn+1+m.

Как следует из (8) функция () = Q + q + b b + где матрица b b, b cc + A A + A A c A 2A b 2A Q= 0 = Q 0, q =, c 1 2b A 0 Im то () = 2Q 0,, V. Отсюда следует, что функция () является выпуклой на выпуклом множестве V.

Поскольку () C 2 (V ), то множество M () замкнуто. По условию теоремы M () – ограничено. Следовательно, множество M () компактно на V. Тогда согласно тео реме Вейерштрасса множество V =, – пустое множество. Пусть {k } M () – 10 С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Исследование по математическому...

минимизирующая последовательность, т.е. lim (k ) = = inf (). Покажем, что V k lim k = V.

k Заметим, что минимизирующая последовательность всегда существует.

Пусть любая предельная точка {k }. Следовательно, существует подпоследова тельность {km } M (), для которой lim km =. В силу компактности множества m M () все предельные точки минимизирующей последовательности принадлежат мно жеству M ().

Как следует из определения нижней грани и непрерывности () на V верны нера венства ( ) lim (km ) = lim (k ) =.

m k Следовательно, ( ) = = inf (). Отсюда следует, что множество V = и лю V бая минимизирующая последовательность сходится к V. Легко убедиться в том, что множество V компактно. Теорема доказана.

Лемма 2 Производная () = (u (), (), d ()), где u () = (2cc + 2A A + 2A A)u 2c + 2A d 2A b 2A b, (10) () = 2(c u ), d () = 2(Au b + d) удовлетворяет условию Липшица, т.е.

| (1 ) (2 )| L|1 2 |, 1, 2 V. (11) Доказательство. Как следует из выражения () = Q + q + b b + произ b b, водная () = 2Q + q, V. Отсюда следует формула (10). Так как (1 ) (2 ) = (u (1 ) u (2 ), (1 ) (2 ), d (1 ) d (2 )), то | (1 ) (2 )| |u (1 ) u (2 )| + | (1 ) (2 )| + |d (1 ) d (2 )| l(|u1 u2 | + |1 2 | + |d1 d2 |), l = max{2cc + 2A A + 2A A + 2c + +2A A, 2c + 2, 4A }.

Отсюда, используя оценку (a + b)2 2a2 + 2b2, получим | (1 ) (2 )|2 4l2 (|u1 u2 |2 + |1 2 |2 + |d1 d2 |2 ).

Следовательно, | (1 ) (2 )| L(|u1 u2 |2 + |1 2 |2 + |d1 d2 |2 )1/2, где L = 2l.

Отсюда следует неравенство (11). Лемма доказана.

На основе формул (10), (11) строим последовательности {un }, {dn }, {n } по следую щему алгоритму:

un+1 = PU0 [un n u (n )], n+1 = P [n n (n )], (12) = PD [dn n d (n )], n = 0, 1, 2,..., 0 0 n dn+1, 1 0, L + где L = const 0 постоянная Липшица из (11).

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Теорема 3 Пусть выполнены условия теоремы 2, последовательности {un } U0, {n }, {dn }D определяются по формуле (12), множество M (0 )={V /()(0 )} ограничено. Тогда:

1) последовательность {n } = {un, n, dn } M (0 ) является минимизирующей, т.е. lim (n ) = = inf ();

n V 2) последовательность {n } V сходится к множеству V, V =, т.е. un u, n, dn d при n, (u,, d ) V ;

3) справедлива оценка скорости сходимости c2 0 (n ) ·, (13) 1 n где c = sup | ()| + 1 d диаметр множества M (0 );

d, M (0 ) 4) общая задача линейного программирования (1), (2) имеет решение тогда только тогда, когда ( ) = (u,, d ) = 0, где u U решение общей задачи линейного программирования;

5) если значение ( ) 0, то общая задача линейного программирования (1), (2) не имеет решения.

Доказательство. Поскольку n+1 V является проекцией точки n n (n ), то n+1 n + n (n ), n+1 0,, V. Отсюда получим R n+1+m (n ), n+1 n n+1, n+1,, V, n = 0, 1, 2,.... (14) n Поскольку функция () C 1,1 (V ), то справедливо неравенство L (n ) (n+1 ) (n ), n n+1 n n+1 2, n, n+1 V. (15) Из (14), (15), с учетом неравенства 0 0 n 2/(L + 21 ), имеем 1 L (n ) (n+1 ) ( )|n n+1 |2 1 |n n+1 |2, 1 0, n 2 (16) n, n+1 V, n = 0, 1, 2,....

Из (16) следует, что числовая последовательность {(n )} строго убывает, и она сходится в силу того, что функция () 0,, V ограничена снизу. Тогда lim [(n ) (n+1 )] = 0 и из (16) имеем |n n+1 |0 при n. Множество M (0 ) – n компактно, {n } M (0 ) в силу того, что (n+1 ) (n ) · · · (1 ) (0 ), где 0 V начальная точка для последовательности {n } V. Множество V M (0 ) и функция () достигает нижней грани на множестве M (0 ). Следовательно, V =.

Легко убедиться в том, что множество M (0 ) выпукло.

Покажем, что последовательность {n } M (0 ) минимизирующая. Поскольку функ ция () C 1 (M (0 )) выпукла на выпуклом множестве M (0 ), то необходимо и доста точно выполнение неравенства () () (),,, M (u0 ).

12 С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Исследование по математическому...

Отсюда следует () () (),,, M (u0 ). (17) Из (17), в частности, когда = M (0 ), = n M (u0 ), имеем 0 (n ) ( ) (n ), n = (n ), n n+ (n ), n+1 (n ), n n+1 n n+1, n+1, n в силу неравенства (14). Следовательно 0 an = (n ) ( ) (n ) ( n+1 ), n n+ n 1 d | (n ) ( n+1 )||n n+1 | ( sup | ()| + )|n n+1 | = c|n n+1 |.

n M (0 ) Так как по доказанному |n n+1 |0 при n, следовательно, lim (n )=. Это n означает, что последовательность {n } является минимизирующей и в силу компактно сти множества M (0 ) и непрерывности () на M (0 ) все предельные точки {n }M (0 ) принадлежат множеству V M (0 ). Из неравенства 0 an = (n ) c|n n+1 |, (n ) (n+1 ) 1 |n n+1 |2 следует оценка (13). Утверждения 4),5) следуют из теоремы 1. Теорема доказана.

Пример. Решить задачу линейного программирования I(u) = 2u1 3u2 + 5u3 6u4 inf (18) 2u1 + u2 u3 + u4 = 5, u1 + 3u2 + u3 u4 8, u1 + 4u2 + u4 = 1, (19) 1) u0 = {u1 0, u2 0, u3 0, u4 0}, 2) u0 = {u1 0, u2 R1, u3 0, u4 R1 }.

В отдельности, рассмотрим случаи 1), 2).

1. Пусть U0 = {u1 0, u2 0, u3 0, u4 0}. Для задачи (18), (19) имеем ( ) = 2 1 1 1, c = (2, 3, 5, 6), A = (1, 3, 1, 1), b = 8, A 1 4 0 u () u, = (u,, d), u =, R1, d 0, b= u u Au 8 + d = 0, = (u1, u2, u3, u4,, d) V = U0 R1 D.

Функция () = [c u ]2 + [Au 8 + d]2 + [Au [Au = Q + q + b b + b] b] b b, Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) где 7 11 10 2 7 36 13 20 cc + A A + A A c A 11 13 27 32 5, Q=Q = 0= c 6 20 32 A 0 I1 2 3 6 1 1 3 1 q = ((2A b 2A, 0, 2b ) = (34, 66, 6, 4, 0, 10, 2), b b + = 90.

b) bb Производные u () = (2cc + 2A A + 2A A)u 2c + 2A d 2A b 2A = b 20u1 + 14u2 22u3 + 24u4 + 4 + 2d + 34 u1 () 14u1 + 72u2 26u3 + 40u4 + 6 + 6d + 66 u () = 22u1 26u2 + 54u3 64u4 10 + 2d + 6 = u (), u4 () 24u1 + 40u2 64u3 + 78u4 + 12 2d () = 2(c u ) = 2(2u1 3u2 + 5u3 6u4 ), d () = 2(Au b + d) = 2(u1 + 3u2 + u3 u4 8 + d).

Последовательности {un }, {n }, {dn } определяются соотношениями:

= PU0 [u1 n u1 (n )], u2 = PU0 [u2 n u2 (n )], (n+1) (n) (n+1) (n) u = PU0 [u3 n u3 (n )], u4 = PU0 [u4 n u4 (n )], (n+1) (n) (n+1) (n) (20) u = P [n n (n )], dn+1 = PD [dn n d (n )], n = 0, 1, 2,..., n+ где n = const = L при 1 = L, 0 = n = const 0. Для численных расчетов выбрано значение n =0, 1. Заметим, что проекция точки Rn на множество U0 ={uRn / u0} определяется так PU0 [] = {max(0, 1 ), max(0, 2 ),..., max(0, n )}, где = (1,..., n ).

Найдены предельные точки последовательностей равные:

19 (n) (n) (n) lim u1 = u1 =, lim u =, lim u = 0, 9 n 2 9 n n 59 (n) = 0, lim n =, lim u4 lim dn =.

9 n n n ( ) 19 Решением исходной задачи (18), (19) являются: u = (u1, u2, u3, u4 ) =,, 0, 0, значение I(u ) = =. Такие же результаты можно получить путем решения зада чи (18), (19) симплекс методом после ее приведения к каноническому виду.

Легко убедиться в том, что значение ( )=(u,, d )=0, где =(u,, d )V, ( ) 19 7 ( ) = = inf () = 0. В самом деле, I(u ) = 2 · 3· = 0, 9 9 V 19 2· 9 + 9 5= 19 7 = 0;

Au = Au 8 + d = +3· 8+.

b 19 9 9 9 (1) · +4· 1= 9 14 С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Исследование по математическому...

2. Пусть U0 = {u1 0, u2 R1, u3 0, u4 R1 }. Данный случай отличается от (n) первого случая только тем, что последовательности {un }, {u4 } определяются соотно шениями un+1 = un n u2 (n ), un+1 = un n u4 (n ), n = 0, 1, 2,....

2 2 4 Нет необходимости приведения задачи (18), (19) к каноническому виду путем введения дополнительных переменных u2 = 2 q2, 2 0, q2 0, u4 = 4 q4, 4 0, q4 0.

3. Исследование по выпуклому программированию Рассмотрим задачу выпуклого программирования (3), (4).

Лемма 3 Пусть множество U = {u U / I(u ) = = inf I(u)} =. Тогда сумма uU g(u) + d 0 при всех u U для любого d D1 = {d Rm / d d, d = g(u ) 0}.

Доказательство леммы аналогично доказательству леммы 1. Как в предыдущем слу чае, по исходным данным задачи (3), (4) определим функцию (u,, d) = [I(u) ]2 + [g(u) + d] [g(u) + d] + [Au b] [Au b], (21) где u U,, d D1.

Функции I(u), g(u) = (g1 (u),..., gm (u)) выпуклы на выпуклом множестве U0.

Пусть = (u,, d), множество V1 = U0 D1. Рассмотрим оптимизационную задачу () inf, V1, (22) где функция () = (u,, d) определяется по формуле (21). Пусть U ={u U /I(u )=I = = inf I(u)} множество решений задачи (3), (4), множество uU V = { = (u,, d ) V1 / ( ) = = inf ()} V -множество решений задачи (22).

Теорема 4 Пусть множество U = {u U / I(u ) = I = inf I(u)} =. Тогда:

uU 1) если u U – решение задачи выпуклого программирования (3), (4), то = (u,, d ) V – решение задачи (22), где = I(u ) = I, d = g(u ), (u,, d ) = 0;

2) если (u,, d ) V решение задачи (22) при (u,, d ) = 0, то u U U – решение задачи выпуклого программирования (3), (4);

3) если (u,, d ) 0, то задача выпуклого программирования (3), (4) не имеет решения.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Теорема 5 Пусть U0 выпуклое множество, функции I(u) C 2 (U0 ), gi (u) C 2 (U0 ) – выпуклы. Тогда:

1) множество V1 = U0 D1 выпукло;

2) для того чтобы функция (), V была выпукла, необходимо и достаточно, чтобы I(u) 0, g(u) + d 0, u U0,, d D1.

Если кроме того, для некоторой точки V множество M ()={V1 / ()()} ограничено, то множество V непусто, компактно и любая минимизирующая после довательность {n V1 } сходится к множеству V.

Доказательство. Рассмотрим первое слагаемое из суммы (21). Пусть 1 (u, ) = [I(u) ]2, u U0, R1, где I(u) C 2 (U0 ) выпуклая функция. Заметим, что I (u),, u, u U0,, Rn в силу выпуклости функции I(u) на U0. Поскольку ( ) ( ) 2[I(u) ]I (u) 2I (u)[I (u)] + 2[I(u) ]I (u) 2I (u) 1 (u, ) =, 1 (u, ) =, 2[I (u)] 2[I(u) ] u U0,.

Для того чтобы функция 1 (u, ) C 2 (U0 R1 ) была выпуклой функцией необходимо и достаточно, чтобы (u, ) 0, u U0,.

Далее, применяя известную лемму о том, что: матричное неравенство ( ) Gg g равносильно неравенству Gg1 g0, где 1 0. Для матрицы (u, ), G=2I (u)[I (u)] + 1 +2[I(u) ]I (u), g = 2I (u), 1 = 2. Отсюда следует, что (u, ) 0 тогда и только тогда, когда 2[I(u) ]I (u) 0, u U0,. По условию теоремы I(u) 0. Сле довательно, (u, ) 0 функция 1 (u, ) выпукла на выпуклом множестве U0 R1.

Аналогичным путем можно доказать выпуклость функции 2 () = [g(u)+d] [g(u)+d] на выпуклом множестве U0 D1. Поскольку функция 3 (u) = [Au b] [Au b] выпукла на выпуклом множестве U0. Тогда (u,, d) = 1 (u, ) + 2 (u, d) + 3 (u) выпуклая функция на выпуклом множестве V1.

Доказательства других утверждений теоремы следуют из доказательства теоремы 2. Теорема доказана.

Лемма 4 Пусть выполнены условия теоремы 5, и пусть, кроме того, существует число 0 такое, что | (1 ) (2 )| (1 ) (2 ), 1 2, 1, 2 V1.

(23) Тогда: 1) производные m u () [gi (u) + di ]gi (u) + 2A (Au b), = 2[I(u) ]I (u) + (24) i= () d () = 2[I(u) ], = 2[g(u) + d];

16 С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Исследование по математическому...

2) градиент (), V1 удовлетворяет условию Липшица | (1 ) (2 )| L|1 2 |, 1, 2 V1, (25) где L = 1/ 0 постоянная Липшица.

Доказательство. Первое утверждение теоремы непосредственно следует из вклю чения () C 2 (V1 ). При выполнении условия теоремы 5 функция () выпукла на выпуклом множестве V1. Тогда необходимо и достаточно выполнение условия (1 ) (2, 1 2 ) 0, 1, 2 V1.

По условию леммы выполнено неравенство (23). Из (23) следует, что | (1 ) (2 )|2 | (1 ) (2 )||1 2 |, 1, 2 V1.

Отсюда следует неравенство (25). Лемма доказана.

На основе формул (24), (25) строим последовательность {n } = {un, n, dn } V по следующему алгоритму:

un+1 = PU0 [un n u (n )], n+1 = P [n n (n )], dn+1 = PD [dn n d (n )], (26) n = 0, 1, 2,..., 0 0 n, 1 0, L + где L = const 0 постоянная Липшица из (25).

Теорема 6 Пусть выполнены условия теоремы 5, последовательности {un } U0, {n }, {dn } D1 определяются по формуле (26). Тогда:

1) последовательность {n } M (0 ) является минимизирующей, lim (n ) = = inf ();

n V 2) последовательность {n } M (0 ) сходится к множеству V, V =, un u, n, dn d при n, (u,, d ) V ;

3) справедлива оценка скорости сходимости c2 0 (n ) ·, n = 1, 2,..., 1 n где c1 = sup | ()| + d, d диаметр множества M (0 );

V 4) задача выпуклого программирования (3), (4) имеет решение тогда и только то гда, когда ( ) = 0;

5) задача выпуклого программирования (3), (4) не имеет решения при ( ) 0.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.

Пример 2. Решить задачу выпуклого программирования I(u) = 8u2 + 10u2 12u1 u2 + 50u1 80u2 inf (27) 1 Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) u U = {u = (u1, u2 ) R2 /u U0, g1 (u) = 8u2 +u2 2 0, g2 (u) = u1 +u2 1 = 0}, (28) 2 u0 = {u = (u1, u2 ) R2 / u1 0, u2 0}. (29) Заметим, что множество U0 R2 выпукло, функция I(u) выпукла на множестве U0, так как симметричная матрица ( ) 16 0, I (u), 0, R2, u.u U0.

I (u) = 12 Легко проверить, что функции g1 (u), g2 (u) выпуклы на множестве U0. Итак, задача (27)-(29) является задачей выпуклого программирования.

Функция (u,, d) = [I(u) ]2 + [8u2 + u2 2 + d]2 + [u1 + u2 1]2, 1 u U0,, d D1 = {d d }, V = U0 D1, = (u,, d) V1.

Производные ( ) 2[I(u) ](16u1 12u2 + 50) + 32u1 (8u2 + u2 2 + d) + 2(u1 + u2 1) 1 u () =, 2[I(u) ](20u2 12u1 80) + 4u2 (8u2 + u2 2 + d) + 2(u1 + u2 1) 1 () = 2[I(u) ], d () = 2(8u2 + u2 2 + d).

1 Последовательности = PU0 [u1 n u1 (n )], u2 = PU0 [u2 n u2 (2 )], (n+1) (n) (n+1) (n) u n+1 = P [n n (n )], dn+1 = PD1 [dn n d (n )], n = 0, 1, 2,..., 1 (n) (n) = 0, 05. Предельные точки u1 u1 = 0, u2 u2 = 1, n = 70, где n = L dn d = 0 при n. Решение задачи выпуклого программирования (27)-(29):

u1 = 0, u2 = 1, I(u ) = = 70. Значение (u,, d ) = 0.

4. Исследование по нелинейному программированию Рассмотрим задачу нелинейного программирования (6), (7). Определим функцию (u,, d) = [I(u) ]2 + [g(u) + d] [g(u) + d] + [(u)] [(u)], (30) g g где g(u) = (g1 (u),..., gm (u)), g (u) = (gm+1 (u),..., gs (u)).

Пусть = (u,, d), u U0,, d D1 = {d Rm / d d }. Множество V = U0 D1. Наряду задачи нелинейного программирования (6), (7), рассмотрим оптимизационную задачу () inf, V, (31) где ()=(u,, d) определяется по формуле (30). Пусть множество U ={u U / I(u ) = = I = inf I(u)} – решение задачи (6), (7), множество uU V = { = (u,, d ) V / ( ) = = inf ()} V -множество решений задачи (31).

18 С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Исследование по математическому...

Теорема 7 Пусть множество U =. Тогда:

1) если u U – решение задачи нелинейного программирования (6), (7), то = (u,, d ) V – решение задачи (31), где = I(u ) = I, d = g(u ), (u,, d ) = 0;

2) если (u,, d ) V – решение задачи (31) при (u,, d ) = 0, то u U – решение задачи нелинейного программирования (6), (7);

3) если (u,, d ) 0, то задача нелинейного программирования (6), (7) не имеет решения.

Доказательство теоремы аналогично доказательствам теорем 1,4.

Теорема 8 Пусть U0 выпуклое множество, функции I(u) C 2 (U0 ), gi (u) C 2 (U0 ), i = 1, s. Тогда:

1) множество V = U0 R1 D выпукло;

2) для того чтобы функция (), V была выпукла, необходимо и достаточно, чтобы матрица () порядка (n + s + 1) (n + s + 1) была неотрицательной.

Если, кроме того, для некоторой точки V множество M ()={V /()()} ограничено, то множество V непусто, компактно и любая минимизирующая после довательность {k V } сходится к множеству V.

Доказательство теоремы аналогично доказательствам теорем 2,5.

Пусть функция () C 1,1 (V ), т.е. () C 1 (V ) и градиент (), V удовлетво ряет условию Липшица | (1 ) (2 )| L|1 2 |, 1, 2 V. Строим последователь ности {un }, {n }, {dn } по следующему алгоритму:

un+1 = PU0 [un n u (n )], n+1 = P [n n (n )], (32) = PD1 [dn n d (n )], 0 0 n dn+1, 1 0, n = 0, 1, 2,..., L + m s где u () = 2[I(u) ]I (u) + g [gi (u) + di ]gi (u) + 2 gi (u)i (u), i=1 i=m+ () = 2[I(u) ], d () = 2[g(u) + d].

Теорема 9 Пусть U0 выпуклое множество, функция () C 1,1 (V ), последователь ности {un } U0, {n }, {dn } D1 определяются по формуле (32). Тогда:

1) (n ) (n+1 ) 1 |n n+1 |2, n = 0, 1, 2,... ;

2) lim |n n+1 | = 0.

n Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3 (см. (16)). Поскольку значение () 0, V, то функция () ограничена снизу.

Теорема 10 Пусть выполнены условия теоремы 9, и пусть, кроме того, (), V выпуклая функция, множество M (0 ) = { V / () (0 )} ограничено. Тогда:

1) последовательность {n } = {un, n, dn } M (0 ) является минимизирующей lim (n ) = = inf ();

n V 2) последовательность {n } M (0 ) сходится к множеству V, V = ;

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) 3) справедлива следующая оценка скорости сходимости c 0 (n ), c1 = const 0, n = 1, 2,... ;

n 4) задача нелинейного программирования (6), (7) имеет решение тогда и только тогда, когда ( ) = 0, = (u,, d ) V, где u U решение задачи нелинейного программирования (6), (7);

5) если значение ( ) 0, то задача нелинейного программирования (6), (7) не имеет решения.

При выполнении условия теоремы задача (31) является задачей выпуклого програм мирования и доказательство теоремы следует из теорем 3, 6.

Следует отметить, что в ряде случаев несмотря на то функции I(u), gi (u) i = 1, s не выпуклые, однако функции [I(u) ]2, [gi (u) + d]2, [gi (u)]2 могут быть выпуклыми.

Напр. gi (u) = u3 не выпуклая функция, [gi (u)]2 = u6 выпуклая функция.

5. Заключение Создан единый метод решения задачи математического программирования, основан ный на последовательном сужении области допустимых решений, ориентированный на применения современных компьютеров.

Отличительной особенностью нового подхода от известных методов (симплекс-метод, метод множителей Лагранжа) состоит в том, что: осуществляется переход от исходной задачи к равносильной задаче с ограниченной снизу функцией цели;

сформулированные необходимые и достаточные условия существования решения задачи математическо го программирования;

построения минимизирующих последовательностей, предельные точки которых являются решениями задачи математического программирования.

Научная новизна созданного метода решения задачи математического программи рования заключается в том, что: нет необходимости определения крайних точек и осу ществить переход от одной крайней точки в другую, зачастую связанный с зациклива нием;

метод применим как вырожденным, так и невырожденным задачам математиче ского программирования;

решения задач выпуклого и нелинейного программирования не связаны с поиском седловой точки функции Лагранжа;

в ряде случае переход от исходной задачи к равносильной задаче позволяет свести решения задачи нелинейного программирования к решению задачи выпуклого программирования.

Список литературы [1] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ // Изд-во "Мир". – М.: 1973. – 470 с.

[2] Ашманов С.А. Линейное программирование. – М.: Наука, 1981.– 304 с.

[3] Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1980.

– 518 с.

20 С.А. Айсагалиев, Ж.К. Айсагалиев Исследование по математическому...

References [1] Rokafellar R. Vypuklyi analiz // Izd-vo "Mir". – М.: 1973. – 470 s.

[2] Ashmanov S.А. Lineinoe programmirovanie. – М.: Nauka, 1981.– 304 s.

[3] Vasil’eva F.P. Chislennye metody resheniya ekstremal’nyh zadach. – М.: Nauka, 1980. – 518 s.

Поступила в редакцию 25 апреля 2013 года Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) УДК 517.968. С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова Казахского национального университета им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан;

e-mail: Serikbai.Aisagaliev@kaznu.kz К математической теории управляемых процессов Предлагаются методы построения программных и позиционных управлений для про цессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями при нали чии краевых условий с учетом ограничений на управления. Разработан алгоритм решения задачи оптимального быстродействия на основе решения задачи управляе мости. Решены две задачи: существование решения задачи управляемости и постро ение множества всех управлений, каждый элемент которого переводит траекторию системы из любого начального состояния в заданное конечное состояние.

Основой предлагаемых методов построения программных и позиционных управлений является интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Получено необходимое и достаточное условие существования решения интегрального уравнения. Найдено общее решение одного класса интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

Показано, что решения проблем управляемости для линейных и нелинейных регу лируемых систем могут быть сведены к решению начальной задачи оптимального управления специального вида. Приведены алгоритмы построения минимизирующих последовательностей и оценки их скорости сходимости.

Ключевые слова: программное управление, позиционное управление, оптимальное быстродействие, минимизирующие последовательности.

S.A. Aisagaliev, M.E. Shangitova To mathematical theory of control processes The methods of building program and positional controls for processes described by ordinary dierential equations in the presence of boundary conditions with the restrictions on the control are developed. An algorithm for solving problem of optimal fast action based on the solution of the controllability problem is elaborated. Two problems are solved: the existence of the controllability problem’s solution and the construction of the set of all controls, each element of which transfers trajectory of the system from any initial state to a given nal state.

The basis of the proposed methods of constructing program and positional control is a Fredholm integral equation of the rst kind. The necessary and sucient condition for existence of the solution of the integral equation was received. A general solution of one class of Fredholm integral equation of the rst kind was found.

It is shown that the solutions of problems of controllability of linear and nonlinear control systems can be reduced to the solution of the initial problem of optimal control of a special type. Algorithms for minimizing sequences and estimation of their rate of convergence are given.

Key words: {program control,positional control,optimal fast action,minimizing sequences.} 22 С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова К математической теории...

С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова Басарлатын процесстердiн математикалы теориясына Басарудаы шектеудi ескеретiн шекаралы шартты арапайым дифференциалды тедеулермен сипатталатын рдiстер шiн бадарламалы (программалы) жне баыт ты басару дiстерiнi рылымы сынылады. Басару есебi шешiмiнi негiзiнде тиiмдi тезрекет есебiн шешу алгоритмi рылды. Екi есеп шешiлдi: басару есебi шешiмiнi бар болуы жне рбiр элементi жйе траекториясын кез - келген бастапы кйден берiл ген соы кйге кшiретiн барлы басарулар жиыныны рылуы.

Бадарламалы (программалы) жне баытты басаруды руды сынылатын дiсте рiнi негiзi бiрiншi тектi Фредгольм интегралды тедеуi болып табылады. Интеграл ды тедеу шешiмi бар болуыны ажеттi жне жеткiлiктi шарттары алынды. Бiрiншi тектi Фредгольм интегралды тедеуiнi бiр класыны жалпы шешiмi табылды.

Басару мселесiндегi сызыты жне сызыты емес реттелетiн жйелердi шешiмi ар найы трдегi бастапы тиiмдi басару есебi шешiмiне сйкестiгi крсетiледi. Жинаталу жылдамдытарыны баалаулары мен тiзбектердi минимизациялау алгоритiмi келтiрiл ген.

Тйiн сздер: {программалы басару, позициялы басару, тиiмдi тез серету, ми нимумдаушы тiзбектер } Истоком современной теории управляемости была работа Р.Е.Калмана [1]. Им по строено управление с минимальной нормой и получен ранговый критерий управля емости линейных стационарных систем. Решение задачи управляемости на основе l проблемы моментов было предложено Н.Н.Красовским [2]. Отдельные вопросы управ ляемости: наименьшая размерность вектора управления, управляемость нелинейных си стем с малым параметром, управляемость линейных систем с последействием исследо ваны в работах [3,4]. Обзор состояния проблемы управляемости до начала XXI века приведен в [5].

Общая задача управляемости обыкновенных дифференциальных уравнений сформу лирована в монографии [6]. Последние годы опубликован ряд научных статей посвящен ных проблемам управляемости и оптимального быстродействия динамических систем.

Синтезу ограниченного управления (позиционное управление) линейными динамиче скими системами на основе функции Ляпунова посвящена работа [7]. Геометрический подход к проблеме управляемости неавтономных линейных систем исследован в работе [8].

Проблема управляемости тесно связана с решением проблем стабилизации динами ческих систем. В работе [9] рассматривается задача стабилизации нулевого положения равновесия билинейных и аффинных систем канонического вида. Минимальные стаби лизаторы для линейных динамических систем исследованы в [10]. Следует отметить, что в указанных работах исследованы частные случаи общей задачи управляемости и быстродействия динамических систем без фазовых и интегральных ограничений.

Актуальными и нерешенными проблемами управляемости и оптимального быстро действия являются необходимые и достаточные условия разрешимости общей задачи управляемости и быстродействия, конструктивный метод построения решения общей задачи управляемости и быстродействия для обыкновенных дифференциальных урав нений.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Результаты полученные в данной работе являются продолжением научных исследо ваний, изложенных в [4,5, 11 - 14].

1. Постановка задачи Рассмотрим управляемый процесс описываемый дифференциальным уравнением x = A(t)x + B(t)u(t) + µ(t), t [t0, t1 ] = I, (1) с краевыми условиями x0 = x(t0 ) S0, x1 = x(t1 ) S1, S0 Rn, S1 Rn, (2) с ограничением на значения управления u(t) U (t) = {u(·) L2 (I, Rm )/u(t) V (t) Rm, п.в.t I.} (3) Здесь A(t), B(t) – матрицы порядков nn, nm соответственно с кусочно-непрерывными элементами, S0, S1 – заданные ограниченные выпуклые замкнутые множества, V (t), t I – заданное множество в Rm, µ(t), t I – заданная вектор-функция с кусочно непрерывными элементами. В частности, множества S0, S1 содержат единственные эле менты x0 Rn, x1 Rn соответственно. Множество V = {1 ui (t) 1, i = 1, m, п.в. t I}.

Задача 1 Пусть U = L2 (I, Rm ), V = Rm. Найти все множества программных и позиционных управлений, каждый элемент которого переводит траекторию системы (1) из любой начальной точки x0 = x(t0 ) S0 = Rn в любую заданную точку x1 = x(t1 ) S1 = Rn, где t0, t1 – фиксированы, t1 t0.

Задача 2 Найти программное и позиционное управление для системы (1), которое переводит траекторию системы из любой начальной точки x0 = x(t0 ) S0 = Rn в любую заданную точку x1 = x(t1 ) S1 = Rn, когда u(t) U (t), t I, где множество U (t), t I определяется по формуле (3). Разработать алгоритм построения решения задачи оптимального быстродействия для системы (1) - (3), когда момент времени t1 – не фиксирован.

Определение 1 Пусть управление u(t) U (t), t I переводит траекторию системы (1) из начальной точки x0 Rn в точку x1 Rn, а функция x(t) = x(t, u), x(t0 ) = x0, x(t1 ) = x1 – решение системы (1). Тогда искомое управление u(t) = u(t, x0, x1 ) U (t), t I называется программным, а искомое управление вида u(x, t), t I, где x = x(t), t I называется позиционным (или синтезирующим) управлением.

Определение 2 Пусть t0 – фиксированный момент времени, а величина t1 t0 – нефиксирована. Решение задачи 2, соответствующее наименьшему значению конечно го момента времени t1, называется решением задачи оптимального быстродействия.


В теории регулируемых систем рассматриваются абсолютная устойчивость положе ния равновесия уравнения [15]:

x = Ax + B(), = Sx, x(0) = x0, t [0, ), (4) 24 С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова К математической теории...

с включениями () 0 = {i () C(I, Rm )/0 i (i )i µ0i i, i (0) = 0, i = 1, m}, (5) () 1 = {() C(I, Rm )/0 i (i )i µ0i i, i (0) = 0, |i (i )| i, (6), Rm, 0 i, i = 1, m}.

Здесь A, B, S – заданные постоянные матрицы порядков n n, n m, m n соответ ственно.

Для решения многих прикладных задач представляет интерес решения задач управ ляемости для регулируемых систем.

Пусть уравнения движения регулируемой системы имеет вид:

x = Ax + B(u) + µ(t), t I = [t0, t1 ], (7) x(t0 ) = x0 Rn, x(t1 ) = x1 Rn, (8) u(t) U (t) = {u(·) L2 (I, Rm )/u(t) V (t), t I}, (9) где функция (u) фиксированные элементы следующих множеств:

(u) 0 = {(u) C(I, Rm )/0 i (ui )ui µ0i u2, i (0) = 0, i = 1, m}, (10) i (u) 1 = {(u) C(I, Rm )/0 i (ui )ui µ0i u2, i (0) = 0, i = 1, m, i (11) |i (ui )| i, u, u R, 0 i, i = 1, m}.

m Как следует из (4) - (6) и (7) - (11), управляемость регулируемых систем рассматривается на конечном отрезке времени I = [t0, t1 ], функция (t), t [0, ) заменена на управление u(t) U (t), t I = [t0, t1 ], функция (u) фиксированный элемент множества 0 (либо 1 ).

Задача 3 Пусть (u) 0 – заданная функция. Найти все множества программ ных и позиционных управлений, каждый элемент которого переводит траекторию системы (7) из любой начальной точки x0 = x(t0 ) S0 = Rn в любую заданную точку x1 = x(t1 ) S1 = Rn, когда множество U = L2 (I, Rm ), t0, t1 – фиксированные моменты времени t1 t0.

Задача 4 Пусть (u) 1 заданная функция. Найти программное и позиционное управления из множества U (t) L2 (I, Rm ), которые переводят траекторию системы (7) из любой начальной точки x0 = x(t0 ) S0 = Rn в любую заданную точку x1 = x(t1 ) S1 = Rn за время t1 t0, t1 t0. Разработать алгоритм построения решения задачи оптимального быстродействия для системы (7) - (9), когда момент времени t1 – нефиксирован.

Построения всех множеств программных или позиционных управлений в задачах 1,3, когда множество U L2 (I, Rm ), являются нерешенными проблемами теории управ ляемости как для линейных динамических систем, так и для нелинейных регулируемых систем.

Решения задач 2, 4 актуальны для систем с ограниченными ресурсами.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) 2. Интегральное уравнение.

Решения задач 1-4 связаны со свойствами решений одного класса интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Ниже приведены результаты исследования по ин тегральному уравнению, приведенные в работах автора [11, 12].

Рассмотрим интегральное уравнение следующего вида t K(t0, t)u(t)dt = a, t I = [t0, t1 ], (12) Ku = t где K(t0, t) = Kij (t0, t), i = 1, n, j = 1, m – известная матрица порядка nm с кусочно непрерывными элементами по t при фиксированных t0, t1, u(·) L2 (I, Rm ) – искомая функция, оператор K : L2 (I, Rm ) Rn, a Rn заданный вектор.

Теорема 1 Интегральное уравнение (12) при любом a Rn имеет решение тогда и только тогда, когда матрица t K(t0, t)K (t0, t)dt (13) C(t0, t1 ) = t порядка n n является положительно-определенной, где (*)- знак транспонирования.

Теорема 2 Пусть матрица C(t0, t1 ) 0. Тогда общее решение интегрального уравне ния (12) имеет вид t u(t) = K (t0, t)C 1 (t0, t1 )a + (t) K (t0, t)C 1 (t0, t1 ) K(t0, t)(t)dt, t I, (14) t где (·) L2 (I, Rm ) – произвольная функция, a Rn – любой вектор.

3. Управляемость и оптимальное быстродействие линейных динамических систем.

А. Пусть уравнения движения управляемого процесса имеют вид (1), x0 = x(t0 ) S0 = Rn, x1 = x(t1 ) S1 = Rn – заданные точки, искомое управление u(·) L2 (I, Rm ) U, матрица t (t0, t)B(t)B (t) (t0, t)dt, (15) W (t0, t1 ) = t где (t, ) = (t)1 ( ), (t) – фундаментальная матрица решений линейной однородной системы = A(t), т.е. (t) = A(t), (t0 ) = In, t I, In – единичная матрица порядка n n.

Программное управление. Следующая теорема позволяет выделить все множе ства программных управлений из L2 (I, Rm ) для задачи 1.

26 С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова К математической теории...

Теорема 3 Пусть матрица W (t0, t1 ) порядка nn положительно определенная. Тогда управление u(·) L2 (I, Rm ) переводит траекторию системы (1) из любой начальной точки x0 Rn в любое заданное конечное состояние x1 Rn тогда и только тогда, когда u(t) = {u(·) L2 (I, Rm )/u(t) = (t) + 1 (t, x0, x1 ) + N1 (t)z(t1, ), (16) t I, (·) L2 (I, Rm )}, где t 1 (t, x0, x1 ) = B (t) (t0, t)W 1 (t0, t1 )[(t0, t1 )x1 x0 (t0, t)µ(t)dt], t N1 (t) = B (t) (t0, t)W 1 (t0, t1 )(t0, t1 ), t I, функция z(t, ), t I решение дифференциального уравнения z = A(t)z + B(t)(t), z(t0 ) = 0,, (·) L2 (I, Rm ). (17) Решение дифференциального уравнения (1), соответствующее управлению u(t), t I, определяется по формуле x(t) = z(t, ) + 2 (t, x0, x1 ) + N2 (t)z(t1, ),, (·) L2 (I, Rm ), (18) где 2 (t, x0, x1 ) = (t, t0 )W (t, t1 )W 1 (t0, t1 )x0 + (t, t0 )W (t0, t)W 1 (t0, t1 ) t (t, )µ( )d (t, t0 )W (t0, t)W 1 (t0, t1 ) (t0, t1 )x1 + t t (t0, t)µ(t)dt, t I, t t (t0, )B( )B ( ) (t0, )d, N2 (t) = (t, t0 )W (t0, t)W (t0, t1 )(t0, t1 ), W (t0, t) = t W (t, t1 ) = W (t0, t1 ) W (t0, t), t I, матрица W (t0, t1 ) определяется по формуле (15).

Позиционное управление. На основе найденного множества программных управ лений (16) может быть построено множество позиционных управлений 1 для задачи 1.

Теорема 4 Пусть выполнены следующие условия:

1) матрица W (t0, t1 ) положительно определенная;

2) матрица R1 порядка n n такая, что x1 = R1 x0 ;

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) 3) матрица (t) = (t, t0 )(t)+(t, t0 )W (t, t1 )W 1 (t0, t1 )+(t, t0 )W (t0, t)W 1 (t0, t1 ) (t0, t1 )R1 (t, t0 )W (t0, t)W 1 (t0, t1 )(t0, t1 )(t1 ), t I порядка n n неособая,где t произвольная функция (t) = H(t)x0, (t) = (t0, )B( )H( )d, t I.

t Тогда множество позиционных управлений представимо в виде 1 = {u(t) L2 (I, Rm )/u(t) = u(x, t) = K(t)x(t) + (t), H(t), t I}, (19) где H(t) произвольная матрица порядка m n, матрица [ ] K(t) = {H(t) + B (t) (t0, t)W 1 (t0, t1 ) (t0, t1 )R1 In (20) B (t) (t0, t)W 1 (t0, t1 )(t0, t1 )(t1 )}1 (t), t I, t [ (t, )µ( )d (t, t0 )W (t0, t)W 1 (t0, t1 ) (t) = K(t) t (21) t1 t ] (t0, t)µ(t)dt + B (t) (t0, t)W 1 (t0, t1 ) (t0, t)µ(t)dt.

t0 t Б. Решение задачи 2. Как следует из теоремы 3, множество всех управлений, каждый элемент которого переводит траекторию системы (1) из x0 в x1, определяется по формуле (16). Для решения задачи 2 следует найти управление из пересечения множеств U и. Для этого необходимо решить следующие две задачи: 1) показать, что U =, – пустое множество;

2) найти точки из множества U.

Решение указанных задач может быть сведено к решению следующей оптимизаци онной задачи: минимизировать функционал t (t) + 1 (t, x0, x1 ) + N1 (t)z(t1, ) u(t) dt inf (22) I(, u) = t при условиях z = A(t)z + B(t)(t), z(t0 ) = 0, t I = [t0, t1 ], (·) L2 (I, Rm ), (23) u(t) U (t) = {u(·) L2 (I, Rm )/u(t) V (t) Rm, п.в. t I}. (24) Заметим, что: 1) поскольку значение I(, u) 0, (, u) L2 (I, Rm ) U, то задача имеет решение тогда и только тогда, когда значение I(, u ) = 0, где (, u ) – решение оптимизационной задачи (22)-(24);

2) если I(, u ) = 0, то решение задачи 2 определя ется по формуле u (t) = (t) + 1 (t, x0, x1 ) + N1 (t)z(t1, ), t I, где z(t, ), t I – решение дифференциального уравнения (23) при = ;

3) значение функционала I(, u) ограничено снизу.

28 С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова К математической теории...

Программное управление. Оптимизационная задача (22) - (24) может быть реше на путем построения минимизирующих последовательностей {n } L2 (I, Rm ), {un } U, для которых lim I(n, un ) = I = inf I(, u), (, u) X = L2 (I, Rm ) U. Если I = 0, n то задача 2 имеет решение. В случае I 0 задача 2 не имеет решение.

Обозначая F0 (q, t) = (t) + 1 (t, x0, x1 ) + N1 (t)z(t1, ) u(t), где q = ((t), u(t), z(t1 )), функционал (22) представим в виде t I(, u) = F0 (q(t), t)dt.

t Теорема 5 Пусть матрица W (t0, t1 ) 0. Тогда функционал (22) при условиях (23), (24) непрерывно дифференцируем по Фреше, градиент функционала I (, u) = (I (, u), Iu (, u)) L2 (I, Rm ) L2 (I, Rm ) = H, в любой точке (, u) X вычисляется по формуле F0 (q, t) B (t)(t) L2 (I, Rm ), (25) I (, u) = F0 (q, t) Iu (, u) = L2 (I, Rm ), (26) u где z(t, ), t I – решение дифференциального уравнения (23), а функция (t), t I – решение сопряженной системы t F0 (q, t) = A (t), (t1 ) = (27) dt.

z(t1 ) t Кроме того, градиент I (, u) H – удовлетворяет условию Липшица ( ) I (1, u1 ) I (2, u2 ) L2 l 1 2 2 2 + u1 u2 2 2 2, L L (28) 1, 2 L2 (I, Rm ), u1, u2 U.

На основе формул (25) - (28) строим последовательности {n } L2 (I, Rm ), {un } U по следующему алгоритму n+1 = n n I (n, un ), un+1 = PU [un n Iu (n, un )], n = 0, 1, 2,..., (29) где 0 n l+21, 0 0, 1 0, n = 0, 1, 2,.... В частности, при 1 = 2 имеем 2 l 0 = n = 1, где l = const 0 – постоянная Липшица из (28). Здесь PU [·] – проекция l точки на множество U. Как следует из теоремы 5, функционал I(, u) C 1,1 (X).

Лемма 1 Пусть U – ограниченное выпуклое замкнутое множество в L2 (I, Rm ). Тогда:

1) функционал I(, u) C 1,1 (X) из (22) при условиях (23), (24) является выпуклым;

2) функционал I(, u) C 1,1 (X) достигает нижней грани на множестве L (I, Rm ) U, где L (I, Rm ) = {(·) L2 (I, Rm )/ }, 0 – достаточно большое число.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Теорема 6 Пусть матрица W (t0, t1 ) 0, множество U – ограниченное выпуклое за мкнутое множество, последовательности {n } L2 (I, Rm ), {un } U определяются по формуле (29). Тогда:

1) последовательности {n }, {un } являются минимизирующими, т.е.

lim I(n, un ) = I = inf I(, u);

n (,u)X 2) последовательности {n }, {un } слабо сходятся к множеству сл сл X = {(, u ) X / I(, u ) = I }, n, un u при n ;


3) справедлива следующая оценка скорости сходимости m I(n, un ) I(, u ), n = 1, 2,..., m0 = const 0;

n 4) для того чтобы задача 2 имела решение, необходимо и достаточно, чтобы зна чение I(, u ) = I = 0.

Позиционное управление. На основе найденного программного управления (??) может быть построено позиционное управление.

Теорема 7 Пусть выполнены следующие условия:

1) матрица W (t0, t1 ) 0, значение I( ) = I(, u ) = 0;

2) матрица R1 порядка n n такая, что x1 = R1 x0 ;

3) функция (t) = H (t)x0, H (t) – матрица порядка n m, 4) матрица 1 (t) = (t, t0 ) (t)+(t, t0 )W (t, t1 )W 1 (t0, t1 )+(t, t0 )W (t0, t)W 1 (t0, t1 ) (t0, t1 )R1 (t, t0 )W (t0, t)W 1 (t0, t1 )(t0, t1 ) (t1 ), t I порядка n n неособая, где t (t) = (t0, )B( )H ( )d, t I. Тогда позиционное управление t u (x, t) = K (t)x (t) + (t), t I, где K (t) = {H (t) + B (t) (t0, t)W 1 (t0, t1 )[(t0, t1 )R1 In ] B (t) (t0, t)W 1 (t0, t1 )(t0, t1 ) (t1 )}1 (t), t I t [ (t, )µ( )d (t, t0 )W (t0, t)W 1 (t0, t1 ) (t) = K (t) t t1 t ] (t0, t)µ(t)dt + B (t) (t0, t)W 1 (t0, t1 ) (t0, t)µ(t)dt.

t0 t 30 С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова К математической теории...

Решение дифференциального уравнения (1), соответствующее управлению (??), рав но x (t) = z(t, ) + 2 (t, x0, x1 ) + N2 (t)z(t1, ), t I.

Оптимальное быстродействие. Решение задачи 2, соответствующее наименьше му значению конечного момента времени при фиксированном t0, называется решением задачи оптимального быстродействия.

Предположим, что найдено управление u (t) U, t [t0, t1 ] из решения задачи 2, где t0, t1 t0 – заданные величины.

Пусть t t0 наименьшее значение t1, для которого значение I( ) = 0. Необходимо найти управление u (t) U, t [t0, t ], t t1, которое переводит траекторию системы (1) из заданной начальной точки x0 Rn в момент времени t0 в заданную точку x1 = x(t ) за кратчайшее время t t0.

Выберем t11 = t1 /2. По изложенному алгоритму находим управление u (t) U (t), t [t0, t11 ] и траекторию x (t) = x (t, u ), t [t0, t11 ]. Если для данной пары (u, x ) значение I(u, x ) = 0, то выберем значение t12 = t1 /4, t12 t11 и т.д. В случае, если I(u, x ) 0, то выберем t12 = 3t1 /4 и т.д.

4. Управляемость и оптимальное быстродействие нелинейных регулируе мых систем.

А. Решение задачи 3. Пусть нелинейная функция (u) 0, уравнение движения регулируемой системы имеет вид (7), где x0 = x(t0 ) Rn, x1 = x(t1 ) Rn – заданные точки, управления u(t) L2 (I, Rm ).

Наряду (7) - (9) рассмотрим линейную управляемую систему y = Ay + B(t) + µ(t), t I = [t0, t1 ], (30) y(t0 ) = x0 Rn, y(t1 ) = x1 Rn, (·) L2 (I, Rm ). (31) Заметим, что если (t) = (u(t)), t I, то y(t) = x(t), t I, где x(t) – решение дифференциального уравнения (7) с условиями (8), (9). Для управляемой системы (30), (31) верны утверждения теорем 3, 4.

Программное управление. Следующая теорема определяет множества программ ных управлений для системы (30), (31).

t (t t) eA(t0 t) BB eA dt порядка n n поло Теорема 8 Пусть матрица W1 (t0, t1 ) = t жительно определенная. Тогда управление (·) L2 (I, Rm ) переводит траекторию системы (30) из любой начальной точки y(t0 ) = x0 Rn в любое заданное конечное состояние y(t1 ) = x1 Rn тогда и только тогда, когда (t) = {(·) L2 (I, Rm ) / (t) = (t) + 1 (t, x0, x1 ) + S1 (t)(t1, ), (32) t I, (·) L2 (I, Rm )}, где t A (t0 t) W1 (t0, t1 )[eA(t0 t1 ) x eA(t0 t) µ(t)dt], x 1 (t, x0, x1 ) = B e t Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) (t S1 (t) = B eA 0 t) W1 (t0, t1 )eA(t0 t1 ), t I, функция (t, ), t I – решение дифференциального уравнения = A + B(t), (t0 ) = 0,, (·) L2 (I, Rm ). (33) Решение дифференциального уравнения (30), соответствующее управлению (t), определяется по формуле y(t) = (t, ) + 2 (t, x0, x1 ) + S2 (t)(t1, ), t I, (34) где 1 2 (t, x0, x1 ) = eA(tt0 ) W1 (t, t1 )W1 (t0, t1 )x0 + eA(tt0 ) W1 (t0, t)W1 (t0, t1 ) t t A(t0 t1 ) W1 (t0, t)W1 (t0, t1 ) eA(t0 t) µ(t)dt, t I, e µ( )d e A(t ) A(tt0 ) x1 + e t0 t t (t S2 (t) = eA(tt0 ) W1 (t0, t)W1 (t0, t1 )eA(t0 t1 ), W1 (t0, t) = eA(t0 ) BB eA 0 ) d, t W1 (t, t1 ) = W1 (t0, t1 ) W1 (t0, t), t I.

Позиционное управление. На основе теоремы 8 можно сформулировать следую щие утверждения.

Теорема 9 Пусть выполнены следующие условия:

1) матрица W1 (t0, t1 ) 0;

2) матрица R1 порядка n n такая, что x1 = R1 x0 ;

1 3) матрица 1 (t) = eA(tt0 ) 1 (t)+eA(tt0 ) W1 (t, t1 )W1 (t0, t1 )+eA(tt0 ) W1 (t0, t)W1 (t0, t1 ) eA(t0 t1 ) R1 eA(tt0 ) W1 (t0, t)W1 (t0, t1 )eA(t0 t1 ) 1 (t1 ), t I порядка n n неособая, где t произвольная функция (t) = H1 (t)x0, 1 (t) = eA(t0 ) BH( )d, t I. Тогда множе t ство позиционных управлений представимо в виде 1 = {(t) / (t) = (y, t) = K1 (t)y(t) + (t), H1 (t), t I}, (35) где H1 (t) – произвольная матрица порядка mn с кусочно-непрерывными элементами, матрица [ ] K1 (t) = {H1 (t) + B eA (t0 t) W1 (t0, t1 ) eA(t0 t1 ) R1 In (36) B eA (t0 t) W1 (t0, t1 )eA(t0 t1 ) 1 (t1 )}1 (t) t I, t t [ ] eA(t ) µ( )d eA(tt0 ) W1 (t0, t)W1 (t0, t1 ) eA(t0 t) µ(t)dt + (t) = K1 (t) t0 t (37) t (t +B eA 0 t) eA(t0 t) µ(t)dt.

W1 (t0, t1 ) t 32 С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова К математической теории...

Пусть (t) = (1 (t),..., m (t)), функция (u) = (1 (u1 ),..., m (um )) 0, в частности, множество 0 = {(u) = (1 (u1 ),..., m (um )) C(I, Rm )/i (ui )ui 0, (38) i (0) = 0, i = 1, m, µ0i, i = 1, m}.

На практике часто встречаются функции i (ui ), i = 1, m такие, что { при ui 0;

k2i u2i 1i (ui ) = k1i ui, k1i 0, i = 1, m, 2i (ui ) = k2i u2 при ui 0, k2i 0, i = 1, m;

i { при ui 0;

k4i u i 3i (ui ) = k3i ui, k3i 0, i = 1, m, 4i (ui ) = k4i ui при ui 0, k4i 0, i = 1, m;

i (ui ) = 1i (ui ) + 2i (ui ) + 3i (ui ) + 4i (ui ), i = 1, m.

Теорема 10 Пусть выполнены следующие условия:

1) матрица W1 (t0, t1 ) положительно определенная;

2) функции i = i (ui ), i = 1, m имеют непрерывные обратные функции ui = 1 (i ), i i = 1, m.

Тогда: 1) множество программных управлений для задачи 3 равно u(t) U1 = {u(·) L2 (I, Rm )/ui (t) = 1 (i (t)), i = 1, m, i (39) (t) = (1 (t),..., m (t)) }, 2) множество позиционных управлений для задачи 3 равно u(x, t) U2 = {u(·) L2 (I, Rm )/ui (x, t) = 1 (i (x, t)), i (40) i = 1, m, (x, t) 1 }, где (t), (x, t) 1.

4. Пусть нелинейная функция (u) 1. В частности, Б. Решение задачи ui при |ui | 1;

при ui 1;

1i (ui ) = +1 2i (ui ) = arctgui, i = 1, m.

1 при ui 1, i = 1, m;

В этом случае необходимо рассмотреть линейную управляемую систему следующего вида y = Ay + B(t) + µ(t), t I = [t0, t1 ], y(t0 ) = x0 Rn, y(t1 ) = x1 Rn, (41) (t) T = {(·) L2 (I, Rm )/i i (t) i (t), i = 1, m, t I}. (42) Для решения задачи 4 необходимо найти управления из пересечения множеств T и.

Для этого необходимо решить следующую задачу: минимизировать функционал t |(t) + 1 (t, x0, x1 ) + S1 (t)(t1, ) (t)|2 dt inf (43) I1 (, ) = t Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) при условиях = A + B(t), (t0 ) = 0,, (·) L2 (I, Rm ), (44) (t) T = {(·) L2 (I, Rm )/i i (t) i, i = 1, m, t I}. (45) Теорема 11 Пусть матрица W1 (t0, t1 ) 0. Тогда функционал (43) при условиях (44), (45) непрерывно дифференцируем по Фреше, градиент I1 (, ) = (I1 (, ), I1 (, )) H, в любой точке (, ) X вычисляется по формуле I1 (, ) = 2[(t) + 1 (t, x0, x1 ) + S1 (t)(t, ) (t)] B (t) L2 (I, Rm ), (46) I1 (, ) = 2[(t) + 1 (t, x0, x1 ) + S1 (t)(t, ) u(t)] L2 (I, Rm ), (47) где (t, ), t I – решение дифференциального уравнения (44), а функция (t), t I решение сопряженной системы t = A, (t1 ) = 2S1 (t)[(t) + 1 (t, x0, x1 ) + S1 (t)(t1, ) u(t)]dt. (48) t Кроме того, градиент I1 (, ) H удовлетворяет условию Липшица I1 (1, 1 ) I1 (2, 2 ) l1 (1 2 2 + 1 2 2 )1/2, (49) 1, 2 L2 (I, Rm ), 1, 2 T.

Лемма 2 Функционал (43) при условиях (44), (45) является выпуклым и достигает нижней грани на множестве X.

Программное управление. На основе формул (46) - (49) строим последователь ности {n } L2 (I, Rm ), {n } T по следующему алгоритму n+1 = n n I1 (n, n ), n+1 = PT [n n I1 (n, n )], (50) 0 0 n, 1 0, n = 0, 1, 2,....

l1 + Отметим, что: 1) I1 (, ) C 1,1 (X);

2) I1 (, ) 0, (, ) X;

3) если I1 (, ) = 0, то (t) = (t) + 1 (t, x0, x1 ) + S1 (t)(t1, ), t I.

Теорема 12 Пусть матрица W1 (t0, t1 ) 0, последовательности {n } L2 (I, Rm ), {n } T определяются по формуле (50). Тогда:

1) последовательности {n }, {n } являются минимизирующими lim I1 (n, n ) = I1 = inf I1 (, );

n (,)X сл 2) последовательности {n }, {n } слабо сходятся к множеству X X, n, сл n при n, I1 (, ) = I1 ;

3) справедлива следующая оценка скорости сходимости I1 (n, n )I1 (, ) m10, n m10 = const 0, n = 1, 2,... ;

4) для того, чтобы задача 4 имела решение, необходимо и достаточно, чтобы зна чение I1 (, ) = 0.

34 С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова К математической теории...

В случае I1 (, ) = 0, имеем (t) = (t) + 1 (t, x0, x1 ) + S1 (t)(t1, ), t I, (51) y (t) = (t, ) + 2 (t, x0, x1 ) + S2 (t)(t1, ), t I. (52) Позиционное управление. Для системы (41), (42) верна следующая теорема.

Теорема 13 Пусть выполнены следующие условия:

1) матрица W1 (t0, t1 ) 0;

2) матрица R1 порядка n n такая, что x1 = R1 x0 ;

3) функция (t) = H (t)x0, H (t), t I матрица порядка n m;

t 4) матрица 1 (t) неособая, где 1 (t) = eA(t ) BH ( )d.

t Тогда позиционное управление (x, t) = K (t)y (t) + (t), t I, (53) где y (t), (t) определяются соотношениями (51), (52) соответственно.

Оптимальное быстродействие. Для системы (41), (42) алгоритм построения ре шения задачи оптимального быстродействия такой же, что в решении задачи 2.

Теорема 14 Пусть выполнены следующие условия:

1) матрица W1 (t0, t1 ) 0;

2) функция i = i (ui ), i = 1, m имеют непрерывные обратные функции ui = 1 (i ), i i = 1, m при i i i, i = 1, m.

Тогда: 1) программное управление ui (t) = 1 (i (t)) при i i (t) i ;

i ui (t) = i = 1, m при i (t) = i ;

i при i (t) = i ;

i 2) позиционное управление 1 (i (x, t)), если i i (x, t) i ;

i ui (x, t) = i = 1, m.

при i (x, t) = i ;

i при i (x, t) = i ;

i Список литературы [1] Калман Р.Е. Об общей теории систем управления. // Труды I Конгресса Между народной федерации по автоматическому управлению. Т.II. АН СССР. – 1961. – С.

521 - 547.

[2] Красовский Н.Н. Теория управления движением. – М.: Наука, 1968. – 475 с.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) [3] Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. – М.:

Наука, 1971. – 480 с.

[4] Зубов В.И. Лекции по теории управления. – М.: Наука, 1975. – 495 с.

[5] Айсагалиев С.А. Краевые задачи оптимального управления. – Алматы: аза уни верситетi, 1999. – 214 с.

[6] Айсагалиев С.А., Айсагалиев Т.С. Методы решения краевых задач. – Алматы: а за университетi, 2002. – 348 с.

[7] Ананьевский И.М., Анахин Н.В., Овсеевич А.И. Синтез ограниченного управления линейными динамическими системами с помощью общей функции Ляпунова. // Доклады РАН. – 2010. – Т.434. – № 3. – С. 319 - 323.

[8] Семенов Ю.М. О полной управляемости линейных неавтономных систем. // Диф ференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48. – № 9. – С. 126 - 127.

[9] Емельянов С.В., Крищенко А.П. Стабилизация нерегулярных систем. // Диффе ренциальные уравнения. – 2012. – Т. 48. – № 11. – С. 1515 - 1524.

[10] Коровин С.К., Капалин И.В., Фомичев В.В. Минимальные стабилизаторы для ли нейных динамических систем. // Доклады НАН РК. – 2011. – Т.441. – №5. – С. - 611.

[11] Айсагалиев С.А. Управляемость некоторой системы дифференциальных уравнений.

// Дифференциальные уравнения. – 1991. – Т.27. – № 9. – С. 1475 - 1486.

[12] Айсагалиев С.А. Общее решение одного класса интегральных уравнений. // Мате матический журнал. – 2005. – Т. 5. – №4(18). – С. 17 - 34.

[13] Айсагалиев С.А., Кабидолданова А.А. Оптимальное быстродействие нелинейных си стем с ограничениями. // Дифференциальные уравнения и процессы управления.

– 2010. – №1. – С. 30 - 55.

[14] Айсагалиев С.А., Белогуров А.П. Управляемость и быстродействие процесса, опи сываемого параболическим уравнением с ограниченным управлением. // Сибир ский математический журнал, январь - февраль. – 2011. – Т.53. – № 1. – С. 20 37.

[15] Айсагалиев С.А. Теория регулируемых систем. – Алматы: аза университетi, 2000.

– 234с.

References [1] Kalman R.E. Ob obshei teorii sistem upravleniya. // Trudy I Kongressa Mejdunarodnoi federacii po avtomaticheskomu upravleniu. T.II AN SSSR. – 1961. – S. 521 - 547.

[2] Krasovskii N.N. Teoriya upravleniya dvijeniem. – M.: Nauka, 1968. – 475 s.

36 С.А. Айсагалиев, М.Е. Шангитова К математической теории...

[3] Gabasov R., Kirillova F.M. Kachestvennaya teoriya optimalnyh processov. – M.: Nauka, 1971. – 480 s.

[4] Zubov V.I. Lekcii po teorii upravleniya. – M.: Nauka, 1975. – 495 s.

[5] Aisagaliev S.A. Kraevye zadachi optimalnogo upravleniya. – Almaty: Kazak universiteti, 1999. – 214 s.

[6] Aisagaliev S.A., Aisagaliev T.S. Metody resheniya kraevyh zadach. – Almaty: Kazak universiteti, 2002. – 348 s.

[7] Anan’evskii I.M., Anahin N.V., Ovseevich A.I. Sintez ogranichennogo upravleniya lineinymi dinamicheskimi sistemami s pomosh’u obshei funkcii Lyapunona. // Doklady RAN. – 2010. – T. 434. – № 3. – S. 319 - 323.

[8] Semenov U.M. O polnoi upravlyaemosti lineinyh neavtonomnyh system. // Dierencialnye uravneniya. – 2012. – T. 48. – № 9. – S. 126 - 127.

[9] Emel’yanov S.V., Krishenko A.P. Stabilizaciya neregulyarnyh sistem. // Dierencialnye uravneniya. – 2012. – T. 48. – № 11. – S. 1515 - 1524.

[10] Korovin S.K., Kapalin I.V., Fomichev V.V. Minimalnye stabilizatory dlya lineinyh dinamicheskih sistem. // Doklady NAN RK. – 2011. – T. 441. – № 5. – S. 606 - 611.

[11] Aisagaliev S.A. Upravlyaemost nekotoroi sistemy dierencialnyh uravnenii. // Dierencialnye uravneniya. – 1991. – T. 27. – № 9. – S. 1475 - 1486.

[12] Aisagaliev S.A. Obshee reshenie odnogo klassa integralnyh uravnenii. // Matematicheskii jurnal. – 2005. – T. 5. – № 4(18). – S. 17 - 34.

[13] Aisagaliev S.A., Kabidoldanova A.A. Optimalnoe bystrodeistvie nelineinyh sistem s ogranicheniyami. // Dierencialnye uravneniya i processy upravleniya. – 2010. – № 1.

– S. 30 - 55.

[14] Aisagaliev S.A., Belogurov A.P. Upravlyaemost i bystrodeistvie processa, opisyvaemogo parabolicheskim uravneniem s ogranichennym upravleniem. // Sibirskii matematicheskii jurnal, yanvar - fevral. – 2011. – T.53. – № 1. – S. 20 - 37.

[15] Aisagaliev S.A. Teoriya reguliruemyh sistem. – Almaty: Kazak universiteti, 2000. – 234 s.

Поступила в редакцию 25 апреля 2013 года 37 Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) УДК 517. Ж.Х. Жунусова Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан;

e-mail: zhzhkh@mail.ru Геометрические корни одной космологической модели Всевозрастающий интерес разрешения солитонных уравнений в (1+1)-размерности сделал прогресс в развитии математики, в частности, дифференциальной геометрии.

Для нахождения солитонного решения проявляется недостаточность геометрических формулировок. В этой связи мы даем геометрическое истолкование исследуемой моде ли. Рассмотрим теорию гравитации с метрикой, зависящей от кручения, так называе мую F (R, T ) гравитацию [1]-[2]. Изучаем геометрические корни такой теории. В част ности, приводим вывод модели с геометрической точки зрения. Представляем более общую форму F (R, T ) гравитации с двумя произвольными функциями и рассматри ваем ее в случае пространственно плоской метрики Фридмана-Робертсона-Уолкера.

Определяя ненулевые компоненты связи Леви-Чивита и кручения находим компо ненты искривления. Подобно им найдены ненулевые компоненты кривизны Риччи.

Наконец, приведены явные формы скаляров кривизны и кручения.

Ключевые слова: геометрия, кривизна, кручение, тензор, нелинейное уравнение, кос мология, космологическое ускорение, пространство-время, масштабный фактор, гра витация, солитонное решение.

Zh.Kh. Zhunussova Geometric roots of the cosmology model Arising of interest in solving of soliton equations in (1+1)-dimension made some progress in developing of mathematics, particularly, dierential geometry. Lack of geometric charachte ristics are appeared in undestanding of soliton solution. In this context, we give geometric explanation of the investigated model. We consider gravity theory with a metric-dependent on torsion, so-called F (R, T ) gravity [1]-[2]. We research geometric roots of the theory. In particular, we represent the model with geometric point of view. Moreover, the general form of F (R, T ) gravity with two arbitrarly functions is represented. It is considered in the case of Fridmann-Robertson-Walker spatially at metric. Contortion components are found by dening of non-vanishing torsion components and Levi-Civita connections. Similarly non vanishing Ricci curvature components are found. Finally, the explicit forms of curvature and torsion scalars are represented.

Key words: geometry, curvature, torsion, tensor, nonlinear equation, cosmology, cosmology acceleration, space-time, scale factor, gravity, soliton solution.

Ж.Х. Жунусова Геометрические корни... Ж.Х. Жнсова Космологиялы моделдi геометриялы бастаулары Солитонды тедеулердi (1+1)-лшемде шешудегi арындылы математиканы, со ны iшiнде дифференциалды геометрияны дамытты. Геометриялы сипаттамаларды жетiспеушiлiгi солитонды шешiмдердi iздеу кезiнде байалады. Сол себептен арас тырылып отыран моделдi геометрия трысынан талылады. Гравитация теориясын брандалытан туелдi метрикамен арастырды, ол F (R, T ) гравитация деп аталады [1]-[2]. Осындай теорияны геометриялы тбiрлерiн зерттеймiз. Яни, моделдi геомет риялы трысынан сипаттаймыз. Екi кез-келген функциямен F (R, T ) гравитацияны жалпы формасын келтiремiз. Оны Фридман-Робертсон-Уолкер кеiстiктегi жазы мет рикасы жадайында арастырамыз. Брандалыпен Леви-Чивита байланысыны нол дiк емес компоненттерiн анытап исайу компоненттерiн табамыз. Сондай-а Риччи и сытытыыны нолдiк емес компоненттерi табылан. Сонымен, исытыпен бранда лыты скалярларыны айын трлерi келтiрiлген. Тйiн сздер: геометрия, исыты, брандалы, тензор, сызыты емес тедеу, космология, космологиялы деу, уаыт кеiстiгi, масштабты фактор, гравитация, солитонды шешiм.

1.Введение. В космологическом контексте, мы находим ускоренное расширение Все ленной. Открытие ускоренного расширения Вселенной было большим прогрессом для современной космологии. Принято считать, что это космологическое ускорение благо даря некоторому виду материи с отрицательной формой давления известно как тем ная энергия. Природа темной энергии также как его космологическое происхождение остается неизвестной на настоящее время. Для того чтобы объяснить природу темной энергии и ускоренного расширения, широкая разновидность теоретических моделей бы ли предложены в литературе, такие, как квинтэссенция, фантомная, k-эссенция, тахи он, f -эссенция, газ Чаплыгина, g- эссенция, и т.д. Среди различных моделей темной энергии, модифицированные модели гравитации являются довольно интересными, по скольку они включают некоторые понятия квантовой и общей (классической) теории гравитации. Есть несколько измененных теорий гравитации, как F(R) гравитация, F (G) гравитация, F (T ) гравитация и т. д. [3]-[5]. Одним из интересных и перспективных вер сии модифицированных теорий гравитации является F (R, T ) гравитация. Недавно одна из версии F (R, T ) гравитации была предложена в работе [1] и некоторые его свойства были изучены в работе [2].



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.