авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«ISSN 1563 – 0285 Индекс 75872 25872 ...»

-- [ Страница 2 ] --

В данной работе гравитационное действие F (R, T ) гравитации и его аргументы полу чены с геометрической точки зрения. Используя их в пространственно плоской Фридмана Робертсона-Уолкера (F RW ) метрике получена система действий со скалярами кривиз ны и кручения.

Мы исходим из M43 - модели [1]. Эта модель является одним из представлений F (R, T ) гравитации. Действие M43 - модели S43 = d4 x g[F (R, T ) + Lm ], R = 1 g µ Rµ, (1) µ T = 2 S Tµ, 39 Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) где Lm является Лагранжианом материи, i = ±1 (сигнатура). Мы попытались дать одно из возможных геометрических формулировок этой M43 - модели. Заметим, что мы имеем разные случаи, связанные с сигнатурой:

2)1 = 1, 2 = 1;

3)1 = 1, 2 = 1;

4)1 = 1, 2 = 1.

1)1 = 1, 2 = 1;

Также отметим, что M43 - модель является частным случаем M37 - модели, имеющей вид S37 = d4 x g[F (R, T ) + Lm ], R = u + 1 g µ Rµ, (2) µ T = + 2 S Tµ, RS = 1 g µ Rµ, TS = 2 S Tµ.

µ (3) 2.Общий случай.

Для того чтобы понять геометрию M43 - модели мы рассмотрим некоторые простран ства-времени с кривизной и кручением, так что ее связь G является суммой частей µ кривизны и кручения. В данной работе греческий алфавит (µ,,,... = 0, 1, 2, 3) обозна чает индексы, связанные с пространством-временем, и латинский алфавит (i, j, k,... = 0, 1, 2, 3) обозначает индексы, которые поднимаются и опускаются с метрикой Минков ского ij = diag(1, +1, +1, +1). Для нашего пространства-времени связь G µ j G = µ i + i iµ = + Kµ.

(4) µ i j µ Здесь j является связью Леви-Чивита и Kiµ является искривлением. Пусть метрика j iµ имеет вид ds2 = gij dsi dsj. (5) Тогда ортонормированный тетраэдр компонентов i (xµ ) связывается с метрикой через gµ = ij i j, (6) µ так что условие ортонормальности ij = gµ µ µ. (7) ij Здесь ij = diag(1, +1, +1, +1) и мы использовали соотношение µ j = j.

i (8) iµ Величины j и Kiµ определим как j iµ j = g lr {k grj + j grk r gjk } (9) jk и Kµ = (Tµ + Tµ + Tµ ) (10) Ж.Х. Жунусова Геометрические корни... соответственно. При этом компоненты тензора кручения задаются Tµ = Tµ =, (11) i µ µ Tµ = µ i µ i + i j i j.

i (12) µ jµ j µ Кривизну Rµ определим как Rµ = Rjµ = µ G G + G G G G i ij µ µ µ = Rµ + µ Kµ Kµ + Kµ K K Kµ (13) + K Kµ + Kµ K, µ µ где кривизна римановой связности Леви-Чивита определяется стандартным образом Rµ = µ +.

(14) µ µ µ µ Введем теперь два важных для нас величин, именно скаляры кривизны (R) и кручения (T) как R = g ij Rij, (15) µ T = S Tµ, (16) где µ S (K + T Tµ ).

µ µ (17) Тогда M43 - модель запишем в виде (1).

3.Cлучай для пространственно плоской метрики Фридмана-Робертсона Уолкера.

Рассмотрим пространственно плоскую метрику Фридмана-Робертсона-Уолкера ds2 = dt2 + a2 (t)(dx2 + dy 2 + dz 2 ), (18) где (t) является масштабным фактором. В этом случае ненулевые компоненты связи Леви-Чивита являются 0 = i = 0, 00 0 = 0 = 0 = a2 Hij, (19) 0i i0 ij j i = i = Hi, j0 0j где H = (lna)t и (i, j, k,... = 1, 2, 3). Теперь вычислим компоненты кручения. Его нену левые компоненты определяются по формуле T110 = T220 = T330 = a2 h, T123 + T231 + T312 = 2a3 f, (20) 41 Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) где h и f некоторые действительные функции [3]. Заметим, что индексы тензора кру чения поднимаются и опускаются по отношению к метрике l Tijk = gkl Tij. (21) Теперь мы можем найти компоненты искривления. Тогда получим 1 2 K10 = K20 + K30 = 0, 1 2 K01 = K02 = K03 = h, K11 = K22 + K33 = a2 h, 0 0 (22) K23 = K31 + K12 = af, 1 2 1 2 K32 + K13 + K21 = af.

Ненулевые компоненты кривизны Rµ задаются следующим образом R101 = R202 = R303 = a2 (H + H 2 + Hh + h), 0 0 R123 = R213 = R312 = 2a3 f (H + h), 0 0 (23) R203 = R302 = R301 = aHf + f, 1 1 R212 = R313 = R323 = a2 [(H + h)2 + f 2 ].

1 1 Подобно им напишем ненулевые компоненты кривизны Риччи Rmu как R00 = 3H 3h 3H 2 3Hh, R11 = R22 + R33 a2 (H + h + 3H 2 + 5Hh + 2H 2 f 2 ).

(24) µ Так же находим ненулевые компоненты тензора S. Получим 1 10 S1 = (K1 + 1 T0 1 T ) = (h + 2h) = h, 10 1 (25) 2 10 20 S1 = S2 = S3 = 2h, (26) 1 23 f S1 = (K1 + 1 + 1 ) =, 23 2 (27) 2 2a f S1 = S2 = S3 = 23 31 (28) 2a и 1 10 2 20 3 30 1 23 2 31 3 T = T10 S1 + T20 S2 + T30 S3 + T23 S1 + T31 S2 + T12 S3. (29) Теперь мы можем написать явные формы скаляров кривизны и кручения R = 6(H + 2H 2 ) + 6h + 18Hh + 6h2 3f 2, (30) T = 6h2 a2 f 2.

Ж.Х. Жунусова Геометрические корни... Итак, M43 - модель запишем следующим образом S43 = d4 x g[F (R, T ) + Lm ], R = 6(H + 2H 2 ) + 6h + 18Hh + 6h2 3f 2, (31) T = 6h2 a2 f 2.

Далее определив Лагранжиан обобщенной модели F (R, T ) гравитации можем построить некоторые космологические решения, в частности, для модели F = µR + T.

В этом случае решения космологических уравнений делятся на два класса. Каждая из них связана с некоторыми скалярными функциями кручения. В частности, можно найти точное решение де Ситтера. Эти точные аналитические решения космологических уравнений описывают ускоренное расширение Вселенной.

Список литературы [1] Myrzakulov R. arXiv:1008.4486;

[2] Myrzakulov R. arXiv:1205.5266;

[3] Muller-Hoissen F. Phys. Lett. A, 92, N9, 433-434 (1982);

[4] Copeland E.J., Sami M. and Tsujikawa S., Int. J. Mod. Phys. D 15, 1753 (2006) [hepth/ 0603057];

[5] Frieman J., Turner M. and Huterer D., Ann. Rev. Astron. Astrophys. 46, 385 (2008) [arXiv:0803.0982].

References [1] Myrzakulov R. arXiv:1008.4486;

[2] Myrzakulov R. arXiv:1205.5266;

[3] Muller-Hoissen F. Phys. Lett. A, 92, N9, 433-434 (1982);

[4] Copeland E.J., Sami M. and Tsujikawa S., Int. J. Mod. Phys. D 15, 1753 (2006) [hepth/ 0603057];

[5] Frieman J., Turner M. and Huterer D., Ann. Rev. Astron. Astrophys. 46, 385 (2008) [arXiv:0803.0982].

Поступила в редакцию 3 мая 2013 года Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) УДК 514.7;

517. А.Д. Мажитова Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан;

e-mail: Akmaral.Mazhitova@kaznu.kz Субриманова задача на трехмерной разрешимой группе Ли SOLV + с правоинвариантным распределением В данной работе мы рассматриваем субриманову задачу на трехмерной разреши мой группе Ли SOLV + с правоинвариантным распределением. Эта задача основана на построении Гамильтоновой структуры для заданной метрики Карно-Каратеодори при помощи принципа максимума Понтрягина. В последнее время очень актуальны задачи исследования геодезических потоков на субримановых многообразиях (см., например, [5, 6]). Подробные теоретические аспекты отражены в [1]. Классификация левоинвариантных структур на трехмерных группах Ли приведена А. Аграчевым и Д. Барилари в [3]. Согласно этой классификации существуют инварианты субримано вой геометрии, реализуемой на четырех разрешимых ненильпотентных группах Ли:

SOLV, SOLV +, SE(2) и SH(2). Мы занимаемся исследованием групп SOLV и SOLV +. В работах [8, 9] подробно изучены эти группы с левоинвариантным неголо номным распределением.

Ключевые слова: субриманова геометрия, правоинвариантная метрика, Гамиль тониан, геодезические.

A.D. Mazhitova, Sub-Riemannian problem on the three-dimensional solvable Lie group SOLV + with right-invariant distribution In this article we consider sub-Riemannian problem on the three dimensional solvable Lie group SOLV + with right-invariant distribution. We constructed the Hamiltonian structure for the geodesic ow of Carnot-Caratheodory metrics via the Pontryagin maximum principle.

Recently, a very relevant research problems geodesic ows on sub-Riemannian manifolds (see, for example, [5, 6]). Detailed theoretical aspects are reected in [1]. In work [3] A. Agrachev and D. Barilari made classication of left-invariant structures on three-dimensional Lie groups. According to this classication, there are invariants of the sub-Riemannian geometry, implemented in four nonnilpotent solvable Lie groups: SOLV, SOLV +, SE(2) and SH(2).

We research SOLV and SOLV +. In the papers [8, 9] detailed study these groups with nonholonomic left-invariant distribution.

Key words: {sub-Riemannian geometry, right-invariant metric, Hamiltonian, geodesics} 44 А.Д. Мажитова Субриманова задача на трехмерной разрешимой группе Ли...

А.Д. Мажитова, Есептелiмдi ш лшемдi SOLV + Ли тобындаы о-инвариант йлестiрiмдi субриман есебi Бл жмыста есептелiмдi ш лшемдi SOLV + Ли тобындаы о-инвариант йле стiрiмдi субриман есебi арастырылды. Карно-Каратеодори метрикасыны геодезиялы исытары шiн Понтрягиннi максимум принципiнде негiзделген Гамильтон жйесi растырылан. Соы уаытта субриман кпбейнелiктердегi геодезиялы исытар ды зерттеу есептерi актуалды (мысалы, [5, 6] араыз). Негiзгi теориялы аспектiлер [1] жмысында келтiрiлген. ш лшемдi Ли тобындаы сол-инвариант рылымдар классификациясын А. Аграчев пен Д. Барилари [3] жмысында жасаан. Сол клас сификация бойынша субриман геометриясы орнын табатын SOLV, SOLV +, SE(2) жне SH(2) нильпотенттi емес Ли топтарында инварианттар бар. Бiз соны iшiндегi SOLV и SOLV + топтарын зерттеумен айналысамыз. [8, 9] жмыстарында бл топтар о-инвариантты голономды емес йлестiрiмiмен зерттелген.

Тйiн сздер: {субриман геометриясы, о-инвариантты метрика, Гамильтониан, гео дезиялы исытар} Пусть M n гладкое n-мерное многообразие. Гладкое семейство = {(q) : (q) Tq M n q M n, dim (q) = k} k-мерных подпространств в касательных пространствах в точке q M n называется вполне неинтегрируемым, если векторные поля из, и их всевозможные коммутаторы порождают все касательное пространство T M n :

span {[f1, [... [fm1, fm ]... ]](q) : fi (p) (p) p M n, m = 1,... } = Tq M n.

Иногда такое распределение называется вполне неголономным. Двумерное распре деление на трехмерном многообразии является вполне неголономным тогда и только тогда, когда span{f1 (q), f2 (q), [f1 (q), f2 (q)]} = Tq M 3, где в каждой точке q вектора f1 (q) и f2 (q) образуют базу в (q).

Пусть gij полная риманова метрика на M n. Тройка (M n,, gij ) называется суб римановым многообразием. Непрерывная в смысле Липшица кривая : [0, T ] M n называется допустимой, если (t) ((t)) для почти всех t [0, T ]. Длина этой кри вой вычисляется по формуле T l() = g(t) ((t), (t))dt.

Расстояние между двумя точками на многообразии находится следующим образом, d(q0, q1 ) = inf l(), q0,q где q0,q1 является множеством всех допустимых кривых, соединяющих точки q0 и q1.

Такая функция d(·, ·) называется субримановой метрикой на M n, а геодезическая этой Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) метрики является допустимой кривой : [0, T ] M n, которая локально минимизирует функционал длины l().

Геодезические субримановой метрики должны удовлетворять принципу максимума Понтрягина (смотрите, например, [1]).

Пусть f1,..., fk касательные ортонормированные векторные поля из, которые по рождают всё в каждой точке M n.

Принцип максимума Понтрягина утверждает следующее:

• Пусть M n гладкое n-мерное многообразие. Рассмотрим для непрерывных в смысле Липшица кривых следующую задачу минимизации k k T ui fi (q), ui R, u2 (t)dt min, q(0) = q0, q(T ) = q q= i i=1 i= с фиксированным T. Рассмотрим отображение H : T M n R Rk R, заданную функцией k k H(q,, p0, u) :=, u2.

ui fi (q) + p0 i i=1 i= Если кривая q(·) : [0, T ] M n с управлением u(·) : [0, T ] Rk является оптималь ной, тогда существует Липшицева функция (ковектор) (·) : t [0, T ] (t) Tq(t) M n, ((t), p0 ) = 0 и постоянная p0 0 такие, что H i) q(t) = (q(t), (t), p0, u(t)), H ii) (t) = (q(t), (t), p0, u(t)), q H iii) (q(t), (t), p0, u(t)) = 0.

u Кривая q(·) : [0, T ] M n, удовлетворяющая принципу максимума Понтрягина назы вается экстремальной кривой (или экстремалью). Такой кривой соответствует множе ство пар ((·), p0 ). Тип экстремальной кривой (нормальный или анормальный) зависит от значения p0 :

• если p0 = 0, то экстремаль называется нормальной;

• если p0 = 0, то экстремаль называется анормальной;

• экстремаль называется строго анормальной, если она не проектируется (на M n ) в нормальные экстремали.

Для нормальных экстремалей, которые являются геодезическими согласно [1], мы будем полагать p0 = 1.

Из пункта iii) следует, что ui = (t), fi (t), а также, что кривая q(·) : [0, T ] M n будет геодезической тогда и только тогда, если она является проекцией на M n решения 46 А.Д. Мажитова Субриманова задача на трехмерной разрешимой группе Ли...

((t), q(t)) Гамильтоновой системы, действующей на T M n со следующей Гамильтоновой функцией:

(k ), fi 2, q M n, Tq M n. (1) H(q, ) = 2 i= Гамильтониан H является постоянным вдоль любого решения Гамильтоновой систе мы. Более того, H = 1 тогда и только тогда, когда геодезическая натурально параметризованна.

Теперь перейдем непосредственно к нашей субримановой задаче на группе SOLV + с правоинвариантным распределением.

В работах [8],[9] были подробно изучены геодезические потоки субримановой задачи на трехмерных разрешимых группах SOLV и SOLV + с левоинвариантным расперде лением.

Итак, наша группа SOLV + представлена матрицами вида cos z sin z x sin z cos z y, (2) 0 0 алгебра Ли которой построена на базисных векторах 0 01 000 0 0 0 0 ;

e2 = 0 0 1 ;

e3 = 1 0 0, (3) e1 = 0 00 000 0 а их коммутационные отношения следующие [e1, e2 ] = 0;

[e1, e3 ] = e2 ;

[e2, e3 ] = e1.

Коммутаторы базисных векторов порождает все касательное пространство.

Пусть метрика на группе будет обычной (ei, ej ) = ij, а правонвариантное распределение образовано площадками = span{e1, e3 }. Пусть q = (x, y, z) точка на группе SOLV +. Тогда касательное пространство в каждой точ ке SOLV + определяется матрицами вида sin z cos z 001 x = 0 0 0 ;

y = 0 0 1 ;

z = cos z sin z 0, (4) 000 000 0 0 а векторы e1, e2, e3 с помощью правых сдвигов переходят в следующие вектора 001 Rq (e1 ) = 0 0 0 ;

Rq (e2 ) = 0 0 1 ;

000 Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) sin z cos z y Rq (e3 ) = cos z sin z x, 0 0 то есть, Rq (e1 ) = x, Rq (e2 ) = y, (5) Rq (e3 ) = y · x x · y + z.

В каждой точке группы неголономное распределение образовано векторами f1 = x, = y ·x x·y +z. Для применения Принципа максимума Понтрягина и Гамильтоно f вой структуры это распределение должно определяться ортонормированной системой.

После процесса ортогонализации и нормировки они перейдут в вектора:

x · y + z f1 = x, f 3 =.

1 + x Найдем функцию Гамильтона по формуле (1) 12 (xpy + pz )2.

H(x, y, z, px, py, pz ) = px + (6) 2 + 1) 2 2 (x Применяя принцип максимума Понтрягина, получаем уравнения Гамильтона для (6) x (xpy + pz )2 + x = px, px = (x2 + 1) + (xpy + pz )py, (x2 + 1) (7) x y= (xpy + pz ), py = 0, 2 + 1) (x z= (xpy + pz ), pz = 0, (x2 + 1) где точка означает производную по t. Система (7) имеет три первых интеграла:

I1 = H, I2 = py, I3 = pz, значит эта система дифференциальных уравнений полностью интегрируема. Нужно от метить, что интегрирование же этой системы является довольно сложной задачей, хотя бы, потому, что интегралы получаются в эллиптических функциях. Мы вычислим явно 48 А.Д. Мажитова Субриманова задача на трехмерной разрешимой группе Ли...

интеграл только для переменной t. Не теряя общности, будем считать, что все геоде зические берут начало в единице группы, то есть справедливы следующие начальные условия для системы (7):

(8) x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 0.

В дальнейшем будем полагать, что H =, py = a, pz = b.

Подставим это все в гамильтониан (6) и получим 1 = p2 + (ax + b)2. (9) x x2 + Из (7) нетрудно увидеть, что если px 0, то b = ±1, a = 0. В этом случае x(t) = 0 y(t) = bt, z(t) = bt.

Если a = 0, то px тождественно не может равняться нулю, поэтому из (9) находим px.

Подставим его в первое уравнение системы (7) и найдем интеграл для переменной t при px x2 + 1 dx dx (10) t= =.

(1 a2 )x2 + 2abx + 1 b (ax+b) 1 x2 + Случай px 0 может быть посчитан аналогично. Последний интеграл разбивается на слагаемых x2 dx t= + x2 + 1 (1 a2 )x2 + 2abx + 1 b dx +, (x2 + 1) (1 a2 )x2 + 2abx + 1 b которые вычисляются в терминах эллиптических функций. Предварительно эти инте гралы нужно привести к нормальной форме Лежандра (смотрите [4, 10]). Отметим, что мы будем рассматривать случай, когда квадратный трехчлен (1 a2 )x2 + 2abx + 1 b имеет два вещественных корня, т.е. a2 + b2 1 0. Подкоренное выражение интегралов G(x) является полиномом четвертой степени, который можно привести к виду [ )2 ] ( b2 ( a )2 a2 b x G(x) = 2 x+ + a + b2 a + b b a [ )2 ] ( b2 ( a )2 a2 (1 a2 b2 ) b 2 x x+ +, a + b2 a2 + b b a Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) и переписать в следующей форме )2 ) ( ( ( )2 ( )4 x a x a 1 + a (1 a b ) · b b 2 2 2 2 b a a · 1 + 2 ·.

· x+ G(x) = a x+ a a2 + b2 b b b x+ b b Подставим полученное разложение в интегралы и сделаем дробно-линейное преобразо x a b b вание =, получим x+ a a b ( ) b + a d a b d b t= +2.

(1 + 2 )(1 (a2 + b2 1) 2 ) a (1 + 2 )(1 (a2 + b2 1) 2 ) Вычислив эти интегралы после соответствующего преобразования, получим,что · F (arccos m, k) + p1 · (arccos m, n, k) + p2 · E (arccos m, k) + t= k ( ) · (1 + 2 ) a2 + b2 + p3 · + b2 1 2 · a (11) ( 2 )2 ( 2 ) + p4 · A 2 a2 + B 2 a2 +C + b b ( ) a 2A +B b + p5 · arcsin, p 50 А.Д. Мажитова Субриманова задача на трехмерной разрешимой группе Ли...

где b2, k= a2 + b2 1, n = m=, 2 a2 (a2 + b2 1) b a2 + b a2 (a2 + b2 1) p1 = a2 + b2 (a2 (a2 + b2 1) b2 ) [ ( ) ] b4 a2 + a2 b2 2a4 (1 a2 ) a4 + a2 b2 (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) ·, + 2 2(b4 (1 + a2 ) + a4 (1 a2 )) a 2 b2 a 2 b (12) a2 + b2 · (b4 a4 + a2 b2 ) 1 b2 (b4 a4 + a2 b2 )(a2 + b2 1) p2 = ·, p3 = ·, b4 (1 + a2 ) + a4 (1 a2 ) a2 (b4 (1 + a2 ) + a4 (1 a2 )) 2 a a 2 + b2 1 b3 a2 + b2 p4 = 3 2, p5 =, b (a + b2 )(1 a2 ) 2a(a2 1)3/ a2 + b p6 = b a2 + b2 Подставляя это выражение в первые три уравнения системы (7) можно получить явные уравнения для геодезических нашей субримановой геометрии.

Список литературы [1] Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления - М: Физматлит, 2005. - 392 с.

[2] Аксенов Е. П. Специальные функции в небесной механике - M: Наука, 1986. - 321 с.

[3] Agrachev A. and Barilari D. Sub-Riemannian structures on 3D Lie groups // Journal of Dynamical and Control Systems. - 2012. - Vol. 18, № 3. - P. 21-44.

[4] Бэйтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и авто морфные функции. Функции Ламе и Матье - М: Наука, 1967. - 300 с.

[5] Boscain U. and Rossi F. Invariant Carnot-Caratheodory metrics on S 3, SO(3), SL(2) and lens spaces // SIAM J. Control Optim. - 2008. - Vol. 47. - P. 1851-1878.

[6] Calin O., Chang D.-Ch., and Markina I. SubRiemannian geometry on the sphere S 3. // Canad. J. Math. - 2009. - Vol. 61. -P.721-739.

[7] Градштейн И. С.,Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

[8] Мажитова А. Д. Геодезический поток субримановой метрики на одной трехмерной разрешимой группе Ли // Математические труды. - 2012. - Т. 15, № 1. - С. 120-128.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) [9] Mazhitova A. D.Sub-Riemannian geodesics on the three-dimensional solvable non nilpotent Lie group SOLV // Journal of Dynamical and Control Systems. - 2012. Vol. 18, № 3. - P. 309-322.

[10] Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцен дентные функции - М: Физматлит, 1963. - 500 с.

References [1] Agrachev A.A. and Sachkov, Yu.L. Control theory from the geometric viewpoint // Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 87. Control Theory and Optimization, II. // - Springer-Verlag, Berlin, 2004. - 392 p.

[2] Aksenov Ye. P. Special Functions in Celestial Mechanics - M:Nauka, 1986. - 321 p.

[3] Agrachev A. and Barilari D. Sub-Riemannian structures on 3D Lie groups // Journal of Dynamical and Control Systems. - 2012. - Vol. 18, № 3. - P. 21-44.

[4] Bateman H., Erdeyi A. Higher Transcendental Functions. Elliptic and automorphic functions. Lame functions and Mathieu. - Moscow: Nauka, 1967. - 343 p.

[5] Boscain U. and Rossi F. Invariant Carnot-Caratheodory metrics on S 3, SO(3), SL(2) and lens spaces // SIAM J. Control Optim. - 2008. - Vol. 47. - P. 1851-1878.

[6] Calin O., Chang D.-Ch., and Markina I. SubRiemannian geometry on the sphere S 3.

// Canad. J. Math. - 2009. - Vol. 61. - P. 721-739.

[7] Gradstein I.S. and Ryzhik, I.M. Tables of Integrals // Series and Products - New York, Academic. - 1980. - 1100 p.

[8] Mazhitova A. D. The geodesic ow of the sub-Riemannian metric on a three-dimensional solvable Lie group // Mathematical works. - 2012. - V.15, № 1. - P. 120-128.

[9] Mazhitova A. D. Sub-Riemannian geodesics on the three-dimensional solvable non nilpotent Lie group SOLV // Journal of Dynamical and Control Systems. - 2012. Vol. 18, № 3. - P. 309-322.

[10] Whittaker E. T. and Watson G. N. A course of modern analysis. Transcendental functions - M: Fizmatlit, 1963. - Chapter 2. - 516 c.

Поступила в редакцию 2 мая 2013 года 52 Н. Аканбай, А.Б. Ахмедов, З.И. Сулейменова О некоторых вариантах...

УДК 519. Н. Аканбай, А.Б. Ахмедов, З.И. Сулейменова Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы e-mail: noureke@mail.ru О некоторых вариантах неклассической центральной предельной теоремы Условие равномерной предельной малости слагаемых является основой классических предельных теорем теории вероятностей для сумм независимых случайных величин.

Не использующие условию равномерной бесконечной малости слагаемых предельные теоремы обычно называются неклассическими. Общеизвестно также, что в схемах суммирования независимых слагаемых зачастую бывает удобнее иметь дело с сами ми распределениями и сформулировать условия предельных теорем в опирающихся непосредственно на распределения ограничениях. Вместе с тем в наше время аппарат характеристических функций прочно вошел в теорию вероятностей как основа одного из самих мощных используемых в ней методов. Тем не менее доказательству сходи мости рядов из независимых случайных величин в условиях на характеристических функций посвящены сравнительно мало работ. Данная работа посвящена доказатель ству некоторых неклассических предельных теорем в сформулированных в терминах характеристических функций, условиях.

Ключевые слова: неклассическая предельная теорема, математическое ожидание, конечная дисперсия.

N.Akanbai, A.B. Ahmedov, Z.I. Suleimenova On some versions of non-classical central limit theorem The condition of the smallness of the uniform limit of terms is the basis of the classical limit theorems for sums of independent random variables. Do not use the condition of uniform innitesimal terms limit theorems are usually called non-classical. It is well known also that the schemes summation of independent variables is often more convenient to deal with the very distributions and formulate the conditions in limit theorems based directly on the allocation constraints. However, in our time, the characteristic functions of the device rmly entrenched in probability theory as the basis of one of themselves powerful techniques used in it. However, the proof of the convergence of series of independent random variables in terms of the characteristic functions are devoted to sravntielno little work. This work is devoted to the proof of some non-classical limit theorems formulated in terms of characteristic functions, conditions.

Key words: {non-classical limit theorem, the expectation, the nal variance.} Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Н. Аканбай, А.Б. Ахмедов, З.И. Сулейменова Классикалы емес орталы шектi теореманы кейбiр нсалары туралы осылыштарды бiралыпты шектiк аздыы туралы шарт - туелсiз кездейсо ша маларды осындылары шiн ытималдытар теориясыны классикалы шектiк тео ремаларыны негiзi. осылыштарды бiралыпты шексiз аздыы шарты пайдаланыл майтын шектiк теоремалар детте классикалы емес шектiк теоеремалар деп аталады.

Туелсiз осылыштарды осу схемаларында лестiрiмдердi здерiмен жмыс iстеу жне шектiк теоремаларды шарттарын тiкелей лестiрiмдерге сйенетiн шектеулер арылы тжырымдау кбiне ыайлы болатыны да жалпы белгiлi. Сонымен бiрге си паттамалы функциялар аппараты азiргi уаытта ытималдытар теориясына ны енген, осы теорияда олданылатын е бiр уатты дiстердi бiрi екенi де белгiлi. Бл ж мыс классикалы емес шектiк теоремаларды кейбiр нсаларды сипаттамалы функ циялар терминдерi арылы тжырымдалан шарттар аясында длелдеуге арналан.

Тйiн сздер:{классикалы емес шектi теорема, математикалы ктiм, аырлы дис персия.} Пусть n1, n2,..., nn,... (1) -последовательность серий независимых случайных величин (с.в.), Fnj (x) = P (nj x), j = 1, 2,..., Sn = n1 + n2 +..., причем число слагаемых Sn может быть как конечным, так и бесконечным. В по следнем случае будет предполагаться, что Sn представляет собой сходящийся (в смысле слабой сходимости) ряд независимых с.в..

Замечание 1. Напомним, что для последнего ряда (т.е. для Sn ) понятия сходимости по распределению (слабой сходимости), по вероятности и с вероятностью 1 эквивалент ны.

Положим x 1 u e 2 du, Fn (x) = P (Sn x) = Fn1 Fn2......, (x) = где - знак композиции распределений.

Как хорошо известно, метрика Леви (L метрика) между двумя функциями распре деления (ф.р.) F (x) и G(x) определяется формулой L(F, G) = inf { : F (x ) G(x) F (x + ) + ;

x R}, и расстояние L(·, ·) метризует топологию слабой сходимости распределений. Также на помним, что если lim L(Fn, ) = 0, (2) n 54 Н. Аканбай, А.Б. Ахмедов, З.И. Сулейменова О некоторых вариантах...

то для последовательности (1) имеет место центральная предельная теорема (ЦПТ).

Возникает вопрос об ограничениях, которые следует наложить на слагаемые, чтобы условие (2) о справидливости ЦПТ перестала быть тривиальной и в тоже время сохра нила достаточную степень общности. На этом пути и появилось ограничение, известное под названием условия равномерной бесконечности малости. Оно требует, чтобы для любого 0 было выполнено условие sup P (|nj | ) 0, n. (3) j Необходимость подобного (3) ограничения, в первую очередь, связано с желанием сде лать каждое слагаемое равноправным в формировании значения суммы Sn. Построение теории суммирования независимых с.в. при выполнении условия (3) связано, в основ ном, с именами П. Леви, В. Феллера, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко. В частности, в трудах этих ученых доказано, что класс предельных законов распределе ний для Fn (в смысле слабой сходимости)совпадает с классом всех безгранично делимых распределений (см.[1], [2]).

Как отмечено в монографии [3], еще П. Леви попытался сформулировать условия справедливости ЦПТ без предположения о равномерной бесконечной малости слагае мых (3). Следуя В.М. Золотареву, предельные теоремы о распределениях суммы Sn, не использующие условие (3), стали называться неклассическим. Им впервые доказана следующая теорема, обобщеющая классическую ЦПТ в форме Линдеберга - Феллера (см.[4]).

Теорема 1. Пусть с.в. последовательности (1) имеют нулевые математические ожи 2 дания и конечные дисперсии Enj = nj, причем nj = 1 (4) j Тогда сходимость L(Fn, ) 0 (т.е. ЦПТ) имеет место тогда и только тогда, когда при n выполнены следующие два условия:

a) n = sup L(Fn,j, nj ) 0, (5) j где n,j (x) = (x/nj );

б) при каждом x2 d(Fnj (x) nj (x)) 0, Ln () = (6) jAn |x| где множество An содержит те значения индекса j, для которых nj n, т.е.

An = {j : nj n } (7) Замечание 2. В [5] доказано, что условия а) и б) могут быть объединены в одно:

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) для любого |x||Fnj (x) nj (x)|dx 0, n.

Rn () = (8) j |x| Замечание 3. Условие равномерной бесконечной малости (3) в случае существова ния дисперсий nj переходит в условие (3 ) sup L(Fnj, 0) 0, n.

j Следующая лемма позволяет установить отношения взаимосвязи условий (3), (5), (3 ).

Лемма 1.Если выполнено условие (3 ), то из условия (5) следует выполнение условия равномерной бесконечной малости (3).

Доказательство. Согласно замечанию 3, условие (3) равносильно условие (3 ). Да лее, по свойству метрического расстояния L(Fnj, 0) L(Fnj, nj ) + L(nj, 0). (9) Следовательно sup L(Fnj, 0) n + sup L(n,j, 0). (10) j j Легко увидеть, что при любом j L(nj, 0) d d, n.

dnj = (11) |x| |x| |x| sup nj nj j Последнее предельное соотношение в (11) вытекает из того, что согласно (4) n,j 0, (n ).

Теперь приведем и докажем некторые варианты неклассических ЦПТ в терминах характеристических функций (х.ф.).

Предварительно введем следующие обозначения:

nj t itx itx fnj (t) = e dFnj (x), nj (t) = e dnj (x) = e, j = 1, 2,..., fn (t) = EeitSn = fnj (t), n (t) = nj (t).

j j t Заметим, что в силу (4) n (t) = e 2.

Теорема 2.Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда сходимость L(Fn, ) (т.е. ЦПТ) имеет место тогда и только тогда, когда при n выполняется следующие два условия:

1) для любого T sup sup |fnj (t) nj (t)| 0. (12) |t|T j 56 Н. Аканбай, А.Б. Ахмедов, З.И. Сулейменова О некоторых вариантах...

2) при каждому положительном T |fnj (t) nj (t)| 0, sup (13) |t|T jA n где множество An определено соотношением (7).

При доказательстве теоремы 2 нами будут использованы приводимые ниже вспомо гательные леммы 2-4.

Для любой ф.р. F (x) положим F (x) = 1 F (x) + F (x).

Пусть g(x) некоторая неотрицательная и неубывающая на [0, ) функция, а F (x) и G(x) две ф.р. такие, что g(x)F (x)dx = g(x)G (x)dx. (14) 0 Для любых ф.р. F (x) и G(x) определим метрику соотшением:

g(|x|)|(F (x) G(x))|dx.

(F, G) = то, что будет (вероятностей) метрикой проверяется непосредственно.

Лемма 2.([5]). Если выполнено условие (14), то для любого B g(x)G (x)dx + g(B)(B + 1)L(F, G)}.

(F, G) 4{ (15) Далее, интегрированием по частям можно убедиться, что для любой ф.р. F (x) c ну левым математическим ожиданием и конечной дисперсией 2 справедливо соотношение xF (x)dx, x dF (x) = 2 (16) где F (x) определенное соотношением (14) функция.

Пусть g(x) = x. Тогда условие (14), согласно равенству (16), перейдет в условие x2 dF (x) = x2 dG(x) = 2. (17) Положим G(x) = G(x). Тогда неравенство (15) можно переписать в виде x(G(x)) dx + B(B + 1)L(F, G)} (15 ) (F, G) 4{ B/ Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) аналогичными рассуждениями, использованными при выводе равенства (16), получаем, что для любого 0 справедливо неравенство xF (x)dx.

x dF (x) (18) |x| Полагая в неравенстве (15 ) B = A, с учетом (17), (18), а также тем, что /A 1 при A 1, получаем следующее Следствие. Для любого A (F, G) 4{ x2 dG(x) + A2 ( 2 + )L(F, G)} (19) |x|A Лемма 3. Пусть при n выполнено соотношение (5). Тогда для любого T при n sup sup |fnj (t) nj (t)| 0 (20) |t|T j Замечание 4. Предельное соотношение (20) доказано в [3] рассуждениями от про тивного. Мы приведем здесь прямое доказательство этого соотношения, причем оценки, полученные в процессе этого доказательства, будут использованы в дальнейшем.

Доказательство. Имея в виду, что Fnj (x) и nj (x) распределения с нулевыми мате матическими ожиданиями, для разности характерисческих функции этих распределний можем писать:

fnj (t) nj (t) = (eitx 1 itx)(dFnj (x) nj (x)).

Проведя здесь интегрирование по частям, получим |fnj (x) nj (t)| = | (it)(eitx 1)(Fnj (x) nj (x))dx.| Откуда, в силу того, что |ei 1| || для любого R, имеем |fnj (t) nj (t)| |t|2 |x| |Fnj (x) nj (x)| dx = t2 v(Fnj, nj ). (21) Теперь воспользуемся оценкой метрики v(F, G), приведенной в (19) и тем, что nj распределние с дисперсией nj, nj (nj x) = (x). Тогда для любого A v(Fnj, nj ) 4{nj x2 d(x) + A2 (nj + nj )L(Fnj, nj )} (22) |x|A 58 Н. Аканбай, А.Б. Ахмедов, З.И. Сулейменова О некоторых вариантах...

Из (22), с учетом (4), получим sup v(Fnj, nj ) 4 x2 d(x) + 2A2 n. (23) j |x|A Утверждение леммы теперь вытекает из соотношений (5), (21), (23) и возможности вы бора А достаточно большим.

Лемма 4([6]).Если |ak | 1, |bk | 1;

k = 1, 2,..., n, то n n n ak bk |ak bk |.

k=1 k=1 k= Перейдем к доказательству теоремы 2.

Достаточность. В первую очередь заметим, что в силу леммы 3 условие (12) тео ремы 2 вытекает из условия а) теоремы 1.

Далее, с учетом леммы 4, можем писать t fn (t) e 2 = fnj (t) nj (t) |fnj (t) nj (t)| = j j j |fnj (t) nj (t) + |fnj (t) nj (t)|.

= (24) jAn jAn Заметим теперь, что из условия 2) теоремы 2 вытекает сходимость к нулю первой сум мы правой части (24). Следовательно, для окончательного доказательства утверждения теоремы 2 достаточно показать, что вторая сумма вторая сумма в (24) стремится к нулю при неограниченном росте n.

Поскольку nj n при каждом j An (см.(7)), то nj n 1.

jAn jAn nj 1, следовательно число слагаемых в последней сумме, т.е.

Согласно (4) сумма jAn число элементов множества An, удовлетворяет неравенству |An | = 1. (25) n jAn В силу неравенств (21), (22), (25), для T 0 и A 1 можем написать следующую цепочку неравенств:

|fnj (t) nj (t)| T 2 v(Fnj, nj ) 4T 2 x2 d(x) + 2A2 n.

sup |t|T jAn jAn |x|A Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Следовательно, если выбрать А достаточно большим, но так, чтобы A2 n 0(n ), то из последного неравенства получим соотношение |fnj (t) nj (t)| = 0.

lim sup (26) n |t|T jAn Итак, для всех t из конечного отрезка [T, T ] верно предельное соотношение t lim fn (t) = e 2, (27) n т.е. условия 1) и 2) является достаточными условиями для выполнения условия (2), т.е.

ЦПТ.

Необходимость. Необходимость условия 1) следует из теоремы А и леммы 3. Что бы доказать необходимость условия 2), воспользуемся следующим соотношением, яв ляющегося следствием того, что Fnj и nj является распределениями с одинаковыми (нулевыми) математическими ожиданиями и одинаковыми (равными nj ) дисперсиями:

(itx) fnj (t) nj (t) = (eitx 1 itx )d(Fnj (x) nj (x)).

Путем интегрирования получаем следующее: для любого |fnj (t) nj (t)| = it(eitx 1 itx)(Fnj (x) nj (x))dx |t| 1 itx |Fnj (x) nj (x)| dx + it (eitx 1 itx)(Fnj (x) nj (x))dx itx e |x| |x| (28) Обозначим через I1 и I2 соответственно первое и второе слагаемые правой части (28) и оценим их. Воспользовавщись неравенством t2 x eitx 1 itx, можем написать:

|t|3 |t| I1 x |Fnj (x) nj (x)| dx · |x| |Fnj (x) nj (x)| dx.

(29) 2 |x| |x| Далее, 0 (x) |Fnj (x) nj (x)| dx = u |Fnj (u) nj (u)| du uFnj (u)du+ unj (u)du.

0 0 (30) 60 Н. Аканбай, А.Б. Ахмедов, З.И. Сулейменова О некоторых вариантах...

Очевидно, что x |Fnj (x) nj (x)| dx x(1 Fnj (x))dx + x(1 nj (x))dx. (31) 0 0 Теперь вспомнив определения Fnj (x) и (x), с учетом (29)-(31)и равенства (16)получим nj |t| · 2 xFnj (x)dx + 2 x (x)dx I1 nj 0 |t| · 2 x (x)dx = xFnj (x)dx + 2 nj 0 |t|3 |t|3 |t| x2 dnj (x) = · 2 · (nj + nj ) = · nj 2 2 2 x dFnj (x) + 2 (32) 4 4 Для оценки I2 нам понадобится вспомогательная лемма 5. Предварительно для лю бой ф.р. F (x) положим { 1 F (x), x 0, F (x) = F (x), x 0, и заметим, что для любых ф.р. F (x) и G(x) |F (x) G(x)| F (x) G(x) F (x) + G(x). (33) Лемма 5. Если при некотором k |x|k dF (x), то для любого |x| dF (x) k |x|k1 F (x)dx.

k (34) |x| |x| Доказательство леммы легко следует из соотношения |x|k dF (x) = xk d(F (x)) + (x)k dF (x).

|x| Оценим теперь I2. Для этого сначала запишем I2 в виде I2 = |I21 + I22 |, где (e 1)(Fnj (x) nj (x))dx, I22 = it x(Fnj (x) nj (x))dx itx I21 = it |x| |x| Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Далее, можем писать (см. доказательства соотношений (21)и (22)) |I21 | |t| eitx 1 |Fnj (x) nj (x)| dx |t| (eitx 1) |Fnj (x) nj (x)| dx t2 v(Fnj, nj ).

|x| Для v(Fnj, nj ) справедливы неравенства (22) и (23), откуда вытекает, что |I21 | 0(n ).

sup |t|T jA n Если воспользуемся соотношениями (33),(34), то получим оценку I22 t2 |x| |Fnj (x) nj (x)| dx t2 |x|Fnj (x)dx + |x|nj (x)dx |x| |x| |x| t2 x2 dFnj (x) + x2 dnj (x) (35) |x| |x| Теперь из соотношений (28), (32), (35) следует, что |fnj (t) nj (t)| jAn |t| · |I21 |.

nj + t x2 dFnj (x) + x2 dnj (x) + (36) 2 jA jA jAn |x| |x| n n Поскольку nj (x) = (x/nj ), то с учетом структуры множества An и равенства (4) имеем x2 d(x) 2 x dnj (x) = nj jAn jAn |x| |x|nj x2 d(x) x2 d(x) 0(m ) nj (37) jAn |x|j |x|n Последнее соотношение формулы (37) вытекает из конечности дисперсии и из условия (5). Очевидно, что аналогичное соотношение справедливо и для слагаемых с Fnj. Окон чательно из соотношений (4), (36), (37), произвольности и теоремы 1 следует, что |fnj (t) nj (t)| = 0.

lim sup n |t|T jAn Теорема 2 доказано.

62 Н. Аканбай, А.Б. Ахмедов, З.И. Сулейменова О некоторых вариантах...

Замечание 5. Поскольку распределение с.в. однозначно определяется через х.ф., то задача нахождения необходимых и достаточных условий для справедливости ЦПТ в терминах х.ф. является существенной в теории суммирования с.в. Это тем более важно, потому что выполнение условий, накладываемых на распределения слагаемых, сформу лированные в терминах х.ф., обычно легко проверяются.

Замечание 6. Теорема 2 существенно обобщает классическую теоерему Линдеберга Филлера. в идейном отношении вероятностный смысл теоремы 2 сводится к следую щему: предварительно (как и в случае теоремы 1) выделяется подпоследовательность слагаемых с.в., которые удовлетворяют условию равномерной бесконечной малости, а потом для них проверяется выполнение классического условия Линдеберга.

При помощи небольшой видоизменений в доказательстве теоремы 2 можно убедиться в справедливости следующей теоремы, в которой два условия 1) и 2) объединены в одно.

Теорема 3. Пусть выполнено условие (4). Тогда сходимость L(Fn, ) 0 имеет место тогда и только тогда, когда sup sup |fnj (t) nj (t)| 0, (38) |t|T j при n и любом T 0.

Эта теорема является аналогом выше упомянутой теоремы из [5] в терминах х.ф.

Авторы выражают глубокую признательность академику АН РУз Ш.К. Форманову за постановку задачи и полезные советы при написании статьи.

Список литературы [1] Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин.-М.:Гостехиздат, 1949.- 264 с.

[2] Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. - М.: Наука, 1972.- 414 с.

[3] Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов. - М.:

Наука, 1972. - 480 с.

[4] Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных вели чин. - М.: Наука, 1986. - 417 с.

[5] Rotar V. Probability Thoery. World Scientic, River Edge, Nj, 1997. - 414 p.

[6] Аканбай Н., Форманов Ш.К. Неклассический вариант слабой сходимости в цен тральной предельной теореме - ДАН РУз., №4, 2012, С. 3-6.

References [1] Gnedenko B.V.,Kolmogorov A.N. Predel’nye raspredelenija dlja summ i nezavisimyh sluchajnyh velichin. М.:Gostehizdat, 1949.- 264 s.

[2] Petrov V.V.Summy nezavisimyh sluchajnyh velichin. М.: Nauka, 1972.- 414 s.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) [3] Linnik Ju. V, Ostrovskij I.V. Razlozhenija sluchajnyh velichin i vektorov.М.: Nauka, 1972. - 480 s.

[4] Zolotarev Sovremennaja teorija summirovanija nezavisimyh sluchajnyh velichin.М.: Nauka, 1986. - 417 s.

[5] Rotar V. Probability Thoery. World Scientic, River Edge, Nj, 1997. - 414 p.

[6] Akanbaj N., Formanov Sh.K. Neklassicheskij variant slaboj shodimosti v central’noj predel’noj teoreme.- DAN RUz., №4, 2012, s. 3-6.

Поступила в редакцию 28 апреля 2013 года 64 Н.С. Ахтаева, Э.Т. Каримов О краевой задаче с условием сопряжения...

УДК 517. Н.С. Ахтаева, Э.Т. Каримов Казахский национальный педагогический университет имени Абая, Алматы, Ка захстан;

Институт математики при Национальном университете Узбекистана им. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан;

e-mail: akhtaeva nazgul@mail.ru, erkinjon@gmail.com О краевой задаче с условием сопряжения интегрального вида для смешанного параболо гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа В работе изучены вопросы однозначной разрешимости одной локальной задачи с интегральными условиями сопряжения на линии изменения типа для смешанного параболо-гиперболического уравнения второго порядка. При определенных ограни чениях на данные задачи доказывается теоремы существования и единственности решения задачи.

Ключевые слова: {Смешанное параболо-гиперболическое уравнение, условия сопря жения, интегральное уравнение.} N.S. Akhtaeva, E.T. Karimov A boundary value problem with adjointing condition of integral type for mixed parabolic - hyperbolic equations with non-characteristic line type change In work questions of unique solvability of one local problem with integrated conditions of adjointing on the line of change of type for mixed parabolo-hyperbolic equation of the second order are studied. Under certain restrictions on the data of the problem we prove the existence and uniqueness of solutions of the problem.

Key words: {Mixed parabolo-hyperbolic equation,conditions of adjointing, integral equation.} Н.С. Атаева, Е.Т. Крiмов Тип згеру сызыы характеристика болмаан аралас парабола-гиперболалы тедеу шiн интегралды трдегi тйiндес шартты шекаралы есеп туралы Жмыста екiншi реттi аралас парабола-гиперболалы тедеулер шiн тип згеру сызыында тйiндес интегралды шарттарымен берiлген локалдi есебiнi бiрмндi ше шiлу мселесi арастырылады. Есептi берiлгенiне натылы шектеулерден кейiн есеп шешiмiнi бар болуы жне бiрмндiлiгi туралы теоремалар длелдендi.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Тйiн сздер: {Аралас парабола-гиперболалы тедеу, тйiндес шарты, интегралды тедеу.} Рассмотрим уравнение { ux uyy, y (1) f (x, y) = uxx uyy, y в конечной области, ограниченной при y 0 отрезками AA0, A0 B0, B0 B прямых x = 0, y = 1, x = 1 соответственно, а при y 0 характеристиками AC : x + y = 0 и BC : x y = 1 уравнения (1).

Задача. Найти решение уравнения (1) из класса функций { () } W = u(x, y) : u C C 1 (1 2 AB) Cy (1 ) C 2 (2 ), удовлетворяющее краевым условиям u |AA0 A0 B0 = 0, (2) u |AC = 0, (3) условию сопряжения uy (x, +0) = uy (x, 0) + uy (t, 0)Q(x, t)dt, 0 x 1, (4) x где 1 = {y 0}, 2 = {y 0}, f (x, y), Q(x, t) – заданные функции,, R, причем 2 + 2 = 0.

Это задача в случае, когда = 0, = 1 совпадает с классической задачей Трикоми для уравнения (1) и является вольтерровой задачей (см. например [1]).

Различные краевые задачи с непрерывными и разрывными условиями склеивания исследованы во многих работах, информации об основных из этих работ можно найти в монографии [2]. Опуская огромную библиографию по этому направлению отметим ра боты [3-7], где изучены вопросы разрешимости краевых задач с условиями сопряжения интегрального вида для параболо-гиперболических уравнений.

Мы исследуем задачу в следующих двух случаях: 1) = 0, = 0;

2) = 0, = 0.

Получение основных функциональных соотношений на линии изменения типа В области 1 решение 1-краевой задачи для уравнения (1) представимо в виде [2]:

x 1 x G (x x1, y, y1 ) f (x1, y1 ) dy1 + Gy1 (x x1, y, 0) 1 (x1 )dx1, (5) u(x, y) = dx 0 0 66 Н.С. Ахтаева, Э.Т. Каримов О краевой задаче с условием сопряжения...

где 1 (x) = u(x, +0), [ { } { }] + (y y1 + 2n)2 (y + y1 + 2n) G (x, y, y1 ) = exp exp 4x 4x 2 x n= – функция Грина 1-краевой задачи для уравнения (1) в области 1.

Вычислив производную uy и устремляя y к нулю получим x 1 (x) = k(x t)1 (t)dt + 0 (x), (6) где uy (x, +0) = 1 (x), ( 2) n k(x) = = + k(x), exp x x n= x x G0 (x x1, y1 )f (x1, y1 )dy1, 0 (x) = dx 0 ( ) (y1 + 2n) G0 (x, y1 ) = 3/2 (y1 + 2n)exp.

4x 2 x n= В области 2 решение ищем в виде 2 () + 2 () 2 (t)dt d1 f1 (1, 1 )d1, (7) u(, ) = ( + ) где = x + y, = x y, f1 (, ) = 4 f, 2 (x) = u(x, 0), uy (x, 0) = 2 (x).

, 2 Используя условие (3) находим 2 (8) 2 () = 2 () f1 (1, )d1.

(8) подставим в условие сопряжения (4) и получим t 1 x 1 f1 (1, t)d1 Q(x, t)dt. (9) f1 (1, x)d1 1 (x) = 1 (x)+ 1 (t)Q(x, t)dt x 0 x Доказательство единственности решения задачи. Умножим уравнение ux uyy = 0 на функцию u и интегрируем по области 1. Применяя формулу Грина, после использования условия (2), имеем 1 u2 dxdy (10) + u (1, y)dy + 1 (x)1 (x)dx = 0.

y 0 Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Учитывая (9) в однородном случае, получим 1 1 1 I= 1 (x)1 (x)dx = 1 (x)1 (x)dx + 1 (x)dx 1 (t)Q(x, t)dt = I1 + I2.

0 0 0 x Легко можно убедиться, что если 0, то I 0. Используя формулу интегрирования по частьям I2 напишем следующим образом:

1 1 1 (x) [1 (1)Q(x, 1) 1 (x)Q(x, x)] dx 1 (t)Qt (x, t)dt = I2,1 I2,2.

I2 = 1 (x)dx 0 0 x Пусть Q(x, 1) = 0. Если Q(x, x) 0, то I2,1 0. Если далее предположим, что Q(x, t) = 1 Q1 (x)Q2 (t), то I2,2 = 1 (x)Q1 (x)dx 1 (t)Q2 (t)dt. Так как 0 x 1 d 1 (t)Q2 (t)dt = 2 1 (t)Q2 (t) 1 (x)Q2 (x)dt, dx x x то интегрируя по частьям, после несложных преобразований имеем 1 2 ( ) 1 Q1 (0) Q1 (x) 1 (t)Q2 (t)dt 1 (t)Q2 (t)dt I2,2 = dx.

2 Q2 (0) Q2 (x) 0 0 x ( ) Если Q1(0) 0, Q1 (x) 0, то I2,2 0.

(0) (x) Q2 Q Учитывая вышеполученные условия, получим, что I 0. Тогда из (10) получим, что u(x, y) 0 в области 1. Учитывая искомий класс функции и решение задачи Коши получим, что u(x, y) 0 и в области 2. И так, мы можем заключить, что u(x, y) 0 в области.

Теперь сформулируем только что доказанное утверждение в виде теоремы.

Теорема 1 Пусть ( ) Q1 (0) Q1 (x) 0, Q(x, t) = Q1 (x)Q2 (t), Q2 (1) = 0, Q1 (x)Q2 (x) 0, 0, 0.

Q2 (0) Q2 (x) Тогда если существует решение задачи, то оно единственно.

Замечание. В качестве примера для такой функции Q(x, t), которая удовлетворяет всем условиям теоремы 1 приведем следующую функцию:

Q(x, t) = x(1 t), 0 1.

Существование решения задачи Справедлива следующая теорема о существовании решения задачи.

68 Н.С. Ахтаева, Э.Т. Каримов О краевой задаче с условием сопряжения...

Теорема 2 Пусть выполнены все условия теоремы 1. Если f (x, y) C(), f (0, 0) = 0, Q(x, t) C([0, 1] [0, 1]) C 1 ((0, 1) (0, 1)), то существует единственное решение задачи.

Доказательство: (9) подставим в (6):

1 x 1 (t)k(x t)dt = 1 (x) + 1 (t)Q(x, t)dt + x (11) x 1 t = 0 (x) + 2 f1 (1, x)d1 + 2 Q(x, t)dt f1 (1, t)d1.

0 x При = 0, = 0 уравнение (11) будет интегральным уравнением Вольтерра 2-рода с ядром k(x), которая имеет слабую особенность, а правая часть непрерывно дифферен цируема. Поэтому в этом случае задачно будет однозачно разрешима.

В случае, когда = 0, = 0 из (11) сначало получим интегральное уравнение Абе лья, потом действуя по стандартному методу получим интегральное уравнение Фред гольма 2-рода вида (x) + K1 (x, z) (z)dz = 1 (x), (12) а в случае, когда = 0, = 0 сразу из (11) получим интегральное уравнение вида (x) + K2 (x, z) (z)dz = 2 (x), (13) где (x) = 1 (x) = 2 (x), xz dt k(t) dt + Q(z,z), 0 z x, 1 0 xtz t xz K1 (x, z) = t dt, x z 1, 1 Q(t,z) xt z { k(x t), 0 z x, K2 (x, z) = Q(t, z), x z 1, x 1 xx1 G0 (t,y1 ) dx1 dt f (x1, y1 )dy1 + 1 (x) = t x x1 t 0 0 x 1 z dt Q(t, z) +2 dz f1 (1, z)d xt t 0 t Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) x x Q(1 + t, 1 + t) f1 (1, 1 + t)dt, d x t 0 x 1 x dx1 G0 (x x1, y)f (x1, y1 )dy1 + 2 f1 (1, x)d1 + 2 (x) = 0 0 1 t +2 Q(x, t)dt f1 (1, t)d1.

x Легко можно убедиться, что если выполнены условия теоремы 1 и 2, то интегральные уравнения (12) и (13) однозначно разрешимы. После нахождении функции (x), функ ции 1 (x) и 2 (x) находятся по формулам (6) и (8) соответственно. После нахождения этих функций, решение задачи можно восстановить в области 1 как решение 1-краевой задачи, а в области 2 как решение задачи Коши.

Список литературы [1] Бердышев А.С. О локальных краевых задачах с отходом от характеристики для параболо-гиперболического уравнения // Известия АН УзССР. Серия физ.-мат.наук.

–1989. -No 3. – С.14–18.

[2] Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений параболо гиперболического типа. // Ташкент: Фан. – 1986. – 220 с.

[3] Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О спектральных задачах со спектральным парамет ром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. - 1997. - Т.33. No 1. – С.115-119.

[4] Eshmatov B.E., Karimov E.T. Boundary value problems with continuous and special gluing conditions for parabolic–hyperbolic type equations. // Cent.Eur. J. Math.-2007. Vol.5, No 4. – P.741–750.

[5] Berdyshev A.S., Rakhmatullaeva N.A. Nonlocal Problems with Special Gluing for a Parabolic- Hyperbolic Equation // Proceedings of the 6th International ISAAC Congress "Further Progress in Analysis". Ankara, Turkey, 13-18 August 2007. – P. 727-734.

[6] Berdyshev A.S., Karimov E.T., Akhtaeva N.S. Boundary Value Problems with Integral Gluing Conditions for Fractional-Order Mixed-Type Equation // International Journal of Dierential Equations 2011, Volume 2011, Article ID 268465, 10 pages.

doi:10.1155/2011/268465.

[7] Berdyshev A.S., Cabada A., Karimov E.T. On a non-local boundary problem for a parabolic-hyperbolic equation involving a Riemann-Liouville fractional dierential operator // Nonlinear analysis: Theory, Methods and Applications (NATMA). 2012.Vol.75. No 6. – P.3268-3273.


70 Н.С. Ахтаева, Э.Т. Каримов О краевой задаче с условием сопряжения...

References [1] Berdyshev A.S. O lokalnyh kraevyh zadachah s othodom ot haracteristici dlya parabolo giperbolicheskogo uravnenya // Izvestya AN UZSSR. Seria z-mat nauk. -1989. -No 3. – S.14–18.

[2] Dzhuraev T.D., Sopuev A., Mamozhanov M. Kraevye zadachi dlya uravnenya parabolo giperbolicheskogo tipa // Tashkent: Fan. – 1986. – 220 s.

[3] Kapustin N.U., Moiseev E.I. O spektralnyh zadachah so spektralnym parametrom v granichnom uslovii // Dierensialnye uravnenya. - 1997. - Т.33. No 1. – S.115-119.

[4] Eshmatov B.E., Karimov E.T. Boundary value problems with continuous and special gluing conditions for parabolic–hyperbolic type equations. // Cent.Eur. J. Math.-2007. Vol.5, No 4. – P.741–750.

[5] Berdyshev A.S., Rakhmatullaeva N.A. Nonlocal Problems with Special Gluing for a Parabolic- Hyperbolic Equation // Proceedings of the 6th International ISAAC Congress "Further Progress in Analysis". Ankara, Turkey, 13-18 August 2007. – P. 727-734.

[6] Berdyshev A.S., Karimov E.T., Akhtaeva N.S. Boundary Value Problems with Integral Gluing Conditions for Fractional-Order Mixed-Type Equation // International Journal of Dierential Equations 2011, Volume 2011, Article ID 268465, 10 pages.

doi:10.1155/2011/268465.

[7] Berdyshev A.S., Cabada A., Karimov E.T. On a non-local boundary problem for a parabolic-hyperbolic equation involving a Riemann-Liouville fractional dierential operator // Nonlinear analysis: Theory, Methods and Applications (NATMA).- 2012.

Vol.75. No 6. – P.3268-3273.

Поступила в редакцию 26 апреля 2013 года Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) УДК 624.131;

539. А. Дасибеков, А. Абжапбаров Южно-Казахстанский Государственный Университет им. М. Ауезова, Шымкент, Казахстан. E-mail: azeke_55@mail.ru Учет неоднородности грунтовых оснований при устройстве песчаной подушки Данная работа посвящена решению одномерной задачи уплотнения грунтов, облада ющих упругим свойством. Здесь часть нагрузки, равная величине структурной проч ности сжатия, сразу же воспринимается скелетом грунта. Поэтому поровое давление зависит от проницаемости, уплотняемости и скорости нарастания ползучих деформа ций грунта. Кроме того, уплотняемый грунт по своей структуре неоднороден. При чем свойство неоднородности грунтового основания учитывается через его модуль деформации, который изменяется по глубине в виде степенной функцией. Для изуче ния процесса уплотнения грунтового массива в такой постановке под действием раз личных внешних сил получен ряд расчетных формул. При помощи этих выражений можно определить давление в поровой жидкости, напряжение в скелете неоднород ного уплотняемого грунта и вертикальные перемещения точек верхней поверхности земляного массива для любого момента Ключевые слова: одномерная задача, упругость, неоднородность, уплотнение грун та, модуль деформации, напряжение, осадок грунта.

A. Dasibekov, A. Abzhapbarov, The accounting of inhomogeneity of the soil foundations at arrangement of sand bed The present work is devoted to a decision of one-dimensional problem of soil compaction, having elastic properties. Here the part of the loading, which is equal in value of structural compressive strength immediately assimilated by soil skeleton. Therefore, an interstitial pressure depends on permeability, compaction and rate of growth of creeping soil distortion.

Furthermore, a compacted soil, according to its structure, is heterogeneous. Moreover, a property of inhomogeneity of the soil foundation is taken into consideration through its modulus of distortion, which is changed in depth in the form of the exponential function.

For study of the process of compaction of soil mass in such posing under the inuence of various outside forces was obtained the series of calculating formulas. By means of those expressions it is possible to determine pressure in an interstitial liquid, strain in the skeleton of heterogeneous compacted soil and vertical displacements of point of the upper surface of earth solid mass for any moment.

Key words: {one-dimensional problem, elasticity, inhomogeneity, soil compaction, modulus of distortion, strain, settlement of soil} 72 А. Дасибеков, А. Абжапбаров Учет неоднородности грунтовых оснований Дасибеков А., Абжапбаров А., мды жастыы бар топыра негiздерiнi бiр тектi еместiгiн ескеру Бл маала серпiмдi асиетке ие болатын топыра тыыздалуыны бiр лшем дi есебiнi шешiлуiне арналан. Бл жерде сыылуды структуралы берiктiгiне те болан кш бiрден топыраты аасына берiледi. Сондытан сйыа тсетiн басым кш топыраты су ткiздiгiшiне, тыыздалуына жне ыысу деформациясыны су жылдамдыына туелдi болады. Сонымен атар, тыыздалатын топыра рылысыны зi бiр тектi емес. Топыра негiздерiнi бiртектi болмаан асиетi оны деформация мо дулi тыыздалу тередiгiне байланысты дрежелi функция бойынша згеруiнде. Есептi осы ойылуында, бiр атар сырты кштердi серiнен топыра массивiнi тыыздалу процессiн анытайтын есептеу формулалары табылан. Бл рнектер арылы топыра кеуегiндегi сйытыа тсетiн басым кшiн, бiр тектi болмаан топыра аасындаы кернеудi жне рбiр кезе шiн тыыздалатын топыра массивiнi отыруын есептеуге болады.

Тйiн сздер: {бiр лшемдi есеп, серпiмдiлiк, бiртектi емес, топыра тыыздыы, деформация модулi, кернеу, топыраты отыруы.} Вначале разберёмся, что это такое, песчаная подушка под фундамент, и для чего она нужна. Для того, чтобы понять это, заглянем немного глубже – чего же боится больше всего фундамент? Фундамент любого здания больше всего боится промерзания грунта, а если быть более точным, то промерзания грунта, ниже уровня залегания фундамента.

Ведь при замерзании почва начинает давать подвижки, и эти подвижки могут с лёг костью влиять непосредственно на фундамент. А от этого уже происходит проседание фундамента. Следовательно, при закладке фундамента существенную роль выполняет песчаная насыпная подушка. Ее основная функция заключается в смягчении нагруз ки на основание фундамента. Укладывать песок необходимо равномерно, примерной толщиной 10-15 сантиметров для невысоких зданий. Если основание состоит из рых лых или слабых грунтов, то они удаляются на определенную глубину. Это делается для того, чтобы фундамент лег на более прочное основание, ведь чем глубже внутрь грунта, тем прочнее он, потому, что верхние слои сдавливают нижние. На тех основа ниях, где имеется высокий уровень грунтовых вод, укладку подушки делают только с предварительно созданным дренажем. Поскольку такие грунты могут вспучиваться и промерзать, представляя тем самым потенциальную опасность для фундамента. Иногда для возведения фундаментной подушки песок не используется. Его можно заменить, к примеру, гравием, в который входит песчаная фракция. Этот материал так же хорошо будет сдерживать нагрузки со стороны фундамента. Технология его укладки практи чески ни чем не отличается от укладки песка. Кстати, и сам фундамент на гравийной подушке будет стоять долго. Это достаточно надежное основание. Щебень так же яв ляется хорошим заменителем песка, его обычно используют в проблемных грунтах, на которых фундамент заливать сложно. Но все, же специалисты рекомендуют даже ще бень смешивать с песком. Он просто заполнит все пространство, которое остается меж ду частями фракции. Песчаные и щебеночные (или гравийные) подушки предназначены для распределения давления от фундамента на большую площадь либо для замены слоя слабого грунта под фундаментом. Таким образом, строительство сооружений на слабых водонасыщенных глинистых грунтах требует более внимательного подхода к ним, чем Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) к другим грунтам. Это связано с тем, что сооружения, взаимодействующие с такими грунтами, испытывают большие осадки. Причем они протекают в течение длительного времени. На таких водонасыщенных глинистых грунтах, прежде чем строит высокие здания, создают искусственные основания, применяя песчаные подушки мощностью от 1-2м до 7м. Они позволяют уменьшить глубину заложения фундаментов, увеличива ют их устойчивость и уменьшает осадки фундаментов. Кроме того, песчаные подушки используются в качестве дренирующего слоя, так как поровая вода из нижележащих во донасыщенных глинистых грунтов отжимается в процессе уплотнения грунтов, от веса самой подушки ускоряя процесс консолидации грунтов основания. Кроме того, деформа тивные свойства грунтов, вообще говоря, меняются с координатами точки, и допущение об их однородности представляет собой идеализации реальных состояний уплотняемых земляных масс. В этом отношении теоретические и экспериментальные исследования Г.К.Клейна [1], Б.Н. Баршевского [2] и других исследователей показывают, что грунты, на которых строятся сооружения, по своим механическим свойствам являются неодно родными и эта неоднородность грунта изменяется по глубине согласно закону:

E(z) = Em z m, (1) где Em является модулем деформации грунта на глубине z = 1;

показатель m в боль шинстве случаев лежит в пределах 0 m 2 и он связан с коэффициентом Пуассона µ0, т.е.

µ0 (2 + B) = 1.

Г.К. Клейном [1] разработана методика расчета балок, лежащих на грунтовом осно вании, модуль деформации которого изменяется по закону (1). Здесь для определения осадки поверхности полупространства им была получена такая формула:

P Wm =, Dm rm+ m где P – сосредоточенная сила, приложенная на поверхность полупространства;

Dm = Em – характеристика жесткости неоднородного полупространства;

r – расстояние от места приложения силы P до точки поверхности полупространства, где определяется осадка:

( ) 3+m µ0.

= 2 1+m На основе этих исследований в отличие от (1), в данной работе для исследования процесса уплотнения модуль деформации грунта будет принят в виде E = Em (1 + z)m ( 0, Em 0, + z 0), (2) где Em,, m являются опытными параметрами.

Параметры Em,, m, входящие в (2), могут быть определены, если известны три значения модуля деформации E1, E2, E3 для трех различных значений z1, z2, z3.


74 А. Дасибеков, А. Абжапбаров Учет неоднородности грунтовых оснований Ниже рассмотрим процесс уплотнения слоя неоднородного водонасыщенного грун та мощностью h, залегающего под песчаной подушкой. В начальный момент времени (t = 1 ) к слою грунта мгновенно прикладывается распределенная нагрузка с интенсив ностью q(z, t). Тогда математическая постановка данной задачи сводится к следующему:

требуется определить давление в поровой жидкости P (z, t), напряжение в скелете грун та (z, t) и вертикальные перемещения верхней поверхности S(t) (осадок) уплотняемого грунтового основания. При этом допускается: для сильно сжимаемых водонасыщенных глинистых грунтов в начальный момент времени часть нагрузки, мгновенно приложен ной нагрузки q к грунту, равная по величине структурной прочности сжатия pстр, сразу же воспринимается скелетом грунта;

грунт по своей структуре неоднороден, т.е. неод нородность грунта может быть обусловлена непрерывным возрастанием его плотности, а потому и жесткости по глубине под влиянием собственного веса. Это означает, что свойства грунта не являются постоянными а изменяются в зависимости от положения координат. Причем грунт, модуль деформации которого непрерывно увеличивается с глубиной и называется непрерывно неоднородным;

грунтовые основания под действи ем нагрузки деформируются в вертикальном направлении;

земляная среда водонасы щенна, т.е. она состоит из твердых частиц грунта и заполняет ее поры водой;

вязкий характер деформации глинистого грунта выражен не достаточно явно, вследствие чего явление ползучести скелета в ряде случаев просто можно не учесть;

фильтрация воды, отжимаемой из уплотняемого сильносжимаемого водонасыщенного глинистого грунта, протекает по обобщенному закону Дарси.

Тогда величина порового давления P (z, t) при t = 1 будет равна P |t=1 = q(z, 1 ) Pстр = q0 (z, 1 ), (3) т.е. часть нагрузки, равная величине структурной прочности сжатия Pстр, сразу же вос принимается скелетом грунта. При этом скорость изменения коэффициента пористости (z, t) имеет вид k q (4) = (1 + cp ) 2 +, t 2 z t где cp – средний коэффициент пористости;

k - коэффициент фильтрации, в – объ емный вес воды;

(z, t) – коэффициент пористости для исследуемого момента времени t и глубины z. Если грунт деформируется только в вертикальном направлении, то по теории фильтрационной консолидации, сумма избыточного порового давления P (z, t) и эффективного напряжения в грунте (z, t) в любой момент времени равно внешней нагрузке, т.е.

(5) P + = q.

В линейной теории консолидации грунтов компрессионная зависимость для неодно родного грунта имеет вид (z, t) = 0 a(z)(z, t) (6) Здесь коэффициент сжимаемости для неоднородного уплотняемого грунта a(z) за висит от координаты z, т.е. от глубины расположения исследуемой точки уплотняемого грунтового массива;

0 – начальный коэффициент пористости.

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Имея в виду выражения (3)-(6), соотношение (4) приводим к следующему виду:

2P P q = C1v (1 + z)m 2 +, (7) t z t где C1v = k(1+0cp ).

2 a Граничные условия при ламинарном законе Дарси примем в виде P P |z=0 = 0;

(8) = 0.

z z=h Второе граничное условие относится к глубине h, ниже которой фильтрации не про исходит. Таким образом, решение исследуемой задачи сводится к решению дифферен циального уравнения (7) при краевых (3) и (8) условиях.

Решение (7) при граничных условиях (8) получим в виде [ ] i (1 + z) 2 eC1v i t, 2m (9) P = 1 + z Ci V 2m i= где m = 2;

[ ] 1+h q0 (z, 1 ) z 2 m V 1 i (1 + z) 2 dz + R (t,1 ) 2m [ ] 2m 1+h (10) Ci = ;

2m 1m V z i (1 + z) 2 dz 1 2m [ ] t 1+h q (1 + z) 2 m 2m C1 ( 1 ) R(t, 1 ) = e V 1 (1 + z) 2 dzd.

t 2m 1 Причем функция V (x) зависит от величины. Если она целая, то 2m 2m [ ] [ ] [ ] 2m 2m 2m. (11) V (1 + z) =J (1 + z) Y ()J ()Y (1 + z) 2 2 1 1 1 1 2m 2m 2m 2m 2m При дробном 2m [ ] [ ] [ ] 2m 2m 2m V (1 + z) =J (1 + z) Y ()J (1 + z) Y ().

2 2 1 1 1 1 2m 2m 2m 2m 2m (12) где J 1, Y 1 – функции Бесселя соответственно первого и второго родов. Причем 2m 2m параметр, входящий в (9)-(12) находится из следующих трасцендентных уравнений:

для целого индекса 2m из выражения [ ] [ ] 2m 2m J 1 ()Y m1 (1 + h) 2 Y 1 ()J m1 (1 + h) 2 = 0, (13) 2m 2m 2m 2m для дробного индекса из [ ] 2m 2m ] Y (14) J ()Y m1 [ (1 + h) ()Jm1 (1 + h) 2 = 0.

1 2m 2m 2m 2m 76 А. Дасибеков, А. Абжапбаров Учет неоднородности грунтовых оснований Уравнение (13), (14) при конкретных числах m имеют бесчисленные множества ве щественных корней 2m =. Имея в виду выражения (9) и (5) напряжение в грунте (z, t) в любой момент времени равно [ ] i (1 + z) 2 eC1v i t.

2m (z, t) = q 1 + z (15) Ci V 2m i= Из (9) и (15) можно получить решение задачи для грунта модуль деформации ко торого не будет меняться в зависимости от координаты, т.е. от глубины. Для этого необходимо считать, что = 1 и m = 0. Тогда индекс бесселевых функции 2m равен 1.

В связи с тем, что экспоненциальная функция ex быстро убывает при больших зна чениях показателя, то в (9) ограничимся только первым членом ряда. При этом решение данной задачи относительно порового давления согласно (9) может быть записано сле дующим образом:

[ ] (1 + z) 2 eC1v 0 t, 2m (16) P (z, t) = C0 1 + zV 2m 2m Выражение (16) описывает рассеивание порового давления во времени и по глубине.

Данное выражение является обобщающим результатом К. Терцаги [3] и М.Ю. Абелева [4].

Напряжение в скелете грунта находится из соотношения (15), т.е.

[ ] (z, t) = q C0 + zV 1 0 ( + z) 2 eC1v 0 t.

2m (17) 2m Полученные выражения (16) и (17) соответственно позволяют определить изменения давления в поровой жидкости и напряжений в скелете грунта для любой точки рассмат риваемой конечной области уплотнения неоднородного двухфазного грунта, обладаю щего упругим свойством. После того как определено напряжение в скелете уплотняемо го неоднородного грунтового массива можно вычислить и вертикальные перемещения точек верхней поверхности уплотняемого слоя грунта (осадок).

Действительно, если к поверхности слоя грунта приложена некая вертикальная на грузка, то соответствующая ей осадки S(t) может быть определены по формуле [5], т.е.

h 0 (z, t) (18) S(t) = dz, 1 + где h – мощность уплотняемого неоднородного грунтового массива. Так как (1 ) (z, t) = a(z)(z, t), то (18) примет вид h (H) (19) S (t) = a(z)(z, t)dz.

1 + 0 В (19) вместе (z, t) подставив (17), находим h a (1 + z)m {q 1 + zV 1 [0 (1 + z) 2 ]eC1V 0 t }dz.

2m (H) S (t) = 1 + 0 0 2m Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Откуда { q [(1 + h)1m 1] (1m) [1 + h)2m 1] a0 S (H) (t) = ] [( 1+0 (1m) (2m) (20) h C1V 0 t 2m }dz 1m (1 + ) V [0 (1 + z) ]e 2m При t из (20), имеем { [ ] [ ] a0 1 2 1 (H) 1m S () = q (1 + h) (1 + 0 )(1 m) (2 m) (21) [ ]} (1 + h)2m 1.

Из (21) для однородного грунта получим a0 h S (0) () = (22) q.

1 + cp Выражение (22) зависит только от толщины уплотняемого слоя, нагрузки, коэффициен та сжимаемости и не зависит от параметров неоднородного грунта. Заметим, что такая неоднородность грунта также учтены в [6].

Таким образом, выражение (16), (17) и (20) дают возможность определить числен ные значения давлений в поровой жидкости, напряжений в скелете грунта и осадки уплотняемого неоднородного грунта.

Задача решена также для случаев, когда уплотнение слоя водонасыщенного грунта происходит под действием равномерно распределенной нагрузки с постоянной интен сивностью q, под нагрузкой, линейно-возрастающей по глубине.

Список литературы [1] Баршевский Б.Н. Одномерная задача консолидации для грунтов с переменным по глубине модулем деформации // Некоторые вопросы машиностроения и строитель ной механики. – Л.: 1967. –Вып.68. – Ч.1. – С. 55-61.

[2] Клейн Г.К. Расчет осадок сооружений по теории неоднородного линейно деформируемого полупространства // Гидротехническое строительство. - 1948. - № 2.

- С. 7-14.

[3] Терцаги К. Теория механики грунтов / под редакцией Н.А. Цытовича. – М.: Гос стройиздат, 1961. – 507 с.

[4] Абелев М.Ю. Строительство промышленных и гражданских сооружений на слабых водонасыщенных грунтах. – М.: Стройиздат, 1983. – 247 с.

[5] Флорин В.А. Основы механики грунтов. – М.: Госстройиздат, 1961. – Т.2. – 544 с.

78 А. Дасибеков, А. Абжапбаров Учет неоднородности грунтовых оснований [6] Ширинкулов Т.Ш., Дасибеков А.Д., Бердыбаева М.Ж. О трехмерном уплотнении упругоползучих неоднородных грунтов с неоднородными их граничными условиями // Механика и моделирование технологических процессов. – Тараз, 2006. – № 1. – С.

30-35.

References [1] Barshevckiiy B.N. Odnomernaya zadacha konsolidatsii dlya gruntob s peremennym po glubine modulem deformftsii // Nekotorye voprosy mashinostroenie i stroitelnoi mekhaniki. – L.: 1967. –Vipusk 68. – CH.1. – S. 55-61.

[2] Klein G.K. Raschet osadok sooruzhenii po teorii neodnorodnogo lineino deformiruemogo poluprostranstva // Gidrotekhnicheskogo stroitel’stvo, – 1948. – №2. – S. 7-14.

[3] Tertsagi K. Teoriya mekhaniki gruntov / pod redaktsiei N.A. Tsytovicha. – М.:

Gosstroiizdat, 1961, – 507 с.

[4] Abelev M.Yu. Stroitel’stvo promyshlennykh i grazhdanskikh sooruzheniy na slabykh vodonasyshchennykh gruntakh. – M.: Stroiizdat, 1983. – 247 с.

[5] Florin V.A. Osnovy mekhaniki gruntov. – M.: Gosstroiizdat, 1961. – Т.2. – 544 с.

[6] Shirinkulov T.Sh., Dasibekov A.D., Berdybaeva M.Zh. O trekhmernom uplotnenii uprugopolzuchikh neodnorodnykh gruntov s neodnorodnymi ikh granichymi usloviyami // Mekhanika I modelirovanie tekhnologicheskikh protsessov. – Taraz, 2006. – № 1. – S. 30-35.

Поступила в редакцию 3 мая 2013 года Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) УДК 517.925: А.И. Абакумов1, А.А. Адамов2, А.А. Исмаилова Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток, Россия e-mail: abakumov@iacp.dvo.ru Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан e-mail: adam1955@mail.ru, a.ismailova@mail.ru Моделирование микробных сообществ растительных организмов В рамках многомодельного подхода к изучению природных биосистем предложены четыре варианта описания динамики биомасс фитопланктонного сообщества в водной экосистеме: рассмотрены замкнутые и открытые модели, модели с учетом внутрен него состояния организмов и без такового.

Ключевые слова: Математическое моделирование, фитопланктон, фитопланктонное сообщество, биосистема, питательные вещества A.I. Abakumov, A.A. Adamov, A.A. Ismailova Modeling of microbial communities of plant organisms In the framework of multi-model approach to the study of natural biological systems oered four options describe the dynamics of phytoplankton biomass in the aquatic environment:

Consider the closed and open models, taking into account the internal condition of the body and without it.

Key words: Mathematical modeling, phytoplankton, phytoplanktonic community, biosystem, nutrients А.И. Абакумов, А.А. Адамов, А.А. Исмаилова сiмдiк азаларындаы микробты топтануларын модельдеу Табии биожйелердi зерттеудi кпмодельдiлiгi аясында су экожйесiнi фито плантктонды ауымдастылыыны биомассалар динамикасын сипаттауды трт нсасы арастырылады: азаларды iшкi жадайын есепке алатын жне алмайтын модельдер, ашы жне тйыталан модельдер арастырылан.

Тйiн сздер: математикалы модельдеу, фитопланктон, фитопланктонды топтану, биожйе, оректiк заттектер Оценка биологической продуктивности экологических систем имеет большое зна чение для изучения состояния природной среды и возможностей рационального при родопользования. Для водных экосистем биологическая продуктивность может быть 80 А.И. Абакумов, А.А. Адамов, А.А. Исмаилова Математическое моделирование...

оценена на основе продуктивности фитопланктона [1]. Продуктивность фитопланктона в значительной мере определяется процессом потребления минеральных веществ при строительстве растительного организма в ходе фотосинтеза [2]. При изучении состояния и функционирования фитопланктона важную роль в настоящее время играют данные дистанционных методов зондирования поверхности морей и океанов. В частности, ис кусственные спутники Земли позволяют получить данные о содержании минеральных веществ и хлорофилла в поверхностном слое. Данные о хлорофилле (в первую оче редь, хлорофилле "а") дают возможность оценить содержание фитопланктона и дать грубую оценку первичной продукции [3]. Данные о минеральных веществах (на основе азота, фосфора, кремния и других химических элементов), составляющих материаль ную основу для построения растительных организмов в процессе фотосинтеза, дают возможность оценить характеристики продукционных процессов фитопланктона [4]. На этом этапе полезны математические модели динамики численностей (биомасс) основных видов фитопланктонного сообщества [2].

Подобные математические модели используются также в описании динамики мик робных культур в лабораторных экспериментах [4]-[5]. В докладе представлены группы моделей динамики биомасс сообществ микроорганизмов. Модели основаны на системах дифференциальных уравнений. Исследованы качественные свойства решений на струк турном уровне.

Модели функционирования фитопланктонных сообществ Модели описывают динамику преобразования веществ при фотосинтезе и построении растительного организма. Рассматриваются модели замкнутых и открытых по веществу систем. Для краткости сами модели будем называть замкнутыми или открытыми соот ветственно.

При описании микробиологических культур применяются открытые модели, беру щие начало из описания хемостата [5]. Это модели проточных культур, когда в систему с некоторой скоростью попадают питательные вещества и содержимое выбывает из си стемы, чаще всего, с той же скоростью. Такие же модели применяются для описания функционирования фитопланктона в предположении, что в изучаемой среде выполня ются условия протока. В иных природных ситуациях могут быть пригодны другие моде ли, в том числе частично или полностью замкнутые по веществу. В работе сравниваются открытые и замкнутые модели.

В моделях выделены биологические виды фитопланктона и группы минеральных питательных веществ. Фитопланктон представлен m видами, их содержание в среде обозначено yi для вида i. Минеральное питание растительных организмов разбивается на n групп сходных веществ (на основе азота, фосфора, кремния и т.п.). В рассматриваемых моделях питательные вещества предполагаются не взаимозаменяемыми. Содержание веществ группы j в среде обозначается zj. Рост биомассы клеток вида i происходит с удельной скоростью µi (z) в зависимости от содержания z биогенов во внешней среде.

Под y понимается вектор с компонентами yi, а под z- вектор с компонентами zj. Одна из моделей сообщества в хемостате имеет вид [5]:

Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) = (µi (z) D)yi dyi dt (1) i = 1,..., m;

j = 1,..., n.

m dzj = D(zj0 zj ) vij (zj )yi i= dt Через D обозначена скорость протока вещества в системе, через z0 - содержание ми неральных питательных веществ во входящем потоке, через ij (zj ) - удельные скорости поглощения вещества группы j организмами вида i.

Сравним свойства решений в модели (1) с замкнутой моделью. Эта модель описывает динамику биомасс основных групп фитопланктона, минеральных веществ и отмершей органики. Сначала рассмотрим модель без различения минеральных веществ по груп пам, эти вещества и отмершая органика представлены одной группой каждая. Блок отмершей органики с массой s введен для описания замкнутого цикла преобразования веществ. Функция r(s) описывает скорость преобразования органики в минеральные соединения при бактериальном разложении. Удельные скорости элиминации микроор ганизмов задаются функциями ei (yi ) их содержания в среде. Элиминация включает в себя процессы естественной смертности, внутривидовой конкуренции и изъятия особей из системы по иным причинам. Но вместе с тем принято предположение, что отмершая органика остается внутри системы (замкнутость по веществу). Остальные обозначения соответствуют предыдущей модели, опущены индексы там, где они не нужны. Тогда замкнутая модель приобретает вид системы дифференциальных уравнений:

= µi (z)yi ei (yi ) yi dyi dt m = r(s) dz (2) i = 1,..., m.

µi (z)yi i= dt m (yi ) yi r(s) ds = i=1 ei dt В сравнении с этими двумя моделями опишем модели, учитывающие состояние ор ганизмов с точки зрения возможностей их жизнедеятельности.

Учет внутреннего состояния Для живого организма та или иная стратегия деятельности определяется не только окружающей средой, но и его состоянием. Внутреннее состояние организма можно ха рактеризовать по-разному. В нашем случае как индикатор предлагается использовать внутриклеточное содержание питательных веществ на основе минеральных соединений во внешней среде.

Следующие две модели учитывают внутриклеточное содержание веществ, от которо го зависит поведение растительных организмов. Такое представление ведется от модели рования физико-химических процессов в клетке [6]-[7]. Один из конкретных вариантов такой модели предложен в монографии [8]. Начнем с ее обобщения.

Содержание питательных веществ группы j в клетке вида i обозначим qij. Эту вели чину называют клеточной квотой. Содержание минеральных веществ в среде обознача ется zj, а органических соединений той же группы - sj. Скорость роста отдельного вида 82 А.И. Абакумов, А.А. Адамов, А.А. Исмаилова Математическое моделирование...

определяется на основе принципа Либиха [9]: она ограничена скоростью роста наиме нее производительного минерального вещества. Это правило записано ниже формулой (5). Потребление питательных веществ микроорганизмами осуществляется с удельной скоростью ij (zj, qij ), а рост растительной биомассы происходит с удельной скоростью µij (qij ) в зависимости от вектора z = (zj )n содержания минеральных веществ во внеш j= ней среде и матрицы q = (qij )m,n содержания питательных веществ в клетках растений.

i,j= Открытая модель динамики масс системы имеет вид [8]:

= (µi (qi ) D)yi dyi dt m dzj = D(zj0 zj ) (3) vij (zj, qij )yi i = 1,..., m;

j = 1,..., n.

i= dt dqij = vij (zj, qij ) µi (qi ) · qij dt Под qi понимается вектор qi = (qij )n, функция µi (qi ) вычисляется по формуле (5).

j= Модель (3) с указанной конкретизацией используется для анализа структуры фито планктонных сообществ в северной части Черного моря [10].

Замкнутая модель при учете внутреннего состояния растительных организмов при обретает вид:

= µi (qi )yi ei (yi ) yi dyi dt m dzj = rj (sj ) vij (zj, qij )yi i= dt (4) i = 1,..., m;

j = 1,..., n.

m dsj (yi ) qij yi rj (sj ) = i=1 ei dt dqij = vij (zj, qij ) µi (qi ) · qij dt Конкретизация функций модели может быть осуществлена на основе формулы М.

q ij (0) Друпа [?] для удельной скорости роста фитоорганизмов µij (q) = µij (1 qij ). Через q ij и qij обозначены нижние и верхние границы для внутриклеточных концентраций питательных веществ. Удельные скорости минерального питания в зависимости от со zj держания веществ во внешней среде определяются формулами ij (zi, qij ) = ij (qij ) kij +zj (зависимость Дж. Моно [7]), где функция ij (qij ) имеет предложенный С. Йоргенсеном [11] вид:

(0) qij qij.

ij (qij ) = ij qij q ij Функция µi (qi ) определяется по принципу «узкого места» Либиха формулой:

(5) µi (qi ) = min µij (qij ), j=1,...,n Вестник КазНУ, сер. мат., мех., инф. 2013, №2(77) Как видно из приведенных формул, открытые модели согласуются с замкнутыми общими зависимостями, что позволяет провести сравнение свойств решений в этих мо делях.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.