авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 17 |

«СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ CИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цикл учебников и учебных ...»

-- [ Страница 10 ] --

Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем Из последнего выражения видно, что Wo 1 ( s ) Wo ( s ) = I и, таким образом, динамика объекта компенсирована обратной передаточной функцией, передаточная матрица прямой цепи является диагональной Wp ( s ) = diag Wo ( s ) Wку ( s ). (4.55) Передаточная матрица замкнутой системы также будет диагональной, и, следова тельно, синтез регуляторов можно проводить по каждому каналу самостоятельно, пользуясь теорией одномерных систем.

Все недостатки принципа динамической компенсации рассматривались в главах и 2, они же имеют место и в настоящем случае. Напомним их:

1. Подход требует точного знания передаточной матрицы объекта, что не всегда возможно.

2. Для реализации передаточной функции компенсатора необходимо иметь диффе ренцирующие звенья, которые точно физически не реализуются.

3. Если объект имеет звено запаздывания, то для реализации компенсатора необхо димо иметь звенья опережения, которые так же, как и дифференцирующие звенья, точно не реализуются.

4. Если система работает в условиях помех, то дифференцирующие звенья будут усиливать их влияние.

5. Если передаточная функция объекта управления содержит нули в правой полу плоскости комплексной плоскости, то в компенсаторе эти нули оказываются не устойчивыми полюсами и их неточная компенсация приводит к тому, что в пере даточной матрице замкнутой системы появляются неустойчивые полюса, что приводит к неустойчивости системы.

Часто для упрощения конструкции компенсатора применяют компенсацию в статическом режиме.

В этом случае компенсатор будет включать лишь безынерционные элементы (усилители). В самом деле, формула (4.49) будет иметь вид Wк ( 0 ) = Wо 1 ( 0 ) diag Wо ( 0 ).

(4.56) Пример 4.4 [103]. Рассмотрим пример для статического режима работы системы. Имеем 0, 7 0 Wо ( 0 ) = 2, 0 0, 4 0 ;

2,3 2,3 2, 0, 7 0 diag Wо ( 0 ) = 0 0, 4 0.

0 0 2, Тогда, рассчитав передаточную функцию Wо 1 ( 0 ), получим 1,43 0 Wо 1 ( 0 ) = 7, 2,5 0.

6,26 2,74 0, Теперь легко найти передаточную матрицу компенсатора 1,43 0 0 0,7 0 0 1 Wк ( 0 ) = 7,14 0 = 7, 2,5 0 0 0,4 1 0.

6,26 2,74 0,48 0 6,26 2,74 0 2, С помощью компенсатора Wк (0) оказываются скомпенсированными все пере крестные связи в статическом режиме. В переходном же режиме имеет место период заметного влияния динамических связей.

Построим структурную схему с динамическим компенсатором [103].

356 Синтез регуляторов систем автоматического управления С учетом того что W11 ( s ) W11 ( s ) 0 к ку 0 к Wк ( s ) Wку ( s ) = W21 ( s ) W22 ( s ) W22 ( s ) к ку 0 = 0 к W31 ( s ) W32 ( s ) W33 ( s ) W33 ( s ) к к ку W11 ( s ) W11 ( s ) к ку 0 к = W21 ( s ) W11 ( s ) W22 ( s ) W22 ( s ) ку к ку, к W31 ( s ) W11 ( s ) W32 ( s ) W22 ( s ) W33 ( s ) W33 ( s ) ку к ку к ку а также принимая во внимание зависимость U ( s ) = Wк ( s ) Wку ( s ) E ( s ), т.е.

U 1 ( s ) W11 ( s )W11 ( s ) (s) ку к 0 к ку ку к 2 (s), U 2 ( s ) = W 21 ( s )W11 ( s ) W 22 ( s )W 22 ( s ) U ( s) к 3 W31 ( s )W11 ( s ) W32 ( s )W 22 ( s ) W33 ( s )W33 ( s ) 3 ( s ) ку ку ку к к получаем U 1 ( s ) = W11 ( s )W11 ( s ) 1 ( s ) ;

к ку U 2 ( s ) = W 21 ( s )W11 ( s ) 1 ( s ) + W 22 ( s )W 22 ( s ) 2 ( s ) ;

к ку к ку U 3 ( s ) = W31 ( s )W11 ( s ) 1 ( s ) + W32 ( s )W 22 ( s ) 2 ( s ) + W33 ( s )W33 ( s ) 3 ( s ).

к ку к ку к ку Теперь легко изобразить структурную схему (рис. 4.13).

Компенсатор в y1 (t ) + х1 (t ) 1 (t ) U1 (t ) к ку W11 ( s ) W11 ( s ) в х2 (t ) + 2 (t ) U 2 (t ) y2 (t ) к к ку Объект W22 ( s ) W21 ( s ) W22 ( s ) U 3 (t ) 3 (t ) в х3 (t ) + y3 (t ) + к к к ку W33 ( s ) W31 ( s ) W32 ( s ) W33 ( s ) ++ Регулятор Рис. 4.13. Структурная схема трехмерной системы с компенсатором Структурная схема системы со статическим компенсатором следует из схемы рис. 4.13 при s = 0.

В [69] предложен метод, позволяющий осуществить полную динамическую раз вязку всех скалярных компонент вектора выхода, при этом не используется компен сация передаточных полюсов и нулей объекта управления.

В соответствии с [69] к объекту со стороны его входа подключается специальное звено, названное звеном динамической развязки (естественно, при t и s 0 это звено может быть использовано и как развязка каналов в статическом режиме). Ука занное звено состоит из двух блоков: стабилизации и диагонализации передаточной матрицы стабилизированного объекта, формирующего новые развязанные каналы регулирования.

Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем Пример 4.5 [69]. Матричная передаточная функция объекта управления имеет вид 1 s +1 s + Wо ( s ) =.

s+ 1 s +1 s + ( s + 1)( s + 3) Матричная передаточная функция диагонализатора запишется так:

s 2 2s 2 1 s + 8s + Wк ( s ) = 2s 2 + 8s + 8 s 2.

2 1 s 6 s 10 s+ Передаточная функция последовательного соединения «диагонализатор–объект» имеет диагональную передаточную функцию 2s 2 8s 12 ( ) ( s + 1) s + 8s + Wк + 0 ( s ) =.

s 2 4s ( s + 1)( s + 3)( s + 7 ) Пример 4.6 [69]. Рассмотрим систему, описываемую уравнением вида & X = AX + BU;

X = CX, в где ( ) T X = ( x1, x2, x3, x4 ) ;

U = ( u1, u2 ) ;

X в = x1, x T T вв ;

0,16 0,177 0,984 0, 18,191 1,162 0,82 A= ;

0,158 0,04 0,279 0 1,0 0,18 0 0, 14,131 0,554 0 0 0 B= ;

C=.

0,432 0,966 1 0 0 0 Найдем многомерную передаточную матрицу объекта 14,21s 2 6,56s 6,4 0,38s 2 1,15s 18, 4 3 2 4 3 s + 1,6s + 3,65s + 3,41s + 0,53 s + 1,6s + 3,65s + 3,41s + 0, Wo ( s ) =.

0,02 s 3 + 1,08s 2 + 1,06s 0, 2,08s 2 2,3s 0, s 4 + 1,6s 3 + 3,65s 2 + 3,41s + 0,53 s 4 + 1,6s 3 + 3,65s 2 + 3,41s + 0, Передаточная функция блока диагонализации, найденная по методу [69], имеет вид 0, 03s 3 1,58s 2 1,56 s + 0,13 0, 23s 2 0, 69 s 10, s 3 + 3, 41s 2 + 0,91s s 2 + 0,12s Wк ( s ) =.

2 3, 05s 3,38s 0, 66 8,56 s + 3,95s + 3, 3 2 s + 3, 41s + 0,91s s + 0,12s Введем обозначения:

W11 ( s ) W12 ( s ) W11 ( s ) W12 ( s ) o o к к Wo ( s ) = o ;

Wк ( s ) = ;

W ( s ) W o ( s ) W к ( s ) W к ( s ) 21 21 22 W11 ( s ) ку Wку ( s ) =.

0 W22 ( s ) ку Тогда справедлива зависимость U ( s ) = Wк ( s ) Wку ( s ) E ( s ), или в развернутом виде 358 Синтез регуляторов систем автоматического управления U1 ( s ) W11 ( s ) W12 ( s ) W11 ( s ) 0 1 ( s ) к к ку = к, U 2 ( s ) 21 W22 ( s ) 2 ( s ) W ( s ) W к ( s ) 0 ку или, что то же самое, U1 ( s ) W11 ( s ) W11 ( s ) W12 ( s ) W22 ( s ) 1 ( s ) к ку к ку U ( s ) = W к s W ку s W к s W ку s ( s).

21 ( ) 11 ( ) 22 ( ) 22 ( ) 2 2 Для каждой из компонент вектора управления можно записать:

U1 ( s ) = W11 ( s )W11 ( s ) 1 ( s ) + W12 ( s )W22 ( s ) 2 ( s ) ;

к ку к ку (4.57) U 2 ( s ) = W21 ( s )W11 ( s ) 1 ( s ) + W22 ( s )W22 ( s ) 2 ( s ).

к ку к ку Последние две формулы определяют структуру системы от сигнала ошибки ( t ) до сигнала управле ния, поступающего на вход объекта. Эта структура показана на рис. 4.14 и 4.15.

к W11 ( s) 1 (t ) + U1 (t ) ку W11 ( s ) + к W12 ( s ) 2 (t ) к W21 ( s ) + U 2 (t ) ку W22 ( s) + к W22 ( s ) Рис. 4.14. Структурная схема корректирующего устройства с диагонализатором Диагонализатор к в W11 ( s) х1 (t ) + U1 (t ) 1 (t ) + у1 (t ) ку к W11 ( s ) W12 ( s ) А, В, С 2 (t ) у2 (t ) к W21 ( s ) в ку х2 (t ) W22 ( s ) + U 2 (t ) + + Регулятор Стабилизированный к W22 ( s ) объект управления Рис. 4.15. Структурная схема двухмерной системы управления 4.4. МЕТОД ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЙ СИНТЕЗА УСТРОЙСТВ РАЗВЯЗКИ КАНАЛОВ И РЕГУЛЯТОРОВ Рассмотрим решение задачи синтеза компенсаторов и корректирующих уст ройств.

Неизвестными являются параметры корректирующих устройств (или коэффициенты дифференциальных уравнений, описывающих поведение корректирующих устройств).

Поскольку дифференциальные уравнения неизменяемой части и корректирующих устройств известны, то можно записать систему дифференциальных уравнений, свя зывающих векторный вход системы Y(t ) с ее векторным выходом Xв (t ). Естествен Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем но, эта система уравнений включает неизвестные коэффициенты, определяющие по ведение регуляторов. Их надо подобрать таким образом, чтобы обеспечить заданное качество управления в многомерной системе.

Положим, что двухмерная система описывается системой дифференциальных уравнений вида n n m m a11 x1 ( ) + a12 x2( ) = bv11 y1( ) + bv12 y2 ) ;

( вv вv v v v v v =0 v =0 v =0 v = (4.58) n n m m av x1 ( ) av x2 ( ) bv y1 ) 21 ( v bv y2 ).

22 ( v + = + 21 в v 22 в v v =0 v =0 v =0 v = В последней системе предполагается, что коэффициенты a 11 ( p ), a 12 ( p ), bv ( p ), v v bv ( p ), a v ( p ), a v ( p ), bv ( p ), bv ( p ) зависят от параметров компенсатора и регу 12 21 22 21 лятора;

n — максимальный порядок линейных дифференциальных операторов Lij, i, j = 1, 2 ;

m — максимальный порядок линейных дифференциальных операторов % Lij, i, j = 1, 2.

Наложим ограничения на переходные процессы hii (t ), i = 1, 2 по всем каналам системы (hii (t ) ограничиваются такой же областью, как это принято в теории ска лярных систем;

параметры областей — свои для каждого канала). Наложим также ограничения на процессы hij (t ) (влияние входного сигнала y i (t ) на выход xв (t )).

j Качество многомерной системы тем выше, чем точнее по каждому выходу xiв, i = 1, 2 отрабатывается свой индивидуальный вход y i (t ) и чем меньше влияют на него другие входы. Подадим на первый вход системы единичную ступенчатую функ цию y1 (t ) = 1(t );

при этом y 2 (t ) 0. На выходе получим реакции h11 (t ) и h12 (t ).

В эталонной системе должна иметь место следующая ситуация:

э э x1 (t ) = h11 (t ), x 2 (t ) = h12 (t ).

Тогда система уравнений (4.58) приближенно принимает вид n n m a 11 ( p ) h11 ) ( t ) + a 12 ( p ) h12 ) ( t ) = bv11 ( p )1( ) ( t );

( ( v v v v v v =0 v =0 v = (4.59) n n m a v21 ( p ) h11 ) ( t ) + a v22 ( p ) h12 ) ( t ) = bv21 ( p )1( ) ( t ).

(v (v v v =0 v =0 v = Последняя система уравнений является приближенной, если положить h11 ( t ) = h11 ( t ), h12 ( t ) = h12 ( t ), поскольку в общем случае невозможно подобрать па э э раметры p = ( p1, p 2,K, p r ) корректирующего фильтра, обеспечивающие равенство x1 ( t ) = h11 ( t ), x 2 ( t ) = h12 ( t ).

в э в э Параметры корректирующего устройства необходимо подобрать таким образом, в чтобы при подаче на первый вход сигнала y1 (t ) = 1(t ) ее выходной сигнал x1 (t ) воз можно меньше отличался от h11 (t ), а x2 ( t ) — от h12 (t ).

э в э Повторим приведенные выше рассуждения применительно ко второму входу, принимая y 2 (t ) = 1(t ) (при этом y1 (t ) 0). На выходе получим реакции h21 (t ) и h22 (t ). В эталонной системе при соответствующем подборе параметров p1, p 2,K, p r должны быть выполнены условия 360 Синтез регуляторов систем автоматического управления x1 ( t ) = h21 ( t ) h21 ( t ), x2 ( t ) = h22 ( t ) h22 ( t ).

э э Можно записать следующие уравнения:

n n m a11 ( p ) h21) ( t ) + a12 ( p ) h22) ( t ) = bv12 ( p )1( ) ( t );

( ( v v v v v v =0 v =0 v = (4.60) n n m h21) (v h22) (v (v) (t ) + (t ) = ( p) ( p) ( p ) 1 ( t ).

21 22 av av bv v =0 v =0 v = От уравнений (4.59) и (4.60) перейдем к эквивалентным интегральным уравнени ям и заменим hij (t ) на hij (t ). В этом случае получим соотношения э T T T 1 ( t, p ) = K 11 ( t,, p ) h11 ( ) d + K 12 ( t,, p ) h12 ( ) d K 11 ( t,, p )1( ) d ;

y x э x э 0 0 T T T 2 ( t, p ) = K 21 ( t,, p ) h11 ( ) d + K 22 ( t,, p ) h12 ( ) d K 21 ( t,, p )1( ) d ;

y x э x э 0 0 T T T 3 ( t, p ) = K 11 ( t,, p ) h21 ( ) d + K 12 ( t,, p ) h22 ( ) d K 12 ( t,, p )1( ) d ;

y x э x э 0 0 T T T 4 ( t, p ) = K 21 ( t,, p ) h21 ( ) d + K 22 ( t,, p ) h22 ( ) d K 22 ( t,, p )1( ) d.

y x э x э 0 0 Важным является тот факт, что компенсатор и регулятор должны иметь такую структуру, подбор параметров которой p1, p 2,K, p r должен обеспечить малость в известном смысле функций i ( t, p ), i = 1, 4.

Введем в рассмотрение функционал T I ( p ) = 1 ( t, p ) + 2 ( t, p ) + 3 ( t, p ) + 4 ( t, p ) dt.

2 2 2 (4.61) Будем выбирать вектор параметров p таким образом, чтобы обеспечить минимум функционала (4.61), т.е.

I ( p ) min p при соответствующих ограничениях.

* * Нахождение оптимальных значений параметров p1, p 2,K по указанному алго ритму обеспечивает приближение переходных процессов h11 (t ) и h22 (t ) в двухмер ной системе к эталонным, т.е.

h11 ( t ) h11 ( t ), h22 ( t ) h22 ( t ), э э а также приближенную развязку каналов двухмерной системы (при этом предполага ется, что корректирующее устройство обладает необходимыми возможностями). Ес ли анализ скорректированной системы покажет, что качество ее работы является не удовлетворительным (в известном смысле), тогда необходимо использовать более сложные компенсаторы и регуляторы, обладающие большими возможностями как в плане реализации развязки каналов, так и в плане обеспечения качества переходных процессов по ее каналам и качества работы в установившемся режиме.

Проиллюстрируем сказанное на примере. Системы управления современных газо турбинных двигателей (ГТД) имеют несколько регулируемых параметров и обычно столько же регуляторов. Так, в авиационных однокаскадных турбореактивных двига телях (ТРД) регулируемыми величинами являются частота вращения вала n и тем Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем пература газов перед турбиной T, требуемые значения которых поддерживаются соответственно изменением подачи топлива G и площади критического сечения ре активного сопла Fкр. При наличии форсажной камеры для сжигания топлива за тур биной число контуров регулирования увеличивается до трех. Добавится еще один регулируемый параметр — температура газов в форсажной камере и соответствен но новое управляющее воздействие — расход топлива для сжигания в форсажной камере.

Введение корректирующих устройств в контур систем автоматического управле ния обеспечивает достижение заданных динамических свойств [50].

Приведем конкретные уравнения многомерного объекта. Так, ТРД без учета инерционных свойств газовоздушного тракта описывается уравнениями T g + = a n,T з + a n, F f кр + a n, n n ;

& (4.62) з = a T,G a T, n + a T, T T, где з = Tз Tз ;

= ;

f кр = Fкр Fкр ;

= G G — относительные изменения величин;

n и T — внешние возмущения по частоте вращения и температуре;

a n,T K aT, T — коэффициенты усиления. Применив преоб разование Лапласа, получим ( s ) = a n,T WT ( s ) з ( s ) + a n, F W p ( s ) Fкр ( s ) + a n, n W ( s ) n ( s ) ;

(4.63) з ( s ) = aT,GWкс ( s ) ( s ) aT,nWкс ( s ) ( s ) + aT, T Wкс ( s ) T ( s ), ( ) где WT ( s ) = 1 T g s + 1 ;

Wкс ( s ) = 1;

WT ( s ) = W p ( s ) = W ( s ) ;

WT ( s ) — передаточная функция ротора, Wкс ( s ) — передаточная функция камеры сгорания.

Структурная схема объекта показана на рис. 4.16.

п (t ) ап, п + (t ) f кр (t ) + ап, F WТ ( s ) + ап,T аТ, п + 3 (t ) (t ) + аТ,G Wкс ( s ) + Т (t ) аT,п Рис. 4.16. Структурная схема двухмерного объекта управления (ТРД) В качестве управляющего воздействия по частоте вращения можно использовать интенсивность подачи топлива (G ), а по температуре газов за камерой сгорания — 362 Синтез регуляторов систем автоматического управления ( ) изменение площади критического сечения сопла Fкр. Тогда передаточные функ ции регуляторов при наличии измерительного, усилительного и исполнительного устройств (их передаточные функции равны единице) обозначим через W рT ( s ) и Wр n ( s ).

Структурная схема двухмерной системы, включающей регуляторы и неизменяе мую часть (объект управления), показана на рис. 4.17.

п (t ) ап, п + 30 (t ) (t ) + ап, F WРТ ( s ) WТ ( s ) + + ап,T аТ,п + 0 (t ) 3 (t ) + аТ,G WРТ ( s) Wкс ( s ) + + аT, п Т (t ) Рис. 4.17. Структурная схема системы управления турбореактивного двигателя Задача синтеза регуляторов с передаточными функциями W рT ( s ) и W р n ( s ) за ключается в выборе таких параметров p1, p 2, K, p r, которые обеспечили бы неза висимость каналов управления (развязка каналов) и требуемое качество переходных процессов по каждому каналу.

Пример 4.7. Проиллюстрируем применение метода на примере синтеза многомерной системы автома тического управления. Рассмотрим двухканальную систему автоматического управления силовой уста новкой летательного аппарата [69].

В двухмерной САУ двухконтурного форсированного турбореактивного двигателя (ТРДДФ) управляе мыми переменными являются частота вращения 1 ротора низкого давления и суммарная степень расши рения газов на турбине T, а управляющими переменными — расход топлива GT в основной камере сгорания и площадь FC выходного сечения реактивного сопла.

Математическая модель ТРДДФ задается матричной передаточной функцией следующего вида:

3, 4 ( 0, 4 s + 1) 6,8 ( 0,55s + 1) 0,38s 2 + 1,1s + 1 0,38s 2 + 1,1s + W(s) =.

0,18 (1,13s + 1) 0,9 (1,1s + 1) 0,38s 2 + 1,1s + 1 0,38s 2 + 1,1s + Необходимо синтезировать корректирующее устройство, обеспечивающее заданное качество пере ходных процессов по каждому из каналов, а также их развязку.

Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем x1 (t ) y1 (t ) КУ y 2 (t ) x 2 (t ) ОУ Рис. 4.18. Двухмерная система управления с регулятором При этом к качеству системы по основным каналам предъявляются следующие требования:

• время установления Tу 2 c;

• перерегулирование = 0%;

• влияние перекрестных связей не более 5%.

Выберем следующую структуру устройства, которое будет совмещать регулятор и компенсатор:

p3 s p9 s p p p1 + s + 0,1s + 1 p7 + s + 0,1s + Wку ( s ) =.

p s p s p p p4 + 5 + 6 p10 + 11 + 0,1s + s 0,1s + 1 s Задача синтеза состоит в отыскании таких параметров p = { p1,..., p12 }, при которых скорректирован ная система автоматического управления имеет качество, определяемое указанными выше требованиями.

Эталонные переходные процессы по основным каналам определим формулами ( t ) = hэ22 ( t ) = 1 e5 / 2t, hэ ( t ) = hэ21 ( t ) 0.

а их взаимное влияние определяется так: hэ Для решения поставленной задачи синтеза применим метод порождающих функций, при этом в каче стве порождающих функций будем использовать на интервале = [0 5] полиномы Лежандра. В функ ционал (4.61) включим 3 невязки.

В результате решения задачи условной минимизации (условия накладывались на физическую реали зуемость регулятора) были получены следующие значения параметров регулятора:

* * p1 = 0,95, p2 = 1,89, * * p3 = 0, 001, p4 = 0, 05, * * p5 = 0,5, p6 = 0, 01, * * p7 = 3,5, p8 = 7,51, * * p9 = 0, p10 = 1, 21, * * p11 = 3, 72, p12 = 0, 001.

Анализ переходных процессов по каждому из каналов скорректированной системы показывает, что полученное решение удовлетворяет поставленным требованиям:

1) если y1 = 1( t ), y2 ( t ) = 0, то • время управления Tу 1 с, • перерегулирование 0%, • влияние на канал x2 3,1%;

2) если y2 = 1( t ), y1 ( t ) = 0, то • время управления Tу 1,1 с, • перерегулирование 0%, • влияние на канал x2 4, 7%.

364 Синтез регуляторов систем автоматического управления Переходные характеристики скорректированной системы представлены на рис. 4.19 и 4.20.

p э p h 12 (t ) h11 (t ), h11 (t ),,,,,,, a б, 0,, 0,, 0,, t, c t, c 0,, 0, 2,,,,, 0,,,,, Рис. 4.19. Графики реакций системы по первому (а: 1 — реальная, 2 — эталонная) и второму (б) каналам при подаче на вход y1 и y2 сигналов y1 ( t ) = 1( t ), y2 ( t ) = h э (t ), h p (t ) p h 21 (t ),, a б, 0,,, 0,,, 0,,, 0,, t, c t, c 0,,,,,,,,,,,, Рис. 4.20. Графики реакций системы по первому (а: 1 — реальная, 2 — эталонная) и второму (б) каналам при y1 ( t ) = 0, y 2 ( t ) = 1( t ) 4.5. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В данном параграфе изложены основные принципы модального управления.

4.5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Задача синтеза систем управления является одной из важнейших в теории управ ления. Среди многочисленных подходов к решению поставленной проблемы рас смотрим метод, использующий результаты линейной алгебры, а именно: синтез на основе модального управления. Модальное управление (синтез модальных регулято ров) можно определить как задачу управления, в которой изменяются моды (собст венные числа матрицы объекта) с целью достижения желаемых целей управления.

При этом необходимо определить матрицу коэффициентов K динамической обрат ной связи, обеспечивающей замкнутой системе требуемое расположение мод.

Часто управляемые объекты имеют лишь небольшое число собственных чисел, которые с помощью обратной связи требуется сдвинуть в желаемые точки, оставляя остальные собственные числа без изменения. В этом случае говорят об управлении отдельными модами. Этот сдвиг подчас проще вычислить и обеспечить, чем реализо Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем вать сдвиг всех характеристических чисел объекта. Такого рода задачи часто возни кают при управлении многомерными объектами.

При синтезе важную роль играет информация о векторе состояния объекта. Вна чале будут рассмотрены алгоритмы модального управления с полностью измеряе мым вектором состояния, а затем выявлены особенности, которые вносит наблюда тель при неполных измерениях. Нельзя не отметить и различия в алгоритмах синтеза скалярного и векторного управлений, о которых будет сказано ниже.

Рассмотрим формальную постановку задачи модального управления при полно стью измеряемом векторе состояния.

Пусть Gs = {1,..., * }, s n — произвольный набор комплексных чисел, в кото * s ром каждое комплексное число представлено вместе со своим сопряженным. Пусть A = {1,..., s, s +1,..., n } — спектр матрицы А линейной системы управления X(t ) = AX(t ) + BY (t ), X R n, Y R m.

& (4.64) Пусть * = {Gs, s +1,..., n } = {1,...*, s +1,..., n } — некоторый желаемый спектр, * s сформированный из набора Gs и ( n s ) корней матрицы А. Назовем систему (4.64) модально управляемой по отношению к желаемому спектру *, если существует матрица коэффициентов обратной связи K Y(t ) = KX(t ) (4.65) размерности m n такая, что матрица ( A + BK ) замкнутой системы X(t ) = ( A + BK ) X(t ) & (4.66) * имеет спектр.

Очевидно, что если s n, т.е. когда необходимо перевести только часть корней, оставляя остальные на месте, не требуется, чтобы объект (4.64) обладал свойством полной управляемости. Достаточно, чтобы он был модально управляем, т.е. допускал бы закон управления Y(t ) = KX(t ), изменяющий заданные моды объекта (4.64).

Если s = n и система (4.64) модально управляема по отношению к любому спек тру *, то она называется полностью модально управляемой.

Ясно, что полная модальная управляемость и управляемость системы (4.64) тесно связаны друг с другом, о чем свидетельствуют алгоритмы, которые будут рассмотре ны ниже. И, более того, эти два понятия эквивалентны, о чем говорит следующая теорема.

Теорема 4.1. Пара матриц {A, B} управляема тогда и только тогда, когда она полностью модально управляема.

Данная теорема говорит о том, что при полной управляемости можно получить любой наперед заданный желаемый спектр замкнутой системы, и наоборот, если можно выбором матрицы обратной связи K обеспечить любой желаемый спектр, то система (4.64) полностью управляема.

Рассмотрим отдельные алгоритмы модального управления.

4.5.2. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ПОЛНОСТЬЮ ИЗМЕРЯЕМОМ ВЕКТОРЕ СОСТОЯНИЯ. УПРАВЛЕНИЕ ВСЕМИ МОДАМИ 4.5.2.1. СКАЛЯРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ( m = 1) Рассмотрим сначала случай скалярного управления, т.е. B = b, где b — n-мерный вектор-столбец. Для решения поставленной задачи модального управления (всеми модами) необходимо перейти от исходного описания объекта управления 366 Синтез регуляторов систем автоматического управления & X(t ) = AX(t ) + by (t ) (4.67) к преобразованной системе (новому базису) & %% % % X(t ) = AX(t ) + by (t ), (4.68) % причем матрица A является сопровождающей матрицей характеристического по линома A () матрицы А, т.е. если A ( ) = n + an 1 n 1 +... + a1 + a0, (4.69) то 0 1 0...

0 0 1...

% A =.......

.........

0 0 0... a0 an a1 a2...

При этом b = [0 0... 1]T. Представление исходной системы в виде (4.68) называ % ется каноническим представлением. Связь между описаниями (4.67) и (4.68) в случае полной управляемости объекта (4.67) определяется матрицей перехода S % X = SX, (4.70) где матрица S определяется из следующего соотношения:

S = b, Ab,..., A n 1b b, Ab,..., A n 1b = M y M 1, % %% %% % (4.71) y % где M y, M y — соответственно матрицы управляемости в новом и старом базисах.

Напомним, что по условию полной управляемости det M y 0. Рассмотрим пример.

Пример 4.8. Пусть матрицы А и b объекта управления (4.67) имеют вид 2 3 A=, b = 2.

4 5 Ранг матрицы управляемости 1 My = 2 равен 2, поэтому для А и b существует каноническое представление. Найдем матрицу преобразования S.

Характеристический полином для матрицы A A ( ) = 2 7 2 = 0.

Тогда % 0 1, b = % A= 2 7 и 1 0 1 1 S= =.

1 7 2 14 0 При этом непосредственной проверкой получаем A = SAS 1, b = Sb.

% % После предварительных обсуждений мы можем сформулировать алгоритм мо дального управления.

Пусть линейная стационарная система (4.67) управляема и пусть * () = n + n 1 n 1 +... + 1 + 0 (4.72) Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем — произвольный нормированный полином с желаемым спектром *. Тогда сущест %T вует вектор обратной связи K = K1... K n такой, что замкнутая система в преобра % % зованном виде & X(t ) = A + bK T X(t ) % %% % % (4.73) * имеет () своим характеристическим полиномом. Покажем это. Пусть A () = n + an 1 n 1 +... + a1 + a {A, B} — характеристический полином матрицы А. Поскольку по условию пара управляема, то, согласно рассмотренному выше представлению, существует базис, в %% котором эта пара имеет канонический вид A, b. Выберем компоненты матрицы об ратной связи по формуле % K i +1 = ai i, i = 0, n 1. (4.74) Подставляя выражение (4.74) в (4.73), получим 0 0 1 0...

0 0 0 1...

A + bK T =...

% %%... +...

.........

0 0 0... 1 a0 a1 a2... an 1 1 (4.75) 0 1 0...

0 0 1...

[ a0 0, a1 1,..., an 1 n 1 ] =......,.........

0 0 0... 0 1 2... n а это значит, что характеристический полином замкнутой системы A +bK T () = n + n 1 n 1 +... + 1 + 0 (4.76) % %% совпадает с полиномом ( ).

* % Теперь необходимо найти связь между коэффициентами регулятора K в преоб разованном базисе с коэффициентами K исходного. Используя соотношения (4.67), (4.68), (4.70) и учитывая, что A = S 1AS, b = S 1b, получим % % ( ) ( ) X(t ) = A + bK T S X(t ) = A + bK T X(t ), & % (4.77) откуда KT = KTS.

% (4.78) Итак, процедура синтеза модального регулятора в случае полностью управляе мой системы со скалярным входом y (t ) следующая:

1) вычисляем матрицу перехода S, связывающую исходную систему (4.67) с ее каноническим представлением (4.68) (формула (4.71));

2) находим коэффициенты модального регулятора K T в преобразованном базисе % (формула (4.74));

3) определяем коэффициенты обратной связи K T для исходной системы (фор мула (4.78)).

368 Синтез регуляторов систем автоматического управления Пример 4.9. Пусть уравнение состояния объекта управления 2-го порядка со скалярным управлением имеет вид 1 3 & X(t ) = X(t ) + 1 y (t ).

6 8 Необходимо синтезировать для заданной системы модальный регулятор, который бы обеспечивал замкнутой системе желаемый спектр * = {3;

1}.

Решение.

1. Проверяем управляемость системы:

1 3 2 2 A=, b = 1 M y = 1 20 ;

6 8 rank M y = 2 = n, следовательно исходная система полностью управляема и для нее можно синтезировать требуемый регулятор.

2. Характеристический полином матрицы А A ( ) = det ( A I ) = 2 9 10 = 2 + a1 + a0 ;

1 = 10;

2 = 1.

3. Сопровождающая матрица полинома A ( ) % 0 1 0 A= =, a1 10 a0 при этом % 0 0 % b = My =.

1 1 4. Находим матрицу преобразования S согласно формуле (4.71) 1 % M 1 = 0 1 2 5 = 35 35.

S = My y 1 9 1 20 11 35 5. Определяем желаемый характеристический полином ( )( ) * () = 1 * = ( + 3)( + 1) = 2 + 4 + 3 = 2 + 1 + 0.

* 6. Вычисляем коэффициенты регулятора для преобразованной системы K T = K % % % K2 :

% K = a = 10 3 = 13, 1 0 % K 2 = a1 1 = 9 4 = 13.

7. Находим коэффициенты модального регулятора в исходном базисе 1 35 35 26 K T = K T S = [ 13 13] % =.

11 13 7 35 8. Проверяем, что замкнутая система имеет требуемый спектр. Имеем 45 39 1 3 2 26 T A + bK = + =.

6 8 1 7 7 16 7 Убеждаемся, что A+bK T () = 2 + 4 + 3 и A + bK T = {3;

1} = *, т.е. регулятор спроектирован верно.

З ам еч а ние. Здесь и далее всюду под обозначением LT понимается транспони рованная матрица, если L — матрица, и вектор-строка — если L — вектор-столбец.

4.5.2.2. ВЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В этом случае задача модального управления имеет, в общем, неединственное решение и при этом могут быть предложены различные алгоритмы вычисления матрицы K. Один из подходов предполагает приведение системы с многомерным Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем управлением к одномерному. Назовем этот подход алгоритмом 1. Он состоит из трех частей.

А л гор итм Находим матрицу обратной связи K j размерности m n такую, чтобы система ( ) X ( t ) = A + BK j X ( t ) + b j y j ( t ) & (4.79) ( j = 1, m ) матрицы B, (где b j — n-мерный j-й столбец y j — j-я компонента вектора управления Y) была полностью управляема. Для этого необходимо и достаточно, что { } бы пара A + BK j ;

b j была управляемой и любые две жордановы клетки матрицы А имели различные собственные значения. Далее предполагается, что это условие вы полнено, так как в противном случае скалярное управление недостаточно и необходи мо увеличивать размерность управления. Для существования такой матрицы K j необ ходимо и достаточно, чтобы пара { A, B} была полностью управляема и b j 0.

Без потери общности можно рассмотреть случай j = 1 (об особенностях алгорит ма для j 1 будет сказано ниже).

Для нахождения матрицы K 1 сформируем матрицу управляемости M y = b1,..., b m, Ab1,..., Ab m,..., A n 1b1,..., A n 1b m. (4.80) Выберем из n m столбцов этой матрицы n линейно независимых. Такие незави симые столбцы матрицы M y существуют в силу полной управляемости объекта (4.67). Имеется несколько способов такого выбора. Рассмотрим один из них. Будем перебирать столбцы b 1, Ab 1,..., A 1 1b 1 до тех пор, пока вектор A 1 b 1 не будет вы ражаться в виде линейной комбинации векторов b 1, Ab 1,..., A 1 1b 1. Эта процедура легко реализуется проверкой соотношений:

rank B1 = rank b1, Ab1,..., A 1 1b1 = 1, (4.81) rank b1, Ab1,..., A 1 b1 = 1. (4.82) Если 1 = n, то объект (4.67) полностью управляем с помощью управления y1 (t ), и тогда переходят ко второй части алгоритма 1. Если 1 n, то будем последова тельно присоединять к полученному набору (4.81) столбцы матрицы B 2 = b 2, Ab 2,..., A 2 1b до тех пор, пока вектор A 2 b 2 не будет выражаться как линейная комбинация векто ров b1, Ab1,..., A 1 1b1, b 2, Ab 2,..., A 2 1b 2, т.е.

rank [ B1 ;

B 2 ] = 1 + 2, (4.83) rank B1 ;

B 2 ;

A b 2 = 1 + 2. (4.84) Если 1 + 2 n, продолжается процедура присоединения к полученному набору [B1 ;

B 2 ] векторов b3, Ab3,..., A 3 1b3 и т.д.

Предположим, что для некоторого 3 имеем 1 + 2 + 3 = n, т.е. получена сово купность n линейно независимых векторов матрицы управляемости (4.80) и, следова тельно, матрица 370 Синтез регуляторов систем автоматического управления T = b1,..., Ab1,..., A 1 1b1, b 2,..., Ab 2,..., A 2 1b 2, b3,..., Ab3,..., A 3 1b3, T M y (4.85) невырождена ( det T 0, dim T = n n ).

Сформируем матрицу Р размерности m n следующим образом:

P = [ 0, 0,..., 0, e 2, 0,..., 0, e3, 0,..., 0], (4.86) где e2 — 1- й столбец, e3 — ( 1 + 2 )- столбец этой матрицы, общее число которых равно 1 + 2 + 3 = n, а через ei ( i = 2,3) обозначен i-й столбец единичной матрицы размерности m m.

Теперь искомая матрица K1 может быть найдена из выражения K1 = PT 1. (4.87) Для того чтобы показать, что полученная матрица (4.87) определяет управляемую пару {A + BK1 ;

b}, перепишем матрицу P = K1T в виде P = K1 b1,..., Ab1,..., A 1 1b1, b 2,..., Ab 2,..., A 2 1b 2, b3,..., Ab3,..., A 3 1b3 = = [ 0, 0,..., 0, e2, 0,..., 0, e3, 0,..., 0].

Это матричное равенство соответствует следующему набору векторных равенств:

K1b1 = 0, K1 Ab1 = 0, K1 A 2 b1 = 0,..., K1 A 1 1b1 = e2, K1b 2 = 0, K1 Ab 2 = 0, K1 A b 2 = 0,..., K1 A 2 b 2 = e3, (4.88) 3 K1b3 = 0, K1 Ab3 = 0, K1 A b3 = 0,..., K1 A b3 = 0.

Используя векторные равенства (4.88), легко показать, что пара {A + BK1 ;

b1} управляема, т.е. векторы b 1, [ A + BK 1 ] b 1,..., [ A + BK 1 ] b 1 — линейно независимы.

n Переходим ко второй части алгоритма 1.

2. Применяя к объекту управления X(t ) = ( A + BK1 ) X(t ) + b1 y1 (t ) & (4.89) процедуру синтеза, рассмотренную ранее для скалярного управления, и вводя обрат ную связь для (4.89) в виде T b1y1 (t ) = BG (t ) X(t ) = b1g1 X(t ), (4.90) где матрица G имеет вид ( dim G = m n ) g11... g1n g 0... G=.........

...

0... и g1 = [ g11 g12... g1n ], получим T X(t ) = ( A + BK1 + BG ) X(t ).

& (4.91) Таким образом, полная матрица коэффициентов обратной связи K, т.е.

Y (t ) = KX(t ), (4.92) будет иметь вид K = K 1 + G. (4.93) Приведенный алгоритм 1 представляется наиболее простым как с точки зрения компактности его изложения, так и с точки зрения удобства для практических вы Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем числений. Однако при таком подходе исключается значительная часть решений, ко торая может быть получена при проектировании систем управления. Ниже будет рас смотрен алгоритм 2, который решает более общую задачу модального управления.

Но сначала рассмотрим пример.

Пример 4.10 ( n = 3, m = 2 ).

Пусть матрицы А и B имеют следующий вид:

1 0 1 1 A = 0 1 0, B = 0 1.

1 0 1 0 Спектр матрицы А: A = {0;

1;

2}. Необходимо, если это возможно, синтезировать модальный регуля тор так, чтобы спектр матрицы замкнутой системы A + BK был равен * = {1;

2;

3}.

Решение.

1. Проверяем управляемость системы 1 1 2 0 0 M y = b1, Ab1, A 2b1, b 2, Ab 2, A 2b 2 = 0 0 0 1 1 1 ;

0 1 2 0 0 rank M y = 3, т.е. система полностью управляема и, значит, модально управляема.

Считаем, что будем управлять с помощью первого столбца b1 матрицы B, поэтому из матрицы M y 2.

вектора, начиная с b1. Отсюда получаем 1 = 2, 2 = 1. Формируем выбираем 3 линейно независимых матрицу Т 1 0 1 1 T = 0 0 1 T1 = 0 0 1.

0 1 0 0 1 Формируем матрицу Р (размерность 2 3).

3.

0 0 0 0 P = 0 1 0 =, 0 0 1 0 1 где пунктирная черта отсекает часть координат единичных векторов, длина которых превышает размер ность вектора управления ( m = 2 ).

4. Определяем матрицу K 1 0 0 0 0 0 0 K 1 = PT 1 = 0 0 1 = 0 0 1.

0 1 0 0 1 5. Матрица объекта с частично замкнутой обратной связью 1 0 A ( ) = A + BK 1 = 0 1 1.

1 0 Спектр матрицы A ( ) такой же, как у A, т.е.

A (1) = {0;

1;

2}.

6. Приходим к объекту со скалярным управлением X(t ) = ( A + BK 1 ) X(t ) + b 1 y1 (t ) = A ( ) X(t ) + b 1 y1 (t ).

& 7. Проверяем управляемость полученной системы:

1 1 { } M (y ) = b 1;

A ( )b 1;

( A ( ) ) 2 b 1 = 0 0 1, 1 1 0 1 { } rank M (1) = 3 пара A (1), b 1 управляема.

y 8. Синтезируем матрицу коэффициентов обратной связи G:

372 Синтез регуляторов систем автоматического управления а) Характеристический полином матрицы A (1):

A (1) () = 3 3 2 + 2 = 3 + a 2 2 + a1.

б) Сопровождающая матрица полинома A (1) ( ) :

0 1 0 A (1) = 0 0 1, b = 0.

% % 0 2 3 в) Желаемый характеристический полином:

() = ( + 1)( + 2 )( + 3) = 3 + 6 2 + 11 + 6.

{ } % г) Матрица управляемости для пары A (1), b :

% 0 0 { } M y = b, A (1)b, ( A (1) ) 2 b = 0 1 3.

%% % % % % 1 3 д) Находим матрицу S:

0 0 1 1 1 2 0 1 ( ) = 0 1 3 0 0 1 = 0 1 1.

S = M y M (1) % y 1 3 7 0 1 2 1 1 е) Вычисляем коэффициенты регулятора g % 1 для преобразованной системы:

g 1 = [ g 11, g 12, g 13 ], %T %%% g 11 = a 0 0 = 0 6 = 6, % g 12 = a1 1 = 2 11 = 9, % g 13 = a 2 2 = 3 6 = 9.

% ж) Матрица (строка) коэффициентов регулятора в исходном базисе:

0 1 g 1 = g 1S = [ 6 9 9] 0 1 1 = [ 9 24 27 ].

T % 1 1 9. Формируем матрицу коэффициентов обратной связи G:

g T 9 24 G= 1 =.

0 0 0 10. Искомая матрица коэффициентов обратной связи:

9 24 K = K1 + G =.

0 0 11. Проверяем корни у матрицы замкнутой системы:

8 24 1 0 1 1 9 24 A + BK = 0 1 0 + 0 1 1, =0 0 1 0 1 0 0 1 A +BK = {1;

2;

3}, т.е. модальный регулятор спроектирован верно.

() З ам еч а ние 4.1. В случае выбора произвольного столбца матрицы B b j в ал горитм 1 вносятся следующие изменения:

( ) 1) после проверки полной управляемости rank M y = n формируют матрицу T, b j, затем идет столбец b1 до A 2 1b1 и т.д., пока 1 начиная с b j до A 1 + 2 +... + k = n, где k m;

2) матрица P выглядит следующим образом:

P = 0, 0,..., 0, e1, 0,..., 0, e 2, 0,..., 0, e j 1, 0,..., 0, e j +1, 0,..., 0, e k, 0, 0, Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем ( 1 + 2 ) где единичный вектор e1 стоит на 1 месте, e2 — и т.д. Если c = 1 + 2 + 3 +... + i m, тогда все единичные орты, стоящие правее столб ца e i, будут нулевыми, так как единицы в них появляются ниже m-й строки (см. пример выше);

3) матрица G имеет вид 0 0... 0 0... G=, g j1 g j 2... g jm 0 0... причем dim G = m n.

Теперь рассмотрим другой подход модального управления для m 1.

А л гор итм В данном алгоритме модального управления, где исходная система (4.67) имеет векторное управление ( m 1), используется каноническое преобразование замкнутой системы. Предположим, что система (4.67) полностью управляема и в желаемом спек тре выполняется условие *j i для i j, i, j = 1, n, т.е. жордановые клетки мат рицы замкнутой не имеют одинаковых собственных значений. Кроме того, естественно потребовать, чтобы матрица B была матрицей полного ранга, т.е. rank B = m.

Напомним некоторые определения. Вектор R j (соответственно L j ) называется правым (левым) собственным вектором матрицы A, если справедливы соотношения AR j = j R j, j = 1, n, (4.94) LTj A = j LTj, j = 1, n, (4.95) где j — собственное значение матрицы A. Сформируем 2 матрицы R = [ R1, R 2,..., R n ] и LT L =..., LT n которые соответственно состоят из правых и левых собственных векторов, причем эти матрицы связаны условием LR = RL = I, (4.96) где I — единичная матрица размерности n n.

Стрелка подчеркивает, что левый собственный вектор L j в матрицу L вхо дит вектор-строкой.

Пусть = diag {1... n } — диагональная матрица, состоящая из собственных чисел матрицы A. Тогда выражения (4.94), (4.95) можно записать следующим образом:

R = AR, (4.97) L = LA. (4.98) 374 Синтез регуляторов систем автоматического управления Умножая (4.97) слева на L, а (4.98) на R, с учетом (4.96) получим следующие со отношения:

= LAR, (4.99) RL = A. (4.100) Из формул (4.97)–(4.100) получим для исходной системы (4.67) преобразованную.

Сделав замену переменных % X = RX, (4.101) подставляя в (4.67) и учитывая из (4.96), что L = R 1, (4.102) имеем & % % X(t ) = X(t ) + LBY(t ). (4.103) Из условий управляемости следует, что в каждой строке матрицы LB существует хотя бы один ненулевой элемент. Ненулевые элементы в строке LTj B информируют нас о том, какими управлениями из y1, y2,..., ym, образующими вектор Y, можно из менять собственное значение i матрицы A, соответствующее собственному векто ру L j.

Пусть 1, *,K, * — желаемые собственные значения замкнутой системы * 2 n X(t ) = ( A + BK ) X(t ) & (4.104) и R1, R*,K, R* — соответствующие им правые собственные векторы. Тогда для * 2 n матрицы A + BK замкнутой системы имеем ( A + BK )R* = *R*, (4.105) i ii или ( ) A *j I R*j = BP*, j = 1, n, (4.106) j где P* = KR*j j = 1, n (4.107) j — столбец размерности m 1.

Из уравнений (4.106), (4.107) определим неизвестные собственные векторы R1, R*,K, R*, предварительно задавшись столбцами P1*, P2,K, Pn. Нахождение век * * * 2 n торов R*j и P*, j = 1, n зависит от того, является ли желаемое собственное значение j *j собственным значением матрицы A или нет. Поэтому рассмотрим каждый слу чай отдельно.

1. Желаемое собственное значение *j не является собственным значением матрицы ( ) A, т.е. det A *j I 0. Тогда взяв любой ненулевой столбец P* 0, но так, j чтобы матрица P была матрицей полного ранга ( rank P = m ), и учитывая, что матрица B — матрица полного ранга ( rank B = m ), имеем ( ) R*j = A *j I BP*, j = 1, n, P* 0. (4.108) j j ( ) 2. *j является собственным значением матрицы A, т.е. det A *j I = 0. Тогда уравнение (4.106) будет иметь ненулевое решение относительно R*j, если ранг Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем ее исходной системы будет равен рангу расширенной (теорема Кронекера– Капелли), т.е.

( ) ( ) rank A *j I = rank A *j I;

BP*. (4.109) j Если L j — левый собственный вектор матрицы A, соответствующий собствен ному значению *j, то, умножив слева (4.106) на LTj, получим ( ) LTj A *j I R*j = LTj BP*. (4.110) j Учитывая (4.95), имеем LTj A = *j LTj, а () LTj *j I = *j LTj.

Тогда соотношение (4.110) примет вид LTj BP* = 0, (4.111) j или QT P* = 0, (4.112) jj где QT = LTj B.

j Таким образом, все m -столбцы P* должны для этого случая удовлетворять соот j ношениям (4.112). В частности, здесь можно брать P* = 0. Это означает, что при со j хранении *j в спектре замкнутой системы сохраняется и соответствующий собствен ный вектор R*j. Для систем со скалярным управлением ( m = 1) это имеет место всегда.

( ) Получив весь набор собственных векторов R*j j = 1, n и столбцов P* ( j = 1, n ), j находим матрицу модального регулятора () K = P* R * (4.113), где P* = P1*, P2,K, Pn.

* * Рассмотрим пример, который был решен ранее с использованием алгоритма 1.

Пример 4.11 (Алгоритм 2) ( n = 3, m = 2 ).

Итак, даны матрицы:

1 0 1 1 A = 0 1 0, B = 0 1.

1 0 0 Спектр матрицы A : A = {0;

1;

2}. Желаемый спектр * = {1;

2;

3}.

{A, B} управляема. Это уже было показано. Так как все собственные значения A и * раз Пара ( j = 1, 2,3) личны, то для нахождения правых собственных векторов R*j используем формулу (4.105).

= [1 0], j = 1,2. Тогда для = 1 имеем T 1* P* Пусть j 1 0 1 1 0 0, 1 0 1 1 = ( ) = 0 1 0 0 0.

* * BP1* = A 1 I R1 1 0 1 0 1 1 0 0, Аналогично для * = 2 получим 376 Синтез регуляторов систем автоматического управления 0, R* = 0.

0, Для * = 3 примем P3 = [ 0 1], чтобы матрица P имела полный ранг 2. Тогда имеем T * 0, 6667 0,375 R * = 0,25 и R * = 0 0, 25.

0,3333 0, Окончательно получим следующую матрицу коэффициентов:

0, 6667 0,375 5 1 1 0 () 0, 25 = * * = K=P R 0 0.

0 0 0 0,3333 0,125 Проверим полученный результат. Матрица системы с обратной связью:

4 0 ( A + BK ) = 0 3 0.

1 Спектр A +BK = {1;

2;

3} = *, т.е. модальный регулятор спроектирован верно.

4.5.3. УПРАВЛЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫМИ МОДАМИ ПРИ ПОЛНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Рассмотрим задачу модального управления, в которой необходимо обеспечить сдвиг собственного значения k матрицы A к *, причем остальные собственные k значения остаются без изменения. Такая техника полезна при решении таких задач, когда объект не является полностью управляемым, но он модально (по отношению к k ) управляем и может быть стабилизирован с помощью модальной обратной связи.

Предположим, что все собственные значения матрицы A различны.

Алгоритм сдвига собственного значения k к желаемому * основан на сле k дующей теореме.

Теорема 4.2. Для того чтобы в спектре матрицы A изменился корень k, а все остальные собственные значения и правые собственные векторы, в том числе и R k, остались без изменения, необходимо и достаточно, чтобы строки матрицы модально го регулятора K были пропорциональны левому собственному вектору LT матрицы k A, т.е.

K = Fk LT, (4.114) k где Fk — некоторый ненулевой столбец размерности m 1.

До каз ат е льство. Нам необходимо показать, что существует непрерывный путь, соединяющий матрицу A с A * = A + BK, если матрица K определяется выра жением (4.114), при этом R k = R*. Обозначим через R (1) = R k правый собственный k k вектор собственных значений k матрицы A, а R ( q ) = R k — соответственно матрицы k A* для * ( q 1 ).

k По определению ( A + BK ) R* = * R *. (4.115) k kk Умножим слева левую и правую части (4.115) на левый собственный вектор LTk матрицы A LT ( A + BK ) R* = * LT R*. (4.116) k k kkk Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем Так как LT A = k LT, имеем k k ( ) * k LT R* = LT BKR*. (4.117) k kk k k Если в выражение (4.117) подставить формулу (4.114), то получим ( ) * k LT R* = LT BFk LT R*. (4.118) k kk k kk Когда * = k, то R* = R k и LT R k = 1. Но тогда в правой части (4.118) имеем k k k Fk = 0, что даст в соответствии с (4.114) K = 0.

( ) произведение LT R (i ) = 1 (1 i q ) будет постоян При изменении * * k k k kk ным согласно (4.96). Соотношение (4.118) будет выполнено, если можно подобрать такой ненулевой столбец Fk, чтобы * k = LT BFk. (4.119) k k LT B 0, что имеет место при модальной управляе Это всегда можно сделать, если k мости по моде k. Таким образом, при выборе структуры регулятора вида (4.114) все правые собственные вектора, включая R k, остаются неизменными, мода k сдвигается к значению *, если столбец Fk для (4.114) определяется из условия (4.119).

k Пример 4.12. Рассмотрим пример, когда не имеет место полная управляемость, но существует мо дальная управляемость. Итак, дано ( n = 3, m = 2 ) 0,8571 8,8571 9, A = 0,8571 4,8571 3, 000, 0,5714 2,5714 1, 1 B = 0,3 0, 2631.

0, 2 0, Спектр матрицы A: A = {0;

1;

2}.

* Необходимо сдвинуть корень 1 = 0 к 1 = 3.

Составляем матрицу управляемости:

M y = b1;

Ab1;

A 2b1;

b 2 ;

Ab 2 ;

A 2b 2 = 0 0 0 1 1 = 0;

0;

0;

0, 2631;

2 0, 2631 ;

4 0, 2631.

0 0 0 0, 0526 0, 0, Ранг M у = 1, т.е. система не является полностью управляемой.

Находим правые собственные вектора матрицы A и составляем матрицу R:

R1 R R 1 R=.

0,3 0, 2631 0, 2 0, 0526 0, В соответствии с формулой (4.102) находим матрицу левых собственных векторов L:

T 8,5727 L 1, 4287 7, L=R = 0 5, 4293 8,1434 LT.

0, 4286 1, 7148 0, 4243 LT Проверяем модальную управляемость:

1 LT B = [1,4287 7,1441 8,5727] 0,3 0,2631 = [1 0];

0,2 0, 378 Синтез регуляторов систем автоматического управления т.е. система модально управляема, так как LT B 0. Подставим найденные матричные данные в формулу (4.119):

F (3) (0) = [1 0] F1 = [1 0] 11 = F11;

F Откуда F11 = 3, а F21 может быть любым, например F21 = 0, тогда столбец F1 имеет вид F1 =.

Полученный столбец F1 позволяет найти матрицу модального регулятора K = F1LT = [1,4287 7,1441 8,5727] = 4,2861 21,4323 25, =, 0 0 что определяет матрицу замкнутой системы 3,4290 12,5752 16, A* = A + BK = 0,4287 4,7154, 1, 0,2850 1,7150 4, которая имеет следующий спектр: A* = {3;

1;

2} ;

A* совпадает с желаемым спектром *.

З ам еч а ние 4.2. Если необходимо сдвинуть две и более моды, процедуру, рас смотренную выше, необходимо проводить итеративно, сдвигая каждый раз по одной моде, т.е.

A A1 = A + BK1 A* = A1 + BK 2... A* = A* 1 + BK p, * * 2 p p и общая матрица модального регулятора K определяется выражением p K = Ki, (4.120) i= где 1 p n — число сдвигаемых мод.

4.5.4. ОПТИМАЛЬНОЕ МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОЙ МОДОЙ ПРИ ПОЛНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Если в строке LT B имеется более одного ненулевого элемента, при сдвиге моды k k = * возникает неоднозначность в выборе столбца Fk. Эту неоднозначность k можно использовать для вывода оптимального модального управления с точки зре ния минимизации энергетических затрат по переводу моды k в *. В качестве це k левой функции используем следующую квадратичную функцию:

mm J = ij Kij, (4.121) i =1 j = где ij 0 — весовые коэффициенты матрицы усиления K модального регулятора.

( ) Необходимо минимизировать функцию J по Kij i = 1, m, j = 1, m при соблюдении линейного ограничения * k = LT BFk. (4.122) k k В выражении (4.121) число оптимизируемых параметров K ij равно m n. Но, с другой стороны, матрица K определяется из соотношения (4.114) K = Fk LT. (4.123) k Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем Так как левый собственный вектор LT матрицы A определяется самой матрицей, k то число оптимизируемых параметров в выражении (4.123) остается равным dim Fk, т.е. m. В соответствии с этим, подставив формулу (4.123) в (4.121), получим m n m n ( ) = ij Lkj 2Fik 2.

J = ij Fik L kj (4.124) i =1 j =1 i =1 j = Ограничение (4.122) представим в следующем развернутом виде:


m * k = Qki Fik, (4.125) k i = где QT = LT B. (4.126) k k После этих преобразований задача оптимизации состоит в следующем: необходи (i = 1, m ), минимизирующий функцию * мо найти столбец (m + 1) коэффициентов Fik (4.124) при линейных ограничениях (4.125).

Эту задачу решим методом неопределённых множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:

mn m L = ij L2 Fik + * k Qki Fik, (4.127) kj k i =1 j =1 i = где — множитель Лагранжа для ограничения (4.125).

Условие минимума (4.124) при ограничении (4.125) — cтационарность функции L по оптимизируемым параметрам Fik, т.е.

L = 0, i = 1, m. (4.128) Fik Формула (4.128) и ограничение (4.125) дают следующую систему (m + 1) линей * ных уравнений относительно Fik (i = 1, m) и :

n ij L2 2 Fik Qki = 0, i = 1, m, * (4.129) kj j = m * k = Qki Fki.

* (4.130) k i = Учитывая простоту этих уравнений, их решение можно получить аналитически.

Пусть в m -й строке QT для некоторого i = l (1 l m ) элемент Qkl 0. Выразим k из (4.129) для i = l множитель :

n 2 lj L2 Flk * kj j = =. (4.131) Qkl Подставляя вместо правую часть (4.131) в уравнение (4.129), получим 2 lj L kj n 2 ij L2 Fik * * Flk Qki = 0, (4.132) kj Qkl j = где i = 1, m;

i l.

380 Синтез регуляторов систем автоматического управления Из (4.132) найдём оптимальные значения параметров в m -столбце Fk* :

n lj L2 Qki kj j = * 2 * Fik = Flk = ik Flk, (4.133) n ij L2 Qkl kj j = где i = 1, m и i l, а n lj L2 Qki kj j = ik =, (4.134) n ij L2 Qkl kj j = причём lk = 1.

Из выражения (4.133) видим, что (m 1) коэффициент Fk* линейно зависит от ко * эффициента Flk, который мы определим из линейного ограничения (4.130).

* Подставляя в уравнение (4.130) вместо Flk правую часть (4.133), получим m * k = Qki ik Flk ;

* (4.135) k i = откуда * k * k Flk =. (4.136) m Qkiik i = * Таким образом, алгоритм нахождения оптимального столбца Fk и соответст венно оптимальной матрицы K * при переводе моды k матрицы A к моде * k следующий.

Шаг 1. По заданным матрицам A и B определяем левый собственный вектор L k матрицы A и условие модальной управляемости по моде k : LT B = Q T 0.

T k k Шаг 2. Выбираем произвольный ненулевой элемент строки Qkl 0. Заметим, что если такой элемент единственный, то задача оптимизации отсутствует, так как Fk определяется однозначно.

Шаг 3. Из соотношений (4.134) находятся элементы ik, i = 1, m, i l, lk = 1.

* Шаг 4. Из формулы (4.136) находим Flk.

* Шаг 5. Из выражения (4.133) находим Fik, i = 1, m, i l.

Шаг 6. По формуле (4.123) определяем K *.

Пример 4.13. Пусть матрицы A и B объекта управления имеют вид 1 0 1 1 A = 0 1 0, B = 1 0.

1 0 1 0 Кроме того, заданы весовые коэффициенты матрицы K :

1 2 0, ij =.

1 0,5 Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем Спектр матрицы A : A = {0;

1;

2}. Необходимо перевести корень 3 = 2 в * = 2 и при этом ми нимизировать функцию (4.124).

Решение.

1. Находим матрицу левых собственных векторов LT 0,5 0 0, L = LT 0 1 T 0,5 0 0, L3 и проверяем условие 3 — модальной управляемости LT B = Q T = [ 0,5 1] 0, 3 k т.е объект модально управляем, причём оптимизация по примеру (4.124) возможна, так как строка Q T имеет несколько (в данном случае 2) ненулевых элемента.

k Выбираем элемент Q31 = 0,5, т.е. l = 1.

2.

13 = 1, 3.

1 j L2 j ( ) 1 0,5 2 + 2 0 2 + 0,3 0,5 2 Q j = 23 = = = 0, 2889.

( ) 1 0,5 2 + 0,5 0 2 + 8 0,5 2 0, Q 2 j L2 j j = F 4. Определяем :

* 3 2 F13 = = = 5, 0704.

13 Q31 + 23 Q32 1 0,5 + 0, 2889 * 5. Находим оставшиеся элементы столбца F3 :

* F23 = 23 F13 = 0, 2889 (5, 0704) = 1, 4648.

6. Определяем матрицу оптимальных коэффициентов модального регулятора:

5, 0704 2,5352 0 2, [ 0,5 0 0,5] = 0, 7324 0 0, 7324.

K = F3 LT = k 1, 4648 Проверим, что модальное управление проведено правильно. Матрица 2,2676 0 2, A = A + BK = 2,5352 1 2, 0,2676 0 0, имеет спектр A* = {0;

1;

2}, т.е. матрица K * найдена верно. Определим значение функции J для найденной матрицы K * :

2 J * = ij K ij = 13,1831.

* i =1 j = T Заметим, что если для выданных весовых коэффициентов a ij и матрицы Q 3 выбрать другой неоп % тимальный столбец F3, также переводящий d3 d3, то значение целевой функции J будет больше.

Например, если % F3 =, то J = 14, 2 J *.

% 4.5.5. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ НЕПОЛНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Рассмотренные выше алгоритмы модального управления получены из условия, что доступны для измерения все коэффициенты вектора состояния, что на практике случается редко. Поэтому важно получить алгоритмы модального управления для объектов, где не все компоненты вектора Х доступны непосредственному измере нию. Ясно, что в этих случаях необходимо синтезировать устройство для получения € оценок X вектора состояния, т.е. построить наблюдатель.

382 Синтез регуляторов систем автоматического управления Модальное управление с наблюдателем полного порядка. Рассматривается за дача модального управления для объекта управления с уравнением состояния X ( t ) = AX(t ) + BY(t ), X R n, Y R m & (4.137) и уравнением выхода Xв (t ) = CX(t ), (4.138) Xв R l, l n;

требуется построить модальный регулятор € Y (t ) = KX(t ), (4.139) который обеспечит заданное расположение корней замкнутой системе (4.137), € (4.138). Оценку X(t ) вектора состояния получим на выходе наблюдателя полного порядка, динамика которого описывается уравнением X(t ) = ( A K н C ) X(t ) + K н Xв (t ) + BY(t ), € € (4.140) где K н — матрица ( n l ) коэффициентов наблюдателя. Обозначим выбранный ха рактеристический полином наблюдателя полного порядка * () :

н * () = det ( A K н C I ). (4.141) н Так как вектор X(t ) недоступен для измерения, то попробуем заменить в цепи об € ратной связи вектор X(t ) на его оценку X(t ). Многочлен * () можно выбрать по н своему усмотрению и тем самым получить произвольную динамику стремления € оценки X(t ) к X(t ) при t. При такой замене основной интерес представляют два вопроса:

1. Матрица K выбрана в предположении, что известно состояние X(t ), а потом € вектор состояния заменим его оценкой X(t ). Получится ли прежний регулятор?

Другими словами, будет ли система с обратной связью по-прежнему иметь же лаемый характеристический полином * ( ) ?

2. Какой эффект вносит в систему наблюдатель? Оказывается, что выбранные ха рактеристические числа системы с обратной связью по состоянию и характери стические числа (собственные значения) наблюдателя войдут в замкнутую систе му без изменения.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.3. Пусть дана полностью управляемая и наблюдаемая система (4.137), (4.138). Пусть матрица K выбрана так, что спектр матрицы A + BK совпадает с же лаемым *, т.е. характеристический полином A + BK ( ) = * ( ), и пусть выбрана матрица коэффициентов наблюдателя K н такая, что характеристический полином матрицы A K н C совпадает с желаемым полиномом * (). Тогда характеристиче н ский полином замкнутой системы (4.137), (4.140) (с учетом (4.138) и (4.139)) 2n-порядка € & X(t ) = AX(t ) + BKX(t ), (4.142) & X(t ) = ( A K н C ) X(t ) + BKX(t ) + K н CX(t ), € € € € (4.143) который обозначим через 0 (), совпадает с произведением выбранных многочленов 0 ( ) = * ( ) * ( ). (4.144) н Глава 4. Методы синтеза регуляторов в классе многомерных линейных систем До каз ат е льство. Представим уравнения (4.142), (4.143) в виде системы 2n-порядка & X(t ) A X(t ) X(t ) BK = A = (4.145).

X(t ) K н C A K н C + BK X(t ) € & € € X(t ) Сделаем следующую невырожденную замену координат:

X(t ) I 0 X(t ) X(t) E(t) = P € = I I €, (4.146) X(t ) X(t ) € где E(t ) = X(t ) X(t ), I — единичная матрица размерности n n. В новых перемен ных & X(t ) A 1 X(t ) 0 1 X(t ) BK & = PA P = P K C A K C + BK P E(t ) = E(t ) E(t ) н н (4.147) A + BK BK X(t ) 00 X(t ) = =A.

A K н C E(t ) 0 E(t ) Так как матрица преобразования P невырожденная, то матрицы A 00 и A 0, свя занные выражением A 00 = PA 0 P 1, (4.148) подобны и, следовательно, имеют одинаковый характеристический полином, т.е.

A00 ( ) = A0 ( ) = 0 ( ) = ( ) ( ). (4.149) н Что и требовалось доказать.

Формула (4.149) имеет важное значение, так как позволяет задачу модального управления с наблюдателем разделить на две независимые подзадачи:

1) построение модального регулятора;

2) построение наблюдателя полного порядка.

Решение 1-й подзадачи было рассмотрено выше, где можно использовать алго ритмы 1 или 2 или провести оптимальный выбор коэффициентов K модального ре гулятора. Что же касается 2-й подзадачи, то здесь для нахождения матрицы K н мож но воспользоваться принципом дуальности для управляемости и наблюдаемости, установленным Р. Калманом.

Пусть даны две системы, из которых одна описывается уравнениями & X (t ) = AX (t ) + BY(t ), (4.150) X в (t ) = CX (t ), а другая уравнениями Z(t ) = A T Z(t ) + CT V (t ), & (4.151) T G(t ) = B Z(t ).

Такие системы называют двойственными, или сопряженными друг другу. Оче видно, что условие rank B;

AB;

...;

A n 1B = n является условием полной управляемости системы (4.150) и одновременно условием полной наблюдаемости системы (4.151), а равенство rank CT ;

A T CT ;

...;

( A T ) n 1 CT = n — условием полной наблюдаемости системы (4.150) и одновременно условием пол ной управляемости системы (4.151).

384 Синтез регуляторов систем автоматического управления Воспользуемся этим принципом дуальности, чтобы задачу нахождения коэффи циентов K н наблюдателя свести к задаче модального управления. Для этого во вспомогательной задаче (4.151) необходимо найти такую матрицу коэффициентов обратной связи K н V (t ) = K T Z(t ), (4.152) н ( ) чтобы матрица A T CT K н имела характеристический полином T A T CT K T ( ) = A K н C ( ), н совпадающий с желаемым ( ). А это и есть задача модального управления. И к н ней можно применить все рассмотренные выше алгоритмы синтеза.


Таким образом, задача синтеза алгоритмов модального управления с наблюдателем полного порядка сведена к двум независимым подзадачам модального управления:

1) нахождение матрицы коэффициентов K управления с обратной связью Y(t ) = KX(t ) системы (4.150), обеспечивающие желаемый полином замкнутой системы ( ) ;

2) определение матрицы коэффициентов K н управления с обратной связью V (t ) = K T Z(t ) системы (4.151), обеспечивающей желаемый полином замкну н той системы ( ).

н Большинство математических положений, на которых основывается изложение материала в данном параграфе, изложено в соответствующих книгах по линейной алгебры и ее применению в теории САУ (Л. Ланкастер «Теория матриц»;

Ю.Н. Анд реев «Управление конечномерными линейными объектами»;

У.Х. Рей «Методы управления технологическими процессами», Х. Квакернаак, Р. Сиван «Линейные оптимальные системы управления» и др.), ссылки на которые можно взять из биб лиографии к первому тому.

Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления ГЛАВА 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РОБАСТНОГО И СТОХАСТИЧЕСКОГО РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ Теория автоматического управления развивается как в направлении более пол ного и глубокого анализа функционирования и эффективности автоматических систем и устройств при учете реальных режимов работы и действующих возмуще ний, так и в направлении разработки методов синтеза оптимальных систем управ ления. Эти общие направления теории систем управления получили особое разви тие с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин, по зволяющих реализовать сложные вычислительные алгоритмы анализа и синтеза систем управления.

Развитие теории автоматического управления с конца 50-х годов в значительной мере связаны с работами Р. Калмана и Р. Бьюси [166] по оптимальной линейной фильтрации, а также А.М. Летова [67] и Р. Калмана [49] по синтезу линейных дина мических систем, оптимальных по квадратичному критерию качества. Данные рабо ты сформировали теоретические основы для широкого применения теории в различ ных областях науки и техники и позволили решить принципиально новые теоретиче ские и прикладные задачи.

В то же время, практика применения теории оптимальных систем при решении конкретных технических задач показала, что оптимальные системы, синтезирован ные по квадратичному критерию качества, являются чувствительными к параметрам модели реального объекта и характеристикам входных воздействий, т.е. являются не грубыми, и иногда теряют не только оптимальность, но и работоспособность в тех случаях, когда априорная информация об объекте и внешней среде известна не точно, а лишь с некоторой достоверностью, задаваемой интервалами принадлежности (клас сами неопределенности).

Это привело к тому, что в начале 80-х годов стали возникать постановки оптималь ных задач управления, которые смогли бы избежать указанных выше недостатков.

Современный период развития теории управления характеризуется постановкой и решением задач, учитывающих неточность наших знаний об объектах управления и действующих на них внешних возмущений. Задачи синтеза регулятора и оценивания состояния с учетом неопределенности в модели объекта и характеристиках входных воздействий являются одними из центральных в современной теории управления. Их важность обусловлена прежде всего тем, что практически в любой инженерной зада че конструирования системы управления присутствует неопределенность (или ошиб ка) в модели объекта (математическая модель объекта, полученная на основе теории или в результате идентификации, отличается от реальной технической системы) и в знании класса входных возмущений.

Основная и принципиально новая идея по синтезу робастного управления состоя ла в том, чтобы единственным регулятором обеспечить устойчивость замкнутой сис темы не только для номинального (без учета ошибок модели) объекта, но и для лю бого объекта, принадлежащего множеству «возмущенных» объектов, определяемых классом неопределенности.

Началом построения более строгой классической теории робастного управления, распространенной на многомерные системы, послужила статья Зеймса [197], в кото 386 Синтез регуляторов систем автоматического управления рой был предложен новый критерий оптимальности на основе H -нормы многомер ной передаточной функции замкнутой системы. Использование H -нормы в качест ве критерия оптимальности при синтезе многомерных систем основано на том факте, что H -норма может служить мерой усиления системы. H -норма передаточной функции есть энергия выхода системы при подаче на вход сигнала с единичной энер гией. Если выходом является ошибка, а входом возмущение, то минимизируя H -норму передаточной функции, мы минимизируем энергию ошибки для наихуд шего случая входного возмущения. В скалярном случае норма такой функции конеч на и равна максимальному значению амплитудно-частотной характеристики.

Таким же важным первоисточником для сегодняшнего уровня понимания про блемы является статья Дойла и Стейна [156], которая положила начало проблеме грубого или робастного управления для модели, заданной в условиях неопределен ности.

Появившиеся в начале 80-х годов новые постановки задач синтеза систем управ ления, сводящиеся к задаче H -оптимизации [156, 197] и учитывающие неопреде ленности в системе, информация о которых минимальна, получили свои первые ре шения к середине 80-х годов на базе сразу нескольких подходов [158, 170, 196].

Однако эти работы имели скорее теоретическое значение, поскольку процедуры синтеза регуляторов были достаточно трудоемкими и громоздкими. Порой процеду ры синтеза приводили к курьезным результатам. Так, для системы второго порядка оптимальный H -регулятор имел десятый порядок [84]. И тем не менее мы считаем, что эти подходы должны быть освещены в учебной литературе, так как связывают современные проблемы математики с физическими принципами построения робаст ных регуляторов.

Многие работы, опубликованные после 1984 года, развивали так называемый «подход 1984», предложенный Дж. Дойлом [154], в котором на основе теории ганке левской аппроксимации Гловера [159] дана процедура в пространстве состояний ре шения проблемы H -оптимизации для случая конечномерных линейных систем.

В 1989 году на основе ряда ключевых результатов в фундаментальной работе [153] была сформулирована новая концепция подхода к решению задачи H -оптими зации, получившая название «2-Риккати подхода». Суть подхода заключалась в том, что оптимальная задача заменялась субоптимальной. Метод «2-Риккати подхода»

сочетает в себе классическую теорию автоматического управления и метод про странства состояний, а именно: постановка задачи производится в частотной области, а ее решение осуществляется с использованием метода пространства состояний.

Кроме того, данный подход позволяет разработчикам в процессе проектирования задавать требуемые характеристики качества и робастной устойчивости замкнутой системы.

В рамках этого подхода процедура синтеза H -субоптимального управления бы ла похожа на процедуру синтеза H 2 -оптимального управления. Применяя этот под ход, удалось сформулировать принцип разделения в H -теории управления, анало гичный хорошо известному принципу разделения в LQG -теории. Было показано, что при определенных условиях H 2 -теория управления является предельным случаем H -теории. Была существенно упрощена процедура нахождения субоптимальных регуляторов [161]. Выявлено, что степень регулятора для объекта порядка n не пре восходит n [171].

Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления В рамках «2-Риккати подхода» искомый оптимальный регулятор в форме наблю дателя определяется на основе решения двух многомерных уравнений Лурье– Риккати для фильтрации (восстановление состояния) и оптимального управления в смысле минимума H -нормы замкнутой системы. Регуляторы, синтезированные с использованием этого критерия оптимальности, обеспечивают устойчивость замкну той системы и минимальную чувствительность к возмущениям.

В настоящее время процедуры синтеза H -регуляторов в рамках «2-Риккати подхода» приняты в качестве стандарта. В этой главе мы только приводим алгоритм решения задачи с помощью этого подхода, так как его строгое изложение требует большого объема и достаточно сложно для неподготовленного читателя.

После создания H -теории для стационарных непрерывных систем эта теория была распространена и на другие классы систем. Так, в работе [164] описано решение задачи H -оптимизации для линейных дискретных систем, а в статье [185] сформу лирована и решена задача H -оптимизации для нестационарных систем. Однако практическое применение нестационарной теории затруднено отсутствием эффек тивных алгоритмов решения нестационарных уравнений Риккати.

Явные успехи линейной H -теории управления привлекли внимание специали стов по нелинейной теории управления. В рамках нелинейной теории появились по становки задач, аналогичные задачам в линейной теории. Получены и числовые ал горитмы их решений [149, 190]. Однако, как показали результаты практического применения нелинейной H -теории [152], она представляет собой пока теоретиче ский интерес. H -теория рассмотрена также и с игровой точки зрения [150, 172].

Изложению различных подходов по синтезу систем управления для систем с раз личными видами представления неопределенности (параметрическими, непарамет рическими, структурированными и неструктурированными) посвящены сборники статей [157, 186, 187]. Существуют опубликованные обзоры [12, 54, 63, 79] и моно графии [90] по H -теории и в отечественной литературе.

Появление новых просто алгоритмизируемых процедур нахождения регуляторов вызвало большой интерес к этой проблематике в среде инженеров — разработчиков систем управления. Были созданы пакеты прикладных программ для разработчиков робастных систем управления. Наиболее популярным пакетом программ считается Robust Control Toolbox для пакета Matlab [96].

В этом введении авторы не ставят своей целью осветить достаточно полно при ложения H -теории. По этому поводу есть большое количество литературы за ру бежом, есть и работы на русском языке. Нам бы хотелось обратить внимание специа листов на некоторые работы в традиционной области приложения теории управления — управлении движущимися объектами, а более конкретно — летательными аппара тами, где применение новой теории продвинулось достаточно далеко.

Еще в начале 90-х годов появился ряд работ (см. [163, 182]), посвященных приме нению H -теории в задачах управления движением. Одной из такого рода задач яв ляется задача построения управления, минимизирующего действие внешнего возму щения на систему.

Одним из таких внешних возмущений является микропорыв ветра — внезапный порыв ветра большой интенсивности. Особенно опасен микропорыв ветра при взлете и посадке самолета, полете на низких высотах. Предложенные в [152, 167] алгоритмы показали принципиальную возможность применить H -методы для уменьшения влияния микропорыва ветра на траекторию полета.

388 Синтез регуляторов систем автоматического управления Предлагаемый в этой главе материал организован следующим образом. В первых 5 параграфах в основном излагаются фундаментальные понятия и результаты роба стной теории, разработанные для систем с одним входом и одним выходом.

Основные понятия и необходимый математический аппарат, необходимый для формулировки задач робастного управления, изложены в параграфе 5.6.

В седьмом параграфе изложен стохастический подход к H -оптимизации систем автоматического управления, основанный на использовании критерия качества сто хастической нормы системы. Такая норма количественно характеризует чувстви тельность выхода системы к случайным входным возмущениям, вероятностное рас пределение которых известно не точно. Конкретизация этого подхода, получаемая комбинированием понятия стохастической нормы системы и средней анизотропии сигнала [28], приводит к специальному варианту стохастической нормы — анизотро пийной норме.

Средняя анизотропия представляет собой характеристику пространственно временной окрашенности стационарного гауссовского сигнала, которая тесно связа на, с одной стороны, с теоретико-информационным подходом к количественному описанию хаоса с помощью колмогоровской -энтропии вероятностных распределе ний [33, 125], а с другой — с принципом изотропности конечномерного евклидова пространства [28].

Анизотропийная норма системы характеризует ее чувствительность к входным гауссовским шумам, средняя анизотропия которых ограничена сверху неким неотри цательным параметром а.

В параграфе 5.7 излагаются методы анизотропийного анализа и синтеза систем.

Приводятся и обсуждаются результаты по решению конкретной задачи построения регулятора для управления самолетом в условиях действия на систему внешних воз мущений.

Построению различных робастных регуляторов в задаче посадки самолета в усло виях действия внешних неконтролируемых возмущений, посвящен параграф 5.8. Ре зультаты применения H -регуляторов в задаче посадки самолета в условиях микро порыва ветра показали, что эти регуляторы наряду с рядом неоспоримых достоинств имеют и недостатки. Основной особенностью H -регуляторов является тот факт, что в процессе функционирования робастной системы используется только априор ная информация о возможных внешних возмущениях. Это приводит к тому, что ро бастные системы управления отличаются некоторым консерватизмом. Это объясня ется тем, что робастные системы должны оставаться работоспособными (сохранять робастную устойчивость и заданный уровень качества) при максимально допустимых возмущениях, не «имея информации» о том, когда это возмущение произойдет, т.е.

регулятор «всегда готов» к наихудшему случаю. Это общая характерная особенность всех минимаксных регуляторов (к которым относятся и H -регуляторы).

В параграфе 5.8 также построены анизотропийные регуляторы. Приводятся срав нения применения этих анизотропийных регуляторов, построенных для разных уров ней средней анизотропии входного сигнала с применением H 2 / LQG и H -регуля торов для этой задачи. Показано, что при применении анизотропийных регуляторов, построенных при соответствующем уровне средней анизотропии входного сигнала, существенно меньшим по величине управлением достигается практически одинако вое качество переходных процессов по управляемым переменным по сравнению с H -субоптимальным регулятором.

Авторы предполагают, что читатель хорошо знаком с линейной алгеброй, теорией матриц, теорией линейных дифференциальных уравнений, с курсом классической теории регулирования.

Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления 5.1. НОРМЫ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ Один из путей описать качество системы управления — описать его в терминах некоторых сигналов. Например, качество системы слежения может быть измерено размером сигнала ошибки. Этот параграф рассматривает некоторые способы опреде ления величины сигнала, т.е. некоторые нормы для сигналов. Вводятся также нормы для передаточных функций системы. Приводятся две полезные таблицы, показы вающие вход-выходные соотношения. Приводятся алгоритмы вычисления опреде ляемых норм. Определенные понятия для одномерного случая распространяются на многомерный.

5.1.1. НОРМЫ СИГНАЛОВ Рассмотрим сигналы (функции), определенные на интервале (, ). Предпола гается, что они кусочно непрерывны. Сигналы могут быть равны нулю для t 0, т.е.

мы можем начинать со времени t = 0.

Напомним следующие аксиомы нормы:

1) u ( t ) 0 для любого t;

2) u ( t ) = 0 u ( t ) = 0;

3) au = a u для любого a ;

4) u + v u + v.

Последнее неравенство известно как неравенство треугольника.

Определение 5.1. 1-норма сигнала u (t ) определяется формулой u (t ) 1 = u ( t ) dt. (5.1) Определение 5.2. 2-норма сигнала u (t ) определяется формулой 1/ u ( t ) 2 = u 2 ( t ) dt. (5.2) Определение 5.3. -норма сигнала u (t ) определяется как верхняя грань его аб солютной величины u ( t ) = sup u ( t ). (5.3) t ( ) Например, -норма 1 et 1( t ) равна 1.

Определение 5.4. Усредненная мощность сигнала u (t ) определяется как усред нение во времени мгновенной мощности T u lim (t )dt.

T 2T T Сигнал u (t ), для которого этот предел существует, называется сигналом ограни ченной мощности. Квадратный корень из усредненной мощности обозначим через pow(u ) :

1/ T pow ( u ) = lim u ( t ) dt. (5.4) T 2T T 390 Синтез регуляторов систем автоматического управления Заметим, что ненулевой сигнал может иметь нулевую усредненную мощность, таким образом, pow(u) не является нормой.

Ниже мы рассмотрим вопрос, влечет ли конечность одной нормы конечность других.

Предложение 5.1. Если u (t ) 2, тогда если u (t ) — сигнал ограниченной мощ ности, то pow(u ) = 0.

До казательство.

T 1 1 u (t )dt u (t ) 2, 2T 2T T откуда следует утверждение предложения.

Предложение 5.2. Если u (t ) — сигнал ограниченной мощности и u ( t ), то и, следовательно, pow(u ).

гда pow(u ) u (t ) До казательство.

T T 1 2 u 2 ( t ) dt u ( t ) dt = u ( t ).

2T 2T T T Предложение 5.3. Если u (t ) 1 и u (t ), тогда ( ) 1/ u (t ) u (t ) u (t ).

и, следовательно, u (t ) Доказательство аналогично доказательству предложений 5.1 и 5.2.

Диаграмма Венна (рис. 5.1) частично иллюстрирует вышесказанное.

pow 2 Рис. 5.1. Диаграмма Венна На этой диаграмме множество, отмеченное pow, содержит все сигналы u (t ), для которых величина pow(u ) конечна, множество 1 содержит все сигналы, для которых 1-норма конечна и т.д.

Можно привести примеры функций, принадлежащих каждому из указанных на диаграмме множеств и не принадлежащих другим.

5.1.2. НОРМЫ СИСТЕМ Мы рассматриваем системы, являющиеся линейными, стационарными, каузаль ными (причинными) и конечномерными. Во временной области вход-выходная мо дель для таких систем имеет форму уравнения свертки x = k y, Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления т.е.

x (t ) = k ( t ) y ( ) d.

Каузальность означает, что k (t ) = 0 для t 0. Через W ( s ) обозначим передаточную функцию, преобразование Лапласа от k.

Определение 5.5. Будем говорить, что W ( s ) является устойчивой, если она ана литическая в замкнутой правой полуплоскости ( Re s 0 ), правильной, если W ( j ) конечна (степень знаменателя больше или равна степени числителя), строго пра вильной, если W ( j ) = 0 (степень знаменателя больше степени числителя), и бипра вильной, если W и W 1 — обе правильные (степень знаменателя равна степени чис лителя).

Далее введем две нормы для передаточной функции W.

Определение 5.6. 2-норма передаточной функции определяется равенством 1/ 1 W ( j ) d.

= W (5.5) 2 Определение 5.7. -норма передаточной функции определяется равенством W = sup W ( j ). (5.6) Заметим, что если W устойчива, то в соответствии с равенством Парсеваля 1/ 2 1/ 1 2 W ( j) d = k ( t ) dt.

W 2 = Заметим, что -норма равна расстоянию от начала координат до наиболее уда ленной точки диаграммы Найквиста для W на комплексной плоскости. Эта величина также появляется как наибольшее значение графика Боде для W. Отметим важное свойство -нормы:

W1W2 W1 W2.

Приведенная ниже лемма устанавливает, когда эти две нормы конечны.

Лемма 5.1. 2-норма W конечна тогда и только тогда, когда W является строго правильной и не имеет полюсов на мнимой оси;

-норма W конечна тогда и только тогда, когда W не имеет полюсов на мнимой оси.

Как вычислять 2-норму Предположим, что W строго правильная и не имеет полюсов на мнимой оси, т.е.

ее 2-норма конечна. Мы имеем j 1 1 W ( j) d = 2j W ( s )W ( s ) ds = 2j W ( s )W ( s ) ds.



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 17 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.