авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 17 |

«СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ CИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цикл учебников и учебных ...»

-- [ Страница 12 ] --

Теорема 5.13. Обобщенный критерий Найквиста. Если на рис. 5.10 W1 имеет W1 полюсов в правой полуплоскости и W2 имеет W2 полюсов в правой полуплос кости, то замкнутая система внутренне устойчива тогда и только тогда, когда годограф Найквиста определителя det ( I W1W2 )( j) :

1) не проходит через начало координат, т.е. det ( I W1W2 )( j) 0 для всех ;

2) делает W1 + W2 оборотов против часовой стрелки при возрастании от до +.

5.6.5. МОДЕЛИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ВОЗМУЩЕНИЙ Математическая модель неопределенности в описании объекта непосредственно связана с математической моделью объекта. Однако при одном и том же описании объекта неопределенность может характеризоваться различными способами. Напри мер, как аддитивная и мультипликативная, параметрическая и непараметрическая, Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления структурная и неструктурная, детерминированная (установившаяся) и случайная.

В этом разделе мы проиллюстрируем вышесказанное примерами описания неопреде ленностей во временной и частотной областях.

5.6.5.1. МОДЕЛИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ Пусть линейная система управления имеет минимальную реализацию в простран стве состояний в виде & X = AX + BU, (5.39) Xв = CX + DU.

Здесь матрицы A, B, C и D имеют соответствующие размерности. Неопреде ленность объекта может быть задана следующим образом:

a) AX ( A + A ) X, где A ограничена по норме: A a ;

( ) b) AX A + i qi Ai X, где 1 qi 1 ;

c) AX AX + i xi G i n, где n — белый шум.

Случаи а) и b) представляют модели параметрических неопределенностей, при чем A является неструктурной неопределенностью, а неопределенность в b) явля ется структурной. В общем случае структурная неопределенность определенным об разом входит в матрицу A.

В случае c) неопределенность моделируется как стохастическая неопределенность в виде белого шума.

Модели использования неопределенностей a) и b) описаны, например, в [151]. Не определенность вида c) рассматривалась, например, в работе [195]. Однако в управле нии рассматриваются неопределенности и в матрицах B и C (например, в [183, 189]).

5.6.5.2. МОДЕЛИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ Ниже мы перейдем к описанию неопределенности передаточной функции в час тотной области, но сначала введем некоторые определения.

X в1 f W0 ( s) X в2 U Wку ( s ) Рис. 5.11. Стандартная система Определение 5.44. Пусть матрица W0 представляет собой передаточную матрицу от вектора обобщенных входов [f U] T к вектору обобщенных выходов [ Xв1 X в2 ] (рис. 5.11):

T W W W0 = 11, (5.40) W21 W Xв1 W11 W12 f X = W. (5.41) в2 21 W22 U 432 Синтез регуляторов систем автоматического управления Нижним дробно-линейным преобразованием называется передаточная функция ( ) ( ) L W0, Wку W11 + W12 Wку I W22 Wку W21, (5.42) ( ) где det I W22 Wку 0.

Заметим, что L ( W0, Wку ) является передаточной функцией от входа f к выходу Xв на рис. 5.11.

Определение 5.45. Рассмотрим схему на рис. 5.12.

W Рис. 5.12. W0 -конфигурация Верхним дробно-линейным преобразованием называется передаточная функция U ( W0, ) W22 + W21 ( I W11 ) W12, (5.43) где det ( I W11 ) 0.

Передаточная функция W( s), соответствующая системе (5.39), представляется в виде W ( s ) = D + C ( sI A ) B. (5.44) Неопределенность в передаточной функции W может быть смоделирована сле дующим образом:

d) W W = W + A, где A ограничена по норме: A a ;

( ) e) W W = I + W0 W, где W0 ограничена по норме: W0 b.

В d) неопределенность A представляет собой аддитивную неструктурную непа раметрическую неопределенность. Схематическое ее изображение представлено на рис. 5.13.

W A W Wку Рис. 5.13. Аддитивная неопределенность Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления В e) неопределенность W0 представляет собой мультипликативную (пропорцио нальную) неструктурную непараметрическую неопределенность. Ее схематическое изображение представлено на рис. 5.14.

W W W Wку Рис. 5.14. Мультипликативная неопределенность В предыдущем разделе было рассказано о представлении передаточных матриц систем автоматического управления в виде взаимно простых факторизаций.

Если передаточная функция W системы задается в виде взаимно простой факто ризации W = M 1N, то естественно ввести и соответствующую неопределенность:

%% f) W W = ( M + ) ( N + ), где = [, ] представляет неопреде % % D M N M N ленность взаимно простых факторов (дробно-рациональная неопределен ность).

Схематическое изображение этого типа неопределенности представлено на рис. 5.15.

N M % % N M Wку Рис. 5.15. Дробно-рациональная неопределенность Справедлива теорема, которая позволяет взглянуть на неопределенности d), e) и f) с единых позиций.

Теорема 5.14 [191]. Три типа неопределенностей A, W0 и D могут быть представлены в виде неопределенности в верхней цепи обратной связи некоторо го объекта с передаточной функцией W0 (см. рис. 5.16). При этом в случае адди тивной неопределенности = A W W12 0 I W0 = 11 = (5.45), W22 I W W21 434 Синтез регуляторов систем автоматического управления в случае мультипликативной неопределенности = W W W12 0 W W0 = 11 =, (5.46) W21 W22 I W в случае дробно-рациональной неопределенности = D 0 I W12 % 1 W W0 = 11 = M W. (5.47) W W21 % M W Во всех случаях W = U ( W0, ), W = U ( W0, 0 ). (5.48) W W Wку Рис. 5.16. Обобщенное представление системы с неопределенностью и регулятором в обратной связи Достаточно часто при построении систем управления рассматривается неопреде ленность в виде немоделируемой динамики (неопределенность в порядке системы дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в пространстве со стояний). Мы не ставим своей целью дать полное описание неопределенностей, ис пользуемых при описании моделей объекта управления. Мы обратили внимание на те описания неопределенностей, которые используются в дальнейшем в этой главе.

Описание других видов неопределенности можно найти в [187].

В литературе по теории автоматического управления возникновение неопреде ленности в системе часто связывают с действием возмущений. В частности, парамет рическую неопределенность в системе A обычно называют параметрическим воз мущением (возмущением параметров) и относят к так называемым внутренним воз мущениям, имея в виду, что существуют внешние возмущения, действующие на сис тему извне. Функционирование реальных управляемых объектов происходит в усло виях действия внешних возмущений, которые сильно влияют на критерий качества системы управления. Учет влияния внешних возмущений, действующих на систему, привел к постановке и решению задач синтеза систем автоматического управления, функционирующих при наличии внешних возмущений.

Внешние возмущения, действующие на систему, часто имеют случайный харак тер. Так, при движении самолета в атмосфере возникают аэродинамические силы, зависящие от скоростей воздушных потоков, которые изменяются случайно. Случай ными являются и помехи, возникающие в электронных измерительных устройствах.

Поэтому естественно для описания таких возмущений привлекать аппарат теории случайных процессов [97, 120]. В данной главе также используется статистическое описание внешнего возмущения.

Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления Однако не все внешние возмущения имеют случайную природу. Существует ряд примеров, когда внешнее возмущение имеет постоянное, ограниченное, но неизвест ное значение. Такое описание внешних возмущений как сигнала, ограниченного по H -норме, принято в H -теории робастного управления.

5.6.6. АНАЛИЗ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Робастная устойчивость есть способность регулируемого процесса сохранять ус тойчивость в присутствии неопределенностей. В терминах обозначений, например, на рис. 5.16, регулятор робастно стабилизирует процесс, если он стабилизирует лю бую возмущенную модель W, которая есть комбинация номинальной модели W и модели неопределенности D, где D является классом возможных неопределен ностей, который включает и случай = 0.

В этом разделе мы установим достаточные условия для робастной стабилизации объекта W регулятором Wку.

Напомним, что аддитивная, мультипликативная неопределенности и неопреде ленность взаимно простых факторов может быть записана как нижнее дробно линейное преобразование W = U ( W0, ), (5.49) причем номинальный объект также выражается через это преобразование.

W = U ( W0, 0 ). (5.50) Сначала введем определения допустимого множества возмущений.

Определение 5.46. Допустимыми неопределенностями мы будем считать не определенности, принадлежащие классу D, т.е. D, где D DS D U и { : RH ;

} DS, { : RL ;

} ( U ( W0, 0 ) ) = ( U ( W0, ) ) ;

D U, где W0 — обобщенный (стандартный) объект, — число полюсов передаточной функции в правой полуплоскости.

Достаточные условия робастной устойчивости для неопределенной модели можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 5.15. Регулятор Wку стабилизирует U ( W0, ), изображенное на рис. 5.16, для любого D и любого стандартного объекта W0, удовлетворяющего предполо жению 1 в теореме 5.11 тогда и только тогда, когда 1) Wку стабилизирует U ( W0, 0 ) ;

( ) 1.

2) L W0, Wку Доказательство этой теоремы опирается существенным образом на приведенные выше теоремы о малом коэффициенте усиления и на обобщенный критерий Найкви ста (теоремы 5.12, 5.13). Оно не сложно, но достаточно громоздко. Подробное дока зательство этих теорем можно найти в работах [161, 191].

Предыдущая теорема дает наиболее общее условие для робастной устойчивости.

Аналогичные достаточные условия можно получить как следствия из этой теоремы для схем неопределенностей, изображенных на рис. 5.13, 5.14, 5.15.

436 Синтез регуляторов систем автоматического управления Следствие 5.1. Регулятор Wку стабилизирует W = W + A, изображенную на рис. 5.13, для любого A D тогда и только тогда, когда:

1) Wку стабилизирует W ;

( ) 1.

Wку I WWку 2) Следствие 5.2. Регулятор Wку стабилизирует W = W + W0 W, изображенную на рис. 5.14, для любого W0 D тогда и только тогда, когда:

1) Wку стабилизирует W ;

( ) 1.

WWку I WWку 2) Следствие 5.3. Регулятор Wку стабилизирует W = ( M + M ) ( N + N ), изо % % [ M, N ] D браженную на рис. 5.15, для любого D тогда и только тогда, когда:

1) Wку стабилизирует W ;

( ) W I WW 2) 1.

ку ку ( ) I WWку Доказательства этих следствий можно легко получить из теоремы 5.15, подстав ляя выражения для обобщенного объекта в трех случаях (5.45), (5.46), (5.47) в выра ( ).

жение L W0, Wку 5.6.7. ПРОБЛЕМА РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ Результаты предыдущего раздела могут быть привлечены для построения регуля торов, которые обеспечивают определенный уровень робастной устойчивости в замкнутой системе. Такие регуляторы называются робастными стабилизирующими регуляторами. Естественно использовать результаты теоремы 5.15 для постановки следующей проблемы робастной стабилизации.

Предложение 5.6. Наибольшее положительное число = max такое, что для всех D существует единственный регулятор, который стабилизирует U ( W0, ), задается выражением max = inf L ( W0, Wку ), Wку где Wку выбирается из всех регуляторов, которые стабилизируют U ( W0, ).

В этом предложении мы имеем проблему робастной стабилизации как проблему H -оптимизации, где регулятор выбирается из соображений минимизации H -нормы передаточной функции замкнутой системы с ограничением, что он должен стабилизи ровать также номинальный объект. Стабилизирующий регулятор, обеспечивающий вышеуказанный минимум, называется оптимальным регулятором.

5.6.8. «2-РИККАТИ ПОДХОД» ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТАНДАРТНОЙ ЗАДАЧИ В этом разделе мы опишем метод решения стандартной задачи минимизации энергии выхода, которую мы описали в п. 5.6.1. Этот метод на сегодня является стан дартом решения задач H -оптимизации. К сожалению, аккуратный вывод алгоритма Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления является достаточно сложной и длительной процедурой, и мы его не приводим.

В настоящее время есть книги, в которых этот вывод сделан строго математически ([160, 200]), но, к сожалению, они почти недоступны для российского читателя.

В России также изданы работы, излагающие суть «2-Риккати подхода» ([56], [106]).

Они не столь хорошо методологически выстроены, как работы [160] и [200], но дают достаточно полное представление об этом методе решения задач H -оптимизации.

Пусть некий объект управления описывается линейной системой уравнений & X = AX + B Y + B U, % % % % 1 &% % % % Xв1 = C1X + D11Y + D12 U, (5.51) &% % % % Xв2 = C2 X + D21Y + D22 U.

% % % Здесь X — вектор состояния, Xв2 — вектор измерений, Xв1 — вектор контроли % % руемых выходов, U — вектор управления, Y — внешний вход системы.

Пусть удовлетворяются следующие предположения:

1) ( A, B1, C1 ) является стабилизируемой и детектируемой;

( A, B2, C2 ) является стабилизируемой и детектируемой;

2) D12 [C1 D12 ] = [ 0 1] ;

T 3) B 4) 1 DT =.

D21 Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.16 [153]. Регулятор для системы (5.51), который гарантирует выпол нение неравенства, WX % % в1Y существует тогда и только тогда, когда:

1) X 0 — решение Обобщенного Алгебраического Уравнения Риккати Управления (по-английски Generalized Control Algebraic Riccati Equation — GCARE) A T X + X A X B 2 B T 2 B1B1 X + C1 C1 = 0;

T 2) Y 0 — решение Обобщенного Алгебраического Уравнения Риккати Фильтрации (по-английски Generalized Filtering Algebraic Equation — GFARE) AY + Y A T Y CT C2 2C1 C1 Y + B1B1 = 0, 2 T T 3) Спектральный радиус ( X, Y ) 2.

При этом регулятор получается в форме наблюдателя & Xc = A c Xc + B c Xв2, (5.52) % U = Cc X c, где A = A B BT X I 2 Y X 1 Y CT C + 2 B B T X, c 22 22 B = I 2 Y X Y CT, (5.53) c C = B T X.

c 438 Синтез регуляторов систем автоматического управления Для построения субоптимального регулятора применяется итерационная проце дура по. На каждом шаге решается субоптимальная задача, т.е. определяется регу лятор Wку) ( s ), для которого (i, WX % % в1Y где i — номер шага. Затем величина уменьшается, субоптимальная задача реша ется до тех пор, пока существуют неотрицательно определенные решения алгебраи ческих уравнений Риккати GCARE, GFARE и выполняется условие на ограничение спектрального радиуса. Полученное в результате итерационной процедуры мини мальное значение, близкое к min с заданной степенью точности, а также решения X и Y используются для синтеза робастного H -субоптимального регулятора в соответствии с формулами в формулировке теоремы 5.16.

5.7. ПОСТРОЕНИЕ АНИЗОТРОПИЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ В этом параграфе кратко излaгаются концепция и математические основы стохас тической теории H -оптимизации конечномерных линейных стационарных систем автоматического управления с дискретным временем.

Как известно, H 2 - и H -теории оптимизации линейных стационарных систем автоматического управления (см., например, [153, 158, 164]) основаны на использо вании H 2 - и H -норм (в соответствующих пространствах Харди матричных переда точных функций) как критериев качества, которые обусловлены различными гипоте зами относительно природы поступающих на вход системы возмущений. Первая из них (называемая также стохастической теорией фильтрации управления Винера– Хопфа–Калмана) предполагает, что входное возмущение является случайным белым шумом, тогда как вторая ( H -теория управления) считает входное возмущение де терминированным квадратично суммируемым сигналом.

Как следствие, использование H 2 -оптимального регулятора в контуре обратной связи приводит к плохому функционированию замкнутой системы автоматического управления в случае, если на вход такой системы поступает сильно окрашенный слу чайный шум. В то же время H -оптимальный регулятор проявляет консерватив ность (излишнюю перестраховочность), если входное возмущение является все же белым или слабо окрашенным шумом. Все эти положения полностью подтверждают ся результатами моделирования.

Стохастический подход к H -оптимизации систем автоматического управления, предложенный в [29, 188] и основанный на использовании как критерия качества стохастической нормы системы, представляет собой альтернативу упомянутым выше классическим подходам. Конкретизация этого подхода, получаемая комбинировани ем понятия стохастической нормы системы и средней анизотропии сигнала [28], при водит к специальному варианту стохастической нормы — анизотропийной норме.

В этом параграфе излагается анизотропийный анализ систем (вычисление анизо тропийной нормы) и анизотропийный синтез систем (задача построения регулятора, при котором минимальна анизотропийная норма замкнутой системы при действии на ее вход окрашенного сигнала с уровнем анизотропии a ).

Решение задачи анализа сводится, в силу результатов работ [193, 194], к решению системы алгебраических матричных уравнений Риккати и Ляпунова, а также уравне Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления ния специального вида. Решение основной задачи синтеза также сводится к решению трех перекрестно связанных алгебраических матричных уравнений Риккати, уравне ния Ляпунова, а также уравнения специального вида. Эти уравнения решаются с по мощью метода гомотопии [173], заключающегося в сведении этих уравнений к сис темам нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений по параметру.

5.7.1. АНИЗОТРОПИЙНЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ 5.7.1.1. СРЕДНЯЯ АНИЗОТРОПИЯ ГАУССОВСКОГО СИГНАЛА Определение и основные свойства средней анизотропии. Пусть V ( v k ) k + — дискретный m-мерный гауссовский белый шум с нулевым математическим ожида нием и единичной ковариационной матрицей:

( ) Ev k = 0, E v k v T = I m, k +.

k Рассмотрим m-мерную стационарную гауссовскую последовательность N ( nk ) k + Wф V, получаемую из белого шума V посредством формирующего фильтра Wф с импульс m m ной переходной характеристикой k i, i 0 (рис. 5.17):

+ n j = k i v j i, j +.

i = Такой фильтр отождествляется со своей передаточной функцией + Wф ( z ) k i z i, (5.54) i = которая предполагается лежащей в пространстве Харди H 2 m. Последнее означает, m что функция (5.54) аналитична в открытом единичном круге { z : z 1} на ком плексной плоскости и имеет конечную H 2 -норму { } 1/ 1/ 1 + { } * tr k i k iT tr Wф ( ) Wф ( ) d € € =, Wф i =0 где через () Wф ( ) lim Wф rei, [ ;

] € r обозначено угловое граничное значение функции (5.54).

N V Wф Рис. 5.17. Получение m-мерной стационарной гауссовской последовательности N Средняя анизотропия [28] последовательности N = Wф V определяется как ве личина m € ( ) W ( ) d, ( ) * € ln det (5.55) A Wф Wф ф 4 Wф 440 Синтез регуляторов систем автоматического управления принимающая неотрицательное значение, как только формирующий фильтр Wф H 2 m имеет максимальный ранг, т.е.

m rank Wф = m, [ ;

], € и полагаемая равной +, если фильтр Wф — не максимального ранга.

Заметим, что A ( Wф ) = 0 в том и только в том случае, если формирующий фильтр Wф является с точностью до ненулевого постоянного множителя системой полного пропускания, т.е. если последовательность N — гауссовский белый шум с единич ной ковариационной матрицей.

Свойства функционала средней анизотропии (5.55) можно найти в работах [49, 67, 156, 166, 170, 197], где содержатся также указания на его связи, с одной стороны, с теоретико-информационным подходом к количественному описанию хаоса, основан ным на колмогоровской -энтропии вероятностных распределений [30, 107], а с дру гой — с принципом изотропности конечномерного евклидова пространства.

Формулы для средней анизотропии в пространстве состояний. Пусть фильтр Wф H 2 m, формирующий из белого шума V гауссовскую последовательность m N = Wф V, имеет n-мерное внутреннее состояние X, связанное с входом V и выхо дом N фильтра уравнениями X k +1 = AX k + Bv k, k +, n k = CX k + Dv k, где A, B, C и D — постоянные матрицы соответствующих размеров, причем матрица A асимптотически устойчива (т.е. для ее спектрального радиуса выполнено строгое неравенство ( A ) 1 ), а матрица D невырождена. Иными словами, формирующий фильтр Wф имеет реализацию A B (5.56) Wф ~ C D в пространстве состояний. Рассмотрим связанное с фильтром (5.56) уравнение Рикка ти относительно матрицы R nn R = ARA T + BBT LTLT, (5.57) T T T CRC + DD, (5.58) L ( ARCT + BDT )T1. (5.59) Решение R уравнения (5.57)–(5.59) называется допустимым, если эта матрица сим метрична, неотрицательно определена, а матрица A LC асимптотически устойчива.

Известно [146, 162], что при сделанных предположениях об асимптотической ус тойчивости матрицы A и невырожденности матрицы D уравнение Риккати (5.57)– (5.59) имеет единственное допустимое решение.

Теорема 5.17 [107]. Пусть формирующий фильтр Wф H 2 m имеет реализацию m в пространстве состояний (5.56) с асимптотически устойчивой матрицей A и не вырожденной матрицей D. Тогда средняя анизотропия (5.55) последовательности N Wф V вычисляется по формуле 1 mT ( ) A Wф = ln det, { } tr CPCT + DDT Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления где T — матрица, связанная посредством (5.58) с допустимым решением R уравне ния Риккати (5.57)–(5.59);

P — грамиан управляемости фильтра Wф, являющийся решением уравнения Ляпунова P = APA T + BBT. (5.60) По поводу численного решения уравнений Риккати типа (5.57)–(5.59) заметим, что существует эффективный алгоритм Шура, сводящий такое решение к отысканию обобщенных собственных векторов, специальным образом строящихся по парамет рам уравнения пучков симплектических матриц, тесно связанный с так называемым QZ-разложением пары матриц [174].

Что касается уравнений Ляпунова вида (5.60), то наиболее экономичным пред ставляется алгоритм решения, основанный на теореме Шура об унитарной триангу ляризации матриц [138]. Альтернативный метод (менее эффективный в смысле «эко номии размерности», но дающий явное выражение для решения уравнения Ляпуно ва) основан на идее развертывания матрицы в вектор-столбец и описывается ниже.

Пример 5.10. Ниже приведен пример вычисления средней анизотропии для дискретной системы Wф, заданной (A,B,C,D)-представлением:

0,4501 0,0140 0,0435 0,2382 0, 0,2689 0, 0,3913 0,4815 0, A B = 0,1068 0,2621 0,3214 0,0943 0,0897, Wф ~ C D 0,3936 0,1471 0,4901 0,2972 0, 0,4421 0,3132 0,3611 0,3013 0, с трехмерным внутренним состоянием и спектральным радиусом матрицы A ( A) = 0, 4962.

Вычисление средней анизотропии, соответствующей двухмерной гауссовской последовательности, дает () A Wф = 0,6389.

5.7.1.2. АНИЗОТРОПИЙНАЯ НОРМА ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ Определение и основные свойства анизотропийной нормы. Пусть W — физи чески реализуемая линейная стационарная система, функционирующая в дискретном времени и имеющая m-мерный вход Y и p-мерный выход X = W Y. Предположим, что ее передаточная функция лежит в пространстве Харди H m, т.е. аналитична в p открытом единичном круге на комплексной плоскости и имеет конечную H -норму ( ) sup ( W ( z ) ) = ess sup W ( ), W z 1 где () обозначает максимальное сингулярное значение матрицы. Введем множество { } Wa Wф H 2 m : A ( Wф ) a m (5.61) формирующих фильтров, генерирующих гауссовские последовательности, средняя анизотропия (5.55) которых ограничена сверху заданным неотрицательным парамет ром a. Соответственно a-анизотропийная норма системы W определяется как WWф (5.62) W a sup : Wф Wa W и характеризует чувствительность системы в среднем к случайным входным возму щениям с уровнем средней анизотропии a.

Использование анизотропийной нормы системы W является важным в ситуации, проиллюстрированной на рис. 5.18, где о входном сигнале Y известно только, что он сге нерирован из гауссовского белого шума с помощью неизвестного фильтра Wф Wa.

442 Синтез регуляторов систем автоматического управления Для фиксированной системы W H m ее a-анизотропийная норма (5.62) пред p ставляет собой неубывающую непрерывную функцию параметра a 0, причем вы полнены следующие соотношения:

W 2 = W 0 lim W a = W, (5.63) m a + в силу которых стандартные H 2 - и H -нормы системы являются двумя предельны ми случаями анизотропийной нормы.

V X Y Wф Wa W Рис. 5.18. Система W с выходом X и входным возмущением Y, генерированным неизвестным фильтром Wф Wa из гауссовского белого шума V с единичной ковариационной матрицей Как показывают соотношения (5.63), вычисление a-анизотропийной нормы W a представляет интерес лишь для положительных значений параметра a и систем W H m, удовлетворяющих строгому неравенству p W 2 W. (5.64) m Последнее нарушается лишь в том случае, если система W является внутренней с точностью до ненулевого постоянного множителя (т.е. если существует число * такое, что W ( ) W ( ) = 2 I m для почти всех [;

] ). Если система W не является нулевой, то при соотношении p m между размерностями ее выхода и вхо да условие (5.64) выполняется автоматически.

Формулы для анизотропийной нормы в пространстве состояний. Пусть сис тема W H m имеет n-мерное внутреннее состояние X, связанное с m-мерным вхо p дом Y и p-мерным выходом X в = W Y системы уравнениями Xk +1 = AXk + BYk, k +, (5.65) Xвk = CXk + DYk где A, B, C, D — постоянные матрицы соответствующих размеров, причем матрица A асимптотически устойчива. Таким образом, система W имеет реализацию A B (5.66) W~ C D в пространстве состояний.

Схематически система (5.66) изображена на рис. 5.19.

Рассмотрим следующее уравнение Риккати относительно матрицы R nn :

R = AT RA + qCT C LT 1L, (5.67) ( ) I m qDT D BT RB, (5.68) L ( B RA + qD C ).

T T (5.69) Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления Решение R уравнения Риккати (5.67)–(5.69) называется допустимым, если эта матрица симметрична, матрица положительно определена, а матрица A + BL асимптотически устойчива.

) Заметим, что при любом q 0;

W уравнение (5.67)–(5.69) имеет единствен ное допустимое решение, причем последнее является неотрицательно определенной матрицей.

A B X z Y F D Xв Рис. 5.19. Схематическое представление системы W:

Y, X и Xв — вход, внутреннее состояние и выход соответственно;

z — оператор сдвига Следующая теорема дает представление в пространстве состояний как для наи худшего формирующего фильтра, так и для анизотропийной нормы системы.

Теорема 5.18 [193]. Пусть заданы асимптотически устойчивая система (5.66), удовлетворяющая строгому неравенству (5.64), и уровень средней анизотропии вхо ) да a 0. Тогда найдется единственная пара ( q, R ) параметра q 0;

W и до пустимого решения R уравнения Риккати (5.67)–(5.69) (с сопутствующими матрица ми и L) такая, что m ln det = a, (5.70) { } tr LPLT + где P — грамиан управляемости формирующего фильтра A + BL b1/ Wф ~, (5.71) 1/ L удовлетворяющий уравнению Ляпунова P = [ A + BL ] P [ A + BL ] + BBT.

T (5.72) При этом фильтр (5.71) является наихудшим формирующим фильтром, и a-ани зотропийная норма (5.62) системы W определяется выражением 1/ 1 m = W. (5.73) { } q tr LPLT + a 444 Синтез регуляторов систем автоматического управления Представление в пространстве состояний наихудшего входного генерирующего фильтра (5.71) для системы (5.66) схематически представлено на рис. 5.20.

A B L X z V C D Xв Y Рис. 5.20. Представление в пространстве состояний наихудшего входного генерирующего фильтра Wф для системы W 5.7.1.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ АНИЗОТРОПИЙНОЙ НОРМЫ МЕТОДОМ ГОМОТОПИИ Сведение к системе дифференциальных уравнений. Предполагая асимптотиче ски устойчивую систему (5.66) фиксированной, введем для каждого значения пара ) метра q 0;

W следующее непустое множество:

( q ) {R nn : R = RT, матрица положительно определена, матрица A + BL асимптотически устойчива}.

Тем самым посредством соотношений (5.68) и (5.69) на множестве { } ) ( q, R ) : q 0;

W, R ( q ) (5.74) определены матричнозначные отображения : mm, L : mn, бесконечно дифференцируемые по своим аргументам q и R. Последним свойством (как композиция гладких отображений) обладает и связанная уравнением Ляпунова (5.72) с и L матрица P, которую тоже можно рассматривать как матричнозначное отображение:

P : nn.

) Далее, под R : 0;

W nn понимается матричнозначное отображение, со поставляющее каждому значению параметра q из указанного полуинтервала допус тимое решение R ( q ) уравнения Риккати (5.67)–(5.69). Введем функции ) A, N : 0;

W Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления ( первая из которых принимает неотрицательные значения, а вторая — значения из )) полуинтервала m1/ 2 W 2 ;

W, определив их посредством левой и правой час тей соотношений (5.70) и (5.73) соответственно:

m A ( q ) ln det, { } tr LPLT + 1/ 1.

m N ( q ) 1 { } q tr LPL + T Теорема 5.18 приводит к следующему выражению для a-анизотропийной нормы системы W в терминах функций A и N :

( ) = N A 1 ( a ). (5.75) W a Иными словами, параметрически заданная кривая, построенная на плоскости путем откладывания по оси абсцисс значений функции A, а по оси ординат — функции N ( при пробегании параметром q значений из полуинтервала 0;

W )), представляет собой график зависимости a-анизотропийной нормы фиксированной системы W от уровня средней анизотропии входа a 0.

Построение такой кривой сводится в конечном итоге к решению уравнения Рик кати (5.67)–(5.69) при различных значениях параметра q.

Гладкая зависимость правой части рассматриваемого уравнения от параметра q и использование результатов [184] приводит к следующим двум наблюдениям: во первых, при малом приращении этого параметра слабо возмущается и решение R (q ) уравнения, поэтому можно вычислить поправку, описывающую возмущенное реше ние с точностью до o-малого относительно такого приращения, не решая «заново»

модифицированное уравнение;

во-вторых, при q = 0 уравнение Риккати (5.67)–(5.69) имеет простое явное решение R (0) = 0. Сказанное представляет собой неформальное описание метода гомотопии [173], строгая реализация которого в рассматриваемом случае основана на следующей лемме.

Лемма 5.10. Для заданной асимптотически устойчивой системы (5.66) допустимое решение уравнения Риккати (5.67)–(5.69) и соответствующие матрицы (5.68), (5.69) и ) (5.72) аналитичны по q 0;

W и удовлетворяют дифференциальным уравнениям R = [ A + BL] R [ A + BL] + [C + DL] [C + DL], T& T & (5.76) P = [ A + BL ] P [ A + BL ] + BLP [ A + BL ] + [ A + BL ] PLT BT + BBT, T T & & & & & (5.77) L = B R [ A + BL ] + D [C + DL ], T T & & (5.78) = DT D + B T RB.

& & (5.79) Поскольку функция A строго возрастает и выпукла, вычисление a-анизотро пийной нормы по формуле (5.75) может осуществляться с помощью ньютоновских итераций, сходимость которых обеспечивается строгой монотонностью и выпукло стью функции A. Именно, рекуррентная последовательность 446 Синтез регуляторов систем автоматического управления W 2 + q A ( qk ) a, k, = (5.80) qk + q + a A ( qk ), A q a, k ( k) k A ( qk ) с начальным условием q0 = 0 сходится к пределу lim qk = A 1 ( a ).

k + Эта сходимость монотонна в том смысле, что при (( )a ) A 1 2 k W последовательность qk убывает. При этом в качестве практического условия окон чания описанных итераций можно использовать выполнение неравенства N ( qk ) & ( A ( qk ) a ) max 1,, (5.81) A ( qk ) N ( qk ) & обеспечивающего вычисление a-анизотропийной нормы системы с относительной погрешностью. Производные функций A и N, участвующие в (5.80) и (5.81), рассчитываются по формулам & 1 m { } A (q) = + tr 1, & & 2 & 1 N (q) = N (q) + &, q где m =, (5.82) & m & =, (5.83) { } = tr LPLT +, (5.84) { } = tr LPLT + 2LPLT +, & & & & (5.85) которые дополняются уравнениями (5.76)–(5.79).

Пример 5.11. Вычисление анизотропийной нормы. Пусть задана дискретная система, ( A, B, C, D) представление которой имеет вид 0,4501 0,0140 0,0435 0,0553 0,4218 0,0943 0, 0,2689 0,4355 0, 0,3913 0,4815 0,1154 0, A B = 0,1068 0,2919 0,3237 0,4169 0,4421, W~ 0,2621 0, C D 0,3012 0,0814 0,1721 0, 0,2468 0,4318 0, 0,4847 0,0549 0,0340 0,3381 0, 0,3462 0, с трехмерным внутренним состоянием и спектральным радиусом матрицы A ( A ) = 0, 4962.

Вычисление ее H 2 - и H -норм дает = 0,9454, = 1, 0591.

W W Результаты вычисления анизотропийной нормы системы при некоторых значениях уровня анизотро пии сведены в табл. 5.4.

Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления Таблица 5. Соответствие между уровнем средней анизотропии входного сигнала и анизотропийной нормой системы W W W a a a a a a 0 0,4730 0,1 0,5800 2 0, 0,01 0,5064 0,2 0,6254 3 0, 0,02 0,5204 0,3 0,6597 4 1, 0,03 0,5313 0,4 0,6886 5 1, 0,04 0,5404 0,5 0,7137 6 1, 0,05 0,5483 0,6 0,7362 7 1, 0,06 0,5555 0,7 0,7564 8 1, 0,07 0,5622 0,8 0,7748 9 1, 0,08 0,5689 0,9 0,7917 10 1, 0,09 0,5745 1 0,8074 11 1, 5.7.2. АНИЗОТРОПИЙНЫЙ СИНТЕЗ СИСТЕМ 5.7.2.1. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА АНИЗОТРОПИЙНОЙ НОРМЫ Постановка задачи. Рассмотрим физически реализуемую линейную стационар ную систему W (не предполагаемую устойчивой, т.е. ее передаточная функция не обязательно аналитична в единичном круге на комплексной плоскости), которая име ет два входа: m1 -мерное возмущение Y и m2 -мерное управление U;

два выхода:

p1 -мерный управляемый сигнал Xв1 и p2 -мерное наблюдение Xв2. Перечисленные сигналы представляют собой двусторонние последовательности векторов указанных размерностей. В соответствии с этим система W имеет блочную структуру W W W = 11. (5.86) W21 W Если управляющий сигнал U формируется по наблюдению Xв2 регулятором Wку, являющимся физически реализуемой линейной стационарной (не обязательно устой чивой) системой, т.е. U = Wку X в2, то передаточная функция от Y к Xв1 получаю щейся замкнутой системы представляет собой нижнее дробно-линейное преобразо ( ) вание пары W, Wку :

( ) L W, Wку W11 + W12 Wку I p2 W22 Wку W21. (5.87) Предположим теперь, что входное возмущение Y является случайным сигналом, априорная информация о вероятностном распределении которого исчерпывается сле дующим: Y — m1 -мерная стационарная гауссовская последовательность, средняя ани зотропия которой ограничена сверху известным неотрицательным параметром a. Точ нее, последнее означает, что Y генерируется из m1 -мерного гауссовского белого шума V с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей Ev k = 0, E v k v T = I m1, k + k посредством неизвестного формирующего фильтра Wф, лежащего в семействе { } Wa Wф H 2 1 m1 : A( Wф ) a, m (5.88) где 448 Синтез регуляторов систем автоматического управления m1 € * ( ) Wф ( ) Wф ( ) d € A Wф (5.89) ln det 4 Wф — функционал средней анизотропии.

Учитывая прикладной аспект проблемы, следует ограничиться рассмотрением лишь строго неупреждающих регуляторов Wку, для которых управление uk зависит в каждый момент времени k только от предшествующих наблюдений u j, j k.

Регулятор Wку называется допустимым, если он является строго неупреждающим и внутренне стабилизирует [158] замкнутую систему (5.87). Множество всевозможных допустимых регуляторов для заданной системы W обозначается далее через Wку.

Сформулируем стохастическую проблему H -оптимизации, основанную на по нятии анизотропии сигналов [107, 108, 194]: для заданных системы (5.86) и уровня a 0 средней анизотропии (5.89) входного возмущения Y найти допустимый регу лятор Wку, минимизирующий a-анизотропийную норму замкнутой системы (5.87):

( ) L W, Wку Wф ( ) sup : Wф Wa inf, Wку Wку. (5.90) L W, Wку Wф a Сформулированная выше задача проиллюстрирована на рис. 5.21.

L (W,Wку) Xв2 Y V Wф Wa W Xв1 U Wку Рис. 5.21. Структурная схема системы Сформулированная проблема (как и всякая минимаксная задача) представляет со бой антагонистическую игру двух игроков, в качестве первого из которых выступаем мы (множеством наших стратегий в этой игре является множество Wку внутренне ста билизирующих регуляторов), а в качестве второго — природа (множеством ее страте гий является семейство (5.88) формирующих фильтров с ограниченной известным па раметром a средней анизотропией). Заметим, что в случае нулевого уровня a = 0 сред ней анизотропии задача (5.90) совпадает со стандартной проблемой H 2 -оптимизации, решение которой составляет основу стохастической теории фильтрации-управления Винера–Хопфа–Калмана.

Уравнения для оптимального регулятора в пространстве состояний. Пусть разомкнутая система W имеет n-мерное внутреннее состояние X, связанное с m1 -мерным возмущением Y, m2 -мерным управлением U, p1 -мерным управляемым сигналом Xв1 и p2 -мерным наблюдением Xв2 уравнениями Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления Xk +1 = AXk + B1Yk + B 2 U k, Xв1k = C1Xk +D 11Yk + D12 U k, k +, (5.91) Xв2k = C2 Xk + D21Yk, где A, Ci, Bj и Dij — постоянные матрицы соответствующих размеров. Иными слова ми, система W, а также ее подсистемы Wij в (5.86) имеют следующие реализации в пространстве состояний:

A B1 B W ~ C1 D11 D12, (5.92) C2 D21 A Bj, 1 i, j 2 (5.93) Wij ~ Ci Dij (без ограничения общности полагается D22 = 0).

Ниже для системы (5.92) приводятся уравнения для решения сформулированной в предыдущем разделе стохастической проблемы (5.90) H -оптимизации по критерию минимума анизотропийной нормы. При этом используются следующие стандартные предположения:

• (A1) подсистема W22 в (5.93) стабилизируема и детектируема (чтобы обеспе чить непустоту множества Wку допустимых регуляторов);

• (A2) размерность управляемого сигнала Xв1 меньше размерности входного ( ) возмущения Y: p1 m1 (чтобы замкнутая система L W, Wку не была внут ренней с точностью до ненулевого постоянного множителя);

• (A3) матрица D21 в (5.92) имеет полный строчный ранг: rank D21 = p2 m (во избежание вырожденности в уравнении Риккати для оценивающего регу лятора);

• (A4) матрица D12 в (5.92) имеет полный столбцовый ранг: rank D12 = m2 p1 (во избежание вырожденности в уравнении Риккати для оптимального регулятора).

Пусть Wку — допустимый регулятор, имеющий n-мерное внутреннее состояние H, связанное с сигналами наблюдения Xв2 и управления U уравнениями € € H k +1 = AH k + BXв2 k, k +, (5.94) €, U k = CH k где A, B и C — постоянные матрицы соответствующих размеров и, следователь но, Wку имеет реализацию €€ A B Wку ~ (5.95) € C в пространстве состояний. Тогда реализация замкнутой системы (5.87) в пространст ве состояний имеет вид € A B B 2C A B L ( W, Wку ) ~ € € € BC2 BD21, (5.96) A C D11 € C1 D12C D 450 Синтез регуляторов систем автоматического управления причем матрица A асимптотически устойчива. Учитывая (5.96), рассмотрим уравне ние Риккати R = AT RA + qCT C + LT 1L ;

(5.97) I m1 qD11D11 B T RB ;

T (5.98) L [L1 L 2 ] BT RA + qD11C, T (5.99) где q — скалярный параметр, принимающий значения из полуоткрытого интервала 0;

L W, W 2, а матрица L разбита на блоки L, L m1n.

( ) 1 ку Решение R = R T 2n2n уравнения (5.97)–(5.99) называется допустимым, если матрица положительно определена, а матрица A + BL асимптотически устойчива.

Каков бы ни был допустимый регулятор (5.95), уравнение (5.97)–(5.99) имеет для любого q 0;

L W, Wку ( ) единственное допустимое решение, причем это ре шение является неотрицательно определенной матрицей.

Теорема 5.19 [107, 194]. Пусть система (5.92) удовлетворяет предположениям A1 и A2. Тогда, каковы бы ни были допустимый регулятор (5.95) и уровень a средней анизотропии входа, существует единственная пара ( q, R ) параметра q 0;

L W, Wку ( ) и допустимого решения R уравнения Риккати (5.97)–(5.99) такая, что m ln det = a, (5.100) { } tr LPLT + 2 n2 n где Р — грамиан управляемости формирующего фильтра € A + B1L1 B11/ B1L 2 + B 2 C A + BL B1/ 2 = B [C2 + D21L1 ] A + BD21L 2 BD21, €€ € € 1/ Wф ~ (5.101) 1/ 2 L 1/ L1 L удовлетворяющий уравнению Ляпунова T P = A + BL P A + BL + BBT. (5.102) Этот фильтр является наихудшим формирующим фильтром, и a-анизотропий ная норма замкнутой системы (5.96) вычисляется по формуле 1/ 1 m ( ) = L W, Wку. (5.103) { } q tr LPLT + S a Рассмотрим уравнение Риккати S = [ A + B1L1 ] S [ A + B1L1 ] + B1B1 T ;

T T (5.104) [C2 + D21L1 ] S [C2 + D21L1 ] + D21DT ;

T (5.105) [ A + B1L1 ] S [C2 + D21L1 ] + B1DT 1, T (5.106) Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления где матрицы и L определены в теореме 5.19.

Решение S = S T nn уравнения (5.104)–(5.106) называется допустимым, если матрица S неотрицательно определена, а матрица A + B1L1 [C2 + D21L1 ] асимпто тически устойчива.

Заметим, что уравнения (5.104)–(5.106) имеют не более одного допустимого ре шения. Наконец, рассмотрим уравнение Риккати T = A T TA T + CT C N T ПN;

(5.107) T T П B TB + D12 D12 ;

(5.108) (B ), N [ N1 N 2 ] П 1 T T TA + D12 C (5.109) m2 n 2n m 2 n 2 n где матрица N разбита на блоки N1, N 2, а матрицы A, B, p1 2 n C имеют вид A B B1M A B 0, C * 0 A + B1M + B1C (5.110) C1 D11M * где, в свою очередь, через M L1 + L 2 (5.111) обозначена сумма блоков матрицы (5.99).

Решение T = TT 2n2n уравнения (5.107)–(5.109) называется допустимым, ес ли матрица T неотрицательно определена, а матрица A + BN асимптотически ус тойчива.

Заметим, что уравнения (5.107)–(5.109) имеют не более одного допустимого ре шения.

Теорема 5.20 [107, 194]. Пусть система (5.92) удовлетворяет предположениям A1–A4, и пусть матрицы реализации допустимого регулятора (5.93) подчиняются соотношениям A B1 I n A = B 2C + [I n ], (5.112) C2 D21 M B=, (5.113) € C= N +N, (5.114) 1 где матрицы N1, N 2 связаны с допустимым решением уравнения Риккати (5.107)– (5.109). Тогда этот регулятор является решением задачи (5.90).

Теоремы 5.19 и 5.20 дают полный набор нелинейных уравнений для отыскания матриц реализации в пространстве состояний оптимального регулятора (5.95) в зада че стохастической H -оптимизации (5.90) по критерию минимума анизотропийной нормы для n-мерной системы (5.92). Этот набор состоит из следующих перекрестно связанных уравнений: три алгебраических матричных уравнения Риккати (два ( 2n 2n ) -уравнения Риккати (5.97)–(5.99) и (5.107)–(5.109) и ( n n ) -уравнение Рик кати (5.105)–(5.106)), уравнение Ляпунова (5.102), уравнение специального вида (5.100), уравнения (5.112)–(5.114), а также обозначения (5.96), (5.111) и (5.110).

Удовлетворение этой системе соотношений является достаточным условием для оп тимальности n-мерного регулятора (5.95).

452 Синтез регуляторов систем автоматического управления 5.7.2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА МЕТОДОМ ГОМОТОПИИ p q pq Векторизация матриц. Введем оператор векторизации col :, сопос тавляющий матрице X = x jk вектор 1 j p, 1 k q col ( X ) = x, l mod ( l 1, p ) +1, p +1 1l pq X, образованный последовательно выписанными столбцами матрицы где ( ) mod a, b — остаток от деления a на b, а — нижняя целая часть числа. Оче p q pq видно, что отображение col является линейной биcекцией пространств и.

Лемма 5.11.

a) Для любых матриц r p, pq и sq ( ) col T = ( ) col ( ), где — кронекерово произведение матриц [78].

p q b) Для любой матрицы X () col XT = p, q col ( X ), где p,q = (5.115) p mod ( j 1, q ) + j 1 +1, k 1 j pq, 1 k pq q и jk — символ Кронекера.

Заметим, что матрица (5.115) ортогональна для любых p, q, причем p, q = T, p, q откуда, в частности, вытекает симметричность и идемпотентность матрицы p, p.

Лемма 5.12. Векторизованное решение X p p уравнения Ляпунова X = AXA T + Y + Y T, p p где A, Y — заданные матрицы, причем A асимптотически устойчива, имеет вид col ( X ) = I p 2 A A I p 2 + g p, p col ( Y ).

Y Далее, под производной гладкого матричнозначного отображения X col ( Y ) Y : pq r s понимается ( rs ) ( pq ) -матрица Якоби соответствующе col ( X ) T го векторизованнного отображения. Более того, для упорядоченного набора матрич но-значных отображений Y1,..., Yb, зависящих от матриц X1,..., X a, полагается Y1 Y X K X ( Y1,..., Yb ) 1 a = M O M.

( X1,..., X a ) Yb K Yb X1 X a Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления что для любых гладких отображений X : st pq и Заметим, Y : st q r, зависящих от матрицы Z, справедливо ( XY ) X Y ( ) ( ) = YT I p + Ip X.

Z Z Z Дифференцирование решений уравнений Риккати. Рассмотрим уравнение Риккати относительно матрицы S nn :

S = ASAT + BBT T ;

(5.116) T T = C SC + DD ;

(5.117) ( ) = ASCT + BDT 1, (5.118) где A nn, B pm, C pn, D pm — заданные матрицы, называя его ре шение допустимым, если матрица F = A C (5.119) асимптотически устойчива. Такое решение единственно и гладким образом зависит от матриц A, B, C, D в окрестности тех их значений, где оно существует [184].

Лемма 5.13. Производные допустимого решения уравнения Риккати (5.116)– (5.118) и сопутствующих ему матриц имеют вид S ( )( ) = I n2 F F I n2 + n,n ( A, B, C, D ) (5.120) FS B D I n FS B D, S = (C C) ( A, B, C, D ) ( A, B, C, D ) (5.121) (In )( CS D I p ) 0 p 2 n( n + m ), + p, p ) (C A ) ( A, SC, D) ( = 1 I n ( A, B, C, D ) B, (5.122) ( )( ) [CS D] I n p,n [ AS D] I p Ip.

( A, B, C, D ) Нулевая анизотропия: H 2 -оптимальный регулятор. Далее предполагается, что разомкнутая система W с реализацией (5.92) в пространстве состояний удовле творяет условиям A1–A4 и фиксирована. При нулевой средней анизотропии a = набор уравнений для оптимального регулятора сводится к двум независимым ( n n ) -уравнениям Риккати S = ASAT + B1B1T T, (5.123) C2SCT + D21DT, = (5.124) 2 + B1DT = ASC2 T (5.125) и T = AT TA + C1T C1 N T ПN, (5.126) BT TB 2 T П= + D12 D12, (5.127) 1 T T N = П B 2 TA + D12 C1, (5.128) 454 Синтез регуляторов систем автоматического управления что приводит к известным выражениям для матриц реализации H 2 -оптимального регулятора в пространстве состояний A = A + B 2 N C2, B =, C = N (5.129) асимптотически устойчивы). Этот регулятор (при этом матрицы A BC и A + B C 2 обозначается далее через Wку0, а его матрицы (5.129) — через A 0, B 0 и C0 соответ ственно.

Метод гомотопии с ньютоновскими итерациями. Сопоставим всякому регуля тору Wку вида (5.95) результат векторизации его матриц реализации в пространстве состояний ( A ) col (B) Q = col r, (C) col где r = n ( n + p2 + m2 ), и обозначим ( ).

( Q ) = L W, Wку Уравнения для оптимального регулятора зависят от параметра q и могут быть за писаны в виде Q = F ( q, Q ), (5.130) A ( q, Q ) = a. (5.131) ( q, Q ) На решении системы (5.130), (5.131) вычисляется некоторая функция ( ) N ( q, Q ), дающая минимальную а-анизотропийную норму min L W, Wку Wку Wку a замкнутой системы (с оптимальным регулятором). Гладкая ветвь Q : [ 0, q* ) r ( ) решений уравнения (5.130), где inf L W, Wку удовлетворяет дифферен Wку Wку циальному уравнению F & Q=G, (5.132) q где F G = I r Q с начальным условием Q ( 0 ), получаемым векторизацией матриц H 2 -оптимального регулятора (5.129). Поэтому численная реализация метода гомотопии для решения системы уравнений (5.


130), (5.131) сводится к построению последовательности ( qk, Qk ), k 0 с начальным условием ( 0, Q(0) ), подчиняющейся следующему ре куррентному правилу. Пусть уже построен k-й элемент последовательности ( qk, Qk ). При фиксированном qk производится серия ньютоновских итераций Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления ( ) Q k,l +1 = Q k,l + G ( qk, Qk,l ) F ( qk, Q k,l ) Q k,l, 1 l lk с начальным условием Q k,0 = Q k и условием окончания Q k, lk Q k, lk 1 Q k, lk, где — задаваемое малое число, после чего следующий элемент вычисляется как qk +1 = qk + qk, Q k +1 = Q k,lk + Q k, где ( ) Q k,l qk k, ( ) ( ) qk = max A q j, Q j,m j a, a A qk, Q k,lk 0 j k, A + A G F q, Q ( ) q Q q k k,lk ) F ( qk, Qk,l ) qk.

( Q k = G qk, Q k,lk q k В качестве практического условия остановки при вычислении последовательно сти ( qk, Q k ) можно использовать неравенство ( ) A q,Q k,lk a Q k k.

max, a Qk ( F, A ) Лежащие в основе алгоритма выражения для матрицы производных полу ( q, Q ) чаются применением лемм 5.12 и 5.13 и здесь не приводятся в силу их чрезвычайной громоздкости.

5.8. ПОСТРОЕНИЕ РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ САМОЛЕТА НА РЕЖИМЕ ПОСАДКИ В данном параграфе мы на конкретном примере построения регуляторов для са молета на режиме посадки продемонстрируем изложенные выше методы построения робастных регуляторов, минимизирующих влияние внешних ветровых возмущений, действующих на самолет, на интересующие пилотов характеристики самолета, коими являются высота самолета на траектории посадки и его скорость.

Данная задача является чрезвычайно актуальной, так как неожиданно возни кающие при посадке самолета ветровые возмущения атмосферы привели к извест ным катастрофам [176].

Ввиду большой актуальности проблемы, построением автоматизированных сис тем управления полетом, способствующих предотвращению такого рода катастроф, занимались разработчики в разных странах мира. Были предложены различные алго ритмы управления, основанные на различных физических принципах и математиче ских концепциях, построенные для различных моделей локального состояния атмо сферы, которые так или иначе решали эту задачу [163, 175, 177, 178, 179, 182].

В данном параграфе исследуется применение H -теории управления и анизотро пийной теории построения регуляторов для решения задачи построения регулятора, минимизирующего влияние действия микропорыва ветра на выходные параметры системы (воздушную скорость и высоту самолета). Для исследований была выбрана математическая модель микропорыва ветра в форме вихревого кольца.

456 Синтез регуляторов систем автоматического управления Для сравнения полученных в работе регуляторов построен также H 2 / L QG оптимальный алгоритм управления для того же самолета. Приведены сравнения по ведения замкнутых различными регуляторами систем управления.

5.8.1. ЗАДАЧИ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ САМОЛЕТОМ В данном параграфе будет дано математическое описание постановок различных задач робастного управления самолетом.

5.8.1.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА Кинематические и динамические переменные для уравнений движения центра масс самолета представлены на рис. 5.22.

Ось самолета y Ve wy L wx V D O x Рис. 5.22. Система координат и переменных самолета На рис. 5.22: D — сила лобового сопротивления;

x, y — оси системы координат;

L — подъемная сила;

O — центр масс самолета;

V — воздушная скорость самолета;

Ve — скорость самолета относительно земли;

wx — горизонтальная составляющая скорости ветра;

w y — вертикальная составляющая скорости ветра;

— угол атаки;

— угол наклона траектории в воздушной системе координат.

Динамические уравнения движения самолета в вертикальной плоскости с учетом ветровых возмущений в проекциях на оси воздушной системы координат задаются следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений [25]:

mV = T cos D mg sin m ( wx cos + w y sin ) ;

& & & mV = T sin + L mg cos + m ( wx sin w y cos ) ;

& & & (5.133) J z z = M z ;

& & = z, где m — масса самолета, Jz — момент инерции самолета относительно поперечной оси z, T — сила тяги двигателей, Mz — момент сил относительно оси z, = в + — угол тангажа, z — угловая скорость относительно оси z.

Управляющими переменными являются сила тяги T и угол атаки, которые зави сят соответственно от отклонения сектора газа и руля высоты.

Эти уравнения справедливы в предположении, что направление силы тяги совпа дает с осью самолета, масса самолета постоянна, Земля плоская, ветер стационарный.

Вращением Земли также пренебрегаем.

Дифференциальное уравнение для высоты центра масс h записывается в виде & h = V sin + wy. (5.134) Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления Уравнение в приращениях, описывающее динамику двигателя, приведено ниже:

( T + K дв t ) ;

& T = (5.135) Tдв здесь t — отклонение сектора газа от заданного значения.

Формирование отклонения руля высоты e с учетом контура короткопериодиче ского движения осуществляется в следующем виде:

e = Kz z + K + Kсу су, где Kz, K и K су — числовые коэффициенты, су — управление, формируемое робастным регулятором.

В результате линеаризации нелинейной модели самолета система нелинейных диф ференциальных уравнений (5.133) с учетом (5.134), (5.135) и предыдущего уравнения сводится к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в прира щениях, которая в матричной форме имеет вид & X = AX + B1n Y + B 2 n U, (5.136) где X = [ V h T ] — вектор состояния;

T wz T Y = wy wy — вектор ветровых возмущений;

wx & & T U = су t — вектор управления.

Уравнение для измеряемого выхода Xв в пространстве состояний в присутствии шумов измерений N в записывается в виде X в = C Xв X + I Xв N в, где CXв — матрица измеряемых выходов, а I Xв — единичная матрица соответст вующей размерности.

Таким образом, математическая модель продольного движения самолета с учетом внешних ветровых возмущений в пространстве состояний описывается следующей системой уравнений:

& X = AX + B1n Y + B 2n U, (5.137) X в = C X в X + I Xв N в.

5.8.1.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ Рассмотрим задачу управления полетом самолета в вертикальной плоскости (рис. 5.23) при посадке в условиях неопределенных ветровых возмущений Y. Ветро вое возмущение приводит к отклонению воздушной скорости V и высоты полета h от заданных значений, определяемых траекторией снижения (глиссадой). Задача систе мы управления (регулятора) состоит в том, чтобы поддерживать постоянную воз душную скорость V и заданную высоту h. Данная задача является классической зада чей слежения в теории автоматического управления.

Для линейной модели продольного движения самолета с учетом внешних ветро вых возмущений в пространстве состояний (5.137) вектор управляемых выходов Xв может быть записан в виде Xв1 = CXв1 X, (5.138) где матрица 458 Синтез регуляторов систем автоматического управления 1 0 0 0 0 CXв1 = (5.139).

0 0 0 0 1 Y WY W Xв U Nв Wку Рис. 5.23. Система управления с расширенными векторами входа и выхода Рассмотрим вектор контролируемых выходов X в, определенный следующим об разом:

X X Xв = в1 в1. (5.140) Xв2 U Объединяя (5.137), (5.138), (5.139) и (5.140), получаем систему уравнений, описы вающую управляемую систему:

& X = AX + B1n Y + B 2 n U;

Xв1 = CXв1 X;

(5.141) Xв2 = I U U;

X = C X + I N.

в Xв Xв в Рассмотрим расширенный вектор входных возмущений Y Y=. (5.142) Nв Учитывая (5.142), систему (5.141) можно переписать в виде & X = AX + B1Y + B 2 n U;

Xв1 = CXв1 X;

(5.143) Xв2 = I U U;

X = C X + D Y, в Xв Y где B1 = B1n nXв n, DY = 0Y I Xв. Здесь 0 Xв и 0Y — нулевые матрицы соот ветствующих размерностей, I U — единичная матрица.

Если ввести обозначения % % X X, X в1 X в, % % Y Y, X X, в2 в B1 = [ B1n 0], B 2 = B 2 n, Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления C X C1 = в1, C 2 = C X в1, 0, D12 = I, D 21 = 0 I X в, D 22 = 0, D11 = 0 0 U где 0 — нулевые матрицы соответствующих размерностей, то система (5.143) при нимает вид (5.51).

Для этой системы (с матрицами A, B1, B 2, C1, C 2, D11, D12, D 21, D 22, представ ленными выше) предположения 1–4, которые необходимы для построения робастно го регулятора в соответствии с теоремой 5.16, выполняются, и мы можем воспользо ваться этим алгоритмом построения субоптимального H -регулятора.

Ниже сформулируем задачи управления самолетом при наличии внешних возму щений, решаемые в этом параграфе. В общем их все можно сформулировать как по строение для системы (5.141) (или (5.143)) линейного управления U, которое мини мизирует влияние возмущения Y на выход системы X в.

Рассмотрим схему системы управления, изображенную на рис. 5.24. На этом ри сунке обобщенный объект W0 имеет реализацию в пространстве состояний, выра женную уравнением (5.51).

В зависимости от предположений о внешнем возмущении Y и о критерии каче ства получаем разные оптимальные задачи теории управления.

Предполагая, что Y является гауссовым белым шумом, и выбирая в качестве критерия оптимальности функционал t T ( ) J Wку = lim M Xв Xв dt, (5.144) t 0 где M — символ математического ожидания, получаем LQG-задачу — построение для системы (5.141) линейного управления в виде обратной связи U ( s ) = Wку ( s ) Xв ( s ), (5.145) минимизирующего критерий (5.144).


X в1 Y W0 ( s) X в2 U Wку ( s ) Рис. 5.24. Система управления Предполагая, что Y является квадратично интегрируемой функцией, и выбирая в качестве критерия оптимальности H 2 -норму передаточной функции WYXв от входа Y к выходу X в, получаем формулировку задачи построения H 2 -оптимального ре гулятора: для системы управления, математическая модель которой описывается сис 460 Синтез регуляторов систем автоматического управления темой (5.143), требуется найти закон управления в виде линейной обратной связи (5.145), минимизирующий вышеописанный критерий, т.е.

min. (5.146) WYXв Напомним, что H 2 -норма передаточной функции W( s), аналитичной в правой полуплоскости Re s 0, определяется следующим образом:

{ } 1 * tr W ( j) W ( j) d =, W где tr { } — след матрицы.

Предполагая, что Y является квадратично интегрируемой функцией, и выбирая в качестве критерия оптимальности H -норму передаточной функции WYXв, получа ем задачу построения H -оптимального регулятора: для системы управления, мате матическая модель которой описывается системой (5.143), требуется найти закон управления в виде линейной обратной связи (5.145), минимизирующий вышеописан ный критерий, т.е.

WYXв min. (5.147) Напомним, что H -норма передаточной функции W(s) определяется следую щим образом:

W sup ( W ( j) ), [ 0, ), где ( ) обозначает максимальное сингулярное значение матрицы.

Минимизируя H -норму передаточной функции WYXв, мы минимизируем энер гию сигнала ошибки сближения.

И, наконец, предполагая, что Y является квадратично интегрируемой функцией и выбирая в качестве критерия оптимальности анизотропийную норму передаточной функции WYXв с заданным уровнем анизотропии а, получаем задачу построения оптимального регулятора по критерию минимума анизотропийной нормы замкнутой системы: для системы управления, математическая модель которой описывается сис темой (5.143), требуется найти закон управления в виде линейной обратной связи (5.145), минимизирующий критерий min. (5.148) WYXв a 5.8.2. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В данном разделе приводятся результаты моделирования (приводятся параметры построенных на основании изложенных выше теорий для задачи управления самоле том конкретных регуляторов). Проводится сравнение характеристик переходных процессов замкнутых систем и управлений, синтезированных полученными ниже тремя типами регуляторов, при воздействии на замкнутую систему четырех различ ных видов входных сигналов, которые характеризуются различным уровнем про странственно-временной окрашенности (цветности).

5.8.2.1. ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛЯТОРОВ Матрицы стандартного объекта для дискретной модели при шаге дискретизации 0,01 с имеют вид Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления 0,9994 0, 0008 0, 0000 0, 0009 0, 0000 0, 0, 0022 0,9938 0, 0011 0, 0072 0, 0000 0, 0, 0001 0, 0052 0,9842 0, 0154 0, 0000 0, A st = (5.149), 0, 0000 0, 0000 0, 0099 0,9999 0, 0000 0, 0, 0005 0, 0124 0, 0000 0, 0000 1, 0000 0, 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0, 0000 0, 0100 0, 0005 0, 0000 0, 0, 0000 0, 0004 0, 0080 0, 0000 0, 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, B st1 =, (5.150) 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0, 0100 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0000 0, 0, 0000 0, 0, 0012 0, 0, 0117 0, B st 2 =, (5.151) 0, 0001 0, 0, 0000 0, 0, 0000 0, 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Cst1 =, (5.152) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 C st 2 =, (5.153) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 D st11 =, (5.154) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D st12 =, (5.155) 1 0 0 0 0 1 Dst 21 =, (5.156) 0 0 0 0 0 Dst 22 =. (5.157) 0 Параметры ветровых возмущений (графики вертикальной w y и горизонтальной составляющих w x профиля ветра относительно центра вихря в зоне микропорыва ветра на высоте полета в 400 м) приведены на рис. 5.25.

462 Синтез регуляторов систем автоматического управления wx, м / c a – – – –2000 –1500 –1000 –500 0 500 1000 1500 2000 м wy, м / c – б – – – –2000 –1500 –1000 –500 0 500 1000 1500 2000 м Рис. 5.25. Графики вертикальной (а) и горизонтальной (б) составляющих профиля ветра относительно центра вихря В результате применения описанной выше процедуры построения анизотропийного регулятора для многомерного входного сигнала, средний уровень анизотропии которо го не превышает 0,05, получен анизотропийный регулятор, (A,B,C,D)-представление которого представлено ниже:

0,9880 0, 0000 0, 0002 0, 0006 0, 0020 0, 0, 0015 0,9973 0, 0091 0, 0035 0, 0, 0, 0170 0, 0229 0,9741 0, 0312 0, 0149 0, a = 0, A con =, (5.158) 0, 0004 0, 0001 0, 0099 0,9998 0, 0014 0, 0, 0025 0, 0130 0, 0002 0, 0, 0003 0, 0, 0148 0, 0033 0, 0007 0, 0007 0, 0025 0, 0, 0149 0, 0, 0030 0, 0, 0004 0, a= B con0,05 =, (5.159) 0, 0004 0, 0, 0027 0, 0, 0000 0, 1, 4210 2, 3935 0,8618 1,3472 1, 2199 0, a= Ccon0,05 =, (5.160) 3, 7006 0,8298 0,1630 0,1853 0, 6201 0, Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления 0 a= Dcon0,05 =. (5.161) 0 При моделировании также рассматривались следующие типы регуляторов:

H 2 / L Q G -регулятор, анизотропийный регулятор с уровнем средней анизотропии входного сигнала a = 0,5 и H -регулятор, которые были синтезированы для приве денной выше дискретной системы управления, матрицы стандартного объекта кото рой представлены выражениями (5.149)–(5.157).

Матрицы (A,B,C,D)-представлений соответствующих регуляторов представлены ниже.

a = 0, Обозначение A con соответствует матрице А в (A,B,C,D)-представлении анизо H тропийного регулятора с уровнем средней анизотропии, равным 0,5, обозначение A con соответствует матрице А в (A,B,C,D)-представлении H -регулятора и обозначение H A con соответствует матрице А в (A,B,C,D)-представлении H 2 -регулятора. Аналогич ные обозначения справедливы и для матриц B, C, D в (A,B,C,D)-представлении всех полученных регуляторов.

Матрицы анизотропийного регулятора с уровнем средней анизотропии входного сигнала a = 0,5 имеют вид 0, 0005 0, 0,9816 0, 0, 0005 0, 0, 0005 0,9975 0, 0092 0, 0046 0, 0, 0, 0224 0, 0240 0, 9738 0, 0314 0, 0159 0, a= A con0,5 =, (5.162) 0, 0009 0, 0001 0, 0099 0,9998 0, 0016 0, 0, 0057 0, 0130 0, 0, 0002 0, 0003 0, 0, 0232 0, 0051 0, 0010 0, 0011 0, 0039 0, 0, 0234 0, 0, 0058 0, 0, 0008 0, a = 0, Bcon =, (5.163) 0, 0008 0, 0, 0062 0, 0, 0000 0, 1,8508 2, 4923 0,8810 1,3699 1, 2944 0, a= Ccon0,5 =, (5.164) 0, 2761 0, 9674 1, 5,8054 1, 2797 0, 2443 0 a= Dcon0.5 =. (5.165) 0 Матрицы H -регулятора имеют вид 0, 0024 0, 0053 0, 0,9818 0, 0063 0, 0, 0013 0, 0020 0, 0014 0, 0105 0, 0, 0, 0294 0, 0363 0, 0, 0085 0,9824 0, H =, (5.166) A con 0, 0124 0, 0039 0, 0079 0, 9937 0, 0116 0, 0, 0131 0, 0, 0054 0, 0050 0, 0053 0, 0, 0001 0, 0046 0, 0062 0, 0044 0, 0, 464 Синтез регуляторов систем автоматического управления 0, 0040 0, 0, 0022 0, 0, 0002 0, H B con =, (5.167) 0, 0002 0, 0, 0058 0, 0, 0360 0, 0,1127 3,1338 13, 1,9057 0, 4677 0, H Ccon =, (5.168) 0,8359 0,9483 0, 0038 0, 0069 2, 0728 25, 0 H Dcon =. (5.169) 0 Матрицы H 2 L QG -регулятора имеют вид 0, 0008 0, 0009 0, 0,9901 0, 0, 0, 0021 0, 0087 0, 0025 0, 0,9963 0, 0, 0079 0, 0294 0, 0120 0, 0, 0186 0, H =, (5.170) A con 0, 0001 0, 0001 0,9999 0, 0011 0, 0, 0, 0006 0, 0, 0124 0, 0000 0, 0001 0, 0, 0030 0, 0007 0, 0002 0, 0002 0, 0005 0, 0, 0093 0, 0, 0009 0, 0, 0002 0, H B con =, (5.171) 0, 0000 0, 0, 0001 0, 0, 0000 0, 0, 6669 2, 0266 0, 7570 1,1921 0,9890 0, H =, (5.172) Ccon 0, 0446 0,1246 0, 0, 7478 0,1772 0, 0396 0 H Dcon =. (5.173) 0 5.8.2.2. СРАВНЕНИЕ СИСТЕМ С РАЗЛИЧНЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ Для сравнения свойств регуляторов на многомерный вход каждой из четырех замкнутых систем с соответствующими регуляторами подавались тестовые входные сигналы, моделирующие ветровое возмущение, следующих видов:

• на входы подавался гауссовский белый шум, который представлен на рис. 5. (сигнал с нулевой средней анизотропией);

• окрашенный сигнал, полученный в результате прохождения белого шума че рез формирующий фильтр, на выходе которого формируется сигнал с уровнем средней анизотропии, равным 0,05;

• более окрашенный сигнал, полученный в результате прохождения белого шу ма через формирующий фильтр, на выходе которого формируется сигнал с уровнем средней анизотропии, равным 0,5;

• на входы подавался одинаковый детерминированный сигнал в виде единично го ступенчатого сигнала (сигнал с бесконечной средней анизотропией).

Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления м/с t, c Рис. 5.26. Реализация белого шума, подаваемого на вход регуляторов Формирующие фильтры с уровнями средней анизотропии, равными соответст венно a = 0, 05 и a = 0,5, были получены при синтезе соответствующих анизотро пийных регуляторов.

Два многомерных окрашенных сигнала были получены из одной и той же после довательности, моделирующей гауссовский белый шум.

В результате моделирования были получены реакции замкнутых систем по управляемым переменным (отклонения воздушной скорости и высоты) и управления (управление cy и отклонение ручки сектора газа), формируемые соответствующи ми регуляторами, на различные виды внешнего ветрового возмущения.

Полученные результаты моделирования представлены на графиках и сведены в таблицы следующим образом:

• на рис. 5.27–5.30 и табл. 5.5–5.8 приведены результаты моделирования для случая входного возмущения в виде белого шума;

• на рис. 5.31–5.35 и табл. 5.9–5.12 приведены результаты моделирования для случая, когда на вход подавался входной сигнал, сгенерированный форми рующим фильтром со средним уровнем анизотропии, равным 0,05;

• на рис. 5.36–5.39 и табл. 5.13–5.16 приведены результаты моделирования для случая, когда на вход подавался входной сигнал, сгенерированный форми рующим фильтров со средним уровнем анизотропии, равным 0,5;

• на рис. 5.40–5.42 и табл. 5.17–5.20 приведены результаты моделирования для случая, когда на вход подавался детерминированный единичный ступенчатый сигнал.

На рисунках и в таблицах приняты следующие обозначения: H 2 L QG -регулятор — H2;

анизотропийный регулятор, синтезированный при уровне средней анизотро пии входного сигнала, равном 0,05, — Anisotropy a = 0, 05;

анизотропийный регуля тор, синтезированный при уровне средней анизотропии входного сигнала, равном 0,5, — Anisotropy a = 0,5;

H -субоптимальный регулятор — H ;

cy — TetaCY;

сектор газа — DLsg.

466 Синтез регуляторов систем автоматического управления 5.8.2.3. ВНЕШНЕЕ ВОЗМУЩЕНИЕ — БЕЛЫЙ ШУМ Проанализируем поведение замкнутых систем при моделировании ветрового воз мущения гауссовским белым шумом.

Графики переходных процессов (рис. 5.27) и диапазоны изменения отклонений воз душной скорости и высоты (табл. 5.9 и 5.10) для всех регуляторов практически не от личаются друг от друга. Но H -субоптимальный регулятор все же обеспечивает наи лучшее качество подавления ветрового возмущения по управляемым переменным.

V, м/с t, c H, м t, c Рис. 5.27. Совместные графики отклонения воздушной скорости V и высоты H при воздействии на вход замкнутых систем с соответствующими регуляторами белого шума Таблица 5. О т к л о н е н и е о т н о м и н а л ь н о г о з н а ч е н и я в о з ду ш н о й с к о р о с т и V п р и д е й с т в и и белого шума на систему, замкнутую различными регуляторами Вход — белый шум Vmax Vmin Vmin Vmax Тип регулятора H2 – 2,7446 2,1409 4, Анизотропийный a = 0, 05 – 2,1839 1,5279 3, Анизотропийный a = 0,5 – 2,0807 1,4036 3, H – 2,0921 1,3675 3, Совершенно другая картина наблюдается по виду и величинам синтезируемых ре гуляторами управлений (рис. 5.28–5.30 и табл. 5.11, 5.12). Наихудшими показателями по величинам и производным по управлениям обладает H -субоптимальный регуля тор, а наилучшими — H 2 -регулятор (поскольку по управлению cy диапазон измене ния для H 2 -регулятора примерно в 6,3 раза меньше, чем для H -субоптимального регулятора).

Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления Таблица 5. Отклонение от номинального значения высоты H при действии белого шума на систему, замкнутую различными регуляторами Вход — белый шум H max H min H min H max Тип регулятора H2 – 5,2361 3,1526 8, Анизотропийный a = 0, 05 – 5,4079 2,7074 8, Анизотропийный a = 0,5 – 4,7440 2,7195 7, H – 4,3424 2,6048 6, TetaCY, град t, c DLsg, град t, c Рис. 5.28. Совместные графики управления су и сектора газа при воздействии на вход замкнутых систем с соответствующими регуляторами белого шума Таблица 5. О т к л о н е н и е о т н о м и н а л ь н о г о з н а ч е н и я у п р а в л е н и я TetaCY при действии помехи на систему, замкнутую различными регуляторами Вход — белый шум TetaCYmax TetaCYmin TetaCYmax TetaCYmin Тип регулятора H2 – 3,8987 4,8061 8, Анизотропийный a = 0,05 – 6,4245 8,7425 15, Анизотропийный a = 0,5 – 8,7093 10,0284 18, H – 25,8491 29,1145 54, Анизотропийные регуляторы занимают промежуточное положение между H 2 - и H -субоптимальными регуляторами. Причем при увеличении уровня анизотропии увеличивается амплитуда управлений и ухудшается их «гладкость».

468 Синтез регуляторов систем автоматического управления TetaCY, H град t, c TetaCY, Анизотропийный a = 0, град TetaCY, t, c град Анизотропийный a = 0, TetaCY, t, c H град t, c Рис. 5.29. Раздельные графики управления су при воздействии на вход замкнутых систем с соответствующими регуляторами белого шума H DLsg, град DLsg, t, c Анизотропийный a = 0, град DLsg, t, c град Анизотропийный a = 0, DLsg, t, c град H t, c Рис. 5.30. Раздельные графики сектора газа при воздействии на вход замкнутых систем с соответствующими регуляторами белого шума Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления Гораздо более существенное различие наблюдается по отклонению сектора газа (обозначение DLsg). Диапазон изменения отклонения сектора газа для H 2 -регуля тора примерно в 26 раз меньше, чем для H -регулятора. Это объясняется тем, что H -регулятор в силу своей динамичности (перестраховочности) не обладает сгла живающим свойством, как H 2 -регулятор, и, воспринимая белый шум как детерми нированный сигнал, пытается его парировать.

Таблица 5. От клоне ние от номинального значения с е кт о р а га за DLsg при д е й с т в ии помехи на с и с т ему, замкну ту ю различными регу ляторами Вход — белый шум DLsg max DLsg min DLsg max DLsg min Тип регулятора H2 – 1,7300 2,0312 3, Анизотропийный a = 0,05 – 8,4345 11,3490 19, Анизотропийный a = 0,5 – 16,0535 19,0867 35, H – 46,3739 52,0337 98, Отношение диапазонов изменения управления cy и отклонения сектора газа для анизотропийного регулятора при уровне a = 0, 05 и H 2 -регулятора составляют соот ветственно 1,7 и 5,3. Аналогичные соотношения для анизотропийного регулятора при уровне a = 0,5 равны 2,1 и 9,3.

Таким образом, при входном воздействии в виде белого шума H 2 -регулятор яв ляется наилучшим. В то же время при заданных уровнях средней анизотропии вход ного сигнала анизотропийные регуляторы парируют белый шум с гораздо меньшими энергетическими затратами по управлению по сравнению с H -субоптимальным регулятором.

5.8.2.4. ВНЕШНЕЕ ВОЗМУЩЕНИЕ — ЦВЕТНОЙ ШУМ Рассмотрим более реальные внешние возмущения в виде цветного белого шума с двумя разными «уровнями цветности», которые моделируются двумя формирующи ми фильтрами, описанными выше.

Анализ рис. 5.31 и 5.35 показывает, что сравнительное поведение замкнутых систем по отклонениям воздушной скорости и высоты примерно одинаково и отли чается только масштабом. Величины отклонений (см. табл. 5.9, 5.10 и 5.13, 5.14) для H -субоптимального регулятора и двух анизотропийных регуляторов отлича ются незначительно.

Таблица 5. О т к л о н е н и е о т н о м и н а л ь н о г о з н а ч е н и я в о з ду ш н о й с к о р о с т и V при действии цветной помехи на систему, замкнутую различными регуляторами Вход — сигнал с уровнем анизотропии 0, Vmax Vmin Vmax Vmin Тип регулятора H2 – 3,1483 3,0725 6, Анизотропийный a = 0,05 – 1,9381 2,1209 4, Анизотропийный a = 0,5 – 1,6930 1,8612 3, H – 1,6076 1,7383 3, 470 Синтез регуляторов систем автоматического управления V, м/с t, c H, м t, c Рис. 5.31. Совместные графики отклонения воздушной скорости V и высоты H при воздействии на вход замкнутых систем с соответствующими регуляторами сигнала со средним уровнем анизотропии a = 0, TetaCY, град t, c DLsg, град t, c Рис. 5.32. Совместные графики управления су и отклонения ручки сектора газа при воздействии на вход замкнутых систем с соответствующими регуляторами сигнала со средним уровнем анизотропии a = 0, Глава 5. Элементы теории робастного и стохастического робастного управления При этом с ростом уровня средней анизотропии максимальные амплитуды откло нений и диапазоны изменений уменьшаются и приближаются по реакции к замкну той системе с H -регулятором. Так, в случае входного сигнала с уровнем анизотро пии a = 0,05 диапазон изменения воздушной скорости для анизотропийного регуля тора ( a = 0,05 ) только в 1,2 раза больше, чем для H -регулятора. Для высоты это соотношение равно 1,3. В случае цветного сигнала с уровнем анизотропии a = 0, данные соотношения незначительно больше и составляют 1,25 и 1,35 соответственно.

Тогда как для H 2 -регулятора по сравнению с H -регулятором в случае входного сигнала с уровнем анизотропии a = 0,05 отношение диапазонов изменения по скоро сти составляют 1,8, а по высоте 1,95. Аналогичные соотношения в случае входного сигнала с уровнем анизотропии a = 0,5 равны соответственно 2 и 2,6.

Характер синтезируемых управлений при двух различных цветных возмущениях также аналогичен (при a = 0,05 см. рис. 5.32–5.34, а при a = 0,5 см. рис. 5.36–5.38) и также отличается только масштабом (при a = 0,05 см. табл. 5.11, 5.12, а при a = 0, см. табл. 5.15, 5.16). Самое слабое по величине и самое гладкое управление формиру ется H 2 -регулятором. В противоположность ему H -субоптимальный регулятор формирует самое сильное по амплитуде управление с большой величиной производ ной по управлению, что является существенным недостатком. Анизотропийные ре гуляторы как по амплитуде, так и по «гладкости» управлений занимают промежу точное значение, что видно из табл. 5.11, 5.12 и 5.15, 5.16.

H TetaCY, град TetaCY, t, c a = 0, Анизотропийный град t, c TetaCY, Анизотропийный a = 0, град t, c TetaCY, H град t, c Рис. 5.33. Раздельные графики управления су при воздействии на вход замкнутых систем с соответствующими регуляторами сигнала со средним уровнем анизотропии а = 0, Таким образом, одним из основных достоинств синтезированных в данной работе анизотропийных регуляторов является то, что существенно меньшим по величине 472 Синтез регуляторов систем автоматического управления управлением достигаются практически одинаковые (лишь с незначительным ухуд шением) переходные процессы для отклонений воздушной скорости и высоты по сравнению с H -субоптимальным регулятором.



Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 17 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.