авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 17 |

«СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ CИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цикл учебников и учебных ...»

-- [ Страница 3 ] --

(1 + T1s )(1 + T2 s ) 74 Синтез регуляторов систем автоматического управления x(t ) = Q (t ) ТГ x(t ) = Q (t ) ТГ C1 R C C R R RC -контур RC -контур а б Рис. 1.51. Корректирующая обратная связь на основе тахогенератора Таблица 1. Эквивалентные корректирующие устройства № Основное Свой Звено последовательного типа Отрицательная обратная связь п/п звено ства 1 2 3 4 Делитель напряжения Делитель напряжения R1 y x kc По kc y Безынерци- x R2 давле r онный 1 ние усилитель, усиле Wc ( s ) = kc r R2 ния Wпз ( s ) = = kпз R1 + R 1 kпз r2 r Wос ( s ) = = kос, 2 = r1 + r2 r1 + r2 kс kпз Интегрирующее пассивное звено Дифференцирующее звено y R1 kc x C R По x y kc r С2 давле ние r 2 То же верх них 1 + T2 s частот r2 T2 s Wпз ( s ) = (T1 T2 ), Wос ( s ) =, 1 + T1s r1 + r2 1 + T2 s T T T1 = ( R1 + R2 )C2, T2 = R2C2 r (r1 + r2 )C = T2, =1 r1 + r2 kcT Дифференцирующее Апериодическое звено пассивное звено y x C1 kc r r1 По R kc y давле R2 x ние 3 То же r C низких T 1 + T1s Wпз ( s ) = 2 (T1 T2 ), частот r2 T1 1 + T2 s Wос ( s ) =, r1 + r2 1 + T1s RR T1 = R1C1, T2 = 1 2 C T T rr r R1 + R2 = 1 2, r + 1 2 C = T r1 + r2 r1 + r kcT Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Продолжение табл. 1. 1 2 3 4 Интегро-дифференцирующее Апериодическое звено и дифференцирующее звенья С1 y x kc R1 R r C По r y x kc давле С C Безынерци ние 4 онный r2 сред усилитель них частот r2 T2 s (1 + T1s )(1 + T2 s ), Wос ( s ) =, Wпз ( s ) = r1 + r2 (1 + T1s )(1 + T2 s ) (1 + T3s )(1 + T4 s ) r2 R T1 = R1C1, T2 = R 2C 2, T1T2 = T3T4, = 1, rC T1, r1 + r2 k c R R1 + R T3 + T4 = T1 + ( r1 + r2 ) C T T R Пассивное Делитель напряжения дифференцирующее звено (частный случай, когда T1 = Tc ) y kc x C1 1 + Tc s r Безынерци kc По онный R y R2 x давле 1 + Tc s r усилитель, 5 ние kc Wc ( s ) = низких T2 1 + T1s R 1 + Tc s T T r2 R Wпз ( s ) = = частот k ос = = 1 2= T1 1 + T2 s R1 + R2 r1 + r2 k cT2 k c R R 2 1 + T1s (T1 T2 ), R1 + R 2 1 + T2 s R1R T1 = R1C1 = Tc, T2 = C R1 + R Интегро-дифференцирующее Дифференцирующее звено звено (частный случай, y kc когда T1 = Tc ) x 1 + Tc s С1 C r R1 R kc По r y x 1 + Tc s давле С ние 6 То же сред r2 T2 s Wос ( s ) =, (1 + T1s )(1 + T2 s ), них r1 + r2 1 + T2 s Wпз ( s ) = частот (1 + T3 s )(1 + T4 s ) r2 R ( r1 + r2 ) C = T2, = T1 = R1C1 = Tc, T2 = R 2C 2, r1 + r2 k c R T1T2 = T3T4, R1 + R T3 + T4 = T1 + T R 76 Синтез регуляторов систем автоматического управления На рис. 1.52 приведена схема КУ с мостовой тахометрической обратной связью.

Если мост сбалансирован, то напряжение на выходе пропорционально угловой ско рости вращения электродвигателя;

если мост не сбалансирован, то напряжение на выходе пропорционально угловой скорости и ускорению.

ЭМУ uвх (t ) = y (t ) ЭУ ЭДВ (t ) (t ) = x(t ) RC контур Рис. 1.52. Корректирующее устройство в виде мостовой тахометрической обратной связи:

ЭУ — электронный усилитель;

ЭМУ — электромашинный усилитель;

ЭДВ — электродвигатель постоянного тока 1.4. ОБЩИЕ ПОДХОДЫ И ПРИНЦИПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСЧЁТА ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯТОРОВ Далее будем полагать, что структура и изменяемые параметры регулятора извест ны. Можно указать два принципиально разных подхода к решению задачи расчета численных значений параметров регулятора.

Ключевое положение первого подхода заключается в том, что структура и численные значения параметров регулятора (последовательного или парал лельного) определяются точно, если заданы эталонная ПФ W э ( s ) и ПФ объекта управления (в первом подходе структура регулятора полагается также неизвестной).

При использовании первого подхода для решения конкретных, иногда достаточно сложных инженерных задач важным является учёт следующих обстоятельств.

Теоретическое положение, приводящее к точному решению задачи, является оче видным: поскольку известны W э ( s ) и Wо ( s ), то, пользуясь аппаратом структурных преобразований, достаточно просто получить формальное решение задачи. Напри мер, далее будет рассмотрена система, структурная схема которой представлена на рис. 1.53.

y (t ) x(t ) Система Рис. 1.53. Структурная схема системы ПФ регулятора, полностью определяющая его структуру и параметры, имеет вид W э (s) Wку ( s ) = Wo1 ( s ) (1.59).

( ) 1W э (s) Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Поскольку Wo ( s ) и W э ( s ) известны, то с помощью элементарных операций оп ределяется ПФ Wку ( s ), т.е. известными являются порядок полиномов числителя и знаменателя Wку ( s ) и численные значения их коэффициентов. Так как проектируе мая САУ должна отвечать динамическим, энергетическим и эксплуатационным тре бованиям, то на первом этапе её проектирования выбираются функционально необ ходимые элементы, источники энергии, исполнительные органы, усилительные уст ройства, измерительные системы, включая и объект управления, которыми опреде ляются вес, габариты, надёжность и стоимость системы. Каждый из указанных эле ментов характеризуется своими динамическими свойствами, определяемыми их ма тематическими моделями, например ПФ, и является звеном структурной схемы сис темы. Часто системы обладают большой сложностью и включают в качестве элемен тов такие технические устройства, как радиолокаторы, ракеты, вычислительные ма шины, каналы связи и др. (см. главу 6).

Регулятор системы, определяемый с помощью структурных преобразований, должен обеспечить, например, необходимый порядок астатизма, заданную величину перерегулирования (выброса), полосу пропускания, коэффициенты ошибок, не пре вышающие заданных величин, допустимые значения скорости и ускорения управ ляемых переменных и др.

Реализация рассматриваемого подхода даёт, как уже говорилось выше, точное формальное решение задачи, но при этом очевидным являются факторы:

• регулятор должен обладать большими возможностями, чтобы скомпенсиро вать влияние динамических свойств всех элементов системы (например, фи зическим выражением этих свойств может являться та или иная степень инер ционности;

инерционность и достаточно большой коэффициент усиления мо гут привести систему в неработоспособное состояние, т.е. система может ока заться неустойчивой) и обеспечить точное равенство ПФ скорректированной системы эталонной ПФ W э ( s ) ;

• ввиду чрезвычайно сложной задачи, решаемой регулятором, можно говорить о его большой сложности и физической нереализуемости (или трудной физи ческой реализуемости);

• включение синтезированного регулятора в структуру системы может при вести к появлению новых свойств замкнутой САУ (например, система может оказаться неустойчивой и не обладать свойством грубости и др.).

В связи со сказанным выше использование первого подхода требует проведения исследований в каждом конкретном случае.

Основная идея второго похода состоит в обеспечении приближённого равен ства эталонной и реальной ПФ замкнутой САУ.

При реализации этого подхода можно использовать положения, изложенные в п. 1.1, для решения одной из самых ответственных задач — предварительного опре деления структуры физически реализуемого регулятора и его изменяемых парамет ров (при втором подходе структуру регулятора определяет проектировщик, исходя из необходимости выполнения известных условий).

На этом этапе можно рассматривать, например, возможность включения в структуру системы вместо одного сложного регулятора несколько простых коррек тирующих устройств, включённых параллельно, техническая реализация которых на пассивных элементах не сложна [122].

Реализация некоторых регуляторов на пассивных элементах может привести к не оправданному увеличению его веса и габаритов, что особенно заметно в случае ма лодемфированных объектов. Вес и габариты таких корректирующих устройств мож 78 Синтез регуляторов систем автоматического управления но уменьшить путём построения их на активных элементах с соблюдением условий физической реализуемости [110].

Выбором параметров таких корректирующих устройств, имеющих обратные связи, можно обеспечить заданные динамические свойства системы, причём вес и габариты устройств будут значительно меньше веса и габаритов корректирую щего устройства на пассивных элементах.

Таким образом, при использовании второго подхода требование точного равен ства ПФ скорректированной системы и W э ( s ) снимается. Естественно, что и ди намические характеристики таким образом скорректированной системы будут близ ки к эталонным, но не равны им. При этом принципиально упрощается структура регулятора и появляется возможность творческого подхода при определении его рациональной структуры.

Например, ранее были рассмотрены положения, позволяющие выбрать такую наиболее простую, с точки зрения физической реализации, структуру регулятора, которая обеспечивает устойчивость системы и необходимое качество управления в переходном и установившемся режимах. Регуляторы относятся к изменяемым эле ментам системы, поскольку их параметры можно менять с целью изменения динами ческих свойств автоматической системы в нужном направлении.

Выбор структуры регулятора — это первый этап решения задачи, и он часто носит качественный характер, при этом широко используется опыт проектиров щика по разработке аналогичных сложных систем.

Второй этап — расчёт численных значений параметров регулятора при его ра зумно выбранной структуре, обеспечивающей выполнение ТТТ, оказывается почти всегда более трудным, поскольку в алгоритме расчёта при условии, что структура регулятора обладает соответствующими возможностями, необходимо учитывать вид и число показателей, характеризующих качество работы системы, степень их противоречивости, наличие аналитических выражений, связывающих указанные показатели с параметрами и структурой регулятора, и др.

Наиболее конструктивный путь расчёта параметров регулятора с учётом большого числа ограничений — это использование методов нелинейного программи рования.

Рассмотрим скалярную систему или её элемент (рис. 1.53).

Как правило, поведение системы управления описывается скалярным дифферен циальным уравнением, например, вида (здесь при рассмотрении поставленной задачи расширим класс систем, включая в этот класс нестационарные и в некоторых случаях нелинейные системы):

n m a v ( t ) x ( v ) = bv ( t ) y ( v ). (1.60) v v Обозначим dv dv n m a v ( t ) dt v bv ( t ) dt v = Lx ;

= Ly. (1.61) v v Тогда (1.60) запишется в форме L x x = L y y;

(1.62) отсюда следуют зависимости L1L x x = y и L1L y y = x, y x или, что то же самое, Lx = y и x = Ay. (1.63) Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Первая из зависимостей называется операторным уравнением системы (уравнение с оператором L), второе — операторным соотношением.

Очевидно, что A = L1.

Пример. Линейная нестационарная система описывается уравнением n a v ( t ) x ( v ) = y, или Lx = y, v = dv n где L = a v ( t ) — линейный дифференциальный оператор.

dt v v = Именно в такой форме, т.е. в форме операторных уравнений (дифференциальных, интегральных, дифференциально-интегральных и др.), задается математическое опи сание системы.

Очевидно, t x ( t ) = L1 y = k ( t, ) y ( ) d = Ay (1.64) — формула Коши, операторное уравнение, где L1 = A — обратный оператор урав нения системы, k ( t, ) — ядро Коши.

Такая форма, т.е. форма, использующая обратный оператор L1 = A, находит применение в задачах анализа и синтеза.

Здесь необходимо указать, что задание оператора A равносильно построению решения исходного уравнения системы, например (1.60). Это весьма сложная про блема (за исключением простейших случаев). Например, как указывалось выше, на хождение ядра Коши в общем случае возможно только численным методом.

Однако в теории управления часто используется именно операторное соотношение x ( t ) = Ay ( t ), причём А называется оператором системы (или звена). Он определяет соответствие между входным y (t ) и выходным x(t ) сигналами системы управления ( каждому элементу y (t ) из множества Y входных сигналов y ( t ) Y ставится в соответст вие единственный, вполне определённый элемент x ( t ) из множества X выходных ) сигналов x ( t ) X.

На структурных схемах используется следующее обозначение (рис. 1.54).

y (t ) x(t ) A Рис. 1.54. Структурная схема системы с оператором А Далее проведём обсуждение задачи синтеза регуляторов в терминах, использую щих понятие оператора системы А в указанном выше смысле.

Рассмотрим систему (рис. 1.55).

На структурной схеме использованы обозначения: Ao — оператор неизменяемой части системы (объекта управления), Aку — оператор регулятора, Aэ — эталонный оператор замкнутой системы.

80 Синтез регуляторов систем автоматического управления (t ) x(t ) y (t ) u (t ) + Aку Aо Aэ Рис. 1.55. Структурная схема системы Далее будут использованы положения операторной алгебры, в соответствии с ко торой имеют место следующие действия:

1) сложение операторов, A + B = C ;

2) умножение операторов, AB = C ;

3) умножение оператора на скаляр, Ak = B или kA = B.

Кроме этого, справедливы правила:

1) операция сложения коммутативна, A + B = B + A;

2) операция сложения и умножения ассоциативны, A + ( B + C ) = ( A + B ) + C и A ( BC ) = ( AB ) C ;

3) операция умножения не коммутативна, AB BA.

Для системы (рис. 1.55) справедливы зависимости ( t ) = y ( t ) x ( t ), x ( t ) = A0u ( t ), u ( t ) = Aку ( t ). (1.65) Из этих формул имеем x ( t ) = Ao Aку ( t ), или x ( t ) = Ap ( t ), (1.66) где Ap = Aо Aку — оператор разомкнутой системы.

Имеет место соотношение ( t ) = y ( t ) Ao Aку ( t ), и, следовательно, ( ) ( t ) + Ao Aку ( t ) = I + Ao Aку ( t ) = y ( t ).

Отсюда находим ( ) ( t ) = I + Ao Aку y (t ).

Поскольку ( ) x ( t ) = Ao Aку ( t ) = Ao Aку I + Ao Aку y (t ), (1.67) то оператор замкнутой системы определятся формулой ( ) A = Ao Aку I + Ao Aку (1.68).

Если предположить, что все линейные элементы, входящие в систему (рис. 1.55), нестационарны, то формулы (1.66), (1.67) и (1.68) можно записать через интеграль ные операторы Вольтерра:

t t t x ( t ) = k о ( t, ) u ( ) d, u ( t ) = k ку ( t, ) ( ) d, x ( t ) = k р ( t, ) ( ) d 0 0 и Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем t ( ) x ( t ) = Ao Aку I + Ao Aку y ( t ) = k ( t, ) y ( ) d. (1.69) Из (1.63) следует ( ) Lx = A 1 x = I + Ao Aку Aку Ao 1 x ( t ) = y ( t ) (1.70) — операторное уравнение замкнутой системы, представленной на рис. 1.55.

Формулы (1.69) и (1.70) являются основными при проведении дальнейших рассу ждений.

Изложим несколько общих принципов, связанных с решением задачи расчёта па раметров регуляторов, не забывая при этом, что синтез является сложной и ответст венной стадией проектирования системы. Напомним, что дальнейшее рассмотрение задачи направлено на разработку процедуры, позволяющей определить параметры регулятора из условия удовлетворения заданному комплексу требований (ТТТ).

Первый принцип (он реализует первый подход, рассмотренный выше), на основе теоретических положений которого разработана первая группа методов, состоит в следующем.

В его основе лежит условие точного равенства оператора замкнутой системы эта лонному оператору A э. Как уже указывалось ранее, для класса стационарных систем в 1940 году В.С. Кулебакин впервые разделил задачу синтеза скалярных систем на два этапа:

• выбор эталонной ПФ, удовлетворяющей поставленным техническим требова ниям;

• определение параметров элементов, входящих в систему управления, из усло вия равенства эталонной и реальной ПФ.

Далее используется именно этот подход, при этом в структуру системы вво дится дополнительный элемент — корректирующее устройство, назначение кото рого — приведение динамических характеристик замкнутой системы к равенству некоторому эталону.

В операторных терминах задача формулируется так:

1) нахождение эталонного оператора A э ;

2) нахождение оператора регулятора, обеспечивающего равенство эталонного и реального операторов динамической системы.

Имеем ( ) A I + Ao Aку = A + AAo Aку = Ao Aку.

Из последней зависимости следует A = Ao Aку AAo Aку = ( Ao AAo ) Aку = ( I A ) Ao Aку.

Отсюда находим 1 Aку = ( I A ) Ao A = Ao 1 ( I A ) A.

Поскольку оператор замкнутой системы должен равняться эталонному оператору, т.е. A = A э, то окончательная формула, определяющая оператор регулятора, запи шется так:

( ) Aку = Ao 1 I A э Aэ. (1.71) В последней формуле A э и Ao известны, поэтому принципиально возможен рас чёт оператора Aку, при этом определяются структура регулятора и численные значения его параметров p1, p 2,..., p r.

82 Синтез регуляторов систем автоматического управления Проверим анализ основной формулы (1.71). Из неё следует, что синтез регулятора в соответствии с рассматриваемым принципом предполагает компенсацию динамики объекта;

процесс компенсации иллюстрирует рис. 1.56.

y (t ) u (t ) (t ) x (t ) + ( ) Aку = Ao 1 I A э Aэ Ao Рис. 1.56. Структурная схема скорректированной системы Из рассмотрения схемы (рис. 1.56) можно записать ( ) 1 э u ( t ) = Ao 1 I A э A (t ), (1.72) ( ) 1 э x ( t ) = Aou ( t ) = Ao A 1 I A э A ( t ) = Ao Aку ( t ). (1.73) Поскольку оператор разомкнутой системы определяется формулой ( ) Aр = Ao Ao 1 I A э A э, (1.74) то из последней зависимости следует, что равенство оператора замкнутой системы эталонному оператору обеспечивается компенсацией влияния на A э оператора объекта Ao за счёт наличия обратного оператора Ao 1.

Вообще говоря, такой результат не является неожиданным. Если, например, вход ной сигнал элемента y (t ) подвергается искажению в результате прохождения через элемент с оператором А, то восстановление первоначальной формы y (t ) этого сиг нала может быть достигнуто с помощью динамической системы, каскадно соединён ной с первой системой, как это показано на рис. 1.57, и имеющей оператор A 1.

В рассматриваемом выше методе данный подход используется для полной нейтрали зации влияния динамических характеристик объекта на оператор замкнутой сис темы.

(t ) x (t ) (I A ) A э э э = Aр Ao Ao I Рис. 1.57. К пояснению принципа компенсации Принцип, содержание которого изложено выше, получил название принципа ди намической компенсации.

Из формулы (1.74) следует, что основным содержанием принципа динамической компенсации является возможность не учитывать динамику объекта при синтезе регулятора.

Формально зависимость, определяющая Aку, даёт точное решение задачи синтеза регулятора. В большинстве же случаев физически элемент с оператором Aку реали зовать не удаётся (тем более даже из физических соображений ясно, что математиче Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем ские модели объектов задаются приближённо и сколь-нибудь точная компенсация динамики объекта труднодостижима. При расчёте мы вынуждены опираться лишь на соответствующие оценки. Любая же погрешность, несоответствие оценки и реальных значений могут привести к синтезу неработоспособной системы).

Важным является следующее положение: содержание большого числа инже нерных методов синтеза регуляторов сводится к той или другой форме аппрок симации соотношения ( ) Aку = Ao 1 I A э Aэ, но не его точной реализации.

Такая аппроксимация направлена на:

1) упрощения структуры регулятора;

2) возможность получения физически реализуемых элементов;

3) обеспечение устойчивости замкнутой системы;

4) повышение свойства грубости (синтезированная система не обладает свойст вом грубости и является практически неработоспособной).

Вместе с тем необходимо помнить, что многие используемые методы в неявной форме реализуют метод динамической компенсации.

Второй принцип, на основе теоретических положений которого разработана вто рая группа методов, состоит в следующем. В основе решения задачи расчёта пара метров регулятора лежит условие: наилучшее, в известном смысле, приближение за счёт выбора параметров регулятора реакции системы на заданное воздействие (например, y (t ) = 1(t )) к некоторому эталону.

В основе реализации этого принципа лежит аппарат нелинейного программирования.

Основное содержание этого принципа состоит в следующем: задаётся оператор регулятора, зависящий от параметров p1, p 2,..., p r, т.е. Aку ( p1, p 2,..., p r ) ;

зада ются эталонное воздействие y э ( t ) и эталонная реакция на это воздействие x э ( t ).

* * * Проблема синтеза состоит в подборе таких значений параметров p1, p 2,..., p r, ко торые обеспечили бы близость, в известном смысле, реального выходного сигнала x р ( t, p1, p 2,..., p r ) и эталона x э ( t ).

Обсудим этот подход;

положим, что мерой близости выбрана метрика простран ства C [ 0, T ]. Тогда задача формулируется так:

I 1 ( p1, p 2,..., p r ) = max x р ( t, p1, p 2,..., p r ) x э ( t ) min. (1.75) 0 t T p i,i =1, r Если же воспользоваться метрикой пространства L2 [ 0, T ], то T I 2 ( p1, p 2,..., p r ) = x р ( t, p1, p 2,..., p r ) x э ( t ) dt min. (1.76) p i,i =1, r В функционалы I 1 и I 2 входит функция x р ( t, p1, p 2,..., p r ). При проектиро вании же систем управления известным является уравнение системы L ( p1, p 2,..., p r ) x р ( t, p1, p 2,..., p r ) = = A 1 ( p1, p 2,..., p r ) x р ( t, p1, p 2,..., p r ) = (1.77) ( ) = I + Ao Aку ( p1, p 2,..., p r ) Aку ( p1, p 2,..., p r ) Ao 1 x р ( t, p1, p 2,..., p r ) = y э ( t ).

84 Синтез регуляторов систем автоматического управления Например, для класса линейных нестационарных систем методом уравнивающих операторов можно найти дифференциальное уравнение вида n p1, p 2,..., p r ) x р ) ( t, p1, p 2,..., p r ) = (v av (t, v = (1.78) m (v ) = bv ( t, p1, p 2,..., p r ) y р ( t ), a n ( t ) 1, v = где y 0 ( t ) — эталонный входной сигнал, x р ( t, p1, p 2,..., p r ) — реальный выход ной сигнал, зависящий от параметров регулятора.

Для реализации процедур минимизации (1.75) и (1.76) необходимо знать формулу, определяющую реальный выходной сигнал, явно зависящий от параметров регулято ра p1, p 2,..., p r, т.е. необходимо иметь зависимость вида x р ( t, p1, p 2,..., p r ) = L1 ( p1, p 2,..., p r ) y э ( t ) = ( ) = Aо Aку ( p1, p 2,..., p r ) I + Aо Aку ( p1, p 2,..., p r ) y э (t ) — решение уравнения (1.78), где L ( p1, p 2,..., p r ) — оператор замкнутой системы, зависящий от параметров p1, p 2,..., p r регулятора (в этих рассуждениях можно полагать, что L ( p1, p 2,..., p r ) — как линейный, так и нелинейный оператор).

Тогда функционал (1.76), который далее будет широко использоваться, принима ет вид { T ( ) I 2 ( t, p1, p 2,..., p r ) = Ao Aку ( p1, p 2,..., p r ) I + Ao Aку ( p1, p 2,..., p r ) } dt { y э ( t ) x э ( t )} min.

p i, i =1, r Полученная зависимость позволяет сделать следующий вывод: для реализации рассматриваемого принципа необходимо знать обратный оператор замкнутой сис темы, явно зависящий от параметров регулятора. Это — чрезвычайно сложная задача, решение которой возможно лишь в исключительно простых случаях. Реали зация такого принципа возможна при использовании численных методов решения дифференциальных уравнений.

Третий принцип, на основе теоретических положений которого разработана третья группа методов, состоит в том, что в основе решения задачи лежит условие:

достижение приближённого, в известном смысле ( например, в L2 [ 0, T ] или C [ 0, T ]), равенства правой и левой частей операторного уравнения замкнутой системы за счёт выбора параметров регулятора.

Содержание этого принципа состоит в следующем. Пусть y э ( t ) — заданное (эта лонное) воздействие, x э ( t ) — желаемая реакция;

тогда имеет место зависимость (144444444444244444444444(3) {.

I + Ao Aку ( p1, p 2,..., p r ) ) Aку ( p1, p 2,..., p r ) Ao 1 x э t yэ (t ) 1 (1.79) 4 y(t ) x ( t, p1, p 2,..., p r ) В более общем виде последнее уравнение системы можно записать так (оно все гда известно):

L ( p1, p 2,..., p r ) x э ( t ) y э ( t ).

3{ 1444 24444 y(t ) x ( t, p1, p 2,..., p r ) Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем В последних формулах стоит знак приближённого равенства. В идеальном случае, правильно подобрав структуру и значения параметров регулятора p1, p 2,..., p r, мы при подстановке в операторное уравнение скорректированной системы эталонного воздействия y э ( t ) и желаемой реакции x э ( t ) получили бы тождество, т.е. x э ( t ) был бы решением операторного уравнения системы при правой части y э ( t ). Иде альный же подбор регулятора в общем случае невозможен, поэтому имеет место не вязка E ( t, p1, p 2,..., p r ) = x ( t, p1, p 2,..., p r ) y ( t, p1, p 2,..., p r ). (1.80) На основе невязки можно построить соответствующие функционалы и сформули ровать задачу синтеза регулятора так:

I 3 ( p1, p 2,..., p r ) = max E ( t, p1, p 2,..., p r ) min ;

(1.81) 0 t T p i, i =1, r T I 4 ( p1, p 2,..., p r ) = E 2 ( t, p1, p 2,..., p r ) dt min (1.82) p i, i =1, r — при соответствующих ограничениях, связанных с устойчивостью и качеством ра боты системы.

Достоинство последнего подхода состоит в том, что он не требует нахожде ния обратного оператора L1 ( p1, p 2,..., p r ). Это — принципиальное упрощение задачи.

Этот подход можно применить к широкому классу систем, включая линейные нестационарные и нелинейные системы, системы с запаздыванием и т.д. Как и в предыдущем случае, аппарат нелинейного программирования является основным инструментом реализации этого принципа.

Пример. Если методом уравнивающих операторов с учётом наличия регулятора с изменяемыми параметрами p1, p 2,..., p r найдено дифференциальное уравнение нестационарной линейной системы (1.78), то легко записать эквивалентное инте гральное уравнение n 1 ( 1) k d k t a (, p, p,..., p )( t ) n 1 x ( ) d xэ (t ) + э 0 k =0 ( n 1) ! d k k 1 2 r 14444444444444 244444444444444 4 x ( t, p1, p 2,..., p r ) tm ( 1) k d k n bk (, p1, p 2,..., p r )( t ) y э ( ) d.

0 k =0 ( n 1) ! d k 1444444444444 444444444444 4 2 y ( t, p1, p 2,..., p r ) Задача расчёта параметров регулятора сводится к реализации (1.81) или (1.82), при этом ввиду сложности ограничений, имеющих место на практике, при решении задачи нелинейного программирования может быть использована процедура числен ного направленного поиска, например процедура случайного поиска.

Пример. Положим, что нелинейная система, включающая регулятор с параметра ми p1, p 2,..., p r, описывается векторно-матричным уравнением X = f ( X, Y, P ), & (1.83) где X — n -мерный вектор состояния;

Y — m -мерный входной вектор;

f — n -мерный вектор, описывающий динамику объекта;

P — r -мерный вектор неиз 86 Синтез регуляторов систем автоматического управления вестных параметров регулятора. Поскольку X и Y известны, то для расчёта пара метров регулятора составляют функцию ошибки X f ( X, Y, P ) = E ( t, p1, p 2,..., p r ).

& Требуется найти значения неизвестного вектора параметров P так, чтобы критерий T I ( P ) = X f ( X, Y, P ) dt min, & P т.е. имел минимум по P на интервале ( 0,T ). Необходимое условие минимума P I ( P ) P =P * = принимает в данном случае вид T T f f P Xdt = P f ( X, Y, P ) dt, & 0 где f 1 f 1 f p L p p f f i r = M O M = M.

= P p j f n L f n f p1 p r p r В заключение отметим, что в большинстве своём методы синтеза регуляторов не имеют строго математического обоснования. Построение вычислительной схе мы (алгоритма), предназначенной для решения задачи синтеза регуляторов, есть лишь первый шаг в создании теории методов. За ним должно следовать выяснение условий сходимости алгоритма, определение скорости сходимости, нахождение оценки погрешности априорной и апостериорной, выработка способов улучшения сходимости, если последняя окажется недостаточно быстрой.

С указанной точки зрения, применяемые в инженерной практике методы в боль шинстве своём принадлежат к классу эвристических. В такой ситуации приходится прибегать к любому из методов, который выглядит полезным. Мы неизбежно обра щаемся к проверке всяких догадок, удачных идей или любых разумных способов решения рассматриваемой задачи.

Другими словами, процесс синтеза регуляторов является творческим, поскольку в приведённых ниже методах описаны лишь вычислительные схемы: остальные же этапы обоснования можно рассмотреть лишь при решении конкретных задач синтеза регуляторов. Используемые в инженерной практике методы синтеза корректирую щих устройств САУ можно условно отнести к одной из групп, реализующих идеоло гию указанных выше трех принципов, позволяющих решить задачу расчёта парамет ров регуляторов заданной структуры.

1.5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭТАЛОННЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ Как было показано выше, задача синтеза регулятора может быть поставлена сле дующим образом.

Задана система автоматического управления (рис. 1.58). Заданы передаточные функции эталонной системы W э ( s ) и объекта управления Wо ( s ).

Задача заключается в нахождении ПФ регулятора Wку ( s ).

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Но прежде чем переходить к нахождению Wку ( s ), необходимо определить W э ( s ) — передаточную функцию эталонной системы, исходя из требований технического задания.

Wэ ( s) (t ) y (t ) + u (t ) x(t ) Wку ( s ) Wо ( s) Рис. 1.58. К постановке задачи синтеза регулятора Изложим некоторые подходы, связанные с определением W э ( s ).

Используя известные методы, можно построить W э ( s ) систем, удовлетворяющих заданным техническим условиям в режиме управления при подаче на вход следую щих сигналов: единичная функция, гармоническая, линейно возрастающая или квад ратичная функции, случай одновременного воздействия на вход нескольких из пере численных процессов и др.

Часто при определении эталонной передаточной функции исходят из требований, предъявляемых к точности работы САУ при действии полезных и возмущающих сигналов.

Используется следующая постановка задачи при определении W э ( s ) : на вход САУ действует сигнал вида g (t ) + n(t ), где g (t ) = g 0 + g 1t +... + g p t p — полезный сигнал, n (t ) — помеха.

Система, имеющая W э ( s ), должна фильтровать помеху с допустимой СКО и от работать полезный сигнал g (t ) без ошибки в установившемся режиме.

Условно можно рассматривать два класса W э ( s ):

• класс, связанный с детерминированной постановкой задачи;

• класс, направленный на решение задач статистической оптимизации.

Второй класс задач, основная цель которого — нахождение динамических харак теристик статистически оптимальных систем (например, фильтрация), подробно рас смотрен в 1-м томе учебника.

В настоящем параграфе обсудим вопросы нахождения W э ( s ) в детерминирован ной постановке.

1.5.1. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЭТАЛОННОЙ СИСТЕМЫ В КЛАССЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ Рассмотрим структурную схему замкнутой системы (рис. 1.58).

Сформулируем задачу нахождения эталонной ПФ замкнутой системы следующим образом [139]: определить ПФ W э ( s ) замкнутой системы таким образом, чтобы показатель оптимальности вида I = 2 (t ) + 2u 2 (t ) dt (1.84) достигал экстремума.

88 Синтез регуляторов систем автоматического управления На первом этапе построим решение задачи без выполнения условия физической осуществимости.

Имеем + { } 1 2 E ( j) + U ( j) d.

I= (1.85) Поскольку (t ) = y (t ) x(t ), E ( j) = Y ( j) W ( j)Y ( j) = (1 W ( j) ) Y ( j), X ( j) = Wо ( j)U ( j), X ( j) Y ( j) U ( j) = = W ( j), Wо ( j) Wо ( j) то функционал (1.85) принимает вид + 2 Y ( j ) 1 2 I= 1 W ( j) Y ( j) + W ( j) d. (1.86) 2 Wо ( j) Введем следующие обозначения для известных функций переменной :

S y () = Y ( j) ;

(1.87) Y ( j) S u ( ) =.

W о ( j) Тогда соотношение, определяющее функционал, запишется так:

+ { } 1 2 1 W ( j) S y () + W ( j) S u () d.

I= (1.88) Далее воспользуемся следующими зависимостями:

1 W ( j) = (1 W ( j) )(1 W ( j) ) = = [1 W ( j) W ( j) + W ( j)W ( j) ] = = 1 (W ( j) + W ( j) ) + W ( j)W ( j) и S э ( ) = S y ( ) + S u ( ). (1.89) С учетом (1.89) выражение под интегралом (1.88) можно записать так:

S y () + W ( j)W ( j) S э () (W ( j ) + W ( j) ) S y () + (1.90) 2 S y () S y () S y () S u () + = W ( j) S э () S y () +.

S э () S э () S э () S э () Преобразования, которые были приведены выше, позволили получить зависи мость, в которой искомая частотная характеристика W ( j) входит только в одно слагаемое.

Теперь функционал, экстремум которого требуется найти, принимает вид + S y () S u () 1 W ( j)S э () S y () S э () + S э () d.

I= (1.91) 2 Поскольку слагаемые в подынтегральном выражении неотрицательны, то мини мизация I сводится к минимизации слагаемого:

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем ( ) W ( j) S э ( ) S y ( ) = (1.92).

S э ( ) S э ( ) Или, что то же самое, ( ) = W ( j) S э ( ) S y ( ). (1.93) Очевидно, I достигает минимума, если W ( j) S э ( ) S y ( ) = 0.

Отсюда находим S y ( ) W э ( j) = ;

S y () + S u ( ) но Y ( j) S u ( ) = ;

W о ( j) тогда Wо ( j) W э ( j) =, (1.94) 1 + W о ( j) + 2 Y ( j) I min = d. (1.95) 2 W о ( j) 2 + Таким образом [139], оптимальная, в указанном смысле, частотная характери стика замкнутой системы определяется частотной характеристикой объекта управления и весовым множителем 2.

{ } При нахождении k (t ) = L1 W э ( s ), где W э ( s ) определяется (1.94), не выполня ется условие физической реализуемости k (t ) 0 при t 0.

Например, если [139] W о ( j) =, 1 + jT то Kэ Kэ Kэ W э ( j) = = =, 1 + T э j 1 T э j 2 1 + Tэ 1 + 1 + T1 j Kэ =, Tэ = T1.

2 1+ 1+ Или, что то же самое, K 1 W э ( s) = э +.

2 Tэ s + 1 1 Tэ s Тогда K t э е Tэ, t 0, k (t ) = 2 (1.96) t Kэ T е э, t 0.

90 Синтез регуляторов систем автоматического управления Из последнего равенства следует, что ИПФ не удовлетворяет условию физиче ской реализуемости k (t ) 0 при t 0.

Поэтому важной является задача определения таких W э ( j) и W э ( s ), которые удовлетворяли бы условию физической реализуемости.

Проведем соответствующие рассуждения, следуя [139].

Воспользуемся операцией факторизации S э ( ) = ( j) = ( j) ( j), где ( j) имеет верхние нули и полюсы, а ( j) — нижние нули и полюсы.

Тогда S y () () = W ( j) ( j) S э (). (1.97) ( j) Представим второе слагаемое в последней зависимости в виде (воспользуемся операцией расщепления) + S y ( ) S y ( ) Sy = + (1.98), ( j) ( j) ( j) причем первое слагаемое имеет верхние полюсы, второе — нижние.

После проведенных преобразований следует зависимость + S y ( ) S y ( ) ( ) = W ( j) ( j) S э (). (1.99) ( j) ( j) Отсюда имеем + 1 S y ( ) э W ( j) = (1.100) ( j) ( j) — оптимальная устойчивая частотная характеристика.

Так как ) ( W ( j) Y ( j) + 2, S э ( ) = о W о ( j) то для устойчивого минимально-фазового объекта и типового задающего воздейст вия можно записать соотношения Y ( j) W о ( j) + 2, ( j) = W о ( j) + Y ( j) W ( j) + 2.

( j) = о W о ( j) Зависимость, определяющая оптимальную реализуемую частотную характеристи ку, запишется так:

+ W о ( j) Y ( j)W о ( j) W э ( j) = (1.101).

Y ( j) W о ( j) + 2 W о ( j) + 2 + В [139] приведен пример и задачи, иллюстрирующие применение рассмотренного подхода.

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем 1.5.2. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЭТАЛОННОЙ СИСТЕМЫ В КЛАССЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ФИЛЬТРОВ БАТТЕРВОРСА Предписанные или желаемые динамические свойства замкнутых систем задаются соответствующим положением нулей и полюсов ПФ замкнутой системы. Рассмотрим постановку задачи и методику выбора желаемой ПФ, основанную на использовании теории низкочастотных фильтров Баттерворса (Баттерворта). Проведем предвари тельные рассуждения с учетом принципа фильтрации [87].

Положим, что входной сигнал содержит гармонические составляющие в полосе 0 0.

Условия отработки воздействия без ошибки можно записать в форме 1 при 0 0, W ( j) = A( ) = (1.102) 0 при 0.

Если факт, отраженный зависимостью (1.102), выразить терминами гармониче ского анализа, то система с ПФ (1.102) идеально пропускает гармоники с частотами, не превышающими 0, и идеально подавляет гармоники с частотами 0.

Известно, что система с АЧХ вида (1.102) физически нереализуема в классе сис тем, имеющих дробно-рациональные ПФ. Однако приближенно такую систему реа лизовать можно. Важно помнить о том, что «хорошая» замкнутая система, имеющая необходимую точность в установившемся режиме и заданные параметры переход ного процесса, должна быть, как правило, близка по своим свойствам к идеальному низкочастотному фильтру с АЧХ вида (1.102) [87].

Выполним в (1.102) нормирование по частоте и положим н = / 0 ;

тогда АЧХ идеального низкочастотного фильтра будет иметь вид (рис. 1.59). Поскольку, как уже говорилось, фильтр с АЧХ вида 1 при 0 н 1, A( н ) = (1.103) 0 при н физически нереализуем, то его можно построить, если задать приближение A 2 ( н ) в виде (здесь и далее индекс «н» в н будем опускать) [87] 1 2 % W Б ( j) = An ( ) = = (1.104).

2 4 2n Bn ( 2 ) 1 + b1 + b2 +... + bn A( н ) н Рис. 1.59. АЧХ идеального фильтра В последней зависимости требуется найти численные значения b1, b2,..., bn и n;

b0 = 1, поскольку при этом условии % An ( ) = A( ) =0.

= Запишем формулу для ошибки в полосе частот [0,1] 92 Синтез регуляторов систем автоматического управления () Bn 2 D n () = 1 = (1.105), () B ( ) 2 Bn n или, что то же самое, b 2 + b 4 +... + bn 2 n b z + b2 z 2 +... + bn z n D n ( ) = 1 2 2 4 =1 (1.106), 1 + b1 + b2 +... + bn 2 n 1 + b1 z + b2 z 2 +... + bn z n где z = 2.

Теперь задача состоит в том, чтобы из условия обеспечения, в известном смысле, минимума D n ( ) подобрать коэффициенты b1, b2,..., bn. Например, таким условием может служить хорошее приближение АЧХ идеального фильтра функцией A ( ) в % n области = 0 и менее точное воспроизведение спада частотной характеристики в области = 1. Может быть поставлена задача найти такую аппроксимирующую функцию An ( ), которая носила бы колебательный характер с равными амплитуда % ми колебаний около АЧХ идеального фильтра.

Для того чтобы обеспечить аппроксимацию АЧХ эталонного фильтра функцией An ( ) в области = 0, необходимо воспользоваться разложением зависимости, % определяющей ошибку D( z ), в ряд Тейлора при z = 0 и коэффициенты разложения приравнять нулю.

Запишем ряд Тейлора для функции D ( z ) :

z n z z +... + D nn ) (0) ( D n ( z ) = D n (0) + D (0) + D (0) +.... (1.107) n n (n 1)!

1! 2!

Ряд (1.107) определяет ошибку приближения АЧХ идеального фильтра функцией (1.106);

потребуем, чтобы ряд (1.107) при удержании n членов разложения был бы равен нулю, что равносильно D n (0) = D (0) = D (0) =... = D nn 1) (0) = 0.

( (1.108) n n Вычисляя производные от функции (1.106) при z = 0, можно показать, что при аппроксимации D n ( z ) рядом Тейлора ( n 1 )-го порядка все первые коэффициенты b1, b2,..., bn 1 с учетом (1.108) обращаются в нуль, т.е. b1 = b2 =... = bn 1 = 0.

Тогда %2 = (1.109) An.

2n 1 + bn Обычно полагают bn = 1, поскольку в этом случае граница полосы пропускания фильтра соответствует значению 0,707. В этом случае аппроксимирующее выраже ние принимает вид %2 = 1 = W Б ( j). (1.110) An 2n 1+ Фильтр, у которого квадрат АЧХ определяется последней формулой, называется фильтром Баттерворса. Комплексный коэффициент передачи фильтра Баттерворса будем обозначать через W Б ( j).

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем На рис. 1.60 и 1.61 приведены АЧХ фильтров, передаточные функции которых определяются зависимостью (1.110) при различных значениях n.

% An 0, 0, n= 0, 0,2 7 0 0,5 1 1,5 2,5 Рис. 1.60. Амплитудно-частотная характеристика фильтров Баттерворса %, дБ 20LgAn n= 7 0,2 0,5 2 3 Рис. 1.61. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика фильтров Баттерворса Для нахождения ПФ фильтра воспользуемся леммой о факторизации [87] W Б ( j) = W Б ( j)W Б ( j) = W Б ( s )W Б ( s ) s = j.

Поскольку %2 = 1 1 = = = An ( j ) 2n 2n 2n j s 1 + ( 1) n 1+ 1+ ( j ) 2n 0n j 0 0 s = j (1.111) =, 1 + ( 1) p 2 n n s p= 94 Синтез регуляторов систем автоматического управления то полюсы последней зависимости определяются из уравнения p 2 n = ±1, (1.112) причем (+) соответствует нечетным значениям n, а (–) — четным.

Представляя единицу в комплексной форме, получим p k = ± cos k ± j sin k, (1.113) где 2k + 1 при четном n k = ( 1) k ;

k = 0, 1, 2,..., ( n 1);

2n (1.114) k k при нечетном n k = ( 1) ;

k = 0, 1, 2,..., ( n 1).

n Таким образом, полюсы лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат.

Фильтр Баттерворса, из известных соображений, должен иметь полюсы в левой полуплоскости, поэтому полюсы такого фильтра определяются зависимостью p k = cos k ± j sin k. (1.115) Численные значения полюсов представлены в табл. 1.3.

Если bn 1, то p 2 n = ± и bn p k = ( cos k ± j sin k ), (1.116) = 2 n 1/ bn.

где Таблица 1. Численные значения полюсов Действительная часть полюса Мнимая часть полюса 1 2 n= 1 – 0,7071067812 – 0,7071067812j 2 – 0,7071067812 – 0,7071067812j n= 1 – 1,0000000000 0,0000000000j 2 – 0,5000000000 0,8660254038j 3 – 0,5 – 0,8660254038j n= 1 – 0,9238795325 – 0,3826834324j 2 – 0,3826834324 0,9238795325j 3 – 0,3826834324 – 0,9238795325j 4 – 0,9238795325 0,3826834324j n= 1 – 1,0000000000 0,0000000000j 2 – 0,8090169944 0,5877852523j 3 – 0,3090169944 – 0,9510565163j 4 – 0,3090169944 0,9510565163j 5 – 0,8090169944 – 0,5877852523j n= 1 – 0,9659258263 – 0,2588190451j 2 – 0,7071067812 0,7071067812j 3 – 0,2588190451 – 0,9659258263j 4 – 0,2588190451 0,9659258263j 5 – 0,7071067812 – 0,7071067812j 6 – 0,9659258263 0,2588190451j Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Продолжение табл. 1. 1 2 n= 1 – 1,0000000000 0,0000000000j 2 – 0,9009688679 0,4338837391j 3 – 0,6234898019 – 0,7818314825j 4 – 0,2225209340 0,9749279122j 5 – 0,2225209340 – 0,9749279122j 6 – 0,6234898019 0,7818314825j 7 – 0,9009688679 – 0,4338837391j n= 1 – 0,9807852804 – 0,1950903220j 2 – 0,8314696123 0,5555702330j 3 – 0,5555702330 – 0,8314696123j 4 – 0,1950903220 0,9807852804j 5 – 0,1950903220 – 0,9807852804j 6 – 0,5555702330 0,8314696123j 7 – 0,8314696123 – 0,5555702330j 8 – 0,9807852804 0,1950903220j n= 1 – 1,0000000000 0,0000000000j 2 – 0,9396926208 0,3420201433j 3 – 0,7660444431 – 0,6427876097j 4 – 0,5000000000 0,8660254038j 5 – 0,1736481777 – 0,9848077530j 6 – 0,1736481777 0,9848077530j 7 – 0,5000000000 – 0,8660254038j 8 – 0,7660444431 0,6427876097j 9 – 0,9396926208 – 0,3420201433j n = 1 – 0,9876883406 – 0,1564344650j 2 – 0,8910065242 0,4539904997j 3 – 0,7071067812 – 0,7071067812j 4 – 0,4539904997 0,8910065242j 5 – 0,1564344650 – 0,9876883406j 6 – 0,1564344650 0,9876883406j 7 – 0,4539904997 – 0,8910065242j 8 – 0,7071067812 0,7071067812j 9 – 0,8910065242 – 0,4539904997j 10 – 0,9876883406 0,1564344650j Величина неравномерности частотной характеристики учитывается множителем.

Если известны полюсы p1, p 2, …, p n, то ПФ может быть представлена в виде WБ ( p) = (1.117).

( p p1 )( p p 2 )... ( p p n ) При n четном последняя зависимость принимает вид 1 WБ ( p) = n / 2 = (1.118), ( ) Dn ( p) p + q1i p + q 0i i = а если n — нечетное, то n ( ) WБ ( p) = p + q = (1.119), i ) p + q1i p + q 0i ( D n ( p) i = 96 Синтез регуляторов систем автоматического управления где D1 ( p) = p + 1;

D 2 ( p) = p 2 + 1, 4142 p + 1;

( ) D3 ( p) = ( p + 1) p 2 + p + 1 ;

D ( p) = ( p + 0, 7654 p + 1) ( p + 1,8478 p + 1) ;

D ( p) = ( p + 1) ( p + 0, 6180 p + 1)( p + 1, 6180 p + 1) ;

2 D ( p) = ( p + 0,5176 p + 1)( p + 1, 4142 p + 1)( p + 1,9319 p + 1) ;

2 2 D ( p) = ( p + 1) ( p + 0, 4450 p + 1)( p + 1, 2470 p + 1)( p + 1,8019 p + 1) ;

2 2 (1.120) D ( p) = ( p + 0,3902 p + 1)( p + 1,1111 p + 1) 2 ( p + 1,1663 p + 1)( p + 1,9616 p + 1) ;

2 D ( p) = ( p + 1) ( p + 0,3473 p + 1)( p + p + 1) 2 ( p + 1,5321 p + 1)( p + 1,8794 p + 1) ;

2 D ( p) = ( p + 0,3129 p + 1)( p + 0,9080 p + 1) 2 ( p + 1, 4142 p + 1)( p + 1, 7820 p + 1)( p + 1,9754 p + 1).

2 2 Зависимости, определяющие D1 ( p ), D 2 ( p ),..., D10 ( p ) можно переписать в виде D n ( p ) = 1 + d 1 p + d 2 p 2 + d 3 p 3 +... + p n, (1.121) причем d 0 = d n = 1.

Полином D n ( p ) называется полиномом Баттерворса.

Коэффициенты полиномов Баттерворса d 1, d 2,..., d n 1 вычислены;

их значения до n = 10 приведены в табл. 1.4.

Таблица 1. Коэффициенты полиномов Баттерворса n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n =8 n=9 n = di 1 1 1 1 1 1 1 1 d 1,41421 2 2,61313 3,23607 3,8637 4,49396 5,12583 5,75877 6, d 1 2 3,41421 5,23607 7,4641 10,0978 13,1371 16,5817 20, d 1 2,61313 5,23607 9,14162 14,5918 21,8462 31,1634 42, d 1 3,23607 7,4641 14,5918 25,6884 41,9864 64, d 1 3,8637 10,0978 21,8462 41,9864 74, d 1 4,49396 13,1371 31,1634 64, d 1 5,12583 16,5817 42, d 1 5,75877 20, d 1 6, d d Из приведенных выше формул следует, что фильтр Баттерворса — каскадное со единение звеньев с ПФ вида [87] Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем K i 0i W Бi ( p ) = (1.122), 2 p + 2 i 0i p + 0i где 0i — собственная частота звена, — коэффициент демпфирования, причем q1i 0i = q 0i, i =. (1.123) 2 q 0i Для звена первого порядка можно записать K W Бi ( p ) = i 0 i, 0 i = q i. (1.124) p + 0i Поскольку полюсы ПФ известны, то можно рассчитать и нормированные пере ходные процессы. Переходные функции фильтров Баттерворса показаны на рис. 1.62.

h n ( 0t ) 1, 1 0,8 0,6 0, 0, 0t 0, 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Рис. 1.62. Графики нормированных переходных характеристик фильтров Баттерворса Ненормированное время определяется выражением t = 0, и, следовательно, T p ( n ) = 0 ( n ) / 0 — время переходного процесса n -го фильтра Баттерворса.

Фильтры Баттерворса имеют АЧХ, близкую к идеальной низкочастотной (и быст ро стремящуюся к ней при n), причем граница, вплоть до которой АЧХ близка к единице, почти совпадает с частотой 0 (или равна единице, если частота нормиро ванная). Однако с ростом n растут фазовые искажения.

Рассмотрим фазочастотные характеристики фильтров Баттерворса. Фазовые сдви ги, вносимые звеньями первого и второго порядка и определяющими фильтр Баттер ворса как их каскадное соединение, могут быть представлены соотношениями 2 i 0i / 0 i = arctg ;

j = arctg (1.125) ;

0 0i 0i тогда, например, фазочастотная характеристика фильтра Баттерворса для четного n определяется зависимостью [87] 98 Синтез регуляторов систем автоматического управления n 2 i 0i = arctg (1.126).

i = 0i Характеристикой фильтров Баттерворса является и время групповой задержки t з, определяемое формулой [87] d 0.

tз = (1.127) d Соответствующие графики приведены на рис. 1.63 и 1.64.

n= 0 0,5 1,0 1,5 2, Рис. 1.63. ФЧХ фильтров Баттерворса t n = 0,1 0,2 0,5 1 2 3 Рис. 1.64. Характеристики времени групповой задержки фильтров Баттерворса Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Из рис. 1.63 следует, что с ростом n растут фазовые искажения и на частоте может существенно отличаться от нуля, что является отрицательным свойст вом фильтров Баттерворса.

В заключение отметим, что для аппроксимации АЧХ идеального фильтра могут быть использованы полиномы Чебышева (равноволновая аппроксимация) и полино мы Лежандра (фильтры класса L ). О их возможностях можно судить по рис. 1.65– 1.68, на которых представлены АЧХ и ФЧХ указанных фильтров [87].

%, дБ 20Lg n = 0, 1 + n=2 5 n= 0,1 0,2 0,5 2 3 4 Рис. 1.65. АЧХ чебышевских фильтров n= 200 0,1 0,2 2 3 0,5 Рис. 1.66. ФЧХ чебышевских фильтров Основы подхода к выбору n и 0 изложим, следуя [87].

Положим, что требования, связанные с качеством работы системы в установив шемся режиме, т.е. с точностью отработки воздействия, сформулированы так:

1. Замкнутая система должна быть устойчивой.

2. Замкнутая система должна иметь заданную точность в установившемся режиме д при обработке линейного сигнала: если y (t ) = y 0 + y1t и y1 y1 — предельная скорость изменения сигнала y (t ), то установившаяся ошибка не должна превы 100 Синтез регуляторов систем автоматического управления шать некоторого наперед заданного значения 1, т.е. (t ) д при t Tp, где д y y — предельная допустимая ошибка обработки y (t ).

Аналогичные условия можно сформулировать для гармонического полезного сигнала и помехи, частоты которых заданы на промежутках m и n.

% 20 Lg n, дБ n= 0,1 0,2 1 2 3 0, Рис. 1.67. АЧХ фильтров класса L n= 0,1 0,2 0,5 1 2 Рис. 1.68. ФЧХ фильтров класса L 3. Пусть обрабатываемое воздействие определяется формулой m(t ) = m cos t и m m д для любых m ;

тогда д (t ) m при t Tp, где m д — заданная предельная амплитуда сигнала m(t ), а m — заданная пре д дельная допустимая ошибка.

4. Помеха определяется зависимостью n(t ) = n п cos t, n, Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем д где n п n п — предельная амплитуда помехи, а на вызванную наличием n (t ) ошибку накладывается требование д (t ) n при t Tp, д причем n — заданная величина.

Условия 1–4 можно рассматривать как требования к качеству системы.

Выполнение указанных требований связано с рядом неравенств, вывод которых приводится в [87]:


д n, n ;

(1.128) nд 2n n 1+ 1 () д mд 1, m. (1.129) m j Dn С учетом сказанного выше алгоритм выбора 0 и n в фильтрах Баттерворса за ключается в том, чтобы выполнялись условия [87] y д mд д n 0 max 1, mд, 0 n n, (1.130) sin nд д y m 2n n причем величины y1, m, m д, n, n n характеризуют допустимые по техническим д д условиям воздействия, а параметры д и m определяют требуемую точность.

д y Что касается требований к качеству работы системы в переходном режиме, то для фильтров Баттерворса значение для величины перерегулирования m ( n ) = max h n (t ) t и времени переходного процесса p ( n ) = 0T p ( n ) можно определить по графикам, представленным на рис. 1.62.

При проведении расчетов необходимо помнить, что с увеличением n перерегу лирование растет (см. рис. 1.62), но является практически удовлетворительным до n = 5;

наименьшее время переходного процесса имеет место при n = 2 и 2, Tp (n) =.

Дополнительное ограничение на выбор параметров вида p (n ) Tp соответствует предельно допустимому времени переходного процесса.

1.5.3. МЕТОД СТАНДАРТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОСТРОЕНИЯ ЭТАЛОННОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ Между характером переходной и передаточной функций системы существует сложная, но тем не менее вполне определенная связь. Вид переходной функции оп ределяется значением нулей (корней числителя) и полюсов (корней знаменателя) пе редаточной функции. Для любой конкретной формы передаточной функции может быть найдено некоторое «оптимальное» распределение нулей и полюсов, при кото ром переходная функция будет наиболее благоприятной с точки зрения динамики 102 Синтез регуляторов систем автоматического управления рассматриваемой системы. Каждому такому оптимальному распределению нулей и полюсов соответствует вполне определенное значение коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции, которое назовем стандартным.

Далее построим изложение, следуя [58].

Любой характеристический полином замкнутой САУ D ( s ) = a n s n + a n 1s n 1 + a n 2 s n 2 +... + a1s + a 0 (1.131) можно записать в виде a a a D ( s ) = s n + n 1 0 s n 1 + n 22 0 s n 2 +... + 0 1s + 0, 2 n n (1.132) n a n 0 a n 0 a n a где 0 = n.

an Или, что то же самое, D ( s ) = s n + A1 0 s n 1 + A2 0 s n 2 +... + An 1 0 1s + 0, 2 n n где a a a n, A2 = n 22, …, An 1 = A1 =. (1.133) a n 0 n a n 0 a n В качестве первой типовой функции можно взять передаточную функцию вида n W э ( s) = n (1.134).

n 1 2 n +... + An 1 0 1s + n n s + A1 0 s + A2 0 s Для системы с ПФ (1.134) можно получить переходный процесс без перерегули рования, когда корни знаменателя все вещественны. При всех вещественных корнях и при 0 = const наименьшее время регулирования будет, если все корни будут кратными. В этом случае коэффициенты A1, A2,..., An 1 окажутся коэффициентами бинома Ньютона ( s + 1) n. В табл. 1.5 приведено значение этих коэффициентов для n, равного 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Введем в рассмотрение безразмерное время переходного процесса 0 = 0Tp.

Действительное время переходного процесса определяется зависимостью T p = 0 / 0. В табл. 1.5 приведено время переходного процесса 0 для систем различ ного порядка.

Таблица 1. Время переходного процесса 0 для систем различного порядка n Коэффициенты знаменателя 1 1 1 A1 = 2 2 4, 1 A1 = 3 A2 = 3 3 1 A1 = 4 A2 = 6 A3 = 4 4 7, 1 A1 = 5 A2 = 10 A3 = 10 A4 = 5 5 1 A1 = 6 A2 = 15 A3 = 20 A4 = 15 A5 = 6 6 10, На рис. 1.69 представлены графики переходных функций, ПФ которых определе ны стандартными коэффициентами, приведенными в табл. 1.5.

Если в переходной функции допустимо некоторое перерегулирование, то корни можно взять комплексными, благодаря чему сокращается также время управления.

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Полином знаменателя передаточной функции W ( s ) замкнутой системы представля ется в форме произведения n / 2 одинаковых квадратных трехчленов ( ) n/ = s n + A1 0 s n 1 +... + An 1 0 1s + 0.

D( s ) = s 2 + 2 0 s + 2 n n (1.135) h ( ) = 0, 0, 2 3 4 5 n= n= 0, 0, 0, 1 2 3 4 5 7 8 9 Рис. 1.69. Графики переходных функций для систем с передаточной функцией типа (1.134) и коэффициентами, определяемыми по табл. 1. Значение = 0, 75. При n нечетном знаменатель передаточной функции W ( s ) со стоит из ( n 1) / 2 квадратных трехчленов и одного двучлена первой степени. Сво бодный член этого двучлена принимается равным единице. Значения коэффициентов A1, A2,..., An 1 приведены в табл. 1.6.

Таблица 1. З н а ч е н и я к о э ф ф и ц и е н т о в A1, A2,..., An n Коэффициенты знаменателя 2 1 1,5 1 2, 3 1 2,5 2,5 1 4, 4 1 3 4,25 3 1 5, 5 1 4 7,25 7,25 4 1 6, 6 1 4,5 9,75 12,375 9,75 4,5 1 6, В табл. 1.6 приведено безразмерное время регулирования 0 для систем различно го порядка. Сравнивая это время с его значением для систем, имеющих коэффициен ты, определяемые табл. 1.5, видим, что при одинаковых значениях n время регулиро вания в последнем случае существенно меньше.

На рис. 1.70 представлены графики переходных функций для систем, определе ных стандартными коэффициентами, приведенными в табл. 1.6.

Рассмотрим передаточную функцию, имеющую один нуль:

An 1 0 1s + n n W э ( s) = n (1.136).

s + A1 0 s n 1 +... + An 1 0 1s + n n Чтобы уменьшить выброс, вызванный влиянием нуля, надо замедлять скорость нарастания переходной функции. Это можно сделать «разведением» корней полино ма знаменателя по действительной оси.

При передаточной функции с одним нулем корни рекомендуется располагать на отрицательной вещественной полуоси по арифметической прогрессии. Значения ко эффициентов полинома знаменателя в формуле (1.136) для такого распределения корней приведены в табл. 1.7.

104 Синтез регуляторов систем автоматического управления h () = 0, 1, 0, n=2 3 5 n= 0, 0, 0, 0 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 1.70. Графики переходных функций для систем с передаточной функцией типа (1.134) и коэффициентами, определяемыми по табл. 1. Таблица 1. Значения коэффициентов полинома знаменателя n 1-й член прогрессии Разность прогрессии Коэффициенты знаменателя 1 0,5 — 2 0,183 1,5 1 2,5 3 0,098 1,517 1 5,1 6,35 4 0,063 1,138 1 7,22 16,3 11,83 5 0,039 0,86685 1 9 29 38 18 6 0,039 0,717 1 11 45,8 92,3 82,3 27,7 На рис. 1.71 представлены графики переходных функций для систем, определяе мых стандартными коэффициентами табл. 1.7.

Рассмотрим передаточную функцию с двумя нулями:

A n 2 s 2 + An 1 0 1s + n n W э ( s ) = n n 2 0 n 1 (1.137).

s + A1 0 s +... + An 1 0 1s + n Чтобы уменьшить влияние нулей, рекомендуется располагать корни полинома зна менателя на отрицательной вещественной полуоси по геометрической прогрессии. В табл. 1.8 приведены значения коэффициентов полинома знаменателя A1, A2,..., An для такого распределения корней.

Метод стандартных коэффициентов нашел широкое применение при решении за дач проектирования систем управления летательными аппаратами [21, 41];

подробно с основными положениями метода можно познакомиться в [21, 41, 58] и др.

Таблица 1. Значения коэффициентов полинома знаменателя n 1-й член прогрессии Знаменатель прогресси Коэффициенты знаменателя 3 0,182 5,5 1 6,7 6,7 1 1, 4 0,185 3,08 1 7,9 15 7,9 1 3, 5 0,075 3,63 1 18 69 69 18 1 9, 6 0,038 3,7 1 36 251 485 251 36 1 — Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем = 0, h ( ) 1, n=2 3 4 n= 0, 0, 0, 0, 0 1 2 5 6 8 3 4 Рис. 1.71. Графики переходных функций для систем с передаточной функцией типа (1.136) и коэффициентами, определяемыми по табл. 1. h ( ) 1, 1, = 0, n=6 34 0, 0, 0, 0, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 1.72. Графики переходных функций для систем с передаточными функциями типа (1.137) и коэффициентами, определяемыми по табл. 1. В настоящем параграфе изложены лишь некоторые подходы к определению эта лонных ПФ замкнутых систем. Следующей важной задачей является построение таких регуляторов с ПФ Wку ( s ), которые обеспечили бы приближенное в общем случае равенство реальной ПФ замкнутой системы W ( s ) и заранее выбранной эта лонной ПФ W э ( s ). Этот вопрос подробно рассмотрен ниже.

106 Синтез регуляторов систем автоматического управления 1.6. ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ И АНАЛИЗ ЕГО ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЛЯ КЛАССА СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ В параграфе 1.3 было введено понятие принципа динамической компенсации. Ос новная формула, определяющая оператор регулятора, имеет вид ( ) Aку = Aо 1 I A э Aэ. (1.138) В настоящем параграфе подробно обсудим вопрос применения принципа динамиче ской компенсации к классу стационарных линейных скалярных систем.

Пусть W э ( s ) — эталонная передаточная функция замкнутой системы;

она выбра на из условия обеспечения необходимого качества работы САУ в переходном и уста новившемся режимах.

Найдем передаточную функцию эталонной разомкнутой системы (рис. 1.73).

Имеем W рэ ( s ) W э (s) = ;

1 + W рэ ( s ) тогда ( ) W э ( s ) 1 + W рэ ( s ) = W рэ ( s ).

W э ( s) x(t ) y (t ) (t ) + Wрэ ( s ) – Рис. 1.73. Структурная схема эталонной системы Отсюда находим W э ( s ) + W э ( s ) W рэ ( s ) = W рэ ( s ), или, что то же самое, ( ) W э ( s ) = W рэ ( s ) W э ( s ) W рэ ( s ) = W рэ ( s ) 1 W э ( s ).

Легко записать выражение для эталонной ПФ разомкнутой системы (рис. 1.74) W э (s) W рэ ( s ) =. (1.139) 1W э (s) W э (s) x(t ) y (t ) (t ) э W (s) + 1 W э (s) – Рис. 1.74. Структурная схема эталонной системы Задача синтеза регулятора иллюстрируется рис. 1.75.

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем (t) y(t) x(t) + Wо ( s ) Wку ( s ) – W э (s) Рис. 1.75. К постановке задачи коррекции Из анализа структурных схем 1.73 и 1.74 сразу же следует, что задача коррекции получает решение при выполнении условия W рэ ( s ) = Wку ( s ) Wо ( s ). (1.140) Поставим следующий вопрос: при каких условиях имеет место равенство переда точных функций W рэ ( s ) и Wку ( s ) ? Очевидно, такое равенство справедливо, если ПФ объекта управления Wо ( s ) = 1, т.е. объект безынерционный. Равенство Wо ( s ) = может быть достигнуто, если скомпенсировать динамику объекта, вводя в прямую цепь дополнительное звено, имеющее ПФ, обратную ПФ объекта управления (это звено называют компенсатором);


тогда имеет место равенство Wо ( s ) Wо1 ( s ) = 1, и структурная схема скорректированной системы принимает вид (рис. 1.76).

Wку ( s ) (t) x(t) y(t) + Wo1 ( s ) Wрэ ( s ) Wo ( s ) – Рис. 1.76. Структурная схема скорректированной системы Или, что то же самое (рис. 1.77).

(t) y(t) x(t) W э ( s) + 1 W э ( s) – Рис. 1.77. Структурная схема скорректированной системы (динамика объекта скомпенсирована) Таким образом, исходя из физических соображений, получено формальное реше ние задачи синтеза регулятора с эталонной передаточной функцией замкнутой сис темы W э ( s ) (ПФ компенсатора можно рассматривать как часть ПФ регулятора, тогда W ку ( s ) = W рэ ( s )W о1 ( s ) (рис. 1.76)). Формальные рассуждения приводят к тому же результату.

Поставим задачу так: полагая известными ПФ неизменяемой части W о ( s ) (как уже принято, W о ( s ) называют ПФ объекта;

сюда же входят ПФ исполнительного элемента, усилительных устройств, измерительных систем и т.д.) и W э ( s ), найдем 108 Синтез регуляторов систем автоматического управления ПФ Wку ( s ) корректирующего устройства (регулятора) (рис. 1.75). Справедлива за висимость для W э ( s ) W ку ( s )W о ( s ) W э (s) =. (1.141) 1 + W ку ( s )W о ( s ) Тогда ( ) W э ( s ) 1 + Wку ( s ) Wо ( s ) = Wку ( s ) Wо ( s ).

Отсюда получаем соотношение Wку ( s ) Wo ( s ) W э ( s ) + Wку ( s ) Wо ( s ) = W э ( s ), или, что то же самое, Wку ( s ) Wо ( s ) Wо ( s )W э ( s ) = W э ( s ).

Из последней формулы следует W э (s) Wку ( s ) = = Wо1 ( s ) W рэ ( s ). (1.142) ( ( s )) Wо ( s ) 1 W э Из формулы (1.142) легко заключить, что ПФ корректирующего устройства (КУ) состоит из двух частей: первая часть включает W рэ ( s ) и определяется зависимо стью (1.139);

вторая же часть имеет ПФ, обратную передаточной функции объ екта. Структурная схема системы с КУ, определяемым формулой (1.142), представ лена на рис. 1.76.

Поскольку W рэ ( s ) определяется выражением (1.139), то окончательно структур ная схема скорректированной системы имеет вид, представленный на рис. 1.78.

Так как Wо1 ( s ) Wо ( s ) = 1, то имеет место структурная схема (рис. 1.77), которая совпадает со схемой, представленной на рис. 1.76.

+ y(t) W э ( s) x(t) Wо1 ( s ) Wо(s) 1 W э ( s) _ W (s) = Wку(s) Рис. 1.78. Структура регулятора, имеющего ПФ Wку ( s ) Изложенный способ синтеза называют методом динамической компенсации [87]. Та кое название обусловлено тем фактом, что ПФ корректирующего устройства содержит сомножитель Wо 1 ( s ), обратный передаточной функции неизменяемой части.

За счет введения сомножителя Wо 1 ( s ) компенсируются динамические свойства неизменяемой части (рис. 1.78).

Пример 1.3. Рассмотрим задачу синтеза регулятора на примере канала крена, полагая:

K пр K а) K 1 = 1;

K пр K = 62;

T = 0,3c;

Tр = 2, 4 c, Wо ( s ) = ;

s (T s + K1 ) б) Эталонную ПФ замкнутой системы найдем, воспользовавшись методом стандартных коэффициен тов;

она имеет вид (см. табл. 1.5) Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем W э (s) =. (1.143) s 2 + A1 0 s + 0 4, Поскольку 0 = = = 2, то Tр 2, W э (s) = — ПФ замкнутой системы.

s 2 + 4s + Учитывая, что s ( 0,3s + 1), а W о 1 ( s ) = W рэ ( s ) =, s ( s + 4) можно определить ПФ регулятора:

4 s ( 0,3s + 1) 1 ( 0,3s + 1) W ку ( s ) = W о 1 ( s )W рэ ( s ) = =. (1.144) 6 2s ( s + 4 ) 1 3 ( s + 4 ) Пример 1.4 [58]. Положим, что K Wо ( s ) =, K 0, T 0, (1.145) Ts + а эталонная ПФ определяется зависимостью K* W э (s) =, K * 0. (1.146) s + K* Тогда ПФ регулятора может быть записана в форме (1.142). Поскольку K* W э (s) K* * = s + K* = W рэ ( s ) =, (1.147) 1 W э (s) s K 1 * s+K то Ts + 1 K * K * Wк у ( s ) = = T 1 +. (1.148) K Ts K s Последняя ПФ определяет ПИ-управление K* t u (t ) = T (t ) + ( ) d. (1.149) K T Обсудим полученный результат с точки зрения эффективности применения прин ципа динамической компенсации для синтеза корректирующих устройств.

1. КУ является весьма сложным, поскольку должно включать две части: компен сирующую (обратная передаточная функция объекта) и эталонную (ПФ разомкнутой эталонной системы).

2. Регулятор в общем случае содержит дифференцирующие звенья, входящие в составляющую Wо1 ( s ). Эти звенья физически труднореализуемы. Приведем один из вариантов реализации [87]. Найдем ПФ замкнутой системы, представленной на рис. 1.79:

K ( T0 s + 1) K W (s) = = = 1 + KK 0 / ( T0 s + 1) T0 s + 1 + KK (1.150) K ( T0 s + 1) / (1 + KK 0 ) K э ( T0 s + 1) K э ( T0 s + 1), = = T0 s / (1 + KK 0 ) + 1 Tэs + поскольку T э 0 при K. Отсюда легко сделать вывод: охват усилительного звена с большим коэффициентом усиления инерционной отрицательной обратной связью с ПФ Wос ( s ) = K 0 / (T0 s + 1) позволяет получить реальное форсирующее звено, выходом которого является производная от входного сигнала. Кроме того, отметим известный факт: дифференцирующие звенья усиливают влияние помех на качество работы системы.

110 Синтез регуляторов систем автоматического управления y(t) + x(t) K – K T0 s + Рис. 1.79. К вопросу реализации форсирующего звена Однако при некоторых условиях регулятор оказывается физически реализуемым, т.е. он не содержит дифференцирующих звеньев.

В самом деле, пусть B (s) R (s) Wо ( s ) =, Wку ( s ) = (1.151).

A(s) C (s) Пусть m — степень полинома числителя передаточной функции Wо ( s );

n — степень полинома знаменателя передаточной функции Wо ( s );

p — степень полинома числителя передаточной функции Wку ( s );

q — степень полинома знаменателя передаточной функции Wку ( s ).

Передаточная функция замкнутой эталонной системы P (s) W э (s) = (1.152).

D (s) Пусть — степень полинома числителя передаточной функции W э ( s );

— степень полинома знаменателя передаточной функции W э ( s ).

Для реализуемой W э ( s ) должно быть.

Передаточная функция регулятора будет реализуема, если q p. Пусть m и n фиксированы. Определим, какие условия надо наложить на,, чтобы q p. Так как W о ( s )W ку ( s ) W э (s) =, (1.153) 1 + W о ( s )W ку ( s ) то W э (s) P (s) A(s) R (s) Wку ( s ) = = = (1.154).

C (s) B ( s ) D ( s ) P ( s ) Wо ( s ) 1 W э ( s ) Откуда p = + n;

q = m + ;

p q, если + n m +, или n m.

При таких условиях передаточная функция последовательного корректирующего устройства при заданной неизменяемой части системы будет реализуема [109].

3. Хорошее знание физических процессов, протекающих в конкретных достаточ но сложных объектах, позволяет заключить, что компенсация динамических характе ристик объектов с необходимой степенью «полноты» трудноосуществима, поскольку эта операция при её практической реализации опирается не на математическую мо дель, а на её оценку, известную со значительными погрешностями (степень неполно ты математической модели, часто приводящая к практически неприемлемым резуль татам, имеет место как при её построении на основе изучения соответствующих фи зических процессов, так и путём решения задачи идентификации). В связи с этим Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем ключевым положением при решении задачи синтеза регуляторов является необходи мость учёта того факта, что математические модели функционально необходимых элементов (измерительные, усилительные, исполнительные элементы, собственно объект управления) известны, как показывает практика решения конкретных инже нерных задач, с недостаточной степенью полноты. В этом случае неправильно зало женные принципиальные положения при синтезе регуляторов приводят к неприят ным последствиям, которые трудно исправляются даже на этапе проведения ис пытаний созданной системы.

Приведём некоторые из таких положений.

Формула (1.154) даёт формальное решение задачи, которое при её применении требует инженерной оценки. Действительно, в замкнутой системе, имеющей регуля тор с передаточной функцией (1.154), имеет место сокращение нулей и полюсов Wку ( s ) и Wо ( s ). Поэтому система не обладает свойствами грубости и является практически неработоспособной. Чтобы синтезировать систему с желаемыми динамическими свойствами, необходимо специальным образом назначить структу ру W э ( s ). Можно воспользоваться условием работоспособности, установленным для дискретных систем: ПФ Wку ( s ), соответствующая закону управления, не должна содержать нулей и полюсов, близких к «правым» полюсам и нулям передаточ ной функции Wо ( s ). Можно показать, что для непрерывных систем условие рабо тоспособности сохраняется в такой же форме, что и для дискретных [59].

Приведём ещё одно важное положение, характеризующее принцип динамической компенсации. Синтезированная с его использованием система в некоторых случаях может оказаться неустойчивой [59].

Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Найдем характеристическое уравнение замкнутой системы.

Поскольку R (s) Wку ( s ) =, C (s) а B (s) Wо ( s ) =, A( s ) то R (s) B (s) C ( s ) A( s ) R (s) B (s) W (s) = =. (1.155) R ( s ) B ( s ) C ( s ) A( s ) + R ( s ) B ( s ) 1+ C ( s ) A( s ) Характеристическое уравнение имеет вид N ( s ) = C ( s ) A( s ) + R ( s ) B ( s ). (1.156) Так как P (s) W э (s) D (s) P (s) = W рэ ( s ) = =, P (s) D (s) P (s) 1W (s) э D (s) то ПФ регулятора определяется зависимостью 112 Синтез регуляторов систем автоматического управления A( s ) P (s) R (s) W ку ( s ) = = B ( s) ( D ( s ) P ( s )) C ( s ) и, следовательно, R (s) = A(s) P (s), (1.157) C ( s ) = B ( s ) ( D ( s ) P ( s )). (1.158) Последние соотношения позволили выразить передаточную функцию регулятора через A( s ) — знаменатель ПФ объекта, и B ( s ) — числитель ПФ объекта. Здесь необ ходимо обратить внимание на тот факт, что ПФ регулятора определяется через ПФ объекта управления, т.е. через полиномы A( s ) и B ( s ) (это следует из формулы (1.158)).

Подставив (1.157) и (1.158) в зависимость, определяющую характеристическое управление замкнутой системы, найдем N ( s ) = A ( s ) B ( s ) ( D ( s ) P ( s )) + B ( s ) A ( s ) P ( s ) = A ( s ) B ( s ) D ( s ). (1.159) Отсюда следует: поскольку характеристическое уравнение скорректированной сис темы содержит A( s ) и B ( s ), определяющие ПФ объекта в соответствии с формулой (1.151), то наличие правых нулей и (или) полюсов объекта приводит к тому, что харак теристическое уравнение скорректированной системы будет иметь правые полюса и, таким образом, эта система при указанных условиях становится неустойчивой.

Другими словами, метод динамической компенсации применим лишь в том случае, если объект не содержит правых нулей и (или) полюсов.

Область применимости метода, использующего принцип компенсации, можно расширить, если с помощью внутренней обратной связи провести стабилизацию объ екта управления [59, 87].

Имеют место и другие «подводные камни», анализ которых проводится в [];

там же рассмотрены специальные процедуры стабилизации и приведен общий алгоритм синтеза закона управления произвольными объектами, включая неминимально фазовые.

Из сказанного выше следует, что применение принципа динамической компенса ции требует при решении конкретных задач глубокого инженерного анализа и учёта тех факторов, о которых говорилось выше. Из изложенного можно сделать вывод, что практически эффективные методы решения инженерных задач синтеза регулято ров следует искать в классе приближенных (аппроксимационных) методов. Такой подход позволит получить методы, дающие хотя и приближенное, но физически реа лизуемое решение, обеспечивающее качество работы САУ, близкое к заданному.

В ряде работ предложен подход, позволяющий решить задачу синтеза регулято ров с устранением некоторых недостатков, присущих принципу динамической ком пенсации [59].

Идея подхода состоит в том, что передаточная функция замкнутой эталонной сис темы при предположении, что B( s ) Wо ( s ) = (1.160), A( s ) должна удовлетворять следующим условиям [59]:

R( s ) B( s ) P( s ) W э ( s) = = — ПФ замкнутой эталонной системы;

(1.161) D( s) D( s) C ( s ) A( s ) 1 W э ( s) = — ПФ ошибки замкнутой эталонной системы, (1.162) D( s) Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем где D ( s ) = d 0 + d 1s + d 2 s 2 +... + d 2 n 1s 2 n 1 + s 2 n — эталонный характеристический полином;

B ( s ) = b0 + b1s + b2 s 2 +... + bn 1s n 1 ;

A ( s ) = a 0 + a1s + a 2 s 2 +... + s n.

Полиномы B ( s ) и A( s ) — известны, они определяют динамические свойства не изменяемой части;

эталонный полином D ( s ) выбирается специальным образом, на пример методом стандартных коэффициентов, но так, чтобы были реализованы предписанные динамические свойства замкнутой системы. Это достигается тем, что D ( s ) является характеристическим уравнением замкнутой системы, а расположение корней характеристического уравнения s1, s 2,..., s 2 n в левой полуплоскости ком плексной области определяет параметры переходного процесса:

• быстродействие (время переходного процесса);

• колебательность (число колебаний и их частоту);

• перерегулирование ( %) и др.

Таким образом, в качестве эталона задается только полином D(s), на числитель же соответствующие требования не накладываются. Вместе с тем изображение переход ного процесса выражается зависимостью 1 R (s) B (s) P (s) H (s) = = (1.163).

D (s) sD (s) s Если корни характеристического уравнения простые, то зависимость для h (t ) — переходного процесса имеет вид P ( 0 ) 2n P ( s k ) s k t 2n + e = h0 + hk e s k t, h (t ) = (1.164) D ( 0 ) k =1 s k D ( s k ) k = где s k — корни уравнения D( s ) = 0.

Как видно из (1.164), элементарные колебания h k (t ) = e s k t определяются корнями s1, s 2,..., s 2 n и полностью характеризуют структуру сигнала h(t ). Однако амплиту да элементарных колебаний определяется как полиномом D( s ), так и числителем P ( s );

в связи с этим необходимо анализировать динамические свойства замкнутой системы после ее синтеза. Например, если решается задача коррекции в классе сис тем, не содержащих интегратор в прямой цепи, то найденный регулятор может обес печить заданные быстродействие, степень колебательности и перерегулирование при наличии недопустимо большой установившейся ошибки.

ПФ корректирующего устройства определяется зависимостью R (s) W ку ( s ) =, C (s) где R ( s ) = r0 + r1s + r2 s 2 +... + rn 1s n 1 ;

C ( s ) = c 0 + c1s + c 2 s 2 +... + c n 1s n 1 + s n ;

коэффициенты полиномов R ( s ) и C ( s ) подлежат определению.

114 Синтез регуляторов систем автоматического управления Для ПФ замкнутой системы справедливо соотношение R (s) B (s) R (s) B (s) C ( s ) A( s ) R (s) B (s) W э (s) = = =. (1.165) R ( s ) B ( s ) C ( s ) A( s ) + R ( s ) B ( s ) D (s) 1+ C ( s ) A( s ) Из зависимости (1.165) находим D ( s ) = A( s )C ( s ) + B ( s ) R ( s ). (1.166) Последнее уравнение называется уравнением синтеза, поскольку оно позволяет найти неизвестные r0, r1,..., rn 1, c 0, c1,..., c n 1 [59].

Уравнение синтеза при строгом рассмотрении вопроса находится из соотношений (1.161) и (1.162), поскольку R ( s ) B ( s ) C ( s ) A( s ) 1 =. (1.67) D (s) D (s) Отсюда сразу же следует (1.166). Синтезированная описанным методом система устра няет некоторые недостатки, присущие принципу динамической компенсации, и обла дает свойством грубости [59].

Определим систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных ко эффициентов r0, r1,..., rn 1, c 0, c1,..., c n 1. Из (1.166) имеем (a )( ) + a1s + a 2 s 2 +... + a n 1s n 1 + s n c 0 + c1s + c 2 s 2 +... + c n 1s n 1 + s n + ( )( r ) + b0 + b1s + b2 s 2 +... + bn 1s n 1 + r1s + r2 s 2 +... + rn 1s n 1 = = d 0 + d 1s + d 2 s 2 + d 3s 3 + d 4 s 4 +... + d 2 n 1s 2 n 1 + s 2 n ;

отсюда получаем систему алгебраических уравнений a 0 c 0 + b0 r0 = d 0 ;

a 0 c1 + a1c 0 + b0 r1 + b1r0 = d 1 ;

a 0 c 2 + a1c1 + a 2 c 0 + b0 r2 + b1r1 + b2 r0 = d 2 ;

a 0 c 3 + a1c 2 + a 2 c1 + a 3c 0 + b0 r3 + b1r2 + b2 r1 + b3 r0 = d 3. (1.168) M В линейной системе алгебраических уравнений 2n неизвестных;

число уравне ний также равно 2n.

Решение системы (1.168) приводит к нахождению численных значений неизвест ных коэффициентов ПФ регулятора. Назначая соответствующим образом корни ха рактеристического уравнения D( s ) = 0, можно добиться хорошего качества работы системы в переходном режиме. Для этой цели можно использовать метод стандарт ных коэффициентов или фильтры Баттерворса. Качество работы в установившемся режиме определяется наличием интеграторов в прямой цепи. В связи с этим введение интеграторов в прямую цепь изменяет структуру корректирующего устройства, и его передаточная функция будет выражаться зависимостью R (s) W ку ( s ) =. (1.169) sC1 ( s ) Для удобства проведения расчетов поступают так: интегратор (или интеграторы, в зависимости от порядка астатизма) вносят в структуру объекта (неизменяемой час ти), и тогда эквивалентная схема принимает вид (рис. 1.80).

Обозначим Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем ( ) s A ( s ) = A1 ( s ) = s a 0 + a1s + a 2 s 2 +... + a n 1s n 1 + s n = n + 2 3 n = a 0 s + a1s + a 2 s +... + a n 1s + s.

x(t) (t) R (s ) y(t) + B (s ) C 1 (s ) sA(s ) = A1 ( s ) – Рис. 1.80. Структурная схема эквивалентной системы Степень A1 ( s ) равна n + 1. Запишем уравнение синтеза A1 ( s ) C ( s ) + B ( s ) R ( s ) = D ( s ). (1.170) Для определения неизвестных коэффициентов c i и r j получим систему уравнений, аналогичную (1.168);

для этой цели введем обозначения:

R( s ) = r0 + r1s + r2 s 2 +... + rn s n ;

C ( s ) = c 0 + c1s + c 2 s 2 +... + c n s n +... + s n +1 ;

D( s ) = d 0 + d 1s + d 2 s 2 +... + d 2 n s 2 n +... + s 2( n +1) ;

(1.171) n + 2 3 n A1 ( s ) = a 0 s + a1s + a 2 s +... + a n -1s + s ;

B ( s ) = b0 + b1s + b2 s 2 +... + bn-1s n 1.

С учетом (1.171) уравнение синтеза принимает вид (a s + a s )( ) + a 2 s 3 +... + a n 1s n + s n +1 c 0 + c1s + c 2 s 2 +... + c n s n + s n +1 + + (b )( r )= n 2 2 n + b1s + b2 s +... + bn 1s + r1s + r2 s +... + rn s (1.172) 0 = d 0 + d 1s + d 2 s 2 +... + d 2 n s 2 n + s 2( n +1).

Можно видеть, что задача, когда в прямой цепи имеет место один интегратор, в точности совпадает с предыдущей, с тем лишь различием, что вместо степени n в уравнении синтеза берется степень n + 1. Аналогично изложенному следует посту пать и в тех случаях, когда требуется синтезировать систему, обладающую астатиз мом более высокого порядка. Более детально с методом можно познакомиться в [59].

Пример 1.5 [117]. В системе, структурная схема которой представлена на рис. 1.81, обозначим Wо ( s) = W y ( s)Wпу ( s)Wо ( s), где K W y ( s ) = K 2 — ПФ усилителя;

Wку ( s ) = — ПФ исполнительного устройства;

s K Wo ( s ) = — ПФ объекта управления.

T42 s 2 + 2T4 4 s + Рассмотрим систему, в структурную схему которой не включено корректирующее устройство. Пере даточная функция замкнутой системы имеет вид K 2 K 3K W ( s) = 2 2.

( ) T4 s + 2T4 4 s + 1 s + K 2 K 3 K x (t ) y (t ) + Wку ( s ) Wу ( s ) Wпу ( s) Wо1 ( s ) Рис. 1.81. Структурная схема системы автоматического управления 116 Синтез регуляторов систем автоматического управления При конкретных значениях параметров можно исследовать устойчивость нескорректированной систе мы с помощью второй формулировки критерия Михайлова [117]. Имеем a () + jb() W ( j) =, c() + jd () где ( ) c( ) = 2T4 4 2 + K 2 K 3 K 4, d () = T42 2 + 1.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 17 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.