авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 17 |

«СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ CИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цикл учебников и учебных ...»

-- [ Страница 4 ] --

В соответствии с критерием Михайлова система устойчива, если c(0) 0 и d(0) 0 и уравнения c( ) = 0 и d ( ) = 0 имеют все действительные и перемежающиеся корни, т.е. если между каждыми двумя соседними корнями d ( ) = 0 лежит корень уравнения c( ) = 0 или между двумя соседними корнями c( ) = 0 лежит корень уравнения d () = 0.

Критерий перемежаемости корней формулируется так: для устойчивости системы корни должны пе ремежаться и быть вещественными, а сумма корней должна быть равна порядку уравнения n.

Поскольку ( ) K 2 K 3K 4 B( s) ;

B ( s ) = b0 ;

A( s ) = s a 0 + a1s + s 2, Wр ( s) = = ( ) s T42 s 2 + 2T4 4 s + 1 A( s ) то r0 + r1s + r2 s D ( s ) = d 0 + d 1s + d 2 s 2 + d 3 s 3 + d 4 s 4 + d 5 s 5 + s 6 ;

W ку ( s ) =.

c 0 + c1s + c 2 s 2 + s Воспользовавшись методом стандартных коэффициентов, в качестве эталонной ПФ можно выбрать, например, ПФ вида W э ( s) = ;

6 + 15 0 s + 20 3 s 3 + 15 0 s 2 + 6 5 s + s + 6 0 s 0 0 1 P( s ) W э ( s) = =.

s 6 + 6s 5 + 15s 4 + 20s 3 + 15s 2 + 6s + 1 D( s ) Уравнение синтеза в развернутой форме имеет вид (a s + a s )( ) ( ) + s 3 c 0 + c1s + c 2 s 2 + s 3 + b0 r0 + r1s + r2 s 2 = d 0 + d 1s + d 2 s 2 + d 3 s 3 + d 4 s 4 + d 5 s 5 + s 6.

0 Отсюда получим систему линейных алгебраических уравнений для расчета неизвестных коэффициентов:

b0r0 = d 0 ;

a 0c 0 + b0 r1 = d 1;

a 0c1 + a1c 0 + b0 r2 = d 2 ;

(1.173) a 0c 2 + a1c1 + c 0 = d 3 ;

a 0 + a1c 2 + c1 = d 4 ;

a1 + c 2 = d 5.

Если ввести в рассмотрение одностолбцовую матрицу q = ( c 0, c1, c 2, r0, r1, r2 ), то систему (1.173) для определения неизвестных коэффициентов можно переписать так:

a 0 0 0 0 b0 0 c 0 d a1 a 0 0 0 0 b0 c1 d 1 a1 a 0 0 0 0 c 2 d =.

0 1 a1 0 0 0 r0 d 4 a 0 0 1 0 0 0 r d a 1 5 0 0 r2 d 0 0 0 b 1.7. МЕТОД ЭТАЛОННЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Содержание этого метода заключается в следующем. Положим, что синтезируется последовательно включенный регулятор. ПФ объекта управления известна и равна B( s) R( s) Wо ( s ) =, а W ку ( s ) = — передаточная функция регулятора, коэффициенты C ( s) A( s ) Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем которой подлежат определению (на степени полиномов R(s) и C(s) никаких ограни чений не накладывается).

Если структура регулятора выбрана таким образом, что ПФ замкнутой системы имеет вид p b0 ( p ) W ( s) = n, (1.174) s + a n 1 ( p) s n 1 + a n 2 ( p ) s n 2 +... + a 0 ( p ) p p p где p = ( p1, p2,..., pr ) — неизвестные параметры регулятора, то выбирая эталонную ПФ вида (см. п. 1.5) n W э (s) = n (1.175), s + A1 0 s n 1 + A2 0 s n 2 +... + An 1 0 1s + 2 n n легко получить систему алгебраических уравнений для расчета неизвестных пара метров p1, p2, …, pr:

p p 2 p n a n 1 ( p ) = A1 0, a n 2 ( p ) = A2 0,..., a 0 ( p ) = 0. (1.176) Очевидными являются следующие недостатки метода [58]. Ключевое положение метода заключается в том, что искомые параметры определяются при решении сис темы алгебраических уравнений, полученных путём приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях s эталонной и реальной передаточных функций системы управления. Требование W ( s ) = W э ( s ) является во многих случаях, как ука зывалось выше, трудновыполнимым, поэтому часто имеет место неразрешимость системы уравнений, определяющей параметры регулятора (физически это озна чает, что регулятор заданной структуры не способен выполнить поставленную зада чу). Система уравнений оказывается несовместной или её корни комплексными (метод в неявной форме реализует принцип динамической компенсации).

Естественно, многие недостатки математического содержания (например, несо вместность алгебраической системы) порождены неучётом многих физических фак торов, определяющих физические процессы, протекающие в системе. Такое положе ние имеет место, как показывает практика, в том случае, если акцент сделан на фор мальное содержание поставленной задачи без глубокого учёта физических аспектов.

Рассматриваемый метод нашёл достаточно широкое применение при синтезе сис тем управления летательными аппаратами. В.А. Боднером показано, что при включе нии определённым образом параллельных корректирующих устройств система уравнений становится разрешимой [21]. Однако при этом возникают большие труд ности, связанные с технической реализацией корректирующих устройств (необходи мость, как указывалось в п. 1.6, иметь дифференцирующие звенья) [21]. Э.Г. Удерман предложил сделать систему уравнений совместной путём введения соответствую щего числа переменных полюсов в эталонную ПФ.

При решении рассматриваемой задачи в основу необходимо положить её физиче ское содержание и учитывать связь структуры и параметров W э ( s ) со структу рой выбираемого регулятора и его техническими возможностями. Т.М. Соколовым предложено выбирать параметры корректирующего устройства по заданным ха рактеристикам ошибок, при этом специальный подбор коэффициентов ПФ обеспе чивает заданную форму переходного процесса, т.е. требуемые показатели колеба тельности и перерегулирования [110].

Если процесс проектирования регулятора направлен на достижение высоких по казателей, определяющих качество управления, то часто при заданной W0 ( s ) можно получить математическое решение, но техническая реализация полученных резуль татов может встретить трудно преодолимые проблемы, особенно для достаточно 118 Синтез регуляторов систем автоматического управления сложных систем, параметры которых в условиях эксплуатации имеют значительные отклонения от расчётных. Удачное сочетание многих факторов, имеющих место в процессе проектирования регуляторов, характеризующих математическую и физиче скую стороны проблемы, часто определяется опытом и интуицией разработчиков сложных автоматических систем.

Приведём элементарный пример, в котором поставленная задача имеет решение.

Пример 1.6 [58]. Рассмотрим систему стабилизации скорости вращения двигателя, структурная схема которой представлена на рис. 1.82.

y (t ) y (t ) + + K2 K K s s Ts r Ts + Рис. 1.82. Структурная схема системы стабилизации скорости вращения двигателя Пусть K 2 = 15 c 1, K 1 = 0,2 c 1;

задача состоит в нахождении K 3, r и T.

ПФ разомкнутой и замкнутой системы соответственно имеют вид:

K K K (Ts + 1) Wр ( s ) = 31 2 3 ;

Ts + (1 + rK 2T ) s K 1K 2 K K 1K 2 K 3s + T W ( s) =.

1 KK K s 3 + + rK 2 s 2 + K 1K 2 K 3 s + 1 2 T T Выберем эталонную ПФ вида 3 W э (s) = 3 = 0.

s + A1 0 s + A2 0 s + 0 s + 5,1 0 s + 6,35 0 s + 2 2 3 2 Если Tp = 2,5, 0 = 5, то 0 = 2 с 1.

Для вычисления K 3, T и r имеет место система алгебраических уравнений:

1 A1 0 = + rK 2, или 5,1 2 = + r 15;

T T A2 0 = K 1K 2 K 3, или 6,36 4 = 0,2 15 K 3 ;

K 15 0, K 1K 2 K 3 =, или 8 = 3.

T T Отсюда находим:

K 3 8,5;

T 3,18;

r 0, 66.

Для устранения недостатков, присущих рассматриваемому методу, весьма эффективным является аппарат математического программирования.

В качестве эталонной ПФ не обязательно выбирать ПФ со стандартными коэффи циентами. При проектировании конкретных систем управления эталонной ПФ может служить любая ПФ, обеспечивающая заданное качество управления в переходном и установившемся режимах.

Можно поставить задачу расчета параметров регулятора, обеспечивающего при ближение ПФ замкнутой системы, содержащей q неизвестных, к эталонной ПФ W э ( s ), с ограничением: введением области заданного расположения полюсов изо бражения W ( s ) синтезируемой системы такой, чтобы обеспечить необходимую степень и запас устойчивости и колебательности системы [81].

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем m1 m bkэ s k bk s k k =0 k = Пусть W э ( s ) = — эталонная передаточная функция;

W ( s ) = — n1 n ak s ak s k э k k =0 k = передаточная функция замкнутой системы управления, содержащая r искомых пара метров.

Часто целесообразно снять условие равенства W ( s ) = W э ( s ). Тогда из приближён ного равенства m1 n1 m2 n bkэ s k a kэ s k bk s k a k s k (1.177) k =0 k =0 k =0 k = следует соотношение m1 э k n 2 n1 э k m 2 bk s a k s a k s bk s, k k k =0 k =0 k =0 k =0 отсюда сразу же можно записать следующие зависимости:

b0 a 0 a 0 b0 = 1 ( p );

э э э b0 a1 + b1э a 0 a 0 b1 a1 b0 = 2 ( p );

э э э э э э э э b0 a 2 + b1 a1 + b 2 a 0 a 0 b 2 a1 b1 a 2 b0 = 3 ( p );

................ (1.178) b a + b a э э э э э э 1 n 2 1 +... + b m1 a n 2 m1 a 0 b m 2 a1 b m 2 1... a n1 b m 2 n 2 = m1 + n 2 2 ( p );

0 n b э a + b э a э э 2 n 2 1 +... + b m1 a n 2 m1 +1... a n1 b m 2 n 2 +1 = m1 + n 2 1 ( p );

1 n b э a a э b = m1 + n 2 ( p ).

m1 n n2 m Параметры регулятора могут быть найдены решением задачи нелинейного про граммирования m1 + n 2 ( p) min I ( p) = k p k = при выполнении заданных ограничений.

Пример 1.7. Положим, что G 0 ( 1s / 2 + 1) W э ( s) =.

0 s 2 + 1s + Тогда имеет место соотношение K K 3b1s + 3 b T W ( s) = — реальная ПФ замкнутой системы, где K 3, r и Т — пара 3 1 2 K s + + rK 2 s + K 3a1s + 3 a T T метры регулятора.

Имеем 1 ( ) 1 K K s + 1 s 3 + + rK 2 s 2 + K 3a1s + 3 a 0 0 s 2 + 1s + 1 K 3b1s + 3 b0.

G T 2 T T Отсюда находим 1 K 1 K G 0 1 s 4 + G 0 1 + rK 2 s 3 + G 0 1 K 3a1s 2 + G 0 1 3 a 0 s + s 3 + + rK 2 s 2 + K 3a1s + 3 a 2 T T 2 2 2T T K3 K3 K 3 2 0 K 3b1s + 1K 3b1s + K 3b1s + 0 b0 s + 1 b0 s + b0.

T T T 120 Синтез регуляторов систем автоматического управления Далее имеем систему соотношений 1 1 G 0 2 T + rK 2 + 1 0 K 3b1 = 1 ( K 3, r, T ), 1 1 K K 3a1 + + rK 2 1K 3b1 0 3 b0 = 2 ( K 3, r, T ), G T 2 T 1 K 3 K G 0 2 T a 0 + K 3a1 K 3b1 1 T b0 = 3 ( K 3, r, T ), K 3 a K 3 b = ( K, r, T ).

T 0 T 0 4 В эталонной ПФ W э ( s ) G 0, 1 и 0 определяют статизм, время переходного процесса Tу и макси мальное отклонение в переходном режиме.

Неизвестные параметры регулятора с использованием заданных ограничений, связанных как с качест вом процессов управления, так и с физической реализуемостью системы и с выполнением условий работо способности, можно найти, решая следующую задачу нелинейного программирования:

I ( K 3, r, T ) = 2 ( K 3, r, T ) min k K 3, r,T k = при выполнении соответствующих ограничений.

При соответствующем обосновании можно полагать, что W э ( s ) = W ( s );

тогда i ( p ) 0, i = 1, m1 + n1 и (1.178) представляет собой систему алгебраических уравне ний, решение которой приводит к нахождению искомых параметров. Приведём соот ветствующий пример.

Пример 1.8 [81]. Изучим режим малых колебаний при регулировании возбуждения синхронного гене ратора. Генератор работает через дальнюю передачу на систему U = const. Используются уравнения гене ратора в упрощенной форме Лебедева–Жданова;

учитывается постоянная времени цепи возбуждения.

Постоянными времени возбудителя и дифференцирующих звеньев пренебрегаем.

Пусть (t ) — угол между вектором ЭДС и вектором напряжения U;

изображение приращения (t ) при внезапном малом изменении нагрузки записывается так [81]:

b2 s 2 + b1s + b ( s ) =, a 4 s + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a1s + a где b2 = 0, 287 0,389 2 0, 632 2 ;

b1 = 4,86 0,389 1 0, 632 1;

b0 = 10, 2;

a 4 = (1, 21 1, 63 2 2, 65 2 ) 10 2 ;

a 3 = ( 20,5 1, 63 1 0,124 2 + 2, 65 1 + 0, 201 2 ) 10 2 ;

a 2 = ( 56,8 0,124 1 + 29,3 2 0, 201 1 39,9 2 ) 10 2 ;

a1 = 2,13 + 0, 293 1 0,399 1;

a1 = 6,57.

Приведенные зависимости соответствуют номинальному режиму = 67°. Величины 0 и 0, яв ляющиеся коэффициентами усиления при регулировании по отклонениям тока и напряжения от их номи нальных значений, приняты равными 0 = 1, 0;

0 = 15, 0.

Задача ставится следующим образом:

1) ( s ) должно быть близким к эталонному изображению э ( s ) =, ( s + 2 )( s + 20 ) чем обеспечивается апериодичность переходного процесса с Tp = 2,5 с при максимальной скорости про текания процесса, не превышающей 2,5 рад с;

2) система должна быть слабоколебательной (при колебательности tg, где 70°).

Из соотношения Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем (b s )( s ) ( ) 2 + 22 s + 40 = 62 a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a1s + a + b1s + b получаем систему алгебраических уравнений 62a1 = 22b0 + 40b1;

62a 2 = b0 + 22b1 + 40b2 ;

62a 3 = b1 + 22b2 ;

62a 4 = b2.

Из последней системы находим систему так называемых условных уравнений 0, 6 1 = 287 33, 65 1;

13, 78 + 0,5 = 82, 0 8, 45 33, 7 ;

1 2 1 (1.179) 2, 28 1 + 14, 02 2 = 1,54 + 0, 621 1 8, 63 2 ;

1, 003 2 = 0, 463 + 0, 631 2.

Воспользовавшись методом наименьших квадратов, получим решение системы (1.179) относительно 1 и 2 :

1 = 6,85 0,725 1 2,44 2 ;

2 = 1,25 + 0,167 1 0,221 2.

Теперь характеристическое уравнение системы может быть записано в виде D( s ) = 6,57 + ( 0, 61 + 0,592 1 + 0,975 2 ) s + (1, 052 0, 0667 1 + 0,386 2 ) s 2 + + ( 0,381 0, 0352 1 0, 0667 2 ) s 3 + ( 4,53 0, 442 1 1, 045 2 ) 10 2 s 4.

Исходя из обеспечения заданного запаса устойчивости, найдены численные значения параметров и 2 ;

они равны: 1 = 5,3;

2 = 1,9.

Отсюда получаем: 1 = 1, 63;

2 = 0, 78.

Далее рассмотрим пример, применяющий метод эталонных ПФ для решения дос таточно сложной задачи, связанной с управлением летательными аппаратами.

Пример 1.9 [21]. Проведём синтез статической системы управления высотой самолёта, предполагая, что скорость полёта самолёта постоянна. Представим уравнение регулятора в виде в = ( k 21 + 21s ) + ( k 22 + 22 s ) k 21 y. (1.180) На рис. 1.83 представлена структурная схема системы управления.

в y h na ( вs ) k21 s n ( s ) k 22 + 22 s Рис. 1.83. Структурная схема системы управления высотой полёта при воздействии на руль высоты Уравнения, описывающие поведение системы, имеют вид ( )( ) sy, % s4 + a s3 + a s2 + a s + a = b s + a % % % % % 1 2 3 4 0 (1.181) (s ) h = a% 4 3 + a1s + a 2 s + a 3 s + a 4 4 y, % % % % где a1 = c1 + n в 22 ;

a 2 = c 2 + n в ( k 22 + n 22 22 ) ;

a 3 = n в n 22 ( k 22 + 21 ) ;

a 4 = n в n 22 k 21;

b0 = n в k 21.

% % % % % Устойчивость системы (1.181) следует из соотношения a 3 ( a1a 2 a 3 ) a1 a 4 0, %2% (1.182) % %% % причём критический коэффициент усиления k 21 будет c + n (k + n ) n n (k + ) k 21 = ( k 22 + 21 ) 2 в 22 22 в 22 22. (1.183) ( c1 + n в 22 ) c1 + n в 122 Синтез регуляторов систем автоматического управления Отсюда следует, что для увеличения коэффициента k 21 необходимо увеличить коэффициенты k 22, 21 и 22.

Для выбора оптимальных параметров потребуем, чтобы переходные процессы в системе при возму щениях со стороны сигнала управления были заданными. Поскольку передаточная функция h a % = (1.184) y s 4 + a1s 3 + a 2 s 2 + a 3 s + a % % % % не имеет нулей, то её следует приблизить к передаточной функции W э ( s) = 4, (1.185) s + A1 0 s + A2 0 s 2 + A3 3 s + 3 2 где A1, A2, A3 и 0 — заданные числа.

Сравнивая соответствующие коэффициенты передаточных функций, находим значения передаточных чисел системы управления:

22 = ( A1 0 c1 ) ;

nв ( ) 1 k 22 = A2 0 c 2 + n 22 c1 A1 0 n 22 ;

nв (1.186) A3 3 A2 0 n 22 + A1 0 n 22 + (c 2 n 22c1 )n 22 ;

2 21 = n в n 22 k 21 =.

n в n ( A1 = A3 = 4, A3 = 6 ) с временем Если потребовать, чтобы переходный процесс был апериодическим регулирования, соответствующим частоте 0 = 5, для самолёта, имеющего данные c1 = 5,5;

c 2 = 42, 0;

n в = 46, 0;

n 22 = 2, 4, то [21] 4 5 5, 22 = = 0,31;

6 5 2 42 + 2, 4 5,5 4 5 2, k 22 = = 1, 6;

4 5 3 6 5 2 2, 4 + 4 5 2, 4 2 + 2, 4(42 2, 4 5,5) 21 = = 2,97;

46 2, k 21 = = 5, 68.

46 2, Время управления при выбранных параметрах системы не превышает 5 с. Действительно, так как 0 = 5 ( 0 — безразмерная частота;

размерная частота будет 1 = 0 ;

a — аэродинамическая посто a 3 a янная времени, которая для рассматриваемого режима полёта составляет 2,5 с), то Tр = = 4,7 с.

При том же законе управления рассмотрим поведение системы с учётом полных уравнений движения самолёта [21] ( )( ) % % % s 5 + a s 4 + a s 3 + a s 2 + a s + a = b s 3 + b s 2 + b s y, (1.187) % % % % % 0 1 1 2 3 4 (s + a s + a ) h = (b ) y, % % + a1s 4 + a 2 s 3 + a 3 s 2 0 h s + b1h (1.188) % % % % % 4 где a1 = c1 + n в 22 ;

% a 2 = c 2 + n в 22 + n в ( n11 + n 22 ) 22 ;

% a 3 = c 3 + n в ( n 22 n 23 ) 21 + n в ( n11 + n 22 ) k 22 + n в ( n11n 22 + n12 n 21 ) 22 ;

% a 4 = c 4 + n в ( n11n 22 + n12 n 21 ) k 22 + n в ( n 22 n 23 ) k 21 + n в ( n11n 22 + n12 n 21 + n13n 21 n11n 23 ) 21;

% a 5 = n в ( n11n 22 + n12 n 21 + n13n 21 n11n 23 ) k 21;

% % b0 = n в k 21;

b1 = n в ( n11 + n 22 ) k 21;

% Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем % b2 = n в (n11n 22 + n12 n 21 )k 21;

% b = n (n n )k ;

0h в 22 23 % b1h = a 5.

% Рассмотрим передаточные функции % % b0 h s + b1h h = ;

(1.189) y s 5 + a1s 4 + a 2 s 3 + a 3 s 2 + a 4 s + a % % % % % % % % b0 s 3 + b1 s 2 + b2 s =5. (1.190) 4 3 y s + a1s + a 2 s + a 3 s + a 4 s + a % % % % % В качестве эталонной принимаем ПФ, определяемую зависимостью (1.185). Воспользовавшись усло виями точного совпадения функций, получим соотношения % 4 = b ;

0 0h %4% % a1 0 = b0 h A1 0 + b1h ;

% A +b A ;

% a =b (1.191) % 2 0 0h 2 0 1h %2% % a 3 0 = b0 h A3 0 + b1h A2 ;

% +b A. % a =b % 4 0 0h 0 1h Следующий этап решения задачи содержит трудности, о которых говорилось выше. Они заключаются в следующем. Из пяти уравнений необходимо определить параметры регулятора k 22, 22, k 21, 21, число кото рых меньше числа уравнений. Ясно, что удовлетворить всем уравнениям (1.191) не представляется возмож ным, поэтому нельзя передаточную функцию (1.189) сделать в точности равной передаточной функции (1.185). Однако, удовлетворяя четырём уравнениям системы (1.191), мы получим значения параметров регу лятора k 22, 22, k 21, 21, обеспечивающих достаточное приближение функций (1.189) и (1.185) [21].

Из первого уравнения (1.191) находим k 21 =. (1.192) n в (n 22 n 23 ) % Если известен коэффициент k21, то найдём также b1h = a 5. В таком случае имеем % 1 a% 22 = A1 0 + 5 c1 ;

nв 1 a% A2 0 + A1 5 c 2 ( n11 + n 22 ) 22 ;

k 22 = (1.193) nв 1 a % A3 0 + A2 2 c 3 n в ( n11 + n 22 ) k 22 n в ( n11n 22 + n12 n 21 ) 22.

21 = n в ( n 22 n 23 ) 0 В качестве примера вычислим передаточные числа системы управления по формулам (1.192) и (1.193) при прежних требованиях к качеству управления ( A1 = A3 = 4, A3 = 6, = 5 ). Коэффициенты самолёта равны:

a = 4 c;

n11 = 0, 048;

n12 = 0, 079;

n13 = 0,17;

n14 = 4, 2 10 4 ;

n 21 = 0, 68;

n12 = 2, 4;

n 23 = 0;

n 24 = 1, 2 10 2 ;

n 31 = 1, 2;

n32 = 36, 0;

n 33 = 2, 42;

n34 = 0, 05;

n 0 = 0, 68;

n в = 46, 0;

n р = 0, 02.

Находим:

= 5,68;

a 5 = 46 5, 68 ( 0, 048 2, 4 + 0, 079 0, 68 0,17 0, 68 ) = 14,1;

k 21 = 46 2, 1 14, 22 = 4 5 + 4 5,55 = 0,315;

46 1 14, 6 5 + 4 3 42 ( 0, 048 + 2, 4 ) 0,315 = 1,58;

k 22 = 46 1 14, 4 5 3 + 6 2 2, 26 46 2, 448 1,58 46 ( 0, 048 2, 4 + 0, 079 0, 68 ) 0,315 = 2,9.

21 = 46 2, 124 Синтез регуляторов систем автоматического управления Сравнение показывает, что как в системе (1.184), так и в системе (1.189) можно получить практически одни и те же переходные процессы. Так в чём же разница между этими системами? Ведь для одной из них порядок знаменателя передаточной функции равен 4, а для другой 5. Эта разница состоит в следующем.

При выбранных параметрах системы управления передаточная функция (1.189) имеет четырёхкратный a полюс — 0 = 5, и однократный полюс — 5 = 0, 0226 (рис. 1.84).

0 a % — нули — полюса Рис. 1.84. График распределения нулей и полюсов Этому последнему полюсу соответствует, вообще говоря, медленное апериодическое движение, вызы ваемое медленным изменением скорости полёта самолёта. Если осуществить приближение передаточных функций (1.189) и (1.185), то нуль числителя (1.189) становится равным нулю знаменателя, т.е. полюсу — –0,0226, и указанное медленное движение не возникает (рис. 1.84). Если, однако, учесть, что точное при ближение, а следовательно, точное совпадение полюса и нуля передаточной функции невозможно вслед ствие изменения коэффициентов самолёта в различных условиях полёта, то на переходный процесс, опре деляемый передаточной функцией (1.185), будет накладываться медленное движение, соответствующее малому полюсу –0,0226. Другими словами, процесс в системе (1.189) при одних и тех же передаточных числах будет хуже, чем в системе (1.184).

Кроме того, медленное движение, соответствующее малому полюсу –0,0226, будет проявляться и в том случае, когда на систему действуют другие возмущения, отличные от сигнала перенастройки.

Из рассмотренных положений следует, что принцип динамической компенсации при изменении условий работы системы, приводящих к неполной компенсации ди намических характеристик из-за неточного совпадения значений нулей и полюсов, может приводить к появлению колебаний (в рассматриваемом случае на исходный процесс накладывается медленное движение).

Рассмотрим астатическую систему автоматического управления высотой полёта [21]. Сигнал рассо гласования по высоте будем подавать в канал управления рулём высоты. Закон управления имеет вид ( )( ) s в = k 22 + 22 s + 22 s 2 + k 21 + 21s + 21s 2 h k 21 y. (1.194) На рис. 1.85 представлена структурная схема рассматриваемой системы управления.

nv y 1 a na k 21 h s n s k 22 + 22 s + 22 s 21s 21s Рис. 1.85. Структурная схема астатической системы управления высотой полёта при воздействии на руль высоты Уравнения системы имеют вид (s + a s ) 5 + a 2 s 3 + a 3 s 2 + a 4 s + a 5 h = a 5 y;

(1.195) % % % % % % (s + a s ) = a% sy, 5 + a 2 s 3 + a 3s 2 + a 4 s + a5 (1.196) % % % % % 1 Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем где a1 = c1 + n в 22 ;

% a 2 = c 2 + n в ( 22 + n 22 22 ) ;

% a 3 = n в ( k 22 + n 22 22 + n 22 21 ) ;

% a 4 = n 22 n в ( k 22 + 21 ) ;

% a 5 = n в n 22 k 21.

% Выбор параметров системы осуществляется на основе приближения передаточной функции h a % = (1.197) y s 5 + a1s 4 + a 2 s 3 + a 3 s 2 + a 4 s + a % % % % % к стандартной передаточной функции W э ( s) = 5, (1.198) s + A1 0 s + A2 0 s + A3 3 s 2 + A4 0 s + 4 23 0 в которой A1, A2, A3, A4 и 0 — заданные числа, связанные с требованиями к качеству переходного про цесса.

Из сравнения коэффициентов функций (1.197) и (1.198) находим 22 = ( A1 0 c1 ) ;

nв ( ) 1 22 = A2 0 c 2 A1 0 n 22 + n 22c1 ;

nв A3 3 A2 0 n 22 + A1 0 n 22 + n 22 (c 2 n 22c1 ) n 22 21 ;

2 k 22 = (1.199) nв A4 0 A3 3 n 22 + A2 0 n 22 A1 0 n 22 n 22 (c 2 n 22c1 ) + n 22 21 ;

4 22 3 2 21 = n в n 22 k 21 =.

n в n Поскольку из пяти уравнений, получаемых из условий приближения, можно определить только пять передаточных чисел из шести неизвестных 21, k 21, 21, 22, k 22, 22, то одно передаточное число может быть выбрано произвольно. Будем полагать, что 21 = 0.

Задавая A1 = A4 = 5, A2 = A3 = 10 (кратные корни);

0 = 5, найдём передаточные числа при значениях коэффициентов уравнения движения самолёта c1 = 5,5;

c 2 = 42;

n 22 = 2, 4;

n в = 46. Пользуясь выражения ми (1.199), найдём 22 = ( 5 5 5,5 ) = 0, 424;

( ) 10 5 2 42 5 5 2, 4 + 2, 4 5,5 = 3,5;

22 = 10 5 3 10 5 2 2, 4 + 5 5 2, 4 2 + 2, 4 ( 42 2, 4 55,5 ) = 18, 7;

k 22 = 46 5 5 4 2, 4 46 18, 7 = 9, 7;

21 = 46 2, 4 k 21 = = 28, 4.

46 2, 1.8. МЕТОД ЭТАЛОННЫХ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ При рассмотрении принципа динамической компенсации были использованы взаимосвязанные соотношения Wрэ ( s ) = Wку ( s ) Wо ( s ) и Wку ( s ) = Wо1 ( s ) Wрэ ( s ).

126 Синтез регуляторов систем автоматического управления В эти зависимости входит эталонная передаточная функция разомкнутой системы Wрэ ( s ).Выше был рассмотрен метод стандартных коэффициентов построения эта лонной передаточной функции W э ( s ) замкнутой системы. Алгоритм синтеза регуля тора упрощается, если пользоваться эталонной (стандартной) передаточной функци ей разомкнутой системы Wрэ ( s ), которую легко найти, зная W э ( s ).

Если n W э (s) =, s n + A10 s n 1 + A2 0 s n 2 + K + An 10 1s + 2 n n то W э (s) n Wрэ ( s ) = =.

( ) 1W э (s) s s n 1 + A10 s n 2 + K + An 10 n Последняя ПФ имеет один нулевой полюс, и, следовательно, реализуется система с астатизмом первого порядка.

Если же в качестве эталонной ПФ замкнутой системы имеет место ПФ вида An 10 1s + n n W э ( s) = n, s + A10 s n 1 + K + An 10 1s + n n то эталонная ПФ разомкнутой системы запишется так:

An 10 1s + n n Wрэ ( s ) = ( ) s 2 s n 2 + A10 s n 3 + K + An 2 0 n и, таким образом, система имеет астатизм второго порядка.

Аналогично, если An 2 0 2 s 2 + An 10 1s + n n n W э ( s) = n, s + A10 s + K + An 2 0 s + An 10 1s + n 1 n2 2 n n то An 2 0 2 s 2 + An 10 1s + n n n Wрэ ( s ) =.

( ) s3 s n 3 + A10 s n 4 + K + An 30 n Пример 1.10. Найдем эталонную передаточную функцию разомкнутой системы при следующих усло виях: первый член прогрессии равен 0, 063;

разность прогрессии 0,867 и 0 = 13;

система должна иметь астатизм второго порядка.

Из табл. 1.7 имеем 18 0 s + W э (s) =.

s + 9 0 s + 29 0 s + 38 3 s 2 + 18 0 s + 5 4 23 0 Тогда формула, определяющая Wрэ ( s ), имеет вид 18 0 s + Wрэ ( s ) =.

s + 9 0 s + 29 0 s 3 + 38 3 s 4 Аналогичным образом можно рассчитать и построить таблицы, ориентированные на решение класса задач синтеза регуляторов. Приведем одну из таких таблиц (см. табл. 1.9, она составлена на основе дан ных, приведенных в табл. 1.7).

Перейдем к изложению содержания метода. Исходные данные:

• структурная схема системы ( Wо ( s ) — ПФ всех функционально необходимых элементов);

• порядок астатизма;

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем • величина перерегулирования %;

• время переходного процесса Tу.

Таблица 1. Таблица, ориентированная на решение класса задач синтеза регуляторов № Wрэ ( s ), % m n K п/п 0 1 1 2 5 s 2 + 1, 4 0 s 1, 0 2 1 3 8 s + 2 0 s 2 + 2 0 s 3 0 3 1 4 10 s + 2, 6 0 s + 3, 4 0 s 2 + 2, 6 3 s 4 2, 6 2,5 0 s + 4 2 2 10 s 6,3 0 s + 0 5 2 3 10 s + 5,1 0 s 5, 11,8 3 s + 0 6 2 4 10 s + 7, 22 0 s + 16,3 0 s 4 3 18 0 s + 0 7 2 5 10 s + 9 0 s + 29 0 s 3 + 38 3 s 5 4 38 25 5 s + 0 8 2 6 10 s + 11 0 s + 43 0 s + 83 3 s 3 + 73 0 s 6 24 73 44 6 s + 0 0 9 2 7 10 7 + 66 0 s + 173 0 s 4 + 238 0 s 3 + 163 5 s 3 s + 13 0 s 163 68 7 s + s + 15 0 s + 92 0 s 6 + 299 3 s 5 + 8 0 10 2 8 10 + 313 +554 0 s + 579 5 s 3 + 313 0 s 44 1068 s + s + 17 0 s + 121 0 s 7 + 476 3 s 6 + 9 0 11 2 9 10 + 587 +1114 0 s + 1581 0 s + 1320 0 s 3 + 587 0 s 45 54 6 151 9 s + + 19 0 s + 152 0 s 8 + 691 3 s 7 + 1941 0 s 6 + 2 s 0 12 2 10 10 + 988 +3464 0 s + 3908 0 s + 2666 0 s 3 + 988 8 s 55 64 Основной идеей метода является приближение с помощью подбора структуры и параметров КУ реальной ПФ к некоторой эталонной, причем последняя обладает необходимым порядком астатизма (что обеспечивает заданную точность в устано вившемся режиме работы) и включает параметр 0, который обеспечивает необ ходимое быстродействие через нормированное время переходного процесса. Вели чина перерегулирования %, не превышающая известной величины, заданной в процентах, обеспечена подбором коэффициентов эталонной ПФ.

128 Синтез регуляторов систем автоматического управления Эталонная ПФ некоторых разомкнутых систем приведены в табл. 1.9. Если зада ны: время переходного процесса Tу ;

перерегулирование % ;

порядок ПФ (согласу ется с порядком ПФ неизменяемой части), то по таблице можно найти нужную эта лонную ПФ разомкнутой системы, причем относительное время переходного про цесса 0 = 0Tу.

Поскольку 0 = 0 / Tу, 0 находится из таблицы, а Tу — задано, то можно рас считать значение параметра 0 и, следовательно, ПФ разомкнутой системы. Таким образом, эталонная ПФ разомкнутой системы, обеспечивающая заданные параметры переходного процесса и значение динамической ошибки замкнутой системы, извест на. Обозначим ее b э s m + bm 1 s m 1 + K + b э э Wрэ ( s ) = mэ n (1.200).

an s + an 1 s n 1 + K + a э э { } В (1.200) все численные значения коэффициентов числителя b0, b1э, K, bm э э и { } э э э знаменателя a0, a1, K, an известны.

Далее подбирается структура наиболее простого КУ таким образом, чтобы имело место равенство bm ( p ) s m1 + K + b0 ( p ) ку ку Wо ( s ) Wку ( s, p ) ( s ), где Wку ( s, p ) = = Wрэ.

an ( p ) s n1 + K + a0 ( p ) ку ку Пусть bm ( p ) s m + bm 1 ( p ) s m 1 + K + b0 ( p ) Wо ( s ) Wку ( s, p ) = (1.201), an ( p ) s n + an 1 ( p ) s n 1 + K + a0 ( p ) где p — параметры КУ, подлежащие определению. Для расчета p можно восполь зоваться следующими соображениями.

Поскольку в идеальном случае справедливо равенство bm s m + bm 1s m 1 + K + b0 bm ( p ) s + bm 1 ( p ) s + K + b0 ( p ) m m э э э =, an ( p ) s + an 1 ( p ) s + K + a0 ( p ) n 1 n эn э э n an s + an 1s + K + a то отсюда легко записать:

a0 ( p ) = a0, a1 ( p ) = a1, K, an ( p ) = an, э э э (1.202) b0 ( p ) = b0, b1 ( p ) = b1э, K, bm ( p ) = bm.

э э В последней системе имеют место следующие факторы: система относительно p1, p2, K, pk, как правило, нелинейна;

число уравнений не всегда совпадает с числом неизвестных, что вызывает определенные трудности [19].

Метод можно применять лишь в простейших случаях, например на первом этапе решения задачи синтеза регулятора при значительном упрощении математических моделей. Часто целесообразно снять требование Wрэ ( s ) = Wо ( s )Wку ( s ). С инженерной точки зрения и с учётом степени сложности вычислительной схемы, реализующей (1.202), более конструктивным является алгоритм вычисления неизвестных парамет ров p1, p2, K, pk, сводящийся к оптимизационной процедуре n э m ( ) + (b ) I ( p1, p2,.., pr ) = ak ak ( p) э bk ( p) min.

k pi,i =1, r k =0 k = Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем При таком подходе роль нелинейных зависимостей не всегда является опреде ляющей, нет необходимости иметь равенство числа уравнений числу неизвестных p1, p2,.., pr ;

более того, можно наложить некоторые ограничения на параметры, характеризующие качество управления в случае систем, описываемых ДУ высокого порядка.

Пример 1.11. Рассмотрим простейший пример, иллюстрирующий алгоритм расчета параметров регу лятора методом эталонной ПФ разомкнутой системы.

Пусть ПФ разомкнутой системы имеет вид K (T s + 1) Wр ( s ) = 2 1.

s (T2 s + 1) Задача заключается в нахождении таких параметров K, T1, T2, которые обеспечили бы время переход ного процесса Tр 1,5 c, а величину перерегулирования 10%.

В качестве эталонной ПФ разомкнутой системы выберем ПФ вида 0 6, 1 + s 5,1 W рэ ( s ) =.

s 2 1 + s 5,1 Из сравнения W р ( s ) и Wрэ ( s ) легко получить следующие равенства:

0 6,3 ;

T1 = ;

T2 = K =.

0 5,1 5, 0 = 6 c 1, то K = 7, 05 c 2, T1 = 1, 05 c, T2 = 0, 032 c.

Поскольку 0 = = Tр 1, Пример 1.12. Рассмотрим канал управления креном ракеты. ПФ замкнутой системы без регулятора определяется зависимостью K пр K W ( s) =.

T s 2 + s + K пр K Kи Пусть Wку ( s ) = K + — последовательный пропорционально-интегральный регулятор (положим, s что K1 = 1 ). Тогда передаточная функция разомкнутой системы с регулятором определяется формулой K пр K K K пр K K и s+ ( Ks + K и ) K пр K K пр K Ks + K пр K K и T T Wр ( s ) = = =.

( ) s 2 (T s + 1) T s 3 + s 2 3 s + s / T Положим, что порядок астатизма равен 2, 10%, а время переходного процесса Tу — задано.

Как и в предыдущем примере, эталонная ПФ имеет вид 6,3 2 s + W рэ ( s ) = 3 0.

s + 5,1 0 s Из равенства Wр ( s ) = W рэ ( s ) следует система уравнений:

K пр K K 2 K пр K K и = 3.

= 5,1 0 ;

= 6,3 0 ;

T T T В рассматриваемом подходе величина 0 зависит от известной постоянной времени ракеты по каналу крена T, из этого следует 0 =.

5,1T С другой стороны, через величину 0 определяется время переходного процесса Tу ;

оно равно Tу = = 45,9T.

130 Синтез регуляторов систем автоматического управления Последней формулой при принятой структуре регулятора определяется время переходного процесса канала управления креном.

Из соотношений, приведенных выше, сразу же находим численные значения параметров регулятора K и K и ;

они равны 3T 6,3 0T K= ;

Kи =.

K пр K K пр K Если T = 0, 03 c;

K пр K = 300, то 0 = = 6,5359;

K = 0,0269;

5,1T K и = 0,0279;

Tу = 45,9 0, 03 = 1,377 c.

На рис. 1.86–1.89 приведены переходные характеристики и амплитудно-частотные характеристики системы управления каналом крена ракеты.

h (t ) 1, 0, t, c 0, 0 0,2 0, Рис. 1.86. График переходной характеристики нескорректированной системы A ( ) 3, 2, 1, 0, 0 100 200 300 Рис. 1.87. АЧХ нескорректированной системы Известно, что наиболее конструктивный путь решения задач синтеза регуляторов — это использование методов нелинейного программирования. При этом показатели качества стационарного и переходного режимов обеспечиваются приближенно при безусловном обеспечении устойчивости и грубости (по варьируемым параметрам) системы с синтезированными параметрами. Кроме этого, могут быть наложены огра ничения на параметры, колебательность и др.

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем h(t) 0, t, c 0 0,5 1 1,5 Рис. 1.88. График переходной характеристики системы с регулятором () 0, 0 20 Рис. 1.89. АЧХ системы с регулятором 1.9. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ ЛЯГЕРРА 1.9.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть ( t ) = ( 1 ( t ), 2 ( t ),..., l ( t ),K) — ортонормированный базис. Полагаем, что задана эталонная ПФ замкнутой системы Wзэ ( s ) и ПФ объекта Wo ( s ), причем { } L1 Wзэ ( s ) = k э ( ) L2 [0, ) и L1 {Wo ( s )} = ko ( ) L2 [ 0, ). Представим k э ( ) и ko ( ) в виде разложения по ОНБ:

k э ( ) = cэ ( ) и ko ( ) = co ( ).

k k (1.203) =1 = ( ) ( ) T T Ckэ = c1 э, c2 э,K, clkэ,K k k Cko = c1 o, c2o,K, clko,K k k Матрицы и называются спектральными характеристиками соответственно эталонной системы и объекта управления в выбранном базисе ( t ).

Положим, что построены алгоритмы, позволяющие рассчитать спектральную ха ) ( T k k k kку регулятора, если известны Сkэ и Сko при = c1 ку, c2ку,K, cl ку,K рактеристику C условии, что kку ( ) L [ 0, ), а все элементы i ( t ), i = 1,2K преобразуемы по Лап 132 Синтез регуляторов систем автоматического управления ласу и возможна физическая реализация в аналоговой или цифровой форме элемен тов, имеющих ИПФ i ( ), i = 1, 2,K, l,K. Если построена ИПФ регулятора в виде kку ( ) = cку ( ), k = то ПФ регулятора может быть представлена так:

Wку ( s ) = cку ( s ).

k (1.204) = Поскольку известна структура регулятора в форме (1.204), то структурную схему регулятора можно изобразить в виде (рис. 1.90).

k 1 (s) c1 ку + x (t ) + u (t ) y (t ) + (t ) k 2 ( s) Wо ( s ) c 2 ку + k l (s) c l ку Рег у лятор Рис. 1.90. Структурная схема системы Далее рассмотрим алгоритм синтеза системы, структурная схема которой пред ставлена на рис. 1.90, используя в качестве базиса функции Лягерра.

1.9.2. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА СПЕКТРАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕГУЛЯТОРА Положим, что задана эталонная ПФ замкнутой системы Wэ ( s ) ;

тогда Wку ( s )Wo ( s ) Wэ ( s ) = (1.205), 1 + Wку ( s )Wo ( s ) где Wку ( s ) — ПФ регулятора, Wo ( s ) — ПФ объекта управления. Поскольку спра ведливы зависимости Wэ ( s ) + Wэ ( s )Wку ( s ) Wo ( s ) = Wку ( s ) Wo ( s ) и Wэ ( s ) = Wку ( s ) Wo ( s ) Wo ( s )Wэ ( s ), то Wэ ( s ) = Wку ( s ) Wс ( s ), (1.206) где Wс ( s ) = Wo ( s ) Wo ( s ) Wэ ( s ).

Обозначая kэ ( ) = L1 {Wэ ( s )}, kc ( ) = L1 {Wo ( s ) Wo ( s )Wэ ( s )}, можно записать интегральное уравнение, определяющее ИПФ регулятора:

t kэ ( t ) = kc ( t ) kку ( ) d. (1.207) Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Предполагая, что kэ ( t ) L2 [ 0, ), kc ( t ) L2 [ 0, ), kку ( t ) L2 [ 0, ), представляя их в виде разложения по функциям Лягерра l l l kэ ( t ) c э L ( t ), kc ( t ) cc L ( t ), kку ( t ) c L ( t ) kку k k (1.208) = 0 = 0 = и подставляя последние зависимости в (1.203), получим систему алгебраических уравнений для расчета неизвестного вектора ) ( T k k k k kку = c0 ку, c1 ку, c2ку, K, cl ку C.

Эта система имеет вид l l ck c kку c kэ = p c, p = 0, l, (1.209) c p 1 2 1 = 0 2 = где t c = L1 ( ) L2 ( t ) d L p ( t ) dt = p k, если 1 + 2 = p + 1 и 1 p, 2 p;

(1.210) =, если 1 + 2 = p и 1 p, 2 p;

k 0 во всех остальных случаях.

Поскольку t cэ L ( t ) = ck c L ( ) L ( t ) d, k (1.211) ку с 1 1 = 0 =0 =0 1 а после умножения последнего равенства на L0 ( t ), L1 ( t ), K,Ll ( t ), K и интегриро вания на промежутке [0, ) легко получить t cс cку L1 ( ) L 2 ( t ) d L p ( t ) dt, p = 0,1,2,K, k k cэ = p 1 1 = 0 2 = 0 p c отсюда следует (1.209). Последняя система является треугольной;

в этой системе од ностолбцовые матрицы ( ) T Ckэ = c0 э, c1 э, c2 э, K, clkэ k k k и ( ) T Сkc = c0c, c1 c, c2c, K, clkc k k k известны.

Таким образом, формулой l kку ( ) = cку L ( ) k = определены структура и параметры регулятора.

134 Синтез регуляторов систем автоматического управления Метод можно применять в случае, если используется промежуток [0, T ];

тогда в качестве базиса целесообразно использовать ортонормированные системы, опреде лённые на [0, T ] (важно, чтобы ИПФ не содержали дельта-функций).

Пример 1.13. Пусть объект управления определяется ПФ 1, Wo ( s ) =, ( ) T1T2 s 3 + 2T1T2 + T22 s 2 + ( T1 + 2T2 ) s + T1 = 0,4;

T2 = 0,3;

= 0,4.

Переходная характеристика W (s) 1 1 Wo ( s ) h ( t ) = L1 o и ИПФ k ( t ) = L 1 + Wo ( s ) s 1 + Wo ( s ) нескорректированной системы представлены на рис. 1.91 и 1.92.

h(t) k(t) 1 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,3 0, 0, 0, t, c t, c 0 1, 4 0 2 4 6 8 0 2 6 8 Рис. 1.91. График переходной характеристики Рис. 1.92. ИПФ нескорректированной системы нескорректированной системы В качестве эталонной выберем передаточную функцию замкнутой системы вида Wэ ( s ) = 2, s + 1, 40 s + причем 0 = ;

если Tу = 5, то 0 = 1 и, следовательно, Tу W э (s) =.

s 2 + 1, 4s + Переходная характеристика эталонной системы имеет вид (рис. 1.93).

Спектральная характеристика ИПФ эталонной системы, найденная с помощью рассмотренного выше алгоритма, может быть записана так (масштабный множитель функций Лягерра выбран равным 6, т.е.

k = 6, см. том 1):

0,1724992 0, 0, 0, 0, C kэ =.

0, 0, 0, 0, 0, ИПФ k э ( t ) эталонной системы и ее аппроксимация k э ( t ) с помощью функций Лягерра (удержива % лось 10 членов разложения) на промежутке [0;

10] представлены на рис. 1.94.

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем kэ(t) 0, kэ(t) 0, hэ(t) 1, 0, kэ (t ) % 0, 0, 0,5 0, kэ (t ) % t, c t, c kэ(t) 0 0, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 8 Рис. 1.93. Переходная характеристика Рис. 1.94. Графики ИПФ эталонной системы k э ( t ) и ее аппроксимация k э ( t ) эталонной системы % Для реализации алгоритма необходимо знать ПФ Wc ( t ) ;

она записывается в форме 3500 s 2 + 4900 s Wc ( s ) =.

90s + 591s + 2341s 3 + 5205s 2 + 5100s + 5 Запишем спектральную характеристику kc ( t ) = L1 {Wc ( s )} ;

она имеет вид 0, 0, 0, 1, 0, C kc =.

0, 0, 0, 0, 0, Графики kc ( t ) и kc ( t ) на промежутке [0;

10] имеют вид (рис. 1.95).

% kс(t) 1, 0, kc ( t ) % 0, kс(t) t, c 0 2 4 6 8 Рис. 1.95. Графики функций kc ( t ) и kc ( t ) % 136 Синтез регуляторов систем автоматического управления Система алгебраических уравнений (1.209) для рассматриваемого примера запишется так:

c k ку 0 c kэ c k ку k э 1 c c k ку c k э 2 c k ку c k э 3 k A 12 c 4 ку c 4 э k A k ку = k э, A 21 A 22 c c 5 k c 6 ку c 6 э k k c 7 ку c 7 э k k kэ c8 ку c k kэ 9 c ку c где 0,23381 0 0 0 0,63219 0, 23381 0 0 A 11 = 0,32738 0,63219 0, 23381 0, 0,48448 0,32738 0,63219 0, 23381 0 0,5729 0, 0, 48448 0,32738 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0, A 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5729 0, 0,132 0,48448 0, 0,0012692 0,132 0,5729 0,48448 0, 0,069881 0,0012692 0,48448, A 21 = 0, 0, 0,022501 0,069881 0,0012692 0, 0, 0,047545 0,022501 0,069881 0,0012692 0, 0,23381 0 0 0 0,63219 0,23381 0 0 A 22 = 0,32738 0,63219.

0,23381 0 0,48448 0,32738 0,63219 0,23381 0,5729 0,48448 0,32738 0,63219 0, Одностолбцовая матрица, определяющая спектральную характеристику регулятора, имеет вид 0, 0, 1, 1, 2, k C ку =.

1, 3, 2, 3, 3, Переходная характеристика и ИПФ скорректированной системы практически совпадает с переходной характеристикой и ИПФ эталонной системы (рис. 1.95).

Структурная схема скорректированной системы представлена на рис. 1.96.

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем y (t ) (t) k k k s s k s 2 k s+ k k k s+ s+ s+ 2 k k k k c1 ку c2 ку c0 ку c9 ку + + + Регулятор + x(t) u(t) 1, TT2s3 + ( 2TT2 + T22 ) s2 + (T1 + 2T2) s + 1 Объект управления Рис. 1.96. Структурная схема САУ 1.10. МЕТОД НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯТОРОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ Рассматриваемый ниже метод основан на использовании второго принципа, из ложенного в п. 1.3. Этот принцип предполагает, что параметры регулятора, структура которого выбрана, рассчитываются из условия наилучшего приближения выходного сигнала x ( t ) на заданное воздействие y э ( t ) к некоторому эталону x э ( t ). Критерием близости выбрана метрика пространства L2 [0, ).

Основная формула имеет вид (см. п. 1.3) I ( p1, p 2,..., p r ) = x э ( t ) x p ( t, p1, p 2,..., p r ) dt = = x э ( t ) L1 ( p1, p 2,..., p r ) y э ( t ) dt = ( ) = x э ( t ) Ao Aку ( p1, p 2,..., p r ) I + Ao Aку ( p1, p 2,..., p r ) y э ( t ) dt min.

_ p, i =1, r 0 i В последней зависимости:

Ao — оператор объекта;

Aку ( p1, p 2,..., p r ) — оператор регулятора (предполагается, что структура, имею щая соответствующие возможности, выбрана проектировщиком системы), зависящий от изменяемых параметров p1, p 2,..., p r ;

y э ( t ) — эталонный входной сигнал;

x э ( t ) — эталонный выходной процесс.

Принципиальная трудность применения рассматриваемого подхода заключается в том, что записанный выше функционал, подлежащий минимизации по параметрам регулятора p1, p 2,..., p r, требует знания обратного оператора замкнутой системы 138 Синтез регуляторов систем автоматического управления 1 ( ) L1 ( p1, p 2,..., p r ) = Ao Aку ( p1, p 2,..., p r ) I + Ao Aку ( p1, p 2,..., p r ), явно зависящего от параметров регулятора p1, p 2,..., p r.

Как уже указывалось, реализация этого подхода возможна лишь в простейших случаях.

К таким случаям относится класс линейных стационарных систем, когда крите рием, определяющим степень близости реального выходного сигнала x p ( p1, p 2,..., p r ) к эталонному процессу x э ( t ), служит функционал I ( p1, p 2,..., p r ) = x э (t ) x p (t, p1, p 2,..., p r ) dt. (1.212) Рассмотрим задачу синтеза регуляторов в общей постановке: заданы входной сиг нал y э ( t ) и эталонная реакция на это воздействие x э ( t ) ;

необходимо построить алгоритм расчета параметров регулятора (при известной структуре) исходя из следующих условий:

• I ( p1, p 2,..., p r ) min ;

_ p i, i =1, r n X(t ) X t [0, T ], где X (t ) — вектор-функция состояния системы;

X n — • заданная область.

Частным случаем X(t ) X n t [0, T ] является принадлежность переходной ха рактеристики h(t) «коробочке» В.В. Солодовникова с ограничениями на соответст вующие производные управляемой переменной:

• u (t ) U 1, u (t ) — скалярное управление, поступающее на объект;

U 1 — за данная область;

• p1 p1 p1,..., p r p r p r, где p im и p iM соответственно минимальное m M m M и максимальное значение i -го параметра регулятора (ограничения на пара метры);

• C 0 C 0 доп, C1 C1 доп,..., где C 0, C1,... — коэффициенты ошибок.

Конкретная постановка задачи может быть сформулирована так: при заданной структуре регулятора найти параметры p = ( p1, p2,..., pr ) из условия наилучшего приближения реального выходного сигнала xp (t, p1, p2,..., pr ), являющегося реакцией на yэ (t ) = 1(t ), к эталонной переходной характеристике с заданными показателями качества: быстродействием, колебательностью, максимальным отклонением в пе реходном режиме при обеспечении устойчивости системы и приближенном обеспе чении заданной точности в установившемся режиме.

Или, что то же самое, найти параметры p1, p2,..., pr, обеспечивающие выполне ние условий:

1) функционал (1.212) принимает минимальное значение;

2) обеспечивается устойчивость системы (в вычислительном отношении для про верки устойчивости системы наиболее удобен критерий Раусса);

3) если yэ ( t ) = 1( t ), то hэ ( t ) — эталонная переходная характеристика;

функция hp ( t, p ) должна находиться в «коробочке» Солодовникова, т.е.

а) hp ( t, p ) hуст, Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем где — постоянная величина, значение которой в техническом задании зада ется в процентах от установившегося значения выходного процесса hуст = hp ( t, p ) t = ;

hp max1 ( t, p ) hуст б) % = 100% % доп, hуст т.е. перерегулирование не должно превышать допустимого значения (обычно % доп = (10 30)% );

в) Tу Tу доп, т.е. время переходного процесса не должно превышать допусти мого значения Tу доп.

Кроме этого, могут быть заданы ограничения на производные выходного про цесса, на число колебаний hp ( t, p ) (при проектировании систем допускают чис ло колебаний равным (1–2), реже (3–4);

иногда колебания недопустимы) и др.;

4) выполнены ограничения, обусловленные требованиями к точности системы в установившемся режиме. Требования к точности должны быть предъявлены в виде ограничений на коэффициенты ошибок:

С С С0 С0доп ;

С1 С1доп ;

2 С2доп ;

3 С3доп ;

....

2! 3!

Область допустимых значений варьируемых параметров обычно ограничена ус ловием их технической реализации pim pi piМ, i = 1, r.

Еще более конкретизируем постановку задачи, рассматривая систему с ПФ вида W (s) = 2.

s + 20 s + Переходная характеристика САУ имеет вид h ( t ) = 1 e 0 sin ( 0 t + ), (1.213) где = 1 2, = arccos ( ), 0 1.

Важными являются следующие факторы:

• все характеристики системы полностью определяются значениями, 0 ;

• постоянная времени T = определяет процесс затухания колебаний, а — их частоту;

• поскольку оценка качества работы САУ определяется по численным показате лям, которые выбираются так, чтобы подчеркнуть наиболее важные требо вания, предъявляемые к системе, то для эффективного применения аппарата математического программирования большую роль играет возможность в яв ной форме выразить указанные показатели через параметры системы, напри мер и 0. Соответствующие зависимости имеют вид (см. том 1):

а) время переходного процесса с ПФ W ( s ) определяется формулой Tу, т.е. Tу можно считать равным четырем постоянным времени T = ;

140 Синтез регуляторов систем автоматического управления б) время максимума h ( t ) определяется выражением Tmax = ;

0 1 в) для максимального значения переходной характеристики h (Tмах ) = hмах1, оп ределяющей перерегулирование %, справедлива зависимость hmax1 = h ( t ) t =T 1 = 1 + e ;

max тогда величина относительного перерегулирования находится так:

h (Tmax ) h уст 100% = 100 e 1 % % = h уст (заметим, что перерегулирование не зависит от 0 ).

Из изложенного следует, что быстродействие системы, определяемое временем Tmах и временем установления, и степень близости к эталонному сигналу xэ ( t ), определяемое величиной перерегулирования и Tу, — это факторы, противоречащие друг другу, поэтому при проектировании САУ необходимо искать компромисс;

г) число различных колебаний nс при 0, 2 0, 6 можно рассчитать по формуле 4 4 1 2 0, nс = = ;

2 2 д) установившаяся ошибка при отработке, например, входного сигнала y ( t ) = y1 ( t ) может быть определена с помощью зависимости d ( t ) = c1 y1 ( W ( s ) ).

ds s = С учетом сказанного задача математического программирования может быть сфор мулирована так: найти параметры 0 и, обеспечивающие выполнение условий:

1. Функционал (1.212) принимает минимальное значение, причем в качестве эта лонной переходной характеристики можно задавать процесс, изображение которого определяется зависимостью [5]:

s + H э (s) = K у hэ ( t ), (1.214) 2 s 2 + 1s + где K у определяет астатизм системы, 1 и 2 — параметры, связанные с временем переходного процесса Tу и максимальным отклонением в переходном режиме hmax формулой h ln max1 Kу 6 2 =, 1 =.

2 Tу hmax1 1 + ln Tу K у Задаваясь Tу и hmax1, легко найти изображение (1.214), а затем — эталонную пе реходную характеристику в виде Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем hэ ( t ) = K y K y e эt cos эt. (1.215) 2. Выполнены следующие ограничения:


а) Tу = Tу доп ;

б) Tmax = Tmax доп ;

0 1 в) % = 100 e % %доп ;

4 1 г) nс = nс доп ;

д) с1 с1 доп.

Рассмотрим решение поставленной задачи для частного случая, когда ( ) yэ ( t ) = 1( t ), xэ ( t ) = K y 1 e эt. (1.216) Запишем формулу, определяющую переходный процесс через неизвестные парамет ры корректирующего устройства:

hp (t, p) = L1 W ( s, p ), (1.217) s где Wкy ( s, p )Wo ( s ) = W ( s, p1, p2,..., pr ), W ( s, p ) = (1.218) 1 + Wкy ( s, p )Wo ( s ) Wo ( s ) — ПФ объекта;

Wкy ( s, p ) — ПФ регулятора. В формуле (1.218) p1, p2,..., pr — параметры корректирующего устройства;

подбором этих параметров достигается заданное качество переходного процесса. Таким образом, реальный переходный про цесс определяется зависимостью (1.218), в которую входят неизвестные параметры p1, p2,..., pr.

Запишем формулу для невязки ( t, p ) = xэ ( t ) hp ( t, p ).

Тогда функционал качества имеет вид I ( p1, p2,..., pr ) = xэ ( t ) hp ( t, p ) dt. (1.219) Преобразуем подынтегральное выражение в (1.219) по Фурье ( ) K y 1 e эt hp ( t, p1, p 2,... p r ) (1.220) Wкy ( j, p ) Wo ( j) Ky Ky = E ( j, p ).

j j + э 1 + Wкy ( j, p ) Wo ( j) j Воспользовавшись равенством Парсеваля, зависимость (1.219) перепишем в виде I ( p1, p2,..., pr ) = xэ ( t ) hp ( t, p ) dt = (1.221) = (t, p ) = E ( j, p ) E ( j, p ) d.

142 Синтез регуляторов систем автоматического управления Преобразуем (1.221) следующим образом:

4( ) W j 64444 744444 bm ( p )( j) m +... + b0 ( p ) Ky Ky E ( j, p ) = = j j + э a n ( p )( j) m +... + a 0 ( p ) j (1.222) k k c k ( p)( j) + c k 1 ( p )( j) +... + c 0 ( p) C ( j, p ) = =, k D( j, p ) k d k ( p )( j) + d k 1 ( p)( j) +... + d 0 ( p ) где ck ( p ) = cn +1 ( p) = (an ( p)K y + an ( p)),..., c0 ( p) = K y э a0 ( p) + b0 ( p) э, d k ( p) = d n + 2 ( p) = a n ( p),..., d 1 ( p ) = a 0 ( p ) э, d 0 ( p ) = 0.

Перепишем (1.221) в виде + + g k ( j, p) C ( j, p)C ( j, p) d = d, (1.223) I ( p1, p2,..., pr ) = 2 D( j, p) D( j, p) hk ( j, p )hk ( j, p ) где hk ( j, p ) = h0 ( p )( j) k + h1 ( p )( j) k 1 +... + hk ( p );

g k ( j, p ) = g 0 ( p)( j) 2 k 2 + g1 ( p )( j ) 2 k 4 +... + g k 1 ( p).

Принципиально важным является тот факт, что для значения интеграла (1.221) можно записать точную формулу. Таким образом, функционал (1.219) удается пред ставить в виде функции, явно зависящей от переменных h0 ( p), h1 ( p ),..., hk ( p ), g 0 ( p ), g1 ( p),..., g k ( p ) и, следовательно, явно зависящей от параметров p1, p2,..., pr, т.е.

I ( p ) = I ( p1, p2,..., pr ).

Эта формула имеет вид (см. Приложение во втором томе) ( 1)k +1 N k I k ( p) =, 2h0 ( p ) M k где m11 m12... m1k m21 m22... m2 k, mkr = h2 k r ( p);

h ( p ) = 0 ( 0, k ), Mk =............

mk1 mk 2... mkk N k — определитель, полученный из M k заменой элементов первого столбца величинами g0 ( p ), g1 ( p ),..., g k 1 ( p ).

Таким образом, здесь центральную роль играет равенство Парсеваля, позволяю щее получить следующее основное соотношение:

I ( p1, p2,..., pr ) = ( ) = xэ ( t ) Ao Aку ( p1, p2,..., pr ) I + Ao Aку ( p1, p2,..., pr ) yэ ( t ) dt = + (1.224) g k ( j, p1, p2,..., pr ) hk ( j, p1, p2,..., pr )hk ( j, p1, p2,..., pr )d = = (1) k +1 N k ( p1, p2,..., pr ) = min 2h0 ( p1, p2,..., pr ) M k ( p1, p2,..., pr ) ( p1, p2,..., pr ) при указанных выше ограничениях.

Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Н ачал о И схо дн ы е да н н ы е:

передаточная ф у нкция объ екта, этал онны й вы х одной сигнал, кр итерий близости этал онного и р еального пр оцесса (ф ункцио нал ) и требуем ы е ограничения В ы бо р стру ктур ы р егул ятор ов и его парам етр ов, по длеж ащ их определению П остр оение передаточной ф у нкции всей систем ы В оспол ьзовавш ись равенством П ар севал я, найти изображ ение ф ункционала М иним изация ф у нкционала (нахож дение неизвестны х парам етров р егул ятор а) А н ал и з:

Ппостроение реального о стро ение реально го вы хо дного процесса выходного пр оцесса Н ет У довл етвор яет вы хо дно й сигнал необходим ы м тр ебованиям ?

Да П ечать р езул ьтато в К о нец Рис. 1.97. Структурная схема алгоритма 144 Синтез регуляторов систем автоматического управления Следует отметить, что определитель N k в некоторых случаях может обращаться в нуль. Это происходит из-за того, что в знаменателе выражения E ( j, p ) коэффици ент при нулевой степени j может равняться нулю (коэффициент d 0 ( p )). Этот факт будет иметь место в случаях, когда не происходит сокращения числителя и знамена теля выражения E ( j, p) на j. Если сказанное имеет место, то функционал каче ства (1.221) можно определить не через невязку переходных функций, а через невяз ку импульсных переходных характеристик, т.е.

I ( p1, p2,..., pr ) = kэ ( t ) kp ( t, p ) dt.

Сформулированная задача расчета pi, i = 1, r с помощью зависимости (1.224) при ограничениях, указанных в постановке задачи, является задачей нелинейного про граммирования и может быть решена с использованием известных методов (см. При ложение к тому 4).

Ввиду сложности приведенных выше ограничений для решения задачи нелиней ного программирования можно использовать процедуру численного направленного поиска;

в частности, может быть использована процедура случайного поиска [5].

Дополнительно может накладываться ограничение на колебательность системы.

В [5] приведены зависимости, определяющие ограничения, накладываемые на коэф фициенты характеристического уравнения.

В каждом конкретном случае проектирования регуляторов можно для некоторых ограничений записать явные соотношения, зависящие от параметров, для других же реализуется поиск параметров, удовлетворяющих нужным ограничениям, при этом показатели качества на каждом шаге направленного поиска могут опреде ляться по результатам численного интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы.

Структурная схема алгоритма синтеза изображена на рис. 1.97.

Пример 1.14. Проиллюстрируем применение метода нелинейного программирования на примере син теза системы управления креном ракеты (рис. 1.98).

ПФ замкнутой системы определяется формулой K пр K K W ( s) =, (1.225) T s 2 + s + K пр K K или, что то же самое, W (s) =, 2 s + 20 s + K пр K K1 где 0 =, =.

T 2 K пр K K1T Требуется найти такие 0,, чтобы выполнялись следующие ограничения: Tу 2, Tmax 0, 7, % 15%, nс 1, с1 0,5.

В качестве эталонной переходной характеристики выберем следующий процесс:

hэ = 1 e э t cos эt, s + э H э ( s) =.

s ( s + э ) 2 + э Преобразование Фурье невязки примет вид ck ( p )( j) k E ( j) = H э ( s ) W ( s ) = k =, s d k ( p )( j) k k = Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем где p = {0, } — искомые параметры, c0 ( p ) = 2 20 э0 + 2э 0, 2 э c1 ( p ) = 0 + 2э0 + 2 + э, 2 э c2 ( p ) = э, c3 ( p ) = 0, c4 ( p ) = 0, ( ) d0 ( p ) = 2 + э 0, 2 э d1 ( p ) = 220 + 220 + 2 э0, э э d2 ( p ) = 2 + э + 4 э0 + 0, 2 э d3 ( p ) = 2 э + 20, d 4 ( p ) = 1.

h (t ) 1, реальный процесс 1, трубка 2% % эталонный процесс 0, 0, 0, 0, t, c 0,5 2, 1, hmax Tу Рис. 1.98. Графики переходных процессов Отсюда следует (см. формулу (1.223)) + g k ( j, p ) I ( p1, p 2 ) = d, 2 hk ( j, p )hk ( j, p ) где 2 2 g 0 = 2с2 с4 с3 = 0;

g1 = 2 c0 c4 + c2 2c1 c3 = c2 ;

2 g 2 = 2 c0 c2 2 c1 ;

g3 = c0 ;

h0 = d 4 ;

h1 = d3 ;

h2 = d 2 ;

h3 = d1 ;

h4 = d 0.

Функционал, подлежащий минимизации:

N k ( p) I ( p) =, 2h0 ( p)M k ( p ) где h1 ( p ) h3 ( p ) h ( p) h ( p) h ( p) M( p) = 0, 2 0 h1 ( p ) h3 ( p ) 0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) 146 Синтез регуляторов систем автоматического управления g 0 ( p ) g1 ( p ) g 2 ( p ) g3 ( p ) h ( p) h ( p) h ( p) N( p) = 0 ;

2 0 h1 ( p ) h3 ( p ) 0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) тогда ( I ( p ) = 4 э 04 + 2 э 62 6 э 3 2 125 2 э 240 3 2 2 024 5 20 2 + 24 3 20 4 + 4 4 2 4 2 э 0э 0 э 0э э э э э э э + 64 4 33 э + 32э 33 э 16 20 ээ 835 2 э + 64 40 3 э + 32 40 4 э + 8 э 6 2 4 2 6 2 2 4 2 4 э 0 0 0э э э э 4 6 3 + 450 + 26 3 + 20 7 + 60 3э + 60 5э 240 5 2 + 8 7 20 + 32 4 2 2 4 2 2 4 э0 э 0э э э э э э э ) 8 26 3 1635 4 + 32 40 5 + 8354 + 47 2 + 275 45 4 + 236 + 2 э06 / 4 0э 0э э 0э 0э 0э 0э 0э э ( +8 7 3 + 24 53 2 + 24 33э + 640 4 2э 4 4 2 24 + 6435 3э + 3235 э э + 32 э э 0 + / э0 э0 э э0 э 0э +32 26 2э + 87 ээ + 8 э36 165 э э + 320 6 + 165 5 + 3235 5 + 32 20 э + 0э 0 0э 0 э 0э 0э ).

+ 87 0э Выберем э = 3, э = 3. Минимизируя значения этого функционала в пакете Matlab с помощью функ ции fmincon c начальными условиями 0 = 0,5, 0 = 0,5 и со следующими ограничениями:

4 1 0, 7;

в) % = 100 e 2;

б) Tmax = а) Tу = % 15%;

0 0 1 4 1 2 d 1;

д) с1 = (1 W ( s ) ) = 0,3, г) nс = s =0 2 ds получим следующие значения:

0 = 5, 6;

= 0,54, = 1,3228, Tmax = = 0, 6665, при этом Tу = 0 0 1 4 1 2 % = 100 e % = 11,324%, nс = = 0,9923, с1 = = 0,1929.

2 Пример 1.15 [см. том 1]. Система автоматического управления самолетом является типичным приме ром, когда используется обратная связь по нескольким переменным. В такой системе положение самолета в воздухе изменяется с помощью элеронов, рулей высоты и руля направления, как показано на рис. 1.99.

Манипулируя этими органами управления, пилот устанавливает желаемую траекторию полета.

Элерон Руль направления Руль высоты Угол крена Элерон Рис. 1.99. Самолет и его органы управления Автопилот, который мы рассмотрим в данной задаче, представляет собой автоматическую систему управления, изменяющую угол крена путем отклонения элеронов. Отклонение элеронов на угол приводит к возникновению вращающего момента благодаря давлению воздуха на поверхность. За счет этого момента происходит вращение самолета относительно горизонтальной оси. Элероны отклоняются с помощью гидравлического исполнительного механизма с передаточной функцией 1 s.


Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Действительный угол крена измеряется и сравнивается с заданным значением з. Разность между з и усиливается и подается на вход исполнительного механизма, который управляет отклонением элеронов.

На рис. 1.100 приведена упрощенная схема, в которой вращение самолета относительно горизонталь ной оси рассматривается независимо от движений в других направлениях. Предположим, что K1 = 1, а скорость изменения угла измеряется гироскопическим датчиком и используется как дополнительный сигнал обратной связи. Необходимо выбрать параметры K у и K 2 так, чтобы переходная характеристика имела перегулирование не более 10% и время регулирования (по критерию 2%) не более 9 с.

Исполнительный Усилитель механизм & з ( s + 1) Kу s Датчик скорости K2 Датчик положения K Рис. 1.100. Структурная схема системы управления углом крена (см. том 1) В качестве эталонной переходной характеристики выберем процесс, определяемый формулами hэ = 1 e э t cos эt, s + э H э ( s) =, s ( s + э ) 2 + э где э = 0,5, э = 0, 4.

Передаточная функция системы имеет вид Kу W (s) =.

3 s + s + K у K2 s + K у Преобразование Фурье невязки примет вид ck ( p)( j)k E ( j) = H э ( s ) W ( s ) = k =, s dk ( p)( j)k k = где p = { K у, K 2 } — искомые параметры, c0 ( p ) = э K y + 2 K y K 2 +2 K y K 2, э э c1 ( p ) = э K y K 2 K y + 2 +э, э c2 ( p ) = 2 +э + э, э c3 ( p ) = э, c4 ( p ) = 0, c5 ( p ) = 0, ( ) d0 ( p ) = 2 + э K y, э d1 ( p ) = 2 K y K 2 +2 K y K 2 + 2 э K y, э э d2 ( p ) = 2 +э + 2 э K y K 2 + K y, э 148 Синтез регуляторов систем автоматического управления d3 ( p ) = 2 +э + 2 э + K y K 2, э d 4 ( p ) = 2 э + 1, d5 ( p ) = 1.

Отсюда следует + g k ( j, p ) I ( p1, p 2 ) = d, 2 hk ( j, p )hk ( j, p ) где 2 2 g 0 = c4 2c3c5 = 0;

g1 = 2c2c4 2c1c5 c3 = c3 ;

2 2 2 g 2 = 2 c0 c4 + c2 2c1 c3 = c2 2c1 c3 ;

g3 = 2 c0 c2 2 c1 ;

g 4 = c0 ;

h0 = d5 ;

h1 = d 4 ;

h2 = d3 ;

h3 = d 2 ;

h4 = d1;

h5 = d 0.

Функционал, подлежащий минимизации, может быть записан так:

N k ( p) I ( p) =, 2h0 ( p )M k ( p ) где h1 ( p ) h3 ( p) 0 g 0 ( p ) g1 ( p ) g 2 ( p ) g3 ( p ) g 4 ( p ) h5 ( p) h ( p) h ( p) 0 h ( p) h ( p) h ( p) h4 ( p ) 0 0 0 2 2 M( p) = 0 0, N( p) = 0 0 ;

h1 ( p ) h3 ( p) h5 ( p) h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) 0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) 0 0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) 0 0 h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) 0 h1 ( p ) h3 ( p) h5 ( p ) тогда ( 2 22 2 32 I ( p ) = 2389508 K у + 49058714 K у 10958439 K у K 2 + 26279278 K у K 2 + 8712500 K у K 2 + 3246700 K у K 33 4 42 43 44 19835800 K у K 2 + 123000000 K у K 2 43060000 K у K 2 30750000 K у K 2 + 16810000 K у K 2 + 141060000 K у ) ( 21916878K у 93127400 K у K 2 179803122 K у 63140000 K у K 2 254708400 K у K 4 2 2 32 66000000 K у ) 3 43 42 4 29520000 K у + 82000000 K у K 2 + 48380000 K у K 2 48380000 K у K 2 82000000 K у.

Минимальное значение функционала с ограничениями K y 0, K y K 2 K y 0 (условия, налагаемые на устойчивость системы (см. том 1 табл. 1.4)) находилось с помощью функции fmincom пакета MATLAB.

В результате получились следующие значения:

K y = 1000, K 2 = 2, 2.

На рис. 1.101 показаны графики эталонной и реальной переходных характеристик.

h (t ) 1, эталонный процесс 1, трубка 2% 0, реальный процесс 0, 0, 0, t, c Рис. 1.101. Графики переходных процессов Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Пример 1.16 [см. том 1]. В системе стабилизации скорости стола обрабатывающего станка использу ются прецизионный тахометр и двигатель постоянного тока прямого действия, как показано на рис. 1.102.

При управлении скоростью желательно поддерживать высокую точность в установившемся режиме. Для получения нулевой установившейся ошибки при ступенчатом входном сигнале выберем ПИ-регулятор и определим надлежащие значения параметров, при которых система будет иметь перерегу лирование около 10% и время регулирования (по критерию 2%) от 0,6 до 0,8 с.

В качестве эталонной переходной характеристики выберем процесс, определяемый формулами hэ = 1 e э t cos эt, s + э H э ( s) =.

s ( s + э ) 2 + э где э = 4,5, э = 5.

Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид K s + Kи K Wр ( s ) = Kп + и = п.

s s Дигатель Усилитель и нагрузка y (s) x (s) 2, Wp Kу ( s + 0,1)( 0,1s + 1) Рис. 1.102. Система управления скоростью стола Передаточная функция всей системы имеет вид 2,5Kп K у s + 2,5Kи K у W (s) =.

( ) 0,1s3 + 1,01s 2 + 2,5Kп K у + 0,1 s + 2,5Kи K у Введем обозначения: K1 = K п K у, K 2 = K и K у ;

тогда 2,5K1s + 2,5K W ( s) =.

0,1s3 + 1, 01s 2 + ( 2,5K1 + 0,1) s + 2,5K Преобразование Фурье невязки примет вид ck ( p)( j)k E ( j) = H э ( s ) W ( s ) = k =, s dk ( p)( j)k k = где p = { K1, K 2 } — искомые параметры, c0 ( p ) = 1810 4500 K 2, c1 ( p ) = 18461 4500 K1 1000 K 2, c2 ( p ) = 3628 1000 K1, c3 ( p ) = 180, c4 ( p ) = 0, c5 ( p ) = 0, d0 ( p ) = 45250K2, d1 ( p ) = 45250K1 +1810+9000K 2, d 2 ( p ) = 18641 + 9000 K1 + 1000 K 2, d3 ( p ) = 5486 + 1000 K1, d 4 ( p ) = 764, d5 ( p ) = 40.

Отсюда следует + g k ( j, p ) I ( p) = d, 2 hk ( j, p )hk ( j, p ) где 2 2 g 0 = c4 2c3c5 = 0;

g1 = 2c2 c4 2c1c5 c3 = c3 ;

150 Синтез регуляторов систем автоматического управления 2 2 2 g 2 = 2 c0 c4 + c2 2c1 c3 = c2 2c1 c3 ;

g3 = 2 c0 c2 2 c1 ;

g 4 = c0 ;

h0 = d5 ;

h1 = d 4 ;

h2 = d3 ;

h3 = d 2 ;

h4 = d1;

h5 = d 0.

Функционал, подлежащий минимизации:

N k ( p) I ( p) =, 2h0 ( p )M k ( p ) где h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) h ( p) h ( p) h4 ( p ) 0 M( p) = 0 0, h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) 0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) 0 h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) g 0 ( p ) g1 ( p ) g 2 ( p ) g3 ( p ) g 4 ( p ) h ( p) h ( p) h ( p) 0 2 N( p) = 0 0 ;

h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) 0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) 0 h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) тогда ( I ( p ) = 43, 623K1 + 21976 K 2 + 4, 7648 K12 8402, 2 K1K 2 345, 40 K 2 K12 + 491,33K1K 2 248,55 K 2 + 2 )( +87,833K 2 + 272,53K 2 K1 4,1420 K 2 K12 + 7, 6688K1K 2 1, 0480 K 2 + 69,912 / 36001K 2 + 3 3 2 3 +39845 K1K 2 25738K 2 + 13299 K 2 K12 6449, 4 K1K 2 + 390, 60 K 2 + 1184, 6 K 2 K1 515,81K 2 K12 + 2 2 3 3 ) 3 +54, 083K1K 2 1, 4480 K 2.

Минимальное значение функционала можно найти, как и в предыдущем примере, или следующим об dI 2 ( p ) dI 2 ( p ) разом: найдем производные и и приравняем их к нулю. Получим систему из двух нели dK1 dK нейных уравнений, решить которую можно с помощью функции solve пакета MATLAB. В результате ре шения системы получаем несколько пар значений искомых параметров, из которых в силу физической реализуемости выбираем следующие:

K1 = 3, K 2 = 0, 4.

На рис. 1.103 показаны графики эталонной и реальной переходных характеристик.

h (t ) 1, эталонный процесс 1, 0, трубка 2% 0, реальный процесс 0, 0, t, c 0 0, 5 0, 6 0, 7 0,8 0, 0,1 0, 2 0, 3 0, Рис. 1.103. Графики переходных процессов Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем Пример 1.17 [81]. Рассмотрим режим малых колебаний при перерегулировании возбуждения син хронного генератора. Генератор работает через дальнюю передачу на систему U = const. Используется уравнение генератора в упрощенной форме Лебедева–Жданова;

учитывается постоянная времени возбуж дения. Постоянными времени возбудителя и дифференцирующих звеньев пренебрегаем. Пусть (t ) — угол между векторам ЭДС и вектором напряжения U. Изображение приращения (t ) при внезапном малом изменение нагрузки записывается так:

b2 s 2 + b1s + b W (s) =, a4 s + a3 s 3 + a2 s 2 + a1s + a где b0 = 10, 2;

b1 = 4,86 0,3891 0, 6321;

b2 = 0, 287 0,3892 0, 632 2 ;

a0 = 6,57;

a1 = 2,13 + 0, 2931 0,3991;

a2 = ( 56,8 0,1241 + 29,32 0, 2011 39,9 2 ) 102 ;

a3 = ( 20,5 1, 631 0,1242 + 2, 651 + 0, 201 2 ) 102 ;

a4 = (1, 21 1, 631 2, 65 2 ) 102 ;

где 1, 1, 1, 2 — соответственно коэффициенты усиления по первой и второй производным тока и на пряжения. Определим их, исходя из следующих требований: переходной процесс должен быть близким к эталонному при времени протекания переходного режима в пределах 2,5 с и максимальной скорости про текания процесса 2,5 рад/с.

Для реализации этого условия потребуем, чтобы колебания угла происходили по закону, близкому к 0 ( t ) = hэ ( t ) = 1,55 1, 72e 2t + 0,17e 20t, чем определяется монотонность процесса, время его протека ния и максимальная скорость. Преобразование Лапласа hэ ( t ) s + H э (t ) =.

25s 3 + 550s 2 + 1000 s Преобразование Фурье невязки примет вид ck ( p)( j)k E ( j) = H э ( s ) W ( s ) = k =, s dk ( p)( j)k k = где p = {1, 1, 1, 2 } — искомые параметры, с0 ( p ) = 1650000, d0 ( p ) = 0.

Определим невязку E ( j) как разность изображений эталонной и реальной ИПФ:

E ( j) = K э ( s ) W ( s ), ck ( p)( j)k э H ( s) k = E ( j) = W ( s) =, s dk ( p)( j)k k = где c0 ( p ) = 1650000;

c1 ( p ) = 843150001 13550001 + 716193000;

c2 ( p ) = 233247000 1355000 2 344085501 843150002 212321001;

c3 ( p ) = 3896800 35031650 2 212321002 56872991 + 15541241;

c4 ( p ) = 2527299 2 1178500 + 15541242 + 16301 26501;

c5 ( p ) = 1210 + 16302 + 2650 2 ;

c6 ( p ) = 0;

d0 ( p ) = 657000000;

d1 ( p ) = 574350000 293000001 + 399000001;

d 2 ( p ) = 190375000 159910001 293000002 + 221460001 + 39900000 2 ;

d3 ( p ) = 159910002 15419501 + 21744000 2 + 9657001 57065000;

d 4 ( p ) = 13905000 + 9657002 + 3536950 2 14524751 + 8996001;

152 Синтез регуляторов систем автоматического управления d5 ( p ) = 1178000 + 8996001 + 1452475 2 662501 + 407501;

d6 ( p ) = 30250 + 407502 + 66250 2.

Отсюда следует + 1 g k ( j, p ) I ( p) = d, 2 hk ( j, p )hk ( j, p ) где 2 2 g 0 = c5 ;

g1 = 2c3c5 + c4 ;

g 2 = 2c1c5 c3 + 2c2 c4 ;

2 2 g3 = 2c0c4 + c2 2c1c3 ;

g 4 = 2 c0 c2 c1 ;

g5 = c0 ;

h0 = d 6 ;

h1 = d5 ;

h2 = d 4 ;

h3 = d3 ;

h4 = d 2 ;

h5 = d1;

h6 = d0.

Функционал, подлежащий минимизации, может быть записан так:

(1) k +1 N ( p) I ( p) =, 2h0 ( p )M ( p ) где h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) 0 h ( p) h2 ( p ) h4 ( p ) h6 ( p ) 0 0 h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) M( p ) = ;

0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) h6 ( p ) 0 0 h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) 0 h6 ( p ) 0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) g0 ( p ) g5 ( p ) g1 ( p ) g 2 ( p ) g3 ( p ) g 4 ( p ) h ( p) h2 ( p ) h4 ( p ) h6 ( p ) 0 0 h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) N( p ) =.

0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) h6 ( p ) 0 0 h1 ( p ) h3 ( p ) h5 ( p ) 0 h6 ( p ) 0 h0 ( p ) h2 ( p ) h4 ( p ) Минимальное значение функционала вычислялось с помощью функции fmincom пакета Matlab. В ре зультате получены следующие значения:

1 = 8,3, 2 = 2, 1 = 1,9, 2 = 0, 78.

На рис. 1.104 показаны графики эталонной и реальной переходных характеристик:

h ( t ) = 1,55 + 0, 0196e 43,164t cos(79,936t ) 0, 0146e43,164t sin(79,936t ) 1,572e1,871t cos(1, 086t ) 0,852e1,871t sin(1, 086t ).

h (t ) 1, 1, 1, эталонный процесс реальный процесс 0, 0, 0, 0, t, c 2 2, 0 0,5 1,5 3,5 4, Рис. 1.104. Графики переходных процессов Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем 1.11. МЕТОД МОМЕНТОВ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Напомним некоторые теоретические положения, определяющие содержание ме тода моментов (см. том 1).

Из уравнения n m b ( t ) y( ) av ( t ) x ( ) = v v (1.226) v v =0 v = после умножения обеих частей на порождающую функцию pi ( t ) можно найти зави симость T x ( t ) h (t ) dt =, i = 1, l, (1.227) i i где ( 1)k n dk ak ( t ) pi ( t )(T t ), hi ( t ) = n (1.228) n ! dt k k = m ( 1)k d k T b ( t ) p ( t )(T t )n dt.

y (t ) i = (1.229) k k i k = 0 n ! dt Если в уравнениях (1.227) и (1.229) положить T =, pi ( t ) = e si t, то формула (1.227) при a = const, = 0, n и bk = const, k = 0, m принимает вид x ( t ) h (t ) dt =, (1.230) i i где n hi ( t ) = ak sik e si t ;

k =0 (1.231) T m y ( t ) bk sik e si t dt.

i = k =0 Легко видеть, что если рассматривать стационарную систему, а порождающие функции — экспоненциальная система, то основным является аппарат преобразо вания Лапласа. В самом деле, если в (1.226) av = const, v = 0, n, bv = const, v = 0, m, p ( t ) = e st, то bm s m + bm 1s m 1 + K + b X (s) =, am s m + am 1s m 1 + K + a откуда находим (1.230), придавая переменной s конкретные значения: s = s1, s2,K, si.

i -м моментом функции x(t ) относительно hi (t ) системы H называется инте грал вида i = x ( t ) hi ( t ) dt, i = 1, l, (1.232) 154 Синтез регуляторов систем автоматического управления { } где H ( t ) = hi ( t ), i = 1, l — моментная система функций, — множество, на кото ром определены функции hi ( t ) и x ( t ) ( далее будем полагать = [ 0,T ] или [ 0, )).

Множество M = { k : k = 1, l} называется множеством моментов. Очевидно, x (t ) i, i = 1, 2,K моменты функции относительно моментной системы H = {hi ( t ), i = 1, 2,K} характеризуют функцию x ( t ). Однако это качественная оценка. Можно привести весьма важный факт, характеризующий количественную сторону вопроса: если известно необходимое число моментов функции x(t ) отно сительно моментной системы H, то функцию x(t ) можно восстановить с любой ( ) степенью точности например, в метрике L2 0, ), т.е. знание моментов функ ции x ( t ) дает возможность ее восстановления с необходимой точностью.

Приведем соответствующие примеры.

Пример 1.18 [81]. Восстановить функцию x ( t ) L2 0, ) моментами в виде разложения по экспонен { } циальной системе H = e qk t, k = 1, 2,K.

Известна следующая теорема (теорема Сакса): положим, что Kc = qk — комплексные показатели, об { } ладающие свойством: Re qk, и среди них нет равных. Тогда система F = qk : k = 1, 2,... полна в L [ 0,1] в том и только том случае, если Re qk + =. (1.233) k = 1 + qk + = e t, то из теоремы Сакса следует утверждение: система Если воспользоваться заменой { } H e qk t : k = 1, 2,...;

Im qk 0 полна в L2 0, ) в том случае, если Imqk 1+ | q =.

| k k = Ортонормированную систему, порожденную системой экспоненциальных функций, можно записать в виде 1 ( t ) = c11e q1t ;

2 ( t ) = c21e q1t + c22 e q2 t ;

(1.234) … l ( t ) = cl1e q1t + cl 2e q2 t +... + cll e ql t, или в матричной форме q t 0 e 1 (t ) c q2 t 2 (t ) = c21 c22 e. (1.235) L......

(t ) c l l1 cl 2... cll e ql t Поскольку в разложении c (t ) x (t ) = x vv v = x коэффициенты Фурье cv определяются формулой v v c x (t ) e cv = x ( t ) cvk e qk t dt = qk t x dt, vk k =1 k = 0 Глава 1. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных линейных систем то знание численных значений моментов вида k = x ( t ) e qk t dt дает возможность построить x ( t ) с не обходимой точностью, определяемой числом удерживаемых членов разложения.

Далее рассмотрим вопрос применения метода моментов для решения задачи синтеза регуляторов.

Согласно постановке задачи, известна эталонная динамическая характеристика:

или W э ( s ) — эталонная передаточная функция, или hэ (t ) — эталонная переходная характеристика. В первом приближении в качестве W э ( s ) или hэ (t ) можно принять характеристики системы второго порядка, что равноценно аппроксимации сложного процесса основной составляющей второго порядка.

В необходимых случаях в качестве эталонного может быть принят процесс более сложного вида.

Поскольку задача синтеза при регулярных воздействиях заключается в выборе структуры и параметров САУ, которые обеспечивают заданные показатели качества и точности, то исходя из известных соображений определяются типы и варьируемые па раметры последовательных, параллельных или последовательно-параллельных коррек тирующих устройств. Так как Wо ( s ) и структура Wку ( s, p ) известны, то легко найти ПФ замкнутой системы в виде b ( p ) s m + bm 1 ( p ) s m 1 +... + b0 ( p ) W ( s, p ) = m (1.236), an ( p ) s n + an 1 ( p ) s n 1 +... + a0 ( p ) где p = ( p1, p2,..., pr ) — варьируемые параметры корректирующих устройств, отно сящиеся к одному или нескольким звеньям и подлежащие определению.

Теперь постановка задачи синтеза регулятора методом моментов может быть сформулирована так [5]:

необходимо минимизировать целевую функцию вида bm ( p ) sim + bm 1 ( p ) sim 1 +... + b0 ( p ) l I ( p ) = min W э ( si ) ( si ), (1.237) i =1 an ( p ) si + an 1 ( p ) si +... + a0 ( p ) n n pk где si = ic — показатели экспоненциальной системы { } H = e ic : i = 1, l ;

c 0, l — число моментов, ( si ) — весовые множители, при следующих ограничениях:

1) pim pi piM, i = 1, r — ограничения на значения варьируемых параметров pi, обусловленные условиями их физической реализуемости;

( ) 2) i 0, где i — определители Гурвица i = 1, n 1 — ограничения на устой чивость системы;

3) C0 C0доп ;

C1 C1доп ;

... — ограничения на коэффициенты ошибок, обеспечи вающие требуемую точность системы в стационарных режимах при произ вольных медленно изменяющихся воздействиях;

ai ( ) 4) ai 0, i = 0, n;

( n, ) = n, 0, i = 1, n 1, где ( n, ) — параметр, ai 1ai + характеризующий колебательность (см. табл. 1.10).

Это ограничение обеспечивает колебательность tg не выше заданной tg 0.

Легко заметить, что поскольку 156 Синтез регуляторов систем автоматического управления bm ( p ) sim + bm 1 ( p ) sim 1 +... + b0 ( p ) W ( si, p ) = = an ( p ) sin + an 1 ( p ) sin 1 +... + a0 ( p ) = K (, p ) e si d = K (, p ) eic d = i ( p ), 0 а W э ( si ) = K э ( ) eic = iэ ;

i ( p ), i = 1, l — моменты ИПФ замкнутой системы с регулятором, а iэ — моменты ИПФ эталонной системы, то зависимость (1.237) мо жет быть переписана в виде l ( p ) э I ( p ) = min ( si ). (1.238) i i pk i = Таблица 1. З н а ч е н и я п а р а м е т р а, х а р а к т е р и зу ю щ е г о к о л е б а т е л ь н о с т ь, град n 0 30 45 60 2 4 3 2 1 3 4 3 2,41 2 4 4 3 2,41 2 1, 5 4 3 2,41 2 1, Итак, в сформулированной постановке задачи исходными данными для решения задачи синтеза регулятора являются: параметры эталонного процесса (эталонная ПФ W э ( s ));

ПФ замкнутой системы, включающая ПФ Wo ( s ) объекта управления и ПФ Wку ( s ) регулятора с варьируемыми параметрами pi, i = 1, r ;

ограничения на устойчивость (реализуется критерий Раусса);

ограничения на искомые параметры pi ;

заданная колебательность и, наконец, заданные коэффициенты ошибок.

Если в качестве эталонной динамической характеристики задается hэ ( t ), то це левая функция принимает вид bm ( pi ) sim + bm 1 ( p ) sim 1 +... + b0 ( p ) 1 l I ( p ) = min H э ( si ) ( si ), (1.239) i =1 an ( pi ) si + an 1 ( p ) si +... + a0 ( p ) si n n pk или, что то же самое, I ( p ) = min ih ( p ) ihэ ( si ), (1.240) pk где ih ( p ) и ihэ — моменты переходных характеристик синтезируемой и эталонной систем.

В простейших случаях можно получить систему алгебраических уравнений вида bm ( p ) sim + bm 1 ( p ) sim 1 +... + b0 ( p ) = W э ( si ), i = 1, l, (1.241) an ( p ) sin + an 1 ( p ) sin 1 +... + a0 ( p ) причем l r, и решить последнюю методом наименьших квадратов относительно неизвестных коэффициентов ПФ W ( s ).

Поскольку si = ic, то важным является вопрос выбора численного значения c (в общем случае можно выбирать значения s1, s2, s3,..., sl, не подчиняя закону si = ic).



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 17 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.