авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 17 |

«СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ CИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цикл учебников и учебных ...»

-- [ Страница 8 ] --

• эталонный промах системы наведения hэ ( t ) = 0, 0052273 0,14704t 0,1316 t 2 + 0, 2623 t 3 0,34316 t 4 + +0, 2289 t 5 0, 087269 t 6 + 0, 019583 t 7 0, 0024174 t 8 + 0, 0001267 t 9.

Решение проведем на интервале времени [ 0, 4] с, а в качестве ортонормированного базиса { k ( t )} k = будем использовать полиномы Лежандра, ортонормированные на интервале [ 0, 4]. При расчете матрич ных операторов учитывалось 7 базисных функций, т.е. l = 7. Функционал в этом случае имеет вид 7 I ( p ) = c k э c k ( p ) min.

h h p k = В результате минимизации функционала получены следующие параметры (минимизация проводилась с ис пользованием специализированных процедур поиска точек экстремума математического пакета Matlab 6.0):

* * p1 = k1 = 0,91340;

* * p 2 = k 2 = 9,36500;

* * p 3 = k 3 = 21,1821;

p 4 = n * = 50,2110, * () I p * = 0,0138.

272 Синтез регуляторов систем автоматического управления Графики эталонного промаха и промаха синтезированной системы представлены на рис. 2.31.

h(t ) 0, 0, 0, 0, 0, 0, t,c 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Рис. 2.31. Эталонный (1) и реальный (2) промах системы самонаведения На рис. 2.31 в качестве реального промаха системы самонаведения была взята реакция модели, по строенной в системе Simulink (Matlab 6.0), с соответствующими параметрами ПИД-регулятора и устройст ва формирования команд.

Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем ГЛАВА 3. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ ОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В двух предыдущих главах рассматривались положения, связанные с ключевой проблемой теории автоматического управления — синтезом регуляторов. Указанная проблема по известным причинам становится более сложной для класса нелинейных систем. В настоящей главе изложены некоторые подходы к решению проблемы син теза регуляторов, причём учитывались следующие обстоятельства:

• наличие хорошо обоснованных теоретических положений;

• наличие алгоритмов, направленных на решение достаточно сложных инже нерных задач, и подтверждение их эффективности.

3.1. ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ Здесь рассматривается класс систем, задачи синтеза которого излагаются на еди ной методологической основе, какой является описание систем функциональными рядами Вольтерра [26, 51, 92, 93, 101, 134, 140]. Теория, в основе которой лежат ряды Вольтерра, называемая обычно аналитической теорией нелинейных систем, имеет целый ряд привлекательных черт: она применима для решения широкого круга нели нейных задач и опирается на строгий математический аппарат. Понятия ИПФ и ПФ, которые являются эффективным инструментом анализа и синтеза линейных сис тем, распространяются и на нелинейные системы — тем самым вносится методоло гическое единообразие при построении методов расчета и проектирования систем в рамках аналитической теории.

Рассмотрим основные положения задачи синтеза регуляторов, пользуясь аналити ческой теорией нелинейных систем (детальное изложение этой теории можно найти в [26, 51, 92, 93, 101, 134, 140]). Структурная схема нелинейной системы автоматиче ского управления представлена на рис. 3.1.

+ (t ) u (t ) y (t ) x (t ) Нелинейный Нелинейный объект регулятор управления Рис. 3.1. Структурная схема САУ Положим, что элементы САУ (рис. 3.1) описываются рядами Вольтерра:

t t u ( t ) = L k кy ( 1, 2,K v ) ( t 1 ) ( t 2 )K ( t v ) d 1d 2 K d v v v =1 0 — ряд Вольтерра, описывающий поведение регулятора;

t t L k x (t ) = ( 1, 2, K i ) ( t 1 ) ( t 2 ) K ( t i ) d 1 d 2 K d i i o i =1 0 — ряд Вольтерра, описывающий поведение объекта;

274 Синтез регуляторов систем автоматического управления t t ( ) ( ) x (t ) = L kpj 1, 2,K, j ( t 1 ) ( t 2 )K t j d 1d 2 K d j, j =1 0 t t ( ) ( ) x (t ) = L k p 1, 2,K, p y ( t 1 ) y ( t 2 )K y t p d 1d 2 K d p p =1 0 — соответственно ряды Вольтерра, описывающие поведение разомкнутой и замкну той системы.

Воспользовавшись понятием многомерной передаточной функции (см. Приложе ние 1, том 2), определяемой зависимостью W ( s1, s2,K, sn ) = L k ( 1, 2,K n )e s11 e s2 2...e sn n d 1d 2 K d n, 0 можно заключить, что в рассматриваемой задаче имеют место следующие переда точные функции:

Wку ( s1 ), Wку ( s1, s2 ), Wку ( s1, s2, s3 ),K, Wку ( s1, s2,K, sv ) — ПФ регулятора;

1 2 3 v Wo ( s1 ), Wo2 ( s1, s2 ), Wo3 ( s1, s2, s3 ),K, Woi ( s1, s2,K, si ) — ПФ объекта управления;

( ) Wp ( s1 ), Wp2 ( s1, s2 ), Wp3 ( s1, s2, s3 ),K,Wpj s1, s2,K, s j — ПФ разомкнутой системы;

W 1 ( s1 ), W 2 ( s1, s2 ), W 3 ( s1, s2, s3 ),K, W p ( s1, s2,K, s p ) — ПФ замкнутой системы.

Задача синтеза регулятора заключается в нахождении передаточных функций регулятора таких, чтобы замкнутая система обладала эталонными динамическими характеристиками. Таким образом, постановка рассматриваемой задачи полностью совпадает с задачей синтеза регуляторов в классе линейных систем. Предполагается, что неизменяемые элементы системы (объект управления) представляют собой со единение линейных инерционных и нелинейных безынерционных звеньев. При этом линейные элементы предполагаются минимально-фазовыми, а нелинейные — анали тическими функциями, имеющими обратные для всех возможных входных воздейст вий. Такое предположение обусловлено положениями принципа динамической ком пенсации.

Поскольку предполагается, что заданы эталонная система, имеющая ПФ Wэ1 ( s1 ), Wэ2 ( s1, s2 ), Wэ3 ( s1, s2, s3 ),K, Wэk ( s1, s2,K, sk ), и объект управления, описываемый ПФ Wo ( s1 ), Wo2 ( s1, s2 ), K, то задача синтеза сводится к нахождению ПФ регулято ра Wку ( s1, s2,K, si ), i = 1, 2,K. Сказанное иллюстрирует рис. 3.2.

i B [26, 93, 101] разработан аппарат структурных преобразований на основе много мерных передаточных функций, аналогичный тому, который широко используется для решения линейных задач.

Запишем формулы, связывающие ПФ замкнутой и разомкнутой систем:

Wp ( s1 ) W 1 ( s1 ) =, 1 + Wp ( s1 ) Wp2 ( s1, s2 ) W 2 ( s1, s2 ) =, ( s1 + s2 ) ( sr ) 1 + Wp 1 + Wp 1 r = ………………………………………..

Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем Wку ( s1 ) Wо ( s1 ) 1 + + y (t ) + x (t ) Wку ( s1, s 2 ) Wо2 ( s1, s 2 ) + + + + y (t )..................................

...

...

Wку ( s1, s 2,K, s N ) WоN ( s1, s 2,K, s N ) N Регулятор Объект Wэ1 ( s1 ), Wэ2 ( s1, s 2 ), Wэ3 ( s1, s2, s3 ),K, WэN ( s1, s 2,K, s N ) Рис. 3.2. К постановке задачи синтеза регулятора Учитывая, что в задаче синтеза регулятора для ПФ замкнутой системы должны быть выполнены равенства W 1 ( s1 ) = W э1 ( s1 ), W 2 ( s1, s 2 ) = W э2 ( s1, s 2 ),K, W N ( s1, s 2,K s N ) = W эN ( s1, s 2,K, s N ), находим Wp ( s1 ) Wэ1 ( s1 ) =, 1 + Wp ( s1 ) Wp2 ( s1, s2 ) ( s1, s2 ) = Wэ2, 1 + Wp ( s1 + s2 ) 1 + Wp ( sr ) 1 r = ………………………………………..

Из последних соотношений легко получить формулы, определяющие ПФ разомк нутой системы через ПФ замкнутой системы:

Wэ1 ( s1 ) Wр ( s1 ) =, 1 Wэ1 ( s1 ) Wэ2 ( s1, s2 ) Wр2 ( s1, s2 ) =, 1 Wэ1 ( s1 + s2 ) 1 Wэ1 ( sr ) r = ………………………………………..

Поскольку разомкнутая система представляет собой последовательное соединение регулятора и объекта управления, то справедливы зависимости:

Wэ1 ( s1 ) Wку ( s1 ) Wо ( s1 ) = 1, 1 Wэ1 ( s1 ) Wэ2 ( s1, s2 ) Wo2 ( s1, s2 ) Wку ( s1 )Wку ( s2 ) + Wo ( s1 + s2 ) Wку ( s1, s2 ) = 1 1 1, ( s1 + s2 ) ( sr ) 1 Wэ1 1 Wэ r = ………………………………………..

276 Синтез регуляторов систем автоматического управления Теперь легко найти соотношения, определяющие ПФ регулятора:

Wэ1 ( s1 ) ( ) Wку ( s1 ) = Wo ( s1 ), 1 1 Wэ ( s1 ) Wэ2 ( s1, s2 ) ( ) Wку ( s1, s2 ) = Wo ( s1 + s2 ) 2 ( s1 + s2 ) ( sr ) 1 Wэ1 1 Wэ r = W Wo2 ( s1, s2 ) ( sr ) э 1 Wo ( s1 + s2 ) Wэ1 ( sr ), r = 1 Wэ1 ( sr ) r = r = ………………………………………..

Полученные формулы представляют собой решение поставленной задачи. По по воду рассмотренного выше подхода необходимо сделать следующие замечания:

• как и в линейных стационарных и нестационарных задачах, в классе аналити ческих нелинейных систем имеет место компенсация динамических характе ристик объекта за счет его обратных ПФ, т.е. принцип динамической ком пенсации справедлив и для рассматриваемого случая;

• реализованная система не будет в точности совпадать с эталонной ввиду того, что при определении ПФ регулятора дважды производилось усечение ряда Вольтерра;

• совершенно аналогично решается задача синтеза регулятора и в случае, если последний включен в цепь обратной связи.

Рассмотрим систему, структурная схема которой имеет вид (рис. 3.3).

x (t ) u (t ) z (t ) y (t ) + (t ) Wo ( s ) f ( z ) = a1z + a3 z Регулятор Объект Рис. 3.3. Структурная схема САУ Для последовательного соединения регулятора и линейного звена с ПФ Wo ( s ) имеют место зависимости 3 Wку ( s1 ) Wo ( s1 ), Wку ( s1, s2, s3 ) Wo 1 sr,....

r = ПФ разомкнутой системы можно записать так:

a1Wку ( s1 ) Wo ( s1 ) ;

3 {W ( sr )Wo ( sr )} + a1Wку ( s1, s2, s3 )Wo sr, 1 ….

a ку r =1 r = Далее легко получить равенства:

Wэ1 ( s1 ) a1Wку ( s1 ) Wo ( s1 ) =, 1 Wэ1 ( s1 ) Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем Wэ3 ( s1, s2, s3 ) 3 {W ( sr ) Wo ( sr )} + a1Wку ( s1, s2, s3 ) Wo sr = 1 a3, ку 3 r =1 r = ( sr ) 1 Wэ 1 Wэ1 sr r = r =.....................…………………………………………...

Из последних соотношений получаем ПФ регулятора:

Wэ1 ( s1 ) Wку ( s1 ) =, a1Wo ( s1 ) 1 Wэ1 ( s1 ) Wэ3 ( s1, s2, s3 ) Wку ( s1, s2, s3 ) = 3 3 ( sr ) 1 Wэ sr 1 Wэ1 sr a1Wo r =1 r = r = W ( sr ) a3 э r =, 3 1 Wэ1 ( sr ) a1 Wo sr r =1 r = ………………………………………………..

Если эталонная система линейна, то ПФ регулятора определяется так:

Wэ1 ( s1 ) ( a1Wo ( s1 ) ), Wку ( s1 ) = 1 Wэ1 ( s1 ) W ( sr ) a3 э 4 1 3 ( s1, s2, s3 ) = r = a1 Wo sr, Wку r = 1 Wэ1 ( sr ) r = ……………………………………………… Из последних зависимостей легко сделать вывод, что в соответствии с принци пом динамической компенсации регулятор можно рассматривать как последова тельное соединение безынерционной нелинейности f 1, обратной к f, и инерцион ных линейных звеньев с ПФ Wэ1 ( s1 ) % и Wку ( s ) = Wo1 ( s ).

Wку ( s ) = % % 1 Wэ1 ( s1 ) Соответствующая структурная схема представлена на рис. 3.4.

x (t ) y (t ) + (t ) Wэ ( s ) Wo ( s ) Wo1 ( s ) f 1 f (s) 1 Wэ Объект Регулятор Рис. 3.4. Структурная схема САУ с регулятором, реализующим принцип динамической компенсации 278 Синтез регуляторов систем автоматического управления В заключение рассмотрим систему, структурная схема которой имеет вид (рис. 3.5).

u (t ) x (t ) y (t ) + (t ) z (t ) f ( z ) = a1z + a3 z 3 Wo ( s ) Регулятор Объект Рис. 3.5. Структурная схема САУ Пользуясь рассуждениями, которые были приведены выше, легко получить зави симости, определяющие ПФ регулятора при условии, что эталонная система является линейной:

Wэ1 ( s1 ) ( a1Wo ( s1 ) ), Wку ( s1 ) = 1 Wэ1 ( s1 ) W ( sr ) a3 э 4 ( s1, s2, s3 ) = Wо ( sr ), r = a Wку 1 Wэ1 ( sr ) r = r = ……………………………………………… Структурная схема системы с регулятором, реализующим положения принципа динамической компенсации, представлена на рис. 3.6.

y (t ) + (t ) x (t ) Wэ ( s ) Wo ( s ) Wo1 ( s ) f 1 f 1 Wэ ( s ) Объект Регулятор Рис. 3.6. Структурная схема скорректированной системы Таким образом, если неизменяемая часть системы представляет собой последо вательное соединение линейного инерционного звена и безынерционной нелинейно сти, а эталонная система линейна, то регулятор реализуется последовательным соединением инерционных и нелинейных безынерционных звеньев.

a z, то коэффициенты ряда, Если f ( z ) задана степенным рядом, т.е. f ( z ) = i i i = описывающего функцию f, определяются с помощью формул обращения степен ного ряда [101]:

2a 2 a a a b1 =, b2 = 2, b3 = 2 5 1 3,....

a1 a1 a Достоинства и недостатки принципа динамической компенсации для линейного случая обсуждались выше. Возможности принципа динамической компенсации для систем, рассматриваемых аналитической теорией, учитывая известные факторы, Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем ограничены. Например, рассмотренный метод трудно реализовать для достаточно сложных систем. Его можно применять для определения ядер невысокого порядка, поскольку соответствующие уравнения получаются очень сложными. Самостоя тельной задачей является проблема аппаратной или программной реализации регу лятора.

3.2. МЕТОД ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЙ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ В КЛАССЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ АППАРАТА НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Задачу синтеза регулятора будем рассматривать для нелинейных систем, приме ры структурных схем которых представлены на рис. 3.7–3.9. Особенностью этих систем является наличие одного нелинейного элемента в прямой цепи или цепи обратной связи.

(t ) y (t ) + x (t ) u (t ) + Wку ( s ) Wo ( s ) F ( x) Woc ( s ) Рис. 3.7. Структурная схема системы с нелинейным элементом в цепи местной ОС y (t ) + (t ) x (t ) u (t ) Wo ( s ) Wку ( s ) Woc ( s ) F ( x) Рис. 3.8. Структурная схема системы с нелинейным элементом в цепи главной ОС u (t ) Wку ( s ) + y (t ) + x (t ) (t ) Wo ( s ) + F ( ) Рис. 3.9. Структурная схема системы с нелинейным элементом в прямой цепи 280 Синтез регуляторов систем автоматического управления Bку ( s ) Bo ( s ) B (s), Wоc = оc Полагая, что Wку =, Wo = — передаточные функции Aку ( s ) Ao ( s ) Aоc ( s ) корректирующего устройства, объекта и обратной связи соответственно, по струк турным схемам легко записать дифференциальное уравнение системы: для систем, структурные схемы которых представлены на рис. 3.7 и 3.8, — относительно вы ходной координаты x(t ), а для системы на рис. 3.9 — относительно сигнала ошиб ки (t ) :

( Aо Aос Aку + Bку Bо Aос ) X + Bо Bос Aку F ( X ) = Bку Bо AосY, (3.1) Aос Aку Aо X + Bос Bку Bо F ( X ) = Bку Bо AосY, (3.2) ( Aо Aку + Bо Bку ) E + Bо Aку F ( E ) = Aо AкуY. (3.3) Анализируя (3.1), (3.2) и (3.3), можно сделать вывод, что после нормировки отно сительно коэффициента при старшей производной движение рассматриваемых нели нейных систем описывается дифференциальными уравнениями вида n 1 l m x( ) ( t ) + ai x( ) ( t ) + c j F ( ) ( x ) = bk y ( ) ( t ), n i j k (3.4) i =0 j =0 k = где l n 1, m n, y (t ) — входное воздействие, x(t ) — реакция системы, F ( x ) — нелинейная функция.

Далее будем полагать, что поведение замкнутой нелинейной системы с регулято ром, имеющим варьируемые параметры p1, p2, K, pr, описывается уравнением n m a ( p1,K, p r ) x ( v ) + F ( x ) = bk ( p1,K, p r ) y ( k ). (3.5) v v =0 k = Этому уравнению эквивалентно интегральное уравнение t n ( 1) d k k a ( p1,K, pr ) pi ( )( t ) x ( ) d + n k k n! d 0 k =0 t pi ( )F ( x ( ) ) d = (t ) n + (3.6) n!

tm ( 1) d k k b ( p1,K, pr ) pi ( )( t ) y ( ) d, n = kk n! d 0 k =0 где p i (t ) — порождающие функции.

Очевидно, методы синтеза регуляторов в классе нелинейных систем, требующие знания обратного оператора замкнутой системы с целью нахождения зависимости, определяющей выходной сигнал в функции параметров регулятора p1, p2, K, pr, практического интереса не представляют (см. главу 1). При решении конкретных задач весьма конструктивные алгоритмы можно разработать, пользуясь оптимиза ционным принципом синтеза регуляторов, предполагающим достижение прибли женного равенства правой и левой частей операторного уравнения, описывающего поведение замкнутой скорректированной системы с неизвестными параметрами регулятора. Такое равенство достигается за счет изменения параметров регулятора при подстановке в операторное уравнение эталонных входного yэ (t ) и выходного xэ (t ) сигналов.

Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем Начало Выбор структуры и места включения регулятора Выбор эталонного входного и выходного сигналов, выбор порождающих функций Нахождение дифференциального и эквивалентного ему интегрального уравнения замкнутой системы с регулятором Вычисление левой и правой частей интегрального уравнения fi x ( t, p ) и fi y ( t, p ), i = 1, l Построение функционала TN f ( t, p ) fi y ( t, p ) I ( p) = x dt i 0 i = Поиск параметров регулятора, обеспечивающих минимум функционала I(p) Построение выходного сигнала скорректированой системы Нет Выходной сигнал удовлетворяет заданным требованиям Да Конец Рис. 3.10. Структурная схема алгоритма 282 Синтез регуляторов систем автоматического управления Излагаемые ниже положения совпадают со случаем, когда рассматривались ли нейные системы (см. главы 1 и 2).

Пусть yэ ( t ) — эталонный входной сигнал, а xэ ( t ) — эталонный выходной про цесс. Тогда, воспользовавшись обозначениями t n ( 1) d k k a ( p1,K, pr ) pi ( )( t ) xэ ( ) d + fi x ( t, p1,K, pr ) = n k k n! d 0 k =0 t pi ( ) F ( xэ ( ) ) d, (t ) n + (3.7) n!

tm ( 1) d k k b ( p1,K, pr ) pi ( )( t ) yэ ( ), fi y ( t, p1,K, pr ) = n kk n! d 0 k =0 можно записать соотношение для i-ой невязки Ei ( t, p1, p2,K, pr ) = fi x ( t, p1, p2,K, pr ) fi y ( t, p1, p2,K, pr ) (3.8) и формулу для функционала, подлежащего минимизации:

TN E I ( p1, p2,K, pr ) = ( t, p1, p2,K, pr ) dt.

(3.9) k 0 k = Структурная схема алгоритма представлена на рис. 3.10.

Поскольку метод порождающих функций достаточно просто реализуется на ЭВМ при расчёте регуляторов сложных САУ, на примерах проиллюстрируем вычисли тельную технологию метода.

Пример 3.1 [5]. Структурная схема нелинейной стационарной системы автоматического управления приведена на рис. 3.11.

+ + x(t ) y (t ) kэму kдв p1 + p2 s kред s (Tдв s + 1) T1s + p3 s F ( x) Рис. 3.11. Структурная схема нелинейной системы автоматического управления с регулятором Заданы значения параметров системы:

k эму k дв k ред = k э = 240;

Tдв = 0,5 c;

T1 = 0,165 c.

Нелинейный элемент F ( x ) типа «зона нечувствительности без насыщения» (рис. 3.12) в местной обрат ной связи имеет следующие параметры: b = 0, 4;

k F = tg = 1, 0.

F ( x) b b x Рис. 3.12. Нелинейный элемент F ( x ), входящий в состав системы Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем Дифференциальное уравнение системы имеет вид (T T ) + (T1 + Tдв ) s 2 + (1 + kэ k2 ) s + kэ k1 x ( t ) + kэ k3 sF ( x ) = ( kэ k1 + kэ k2 s ) y ( t ), 1 дв s где kэ = kэму kдв kред.

С учетом численных значений параметров системы дифференциальное уравнение запишется так:

( 0,0825s ) + 0,665s 2 + (1 + 240 p2 ) s + 240 p1 x ( t ) + 240 p3 sF ( x ) = ( 240 p1 + 240 p2 s ) y ( t ).

Задача синтеза состоит в определении положительных параметров системы p1, p2, p3 таким образом, чтобы синтезированная система обладала абсолютной устойчивостью, а переходная характеристика сис темы удовлетворяла требованиям: перерегулирование 20%, время управления Tу 1 c.

Решение будем проводить на интервале времени = [ 0,5] методом порождающих функций. В каче стве порождающих функций возьмем многочлены Лежандра. В функционале будем учитывать 3 невязки.

Имеем 3 ( 1) k { } d + t dk f i x ( t, p1,..., p 3 ) = x э ( ) a k ( p1,..., p 3 ) k p i ( )( t ) n d k =0 n!

1 ( 1) k { } d, t dk + F ( xэ ( )) c k ( p1,..., p 3 ) k p i ( )( t ) n l n!

k =0 d 1 ( 1)k { } t dk fi y ( t, p1,..., p3 ) = yэ ( ) bk ( p1,..., p3 ) k pi ( )( t ) n d, n!

k =0 d где функция F ( xэ ( t ) ) была аппроксимирована 7 многочленами Лежандра (рис. 3.13):

F l ( xэ ( t ) ) = Ckx Lk ( t ).

э k = xэ (t ), F ( xэ (t )),,,, t,c Рис. 3.13. Графики функций x э ( t ) (1), F ( x э (t ) ) (2) Определим i-ю невязку как разность между левой и правой частями интегрального уравнения системы:

E i ( t, p1,..., p 3 ) = f i x ( t, p1,..., p 3 ) f i y ( t, p1,..., p 3 ), i = 1,3.

Функционал, подлежащий минимизации, запишется так:

I ( p1,..., p3 ) = Ei 2 (, p1,..., p3 ) d = 0 i = = 0,1332e23 p1 0, 22629e23 p2 0,57789e22 p2 p3 0,36639e22 p1 p3 + 2 2 +0,10108e21 p3 + 0, 24328e24 p1 + 0, 7576e24 p1 p2 + 0, 68044e24 p2 + 0,13812e20 p3 + 0,1921e21.

В результате условной минимизации функционала (с нулевыми начальными условиями) были получе ны следующие значения параметров регулятора:

* * * p1 = 0, 0112;

p2 = 0, 0104;

p3 = 0, 0001.

284 Синтез регуляторов систем автоматического управления На рис. 3.14 приведена реакция нелинейной системы с рассчитанными параметрами регулятора на единичное ступенчатое воздействие.

xэ (t ), xp ( t, pi ),,,, t, c Рис. 3.14. Эталонная переходная характеристика (2) и переходная характеристика скорректированной системы (1) Пример 3.2 [5]. Уравнение движения нелинейной САУ, записанное относительно выходной коорди наты, имеет вид (T s ) + (1 + k1 p2 ) s + k1 p1 x ( t ) + k1 p3 F ( x ) = k1 ( p1 + p2 s ) y ( t ), где F ( x ) — нелинейность типа «насыщение» (рис. 3.15), для которой k F = 1 :

c, x b, F ( x ) = kx, b x b, c, x b.

F ( x) c b x b c Рис. 3.15. Нелинейный элемент F ( x), входящий в состав системы Параметры нелинейности: tg ( ) = k = 1;

b = c = 0,5.

Параметры системы: T1 = 0,15;

k1 = 10.

Требуется определить параметры системы p1, p2, p3, обеспечивающие в синтезируемой системе моно тонный переходной процесс с временем Tу 0,5 c. Необходимо обеспечить также устойчивость системы и статическую ошибку не более 5%. На искомые параметры наложены ограничения p1 0, p2 0, p3 0.

Задачу синтеза будем решать на интервале времени = [ 0;

1,5] методом порождающих функций.

В качестве порождающих функций возьмем многочлены Лежандра. В искомый функционал включим 6 невязок:

2 ( 1) k { } d + t dk f i x ( t, p1,..., p 3 ) = x э ( ) a k ( p1,..., p 3 ) k p i ( )( t ) n d k =0 n!

( 1) c p,..., p t t n F l x p d, k ) ( э ( )) i ( ) 0( 1 3)( + n! Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем 1 ( 1)k { } d, t dk fi y ( t, p1,..., p3 ) = yэ ( ) bk ( p1,..., p3 ) k pi ( )( t ) n k =0 n! d где функция F ( x э ( t ) ) была аппроксимирована 20 многочленами Лежандра (рис. 3.16):

F l ( xэ ( t ) ) = Ckx Lk ( t ).

э k = Определим i-ю невязку как разность между левой и правой частями интегрального уравнения системы:

Ei ( t, p1,..., p3 ) = f i x ( t, p1,..., p3 ) fi y ( t, p1,..., p3 ), i = 1, 6.

Функционал, подлежащий минимизации, определяется зависимостью 1,5 Ei (, p1,..., p3 ) d = I ( p1,..., p3 ) = i = ( = 0,5e 15 0,10877e35 p1 0, 20411e36 p2 + 0, 76160e32 p3 + 0,39143e34 p1 + 2 + 0, 68668e35 p1 p2 + 0,90508e36 p2 + 0, 70378e31 p3 + 0,51729e33 p3 p 0, 20453e33 p3 p1 + 0,12448e35 ).

xэ ( t ), F ( xэ (t ) ), F l ( xэ ( t ) ),,,,, t,c 0,,,, Рис. 3.16. Графики функций xэ ( t ) (1), F ( xэ (t ) ) (2) и F l ( xэ (t ) ) (3) x p (t, p ), xэ (t ),,,, t,c,,, Рис. 3.17. Эталонная переходная характеристика (2) и переходная характеристика скорректированной системы (1) 286 Синтез регуляторов систем автоматического управления В результате условной минимизации функционала (с нулевыми начальными условиями) были получе ны следующие оптимальные параметры регулятора:

* * * p1 = 0, 6;

p2 = 0, 09;

p3 = 0, 001. (3.10) На рис. 3.17 приведена реакция нелинейной скорректированной системы на единичное ступенчатое воздействие.

Пример 3.3 [5]. Рассмотрим задачу синтеза параметров нелинейной САУ, структурная схема которой представлена на рис. 3.18.

y (t ) + x (t ) p2s + p1 k F ( x) s ( T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1) p3s + Рис. 3.18. Структурная схема нелинейной САУ Параметры неизменяемой части системы: T1 = 0,1;

T2 = 0, 01;

T3 = 0,15;

k = 5.

Нелинейный элемент системы F ( x ) типа «переменный коэффициент усиления» (рис. 3.19) имеет следующие значения параметров:

tg ( ) = k1 = 0,5;

tg ( ) = k 2 = 1,0;

b = 0, 2;

k F = 1,0.

F ( x) x b b Рис. 3.19. Нелинейный элемент F ( x), входящий в состав системы Требуется определить положительные параметры регулятора системы p1 0, p2 0, p3 0 из сле дующих условий:

1) скорректированная система должна быть устойчивой;

2) переходной процесс в системе при y (t ) = 1(t ) должен быть монотонным, причем время переходно го процесса должно быть Tу 4 c.

Решим задачу синтеза на интервале времени = [ 0, 7 ] методом порождающих функций, используя в ка честве порождающих функций многочлены Лежандра. В искомый функционал включим 4 невязки:

5 ( 1) k { } d + t dk f i x ( t, p1,..., p 3 ) = x э ( ) a k ( p1,..., p 3 ) k p i ( )( t ) n d k =0 n!

1 ( 1) k { } d, t dk + F ( xэ ( )) c k ( p1,..., p 3 ) p i ( )( t ) n l dk k =0 n!

1 ( 1)k { } t k d fi y ( t, p1,..., p3 ) = yэ ( ) ( p1,..., p3 ) pi ( )( t ) n d.

bk d k k =0 n! ( ) Функцию F xэ ( t ) заменим ее разложением в ряд по многочленам Лежандра (удерживаем 15 членов ряда) (рис. 3.20):

F l ( xэ (t ) ) = Ck э Lk (t ).

x k = Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем Функционал, подлежащий минимизации, определяется формулой 1,5 ( fi ( t, p1,..., p3 ) fi ( t, p1,..., p3 ) ) I ( p1,..., p3 ) = y x d = i = = 0, 2e 9 ( 0,1286e33 0, 2701e34 p1 0,5490e34 p2 + 0, 4821e33 p3 + 2 2 + 0,5178e33 p3 + 0, 6351e35 p2 0,1143e35 p2 p3 + 0,1467e35 p1 + + 0,5453e35 p1 p2 0, 4701e34 p1 p3 ).

В результате условной минимизации функционала (с нулевыми начальными условиями) были получе ны следующие оптимальные параметры регулятора:

* * * p1 = 0, 276;

p2 = 0, 263;

p3 = 1, 031. (3.11) На рис. 3.21 приведена реакция нелинейной скорректированной системы на единичное ступенчатое воздействие.

xэ ( t ), F ( xэ ( t ) ), F l ( xэ ( t ) ),,,,, t,c 0,, Рис. 3.20. Графики функций xэ ( t ) (1), F ( xэ (t ) ) (2) и F l ( xэ (t ) ) (3) xp ( t, p), xэ (t ),,,, t,c Рис. 3.21. Графики эталонной переходной характеристики и переходной характеристики скорректированной системы 288 Синтез регуляторов систем автоматического управления 3.3. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ Задачу синтеза регулятора будем рассматривать для нелинейных следящих сис тем, примеры структурных схем которых представлены на рис. 3.22–3.23. Особенно стью этих систем является наличие одного нелинейного элемента в прямой цепи или цепи обратной связи.

+ x(t ) (t ) y (t ) u (t ) Wку ( s ) Wo ( s ) + F ( x) Woc ( s ) Рис. 3.22. Структурная схема системы с нелинейным элементом в цепи местной ОС y (t ) + (t ) x(t ) u (t ) Wo ( s ) Wку ( s ) Woc ( s ) F ( x) Рис. 3.23. Структурная схема системы с нелинейным элементом в цепи главной ОС B ку ( s ) Bo ( s ) B (s), Wоc = оc Полагая, что Wку =, Wo = — передаточные функции Aку ( s ) Ao ( s ) Aоc ( s ) корректирующего устройства, объекта и обратной связи соответственно, по струк турным схемам легко записать дифференциальное уравнение системы: для систем, структурные схемы которых представлены на рис. 3.22 и 3.23, — относительно вы ходной координаты x ( t ), а для системы на рис. 3.24 — относительно сигнала ошиб ки ( t ) :

( Aо Aос Aку + Bку Bо Aос ) X + Bо Bос Aку F ( X ) = Bку Bо AосY, (3.12) Aос Aку Aо X + Bос Bку Bо F ( X ) = Bку Bо AосY, (3.13) ( Aо Aку + Bо Bку ) E + Bо Aку F ( E ) = Aо AкуY. (3.14) Wку ( s ) + y (t ) + u (t ) x (t ) (t ) Wo ( s ) + F () Рис. 3.24. Структурная схема системы с нелинейным элементом в прямой цепи Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем Анализируя (3.12), (3.13) и (3.14), можно сделать вывод, что после нормировки относительно коэффициента при старшей производной движение рассматриваемых нелинейных систем описывается дифференциальными уравнениями вида n 1 u m x ( ) (t ) + ai x ( ) (t ) + c j F ( ) ( x ) = bk y ( k ) ( t ), n i j (3.15) i =0 j =0 k = где u n 1, m n, y ( t ) — входное воздействие, x ( t ) — реакция системы или ошибка слежения, F ( x ) — аналитическая нелинейная функция.

Задачу синтеза регулятора нелинейных систем будем решать в следующей поста новке. Движение нелинейной системы задается уравнением (3.15), причем коэффи циенты уравнения a i ( p ), c j ( p ), bk ( p ) зависят от p — параметров регулятора сис темы. Далее факт зависимости коэффициентов уравнения системы от параметров регулятора указывать не будем. Требуется определить параметры регулятора систе мы, исходя из условий приближенного обеспечения заданных показателей качества работы системы. Решение задачи разбивается на ряд этапов.

На первом этапе определяется структура и место включения корректирующего устройства.

На втором этапе в соответствии с требуемыми показателями качества работы сис темы выбирается желаемое движение системы x э ( t ) при заданном входном воздей ствии y э ( t ). В качестве желаемого движения обычно выбирается эталонный переход ный процесс. Далее полагаем, что желаемое движение — это переходная характери стика, т.е. x э ( t ) = hэ ( t ), а y э ( t ) = 1( t ). Для большинства задач синтеза регулятора в качестве эталонной переходной характеристики можно выбрать зависимость вида ( ) hэ ( t ) = k э 1 e эt cos э t, причем э, Tp где Tp — время переходного процесса.

На третьем этапе выполняется построение невязки эквивалентного (3.15) инте грального уравнения:

t t x э ( t ) + K x ( t,, p )x э ( ) d + K н ( t,, p )F ( x э ( ) ) d = 0 (3.16) t = K y ( t,, p ) y э ( ) d, где ( 1) d n a ( t ) n 1, K x ( t,, p ) = ( n 1)! d = ( 1) d u K н ( t,, p ) = c ( t ) n 1, ( n 1)! d = ( 1) d m K y ( t,, p ) = b ( t ) n 1.

( n 1)! d = 290 Синтез регуляторов систем автоматического управления Введем следующие обозначения:

t f xл ( t, p ) = x э ( t ) + K x ( t,, p ) x э ( ) d, t f xн ( t, p ) = K н ( t,, p )F ( x э ( ) ) d, (3.17) f x ( t, p ) = f xл ( t, p ) + f xн ( t, p ) и t f y ( t, p ) = K y ( t,, p ) y э ( ) d. (3.18) Тогда невязку (3.16) можно записать в виде E (t, p ) = f x (t, p ) f y (t, p ). (3.19) Содержанием четвертого этапа является построение функционала от невязки (3.19) I ( p ) и оценка вектора искомых параметров p * путем его минимизации:

p * = min I ( p ). (3.20) p В качестве функционала I ( p ) удобно использовать метрику пространства q L [0, T ] :

1q T q I ( p ) = Lq [0,T ] = E ( t, p ) dt. (3.21) 0 Параметр T в (3.21) выбирается исходя из длительности Tp. Пактика показывает, что удовлетворительные результаты могут быть получены при T ( 3 5 ) Tp.

На пятом этапе выполняется проверка найденного решения, и, если это необхо димо, изменяется структура корректирующего устройства с возвратом к первому этапу решения задачи синтеза.

Проблема нахождения p * для класса нелинейных систем может, как и для класса линейных систем, сводиться к задаче аппроксимации x э ( t ) в пространстве L2 [0, T ], а минимизация функционала при отсутствии ограничений на искомые параметры — к задаче решения переопределенной системы линейных алгебраических уравнений.

Покажем это.

Введем в рассмотрение вспомогательный вектор параметров { } p = a i ( p ), i = 0, n 1, c j ( p), j = 0, u, bk ( p), k = 0, m, (3.22) % элементами которого являются коэффициенты уравнения (3.15), и построим, исполь зуя невязку эквивалентного интегрального уравнения, функционал вида T n + m + u + I ( p ) = x э ( t ) p ( t ) dt, % % 0 = где ( t ) — порождаются функциями невязки (3.19), а p — параметры вектора p.

% % Оценив вспомогательный вектор p, можно оценить параметры корректирующего % устройства.

Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем В такой постановке задача синтеза эквивалентна задаче аппроксимации в простран стве L2 [0, T ]. Методы синтеза, основанные на минимизации функционалов типа мет рик функциональных пространств по параметрам вспомогательного вектора p, по % своему содержанию являются аппроксимационными или проекционными.

Покажем, как можно определить функции ( t ), = 0, n + m + u + 1.

Положим, что эталонные входной и выходной сигналы системы аппроксимиру ются ортонормированными полиномами () () T T y э (t ) = C y (t ) ;

xэ (t ) = C x ( t ), t [0, T ], (3.23) где ( t ) = { 0 ( t ), 1 ( t ),..., l 1 ( t )} T — используемый ортонормированный базис.

После группировки членов относительно 1, t, t 2,..., t l 1 зависимость (3.23) можно переписать в виде l () T y э ( t ) = c iy t i = C y (t ) ;

i = (3.24) l () xT xэ (t ) = (t ), c ix t i =C i = где ( t ) = { 0 ( t ), 1 ( t ),..., l 1 ( t )}, T (3.25) причем i ( t ) = t i, i = 0, l 1. Данное предположение не ограничивает общности рас суждений, поскольку существует матричный оператор, позволяющий переходить от базиса ( t ) к базису ( t ).

Прежде всего найдем выражения для слагаемых, определяющих линейные со ставляющие невязки (3.8). Имеем ( j + )! j + n j 1 j d n ( t ) n 1 = ( 1) j +.

C n 1 t (3.26) d j!

j = Для f xл ( t, p ) можно записать ( 1) d t n f xл ( t, p ) = x э ( t ) + a ( t ) n 1 x э ( ) d, ( n 1)! d 0 = или n f xл ( t, p ) = x э ( t ) + a ( t ), (3.27) = где ( 1) j l 1 n (t ) = ( i + j + 1) j !( n j 1)! cix t n+i. (3.28) i =0 j = f y ( t, p ) имеем Аналогично для m b ( t ), f y (t, p ) = (3.29) = где 292 Синтез регуляторов систем автоматического управления ( 1) j l 1 n (t ) = ( i + j + 1) j !( n j 1)! ciy t n +i. (3.30) i =0 j = Отметим, что если заданным сигналом y э ( t ) является воздействие y э ( t ) = 1( t ), формула для расчета функций ( t ) принимает вид ( 1) j t n n ( j + 1) j !( n j 1)! = ( n + 1).

( t ) = t n (3.31) j = Перейдем к нелинейным составляющим невязки (3.19). Для случая, когда F ( x ( ) ) — кусочно-линейная функция, ее можно представить так:

s F ( x э ( ) ) = F+0 ( )1( ) + F+ i ( ) Fi ( ) 1( i ), (3.32) i = где i — моменты переключения кусочно-линейной нелинейности;

F+ i ( ), Fi ( ) — аналитические выражения нелинейной характеристики звена до и после момента переключения нелинейности i ;

s — число переключений, которое зависит от вида характеристики F ( x ) и процесса на входе звена x э ( ).

Тогда ( 1) t d u s i + f хн ( t, p ) = ( t ) n 1 F+i ( ) d = c = 0 i = 0 ( n 1) ! d t i (3.33) ( 1) ( j + )!

j + t i + c C nj s n u F+ i ( ) d, t 0 = 0, t s +1 = t.

n j j = t ( n 1)! j !

= 0 i = 0 j = 0 ti Очевидно, что реакция нелинейного элемента после i-го момента переключения может быть записана в виде линейной комбинации l F+ i ( ) = k i x ( ) + d i = k i c rx r + d i. (3.34) r = Подставляя (3.34) в (3.33), получим окончательное выражение для f xн ( t, p ) :

u f xн ( t, p ) = c ( t ), (3.35) = где ( 1) j t n j 1 l 1 s n ki crx tij++ r +1 ti j + r +1 + i tij++1 ti j +1.

d (t ) = j !( n j 1)! 1 j +1 j + r + r =0 i =0 j = Учитывая, что ts +1 = t, перепишем последнюю формулу в виде ( t ) = 1 ( t ) + 2 ( t ) + 3 ( t ), (3.36) где ( 1) j t n j 1 s 1 l 1 ki crx j + r +1 j + r + n j !( n j 1)! ( j + r + 1) ti +1 ti + 1 ( t ) = i = 0 r = 0 j = d t j + l 1 ks crx di tij++1 tij +1 tsj + r +1 tij + r +1 i s ;

+ r =0 ( j + r + 1) j +1 j +1 Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем ( 1) j ks crx t n + r n 1 l j !( n j 1)!( j + r + 1) ;

2 ( t ) = j =0 r = ( 1) j t n d s n j !( n j 1)!( j + 1).

3 ( t ) = j = Далее рассмотрим вариант, когда F ( x ( ) ) — аналитическая функция и предста вима рядом r F ( xэ ( t ) ) = f k xэk ( t ). (3.37) k = Необходимо записать нелинейную функцию как функцию времени. Для этого вос пользуемся матрицей умножения для полиномиального базиса. Найдем эту матрицу.

() () T T Пусть z ( t ) = x ( t ) f ( t ) и x ( t ) = C x (t ), f (t ) = C f ( t ). Тогда для z (t ) справедливо () () T T z (t ) = Cx ( t ) T ( t ) C f = C x (t ) C f, где 0,0 0,1 0,l K K 1,l 1, (t ) =, 1, M M M O l 1,0 l 1,1 K l 1,l причем i, j = j,i = i j = i + j ;

i, j = 0, l 1. (3.38) В (3.38) аргумент опущен для краткости. Учитывая (3.38) и отбрасывая элементы матрицы ( t ) с индексами, большими чем l 1, имеем … l 1 c0 c0 0 + c1 1 + K + cl 1l f f f f 0 f f … 0 c1 c0 1 + c1f 2 + K + clf1l (t ) C f = 1 = (t ).

= M M M M O M … 0 c f l 1 0 c0f l l 1 Но аналогичный по структуре вектор ( t ) можно получить иначе c0f c1f K clf1 0 c0f 0 + c1f 1 + K + clf1l K clf 2 1 c0f 1 + c1f 2 + K + clf 2 l 0 c0f (t ) = = A у ( f ) (t ), = O M M M M M 0 K c0f l 1 c0f l 0 следовательно, () () T T z ( t ) = Cz ( t ) = Cx A y ( f ) ( t ) и C z = AT ( f ) Cx.

y A y ( f ) определяет структуру искомой матрицы умножения для степенного базиса.

Теперь можно записать выражения для коэффициентов разложений старших сте пеней функции x(t ) :

294 Синтез регуляторов систем автоматического управления () () T T x2 ( t ) = Cx A y ( x ) ( t ) = Cx (t ), () () T T x3 ( t ) = C x A y ( x ) ( t ) = Cx A y ( x ) A y ( x ) (t ) = () ( ) (A T ( x )) T ( t ) = Cx (t ), = Cx (3.39) y M () ( ) (A T ( x )) T k xk ( t ) = Cx ( t ) = Cx (t ).

k y Полученные равенства (3.39) позволяют представить нелинейную функцию в виде r l F ( xэ ( ) ) = f k cix k i. (3.40) k = 2 i = Заметим, что выражение (3.40) дает возможность достаточно просто вычислять производные любого порядка от нелинейной функции:

d j F ( xэ ( )) r l 1 r l ji kd i!

= f k c ix = f k c ix k i j.

( i j )!

j j d d k = 2 i =0 k = 2 i = Принимая во внимание (3.40) и (3.37), найдем требуемые выражения для f xн ( t, p ) :

( 1) d tu ( t )n 1 F ( xэ ( ) ) d = f xн ( t, p ) = c ( n 1)! d 0 = ( 1) i t n 1 l 1 r u c k t n i 1 j i d = C f cx = ( n 1)! n 1 k j = 0 i =0 j =0 k = 2 ( 1) n+ j n 1 l 1 r u t c ( n 1)!Cni 1 f k c xj ( i + j ), k = = 0 i =0 j =0 k = или u c ( t ), f xн ( t, p ) = = где ( 1) i t n+ j n 1 l 1 r (t ) = k Cn 1 f k c x (3.41).

i = 0 j = 0 k = 2 ( n 1) ! (i + j ) j Таким образом, все аналитические выражения, определяющие невязку (3.19), найдены для линейных, кусочно-линейных и аналитических нелинейных элементов систем вида (3.15).

Используя полученные выше зависимости для невязки, функционал (3.19) можно представить в виде T n m u I ( p ) = xэ ( t ) + a ( p ) ( t ) b ( p ) ( t ) + c ( p ) ( t ) dt, (q = 2). (3.42) 0 = 0 = 0 = Функционал (3.42) относительно вспомогательного вектора p может быть запи % сан так:

T n + m + u + I ( p ) = xэ ( t ) p ( t ) dt, (3.43) % % 0 = Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем где p — компоненты вспомогательного вектора;

параметры p и функции ( t ) % % определяются следующим образом:

a, = 0, n 1, p = b n, = n, n + m, (3.44) % c n m 1, = n + m + 1, n + m + u + 1;

( t ), = 0, n 1, (t ) = n ( t ), = n, n + m, (3.45) n m 1 ( t ), = n + m + 1, n + m + u + 1.

Анализируя выражение для функционала, записанного в форме (3.43), можно сде лать вывод, что рассматриваемая задача успешно сведена к задаче аппроксимации функции xэ ( t ) линейной комбинацией функций 0 ( t ), 1 ( t ),K, k ( t ), k = n + m + u + 1.

Такой подход, в частности, позволяет свести задачу определения неизвестных па раметров вспомогательного вектора к решению переопределенной системы линей ных алгебраических уравнений.

Действительно, учитывая, что I ( p ) T k % = 2 xэ ( t ) p ( t ) i ( t ) dt, i = 0, k, % pi % 0 = требуемую систему алгебраических уравнений запишем в виде Wp = R, (3.46) % { } где W = wij, i, j = 0, k — матрица, элементы которой определяются формулами T ( ) wij = i, j = i ( t ) j ( t ) dt, { } а R = ri, i = 0, k — вектор-столбец правой части:

T ri = ( i, xэ ) = i ( t ) xэ ( t ) dt.

При синтезе корректирующего устройства часть параметров системы известна априори и система уравнений (3.45) получается переопределенной. Компоненты век тора p можно оценить или минимизируя квадратичную функцию стоимости от не % вязки (3.46):

{ }, p* = min [ Wp R ][ Wp R ] T (3.47) % % % p % или с помощью метода наименьших квадратов, применяя технологию псевдообрат ных матриц:

( ) p* = W T W W T R. (3.48) % Зная вспомогательный вектор p*, можно оценить параметры корректирующего % устройства p*.

Структурная схема алгоритма представлена на рис. 3.25.

296 Синтез регуляторов систем автоматического управления Начало Выбор структуры иместа включения КУ по рис. 3.22 3. Построение ДУ движения САУ вида (3.15).

Формирование вектора параметров p Выбор эталонного входа yэ (t ) и эталонного движения xэ (t ) системы Расчёт функций (t ) по (3.28), (t ) по (3.30) Да Нет Нелинейность кусочно-линейная?

Расчёт функций Расчёт функций (t ) по (3.41) (t ) по (3.36) Формирование вспомогательного вектора параметров p по (3.44), % базисных функций (t ) по (3.45), линейного уравнения по (3.46) Расчёт вектора p* по (3.45) или % по (3.48). Раcчёт вектора p* по p* % Да Нет Решение удовлетворительное? Конец Рис. 3.25. Структурная схема алгоритма Пример 3.4 [5]. Структурная схема статической нелинейной системы имеет вид, представленный на рис. 3.26. Нелинейный элемент типа «насыщение» находится в цепи местной обратной связи:

0,5 при x 0,5, F ( x) = x при x 0,5, 0,5 при x 0,5.

Известны параметры звеньев системы, относящихся к функционально-необходимым элементам:

T1 = 0,15 c, k1 = 10 c 1. Требуется определить параметры регулятора: k2, k3, k4, которые обеспечивают в системе апериодический переходный процесс x э ( t ) — реакцию на y э ( t ) = 1( t ) при нулевых начальных Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем условиях, причем время переходного процесса должно составлять Tp 0,5 c при статической ошибке не превышающей 5%.

x (t ) (t ) y (t ) + + k k 2 + k 3s s (T1s + 1) F ( x) k Рис. 3.26. Структурная схема нелинейной системы Прежде всего запишем дифференциальное уравнение, описывающее движения САУ. Это уравнение имеет вид Tx ( t ) + (1 + k1k3 ) x ( t ) + k1k2 x ( t ) + k1k4 F ( x ( t ) ) = k1k2 y ( t ) + k1k3 y ( t ), && & & или, с учетом известных параметров и нормировки, &&( t ) + ( 6, 66 + 66, 66k3 ) x ( t ) + 66, 66k2 x ( t ) + 66, 66k4 F ( x ( t ) ) = 66, 66k2 y ( t ) + 66, 66k3 y ( t ).

x & & Выберем желаемый переходный процесс x э ( t ). По условию задачи он должен быть апериодическим, амплитуда процесса при t равна единице. Этим условиям удовлетворяет процесс вида ( ) xэ ( t ) = 1 eэt.

Показатель экспоненты э определим, исходя из заданного времени переходного процесса и статиче ской ошибки 1 eэ 0,5 0,95;

откуда э 6. Выбираем э = 6.

В системе во время переходного процесса будет иметь место один момент переключения нелинейно сти при xэ ( t ) = 0,5. Момент переключения найдем из уравнения 1 e0,5 = 0,5, откуда t1 = 0,116 c. Следовательно, нелинейная функция F ( x ( t ) ) для x э (t ), согласно (3.32), представима в виде ( ) ( ) F ( t ) = 1 e6t 1( t ) 1 e 6t 1( t t1 ) + 0,5 1( t t1 ).

Квадратичный функционал типа (3.42) имеет вид 0, 1 I ( p) = xэ ( ) + =0 a ( ) =0 b ( ) + c0 0 ( ) d, (3.49) где 0 ( ) = 0,9999233 1, 498680 4 +1,7893495 1,7507036 + + 1,3990297 0,8783248 + 0, 4006249 0,11588210 + 0,01570511;

1 ( ) = 2,9997692 5,9947233 + 8,9467474 10,5042235 + + 9,7932086 7,0265947 + 3,6055188 1,1588239 + 1,72765010 ;

0 ( ) = 0,52 ;

1 ( ) = ;

0 ( ) = 9, 253338 104 2,557094 102 + 0, 2500002.

Решая задачу аппроксимации функции xэ ( t ) элементами 0 () = 0 ( ), 1 () = 1 ( ), 2 () = 0 ( ), 3 () = 1 ( ), 4 () = 0 ( ), получим * * * * * * k2 = p2 = 0, 606847, k3 = p3 = 0, 0907425, k4 = p4 = 0, 003054.

Анализ полученного решения показал, что в данном случае обеспечивается 10%-я грубость по варьи руемым параметрам.

На рис. 3.27 показаны эталонная переходная характеристика и переходная характеристика скорректи рованной системы, а на рис. 3.28 — абсолютная погрешность ( t ) = hэ ( t ) hр ( t ). Легко заключить, что погрешность не превышает 0,25%.

298 Синтез регуляторов систем автоматического управления h э ( t ), hp ( t ),,, t,c,, Рис. 3.27. Эталонная ПХ hэ ( t ) и ПХ скорректированной САУ hp ( t ) (tt))= hh(эt ( t )hр (t ) ( t ) ( = э ) h p 0,, tt,cc, 0,,,, Рис. 3.28. Ошибка приближения эталонного процесса Пример 3.5 [5]. Структурная схема нелинейной САУ приведена на рис. 3.29. Заданы значения пара метров системы:

Tдв = 0,5 с, T1 = 0,165 c, k = k эму k дв k ред = 240. Нелинейный элемент в системе реализует квадратич ную зависимость F ( x) = x 2 (t ).

+ y (t ) + k эму k дв k ред (t ) x(t ) k1 + k 2 s W s (Tдв s + 1)(T1s + 1) о F ( x) k 3s Рис. 3.29. Нелинейная следящая система Необходимо определить значения параметров нелинейной системы k1, k2, k3 таким образом, чтобы удовлетворялись следующие требования:

1) при скачкообразном внешнем воздействии y ( t ) = 1( t ) время переходного процесса в системе должно составлять Tp 1 c, а перерегулирование 23%;

2) обеспечивалась грубость системы по параметрам не менее десяти процентов.

Структурная схема системы, представленная на рис. 3.29, относится к схемам с нелинейным элемен том в цепи местной ОС. Дифференциальное уравнение системы относительно выходной координаты за пишется так:

Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем d T1Tдв&&&( t ) + (T1 + Tдв ) &&( t ) + (1 + kk2 ) x ( t ) + kk1 x ( t ) + kk3 F ( x ) = kk1 y ( t ) + k1k2 y ( t ). (3.50) x x & & dt После нормировки уравнение принимает вид d &&&( t ) + 8, 0606 && ( t ) + k4 (1 + kk2 ) x ( t ) + kk1k4 x ( t ) + kk3k4 F ( x ) = kk1k4 y ( t ) + kk2 k4 y ( t ), k4 = 12,1212. (3.51) x x & & dt ( ) Выберем желаемый переходный процесс в виде hэ ( t ) = k у 1 e э t cos t. Параметры процесса най дем, исходя из предъявленных требований к показателям его качества.

Полагая, что T = 2 — период собственных колебаний процесса, можно записать выражение для максимального отклонения переходной характеристики э э T hmax = k у 1 e 2 = k у 1 e = k у 1 e ;

откуда легко определяется колебательность процесса и его частота:

э = =, =, э ln ln h где = max 1.

ky Известно, что время переходного процесса Tp связано с коэффициентом затухания приближенным ра венством э 3 / Tp.

Из приведенных выше зависимостей следует:

э 3 / Tp 3, э 6, 093 6.

ln Пользуясь описанным выше методом, определяем искомые параметры:

* * * k1 = 0, 0417862, k2 = 0, 0176393, k3 = 0, 00095812.

Эталонный переходный процесс и процесс в системе при найденных параметрах показаны на рис. 3.30, а ошибка приближения эталонного процесса hэ (t ) на рис. 3.31. Анализ полученного решения подтвердил, что при этих параметрах заданная грубость обеспечивается.

hэ ( t ), hp ( t ),, t,c,, Рис. 3.30. Эталонный hэ (t ) и реальный hр ( t ) переходные процессы hэ ( t ) hp ( t ) 0, t,c 0, Рис. 3.31. Ошибка приближения эталонного процесса hэ (t ) 300 Синтез регуляторов систем автоматического управления 3.4. СЕТОЧНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ АППАРАТ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Рассматриваемый в этом параграфе метод применяется при проектировании сложных автоматических систем, включающих нелинейные элементы, а также зве нья, параметры которых изменяются в процессе функционирования САУ. Другими словами, задача синтеза регуляторов рассматривается в классе нелинейных неста ционарных систем, поведение которых описывается дифференциальными уравне ниями высокого порядка. Степень эффективности метода в основном определяется возможностями используемой ЭВМ, поскольку его базовое положение — численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.

В последние десятилетия прошлого века имело место бурное развитие отдель ных разделов численных методов, особенно тех, которые связаны с проблемами управления и оптимального поиска, а также тех, которые посвящены методам ре шения дискретных задач. В этой связи большое значение приобрели разностные методы решения многих типов задач, в том числе нелинейных ДУ высокого поряд ка, описывающих поведение сложных автоматических систем. Важная особенность разностных (сеточных) методов состоит в том, что они, как правило, допускают простую алгоритмизацию, причем полученные алгоритмы могут быть эффективно реализованы на ЭВМ.

Что касается дискретных методов решения ДУ, то для них построены не только вычислительные схемы, но исследованы такие важные для практики вопросы, как сходимость и устойчивость, оценка погрешности, реализация алгоритмов на ЭВМ.

Разработаны методы решения жестких задач, которые имеют прямое отношение к исследованию сложных автоматических систем: применяются неявные методы Рун ге–Кутта, многошаговые методы, методы экстраполяции и др.

Одним из важных направлений является решение ДУ в частных производных, ко торые описывают поведение систем с распределенными параметрами. Необходимо указать и краевые задачи, играющие важную роль в теории оптимального управления.

Численные методы решения ДУ (методы Эйлера, Рунге–Кутта и др.) являются основным инструментом исследования и анализа САУ: они являются универсальны ми и эффективными, так как позволяют находить приближенное решение для ши рокого класса как систем, так и задач расчета и проектирования. Отмечается и следующий недостаток: они не позволяют непосредственно, как аналитические ме тоды, вскрыть причины того или иного поведения системы, поскольку они позволя ют лишь получить конкретный результат (числовые значения) для конкретных ис ходных данных.

Сказанное можно рассматривать как общее свойство численных методов в срав нении их с аналитическими подходами. При решении же таких задач, как синтез регуляторов, построение оптимальных программ и оптимальных программных управлений численные методы в инженерном содержании оказываются весьма эф фективными, поскольку позволяют построить не только алгоритмы решения задач (иногда достаточно сложные), но и охватить широкий класс систем, включая нели нейные и нестационарные.


Изложим основное содержание метода синтеза регуляторов, в качестве примера используя метод Эйлера. Первый этап на пути построения численного метода реше ния задачи Коши состоит в замене отрезка [0, T ] — области непрерывного изменения аргумента множеством, которое представляет собой конечное число точек t0 t1... t N = T и называется сеткой. Сами точки ti, i = 0, N называются узлами Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем сетки, а величина hn = tn tn 1. Будем рассматривать, как правило, равномерную сет T ку, когда hn = h = и tn = t0 + nh, n = 1, N.

N Функции, которые определены лишь в узлах сетки, называются сеточными (см. п. 2.10, гл. 2, т. 1).

Численный метод решения, например дифференциального уравнения, состоит в замене задачи Коши ее дискретным аналогом. Рассматривая ДУ первого порядка, описывающего поведение простейшей системы, x ( t ) = f ( x ( t ), t, p ), (3.52) можно построить его дискретный аналог, при этом тот или иной способ такой замены определяет конкретный численный метод. Простейший дискретный аналог ДУ (3.52) представляет собой уравнение xn +1 xn = f ( x ( tn ), t, p ), h где xk = x ( tk ), p — параметры системы, которая описывается ДУ (3.52).

Вычисление значения xn +1 осуществляется по формуле xn +1 = xn + hf ( x ( tn ), tn, p ), n = 1, 2,.... (3.53) Последняя формула реализует метод Эйлера, который является примером одно шагового метода.

Задача анализа. Положим, что САУ описывается векторно-матричным ДУ:

x1 ( t, p ) = f1 ( x1 ( t ), x2 ( t ),..., xn ( t ), y1 ( t ), y2 ( t ),..., ym ( t ), t, p ) ;

& x2 ( t, p ) = f 2 ( x1 ( t ), x2 ( t ),..., xn ( t ), y1 ( t ), y2 ( t ),..., ym ( t ), t, p ) ;

& (3.54) LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL x t, p = f x t, x t,..., x t, y t, y t,..., y t, t, p ;

n( 1( ) 2( ) ) &n ( ) n( ) 1( ) 2( ) m( ) расчетная формула Эйлера применительно к этому случаю имеет вид:

x1,k +1 ( p ) = x1,k ( p ) + hf1 ( x1,k ( p ), x2,k ( p ),..., xn,k ( p ), y1,k, y2,k,..., ym,k, p ) ;

x2,k +1 ( p ) = x2,k ( p ) + hf1 ( x1,k ( p ), x2,k ( p ),..., xn,k ( p ), y1,k, y2,k,..., ym,k, p ) ;

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL xn,k +1 ( p ) = xn,k ( p ) + hf1 ( x1,k ( p ), x2,k ( p ),..., xn,k ( p ), y1,k, y2,k,..., ym,k, p ).

Или, что то же самое, X (t ) = F ( X (t ), Y (t ), p ), & где Y ( t ) — вектор-функция входа;

X ( t ) — вектор-функция выхода;

p = ( p1, p2,..., pr ) — вектор параметров системы.

Тогда X ( tk +1 ) = X ( tk ) + hF ( X ( tk ), Y ( tk ), p ). (3.55) Воспользовавшись формулами (3.54) и (3.55) и полагая, что Y ( t ) и p известны, легко рассчитать функции x1 ( tk ), x2 ( tk ),..., xn ( tk ), k = 1, N.

302 Синтез регуляторов систем автоматического управления Таким образом, задача анализа получила решение (рис. 3.32).

x ( tk ) дискретные значения выходного сигнала скалярной системы x ( t5 ) x ( t4 ) x ( t6 ) x ( t3 ) x (tN ) x ( t7 ) x ( t1 ) x ( t0 ) x ( t2 ) x ( t8 ) x ( t9 ) t 0 tN t t1 t6 t t2 t4 t t3 t x ( tk, p ) формулы, определяющие дискретные значения выходного сигнала скалярной системы в зависимости от параметров регулятора x ( t0, p ) x ( t1, p ) x ( t2, p ) x ( t3, p ) x ( t4, p ) x ( t5, p ) x ( t6, p ) x ( t7, p ) x ( t8, p ) x ( t9, p ) x (tN, p ) t Рис. 3.32. К иллюстрации постановок задач анализа и синтеза регуляторов методом Эйлера Задача синтеза регулятора. Положим, что найдена система ДУ (3.54) скалярной автоматической системы с включенным последовательно и параллельно регулято ром, численные значения параметров которого p1, p2,..., pr подлежат расчету (ос тальные параметры САУ известны).

Используя очевидные преобразования (весьма громоздкие в общем случае), из (3.54) можно получить формулы, определяющие дискретные значения выходного сигнала скалярной системы, зависящие не только от tk, но и от параметров регулято ра, т.е. x ( t0, p ), x ( t1, p ), x ( t2, p ),..., x ( t N, p ) (рис. 3.32).

Оптимальные значения параметров находятся минимизацией, например, функ ционала вида N I ( p1, p2,..., pr ) = x ( tk, p ) xэ ( tk ) min.

p k = Если же, например, система (3.54) описывает линейную многомерную стационар ную САУ, т.е.

X (t, p ) = A ( p ) X (t, p ) + B ( p ) Y (t ), & (3.56) Xв ( t, p ) = C ( p ) X ( t, p ), Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем то численные значения параметров регулятора находятся путем минимизации функ ционала вида p % N I ( p1, p2,..., pr ) = xiв ( tk, p ) xiвэ ( tk ) min, i =1 k = p где xiв ( t, p ) и xiвэ ( tk, p ) — соответственно реальные и эталонные выходные сигналы системы.

Рассмотрим систему, поведение которой описывается ДУ x(t ) + a0 x(t ) = cos(t ) + 25sin(t ), x(0) = 1. (3.57) Задача анализа. Положим, что a0 = 25, поскольку в задачах анализа все парамет ры известны. Задача анализа заключается в построении сигнала x(t ). Формула, реа лизующая метод Эйлера, для данного уравнения запишется так:

xn +1 = xn + h ( 25 xn + cos ( tn ) + 25sin ( tn ) ).

Результаты расчетов по последней формуле приведены в табл. 3.1.

Таблица 3. Р е з у л ь т а т ы р а с ч е т о в з н а ч е н и й xn + t 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1, x (t k ) 0,205 0,287 0,404 0,460 0,597 0,600 0,787 0,983 0, А теперь обратимся к рассматриваемой в данном параграфе задаче синтеза, предполагая, что уравнение системы имеет вид (3.57), где a0 — параметр, который можно изменять (параметр регулятора).

Задача заключается в нахождении a0 такого, чтобы выполнялось соотношение T I ( a0 ) = xp ( a0 ) xэ ( t ) dt min, (3.58) a где xэ ( t ) — эталонный выходной сигнал, xp ( a0 ) — реальный выходной сигнал, зависящий от параметра a0.

Ключевое положение вычислительной схемы заключается в следующем. Найдем формулу, определяющую x1 ;

имеем ( n = 0 ) x1 ( a0 ) = x0 + h ( a0 x0 + cos t0 + 25sin t0 ) = x0 + h ( a0 x0 + 1).

Таким образом, найдено значение сеточной функции при t = 1 в зависимости от параметра системы a0. Поступая аналогичным образом, находим ( n = 1 ) x2 ( a0 ) = x1 ( a0 ) + h ( a0 x1 ( a0 ) + cos t1 + 25sin t1 ) = = x0 ha0 x0 + h ha0 x0 h 2 a0 2 x0 h 2 a0 + cos t1 + 25sin t1 = (3.59) ( ) = x0 1 2ha0 h 2 a0 2 h 2 a0 + cos t1 + 25sin t1.

Для нахождения x3 ( a0 ) необходимо в формулу x3 ( a0 ) = x2 ( a0 ) + h ( a0 x2 ( a0 ) + cos t2 + 25sin t2 ) подставить зависимость (3.59), определяющую x2 ( a0 ).

Продолжая рассмотренный выше процесс, можно получить зависимости, опреде ляющие x4 ( a0 ), x5 ( a0 ),K, xN ( a0 ).

304 Синтез регуляторов систем автоматического управления Теперь задача минимизации функционала (3.58) может быть аналитически пред ставлена так:

N I ( a0 ) = xp ( tk, a0 ) xэ ( tk ) min.

a k = Важным является то факт, что задача нахождения a0 может быть поставлена с включением соответствующих ограничений, диктуемых содержанием конкретной задачи синтеза. В этом случае задача решается методами нелинейного программиро вания.

Как показала практика применения такого подхода, при решении с его помощью инженерных задач необходимо обратить внимание на следующие факторы, имеющие принципиальное значение.

1. Даже при рассмотрении простейшего примера формулы, определяющие дискрет ные значения x1 ( a0 ), x2 ( a0 ),..., зависящие только от одного параметра a0, становятся громоздкими, а их получение — утомительной процедурой. При рассмотрении слож ных многомерных САУ, когда число изменяемых параметров p1, p2,..., pr, особенно для нестационарных систем, велико (часто более 10), а порядок дифференциальных уравнений достигает нескольких десятков, задача получения дискретных значений ( ) X в ( t k, p ) = x1 ( t k, p ), x 2 ( t k, p ),..., x iв ( t k, p ),..., вектор-функции выхода Xв ( t, p ) в в зависящих от параметров регулятора p1, p2,..., pr, становится трудно реализуемой даже с помощью современных ЭВМ. В этом случае необходимо пользоваться сим вольными вычислениями [1]. Первые системы символьных вычислений появились в середине 60-х годов прошлого столетия, но только в начале 70-х годов несколько таких различных систем стали доступными для широкого круга пользователей.

В настоящее время прилагаются значительные усилия на усовершенствование суще ствующих и разработку новых систем. Символьные вычисления дают возможность работать с математическими выражениями в символьной форме. Системы символь ных вычислений могут, например, складывать, умножать и делить многочлены, ра циональные выражения, дифференцировать функции, находить интегралы от многих функций, которые допускают интегрирование в замкнутой форме. Эти возможности являются многообещающими как средство избавления от утомительных преобразо ваний алгебраических выражений, что нередко оказывается необходимой предвари тельной работой перед проведением численных расчетов, связанных с рассматривае мой задачей синтеза регуляторов.

2. При расчете дискретных значений выходного сигнала xp ( ti, p ) (например, для простейшего случая по формуле (3.53)) число слагаемых с увеличением i быстро растет. Это приводит к тому, что выражение xp ( ti, p ) после определенного количе ства шагов становится громоздким (особенно, если имеет место большое число неиз вестных параметров регулятора ) и дальнейшие вычисления требуют больших ресур сов ЭВМ. В этом случае целесообразно применить следующий прием. Интервал [0, T ], на котором строится решение xp ( t, p ), разбивается на частичные интервалы {[0, T1 ], [T1, T2 ],..., [Tl 1, Tl ], [Tl, T ]}, число которых зависит как от сложности синтези руемой системы, так и от мощности ЭВМ, выполняющей расчеты. Затем выходной сигнал x ( t, p ) строится на первом частичном интервале — x1p ( t, p ). По найденному решению на [ 0,T1 ] составляется функционал;


полученные в результате его миними Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем зации параметры p при подстановке в x1p ( t, p ) дают в узлах сетки ti [ 0, T1 ] уже численные значения выходного сигнала, которые используются для построения ре шения x2p ( t, p ) на следующем частичном интервале, и т.д. Решение на всем интер вале [ 0,T ] представляет собой совокупность решений на каждом из частичных ин { } тервалов: xp ( t, p ) = x1p ( t, p ),..., xl +1 p ( t, p ). Поскольку на каждом из промежутков [0, T1 ], [T1, T2 ],..., [Tl, T ] построены функции x1p ( t, p ), x2p ( t, p ),…, xl +1 p ( t, p ) (т.е. на каждом из этих участков xip ( t, p ) зависят от параметров регулятора), то численные значения параметров регулятора p1, p2,..., pr на промежутке [ 0,T ] находятся путем * * * минимизации функционала l +1 N I ( p1, p2,..., pr ) = xkp ( ti, p ) xэ ( ti ) min.

i =1 p k =1 Такой прием позволяет существенно упростить и соответственно ускорить проце дуру построения x ( t, p ). Необходимо учитывать тот факт, что на точность получае мого таким способом решения в сильной степени влияет выбор начальных условий p = p 0 при минимизации функционала на каждом из частичных интервалов. Как показали расчеты, наиболее эффективно использовать p 0 на всех интервалах одни и те же и как можно ближе к желаемым p*.

3. Поскольку при решении задачи минимизации (3.58) используется аппарат не линейного программирования, то на параметры выходного сигнала и на устойчивость системы можно накладывать соответствующие ограничения.

Если рассматривается линейная стационарная система, описываемая векторно матричным уравнением X (t, p ) = A ( p ) X (t, p ) + Y (t ), & где Y ( t ) — вектор-функция внешних воздействий, то формула, определяющая X ( tk ), может быть представлена так [122]:

A2 (p ) h X k +1 ( p ) = I + A ( p ) h + X k ( p ) + hY ( kh ). (3.60) 2!

Последовательные значения искомого вектора выхода находятся с помощью зави симостей A 2 (p ) h X1 ( p ) = I + A ( p ) h + X0 ( p ) + hY ( 0 ) ;

2!

A 2 ( p ) h X2 ( p ) = I + A ( p ) h + X1 ( p ) + hY ( h ) ;

2!

A 2 ( p ) h X3 ( p ) = I + A ( p ) h + X 2 ( p ) + hY ( 2 h ) ;

2!

............................................................................

Как указано в [122], приведенный алгоритм может использоваться для построения выходных сигналов в линейных системах при внешних воздействиях, меняющихся в 306 Синтез регуляторов систем автоматического управления широком диапазоне;

они могут иметь разрывы. Алгоритм не накладывает каких-либо принципиальных ограничений на шаг построения процессов, кроме условия нахож дения спектра si матрицы A внутри круга с центром в точке [ R, 0] в левой полу плоскости. Процесс численно устойчив, если шаг выбрать кратным величине h, h = 1 R (в задаче синтеза о R можно судить по эталонным операторам или эталон ным выходным сигналам).

Поскольку численные методы решения ДУ — основной инструмент исследования нелинейных задач, то изложенный подход обобщается на класс нелинейных систем.

Положим, что нелинейная САУ описывается векторно-матричным ДУ вида [122] X (t, p ) = A ( p ) X (t, p ) + F ( X (t, p ), t, p ).

& (3.61) Алгоритм построения сеточной вектор-функции выхода записывается так [122]:

A ( p ) h A 2 ( p ) h X k +1 ( p ) = e ( ) X k ( p ) + h I K F ( X k ( p ), kh, p ).

Aph + 2! 3!

Алгоритм предполагает расположение спектра матрицы A( p) слева от мнимой оси.

Выбор шага осуществляется по линейной части системы. В случае сильного влияния нелинейностей выбор шага осуществляется другими методами [122];

метод обобщается на линейные нестационарные системы. Кроме указанных методов могут быть использованы стандартные численные методы интегрирования: Рунге–Кутта, Адамса, Хемминга, Гира и др.

Использование разностных схем решения ДУ иногда встречает определенные трудности:

• стремление уменьшить ошибку с использованием сеточного представления функции за счет других, более точных представлений производных (вместо, например, f ( t ) = 1 2 ( f ( ti 1 ) + 2 f ( ti ) f ( ti +1 ) ) + i ( h ) можно использовать h другие соотношения) может привести к системе уравнений с несимметричной матрицей. Отсутствие симметрии может повлечь ряд трудностей при числен ной реализации алгоритма решения ДУ;

• свойства оператора при переходе к разностному уравнению часто теряются.

Если рассматривать краевую задачу d2x dx = y ( t ), 0 t 1;

x ( 0 ) = x (1) = 0, 2 + a1 (3.62) dt dt то уравнению (3.62) соответствует дискретный эквивалент xi 1 + 2 xi xi +1 x x + a1 i +1 i = y ( ti ), x0 = xN = 0, i = 1, N 1, h h для которого характерно следующее: если постоянная a1 и шаг сетки h та ковы, что 2 ha1, то матрица, определяющая x1, x2,..., xN 1, заведомо не яв ляется положительно определенной, хотя оператор исходной задачи обладает этим свойством.

Во многих задачах синтеза регуляторов весьма конструктивные алгоритмы могут быть получены с использованием квадратурных формул и аппарата интегральных уравнений (см. гл. 2, т. 1). На практике широко используются квадратурные форму лы, реализующие приближенное равенство T N f ( t ) dt = Ai f ( ti ), i = Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем в числе которых формула трапеций, формула Симпсона (с оценкой погрешности), квадратурные формулы интерполяционного типа (квадратурные формулы интерпо ляционного типа, построенные на основе равноотстоящих значений t0, t1,..., t N, назы ваются формулами Ньютона–Котеса) с оценкой погрешности и с рассмотрением во просов вычислительной устойчивости, квадратурные формулы Гаусса с их хорошей обусловленностью. При построении алгоритмов синтеза регуляторов используются квадратурные формулы для случая, когда имеет место текущий верхний предел ин t тегрирования x ( t ) = y ( ) d ;

весьма подходящим для интерполяции на каждом элементарном отрезке [ti 1, ti ] является кубический многочлен Эрмита. Использова ние этого способа интерполяции позволяет находить значения x ( t ) с довольно высо кой точностью по сравнительно редкой таблице значений, что упрощает вычисли тельную схему синтеза регуляторов сложных САУ.

Рассмотрим основные положения обсуждаемого подхода применительно к реше нию задачи синтеза регулятора в классе скалярных стационарных систем.

Положим, что p1, p2, K, pr — параметры регулятора;

ДУ замкнутой САУ с регу лятором записываются в виде n 1 m x( ) + av ( p ) x( ) = bk ( p ) y ( k) n v (3.63).

v =0 k = Так как последнему ДУ эквивалентно интегральное уравнение ( 1)k d k t n x ( t ) + ak ( p ) ( t )n 1 x ( ) d = ( n 1)! d k k =0 (3.64) ( 1)k d k t m = bk ( p ) ( t )n1 y ( ) d, ( n 1)! d k k =0 то, учитывая зависимости dk ( t )n 1 = ( n 1)( n 2 )K ( n k )( 1)k ( t )n k k d и ( p )( t )n k ( 1)k d k t n 1 n 1 a ak ( p ) t ) = k n (, 0( n 1) ! d k ( n k 1)!

k = k = (3.64) принимает вид ( t )n k 1 ( t )n k t t n 1 m x ( t ) + ak ( p ) x ( ) d = bk ( p ) y ( ) d. (3.65) 0( n k 1) ! 0( n k 1)!

k =0 k = Поскольку в рассматриваемой постановке система линейна и стационарна, то y ( t ) = 1( t ) (эталонный входной сигнал) и (3.65) можно переписать в виде t x (t ) K (t, ) x ( ) d = f (t ), n k ak ( p )( t ) tm ( t )n k n, f ( t ) = bk ( p ) где K ( t, ) = d.

( n k 1)! ( n k 1)!

0 k = k = 308 Синтез регуляторов систем автоматического управления Для решения уравнения (3.65) применим метод квадратур. Пусть ti = ( i 1), i = 1, N ;

воспользуемся формулой трапеций. Тогда можно записать зависимости, определяю щие сеточную функцию x ( tk, p ) :

n k (t ) t m bk ( p ) (1n k 1)! d, x1 ( p ) = x ( t1, p ) = k =0 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ( ) n k i 1 n 1 m n k + b ( p ) ( ti ) ti j ti ( ) xi ( p ) = x ( ti, p ) = h A j ak ( p ) ( n k 1)! d, x tj, p ( n k 1)!

j =1 k =0 k =0 k где 1 при j = 1, T ti = h ( i 1), i = 1, N ;

N = + 1 ;

A j = h 1 при j 1.

Пользуясь символьными вычислениями, можно найти аналитические зависимости, определяющие значения функции x ( t ) в узлах сетки через параметры регулятора, т.е.

x ( t1, p ) = x1 ( p ), x ( t 2, p ) = x 2 ( p ), …, x ( t N, p ) = x N ( p ). Параметры p1, p 2, K, p r определяются таким образом, чтобы:

1) воспроизводился заданный переходной процесс xэ ( t ), относящийся к коорди нате x ( t ) при возмущениях определенного вида;

при этом с допустимой по грешностью должна воспроизводиться кривая xэ ( t ), ее экстремальные значе ния, скорость и время протекания переходного процесса;

2) обеспечивалась заданная степень устойчивости* и колебательность** системы.

Пункт 1 обеспечивается приближением кривой реального переходного процесса xp ( t, p ) к заданной кривой xэ ( t ).

Пункт 2 обеспечивается введением в расчет условий, определяющих нахождение корней характеристического уравнения внутри области, заданной на плоскости ком плексного переменного и называемой областью заданного расположения полюсов (или областью заданного качества), для чего используется, как предложено Ю.И. Неймарком, D-разбиение плоскости одного или двух параметров.

Наиболее целесообразной формой области заданного расположения полюсов сле дует считать шестиугольник acba (рис. 3.33), дающий предельные значения вещественных частей корней характеристического уравнения, степень устойчивости R1, предельные значения частот H и колебательность системы tg ( ) [81]. Вследст вие наличия определенных зависимостей между параметрами, отсеченная область q для варьирования параметров, как правило, несущественна. Параметры задан ной прямой xэ ( t ) должны быть согласованы с параметрами области R1, R2,, H.

Должно быть R1 = 1/ max, max — максимальная постоянная времени составляющих * Под степенью устойчивости понимается абсолютное значение вещественной части полюса, ближай шего к мнимой оси.

Колебательностью системы называется tg ( ), где — угол между отрицательной вещественной ** полуосью и полубесконечной прямой, проведенной из начала координат во втором квадранте комплексной плоскости s.

Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем переходного процесса xp ( t, p ). Угол ограничивает колебательность процесса xэ ( t ), величина H — его высокочастотные составляющие. Выбор R2 в значитель ной мере произволен, однако наличие несоизмеримых по величине модуля корней характеристического уравнения нежелательно ввиду снижения точности определения некоторых параметров системы в процессе синтеза из-за диспропорции в значениях коэффициентов изображения.

Подробно соответствующие положения изложены в [5, 81]. Там же рассмотрен подход, использующий квадратурные формулы для решения задач синтеза регуля торов.

Задача синтеза на основе сказанного формулируется так:

• для обеспечения приближения кривой реального переходного процесса xp ( t, p ) к эталонной кривой xэ ( t ) параметры p1, p2, K, pr регулятора выби раются исходя из условия N x ( ti, p ) xэ ( ti ) min ;

pi, i =1, N i = • для обеспечения условий, определяющих нахождения корней характеристиче ского уравнения внутри заданной области, составляются соответствующие ог раничения.

g + j h f e s = + j d k c b a + R R Рис. 3.33. Область заданного расположения полюсов на комплексной плоскости Задача решается методом нелинейного программирования. Структурная схема ал горитма решения задачи представлена на рис. 3.34.

310 Синтез регуляторов систем автоматического управления Начало Выбор структуры и места включения регулятора Выбор эталонного входного и выходного сигналов Нахождение ДУ САУ с регулятором, имеющим изменяемые параметры p = ( p1, p2,..., pr ) Нахождение с помощью символьных вычислений сеточной функции x ( t1, p ), x ( t2, p ), K x ( t N, p ), в явной форме зависящей от параметров p Построение функционала N x ( t k, p ) xэ ( tk ) I ( p) = k = Поиск параметров регулятора методами нелинейного программирования, обеспечивающих минимум функционала с ограничениями на параметры, характеризующими качество работы системы Построение выходного сигнала скорректированной системы Нет Выходной сигнал удовлетворяет поставленным требованиям?

Да Конец Рис. 3.34. Структурная схема алгоритма Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем Пример 3.6. В качестве примера рассмотрим решение задачи синтеза оптимальной константы навига ции n в системе самонаведения (см. пример 2.3) для следующих параметров движения ракеты и цели:

cкорость ракеты V ( t ) = 200 (1 + t ) м / с;

• cкорость цели Vц ( t ) = 400 м / с;

• ( ) изменение расстояния между ракетой и целью r ( t ) = 100 45 6t t 2 ;

• задающее воздействие g ( t ) = g э ( t ) = Vц ц ( t ) V ( t ) o ( t ) = Vц 0, 05 V ( t ) 0, 05;

• • эталонный промах системы определим так:

){ ( ( ) hэ ( t ) = 45 6t t 2 ц 0, 00055 + 0, 00539t 0, 00116t 2 + 0, 01198t 3 0, 00386t 4 + 0, 00051t 5 + ( )} + о 0, 03958 4, 77453t 2,14545t 2 0, 60758t 3 + 0, 20813t 4 0, 02878t 5, где ц = Vц ( t ) ц.

Система самонаведения в нормальной форме Коши имеет вид x1 ( t ) = x 2 ( t ) + F1 ( t ) g ( t ), & & x 2 ( t ) = x 3 ( t ) + F2 ( t ) g ( t ), & & (3.66) x 3 ( t ) = x 4 ( t ) + F3 ( t ) g ( t ), & & x t = a t x t a t x t a t x a t x t + F t g t, &4 ( ) 4( ) 4( ) 3( ) 3( ) 2( ) 2 1( ) 1( ) 4( ) () где a1 ( t ) = l 0 ( t ) / l 4 ( t ) ;

a 2 ( t ) = l1 ( t ) / l 4 ( t ) ;

a 3 ( t ) = l 2 ( t ) / l 4 ( t ) ;

a 4 = l 3 ( t ) / l 4 ( t ), ( ) F0 ( t ) = 0;

F1 ( t ) = 1;

F2 ( t ) = 0;

F3 ( t ) = 0;

F4 ( t ) = 200 / 3 n ( 3 + t ) / 45 + 6t + t 2.

Метод Эйлера для системы (3.66) дает следующую схему:

x1 ( t i +1, n ) = x1 ( t i +1, n ) + h ( x 2 ( t i, n ) + F1 ( t i, n ) g ( t i ) ), x 2 ( t i +1, n ) = x 2 ( t i +1, n ) + h ( x 3 ( t i, n ) + F2 ( t i, n ) g ( t i ) ), x 3 ( t i +1, n ) = x 3 ( t i +1, n ) + h ( x 4 ( t i, n ) + F3 ( t i, n ) g ( t i ) ), (3.67) x 4 ( t i +1, n ) = x 4 ( t i +1, n ) + h ( a 4 ( t i, n ) x 4 ( t i, n ) a 3 ( t i, n ) x 3 ( t i, n ) a 2 ( t i, n ) x 2 ( t i, n ) a1 ( t i, n ) x1 ( t i, n ) + F4 ( t i, n ) g ( t i )).

Для сетки ti = 0, 05 i, i = 0,1, 2,3,... с использованием символьных вычислений были получены сле дующие дискретные значения h ( t k, n ), явно зависящие от параметра навигации n:

h ( t 0, n ) = 0;

h ( t1, n ) = 0, 475;

h ( t 2, n ) = 0,925;

h ( t 3, n ) = 1,35;

h ( t 4, n ) = 1, 75000 + 0, 271948e 3n;

h ( t 5, n ) = 2,12500 + 0,117533e 2n;

h ( t 6, n ) = 2, 47500 + 0,307864e 2n 0,161957e 6n 2 ;

h ( t 7, n ) = 2,80000 + 0, 632746e 2n 0,109246e 5n 2 ;

h ( t 8, n ) = 3,10000 + 0,112329e 1n 0, 417927e 5n 2 + 0,100981e 9n 3 ;

h ( t 9, n ) = 3,37500 + 0,180684e 1n 0,119331e 4n 2 + 0,930956e 9n 3 ;

h ( t10, n ) = 3, 62500 + 0, 270706e 1n 0, 283069e 4n 2 + 0, 471244e 8n 3 0, 659e 13n 4.

Безусловная минимизация функционала, при составлении которого было использовано 80 точек сетки:

80 h p ( t k, n ) hэ ( t k ) I (n) = min, n k = позволила получить оптимальное значение константы навигации n* = 2,1986. Промах системы при дан ном значении n представлен на рис. 3.35.

312 Синтез регуляторов систем автоматического управления hэ ( t ), h ( t ) t,c 0,5 1, 5,, ( ) Рис. 3.35. Эталонный (1) и реальный (2) при n = n * промах системы самонаведения Пример 3.7. Приведем результаты решения примера 3.6 сеточно-параметрическим методом, но уже основанным на квадратурной схеме.

В качестве квадратурной схемы при построении выходного сигнала x ( t, p ) была использована фор мула трапеций с шагом дискретизации h = 0, 2 с. Сначала задача была решена без разбиения на интерва {[0,1], [1, 2], [ 2,3], [3, 4]}.

лы, затем с разбиением на четыре интервала 1. Приведем результаты решения задачи без разбиения на частичные интервалы.

Значения выходного сигнала системы самонаведения в узлах сетки в зависимости от n определяются соотношениями:

x ( t1 ) = 0;

x ( t 2 ) = 1,91714;

x ( t 3 ) = 3, 24481 + 0,16396e 1n;

x ( t 4 ) = 4, 21432 + 0, 711415e 1n 0,15311e 3n 2 ;

x ( t 5 ) = 4, 78874 + 0,17264n 0,11023e 2n 2 + 0,15612e 5n 3 ;

x ( t 6 ) = 4,96974 + 0,32361n 0, 41950e 2n 2 + 0,16092e 4n 3 0,17398e 7 n 4 ;

x ( t 7 ) = 4, 75415 + 0,52105n 0,11531e 1n 2 + 0,85910 4n 3 0, 23832e 6n 4 + 0, 21211e 9n 5 ;

x ( t 8 ) = 4,14055 + 0, 75694n 0, 25963e 1n 2 + 0,32199e 3n 0,16752e 5n 4 + 0,36948e 8n 5 0, 28338e 11n 6 ;

x ( t 9 ) = 3,12791 + 1, 01803n 0,51029e 1n 2 + 0,96206e 3n 0,81532e 5n 4 + 0,32877e 7 n 5 0, 61012e 10n 6 + 0, 41587e 13n 7 ;

x ( t10 ) = 0,96719e 1 + 1,53276n 0,14981n 2 + 0,55731e 2n 3 0,10034e 3n 4 + +0,95852e 6n 5 0,50371e 8n 6 + 0,14450e 10n 7 0, 21013e 13n 8 + 0,12023e 16n 9.

Функционал в этом случае имеет вид I ( n ) = 59,960374n3 + 0,85295n 6 + 0,14477e 14n18 + 0, 22665e 5n12 567,53169n + 93, 79479n 0, 28319n 7 + 1,10632n5 21, 22838n 4 0, 23053e 16n19 + 0, 49871e 1n8 0,10561e 6n 0, 60661e 2n9 + 0, 40523e 8n14 0,12909e 9n15 + 0,55415e 3n10 + 0,34367e 11n 0,39594e 4n11 0, 76831e 13n17 0,35501e 20n 21 + 0,34363e 22n 22 0, 28160e 24n 23 + + 0,31079e 18n 20 + 0,19502e 26n 24 0,11380e 28n 25 + 0,55735e 31n 26 0, 21378e 38n 29 + + 0, 47956e 41n30 + 0, 77069e 36n 28 0, 2277e 33n 27 0,12034e 49n33 0,85389e 44n31 + + 0,11755e 46n32 0,38237e 56n35 + 0, 79376e 60n36 + 0,8603e 53n34 + 556, 7433.

Глава 3. Методы синтеза регуляторов в классе одномерных нелинейных систем Минимум функционала достигается в точке n* = 1,9447. Промах системы при найденном значении константы навигации представлен на рис. 3.36.

h ( t ), hэ ( t ) t, с,,,, Рис. 3.36. Эталонный (1) и реальный (2) промах системы самонаведения, полученный при решении задачи синтеза без разбиения на частичные интервалы 2. Проведем анализ результатов решения задачи при разбиении на четыре частичных интервала.

Формулы для дискретных значений выходного сигнала системы в зависимости от n имеют вид:

x ( t1 ) = 0;

x ( t 2 ) = 1,91714;

x ( t 3 ) = 3, 24481 + 0, 016397 n;

x ( t 4 ) = 4, 21432 + 0, 071140n 0, 000153106n 2 ;

x ( t 5 ) = 4, 78874 + 0,17264n 0, 0011023n 2 + 0, 0000015612n 3 ;

x ( t 6 ) = 5, 69889 + 0, 71321n;

x ( t 7 ) = 4, 49164 + 0,37311n 0, 00869515n 2 ;

x ( t 8 ) = 4,10431 + 0, 73780n 0, 02592n 2 + 0, 00011617 n 3 ;

x ( t 9 ) = 3, 06996 + 0,98546n 0, 0499479n 2 + 0, 00065878n 3 0, 00000170485n 4 ;

x ( t10 ) = 1, 67164 + 1, 25875n 0, 088788n 2 + 0, 0020748n 3 0, 000014720n 4 + 275 10 8 n 5.

Выражение для функционала запишется так:

I ( n ) = 57,90447 n3 3431, 02255n 0, 074317 n5 + 743, 67454n 2 7,35805n 4 + + 3537,12143 + 2146 108 n10 0, 47086 105 n9 0, 01155n 7 + 0, 00036152n8 + 0,1452n 6.

Оптимальное значение константы навигации составило в этом случае n* = 1,9887. Промах системы при найденном значении константы навигации представлен на рис. 3.37.

h ( t ), hэ ( t ) t, с,,,, Рис. 3.37. Эталонный (1) и реальный (2) промах системы самонаведения, полученный при решении задачи синтеза с разбиением на четыре частичных интервала 314 Синтез регуляторов систем автоматического управления Пример 3.8. Структурная схема нелинейной САУ приведена на рис. 3.38.

x (t ) y (t ) kдв kэму kред k s (Tдв s + 1) T1s + F ( x) k3 s Рис. 3.38. Структурная схема нелинейной САУ Дифференциальное уравнение движения системы, записанное относительно выходной координаты, имеет вид [5] T1Tдв s 3 + (T1 + Tдв ) s 2 + (1 + kэ k2 ) s + kэ k1 x + kэ k3 F ( x ) = kэ k1 y ( t ), где kэ = kэму kдв kред.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 17 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.